UNIDAD 1

CONCEPTOS BÁSICOS

“Potencias y raíces”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a:

• Reconocer la definición de potencia de base entera y de exponente entero.

• Reconocer la definición de raíz como una potencia de base entera y exponente racional.

• Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación en la resolución de ejercicios.

1.6 Potenciación1.6.1 Definición

1.6.2 Propiedades

1.6.3 Potencias de base 10

1.6.4 Signos de una potencia

1.7 Raíces1.7.1 Definición

1.7.2 Propiedades1.7.3 Racionalización

Estos son los temas que estudiaremos:

1.6.1 Definición

Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama “exponente”.

1.6. Potenciación

an =

a ∙

a ∙

a ∙

a ∙ … a ∙

∙ a

n veces

Ejemplo:73 =

7∙

7∙

7 =

(-6)2 =

(-6)∙ (-6)= 36

343

-32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y

(-3)2 = (-3)·(-3) = 9

= 23

3 23

3ya que:

y = 23

3= 2∙2∙2

3 83

23

3= = 8

27 23 23 23

∙ ∙

1.6.2 Propiedades

• Multiplicación de Potencias:

De igual base

Se conserva la base y se suman los exponentes.

an+man ∙

am =

Ejemplo:

5x+3x5x ∙

53x = = 54x

Libro, página 38

De igual exponente:

Se multiplican las bases, conservando el exponente.

(a ∙ b)nan ∙

bn =

Ejemplo:

85 ∙ 42 ∙ 22 =

85 ∙ (4 ∙ 2)2 = 85 ∙ 82 = 87

• División de Potencias:De igual base:Se conserva la base y se restan los exponentes.

an-man :

am =

Ejemplo:

923

96= = 917923-6

Resolver ejercicios 1, 2 y 5 de “EJERCICIOS P.S.U.”, libro, página 49.

De igual exponente:

Se dividen las bases y se conserva el exponente.

(a : b)nan :

bn =

Ejemplo:

75 :

42

282 = 75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73

• Potencia de Potencia:

Se multiplican los exponentes.

(an )m = am ∙ n

Ejemplo:

(210)4 = 210 ∙ 4= 2 40

• Potencia de Exponente Negativo:

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.Potencia de exponente negativo y base entera:

1 a-n = a

n

(Con a, distinto de cero)

Ejemplo:

5-2 ∙ 15

3

2

= ∙ (5)2

5

2

1 = 25 1

∙ 25 = 1

33=4 3

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:

a

b

-n

=b

a

n

(Con a, distinto de cero

y b distinto de cero)Ejemplo:

3

4

-3

=

3

4

3 =64

27

• Potencias de exponente cero:

a0 = 1(para todo a, distinto de cero)

00 : indefinido

Ejemplo:

x

3- 4y

7 – (15-8)

= x

3- 4y

0

= 1

1.6.3 Potencias de base 10• Con exponente positivo:

Libro, página 41

101 = 10

102 = 100

103 = 1000…

Ejemplo:

54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000

= 54 ∙ 106

100 = 1

4 ∙ 10 -5

• Con exponente negativo:

Ejemplo:

10

= 1 0,1

100

= 1 0,01

10-3 = 1

1.000

= 0,001…

10-1 =

10-2 =

0,00004 = 4

100.000=

1.6.4 Signos de una potencia• Potencias con exponente par:

Las potencias con exponente par, son siempre positivas.

Ejemplo:

(-11) ∙ (-11) = 121

2) -3

5

4

= 81 625 5

(-3)

4

4=

1) (-11)2 =

• Potencias con exponente impar:

En Las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base.

Ejemplo:

1) (-12)3 = (-12) ∙ (-12) ∙ (-12) =

-1.728

2) -2

3

-5

= 3

-2

5

=(3)

5

(-2)=

5243-32

= 243 32

-

316

1 3

4

-2

=2)

xx ba

= ab

645

Toda raíz corresponde a una potencia con exponente fraccionario.

1.7.Raíces

(Con b, distinto de cero)

Ejemplos:

1.7.1 Definición

=342=4

23

8 52

=1) 85

=2

9∙3=3

1.7.2 Propiedades• Multiplicación de raíces de igual índice:

Al multiplicar raíces de igual índice, se multiplican las partes subradicales conservando el índice que tienen en común.

n∙ b

n= a∙ba

n

Ejemplo:

93

33

=∙ 3=327

512:24

=

• División de raíces de igual índice:

Al dividir raíces de igual índice, se dividen las partes subradicales conservando el índice que tienen en común.

Ejemplo:

a:bn

an

bn

=:

45124 : 2 = 256= 4

4

4162

• Composición y Descomposición de raíces:

Composición:

Se utiliza para ingresar un factor a una raíz.

a b = a ∙ bnnn

Ejemplo:

23 =4

3 ∙ 24 =4 4

81∙2 =

Descomposición:

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raíz exacta.

Ejemplo:

162 = 81 2 ∙ = 2981 2∙ =

• Raíz de Raíz:

a =m

a

n m∙n

2 =5 4

25∙4

= 220

Ejemplo:

1.7.3 RacionalizaciónCuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso se le llama racionalización.  

Ejemplos:

1) Racionalizar

4

3=∙ 3

3

34 = ?

( )2

4 3

3= 4

33

=3- 23

4+ 2

∙ 3 - 2

2) Racionalizar

=5 5

34

3∙

3

3

32

5334 =

5

35 5

4

3

275

45 2

3= ?

3) Racionalizar34 = ?+ 2

4( - 23 )

3 - 2

= 4( - 23 )

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