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Prof. Jonathan Brenes 1

Unidad 1. Matrices

Suponga que un cierto Banco ofrece tres opciones de crédito, con las tasas de interés, plazo y

cobros de comisión mostrados en la tabla adjunta.

Tasa de interés Plazo en meses Cobro de comisión

Opción A 12,5 % 360 2.5%

Opción B 14 % 240 3%

Opción C 14 % 180 3.2%

Al extraer los valores numéricos de esa tabla, se obtiene un arreglo como el siguiente.

(12.5 360 2.514 240 314 180 3.2

)

Lo cual es conocido como matriz.

Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números; es representada por medio de

una letra mayúscula, y sus elementos son representados con la misma letra en minúscula. Cada

elemento tiene un doble subíndice que indica su posición, el primer índice corresponde al

número de la fila y el segundo al número de columna.

Ejemplo de una matriz A de 𝑚 filas o renglones y 𝑛 columnas.

𝑨 = (

𝑎11𝑎21⋮𝑎𝑚1


⋯⋯⋱⋯

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛

)

En Economía las matrices son utilizadas para resolver problemas matemáticos que requieren

de sistemas de ecuaciones o presentar datos de forma resumida y relacionarlos unos con otros.


Si nombramos con la letra C la matriz de crédito del primer ejemplo

𝑪 = (12.5 360 2.514 240 314 180 3.2

)

Obtenemos que los elementos de esta matriz son:

𝑐11 = 12.5 𝑐12 = 360 𝑐13 = 2.5

𝑐21 = 14 𝑐22 = 240 𝑐23 = 3

𝑐31 = 14 𝑐32 = 180 𝑐33 = 3.2

A los cuales es posible aplicar operaciones que serán estudiadas más adelante.

Los sistemas de ecuaciones lineales también pueden representarse mediante matrices.

Considere el sistema

{2𝑥 − 4𝑦 = 36𝑥 − 2𝑦 = −1

Los coeficientes de dicho sistema pueden representarse mediante la matriz

𝑨 = (2 −46 −2

)

La cual es llamada matriz de coeficientes del sistema.

Los términos independientes 3 y -1 pueden ingresarse en lo que se conoce como matriz

aumentada del sistema, cuya representación es

(𝑨|𝒃) = (2 −46 −2

| 3−1)


Cada matriz está compuesta por vectores.

Se llama “vector fila” a cualquier n-tuplo

(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛),

y “vector columna” al n-tuplo

(

𝑎1𝑎2⋮𝑎𝑛

)

donde cada 𝑎𝑖, 𝑖 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛} es un componente del vector.

Los vectores fila de la matriz aumentada anterior son

(2, −4, 3)

(6, −2,−1)

Y los vectores columna son

(26) (

−4−2) (

3−1)

Un componente es un elemento cualquiera de la matriz, por ejemplo el número 6.

Cuando un vector fila y un vector columna tienen el mismo número de componentes, se

pueden multiplicar de la siguiente forma

(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛)(

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

) = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑏𝑛


Ejemplo

(4, −2, 3 , −5) (

−1543

) = 4(−1) + −2(5) + 3(4) + −5(3) = −17

De ésta forma podemos escribir ecuaciones lineales como la multiplicación de vectores filas

por vectores columnas.

(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛) (

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

) = 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛

Ejemplo: La ecuación 3𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 + 5𝑥4 = 8, se puede escribir como

(3, 6, −1, 5) (

𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4

) = 8

Así un sistema de 𝑚 ecuaciones con 𝑛 incógnitas

Se puede escribir como

(

𝑎11𝑎21⋮

𝑎𝑚1


⋯⋯⋱⋯

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛

)(

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑚

) = (

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑚

)


y de forma simplificada como

𝑨𝒙 = 𝒃

Llamada ecuación matricial de un sistema, con “𝑨” la matriz de coeficientes, “𝒙” el vector

columna de incógnitas y “𝒃” el vector de constantes o términos independientes.

Ejemplo: El sistema de ecuaciones

{

2𝑥1 + 6𝑥2 − 3𝑥3 + 1 5𝑥4 = 2 4𝑥1 − 𝑥3 + 5𝑥4 = −1−𝑥1 − 3𝑥2 + 7𝑥3 + 3𝑥4 = 15

Escrita en forma matricial es

(2 64 0−1 −3

−3 15−1 57 3

)(

𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4

) = (

2−115)

1.1 Solución de un sistema de ecuaciones 𝒎 × 𝒏 mediante matrices.

Existen diferentes métodos que emplean teoría de matrices para resolver sistemas de

ecuaciones, en este texto se estudiará el método de eliminación gaussiana, también conocido

como reducción gaussiana y el método Gaus-Jordan.

1.1.1. Método de eliminación gaussiana.

Con este método se busca llegar a un sistema más sencillo pero equivalente al inicial,

eliminando variables. Para hacerlo se emplean las operaciones elementales sobre las filas de

una matriz, las cuales son:

1) 𝑎 ∙ 𝑓𝑖 Multiplicar una ecuación 𝑖 por una constante 𝑎, con 𝑎 ≠ 0.

2) 𝑎 ∙ 𝑓𝑖 + 𝑓𝑗 Multiplicar una ecuación 𝑖 por 𝑎, y sumarla a la fila j.

3) 𝑓𝑖 , 𝑓𝑗 Intercambiar filas.


Durante una eliminación gaussiana puede emplearse una combinación de estas tres

operaciones elementales, llamadas también operaciones elementales sobre reglón. Tales

operaciones conducen a crear matrices equivalentes.

Matrices equivalentes: Sean A, B matrices 𝑚 × 𝑛, si B se obtiene a partir de A, mediante

aplicaciones de operaciones elementales de renglón, se dice que A y B son equivalentes.

Ejemplo 1: Determinar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones 4 × 4.

𝑺 = {

4𝑤 − 3𝑦 = 8𝑥 + 4−15 + 4𝑤 = 6𝑦 + 8𝑥3𝑥 − 21𝑦 = −6

8𝑤 + 2𝑧 + 𝑥 = 2 + 6𝑦

Se procede a escribir su matriz aumentada, respetando el orden de las incógnitas en cada

ecuación (𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧).

(𝑨|𝒃) = (

4408

−8−831

−3−6−21−6

0002

| 415−62

)

Los elementos 𝑎𝑖𝑗, con 𝑖 = 𝑗 deben ser igual a 1, los elementos debajo de cada 1 deben ser 0.

Por lo tanto el 𝑎11 = 4 debe pasar a valer 1. Esto se logra usando la primera operación

elemental sobre renglón ( 𝑎 ∙ 𝑓𝑖) con 𝑎 = 1

4 y 𝑓𝑖 = 𝑓1, lo cual se escribe de la siguiente manera.

Posteriormente el 𝑎21 = 4 debe pasar a valer 0, esto se puede hacer intercambiando la fila 2

con la 3.


Luego 𝑎31 = 4, debe ser 0, esto se logra al emplear la operación elemental 𝑎 ∙ 𝑓𝑖 + 𝑓𝑗, con

𝑎 = −4, 𝑖 = 1, 𝑗 = 3.

Sobre la fila 3 se puede aplicar la operación −1

3 ∙ 𝑓3, que conlleva a la matriz siguiente.

De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones equivalente a S.

𝑺 ≡

{

𝑤− 2𝑥 −

3

4𝑦 = 1

3𝑥 − 21𝑦 = −6

𝑦 = −11

38𝑤+ 𝑥 − 6𝑦+ 2𝑧 = 2

Al sustituir el valor de 𝑦 en la ecuación 2 se obtiene 𝑥 =−83

3


3𝑥 − 21 ∙−11

3= −6

⇒ 𝑥 = −83

3

Los valores 𝑥, 𝑦, se sustituyen en la ecuación 1 para obtener 𝑤 = −685

12

𝑤 − 2 ∙−83

3−3

4∙−11

3= 1

⇒ 𝑤 = −685

12

Luego se utiliza la ecuación 4 para calcular el valor de 𝑧.

8 ∙−685

12+−83

3− 6 ∙

−11

3+ 2𝑧 = 2

⇒ 𝑧 = 1393

6

Finalmente el conjunto solución del sistema es 𝑆 = {−685

12,−83

3,−11

3,1393

6}

Matriz escalonada.

Al continuar con el método de eliminación gaussiana sobre la matriz

mediante las operaciones 𝑓4 − 8𝑓1 , 1

3∙ 𝑓2 , 𝑓4 − 17𝑓2 , 𝑓4 − 119𝑓3 y

1

2∙ 𝑓4 se obtiene la

siguiente matriz.


La cual corresponde a una matriz escalonada, en la que se observa que 𝑧 = 1393

6, 𝑦 = −

11

3 ,

𝑥 y 𝑤 se pueden obtener mediante las sustituciones realizadas.

Definición: Una matriz es escalonada si de cada fila su primer elemento no nulo es 1, debajo

de cada 1 debe existir un cero, y a la derecha de ese cero un 1. Si existen filas de ceros estás

se ubican al final.

Las matrices aumentadas (𝐴|𝑏) y (𝐵|𝑐) siguientes, tienen forma escalonada.

En ocasiones resulta conveniente simplificar una matriz hasta obtener su forma escalonada y

luego realizar sustituciones para obtener el valor de las incógnitas.

1.1.2. Método de Gauss-Jordan.

A toda matriz escalonada es posible aplicarle operaciones elementales de renglón hasta

obtener una matriz escalonada reducida, cuyo sistema asociado resulta de solución evidente.

Definición: Una matriz es escalonada reducida si es escalonada y además todo elemento

arriba del primer uno de cada fila es cero. Si existen filas de ceros estas se ubican al final de

la matriz.

Las siguientes matrices son escalonadas reducidas.


Para emplear el método Gauss-Jordan hay que determinar la matriz escalonada reducida de la

matriz aumentada del sistema.

Si a la matriz aumentada del sistema S anterior le continuamos haciendo las operaciones

elementales

Se observa que la solución del sistema es 𝑆 = {−685

12,−83

3,−11

3,1393

6}

Ejemplo 2: Determinar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones 3 × 3,

mediante el método Gauss-Jordan.

{

−𝑦 + 3𝑥 + 𝑧 = 105𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = −65𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 2


Solución: La matriz aumentada del sistema es

Luego se aplican las operaciones elementales sobre renglón.

Por lo tanto el conjunto solución del sistema es 𝑆 = {(2,−4, 0)}.


Rango de una matriz: Sea 𝐴 una matriz 𝑛 × 𝑚, se llama rango de A y se denota 𝑅𝑔𝑛(𝐴) al

número de filas no nulas de la matriz en la forma escalonada reducida equivalente a 𝐴.

Ejemplo.

Observe que la matriz escalonada reducida equivalente a 𝐴 tiene dos filas, por lo que

𝑅𝑔𝑛(𝐴) = 2.

Teorema de Rouché Frobenius: Si 𝐴𝑥 = 𝑏 es un sistema de ecuaciones lineales 𝑛 × 𝑚 y (𝐴|𝑏) es su matriz aumentada, entonces

a) Si 𝑅𝑛𝑔(𝐴) < 𝑅𝑛𝑔(𝐴|𝑏) el sistema no tiene solución (el sistema es inconsistente)

b) Si 𝑅𝑛𝑔(𝐴) = 𝑅𝑛𝑔(𝐴|𝑏) el sistema tiene solución (es consistente), en este caso.

i. Si 𝑅𝑛𝑔(𝐴) = 𝑅𝑛𝑔(𝐴|𝑏) = 𝑚 el sistema tiene solución única.

ii. Si 𝑅𝑛𝑔(𝐴) = 𝑅𝑛𝑔(𝐴|𝑏) < 𝑚 el sistema tiene infinitas soluciones que dependen de

𝑚 −𝑅𝑛𝑔(𝐴) parámetros.

Ejemplo 3: Determinar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones 3 × 4,

mediante eliminación gaussiana y sustitución.

{𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐 + 5𝑑 = −3𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 4𝑑 = −1𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 = 3

Solución: Se realizan operaciones elementales sobre las filas


Observe que la última matriz es escalonada reducida, y que su sistema asociado es

{

𝑎 +

5

2𝑑 = 0

𝑏 = −4

𝑐 +1

2𝑑 = 1

Por otro lado, el rango de la matriz de coeficientes y de la aumentada es 3, pero 𝑚 = 4; con

lo cual el sistema tiene infinitas soluciones que dependen de 𝑚− 𝑅𝑛𝑔(𝐴) parámetros, es

decir de 4 − 3 = 1 parámetro.

Un parámetro es un valor arbitrario pero fijo. Si asignamos el parámetro 𝑡 ∈ ℝ a la incógnita

𝑑, obtenemos de la ecuación 3

𝑐 = 1 − 𝑡

2

Así mismo, de la ecuación 1

𝑎 +5

2𝑑 = 0

Obtenemos

𝑎 = −5

2𝑡

Por lo tanto la solución del sistema es 𝑆 = {(−5

2𝑡 , −4 ,1 −

𝑡

2 , 𝑡 ) ∕ 𝑡 ∈ ℝ }, conocida

como solución general del sistema.

Para hallar una solución específica basta con sustituir 𝑡 por cualquier número real, por ejemplo

por 0, obteniendo así una solución específica o particular (0 , −4 , 1 , 0).



{2𝑥 + 5𝑦 = 44𝑥 − 6𝑦 = 27𝑦 − 𝑥 = 3


Sobre esa matriz se aplican las siguientes operaciones elementales.

Observe que la matriz de coeficientes

tiene rango 2.

Mientras que la matriz aumentada

tiene rango 3.


De acuerdo al teorema anterior si 𝑅𝑛𝑔(𝐴) < 𝑅𝑛𝑔(𝐴|𝑏) el sistema no tiene solución.

∴ 𝑆 = ∅

Otra forma de observarlo es mediante la ecuación 3,

0𝑧 = 1

⇒ 0 = 1

Lo cual es contradictorio.

Ejemplo 5: Determinar el conjunto solución del siguiente sistema con el método Gauss-

Jordan.

{−3𝑎 + 𝑐 = 0

4𝑎 − 6𝑏 = 𝑐 − 2𝑎 − 2 = 5𝑏


Luego se proceden a realizar las operaciones elementales sobre renglón.


∴ 𝑆 = {(22, 4, 66)}

Observe que existe una solución única debido a que el rango de la matriz de coeficientes y

de la aumentada es el mismo.


{

𝑎 − 𝑏 + 𝑑 = 12𝑐 + 2𝑑 = 4

−𝑎 + 𝑏 + 𝑑 = 42𝑎 − 2𝑏 + 2𝑑 = 2


Luego se realizan las operaciones elementales sobre renglón.


Observe que de la última matriz se tiene que 𝑅𝑛𝑔(𝐴) = 𝑅𝑛𝑔(𝐴|𝑏) < 𝑚, por lo que de

acuerdo con el teorema de Rouché Frobenius el sistema tiene infinitas soluciones que

dependen de 𝑚− 𝑅𝑛𝑔(𝐴) parámetros, es decir de 4 − 𝑅𝑛𝑔(𝐴) = 1 parámetro.

Sea 𝑎 = 𝑡, con 𝑡 ∈ ℝ. De la fila uno se obtiene que

𝑎 − 𝑏 =−3

2

𝑡 +3

2= 𝑏

De las filas 2 y 3 se obtiene.

𝑐 =−1

2

𝑑 =5

2

Por lo tanto la solución general con un parámetro es 𝑆 = {(𝑡, 𝑡 +3

2,−1

2,5

2) / 𝑡 ∈ ℝ}.


{

−𝑥 + 2𝑦 = 03𝑥 − 6𝑦 = 02𝑥 − 4𝑦 = 0

La matriz aumentada es

Luego se procede a realizarle operaciones elementales sobre reglón.


Por consiguiente 𝑥 − 2𝑦 = 0 i.e. 𝑥 = 2𝑦.

Si 𝑦 = 𝑡, 𝑡 ∈ ℝ. Entonces 𝑆 = {(2𝑡, 𝑡)/ 𝑡 ∈ ℝ}.


{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 15𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 22𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 3

La matriz aumentada o ampliada es

Al realizar las operaciones 𝑓2 − 5𝑓1 y 𝑓3 − 2𝑓1 , se obtiene la siguiente matriz

De la cual se puede observar que 𝑅𝑛𝑔(𝐴) < 𝑅𝑛𝑔(𝐴|𝑏), por lo que el sistema es inconsistente.

∴ 𝑆 = ∅


1.2 Operaciones entre matrices.

Las matrices pertenecen a un sistema algebraico llamado anillo, en el que están definidas la

suma y el producto (por lo tanto la resta y la división también, sin embargo en matrices una

división se realiza mediante el inverso multiplicativo).

1.2.1. Operaciones básicas entre matrices.

Suma y resta.

Sean 𝐴 y 𝐵 matrices de una misma dimensión, entonces 𝐴 + 𝐵 se obtiene de 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗.

Ejemplo.

De forma similar 𝐴 − 𝐵 se obtiene de 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 .

Producto por un escalar.

Sea A una matriz entonces 𝑎𝐴 = (𝑎𝑎𝑖𝑗).

Ejemplo.


Producto entre matrices.

Sea 𝐴𝑚 × 𝑛 y 𝐵𝑛 × 𝑝, entonces 𝐴𝐵 = 𝐶𝑚 × 𝑝 con 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖3𝑏3𝑗 +⋯+

𝑎𝑖𝑛−1𝑏𝑛−1𝑗 + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗

Ejemplos

1) Considere las matrices A y B siguientes.

Los resultados se obtuvieron de:

5 ∙ 2 + −4 ∙ 2 + 3 ∙ 8 = 26

5 ∙ −5 + −4 ∙ −1 + 3 ∙ −3 = −30

5 ∙ 2 + −4 ∙ 4 + 3 ∙ 2 = 0

5 ∙ 3 + −4 ∙ 4 + 3 ∙ −3 = −10

2) Considere la matriz I, llamada identidad debido a su diagonal de unos y demás componentes

en cero, y la matriz A siguientes.

3 ∙ 2 + −1 ∙ 2 + 2 ∙ 8 = 20

3 ∙ −5 + −1 ∙ −1 + 2 ∙ 3 = −20

3 ∙ 2 + −1 ∙ 4 + 2 ∙ 2 = 6

3 ∙ 3 + −1 ∙ 4 + 2 ∙ −3 = 20


Como 𝐼 es una matriz 3 × 3, se le suele llamar matriz identidad de orden 3. Si 𝐼𝑛 × 𝑛,

entonces la matriz se llama identidad de orden 𝑛.

Inversa de una matriz.

Sea 𝐴 una matriz cuadrada (i.e. con la misma cantidad de filas y columnas), se le llama inversa

izquierda de 𝐴 a la matriz X tal que 𝐴𝑋 = 𝐼, e inversa derecha si 𝑋𝐴 = 𝐼. Si 𝐴𝑋 = 𝑋𝐴 = 𝐼,

entonces 𝑋 es la inversa de 𝐴.

Existen distintos métodos para obtener la inversa de una matriz, en este texto se expone la

inversa mediante eliminación gaussiana.

Para obtener la inversa de 𝐴 se aplican operaciones elementales sobre renglón a la matriz

(𝐴|𝐼) hasta obtener (𝐼|𝐵), donde 𝐵 es la inversa de 𝐴, la cual se escribe 𝐴−1.

Ejemplo.

Luego se obtiene que


1.2.2 Un ejemplo práctico de operaciones entre matrices: Introducción a la matriz

insumo-producto.

Matriz insumo producto (MIP).

Es una matriz cuyas componentes son las magnitudes de los insumos que los sectores

económicos toman del resto de sectores de un país, así como los insumos que ellos otorgan.

Según el Banco Central de Costa Rica, el modelo insumo-producto tiene como uno de sus

principales objetivos analizar la interdependencia de las industrias en una economía y muestra

como las salidas de una industria (producto) son las entradas de otra (insumo).

Es decir una matriz insumo producto representa las relaciones intersectoriales a nivel nacional

(por lo tanto es objeto de estudio de la macroeconomía). Considerando que la economía

nacional puede dividirse en sector productor y sector consumidor entonces la producción total

de una industria se distribuye entre las demás industrias como materia prima (producción

intermedia) y, los consumidores no productores, las exportaciones e inversiones (demanda

final).

Dentro de los consumidores no productores están los hogares y el gobierno. Mientras que en

las inversiones podemos encontrar la formación bruta de capital fijo (como la adquisición de

activos fijos nuevos, por ejemplo compra de maquinaria o de un local).

Un modelo insumo producto o matriz insumo producto se compone de otras matrices como

se muestra en la siguiente tabla, en la que PT representa la producción total y UT la utilidad

total.

PT = Demanda intermedia + Demanda final = UT


Obtener los datos de las diferentes celdas (componentes en términos de algebra matricial)

requiere de un gran esfuerzo de recolección y análisis de información mediante métodos

estadísticos. En Costa Rica se ha realizado una sola matriz insumo producto, en el año 2011;

cuyas fuentes de información fueron 26500 empresas participantes de una encuesta, así como

los datos de la encuesta de ingresos y gastos de los hogares de 2004 extrapolada al 2011,

además de registros de Comercio Exterior y de la Dirección General de Aduanas.

En este curso, para simplificar el estudio del modelo insumo producto, se trabajará con un

vector de demanda final en lugar de una matriz, mediante la siguiente suma.

De forma similar la matriz de importaciones y de valor agregado. Con lo que se obtendrá la

siguiente matriz.


Las componentes de la matriz deben estar en una misma unidad monetaria (dólares, colones,

lingotes de oro, etc.), con el fin de que las operaciones tengan sentido. Esto debido a que el

sector 𝑖 ofrece al 𝑗 un bien y el 𝑗 al 𝑗 + 1 otro de diferente especie. (Por ejemplo una empresa

puede ofrecer tubos de acero a una que ofrece cereal y esta a su vez a otra que ofrece mano

de obra).

Por otro lado, el valor agregado de cada columna se obtiene de la producción total menos la

demanda intermedia e importaciones.

Ejemplo 1: Considere una economía hipotética en la que se interrelacionan los sectores

agricultura e industria de acuerdo con la tabla que se muestra a continuación.

Compra-Venta Agricultura Industria Demanda Final Utilidad Total

Agricultura 80 10 50 140

Industria 40 60 30 130

Importaciones 10 25 5 40

Valor agregado 10 35 45

Producto Total 140 130 85 355

Elabore la nueva tabla de interrelaciones sectoriales considerando una caída en la demanda

final de 10 unidades para agricultura, un incremento de 5 unidades para el sector industrial e

importaciones fijas.


Solución: Se procede con los siguientes pasos.

1- Sea 𝑥𝑖𝑗, las compras que el sector 𝑖 ha realizado al sector 𝑗; y 𝐵 = (𝑥𝑖𝑗) la matriz de insumo

producto de los sectores entre sí (demanda intermedia).

2- Luego considere la matriz A, llamada matriz de coeficientes técnicos o tecnológicos

definida por 𝑎𝑖𝑗 = 𝑥𝑖𝑗

𝑋𝑗, donde 𝑋𝑗 es la producción total del sector 𝑗.

3- Se continúa calculando la matriz de Leontief la cual es 𝐿 = 𝐼 − 𝐴.

4- Luego, el nuevo vector de producción será 𝑋 = 𝐿−1 ∙ 𝐷𝐹.

5- La nueva matriz B está dada por (𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝑋𝑗).

6- Finalmente construya la nueva tabla con los valores obtenidos.

A continuación se realizará cada uno de los pasos descritos.

1- La matriz insumo producto es

2- La matriz 𝐴 de coeficientes técnicos se obtiene de

𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) = (𝑥𝑖𝑗𝑋𝑗) = (

𝑥11𝑋1

𝑥12𝑋2

𝑥21𝑋1

𝑥22𝑋2

)


3- La matriz de Leontief es

4- Se procede a calcular el nuevo vector de producción, para el cual es necesario calcular la

inversa de Leontief.

𝑋 = 𝐿−1 ∙ Nuevo vector de Demanda Final

Para facilitar cálculos se utilizará redondeo a números enteros, sin embargo se puede trabajar

con las expresiones fraccionarias. De esta forma,

𝑋 ≈ (116127

)

5- La nueva matriz de demanda intermedia es

𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝑋𝑗) = (𝑎11 ∙ 𝑋1 𝑎12 ∙ 𝑋2𝑎21 ∙ 𝑋1 𝑎22 ∙ 𝑋2

)

𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 ∙ 𝑋𝑗) = (

4

7∙ 116

1

13∙ 127

2

7∙ 116

6

13∙ 127

)

𝐵 ≈ (66 1033 59

)


6- Finalmente los datos arrojan la siguiente tabla.

Compra-Venta Agricultura Industria Demanda Final Utilidad Total

Agricultura 66 10 40 116

Industria 33 59 35 127


Valor agregado 7 33 -------- 40


Observe que dentro de algunas conclusiones se puede mencionar que Agricultura mantiene

las compras que realiza al sector Industria, pero disminuye las que se generan en su mismo

sector. Además industria ahora le compra 7 unidades menos a Agricultura.

Ejemplo 2: Considere la siguiente matriz de insumo producto, en la que los valores están

expresados en millones de dólares US. Si se desea aumentar la demanda final del sector

agrícola en 40 millones de dólares US, y las importaciones se mantienen constantes, ¿cuánto

debe ser la producción del resto de sectores?


1- De acuerdo a los valores dados se tiene que la matriz insumo producto es

2- La matriz de coeficientes técnicos es

3- La matriz de Leontief corresponde a


4- Luego se realiza el cálculo de su inversa mediante eliminación gaussiana, el cual tiene por

resultado

El nuevo vector de producción es

5- Obtenemos la nueva matriz de insumo producto de demanda intermedia.

6- En este ejercicio estamos considerando que se desea aumentar en $40 mills la demanda

final del sector agrícola, sin variar las importaciones.

Por lo tanto las variaciones en las relaciones intersectoriales se muestran a continuación.


Observe que el vector de producción obtenido es aproximado a

Mientras que el arrojado por la tabla es

La diferencia se debe en gran medida al trabajo realizado con aproximaciones decimales

sobre el nuevo vector de producción y la nueva matriz de insumo producto.


Ejercicios

1- Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) {

𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 02𝑥1 + 5𝑥2 + 7𝑥3 = 03𝑥1 + 6𝑥2 + 6𝑥3 = 0

b) {

2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1𝑥 + 𝑧 = −32𝑥 + 4𝑦 = 8

c) {2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 13𝑎 − 2𝑏 − 4𝑐 = −35𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 4

d) {

𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 6 = 02𝑧 + 𝑦 − 3 = 0

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0

e) {3𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 52𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 2

f) {

5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑤 = 1−3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 − 𝑤 = 22𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 − 3𝑤 = 3

g) {𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 − 4𝑑 = −12𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 − 2𝑑 = 1𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑 = 5

h) {

𝑎 − 𝑏 = −6𝑏 + 𝑐 = 3𝑐 + 2𝑑 = 42𝑎 − 3𝑑 = 5


2- Considere las siguientes matrices A, B y C.

𝐴 = (𝑎 − 1 01 𝑎

) 𝐵 = (−2 4 −13 2 05 3 −3

) 𝐶 = (1 0 02 1 04 8 1

)

Realice las siguientes operaciones.

a) 𝐼2 − 𝐴2

b) 𝐵𝐶

c) 𝐶−1

3- Suponga que en una economía hipotética intervienen los sectores Industria y Servicios, y

en ella produce una interrelación dada por la siguiente tabla.

Compra-Venta Industria Servicios Demanda Final Utilidad Total

Industria 320 250 210 780

Servicios 400 340 190 930


Valor agregado 20 280 -------- 300


En cada caso elabore la nueva tabla de insumo producto que resulta de:

a) Incrementar la demanda final de Industria en 12 unidades y Servicios en 8 unidades, con

las importaciones constantes.

b) Incrementar la demanda final de Industria en 7 unidades, disminuir la de Servicios en 6

unidades, incrementar las importaciones de Industria en 5% y disminuir las de Servicios en

3.33%.


Soluciones

1.

2.

3.

a) 𝑆 = {(4𝑡, −3𝑡, 𝑡)/𝑡 ∈ ℝ} e) 𝑆 = {(3

2−5

8𝑡,−1

4+

9

16𝑡, 𝑡) /𝑡 ∈ ℝ }

b) 𝑆 = {(−2, 3, −1)} f) 𝑆 = {(4

7− 𝑡 +

5

7𝑠,

13

4− 2𝑡 +

11

14𝑠, 𝑡, 𝑠) /𝑡, 𝑠 ∈ ℝ }

c) 𝑆 = {(1,−1, 2)} g) 𝑆 = ∅

d) 𝑆 = ∅ h) 𝑆 = {(31, 37,−34, 19)}

a) (−𝑎2 + 2𝑎 0

−2𝑎 + 1 1 − 𝑎2)

b) (2 −4 −17 2 0−1 −21 −3

)

c) (1 0 0−2 1 012 −8 1

)

a)

b)


Industria 337 262 222 821

Servicios 421 357 198 976


Valor agregado 23 297 -------- 320



Industria 325 250 217 792

Servicios 406 340 184 930


Valor agregado 19 282 -------- 301



Bibliografía.

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Costa Rica. San José.

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