UNIDAD 4UNIDAD 4OPERACIONES CON OPERACIONES CON

POLINOMIOSPOLINOMIOS

1.)1.)

2.)2.)

3.)3.)

( ) 5P x x2 1

( ) 6 42

Q x x x

4 32 1( ) 7 5

3 2f x x x x

Los siguientes son Los siguientes son ejemplos de polinomios en ejemplos de polinomios en

x:x:

Un polinomio con un solo término es un Un polinomio con un solo término es un monomio. Un binomio es un polinomio monomio. Un binomio es un polinomio con dos términos y un trinomio es un con dos términos y un trinomio es un polinomio con tres términos. polinomio con tres términos.

Lo polinomios con más de tres términos Lo polinomios con más de tres términos no tienen un nombre especial. Poli es un no tienen un nombre especial. Poli es un prefijo griego que significa “muchos”. prefijo griego que significa “muchos”.

De acuerdo con lo anterior, un polinomio De acuerdo con lo anterior, un polinomio es una suma de monomios. es una suma de monomios.

TrinomiosBinomiosMonomios

Ejemplos:Ejemplos:

4x 2 2 1x x

6x 2 6x x 2 26 3 2x xy y

31

5xyz 2 2x y y 2 21

3 62x y x y

4

Objetivos

Dos polinomios se suman Dos polinomios se suman reduciendo los términos que reduciendo los términos que sean semejantes en ambos.sean semejantes en ambos.

EJEMPLO:EJEMPLO:1.)1.) Para sumar el polinomio: 2Para sumar el polinomio: 2xyxy33 – –

33xx22yy22 + 4 + 4xx33yy + 2 + 2xyxy22 – 5 – 5xx22yy + 7 + 7xyxy con el polinomio: con el polinomio: xyxy33 + 3 + 3xx22yy22 + 4 + 4 xyxy22 – 2– 2xx22yy – 9 – 9xyxy , se procede así: , se procede así:(2 + 1)(2 + 1)xyxy33 + (– 3 + 3) + (– 3 + 3) xx22yy22 + 4 + 4xx33yy + + (2 + 4)(2 + 4)xyxy22 + (– 5 – 2) + (– 5 – 2)xx22yy + (7 – 9) + (7 – 9)xyxy= 3= 3xyxy33 + 4 + 4xx33yy + 6 + 6xyxy22 – 7 – 7xx22yy – 2 – 2xyxy . .

Cuando los polinomios son de una sola Cuando los polinomios son de una sola variable, para realizar la suma la operación variable, para realizar la suma la operación

se efectúa sumando o restando los se efectúa sumando o restando los coeficientes (según su signo) de los coeficientes (según su signo) de los

términos de igual grado.términos de igual grado.

Para sumar: Para sumar: PP((xx) = 3) = 3xx44 – 5 – 5xx22 + 7 + 7xx con: con: QQ((xx) = ) = xx33 + 2 + 2xx22 – 11 – 11xx + 3, se procede + 3, se procede

así:así:

PP((xx) + ) + QQ((xx) ) = (3= (3xx44 – 5 – 5xx22 + 7 + 7xx) + () + (xx33 + +

22xx22 – 11 – 11xx + 3) + 3)

= 3= 3xx44 + + xx33 + (– 5 + 2) + (– 5 + 2)xx22 + (7 – 11) + (7 – 11)x x + 3 + 3

= = 33xx44 + + xx33 – 3 – 3xx22 – 4 – 4xx + 3 . + 3 .

Para sumar varios polinomios, en la práctica, se acostumbra

colocar unos debajo de los otros de manera que los términos

semejantes queden en la misma columna. A continuación se

reducen los términos semejantes separando unos de

otros con sus signos correspondientes.

1.)1.) Sumar: Sumar:

Para efectuar la suma se tiene:Para efectuar la suma se tiene:

3 2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

4 2 3 ,

4 6 2

7 6

______________________

5

x x y xy

x x y xy

x x y xy

x x y xy

2.)2.) Sumar: Sumar: PP(x) = 3(x) = 3xx44 + 3 + 3xx22 – 5 – 5xx +7, con: +7, con: QQ(x) = 2(x) = 2xx55 – – xx44 + + xx33 – – 22xx22 + + xx –3, y con: –3, y con: RR(x) = – 3(x) = – 3xx55 + 2 + 2xx44 + 2+ 2xx33 – 4 – 4xx –5. –5.

Para efectuar la suma se tiene:Para efectuar la suma se tiene:4 2

5 4 3 2

5 4 3

5 4 3 2

3 3 5 7

2 2 3

3 2 2 4 5

__________________________

4 3 8 1

x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

Todo polinomio tiene un Todo polinomio tiene un opuestoopuesto, , que se obtiene cambiando el signo que se obtiene cambiando el signo

de todos sus términos.de todos sus términos.

Ejemplo: Ejemplo:

1.)1.) Para el polinomio: Para el polinomio: PP((xx) = ) = xx22 + 3 + 3xx – 4 – 4

su opuesto es el polinomio: – su opuesto es el polinomio: – PP((xx) = ) = ––xx22 – 3 – 3xx + 4. + 4.

Se llama Se llama restaresta o o diferenciadiferencia de dos de dos polinomios, polinomios, PP –  – QQ, a la suma de , a la suma de PP con  con el opuesto de el opuesto de QQ. Al polinomio . Al polinomio PP se le se le llama llama minuendominuendo y al polinomio y al polinomio QQ se se le llama le llama sustraendosustraendo. Así, para restar . Así, para restar dos polinomios se suma al minuendo dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.el opuesto del sustraendo.

Ejemplo:Ejemplo:1.)1.) Para restar del polinomio: Para restar del polinomio: PP((xx) = 3) = 3xx44

– 5– 5xx22 + 7 + 7xx, , el polinomio: el polinomio: QQ((xx) = ) = xx33 + 2 + 2xx22 – 11 – 11xx + 3, + 3, se procede así:se procede así:

PP((xx) – ) – QQ((xx) ) = (3= (3xx44 – 5 – 5xx22 + 7 + 7xx) ) –– ( (xx33 + 2 + 2xx22 – 11– 11xx + 3) + 3)

= (3= (3xx44 – 5 – 5xx22 + 7 + 7xx) + () + (–– xx33 –– 2 2xx22 + 11 + 11xx –– 3) 3) = 3= 3xx44 – – xx33 + ( + (–– 5 5 –– 2) 2)xx22 + (7 + 11) + (7 + 11)x x –– 3  3 = = 33xx44 – – xx33 – 7 – 7xx22 + 18 + 18xx –– 3 . 3 .

En forma parecida al caso de la suma, para restar dos polinomios puede resultar cómodo escribir el opuesto del sutraendo debajo del minuendo de manera que los términos semejantes queden en la misma columna y a continuación se reducen los términos semejantes.

Ejemplo:Ejemplo:

1.)1.)Restar:Restar:

Solución:Solución:Se escribe el sustraendo con los signos Se escribe el sustraendo con los signos

cambiados (para tener su opuesto) debajo cambiados (para tener su opuesto) debajo del minuendo, ordenándolos ambos en del minuendo, ordenándolos ambos en orden descendente con respecto a la orden descendente con respecto a la variable variable xx, y se suma:, y se suma:

4 3 2 2 4 3 2 24 2 5 , de 8 5 3x x y x y x x y x y

4 3 2 2

4 3 2 2

4 3 2 2

8 5 3

4 2 5

______________________

4 3 2

x x y x y

x x y x y

x x y x y