unidad 7: rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo 7-2 cálculo de momentos de inercia....
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UNIDAD 7: Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo
7-2 Cálculo de momentos de inercia. Teorema de los ejes paralelos, aplicaciones.
7-3 Momento de torsión.
7-1 Energía cinética de rotación.
7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo.
7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido.
7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación.
7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas.
7-8 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido que gira. 7-9 Conservación de la cantidad de movimiento angular.
7-1 Energía cinética de rotación
O
rmi
iv 221 . iiit vmKK
ii rv .y
x
2
21
iii vmK
2221 . iit rmK
2221 iit rmK
Ya vimos que:
O
rmi
iv
y
x
A la cantidad:
MOMENTO DE INERCIA I
Por lo tanto, podemos escribir
221 IKR
2ii rm
2mKgI
7-1 Energía cinética de rotación
Ejemplo¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm?
y
x1Kg
2Kg
3Kg2m
3m
1m
7-2 Cálculo de momentos de inercia. Teorema de los ejes paralelos, aplicaciones.
1r 2r
nr
1m 2m
nmy
x
z
dmrI .2Cuando: n
m 0
0
2
mii rmI
dVrI .. 2
Sabiendo que:
zdr
r
RL
dmrI .2
dVdm . drrL ...2..
drrLrI ...2...2
drrLI ...2.. 3
R
drrLI0
3...2.. 4
21 ... RLI
Momento de inercia de un cilindro solido
zdr
r
RL
V
M
422
1
..RL
LR
MI
LR
M
.. 2
221 RMI
Momento de inercia de un cilindro solido
Momento de inercia, aplicaciones.
Teorema de Steiner
x
y
𝒚´
𝒚𝒚𝑪𝑴
x
y
2.DMII CM
TEOREMA DE STEINER Ó
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Teorema de Steiner
𝒚´
𝒚𝒚𝑪𝑴
Teorema de Steiner EJEMPLO: MOMENTO DE INERCIA DE BARRA RÍGIDA UNIFORME DE MASA M Y LONGITUD L RESPECTO A EJE QUE PASA POR UNO DE SUS EXTREMOS
2121 LMICM 2.DMII CM
D
22
2..
12
1 LMLMI
22
4..
12
1 LMLM
12
.3. 22 LMLM 12
.4 2LM3
. 2LMI
7-3 Momento de torsión Si empujamos un objeto con libertad de moverse, se moverá Algunos objetos se desplazan sin girar, otros giran sin desplazarse y otros se desplazan y giran al mismo tiempo
¿Qué hace que un objeto gire al aplicar una fuerza?
Cuando abrimos una puerta,
ó apretamos una tuerca,
ó abrimos una canilla
se ejerce una fuerza de giro.
Esa fuerza de giro produce un momento ó torque
Si queremos que un objeto se mueva
Aplicamos una FUERZA
LAS FUERZAS TIENDEN A ACELERAR LOS OBJETOS
Si queremos que un objeto gire
Aplicamos un TORQUE
LOS TORQUES PRODUCEN ROTACIÓN DE OBJETOS
7-3 Momento de torsión
El Torque se produce cuando la fuerza se aplica con “apalancamiento”
“Apalancamiento” ó palanca es el vínculo que hay entre la fuerza aplicada y el punto respecto al que gira el objeto
F
palanca
bisagra
90°
Nunca tiraríamos de la perilla hacia el costado
La experiencia nos indica que si la fuerza la hacemos con un ángulo de 90°, el resultado será mas efectivo
7-3 Momento de torsión
Ahora, ¿Cómo influye la distancia entre el eje de giro y el punto de contacto de la fuerza?. Es decir la distancia del brazo de palanca
Aunque la magnitud de la fuerza sea la misma, el momento es distinto en cada caso.
Momento = brazo de palanca x fuerza
Fd
fuerza
F
momento
d
fuerza
más momento
d
fuerza
aún más momento
d
Ya vimos que si la fuerza la hacemos con un ángulo de 90°, el resultado será mas efectivo
mN
O
F
r
z
y
xP
7-3 Momento de torsión
O
F
r
y
x
P
rFTF
r
Línea de acción de la fuerza
Brazo de palanca
. .( . )r F r F sen
( . ). .r sen F r F
7-3 Momento de torsión
O
z
y
x
r F
P
Fr
.( . )r F sen
7-3 Momento de torsión
Se le asigna el signo positivo (+), cuando el momento de la fuerza hace que el cuerpo gire en sentido contrario a las agujas del reloj
)positivo(MO
F
)negativo(MO
F
Se le asigna signo negativo (-), cuando el momento de la fuerza hace girar al cuerpo en sentido horario.
Signo del momento
O
1F
r
y
x
P
1rF
1TF
1 1 1. .( . )Tr F r F sen
2F
2TF
2rF
22 2. .( . )Tr F r F sen
1 2
1. .r F sen 2. .r F sen
1 2.( . . )r F sen F sen
Momento de fuerzas concurrentes
O
1F
r
y
x
P
R
2F
TR
rR
.R Tr R
R 1. .r F sen 2. .r F sen1 2.( . . )R r F sen F sen
1 2. .TR F sen F sen
1 2.cos .cosrR F F
1R 2
El momento de la resultante de dos o mas fuerzas concurrentes a un punto contenido en un plano de las mismas, es igual a la suma
de los momentos de las fuerzas concurrentes, con respecto al mismo punto”.
Momento de fuerzas concurrentes
1
n
R ni
1F
1r
nF
3F
2F
O
2r
3r
nr
1 2 3 ...T n
1 1 1. .r F sen
2 2 2. .r F sen
3 3 3. .r F sen
. .n n nr F sen
1
n
T ni
Momento de fuerzas no concurrentes
EjemploEncuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para la barra que se muestra abajo:
El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.
El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.
tR = - 80 N mtR = - 80 N mSentido de las manecillas del
reloj
tR = t20 + t30 + t40 = -40 N m -120 N m + 80 N m
300300
6 m 2 m4 m
20 N30 N
40 N
A
O
F
r
m
rF
tFtt amF .
)..( tamrtFr.
)...( rmr
.. 2rm .I
y
x
7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo
Eje z
rdm
tdF
tt admdF .d dmrat ..tdFr.
dmr .. 2
.I
d
dmr .. 2
dmr .. 2
7-4 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido respecto de un eje fijo
Dos bloques, como muestra la figura, están conectados por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea de radio 0,25m y un momento de inercia I. El bloque sobre el plano inclinado sin fricción esta subiendo con una aceleración constante . Determinar las tensiones de las dos partes de la cuerda y el momento de inercia de la polea
a
7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación
𝑟𝑑𝜃
𝜑𝐹
𝑃
𝑂
𝑑𝑠𝑑𝑠=𝑟 .𝑑𝜃
𝑑𝑊=𝐹 .𝑑 𝑠 𝑑𝑊=𝐹 .𝑑𝑠 .𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑑𝑊=𝐹 .𝑠𝑒𝑛𝜑 .𝑟 .𝑑𝛼
𝜏𝑑𝑊=𝜏 .𝑑𝜃
Ecuación del Trabajo de una fuerza en una rotación infinitesimal
𝑃
7-5 Trabajo y Energía Cinética en movimiento de rotación
𝑟𝑑𝜃
𝜑𝐹
𝑃
𝑂
𝑑𝑠
.IYa vimos que:
∑𝜏=𝐼 ∙𝑑𝜔𝑑𝑡¿ 𝐼 ∙
𝑑𝜔𝑑𝜃
∙𝑑𝜃𝑑𝑡
Reordenando:
¿ 𝐼 ∙𝑑𝜔𝑑𝜃
∙𝜔
∑𝜏 .𝑑𝜃=𝐼 ∙𝜔 .𝑑𝜔∑𝑊=
𝜔𝑖
𝜔 𝑓
𝐼 ∙𝜔 .𝑑𝜔
¿𝑑𝑊
¿12𝐼 ∙𝜔2 f
i
Teorema del Trabajo y la Energía Cinética para la rotación
Ya vimos:
Los cuerpos pueden tener movimiento de traslación
7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido
Los cuerpos pueden tener movimiento de rotación
Pero generalmente:
Los cuerpos tienen movimiento de traslación y rotación simultáneamente
Un caso interesante es el movimiento con “rodadura sin deslizamiento”
7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido
Un caso interesante es el movimiento con “rodadura sin deslizamiento”
v
vv
vLa velocidad en cada punto, se obtiene con la suma de los dos movimientos superpuestos
7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido
Si rueda sin deslizar
0´v
0 cmvvEn el punto de contacto
Por lo tanto:
cmvv ´ cmvv 2´
abajo
centro
arriba
7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido
Si la velocidad angular
es Rvcm .Y el radio de la rueda es R
7-6 Energía cinética de rotación y traslación de un objeto rígido
Energía cinética de rotación y traslación
01 v
Rv .2
Rv 2.3
Rvcm .Ya vimos que
cmvRv .2
cmvRv 22.3
Energía cinética de rotación y traslación
01 v
Rv .2
Rv 2.3
De esta manera, la Energía Cinética es:
2..21 IK
Donde I es el momento de inercia de un disco que gira alrededor de un eje que pasa por su borde
Energía cinética de rotación y traslación
01 v
Rv .2
Rv 2.3
Aplicando el Teorema de Steiner (de los ejes paralelos)
2.RMII cm 22 )...(2
1 RMIK cm
Energía cinética de rotación y traslación
Aplicando distributiva
222 ...21..2
1 RMIK cm recordando
Rvcm .22 ..2
1..21
cmcm vMIK
Energía cinética de rotación y traslación
Esto es aplicable solo a casos de rodamiento sin deslizamiento
Recordando la conservación de la Energía Mecánica
22 ..21..2
1cmcm vMIK
ff KUKU 00
Energía cinética de rotación y traslación
ctevMIhgM cmcm 22 ..21..2
1..
cteKUKU ff 00
conservación de la Energía Mecánica para cuerpos que ruedan sin deslizarse.
Ejemplo
7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas
z
y
x r
p
m
pr
L
prL
senprL ..
v
vmp.
Cantidad de movimiento
lineal
Cantidad de movimiento angular
Módulo
Fr
dt
dt
pdr
p
dt
rd
vdt
rd y pv
//
z
y
x r
p
m
prL
v
Recordando
7-7 Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas
z
y
x r
p
m
rpL
v
0pdt
rd
dt
prd )(
dt
pdr
dt
Ld )(
pdt
rd
nLLLLL
...321 iL
A medida que pasa el tiempo
dt
Ld
dt
Ld
dt
Ld
dt
Ld
dt
Ld n
...321 dt
Ld i
dt
Ld
i dt
Ld i
El torque asociado a
fuerzas internas es cero
extdt
Ld
Para un sistema de partículas:
z
y
x
r p
m
v
7-8 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido que gira
senprL ..Recordando
Si el movimiento es circular 90
prL . vmr ..L
z
y
x
ir
ip
im
iv
iiii vmrL ..
senprL ..Recordando
Si el movimiento es circular 90
prL . vmr ..Considerando un cuerpo
rígidoiL
ii rv ... 2iii rmL
z
y
x
ir
ip
im
iv
Sumando tenemos la cantidad de movimiento angular total del
cuerpo
Como =cte
iL
.IL
iLL .. 2ii rm
.. 2 ii rmL
Cantidad de movimiento angular para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de
simetría
7-9 Conservación de la cantidad de movimiento angular
extdt
Ld
Recordando
Si el torque neto es cero
0 ext
0dt
Ld
cteL
Cuando el torque neto externo que actúa en un sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total permanece constante
• La conservación de la cantidad de movimiento angular es una ley de conservación universal, válidas en todas las escalas, desde los sistemas atómicos y nucleares , hasta los movimientos de las galaxias
constanteLLntot
fi LL
Una persona se para en el centro de una mesa giratoria con los brazos extendidos horizontalmente y una pesa de 5Kg en cada mano. Se lo pone a girar sobre un eje vertical a razón de 2rev/s. Calcular la nueva velocidad angular de la persona si se lleva las pesas al pecho.Su momento de inercia (sin las pesas) es de 3Kg.m2 con los brazos estirados y baja a 2,2Kg.m2 si pone las manos en el pecho. Las pesas están a 1m del eje al principio y a 0,20m al final; trátelas como partículas