8. 1

UNIDAD 8

INECUACIONES

Objetivo general.

Al terminar esta Unidad resolverás inecuaciones lineales y cuadráticas e

inecuaciones que incluyan valores absolutos, identificarás sus conjuntos

solución en la recta numérica y los expresarás en términos de intervalos.

Objetivos específicos:

1. Recordarás las definiciones de las relaciones “mayor que”, “menor que”, “mayor

o igual que” y “menor o igual que”.

2. Recordarás a qué se llama “inecuación” y conjunto solución de una inecuación.

3. Recordarás las definiciones de “intervalo cerrado”, “intervalo abierto” e

“intervalo semiabierto” o “semicerrado”.

4. Recordarás las propiedades generales de las desigualdades.

5. Aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones

lineales y cuadráticas.

6. Recordarás a qué se llama “valor absoluto” de una cantidad y aplicarás las

propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones que incluyen

valores absolutos.

Objetivo 1. Recordarás las definiciones de las relaciones “mayor que”, “menor

que”, “mayor o igual que” y “menor o igual que”.

Se dice que el número real x es mayor que el número real y, si la diferencia x – y es una cantidad

positiva. Esto se escribe como: x y

8. 2

Por el contrario, el número real x es menor que el número real y, si la diferencia x – y es una

cantidad negativa. Esto se escribe como: x y

En ambos casos, se han utilizado los símbolos de desigualdad " < " y " > " en los que siempre la

cantidad que es mayor queda del lado en que se abre el símbolo. La dirección en que apunta el signo

se conoce como sentido de la desigualdad.

Otros dos símbolos que se utilizan con frecuencia son " " y " " que significan,

respectivamente, mayor o igual y menor o igual. Esto quiere decir en el primer caso que o la

diferencia x – y es una cantidad positiva o bien que x = y , y en el segundo que o la diferencia x – y

es una cantidad negativa o bien x = y.

Ejemplos:

1.) Como la diferencia 5 – 3 = 2 es una cantidad positiva, podemos escribir:

5 > 3

En sentido contrario, como 3 – 5 = – 2, también se puede escribir:

3 < 5

y las dos desigualdades son equivalentes.

2.) Si a = – 4, y b = – 11, se tiene que:

a b

porque – 4 – (– 11) = – 4 + 11 = 7

es una cantidad positiva.

También se podría escribir la desigualdad equivalente:

b a

3.) La desigualdad 6 16y y es cierta para todos los valores de la variable y, porque

6 16 6 16 10y y y y

es una cantidad negativa para cualquier valor de y.

8. 3

4.) La desigualdad x – 4 > 9 es cierta siempre que x > 13, porque

(x – 4) – 9 = x – 13

es una cantidad positiva siempre que x > 13. En cambio, si x < 13 el sentido de la

desigualdad cambiaría.

5.) La desigualdad 2 3 5x es cierta siempre que 1x , porque

(2x + 3) – 5 = 2x – 2

es una cantidad negativa si x < 1 y, además, 2x + 3 = 5 si x = 1.

Objetivo 2. Recordarás a qué se llama “inecuación” y conjunto solución de una

inecuación.

Como se ilustró en los tres últimos ejemplos del Objetivo 1, en algunas desigualdades pueden

aparecer variables. Una desigualdad en la que aparecen una o más variables recibe el nombre de

inecuación.

Al igual que en el caso de las ecuaciones, el grado de una inecuación es el mayor exponente al que

se encuentra elevada la variable en alguno de los miembros de la inecuación y, también de la misma

manera que en las ecuaciones, las inecuaciones de primer grado se llaman lineales, mientras que las

de segundo grado se llaman cuadráticas.

Cuando una inecuación tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables que aparecen

en ella, se llama desigualdad absoluta o incondicional. Por el contrario, cuando tiene el mismo

sentido solamente para algunos valores de las variables, se llama desigualdad condicional.

Se llama conjunto solución de una inecuación al conjunto de valores de las variables que hacen que

la desigualdad conserve su mismo sentido.

Ejemplos:

1.) La inecuación 6 16y y es una desigualdad absoluta, porque tiene el mismo

sentido para todos los valores de la variable y.

8. 4

2.) La inecuación x – 4 > 9 es una desigualdad condicional, porque solamente conserva el

mismo sentido si x > 13.

3.) La inecuación 3 5 6 2x x es una desigualdad condicional, porque si 11x

conserva el mismo sentido, pero si 11x entonces se tendría que 3 5 6 2x x , y el

sentido de la desigualdad cambia. Además, si x = 11 entonces la desigualdad desaparece

porque 3 5 6 2x x .

Para esta inecuación, el conjunto solución es el de todos los valores de x tales que 11x .

4.) La inecuación 1 3 02

x es una desigualdad condicional, porque conserva el mismo

sentido si 6x , mientras que si 6x se tendría que 1 3 02

x .

Conviene notar que si x = 6, el sentido de la desigualdad es indiferente porque se trata de

una desigualdad del tipo mayor "o" igual que, de modo que para este valor de x también

se cumple la desigualdad en sentido contrario, es decir del tipo menor "o" igual.

El conjunto solución de esta inecuación está formado por todos los valores de x que

cumplan que 6x .

5.) La inecuación 22 3 0x x es una desigualdad absoluta porque

independientemente del valor de x , el cuadrado del primer miembro nunca será negativo.

Objetivo 3. Recordarás las definiciones de “intervalo cerrado”, “intervalo abierto”

e “intervalo semiabierto” o “semicerrado”.

Un intervalo es una porción de la recta numérica. Normalmente, los intervalos se definen para

establecer el conjunto de valores que puede tomar una variable en una situación particular.

8. 5

Si a b , el intervalo comprendido entre a y b es el conjunto de todos los números reales que

existen entre ambos valores.

Si el intervalo incluye a los valores extremos, a y b, se llama intervalo cerrado y se representa como

,a b . Si, por el contrario, no los incluye, entonces se llama intervalo abierto y se escribe ,a b .

Un intervalo semiabierto o semicerrado es aquél que incluye a uno de los extremos, pero no al otro.

Así, el intervalo ,a b incluye al extremo a, pero no al extremo b, mientras que el intervalo ,a b

no incluye a a, pero sí a b.

Los intervalos se pueden representar gráficamente, como segmentos de la recta numérica. Se

acostumbra identificar con un pequeño círculo a los extremos. Si el intervalo es cerrado en un

extremo, el círculo se muestra lleno, si el extremo no está incluido, entonces el círculo se muestra

hueco. En la Figura 3.1 se muestran diferentes tipos de intervalos.

Fig. 3.1.a. Intervalo cerrado ,a b

Fig. 3.1.b. Intervalo abierto ,a b

Fig. 3.1.c. Intervalo semiabierto ,a b

8. 6

Fig. 3.1.d. Intervalo semiabierto ,a b

En notación de conjuntos los intervalos se expresan de la siguiente manera:

, |

, |

, |

, |

a b x a x b

a b x a x b

a b x a x b

a b x a x b

Ejemplos:

1.) El intervalo 1, 4 es semiabierto (o semicerrado), incluye al 1, pero no al 4 y su

representación gráfica es:

Fig. E.3.1

2.) El intervalo 2, 2 es cerrado, incluye a ambos extremos y su representación gráfica es:

Fig. E.3.2

8. 7

3.) El intervalo 0, 4 es abierto, no incluye a ninguno de los dos extremos y su

representación gráfica es:

Fig. E.3.3

4.) El intervalo 1,1 2,3 es un intervalo compuesto, que comprende dos intervalos

abiertos diferentes. Su representación gráfica es:

Fig. E.3.4

Cuando uno de los extremos de un intervalo no está limitado, sino que se extiende a todos los

valores posibles de la recta numérica en esa dirección, entonces se dice que el intervalo es infinito, o

de amplitud infinita y se escribe:

, , ,

, , ,

a b

a b

dependiendo de si es cerrado o abierto en el extremo que sí está delimitado.

En notación de conjuntos los intervalos anteriores se representan así:

, |

, |

, |

, |

a x x a

b x x b

a x x a

b x x b

También se puede tener un intervalo como , , que no es otra cosa que toda la recta numérica

o, lo que es lo mismo, el conjunto de todos los números reales: .

8. 8

Cuando uno de los extremos de un intervalo es ó , su representación gráfica es una flecha en

la dirección indicada, como se muestra en la figura 3.2 para los casos de intervalos abiertos.

Fig. 3.2.a. Intervalo abierto ,a

Fig. 3.2.b. Intervalo abierto ,b

El intervalo abierto , se representa de la siguiente forma:

Fig. 3.3. Intervalo abierto ,

Objetivo 4. Recordarás las propiedades generales de las desigualdades.

Las propiedades básicas de las desigualdades, que se desprenden de las propiedades de los números

reales, son las siguientes:

1.- Si a b , entonces a c b c y a c b c

8. 9

2.- Si a b , y 0c , entonces ac bc y a bc c

3.- Si a b , y 0c , entonces ac bc y a bc c

La primera propiedad dice que se puede sumar o restar el mismo número a ambos miembros de una

desigualdad y la desigualdad se mantiene. La segunda indica que si en una desigualdad se

multiplican o dividen ambos miembros por una cantidad positiva, la desigualdad se mantiene. La

tercera señala que si en una desigualdad se multiplican o dividen ambos miembros por una cantidad

negativa, entonces la desigualdad se invierte.

Las mismas propiedades son ciertas si en cada una se sustituyen los símbolos de mayor o menor por

los de mayor o igual o menor o igual, respectivamente.

Ejemplos:

1.) Como 4 2 , al sumar 3 en ambos miembros es posible escribir que

4 3 2 3

de modo que:

7 5

y, también,

7 2 5 2

en donde el signo de la desigualdad se ha invertido puesto que se multiplicó por el

número negativo 2 , para obtener:

14 10

2.) Si 2 1 6x , entonces al restar 1 en ambos miembros queda

2 1 1 6 1x

y se obtiene:

2 5x

3.) Si 5 2 3y y , si se resta 3 en ambos miembros se tiene que

8. 10

5 3 2 3 3y y

8 2y y

y luego, al restar ahora y:

8 2y y y y

por lo que:

8 y

4.) Si 5 7 27x , entonces sumando 7 en ambos miembros

5 7 7 27 7x

que da como resultado:

5 20x

si ahora se divide entre 5, que es un número positivo, se tiene

5 205 5x

el signo de la desigualdad no se altera y se obtiene que:

4x

5.) Si 1 1 2 24 2 3

zz , se puede multiplicar por 12 y escribir

1 1 212 12 24 2 3

zz

es decir

3 6 8 24z z

ahora, si se suma en ambos miembros 6 y se resta, también en ambos miembros,

8z , se escribe

3 6 6 8 8 24 6 8z z z z

que deja:

5 30z

y, también

5 305 5z

en donde el signo de la desigualdad cambia al dividir entre 5 , para obtener:

6z

8. 11

Objetivo 5. Aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver

inecuaciones lineales y cuadráticas.

Resolver una inecuación significa encontrar todos los valores de la variable que la satisfacen.

a.- Inecuaciones lineales.

Para resolver una inecuación lineal se debe aislar la variable en uno de los dos lados del símbolo de

desigualdad. Para ello se utilizan las propiedades que se presentaron en el objetivo anterior, es decir

sumar o restar una misma cantidad en ambos miembros de la desigualdad, y multiplicar o dividir

ambos miembros por una misma cantidad, distinta de cero, tomando en cuenta si el signo de la

desigualdad se mantiene o se cambia dependiendo de si esa cantidad es positiva o negativa.

En la práctica, la propiedad de que al sumar o restar una misma cantidad en ambos miembros la

desigualdad no se altera significa que cualquier cantidad que esté en un miembro de una inecuación

se puede transponer al otro miembro cambiándole el signo, ya que si:

a c b

hacer

a c c b c

es lo mismo que escribir

a b c

Ejemplos:

1.) Para resolver la inecuación

2 3 2 12x x

se transponen los términos 2x y 2, cada uno al otro miembro, y se obtiene

3 2 12 2x x

o sea

5 10x

8. 12

Ahora, si se dividen ambos miembros entre 5 , tomando en cuenta que la desigualdad

cambia queda

5 105 5x

y, entonces

2x

que es la solución.

En términos de intervalos, la solución es 2, y, gráficamente, se representa como

Fig. E.5a.1

2.) Para resolver la inecuación

6 3 9x x

se transponen los términos x y 3 al otro miembro y se obtiene

6 9 3x x

reduciendo queda

5 12x

y dividiendo entre 5

125

x

o bien 12, 5 , que es la solución.

Su representación es:

Fig. E.5a.2

8. 13

3.) Para resolver la inecuación

575

36

xx

conviene, en primer lugar, eliminar los denominadores lo cual se consigue al multiplicar

ambos miembros por 15:

15 6 15 5 73 5

5 6 3 5 7

30 5 15 21

x x

x x

x x

y luego continuar, como en los ejemplos anteriores, dejando a la variable en un solo

miembro:

30 21 15 5

51 10

5110

x x

x

x

la solución es el intervalo 51 ,10 .

4.) Para resolver la inecuación

3 22 2x

debe tenerse un cuidado especial al intentar aislar la variable. En resumen, lo que se

necesita es multiplicar ambos miembros por la expresión 2 2x , para eliminar el

denominador. El problema es que como aún no se conoce el valor de x no puede saberse si

esta multiplicación mantendrá o cambiará el signo de la desigualdad.

8. 14

Por lo tanto, es necesario considerar las dos posibilidades: que 2 2x sea positivo y que

2 2x sea negativo.

Así, si 2 2 0x , es decir si 1x , se tendrá:

3 2 2

2 2 22 2

xx

x

que deja

3 4 4x

lo cual se cumple si

7 47

4

x

x

de modo que al juntar las condición que se planteó, 1x , con este resultado, se ve que

ambas se cumplen si 71 4x , como se ilustra en la siguiente figura.

Fig. E.5a.4.a

Por otra parte, si 2 2 0x , o sea si 1x , entonces, al hacer el producto, el signo de la

desigualdad cambia y queda:

3 2 2

2 2 22 2

xx

x

o bien

3 4 4x

7 47

4

x

x

y, al tomar este resultado junto con la condición de que 1x , no existen valores de x que

cumplan ambas desigualdades al mismo tiempo,

8. 15

Fig. E.5a.4.b

por lo que esta opción no proporciona solución alguna.

Finalmente, la solución de la desigualdad es:

71 4x

Una manera más sencilla de resolver esta inecuación es observar que para que

3 22 2x

sea cierta, como el 2 que aparece en el segundo miembro es una cantidad positiva, es

indispensable que la cantidad que se obtenga del cociente en el primer miembro también lo

sea. Esto requiere que 2 2 0x y se puede desechar, a priori, la alternativa que se

consideró en la segunda parte del procedimiento anterior.

5.) La inecuación

3 12 3 4x x

es parecida a la que se presenta en el ejemplo anterior, pero en ésta hay que considerar más

casos, puesto que son dos los denominadores que se deben eliminar.

Si se empieza considerando que 2 3 0x , es decir 32x , se puede escribir

1 2 33

4x

x

ya que el sentido de la desigualdad se conserva al multiplicar ambos miembros por el factor

2 3x .

Ahora, para eliminar el otro denominador hay que tomar en cuenta las dos posibilidades.

8. 16

Si 4 0x , o lo que es lo mismo, 4x , se tendrá:

3 4 1 2 3x x

y, procediendo como en cualquier otra desigualdad lineal:

3 12 2 3x x

5 99

5

x

x

Analizando lo que se ha hecho, se tiene que 32x , 4x y 9

5x .

Al representar en una misma gráfica estos tres intervalos se observa lo siguiente:

Fig. E.5a.5.a

por lo que se concluye que en esta opción no hay solución puesto que no existen valores

de x que cumplan simultáneamente las tres condiciones.

La otra posibilidad, todavía considerando 2 3 0x , es decir 32x , sería que

4 0x , o sea 4x . Esta opción no puede tomarse en cuenta, ya que es imposible

satisfacer al mismo tiempo las dos condiciones.

Ahora habrá que considerar la otra alternativa para el primer denominador que se eliminó.

Entonces, si 2 3 0x , lo que quiere decir que 32x , al multiplicar ambos miembros

de la inecuación original por el factor 2 3x queda

1 2 33

4x

x

y, nuevamente, hay que analizar las dos posibilidades del segundo denominador.

Si 4 0x , o bien 4x , se obtiene:

3 4 1 2 3x x

8. 17

y, luego:

3 12 2 3x x

5 99

5

x

x

Así, se tiene que 32x , 4x y 9

5x . La representación gráfica es:

Fig. E.5a.5.b

por lo que se observa que los valores de x que satisfacen simultáneamente las tres

condiciones son los del intervalo 9 3,5 2 .

Finalmente, si 4 0x , es decir 4x , entonces:

3 4 1 2 3x x

3 12 2 3x x

5 99

5

x

x

Ahora debería cumplirse simultáneamente que 32x , 4x y 9

5x lo cual se

satisface siempre que 4x , como se puede observar en la siguiente gráfica.

Fig. E.5a.5.c

En consecuencia, la solución completa de la inecuación es

9 3, 4 ,5 2

8. 18

b.- Inecuaciones cuadráticas.

Para resolver una inecuación cuadrática se deben transponer todos los términos diferentes de cero a

un solo lado de la desigualdad. Hecho esto, se factoriza, si es posible, la expresión cuadrática y se

determinan sus raíces. Es decir, una vez que se tiene una expresión del tipo 2 0ax bx c

o, cualquier otra análoga, como 20 ax bx c

se factoriza para dejar, por ejemplo, en el primer caso:

1 2 0a x r x r

Los valores de las raíces o ceros, 1r y 2r , no son soluciones de la inecuación pero representan los

valores críticos de la solución puesto que constituyen los valores de x que separan los casos en que

los respectivos factores son positivos o son negativos.

Una vez determinados los valores críticos, se establecen los intervalos delimitados por ellos y se

asignan a la variable valores comprendidos en dichos intervalos y que sean mayores o menores que

sus ceros, con lo cual cada factor será positivo o será negativo y se podrá analizar el signo del

producto para decidir si la desigualdad se cumple o no para ese valor. Al final, se reúnen todos los

casos que satisfagan la desigualdad y esto constituye la solución.

Ejemplos:

1.) Para resolver la inecuación 2 2 15 0x x

se factoriza el primer miembro y se obtiene

3 5 0x x

8. 19

Los valores críticos son 3 y 5 y se deben revisar los casos en que

3, 3 5 y 5x x x

En el primer caso, para un valor menor que 3 , por ejemplo, 4 , se tiene que ambos

factores son negativos porque

4 3 1, 1 0 y

4 5 9, 9 0 de modo que, al hacer el producto, resulta positivo y la desigualdad se cumple.

Ahora, tomando un valor de x comprendido entre 3 y 5, por ejemplo 0, los dos factores

tienen signos diferentes puesto que

3 0 y 5 0

o sea que, al efectuar el producto, el resultado es negativo y la desigualdad no se satisface.

Finalmente, para un valor mayor que 5, por ejemplo 6, se observa que ambos factores son

positivos ya que

6 5 0 y 6+3 0

de modo que el producto es positivo y la desigualdad también se cumple si 5x .

Reuniendo los resultados anteriores resulta que la solución de la inecuación es:

3 o 5x x

o, en notación de intervalos:

, 3 5,

La representación gráfica de la solución es:

Fig. E.5b.1

2.) Para resolver la inecuación

8. 20

2 23 2 2 2 3 4x x x x

en primer lugar se transponen todos los términos a uno de los dos miembros 2 23 2 2 2 3 4 0x x x x

que deja: 2 6 0x x

y, al factorizar, se obtiene:

3 2 0x x

Los valores críticos son 3 y 2, y se deben analizar los casos en que 3x , 3 2x

y 2x

Para 3x , por ejemplo 5x , los dos factores son negativos, o sea que el producto es

positivo y la desigualdad no se cumple.

Para 3 2x , por ejemplo 0, los dos factores son de signos diferentes, el producto es

negativo y la desigualdad se satisface.

Para 2x , por ejemplo 8x , los dos factores son positivos, el producto también y la

desigualdad no se cumple.

Entonces, la solución corresponde al caso en que 3 2x o, lo que es lo mismo, al

intervalo 3, 2 , que se representa como

Fig. E.5b.2

3.) Para resolver la inecuación 2 25 8 5 4x x x x

8. 21

Nuevamente, para empezar se transponen todos los términos a uno de los dos miembros 2 25 8 5 4 0x x x x

que se simplifica como 24 12 5 0x x

al factorizar se obtiene

2 5 2 1 0x x

y los valores críticos resultan ser 52 y 1

2 .

Ahora, para el caso en que 52x , por ejemplo 10x , los dos factores son negativos

y el producto es positivo. Para 5 12 2x , se puede tomar un valor de x tal como

1x , en cuyo caso el primer factor es positivo y el segundo negativo, de modo que el

producto resulta negativo. Finalmente, para 12x , si se toma un valor como el de

0x , se ve que ambos factores son positivos y el producto también.

Por tanto, la desigualdad se verifica para 52 x y para 1

2x , es decir para

5 1, ,2 2

4.) Para resolver la inecuación 24 6 3 7 12x x x

Se transponen todos los términos diferentes de cero al miembro derecho para obtener 20 3 7 12 4 6x x x

2

2

0 3 3 18

0 3 6

0 3 3 2

x x

x x

x x

y los valores críticos son 3x y 2x , por lo que habrá que analizar los intervalos

3, 3 2 y 2x x x .

8. 22

Para 3x se toma un valor como puede ser 4 y se observa que ambos factores son

negativos, por lo que al multiplicar también por el coeficiente 3, el producto es positivo y la

desigualdad no se cumple.

Para 3 2x si se toma, por ejemplo, 1x , los dos factores son de signo contrario y al

multiplicar por 3 el producto es negativo, de modo que en este caso la desigualdad sí se

satisface.

Por último, para 2x como podría ser 4x , los dos factores son positivos, el producto

de ambos por el coeficiente 3 también lo es y la desigualdad no se cumple.

Así, resulta que la solución de la inecuación es el intervalo 3, 2 .

5.) La inecuación 2 8 16 0x x

es cierta para todo valor de x porque 22 8 16 4x x x y cualquier cantidad elevada

al cuadrado o es positiva o es cero, así es que para cualquier valor de x , 24 0x .

En ocasiones, no es posible factorizar la expresión cuadrática 2ax bx c que se obtiene al

transponer todos los términos diferentes de cero a un solo miembro de la inecuación, porque su

discriminante 2 4b ac resulta negativo. Para estos casos se puede utilizar la siguiente regla, cuya

demostración puede encontrarse en los textos citados en la bibliografía.

Si la función cuadrática 2 , con 0ax bx c a

tiene su discriminante 2 4b ac negativo, la función es positiva para todo valor de x si 0a y es

negativa si 0a .

Ejemplos:

1.) Para la inecuación

8. 23

2 2 5 0x x

el discriminante de la función cuadrática es 22 4 1 5 4 20 16 , que es negativo.

Como 1a es positivo, entonces la función es positiva para todo valor de x . La solución

de la inecuación es , y resulta que se trata de una desigualdad absoluta.

2.) En la inecuación 22 2 0x x

Para identificar mejor a la función cuadrática, se reordena y queda 2 2 2 0x x

el discriminante es 22 4 1 2 4 , y como 1a , la función es negativa para toda

x, de modo que no existe valor alguno de x que la satisfaga.

Objetivo 6. Recordarás a qué se llama “valor absoluto” de una cantidad y

aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones que incluyen

valores absolutos.

El valor absoluto de cualquier número a, se representa por a , y significa su valor aritmético

ordinario sin considerar el signo. Así, 5 5 , 7 7 y 0 0 . Como es evidente, cualquier

número positivo y su simétrico negativo tienen el mismo valor absoluto.

Una posible interpretación del valor absoluto de un número es su distancia, no dirigida, respecto del

número 0 en la recta numérica. El valor absoluto de 3 y de 3 es el mismo puesto que ambos

números se encuentran a una distancia de tres unidades respecto al 0 en la recta numérica.

De lo anterior se deduce que para una cantidad variable x, su valor absoluto se define de la siguiente

manera:

, si 0, si 0

x xx

x x

8. 24

y que la desigualdad x k se satisface para el conjunto de valores de x que se encuentran a menos de k unidades de distancia del 0, es decir aquellos valores de x tales que k x k , como se muestra en la figura.

Fig. 6.1

La solución de una desigualdad del tipo x k consiste, entonces, en la solución de las dos inecuaciones: k x y x k . Ejemplos:

1.) Los valores de x que satisfacen la inecuación 6x son simplemente los valores

6 6x , o sea los comprendidos en el intervalo 6,6 . 2.) Para resolver la inecuación 3 12x se puede escribir

12 3 12x

y, al dividir toda la expresión anterior entre 3 se obtiene:

4 4x que es la solución.

3.) La solución de la inecuación 2 5 15x se obtiene escribiendo

15 2 5 15x Ahora, al sumar 5 a todos los miembros de esta expresión queda:

10 2 20x y, al dividir entre 2:

5 10x de modo que la solución es el intervalo 5,10 .

8. 25

4.) En la inecuación 11x , la solución estará dada por los valores de x que se encuentren a más de 11 unidades de distancia del 0 en la recta numérica. Por tanto, la solución en este caso está dada por los valores de x que satisfagan que 11x o bien que 11 x , es decir el conjunto , 11 11, .

Fig. E6.1

La misma solución se obtiene para la inecuación 11x , puesto que la distancia no es dirigida.

5.) La solución de la inecuación 2 1 7x se obtiene escribiendo

2 1 7x ó 2 1 7x De la primera expresión:

2 63

xx

y, de la segunda: 2 8

4x

x

de modo que la solución es ,3 4,

6.) Para la inecuación 3 4 9

2x

se puede proceder como sigue:

Se escriben las dos inecuaciones

3 4 3 49 92 2

x x

se multiplica por 2 3 4 18 3 4 18x x

se suma 4

3 14 3 22x x y se divide entre 3

14 223 3x x

8. 26

Entonces, la solución está dada por 14 22, ,3 3 .

7.) La inecuación 2 3 4 5x es una desigualdad absoluta puesto que al restar 4 en

ambos miembros se obtiene 2 3 9x , y como el valor absoluto de una cantidad siempre es mayor o igual que cero, esta desigualdad se satisface para cualquier valor de x.

Por el contrario, la inecuación 3 1x , no tiene solución ya que ningún valor absoluto puede ser una cantidad negativa.