unidad ii mat115 ciclo i 2016 limites y continuidad
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7/25/2019 Unidad II Mat115 Ciclo i 2016 limites y continuidad
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UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURAUNIDAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA MATEMATICA I Ciclo I / 2016
UNIDAD II : LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
21 LIMITE DE FUNCIONES L!"i#$ L%#$&%l$'
Existe una definicin formal para el Lmite de una funcin que no abordaremos en estecurso. Nos conformaremos con la definicin intuitiva.
211 D$(i)ici*) i)#+i#i,% -$ l!"i#$ -$ +)% (+)ci*)
Consideremos las funciones siguientes:
2
4)(
2
5)(
22
=
=x
xxgy
x
xxf
Ahora veremos en ambas funciones a qu! valor tiende cada una de ellas " a que valorde #$ cuando la variable x se aproxima a % por la i&quierda de % es decir para valoresmenores que %.
Para ello elaboraremos una tabla de valores para cada caso:
x 2
5)(
2
=x
xxf
2
4)(
2
=x
xxg
'.( ').( ).(
'.(( '*).(( ).((
'.((( '***).((( ).(((
'.(((( '***).(((( ).((((
'.((((( '****).((((( ).((((('.(((((( ).((((((
+bservemos que mientras los valores de x se van aproximando cada ve& mas a % por
la i&quierda denotado por 2x los valores de la funcin g se aproximan cada ve& m,s a-. En vista de ello decimos que el lmite cuando x tiende a % por la i&quierda es - expresadoen smbolos como
4)(lim2
=
xgx
or otra parte de la tabla podemos observar tambi!n que cuando x tiende a % para
valores menores que % ( )f x crece sin tope. uesto que no existe un n/mero al que fse
acerque m,s 0 m,s. En este caso decimos que el lmite de ( )f x cuando x tiende a % por lai&quierda de fno existe lo que expresamos
existeno)(lim2
xfx
1e igual manera veamos lo que sucede con los valores de las funciones cuando x se
aproxima a % por valores ma0ores que %. 2saremos la notacin + 2x para expresar que xtiende a % por la derecha. La siguiente tabla muestra algunos de esos valores:
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Unidad II Lmites y continuidad de funciones
1e nuevo la tabla sugiere que ( )g x
se acerca m,s 0 m,s a - por lo que diremos que el lmite de ( )g x cuando x tiende a % por la
derecha es -3 en smbolos
4)(lim2
=+
xgx
Adem,s la tabla tambi!n sugiere que ( )f x decrece sin lmite cuando x tiende a % por la
derecha "por valores ma0ores que %$. Como no ha0 ning/n n/mero al que tienda ( )f x
decimos que
existeno)(lim2
xfx +
S$ ll%"%) l!"i#$' l%#$&%l$' %
g(x)xgxx + 22limy)(lim
El hecho de que los dos lmites laterales son iguales se resume diciendo que $l l!"i#$ -$( )g x c+%)-o x #i$)-$ % 2 $' .3 en smbolos
4)(lim2
=
xgx
or otra parte como no ha0 valor com/n para los lmites laterales de ( )f x "de hecho no
existen$ se dice que el lmite cuando x tiende a % no existe3 en smbolos
existeno)(lim2
xfx
O'$&,%cio)$':1 No#$"o' +$ +) l!"i#$ $i'#$ 'i3 4 '*lo 'i3 lo' -o' l!"i#$' l%#$&%l$' $i'#$) 4 'o)i5+%l$' E' -$ci&3
( ) ( ) entonces ( )x ax a x a
Lim f x L y Lim f x L Lim f x L +
= = =
2 L% )oci*) -$ l!"i#$ %)%li% $l co"7o%"i$)#o -$ l% (+)ci*) c$&c% -$ +) 7+)#o -$i)#$&8'3 7$&o )o $) $l 7&o7io 7+)#o
+bservemos ahora que factori&ando el numerador de gpodemos escribir2
2 2
2
2
4lim ( ) lim2
( 2)( 2) lim
2
lim( 2) puede cancelar ya que 2
x x
x
x
xg xx
x x
x
x se x
= +=
= +
+bservemos que este lmite se puede encontrar acerc,ndonos a % tanto por la i&quierda
como por la derecha 0 nos dara -. Es decir 4)(lim2
=
xgx
4r,ficamente
x
2
5)(
2
=x
xxf
2
4)(
2
=x
xxg
%.' 56.( -.'
%.*' 5(6.(( -.*'
%.**' 5((6.((( -.**'%.***' 5(((6.(((( -.***'
%.****' 5'****).((((( -.****'
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Unidad II Lmites y continuidad de funciones
En general si ( )y f x= decimos queLxf
ax=
)(lim
Es decir cuando los valores de x los aproximamos tanto como queramos al valor de a por lai&quierda 0 tambi!n por la derecha de a el valor de la funcin se aproxima a L.
4r,ficamente
E9$&cicio 1: 1e la gr,fica siguiente determinar%2
lim ( )x
f x b$ 2
lim ( )x
f x+ c$ 0
lim ( )x
f x
d$0
lim ( )x
f x+ e$ 2
lim ( )x
f x f$ 1
lim ( )x
f x g$ 1
lim ( )x
f x+ h$ 1
lim ( )x
f x i$ 3
lim ( )x
f x
22 T$o&$"%' -$ L!"i#$'
#a que hemos comprendido la definicin de Lmite es necesario desarrollaralgunos medios para calcular Lmite de funciones sencillas 0 para ello enunciaremosalgunos teoremas que nos a0udar,n a calcularlos.
T$o&$"% 221
ara cualquier constante c 0 cualquier n/mero real a , ccLimax
=
En otras palabras: 7El lmite de una funcin constante es la misma constante8
E9$"7lo 1: Si ( ) 5f x =
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Unidad II Lmites y continuidad de funciones
El lmite de ( )f x cuando x se aproxima a 9 - es 6 es decir 55)( 44==
xxLimxfLim
4r,ficamente lo podemos anali&ar de la siguiente manera:
Teorema 2.2.2
ara cualquier n/mero real a , axLimax
=
Grficamente
Teorema 2.2.3 Supongamos que 1 2( ) ( )x a x aLim f x L y Lim g x L
= = , y sea c una constante
cualquiera, entonces
[ ]
[ ]
[ ]
1
1 2
) lim . ( ) .lim ( )
.
) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
) lim ( ). ( ) lim ( ) . lim ( )
x a x a
x a x a x a
x a x a x a
i c f x c f x
c L
ii f x g x f x g x
L L
iii f x g x f x g x
=
= =
=
=
1 2
2
1
2
.
lim ( )( )) lim ! siempre que 0
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf xiv
g x g x
=
=
=
Dico -$ (o&"% '$)cill%3 $l #$o&$"% %)#$&io& 'i5)i(ic%
-
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Unidad II Lmites y continuidad de funciones
i$ El lmite de una constante por una funcin es igual a la constante multiplicada por el
lmite de la funcin.
ii$ El lmite de una suma de dos funciones " o resta$ es igual la suma " o resta $ de los
lmites de cada una de las funciones
iii$ El lmite de un producto de funciones es el producto de los lmites de las funciones.
iv$ El lmite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los dos lmites siempre 0
cuando el lmite del denominador no sea cero.
El resultado que sigue es una aplicacin inmediata de la parte iii$ del teorema %.%.)
haciendo ( ) ( )f x g x= "un resultado como !ste que se deduce inmediatamente de un
teorema se llama co&ol%&io$.
Co&ol%&io 1: upngase que Lxfax
=
)(lim . Entonces [ ]2 2
lim ( )x a
f x L
=
1e la misma forma para cualquier entero positivo n se puede aplicar la parte iii$ delteorema %.%.) repetidamente para obtener
Co&ol%&io 2 Para cualquier entero n " 0 y cualquier n#mero real a ! lim n n
x ax a
=
E9$&cicio 2: Aplicar cuidadosamente los teoremas anteriores para calcular los lmitessiguientes:
2
30
5 2 3) lim
2 $x
x xb
x
++
[ ] nnax
Lxf =
)(lim
2
2) lim(3 2 5)
xa x x
+
-
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$
Unidad II Lmites y continuidad de funciones
T$o&$"% 22. ;l!"i#$ -$ +)% (+)ci*) 7oli)*"ic%
ara cualquier polinomio p 0 para cualquier n/mero real a 3 lim ( ) ( )x a
p x p a
=
Este teorema nos simplifica la manera de encontrar el lmite de un polinomio 0a quesignifica que evaluamos dicho polinomio en el valor al que tiende la variable x .
E9$"7lo 2: Encontrar el lmite de la funcin3
( ) 3 2 4f x x x= + cuando x tiende a 5'
Sol+ci*)
e nos pide encontrar2
lim ( )x
f x ! donde
f es una funcin polinmica. or lo tanto
podemos aplicar el teorema %.%.-3
1 2
3
lim ( ) lim(3 2 4)
3( 1) 2( 1) 4
3( 1) 2 4
3
x xf x x x
= +
= +
= + +
=
E9$&cicio
-
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7/22$
)3(
3
)3)(3(
3
%
3
33
=
=+
+=
+
xLim
x
xxLim
x
xim
x
xx
observemos que el &actor ( 3)x + se
puede eliminar ya que x no toma elvalor de '3! puesto que nos estamos
aproximando a '3 ! tanto como
queramos pero sin tomarlo.
Unidad II Lmites y continuidad de funciones
a)3
lim ( )x
f x
b$0
lim ( )x
f x
c$2
lim ( )x
f x
d$5
lim ( )x
f x
T$o&$"% 22=
ara cualquier entero n ; * 0 cualquier n/mero real a Cuando n es par a debe ser
ma0or que cero limn n
x ax a
=
En general si suponemos lim ( )x a
f x L
= ! entonces lim ( ) ( ) nn n
x a x af x l im f x L
= =
E9$&cicio 6: C%lc+l%& $l 'i5+i$)#$ l!"i#$24
1$ 5 2
xLim x x
+ +
Ejemplo 3: Calcular3
%2
3 +
x
xLimx
Solucin
Notemos que al aplicar directamente los teoremas sobre lmites vemos que nos resulta
En este caso no podemos decir que el lmite es alg/n valor o que no existe el lmite.
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Unidad II Lmites y continuidad de funciones
E9$&cicio >: Calcular%
3%x
xLimx
Ejercicio 8: Calcular3
21
1
1x
xLim
x
+
E9$&cicio ?: Calcular3
22
-
4x
xLim
x
E9$&cicio 10:%
3
%x
xLim
x
E9$&cicio 11: C%lc+l%&3 2
22
2 5 $
5 $x
x x xLim
x x
+
+ +
-
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%
Unidad II Lmites y continuidad de funciones
E9$&cicio 12: C%lc+l%&2
3
3
2 5 3x
xLim
x x
+
+
T$o&$"% 226: P%&% c+%l+i$& )@"$&o &$%l a 3 '$ #i$)$) lim ( ) ( )
) limcos( ) cos( )
)lime
) limln ln ! para 0
x a
x a
x a
x a
x a
i sen x sen a
ii x a
iii e
iv x a a
=
=
=
= >
E9$&cicio 1
-
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otamos que a medida que los valores de x se
aproximan a cero por la derec/a! los valores de yvancreciendo cada ve mas. Podemos intuir que el l*mite
no existe. Pero al+o ms! los valores de ycrecen sin
l*mite y lo podemos expresar de la manera si+uiente:
= xx
1lim
0
10
Unidad II Lmites y continuidad de funciones
E9$&cicio 16: Evaluar0
limcot( )x
x
olucin
2< LIMITES INFINITOSAnalicemos el lmite siguiente:
xx
1lim
0
ara ello haremos un estudio del comportamiento a ambos lados de cero es decirinvestigaremos el lo que sucede con los lmites laterales.
rimero anali&aremos el lmite lateralxx
1lim
0+
constru0endo una tabla de valores
acerc,ndonos tanto como queramos a cero por la derecha "para valores ma0ores que cero$.
x 1
( )f x x=
*.6 %
*.%6 -
*.' '*
*.**' '***
*.****' '*****
1e la misma manera nos acercaremos a cero por la i&quierda es decir para valores menoresque cero.
x 1( )f x
x=
5 *.%6 5-
5 *.*' 5'**
5 *.***' 5'****
5 *.*****' 5 '******
5 *.*******' 5 '********
= xx
1lim
0
4r,ficamente podemos verlo en la figura siguiente
0
1lim
x x+= +
otamos que a medida que los valores de x se
aproximan a cero por la iquierda! los valores de y
van decreciendo cada ve mas. Podemos intuir que el
l*mite no existe. Pero al+o ms! los valores de y
decrecen sin l*mite y lo podemos expresar de la manerasi+uiente:
-
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11
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0
1lim
x x=
D$(i)ici*) 2
-
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12
Unidad II Lmites y continuidad de funciones
+
=
+=
+
paresrsi
imparesrsi1lim)
1lim)
0
0
rx
rx
xii
xi
E9$&cicio 1>: allar el si+uiente l*mite 40
1lim
xx
T$o&$"% 2 * ( )f x tiende a cero a trav!s de valores negativos de ( )f x entonces
+= )(
)(lim
xf
xg
ax
El teorema es v,lido si se sustitu0e 44 ax por4444
+
axoax
E9$&cicio 1: ?allar el lmite siguiente22
13lim
1 +
+ x
x
x
-
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Sol+ci*)
Aplicando el teorema anterior notamos que el limite del numerador cuando x tiende a ' por la
derecha es diferente de cero " es -$. @ambi!n se da que el lmite del denominador tiende a
cero cuando x tiende a '.
Lo que ha0 que verificar es si el denominador " 2 2x $ se acerca a cero a trav!s de valorespositivos o negativos.
+bservemos que nos estamos acercando a ' pero con valores ma0ores que ' entonces eso
implica que 2 2x se acerca a cero pero a trav!s de valores positivos. "probemos alg/n valor
cercano a ' pero ma0or que ' " por eBemplo '.*' entonces notemos que al sustituir '.*' en
2 2x el resultado da positivo$.
or lo tanto podemos escribir que
+=
=
++
+ 0
4
22
13lim
1 x
x
x (0+ : con esto representamos que se est,
acercando a 7cero8 a trav!s de n/meros positivos$
E9$&cicio 1?: 1eterminar2
2 lim
3 $t
t
t
E9$&cicio 20: 6eterminar3
1lim
3t
x
x
+
-
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T$o&$"% 2= xgxfi ax [ ] 0csi)()(lim)
-
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Unidad II Lmites y continuidad de funciones
2. ASINTOTAS VERTICALES
Definicin 2.4.1
Cuando se da cualquiera de los siguientes lmites:
==
=+=
+=+=
+
+
)(lim))(lim)
)(lim))(lim)
)(lim))(lim)
xffxfe
xfdxfc
xfbxfa
axax
axax
axax
se dice que la recta x a= es asntota vertical de la gr,fica de la funcin f.
O'$&,%ci*): P%&% ,$&i(ic%& 'i l% &$c#% x a= $' %'!)#o#% ,$ic%l -$ l% (+)ci*)( )
( )( )
p xf x
q x= %'#% co"7&o%& +$ ( ) 0p a 4 ( ) 0q a =
E9$&cicio 21:erificar que 2x= es asntota vertical " A..$ de la funcin
5( )
2f x
x=
E9$&cicio 22: Encontrar las asntotas verticales de la funcin23
1)(
2 +
=xx
xxg
4r,ficamente lo podemos confirmar en la figura siguiente:
2= LIMITES AL INFINITO
2na funcin f podra aproximarse a un valor constante L al crecer o decrecer sin lmite lavariable independiente x. e expresa
x 7lim ( ) bien lim ( )
xf x L f x L
+
= =
ara denotar un lmite al infinito.La siguiente figura muestra - posibilidades de comportamiento de la gr,fica de f cuando x sehace grande en valor absoluto
-
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1$
Unidad II Lmites y continuidad de funciones
D$(i)ici*) 261: ;A'!)#o#%' o&io)#%l$'
i se tiene que LxfoLxfxx
==+
)(lim)(lim se dice que la recta 0 D L3 es una
%'!)#o#% o&io)#%l "A.?.$ de la gr,fica de f .
En la figura b$ anterior la gr,fica de la funcin f posee % asntotas hori&ontales.
E9$"7lo >:
olvamos a la funcinx
xf1
)( = 0 elaboremos una tabla de valores tomando valores cada
ve& m,s grandes "0 m,s peque=os$:
x xxf
1)( =
x xxf
1)( =
'* *.' 5 '* 5 *.'
'*** *.**' 5 '**** 5 *.***'
'***** *.****' 5 '****** 5 *.*****'
'******** *.*******' 5 '********* 5 *.********'
'************ *.***********'
Nota: utili&amos en x potencias de '* para ma0or facilidad sin embargo podemos utili&arcualquier real distinto de cero.1e la tabla anterior notamos que cuando x crece sin lmite los valores de la funcin seacercan a cero 0 cuando decrecen sin lmite los valores tambi!n se acercan a cero. Esto lo
podemos expresar como:0
1lim0
1lim ==
+ xy
x xx respectivamente.
En la siguiente figura mostramos la gr,fica de la funcinx
xf1
)( =
odemos observar que la gr,fica se aproxima a la recta hori&ontal 0 D * " el eBe x$ cuando xtiende a infinito 0 tambi!n cuando x tiende a menos infinito. En estas circunstancias se diceque la recta 0 D * es una asntota hori&ontal.
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E9$&cicio 2
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E9$&cicio 2=: E)co)#&%& l%' %'!)#o#%' o&io)#%l$' 4 ,$ic%l$'3 'i l%' #i$)$2
3
3 5 2( )
4
x xf x
x
=
E9$&cicio 26: E)co)#&%& l%' %'!)#o#%' o&io)#%l$' 4 ,$ic%l$'3 'i l%' #i$)$
5312)(
2
+= xxxf
26 CONTINUIDAD DE FUNCIONESEl decir que una funcin es continua en un intervalo intuitivamente significa que la
gr,fica de dicha funcin no tiene cortes en dicho intervalo. En caso contrario se dice que lafuncin es discontinua en el intervalo.1e la misma manera decimos que una funcin es continua en un punto si su gr,fica
no presenta ning/n corte o salto en dicho punto
EBemplos de gr,ficas con discontinuidad en x a=
-
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1%
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D$(i)ici*) 261: U)% (+)ci*) f $' continua$) x a= 'i
)()()
)()
)()
afxfLimiii
existexfLimii
definidoestafi
ax
ax
=
i una de estas condiciones no se cumple entonces f es discontinua en x a=
Ejercicio 2:
1eterminar si las funciones son continuas en el valor indicado
3 1) ( ) 8 22
xa f x xx
+= =
2 %8 3
3
) ( ) es continua en x 3 9
$ 8 3
xx
x
b g x
x
= =
=
CONTINUIDAD POR LA DERECA 4 POR LA IQUIERDA
D$(i)ici*) 262:e dice que una funcin $' co)#i)+% $) +) i)#$&,%lo %i$osi 0 slo si es continua en
cada n/mero del intervalo abierto
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D$(i)ici*) 26
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Unidad II Lmites y continuidad de funciones
Notemos que las gr,ficas a$ 0 d$ anteriores presentan una discontinuidad )o $,i#%l$en elvalor xDc. En el caso a$ sera mucho cambio el que habra que hacer para tratar de hacerlacontinua en xDc 0 si se hace ese cambio sera otra funcin totalmente distinta a la original.En los casos b$ 0 c$ presentan una discontinuidad $,i#%l$ $) c 3 0a que solamente habr,que redefinir la funcin para xDc.
E9$&cicio 2: ?allar todas las discontinuidades de la funcin siguiente. En las que seanevitables redefinir la funcin de modo tal que la nueva funcin sea continua.
2
2( )
4
xf x
x
=
T$o&$"% 266
-
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To-o' lo' 7oli)o"io' 'o) co)#i)+o' $) #o-o '+ -o"i)io T%"i8) 'o) co)#i)+%' l%'(+)cio)$' #&i5o)o"8#&ic%'3 $7o)$)ci%l$' 4 lo5%&!#"ic%' $) '+' &$'7$c#i,o' -o"i)io'
T$o&$"% 26>
son continuas en ! entonces :
)( ) es continua en !)( ) es continua en
) es continua en si ( ) 0 y discontinua en si ( ) 0
Si f y g x a
i f g x aii f g x a
fiii x a g a x a g a
g
=
= =
= = =
E9$&cicio 2?: 1eterminar si las siguientes funciones son continuas en el valor especificado:
%4 3( ) 5 3 $ 3f x x x x= + + 3 $) 0x=
2
1( ) ! e n 2
2
xg x x
x
= =
b)
T$o&$"% 26 ;l!"i#$ -$ +)% (+)ci*) co"7+$'#%
i lim ( ) y es continua en ! entonces
lim ( ( )) ( lim ( ))
( )
x a
x a x a
g x L f
f g x f g x
f L
=
=
=
E9$&cicio