- ---'-~--,--,~;:::

Unidadesde medida,de losángulos

,

Reactivación

Traza una circunferencia de 5 cm de radio en una hoja de cuadrícula. Necesitasmarcar el centro. Des-pués corta 10 hilos de material no elástico del mismo tamaño que el radio, esdecir, de 5 cm.

Ahorarespondelassiguientespreguntas:

¿Cuántoshilosnecesitasparacubrir porcompletoel largode la circunferencia?

¿Quérelación tendrá el radio con el total de la circunferencia?

Pegauno de los hilos en la circunferencia.lISc::~~JS@

¿Quémagnitud tiene el ángulo subtendido?

Comenta tus observaciones con algunos compañeros y encuentren una relación entre la longitud delradio y el ángulo medido. Escríbanlaen una hoja de papel rotafolio y péguenla en un lugar visible.

Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa

Comorecordarás,en bloques anteriores aprendiste que lasunidades para medirlosángulosen el sistema sexagesimaleran los grados. Sin embargo, existe otraunidadmuchomáspráctica que permite medir los ángulos, el radián, la cual sebasaenla longitud de arco obtenida en una circunferencia de radio 1 o la uni-

dad.Enconsecuenciapodemos definir un radián como ervalor del ángulo cuyamedidadesuarco es igual al radio de una circunferencia cuyo radio vale 1.

Consideremosuna circunferencia cuyo radio es igual a 1 cm. Ahora recordemoslafórmulapara encontrar el valor de la longitud de la circunferencia:

C = 2nr

Sir = 1sustituyendo en la fórmula:

C = 2n(1)

C = 2n{adianes

Comouna circunferencia completa vale 360°:

360° = 2n radianesDespejandoa n:

n radianes = 360°2

nradianes = 180°

EnfLincióndel resultado anterior podemos definir que, en radianes, la longituddelarcode la semicircunferencia que comprende un ángulo de 180°, en cual-quiercircunferencia,es iguala n radianes, por lo que:

1 radián = 1 rad = 180° = 57.29583°;que equivale a 57° 17'45"n

Ejemplos:Convertirlos siguientesángulos a radianes o viceversa:

a) .2 n radianes a grados2 .

Pararesolverel problemasolamentedeberemoscambiarel valorde n por 180°:

1 (180°) = (3)(180°) = 540° = 135°4 4 4

b) Convertir 128°a radianes:

Siusamos la relación n = 180° la resoluciónqueda:

!~~

a@

~-~180 - 128

Resolviendola proporción:128 Jt 32 Jt

x =180 =45

Comopuedesobservar,sedeja indicado el valor de ny no se multiplica.

e ~araInvestigar

cuál es la relaCIÓnqueexiste entre el sistema (entesi-

mal y el sexagesirnal.

DCL>safío¿A cuantos radianesequivaleun minutoy un segundo?

I..

a la manoPodemosdecirque el valorden esequivalentea 1800.

palabras en el

tJempQMinuta significa extracto o bo-

rrador que se hace de algún

tema. Esun escrito que se ela-bora con relación a un asun-

to para tenerlo presente, por

ejemplo, una reunión de la cual

es importante dejar constancia

de lo dicho y acordado.

portafolio.1 E.," E V', 1 I . ..N e l.. .c=J

la minuta.

Para.saber~

México tiene seis horas menos

con respecto al meridiano deGreenwich. Es decir, si en In-.glaterra son las doce del día ennuestro país son las seis de lamañana.

"'e~~JI@

e) Convertir 45° 30'25" a radianes

Convertimosel valordel ánguloa decimalesparalocualutilizamosel valordelradiáncomo57.29583°. ~

45° + ~~ + 3~~o = 45 + 0.5 ~ 0.069 = 45.5069°

Aplicando la relación:

1 rad - x57.29583° - 45.5069

, - (45.5069°) 1 rad = 0.7942 radx - 57.29583°

Formenequiposdetresintegrantes.Vana necesitarun planisferiotama-ñodoblecartay una regla.

'" Investiguencómoestándistribuidoslosmeridianosy paralelosenel mundo.EscojancincociudadesimportantesdeAmérica,cincode Europa,cincodeAsiaydosdeOceanía.Busquensulocalizaciónutilizandolosgrados.

Una vez que los hayan localizado elaboren una minuta que describa elprocedimiento que siguieron. Contesten lassiguientes preguntas:

En nuestro país,¿cuántosmeridianos se involucran?

¿Quérelación tendrá el clima con lascoordenadasde un paíso región?

¿Conqué referencia se manejan las coordenadas terrestres?

De los paísesque escogiste,¿cuál te gustaría visitar y por qué?

r

Conviertelossiguientesvaloresdegradosa radianesyviceversa:

1. 25°a radianes. 6. 19:rrradianesa grados.2

7. 23°25'12"a radianes.2. 5:rrradianes a grados.3

3. 7:rr radianes a grados.6

4. 125° a radianes.

8. 12.85radianesa grados.

9. 1256°12"á radianes.

5. 2054° a radianes. 10.2.:rr radianes a grados.8

...1

r..",',':'

E .

Problemasde aplicación

--. - " -

,/"

¿SabíasLa ma,;,oríade qUe?los telefonos

celulares incluyen un menúen el que puedessaberlashoras en distintos países,

1, Unabicicleta tiene ocho rayos,¿cuál es.la equivalencia de su ángulo cen-tral en radianes?

Sidividimos la circunferencia entre ocho tenemos: e

360 = 4508y sumedida en radianes es:

Jt - x180 - 45

Al resolverla proporción queda:

x = (45)(Jt)180

Reduciendotenemos: x=~4

Resuelvelos siguientes problemas:

t Latapa de un envasede refrescogira 4.8 vueltaspara cerrar completamente. Expresael ángulo alque gira la tapa en unidades sexagesimalesy ra-dianes. .

2. Undiscodeacetatode losaños80'sgiraba33 ~rpm,esdecir,daba33 ~ vueltasen un minuto.Expresaen radianesel ángulo que recorrió eldiscoen un segundo.

logros

Evaluaciónsumativa

3. El abanico de una señoraabre ~ de rotacióncompleta.Expresael ánguloen raéJianes.

4. Paraponera tiempo el motor de un automóvilseverificanlasmarcasde tiempoqueestánen lapoleadel motor.Normalmenteel motorseajustaadelantando15gradosel tiempo.¿Cuálessuequi-valenciaen radianes?

Conviertelassiguientesmedidasdegradosa radianesy viceversa:

1. 3450a radianes. 6. 15Jt radianesa grados.13 .

7. 17° 30'25" a radianes.2. 12Jt radianes a grados.5

3. 15Jt radianes a grados.8

4. 256° a radianes.

5. 1256° a radianes.

Cierre de secuencia

8. 12.8563radianesa grados.

9. 40°40" a radianes.

10.2.56 radianesa grados.

Realizaun dibujo con relojes en los que se señale la hora en cada una de las ciudades o paísesque escogisteen la actividad anterior. Consideraque en la Ciudad de México son las tres de latarde(15:00 hrs).

~

---

.-/

~.:'.:.

Descripciónde lasfuncionestrigonométricasdirectasyrecíprocasdeángulosagudos

e )

Reactivación

Encuentra las dimensiones faltantes en los lados de los siguientes triángulos aplicando el teoremade Pitágoras.

~

Ahora, trabajando por binas, observen las características de los triángulos. ¿Presen-tan los triángulos congruencia o semejanza?

Anoten la relación que existe entre cada cateto con la hipotenusa para cada triángulo.

Triángulo 1 Triángulo 3

Triángulo 2 Triángulo 4

Comparen los resultados con sus compañeros y lleguen a una conclusión.

3k 6k 9k 15k4 8 12 20

Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4

~--- .~- -~--~.

Funciones trigonométricas

Cuandocaminaspor alguna calle y descubresque te cuestatrabajo subir, debi-doaqueestatiene cierta inclinación, o cuando quieres alcanzar una ventanaqueestáa cierta altura y necesitas saber a qué distancia debes colocar unaescaleraparalograrlo, estásaplicando de manera empírica la trigonometría, yaqueestásutilizando implícitamente triángulos. e

Unniñosabeque si la resbaladilla tiene una inclinación muy grande, la veloci-dadconla que llega al piso es mayor. Asimismo habrás observado que cuandounrayodeluz incide en un espejo,el ángulo con que serefteja esel mismo queconelqueincide. Perosi el rayo incide sobre el agua de una alberca una partesereftejay la otra "penetra en el agua", cambiando de dirección. Latrigonome-tríapermitepredecir cuál será la magnitud en el cambio de dirección.

Laastronomíautiliza la trigonometría para medir las distancias que separan alasestrellas.Lageografía la usa para medir distancias entre diferentes puntosgeográficos.También se usa en la física, en la química y en casitodas las ramasdelaingeniería,sobretodo en el análisisde fenómenos periódicos,como sucedeenlaacústicao en la representaciónde la corriente alterna.

Podemosdefinir a la trigonometría como la ramade lasmatemáticasque estudia larelaciónentrelos ladosy ángulosde lostriángulos, suspropiedadesy aplicaciones.

Reúnanseen parejas.Paraestaactividadesnecesarioque consiganhojascua-driculadastamaño carta, lápicesde colores,una reglay un transportador.

Tracenun triángulo rectángulo de color rojo cuyos catetos midan 12 y9cmrespectivamente. Determinen el valor de susdos ángulos agudos.

Ahora, dibujen un triángulo de color azul cuyos catetos midan 8 y6cm. Determinen las magnitudes de sus ángulos. Por último, tracen untriángulo de color verde cuyoscatetos midan 3 y 4 cm.

Contestenlas siguientes preguntas en su cuaderno:

1. ¿Cuántomiden las hipotenusas de los tres triángulos?

2. ¿Cuántomide el ángulo que se forma entre el cateto de 12 cm y lahipotenusa?

3. ¿Cuánto mide el ángulo que se forf"!:1aentre el cateto de 8 cm y lahipotenusa? .

4. Por último, indiquen cuánto mide el ángulo que se genera entre elcateto de 4 cm y la hipotenusa.

,,1

I

5. Ahora,dividan la longitud de loscatetosdecadatriángulo entreelvalorde la longitud su hipotenusa.¿Quérelaciónexisteentreellos?

Justifiquen sus respuestas,coméntenlas en el salón y encuentren la rela-ción entre los catetos.

a la manoLosladosqueformanelángulorecto en un triángulo rectán-gulosellamancatetosy el queune estosdossedenominahi-potenusa.

Cateto

Cateto

Guarden susrespuestas.- - .-

palabras en el

tiempoTrigonometría proviene della-

tín trigonometrio, que significa

medición de 105triángulos.

~

palabras en el

tiempoLa palabra seno tiene su origenen el vocablo sinus el cual sig-nifica bahía. Este nombre fue

asignado por error por Robertode Chester al traducir mal el vo-

cablo jb del libro "Álgebra" delárabe AI-Khorezmi.

!:!!

~JI@

rDespuésdecomentartusobservacionesde laactividadanteriorcontuscompa. ¡ñeros,habrásconcluidoqueal obtenerla relaciónentreloscatetosy lahipote.Inusade lostriángulosrectángulos,seconsiderael mismoángulo. I

Aeste tipo de relacionesentre los lados de un triángulo rectángulo se lesdeno-

mina relaciones trigonométricas. ~

Observael siguiente triángulo:

a

b

En la figura anterior, como se habíavistoanteriormente,los ladosa y b sella-

man catetos y el lado ese denominada hipo tenusa.

Utilizando el ángulo A como referencia, diferenciemos los catetos.

a

b

El cateto a se llama cateto opuesto al ángulo A, ya que está enfrente de él. Elcateto b se llama cateto adyacenteal ángulo A porque forma, junto con la hipo-tenusa,el ángulo A.

Ahora utilizaremos como referencia el ángulo 8.

a

Cateto adyacente

bCateto opuesto

Elcateto a seríael cateto adyacenteal ángulo 8 yel cateto b seria elcateto opues-to al ángulo 8, con las mismas consideracionesanteriores.

Para rk

Enlossiguientestriángulosindicacuálesel catetoopuesto,cuálesel catetoadyacentey cuáleslahipotenusa,en relaciónconelángulomarcado.

a)

x

z

b)e

a

d)

f)

x

y

z

g)

e)

c)~

q

senoA = cateto opuestohipotenusa

cosenoA = cateto adyacentehipotenusa

tangenteA = cateto opuestocateto adyacente

Paraelsiguientetriángulo las relaciones quedarían:

Q

b

h)

a

Funciones o relaciones trigonométricas

Ahoradefiniremos las relaciones que existen entre los lados de un triángulorectángulo,en función de un ángulo determinado, a partir de las razones ococientesentre sus lados.

senA = !!-.c

cosA = ..tc

tan A = a7i

a la manoSedenomina función a la rela-

ción o correspondencia entredos variables (por ejemplo, x:y), de tal manera que a cadavalor de x le corresponde exac-tamente un solo valor de y.Estose escribeasí:y = F(x),y selee: y es una función de x. Deesta manera, seobtienen paresordenados (x,y).

Para.saber

"

Thomas Frick fue el que intro-dujo el uso de las palabras tan-gente y secante.Tangente vienedel latín tangenes,que toca. Engeneral se usaen contextos ma-temáticos, pero también' social-mente: salirse por la tangenteequivale a valerse de una men-tira o evasiva para escaparsehábilmente de un apuro.

a la manoLa representación "sen 37°" selee "seno de 37 grados".

f!$e

:DI

'1~

~::Como recordarás,en los triángulos de la actividad anterior, para un mismoán.gulo de 37°, la relación entre los catetos opuestos y la hipotenusasiempre5la misma.

~

3~S

~

9

6

12 8 4

Si utilizamos las fórmulas de las relaciones trigonométricas para lostriángulosrectángulos anteriores, seobtiene lassiguientes expresiones:

9sen 37° = 15 = 0.6

12cos 37° = 15 = 0.8

9tan 37° = 12 = 0.75

6sen 37° = 10 = 0.6

8cos 37° = 10 = 0.8

6tan 37° = ""8= 0.75

3sen 37° = 5" = 0.6

4cos 37° = 5" = 0.8

tan 3]0 =i =0.75

Observacómo el valor fue el mismo en todos los casospara el mismo ángulo.De lo anterior se concluye que el valor de las relaciones trigonométricas,sisemantiene el mismo ángulo, esel mismo sin importar el tamaño del triángulo.

Ahora observa cómo encontrar la expresión de lasfunciones trigonométricasenel siguiente triángulo:

y

z

Como podrás observar, el cateto opuesto esy, el cateto adyacente esz y lahi.potenusa esx.

Aplicando lasfórmulas de las funciones trigonométricas queda:cat Op YsenA = - senA = -

h x

ctady zcosA = - cosA = -h x

cat Op Ytan A =- tan A =-catady z

1. En los siguientes triángulos encuentra seno, coseno y tangente delángulo que se indica.

a)

x

z

d)

z

f)

x

y

b)

e

a

"" c)

y

g)

q

e)

e

b

h)x

a

2. Encuentra los valores de las tres funciones trigonométricas para lossiguientes ángulos expresadosen radianes:

Jt-T-

5Jt-4

L

;t

Para.saberSi tu calculadora no tiene la te-cla o ' " necesitasconvertir losminutos y segundos a formadecimal, como ya lo aprendisteen temas anteriores.

L

~""-----

-- -- -~ -,Obtención de valores de las funciones trigonométricaspara cualquier ángulo con la calculadora

Dependiendo de la calculadora que tengas, puedes obtener los valoresdelasfunciones trigonométricas para cualquier ángulo que tecleesen ella. Enalgunosmodelos,seingresaprimerola funcióny despuésel ángulo. Enotras másanti.guasesal contrario, se teclea el ángulo primero y luego la función. Esnecesarioque la calculadora se encuentre en modo DEG.Apóyate en tu profesor paraelmanejo de tu calculadora.

coneXionesParaDradicar

Encuentrael valorde:Investiga en Internet cómo se

manejan los ángulos y las funcio-

nes trigonométricas en la caram-

bola, cuando se juegan al billar.

a) sen25° =

b) cos37° =

c) tan 58°25' =

d) cos125° =

e) tan 315°20' 25" =

f) sen0° =

Resolución de triángulos rectángulos

Cuando estudiamos el teorema de Pitágorasteníamos los datos de dos ladosyuna incógnita. Sinembargo,existenproblemasen losque esnecesarioresolveruntriángulo en el que sólo seconoceun lado y un ángulo.

Ejemplos:Veamosa continuacióncómoresolverlossiguientestriángulosrectángulos:

(;)-Hipotenusa. Proviene del latín hypote-nusa que a su vez proviene del griego hypo-

teinousa y significa fuertemente sujeta.

x

Identifiquemos primero todos los lados del triángulo:

!~~JI@

cateto opuesto = x, cateto adyacente = 8, e hipotenusa = y

Determinemos ahora la longitud del cateto x.

Debido a que su posición con respecto al ángulo de 70° lo define como catetoopuesto, y el valor numéricode los ladosestádefinido comoel catetoadya-cente, utilizaremos tan 70° porque es la relación trigonométrica que incluyeelcateto opuesto y el cateto adyacente.

~-------T'

tan 70° = coea

x2.7474 = 8"

(2.7474)(8)= x = 21.98

Paraencontrar la longitud de la hipotenusa utilizaremos coseno,porque se re-lacionancon el cateto adyacente.

Resolviendo:cos 70° = cah

0.3420 = J!...y

y=~0.3420 = 23.39

Observacómo se resuelveel siguiente rectángulo:

x

y

Identifica los datos:

Catetoopuesto = x cateto adyacente = y hipotenusa = 10

Paraencontrarla longitud del ladox utilizaremosla funciónseno,debidoaqueel valornuméricoquesetieneesla hipotenusay lo relacionaremosconelcatetoopuesto.

sen 53° 10' = coh

cos 53°10' = eah

0.5994= io

y = (0.5994)(10) = 5.994

x0.8003 = 10

x = (0.8003)(10)= 8.003,j Ángulode elevacióny ángulo de depresión~

~O

¿pabías~n número,irra-qUe?(lonal esun nume-

ro no fraccionario,pues no es posible representarlocomoel cocientededosnúmeros

enteros, esdecir, ~.Por ejemplo:{l, {3, -./6.

Para.saber~

La trigonometría se relacionódirectamente con la astronomía,hasta que el matemático persaNasir ed Din la considerócomo

una ciencia independiente.

objeto

Ángulo de elevación es el que se formaentrela líneavisualde un observadory unobjetocuandoésteseencuentraarribadelahorizontal.Siestáabajode la horizontalsellamaángulo de depresión.

objeto

DQ)safío¿Cuáleselvalordeese00,see 900 y col 900?

Para radicar

y~ 22°x

9~ Y

x

y

y

x

9

x~12

x

y

yy

12

4

18

x y

Aplicaciones de las funciones trigonométricas

A continuación veremos algunas aplicaciones de las funciones trigonométricasen la resolución de problemas, aquí utilizarás los conceptos que has aprendidohasta el momento.

Ejemplos:1. Enun triángulose sabe que la funciónsenoes iguala t, encuentra las

demás funciones.

3 wSabemos que sen A = S' Recordando que sen A = T/'

1II Deducimos que: cateto opuesto = 3; hipotenusa = 5

Paracalcularlo utilizaremos el teorema de Pitágoras. .LEldato que nos falta para encontrar el valor de lasfunciones que nos pidenesel cateto adyacente.

Catetoopuesto = ~(5)2- (3)2= ~25 - 9 = [16= 4

Resolviendo:cosA =~. tan A = l

5' 4

.,¡¡,. '1t"

~ ~~ ~ -

a la mano2. Sien cierto triángulo la tan A = 2, encontrar el valor de senoy coseno. Dosángulos son complementa-

rios cuando sumados dan 900.

Sabemosque tan A = co, entonces si lo comparamos con los datos del pro-cablema tenemos que:

cateto opuesto = 2; cateto adyacente = 1

Ahora aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la hipotenusa.

h =~(2)2 = (1)2= F+1 =~Como el resultado es un número irracional no se obtiene la raíz.

Al obtener las funciones que hacen falta tenemos:

2 3

senA = {5 Y cosA = {5

Para.saber

~

3. Una escalera está recargada sobre una barda de 1.8 m de alto con unainclinación de 57°. ¿Quélongitud tiene la escalera?

La división entre O no está de.

finida. Sin embargo, podemosdecir que 1<..= oo.

O

~~~~@

-~ -

r

teC~~~@

------.--,-----'"

Al observarla figurasededuceque laaltura de la bardaesel catetoopuestoylaescaleraesla hipotenusa.Paraosaber

1 ..[2Se puede representarVi = "2

1 vI ' .

y que .J3 = 3' y aSIsucesiva-mente.

Resolviendo:sen57° = ..!.&

x

1.80.8387 = x

1.80.8387 = 0.8387

x = 2.15 m

4. Pamela está situada en la azotea de un edificio que tiene una alturade36 metros. Ella ve que a cierta distancia viene su mamá. Sisabequedesdela posición donde observa tiene un ángulo de depresión de 34°,¿aquédistancia seencuentra su mamá?

!<I f!. ~

Sidesignamosax comola distanciaa la queseencuentrala mamádePa.mela,sepuedetrazarel siguientetriángulo:

---~-----------_.

36

x

Elcatetoopuesto esx y el cateto adyacente es36 m.

Enconsecuencia,aplicamos la función tangente, misma que relaciona a los dosladoso catetos.

xtan 56° = 36

x1.4825 = 36

x = (1.4825)(36)= 53.37

Enconsecuencia,la mamáde Pamelaseencuentraa una distanciade53.37metros.

Para radicar

1.Sien un triángulo sene = ~, encuentracosenoy tangente.

2. Enun triángulo sesabeque tan e = ~, calculasenoy coseno.

3. Sicose = ~,¿cuálesson losvaloresdesene y tan e?

4. Sitan A = 1,calculasenoy cosenodeA.

5. Unárbol proyectauna sombrade 3.2 m con un ángulode 34°20".Determinasu altura.

6. Labasede un triángulo isóscelesmide 25.3 cm y susángulos miden29°. ¿Cuántomide su altura y cuál es la longitud de sus lados?

7. Paradeterminar la altura de un asta bandera nos hemos alejado unadistancia de 2.5 m con relación a su base. Siel ángulo que seformaesde 45°, ¿cuál es la altura del asta?

8. Una antena que tiene una aItura de 32 m sesujeta graciasa la acciónde un cable de acero que forma un ángulo de 39°, ¿cuál es la longi-tud del cable?

9. Una casa proyecta una sombra de 25.88 m cuando el Sol tiene unángulo de elevación de 22°.

10. Calcula la altura de un edificio cuya sombra se proyecta a 12 m, conun ángulo de depresión de 34°.

=unciones recíprocas

;isetiene una expresiónx, su recíprocosedefine como ;. Cuando la expresión es

lOafracción!!...podemosdefinir su recíprococomo 2-.b a

:onbaseen lo anterior podemosdefinir lassiguientesfuncionestrigonométri-asrecíprocas:

senoA = coh

cosecanteA = ~co

cosenoA = cah

secanteA = ~ca

co catangenteA =- cotangenteA = -ca co

Jbservaque solamente se invierten los elementos de la relaciones.

_..- - .-- ~ ~

¿¡SabíasLases~~adras qUe?que utilizasde tu juego degeometría producen ángulosde 30°, 45°, 60°Y90° al igualque los triángulos que acabasde analizar.

L'

111,

11

tUe

j@

----------

...

t). t-~I.í f )/: ~~JJ~ ... ':1

a la manoEl producto entre un número ysu recíproco es iguaIa 1.

(x)(l) =1x

Esteprocesose utiliza solamen-te con las fu nciones recíprocas,ya que para las funciones tri-gonométricas se hace directa-

mente sin usar ~.

¿SabíasLa~funciones qUe?reClprocasseabrevian así:

cotangentesecantecosecante

eotseeese

- ----_._.- .------~

I

IObtención de los valores de las funcionesrecíprocas en la calculadora

Para obtener el valor de las funciones trigonométricas recíprocases necesarioque no pierdas de vista la relación que guardan con las funciones trigonomé.tricas directas.

Ejemplos:Obtener los siguientesvalores:

a) see60°.

Recordemosque la secantees recíproca del coseno,entonces:

see60° = ~eos60°

Sicos60°= 0.5,entonces:

see60° = -L = 20.5

b) cot 48°.

Lafunción recíprocade cotangente es la tangente, en consecuencia

cot48°=~=~= 0.9tan 48° 1.1106

c) ese60°.

Lafunción recíproca de cosecanteesel seno.

(se60° = 1 = 1 = 115 4sen 60° 0.8660 .

Ejercicios:1. Usala calculadoraparaobtener:

a) ese48° b) see39°

c) eot 62° d) see128°

f) ese19°20'21" e) cot 48°22"

d

Paraestaactividad esnecesarioque consigashojas cuadriculadas tamañocarta, lápicesde colores, una regla y transportador.

Trazaun triángulo rectángulocuyoscatetosmidan 8 cm y 6 cm respec-tivamente.Midela longitudquetiene la hipotenusay cadavalordelosángulosagudos.

Encuentra el valor de las funciones seno, cosenoy tangente para cadaángulo.

. - - --~ M._-

Actividad(continuación)Contestalas siguientes preguntas:

1. ¿Cómoencontrarías la longitud de la hipotenusa sin utilizar la regla?

2. ¿Quérelación guardan entre sí los valores seno y cosenopara cadaángulo?

3. ¿Dequé forma justificas lo ocurrido?

Cofunciones

Comoobservasteen la actividadanterior, lasfuncionessen37°y cos53°sonigualesenel triángulo.Estosucedeporque37°y 53°soncomplementarios.Conbaseen lo anteriorpodemosdefinir:

Cuandodosángulossoncomplementarios,su función y su cofunción son iguales.

Lascofunciones están definidas así:

FUNCIÓN COFUNCIÓN

seno

tangentesecante

coseno

cotangentecosecante

Considerandoque Jt en radianes equivale a 180°, matemáticamente podemosdefinir a las cofunciones de la siguiente forma:

senx =cos( ; - x)

cosx =sen ( ; - x)

cotx = tan ( ; - x)

seo =ese( ; - x)

eso=see(; -x)tanx = cot( ; - x)

Ejemplos:Representaen términos de su cofunción las siguientes funciones:

a) sen78°

Sucofunción esel coseno y su ángulo complementario seobtiene:90 - 78 = 12, entonces:

~~!~@

sen78° = cos12°

b) cot 79°

Sucofunción es tangente, por lo quela definimoscomo:

eot79°= tan (90° - 79°) = tan 11°

L

Para.saber~

La diferencia entre el nombre

de una función y su cofunciónsólo es el prefijo "co".

1

I

"

Función. Proviene del latín

functio y tiene muchos signifi-cados. En matemáticas repre-senta la relación entre dos omás variables.

conexionesInvestiga en Internet lo relacio-

nado al peralte que deben te-ner las curvas de las carreteras

o de las pistas de autos. ¿Qué

inclinación llevan y de qué de-

penden?

@

Cálculo de valores de las funcionestrigonométricas para 30°, 45° Y60°

Actividad

Construyeen tu cuaderno un triángulo equilátero de 2 cm por lado y di-vídelo con una línea perpendicular que salga del punto medio de la basedel triángulo, de tal manera que quede dividido en dos triángulos rectán-gulos cuyosángulos agudosseande 30° y 60°.Ahora mide su altura.

Corta el triángulo desde su altura para que tengas un par de triángulosiguales.Anota el valor de cada uno de susángulos sobre el triángulo y lalongitud de cada uno de los lados.

Ahora encuentra losvaloresde lassiguientesfunciones usando uno de losdos triángulos recortados:

sen 30° = sen 60° =

cos30° = cos60° =

tan 30° = cos60° =

Ahora analizaremos el valor de las funciones para 45°, para esto necesitamosun triángulo isóscelescuyos lados iguales tengan una longitud de 1 cm y entreellos haya un ángulo de 90°,como el que se muestra en la figura. Lahipotenusase obtiene otra vez utilizando el teorema de Pitágoras.

1

Para cualquiera de los dos ángulos de 45° el cateto opuesto y el adyacente valen1

y la hipotenusa{2.Enconsecuencia:

sen 45° = {22

cos45° = {22"

1tan 45° =- = 1

1

Valoresde lasfunciones trigonométricas para los ángulos de mayor uso:-----O 1. Vi 132 2 2

o1

~ ~O 00

Función. Proviene del latín

functio y tiene muchos signifi-cados. En matemáticas repre-senta la relación entre dos omás variables.

conexionesInvestiga en Internet lo relacio-

nado al peralte que deben te-ner las curvas de las carreteras

o de las pistas de autos. ¿Qué

inclinación llevan y de qué de-

penden?

@

Cálculo de valores de las funcionestrigonométricas para 30°,45° Y 60°

Actiyidad

Construyeen tu cuaderno un triángulo equilátero de 2 cm por lado y di-vídelo con una línea perpendicular que salga del punto medio de la basedel triángulo, de tal manera que quede dividido en dos triángulos rectán-gulos cuyosángulos agudosseande 30° y 60°.Ahora mide su altura.

Corta el triángulo desde su altura para que tengas un par de triángulosiguales.Anota el valor de cada uno de susángulos sobre el triángulo y lalongitud de cada uno de los lados.

Ahora encuentra losvaloresde lassiguientesfunciones usando uno de losdos triángulos recortados:

sen30° = sen 60°=

cos30°= cos60°=

tan 30°= cos60°=

Ahora analizaremos el valor de las funciones para 45°, para esto necesitamosun triángulo isóscelescuyos lados iguales tengan una longitud de 1 cm y entreellos haya un ángulo de 90°,como el que se muestra en la figura. Lahipotenusaseobtiene otra vez utilizando el teorema de Pitágoras.

1

Para cualquiera de los dos ángulos de 45° el cateto opuesto y el adyacente valen1

y la hipotenusafi.Enconsecuencia:

sen 45° = f22

cos45° = f22

tan 45° =..l = 11

Valoresde lasfunciones trigonométricas para los ángulos de mayor uso:

o12"

" o

o1

~00.¡3

~---

Tesugerimos que copies esta tabla y la pegues en una cartulina, ya que seráde gran utilidad en los temas siguientes.

eara~Iadica[

Calcula las siguientes funciones trigonométricas con sus funciones recíprocas.

ese30° =

see30° =

cot30° =

ese30° =

see30° =

cot30° =

ese30° =

sec30° =

cot30° =

ese30° =

logros

Evaluaciónsumativa

./

Cierrede secuencia

Investiguen cómo se calcula la inclinación del piso de una regadera que se encuentra en un patiopara que el agua se vaya hacia el drenaje. Consideren distintas alturas para éste. Expongan susconclusiones de frente al grupo a partir una gráfica en cartulina.

~

~

Resuelvelas incógnitas de los siguientes triángulos.

8 x 2439° x 70°

x y 4 10

20 x 3 ,x y 7 Y3