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Unidad 11 – Límites de funciones. Continuidad
PÁGINA 247
SOLUCIONES
1. Podemos decir lo siguiente:
� tiende a (3) cuando x tiende a (( )f x )�� y tiende a � ��� cuando x tiende a � ��� .
� tiende a ( cuando x tiende a ( )g x )�� ( )�� y tiende a � ��� cuando x tiende a � ��� .
� tiende a ( ) cuando x tiende a (( )h x 2� )�� y tiende a (2) cuando x tiende a � ��� .
� tiende a �( )t x ��� cuando x tiende a ( )�� y tiende a ( )�� cuando x tiende a � ��� .
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PÁGINA 263
SOLUCIONES
1. La solución queda:
2. Basta conocer el lado del cuadrado que se forma dentro de la figura. La resolución nos recuerda al problema de los perros guardianes.
El área de esta rosa de 4 pétalos es igual al área del cuadrado rayado más 4 veces el área de un pétalo. El área de un pétalo lo puedes encontrar en el problema de los perros guardianes.
Basta con mover el cuadrado para ver que el área de la región limitada es la cuarta parte del cuadrado.
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3. La representación geométrica del problema así como su resolución quedan:
Los cálculos quedan:
22 2
Área( ) Área cuadrado Área triángulo 2 Área sector
332 2 1
2 12 4 6
x
aa
aa a
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� � ��� �� � � � � � �� �� �
� �
�
2 2 2 2 22 2
Área(y) Área triángulo rectángulo Área(rayada) 2 Área(x)
3 32 1
2 4 2 4 6 2 12
a a a a aa a
� � �
� �� ��� � ��� � � � � � � � � � �� �� � � �� � � �
� �
2 2 2 22
2 2 22 2 2 2 2
3Área(z) 2 Área(rayada) 2 Área(y) 2 2
4 2 2 12
2 3 32 6 3
a a a aa
a a aa a a a a
� �� ��� ��� � � � � � � � � � � � �� �� � � �� � � �
�� �� ��� � � � � � � �
2 2 2
1Área(rayada) Áreacírculo Área triángulo rectángulo
4
14 2 2 2
a a a
� � �
�� �� �� � � �� �� �
191
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4. Sean las figuras:
� En la figura (1) el área pedida es 2 veces el área de una de las aspas rayada en el dibujo adjunto.
� �22 2 21 1 50 2510 10 10 2 5 2 y Área(a) 5 2 m
4 4 4 2D r r
� �� � � � � � �� � �� � � 2
Ahora hallamos el área de la zona (b). El radio de esta zona es el lado del cuadrado menos el
radio de la zona (a) 10 5 2.r� � �
2 21 (75 50 2)Área(b) (10 5 2) m
4 4
� �� � � �
El área del aspa queda:
2Área aspa 10 25 (75 50 2) 100 100 50 2� � �� � �� � �� �
El área pedida queda:
2
2
Área pedida 2 Área aspa 2 (100 100 50 2 ) 15,97m
Área pedida 15,97m
� � � � � �� � �
�
� En la figura (2) el área pedida es igual al área del cuadrado de lado 10 m menos el área del círculo de radio 5 m.
2 2 2Área figura(2) 10 5 100 25 Área figura(2) 21,46m� ��� � � � � �
Área aspa Área cuadrado 2 Área( ) 2 Área( )
Vamos a hallar el área de la zona (a).
El radio de esta zona es la mitad de la
diagonal del cuadrado.
a b� � � � �
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SOLUCIONES
1. Las soluciones quedan:
5
5 6
2 2
5 5
2,52,5
• (2) 1; (5) 2; (–5) no definida;
(–6) 1; ( ) no existe;
( ) 1; ( ) 1;
( ) 2; ( ) 1;
( ) 3; ( ) 3;
( ) 1,5; ( ) 1,5
• (1) 2; (2) 0
x
x x
x x
x x
xx
f f f
f lím f
lím f x lím f x
lím f x lím f x
lím f x lím f x
lím f x lím f x
g g
�
� �
� �
� �
�
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� �� �
� ���
�� ��
� �
� �
� �
�� �
– +
+ –
1
2 2
3 3
3
; (2,5) no existe;
(3) no existe; ( ) 2;
( ) 0; ( ) no existe;
( ) 2; ( ) no existe;
( ) no existe
x
x x
x x
x
g
g lím g x
lím g x lím g x
lím g x lím g x
lím g x
�
� �
� �
�
��
�
��
x
2. Las correspondencias quedan:
a) �11
( ) 3 b) (1) 3 c) ( ) 3xx
lím g x g lím g x� ��
� � �
3. Las gráficas quedan:
194
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SOLUCIONES
4. Las respuestas quedan:
1 2
21
a) ( ) h) ( )
b) ( ) i) ( )
c) ( ) 1 j) ( )
d) Asíntota horizontal : 1. k) Asíntota horizontal : 0.
Asíntotas verticales : 1; 1. Asíntota vertical : 2.
e)
x x
xx
x x
lím f x lím g x
lím f x lím g x
lím f x lím g x
y y
x x x
l
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�
� � �
��
� �� � ��
� �� � ��
� �� � ��
� � � ��
�� ��� � �
1 2
1
1
( ) l) ( )
f) ( ) m) ( ) 0
g) ( ) 1 n) ( ) 4
x x
xx
x x
ím f x lím g x
lím f x lím g x
lím f x lím g x
� �
�
� � �
� ���
� �� �
� �� � ��
� �� �
� � �
5. Las representaciones quedan:
197
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6. Los resultados son:
–5
0
5
23
100
10 13– 0
6
13 1
3
600
7 70 0
a) 2 2 b) 0
1 1c) d)
91
e) ( 7) 7 f)
1 1g) 0 h)
1i) 0 j) 1
1k) 0 l)
1 1m) n)
x x
x x
x x
x x
x x
xx
x x
lím lím x
lím lím xx
lím límx
lím límx x
lím lím xx
lím x límx
lím límx x
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1o) 1
x xlím x p) lím x� �� �
��
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��
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198
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SOLUCIONES
7. Los límites y la gráfica quedan:
1 1
11 1
2 2
22 2
(2 1) 33
( 3) 3
( 3) 3no existe
( 1) 3
;
x x
xx x
x x
xx x
x x
lím f (x) lím xlím f (x)
lím f (x) lím
lím f (x) límlím f (x)
lím f (x) lím x
lím f (x) lím f (x)
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� � �� �� � ��� � �� ��
� � �� �� ��� � � ��
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�
8. Los límites quedan:
3
2
4 5
22
2
32 4
3 2
2a) [2 7 2] b) 0
3 5 2
c) [4 7 5] d) [ 3 2 4]
2 7 5e) [ 3 2] f) 1
2 4 3
7 31g) h)
2 2 4 5
3i)
2 5
x x
x x
x x
x x
x
lím x x límx x
lím x x lím x x
x xlím x x lím
x x
x xlím lím
x x
xlím
x
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2 2x �� �
5
4 2
2
3 3
1 3 j)
7 22
5 1 2k) 0 l) 0
2 3 1
x
x x
x xlím
x x
x xlím lím
x x
� ��
� �� � ��
� �� �
�
� � � �� �
� �
2 1� �
9. Los límites quedan:
0
0
0
0
0
0
0
0
3 2
3 21 1
2
3 2 20 0
2
23 3
4
31 1
1 ( 1) (a)
( 1) ( 3) 42 3
( 1)b) 1
2 ( 2 1)
9 ( 3) ( 3)c)
( 3) (5 2) 175 13 6
1 ( 1) ( 1) (d)
1
x x
x x
x x
x x
x x x xlím lím
x x xx x x
x x x xlím lím
x x x x x x
x x xlím lím
x xx x
x x x xlím lím
x
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� � ��
�
1) 3
6
�
2
2
1) 4
3( 1) ( 1)x x x
� ��
� � �
200
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0
0
0
0
0
0
4 2 2 2 2
20 0 0
2
2 22 2
0 0 0 0
3 ( 3) ( 3)e) 0
( 1) 1
5 6 ( 2) ( 3)f)
4 4 ( 2)
1 1 ( 1 1) ( 1 1) 1 1 1 1g)
2 42 ( 1 1) 2 ( 1 1) 2 ( 1 1)
h
x x x
x x
x x x x
x x x x x xlím lím lím
x x xx x
x x x xlím lím
x x x
x x x xlím lím lím lím
x x x x x x
� � �
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� � � � � ��
0 0
0 0
0 0
0 0
2 2 2
1 1 1 1
2 2 23 3 3
3
4
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)) 4
1 11 ( 1) ( 1)
3 ( 3) ( 3) 3i)
9 ( 9) ( 3) ( 9) ( 3)
3 1
( 3) ( 3) ( 3) 12 3
j)
x x x x
x x x
x
x
x x x x x x x xlím lím lím lím
x xx x x
x x x xlím lím lím
x x x x x
xlím
x x x
lím
� � � �
� � �
�
�
� � � � � � � �� � �
� �� � �
� � � �� �
� � � � ��
� �� � �
�
0
0
0
0
0
0
4 4
2 20 0
20 0
3 5 (3 5 ) (3 5 ) (2 8 ) (4 ) (2 8 ) 4 2
6 32 8 (2 8 ) (2 8 ) (3 5 ) ( 4) (3 5 )
2 2 ( 2 2 ) ( 2 2 )k)
( ) ( 2 2 )
2 2
( ) ( 2 2 ) (
x x
x x
x x
x x x x x xlím lím
x x x x x x
x x x x x xlím lím
x x x x x x
x xlím lím
x x x x x
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� � � � � � � � ��
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0
0
0
0
2 2
2 2
2
21) ( 2 2 )
2 2 ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)l)
2 2 ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
( 2) ( 2 2) ( 2) ( 2 2) 4 1
8 2(2 4) ( 2 2) 2 ( 2) ( 2 2)
x x
x x
x x x
x x x xlím lím
x x x x
x x x xlím lím
x x x x
� �
� �
��
� � � �
� � � � � � �� �
� � � � �� � � �
� � � �� � � � � �
10. El límite queda:
0
0
22 2
2 2
2
2 2
( ) (2) (2 1) 9Si ( ) 2 1 (2) 2 2 1 9
2 2
2 8 2 ( 2) ( 2)8
2 2
x x
x x
f x f xf x x f lím lím
x x
x x xlím lím
x x
� �
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201
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11. Los límites quedan:
� �
� �
�
�� �
�� �
�
� � �
� ��
� � ��� � �� � � ��
� � �
� � ��� � �� � � �� �
�� ��
�
� �� � � �� � � �� �� �
� �
��
0
·0
0
2 2 2
11 1
2 2 200 0
3
2 2
3 3 30 0 0
1 1 1a) ;
1 1 1
2 2 2b) ;
5c)
3
2 2 2 ( 2 ) 2 ( 2)d)
3 3 3
2e)
1
xx x
xx x
x
x x x
x
x x xlím lím lím
x x x
x x xlím lím lím
x x x
xlím
x
x x x x x xlím lím lím
x x x
límx
��
�
�
� ��
� � �
�� �� � �� � �� �
� �� � � �� � � �� �� �� � � � � �� �� �
·0
0
·0
0
22
2
2 2 2 2 2 20 0 0
2 11 2
1
1 1 1 ( 1)f) no existe
2 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
x
x x x
xx lím
x
x x x xlím lím lím
xx x x x x x x x
202
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SOLUCIONES
12. Los límites quedan:
2 22
2
2
2 22
2
2
9 2 3 3 9 2 3 3a) 9 2 3 3
9 2 3 3
2 3 2 1
39 39 2 3 3
3 3b) 3 3
3
3
3
( )
( )( )( )
( )
x x
x
x x x
x
x x x x x xlím x x x lím
x x x
xlím
x x x
x x x x x xlím x x x lím x x x lím
x x x
xlím
x x x
���
�
�
���
� �� � ��
� ��
� �� � �� � ��
� ��
� � � � � �� �� � � � �� � � � �
�� � �
�� � �
� � � �� �� �� � � � � � �� �� � � �
�� �
2 2 2 2 2
2
3
2
2 1 ( 2) ( 1) ( 1) 1c) 1
1 ( 1)x x x
x x x x x x x xlím lím lím
x x x x x x
�
�
����
�
� �� � �� � ��
�
� �� � � � � � � � �� � � ��� �� �� � �
13. Los límites quedan:
22
2
1
1
1
3 5 2 153 1
5 3 35 3
3 13 1 2 7 21122 2 4
4
5 2a)
5 3
2 7b)
2
3c)
5
5d) 1
2
x x
x
x
x x xlím x lím
x x
x
xx x
límxx x
x
x
x
xlím x
x
xlím e e e
x
xlím e e
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22 2 3 2
2 2
1
1
51 1
2
2 6 5 52 122 2 5 4 2 10
2
3 4 3 3 1( 3) 15 3 5 3 3
2 6e) 0
2 5
4 3f)
5 3
x x
x x
x
xx x x x x
lím límx x x x
x
x x xlím x lím
x x
x
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x xlím e e e
x x
xlím e e e
x
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204
![Page 17: Unidad 11 – Límites de funciones. Continuidad · 2020. 2. 16. · Unidad 11 – Límites de funciones. Continuidad PÁGINA 247 SOLUCIONES 1. Podemos decir lo siguiente: ( )f x](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/6101319e69c1d55a8374c69b/html5/thumbnails/17.jpg)
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22 2 2 2 2
1 1 1
1
1
2 2 6(1 3 1)
6
0
33 1 ( 3) ( ) ( 3) ( 1)2 111 1 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1
2
2
g) 1 3
1h)
1
4 2i)
2 1
x x
x x x
xlím x límx x x
x
xx x x x x x x xlímx lím límx x x x x x
x
x
lím x e e e
xlím e e e e
x
xlím
x
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3
2 0
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14. Los límites quedan:
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0 0
0
0
2 2
3 3 20 0 0
2 2
3 3 3 21 1 1 1
22
2
4 2 4 4a)
1 3 1 3 2 2b) 1
1 1 1 1 1
2 5c) 0
3 5
2 2d)
5 5
x x x
x x x x
x
x
x
x x
x x x xlím lím lím
x x x
x x x x xlím lím lím lím
x x x x x x
xlím
x
x xlím lím
x x
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1
0
0
21 ·2 75 2 2
22
24 4 42
2
2
2
3 5 1 5 4 1 53 5 1e)
31 5 4 3 51 5 3 5
21
22f)
221
2
x
xx x
límx
x x x
x
x
x
e e
x x x xxlím lím lím
x x xx x
xlím
xxlím
xxlím
x
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��
� �� �
� �
22
1
2
55 2 1 · 5
9 693
4 3 4
34 3 4
2
2
g) 2
1h) 2
11
x
x
lím xx
xx
x x
xlím
x
lím x e e
x x x xxlím lím
xx x x
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205
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15. Queda:
�
2 2 22 ( ) ( 2) ( 2) ( 1) (2 ) 2 20
2 2 2
1 0 1Debe ocurrir
2 0 2
x x x
x ax b x x a x a b x blím ax b lím lím
x x x
a aa b b
� �� � �� � ��
� �� � � � � � � � � �� � � � �� �� � �� �
� � �� �� � ��
16. Queda:
0
00 0
0
0
2 3 2 ( ) 3
2 ( ) 3 2 3)
2 2 3 2 3 2 2 3 2 3
2 2 3 2 3
2 2
2 2 3 2 3 2 2 3 2 3
( ) ( )( )
( )
h h
h
h
f (x) x f (x h) x h
x h xf (x h) f (xlím lím
h h
x h x x h xlím
h x h x
hlím
h x h x x x
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1�
17. Queda: 2
2
1
3 5 32 13 5 5
2
3 510
3 5
x
ax x alím axx x
x
xlím e e a
x x
� ���
� �� ��� �� ��� �
� ��
� ��� � �� ��� �
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18. Se calcula del siguiente modo:
� �� �
� �
� �
2
0 0
0 0
1 1
3
3 3
3
( ) 1 1
( ) 3 3 3
( ) 3 3 0
( ) 6
( ) ( ) 6( ) 6
(0) 3; (1) 0; (3) 6
La función ( ) es continua en 0
x x
x x
x x
x
x x
x
lím f x lím x
lím f x lím x
lím f x lím x
lím f x
lím f x lím f xlím f x
f f f
f x
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206
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SOLUCIONES
19. El estudio queda:
a) ( )x
f x xx
� �� � �� no es continua en 0x � , pues no está definida en dicho punto.
b) es discontinua en todos los puntos de la abscisa entera. � 2( ) [ ]g x x E x� � �
c) no es continua en , pues no está definida en dicho punto. ( )h x 0x �
d) es continua en toda la recta real. ( )t x
20. La solución queda:
� �3,3� ��a) es continua en ( )f x
b) es continua en � � 2,2�( )f x
c) es continua en ( )f x �
d) es continua en � �3,� � �( )f x
e) es continua en ( )f x �
4 2K
� �� �� � �� �� �
�f) es continua en ( )f x
21. En cada caso queda:
Veamos la continuidad de en 2 y 4.x x� � ( )f x
� �� �
� �
2
2 2
2
2 2
4 4
4 4
(2) 0
( ) 4 0( ) 0 (2) 0 Luego ( ) es continua en 2.
( ) 2 0
(4) 2
( ) 2 2
( ) 5 5
x x
x
x x
x x
x x
f
lím f x lím xlím f x f f x x
lím f x lím x
f
lím f x lím x
lím f x lím
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�
4( ) Luego ( ) no es continua en 4.
xlím f x f x x�
� �
Veamos la continuidad de en ( )g x 0 y 3.x x� �
0 0
0 0
(0) 1
5( ) 1
5
( ) 1 1
x x
x x
g
lím g x límx
lím g x lím x
� �
� �
� �
� �
��
�� �� ��� � ���� � ���
0
3 3
3
3 3
( ) Luego ( ) no es continua en 0.
(3) 2
( ) 1 2
( ) (3) 2 Luego ( ) es continua en 3.10( ) 2
2
x
x x
x
x x
lím g x g x x
g
lím g x lím x
lím g x g g x xlím g x lím
x
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![Page 21: Unidad 11 – Límites de funciones. Continuidad · 2020. 2. 16. · Unidad 11 – Límites de funciones. Continuidad PÁGINA 247 SOLUCIONES 1. Podemos decir lo siguiente: ( )f x](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081620/6101319e69c1d55a8374c69b/html5/thumbnails/21.jpg)
22. La solución es: 2
3 3
2
9 ( 3) ( 3) 63. En 3 tiene una discontinuidad evitable.
2 6 2 ( 3) 2
9si 3
La redefinimos: 2 6
3 si 3
x x
x x xlím lím x
x x
xx
f (x) x
x
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� � �� � � � �
� �
� ���� ��
� ��
23. La solución es:
Estudiamos la continuidad en 1.x �
� �2
1
1
(1) 2
2 2
2 4 64
4
x
x
f a
lím ax a
a alím
x
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�
�
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�� � ��� � � � ��
���
Estudiamos la continuidad en 2.x �
� �2
2
2
(2)
ln( 1)
11
x
x
x
f a
lím a x a
alím e
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209