Chuyªn ®Ò 1: VËn dông bÊt ®¼ng thøc cosi ®Ó t×m cùc trÞ.

Chóng ta ®· biÕt víi a 0; b 0 th× a + b 2 (1) (dÊu “=” x¶y ra a = b).§ã lµ bÊt ®¼ng thøc Co-si ®èi víi hai sè kh«ng ©m. BÊt ®¼ng thøc nµy cßn ®îc më réng ®èi víi n sè kh«ng ©m: víi a1,a2,…,an

0 th× a1 + a2 +…+ an n ( dÊu “=” x¶y ra a1= a2= …=an). Víi hai sè d¬ng a, b tõ bÊt ®¼ng thøc (1) ta suy ra:NÕu ab= k (kh«ng ®æi) th× min(a+b) = 2 (khi vµ chØ khi a = b).

NÕu a+b = k(kh«ng ®æi) th× max(ab) = (khi vµ chØ khi a =

b).KÕt qu¶ trªn ®îc më réng ®èi víi n sè kh«ng ©m:NÕu a1a2…an = k (kh«ng ®æi) th×Min(a1+a2+…+an) = n (khi vµ chØ khi a1=a2=…=an).NÕu a1+a2+…+an = k (kh«ng ®æi) th×

max(a1a2…an) = (khi vµ chØ khi a1=a2=…=an).

VËn dông bÊt ®¼ng thøc Cosi ta cã thÓ t×m ®îc gi¸ trÞ lín nhÊt,nhá nhÊt cña mét sè biÓu thøc. Ta h·y b¾t ®Çu b»ng mét vÝ dô ®¬n gi¶n.

ThÝ dô 1: Cho x>0,y>0 tho· m·n ®iÒu kiÖn .T×m gi¸ trÞ

nhá nhÊt cña biÓu thøc A= .

Gi¶i: V× x>0, y>0 nªn .VËn dông bÊt ®¼ng

thøc Co-si ®èi víi hai sè d¬ng vµ ta ®îc suy ra

VËn dông bÊt ®¼ng thøc Co-si ®èi víi hai sè d¬ng ta ®-îc: A= (dÊu “=” x¶y ra VËy min A =4 (khi vµ chØ khi x=y= 4).NhËn xÐt vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i:Trong thÝ dô trªn ta ®· vËn dông bÊt ®¼ng thøc cosi theo hai

chiÒu ngîc nhau. LÇn thø nhÊt ta ®· “lµm tréi” b»ng c¸ch

vËn dông ®Ó dïng ®iÒu kiÖn tæng , tõ ®ã ®îc

LÇn thø hai ta ®· “lµm gi¶m” ttæng ( b»ng c¸ch vËn dông bÊt ®¼ng thøc cosi theo chiÒu a+b 2 ®Ó dïng kÕt qu¶

Kh«ng ph¶i lóc nµo ta còng cã thÓ dïng trùc tiÕp bÊt ®¼ng thøc cosi ®èi víi c¸c sè trong ®Ò bµi.Díi ®©y ta sÏ nghiªn cøu mét sè biÖn ph¸p biÕn ®æi mét biÓu thøc ®Ó cã thÓ vËn dông bÊt ®¼ng thøc cosi råi t×m cùc trÞ cña nã.BiÖn ph¸p 1: §Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ta t×m cùc trÞ cña b×nh ph¬ng biÓu thøc ®ã.ThÝ dô2: T×m gia trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A=

Gi¶i: §KX§ : .

A2 = (3x-5) + (7-3x) + 2A2 (dÊu “=” x¶y ra 3x- 5 = 7- 3x x = 2).VËy max A2 = 4 maxA=2 (khi vµ chØ khi x=2).NhËn xÐt vÒ c¸ch gi¶i:BiÓu thøc A ®îc cho díi d¹ng tæng cña hai c¨n thøc.Hai biÓu thøc lÊy c¨n cã tæng kh«ng ®æi(b»ng2).V× vËy,nÕu ta b×nh ph¬ng biÓu thøc A th× sÏ xuÊt hiÖn h¹ng tö lµ hai lÇn cña hai c¨n thøc.§Õn ®©y cã thÓ vËn dông bÊt ®¼ng thøc cosi: .BiÖn ph¸p hai : Nh©n vµ chia mét biÓu thøc víi cïng mét sè kh¸c 0.

ThÝ dô 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

Gi¶i: §KX§: x .

(dÊu b»ng x¶y ra ).

VËy maxA= (khi vµ chØ khi x= 18).

NhËn xÐt vÒ c¸ch gi¶i :

Trong c¸ch gi¶i trªn, x- 9 ®îc biÓu diÔn thµnh vµ ta ®·

gÆp may m¨n ë chç khi vËn dông bÊt ®¼ng thøc cosi, tÝch

®îc lµm tréi thµnh n÷a tæng cã d¹ng kx cã thÓ

rót gän cho x ë díi mÉu,kÕt qu¶ lµ mét h»ng sè.Con sè 3 ë trªn t×m ®îc b»ng c¸ch lÊy c¨n bËc hai cña 9,sè 9 nµy cã trong ®Ò bµi(b¹n ®äc tù ph©n tÝch).BiÖn ph¸p 3: BiÕn ®æi biÓu thøc ®· cho thµnh tæng cña c¸c biÓu thøc sao cho tÝch cña chóng lµ mét h»ng sè.

1) T¸ch mét h¹ng tö thµnh tæng cña nhiÒu h¹ng tö b»ng nhau.

ThÝ dô 4: Cho x ,t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =

Gi¶i: A=

DÊu b»ng x¶y ra .

VËy minA = 8(khi vµ chØ khi x = 2).NhËn xÐt :

Hai sè d¬ng 3x vµ cã tÝch kh«ng ph¶i lµ mét h»ng sè.Muèn

khö ®îc x3 th× ë tö ph¶i cã x3= x.x.x do ®ã ta ph¶i biÓu diÔn 3x= x+x+x råi dïng bÊt ®¼ng thøc cosi víi 4 sè d¬ng.

2) T¸ch mét h¹ng tö cha biÕt chøa biÕn thµnh tæng cña mét h»ng sè víi mét h¹ng tö chøa biÕn sao cho h¹ng tö nµy lµ nghÞch ®¶o cña h¹ng tö kh¸c cã trong biÓu thøc ®· cho(cã thÓ sai kh¸c mét h»ng sè).

ThÝ dô 5:

Cho 0<x<2, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=

Gi¶i: A=

A

(dÊu “=” x¶y ra ).

VËy minA = 7 (khi vµ chØ khi x=

NhËn xÐt vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i:

Trong c¸ch gi¶i trªn ta ®· t¸ch thµnh tæng .H¹ng tö

nghÞch ®¶o víi nªn khi vËn dông bÊt ®¼ng thøc cosi

ta ®îc tÝch cña chóng lµ mét h»ng sè.BiÖn ph¸p 4: Thªm mét h¹ng tö vµo biÓu thøc ®· cho.ThÝ dô 6: Cho ba sè d¬ng x,y,z tho· m·n ®iÒu kiÖn x+y+z =

2.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi ®èi víi hai sè d¬ng vµ

ta ®îc:

T¬ng tù :

VËy ( ) +

P (dÊu “=” x¶y ra x=y=z= ).

VËy minP = 1(khi vµ chØ khi x=y=z= ).

NhËn xÐt vÌ ph¬ng ph¸p gi¶i:

Ta ®· thªm vµo h¹ng tö thø nhÊt cã trong ®Ò bµi,®Ó

khi vËn dông bÊt ®¼ng thøc cosi cã thÓ khö ®îc (y+z). Còng nh vËy ®èi víi h¹ng tö thø hai vµ 3 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra

®ång thêi trong (1),(2),(3) khi vµ chØ khi x=y=z=

Nªu ta lÇn lît thªm (y+z),(z+x),(x+y) vµo th× ta

còng khö ®îc (y+z),(z+x),(x+y) nhng ®iÒu quan träng lµ kh«ng t×m ®îc gi¸ trÞ cña x,y,z ®Ó dÊu ®¼ng thøc x¶y ra ®ång thêi do ®ã kh«ng t×m ®îc gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña P.

C¸c bµi t©p:

Bµi 1 : Cho x>0,y>0 vµ x+y = 2a (a>0).

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= .

HD:

(dÊu “=” x¶y ra

Bµi 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cña biÓu thøc A=

HD: §KX§: . maxA2 = 36 maxA = 6 (khi vµ chØ khi x=14).Bµi 3: Cho x+y = 15,t×m GTLN,GTNN cña biÓu thøc B = .

HD:

MaxB2 = 16

Bµi 4: T×m GTNN cña biÓu thøc A = víi x> 0.

HD: A (dÊu “=” x¶y ra

Bµi 5:Cho a,b,x lµ nh÷ng sè d¬ng.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

P = .

HD:

(dÊu “=” x¶y ra )

Bµi 6: Cho x ,t×m GTNN cña biÓu thøc .

HD:

(dÊu “=” x¶y ra ).

Bµi 7: T×m GTNN cña M =

HD: T¬ng tù bµi 6. Ta cã kÕt qu¶: minM = 10 (khi vµ chØ khi x= 4).

Bµi 8: Cho x>0, t×m GTNN cña biÓu thøc N = .

HD:

(DÊu “=” x¶y ra ).

Bµi 9: Cho x>0;y>0 vµ x+y .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

HD:

(dÊu “=” x¶y ra vµ

Bµi 10:Cho x>y vµ xy=5,t×m GTNN cña biÓu thøc

HD:

(dÊu “=” x¶y ra kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn xy=5

ta ®îc x=5;y=1 hoÆc x=-1;y=-5.)

Bµi 11:Cho x>1,t×m GTLN cña biÓu thøc .

HD:

DÊu b»ng x¶y ra

Bµi 12: Cho 0<x<1, t×m GTNN cña biÓu thøc

HD:

DÊu “=” x¶y ra

Chó ý: Lµm thÕ nµo ®Ó cã thÓ biÓu diÔn ®îc

Ta ®Æt

Sau ®ã dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè,t×m ®îc a = b =1; c = 2.Bµi 13: Cho x,y,z tho· m·n ®iÒu kiÖn x+y+z=a.

a) T×m GTLN cña biÓu thøc A= xy+yz+zx;b) T×m GTNN cña biÓu thøc B= x2 + y2 + z2.

HD: a)

(dÊu “=” x¶y ra )

c) B= x2 + y2 + z2 = (x+y+z)2 -2(xy+yz+zx) B = a2 -2(xy+yz+xz).

B min max (theo c©u a).

Lóc ®ã min B = (khi vµ chØ khi x=y=z= ).

Bµi 14: Cho x,y,z lµ c¸c sè d¬ng tho· m·n ®iÒu kiÖn x+y+z

T×m GTNN cña biÓu thøc P =

HD:¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi :

Do ®ã P2

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z=4.VËy minP = 6 (khi vµ chØ khi x=y=z=4).Bµi 15: Cho x,y,z lµ c¸c sè d¬ng tho· m·n ®iÒu kiÖn x+y+z =a.

T×m GTNN cña biÓu thøc .

HD:

Do ®ã .(dÊu “=” x¶y ra ).

Bµi 16: Cho a,b,c lµ c¸c d¬ng tho· m·n ®iÒu kiÖn a+b+c = 1.

T×m GTNN cña biÓu thøc A =

HD: a+b+c =1 T¬ng tù 1-b>0;1-c>0.MÆt kh¸c 1+a=1+(1-b-c) = (1-b) + (1-c) T¬ng tù, Suy ra

. DÊu “=” x¶y ra khi 1-a=1-b=1-c

a=b=c= .

Bµi 17: Cho x,y tho· m·n ®iÒu kiÖn x+y = 1 vµ x>0. T×m GTLN cña biÓu thøc B = x2y3.HD: NÕu th× NÕu y th× :

1= x+y =

Suy ra:

DÊu “=” x¶y ra .