MATEMTICA IV

2011

UNIDAD III Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden

Superior.

Recopilacin: Oscar Daz.

U N I D A D D E C I E N C I A S B S I C A S . F I A - U E S

2

3.1 TEORA PRELIMINAR.

Un problema de valor inicial para una ecuacin de orden n es

Resolver 2

2 1 02 2

n

nd y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx

Sujeto a 10 0 1 0 1, , ,n

ny x y y x y y x y

El teorema siguiente nos da las condiciones suficientes para la existencia de una solucin nica del problema de valor inicial de orden n . Recuerde que condiciones suficientes significa que si las condiciones enunciadas no se satisfacen, pueden existir soluciones nicas.

EEJJEEMMPPLLOO 11:: EENNCCOONNTTRRAANNDDOO EELL IINNTTEERRVVAALLOO DDEE DDEEFFIINNIICCIINN..

Determine el mximo intervalo para el cual el teorema 1 asegura la existencia y unicidad de

una solucin del PVI 2

2

1 ln3

d y dy x y xdx x dx

Sujeto a 1 3, 1 5y y

2 1a x continuo para todo x

11

3a x

x

es continua para 3x

0a x x es continua para 0x

lng x x es continua para 0x

Por tanto el intervalo abierto ms grande que contiene a 0 1x para el cual los tres

coeficientes son simultneamente continuos es el intervalo 0,3 . Concluimos que el PVI dado tiene una solucin nica en el intervalo 0,3 .

Teorema 1: Existencia de una solucin nica.

Si 1 0, , , y na x a x a x g x son continuas en un intervalo I , y que

0na x para toda x presente en ese intervalo. Si 0x x est en cualquier punto de este intervalo, entonces en el intervalo existir una solucin y x al problema de valor inicial (1) y sta ser nica.

(1)

SOLUCIN

En este caso debemos verificar la continuidad de los coeficientes en la ED. Note que el coeficiente de la segunda derivada en continuo para todos los valores de x

0x 3x

I

Clase 1

3

PPRROOBBLLEEMMAA DDEE VVAALLOORREESS EENN LLAA FFRROONNTTEERRAA ((PPVVFF))..

Otro tipo de problema similar al PVI consiste en resolver una ED de segundo orden o mayor en la cual la variable dependiente y, o sus derivadas estn especificadas en puntos diferentes. Por ejemplo, un problema como

Resolver 2

2 1 02

d y dya x a x a x y g xdx dx

Sujeto a 0 1,y a y y b y

Se denomina problema de valores en la frontera (PVF). Las condiciones impuestas se conocen como condiciones de frontera. Para una ecuacin diferencial de segundo orden podemos definir los siguientes pares de condiciones en la frontera adems del presentado anteriormente:

0 1,y a y y b y

0 1,y a y y b y

0 1,y a y y b y

EEJJEEMMPPLLOO 22:: UUNN PPVVFF

Use la familia biparamtrica de soluciones 1 2cos siny c t c t de la ecuacin diferencial 0y y para encontrar una solucin que satisfaga las condiciones de frontera

a) 0 1, 1y y b) 0 1, 2 1y y c) 0 1, 14

y y

Como no podemos hacer que 1c sea igual a 1 y -1 al mismo tiempo, esta condicin implica que el problema de valores en la frontera no tiene solucin.

b) la primera y segunda condicin implican que:

1 21 cos0 sin 0c c y 1 21 cos 2 sin 2c c

Del sistema resulta que 1 1c , pero no podemos encontrar el valor de 2c . Esto nos indica que cualquier valore es correcto, en otras palabras, el PVF presenta una infinidad de soluciones de

la forma 2cos siny t c t .

c) finalmente, el par de condiciones implican que

1 21 cos0 sin 0c c y 1 21 cos sin4 4c c de donde obtenemos 1 21 y 2 1c c .

Por tanto cos 2 1 siny t t es la solucin nica al PVF

SOLUCIN

a) La primera condicin implica que:

1 2 11 cos0 sin 0 1c c c y la segunda nos dice que

1 2 11 cos sin 1c c c .

4

En las siguientes figuras se muestran los resultados de los tres incisos anteriores.

FIGURA 1

Ninguna curva pasa por ambos puntos especificados a la vez.

FIGURA 2

Muchas curvas pasando por los puntos especificados.

FIGURA 3

Una nica curva pasado por los puntos especificados.

5

OOPPEERRAADDOORREESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS LLIINNEEAALLEESS

Denotemos con D la derivada de la variable dependiente con respecto a la variable

independiente, es decir 2

22, , ,

nn

n

dy d y d yDy D y D ydx dx dx

. Usando esta notacin

podemos escribir el lado izquierdo de la ecuacin

2

2

d y dyP x Q x y g xdx dx

de la siguiente manera:

2 2D y PDy Qy D PD Q y

Esta expresin genera una nueva funcin a la que denominaremos operador diferencial L .

2L D PD Q

De tal manera que (2) se puede escribir en forma simplificada como L y g x . La idea de este operador la podemos comprender si lo imaginamos como una mquina que est lista a

derivar, pero que necesita una entrada (la funcin y x ) generando una salida que depender de la naturaleza de sta funcin de entrada.

Por ejemplo si P x x y 2Q x x las salidas generadas por el operador lineal seran las siguientes:

De modo que L transforma la funcin de entrada en una nueva funcin de salida.

Note que este operador tiene dos propiedades muy importantes que no son ms que una consecuencia de las reglas bsicas de derivacin:

1. 1 2 1 2L y y L y L y 2. 1 1L cy cL y

Para cualquier par de funciones con segundas derivadas continuas en un intervalo I .

Cuando P y Q son constantes, podemos tratar a 2D PD Q como un polinomio en D el cual incluso podemos factorar. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

2D PD Q y L y y Py Qy

2D PD Q 3y x

siny x

3 56 3L y x x x

2sin cos sinL y x x x x x

Entrada Salida

(2)

Clase 2

6

EEJJEEMMPPLLOO 33:: LLGGEEBBRRAA DDEE OOPPEERRAADDOORREESS LLIINNEEAALLEESS..

Muestre que el operador lineal 2 4 3D D es igual a la composicin de operadores 1 3D D (que resulta de factorar el operador lineal dado).

Para una funcin cualquiera y dos veces diferenciable tenemos

1 3 1 3 1 3D D y D Dy y D y y

1 3 3 1 3D D y D y y y y

1 3 3 3D D y y y y y

1 3 4 3D D y y y y

Calculemos ahora 2 4 3D D aplicado a la funcin y

2 24 3 4 3 4 3D D y D y Dy y y y y

En consecuencia 21 3 4 3D D D D

SOLUCIN

7

En los problemas 1 a 3 determine si se aplica el teorema de existencia y unicidad. En caso afirmativo, diga qu conclusiones se pueden obtener. Si no se aplica

explique por qu. Suponga que 0y y 1y son constantes reales.

1. 31y yy x , 0 1; 0 1y y

2. ln3

x ye y y xx

; 0 11 , 1y y y y

3. 23 2x x y xy y x ; 3 0; 3 1y y 4. Dado que 1 2cos siny x c x c x es solucin de

0y y , donde 1 2 y c c son constantes arbitrarias. Muestre que a. Hay una solucin nica que cumple las

condiciones de frontera 0 2, / 2 0y y b. No existe ninguna solucin que satisfaga

0 2, 0y y . c. Hay infinidad de soluciones que satisfacen

0 2, 2y y . 5. Verifique, como en el ejemplo 3, cada una de las

siguientes operaciones con operadores

a. 26 1 5 6D D D D

b. 2 3 22 1 1 2 2 1D D D D D

En ocasiones un operador aplicado a una funcin la

anula, es decir 0L f . Este concepto se aplica en los siguientes ejercicios.

6. Sea 3L D y 3xf x e . Calcule L f 7. Sea L D m y mxf x e . Calcule L f

Suponga que m es cualquier nmero real. 8. Basado en los problemas anteriores, encuentre un

operador que anule a 7xf x e y 23x

g x e

9. Sea 2 44 y 6 xL D f x xe . Calcule L f

10. Sea 3 2 55 y 4 xL D f x x e . Calcule L f 11. Basado en los problemas 9 y 10 encuentre un

operador que anule a 2xxe y 3 3xx e .

12. Sea 2 1 y cosL D f x x . Calcule L f 13. Muestre que 2D anula a 2xy e y que D

anula a 1. Muestre adems que 2D D anula a 2 1xe .

14. Construya un operador que anule a 2 54 cosxf x e x .

15. Verifique que 321 2D anula a

2 sin 2xx e x

16. Reescriba las siguientes ecuaciones diferenciales en trminos de la notacin D .

5 6 5 3y y y x 4 0y y

23 4 cosxy y y xe x 17. Dada la ecuacin diferencial 2 1xy y e

teniendo en cuenta los resultados de los problemas

13 y 16 aplique el operador 2L D D a ambos lados de la ecuacin. Esto deber reducir la

ecuacin dada a una ecuacin homognea en D .

EJERCICIOS DE LA SECCIN 3.1

8

3.2 ECUACIONES HOMOGNEAS Y NO HOMOGNEAS.

Llamaremos a una ecuacin diferencial de n simo orden escrita en la forma

2

2 1 02 0n

n n

d y d y dya x a x a x a x ydx dx dx

Ecuacin Homognea.

Mientras que llamaremos Ecuacin no homognea a una ecuacin del tipo

2

2 1 02

n

n n

d y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx

con 0g x

EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGNNEEAASS..

Iniciemos estudiando algunas de las propiedades ms importantes de las ecuaciones homogneas.

EEJJEEMMPPLLOO 44:: EELL PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE SSUUPPEERRPPOOSSIICCIINN YY LLAASS EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGNNEEAASS..

Dado que 21 cos3xy e x y 22 sin 3

xy e x son soluciones de la ecuacin homognea 4 13 0y y y , encuentre una solucin de esta ecuacin que cumpla el PVI

0 2 y 0 5y y .

Por el principio de superposicin, para cualquier par de constantes 1 2 y c c 2 2

1 2cos3 sin 3x xy c e x c e x (una combinacin lineal de las funciones) ser solucin de

4 13 0y y y . Evaluando las condiciones iniciales obtenemos 1 22, 3c c . Por consiguiente la solucin al PVI es

2 22 cos3 3 sin3x xy e x e x .

El principio de superposicin se puede generalizar a una ecuacin diferencial homognea de orden n . Es decir, dada una ecuacin homognea con coeficientes constantes

2

2 1 02 0n

n n

d y d y dya a a a ydx dx dx

si 1 2, , , ky y y son soluciones de sta ecuacin,

entonces cualquier combinacin lineal de las mismas tambin ser solucin de la EDH en un intervalo I .

SOLUCIN

PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE SSUUPPEERRPPOOSSIICCIINN.. ((CCOOMMBBIINNAACCIINN LLIINNEEAALL DDEE SSOOLLUUCCIIOONNEESS)) CCAASSOO DDEE

EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGNNEEAASS..

Suponga que 1y y 2y son soluciones de la EDH 0L y donde L es un operador diferencial lineal. Entonces para cualesquier constantes 1c y 2c la funcin 1 1 2 2y c y c y tambin es una solucin de la ecuacin diferencial homognea dada.

Para evaluar el PVI necesitamos una solucin que involucre dos

constantes arbitrarias 1 2 y c c .

9

DDEEPPEENNDDEENNCCIIAA EE IINNDDEEPPEENNDDEENNCCIIAA LLIINNEEAALL..

Si 1 2, , ny y y son soluciones de una ecuacin diferencial lineal homognea de n -simo orden en un intervalo I . Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I s y slo s 1, , 0nW y y donde W , el Wronskiano de las funciones, se define como

1 2

1 21

( 1) ( 2) ( 1)1 2

, ,

n

nn

n n nn

y y yy y y

W y y

y y y

Este conjunto de n soluciones linealmente independiente recibe un nombre especial.

Un conjunto fundamental de soluciones nos es de mucha utilidad cuando se trata de encontrar la solucin general de una ecuacin homognea.

EEJJEEMMPPLLOO 55:: SSOOLLUUCCIINN GGEENNEERRAALL DDEE UUNNAA EEDDHH

Dado que 1 cos3y x y 2 sin3y x son soluciones de 9 0y y en , , encuentre su solucin general.

cos3 sin3

cos3 ,sin3 cos3 3cos3 3sin3 sin 33sin 3 3cos3

x xW x x x x x x

x x

2 2 2 2cos3 ,sin3 3cos 3 3sin 3 3 cos 3 sin 3 3 0W x x x x x x

Como 0W

concluimos que cos3 ,sin3x x forman un conjunto fundamental de soluciones. Por tanto la solucin general de 9 0y y es 1 2cos3 sin3y x c x c x

SOLUCIN

CCOONNJJUUNNTTOO FFUUNNDDAAMMEENNTTAALL DDEE SSOOLLUUCCIIOONNEESS

Cualquier conjunto 1 2, , , ny y y de soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial homognea de orden n en un intervalo I se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

SSOOLLUUCCIINN GGEENNEERRAALL DDEE UUNNAA EECCUUAACCIINN HHOOMMOOGGNNEEAA..

Si 1 2, , , ny y y es un conjunto fundamental de soluciones de una ecuacin diferencial homognea de orden n en un intervalo I , entonces, en el intervalo, la solucin general de la ecuacin es

1 1 2 2 n ny c y x c y x c y x

Donde 1 2, , , nc c c son constantes arbitrarias.

Primero verificamos si cos3 ,sin3x x forman un conjunto fundamental de soluciones. Esto lo hacemos de la siguiente manera:

Clase 3

10

AALLGGUUNNOOSS MMTTOODDOOSS DDEE SSOOLLUUCCIINN PPAARRAA EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGNNEEAASS..

RREEDDUUCCCCIINN DDEE OORRDDEENN..

Hemos aprendido hasta ahora que la solucin general de una EDH de segundo orden est dada por una combinacin lineal de dos soluciones linealmente independientes. El primer mtodo que estudiaremos se basa en el hecho de conocer una solucin y buscar a partir de ella, una segunda solucin que sea linealmente independiente. El mtodo se conoce como reduccin de orden.

PPRROOCCEEDDIIMMIIEENNTTOO DDEE RREEDDUUCCCCIINN DDEE OORRDDEENN

Dada una solucin no trivial 1y x de 0y P x y Q x y , se puede determinar una segunda solucin linealmente independiente y x en cualquiera de las formas siguientes.

1. Haga 2 1y x v x y x y sustituya 2 2 2, y y y y en la ecuacin dada. Esto lo llevar a una ecuacin separable para v . Despjese v e intgrese para obtener v La segunda solucin deseada est dada por 1v x y x .

2. La solucin 2y x tambin se puede obtener sustituyendo 1 y P x y xdirectamente en la frmula de reduccin de orden

( )

2 1 21

P x dxey x y x dxy x

EEJJEEMMPPLLOO 66:: SSOOLLUUCCIINN GGEENNEERRAALL DDEE UUNNAA EEDDHH PPOORR EELL MMTTOODDOO DDEE RREEDDUUCCCCIINN DDEE OORRDDEENN..

Si 1 xy x e es solucin de 2 0y y y encuentre una segunda solucin que sea linealmente independiente. Proporcione la solucin general.

Utilizando (3) con 12 y xP x y x e obtenemos:

2 2P x dx dx x nota: por simplicidad no usaremos la constante de integracin.

Entonces

2

2 2

xx x x

x

ey x e dx e dx xee

nuevamente se ha omitido la constante de

integracin.

La solucin general est dada por 1 2x xy x c e c xe .

Nota: para la aplicacin de la primera alternativa descrita en el procedimiento de reduccin de orden vea el ejercicio 6 de esta seccin.

(3)

SOLUCIN

11

EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS LLIINNEEAALLEESS HHOOMMOOGGNNEEAASS CCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS CCOONNSSTTAANNTTEESS..

Estudiaremos cmo resolver ecuaciones diferenciales de la forma

0ay by cy con , y a b c constantes y 0a

EECCUUAACCIINN AAUUXXIILLIIAARR..

En el caso de una ecuacin de segundo orden 0ay by cy se observa que una solucin de ella debe tener la propiedad de que una constante por su segunda derivada, ms una constante por su primera derivada, ms una constante por la misma funcin debe dar por

suma cero. Esto sugiere intentar una solucin de la forma mxy e ya que sus derivadas son

iguales a una constante por mxe . Intentemos mxy e

mxy e mxy me

2 mxy m e

Sustituyendo en la ecuacin obtenemos:

2 0mx mx mxam e bme ce

2 0mxe am bm c puesto que 0mxe para todo x se puede dividir por este factor para obtener

2 0am bm c a la cual llamaremos ecuacin auxiliar.

Por consiguiente mxy e es solucin de 0ay by cy si y slo si m satisface la ecuacin auxiliar.

La ecuacin auxiliar resulta ser una ecuacin cuadrtica cuyas races estn dadas por

2

1,24

2b b acm

a

.

Recuerde adems que

Si el discriminante 2 4 0b ac las races 1 2 y m m son reales y distintas

Si el discriminante 2 4 0b ac las races son reales e iguales, y Si el discriminante 2 4 0b ac las races son nmeros complejos conjugados.

Estudiemos por separado cada unos de los tres casos.

CCAASSOO II:: RRAACCEESS RREEAALLEESS DDIISSTTIINNTTAASS

Si la ecuacin auxiliar tiene races reales distintas 1 2 y m m , entonces 1 2 y m x m xe e son soluciones

linealmente independientes de 0ay by cy . Por tanto la solucin general es

1 21 2m x m xy x c e c e

Clase 4

12

EEJJEEMMPPLLOO 77:: SSOOLLUUCCIINN DDEE UUNNAA EEDDHH.. CCAASSOO DDEE RRAACCEESS RREEAALLEESS DDIISSTTIINNTTAASS..

Encuentre la solucin general de 5 6 0y y y

La ecuacin auxiliar est dada por

2 5 6 0m m

2 5 6 6 1 0m m m m y las races son 1 26 y 1m m . La solucin general es

61 2

x xy c e c e

CCAASSOO IIII:: RRAACCEESS RREEAALLEESS RREEPPEETTIIDDAASS

Si la ecuacin auxiliar tiene races repetidas 1 2=m m m , entonces, a diferencia del caso

anterior, se obtiene solamente una solucin no trivial mxy e . Por supuesto los mltiplos constantes de esta funcin son soluciones, pero no resultan tiles para encontrar una segunda solucin linealmente independiente. Esta situacin se puede remediar utilizando el mtodo de reduccin de orden. Aplicando este mtodo se encuentra que una segunda solucin linealmente independiente es

2 mxy x xe Por tanto, la solucin general de 0ay by cy es

1 2mx mxy x c e c xe EEJJEEMMPPLLOO 88:: SSOOLLUUCCIINN DDEE UUNNAA EEDDHH.. CCAASSOO DDEE RRAACCEESS RREEAALLEESS RREEPPEETTIIDDAASS..

Encuentre la solucin general de 8 16 0y y y

La ecuacin auxiliar es 2 8 16 0m m . Al factorar obtenemos

2 8 16 4 4 0m m m m

1 2 4m m . Puesto que esta es una raz doble, la solucin general es

4 41 2x xy x c e c xe

SOLUCIN

SOLUCIN

13

CCAASSOO IIIIII:: RRAACCEESS CCOOMMPPLLEEJJAASS..

Si la ecuacin auxiliar tiene como races a los nmeros complejos conjugados 1m i y

2m i , entonces la solucin general es

1 2cos sinx xy x c e x c e x EEJJEEMMPPLLOO 99:: SSOOLLUUCCIINN DDEE UUNNAA EEDDHH.. CCAASSOO DDEE RRAACCEESS CCOOMMPPLLEEJJAASS..

Encuentre la solucin general de 2 4 0y y y

Las races de la ecuacin auxiliar 2 2 4 0m m resultan ser

1 21 3 y 1 3m i m i por lo que la solucin general es

1 2cos 3 sin 3x xy x c e x c e x EEJJEEMMPPLLOO 1100:: SSOOLLUUCCIINN DDEE UUNNAA EEDDHH DDEE OORRDDEENN 33

Encontrar la solucin general de 3 4 5 2 0y y y y

La ecuacin auxiliar es 2 23 4 5 2 0m m m

Puesto que el coeficiente principal (el relacionado con el mayor exponente de m ) es 3 y el coeficiente constante es 2 , tenemos varios potenciales ceros racionales.

Potenciales ceros racionales: Factores de 2 1, 2 1 2: : 1, 2, ,Factores de 3 1, 3 3 3

Por divisin sinttica intentamos con el factor 1

SOLUCIN

SOLUCIN

3 4 -5 -2 1

3 7 2

3 7 2 0

Clase 5

14

Por lo que podemos escribir:

3 2 23 4 5 2 1 3 7 2 0m m m m m m

23 2 3 7 3 63 4 5 2 1 0

3

m mm m m m

3 23 6 3 1

3 4 5 2 1 03

m mm m m m

3 23 2 3 1

3 4 5 2 1 03

m mm m m m

3 23 4 5 2 1 2 3 1 0m m m m m m

Por lo que las races son 1 2 311, 2 y 3

m m m

Por tanto la solucin general es:

2 /31 2 3x x xy x c e c e c e

15

1. Dado que 21 2cos y sinx xy e x y e x son

soluciones de la ecuacin homognea 4 5 0y y y , encuentre soluciones de esta

ecuacin que cumplan las siguientes condiciones iniciales:

0 1, 0 1y y

2 24 , 5y e y e

2. Considere la ecuacin diferencial 5 6 0y y y

Muestre que 61 ,x x xS e e e es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin.

Muestre que 62 ,3x x xS e e e es otro conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin.

Verifique que 6xx e es solucin de la ecuacin dada. Luego escriba x como una combinacin lineal de funciones pertenecientes a

1S . Del mismo modo exprese x como una combinacin lineal de funciones pertenecientes a

2S . 3. Verifique que las funciones dadas forman un

conjunto fundamental de soluciones de la ED dada, y obtenga la solucin general.

4 4 0, ,cos2 ,sin 2xy y y y e x x

2 35 6 0, ,x xy y y e e

2 5 0, cos2 , sin 2x xy y y e x e x 4. puede ser la funcin 23 1W x el wronskiano

en 0,2 de alguna ecuacin de segundo orden lineal homognea con P y Q continuas?

5. En los siguientes ejercicios se da una ecuacin diferencial y una solucin no trivial. Encuentre una segunda solucin linealmente independiente y escriba la solucin general .

13 2 0,xy y y y e

2 216 6 0, 0,x y xy y x y x

3

12 15 0,xy y y y e

6. El procedimiento de reduccin de orden puede utilizarse, de manera ms general, para reducir una ecuacin lineal homognea de orden n a una ecuacin lineal homognea de orden 1n . Para la ecuacin 0xy xy y y que tiene a

1xy e como una solucin, use la sustitucin

2 1y x v x y x para reducir esta ecuacin de tercer orden a una ecuacin lineal homognea de

segundo orden en la variable w v

En los problemas del 7 al 19 Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial dada. 7. 2 0y y y

8. 2 8 16 0D D y 9. 7 10 0y y

10. 2 0; 0 1, 0 3y y y y y

11. 4 1 0D y 12. 3 3 0y y y y 13. 6 6 0y y y y

14. 6 4 0y y y y 15. 0y y

16. 3 2 3 5 0D D D y 17. 10 26 0y y y

18. (4) 3 5 2 0y y y y y 19. (4) 8 26 40 25 0y y y y y

EJERCICIOS DE LA SECCIN 3.2

Grfica de 3 26 6y x x x

Grfica de 3 2 6 4y x x x

16

3.3 ECUACIONES NO HOMOGNEAS.

En esta seccin estudiaremos ecuaciones de la forma

2

2 1 02 2

n

nd y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx

Con la restriccin que 0g x . Iniciemos con el principio de superposicin aplicado a ecuaciones no homogneas.

EEJJEEMMPPLLOO 1111:: EELL PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE SSUUPPEERRPPOOSSIICCIINN.. CCAASSOO NNOO HHOOMMOOGGNNEEOO

Dado que 12

3 9xy x es solucin de 2 3y y y x y

2

2 5

xey x es solucin de

22 3 xy y y e , encuentre una solucin de 22 3 4 5 xy y y x e .

Sea 2 3L y y y y

Segn las condiciones dadas 21 2 y xL y x L y e

Como 2 1 24 5 4 5xx e g x g x , el principio de superposicin nos indica que

21 24 84 53 9

xxy x y x e es solucin de la ecuacin diferencial

22 3 4 5 xy y y x e

TTEEOORREEMMAA:: PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE SSUUPPEERRPPOOSSIICCIINN.. ((CCOOMMBBIINNAACCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS DDEE SSOOLLUUCCIIOONNEESS))

CCAASSOO DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS NNOO HHOOMMOOGGNNEEAASS..

Suponga que 1y es una solucin de la ecuacin diferencial 1L y g x y que 2y es solucin de la ecuacin diferencial 2L y g x donde L es un operador diferencial lineal. Entonces para cualquier par de constantes 1c y 2c la funcin 1 1 2 2y c y c y tambin es una solucin de la ecuacin diferencial

1 1 2 2L y c g x c g x

SOLUCIN

Clase 6

17

FFUUNNCCIINN CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIIAA..

En el teorema anterior notamos que la solucin general de una ecuacin lineal no homognea consiste en la suma de dos funciones

1 1 2 2c

n n p c p

y

y c y x c y x c y x y y y

Los primeros trminos de esta ecuacin se conocen como funcin complementaria cy

mientras que el ltimo trmino py se conoce como solucin particular. La funcin complementaria es la solucin general de la ecuacin homognea asociada y la solucin particular es cualquier solucin de la ecuacin no homognea libre de parmetros arbitrarios.

EEJJEEMMPPLLOO 1122:: SSOOLLUUCCIINN GGEENNEERRAALL DDEE UUNNAA EECCUUAACCIINN NNOO HHOOMMOOGGNNEEAA..

Dado que 1py x x es solucin particular de 2 1 2y y y x encuentre la solucin general de esta ecuacin.

Ahora encontremos las races de esta ecuacin. Si factoramos la ecuacin auxiliar obtenemos

2 1 0m m

Por lo que la funcin complementaria es 21 2x x

cy c e c e

Por tanto, la solucin general es 21 2 1x xy x c e c e x

En el ejemplo anterior suponemos conocida la solucin particular py . Este no siempre ser el caso. En la mayora de situaciones habr que calcular esta funcin.

SSOOLLUUCCIINN GGEENNEERRAALL DDEE UUNNAA EECCUUAACCIINN NNOO HHOOMMOOGGNNEEAA..

Si py es alguna solucin particular de una ecuacin diferencial lineal no homognea de n -

simo orden en un intervalo I y 1 2, , , ny y y es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin diferencial homognea asociada en I .Entonces, en el intervalo, la solucin general de la ecuacin no homognea es

1 1 2 2 n n py c y x c y x c y x y

Donde 1 2, , , nc c c son constantes arbitrarias.

SOLUCIN

La solucin general es la suma de la funcin complementaria y la solucin particular. La primera es la solucin de la ecuacin homognea asociada 2 0y y y . Esta tiene como ecuacin auxiliar a 2 2 0m m

18

VVAARRIIAACCIINN DDEE PPAARRMMEETTRROOSS.. (descubierto por Joseph Lagrange en 1774)

Este mtodo puede emplearse para determinar una solucin particular de una ecuacin no homognea. El procedimiento es el siguiente.

Para determinar una solucin particular py de y P x y Q x y g x

1. Escriba la ecuacin en la forma estndar y P x y Q x y g x 2. Resuelva la ecuacin homognea asociada para obtener la solucin complementaria

1 1 2 2cy c y x c y x . Recuerde que el conjunto 1 2,y x y x forman un conjunto fundamental de soluciones.

3. Suponga que la funcin particular tiene la forma 1 1 2 2py u x y x u x y x 4. Determine 1 1 y u x u x con

2 11 2

1 2 1 2, ,g x y x g x y x

u x dx y u x dxW y y W y y

5. Sustituya 1 1 y u x u x en la expresin de py para obtener la solucin particular 6. Construya la solucin general

EEJJEEMMPPLLOO 1133:: IILLUUSSTTRRAACCIINN DDEELL MMTTOODDOO DDEE VVAARRIIAACCIINN DDEE PPAARRMMEETTRROOSS..

Resolver la ecuacin no homognea 32 2 4 2 xy y y e usando el mtodo de variacin de parmetros.

La ecuacin homognea asociada tiene como solucin a 21 2x x

cy c e c e . De esta solucin

nos interesan el par de funciones 21 2 y x xy e y e .

El wronskiano de estas funciones est dado por 2

22, 32

x xx x x

x x

e eW e e e

e e

Ahora podemos calgular 1 1 y u x u x

3

11 1

3 3 3

x xx x

x

e eu x dx e dx ee

3 2

4 42

1 13 3 12

x xx x

x

e eu x dx e dx ee

La solucin general es 2 31 214

x x xy x c e c e e

SOLUCIN

Primero escribimos la ecuacin en la forma estndar

32 xy y y e

La correspondiente ecuacin homognea es

2 0y y y

2 41 13 12

x x x xpy e e e e

3 3 31 1 13 12 4

x x xpy e e e

Clase 7

19

Dado que 1 cosy x x es solucin de

siny y y x y 2

2 3

xey x es solucin de

2xy y y e . Encuentre soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. 5siny y y x 2. 2sin 3 xy y y x e 3. 24sin 18 xy y y x e

Sean 2 4L y y y , 11 sin 24

y x x y

21

4 8xy x . Verifique que 1 cos2L y x y

2L y x . Utilice el principio de superposicin para encontrar soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

4. cos 2L y x x 5. 11 12cos 2L y x x 6. 2 3cos 2L y x x 7. 0L y

En los siguientes ejercicios se da una ecuacin no homognea y una solucin particular de ella. Escriba la solucin general de la ecuacin.

8. 1; py y y x

9. ; py y x y x

10. 2 1 2 ; 1py y y x y x

11. 2

2 4 3 2 ;t t

pd x dx x e x tedt dt

12. 2 4 4cos 2 0; sin 2py y y x y x

13. 2

2 sin ; cospd d t tdt dt

En los siguientes ejercicios encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial empleando el mtodo de variacin de parmetros.

14. 4 tan 2y y x 15. 32 2 4 2 xy y y e

EJERCICIOS DE LA SECCIN 3.2

16. 12 xy y y x e 17. 3tan 1xy y x e Sugerencia: utilice el principio de

superposicin.

18. 23sec 1y y x x 19. 4 2 tan 2 xy y x e 20. 25 6 18y y y x 21. 44 sec 2y y x

20

33..33 EECCUUAACCIINN DDEE CCAAUUCCHHYY--EEUULLEERR

Un caso especial de ecuaciones con coeficientes variables es la ecuacin de Cauchy-Euler que tiene la forma

22

2 0d y dyax bx cydx dx

Para resolver esta ecuacin existen dos mtodos. El primero hace uso de la sustitucin tx e , la cual transforma la ecuacin en una ecuacin con coeficientes constantes y con una nueva

variable independiente t . El segundo mtodo consiste en suponer my x lo cual conduce a una ecuacin auxiliar en m . Ilustraremos esta segunda alternativa.

Suponiendo una solucin de la forma my x obtenemos los siguientes resultados:

my x 1my mx

21 my m m x

Sustituyendo en la ecuacin de Cauchy-Euler

2 2 11 0x m max m m x bxmx cx

1 0m m mam m x bmx cx

1 0mx am m bm c como 0mx

2 0am am bm c

2 0am b a m c Ecuacin Auxiliar.

Como en el caso de coeficientes constantes, podemos tener tres tipos de soluciones

CCAASSOO II:: RRAACCEESS RREEAALLEESS DDIISSTTIINNTTAASS

Races distintas: 1 2 y m m . En este caso la solucin es 1 21 2m my c x c x

CCAASSOO IIII:: RRAACCEESS RREEAALLEESS RREEPPEETTIIDDAASS

Races repetidas: 1 2m m m . En este caso la solucin es 1 2 lnm my c x c x x

Nota: el segundo trmino se obtiene utilizando la frmula de reduccin de orden.

CCAASSOO IIIIII:: RRAACCEESS CCOOMMPPLLEEJJAASS..

Races complejas: 1m i y 2m i . En este caso la solucin est dada por la

ecuacin 1 2cos ln sin lny x c x c x

Clase 8

21

EEJJEEMMPPLLOO 1144:: EECCUUAACCIINN DDEE CCAAUUCCHHYY--EEUULLEERR.. RRAAIICCEESS DDIISSTTIINNTTAASS..

Resolver la ecuacin 2 4 4 0x y xy y

Por lo que las races resultan ser 1 24 y 1m m . La solucin general es 4

1 2y c x c x .

EEJJEEMMPPLLOO 1155:: EECCUUAACCIINN DDEE CCAAUUCCHHYY--EEUULLEERR.. RRAAIICCEESS CCOOMMPPLLEEJJAASS..

Resolver 2 3 6 0x y xy y

La solucin general es 2 21 2cos 2 ln sin 2 lny c x x c x x

EEJJEEMMPPLLOO 1166:: EECCUUAACCIINN DDEE CCAAUUCCHHYY--EEUULLEERR DDEE TTEERRCCEERR OORRDDEENN..

Resolver 3 22 3 3 0x y x y xy y

Sustituyendo en la ecuacin dada obtenemos:

3 3 2 2 11 2 2 1 3 3 0m m m mx m m m x x m m x xmx x

1 2 2 1 3 3 0m m m m m m

1 2 2 1 3 1 0m m m m m m

1 2 2 3 0m m m m

21 4 3 0m m m

1 3 1 0m m m de donde obtenemos las races 1 2 31; 3; 1m m m

La solucin general es

31 2 3lny c x c x x c x

SOLUCIN

SOLUCIN

SOLUCIN

Al no disponer de una frmula para ED de orden superior, intentamos la

solucin my x

1my mx , 21 my m m x y 31 2 my m m m x

La ecuacin auxiliar resulta ser 2 4 6 0m m con races

1 2 2m i y 2 2 2m i

La ecuacin auxiliar es 2 5 4 0m m que se puede factorar como

2 5 4 4 1 0m m m m

22

33..44 MMTTOODDOO DDEELL AANNUULLAADDOORR..

En la seccin 3.1 se estudi el algebra de los operadores diferenciales lineales. En esta seccin nos interesa un tipo en especial de operador: el operador anulador.

Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y f una funcin

suficientemente diferenciable tal que 0L f x para todo x , entonces L es un anulador de la funcin.

TTAABBLLAA 11:: AALLGGUUNNOOSS AANNUULLAADDOORREESS..

Funcin Anulador my x 1mD xy e D

m xy x e 1mD cos o siny x y x 2 2D

cos o sinm my x x y x x 12 2 mD cos o sinx xy e x y e x 2 2 22D D o 2 2D

cos o sinm x m xy x e x y x e x 12 2 22

mD D

o

12 2m

D

Algunos comentarios:

Una funcin dada puede tener ms de un anulador. Por ejemplo cada uno de los operadores 3 4 5, , ,D D D anulan a 2x . Ms aun, las combinaciones lineales de ellos, como 5 32D D tambin la anulan. Estos anuladores, sin embargo, tienen algo en comn: son mltiplos de 3D . Por ejemplo, 5 3 2 5 3 3 2; 2 2D D D D D D D . As, cuando buscamos una anulador para una funcin dada, es usual preferir una eleccin lo ms simple posible; una que tenga el menor orden posible (anulador de orden mnimo). As que

en el caso de 2x , su anulador de orden mnimo es 3D . Cualquier funcin tiene anulador? La respuesta depende de qu tipo de operadores se

admitan. Hasta este momento solo hemos considerado anuladores con coeficientes constantes. Si admitimos coeficientes no constantes en los operadores, cualquier funcin

que se pueda diferenciar tambin podremos anularla. Hemos visto que 2 1D anula a cos x , pero tambin tanD x es un anulador de esta funcin con coeficientes variables.

EJERCICIOS DE LA SECCIN 3.3

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

5. 2 7 7 0x y xy y 6. 22 6 8 0x y xy y

7. 21 5 0y y yx x

8. 2 33 3x y xy y x

1. 2 23 5x y xy y x 2. 3 28 12 2 0x y x y xy y 3. 3 2 8 4 0x y x y xy y 4. 3 5x y xy y

Clase 9

23

Ciertas funciones como ln y tanx x no tienen anuladores con coeficientes constantes. Las nicas funciones que tienen anuladores con coeficientes constantes son aquellas funciones que aparecen en la tabla 1. Tenga en cuenta que esta tabla no dice de qu manera se deben combinar estos operadores para anular combinaciones lineales cuando los trminos individuales tienen diferentes anuladores de orden mnimo. la regla consiste en tomar un mltiplo comn de los anuladores de los trminos individuales de orden mnimo.

EEJJEEMMPPLLOO 1177:: CCOONNSSTTRRUUCCCCIINN DDEE AANNUULLAADDOORREESS..

Encuentre un operador diferencial que anule a a) 46 5 sin 2x xxe e x b) 2 3sin 4xx e x x x

24D anula a 46 xxe

21 4D anula a 5 sin 2xe x

Por tanto 2 24 1 4L D D anula a 46 5 sin 2x xxe e x

Para obtener el anulador de la funcin 2 3sin 4xx e x x x notamos que

31D anula a 2 xx e

22 16D anula a sin 4x x 4D anula a 3x

Por lo que 23 2 31 16D D D anula a 2 3sin 4xx e x x x .

RREELLAACCIINN CCOONN LLAA EECCUUAACCIINN AAUUXXIILLIIAARR..

Recordemos que una ecuacin diferencial de coeficientes constantes se puede escribir, utilizando la notacin D de la siguiente manera

20 0ay by cy aD bD c y

Resulta interesante comparar la ecuacin en la notacin D con la ecuacin auxiliar 2 0am bm c . Notamos de inmediato que ambas involucran la misma funcin polinomial,

aunque los smbolos D y m representan objetos matemticos muy diferentes. D representa el operador de diferenciacin y m es una cantidad que satisface la ecuacin auxiliar. Sin embargo, el hecho de que las formas polinomiales sean las mismas es gran utilidad cuando resolvemos ecuaciones diferenciales.

SOLUCIN

24

Una alternativa de operadores para calcular derivadas:

Suponga que se desea calcular una derivada de la forma

xD e f x donde es una constante y f una funcin derivable cualquiera.

Segn la regla del producto el resultado es

x x xD e f x e f x e f x este resultado lo podemos reescribir como

x x xD e f x e f x f x e D f x finalmente

x xD e f x e D f x

UUSSOO DDEE AANNUULLAADDOORREESS PPAARRAA RREESSOOLLVVEERR UUNNAA EEDD

A continuacin se ilustra el mtodo para resolver ecuaciones diferenciales no homogneas utilizando el mtodo del anulador.

EEJJEEMMPPLLOO 1188:: MMTTOODDOO DDEE LLOOSS AANNUULLAADDOORREESS

Resolver, usando anuladores la ecuacin 3 25 6 xy y y e x

A continuacin aplicamos el anulador a ambos lados de la ecuacin, teniendo el cuidado de escribir sta en la notacin D

3 2 3 3 23 5 6 3 xD D D D y D D e x

3 23 5 6 0D D D D y note como hemos llegado a una EDLH

La ecuacin auxiliar es:

3 2asociados a asociados a

3 5 6 0p c

y y

m m m m Recuerde adems que la solucin de la ED es la suma de y c py y

(4)

SOLUCIN

El mtodo inicia calculando el anulador de la funcin g x

3D anula a 3xe

3D anula a 2x , por lo tanto 3 3D D anula a 3 2xe x

25

3 3 3 2 0m m m m

Los trminos en corchetes generan a cy y el resto generan a py

Para cy :

Las races son 1 22 y 3m m

2 31 2

x xcy c e c e

Para py :

Las races son 3 0m (de multiplicidad 3) y 4 3m (de multiplicidad 2)

2 33 4 5 6

xpy c c x c x c xe pero recuerde que py debe de estar libre de parmetros

arbitrarios y adems satisfacer la ED dada. As que tenemos que eliminar estos parmetros.

2 33 4 5 6

xpy c c x c x c xe

3 34 5 6 62 3

x xpy c c x c xe c e

3 3 35 6 6 62 9 3 3

x x xpy c c xe c e c e

Sustituyendo en la ecuacin obtenemos

3 25 6 xp p py y y e x

3 3 3 3 3 2 3 3 25 6 6 6 4 5 6 6 3 4 5 62 9 3 3 5 2 3 6x x x x x x xc c xe c e c e c c x c xe c e c c x c x c xe e x

Desarrollando los productos y agrupando trminos adecuadamente obtenemos

3 2 3 26 6 6 5 4 5 5 4 39 15 6 6 6 10 2 5 6x xe c c c c x x c c c c c e x

3 2 3 26 5 4 5 5 4 36 6 10 2 5 6x xe c c x x c c c c c e x

Ahora igualamos los coeficientes respectivos

6 1c 56 1c 4 56 10 0c c 5 4 32 5 6 0c c c

Al resolver obtenemos: 6 5 4 31 5 1916 18 108

c c c c

Entonces 2

319 5108 18 6

xp

xy x xe la solucin general es c py y y

22 3 3

1 219 5108 18 6

x x xxy c e c e x xe

No existen trminos para igualar

26

Referencias:

1. Nagle, R. Kent-Saff, Edward B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, 1992, Addison-Wesley Iberoamericana.

2. Ricardo, Henry, Ecuaciones Diferenciales: Una introduccin Moderna, Editorial Revert.

EJERCICIOS DE LA SECCIN 3.4

En los siguientes ejercicios encuentre un operador diferencial de orden mnimo que anule a la funcin dada

1. 24 5 2x x 2. 4 22 11x x 3. 9xe 4. 2 6x xe e 5. 2 2 xx e 6. 2 sin 2xx e x 7. 2cos x 8. 3 cos5xxe x 9. 2 3sin 4xx e x x x

En los siguientes ejercicios utilice el mtodo de los anuladores para determinar la solucin general de la ecuacin dada.

10. 5 6 cos2 1y y y x 11. 22 1y y y x x 12. 22 2 cosxy y y e x x 13. 2 xy y y x e 14. 2 2 1xy y y y e 15. 22 5 6 xy y y y e x

En los siguientes ejercicios determine la forma de una solucin particular de la ecuacin dada

16. 24 4 1 sin 1xy y y e x 17. 22 2x xy y y x e xe

18. 9 cos3xy y x e x 19. 2 86 7 x xy y y x e x e