unidad 6 - cónicas - problemas resueltos

8/11/2019 Unidad 6 - Cnicas - Problemas resueltos

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1 BACHILLER - Matemticas - Unidad 6 - Cnicas

Pg.139 1 a! ( ) y x P = PB PA ( ) ( ) ( ) ( ) +=+ 2222 5133 y x y x ( ) ( ) ( ) ( ) +++=++ 2222 5133 y x y x ++=+ y x y x 102266618

= 08164 y x 024 = y x

"! ( ) y x P +=

++

2222 1112

2 y x y x ( ) ( ) =+ 522 y x y x

( ) + ( ) ( ) 025522 =++ y x ( ) ( ) ( ) 025522 =+ x

c! ( ) y x P ++=

++

2222 11

9

11

5 y x y x ( ) +=+ 95 y x y x

( ) + #$ %a& s$'(cin ( ) 07 =+ y x

d! ( ) y x P ( ) r P d ++=

22 21

22

y x += y x 252

( ) + 0522 =+ y x ( ) 0522 =++ y xe! ( ) y x P ( ) ( ) ( ) ( ) +=+ 2222 02200 y x y x 0161633 22 =++ x y x

Pg1)1. 1 a!( ) y x P

= r PC

( ) ( ) =++ 413 22 y x

062622 =++ y x y x

"! ( )11220

2

42 =

+ C Centro ( ) ( ) 100224

21 22 =++= r Radio

( ) y x P = 22 r PC ( ) ( ) =++ 1011 22 y x 082222 =++ y x y x

Pg.1)1 2 a! ( ) ( )

=++

222

3

121 y x Cent*$ + ( )21 C Radi$ + 31=r

"! ( ) ( ) =+ 222 303 y x Cent*$ + ( )03 C Radi$ + 3=r c! =+ 222 3 y x Cent*$ + ( )00 C Radi$ + 3=r

Pg.1), 3 Ci*c(n e*encia ( ) ( ) =+ 222 505 y x Cent*$ + =C ( )05 Radi$ + =r 5a! ( ) ( ) =+= 22 4025 PC 5 r ( )42 P es de 'a ci*c(n e*encia"! ( ) ( ) =+= 22 2025 PC 13 r < ( )22 P es interior a 'a ci*c(n e*enciac! ( ) ( ) =+= 22 0525 PC 34 r > ( )52 P es exterior a 'a ci*c(n e*encia

Pg.1), 4 a! Ci*c(n e*encia ( ) ( ) =+ 222 530 y x Cent*$ + ( )30 C Radi$ + 5=r ( ) rectaC d ==+

+5

25

34

34330422

5 r La *ecta estangente"! .circunf 016622 =+ y y x recta 03434 =+ y x

4334 y

x =

=+

0166

34

334 22

y y y

=+ 036122 y y

( ) 06 2 = y

6= y (Raz doble) 4= x E' (nt$ de tangencia es ( )64 La distancia de este (nt$ a' cent*$ de 'a ci*c(n e*encia es/ en e ect$0 ( ) ( ) ==+=+=+ 25916343604 2222 5 r

Pg.1), 5 a! .circunf ( ) ( ) ( )222 2543 =++ y x Cent*$0 C +( )43 Radi$0 R + 25 ( ) rectaC d

( ) =+

+22 11

6413126 25> Recta exterior

"! .circunf 222 2=+ y x Cent*$0 C +( )00 Radi$0 R +2

1 12


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( ) rectaC d ==++

2

0

11

0010122

0 2< Recta secante dimet*$!

c! .circunf 222 5=+ y x Cent*$0 C +( )00 Radi$0 R +5

( ) rectaC d ==++

25

25

43

25040322

5 5 Recta tangente

Pg.1), 6 1.circunf 222 2=+ y x

Cent*$0 C1

+( )00

Radi$0 R1

+2

2.cirunf ( ) ( ) 222 350 =+ y x Cent*$0 C, + ( )50 Radi$0 R, +3( ) 21 C C d ( ) ( ) =+ 22 0500 5 32 + Ci*c(n e*enciastangentes

Pg.1), 7 a! 1.circunf ( ) ( ) ( )222 2543 =++ y x Cent*$0 C1 +( )43 Radi$0 R1 + 25 2.circunf ( ) ( ) 222 100 =+ y x Cent*$0 C, +( )00 Radi$0 R, +1 ( ) 21 C C d ( ) ( ) =+ 22 0403 5 125 < 4$n interiores"! 1.circunf 222 2=+ y x Cent*$0 C1 +( )00 Radi$0 R1 + 2 2.circunf ( ) ( ) 222 331 =++ y x Cent*$0 C, + ( )31 Radi$0 R, + 3 ( ) 21 C C d ( ) ( ) =+ 22 0301 10 231023 +


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4/17


5/17


As>nt$tas0 x y3

4=

E=cent*icidad04

5=e

Pg.1 , 19 a! Cent*$0 ( )12 C Radi$0 ( ) ( ) 53125 22 =++=CP ( ) ( ) 222 512 =+ y x0202422 =+ y x y x

"! Cent*$0

+

242

231C ( )32 Radi$0 ( ) ( )

++ 22 241321

2

( ) ( ) ( )222 232 =++ y x 0116422 =+++ y x y x c! Cent*$0( )32 Radi$0 ( ) ( ) =++= 22 3125CP 5 ( ) ( ) 222 532 =++ y x

0126422 =++ y x y x d! Cent*$0( )25 Radi$0 2=C y ( ) ( ) 222 225 =++ y x

02541022 =+++ y x y x

e! ( ) ( )422231 = AB ( )02222

2

13:

+ MedioAB P

Mediat*i: AB0 = 40

22 y x ( ) s 042 = y x ( ) 063 = y xr

( ) ( ) sr = 02 x 2= x 0= y Cent*$0 ( )02=C Radi$0 ( ) ( ) ( ) =+= 22 2032C Ad 5( ) ( )222 52 =+ y x 01422 =+ x y x

! Cent*$0 ( )0= aC Radi$0 ( ) ( ) ( ) += 22 0435 a AC d 0=a 6=a= 0a 222 5=+ y x = 6a ( ) 222 56 =+ y x 0111222 =++ x y x

g! Cent*$0 ( ) = 0 y xC d 2

3

11

6322

=+

( ) ( )

222

2

363

=+ y x

02

8112622 =++ y x y x 081241222 22 =++ y x y x

%! 022 =++++ C By Ax y x ( ) 37 =+++ 037949 C B A 5837 =+ C B A 4= A( ) 15 =++++ 05125 C B A 265 =++ C B A 6= B( ) 82 =+++ 082644 C B A 06882 =+ C B A 12=C 0126422 =++ y x y x

Pg.1 , 20 Cent*$0( )ba Radi$0 R ( ) ( ) 222 Rb ya x =+

( ) 00 [ ] 1 ( ) ( ) 222 00 Rba =+ [ ] [ ] 21 1=b ( ) 20 [ ] 2 ( ) ( ) 222 20 Rba =+ [ ] [ ] 13 3=a ( ) 42 [ ] 3 ( ) ( ) 222 42 Rba =+ [ ] 1 10= R

Cent*$0 ( )13C Radi$0 10= R

Pg.1 , 21 a! S / es ci*c(n e*encia ( ) ( ) 222 232 =++ y x Cent*$0 ( )32 C Radi$0 2=r

"! No es ci*c(n e*encia ( ) ( ) ( )222 111 =++ y x Cent*$0 ( )11 C Radi$0 =r n$ es *ea'

12


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c! S / es ci*c(n e*encia 2

22

2

3

2

3

=+

y x

Cent*$0

0

23C Radi$0 2

3=r

d! S / es ci*c(n e*encia ( ) ( ) ( )222 211 =+++ y xCent*$0 ( )11 C Radi$0 2=r

Pg.1 , 22 a! ( ) 55. A Pot + 20525455 22 0 A pertenece a ci*c(n e*encia "! ( ) 33. B Pot + 20323433 22 20 B es interior c! ( ) 34.C Pot ( ) + 20324434 22 15+ C es exterior

Pg.1 , 23 nciaCircunfere ( ) ( ) 222 543 =+++ y x Cent*$0 ( )43 C Radi$0 5=r

( ) 25. P Pot +++ 285625 22 75+ P es e=te*i$*

PC c$*ta a ci*c(n e*encia a distanciasd & r d 2+ ( ) 7552

=+d d

075102 =+ d d 1057555 2 =+=d 51 =d ( ) NoVlidad 152 = istancia M>nima + =1d 5 istancia M=ima + =+ r d 21 15

Pg.1 , 24 a! .Circunf ( ) ( ) 222 232 =++ y x Cent*$0 ( )32 C Radi$0 2= R

( ) rectaC d ( )

=+

++22 12

13122

5

2 R< Recta secante

"! ,Circunf ( ) ( ) 222

111 =++ y x Cent*$0 ( )11 C Radi$0 1= R ( ) rectaC d =+

22 01

2111 R Recta tangente

c! .Circunf ( ) ( ) 222 505 =+ y x Cent*$0 ( )05 C Radi$0 5= R

( ) rectaC d =++22 11

300151

2

25 R> Recta exterior

Pg.1 , 25 .Circunf ( ) ( )2222 a y x =+ Cent*$0 ( )02 C Radi$0 ar =

Recta 0= y x ( ) rectaC d ==+

2

2

11

02

22 2

< r d < a2 2>a La *ecta essecante = r d = a2 2=a La *ecta estangente > r d > a2 2 Las ci*c(n e*encias s$nexteriores

6 12


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"! BCircunf . 2

22

25

=+ y x Cent*$0 ( )00 BC Radi$0 2

5= Br

( ) BG B C C d =+ 22 00 0 2

51 +=+ BG r r 1

2

5 = G B r r

G B BG B r r d r r +


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Pg.1 , 32 Cent*$0 ( )22 C Radi$0 5=r #an"entes 034 =++ $ y x

( ) ( )

+++=

22 34

23245

$ t" C d =+ 252 $ 23=$ 27=$

?angentes 02334 =++ y x 02734 =+ y x

Pg.1 , 33 0433

622

=+++ y x y x Cent*$0

21

3C Radi$0 1=r

( )22

2

2

1

2

13

=

++ y x 09622 =+++ y x y x

Pg.1 , 34 r Radio Cent*$0 ( )r r C ( ) ( ) 222 r r yr x =+ 022 222 =++ r ryrx y x 018492 222 =++ r r r ( ) ( ) ++ con =++ 085222 r r = 611r #$ @a'en ( ) ( ) + con =+ 085142 r r = 8577 2r Imagina*i$s ( ) ( ) + con =++ 085142 r r = 8577 2r Imagina*i$s ( ) ( ) con =+ 085222 r r = 611r 17=r 5=r

=17r ( ) ( ) 222 171717 =+ y x 0289343422 =++ y x y x= 5r ( ) ( ) 222 555 =+ y x 025101022 =++ y x y x

Pg.1 , 35 ( ) rectaC d r ==++

5

15

43

4441322

3 ( ) ( ) 222 341 =+ y x 088222 =++ y x y x

Pg.1 3 36 a! px y 22 = == 26 F x x p4 +=+=2

262

F x xV ( )04 V

( ) ( )4420 2 = x y 3282 += x y "! py x 22 = == 41 F y y p3 +=+=

241

2 F y yV

2

50V

( )

=

25

320 2 y x 1562 = y x

c! px y 22 = 2 p ( )00 V ( ) ( )0220 2 = x y x y 42 = d! px y 22 = 4= p ( )00 V ( ) ( )0420 2 = x y x y 82 =

e! py x 22 = 6= p ( )00 V ( ) ( )0620 2 = y x y x 122 = ! py x 22 = 8= p ( )00 V ( ) ( )0820 2 = y x y x 162 = g! px y 22 = ( ) 8262 == p ( )12 V ( ) ( )2821 2 = x y

3215122 +=+ x y y 0312152 =+ y x y %! py x 22 = ( ) 6212 =+= p ( )12 V ( ) ( )1622 2 =+ y x

2412442 =++ y x x 0281242 =++ y x x i! py x 22 = ( ) 8622 =+= p ( )22 V ( ) ( )2822 2 +=+ y x

3216442 =++ y x x 0361642 =+++ y x x 5! px y 22 = ( ) 14702 =+= p ( )10 V ( ) ( )01421 2 = x y

x y y 28122 =+ 012282 =++ y x y

Pg.1 3 37 a! 5210 == p =V ( )00 = F

0

25

25= x

12


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10/17


70 ( )05 ( )05 ( )40 ( )40 ;0 ( )03 ( )03

E0 53

c! =a 10 =b 6 == 610c 2 C0( )23

70 2103 ( 2103 + 623 ( 623 +;0 ( ) = 223 ( )21 ( ) =+ 223 ( )25

E010

2

d! ( ) 121

1 22 =+ y x =a 2 =b 1 == 12c 1C0( )01

70 21 21 ( ) = 011 ( )00 ( ) =+ 011 ( )02 ;0 ( )11 ( )11

E0 21

Pg.1 3 -43 a! == 22 35b 4 145 2

2

2

2

=+ y x 11625

22

=+ y x

"! += 372a 5=a == 22 45b 3 135

2

2

2

2

=+ y x 1925

22

=+ y x

c! 4=a 3=c 734 22 ==b ( ) 1

74 2

2

2

2

=+ y x 1716

22

=+ y x

d! 6=a 3=b 136 2

2

2

2

=+ y x 1936

22

=+ y x

e! 2=c = 4,0ac

5=a 2125 22 ==b 12125

22

=+ y x

! 122

2

2

=+b y

a x ( ) 21 1

4122 =+ ba ( )

02 14

2 =a 2=a 34=b

( ) 1

342 2

2

2

2

=+ y x

1163

4

22

=+ y x

1634 22

=+ y x

g! 122

2

2

=+b y

a x ( ) 12 1

0522 =+ ba a

c=5

3 5=a 3=c 4=b

145 2

2

2

2

=+ y x 11625

22

=+ y x

%! 2=c 3=a 523 22 ==b ( ) 1

53 2

2

2

2

=+ y x 159

22

=+ y x

i! ( )12: C 13=a 5=b ( ) ( ) 15

113

22

2

2

2

=++ y x

Pg.1 3 44 ( ) 12442 22 =++ y x ( ) 1416

2 22 =++ y x

1 12


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( )1

24

22

2

2

2

=++ y x C0( )02

=a 4 =b 2 === 12416c 32 ;0 ( 0322 ( 322 + 70 ( ) = 042 ( )06 ( ) =+ 042 ( )02 ( ) =+ 202 ( )22 ( ) = 202 ( )22

E0 =432 23 C 0( )00 1416 22 =+ y x

Pg.1 3 45 a! 3=a 5=c == 1635 222b 4=b 1169

22

= y x

"! =102c 5=c = 2102a 4=a == 22 45b 3 1916

22

= y x

c! ( ) 02 A 2=a ( ) 04 F 4=c == 22 24b 12 112422

= y x

d! ( ) 06 A 6=a ( ) 30 B 3=b 193622

= y x

e! ( ) 06 F 6=c =4

56

a 524=a ==

16

256 22b

518

118

25

24

252

2

2

2

= y x

! = 103 22

2

2

ba3=a = 13

35

2

2

2

2

b 49=b ( )

1493 22

2

2

= y x

g! = 102 22

2

2

ba2=a =

2

3

2

c3=c == 222 23b 5 1

54

22

= y x

%! 902 90=c 1415 22

2

2

=ba

2290 ba += 21693312 =a

( ) + = 2502a 105=a c> #$ es @'id$ ( ) =812a 9=a == 2990b 3 1

39 2

2

2

2

= y x

i! == 22 810b 6 ( ) ( ) 16

38

22

2

2

2

=+ y x

Pg.1 3 46 ( ) =+== 633`2 F F c = 3c 229 ba += ( ) 1358 22

2

2

=ba

0576148 24 =+ aa 70742 =a =1442a 12=a c> #$ es @'id$ = 4

2

a 2=a == 222

23b 5

Pg.1 3 47 As>nt$tas0 = 1ab y = ab = 210 ac 22 50 ba == 1

5050

22

= y x

Pg.1 3 48 a! == 144a 12 == 25b 5 C0( )00 70 ( )012 ( )012

=+= 25144c 13 ;0 ( )013 ( )013

A0 x y12

5= x y12

5= E0 1213=e

"! 1366422

= y x

== 64a 8

== 36b 6

C0( )00 70 ( )08 ( )08 =+= 3664c 10 ;0 ( )010 ( )010

11 12


12/17


13/17


Pg.1 ) 50 a! La medicin g* ica/ a $5$/ siem *e de5a m(c%$ :do"le ! 59= y DC$*te "isect*i:e'i se! tangente

Pg.1 ) 52 a! ( )03 F ( )0253 = x ( ) =

+

+5

36.0

03

253

3

22

22

x y x

( ) ( ) 222 253325 =+ x y x 4002516 22 =+ y x 145 2

2

2

2

=+ y x $lipse

5=a 4=b 345 22 ==c C$nstante de inida0 5

3$xcentricidad

"! ( )05 F ( )0165 = x ( ) ( )

4

525,1

05

16505

22

22

=

+

+ x

y x

( ) ( ) 222 165516 =+ x y x 144169 22 = y x 134 2

2

2

2

= y x %ip!r"ola

4=a 3=b 534 22 =+=c C$nstante de inida0 4

5$xcentricidad

Pg.1 ) 53 a! F*igen c$$*denadas G P(nt$& "a'n inicia'mente en s(e'$! istancia a' P(nt$ ' "a'n n(e@amente en s(e'$! G 1,/ m E5e0 25,6= x C$ta 78*tice Pa*"$'a G( )75,2

13 12


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Ec(acin0( ) ( )75,225,6 2 = y p x ( ) 00 1,7= p ( ) ( )75,22,1425,6 2 = x x

"! ;0 =

2

1,775,225,6 ( )8,025,6 70 ( )75,225,6

0 +=21,7

75,2 y += 55,375,2 y 3,6= y

c! = 5 x ( ) ( ) = 75,22,1425,65 2

y 640035211,2 y 64,2

y

Pg.1 ) 54 ( ) & 1,152=+ ca ( ) && 1,147= ca ( ) ( ) + && & = 2,2992 a 6,149=a ( ) ( ) && & 5,2=c

E=cent*icidad0 = a'e = 6,149

5,2e 016756,0e 1676,0e (uy poca

La e'i se es m(& $c$ ac%atada/ escasi una circunferencia

Pg.1 ) 55 M=ima distancia L(na ?ie**a0( ) & =+ 635763ca 400491=+ ca

E=cent*icidad *"ita L(na0e 0678,0=ac

+== 0678,1400491

0678,110678,0acac =

0678,10678,0400491c 25429c

=0678,1

1400491a 375061a

M>nima distancia L(na ?ie**a0( ) && 2549375061ca 349632 ca

Pg.1 56 P*$ iedad de a*"$'a0 Radi$s @ect$*es ig(a' inc'inad$s/ *es ect$ a tangente e $t*$ m$d$/ 'a tangente en t$d$ (nt$ es "isect*i: de *adi$s @ect$*es Un$ de '$s *adi$s @ect$*es es a*a'e'$ a' e5e de simet*>a de 'a a*"$'a Un *a&$ incidente/ en es e5$ a*a"'ic$/ da (n$ sa'iente ig(a'mente inc'inad$ ?$d$s '$s *a&$s *e 'e5ad$s s$nparalelos a' e5e de simet*>a La $*ma a*a"'ica es 'a c$**ecta/ a' da* m=ima c$ncent*acin '(m>nica

Pg.1 57 $ a = 252 $ b =162 = 222 bac == 916252c 3=c Este a*met*$/ inde endiente dek / es @'id$ a*a t$das 'as e'i ses Pa*a


15/17


16/17


Ec(acin02

2521

27

22

=

+

y x

Insc*ita0( ) AB

=

13

1

03

0 y x 0334 =+ y x

( ) AC =

14

1

04

0 y x 0443 =+ y x

Bisect*i: A0 + +=+ + 2222 43443

34

334 y x y x 77 =+ y x

( ) BC ++=

34

3

34

3 y x 0307 = y x

Bisect*i:C 0 +=

++

2222 17

307

43

443 y x y x264241237 =++ y x

Incent*$0

2

1

2

127 & Radi$0

2

125

=r

Ec(acinJ222

2

125

2

1

2

127

=

+

y x

Pg.1 63 ( ) ( ) sr ( )75 A ( ) ( ) t s ( )210 C ( ) ( ) r t ( )42 B ( ) ( ) 187452 222 =+= AB ( ) ( ) 6842210 222 =+= BC ( ) ( ) 5027105 222 =+=CA 222 ABCA BC + E' t*ing('$ es *ectng('$ en A/ c$n %i $ten(saBC Ci*c(nsc*ita0 Cent*$ + P(nt$ medi$ %i $ten(sa Radi$ + Mitad %i $ten(sa

Ci*c(ncent*$0 ( )36 # Radi$0 17= REc(acin0 ( ) ( ) 1736 22 =+ y x

Insc*ita0( ) AB =

74

7

52

5 y x 02 =+ y x

( ) AC =

72

7

510

5 y x 012 =+ y x

Bisect*i: A0 ++=

++

2222 11

12

11

2 y x y x 05 = x

( ) BC =

424

2102 y x

0184 =+ y x

Bisect*i:B0

+

+=

+

+2222

41

184

11

2 y x y x ( ) ( ) ( ) 017218174117 =+++ y x

Incent*$0

+

15

34535 & Radi$0

15

17226 =r

Ec(acin0 ( )22

2

15

17226

15

34535

=

++ y x

Pg.1 64 ( ) 0422 = x y P ( ) 082 22 =+ y x E ( ) ( ) P E =+ 0422 2 x x =+ 022 x x 1= x 2= x =1 x 6= y = 2 x 0= y Ra>: d$"'e! Inte*secci$nes0 ( )61 A / ( )61 B / ( )02 C C(e*das0 ( ) ( ) =+= 22 6611 AB 62

( ) ( ) =++= 22 6012 BC 15( ) ( ) =++= 22 0621CA 15

16 12


17/17


Pg.1 65 ?angentes $ x y += Inte*seccin G Ra>: d$"'e E'i se =+ 0164 22 y x ( ) =++ 0164 22 $ x x

( ) =+ 04485 22 $ $x x ( ) ( )5

42044 22 $ $ x +=

( ) ( ) =+ 04204 22 $ $ 52=$

Ec(aci$nes tangentes0 52+= x y

52= x y

Pg.1 66 ?angentes $ x y += Inte*seccin G Ra>: d$"'e Hi 8*"$'a = 044 22 y x ( ) =+ 044 22 $ x x

( ) =++ 01483 22 $ $x x ( ) ( )3

11244 22 += $ $ $ x

( ) =+ 011216 22 $ $ 3=$ 3

4= x 3

1= y

Ec(aci$nes tangentes0 3+= x y 3= x y

P(nt$s de c$ntact$0

3

1

3

4

3

1

3

4

Pg.1 67 H. Inicia' 222 a y x = ;$c$s0 ( )02' a f ( )02 a f

H. Ki*ada ;$c$s

22

222

2 aa ( )aa F ' ( )aa F

( ) ( ) ( ) ( ) aa ya xa ya x 22222 =++++ ( ) ( ) ( ) ( ) 222222 a ya xa ya x y x ++++=+ 22a xy =

Pg.1 68 ?angente ( ) = 12 xm y ( ) 21 += xm y = 2 xy ( )[ ] =+ 221 xm x ( ) 0222 = xmmx = 0 ( ) =+ 082 2 mm =++ 0442 mm ( ) =+ 02 2m 2=m

Ec(acin tangente0 ( ) = 122 x y =+ 42 y x 142

=+ y x

P(nt$s c$*te e5es0 ( )02 ( )40 == 422

1 )rea 4

En gene*a'/ c$n tangente += nmx y ( ) =+ 2nmx x =+ 022 nxmx

= 082 mn mn 82 = += nmx y =+ 1n y

mn x

0m

n ( )n0

==== 82

1

2

1

2

1 2

m

nnm

n )rea 4 ,ndependiente de tangente

Pg.1 69 a! ( )a A 0 ( )0b B 222 5=+ba

P(nt$ gene*ad$*/ medi$ AB02

b x =

2a y = ( ) 222 25=+ y x

E' '(ga* es (na circunferencia de cent*$ ( )00 & *adi$ 25

"! P(nt$ gene*ad$*05

2 b x =

5

3 a y = =+ 25

32 2

2

2

2 y x 1405100

22

=+ y x

E' '(ga* ge$m8t*ic$ es (naelipse/ Cent*$( )00 / E5es '$s de c$$*denadas/ 4emie5e ma&$*( )59 s$"*e F / 4emie5e men$*( )10 s$"*e F /

78*tices 590

( )010 / ;$c$s 3050

unidad 6 - cónicas - problemas resueltos

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