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UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS TECNOLÓGICAS E AGRÁRIAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
IMPLEMENTAÇÃO DE TÉCNICAS DE CONTROLE DE POSIÇÃO ANGULAR EM
UM PÊNDULO INVERTIDO ROTACIONAL
PAULO HENRIQUE FOGANHOLO BIAZETTO
MARINGÁ – PR
2017
PAULO HENRIQUE FOGANHOLO BIAZETTO
IMPLEMENTAÇÃO DE TÉCNICAS DE CONTROLE DE POSIÇÃO ANGULAR EM
UM PÊNDULO INVERTIDO ROTACIONAL
Artigo de conclusão de curso de graduação
apresentado ao Centro de Ciências Exatas
Tecnológicas e Agrarias da UniCesumar –
Centro Universitário de Maringá como
requisito parcial para a obtenção do título de
bacharel(a) em Engenharia de Controle e
Automação, sob a orientação do Prof. Eng.
Murillo Vilela Magan.
MARINGÁ – PR
2017
PAULO HENRIQUE FOGANHOLO BIAZETTO
IMPLEMENTAÇÃO DE TÉCNICAS DE CONTROLE DE POSIÇÃO ANGULAR EM
UM PÊNDULO INVERTIDO ROTACIONAL
Artigo de conclusão de curso de graduação apresentado ao Centro de Ciências Exatas
Tecnológicas e Agrarias da UniCesumar – Centro Universitário de Maringá como requisito
parcial para a obtenção do título de bacharel(a) em Engenharia de Controle e Automação, sob
a orientação do Prof. Eng. Murillo Vilela Magan.
Aprovado em: ____ de _______ de _____.
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________
Nome do professor – (Titulação, nome e Instituição)
__________________________________________
Nome do professor - (Titulação, nome e Instituição)
__________________________________________
Nome do professor - (Titulação, nome e Instituição)
IMPLEMENTAÇÃO DE TÉCNICAS DE CONTROLE DE POSIÇÃO ANGULAR EM
UM PÊNDULO INVERTIDO ROTACIONAL
Paulo Henrique Foganholo Biazetto
RESUMO
Este trabalho de graduação apresenta o desenvolvimento e a modelagem de um pêndulo
invertido (planta) aplicando técnicas de controle moderno no Espaço de Estados com
Realimentação de Estados por Alocação de Polos pelo critério de Ackermann, Regulador
Linear Quadrático (LQR) e Inequações Matriciais Lineares (LMI). Primeiramente é feito a
construção do pêndulo invertido e em seguida a modelagem do sistema físico com o diagrama
de corpo livre e o equilíbrio das forças (Segunda lei de Newton) para obter a modelagem
matemática no espaço de estado. Em sequência, são projetados os controladores pelo software
Matlab. Por fim, é realizado a implementação prática utilizando a plataforma Arduino, que é
responsável pela interação entre a planta e o Matlab/Simulink. O presente artigo visou
analisar as técnicas de controle aplicadas a um sistema físico e comparar o desempenho entre
as elas sobre um distúrbio aplicado na planta.
Palavras-chave: Controle. Pêndulo Invertido. Regulador Quadrático Linear. Inequações
Matriciais Lineares.
IMPLEMENTATION OF ANGULAR POSITION CONTROL TECHNIQUES IN A
ROTATIONAL INVERTED PENDULUM
ABSTRACT
This work presents the development and modeling of an inverted pendulum (plant) applying
modern control techniques, not State Space with State Feedback by Poles Allocation by
Ackermann criterion, Linear Quadratic Regulator (LQR) and Linear Matrix Inequalities
LMI). First, it is an inverted pendulum construction and then a modeling of the physical
system with the body diagram and a balance of forces to obtain a mathematical modeling in
the state space. In sequence, the controllers are designed by Matlab software. Finally, it
performed a practical implementation used by an Arduino platform, which is responsible for
the interaction between a plant and Matlab / Simulink. The present article aimed to analyze
the control techniques applied to a physical system and compare the performance between
how they about a disturbance applied in the plant.
Keywords: Control. Inverted Pendulum Linear Quadratic Regulator. Linear Matrix
Inequality.
1 INTRODUÇÃO
O Pêndulo Invertido é um sistema clássico na teoria de controle que envolve
conhecimentos de elétrica, eletrônica e mecânica e sua primeira solução foi descrita por
Roberge em sua tese chamada “The Mechanical Seal” de 1960 que posteriormente foi usada
em muitos livros como demonstração de um sistema instável.
Do controle clássico para o controle moderno os primeiros controladores foram
derivados para sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), principalmente para sistemas
de uma única entrada e uma única saída (SISO) e foram desenvolvidas técnicas no dominio da
frequência. A robustez desse sistema foi expressa em termos de ganho e margens de fase.
Essas ferramentas clássicas são limitadas ao se projetar controladores com múltiplas saídas e
múltiplas entradas (MIMO) segundo Dietz (2008). Foram então introduzidos métodos
baseado em sistema no espaço de estado e muitos problemas foram reformulados no contexto
da otimização matemática.
O sistema do pêndulo é comumente encontrado nos livros didáticos de sistema de
controle. O Pêndulo Invertido é instável, pois pode cair a qualquer instante, para qualquer
direção, a menos que uma força adequada de controle seja aplicada a ele (OGATA, 2011).
Além disso, a dinâmica do sistema é não linear e caberá ser feito uma linearização da
modelagem do sistema para que o controle seja aplicado a planta.
Para um sistema de controle ter sucesso é preciso que atinja o nível de desempenho
desejado e também seja tolerante a variações do sistema. Para o controle de sistemas incertos
o desajuste do modelo matemático com o sistema real pode ser obtido usando um modelo
incerto em vez de um único modelo matemático. Em outras palavras, cobrimos um sistema
dinâmico complexo por uma família de modelos relativamente simples (DIETZ, 2008). Se as
especificações de desempenho não puderem ser atendidas, ou tenta melhorar a qualidade do
modelo ou deve relaxar os objetivos do projeto devido as limitações físicas do sistema.
Para a técnica de controle por alocação de polos, visa determinar comparando o
polinômio característico com o polinômio desejado em malha fechada, encontrando uma
matriz K que será encontrada pela fórmula de Ackermann.
O Regulador Linear Quadrático tem como objetivo de controle levar os estados a zero
com menor gasto de energia possível, justificando assim o termo “regulador”. Os termos
“linear” e “quadrático” são devidos ao fato do sistema ser um sistema linear e o custo ser
quadrático.
5
Já o controlador via Inequações Lineares Matriciais é baseado em restrições
matemáticas para o desempenho do sistema, aplicando restrições no sistema de estabilidade,
taxa de decaimento, incertezas politópicas, regiões D-estável, restrição na entrada e normas
afim de que a planta atende as especificações desejadas.
O intuito desse trabalho foi de realizar o controle para o equilíbrio de um pêndulo
invertido rotacional, aplicando técnicas e comparando os dados obtidos. Na segunda seção foi
descrito a construção do pêndulo invertido rotacional e a descrição dos sensores e atuadores.
Na terceira seção descreve a modelagem da planta que é do tipo SIMO (Single-
Input/Multiple-Output), que tem como entrada a posição angular do pêndulo e o controle da
posição angular do braço e de saída o controle de um motor DC acoplado ao braço. A quarta
seção é apresentando as leis de controle implementadas no sistema. Na quinta seção são
apresentados os parâmetros da planta e os resultados dos ganhos dos controladores. Por fim
na sexta temos os resultados comparando cada controlador e os distúrbios aplicados e a
conclusão do trabalho é proporcionada na sétima seção.
2 CONSTRUÇAO DO PÊNDULO INVERTIDO
O sistema da planta consiste em um pêndulo rotacional que é comandado por um
motor DC. O sistema consiste em um braço com uma de suas extremidades acoplada em um
suporte e na outra uma haste de alumínio. O objetivo do sistema é equilibrar o pêndulo
invertido aplicando uma força no braço através do motor.
A planta foi projetada através do software SolidWorks no qual foi desenvolvido as
peças e simulado a montagem do protótipo.
6
Figura 1: Pêndulo Invertido desenvolvido no SolidWorks.
Com o protótipo simulado as peças desenvolvidas foram então cortadas em uma CNC
e obtido o seguinte resultado apresentado na figura 2.
Figura 2: Montagem final do Pêndulo Invertido
Para mensurar a posição angular do braço e do pêndulo foram utilizados dois sensores,
o encoder óptico HEDS 5540, que apresenta uma resolução de 2000 pulsos por revolução em
quadratura. Um motor DC Maxon RE35 foi utilizado como atuador para movimentar o braço
do pêndulo.
Para fazer o controle da tensão aplicada no motor e o sentido de giro, utilizou-se uma
Ponte H IBT-2 que suporta uma tensão de 12 volts e uma corrente de 43 amperes.
7
E como forma de fazer a leitura dos sensores e controlar o atuador foi empregado o
uso de um Arduino Mega 2560, que faz a ponte para a leitura dos dados em comunicação
direta com o Simulink.
3 PLANTA DO PÊNDULO INVERTIDO
3.1 MODELAGEM
O braço rotacional é anexado ao motor DC em que é atuado as forças. O braço tem um
comprimento de , e seu momento de inercia , e possui um ângulo, , que cresce
positivamente no sentido horário. O mesmo se aplica ao motor quando recebe uma tensão
positiva.
Figura 3: Diagrama de corpo livre de um pêndulo invertido (Quanser I. User Manual 2011).
A haste do pêndulo é fixada na outra extremidade do braço rotacional. Seu
comprimento total é dado por e seu centro de massa
. O momento de inercia do seu
centro de massa é apresentado por . O ângulo do pêndulo, , é zero quando está
perfeitamente na posição vertical e cresce positivamente no sentido anti-horário.
De acordo com a modelagem apresentada pela Quanser I. User Manual (2011) é
abordado todos os passos para conseguir a função no espaço de estados da planta que está
descrita a seguir.
8
3.2 EQUAÇÕES NÃO LINEAR DE MOVIMENTO
O método de Lagrange é usado para encontrar a equações de movimento do sistema.
Para descrever o movimento de um braço rotacional e um pêndulo com um motor acoplado,
será obtido usando equação de Euler-Lagrange:
(1)
A variável é chamada de coordenada generalizada.
(2)
As variáveis e correspondem a posição angular do braço rotacional com e a
posição angular do pêndulo invertido respectivamente. As velocidades são obtidas por:
[
]
(3)
Com as coordenadas generalizadas definidas, a equação de Euler-Lagrange para o
pêndulo rotacional do sistema é:
(4)
O Lagrangiano do sistema é descrita por:
(5)
Portanto, o Lagrangiano é a diferença entre a energia cinética total e o total de
energia potencial do sistema.
Generalizando as forças é usado para descrever atritos viscosos aplicados no
sistema. Esse atrito aplicado no sistema é aplicado tanto para o braço (6) quanto para o
pêndulo (7):
(6)
(7)
O torque ( ) aplicado na base do braço rotacional pelo motor é descrito como:
9
(8)
Uma vez que a energia potencial, cinética e Lagrangiano são obtidas então a tarefa é
computar várias derivadas para encontrar as equações de movimento. Depois desse processo,
a equação não linear de movimentos do pêndulo invertido rotacional é:
(
) (
)
(
) (
)
(9)
(
)
(10)
Com a equação de movimento encontrada, é necessário efetuar a linearização a fim de
encontrar uma aproximação linear do sistema não linear de forma que as técnicas de controle
linear possam ser aplicadas. O modelo de linearização utilizado foi através da expansão por
serie de Taylor em torno de um ponto de operação.
Para a equação (8) linearizada temos o seguinte resultado:
(
)
(11)
E a linearizando a equação (9) temos:
(
)
(12)
3.3 MODELO LINEAR NO ESPAÇO DE ESTADO
A equação linear no espaço de estado é:
(13)
Onde são os estados, é a entrada do controle, A, B, C e D são o espaço de estado
das matrizes. Para o pêndulo invertido rotacional, os estados e as saídas são definidos por:
[ ]
10
(14)
E a equação de saída, apenas a posição do pêndulo e do braço estão sendo medidas.
Baseado nisso, a matriz C e D de saída são:
[
]
[ ]
(15)
As velocidades do braço e do pêndulo podem ser computadas por um controle digital,
aplicando a derivada das posições e aplicando um filtro passa alta.
Deixando a equação (10) e (11) na forma de matriz temos:
[
] [
] [
] [ ] [
] [ ]
(16)
Isolando [ ]:
[
] [
] [
]
(17)
Para resolver a aceleração da equação de movimento, se faz necessário encontrar a
inversa da matriz que multiplica o termo citado:
[
]
[
] (18)
Aplicando a equação (16) na forma de matrizes para resolver a aceleração, temos:
[
]
[
]
(19)
Onde a determinante da matriz é igual a:
11
(20)
Resolvendo os termos da aceleração:
[ ]
[
] [
]
(21)
Expandido a equação e coletando os termos:
( (
)
(
) )
(
(
)
(
)
)
(22)
Da definição da equação de estado (13), é dado que e . Substituindo o
estado de pela equação de movimento, temos que , , e .
Trabalhando as equações para compor as matrizes de estados, temos as relações finais
, , e . Seguindo a equação (12) temos a representação
final:
[
]
[
(
)
(
)
(
) ]
[
]
[
]
(23)
4 CONTROLADORES
O sistema de controle realiza, através de um conjunto de operações, a alteração do
comportamento de uma planta e permite obter o manejo direto e indireto das variáveis para as
quais se desejam saídas especificas.
12
4.1 CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS POR ALOCAÇÃO DE
POLOS PELA FÓRMULA DE ACKERMANN
O método de alocação de polos deve ser empregado quando admitimos que todas as
variáveis de estados sejam mensuráveis e que sejam disponíveis para a realimentação. Se o
sistema for de estado completamente controlável, então os polos de malha fechada do sistema
poderão ser alocados em qualquer posição desejada por meio de uma realimentação de
estados, empregado uma matriz de ganho apropriada (OGATA, 2011).
Seja um sistema descrito como a equação (12), escolhemos o sinal de controle como
sendo:
(24)
A matriz é denominada matriz de ganho de realimentação de estado. Substituindo a
equação (23) em (12) resulta em:
(25)
A estabilidade e a característica do sistema são determinadas pelos autovalores de
.
Utilizamos a fórmula de Ackermann para obtenção do ganho de realimentação K em
malha fechada. A equação final é descrita no OGATA por:
(26)
4.2 REGULADOR LINEAR QUADRÁTICO
O regulador quadrático linear determinístico a horizonte infinito em que o objetivo de
controle é levar o estado a zero, com o menor gasto de energia. Para o caso em que a
variável é conhecida a cada instante de tempo o problema é conhecido como LQR com
observações completas, ou simplesmente controle LQR. A denominação de “horizonte
infinito” vem do fato do funcional ser considerado para um tempo como descrito por
Aguirre (2007).
∫
(27)
13
Onde o subscrito “*” denota matriz transposta para valores reais dos termos em
questão, ou o conjugado dos termos correspondentes no caso de valores complexos. e são
pesos (especificações do problema) que realizam uma ponderação entre a dinâmica do
processo controlado (representado pelas variáveis de estado ) e a energia gasta pelo sistema
(expresso pela informação de comando ). e são invariantes no tempo e fica evidente o
objetivo do controlador que é levar o estado a zero, com o menor gasto de energia ( .
Considerando um controle por realimentação de estado no funcional como
abordado por Souza (2014) temos a função de custo ou índice de desempenho como a
expressão:
∫
∫
(28)
O termo integral pode ser descrito como função de Lyapunov, , onde
a matriz é uma matriz simétrica definida positiva, que garante a estabilidade de malha de
controle resultante. Lyapunov garante a estabilidade de um sistema nas condições
e , ou seja, sendo V(x) uma função da variável de estável sendo positiva definida e
a derivada dessa função sendo negativa definida isso indica que a energia do sistema está
decaindo.
4.3 D-ESTABILIDADE
Segundo OGATA (2011), a estabilidade é, usualmente, o aspecto mais importante a
ser determinado em um sistema de controle. Considerando um sistema como o descrito na
equação (12), utilizamos a Forma Quadrática de Funções Escalares com base segundo método
de Lyapunov, na forma , onde é um vetor real e é uma matriz simétrica, em
que, aplicando uma realimentação para projetar um controle onde todos os polos
estarão localizados em determinadas regiões do plano complexo (regiões LMI) (MAGAN
2017, No prelo) as seguintes condições sejam satisfeitas:
(29)
A matriz de ganho dos estados é finalmente obtida por:
14
(30)
A restrição LMI por D-estabilidade visa tratar problemas em que se deseja verificar se
todos os polos do sistema então localizados em determinadas regiões convexa no plano
convexo (GAHINET et al., 1995).
A teoria de Lyapunov pode ser estendida para tratar do problema D-estabilidade em
que desejasse verificar se todos os polos do sistema estão localizados em determinada regiões
convexas do plano complexo, denominadas regiões LMI (AGUIRRE, 2007).
Resulta na condição LMI para o semi plano esquerdo, :
(31)
4.3.2 NORMA
Para a estabilidade de um sistema, devemos considerar o sistema abaixo:
(32)
Segundo Aguirre (2007) a matriz de transferência que relaciona a saída e a entrada
exógena ( ) so sistema
, é dada por: . A norma é
definida como ‖ ‖ . Com isso, deduzimos que para sistema de
entrada simples, a norma corresponde ao máximo ganho no diagrama de magnitude de
Bode. Já para sistemas MIMO, a norma corresponde ao máximo valor atingido pelo diagrama
de valores singulares.
Um sistema em malha aberta é assintoticamente estável, e ‖ ‖ somente se
existir uma matriz simétrica positiva definida :
[
]
(33)
4.3.3 CONTROLE
Dado o sistema:
15
(34)
Com , se o sistema for controlável, então o problema de controle pode ser
descrito como: tal que estabilize assintoticamente o sistema em malha
fechada definido como sendo:
(35)
Já a função de transferência do sistema em malha fechada
:
(36)
Para ser possível minimizar a norma tal que ‖ ‖ , devemos utilizar a
equação (33) e considerar , o sistema (35) para satisfazer a restrição LMI de
, sujeito a:
[
]
(37)
Dessa forma, temos a norma do sistema em malha fechada limitada por:
‖ ‖
(38)
4.3.4 RESTRIÇAO DO SINAL DE ENTRADA
Para que o sistema não utilize soluções de saturação do sinal de entrada, é necessário
estabelecer um limite para o mesmo. Como descrito por Covacic (2001), o problema de
restrição no vetor de entrada consistem em especificar LMI’s, de modo a assegurar que
‖ ‖ . Sendo o valor máximo do sinal de entrada. Temos então que
e sendo , é assegurada pelas seguintes LMI’s:
[
]
(39)
[
] (40)
16
4.3.5 INCERTEZAS POLITÓPICAS
Descrito por Aguirre (2007), politopo é um conjunto poliedral limitado, em outras
palavras, é uma casaca convexa de um conjunto finito de vértices, onde todos os elementos do
politopo pode ser gerado pela combinação convexa dos seus vértices.
Considerando as matrizes , e da equação (34) e possuindo parâmetros incertos
de , temos o sistema descrito como:
(41)
E as matrizes desconhecidas descritas como:
∑
∑
(42)
Sendo e os vértices do politopo, ∑ e varia de 1 a N.
Ainda segundo Aguirre (2007), é possível garantir a estabilidade de um sistema
incerto verificando a estabilidade de todos os N vértices que formam a região do politopo.
Para o sistema em malha fechada com sinal a seguinte restrição garante que a
norma do sistema seja minimizada em toda região do politopo:
[
]
(43)
5 PARAMETROS DA PLANTA E GANHOS DO SISTEMA
Valores e especificações de cada um dos parâmetros são mostrados na tabela 1.
Tabela 1: Valores e especificações
Símbolo Descrição Valor Unidade
Massa do pêndulo 0.060
Massa do braço 0.130
Comprimento do pêndulo 0.33
Comprimento do braço 0.160
17
Momento de inercia do pendulo em
relação ao centro de massa
Momento de inercia do braço em
relação ao centro de massa
Coeficiente de amortecimento viscoso
do eixo de rotação do pendulo
0.0024
Coeficiente de amortecimento viscoso
do eixo de rotação do braço
0.0024
Gravidade 9.81
Força contra eletromotriz 0.144
Constante de torque do motor 0.144
Resistencia de armadura 17.5 Ω
Substituindo os valores da tabela 1 na modelagem da planta (23) chega-se ao modelo
nominal no espaço de estado:
[
]
[
]
[
]
[ ]
(44)
Com base nesses dados foram projetados os controladores cada um com suas
características e parâmetros de controle.
Para o controlador Ackermann foram definidos uma porcentagem de ultrapassagem de
5% e um tempo de assentamento de 3.6 segundos. Com os polos encontrados pela alocação de
polos, foi então inserido outros dois polos, um dez vezes mais afastado que o primeiro e outro
20 vezes mais afastado que o segundo. É aplicado a equação de Ackermann a partir de (26)
para encontrar os ganhos do controlador que resultaram em:
18
(45)
Já para o controlador LQR, com o mesmo modelo no espaço de estado disponível,
aplicou-se teste e manipulou-se a matriz Q visando uma atuação nos estados do sistema,
enquanto R fica fixa em um. De maneira empírica, chegou a uma matriz Q de:
[
]
(46)
A teoria do LQR está disponível em um pacote no Matlab, em que foi utilizado para
computar os cálculos e gerar os ganhos do controlador que resultou em:
(47)
E visando projetar um controlador mais robusto, foi implementado um controlador por
realimentação de estados através de LMI’s. Considerando incertezas politópicas como sendo a
massa do braço ( e o coeficiente de amortecimento viscoso do braço ( ) parâmetros
incertos com uma faixa de incerteza de 20% de seu valor nominal, e
. Sendo assim, resulta em um politopo com quatro vértices a serem
considerados, aplicados na matriz pela combinação entre os limites mínimos e máximos
que são os vértices do politopo.
Visando atingir as especificações de taxa de decaimento menor que
(tempo de estabilização menor que 3.5 segundos). A minimização da norma Hinf do problema
foi obtida fazendo uso do LMILAB (pacote de resolução de LMI’s do Matlab) resultando em
um ganho:
(48)
Para evitar a saturação dos atuadores, foram inseridas restrições de projeto que
garantam que a amplitude do sinal de controle seja igual ou menor ao valor de saturação do
atuador . O valor assumido para saturar o sistema foi de 10 Volts.
6 RESULTADOS
Como o trabalho visa analisar e comparar as técnicas de controle aplicadas a um
pêndulo invertido, foram realizados testes do comportamento para cada controlador. Para uma
análise mais criteriosa, foram aplicados distúrbios na planta a fim de testar a eficiência
19
6.1 RESULTADO DOS CONTROLADORES
A importância de se analisar e comparar os controladores está no fado de verificar se
tais projetos atingem as especificações necessárias de controle. É necessário ter índices que
nos ajudem a ter uma análise quantitativa dos mesmos.
Os dados coletados são da posição angular do braço e a posição angular do pendulo
em um período amostral de 20 segundos. A cor azul refere-se ao controlador Ackermann, a
cor vermelha ao LQR e por fim a cor amarela as LMI’s.
Para a atuação dos controladores sem distúrbio o pendulo é inicialmente equilibrado
manualmente na posição vertical e aplicado um pulso de 0.1 segundos com um volt de
amplitude e um segundo de funcionamento do sistema a fim de tirar o sistema da inércia e
compara os controladores de maneira idêntica.
Figura 4: Atuação dos controladores.
Tabela 2: Porcentagem de ultrapassagem mínima e máxima dos controladores
%UP Ackermann LQR LMI
Máxima Braço 0.4618 0.3487 0.2262
Mínima Braço -0.3990 -0.3864 -0.2482
Máxima Pêndulo 0.0251 0.0188 0.0597
Mínima Pêndulo -0.0440 -0.0503 -0.0785
Pela análise dos dados, notamos um controle mais robusto, em manter o setpoint
desejado, por parte do controlador com as LMI’s. Em contrapartida temos uma maior
oscilação do pendulo. No caso do controlador LQR ele compensa a queda do pendulo com
movimentos do braço um pouco maiores, mas ainda sim menor que o Ackermann, variando
na mesma proporção a haste do pendulo.
20
6.2 DISTURBIO EM DEGRAU
Figura 5: Atuação dos controladores ao ruído de degrau.
Tabela 3: Porcentagem de ultrapassagem mínima e máxima dos controladores ao distúrbio de um degrau.
%UP Ackermann LQR LMI
Máxima Braço 0.1728 0.0565 0.0126
Mínima Braço -0.6283 -0.6409 -0.4021
Máxima Pêndulo 0.0314 0.0283 0.0408
Mínima Pêndulo -0.0188 -0.0220 0.0408
O distúrbio em degrau é aplicado na saída da planta fazendo-a se deslocar no sentido
horário, variando negativamente a posição do braço. Foi aplicada uma tensão de 1 Volt e
analisado os controladores tentando manter no setpoint desejado, que é retornar a sua posição
inicial. O controlador projetado através de LMI’s compensa com menor movimento a ação do
distúrbio e tenta retornar a sua posição inicial, com um custo de variar a haste do pendulo.
6.3 DISTURBIO RANDÔMICO
Figura 6: Atuação dos controladores a um ruído randômico.
Tabela 4: Porcentagem de ultrapassagem mínima e máxima dos controladores a um distúrbio randômico.
%UP Ackermann LQR LMI
21
Máxima Braço 0.7383 0.5246 0.3958
Mínima Braço -0.4053 -0.4681 -0.1791
Máxima Pêndulo 0.0377 0.0377 0.0723
Mínima Pêndulo -0.0534 -0.0377 -0.0691
Os distúrbios randômicos consistem em aplicar valores de tensão aleatórios na saída
da planta em uma faixa de -1 a 1 volts a cada meio segundo. As LMI’s novamente
apresentaram maior robustez no controle, e agora teve variação semelhante da haste do
pendulo que os outros controladores. Para o controlador LQR apresentou pior resultado
precisando fazer movimentos maiores do braço para compensar os distúrbios.
6.4 DISTURBIO SENOIDAL
Figura 7: Atuação dos controladores a um ruído de frequência 1Hz.
Tabela 5: Porcentagem de ultrapassagem mínima e máxima dos controladores a um distúrbio de 1Hz.
%UP Ackermann LQR LMI
Máxima Braço 0.5278 0.6880 0.3896
Mínima Braço -0.4147 -0.3770 -0.2482
Máxima Pêndulo 0.0534 0.0754 0.0880
Mínima Pêndulo -0.0691 -0.0880 -0.0942
22
Figura 8: Atuação dos controladores a um ruído de frequência 30Hz.
Tabela 6: Porcentagem de ultrapassagem mínima e máxima dos controladores a um distúrbio de 30Hz.
%UP Ackermann LQR LMI
Máxima Braço 0.3676 0.4053 0.2419
Mínima Braço -0.3738 -0.3047 -0.0911
Máxima Pêndulo 0.0283 0.0188 0.0503
Mínima Pêndulo -0.0660 -0.0377 -0.0534
A escolha das frequências de 1Hz e 30Hz são justificadas através do diagrama de
Bode. Nele analisamos o ganho do sistema em malha fechada, com os controladores já
projetados, em função da frequência dos ruídos aplicados.
Figura 9: Diagrama de Bode para o Ackermann.
23
Figura 10: Diagrama de Bode para o LQR.
Figura 11: Diagrama de Bode para as LMI’s.
O sinal de 1Hz analisando pelo diagrama de Bode, é possível verificar que para as
LMI’s esse sinal tem magnitude de 0.0446, para o LQR uma magnitude de 0.0312 e para o
Ackermann de 0.0307. Foi escolhido o pior caso para as LMI’s para comparar a robustez do
controlador. Já para as frequências de 30Hz a magnitude é de 0.000254 para as LMI’s,
0.000254 para o LQR e 0.000256 para o Ackermann. Essa frequência apresenta mesma
proporção de distorção para todos os controladores.
24
Os resultados mostram que mesmo escolhendo o pior caso para as LMI’s foi o que
apresentou melhor resultado, tanto em condições de 1Hz como para 30Hz justificando a
implementação do H infinito.
7 CONCLUSÃO
O projeto apresentou sucesso com o desenvolvimento do protótipo do pêndulo
invertido rotacional e tendo condições suficientes para aplicar as técnicas propostas no
trabalho. Todos os controladores implementados no presente trabalho obtiveram sucesso na
execução do controle e atingiram as especificações comportamentais desejadas. Com base nos
dados coletados dos controladores, foi possível relacionar as informações, avaliar a ação no
controle do pêndulo invertido rotacional e realizar um comparativo de desempenho com
distúrbios aplicados na planta. O controle via LMI apresentou ótimos resultados em todas as
aplicações provando ser um controlador completo.
REFERÊNCIAS
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