Sistemes analògics i digitalsEls sistemes que treballen amb senyals de tipus continu amb un marge de variació determinat s’anomenen sistemes analògics. En aquests sistemes la informació pot adquirir infi nits valors diferents de manera contínua en un interval donat. Hi ha una gran quantitat de fenòmens i de paràmetres físics considerats analògics: la temperatura, la pressió, el soroll, el pes, la velocitat, etc. El principal avantatge del sistema analògic és que la informació conté infinits valors instantanis i, per tant, resulta molt completa.Els sistemes digitals, en canvi, treballen amb senyals tot o res, anomenats també binaris, que només poden representar dos estats o nivells: obert o tancat, activat o desactivat, connexió o desconnexió, etcEls sistemes digitals, basats en l’electrònica digital, s’empren en processament de dades, equips de navegació marítima i aèria, telecomunicacions,sistemes informàtics, àudio i vídeo, etc. Aquest fort desenvolupament és motivat pels interessants avantatges que aporta: còmode d’utilitzar, senzill de transmetre, gens complicat de processar i fàcil d’emmagatzemar.

Exemple sistema mixteLa captació de temperatura, magnitud física analògica, es du a terme mitjançant un transductor que proporciona un senyal elèctric analògic proporcional al valor de temperatura mesurat. El senyal obtingutpel transductor s’amplifi ca mitjançant un amplifi cador analògic. A continuació, es converteix el senyal elèctric analògic en digital, es processen les dades, es memoritza el resultat i es visualitza per mitjà d’un visualitzador de cristall líquid. En aquest exemple, la temperatura, com a magnitud física, el transductor i l’amplifi cador són analògics. En canvi, el sistema de processament de dades, la memòria i el visualitzador són digitals.

Sistemes de numeració

Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles emprats per representar dades numèriques o quantitats.

El sistema decimalSistema de base 10, que deriva de l’antic sistema numèric indoaràbic. Possiblement es va adoptar aquest sistema perquè tenim deu dits a les mans. Qualsevol nombre decimal es pot descompondre en potències de 10. Per exemple, el número 384,27 pot expressar-se de la manera següent:

384,27 = 300 + 80 + 4 + 0,2 + 0,07384,27 = 3 · 102 + 8 · 101 + 4 · 100 + 2 · 10−1 + 7 · 10−2

Es pot generalitzar per a qualsevol nombre de qualsevol tipus de numeració:

Nx = a

n · Xn + a

n−1 · Xn−1 + ...+ a

1 · X1 + a

0 · X0 + a

−1 · X−1 +...+ a

(n−1) · X−(n−1) + a

−n · X−n

en què Nx = Nombre en el sistema de numeració determinat.a = Xifra o dígit pertanyent al sistema.X = Base del sistema de numeració.n = Posició relativa respecte del punt decimal

El sistema binari

El sistema binari és un sistema de base 2 que utilitza únicament dos símbols diferents, anomenats estats o valors: l’1 (que representa presència de senyal) i el 0 (que en representa l’absència). El bit (contracció de l’expressió anglesa binary digit) és, doncs, la unitat bàsica d’informació. Per representar nombres binaris negatius en sistemes digitals hi ha diferents mètodes; un dels més senzills consisteix a utilitzar el primer bit de l’esquerra de cada nombre binari per indicar-ne el signe. Si el valor d’aquest bit, anomenat bit de signe, és 0, es considera que el nombre és positiu. Si el seu valor és 1, el nombre és negatiu.

Conversió del sistema decimal al binariEn el segle XVII el matemàtic i fi lòsof Gottfried Leibnitz ja va sistematitzar i documentar el sistema binari. Posteriorment, a mitjan segle XIX, el matemàtic George Boole va desenvolupar l’àlgebra que porta el seu nom.Al segle XX,l’enginyer i matemàtic americà Claude Shannon va demostrar que les operacions binàries elementals es podien fer amb circuits elèctrics obrint i tancant circuits.

Operacions aritmètiques amb nombres binaris

Sustracción en binarioLa subtracció binària és una operació aritmètica semblant a l’efectuada amb nombres decimals. Per fer l’operació matemàtica

haurem de considerar quatre combinacions:

Les restes 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidents:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

La resta 0 – 1 es resol, igual que en el sistema decimal, prenent una unitat prestada de la posició seguent.

10 - 1, es decir, 210

– 110

= 1.  Aquesta unitat prestada ha de retornar-se, sumant-la a la posició seguent

Multiplicació i divisió binària

Codi BCD

Quan s’han de representar nombres relativament elevats en codi binari, el nombre de bits augmenta considerablement, la qual cosa en dificulta la conversió al sistema decimal.Per salvar aquest inconvenient s’utilitza, entre d’altres, el codi BCD (binary coded decimal). Es representa per separat cadascun dels seus dígits decimals mitjançant grups de 4 bits, la qual cosa facilita la conversió de binari a decimal i de decimal a binari.

Exercicis 3,4,5,6

Principis de l’Àlgebra de Boole

Conjunt de lleis i postulats que es coneix amb el nom d’àlgebra de Boole, en honor al matemàtic irlandès George Boole (1815-1864).

Funcions i portes lògiques

Una funció lògica és una expressió algebraica formada per variables binàries sobre les quals s’executen operacions lògiques. Els circuits electrònics que efectuen directament les diferents funcions o operacions lògiques s’anomenen portes lògiques.

La taula de veritat, representa de manera ordenada totes les combinacions possibles dels valors d’entrada i la sortida que s’obtenen. D’aquesta manera, per a n variables diferents, el nombre de combinacions serà de 2n; dues variables suposaran quatre combinacions; tres variables, vuit combinacions.

Funcions bàsiques de l’Àlgebra de Boole

En l’àlgebra de Boole es defi neixen tres operacions lògiques fonamentals:

L’addició lògica o operació O (OR en anglès).El producte lògic o operació I (AND en anglès).El complement o la inversió, també operació NO (NOT en anglès).

La regla general és:

0 + a = a1 + a = 1

La regla general

0 · a = 01 · a = a

Les regles generals son:

Portes lògiques especials

Esquemes de circuits lògics

Per obtenir el circuit amb portes lògiques a partir d’una expressió matemàtica, només cal utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que cal efectuar. Per obtenir l’equació lògica a partir de l’esquema d’un circuit es fa l’operació inversa. Es parteix de les variables d’entrada i es col·loca a la sortida de cada porta l’equació que la resol, d’acord amb les seves variables d’entrada. Les sortides de les portes es tracten com a entrades de les portes a les quals estan connectades, i així successivament fins a arribar a la sortida fi nal del circuit.

Obtenciò de taules de veritat

La taula de veritat d’un circuit lògic, pot obtenir-se a partir dels requeriments que ha de complir la sortida del circuit en funció de les entrades, i també a partir de l’esquema del circuit o de l’expressió lògica.Per confeccionar la taula de veritat a partir de l’esquema cal considerar totes les combinacions possibles de les variables d’entrada i posteriorment obtenir, per a cada combinació, el valor lògic corresponent de la sortida.

w w w .x te c .c a t/a u la n e t/u d /c f/e le c tro n ic a /in d e x .h tm

Propietats bàsiques de l’àlgebra de Boole

Obtenció de funcions a partir de la taula de veritat

Per resoldre circuits logics combinacionals amb portes logiques normalment se segueix un proces, el primer pas del qual consisteix a coneixer l’enunciat del problema. A continuacio es confecciona la taula de veritat, a partir de les condicions plantejades, i s’estableix per a cada combinacio possible de les entrades l’estat de la sortida o sortides. A partir de la taula de veritat podem obtenir la funcio logica de dues maneres diferents:

Com a suma de productes o minterms.

Aquesta expressio logica minterm s’obte addicionant tots els productes logics de les variables d’entrada de les fi les, la sortida de les quals val 1.

Com a producte de sumes o maxterms.

Aquesta forma d’expressio logica s’obte a partir del producte de les sumes de les combinacions de les variables d’entrada, de les files la sortida de les quals es 0

En la simplificacio de funcions els teoremes de Morgan ens poden ser utils.

Una estrategia que s’utilitza per aconseguir implementar un circuit amb portes NAND o amb portes NOR es aplicar la doble negacio, amb la qual cosa no s’altera l’expressio, i despres aplicar els postulats de Morgan.

Simplificació de funcions

La simplifi cacio d’equacions permet d’obtenir circuits logics mes simples i senzills, amb el conseguent estalvi

economic, d’espai, de temps, de consum, d’avaries, etc

Mapes de Karnaugh. És un dels mètodes més pràctics quan el nombre de variables per simplificar no és gaire elevat

(no superior a 5). Es tracta d’un mètode basat en els teoremes d’àlgebra de Boole per simplificar gràficament les

expressions lògiques i parteix, generalment, de la funció lògica en forma de minterms. S’utilitzen unes taules o

diagrames, anomenats mapes de Karnaugh.

Activitats de la 7 a la 15Simplificació per KarnaughMés Karnaugh

3.25. Diseñar un circuito que, estando constituido por cuatro pulsadores, a b, c y d, y dos lámparas L1 y L2, cumpla las siguientes condiciones de funcionamiento:

L1 se enciende si se pulsan tres pulsadores cualesquieraL2 se enciende si se pulsan los cuatro pulsadoresSi se pulsa un solo pulsador, se éste el que sea, se encenderán L1 y L2

3.26. Diseñar el circuito de control de un motor mediante tres pulsadores, a b y c, que cumpla las siguientes condiciones de funcionamiento:

Si se pulsan los tres pulsadores, el motor se activa.Si se pulsan dos pulsadores cualesquiera, el motor se activa, pero se enciende una lámpara de peligro

3.31. Diseñar el sistema que aparece en la figura, constituido por cuatro interruptores a,b, c y d, en cuyas posiciones de activados introducen un nivel 1 a las respectivas entradas del bloque A.Las salidas del bloque A cumplen las siguientes normas:F1 se activa con 1 cuando existen dos interruptores no contiguos que estén desactivados. Por razones de seguridad, si a=1, b=0, c=0, d=1.....F1=1 y también a=0, b=1, c=1 d=0....F1=0F2 se activa con 1 cuando hay dos o más interruptores activadosF3 se activa con 1 cuando hay alguno de los interruptores extremos activados.

Las salidas del bloque A se encuentran conectadas a tres pequeños pilotos P1, P2 y P3, así como a las entradas del bloque B.Por último, las salidas del bloque B representan la codificación en binario del número de pilotos encendidos que hay en su entrada.Se desea la implementación con puertas lógicas de los bloques A y B.

Circuits digitals combinacionalsA mes de les portes logiques hi ha una gran varietat de circuits combinacionals i sequencials que estan disponibles en xips com a blocs funcionals de manera que l’usuari nomes ha de coneixer-ne el funcionament sense entrar en el detall de com s’ha resolt amb les portes basiques.

Els sistemes o circuits digitals combinacionals són aquells en què, a cada instant, l’estat lògic de les seves sortides depèn únicament de l’estat de les seves entrades.

Inicialment els circuits integrats es classifiquen pel nombre d'elements que els formen:

Els circuits combinacionals MSI es classifiquen, segons la funcio que desenvolupen en l’interior dels sistemes digitals, en els grups seguents:

Circuits de comunicació. Serveixen tant per transmetre informacio per una linia com per codifi car, descodifi car o modifi car l’estructura d’aquesta informacio. Els mes importants son els codifi cadors, descodifi cadors i els multiplexors i desmultiplexors.

Circuits aritmètics. Son circuits que fan una serie d’operacions aritmetiques amb les dades binaries que processen. Els mes signifi catius son els comparadors, els sumadors i els restadors.

* SSI (Small Scale Integration) petit nivell: inferior a 12 * MSI (Medium Scale Integration) mitjà: 12 a 99 * LSI (Large Scale Integration) gran : 100 a 9999 * VLSI (Very Large Scale Integration) molt gran : 10 000 a 99 999 * ULSI (Ultra Large Scale Integration) ultra gran : igual o superior a 100 000

Circuits de comunicació

Codificadors

Els sistemes digitals treballen amb codis binaris, mentre que, les persones utilitzem altres tipus de codis per comunicar-nos: el sistema de numeracio decimal, l’alfabet, els simbols aritmetics, etc. Per aixo, quan premem una tecla d’una maquina digital, com ara una calculadora o un ordinador, cal traduir aquest simbol conegut per nosaltres a un codi que la maquina pugui interpretar

Un codificador és un circuit combinacional amb 2N entradas y N salidas, la missió del qual és presentar a la sortida el códi binari corresponent a l'entrada activada.

Els codificadors sense prioritat son aquells en que nomes pot activar-se una entrada cada cop, ja que en el cas d’activar mes d’una entrada simultaniament apareixen codis binaris erronis a les sortides. Per evitar aquest problema es fan servir els codificadors amb prioritat, perque en el cas d’activar-se simultaniament dues o mes entrades, a la sortida s’obte el codi de l’entrada prioritari.

Descodificadors

Els d e s co d if i ca d o rs s ’e m p re n e n s is t e m e s d ig it a ls p e r co nve rt ir inf o rm a cio ns b inà rie s , a m b le s q ua ls t re b a lle n, e n a lt re s

t ip us d ’inf o rm a cio ns d ig it a lit za d e s ( no b inà rie s )

Un d e s co d if ica d o r é s un circuit co m b ina cio na l p ro ve ït d e n e nt ra d e s i un no m b re d e s o rt id e s m e no r o ig ua l q ue 2 n q ue

co nve rt e ixe n un co d i b ina ri a q ua ls e vo l a lt re co d i. Funcio ne n b à s ica m e nt d e m a ne ra q ue , e n a p a rè ixe r una co m b ina ció b inà ria

e n le s s e ve s e nt ra d e s , s ’a ct iva una s o la d e le s s e ve s s o rt id e s

Un d e ls d e s co d if ica d o rs m é s ut ilit za t s é s e l d e BCD a 7 s e g m e nt s

Multiplexors i desmultiplexors

Els multiplexors són sistemes combinacionals que posseeixen n entrades D d’informació o canals, m entrades E de selecció o control, una única sortida S d’informació i una entrada EI d’inhibició o autorització (opcional). La relació entre el nombre de canals d’entrada i les entrades de selecció és 2m = n.

Mitjançant un senyal de control seleccionem una de les entrades i que aquesta aparegui a la sortida. Fent una analogiaElèctica, podem comparar un multiplexor com un conmutador de diverses posicions, de manera que, situant el selector en una de les posibles entrades, aquesta apareixerà a la sortida.

Els desmultiplexors fan la funció inversa dels multiplexors. Així, tenen una única entrada de dades D, un nombre determinat n de sortides S i m entrades de control o selecció E, de manera que 2m = n. La seva funció consisteix a transmetre la informació, present en l’entrada D, fi ns a la sortida Sn seleccionada mitjançant les entrades de control.

Exercicic 17,18,19,20