undicesima lezione unocchiata più da vicino alle leggi di faraday e lenz, mutua ed autoinduzione
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Undicesima Lezione
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz, mutua ed autoinduzione
Riassunto della lezione precedente Campo magnetico in alcune strutture Confronto dipolo magnetico/elettrico Il potenziale vettore Legge di Faraday in forma integrale Legge di Lenz Legge di Faraday in forma differenziale alcune considerazioni qualitative sugli
invarianti
La relatività dei campi magnetici ed elettrici Abbiamo chiuso la precedente lezione con un apparente paradosso;
vediamo in un caso semplice come non si tratti di paradosso Supponiamo di avere un filo percorso da corrente ed una particella carica in moto con
velocità v. Immaginiamo che anche gli elettroni si muovono con velocità v (per semplificare)
Sue sistemi di riferimento: S solidale al filo, S’ alla carica
Il filo è globalmente neutro nel sistema S: + -
S
+
v+ =0
r -
v- =v
v
S’
’+v’+=-v
r ’-
v’- =0
La relatività dei campi magnetici ed elettrici
Nel sistema S sappiamo che la forza magnetica agisce sulla carica:
Abbiamo usato la legge di Biot-Savart; riscriviamo I come JA, ovvero -vA
Cosa succede in S’? Il filo sembrerebbe neutro e non c’è campo magnetico… quindi cosa?
In realtà la quantità di carica (non la densità!) è un invariante, cioè non cambia da un sistema all’altro, o non si conserverebbe la carica
BvF
q rIqvr
u
2
0
rc
vAq
ru
2
2
02
1
Dove abbiamo anche riusato la definizione di 0
Dovremo ricalcolare le densità di carica in S’ tenendo conto della quantità totale di carica e del volume
La relatività dei campi magnetici ed elettrici
La quantità di carica nel sistema in quiete è
Nel sistema in moto invece
con
quindi
ALQ 00
Ora consideriamo separatamente e nel nostro caso:
S
+
v+ =0
r -
v- =v
v
S’
’+
v’+=-v
r ’-
v’- =0
A
L0
L
LAQ
220 /1 cvLL
220 /1/ cv
in riposo in S ed in moto in S’ per cui 22 /1/' cv in riposo in S’ ed in moto in S per cui 22 /1' cv La densità totale di carica in S’ è quindi (considerando che =-)
22
22
/1
/'''
cv
cv
La relatività dei campi magnetici ed elettrici
Quindi in S’ il filo appare uniformemente carico, con carica netta positiva
In passato abbiamo calcolato il potenziale e quindi il campo di un filo uniformemente carico:
(ricordate che A è la densità lineare di carica )
Confrontando le forze in S ed S’ otteniamo
22
22
0 /1
/
2''
cv
cv
r
AqqEF
Che è il modo in cui si trasformano le forze nella relatività
22 /1'
cv
FF
Magnetic Field Applet.mht
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione
Una variazione di flusso magnetico induce una FEM, definita come forza (tangenziale) per unità di carica integrata lungo il conduttore
Necessità di tale definizione: la forza può essere orientata localmente in modo diverso; quello che conta è l’effetto complessivo
Quando muoviamo una spira rispetto ad un campo la cosa non ci sorprende: si deve poter spiegare con la forza di Lorentz; verifichiamolo….
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: Forza di Lorentz e Legge di Faraday
Barra metallica in movimento in campo magnetico uniforme FEM secondo la legge di variazione di flusso
FEM secondo Lorentz: forza per unità di carica non nulla solo sulla barra e pari a vxB ovvero vB, per cui integrata:
dt
BAdfem
dt
dLBw
v
L
w
Bwvfem
Bwv
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: novità Legge di Faraday e conseguenze Lenz
La legge di Faraday sorprende quando si considera il moto di un magnete rispetto alla spira
La legge di Lenz, come abbiamo visto, stabilisce che la fem produce una corrente che tende ad opporsi alla variazione di flusso: quali sono le conseguenze?
In un solenoide con una corrente variabile, il flusso varia: una forza contro-elettromotrice tende ad opporsi alla variazione
Se apriamo di colpo un circuito con un grosso solenoide, tale forza produce una grossa differenza di potenziale, eventualmente anche un arco….
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Autoinduzione
Se si pone un anello di metallo su una elettrocalamita con campo variabile, l’anello viene respinto: si inducono correnti “vorticose” che fanno dell’anello un elettromagnete opportunamente orientato
In un conduttore perfetto: una piccola FEM darebbe origine a correnti infinite. Nella realtà un conduttore perfetto si oppone alla penetrazione del campo magnetico: qualunque variazione di B produce un B opposto ed uguale: nessun flusso magnetico penetra!
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Superconduttori
Se si avvicina un magnete ad un superconduttore, le correnti “vorticose” o di Foucault, produrranno un campo che si oppone al movimento: levitazione magnetica! Effetto Meissner
Movies from © Superconductivity Lab University of Oslo
Materiali diamagnetici In realtà è possibile ottenere levitazione con qualunque materiale
diamagnetico (anche acqua…) diamagnetismo è un fenomeno manifestato dai materiali in presenza di campo magnetico
esterno: tutti i materiali sono virtualmente diamagnetici, anche se altri fenomeni come ferromagnetismo o paramagnetismo sono tali da rendere trascurabili i fenomeni diamagnetici
In termini classici: gli elettroni che ruotano costituiscono dipoli magnetici, solitamente con effetto complessivo nullo. In presenza di campo magnetico cambia la velocità di rotazione degli elettroni e si manifesta un campo magnetico che reagisce a quello esterno in modo repulsivo
Il campo magnetico così prodotto è solitamente piccolissimo, ed in termini di r corrisponde a r lievemente minori di 1, in pratica sucettività magnetica lievemente negativa (es per l’acqua =-9.05 10-6 )
Il superconduttore è un materiale diamagnetico ideale, con =-1!
Materiali diamagnetici In presenza di forte campo magnetico esterno però l’effetto del
diamagnetismo, invisibile nella vita quotidiana, può essere impressionante
In un recente esperimento (Radboud University Nijmegen, High Field Magnet
Laboratory [HFML]) ha levitato anche una rana in un campo di 16 Tesla (!!!). Il filmato di sotto è reperibile al sito di tale università
Materiali ferromagnetici e paramagnetici Il paramagnetismo è dovuto all’allineamento dei momenti di dipolo
magnetico posseduti da atomi che hanno elettroni spaiati: principio di esclusione di Pauli
In tal caso il campo magnetico prodotto è tale da produrre forze attrattive rispetto al campo inducente; il risultato è che r è maggiore di 1; il campo prodotto sparisce se si rimuove il campo inducente nei materiali paramagnetici
Nei materiali ferromagnetici accade una cosa in più: dipoli vicini interagiscono tra loro in modo da allinearsi in blocchi (domini magnetici o di Weiss) così che anche quando il campo magnetico esterno cessa, essi manifestano in proprio campo magnetico non nullo.
I materiali ferromagnetici si spiegano solo con la meccanica quantistica: se ci fermassimo alla meccanica classica saremmo costretti a pensare che due dipoli affiancati minimizzino la loro energia potenziale quando producono campi opposti tra loro.
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Conduttori reali
Se si avvicina un magnete ad un conduttore reale, le correnti “vorticose” o di Foucault, si estingueranno dopo un po’ (dissipate in effetto termico) ma “frenano” il moto del magnete in una sorta di attrito viscoso
Se muoviamo la spira il flusso concatenato cambia: se x è la lunghezza ancora immersa nel campo
BLvdt
dxBLV
Scorre una corrente RVi /
Le forze sui lati 2 e 3 sono uguali ed opposte, resta la forza F1 RvLBiLBF /22
1 Una forza opposta a quella applicata e proporzionale alla
velocità... La potenza dissipata (in forma termica)
RvLBFvdtFdxdtdLP /// 222 Notate che P=VI avrebbe
dato lo stesso risultato
Un’occhiata più da vicino alle leggi di Faraday e Lenz: fisica dell’induzione: conseguenze legge di Lenz Conduttori reali
Un pendolo di rame che oscilla frena quando un elettromagnete, che il pendolo attraversa, viene alimentato
Pendolo di Waltenhofen
Spira che ruota in un campo uniforme
B A B cos A B cos t
I
R
tsinABdt
dV B
RtsinABRVI //
Portiamo i fili in un punto in cui B non varia, così possiamo definire un potenziale elettrico, e la ddp coincide (a meno del segno) proprio con la FEM V
Il flusso varia, producendo una FEM V
Spira che ruota in un campo uniforme
La potenza erogata dal generatore vale quindi
La spira agisce quindi da generatore di fem alternata
aaaa
t
E
E0
aa
t
i
I
p t E i E0 I sin 2 t
aaaa
t
E0 I
p
Notate la reciprocità tra la funzione generatore e la funzione motore!
Mutua Induttanza Due bobine con campo magnetico variabile Consideriamo il caso di un solenoide ideale, sezione S, con
avvolta sopra un’altra bobina:del resto il solenoide ha un campo semplice lNIB /110
Facciamo variare la corrente nel solenoide; la seconda bobina intercetta un flusso variabile
dt
dBSNfem 22
dt
dI
l
SNN 1
210dt
dIM 1
21 Se immettessimo la corrente
variabile nella seconda bobina, il conto sarebbe più complicato ma si otterrebbe
dt
dIMfem 2
121
Mutua Induttanza
Inoltre si troverebbe che2112 MM
Se le due bobine fossero alimentate contemporaneamente, comparirebbe anche il fenomeno dell’autoinduzione: varia il flusso concatenato di ciascuna bobina come effetto della variazione della propria corrente
dt
dIL
dt
dIMfem
dt
dIM
dt
dILfem
22
1212
212
111
Induttore In generale anche con una sola bobina ci sarà autoinduzione
Il flusso concatenato sarà proporzionale alla corrente ed il coefficiente di proporzionalità L si definisce induttanza
iLi BB essendo )( L dipende da geometria e mezzo
Si misura in henry [H]
s1Vs/A1 Wb/A1 H 1
henry H
L
Induttanza di solenoide lungoIl campo lo conosciamo
B
zin uB
0
SlinSBnlNT2
0
Il flusso è N volte quello prodotto da B
SlnL 200
Induttanza in un cavo coassiale Ipotizziamo che il campo
magnetico sia non nullo solo tra i due conduttori
l
i
A
B
C
D
Legge di Ampère (B non dipende dall’angolo per simmetria)
irB 02
iBr
i
20
Flusso attraverso ABCD:
ldrr
ie
i
R
R 2
0 Bi
e
R
Rl
iln
20
Quindi l’induttanza è
i
e
R
RlL ln
20
Trasformatore ideale Immaginiamo di avere due solenoidi ideali concentrici e che
I2=0 È chiaro che
MLfemfem // 121 21 / NN
Dovendosi conservare la potenza, il rapporto tra le correnti deve essere il reciproco
Transitorio in un circuito induttivo
Un induttore ideale non ha resistenza interna, uno reale sì, e la si rappresenta separatamente
Il circuito diviene così un circuito RL
Se applichiamo una FEM esterna (pila) al circuito, la 2a legge di Kirchhoff:
0 Edt
diLiR
Risolviamo con condizioni iniziali: i=0 per t=0 ed i=E/R per t infinito
LRconeR
i L
t
/1
E
Transitorio in un circuito induttivo
Se cortocircuitiamo la pila quando il precedente circuito è arrivato a regime invece 0
dt
diLiR
L
t
eR
i
E
Energia immagazzinata dal campo magnetico
Se allontaniamo due cariche di segno opposto immagazziniamo energia potenziale
Se allontaniamo due fili percorsi da corrente nello stesso verso: analogo
Ma quant’è l’energia immagazzinata? consideriamo il circuito di prima
0 Edt
diLiR
dt
diLiRii 2E
Potenza fornita
Potenza dissipata
Potenza Accumulata
Integriamo la potenza accumulata dal campo magnetico per avere l’energia
2
00 2
1LidiLidt
dt
diLiU
it
L
Esempio: solenoide idealeL’energia è
2
2
1LiU lSni 2
02
1
La densità di energia: dividendo per il volume
ni V
Uu 2
02
1 2
1 2
0
B
Se B ed H sono legate linearmente da :2
02
1 H