unidad 4 función
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Unidad 4 Función
Sección 2 Gráfica de la función
Clase 7 Relación entre tabla, expresión algebraica y gráfica de la función lineal P Para la función lineal 𝑦 = 3𝑥 + 2, observe la tabla, la ecuación de la función y la gráfica y analice en donde aparece
la razón de cambio, la pendiente y el intercepto con el eje y.
S
C
En la tabla En la ecuación de la función lineal En la gráfica
Aumento en 𝑦,
cuando 𝑥 aumenta 1
unidad
𝑎 Pendiente
Valor de 𝑦, cuando
𝑥 = 0
𝑏 Intercepto con el eje 𝑦
Se encuentran las siguientes relaciones entre la tabla, la ecuación de la función y su gráfica:
E Complete la siguiente tabla.
Función Valor de 𝑦 cuando
𝑥 = 0
Cuando 𝑥 aumenta,
¿el valor de 𝑦
aumenta o
disminuye?
Pendiente Intercepto con el
eje 𝑦
𝑦 = 2𝑥 − 1
𝑦 = −3𝑥 + 4
−2 −4
Unidad 2 Función
Sección 2 Gráfica de la función
Clase 8 Gráfica de la función lineal dada la pendiente y el intercepto P Grafique la función lineal 𝑦 = 2𝑥 − 1.
S Se determina el par ordenado del punto de intercepto (0, 𝑏), cuando 𝑏 = −1.
Se determina la pendiente, que es el valor de 𝑎 = 2.
Se traza la gráfica de la función lineal.
C Para graficar una función lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 dado el valor de 𝑎 y 𝑏, se coloca el punto (0, 𝑏) como intercepto con el
eje 𝑦, luego se determina un nuevo punto por donde pasa la gráfica a partir de la pendiente. Para finalizar se traza una
recta que pase por ambos puntos.
E Grafique de acuerdo a la función lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
a. 𝑦 = 3𝑥 − 2
b. 𝑦 = 2𝑥 + 1
c. 𝑦 = −𝑥 + 3
d. 𝑦 = −2𝑥 + 1
Unidad 2 Función Sección 2 Gráfica de la función
Clase 9 Relación de la gráfica con la ecuación de la función dada la pendiente y el intercepto (1) P Observe las gráficas ℓ y m y determine el valor de 𝑎 y 𝑏 en cada función
lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 .
ℓ : 𝑦 = 2𝑥 + 3
m: 𝑦 = −1
2𝑥 + 3
S Al observar las gráficas de las dos funciones lineales, ambas intersectan con eje 𝑦 en 𝑦 = 3, pues tienen 𝑏 = 3; es
decir, pasan por el punto (0, 3). Ambas funciones lineales tienen 𝑏 = 3, lo que significa que el intercepto con el eje 𝑦 es el punto (0, 3).
Analizando el valor de 𝑎 para cada función:
a. La función lineal 𝑦 = 2𝑥 + 3 tiene 𝑎 = 2, lo que
indica que cuando 𝑥 aumenta 1 unidad, 𝑦 aumenta
2 unidades.
b. La función lineal 𝑦 = −1
2𝑥 + 3 tiene 𝑎 = −
1
2 , lo
que indica que cuando 𝑥 aumenta 2 unidades, 𝑦
disminuye 1 unidad.
C En la relación de la gráfica con la ecuación de la función:
Cuando el intercepto con el eje y (valor de b) es el mismo en ambas funciones, se toma en cuenta la pendiente (valor
de 𝑎).
E Observe las siguientes gráficas y determine el valor de 𝑎 y 𝑏 en cada
función lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
a. 𝑦 = 2𝑥 + 1
b. 𝑦 = 3𝑥 + 1
c. 𝑦 = −3𝑥 + 1
d. 𝑦 = −2𝑥 + 1
Unidad 2 Función
Sección 2 Gráfica de la función
Clase 10 Relación de la gráfica con la ecuación de la función dada la pendiente y el intercepto
(2) P Observe las gráficas ℓ y m y determine el valor de 𝑎 y 𝑏 en cada función lineal
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
ℓ: 𝑦 = 2𝑥 + 1
m: 𝑦 = 2𝑥 − 3
S En ambas funciones 𝑎 = 2, lo que significa que la pendiente = 2.
Al analizar el valor de 𝑏 para cada función se tiene:
a. 𝑎 interseca al eje 𝑦 en 1, ya que 𝑏 = 1; es decir,
pasa por el punto (0, 1). Por tanto:
b. Interseca al eje 𝑦 en −3, ya que 𝑏 = −3; es decir
pasa por el punto (0, −3). Por tanto:
C En la relación de la gráfica con la ecuación de la función:
Cuando la pendiente (valor de a) es la misma en ambas funciones, se toma en cuenta el intercepto con el eje 𝑦 (valor
de 𝑏).
E Observe las siguientes gráficas y determine el valor de 𝑎 y 𝑏 en cada función lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
a. 𝑦 = 2𝑥 − 1
b. 𝑦 = 2𝑥 + 3
c. 𝑦 = −2𝑥 − 2
d. 𝑦 = −2𝑥 −1
2
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Sección 2 Gráfica de la función
Clase 11 Ecuación de la función en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 mediante la lectura de la gráfica 𝑎 > 0 P Para las siguientes gráficas:
Gráfica 1 Gráfica 2
a. Determine la pendiente (valor de 𝑎).
b. Determine el intercepto con el eje y (valor de 𝑏).
c. Escriba la ecuación de las funciones lineales en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
S Gráfica 1
a. 𝑎 =3
1= 3
b. 𝑏 = −1
c. Sustituyendo los valores de 𝑎 y 𝑏 en la ecuación de
la función, se obtiene: 𝑦 = 3𝑥 − 1
Gráfica 2
a. 𝑎 =1
2
b. 𝑏 = 2
c. Sustituyendo los valores de 𝑎 y 𝑏 en la
ecuación de la función, se obtiene:
𝑦 =1
2𝑥 + 2
C Para escribir la ecuación de una función lineal en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 a partir de la gráfica, es necesario determinar el
intercepto con el eje 𝑦 y la pendiente de la gráfica de la función lineal.
E Escriba la ecuación de la función lineal de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para cada gráfica.
a. b.
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Sección 2 Gráfica de la función
Clase 12 Ecuación de la función en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 mediante la lectura de la gráfica 𝑎 < 0 P Para las siguientes gráficas ℓ y m:
a. Determine la pendiente (valor de a)
b. Determine el intercepto con el eje y (valor de b)
c. Escriba la ecuación de la función lineal en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
S Gráfica ℓ
a. 𝑎 = −3
2
b. 𝑏 = 2
c. 𝑦 = −3
2𝑥 + 2
Gráfica m
a. 𝑎 = −
1
4
b. 𝑏 = 1
c. 𝑦 = −1
4𝑥 + 1
C Para escribir la ecuación de la función lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 es necesario determinar la pendiente (valor de a) y el
intercepto con el eje y (valor de b) en la gráfica de la función lineal.
E Escriba la ecuación de la función lineal de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para cada gráfica.
a. b.
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Sección 2 Gráfica de la función
Clase 13 Ecuación de la función en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 mediante la lectura de la pendiente y
coordenadas de un punto en la gráfica P a. Encuentre la ecuación de la función lineal cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (2, 5).
b. Grafique la función lineal del inciso a.
S a. Los datos que se conocen son: la pendiente de la gráfica de la función 𝑎 = 3, y las coordenadas (2,5) de un punto
que pertenece a la gráfica de la función, en donde 𝑥 = 2 y 𝑦 = 5.
Estos valores se sustituyen en la ecuación de la forma general de una función lineal: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, para encontrar el
valor de 𝑏.
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
5 = 3 × 2 + 𝑏
5 = 6 + 𝑏
5 − 6 = 6 − 6 + 𝑏
−1 = 𝑏
𝑏 = −1
La ecuación de la función lineal que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (2, 5) es 𝑦 = 3𝑥 − 1
b. Para graficar la función, se utiliza el punto dado (2, 5) y el intercepto con el eje y cuando 𝑏 = −1, es decir, las
coordenadas son (0, −1).
C Para encontrar la ecuación de una función lineal, dada la pendiente 𝑎 y las coordenadas (𝑥, 𝑦) de un punto por donde
pasa a la gráfica:
Paso 1. Se sustituye la pendiente y las coordenadas del punto dado en la ecuación en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, para calcular
el valor de 𝑏.
Paso 2. Se escribe la ecuación de la función de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, con los valores de 𝑎 y 𝑏 encontrados.
E
a. Encuentre la ecuación de la función lineal cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto (4, 3).
b. Encuentre la ecuación de la función lineal cuya pendiente es 2
3 y que pasa por el punto (3, 4).
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Sección 2 Gráfica de la función
Clase 14 Ecuación de la función en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 mediante las coordenadas de dos puntos
en la gráfica donde 𝑎 > 0 P Dadas las coordenadas de dos puntos de una línea recta: A (4, 5) y B (2, 1), encuentre la ecuación de la función lineal.
S
Paso 1. Determine la pendiente (valor de a)
Si la línea recta pasa por los puntos (4, 5) y (2, 1), entonces la
pendiente a =5−1
4−2=
4
2= 2
Paso 2. Determine el intercepto con el eje y (valor de 𝑏).
Sustituya la pendiente y un punto (2, 1) por donde pasa la recta en 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
1 = 2 × 2 + 𝑏
1 = 4 + 𝑏 1 − 4 = 4 − 4 + 𝑏 −3 = 𝑏 𝑏 = − 3
Paso 3. Sustituya los valores de 𝑎 y 𝑏 en la forma general de la función lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, se obtiene la ecuación
siguiente:
𝑦 = 2𝑥 − 3
C Para encontrar la ecuación de la función lineal cuando se conocen las coordenadas de dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y
𝐵(𝑥2, 𝑦2):
Paso 1. Se determina la pendiente 𝑎 utilizando la fórmula 𝑎 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1.
Paso 2. Se determina el intercepto con el eje y (valor de 𝑏), sustituyendo el valor de 𝑎 encontrado en el paso 1 y las
coordenadas de uno de los puntos dados en 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Paso 3. Se escribe la ecuación de la función lineal en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 utilizando los valores de 𝑎 y 𝑏 encontrados.
E Encuentre la ecuación de la función lineal en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, cuya gráfica pasa por los puntos:
a. 𝐴(1, 2) 𝐵(3, 6)
b. 𝐴(2, 4) 𝐵(5, 7)
c. 𝐴(2, 7)𝐵(−1, 1)
Pendiente =variación en 𝑦
variación en 𝑥
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Sección 2 Gráfica de la función
Clase 15 Ecuación de la función en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, mediante las coordenadas de dos puntos
en la gráfica donde 𝑎 < 0 P Dadas las coordenadas de dos puntos de una línea recta: A (7, 1) y B (2, 6), encuentre la ecuación de la función lineal.
S Paso 1. Determine la pendiente a.
Sustituya los valores (𝑥, 𝑦) de los puntos A (7, 1) y B (2, 6) en =1−6
7−2=
−5
5= −1
Paso 2. Determine el intercepto con el eje y (valor de 𝑏).
Sustituya la pendiente (valor de a) y un punto (2, 6) por donde pasa la gráfica de la función lineal en 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏,
se tiene:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
6 = −1 × 2 + 𝑏
6 = −2 + 𝑏 6 + 2 = −2 + 2 + 𝑏
8 = 𝑏 𝑏 = 8
Paso 3. Sustituya los valores de 𝑎 y 𝑏 en forma general de la función lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏:
𝑦 = − 𝑥 + 8
C Para encontrar la ecuación de la función lineal cuando se conocen las coordenadas de dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y
𝐵(𝑥2, 𝑦2):
Paso 1. Se determina la pendiente (valor de 𝑎) utilizando 𝑎 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1.
Paso 2. Se determina el intercepto con el eje y (valor de 𝑏), sustituyendo el valor de 𝑎 calculado en el paso 1 y las
coordenadas de uno de los puntos dados.
Paso 3. Se escribe la ecuación de la función en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 sustituyendo los valores de 𝑎 y 𝑏 encontrados.
E Encuentre la ecuación de la función lineal en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, cuya gráfica pasa por los puntos:
a. A(1, −1) B(−2, 5)
b. A(1, 2) B(2, 1) c. A(1, 8) B(3, 2)
d. A(−2, 1) B(1, −5)
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Sección 2 Gráfica de la función
Clase 16 Aplicaciones de la función lineal en las ciencias P En la factura del consumo de energía eléctrica mensual de la casa de don Roberto aparecen los siguientes datos: cuota
fija 18 quetzales y 2 quetzales por kilovatio hora (kwh).
a. Escriba la ecuación de la función lineal del total 𝑦 a pagar, cuando consume 𝑥 kilovatios hora.
b. ¿Cuánto debe pagar don Roberto si consume 140 kilovatios hora en un mes?
c. Grafique la función lineal que relaciona el total a pagar con el consumo de kilovatio hora.
S a. De la forma general de la ecuación de una función lineal: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, se tiene que:
El total a pagar está representado por 𝑦.
Los kilovatios hora consumidos están representados por 𝑥.
La cuota fija (cargo fijo) está en quetzales, es decir 𝑏 = 18.
El costo por kilovatio hora está en quetzales, es decir 𝑎 = 2. Entonces, la ecuación de la función lineal es:
𝑦 = 2𝑥 + 18
b. El total a pagar por consumo de 140 kilovatios hora es:
𝑦 = 2𝑥 + 18
= 2 × 140 + 18
= 280 + 18
= 298
Respuesta: Don Roberto pagará 298 quetzales.
c. Para graficar la función lineal 𝑦 = 2𝑥 + 18, se puede
utilizar el punto del intercepto con el eje 𝑦 (0, 18) y el
punto que representa el total a pagar cuando se consume
cierta cantidad de kilovatios hora (140, 298).
C Para resolver problemas que requieren el uso de conocimientos sobre la función lineal:
Paso 1. Se identifican las dos variables 𝑥 y 𝑦, así como la pendiente 𝑎 y el intercepto con el eje y (valor de 𝑏).
Paso 2. Se escribe la ecuación de la función lineal.
Paso 3. Se sustituye el valor de 𝑥 dado para encontrar el valor de 𝑦 que se está buscando.
E Resuelva el siguiente problema.
La relación entre grados Celsius (C) y grados Fahrenheit (F) es la siguiente:
0° C es equivalente a 32° y 100° C a 212° F.
a. Si 𝑥° C equivalen a 𝑦° F, y es una función lineal de 𝑥 . Determine la
pendiente (valor de a)
b. Determine el intercepto con el eje y (valor de b)
c. Encuentre la ecuación de la función lineal en forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Utilizando dos puntos, se puede
determinar la pendiente a.
Unidad 2 Función
Sección 2 Gráfica de la función
Clase 17 Trazo de la gráfica de una ecuación de primer grado con dos variables P Dada la ecuación lineal −2𝑥 + 𝑦 = 1:
a. Lleve la ecuación lineal −2𝑥 + 𝑦 = 1 a la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
b. Trace la gráfica.
S a. Para llevar la ecuación lineal −2𝑥 + 𝑦 = 1 a la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, se despeja y:
𝑦 = 2𝑥 + 1 −𝑥 pasa al miembro derecho. 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0
Respuesta: 𝑦 = 2𝑥 + 1
b. Paso1. Utilice la pendiente y el intercepto con el eje y.
𝑦 = 2𝑥 + 1
Pendiente = 2, intercepto con el eje y = 1
Es decir, pasa por el punto (0, 1)
Paso 2. Determine otro punto de la gráfica, sustituyendo
cualquier valor de 𝑥 en la ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 1.
Si 𝑥 = 1,
𝑦 = 2 × 1 + 1
= 2 + 1
= 3
La gráfica pasa por el punto (1, 3)
Paso 3. Trace la gráfica que pasa por los puntos
(0, 1) y (1, 3).
C Para graficar una ecuación de primer grado con dos variables de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, es necesario:
Paso 1. Se lleva una ecuación a la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Paso 2. Se identifica la pendiente a y el intercepto con el eje y (valor de b).
Paso 3. Se sustituye cualquier valor de 𝑥 en la en la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para encontrar las coordenadas de otro
punto de la gráfica.
Paso 4. Se traza la línea recta que pasa por los dos puntos determinados.
E Para cada una de las siguientes ecuaciones, realice lo siguiente.
ℓ: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
m: −2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
a. Lleve la ecuación a la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
b. Determine otro punto por donde pasa la gráfica.
c. Trace la gráfica.
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Sección 2 Gráfica de la función
Clase 18 Sentido del intercepto de la gráfica de dos ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 P
Para el sistema de ecuaciones {−𝑥 + 𝑦 = 1𝑥 + 𝑦 = 3
, realice lo siguiente.
a. Lleve las dos ecuaciones a la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
b. Grafique las dos ecuaciones en un mismo plano cartesiano.
c. Identifique las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas.
d. Interprete el sentido del punto de intersección.
S a. Al resolver las ecuaciones en 𝑦 se tiene:
{𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 = −𝑥 + 3
b. Para obtener la gráfica de cada ecuación, utilice la pendiente y el intercepto con el eje y.
𝑦 = 𝑥 + 1 𝑦 = −𝑥 + 3 Pendiente = 1 Pendiente = −1
Intercepto con el eje y = 1 Intercepto con el eje y = 3
Trace la gráfica de ambas rectas en el mismo plano cartesiano:
c. Según la gráfica, el punto en donde intersecan ambas gráficas tiene las coordenadas (1, 2).
d. Como el punto (1, 2) corresponde a la gráfica de las dos ecuaciones, se puede decir que satisface las dos
ecuaciones. Por tanto, corresponde a la solución del sistema de las dos ecuaciones lineales con dos variables.
Entonces, la solución del sistema es 𝑥 = 1 y 𝑦 = 2.
C Cuando se grafica un sistema de ecuaciones lineales con dos variables en un solo plano, las coordenadas del punto en
el que intersecan las dos gráficas corresponden a la solución del sistema.
E Trace las gráficas de las ecuaciones en un mismo plano, y resuelva el sistema de ecuaciones.
{𝑥 + 𝑦 = 1
2𝑥 − 3𝑦 = 12