UNITA’ DI APPRENDIMENTO MATEMATICA CLASSE 3 SECHI ANNALISA

TITOLO MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE: QUAL E’ LA RELAZIONE FRA LE DUE OPERAZIONI?

DESCRIZIONE GENERALE DELL’ ARGOMENTO E DEL CONTENUTO L’obiettivo di questa unità di apprendimento, progettata e attuata nella seconda parte dell’anno scolastico, è stato quello di: - continuare a stimolare in tutti gli alunni indistintamente un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze scientifiche che hanno fatto intuire come gli strumenti matematici, che è possibile imparare, siano utili per operare nella realtà; -muoversi con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali; -riconoscere ed utilizzare rappresentazioni diverse di oggetti matematici. In particolar modo, l’attenzione è stata focalizzata sulla rilevazione delle proprietà delle operazioni con l’osservazione delle “leggi” relative alle operazioni su oggetti reali. Il fine che si è cercato di raggiungere è stato quello di non indurre a identificare l’aritmetica con l’utilizzo automatico degli algoritmi di calcolo. Infatti, si ritiene che il “possesso di questi ultimi da parte dei bambini” sia il punto di arrivo di un progressivo processo di schematizzazione e di sintesi, che prende le mosse dal significato delle operazioni stesse e mette in gioco le loro proprietà e le convenzioni di scrittura dei numeri. Con queste premesse sono stati affrontati i casi dell’operazione di moltiplicazione e dell’operazione di divisione tra numeri naturali. Tutte le attività sono state portate avanti tenendo sempre conto che il calcolo del risultato di una moltiplicazione e di una divisione richiede l’applicazione di algoritmi con sottoprocedure nelle quali intervengono operazioni diverse, in particolare additive, da quella principale che si sta eseguendo. Ciò ha comportato la necessità di una maggiore gradualità nell’affrontare le tecniche sia della moltiplicazione che della divisione, affinché i meccanismi di calcolo, pur necessari, non venissero svuotati del loro significato. Relativamente al concetto di moltiplicazione tra numeri naturali si è cercato di mettere in evidenza i rapporti di questo concetto con quelli di funzione e di operazione, e di coordinazione con altre operazioni (addizione e divisione) e tra insiemi (prodotto cartesiano). Essa può essere definita come la scrittura di una addizione con gli addendi uguali oppure come l’operazione che associa alla cardinalità di due insiemi finiti la cardinalità del loro prodotto cartesiano. In questo ultimo significato, la moltiplicazione consente di quantificare situazioni combinatorie. Inoltre, se gli elementi di un insieme sono “righe” e “colonne”, il loro prodotto cartesiano può essere visualizzato tramite uno schieramento di “caselle”. Altresì, per quanto concerne il concetto di divisione esso è assai complesso se si confronta con quello di altre operazioni aritmetiche. Se la divisione viene identificata con il concetto di operazione, questa deve associare a due numeri naturali uno e un solo numero naturale, rimandando agli aspetti quantitativi della individuazione di una partizione di un insieme finito in sottoinsiemi equipotenti, privi di elementi in comune e da dare tramite la loro unione l’insieme dato. Invece, se la divisione viene identificata come operatore è l’inversa della moltiplicazione, naturalmente solo se l’operatore moltiplicativo è invertibile. Lo studio di entrambe le operazioni, che è stato affrontato sin dallo scorso anno scolastico tenendo conto dei concetti sopra descritti, ha sicuramente prodotto degli esiti positivi ed è ha fornito solide basi che hanno permesso di intraprendere un nuovo percorso di studio e di approfondimento. Si rimanda all’UDA sulla moltiplicazione prodotta l’anno precedente e ad alcuni materiali proposti e realizzati per la divisione sempre nella classe precedente. Naturalmente , anche nella prima parte di questo anno scolastico gli alunni hanno avuto modo di affrontare situazioni problematiche nelle quali era previsto l’uso delle suddette operazioni, ottenendo risultati molto incoraggianti. Alcuni esempi.

Così come descritto nelle precedenti UDA, l’intento è stato quello di sviluppare in maniera sistematica e coordinata non solo la capacità di eseguire operazioni sia a mente che per iscritto, ma anche tutte le componenti cognitive riguardo alla struttura del numero, dando particolare risalto all’accentuazione sui processi di apprendimento del calcolo. Ogni area di lavoro, sviluppata nelle diverse fasi, è stata scandita da una serie di obiettivi specifici che hanno tradotto didatticamente il processo generale cognitivo e meta cognitivo della conoscenza numerica: processi lessicali, processi semantici, processi sintattici, calcolo a mente, calcolo scritto.

COMPITO/PRODOTTO Il Corso di Teatro: compito in situazione. Il gelato di fine anno: compito di realtà. Traguardi di competenza per entrambi i compiti: operare con i numeri e utilizzare con sicurezza le tecniche e le procedure del calcolo scritto e mentale. Riconoscere e risolvere problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Agli alunni è stato chiesto di interpretare una situazione problematica strutturata e di scoprire le strategie più adatte di calcolo. Nello specifico, essi si sono confrontati con: interpretazione di dati in tabella, utilizzo corretto dei dati, esecuzione consecutiva di più calcoli prima di moltiplicazione e poi di somma, interpretazione delle diverse domande poste, previsione nel calcolo, divisione in colonna.

CLASSI O ETÀ ALUNNI COINVOLTI 3 E tempo pieno

PREREQUISITI I numeri entro il 999. Addizioni e sottrazioni entro e oltre il 100 con e senza cambio. Moltiplicazioni entro il 100 (come addizione ripetuta, schieramento, sulla linea dei numeri) con e senza cambio con una cifra al moltiplicatore, sia in riga che in colonna. Le tabelline entro il dieci. Divisioni in riga entro il 99. Tradurre in termini matematici semplici situazioni problematiche.

DISCIPLINA/E COINVOLTE 1) Matematica 2) Tecnologia (Concorrente)

COMPETENZE CHIAVE EUROPEE 1) Competenza di base in matematica, scienze e tecnologia. 2) Competenze trasversale: Imparare ad imparare. 3) Competenze trasversali: Sociali e civiche

COMPETENZA CHIAVE EUROPEA N. 1 Competenza di base in matematica, scienze e tecnologia. Competenze specifiche:

Legge, scrive, rappresenta, ordina ed opera con i numeri interi e decimali.

Riconosce e risolve situazioni problematiche.

ABILITA’ CONOSCENZE

Leggere, scrivere, confrontare, ordinare e conoscere il valore posizionale dei numeri naturali.

Eseguire mentalmente e per iscritto le quattro operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di calcolo.

Conoscere con sicurezza le tabelline dei numeri fino a 10.

Analizzare e comprendere le situazioni problematiche

Gli insiemi numerici: rappresentazioni, confronti e ordinamenti.

I sistemi di numerazione

Operazioni e proprietà.

Le fasi risolutive di un problema e loro rappresentazioni con diagrammi

COMPETENZE CHIAVE EUROPEA N.2 Imparare ad imparare. Competenze specifiche:

Riconosce e corregge errori

ABILITA’ CONOSCENZE

Leggere un testo e porsi domande su di esso

Rispondere a domande su un testo

Utilizzare le informazioni possedute per risolvere semplici problemi d’esperienza quotidiana.

Compilare elenchi e liste; compilare semplici tabelle.

Semplici strategie di organizzazione del tempo.

Schemi, tabelle, scalette

COMPETENZA CHIAVE EUROPEA N. 3 Competenze sociali e civiche Competenza trasversale di cittadinanza: consapevolezza ed espressione culturale.

Competenze specifiche:

Mostra di avere spirito cooperativo.

ABILITA’ CONOSCENZE

Mettere in atto comportamenti corretti nel gioco, nel lavoro, nell’interazione sociale

Partecipare e collaborare al lavoro collettivo in modo produttivo e pertinente

Prestare aiuto ai compagni in difficoltà

Regole fondamentali della convivenza nei gruppi di appartenenza

Regole della vita e del lavoro in classe.

STRATEGIA E TECNICA DIDATTICA (METODOLOGIE, ATTIVITÀ, STRUMENTI, MODALITÀ DI LAVORO) In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l’alunno ha un ruolo attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta, sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati. Si è dato ampio spazio al gioco (inteso anche sotto forma di sfida sia individuale che di gruppo) che ha un ruolo cruciale nella comunicazione, nell’educazione al rispetto di regole condivise, nell’elaborazione di strategie adatte a contesti diversi. La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese, è un processo che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico. Si elencano di seguito diverse metodologie, strategie e tecniche didattiche utilizzate, oltre che alla lezione frontale e alle esercitazioni, per lo sviluppo delle competenze, della motivazione ad apprendere e delle abilità sociali: -lo sfondo integratore -la didattica laboratoriale -la didattica di gruppo (Peer tutoring) -la didattica individuale -le conversazioni cliniche -la discussione, il ragionamento condiviso, il dialogo -la lezione partecipata -le strategie per la conoscenza meta cognitiva -le strategie per il controllo esecutivo -l’uso efficace e motivato dell’errore -l’uso efficace e motivato del rinforzo -la scelta di compiti intrinsecamente motivanti -la scelta di compiti moderatamente sfidanti. STRUMENTI Testi a carattere metodologico didattico:

-L’intelligenza numerica e calcolo 8-11 anni” di Lucangeli, De Candia, Poli ed. Erickson -Memocalcolo di Poli, molin, Lucangeli, Cornoldi ed Erickson -Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol 3 “I numeri oltre il 1000 – Moltplicazione e Divisione” di Colombo Bozzolo, Costa edizioni Erickson -Problemi senza problemi di Perticone ed Erickson -Comprendere il testo dei problemi di Bortolato ed Erickson -Problemi per immagini di Bortolato ed Erickson -Guida Navigazioni di matematica vol 2 e 3 di Girotti ed Juvenila Scuola + i contenuti digitali web -il libro di testo “L’incredibile WIki matematica vol 3” di G. Girotti + i contenuti digitali web Alcuni siti web e blog -il libro di testo digitale: http://libropiuweb.mondadorieducation.it/studente/homePersonale -il blog del maestro Giampaolo Rubado: http://didatticamatematicaprimaria.blogspot.it/ -la TECA DIDATTICA: http://www.latecadidattica.it/terza2012/terza.htm -Anna Ronca: http://www.lannaronca.it/schede%20classe%20terza/schede%20classe%20terza.htm -Ufotto Leprotto e lezioni animate di matematica sulle proprietà http://www.ufottoleprotto.com/lezione_2.htm - U. S. R. Friuli-Venezia Giulia https://competenzeprimociclousrfvg.jimdo.com/esperienze-didattiche-in-fvg/aree-tematiche/area-matematico-scientifica/ -Associazione Rally Matematico http://www.armtint.org/ -I C Robecchi Classe capovolta https://www.scuolegambolo.gov.it/flipped-classroom-classe-capovolta/ -Università di Parma, Scienze matematiche http://smfi.unipr.it/it/orientamento/rally-matematico-transalpino-pr/24deg-rmt-edizione-2016/associazione-rally-matematico MATERIALI La postazione LIM e il Personal Computer connesso, software per la LIM, autore MIMIO, altri software come Smart Notebook, la suite di Office,lo scanner e la stampante, il Personal computer della docente, il Tablet e lo Smartphone; il materiale multi base (B.A.M.) fornito dalla scuola, i regoli in colore di Cuisenaire per ogni alunno, gli abachi forniti dalla scuola; carta a quadretti; materiali vari occasionali reperiti dalla docente; risme di carta A4, materiale di facile consumo. SITUAZIONE DI INNESCO La moltiplicazione come operazione tra numeri naturali in se stessi, non come numeri esprimenti quantità di “oggetti”, ha caratteristiche analoghe a quelle dell’addizione: è sempre definita, gode di proprietà notevoli, associativa e commutativa, e ammette l’elemento neutro. Inoltre, la struttura additiva e quella moltiplicativa sono connesse e rese compatibili dalla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Proprio questa proprietà dà un apporto fondamentale alla giustificazione delle tecniche di calcolo del prodotto di due numeri, tenuto conto del sistema di numerazione posizionale adottato per scrivere i numeri. La moltiplicazione, infine, consente di definire una particolare accezione della divisione, ossia quella che viene indicata come “divisione esatta”. Tenuto conto che i prerequisiti posseduti dagli alunni rispetto a righe, colonne, addizioni ripetute, raddoppiare, triplicare, ecc. possono essere ricondotti ad uno schema astratto, lo schieramento, e quindi alla stessa operazione di moltiplicazione, si è ritenuto opportuno ripartire proprio con gli schieramenti, dei quali i bambini avevano già una certa padronanza. La mappa concettuale seguente riassume essenzialmente il percorso che è stato portato avanti. “Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol 3 - I numeri oltre il 1000 – Moltplicazione e Divisione- di Colombo Bozzolo, Costa edizioni Erickson ( Pagina 148).” Così come per altre unità di apprendimento, anche per questa, è stata utilizzata una dimensione narrativa per costruire situazioni di condivisione di significati fra bambini e fra gruppo di bambini ed insegnante, scegliendo l’introduzione ed il supporto di un personaggio immaginario costruito per l’occasione (Sfondo integratore). Ragione ed emozione non sono due elementi in conflitto... ….anzi! Il coinvolgimento emotivo attiva e rende più efficace il pensiero razionale (Damasio, 1995).

Prima che l’insegnante presentasse la nuova unità agli alunni, ormai da qualche giorno era solita portare a scuola un libro che leggeva con molto interesse durante le pause ricreative comuni. Sulla copertina del libro compariva uno passerotto giallo il quale sembrava avere uno sguardo molto furbo e nel contempo perdeva molte piume. Alle domande di curiosità degli alunni, la docente rispondeva che stava leggendo la traduzione di un libro sulla matematica nel quale proprio quel passerotto spiegava le tecniche di calcolo della moltiplicazione e della divisione in colonna adottate in altre scuole. Spiegò loro che il passerotto era un uccellino inglese che si occupava inizialmente di spiegare ai bambini inglesi soprattutto la moltiplicazione, il suo nome era MISTER BIRD MULTIPLY e che poi proseguiva con la divisione. La curiosità provocò negli alunni la richiesta di conoscere meglio questo passerotto ponendo domande molto dirette “Mae’, ma come fanno i bambini inglesi?” e poi “Questo libro lo possiamo leggere anche noi?”e “Possiamo provare anche noi a fare come quei bambini?” L’insegnante cominciò dicendo che se erano così interessati poteva provare ad organizzare delle attività così come venivano spiegate nel libro. A questo punto, il personaggio del passerotto notato dagli alunni poteva diventare un buon veicolo e stimolo, per questa nuova “avventura” didattica, proprio come altri personaggi conosciuti nelle esperienze precedenti. Per rendere più efficaci le attività, stimolare la curiosità e dare l’avvio alla nuova unità di apprendimento, la docente

ha predisposto alcune presentazioni interattive con il software Smart Notebook, sempre proiettate alla LIM, che

hanno supportato di volta in volta tutto il lavoro proposto alla classe.

Così come promesso agli alunni la docente ha presentato questo nuovo personaggio, il quale li ha subito coinvolti con

una attività pratica da realizzare con la carta a quadretti e gli schieramenti.

Introduzione dell’attività: dalla LIM al quaderno.

Agli alunni sono state mostrate alcune slide preparate dalla docente con il Software Smart Notebook .

(formato in PDF )

ARTICOLAZIONE DEL PROGETTO(specificare per ogni fase tempi di attuazione, attività, strumenti e metodologie; è necessario documentare ogni fase)

Fase 1

Tempi di attuazione GENNAIO – FEBBRAIO – MARZO

Attività Contenuti

La moltiplicazione mediante addizione ripetuta

La moltiplicazione come schieramento

Strategie di calcolo veloce e a mente

Le coppie ordinate di un prodotto cartesiano

Concetti di paio, coppia, doppio, triplo, quadruplo

Moltiplicazioni per 10, 100, 1000

Le proprietà della moltiplicazione

Operare con la moltiplicazione in situazioni problematiche.

AREE OBIETTIVI

Processi lessicali Associare il nome del numero al codice arabico corrispondente e alla quantità. Imparare il nome dei numeri entro e oltre il mille. Imparare a leggere lo zero all’interno dei numeri. Imparare a leggere le decine e le centinaia di migliaia.

Processi semantici Comprendere la quantità relativa al numero. Comprendere il valore e la funzione dello zero in relazione alla posizione che occupa all’interno del numero. Comprendere il significato della moltiplicazione e di alcune sue proprietà- Comprendere il significato della divisione.

Processi sintattici Conoscere e imparare a discriminare le differenti posizioni delle cifre nella struttura del numero intero. Distinguere il diverso valore delle cifre in riferimento alla posizione che occupano nella sequenza da destra a sinistra e determinare il valore del numero. Imparare a determinare il valore attribuito allo zero.

Calcolo a mente Scoprire e analizzare diverse modalità di calcolare a mente. Analizzare le caratteristiche e le proprietà della moltiplicazione con lo scopo di facilitare il calcolo a mente e la sua automazione. Analizzare le caratteristiche della divisione per avviare al calcolo veloce nella suddivisione e nella spartizione.

Calcolo scritto Riflettere sulla funzione del calcolo scritto. Consolidare le procedure del calcolo scritto dell’addizione. Consolidare le procedure del calcolo scritto della sottrazione. Consolidare le procedure del calcolo scritto della moltiplicazione. Apprendere le procedure del calcolo scritto della divisione. Imparare a stimare il risultato.

Grazie all’approccio sopra descritto nella situazione di innesco, negli alunni è stato semplice creare aspettativa e curiosità per proseguire la proposta operativa ed innescare il piacere della scoperta e dell’apprendimento. Per raggiungere questo obiettivo la docente ha sollecitato l’aspetto immaginifico e quello affettivo. Ha sempre proposto le attività dando il ruolo di docente-tutor al “passerotto inglese”ponendosi come ponte/traduttore e guida fra quest’ultimo e gli alunni. Si rimanda ai seguenti LINK per visionare la presentazione multimediale sia in formato SMART NOTEBOOK che in PDF. DALLA PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA RISPETTO ALL’ADDIZIONE ALLA MOLTIPLICAZIONE IN COLONNA CON DUE CIFRE AL MOLTIPLICATORE Si riporta una selezione di alcune slide predisposte e la verbalizzazione sui quaderni. Così come mostrato nelle foto dei bambini al lavoro (situazione di innesco), agli alunni sono stati consegnati dei fogli A 4 a quadretti ed è stato chiesto loro di realizzare il disegno proposto da Mister Bird Multiply.

Si riporta una parte del lavoro svolto dagli alunni sul quaderno. Naturalmente l’attività con la carta a quadretti è stata proposta più volte.

Le attività sono proseguite come proposto da Mister Bird Multiply.

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Agli alunni sono state proposte attività da svolgere come sfida utilizzando gli schemi riprodotti nella slide a fianco

. Utilizzare entrambi gli schemi ha fornito loro la possibilità di svolgere i compiti proposti con sempre maggior sicurezza, portandoli a trovare autonomamente le strategie di controllo e auto correzione. Lavorando individualmente e in coppia.

PER 10, 100, 1000. Prima di procedere con la PROPRIETA’ ASSOCIATIVA, sono state predisposte delle attività orali collettive e scritte, anch’esse prima collettive e poi individuali, sul calcolo delle moltiplicazioni in riga per 10, 100, 1000. Con queste attività è stata fondamentale la condivisione delle scoperte, infatti i concetti appresi perla moltiplicazione sono stati riutilizzati spontaneamente da molti alunni per comprendere il calcolo inverso nelle divisioni per 10, 100, 1000. (meta cognizione).

Un esempio di attività individuale.

LA PROPRIETA’ ASSOCIATIVA Agli alunni sono state proposte delle attività ludiche seguite da attività di rappresentazione grafica seguita da una precisa verbalizzazione che permettesse loro di conoscere e comprendere l’utilizzo reale di questa proprietà ed essere in grado di poterla utilizzare veramente in maniera efficace in altri contesti.

PROBLEMI DI COMBINATORIA, TABELLE A DOPPIA ENTRATA, SCHIERAMENTI, DIAGRAMMI AD ALBERO- Sono state proposte attività ludiche e pratiche dove è stata messa in gioco l’esperienza diretta degli alunni, fra le quali si è scelto di farne drammatizzare una che desse l’opportunità di interpretare un ruolo determinato e funzionale all’acquisizione degli obiettivi proposti.

Alla LIM sono state proiettate le slide qui riportate chiedendo a tre bambini di interpretare i ruoli dei personaggi e di comportarsi come loro. L’attività ha fornito spunti per la discussione fra il gruppo classe e le basi per le attività simili condotte successivamente.

Si riporta una selezione di una delle attività verbalizzate successivamente sul quaderno.

Ancora una nuova avventura proposta da Mister Bird Multiply

Si rappresentata la storia con una tabella a doppia entrata.

Si sostituiscono le immagini con un simbolo.

Si conclude sostituendo i simboli con uno schieramento e

si risponde a domande stimolo

In una fase successiva è stato proposto di rappresentare situazioni di combinatoria utilizzando le frecce perle corrispondenze e quindi il diagramma ad albero. Tali attività hanno suscitato grande interesse, infatti sono state predisposte diverse storie problematiche che ne prevedessero l’uso. (Storie di feste mascherate con costumi, parrucche e cappelli diverse; storie di amici che costruiscono barche con gusci di noci, stecchini, vele con forme geometriche diverse, ecc.) Probabilmente, perché, fra i vari approcci alla moltiplicazione, la rappresentazione con un diagramma ad albero e relativa individuazione dell’operazione come espressione aritmetica erano una novità e una sfida, più grafico-pratica che di mero calcolo. Presentazione multimediale realizzata con Smart Notebook e in formato PDF. Si riporta solo un esempio di attività svolta sul quaderno.

Durante tutto il percorso sono state proposte diverse attività di valutazione formativa, precedute da attività di lavoro individuale e di coppia, quest’ultimo senz’altro il più apprezzato e richiesto da tutti gli alunni. In particolar modo, dopo le verifiche per la valutazione formativa, è stato proprio il lavoro svolto in coppia che è stato utilizzato in maniera preferenziale nella ricerca dell’errore, divenendo così la miglior strategia per l’autocorrezione, il superamento delle difficoltà e delle incertezze favorendo in tutti gli alunni maggior serenità e sicurezza nell’affrontare i compiti proposti successivamente.

Si riportano tre esempi di verifiche strutturate utilizzate per la valutazione formativa somministrate in momenti diversi

Si riportano una parte delle attività svolte in coppia dagli alunni per la ricerca dell’errore.

A conclusione di questa fase è stata proposta un’attività di approfondimento sulla tabella della moltiplicazione (tavola pitagorica), per mettere ancor più in rilievo le proprietà dell’operazione e il significato dello zero, ed una sintesi sia di questo lavoro che sugli schieramenti con la costruzione del DECANOMIO. Pur essendo quest’ultima una tavola con forte connotato geometrico, dato che i prodotti dei numeri da 1 a10 vengono visualizzati tramite aree di rettangoli, ottenuti schierando quadrati unitari in numero di righe e colonne pari a ciascuno dei due fattori, consentendo di avviare in modo intuitivo questioni relative all’equiestensione e all’area, essa ha permesso di osservare/manipolare concetti ascrivibili alle proprietà dell’operazione stessa (per esempio, il prodotto dato da una coppia moltiplicativa è il numero che esprime la misura del rettangolo, in quadretti unitari).

Agli alunni è stato distribuito il DECANOMIO vuoto ed è stato proposto loro di analizzarlo in coppia. Le riflessioni degli alunni sono state raccontate e argomentate da ogni coppia davanti alla classe, osservando il decano mio proiettato alla LIM. Si riporta una parte degli interventi: “Abbiamo trovato la commutativa; ci sono dei rettangoli e dei quadrati; ogni fattore ha la sua lunghezza”; “E’ molto simile alla tavola pitagorica, però si capisce di più! Perché ha i rettangoli e perché li abbiamo individuati col disegno”; “E’ molto simile alla tavola pitagorica, però ha i disegni; “Ci sono solamente le coppie di fattori che danno lo stesso prodotto”; “Per esempio, 4x3 in orizzontale ci sono 3 quadretti in verticale e 4 in orizzontale e in 3x4 è il contrario, i rettangoli sono girati ma il prodotto è uguale”;

“Ad ogni fattore, in riga o colonna, corrisponde lo stesso numero di quadretti cioè è la proprietà commutativa”.

Tutti gli alunni, supportati dall’attività di ritaglio, manipolazione e sovrapposizione dei rettangoli, quindi tramite l’esperienza diretta, e motivati dal suo svolgimento in coppia sottoforma di gara fra le coppie, sono stati in grado di; - individuare prodotti dati tramite le aree dei rettangoli e dei quadrati attraverso schieramenti di quadrati unitari di righe e colonne pari ai due fattori; -individuare intuitivamente questioni relative a equiestensione e area; -somiglianze e differenze fra i quadrilateri, figure congruenti ed equivalenti. Si riporta una parte del lavoro svolto

Questa fase si è conclusa con le attività che hanno introdotto l’approfondimento sulla divisione. Infatti,gli alunni sono stati posti davanti alla possibilità di esprimere alcune situazioni problematiche attraverso enunciati aperti di moltiplicazione. Quindi Mister Bird Multiply ha accompagnato i bambini anche nella fase successiva.

Fase 2

Tempi di attuazione MARZO – APRILE –MAGGIO – GIUGNO

Attività Contenuti

La divisione in situazioni rappresentate graficamente.

Le caratteristiche nel calcolo veloce della suddivisione e della spartizione.

La divisione in riga con e senza resto

Il concetto di divisione come opposto della moltiplicazione.

Le tabelline e le enumerazioni per il calcolo scritto.

Le divisioni per 10, 100, 1000.

La divisone in colonna con e senza resto

Le proprietà della divisione.

Operare con la divisione in situazioni problematiche. Per le AREE e gli OBIETTIVI di questa fase si rimanda a quelle sopra descritte nella FASE 1 Su di un piano concettuale, mentre l’addizione, la sottrazione e la moltiplicazione sono sempre esatte, nel senso che il risultato si ottiene effettivamente dall’applicazione dell’operatore all’operando, la divisione da parte sua non è sempre esatta e il quoziente non è, da solo, il risultato dell’applicazione dell’operatore all’operando. Il vero risultato è la coppia (quoziente, resto) o il resto potendo essere nullo. Ne consegue che la divisione come regola operatoria non è esattamente l’inversa della moltiplicazione (Vergnaud).

La matrice cognitiva sulle conoscenze pregresse degli alunni, derivate dalle esperienze scolastiche fatte in classe seconda, ma anche quelle esperite al di fuori, rispecchiava una prevalenza nel significato del termine “dividere” con quelli di “separare”, con una vicinanza anche alla sottrazione, al condividere e al distribuire. Invece, il significato di “fare parti uguali” non era ben connotato, legato principalmente ad una “giustizia distributiva”, quindi fortemente esperienziale. Pertanto, l’obiettivo è stato quello di portare tutti gli alunni a passare dal significato del termine dividere nell’uso comune di “separare-fare parti-fare gruppi- distribuire- togliere a quello di “fare parti uguali”, cioè formare gruppi equinumerosi o procedere ad una equa ripartizione. La mappa concettuale seguente riassume essenzialmente il percorso che è stato portato avanti. “Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol 3 - I numeri oltre il 1000 – Moltplicazione e Divisione- di Colombo Bozzolo, Costa edizioni Erickson ( Pagina 281).” Per la tecnica di calcolo associata alla divisione è fondamentale il concetto di divisione con resto, dato che, anche quando la divisione sia esatta, nelle sottoprocedure in cui si struttura l’algoritmo è prevista la determinazione di resti parziali. La complessità del concetto di divisione è dovuta a molti aspetti. Infatti, il termine può indicare un’operazione in senso stretto o una generica corrispondenza tra coppie di numeri naturali, può essere “non esatta” e richiedere approssimazioni, ha un algoritmo articolato in sottoprocedure che implicano contemporaneamente la moltiplicazione, la sottrazione e la ricerca, per tentativi, del quoziente. Inoltre, la divisione, come la moltiplicazione, può dar luogo a diverse interpretazioni. Lo stesso risultato può essere la quantificazione di una grandezza di natura diversa rispetto ai dati o addirittura definire una nuova grandezza. La divisione in diverse situazioni problematiche: -enunciati aperti di moltiplicazione -dalla coppia ordinata di numeri alla scrittura formale della divisione. La divisione tra numeri naturali: -calcolo di un quoziente con l’utilizzo di materiale -calcolo di un quoziente mediante l’algoritmo -le proprietà della divisione . La divisione in diverse situazioni problematiche: -enunciati aperti di moltiplicazione attraverso la messa in evidenza della coppia ordinata dei numeri associati ai dati e del relativo risultato. Per introdurre il concetto di divisione esatta sono state predisposte delle attività a partire dai “multipli”, in modo da evidenziare il legame tra divisione/moltiplicazione e da avviare la costruzione dei meccanismi di calcolo che in seguito avrebbero facilitato la ricerca del quoziente esatto tra due numeri naturali. Sono state proposte attività concrete, alle quali sono seguite descrizioni verbali e rappresentazioni simboliche. In quest’ottica sono stati richiamati alla memoria dei bambini i giochi effettuati l’anno precedente in palestra e in aula per avviare il concetto di divisione, coadiuvati anche dalla visione alla LIM del percorso effettuato e dei file predisposti per l’occasione. Presentazione multimediale con Smart Notebook e in formato PDF. Partendo da una ipotetica classe composta da 12 alunni e rispondendo a domande stimolo precise, riguardanti la suddivisione di questi in squadre di 3, 4 o 6 componenti ciascuna, analizzate anche in situazioni problematiche di moltiplicazione, gli alunni sono stati posti davanti alla possibilità di esprimere le diverse situazioni problematiche createsi attraverso enunciati aperti di moltiplicazione. Grazie a questo contesto sono state proposte attività di ricerca di tutte le coppie dei numeri “amici della moltiplicazione” di un numero dato.

Anche in questo caso Mister Bird Multiply ha proposto le “sue attività” agli alunni. (formato PDF)

La divisione in diverse situazioni problematiche: -dalla coppia ordinata di numeri alla scrittura formale della divisione attraverso problemi di contenenza e di ripartizione. Per introdurre questa parte è stato necessario procedere con gradualità partendo sempre da situazioni reali e vicine all’esperienza degli alunni in modo che questi fossero abili a comprendere quando la divisione è necessaria per la risoluzione di un problema, sia esso di contenenza o di ripartizione.

Si riporta un’attività introduttiva esperita e successivamente verbalizzata e problematizzata sul quaderno.

Per focalizzare meglio l’attenzione sui problemi di contenenza, oltre ad attività ludiche e pratiche, sono state proposte delle situazioni problematiche sotto forma di storie a puntate.

“IL MATRIMONIO DI CLAUDIA E FABIO”

Anche stavolta, Mister Bird Multiply ha presentato/raccontato le sue storie alla LIM. Fra queste il racconto delle vicende dei preparativi di un matrimonio che gli alunni hanno accolto con molto entusiasmo e divertimento, immedesimandosi grazie ai racconti delle loro esperienze vissute con i propri parenti.

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1 L’attività si è conclusa con la proposta di Mister Bird Multily di registrare le diverse situazioni della storia, utilizzando dei simboli al posto dei disegni. 2 Infine, si è ritenuto opportuno cogliere l’occasione per focalizzare una certa sequenzialità nelle operazioni utilizzando lo schema seguente.

Per promuovere le attività sui problemi di ripartizione anche in quest’occasione Mister Bird Multply ha raccontato le sue storie. Questa volta erano le storie di alcuni bambini che si iscrivevano ad una gara in una spiaggia e provavano a realizzare “IL CASTELLO PIU’ BELLO”.

Anche in questo caso, l’attività si è conclusa con la proposta di Mister Bird Multily di raccontare la “Gara del castello più bello” con i numeri,utile per familiarizzare sempre più con questa scrittura e arrivare gradualmente alla fase successiva del percorso. I racconti di Mister Bird Multiply si sono conclusi con le storie della “SCUOLAINGARA” che hanno fornito l’occasione per introdurre in maniera semplice ma coinvolgente l’obiettivo: dalla coppia ordinata di numeri alla scrittura formale della divisione.

Le storie della “SCUOLAINGARA”, ma soprattutto la spiegazione dei bambini che rimanevano fuori dai giochi perché in più (per alcuni questi bambini rimanevano in panchina oppure aiutavano l’arbitro o la maestra o facevano il tifo e poi, giocavano sicuramente nel turno successivo!) hanno stimolato delle riflessioni spontanee e molto interessanti fra gli alunni ed inoltre hanno permesso di affrontare la divisione tra numeri naturali e quindi il calcolo di un quoziente con l’utilizzo di materiale.

24 : 4 20 : 4 8 : 4 28 :4

Matilde P.: “Quando noi ci mettiamo in fila per 2, noi siamo 21! Quindi facciamo 9 file da 2 bambini e3 bambini (Matilde C., Federico e Michele) stanno in fondo! Loro sono come il RESTO!! Interviene Matilde C. : “Veramente di noi tre, i due maschi possono stare insieme, fare una coppia, e così diventiamo 10 file da 2 e io rimango da sola. E così, io sono il RESTO! E possiamo anche fare 21 : 2 = 10 con resto 1!” Successivamente, la docente, per stimolare altre riflessioni fra gli alunni, ha proposto dei semplici esercizi di calcolo della divisione in riga sul libro di testo ( 16 : 3 ; 20 : 7 ; 34 : 8 ; 11 :2 ; 56 : 9 ; ) ed ha atteso che gli alunni scoprissero delle strategie personali di calcolo. E’ stato chiesto agli alunni come pensavano di eseguire le divisioni assegnate, soprattutto perché l’esercizio era privo di qualsiasi supporto visivo. Alcuni interventi. Claudia: “Si, io ho capito come fare. Per esempio, 16 : 3. Mi sono immaginata 16 oggetti, li ho raggruppati per 3 e ho “visto” che erano 5 e 1 mi avanzava fuori. Infatti, 1 +15 = 16. Martina: “Invece, io ho usato la tabellina del 3. Ho “visto” che non c’era il 16, ma il 15. Quindi 3x5=15 più 1 che è il RESTO!” La docente ha rinforzato l’intervento proponendo a tutti gli alunni di provare ad utilizzare le strategie delle compagne ed anche la tavola pitagorica, così come registrato sul quaderno. La tabella della moltiplicazione. Con le attività di completamento di enunciati aperti di moltiplicazione i bambini hanno avuto modo di utilizzare la tabella della moltiplicazione in modo “non diretto”, cioè non per ricavare il prodotto, ma uno dei due fattori. Pertanto, si è ritenuto opportuno farne uso per la ricerca del quoziente nei problemi con divisione esatta. All’attenzione degli alunni sono state sottoposte le seguenti slide nelle quali si proponeva chiaramente la procedura corretta per utilizzare la tabella della moltiplicazione. Nel contempo, è stato chiesto loro di registrare le scoperte sul quaderno e di sperimentare la procedura individualmente sulla tavola pitagorica fornita con il libro di testo.

18 = 3 x 6

22 = (5 x 4) + 2

Molte delle difficoltà associate alla divisione sono legate soprattutto al calcolo del quoziente. In effetti, l’algoritmo della divisione ha una struttura complessa: richiede il ricorso a operazioni (moltiplicazione e sottrazione) diverse da quella che si sta eseguendo, utilizza la nozione di resto (parziale) anche se la divisione è esatta, comporta la ricerca per tentativi del quoziente, quindi mette in campo capacità di stima e approssimazione pertanto, per portare gli alunni alla comprensione dei vari passaggi è stato fondamentale partire con l’utilizzo di materiale e supporti (tavola pitagorica, linea dei numeri, regoli) e diversificare le procedure. La linea dei numeri. Questo strumento fornisce un supporto al calcolo del quoziente, esatto o intero, tramite procedure sottrattive. Per promuovere l’utilizzo di questa strategia alternativa a quello della tabella della moltiplicazione, è stata predisposta dalla docente, con una presentazione interattiva alla LIM, una situazione problematica stimolo. Presentazione con Smart Notebook e in formato PDF.

Le scatolette di tonno e il negozio del signor Carletto.

Agli alunni è stato chiesto inizialmente di provare a calcolare la divisione utilizzando la tabella della moltiplicazione. Trovandosi tutti nella evidente impossibilità di trovare la soluzione, la docente ha chiesto di trovare altre strategie.

Alcuni hanno disegnato le scatolette e le hanno raggruppate per 4; altri hanno provato con i multipli del 4, cioè a calcolare oltre il 4 x 10 sino ad arrivare a “ripeti il 4 per 17 volte, cioè 4 x 17 e arrivi a 68, Mae’!”; qualcuno ha contato con le addizioni ripetute: 4 + 4 + 4 + 4+……… Non avendo proposto nessuno la strategia di togliere 4 scatolette alla volta per formare una confezione fino a 68, la docente ha focalizzato l’attenzione sull’addizione ripetuta e ha proposto di provare a raggruppare per 4 utilizzando la linea dei numeri, ma partendo dal totale delle scatolette. Si riporta la verbalizzazione del lavoro sul quaderno.

Prima di affrontare gli aspetti della divisione tra numeri naturali scandito nelle proprietà della divisione

e il calcolo di un quoziente mediante l’algoritmo, agli alunni sono state somministrate alcune verifiche di valutazione formativa e successivamente sommativa, inframmezzate da attività di coppia di ricerca dell’errore.

Attività strutturate tratte dal libro di testo.

Attività strutturate di verifica formativa e sommativa individuale.

La divisione tra numeri naturali: calcolo di un quoziente mediante l’algoritmo. L’apprendimento della tecnica usuale richiede tempo e deve essere graduato perché non diventi un procedimento puramente meccanico. Tale schema consente di adottare un’unica notazione sia per le divisioni esatte che per quelle con il resto, dato che non presenta l’indicazione esplicita del simbolo di uguaglianza. Ciò è molto importante perché anche nei passaggi intermedi possono essere presenti resti parziali. Nella tecnica usuale, detta anche della “danda”, il divisore opera separatamente e sequenzialmente su ogni ordine di grandezza del dividendo, a partire dall’ordine maggiore. L’utilizzo del materiale strutturato, nella fattispecie i regoli di Cousenaire, favorisce il modo di procedere dell’algoritmo usuale e ne supporta efficacemente la comprensione. Per introdurre gli alunni a questa tecnica è stata proposta una situazione problematica coinvolgente e motivante: “La caccia al tesoro”. Verbalizzazione e rappresentazione grafica sul quaderno del lavoro svolto.

La manipolazione con i regoli Couisainare

Attività individuali di verifica sia sulla divisione con la tecnica usuale e su divisione e moltiplicazione.

Attività in coppia per la ricerca dell’errore sia sulla divisione con la tecnica usuale che con la moltiplicazione in colonna con due cifre al moltiplicatore con più cambi.

Per ragioni differenti non è stato possibile approfondire la parte relativa delle proprietà della divisione tra numeri naturali, che sarà oggetto di studio il prossimo anno scolastico. Le attività, che si sono limitate ad un primo approccio alla proprietà invariantiva, importante per facilitare il calcolo del quoziente esatto, sono partite dall’analisi di una situazione problematica.

Alla richiesta di mettere in evidenza le relazioni tra i dati della prima parte del problema e quelli della seconda è stato suggeritolo schema seguente.

Con questa modalità è stato semplice visualizzare che i due dati sono stati entrambi moltiplicati per 3 mentre il numero dei corsi è rimasto inalterato: - all’inizio i corsi erano 6 - dopo la pausa natalizia sono 6.

Solo successivamente è stata proposta un’attività strutturata tratta dal libro di testo. Tutti gli alunni hanno completato la pagina individualmente. Al termine, sono stati invitati a confrontare il loro lavoro con il compagno di banco per scoprire e condividere eventuali errori o difficoltà (lavoro in coppia). A tutti gli alunni è stato chiesto di esprimere un loro giudizio sull’attività svolta: sia individuale che di coppia. Tutti hanno dichiarato di non aver incontrato alcuna difficoltà, anzi che gli era sembrato piuttosto semplice.

Fase 3

Tempi di attuazione GIUGNO : 1 ora per il primo compito e 1 ora per il secondo.

Attività COMPITO/PRODOTTO Il Corso di Teatro: compito in situazione. Traguardi di competenza: -operare con i numeri e utilizzare con sicurezza le tecniche e le procedure del calcolo scritto e mentale; -riconoscere e risolvere problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Agli alunni è stato chiesto di interpretare una situazione problematica strutturata e di scoprire le strategie più adatte di calcolo Nello specifico, essi si sono confrontati con: interpretazione di dati in tabella, utilizzo corretto dei dati, esecuzione consecutiva di più calcoli prima di moltiplicazione e poi di somma (in riga e in colonna), esecuzione di differenze, interpretazione delle diverse domande poste, previsione nel calcolo, Tutti gli alunni hanno eseguito il compito in completa autonomia. Nessuno ha ricevuto aiuto o consigli dalla docente. Esito della prova. Su 21 alunni solo due alunni non sono riusciti ad orientarsi correttamente fra le varie richieste (domande implicite del compito). Purtroppo, in quel momento, erano vicini di banco e c’è il sospetto che si siano influenzati negativamente a vicenda. Tutti gli altri hanno ben compreso le richieste e malgrado qualche errore di calcolo hanno portato a termine la prova. Due alunne hanno completato la prova correttamente. Il compito era sicuramente complesso ma tutti si sono messi alla prova volentieri.

Il gelato di fine anno: compito di realtà. Traguardi di competenza: operare con i numeri e utilizzare con sicurezza le tecniche e le procedure del calcolo scritto e mentale -riconoscere e risolvere problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Agli alunni è stato chiesto di interpretare una situazione problematica reale e di scoprire le strategie più adatte di calcolo. Nello specifico, essi si sono confrontati con: interpretazione di dati di un problema reale, utilizzo corretto dei dati, interpretazione delle diverse domande poste, esecuzione consecutiva di più calcoli prima di moltiplicazione e poi di somma (in riga e in colonna), previsione nel calcolo, divisione in colonna. Per festeggiare la fine dell’anno scolastico, è ormai tradizione che le docenti conducano gli alunni presso il bar più vicino e che offrano loro il gelato più gradito. Per evitare le difficoltà di gestione legata alla scelta di 21 alunni davanti al banco frigo dei gelati con l’inevitabile, anche se comprensibile, confusione generale, le docenti hanno proposto agli alunni di effettuare la scelta un paio di giorni prima attraverso i listini dei gelati ALGIDA trovati sul web.

Tutti gli alunni sono riusciti a calcolare i prodotti parziali, (9 x 2 , 7x 2, ecc) e moltissimi a mente. Due alunni hanno incluso nella somma degli euro anche i 50 centesimi ipotizzando una spesa addirittura di 80 euro. Davanti alla perplessità delle maestre che hanno dichiarato di non essere Paperon Dei Paperoni entrambi gli alunni hanno reagito con un sorriso, ma autonomamente non sono stati in grado di comprendere e correggere l’errore.

Si sono rivelate molto interessanti le strategie adottate da qualche alunno per cercare di ripartire in maniera equa la spesa fra le due docenti. La difficoltà principale era sicuramente derivata dalla somma da dividere: 39, 50. Alcuni hanno eseguito la divisione in colonna eliminando i 50 centesimi dal calcolo per poi inserirli divisi nella risposta. Alcuni hanno provato a dividere la somma per tentativi ed errori, argomentando i vari passaggi,evitando la divisione, seppur giungendo alla risposta corretta. Altri hanno diviso in maniera approssimativa, con o sena divisione, a causa dei 50 centesimi. Alcuni di questi ultimi, scegliendo di far spendere almeno 1 euro in più ad una delle docenti, ha proposto che l’altra avrebbe potuto offrire il caffè all’altra per pareggiare la spesa. Naturalmente, l’ultimo giorno di scuola le docenti hanno offerto il gelato ai loro alunni nel bar dove il giorno prima una delle docenti aveva già provveduto ad ordinare i gelati richiesti.

Si nota che nello scontrino il conto già preparato dalla cassiera era di 36, 70. Si è scoperto che confrontando i prezzi con quelli del listino via web dal quale i bambini avevano scelto, quelli del bar erano più bassi. Naturalmente,gli alunni non sono stati coinvolti in questo momento, ma la docente ha provveduto a documentare l’accaduto in previsione di un possibile utilizzo come situazione d’innesco per una unità di apprendimento per il prossimo anno scolastico

Gli alunni gustano il loro gelato con grande soddisfazione!!!!

RISORSE UMANE INTERNE/ESTERNE

Docente di classe: Sechi Anna Lisa

VERIFICA COMPETENZE 1 Legge, scrive, rappresenta, ordina ed opera con i numeri interi e decimali. 2 Riconosce e risolve situazioni problematiche. 3Riconosce e corregge errori 4 Mostra di avere spirito cooperativo

VALUTAZIONE COMPETENZE

Indicatore n.1 Legge, scrive, rappresenta, ordina ed opera con i numeri interi e decimali.

livello 1 INIZIALE livello 2 BASE livello 3 INTERMEDIO livello 4 AVANZATO

Rappresenta le entità numeriche in situazioni semplici.

Rappresenta le entità numeriche in modo autonomo.

Rappresenta le entità numeriche in modo autonomo e corretto.

Ha una conoscenza articolata e flessibile delle entità numeriche

Indicatore n.2 Riconosce e risolve situazioni problematiche

livello 1 INIZIALE livello 2 BASE livello 3 INTERMEDIO livello 4 AVANZATO

Analizza un testo o una situazione semplice

Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto; descrive il procedimento seguito.

Risolve problemi di esperienza, utilizzando le conoscenze apprese; sa spiegare il procedimento seguito e le strategie adottate.

Risolve situazioni in modo corretto, coerente, autonomo e originale, spiegando la strategia utilizzata e confrontando procedimenti diversi.

Indicatore n.3 Riconosce e corregge errori.

livello 1 INIZIALE livello 2 BASE livello 3 INTERMEDIO livello 4 AVANZATO

Se aiutato, riconosce i propri errori.

Riconosce in modo autonomo i propri errori.

Sa motivare e dare spiegazioni nei confronti dei propri errori.

Sa monitorare il proprio processo di apprendimento, modificare il proprio comportamento e esprimere soluzioni alternative.

Indicatore n.4 Mostra di avere spirito cooperativo

livello 1 INIZIALE livello 2 BASE livello 3 INTERMEDIO livello 4 AVANZATO

Nel gruppo assume ruolo di gregario..

Collabora con i componenti del gruppo.

Collabora con gli altri, li aiuta e a sua volta è aiutato nello svolgimento dei compiti assegnati.

Collabora con i componenti del gruppo in modo attivo per raggiungere il massimo grado di efficacia.