unidad 3. fuerzas interns en marcos

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATNFACULTAD DE INGENIERAINGENIERA CIVILAPUNTES DE MECNICA DE MATERIALES I ING. MAURICIO GAMBOA-MARRUFO, D.PHIL.

Mecnica de Materiales I Unidad 3. Fuerzas internas en marcos.Objetivo: Obtener las fuerzas internas, sus ecuaciones y sus diagramas en marcos isostticos. Naturaleza de las fuerzas internas en marcos. Fuerzas internas en un marco. Diagramas de fuerzas internas en marcos: de fuerzas normales, de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes. Diagramas de momentos torsionantes.

Temario desglosado: 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Bibliografa:

Singer, F., Resistencia de Materiales (4 Edicin), Editorial Harla. Beer, F. P.; Johnston, E. R., Mecnica Vectorial para Ingenieros, Esttica, (5 Edicin), Editorial McGraw-Hill. Lizarraga, I. M., Estructuras Isostticas. Editorial McGraw-Hill.

3.A. INTRODUCCIN. Marco Rgido o Prtico Rgido. Estructura compuesta de un cierto nmero de elementos rectilneos o barras unidas entre s por medio de juntas, nudos o conexiones, de los que algunos o todos son rgidos, es decir, capaces de resistir a la vez fuerzas y momentos. En el anlisis de prticos rgidos, se supone que el eje longitudinal de cada barra coincide con el centro de las juntas en los extremos de esta barra. El llamado centro del nudo es entonces el punto de concurrencia de todos los ejes longitudinales de las barras que inciden en el nudo (Fig. 3.1)

Viga 2 Nodo Viga 1

Viga 3

C Nodo Viga 1

Viga 2

Viga 2 Nodo Viga 1Viga 3 Viga 2

Nodo Viga 1

Fig. 3.1. Juntas rgidas en marcos.UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. Pgina 1 de 15


En toda junta rgida, los extremos de todas las barras que en ella concurren, no solamente deben trasladarse, sino tambin rotar idnticas cantidades (Fig. 3.2).Barra1 x, y Nodo x, y Barra2 x, y = 1 = 2 = 3 2 Nodo 1 3 Barra 3No do x

Barra 2

Barra 2

y

Barra 1

Barra1

Fig. 3.2. Desplazamientos en juntas rgidas de marcos. La transmisin de fuerzas y momentos de una barra a otra se realiza a travs de los nodos partiendo de que si el todo se encuentra en equilibrio, cada una de sus partes tambin lo est. As, cada barra, elemento o miembro debe encontrarse en equilibrio y cada nodo que los une tambin (Fig. 3.3).Nodo 1 Barra 2 Nodo 2 CARGAS ACTIVAS

}

Barra 1

Apoyo REACCIONES

Fig. 3.3. Transmisin de fuerzas internas entre elementos de un marco.UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. Pgina 2 de 15


3.1. NATURALEZA DE LAS FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. Como se puede observar en la figura 3.3, las fuerzas internas en marcos son de la misma naturaleza de las que se encuentran en las vigas (Fig. 3.4).

Barra 2

Barra 2

Barra 2

Barra 1

Barra 1

Barra 1

FUERZA AXIAL

FUERZA CORTANTE

MOMENTO FLEXIONANTE

Fig. 3.4. Elementos mecnicos (fuerza axial, cortante y momento flexionante) en los elementos de un marco plano Con respecto a la figura 3.4 debe hacerse notar que, en la transmisin de fuerzas de una barra a otra, los elementos mecnicos en una direccin de una barra pasan a la siguiente variando de acuerdo con la direccin del siguiente elemento. Por ejemplo, en la figura 3.4 se puede ver que la carga axial de la primera barra se transmite como cortante de la segunda barra y el cortante como carga axial. Obviamente, esto depende del ngulo que exista entre las dos barras, cabiendo la posibilidad de que parcialmente la carga axial y la carga cortante de la primera barra contribuyan a las cargas axiales y cortantes del segundo elemento (como sucedi en el caso de las reacciones y los elementos mecnicos de las vigas inclinadas vistas con anterioridad). Generalmente los marcos rgidos se construyen con un alto grado de indeterminacin esttica. El estudio de marcos rgidos isostticos sirve como introduccin para el clculo de los estticamente indeterminados. Los marcos rgidos determinados se clasifican, segn el tipo de apoyos que tengan, en simples y triarticulados (Fig. 3.5).

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B

C

B

C

A

D

A

D

Fig. 3.5 Marcos rgidos isostticos: simple y triarticulado. Los marcos simples son aquellos que tienen un apoyo simplemente apoyado y otro articulado. Los marcos triarticulados poseen sus dos apoyos articulados, lo que hace necesaria la existencia de otra articulacin en el interior de la estructura, con objeto de que sta sea isosttica. 3.3 DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS EN MARCOS: DE FUERZAS NORMALES, DE FUERZAS CORTANTES Y DE MOMENTOS FLEXIONANTES. Al igual que en las vigas, en los marcos se realiza el anlisis de la estructura para conocer los elementos mecnicos mximos (o mnimos) que se generan en ella. Por lo tanto, es importante la obtencin de los diagramas de los elementos mecnicos y de las ecuaciones correspondientes. Para realizar el anlisis de los marcos, seguiremos los mismos pasos que utilizamos en las vigas considerando los cambios de direccin debido a los ngulos correspondientes entre elementos. Recurriremos a la viga presentadas en las figuras 3.6 y 3.7 para ejemplificar estos pasos en un marco simple y un marco triarticulado con cabezal de dos aguas. El primer paso, como siempre, es la verificacin de que la estructura sea isosttica, para ello consideraremos como incgnitas a las fuerzas en los extremos de las barras (y por lo tanto en los nodos) y las ecuaciones sern las del equilibrio que se puedan considerar para las fuerzas implicadas.



Marco simple w = 2 T/m p=5T AB = CD = 8 m BC = 4m p a C = p a D = 4m

B

w

C

p

AB BC CD B C A D

GIT = 0 6 incgnitas 3 ecuaciones 6 incgnitas 3 ecuaciones 6 incgnitas 3 ecuaciones 3 ecuaciones 3 ecuaciones 2 ecuaciones 1 ecuaciones 18 incgnitas 18 ecuaciones

A

D

-----------------------------------------------------------------------------------

A D

GIE = 0 2 incgnitas 1 incgnitas 3 incgnitas 3 ecuaciones

AB BC CD B C

GIT = 0 5 incgnitas 3 ecuaciones 6 incgnitas 3 ecuaciones 4 incgnitas 3 ecuaciones 3 ecuaciones 3 ecuaciones 15 incgnitas 15 ecuaciones GIE = 0 A 2 incgnitas D 1 incgnitas

----------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------

GII = GIT - GIE = 0 0 = 0 AB 5 incgnitas 3 ecuaciones BC 6 incgnitas 3 ecuaciones CD 4 incgnitas 3 ecuaciones B 3 ecuaciones C 3 ecuaciones-----------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------

3 incgnitas 3 ecuaciones GII = GIT - GIE = 0 0 = 0-----------------------------------------------------------------------------------

15 incgnitas 15 ecuaciones


Fig. 3.6 Marco rgido isosttico simple: grado de indeterminacin.UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. Pgina 5 de 15


Marco triarticulado w = 6 T/m AB = DE = 8 m Dist. vertical BC = CD = 4m Dist. horizontal BC = CD = 6mAB BC CD DE B C D A E GIT = 0 6 incgnitas 3 ecuaciones 6 incgnitas 3 ecuaciones 6 incgnitas 3 ecuaciones 6 incgnitas 3 ecuaciones 3 ecuaciones 2 ecuaciones 3 ecuaciones 2 ecuaciones 2 ecuaciones 24 incgnitas 24 ecuaciones A E GIE = 0 2 incgnitas 2 incgnitas 4 incgnitas 4 ecuaciones

w C B D

A

E

-----------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------

AB BC CD DE B C D

GIT = 0 5 incgnitas 3 ecuaciones 5 incgnitas 3 ecuaciones 5 incgnitas 3 ecuaciones 5 incgnitas 3 ecuaciones 3 ecuaciones 2 ecuaciones 3 ecuaciones 20 incgnitas 20 ecuaciones

-----------------------------------------------------------------------------------

GII = GIT - GIE = 0 0 = 0 AB 5 incgnitas 3 ecuaciones BC 5 incgnitas 3 ecuaciones CD 5 incgnitas 3 ecuaciones DE 5 incgnitas 3 ecuaciones B 3 ecuaciones C 2 ecuaciones D 3 ecuaciones-----------------------------------------------------------------------------------

A E

GIE = 0 2 incgnitas 2 incgnitas 4 incgnitas 4 ecuaciones

----------------------------------------------------------------------------------

GII = GIT - GIE = 0 0 = 0-----------------------------------------------------------------------------------



Fig. 3.7 Marco rgido isosttico triarticulado: grado de indeterminacin.UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. Pgina 6 de 15


El segundo paso consiste en obtener las reacciones de la estructura, en el caso de la viga simplemente apoyada utilizando las tres ecuaciones de la esttica disponibles (Fig. 3.8) y en el de la viga triarticulada, ests mismas ecuaciones mas la de condicin implcita en la junta articulada que se encuentra en el interior de la estructura (Fig. 3.9).w Marco simple w = 2 T/m p=5T AB = CD = 8 m BC = 4m p a C = p a D = 4m y B C

Fx = 0 MzA = 0p

RAx 5 = 0 RAx = 5 T 4RDy + 4p 4/2 (w4) = 0 4RDy + 45 2(24) = 0 RDy = 1 T

x z RAx A D RDy

Fy = 0

RAy + RDy w4 = 0 RAy + (1) 24 = 0 RAy = 9 T

RAy

Fig. 3.8 Marco rgido isosttico simple: reacciones.

Marco triarticulado w = 6 T/m AB = DE = 8 m Dist. vertical BC = CD = 4m Dist. horizontal BC = CD = 6m y x z RAx RAy A C

w

MzA = 0

12REy 6 (w12) = 0 12REy 6 (612) = 0 REy = 36 T

B

D

MzC CDE = 0 6REy+12REx6/2w6 = 0 636+12REx366 = 0E

REx = 9 TREx

REy

Por simetra de geometra y de cargas: RAy = 36 T RAx = 9 T (Fx=0, Fy=0)

Fig. 3.8 Marco rgido isosttico triarticulado: reacciones.



Antes de continuar con el siguiente paso en la resolucin de los marcos es conveniente definir la direccin en que se recorrern los elementos con el fin de obtener los diagramas y ecuaciones de los elementos mecnicos de cada uno de ellos. Utilizar un sistema de ejes coordenados locales para cada elemento que constituye el marco permitir obtener los diagramas y ecuaciones de los elementos mecnicos de un marco de manera inequvoca (Fig. 3.9).w Marco simple w = 2 T/m p=5T AB = CD = 8 m BC = 4m p a C = p a D = 4m y y x z Ej. Glob. z Ej. Loc. Elem. 1 RAx = 5 T A D RDy = 1 T B z x Ej. Loc. Elem. 2 y x C Ej. Loc. Elem. 3 y z x p

RAy = 9 T

Marco triarticulado w = 6 T/m AB = DE = 8 m Dist. vertical BC = CD = 4m Dist. horizontal BC = CD = 6m y y x z Ej. Glob. z Ej. Loc. Elem. 1 RAx = 9 T RAy = 36 T y z Ej. Loc. Elem. 2 B xx

w C Ej. Loc. Elem. 3 z y x Ej. Loc. Elem. 4 y z x A E REx = 9 T

D

Rey = 36 T

Fig. 3.9 Ejes locales en los elementos de marcos simples.UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. Pgina 8 de 15


Una vez definidos la direccin en que se recorrern cada uno de los elementos del marco por medio de un sistema de ejes coordenados locales, se prosigue con el mtodo de las secciones tal como se utiliz en las vigas. Cabe recordar que la variacin de los diagramas, as como la validez de las ecuaciones est determinada por los rangos de aplicacin de las cargas activas y los cambios de direccin de los elementos que constituyen al marco. As, para el marco simple se tiene:y z(-) -5T 0< x

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