UNIDAD1 Sucesiones y SumatoriasBIOMATEMATICAS ILICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIAOBJETIVO : Aplicar propiedades en el clculo de una sumatoria finita.INTRODUCCIN :Si en una suma se conocen los sumandos, esta se puede abreviar. Se tiene as una Sumatoria, para ello seusa una letra mayscula del alfabeto griego , SIGMA :DESARROLLO Definicin: Si acadanmeronatural, leasignamosunnicoreal por mediodeunaleyde formacin,se tieneunasucesin.El realasignadolodenotaremosporan,que indica el lugar que ocupa el trmino en la sucesin.Ejemplo 1:Encuentre a1 ,a3 , a100 , a1000 ,an-1,en la siguiente sucesin : an =11+|.

`,

nnSolucin:a1 =1111+|.

`, = 2a3 =1132 37033+|.

`, ,a100 =111002 7048100+|.

`, ,a1000 =1110002 71691000+|.

`, ,an-1 =1111+|.

`,

nnObservacin:Amedidaquencrece,anseacerca aunnmeroquenosuperaa2.72 denominado e debido a la inicial del apellido dequien lo descubri, y constituye la base de los logaritmos naturales y que se designan por ln x ,es decir : Log x xeln , donde :e 2,718281828.Ejemplo 2:an = 11 ( )! n encuentre a3, a5, an+1 donde n! se llama Nmero Factorial y se define del siguiente modo : n! = 123 4 ... n Observacin :0! = 11! = 12 ! = 23 ! = 64 ! = 24 a3 = 13 11211 212 ( )! ! a5 = 15 114124 ( )! ! UNIDAD1 Sucesiones y SumatoriasBIOMATEMATICAS ILICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIAan+1 = 11 11( )! ! n n + Definicin: La suma de los n primeros trminos de una sucesin, se denomina sumatoria.Si an es una sucesin :a a a a akknn + + + +11 2 3.............Note que k vara de 1anEjemplo 2:ann11 ( )!1111 112 113 11011121 1122 513( )! ( )! ( )! ( )!! ! !,k k ++ + + + +

111 11216124112017202 7180517( )!,k k ++ + + + +

Como se estudiar en cursos superiores, esta suma tambin se acerca alnmero e, a medida que mayor es el nmero de sumandos.Ejemplo 3 :+ 1 k1 k= ... +94-94+74-54+34- 4 =1 k 24) 1 (Sumatorias especiales1) Suma de los n primeros naturales : 1 2 3 41+ + + + + ... n kknVeamos el argumento que permiti encontrar una frmula para esto, por ejemplo, la suma de los primeros mil nmeros naturales :S = 1 + 2 + 3 + 4 +...+997 +998 +999+ 1.000S = 1.000 + 999 + 998 + 997+...+ 4 +3 +2 +12S=1.001+1.001+1.001+1.001+...+1.001+1.001+1.001+1.0012 S = 1.000 veces 1.001 = 1.000 1.001S 1000 10012. . o sea kk 110001000 10012500500. ..Se tiene que: 2) 1 n ( nkn1 k+Profesor Ctedra Rolando Muoz G.Pgina 2UNIDAD1 Sucesiones y SumatoriasBIOMATEMATICAS ILICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIASuma de los cuadrados de los n primeros naturales:2)6) 1 n 2 ( ) 1 n ( nn ... 3 2 1 k2 2 2 2n1 k2+ + + + + + Suma de los cubos de los n primeros naturales:3) 23 3 3 3n1 k32) 1 n ( nn ... 3 2 1 k ,`

.| + + + + + Propiedades de las sumatorias:P1) 1 1 1 1 11 knn vecesn + + + + ...

, o sea :11 knnP2)Sea c un nmero fijo y an una sucesinc a c a c a c a c ak n + + + + 1 2 3... + + + + c a a a ac ann( ... )1 2 3c a c an n P3)( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) a b a b a b a b a bk k n n+ + + + + + + + +1 1 2 2 3 3

+ + + + + + + + + + ( ... ) ( ... ) a a a a b b b ba bn nk k1 2 3 1 2 3 + +k k k kb a ) b a (Ejemplo : + 201 k2201 k2) 9 k 6 k ( ) 3 k ( + 201 k201 k201 k21 9 k 6 k= (202141):6- 3( 2021) + 920= 2.870 420 + 180 =2.680P4) ) a a ( ... ) a a ( ) a a ( ) a a (n 1 n 2 3 1 2n1 kk 1 k + + + ++

+a an 1 1 luego : + n1 kk 1 k) a a ( an+1- a1Esta propiedad es conocida con el nombre de TELESCOPICA.Ejemplo1 :

,`

.| + ,`

.| + ,`

.| + ,`

.| + ,`

.| ,`

.|+5161415131412131121k11 k151 k |.

`, 16156

Profesor Ctedra Rolando Muoz G.Pgina 3UNIDAD1 Sucesiones y SumatoriasBIOMATEMATICAS ILICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIAEjemplo2 :500 0 500) 1 n n (n1 k EJERCICIOS RESUELTOSVerifique las sumas siguientes:1) 450 . 135 t600300 k2) ) 1 n ( ) 2 n ( ) 1 n ( n ) 1 k ( k 4n300 k2 + + Solucin :1) 2991 k6001 k600300 kt t t(esto es necesario porque las formulas son vlidas a partir de 1).

154 . 1352300 2992601 600 2) n1 k3n1 k2) k 4 k 4 ( ) 1 k ( k 4]]]

n1 kn1 k3k k 4) 1 n ( ) 2 n ( ) 122) 1 212) 1 n ( n2) 1 n ( n42) 12) 14n ( nn nn ( nn ( n n ( n22 + +]]]]

+ ]]]

+ +]]]]

+

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.| + + Profesor Ctedra Rolando Muoz G.Pgina 4UNIDAD1 Sucesiones y SumatoriasBIOMATEMATICAS ILICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIAEJERCICIOS PROPUESTOSI.Calcula, usando propiedades de sumatoria 1)La suma de los naturales comprendidos entre 1.000 y 2.000, ambos incluidos.2)La suma de los 80 primeros naturales pares.3)El nmero de los primeros impares positivos que se deben sumar para obtener 9.4094)La suma de los nmeros positivos mltiplos de 5, menores a 300.II.- Pruebe las siguientes identidades:1) ( )6) 1 n 2 )( 1 n ( n1 kn1 k2 2)( ) 350 . 328 1 t1001 t2 (usandoloanterior)3) ( ) ) 4 n 3 n )( 1 n ( n411 k2n1 k3+ + 4) ( ) 1 2 2 2nn11 k k 5)( ) +1 500111000ktk6) 252952 k53 k5257 k ,`

.|++7) +n 2n23) 1 n ( n= k8) n1 i22) + 1)(n+)(n - n(n = ) 1 i ( i 4III. - Sedefineel nmerocombinatorio nk|.

`, queseleensobrek,del siguientemodo : ! k )! k n (! nkn

,`

.|Calcule las siguientes sumas :UNIDAD1 Sucesiones y SumatoriasBIOMATEMATICAS ILICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIA1) 61! k k2)

,`

.|61k53)

,`

.| 61kk6k ) 1 (4)

,`

.|

,`

.|41k41kIV.-Si en la sucesin finita{ 8 ,..., 2 , 1 n na, se tiene que12 a y 25 = ) a (81 i81 i=i2i ,determine k de manera que( ) 4 2218a kii= 400SOLUCION EJERCICIOS PROPUESTOSI. 1) 1.501.5002) 6.480 3) 1384) 8.850 II. (Prueba t mismo las identidades dadas)III. 1) 5.039 2) 32 3) 25 4) 32IV. k = 0ok = 6Profesor Ctedra Rolando Muoz G.Pgina 6