universidad central del ecuador · 2018. 9. 3. · abstract finding weak solutions to problems...

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERIA,CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICA

CARRERA DE INGENIERIA MATEMATICA

Soluciones viscosas de ecuaciones elıpticas de primer orden no lineales.

Trabajo de Titulacion modalidad proyecto de investigacion previo a laobtencion de Tıtulo de Ingeniero Matematico.

AUTOR: Reyes Vargas Jimmy Jaime.

TUTOR: DR. Miguel Angel Yangari Sosa, Ph.D.

Quito, 2018

DERECHOS DE AUTOR

Yo, Jimmy Jaime Reyes Vargas en calidad de autor y titular de los derechos morales ypatrimoniales del trabajo de titulacion Soluciones viscosas de ecuaciones elıpticas de primerorden de primer orden no lineales, modalidad proyecto de investigacion, de conformidad conel Art. 114 del CODIGO ORGANICO DE LA ECONOMIA SOCIAL DE LOS CONOCI-MIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACION, concedo a favor de la Universidad Centraldel Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial dela obra, con fines estrictamente academicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autorsobre la obra, establecidos en la norma citada.Ası mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitalizaciony publicacion de este trabajo de titulacion en el repositorio virtual, de conformidad a lo dis-puesto en el Art. 144 de la Ley Organica de Educacion Superior.El autor declara que la obra objeto de la presente autorizacion es original en su forma deexpresion y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad porcualquier reclamacion que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidadde toda responsabilidad.

Jimmy Jaime Reyes Vargas

C.C. 0706086881

[email protected]

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APROBACION DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulacion, presentado JIMMY JAIME RE-YES VARGAS, para optar por el Grado de Ingeniero Matematico; cuyo tıtulo es:SOLUCIONES VISCOSAS DE ECUACIONES ELIPTICAS DE PRIMERORDEN NO LINEALES, considero que dicho trabajo reune los requisitos y meri-tos suficientes para ser sometido a la presentacion publica y evaluacion por parte deltribunal examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 15 dıas del mes de junio de 2018.

Dr. Miguel Angel Yangari Sosa, Ph.D.

DOCENTE-TUTOR

C.C. 1715020309

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DEDICATORIA

Dedicado a mis padres:Jaime y Cecilia.

A mis hermanos:Elizabeth, Cecibel y Flavio.

Con amor, gratitud y admiracion.

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AGRADECIMIENTO

Estoy infinitamente agradecido con Dios, porque en los momentos mas adversosnunca me abandono. Con mis Padres por el apoyo incondicional que me brindaron, portodos los sacrificios que hicieron a lo largo de mi carrera y a mis hermanos, quienessiempre me han motivado a culminar con mis estudios.

Estoy en deuda con mi tutor, Dr. Miguel Yangari, por su completo apoyo, excelenteorientacion y por brindarme su amistad. Lo que me permitio aprender mucho mas quelo estudiado en este proyecto de investigacion.

Agradezco a los revisores Dr. Danilo Gortaire y al Mat. Ivan Naula por sus suge-rencias, las cuales me sirvieron para enriquecer mi proyecto.

Agradezco a los profesores de Ingenierıa Matematica por compartir sus conocimien-tos e incentivarme la pasion por estudiar Matematicas.

Finalmente expreso mi gratitud a mis amigos y amigas que me brindaron su apoyoen mi formacion como matematico.

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CONTENIDO

DERECHOS DE AUTOR ii

APROBACION DEL TUTOR iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTO v

CONTENIDO vii

RESUMEN viii

ABSTRACT ix

1. Preliminares 41.1. Supremo e ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Lımite superior e inferior de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Lımite superior e inferior de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4. Continuidad de una funcion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5. Semi-continuidad superior e inferior de una funcion. . . . . . . . . . . . 211.6. Formula de Taylor; puntos crıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Definiciones y propiedades elementales de soluciones viscosas 292.1. Caso de ecuaciones elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Estabilidad y paso al lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Existencia de soluciones por el metodo de Perron: elıpticas 453.1. Soluciones viscosas discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2. Supremo de sub-soluciones e ınfimo de super-soluciones . . . . . . . . . 463.3. El metodo de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Existencia de una solucion viscosa continua . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4. Principio de comparacion: elıpticas 53

5. Definiciones y propiedades elementales: parabolicas 585.1. Caso de ecuaciones parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2. Estabilidad y paso al lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6. Existencia de soluciones por el metodo de Perron: parabolicas 706.1. El metodo de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2. Existencia de una solucion viscosa continua . . . . . . . . . . . . . . . . 74

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7. Principio de comparacion: parabolicas 76

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 82

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TITULO: Soluciones viscosas de ecuaciones elıpticas de primer orden nolineales.

Autor : Jimmy Jaime Reyes VargasTutor : Dr. Miguel Angel Yangari Sosa, Ph.D.

RESUMEN

Encontrar soluciones debiles a problemas modelados con ecuaciones diferenciales enderivadas parciales es fundamental como tambien determinar la mejor solucion. Por loque es necesario verificar su existencia, unicidad y estabilidad. En el presente trabajo,abordaremos el estudio de un tipo de soluciones debiles, llamadas ”soluciones visco-sas”; cuya existencia esta garantizada por el metodo de Perron. La unicidad se verificamediante el principio de comparacion y su estabilidad dependera de la regularidad dela solucion. Estudiaremos este tipo de soluciones para ecuaciones diferenciales elıpticasy parabolicas de primer orden no lineales.

PALABRAS CLAVE: SUB-SOLUCION VISCOSA/ SUPER-SOLUCION VISCO-

SA/ SOLUCION VISCOSA.

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TITLE: Viscosity solutions on first-order non-linear elliptic equations.

Author : Jimmy Jaime Reyes VargasTutor : Dr. Miguel Angel Yangari Sosa, Ph.D.

ABSTRACT

Finding weak solutions to problems modeled with differential equations in partial de-rivates is fundamental as well as determining the best solution. So, it is necessary toverify its existence, uniqueness and stability. In the present work, we will approachthe study of a type of weak solutions, called ”viscosity solutions”, whose existence isguaranteed by the Perron method. The uniquess is verified by the comparison principleand its stability will depend on the regularity of the solution. We will study this typeof solutions for nonlinear elliptic and parabolic differential equations of first order.

KEYWORDS: SUBSOLUTION VISCOSITY/ SUPERSOLUTION VISCOSITY/SOLUTION VISCOSITY.

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INTRODUCCION

Dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales se trata de buscar so-luciones a una gran variedad de problemas que surgen en la fısica, la ingenierıa, lasfinanzas, la naturaleza, etc. En un curso de pregrado aprendemos a resolver estos pro-blemas cuando el dominio tiene formas especiales como por ejemplo forma de cubo,bola, cilindro, plano, etc. En los cuales podemos encontrar una formula explıcita usandofunciones elementales es decir una solucion clasica. Desafortunadamente en dominiosgenerales parece imposible encontrar dichas formulas porque tenemos que verificar quesean suficientemente diferenciables y satisfagan simultaneamente nuestro problema, pa-ra resolver este inconveniente debemos buscar soluciones debiles o generales. En estetrabajo de investigacion introduciremos la teorıa de las ”soluciones viscosas”para elcual estudiaremos las notas de Pierre Cardaliaguet [1] que aborda este tipo de solucio-nes debiles.Citemos un ejemplo tıpico de una ecuacion elıptica de primer orden no lineal degene-rada, la ecuacion de eikonale con condiciones de frontera de Dirichlet homogenea

‖Du(x)‖ = 1; ∀x ∈ Ω

u(x) = 0; ∀x ∈ ∂Ω.(0.0.1)

Donde Ω es un conjunto abierto y acotado de RN , ∂Ω es la frontera de R y ‖.‖ esla norma euclidiana. Este problema no tiene solucion clasica, es decir una funcionu ∈ C1(Ω)∩C0(Ω) que satisfaga el mencionado problema. En efecto como Ω es acotadoy u es constante en ∂Ω por lo que u necesariamente posee un maximo o un mınimo enx0 ∈ Ω, lo que implica que Du(x0) = 0, esto contradice la ecuacion. Pero en realidadexiste una solucion general que es la funcion distancia

d∂Ω(x) = mıny∈∂Ω‖y − x‖.

La unicidad y existencia de esta solucion esta garantizada por el criterio de viscosidad.El termino de solucion viscosa aparece por primera vez en el trabajo de Michael G.Crandall y Pierre-Louis Lions en 1983 con respecto a la ecuacion Hamilton-Jacobi. Elnombre se justifica por el hecho de que la existencia de soluciones se obtuvo por elmetodo de viscosidad de fuga. La definicion de solucion la habıa dado Lawrence Evansen 1980. Posteriormente, la definicion y las propiedades de las soluciones viscosas parala ecuacion de Hamilton-Jacobi fueron refinadas en un trabajo conjunto de Crandall,Evans y Lions en 1984. Durante algunos anos el trabajo en soluciones viscosas se con-centro en ecuaciones de primer orden porque no se sabıa si las ecuaciones elıpticas desegundo orden tendrıan una solucion viscosa unica, excepto en casos muy particula-res. El resultado decisivo vino con el metodo introducido por Robert Jensen en 1988para probar el principio de comparacion utilizando una aproximacion regularizada dela solucion que tiene una segunda derivada en casi todas partes. En los anos siguien-tes, el concepto de solucion viscosa se ha vuelto cada vez mas frecuente en el analisis

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de EDP’s elıpticas degeneradas. Con base en sus propiedades de estabilidad, Barles ySouganidis obtuvieron una prueba muy simple y general de convergencia de esquemasde diferencias finitas. Se obtuvieron propiedades de regularidad adicionales de las solu-ciones viscosas, especialmente en el caso uniformemente elıptico con el trabajo de LuisCaffarelli. Las soluciones viscosas se han convertido en un concepto central en el estu-dio de las EDP’s elıpticas, como puede corroborarse por el hecho de que actualmentela Guıa del usuario tiene mas de 4000 citas, siendo uno de los trabajos matematicosmas citados durante los ultimos anos [22]. Ademas, cabe mencionar que la definicionde soluciones viscosas no implica ninguna viscosidad de ningun tipo, no tiene relacioncon los fluidos viscosos, el nombre de solucion viscosa persiste debido a la historia deltema.En el Capıtulo 1, haremos una revision rapida de definiciones y resultados elementalesen R y en RN .En el capıtulo 2, introduciremos la definicion de viscosidad para una ecuacion elıpticay realizaremos la prueba de las propiedades elementales de viscosidad como tambiendemostraremos las propiedades de estabilidad, es decir dada una sucesion de solucionesviscosas convergente, su lımite tambien es una solucion viscosa.En el capıtulo 3, introduciremos la definicion de solucion viscosa discontinua y cons-truiremos una solucion viscosa usando el metodo de Perron, finalmente probaremosla existencia de una solucion viscosa continua para un problema con condiciones defrontera de Dirichlet.En el capıtulo 4, probaremos la unicidad de una solucion viscosa mediante el metodode comparacion.Todo lo que desarrollaremos en los Capıtulos 1,2,3 y 4 esta orientado al caso de unaecuacion elıptica de primer orden no lineal.En los Capıtulos restantes 5, 6 y 7 como una prolongacion de nuestro trabajo se abor-dara el caso de una ecuacion parabolica no lineal de primer orden.

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DEFINICION DEL PROBLEMA

Formulacion del problema

Estamos interesados en encontrar una solucion viscosa u : Ω → R a la ecuacionelıptica de primer orden no lineal, cuya forma general es

H(x, u(x), Du(x)) = 0, (0.0.2)

donde Ω es un subconjunto abierto de RN , Du(x) designa el gradiente de u en el puntox elemento de Ω y H : Ω× R× RN → R una aplicacion continua. Para que u sea unasolucion viscosa de (0.0.2) debemos de probar su existencia, unicidad y estabilidad.

Justificacion del problema

Construir una solucion clasica a un problema elıptico en un dominio general esmuy difıcil e incluso imposible, pero podemos buscar alternativas que nos permitandar solucion a nuestro problema, el uso de soluciones debiles: soluciones viscosas. Estetipo de soluciones se han utilizado en la resolucion ecuaciones como por ejemplo: laEcuacion de Burguers’, la cual tiene una gran aplicacion en la Mecanica de Fluidos,la ecuacion de Hamilton-Jacobi, utilizada para resolver problemas de Control Optimaly Mecanica Clasica, las ecuaciones de eikonale que permiten modelar: la atenuacionde las ondas de radio en la atmosfera, segmentaciones de imagenes, problema de rutascortas entre otras.

OBJETIVOS

Objetivo General

Probar la existencia, unicidad y estabilidad de las soluciones viscosas para el casode una ecuacion elıptica de primer orden no lineal.

Objetivo Especıfico

Desarrollar de forma rigorosa y prolija las notas de Pierre Cardaliaguet [1].

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Capıtulo 1

Preliminares

Este primer capıtulo desarrollaremos una revision rapida de definiciones tales como:supremo, ınfimo, sucesion, continuidad, semicontinuidad, compacidad, convergencia,la formula de Taylor, entre otras. Ademas realizaremos una prueba detallada de losresultados que son importantes para el entendimiento de este trabajo.

1.1. Supremo e ınfimo

Antes de pasar a la definicion de supremo e ınfimo es necesario enunciar los siguien-tes teoremas, los cuales seran muy utiles posteriormente.

Teorema 1.1. Sean a, b numeros reales tales que a < b. Entonces a <1

2(a+ b) < b.

Demostracion: Ver la demostracion de 2.2.7 Teorema en [2], pagina 47.

Teorema 1.2. Si a, b estan en R y suponga que a − ε < b, para cualquier ε > 0.Entonces a 6 b.

Demostracion: Supongamos que b < a y sea ε0 =1

2(a− b), ε0 > 0. Luego

b < a⇒ b <1

2(a+ b) por el Teorema 1.1

⇒ b <1

2(a+ a− 2ε0) pues b = a− 2ε0

⇒ b < a− ε0. lo cual contradice la hipotesis.

Proposicion 1.1. Sean a, b, c numeros reales. Entonces

b > a ⇔ ∀c > b, c > a ⇔ ∀c > b, c > a.

Demostracion: Sea c > b y dado que b > a entonces c > a. Ahora sea un numero realε > 0, luego c + ε > c. Entonces c + ε > a y por el Teorema 1.2, se tiene que c > a.Para finalizar considere que c = b + ε, para cualquier ε > 0. Por tanto b + ε > a enefecto b > a.

Proposicion 1.2. Sean a, b, c numeros reales. Entonces

a > b ⇔ ∀c < b, c < a ⇔ ∀c < b, c 6 a.

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Demostracion: Por hipotesis b 6 a y para cualquier c < b se tiene que c < a. Luegosea un numero real ε > 0, entonces c− ε < c. Por tanto c− ε < a y por el Teorema 1.2,se sigue que c 6 a. Ahora considere que c = b− ε < b en efecto b− ε 6 a, ası podemosconcluir que b 6 a.

Definicion 1.1. Sea X un subconjunto de numeros reales.

i) Diremos que un numero b ∈ R es una cota superior de X, si para toda x ∈ X;x 6 b.

ii) De forma analoga, diremos que un numero a ∈ R es una cota inferior de X, sipara toda x ∈ X; a 6 x.

Por la definicion anterior diremos que un subconjunto en R es acotado superiormentesi tiene una cota superior. De forma similar diremos que es acotado inferiormente sitiene una cota inferior.

Definicion 1.2. Sea X un subconjunto de numeros reales.

i) Si X es acotado superiormente, entonces se dice que una cota superior b es unsupremo (o una mınima cota superior) de X si ningun numero menor que b escota superior de X. Notaremos al supremo como supX.

ii) Si X es acotado inferiormente, entonces se dice que una cota inferior a es unınfimo (o una maxima cota inferior) de X si ningun numero mayor que a es cotainferior de X. Escribiremos al ınfimo como ınf X.

Lema 1.1. Sea X ⊂ R, X no vacıo. Un numero real b es un supremo de X si y solosi b satisface las siguientes propiedades:

1. x 6 b para toda x ∈ X;

2. si y < b, entonces existe un x0 ∈ X tal que y < x0.

Demostracion: Supongamos que b = supX, entonces b es una cota superior de X, laDefinicion 1.1, literal i) garantiza que x 6 b , ∀x ∈ X. Por la Definicion 1.2, literali), b es la mınima cota superior, entonces existe un x0 ∈ X tal que b − x0 > 0 yb − x0 6 b − x , ∀x ∈ X. Sea y ∈ R tal que y < b implica que b − x0 6 b − y; portanto y < x0. Recıprocamente, sea b un numero real con la propiedad que satisface lascondiciones (1) y (2). Entonces por la propiedad (1); b es una cota superior de X. Nosresta probar que b es la mınima cota superior, supongamos que existe b′ tal que es lamınima cota superior de X y ademas b′ < b, por la propiedad (2) se sigue que existeun x0 ∈ X tal que b′ < x0, esto contradice la suposicion acerca de b′. Luego b es lamenor cota superior de X, por tanto b es el supremo de X.

Lema 1.2. Un numero real a es un ınfimo de un subconjunto no vacıo X de R si ysolo si a satisface las dos condiciones:

1. a 6 x para toda x ∈ X;

2. si a < y, entonces existe un x0 ∈ X tal que x0 < y.

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Demostracion: Supongamos que a = ınf X, entonces a es una cota inferior de X, laDefinicion 1.1, literal ii), garantiza que a 6 x , ∀x ∈ X. Por la Definicion 1.2, literalii), a es la maxima cota inferior, entonces existe un x0 ∈ X tal que x0 − a > 0 yx0−a 6 x−a , ∀x ∈ X. Sea y ∈ R tal que a < y implica que x0−a 6 y−a; por tantox0 < y. Recıprocamente, usando la propiedad de nuestra hipotesis (1) implica que a esuna cota inferior de X. Nos resta probar que a es la maxima cota inferior, supongamosque a′ es la maxima cota inferior de X y ademas a < a′, por la propiedad (2) se sigueque existe un x0 ∈ X tal que x0 < a′, esto contradice la suposicion acerca de a′. Luegoa es la mayor cota inferior de X, por tanto a es el ınfimo de X.

Lema 1.3. Una cota inferior a de un conjunto no vacıo X de R es el ınfimo de Xsi y solo si para cada ε > 0 existe una xε ∈ X tal que xε < a+ ε.

Demostracion: Supongamos que a es una cota inferior de X y que satisface la condicionenunciada. Si a < c y se toma ε = c− a, entonces ε > 0, luego por hipotesis existe unxε ∈ X tal que c = a + ε > xε. Por lo tanto, c no es una cota inferior de X. Puestoque c es un numero arbitrario mayor que a, se concluye que a = ınf X.Recıprocamente, supongase que a = ınf X y sea ε > 0. Puesto que a+ ε > a, entoncesa + ε no es una cota inferior de X. Por el Lema 1.2, existe algun elemento xε de Xmenor que a+ ε; es decir a+ ε > xε.

Realizando una demostracion similar tenemos tenemos el siguiente resultado.

Lema 1.4. Sea X un subconjunto de numeros reales no vacıo, acotado superiormente.Una cota superior b de X es el supremo de X si y solo si para cada ε > 0 existe unaxε ∈ X tal que b− ε < xε.

Como axioma fundamental en la teorıa de numeros supondremos:

Axioma 1.1. Todo conjunto de numeros reales no vacıo acotado superiormente tieneun supremo en R.

Proposicion 1.3. Sea X un subconjunto no vacıo de R, acotado inferiormente. Sea−X = −x : x ∈ X, entonces −X es acotado superiormente y sup(−X) = − ınf X.

Demostracion: Supongamos que a es la menor cota inferior de X. Entonces

a 6 x , ∀x ∈ X ⇒ −x < −a , ∀(−x) ∈ −X⇒ −a es una cota superior de −X⇒ −X es acotado superiormente.

Ahora probemos que sup(−X) = − ınf X, para justificar esta igualdad es necesarioprobar que sup(−X) > − ınf X y que sup(−X) < − ınf X. En efecto −X es acotadosuperiormente y gracias al axioma anterior sea c = sup(−X). Luego

−x 6 c , ∀(−x) ∈ −X ⇒ −c < x , ∀x ∈ X⇒ −c es una cota inferior de X

⇒ −c 6 ınf X

⇒ c > − ınf X

⇒ sup(−X) > − ınf X.

Por nuestra suposicion notemos que

a = ınf X ⇒ sup(−X) < −a⇒ sup(−X) < − ınf X.

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Corolario 1.1. Sea Y un subconjunto no vacıo de R acotado superiormente. EntoncessupY = − ınf(−Y ).

Demostracion: El Axioma 1.1, permite la existencia del supremo de Y . Luego por laproposicion anterior se sigue que

sup[−(−Y )] = − ınf(−Y ) ⇒ supY = − ınf(−Y ).

Proposicion 1.4. Sea X ⊂ R acotado inferiormente y sea c ∈ R. Se define el conjunto

c+X := c+ x : x ∈ X.

Entoncesınf(c+X) = c+ ınf X.

Demostracion: Si a = ınf X, entonces a 6 x para todo x ∈ X, se tiene que c+a 6 c+x.Por lo tanto, a+ c es una cota inferior de c+X; en consecuencia c+a 6 c+ ınf X. Seab es cualquier cota inferior de c + X, entonces b 6 c + x para todo x ∈ X. Entoncesb−c 6 x para toda x ∈ X, lo que significa que b−c 6 a, de donde b 6 c+a. Puesto queb es cualquier cota inferior de a+X, se puede sustituir a b por ınf(c+X) para obtenerınf(c+X) 6 c+a. Al combinar las desigualdades anteriores se tiene; ınf(c+X) = c+ay c+ a = c+ ınf X. Ası

ınf(c+X) = c+ ınf X.

Corolario 1.2. Sea X ⊂ R acotado superiormente y sea c ∈ R. Se define el conjunto

c+X := c+ x : x ∈ X.

Entoncessup(c+X) = c+ supX.

Demostracion: Si b = supX y si

−c−X := −c− x : x ∈ X.

Del Corolario 1.1; se sigue

b = − ınf −X ⇒ −b = ınf −X,

luego, −c − b = −c + ınf −X, lo que significa que −c + ınf −X = ınf(−c − X). Portanto se concluye que sup(c+X) = c+ supX.

1.2. Lımite superior e inferior de una sucesion

Definicion 1.3. Una sucesion de numeros reales es una funcion x : N→ R, definida enel conjunto de los numeros naturales y cuyo codominio esta contenido en el conjunto delos numeros reales. El valor x(n), para toda n ∈ N, sera representado por xn y llamadoel termino n-esimo de la sucesion. Denotaremos como (xn) para indicar la sucesion x.Ademas una sucesion se dice que es creciente si xn 6 xn+1, para toda n ∈ N y si paracualquier n ∈ N se tiene que xn+1 6 xn diremos que la sucesion es decreciente.

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Definicion 1.4. Sea N′ un subconjunto infinito de N. Una sub-sucesion es una funcionx : N′ → R. Escribiremos como (xk), para indicar que es una sub-sucesion de (xnk).

Definicion 1.5. Se dice que una sucesion de numeros reales (xn) esta acotada si existeun numero real c > 0, tal que |xn| 6 c, para toda n ∈ N.

Definicion 1.6. Una sucesion (xn) se dice acotada superiormente cuando existe unnumero real b, tal que xn 6 b, para toda n ∈ N. Analogamente, se dice que (xn) esacotada inferiormente cuando existe un a ∈ R tal que a 6 xn, para todo n ∈ N.

Proposicion 1.5. Una sucesion (xn) es acotada si y solo si es acotada superior einferiormente.

Demostracion: Suponga que (xn) es acotada, entonces existe un c > 0 tal que |xn| 6 c,es decir −c 6 xn 6 c, para toda n ∈ N. Luego el conjunto X := x1, x2 . . . , xn, . . . es acotado superior e inferiormente, por tanto X posee un supremo y un ınfimo. Seaa = ınf X y sea b = supX, esto implica que a 6 xn y xn 6 b para toda n ∈ N.Recıprocamente si xn es acotada superior e inferiormente, existen a, b reales tales quea 6 xn y xn 6 b para toda n ∈ N, tome c = max|a|, |b|. Por tanto |xn| 6 c ,∀n ∈ N.

Definicion 1.7. Sea a ∈ R, a es el lımite de una sucesion (xn) cuando para cadanumero real ε > 0 dado arbitrariamente, existe un n0 ∈ N tal que |xn−a| < ε, siempreque n > n0. Al lımite lo escribiremos como lımn→∞ xn = a.

Definicion 1.8. Un numero real a se llama punto de adherencia de un conjunto X ⊂R, cuando a es el lımite de una sucesion de puntos xn ∈ X, en particular diremosque a es un punto de adherencia de una sucesion (xn) cuando a es el lımite de unasub-sucesion de (xn).

Teorema 1.3. Un punto a ∈ R es un punto de adherencia de un conjunto X ⊂ Rsi, solamente si, para todo ε > 0, se tiene que X ∩ (a− ε, a+ ε) 6= ∅.

Demostracion: Ver la demostracion del Teorema 3 en [3], pagina 133.

Corolario 1.3. Sea X ⊂ R acotado inferiormente y sea Y ⊂ R acotado superiormente.Entonces a = ınf X es un punto de adherencia de X y b = supY es un punto deadherencia de Y .

Demostracion: Sea ε > 0. Sea a = ınf X; por el Lema 1.3, existe un xε ∈ X tal que

a 6 xε < a+ ε⇒ a− ε < xε < a+ ε

⇒ (a− ε, a+ ε) ∩X 6= ∅.

Usando el Teorema 1.3, a es un punto de adherencia de X. De forma similar sea ε > 0,sea b = supY ; por el Lema 1.4; existe un yε ∈ X tal que

b− ε < yε 6 b⇒ b− ε < yε < a+ ε

⇒ (b− ε, b+ ε) ∩ Y 6= ∅.

Aplicando el Teorema 1.3, b es un punto de adherencia de Y .

Teorema 1.4. Sean (xn) e (yn) sucesiones de numeros reales tales que (xn) escreciente e (yn) es decreciente, son convergentes si y solo si son acotadas. Ademaslimn→∞xn = supxn y limn→∞yn = ınf yn.

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Demostracion: Ver la demostracion de 3.3.2 Teorema de convergencia monotona en [2],pagina 106.

Proposicion 1.6. Sea (xn) una sucesion real acotada. Definamos una sub-sucesion(ak) de la siguiente forma

ak = supn>k

xn.

Entonces la sub-sucesion (ak) es decreciente.

Demostracion: Sea k ∈ N. Entonces, sean A := xn : n > k+ 1 y B := xn : n > k;es evidente que A ⊂ B. Luego, sean ak+1 = supA y ak = supB y por la propiedad desupremo de conjuntos se tiene que ak+1 6 ak.

Proposicion 1.7. Sea (xn) una sucesion real acotada. Definamos una sub-sucesion(ak) de la siguiente forma

ak = ınfn>k

xn.

Entonces la sub-sucesion (ak) es creciente.

Demostracion: Para cualquier k ∈ N, sean A := xn : n > k+1 y B := xn : n > k;es evidente que A ⊂ B. Luego ak+1 = ınf A y ak = ınf B y por la propiedad de ınfimode conjuntos se tiene que ak 6 ak+1.

Teorema 1.5 (Bolzano-Weierstras). Toda sucesion acota de numeros reales tieneuna sub-sucesion convergente.

Demostracion: Ver la demostracion de 3.4.7 El teorema de Bolzano-Weierstras en [2],pagina 116.

En esta parte haremos una explicacion sobre el lım sup y lım inf de una sucesionde numeros reales para ello usaremos los resultados antes expuestos. Sea (xn) unasucesion de numeros reales acotada, es decir sean α y β, numeros reales tales queα 6 xn 6 β, para todo n ∈ N. Definamos Xn := xn, xn+1, . . .. Tenemos que[α, β] ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ . . . ⊃ Xn ⊃ . . . , luego asignemos an = ınf Xn y por la Proposicion1.5, (an) es una sucesion creciente. Por otra parte sea bn = supXn, por la Proposicion1.4, (bn) es decreciente y gracias al Teorema 1.4 ambas sucesiones son convergentes.Por tanto existen los lımites siguientes:

a = lım an = sup an = supn

ınf Xn,

b = lım bn = ınf bn = ınfn

supXn.

Definicion 1.9. Sea (xn) una sucesion acotada, escribiremos a = lım inf xn, b =lım supxn, diremos que a es el lımite inferior y que b es el lımite superior de (xn).

Los siguientes son resultados clasicos de lımite superior e inferior los cuales sondados sin demostracion.

Teorema 1.6. Sea (xn) una sucesion acotada. Entonces lım inf xn es el menor valorde adherencia y lım supxn es el mayor valor de adherencia de (xn).


Teorema 1.7. Sea a = lım inf xn y b = lım supxn, donde (xn) es una sucesionacotada. Dado cualquier ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ a− ε < xn < b+ ε. Asıa es el menor y b es el mayor numero con esta propiedad.

9


Proposicion 1.8. Sea (xn) una sucesion de numeros reales y sea c un numero real.Entonces

lım supn→∞

xn 6 c⇔ ∀d > c, ∃k ∈ N, ∀n > k, xn < d.

Demostracion: Por facilidad escribamos

yk = supn>k

xn y b = lım supn→∞

xn.

Iniciemos probando la implicacion de ida, por hipotesis sea b 6 c, luego por la Propo-sicion 1.1, para todo d > c , d > b. Lo que implica que d > ınfk∈N yk. Por el Lema 1.2,existe un k ∈ N tal que d > yk. Luego al reemplazar yk por supn>k xn, se sigue que

∀d > b, ∃k ∈ N, d > supn>k

xn.

Por tanto, d es una cota superior de xn, lo que implica que

∀d > c, ∃k ∈ N, ∀n > k, xn < d.

A continuacion probemos el recıproco, entonces sea

∀d > c, ∃k ∈ N, ∀n > k, xn < d.

Entonces, d es una cota superior de xn, por tanto d > supn>k xn. Luego para cualquierd > c, existe un k ∈ N tal que d > yk, lo que implica que para todo d > c, d > ınfk∈N yk.De esta forma tenemos que d > c y d > b. Luego por la Proposicion 1.2, se sigue quec > b.

Proposicion 1.9. Sea (xn) una sucesion de numeros reales y sea c un numero real.Entonces

lım supn→∞

xn > c⇔ ∀d < c, ∀k ∈ N, ∃n > k, xn > d.

Demostracion: De forma similar definamos

yk = supn>k

xn y b = lım supn→∞

xn.

Probemos la implicacion de ida, por hipotesis sea c 6 b, luego por la Proposicion 1.2,para todo d < c , d < b. Entonces d < ınfk∈N yk se sigue que d < yk. Luego al reemplazaryk por supn>k xn, se sigue que

∀d < b, ∀k ∈ N, d < supn>k

xn.

Usando el Lema 1.1, se tiene que existe n > k. Por tanto

∀d < c, ∀k ∈ N, ∃n > k, d < xn.

Ahora probemos el recıproco, entonces sea

∀d < c, ∀k ∈ N, ∃n > k, d < xn.

Entonces se sigue que d 6 supn>k xn. Luego para cualquier d < c y para todo k ∈ Ntal que d 6 yk, implica que d es una cota inferior de yk. Entonces para todo d < c,d 6 ınfk∈N yk. De esta forma tenemos que d < c, d 6 b y por la Proposicion 1.3, sesigue que c 6 b.

10

Proposicion 1.10. Sea (xn) una sucesion de numeros reales y sea b ∈ R. Entonceslım supn→∞ xn = b si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Para cualquier c > b existe un k ∈ N tal que xn < c para todo n > k.

2. Para cualquier d < b y para todo k ∈ N existe un n > k tal que xn > d.

Demostracion: Supongamos que b satisface las propiedades (1) y (2). Entonces al apli-car la Proposicion 1.8 y la Proposicion 1.9;

b 6 lım supn→∞

xn 6 b.

Luego, tenemos la igualdad requerida; es decir, lım supn→∞ xn = b.

Proposicion 1.11. Sea (xn) una sucesion real y sea c ∈ R. Entonces

lım infn→∞

xn 6 c⇔ ∀d > c, ∀k ∈ N, ∃n > k, d > xn.

Demostracion: Primero definamos como

yk = ınfn>k

xn y a = lım infn→∞

xn = supk∈N

ınfn>k

xn.

Probemos la implicacion de ida. Dado que a 6 c, aplicando la Proposicion 1.1, tenemosque para todo d > c , d > a. Entonces d > supk∈N yk y por definicion de cota superior,se sigue que

∀d, ∀k ∈ N, d > yk.

Al reemplazar yk, se sigue que d > ınfn>k xn y usando el Lema 1.2

∀d > c, ∀k ∈ N, ∃n > k, d > xn.

Ahora verifiquemos el recıproco, entonces por hipotesis

∀d > c, ∀k ∈ N, ∃n > k, d > xn.

Luego por el Lema 1.2, d > ınfn>k xn. Lo que implica que d > yk, por tanto

∀d > c, ∀k ∈ N, d > yk.

De esto afirmamos que d es una cota superior de yk, por lo que podemos concluir qued > supk∈N yk, en efecto d > supk∈N ınfn>k xn; es decir d > a y por la Proposicion 1.1,c > a. De esta forma concluimos la verificacion de este resultado.

Proposicion 1.12. Sea (xn) una sucesion de numeros reales y sea c ∈ R. Entonces

lım infn→∞

xn > c⇔ ∀d < c, ∃k ∈ N, ∀n > k, xn > d.

Demostracion: Definamos como antes

yk = ınfn>k

xn y a = lım infn→∞

xn = supk∈N

ınfn>k

xn.

Iniciemos demostrando la implicacion de ida. Luego a > c, usando la Proposicion 1.2,tenemos que para todo d < c , d < a. Por tanto d < supk∈N yk y por el Lema 1.1, sesigue que

∀d, ∃k ∈ N, d < yk.

11

Al reemplazar yk, se sigue que d < ınfn>k xn y por definicion de cota inferior

∀d < c, ∃k ∈ N, ∀n > k, d < xn.

Para completar la prueba verifiquemos el recıproco. Por hipotesis

∀d < c, ∃k ∈ N, ∀n > k, xn > d.

Luego por definicion de cota inferior, d 6 ınfn>k xn. Lo que implica que d 6 yk, portanto

∀d < c, ∀k ∈ N, d 6 yk.

Entonces, para todo n > k, d 6 supk∈N yk. Ası d 6 supk∈N ınfn>k xn; es decir d 6 a ypor la Proposicion 1.2, llegamos a tener que c 6 a.

Proposicion 1.13. Sea (xn) una sucesion de numeros reales y sea a ∈ R. Entonceslım infn→∞ xn = a si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Para cualquier c > a, para todo k ∈ N existe un n > k tal que c > xn.

2. Para cualquier d < a, existe un k ∈ N tal que d < xn, para todo n > k.

Demostracion: La prueba es inmediata, al hacer uso de las Proposiciones 1.11 y 1.12;obtenemos el resultado requerido.

Corolario 1.4. Sea (xn) una sucesion de numeros reales acotada. Entonces

lım infn→∞

xn 6 lım supn→∞

xn.

Demostracion: Para cada k ∈ N

ınfn>k

xn 6 supn>k

xn.

Entonces, si hacemos que k →∞. Obtenemos la siguiente desigualdad

lım infn→∞

xn 6 lım supn→∞

xn.

Corolario 1.5. Una sucesion acotada (xn) en R es convergente si y solo si

lım infn→∞

xn = lım supn→∞

xn.

Demostracion: Supongamos que lımn→∞ xn = b. Por tanto

∀ε > 0, ∃k ∈ N, ∀n > k, b− ε < xn < b+ ε.

Si y solo si, tomamos a = b− ε y c = b+ ε. Tenemos

∀a < b, ∃k ∈ N, ∀n > k, a < xn. (1.2.1)

∀c > b, ∃k ∈ N, ∀n > k, c > xn. (1.2.2)

Aplicando las Proposiciones 1.11 y 1.12, se tiene que

lım infn→∞

xn > b > lım supn→∞

xn.

Y por el Corolario 1.4, se comprueba la igualdad. Recıprocamente definamos comob = lım supn→∞ xn. Entonces b > lım supn→∞ xn, de esta forma tenemos (1.2.2) y delım infn→∞ xn > b obtenemos (1.2.1). Lo que implica que, lımn→∞ xn = b.

12

Proposicion 1.14. Si (xn) e (yn) son sucesiones de numeros reales acotadas, talesque a = lım infn→∞ xn, A = lım supn→∞ xn, b = lım infn→∞ yn y B = lım supn→∞ yn.Entonces lım supn→∞(xn + yn) 6 A+B y lım supn→∞(−xn) = −a.

Demostracion: Tenemos por hipotesis que

lım supn→∞

xn 6 A⇔ ∀d > A, ∃k1 ∈ N, ∀n > k1, xn < d.

lım supn→∞

yn 6 B ⇔ ∀c > B, ∃k2 ∈ N, ∀n > k2, yn < c.

Tome k0 = maxk1, k2 y sea ademas m = d+ c. Entonces

∀m > A+B, ∃k0 ∈ N, ∀n > k0, xn + yn < m.

Luego por la Proposicion 1.8, se tiene

lım supn→∞

(xn + yn) 6 A+B.

Ahora verifiquemos que lım supn→∞(−xn) = −a. En efecto a = lım infn→∞ xn es decira = supk∈N ınfn>k xn entonces −a = − supk∈N ınfn>k xn. El Corolario 1.1 estableceque −a = ınfk∈N(− ınfn>k xn). Lo que implica que −a = ınfk∈N supn>k(−xn) y por ladefinicion de lımite superior llegamos a que −a = lım sup(−xn).

Proposicion 1.15. Sean (xn) e (yn) sucesiones acotadas en R, con la propiedad quea = lım infn→∞ xn, A = lım supn→∞ xn, b = lım infn→∞ yn y B = lım supn→∞ yn.Entonces lım infn→∞(xn + yn) > a+ b; lım infn→∞(−xn) = −A.

Demostracion: Al aplicar la Proposicion 1.13 a nuestra hipotesis, se tiene que

lım infn→∞

xn > a⇔ ∀d < a, ∃k1 ∈ N, ∀n > k1, d < xn.

lım supn→∞

yn > B ⇔ ∀c < b, ∃k2 ∈ N, ∀n > k2, c < yn.

Ahora, elijamos k0 = maxk1, k2 y sea a m = d+ c. Entonces

∀m < a+ b, ∃k0 ∈ N, ∀n > k0, m < xn + yn.

Luego por la Proposicion 1.12, se tiene

lım infn→∞

(xn + yn) > a+ b.

Para culminar, probemos que lım infn→∞(−xn) = −A. Entonces A = lım supn→∞ xn;por tanto A = ınfk∈N supn>k xn entonces −A = − ınfk∈N supn>k xn. La Proposicion 1.3,indica que −A = supk∈N(− supn>k xn). Lo que establece que −A = supk∈N ınfn>k(−xn)y por la definicion de lımite inferior llegamos a que, −A = lım infn→∞(−xn).

Proposicion 1.16. Sean (xn) e (yn) sucesiones acotadas reales. Si para toda n ∈ N,xn > 0, yn > 0, ademas a = lım infn→∞ xn, A = lım supn→∞ xn, b = lım infn→∞ ynB = lım supn→∞ yn. Entonces lım supn→∞(xnyn) 6 AB; lım infn→∞(xnyn) > ab.

13

Demostracion: Consideremos que si xn = 0 o yn = 0, para toda n ∈ N entoncesA = a = 0 o B = b = 0, la desigualdad se cumple. Probemos para el caso en que lasdos sucesiones son estrictamente mayores que cero. Entonces

xnyn − AB = xnyn − xnB + xnB − AB= xn(yn −B) +B(xn − A)

6 A(yn −B) +B(xn − A)

Por el Teorema 1.5, tome ε1 = ε2A

y ε2 = ε2B. Luego

<ε

2+ε

2= ε

Por tanto, lım supn→∞(xnyn) > AB. Para finalizar probemos que lım inf(xnyn) > ab,entonces

xnyn − ab = xnyn − xnb+ xnb− ab= xn(yn − a) + b(xn − a)

> a(yn − b) + b(xn − a)

Por el Teorema 1.5, tome ε1 = ε2a

y ε2 = ε2b. Luego

> −ε2− ε

2= −ε.

En consecuencia, lım sup(xnyn)n→∞(xnyn) > ab; ası hemos terminado la demostracion.

1.3. Lımite superior e inferior de una funcion

En esta seccion consideraremos un subconjunto Ω ⊂ RN , una funcion u : Ω → Ry un punto de acumulacion x0 ∈ Ω′. Diremos que u es acotada en una vecindad dex0 cuando exista algun r > 0, tal que u|Br(x0) sea acotada, es decir ‖u(x)‖ 6 k, paratodo x ∈ Br(x0), donde k ∈ R. Antes de continuar, el siguiente teorema es de frecuenteutilidad.

Teorema 1.8. Sea Ω un conjunto no vacıo de RN . Entonces Ω es acotado si y solo siesta contenido en una bola abierta cuyo centro puede ser cualquier punto del espacio.


Corolario 1.6. Sea Ω un subconjunto de RN ; Ω es acotado si y solo si su clausura esacotada.

Demostracion: Sea Ω ⊂ RN acotado, por el teorema anterior existe una bola abiertatal que Ω ⊂ Br(x0). Entonces Ω ⊂ Br(x0) ⊂ B2r(x0), por tanto Ω es acotado. Por otraparte, si Ω es acotado, es claro que existe un abierto tal que Ω ⊂ Br(x0) y como Ω ⊂ Ω,hemos finalizado nuestra prueba.

Definicion 1.10. Un numero real c se dice que es un valor de adherencia de unafuncion u en el punto x0, cuando existe una sucesion de puntos de xn ∈ Ω \ x0 talque lımn→∞ xn = x0 y lımn→∞ u(xn) = c.

14

Teorema 1.9. Un numero real c es un valor de adherencia de u en el punto x0 si ysolamente si para todo r > 0, c ∈ u(Br(x0)).


Definicion 1.11. Sea u una funcion acotada en una vecindad de x0.

i) Llamaremos lımite superior de u en el punto x0 al mayor valor de adherencia deu en el punto x0. Escribiremos

lım supx→x0

u(x) = L.

ii) De manera similar llamaremos lımite inferior de u en el punto x0 al menor valorde adherencia de u en el punto x0. Escribiremos

lım infx→x0

u(x) = l.

De la definicion se deducen facilmente los siguientes resultados.

Teorema 1.10. Sea una funcion, u acotada en una vecindad de x0. Entonces

lım supx→x0

u(x) = lımr→0

Lr y lım infx→x0

u(x) = lımr→0

lr.

Donde

Lr = supx∈Br(x0)

u(x) , lr = ınfx∈Br(x0)

u(x).


Teorema 1.11. Sea u acotada en una vecindad de x0. Para todo ε > 0, existe r > 0tal que x ∈ Ω, x ∈ Br(x0) ⇒ l − ε < u(x) < L + ε, donde l = lım infx→x0 u(x) yL = lım supx→x0 u(x).

Demostracion: Ver la demostracion del TEOREMA 15 en [3], pagina 170.

Corolario 1.7. Sea u acotada en una vecindad de x0. Entonces, existe lımx→x0 u(x)si, y solamente si, u posee un unico valor de adherencia en el punto x0, es decir

lım infx→x0

u(x) = lım supx→x0

u(x) = lımx→x0

u(x).

Demostracion: Ver la demostracion del Corolario 4 en [3], pagina 171.

Proposicion 1.17. Sean u, v : Ω→ R, funciones acotadas en una vecindad de x0 ∈ Ω.Entonces

i) lım supx→x0(u+ v)(x) 6 lım supx→x0 u(x) + lım supx→x0 v(x);

ii) lım supx→x0 [−u(x)] = − lım infx→x0 u(x).

15

Demostracion: Supongamos que

lım supx→x0

u(x) = L1 y lım supx→x0

v(x) = L2.

Entonces por el Teorema 1.10; lımr1→0 Lr1 = L1 y lımr2→0 Lr2 = L2. Luego tomer0 = mınr1, r2, por tanto Br0(x0) ⊂ Br1(x0) y Br0(x0) ⊂ Br2(x0). En efecto

supx∈Br0 (x0)

(u+ v)(x) 6 supx∈Br1 (x0)

u(x) + supx∈Br2 (x0)

v(x),

Entonces

supx∈Br0 (x0)

(u+ v)(x) 6 Lr1 + Lr2

Por tanto

lımr0→0

supx∈Br0 (x0)

(u+ v)(x) 6 lımr1→0

Lr1 + lımr2→0

Lr2

Es decir lım supx→x0(u+v)(x) 6 L1+L2, ası hemos probado i). Para terminar probemosii), usando el Teorema 1.10, podemos definir,

lım supx→x0

[−u(x)] = lımr→0

supx∈Br(x0)

(−u(x))

= lımr→0

(− ınfx∈Br(x0)

u(x))

= lımr→0

(−lr)

= − lımr→0

lr

= − lım infx→x0

u(x).

Proposicion 1.18. Sean u, v : Ω→ R, funciones acotadas en una vecindad de x0 ∈ Ω.Entonces

i) lım infx→x0(u+ v)(x) > lım infx→x0 u(x) + lım infx→x0 v(x);

ii) lım infx→x0 [−u(x)] = − lım supx→x0 u(x).

Demostracion: De forma analoga, supongamos

lım infx→x0

u(x) = l1 y lım infx→x0

v(x) = l2.

Gracias al Teorema 1.10; lımr1→0 lr1 = l1 y lımr2→0 lr2 = l2. Luego, sea r0 = mınr1, r2,por tanto Br0(x0) ⊂ Br1(x0) y Br0(x0) ⊂ Br2(x0). En efecto

ınfx∈Br0 (x0)

(u+ v)(x) > ınfx∈Br1 (x0)

u(x) + ınfx∈Br2 (x0)

v(x),

Entonces

ınfx∈Br0 (x0)

(u+ v)(x) > lr1 + lr2

16

Por tanto

lımr0→0

ınfx∈Br0 (x0)

(u+ v)(x) > lımr1→0

lr1 + lımr2→0

lr2

Es decir lım infx→x0(u+ v)(x) > l1 + l2, ası hemos probado i). Para finalizar probemosii), aplicando el Teorema 1.10 tenemos que

lım infx→x0

[−u(x)] = lımr→0

ınfx∈Br(x0)

(−u(x))

= lımr→0

(− supx∈Br(x0)

)u(x)

= lımr→0

(−Lr)

= − lımr→0

Lr

= − lım supx→x0

u(x).

Proposicion 1.19. Sean u, v : Ω → R, funciones acotadas en una vecindad dex0 ∈ Ω tal que u(x) > 0 y v(x) > 0 para todo x ∈ Ω. Supongamos ademas quelım infx→x0 u(x) = l1,lım supx→x0 u(x) = L1, lım infx→x0 v(x) = l2 y lım supx→x0 v(x) =L2. Entonces

i) lım supx→x0 uv(x) 6 L1L2;

ii) lım infx→x0 uv(x) > l1l2.

Demostracion: Consideremos que si u(x) = 0 o v(x) = 0 , para toda x ∈ Ω. EntoncesL1 = l1 = 0 o L2 = l2 = 0, la desigualdad se cumple. Nos queda probar el caso cuandolas dos funciones son estrictamente mayores que cero. Entonces

uv(x)− L1L2 = uv(x)− u(x)L1 + u(x)L2− L1L2

= u(x)(v(x)− L2) + L2(u(x)− L1)

6 L1(yn − L2) + L2(xn − L1)

Por el Teorema 1.11, tome ε1 = ε2L1

y ε2 = ε2L2

. Luego

uv(x)− L1L2 <ε

2+ε

2= ε

Por tanto, lım supuv(x) 6 L1L2. Para concluir demostremos que lım inf uv(x) > l1l2,entonces

uv(x)− l1l2 = uv(x)− u(x)l2 + u(x)l2 − l1l2= u(x)(v(x)− l1) + l2(u(x)− l1)

> l1(v(x)− l2) + l2(u(x)− l1)

Por el Teorema 1.11, tome ε1 = ε2l1

y ε2 = ε2l1. Luego

uv(x)− l1l2 > −ε

2− ε

2= −ε.

En consecuencia, lım sup(xnyn) > l1l2; ası hemos terminado la demostracion.

17

1.4. Continuidad de una funcion.

Definicion 1.12. Sea Ω ⊂ RN , una funcion u : Ω → R es continua en un puntox0 ∈ Ω si para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ Ω; ‖x − x0‖ < δ,implica |u(x) − u(x0)| < ε. Diremos que u es continua si lo es en todos los puntos deΩ.

Teorema 1.12. Una funcion u : Ω → R, definida en un subconjunto Ω ⊂ RN , escontinua en un punto x0 si y solamente si, para toda sucesion de puntos xn ∈ Ω conlımn→∞ xn = x0, se tiene que, limn→∞u(xn) = u(x0).

Demostracion: Ver la demostracion de la Proposicion 9 en [6], pagina 125.

Definicion 1.13. Sea la funcion u : Ω ⊂ RN → R, diremos que u es lipschitzsiana enel conjunto Ω cuando existe una constante c > 0, tal que

|u(x)− u(y)| 6 c‖x− y‖ , ∀x, y ∈ Ω.

Proposicion 1.20. Toda funcion lipschitziana es continua.

Demostracion: Sea ε > 0 y sea x0 ∈ Ω. Tome δ =ε

c, como u es lipschitz

|u(x)− u(x0)| < c‖x− x0‖

< c

(ε

c

)= ε.

Luego u es continua en el punto arbitrario x0 ∈ Ω, por tanto u es continua en Ω.

Corolario 1.8. Para cada X ⊂ Ω no vacıo, dX : Ω→ R definida por dX(y) = d(y,X)es continua.

Demostracion: Probemos que dX es lipschitziana. Notemos que dX es la distancia deun punto a conjunto, por tanto sean y, z ∈ Ω, ademas es valida la siguiente desigualdad

|dX(y)− dX(z)| = |d(y,X)− d(z,X)| 6 d(y, z). (1.4.1)

Luego c = 1, lo que implica que dX es continua.

La verificacion de (1.4.1) se encuentra en [6], Proposicion 3, pagina 18.

Corolario 1.9. En un espacio vectorial normado E, la norma n : E → R definida porn(x) = ‖x‖ es una funcion continua.

Demostracion: Sean x, y ∈ E y sea d(x, y) = ‖x− y‖. Entonces

d(x, y) > |d(x, 0)− d(y, 0)|= |‖x− 0‖ − ‖y − 0‖|= |‖x‖ − ‖y‖|= |n(x)− n(y)|= d(n(x), n(y)).

Por tanto; d(x, y) > d(n(x), n(y)), luego c = 1. En efecto n es continua.

Definicion 1.14. Una aplicacion u : Ω→ R, defina en Ω ⊂ RN , se dice uniformementecontinua cuando para todo ε > 0 dado, se puede obtener un δ > 0 tal que x, y ∈ Ω;‖x− y‖ < δ implica |u(x)− u(y)| < ε.

18

Teorema 1.13. Una aplicacion u : Ω → R, es uniformemente continua. Entoncespara todo par de sucesiones (xn),(yn) en Ω con lımn→∞(xn − yn) = 0, se tiene quelimn→∞[u(xn)− u(yn)] = 0.

Demostracion: Si u es una funcion uniformemente continua, entonces para todo ε > 0existe un δ > 0 tal que para todo par de puntos x, y ∈ Ω; ‖x − y‖ < δ implica|u(x) − u(y)| < ε. Como lım(xn − yn)n→∞ = 0, existe k ∈ N tal que para todo n > kse tiene que ‖xn − yn‖ < δ implica que |u(xn) − u(yn)| < ε, en efecto se tiene quelimn→∞[u(xn)− u(yn)] = 0.

Los siguientes resultados son clasicos del analisis matematico los cuales son dadossin demostracion.

Definicion 1.15. Diremos que un conjunto K ⊂ RN es compacto si es acotado ycerrado.

Proposicion 1.21. (Weierstrass) Toda funcion real continua y acotada u : K → R,definida en un subconjunto compacto K de RN , alcanza un punto maximo y un puntomınimo, es decir, existen puntos x0, x1 ∈ K tales que u(x0) 6 u(x) 6 u(x1) paracualquier x ∈ K.

Demostracion: Ver la demostracion de la Proposicion 4 (Weierstrass) en [6], pagina215.

Corolario 1.10. Sea un conjunto compacto K ⊂ RN , sea u : K → R continua, tal queu(x) > 0 para todo x ∈ RN . Entonces existe c > 0 tal que u(x) > c para todo x ∈ K.

Demostracion: ∀x ∈ K, u(x) > 0; u es acotada inferiormente. Por Weierstrass, existeun x0 ∈ K tal que u(x0) 6 u(x), ∀x ∈ K, es claro que u(x0) > 0, entonces tomec = u(x0), por lo que podemos concluir que 0 < c 6 u(x), ∀x ∈ K.

Teorema 1.14. Toda funcion continua u : K → R, definida en un conjunto compactoK ⊂ RN , es uniformemente continua.


Definicion 1.16. Una cobertura de un conjunto Ω ⊂ RN es una familia (Cλ)λ∈L desubconjuntos Cλ ⊂ RN tal que Ω ⊂

⋃λ∈L

Cλ. Esto significa que para cada x ∈ Ω, existe

un λ ∈ L tal que x ∈ Cλ.

Definicion 1.17. Una subcobertura de un conjunto Ω ⊂ RN es una subfamilia (Cλ)λ∈L′,L′ ⊂ L, tal que se tenga que Ω ⊂

⋃λ∈L′

Cλ.

Definicion 1.18. Diremos que una cobertura (Cλ)λ∈L es abierta cuando todos los Cλson abiertos.

Teorema 1.15. (Borel-Lebesgue) Sea K ⊂ R compacto. Toda cobertura abiertaK ⊂

⋃λ∈L

Aλ,admite una subcobertura finita K ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλi.

Demostracion: Ver la demostracion del Teorema 3 (Borel-Lebesgue) en [6], pagina 207.

Proposicion 1.22. Sean K ⊂ RN y F ⊂ RM dos conjuntos compactos, entoncesK × F es compacto.

19


Para concluir realizaremos una revision rapida sobre integracion en R que nos ser-viran en la prueba del Lema 1.5, el cual lo enunciaremos mas adelante.

Proposicion 1.23. Toda funcion continua u : [a, b]→ R es integrable.


Teorema 1.16 (Teorema Fundamental del Calculo). Si una funcion integrable u :[a, b]→ R posee una primitiva U : [a, b]→ R, entonces∫ b

a

u(x)dx = U(b)− U(a).

En otros terminos, si una funcion U : [a, b]→ R posee derivada integrable, entonces∫ b

a

U ′(t)dt = U(b)− U(a).

Demostracion: Ver la demostracion del Teorema 9 (Teorema Fundamental do Calculo)en [3], pagina 256.

Teorema 1.17 (Valor Medio para Integrales). Sea u continua en [a, b] y sea fintegrable tal que f(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Entonces existe un punto c ∈ [a, b] talque ∫ b

a

u(x)f(x)dx = u(c)

∫ b

a

f(x)dx


Corolario 1.11. Si u es continua en [a, b], entonces existe c ∈ [a, b] tal que∫ b

a

u(x)dx = u(c)(b− a).

Demostracion: Sea f(x) = 1, por el Teorema del Valor Medio para Integrales, se tieneque ∫ b

a

u(x)f(x)dx = u(c)

∫ b

a

f(x)dx

= u(c)

∫ b

a

dx

= u(c)(b− a)dx.

Teorema 1.18. Sean α, β ∈ R con α < β, α(t), β(t) funciones continuas y derivablesen [a, b], tales que α 6 α(t) 6 β(t) 6 β para todo t ∈ [a, b]. Si u es una funcion realcontinua y derivable en [α, β]. Entonces

d

dt

∫ β(t)

α(t)

u(x)dx = u(β(t))β′(t)− u(α(t))α′(t).

20

Demostracion: Apliquemos el Teorema Fundamental del Calculo a u, en efecto∫ β(t)

α(t)

u(x)dx = U(β(t))− U(α(t)).

Luego al derivar esta expresion con respecto a t

d

dt

∫ β(t)

α(t)

u(x)dx =d

dt(U(β(t))− U(α(t)))

=d

dtU(β(t)− d

dtU(α(t)))

Al aplicar la regla de la cadena

d

dtU(β(t))− d

dtU(α(t)) = U ′(β(t))β′(t)− U ′(α(t))α′(t)

= u(β(t))β′(t)− u(α(t))α′(t).

Note que U ′(x) = u(x) es la definicion de antiderivada, por tanto hemos concluido laprueba.

1.5. Semi-continuidad superior e inferior de una funcion.

Definicion 1.19. Sea Ω ⊂ RN . Sea una funcion, u : Ω→ Ri) Se dice que u es semicontinua superiormente en un punto x0 ∈ Ω, cuando para

cada ε > 0 dado, se puede obtener un δ > 0, tal que x ∈ Ω; ‖x− x0‖ < δ implicau(x) < ε+ u(x0). Diremos que u es semicontinua superiormente si lo es en todoslos puntos de Ω.

ii) Se dice que u es semicontinua inferiormente en un punto x0 ∈ Ω, cuando paracada ε > 0 dado, se puede obtener un δ > 0, tal que x ∈ Ω; ‖x− x0‖ < δ implica−ε+u(x0) < u(x). Diremos que u es semicontinua inferiormente si lo es en todoslos puntos de Ω.

Proposicion 1.24. Sea Ω ⊂ RN . Una funcion u : Ω→ RN es continua si y solo si ues semicontinua superior e inferiormente.

Demostracion: Supongamos que u es continua en un punto x0 ∈ Ω, entonces existeδ > 0 tal que ‖x − x0‖ < δ implica u(x0) − ε < u(x) < u(x0) + ε por tanto u essemicontinua superior e inferiormente. Recıprocamente si u es semicontinua superiore inferiormente en x0 ∈ Ω, existen δ1, δ2 > 0 tales que ‖x − x0‖ < δi, i = 1, 2.Entonces u(x) < ε + u(x0) y u(x0) − ε < u(x), luego tome δ = mınδ1, δ2 entoncesu(x0) − ε < u(x) < ε + u(x0) por tanto |u(x) − u(x0)| < ε; es decir u es continua enx0. Como x0 es arbitrario se sigue que u es continua.

Proposicion 1.25. Sea Ω ⊂ RN . Sea una funcion u : Ω → R, u es semicontinuasuperiormente en x0 ∈ Ω si y solo si lım supx→x0 u(x) 6 u(x0).

Demostracion: Sea L = lım supx→x0 u(x). Luego, si u es semicontinua superiormenteen x0 ∈ Ω, entonces para cualquier ε > 0, existe un r > 0, tal que x ∈ Br(x0) implica

u(x) < ε+ u(x0)⇒ supx∈Br(x0)

u(x) < ε+ u(x0),

⇒ lımr→0

supx∈Br(x0)u(x) < ε+ u(x0),

⇒ L < ε+ u(x0),

21

y por el Teorema 1.2, se tiene

L < ε+ u(x0)⇒ lım supx→x0

u(x) 6 u(x0).

Recıprocamente, L 6 u(x0), se sigue que para todo ε > 0, existe r > 0 tal que x ∈ Ω;‖x − x0‖ < r implica que u(x) < L + ε por tanto u(x) < u(x0) + ε, es decir u essemicontinua superiormente en x0.

Corolario 1.12. Para toda sucesion de puntos xn ∈ Ω con lımn→∞ xn = x0 tal quelım supn→∞ u(xn) 6 u(x0), u es semicontinua superiormente en x0.

Demostracion: Sea u semicontinua superiormente en x0 ∈ Ω, entonces para cualquierε > 0, existe un δ > 0 tal que xn ∈ Ω; ‖xn − x0‖ < δ implica u(x) < u(x0) + ε.Entonces, tome ε = δ = 1

n. Cuando δ → 0 existe una k ∈ N tal que para todo n > k;

u(xn) < u(x0)+ 1n. En efecto sea c = u(x0)+ 1

n,∀n > k con u(xn) < u(x0). Por lo tanto

lımn→∞ xn = x0 y utilizando la Proposicion 1.8, se tiene que lım supn→∞ u(xn) 6 u(x0).Ahora si lım supn→∞ u(xn) 6 u(x0), entonces por la Proposicion 1.8, entonces ∀ε > 0,tome c = u(x0)+ε, luego ∃k ∈ N, ∀n > k tal que u(xn) < u(x0)+ε. Por otra parte, dadoque lımn→∞ xn = x0 existe un δ > 0 tal que (xn) ⊂ Bδ(x0) y ademas u(xn) < u(x0)+ε,como la sucesion es arbitraria u es semicontinua en x0 ∈ Ω.

Proposicion 1.26. Una funcion u : Ω → R, definida en un abierto Ω ⊂ RN essemicontinua superiormente si y solamente si para todo α ∈ R, el conjunto x ∈ Ω :u(x) < α es un abierto.

Demostracion: Sea u semicontinua superiormente en x0 ∈ Ω, entonces para cualquierε > 0, existe un δ > 0 tal que x ∈ Ω; ‖x− x0‖ < δ implica u(x) < u(x0) + ε. Entonces,tome α = u(x0) + ε y sea

Λ = x ∈ Ω : u(x) < α.Sea x′ ∈ Λ, luego existe un abierto Br(x

′), se sigue que Br(x′) ∩ Ω, tal que u(x) < α,

entonces Br(x′) ∩ Ω ⊂ Λ , ∀x′ ∈ Λ. Ahora, sea Π =

⋃x′∈Λ

Br(x′), entonces Π es una

abierto y x′ ∈ Π∩Ω ⊂ Λ , ∀x′ ∈ Λ. Esto implica que Λ ⊂ Π∩Ω por tanto Λ = Π∩Ω,como Λ es la interseccion de dos abierto, Λ es abierto. Por otra parte si

Λ = x ∈ Ω : u(x) < α.

Es un abierto, sea x0 ∈ Λ, entonces existe un abierto Br(x0) tal que u(x) < α, paratodo x ∈ Br(x0), mas aun u(x0) < α. Sea ε > 0, luego tome α = u(x0) + ε de talmanera que u(x) < u(x0) + ε, por tanto u es semicontinua superior en x0.

Proposicion 1.27. Sean u, v : Ω → R funciones semicontinuas superiormente enx0 ∈ Ω, Ω ⊂ RN . Entonces u+ v es semicontinua superiormente en x0.

Demostracion: Dado que u y v son semicontinuas superiormente en x0: Entonceslım supx→x0 u(x) 6 u(x0) y lım supx→x0 v(x) 6 v(x0). Luego por la Proposicion 1.17lım supx→x0(u+v)(x) 6 (u+v)(x0), por tanto hemos demostrado esta proposicion.

Proposicion 1.28. Una funcion u : Ω→ R es semicontinua superiormente si y sola-mente si −u es semicontinua inferiormente.

Demostracion: Supongamos que u es semicontinua superiormente en x0 ∈ Ω, entonceslım supx→x0 u(x) 6 u(x0) luego −u(x0) < − lım supx→x0 u(x). Por la Proposicion 1.17,−u(x0) < lım infx→x0 [−u(x)]. Ası hemos probado esta afirmacion.

22

Proposicion 1.29. Sean u, v : Ω → R funciones semicontinuas superiormente en unpunto. Si u(x) > 0 y v(x) > 0, ∀x ∈ Ω. Entonces uv es semicontinua superiormenteen el mismo punto.

Demostracion: Supongamos que u y v son semicontinuas superiormente en x0 ∈ Ω.Entonces lım supx→x0 u(x) 6 u(x0) y lım supx→x0 v(x) 6 v(x0). Por la Proposicion1.19, se tiene que lım supx→x0 uv(x) 6 uv(x0), que es el resultado buscado.

Proposicion 1.30. Sea Ω ⊂ RN , Ω compacto. Si u : Ω → R es semicontinua supe-riormente, entonces u es acotada superiormente y alcanza un maximo en Ω.

Demostracion: Puesto que u es semicontinua superiormente, entonces para n = 1, 2, 3 . . . ,sea

Cn = x ∈ Ω : u(x) < n.

Recuerde que Cn es un abierto y Ω =∞⋃n=1

Cn, luego Ω admite una subcobertura finita,

Cn1 , Cn2 , . . . , Cnm. Si n0 = maxn1, n2, . . . , nm entonces u(x) < n0, para todo x ∈ Ω;es decir u es acotada superiormente. Por tanto, sea β = supx∈Ω u(x) y sea

Sn = x ∈ Ω : u(x) > β − 1

n.

Luego,∞⋂n=1

Sn 6= ∅, pues si suponemos que∞⋂n=1

Sn = ∅, entonces Ω ⊂∞⋃n=1

Scn y puesto

que los conjuntos Scn, son abiertos para toda n ∈ N y dado que Ω es compacto, se sigue

que Ω ⊂k⋃

n=1

Scn, para algun k. En efectok⋂

n=1

Sn = ∅, esto contradice la definicion de β.

Sea x0 ∈k⋂

n=1

Sn, por tanto u(x0) > β y como u(x0) 6 β, por lo que podemos concluir

β = u(x0).

Proposicion 1.31. Si (ui)i∈I es una familia de funciones semicontinuas superiormenteentonces la funcion u definida por

u(x) = ınfi∈I

ui(x).

es semicontinua superiormente.

Demostracion: Tomemos un punto x0 ∈ Ω y sea u(x0) = ınfi∈I ui(x0), si c ∈ R tal queu(x0) < c. Entonces existe i0 ∈ I tal que u(x0) < ui0(x0), ademas ui0 es semicontinuasuperiormente en x0, lo que implica que existe un r > 0 tal que para todo x ∈ Br(x0)se tiene que ui0(x) < ui0(x0) + ε y u(x0) + ε < ui0(x0) + ε lo que significa que u(x) <u(x0) + ε, por lo que podemos concluir que u es semicontinua superiormente.

Proposicion 1.32. Sea Ω ⊂ RN . Sea una funcion u : Ω → R, u es semicontinuainferiormente en x0 ∈ Ω si y solo si u(x0) 6 lım infx→x0 u(x).

Demostracion: Sea l = lım infx→x0 u(x). Luego, si u es semicontinua inferiormente enx0 ∈ Ω, entonces para cualquier ε > 0, existe un r > 0, tal que x ∈ Br(x0) implica

−ε+ u(x0) < u(x)⇒ −ε+ u(x0) < ınfx∈Br(x0)

u(x),

⇒ −ε+ u(x0) < lımr→0

ınfx∈Br(x0)

u(x),

⇒ −ε+ u(x0) < l,

23

y por el Teorema 1.2, se tiene

−ε+ u(x0) < l⇒ lım infx→x0

u(x) > u(x0).

Recıprocamente, l > u(x0), se sigue que para todo ε > 0, existe r > 0 tal que x ∈ Ω;‖x − x0‖ < r implica que l − ε < u(x) por tanto u(x0) − ε < u(x), es decir u essemicontinua inferiormente en x0.

Corolario 1.13. Para toda sucesion de puntos xn ∈ Ω con lım xn = x0 tal que u(x0) 6lım infn→∞ u(xn), u es semicontinua inferiormente en x0.

Demostracion: Sea u semicontinua inferiormente en x0 ∈ Ω, entonces para cualquierε > 0, existe un δ > 0 tal que xn ∈ Ω; ‖xn − x0‖ < δ implica u(x0) − ε < u(x).Luego, tome ε = δ = 1

n. Cuando δ → 0 existe un k ∈ N tal que para todo n > k;

u(x0)− 1n< u(xn). Entonces, sea c = u(x0)− 1

n,∀n > k con u(x0) < u(xn). Por lo tanto

lımn→∞ xn = x0 y utilizando la Proposicion 1.12, se tiene que lım infn→∞ u(xn) > u(x0).Ahora si lım infn→∞ u(xn) > u(x0), entonces por la Proposicion 1.12, entonces ∀ε > 0,tome c = u(x0) + ε, luego ∃k ∈ N, ∀n > k tal que u(x0) − ε < u(xn). Por otraparte, dado que lımn→∞ xn = x0, existe un δ > 0 tal que (xn) ⊂ Bδ(x0) y ademasu(x0) − ε < u(xn), como la sucesion es arbitraria u es semicontinua inferiormente enx0 ∈ Ω.

Proposicion 1.33. Una funcion u : Ω → R, definida en un abierto Ω ⊂ RN essemicontinua inferiormente si y solamente si para todo α ∈ R, el conjunto x ∈ Ω :u(x) > α es un abierto.

Demostracion: Sea u semicontinua inferiormente en x0 ∈ Ω, entonces para cualquierε > 0, existe un δ > 0 tal que x ∈ Ω; ‖x− x0‖ < δ implica u(x0)− ε < u(x). Entonces,tome α = u(x0)− ε y sea

Λ = x ∈ Ω : u(x) > α.Sea x′ ∈ Λ, luego existe un abierto Br(x

′), se sigue que Br(x′) ∩ Ω, tal que α < u(x),

entonces Br(x′) ∩ Ω ⊂ Λ , ∀x′ ∈ Λ. Ahora, sea Π =

⋃x′∈Λ

Br(x′), entonces Π es una

abierto y x′ ∈ Π∩Ω ⊂ Λ , ∀x′ ∈ Λ. Esto implica que Λ ⊂ Π∩Ω por tanto Λ = Π∩Ω,como Λ es la interseccion de dos abierto, Λ es abierto. Por otra parte si

Λ = x ∈ Ω : u(x) > α.

Es un abierto, sea x0 ∈ Λ, entonces existe un abierto Br(x0) tal que α < u(x), paratodo x ∈ Br(x0), mas aun α < u(x0). Sea ε > 0, luego tome α = u(x0) − ε de talmanera que u(x0)− ε < u(x), por tanto u es semicontinua inferior en x0.

Proposicion 1.34. Sean u, v : Ω → R funciones semicontinuas inferiormente enx0 ∈ Ω, Ω ⊂ RN . Entonces u+ v es semicontinua inferiormente en x0.

Demostracion: Como u y v son semicontinuas inferiormente en x0 ∈ Ω. Entoncesu(x0) 6 lım infx→x0 u(x) y v(x0) 6 lım infx→x0 v(x). Luego por la Proposicion 1.18,(u+ v)(x0) 6 lım infx→x0(u+ v)(x), por tanto hemos demostrado esta proposicion.

Proposicion 1.35. Una funcion u : Ω → R es semicontinua inferiormente si y sola-mente si −u es semicontinua superiormente.

Demostracion: Supongamos que u es semicontinua inferiormente en el punto x0 ∈ Ω,entonces u(x0) 6 lım infx→x0 u(x). Luego, − lım supx→x0 u(x) < −u(x0). Al aplicar laProposicion 1.18, lım supx→x0 [−u(x)] < −u(x0).

24

Proposicion 1.36. Sean u, v : Ω → R funciones semicontinuas inferiormente en unpunto. Si u(x) > 0 y v(x) > 0, ∀x ∈ Ω. Entonces uv es semicontinua inferiormente enel mismo punto.

Demostracion: Supongamos que u y v son semicontinuas inferiormente en x0 ∈ Ω.Entonces u(x0) 6 lım infx→x0 u(x) y v(x0) 6 lım infx→x0 v(x). Por la Proposicion 1.18se tiene que uv(x0) 6 lım infx→x0 uv(x), que es el resultado buscado.

Proposicion 1.37. Sea Ω ⊂ RN , Ω compacto. Si u : Ω→ R es semicontinua inferior-mente, entonces u es acotada inferiormente y alcanza un mınimo en Ω.

Demostracion: Por hipotesis u es semicontinua inferiormente, entonces para n = 1, 2, 3 . . . ,sea

Cn = x ∈ Ω : u(x) > −n.

Dado que Cn es un abierto y Ω =∞⋃n=1

Cn, luego Ω admite una subcobertura finita,

Cn1 , Cn2 , . . . , Cnm. Si n0 = maxn1, n2, . . . , nm entonces u(x) > −n0, para todox ∈ Ω; es decir u es acotada inferiormente. Por tanto, sea γ = ınfx∈Ω u(x) y sea

In = x ∈ Ω : u(x) 6 γ +1

n.

Luego,∞⋂n=1

In 6= ∅, pues si suponemos que∞⋂n=1

In = ∅, entonces Ω ⊂∞⋃n=1

Icn y puesto que

los conjuntos Icn, son abiertos para toda n ∈ N y dado que Ω es compacto, se sigue que

Ω ⊂k⋃

n=1

Icn, para algun k. En efectok⋂

n=1

In = ∅, esto contradice la definicion de γ. Sea

x0 ∈k⋂

n=1

Sn, por tanto u(x0) 6 γ y como u(x0) > γ, por lo que podemos concluir que

u alcanza un mınimo en x0.

Proposicion 1.38. Si (ui)i∈I es una familia de funciones semicontinuas inferiormenteentonces la funcion u definida por

u(x) = supi∈I

ui(x).

es semicontinua inferiormente.

Demostracion: Sean x0 ∈ Ω y sea u(x0) = supi∈I ui(x0), si c ∈ R tal que c < u(x0).Entonces existe i0 ∈ I tal que ui0(x0) < u(x0), ademas ui0 es semicontinua inferiormenteen x0, lo que implica que existe un r > 0 tal que para todo x ∈ Br(x0) se tiene queui0(x0)− ε < ui0(x) y u(x0)− ε < ui0(x0)− ε lo que significa que u(x0)− ε < u(x), porlo que podemos concluir que u es semicontinua inferiormente.

Para finalizar sea la funcion caracteristica, que se define ası

χΩ =

1, si x ∈ Ω,

0, si x /∈ Ω.

Un subconjunto Ω ⊂ RN es abierto si y solamente si, su funcion caracterıstica essemicontinua inferior. En efecto sea una sucesion (xn) ⊂ Ω tal que xn → x0, luegoaplicando el Corolario 1.32, se sigue que lım infn→∞ χΩ(xn) > χΩ(x0), como xn ∈ Ω,∀n ∈ N, lım infn→∞ χΩ(xn) = 1, si x0 ∈ Ω, se tiene que lım infn→∞ χΩ(xn) > 1,

25

y si, x0 /∈ Ω , lım infn→∞ χΩ(xn) > 0. Ahora Ω es cerrado, si y solamente si, χΩ

es semicontinua superior, entonces para cualquier secesion (xn) ⊂ Ω con xn → x0,usando el Corolario 1.1, se tiene que lım supn→∞ χΩ(xn) 6 χΩ(x0), como xn ∈ Ω,∀n ∈ N, lım supn→∞ χΩ(xn) = 1 y dado que Ω es cerrado, x0 ∈ Ω, se concluye quelım supn→∞ χΩ(xn) 6 1.

1.6. Formula de Taylor; puntos crıticos

Definicion 1.20. Se dice que la funcion u : Ω→ R, definida en el subconjunto abiertoΩ de RN es de clase C1 en Ω si sus derivadas parciales ∂u

∂xi: Ω → R, i = 1, 2, . . . , n

existen y son funciones continuas en Ω. Notaremos como u ∈ C1(Ω).

Definicion 1.21. Sea Ω un subconjunto de RN y u : Ω → R una funcion tal que susderivadas parciales de primer orden existan. El gradiente de u en x0 = (x1, x2, . . . , xn)es el vector de RN definido por

∇u(x1, x2, . . . , xn) = ∇u(x0) =

(∂u

∂x1

(x0),∂u

∂x2

(x0), . . . ,∂u

∂xn(x0)

)Definicion 1.22. La funcion u : Ω → R definida en un abierto Ω ⊂ RN se dice quees diferenciable en el punto x0 ∈ Ω, si existe una transformacion lineal T : RN → R yuna funcion E(x0, h) tal que

u(x0 + h)− u(x0) = T (h) + ‖h‖E(x0, h),

donde E(x0, h)→ 0, cuando h→ 0.

Teorema 1.19 (Formula de Taylor de primer orden). Sea Ω ⊂ RN y sea u : Ω→ Rdiferenciable en x0 ∈ Ω. Entonces podemos escribir

u(x0 + h) = u(x0) +n∑i=1

hi∂u

∂xi+R1(h, x0),

donde R1(h,x0)‖h‖ → 0, cuando ‖h‖ → 0, en RN .


Definicion 1.23. Sean Ω subconjunto abierto de RN y u : Ω→ R.

i) Un punto x0 ∈ Ω se dice un maximo local para u si existe una vecindad Br(x0)en RN , tal que

u(x) 6 u(x0), para todo x ∈ Br(x0) ∩ Ω.

ii) Un punto x0 ∈ Ω se llama un maximo local estricto de u si podemos escoger unavecindad Br(x0) en RN , tal que

u(x) < u(x0), para todo x ∈ (Br(x0) \ x0) ∩ Ω.

iii) Un punto x0 se dice ser un maximo absoluto para u en Ω si

u(x) 6 u(x0), para todo x ∈ Ω.

26

iv) Un punto x0 se llama maximo absoluto estricto para u en Ω si

u(x) < u(x0), para todo x ∈ Ω \ x0.

Definicion 1.24. Sean Ω subconjunto abierto de RN y u : Ω→ R.

i) Un punto x0 ∈ Ω se dice un mınimo local para u si existe una vecindad Br(x0)en RN , tal que

u(x0) 6 u(x), para todo x ∈ Br(x0) ∩ Ω.

ii) Un punto x0 ∈ Ω se llama un mınimo local estricto de u si podemos escoger unavecindad Br(x0) en RN , tal que

u(x0) < u(x), para todo x ∈ (Br(x0) \ x0) ∩ Ω.

iii) Un punto x0 se dice ser un mınimo absoluto para u en Ω si

u(x0) 6 u(x), para todo x ∈ Ω.

iv) Un punto x0 se llama mınimo absoluto estricto para u en Ω si

u(x0) < u(x), para todo x ∈ Ω \ x0.

Teorema 1.20. Si Ω ⊂ RN es un abierto, u : Ω → R es diferenciable y x0 ∈ Ω esun extremo local, entonces ∇u(x0) = 0, esto es, x0 es un punto crıtico de u.


Si u es diferenciable, x0 un punto crıtico de u. Sea un punto x proximo a x0, talque x = x0 + y, tenemos la formula de Taylor de primer orden:

u(x0 + h)− u(x0) = 〈∇u(x0)|y〉+ ‖y‖E(x0, y),

donde E(x0, y)→ 0, cuando y → 0.

Lema 1.5. Supongamos que u : RN → R es continua y es diferenciable en algunpunto x0 ∈ RN . Entonces existe una funcion v ∈ C1(RN) tal que u(x0) = v(x0) y u− vposee un maximo local estricto en x0.

Demostracion: Asumamos que x0 = 0, u(0) = D(0) = 0, caso contrario tendrıamos enlugar de u, su desarrollo de Taylor de primer orden pues u es diferenciable en x0.

u(x0 + x)− u(x0) = 〈∇u(x0)|x〉+ ‖x‖E(x0, x).

A continuacion definamos f : RN → R, tal que f(x) = u(x)‖x‖ con f(0) = 0; dado que

u y la norma de x son funciones continuas es inmediato que f es continua, ademasu(x) = ‖x‖f(x). Por otra parte sea g(r) = maxx∈Br(x0)|f(x)| donde r > 0, notemosque g : [0,∞)→ [0,∞) es continua, g(0) = 0 y creciente. Ahora definamos una funcionv como sigue

v(x) =

∫ 2‖x‖

‖x‖g(r)dr + ‖x‖2

Al integrar por partes la expresion anterior, se tiene

|v(x)| =∣∣∣2‖x‖g(2‖x‖)− ‖x‖g(‖x‖)−

∫ 2‖x‖

‖x‖rg′(r)dr + ‖x‖2

∣∣∣.27

Luego, |v(x)| 6 2‖x‖g(2‖x‖) +‖x‖2 por tanto si x = 0; se tiene que |v(x)| = 0 si y solosi v(0) = 0 lo que implica que Dv(0) = 0. Si x 6= 0 aplicando el Teorema 1.18, se tiene

Dv(x) =2x

‖x‖g(2‖x‖)− x

‖x‖g(‖x‖) + 2x.

Entonces podemos afirmar que v ∈ C1(RN). Para concluir note que si x 6= 0

u(x)− v(x) = ‖x‖f(x)−∫ 2‖x‖

‖x‖g(r)dr − ‖x‖2

6 ‖x‖g(‖x‖)−∫ 2‖x‖

‖x‖g(r)dr − ‖x‖2

6 ‖x‖g(‖x‖)− g(c)(2‖x‖ − ‖x‖)− ‖x‖2

6 ‖x‖g(‖x‖)− ‖x‖g(c)− ‖x‖2

6 −‖x‖2

< 0 = u(0)− v(0).

Entonces x0 es un maximo local estricto de u− v.

Corolario 1.14. Sea u : RN → R una funcion continua y diferenciable en algun puntox0 ∈ RN . Entonces existe una funcion v ∈ C1(RN) tal que u(x0) = v(x0) y u− v poseeun mınimo local estricto en x0.

Demostracion: Es inmediato que −u es continua y diferenciable en x0, por tanto existeuna funcion −v ∈ C1(RN) tal que −u(x0) = −v(x0) y −u + v posee un maximo localestricto en x0; es decir

(−u+ v)(x) < (−u+ v)(x0) , ∀x ∈ Br(x0)

Entonces

(u− v)(x0) < (u− v)(x) , ∀x ∈ Br(x0).

Mas aun u(x0) = v(x0), de esta forma hemos concluido la prueba de este corolario.

28

Capıtulo 2

Definiciones y propiedadeselementales de soluciones viscosas

El objetivo de este capıtulo es introducir la definicion de solucion viscosa paraecuaciones elıpticas en derivadas parciales no lineales de primer orden y a partir deello desarrollar la prueba de cada una de las propiedades principales que satisface. Lateorıa descrita a continuacion esta basada en las notas de Pierre Cardaliaguet [1].

2.1. Caso de ecuaciones elıpticas

Consideraremos el estudio de ecuaciones elıpticas de la forma

H(x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω (2.1.1)

donde Ω es un abierto de RN , u : Ω → R es desconocida, Du(x) designa el gradientede u en un punto x y H : Ω×R×RN → R es una aplicacion continua de primer ordenno lineal.

Definicion 2.1. Se dice que una funcion u : Ω → R es una sub-solucion viscosa de(2.1.1) si u es semi-continua superior (SCS) en Ω y si para toda funcion-test φ ∈ C1(Ω),u− φ alcanza un maximo local en un punto x0 ∈ Ω tal que

H(x0, u(x0), Dφ(x0)) 6 0. (2.1.2)

Definicion 2.2. Se dice que una funcion u : Ω→ R es una super-solucion viscosa de(2.1.1) si u es semi-continua inferior (SCI) en Ω y si para toda funcion-test φ ∈ C1(Ω),u− φ alcanza un mınimo local en un punto x0 ∈ Ω tal que

H(x0, u(x0), Dφ(x0)) > 0. (2.1.3)

Definicion 2.3. Se dice que una funcion u : Ω→ R es una solucion viscosa de (2.1.1)si u es sub y super-solucion de (2.1.1).

Proposicion 2.1. Sea una funcion u : Ω → R, las siguientes afirmaciones son equi-valentes

1. u es una sub-solucion viscosa de (2.1.1).

2. Si para toda x ∈ Ω, 0 = (u− φ)(x0) > (u− φ)(x), para toda φ ∈ C1(Ω), x0 ∈ Ω.Entonces H(x0, u(x0), Du(x0)) 6 0.

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Demostracion: Probemos que 1)⇒ 2), entonces para toda funcion φ ∈ C1(Ω) se tieneque 0 = (u−φ)(x0) > (u−φ)(x) para toda x ∈ Ω. Luego u es una sub-solucion viscosade (2.1.1) por tanto se tiene que H(x0, u(x0), Du(x0)) 6 0. Para finalizar probemos que2)⇒ 1), en efecto supongamos que (u−φ)(x0) = 0 y que (u−φ)(x0) > (u−φ)(x) paratoda x ∈ Ω, lo que implica que x0 es un maximo de u − φ; es decir D(u − φ)(x0) = 0entonces Du(x0) = Dφ(x0). Sea δ > 0. Sea φδ(x) = φ(x) + δ‖x − x0‖4 + (u − φ)(x0),note que esta funcion es de clase C1(Ω). Entonces se sigue que

(u− φδ)(x) = u(x)− [φ(x) + δ‖x− x0‖4 + (u− φ)(x0)]

(u− φδ)(x) = (u− φ)(x)− δ‖x− x0‖4 − (u− φ)(x0).

Luego, (u − φ)(x) − (u − φ)(x0) − δ‖x − x0‖4 6 0 y como (u − φδ)(x0) = 0. Se sigueque (u − φδ)(x) 6 (u − φδ)(x0) = 0. Entonces x0 ∈ Ω es una maximo de u − φδ portanto D(u − φδ)(x0) = 0 es decir Du(x0) = Dφδ(x0). Puesto que Du(x0) = Dφ(x0) yDu(x0) = Dφδ(x0), luego Dφδ(x0) = Dφ(x0) y esto se cumple para todo φ ∈ C1(Ω),por hipotesis se tiene que

H(x0, u(x0), Du(x0)) = H(x0, u(x0), Dφ(x0)) 6 0.

Ası tenemos que, H(x0, u(x0), Dφ(x0)) 6 0. Por tanto hemos verificado 1).

Proposicion 2.2. Si u es una sub-solucion viscosa de (2.1.1) en Ω. Entonces paratodo abierto Ω0 ⊂ Ω, u es una sub-solucion viscosa de (2.1.1) en Ω0.

Demostracion: Sea φ ∈ C1(Ω0); por la Proposicion 2.1, supongamos que x0 ∈ Ω0

satisface0 = (u− φ)(x0) > (u− φ)(x) , ∀x ∈ Ω0.

Entonces x0 es un punto maximo de u−φ, luego elijamos un r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω0.Ademas sea ξk ∈ C∞(RN) con k = 1, 2 tal que 0 6 ξk 6 1 y ξ1 + ξ2 = 1 en RN donde

ξ1 = 1 en Bδ(x0) y ξ2 = 1 en RN \Br(x0),

con δ = r2. Por otra parte sea ψ(x) = ξ1φ(x) +Mξ2, donde M = supΩ u+ 1. Entonces

(u− ψ)(x) = u(x)− ξ1φ(x)−Mξ2.

Si ξ1 = 1, se tiene que(u− ψ)(x) = (u− φ)(x).

Por tanto ψ(x) = φ(x) para todo x ∈ Bδ(x0). Entonces

0 = (u− ψ)(x0) > (u− ψ)(x) , ∀x ∈ Ω0.

Si ξ2 = 1, se sigue que

(u− ψ)(x) = u(x)−M.

(u− ψ)(x) < 0

Antes de finalizar note que ψ es de clase C1(Ω), por tanto podemos concluir que

0 = (u− ψ)(x0) > (u− ψ)(x) , ∀x ∈ Ω.

Ası hemos concluido la prueba.

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Proposicion 2.3. Sea una funcion u : Ω → R, las siguientes afirmaciones son equi-valentes

1. u es una super-solucion viscosa de (2.1.2).

2. Si para toda x ∈ Ω, 0 = (u− φ)(x0) 6 (u− φ)(x), para toda φ ∈ C1(Ω), x0 ∈ Ω.Entonces H(x0, u(x0), Du(x0)) > 0.

Demostracion: Iniciemos probando que 1)⇒ 2), entonces para toda funcion φ ∈ C1(Ω)se tiene que 0 = (u−φ)(x0) 6 (u−φ)(x) para toda x ∈ Ω. Luego u es una super-solucionviscosa de (2.1.2) en efecto se tiene que H(x0, u(x0), Du(x0)) 6 0. Para terminar de-mostremos que 2) ⇒ 1), entonces supongamos que (u − φ)(x0) 6 (u − φ)(x) paratoda x ∈ Ω, x0 es un mınimo de u − φ, por tanto D(u − φ)(x0) = 0. Sea δ 6 0. Seaφδ(x) = φ(x) + δ‖x− x0‖4 + (u− φ)(x0), es claro que esta funcion es de clase C1(Ω).Entonces se sigue que

(u− φδ)(x) = u(x)− [φ(x) + δ‖x− x0‖4 + (u− φ)(x0)]

(u− φδ)(x) = (u− φ)(x)− δ‖x− x0‖4 − (u− φ)(x0).

Luego, (u − φ)(x) − (u − φ)(x0) − δ‖x − x0‖4 > 0 y como (u − φδ)(x0) = 0. Se sigueque (u− φδ)(x) > (u− φδ)(x0) = 0 para toda x ∈ Ω; es decir x0 ∈ Ω es un maximo deu− φδ entonces D(u− φδ)(x0) = 0. Luego es inmediato que Dφ(x0) = Dφδ(x0) y estose cumple para todo φ ∈ C1(Ω) y por hipotesis podemos concluir 1).

Proposicion 2.4. Si u es una super-solucion viscosa de (2.1.2) en Ω. Entonces paratodo abierto Ω0 ⊂ Ω, u es una super-solucion viscosa de (2.1.2) en Ω0.

Demostracion: Sea φ ∈ C1(Ω0); por la Proposicion 2.3, supongamos que x0 ∈ Ω0

satisface0 = (u− φ)(x0) 6 (u− φ)(x) , ∀x ∈ Ω0.

Luego, elijamos un r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω0. Ademas sea ξk ∈ C∞(RN) con k = 1, 2tal que 0 6 ξk 6 1, ξ1 + ξ2 = 1 en RN y sea δ = r

2; donde

ξ1 = 1 en Bδ(x0) y ξ2 = 1 en RN \Br(x0).

Por otra parte, sea ψ(x) = ξ1φ(x) +Mξ2, donde M = ınfΩ u− 1. Entonces

(u− ψ)(x) = u(x)− ξ1φ(x)−Mξ2.

Si ξ1 = 1, se tiene que(u− ψ)(x) = (u− φ)(x).

Por tanto, ψ(x) = φ(x) para todo x ∈ Br(x0). Entonces

(u− ψ)(x0) 6 (u− ψ)(x) , ∀x ∈ Ω0.


(u− ψ)(x) = u(x)−M.

(u− ψ)(x) > 0

Para finalizar note que ψ es de clase C1(Ω), por tanto podemos concluir que

0 = (u− ψ)(x0) 6 (u− ψ)(x) , ∀x ∈ Ω.


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Proposicion 2.5. Sea Ω un subconjunto abierto de RN . Sea u ∈ C1(Ω) tal que u :Ω→ R. Entonces u es una sub-solucion viscosa si y solo si verifica

H(x, u(x), Du(x)) 6 0 , ∀x ∈ Ω. (2.1.4)

Demostracion: Iniciemos probando que u es una sub-solucion viscosa si satisface laexpresion (2.1.4). En efecto, sea φ ∈ C1(Ω) y suponga que u − φ alcanza un maximolocal en un punto x0 ∈ Ω.Luego

D(u− φ)(x0) = 0 ⇔ Du(x0) = Dφ(x0).

De dondeH(x0, u(x0), Dφ(x0)) = H(x0, u(x0), Du(x0)).

Y por (2.1.4), se sigue que

H(x0, u(x0), Dφ(x0)) 6 0.

Esto prueba que u es sub-solucion viscosa. Para finalizar la desigualdad (2.1.4) sesatisface a causa de que u ∈ C1(Ω) y u es una sub-solucion viscosa. En efecto, tomeφ = u, por tanto

(u− φ)(x) = 0 , ∀x ∈ Ω.

Lo que implicaD(u− φ)(x) = 0 , ∀x ∈ Ω.

Esta expresion indica que todos los puntos x son puntos crıticos de u−φ y por el Lema1.5, se concluye que todos los puntos crıticos x ∈ Ω, son maximos locales de u − φ,tales que satisfacen la siguiente expresion

H(x, u(x), Dφ(x)) 6 0 , ∀x ∈ Ω.

Ademas, note que Du(x) = Dφ(x) en todo x elemento de Ω, en efecto se tiene lasiguiente igualdad

H(x, u(x), Du(x)) = H(x, u(x), Dφ(x)) , ∀x ∈ Ω.

En consecuencia, se obtiene (2.1.4).

Proposicion 2.6. Sea Ω un subconjunto abierto de RN . Sea u ∈ C1(Ω) tal queu : Ω→ R. Entonces u es una super-solucion viscosa si y solo si verifica

H(x, u(x), Du(x)) > 0 , ∀x ∈ Ω. (2.1.5)

Demostracion: Probemos que se satisface (2.1.5), cuando u es una super-solucion. Tomeφ = u, luego (u−φ)(x) = 0 para todo x ∈ Ω, de esto se sigue que su diferencial es ceroen todo x ∈ Ω, lo que implica que todo punto x es un punto crıtico de u − φ. Ahora,dado que u ∈ C1(Ω) y gracias al Corolario 1.14, implica que todos puntos crıticos x deu − φ son tambien mınimos locales de dicha funcion. A causa de lo antes expuesto sesigue que

Du(x) = Dφ(x) , ∀x ∈ Ω.

De de esto, se tiene que

H(x, u(x), Dφ(x)) = H(x, u(x), Du(x)) , ∀x ∈ Ω.

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Por tantoH(x, u(x), Du(x)) > 0 , ∀x ∈ Ω.

Para finalizar, suponga que φ ∈ C1(Ω) y que u−φ alcanza un mınimo local en x0 ∈ Ω.Por tanto se tiene

D(u− φ)(x0) ⇔ Du(x0) = Dφ(x0).

Y por (2.1.5), se concluye que

H(x0, u(x0), Dφ(x0)) = H(x0, u(x0), Du(x0)).

Ası, tenemos queH(x0, u(x0), Dφ(x0)) > 0.

En efecto, u es una super-solucion viscosa.

Proposicion 2.7. Sea Ω un subconjunto abierto de RN . Sea u ∈ C1(Ω) tal que u :Ω→ R. Entonces u es una solucion viscosa si y solo si verifica

H(x, u(x), Du(x)) = 0 , ∀x ∈ Ω. (2.1.6)

Demostracion: La implicacion de ida se cumple pues u es sub y super solucion de(2.1.1), al aplicar la Proposicion 2.5 y la Proposicion 2.6, se tiene que

0 6 H(x, u(x), Du(x)) 6 0 , ∀x ∈ Ω.

Por tantoH(x, u(x), Du(x)) = 0 , ∀x ∈ Ω.

Para probar la implicacion de retorno, necesitamos verificar que u es una super y sub-solucion viscosa. Para ello, sean φ, η ∈ C1(Ω), ademas suponga primero que u − φalcanza un mınimo local en x0 ∈ Ω. Luego

D(u− φ)(x0) = 0 ⇔ Du(x0) = Dφ(x0).

Entonces, por (2.1.6) se sigue

H(x0, u(x0), Dφ(x0)) = 0.

Lo que implica que u satisface la definicion de super-solucion viscosa. En consecuenciase tiene que

H(x0, u(x0), Dφ(x0)) > 0.

Por otra parte, suponga que u − η alcanza un maximo local en x1 ∈ Ω. Por tanto, sesigue

D(u− η)(x1) = 0 ⇔ Du(x1) = Dη(x1).

Y por la igualdad (2.1.6), se tiene que

H(x1, u(x1), Dη(x1)) = 0.

En consecuencia, u tambien satisface la definicion de sub-solucion viscosa. Es decir

H(x1, u(x1), Dφ(x1)) 6 0.

Podemos concluir que u es una solucion viscosa, gracias a que u es sub y super-solucionviscosa.

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Los siguientes resultados que se expondran a continuacion, mostraran que la nocionde solucion viscosa es mas fuerte, pues (2.1.6) se satisface en todo punto donde lafuncion desconocida admita un desarrollo de orden 1.

Lema 2.1. Suponga que H es continua en todas sus variables. Sea u una sub-solucionviscosa de (2.1.1) tal que u admite un desarrollo de orden 1 en un punto x. Entonces

H(x, u(x), Du(x)) 6 0.

Demostracion: Dado que u admite un desarrollo de Taylor de orden 1 en x ∈ Ω.Entonces u es continua y diferenciable en x. Usando el Lema 1.5; existe una funcionφ de clase C1(Ω) tal que u(x) = φ(x) y u − φ posee un maximo en x. Por tantoD(u − φ)(x) = 0, luego Du(x) = Dφ(x) y como u es una sub-solucion de (2.1.1).Entonces H(x, u(x), Du(x)) 6 0.

Lema 2.2. Suponga que H es continua en todas sus variables. Sea u una super-solucion viscosa de (2.1.1) tal que u admite un desarrollo de orden 1 en un punto x.Entonces

H(x, u(x), Du(x)) > 0.

Demostracion: Como u admite un desarrollo de orden 1 en x ∈ Ω. Entonces u esdiferenciable y continua en x. Por el Corolario 1.14; existe una funcion φ ∈ C1(Ω) talque u(x) = φ(x), donde x es un mınimo de u− φ. En consecuencia Du(x) = Dφ(x) ydado que u es una super-solucion se sigue que H(x, u(x), Du(x)) > 0.

Lema 2.3. Suponga que H es continua en todas sus variables. Sea u una solucionviscosa de (2.1.1) tal que u admite un desarrollo de orden 1 en un punto x. Entonces

H(x, u(x), Du(x)) = 0.

Demostracion: Puesto que u es una solucion viscosa de (2.1.1), entonces u es una suby super-solucion viscosa de (2.1.1), ademas u admite un desarrollo de orden 1 en unpunto x. Luego por el Lema 2.1 y el Lema 2.2 se obtiene

0 6 H(x, u(x), Du(x)) 6 0

Por tantoH(x, u(x), Du(x)) = 0.

A continuacion definamos

H(x, u(x), Du(x)) = 0 , x ∈ Ω. (2.1.7)

DondeH(x, s, p) = −H(x,−s,−p) , ∀(x, s, p) ∈ Ω× R× RN .

Proposicion 2.8. Sea u una sub-solucion de (2.1.1). Entonces −u es super-solucionde (2.1.7)

Demostracion: Sea φ ∈ C1(Ω) y x0 ∈ Ω tal que −u+φ alcanza un mınimo local en x0.Entonces

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1. Dado que u es semi-continua superior, gracias a la Proposicion 2.28; -u es semi-continua inferior.

2. Por nuestra suposicion −u+φ alcanza un mınimo local en x0. Ahora resta probarque se satisface

H(x0,−u(x0), Dφ(x0)) > 0.

En efecto se tiene por hipotesis que H(x0,−(−u(x0)),−Dφ(x0)) 6 0, luego−H(x0,−(−u(x0)),−Dφ(x0)) > 0, que no es mas que la definicion de H.

Por 1 y 2 u es una super-solucion viscosa de (2.1.7).

Proposicion 2.9. Sea u una super-solucion viscosa de (2.1.1). Entonces −u es sub-solucion viscosa de (2.1.7)

Demostracion: Sea φ ∈ C1(Ω) y x0 ∈ Ω tal que −u + φ alcanza un maximo local enx0. Entonces considere lo siguiente :

1. Por hipotesis u es una super-solucion viscosa de (2.1.1), entonces u es semi-continua inferior, usando la Proposicion 2.28, se sigue que −u es semicontinuasuperior.

2. Puesto que −u + φ alcanza un maximo local en un punto x0 ∈ Ω, por hipotesisH(x0,−(−u(x0)), Dφ(x0)) > 0. Ademas

−H(x0,−(−u(x0)),−Dφ(x0)) = H(x0,−u(x0), Dφ(x0)).

De esta manera se tiene H(x0,−u(x0), Dφ(x0)) 6 0.

Por 1 y 2 u es una sub-solucion viscosa de (2.1.7).

Proposicion 2.10. Sea u una solucion viscosa de (2.1.1). Entonces −u es una solucionviscosa de (2.1.7)

Demostracion: Como u es una solucion viscosa de (2.1.1), entonces u es una sub ysuper-solucion viscosa de (2.1.1). Luego por la Proposicion 2.8 y la Proposicion 2.9,−u es una super y sub-solucion viscosa de (2.1.7), lo que implica que −u es una solucionviscosa de (2.1.7).

Para ilustrar los resultados mencionados, consideremos la ecuacion eikonal con va-lores en la fontera; es decir el problema (0.0.1), para N = 1. Sea Ω = [−1, 1], dondeΩ =]− 1, 1[ y ∂Ω = −1, 1. Escrito en la forma (2.1.1), tenemos

H(x, u(x), u′(x)) = |u′(x)| − 1,

esta es una ecuacion elıptica y de primer orden, ademas consideremos las condicionesde frontera de Dirichlet homogenea, u(−1) = u(1) = 0. Reescribiendo, tenemos

H(x, u(x), u′(x)) = |u′(x)| − 1, x ∈]− 1, 1[,

u(x) = 0, x ∈ −1, 1.(2.1.8)

Probemos que u(x) = 1− |x|, es solucion viscosa de (2.1.8). Entonces por:

1. Es claro que u(x) es continua y por la Proposicion 1.24; u(x) es semicontinuasuperior e inferior.

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2. Sea φ ∈ C1(]−1, 1[) tal que φ(0) = u(0) = 1 y φ(x) > u(x), ∀x ∈]−1, 1[. Entonces0 > u(x)−φ(x) ,∀x ∈]−1, 1[. Note que 0 = (u−φ)(0) > (u−φ)(x) ,∀x ∈]−1, 1[,por tanto 0 es un punto maximo de u−φ. Luego φ(x)−φ(0) > u(x)−φ(0) > −|x|.Entonces

φ(x)− φ(0)

x>−|x|x

.

Si x > 0φ(x)− φ(0)

x> −1.

Como φ es continua, existen los lımites laterales

lımx→0+

φ(x)− φ(0)

x> −1.

Por tanto φ′(0) > −1. Si x < 0

φ(x)− φ(0)

x6 1,

lımx→0−

φ(x)− φ(0)

x6 1.

Se tiene que φ′(0) 6 1. Por tanto, concluimos que |φ′(0)| 6 1. Entonces,

H(0, u(0), φ′(0)) = |φ(0)| − 1 6 0.

Por la Proposicion 2.1; u es un sub-solucion viscosa de(2.1.8).

3. Sea φ ∈ C1(]−1, 1[) tal que φ(0) = u(0) = 1 y φ(x) 6 u(x), ∀x ∈]−1, 1[. Entonces0 6 u(x)−φ(x) ,∀x ∈]−1, 1[. Note que 0 = (u−φ)(0) 6 (u−φ)(x) ,∀x ∈]−1, 1[,por tanto 0 es un punto mınimo de u−φ. Luego, φ(x)−φ(0) 6 u(x)−φ(0) 6 −|x|.Entonces

φ(x)− φ(0)

x6−|x|x

.

Si x > 0φ(x)− φ(0)

x6 −1.

Dado que φ es continua, existen los lımites laterales

lımx→0+

φ(x)− φ(0)

x6 −1.

Lo que implica que φ′(0) 6 −1. Si x < 0

φ(x)− φ(0)

x> 1,

lımx→0−

φ(x)− φ(0)

x> 1.

En efecto φ′(0) > 1. Entonces concluimos que |φ′(0)| > 1. Por tanto,

H(0, u(0), φ′(0)) = |φ(0)| − 1 > 0.

Por la Proposicion 2.3; u es un super-solucion viscosa de (2.1.8).

Por los items 1,2 y 3; concluimos que u es una solucion viscosa de (2.1.8).

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2.2. Estabilidad y paso al lımite

La convergencia local uniforme de una sucesion de soluciones, sub-soluciones osuper-soluciones viscosas es una solucion, sub-solucion o super-solucion viscosa. Losresultados que se expondran a continuacion permitiran al lector tenga en cuenta cier-tos detalles para que se cumpla la propiedad mencionada.

Lema 2.4. Pueden ser reemplazados los siguientes terminos:

1. ”Maximo local” por ”maximo local estricto” en la definicion de ”sub-solucion”

2. Y ”mınimo local” por ”mınimo local estricto” en la definicion de ”super-solucion”

Demostracion: Sea φ ∈ C1(Ω). A continuacion se probaran las dos afirmaciones.

1. Supongamos primero que u es una sub-solucion viscosa. Entonces u es SCS yu−φ posee un maximo local en un punto x0 ∈ Ω, tal que satisface la desigualdad(2.1.2). Probemos que u es una sub-solucion viscosa cuando x0 es una maximolocal estricto de u−φ. Supongamos primero que x0 es una maximo local de u−φtal que

H(x0, u(x0), Du(x0)) 6 0

Ademas existe r > 0 tal que

(u− φ)(x) 6 (u− φ)(x0) , ∀x ∈ Br(x0).

Ahora tome φ1(x) = φ(x) + ‖x − x0‖3, note que φ1(x0) = φ(x0) y φ1 ∈ C1(Ω).Luego es inmediato que

(u− φ)(x)− ‖x− x0‖3 < (u− φ)(x0) , ∀x ∈ Br(x0).

u(x)− (φ(x) + ‖x− x0‖3) < (u− φ)(x0) , ∀x ∈ Br(x0).

(u− φ1)(x) < (u− φ1)(x0) , ∀x ∈ Br(x0).

Esto implica que el punto x0 es una maximo local estricto de u − φ1 y comoDφ(x0) = Dφ1(x0), la desigualdad (2.1.2) no varia, pues

H(x0, u(x0), Dφ(x0)) = H(x0, u(x0), Dφ1(x0))

En efecto, u sigue siendo una sub-solucion viscosa. Ahora considere que u es SCSy que x0 es un maximo local estricto de u− φ tal que H(x0, u(x0), Dφ(x0)) 6 0.Entonces existe r > 0 tal que

(u− φ1)(x) < (u− φ1)(x0) , ∀x ∈ Br(x0) \ x0.

Luego, Br(x0) = Br(x0) \ x0 ∪ x0 por tanto se sigue que

(u− φ)(x) 6 (u− φ)(x0) , ∀x ∈ Br(x0).

Esto implica que x0 es un maximo local de u − φ y por la siguiente igualdadDu(x0) = Dφ(x0), se tiene que H(x0, u(x0), Dφ(x0)) 6 0. Entonces u es unasub-solucion viscosa.

2. Para este item, considere que u es una super-solucion viscosa, lo que implica queu es SCI y que para toda funcion φ ∈ C1(Ω), u−φ alcanza un mınimo local en unpunto x0 tal que satisface (2.1.3). Entonces probemos que u es una super-solucion

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viscosa, si x0 es un mınimo local estricto de u− φ. En efecto, existe un r > 0 talque

(u− φ)(x0) 6 (u− φ)(x) , ∀x ∈ Br(x0).

Luego, sea φ2(x) = φ(x)− ‖x− x0‖3. Entonces

(u− φ)(x0) < (u− φ)(x) + ‖x− x0‖3 , ∀x ∈ Br(x0).

Es evidente que φ2(x0) = φ(x0), por tanto

(u− φ2)(x0) < (u− φ2)(x) , ∀x ∈ Br(x0).

Como φ2 ∈ C1(Ω) se sigue que x0 es un mınimo local estricto de u − φ2 tal queDφ(x0) = Dφ2(x0) y se satisface H(x0, u(x0), Dφ2(x0)) > 0. Lo que implica queu mantiene la propiedad de ser una super-solucion viscosa.A continuacion, suponga que u es una super-solucion viscosa cuando x0 es unmınimo local estricto de u− φ. Entonces existe r > 0 tal que

(u− φ)(x0) < (u− φ)(x) , ∀x ∈ Br(x0) \ x0.

Luego, al incluir x0 en Br(x0), se sigue

(u− φ)(x0) 6 (u− φ)(x) , ∀x ∈ Br(x0).

Esto implica que x0 es un mınimo local de u−φ y dado que Du(x0) = Dφ(x0), setiene que H(x0, u(x0), Dφ(x0)) > 0. En efecto, u es una super-solucion viscosa.

Lema 2.5. Sea v : Ω→ R una funcion continua que posee un maximo local estricto enx0 y sea (vn) una sucesion de funciones continuas que convergen localmente uniformeen v. Entonces existe una sucesion (xn), tal que xn es maximo local de vn y ademasconverge a x0.

Demostracion: Puesto que v posee un maximo local estricto en x0, elijamos un r > 0tal que Br(x0) ⊂ Ω con lo que tenemos que

v(x0) > v(x) , ∀x ∈ Br(x0).

Luego, sea δ = r2. Entonces

v(x0) = maxBδ(x0)

v > max∂Bδ(x0)

v.

Puesto que (vn) converge localmente uniforme a v

lımn→∞

vn(x0) = maxBδ(x0)

lımn→∞

vn > max∂Bδ(x0)

lımn→∞

vn,

Mas aun, existe un ındice n0 ∈ N tal que

vn(x0) > max∂Bδ(x0)

vn , ∀n > n0. (2.2.1)

38

Ademas vn es continua en el compacto Bδ(x0), lo que significa que alcanza un maximo

local en un punto x de Bδ(x0), que lo notaremos como xn. Es evidente que x ∈ Bδ(x0)pues si xn ∈ ∂Bδ(x0) por (2.2.1) se tuviera que vn(x0) > vn(xn) lo que contradice quexn es un valor maximo de vn. Para terminar probemos que (xn) converge a x0. Enefecto (xn) es acotada por el Teorema de Bolzano-Weierstras existe una sub-sucesionconvergente (xnk). Supongamos que xnk → y; y consideremos que:

1. vnk(xnk) > vnk(z) , ∀z ∈ Bδ(x0)

2. Como (vnk) converge localmente uniforme a v. Tomando lımites en la desigualdaddel literal (1), obtenemos

lımk→∞

lımk→∞

vnk(xnk) > lımk→∞

lımk→∞

vnk(z) , ∀z ∈ Bδ(x0).

lımk→∞

vnk( lımk→∞

xnk) > lımk→∞

vnk(z) , ∀z ∈ Bδ(x0).

v(y) > v(z) , ∀z ∈ Bδ(x0).

3. En el literal (2), se prueba que el punto y es un maximo local de v en Bδ(x0),pero esto contradice que x0 es un maximo local estricto de v por tanto x0 = y.

Por los items 1, 2, y 3 se concluye que xn → x0. Con esta conclusion se termina laprueba de este Lema.

Lema 2.6. Suponga que v : Ω→ R es una funcion continua que posee un mınimo localestricto en x0 y suponga que (vn) una sucesion de funciones continuas que convergenlocalmente uniforme en v. Entonces existe una sucesion (xn), tal que xn es mınimolocal de vn y ademas converge a x0.

Demostracion: La demostracion de este Lema es analoga a la del Lema 2.5. En efectodado que v posee un mınimo local estricto en x0, elijamos un r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ωcon lo que tenemos que

v(x0) < v(x) , ∀x ∈ Br(x0).


v(x0) = mınBδ(x0)

v < mın∂Bδ(x0)

v.


lımn→∞

vn(x0) = mınBδ(x0)

lımn→∞

vn < mın∂Bδ(x0)

lımn→∞

vn,

Asi, existe un ındice n0 ∈ N tal que

vn(x0) < max∂Bδ(x0)

vn , ∀n > n0. (2.2.2)

Dado que vn es continua en el compacto Bδ(x0), entonces para cada n ∈ N, vn alcanza

un mınimo local en un punto x de Bδ(x0), que lo notaremos como xn. Es evidenteque x ∈ Bδ(x0) pues si xn ∈ ∂Bδ(x0) por (2.2.2) se tuviera que vn(x0) < vn(xn) loque contradice que xn es un valor mınimo de vn. Para terminar probemos que (xn)converge a x0. En efecto (xn) es acotada por el Teorema de Bolzano-Weierstras existeuna sub-sucesion convergente (xnk). Supongamos que xnk → y; y consideremos que:

39

1. vnk(xnk) 6 vnk(z) , ∀z ∈ Bδ(x0)

2. Luego (vnk) converge localmente uniforme a v. Tomando lımites en la desigualdaddel literal (1), obtenemos

lımk→∞

lımk→∞

vnk(xnk) 6 lımk→∞

lımk→∞

vnk(z) , ∀z ∈ Bδ(x0).

lımk→∞

vnk( lımk→∞

xnk) 6 lımk→∞

vnk(z) , ∀z ∈ Bδ(x0).

v(y) 6 v(z) , ∀z ∈ Bδ(x0).

3. En el literal (2), se prueba que el punto y es un mınimo local de v en Bδ(x0), peroesto contradice que x0 es un mınimo local estricto de v por tanto x0 = y.

Por los items 1, 2, y 3 se concluye que xn → x0, de esta forma hemos probado laveracidad de este Lema.

Sean Hn, H : Ω× R× RN → R aplicaciones elıpticas dadas.

Teorema 2.1 (Estabilidad de sub-soluciones). Suponga que (un) es una sucesion desub-soluciones continuas de

Hn(x, u(x), Du(x)) = 0 , x ∈ Ω. (2.2.3)

que converge uniformemente a una funcion u : Ω → R en todos los compactos de Ω yque (Hn) converge uniformemente a H en todos los compactos de Ω×R×RN . Entoncesu sigue siendo una sub-solucion de (2.1.1).

Demostracion: Suponga que u−φ, posee un maximo local estricto en el punto x0 ∈ Ω,donde φ ∈ C1(Ω) es una funcion-test. Luego, por hipotesis se tiene que (un−φ) convergelocalmente uniforme a u−φ y por el Lema 2.5 existe una sucesion (xn) que converge ax0 tal que xn es un punto maximo de un−φ, para toda n ∈ N . Para finalizar, nos quedaprobar que u satisface la desigualdad (2.1.2), en efecto como un es una sub-solucion de(2.2.3), se tiene que

Hn(xn, un(x), Dφ(xn)) 6 0 , ∀n ∈ N. (2.2.4)

Ademas, (Hn) converge uniformemente a H y al tomar lımites a (2.2.4), obtenemosque H(x0, u(x0), Dφ(x0)) 6 0, es decir u es una sub-solucion de (2.1.1).

Teorema 2.2 (Estabilidad de super-soluciones). Sea (un) una sucesion de super-soluciones continuas de (2.2.3), que converge uniformemente a una funcion u : Ω→ Ren todos los compactos de Ω y sea (Hn) una sucesion que converge uniformemente aH en todos los compactos de Ω×R×RN . Entonces u sigue siendo una super-solucionde (2.1.1).

Demostracion: Sea φ ∈ C1(Ω), una funcion-test tal que u − φ posee un mınimo localestricto en un punto x0 ∈ Ω. Ademas por hipotesis se tiene que (un − φ) convergelocalmente uniforme a u − φ. Luego, por el Lema 2.6 existe una sucesion (xn) queconverge a x0 tal que xn es un punto mınimo de un−φ, para toda n ∈ N . Ahora, restaprobar que u satisface la desigualdad (2.1.3), en efecto como un es una super-solucionde (2.2.3), se tiene que

Hn(xn, un(x), Dφ(xn)) > 0 , ∀n ∈ N. (2.2.5)

Debido a que (Hn) converge uniformemente a H en todas sus variables entonces existeel lımite de (2.2.5), que no es mas que H(x0, u(x0), Dφ(x0)) > 0, en efecto u es unasuper-solucion de (2.1.1).

40

Teorema 2.3 (Estabilidad de soluciones viscosas). Sea (un) una sucesion de so-luciones viscosas continuas de (2.2.3), que converge uniformemente a una funcionu : Ω → R en todos los compactos de Ω y sea (Hn) una sucesion que converge unifor-memente a H en todos los compactos de Ω × R × RN . Entonces u sigue siendo unasolucion viscosa de (2.1.1).

Demostracion: Como un es una solucion viscosa continua de (2.1.1), entonces un esuna sub y super-solucion viscosa continua de (2.2.3). Mas aun se tiene

Hn(xn, un(x), Dφ(xn)) 6 0 , ∀n ∈ N,Hn(xn, un(x), Dφ(xn)) > 0 , ∀n ∈ N.

Aplicando el Teorema 2.1 y el Teorema 2.2, se tiene que H(x, u(x), Dφ(x)) = 0.

La hipotesis de convergencia uniforme de un en u puede ser facilmente reemplaza,por una cota uniforme en el conjunto de soluciones. Para explicar esto, introduciremosla tecnica de ”semi-lımites relajados”de Barles y Perthame (Ver [1], pagina 10).

Definicion 2.4. Sea (un) una sucesion de funciones localmente uniformes mayoradasen Ω. Definimos el semi-lımite relajado superior por

u(x) = lım supxn→x

un(xn) , ∀x ∈ Ω.

Definicion 2.5. Sea (un) una sucesion de funciones localmente uniformes minoradasen Ω. Definimos el semi-lımite relajado inferior por

u(x) = lım infxn→x

un(xn) , ∀x ∈ Ω.

Lema 2.7. Sea una funcion SCS, v : Ω→ R que posee un maximo local estricto enx0 y si (vn) es una sucesion de funciones SCS tales que v(x0) = lım supzn→x0 vn(zn).Entonces existe una sucesion (xn) tal que xn es maximo local de vn que converge a x0

y ademas (vn(xn)) tiende a v(x0).

Demostracion: Dado que v posee un maximo local estricto en x0 ∈ Ω, existe un r > 0tal que

v(x0) > v(x), ∀x ∈ Br(x0).

Entonces tome δ = r2. Luego dado que para toda n ∈ N, vn es SCS; entonces por

la Proposicion 2.30, vn es acotada superiormente y alcanza un maximo local en elcompacto Bδ(x0) que lo notaremos como xn. Esto implica que (vn) es una sucesion de

funciones localmente uniformes mayoradas en Bδ(x0) y ademas

vn(xn) > vn(zn) , ∀zn ∈ Bδ(x0).

Como (xn) es acotada, por Bolzano-Weierstras existe una sub-sucesion tal que xnk → y.Luego, es inmediato que

vnk(xnk) > vnk(znk) , ∀znk ∈ Bδ(x0).

Entonces

lım supxnk→y

vnk(xnk) > lım supznk→x0

vnk(znk) , ∀znk ∈ Bδ(x0).

41

Por tanto

v(y) > v(x0).

Este resultado contradice que x0 es un maximo local estricto de v, necesariamentey = x0 y ası xnk → x0.Finalmente, probemos que vn(xn) → v(x0). Por facilidad escribiremos xn por xnk .

Como v(x0) > v(xn),∀xn ∈ Bδ(x0), y dado que v es SCS; utilizando el Corolario 2.12,se tiene

v(x0) = lım supn→∞

vn(xn) > lım supn→∞

v(xn).

Entonces, para todo v(x) < v(x0)

ınfk∈N

supn>k

vn(xn) > ınfk∈N

supn>k

v(xn).

Por el Lema 2.2, existe un k ∈ N tal que

ınfk∈N

supn>k

vn(xn) > supn>k

v(xn).

Luego, por definicion de cota inferior, para todo n > k

supn>k

vn(xn) > supn>k

v(xn).

Y por el Lema 2.1, se tiene que existe k ∈ N tal que

vn(xn) > supn>k

v(xn) > v(x).

Entonces∀v(x) < v(x0), ∃k ∈ N, ∀n > k, v(x) < vn(xn).

Aplicando la Proposicion 2.12, se tiene que

v(x0) 6 lım infn→∞

vn(xn) 6 lım supn→∞

vn(xn) 6 v(x0)

Luegov(x0) = lım inf

n→∞vn(xn) = lım sup

n→∞vn(xn).

Y por el Corolario 2.5; obtenemos la convergencia deseada. Es decir

lımn→∞

vn(xn) = v(x0).

Lema 2.8. Sea una funcion SCI, v : Ω → R que posee un mınimo local estricto enx0 y si (vn) es una sucesion de funciones SCI tales que v(x0) = lım infzn→x0 vn(zn).Entonces existe una sucesion (xn) tal que xn es mınimo local de vn que converge a x0

y ademas (vn(xn)) tiende a v(x0).

Demostracion: Como v posee un mınimo local estricto en x0 ∈ Ω, existe un r > 0 talque

v(x0) < v(x), ∀x ∈ Br(x0).

42

Luego, tome δ = r2. Entonces dado que para toda n ∈ N, vn es SCI; por la Proposicion

2.37, vn es acotada inferiormente y alcanza un mınimo local en el compacto Bδ(x0) quelo notaremos como xn. Esto implica que (vn) es una sucesion de funciones localmente

uniformes menoradas en Bδ(x0) y ademas

vn(xn) < vn(zn) , ∀zn ∈ Bδ(x0).

Dado (xn) es acotada, por Bolzano-Weierstras existe una sub-sucesion tal que xnk → y.Luego, es inmediato que

vnk(xnk) 6 vnk(znk) , ∀znk ∈ Bδ(x0).

Implica

lım supxnk→y

vnk(xnk) 6 lım infznk→x0

vnk(znk) , ∀znk ∈ Bδ(x0).

Por tanto

v(y) 6 v(x0).

Esta desigualdad contradice que x0 es un mınimo local estricto de v, necesariamentey = x0 y ası xnk → x0.Para finalizar, probemos que vn(xn) → v(x0). Por comodidad escribiremos xn en vez

de xnk . Como v(x0) 6 v(xn),∀xn ∈ Bδ(x0), y dado que v es SCI; utilizando el Corolario2.13, se tiene

v(x0) = lım infn→∞

vn(xn) 6 lım infn→∞

v(xn).

Entonces, para todo v(x) > v(x0)

supk∈N

ınfn>k

vn(xn) 6 supk∈N

ınfn>k

v(xn).

Por Lema 1.1 existe k ∈ N tal que

supk∈N

ınfn>k

vn(xn) 6 ınfn>k

v(xn).

Luego, por definicion de cota superior, para todo n > k

ınfn>k

vn(xn) 6 ınfn>k

v(xn).


vn(xn) 6 ınfn>k

v(xn) 6 v(x).

Entonces∀v(x) > v(x0), ∃k ∈ N, ∀n > k, vn(xn) < v(x).


v(x0) 6 lım infn→∞

vn(xn) 6 lım supn→∞

vn(xn) 6 v(x0)

Luegov(x0) = lım inf

n→∞vn(xn) = lım sup

n→∞vn(xn).

Usando el Corolario 2.5, hemos finalizado nuestra prueba, pues

lımn→∞

vn(xn) = v(x0).

43

Teorema 2.4 (Estabilidad por semi-lımites relajados). Suponga que (un) es unasucesion de sub-soluciones mayoradas localmente uniformes de (2.2.3), y que (Hn)converge uniformemente a H en todos los compactos de Ω × R × RN . Entonces u esaun una sub-solucion de (2.1.1).De la misma forma si (un) es una sucesion de super-soluciones localmente uniformesmenoradas de (2.2.3) y (Hn) converge uniformemente a H en todos los compactos deΩ× R× RN , entonces u sigue siendo una super-solucion de (2.1.1).

Demostracion. Sea φ ∈ C1(Ω). Supongamos que u − φ posee un maximo local enx0 ∈ Ω, ademas un − φ es una sucesion de funciones localmente uniformes mayoradas,es decir

(u− φ)(x0) = lım supxn→x0

(un − φ)(xn).

Entonces por el Lema 2.7

(un − φ)(xn)→ (u− φ)(x0).

Ahora por hipotesis

Hn(xn, un(xn), Dφ(xn)) 6 0 , ∀n ∈ N.

y dado que Hn converge uniformemente a H, implica que H(x0, u(x0), Dφ(x0)) 6 0.Ası obtenemos que u es una sub-solucion de (2.1.1). Por otra parte, suponga que (un)es una sucesion de funciones localmente uniformes menoradas y sea φ ∈ C1(Ω) tal queu− φ alcanza un mınimo en x0 ∈ Ω.

(u− φ)(x0) = lım infxn→x0

(un − φ)(xn)

Y por el Lema 2.8, se tiene la siguiente convergencia

(un − φ)(xn)→ (u− φ)(x0).

Ahora, por hipotesis

Hn(xn, un(xn), Dφ(xn)) > 0 , ∀n ∈ N.

Luego, por hipotesis Hn converge uniformemente a H. Ası tenemos que se satisfaceH(x0, u(x0), Dφ(x0)) > 0. En efecto, u es una super-solucion de (2.1.1).

44

Capıtulo 3

Existencia de soluciones por elmetodo de Perron: elıpticas

Nuestro proposito en este capıtulo es estudiar el problema de existencia para laecuacion elıptica en dominios generales. Luego demostraremos que dado un conjuntoabierto Ω ⊂ RN y una funcion g ∈ C(∂Ω), existe una solucion viscosa u que verifica

H(x, u(x), Du(x)) = 0 en Ω,

u = g en ∂Ω.

3.1. Soluciones viscosas discontinuas

Sea Ω un abierto de RN y u : Ω → R. Llamamos envoltura SCS a la mas pequenafuncion SCS mayor a u. A esta funcion la notaremos como u∗ y viene dada por

u∗(x) := ınfv(x) | v es SCS y v > u.

Note que por la Proposicion 1.31, u∗ es SCS. Ademas

lım supx→x0

u(x) = u∗(x0). (3.1.1)

Ası mismo, nombraremos envoltura SCI a la mas grande funcion SCI menor a u. Laescribiremos como u∗ y viene dada por

u∗(x) := supv(x) | v es SCS y v 6 u.

La Proposicion 1.38 garantiza que u∗ es SCI. Ademas

u∗(x0) = lım infx→x0

u(x). (3.1.2)

Las definiciones antes expuestas, permiten que se cumplan ciertas propiedades que lasenunciaremos a continuacion.

Proposicion 3.1. Sea u∗ la envoltura superior de u. Sea u∗ la envoltura inferior deu. Entonces:

1. u∗ = −(−u)∗ y u∗ = −(−u)∗.

2. u es continua si y solo si u∗ = u∗.

Demostracion: La validez de este resultado se cumple por:

45

1. Definamos (−u)∗, ası

(−u)∗(x) := ınf−v(x) | −v es SCS y − v > −u,−(−u)∗(x) := − ınf−v(x) | −v es SCS y − v > −u,

:= supv(x) | v es SCI y v 6 u,= u∗.

De forma analoga, definamos (−u)∗ como

(−u)∗(x) := sup−v(x) | −v es SCI y − v 6 −u,−(−u)∗(x) := − sup−v(x) | −v es SCI y − v 6 −u,

:= ınfv(x) | v es SCS y v > u,= u∗.

2. La continuidad de u implica que u es SCS y SCI. Por tanto u = u∗ y u = u∗,consecuentemente u∗ = u∗. Ahora, sea x0 ∈ Ω y supongamos que existe una suce-sion (xn) ⊂ Br(x0), tal que xn → x0. Luego, la definicion de envolvente superiore inferior de u, permite que u∗(x0) 6 u(x0) 6 u∗(x0) y ademas por hipote-sis u∗(x) = u∗(x), para toda x ∈ Br(x0), es inmediata la desigualdad siguienteu∗(x0) 6 u(x0) 6 u∗(x0), mas aun u(x) = u∗(x) = u∗(x). Entonces

u(x0) 6 lım infn→∞

u(xn) 6 lım supn→∞

u(xn) 6 u(x0) , ∀x ∈ Br(x0).

En consecuencia, lımn→∞ u(xn) = u(x0). Como (xn) es arbitraria y convergente ax0, u es continua en todo x ∈ Ω.

Estamos interesados nuevamente en la ecuacion de la forma

H(x, u(x), Du(x)) = 0 , x ∈ Ω (3.1.3)

Donde Ω es un subconjunto abierto de RN y H : Ω×R×RN → R es elıptica y continua.

Definicion 3.1. Diremos que una funcion u : Ω→ R es una solucion viscosa discon-tinua de (3.1.3) si u∗ y u∗ son super- y sub- soluciones de (3.1.3).

3.2. Supremo de sub-soluciones e ınfimo de super-soluciones

Sea A un subconjunto de ındices reales. Sea (uα)α∈A una familia de funciones de Ωen R acotadas superiormente. Ademas definamos

u(x) = supα∈A

uα(x). (3.2.1)

Lema 3.1. Suponga que, para toda α ∈ A, (uα)∗ es una sub-solucion de la ecuacion(3.1.3). Entonces u∗ es una sub-solucion de (3.1.3).

Demostracion: Supongamos que u∗ − φ posee un maximo local estricto en un puntox0 ∈ Ω, donde φ es cualquier funcion perteneciente al conjunto de funciones C1(Ω).Entonces existen, un r > 0 y un η > 0 tales que

(u∗ − φ)(x0) > max∂Br(x0)

(u∗ − φ) + η. (3.2.2)

46

Luego, por la definicion de u∗ pues es la envoltura SCS de u; y por la igualdad (3.1.1)existe una sucesion (xn) ⊂ Br(x0) tal que xn → x0, mas aun u(xn)→ u∗(x0). Ademas,por (3.2.1) existe αn ∈ A tal que

uαn(xn) > u(xn)− 1

n. (3.2.3)

Notemos, entonces que (uαn)∗(xn) → u∗(x0). Por la definicion de envoltura superior,se tiene que

u∗(xn) > (uαn)∗(xn) > uαn(xn). (3.2.4)

Al aplicar el Corolario 1.12 a (3.2.4); es inmediato que

u∗(x0) > lım supn→∞

u∗(xn) > lım supn→∞

(uαn)∗(xn) > lım infn→∞

(uαn)∗(xn). (3.2.5)

Y ademas por (3.2.3), obtenemos que

lım infn→∞

(uαn)(xn) > lım infn→∞

(u(xn)− 1

n

). (3.2.6)

Al aplicar la propiedad de adicion de ınfimo inferior a (3.2.6), tenemos como resultado

lım infn→∞

(uαn)(xn) > lım infn→∞

u(xn) + lım infn→∞

(− 1

n

).

Dado que, lımn→∞ u(xn) = u∗(x0) y lımn→∞

(− 1

n

)= 0, por tanto

lım infn→∞

(uαn)(xn) > u∗(x0). (3.2.7)

Ası, por (3.2.5) y (3.2.7), llegamos a tener la siguiente desigualdad

u∗(x0) > lım supn→∞

(uαn)∗(xn) > lım infn→∞

(uαn)∗(xn) > u∗(x0). (3.2.8)

De (3.2.8), obtenemos la convergencia deseada; es decir

lımn→∞

(uαn)∗(xn) = u∗(x0).

Luego, para ε =η

2, existe un k ∈ N tal que ∀n > k

|(uαn)∗(xn)− u∗(x0)| < η

2.

Lo que implica

−η2

+ u∗(x0) < (uαn)∗(xn) <η

2+ u∗(x0). (3.2.9)

Restemos, φ ∈ C1(Ω) a (3.2.9) , por tanto

−η2

+ (u∗ − φ)(x0) < ((uαn)∗ − φ)(xn) <η

2+ (u∗ − φ)(x0).

En consecuencia por (3.2.2), se verifica la desigualdad siguiente

((uαn)∗ − φ)(xn) > max∂Br(x0)

((uαn)∗ − φ) +η

2.

47

Esto prueba que (uαn)∗ − φ tiene un maximo local en un punto yn de Br(x0). Como(uαn)∗ es una sub-solucion de (3.1.3), se tiene la siguiente desigualdad

H(yn, (uαn)∗(yn), Dφ(yn)) 6 0. (3.2.10)

Finalmente probemos que (yn) tiende a x0 y que (uαn)∗(yn) tiende a u∗(x0). En efecto

(u∗ − φ)(x0) > (u∗ − φ)(yn) > ((uαn)∗ − φ)(yn) > ((uαn)∗ − φ)(xn).

Los miembros de esta desigualdad tienden a (u∗ − φ)(x0). Donde todos los valores deadherencia de yn son iguales al unico punto maximo de la funcion (u∗ − φ) en Br(x0),es decir a x0. En efecto

(u∗ − φ)(x0) > lımn→∞

((uαn)∗ − φ)(yn) > (u∗ − φ)(x0).

Ası mismo esta desigualdad prueba la convergencia de (uαn)∗(yn) en u∗(x0). Dado queH es continua, entonces al tomar lımites a (3.2.10), obtenemos que u∗ es una sub-solucion de (3.1.3), pues

H(x0, u∗(x0), Dφ(x0)) 6 0.

El siguiente resultado que enunciaremos probara que u∗ tambien es una super-solucion, la verificacion es analoga a la afirmacion anterior. Ahora, suponga que (uα)α∈Aes una familia de funciones de Ω en R acotadas inferiormente, tal que

u(x) = ınfα∈A

uα(x) (3.2.11)

Lema 3.2. Suponga que, para toda α ∈ A, (uα)∗ es una super-solucion de la ecuacion(3.1.3). Entonces u∗ es una super-solucion de (3.1.3).

Demostracion: Sea una funcion test φ ∈ C1(Ω) tal que u∗ − φ posee un mınimo localestricto en un punto x0 ∈ Ω. Entonces existen, un r > 0 y un η > 0 tales que

(u∗ − φ)(x0) 6 mın∂Br(x0)

(u∗ − φ) + η. (3.2.12)

Luego, u∗ es la envoltura SCI de u entonces por (3.1.2), existe una sucesion (xn) ⊂Br(x0) tal que xn → x0 y u(xn)→ u∗(x0). Ademas, por (3.2.11) existe αn ∈ A tal que

uαn(xn) 6 u(xn) +1

n. (3.2.13)

Notemos, entonces que (uαn)∗(xn)→ u∗(x0). Puesto que u∗ es SCI, es decir

u∗(x0) 6 lım infxn→x0

u∗(xn). (3.2.14)

Por la definicion de envoltura inferior, se tiene que

u∗(xn) 6 (uαn)∗(xn) 6 uαn(xn). (3.2.15)

Aplicando el Corolario 1.13 a (3.2.15). Es inmediato que

lım infn→∞

u∗(xn) 6 lım infn→∞

(uαn)∗(xn) 6 lım supn→∞

(uαn)∗(xn). (3.2.16)

48

Y ademas por (3.2.13) obtenemos que

lım supn→∞

(uαn)(xn) 6 lım supn→∞

(u(xn) +

1

n

). (3.2.17)

Al aplicar la propiedad de adicion de supremo superior a (3.2.17), tenemos como re-sultado

lım supn→∞

(uαn)(xn) 6 lım supn→∞

u(xn) + lım supn→∞

(1

n

).

Dado que, lımn→∞ u(xn) = u∗(x0) y lımn→∞1n

= 0, por tanto

lım supn→∞

(uαn)(xn) 6 u∗(x0). (3.2.18)

Ası, por (3.2.13), (3.2.16) y (3.2.18), llegamos a tener la siguiente desigualdad

u∗(x0) 6 lım infn→∞

(uαn)∗(xn) 6 lım supn→∞

(uαn)∗(xn) 6 u∗(x0). (3.2.19)

De (3.2.19), obtenemos la convergencia deseada; es decir

lımn→∞

(uαn)∗(xn) = u∗(x0). (3.2.20)

De (3.2.20), sea ε =η

2, existe un k ∈ N, para toda n > k

−η2

+ u∗(x0) < (uαn)∗(xn) <η

2+ u∗(x0). (3.2.21)

Si restamos, φ ∈ C1(Ω) de (3.2.21), obtenemos

−η2

+ (u∗ − φ)(x0) < ((uαn)∗ − φ)(xn) <η

2+ (u∗ − φ)(x0).

Luego por (3.2.12), se cumple

((uαn)∗ − φ)(xn) 6 mın∂Br(x0)

((uαn)∗ − φ) +η

2.

Esto prueba que (uαn)∗ − φ posee un mınimo local en un punto yn de Br(x0). Como(uαn)∗ es una sub-solucion de (3.1.3), se tiene la siguiente desigualdad

H(yn, (uαn)∗(yn), Dφ(yn)) > 0. (3.2.22)

Finalmente probemos que (yn) tiende a x0 y que (uαn)∗(yn) tiende a u∗(x0). En efecto

(u∗ − φ)(x0) 6 (u∗ − φ)(yn) 6 ((uαn)∗ − φ)(yn) 6 ((uαn)∗ − φ)(xn).

Los miembros de esta desigualdad tienden a (u∗ − φ)(x0). Donde todos los valores deadherencia de yn son iguales al unico punto mınimo de la funcion (u∗ − φ) en Br(x0),a x0; es decir

(u∗ − φ)(x0) 6 lımn→∞

(u∗ − φ)(yn) 6 lımn→∞

((uαn)∗ − φ)(yn) 6 u∗ − φ)(x0)

La desigualdad anterior prueba la convergencia de (uαn)∗(yn) en u∗(x0). Dado que Hes continua se tiene que u∗ es una super-solucion de (3.1.3), pues al tomar lımites a(3.2.22), se obtiene

H(x0, u∗(x0), Dφ(x0)) > 0.

49

3.3. El metodo de Perron

En esta seccion construiremos la solucion de una ecuacion empleando la tecnica dePerron.

Teorema 3.1. Suponga que u : Ω→ R es una sub-solucion de (3.1.3) y sea v : Ω→ Res una super-solucion de (3.1.3). Suponga ademas que u 6 v en Ω. Entonces existe unasolucion viscosa discontinua w : Ω→ R tal que u 6 w 6 v.

Demostracion: Sea

Γ := z : Ω→ R | z∗ es una sub-solucion de (3.1.3) y u 6 z 6 v.

Note que Γ 6= ∅, pues u es una sub-solucion y u = u∗, por tanto u ∈ Γ . Ademas, sea

w(x) = supz∈Γ

z(x) , ∀x ∈ Ω.

A continuacion se probara que w es la solucion que estamos buscando. Primero obser-vemos que w ∈ Γ , en efecto u 6 w 6 v y w∗ es una sub-solucion de (3.1.3) graciasal Lema 3.1. Ahora resta probar que w∗ es una super-solucion de (3.1.3), supongamospor el absurdo que existe un punto x0 ∈ Ω y una funcion test φ ∈ C1(Ω), x0 es unmınimo estricto de w∗ − φ tal que φ(x0) = w∗(x0) y ademas se satisfaga la siguientedesigualdad

H(x0, w∗(x0), Dφ(x0)) < 0 (3.3.1)

Mostremos que w∗(x0) < v(x0). En efecto, como w(x0) 6 v(x0), entonces suponga quew∗(x0) = v(x0), luego v − φ posee un mınimo local en x0 que satisface (3.3.1), estocontradice que v es una super-solucion de (3.1.3), por tanto w∗(x0) < v(x0).Por otra parte, elijasen un r > 0 y un ε > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω y ademas se satisfaceque

1. H(x, φ(x) + ε,Dφ(x)) 6 0, ∀x ∈ Br(x0). En efecto, por (3.3.1), existe θ > 0 talque H(x0, φ(x0), Dφ(x0)) 6 −θ y como H es continua, se sigue que ∀ε > 0,∃δ > 0tal que ‖ x−x0 ‖< 0 implica, ‖H(x, φ(x)+ε,Dφ(x))−H(x0, φ(x0), Dφ(x0))‖ < ε.Para que el siguiente resultado sea valido, la implicacion anterior hace referenciaa la norma usual de R. Entonces

H(x, φ(x) + ε,Dφ(x)) < ε+H(x0, φ(x0), Dφ(x0)) < ε− θ.

Luego, sea ε = θ2, se tiene

H(x, φ(x) + ε,Dφ(x)) < −θ26 0.

2. (w∗ − φ)(x) > ε, ∀x ∈ ∂Br(x0). Como x0 es un mınimo local estricto de w∗ − φ,entonces (w∗ − φ)(x0) = mınBr(x0)(w∗ − φ) < mın∂Br(x0)(w∗ − φ). Ademas pornuestra suposicion w∗(x0) = φ(x0), tenemos w∗(x0)− φ(x0) = 0, por tanto existeun ε > 0 tal que ε < (w∗ − φ)(x),∀x ∈ ∂Br(x0).

3. φ(x) < v(x)− ε,∀x ∈ Br(x0). Puesto que v es una super-solucion, entonces v− φalcanza un mınimo local en x0,

(v − φ)(x0) < (v − φ)(x) , ∀x ∈ Br(x0).

50

Luego, dado que w∗(x0) < v(x0) implica (w∗ − φ)(x0) < (v − φ)(x0), se sigue

(w∗ − φ)(x0) < (v − φ)(x), ∀x ∈ Br(x0).

Ademas tenemos que w∗(x0) = φ(x0), por tanto

0 < (v − φ)(x0) < (v − φ)(x), ∀x ∈ Br(x0).

Implica que existe un ε > 0 tal que

ε < (v − φ)(x0) < (v − φ)(x), ∀x ∈ Br(x0).

En efecto sumemos φ(x)

ε+ φ(x) < v(x), ∀x ∈ Br(x0).

Lo que implica

φ(x) < v(x)− ε, ∀x ∈ Br(x0).

Para continuar, definamos

z(x) =

w(x), si x ∈ Ω \Br(x0).

maxw(x), φ+ ε, si x ∈ Br(x0).

Probemos que z ∈ Γ . Entonces de (3), z 6 v, luego u 6 w 6 z, por tanto u 6 z 6 v.Mostremos que z∗ es una sub-solucion de (3.1.3). Sea ψ una funcion de clase C1(Ω),tal que z∗ − ψ posee un maximo local en x1 ∈ Ω.Si z(x) = w(x), entonces z∗(x) = w∗(x). Luego w∗ − ψ posee un maximo local en x1 yH(x1, z

∗(x1), Dψ(x1)) 6 0, dado que w∗ es una sub-solucion de (3.1.3). Por otro lado,si z(x) = φ + ε, implica que z∗(x1) > w∗(x1) y por la misma definicion de z note que

x1 ∈ Br(x0). Es claro que z∗ = φ + ε, seguidamente por (2) se tiene que x1 ∈ Br(x0),en efecto z∗(x1) > w∗(x1) implica que ε > (w∗− φ)(x1). Mas aun (φ+ ε)−ψ posee unmaximo local en x1, tambien Dφ(x1) = Dψ(x1) y por (1), H(x1, z

∗(x1), Dψ(x1)) 6 0.Por tanto hemos probado que z∗ es una sub-solucion de (3.1.3) y z ∈ Γ .Para finalizar probemos que z 6= w. Es evidente que φ(x0) + ε > φ(x0), por tantoφ(x0) + ε > w∗(x0), luego existe un η > 0 tal que (φ(x0) + ε)− η > w∗(x0) + η. Por ladefinicion de w∗(x0) existe una sucesion xn convergente a x0, tal que w(xn)→ w∗(x0),luego ∀ε > 0, ∃r1 > 0, ‖xn − x‖ < r1 tal que w(xn) < w∗(x0) + η. Ademas, por ladefinicion de z y como xn ∈ Br(x0), para todo n ∈ N, se sigue que z(xn) > φ(xn) + ε,adicionalmente (φ(xn) + ε) converge a (φ(x0) + ε), lo que implica ∀ε > 0, ∃r2 > 0,‖xn − x0‖ < r2 tal que −η + (φ(x0) + ε) < (φ(xn) + ε). Luego para r0 = mınr1, r2 setiene que existe un k ∈ N tal que xn ∈ Br0(x0), por tanto

z(xn) > (φ(xn) + ε)− η > w∗(x0) + η > w(xn).

Por tanto z(xn) > w(xn), ∀n > k. Como se probo que z ∈ Γ , z > w y z 6= w, estocontradice la definicion de w por haber supuesto que (3.3.1) se satisfacıa. Por tanto w∗es una super-solucion y ası w es la solucion viscosa discontinua de (3.1.3).

51

3.4. Existencia de una solucion viscosa continua

Con la finalidad de recuperar la continuidad de la solucion, supondremos que laecuacion verifica el principio de comparacion que sera probado en el siguiente capıtulo.

Definicion 3.2. Se dice que la ecuacion (3.1.3) verifica el principio de comparacionen Ω, si para toda sub-solucion viscosa u, para toda super-solucion viscosa v de (3.1.3)y si u 6 v en ∂Ω entonces u 6 v en Ω.

Por abuso de notacion, la desigualdad u 6 v en ∂Ω, la podemos expresar comosigue

lım supx′→x, x′∈Ω

u(x′) 6 lım infx′→x, x′∈Ω

v(x′) , ∀x ∈ ∂Ω.

Ahora estudiaremos el problema de Dirichlet para la ecuacion (3.1.3). Sea g : ∂Ω→ R,una funcion continua.

Corolario 3.1. Suponga que la ecuacion (3.1.3) verifica el principio de comparacionen Ω. Suponga igualmente que existe una aplicacion u y v tales que

u es una sub-solucion de (3.1.3) y

lımx′→x, x′∈Ω

u(x′) = g(x) , ∀x ∈ ∂Ω.

v es una super-solucion de (3.1.3) y

lımx′→x, x′∈Ω

v(x′) = g(x) , ∀x ∈ ∂Ω.

Entonces existe una unica solucion viscosa w de la ecuacion (3.1.3) tal que w = g en∂Ω.

Demostracion. Por el metodo de Perron, construimos una solucion viscosa discontinuaw tal que u 6 w 6 v. Mostremos a continuacion que en la frontera de Ω, w∗ = w∗ = g.En efecto para toda x ∈ ∂Ω. Notemos primero que w∗ 6 w∗, entonces

g(x) = lımx′→x, x′∈Ω

u(x′) 6 lım infx′→x, x′∈Ω

w(x′) 6 w∗(x).

w∗(x) 6 lım supx′→x, x′∈Ω

w(x′) 6 lımx′→x, x′∈Ω

v(x′) = g(x).

Lo que implica que w∗ = w∗ en ∂Ω. Como w∗ es una super-solucion y w∗ es unasub-solucion, ademas w∗ = w∗ en ∂Ω. Entonces por el principio de comparacion setiene que w∗ > w∗, asimismo recuerde que w∗ 6 w∗ es siempre verdadera, por tantow∗ = w∗, luego w es una solucion viscosa continua. Para probar la unicidad, sean w1

y w2 dos soluciones distintas del problema de Dirichlet, entonces w1 y w2 son sub ysuper-soluciones viscosas, ademas w1 = w2 en la frontera de Ω, luego por el principiode comparacion w1 6 w2 y w2 6 w1, es decir w1 = w2 en Ω. Esto contradice nuestrasuposicion, por tanto el problema de Dirichlet tiene una unica solucion viscosa.

52

Capıtulo 4

Principio de comparacion: elıpticas

En esta parte demostraremos el principio de comparacion para ecuaciones elıpticasde primer orden

H(x, u(x), D(x)) = 0, x ∈ Ω. (4.0.1)

Donde Ω es un conjunto abierto acotado y H : Ω×R×RN → R satisface las hipotesissiguientes:Supongamos que existen dos constantes γ > 0 y C > 0 tales que

i) H(x, s1, p)−H(x, s2, p) > γ(s1 − s2) si s1 > s2 ,∀(x, s1, s2, p) ∈ Ω× R× RN .

ii) |H(x, s, p)−H(y, s, p)| 6 C(1 + ‖p‖)‖y − x‖ ∀(x, y, s, p) ∈ Ω× R× RN .

Antes de enunciar el siguiente teorema, definamos una funcion wε, sean u y v funcionesdonde u es semicontinua superior y v es semicontinua inferior, entonces para todo ε > 0,sea

wε(x, y) = u(x)− v(y)− 1

ε2‖x− y‖2, (x, y) ∈ Ω× Ω.

Es claro que wε es SCS en Ω×Ω pues es la suma de funciones semicontinuas superiores,esto se justifica por las Proposiciones 1.24, 1.27 y 1.35. Para prolongar la funcionanterior a Ω× Ω, la escribiremos de la siguiente manera

wε(x, y) = lım sup(x′,y′)→(x,y) , (x′,y′)∈Ω×Ω

wε(x′, y′) , ∀(x, y) ∈ (Ω× Ω) \ (Ω× Ω).

Note que por la Proposicion 1.30, ∀ε > 0; wε alcanza un maximo en (xε, yε) ∈ Ω× Ω,pues wε es SCS y esta definida en el conjunto compacto Ω× Ω.

Lema 4.1. Sea (xε, yε) un maximo punto de wε en Ω× Ω. Entonces

1. lımε→0+ wε(xε, yε) = M, donde M = supx∈Ω(u− v).

2. lımε→0+2ε2‖xε − yε‖2 = 0.

3. Existen θ > 0 y ε0 > 0 tales que, para todo ε ∈ (0, ε0), d∂Ω(xε) > θ y d∂Ω(yε) > θ.

Demostracion: Sea (xε, yε) ∈ Ω× Ω tal que

wε(xε, yε) = maxΩ×Ω

wε(x, y).

Por facilidad escribamosMε = wε(xε, yε).

53

Luego, por la definicion de Mε, es correcta la desigualdad

Mε > supx∈Ω

wε(x, x),

por comodidad llamaremos M = supx∈Ωwε(x, x). Dado que u y −v son SCS en Ω portanto u alcanza un maximo en un punto x0 y −v alcanza un maximo en y0. Dondex0, y0 ∈ Ω, luego

−v(y) 6 −v(y0),∀y ∈ Ω;

u(x) 6 u(x0),∀x ∈ Ω.

Entoncesu(x)− v(y) 6 u(x0)− v(y0),∀x, y ∈ Ω.

Sea, λ = u(x0)− v(y0). Ademas se tiene que

Mε = wε(xε, yε)⇒Mε = u(xε)− v(yε)−1

ε2‖xε − yε‖2.

Como M 6Mε, se obtiene

M 6 u(xε)− v(yε)−1

ε2‖xε − yε‖2.

Note que, u(xε)− v(yε) 6 λ, ∀xε, yε ∈ Ω. Esto implica que

M 6 λ− ‖xε − yε‖2.

En consecuencia, tenemos1

ε2‖xε − yε‖2 6 λ−M. (4.0.2)

Como ε es arbitrario, tome εn = 1n. Luego, dado que Ω es compacto; (xεn) y (yεn)

son sucesiones acotadas, por Bolzano-Weierstrass podemos encontrar una sub-sucesionconvergente de (xεn) y una una sub-sucesion convergente de (yεn), por comodidadsupongamos que xεn → x0 y que yεn → y0, donde x0, y0 ∈ Ω. Note que εn > 0 ylımn→∞ εn = 0. Por simplicidad escribamos ε en vez de εn, por tanto ε → 0, cuandon→∞. Entonces

‖xε − yε‖2 6 ε2(λ−M) ⇒ ‖xε − yε‖2 6 ε(λ−M).

Cuando ε → 0, implica que ‖x0 − y0‖2 6 0. Por tanto ‖x0 − y0‖2 = 0, entonces‖x0 − y0‖ = 0, lo que implica que x0 = y0. Ası x0 es un punto de acumulacion comuna (xεn) y a (yεn). Por otra parte,

‖xε − yε‖2

ε2,

es acotada superior e inferiormente, esto se tiene por (4.0.2). Por tanto

0 6 lım infε→0+

‖xε − yε‖2

ε26 lım sup

ε→0+

‖xε − yε‖2

ε2,

6 lım supε→0+

(u(xε) + (−v(yε))−M,

6 lım supε→0+

u(xε) + lım supε→0+

(−v(yε))−M,

54

Por las propiedades de SCS y como xεn → x0, yεn → y0, se cumple

lım supε→0+

u(xε) + lım supε→0+

(−v(yε))−M 6 u(x0)− v(y0)−M.

Recordemos, que M = supx∈Ω wε(x, x), M > wε(x0, y0) y wε(x0, y0) = u(x0) − v(y0)con x0 = y0. Entonces M > u(x0)− v(y0), por tanto

u(x0)− v(y0)−M 6 0.

En efecto, tenemos

0 6 lım infε→0+

‖xε − yε‖2

ε26 lım sup

ε→0+

‖xε − yε‖2

ε26 0.

Aplicando el Corolario 1.7, podemos concluir que

lımε→0+

‖xε − yε‖2

ε2= 0.

Ası hemos probado 2; pasemos a probar 3. Por la definicion de ε tome ε0 = sup ε ycomo ınf ε = 0 se sigue que ε ∈ (0, ε0). Ahora la funcion d∂Ω, que no es mas que lafuncion distancia de la frontera de Ω hacia el interior del conjunto; recordemos queesta funcion es continua y esta definida en un compacto, ademas d∂Ω(xε) > 0 paratodo xε ∈ Ω. El Corolario 1.10, implica la existencia de un numero real θ > 0 tal qued∂Ω(xε) > θ y d∂Ω(yε) > θ, para todo ε ∈ (0, ε0). Para finalizar probemos que

lımε→0+

wε(xε, yε) = M.

Tenemos que M 6Mε, ∀ε ∈ (0, ε0), ademas se tiene que

lımε→0+

u(xε) = u(x0) y lımε→0+

v(yε) = v(x0).

En efecto por (4.0.2)

0 61

ε2‖xε − yε‖2

0 6 u(xε)− v(yε)−M.

En consecuencia

v(yε) 6 u(xε)−M.

Dado que v es SCI, x0 es un mınimo de v y un maximo de u. Entonces

v(x0) 6 lım infε→0+

v(yε) 6 lım infε→0+

u(xε)−M

6 lım supε→0+

u(xε)−M

6 u(x0)−M.

Al restar u(x0) y sumar M a las desigualdades anteriores, se tiene que

0 6 −(u+ v)(x0) +M

6 lım infε→0+

u(xε)− u(x0)

6 lım supε→0+

u(xε)− u(x0)

6 0.

55

Por tanto,u(x0) 6 lım inf

ε→0+u(xε) 6 lım sup

ε→0+u(xε) 6 u(x0),

podemos concluir que, lımε→0+ u(xε) = u(x0). Por otra parte

v(x0) 6 lım infε→0+

v(yε) 6 lım supε→0+

v(yε)

6 lım supε→0+

u(xε)−M

6 u(x0)−M.

Si restamos a las desigualdades previas v(x0), se tiene que

0 6 lım infε→0+

v(yε)− v(x0)

6 lım supε→0+

v(yε)− v(x0)

6 (u− v)(x0)−M6 0.

Luego,v(x0) 6 lım inf

ε→0+v(yε) 6 lım sup

ε→0+v(yε) 6 v(x0),

por tanto; lımε→0+ v(yε) = v(x0). Es inmediato el siguiente lımite

lımε→0+

Mε = u(x0)− v(x0).

Esto implica que, M 6 lımε→0+ Mε 6M , que no es mas que el resultado requerido, esdecir

lımε→0+

Mε = M.

Teorema 4.1. Si u es una sub-solucion de (4.0.1) y v una super-solucion de (4.0.1),y si u 6 v en ∂Ω entonces u 6 v en Ω.

Demostracion: La demostracion de este principio se resuelve por el absurdo. Suponga-mos que existe un punto x ∈ Ω tal que u(x) > v(x). Entonces consideraremos que

M = supx∈Ω

(u− v)(x) > 0.

Notemos que el sup de u − φ es en realidad el maximo, puesto que Ω es acotado y lafuncion u − v es SCS y negativa en la frontera de Ω. Pues u 6 v en ∂Ω, por tantou − v 6 0 en ∂Ω. Luego, como u + (−v) es SCS, ademas Ω = Ω ∪ ∂Ω, en efecto Ω esacotado y cerrado por tanto es un conjunto compacto; entonces u−v alcanza un maximoen Ω. Puesto que para algun x ∈ Ω, (u−v)(x)x∈Ω > (u−v)(x)x∈∂Ω , ∀x ∈ ∂Ω, podemosconcluir que existe un punto x0 en Ω donde u− v alcanza un maximo. Si consideramosque u y v son de clase C1(Ω), entonces la demostracion es inmediata. En efecto, paracualquier punto x0 ∈ Ω maximo de u−v, se tiene que D(u−v)(x0) = 0 y u(x0) > v(x0).Como u es una sub-solucion de (4.0.1), entonces 0 > H(x0, u(x0), Du(x0)) y v esuna super-solucion de (4.0.1), por tanto 0 6 H(x0, v(x0), Dv(x0)), lo que implica que0 > −H(x0, v(x0), Du(x0)). Entonces

0 > H(x0, u(x0), Du(x0))−H(x0, v(x0), Dv(x0)).

56

Puesto que Du(x0) = Dv(x0), por hipotesis se sigue que

0 > H(x0, u(x0), Du(x0))−H(x0, v(x0), Dv(x0)) > γ(u(x0)− v(x0)).

Dado que (u − v)(x0) > 0, contradice que γ > 0, es decir la propiedad i). Por otraparte si u y v no son C1(Ω), entonces como wε alcanza un maximo en un punto(xε, yε) ∈ Ω×Ω, sea φ(x) = v(yε) + 1

ε2‖x− yε‖2, luego u− φ alcanza un maximo en xε

y como u es una sub-solucion. Entonces

H(xε, u(xε),2

ε2(x− yε)) 6 0.

De la misma forma, sea ψ(y) = u(xε) + 1ε2‖xε − y‖2, donde yε es un mınimo de v − ψ

y dado que v es una super-solucion se tiene que

H(yε, v(yε),2

ε2(xε − y)) > 0.

Entonces

H(yε, v(yε),2

ε2(xε − y))−H(xε, u(xε),

2

ε2(x− yε)) > 0. (4.0.3)

Ademas, se tiene que Mε > 0, por tanto se sigue que

0 6 u(xε)− v(yε)−1

ε2‖xε − y‖ 6 u(xε)− v(yε)

Lo que implica que0 6 u(xε)− v(yε) ⇒ v(yε) 6 u(xε).

Como H satisface la propiedad i), se sigue

H(xε, u(xε),2

ε2(xε − y))−H(xε, v(yε),

2

ε2(x− yε)) > γ(u(xε)− v(yε)). (4.0.4)

A la ecuacion (4.0.4) podemos expresarla como sigue

−H(xε, v(yε),2

ε2(x− yε))− γ(u(xε)− v(yε)) > −H(xε, u(xε),

2

ε2(xε − y)). (4.0.5)

Al sumar H(yε, v(yε),2ε2

(x− yε)) a (4.0.5) y por (4.0.3) se tiene

H(yε, v(yε),2

ε2(xε − y))−H(xε, v(xε),

2

ε2(x− yε))− γ(u(xε)− v(yε)) > 0.

Entonces por la propiedad ii); es inmediato que

C(1 +2

ε2‖xε − yε‖)‖xε − yε‖ − γMε > 0.

Cuando ε→ 0+, se tiene que Mε →M y que 2ε2

(‖xε−yε‖)→ 0. Entonces tenemos que

−γM > 0.

Pero M,γ > 0, ası hemos llegado nuevamente a una contradiccion, de esta forma hemosprobado este teorema.

57

Capıtulo 5

Definiciones y propiedadeselementales: parabolicas

Introduciremos en este capıtulo las definiciones de solucion viscosa para ecuacio-nes parabolicas en derivadas parciales no lineales de primer orden y a partir de ellodesarrollar la prueba de cada una de las propiedades principales que satisface.

5.1. Caso de ecuaciones parabolicas

En esta parte realizaremos el estudio de ecuaciones parabolicas de la forma

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) = 0, (t, x) ∈]0, T [×Ω, (5.1.1)

donde Ω es un subconjunto abierto de RN , u :]0, T [×Ω→ R es una funcion desconocida,Du(t, x) designa el gradiente de u en un punto (t, x), ut la derivada de u con respectoa t y H : Ω× R× RN → R es una aplicacion elıptica de primer orden no lineal.

Definicion 5.1. Diremos que una funcion u :]0, T [×Ω→ R es una sub-solucion viscosade (5.1.1) si u es SCS en ]0, T [×Ω y si para toda funcion-test φ ∈ C1(]0, T [×Ω), u−φalcanza un maximo local en un punto (t0, x0) ∈]0, T [×Ω tal que

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) 6 0. (5.1.2)

Simetricamente se dice que una funcion u :]0, T [×Ω→ R es una super-solucion viscosade (5.1.1) si u es SCI en ]0, T [×Ω y si para toda funcion-test φ ∈ C1(]0, T [×Ω), u− φalcanza un mınimo local en un punto (t0, x0) ∈]0, T [×Ω tal que

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) > 0. (5.1.3)

En fin, u :]0, T [×Ω→ R es una solucion viscosa de (5.1.1) si u es sub y super-solucionde (5.1.1).

Proposicion 5.1. Sea una funcion u :]0, T [×Ω → R, las siguientes afirmaciones sonequivalentes

1. u es una sub-solucion viscosa de (5.1.1).

2. Si para todo punto (t, x) ∈]0, T [×Ω, 0 = (u− φ)(t0, x0) > (u− φ)(t, x), para todaφ ∈ C1(]0, T [×Ω), (t0, x0) ∈]0, T [×Ω. Entonces

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) 6 0.

58

Demostracion: Demostremos que 1)⇒ 2), entonces para toda funcion φ ∈ C1(]0, T [×Ω)se tiene que 0 = (u− φ)(t0, x0) > (u− φ)(t, x) para toda (t, x) ∈]0, T [×Ω. Luego u esuna sub-solucion viscosa de (5.1.1) por tanto se tiene que

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) 6 0.

Ahora probemos que 2)⇒ 1), en efecto supongamos que (u−φ)(t0, x0) > (u−φ)(t, x)para toda (t, x) ∈]0, T [×Ω, (t0, x0) es un maximo de u−φ, entonces D(u−φ)(t0, x0) = 0.Sea δ > 0. Sea φδ(t, x) = φ(t, x) + δ‖(t, x) − (t0, x0)‖4 + (u − φ)(t0, x0), note que estafuncion es de clase C1 en ]0, T [×Ω. Luego

φδt(t, x) = φt(t, x) + 4‖(t, x)− (t0, x0)‖3 ∂

∂t(‖(t, x)− (t0, x0)‖).

Por tanto, φδt(t0, x0) = φt(t0, x0). Entonces se sigue que

(u− φδ)(t, x) = u(t, x)− [φ(t, x) + δ‖(t, x)− (t0, x0)‖4 + (u− φ)(t0, x0)],

(u− φδ)(t, x) = (u− φ)(t, x)− δ‖(t, x)− (t0, x0)‖4 − (u− φ)(t0, x0).

Luego, (u−φ)(t, x)− (u−φ)(t0, x0)− δ‖(t, x)− (t0, x0)‖4 6 0 y (u−φδ)(t0, x0) = 0, sesigue que (u − φδ)(t, x) 6 (u − φδ)(t0, x0) = 0. Por tanto (t0, x0) es un punto maximode (u − φδ), en efecto D(u − φδ) = 0 y ası Dφδ(x0, t0) = Dφ(x0, t0). Esto se cumplepara todo φ ∈ C1(]0, T [×Ω), por hipotesis podemos concluir 1).

Proposicion 5.2. Si u es una sub-solucion viscosa de (5.1.1) en ]0, T [×Ω. Entoncespara todo abierto ]0, T [×Ω0 ⊂]0, T [×Ω, u es una sub-solucion viscosa de (5.1.1) en]0, T [×Ω.

Demostracion: Sea φ ∈ C1(]0, T [×Ω0); por la Proposicion 5.1, supongamos que el punto(t0, x0) ∈]0, T [×Ω0, satisface

0 = (u− φ)(t0, x0) > (u− φ)(t, x) , ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω0.

Lo que implica que (t0, x0) es un punto maximo de u− φ, luego elijamos un r > 0 talque Br(t0, x0) ⊂]0, T [×Ω0. Ademas sea ξk ∈ C∞(RN+1) con k = 1, 2 tal que 0 6 ξk 6 1y ξ1 + ξ2 = 1 en RN+1 donde

ξ1 = 1 en Bδ(t0, x0) y ξ2 = 1 en RN+1 \Br(t0, x0),

con δ = r2. Por otra parte sea ψ(t, x) = ξ1φ(t, x) + Mξ2, donde M = sup]0,T [×Ω u + 1.

Entonces(u− ψ)(t, x) = u(t, x)− ξ1φ(t, x)−Mξ2.

Si ξ1 = 1, se tiene que(u− ψ)(t, x) = (u− φ)(t, x).

Por tanto ψ(t, x) = φ(t, x) para todo (t, x) ∈ Bδ(t0, x0). Entonces

0 = (u− ψ)(t0, x0) > (u− ψ)(t, x), ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω0.


(u− ψ)(t, x) = u(t, x)−M.

(u− ψ)(t, x) < 0

Antes de finalizar note que ψ es de clase C1(]0, T [×Ω), por tanto podemos concluir que

0 = (u− ψ)(t0, x0) > (u− ψ)(t, x) , ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω.


59

Proposicion 5.3. Sea una funcion u :]0, T [×Ω → R, las siguientes afirmaciones sonequivalentes

1. u es una super-solucion viscosa de (5.1.1).

2. Si para toda (t, x) ∈]0, T [×Ω, 0 = (u − φ)(t0, x0) 6 (u − φ)(t, x), para todaφ ∈ C1(]0, T [×Ω), (t0, x0) ∈]0, T [×Ω. Entonces

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) > 0.

Demostracion: Verifiquemos que 1)⇒ 2), entonces para toda funcion φ ∈ C1(]0, T [×Ω)se tiene que 0 = (u− φ)(t0, x0) 6 (u− φ)(t, x) para toda (t, x) ∈]0, T [×Ω. Luego u esuna super-solucion viscosa de (5.1.1) en efecto se tiene que

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) > 0.

Para terminar demostremos que 2) ⇒ 1), entonces sea (u − φ)(t0, x0) 6 (u − φ)(t, x)para toda (t, x) ∈]0, T [×Ω, luego (t0, x0) es un mınimo de u − φ. Sea δ 6 0. Seaφδ(t, x) = φ(t, x) + δ‖(t, x) − (t0, x0)‖4 + (u − φ)(t0, x0), note que esta funcion es declase C1 en ]0, T [×Ω. Entonces se sigue que

(u− φδ)(t, x) = u(t, x)− [φ(t, x) + δ‖(t, x)− (t0, x0)‖4 + (u− φ)(t0, x0)]

(u− φδ)(t, x) = (u− φ)(t, x)− δ‖(t, x)− (t0, x0)‖4 − (u− φ)(t0, x0).

Luego, (u−φ)(t, x)−(u−φ)(t0, x0)−δ‖(t, x)−(t0, x0)‖4 > 0 y como (u−φδ)(t0, x0) = 0,se sigue que (u − φδ)(t, x) > (u − φδ)(t0, x0) = 0. Entonces (t0, x0) es un mınimo deu− φδ, en consecuencia Du(t0, x0) = Dφδ(t0, x0). Ademas

φδt(t, x) = φt(t, x) + 4‖(t, x)− (t0, x0)‖3 ∂

∂t(‖(t, x)− (t0, x0)‖).

Al evaluar (t0, x0) en φδt , es inmediato que φδt(t0, x0) = φt(t0, x0) y esto se cumple paratodo φ ∈ C1(]0, T [×Ω), por hipotesis podemos concluir 1).

Proposicion 5.4. Si u es una super-solucion viscosa de (5.1.1) en ]0, T [×Ω. Entoncespara todo abierto ]0, T [×Ω0 ⊂]0, T [×Ω, u es una super-solucion viscosa de (5.1.1) en]0, T [×Ω0.

Demostracion: Sea φ ∈ C1(]0, T [×Ω0); por la Proposicion 5.3, sea (t0, x0) ∈]0, T [×Ω0.Tal que satisface la siguiente expresion

0 = (u− φ)(t0, x0) 6 (u− φ)(t, x), ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω0.

Luego elijamos un r > 0 tal que Br(t0, x0) ⊂]0, T [×Ω0. Ademas sea ξk ∈ C∞(RN+1)con k = 1, 2 tal que 0 6 ξk 6 1, ξ1 + ξ2 = 1 en RN+1 y sea δ = r

2; donde

ξ1 = 1 en Bδ(t0, x0) y ξ2 = 1 en RN+1 \Br(t0, x0).

Por otra parte sea ψ(t, x) = ξ1φ(t, x) +Mξ2, donde M = ınf ]0,T [×Ω u− 1. Entonces

(u− ψ)(t, x) = u(t, x)− ξ1φ(t, x)−Mξ2.

Si ξ1 = 1, se tiene que(u− ψ)(t, x) = (u− φ)(t, x).

60

Por tanto ψ(t, x) = φ(t, x) para todo (t, x) ∈ Br(t0, x0). Entonces

(u− ψ)(t0, x0) 6 (u− ψ)(t, x), ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω0.


(u− ψ)(t, x) = u(t, x)−M.

(u− ψ)(t, x) > 0

Para finalizar note que ψ es de clase C1(]0, T [×Ω), por tanto podemos concluir que

0 = (u− ψ)(t0, x0) 6 (u− ψ)(t, x) , ∀x ∈]0, T [×Ω.

De esta manera hemos concluido la prueba.

Proposicion 5.5. Sea Ω un subconjunto abierto de RN . Sea u ∈ C1(]0, T [×Ω) tal queu :]0, T [×Ω→ R. Entonces u es una solucion viscosa si y solo si verifica

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) = 0 , ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω. (5.1.4)

Demostracion: Probemos que u satisface la expresion (5.1.4); u ∈ C1(]0, T [×Ω) porhipotesis. Entonces tome φ = u, ademas u es una sub-solucion viscosa de (5.1.1), luegou− φ posee maximos locales en cualquier punto (t0, x0) ∈]0, T [×Ω por tanto

D(u− φ)(x0, t0) = 0 ⇔ Du(t0, x0) = Dφ(t0, x0).

Ademas ut(t0, x0) = φt(t0, x0), es inmediato

ut(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Du(t0, x0)) = φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)).

Entoncesφt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Du(t0, x0)) 6 0.

Dado que (t0, x0) es un punto arbitrario, se sigue que

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) 6 0 , ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω. (5.1.5)

Ahora si u es una super-solucion viscosa de (5.1.1), tome φ = u, esto implica que u−φposee mınimos en todo (t, x) ∈]0, T [×Ω. Por tanto se tiene que

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) > 0 , ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω. (5.1.6)

En consecuencia de (5.1.5) y (5.1.6), llegamos a tener la igualdad siguiente

ut(t, x) +H(t, x, u(t, x), Du(t, x)) = 0 , ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω.

Por otra parte, sea u ∈ C1(]0, T [×Ω) por tanto u es continua y diferenciable en todopunto (t, x) ∈]0, T [×Ω. Elijamos un punto (t0, x0) ∈ C1(]0, T [×Ω), al aplicar el Lema2.5; existe una funcion φ ∈ C1(]0, T [×Ω) tal que u(t0, x0) = φ(t0, x0) y (t0, x0) es unmaximo de u−φ por tanto D(u−φ)(t0, x0) = 0; lo que implica que (ut−φt)(t0, x0) = 0,de forma equivalente ut(t0, x0) = φt(t0, x0). En efecto, sea w(t, x) = (u − φ)(t, x).Entonces, x0 ∈ Ω es un maximo de

w(t0, ·) = u(t0, ·)− φ(x0, ·)⇒ Dw(t0, x0) = 0

⇒ Du(t0, x0) = Dφ(t0, x0).

61

Ademas, t0 ∈]0, T [ es un maximo de

w(·, x0) = u(·, x0)− φ(·, x0)⇒ ∂tw(t0, x0) = 0

⇒ ∂tu(t0, x0) = ∂tφ(t0, x0).

Luego por (5.1.4) se tiene que

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) 6 0.

Ası podemos concluir que u es una sub-solucion viscosa. De forma similar probaremosque u es una super-solucion, en efecto existe una funcion φ de clase C1(]0, T [×Ω) talque (t0, x0) es un mınimo de u− φ y por (5.1.4) se tiene la desigualdad

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Du(t0, x0)) > 0.

Entonces u es una solucion viscosa, pues hemos probado que u es una sub y super-solucion.

Los siguientes resultados que se expondran a continuacion, mostraran que la nocionde solucion viscosa es mas fuerte, pues (5.1.1) se satisface en todo punto donde lafuncion desconocida admita un desarrollo de orden 1.

Lema 5.1. Suponga que H es continua en todas sus variables. Sea u una solucionviscosa de (5.1.1) tal que u admite un desarrollo de orden 1 en un punto (t, x) ∈]0, T [×Ω. Entonces

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) 6 0.

Demostracion: Puesto que u admite un desarrollo de orden 1 en (t, x) ∈]0, T [×Ω,entonces u es diferenciable en (t, x) y por tanto continua en (t, x). Usando el Lema 2.5;existe una funcion φ ∈ C1(]0, T [×Ω) tal que u(t, x) = φ(t, x) y (t, x) es un maximo deu − φ; es decir Du(t, x) = Dφ(x, t), ademas φt(t, x) = ut(x, t). Por hipotesis u es unasub-solucion entonces es inmediata la desigualdad siguiente

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) 6 0.

Lema 5.2. Suponga que H es continua en todas sus variables. Sea u una super-solucion viscosa de (5.1.1) tal que u admite un desarrollo de orden 1 en un punto(t, x) ∈]0, T [×Ω. Entonces

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) > 0.

Demostracion: Dado que u admite un desarrollo de orden 1 en (t, x) ∈]0, T [×Ω, en-tonces u es diferenciable (t, x) y por tanto continua en (t, x). Usando el Corolario 2.12;existe una funcion φ ∈ C1(]0, T [×Ω) tal que u(t, x) = φ(t, x) y (t, x) es un mınimo deu − φ; es decir Du(t, x) = Dφ(t, x), ası mismo φt(t, x) = ut(t, x). En efecto, se definew(t, x) = (u− φ)(t, x). Luego, x ∈ Ω es un mınimo de

w(t, ·) = u(t, ·)− φ(x, ·)⇒ Dw(t, x) = 0

⇒ Du(t, x) = Dφ(t, x).

Tambien, t ∈]0, T [ es un mınimo de

w(·, x) = u(·, x)− φ(·, x)⇒ ∂tw(t, x) = 0

⇒ ∂tu(t, x) = ∂tφ(t, x).

62

Por hipotesis u es una super-solucion entonces se cumple la desigualdad siguiente

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) > 0.

Lema 5.3. Suponga que H es continua en todas sus variables. Sea u una solucionviscosa de (5.1.1) tal que u admite un desarrollo de orden 1 en un punto (t, x) ∈]0, T [×Ω. Entonces

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) = 0.

Demostracion: Puesto que u es una solucion viscosa de (5.1.1), entonces u es una suby super-solucion viscosa de (5.1.1), ademas u admite un desarrollo de orden 1 en unpunto (x, t). Luego por el Lema 5.1 y el Lema 5.2 se obtiene

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) 6 0,

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) > 0.

Por tantout(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) = 0.

A continuacion definamos

H(x, u(t, x), Du(t, x))− ut(t, x) = 0, (t, x) ∈]0, T [×Ω. (5.1.7)

DondeH(x, s, p) = −H(x,−s,−p), ∀(x, s, p) ∈ Ω× R× RN .

Proposicion 5.6. Sea u una sub-solucion de (5.1.1). Entonces −u es super-solucionde (5.1.7).

Demostracion: Se sigue por :

1. Dado que u es semi-continua superior, por la Proposicion 2.28; −u es semi-continua inferior

2. Sea φ ∈ C1(]0, T [×Ω), consecuentemente u − φ alcanza un maximo local en unpunto (t0, x0) ∈]0, T [×Ω, entonces existe r > 0 tal que

(u− φ)(t0, x0) > (u− φ)(x, y), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

Entonces, se tiene que

(−u+ φ)(t0, x0) 6 (−u+ φ)(x, y), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

Por tanto, (t0, x0) es un mınimo local de −u + φ. Ahora resta probar que sesatisface

H(x0,−u(t0, x0),−Du(t0, x0))− ut(t0, x0) > 0.

En efecto se tiene por hipotesis que

H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0))) + ut(t0, x0) 6 0.

Luego−H(x0,−(−u(t0, x0)),−(−Du(t0, x0)))− ut(t0, x0) > 0.

Ademas

−H(x0,−(−u(t0, x0)),−(−Dφ(t0, x0))) = H(x0,−u(t0, x0),−Dφ(t0, x0)).

Por tanto hemos probado la desigualdad antes mencionada.

63

Luego es inmediato que por 1 y 2, −u es una super-solucion viscosa de (5.1.7).

Proposicion 5.7. Sea u una super-solucion viscosa de (5.1.1). Entonces −u es sub-solucion viscosa de (5.1.7)

Demostracion: Consideremos lo siguiente :

1. Dado que u es semi-continua inferior, por la Proposicion 2.35; −u es semi-continuasuperior.

2. Sea φ ∈ C1(]0, T [×Ω), entonces u − φ alcanza un mınimo local en un punto(t0, x0) ∈]0, T [×Ω, por tanto existe r > 0 tal que

(u− φ)(t0, x0) 6 (u− φ)(x, y), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

Entonces, se tiene que

(−u+ φ)(t0, x0) > (−u+ φ)(x, y), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0)

Por tanto, (t0, x0) es un maximo local de −u + φ. Ahora resta probar que sesatisface

H(x0,−u(t0, x0),−Du(t0, x0))− ut(t0, x0) 6 0.

En efecto se tiene por hipotesis que

H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0))) + ut(t0, x0) > 0.

Luego−H(x0,−(−u(t0, x0)),−(−Du(t0, x0)))− ut(t0, x0) 6 0.

Ademas

−H(x0,−(−u(t0, x0)),−(−Dφ(t0, x0))) = H(x0,−u(t0, x0),−Dφ(t0, x0)).

Finalmente por 1 y 2, −u es una super-solucion viscosa de (5.1.7).

Proposicion 5.8. Sea u una solucion viscosa de (5.1.1). Entonces −u es una solucionviscosa de (5.1.7)

Demostracion: Como u es una solucion viscosa de (5.1.1), entonces u es una sub ysuper-solucion viscosa de (5.1.1). Luego por la Proposicion 5.6 y la Proposicion 5.7,−u es una super y sub-solucion viscosa de (5.1.7), lo que implica que −u es una solucionviscosa de (5.1.7).

5.2. Estabilidad y paso al lımite

En esta seccion estudiaremos nuevamente la estabilidad aplicada a ecuaciones pa-rabolicas de primer orden no lineales, la demostracion de los resultados son similaresal caso elıptico.

Lema 5.4. Sea v :]0, T [×Ω → R una funcion continua que posee un maximo localestricto en (t0, x0) y sea (vn) una sucesion de funciones continuas que convergen lo-calmente uniforme en v. Entonces existe una sucesion (tn, xn)n∈N, tal que (tn, xn) esmaximo local de vn y ademas converge a (t0, x0).

64

Demostracion: Puesto que v posee un maximo local estricto en (t0, x0), elijamos unr > 0 tal que Br(t0, x0) ⊂]0, T [×Ω con lo que tenemos que

v(t0, x0) > v(t, x), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).


v(t0, x0) = maxBδ(t0,x0)

v > max∂Bδ(t0,x0)

v.


lımn→∞

vn(t0, x0) = maxBδ(t0,x0)

lımn→∞

vn > max∂Bδ(t0,x0)

lımn→∞

vn,

Mas aun, existe un ındice n0 ∈ N tal que

vn(t0, x0) > max∂Bδ(t0,x0)

vn, ∀n > n0. (5.2.1)

Dado que vn es continua en el compacto Bδ(t0, x0), lo que significa que alcanza un

maximo local en un punto (t, x) de Bδ(t0, x0), que lo notaremos como (tn, xn). Esevidente que (t, x) ∈ Bδ(t0, x0) pues si (tn, xn) ∈ ∂Bδ(t0, x0) por (5.2.2) se tuvieraque vn(t0, x0) > vn(tn, xn) lo que contradice que (tn, xn) es un valor maximo de vn.Para terminar probemos que (tn, xn)n∈N converge a (t0, x0). En efecto (tn, xn)n∈N esacotada y por el Teorema de Bolzano-Weierstras existe una sub-sucesion convergente(tnk , xnk)k∈N. Supongamos que (tnk , xnk)k∈N → (s, y); y consideremos que:

1. vnk(tnk , xnk) > vnk(z′, z) , ∀(z′, z) ∈ Bδ(t0, x0)

2. Como (vnk) converge localmente uniforme a v. Tomando lımites en la desigualdaddel literal (1), obtenemos

lımk→∞

lımk→∞

vnk(tnk , xnk) > lımk→∞

lımk→∞

vnk(z′, z) , ∀(z′, z) ∈ Bδ(t0, x0).

lımk→∞

vnk( lımk→∞

(tnk , xnk)) > lımk→∞

vnk(z′, z) , ∀(z′z) ∈ Bδ(t0, x0).

v(s, y) > v(z′, z) , ∀(z′, z) ∈ Bδ(t0, x0).

3. En el literal (2), se prueba que el punto (s, y) es un maximo local de v enBδ(t0, x0), pero esto contradice que (t0, x0) es un maximo local estricto de v portanto (t0, x0) = (s, y).

Por los items 1, 2, y 3 se concluye que (tn, xn)n∈N → (t0, x0). Con esta conclusion setermina la prueba de este Lema.

Lema 5.5. Suponga que v :]0, T [×Ω → R es una funcion continua que posee unmınimo local estricto en (t0, x0) y suponga que (vn) una sucesion de funciones continuasque convergen localmente uniforme en v. Entonces existe una sucesion (tn, xn)n∈N, talque (tn, xn) es mınimo local de vn y ademas converge a x0.

Demostracion: Si v es continua entonces −v es continua y como (t0, x0) es un puntomınimo de v se sigue que (t0, x0) es un maximo de −v. Ademas vn , ∀n ∈ N es continua,por tanto −vn, ∀n ∈ N es continua. Luego (−vn) converge uniformemente hacia −vpor el Lema 5.4, existe una sucesion (tn, xn)n∈N tal que (tn, xn) es un maximo de −vn yademas converge a (t0, x0). Ası (tn, xn) es un mınimo de vn. Por tanto hemos probadoeste Lema.

65

Teorema 5.1 (Estabilidad de sub-soluciones). Suponga que (un) es una sucesion desub-soluciones continuas de

ut(t, x) +Hn(x, u(t, x), Du(t, x)) = 0 , (t, x) ∈]0, T [×Ω. (5.2.2)

que converge uniformemente a una funcion u :]0, T [×Ω→ R en todos los compactos de]0, T [×Ω y que (Hn) converge uniformemente a H en todos los compactos de ]0, T [×Ω×R× RN . Entonces u sigue siendo una sub-solucion de (5.1.1).

Demostracion: Supongamos que u − φ posee un maximo local estricto en el punto(t0, x0) ∈]0, T [×Ω, donde φ ∈ C1(]0, T [×Ω). Luego, por hipotesis se tiene que (un −φ) converge localmente uniforme a u − φ, usando el Lema 5.4; existe una sucesion(tn, xn)n∈N que converge a (t0, x0) tal que (tn, xn) es un punto maximo de un− φ, paratoda n ∈ N. Para finalizar, nos queda probar que u satisface la desigualdad (5.1.2), enefecto como un es una sub-solucion de (5.2.2), se tiene que

φt(tn, xn) +Hn(xn, un(tn, xn), Dφ(tn, xn)) 6 0 , ∀n ∈ N. (5.2.3)

Ademas, (Hn) converge uniformemente a H y desde luego φt(tn, xn), por tanto al tomarlımites a (5.2.3), obtenemos que φt(t0, x0) + H(u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) 6 0, es decir u esuna sub-solucion de (5.1.1).

Teorema 5.2 (Estabilidad de super-soluciones). Sea (un) una sucesion de super-soluciones continuas de (5.2.2), que converge uniformemente en todos los compactosde ]0, T [×Ω hacia una funcion u :]0, T [×Ω→ R y sea (Hn) una sucesion que convergeuniformemente a H en todos los compactos de ]0, T [×Ω × R × RN . Entonces u siguesiendo una super-solucion de (5.1.1).

Demostracion: Sea φ ∈ C1(]0, T [×Ω), una funcion-test tal que u− φ posee un mınimolocal estricto en un punto (t0, x0) ∈]0, T [×Ω. Ademas por hipotesis se tiene que (un−φ)converge localmente uniforme a u − φ. Luego por el Lema 5.5; existe una sucesion(tn, xn)n∈N que converge a (t0, x0) tal que (tn, xn) es un punto mınimo de un − φ, paratoda n ∈ N. Ahora, resta probar que u satisface la desigualdad (5.1.3), en efecto comoun es una super-solucion de (5.2.2), se tiene que

φt(tn, xn) +Hn(xn, un(tn, xn), Dφ(tn, xn)) > 0 , ∀n ∈ N. (5.2.4)

Debido a que (Hn) converge uniformemente a H en todas sus variables y ademasφt(tn, xn) converge a φt(t0, x0), dado que φt es continua. Entonces existe el lımite de(5.2.4), que no es mas que φ(t0, x0) + H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) > 0, en efecto u esuna super-solucion de (5.1.1).

Teorema 5.3 (Estabilidad de soluciones viscosas). Sea (un) una sucesion de so-luciones viscosas continuas de (5.2.3), que converge uniformemente a una funcionu :]0, T [×Ω → R en todos los compactos de ]0, T [×Ω y sea (Hn) una sucesion queconverge uniformemente a H en todos los compactos de ]0, T [×Ω×R×RN . Entoncesu sigue siendo una solucion viscosa de (5.1.1).

Demostracion: Como un es una solucion viscosa continua de (5.2.3), entonces un esuna sub y super-solucion viscosa continua de (5.2.3). Mas aun se tiene

0 6 φt(tn, xn) +Hn(xn, un(tn, xn), Dφ(tn, xn)), ∀n ∈ N,

φt(tn, xn) +Hn(xn, un(tn, xn), Dφ(tn, xn)) > 0, ∀n ∈ N.

66

Usando el Teorema 5.1 y 5.2, se verifica la igualdad siguiente

φt(t0, x0) +Hn(x0, un(t0, x0), Dφ(t0, x0)) = 0.

A continuacion introduciremos las definiciones de semi-lımites relajados que estu-diamos en el caso elıptico.

Definicion 5.2. Sea (un) una sucesion de funciones localmente uniformes mayoradasen ]0, T [×Ω. Definimos el semi-lımite relajado superior por

u(t, x) = lım sup(tn,xn)→(t,x)

un(tn, xn), ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω.

Definicion 5.3. Sea (un) una sucesion de funciones localmente uniformes menoradasen ]0, T [×Ω. Definimos el semi-lımite relajado inferior por

u(t, x) = lım inf(tn,xn)→(t,x)

un(tn, xn), ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω.

Lema 5.6. Sea una funcion SCS, v :]0, T [×Ω→ R que posee un maximo local estrictoen el punto (t0, x0) y si (vn) es una sucesion de funciones SCS tales que

v(t0, x0) = lım sup(sn,zn)→(t0,x0)

vn(sn, zn).

Entonces existe una sucesion (tn, xn)n∈N tal que (tn, xn) es maximo local de vn queconverge a (t0, x0) y ademas (vn(tn, xn)) tiende a v(t0, x0).

Demostracion: Puesto que v posee un maximo local en (t0, x0) ∈]0, T [×Ω, existe unr > 0 tal que

v(t0, x0) > v(t, x), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

En efecto, tome δ = r2. Luego, dado que para toda n ∈ N, vn es SCS; entonces por

la Proposicion 2.30, vn es acotada superiormente y alcanza un maximo local en elcompacto Bδ(t0, x0) que lo notaremos como (tn, xn). Esto implica que (vn) es una

sucesion de funciones localmente uniformes mayoradas en Bδ(t0, x0) y ademas

vn(tn, xn) > vn(z′n, zn), ∀(z′n, zn) ∈ Bδ(t0, x0).

Como (tn, xn)n∈N es acotada, por Bolzano-Weierstras existe una sub-sucesion tal que(tnk , xnk)k∈N → (s, y). Luego, es inmediato que

vnk(tnk , xnk) > vnk(z′nk, znk), ∀(z′nk , znk) ∈ Bδ(t0, x0).

Entonces

lım sup(tnk ,xnk )→(s,y)

vnk(tnk , xnk) > lım sup(z′nk

,znk )→(t0,x0)

vnk(z′nk, znk), ∀(z′nk , znk) ∈ Bδ(t0, x0).

Por tanto

v(s, y) > v(t0, x0).

67

Este resultado contradice que (t0, x0) es un maximo local estricto de v, necesariamente(s, y) = (x0, y0) y ası (tnk , xnk)k∈N → (t0, x0).Finalmente, probemos que vn(tn, xn)→ v(t0, x0). Por facilidad escribiremos (tn, xn)n∈Npor (tnk , xnk)k∈N. Como v(t0, x0) 6 v(tn, xn), ∀(tn, xn) ∈ Bδ(x0), y dado que v es SCS;utilizando el Corolario 2.12, se tiene

v(t0, x0) = lım supn→∞

vn(tn, xn) > lım supn→∞

v(tn, xn).

Entonces, para todo v(t, x) < v(t0, x0)

ınfk∈N

supn>k

vn(tn, xn) > ınfk∈N

supn>k

v(tn, xn).

Por el Lema 2.2, existe un k ∈ N tal que

ınfk∈N

supn>k

vn(tn, xn) > supn>k

v(tn, xn).

Luego, por definicion de cota inferior, para todo n > k

supn>k

vn(tn, xn) > supn>k

v(tn, xn).


vn(tn, xn) > supn>k

v(tn, xn) > v(t, x).

Entonces∀v(t, x) < v(t0, x0), ∃k ∈ N, ∀n > k, v(t, x) < vn(tn, xn).


v(t0, x0) 6 lım infn→∞

vn(tn, xn) 6 lım supn→∞

vn(tn, xn) 6 v(t0, x0)

Luegov(t0, x0) = lım inf

n→∞vn(tn, xn) = lım sup

n→∞vn(tn, xn).

Y por el Corolario 2.5, obtenemos la convergencia deseada, en efecto

lımn→∞

vn(tn, xn) = v(t0, x0).

Lema 5.7. Sea una funcion SCI, v :]0, T [×Ω→ R que posee un mınimo local estrictoen (t0, x0) y si (vn) es una sucesion de funciones SCI tales que

v(t0, x0) = lım inf(sn,yn)→(t0,x0)

vn(sn, yn).

Entonces existe una sucesion (tn, xn) tal que (tn, xn) es mınimo local de vn que convergea (t0, x0) y ademas (vn(tn, xn)) tiende a v(t0, x0).

Demostracion: Usemos las propiedades aprendidas anteriormente, como vn es SCIentonces −vn es SCS; para todo n ∈ N. Tambien es cierta la igualdad siguiente−v(t0, x0) = lım sup(sn,yn)→(t0,x0)(−vn(tn, yn)), donde (t0, x0) es un maximo de v. Alaplicar el lema anterior, existe una sucesion (tn, xn)n∈N que converge a (t0, x0) tal quepara cada n natural (tn, xn) es un maximo de −vn y −vn(tn, xn)→ −v(t0, x0) por lo quepodemos concluir que (tn, xn) es un mınimo de vn y mas aun vn(tn, xn)→ v(t0, x0).

68

Teorema 5.4 (Estabilidad por semi-lımites relajados). Suponga que (un) es unasucesion de sub-soluciones mayoradas localmente uniformes de (5.2.3), y que (Hn)converge uniformemente a H en todos los compactos de ]0, T [×Ω×R×RN . Entoncesu es aun una sub-solucion de (5.1.1).De la misma forma si (un) es una sucesion de super-soluciones localmente uniformesmenoradas de (5.2.3) y (Hn) converge uniformemente a H en todos los compactos de]0, T [×Ω× R× RN , entonces u sigue siendo una super-solucion de (5.1.1).

Demostracion: Sea φ ∈ C1(]0, T [×Ω). Supongamos que u − φ posee un maximo localen (t0, x0) ∈]0, T [×Ω, ademas un−φ es una sucesion de funciones localmente uniformesmayoradas, es decir

(u− φ)(t0, x0) = lım sup(tn,xn)→(t0,x0)

(un − φ)(tn, xn).

Entonces, por el Lema 5.6

(un − φ)(tn, xn)→ (u− φ)(t0, x0).

Ahora por hipotesis

φt(tn, xn) +Hn(xn, un(tn, xn), Dφ(tn, xn)) 6 0, ∀n ∈ N.

y dado que Hn converge uniformemente a H, implica que

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) 6 0.

Ası obtenemos que u es una sub-solucion de (5.1.1). Por otra parte, suponga que (un)es una sucesion de funciones localmente uniformes menoradas y sea φ ∈ C1(]0, T [×Ω)tal que (u− φ) alcanza un mınimo en (t0, x0) ∈ Ω.

(u− φ)(t0, x0) = lım inf(tn,xn)→(t0,x0)

(un − φ)(tn, xn)

Y por el Lema 5.7, se tiene la siguiente convergencia

(un − φ)(tn, xn)→ (u− φ)(t0, x0).

Ahora, por hipotesis

φt(tn, xn) +Hn(xn, un(tn, xn), Dφ(tn, xn)) > 0, ∀n ∈ N.

y dado que Hn converge uniformemente a H, obtenemos que se satisface

φt(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Dφ(t0, x0)) > 0.

En efecto, u es una super-solucion de (5.1.1).

69

Capıtulo 6

Existencia de soluciones por elmetodo de Perron: parabolicas

Estamos interesados nuevamente en la ecuacion de la forma

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) = 0, (t, x) ∈]0, T [×Ω. (6.0.1)

Donde ]0, T [×Ω es un subconjunto abierto de RN+1 y H : Ω×R×RN → R es elıpticay continua.

Definicion 6.1. Diremos que una funcion u :]0, T [×Ω → R es una solucion viscosadiscontinua de (6.0.1) si su envoltura inferior u∗ y su envoltura superior u∗ son super-y sub- soluciones viscosas de (6.0.1).

Suponga que (uα)α∈A es una familia de funciones de ]0, T [×Ω en R acotadas infe-riormente, tal que

u(t, x) = ınfα∈A

uα(t, x). (6.0.2)

Lema 6.1. Suponga que, para toda α ∈ A, (uα)∗ es una super-solucion de la ecuacion(6.0.1). Entonces u∗ es una super-solucion de (6.0.1).

Demostracion: Sea una funcion test φ ∈ C1(]0, T [×Ω) tal que u∗− φ posee un mınimolocal estricto en un punto (t0, x0) ∈]0, T [×Ω. Entonces existen, un r > 0 y un η > 0tales que

(u∗ − φ)(t0, x0) 6 mın∂Br(t0,x0)

(u∗ − φ) + η. (6.0.3)

Luego, u∗ es la envoltura SCI de u entonces existe una sucesion (tn, xn)n∈N ⊂ Br(t0, x0)tal que (tn, xn)n∈N → (t0, x0) y u(tn, xn)→ u∗(t0, x0). Ademas, por (6.0.2) existe αn ∈ Atal que

uαn(tn, xn) 6 u(tn, xn) +1

n. (6.0.4)

Notemos, entonces que (uαn)∗(tn, xn)→ u∗(t0, x0). Puesto que u∗ es SCI, es decir

u∗(t0, x0) 6 lım inf(tn,xn)→(t0,x0)

u∗(tn, xn). (6.0.5)

Por la definicion de envoltura inferior, se tiene que

u∗(tn, xn) 6 (uαn)∗(tn, xn) 6 uαn(tn, xn). (6.0.6)

De (6.0.6), es inmediato que

lım infn→∞

u∗(tn, xn) 6 lım infn→∞

(uαn)∗(tn, xn) 6 lım supn→∞

(uαn)∗(tn, xn). (6.0.7)

70

Y ademas por (6.0.4), obtenemos que

lım supn→∞

(uαn)(tn, xn) 6 lım supn→∞

(u(tn, xn) +

1

n

). (6.0.8)

Al aplicar la propiedad de adicion de supremo superior a (6.0.8), tenemos como resul-tado

lım supn→∞

(uαn)(tn, xn) 6 lım supn→∞

u(tn, xn) + lım supn→∞

(1

n

).

Dado que, lımn→∞ u(tn, xn) = u∗(t0, x0) y lımn→∞1

n= 0, por tanto

lım supn→∞

(uαn)(tn, xn) 6 u∗(t0, x0). (6.0.9)

Ası, por (6.0.5), (6.0.7) y (6.0.9), llegamos a tener la siguiente desigualdad

u∗(t0, x0) 6 lım infn→∞

(uαn)∗(tn, xn) 6 lım supn→∞

(uαn)∗(tn, xn) 6 u∗(t0, x0). (6.0.10)

De (6.0.10), obtenemos la siguiente igualdad

lımn→∞

(uαn)∗(tn, xn) = u∗(t0, x0). (6.0.11)

Por (6.0.11), sea ε =η

2, existe un k ∈ N, para toda n > k

−η2

+ u∗(x0) < (uαn)∗(xn) <η

2+ u∗(x0). (6.0.12)

Si restamos φ ∈ C1(]0, T [×Ω) de (6.0.12), obtenemos

−η2

+ (u∗ − φ)(t0, x0) < ((uαn)∗ − φ)(tn, xn) <η

2+ (u∗ − φ)(t0, x0).

Luego, por (6.0.12), se cumple

((uαn)∗ − φ)(tn, xn) 6 mın∂Br(t0,x0)

((uαn)∗ − φ) +η

2.

Esto prueba que (uαn)∗−φ posee un mınimo local en un punto yn de Br(t0, x0). Como(uαn)∗ es una sub-solucion de (6.0.1), se tiene la siguiente desigualdad

φt(sn, yn) +H(yn, (uαn)∗(sn, yn), Dφ(sn, yn)) > 0. (6.0.13)

Finalmente probemos que (sn, yn)n∈N tiende a (t0, x0) y que (uαn)∗(sn, yn) tiende au∗(t0, x0). En efecto

(u∗ − φ)(t0, x0) 6 (u∗ − φ)(sn, yn) 6 ((uαn)∗ − φ)(sn, yn) 6 ((uαn)∗ − φ)(sn, xn).

Los miembros de esta desigualdad tienden a (u∗ − φ)(t0, x0). Donde todos los valoresde adherencia de (sn, yn) son iguales al unico punto mınimo de la funcion (u∗ − φ) enBr(t0, x0), a (t0, x0); es decir

(u∗ − φ)(t0, x0) 6 lımn→∞

(u∗ − φ)(sn, yn) 6 lımn→∞

((uαn)∗ − φ)(sn, yn) 6 u∗ − φ)(t0, x0).

La desigualdad anterior prueba la convergencia de (uαn)∗(tn, yn) en u∗(r0, x0). Dadoque H y φt son continuas se tiene que u∗ es una super-solucion de (6.0.1), pues altomar lımites a (6.0.13), se obtiene

φt(t0, x0) +H(x0, u∗(t0, x0), Dφ(t0, x0)) > 0.

71

6.1. El metodo de Perron

En esta seccion construiremos la solucion de una ecuacion empleando la tecnica dePerron. Para esta construccion utilizaremos el Lema anterior que es un equivalente alLema soluciones supremas.

Teorema 6.1. Suponga que u :]0, T [×Ω→ R es una sub-solucion de (6.0.1) tal quev :]0, T [×Ω → R es una super-solucion de esta ecuacion. Suponga ademas que u 6 ven ]0, T [×Ω. Entonces existe una solucion viscosa discontinua w :]0, T [×Ω→ R tal queu 6 w 6 v.

Demostracion: Sea

Γ := z :]0, T [×Ω→ R | z∗ es una super-solucion de (6.0.1) y u 6 z 6 v.

Note que Γ 6= ∅, pues v es una super-solucion y v = v∗, por tanto v ∈ Γ . Ademas, sea

w(t, x) = ınfz∈Γ

z(t, x), ∀(t, x) ∈]0, T [×Ω.

A continuacion se probara que w es la solucion que estamos buscando. Primero obser-vemos que w ∈ Γ , en efecto u 6 w 6 v y w∗ es una super-solucion de (6.0.1) gracias alLema 6.1. Ahora resta probar que w∗ es una sub-solucion de (6.0.1), supongamos porel absurdo que existe un punto (t0, x0) ∈]0, T [×Ω y una funcion test φ ∈ C1(]0, T [×Ω)tal que (t0, x0) es un maximo estricto de w∗ − φ y φ(t0, x0) = w∗(t0, x0), ademas sesatisfaga la siguiente desigualdad

φt(t0, x0) +H(t0, x0, w∗(t0, x0), Dφ(t0, x0)) > 0 (6.1.1)

Mostremos que w∗(t0, x0) > u(t0, x0). En efecto, como w(t0, x0) > u(t0, x0), entoncessuponga que w∗(t0, x0) = u(t0, x0), luego u− φ posee un maximo local en (t0, x0), portanto u satisface (6.1.1), esto contradice que u es una sub-solucion de (6.0.1), por tantow∗(t0, x0) > u(t0, x0).Por otra parte, elijasen un r > 0 y un ε > 0 tal que Br(t0, x0) ⊂]0, T [×Ω y ademas sesatisface que

1. φt(t, x)+H(x, φ(t, x)+ε,Dφ(t, x)) > 0, ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0). En efecto, por (6.1.1),existe θ > 0 tal que

φ(t0, x0) +H(t0, x0, φ(t0, x0), Dφ(t0, x0)) > θ,

y como H es continua, se sigue que ∀ε > 0,∃δ > 0 tal que ‖ (t, x)− (t0, x0) ‖< δ,entonces

|φt(t, x)+H(x, φ(t, x)+ ε,Dφ(t, x))−φt(x0, t0)−H(x0, φ(t0, x0), Dφ(t0, x0))| < ε.

Lo que implica que

φt(t, x)+H(x, φ(t, x)+ε,Dφ(t, x)) > −ε+φt(t0, x0)+H(x0, φ(t0, x0), Dφ(t0, x0)).

Tomemos, ε = θ2

φt(t, x) +H(x, φ(t, x) + ε,Dφ(t, x)) > −ε+ θ,

φt(t, x) +H(x, φ(t, x) + ε,Dφ(t, x)) >θ

2,

φt(t, x) +H(x, φ(t, x) + ε,Dφ(t, x)) > 0.

72

2. (w∗ − φ)(t, x) < −ε , ∀(t, x) ∈ ∂Br(t0, x0). Como (t0, x0) es un maximo localestricto de w∗ − φ, entonces

(w∗ − φ)(t0, x0) = maxBr(t0,x0)

(w∗ − φ) > max∂Br(t0,x0)

(w∗ − φ).

Ademas, w∗(t0, x0) = φ(t0, x0) entonces w∗(t0, x0) − φ(t0, x0) = 0 , luego existeε > 0 tal que −ε > (w∗ − φ)(t, x),∀(t, x) ∈ ∂Br(t0, x0).

3. φ(t, x) > u(t, x) + ε,∀(t, x) ∈ B(t0, x0). Como u es una sub-solucion, entoncesu− φ alcanza un maximo local en (t0, x0).

(u− φ)(t0, x0) > (u− φ)(t, x) , ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

Luego, dado que w∗(t0, x0) > u(t0, x0) implica (w∗ − φ)(t0, x0) > (u − φ)(t0, x0),se sigue

(w∗ − φ)(t0, x0) > (u− φ)(t, x) , ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

Ademas tenemos que w∗(t0, x0) = φ(t0, x0), por tanto

0 > (u− φ)(t0, x0) > (u− φ)(x), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

Implica que existe un ε > 0 tal que

−ε > (u− φ)(t0, x0) > (u− φ)(t, x), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

En efecto sumemos, φ(t, x)

−ε+ φ(t, x) > u(t, x), ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

Lo que implica

φ(t, x) > u(t, x) + ε, ∀(t, x) ∈ Br(t0, x0).

A continuacion, definamos

z(t, x) =

w(t, x), si x ∈]0, T [×Ω \Br(t0, x0).

mınw(t, x), φ− ε, si x ∈ Br(t0, x0).

Probemos que z ∈ Γ . Entonces por (3), tenemos que z > u, luego u 6 z 6 w, portanto u 6 z 6 v. Mostremos que z∗ es una super-solucion de (6.0.1). Sea ψ una funcionde clase C1(]0, T [×Ω), tal que z∗ − ψ posee un mınimo local en (t1, x1) ∈]0, T [×Ω.Si z(t, x) = w(t, x), entonces z∗(t, x) = w∗(t, x). Luego w∗ − ψ posee un mınimo localen (t1, x1) y

ψt(t1, x1) +H(x1, z∗(t1, x1), Dψ(t1, x1)) > 0.

Dado que w∗ es una super-solucion de (6.0.1). Por otro lado, si z(x) = φ − ε, implica

que z∗(t1, x1) < w∗(t1, x1) y por la misma definicion de z note que (t1, x1) ∈ Br(t0, x0).Es claro que z∗ = φ − ε, seguidamente por (2) se tiene que (t1, x1) ∈ Br(t0, x0), en

73

efecto z∗(t1, x1) < w∗(t1, x1) implica que −ε < (w∗ − φ)(t1, x1). Mas aun (φ − ε) − ψposee un mınimo local en (t1, x1), tambien Dφ(t1, x1) = Dψ(t1, x1) y por (1),

ψt(t1, x1) +H(x1, z∗(t1, x1), Dψ(t1, x1)) > 0.

Por tanto hemos probado que z∗ es una super-solucion de (6.0.1) y z ∈ Γ . Para finalizarprobemos que z 6= w. Es evidente que φ(t0, x0)−ε < φ(t0, x0), por tanto φ(t0, x0)−ε <w∗(t0, x0), luego existe un η > 0 tal que (φ(t0, x0) − ε) + η < w∗(t0, x0) − η. Porla definicion de w∗(t0, x0) existe una sucesion (tn, xn)n∈N convergente a (t0, x0), talque w(tn, xn) → w∗(t0, x0), luego ∀ε > 0, ∃r1 > 0, ‖(tn, xn) − (t0, x0)‖ < r1 tal quew(tn, xn) > w∗(t0, x0)− η. Ademas, por la definicion de z y como (tn, xn) ∈ Br(t0, x0),para todo n ∈ N, se sigue que z(tn, xn) 6 φ(tn, xn)− ε, adicionalmente (φ(tn, xn)− ε)converge a (φ(x0)− ε), lo que implica ∀ε > 0, ∃r2 > 0, ‖(tn, xn)− (t0, x0)‖ < r2 tal que(φ(tn, xn) − ε) < (φ(t0, x0) − ε) + η. Luego, para r0 = mınr1, r2 se tiene que existeun k ∈ N tal que (tn, xn) ∈ Br0(t0, x0), ∀n > k. Entonces

z(tn, xn) 6 (φ(tn, xn)− ε) < (φ(t0, x0)− ε) + η < w∗(t0, x0)− η < w(tn, xn).

Por tanto z(tn, xn) < w(tn, xn), ∀n > k. Como se probo que z ∈ Γ , z 6 w y z 6= w, estocontradice la definicion de w por haber supuesto que (6.1.1) se satisfacıa. Por tanto w∗

es una sub-solucion y ası w es la solucion viscosa discontinua de (6.0.1).

6.2. Existencia de una solucion viscosa continua

Definicion 6.2. Sea Φ :=]0, T [×Ω. Se dice que la ecuacion (6.0.1) verifica el princi-pio de comparacion en Φ, si para toda sub-solucion viscosa u, para toda super-solucionviscosa v de (6.0.1) y si u 6 v en ∂Φ entonces u 6 v en Φ.

Por abuso de notacion, la desigualdad u 6 v en ∂Φ, la podemos expresar comosigue

lım supz′→x, z′∈Φ

u(z′) 6 lım infz′→x, z′∈Φ

v(z′) , ∀z ∈ ∂Φ.

Ahora estudiaremos el problema de Dirichlet para la ecuacion (6.0.1). Sea g : ∂Φ→ R,una funcion continua.

Corolario 6.1. Suponga que la ecuacion (6.0.1) verifica el principio de comparacionen Φ. Suponga igualmente que existe una aplicacion u y v tales que

u es una sub-solucion de (6.0.1) y

lımz′→z, z′∈Φ

u(z′) = g(z), ∀z ∈ ∂Φ.

v es una super-solucion de (6.0.1) y

lımz′→z, z′∈Φ

v(z′) = g(z), ∀z ∈ ∂Φ.

Entonces existe una unica solucion viscosa w de la ecuacion (6.0.1) tal que w = g en∂Φ.

74

Demostracion. Por el metodo de Perron, construimos una solucion viscosa discontinuaw tal que u 6 w 6 v. Mostremos a continuacion que en la frontera de Φ, w∗ = w∗ = g.En efecto para toda z ∈ ∂Φ. Notemos primero que w∗ 6 w∗, entonces

g(z) = lımz′→z, z′∈Φ

u(z′) 6 lım infz′→z, z′∈Φ

w(z′) 6 w∗(z).

w∗(z) 6 lım supz′→z, z′∈Φ

w(z′) 6 lımz′→z, z′∈Φ

v(z′) = g(z).

Lo que implica que w∗ = w∗ en ∂Φ. Como w∗ es una super-solucion y w∗ es unasub-solucion, ademas w∗ = w∗ en ∂Φ. Entonces por el principio de comparacion setiene que w∗ > w∗, asimismo recuerde que w∗ 6 w∗ es siempre verdadera, por tantow∗ = w∗, luego w es una solucion viscosa continua. Para probar la unicidad, sean w1

y w2 dos soluciones distintas del problema de Dirichlet, entonces w1 y w2 son sub ysuper-soluciones viscosas, ademas w1 = w2 en la frontera de Φ, luego por el principiode comparacion w1 6 w2 y w2 6 w1, es decir w1 = w2 en Φ. Esto contradice nuestrasuposicion, por tanto el problema de Dirichlet tiene una unica solucion viscosa.

75

Capıtulo 7

Principio de comparacion:parabolicas

Para garantizar la existencia de una solucion continua en ecuaciones parabolicas nolineales de primer orden demostraremos el principio de comparacion. Nuevamente nosenfatizaremos en encontrar la solucion a la ecuacion

ut(t, x) +H(x, u(t, x), Du(t, x)) = 0, (t, x) ∈]0, T [×Ω. (7.0.1)

Donde Ω es un conjunto abierto acotado y H : Ω × R×]0, T [×RN → R satisface lashipotesis siguientes:Supongamos que existen dos constantes γ > 0 y C > 0, tales que

i) H(x, s1, p)−H(x, s2, p) > γ(s1 − s2) si s1 > s2 ,∀(x, s1, s2, p) ∈ Ω× R× RN .

ii) |H(x, s, p)−H(y, s, p)| 6 C(1 + ‖p‖)‖y − x‖, ∀(x, y, s, p) ∈ Ω× R× RN .

Antes de enunciar el siguiente teorema, definamos una funcion wε, sean u y v fun-ciones semicontinuas superior e inferiormente, entonces para todo ε > 0 y para todo(t, x, s, y) ∈]0, T [×Ω×]0, S[×Ω, sea

wε(t, x, s, y) = u(t, x)− v(s, y)− 1

ε2‖(t, x)− (s, y)‖2. (7.0.2)

Es claro que wε es SCS en ]0, T [×Ω×]0, S[×Ω, pues es la suma de funciones semiconti-nuas superiores. Para prolongar la funcion (7.0.2) al compacto [0, T ]× Ω× [0, S]× Ω,la escribiremos de la siguiente manera

wε(t, x, s, y) = lım sup(t′,x′,s′,y′)→(t,x,s,y) , (t′,x′,s′,y′)∈]0,T [×Ω×]0,S[×Ω

wε(t′, x′, s′, y′).

Para todo (t, x, s, y) ∈ ∂(]0, T [×Ω×]0, S[×Ω). Note que ∀ε > 0; wε alcanza maximosen (tε, xε, sε, yε), pues wε es SCS y esta definida en un conjunto compacto.

Lema 7.1. Sea (tε, xε, sε, yε) un maximo de wε en [0, T ]× Ω× [0, S]× Ω. Entonces

1. lımε→0+ wε(tε, xε, sε, yε) = M, donde M = sup(t,x)∈]0,T [×Ω(u− v).

2. lımε→0+2ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2 = 0

3. Existen θ > 0 y ε0 > 0 tales que, para todo ε ∈ (0, ε0), d∂Ω(tε, xε) > θ yd∂Ω(sε, yε) > θ.

76

Demostracion: Sea (tε, xε, sε, yε) ∈ [0, T ]× Ω× [0, T ]× Ω, tal que

wε(tε, xε, sε, yε) = max[0,T ]×Ω×[0,T ]×Ω

wε(t, x, s, y),

notemos comoMε = wε(tε, xε, sε, yε),

ademas es posible la desigualdad

Mε > sup(t,x)∈]0,T [×Ω

wε(t, x, t, x).

Por comodidad llamemos

M = sup(t,x)∈]0,T [×Ω

wε(t, x, t, x).

Dado que u, −v son SCS en el compacto de la forma [0, T ] × Ω por tanto u y −valcanzan maximos, es decir

u(t, x) 6 u(t0, x0),∀(t, x) ∈ [0, T ]× Ω;

−v(s, y) 6 −v(s0, y0),∀(s, y) ∈ [0, S]× Ω.

Entonces

u(t, x)− v(s, y)) 6 u(t0, x0)− v(t0, y0), ∀(t, x, s, y) ∈ [0, T ]× Ω.

Sea λ = u(t0, x0)− v(s0, y0) y como M 6Mε. Por tanto se sigue que

M 6 u(tε, xε)− v(sε, yε)−1

ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2,

6 λ− 1

ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2.

Esto implica que1

ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2 6 λ−M. (7.0.3)

Entonces sea K = λ−M , donde K > 0. Luego

1

ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2 6 K.

Ahora tome εn = 1n, puesto que [0, T ]×Ω es compacto; entonces existe una sub-sucesion

(tεk , xεk) ⊂ [0, T ] × Ω que converge hacia (t0, x0) ∈ [0, T ] × Ω. De la misma manera[0, S]×Ω es compacto, luego existe una sub-sucesion (sεk , yεk) ⊂ [0, S]×Ω que convergehacia (s0, y0) ∈ [0, S]×Ω. Note que εn > 0 y lımn→∞ εn = 0. Por simplicidad escribamosε en vez de εn, por tanto ε→ 0, cuando n→∞. Entonces

‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2 6 ε2K 6 εK

Cuando, ε→ 0

‖(t0, x0)− (s0, y0)‖2 6 0.

77

Por tanto

‖(t0, x0)− (s0, y0)‖2 = 0⇒ ‖(t0, x0)− (s0, y0)‖ = 0,

⇒ (t0, x0) = (s0, y0).

Luego

0 6 lım infε→0+

‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2

ε26 lım sup

ε→0+

‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2

ε2

6 lım supε→0+

(u(tε, xε)− v(tε, yε))−M

6 lım supε→0+

u(tε, xε) + lım supε→0+

(−v(tε, yε))−M

6 u(t0, x0)− v(s0, y0))−M.

Por la definicion de M , es inmediata la desigualdad siguiente

M > u(t0, x0)− v(t0, x0)⇒ (u− v)(t0, x0)−M 6 0.

Ası podemos concluir que

lımε→0+

‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2

ε2= 0.

En efecto hemos probado 2; pasemos a probar 3. Por la definicion de ε tome ε0 = sup εy como ınf ε = 0 se sigue que ε ∈ (0, ε0). Ahora la funcion d0,T×∂Ω, es la funciondistancia de la frontera de ]0, T [×Ω hacia el interior del conjunto; recordemos que estafuncion es continua y esta definida en un compacto, ademas d0,T×∂Ω(tε, xε) > 0 paratodo (tε, xε) ∈]0, T [×Ω, todo esto implica la existencia de un numero real θ > 0 talque d0,T×∂Ω(tε, xε) > θ y d0,S×∂Ω(sε, yε) > θ, para todo ε ∈ (0, ε0). Para finalizarprobemos que

lımε→0+

wε(tε, xε, sε, yε) = M.

Tenemos que M 6Mε, ∀ε ∈ (0, ε0), ademas se tiene que

lımε→0+

u(tε, xε) = u(t0, x0) y lımε→0+

v(sε, yε) = v(t0, x0).

En efecto por (7.0.3) y dado que Mε −M > 0. Entonces

0 61

ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖2

6 u(tε, xε)− v(sε, yε)−M.

En consecuencia

v(sε, yε) 6 u(tε, xε)−M.

Dado que v es SCI y u es SCS, (t0, x0) es un mınimo de v y un maximo de u. Entonces

v(t0, x0) 6 lım infε→0+

v(sε, yε) 6 lım infε→0+

u(tε, xε)−M

6 lım supε→0+

u(tε, xε)−M

6 u(t0, x0)−M.

78

Al restar u(t0, x0) y sumar M a las expresiones anteriores, se tiene que

0 6 (−u+ v)(t0, x0) +M

6 lım infε→0+

u(tε, xε)− u(t0, x0)

6 lım supε→0+

u(tε, xε)− u(t0, x0)

6 0.

Podemos afirmar que, lımε→0+ u(tε, xε) = u(t0, x0). Por otra parte

v(t0, x0) 6 lım infε→0+

v(sε, yε) 6 lım supε→0+

v(sε, yε)

6 lım supε→0+

u(tε, xε)−M

6 u(t0, x0)−M.

Si restamos a estas expresiones v(t0, x0), se tiene que

0 6 lım infε→0+

v(sε, yε)− v(t0, x0)

6 lım supε→0+

v(sε, yε)− v(t0, x0)

6 (u− v)(t0, x0)−M6 0.

Luego, lımε→0+ v(sε, yε) = v(t0, x0). Es inmediato el siguiente lımite

lımε→0+

Mε = u(t0, x0)− v(t0, x0).

Esto implica que M 6 lımε→0+ Mε 6M , que no es mas que el resultado requerido.

Teorema 7.1. Si u es una sub-solucion de (7.0.1) y v una super-solucion de (7.0.1),y si u 6 v en 0, T × ∂Ω entonces u 6 v en ]0, T [×Ω.

Demostracion: La demostracion de este principio se resuelve por el absurdo. Suponga-mos que existe un punto (t, x) ∈]0, T [×Ω tal que u(t, x) > v(t, x). Entonces considera-remos que

M = sup(t,x)∈]0,T [×Ω

(u− v)(t, x) > 0.

Notemos que el sup es en realidad el maximo, puesto que ]0, T [×Ω es acotado y lafuncion u − v es SCS y negativa en la frontera de ]0, T [×Ω. En efecto −v es SCS yu+(−v) es SCS, ademas notemos que [0, T ]×Ω =]0, T [×Ω∪0, T×∂Ω, luego [0, T ]×Ωes acotado y cerrado por tanto es un conjunto compacto; en efecto u − v alcanza unmaximo en [0, T ]× Ω. Puesto que para algun (t, x) ∈]0, T [×Ω,

(u− v)(x)(t,x)∈]0,T [×Ω > (u− v)(t, x)(t,x)∈0,T×∂Ω, ∀(t, x) ∈ 0, T × ∂Ω,

podemos concluir que existe un punto (t0, x0) en ]0, T [×Ω donde u − v alcanza unmaximo. Si consideramos que u y v son de clase C1(]0, T [×Ω), entonces la demostra-cion es inmediata. En efecto, para todo punto (t0, x0) maximo de u − v, se tiene queDu(t0, x0) = Dv(t0, x0) y ut(t0, x0) = vt(t0, x0). Como u es una sub-solucion de (7.0.1),entonces

0 > ut(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Du(t0, x0)),

79

y v es una super-solucion de (7.0.1), se tiene la siguientes equivalencia

0 > −vt(t0, x0)−H(x0, v(t0, x0), Dv(t0, x0)).

Entonces

0 > ut(t0, x0) +H(x0, u(t0, x0), Du(t0, x0))− vt(t0, x0)−H(x0, v(t0, x0), Dv(t0, x0)).

Puesto que ut(t0, x0) = vt(t0, x0); por hipotesis se tiene que

0 > H(x0, u(t0, x0), Du(t0, x0))−H(x0, v(t0, x0), Dv(t0, x0)) > γ(u(t0, x0)− v(t0, x0)).

Esto contradice que γ > 0, es decir la propiedad i). Por otra parte si las funciones uy v no pertenecen al conjunto C1(]0, T [×Ω), entonces como wε alcanza un maximo enun punto (tε, xε, sε, yε) ∈]0, T [×Ω×]0, S[×Ω, sea

φ(t, x) = v(sε, yε) +1

ε2‖(t, x)− (sε, yε)‖2,

luego (u − φ)(tε, xε) alcanza un maximo en (tε, xε) y como u es una sub-solucion.Entonces

φt(tε, xε) + (H(xε, u(tε, xε),2

ε2((tε, xε)− (sε, yε))) 6 0.

Notemos que Dφ(tε, xε) = 2ε2

((t, x)− (sε, yε)). De la misma forma, sea

ψ(s, y) = u(tε, xε) +1

ε2‖(tε, xε)− (s, y)‖2,

donde (sε, yε) es un mınimo de (v−ψ)(sε, yε), ademas Dψ(sε, yε) = 2ε2

((tε, xε)−(sε, yε))y dado que v es una super-solucion se tiene que

ψt(sε, yε) +H(yε, v(tε, yε),2

ε2((tε, xε)− (sε, yε))) > 0.

A continuacion, probemos que ψs(sε, yε) = φt(tε, xε). Entonces

φt(t, x) =2

ε2‖(t, x)− (sε, yε)‖

∂

∂t‖(t, x)− (sε, yε)‖,

ψs(s, y) =2

ε2‖(tε, xε)− (s, y)‖ ∂

∂s‖(tε, xε)− (s, y)‖.

Al evaluar (tε, xε) en φt(t, x) y (sε, yε) en ψs(s, y). Tenemos

φt(tε, xε) =2

ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖

∂

∂t‖(tε, xε)− (sε, yε)‖,

ψs(sε, yε) =2

ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖

∂

∂s‖(tε, xε)− (sε, yε)‖.

Esto implica, φt(tε, xε)− ψs(sε, yε) = 0. Luego

H(yε, v(sε, yε),2

ε2((tε, xε)− (sε, yε)))−H(xε, u(tε, xε),

2

ε2((tε, xε)− (sε, yε))) > 0.

Ademas se tiene que Mε > 0, por tanto se sigue que

0 6 u(tε, xε)− v(sε, yε)−1

ε2‖(tε − xε)− (sε, yε)‖2 6 u(tε, xε)− v(sε, yε).

80

Lo que implica que

0 6 u(tε, xε)− v(sε, yε) ⇒ v(sε, yε) 6 u(tε, xε).

Escribamos Qε = (tε, xε)− (sε, yε). Por tanto

H(yε, v(sε, yε),2

ε2Qε)−H(xε, v(tε, xε),

2

ε2Qε)− γ(u(tε, xε)− v(sε, yε)) > 0.

Entonces

C(1 +2

ε2‖(tε, xε)− (sε, yε)‖)‖(tε, xε)− (sε, yε)‖ − γMε > 0.

Cuando ε → 0+, se tiene que Mε → M y que 2ε2

(‖(tε, xε) − (sε, yε)‖) → 0. Entoncestenemos que

−γM > 0.

Pero M,γ > 0, ası hemos llegado nuevamente a una contradiccion, de esta forma hemosprobado este teorema.

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universidad central del ecuador · 2018. 9. 3. · abstract finding weak solutions to problems...

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