Una revisión histórica de la ecuación cúbica como reflexión para su enseñanza.

Alma Rosa Fernández ÁngelSADD – Agosto 2012

A B C D

D Es verdadero!

Profesor:

Alumno:

A

B C

D¿Para qué quiero comprobar?:

¿por qué debo suponer?

¿A quién se le ocurrió pensar que:Implica ?

¿Cómo aprovechar el desarrollo Histórico de las matemáticas para desarrollar

una clase, buscando mejorar el aprendizaje del tema?

Al proponer esta forma de manejo de la historia de las matemáticas en el salón de clase, se puede considerar lo que Fauvel (1991) propone :

.

• Anécdotas matemáticas

• Introducción histórica de conceptos

• Problemas históricos que generan nuevos contenidos

• Historia de las matemáticas

.• Idear

ejercicios utilizados en textos del pasado.

• Proyectos con tema matemático local

• Ejemplos del pasado para ilustrar técnicas y métodos..

• Explorar errores del pasado para dificultades de aprendizaje.

• Idear aproximaciones pedagógicas según desarrollo histórico.

• Idear orden y estructura de los temas en programas.

Enseñanza con

história.

Fauvel

Bishop

Ernest

Freudenthal

Arcavi

NCTM

ALGEBRA

RIQUEZA

MOV. MERCANTILE

S

COMPRAS DEUDAS

VENTAS

TIERRAS

SUMERIOS (3000 A.C.)

BABILONIOS (1700 A.C.)

ÁRABES (820 D.C)

GRIEGOS

PERSAS

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmo

Descartes busca la solución de la ecuación cúbica con la intersección

de una circunferencia (x-h)2+(y-k)2=R2 con la parábola y=x2

ECUACIONES A LA ITALIANA.

Luca Pacioli

Casos particulares

Scipione del Ferro

x3 + ax + b = 0

Antonio del Fiore

x3 + ax2 +b = 0

Scipione del Ferro

Girolamo CardanoTartaglia

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Ludovico Ferrari

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

Ars Magna

SOLUCIÓN GENERAL.

Consideremos la ecuación general de tercer grado:

Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0

Como A ≠ 0 , no se pierde generalidad si al dividir la ecuación anterior entre A, escribimos:

x3 + bx2 + cx + d = 0

Hacemos la sustitución:

x = y - b/3

( Ψ )

Obtenemos:

y3 c b2

3

y d

bc

3

2b3

27

0

En consecuencia, resolver la ecuación cúbica ( Ψ ), se reduce a resolver la ecuación:

y3 py q 0

donde:

p c b2

3y q d

bc

3

2b3

27

Esto implica que:

x1 y1 b

3

x2 y2 b

3

x3 y3 b

3

Ahora escribimos:

y u v

Tenemos que:

(u v)3 p(u v) q 0

Luego:

u3 v3 q (3uv p)(u v) 0

( λ )

Cualquiera que sea el valor numérico de la suma de (en este caso una

raíz de la ecuación anterior), siempre podemos determinar a u y v imponiéndoles la condición adicional de que su producto uv

sea un número prefijado.Imponiendo al condición adicional:

uv p

3Sustituyendo en ( λ ) tenemos:

u3 v3 q 0

y u v

Y de las dos expresiones anteriores se obtiene:

u3v3 p3

27

Puesto que:

(z u3)(z v3) z2 (u3 v3)z u3v3

Entonces por lo anterior u3 y v3 son las dos soluciones de la ecuación de segundo grado:

z2 qz p3

270 ( α )

Por otro lado, las soluciones de la ecuación ( α ), viene dadas por :

z1 q

2q2

4p3

27y z2

q

2q2

4p3

27

Escribiendo::

y v3 z2

Cada una de las ecuaciones tiene tres raíces tanto para z1 como para z2.

u3 z1

Las raíces de:

u3 z1son:

u1 u2 wu1, y u3 w

2u1

Y las raíces de:

v3 z2

son:

v1 , v2 wv1 y v3 w2v1

Ahora denotaremos:

u1 q

2q2

4p3

273 y v1

q

2q2

4p3

273

Entonces las raíces de:

y3 py q 0

son:

y1 u1 v1

y2 wu1 w2v1

y3 w2u1 wv1

Conocidas como las fórmulas de Cardano.

RAFAEL BOMBELLI (1526-1572)

Resolver las ecuaciones cúbicas con las formulas de Cardano, nos encontramos ante un hecho, que el discriminante sea

menor que cero:

entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada de un número negativo.

Cardano en su Álgebra de 1572 presenta La ecuación:

x3=15x+4 (d)

Resolviendo encontramos que las tres soluciones de la cúbica son

reales. Si aplicamos las fórmulas de Cardano con

p=15 y q=4, como , entonces:

Con las cuales Cardano no sabe que hacer, y las llama “irreducibles”

Bombelli hace lo siguiente:

,

Esto se da si:

Por lo que tiene sentido decir que:

De la misma forma:

Así, una raíz de la ecuación ( ) d es:

El razonamiento de Bombelli planteó enormes problemas: ¿Cómo se sabe por adelantado

que va a ser raíz cúbica de ?

Y entonces surge la necesidad de introducir otros elementos.

François Viète (1540-1603)

,

Analiza nuevamente la ecuación cúbica:

con

Esto es trabaja con:

con

Y la identidad trigonométrica:

Llegando a la solución:

Esto no es real (los imaginarios)

Propuesta de clase

ContenidosEcuaciones algebraicas

Ecuación cúbica

Solución general

Trigonometría

Teorema fundamental del algebra

Números complejos

actividadesLectura

de artículos históricos

Identificación de problemas

Discusión

Profundizar información

Institucionalizar

(profesor)

Evaluación

Referencias bibliográficas• Bautista, R (2002). Conferencia La Solución de Ecuaciones como

Motor del Desarrollo del Algebra, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora, durante la XII Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas

• Baumgart, J. et al. (1989). Historical Topics for the Mathematics

• Classroom. NCTM. Reston, Virginia.

• Kaster, E., Newman, J. (1978). Matemáticas e Imaginación. • Compañía Editorial Continental, S.A. D.F., México.

• Kolmogorov, A. Aleksandrov, A. y otros (1985). La Matemática:

• su contenido, método y significado. Alianza Editorial. Madrid.

• Moreno, R. (2001) Andanzas y aventuras de las ecuaciones cúbicas y cuárticas a su paso por España. Un capítulo de la historia del álgebra española. Colección “línea 300” Editorial Complutense.

• Madrid.   Pérez, J. Sánchez, C. (2007). Historia de las Matemáticas: Ecuaciones Algebraicas. Cursos THALES. Andalucía.

• Rico, L. (Coord.).(2000). La educación matemática en la enseñanza secundaría. Horsori Editorial, S.I.

• Sierra, M. (2009), Notas De Historia De Las Matemáticas Para El Currículo De Secundaria, en http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/view/122/116

• Stewart, I. (2009) Historia de las matemáticas. Crítica. Barcelona

• Várrilly, J. (1986) La enseñanza de las matemáticas con un énfasis histórico. Revista de Filosofía de la Universidad de Costa Rica, ISSN 0034-8252, Nº. Extra 59, págs. 75-78. Costa Rica.

• Revista digital Matemática (2008), Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 9, No 1.