una sinfonía de Φ en clave de seis. un círculo… … y un triángulo equilátero inscrito
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Una sinfonía Una sinfonía de de ΦΦ
enen
Clave de Clave de SeisSeis
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Un círculo…
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… y un triángulo equilátero inscrito
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Los puntos medios de sus lados
Mediatriz,
Mediana
Bisectriz,
Altura
Circuncentro,
Baricentro,
Incentro
Ortocentro
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… y la CUERDA que pasa por ellos
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¡Queda dividida EN MEDIA y EXTREMA RAZÓN …!
por los lados del triángulo
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La Sección o partición de un segmento en MEDIA y EXTREMA RAZÓN está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III). La idea es tan simple
como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el
total, es decir, la suma de ambas.
Si AC = a, CB = b, AB = a + b, donde CB es el segmento menor, el segmento partido en Razón Áurea debe cumplir que:
b
a
a
baФ
a b
a + b
CB
AC
AC
AB
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x 1/Φ2
x 1/Φ
1/Φ
1/Φ
1/Φ2
1/Φ
1
1
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1/Φ3
1
1/Φ
1
1/Φ2
1/Φ
1/Φ2
1/Φ2
1/Φ
x 1/Φ
x 1/Φ
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Demostración:
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Éstos triángulos son cartabones, luego
son
semejantes
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1
23
1
3
1
3
2
33
43
3
1Radio
Si, por
comodidad
3
3
1
entonces
y
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33
4 3
1
53
1
3
3422
5 1
Con el Teorema de Pitágoras se deduce que
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Lo que DEMUESTRA que:
1
2
15 3
1
35
33
43
2
33
2
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2 15
Y, por tanto
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1 2
15
Reduciendo la escala a la mitad …
Φ
1/Φ
… tenemos lo que queríamos demostrar
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Las tres mediatrices
¡Y la propina!
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Los tres segmentos áureos
Φ
11
1 1
1 1
ΦΦ
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Si unimos los seis puntos tenemos…
1
Φ
1
1
Φ
1
Φ
1 1
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El hexágono áureo con ángulos iguales
1
1
1
1 + Φ = Φ2
Φ2Φ2
120º
1 + Φ2
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El hexágono
ÁUREO
1
1
1
1 + Φ = Φ2
Φ2Φ2
120º
1 + Φ2
El lado menor
El lado mayor
¡Y esta diagonal
es la suma de los lados!
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Y aquí está el romboide áureo
1
Φ
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Y el trapecio isósceles áureo
Φ
1
1/Φ
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11/Φ
1/Φ
1/Φ2
1/Φ2
1/Φ3
El Secreto de El Secreto de ΦΦ : RECURSIVIDAD : RECURSIVIDAD
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En esta figura se observa que hay dos cuerdas, el lado CD y la diagonal AB del hexágono, que son cortadas en MEDIA y EXTREMA RAZÓN pon los lados del triángulo equilátero. Lo que evidencia, una vez más, la COMPACIDAD de Φ.
1 Φ 1
1/Φ1 1C D
A B
1/Φ1/Φ 1 1