universidad autónoma metropolitana unidad …148.206.53.84/tesiuami/uam4376.pdf · unidad...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD AUTóNOMA METROPOLITANA
UNIDAD IZTAPALAPA
DIVISIóN DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERíA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE PROCESOS E HIDRÁULICA
" DISEÑO DE CONTROL RETROALIMENTADO PARA UN PROCESO DE DIGESTI~NANAEROBIO 66
TESIS QUE PRESENTA EL ALUMNO
I.Q. ALEJANDRA VELASCO PÉREZ 9938 1798
PARA LA OBTENCI~N DEL GRADO DE
MAESTRA EN CIENCIAS ( I N G E N I E ~ A QUÍMICA)
<,'
ASESOR
DR. JOSÉ DE JESÚS ALVAREZ RAMÍREZ
NOVIEMBRE 200 1
Índice
Resumen General ...................................................................................................... 1
Capítulo 1 Introducción
1.1 Motivación ......................................................................................................... 5
1.2 Antecedentes ...................................................................................................... 6
1.3 Objetivos ........................................................................................................... 8
1.3.1 Objetivo Genera] ............................................................................................ 8
1.3.2 Objetivos Particulares .................................................................................... 8
1.4 Desarrollo del Trabajo ....................................................................................... 9
Capitdo 2 Control Automático de Procesos
2.1 Introduccidn ..................................................................................................... 10
2.2 Componentes de un Sistema de Control .......................................................... 10
2.3 Términos Important. es del Control Automático de Procesos ............................ 12
2.4 Razones Principales y Bases para el Control de Procesos ................................ 12
Capítulo 3 Conceptos para el Análisis de Control
3.1 Introducción ...................................................................................................... 14
3.2 Transformada de Laplace .................................................................................. 14
3.3 Propiedades de la Transformada de Laplace ..................................................... 19
3.4 Inversa de la Transformada de Laplace Mediante Expansi6n de
Fracciones Parciales .............................................................................................. 22
Capítulo 4 Estrategia de Control por Retroalimentaci6n
4.1 Introducci6n .................................................................................................... 25
4.2 Control por Retroalimentaci6n ........................................................................ 25
4.3 Controladores por Retroalimentaci6n .............................................................. 26
4.4 Ajuste de Controladores por Retroalimentacidn .............................................. 28
4.5 Prueba del Proceso Escal6n ............................................................................. 30
Capítulo 5 Control Cascada
5.1 Introducci6n ..................................................................................................... 35
5.2 Esquema Control Cascada ................................................................................. 35
5.3 Control Cascada en Serie ................................................................................. 38
5.4 Control Cascada en Paralelo ............................................................................ 39
Capítulo 6 Caso de Estudio (Proceso Bioldgico para el Tratamiento de
Lodos Residuales)
6.1 Introducci6n ..................................................................................................... 40
6.2 Principales Procesos para el Tratamiento Biol6gico de Lodos
Residuales ............................................................................................................... 42
6.2.1 Definicidn de los Procesos Bioldgicos ............................................................. 42
6.3 Digesti6n Anaerobia de Lodos .......................................................................... 43
6.4 Modelo Matemático de la Digesti6n Anaerobia ................................................. 44
6.5 Implementación Cornputacional ....................................................................... 46
Capítulo 7 Diseño de Estrategia de Control
7.1 Introducción ..................................................................................................... 47
7.2 DinAmicas sin Control ...................................................................................... 47
7.3 Diseño de Control Retroalimentado ................................................................. 48
7.4 Diseño de Estrategia Control Lineal PI en la Concentraci6n de DQO
del Efluente ............................................................................................................ 51
7.4.1 Simulaciones y Discusi6n de la Estrategia de Control Lineal PI ................... 52
7.5 Diseño de Estrategia Control Cascada Vía Medidas de AGV .......................... 54
7.5.1 Simulaciones y discusión de la estrategia Control Cascada ........................... 59
Capítulo 8 Conclusiones ....................................................................................... 60
Apéndice
Tabla 1 Valores para el Proceso de Digestión Anaerobio ....................................... 62
Tabla 2 Transformada de Laplace Funciones más Usuales ..................................... 63
Notación Modelo Matemático ................................................................................ 64
Referencias ............................................................................................................... 65
Resumen General
El tratamiento de las aguas residuales, se ha convertido en una necesidad de primer orden debido
a la escasez de este elemento vital y al requerimiento de mantener el entorno en condiciones salu-
bres, durante el tratamiento de las aguas residuales se generan lodos obtenidos como subproductos
del mismo, los cuales requieren de un procesamiento para asegurar la higiene de los lodos antes de ser
desechados. Actualmente, se están empleando sistemas biológicos para eliminar el material contami-
nante presente en los lodos residuales, ya que prácticamente todos los efluentes de lodos contienen una
parte considerable de material orgánico biodegradable, además de que estos sistemas son los menos
costosos.
Los sistemas de tratamiento biol6gico se clasifican en aerobio y anaerobio, siendo m& utilizado el
tratamiento anaerobio debido a que se considera una tecnología avanzada y econ6mica que requiere
de una mínima inversión en capital y costo de operaci6n en comparaci6n con el tratamiento biol6gico
aerobio. Sin embargo, un proceso biológico es muy inestable ante la presencia de perturbaciones en la
tasa de dilución o en la concentración de la carga orgánica en el influente del sistema. En los procesos
biol6gicos lo anterior conduce a la acumulación de ácidos g r a o s volátilies (AGV) generando con ello
una disminuci6n del pH y por lo tant,o una baja en las eficiencias de remoci6n del sistema. En base
a lo anteriormente expuesto, consideramos que el diseño de una estrategia de control para un proceso
de digesti6n anaerobio aseguraría un buen desempeño del sistema a pesar de perturbaciones sobre é1
mismo.
En este trabajo se presenta una propuesta para el diseño de controladores lineales retroalimentados
para un sistema de digestión anaerobio. La concentración de la demanda química de oxígeno (ST) en
el efluente y la tasa de dilución (D)son tomadas como variables regulada y manipulada respectiva-
mente. El diseño del control está basado en modelos simples de respuesta al escalón, con un retardo
a la entrada, que permite explicar los tiempos muertos inducidos por los aparatos de medici6n. El
controlador retroalimentado resultante tiene una estructura tradicional de control PI y puede ser fhcil-
mente implementado. Además, como la concentración de AGV puede ser medida fácil y rápidamente
comparada con la concentración de ST, es utilizada como una medida secundaria que es incorporada
al esquema de control retroalimentado.
1
Este procedimiento genera una estructura de control retroalimentado (PI) en cascada, el cual tiene
muchas ventajas sobre un control simple PI, es decir, tiene mucha mayor resistencia ante la presencia
de perturbaciones en el influente. Para ilustrar el desempeño del controlador propuesto, se usa un
modelo matemático que describe las dinámicas de crecimiento en suspensi6n de un sistema de digesti6n
anaerobio de lodos residuales.
2
Capítulo 1
Capítulo 1
Introducción
La ingeniería en aguas residuales es en la actualidad un Area de interés mundial, por razones de salud
pública, econ6micas y sociales ya que estas se encuentran estrechamente relacionadas (Tchobanoglous
y Burton, 1991). Como la legislaci6n ambiental es bastante rigurosa, es necesario desarrollar sistemas
optimizados para el tratamiento de los efluentes. El tratamiento del agua puede ser muy compleja o
relativamente simple, dependiendo de las propiedades del agua residual y del grado de pureza requerido.
Un flujo de agua residual puede estar compuesto de bbicamente cuatro tipos de flujos conocidos
como: (1) agua residual doméstica o negra es aquella que contienen desechos humanos, animales y
caseros, es típica de las zonas residenciales en las que no se efectúan operaciones industriales, o s610
en muy poca escala, (2) agua residual industrial es el agua de desecho proveniente de los procesos
industriales, (3) aguas pluviales formadas por todo el escurrimiento superficial de las lluvias, que
fluyen desde los techos, pavimentos y otras superficies naturales del terreno y (4) aguas residuales
combinadas estas son una mezcla de las aguas residuales domésticas o sanitarias y de las aguas pluviales
cuando se colectan en las mismas alcantarillas (Lapeña, 1989). Por lo tanto, las aguas negras son
fundamentalmente l a s aguas de abastecimiento de una poblaci6n, después de haber sido contaminadas
por diversos usos. En este sentido, la composición particular en un flujo de agua residual y de los
lodos generados durante el proceso de tratamiento de las aguas residuales depende fuertemente de las
especificaciones de las fuentes ya que muchas veces estas fuentes pueden contener s6lidos suspendidos,
compuestos orgAnicos biodegradables, compuestos inorgánicos disueltos y 'metales pesados. Entonces,
el tipo de proceso para el tratamiento de un flujo de agua residual o un lodo residual depende de la
cantidad y tipo de contaminantes que se quieren remover (Patry and Chapman, 1981).
3
De los diversos procesos que existen, el tratamiento biológico es una posible solución para remover la
materia orgánica, este proceso aprovecha la acción de algunos microorganismos para inducir diversas
reacciones químicas y fisicoquímicas. Los procesos de tratamiento biológico son clasificados como
aerobio y anaerobio, dependiendo de la presencia o ausencia de oxígeno.
En particular, la digestión anaerobia de lodos residuales se contempla dentro de los procesos
biológicos más viejos y fué estudiado por primera vez hace más de un siglo (McCarthy, 2001). Es una
tecnología avanzada y económica que requiere una mínima inversión en capital y costo de operación
en comparación con el tratamiento biológico aerobio.
4
1.1 Motivación
La digestión anaerobia de lodos residuales es una vía de manejo de residuos orgánicos, liquidos o
semisólidos, que presenta varias ventajas sobre otros procesos m& convencionales. En la digestión
anaerobia la materia orgánica es degradada a una mezcla de dióxido de carbono y metano debido
a una serie reaccihes en varias etapas, en donde varias reacciones substrate-microorganismo son
involucradas y las cuales se desarrollan en serie o paralelo (Denac et al., 1988; Heinzle et al., 1993).
El proceso de digestión anaerobio es muy inestable en el sentido de que si se generan variaciones muy
grandes en la tasa de dilución y en la carga orgánica del influente, puede generar un sobredisparo en
el reactor y una acumulación severa de ácidos grasos volátiles (AGV).
En particular, la acumulación de AGV puede reducir drhticamente el pH del sistema, deteriorando
seriamente la estabilidad del proceso anaerobio. Es por esto que consideramos importante implementar
un diagnóstico eficiente y un sistema de regulación para el proceso de digestión anaerobio (Estaben et
al., 1997). Entonces, el control en un proceso anaerobio es una etapa obligatoria porque son posibles
inestabilidades debido a sobrecargas o descargas de sustancias que no pueden ser degradadas a la
velocidad a la que llegan al sistema, provocando períodos de baja eficiencia o incluso la destrucción
del sistema biológico. Ademh, el incremento en la demanda de procesos de tratamiento biológi-
cos económicos y eficientes, promueve el mejoramiento de la operación de los procesos de digestión
anaerobio.
5
1.2 Antecedentes
En los últimos años, algunos trabajos han desarrollado el diseño de estrategias de control para procesos
anaerobios. Los algoritmos de control aplicados son en la mayoría del tipo convencional PI y PID
diseñados y sintonizados en base a metodologías heurísticas (Heinzle et al., 1993). E l desarrollo
obtenido con estos controladores es bastante pobre puesto que la mayoría de las guías de sintonizado
son bastante conservadoras. Las técnicas de control adaptable han sido tambien estudiadas (Renard
et al., 1988; Dochain and Perrier 1993; Johnson et al., 1995), una desventaja de los esquemas de
control adaptable es que se requiere de un completo conocimiento de los parámetros de la estructura
del sistema. En particular, los modelos matemáticos para los procesos anaerobios contienen grandes
incertidumbres paramétricas y funcionales, debido principalmente a un conocimiento inexacto de la
reacción cinética biológica,
Para superar este problema, se ha propuesto un acercamiento a lógica difusa. La idea fundamental
detrás de la lógica difusa es que un modelo de planta puede contruirse con pericia e información
fenomenológica. De esta manera, la lógica difusa permite tratar con incertidumbres en el proceso y
elaborar reglas de decisión complejas. Se ha demostrado que aplicando control con lógica difusa se
reduce hasta en un 50% la materia orgánica en una sobrecarga (Muller et al.: 1995; Estaben et al.,
1997).
Recientemente, Steyer et al. (1999) han propuesto a la lógica difusa como una técnica de control
avanzada para el monitoreo y control de reactores anaerobios. La estrategia está basada en el anAlisis
de perturbaciones añadidas a propósito al influente. El resultado de la estrategia de control es que
adapta automáticamente la cantidad de flujo a la entrada (es decir, la tasa de dilución) a los cambios
en la concentración en el influente. Sin embargo, puesto que esta estrategia de lógica difusa se basa en
información indirecta (p.ej., biogas y pH) para obtener la concentración deseada en el efluente, adem&
esta no tiene robustez en presencia de perturbaciones no caracterizadas en el influente debido a su
naturaleza de retroalimentación indirecta. Por el contrario, en una estrategia de control retroalimen-
tad0 directo, se aliment,an las medidas de concent,raci6n DQO (ST) para adaptar la cantidad de flujo
a la entrada. En las medidas de ST en el efluente los efectos de una perturbación en el influente, tal
como una desviación en el valor de la concentración deseada, puede ser corregida (Morari and Zafiriou,
1989). Sin embargo, los tiempos muertos son inevitables en los aparatos de medición. Es decir, las
medidas de S r comunmente son retardadas por lo que limitan el desarrollo del control retroalimentado
directo en la presencia de perturbaciones grandes en el influente.
6
Desde un punto de vista operacional 6ptim0, parecería que una combinaci6n de control directo
e indirecto es conveniente (p.ej., ldgica difusa) porque produciría una buena estrategia de control
donde la retroalimentación directa actuaría como un nivel regulatorio, y la retroalimentaci6n indirecta
actuaría como un nivel de monitoreo y supervisión (Steyer et al., 1999). Este problema de control para
procesos de digesti6n anaerobia merece estudios te6ricos y experimentales, para poder a s i valorar las
capacidades y limitaciones en el diseño del control deseado, que permita obtener un buen desempeño
del reactor y márgenes de seguridad adecuados.
7
1.3 Objetivos
Como se mencionó ant,eriorment,e, el tratamiento biológico es una alternativa para el tratamiento de
lodos residuales, en la remoción de la materia orgánica. El tratamiento biológico m& utilizado en
los últimos años es el proceso de digestión anaerobia, por considerarse una tecnología avanzada y
económica. Sin embargo, si se presentan variaciones muy altas en su tasa de dilución y en la carga
orgánica del influente, este t.iende a volverse inestable. Por lo que en este trabajo planteamos los
siguientes objetivos:
1.3.1 Objetivo General
Diseñar un esquema de control retroalimentado robusto para un proceso de digestidn anaerobio, que
permita obtener un buen desempeño del reactor a pesar de que existan perturbaciones en el sistema.
1.3.2 Objetivos Particulares
Mantener al reactor biológico estable, para obtener eficiencias de remoción óptimas. Esto es
importante, ya que un incremento en la carga orgánica del influente puede generar una acumu-
lación severa de ácidos grasos y con ello disminuir el pH del sist,ema y provocar disminuci6n en
la eficiencia de remoción.
0 Lograr que las variables manipuladas se encuentren dentro del punto de operación deseado, para
lograr un proceso de digestidn anaerobio seguro y eficiente. Debemos mantener lo más cerca
posible a la variable regulada del valor de referencia (set point) para asegurar un buen desem-
peño, esto lo podemos lograr manteniendo lo más cerca del punto de operación a l a s variables
manipuladas y dentro del menor tiempo posible.
8
1.4 Desarrollo del Trabajo
El trabajo de tesis se encuentra dividido en ocho capítulos, un apéndice y una sección de referencias
bibliográficas.
En el Capítulo 1 se presentan la motivación y los antecedentes al trabajo. En el Capítulo 2 se
hace una revisión de definiciones y términos básicos, que son necesarios en el control de procesos.
El Capítulo 3, se revisan de manera general los conceptos necesarios para el análisis de la teoría de
control, como son la aplicación de la Transformada de Laplace y algunas de sus propiedades.
El Capítulo 4 presenta el analisis de la estrategia de control por retroalimentación, a s i como los
tipos de controladores que existen para un sistema por retroalimentaci611, y como el proceso de la
prueba escalón, nos permite caracterizar al sistema de estudio, mediante el cálculo de los pardmetros
que nos van a permitir el sintonizado de nuestro controlador.
El Capítulo 5 nos da un panorama de lo que es una estrategia de control en cascada que es muy
utilizada para eliminar de manera satisfactoria las perturbaciones y obtener un buen desempeño de
la dinkmica del lazo de control. AdemAs, se presenta la definici6n de los dos tipos de control cascada
existentes, cascada en paralelo y cascada en serie.
Los Capítulos 6 y 7 , estdn enfocados a un caso de estudio específico, es decir, el desarrollo de una
estrategia de control para un proceso biológico de digestión anaerobio. En el Capítulo 6, se presenta
el modelo matemdtico de la digestión anaerobia de lodos residuales. El Capítulo 7 está enfocado a la
presentación y simulación del diseño de la estrategia de control retroalimentado directo, basado en un
modelo de respuesta al escalón con retardo a la entrada, donde la variable regulada ST en el efluente
y la variable manipulada es la tasa de dilución. Posteriormente, se plantea y simula el diseño de
control retroalimentado en donde aprovechando una medida intermedia de AGV, se incorpora dentro
del esquema de control retroalimentado PI y de la que resulta una estructura de control cascada.
Finalmente, el Capítulo 8 de conclusiones nos presenta de manera concreta los resultados obtenidos
de las estrategias de control expuestas. En la sección del apéndice se presentan los valores de los
paramétros utilizados para la solución del modelo matemático y el significado de la nomenclatura
utilizada, y por último se tiene una sección de referencias bibliográficas.
9
Capítulo 2
Capít u10 2
Control Automático de Procesos
2.1 Introducción
Los procesos industriales no son estiiticos, por el contrario: son muy diniimicos, cambian continua-
mente debido a los muchos tipos de perturbaciones y precisamente por eso se necesita que los sistemas
de control vigilen continua y automhticamente las variaciones que se deben controlar. Entonces po-
demos decir que el propdsito del control automiitico de procesos es mantener en determinado valor
de operación las variables de proceso tales como: temperaturas, presiones, flujos y compuestos. Para
lograr este propósito se debe disefiar e amplementar un sistema de control.
2.2 Componentes de un Sistema de Control
En la Figura 2.1 se muestra un sistema de control y sus componentes básicos, donde el primer paso
es medir mediante un sensor (termopar, dispositivo de resistencia térmica, termisores, etc.) la tem-
peratura de salida de la corriente del proceso. El sensor se conecta físicamente al trammisor, el cual
capta la salida del sensor y la convierte en una señal lo suficientemente intensa como para transmitirla
al controlador. El controlador recibe la señal, que está en relación con la temperatura, la comparar
con el valor que se desea y, según el resultado de la comparación, decide qué hacer para mantener la
temperatura en el valor deseado. Con base en la decisión, el controlador envía otra señal al elemento
final de control, el cual a su vez, maneja el flujo de vapor. Por lo tanto, los cuatro componentes básicos
de todo sistema de control, son:
10
Elemento final de control I
I I I
Vapor I
I I I
T,(t) = Temperatura de entrada T(t) = Temperatura de salida
Figura 2.1 Sistema de control de un intercambiador de calor
1. Sensor, que tambien se conoce como elemento primario.
2. Transmisor, el cual se conoce como elemento secundario.
3. Controlador, que es el cerebro del sistema de control.
4. Elemento final de control, frecuentemente se trata de una válvula de control aunque no siempre.
Otros elementos finales de control comúnmente utilizados son las bombas de velocidad variable,
los transportadores y los motores elbctricos.
La importancia de estos componentes estriba en que realizan las tres operaciones bhicas que deben
estar presentes en todo sistema de control; estas operaciones son:
1. Medici6n (M): la medici6n de la variable que se controla se hace generalmente mediante la combi-
naci6n de sensor y transmisor.
2. Decisi6n (D): con base en la medicibn, el controlador decide qué hacer para mantener la variable
en el valor que se desea.
3. Acci6n (A): como resultado de la decisi6n del controlador se debe efectuar una acci6n en el sistema,
generalmente ésta es realizada por el elemento final de control.
Entonces las operaciones M, D y A son obligatorias para todo sistema de control. E n algunos
sist,emas la toma de decisi6n es sencilla, mientras que en otros es m& compleja.
11
2.3 Términos Importantes del Control Automático de Procesos
Algunos de los términos que se son usados dentro de este trabajo y que son también de uso en control
automático de procesos son:
El primer término es la variable controlada, ésta es la variable que se debe mantener o controlar
dentro de algun valor deseado. El segundo término es el punto de control (set point), el valor que
se desea tenga la variable controlada. La variable manipulada es la variable que se utiliza para
mantener a la variable controlada en el punto de control (punto de fijación o de régimen). Finalmente
cualquier variable que ocasiona que la variable de control se desvíe del punto de control se define como
perturbacidn.
Los siguientes términos también son importantes. Circuito abierto o lazo abierto, se refiere a
la situación en la cual se desconecta el controlador del sistema, es decir, el controlador no realiza
ninguna funcidn relativa a como mantener la variable controlada en el punto de control. Control de
circuito cerrado o lazo cerrado se refiere a la situación en la cual se conecta el controlador al proceso;
el controlador compara el punto de control (la referencia) con la variable controlada y determina la
acción correctiva.
2.4 Razones Principales y Bases Para el Control de Procesos
Como ya se definió: el control automático de procesos es “una manera de mantener a la variable
controlada en el punto de control , a pesar de l a s perturbaciones”. Ahora comentaremos algunas de
las razones por l a s cuales es importante el control en los procesos. Estas razones son producto de la
experiencia industrial y tal vez no sean las únicas, pero sí las más importantes.
1. Evitar lesiones al personal de la planta o daño al equipo. La seguridad siempre debe estar en la
mente de todos, esta es la consideración más importante.
2. Mantener la calidad del producto (composici611, pureza, color: et,c.) en un nivel continuo y con un
costo mínimo.
3. Mantener la tasa de producción de la planta al costo mínimo.
Por tanto, se puede decir que las razones de la automatización de las plantas de proceso son
proporcionar un entorno seguro y a la vez mantener la calidad deseada del producto y alta eficiencia
de la plant,a con reducción de la demanda de trabajo humano.
12
Ahora para estudiar el control de procesos es importante entender el comportamiento dinhmico de
los procesos por consiguente, es necesario desarrollar el sistema de ecuaciones que describe diferentes
procesos, esto se conoce como modelacidn. Muchas de las ecuaciones que se desarrollan para describir
los procesos son de naturaleza no lineal y, en consecuencia, la manera m& exacta de resolverlas es
mediante métodos numéricos, es decir, por computadora. La soluci6n por computadora de los modelos
de proceso se llama simulacidn (Smith, 1991).
13
Capítulo 3
Capítulo 3
Conceptos para el Análisis de Control
3.1 Introduccih
Las técnicas de la Transformada de Laplace y de linealización son particularmente útiles para el andli-
sis de la dinámica de los procesos y el diseño de sistemas de control, debido a que proporcionan una
visión general del comportamiento de una gran variedad de procesos e instrumentos. Por el contrario;
la técnica de simulación por computadora permite realizar un análisis preciso y detallado del compor-
tamiento dinámico de sistemas especificas: pero rara vez es posible generalizar para otros procesos los
resultados obtenidos.
3.2 Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace (TLP) de una función del tiempo, f ( t ) , se define mediante la siguiente
f6rmula:
00
~ ( s ) = € [ f ( t ) ] = 1 f ( t )e -s td t O
donde:
f ( t ) = Es una función del tiempo
F ( s ) = Es l a transformada de Laplace correspondiente
S = Es la variable de la T.L.P
t = Es el tiempo
14
En la aplicación de la T.L.P al diseño de sistemas de control, las funciones del tiempo son l a s
variables del sist,ema, inclusive la variable manipulada y la controlada; las señales del transmisor, l a s
perturbaciones, las posiciones de la vtilvula de control, el flujo a través de las vhlvulas de control y
cualquier otra variable o señal intermedia. Por lo tanto, es muy importante darse cuenta que la T.L.P
se aplaca a las variables y señales, y no a los procesos o instrumentos.
En el análisis de los sistemas de control se aplican señales a la entrada del sistema (p.ej., pertur-
baciones, cambios en el punto de control, etc.) para estudiar su respuesta (Smith, 1991). Algunas de
las m& comunes son:
a) Una funci6n de escal6n unitario
b) Un pulso
C) Una función de impulso unitario
d) Una onda senoidal
a) Funcidn de escaldn unitario
La funci6n de escal6n unitario es un cambio súbito de magnitud unitaria en un tiempo igual a cero;
dicha funcidn se ilust,ra gráficamente en la Figura 3.la, y se representa algebraicamente mediante la
expresi6n:
u(t) = O si t < O
Y
u(t) = 1 si t 2 O
y su Transformada de Laplace está dada por:
00 1 1
O S S L [u(t)] = J u(t)e-stdt = --e-st Ir= --(O - 1)
15
b) Pulso d e magnitud H y duracidn T
El pulso se muestra gráficamente en la Figura 3.lb y su representación algebraica es:
f ( t ) = O si t < O
f ( t ) = O si t 2 T
Y
f ( t ) = H si O I t < T
su Transformada de Laplace está dada por
c) Funcidn de impulso unitario
Esta es un pulso ideal de amplitud infinita y duración cero, cuya área es la unidad, en otras
palabras, un pulso de área unitaria con toda ella concentrada es un tiempo igual a cero. Esta función
se esboza en la Figura 3 .1~ . Generalmente se usa el símbolo b(t) para representarla, y se le conoce
como función "delta Dirac". Su expresión algebraica se puede obtener mediante el uso de los límites
de la función pulso de la parte (b):
b ( t ) = l irnT40 f ( t )
con
HT = l(eZ brea)
O
16
1.0 - - -
O
1 t = O t
I t = O t
Figura 3.1 Señales de entrada comunes en el estudio de la respuesta de sistetnas de control. a) escalón unitario u(t); b) pulso; C) impulso, 6(t); d) Onda senoidal, sen a t (o=Zn/T).
H = 1/T
la Trasformada de Laplace se puede obtener tomando el límite del resultado de la parte b):
ahora se require la aplicación de la regla de L'Hopital para límites indefinidos:
E [b(t)] = 1
d) Onda senoidal de amplitud y frecuencia w
La onda senoidal se muestra en la Figura 3.ld, y su representación en forma exponencial es:
e2Wt - e-iwt
2i sen wt =
donde i = J-i es la unidad de los números imaginarios. Su Transformada de Laplace esta dada por
E [sen wt] = sen wt e-stdt o. eawt-e-iwi
= so 2i e-stdt
- L -0-1 + "1 - 22 [ S-ZW s+zw
17
siendo su resultado
con este ejemplo se ilusra el manejo algebraic0 que implica la obtención de la Transformada de Laplace
de una señal.
3.3 Propiedades de la Transformada de Laplace
Se presentara en forma breve algunas de las propiedades importantes de la T.L.P, las cuales son útiles
porque permiten a) obtener la transformada de algunas funciones a partir de las más simples; b)
establecer la relaci6n de la transformada de una funci6n con sus derivadas e integrales; C) determinar
de los valores inicial y final de una funci6n a partir de su transformada.
Linealidad. Esta propiedad, la más importante, establece que la Transformada de Laplace es lineal;
es decir, si k es una constante
.€ [ k f ( t ) l = lf(t11 = k F ( s ) (3.2)
puesto que es lineal, la propiedad distributiva también es vAlida para la Transformada de Laplace:
ambas propiedades se pueden demostrar fácilmente mediante la aplicaci6n de la definici6n de Trans-
formada de Laplace, ecuaci6n (3.1).
Teorema de la diferenciación real. Este teorema establece la relación de la Transformada de Laplace
de una funci6n con la de su derivada. Su expresidn matemAtica es
.€ [ y = s F ( s ) - f ( 0 )
de la definición de Transformada de Laplace, ecuaci6n (3.1)
integrando por partes:
(3-4)
y resolviendo
19
= [O - f ( O ) ] + S 7 f ( t ) e - s td t O
= "f(0) + sf: [ f @>I = #(S) - f ( 0 )
la extensi6n a derivadas de orden superior es directa:
= s2F(s ) - s f ( 0 ) - z(0) df
en general
f [-3 = s V ( s ) - S" f(0) - S"&(O) - ...
... - S S ( 0 ) - =(o) (3.5)
para este caso donde las condiciones iniciales son cero, la obtenci6n de transformada de Laplace de
una función se hace simplemente mediante la substitución del operador d /d t por la variable S, y la de
f ( t ) Por F k ) . Teorema de la integración real. Este teorema establece la relación entre la transformada de una
función y la de su integral. Su expresión es
20
Teorema de la diferenciación compleja. Con este teorema se facilita la evaluaci6n de las transfor-
madas que implican la variable de tiempo t , y se expresa mediante
d ds
.€ [tf(t)] = -"F(s)
Teorema de la traslación real. En ,este teorema se trabaja con la traslaci6n de una funci6n en
el eje del tiempo, como se ilustra en la Figura 3.2. La funci6n trasladada es la funci6n original con
retardo en t,iempo. El retardo de transporte ocasiona retardos de tiempo en el proceso; este fendmeno
se conoce comúnmente como tiempo muerto.
Puesto que la transformada de Laplace no contiene informacidn acerca de la funci6n original para
tiempo negativo, se supone que la funcidn retardada es cero, para todos los tiempos menores al tiempo
de retardo (ver Figura 3.2). El teorema se expresa mediante la siguiente f6rmula:
Teorema de la traslación compleja. Este teorema facilita la evaluaci6n de la transformada de
funciones que implican al tiempo como exponente.
.€ [eat f ( t ) ] = ~ ( s - a) (3.10)
Teorema del valor final. Este teorema permite el cálculo del valor final o de estado estacionario de
una funci6n a partir de su transformada. También es útil para verificar la validez de la transformada
que se obtiene. Si el límite t --f cm de f ( t ) existe, se puede calcular a partir de la Transformada de
Laplace como sigue:
limt.+mf(t) = lim,+osF(s) (3.11)
Teorema del valor inicial. Este teorema es útil para calcular el valor inicial de una funci6n a partir
de su Transformada de Laplace; adem6.s proporciona otra verificación de la validez de la transformada
que se obtiene
limt,of(t) = lim,,,sF(s) (3.12)
21
0 -
l o t= t , t
Figura 3.2 La función que se traslada en tiempo es cero para todos los tiempos menores al tiempo de retardo to.
3.4 Inversa de la Transformada de Laplace Mediante Expansidn de
Fracciones Parciales
El último paso en el proceso de solución de una ecuacidn diferencial mediante la Transformada de
Laplace es la inversión de la ecuación algebraica de la variable de salida, Y(.), la cual se puede
representar mediante
(3.13)
entonces el objetivo es establecer la relación general entre la transformada de la variable de salida
Y ( s ) y su inversa y(-¿). con este procedimiento se puede realizar el análisis de la respuesta del sistema
mediante el análisis de su función transformada Y ( s ) y y ( t ) , sin tener que invertirla realmente. ahora
establecemos la relación entre Y ( s ) y y ( t ) por medio del método de expansidn de fracciones parciales,
la transformada de Laplace de la salida o variable dependiente de una ecuacidn diferencial lineal de
orden n con coeficientes constantes, se puede expresar mediante
Y ( s ) = bmsm + bm-1Srn-l + ...... + bo] x ( s ) a,sn + an-1 S,-1 + ...... + a,
(3.14)
donde:
Y ( s ) es la transformada de Laplace de la variable de salida
X ( s ) es la transformada de Laplace dela variable de entrada
a,, a l , ...., a, son los coeficientes constantes de la variable de salida y sus derivadas
bo, bl , ...., b , son los coeficientes constantes de la variable de salida y sus derivadas.
Si se observa la Tabla 2 , se puede ver que la Transformada de Laplace de las funciones m& comunes
es una relación de polinomios en las variables de la Transformada de Laplace. Si se supone que éste
es el caso de X ( s ) , se puede demostrar fácilmente que Y ( s ) también es la relación de polinomios:
(b,sm + bm-lsm-l + ...... + bo) [numerador de X ( s ) ] (a,sn + an-lsn-l + ...... + a,) [denominador de X ( s ) ]
Y ( s ) = (3.15)
O
22
donde:
N ( s ) = p p j + &lsj-l + ....... p ] S + p,
Y
p0,p1, ......, pj son los coeficientes constantes del polinomio numerador N(s) de grado j ( j 2 m),
ct,,al, . . , a k - l son los coeficientes constantes del polinomio denominador D(s ) de grado k ( k 2 n)
Se supuso que el coeficiente de sk en D(s ) es la unidad, lo cual se puede hacer sin pérdida de
la generalidad, ya que siempre es posible dividir el numerador y el denominador entre el coeficiente
de sk y cumplir con la ecuaci6n (3.15). El primer paso de la expansión de fracciones parciales es la
factorizacidn del polinomio denominador D( S):
(3.16)
donde T I , ~ 2 , ..... T k son las raíces del polinomio, es decir: los valores de S que satisfacen la ecuación
D ( s ) = S + a k - ] S k - l + + Cr ]S + (Y, = o k (3.17) .....
un polinomio de grado k puede tener hasta k raíces disbintas y, siempre se puede factorizar de la
manera que se muestra en la ecuaci6n (3.16); si hacemos S igual a cualquiera de l a s raíces resultantes
en uno de los fact.ores ( S - T ) , éste se hace cero, y entonces D(s ) = O. Substituyendo, la ecuaci6n
(3.16) en la ecuación (3.15) da como resultado
Y ( s ) = N ( s ) (3.18) ( S - . ] ) (S - T2) ..... ( S - r k )
por medio de esta ecuaci6n es posible demostrar que la transformada Y ( s ) se puede expresar como la
suma de k fracciones:
Al A2 Ak Y ( s ) = - + - + ........... +- S”] S“2 S - r k
(3.19)
23
donde Al, A2, .... Ak son una serie de coeficientes constantes que se evalúan mediante un procedimiento
de series. Este paso se conoce como expansión en “fracciones parciales”.
Una vez que se expande la transformada de la salida, como se muestra en la ecuación (3.19), se
puede usar la propiedad distributiva de la transformada inversa para obtener la funcidn inversa:
(3.20)
Al A2 + .......... +- S - r l S - r 2 S Ak - rk 1 - Al.€-’ [=] 1 +A2‘€-’ [=] 1 + . .........
las inversas individuales generalmente se pueden determinar mediante el uso de una tabla de Trans-
formadas de Laplace. Para evaluar los coeficientes de las fracciones parciales y completar el proceso
de inversi6n, se deben considerar cuatro casos.
1. Raíces reales no repetidas
2. Pares no repetidos de raíces complejas conjugadas
3. Raíces repetidas
4. Presencia de tiempo muerto
Tiempo Muerto. El uso de la técnica de expansión en fracciones parciales se restringe a los
casos en que la t,ransformada de Laplace se puede expresar como una relaci6n de dos polinomios.
Como se muestra en la ecuación (3.9), cuando la transformada de Laplace contiene tiempo muerto
(retardo de transporte o tiempo de retraso), en la función transformada aparece el término exponencial
e-sto: donde to es el tiempo muerto y, puesto que el exponencial es una funci6n trascendental, el
procedimiento de inversión se debe modificar de manera apropiada.
24
Capít u10 4
Estrategia de Control por
Retroalimentación
4.1 Introducción
El esquema de control que se muestra en la Figura 2.1 se conoce como control por retroalimenta-
cidn, también se le llama circuito de control por retroalimentacidn. Esta técnica la aplicd por primera
vez James Watt hace casa 200 años para controlar un proceso industrial que consistia en mantener
constante la velocidad de una mdquina de vapor con carga variable. En este procedimiento se toma la
variable controlada y se retroalimenta al controlador para que éste pueda tomar una decisidn.
4.2 Control por Retroalimentación
Para comprender el principio de operación del control por retroalimentación se presenta el circuito de
control del intercambiador de calor en la Figura 2.1. Si la temperatura de entrada al proceso aumenta
y en consecuencia crea una perturbación, su efecto se debe propagar a todo el intercambiador de
calor antes de que cambie la temperatura de salida. Una vez que cambia la temperatura de salida:
también cambia la señal del transmisor al controlador, en ese momento el controlador detecta que debe
compensar la perturbación mediante un cambio en el flujo de vapor, el controlador ordena entonces a
la valvula cerrar su apertura y de este modo decrece el flujo de vapor.
La ventaja del control por retroalimentación consiste en que es una técnica muy simple, como
se muestra en la Figura 2.1, que compensa todas las perturbaciones. Cualquier perturbación puede
25
afectar a la variable controlada, y cuando ésta se desvía del punto de control, el controlador cambia
su salida para que la variable regrese al punto de control. El circuito de control no detecta qué tipo
de perturbaci6n entra al proceso, únicamente trata de mantener la variable controlada en el punto
de control y de esta manera compensar cualquier perturbacidn (Smith, 1991). La desventaja del
control por retroalimentación estriba en que únicamente puede compensar la perturbación hasta que
la variable controlada se ha desviado del punto de control: esto es, la perturbación se debe propagar
por todo el proceso antes de que pueda actuar la variable manipulada.
4.3 Controladores por Retroalimentación
La manera en que los controladores por retroalimentaci6n toman una decisión para mantener el punto
de control, es mediante el cálculo de la salida con base en la diferencia entre la variable que se controla
y el punto de control.
Controlador Proporcional (P). El controlador proporcional es el tipo más simple de controla-
dor. La ecuación con que se describe su funcionamiento es la siguiente:
O
m(t) = f i + K,e(t)
donde:
m(t) = salida del controlador
r(t) = punto de control
c(t) = variable que se controla; ésta es la señal que llega del transmisor.
e(t) = señal de error; ésta es la diferencia entre el punto de control y la variable que se controla.
Kc = ganancia del controlador
m = valor base o nominal. El significado de este valor es la salida del controlador cuando el error -
es cero; generalmente se fija durante la calibraci6n del controlador.
26
En las ecuaciones (4.1) y (4.2) se ve que la salida del controlador es proporcional al error entre el
punto de control y la variable que se controla; la proporcionalidad la da la ganancia del controlador,&;
con esta ganancia o sensibilidad del controlador se determina cuánto se modifica la salida del contro-
lador con un cierto cambio de error. esto se ilustra graficamente en la Figura 4.1
Los controladores que son únicamente proprocionales tienen la ventaja de que solo cuentan con un
parámetro de ajuste, Kc, sin embargo, adolecen de una gran desventaja, operan con una DESVIA-
CION, o “error de estado estacionario” en la variable que se controla.
Controlador Proporcional-Integral (PI). La mayoría de los procesos no se pueden controlar
con una desviacidn, es decir, se debe añadir inteligencia al controlador proporcional, para eliminar
la desviación. Este nuevo modo de control es la acción integral o de reajuste y en consecuencia,
el controlador se convierte en un controlador proporcional integral (PI). La siguiente es su ecuacidn
descriptiva:
O
m(t) = ñi + K c e ( t ) + - K c J e ( t ) d t 71
(4.4)
donde 7 1 = tiempo de integración o reajuste minutos/repetición. Por lo tanto, el controlador PI tiene
dos parámetros, Kc y 7 1 , que se deben ajustar para obtener un control satisfactorio.
Para entender el significado físico del tiempo de reajuste, 71, considérese el ejemplo hipotktico
que se muestra en la Figura 4.2, donde 7 1 es el tiempo que toma al controlador repetir la accidn
proporcional y, en consecuencia, l a s unidades son minutos/repetición. Tanto menor es el valor de 7 1 ,
cuanto más pronunciada es la curva de respuesta, lo cual significa que la respuesta del controlador se
hace más rápida. Otra manera de explicar esto es mediante la observaci6n de la ecuaci6n (4.4), tanto
menor es el valor de 7-1, cuanto mayor es el término delante de la integral, &/TI , y, en consecuencia
se le da mayor peso a la acción integral o de reajuste.
Controlador Proprocional-Integral-Derivativo (PID). Algunas veces se añade otro modo de
control al controlador PI, este nuevo modo de control es la acción derivativa, que tambien se conoce
como rapidez de derivacidn o preactuación; tiene como propósito anticipar hacia dónde va el proceso,
mediante la observación de la rapidez para el cambio del error, su derivada. La ecuación descriptiva
27
K c = 2
K c = I
mA
Figura 4.1 Efecto de la ganancia del controlador sobre la salida del controlador.
c@>, mA 1 ma ....... . ............................................................................ Punto de control
t +
Respuesta del
1c
Figura 4.2 Respuesta del controlador proporcional integral (PI) a un cambio escalón.
es la siguiente:
m(t) = vi + K c e ( t ) + - e( t )dt + de@) (4.5)
En donde TD = rapidez de derivación en minutos. Por lo tanto, el controlador PID tiene tres
parámetros, Kc, 7 1 , y T D , que se deben ajustar para obtener un control satisfactorio. Como se acaba
de mencionar, con la acción derivativa se da al controlador la capacidad de anticipar hacia dónde
se dirige el proceso, es decir, “ver hacia adelante”, mediante el cálculo de la derivada del error. La
cantidad de “anticipación” se decide mediante el valor del parametro de ajuste, T D . Los controladores
PID se recomiendan para circuitos con constantes de tiempo larga en los que no hay ruido.
Controlador Proporcional-Derivativo (PD). Este controlador se utiliza en los procesos donde
es posible utilizar un controlador proporcional, pero se desea cierta cantidad de “anticipaci6n”. La
ecuación descriptiva es
m(t) = E + K,e(t) + K C r ~ - de@) dt
una desventaja del controlador PD es que opera con una desviación
(4.6)
en la variable que se controla:
la desviación solamente se puede eliminar con la acción de int,egración, sin embargo, un controlador
PD puede soportar mayor ganancia, de lo que resulta una menor desviación que cuando utiliza un
controlador únicamente proporcional en el mismo circuito.
4.4 Ajuste de los Controladores
El ajuste es el procedimiento mediante el cual se
por Retroalimentación
adecúan los parámetros del controlador por retroa-
limentación para obt.ener una respuest,a específica de lazo cerrado. El ajuste del lazo de control por
retroalimentación es análogo al del motor de un automóvil o de un televisor; en cada caso la dificultad
del problema se incrementa con el número de parámetros que se deben ajustar; por ejemplo, el ajuste
de un controlador proporcional simple o de uno integral es similar al del volumen de un televisor,
ya que sólo se necesita ajustar un parámetro o perilla; el procedimiento consiste en moverlo en una
dirección u otra, hasta que se obtiene la respuesta (o volumen) que se desea.
El siguiente grado de dificultad es ajustar el controlador de dos modos o proporcional-integral (PI),
que se asemeja al proceso de ajustar el brillo y el contraste de un televisor en blanco y negro, puesto
que se deben ajust,ar dos parámetros: la ganancia y el tiempo de reajuste; el procedimiento de ajust,e
28
es significativamente más complicado que cuando sólo se necesita ajustar un pardmetro. Finalmente,
el ajuste de los controladores de tres modos o proporcional-integral-derivativo (PID) representa el
siguiente grado de dificultad, debido a que se requiere ajustar tres pardmetros: la ganancia, el tiempo
de reajuste y el tiempo de derivación, lo cual es análogo al ajuste de los haces verde, rojo y azul en
un televisor a color.
A pesar de que se planteó la analogia entre el ajuste de un televisor y un circuito de control por
retroalimentación, no se trata de dar la impresidn de que en ambas tareas existe el mismo grado
de dificultad. La diferencia principal estriba en la velocidad de respuesta del televisor contra la del
circuito del proceso; en el televisor se tiene una retroalimentación casi inmediata sobre el efecto del
ajuste. Por otro lado, a pesar de que en algunos circuitos de proceso se tienen respuestas relativamente
rápidas, en la mayoria de los procesos se debe esperar varios minutos, o aun horas, para apreciar la
respuesta que resulta del ajuste, lo cual hace que el ajuste de los controladores con retroalimentacidn
sea una tediosa tarea que lleva tiempo; a pesar de ello, éste es el método que m& comúnmente los
ingenieros en control e instrumentaci6n en la industria. Para ajustar los controladores a varios criterios
de respuesta se han introducido diversos procedimientos y fórmulas de ajuste.
Los valores de los parámetros de ajuste dependen de la respuesta de circuito cerrado que se desea,
así como de las características dinarnicas o personalidad de los otros elementos del lazo de controly,
particularmente, del proceso. Si el sistema resulta ser no lineal, como generalmente ocurre, estas carac-
terísticas cambian de un punto de operación al siguiente, lo cual significa que un conjunto particular de
parametros de ajuste puede producir la respuesta que se desea únicamente en un punto de operación,
debido a que los controladores con retroalimentación estándar son dispositivos bhicamente lineales.
A fin de operar en un rango de condiciones de operacidn, se debe establecer un arreglo para lograr un
conjunto aceptable de parámetros de ajuste, ya que la respuesta puede ser lenta en un extremo del
rango, y oscilatoria en el otro.
29
4.5 Prueba del Proceso Escalón
Los modelos que comúnmente se utilizan para caracterizar al proceso son los siguientes:
Modelo de primer orden más tiempo muerto (POMTM)
Ketos G(s) = -
7 , + 1
Modelo de segundo orden más tiempo muerto (SOMTM)
(4.7)
para procesos subamortiguados (< < l), donde :
K = ganancia del proceso en estado estacionario
to = tiempo muerto efectivo del proceso
T , 71, 7 2 = constantes de tiempo efectivas del proceso
< = razdn de amortiguamiento efectiva del proceso.
De éstos, el modelo POMTM es en el que se basa la mayoría de las fórmulas de ajuste de contro-
ladores. En este modelo el proceso se caracteriza mediante tres parámetros: la ganancia K, el tiempo
muerto to y la constante de tiempo T. De modo que el problema consiste en la manera en que se pue-
den det,erminar dichos parámetros para un circuito particular; la solución consiste en realizar algunas
pruebas dinámicas en el sist,ema real o la simulaci6n del circuito en una computadora; la prueba más
simple que se puede realizar es la de escalón. El procedimiento de la prueba de escaldn se puede llevar
a cabo de la siguiente manera:
0 Con el controlador en la posición manual (es decir,a lazo abierto), se aplica al proceso un cambio
escalón en la señal de salida del controlador m(t). La magnitud del cambio debe ser lo suficien-
temente grande como para que se pueda medir el cambio consecuente en la señal de salida del
t,ransmisor, pero no tanto como para que las linealidades del proceso ocasionen la distorsión de
la respuesta.
30
0 La respuesta de la señal de salida del transmisor c(t) se grafica contra el tiempo y debe cubrir
el periodo completo de la prueba, desde la introducción de la prueba de escaldn hasta que el
sistema alcanza un nuevo estado estacionario.
Naturalmente, es imperativo que no entren perturbaciones al sistema mientras se realiza la prueba
de escalón. En la Figura 4.3 se muestra una grAfica tipica de la prueba, la cual se conoce tambib
como curva de reacción del proceso; la respuesta en forma de S es característica de los procesos de
segundo orden o superior, con o sin tiempo muerto. El siguiente paso es hacer coincidir la curva de
reacción del proceso con el modelo de un proceso simple para determinar los parámetros del modelo.
Como ejemplo de lo anterior podemos ver el siguiente ejemplo, en el cual utilizaremos un modelo
de primer orden m& tiempo muerto (POMTM). En ausencia de perturbaciones y para las condiciones
de la prueba, tomemos la Figura 4.4. Donde la respuesta de la señal de salida del transmisor se expresa
mediante
C(s ) = G(s)M(s)
para un cambio escalón de magnitud Am en la salida del controlador y un modelo POMTM, de la
ecuaci6n (4.7), se tiene
Ketos Am 7 s + 1 S
C ( S ) = ~ . -
al expandir esta expresión en fracciones parciales se obtiene:
C ( s ) = KAme-tos
invirtiendo con transformada de Laplace y aplicando el teorema de traslacidn real obtenemos:
(4.10)
(4.11)
(4.12)
se incluye la función escalón unitario u(t - to) , para indicar explícitamente que para t 5 to
Ac( t ) = O
31
T 4
””””””””””- ”” I 1 I
O t
Figura 4.3 Curva de reacción del proceso o respuesta escalón a lazo abierto.
( Abrir el punto)
Figura 4.4 Diagrama de bloques para la prueba escalón a lazo abierto.
El término Ac es la perturbaci6n o cambio de salida del transmisor respecto a su valor inicial:
Ac(t> = ~ ( t ) - ~ ( 0 ) (4.13)
en la Figura 4.5 se muestra una gráfica de la ecuación (4.12), en ésta el término Ac, es el cambio, en
estado estacionario, de c(t). De la ecuacidn (4.12) tenemos
Ac, = lim ,,,Ac(t) = KAm (4.14)
a partir de esta ecuaci6n, y si se tiene en cuenta que la respuesta del modelo debe coincidir con la
curva de reacci6n del proceso en estado estable, se puede calcular la ganancia de estado estacionario
del proceso, la cual es uno de los parámetros del modelo:
(4.15)
el tiempo muerto o retardo t o y la constante de tiempo r se pueden determinar al menos mediante
tres métodos, cada uno de los cuales da diferentes valores.
MCtodo 1. En este método se utiliza la línea tangente a la curva de reacción del proceso, en el punto
de raz6n m k i m a de cambio; para el modelo POMTM esto ocurre en t = t o , como resulta evidente al
observar la respuesta del modelo en la Figura 4.5. De la ecuaci6n (4.12) se encuentra que esta raz6n
inicial (máxima) de cambio es
(4.16)
en la Figura 4.5 se aprecia que tal resultado indica que la línea de razdn máxima de cambio intersecta
la línea de valor inicial en t = t o , y la línea de valor final en t = t o + T . De este descubrimiento se
deduce el trazo para determinar t o y T que se ilustra en la Figura 4.6a; la línea se traza tangente a la
curva de reacci6n del proceso real, en el punto de reacci6n máxima de cambio. La respuesta del modelo
en que se emplean los valores de to y T se ilustra con la línea punteada en la figura. Evidentemente,
la respuesta del modelo que se obtiene con este método no coincide muy bien con la respuesta real.
32
O
Figura 4.5 Respuesta escalón de un proceso de primer orden más tiempo muerto en la que se ilustra la definición gráfica de tiempo muerto, to, y constante de tiempo, T.
t
O
Real
Modelo
t
"
1
L
O
1 Real I
t
I I
I O
Figura 4.6 Gráficos de los parámetros del modelo POMTM. a) método 1; b) método 2; c) método 3.
Ac(t0 + T) = KAm [l - e”] = 0.632Acs (4.17)
se observa que la comparación entre la respuesta del modelo y la real es mucho más cercana que
con el método 1, Figura 4.6b. El valor de la constante de tiempo que se obtiene con el método 2 es
generalmente menor al que se obtiene con el método 1.
Método 3. Al determinar to y T con los dos métodos anteriores, el paso de menor precisi6n es el
trazo de la tangente en el punto de razón máxima de cambio de la curva de reacción del proceso. Aun
en el método 2, donde el valor de ( t o + T ) es independiente de la tangente, los valores que se estiman
para t o y T dependen de la línea. Para eliminar esa dependencia el doctor Smith y Corripio (1991)
propone que los valores de t o y T se seleccionen de tal manera que la respuesta del modelo y la real
coincidan en la región de alta tasa de cambio. Los dos puntos que se recomiendan son (to + 1/3 T ) y
( t o + T ) , y para localizar dichos puntos se utiliza la ecuación (4.12):
Ac(t0 + T ) = KAm [I - e”] = 0.632 A c ,
A c ( t o i T ) = KAm [I - = 0.283 Ac ,
estos dos puntos, en la Figura 4.6c, se denominan t 2 y t l , respectivamente. Los valores de t o y T se
pueden obtener fácilmente mediante la simple resolución del siguiente sistema de ecuaciones:
(4.18)
lo cual se reduce a
7 = q ( t 2 - t l )
t o = t 2 - 7
donde:
tl = tiempo en el cual A c = 0.283Acs
t 2 = t,iempo en el cual A c = 0.632Ac,
(4.19)
(4.20)
33
Los resultados obtenidos con este método son m& fAciles de reproducir que los que se obtienen con
los otros dos y , por lo tanto, se recomienda este método para hacer la estimaci6n de to y T a partir
de la curva de reacci6n del proceso. Sin embargo, se debe tener en cuenta que algunas correlaciones
para los parametros de ajuste del controlador se basan en diferentes ajustes de modelos POMTM.
34
Capítulo 5
Capít u10 5
Control Cascada
5.1 Int roduccidn
Uno de los conceptos mhs utilizados en control avanzado es el control e n cascada. Una estructura
de control en cascada tiene dos controladores retroalimentados con una salida del control primario
(maestro) la cual cambia el set point del controlador secundario (esclavo), para que este efectue la
correccidn necesaria para rechazar alguna perturbacidn al sistema o bien solamente para mantenerlo
funcionando dentro del punto de operacidn deseado.
5.2 Esquema Control Cascada
En el capítulo anterior se presentó la técnica de control por retroalimenta~i6n~ que es la técnica que
más comúnmente se utiliza en las industrias de proceso.
En muchos procesos, es posible y ventajoso mejorar el desempeño logrado con el control por
retroalimentación mediante control en cascada que es una técnica muy común: ventajosa y útil en las
industrias del proceso.
El control cascada es un esquema de control mejorado en el cual m& de una (dos) medición es
usada para completar m& de un (dos) lazo de control pero usando solo una variable manipulada. La
idea b b i c a es medir una variable intermedia e iniciar una acción correctiva y no esperar hasta que
los efectos de las perturbaciones aparezcan en la salida. Conceptualmente! este esquema prueba que
se alcanza el mismo objetivo como en un esquema realimentado, pero la implementación se hace de
manera diferente usando el esquema de control retroalimentado. Existen dos prop6sitos del control en
35
cascada:
1) Eliminar los efectos de algunas perturbaciones, y
2) Mejorar el desempeño dinBmico del lazo de control.
Para ilustrar el efecto de rechazo de perturbaciones que tienen los controladores tipo cascada
considerar el reboiler de una columna de destilación Figura 5.la (Luyben, 1990), suponer que la
presión del suministro de vapor aumenta, el tiempo que el controlador requerirá para manipular la
válvula de admisión de vapor será demasiado grande, por lo que el flujo de vapor se incrementará.
Con un esquema de control simple no habra acción correctiva hasta que este elevado flujo de vapor
incremente el contenido de los fondos, asi como el valor de la temperatuta en el medidor de la misma,
entonces el sistema estará perturbado por el cambio en la presión de vapor.
Sin embargo este problema se puede evitar mediante el uso de un esquema de control en cascada.
E n la Figura 5.lb se muestra dicho esquema donde el controlador de flujo de vapor a la entrada
detectará inmediatamente el cambio en la temperatura la cual es proporcional al cambio de presidn
y entonces este mandará la acción de control a la válvula de admisión de vapor para que el flujo de
vapor regrese nuevamente a su punto de operación (set point). Entonces el reboiler y la columna son
afectados de manera insignificante por la perturbación de la presión en el suministro de vapor.
Otro ejemplo es el que se muestra en la Figura 5.lc y donde se hace uso de este tipo de estructura
pero ahora en un RTAC (Reactor en Tanque Agitado Continuo), y donde el controlador de tem-
peratura es el controlador primario; el controlador de temperatura en la chaqueta es el controlador
secundario. Entonces esta estructura permitirá al control de temperatura rechazar las perturbaciones
en la temperatura del agua de enfriamiento a la entrada. Este sistema también es un buen ejemplo
ilustrativo para la mejora en el desempeño dinamico que el control en cascada puede proveer en algu-
nos sistemas. La constante de tiempo a lazo cerrado para la temperatura del reactor será m& pequeña
cuando se usa el esquema en cascada que cuando utilizamos una estructura simple de control, en la
cual directamente la temperatura del reactor genera la acción de control sobre la válvula de admisión
del agua de enfriamiento. Entonces el desempeño ha sido mejorado por el uso del control en cascada.
Existen dos tipos de control en cascada: cascada en serie y cascada en paralelo.
36
Columna de
a) Reboiler
....................................................................................................... ~
b) Reboiler
Lazo primario Control de temperatura
Lazo secundario
Figura 5.1 Control de temperatura. a) reboiler de una columna de destilación a lazo simple; b) reboiler de una columna de destilación en cascada; c) CSTR en cascada.
Los ejemplos mencionados anteriormente ambos son sistemas de cascada en serie porque la variable
manipulada afecta a la variable controlada secundaria, y esta a su vez afecta a la variable primaria.
En el sistema cascada en paralelo la variable manipulada afecta directamente a las variables de ambos
controladores el primario y el secundario. Entonces, los dos procesos son diferentes bhicamente y
resultan con caracteristicas dinarnicas diferentes.
37
5.3 Control Cascada en Serie
En la Figura 5.2a se muestra un proceso a lazo abierto en el cual dos funciones de transferencia GI Y
G2 estan conectadas en serie. La variable manipulada M entra a G1 y produce un cambio en X1. La
variable X1 entonces entra a G2 y cambia a X2.
La Figura 5.2b muestra un sistema de control retroalimentado convencional donde un controlador
simple B identifica a la variable X2y la compara con un punto de referencia X F t , para que cambie el
control B a la variable manipulada y éSta a través de GI haga el cambio necesario en XI, la que después
a través de G2 lleve a la variable X2 hacia el valor de referencia deseado. La ecuaci6n caracteristica a
lazo cerrado para este sistema es la siguiente:
la Figura 5 . 2 ~ muestra un sistema de cascada en serie, en donde ahora hay dos controladores. Ob-
servamos que ahora la variable X2 es comparada con el punto de referencia X T t , la diferencia entre
estas se alimenta al controlador B2, que es el controlador primario o maestro del cual sale la variable
de referencia XFet y la cual es ahora comparada con la variable del proceso X1 generada por GI. La
diferencia entre X f e t y XI se alimenta al controlador B1 que es el controlador secundario o esclavo:
el cual realiza los cambios que sean necesarios en la variable manipulada M para obtener el valor de
referencia ( X f e t ) en XI para que cuando X1 entre a G2 lleve el valor de X2 al valor pedido por la
referencia al inicio (X,"""). Ent,onces la ecuaci6n característica para este sistema es:
38
Figura 5.2 Diagrama de bloques. a) proceso a lazo abierto; b) control retroalimentado; c) cascada en serie.
5.4 Control Cascada en Paralelo
La Figura 5.3a muestra un proceso donde la variable manipulada afecta a las dos varibles controladas
X I y X 2 en paralelo. Un ejemplo importante del control es en una columna de destilaci6n donde el
reflujo afecta tanto a la composición del destilado como a la temperatura del plato. El proceso tiene
una estructura en paralelo y esto genera un sistema de control cascada en paralelo.
Si solamente un controlador simple B2 es usado para controlar a X2 mediante la manipulacih de
M, la ecuación característica a lazo cerrado es:
pero, sin embargo, si un sistema en control cascada es usado, como se muestra en la Figura 5.3b, la
ecuacidn característica a lazo cerrado no esta dada por la ecuación (5.3). Para derivar esta, se empieza
con el lazo secundario
combinando l a s ecuaciones (5.4) y (5.5) dadas por las relaciones a lazo cerrado entre M y Xfet
ahora resolveremos para la función de transferencia a lazo cerrado para el lazo primario con el lazo
secundario en autom&tico. La Figura 5 . 3 ~ muestra un diagrama de bloques simplificado. Entonces,
podemos darnos cuenta que la ecuación característica a lazo cerrado es
B1 G2B2( 1 + GIBl ) = O
39
- M
U
Figura 5.3 Diagrama de bloques. a) proceso a lazo abierto; b) control Cascada en paralelo; c) diagrama reducido.
Capítulo 6
Capítulo 6
Caso de Estudio (Proceso Biológico
para el Tratamiento de Lodos
Residuales)
6.1 Introducción.
El gran desarrollo de las sociedades industrializadas en los últimos veinte años ha llevado consigo
una serie de ventajas indiscutibles: el nivel y la calidad de vida han aumentado considerablemente,
estableciéndose una sociedad más consumista, Eo que ha implicado una mayor necesidad de ofrecer
por parte de las diferentes industrias nuevos productos manufacturados, estos factores han sido la
causa principal de la aparición de residuos de diferentes tipos, que deben ser tratados con el fin de
eliminarlos o bien para ser reutilizables. Entonces, el objetivo de cualquier tratamiento es eliminar los
componentes definidos como contaminantes.
El tratamiento de las aguas residuales se ha convertido en una necesidad de primer orden debido
a la escasez de este elemento vital y al requerimiento de mantener el entorno en condiciones salubres.
Un sistema de tratamiento de aguas residuales está formado por: (1) tratamiento preliminar, en
este se retienen los sólidos de mayor tamaño, que podra'an provocar un mal funcionamiento de los
equipos posteriores, (2) tratamiento primario, preparan las aguas para su tratamiento biológico y
eliminan sólidos suspendidos, orgánicos coloidales y se genera un lodo primario, (3) tratamiento
secundario biológico, puede ser anaerobio o aerobio, en un tratamiento bioldgico las bacterias y
otros microorganismos destruyen y metabolizan la materia orgánica soluble: además se genera un lodo
40
secundario formado principalmente por celdas. Los productos finales principales del tratamiento de
las aguas residuales son: (1) el agua producida o efluente de la planta de tratamiento y (2) los lodos
como subproductos. El efluente de la planta de tratamiento se descarga hacia las aguas receptoras o
a los suelos receptores; el agua producida y el efluente de las plantas de tratamiento son productos
terminados, mientras que los lodos no lo son. Debido a su origen: volumen y putrescibilidad, la mayor
parte de ellos requieren procesarse antes de ser evacuados. Un proceso de estabilización biológico
anaerobio tiene como fin reducur el volumen y peso de los materiales que se van a manejar o evacuar.
41
6.2 Definición de los Procesos Biológicos
En esta secci6n se definen algunos de los términos de los tratamientos que se pueden utilizar para el
tratamiento de lodos residuales.
o Eliminacidn de DBO carbonosa. Es la conversi6n, por métodos biol6gicos, de la materia orgánica
carbonosa del lodo residual en tejido celular y diversos productos gaseosos. Se supone que en
esta conversi6n el nitr6geno presente en el agua residual pasa a amoniaco.
* Procesos anaerobios. Son los procesos de tratamiento biol6gico que s610 se dan en ausencia
de oxígeno. A las bacterias que únicamente pueden sobrevivir en ausencia de oxígeno se les
conoce con el nombre de anaerobias obligadas.
* Procesos aerobios. Son los procesos de tratamiento biolbgico, que s610 se dan en presencia de
oxígeno. A las bacterias que únicamente pueden sobrevivir en presencia de oxígeno se les
conoce con el nombre de aerobias obligadas.
o Eliminacidn de Nitr6geno
* Nitrificaci6n. Es un proceso biol6gico en el cual el amoníaco NHise transforma en NO,
nitrato.
* Desnitrificación. Es el proceso de tratamiento biol6gico por el cual el NO,, se transforma en
NO, y en gas N2 en ausencia de oxígeno.
0 Estabilización de sólidos biol6gicos. Es el proceso biol6gico por el que se estabiliza la materia
orgánica de los lodos producidos en la decantaci6n primarja y en el tratamiento biol6gico; ello
sucede a través de la conversi611 de la materia organica en gas metano y di6xido de carbono. La
estabilización se puede realizar en condiciones aerobias o anaerobias.
o Sustrato. es el término empleado para indicar la materia orghica o los nutrientes que sufren
una conversi6n o que pueden ser un factor limitante en el tratamiento biol6gico.
6.3 Digestión Anaerobia de Lodos
La fuerza motriz en la digestión de los lodos es el consumo de la materia orgánica hecho por los
microorganismos presentes en los mismos lodos. Un modelo de la digesti6n anaerobia (Pavlostathis y
42
Gosset, 1986) clasifica a dos grupos de bacterias responsables del consumo de la materia orgánica; el
primer grupo de microorganismos son las bacterias facultativas y anaerobias obligadas llamadas aci-
dogénicas que hidrolizan y fermentan los compuestos orgánicos complejos a ácido acético e hidrbgeno;
el segundo grupo de microorganismos son bacterias anaerobias estrictas, l a s metanogénicas, que con-
vierten los productos intermedios en metano y dióxido de carbono. Una representación esquemática
para la digestión anaerobia de lodos biológicos en los cuales se basa el modelo cinético se muestra en
la Figura 6.1.
La porción biodegradable de las células vivas de lodos biológicos se considera esta formada por
dos sustratos: un sustrato como partículas no solubles y otro como partículas solubles. El remanente
intracelular de DBO soluble de una célula muerta esta sujeto a hidrdisis. Las partículas de células
muertas son sometidas adicionalmente a una hidrólisis extracelular. E l sustrato soluble disminuye por
la microflora en el digestor, especialmente por las bacterias formadoras de ácidos.
6.4 Modelo Matemático de la Digestión Anaerobia
En el desarrollo de la cinética biológica, los modelos siguen las dos fases cl&icas de un esquema
de digestión anaerobia: acidogénesis y metanogénesis. El proceso de células muertas, rompimiento,
hidrólisis y disminución de la biomasa se describen por reacciones de primer orden. El consumo de
sustrato soluble y ácidos grasos volátiles (AGV) y el crecimiento de los microorganismos anaerobios se
asume que obedecen a la cinética del tipo Monod. Para ilustrar el diseño del control retroalimentado
y el desempeño del controlador ante perturbaciones reales, así como a condiciones de cambios de set,
point, un modelo mat.emático del sistema de crecimiento en suspensión para sistemas de digestión
anaerobia es utilizado. Con esta finalidad, las ideas de modelado descritas por Pavlostathis y Gosset
(1986), Bello-Mendoza y Sharrat,t. (1998) serán seguidas, al igual que los parámetros de dicho modelo.
Existe cierta inseguridad en cuanto a los modelos matemfiticos que describen las dinámicas de los
procesos anaerobios. La complejidad inherent,e en los procesos biológicos, además de la ingeniería que
implica el bioreactor, hace más difícil el desarrollo de modelos matemáticos que reflejen la realidad.
Como consecuencia, en el modelamiento se recurre a simplificaciones. Sin embargo, esta no es una
desventaja para el estudio de control. De hecho, un modelo matemático que conserva las principales
características de l a s dinámicas del proceso es en general suficiente para valorar las capacidades del
control. Esto es porque un cont,rolador retroalimentado bien diseñado es capaz de hacer frente a
perturbaciones muy grandes y errores de modelado (Morari y Zafiriou, 1989).
43
m cdlulas vivas
muertehompimiento
+ + substrato soluble
hidrólisis substrato que requiere 4 hidrólisis
r" ácidos volhtiles H, + CO,
meranogénesis
CH, + CO,
Figura 6.1 Representación esquematica para la digestión anaerobia de Iodos biológicos.
Para simplificar la presentacidn, se asumen condiciones de un reactor continuo tipo tanque agitado.
De esta manera, los balances de materia producen un juego de ecuaciones diferenciales ordinarias las
cuales constituyen el modelo dinámico. El subíndice ‘b” se referirá a las condiciones del influente.
0 Balance de masa en microorganismos vivos de los lodos anaerobios ( X A S ) :
donde D es la tasa de diiucidn, RDL es la tasa de muerte y rompimiento de biomasa para lodos
biol6gicos
dP - = D(Po - P) + (1 - ~ ) R D L - RH dt (6 .3)
donde es la fracción de células solubles degradables a DQO soluble y RH es la tasa de células muertas
que se hidrolizan
RH = kHP
0 Balance de masa en sustrato soluble por formadores de ácidos (S):
dS dt ” - D(So - S ) + RH + TRDL - RFS
donde RFS es la tasa de fermentacih del sustrato soluble
y X A es la concentraci6n de microorganismos acidogénicos activos.
0 Balance de masa en biomasa acidogénica ( X A ) :
44
RDA = ~ D A X A
o Balance de masa en AGV para metanogénicas (A):
dA dt - = D(Ao - A) RFS - &A fdRDA - R A U (6.9)
donde f d es la fracci61-1 neta biodegradable de la biomasa activa, y RAU es la tasa de &ido utilizado
por los microorganismos metanogénicos
y XM es la concentracidn de biomasa metanogénica.
Balance de masa en la biomasa metanogénica (X”):
(6.10)
(6.11)
donde YA[ es el coeficiente de rendimiento para metanogénicas y RDM es la tasa de disminucidn de
biomasa metanogénica
RDM = ~ D M X M (6.12)
45
0 Balance en metano (M):
(6.13)
donde R~,,,G es la tasa de generación de metano
todas las concentraciones en el modelo están dadas en unidades de g DQO y la tasa de dilución
en dias-’. En conclusión en los balances aparece que el sustrato utilizado es convertido ya sea a
material celular o a productos (Bello-Mendoza y Sharrat, 1998).
6.5 Implementación Cornputacional
El modelo de digestión anaerobia descrito está compuesto por siete ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una vez que las condiciones iniciales han sido suministradas, el modelo describe la evolución de los
sustratos y biomasa en el tiempo. Las ecuaciones del modelo fueron resueltas simultáneamente usando
un programa en FORTRAN en una PC Pentium-111. Fue usado un método numérico de Runge-Kutta
de cuarto orden para aproximar las derivadas en el tiempo. Los parámetros del modelo, reportados
por Bello-Mendoza y Sharratt (1998), se muestran en la Tabla 1 (ver apéndice).
46
clapítulo 7
Capítulo 7
Diseño de Estrategia de Control
7.1 Introducción
Se propone el diseño de una estrategia de control para un proceso de digestidn anaerobia. Enfocandonos
en el diseño de un controlador retroalimentado directo, donde la variable regulada o variable de control
es la concentmcidn de DQO total (ST) en el efluente y la variable manipulada es la tasa de dilucidn
(O). El diseño del control está basado en un simple modelo de respuesta escaldn para el proceso, con un
retardo a la entrada, que permite explicar los tiempos muertos inducidos por los aparatos de medicidn.
El controlador retroalimentado resultante tiene una tradicional estructura de control lineal PI. Ahora,
puesto que la concentracidn de ácidos grasos volátiles puede ser medida fácil y rápidamente comparada
con la concentracidn de DQO (ST): es usada como una medida secundaria que es incorporada dentro
del esquema de control retroalimentado. Este procedimiento lleva a un control retroalimentado (PI)
cascada, el cual tiene muchas ventajas sobre el control simple PI, que incluye mucha mayor resistencia
en la presencia de perturbaciones en el influente. Para ilustrar el desempeño del controlador propuesto:
se usa un modelo matemático que describe las dinámicas de crecimiento en suspensidn de un sistema
de digestidn anaerobio.
7.2 Dinámicas sin Control
Se realizaron simulaciones en la computadora para evaluar los efectos de las condiciones iniciales y
perturbaciones externas en el influente durante el desempeño de los procesos de digestidn anaerobia.
La Figura 7.1 muestra un ejemplo de la simulación en un flujo de Iodos residuales. Las condiciones
47
a -
6-
4 -
2 -
0 -
I 1 I 1
O 2 4 6 a 10
I I I I
O 2 4 6 a 1
Tiempo (días)
Figura 7.1 Desempeño típico de un proceso de digestión anaerobio sin control. Para valores XAs,o=lO, P =I S0=5, XA,0=0.05, A0=2, X,,0=0.04, Mo=O en unidades de gDQO dm”
O 2 4 6 8
3.0
2.8 - on E 0 2.6- U
m
n 2.4 - o)
c C o) 3 E
o) t o)
o) 2.2 - -
of 2.0 -
1.8 O
I
2 I I
4 6 8 1 I
Tiempo (días)
Figura 7.2 Dinámica del proceso cuando una perturbación en escalón de un 10% en la S, se presenta en el influente. Para valores X,,o=l O, Po=l, S O =5 XA,0=0.05, Ao=2, X,,0=0.04, Mo=O en unidades de gDQO dm”
para el influente fueron tomadas como: XAS,, = 10.0, Po = 1.0, S, = 5.0, XA,, = 0.05, A, = 2.0,
XM,, = 0.04 y M, = O , todas las concentraciones tienen unidades de g DQO dm-3. Las condiciones
iniciales en el reactor fueron tomadas como XAS,O = 11.31, PO = O, So = O, XA,O = 0.1, A0 = O ,
XM,O = 0.12 y M0 = O , todas l a s concentraciones tienen unidades de g DQO dm-3. La tasa de
dilución se tomó como D = 1.2 dias-l.
Las dinarnicas del proceso son estables en el sentido de que se logra conseguir un punto de operación
constante en ausencia de perturbaciones externas. Bajo las condiciones de operación definidas, la
eficiencia de remoción de la DQO total (ST), calculada como lOO(Si, - S)/Sin, es alrededor del 90%,
el cual es un valor de eficiencia del reactor bastante aceptable. Sin embargo, si una perturbación muy
grande actua sobre la Si, del proceso, la eficiencia de remoci6n de ST en el efluente puede salirse
de los valores establecidos. La Figura 7.2 muestra la dinámica del proceso cuando una perturbación
en escalón de un 10% en Si, se presenta en el influente. Nótese que la eficiencia de remoción en ST
disminuye de un 90% a un 80% aproximadamente.
En la práctica, un efluente con una alta concentración de ST no es aceptable, y tiene que ser reci-
clada o diluida para conseguir las especificaciones ambientales. Una alternativa m& sistem&tica para
evitar este problema es reducir la tasa de dilución para permitir que el proceso de digestión anaerobia
disminuya el contenido de ST. Esto puede hacerse por cualquiera de las dos formas manualmente
vía prueba y error, o via control retroalimentado para mediciones retardadas de ST. En la siguiente
sección, se muestra un procedimiento para el diseño de controladores retroalimentados lineales para
regular la concentración de ST en el efluente sobre un valor deseado.
7.3 Diseño de Control Retroalimentado
El diseño del control retroalimentado se realizó en base a modelos lineales heurísticos obtenidos de
la respuesta al escalón para el proceso anaerobio. Para realizar la respuesta en escalbn del proceso
anaerobio, consideraremos el modelo descrito en la Sección 6.4 como el proceso de digestión anaerobio,
es decir, el proceso de digestión anaerobio es simulado con el modelo descrito por las ecuaciones (6.1)-
(6.14).
48
La respuesta de la planta al escal6n puede realizarse como sigue. Una vez que la planta esta fun-
cionando en un punto de operaci6n nominal dado por la tasa de dilución nominal y la concentracidn
nominal de ST en el efluente ST1, una perturbaci6n en escal6n es aplicada en la tasa de dilución, es
decir, AD. La concentración de ST muestra una respuesta dinámica de &(t) y, puesto que el proceso
anaerobio es estable en el sentido descrito en la Figura 7.1, la &(t ) alcanza una nueva constante
como punto de operaci6n, es decir, ST^. Un modelo lineal conveniente es usado para la respuesta del
proceso. Los modelos propuestos son de naturaleza entrada/salida (Morari and Zafiriou, 1989) en el
sentido de que solo la señales de entrada D(t ) y la salida ST(^) son usadas para la construcción del
modelo.
-
La Figura 7.3 presenta la respuesta escal6n del proceso de digesti6n anaerobia con los parhetros
de la Tabla 1 , B = 1.0 dias-l, y AD = +0.05 dias”. Para completar, la Figura 7.3 también muestra
una respuesta escal6n para la concentraci6n de AGV. Como se espera para una prueba experimental,
la concentracidn de ST en el efluente incrementa la ST(^) cuando se incrementa la tasa de dilucidn
D(t) . Adem&, la respuesta dinámica de ST(^) incrementa monotdnicamente en el punto de operacidn
nominal S T 1 para lograr el nuevo punto de operacidn S T 2 . Sea, S = d/d t la variable de la Transformada
de Laplace. La respuesta al escaldn mostrada en la Figura 7.3 puede ajustarse a un modelo lineal
estable de primer orden como el siguiente (Morari y Zafiriou, 1989):
donde K D S ~ es la ganancia en estado estable de la tasa de dilucidn con respecto a la tasa de diluci6n
y esta dada por
y TOS, es la constante de tiempo de la dinámica de respuesta al escal6n exponencial. Para los retardos
de medición, el modelo se completa como sigue:
(7.3)
donde ODsT 2 O es la tasa de dilución de la concentraci6n de ST retardada. La ecuación (7.3) es un
modelo heuristic0 que representa la dinámica de conexi6n entre la variable manipulada D y la variable
regulada ST. En base a la respuesta de la Figura 7.3, los parámetros calculados son: KDS, = 319.58
49
0.1 18 -
?
U
0.116 - E
8 0.114 - n cn Y 3 0.11*:
0.1 10 - 1
0.108 I I
O 2 4 6 á
1.995
1.990 - m- 1.985- E 0 1.980 - U
1.975 ul al v
5 1.970 - al 1.965-
f 1.960-
1.955 - 1.950 I
2
3 E
al -
m+
O I I
4 6 I
8
Tiempo (días)
Figura 7.3 Respuesta escalón del proceso de digestión anaero- bio con parámetros de Tablal, D=l .O días”, y AD=+0.05 días-’. Para valores XAs,o=lO, Po=l, S0=5, XA,0=0.05, A0=2, X,,0=0.04, Mo=O en unidades de gDQO dm‘3
40 60 80 1 O0 4 0
40 60 i 0
Tiempo (días)
I
1 O0 1 D
Figura 7.4 Respuesta de un reactor anaerobio de lecho fluidizado inverso a diferentes valores de la tasa de dilución y la concentra- ción de S, en el influente.
g DQO dm-3 dias-l y rosT = 0.4 dias. Las medidas de Concentración de ST toman alrededor de 30
minutos, nosotros consideramos en el peor de los casos un tiempo de retardo de 6DST = 60 min.
La respuesta de forzamiento descrita en la parte de arriba se puede obtener de manera experimental,
prueba de ello es la Figura 7.4 donde se presenta la respuesta de un reactor anaerobio de lecho fluidizado
inverso (Castilla et al., 2000) para diferentes valores de tasa de dilución y concentración de Si,, en
el influente, con la ayuda de la caja de herramientas del MATLAB se estimaron los parámetros de
KDS, y rosT para este sistema. Comparando los parámetros estimados a partir del modelo simulado
(6.1)-(6.14) el cual representa el comportamiento de un reactor continuo tipo tanque agitado anaerobio
de lodos y el reactor de lecho fluidizado inverso tenemos:
Reactor K (g DQO dm-3) 7 (dias)
319.58
RALFI 686.5 0.134
Se observa de los parametros anteriores la ganancia en estado estable del RALFI es m& grande
y la constante de tiempo es m& pequeña que los del RCTA. Estos valores reflejan el hecho de que el
reactor lecho fluidizado inverso es un sistema en el cual crecen las bacterias anaerobias adheridas al
soporte, y debido a que el lecho se encuentra expandido dentro del reactor permite un mejor contacto
del flujo con el soporte y en consecuencia tiene una resistencia difusional pequeña, y se pueden manejar
t,asas de dilución grandes (Buffiere e t al., 2000). Por el contrario en un RCTA se manejan tasas de
diluci6n no muy grandes, debido a que la hidrolisis de las partículas es muy lenta, esto se ve reflejado
en el bajo valor de la ganancia y la constante de tiempo grande.
SO
7.4 Diseño de Estrategia Control Lineal PI en la Concentracibn de
DQO del Efluente
A pesar de los grandes esfuerzos de investigacidn en técnicas de control no lineal y adaptable (Denac
et al., 1988; Renard et al., 1988; Dochain and Perrier, 1993; Heinzle et al., 1993; Johnson et al., 1995),
los controladores lineales proporcional-integral (PI) y el proporcional-integral-derivativo (PID) son
dominantes en los procesos industriales y seguiran siéndolo por largo tiempo. Hay muchas razones
para esto, incluyendo su larga historia probada en operacidn, el hecho es que son muy bien entendidos
por muchas operaciones industriales. Ademcis, en muchas aplicaciones, el diseño apropiado y un buen
sintonizado en controladores PI/PID encuentra o excede los objetivos de control. Un controlador
industrial PI/PID tiene mucha ventajas que lo hacen practico para la operaci6n de un sistema de pro-
ceso. Por ejemplo, tiene un arranque en automAtico y manual, seguimiento de un punto de referencia
(set point) y un modo manual de emergencia. Como consecuencia, el trabajo restante se concentra en
el diseño de controladores lineales tipo PI.
El modelo (7.3) es el punto de partida para el diseño del control. Para este fin, haremos uso de los
resultados presentados por Alvarez Ramirez et al., (1998), el cual trata sobre el diseño de controladores
robustos lineales PI para procesos con errores de modelado. La idea b&ica es usar un esquema
de estimacidn de error de modelado para contrarestar los efectos adversos de l a s incertidumbres,
incluyendo incertidumbres parsmetricas y perturbaciones externas. En resumen, el controlador PI
resultante para el proceso de digesti6n anaerobia descrito por el modelo lineal (7.3) puede escribirse
como sigue:
donde la concentraci6n de ST para el error de regulaci6n eDQO,r esta dado por
y ST,,^ es la concentraci6n de ST en el efluente deseada (referencia). La ganancia proporcional Kp y
la ganancia integral Kr > O estan dadas por
51
donde TDST,cl es la constante de tiempo deseada para el sistema controlado y TDST,e es una constante
de tiempo de estimación. E l valor de TE^^,^ determina el valor en el cual el error de modelado es
estimado. Esto es, mientras más pequeño sea el valor de T D S ~ , ~ , la rapidez de estimación de la señal de
error de modelado será más rápida (7.3). Por otro lado, el valor de T D S ~ , ~ determina el valor nominal
del error de regulación esT,.(t). Por consiguiente, la estructura de las ganancias del controlador PI (7.6) generan un procedimiento de sintonizado fzicil de usar, el cual puede describirse como:
i) Selecionar la constante de tiempo a lazo cerrado de acuerdo a un criterio de desempeño (p.ej. tiempo
de asentamiento, etc.). Una regla heurística puede ser un valor cercano al de la constante de
tiempo estimada TDS,: para evitar un esfuerzo excesivo de control, seleccionar TDS*,.J alrededor
de 0.5 a 0.75 veces TOS,.
ii) Seleccionar un valor suficientemente pequeño de T D S ~ , ~ , que permita obtener un desempeño estable
a lazo cerrado y un desempeño transitorio. Además la estimación de incertidumbres y señales
de errores de modelado (reflejado en la acción integral) no podrá ser más rzipida que el tiempo
de retardo ODsT, es decir, la constante del tiempo de estimación no deberá ser más pequeña que
~ D s T .
iii) Calcular las ganancias del controlador PI con las identidades (7.6).
De esta forma, el sintonizado de las ganancias del controlador PI es fácil realizarlo.
7.4.1 Simulaciones y Discusión de la Estrategia Control Lineal PI
Para ilustrar el desarrollo del controlador PI (7.4)-(7.6), tomamos TDS~,-.J = 0.75 T D S ~ = 0.3 dias y
TDST,e = 0.4 dias. Entonces para el valor de ODsT = 0.05 dias, el valor de TDS,.,~ Cumple con las
guías de sintonizado descritas anteriormente. La Figura 7.5 muestra el desempeño del controlador
cuando ocurre un cambio escalón en la referencia de 2.0 a 4.0 g DQO dm-3 en un tiempo de t = 12.5
dias, y una perturbación de un 20% en Si, en un tiempo de t = 25 dias. El controlador es capaz
de regular la concentración de ST en el efluente al valor de referencia a pesar de las perturbaciones
externas en la concentración de S,, del influente. De esta manera, el controlador PI (7.4)-(7.6)
adapta automáticamente la tasa de dilución D por retroalimentación de las medidas retardadas de la
concentración de ST en el efluent,e. Observar que el rechazo completo de las perturbaciones se logra
en aproximadamente 2 dkas.
52
1 ' I I I I I I
10 15 20 25 30 35 4
0.40 -
Tiempo (días)
Figura 7.5 Desempeño del control con un cambio escalón en la referencia de 2.0 a 4.0 gCOD dm" en tiempo t = I 2 5 días, y una perturbación de un 20% en So en tiempo t =25 días. Para valores XA,,o=lO, Po=l, So+ XA,0=0.05, Ao=2, XM,0=0.04, Mo=O en unida - des de gDQO dm-3
I I I
5 10 15 20 25
1.0 1 h
$ 0.8
:O 0.6
ü
m v)
r-" 0.2
0.0
1.2 -
J I
5 I I I
10 I
15 20 25 30
! Tiempo (días)
J Figura 7.6 Desempeño inestable del sistema controlado para un valor de T ~ ~ , ~ = O. 1 días. Para valores XAs,o=l O, Po=l , S0=5, XA,0=0.05, Ao=2, X,,0=0.04, Mo=O unidades de gDQO dm-3
Desde el punto de vista práctico, se desea que el rechazo de la perturbacidn sea m& rápida, para
que la concentraci6n de ST del efluente estuviera lo más cerca posible del valor de referencia. En
principio, esto puede realizarse si las incertidumbres son estimadas m& rápido, esto es disminuyendo
el valor de la constante de tiempo de estimaci6n. Sin embargo, debido a la presencia de retardos en
la medicidn BOS,, esta accidn de control puede generar inestabilidades en la operacidn del proceso de
digesti6n anaerobia. La Figura 7.6 presenta el desempeño del sistema controlado para TDS , ,~ = 0.1
dias. Se nota que la concentraci6n de ST en el efluente y la tasa de diluci6n manipulada sufren un
comportamiento oscilatorio inestable. Por supuesto, tal comportamiento oscilatorio no es aceptado en
la prActica.
53
7.5 Diseño de Estrategia Control Cascada Vía Medidas de AGV
(ácidos grasos vol &tiles)
Las Figuras 7.5 y 7.6 han mostrado que el retardo en las medidas de concentración de ST en el efluente
limita severamente e] desempeño del controlador retroalimentado PI. Para superar este problema, la
mayoría de los autores han propuesto el uso de regulación indirecta de la concentraci6n de ST en el
efluente vía monitoreo de una medida rápida por ejemplo, concentraci6n de AGV, biogas, etc., (ver por
ejemplo Steyer et al., (1999) y referencias similares al tema). Una desventaja de la regulacidn indirecta
es la falta de garantía de un buen desempeño del control ante perturbaciones no caracterizadas, tales
como una inesperada sobre carga orgánica. Además, la relacidn dinámica entre la concentracidn de
ST y las señales monit0reada.s puede cambiar drásticamente como una consecuencia a los cambios en
la composici6n del influente.
En este trabajo se propone el uso indirecto de una medici6n más rápida dentro del control re-
troalimentado directo, en lugar de un control retroalimentado indirecto. Esta medición m& rápida
es llamada medici6n secundaria y l a cual es relativa a una medici6n primaria (lenta); conocida como
medida de concentraci6n de DQO (ST). Específicamente, el seguimiento del uso de la concentración
de AGV como medida secundaria para aumentar el buen desempeño del control será explorado.
Las mediciones de concentraciones de AGV inducen tiempos de retardo pequeños en el sistema de
control. De hecho, una medición de concentración de AGV en general puede hacerse por cromatografía
0 un dispositivo electroquímico con un tiempo de retardo de aproximadamente 5 min. La raz6n
biol6gica detrás del USO de ]a concentración de AGV como una medida secundaria para el control
retroalimentado es ]a siguiente, los AGV son un producto intermedio en el esquema de la digestión
anaerobia ver Figura 6.1. Además la etapa acidogénica es más rápida que la etapa metanogénica
(Pavlostathis and Gosset, 1986), una acumulacion de AGV con respecto a la concentraci6n de ST
indicaría una acumulación de sustrato en la primer sección del esquema de la digestión anaerobia.
Esto implica una conexión entre la dinámica de concentración de ST y la dinámica de concentraci6n
de AGV. Evidentemente esta conexi6n puede observarse en la Figura 7.3 de este trabajo y en la Figura
3 del artículo Buffiere et al. 'S (2000). Como conclusión, la manipulación de AGV induce a cambios
en la concentraci6n de ST. La incorporacidn de las mediciones de AGV en el lazo de control retroalirnentado directo puede
hacerse en forma de una configuración en cascada (Marlin: 2000). El control en cascada es esencial-
54
mente una configuraci6n retroalimentada multilazo donde la concentraci6n de AGV en el efluente es
usada como una variable manipulada " virtual " para regular la concentraci6n de ST en el efluente.
Esto es llamado lazo de control maestro. La manipulaci6n de la concentraci6n de AGV para regular
la concentraci6n de ST es posible por la conexi6n entre las dinámicas de AGV y ST. En un segundo
lazo, llamado lazo de control esclavo, la tasa de dilucidn es usada como una variable manipulada para
regular la concentraci6n de AGV del efluente. En principio, la estructura de control en cascada es
más robusto que un simple lazo, además hace uso de mediciones rápidas como concentracidn de AGV en el efluente, para detectar los efectos de las perturbaci6nes en el influente sobre la composici6n del
efluente. De esta manera, el control retroalimentado cascada genera una mejor protecci6n ante pertur-
baciones (p ej., acumulaci6n) de concentracidn de AGV, las cuales pueden generar una acidificaci6n
irreversible en los lodos activados.
El motivo para el uso del control en cascada es que en su diseño involucra tiempos de retardo
pequeños. En principio, los tiempos de retardo son las principales limitaciones para el desempeño
del control, por lo que una estructura de control en cascada inducir& un mejor desempeño del control
para el proceso de digesti6n anaerobio. El mejoramiento en el desempeño del control esta reflejado
en la rápida convergencia de la concentraci6n de ST deseada en el efluente y el rápido rechazo de l a s
perturbaciones en el influente.
Para implementar una estructura de control en cascada, un modelo que describe la dinámica de
conexi6n entre la tasa de diluci6n D y la concentracidn de AGV es usado. Esto puede hacerse ajustando
la repuesta escal6n de AGV(t) de la Figura 7.3 a un modelo lineal como sigue:
donde los parametros KDAGV,TDAGV y 0DAGV tienen significado similar como en la ecuacidn (7.3).
Los parámetros correspondientes calculados son KDAGV = 18.8 g DQO dm-3 dius-l y TDAGV = 0.4
dias. Para el tiempo de retardo ODAGV, 6DAGV = 10.0 min ha sido tomado.
El diseño del control maestro está basado en la dinámica de la relacidn entre los AGV y la con-
centracidn de ST. Tal relaci6n es obtenida de (7.3) y (7.7) por eliminacih de la señal de D(s) para
dar :
55
donde
Notamos que TDAGV = TosT, tal que una aproximación razonable del modelo (7.8) para dinámicas
con frecuencias bajas puede darse como sigue:
(7.10)
notese que el tiempo de retardo inducido ODsT -eD,&V es más pequeño que ODsT en el caso no cascada.
esto es, la relacion (7.10) establece que la conexión entre la concentración de AGV y ST. En principio,
dado un valor de referencia para la concentración de ST, la correspondiente concentración de
AGV puede calcularse como A S = KADASTref. Por supuesto esto no es posible porque el modelo
(7.10) es solo una aproximacibn con incertidumbres de las dinámicas de digestión anaerobia. Entonces,
para realizar la regulaci6n robusta de la concentración de ST un control retroalimentado directo será
usado. Para el diseño del control maestro, la concentraci6n de AGV se toma como una entrada de
control “virtual” que puede manipularse para regular la concentración de ST a un valor deseado &’ref.
De esta forma, consideraremos el siguiente modelo para el diseño del control maestro:
(7.11)
donde AAGV,,f(s) ha sido usada en (7.10) en lugar de AAGV(s). Usamos la notaci6n de AAGV,.,l(s)
porque el c6lculo en la entrada de control porque el valor calculado para la entrada de control en el
controlador maestro será la señal de referencia del controlador esclavo que será diseñado más tarde.
La metodología del diseño de control reportada por Alvarez Ramirez et al., (1998) puede ser usada
para diseñar el controlador maestro en base al modelo (7.11). En tal caso, el controlador resultante
es un control retroalimentado lineal integral dado por
t
O AGT/,ef(t) = AGV + K y 1 esT,,(a)do (7.12)
donde AGV es el valor nominal de la concentración de la concentración de AGV y la ganancia integral
K f f del lazo de control maestro está dado por
S6
(7.13)
y TVC,e > O es la constante de tiempo de estimación del lazo de control maestro. Como en el caso no
cascada, un valor de T V C , ~ , es la rapidez de estimaci6n del error de modelado (p ej., incertidumbres)
y está será una señal asociada a las dinámicas de concentraci6n de AGV y ST. Siguiendo de manera
similar las ideas que discutieron arriba, las guías de sintonizado para seleccionar la ganancia integral
del lazo de control maestro puede darse como sigue:
M.i) Seleccionar un valor suficientemente pequeño de T V C , ~ tal que permita un desempeño estable a
lazo cerrado y desempeño transitorio. Adem& la estimaci6n de las incertidumbres y señales de
errores de modelado (reflejado en la acci6n integral) no podrá ser m& rápida que el tiempo de
retardo ODsT - ODAGV, la constante del tiempo de estimaci6n no deberá ser mas pequeña que
9DC - ODV.
M.ii) El cálculo de la ganancia integral KIM se realiza con la identidad (7.13).
Dada la trayectoria de concentraci6n de AGV deseada AGV,,f(t), el segundo paso es el diseño del
controlador esclavo que satisfaga la disposici6n comandada por el controlador maestro. El diseño del
controlador esclavo hace uso de el modelo (7.7) para adaptar la tasa de diluci6n. La idea principal
sobre el diseño del controlador esclavo es calcular la entrada de control para el controlador maestro
AGV,,f(t) ver ecuación (7.12), para convertirse en la concentraci6n de AGV deseada (p ej., la referencia
de concentracih de AGV en el efluente). De esta manera: si el control es capaz de proveer un control
retroalimentado tal que AGV(t) siga a la señal de referencia AGVref(t) la cual será manipulada con
la tasa de dilucidn, entonces la concentraci6n de &(t) converge al valor deseado Nuevamente,
haremos uso de la metodologia reportada por Alvarez Ramirez et al., (1998) para obtener el siguiente
controlador esclavo retroalimentado PI:
(7.14)
57
donde el error de regulación eAGv,r(t) de la concentraci6n de AGV del efluente es definida como
(7.15)
y la ganancia proporcional K: y la ganancia integral Kf del controlador esclavo son dados como
siguen:
(7.16)
S.;) Seleccionar una constante de tiempo a lazo cerrado TDS~ , . J de acuerdo a un criterio de desempeño
(p ej., tiempo de asentamiento, etc.). Para evitar un esfuerzo excesivo de control, seleccionar
TDAGV,.J aproximadamente de 0.5 a 0.75 veces TDAGV.
s.ii) Selecionar un valor suficientemente pequeño de TDAGV,e, que permita un desempeño estable a
lazo cerado y un desempeño transitorio. Además la estimaci6n de las incetidumbres y l a s señales
de error de modelado (reflejado en la acci6n integral) no podrá ser más rápida que el tiempo de
retardo ODAGV, la const,ante del tiempo de estimaci6n no debera ser más pequeña que BDAGV.
S.iii) Calcular las ganancias del controlador PI con las identidades (7.16).
Resumiendo, el controlador resultante generalmente es un cascada con un controlador retroalimen-
tad0 integral puro (ec.(7.12)) para el lazo de control maestro y un controlador retroalimentado PI
(ec.(7.14)) para el lazo de control esclavo.
58
7.5.1 Simulaciones y Discusión de la Estrategia Control Cascada
En la Figura 7.7 se presenta la dintimica del proceso de digestión anaerobio controlado con las mismas
perturbaciones que en la Figura 7.5. Notese que la convergencia para la concentraci6n de ST en el
efluente es m& rapids que en un no cascada y la perturbaci6n en la concentraci6n del influente es
rechazada con desviaciones pequeñas en el punto de operación. Los parámetros de control usados en
estas simulaciones fueron TDAGV,.J = 0.2 dias, T D A G V , ~ = 0.1 dias y TVC,e = 0.2 dias.
Estas simulaciones demuestran que el control cascada proporciona un mejor desempeño en el
proceso de digestión anaerobio con un esfuerzo mínimo en el diseño e implementaci6n de control. De
hecho, ya que la configuraci6n cascada resultante estti compuesta por bloques tradicionales del tipo
PI, su implementación puede hacerse vía tecnologías de control estandar (p ej. controladores ldgicos
programables) ,
Una acumulaci6n de AGV o variaciones imprevistas en el pH del influente puede ser muy peli-
grosas para la estabilidad estructural y biológica de los lodos activados. Una configuraci6n simple de
control retroalimentado como el que se describe en la Sección 7.4 no puede mejorar estas situaciones
de emergencia porque hace uso solamente de mediciones en la concentraci6n de ST en el efluente,
Steyer et al., (1999) usaron el pH y el biog& para manejar condiciones de operaci6n de emergencia.
Nosotros podemos ver que hasta cierto grado, la configuraci6n del control en cascada puede manejar
eficientemente la acumulacidn de AGV. De hecho, una característica de la estructura de control en
cascada es que estti puede cambiarse para operar como un lazo simple en el nivel de concentraci6n de
AGV. Esto puede hacerse fácilmente desconectando el lazo de control maestro y proporcionando una
trayectoria de referencia externa AGV,,f(t) para el lazo esclavo. En un caso simple, AGV,ef(t) puede
ser un valor constante suficientemente pequeño.
La Figura 7.8 presenta el desempeño de la estructura del control en cascada cuando una acumula-
ci6n de AGV ocurre de manera imprevista en un tiempo de t = 12.5 dias. La configuraci6n de control
en cascada opera un modo de emergencia hasta que la concentración de AGV alcanza un valor cercano
al establecido AGVTef = 0.25 g COD dm-3. El esfuerzo al que se sometió la operacidn en modo de
emergencia se hace sin una reconfiguraci6n adicional y sintonizado de los lazos individuales.
59
T
I I I
10 15 20 25 30 35 4 I I I
0.40
0.35
0.30
0.25
Tiempo (días)
Figura 7.7 Desempeño en el control cascada para las mismas condiciones que en la figura 7.5
O
4.
3 - u .
2-
E n .
‘E
v
> 1-
9 . O J \/l.”-#
I 1 I I
10 15 20 25 30 35
J I
3.0
2.5-
m u 2.0- C 8 1.5- 3
-
.- u 1.0- al U $ 0.5-
F 0.0 8 I
\
10 15 20 25 30 35 “.I 8
10 15 20 25 i0 35
E U
c. al C al E 0 a
- al C 0
m’ 1 I I I I 10 15 20 25 30 35
Tiempo (días)
Figura 7.8 Desempeño de la configuración del control cascada cuando una repentina acumulación de AGV ocurre en t = 12.5 días. Para valores XAs,o=l O, Po=l, S0=5, XA,0=0.05, Ao=2, X,,o = 0.04, Mo=O unidades de gDQO dm-3
Capít u10 8
Conclusiones
Se anah6 un sistema de crecimiento en suspensi6n de un proceso de digesti6n anaerobio de lodos, el
cual, como se mencion6 anteriormente es un proceso importante para reducir el volumen y peso del
material a evacuar, además con el uso de este proceso se obtienen buenas eficiencia de remocibn. Sin
embargo, el proceso de digestidn anaerobio es inestable cuando se presentan variaciones en la tasa de
dilucidn y en la carga org&nica del influente, por lo que a raíz de este problema se propuso el desarrollo
de una estructura de control que permitiera mantener estable la operaci6n de este sistema, a pesar de
la presencia de peturbaciones externas.
a) En este trabajo, se explor6 la aplicaci6n del control retroalimentado directo para regular la com-
posici6n del efluente para el proceso de digesti6n anaerobio. El diseño del control est& basado en
modelos lineales obtenidos de la respuesta al escal6n obtenida del proceso de digesti6n anaerobio.
Por medio de la simulaci6n del modelo de crecimiento en suspensi6n de un proceso de digesti6n
anaerobio.
b) Se demostr6 que un controlador retroalimentado PI tradicional proveé una regulacidn de la con-
centraci6n de DQO (ST) en el efluente aproximada al punto de operacidn deseado.
60
C) En ausencia de retardos a la entrada de control retroalimentado PI, es obtenido un rechazo acepta-
ble en la perturbación. Sin embargo, los tiempos de retardo de las mediciones que están siempre
presentes en la prActica limitan severamente el desempeño del controlador. Para reducir o dis-
minuir los efectos adversos de los retardos de las mediciones, se propuso el uso de una estructura
de control en cascada.
d) En la estructura en cascada se explotó el hecho de que las concentraciones de AGV pueden medirse
más rápido que l a s concentraciones de DQO (ST) . Los controladores resultantes llegan a ser una
configuración en cascada con una retroalimentación integral y con un control maestro y esclavo
retroalimentado PI.
e) Las simulaciones resultantes muestran que la estructura de control en cascada permite obtener una
mejor convergencia y rechazo de perturbaciones, propiedades que no se dan en un no cascada.
f) La estructura en cascada puede operar en un modo manual de emergencia. Es decir, cuando una
acumulaci6n severa de AGV se presenta en el sistema de digestión anaerobia.
Los resultados del trabajo han mostrado que un control retroalimentado directo con un simple
controlador retroalimentado lineal (Tipo PI) tiene una aplicación potencial para la operación dptima
de los procesos de digestidn anaerobia. Sin embargo, una estrategia de control m& robusta para
esta clase de procesos es una combinación conveniente del control retroalimentado directo, como la
presentada en este trabajo, en donde podemos observar que la estructura en cascada nos permite un
mejor rechazo de las perturbaciones que entran al sistema, en comparación con una estructura simple
de control retroalimentado directo.
61
a
d
62
Tabla 2. Transformada de Laplace Funciones más Usuales
63
Notación
Modelo Matemático
t : tiempo (dias)
XAS : concentración de biomasa de DQO en lodos activados vivos (9 dm-3)
XAS,, : concentración de biomasa de DQO en lodos activados vivos en el influente (9 dm-3)
D : tasa de dilución (dias”)
RDL : tasa de muerte y rompimiento de la biomasa de AS (lodos activados) (dias-’g dm-3)
P : concentración de DQO de partículas degradables (9 dm-3)
Po : concentración de DQO de partículas degradables en el iníluente (9 dm-3)
RH : tasa de hidrólisis de partículas de células muertas (dias-’g dm-3)
S : concentración de DQO en sustrato soluble (9 dm-3)
S, : concentraci6n de DQO en sustrato soluble en el influente (9 dm-3)
RFS : tasa de ferment.ación de sustrato (9 DQO utilizada g-’biomasa de DQO dias-’)
XA : concentración de microorganismo acidogénico activo (9 DQO dm-3)
XA,, : concentración de microorganismo acidogénico activo en el influente (9 DQO dm-3)
RDA : tasa de dilución de la biomasa acidogénica (dias”g DQO dm-3)
A : concentración de ácidos volhtiles (9 DQO dm-3)
A, : concentración de ácidos volhtiles en el influente (9 DQO dm-3)
RAU : tasa de hcido utilizado por microorganismos metanogénicos (9 DQO utilizada 9-l
biomasa de DQO dias-’)
XA.I : concentracih de biomasa metanogénica (9 dmW3)
XM,, : concentración de biomasa metanogénica en el influente (9 dm-3)
RDM : tasa de disminución de biomasa metanogénica (dias-lg DQO dm-3)
M : concentración de metano (9 DQO dm-3)
&lo : concentración de metano en el influente (9 DQO dm-3)
RMG : tasa de generación de metano (9 DQO utilizada g”bzomasa de DQO dias-’)
64
Referencias
Referencias
0 Alvarez-Ramirez J, Morales A and Cervantes I, Robust proportional-integra1 control, Ind. Eng.
Chem. Res., 37: 4740-4747 (1998).
Bello-Mendoza R and Sharratt P N, Modelling the effects of imperfect mixing on the performan-
ce of anaerobic reactors for sewage sludge treatment, J. Chem. Tech. Biotechnol., 70: 121-130
(1998).
0 Buffiere P, Bergeon J P and Moletta R, The inverse turbulent bed: a novel bioreactor for
anaerobic treatment, Wut. Res. 34: 673-677 (2000).
0 Castil la P, Meraz M, Monroy O and Noyola A, Anaerobic treatment of low concentration waste
water in an inverse fluidized bed reactor, Water Sci. Tech., 41: 245-251 (2000).
0 Denac M, Miguel A and Dunn I J, Modelling dynamic experiments on the anaerobic degradation
of the molasses wastewater, Biotechnol. and Bioneng., 31: 1-10 (1988).
0 Dochain D and Perrier P, Control design for nonlinear wastewater treatment plant, Water Sci.
and Technol., 28: 283-293 (1993).
o Estaben M, Polit M and Steyer J P, Fuzzy control for an anaerobic digester, Control Eng.
Practice 5: 1303-1310 (1997).
0 Heinzle E, Dunn I and Ryhiner G, Modelling and control for anaerobic wastewater treatment.
Advances an Biochemical Engineering/Biotechnology 48: 79-114 (1993).
0 Johnson K A, Wheatley A D and Fell C J, An aplication of adaptive control algorithm for the
anaerobic treatment of an industrial effluent. Trans. IChemE 73: 203-211 (1995).
0 L a p e ñ a R M, Tratamiento de Aguas Industriales, Marcombo, S.A, España, (1989).
0 L u y b e n W , Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers, 2nd. ed, hk-
Graw Hill, New York (1990).
o Morar i M and Zafiriou E, Robust Process Control, Prentice-Hall, New York, (1989).
65
0 Muller A, Marsili-Libeli S, Aiviasidi A and Wandrey C, Development of an integrated process
control system for a multi-stage wastewater treatment plant, 10th Forum for Applied Biotechno-
logy 27-29 September: 2467-2473 (1995), Gent, Belgium.
0 Marlin T E, Process Control: Designing Processes and Control Systems for Dynamic Perfor-
mance, 2nd. ed, Mc Graw Hill, New York (2000).
Monroy O, Fama G, Meraz M, Montoya L and Macarie H, Anaerobic digestion wastewater
treatment in Mexico: state of the technology, Wat. Res. , 34: 1803-1816 (2000).
McCar thy P L, The development of anaerobic treatment and its future, in Anaerobic Digestion
for Sustainable Development, Ed. J. van Lier, Wageningen University] p163-170 (2001).
Pavlostathis S G and Gosset J M, A kinetic model for anaerobic digestion of biological sludge,
Biotechnol. and Bioeng., 28: 1519-1530 (1986).
Renard R, Dochain D, Bastin G, H Naveau and E Nyns, Adapt,ive control of anaerobic digestion
processes: a pilot scale application. Biotechnol. and Bioeneg., 31: 287-294 (1998).
S m i t h C and Corripio A B, Control automiitico de procesos, Limusa, MéxicoD F,(1991)
Steyer J Ph, Buffiere P, Rolland D and Moleta R, Advanced control of anaerobic digestion
processes through disturbance monitoring, Wat. Res. 33: 2059-2068 (1999)
Tchobanoglous G and Burton F, Wastewater Engineering-Treatment, Disposal and Reuse,
Metcalf & Eddy, Inc., 3rd. edn, McGraw-Hill Series in Water Resources and Environmental
Engineering, NY (1991).
66