unidad 2: la derivada trazado de curvas: funciones racionales
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Unidad 2: La derivada
Trazado de curvas:
Funciones racionales
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2
¡Interrogante!
¿Cuáles son las asíntotas verticales de su gráfica?
¿Cuáles son las asíntotas horizontales de su gráfica?
Para cuya gráfica se muestra2
2
4( )
2
xf x
x x
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3
La recta asíntota de la gráfica de una función f es una recta L, que a medida que la gráfica de la función se aleja al infinito ésta se pega cada vez más a la recta L sin llegar a tocarla.
Recta asíntota de la gráfica de una función
Observación: cuando la gráfica de f no se aleja al infinito, ésta puede tocar a la recta varias veces.
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4
La recta x = c es una “asíntota vertical" de la gráfica de f si f(x) tiene un límite infinito cuando x c+ ó x c-
Asíntota vertical
Es decir:)(ó)(
xflím
cx
)(ó)(
xflímcx
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Si f(x) tiende a L cuando x + ó x -, entonces, la recta y = L se denomina “asíntota horizontal” de la gráfica de f.
Asíntota horizontal
( )xlím f x L
( )xlím f x L
o
Es decir:
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6
Ejemplo
Determine las asíntotas verticales y horizontales de las gráficas de las funciones:
2( )
2
xf x
x
2 4
( )2
xf x
x
1.
2.
3. 2
2
4( )
2
xf x
x x
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Si f (x) es una función racional cuyo grado del numerador es uno mayor que el del denominador, la gráfica de f tiene una asíntota oblicua
y = mx + b.
Asíntota oblicua
0)]()([
bmxxflímx
0)]()([
bmxxflímx
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8
Solución:
Ejemplo
2 3( )
2
xf x
x
Halle la asíntota oblicua de la gráfica de:2 3
( )2
xf x
x
12
2x
x
Si hacemos que x en 1/(x - 2) se obtienela asíntota oblicua:
y = x + 2
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9
Para4
2
1xy
x
¿Tiene recta asíntota oblicua?
note que:2
2
1y x
x
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En general, la ecuación de la recta asíntota oblicua y = mx + b, se puede obtener mediante:
( )x
f xm lím
x [ ( ) ]
xb lím f x mx
Asíntota oblicua: fórmula general
y
Asíntota oblicua por derecha:
Asíntota oblicua por izquierda:
( )x
f xm lím
x y [ ( ) ]
xb lím f x mx
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Halle las asíntotas de la gráfica de:
Ejemplo
Asíntota vertical
Asíntota oblicua
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12
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
2)(lim
xfx 3
2)(lim
x
xf
x
23
2)(lim
xxfx
Trace la gráfica de una función f continua en todo número real excepto en x = 3 si se cumple que:(1; 3) es mínimo relativo
0)( xf 331 xx
0)( xf 1x
30)( xsixf
30)( xsixf
si
si
Ejercicio:
Resuelva ejercicios del Texto guía.
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Procedimiento para el trazado de la gráfica de f(x)
1. Halle el dominio de f(x)2. Halle las intersecciones con los ejes3. Determine las asíntotas4. Halle f ´(x) y los extremos relativos5. Halle f ´´(x), concavidad y puntos de inflexión6. Trace la gráfica de las asíntotas7. Ubique interceptos, extremos relativos y trace la gráfica según (4) y (5).
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Ejemplo 1:
Trace la gráfica de la funciónEjemplo:
xx
xf
1
)(2
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Ejemplo 3:Suponga que el costo total de fabricar q unidades de cierto artículo es:
C(q) = 3q2 + 5q + 75 dólaresa. En el mismo conjunto de ejes, trace la gráfica de las
funciones de costo promedio y marginal para q>0.b. ¿En qué nivel de producción es mínimo el costo
promedio por unidad?c. ¿En qué nivel de producción el costo promedio por
unidad es igual al costo marginal?