una muestra de aplicaciones exitosas departmento depolicía desan francisco $11 millones en 20%,$3...

Una muestra de aplicaciones exitosasUna muestra de aplicaciones exitosas El Departmento deDepartmento de Policía dePolicía de San Francisco San Francisco mejora la forma en que

programa a los patrulleros y ahorra $11 millones$11 millones por año, mejora el tiempo de respuesta en 20%,en 20%, aumenta el ingreso por multas en $3 $3 millones.millones.

Digital Digital usa un Modelo de Administración de la Cadena Global de Suministro para localizar sus instalaciones, planear el abasto , la production y la red de distribución. Esta reestructuración ha reducido los costos en $1000 millones$1000 millones y los activos en $400 millones.$400 millones.

Kodak Pty. Ltd.Kodak Pty. Ltd. Usa un nuevo sistema para el corte de rollos a partir de grandes rollos de papel fotográfico, ahorrando $2 millones$2 millones en el primer año en el desperdicio.

American AirlinesAmerican Airlines, tres años asignando la tripulación con un modelo ha permitido un ahorro de $20 millones!$20 millones! Los modelos de optimización de listas de espera, asignación de descuentos y administración de tráfico contribuyen con $500 millones$500 millones por año a American Airlines.

Reynolds Metals CompanyReynolds Metals Company usa un modelo de despacho central para asignar embarques a 14 empresas de transporte a sus 200 instalaciones; ha mejorado el tiempo de entrega y reducido el costo anual de transportación en $7 millones.$7 millones.

GTEGTE usa un modelo para planear sus $300 millones$300 millones anuales de inversión en nuevas líneas telefónicas y otros sistemas de acceso a clientes.

1.1. Suministro de carbón en una empresa Suministro de carbón en una empresa

New Bedford Steel (NBS) es una empresa que manufactura herramientas de acero

Problema:Problema:

El carbón es usado como materia prima en la producción de acero y NBS adquiere de 1.0 a 1.5 millones tons al año.

En la planeación del suministro para el próximo año, Stephen Coggins, director de compras de materia prima en NBS, ha solicitado y recibido cotizaciones de ocho ocho proveedoresproveedores.

Basándose en pronósticos de mercado y la producción de los últimos años NBS planea aceptar cotizaciones por 1,225 mtons1,225 mtons of coking coal.

Este carbón debe tener en promedio una volatilidad de al menosal menos 19% .19% .

Por problemas sindicales, NBS ha decidido adquirir al menos el 50%al menos el 50% del carbón al sindicato minero (United Mine Workers) mines.

Finalmente, Steve Coggins debe tomar en cuenta que la capacidad de transportación del carbón por trenpor tren está limitada a 650 mtons650 mtons por año, y la capacidad de transportación del carbón por camión por camión está limitada a 720 mtons720 mtons por año.

AshleyAshley BedfordBedford ConsolConsol DunbyDunby EarlamEarlamFlorenceFlorence GastonGaston HoptHopt

CapacidadCapacidad 300300 600600 510510 655655 575575 680680 450 450 490490(mtons)(mtons)

Sin./Sin./ UU UU NN UU NN UU N N N NNo Sind.No Sind.

Camión/Camión/ RR TT RR TT TT TT R R R R

TrenTren

Volatilidad (%)Volatilidad (%) 1515 1616 1818 2020 2121 2222 23 232525

Precio ($/ton)Precio ($/ton) 49.5049.50 50.0050.00 61.0061.00 63.5063.50 66.5066.50 71.0071.00 72.50 72.50 80.0080.00

1.1. ¿Cuánto carbón debería Coggins adquirir de cada proveedor?

2.2. ¿Cuál será el costo total de abasto ?

3.3. ¿Cuál será el costo promedio de abasto de NBS?

PreguntasPreguntas::

Se debe decidir cuanto adquirir de cada proveedor.

A: # de mtons de carbón de Ashley B: # de mtons de carbón de Bedford C: # de mtons de carbón de Consol D: # de mtons de carbón de Dunby

E: # de mtons de carbón de Earlam F: # de mtons de carbón de Florence G: # de mtons de carbón de Gaston H: # de mtons de carbón de Hopt.

Paso 1: Definir las VariablesPaso 1: Definir las Variables

Coggins desea minimizar el costo de adquirir carbón.

Minimizar 49.5 A+50 B+61 C+63.5 D+66.5 E+71 F+72.5 G+80 F

Su función objetivo es:

Paso 2: La Función ObjetivoPaso 2: La Función Objetivo

Paso 3: Las RestriccionesPaso 3: Las Restricciones

Coggins debe adquirir 1,225 mtons de carbón

A+B+C+D+E+F+G+H=1,225

El 50% al menos debe provenir de las minas del Sindicato Minero

A+B+D+F C+E+G+H i.e. A+B-C+D-E+F-G-H 0

Se tienen restricciones de capacidad en tren y camión:

camión: B+D+E+F 720

tren: A+C+G+H 650

Paso 3: Continúa Restriciones ... Paso 3: Continúa Restriciones ... La volatilidad promedio debe ser al menos de 19%

(15 A+16 B+18 C+20 D+21 E+22 F+23 G+25 H) (15 A+16 B+18 C+20 D+21 E+22 F+23 G+25 H) 19 (A+B+C+D+E+F+G+H) 19 (A+B+C+D+E+F+G+H)

vol: - 4 A- 3 B - C +D +2 E + 3 F + 4 G +6 H 0

Capacidad de cada una de las 8 minas:

ACAP: A 300

BCAP: B 600

CCAP: C 510

DCAP: D 655

ECAP: E 575

FCAP: F 680

GCAP: G 450

HCAP: H 490

Paso 4: Restricción en las Paso 4: Restricción en las variablesvariables

No negatividad:

A 0

B 0

C 0

D 0

E 0

F 0

G 0

H 0

El Modelo...El Modelo...Minimizar:Minimizar: 49.5 A+50 B+61 C+63.5 D+66.5 E+71 F+72.5 G+80 F

Sujeto a:Sujeto a: demanda:demanda: A+B+C+D+E+F+G+H=1,225

sindicatos:sindicatos: A+B-C+D-E+F-G-H 0

camión:camión: B+D+E+F 720

tren:tren: A+C+G+H 650

volatilidad: - 4 A- 3 B - C +D +2 E + 3 F + 4 G +6 H 0

ACAP:ACAP: A A 300 300

BCAP:BCAP: B B 600 600

CCAP:CCAP: C C 510 510

DCAP:DCAP: D D 655 655

ECAP:ECAP: E E 575 575

FCAP:FCAP: F F 680 680

GCAP:GCAP: G G 450 450

HCAP:HCAP: H H 490 490

nonegatividad:nonegatividad: A,B,C,D,E,F,G,H A,B,C,D,E,F,G,H 0 0

Variables de DecisiónVariables de Decisión::Describe la decisión a tomar, por ejemplo: cuanto producir.

Función ObjetivoFunción Objetivo:: Una función lineal de las variables de decisión the que debe ser minimizada o maximizada.

RestriccionesRestricciones:: Expresiones funcionales(lineales) de las variables de decisión que restringen el valor que las variables pueden tomar.Definen el conjunto factible

TerminologíaTerminología

Pasos en la Formulación de un Pasos en la Formulación de un Modelo de P.L.Modelo de P.L.

1.1. Definir las variables de decisiónvariables de decisión

2.2. Escribir el objetivoobjetivo como función lineal de las variables de decisión

3.3. Escribir las restriccionesrestricciones como funciones lineales de las variables de decisión

4. Especificar dominio de definición de las dominio de definición de las variables variables (no negatividad, enteras, binarias)

2.2. Gemstone Tool Gemstone Tool CompanyCompany

Gemstone Tool Company (GTC) es una empresa que compite en el mercado de consumo e industrial de herramientas para la herramientas para la construcción. construcción. Su planta principal se encuentra en Seattle, Washingtonpero GTC también opera otras plantas en USA, Canada y México.

La planta de Winnipeg, Canada, produce llaves para tuercas y tenazas. Estas son hechas de acero y el proceso incluye moldear la herramienta en una máquina y luego ensamblarla en otra.

La cantidad de acero requerido para la fabricación de llaves y tenazas, la disponibilidad diaria de acero, la tasa de utilización de las máquinas requerida, la capacidad de las maquinas, la demanda diaria del mercado y la utilidad (por unidad vendida) se muestra en la Tabla I.

Tabla I

LLavesLLaves TenazasTenazas Disp./CapacidadDisp./Capacidad

Acero Acero 1.5 1.0 27,000 lbs./día(lbs.)Máquina de MoldeoMáquina de Moldeo 1.0 1.0 21,000 horas/día(horas)Máquina ensambladoraMáquina ensambladora 0.3 0.5 9,000 horas/día(horas)Demanda Demanda 15,000 16,000(unidad/día)UtilidadUtilidad $ 130 $ 100($/1,000 unidades

GTC desea planear la producción diaria de llaves y tenazas en su planta de Winnipeg de manera de maximizar la utilidadmaximizar la utilidad.

El modelo...

Maximizar:Maximizar: 130 W + 100 T

Sujeto a:Sujeto a: acero:acero: 1.5 W + T 27

moldeo:moldeo: W + T 21

ensamblado:ensamblado: 0.3 W + 0.5 T 9

demanda de W:demanda de W: W 15

demanda de P:demanda de P: T 16

nonegatividad:nonegatividad: W, T W, T 0 0

W W : # de llaves producidas por día (1,000s)

T T : # de tenazas producidas por día (1,000s)

SOLUCIÓN CON LINDO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 2460.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

W 12.000000 0.000000

P 9.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 60.000000

3) 0.000000 40.000000

4) 0.900000 0.000000

5) 3.000000 0.000000

6) 7.000000 0.000000

• NO. ITERATIONS= 3

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

W 130.000000 20.000000 30.000000

P 100.000000 30.000000 13.333333

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 27.000000 1.500000 2.250000

3 21.000000 1.000000 1.500000

4 9.000000 INFINITY 0.900000

5 15.000000 INFINITY 3.000000

6 16.000000 INFINITY 7.000000

Demanda de WDemanda de W

Demanda de Demanda de TT

EnsambleEnsamble

MoldeMoldeoo

AceroAcero

Solución Gráfica de Solución Gráfica de GTCGTC

Solución Solución Óptima Óptima Z=2460Z=2460

W=12,T=9W=12,T=9

RegiónRegión

FactiblFactiblee

TenazaTenazass

(1,000)(1,000)

Llaves Llaves (W)(W)

(1,000)(1,000)0 30

30

5

10

15

20

25

15



0 30

30

5

10

15

20

25

15

TenazaTenazass


Región Región FactiblFactiblee

EnsambleEnsamble

AceroAcero

MoldeMoldeoo

Soluciones Soluciones OptimasOptimas

Múltiples Múltiples

CambiaCambia restricción de restricción de moldeomoldeo

1 hrs1 hrs para W y para W y 1 hrs1 hrs para Tpara T

disponibilidad disponibilidad 21,000 21,000 hrs/díahrs/día

1.31.3

2460246000

Problema no AcotadoProblema no Acotado

Ejemplo:

Región Factible

x 0y 0

x + y 20

x 5

-2 x + 5 y 150

Sujeto a:

Maximizar x + 1/3 y

x

3010 20

y

0

10

20

40

0

30

40

Pero !Pero !

Ejemplo:

Región Factible

x 0y 0

x + y 20

x 5

-2 x + 5 y 150

Sujeto a:

Minimizar x + 1/3 y

4

1

x31 2

y

0

2

0

3

Solución Óptima

Interesante!!

Si existe una solución óptima, siempre hay una solución óptima en un extremo

(del poliedro) de la región factible

y

x0

1

2

3

4

0 1 2

3

x3010 20

y

0

10

20

40

0

30

40x

y

0

1

2

3

4

0 1 2

3

Historia de la Programación Historia de la Programación LinearLinear

1940s1940s Problemas de Economía y Transporte

Segunda Guerra MundialSegunda Guerra Mundial

1826 Gauss1826 Gauss Soluciones de sistemas1904 Jordan1904 Jordan de ecuaciones lineales

1826 Fourier1826 Fourier Desigualdades lineales, mecánica, Soluciones vértice a vértice (similar al simplex)

1939 Kantorovich1939 Kantorovich Producción, transbordo Trabajo poco apreciado (ganador del Premio Nobel!)

... Continua ... Continua

Hoy Hoy Se puede resolver problemas de PL con 5,000 restricciones 30,000 variables en una PC.

19471947 Fuerza Aérea de USA ((G. Dantzig, M. Wood, J. Norton, M. Geisler)G. Dantzig, M. Wood, J. Norton, M. Geisler)

19531953 W. Orchard-HayesW. Orchard-Hayes con el primer código comercial

1958 1958 R. Dorfman, P. Samuelson y R. SolowR. Dorfman, P. Samuelson y R. Solow publican Linear Programming and Economic Analysis.

(Samuelson y Solow mas tarde Premio Nóbel en economía).

19751975 Premio Nóbel Premio Nóbel en economía de T. Koopmans, L. Kantorovich T. Koopmans, L. Kantorovich por aplicación de PL a la economía.

1984 1984 N. KarmarkarN. Karmarkar algoritmos de "puntos interiores" para resolver problemas en gran escala (1,000,000

variables o más ). New York Times, Wall Street Journal, Time, etc.

Se puede extender el problema a más dimensiones

Cómo se resuelve el problema? Las restricciones en un modelo de PL forman un

poliedro convexopoliedro convexo.

Si podemos determinar los vértices vértices del poliedro, podemos calcular el valor de la función objetivo en estos puntos y encontrar una solución óptima.

El Método Simplex Método Simplex se mueve de manera inteligente de vértice a vértice de vértice a vértice hasta que encuentra la solución óptima (no siempre).

0 30

30 Demanda de WDemanda de W


5

10

15

20

25

15

TenazaTenazass

(1,000)(1,000)


(1,000)(1,000)

EnsambladEnsambladoo

MoldeMoldeoo

AceroAcero

Solución Solución ÓptimaÓptima

Método Simplex- Método Simplex- GeometricamenteGeometricamente

??

La solución óptima La solución óptima para este modelo es:disponibilidad de acerodisponibilidad de acero+ restricción de moldeomoldeo

i.e., resolver:

1.5 W + T = 271.5 W + T = 27 W + T = 21W + T = 21

W = 12 T = 9 UtilidadUtilidad = 130*12 + 100*9 = $2,460

1.1. Lindo utiliza el simplex simplex para resolver el problema.

2.2. El simplex simplex realiza una sucesión de pivoteos. pivoteos. Cada pivoteo comienza con una solución factible inicialsolución factible inicial y genera un vértice vértice adyacente con mejor valor de la función adyacente con mejor valor de la función objetivo objetivo o concluye que el vértice actual (solución factible actual) es la solución óptima.

3.3. En cada pivoteo, se resuelve un sistema de nn ecuaciones lineales con nn incógnitas, donde n es el número de variables de decisión del modelo.

4.4. El número de pivoteos que pueden realizarse es proporcional al número mm de restricciones del modelo. Por lo tanto, el tiempo computacional depende del número de restricciones y del número de variables del modelo.

Método Simplex- Método Simplex- AlgebraicamenteAlgebraicamente

0 30



5

10

15

20

25

15

TenazaTenazass

(1,000)(1,000)


(1,000)(1,000)


MoldeMoldeoo

AceroAcero


Puntos Interiores- Puntos Interiores- GeometricamenteGeometricamente

Análisis de SensibilidadAnálisis de Sensibilidad

En las aplicaciones, a menudo se requiere saber como se afecta la solución por cambios en los datos del problema.

¿Qué pasa si los niveles de recursos cambian?

¿Qué pasa si los costos cambian?

¿Qué pasa si los datos no son precisos? ¿Qué nivel de error tendremos?

Veamos esto graficamente e intuitivamente.

12Sol. Opt. : W = 12 P = 9

Valor de F. Obj. = 2,4602,500

TenazasTenazas

(1,000)(1,000)


(1,000)(1,000)

EnsambleEnsamble

MoldeoMoldeo

¿Qué pasa si cambia el lado derecho?

moldeo:moldeo: W + P 21 22

1,000 hrs más de 1,000 hrs más de moldeomoldeo

AceroAcero

10


Demanda de TDemanda de T

30150

30

5

10

15

20

25 40$40$! más! más

El precio marginal (precio sombra) precio marginal (precio sombra) de la restricción de moldeo para 1,000 lb. más de acero:

$40 = $2,500 – $2,460

Si se tienen 1,000 hrs más de capacidad de moldeo .

El segundo miembro de la restricción: 21 to 22 22 = 21+ 1+ 1la nueva solutionnueva solution optima :optima :

1.5 W + P = 27 W + P = 22.22.

W = 10 P = 12 utilidadutilidad = 130*10 + 100*12 = $ 2,500

GTC puede pagar hasta hasta $40/1,000 hrs.$40/1,000 hrs. por capacidad adicional de moldeo

Se asocia un precio sombra a cada restricción

El precio sombra precio sombra es el cambio en el valor de la función objetivo por unidad de cambio en el segundo miembro, dejando sin cambio los demás datos.

A cada precio sombra se asocia un rango para el cuál el precio sombra es válido.

La mayoría de los paquetes proporcionan precios sombra y rangos.

Los precios sombra tambíen se llaman valores o valores o soluciones dualessoluciones duales.

Precios Sombra

moldeo:moldeo: W + P 21

0 30



5

10

15

20

25

15

TenazasTenazas

(1,000)(1,000)


(1,000)(1,000)

EnsambleEnsamble

MoldeoMoldeo

AceroAcero

Menos capacidad!’

23

2,000 hrs más de 2,000 hrs más de moldeomoldeo

Sol. Opt.: W = 12 P = 9

Valor de F.Obj. = 2,460

12

2,500

10


0 30

30Demanda de WDemanda de W


5

10

15

20

25

15

TenazasTenazas

(1,000)(1,000)

LlavesLlaves

(1,000)(1,000)

EnsambleEnsamble

MoldeoMoldeo

AceroAcero

Qué pasa si DecreceDecrece el S.M. de la Rest. ?

20

1,000 hrs menos 1,000 hrs menos de moldeode moldeo

Sol. Opt. : W = 12 P = 9

Valor Opt. = 2,460

14 6

2,420

40$40$!menos!menos


0 30



5

10

15

20

25

15

TenazasTenazas

(1,000)(1,000)

LlavesLlaves

(1,000)(1,000)

EnsambleEnsamble

MoldeoMoldeo

AceroAcero

¿Qué pasa si decrece más ?

19

2,000 hrs menos de 2,000 hrs menos de moldeomoldeo

Sol. Opt. : W = 12 P = 9

Valor Obj. = 2,460

15 4

2,350

¿Qué se tiene?¿Qué se tiene?

En este rango, poe cada unidad que cambia el S.M hay un cambio de 40 unidades en

la Función Objetivo. Este valor es el precio sombra precio sombra de la restricción en este rango.

Valor de S.MValor de S.Mmoldeo moldeo

Valor de la F. Ob.

0 19.5 20 21 22

2,500

2,460

2,400

Pendiente= 40

Pendiente = 100

Pendiente = 0

acero:acero: 1.5 W + P 27

0 30



5

10

15

20

25

15

TenazasTenazas

(1,000)(1,000)

LlavesLlaves

(1,000)(1,000)


MoldeoMoldeo

AceroAcero

Cambio en otra restricción

28

1,000 lb más de 1,000 lb más de aceroacero

Sol. Opt. : W = 12 P = 9

Valor Obj. Opt. = 2,460

14 7

2,520

60$60$! ! másmás

El precio sombra precio sombra de la restricción de acero para 1,000 lb. más de acero:

$60 = $2,520 – $2,460

Con 1,000 lb. más de acero.

El S.M. de la restricción de acero cambia: 27 to 28 28 = 27 + 1+ 1La nueva solución óptima:nueva solución óptima:

1.5 W + P = 2828 W + P = 21.

W = 14 P = 7 utilidadutilidad = 130*14 + 100*7 = $ 2,520

GTC puede pagar hasta $ hasta $60/1,000 lb.60/1,000 lb. acero adicional

Qué se tiene?Qué se tiene?

En este rango,por cada unidad de cambio en el S.M. se tiene 60 unidades de cambio en la función objetivo.

Este es el Precio Sombra Precio Sombra de la restricción en este rango.

Valor del S.M deacero

Valor de la F. Obj en el Ópt

0 24.75 25 26 27 28 28.5

2,550

2,520

2,460

2,295

pendiente = 60

¿Cuál es el precio sombra para las otras restricciones:

• ¿Capacidad de ensamblado?¿Capacidad de ensamblado?

• ¿Demanda de Llaves?¿Demanda de Llaves?

• ¿Demanda de Tenazas?Demanda de Tenazas?

GTC tiene la oportunidad de adquirir acero adicionala $55/1,000 lb$55/1,000 lb. Q:Q: ¿Debería comprarlo? ¿Debería comprarlo?

Algunas preguntas para G.T.C.Algunas preguntas para G.T.C.

GTC está considerando aumentar a 100,000 hrs la capacidad de moldeo a un costo de $4,500$4,500. Q:Q: es una buena idea? es una buena idea?

? ????

¿Qué ocurre con los precios ¿Qué ocurre con los precios sombra de las restricciones de no sombra de las restricciones de no

negatividad?negatividad?

Los precios sombra para las restricciones de no negatividad son los costos reducidoscostos reducidos..

El costo reducido decosto reducido de una variables es el cambio en la función objetivo si una variable con valor cero(no básica) tomara un valor positivo

Costo reducidoCosto reducido

Una variable que toma valor distinto de cero consume recurso que debe transformar en utilidad. En el óptimo se espera que el valor de lo que consume sea equivalente a la utilidad que genera:por cada unidad ($) que consume debe generar ($) una unidad de utilidad. El costo reducido es esta diferencia. Si fuera positivo indicaría que consume más de lo que genera. Es una propiedad relacionada con la condición de optimalidad

¿Qué pasa si cambiamos algún coeficiente de la función objetivo?

Hay un rango sobre el cuál la solución óptima no cambia (pero cambia el valor de la función).

El rango lo determina la pendiente de la restricción que es activaactiva en la solución óptima.

En este caso, el rango es

[100, 150[100, 150 ]] sobre W W y [86.66, 130][86.66, 130] sobre T T.

0 x

130 W +100 T

Gráficamente,

La región factible no cambia

La pendiente de la función objetivo cambia

Otro ejemplo de Análisis de SensiblidadOtro ejemplo de Análisis de Sensiblidad

Una empresa produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas se destina a la industria de la construcción y la otra a la industria forestal. En cada una de estas líneas existe un producto muy demandado, E1 y E2, que se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo. Mercadotecnia estima que el próximo mes es posible vender toda la producción de E1 y E2, por lo cual es de gran importancia determinar una meta de producción para ese período. Los principales factores a considerar en la toma de esta decisión son los siguientes:

Problema:Problema:

Por cada unidad de E1 y E2 que se venda se obtendrá una utilidad de $5000 y $4000 respectivamente.

La producción de E1 y E2 requiere de la operación de 2 departamentos A y B.

La disponibilidad de horas de trabajo en estos departamentos y los requerimientos en horas de trabajo de cada producto en cada departamento son los siguientes:

Depto. E1 E2 DisponibleA 10 15 150B 20 10 160

Tiempo en horas

Los productos requieren de un proceso de verificación final que para el próximo mes no debe ser menor a 135 horas. Cada unidad de E1 requiere de 30 horas de verificación y cada unidad de E2 requiere 10 horas.

Con el objeto de mantener posición en el mercado, la firma ha establecido que es necesario producir al menos una unidad de E1 por cada 3 de E2.

Un cliente importante ha ordenado al menos 5 unidades en cualquier combinación de E1 y E2.

Maximizar:Maximizar: 5000 E1 + 4000 E2 Sujeto a: 10E1 + 15E2 < 150 Hrs disponibles en A (HdA)

20E1 + 10E2 < 160 Hrs disponibles en B (HdB)

30E1 + 10E2 > 135 Hrs verificación (HV)

3E1 - E2 > 0 Nivel de pdn. 1(NP1)

E1 + E2 > 5 Nivel de pdn. 2(NP2)

E1,E2 > 0

Solución GráficaSolución GráficaSolución GráficaSolución Gráfica0

HdA

HdB

NP2

NP1


E1=4.5E1=4.5

E2=7E2=7


E1=4.5E1=4.5

E2=7E2=7

Región Región FactiblFactiblee

HV

4.5 30

16

5

10

15

E2E2

E1E1

158

13.5

4

7

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUEOBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 50500.001) 50500.00

VARIABLE VALUE REDUCED COSTVARIABLE VALUE REDUCED COST E1 E1 4.500000 4.500000 0.000000 0.000000 E2 E2 7.000000 7.000000 0.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICESPRICES 2) 2) 0.000000 0.000000 150.000000 150.000000 3) 3) 0.000000 175.000000 0.000000 175.000000 4) 70.000000 0.0000004) 70.000000 0.000000 5) 5) 6.500000 0.000000 6.500000 0.000000 6) 6) 6.500000 0.000000 6.500000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGESOBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEALLOWABLE COEF INCREASE DECREASECOEF INCREASE DECREASE E1 E1 5000.000000 5000.000000 3000.000000 3000.000000 2333.333252 2333.333252 E2 E2 4000.000000 4000.000000 3500.000000 3500.000000 1500.0000001500.000000

RIGHTHAND SIDE RANGESRIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEALLOWABLE RHS INCREASE DECREASERHS INCREASE DECREASE 2 2 150.000000 26.000000 150.000000 26.000000 70.000000 70.000000 3 3 160.000000 140.000000 160.000000 140.000000 23.636364 23.636364 4 4 135.000000 70.000000 135.000000 70.000000 INFINITY INFINITY 5 5 0.000000 6.500000 0.000000 6.500000 INFINITY INFINITY 6 6 5.000000 6.500000 5.000000 6.500000 INFINITY INFINITY

Análisis de SensiblidadAnálisis de Sensiblidad

Se desea saber cómo afectan a la solución cambios en los parámetros (Coeficientes de la función objetivo y segundo miembro de las restricciones).

1er caso.-

¿Cómo afecta al valor de la función objetivo un incremento o decremento en el nivel de recursos?

2do caso.-

¿Cómo afecta a la solución un cambio en los coeficientes de la función objetivo?

Solución GráficaSolución GráficaSolución GráficaSolución Gráfica

E1E10 30

16

5

10

15

HdA

E2E2

Región Región FactibleFactible

Nueva Nueva Solución Solución ÓptimaÓptima


15

8 HdB4.5

13.5

HV

NP2

NP1

4

7

Caso 1.- 10 en HdA

HdA:HdA: 10E1 + 15E2 160

Sol. Opt.: E1 = 4.5 4 E2 = 7 8

Valor Z = 50,500 52,000

8

1,500 más!!

Nueva Restricción HdANueva Restricción HdA



1) 52000.001) 52000.00


ROW ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2) 0.000000 0.000000 150.000000 150.000000 3) 3) 0.000000 0.000000 175.000000 175.000000 4) 4) 65.000000 65.000000 0.000000 0.000000 5) 5) 4.000000 4.000000 0.000000 0.000000 6) 6) 7.000000 7.000000 0.000000 0.000000



OBJ COEFFICIENT RANGESOBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE COEF INCREASE DECREASE DECREASE E1 E1 5000.000000 3000.000000 2333.333252 5000.000000 3000.000000 2333.333252 E2 4000.000000 3500.000000 1500.000000E2 4000.000000 3500.000000 1500.000000

RIGHTHAND SIDE RANGESRIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASERHS INCREASE DECREASE 2 2 160.000000 16.000000 80.000000 160.000000 16.000000 80.000000 3 3 160.000000 160.000000 14.545454 160.000000 160.000000 14.545454 4 4 135.000000 65.000000 INFINITY135.000000 65.000000 INFINITY 5 5 0.000000 4.000000 INFINITY 0.000000 4.000000 INFINITY 6 6 5.000000 7.000000 INFINITY 5.000000 7.000000 INFINITY

Solución GráficaSolución GráficaSolución GráficaSolución Gráfica

E1E10 30

16

5

10

15

HdA

E2E2

RegióRegión n FactibFactiblele Nueva Nueva


E1=8E1=8

E2=0E2=0


E1=8E1=8

E2=0E2=0

15

8 HdB4.5

13.5

HV

NP2

NP1

4

7

Caso 2.- 3100 en E1 de Z

Z:Z: 5000E1 8100E1 + 4000E2

Sol. Opt.: E1 = 4.5 8 E2 = 7 0

Valor Z = 50,500 64,800

8

14,300 más!!



1) 64800.001) 64800.00


ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICESROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2) 70.000000 70.000000 0.000000 0.000000 3) 3) 0.000000 0.000000 405.000000 405.000000 4) 4) 105.000000 105.000000 0.000000 0.000000 5) 5) 24.000000 24.000000 0.000000 0.000000 6) 6) 3.000000 3.000000 0.000000 0.000000



OBJ COEFFICIENT RANGESOBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASECOEF INCREASE DECREASE E1 E1 8100.000000 INFINITY 100.000000 8100.000000 INFINITY 100.000000 E2 E2 4000.000000 50.000000 INFINITY 4000.000000 50.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGESRIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASERHS INCREASE DECREASE 2 2 150.000000 INFINITY 150.000000 INFINITY 70.000000 70.000000 3 3 160.000000 140.000000 160.000000 140.000000 60.000000 60.000000 4 4 135.000000 105.000000 135.000000 105.000000 INFINITY INFINITY 5 5 0.000000 24.000000 0.000000 24.000000 INFINITY INFINITY 6 6 5.000000 3.000000 5.000000 3.000000 INFINITY INFINITY

New Bedford SteelNew Bedford SteelMinimizar:Minimizar: 49.5 A+50 B+61 C+63.5 D+66.5 E+71 F+72.5 G+80 F

Sujeto to:Sujeto to: demanda:demanda: A+B+C+D+E+F+G+H=1,225

sindicato:sindicato: A+B-C+D-E+F-G-H 0

camión:camión: B+D+E+F 720

tren:tren: A+C+G+H 650

volatilidad:- 4 A- 3 B - C +D +2 E + 3 F + 4 G +6 H 0

ACAP:ACAP: A A 300 300

BCAP:BCAP: B B 600 600

CCAP:CCAP: C C 510 510

DCAP:DCAP: D D 655 655

ECAP:ECAP: E E 575 575

FCAP:FCAP: F F 680 680

GCAP:GCAP: G G 450 450

HCAP:HCAP: H H 490 490

no-negatividad:no-negatividad: A,B,C,D,E,F,G,H A,B,C,D,E,F,G,H 0 0

P5:P5: ¿Cómo valora NBS un proveedor sindicalizado o no en base al costo? ¿Estaría dispuesto a pagar más por el carbón del sindicato?

Preguntas para New Bedford SteelPreguntas para New Bedford Steel? ????P1:P1: ¿Cuál es el precio sombra del carbón? ¿Cuánto cuesta a NBS una ton. adicional de carbón?

P2:P2: Debería NBS considerar la expansión de su capacidad en camión? Si sí ¿cuanto estaría dispuesto a gastar? P3:P3: Debería NBS considerar la expansión de su capacidad por tren? Si sí ¿ cuánto estaría dispuesto a gastar?

P4:P4: Estaría dispuestoEstaría dispuesto Coggins a negociar un mayor precio de manera de obtener mas carbón de Bedford or Gaston ? Si sí ¿cuánto estaría dispuesto a aceptar?

Conclusiones del Análisis de SensibilidadConclusiones del Análisis de Sensibilidad

Q. ¿Qué tanto la función objetivo tiene que cambiar antes que una actividad (variable) sea importante?

A. Observar el costo reducido de la variable.

Q. ¿Qué pasa si cambiamos el segundo miembro de una restricción en una unidad?? A. Observar el precio sombra de esa restricción.

Q. ¿Qué tanto puede cambiarse el segundo miembro de una restricción

A. Observar el rango del precio sombra.

Q. ¿Qué pasa si un coeficiente de la función objetivo cambia ?

A. Si el cambio es pequeño la solución puede ser la misma pero cambia el valor de la función objetivo..Q. ¿Qué tanto puede cambiarse un coeficiente de la función objetivo de manera que la solución no cambie?

A. Observar el rango del coeficiente de la función objetivo.

Programación Lineal EnteraProgramación Lineal Entera

x

y

0

1

2

3

4

0 1 2

3

La región factible es un conjunto discreto de puntos.

La solución no está necesariamente en un extremo.

No hay una manera “eficiente” de resolver el problema.

Resolver el problema con PL solo proporciona cotas de la solución.

Planeación de la ProducciónPlaneación de la Producción: Dado varios productos con diferentes requerimientos de producción y estructura de costos, determine cuando producir de cada artículo de manera de maximizar la utilidad.

Programación:Programación: Dado un grupo de operarios, determine un programa óptimo de trabajo que maximice las preferencias de cada operario cumpliendo con los requerimientos de trabajo.

Red de Distribución:Red de Distribución: Conociendo la demanda y la oferta en cada nodo de la red de distribución, asignar cargas a los arcos de manera de minimizar el costo fijo de instalación y el costo de transportación.

Cartera Óptima:Cartera Óptima: determinar la cartera que maximice el retorno esperado sujeto a restricciones de riesgo y diversificación.

Ejemplos de AplicaciónEjemplos de Aplicación

una muestra de aplicaciones exitosas departmento depolicía desan francisco $11 millones en 20%,$3...

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