unidad ii ing. económica.pdf
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Ingeniería EconómicaOtoño 2015
Profesor: Sergio Griño
Ingeniero Civil Industrial
Unidad II
Interés, Tasa de Interés, Equivalencias
El Concepto de Interés
• Esta relacionado con la preferencia que tienen las personas por recibir dinero ahora en lugar de obtenerlo más tarde.
• Esta preferencia caracteriza al Sistema Económico Capitalista, en el cual los recursos financieros tienen la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo.
• En este Sistema, ocurre que las cantidades de dinero disponible tienen la potencialidad de crecer cuando se invierten en alternativas productivas.
• En consecuencia un peso hoy vale más que un peso mañana.
Un Ejemplo del Concepto de Interés
• Una persona dispone de $10.000 en la actualidad y tiene dos opciones de destino a esta suma de dinero:
1. Guardarla durante un mes debajo del colchón. Con esta alternativa, la persona tendrá al final del mes los mismos $10.000.
2. Invertir los $10.000 en la compra de una mercancía que al cabo de un mes revende en $15.000. Con esta alternativa, la suma inicial de dinero habrá crecido en $5.000, es decir en un 50%.
Un Ejemplo del Concepto de Interés
• Si la persona sigue el primer camino, le dará lo mismo que le entreguen el dinero ahora o dentro de un mes, debido a que el destino que le dará a estos recursos será el de dejarlos inactivos.
• Si esta persona sigue el segundo camino, se beneficia con el crecimiento que experimentarán los $10.000 al invertirlos en la compra de la mercancía y por este motivo, preferirá recibirlos ahora.
El Concepto de Tasa de Interés
• La preferencia por recibir el dinero antes y no después, se incorpora a través del concepto de la Tasa de interés, que sirve para cuantificar (llevar a un número) la oportunidad que el dinero tiene de crecer.
• El dinero se valoriza en el transcurso del tiempo a una cierta tasa de interés.
Característica de la Tasa de Interés
• La Tasa de Interés es un concepto relativo a quién posee o controla el dinero, ya que el aumento que este puede experimentar depende de las oportunidades de inversión de un cierto individuo o entidad.
• Como estas oportunidades varían de una persona a otra y de una entidad a otra, la tasa de interés cambia consecuentemente en la misma forma.
• Más adelante, se analizará en profundidad este concepto, debido a que constituye la espina dorsal del análisis relativo a la evaluación financiera de las alternativas de inversión.
La Tasa de Interés de Oportunidad
• Para que un inversionista acepte una suma de dinero dentro de un período (un mes, un semestre, un año), en lugar de recibirla ahora, es preciso entregarle al final de tal período una suma superior a la actual.
• La cantidad adicional que es necesario entregarle, refleja la capacidad que el dinero tiene de crecer en sus manos, que expresada como un porcentaje de la suma inicial, se llama Tasa de Interés por Período.
Formulación de la Tasa de Interés de Oportunidad
• Si una persona es indiferente entre recibir $ P hoy ó$(P+C) dentro de un mes, la Tasa de Interés Mensual de este individuo es en términos absolutos:
• Interés = Cantidad futura a recibir – Cantidad actual a recibir
• Si esto ocurre, este inversionista debe estar dispuesto a tomar o ceder dinero en préstamo, a una Tasa de Interés Mensual en términos porcentuales del:
iC
P= *100%
CPCPInterés =−+= )(
P
Ci =
La Tasa de Interés de Oportunidad como un Concepto Relativo
• A la Tasa de Interés, presentada anteriormente la llamaremos Tasa de Interés Equivalente o Tasa de Interés de Oportunidad.
• Esto, con el propósito de destacar la idea de que el interés es un concepto relativo a las oportunidades que enfrenta cada persona o entidad.
Un Ejemplo Aclaratorio Respecto de la Tasa de Interés de Oportunidad
• Si un inversionista tiene la posibilidad de invertir en proyectos que aumentan la inversión inicial en 60% anual. Este inversionista estará interesado en tomar dinero a préstamo a una tasa de interés que no exceda al 60% anual.
• Por ejemplo: Si la tasa bancaria actual es de un 45% anual, el tomar dinero a préstamo es un muy buen negocio para este inversionista, que gana la diferencia que existe entre un 60% y un 45%.
• Si alguien quisiera pedirle en préstamo dinero a este inversionista, tendría que pagarle por lo menos el 60% de interés anual. Por que de no ser así, el inversionista estaría perdiendo dinero al sustraer sumas de inversiones que le producen el 60% de interés, para cederlas en préstamos a un interés menor.
La Tasa de Interés de Mercado
• La Tasa de Interés de Mercado representa el promedio general de la Tasa de Interés de Oportunidad de los individuos y entidades que constituyen la comunidad económica.
Distinciones de la Tasa de Interés
• Como el interés se paga o se gana, algunos autores diferencian la tasa de interés en cada caso.
• Cuando el interés se paga, la expresión de éste es:
• Interés = Cantidad total a pagar – Cantidad prestada
• En este caso, la tasa de interés se denomina simplemente tasa de interés.
• Cuando el interés se gana, es decir desde la perspectiva de un inversionista, ahorrante o prestamista, la expresión de éste es:
• Interés generado = Cantidad total recibida – Cantidad invertida.
• En este caso, la tasa de interés se denomina tasa de rendimiento.
El Concepto de Equivalencia
• Cuando un inversionista es indiferente entre recibir $ P o recibir $(P+C) dentro de un período, se dice que para este individuo $ P de hoy son equivalentes a $(P+C) dentro de un período y que su tasa de interés de oportunidad es:
• Por ejemplo si un individuo es indiferente entre recibir $100 hoy o $140 dentro de un año, se puede afirmar que tales sumas son equivalentes para esta persona y que su tasa de interés de oportunidad es del 40% anual.
iC
P= *100%
%40%100*100
40==iInterés = 140 – 100 = $40
Utilidad del Concepto de Equivalencia
• Basándose en este concepto, se puede desarrollar un conjunto de relaciones matemáticas, entre sumas de dinero que se reciben en diferentes momentos, para establecer equivalencias entre ellas.
• El concepto de equivalencia, es en realidad, el de indiferencia financiera.
• Cuando una persona afirma que es indiferente entre recibir $100 hoy o $140 dentro de un año, esta aseverando implícitamente que él dispone de oportunidades de inversión, que le permiten convertir los $100 de ahora en $140 dentro de un año.
Equivalencia entre una suma actual (P) y una suma futura (S)
• Si i es la Tasa de Interés de Oportunidad por período, expresada como una fracción, para que S pesos recibidos dentro de un período sean equivalentes a Ppesos recibidos hoy, la cantidad futura debe ser igual a:
• Por ejemplo, si una persona tiene la posibilidad de hacer crecer su dinero un 40% anual, cada peso actual equivale para ella, a $1,4 dentro de un año y en general, $ P de hoy equivalen para esta persona, a $(P+0,4P) dentro de un año.
S P iP P i= + = +( )1
CPS += ∧ )1( iPSiPPSiPCP
Ci +=⇒+=⇒=⇒=
Desarrollo de la Fórmula de Equivalencia entre
una suma actual (P) y una suma futura (S)
• Si el horizonte tiene dos períodos. Los $ P de hoy equivalen a $ P(1+i) dentro de un período.
• A su vez $ P (1+i) dentro de un período, equivalen a $ P(1+i)(1+i) dentro de dos períodos.
• Luego se puede establecer que $ P de hoy equivalen a:
• Dentro de dos períodos.
• Puesto que para un período se tiene:• Entonces para dos períodos se tiene:
S P i iP i P iP i P i i P i= + + + = + + = + + = +( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 2
iPPS +=
)1()1( iiPiPS +++=
Desarrollo de la Fórmula de Equivalencia entre
una suma actual (P) y una suma futura (S)
• Siguiendo el raciocinio anterior y usando un procedimiento de inducción matemática, se puede determinar que:
• Una suma de $ P hoy (en el presente) equivale a una suma de $ S dentro de n períodos (en el futuro), dada una cierta tasa de interés compuesto, siempre y cuando el valor de S sea:
S P i n= +( )1P
0 1 2 2−n 1−n n
S
Un Problema de Interés Simple
• Jorge coloca $10.000 en la modalidad de interés simple al 2% mensual.
• ¿Cuánto acumula al final de un año si no retira los intereses mensualmente sino que los deja acumular para retirarlos al final?.
• La modalidad de interés simple se caracteriza porque los intereses causados y no retirados, no ganan interés.
• En este caso los $10.000 originan un interés de $200 al final de cada mes, pero estas sumas (12 en total) no generan interés, aunque sólo se paguen al final del mes 12.
• En consecuencia, Jorge acumula al final del año, doce pagos de $200 por concepto de interés, más los $10.000 que depositó originalmente. Es decir un total de $12.400.
El Problema de Interés Simple Resuelto mediante una Fórmula
• Jorge coloca $10.000 en la modalidad de interés simple al 2% mensual.
• ¿Cuánto acumula al final de un año si no retira los intereses mensualmente sino que los deja acumular para retirarlos al final?.
• También este problema se puede resolver del siguiente modo:
• En donde:
1. S = Suma acumulada al final del año2. P = $10.000 Suma depositada al inicio del año3. i = 0,02 mensual4. n = 12 meses (Número de Períodos)
S = + =10000 1 0 02 12 400. ( , * ) $12.
( )S P iPn P in= + = +1 iP = Interés de un períodoiPn =Interés de n períodos
El Problema de Interés Simple Resuelto mediante una Tabla
1240020012
1220020011
1200020010
118002009
116002008
114002007
112002006
110002005
108002004
106002003
104002002
102002001
100000
AcumuladoInterésInversiónMes
Fórmulas de Interés Simple• De la fórmula principal se pueden obtener otras tres fórmulas:
• Si i es una tasa mensual, entonces n = Nº de meses.
• Si i es una tasa anual, entonces n = Nº de años.
• En la modalidad de interés simple se establece la relación entre una tasa de interés anual con una mensual de la siguiente forma:
• De igual forma, en la modalidad de interés simple se establece la relación entre una tasa de interés para un período de n meses con una mensual de la siguiente manera:
)1( inPS +=)1( in
SP
+=
nP
PSi
−= iP
PSn
−=
maii 12=
mnnii =
Fórmulas de Interés Compuesto• De la fórmula principal se pueden obtener otras tres fórmulas:
• Si i es una tasa mensual, entonces n = Nº de meses.
• Si i es una tasa anual, entonces n = Nº de años.
• En la modalidad de interés compuesto se establece la relación entre una tasa de interés anual con una mensual de la siguiente forma:
• De igual forma, en la modalidad de interés compuesto se establece la relación entre una tasa de interés para un período de n meses con una mensual de la siguiente manera:
niPS )1( += ni
SP
)1( += 1
/1
−
=
n
P
Si
)1(
)/(
iLog
PSLogn
+=
12)1()1(maii +=+
n
mnii )1()1( +=+
Un Problema de Interés Compuesto
• El mismo Jorge coloca $10.000 en la modalidad de interés compuesto al 2% mensual.
• ¿Cuánto acumula al final de un año?
• La modalidad de interés compuesto se caracteriza porque los intereses causados y no retirados, ganan interés.
• En este caso los $200 causados en el primer mes ganan interés durante 11 meses, los $200 causados en el segundo mes ganan interés durante 10 meses, y así sucesivamente. La sumatoria de estos intereses más el valor invertido corresponde al monto acumulado.
• De esta forma, se tiene una situación que requiere el uso de la fórmula anteriormente deducida.
• La cantidad acumulada al final del año es:
S P i n= + = + =( ) . ( , ) $12.1 10000 1 0 02 68012
Comparación entre las dos Opciones de Inversión
• Se observa que al invertir con interés simple, Jorge acumula al final del año $12.400 y al invertir con interés compuesto acumula en el mismo lapso de tiempo $12.680.
• La diferencia entre estas dos cantidades, representa el valor de los intereses ganados por los intereses que no se retiran en el momento en que se causan.
• Evidentemente a Jorge le conviene más invertir con interés compuesto. En este caso tiene una ganancia adicional de $280.
El Problema de Interés Compuesto Resuelto mediante una Tabla
• El mismo Jorge coloca $10.000 en la modalidad de interés compuesto al 2% mensual.
• ¿Cuánto acumula al final del cuarto mes si no retira los intereses mensualmente sino que los deja acumular para retirarlos al final?.
3216,10824)02,01(10000)1( 4=+=⇒+= SiPS n
10824,3216212,24164
10612,08208,083
104042042
102002001
100000
AcumuladoInterésInversiónMes
3216,8242416,21208,208204200 =+++=Interes
El Anterior Problema de Interés Compuesto
• En el problema anterior, se puede calcular la tasa de interés para todo el período, de la siguiente forma:
• La tasa recién calculada es equivalente a la tasa mensual dada, la que es del 2% mensual, en la modalidad de interés compuesto. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:
08243216,010000
100003216,108244
=−
=⇒−
= iP
PSi
44
4 )1()08243216,01()1()1()1()1(mm
n
mniiiii +=+⇒+=+⇒+=+
%202,0108243216,1 4/1==−=⇒
mi
Un Problema de Interés Simple
• Si $20.000 se convierten en $21.200 en 9 meses en la modalidad de interés simple. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual?
• Se tiene:
• En esta expresión:
• Si es una tasa mensual, entonces de meses.
• Si es una tasa anual, entonces de años.
nP
PSiin
P
Sin
P
SinPS
−=⇒=−⇒+=⇒+= 11)1(
i ºNn =
i ºNn =
añosmeses
añomesesn 75,0
12
19 == %808,0
20000*75,0
2000021200==
−=
ai
Un Problema de Interés Simple
• En el problema anterior, también se puede calcular la tasa de interés mensual, de la siguiente forma:
• Se tiene:
• meses
• También se puede calcular la tasa de interés simple anual a partir de la tasa de interés simple mensual, de la siguiente manera:
nP
PSi
−= 9=n 006666,0
20000*9
2000021200≈
−=
mi
%808,0079992,0006666,0*1212 =≈==⇒=amaiii
Un Problema de Interés Simple
• En el mismo problema anterior, se puede calcular en cuanto se convierten los $20.000 después de un año a la tasa de interés anual recién calculada, de la siguiente forma:
• años
• meses
)1( inPS += 1=n %8=ai 21600)1*08,01(20000 =+=S
)1( inPS += 12=n %6666,0=mi
21600)12*006666,01(20000 =+=S
Otro problema de interés
• Marcela pide un préstamo de $10.000 el 1 de marzo y debe pagar un total de $10.700, exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés anual pagada.
• Interés = 10.700 – 10.000 = $700
%7%100*000.10
700==i
)1( inPS += )1(1 iPSn +=⇒=
niPS )1( += )1(1 iPSn +=⇒=
%707.01000.10
700.101 ==−=⇒−=⇒ i
P
Si
Solamente cuando n = 1,las dos fórmulas arrojanel mismo resultado.
⇒= %100*P
Ci
Otro problema de interés
• Myriam olvidó la suma que depositó hace un año. Sin embargo sabe que tiene $1000 hoy y que la tasas de interés anual es del 5%. ¿Qué suma depositó Myriam?
• Como n = 1 ambas fórmulas conducen a:
• Comprobación:
• Interés ganado = 1000 – 952,38 = $47,62
38,952$)05.01(
1000
)1()1( =
+=⇒
+=⇒+= P
i
SPiPS
%505,038,952
62,47===i
Un Problema de Acumulación
• Un ahorrador desea acumular $500.000 dentro de 3 años y descubre que puede colocar dinero a plazo fijo en una corporación de ahorro que le paga el 2,5% mensual de interés compuesto.
• ¿Cuánto debe depositar hoy para acumular tal cantidad al final de 3 años?
• Este problema requiere de la aplicación de la fórmula:� S = $500.000� i = 0,025� n = 36 meses• Si i, es una tasa mensual, entonces n debe estar
expresado en meses.
S P i n= +( )1
547,205$)025,01(
500000
)1( 36=
+=⇒
+= P
i
SP
n
Un Problema de Duplicar una Inversión
• Si se desea establecer cuánto tiempo se necesita para duplicar una inversión, cuando la tasa de interés es i.
• En este caso se emplea la fórmula:
• P = Inversión Inicial• n = Tiempo requerido para doblar la inversión• Por condición del problema: S = 2P
• Conociendo i y empleando la relación deducida, podemos calcular el valor de n.
• Siempre debe existir una concordancia entre i y n. Por ejemplo, si n son días, entonces i debe ser diaria.
S P i n= +( )1
( )2 1P P in
= +
( )2 1= + in
( )Log nLog i2 1= +( )
nLog
Log i=
+
2
1
Un Problema de Impuestos
• Enrique no ha pagado una cuota correspondiente a su impuesto sobre la renta, la cual venció hace 2 años.
• Desea cancelar la cuota ahora, pero antes de hacerlo debe calcular a cuánto ascienden los intereses de mora, que el gobierno estableció en un 45% anual. La cuota vencida es la suma de $10.000.
• Es decir, si la hubiera pagado en su oportunidad habría pagado $10.000
• Enrique no sabe si el gobierno hace el cálculo considerando interés simple o interés compuesto. Por ello decide hacer los cálculos según las dos modalidades.
Resolución del Problema de Impuestos
1. Interés simple:
• Interés anual = $10.000*0,45 = $4.500• Interés durante 2 años = $4.500*2 = $9.000• Deuda al gobierno = $10.000 + $9.000 = $19.000
2. Interés compuesto
• Deuda al gobierno:
( )S P in
= +1 ( )S = + =$10. , $21.000 1 0 45 0252
000.19)2*45,01(000.10)1( =+=⇒+= SinPS
Comentarios respecto a los Resultados del Problema de Impuestos
• Según la modalidad de interés simple, Enrique adeudaría $19.000 al gobierno y según la modalidad de interés compuesto, $21.025.
• En el intertanto, Enrique descubre que el gobierno recauda impuestos usando la modalidad de interés simple. Sin embargo, le asalta la siguiente inquietud.
• ¿A qué tasa de interés compuesto corresponde el 45% simple que cobra el gobierno?
• Para responder a esta pregunta usamos la fórmula:
• En donde: • S = Deuda al gobierno = $19.000• P = Cuota vencida = $10.000• n = 2 años
( )S P in
= +1
( )19 000 10000 12
. .= + i
19 1 2, ( )= + i 19 11
2, − = i i = =0 3784 37 84%, ,
Conclusiones acerca del Problema de Impuestos
• Los intereses por mora que cobra el gobierno son del 45% anual de interés simple.
• El interés compuesto por mora que efectivamente cobra el gobierno es del 37,84% anual.
El Problema de la Inflación• El proceso de inflación se relaciona con el incremento
que muestran los precios de los bienes y servicios con el correr del tiempo.
• Como estos incrementos porcentuales se miden sobre el último precio, la tasa de inflación opera de la misma forma que lo hace la tasa de interés compuesta.
• Si la canasta familiar vale $ P hoy y dentro de unperíodo $ (P+C), definimos la tasa de inflación como:
• Se advierte que el comportamiento de la tasa de inflación desde el punto de vista matemático, es idéntico al de la tasa de interés i.
InflacionC
P= *100
Un Problema de Inflación• Un dirigente sindical, esta interesado en averiguar
cuánto valdrá dentro de 2 años un artículo esencial que hoy vale $100, ya que esta discutiendo un pliego de peticiones.
• Necesita esta información para orientarse acerca de los aumentos de sueldo que debe pedir.
• El sabe que el aumento mensual del precio de este artículo es del 2%.
• La situación que enfrenta esta persona, consiste en determinar el valor de S (Precio del artículo dentro de 2 años), partiendo de un valor inicial P = $100, cuando el aumento del artículo es del 2% de interés mensual (tasa de interés mensual) en un horizonte de 24 meses.
( ) ( )S P in
= + = + =1 1 0 02 8424
$100 , $160,
Conclusiones acerca del Problema deInflación
• Un aspecto interesante que cabe destacar, es que el aumento del valor del artículo en los 2 años es del 60,84%.
• ((160,84 - 100)/100)*100 = 60,84%
• Y no del 48% anual que hubiera resultado al aplicar el criterio del interés simple.
• ((148-100)/100)*100 = 48%
( ) ( )S P in= + = + =1 1 0 02 24$100 , * $148
Equivalencia entre una suma futura (S) y una serie de sumas uniformes (R)
• La segunda relación de equivalencia principal, es la que existe entre una serie de sumas uniformes, cada una de ellas de magnitud R, y una suma futura S.
• Las sumas (montos de dinero) uniformes aparecen al final de cada uno de los próximos n períodos y la suma S aparece al final del período n.
• Esta equivalencia, se representa por las siguientes fórmulas:
• i= Tasa de interés de oportunidad
S Ri
i
n
=+ −
( )1 1R S
i
i n=
+ −
( )1 1
Equivalencia entre una suma futura (S) y una serie de sumas uniformes (R)
• Representación gráfica:
0
0 1 2 3 3−n 2−n 1−n n
123n 1−n 2−n 3−n
R R R R R R R
S
Desarrollo de la Fórmula de Equivalencia entre una serie de sumas uniformes de magnitud (R) y una suma futura (S)
• Si analizamos cada una de las sumas R por separado, se puede calcular mediante la primera fórmula deducida, la suma futura al final del período n a la cual equivale cada una de las sumas de magnitud (R).
• Si empezamos por las sumas mas distantes, se tiene:
• $ R al final del período n equivale a $ R al final del período n.
• $ R al final del período n-1 equivale a $ R(1+i) al final del período n.
• $ R al final del período n-2 equivale a $ al final del período n.
• $ R al final del período 1 equivale a $ al final del período n.
R i= +( )1 2
R i n= +−( )1 1
Desarrollo de la Fórmula de Equivalencia entre una serie de sumas uniformes de magnitud (R) y una
suma futura (S)
• Por lo tanto la suma S al final del período n a la cual equivale toda la serie de sumas de magnitud (R), es la suma de los equivalentes de cada una de ellas. Es decir:
• Multiplicando esta primera relación por (1+i) obtenemos una segunda relación.
S R i R i R i R i n= + + + + + + + + -( ) ( ) ( ) ...... ( )1 1 1 10 1 2 1
S i R i R i R i R i n( ) ( ) ( ) ( ) ...... ( )1 1 1 1 12 3+ = + + + + + + + +
Desarrollo de la Fórmula de Equivalencia entre una serie de sumas uniformes de magnitud (R) y
una suma futura (S)
• Al restar de la segunda relación la primera, se obtiene:
S i S R R i n( ) ( )1 1+ − = − + +
[ ] [ ]S i R i n( ) ( )1 1 1 1+ − = + −
[ ]Si R i n= + −( )1 1
S Ri
i
n
=+ −
( )1 1
Un Problema de un Fondo Acumulativo
• Una compañía de inversiones capta dinero al 3% mensual de interés, si el inversionista se compromete a hacer depósitos mensuales iguales durante 34 meses y a esperar hasta el final del mes 34 para retirar el acumulado del capital depositado y el acumulado de los intereses devengados.
• Yasna esta interesada, en este plan y desea saber cuánto acumula si deposita $1000 mensuales al final de cada uno de los 34 meses próximos.
• En este caso, el acumulado del capital depositado es:
• $1000*34 = $34.000
Resolución del Problema de un Fondo Acumulativo
• i = 3% mensual
• n = 34 meses
• R = $ 1000 mensuales
• El acumulado total es $57.730, de los cuales $ 34.000 corresponden al acumulado del capital depositado y los restantes $23.730 al acumulado por los intereses devengados (que se produjeron y no fueron retirados).
S Ri
i
n
=+ −
( )1 1
S =+ −
1000
1 0 03 1
0 03
34( , )
, S = $57.730
Equivalencia entre una suma presente (P) y una serie de sumas uniformes (R)
• La tercera relación de equivalencia principal, es la que existe entre una serie de sumas uniformes, cada una de ellas de magnitud R, y una suma presente P.
• Las sumas (montos de dinero) uniformes aparecen al final de cada uno de los próximos n períodos y la suma P aparece en el momento cero.
• Esta equivalencia, se representa por las siguientes fórmulas:
• i= Tasa de interés de oportunidad
P Ri
i i
n
n=+ −
+
( )
( )
1 1
1R P
i i
i
n
n=+
+ −
( )
( )
1
1 1
Equivalencia entre una suma presente (P) y una serie de sumas uniformes (R)
• Representación gráfica:
0
0 1 2 3 3−n 2−n 1−n n
123n 1−n 2−n 3−n
R R R R R R RP
Desarrollo de la Fórmula de Equivalencia entre una serie de sumas uniformes de magnitud (R) y
una suma presente (P)
• Se tiene la primera fórmula:
• Se tiene la segunda fórmula:
• Luego al reemplazar S de la primera fórmula en la segunda fórmula, se tiene:
• i= Tasa de interés de oportunidad
S P i n= +( )1
S Ri
i
n
=+ −
( )1 1
P i Ri
i
n
n
( )( )
11 1
+ =+ −
P R
i
i i
n
n=+ −
+
( )
( )
1 1
1
Un Problema de un Fondo de Pensionados
• Una empresa piensa jubilar a uno de sus más antiguos funcionarios. Por concepto de pensión debe pagarle $ 100.000 mensuales durante los próximos 50 meses, ya que al final de tal período se espera que fallezca.
• El gerente de finanzas, desea saber que apropiación debe hacer ahora para cubrir estos pagos futuros.
• Si la apropiación se coloca en una cuenta que no gana interés, entonces su magnitud es:
• $ 100.000*50 = $ 5.000.000.
• Pero si se coloca en una cuenta que devengue un interés del 2% mensual, el cálculo que debe hacer es:
Resolución del Problema de un Fondo de Pensionados
• Se trata entonces de establecer la relación entre una serie de 50 pagos futuros de $100.000 cada uno de ellos y una suma actual (P), cuando la tasa de interés es del 2% mensual. Es decir:
• R = $100.000 n = 50 meses i = 0,02 mensual
• En consecuencia, la apropiación que debe hacer la empresa es por un monto de $ 3.142.361 y no de $ 5.000.000
P Ri
i i
n
n=+ −
+
( )
( )
1 1
1P =
+ −
+
=100000
1 0 02 1
0 02 1 0 023142361
50
50
( , )
, ( , )