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Unidad 8 Otros aspectos de la teoría de la
información
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La codificación de Hamming y geometría descriptiva
El desarrollo de la teoría descriptiva lleva empieza desde
los axiomas de la geometría Euclidiana postulada en
300 A.C., la cual postulaba lo siguiente:
O Dados dos puntos distintos en el espacio, hay una
línea única que conecta a estos dos puntos.
O Dadas dos líneas no paralelas en el espacio, estas
intersectan en un punto único
O Dadas dos líneas distintas en el espacio, estas nunca
intersectan
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El tercer punto en específico causó confusión. Una
revisión a los puntos anteriores dio lugar a la teoría
de la geometría descriptiva.
Axiomas de la geometría descriptiva:
O Dados dos puntos distintos en el espacio, existe
una línea única que conecta a estos dos puntos.
O Dadas dos distintas líneas en un espacio, estas
dos líneas se interceptan en algún punto.
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Por lo tanto, todas las líneas se intersectan entre sí
en la geometría descriptiva. Para las líneas
paralelas, éstas se intersectan en un punto en el
infinito.
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Ejemplo:
Utilizamos [XY] para denotar los puntos en el
espacio. Para distinguir los puntos en el infinito
añadimos una coordenada Z a [XY], por lo que los
nuevos puntos son leídos como [ZXY]. Los puntos
con coordenadas [1XY] son puntos originales
mientras que los puntos [0XY] son puntos en el
infinito.
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Nótese que añadimos el punto [010] y no en otra
coordenada puesto a que los puntos en la misma
línea son co-lineares:
[101] + [111] = [010]
(lo mismo se puede decir de [100] + [110] = [010])
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En esta figura, se puede apreciar que los puntos en el infinito satisfacen la condición de
[001] + [011] = [010]
Podemos ver que los puntos añadidos también son co-lineares, por lo que podemos añadir otra línea que conecta a estos tres puntos y
podemos obtener la geometría final.
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Podemos ver que los puntos añadidos también son
co-lineares, por lo que podemos añadir otra línea
que conecta a estos tres puntos y podemos obtener
la geometría final.
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En general, podemos obtener la conexión entre las
líneas de manera que
L: aX + bY + cZ = 0
donde a, b y c no son todos 0.
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Por lo tanto, aplicándolo al problema anterior podemos decir que:
L1 : Z = 0
L2 : X = 0
L3 : Y = 0
L4 : Z + X = 0
L5 : X + Y = 0
L6 : Z + X + Y = 0
L7 : Z + Y = 0
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Codificación y teoría del juego El código de Hamming puede ser utilizado para
resolver varios problemas de diseño combinatorio.
Uno de los problemas mas famosos e interesantes
es el juego de los sombreros.
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El juego tiene el siguiente diseño:
O Un conjunto de n jugadores entra en un cuarto, en el cual cada uno recibe un sombrero con un color aleatoriamente seleccionado de r posibilidades igualmente probables. Cada jugador puede ver el sombrero del otro jugador, pero no el que el mismo trae puesto.
O Los jugadores deben de adivinar el color de su sombrero o pasar.
O El equipo pierde si cada jugador pasa o si algún jugador del equipo adivina mal.
O Los jugadores pueden reunirse para discutir estrategias pero no pueden comunicarse entre sí cuando inicia el juego.
O El gol es diseñar una estrategia que tenga la mayor probabilidad de ganar.
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La estrategia del código de Hamming
La estrategia de código de Hamming (7,4) es la
mejor estrategia cuando n=7 y r=2. Para el siguiente
caso, lH sería el código de Hamming (7,4) con 16
palabras clave. Se utiliza la siguiente estrategia:
El jugador i, dada la observación (H1,…,Hi-1, ?, Hi+1, …,
H7), hace la siguiente suposición:
? = 0 si (H1,…,Hi-1, 1, Hi+1, …, H7) es una palabra clave en lH
1 si (H1,…,Hi-1, 1, Hi+1, …, H7) es una palabra clave en lH
paso para cualquier otra opción
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Podemos mostrar el siguiente teorema a partir de lo
ya dicho:
Para el caso de n = 7 y r = 2, la estrategia del código
de Hamming (7,4) da la probabilidad de ganar de:
Pr(Ganar usando la estrategia lH) = 𝟏 −𝟏𝟔
𝟐𝟕 =𝟕
𝟖
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En general, basándonos en los teoremas
presentados, podemos definir el siguiente teorema:
Dado que l sea un código corrector de errores de n-
longitud con |l| palabras clave. Entonces para el
juego de los sombreros con n jugadores y r = 2
colores, siguiendo la estrategia definida como l en el
código de Hamming, esto da a una probabilidad de
éxito de
Pr(Ganar utilizando la estrategia l) = 𝟏 −𝒍
𝟐𝒏