unidad 5 – ecuaciones e...
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Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionesPÁGINA 78
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Resolver ecuaciones de primer grado.
a) b)
2 3( 5) 2 ( 3)
2 3 15 2 3
15 3
2 12
6
x x x xx x x xx xx
x
� � � � �� � � � �
� � � �� �� �
5 3(2 6) (3 2) 2 6
5 6 18 3 2 2 6
6 22
11
3
x x x xx x x x
x
x
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�
c) d)
2 3 2
4 8
4 6 2
5 4
4
5
x x
x xx
x
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� � � ��
�
2( 2) 2 31
3 6
4 8 2 3 6 6
4 1
1
4
x x x
x x xx
x
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134
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Resolver sistemas de ecuaciones.
a) Método de sustitución.
3 1
2 3 4
1 3
2 3( 1 3 ) 4
2 3 9 4
7 7
1
2
x yx y
y xx xx x
x
xy
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� � �� � � �� � �
� �
� ��
b) Método de igualación.
2 3 21
3 5 16
21 2
3
16 3
5
21 2 16 3
3 5
105 10 48 9
57 19
3
5
x yx y
xy
xy
x x
x xx
xy
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��
�� �
�
� � ��
�� � ��
�� �
c) Método de Reducción.
2 3 6 10 15 30
5 2 7 10 4 14
11 44
4
3
x y x yx y x y
yyx
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� �� �� �
135
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PÁGINA 80
SOLUCIONES_________________________________________________________________
1. a) +4 y -4 son los dos números que elevados al cuadrado dan 16.
b) 0, porque es el elemento absorbente del producto.
c) 1, porque necesitamos que el paréntesis se anule.
d) Si el producto de dos números es 0, es porque el menos uno de los dos es cero. Entonces, una de las
soluciones es x = 0, y la otra es x = -2, que es el valor de x que anula el paréntesis.
e) Necesitamos elevar 3 a la cuarta potencia para conseguir 81, luego x tiene que tomar el valor 5.
f)x tiene que valer 3.
2. Por definición, a es solución de una ecuación, si al sustituir la incógnita por a, la ecuación se hace cierta.
2 21 ( 2) ( 2) 5
9 4 5
9 9
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136
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PÁGINA 81
SOLUCIONES_________________________________________________________________
3. a) b)
2( 2) 3 1 ( 3 ) 5(3 2 )
2 4 3 1 3 15 10
13 23
23
13
x x x x xx x x x x
x
x
� � � � � � � � � �� � � � � � � � �
� � �
�
2 3 21
4 6
12 6 9 4 2 12
8 17
17
8
x xx
x x xx
x
� �� � �
� � � � �� �
� �
c) d)
2( 3) 3 2 3
6 18 9
6 9 3 2 18 6 2
18 18 18 18
6 9 3 2 18 6 2
20 18
9
10
x x xx
x x x x
x x x xx
x
� � � �� � �
� � � �� � �
� � � � � � �� �
� �
3 2( 5) 3 3 10
4 10 8 2
30 8 40 12 15 5 40 200
40 40 40 40 40
30 8 40 12 15 5 40 20 0
79 75
75
79
x x x x x
x x x x x
x x x x xx
x
� � �� � � � �
� � �� � � � �
� � � � � � � ��
�
137
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PÁGINA 82
SOLUCIONES_________________________________________________________________
4. El valor de la x en una ecuación de segundo grado completa viene dada por:
2
2
0
4
2
ax bx c
b b acxa
� � �
� � ��
Si la ecuación de segundo grado es incompleta vamos transponiendo los términos según las reglas y de
forma ordenada.
a) c)
2
1 2
2 5 3 0
5 25 24 5 1
4 4
3, 1
2
x x
x
x x
� � �
� � �� �
� �
2
2
( 2) (2 1) 5 7
2 5 2 5 7 0
2 5 0
5
2
x x xx x xx
x
� � � � �
� � � � �
� �
� �
b) d)
2
1 2
2 0
1 1 8 1 3
2 2
2, 1
x x
x
x x
� � �
� � �� �
� � �
2
2
1 2
3 ( 1) ( 2)
3 2 0
4 2 0
4 16 8 4 2 22 2
2 2
2 2, 2 2
x x xx x xx x
x
x x
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� � � �
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138
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5. a) b)
2
2 2
2
1 2
(2 3) ( 2) 2
2 3 4 4 2 0
6 0
1 1 24 1 5
2 2
2, 3
x x xx x x x
x x
x
x x
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� � � � � �
� � �
� � � � �� �
� � �
2
2 2
2
1 2
4 (2 1) 2 ( 5)
4 4 4 1 2 10
6 7 3 0
7 49 72 1 11
12 12
5, 1
6
x x x xx x x x x
x x
x
x x
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139
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PÁGINA 83
SOLUCIONES_________________________________________________________________
6. El número de soluciones de una ecuación depende del signo de su discriminante:
2 4 0b ac � � � � �soluciones�
2 4 0 !b ac solución � � � � � (solución doble)
2 4 0 2b ac soluciones � � � � �
a) No tiene ninguna solución real.
2 4
9 20 0
b ac � � � � �
b) Existen dos soluciones diferentes.
2 4
25 24 0
b ac � � � � �
c) Existe una solución doble.
2 4
400 400 0
b ac � � � � �
7. Para que tengan una solución única doble el discriminante debe ser 0:
a) b)
2 4
16 20 0
4
5
b acd
d
� � � � �
�
2 4
9 4 0
9
4
b acd
d
� � � � �
� �
8. Para resolver una ecuación bicuadrada: 4 2 0ax bx cx� � �
1.Hacemos un cambio de variable: x2 = z
140
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2.Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda: 2 0az bz c� � � , de la que obtenemos dos
soluciones: z1, z2.
3.Deshacemos el cambio de variable: 1 1
2 2
x z
x z
� �
� �
a) c)
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
x 5x 36 0
x
z 5z 36 0
5 25 144 5 169 5 13
2 2 2
9 3, 3
4 4
z
z
z x x
z x x
� � �
�
� � �
� � � �� � �
� � � � �
� � � � � �
4 2 4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
12x 19x 18 12x 19x 18 0
x
12z 19z 18 0
19 361 864 19 35
24 24
9 3 3,
4 2 2
2 2
3 3
z
z
z x x
z x x
� � � � � �
�
� � �
� � �� �
� � � � �
� � � � � �
b)
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
15x +31x 10 0
x
15z +31z+10 0
31 961 600 31 19
30 30
2 2
5 5
5 5
3 3
z
z
z x x
z x x
� �
�
�
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141
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PÁGINA 84
SOLUCIONES_________________________________________________________________
9. a) b) c)
5 17
2 3 5
5 17
2 (5 17) 3 5
10 34 3 5
13 39
3
2
x yx y
x yy y
y yy
yx
� � ��� � ��� �� � � �
� � ��
���
3 5
5 1
3 5
5 (3 5) 1
15 25) 1
16 26
13
8
1
8
x yx y
y xx xx x
x
x
y
� � ��� � � ��
� �� � � � �� � � �
� �
� �
�
4 3 2
5 2 3
2 4
3
2 45 2 3
3
15 4 8 9
3 3 3
7 13
13 33,
7 7
x yx y
xy
xx
x x
x
x y
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��
�� �� � � �� �� �� �
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142
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PÁGINA 85
SOLUCIONES_________________________________________________________________
10.
a) b) c)
3 2 7
5 3 11
7 3 11 5,
2 3
7 3 11 5
2 3
21 9 22 15
6 1
1 13,
6 4
x yx y
x xy y
x x
x xx
x y
� ��� � ��
� �� �
� ��
� � ��
� �
12 6 1
4 3 8
12 1 4 8,
6 3
12 1 4 8
6 3
12 1 8 16
20 15
3 5,
4 3
x yx y
x xy y
x x
x xx
x y
� ���� � ��
� � �� �
� � ��
� � � �� �
� � � �
2 3 2
5 3
31, 5 3
2
31 5 3
2
3 2 10 6
7 4
4 1,
7 7
x yx y
yx x y
y y
y yy
y x
� � � ��� � ��
� � � �
� � �
� � �� �
� � �
11. a) b) c)
3 5 5 3 5 5
2 8 10 5 40
7 45
45 34,
7 7
x y x yx y x yx
x y
� � � �� ��� �� �� � � �� �
� �
�� �
3 8 5 3 8 5
5 4 17 10 8 34
13 39
13,
2
x y x yx y x yx
x y
� �� � ��� ��� �� �� � ��� �
��
�� �
4 3 2 20 15 10
20 36 3 20 36 3
21 7
143,
3
x y x yx y x y
x
x y
� � � � ��� ��� �� � � �� �
��
�� �
143
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PÁGINA 86
SOLUCIONES_________________________________________________________________
12.2
a) 5 3 2 d) 14 3 6
4 7 5 12 2 7 12
7 7( ,
4 4
x x xx x
x x x x
x x
� � � � � � � �
� � � � � � � � � � �
�� � � �� ��
12 12 , )
7 7
2 3 2 2b) 3 5 5 e) 1
3 6 2
4 10 4 2 3 2 3 6 6
5 5
2 2
x x
x x xx x
x x x x
x x
�� � � ����
� � �� � � � � � �
� � � � � � �
� � � , ) 8 14
7 7 , )
4 4
3 2 2c)
4 8
x
x x
x x x
� �� � � ���
�� � � ����
� �� �
2 3( 1) 2 1 f) 2
5 2
5 6 8 4 6 6 10 5 2
3 6 11 13
x x x x
x x x x x xx x
� � �� � �
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13 132 ( , 2 ( ,
11 11x x x x �� � � � �� � � � � � �� � �
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144
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PÁGINA 87
SOLUCIONES_________________________________________________________________
13.
�
a)
7
3 5 7 2 10 7 1 710,
5 3 4 3 2 1 1 2 10
2
b)
2( 3) 5 2 22 2828 1
, 28 ,2 12 1 21
3 2
c)
2( 2) 5 4 (5 6)
2 (4 5) 2(3 2 ) 5
xx x xx
x x x x
x x x xxxx xx x
x x xx x x
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12 2
, 156 10
3
d)
2 2,1
3 1 2 1
xxx
x x
x xx
x x
� ��� �� �� � � � �� �� �� �� ��
� �� �� � � ��� �� � � � �� �
145
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PÁGINA 90
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SOLUCIONES_________________________________________________________________
Ecuaciones de primer grado.
14. a) b)
3 (3 5 ) 4 ( 2 5) 3 2 ( 5)
3 3 5 8 20 3 2 10
2 10
5
x x x xx x x xx
x
� � � � � � � � � � �� � � � � � � �� �
� �
( 3) 4 [2 (5 1)] 3 1 5 (2 )
3 12 4 3 1 10 5
19 2
2
19
x x x x xx x x x
x
x
� � � � � � � � � � � �� � � � � � �
� � �
�
c) d)
2 ( 3) 5
3 2
10 2 15 3
5
x x
x xx
� � � �� �
� � � � ��
2 (3 1) 3 21
3 6
12 4 3 2 36 6
21 8
8
21
x x x
x x xx
x
� � � �� � � �
� � � � � � ��
�
e)
3 (5 1) 3 2 12 1
4 8 2
16 30 6 3 2 4 8
21 0
0
x xx x
x x x xx
x
� � �� � � �
� � � � � �� ��
15. a) b)
2
2 2
2 2
2 4 ( 2) ( 3) 3 (2 1)
2 4 4 24 3 (4 4 1)
4 6 24 4 7 1
6 24 7 1
25
x x x x xx x x x x x
x x x x
x x
x
� � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � � �
� � �
�
2 2
2 2 2
( 3) (2 1) (2 3) ( 2) (2 )
2 7 3 4 12 9 4 2
19 10 0
10
19
x x x x x xx x x x x
x
x
� � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � �
� � �
�
c)
2 2 2
2 2 2 2
( 3) ( 3) 1 ( 2)
9 1 4 4
4 14 0
7
2
x x x x xx x x x x
x
x
� � � � � � � �
� � � � � � �
� �
�
147
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Ecuaciones de segundo grado.
16. a) No tiene ninguna solución real. c) No tiene ninguna solución real.
2 4
9 40 0
b ac � �
� � � � �soluciones�
2 4
4 8 0
b ac � �
� � � � �soluciones�
b) Existen dos soluciones diferentes. d) Existen dos soluciones diferentes.
2
2
2
1 2
(2 1) 3 2
2 2 0
4
4 8 0 2 .
2 4 8 2 2 3
2 2
1 3, 1 3
x x x xx x
b acsoluciones
x
x x
� � � � � �
� � �
� � � � � �
� � � � �� �
� � � � � �
2 2
2
2
1 2
2 4 3
3 7 0
4
49 0 2 .
70,
3
x x x xx x
b acsoluciones
x x
� � �
� �
� � � � �
� �
17. a) b)
2
2
( 1) ( 1) 2 ( 2) 2 ( 3)
6 5 0
36 20 16 0 2 .
x x x x x xx x
soluciones
� � � � � � � � � �
� � � � � � � �
2 2 2
2
8 ( 3) (2 1) (2 1) (2 3)
6 1 0
36 4 40 0 2 .
x x x x xx x
soluciones
� � � � � � � �
� � � � � � � � �
c) d)
2 2
2
2 ( 1) ( 2) ( 1)
4 2 0
16 8 8 0 2 .
x x x x xx x
soluciones
� � �� � � � �
� � � � � � � �
2
2
( 2) (2 1) ( 1) ( 1)
2 5 5 0
25 40 15 0
x x x x xx x� � � � � � � �
� � �
� � �� � � �soluciones
18. Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante debe ser nulo:
2 10 1 0
100 4 0
25
ax xa
a
� � � � � �
�
19. Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante debe ser nulo:
2
2
4 9 0
144 0
12
x axa
a
� � �
� � �
��
148
![Page 16: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/16.jpg)
20. El valor de la x en una ecuación de segundo grado completa viene dada por:
2
2
0
4
2
ax bx c
b b acxa
� � �
� � ��
Si la ecuación de segundo grado es incompleta vamos transponiendo los términos según las reglas y de
forma ordenada.
a) d)
2
1 2
6 3 45 0
9 9 1080 9 33
12 12
72,
2
x x
x
x x
� � �
� � � � �� �
� �
2
1 2
10 23 12 0
23 529 480 23 7
20 20
4 3,
5 2
x x
x
x x
� � � �
� � � � �� �
� �
� �
b) e)
2
1 2
3 10 8 0
10 100 96 10 2
6 6
42,
3
x x
x
x x
� � �
� � �� �
� �
2 2
1 2
3 1 13 5 2 0
10 2 5
5 25 24 5 7
6 6
1, 2
3
x x x x
x
x x
� � � � � � � � �
� � � � �� �
� �
� � �
c) f)
2
1 2
6 2 0
1 1 48 1 7
12 12
2 1,
3 2
x x
x
x x
� � �
� � �� �
� � �
2
1 2
20 7 60 0
7 49 4800 7 4849
40 40
7 4849 7 4849,
40 40
x x
x
x x
� � �
� � � � �� �
� � � �� �
21. a) c)
2
1 2
3 5 0
(3 5) 0 0,3 5 0
50,
3
x xx x x x
x x
� �� � � � � � �
� �
2
1 2
5 20 0
5 ( 4) 0 5 0, 4 0
0, 4
x xx x x x
x x
� � �� � � � � � � � �
� �
b) d)
149
![Page 17: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/17.jpg)
2
2
1 2
3 15 0
5
5, 5
xx
x x
� � �
�
� � �
2
2
1 2
61 7 0
5
8 5
6
8 5 8 5,
6 6
x
x
x x
� � �
�
� � �
22. a) c)
2
( 2) (2 5) ( 9)
10 0 10
x x x x
x x
� � � � � �
� � � � � ��soluciones�
2
2
1 2
2 (2 1) ( 4) ( 2)
3 0
(3 1) 0 0,3 1 0
10,
3
x x x xx x
x x x x
x x
� � � � � �
� � �� � � � �� � � �
� ��
b) d)
2
1 2
(2 3) ( 3) ( 3) 6
2 0
( 2) 0 0, 2 0
0, 2
x x xx x
x x x x
x x
� � � � � �
� � �� � � � � � � � �
� �
2
2 2
1 2
6 (3 5) 2 ( 4) 3
2 20 0 10
10, 10
x x x xx x
x x
� � � � � � �
� � � � �
� ��
23. a) c)
2
2
1 2
( 3) ( 3) ( 3) 3 7
0
( 1) 0 0, 1 0
0, 1
x x x xx xx x x x
x x
� � � � � � �
� �� � � � � � �
� ��
2
2
1 2
(3 1) ( 2) ( 2) ( 8) 3 ( 18)
2 16 5 0
16 256 40 16 6 6
4 4
3 6 3 61 , 1
2 2
x x x x xx x
x
x x
� � � � � � � � � �
� � � �
� � �� �
� �
�� � �� �
b) d)
2 2
2
1 2
(2 5) 6 49 (2 3)
8 14 15 0
14 196 480 14 26
16 16
5 3,
2 4
x x xx x
x
x x
� � � � �
� � �
� � �� �
� ��
2 2
2
1 2
7 (2 3) (2 1) 2
8 14 3 0
14 196 96 14 10
16 16
1 3,
4 2
x x xx x
x
x x
� � � � �
� � � �
� � � � �� �
� �
� �
150
![Page 18: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/18.jpg)
24. Para resolver una ecuación bicuadrada: 4 2 0ax bx cx� � �1.Hacemos un cambio de variable: x
2 = z
2.Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda: 2 0az bz c� � � , de la que obtenemos dos
soluciones: z1, z2.
3.Deshacemos el cambio de variable: 1 1
2 2
x z
x z
� �
� �
a)
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
3x 2x 8 0
x
3z 2z 8 0
2 4 96 5 10
6 6
5 5 5,
2 2 2
5 5
6 6
z
z
z x x
z x x
� � �
�
� � �
� � �� �
� � � � �
� � � � � �
b)
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
10x -3x 4 0
x
10z - 3z - 4 0
3 9 160 3 13
20 20
4 2 5 2 5
5 5 5
1 1
2 2
z
z
z x x
z x x
� �
�
�
� � �� �
� � � � �
� � � � � �
c)
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
4x 25x 36 0
x
4z 25z + 36 0
25 625 576 25 1201
8 8
25 1201 25 1201 25 1201,
8 8 8
25 1201 25 1201
8 8
z
z
z x x
z x x
� � �
�
� �
� � �� �
� � �� � � � �
� �� � � �
151
![Page 19: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/19.jpg)
d)
4
4
5x 100 0
20x
� �
�
e)
4 2
2 2 2 2
1 2 3
2 3 4
3 +7x 0
x ( 3 +7) 0 x 0, 3 +7=0
7 70, ,
3 3
25 1201 25 1201
8 8
xx x
x x x
z x x
� �
� � � � � �
� � � �
� �� � � �
f)
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
4x + 29x 45 0
x
4z + 29z +45 0
29 841 720 29 11
8 8
9 9
4 4
5 5
z
z
z x x
z x x
� �
�
�
� � � � �� �
� � � � � �
� � � � � �
25.
4 2 2 2 2
4 2 2 2
4 2 2
4 2
2
2
2
1
a) 15 12 5 4 8 16 4 8 2 2
15 17 4 (16 4) 2 2
15 33 8 2 2
15 31 10 0
15 31 10 0
31 31 4·15·10 31 961 600 31 361
2·15 30 30
31 19 31 19 50 5
30 30 30 3
x x x x x x x
x x x x
x x xx x
z xz z
z
z
� � � � � � � � � �
� � � � � � �
� � � � �
� � �
�
� � �
� � � � � � �� � � �
� �� � � � �
2
2 2
1 1 2 2
31 19 12 2
30 30 5
5 5 2 2
3 3 5 5
5 5 2 2Soluciones : , , ,
3 3 5 5
z
x x x x
�� � �
� � � � � � � �
� � � �
152
![Page 20: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/20.jpg)
4 2 2 2 4 2 2
4 2 4 3 3 2 4 2 2
4 2 2
4 2
2
2
2
1
2
2
1 1
b)(4 4 1) ( 3 3 9) ( 6 ) 22 6
4 4 1 3 3 9 6 22 6
2 7 1 22 6
2 21 0
2 21 0
1 1 4·2·( 21) 1 1 168
2·2 4
1 169 1 13 1 133
4 4 4
14 7
4 2
3
x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x xx x
z xz z
z
z
z
x x
� � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
� � � �
� � �
�
� � �
� � � � � � �� � �
� � � � � �� � � � �
�� � �
� �
2
2
3
7
2x
� �
� �
No existen soluciones reales para x2
Soluciones: + 3 ,- 3
26. a) c)
3 5 3
10 5 23
3 3 23 10,
5 5
3 3 23 10
5 5
13 26
32,
5
x yx y
x xy y
x x
x
x y
� ���� � � ��
� � �� �
� � ��
�
� � �
4 3 2
32 4
2
2 3 3, 2
4 4
2 3 32
4 4
2 3 8 3
6 10
5 3,
3 4
x y
x y
yx x y
y y
y yy
y x
� ����� � ���
�� � � �
�� � �
� � � ��
� � �
153
![Page 21: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/21.jpg)
b) d)
52 3
4
1 2
53 , 1 2
4
53 1 2 ; 5 12 4 8
4
4 1
1 1,
4 2
x y
x y
x y x y
y y y y
y
y y
� � � ����� � ��
� � � � � �
� � � � � � � � � �
�
� � �
15 10 15
21 14 2
10 14 21,
15 21
70 105 70 10
105 10
x yx y
y yx x
y y
� � ���� � � ��
�� � �
� � �� �
� .soluciones
154
![Page 22: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/22.jpg)
PÁGINA 91
155
![Page 23: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/23.jpg)
SOLUCIONES_________________________________________________________________
27. a) c)
3 5
202
3
5 3
202 ( 5 3 )
3
2010 6
3
107
3
10 25,
21 7
x y
x y
x y
y y
y y
y
y x
� � ����
� � ���� � �
� � � � � �
� � � � �
� �
� � � �
72
4
3 3 2
72
4
73 3 2 2
4
73 3 4
2
13 45,
2 4
x y
x y
y x
x x
x x
x y
� � � ����� � ��
� �
� �� � � � �� �� �
� � � �
� �
b) d)
7
2 4
3 8 9
7
4 2
73 8 ( ) 9
4 2
3 14 4 9
35,
2
x y
x yxy
xx
x x
x y
� � � ���� � � ��
� � �
� � � � � �
� � � �
� � �
0'5 0'2 2'3
0'3 0'5 2'9
2'3 0'2
0'5
0'3 ( 5 3 ) 0'5 2'9
1'4 1'4
1, 4'2
x yx y
yx
y yy
y x
� ����� � ��
� ��
� � � � � ��
� ��
28. a) c)
3 2 21 3 2 21
2 11 3 6 33
4 12
5, 3
x y x yx y x y
y
x y
� �� � ��� ��� �� � � � � �� �
�
�� �
8 818 45 242 5 2 5
3 318 12 14
9 7 6 9 6 7
57 38
2 1,
3 6
x yx y x yx yx y x y
x
x y
� � � � �� � � � � � �� �� �� � � � ��� �� � � �� ��
� �
156
![Page 24: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/24.jpg)
b) d)
5 3 7 10 6 14
2 5 7 10 25 35
31 49
49 63,
31 31
x y x yx y x yx
x y
� �� � ��� ��� �� � � � ��� �
��
�� �
0 '5 0 '3 2 '9 0 '05 0 '03 0 '29
0 '3 0 '1 0 '3 0 '09 0 '03 0 '09
0 '14 0 '38
2 '71, 5 '14
x y x yx y x yx
x y
� � � � � �� ��� �� � � � � �� �
� �
� � �
29. a) c)
11
2 6
2 4 5
11
3
112 4 5
3
17 10
10 59,
17 17
x y
x yyx
y y
y
y x
��� ���� � ��
��
�� �� � �� �� ��
� �
2 1
153 2
4
2 1
153 2 ( 2 1)
4
77
4
1 3,
4 2
x y
x y
x y
x x
x
x y
� �����
� ���� � �
� � � � �
�
� ��
b) d)
3 5 11'6
2 3'1
11'6 3, 3'1 2
5
11'6 33'1 2
5
13 3'9
0 '3, 2 '5
x yx y
xy y x
x x
x
x y
� � ���
� ���
� � �
�� �
�
� �
0 '8 1'35 2 2'5 3'375
0'3 2'5 1'225 0'3 2'5 1'225
2'3 4'6
2, 0 '73
x y x yx y x y
x
x y
� � � � � �� ��� �� � � � � �� �
� �
� � �
Inecuaciones lineales con una incógnita.
30.)5 3 2 7
1 12 1 2 1 ( , )
2 2
a x x
x x x x
� � � �
� � � � � � � � � � �� �
157
![Page 25: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/25.jpg)
"
)3 (2 5 ) 3 4
3 2 5 3 4
3 35 1 3 4 8 3 ,
8 8
)2 3(2 ) 3 6
2 6 3 6
126 12 2 2 2,
6
b x xx x
x x x x x
c x x xx x x
x x x x
� � � � �� � � � �
� #� � � � � � � � � � ��� $� %� � � � �
� � � � �
� � � � � � � � �
"
) 2 3 2(3 1) 4 0
2 3 6 2 4 0
3 38 3 8 3 ,
8 8
)3 2 (2 3 ) 7 5
3 2 2 3 7 5
5 5 5,
d x xx x
x x x x
e x x xx x xx x x
� � � � � �� � � � � �
� �� � � � � � � � � ��� �� �
� � � � �� � � � �
� � � � � � � �
31.2 1
) 34
2 1 4( 3)
2 1 4 12
11 112 11 2 11 ,
2 2
xa x
x xx x
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x x x
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16 2 2
x x xx x
x x x x x x
x x
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158
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5 3
2 1 2 22 1
5 5 3 3
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15 15
16 132 1 16 13 15(2 1) 16 13 30 15
15
28 14 14 1446 28 46 28 ,
46 23 23 23
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xx x
xx
x x x x x x
x x x x x
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6 4 8 3 18 9 1 3 5 7 1 3 8 8 1
1,
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x x x
x x x x x x xx
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4 4
32 2 16 ,16
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x x xx x
x x x x x
x x x
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2
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2 2
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2
94 6 4 6 2 3 0
4
94 6 4 6 2 9 0
4
45 8 45 452 0 0 8 45 0 45 8
4 4 8
45,
8
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x x x x x
x x x x x
xx x x x
x
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159
![Page 27: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/27.jpg)
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2 2 2 2
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2 2 4
1 1 1 1 1 10 0
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1 (4 1) 8 50 0 8 5 8 5
2 16 16
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8 8
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x x x x x x
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7,4
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1 (2 1) 3 4 2 3 4 4
, 3
4)2 1 3 3 4
3
2 2 5 3
4,
3
d x x x x
x x x x
x
e x x x x xx x x x x
x
f x x x x
x x x
x
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33.
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2 2
2 2
2 2 2
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6
13,
6
)(2 1)( 2) ( 1) ( 1)
2 4 2 2 1 2 1
2 5 2 2 2 5 2 2 5 0 5 0 0
0,
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x x x x x x x x
x
b x x x xx x x x x x xx x x x x x x
x
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2 0 2 2,
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x x x
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160
![Page 28: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/28.jpg)
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
) 2 1 (2 1) 3
4 4 1 (4 4 1) 3
4 4 1 4 4 1 3
3 38 3 8 3 ,
8 8
) 3 4 5 2 3 0
3 15 4 20 4 12 9 0
23 15 4 4 12 9 0
6 611 6 0 11 6 ,
11 11
d x x
x x x xx x x x
x x x x
e x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
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2
2 2
) 1 6 3 3 2 0
3 6 18 6 3 0
3 320 3 0 ,
20 20
f x x x x
x x x x x
x x x
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� � � � � �
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Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
34.
)2 1 3 2 4 2 2,
3 5 20 3 15 5 ,5
2,5
a x x x x
x x x x
x
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)2 3 3 2 6 3 ,3
1 14 2 6 3 1 2 ,
2 2
1,3
2
b x x x x
x x x x x
x
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� �� � � � � � � � � � � � �� �� �
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�)2 3 2 4 4 1 ,1
5 53 5 10 2 5 ,
2 2
5,1
2
c x x x x x
x x x x x
x
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161
![Page 29: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/29.jpg)
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7 7) 5 3 2 7 4 ,
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3 2 12 2 14 7 ,7
7,4
d x x x x
x x x x
x
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) 2( 1) 1 3( 2) 2 2 1 3 6 3 , 3
1 (2 1) 3 4 2 3 4 4 ,4
, 3
e x x x x x x
x x x x x x
x
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4)2 1 3 3 4
3
2 2 5 3 3
4,
3
f x x x x
x x x x
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35.2 2
)2 5 5 3 3 2 ,3 3
12( 3) 1 3( 1) 2 3 1 3 3 2 1
2
1,
2
a x x x x x
x x x x x x x x
x
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Ambos intervalos no tienen puntos en común; por lo tanto, el sistema no tiene solución.
)3 2( 3) 2 5 2 3 2 6 2 5 10 3 11
11 11,
3 3
53 5 3(1 ) 3 5 3 3 3 5
3
5,
3
b x x x x x
x x
x x x x x x x x
x
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36. �) 4 2 3 5 3 3 , 3
7 72 3 4 2 7 ,
2 2
3 34 3 1 2 3 ,
2 2
a x x x x x
x x x x
x x x x x
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El sistema no tiene solución, pues los intervalos no tienen puntos comunes.
162
![Page 30: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/30.jpg)
"
"
)3( 1) 2(1 ) 7 2
3 3 2 2 7 2 6 6,
42 4 6 2 2,
3
3 21 3 2 5 2 2 1 1,
5
1,
b x x xx x x x x
x x x x
x x x x x
x
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163
![Page 31: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/31.jpg)
PÁGINA 92
164
![Page 32: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/32.jpg)
SOLUCIONES_________________________________________________________________
37.( 1) 35
2 1 35 17
Solución: El número que buscamos es el 17.
x xx x� � �� � � �
38.3 ( 1) 41
4 1 41 10
Solución: El número que buscamos es el 10.
x xx x� � �� � � �
39.2
562 3
3 4 56 6 48
Solución: El número que buscamos es el 48.
x x
x x x
� �
� � � � �
40.2 (2 2) 50
4 2 50 12
Solución: Los números que buscamos son el 24 y el 26.
x xx x� � �� � � �
41.(2 1) (2 3) 128
4 4 128 31
Solución: Los números que buscamos son el 63 y el 65.
x xx x
� � � �� � � �
42.Precio de los lápices.
3 precio de los cuadernos.
3 2(3 ) 5 1'4
9 3'6 0 '4
Solución: Un lápiz cuesta 0'4 euros y un cuaderno 1'2 euros.
xxx xx x
��� � �� � �
165
![Page 33: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/33.jpg)
43.Número de gladiolos.
3 Número de rosales.
3 20 5
Solución: Se han sembrado 15 rosales.
xx
x x x
��
� � � �
44.
2 2
1
2
Dinero que tengo en el bolsillo.
3 9 403 10 3 10 0
2
5
2 Descartamos esta solución por ser negativa.
Solución: Tengo 5€.
x
x x x x x
xx
�
� �� � � � � � � �
�� � �
45.
2
1
2
Mi edad actual.
( 3) 4 3 4 0 ( 7) 0
0 Descartamos esta solución porque no puedo tener 0 años.
7
Solución: Tengo 7 años.
xx x x x x x x xxx
�
� � � � � � � � � � �� ��
46.
202 3 4 6
1520 80
12
Solución: El abuelo tiene 80 años.
x x x x x
x x x
� � � � �
� � � �
47.
Número de conejos Número de gallinas. 2
4 2 1102
5 110 22
Solución: Hay 22 conejos y 11 gallinas.
xx
xx
x x
� � �
� � �
� � �
166
![Page 34: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/34.jpg)
Número de bocadillos de jamón.
Número de bocadillos de queso.
15015066
2 '6 150 2 '1 3572 '6 2 '1 357
Solución: Se vendieron 66 bocadillos de queso y 84 bocadillos de jamón.
xy
x yx yy
y yx y
��
� � &� � & �� � �' '� � � �� � �( (
49.
kilos de café de 7€ el kilo.
kilos de café de 11€ el kilo.
252520
7 25 11 2357 11 235
Solución: Se necesitan 5 kilos de café de 7€ el kilo, y 20 kilos de café de 11 € el kil
xy
x yx yy
y yx y
��
� � &� � & �� � �' '� � � �� � �( (
o.
50.Mi edad actual.
( 10) 2 ( 4)
10 2 8 18
Solución: Tengo 18 años.
xx x
x x x
�� � � �� � � � �
51.
Ana 3x
Lucía x
Ernesto 3x/2
33 77
2
11 154 14
Solución: Ana tiene 42 años, Lucía 14 años y Ernesto 21 años.
xx x
x x
� � �
� � �
52.ancho.
2 ( 3 ) 65 8'125
Solución: El largo mide 24'375 m.
xx x x
�� � � � �
167
![Page 35: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/35.jpg)
43.Número de gladiolos.
3 Número de rosales.
3 20 5
Solución: Se han sembrado 15 rosales.
xx
x x x
��
� � � �
44.
2 2
1
2
Dinero que tengo en el bolsillo.
3 9 403 10 3 10 0
2
5
2 Descartamos esta solución por ser negativa.
Solución: Tengo 5€.
x
x x x x x
xx
�
� �� � � � � � � �
�� � �
45.
2
1
2
Mi edad actual.
( 3) 4 3 4 0 ( 7) 0
0 Descartamos esta solución porque no puedo tener 0 años.
7
Solución: Tengo 7 años.
xx x x x x x x xxx
�
� � � � � � � � � � �� ��
46.
202 3 4 6
1520 80
12
Solución: El abuelo tiene 80 años.
x x x x x
x x x
� � � � �
� � � �
47.
Número de conejos Número de gallinas. 2
4 2 1102
5 110 22
Solución: Hay 22 conejos y 11 gallinas.
xx
xx
x x
� � �
� � �
� � �
48.
168
![Page 36: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/36.jpg)
precio de la hora extra en día festivo.
5 precio de la hora extra en día laboral.
12 5 9 381 21
Solución: El precio de la hora extra en día festivo es de 21€.
xx
x x
�� �
� � � � � �
59.
número de estudiantes incial.
120 200 2 120 200 400 5
120 5 600
Solución: El alquiler cuesta 600€.
xx x x x x
�
� � � � � � � � �
� �
60.precio del cuaderno.
precio del lápiz.
5 '4 6
4 6 5'4 416 '2 18 32 20 '4 0 '35
5'4 63 8 5'13 8 5'1
4
Solución: Un cuaderno cuesta 0'825€ y un lápiz 0'35€
xy
yxx y
y y yyx y y
��
� &� �� � & �� � � � � � �' '�� � � �( �� � �� � �� � (
61.
número de monedas auténticas.
200 número de monedas falsas.
15 12 200 2610 70
Solución: Hay 130 monedas falsas.
xx
x x x
�� �
� � � � � �
169
![Page 37: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/37.jpg)
PÁGINA 93
170
![Page 38: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/38.jpg)
SOLUCIONES_________________________________________________________________
62.
altura.
2 1 base.
2 2 1 2 44 7 15
Solución: La altura mide 7 cm y la base 15 cm.
hb h
h h h b
�� � �
� � � � � � � �
63.
número de amigos incial.
25 23 2 25 23 46 23
23 25 575
Solución: El alquiler cuesta 575€.
xx x x x x�
� � � � � � � �
� �
64.
2
1
2
base.
4 altura.
4 16 384 4 204 96 4 96 0
2 2
8 12
12 Descartamos esta opción por ser negativa.
Solución: La altura mide 12 cm.
bh bA b h
b b b b b
b hb
�� � �� �
� � � � �� � � � � � � � � �
� � �� � �
65.2
2 1 1003
9 2 300 3
27
Solución: Roberto ha puesto 54€; Juan, 27€; y Elena 19€.
xx x
x xx
� � � �
� � ��
Roberto 2x 54€
Juan x 27€
Elena 21
3
x�
19€
171
![Page 39: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/39.jpg)
66.7
Si en 30 pasos recorre 7 metros, en cada paso avanza m.30
5Si en 8 zancadas recorre 5 metros, en cada una avanza m.
8
Sabiendo esto podemos plantear el siguiente sistema, donde son los pasos y las zp z ancadas.
7 534=
Resolviendo el sistema obtenemos que 60 y 32.30 8
92
Solución: Da 60 pasos y 32 zancadas.
p zp z
z p
&� � � �'�� � (
67.
�
Ambos tardarán el mismo tiempo en encontrarse, luego
207 '5 metros 2 '5 segundos
3 5
Solución: El portero tarda 2'5 segundos en alcanzar a Javier después de que este haya
Javier Portero
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recorrido 7'5 metros.
68.
número de cafés vendidos.
75 número de vasos de leche vendidos.
0 '75 0 '85 75 60 '25 0 '1 3'5 35
Solución: Se han vendido 35 cafés y 40 vasos de leche.
xxx x x x
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69.
Gonzalo: 2 '5 2 '5 4 ( 12) 32
Mónica: 4 ( 12)
32 12 20
Solución: Mónica tardará 20 segundos en alcanzar a Gonzalo.
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172
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1.2 1 5 (1 2 ) 1
a) 2 b) (2 1) 1 08 4 3 4
8 16 2 1 10 20 8 4 3 12 0
26 25 11
x x xx x
x x x x xx
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25 16
26 11
x
x x
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2.2 2
2 2
1 2 1
a)3 5 2 2 ( 1) b)5 ( 3) 0
3 7 0 (3 7) 0 4 3 0 (4 3) 0
7 0 0
3
x x x x x xx x x x x x x x
x x x x
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3
4� �
3. 2
2
a) 2 1 3 1 3 0
4 16 16 4 4 0 2
2
2, solución doble.
x x x
x x x
x
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2
1 2
2
2
b) 2 5 2 3 10 0
2 0 2 0
0, 2
c) 2 1 2 1 3 6
3 10 0
10
3
30
3
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x
x
x
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4.
173
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4 2 4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
a) 2 2 40 0 20 0
20 0
1 1 80 1 81 1 9
2 2 2
5 5, 5
4 4
x x x xx zz z
z
z x x
z x x
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2 2
4 2
2
2
1 1 2
2 3 4
b) 3 1 2 2 3 3 0
3 3 20 0
3 3 20 0
3 9 240 3 249
6 6
3 249 3 249 3 249,
6 6 6
3 249 3 249
6 6
x x x x
x xx zz z
z
z x x
z x x
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5.3 2 21 2 4
a) b)2 5 5 6 7 15
3 21 2 1 2 4
2 5
3 21 2 1
2 5
x y x yx y x y
x xy y y x
x x
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�� � � 6 7 2 4 15
11 115 20 13
115 57 13 27 , ,
11 11 20 10
x x
x x
x y x y
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6.
174
![Page 42: Unidad 5 – Ecuaciones e inecuacionessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad05Soluciones.pdf · Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones PÁGINA 78 SOLUCIONES_____](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042202/5ea2df9cceab932f6243437f/html5/thumbnails/42.jpg)
4 3 0 8 6 02 4 2 4
a) b)3 96 7 15 6 7 152 6
3 2 2
9 9 6 7 2 4 15 20 13
2
1
x y x y x y y xx x y x yy x y
x x x x
x
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�2 13 14
, , 2 3 20 10
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7.2 1 3 1
2 5 2 4
9 15
5 5,
3 3
x xx
x
x x
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8.5
2( 1) 3 2( 5) 4
1 5 1 192 1
4 8 5
1 2 5 2
19 ,
5
x x x
x x x x
x x
x
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� �� � � � � ���
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9.vasos de 0'2 litros.
vasos de 0'4 litros.
50 0 '2
0 '2 0 '4 50 0 '474
50 0 '21'35 1'8 258'31'35 1'8 258'3
0 '4
Solución: Se han vendido 74 vasos de 0'2 litros.
xy
xyx y
xxx y x
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10.
175
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2
1
2
ancho.
3 largo.
3 9 280 3 173 70 3 70 0
2 2
7 largo 10
10 Descartamos esta opción por ser negativa.
Solución: El ancho mide 7 cm y el largo 10 cm.
xx
A b h
x x x b x
xx
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176
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PÁGINA 94
SOLUCIONES_________________________________________________________________
No sabemos si el número de cerillas es par o impar, así que no podemos averiguar cuál de los dos jugadores
tiene ventaja, eso sí, para ganar hay que dejar 4 cerillas en la antepenúltima tirada.
177