unidad 3.potencias

3 POTENCIAS

P A R A E M P E Z A R

Escribe aquellos productos de las tablas de multiplicar (hasta la del número 10) que se pueden expre-sar como potencias. (Por ejemplo: 2 � 2 � 4 � 22)

Productos de potencias:

1 � 1 � 12 � 1 2 � 2 � 22 � 4 3 � 3 � 32 � 9 4 � 4 � 42 � 16 5 � 5 � 52 � 25

6 � 6 � 62 � 36 7 � 7 � 72 � 49 8 � 8 � 82 � 64 9 � 9 � 92 � 81 10 � 10 � 102 � 100

En un centro escolar hay 3 grupos de 2.º de ESO con 25 alumnos cada uno. Si hay que escoger a unalumno de cada grupo para formar una comisión, ¿cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

25 � 25 � 25 � 52 � 52 � 52 � 56 � 15 625

Estíbaliz ha plantado en su jardín 8 filas de 8 rosales cada una. ¿Cuántos rosales ha plantado en total?

8 � 8 � 82 � 64 rosales

En una tabla de gimnasia rítmica intervienen 16 alumnos. Si en un momento de la exhibición formanun cuadrado, ¿cuántos alumnos hay en cada fila y en cada columna del mismo?

4 � 4 � 42 � 16 alumnos en total

Plutón está a una distancia media del Sol de 6000 millones de kilómetros y la Tierra está a unos 150 mi-llones. Expresa estos números con ayuda de las potencias de 10.

Distancia media del Sol a Plutón: 6 000 000 000 � 6 � 109 km

Distancia media del Sol a la Tierra: 150 000 000 � 15 � 107 km

Potencias de números enteros

P A R A P R A C T I C A R

Expresa como potencia los siguientes productos.

a) 6 � 6 c) (�3) � (�3) � (�3) � (�3)

b) 5 � 5 � 5 d) (�2) � (�2) � (�2) � (�2)

a) 6 � 6 � 62 c) (�3) � (�3) � (�3) � (�3) � (�3)4 � 34

b) 5 � 5 � 5 � 53 d) (�2) � (�2) � (�2) � (�2) � (�2)4 � 24

Ejercicio resuelto

En los siguientes ejercicios se han borrado las bases de las potencias. Indica en cada apartado cuál ocuáles pueden ser.

a) �2 � 36 c) �4 � 625

b) �3 � �125 d) �5 � �243

a) Bases: 6 ó �6, ya que 62 � (�6)2 � 36 c) Bases: 5 ó �5, ya que 54 � (�5)4 � 625

b) Base: �5, ya que (�5)3 � �125 d) Base: �3, ya que (�3)5 � �243

3.2

3.1

5

4

3

2

1

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 32

Contesta a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas veces hay que multiplicar 7 por sí mismo para que dé 49?

b) ¿Cuántas veces hay que multiplicar 10 por sí mismo para que dé 100? ¿Y 1000? ¿Y 10000?

c) ¿Cuántas veces hay que multiplicar 3 por sí mismo para que dé 27? ¿Y 81?

d) ¿Cuántas veces hay que multiplicar 2 por sí mismo para que dé 16? ¿Y 64?

a) 7 � 7 � 49; número de veces, 2

b) 10 � 10 � 100; número de veces, 210 � 10 � 10 � 1000; número de veces, 310 � 10 � 10 � 10 � 10 000; número de veces, 4

c) 3 � 3 � 3 � 27; número de veces, 33 � 3 � 3 � 3 � 81; número de veces, 4

d) 2 � 2 � 2 � 2 � 16; número de veces, 42 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 646; número de veces, 6

Si en una potencia intercambiamos la base y el exponente, ¿se obtiene el mismo resultado? Comprué-balo en los siguientes ejemplos.

a) 25 y 52 c) 24 y 42

b) 34 y 43 d) 36 y 63

a) 25 � 32 y 52 � 25, no son iguales. c) 24 � 16 y 42 � 16, sí son iguales.

b) 34 � 81 y 43 � 64, no son iguales. d) 36 � 729 y 63 � 216, no son iguales.

Los números 25, 49, 81, 121 se pueden escribir como potencias de dos formas diferentes. ¿Cuáles son?

25 � (�5)2 � (�5)2

49 � (�7)2 � (�7)2

81 � (�9)2 � (�9)2

121 � (�11)2 � (�11)2

Halla el exponente x para que estas igualdades sean ciertas.

a) 15x � 225 c) 5x � 625

b) (�4) x � �64 d) (�10) x � 100

a) x � 2 c) x � 4

b) x � 3 d) x � 2

Observa las cifras de las unidades de los números enteros que se obtienen como cuadrados de otrosenteros. ¿Qué terminaciones no pueden ser unidades de estos números?

Potencias cuadradas de las cifras finales de los números02 � 012 � 1 42 � 16 72 � 4922 � 4 52 � 25 82 � 6432 � 9 62 � 36 92 � 81Cifras finales de los números cuadrados: 0, 1, 4, 5, 6, 9Hay 6 cifras que pueden ser terminaciones de cuadrados.Cifras finales de los números no cuadrados: 2, 3, 7, 8Hay 4 cifras que no pueden ser terminaciones de cuadrados.

Si A se factoriza, obtenemos: A � 33 � 52 � 75.¿Cuál es el menor número por el cuál hay que multiplicar al número A para obtener un cuadrado per-fecto?

Para que sea un cuadrado perfecto los exponentes de las potencias deben ser pares. Luego, basta multiplicar por 3 y 7.

A � 3 � 7 � 34 � 52 � 76 Por tanto, 21 � A es un cuadrado perfecto.

3.8

3.7

3.6

3.5

3.4

3.3

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 33

Escribe cada uno de los siguientes números se pueden escribir como suma de dos cuadrados.

a) 13 c) 41

b) 29 d) 109

a) 13 � 9 � 4 � 32 � 22 c) 41 � 25 � 16 � 52 � 42

b) 29 � 25 � 4 � 52 � 22 d) 109 � 100 � 9 � 102 � 32

P A R A A P L I C A R

Un salón de actos de un centro escolar tiene forma cuadrada. Si su lado mide 11 m, ¿cuál es su área?¿Cuánto aumentaría si tuviera 12 metros de lado?

Área del primer cuadrado: 112 � 121 m2

Área del segundo cuadrado: 122 � 144 m2

Incremento de área: 144 � 121 � 23 m2

Los prefijos deca, hecto, kilo, miria... se utilizan como potencias de 10 en el sistema métrico. Expresa lassiguientes medidas en potencias de 10.

a) Decámetro c) Kilómetro

b) Hectómetro d) Miriámetro

a) Decámetro � 10 m � 101 m c) Kilómetro � 1 000 m � 103 m

b) Hectómetro � 100 m � 102 m d) Miriámetro � 10 000 m � 104 m

Problema resuelto

Expresa cada medida como producto de un número y la máxima potencia de 10 posible.

a) 12000 metros c) 1500 hectómetros

b) 250 decámetros d) 170 miriámetros

a) 12 000 � 12 � 103 m c) 150 000 � 15 � 104 m

b) 2 500 � 25 � 102 m d) 1 700 000 � 17 � 105 m

La distancia media de la Tierra al Sol es aproximadamente de 150 millones de km. Expresa esta distan-cia en metros como producto de un número natural y la máxima potencia de 10.

150 millones de km

� 150 millones de km

� 150 � 106 � 103 m

� 15 � 10 � 109 m

� 15 � 1010 m

La cara de un cubo de madera tiene 40 centímetros de perímetro. Escribe el volumen del cubo en for-ma de potencia y calcula el resultado. ¿A qué medida de capacidad equivale este volumen?

Arista del cubo: 40 cm: 4 � 10 cm

Volumen del cubo: 103 � 1000 cm3

Medida de capacidad: 1 L

Una parcela cuadrada de una urbanización tiene 100 metros de lado. ¿Cuánto mide su superficie?

Lado del cuadrado: 100 m

Área de la parcela: 100 � 100 � 104

3.15

3.14

3.13

3.12

3.11

3.10

3.9

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 34

Los cuadrados de las parejas de números 12 y 21, 13 y 31, 102 y 201, ... tienen una curiosa propiedad.¿Cuál es? ¿Cómo se llaman estos números?

122 � 14 4212 � 441

132 � 16 9312 � 961

1022 � 10 404 2012 � 40 401

Al invertir las cifras del número se invierten las cifras en el resultado.

Las potencias de estos pares de números son capicúas.

Producto de potencias de la misma base

Ejercicio resuelto

Escribe las siguientes potencias como producto de potencias de la misma base.

a) 26 b) 34 c) 55

a) 26 � 23 � 23 � 8 � 8 � 64 o también: 26 � 22 � 22 � 22 � 4 � 4 � 4 � 16 � 4 � 64

b) 34 � 32 � 32 � 9 � 9 � 81 o también: 34 � 3 � 33 � 3 � 27 � 81

c) 55 � 52 � 52 � 5 � 25 � 25 � 5 � 625 � 5 � 3125

Esta forma de descomponer potencias en producto de otras más simples se puede utilizar para realizar el cálculo con más faci-lidad y rapidez.


Razona si se obtiene el mismo resultado al hacer el producto 52 � 53.

a) Utilizando la regla de los exponentes.

b) Calculando primero las potencias 52 y 53 y multiplicando luego los resultados.

a) 52 � 53 � 55 � 3125

b) 52 � 53 � 25 � 125 � 3125

Ejercicio resuelto

Escribe como potencia única de las siguientes operaciones.

a) 112 � 114 b) (�4)6 � (�4)5

a) 112 � 114 � 116 b) (�4)6 � (�4)5 � (�4)11 � �411

Escribe como potencia única las siguientes operaciones.

a) 32 � 35 c) (�10)4 � (�10)2

b) 86 � 83 d) 57 � (�5)4

a) 32 � 35 � 37 c) (�10)4 � (�10)2 � (�10)6 � 106

b) 86 � 83 � 89 d) 57 � (�54) � 57 � 54 � 53

Escribe como potencia única las siguientes operaciones.

a) 24 � 25 � 22 c) (�4)3 � (�4)2 � (�4)2

b) (�5)3 � (�5)7 � (�5) d) 35 � 34 � 3

a) 211 c) (�4)7

b) (�5)11 d) 310

3.21

3.20

3.19

3.18

3.17

3.16

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 35

Escribe el número que falta para que las siguientes igualdades sean verdaderas.

a) �3 � 34 � 37 c) (�5)2 � (�) � (�5)3

b) 62 � �3 � 65 d) 22 � 2 � �3 � 26

a) 3 c) �5

b) 6 d) 2

En las siguientes operaciones se han perdido exponentes. ¿Cuál en cada caso?

a) 3�� 34 � 37 c) (�5)4 � (�5)2 � (�5)�

b) 5�� 5�

� 55 d) 74 � 7�� 76

a) 3 c) 6

b) 3 y 2 por ejemplo d) 2

Escribe el número que falta para que sean ciertas las siguientes igualdades.

a) �3 � 102 � 10000 c) (�3) � (�3)�� 81

b) (�2)2 � (�2)�� 32 d) 23 � 2 � �2 � 64

a) 10 c) 3

b) 3 d) 2

Expresa cada una de las siguientes potencias como dos potencias de la misma base y realiza luego suproducto.

a) 25 c) (�5)4

b) 27 d) 93

a) 25 � 23 � 22 � 8 � 4 � 32 c) (�5)4 � (�5)2 � (�5)2 � 25 � 25 � 625

b) 27 � 24 � 23 � 16 � 8 � 128 d) 93 � 92 � 9 � 81 � 81 � 729

Utiliza la descomposición en producto de dos potencias de la misma base para calcular las siguientespotencias.

a) 106 c) (�2)8

b) 210 d) 220

a) 106 � 103 � 103 � 1000 � 1000 � 1 millón

b) 210 � 25 � 25 � 32 � 32 � 1 024

c) (�2)8 � (�2)4 � (�2)4 � 16 � 16 � 256

d) 220 � 210 � 210 � 1 024 � 1 024 � 1 048 576 � 1 millón


Problema resuelto

El agua que pueden almacenar las cuencas hidrográficas se mide en hectómetros cúbicos. Si una cuencatiene 2000 hectómetros cúbicos de reserva, ¿cuántos metros cúbicos tiene? Expresa el resultado en for-ma de potencia.

Hm � 100 m � 102 m

Hm3 � 102 � 102 � 102 � 106 m3 � 1 millón m3

Capacidad de la cuenca:

2000 � 106 � 2 � 103 � 106 � 2 � 109 m3

La plaza principal de una ciudad es cuadrada y mide 100 m de lado. Calcula el número de personas quepueden entrar en ella para oír un concierto, si en cada metro cuadrado caben 4 personas.

Metros cuadrados: 100 � 100 � 10 000 m2

Número de asistentes: 10 000 � 4 � 40 000

3.28

3.27

3.26

3.25

3.24

3.23

3.22

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 36

Un edificio moderno tiene forma de cubo. Si la arista mide un hectómetro, ¿cuántos metros cúbicos tie-ne el edificio? ¿Cuál es la superficie de la fachada?

1 hectómetro � 100 m

Volumen del cubo: 100 � 100 � 100 � 102 � 102 � 102 m3 � 106 m3 � 1 millón de m3

Superficie lateral: 4 � 100 � 100 � 40 000 m2

Un depósito en forma de ortoedro mide 104 cm de largo, 103 cm de ancho y 102 cm de alto. Escribe elvolumen en forma de potencia en centímetros cúbicos y en metros cúbicos.

Volumen en centímetros cúbicos: 104 � 103 � 102 � 109 cm3

Volumen en metros cúbicos: 109 � 106 � 103 m3

Las dimensiones del césped de un campo de fútbol son como máximo 110 metros por 90 metros. Si unmonte de 2000 hectáreas se quema en un incendio, ¿a cuántos campos de fútbol equivale, aproxima-damente, la superficie quemada?

Área aproximada de un campo de fútbol: 110 � 90 � 9900 m2

Luego, una hectárea se aproxima a la extensión de un campo de fútbol.

Por tanto, si nos dicen que se han quemado 2 000 hectáreas, intuitivamente podemos pensar que se ha quemado la extensiónde 2 000 campos de fútbol.

El profesor de Lengua ha puesto un examen tipo test de 20 preguntas, y las respuestas posibles son sí(S) o no (N).

¿Cuántas respuestas posibles se pueden dar? Escribe la respuesta en forma potencial y su valor aproxi-mado en millones.

Respuesta en forma potencial: 2 � 2 � 2 � ... � 2 � 220

Valor aproximado en millones: 220 � 1 048 576 � 1 millón

Cociente de potencias de la misma base

Ejercicio resuelto

Escribe las siguientes potencias como una única potencia.

a) �32

3�4

33

� b) �22

2

�

�

22

3

2�

a) �32

3�

4

33

� � �32

3

�

4

3

� � �33

5

4� � 35 � 4 � 31 � 3 b) �

22

2

�

�

22

3

2� � �

22

1

2

�

�

3

2� � �

22

4

4� � 24 � 4 � 20 � 1


¿Obtienes el mismo resultado al hallar el cociente de 26 � 23?

a) Utilizando la regla de los exponentes.

b) Calculando primero las potencias 26 y 23 y dividiendo luego los resultados.

a) Regla de los exponentes: 26 � 23 � 23 � 8

b) Resultados de las potencias: 26 � 23 � 64 � 8 � 8

Los resultados son iguales.

3.34

3.33

3.32

3.31

3.30

3.29

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 37

Ejercicio resuelto

Escribe como potencia única y calcula los siguientes cocientes.

a) 42 � 42 c) (�8)7 � (�8)5

b) 74 � 73 d) 75 � 7

a) 42 � 42 � 42 � 2 � 40 � 1 c) (�8)7 � (�8)5 � (�8)7 � 5 � (�8)2 � 82 � 64

b) 74 � 73 � 74 � 3 � 71 � 7 d) 75 � 7 � 75 � 1 � 74 � 2 401

Escribe los siguientes cocientes en forma de potencia y calcúlalos.

a) 510 � 58 c) (�11)7 � (�11)5

b) 96 � 93 d) 76 � 74

a) 510 � 58 � 52 � 25 c) (�11)7 � (�11)5 � (�11)2 � 112 � 121

b) 96 � 93 � 93 � 729 d) 76 � 74 � 72� 49

Escribe como potencia única y calcula el resultado de la misma.

a) (26 � 24) � 22 c) (38 � 32) � 34 � 32 � 9

b) (57 � 53) � 53 d) 76 � (�7)4 � (�7)2

a) (26 � 24) � 22 � 22 � 22 � 20 � 1

b) (57 � 53) � 53 � 54 � 53 � 51 � 5

c) (38 � 32) � 34 � 32 � 9

d) 76 � (�7)4 � (�7)2 � 76 � (74 � 72) � 76 � 72 � 74

Escribe el número que falta para que sean ciertas las siguientes igualdades.

a) �? 4 � 63 � 6 c) (�9)4 � (�9)3 � �?

b) 72 � �? 2 � 1 d) 84 � 8�? � 64

a) 64 � 63 � 6 c) (�9)4 � (�9)3 � (�9)1 � �9

b) 72 � 72 � 1 d) 84 � 82 � 82 � 64

Realiza estas operaciones pasando los divisores a forma potencial.

a) 38 � 81 c) 56 � 25

b) 46 � 64 d) 114 � 121

a) 38 � 81 � 38 � 34 � 34 � 81 c) 56 � 125 � 56 � 53 � 53 � 125

b) 46 � 64 � 46 � 43 � 43 � 64 d) 114 � 121 � 114 � 112 � 112 � 121

Escribe el valor que falta para que sean ciertas las igualdades.

a) 53 � 5�? � 1 c) 76 � 74 � �? �?

b) �? 5 � (�8)4 � �8 d) 10�? � 103 � 1000

a) 53 � 53 � 1 c) 76 � 74 � 72

b) (�8)5 � (�8)4 � (�8)1 � �8 d) 106 � 103 � 103 � 1000

¿Cuál es el menor número por el que se ha de dividir 27000 para obtener un cuadrado perfecto?

27 000 � 27 � 1 000 � 33 � 103

Si dividimos por 30 se obtiene un cuadrado perfecto

27 000 � (33 � 103) � (3 � 10) � 32 � 102 � 302 � 900

3.41

3.40

3.39

3.38

3.37

3.36

3.35

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 38


Los terrenos de dos parcelas miden 38 y 34 metros cuadrados, respectivamente. Ángeles duda si la prime-ra parcela mide el doble de la segunda o no. ¿Es razonable esa duda? En cualquier caso, ¿cuántas veceses una mayor que la otra?

Relación entre las áreas: si sus cocientes son iguales , es 1.

38 � 35 � 34 � 81, luego no son iguales.

La primera es 81 veces mayor que la segunda.

La superficie de una cancha de baloncesto es de 420 metros cuadrados. ¿A cuántas canchas de balon-cesto equivale un kilómetro cuadrado?

Superficie de un km2: 1 000 � 1 000 � 1 000 000 � 106 m2

Número de canchas de baloncesto: 106 � 42 � 10 � 105 � 42 � 2 380

Aproximadamente la masa del Sol es de 2 � 1030 kilogramos, y la de Júpiter de 2 � 1027 kilogramos ¿Cuán-tas veces es mayor la masa del Sol que la de Júpiter?

(2 � 1030) � (2 � 1027) � 1 000

Por tanto, el Sol tiene una masa 1 000 veces mayor que Júpiter.

En un metro cúbico de aire hay del orden de 1025 moléculas. ¿Cuántas habrá en 1 centímetro cúbico?

Un cm3 es 103 veces menor que un m por lo que habrá: 1025 � 103 � 1022 moléculas.

La luz recorre en un día 1013 kilómetros aproximadamente. Si la galaxia Andrómeda se encuentra a24 � 1018 kilómetros de la Tierra, ¿cuántos años tarda la luz que emite en alcanzarnos?

24 � 1018 � 1013 � 24 � 105 � 2 400 000 años

Aproximadamente, el volumen de la Tierra es de 1012 kilómetros cúbicos, y el de Júpiter, de 14 � 1014 ki-lómetros cúbicos. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de Júpiter que el de la Tierra?

(14 � 1014) � 1012 � 14 � 100 � 1 400

Por tanto, Júpiter tiene un volumen equivalente a 1 400 Tierras.

Un pueblo tiene un depósito cúbico de agua de 10 m de arista. El ayuntamiento decide construir otrode 20 m de arista. ¿Cuántas veces es mayor el nuevo depósito?

Volumen del primer depósito: 103 m3

Volumen del segundo depósito: 203 m3

Relación entre los depósitos: 203 � 103 � (20 � 10)3 � 23 � 8

El segundo depósito es 8 veces mayor que el primero.

Potencia de una potencia, de un producto y de un cociente


Escribe como potencia única las siguientes potencias de potencias.

a) (72)3 c) (�23)2

b) (152)4 d) (75)2

a) (72)3� 76 c) (�23)2

� (�2)6 � 26

b) (152)4� 158 d) (75)2

� 710

3.49

3.48

3.47

3.46

3.45

3.44

3.43

3.42

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 39

Calcula el exponente que falta en cada igualdad.

a) (33)�? � 36 c) ((�5)3)�? � (�5)15

b) (42)�? � 410 d) (72)�? � 78

a) (33)2� 36 c) ((�5)3)5

� (�5)15

b) (42)5� 410 d) (72)4

� 78

Expresa como potencia única y luego calcula su valor.

a) 44 � 54 c) 43 � 253

b) 32 � 42 � 52 d) (�8)2 � (�5)2

a) 204 � 160 000 c) 1003 � 1 000 000b) 602 � 3 600 d) 402 �1 600

Di cuáles de las siguientes expresiones se pueden escribir en forma de potencias y, en caso afirmativo,escríbelas.

a) 6 � 6 � 6 c) 1 � 2 � 1 � 2 � 1 � 2b) 4 � 5 � 4 � 5 d) (9 � 9) � (9 � 9)

a) 6 � 6 � 6 � 63 c) 1 � 2 � 1 � 2 � 1 � 2 � (1 � 2)3 � 23

b) 4 � 5 � 4 � 5 � (4 � 5)2 d) (9 � 9) � (9 � 9) � (9 � 9)2

Ejercicio resuelto

Aplica adecuadamente las propiedades de las potencias para obtener el resultado más rápidamente enforma de número.

a) 304 c) 26 � 56

b) 503 d) 253 � 43

a) 304 � (3 � 10)4 � 34 � 104 � 81 � 10 000 � � 810 000 c) 26 � 56 � (2 � 5)6 � 106 � 1 000 000b) 503 � (5 � 10)3 � 53 � 103 � 125 � 1 000 � 125 000 d) 253 � 43 � (25 � 4)3 � 1003 � 1 000 000

Escribe como producto de potencias y calcula el resultado de las siguientes potencias.

a) 204 c) 504

b) 3003 d) 20003

a) (2 � 10)4 � 24 � 104 � 16 000 c) (5 � 10)4 � 54 � 104 � 6 250 000 b) (3 � 100)3 � 33 � 106 � 27 000 000 d) (2 � 1 000)3 � 23 � 109 � 8 000 000 000

Escribe como potencia de 2 las siguientes potencias.

a) 28 � 32 c) (�4)6 � 128b) 86 � 162 d) 164 � 256

a) 23 c) �2b) 22 d) 28

Escribe como potencia de 3 las siguientes potencias.

a) (�27)2 c) (�81)5

b) 93 d) 2434

a) (�33)2� 36 c) (34)5

� 320

b) ((3)2)3� 36 d) 2434 � (35)4

� 320

Expresa las siguientes potencias como potencia de una potencia.

a) 312 c) 221

b) 520 d) (�11)12

a) 312 � (36)2 c) 221 � (27)3

b) 520 � (54)5 d) (�11)12 � 1112 � (113)4

3.57

3.56

3.55

3.54

3.53

3.52

3.51

3.50

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 40

Se sabe que 210 � 1024. Calcula, haciendo una sola operación el valor de las siguientes potencias.

a) 29 c) 212

b) 211 d) 220

a) 29 � 210 � 2 � 1 024 � 2 � 512

b) 211 � 210 � 2 � 1 024 � 2 � 2 048

c) 212 � 210 � 22 � 1 024 � 4 � 4 096

d) 220 � (210)2� 210 � 210 � 1 024 � 1 024 � 1 048 576 � 1 millón

Expresa los siguientes productos de potencias como cuadrados o cubos de un número.

a) 22 � 54 c) 4 � 72 � 34

b) 32 � 54 � 72 d) 8 � 26 � 53

a) 22 � 54 � (2 � 52)2� 502 c) 4 � 72 � 34 � (2 � 7 � 32)2

� 1262

Cuadrado de 50 Cuadrado de 126

b) 32 � 54 � 72 � (3 � 52 � 7)2� 5252 d) 8 � 26 � 53 � (2 � 22 � 5)3

� 403

Cuadrado de 525 Cubo de 40


En el pavimento de una plaza se han empleado 164 baldosas. ¿Puede ser cuadrada la plaza? Si la res-puesta es afirmativa, ¿cuántas baldosas entran por lado?

Se trata de expresar la potencia 164 como producto de dos factores iguales.

Las solución es sencilla: 164 � 162 � 162.

Por tanto, el lado del cuadrado tiene 162 baldosas.

Problema resuelto

Un gimnasio de forma cuadrada tiene 200 metros cuadrados. Sin calcular el lado, ¿cuántos metros cua-drados tendría otro gimnasio cuadrado si su lado fuera el doble del actual?

Supongamos que el lado del gimnasio mide x. Su área es: x 2 � 200 m2

El lado del otro gimnasio será 2x.

Su área es:

(2x)2 � 22x 2 � 4x 2 � 4 � 200 � 800 m2

Para recubrir una pared cuadrada se emplearon 256 azulejos cuadrados. ¿Cuántos azulejos serían nece-sarios si el lado de los azulejos fuera 3 veces más pequeño?

Supongamos que en el lado de la pared se necesitan x azulejos. x 2 � 256 azulejos.

Si el lado del azulejo disminuye tres veces, el número de azulejos por lado es 3x.

Por tanto, su número sería: (3x)2 � 32x 2 � 9x 2 � 9 � 256 � 2304 azulejos.

Si el volumen de un cubo es 13824 cm3, ¿cuánto vale el volumen del cubo cuyo lado es doble? Resuelveel problema sin calcular el valor de dicho lado.

Sea x el lado del cubo, entonces x 3 � 13 824.

(2x)3 � 8x 3 � 8 � 13 824 � 110 592

Observa que aquí se ha aplicado la potencia de un producto.

Dado el número 26 � 35 � 53 halla lo siguiente.

a) El menor número por el que hay que multiplicarlo para que sea un cuadrado.

b) El menor número por el que hay que multiplicarlo para que sea un cubo.

a) Hay que multiplicar por 3 y por 5. b) Hay que multiplicar por 3.3 � 5(26 � 35 � 53) � 26 � 36 � 54 � (23 � 33 � 52)2 3(26 � 35 � 53) � 26 � 36 � 53 � (22 � 32 � 5)2

Luego es un cuadrado. Luego es un cubo.

3.64

3.63

3.62

3.61

3.60

3.59

3.58

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 41

Matemáticas cotidianas


Paula tiene una bolsa con muchos dados iguales, aunque no hay más de 100, y observa que, utilizan-do todos y sin que sobre ninguno, los puede agrupar en varios pisos formando un cubo o en un pisoformando un cuadrado. ¿Cuántos dados tiene?

La solución es un número menor que 100 que sea un cuadrado perfecto y un cubo perfecto también. El número de dados es 64.

Actividades finales

C Á L C U L O M E N T A L

Realiza las siguientes operaciones con potencias.

a) 53 � 23 c) 253 � 43

b) 22 � 62 d) 22 � (�3)2 � (�5)2

a) 53 � 23 � 10 000 c) 253 � 43 � 100 000b) 22 � 62 � 144 d) 22 � (�3)2 � (�5)2 � 900

Realiza las siguientes operaciones con potencias.

a) 903 � 93 c) 3002 � 1002

b) 184 � 64 d) (�120)2 � 602

a) 903 � 93 � 10 c) 3002 � 1002 � 3b) 184 � 64 � 34 � 81 d) (�120)2 � 602 � 2

Calcula qué número hay que poner en vez de la interrogación para que sean ciertas las siguientes igual-dades.

a) �? 3 � 27 c) (�5)�? � �125b) 34 � �? d) �? 4 � 10000

a) 3 c) 3b) 81 d) 10

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

¿Qué números multiplicados dos o más veces por sí mismos dan los siguientes resultados?

a) 16 c) 625b) 81 d) 100000

a) 16 � 24 � 42 c) 625 � 54 � 252

b) 81 � 92 � 34 d) 10 000 � 1002 � 104

¿Qué número hay que poner en el lugar del cuadrado para que se verifique la igualdad?

a) �3 � 64 c) �3 � �216b) �4 � 16 d) �6 � 1000000

a) 4 c) �6b) 2 d) 10

Los siguientes números se pueden expresar en forma de potencia al menos de dos formas. ¿Cuáles son?

a) 64 c) 10000b) 625 d) 729

a) 64 � 82 � 43 � 26 � (�2)6 c) 10 000 � 1002 � 104 � (�10)4

b) 625 � 252 � 54 � (�5)4 d) 729 � 93 � 36 � 272 � (�27)2

3.71

3.70

3.69

3.68

3.67

3.66

3.65

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 42

Aplica las propiedades de las potencias para escribir el exponente que falta.

a) (�5)�? � (�5)4 � (�5)3 � (�5)9 c) (�9)3 � (�9)�? � (�9)4 � (�9)7

b) 75 � 74 � 7�? � 715 d) 36 � 32 � 3�? � 3 � 315

a) (�5)2 � (�5)4 � (�5)3 � (�5)9 c) (�9)3 � (�9)0 � (�9)4 � (�9)7

b) 75 � 74 � 76 � 715 d) 36 � 32 � 36 � 3 � 315

Tienes la potencia 420.

a) ¿Cuántas veces aumenta si se añade a su exponente 2 unidades?b) ¿Cuántas veces disminuye si se resta a su exponente 2 unidades?

a) 422 � 420 � 42 � 16Aumenta 16 veces.

b) 420 � 418 � 42 � 16Disminuye 16 veces.

Si multiplicamos un número por 7, ¿cuántas veces aumenta su cuadrado? ¿Y su cubo?

(7x)2 � 72 � x 2 � 49x 2

El cuadrado aumenta 49 veces.(7x)3 � 73 � x 3 � 343x 3

El cubo aumente 343 veces.

Un ganadero pide presupuesto de una cerca cuadrada para guardar el ganado. Viendo que no resultacaro, decide duplicar el lado de la cerca.

a) ¿A cuánto ascenderá el nuevo presupuesto?b) ¿Qué cantidad de ganado podrá guardar en la nueva parcela?

a) Sean x y 2x los lados de la cerca primitiva y de la segunda.Áreas de las cercas en cada caso: x 2 y 4x 2

b) La decisión de ampliar es favorable, ya que con el doble de coste triplica cuadruplica el terreno cercado.

En la India viven aproximadamente 109 personas. ¿Cuál será la densidad de población en dicho país sisu superficie es, también aproximadamente, de 33 � 105 kilómetros cuadrados?

La densidad de población se calcula dividiendo la superficie entre la población:33 � 1011 � 109 � 3300 m2 por habitante.

La ballena azul es el mayor de los seres vivos sobre la Tierra. La masa media de un ejemplar adulto es deunos 14 � 104 kilogramos. Si la de un elefante africano, el mayor animal terrestre, es de unos 4 � 103 kilo-gramos, calcula cuántos elefantes serían necesarios para equilibrar una ballena azul en una balanza.

(14 � 104) � (4 � 103) � 140 � 4 � 35 elefantes serían necesarios.

Curiosa propiedad. Examina esta secuencia de operaciones y escribe los 4 siguientes términos.

0 � 1 � 1 � 12

1 � 3 � 4 � 22

4 � 5 � 9 � 32

9 � 7 � 16 � 42

La primera columna son cuadrados consecutivos.La segunda columna son impares consecutivos.La suma de los números de cada fila es un cuadrado.Términos siguientes:0 � 1 � 1 � 12

1 � 3 � 4 � 22

4 � 5 � 9 � 32

9 � 7 � 16 � 42

16 � 9 � 25 � 52

25 � 11 � 36 � 62

36 � 13 � 49 � 72

49 � 15 � 64 � 82

3.78

3.77

3.76

3.75

3.74

3.73

3.72

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 43

P A R A R E F O R Z A R

Escribe los siguientes números como producto de un número por la máxima potencia de 10.

a) 5000000 c) 3000000000b) 170000 d) 3450000

a) 5 000 000 � 5 � 106 c) 3 000 000 000 � 3 � 109

b) 170 000 � 17 � 104 d) 3 450 000 � 345 � 104

Calcula las siguientes potencias.

a) 33 � 32 c) (�17)6 � (�17)5

b) 112 � 113 d) 56 � 54

a) 33 � 32 � 35 � 243 c) (�17)6 � (�17)5 � �17b) 112 � 113 � 115 � 161 051 d) 56 � 54 � 52 � 25

Reduce a potencia única.

a) (�2)3 � (�2)6 c) (�a)8 � (�a)6

b) 52 � 53 � 54 d) (a10 � a 6) � a 2

a) (�2)3 � (�2)6 � (�2)9 c) (�a)8 � (�a)6 � (�a)14 � a14

b) 52 � 53 � 54 � 59 d) (a10 � a6) � a2 � a18

Expresa como potencia.

a) 34 � 27 c) 3 � 9 � 27b) 24 � 32 d) (�5)3 � 25 � (�5)

a) 34 � 27 � 34 � 33 � 37 c) 3 � 9 � 27 � 3 � 32 � 33 � 36

b) 24 � 32 � 24 � 25 � 29 d) (�5)3 � 25 � (�5) � (�5)4 � 52 � 54 � 52 � 56

Expresa como potencia única y calcula luego su valor.

a) 916 � 915 c) (511 � 57) � 52

b) 211 � 211 d) (�6)2 � (�6)3 � (�6)4

a) 916 � 915 � 91 � 9 c) (511 � 57) � 52 � 52 � 25b) 211 � 211 � 20 � 1 d) (�6)2 � (�6)3 � (�6)4 � (�6)1 � �6

Escribe el número que falta para que sean ciertas las igualdades.

a) 79 � 76 � 7�? c) (�7)3 � (�7)�? � 1b) (912 � 98) � 9�? � 92 d) 11�? � 113 � 11

a) 79 � 76 � 73 c) (�7)3 � (�7)3 � 1b) (911 � 97) � 92 � 92 d) 114 � 113 � 111 � 11

Calcula las siguientes operaciones en forma de potencias.

a) 75 � 49 b) 37 � 81

a) 75 � 49 � 75 � 72 � 73 b) 37 � 81 � 37 � 34 � 33

Escribe cada número como un producto de potencias de la misma base.

a) 76 c) (�3)12

b) 118 d) 220

a) 76 � 73 � 73 c) (�3)12 � (�3)6 � (�3)6

b) 118 � 114 � 114 d) 220 � 210 � 210

Expresa en potencias de 2 las siguientes potencias.

a) 162 c) 325

b) 83 d) 642

a) 162 � (24)2� 28 c) 325 � (25)5

� 225

b) 83 � (23)3� 29 d) 642 � (26)2

� 312

Se quiere construir un cubo de lado a y otro de lado 4a.Utiliza las potencias para buscar la relación entre los volúmenes.

Volumen del cubo pequeño: a3

Volumen del cubo grande: (4a)3 � 43 � a3 � 64 � a3 El cubo grande es 64 veces el cubo pequeño.

3.88

3.87

3.86

3.85

3.84

3.83

3.82

3.81

3.80

3.79

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 44

P A R A A M P L I A R

Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica las siguientes expresiones hasta escribirlas comouna única potencia.

a) �23

24

�

�

(22

2)3

� c) �4

8

�2

(�

2

2

3)2

�

b) �(32

3

)3

4

�

�

(3

35

3)2

� d)

a) 24 c) 2b) 33 d) 1

Carmen tiene menos de 20 años, pero no sabemos cuántos. Al preguntarle responde: "El cuadrado delos años de mi hermana, que tiene la edad de nuestro primo pequeño al cuadrado". ¿Cuántos años tie-ne cada uno?

Hay que buscar un número menor que 20 expresado de la siguiente manera: (X 2)2

Siendo X la edad de su primo y X 2 la edad de su hermana.Para que la edad de Carmen sea menos que 20 años X � 2, por tanto, Carmen tiene 16 años, su hermana 4 y su primo 2.

Se sabe que el producto de dos números x e y es 234. ¿Cuánto vale el cuadrado del producto del do-ble de dichos números? Razona la contestación.

x � y � 234, por tanto, x 2 y 2 � 2342 ya que (x � y) (x � y) � x 2 y 2 � 2342

Si tenemos el número 63000, calcula:

a) ¿Por qué número debemos multiplicarlo para obtener un cuadrado perfecto?b) ¿Por qué número hay que multiplicarlo para obtener un cubo perfecto?c) ¿Por qué cantidad debe dividirse para obtener un cuadrado perfecto?d) ¿Por qué número se ha de dividir para obtener un cubo perfecto?

63 000 � 32 � 7 � 103

a) Hay que multiplicar por 70 para obtener un cuadrado perfecto.b) Hay que multiplicar por 3 � 72.c) Hay que dividir por 70.d) Hay que dividir por 32 � 7.

La población de una cierta bacteria se duplica cada 3 horas en condiciones favorables. Calcula, utilizandopotencias, cuántas bacterias habrá al cabo de 3 días en un cultivo cuya población era de 106 bacteriasal comienzo.

En 3 días hay 72 h, y la bacteria se duplica cada 3 h, por tanto, se duplicará 24 veces.Partimos con una población de 106.Por tanto, la población de bacterias al cabo de 3 días es de 224 106.

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

La plagaLA PLAGA DEL MEJILLÓN CEBRALa plaga del mejillón cebra se ha convertido en un grave hecho que afecta a la cuenca del Ebro y quese prevé irá extendiéndose a lo largo de todos los ríos de la zona, con los consiguientes perjuicios detipo ambiental y económico.En una de las zonas más afectadas se ha comprobado que una población inicial de 500 ejemplares pormetro cuadrado ha aumentado al doble en solo tres meses. De seguir en las mismas condiciones, dichapoblación se habrá convertido en 2000 ejemplares por metro cuadrado en el plazo de un año.Comprueba si los datos estimados para el plazo de un año son correctos, dándose como buenos los iniciales.

En tres meses se ha duplicado, si partimos de 500 ejemplares en 3 meses hay 2 � 500 � 1000, por tanto, si se mantiene este rit-mo, en un año (hay 4 � 3 meses), se duplicará 4 veces la población de mejillón cebra por m2: 24 � 500 � 8000 ejemplares.Los datos estimados no son correctos ya que la plaga al cabo de un año será aún mayor de la prevista.

3.94

3.93

3.92

3.91

3.90

(�2)2 � [(�2)3]2

��[(�2)2]2

� (�2)2 � (�2)

3.89

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 45

El sistema solar

Observa la tabla y responde a las preguntas.

a) ¿Cuántas veces es más grande el Sol que la Tierra?b) ¿Cuántas veces es más grande la Tierra que la Luna?c) ¿Cuántas veces es más grande el Sol que la Luna?d) ¿Por qué la Luna y el Sol se ven más o menos igual de grandes desde la Tierra?

a) 6.95 � 105 � 6,37 � 103 � 1,09 � 102

b) 6.37 � 103 � 1,74 � 103 � 3,66c) 6.95 � 105 � 1,74 � 103 � 3,99 � 102

d) Por que la distancia entre la Tierra y el Sol es 1,82 � 108 � 3.83 � 106 � 0.47 � 102 veces mayor que la distancia de la Tie-rra a la Luna, por lo que hace parecer al Sol más pequeño de lo que realmente es y lo iguala a la Luna.

A U T O E V A L U A C I Ó N

Expresa los siguientes productos en forma de potencia.

a) 3 � 3 � 3 c) 8 � 8 � 8 � 8 � 8 � 8b) 7 � 7 � 7 � 7 d) 10 � 10 � 10 � 10 � 10

a) 3 � 3 � 3 � 33 c) 8 � 8 � 8 � 8 � 8 � 8 � 86

b) 7 � 7 � 7 � 7 � 74 d) 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 105

Escribe como potencia de 10.

a) Una decena de millar c) Una centena de millarb) Un millar d) Una centena de millón

a) Una decena de millar � 104 c) Una centena de millar � 105

b) Un millar � 103 d) Una centena de millón � 108

Luis ha construido un cubo de madera cuya arista mide 5 cm. Le parece pequeño y decide construirotro de arista doble. ¿Tendrá doble volumen? Razona la contestación.

Volumen del cubo pequeño: 53 � 125Volumen del cubo grande: 103 � 1000El cubo aumenta 1000 � 125 � 8 veces.

Expresa los siguientes productos en forma de potencia.

a) 35 � 30 c) (�7)2 � (�7)3

b) 52 � 54 d) 31 � 36

a) 35 � 30 � 35 c) (�7)2 � (�7)3 � (�7)5

b) 52 � 54 � 56 d) 31 � 36 � 37

Reduce a potencias las siguientes expresiones.

a) (32)3 c) ((�10)2)4

b) (51)4 d) (25)2

a) (32)3� 36 c) (�102)4

� (�10)8 � 108

b) (51)4� 54 d) (25)2

� 210

¿Cuánto aumenta la potencia 75 si le añades al exponente una unidad? ¿Y si se la quitas?

76 � 75 � 7, luego aumenta siete veces la potencia dada.74 � 75 � 5, luego resulta ser la quinta parte de la potencia dada.

3.A6

3.A5

3.A4

3.A3

3.A2

3.A1

3.95

En kilómetros

Radio de la Tierra 6,37 � 103

Radio de la Luna 1,74 � 103

Radio del Sol 6,95 � 105

Distancia entre la Tierra y la Luna 3,83 � 105

Distancia entre la Tierra y el Sol 1,52 � 108

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 46

Expresa como una única potencia las siguientes operaciones.

a) 5 � 52 � 5 c) 15 � 153 � 15 � 152

b) 33 � 3 � 32 d) (�13) � (�13)2 � (�13)3

a) 52 c) 15

b) 34 d) �130

Escribe el valor que falta para que sean ciertas las igualdades.

a) 23 � 2�? � 32 c) 32 � 27 � 3�?

b) �? 2 � (�5)2 � 625 d) (�10)�? � (�10)�? � 1000000

a) 23 � 22 � 32 � 25 c) 32 � 27 � 32 � 33 � 35

b) 52 � (�5)2 � 52 � 52 � 54 � 625 d) (�10)3 � (�10)3 � (�10)6 � 106 � 1 000 000

Indica el valor del exponente �? para que sean ciertas la siguientes igualdades.

a) 7 � 10�? � 7000 c) 9 � 10�? � 9 millones

b) 15 � 10�? � 150000 d) 105 � 10�? � 1 billón

a) 7 � 10�? � 7 � 103, de donde �? � 3

b) 15 � 10�? � 15 � 104, de donde �? � 4

c) 9 � 10�? � 9 � 106, de donde �? � 6

d) 105 � 10�? � 1012, de donde �? � 7

Expresa las siguientes operaciones en forma de potencia y calcula luego el resultado de la misma.

a) 32 � 52 c) (15 � 5)3

b) (6 � 4)2 d) 26 � 52 � 32

a) 32 � 52 � (3 � 5)2 � 152 � 225

b) (6 � 4)2 � 102 � 100

c) (15 � 5)3 � 103 � 1000

d) 26 � 52 � 32 � (23 � 5 � 3)2� 1202 � 14 400

U N R I N C Ó N P A R A P E N S A R

¿Cuáles de estas secuencias dan como resultado 81?

9x �

Esta secuencia de teclas genera las potencias de 9. Al pulsar dos veces la tecla de “igual” obtenemos 9 elevado al cubo.

3x ��

Cuando en una calculadora se pulsan las teclas: “número” “x” “�” se obtiene el cuadrado del número pulsado.

3x� c � 81

Esta secuencia de teclas genera las potencias de 3. Al pulsar tres veces la tecla de “igual” obtenemos 3 elevado a la cuarta. Es decir:34 � 81.

3.A10

3.A9

3.A8

3.A7

112297-SOL_U03 11/7/08 12:44 Página 47

unidad 3.potencias

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