“una propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de la
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REPÚBLICA DE CUBA.
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA “ENRIQUE JOSÉ VARONA”.
LA HABANA. CUBA.
“Una propuesta metodológica para contribuir al
desarrollo de la capacidad para resolver problemas
matemáticos”.
Tesis en opción al grado de Doctor en Ciencias Pedagógicas.
Por: M.C. Miguel Jorge Llivina Lavigne.
Tutoras: Dra.C. Lourdes Valverde Ramírez.
Dra.C.María Dolores Córdova Llorca.
1999.
SINTESIS.
En la tesis se caracteriza la resolución de problemas matemáticos como una
capacidad específica que se desarrolla a través del proceso de enseñanza –
aprendizaje de la Matemática y que se configura en la personalidad del individuo
al sistematizar, con determinada calidad y haciendo uso de la metacognición,
acciones y conocimientos que participan en la resolución de estos problemas.
La puesta en práctica de los presupuestos teóricos abordados en el estudio de la
referida capacidad, condujo a elaborar una metodología para evaluar su estado,
para ello se utilizaron como indicadores el sistema de acciones intelectuales que
debe dominar el sujeto, la calidad de los procesos psíquicos que intervienen, las
bases de conocimientos y la metacognición; estos indicadores caracterizan las dos
dimensiones que la conforman: la dimensión procesal y la dimensión operacional o
instrumental.
Por último, se concretan los resultados teóricos en una propuesta metodológica
para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas matemáticos,
que con un enfoque personológico considera como un sistema los componentes
del proceso docente – educativo.
INDICE.
INTRODUCCIÓN 1 CAPÍTULO I: “Aproximaciones psicopedagógicas a la
enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la escuela
media cubana”. 11
I.1. El Conductismo. 12
I.2. El Cognitivismo. 15
I.3. El enfoque histórico - cultural. 23
I.4. El Humanismo. 33
Conclusiones del capítulo. 35
CAPÍTULO II: “La perspectiva dialéctica – humanista
aplicada al proceso de enseñanza – aprendizaje de la
resolución de problemas matemáticos. 37
II.1. La perspectiva dialéctica – humanista. 37
II.2. La capacidad para resolver problemas matemáticos. 43
II.3. Propuesta metodológica para contribuir al desarrollo
de la capacidad para resolver problemas matemáticos. 62
Conclusiones del capítulo. 79
CAPÍTULO III: “Aplicaciones de la propuesta metodológica
y resultados” 81
III.1. Estudio exploratorio. 81
III.2. Experimento Pedagógico. 86
III.3. Evaluación de los resultados. 103
Conclusiones del capítulo. 106
CONCLUSIONES 107
RECOMENDACIONES 109
BIBLIOGRAFIA
ANEXOS
“Es como en el deporte, tú los
entrenas y ellos pueden llegar a ser
mejores que tú”
M.E.S.S.
DEDICATORIA.
A los doctores Luis Dávidson y Raimundo Reguera, precursores en el trabajo
dedicado a enseñar a resolver problemas y ejemplos de educadores.
A mi hijita, quién algún día podrá entender.
AGRADECIMIENTOS.
A mis tutoras, por haberme soportado, ayudado y hasta darme alguna que otra
sesión de psicoterapia.
A mi esposa, que con paciencia ayudó a que todo saliera.
Al profesor Esteban Egaña, quien colaboró en el procesamiento estadístico de los
datos.
A la Dra.C. Fátima Addines, mi maestra, quien con su acostumbrado cariño me
brindó importantes recomendaciones.
A mis oponentes en la predefensa, quienes colaboraron conmigo
desinteresadamente.
A todos los compañeros y amigos que se leyeron la tesis y me dieron siempre su
consejo y se solidarizaron conmigo.
A mis compañeros de la Facultad de Ciencias Exactas del ISP “Enrique José
Varona”.
A la Dra. Herminia Hernández, por haberme iniciado en este trabajo.
El Autor.
INTRODUCCIÓN.
A lo largo de los siglos, a la educación se le ha atribuido un papel decisivo en el
desarrollo de la sociedad y en particular en la formación del ser humano, pues ella
permite la transmisión cultural de generación en generación, así como la
formación de valores humanos que garanticen la adecuada incorporación de
hombres y mujeres a la vida social.
La educación constituye un fenómeno que se manifiesta en múltiples formas de la
práctica social y a niveles muy diferentes. Es un proceso complejo, dialéctico, que
sufre cambios periódicos en aras de dar respuesta a las crisis que surgen a partir
de las nuevas necesidades que la sociedad condiciona.
Por consiguiente, la educación es un fenómeno condicionado sociohistóricamente,
es un proceso que debe responder a los fines sociales; estar contextualizado. Es
una actividad multideterminada y multifuncional, pues muchas son las instancias
que se ocupan de la misma: el Estado, la familia, los adultos en general, los
maestros y los medios de comunicación.
“La educación es de hecho la influencia de unas personas sobre otras, con la
ayuda de la cual se logra o pretende encauzar, con un determinado fin, la
asimilación de contenidos sociales en interés de las clases sociales”. (72: 11)
En el mundo contemporáneo, marcado por la globalización de la economía, las
diferencias sociales y los problemas que estas engendran; los sistemas educativos
no responden totalmente a lo que la sociedad necesita, de ahí que para muchos
países el cambio educativo sea una fuerte demanda.
La Matemática, por sus características y posibilidades educativas, puede contribuir
a satisfacer las demandas de preparación del hombre para su inserción en el
mundo contemporáneo.
En el contexto anterior, a los docentes e investigadores en Educación Matemática
se les plantea como problemática universal la de encontrar vías que garanticen un
adecuado aprendizaje de las Matemáticas que les permita a las generaciones
venideras enfrentar los retos y resolver los múltiples problemas a los que tendrán
que buscar soluciones.
1
Al decir de Santos Trigo, “uno de los componentes esenciales en el aprendizaje de
las matemáticas se relaciona con las ideas propias de lo que son las
matemáticas”. (102: 2)
La Matemática, entendida aquí como “el producto de una serie de épocas
históricas y el trabajo de muchas generaciones” (71: 84) tiene como objeto el
estudio de “las formas y relaciones reales de la realidad” (71: 84); este estudio se
realiza, esencialmente, a través de la abstracción, intentando, según Engels el
aislamiento de esas formas y relaciones de su contenido (24: 24-25), lo cual es
realmente imposible y constituye la “contradicción fundamental de la matemática”.
(71: 85)
Las abstracciones matemáticas se caracterizan porque “tratan fundamentalmente
de las relaciones cuantitativas y formas espaciales, abstrayéndolas de todas las
demás propiedades” (71:18); aparecen con creciente grado de profundidad,
“llegando muy lejos en esta dirección que la abstracción en las demás ciencias” y
por último, porque la matemática “se mueve casi por completo en el campo de los
conceptos abstractos y sus interrelaciones”. (71: 19)
Resulta claro que esta concepción de la Ciencia Matemática condiciona su
enseñanza – aprendizaje ligada a la resolución de problemas, aspecto
considerado “esencial en el desarrollo de las ideas matemáticas”. (102: 4) La
resolución de problemas “caracteriza a una de las conductas más inteligentes del
hombre y que más utilidad práctica tiene”. (14: IX)
Todo lo anterior permite asegurar las posibilidades educativas que tiene la
enseñanza – aprendizaje de la Matemática, y en especial de la resolución de
problemas en ella.
En su tesis doctoral, Torres, P. refiriéndose al “Informe del trabajo realizado por la
Comisión de Matemática en el diagnóstico del estado de la Enseñanza de la
Matemática”, elaborado por el Instituto Central de Ciencias Pedagógicas (ICCP)
en 1991, plantea que “... más de 9 de cada 10 estudiantes de Secundaria Básica y
más de 8 de cada 10 de Pre Universitario, no son capaces de resolver siquiera
problemas sencillos de aplicación”. (114: 6)
2
Por otra parte, en el informe de validación del Departamento de Matemática y
Computación del Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona” (44: 2), al
valorar el cumplimiento de los objetivos de la carrera en los diferentes años se
señala que “... el objetivo relacionado con la resolución de problemas sólo lo
cumplen pocos estudiantes en los tres primeros años”; entendiendo por pocos que
sólo lo cumplen entre el 25 y el 50 porciento de la matrícula (44: 2).
En su tesis de maestría Santana, H. refiriéndose al análisis de la efectividad del
proceso docente - educativo, realizado por cada uno de los años de la carrera de
Matemática y Computación en el curso 96-97, resume las principales
recomendaciones de la siguiente manera (100: 45-47):
“Primer año: Continuar perfeccionando el trabajo con vistas a lograr mejores
resultados... en la resolución de problemas de la escuela.
Tercer año: Fortalecer, en todas las asignaturas, el trabajo que se viene realizando
en la resolución de problemas.
Cuarto año: Resolver en todas las asignaturas, problemas por diferentes métodos.
Quinto año: Continuar prestando atención a la consolidación de los contenidos
matemáticos, especialmente las habilidades fundamentar demostrar y resolver
problemas.”
Desde la época de Polya hasta la fecha son muchos los docentes e investigadores
que se han dedicado a buscar respuestas a las dificultades de los estudiantes en
la resolución de problemas matemáticos.
La anterior búsqueda se ha realizado desde posiciones teóricas y metodológicas
diferentes, intentando abordar el problema desde diferentes ángulos: la instrucción
heurística, la búsqueda de “modelos” para los resolutores, el desarrollo de la
“habilidad” para resolver problemas.
En Cuba, muchos profesores e investigadores se han dedicado al estudio de la
resolución de problemas matemáticos, entre ellos, sin ánimo de omitir a alguno,
mencionaremos a los siguientes:
Luis Dávidson Sanjuán (87: 1987), Raimundo Reguera: constituyen ejemplos de
dedicación y maestría en lo referente al entrenamiento de alumnos de alto
rendimiento, según opinión del autor, son los precursores del trabajo con los
3
estudiantes preseleccionados para participar en las olimpiadas de matemática.
Han aportado esencialmente un estilo de trabajo con ese tipo de estudiantes,
conjuntamente con un importante número de problemas para ser utilizados en el
referido entrenamiento.
Luis Campistrous Pérez (14), Celia Rizo Cabrera: profundizan magistralmente en
lo relacionado con procedimientos para la resolución de clases de problemas
(problemas aritméticos).
Alberto Labarrere Sarduy (55): ha trabajado durante muchos años la resolución de
problemas matemáticos, abordándolos desde el punto de vista psicológico. Ha
profundizado en la función de la metacognición en la resolución de problemas
matemáticos. Los trabajos de Labarrere, A. son de obligada consulta para todos
los investigadores en Didáctica de la Matemàtica.
Paúl Torres Fernández (114): se ha dedicado a profundizar en el aspecto de los
métodos problémicos en la enseñanza de la Matemática.
Alfredo Rebollar (89): ha trabajado lo relativo a la enseñanza de clases de
problemas en la enseñanza de la Matemática.
Raúl Delgado Rubí: Considera la resolución de problemas como una habilidad
matemática.
Sin embargo, como se ha podido apreciar, esto es un problema aún no resuelto,
según la opinión de este autor, no se ha atendido sistemáticamente lo relativo a
las acciones intelectuales para la resolución de problemas, a las bases de
conocimientos que poseen los estudiantes, a la calidad de los procesos psíquicos
que intervienen en el proceso y a la metacognición.
Los estudiantes de tercer año de la carrera de Licenciatura en Educación en
Matemática y Computación han presentado históricamente dificultades a la hora
de enfrentarse a la resolución de problemas en la asignatura Álgebra VI (Álgebra
Lineal.
Las anteriores consideraciones condujeron a plantear como problema de investigación el perfeccionamiento del proceso de enseñanza – aprendizaje de la
Matemática para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas
4
matemáticos en la Carrera Licenciatura en Educación en Matemática y
Computación.
El objeto de esta investigación es, por tanto, el proceso de enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos en la carrera Licenciatura en Educación en Matemática y Computación. Como campo de acción se precisa el proceso de enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos en la asignatura Álgebra VI (Algebra Lineal) que se imparte en el tercer año, segundo semestre, de la carrera Licenciatura en Educación en Matemática y Computación en el Instituto Superior Pedagógico “E. J. Varona”. Para darle solución al problema descrito se propone el siguiente objetivo: Valorar una propuesta metodológica para la enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolverlos en estudiantes de la Carrera Licenciatura en Educación en Matemática y Computación. Los resultados que se presentan en esta tesis comenzaron a gestarse en el año
1986, fecha en que el autor se inició en el estudio del problema de investigación y
son producto del esfuerzo de un grupo de colegas que a través de sus tesis de
maestrías e investigaciones han colaborado con ellos. El estudio pasó por
diferentes momentos, primero una etapa donde se profundizó en las cuestiones
relacionadas con el contenido matemático, en especial dentro de la disciplina
Álgebra, la principal implicación de esto en el desarrollo de la labor docente tuvo
que ver con la elevación del nivel científico de las clases y por ende con el
planteamiento de exigencias cada vez mayores a los estudiantes, lo que
ocasionaba frecuentemente la obtención de bajos rendimientos por estos últimos.
El siguiente momento (entre 1990 y 1993) estuvo caracterizado por el estudio del
problema a partir de los postulados de la Metodología de la Enseñanza de la
Matemática, recogidos en los libros de texto de esa disciplina y en diversos
materiales especializados, aquí nuestros estudiantes comenzaron a obtener
mejores resultados, pero el autor continuó siendo el infalible resolutor de
problemas de antes, sólo que un tanto más organizado.
5
Entre los años 1993 y 1996 se abordó el problema desde el punto de vista de sus
componentes psicológicos, poniendo al estudiante como centro del proceso de
enseñanza – aprendizaje, esto es, dándole un enfoque personológico al quehacer
investigativo y considerando los diferentes componentes que intervienen en el
proceso de resolver problemas como un sistema donde cada uno de ellos
interactúa con los otros y donde todos necesitan se les preste atención. Los
componentes del proceso de enseñanza - aprendizaje que se han considerado
son: el problema, el estudiante, el profesor, los objetivos, el contenido, los
métodos y la evaluación.
La integración del saber matemático y de los fundamentos psicológicos y
didácticos de la resolución de problemas matemáticos permitió comprender que
las posibilidades de resolverlos son diferentes entre las personas, lo que podría
considerarse como una “particularidad psicológica individual que distingue a una
persona de otra” (111, 41); todo esto sugirió la idea de abordar la resolución de
problemas matemáticos como una capacidad que se desarrolla en el estudiante.
Como hipótesis de investigación se formuló la siguiente: Una propuesta
metodológica que con un enfoque personológico considera como un sistema los
componentes del proceso de enseñanza – aprendizaje de la resolución de
problemas matemáticos, propicia la sistematización con determinada calidad y
haciendo uso de la metacognicion, de acciones y conocimientos que participan en
la resolución de problemas matemáticos.
La referida sistematización es la que permitirá que se configure en la personalidad
del individuo la capacidad para resolver problemas matemáticos.
Como variables a evaluar, durante la aplicación de la propuesta metodológica
para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas matemáticos
se tomaron en cuenta las acciones intelectuales que ejecuta el sujeto para
resolver los problemas matemáticos, la calidad de los procesos que intervienen en
este proceso, las bases de conocimientos que posee y la metacognición. Estos
cuatro aspectos son considerados indicadores que caracterizan la capacidad en
cuestión.
6
Las diferentes fases de la estrategia investigativa seguida fueron las siguientes:
Fase de elaboración de la concepción teórica y metodológica de la capacidad para resolver problemas matemáticos y de la propuesta metodológica. En esta se utilizaron los siguientes métodos y técnicas
investigativas:
El método histórico - lógico se utilizó para conocer el objeto de investigación en
sus antecedentes y en las tendencias actuales.
El método de modelación para la elaboración de la propuesta metodológica para
contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas matemáticos y de
la metodología para evaluar el estado de dicha capacidad.
La entrevista para recoger criterios de expertos sobre la utilización en la
enseñanza - aprendizaje de la Matemática en Cuba de las ideas de Piaget.
El cuestionario, para recoger información de los profesores sobre las dificultades
en la resolución de ejercicios de descomposición en factores en la secundaria
básica.
Fase exploratoria. En esta se utilizaron los siguientes métodos y técnicas
investigativas:
La auto – observación se empleó para el registro del pensar y actuar de cada
sujeto en forma de reflexión metacognitiva y autovalorativa
El estudio de casos se aplicó en el estudio de la individualidad de los sujetos a la
hora de resolver problemas y para diagnosticar el estado de esta capacidad en
cada uno.
El cuestionario de metaconocimiento, la técnica de pensar en voz alta y la prueba
pedagógica para la recogida de información acerca de los diferentes indicadores
de la capacidad para resolver problemas matemáticos.
Distribución de frecuencias absolutas porcentuales: Para la valoración e
interpretación de los resultados de los diferentes indicadores.
Fase experimental. En esta se utilizaron los siguientes métodos y técnicas
investigativas:
7
El experimento pedagógico secuencial se utilizó para constatar la efectividad de la
propuesta metodológica elaborada.
La observación participante se usó para la recogida de información, el monitoreo y
el control en la aplicación de la propuesta metodológica.
La auto – observación se empleó para el registro del pensar y actuar de cada
sujeto en forma de reflexión metacognitiva y autovalorativa
El estudio de casos se aplicó en el estudio de la individualidad de los sujetos a la
hora de resolver problemas y para diagnosticar el estado de esta capacidad en
cada uno, así como para la planificación de estrategias individuales.
El cuestionario de metaconocimiento, la técnica de pensar en voz Alta y la prueba
pedagógica, en el diagnóstico inicial y en la evaluación final de la aplicación de la
Propuesta Metodológica, cada vez con diferentes contenidos, para la recogida de
información sobre los diferentes indicadores de la capacidad para resolver
problemas matemáticos.
Distribución de frecuencias absolutas porcentuales, para la valoración e
interpretación de los resultados de los diferentes indicadores.
Fase de evaluación de los resultados del experimento pedagógico. Para el procesamiento de los resultados experimentales se utilizó el Paquete
“Statistica for windows” versión 4-2ª de Statsoft, Inc. del año 1993; de esta forma
fueron aplicados los siguientes estadígrafos:
Distribución de frecuencias absolutas porcentuales, para la valoración e
interpretación de los resultados de los diferentes indicadores en las respectivas
aplicaciones.
Prueba de rangos con significación de Wilcoxon, para comparar los resultados del
diagnóstico con los obtenidos luego de aplicar la Propuesta Metodológica.
Coeficientes de rangos de Spearman con corrección por ligaduras y sus pruebas
de significación, para determinar la existencia de correlación entre los cuatro
indicadores utilizados para evaluar el estado de la capacidad para resolver
problemas.
8
Esta tesis está vinculada a la línea de investigación priorizada por el MINED "El trabajo con las asignaturas priorizadas", con la tarea "Resolución de Problemas". Aportes teóricos de la tesis: El primer aporte teórico de la tesis consiste en la sistematización de la perspectiva
dialéctica – humanista, integrando en ella los principales resultados para el estudio
de la capacidad para resolver problemas matemáticos que han proporcionado el
enfoque histórico cultural y la teoría del procesamiento de la información. Esta
sistematización permitió definir un marco conceptual para el estudio de la citada
capacidad.
La propia Propuesta Metodológica para contribuir al desarrollo de la capacidad
para resolver problemas matemáticos, pues la elaboración de la misma presupuso
conceptualizar el componente instrumental para resolver los problemas y los
diferentes componentes del proceso de enseñanza – aprendidizaje al abordar la
resolución de problemas con enfoque personológico lo cual significó estudiar el
proceso de resolución de problemas dentro de la personalidad del estudiante y en
esto consiste su novedad científica.
La caracterización de la resolución de problemas matemáticos como una
capacidad específica del aprendizaje de esta asignatura, lo que condiciona una
nueva concepción del aprendizaje.
Aportes metodológicos: Los indicadores para evaluar el estado de la capacidad para resolver problemas
matemáticos y una metodología para hacerlo, pues pueden proporcionar una
importante herramienta para futuras investigaciones y para el quehacer diario de
los profesores a los efectos del diagnóstico y la evaluación del aprendizaje de los
estudiantes.
Tipificación de los ejercicios para el Algebra Lineal y la Teoría de Grupos, lo cual
proporciona una mayor diversidad de ejercicios para la fijación y un recurso para
facilitar el trabajo con los problemas en el Álgebra Lineal.
9
El programa para el aprendizaje explícito de la resolución de problemas, ya que
pudiera servir a los docentes para enseñar algunos elementos heurísticos
necesarios para la resolución de problemas matemáticos.
Significación práctica de la tesis: La significación práctica de esta tesis radica en que la propuesta metodológica
elaborada tiene carácter general y puede ser utilizada en cualquier subsistema del
Sistema Nacional de Educación con el propósito de contribuir al desarrollo de la
capacidad para resolver problemas matemáticos y en que se obtuvieron
resultados prácticos significativos en los estudiantes de tercer año de la carrera
Licenciatura en Educación en Matemática y Computación donde se aplicó.
Estructura de la tesis: La tesis está conformada por una introducción, tres capítulos, las conclusiones y
recomendaciones, la bibliografía y por 27 anexos.
En el capítulo I “Aproximaciones psicopedagógicas a la enseñanza – aprendizaje
de la Matemática en la escuela media cubana” se abordan algunas de las más
importantes aproximaciones que se hacen al aprendizaje, a partir de los
correspondientes sistemas teóricos de la psicología y sus manifestaciones en la
enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la escuela media cubana. En el
capítulo se evidencian las insuficiencias de las diferentes concepciones de
aprendizaje de forma individual para el estudio del problema de investigación.
El capítulo II “La perspectiva dialéctica – humanista aplicada al proceso de
enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos” se aborda
la plataforma teórica que sirve de base al estudio de la capacidad para resolver
problemas matemáticos, se describe la referida capacidad y se propone una
metodología para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas
matemáticos. La unidad de lo teórico y lo metodológico permite la sistematización
de la teoría necesaria para la explicación de la señalada capacidad.
En el capítulo III ”Aplicaciones de la propuesta metodológica y valoración de los
resultados se describe la puesta en práctica de la propuesta metodológica en
diferentes momentos, así como los resultados obtenidos. Se explican además las
acciones investigativas en pos de garantizar validez en la propuesta, que incluye
10
una metodología para evaluar el estado de la capacidad para resolver problemas
matemáticos.
11
• CAPÍTULO I: “Aproximaciones psicopedagógicas a la enseñanza – aprendizaje
de la Matemática en la escuela media cubana”.
Al enfrentar el estudio o investigación de cualquier problema científico, al hombre
se le plantea la exigencia de decidir el marco referencial o teórico en el que deberá
transcurrir el trabajo; esto es, la precisión de la teoría que servirá de base al
estudio. (1: 11) Para abordar el problema de esta investigación, es necesario
entonces adentrarse en el “proceso de enseñanza – aprendizaje”.
Según el Dr. Carlos Álvarez “dentro del proceso docente educativo (objeto de
estudio de la Didáctica) habita un proceso con vida propia que es el proceso de
enseñanza – aprendizaje” (2: 17), en este se ponen de manifiesto los postulados
de las teorías de aprendizaje y de las teorías de enseñanza.
En este capítulo se abordan las diferentes aproximaciones que se hacen al
aprendizaje a partir de algunos de los sistemas teóricos de la Psicología,
analizando seguidamente sus implicaciones en los modelos pedagógicos
correspondientes y algunas de sus manifestaciones en la concepción del proceso
de enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la enseñanza media en Cuba.
La decisión de acometer el estudio de las diferentes aproximaciones que se hacen
al aprendizaje a partir de los sistemas teóricos de la Psicología estuvo dada por la
gran diversidad de teorías o enfoques existentes y la multiplicidad de criterios para
la clasificación de esas tendencias. (111), (121), (86), (76), (77), (31), (81), (2)
La determinación de las manifestaciones de las tendencias de aprendizaje de la
Matemática en la enseñanza media en Cuba es resultado, por una parte, del
análisis de los siguientes documentos: Programas y Orientaciones Metodológicas
de séptimo a duodécimo grado, Programa Director de Matemática, libros de
Metodología de la Enseñanza de la Matemática escritos por autores alemanes y
utilizados como textos en los Institutos Superiores Pedagógicos y los dos tomos
de Metodología de la Enseñanza de la Matemática escritos por autores cubanos; y
por otra, son el resultado de la experiencia de más de 20 años del investigador en
la enseñanza de esta asignatura y la participación en los talleres para profesores
de Matemática de Secundaria Básica y Pre – Universitario en la Isla de la
Juventud en los cursos 94–95 y 95–96, etapa en que el mismo se desempeñaba
11
como Jefe del Departamento de Matemática y Computación del Instituto Superior
Pedagógico “Carlos Manuel de Céspedes” de ese territorio y como Jefe de la
Comisión de Matemática.
Entre los grandes sistemas de la psicología se encuentran los siguientes:
Estructuralismo, Psicoanálisis, Psicología Fenomenológica (Gestal), Conductismo,
Cognitivismo, Enfoque Histórico – Cultural y Humanismo. (119), (120) De estos
sistemas se abordarán los más significativos en lo relativo a la enseñanza –
aprendizaje de la Matemática en la escuela media cubana, es decir, los cuatro
últimos, en lo relativo a sus aportes y limitaciones para una comprensión del
aprendizaje.
I.1. El Conductismo.
I.1.1. La aproximación conductista al aprendizaje.
Como precursor de esta corriente se encuentra Edward Lee Thorndike (1874 –
1949). Sus ideas tuvieron un gran éxito entre los psicólogos y educadores pues
explicaban cómo mediante la repetición de las buenas respuestas, estas se
aprendían y cómo desaparecían las malas.
Thorndike manifiesta en sus trabajos la típica posición empirista, para él “el sujeto
es pasivo y no tiene que construir la representación de la situación, se limita a
sufrir la influencia exterior, sus conocimientos son sólo el resultado de su
experiencia pasada”. (21: 6)
Otro representante importante de esta corriente es Skinner quien continuó los
trabajos de Thorndike y afirma que en el sujeto se producen respuestas al azar,
algunas de las cuales tienen la propiedad de liberar tensiones en el mismo y se
consolidan, mientras que las otras respuestas desaparecen. (21: 7)
La concepción skineriana está alentada en el principio de que “el hombre es el
producto de las contingencias reforzantes del medio”. (81: 5)
En esencia, esta concepción del aprendizaje consiste en determinar en detalle
aquellas conductas que se desean configurar y modelarlas reforzando una y otra
vez cada uno de los detalles; convirtiéndose la educación en “una simple
tecnología para programar refuerzos en el momento oportuno”. (81: 6)
Una de las aplicaciones de las ideas de Skinner lo constituyen las llamadas
12
“máquinas de enseñar” mediante las cuales el sujeto que aprende es
inmediatamente reforzado tras haber producido su respuesta (21: 8). O sea, el
sujeto responde a la pregunta formulada por la máquina e inmediatamente recibe
respuesta acerca de sí la misma es correcta o no, pudiendo rectificar.
Evidentemente, el ritmo de aprendizaje dependerá del propio sujeto.
Otra de las aplicaciones de las ideas de Skinner es la llamada enseñanza
programada.(3)
Resulta claro que la concepción de Skinner se fundamenta en los mecanismos de
estímulo respuesta, o sea el análisis se limita a lo observable en la entrada y
salida de información, en tal sentido es una posición conductista.
Para los conductistas el aprendizaje pudiera definirse como “cualquier
modificación, relativamente estable, que se produce en la forma de actuar del
organismo frente a estímulos que se repiten” (115: 14), nótese como no se hace
referencia a mecanismos internos del sujeto en el aprendizaje.
El conductismo como aproximación al aprendizaje ha tenido en los últimos años
una evolución, entre otras cosas ha estado obligado a reconocer algunos
elementos del sujeto que aprende (86). Sin embargo, como plantea Pozo, J. existe
un “núcleo duro” del conductismo que aún se mantiene, elementos de este núcleo
importantes para nuestro análisis fueron la tendencia al elementarismo en la
explicación del aprendizaje y la idea de que el mecanismo del aprendizaje es el
mismo para todas las formas y tipos.
I.1.2. Modelos pedagógicos conductistas.
Las ideas conductistas se ponen de manifiesto en la “tecnología educativa” y en el
llamado modelo “pedagógico tradicional”, en este último de forma implícita. En
estos el contenido de la enseñanza consiste en un conjunto de conocimientos y
valores que son transmitidos a los alumnos como verdades acabadas,
generalmente son contenidos “disociados de la experiencia del alumno y de las
realidades sociales”. (111: 11)
El modelo pedagógico tradicional se ve modificado por la influencia de los
procesos sociales asociados al desarrollo del capitalismo.
Los principales cambios en el modelo tradicional tienen que ver con “los ideales de
13
formación de los hombres y las mujeres de una sociedad y con las estrategias de
enseñanza” (2: 29). Para lograr esos ideales se elaboraban programas de estudio
donde se definían objetivos terminales y se especificaban medios y
procedimientos específicos para alcanzarlos.
Pero, esencialmente, el profesor sigue siendo un transmisor de información que el
alumno debe recibir. Según Pérez esa información “almacenada en los cuerpos
teóricos de las diferentes asignaturas requiere de la formación de determinados
esquemas de recepción en los alumnos” (81: 79), como los referidos esquemas no
han sido desarrollados el aprendizaje es memorístico y por tanto fácil de olvidar.
Las estrategias didácticas en el modelo conductista “parten de objetivos
planteados por el estado, acordes con un problema de la producción para
insertarse en el orden económico mundial”. (2: 29)
Los contenidos son “enciclopédicos” y los métodos tienen carácter
“trasmisionistas”, en general predomina el academicismo en las instituciones
escolares. (2: 29)
I.1.3. Algunas manifestaciones del conductismo en la concepción de la
enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la enseñanza media en Cuba.
En la concepción de la enseñanza - aprendizaje de la Matemática en la escuela
media cubana, las ideas del conductismo se encuentran muy enraizadas, a pesar
de que explícitamente no es reflejado en ninguno de los documentos revisados,
esto se puede apreciar en la propia concepción de los libros de texto, donde se
trata de poner la mayor cantidad de ejercicios y ejemplos que aborden todos los
casos imaginables.
En el libro Matemática 9 (texto oficial para el noveno grado) por ejemplo, para el
caso de la descomposición en factores por extracción de factor común, se
plantean como ejemplos (ejercicios resueltos) siete casos, e inmediatamente se
ofrece una colección de otros 55.
En el Taller Metodológico celebrado en el mes de febrero de 1995 en la Isla de la
Juventud y en el que participaron todos los profesores de Matemática de
Secundaria Básica, al abordar las dificultades de los estudiantes para
descomponer expresiones algebraicas en factores, se planteó por más de las dos
14
terceras partes de los profesores la necesidad de elaborar más ejercicios para ese
propósito.(anexo 2)
Lo anteriormente dicho se confirma con el criterio de los profesores de que las
causas de los problemas en el aprendizaje de la descomposición en factores son
la “falta de tiempo”, lo que se traduce como la no disponibilidad de más horas para
la presentación de ejercicios a los alumnos. (anexo 2)
Es posible que esta concepción del aprendizaje de la descomposición en factores
extrayendo factor común, por tratarse de un procedimiento netamente algorítmico,
funcione, pero el problema, según nuestro criterio, radica en la obtención del
algoritmo como tal; en la mayoría de los casos el estímulo es resolver un ejercicio
y la respuesta (ofrecida por el profesor) es el procedimiento de solución que se
repetirá decenas de veces, sin ninguna motivación propia del alumno.
El autor coincide con Delval en el hecho de que la concepción conductista del
aprendizaje, en particular las ideas de Skinner, pueden ser útiles cuando se trata
de “suministrar conocimientos muy concretos” (21: 8) como es el caso de algunos
procedimientos algorítmicos o las operaciones de cálculo, pero opina que en lo
relativo al desarrollo del pensamiento es inaplicable.
Las aplicaciones más actuales de las ideas de Skinner, hasta donde se ha podido
apreciar, están en los llamados softwares educativos y en la concepción de los
cursos a distancia o dirigidos. En la carrera de Licenciatura en Educación en
Matemática y Computación se utilizan varios libros de texto concebidos bajo los
principios de la enseñanza programada. (3)
I.2. El Cognitivismo.
I.2.1. La aproximación cognitivista al aprendizaje.
“El enfoque cognoscitivo..., se basa en el análisis psicológico de los procesos del
conocimiento del hombre”. (111: 101) Es un movimiento extremadamente amplio y
con diversidad de criterios internos, todos privilegian el estudio de los procesos
cognitivos que intervienen en el aprendizaje.
Dentro de las aproximaciones cognitivistas pueden ubicarse, entre otros: El
constructivismo piagetiano, el cognitivismo de Bruner y la Teoría del
Procesamiento de la Información.
15
Jean Piaget (1896-1980), biólogo de formación, se dedica a la Psicología teniendo
como principal fuente de inspiración para sus investigaciones el desarrollo de las
operaciones intelectuales en sus tres hijos.
Piaget persiguió dos objetivos básicos: En primer lugar, descubrir y explicar las
formas más elementales del pensamiento humano, y en segundo lugar, seguir su
desarrollo ontogenético hasta los niveles de mayor elaboración y alcance,
identificados por él con el pensamiento científico en los términos de la lógica
formal. (111: 114)
Lo esencial en los trabajos de Piaget sobre cognición es la explicación de los
mecanismos lógicos utilizados por el sujeto en la elaboración de respuestas
correctas, es mostrar como se desarrolla el conocimiento y el intelecto.
En la obra “Comprender y transformar la enseñanza” (81: 11) se considera como
uno de los aportes de Piaget, la idea de la comprensibilidad del aprendizaje como
adquisición no hereditaria en el intercambio con el medio relacionándolo con la
dinámica propia del desarrollo interno; de hecho, queda claro que el aprendizaje
es un proceso dialéctico. Dentro de ese proceso hay cuatro factores que
intervienen en el desarrollo de las estructuras cognitivas: maduración, experiencia,
interacción social y equilibrio.
Según González Rey, F. (31: 29) Piaget plantea como “factores imprescindibles
para explicar el desarrollo la maduración y la experiencia”, dicho de esta forma
puede parecer totalmente válido, sin embargo, en la obra de Piaget (84) se puede
apreciar que lo primario es la formación de “estructuras lógicas”, es decir, “el
desarrollo precede al aprendizaje” (31: 29). Precisamente este ha sido uno de los
aspectos más polémicos en los trabajos valorativos que comparan las teorías de
Piaget y Vigotski.
Otras de las limitaciones de las ideas de Piaget pudieran ser que:
No se logra dar solución, desde una posición dialéctica a la contradicción que se
establece entre la experiencia y la madurez de estructuras lógicas.
La concepción piagetiana del desarrollo puede conducir a un reduccionismo
psicológico, definido por la convicción de que un sujeto procesa o crea información
sólo a través de esquemas y estructuras lógicas ya cristalizadas, innatas o
16
aprendidas, que son inherentes a su repertorio.
Las ideas de Piaget sobre el aprendizaje están muy divulgadas en el mundo, y los
diferentes autores reconocen unánimemente el valor teórico de ellas.
Bruner, quien comenzó sus estudios sobre los procesos cognitivos,
específicamente en la relación entre la percepción y el pensamiento, desarrolló un
modelo general de los procesos cognitivos, la evaluación ontogenética, el
aprendizaje y la enseñanza que tuvo y mantiene una influencia notable sobre los
modelos pedagógicos contemporáneos.
Para Bruner el desarrollo ontogenético aparece codeterminado por dos factores
(111):
Lo biológico (maduración interna del sujeto), esto está relacionado con las ideas
de Piaget, su concepción del desarrollo por estadíos y la formación de estructuras
lógicas en ellas.
Lo social (sistema de influencias externas), esto está relacionado con el enfoque
histórico cultural de Vigotski.
Para él, el hombre es un organismo activo que actúa sobre su ambiente con una
notable plasticidad de recursos (111).
El mayor aporte de Bruner a un modelo pedagógico aparece en su obra “Hacia
una Teoría de la Instrucción” (11), donde se plantean cuatro características que
debe tener una teoría de la instrucción:
Habrá de especificar las experiencias que imbuyan en el individuo del modo más
efectivo una predisposición a aprender.
Tiene que especificar las formas en que un cuerpo de conocimientos habrá de
estructurarse para que pueda ser comprendido por el alumno del modo más
rápido.
Debe especificar el orden más efectivo de presentar los materiales que han de ser
aprendidos.
Debe especificar la naturaleza y ritmo de las recompensas y castigos en el
proceso del aprendizaje y la enseñanza.
Según Roberto Corral “el modelo de Bruner es fundamentalmente ecléctico” (111:
97); por otra parte, a pesar del profundo humanismo que indiscutiblemente tiene
17
implícito, aparecen contradicciones serias en su fundamentación.
La Teoría del Procesamiento de la información surge durante la década de los 50
en los Estados Unidos. La aparición de las máquinas computadoras sugirió la
analogía mente - ordenador, esto ocurre en momentos de “crisis del conductismo”
(20: 27) y contando con importantes aportes teóricos extrapsicológicos como son
la teoría de la comunicación, que establece una serie de leyes matemáticas para
explicar el flujo de información a través de un dispositivo (canal) que recibe una
información (imput) y genera una salida (output).
Una característica importante de esta concepción lo constituye el hecho de que
“su objeto de estudio son los procesos mentales” (13: 4), el individuo es por tanto,
un procesador activo de la información que recibe y que puede operar con ella en
función de sus posibilidades.
Otra característica es el establecimiento de la analogía entre el funcionamiento de
la mente humana y el ordenador. Esta analogía es evidente y ha sido explotada en
dos direcciones:
La llamada versión fuerte, donde “los ingenieros electrónicos y técnicos en
inteligencia artificial tratan de trasladar intuitivamente sus ideas sobre el
funcionamiento mental al campo del ordenador”. (20: 31)
La llamada versión débil, que adoptan casi todos los psicólogos cognitivos, y que
considera la analogía una “herramienta conceptual que permite elaborar modelos
representados generalmente, mediante diagramas de flujo que simulan el proceso
que sigue la mente humana para realizar una determinada tarea”. (13: 5).
La analogía mente - ordenador no es física, sino funcional (13: 7)
Según Mario Carretero y Margarita Limón (13) los principales aportes de la
corriente cognitiva son:
Rescatar los procesos mentales como objeto de estudio, esto es, agregar al
clásico esquema de estímulo-respuesta asociacionista las ideas, imágenes,
símbolos, lenguaje, esquemas, que el sujeto posee.
Interés en el diseño de máquinas que “piensen” como los humanos. Por su parte, Roberto Corrales (111: 98) señala cuatro rasgos comunes en los
modelos psicológicos elaborados:
18
El reconocimiento del carácter activo de los procesos cognitivos.
La concepción de modelos de aprendizaje (como una relación del sujeto activo
sobre el objeto).
La aproximación a la comprensión del aprendizaje es racionalista: Todo
conocimiento humano es una construcción personal del sujeto, que parte de los
datos sensoriales, pero que no se reduce a la asociación o relación de esos datos,
sino que los trasciende.
Se diferencian radicalmente de las posiciones psicológicas asociacionistas (en
especial del conductismo) ya que descubren en el proceso del conocimiento una
participación activa del hombre que elabora y modifica los datos sensoriales, y
posibilita anticipar la realidad, transformarla y no sólo adaptarse a ella.
Coincidimos con Valera (116) en que el cognitivismo debe ser visto como una
tendencia teórica de un amplio espectro, como una esfera de la investigación
relacionada con la construcción del conocimiento, los procesos psíquicos que lo
permiten y el procesamiento de la información; todo ello insertado en un amplio y
creciente marco relacionado con los aspectos inductores de la actividad
cognoscitiva, el funcionamiento integral de la personalidad y el aprendizaje como
proceso.
I.2.2. Los modelos pedagógicos cognitivistas.
El cognitivismo, como gran sistema teórico de la Psicología, permite fundamentar
los mecanismos de aprendizaje en varios modelos pedagógicos que
denominaremos, por esa razón, cognitivistas.
Según el Álvarez, C. el surgimiento de la “escuela activa” con la propuesta de
“aprender haciendo” donde el alumno es participante activo en el aprendizaje,
propicia el surgimiento de un nuevo modelo pedagógico activista en el cual el
proceso de enseñanza – aprendizaje no se concibe para transmitir información por
el profesor a sus alumnos, sino que se basa en el propio “mundo interior del
alumno”, en sus recursos personales. (2: 30)
En sus inicios este modelo activista se centró en el desarrollo de habilidades del
pensamiento en los estudiantes en su individualidad, esto es, que “las categorías
de experiencia, práctica, recrear, desarrollarse, serie, proyecto, flexibilidad,
19
situaciones concretas; posibilitan un desarrollo cognitivo de los alumnos desde sus
propios intereses y necesidades. (2: 30)
En un segundo momento, el modelo activista se fue modificando hasta considerar
la “auto formación en las personas de habilidades, conocimientos y valores para la
transformación de una sociedad en beneficio de toda la comunidad” (2: 30). Esto
se fundamenta en la responsabilidad del estudiante ante su aprendizaje.
Otros modelos cognitivistas son la Teoría del Procesamiento de la Información y
los llamados modelos constructivistas, fundamentados en las ideas de Piaget,
Bruner, Ausubel.
En los modelos del procesamiento de la información “el alumno es un activo
procesador de la información que asimila y el profesor es un mero instigador de
ese proceso dialéctico a través del cual se transforman los pensamientos y las
creencias del estudiante.” (8: 81) El constructivismo, como modelo pedagógico se
caracteriza por estar “basado en la construcción o reconstrucción de los
conocimientos de la ciencia por parte de los estudiantes”. (2: 33)
Para que el proceso dialéctico señalado ocurra es necesario que el profesor
conozca realmente a sus alumnos, sus intereses, sus conocimientos y sus
posibilidades reales de comprender. El nuevo contenido de aprendizaje sólo
“provocará la transformación de las creencias y pensamientos de los alumnos
cuando logre movilizar los esquemas ya existentes en su pensamiento”, (81: 81) la
consideración a priori de esos esquemas (llamados estructuras lógicas en el caso
de Piaget) es a nuestro juicio la principal limitación de este modelo pedagógico.
Desde nuestro punto de vista los modelos cognitivistas, sobre todo los
constructivistas, resaltan “sobremanera el desarrollo de las capacidades formales,
olvidando la importancia clave de los contenidos de la cultura”. (81: 81)
I.2.3. Algunas manifestaciones del cognitivismo en la concepción de la
enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la enseñanza media en Cuba.
Refiriéndose propiamente a la Matemática, Bruner plantea que “la investigación
del proceso educativo…no ha sido realizada en conexión con la elaboración del
plan de estudios” (11: 72). Se acepta este criterio que ha sido cada vez más
reforzado por los resultados de las investigaciones en diferentes países y en
20
Cuba, este autor considera que los estándares curriculares de Matemática del
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) tratan de salvar este escollo;
no obstante, en casi todo el mundo se ha intentado “asimilar” estos sin tener en
cuenta los propios planes de estudio y las condiciones histórico - culturales de los
países y por ende se produce la falla.
En la Enseñanza de la Matemática, en diferentes países son utilizadas las
concepciones piagetianas, teniendo en cuenta que el conocimiento lógico -
matemático es una construcción natural de estructuras que el individuo ya posee.
Revisando diferentes protocolos de investigaciones realizadas en el campo de la
Didáctica de la Matemática en Cuba (114), (117), (41), se constató que en algunos
casos en la fundamentación se hace referencia a las concepciones piagetianas del
aprendizaje, pero en ningún caso se pudo comprobar la aplicación concreta de
esas concepciones en los resultados propuestos. Este hecho sugirió la idea de
que entonces era muy probable que en la Enseñanza de la Matemática en la
Escuela Cubana sucediera algo análogo.
Haciendo una revisión de los documentos y entrevistando a un grupo de expertos
se arribó a las siguientes consideraciones (anexo 3): en la Escuela Cubana no se
utilizan explícitamente las ideas de Piaget, ellas no han sido suficientemente
estudiadas por los docentes. Parece ser que en Cuba está ocurriendo un
“redescubrimiento” del pensamiento de Piaget en los momentos actuales.
Un aspecto al que se han dedicado los psicólogos de la Teoría del Procesamiento
de la Información (Glasser, Chi, Sternberg, Mayer y otros) es el relativo a la
resolución de problemas. En estos estudios han aparecido dos aspectos que
consideramos de gran importancia para las investigaciones en el campo de la
Didáctica de la Matemática:
El conocimiento es condición necesaria para la resolución de problemas y la
necesidad de que esté bien estructurado, para poder acceder a él en un tiempo
óptimo. Esta idea proporciona una visión exacta de que no se puede pretender
que los estudiantes aprendan a resolver problemas matemáticos si antes no
disponen de las adecuadas estructuras cognitivas, es decir, si primeramente no
disponen de los conocimientos matemáticos necesarios y saben operar
21
adecuadamente con ellos.
La idea de expertos y novicios, por cuanto “compulsa al experto (profesor) a
adelantar en años las experiencias del novicio y pone a su disposición elementos
que permitan entrenarlo en la solución de problemas”. (40: 7) Esto brinda la
posibilidad de concebir situaciones de aprendizaje donde el experto (profesor)
sirva de modelo de actuación al estudiante.
En general, la Didáctica de la Matemática que se enseña en Cuba, en los
Institutos Superiores Pedagógicos se caracteriza por un marcado sabor
constructivista, esto está dado por el hecho de que al abordar el tratamiento de
cada una de las llamadas situaciones típicas (Tratamiento metodológico de los
conceptos y sus definiciones, tratamiento de los teoremas y sus demostraciones,
tratamiento de las construcciones geométricas y tratamiento de ejercicios de
aplicación y de ejercicios con texto) se utiliza el llamado programa heurístico
general (7: 239) que contempla en la fase de "trabajo con el problema" la
“búsqueda de la idea de solución”, esto es a nuestro juicio, propiciar que los
alumnos participen activamente en la búsqueda del conocimiento matemático,
realizando su propia construcción.
En gran medida, se recomienda la utilización de la vía inductiva para el tratamiento
de las situaciones típicas (además de mostrar la deductiva), y entonces, a partir de
casos particulares se llega al caso general por el propio estudiante. La función del
profesor consiste en ofrecer los llamados impulsos heurísticos, consistentes en
preguntas o sugerencias que orienten el trabajo de búsqueda y construcción del
conocimiento, y más ampliamente, garantizar la instrucción heurística de los
estudiantes, lo cual puede entenderse como el enseñar a utilizar las diferentes
reglas, estrategias y procedimientos heurísticos necesarios para el quehacer
matemático. (7), (46), (47), (122)
Según lo visto hasta aquí, se puede afirmar que la Didáctica de la Matemática que se utiliza
en Cuba está fundamentada en las teorías constructivistas, sin embargo, al estructurar la
enseñanza a través de las funciones didácticas, se tiene en cuenta un aspecto no
considerado por esas posiciones en su total dimensión: las condiciones histórico –
culturales en las que se desarrolla el proceso de enseñanza – aprendizaje, esto es, tener en
22
cuenta el desarrollo alcanzado por los alumnos, sus potencialidades, la necesidad de una
adecuada motivación y orientación hacia el objetivo que se persigue. (7, 99 – 112)
I.3. El enfoque histórico - cultural.
I.3.1. La aproximación histórica – cultural al aprendizaje.
El principal representante de esta corriente es el psicólogo ruso Lev Semionovich
Vigotski, nacido el 5 de noviembre de 1896 en Bielorrusia. Dejó escrito más de
180 trabajos hasta el 11 de junio de 1934, fecha en que fallece, abarcó casi todos
los campos de la psicología, elevando a un nuevo nivel y creando otros campos
como la metodología de la psicología y la defectología. (107)
Vigotski fue el primero en comprender la importancia que el materialismo dialéctico
e histórico tiene para las ciencias. Se cuidó mucho de entender la relación filosofía
- ciencia como algo mecánico, lineal, directo, como la simple ejemplificación en la
ciencia de los postulados filosóficos generales, él llega a la formulación de su
teoría de la psiquis a partir de toda una metodología, buscando en la defectología,
en la patología, en el desarrollo ontogenético y en la investigación psicológica del
arte aquello a que lo orientan los principios epistemológicos.
Otro de los importantes representantes de la corriente genética - dialéctica es A.N.
Leóntiev quien elaboró la teoría relativa a las particularidades de la formación de
las acciones mentales (119), partiendo de la sistematización de la categoría
actividad introducida por Vigotski. Según Leóntiev “la actividad no es una reacción,
ni un conjunto de reacciones, sino un sistema que tiene su estructura, sus
transiciones y conversiones internas, su desarrollo” (59: 11). De esta forma,
Leóntiev da una interpretación materialista a la categoría “actividad” en calidad de
“forma especial de interacción del hombre social con el mundo de los objetos”.
(119: 279)
El estudio más detallado de las etapas en la formación de la actividad interna a
partir de la externa fue elaborado por P. Y. Galperin y sus discípulos (Talízina,
Davídov) en lo que se conoce como la Teoría de la Formación por Etapas de las
Acciones Mentales.
Rubinstein por su parte, se planteó el problema de la correlación entre lo psíquico
y lo material, “…uno de los problemas más difíciles y agudos … de todos cuanto
23
se ha planteado alguna vez el intelecto del hombre” (96: 11). La idea de la
materialidad de la conciencia es centro de atención en sus trabajos.
En apretada síntesis, algunas de las ideas o aportes más importantes del enfoque
histórico cultural de Vigotski y sus seguidores pueden resumirse en los siguientes
cinco aspectos:
La psiquis humana es de naturaleza sociohistórica, es decir, el desarrollo
está determinado por las relaciones sociales y también por la influencia de la
historia, o sea, “se desarrolla históricamente, en función de las condiciones
de vida y actividad en que el sujeto está inmerso”. (17: 7)
En algunos de los desarrollos de esta concepción histórico – cultural se hizo una
absolutización del papel de lo social, esto es, “no tener en cuenta, en la justa
medida, el papel formador de la actividad práctica del hombre en el desarrollo de
su conciencia, y oponer de manera excesivamente tajante las formas, sociales por
su naturaleza, de la actividad consciente, a los otros procesos psíquicos
considerados como de formación natural”. (61: 8)
Dicho en otras palabras, no se ha tenido en cuenta con toda justeza la
participación intencional del sujeto en la búsqueda del conocimiento y en la propia
formación de su personalidad. Esto ha sido señalado por autores que se sitúan
dentro de este mismo enfoque, como son, González Rey, F. (31), Leóntiev y Luria
(119 –citados por el autor-), Calviño, M. (12).
El carácter mediatizado de la actividad y la interacción humana en el
desarrollo de la subjetividad individual, el papel de la cultura y la educación
en su rol conducente de dicho desarrollo.
Partiendo de las ideas de Engels acerca del papel del trabajo en el desarrollo,
Vigotski plantea que en la psiquis del hombre existe una particularidad que
corresponde al papel que desempeña el trabajo, el uso y la creación de
instrumentos en la actividad productiva. Esta particularidad consiste en el carácter
mediatizado de la actividad psíquica de los hombres. (120)
Al respecto Córdova, M. aclara que “la actividad y la comunicación del hombre
con su medio material y social, están mediadas por objetos que incluyen al
lenguaje como sistema de signos y que han sido creados por el propio hombre. Es
24
a través de la comunicación con otros que cada sujeto recibe, procesa, organiza y
elabora, la mayor parte de la experiencia y el conocimiento que le llega como
individuo”. (17: 8)
El origen de los procesos psíquicos a partir de la actividad nerviosa
superior y de su doble formación.
Vigotski formuló la ley genética del desarrollo cultural (ley de la doble formación de
lo psíquico) diciendo que toda función psíquica pasa por una fase exterior en su
desarrollo, porque ella es primeramente una función social, luego ocurre la
interiorización de esa función en la psiquis del individuo.
Con relación a esta concepción vigotskiana se han realizado algunas valoraciones,
en especial en lo concerniente a los trabajos realizados por uno de sus
seguidores: Galperin. Al respecto se señala que “esa tesis, dirigida contra las
tendencias biologicistas en el desarrollo de lo psíquico, no fortalece sino debilita
nuestras posiciones en la lucha contra el biologicismo, pues en ella se adoptan
posiciones desmesuradamente sociologistas, las que resultan fácilmente
vulnerables a la crítica”. (73: 48)
También se dice que en algunos casos se ha tendido a “absolutizar el papel de la
modelación externa, social, minimizando así, el carácter activo del sujeto, que si
está presente en los postulados teóricos iniciales”. (17: 19)
Según González Rey, F. “una de las categorías más importantes que nos permite
articular internalización con desarrollo, es la llamada Zona de Desarrollo Próximo”
(ZDP) (31: 45). Esta categoría reveló la dialéctica entre posibilidades y desarrollo
en el individuo.
La ZDP es “la diferencia entre el nivel de desarrollo real actual y el nivel de
desarrollo potencial, determinado mediante la resolución de problemas con la guía
o colaboración de adultos o compañeros más capaces”. (118: 18)
La idea de la ZDP permite considerar, a juicio del autor, dos aspectos esenciales
para el aprendizaje:
La integración de lo interno (determinado por el desarrollo actual del individuo, su
madurez y capacidad real) y lo externo (el desarrollo potencial determinado
mediante la resolución de problemas con influencia, ayuda o cooperación de
25
otros).
El papel de la escuela en el acercamiento del individuo a sus potencialidades, al
desarrollo de su personalidad, esto es, claro está, una consecuencia de lo primero.
La función de regulación de lo psíquico sobre la actividad y el
comportamiento del sujeto.
Cuando el sujeto refleja psíquicamente cualquier faceta de la realidad, este reflejo
que es individual y subjetivo, le ofrece la posibilidad de conducirse con adecuación
al contenido reflejado. La función reguladora de este es inherente a todos los
niveles de su desarrollo, por lo que la personalidad como síntesis e integración de
cualquiera de las formas del reflejo psíquico del hombre, constituye el nivel
superior de regulación de su actuación.
La función reguladora de la personalidad tiene carácter activo y consciente. El
carácter activo se manifiesta en el hecho de que el sujeto es capaz de dirigir su
propia actuación y en cierta medida su propio desarrollo psíquico, ya que él no
depende pasivamente de las influencias provenientes del medio, lo que le permite
regular su actuación por medio de las influencias internas de las propias
cualidades de la personalidad. En ello consiste el carácter de autorregulación y
autodeterminación de la función reguladora de la personalidad. Debido a esta
función mediadora, las influencias externas no inciden directa y mecánicamente
sobre el sujeto, determinando cómo debe regular su actuación; sino que le permite
hacerlo activamente, haciéndolo partícipe en la influencia sobre las condiciones
externas y participar en la determinación de sí mismo en el sistema de relaciones
sociales.
El carácter activo de la regulación de la actuación de la personalidad supone que
el sujeto experimenta y vivencia tanto las condiciones concretas de su vida como
de sí mismo y esto es precisamente lo que determina el carácter consciente de la
función
• reguladora de la personalidad, ya que ella necesariamente incluye una imagen o
representación anticipada, ideal, en la que se manifiestan los resultados
deseados. Ello no excluye el hecho de que en la personalidad participa también el
nivel de regulación psíquica no consciente. (29)
26
La unidad de lo afectivo y lo cognitivo. La actuación del hombre es una
unidad de afecto e intelecto.
Según Rubinstein son dos las formas en que se manifiesta el papel regulador del
reflejo de la realidad por parte del individuo: en forma de regulación inductora y en
forma de regulación ejecutora. (95)
La regulación inductora es la que determina el para qué o el por qué de la
actuación, su dinámica. A ella pertenecen todas las formas de reflejo psíquico que
impulsan, inducen, incentivan, dirigen, orientan, movilizan y sostienen la actuación;
tal es el caso de las necesidades, los motivos, las emociones, los sentimientos, los
planes, propósitos, objetivos, aspiraciones e intenciones del sujeto.
La regulación ejecutora es la que determina el con qué y el cómo de la actuación,
su contenido. A ella pertenecen todas las formas del reflejo psíquico que permiten
al sujeto tomar en cuenta las condiciones en que transcurre la actuación. Tal es el
caso del conocimiento sensoperceptual, el pensamiento, las habilidades, hábitos y
capacidades del sujeto.
I.3.2. Modelos pedagógicos basados en el enfoque histórico – cultural.
Estos modelos centran su atención “en el desarrollo integral de la personalidad en
tanto sus raíces histórico – culturales”. (2: 33)
Somos del criterio de que en la concepción del sistema educacional cubano se
ponen de manifiesto las ideas del enfoque histórico - cultural, cuestión que
fundamentaremos a partir de los orígenes de las concepciones pedagógicas
cubanas y de los objetivos y principios de la política educacional del país.
El ideario pedagógico cubano está indisolublemente ligado al proceso de
formación de la nación cubana, aún cuando en las ideas pedagógicas de los
precursores no se hace referencia a la concepción histórico – cultural del
aprendizaje (en orden cronológico vivieron en una época anterior), sí se recogen
elementos que de forma implícita y en algunos casos explícitamente, ponen de
manifiesto la extraordinaria visión de nuestros pedagogos del siglo pasado.
El presbítero José Agustín Caballero (1762 – 1835) fue el primero en manifestarse
en contra de las prácticas pedagógicas de su época, y solicita la primera reforma
universitaria en Cuba.
27
El también sacerdote Félix Varela y Morales (1788 – 1853), el primero que nos
enseñó a pensar, fue “el primer gran combatiente en el sector de la docencia”. (80:
3)
José de la Luz y Caballero (1800 – 1862) se dedicó a inculcar a sus discípulos el
“espíritu investigativo y la independencia en la adquisición del conocimiento” (80:
4). Sobre él Martí dijo “sembró hombres”. (68: 249)
José Martí y Pérez (1853 – 1895), el más universal de todos los cubanos, formuló
la necesidad de “revelar a los hombres su propia naturaleza, y darles, con el
conocimiento de la ciencia llana y práctica, la independencia personal que
fortalece la bondad y fomenta el decoro y el orgullo de ser criatura amable y cosa
viviente en el magno universo”. (69: 19).
En otro de sus trabajos escribía Martí, declarando su concepción humanista del
aprendizaje: “El estudio es el carril; pero el carácter, la individualidad del niño, esa
es la máquina. Y se ve que la libertad de la invención y placer de crear por sí,
estimula el ingenio propio y la fuerza del carácter”. (69: 37)
Como puede apreciarse, adelantándose a su época, promulgaba el desarrollo
integral de la personalidad de los niños, en instituciones escolares donde “se
ensaya al niño, sin perder la imaginación y el sentimiento, en las cualidades de
hábitos y originalidad necesarios para la vida”. (69: 35)
Otro digno representante de los pedagogos cubanos fue Enrique José
Varona(1849 – 1933).
La labor de Varona “estuvo encaminada a lograr una reforma de la enseñanza
tradicional y su transformación en práctica experimental y útil a los intereses del
pueblo cubano”. (80: 8)
Todos estos hombres viven en la Cuba colonial, marcada por la esclavitud, las
guerras de independencia y la consolidación de nuestra identidad nacional, Varona
además vivió la ocupación yanqui y tuvo la posibilidad de ser guía de la juventud
estudiantil en las luchas antimachadistas del 1933. Individualmente comprendieron
la necesidad de verdaderas reformas educacionales y sociales para alcanzar las
aspiraciones de vida que se proponían.
Entre los años 1902 y 1959 se suceden en Cuba gobiernos republicanos que
28
respondían más a los intereses norteamericanos que a los del propio pueblo, la
educación oficial se ve influenciada por el predominio “casi absoluto” de las
tendencias pedagógicas burguesas de moda en los Estados Unidos de América.
(80: 8)
En esos años, fueron muchos los pedagogos cubanos que, dando muestras de
dignidad y decoros sin precedentes, defendieron las ideas pedagógicas de
nuestros precursores, muchos de ellos, incluso, cambiando sus habituales
instrumentos de trabajo por fusiles, basten mencionar a Frank País García, José
(Pepito) Tey y Marcelo Salado.
En la etapa revolucionaria, de la cual este autor es producto, tiene a su juicio
cuatro momentos claves que deberán abordarse cuando se escriba la historia de
la pedagogía cubana: la época de la campaña de alfabetización y los inicios de la
diversificación de la educación; la etapa del Destacamento Pedagógico “Manuel
Ascunce” y el surgimiento de las Escuelas en el Campo; la etapa de los
Contingentes “Ché Guevara”, “Frank País”, “Augusto Cesar Sandino” y las
misiones internacionalistas y por último la etapa del Período Especial en Tiempo
de Paz.
En todas ellas han estado presentes los ideales pedagógicos de nuestros insignes
maestros del siglo pasado, concretados en la práctica con la inteligencia y la guía
del Comandante en Jefe Fidel Castro.
Fidel supo llevar a la práctica la idea martiana de “ser cultos para ser libres” al
concebir y ejecutar la Campaña de Alfabetización. La declaración de Cuba como
Territorio Libre de Analfabetismo el 22 de diciembre de 1961 es suficiente prueba
de que el proyecto pedagógico cubano es uno de los más avanzados del orbe.
Desde el punto de vista del estado, se declara la necesidad de una concepción
histórico cultural del proceso docente – educativo. En el libro “Pedagogía” de
autores cubanos (80: 16) aparecen los objetivos y principios de la política
educacional cubana, estos “garantizan que la formación integral del hombre no
sea una categoría abstracta, sino una realidad” (80: 17).
La educación en Cuba se sustenta sobre la base de seis principios (80: 74- 78)
que reflejan “el fin y los objetivos que rigen la misma, por lo que constituyen ideas
29
rectoras, postulados teóricos generales que condicionan el proceso pedagógico.
(80: 73)
Dentro de estos principios hay dos que se considera oportuno analizar, pues
reflejan directamente el carácter histórico - cultural del modelo pedagógico
cubano:
La educación de la personalidad en el colectivo.
Unidad de las exigencias y el respeto a la personalidad.
El primero, refleja el carácter social de la educación, está concebido en la idea del
colectivo desarrollada por el insigne pedagogo ruso Antón Makarenko, para él “la
colectividad es un organismo social en una sociedad humana saludable”. (80: 76 –
citado por los autores-)
El segundo principio refleja, en primer lugar, el carácter humanista de nuestra
educación, caracterizada por el respeto al hombre independientemente de sus
creencias. En segundo lugar, pone de manifiesto la concepción vigotskiana del
desarrollo y el aprendizaje, al considerar las exigencias que se le plantean al
alumno en correspondencia también con sus posibilidades (léase desarrollo
potencial).
Lo anteriormente planteado está en concordancia con otro de los principios
declarados, la “consideración de las particularidades de las edades y de las
diferencias individuales de los educandos”. (80: 78)
I.3.3. Algunas manifestaciones del enfoque histórico – cultural en la
concepción de la enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la escuela
media en Cuba.
En los libros de Metodología de la Enseñanza de la Matemática que se utilizan
como textos en los Institutos Superiores Pedagógicos, se aborda
sistemáticamente lo relativo al aprendizaje de la Matemática en el proceso de
enseñanza – aprendizaje. Este abordaje se realiza a través de uno de los
desarrollos del enfoque histórico cultural, la llamada Teoría de la Formación por
Etapas de las Acciones Mentales, desarrollada por Galperin y sus colaboradores.
En el libro de Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática
1, del autor de la antígua R.D.A. Jungk, W. (45: 136), aparece un epígrafe titulado
30
“Aspectos Teóricos del aprendizaje en la Enseñanza de la Matemática”, en el
mismo, a partir de contraponer las llamadas “formas metodológicas básicas” y lo
que él denomina “formas básicas de aprendizaje” se analiza la relación dialéctica
entre las categorías de enseñanza y aprendizaje.
Más adelante, se discute el carácter mediatizado de la actividad y la unidad de lo
afectivo y lo cognitivo, el autor dice que “la personalidad se desarrolla en la
actividad” (45: 137) y lo ilustra con ejemplos de la Matemática: “no se pueden
conocer solamente las propiedades de una tangente a la circunferencia, hay que
poder construir también la misma”. (45: 137) El autor destaca también el papel de
la motivación para el desarrollo de la actividad.
En otra de las partes del libro se hace referencia a la ley de la doble formación al
exponer que “el profesor tiene que plantear, por lo tanto, a sus alumnos,
demandas que estén en la zona de desarrollo próximo” (45: 138) y a continuación
se ofrecen sugerencias prácticas para ello a manera de ejemplos: “en la
enseñanza de la Matemática hacemos esto, cuando planteamos ejercicios, en los
que no se aplica lo conocido de forma sencilla, sino que su solución requiere
nuevas construcciones ya usadas o nuevos pasos ideales o nuevas
combinaciones de pasos de operaciones familiares al alumno”. (45: 138)
En el libro Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática 2
(Primera Parte) del mismo autor, se dedica el capítulo titulado “Aspectos Teóricos
del aprendizaje. Aplicaciones de la Teoría del aprendizaje de Galperin” a
profundizar en la concepción de enseñanza – aprendizaje, abordando el concepto
de orientación y base orientadora para la acción, destacando las diferentes fases
para la formación de las acciones mentales y poniendo ejemplos para ilustrar la
teoría de Galperin.
Por último, en el libro Complementos de Metodología de la Enseñanza de la
Matemática del autor de la R.D.A. Zillmer, W. (122: 102) aparece un capítulo
titulado “Concepción teórica del aprendizaje de Galperin sobre la formación de la
acción mental por etapas”, donde se ofrecen indicaciones metodológicas sobre el
proceso de formación de acciones mentales en Matemática.
Las críticas realizadas a la concepción de aprendizaje de Galperin por numerosos
31
autores: Rubinstein (99), Calviño (12), González (31), Córdova, (17) tienen
también su reflejo en la enseñanza – aprendizaje de la Matemática. En opinión del
autor, la utilización mecánica de esta teoría como recurso explicativo del
aprendizaje de la Matemática ha sido causa de no pocas manifestaciones del
conductismo, algunas de las cuales fueron mencionadas en este trabajo. El
problema que engendra una interpretación fría, automática y no contextualizada
de la Teoría de la Formación por Etapas en el aprendizaje de las Matemáticas, se
expresa en la algoritmización del mismo, en la búsqueda de respuestas
estereotipadas y en el freno a la individualidad de los estudiantes.
En el libro de Metodología de la Enseñanza de la Matemática I de autores
cubanos, al valorar el significado de la Matemática y su enseñanza se plantea que
“para comprender el significado de la Matemática y su enseñanza hay que
conocer su desarrollo histórico el cual nos muestra los conocimientos
matemáticos, surgidos de las necesidades prácticas del hombre mediante un largo
proceso de abstracción”. (7: 4). Esta idea, que forma parte de los cimientos de
nuestra didáctica revela la comprensión del aprendizaje de las Matemáticas a
partir de la concepción vigotskiana de la personalidad, en su unidad de lo histórico
y lo social.
Es imposible, por razones lógicas de tiempo, abordar la Enseñanza de la
Matemática siguiendo el desarrollo histórico de la ciencia correspondiente, sin
embargo, siempre se hace hincapié en la necesidad de revelar a los estudiantes
los aspectos más importantes en los diferentes estadios de desarrollo de la
Matemática. Este autor opina que efectivamente, esta estrategia puede contribuir
a una mejor comprensión de las teorías matemáticas, siempre que esto, y en
general todo el proceso tenga en cuenta también el aspecto social de la
personalidad lo cual “condiciona otra concepción del aula, del grupo escolar, del
aprendizaje” (40: 3) propiciando una comunicación más íntima, donde se
destaquen logros y fracasos y se estimulen los avances.
I.4. El Humanismo.
I.4.1. La aproximación humanista al aprendizaje.
La aproximación humanista surge en Alemania y se desarrolla en los Estados
32
Unidos en el presente siglo, siendo sus principales representantes los psicólogos
Rogers, Allport y Maslow. (120)
Las ideas humanistas responden a la necesidad de crear una nueva imagen del
hombre, de la sociedad y de la ciencia.
Como peculiaridades de las concepciones humanistas, los doctores Fernando
González Rey e Hirán Valdés Casal señalan (34: 36):
“El hombre es capaz de aprender y cambiar, y posee aspectos internos definidos
que propician estos cambios.
Los teóricos humanistas conciben al hombre total.
Son optimistas y confirman el mejoramiento humano.
La interacción social es tema obligado en la construcción de las teorías
humanistas.”
Las principales limitaciones del humanismo, a los efectos del aprendizaje podrían
ser resumidas en dos cuestiones:
La concepción de lo psíquico “fuera de una determinación sociohistórica”, lo cual
hace que se reduzca la posibilidad de intervenir en el desarrollo de la personalidad
ya madura y autorrealizada. (17: 7)
La debilidad de las posiciones metodológicas que garanticen la aplicación de estas
concepciones en la esfera de la educación con resultados eficientes. (111: 51 –
67)
I.4.2. Los modelos pedagógicos humanistas.
Como modelos pedagógicos basados en la aproximación humanista están los de
la llamada pedagogía autogestionaria, que “pretenden la transformación de la
educación, a partir de la participación directa de los interesados: profesores,
alumnos y padres, en la organización de todas las esferas de la vida del escolar”.
(111: 51)
La autogestión es considerada como una concientización de la sociedad acerca de
sus posibilidades de renovación profunda si los hombres que la integran asumen
su responsabilidad. (111: 51)
Según las profesoras V. Ojalvo y A. Castellanos (111: 56 - 57), los modelos
autogestionarios se caracterizan porque:
33
Consideran al alumno como un participante activo en el aprendizaje, con
responsabilidad en ello.
El profesor no es portador del poder directivo, se supedita a las necesidades y
peticiones de los alumnos.
El profesor desarrolla el rol de animador del grupo, su participación se reduce a
plantear preguntas y problemas, estimular, mostrar soluciones y alternativas de
solución.
Las intervenciones del profesor se rigen por el principio de la demanda, lo que
implica una modificación radical de la relación profesor – alumno.
La escuela es considerada un grupo social con vida propia.
Se estimula la autonomía, creatividad y la discusión de puntos de vistas.
El aprendizaje no puede ser impuesto, debe estar fundado en fuertes
motivaciones.
I.4.3. Algunas manifestaciones de la aproximación humanista en la
concepción de la enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la escuela
media cubana.
El proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática en Cuba está concebido
a partir de la política educacional del estado, es por ello que refleja el profundo
humanismo de la concepción marxista – leninista de la revolución cubana,
teniendo en cuenta además, las condiciones histórico – culturales en las que este
proceso ha de desarrollarse.
En el Programa Director de Matemática, vigente desde el curso 97 – 98, se
reconoce la necesidad de elevar el grado de motivación para el aprendizaje al
declarar que “es fundamental que se cree un clima favorable alrededor del estudio
de la Matemática, utilizando los recursos disponibles, organizando concursos y
otras actividades extradocentes de apoyo a la labor que se realiza en las aulas, y
estimulando a los estudiantes a que participen en ellas”. (74: 3)
Otro aspecto que se considera en el referido documento es el relativo al desarrollo
de la autonomía en el aprendizaje, al desarrollo de la creatividad, en este sentido
se señala que “el alumno debe aprender a analizar los problemas, encontrar por si
mismo los medios para resolverlos”, y que la “resolución de problemas no puede
34
convertirse en la realización de ejercicios rutinarios que no estimulan la iniciativa,
independencia y creatividad”. (74: 3)
Conclusiones del capítulo.
El análisis realizado, partiendo de las concepciones acerca del aprendizaje en los
grandes sistemas teóricos contemporáneos de la Psicología y analizando las
características de los modelos pedagógicos que las tienen de base, es decir,
estableciendo la relación aprendizaje - enseñanza, permitió evidenciar
manifestaciones de diversa índole en la concepción de la enseñanza – aprendizaje
de la Matemática en la escuela media cubana, en la que aparecen elementos de
cada una de las aproximaciones estudiadas, siendo en sentido general la
aproximación histórico – cultural, y en especial el desarrollo realizado por Galperin
y sus colaboradores, las que la sustentan teóricamente.
El estudio puso sobre relieve que, para abordar el problema de esta investigación
era recomendable, al igual que hicieron Vigotski, Luria, Rubinstein y los demás
gestores del enfoque histórico – cultural (75), (92), (12), tener en cuenta los
aportes más significativos de las diferentes concepciones psicológicas y
pedagógicas, desde la óptica dialéctica – histórica y teniendo como base
conceptual los aportes más significativos del enfoque histórico cultural recogidos
en el capítulo.
Todo lo anteriormente dicho se concreta en aceptar la perspectiva dialéctica –
humanista que permite integrar los presupuestos teóricos y metodológicos
necesarios para abordar el objeto de investigación.
35
CAPÍTULO II: “La perspectiva dialéctica – humanista aplicada al proceso de enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos.
En este capítulo se introduce la perspectiva dialéctica – humanista como
plataforma teórica y metodológica para comprender lo relativo a la estructura y el
funcionamiento de las capacidades humanas y en especial de la capacidad para
resolver problemas matemáticos.
Así mismo, se caracteriza la resolución de problemas matemáticos como una
capacidad específica de la enseñanza – aprendizaje de la Matemática y se
propone una metodología para evaluar el estado de la misma.
Por último, se ofrece una propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de
la capacidad para resolver problemas matemáticos donde se concretan los
resultados teóricos y metodológicos de la perspectiva dialéctica – humanista.
II.1. La perspectiva dialéctica – humanista. La perspectiva dialéctica - humanista fue introducida por Córdova, M. en su tesis
doctoral, esta “constituye un desarrollo del enfoque histórico - cultural que intenta
retomar el profundo humanismo que está en su esencia”. (17: 6)
Siendo consecuente con el carácter dialéctico de la comprensión de lo psicológico
y lo pedagógico aceptada en esta investigación, se toman como base los
siguientes presupuestos teóricos:
1. Los aportes fundamentales del enfoque histórico cultural descritos en el
capítulo I.
2. Los resultados de la Teoría del Procesamiento de la Información más
significativos a los efectos de la resolución de problemas también descritos en el
capítulo I.
La concreción de ambos sistemas teóricos en los propósitos de la investigación,
desde la perspectiva dialéctica – humanista se realizó a través de su interpretación
mediante dos enfoques metodológicos generales: el personológico y el sistémico.
37
II.1.1. El enfoque personológico en la comprensión de las capacidades. Aceptar el enfoque personológico como centro de la concepción dialéctica -
humanista, a los efectos de incursionar en lo relativo a la resolución de problemas
matemáticos significa:
- Abordar la resolución de problemas matemáticos no ya desde la perspectiva
didáctica o educativa como tradicionalmente se ha hecho, sino desde el propio sujeto, portador de personalidad que construye y autorregula sus conocimientos y
su instrumentación práctica en la solución de problemas; lo que significa considerar al alumno en el proceso de enseñanza - aprendizaje como centro. (65)
- Consecuentemente con lo anterior, concebir la personalidad como una
“configuración de configuraciones estrechamente vinculadas entre si, que
coexisten simultáneamente, que tienen funciones y estructuras flexibles e
interactivas que caracterizan en su función integral al sujeto, en su función
reguladora y autorreguladora del comportamiento”(35: 94), (32: 19). Es decir, la personalidad es una configuración de configuraciones psíquicas. La configuración es un sistema dinámico que expresa un sentido psicológico
particular y a su vez aparece vinculada, articulada con otras configuraciones. (31:
60)
En la introducción a esta tesis se hizo referencia a la concepción de Tieplov
acerca de las capacidades como particularidades psicológicas individuales que
distinguen a unas personas de otras (112: 41). El autor se propone, a partir de la
perspectiva dialéctica – humanista, y en particular del enfoque personológico,
realizar algunas valoraciones acerca de la comprensión de las capacidades y las
implicaciones de la misma a los efectos del proceso de enseñanza – aprendizaje.
Un primer problema fue abordar la naturaleza de las capacidades humanas. En el
propio trabajo de Tieplov se declara que no pueden ser comprendidas como “las
posibilidades congénitas del individuo” (112: 42), apoyándose para ello en el
carácter psíquico de las capacidades y en su comprensión histórica – cultural del
psiquismo.
38
Leóntiev por su parte, considera que “las capacidades son propiedades del
individuo, cuyo conjunto condiciona el éxito en el cumplimiento de determinada
actividad” (60: 45) y plantea que hay dos tipos de capacidades las “naturales, cuya
base es biológica” y las “específicamente humanas, las cuales tienen un origen
histórico – social”. (60: 45)
La separación en dos clases de capacidades por Leóntiev fue criticada por varios
autores, entre ellos por Rubisntein, según el cual la consideración de las
capacidades humanas por factores externos y otras por factores biológicos no
tiene en consideración “la doble naturaleza del hombre” (biológica y social), es, al
decir de Rubinstein, “como si se descompusiera (el hombre) en dos partes ajenas,
aisladas”. (99: 58)
Este autor concuerda con Rubinstein en que la “asimilación de los productos de la
actividad humana por parte del hombre, es la condición necesaria y sustancial del
desarrollo de las capacidades humanas”. (99: 59) Este desarrollo tiene lugar en el
proceso de creación y asimilación por los hombres, de los productos del desarrollo
histórico de la actividad humana.
En esta tesis no se desconoce el papel de las bases naturales o de las aptitudes
en la formación y desarrollo de las capacidades, se reconoce la dialéctica entre esas bases naturales y lo social, siendo esto último lo determinante. El segundo problema en la comprensión de las capacidades tiene que ver con la
determinación de la relación entre lo individual y lo social en el proceso de
formación de las mismas.
En opinión del autor, la formación de capacidades en el hombre tiene carácter
individual, cada individuo asimila la experiencia histórico social de forma
independiente, y el dominio o asimilación de esos productos, es decir las
capacidades se convierten en “verdaderos órganos de su individualidad”. (60: 50)
Ahora bien, la formación de capacidades en el hombre se realiza dentro de un
entorno histórico – social que influye sobre la formación de su personalidad (y de
hecho en la formación de sus capacidades), eso de forma directa constituye el
carácter social del desarrollo de las capacidades en el hombre, en última instancia,
39
ese desarrollo tiene lugar en el proceso de apropiación o dominio “de aquello que
ha sido creado por la sociedad”. (60: 50)
El tercer problema en la comprensión de las capacidades es el relativo a la
determinación de su carácter general o específico (particular).
Según Krutietski en la literatura psicológica se observa la “falta de relación y la
extraordinaria oposición de las capacidades generales y específicas”. En esto se
suscribe en esta tesis el criterio del referido autor al señalar que es necesario
comprender la unidad dialéctica entre las categorías de lo general y lo particular.
(51: 199 – 200)
Las capacidades generales, al ponerse de manifiesto, en el proceso de una
actividad muy específica, “se transforma tanto que, manteniendo su carácter
general por su naturaleza, actúa ya como una capacidad específica. En este
sentido dialéctico es general y específica”. (51: 199) Es decir, que las capacidades
generales pudieran actuar en algunos casos como capacidades específicas.
En esta tesis se entienden por capacidades específicas aquellas que
caracterizan y se manifiestan en una sola actividad social y en el lenguaje propio del contexto en que esta transcurre, esta idea es consecuente con los
postulados ofrecidos por Krutietski. (51)
Analizando las valoraciones realizadas de los tres problemas declarados para la
comprensión de las capacidades, podríamos sintetizarlos en los siguientes
supuestos básicos para nosotros:
1. Las capacidades existen como potencialidades del ser humano.
2. Las capacidades son de naturaleza psicológica.
3. Las capacidades pueden ser generales o específicas.
Teniendo en cuenta además la concepción de personalidad declarada y el criterio
de Rubinstein (99) y de Córdova (17) acerca de que las capacidades están
conformadas desde el punto de vista funcional por dos grandes dimensiones,
“una operacional o instrumental y otra procesal” (99: 51), se está en
condiciones de enunciar una definición operativa y funcional de capacidades: La capacidad es una configuración psicológica (general o específica) predominantemente cognitiva, conformada funcionalmente por dos
40
dimensiones; una operacional o instrumental y otra procesal. El funcionamiento de la configuración condiciona el éxito del hombre en el desempeño de determinada actividad. El término de configuración psíquica integra flexible y funcionalmente las dos
dimensiones funcionales declaradas explícitamente en la definición en la unidad
de lo afectivo y lo cognitivo. De igual manera, al aceptar que es una configuración
psíquica se reconoce la naturaleza sociohistórica de las capacidades en la unidad
dialéctica de lo social y lo individual.
La dimensión procesal comprende los procesos psíquicos que intervienen en la
actuación del sujeto, estos son: memoria, imaginación, pensamiento y
sensopercepción. (99: 62 – 63), (17: 23). La dimensión procesal tiene su salida en
la calidad con que estos procesos transcurren y en lo referido a la
metacognición, esto es “cualquier tipo de manifestación de los conocimientos del
sujeto acerca de sus propios conocimientos relativos a determinado suceso y el
control de su ejecución en el mismo, a través del autoconocimiento, autocontrol,
autoevaluación y la autovaloración”. (16, 7)
La dimensión operacional o instrumental comprende cualquier manifestación
de las ejecuciones del sujeto en los marcos de su actuación (operaciones,
acciones, hábitos, habilidades), esto es lo que se llamará sistema de acciones intelectuales; así como cualquier tipo de manifestación de los conocimientos del
sujeto con relación al entorno en el cual realiza su actuación, eso es lo que se
llamará bases del conocimiento. (16), (17), (99)
II.1.2. El enfoque sistémico para la comprensión de las capacidades. En las últimas décadas las ideas sistémicas han penetrado diversos campos del
quehacer investigativo. Ellas crecieron del intento por “resolver problemas
esenciales en varias esferas de la práctica y la ciencia modernas”. (4: 310 – 313)
Al explicar la definición de personalidad González Rey, F. se refiere a la
configuración como “un sistema dinámico”, y revela la idea de que las diferentes
configuraciones que integran la personalidad se configuran como un sistema. (31:
60) Luego de haber considerado que las capacidades son configuraciones
41
psíquicas, se hace necesario analizar las mismas en el contexto de las ideas
sistémicas.
Según Álvarez, C. un sistema es “un conjunto de elementos en interacción mutua;
una combinación de componentes que se interrelacionan fuertemente entre sí”. (2:
14 – 15) En la concepción actual de los sistemas, no se cumple el criterio atomista
de que el todo es la suma de las partes, todo sistema tiene cualidades generales
que lo diferencian de las características individuales de los componentes que lo
integran. La interacción entre los elementos del sistema le da su cualidad
resultante.
Los elementos que integran los sistemas son los llamados componentes. (4: 310)
“La estructura del sistema es el marco de interacción y organización entre los
componentes que lo integran, ella constituye la característica de mayor estabilidad
del sistema posibilitando que mantenga su integridad, a pesar de los cambios
cuantitativos que se desarrollan dentro de ciertos límites”. (2: 14)
Las relaciones funcionales de un sistema “son el resultado de las conexiones
que se establecen en su estructura” (2: 14); son las que describen el
funcionamiento del sistema.
Como nivel de jerarquía se comprende “los distintos grados en que los sistemas
se pueden ir integrando”. Un sistema puede formar parte de otro de orden mayor
como subsistema, pero los nuevos sistemas que se forman “tienen que cumplir
con los criterios anteriormente apuntados”. (2: 14)
El enfoque de sistema resulta útil para comprender, en el contexto personológico,
el funcionamiento de la regulación motivacional – afectiva y de la regulación
cognitiva – instrumental en las distintas configuraciones psíquicas, en particular en
el caso de las capacidades.
Las capacidades, como configuraciones psíquicas, “tienen una naturaleza
cognitiva – afectiva” (32). Según González Maura, V. los dos sistemas de
regulación (cognitivo y afectivo) conforman una unidad que no constituye una
identidad. Los sistemas se penetran, se influyen recíprocamente, pero no se
reducen el uno al otro. (29)
42
Sin embargo, el estudio o investigación de cualquiera de estos dos sistemas por
separado no constituyen una violación de este principio, pues en la personalidad,
como sistema integral de la unidad de lo afectivo y lo cognitivo cada uno de sus
subsistemas componentes constituyen en si mismos sistemas que reproducen a
menor escala la característica general del sistema; la unidad de lo afectivo y lo
cognitivo.
Esto explica el hecho de que haya configuraciones psicológicas
predominantemente afectivas o cognitivas, sin adulterar la unidad de lo cognitivo y
lo afectivo. La investigación entonces, puede profundizar en alguna de estas
formaciones que representan predominio de una de las dos formas de regulación;
por ejemplo, en los trabajos de González Maura, V. se estudian configuraciones
motivacionales y su salida a la calidad de la ejecución del sujeto.(29)
En este caso, al abordar las capacidades como configuraciones psíquicas
predominantemente cognitivas es preciso a profundizar en el aspecto de la
regulación cognitiva, ello se hará teniendo en cuenta que las capacidades se desarrollan sólo en un ambiente motivado.
II.2. La capacidad para resolver problemas matemáticos.
II.2.1. Los ejercicios y los problemas en el aprendizaje de las matemáticas.
Una de las palabras más usadas en las clases de Matemáticas, y tal vez en todas
las demás asignaturas, es la palabra ejercicio. La mayoría de las veces se
identifica el término con una tarea que se les plantea a los alumnos y a la cual
deben dar solución. Antes de optar por una definición, se revisarán primero
algunas de las definiciones clásicas que aparecen en la literatura:
G.A.Bal, profesor e investigador ruso, miembro correspondiente de la Academia
de Ciencias de Rusia, en su libro "Teoría de ejercicios para el aprendizaje",
editado en 1990, considera que "un ejercicio... es un tipo de tarea específica que
se propone a los estudiantes, generalmente es una tarea que exige de los mismos
la acción mental mas o menos amplia (productiva o reproductiva)" (6: 8).
43
El también profesor e investigador ruso y miembro correspondiente de la
Academia de Ciencias Yu. M. Koliaguin, en su obra "Ejercicios en la enseñanza de
la Matemática", hace referencia a otras definiciones dadas por autores rusos:
-M. Fridman: define el ejercicio como un modelo de signos de la situación
problémica.
-A. N. Leóntiev: considera el ejercicio como el objetivo dado en determinadas
condiciones.
-V. N. Pushkin: plantea que ejercicio es el resultado de una etapa determinada de
la acción mental de la persona. La determinación del grado de dificultad del
ejercicio depende de como fue formulada la situación problémica. (50: 19 - 24).
Como se puede observar, en todas las definiciones mostradas, hay algo en
común, esto es, que cada uno de los diferentes autores, declaran que en un
ejercicio hay determinadas exigencias que se le plantean al alumno, exigencias
para actuar. En algunos casos, se hace referencia al objetivo, en otros al
contenido y en otros a las condiciones para las acciones (exigencias que el
ejercicio presenta a los alumnos, dadas entre otras cosas por el grado de
dificultad). Esto, unido a la diversidad de criterios existentes en torno a qué es un
problema, condujo a aceptar la definición de ejercicio que da Müller, H. en su
trabajo "Aspectos Metodológicos Acerca del Trabajo con Ejercicios en la
Enseñanza de la Matemática" (78: 12).
"Por un ejercicio en la enseñanza de la Matemática se entiende una exigencia
para actuar que es caracterizada por:
-el objetivo de las acciones.
-el contenido de las acciones.
-las condiciones para las acciones."
El objetivo de todas las acciones, en la realización de un ejercicio es transformar
una situación inicial (lo dado) en una situación final (lo buscado) utilizando una
determinada vía de solución.
El contenido de las acciones en la resolución de un ejercicio está caracterizado
por el objeto de las acciones y las acciones que el individuo debe desarrollar para
su solución.
44
Como objetos de las acciones, aparecen en los ejercicios de la enseñanza de la
matemática:
1. Elementos de materia matemática, es decir, definiciones, teoremas y
procedimientos.
2. El vínculo con la práctica.
3. Procedimientos heurísticos.
Como condiciones para las acciones se comprenden las exigencias que el
ejercicio le plantea al alumno y los recursos psíquicos que este posee. Estas
exigencias están dadas por la complejidad de las condiciones, los medios
matemáticos necesarios para la solución o del proceso del pensamiento; o por el
grado de actualidad de los conocimientos necesarios o por la cantidad o extensión
de las operaciones a realizar. Todo esto se expresa en el grado de dificultad del
ejercicio.
Otra dificultad con que se tuvo que lidiar, fue la diversidad de criterios con relación
a la clasificación de los ejercicios, una clasificación puede obtenerse si se
combinan los diferentes tipos de acciones, esta es la clasificación con respecto al
tipo de acciones (ejercicios de identificación, fundamentación, demostración).
Los ejercicios podrían clasificarse también según los complejos de materia que se
imparten (ejercicios sobre grupos, grupos cocientes) o según el grado de dificultad
(ejercicios básicos, ejercicios de diferente grado de dificultad, ejercicios con
carácter de problema).
Como quiera que en cada una de las clasificaciones que se hagan, se hace
necesario referirse a los elementos estructurales que componen el ejercicio
(situación inicial, vía de solución y situación final), el autor considera que la
clasificación que más se acerca a las necesidades y que resulta más operativa es
la que propone Müller, H. (78) y que se expondrá a continuación.
Como se ha planteado, en un ejercicio en la enseñanza de la Matemática se
destacan tres elementos estructurales a saber:
-La situación inicial (si), que son los datos o las premisas que se dan en el mismo.
45
-La vía de solución (vs), que son los diferentes procedimientos o métodos de
demostración y estrategias que son necesarias utilizar para la resolución del
ejercicio.
-La situación final (sf), consistente en los elementos buscados en el ejercicio, o la
tesis.
Cada uno de estos elementos puede ser conocido o desconocido por el
estudiante. En virtud de que existen estas dos variantes, habrá exactamente 23
posibilidades de asignación de la categoría conocido o desconocido a los tres
elementos estructurales del ejercicio, luego, según sea conocido o no cada uno de
los elementos estructurales, hay 8 tipos de ejercicios, se indicará mediante
tripletes de la forma ( si, vs, sf) el tipo de ejercicio, donde cada una de las
coordenadas es un elemento del conjunto {conocido -c-, desconocido -d-}.
1. Ejercicio completamente resuelto. (c, c, c)
2. Ejercicio de determinación de carácter algorítmico. (c, c, d)
3. Ejercicio de demostración o de construcción de un procedimiento. (c, d, c)
4. Ejercicio de deducción o problema de determinación. (c, d, d)
5. Ejercicio inverso del tipo 2. (d, c, c)
6. Ejercicio relacionado con el trabajo hacia atrás o ejercicio inverso del tipo 4.
(d, d, c)
7. Exigencia de formar un ejercicio. (d, c, d)
8. Situación problémica. (d, d, d)
El primer tipo carece de interés por lo trivial de su planteamiento, luego, se
centrará la atención en los restantes siete. Para ilustrar lo que se ha planteado
hasta ahora, se mostrarán algunos ejemplos en el anexo 4, en el mismo aparecen
ejercicios para la Teoría de Grupos (Álgebra IV) y para el Álgebra Lineal (Álgebra
VI).
En los últimos tiempos, en todas las latitudes, ha cobrado fuerzas el interés de los
pedagogos, psicólogos y matemáticos, por el estudio y tratamiento metodológico
de los llamados "problemas" en la enseñanza, por tal razón, cabría preguntarse si
en la clasificación propuesta hace unos instantes están contemplados los referidos
46
problemas. Para ello, se verán en primer lugar, los criterios de algunos
prestigiosos autores sobre el significado del término:
Polya, en su libro ¿Cómo plantear y resolver problemas? identifica los términos
ejercicios y problemas y revela la existencia de 4 tipos de problemas (85):
-Problemas por resolver, cuyo propósito es descubrir cierto objeto, la incógnita del
problema. Los elementos estructurales de este tipo de problemas son la incógnita
(lo buscado), los datos (lo dado), y la condición (la vía de solución).
-Problemas por demostrar, aquí el propósito es "mostrar, de un modo concluyente,
la exactitud o falsedad de una afirmación claramente enunciada". Los elementos
estructurales son aquí la premisa y la conclusión. (Nosotros pudiéramos pensar
incluir también como uno de los elementos estructurales los métodos de
demostración, de tal forma, quedaría que en ambos casos habrían determinadas
condiciones iniciales, determinadas condiciones finales y una o más vías de
solución para el problema).
-Problema de rutina, es todo aquel problema que se puede resolver ya sea
sustituyendo simplemente nuevos datos en el lugar de los de un problema ya
resuelto, ya sea siguiendo paso a paso, sin ninguna originalidad, la traza de algún
viejo ejemplo.
-Problemas prácticos o de aplicación a la práctica.
Luis Dávidson Sanjuán (Matemático y pedagogo): "Un problema representará una
verdadera situación nueva". (87: 1)
Antibi, A (matemático y pedagogo): "Un problema es toda tarea que requiere de
un esfuerzo por parte del alumno para ser resuelta". (5: 23)
Shoenfeld, Alam (matemático y pedagogo): "Se refiere a aquellas cosas que son
verdaderamente problemáticas para las personas que trabajan con ellas, se
asume que estas personas no tienen a mano un procedimiento de rutina para la
solución". (104: 121)
Majmutov, M.I. (pedagogo): "El problema es una forma subjetiva de expresar la
necesidad de desarrollar el conocimiento científico" (67: 58)
47
Rubistein, S.L. (psicólogo): "Un problema tiene ese carácter, ante todo porque nos
presenta puntos desconocidos en los que es necesario poner lo que falta". (98:
24)
de Galiano, Tomás (lingüista): "Problema: Proposición que se formula para, a
partir de ciertos datos conocidos, hallar el valor numérico o resultado
correspondiente a la cuestión o pregunta planteada". (19: 835)
Según esto, para todos los autores citados, un ejercicio del tipo 4 sería un
problema. No obstante, si se analizan las analogías entre las diferentes
definiciones mostradas, se puede concluir que, un ejercicio es un problema si y sólo si la vía de solución es desconocida para la persona. Esta será la definición de problema que se empleará en lo adelante. Es decir, que por ejemplo, un ejercicio del tipo 2 (c, c, d) puede constituir un
problema para algunas personas y no para otras, en dependencia de que se
recuerde o no el algoritmo para resolverlo.
De esta forma se ha definido el término problema como un objeto de la enseñanza – aprendizaje de la Matemática, otro aspecto bien diferente es lo
relativo a la resolución de esos problemas por las personas, proceso este que le
corresponde un análisis psicopedagógico.
II.2.2. La resolución de problemas como una capacidad, indicadores para caracterizarla.
El desarrollo de la habilidad para calcular el conjunto solución de un sistema de
ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación de Gauss, puede lograrse
dentro de los marcos de un tema o de una asignatura, pues de hecho es suficiente
el dominio de un algoritmo y esto se logra con una adecuada elaboración del
mismo y su correspondiente fijación. Las capacidades por su estructura y
naturaleza “se desarrollan más lentamente que la adquisición de conocimientos,
hábitos y habilidades”. (88: 438)
El autor es del criterio que, diferenciar la resolución de problemas matemáticos
como una capacidad (y no como conocimiento, hábito o habilidad), condiciona de
hecho la concepción de la enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas
matemáticos en la escuela. Las capacidades “aunque dependen de los
48
conocimientos, hábitos y habilidades, no se reducen a ellos... son cualidades más
estables de la personalidad”. (88: 438)
En este epígrafe se mostrará que la posibilidad de las personas de resolver
problemas matemáticos es una capacidad específica que se desarrolla en el
individuo en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la matemática.
Para la caracterización de la resolución de problemas matemáticos como una capacidad, se centró la atención en las propiedades esenciales declaradas en la
definición de capacidad aceptada en esta tesis:
1. La resolución de problemas matemáticos es una configuración psíquica específica predominantemente cognitiva. Para comprender el hecho de que la resolución de problemas es una
configuración psíquica es necesario analizar el proceso que transcurre desde que una persona se enfrenta a un problema hasta que lo soluciona y valora la respuesta que da al mismo, esto es a lo que se le denominará el proceso de resolución de problemas. Cuando el sujeto se enfrenta a un problema, inmediatamente la regulación
psíquica comienza a funcionar, en la unidad de lo afectivo y lo cognitivo, en las
dos dimensiones funcionales.
En el trabajo titulado “Viaje por la mente hasta la resolución de un problema” (63)
el autor de esta tesis describe un experimento realizado con expertos donde se
constató que al enfrentarse al problema el individuo lo lee (generalmente en más
de una ocasión) con el propósito de comprender el problema, es decir, tratando
de encontrar una orientación con respecto al contexto de actuación.
Para que el proceso funcione, en estos momentos es necesario que la persona
esté motivada para seguir, es decir, tiene que manifestar determinada disposición
para acometer la tarea. El mecanismo explicativo de dicha disposición puede ser
comprendido como el surgimiento de una contradicción entre sus conocimientos y
las exigencias del problema como tal, esto es lo que hace que se proponga el
objetivo de resolverlo (7: 99 – 112), pero esa contradicción sólo podrá aparecer en
el proceso de enseñanza – aprendizaje si el estudiante ha “adquirido conciencia
de la necesidad de aprender, de comprender” (7: 99) y está dispuesto a hacerlo.
49
En este momento, y en el proceso de la búsqueda de esa orientación comienza a
realizar el análisis del problema, diferenciando y relacionando lo dado y lo
buscado, tratando de encontrar los elementos cognitivos que le permitirán resolver
el mismo; realizando la búsqueda en memoria de la información necesaria para
procesar los elementos derivados del análisis y las relaciones establecidas entre
lo dado y lo buscado, así como los razonamientos necesarios en todo el proceso.
Es en el transcurso de este que el individuo precisa el sistema de acciones
necesarias para la solución del problema.
A estas alturas el sujeto tiene determinado el sistema de acciones a ejecutar para
solucionar el problema, es decir, ha determinado una vía de solución para el
mismo y sólo le resta ejecutar el sistema de operaciones que conforman cada una
de esas acciones y darle respuesta al problema. Dicho en otras palabras,
solucionar el problema es darle cumplimiento al objetivo de todas las acciones
que lo caracteriza como un ejercicio en la enseñanza de la matemática.
Por último, la persona deberá evaluar la solución hallada, valorando su validez,
calidad e incorporando a sus conocimientos las estrategias utilizadas por él al
solucionarlo.
Es decir, que en el proceso de resolver un problema matemático el sujeto debe
ejecutar cuatro acciones: comprender el problema, analizar el problema, solucionar el problema y evaluar la solución del problema. Sobre este
particular existe consenso en la literatura consultada (7), (85), (54), (45), (9), (23),
(51), (122), (101), (102), (14), (77); algunos autores consideran que son etapas,
otros consideran que un modelo y otros hablan de acciones, nosotros producto del
enfoque personológico lo aceptamos como acciones que ejecuta el sujeto con sus
correspondientes operaciones.
Esas acciones no se ejecutan aisladamente, sino interrelacionadas unas con
otras, como se ha dicho, en la unidad de lo afectivo y lo cognitivo. Para la
realización de esas acciones, que están incluidas en la dimensión instrumental,
intervienen los procesos psíquicos y se ponen de manifiesto los conocimientos
del sujeto acerca de sus propios conocimientos, el autocontrol, la autovaloración y
la autoevaluación, es decir, la metacognición. (52)
50
O sea, que en el proceso de resolución de un problema matemático se integran
ambas dimensiones, en tal sentido es un sistema dinámico, una configuración
psíquica.
Otra característica inherente a esta configuración psíquica es su vinculación con
otras configuraciones, por ejemplo, ya se ha hablado en esta tesis de la
motivación.
La capacidad para plantearse y formular problemas también está estrechamente
vinculada con la que nos ocupa, al respecto se señala que “no se trata sólo de
enseñar a resolver problemas, sino también de enseñar a plantearse problemas, a
convertir la realidad en un problema que merece ser indagado y estudiado” (108:
16), a juicio del autor, es cierto que el desarrollo de la Matemática históricamente
ha estado ligado a la resolución de problemas, al punto que para algunos “hacer
Matemática es resolver problemas” (23: 52), pero esos problemas primero tuvieron
que ser reconocidos y enunciados, y en la mayoría de los casos las personas que
fueron capaces de resolverlos fueron las mismas que los encontraron.
La propia idea del desarrollo histórico de la Matemática como ciencia conduce a
pensar en el carácter específico de esta capacidad en el entorno del proceso de
enseñanza – aprendizaje de la Matemática.
En tal sentido, muchos autores consideran la resolución de problemas como una
capacidad general (98), (109), (16), pero a partir del análisis hecho por Kutrietski
acerca de que “las capacidades... generales pueden actuar como capacidades
específicas” y de que “existen todas las bases para hablar precisamente de
capacidades específicas y no sobre las capacidades generales que sólo se
reflejan de manera peculiar en la actividad matemática” (51: 199) se puede afirmar
que la resolución de problemas es una capacidad específica.
Por ese carácter específico, las operaciones propiamente matemáticas inherentes
a cada una de las cuatro acciones declaradas no pueden describirse de forma
general, las mismas dependerán del propio contexto matemático específico, en un
problema de aritmética las operaciones matemáticas no son las mismas que en
uno geométrico.
51
Por último, haciendo referencia a la unidad dialéctica entre lo individual y lo social
en la comprensión de la resolución de problemas matemáticos como una
configuración psíquica específica, se puede plantear que, lo social, entendido
como los productos de la actividad de los hombres, se sintetiza en aceptar las
cuatro acciones declaradas para la resolución de problemas.
Lo individual por su parte, se pone de manifiesto al comprender que la
interiorización de las cuatro acciones es un proceso inherente a cada sujeto,
donde cada cual pondrá de manifiesto sus aptitudes, sus conocimientos, sus
hábitos y habilidades, en fin, su propio desarrollo actual, y puede ocurrir que
algunas de esas acciones (por ejemplo, la comprensión y el análisis) tiendan a
confundirse unas con otras. (55)
Por otra parte, si se tiene en cuenta la influencia de las características personales
del sujeto, el conocimiento de base que el mismo posee y la propia flexibilidad del
pensamiento que debe caracterizar el proceso de resolver un problema, es fácil in-
ferir que, las cuatro acciones para la resolución de un problema pueden estar
conformadas por diferentes operaciones, en dependencia del sujeto.
Por ejemplo, si se considera el siguiente problema:
"Pruebe que, en un triángulo rectángulo, el lado que se opone al ángulo de 30° es
la mitad de la hipotenusa".
Un estudiante de 7° grado para su solución deberá concebir la solución sobre la
base sólo de los elementos que le proporciona como conocimiento las relaciones
entre ángulos y ángulos entre paralelas y los conocimientos sobre triángulos
(suma de ángulos interiores, clasificación); sin embargo, un estudiante de 9° grado
que conozca las relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo podría
resolver el problema con mucha más facilidad.
2. La resolución de problemas matemáticos está conformada funcionalmente por dos dimensiones: una procesal y otra instrumental u operacional. La dimensión procesal de la capacidad para resolver problemas matemáticos
comprende los procesos psíquicos que intervienen en el proceso de resolución de
los problemas, por ser esta una actividad intelectual, los procesos que intervienen
52
en ella son predominantemente cognitivos, aunque, como ya ha sido abordado,
intervienen otros procesos emocionales y volitivos, pero en unidad dialéctica.
Como diría Rubinstein, “no se trata de que el pensamiento y por ejemplos las
emociones se encuentren en una unidad y en relación recíproca, sino que el
pensamiento mismo, como proceso psíquico real, ya representa una unidad de lo
intelectual y lo emocional”. (97: 208)
Los procesos psíquicos intelectuales que predominantemente intervienen en la
resolución de problemas matemáticos son, como se ha dicho de manera general
para las capacidades: memoria, imaginación, pensamiento y sensopercepción.
(98), (17) Con el propósito de caracterizar la dimensión procesal en esta tesis
tomamos como referencia el criterio de S. L. Rubinstein acerca de que para el
estudio de las capacidades es necesario abordar “la calidad de los procesos
mediante los cuales se regula el funcionamiento de estas operaciones” – se refiere
a las operaciones a través de las cuales el sujeto desarrolla la actividad
correspondiente – (99: 63). Esto condujo a aceptar como un primer indicador de
esta dimensión la calidad procesal. La calidad procesal, como su nombre lo indica, “expresa la caracterización
cualitativa de las acciones intelectuales, por ende, de los procesos sobre cuya
base estas transcurren”(17: 23), para caracterizarla se utilizó un grupo de
indicadores propuestos por las profesoras Doris Castellanos y María Dolores
Córdova (16) y utilizados posteriormente por la última en su tesis doctoral (17),
estos son:
Independencia: Es la posibilidad de cada sujeto de seguir una línea propia de
pensamiento y modos de procesamientos autónomos. Está relacionado con los
diferentes niveles de ayuda y con el tipo de orientación que cada sujeto necesita.
Originalidad: se expresa por la cantidad de ideas y de opciones inusuales, no
comunes, que el sujeto puede ofrecer y generar ante un hecho, situación,
problema; por la posibilidad de elaborar soluciones, estrategias y productos
novedosos.
Fluidez: se expresa en el número de ideas o producciones que el sujeto pueda
generar o utilizar en un contexto determinado.
53
Flexibilidad: se expresa en la variedad de recursos que el sujeto es capaz de
emplear en las situaciones que enfrente, en su posibilidad de generar diferentes
alternativas de solución a los problemas, diferentes modos de contemplar un
fenómeno; en la posibilidad de modificar el rumbo de su actividad intelectual
cuando la situación lo requiere.
Elaboración: se evidencia en la posibilidad para producir gran cantidad de
riqueza de detalles en el análisis de una idea o situación, de llevar hasta las
últimas consecuencias la elaboración de un proyecto o de una idea desarrollada,
clarificándola, expandiéndola, descubriendo deficiencias, realizando redefiniciones
sobre esta base.
Logicidad: se manifiesta en la posibilidad de seguir un orden lógico, sin saltos
arbitrarios, en la sistémica del procesamiento de determinada información.
Profundidad: se refiere a las posibilidades de penetración en la esencia de los
hechos, fenómenos, situaciones, buscando generalizaciones, leyes, regularidades;
a la tendencia a buscar lo relevante haciendo abstracción de lo que no es
significativo.
Productividad: se comprende como el equilibrio relativo entre la velocidad del
procesamiento de la información y de solución y ejecución de las tareas, y la
adecuación, precisión y la calidad que se va logrando en las mismas.
Las dos primeras independencia y originalidad, responden en primer lugar a la
necesidad de valorar cualitativamente la naturaleza individual de la resolución de
problemas matemáticos, las restantes seis están en concordancia con la
estructura de las capacidades matemáticas descritas por Kutrietski (51: 196) y
permiten acercarse a la calidad con que transcurren los procesos en la actuación
descrita por ese autor.
El otro indicador para caracterizar la dimensión procesal es la metacognición. Esta
incluye dos aspectos que se consideran claves para la resolución de problemas
matemáticos: el metaconocimiento y el control ejecutivo.
Metaconocimiento: entendido como el "conocimiento acerca del conocimiento",
es decir, el conocimiento y conciencia que el sujeto tiene de las estrategias utili-
zadas, de los lados fuertes y débiles de su ejecución, preferencias o tendencias a
54
un determinado estilo o modalidad de procesamiento, y de sus posibilidades
intelectuales, así como el grado de conciencia acerca de la tarea que realiza, sus
condiciones, prerrequisitos, exigencias y los obstáculos involucrados.
Control ejecutivo: está dado por el dominio y uso efectivo de la planificación,
supervisión, corrección, comprobación, evaluación y los procesos que caracterizan
el control y autorregulación de la actividad que se realiza.
Estos indicadores responden a la necesidad de valorar la autorregulación de la
actividad intelectual en cuestión y el carácter consciente del proceso de resolución
de problemas (26), (110), (18).
Por otra parte, la función reguladora de la metacognición expresa además el
carácter sistémico de la capacidad para resolver problemas matemáticos pues en
ella aparecen relacionados los diversos componentes que intervienen, sobre esto
Labarrere, A. señala que “... la función reguladora de la metacognición se apoya,
fundamentalmente, en el conjunto de conocimientos que el sujeto ha asimilado y
forma parte de su experiencia individual; estos conocimientos son puestos en
funcionamiento por el sujeto mediante la realización de un conjunto de acciones
específicas para la actividad y de carácter general que van monitoreando el
proceso que está teniendo lugar y determinando su correspondencia con fines,
objetivos, condiciones”. (52: 99)
La dimensión operacional incluye como un primer indicador que la caracteriza el
sistema de acciones intelectuales que el sujeto tiene que ejecutar para resolver
un problema matemático. Esas acciones, que fueron declaradas en esta tesis al
analizar la resolución de problemas matemáticos, son a saber:
1. Comprender el problema. 2. Analizar el problema. 3. Solucionar el problema. 4. Evaluar la solución del problema. Estas cuatro acciones serán consideradas los subindicadores que conforman el
sistema de acciones intelectuales. Para la operacionalización de cada una de estas acciones se enfrentó al ya
descrito problema de la imposibilidad de incluir las operaciones propiamente
55
matemáticas a realizar para resolver cualquier problema, fue por ello que, a partir
de la idea de Rubinstein acerca de que “toda operación... siempre se basa en
determinadas relaciones” y que “la generalización de estas relaciones y, por tanto,
la distinción de estas y su análisis, constituyen la condición necesaria del
funcionamiento exitoso de las operaciones que se apoyan en ellas” (99: 61) se
decidió considerar las operaciones generales y básicas siguientes: Analizar,
Relacionar Sintetizar, Generalizar, Valorar, Aplicar, Tomar decisiones. (17:. 26 –
27) (ver anexo 5)
Estas operaciones de carácter general formarán parte de los respectivos sistemas
de operaciones para cada una de las acciones para la resolución de problemas
matemáticos, ahora bien, estas operaciones serán ejecutadas sobre la base del
conocimiento matemático y se tendrán a su vez que ejecutar otras específicas de
la matemática, como operaciones de esta índole se aceptan las descritas por la
Hernández, H. en su tesis doctoral como sistema básico de habilidades
matemáticas (41), estas son: Interpretar, identificar, recodificar, calcular,
algoritmizar, graficar, definir, fundamentar, demostrar. (anexo 6)
Las operaciones a ejecutar en cada una de las acciones en la resolución de
problemas matemáticos son las siguientes:
Comprender el problema.
Para la comprensión del problema el sujeto tendrá que:
Analizar, a partir de la lectura detallada del problema, separando lo dado de lo
buscado, para lograr hallar alguna palabra clave u otro recurso que permita
encontrar una adecuada orientación en el contexto de actuación.
Relacionar los elementos previamente analizados para expresar el problema con
sus palabras o con un sistema simbólico abreviado o realizando una figura de
análisis, construyendo una tabla o elaborando cualquier medio que sirva para
modelar el texto. También podrá establecer analogías entre el problema y otros
problemas o entre los conceptos y juicios que aparecen en el texto y otros
conceptos y juicios incorporados al saber del individuo, o transferir el problema de
un contexto a otro.
56
Para la realización de esta acción el sujeto deberá ejecutar operaciones propias
del contexto matemático en el que está enunciado el problema.
Analizar el problema. Para la realización de esta acción el sujeto deberá:
Analizar nuevamente el problema para encontrar relaciones, precisando con
exactitud lo dado y lo buscado, interpretando el significado de los elementos
dados y buscados, y profundizando en lo relativo al conocimiento necesario para
resolver el problema.
Relacionar los elementos dados y los buscados o estos con otros que puedan
sustituirlos en el contexto de actuación, realizando inferencias de proposiciones
dadas en el problema o conocidas de antemano, establecer relaciones entre los
elementos disponibles en la memoria y los elementos del problema o entre la
situación planteada y otras semejantes, más generales o particulares.
Sintetizar relacionando lo dado y lo buscado y otros elementos conocidos, para
determinar los elementos y relaciones que son esenciales para la solución del
problema.
Generalizar las propiedades comunes a casos particulares que constituyen
elementos integradores para la solución del problema, mediante la comparación
de estos sobre la base de la distinción de las cualidades relevantes y significativas
de las que no lo son.
Valorar a través de la evaluación crítica de los pasos dados en pos de la
búsqueda de una solución.
Aplicar, toda la información acumulada, así como su experiencia en la
determinación de la vía de solución del problema.
Tomar decisiones, al tener que comparar diferentes estrategias y procedimientos
para escoger el más adecuado a la tarea a realizar.
Para la realización de esta acción el sujeto deberá ejecutar operaciones propias
del contexto matemático en el que está enunciado el problema.
Solucionar el problema. Para la realización de esta acción el sujeto deberá ejecutar las siguientes
operaciones:
57
Sintetizar, al unificar los elementos separados en el análisis del problema para
poder escribir la solución del mismo, considerando sólo aquellas propiedades que
son necesarias o suficientes para la solución, puede también sintetizar al
reconstruir la solución del problema cuando utiliza la estrategia de trabajo hacia
atrás.
Aplicar, utilizando los elementos obtenidos en el análisis del problema en la
solución del mismo.
Para la realización de esta acción el sujeto deberá ejecutar operaciones propias
del contexto matemático en el que está enunciado el problema.
Evaluar la solución del problema. Para la realización de esta acción el sujeto deberá:
Relacionar la solución hallada con las exigencias planteadas en el texto del
problema para determinar si la misma es apropiada.
Analizar la solución planteada, contemplando diferentes variantes para
determinar si es posible encontrar otra solución.
Sintetizar el análisis realizado determinando otra solución para el problema.
Valorar críticamente el trabajo realizado, determinando cuál solución es la más
racional.
Tomar decisiones, al decidir cuáles son los procedimientos más apropiados para
solucionar el problema.
Para la realización de esta acción el sujeto deberá ejecutar operaciones propias
del contexto matemático en el que está enunciado el problema.
El segundo indicador que caracteriza la dimensión instrumental es el de Bases de conocimientos, como subindicadores para su caracterización se aceptan aquí los
siguientes (16):
Volumen: entendido como la riqueza de conocimientos sobre una o más áreas
pero fundamentalmente el nivel de conocimientos generales que posee el sujeto.
Especialización: considerada como el nivel de profundidad y solidez de la
información que se posea en un área determinada, dada por las características
cuantitativas y por la posibilidad de penetrar en nexos multilaterales que captan
58
las leyes y núcleos esenciales de un campo del saber o en una esfera de la
actividad.
Organización: comprendida como el nivel de estructuración y sistematización de
los conocimientos; el poder relacionar los nuevos sistemas de información con los
viejos, y el consecuente poder de los mismos para ser utilizados en realizar
transferencias y generar nuevas hipótesis e información a partir de la existente.
En el anexo 1 hemos incluido un resumen de la estructura de la capacidad para
resolver problemas matemáticos.
El estudio realizado de la resolución de problemas matemáticos como una
configuración psíquica específica y de la estructura de la misma, permite afirmar
que, funcionalmente: La resolución de problemas matemáticos es una capacidad específica que se desarrolla a través del proceso de enseñanza – aprendizaje de la matemática y que se configura en la personalidad del individuo al sistematizar, con determinada calidad y haciendo uso de la metacognición, acciones y conocimientos que participan en la resolución de estos problemas. Un último aspecto a discutir sobre la caracterización hecha de la capacidad para
resolver problemas matemáticos es acerca de su carácter lineal o no lineal.
La supuesta linealidad del análisis podría inferirse sólo de la descripción del
indicador “sistema de acciones intelectuales” de la dimensión operacional o
instrumental.
Lo primero a considerar en esa inferencia es que se trata de un sistema de
acciones, no de pasos para resolver un problema. Por ejemplo, la acción de
“evaluar la solución del problema”, donde se pone de manifiesto la función
reguladora de la metacognición con especial énfasis, puede irse realizando a lo
largo de todo el proceso, el sujeto debe irse cuestionando su proceder desde que
intenta comprender el problema hasta que lo resuelve.
De forma análoga, podría intentar buscar la vía de solución en la medida en que
va comprendiendo el problema; aún cuando esto, a juicio de este autor no sea lo
más feliz.
59
En cualquier caso, como se ha tratado de mostrar, depende de la individualidad de
cada sujeto y de cómo se enseñe a resolver los problemas matemáticos.
La segunda consideración respecto a la linealidad tiene que ver con el carácter
contradictorio de esa suposición al enfrentarse a la descripción realizada en esta
tesis de la dimensión procesal. Los procesos psíquicos que intervienen en la
resolución de problemas, por su naturaleza psíquica, no pueden ser lineales. (98).
La tercera consideración es que, si se tratara de un sistema lineal estaríamos en
presencia de un algoritmo general para resolver problemas matemáticos, lo cual,
como se ha visto, es imposible.
II.2.3. Metodología para evaluar el estado de la capacidad para resolver problemas matemáticos.
La puesta en práctica de los presupuestos teóricos abordados en el estudio de la
capacidad para resolver problemas matemáticos, implica elaborar una
metodología para la evaluación de la capacidad resolverlos centrada en la
valoración de la actuación del estudiante al enfrentarse a esa actividad.
En esta valoración se han utilizado los cuatro indicadores descritos para las dos
dimensiones que conforman funcionalmente la capacidad para resolver problemas
matemáticos:
-Sistema de acciones intelectuales. -Calidad procesal. -Bases de conocimientos. -Metacognición. Para la evaluación del sistema de acciones intelectuales se deben utilizar la
prueba pedagógica y la técnica del pensar en voz alta.
La prueba pedagógica puede conformarse sobre la base de dos preguntas, la
primera de ellas para recoger información acerca del conocimiento matemático de
que disponen los estudiantes para resolver los problemas. La segunda para
evaluar la capacidad del alumno para resolver problemas.
En el desarrollo de la prueba se debe controlar también el tiempo que invierte
cada sujeto en culminar la misma.
60
Esta prueba debe estar concebida de modo que de su ejecución se pueda inferir
información atinente a la calidad procesal mediante los indicadores propuestos
para ello.
La técnica del pensar en voz alta tiene carácter individual y utiliza como
instrumentos papel y lápiz. En el papel se da un problema que el alumno tratará
de resolver en voz alta pero haciendo las anotaciones que desee, la consigna
debe insistir en que el sujeto exprese en cada momento sus ideas.
La guía para la aplicación de la técnica del pensar en voz alta debe incluir una
lista de problemas de los que se selecciona uno al azar para cada estudiante. Los
resultados serán registrados por el entrevistador en relación con los cuatro
indicadores sobre los cuales está concebida la aplicación de la técnica. El
entrevistador debe registrar además las expresiones verbales del estudiante
acerca de su razonamiento en la solución del problema lo que permitirá interpretar
las manifestaciones de la metacognición.
El análisis integrado de ambos instrumentos es condición necesaria para obtener
información confiable acerca de la instrumentación ejecutora, ya que, por ejemplo,
la constatación de la ejecución en el caso de la primera acción (comprender el
problema) es imposible realizarla mediante la prueba pedagógica y se requiere
que el alumno exteriorice su proceder por medio del lenguaje oral.
Para el análisis de los resultados se debe elaborar una clave de calificación en
una escala analítica-sintética de tres valores 0 (bajo), 1 (Medio), 2 (Alto); como se
muestra en el anexo 8.
Los resultados obtenidos en la escala analítica-sintética anteriormente descrita se
tabulan alumno por alumno en un modelo (anexo 9). La decisión del resultado final
en cada operación y a su vez, para cada una de las cuatro acciones, se toma
valorando la ubicación alcanzada en ambos instrumentos, pudiendo ser el
promedio de los valores primarios.
En la descripción de la estructura de la capacidad para resolver problemas
matemáticos se hizo explícito el hecho de que en la valoración de cada una de las
acciones subyacen operaciones propias de la Matemática y que conforman dicha
61
instrumentación, estas quedan reveladas implícitamente al elaborar la clave para
la calificación en la escala analítico-sintética que aparece descrita en el anexo 8.
Para la evaluación de la calidad procesal se tuvieron en cuenta los
subindicadores planteados y se sigue la siguiente metodología incluida en el
anexo23.
Para la evaluación de las bases de conocimientos se utilizaron los tres indicadores
planteados en el trabajo. La clave elaborada para la evaluación del estado
cognitivo quedó estructurada como aparece en el anexo 23.
El cuestionario para la evaluación del metaconocimiento (anexo 11) está
compuesto por 9 preguntas combinadas entre cerradas y abiertas y su función
dentro de la constatación complementa los resultados de la prueba pedagógica y
la técnica del pensar en voz alta a través de la valoración de dos indicadores de la
metacognición: metaconocimiento y control ejecutivo. La clave de calificación
utilizada aparece descrita en el anexo 23.
II.3. Propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas matemáticos.
En este epígrafe se concretan los resultados teóricos de la perspectiva dialéctica –
humanista y de los enfoques personológico y sistémico en una propuesta
metodológica para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas
matemáticos
II.3.1. Implicaciones de la perspectiva dialéctica – humanista para el proceso de enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos. El proceso de enseñanza – aprendizaje, como parte del proceso docente –
educativo, “en el que a su vez moran también los componentes de este” es
también un proceso complejo (2: 42). Los componentes de este proceso son: el
problema, el alumno, el profesor, los objetivos, el contenido, los métodos, las
formas de organización, los medios de enseñanza y la evaluación. (2: 41), (55: 29
– 30)
En lo adelante se analizará con más detalle los diferentes componentes del
proceso, no se incluyen las formas de organización y los medios. Las formas de
62
organización para la Educación Superior en Cuba aparecen descritas en el
Reglamento Docente Metodológico; sobre los medios de enseñanza, producto de
las actuales situaciones económicas decidimos no profundizar y aceptar los
medios tradicionales.
El problema. En casi ninguno de los textos consultados aparece considerada la categoría
problema como un componente del proceso de enseñanza – aprendizaje.
Alvarez, C. señala que “el problema es un punto de partida para diseñar el
proceso docente – educativo” (2: 44), planteamiento que es consecuente con la
comprensión del proceso de enseñanza – aprendizaje de este autor.
Es casi unánimemente aceptado que para la planificación de la enseñanza y del
aprendizaje hay que conocer las dificultades de los estudiantes, sus necesidades.
En sentido general, desde el punto de vista didáctico el problema se entiende
como ”la situación de un objeto que genera una necesidad en el sujeto que
desarrolla un proceso para su transformación”. (2: 35)
El detectar problemas por el profesor le permite plantear objetivos que le indiquen
el fin a perseguir y facilitarle a los alumnos que también se planteen los suyos, a
través del logro de los objetivos “se puede transformar el objeto y satisfacer las
necesidades resolviendo el problema”. (2: 35)
El problema determina los objetivos, y estos a su vez los contenidos a abordar, es
a partir de los objetivos y del contenido que se determinan los restantes
componentes (métodos, medios, formas de organización y la evaluación).
De igual forma, el problema influye sobre el profesor y el estudiante, pues el que
guía la regulación psíquica tanto cognitiva como afectiva.
El estudiante. Este es en realidad el componente principal de la propuesta, sin su participación
nada tendría sentido. Él está provisto de personalidad que como se ha dicho
construye y autorregula en el contexto de la actividad y la comunicación.
Es el estudiante el que construye el conocimiento para sí, el que emplea sus
diferentes recursos para aprender y sobre el que deben ejercer su influencia los
diferentes componentes de la propuesta y él mismo.
63
A los efectos del aprendizaje el autor es del criterio de que todo estudiante normal
tiene potencialidades para aprender, que este aprendizaje depende de él mismo y
de la influencia del medio, en especial de los profesores y del colectivo de
estudiantes.
Los siguientes aspectos pueden caracterizar al estudiante en el proceso de
enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos:
− Debe ser protagonista del proceso, no un simple espectador. (2: 123)
− Asume su propio aprendizaje y se responsabiliza con el. (2: 123)
− Participa activamente en todos los momentos que propician un aprendizaje
eficaz. (111: 169)
− Resuelve problemas matemáticos independientemente y con ayuda del
colectivo.
− Participa en la discusión de la solución de problemas con sus colegas y con el
profesor.
− Se plantea problemas matemáticos a sí mismo y a otras personas; estos
problemas pueden surgir del contexto del aprendizaje o de otros contextos
matemáticos, pudiendo ser elaborados por él mismo.
− Conoce sus deficiencias y limitaciones para el aprendizaje y desarrolla la
autovaloración de su trabajo.
− Participa en la evaluación de sí mismo y de sus colegas.
El Profesor. En la práctica profesional de 22 años, 14 de ellos dedicados a la formación de
profesores de Matemática el autor de esta tesis se ha preguntado varias veces
cuáles son los aspectos que deben caracterizar a un profesor de Matemática.
El modelo del profesional, resultado del trabajo de un gran equipo de
investigación del que formó parte este autor, intenta responder a la anterior
pregunta; no obstante, en esta tesis se quiere dejar constancia de la comprensión
del modelo, declarando en apretada síntesis cuáles son las características del
profesor de Matemática que más se avienen a la concepción de enseñanza -
aprendizaje declarada en la fundamentación teórica y utilizada en el resto del
trabajo:
64
− Debe ser un revolucionario cabal. Esta condición refleja el humanismo del
ser, pues para ser un revolucionario cabal es necesario confiar en la especie
humana, creer en el hombre y en sus posibilidades de aprender del conocimiento
de otros hombres y de sí mismo. Sólo un revolucionario verdadero podrá servir de
modelo de actuación y de guía para la formación de valores en los jóvenes en el
contexto educacional de la revolución cubana.
− Debe amar su profesión. Al decir del poeta “sólo el amor engendra la
maravilla”, para poder conducir el aprendizaje de los jóvenes es necesario
experimentar realizaciones personales al hacerlo, esto es, hacerlo con gusto,
porque, como dijera el apóstol “... es una obra de infinito amor”.
− Debe poseer sólidos conocimientos matemáticos mucho más allá de los contenidos curriculares. Ningún profesor puede pretender que sus alumnos
aprendan lo que él no sabe, además tiene que saber para qué sirve lo que
enseña.
− Debe poseer conocimientos de la Psicología del aprendizaje y las didácticas general y especial. Estos conocimientos permitirán la búsqueda de
los métodos instructivos y educativos más apropiados para el aprendizaje de sus
alumnos.
− Debe poseer una vasta cultura general. El profesor debe ser un incansable
lector, investigador y estudioso, no sólo de la Matemática, su Historia, su
Epistemología y su Didáctica, sino también de temas de la cultura en general, de
la historia de su país y de la humanidad.
− Debe poseer habilidades comunicativas y para el manejo de la dinámica del grupo. Un profesor con estas características estará en mejores condiciones de facilitar las
relaciones interpersonales propicias para hacer matemáticas y establecer la
adecuada comunicación entre los implicados.
Al profesor le corresponde determinar los métodos más eficaces para contribuir al
desarrollo de la capacidad para resolver problemas.
Los siguientes aspectos pueden caracterizar el proceder del profesor el proceso
de enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos:
65
− Ayudar a los estudiantes a que acepten los retos que exige resolver problemas
matemáticos
− Crear una atmósfera de confianza, seguridad y empatía.
− Permitir que los estudiantes seleccionen e implementen sus propios caminos
de solución y ayudarlos sólo cuando sea necesario.
− Servir de modelo en la búsqueda y aplicación de estrategias efectivas para la
resolución de problemas.
− Ser auténtico. Manifestarse tal cual es, como una persona que puede
equivocarse.
− Facilitar la expresión y comunicación de ideas mediante la resolución de
problemas en grupo, las propuestas en común y las discusiones. Actuar como
moderador y facilitador.
− Propiciar la participación de todos los miembros del grupo, animando a los más
pasivos y cuidando que ninguno monopolice la participación. No inhibir ni polarizar
la discusión.
− Evitar que se desechen ideas irreflexivamente, favorecer que se profundice en
ellas. Emplear el error con fines educativos.
− Diagnosticar dificultades en el aprendizaje de sus alumnos y sobre la base de
ellas concebir el proceso de enseñanza – aprendizaje.
− Propiciar la evaluación grupal y la autoevaluación de sus estudiantes.
El Objetivo. En el proceso de enseñanza – aprendizaje el objetivo es “el propósito, la
aspiración que el sujeto se propone alcanzar en el proceso para que, una vez
transformado, satisfaga sus necesidades y resuelva el problema”. (2: 35)
“Los objetivos constituyen los fines o resultados previamente concebidos a lograr
en los estudiantes y condicionan la actividad pedagógica de profesores y alumnos
para alcanzar los cambios esperados con la efectividad necesaria; rigen el
desenvolvimiento de las siguientes categorías del proceso” (111).
Al analizar las diferentes clasificaciones de los objetivos, se encontró que, por
ejemplo, en el libro de Pedagogía de autores cubanos se ofrece caracterización de
objetivos de enseñanza y objetivos educativos (80: 223 – 226). Sin embargo, en
66
el propio libro se dice que “resulta imposible hacer una diferenciación radical de
unos objetivos que pertenezcan únicamente al dominio de la enseñanza y otros
que sean propios de la educación”. (80: 221)
En el libro de Metodología de la Enseñanza de la Matemática I se hace una
clasificación de los objetivos en: los objetivos en el campo del saber y el poder, los
objetivos en el campo del desarrollo intelectual y los objetivos en el campo de la
educación ideológica (7: 16 – 17), aclarando inmediatamente que una división de
este tipo “sólo tiene sentido para profundizar en el análisis de los objetivos
planteados a la enseñanza de la matemática” y que “ en la práctica, es a través de
la adquisición del saber y la formación y el desarrollo del poder matemáticos que
se contribuye a la formación intelectual y a la educación ideológica de los
alumnos”. (7: 16 - 17)
Este autor opina que, clasificar los objetivos en cualquiera de estas variantes
puede ser útil para un plan de estudios o un programa de disciplina, pero para una
asignatura, tema o clase no resulta operativo.
El objetivo conlleva explícitamente al desarrollo del estudiante, y en este, lo
instructivo y lo educativo; el saber, el poder, lo intelectual y lo ideológico;
constituyen unidades dialécticas, que no pueden darse por separado.
Los objetivos se redactan en función del alumno (en términos de aprendizaje),
estos se concretan precisamente en los estudiantes que los interiorizan y para
vencerlos “necesitan aprender a resolver problemas; por medio de la resolución de
problemas adquiere conocimientos, domina habilidades y cultiva valores”. (2: 47)
En esta tesis se adopta el criterio de que el objetivo concebido en función del
alumno y de la solución del problema de enseñanza – aprendizaje debe incluir tres
aspectos:
El aspecto instructivo, relacionado con la formación de hábitos, habilidades y
capacidades “a través del manejo de los conocimientos y de la lógica propia del
objeto de estudio que le es propio en su área de formación”. (2: 49)
El aspecto educativo, relacionado fundamentalmente con la formación de
valores, “ incluye la esencia social de la naturaleza humana cuando construye y
transmite su cultura”. (2: 49)
67
El aspecto desarrollador, significa alcanzar que los conocimientos, hábitos y
habilidades y capacidades formados se desarrollen, posibilitando al estudiante
“enfrentar situaciones complejas y novedosas”. (2: 49)
El Contenido. Uno de los aportes más importantes de la Psicología Cognitiva a los efectos de
lograr una comprensión del aprendizaje lo constituye el hecho de considerar el
carácter primario de los conocimientos y su adecuada estructuración para poder
resolver problemas.
Durante el curso 97 – 98 culminó una investigación multidisciplinaria en la
Universidad Pedagógica “Enrique José Varona” en la que participó este autor y
que estudió la relación entre la estructuración del conocimiento matemático y la
resolución de problemas. En la referida investigación se propone una concepción
didáctica - metodológica para esa estructuración. A los efectos de esta tesis
consideramos conveniente aceptar algunas tareas de esa concepción:
− Determinar las tareas típicas a partir de los objetivos, tomando en
consideración el sistema básico de habilidades.
− Revelar los nodos cognitivos, invariantes o células generadoras y a partir de
los mismos planificar la estructuración del conocimiento matemático.
− Organizar el proceso de fijación.
La tarea docente está entendida aquí como el medio a través del cual se alcanza
el objetivo. Es la situación a la que se enfrenta el estudiante y a la que debe dar
solución. Es lo que modela el objeto de investigación y por tanto suscita la
realización de la acción.
Una tarea docente se considera típica si existe la posibilidad de dimensionarla,
desde lo particular hasta lo general, de los casos más sencillos a los más
complicados según el rendimiento que vayan obteniendo los estudiantes en la
marcha del proceso de aprendizaje.
Estructurar el conocimiento matemático en un tema (asignatura o disciplina
docente) significa lograr que los estudiantes organicen (o reorganicen)
internamente el contenido de dicho conocimiento a partir de revelar los nexos y
relaciones entre sus elementos componentes (conceptos, juicios y
68
procedimientos). Para lograr esta organización juega un papel decisivo el
razonamiento (como forma lógica del pensamiento), pues a partir de la concepción
de aprendizaje declarada en la perspectiva dialéctica – humanista no se trata de
darle a los estudiantes una aparente organización por parte del profesor, sino de
que él mismo sea capaz de buscar esos nexos y relaciones y en función de eso es
que se debe planificar todo el trabajo.
Para la organización sistémica del contenido se han descrito tres variantes. Ellas
son: la utilización de invariantes, de células generadoras, o los llamados nodos cognitivos. La psicóloga rusa Z. A. Réshetova a partir de los postulados de la Teoría General
de Sistema lleva al plano experimental y fundamenta teóricamente la variante
estructural – funcional para la organización sistémica de los programas de estudio.
Ello consiste en organizar los contenidos en torno a determinadas características
esenciales, regularidades, que adoptan la forma de núcleos del conocimiento: los invariantes. (41)
Por su parte N.G.Sálmina propone lo sistémico a partir de una relación elemental y
esencial del todo, que denomina célula generadora del sistema. En esta
modalidad los tipos de enlace que prevalecen son los genéticos y los de
desarrollo. (41)
Como quiera que no siempre es factible para el profesor el revelar, identificar, o
apropiarse a corto plazo de una célula generadora o de un invariante surge la idea
de los nodos cognitivos como un recurso que contribuye a organizar el
conocimiento de los estudiantes (40).
El nodo cognitivo es un punto de acumulación de información en torno a un concepto determinado, es información que se establece de manera consciente por el profesor a sus estudiantes. Esta idea es el resultado del
trabajo investigativo del grupo β de Didáctica de la Matemática, dirigido por la
profesora Herminia Hernández.
Para la organización de la fijación es necesario tener en cuenta que un sistema
de ejercicios se conforma teniendo en cuenta: los objetivos de enseñanza -
aprendizaje, las tareas típicas seleccionadas a partir de los objetivos, las
69
habilidades que son necesarias desarrollar y la actividad mental que deben
desarrollar los estudiantes en el proceso de solución de los ejercicios (el objetivo y
el contenido de las acciones así como las condiciones para el transcurso de las
mismas).
Una buena colección de ejercicios debe poseer las siguientes características:
a) Debe responder a las tareas típicas en toda su dimensión.
b)Deben ser ordenados lógicamente, sin que esto signifique cronológicamente.
c)Deben incluirse ejercicios de los diferentes tipos, garantizando con ello la
diversidad.
Como parte del contenido de aprendizaje se encuentran también los elementos de
metacognición que el estudiante ha de dominar para enfrentar la resolución de
problemas matemáticos. Estos han sido nombrados de diferentes formas en la
literatura, en nuestro país, en los textos de didáctica de la matemática que se
utilizan en los Institutos Superiores Pedagógicos aparecen bajo la denominación
de procedimientos, reglas y estrategias heurísticas.
En esta tesis se propone la tarea de desarrollar la enseñanza - aprendizaje explícita de resolución de problemas matemáticos. Esta tarea está dirigida
fundamentalmente a la adquisición por parte de los estudiantes de los aspectos
declarados en el párrafo anterior y persigue los siguientes propósitos:
− Que los estudiantes conozcan qué es un ejercicio y un problema y su
estructura.
− Familiarizar a los alumnos con el programa heurístico general para la solución
de problemas.
− Contribuir al desarrollo de habilidades para la comprensión de los problemas,
el control ejecutivo y la Autovaloración.
− Entrenar a los estudiantes en la formulación y reformulación de problemas a
partir de situaciones dadas en clases y de la vida.
Dentro de los marcos de esta investigación se consideró oportuno elaborar y
ejecutar un programa que aparece en el anexo 17 con sus correspondientes
indicaciones metodológicas. Este programa, así como la propia organización del
70
contenido de la asignatura, dependen de las reales condiciones de los estudiantes
para el aprendizaje de la resolución de problemas.
El Método. En esta tesis se adopta que el método de enseñanza es “la secuencia de actividades del profesor y de los alumnos dirigida a lograr los objetivos de la enseñanza”. (57: 104)
Es precisamente el método, en su relación con las anteriores componentes el que
“aporta la dinámica del proceso”. (2: 55)
En la concepción de enseñanza – aprendizaje del autor los métodos de
enseñanza juegan un papel decisivo, las características fundamentales que estos
deben reunir, a los efectos de la enseñanza – aprendizaje de la resolución de
problemas matemáticos son las siguientes:
− Deben ser productivos esencialmente (sin negar la importancia de los métodos
reproductivos).
− Deben permitir la participación activa de los alumnos en el aprendizaje: en la
búsqueda del conocimiento, el planteamiento y la resolución de problemas.
− Deben propiciar el trabajo grupal, sin que esto signifique obviar el trabajo
individual.
− Deben propiciar que los estudiantes sepan cómo aprender, que tengan
conciencia de sus propios conocimientos.
− Deben propiciar el desarrollo del autocontrol, la autovaloración y la
autoevaluación.
− Deben propiciar el desarrollo integral, al constituir las vías para el cumplimiento
de los objetivos propuestos.
Para la selección de los métodos de enseñanza deben tenerse en cuenta las
características de los estudiantes, del colectivo y del propio profesor. Los métodos
los selecciona el profesor, pero tiene que estar dispuesto a variarlos ante las
exigencias o las necesidades de sus estudiantes.
La Evaluación. Durante mucho tiempo, el proceso de control y evaluación se ha visto como una
tarea propia del profesor.
71
En los marcos de esta concepción de enseñanza – aprendizaje de la resolución de
problemas matemáticos, donde el alumno es situado como centro de atención, y
los métodos conducen a la participación activa, consciente y autorregulada del
estudiante en el proceso, tiene sentido pensar en la necesidad de cambios en esa
concepción del control y la evaluación.
Otro aspecto de la concepción de enseñanza – aprendizaje planteada que
conduce a la idea de seguir otras vías para el control y la evaluación es el
relacionado con la metacognición; “el poder orientarse, ejecutar de forma
consciente y controlar los resultados de su actividad, resulta difícil si no ha
aprendido como parte de la actividad cognoscitiva que el alumno realiza en el
proceso”. (91: 4)
Para esta investigación, se adaptó a las condiciones de la misma el procedimiento
metodológico propuesto por la Dra. Pilar Rico para la formación de acciones de
control y valoración en los alumnos (91). Este procedimiento, cuenta
esencialmente, con los siguientes pasos:
Orientación de la actividad.
− En este momento se trata de que el alumno comprenda la importancia del
control y la valoración para elevar la calidad de su trabajo, en este sentido
constituye un elemento motivacional digno de tenerse en cuenta.
− Seguidamente se deben dar las orientaciones sobre las exigencias que debe
cumplir el trabajo a desarrollar.
Este autor considera que es factible utilizar como guía para orientar a los
estudiantes el propio programa heurístico general (anexo7). La utilización del
referido programa para estos fines persigue, evidentemente, otro propósito, el de
entrenar a los futuros profesores en su utilización.
Control y valoración de los trabajos realizados por los compañeros. Discusión y análisis colectivo de los trabajos. Autocontrol y autovaloración.
72
Las relaciones interpersonales propicias para hacer matemáticas.
Al analizar el enfoque sistémico para la comprensión de las capacidades,
decíamos que estas eran formaciones psíquicas predominantemente cognitivas
que debían ser abordadas en un ambiente motivado, esta idea se retomó al
analizar la resolución de problemas matemáticos como una capacidad específica,
por ello hemos considerado oportuno en este trabajo plantear la concepción sobre
el particular, a través de lo que se ha dado en llamar las relaciones interpersonales propicias para hacer matemáticas. En esta tesis se mantiene el criterio de que las relaciones interpersonales
tendientes a propiciar un adecuado clima para hacer matemáticas deben estar
caracterizadas por un alto grado de libertad, democracia y respeto a las personas
implicadas en el empeño.
Es opinión de muchos autores que “las creencias... acerca de las matemáticas
provienen del tipo de instrucción que reciben” (102: 51).
Lo anterior permite asegurar que la opinión de los estudiantes acerca de la
Matemática (creencias) está determinada por el tipo de instrucción que reciben y
que si pretendemos lograr que comprendan el significado epistemológico del
quehacer matemático y se empeñen en resolver problemas, debe lograrse que los
mismos expresen lo que piensen y discutan sus ideas sobre la base del respeto a
los demás compañeros.
Santos Trigo, haciendo referencia a ideas de Shoenfeld y a las suyas propias,
afirma que “cuando los estudiantes encuentran un ambiente que les permite
pensar y razonar acerca de las matemáticas y comunicar sus resultados a otros
sobre la base de un argumento, se enfrentan a la necesidad de organizar y
presentar sus ideas de forma convincente” (102: 91).
Como recurso para facilitar lo anterior se recomienda dividir el grupo en pequeños
equipos, estos deben formarse siguiendo las siguientes reglas:
− La formación de los equipos es democrática y sin la intervención del profesor.
− Cada equipo debe seleccionar, mediante el voto secreto y directo un
responsable.
73
− Todos los alumnos deben conocer que el equipo es la célula fundamental del
trabajo en clases y extraclases.
− Las tareas que desarrollarán los equipos en el curso serán las siguientes:
1. Solucionar problemas y defender las soluciones encontradas en el aula.
2. Servir de oponentes a las exposiciones de las soluciones que defiendan sus
colegas.
3. Servir de árbitros y relatores en las actividades para otorgar las evaluaciones
frecuentes.
− El trabajo en el seno del equipo debe caracterizarse por la discusión abierta,
franca y respetuosa entre los integrantes.
En la creación de las condiciones propicias para hacer matemática se persigue
activar mecanismos movilizadores de la actividad de los estudiantes, en este
propósito juega un papel importante la selección y diseño de problemas que
propicien esa comunicación en el grupo y estimulen la discusión.
La discusión de las respuestas de los diferentes equipos se debe aprovechar para
realizar la reflexión metacognitiva grupal, para ello se debe valorar cómo se obtuvo
el conocimiento, qué recursos se utilizaron para ello, de forma tal que los
estudiantes aprendan a valorar sus propios conocimientos.
Otro aspecto importante es el relacionado con la evaluación, en las actividades
donde sea factible se debe brindar la posibilidad a los estudiantes de otorgar la
calificación a sus colegas, para ello se puede asignar esta tarea a un equipo que
funja como árbitro en el debate. Muy relacionada con la evaluación está la
concepción de un sistema de reconocimientos a través del cual se estimule a los
estudiantes por los resultados de su aprendizaje.
Por último, haciendo referencia a los errores que puedan cometer los estudiantes,
nunca estos deben ser sometidos a críticas mordaces, sino que todo lo contrario,
con un adecuado tratamiento de los mismos puede contribuirse al enriquecimiento
del saber; se trata de, en primera instancia, lograr que el estudiante sea
consciente del error, que reflexione en las causas de este y sólo entonces se debe
proceder a enmendarlo.
74
II.3.2. Etapas para la aplicación de la propuesta metodológica. En el subepígrafe anterior se analizaron las implicaciones de la perspectiva
dialéctica – humanista a los efectos de una comprensión del proceso de
enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos, el análisis
de cada uno de los componentes por separado permite manifestar esa
comprensión desde el punto de vista teórico, pero desde el punto de vista práctico,
sólo es posible comprenderlo si se analiza el sistema de todos los componentes.
Es por lo señalado arriba que se proponen tres etapas para la puesta en práctica
de la concepción de enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas
matemáticos desarrollada en esta tesis. Cada etapa contempla la realización de
un grupo de acciones que se ejecutan en la planificación o realización del
diagnóstico de las dificultades para el planteamiento del problema de enseñanza –
aprendizaje y en la planificación o realización de los componentes del proceso.
Las referidas acciones se declararon teniendo en cuenta la estructura de la
capacidad para resolver problemas matemáticos y la comprensión del proceso de
enseñanza – aprendizaje explicitada al abordar los componentes del proceso.
1.- Etapa de realización de acciones de diagnóstico. 1.1.- Aproximación al problema de enseñanza – aprendizaje. Esta acción la ejecuta el profesor que tendrá que dirigir el aprendizaje de los
alumnos.
La aproximación al problema se realiza:
− A través de la participación en la reunión del colectivo de año que culmina en el
semestre anterior.
− En el intercambio con los profesores de la disciplina que trabajaron en otros
semestres con los estudiantes.
− A partir de la experiencia del profesor.
− A partir de la caracterización que se hace en el primer año al inicio del curso.
Esa aproximación le brinda al profesor una primera caracterización del grupo y de
sus integrantes, lo que le permite acercarse a la formulación del problema.
75
1.2.- Diagnóstico de las dificultades. Para el diagnóstico de las dificultades en la resolución de problemas matemáticos se recomienda utilizar la metodología para la evaluación del estado
de la capacidad para resolver problemas matemáticos elaborada en esta tesis.
1.3.- Reformulación del problema de enseñanza – aprendizaje a partir de los resultados del diagnóstico. 2.- Etapa de realización de acciones de preparación. 2.1.- Análisis del problema de enseñanza – aprendizaje.
− El análisis del problema de enseñanza – aprendizaje formulado conlleva a la
profundización, por parte del profesor, en los aspectos teóricos concernientes al
mismo y en los resultados individuales de cada estudiante. Para lo primero
sugerimos se tengan en cuenta los epígrafes II.1 y II.2 de este capítulo.
− Otro momento del análisis es el referido a la discusión con los estudiantes de
los resultados del diagnóstico. Esta discusión persigue como fin que los
estudiantes conozcan sus dificultades, que sepan lo que no saben y sientan la
necesidad de resolverlas.
− El análisis con los estudiantes debe ser individual y luego grupal, es necesario
ellos se sientan familiarizados con el profesor, que se comprometan con él, y
luego con el resto del grupo.
− Como resultado del análisis grupal debe acordarse la creación de equipos
siguiendo las normas descritas al analizar las relaciones interpersonales propicias
para hacer matemáticas.
2.2.- Formulación de objetivos y metas.
− El análisis individual con los estudiantes conlleva a que cada uno se proponga
metas o se haga propósitos para resolver las dificultades que presenta.
− El análisis grupal se concreta en el establecimiento de metas o compromisos
del grupo para enfrentar los problemas detectados.
− El problema de enseñanza – aprendizaje formulado, que sintetiza los
resultados del diagnóstico, conlleva a la formulación o reformulación de los
objetivos de la asignatura y los temas por el profesor.
76
2.3.- Concepción sistémica de los contenidos. 2.3.1.- Puesta a punto del programa de enseñanza explícita de la resolución de problemas matemáticos. A partir de los resultados del diagnóstico, del conocimiento de los estudiantes, y
de las condiciones objetivas de trabajo puede ser necesario realizar
modificaciones al programa.
En las orientaciones metodológicas del mismo aparecen diferentes variantes en
que este ha sido desarrollado.
2.3.2.- Estructuración del conocimiento matemático. Esta acción se debe desarrollar atendiendo a lo explicado al abordar la categoría
contenido en este trabajo, las tareas a desarrollar son las siguientes:
− Determinación de las tareas típicas a partir de los objetivos, tomando en
consideración el sistema básico de habilidades.
− Revelar los nodos cognitivos, invariantes o células generadoras y a partir de
los mismos planificar la estructuración del conocimiento matemático.
− Organización del proceso de fijación.
2.4.- Concepción de los métodos de enseñanza a utilizar. Roque, I. en su Tesis de Maestría (94) tutoreada por el autor aborda al detalle la
categoría método de enseñanza y demuestra su relación con la capacidad para
resolver problemas. En el referido trabajo se proponen un grupo de métodos y
técnicas participativas que se ha aceptado emplear en la práctica educativa
(anexo 19).
Además, partiendo del papel que han jugado los problemas en el desarrollo de las
matemáticas y del carácter activo del proceso de aprendizaje de las mismas, se
concibieron dos actividades de aprendizaje cuyo principal propósito es promover la
creación de adecuadas relaciones interpersonales para contribuir al desarrollo de
la capacidad para resolver problemas. Estas actividades han sido descritas de una
u otra forma por otros autores (105), (102):
− Improvisar: Mediante esta actividad se hacen deducciones, pruebas y se
resuelven problemas desconocidos para el profesor que fueron buscados por los
77
estudiantes. La improvisación revela la conducta del experto (profesor) a los
estudiantes (novicios) y les brinda un modelo de acción para el estudio de la
Matemática. En esta actividad los alumnos deben estar claros de que se está
improvisando, la experiencia acumulada en la realización de estas actividades
docentes permite asegurar que los mismos prestan una mayor atención y que la
concentración que se logra es alta; llegan incluso a sentir la necesidad de
participar en el proceso de búsqueda que está realizando el docente.
− Discutir diferentes vías de solución de un mismo problema: A través de
esta discusión se deben comparar los diferentes razonamientos realizados para
resolver un mismo problema, destacando las mejores ideas y el porqué de la
elección de estas.
2.5.- Concebir el sistema de evaluación. Para ejecutar esta acción se sugiere atender a lo planteado en esta tesis acerca
del componente del proceso de enseñanza – aprendizaje la evaluación. 3.- Etapa de realización de acciones de intervención. 3.1.- Desarrollo del programa para la enseñanza explícita de la resolución de problemas matemáticos teniendo en cuenta la planificación realizada. 3.2.-Desarrollo del programa de la asignatura teniendo en cuenta la planificación realizada. Es precisamente en la intervención donde transcurre el proceso de enseñanza –
aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos.
Para resolver el problema de enseñanza – aprendizaje se propusieron objetivos,
que a su vez permitieron determinar los contenidos que se debían desarrollar en la
asignatura así como la adecuada estructuración de los mismos. Los propios
objetivos y el contenido en cuestión condujeron a planificar los métodos de
enseñanza.
En la ejecución de las acciones de intervención es necesario atender a esa
relación, los objetivos son los que guían el proceder, señalan el fin que se
persigue en el proceso: resolver el problema de enseñanza – aprendizaje planteado. Aquí todos los componentes del proceso van a intervenir en unidad
dialéctica.
78
El establecimiento de relaciones interpersonales propicias para hacer matemáticas
debe ser un propósito claro del docente, estas relaciones son las que permiten la
creación y el sostenimiento de un entorno o marco motivado para el desarrollo del
proceso de enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos.
El alumno está en el centro de atención y a él apuntan directamente los objetivos,
y por tanto, los demás componentes del sistema.
Conclusiones del capítulo.
• Un ejercicio en la enseñanza de la matemática es una exigencia para actuar
caracterizada por el objetivo y el contenido de las acciones y por las condiciones
para las mismas que tiene tres elementos estructurales: la situación inicial, la vía
de solución y la situación final.
• Un problema en la enseñanza aprendizaje de la matemática es un ejercicio
del cual no se conoce la vía de solución.
• El proceso de resolución de problemas matemáticos es el proceso que
transcurre desde que una persona se enfrenta a un problema hasta que lo
soluciona y valora la respuesta dada al mismo.
• Resolver un problema es ejecutar un número finito de pasos que culmina al
darle respuesta al mismo, o sea, es cumplimentar el objetivo de las acciones del
problema como ejercicio de la enseñanza de la matemática.
• La resolución de problemas matemáticos es una capacidad específica que
se desarrolla a través del proceso de enseñanza – aprendizaje de la matemática y
que se configura en la personalidad del individuo al integrar, con determinada
calidad y haciendo uso de la metacognición, acciones y conocimientos que
participan en la resolución de problemas matemáticos.
• La metodología para evaluar el estado de la capacidad para resolver
problemas matemáticos consiste en la valoración de las dos dimensiones que la
conforman a través de cuatro indicadores que las caracterizan: el sistema de
acciones intelectuales, la calidad procesal, las bases de conocimientos y la
metacognición.
79
• La propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de la capacidad
para resolver problemas matemáticos está concebida a partir de las implicaciones
de la perspectiva dialéctica para el proceso de enseñanza – aprendizaje de la
resolución de problemas matemáticos, dichas implicaciones se manifiestan en la
comprensión del proceso declarada en esta tesis al explicar sus componentes y
las relaciones entre ellos.
• La propuesta está concebida para desarrollarse en tres etapas, a través de
las cuales se pone en práctica la concepción de enseñanza – aprendizaje de la
resolución de problemas matemáticos. Cada etapa contempla la realización de un
grupo de acciones que se ejecutan en la planificación o realización del diagnóstico
de las dificultades para el planteamiento del problema de enseñanza – aprendizaje
y en la planificación o realización de los componentes del proceso.
80
Capítulo III: Aplicaciones de la propuesta metodológica y
valoración de los resultados.
En este capítulo se describe la puesta en práctica de la propuesta metodológica
en diferentes momentos, así como los resultados obtenidos.
Se explican también las acciones investigativas en pos de garantizar validez en la
propuesta, que incluye una metodología para evaluar el estado de la capacidad
para resolver problemas.
III.1. Estudio exploratorio.
En el curso 94-95 se realizó el estudio exploratorio con estudiantes de séptimo
grado en la Isla de la Juventud. El propósito fundamental de este estudio fue la
validación práctica de la metodología para evaluar el estado de la capacidad para
resolver problemas matemáticos, que después se utilizaría en el diagnóstico del
experimento.
La población objeto de estudio la componen todos los estudiantes de 70 de las
escuelas secundarias de la Isla de la Juventud (1087), excepto los de la EIDE y la
Escuela de Arte, por ser centros atípicos con respecto al objetivo del trabajo. Del
total de 7 escuelas con estas características tomamos 2 aleatoriamente que por el
tamaño de su matrícula en 7° grado representan aproximadamente el 30%
poblacional y las mismas no tienen características especiales que las diferencien
del resto.
En la selección se tomó en cuenta el fin de estimar las proporciones de alumnos
que se localizan en las diferentes categorías evaluativas de una escala analítico
sintética de tres valores (0, 1, 2) a los que le hacemos corresponder Mal, Regular
y Bien. El muestreo realizado es por conglomerado bietápico aleatorio. El tamaño
de la muestra es de 69 alumnos, 34 de una escuela y 35 de la otra.
Para desarrollar la metodología para evaluar el estado de la capacidad para
resolver problemas en este estudio exploratorio se aplicó la Prueba Pedagógica
81
que aparece en el anexo 12, como guía para desarrollar la Técnica del Pensar en
Voz Alta la que aparece en el anexo 13 y como Test de Metaconocimiento el del
anexo 11. En el anexo 20 aparecen las tablas con los resultados del estudio
exploratorio.
Para la valoración de los resultados anteriores se centró la atención en las
acciones intelectuales descritas para la resolución de problemas matemáticos, y
entonces se analizó la influencia de los restantes indicadores considerados en la
investigación, esta forma de evaluar los datos obtenidos en la experimentación
permitió integrar el criterio final acerca del estado de la capacidad para resolver
problemas.
Primera Acción: Comprender el Problema.
A partir de los resultados que aparecen en la Tabla I del anexo 20 se obtiene que
el 94,3% de los alumnos que conforman la muestra están clasificados en los
niveles 0 y 1 de la escala, las principales causas de este desenlace están dadas
porque los mismos se limitaron, en el mejor de los casos, a realizar una sola
lectura del problema e inmediatamente comenzaron a extraer los datos, sin
haber comprendido aún a cabalidad su significado. El 12,9% de la muestra, que
está clasificada en el nivel 0 de la escala, ni siquiera realizó una primera lectura
del problema, inmediatamente intentaron -sin ningún éxito- comenzar a extraer
los datos o incluso resolver el problema.
Resulta significativo el hecho de que sólo el 5.7% de los sujetos fueron capaces
de leer por lo menos dos veces el problema, y sólo después de reflexionar unos
minutos comenzaron a analizar nuevamente hasta la determinación de los
elementos dados y buscados.
Segunda Acción: Analizar el Problema.
Producto de los datos que aporta la Tabla I del anexo 20 puede concluirse que
sólo el 8,6% de la muestra es capaz de analizar adecuadamente el problema
para determinar con exactitud los elementos dados y buscados, consideramos
82
que esto es consecuencia de una incorrecta comprensión del problema y de la
carencia de recursos heurísticos que les faciliten el accionar.
De igual forma, el 94,3% tiene problemas a la hora de establecer relaciones
entre los elementos dados y buscados determinados (aún en el caso de que no
sean correctos), así como con otros que los puedan sustituir en el contexto de
actuación. En la mayoría de los casos da la impresión de que "la mente se queda
en blanco", los muchachos no tienen la posibilidad de encontrar los elementos
del conocimiento que poseen en la situación concreta que enfrentan.
Consideramos necesario tomar en cuenta, en la caracterización de esta dificultad
los resultados alcanzados en lo atinente a la calidad procesal y a las bases de
conocimientos, es decir, las insuficiencias en indicadores tales como
independencia, fluidez, flexibilidad (ver Tabla II del anexo 20) y el hecho de que
en la valoración de las bases de conocimientos el 68,6% y el 64,3% de los
alumnos tengan problemas en el volumen y la especialización respectivamente
(según los datos de la Tabla III del anexo 20).
Mención especial en estos hechos merecen las dificultades detectadas en lo
relativo a la organización del conocimiento, sólo el 2,9% puso de manifiesto un
adecuado nivel de estructuración y sistematización de los conocimientos que les
permitieran relacionar los nuevos sistemas de información con los viejos.
El aspecto que más problemas confrontó fue el relativo a generalizar las
propiedades comunes a casos particulares, el 80% se clasificó en el nivel 0 y el
14,3% en el 1.
La valoración crítica de los pasos dados en pos de la búsqueda de una solución,
la aplicación de la información acumulada, la experiencia en función de esa
búsqueda, y la propia toma de decisiones confrontan dificultades, esto está
relacionado con los problemas anteriormente descritos y con lo que sucede en la
metacognición, obsérvese en la Tabla IV del anexo 20 que sólo el 2,9% de la
muestra realiza el control ejecutivo óptimamente.
83
Tercera Acción: Solucionar el problema.
Según los datos que aparecen en la Tabla I del anexo 13, sólo el 5,8% de los
alumnos pudo resolver los problemas, esto se corresponde y es consecuencia
del análisis realizado en el caso de las anteriores acciones.
Cuarta Acción: Evaluar la solución del Problema.
Ninguno de los alumnos de la muestra ejecutó cabalmente el sistema de
operaciones de esta acción. Para muchos el accionar culmina cuando se busca
una respuesta cualquiera al problema. Este resultado se corresponde con las
dificultades que aparecen reflejadas en la Tabla IV del anexo 20, nótese que sólo
el 4,3% tiene conciencia de los pasos que sigue (metaconocimiento) en la
solución de los problemas.
Sucintamente, se pudo constatar que los escolares de séptimo grado de la Isla
de la Juventud tienen serias dificultades a la hora de resolver problemas
matemáticos, y que las mismas están dadas porque:
1.-No hay dominio de las acciones que conforman la capacidad para resolver
problemas matemáticos; según puede colegirse de los datos que se ofrecen en
la Tabla I del anexo 20.
2.-La calidad procesal es deficiente, esto queda plasmado en la Tabla II del
anexo 20, donde se observa una distribución que tiende a ubicar a los sujetos
en los niveles 0 y 1 de la escala analítico sintética.
3.-Hay dificultades serias en lo concerniente a las bases de conocimientos, es
muy pequeño el número de alumnos que pueden clasificarse en el nivel 2 de la
escala, según puede verse en la Tabla III del anexo 20.
4.-El conocimiento acerca del propio conocimiento es muy bajo, así como la
posibilidad de ejecutar el control del proceder, según se puede constatar en la
Tabla IV del anexo 20.
84
III.1.1. Valoración de la metodología para evaluar el estado de la capacidad
para resolver problemas matemáticos.
La realización del estudio exploratorio permitió constatar que los indicadores
seleccionados para caracterizar las dos dimensiones de la capacidad para
resolver problemas matemáticos pueden ser utilizados para evaluar el estado de
dicha capacidad mediante la metodología elaborada.
Los resultados obtenidos por cada estudiante en los diferentes indicadores,
sirvieron a los docentes para conocer con mayor profundidad las deficiencias de
sus alumnos en lo atinente a la resolución de problemas matemáticos.
En sentido general, la metodología propuesta para evaluar el estado de la
capacidad para resolver problemas matemáticos tiene los siguientes aspectos a
su favor:
− Permite obtener una información amplia sobre cada sujeto, pues los
indicadores que evalúa informan no sólo del aspecto ejecutor (las acciones
intelectuales), sino que también abordan la calidad procesal, las bases de
conocimientos y la metacognición.
− Por la diversidad de instrumentos que se utilizan, permite profundizar en los
modos de pensar de los sujetos, en la esencia de las dificultades a la hora de
resolver problemas matemáticos.
− No son necesarios demasiados recursos materiales para la aplicación de la
metodología.
Las principales limitaciones de la metodología pudieran ser las siguientes:
− Son necesarios conocimientos psicopedagógicos para entender el significado
de los distintos indicadores que se utilizan.
− La aplicación en grupos numerosos puede no ser factible por la cantidad de
instrumentos aplicar y las características de los mismos, sobre todo la técnica del
pensar en voz alta.
85
III.2. Experimento secuencial.
En el curso 96-97 se planificó la puesta en práctica de un experimento. Por la
magnitud del mismo en lo relativo a la cantidad de instrumentos a aplicar y a la
novedad de los indicadores a considerar, y por las características de esta
investigación se decidió que no hubiese un grupo de control, realizando pues
cualquier comparación entre cada estudiante consigo mismo antes y después de
aplicar la propuesta metodológica.
La población objeto de estudio fue la de los estudiantes de tercer año de la carrera
Licenciatura en Educación en Matemática y Computación de la Universidad
Pedagógica "Enrique José Varona" cuya composición se describe a continuación:
Matrícula:
Grupo Hembras Varones Total
M3.1 12 8 20
M3.2 15 9 24
Totales 27 17 44
La selección de la muestra se hizo al azar y resultó el grupo M3.1.
Como se ha dicho, los individuos que componen la muestra se encuentran en
formación como profesores de Matemática y Computación, esta característica
distintiva de la muestra determinó que se decidiera hacer explícitas las diferentes
etapas en la aplicación de la propuesta metodológica, esto responde directamente
a la necesidad de contribuir a la formación profesional de los estudiantes.
III.2.1. Realización de las acciones de diagnóstico.
1.1.- Aproximación al problema de enseñanza aprendizaje.
Como aspectos significativos del informe de validación presentado en el colectivo
de año al culminar el segundo semestre (44), se señalaron los siguientes:
− No hay objetivos cumplidos por todos o casi todos los estudiantes.
− Los objetivos relacionados con la resolución de ejercicios y problemas sólo lo
cumplen pocos estudiantes.
86
Todos 100%
Casi todos 75 – 99%
La mayoría 50 – 74%
Pocos 25 – 49%
Muy pocos 1 – 24%
No cumplidos 0%
Al entrevistar a otros profesores del colectivo y de la disciplina Algebra que habían
trabajado en otros semestres con el grupo, sobre las relaciones interpersonales en
el colectivo, la disposición para el aprendizaje, alumnos con más y con menos
posibilidades, disciplina, participación en actividades, motivación para el estudio y
la profesión, se obtuvieron las siguientes características del grupo:
− En sentido general no hay disposición para el estudio, excepto los estudiantes
Ax, An, Dt, Yr.
− Otros estudiantes, a pesar de que al parecer tienen posibilidades, no muestran
estar interesados: Od, Gu, Ag, Mi, Iv, Ad, Ya.
− El grupo es desunido, inmaduro, tienen una pobre participación en las
actividades y hay que “llevarlos de la mano” en el aprendizaje.
Todo lo anterior sugirió que las dificultades para resolver problemas matemáticos
era necesario atenderlas dentro de un marco afectivo adecuado, y que los
métodos y la evaluación debían contribuir a ello.
1.2.- Diagnóstico de las dificultades.
Para la aplicación de la metodología para evaluar el estado de la capacidad para
resolver problemas con el objetivo de diagnosticar el nivel de entrada en cada uno
de los sujetos se utilizó la Prueba Pedagógica del anexo 14, la Guía para la
Técnica del pensar en Voz Alta del anexo 15 y el Cuestionario de
Metaconocimiento del anexo 11.
Al igual que en el estudio exploratorio se centró la atención en el sistema de
acciones intelectuales y entonces se analizó la influencia de los restantes
indicadores, siendo consecuentes con el contenido y el carácter funcional de la
definición de capacidad para resolver problemas matemáticos adoptada.
Primera Acción: Comprender el Problema.
87
En la tabla 4 del anexo 16 puede apreciarse que el 60% de la muestra tiene
dificultades en la comprensión del problema (están ubicados en los niveles 0 y 1
de la escala), esto está dado, fundamentalmente, por el hecho de que los
estudiantes no son capaces de leer detenidamente el problema antes de empezar
a resolverlo, lo que provoca que no puedan expresar el problema con sus palabras
ni relacionar los elementos dados y buscados.
En las tablas 1,2 y 3 del anexo 16 puede verse que en todos los indicadores el
50% o más de la muestra se ubica en los niveles 0 y 1, lo que coincide con el
análisis de sistema realizado al elaborar los indicadores. En particular, los
resultados de los indicadores de metacognición revelan la falta de conciencia en el
proceder para lograr una adecuada comprensión del problema. (Tabla 3, anexo
16)
Segunda Acción: Analizar el problema.
La tabla 4 del anexo 16 muestra que sólo el 20% de la muestra analizó
correctamente los problemas, la causa de esto está, según nuestro criterio, en los
problemas detectados en la comprensión.
Llamaron nuestra atención las dificultades que tienen los estudiantes al establecer
relaciones entre los elementos dados y los buscados, esto es producto de las
serias dificultades detectadas en el estado cognitivo.
En la aplicación de la Técnica del Pensar en Voz Alta observamos como algunos
sujetos, a pesar de haber realizado algún análisis para la precisión de lo dado y lo
buscado, se quedaban prácticamente “en blanco” y ante la insistencia del
experimentador respondían con frases como “no sé que hacer”, “no se me ocurre
nada” o “yo no sé resolver esto”.
Otro aspecto que llamó la atención fue la observación de varios casos de
estudiantes que “arrastran errores” sin percatarse de los mismos, esto denota el
inadecuado funcionamiento del control ejecutivo a lo largo del trabajo.
Tercera Acción: Solucionar el problema.
88
Como se puede apreciar en la Tabla 4 del anexo 16 sólo el 20% de la muestra
resolvió correctamente los problemas, este resultado es consecuencia sin lugar a
dudas de las deficiencias en la ejecución de las anteriores acciones.
Hubo cinco sujetos que a la hora de solucionar el problema fueron consecuentes
con los errores cometidos en el análisis de los mismos, esto nos permite insistir en
las fallas en el control ejecutivo a lo largo del proceso. Tal parece que el control
sólo corresponde hacerse, en el mejor de los casos, para comprobar el problema y
que se sigue un “modelo lineal” para resolverlos. (66)
Cuarta Acción: Evaluar la solución del problema.
En la tabla 4 del anexo 16 puede verse que ninguno de los sujetos de la muestra
ejecutó correctamente esta acción y sólo el 25% clasificó en el valor 1 de la escala
analítica - sintética, este resultado se corresponde con los anteriormente
analizados. Las principales dificultades obtenidas en él pueden resumirse en
que:
1. Falta dominio de las cuatro acciones que conforman la resolución de
problemas matemáticos.
2. La calidad procesal es deficiente, según puede observarse en la tabla 1
del anexo 16, nótese como en cada uno de los subindicadores el 70% de los
estudiantes como mínimo están ubicados en los lugares 0 y 1 de la escala.
3. Existen problemas en los tres subindicadores de las bases de
conocimientos (tabla 2 del anexo 16).
4. El conocimiento sobre el propio conocimiento y el control ejecutivo
necesarios para resolver problemas matemáticos es deficiente, según puede
observarse en la tabla 3 del anexo 16.
1.3.- Reformulación del problema de enseñanza – aprendizaje.
En este caso, el problema se reformuló como aparece descrito en la introducción
de esta tesis.
III.2.2.- Realización de las acciones de preparación.
89
2.1.- Análisis del problema de enseñanza – aprendizaje.
El análisis teórico del problema de enseñanza – aprendizaje ha sido descrito en
esta tesis, los resultados del diagnóstico plantearon la necesidad de:
− Entrenar a los alumnos en la comprensión de los problemas a través de todo el
curso.
− Hacer reflexionar a los estudiantes en la necesidad de un eficiente control
ejecutivo y entrenarlos en su realización a partir del cuestionamiento de cada idea.
Para la discusión con los estudiantes de los resultados del diagnóstico hubo dos
momentos:
A) Análisis individual.
Este análisis estuvo caracterizado por un ambiente franco y en forma de diálogo;
preguntas tales como ¿cómo piensas que saliste en los ejercicios?, ¿qué te
parecieron?, ¿estaban difíciles?, sirvieron de preámbulo para iniciar la
conversación.
Aquí sucedieron cosas interesantes, por ejemplo, los alumnos Od, Gu, Mi, Ag, Ya,
mostraron vergüenza al enfrentar los resultados que habían alcanzado, de ellos
cinco, cuatro tenían problemas de disciplina, fundamentalmente por ausencias a
clases. La reacción de todos fue estimulante para el investigador, le hizo ver que
habían posibilidades de alcanzar logros sobre la base de que se hicieran
compromisos individuales y colectivos.
Sin embargo, estudiantes como Ax, Yu, Ir se mostraron reticentes a reconocer sus
errores, aún cuando el primero de ellos era considerado muy buen estudiante, no
obstante, se logró que entendieran se trataba de comprender dónde estaban los
lados débiles para reforzarlos.
B) Análisis colectivo.
90
En el grupo se hizo un análisis general de las dificultades, hubo estudiantes que
se proyectaron en función de aumentar el tiempo de estudio, la participación en
clases, la asistencia y la puntualidad.
El análisis colectivo fue conducido, mediante sugerencias y comentarios del
profesor, a la necesidad del trabajo en equipos, de la discusión en clases, de
pensar y razonar acerca de las matemáticas y comunicar sus resultados a otros,
concluyendo el análisis con la creación de los equipos.
Cuando se aplicó esta propuesta el grupo contaba con una matrícula de 20
estudiantes y se decidió dividirlos en 4 equipos de 5 estudiantes cada uno. La
formación de los equipos se realizó según lo planteado en esta tesis y la misma
resultó adecuada, como se pudo constatar al valorar los resultados del
diagnóstico, en cada equipo hubo estudiantes con diferentes niveles de desarrollo.
2.2.- Formulación de objetivos y metas.
Como resultado del análisis en el grupo de los resultados del diagnóstico, los
estudiantes se propusieron las siguientes metas o compromisos:
- Dedicarle más tiempo semanal al estudio individual.
- Elevar los índices de asistencia y puntualidad a clases.
- Prepararse mejor para las actividades docentes, responder las guías de
preparación para las clases prácticas y los seminarios, hacer las tareas.
- Participar en el trabajo en equipos según lo planteado al constituirlos.
- Colaborar entre todos para aprender.
- Llevarse bien, convivir en un ambiente camaraderil, evitar discusiones
innecesarias y respetar los criterios de los demás.
Para el programa de la asignatura Algebra VI (Algebra Lineal) se precisaron los
siguientes objetivos:
- Calcular el conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales e
interpretarlos en términos de matrices y aplicaciones lineales para resolver
problemas de Algebra Lineal.
91
- Fundamentar o demostrar propiedades relativas al espacio vectorial y a las
aplicaciones lineales, que entrenen a los estudiantes en los métodos de
demostración directo e indirecto y en la defensa de las proposiciones que
sustenten o que refuten.
Los objetivos están dirigidos a darle respuesta a las dificultades en la resolución
de problemas matemáticos y están enunciados en función del estudiante. En ellos
aparece explícitamente el aspecto instructivo, al declararse las habilidades y
capacidades a desarrollar(calcular, fundamentar, demostrar, interpretar, resolver
problemas); así mismo se indican otros elementos de carácter instructivo en su
enunciado que dan claridad en cuanto al contenido con el cual se van a realizar
las acciones.
Lo desarrollador se manifiesta en la complejidad de las acciones a desarrollar y en
el carácter novedoso que tendrán para los estudiantes.
Lo educativo tiene su salida por las características de las acciones a desarrollar en
el contexto matemático, en tal sentido se trabaja en la formación de valores al
insistir en la necesidad de expresar con claridad las ideas, garantizar la validez de
las mismas a través de su fundamentación y demostración. Pero también está la
responsabilidad adquirida al comprometerse a resolver sus problemas de
aprendizaje y colaborar solidariamente con sus colegas, la laboriosidad que tendrá
que desplegar para enfrentar cumplimentar con éxitos las metas propuestas.
2.3.- Concepción sistémica de los contenidos.
2.3.1.- Puesta a punto del programa de enseñanza explícita de la resolución
de problemas matemáticos.
Para desarrollar el programa se solicitó al colectivo de año que, producto de las
dificultades detectadas en el diagnóstico en lo relativo a la capacidad para resolver
problemas matemáticos, se tramitara la autorización de algunas horas para el
desarrollo del mismo. Como resultado se dispusieron de 14 horas clases para el
desarrollo del referido programa.
92
Producto de que los estudiantes estaban en tercer año y habían recibido
elementos de Metodología de la Enseñanza de la Matemática para realizar sus
prácticas laborales, abordando lo relativo al trabajo con ejercicios, se decidió que
era posible desarrollar este programa como se había concebido (anexo 17), pero
atendiendo las consideraciones finales del diagnóstico:
− La necesidad de entrenar a los alumnos en la comprensión de los problemas.
− Hacerles reflexionar en la necesidad de un eficiente control ejecutivo y
entrenarlos en su realización a partir del cuestionamiento de cada una de las
ideas.
Ambos aspectos, según se consideró, podían atenderse de forma particular, a
partir de su inclusión en el programa heurístico general como procedimientos
heurísticos, y más integralmente, en la concepción de la preparación de los
diferentes componentes del proceso, en especial por la propia instrumentación de
la evaluación. (anexo 7)
2.3.2.- Estructuración del conocimiento matemático.
− Determinación de las tareas típicas a partir de los objetivos, tomando en
consideración el sistema básico de habilidades matemáticas. (anexo 6)
En la asignatura Álgebra Lineal (Álgebra VI), en correspondencia con los
objetivos, se plantean tareas típicas a resolver por los estudiantes, que orientan al
profesor sobre el grado de dominio de los conocimientos y habilidades en cada
una de ellas. Así mismo, en torno a cada tarea típica el profesor organiza los
problemas de modo tal que se dimensione cada tarea, hasta alcanzar índices de
generalidad:
Tarea Típica Conocimientos Habilidades
Identificar si un sistema
finito de vectores es
linealmente independiente
o dependiente.
Sistema de vectores
linealmente independiente
y linealmente
dependiente.
Identificar, Graficar,
Fundamentar, Demostrar.
93
Determinar si un
subconjunto no vacío de
un espacio vectorial es o
no subespacio.
Subespacio vectorial. Fundamentar, Demostrar.
Expresar cualquier vector
del espacio como
combinación lineal de un
sistema de sus vectores, e
interpretar, por la
naturaleza del sistema de
ecuaciones resultantes, el
subespacio generado.
Sistema generador.
Subespacio Generado.
Calcular, Interpretar,
Graficar, Fundamentar,
Demostrar.
Identificar y determinar
una base de un espacio
vectorial de dimensión
finita.
Base.
Dimensión.
Identificar, Graficar,
Fundamentar, Demostrar.
Calcular las coordenadas
de un vector respecto a
una base dada.
Coordenadas de un vector
respecto a una base.
Calcular, Interpretar,
Recodificar.
Calcular la imagen de un
vector mediante una
matriz asociada a la
aplicación lineal.
Matriz asociada a la
aplicación lineal.
Calcular, Interpretar.
94
Determinar imagen y
núcleo de una aplicación
lineal.
Imagen y núcleo de la
aplicación lineal.
Interpretar, Fundamentar,
Demostrar, Graficar.
Interpretar la solución de
un Sistema de Ecuaciones
Lineales en función de la
imagen y el núcleo de una
aplicación lineal.
Sistemas de Ecuaciones
Lineales.
Imagen y núcleo de una
aplicación lineal.
Interpretar, Calcular,
Graficar.
− Revelar los nodos cognitivos, invariantes o células generadoras y a partir
de los mismos propiciar la estructuración del conocimiento matemático.
En esta tesis se utilizó como célula generadora el concepto de combinación
lineal de vectores descrito en su tesis doctoral por Hernández, H. (41), quedando
estructurada la asignatura como se muestra en el anexo 18.
Seguidamente se realizarán algunas reflexiones didácticas en torno a los
contenidos:
Dado el lugar que ocupa la asignatura en el plan de estudios debe trabajarse para
lograr un alto grado de independencia por parte de los estudiantes, lo que incluye
la obtención de los procedimientos algorítmicos necesarios para resolver los
ejercicios.
Al iniciarse el tema 1 y como introducción a la asignatura debe explicarse a los
estudiantes que el objeto fundamental del Álgebra Lineal son los sistemas de
ecuaciones lineales, de los cuales se derivan otros importantes como son los
Espacios Vectoriales, las Matrices y Determinantes, las aplicaciones lineales y la
Diagonalización, aunque esta última no se estudiará en esta asignatura.
El concepto de combinación lineal reviste primordial importancia para el desarrollo
de la asignatura ya que actuará como célula generadora de nuevos
conocimientos.
Teniendo en cuenta que los estudiantes ya conocen la definición de subestructura
con una y dos operaciones, para abordar los subespacios vectoriales se sugiere
95
un seminario en el cual se establezcan las analogías y diferencias con las
subestructuras estudiadas anteriormente.
Al estudiar los sistemas de vectores linealmente independientes y los sistemas
generadores debe hacerse un análisis de sistema libre maximal y generador
minimal para ir sentando las bases para el estudio del concepto de Base de un
espacio vectorial que debe tratarse mediante un seminario.
Para comenzar el tema 2, teniendo en cuenta que una aplicación lineal no es más
que un homomorfismo entre espacios vectoriales y que el concepto de
homomorfismo entre estructuras con una y dos operaciones ya es conocido, debe
realizarse un seminario en el que se trate lo relativo a las aplicaciones lineales, su
núcleo y su imagen.
Los sistemas de ecuaciones lineales deben tratarse en una conferencia siguiendo
el texto “Álgebra Lineal” de María Virginia Varela y otros.
En ambos temas debe tenerse en cuenta lo planteado en el sistema de tareas
correspondiente, así como las tareas típicas para determinar el tipo de
ejercicios a resolver y los teoremas a demostrar.
En el desarrollo de los ejemplos se elaboraron las tarjetas de estudio
correspondientes a las tareas típicas determinadas, por ejemplo para la tarea
típica “identificar si un sistema finito de vectores es linealmente independiente o
dependiente” se indicó un problema consistente en dado dos sistema de vectores
(uno li y otro ld) responder a la pregunta: ¿De cuántas maneras puede escribirse
el vector nulo como combinación lineal de esos vectores?
A partir de las respuestas de los alumnos se elabora la tarjeta de estudio siguiente
que resume el procedimiento de solución de la tarea:
1. Escribir el vector nulo como combinación lineal de los vectores del sistema.
2. Plantearse el Sistema de Ecuaciones Lineales correspondiente.
3. Analizar la solubilidad del sistema de ecuaciones.
4. Si la solución es única, entonces el sistema de vectores es linealmente
independiente. (en caso contrario es linealmente dependiente)
− Organización de la fijación.
96
En el anexo 18, para cada uno de los temas de la asignatura se han descrito los
ejercicios a desarrollar, lo cual está en concordancia con las habilidades a
desarrollar en el trabajo con las tareas típicas, pero además se incluyen los
teoremas a demostrar.
Para la selección de los ejercicios (que incluyen los problemas, como se ha
definido), se siguieron los criterios descritos en esta tesis.
Para la tarea típica: identificar si un sistema finito de vectores es linealmente
independiente (li o linealmente dependiente (ld), resultó el sistema de
ejercicios que se muestra en el anexo 4b.
2.4.- Concepción de los métodos de enseñanza a utilizar.
Los métodos concebidos para desarrollar el proceso de enseñanza – aprendizaje
fueron métodos productivos que propiciasen la participación de los alumnos y la
creación de condiciones interpersonales propicias para hacer matemática.
En el anexo 19 se han incluido los diferentes métodos y técnicas participativas
utilizadas, ellos son: el encuadre, discusión, aprendizaje en parejas y la rejilla.
El encuadre, que constituye el procedimiento mediante el cual se debe dar a
conocer la asignatura y las características del trabajo en la misma, se planificó
para ser utilizado en dos momentos: al inicio del programa para la enseñanza
explícita de la resolución de problemas matemáticos y al inicio de la asignatura
Algebra VI. (anexo 19)
El método de discusión se planificó para los siguientes momentos:
- Programa para la enseñanza explícita de la resolución de problemas
matemáticos:
En todas las clases dedicadas a resolver problemas de razonamiento lógico.
- Tema I (Algebra VI): Espacios Vectoriales.
Para el desarrollo del seminario para el estudio de los subespacios vectoriales.
Para la realización de las clases prácticas.
- Tema II (Algebra VI): Aplicaciones lineales.
Para el desarrollo de las clases prácticas.
97
El aprendizaje en parejas se planificó en el Tema II para el seminario donde se
abordaría el concepto de aplicación lineal, núcleo e imagen de una aplicación
lineal.
La técnica de la rejilla se planificó utilizarlo vinculado a la discusión en algunas
clases prácticas y seminarios, la idea fue que los estudiantes resolvieran los
problemas y luego dieran a conocer la solución a los demás en los restantes
equipos.
Por ejemplo, para la obtención de la caracterización de subespacio vectorial en el
Álgebra VI de la carrera de Licenciatura en Educación en Matemática y
Computación se planificó el siguiente problema:
Dado el espacio vectorial (R3,R,+,•) y el subconjunto de R3
A = {(x, 0,0): x∈ R}. Pruebe que si se cumple
Para todo a, b ∈ A y λ, µ ∈ R: λa + µb ∈ A.
Entonces A es un subespacio vectorial sobre R con las operaciones inducidas por
(R3, R, +, •) y recíprocamente.
a) ¿Cómo ustedes generalizarían el anterior problema?
b) ¿Qué ventajas reportaría esa generalización?
Al enfrentarse a este problema el alumno conoce la definición de subespacio
vectorial.
Para su solución debe enunciar la caracterización de subespacio y demostrarla y
hacer valoraciones acerca de las ventajas operativas de la misma con respecto a
la definición. La primera parte del problema brinda una orientación para inducir la
búsqueda del teorema y de su demostración, así como para reafirmar la
importancia del método inductivo (asociado al deductivo, por supuesto) en la
investigación matemática.
Nótese como el problema propuesto apunta a dos direcciones, primero a dar
determinada orientación y segundo al planteamiento de una situación problémica
(ejercicio del tipo 8, anexo 4). Este tipo de problemas tiene una importancia clave
para el desarrollo de esta propuesta metodológica, ya que su utilización entrena a
98
los alumnos en la búsqueda por si solos del conocimiento y propicia la creación de
un adecuado ambiente para hacer matemática. (105), (114)
En las actividades docentes se planificó la discusión de diferentes vías de solución
de un mismo problema siempre que fuera factible, así como incitar a los
estudiantes a la búsqueda de problemas para ser resueltos por el profesor.
2.5.- La concepción del sistema de evaluación.
El sistema de evaluación se concibió a partir del procedimiento propuesto por la
Rico, P. (91) y se estructuraron los diferentes pasos del mismo en la signatura
Algebra VI de la siguiente forma:
I. Orientación de la actividad.
− Al aplicar el encuadre se debe discutir lo relativo a la importancia del control y
la evaluación, precisando que para evaluar el desempeño en la resolución de
problemas matemáticos utilizaremos como guía el programa heurístico general.
(anexo 7)
− Los procedimientos algorítmicos se evaluarán tomando como referencia las
tarjetas de estudio que se elaboren.
II. Control y valoración de los trabajos.
− Al aplicar la discusión y la técnica de la rejilla en cada equipo los integrantes se
evaluarán unos a otros.
III. Discusión y análisis colectivo de los trabajos.
− Los resultados de la discusión en los equipos se exponen en el grupo,
designándose un equipo oponente al que le corresponde asignar una evaluación
al trabajo de los expositores.
IV. Autocontrol y Autovaloración.
− A lo largo de todo el semestre.
− Al finalizar las exposiciones, cada estudiante debe autovalorarse en el grupo.
Este procedimiento proporciona la evaluación frecuente, lo que se complementa
con la realización de un Trabajo de Control Parcial que abarca los contenidos del
Tema I.
99
La asignatura no tiene examen final. La evaluación final se planificó otorgarla en
colectivo, recordando los resultados de cada estudiante y pidiendo criterios al
grupo, sobre la base del cumplimiento por cada uno de los compromisos hechos
por el colectivo.
II.2.3.- Realización de las acciones de intervención.
3.1.- Desarrollo del programa para la enseñanza explícita de la resolución de
problemas matemáticos.
El propio objetivo declarado en el programa condujo a aceptar la necesidad de, a
través de la resolución de problemas de razonamiento lógico, entrenar a los
estudiantes en la utilización del programa heurístico general para la resolución de
problemas matemáticos.
El programa no fue dado a los estudiantes, sino que se elaboró a partir de sus
experiencias y de la discusión en clases de la solución de los problemas.
La vía seguida en clases fue la siguiente:
(Los estudiantes ya sabían qué cosa era un ejercicio y un problema)
− En la clase anterior se dejaron un grupo de problemas para su solución
(problemas 1,2,3,4 del anexo 17) y se les orientó a los estudiantes que trajeran
algún problema para “el disfrute del profesor”.
− Utilizando la discusión se analizó en cada uno de los equipos las soluciones
halladas, pidiéndoles a los estudiantes que reflexionaran sobre cómo habían
procedido para resolverlas.
− Seguidamente un alumno planteó un problema para que el profesor lo
resolviera (problema 5 del anexo 17).
− En su solución el profesor exteriorizó su forma de pensar, tratando de no
quedarse callado en ningún momento.
− Luego de la solución del problema por el profesor se procedió a elaborar el
programa en cuestión, a partir de todos los análisis realizados.
− En un inicio, los procedimientos que conformaron el programa heurístico fueron
los que aparecen marcados con * en el anexo 7, los restantes se fueron
100
agregando en la medida en que se realizaban reflexiones metacognitivas como la
descrita a lo largo del semestre.
Las 14 horas que se disponían para la ejecución del programa fueron distribuidas
en tres semanas, las dos primeras con 4 horas y la última con 6 horas.
Resultados de la observación participante (según anexo 27) en el desarrollo
del programa para la enseñanza explícita de la resolución de problemas
matemáticos.
En las dos primeras semanas hubo manifestaciones de indisciplina y algún
desorden en las clases, pensamos que producto de la utilización por vez primera
de las técnicas y métodos participativos y la novedad en la concepción de la clase,
sin embargo, estudiantes como Od, Gu, Ad, caracterizados como “indisciplinados
y ausentistas” mostraron haber hecho suyos los compromisos individuales y el
colectivo. Se pudo observar que esos estudiantes desde el primer día dejaron de
faltar a clases, se esforzaban por participar, traían las tareas.
A partir de la tercera semana se comenzó a observar el cambio: los estudiantes se
veían más motivados, estaban interesados en participar en las discusiones,
empezaron a resolver todos los problemas seleccionados para las clases, es
decir, comenzó un creciente aumento del ritmo de trabajo.
Con relación a la evaluación, en la etapa los estudiantes comenzaron a
familiarizarse con el sistema evaluativo concebido, el autocontrol y la
autoevaluación aún no fueron óptimas, pensamos que porque los estudiantes aún
no eran capaces de determinar sus propios conocimientos, dicho en otras
palabras, existían dificultades en “saber lo que no se sabe”.
La evaluación del trabajo de otros colegas en las dos primeras semanas fue
superficial, iban fundamentalmente a otorgar una nota, casi siempre 4 ó 5, sin
reflexionar primero en el proceder teniendo en cuenta el programa heurístico
elaborado. A partir de la semana tres se comenzó a observar un cambio de actitud
a la hora de evaluar los referidos trabajos.
La función del profesor en estas tres primeras semanas del curso, fue
fundamentalmente, tratar de convencer a los estudiantes de las ventajas
personales y colectivas de la propuesta de enseñanza - aprendizaje.
101
3.2.- Desarrollo del programa de la asignatura teniendo en cuenta la
planificación realizada.
En el desarrollo del semestre se llevaron a la práctica los diferentes aspectos
planificados para los componentes del proceso de enseñanza – aprendizaje en la
etapa anterior.
Resultados de la observación participante (según anexo 27) en el desarrollo
del programa de la asignatura Algebra VI.
Se pudo registrar que, desde las primeras clases los estudiantes mostraron un
interés creciente en participar en sus equipos y luego de discutir en el grupo la
solución de los problemas.
Estudiantes como Ax, Yu, Ir, que en la discusión individual se mostraron reticentes
a aceptar sus dificultades, fueron poco a poco destacándose en la valoración de
los trabajos de otros colegas y en la profundidad de los autoanálisis que
realizaban, se pudo observar que influyeron positivamente sobre los estudiantes
con mayores dificultades, ayudándolos, discutiendo con ellos sus soluciones.
A pesar de haber desarrollado previamente el programa para la enseñanza
explícita de la resolución de problemas matemáticos (que indudablemente
constituyó un entrenamiento para los estudiantes), en las primeras clases se
presentaron problemas con la utilización de los diferentes recursos y estrategias
metacognitivas. Los estudiantes trataban, en su gran mayoría, de empezar a
resolver los problemas sin haberlos comprendido, sin que mediara un análisis
profundo de las condiciones y sin buscar los conocimientos necesarios para
resolverlos.
Lo anteriormente señalado se atendió sistemáticamente en las discusiones de los
resultados del trabajo en el grupo, a partir de la tercera semana de clases se
comenzó a observar una tendencia a aumentar el tiempo dedicado a la
comprensión y al análisis del problema.
Con respecto a la utilización del concepto de combinación lineal de vectores como
célula generadora, se puede plantear que efectivamente propició una adecuada
estructuración del contenido. Los estudiantes tuvieron la posibilidad de enlazar los
102
diferentes conceptos de una forma más natural que como tradicionalmente se ha
hecho.
En la medida en que avanzaba el semestre se observaba cada vez más un
aumento en la seguridad de los estudiantes, eran más reflexivos y exigentes unos
con otros, la evaluación fue adquiriendo un significado más serio para ellos.
III.3. Evaluación de los resultados.
En el anexo 21 aparecen los resultados (Tablas de distribución de frecuencia) en
los cuatro indicadores para evaluar el estado de la capacidad para resolver
problemas luego de aplicar la propuesta metodológica,
El dispositivo de salida aplicado para obtenerlos está compuesto por la Prueba
Pedagógica del anexo 22, la Técnica del Pensar en Voz Alta cuya guía aparece en
el anexo 24 y el Cuestionario de Metaconocimiento del anexo 11.
Para el análisis de los resultados se procederá de forma análoga a como se hizo
en las anteriores aplicaciones, es decir, a partir de los resultados en las acciones
intelectuales reflexionaremos en los resultados de los otros tres indicadores.
Primera Acción: Comprender el problema.
Como se puede observar en el anexo 21, el 85% de los estudiantes está
clasificado en el nivel dos de la escala analítico – sintética, esto, se considera que
es el resultado de haber sido entrenados, a través de la resolución de problemas
matemáticos en la lectura previa y detallada de los problemas, en primero
entender a cabalidad “qué me dan” y “qué me piden”.
Este resultado tiene que ver también con los similares obtenidos en los demás
indicadores, en especial en la metacognición y en las bases de conocimientos.
Sobre este último, parece ser que la estructuración del conocimiento matemático,
a partir de la utilización de la célula generadora, facilitó la búsqueda de relaciones
entre los conocimientos del sujeto y las exigencias para actuar que planteaban los
problemas, esto por supuesto dentro de los marcos del Algebra Lineal.
Segunda Acción: Analizar el problema.
El 40% de los estudiantes está clasificado en el nivel uno de la escala analítico
sintética y el 60% en el nivel dos.
103
Resulta interesante el hecho de que la calidad de los procesos psíquicos que
intervienen en la resolución de problemas matemáticos, en esta etapa es superior
a las etapas anteriores, el 70% de los estudiantes muestra una buena
independencia (en este indicador están clasificados en el nivel 2 de la escala, ver
anexo 21) y el 60% muestra una buena productividad. (Ibídem)
Las mediciones obtenidas para esta acción están en correspondencia con las
obtenidas para el resto de los indicadores.
Tercera acción: Solucionar el problema.
El 65% de los estudiantes está clasificado en el nivel dos de la escala, esto es
consecuencia de los resultados alcanzados en las dos acciones anteriores, en la
metacognición y en las bases de conocimientos.
No se detectaron estudiantes que arrastraran errores del análisis para la solución
de los problemas, lo que puede entenderse como una mejoría en el control
ejecutivo del proceder.
Cuarta acción: Evaluar la solución del problema.
El 50% de la muestra seleccionada clasifica en el nivel 2 de la escala y el resto en
el nivel 1 como puede observarse en el anexo 21, las mayores dificultades en la
ejecución de esta acción estuvieron en las operaciones valorar y tomar decisiones.
Todavía subsisten problemas a la hora de valorar críticamente el trabajo realizado
y tomar las decisiones en lo referido a cuáles son los procedimientos más
apropiados para solucionar los problemas.
Los principales resultados de esta aplicación de salida pueden resumirse en
que:
− La realización de acciones intelectuales para la resolución de problemas
matemáticos en el Algebra Lineal es satisfactoria, aunque se manifiestan aún
algunas dificultades en la ejecución de la acción “evaluar la solución de los
problemas”.
− La calidad con que transcurren los procesos psíquicos que intervienen en la
resolución de problemas matemáticos es alta en aproximadamente el 50% de la
muestra. Las mayores dificultades están en lo relativo a la originalidad y la
profundidad.
104
− En lo relativo a la metacognición, las dificultades principales están en la
realización del control ejecutivo. El 60% de los sujetos presenta problemas en el
monitoreo y control de la actividad.
Comparación de los resultados del diagnóstico y los obtenidos luego de
desarrollar la propuesta metodológica.
Para comparar los resultados del diagnóstico con los obtenidos luego de aplicar la
Propuesta Metodológica se utilizó la Prueba de Rangos con signos de Wilcoxon
descrita en el anexo 25, como resultado de la prueba puede afirmarse que la
diferencia entre estos últimos resultados y los del diagnóstico es significativa en
todos los indicadores en la muestra seleccionada y que por lo tanto la Propuesta
Metodológica descrita es efectiva para ella.
Está claro que, a partir de los resultados anteriores es imposible hacer
generalizaciones absolutas, sin embargo, desde el punto de vista teórico esos
resultados fueron fundamentados, pero además, uno de los propósitos de esta
investigación es profundizar en la estructura del proceso de resolución de
problemas, en primer lugar dentro de la personalidad del sujeto, y al decir de
Martínez, M. (70: 107) “lo universal no es aquello que se repite muchas veces,
sino lo que pertenece al ser en que se habla por esencia y necesariamente. La
captación de lo esencial depende más de la agudeza intelectual que del uso de
técnicas”.
El desarrollo de la propuesta metodológica en condiciones experimentales
permitió la creación de condiciones interpersonales propicias para hacer
matemáticas, los resultados obtenidos en el aspecto motivacional afectivo y cuya
observación fue descrita en párrafos precedentes, permiten afirmar que todo el
trabajo concebido para los componentes del proceso de enseñanza – aprendizaje
de la resolución de problemas se desarrolló en un marco motivado.
Análisis de la relación entre los cuatro indicadores de las dos dimensiones
de la capacidad para resolver problemas matemáticos.
Tratando de reafirmar la esencia de esta investigación, que como se ha dicho
radica en el carácter de sistema del proceso de resolución de problemas y la
concatenación entre los elementos que conforman estructuralmente la capacidad
105
para resolver problemas matemáticos, se decidió aplicar la técnica de Coeficientes
de Correlación de Rangos de Spearman con corrección por ligaduras para
comprobar la existencia de correlación entre los cuatro indicadores utilizados para
evaluar el estado de la capacidad para resolver problemas.
En el anexo 26 pueden apreciarse los resultados de la Prueba de Rangos de
Spearman entre los cuatro indicadores del Estudio y luego de haber aplicado la
Propuesta Metodológica, entre estos existe una alta correlación, lo que
efectivamente verifica los resultados teóricos planteados en este trabajo.
Conclusiones del capítulo:
• La realización del estudio exploratorio permitió validar en la práctica
la metodología para evaluar el estado de la capacidad para resolver
problemas matemáticos, mostrando los aspectos a favor y en contra de la
misma a los efectos de la investigación.
• La etapa de planificación en la propuesta metodológica tiene una
importancia clave, sin una buena preparación no puede pretenderse
contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas
matemáticos.
• El programa para la enseñanza explícita de la resolución de
problemas matemáticos permite entrenar a los estudiantes en la
utilización del programa heurístico y la asimilación de las nuevas formas
de evaluación y de trabajo en clases.
• El análisis comparativo del diagnóstico y los resultados luego de
aplicar la propuesta metodológica; los resultados de la observación en los
diferentes momentos y el análisis teórico realizado en esta tesis permiten
aceptar como válida la hipótesis de investigación.
106
Conclusiones.
• En la concepción de la enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la escuela
media cubana, aparecen implícita o explícitamente manifestaciones de las
interpretaciones hechas por el conductismo, el cognitivismo, el humanismo y el
enfoque histórico – cultural acerca del aprendizaje; en ninguno de estos sistemas de
la psicología se pudo encontrar un marco teórico lo suficientemente elaborado para
explicar la enseñanza – aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos. La
sistematización de la perspectiva dialéctica – humanista, integrando en ella los
principales resultados para el estudio de la capacidad para resolver problemas
matemáticos que han proporcionado el enfoque histórico cultural y la teoría del
procesamiento de la información permite definir un referente teórico apropiado para
abordar la referida capacidad.
• Sobre la base de la perspectiva dialéctica – humanista, e introduciendo como
recursos metodológicos para estudiar la resolución de problemas matemáticos los
enfoques personológico y sistémico, es posible caracterizar a esta importante
actividad de enseñanza – aprendizaje como una capacidad específica que se
desarrolla a través de este proceso y que se configura en la personalidad del
individuo al sistematizar, con determinada calidad y haciendo uso de la
metacognición, acciones y conocimientos que participan en la resolución de
problemas matemáticos. Esta caracterización condiciona una concepción de los
diferentes componentes del proceso de enseñanza – aprendizaje que tenga como
centro de atención al estudiante y que propicie el desarrollo de condiciones
motivacionales propicias para hacer matemáticas.
• El análisis de la estructura de la capacidad para resolver problemas matemáticos
revela que la misma está conformada por dos dimensiones; la dimensión procesal
que comprende los procesos psíquicos que intervienen en el proceso de resolución
de problemas matemáticos y tiene su salida en la calidad con que se desarrollan los
mismos y en lo referido a las manifestaciones de los conocimientos del sujeto acerca
�PÁGINA �107�
de sus propios conocimientos para la resolución de los problemas (que incluye los
elementos de heurística necesarios) y en el control de su proceder, es decir la
metacognición; por su parte, la dimensión instrumental comprende las acciones
necesarias para la resolver los problemas matemáticos y el conocimiento
matemático necesario para ello. Los diferentes indicadores mencionados conforman
un sistema donde existe una alta correlación entre ellos, según pudo constatarse
experimentalmente.
• La referida concepción de los componentes del proceso de enseñanza –
aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos, es aplicable en la práctica
al utilizar la propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de la capacidad
para resolver problemas matemáticos descrita en esta tesis. La propuesta contempla
tres momentos para su desarrollo: etapa de realización de acciones de diagnóstico,
etapa de realización de acciones de preparación y etapa de realización de acciones
de intervención; en cada de las etapas se realizan acciones encaminadas a
materializar la concepción teórica de los diferentes componentes del proceso de
enseñanza aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos, lo que se
traduce en acciones encaminadas a propiciar el desarrollo de la capacidad en
cuestión.
• Los resultados obtenidos luego de aplicar la propuesta metodológica son
significativamente superiores en cada uno de los indicadores que caracterizan la
capacidad para resolver problemas matemáticos, así mismo, los resultados de la
observación confirman las posibilidades de la misma para la creación de un
ambiente motivacional propicio para hacer matemáticas, por todo lo cual se acepta
como válida la hipótesis de investigación declarada.
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Recomendaciones. • La propuesta metodológica, así como la metodología para evaluar el estado de la
capacidad para resolver problemas matemáticos que aparecen en esta tesis
pudieran ser utilizadas en cualquiera de los centros educacionales del país, fueron
elaboradas a partir de una conceptualización del problema de investigación y por lo
tanto tienen ambas carácter general. La metodología para la evaluación del estado
de la capacidad para resolver problemas matemáticos pudiera ser utilizada en otras
investigaciones con el propósito de caracterizar el aprendizaje de los estudiantes.
• Se recomienda continuar investigando algunos problemas que quedan abiertos
en esta tesis y que son de importancia teórica – práctica, su estudio ampliaría las
posibilidades del desarrollo del intelecto humano a través de la enseñanza –
aprendizaje de la Matemática, entre ellos están:
El funcionamiento del sistema motivacional – afectivo de la
personalidad en la enseñanza – aprendizaje de la resolución de
problemas matemáticos,
La relación inteligencia, talento y creatividad con la capacidad para
resolver problemas matemáticos.
La relación funcional entre otras capacidades y la capacidad para
resolver problemas matemáticos, como pudiera ser el caso de la
capacidad para plantear problemas.
�PÁGINA �109�
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