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Universidad de Ciencias
de la Informática
Escuela de Ingeniería
2001
Profesores:
José Daniel Munar Andrade
Aurora Jerez Alvial
UCINF Universidad de Ciencias de la Informática Profesores: Daniel Munar Andrade
Escuela de Ingeniería Aurora Jerez Alvial
Carrera de Ing de Ejecución en Informática ALGEBRA LINEAL
2
Introducción.
Campos o Cuerpos Conmutativos
Definición :
(k, +, ·) es un campo si y sólo si , φ≠k es decir, k es un conjunto no
vacío y (+) y ( · ) , son operaciones binarias internas en k tales que:
A) (k, +) es GRUPO ABELIANO
M) { }( )·,0 - k es GRUPO ABELIANO, donde o es el neutro de +.
D) ( ) k. c b, a, c, . a b . a cb . ∈∀+=+a (DISTRIBUIDAD de · respecto a +).
Tengase presente que (+) se llamará adición o primer operación de
( ). , , +k y ( · ) se llamará multiplicación o segunda operación de ( ). , , +k ,
además :
a) El neutro aditivo, es decir, el neutro de + se designará por O.
b) El neutro multiplicativo se designará por 1.
c) El inverso multiplicativo de 0, a , ≠a se denotará por a
1por ,1−a
d) La adición ( )ba −+ se derrotará por ba −
1.- ( ). , +lR es el campo de los números reales y satisface:
IR b a, a, b b a :1 ∈∀+=+A (conmutatividad)
( ) ( ) IR c b, a, ,ba : 2 ∈∀++=++ cbacA (asociatividad)
IR a a,0 a que talIR o ! : 3 ∈∀=+∈∃A (elemento neutro)
( ) ( ) 0a-a que talIR a- !, IR a :4 =+∈∃∈∀A (elemento inverso)
IR b a, a,bba :1 ∈∀⋅=⋅M (conmutativadad)
( ) ( ) IRcbacbcM ∈∀⋅=⋅⋅ ,,,ba :2 (asociatividad)
IR a a,1a que talo 0 1 ! :3 ∈∀=⋅≠∃M (elemento neutro)
1aa que talIR a ! 0,a IR, a : -1-1
4 =⋅∈∃≠∈∀M (elemento inverso)
( ) acbaD +⋅=+⋅ cba : (distributividad)
2.- ( ). , , +Q es el campo de los números racionales, donde:
{ }
Ζ∈= 0 - a / b
aQ con:
Qd
c
bd
cbda
d
c
b
a∈∀
⋅+⋅=+ ,
b
a ,
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3
Qd
c
b
a
db
ca
d
c
b
a∈∀
⋅⋅
=⋅ ,,,
Si d
c
b
a= entonces bcad = y recíprocamente, pero
d
c
b
a= no
significa dby == ca
En ⋅+ , ,Q tenemos que:
i) { }0- ,0
0 Ζ∈∀= aa
es el neutro aditivo
ii) { }0,1 −Ζ∈∀= aa
a, es el neutro multiplicativo
iii) El inverso aditivo de Qb
a
b
a∈∀,
b
a- es
iv) El inverso multiplicativo de { }0, −∈∀ Qa
b
a
bes
b
a
3.- ( ),.,+C es el campo de los números complejos donde: ( ){ }IRyxyxC ∈= ,/,, con las operaciones binarias internas definidas por:
( ) ( ) ( )dbcadcA ++=+ , ,ba, :) IRdcba ∈∀ ,,,
( ) ( ) ( )bcadbdacdcM +−=⋅ ,,ba, :) IRdcba ∈∀ ,,,
a) El neutro aditivo en C es (0,0)
b) El neutro multiplicativo en ( )1,0 es C
c) El inverso aditivo de ( ) ( ){ }0,0- Cen ,ba es
++ 2222 a
b-
bba
a
Ejercicio:
Calcule explícitamente lo dicho anteriormente, en ( )⋅+,,C
4.- Si R es la relación definida en Z por:
b - a b R ⇔a es divisible por p, p número primo, entonces R es una
RELACION DE EQUIVALENCIA en Z. Luego induce una partición de Z en clases
de equivalencia, que forma el conjunto cuociente que se denota por ,pZ y
cada clase de equivalencia de denota por a por [ ]a , por aC
Así, es fácil ver que:
[ ] { }ppor divisible es /00 xIRx∈==
[ ] { }ppor divisible es 1/11 −∈== xIRx
[ ] { }ppor divisible es 2/22 −∈== xIRx
.
.
.
[ ] ( ){ }ppor divisible es 1/11 −−∈=−=− pxIRxpp
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Además: ,....33p ,22p ,11,0 =+=+=+= pp por lo tanto: { }1-p ,,.........2,1,0=Zp
Si definimos en Z la “adición” y “multiplicación”, como sigue:
baba p +=+ primo p ,, Zba ∈∀ y baba ⋅=⋅p primo p ,, Zba ∈∀ , entonces
( )pppZ ,., + es un campo
Analicemos el caso particular en que 3=p .Tenemos { }2,1,03 =Z
3+ 0 1 2 3+ 0 1 2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 2 0 1 0 1 2
2 2 0 1 2 0 2 1
De las tablas de doble entrada se deduce que:
A) ( )33 +Z es GRUPO ABELIANO, donde:
0 es el neutro aditivo
1 es el inverso aditivo de 2
2 es el inverso aditivo de 1
0 es el inverso aditivo de 0 Además por simetría respecto a la diagonal de la tabla se observa que
3+ es conmutativa
Ejercicio:
Verifique la asociatividad
M) { }( )33 . ,0−Z es GRUPO ABELIANO, pues:
1 es el neutro multiplicativo
2 es el inverso multiplicativo de 2
1 es el inverso multiplicativo de 1
1 aconmutativ es .21 . 22 . 333 ⇒==
( )
( ) 1111 12. 2. 1
12. 22.2 . 13
333
333 =⋅⇒
=⋅=
==
D) La distributividad de 3⋅ respecto a 3+ se deja de ejercicio
Tarea:
Verificar que ,........, Z, 752 ZZ son campos con las operaciones respectivas y
que ,......,, 864 ZZZ no lo son.
NOMENCLATURA:
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Los elementos pertenecientes a un campo los llamaremos ESCALARES.
Nótese que en ( )⋅+ , ,IR los campos escalares son los números usuales, pero
en ( )p, . ,ppZ + los escalares son “clases de equivalencia”
CAPITULO I
Matrices y Sistemas Lineales
Comenzaremos analizando un problema familiar que servirá como
motivación de mucho de lo que seguirá: Todos estamos familiarizados con
el problema de encontrar solución (o solucionar) de un sistema de
ecuaciones lineales por ejemplo, el sistema
0=−+ zyx
( )1.132 =+− zyx
14523 =+− zyx
tiene como única solución 3,z 2,y ,1 ===x como se puede comprobar. La
mayoría de las técnicas casi inmanejables si el número de incógnitas es
grande y los coeficientes no son enteros. Es usual hoy día para los
científicos encontrar sistemas como (1.1) que contienen cientos de
ecuaciones con cientos de incógnitas. Aún empleando las más eficientes
técnicas conocidas, debe usarse una gran cantidad de aritmética para
resolver dicho sistema. El desarrollo de computadoras de alta velocidad
en los últimos 20 años ha hecho posible la solución de tales problemas.
Usando geometría analítica tridimensional se puede dar una
fructífera interpretación geométrica al sistema (1.1). como cada una de
las tres ecuaciones representa un plano, normalmente se podría espera r
que los tres planos se intersectarán en un punto, en nuestro caso en el
punto (1, 2, 3). Nuestro punto de vista geométrico sugiere que este no
será siempre el caso para tales sistemas, ya que pueden darse los dos
casos siguientes:
1.- Dos de los planos podrían ser paralelos, en cuyo caso podrían no
haber puntos comunes a los tres planos y por lo tanto el sistema no
tendría solución.
2) Los planos podrían intersectarse en una recta y por lo tanto, el
sistema tendría infinitas soluciones.
El primer caso especial puede ilustrarse en el sistema obtenido de
(1.1) reemplazando la tercera ecuación por la ecuación 52 =+− zyx
El segundo caso especial se pude ilustrar reemplazando la tercera
ecuación de (1.1) por la ecuación 1=+− zy
Generalizando el sistema (1.1) podemos considerar:
1n1212111 x........... x x baaa n =+++
2n2222121 x........... x x baaa n =+++
. (1.2)
.
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nmnmm baaa =+++ n2211 x.......... x x
donde las 1a y los 1b son constantes conocidas y los 1x son las
incógnitas, de modo que tenemos m ecuaciones son n incógnitas.
Las preguntas que nos interesan respecto al sistema (1 . 2) son:
1. Existen soluciones?
2. Si existen solución ¿es única?
3. Cómo se encuentran las soluciones?
Con el propósito de responder estas interrogantes procederemos a
definir MATRICES y a continuación veremos como se relacinan con los
sistemas de ecuaciones lineales.
MATRICES
Definición:
Un matriz sobre un cuerpo K es un arreglo rectangular de elementos de K. Así, ( )KMmxn
denotará el conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con elementos en K, y
( )10a denotará una matriz de ( )KMmxn si n. 2,... 1,jy m ,........,2 ,1 ==i
Luego ( ) ( )KMa mxn∈10 indica que
( )nj
mi
aaa
aaa
aaa
a
mnmm
n
n
...,2,1
...,2,1,
......
.
.
.......
.......
21
22221
11211
10 =
=
=
es una matriz de m fijas y n columnas. 10a indica un elemento de K, ubicado
en la fila i, columna j
También es usual denotar las matrices por las letras A, B, C,
....., X, Y, Z.
Ejemplo:
( ) ( ) ( )IRMaaa
aaaIRMa xx 32
232221
131211
3210 ∈
⇔∈
( )
=⇔∈
232221
131211
32aaa
aaaAIRMA x
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Definición:
( )KMA mxn∈ se llamará matriz de orden mxn sobre k.
Definición
Igualdad de Matrices: Sean ( ) ( ) ( )KMa mxn∈1010 b , . Diremos que estas
matrices son iguales si:
n2,......, ,1
,.......,2 ,11010
=∀
=∀==
j
i mba
o bien:
⇔
=
mnmm
n
n
mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
...
.
.
...
....
......
.
.
......
......
21
22221
11211
21
22221
11211
,...2111
22222121
,.....1212,1111
,
.
,..,
mmmm baba
baba
baba
==
==
==
Convención:
1.- Si ( )KA mxnM ∈ diremos que A es una “matriz cuadrada” y el conjunto
de dichas matrices se denotará sólo por ( )KM n así:
( ) IRaaa
aaAIRMA ∈
=⇔∈ 10
2221
1211
2 ,
2.- Si ( )KMA mx1∈ entonces:
,.
1
21
11
=
ma
a
a
A se denotará simplemente por
=
ma
a
a
A.
2
1
esto es, usaremos un
solo índice para designar los elementos de ( )KM mx1
3.- Si ( ) ( )AFKMA mxn 1:∈ denotará la i-ésima de la matriz A, así
( ) ( )naaaAF 112111 ,......,,= Además, ( )AC j denotará la j-ésima columna de la
matriz A.
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Así:
( )
=
mj
j
j
j
a
a
a
AC.
2
1
Las matrices surgen naturalmente en el estudio de sistemas lineales
con (1.2) con 3 2 == nym
2323222121
1313212111
x
bxaxaxa
bxaxaa
=++
=++ (1.3)
Con el sistema (1.3) asociaremos la matriz de coeficientes de 2x3:
=
232221
131211
aaa
aaaA
así como la matriz de las incógnitas de 3 x 1
=
3
2
1
x
x
x
x
y la matriz de constantes de 2 x 1:
=
2
1
b
bB
Luego podemos convenir en abreviar el sistema (1.3) como:
BAX = (1.4)
Ahora en (1.3) hagamos la sustitución determinada por:
2321313
2221212
2121111
y
ydydx
dydx
ydydx
+=
+=
+=
(1.5)
que se puede escribir en forma abreviada como:
,DYX =
donde:
=
3231
2221
1211
dd
dd
dd
D y
=
2
1
y
yY (1.5)
Un cálculo directo, fácil d verificar, nos da el sistema:
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2222121
1212111
bycyc
bycyc
=+
=+ o CY = B (1.6)
donde
=
2221
1211
cc
ccC , con
32232222122122
31232122122121
32132212121112
31131212111111
dadadac
dadadac
dadadac
dadadac
++=
++=
++=
++=
En términos de las abreviaciones (1.4) y (1.5’), tenemos:
( ) ,, BCYDYADYXBAX ====
de modo que tenemos fuertes motivaciones para definir la matriz C como el
producto de las matrices A y D. Nótese que para hacer nuestra
sustitución que motivó este definición de producto de matrices es
esencial que el número de filas de D sea igual al número de columna de A.
Más aún, observamos que 11c está calculada con los elementos de
( )AF1 y ( )DC1 y 22c con los elementos de ( ) ( )DCyAF 22
Formalizaremos lo anterior como sigue:
Definición:
Sea ( )KMA mxn∈ y ( )KMB nxp∈ . El producto AB está definido como
( ) ( )KMcC mxp∈= 10
Donde:
( ) ( ) ( )naaaBAc 112110110 ,....., ,C F ==
0
20
10
.
nb
b
b
(1.6)
o bien 01201210110
1
110 .... nnk
n
k
k babababac +++== ∑=
Ejemplo: Sean
−=
−=
01
10
23
,154
01 2BA . Calcular AB y BA
De la definición tenemos:
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10
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−
−
=
=
0
1-
2
1 5 4
1
0
3
1 5 4
0
1-
2
0 1 2
1
0
3
0 1 2
C ?
2212
2111
BCAFBCAF
BAFBCAFAB
+−+++
+−−++−+=
0.11.5 2.41.10.5 3.4
0.01.12.21.00.13.2
=
313
56
Análogamente
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
A BA BA BF
A C
C C
332313
322212
312111
CFCFC
CBFACBFABF
ABFACBFABF
BA
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
1
0 0 1
5
1- 0 1
4
2 0 1
1
0 1- 0
5
1- 1- 0
4
2 1- 0
1
0 2 3
5
1- 2 3
4
2 2 3
++−+
−+−+−−+
++−+
=
1.0 0.15.0 1.14.02.1
1.10.05.11.04.12.0
1.2 0.35.2 1.34.22.3
=
0 22
-104-
0 714
Hay varias cosas acerca de la multiplicación de matrices que debemos
enfatizar Si ( ) ( ),K y pxqmxn MBKMA ∈∈ entonces :
1º AB está definida ssi n = (# columnas de A) = (# filas de B) = p, y en
este caso ( )K mxqMAB∈ .
2º Si AB está definida, B puede o no estar definida. BA está definida
ssi (# columnas de B) =q=m= (# filas de A) y en este caso
( )KMBA qxn ∈
3º Aún si AB y BA están definidas, es posible que no sean iguales (ver
ejemplo anterior).
4º Es posible que BAAB = están definidas, es posible que no sean
iguales (ver ejemplo anterior).
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11
5º Aún siendo A y B cuadradas y del mismo orden no necesariamente se
tiene que AB=BA, ya que si
=
=
86
75
42
31ByA se tiene:
=
=
5022
4319
4634
3123BAyAB
Más aún:
=
−−
00
00
41
4 2
63
21
mientras que
−−=
−− 147
28 14
63
21
21
4 2
Es importante observar que AB y BA no son siempre diferentes. Por
ejemplo, si:
i)
−
−
=
2 -11
-12 1
1 12
A y
−
−−
−
=
6 55
56 5
5 56
B , entonces
−
−−
−
=
22 2121
2122 21
21 2122
AB y ABBA =
−
−−
−
=
22 2121
2122 21
21 2122
ii)
−
−=
=
6 3
36
12
21ByA entonces BAAB =
=
09
90
Un serio problema en teoría de matrices es encontrar todas las matrices B
que conmuta con un matriz dada A.(A y B CONMUTA ssi AB=BA)
6º Si ( ),KMA n∈ se definen las potencias de A como:
. ......, , , . 1232 AAAAAAAA n−==
Teoremas 1.1: Sean ( )10aA = , ( )10bB = , ( )1kcC = tres matrices
arbitrarías. Entonces:
( ) ( )BCACAB = .Es decir, la multiplicación de matrices es asociativa.
Demostración:
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12
Supongamos que ( ) ( )KMBKMA nxpmxn ∈∈ , y que ( )KMC pxq∈ , de modo que
todos los productos estén definidos y ( ) ( ) ( ) ( )KMBCAKMCAB mxqmxq ∈∈ , .
Será suficiente probar la igualdad del ( )[ ] ( )[ ]BCAelemCABelem 1010 y , los
elementos de la posición ( ) ( )BCACABji y de , , respectivamente.
Usando la definición ( )'6.1 , tenemos:
( )[ ] ( ) ( )∑=
=P
K
K CelemABelemCABelem1
01010
( ) ( ) ( )∑ ∑= =
=
n
k
k
p
k
rkr celemBelemAelem1
0
1
1
( ) ( ) ( )( )∑ ∑= =
=n
r
krkr CelemBelemAelem1
p
1k
01
( ) ( ) ( )∑ ∑= =
=
n
r
krkr CelemBelemAelem1
p
1k
01
( ) ( )∑=
=n
r
rr BCelemAelem1
01
( )[ ]BCAelem10=
Se ha usado la asociatividad de los escalares y el hecho de que por
ser todas sumas finitas se puede intercambiar el orden de dichas sumas.
Sabemos, ahora, que la multiplicación de matrices no es conmutativa,
pero es asociativa y es natural preguntarse qué otras propiedades
multiplicativas de un campo satisface la multiplicación de matrices.
Responderemos parcialmente a esta pregunta, mostrando que existe
neutro multiplicativo: LA MATRIZ IDENTIDAD.
( )AelemA 1010 =
Esta notación es conveniente para matrices de nomenclatura complicada
tales como ( )CBA 32 + . En esta caso, ( )[ ]CBAlem 3210 + designará 10m donde
( )CBAM 32 +=
Adición De Matrices
Multiplicación Escalar
Definición:
Si ( )10aA = y ( )10bB = son matrices de mxn sobre el campo K, entonces
A + B se define como la matriz de ( )10 sSmxn = , donde 101010 bas +=
(1.7)
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13
Equivalentemente ( ) ( ) ( )BelemAelemBAelem 101010 +=+ (1 . 7)
Ejemplos:
1) Si
−−
−
=
05 9 10
7130
64 23
A y
−−
=
4297
5 3 10
8 6 42
B
entonces:
−
−=
−+−+++
++−+−+
+++−+
=+
43 1817
122 20
14102 5
40 25 99 710
5 7 3 11300
8 6 6 4 4223
BA
2) Si
−
=
00 7
64 0
523
A y
−
−−
−−
=
0 0 7
640
52 3
B , entonces
=+
000
000
000
BA , la matriz nula de 3x3
Nótese que:
1º La adición de matrices está definida sólo entre matrices del mismo
orden y la suma tiene el mismo orden que cada uno de sus sumandos.
2º Como la suma de dos matrices de mxn es otra matriz de mxn, se dice
que el conjunto de todas las matrices de mxn es cerrado respecto a
la adición, o que la adición de matrices es una operación binaria
interna en ( )KM mxn
Teorema 1.4 ( )( )+ ,KM mxn es un GRUPO ABELIANO
Demostración:
1.- Conmutatividad . Sean ( ) ( ) ( )KMbBaA mxn , 1010 ∈==
( ) ( ) ( )101010 sbaBA =+=+ , donde ,101010101010 absbas +=⇒+= pues Kba ∈1010 ,
.
El Anillo
De Las Matrices Cuadradas
Teorema 1.6
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14
( )( ),.,K +nM es un anillo no conmutativo con unidad.
Demostración: Consecuencia de las propiedades de matrices antes vistas.
Multiplicación De Matrices
Por Un Escalar
Definición:
Si KK ∈ y ( )KMA mxn∈ , donde K es un campo, entonces la
multiplicación por un escalar KA es la matriz de mxn definida por
( ) ( )AelemKKAelem 1010 = (1 . 8)
Ejemplo: Si
=
321
642A y
=
123
753B
entonces
( )
−
−−−+
=−+=−
3- 6- 9
21159
6 42
12843232 BABA
Teorema 1.7 Sean ( )KMBA mxn , , ∈ y . , K∈βα Entonces:
i) ( ) AAA βαβα +=+
ii) ( ) βααα +=+ ABA
iii) ( ) ( )AA βαβα =
iv) AA =1
v) 00 =A
vi) ( ) ( )ACCA αα = si ( )KMC nxp∈
Demostración: (Ejercicio)
Definición:
Si ( ) n
n xaxaxaaxp ++++= ......2
210 y A es cualquier matriz cuadrada,
entonces se define ( )Ap por: ( ) n
n AaAaAaaAp ++++= ....1 2
210
Ejercicio 2
1.- a) Para la matrices
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15
−
−=
−=
−=
2 342
2535
7 101
y ,-102
6 52,
435
02 1CBA
Verifique la distributividad por la derecha, esto es pruebe directamente
que ( ) BCACCBA +=+
b) ¿Es cierta la distributividad por la izquierda?
2.- a) Calcule IJJ 43 23 +− para
=
200
021
002
J
b) Utilizando la parte a), encuentre 1−J
3.- Si A y B son singulares ¿Es A+B no singular?
Si así lo es ¿será cierta que ( ) 111 −−− +=+ BABA
II.- Asociatividad
( ) ( ) ( ) ( )[ ]CBelemAelemCBAelem ++++ 101010 1
( ) ( ) ( ) ( )[ ]CelemBelemAelem 1010101 ++
( ) ( ) ( )[ ] ( )CelemBelemAelem 1010102 ++
( ) ( ) ( )CelemBAelem 10101 ++
( ) ( )[ ]CBAelem ++101
(1) : definición de adición
(2) : asociatividad en K
III.- Existe elemento neutro para la adición.
En efecto: 00 ssiAA =+ es la matriz nula
IV.- Cada matriz posee inverso aditivo
En efecto: ( ) ( ), , KMAKMA mxnmxn ∈−∃∈∀ donde ( ) ( ),1010 AelemAelem −=− tal
que ( ) 0=−+ AA
Luego ( )( )+,KM mxn es grupo abeliano.
Teorema 1.5
Si ( ) ( ) ( )101010 , , cCbBaA === son matrices. Entonces:
( ) BCACCBA +=+
y ( ) ,CBCABAC +=+
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16
aceptando que las adiciones y multiplicaciones están bien definidas.
Demostración:
Supongamos que ( ) ( ),y y KMCKMBA nxpmxn ∈∈ entonces AC + BC y
( ) ( )KMCBA mxp∈+ y para demostrar que son iguales basta probar que
( )[ ] [ ]BCACelemCBAelem +=+ 1010
De la definición de adición y multiplicación de matrices:
( )[ ] ( ) ( )∑=
+=+n
k
k CelemBAelemCBAelem1
10110
= ( ) ( ) ( )[ ]∑=
+n
k
kkk CelemBelemAelem1
011
= ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=
+n
k
kkkk CelemBelemCelemAelem1
0101
= ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =
+n
k
n
k
kkkk CelemBelemCelemAelem1 1
0101
= ( ) ( )BCelemACelem 1010 +
= [ ]BCACelem +10
4.- Pruebe que
∈
−= IRba
ab
baK ,/
es un campo compare este campo
con el campo de lo números complejos.
5.- Demuestre el teorema 1.7
6.- Para ( ) ( )SmxxxmS evalue 45y
2 11
12 1
1 12 2 +−=
−
−−
−
=
7.- Para ( ) 576y
30 0
410
62 123 −+−=
−= xxxxpT
evalúe ( ).Tp Verifique que los elementos de la diagonal de ( )Tp son ( )1−p
y ( )3p
Matriz traspuesta
Definición:
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Sea ( ),KMA mxn∈ entonces la matriz de nxm obtenida de A intercambiando
sus filas y columnas se llama la TRASPUESTA de A y se denota por tA . Es
decir tA es la traspuesta de ( ) ( )AelemAelemA t
0110 ssi = (1.9)
Ejemplo: Si
−=
=
2
3
5
654
321ByA entonces
( )2 ,3,5
63
52
41
−=
= tt ByA
Teorema 1.8
i) ( ) AAtt =
ii) ( ) ( ) ttt
mxn BABAKMBA +=+⇒∈ ,
iii) Si AB está definida entonces ( ) tttABAB =
iv) ( ) KB tt ∈∀= ααβα ,
v) Si A es no-singular, entonces lo es tA y además ( ) ( )tt AA 11 −−
=
Demostración:
i) Por definición de traspuesta: ( ) ( ) ( ),101010 AelemAelemAelemttt == así
que ( ) AAtt =
ii) Por definición de adición de matrices y traspuesta:
( )[ ] ( )BAelemBAelemt +=+ 1010
= ( ) ( )BelemAelem 1010 +
= ( ) ( )tt BelemAelem 1010 +
= ( )[ ]tt BAelem +10
Luego: ( ) tttBABA +=+
iii) Supongamos que ( ) ( )KMBKMA nxpmxn ∈∈ , . Entonces ( )KMAB mxp∈ y
( ) ( )KMABAB pxm
ttt , ∈ . Ahora por definición de traspuesta y por la
de multiplicación de matrices ( )[ ] ( )ABelemABelemt
1010 =
= ( ) ( )BelemAelem k
n
k
k 1
1
0 ∑=
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18
= ( ) ( )∑=
n
k
t
k
t
k BelemAelem1
10
( ) ( )∑=
=n
k
t
k
t
k AelemBelem1
01
[ ]tt ABelem 10=
Luego: ( ) tttABAB =
Ejercicio 3
1.- Para las matrices
−=
−
=01 2
211
11
02
21
ByA
Calcule ( ) tttttttBBAABAABAB , , , ,
2.- A y B son matrices no-singulares tales que
( ) ( ) ( ) IABABBAtttt =+− −−−− 1111
Despeje A en términos de B
3.- Demuestre que: A y B conmuta tt ByAssi conmutan.
4.- Si ( )KMBA n , ∈ ¿En que caso se cumple ( ) ( )? 22 BABABA −+=−
5.- Para
−−
−
−
=
111
2 2 1
6 5 3
A verifique que
−
−=−
121
03 1
21 0 1A
Encuentre ( ) ( ) 11y
−−AAA tt
Partición De Matrices
Introduciremos ahora algunas técnicas útiles que frecuentemente
serán útiles en el trabajo con matrices. Los resultados que
estableceremos son intuitivamente obvios, pero los detalles formales son
a veces tediosos.
Definición:
Una SUBMATRIZ de un matriz A es una matriz obtenida de A eliminando
ciertas filas y/o columnas de A.
Las filas de ( ), , 1 AFA y las columnas de ( ), , 0 ACA son casos
especialmente importantes.
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19
Pensemos en la partición de una matriz A en submatrices por medio
de ciertas rectas horizontales y verticales. Por ejemplo.
( )KM
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A 4
44434241
34333231
24232221
14131211
|
|
|
|
∈
−−−−−−−−−−−−−−−−
=
ha siso particionada en cuatro submatrices que denotamos, en forma
abreviada, como .,,, 22211211 AAAA Usando esta notación, escribimos:
=
2221
1211
AA
AAA
Lo que se desea estudiar es cómo poder multiplicar matrices
particionadas, tratando las submatrices como los elementos de la matriz.
Ahora supongamos que B es otra matriz tal que AB está definida y que
además B está particionada como sigue:
=
232221
131211
BBB
BBBB
Nos preguntamos bajo que condiciones el producto AB se puede
calcular, tratando las submatrices como si ellas fuesen escalares; esto
es ¿Cuándo podemos escribir?
( )1.10 ? 23223212222122121221121
231213112212121121121111
+++
+++=
BABABABABABA
BABABABABABAAB
Por cierto que (1.10) no siempre es válida ya que debemos estar
seguros que todas las sumas y productos en (1.10) estén bien definidas.
Específicamente, para que 1111BA esté bien definido es necesario que el
número de columnas de 11A sea igual al número de filas de .11B En general
10A debe tener el mismo número de columnas que el número de filas de KB0 .
Si ( ), 54 KMB x∈ una posible partición es:
)11.1(
| |
------ | --- |
| |
| |
232221
131211
3534333231
2524232221
1514131211
=
−−−−=
BBB
BBB
bbbbb
bbbbb
bbbbb
B
Si calculamos el primer elemento en (1.10) tendremos:
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20
+
=+4241
3231
3433
2423
1413
2221
1211
3231
2221
1211
21121111bb
bb
aa
aa
aa
bb
bb
aa
aa
aa
BABA
=
++
++
++
+
++
++
++
4234323341343133
4224322341243123
4214321341143113
2232123121321131
2222122121221121
2212121121121111
babababa
babababa
babababa
babababa
babababa
babababa
++++++
++++++
++++++
=
42343233223212314134313321321131
42243223222212214124312321221121
42143213221212114114311321121111
babababababababa
babababababababa
babababababababa
la cual es una submatriz de AB obtenida al eliminar la última fila y las
tres últimas columnas. Cálculos análogos prueban que (1.10) es cierto
para B dada por (1.11).
Teorema1.9:
Sean ( ) ( ),y KMBKMA nxpmxn ∈∈ donde
vst ppppynnnnmmmm +++=++=++= ........ ........ ,..... 212121 y
supongamos que:
=
=
sVss
v
V
tstt
s
s
BBB
BBB
BBB
By
AAA
AAA
AAA
A
21
22221
11211
21
22221
11211
...
...
...
...
.......
son particiones de A y B que ( ) ( )KMBKMA xpimixnimi 10 10 y ∈∈ . Entonces
la matriz particionada ( ),10CC = donde
∑=
=s
k
KK ABesBAC1
0110 ,
Demostración:
Debemos probar que las dos matrices son iguales elemento por elemento.
Para la posición 1,1 tenemos:
( ) ( ) ( )∑=
==n
i
BCAFbaABelem1
11111111
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21
= ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
( )
−−−−
11
212
111
11121111
.
.|||
s
s
BC
BC
BC
AFAFAF
Descomponiendo esta suma en s partes, con la primera consiste en 1n
términos, la segunda en 2n términos, etc., tenemos:
∑=
n
i
ba1
1111 = ∑ ∑ ∑=
+
+=
=++
++++= −
+++1 21
1
21
1211 1
...
1...
111111111111 .....n
i
nn
ni
nnnn
nnni
s
s
bababa
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111211121111111 ..... ss BCAFBCAFBCAF +++
= ( ) ( ) ( ) ( )11111211211111111 ..... ss BCAelemBAelemBAelem +++
= ( )112112111111 ....... ssBABABAelem +++
= ( )Celem11
En forma análoga para las otras posiciones se obtiene que AB=C.
Hay algunos casos especiales del teorema 1.10 que son importantes
por separado.
Si B se particiona en sus filas y A se deja sin particiones
entonces el cálculo de ( ).1 AF Centrado nuestra atención en esos elementos
escribimos:
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ].........
.
. ..,,......... , 0
0
20
10
21 ABC
b
b
b
ACACACAB
n
n =
=
Luego por el teorema 1.9 tenemos el:
Teorema 1.11
• ( ) ( ) ( ) ( ) 02021010 ...... nn bACbACbACABC +++=
o ( ) ( )BCAABC 00 =
Es decir, la j-ésima columna de AB es una combinación lineal de las
columnas de A con coeficientes de la j-ésima columna de B.
Teorema 1.12
Si
=
22
1211
0 A
AAA y si existen
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22
,1
22
1
11
−− AyA entonces A es no-singular y además
−
−−−
=−
22
221211111
0
1-
1 11
A
AAAAA
Demostración: Calculando directamente se tiene:
−
+−
−−−−
=
−
−−−
2222
2212221211111111
22121111
22
1211
0
1
1 1 1 1
1 1 1
0
AA
AAAAAAAAAAAA
A
AA
=
I
I
0
0
= I
Análogamente:
10
0
1-
1 11
22
1211
22
22121111 =
−
−−−
A
AA
A
AAAA
Un caso especial del teorema 1.12, digno de destacarse, es cuando 012 =A .
En este caso
( )
( )2211
2211
, y
1- 1- -1
diagonal bloqueun es
AAdiagA
AADiagA
=
=
Ejercicio 4
1.- Calcular directamente AB y luego con la participación indicada:
=
=
1- | 2 1
3 | 0 1
---------
2- | 5 4-
2 | 1 3
,
2 1 | 5- 2
1 2 | 0 4
-------------
0 1- |2 1
BA
Solución:
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i)
−−
=
−−
−
−
=
15-1731
137 16
511 6
-132
3 01
254
2 13
21 52
12 0 4
012 1
AB
ii)
++
++=
=
2222122121221121
2212121121121111
2221
1211
2221
1211
BABABABA
BABABABA
BB
BB
AA
AAAB
Donde [ ] [ ]
−=
−=−==
2
2 ,
54
13 ,01 ,21 12111211 BBAA
−
=
=
−=1
3 ,
32
01 ,
21
12 ,
52
0 422212221 BBAA
Luego
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 60 111 532
010 1
54
13 2 121121111 −=−+−=
−+
−=+ BABA
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5321-
3 0 1
2-
2 2 122121211 −=−+−=
−+
=+ BABA
−=
+
−
−=+
1731
7 16
32
01
21
12
54
13
52
0 421221121 BABA
=
+
−=+
15
13
1-
3
21
12
2-
2
52
0 422221221 BABA
Por lo tanto:
−−
=
1517- 31
137 16
5116
AB
2.- Calcular CD usando una partición adecuada, si
=
=
10000
01000
00100
00000
00000
,
21400
20500
13200
00010
00011
DC
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24
Solución: Consideremos , por ejemplo, la partición:
=
21400
20500
13200
00010
00011
C
=
10000
01000
00100
00000
00000
D
donde: 1213221211 00
0 ,0
00
00,
10
11xx CCC =
==
=
=
=
==
=
2
2
1
,
14
05
32
,0
00
00
00
23222321 CCC x
121322122211 00
0 0
00
00 ,0
00
00XXx DDD =
==
==
=
1223222221 00
0 ,
10
01 ,0
00
00XX DIDD =
==
==
=
( ) ( ) ( )1 , 000 ,000 3321322131 ===== DDD XX
Luego:
,
21400
20500
13200
00000
00000
0
000
3323222223
122222
=
=
DCDCCD
x
xxx
pues ( ) 2323222222222 1 CCyCICDC =•==
3.- Dada
−=
1300
2100
0043
0021
A
i) Calcular IAA 363 23 +−
ii) Usando el problema 10 del ejercicio 1 y el teorema 1.12 calcular 1−A
Solución:
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25
i)
=
−
−=
22
22
22
112
20
02
1300
2100
0043
0021
1300
2100
0043
0021
A
AA
x
x
,
donde:
=
=
2215
107
43
21
43
21
)( 2
11A
=
−
−=
70
07
13
21
13
21
)( 2
22A
Luego:
=
=2222
22112
0
0
7000
0700
002215
00107
B
BA
x
x
Por lo tanto:
=
==
222222
221111
2222
2211
2222
221123
0
0
0
0
0
0
AB
AB
A
A
B
BAAA
x
x
x
x
x
x
Como
=
=
11881
5437
43
21
2215
1071111AB
Y
=
−
=
721
147-
13
21
70
072222 AB
Se tiene que:
−=
72100
14700
0011881
005437
3A
con esto se obtiene:
−
−=+−
186300
426000
00225153
0010272
363 23 IAA
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26
iii) Como ( ), , Diag
1300
2100
0043
0021
2211 AAA =
−= usando el teorema
1.12, se tiene que:
−−=−
2211
11
, 1
DiagAA
A
En nuestro caso ;13
21
43
212211
−=
= AyA por lo tanto
usando el problema 10 del ejercicio 1, se calculan:
−
−=
−−−
−−
−=−
2123
12
2
1
2
32
2
2
41
11A
−=
−−
−−
−−
−=−
7173
7271
7
2
7
37
2
7
11
22A
por lo tanto:
−
−
−
=−
717300
727100
002123
0012
1A
4.- Usando el teorema 1.12 y problema 10 del ejercicio 1 calcular las
inversas de:
i)
−
1300
2100
2043
1221
ii)
−
−
50000
03400
12300
44121
13701
iii)
− 4342
2173
0034
0023
iv) Diag ( )
− 10
71 ,
01
10 2 ,
12
01
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27
5.- Si
=
2221
1211
AA
AAA i) ¿Cuál es
tA ?
iii) Usando el teorema 1.12 encuentre
1
2221
11 0−
AA
A
6.- Pruebe que encontrando 1−A se puede resolver el sistema AX = B.
(Ayuda: observe que IAA =−1, columna por columna)
7.- Usando las matrices A y B del problema 1 utilice el teorema 1.10
para expresar ( )ABF3 como una combinación lineal de las filas de B. Use
el teorema 1.11 para expresar ( )ABC2 como una combinación lineal de las
columnas de A.
8.- Pruebe que AX = Y es equivalente a:
[ ] 0 : 01
Y : =
−
=
− Y
XIAao
xA
9.- Sea ( )KMA n ∈ y sea
=
AIO
IAI
OIA
B
Calcular 32 ByB
Matrices Especiales
Hemos mencionado, anteriormente, algunos tipos especiales de
matrices: MATRIZ CUADRADA, MATRIZ IDENTIDAD, MATRIZ DIAGONAL, MATRIZ
NULA. Ahora mencionaremos brevemente otros casos especiales de matrices
cuadradas.
Definición:
i) Una matriz ( )n
n
I
KM
γ=Ε
∈Ε se llama ESCALAR ssi
Donde γ es un escalar.
Ejemplo: ,
100
010
001
2
200
020
002
=
=Ε es una matriz escalar
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28
ii) Una matriz ( ) ( )KMtT n 10 ∈= se llama TRIANGULAR SUPERIOR ssi
010 =t , j i <∀
(Es decir, todos los elementos de T que están arriba de la diagonal
son nulos). Mas aún, diremos que T es: TRIANGULAR SUPERIOR
ESTRICTA ssi j i ,010 ≥∀=t , TRIANGULAR INFERIOR ESTRICTA ssi
j i , 010 ≤∀=t
Un ejemplo de una matriz triangular inferior es:
L=
− 401
003
002
. Mientras que
−=
000
100
970
M
es un ejemplo de una matriz triangular superior estricta
iii) Una matriz ( )KMA n ∈ es simétrica ssi AAAt y = es
antisimétrica ssi AAt −=
En términos de los elementos de A tenemos:
A es SIMETRICA jiaa , , 0110 ∀=<==>
A es ANTISEMETRICA jiaa , , 0110 ∀=<==>
Un ejemplo de una matriz de orden 4 que es simétrica está dado por:
−
−−
−=
0 97 4
98 63
7 65 2
4 3 2 1
A ,mientras que:
−−−
−
−−=
0653
60 4 2
540 1
32 1 0
B
es una matriz antisimetrica.
Observación
( ) . ,0 entnces icaantisimétr es 1110 iaaASi ∀==
En efecto : A es antisimetrica iaa ∀===> , 1111
ia ∀===> , 02 11
ia ∀===> ,011
Una aplicación importante de las matrices simétricas es el estudio de las
formas cuadrática; esto es polinomios de grado dos en varias variables.
Sea ( ) ∑∑==
=n
j
n
i
n xxaxxxQ1
0110
1
211 ,.......,
= nxaxxaxxaxxaxa nnnnnn
2
1111211212
11 ............ +++++++
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29
uno de tales polinomios en las n variables nn xxx ,.......,21 . Sin pérdida de
generalidad se puede suponer que los coeficientes 0110 y aa de
,y 1001 xxxx respectivamente, son iguales. (En caso contrario se pueden
promediar; por ejemplo )4453 12211221 xxxxxxxx +=+ .
Usando la suposición y rearreglando los términos de Q se obtiene:
[ ]∑ ∑= =
=
=
=
n
i
t
n
n
n
j
AXx
x
x
x
AxxxxaxQ1
2
1
21
1
0101 ,
.
. ....
donde [ ] AxxxX n
t y ... 21= es una matriz simétrica determinada en forma
única. En conclusión, establecemos el.
TEOREMA 1.13 Todo polinomio cuadrático ∑∑==
=n
j
n
i
xxaQ1
0110
1
puede ser escrito en forma única como: AXXQ t= ,donde [ ] .... 21 n
t xxxx =
y A es simétrica
Definición:
( )CMA n∈ es HERMITIANA 0110 aa =<==>
(La barra indica conjugación compleja)
( )CMA n∈ es ANTIHERMITANIA 0110 aa −=<==>
+
−
−
=
0432
435
3252
i
i
ii
A ( )CM 3∈ es Hermitiana, mientras que
+−
+−=
iii
i
ii
B
3325
3203
53
es Antihermitiana
Es claro de la definición que una matriz Hermitiana debe siempre
elementos reales en la disgonal, mientras que una matriz Antihermitiana
siempre tendrá elementos imaginarios puros en la diagonal.
Hay muchos tipos más de matrices especiales, pero las
introduciremos cuando naturalmente surjan en nuestra discusión.
Ejercicio 5:
1.- Pruebe que el conjunto de las matrices triangulares superiores de
nxn es CERRADO respecto a la adición y multiplicación de matrices. Si
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30
21 y TT son Triangulares superiores ¿Cuáles son los elementos de la
diagonal de ? de 2121 TTyTT + .
Además si T es triangular superor de nxn y si ( )xp es un
polinomio, pruebe que ( )Tp es triangular superior con elementos de la
diagonal dados por ( ) ( ) ( )tnnptptp ,......., , 2211
2. Si ( )IRMA mxn∈ , entonces AAt es llamada la MATRIZ DE GRAM de A.
Pruebe que la matriz de Gram e A es siempre simetrica con elementos en
la diagonal no negativos.
3. Pruebe que lo elementos de la diagonal de una matriz Hermitiana son
reales, mientras que de una matriz Antihermitiana son imaginarios
puros.
4. Pruebe que si A es simetrica, entonces lo es APP t para toda elección
compatible de P.
5. ¿Qué puede concluir si una matriz es triangular y simetrica?
6. Si ( )KMA n∈ es triangular estricta pruebe que es NILPOTENTE, esto es
que INk ∈∃ tal que 0=kA
7. Pruebe que para cada ( )KMA n∈ se tiene que: mTDTA ++= 1 , en forma
única, donde 1T es triangular inferior estricta, D es diagonal, y mT
es triangular superior estricta.
8. Pruebe que toda matriz real de nxn puede escribirse en forma única
como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
9. Exprese 32
3222
312112 6812783 xxxxxxxxxQ +−+−+= en la forma AXXQ t=
donde A es simétrica.
10. Sea ( )KMA n∈ . Pruebe que ( )XAAXAXX ttt +=2
1
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31
Equivalencia Por Filas
Regresemos al estudio de un sistema lineal general BAX = (1.12)
donde ( ) ( ) [ ] [ ]tm
t
nmxn bbbBxxKMaA ... y ,.... xX , 212110 ==∈=
Las preguntas que consideraremos serán:
1. ¿Existe solución?
2. ¿Si existe solución, es única?
3. ¿Cómo se encuentra (n) la (s) solución (es)?
Si A es una matriz cuadrara y no-singular, entonces las respuestas a
las dos primeras preguntas son claras, ya que podemos multiplicar (1.12)
por la exquierda por 1−A para obtener BAX 1−= como solución única de
(1.12). como no tenemos, aún, una forma general para calcular 1−A , no
podemos respodner a la pregunta 3.
Si A no es cuadrada si A es cuadrada y songualr entonces la naturaleza
de la solución o soluciones de (1.12) no es clara. Comenzaremos la
investigación probando que la naturaleza de las fundamentalmente de la
naturaleza de las soluciones del sistema hemogéneo asociado AX = 0.
Teorema 1.14
Sea pX una solución particular conocida del sistema AX=B. Cualquier
otra solución de AX=B puede escribirse como pn XX + donde nX es una
solución del sistema homogéneo 0=AX .
Demostración
Primero observese que, como , 0 BAXAX pn == si tiene
( ) .0 BBAXAXXXA pnpn =+=+=+ Por lo tanto pn XX + es una solución.
Si Y es una solución cualquiera ponemos ( ) pp XXYY +−=
Entonces:
( ) ,0=−=−=− BBAXAYXYA pp así que pXY − es una solución de AX=0 y
se concluye que Y tiene la forma pedida.
El método básico para resolver el sistema BAX = consiste en
encontrar un sistema equivalente '9 BXA = para el cual las soluciones
sean abvias o rápidas de obtener.
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32
efinición:
Dos sistemas tales como (1.12) son equivalentes si y solo si tienen
exactamente las mismas soluciones.
Afirmación:
Un sistema equivalente a (1.12) se obtiene realizado un número finito de las operaciones elementales
siguientes a (1.12):
intercambiar dos ecuaciones
multiplicar una ecuacion por un escalar no nulo
adicionar a una ecuacion un multiplo escalar de otra ecuacion.
Podemos pensar también que las operaciones anteriores se realizan sobre
las filas de las matrices A y B, o equivalentemente sobra las filas de
la matriz particonada (A|B), la cual se llama MATRIZ AUMENTADA O
AMPLIADA de (1.12).
Definieremos formalmente lo que entenderemos por operaciones
elementales por filas sobre una matriz.
Definición:
Una OPERACION ELEMENTAL POR FILAS sobre una matriz A es una operación de
uno de los tres tipos siguiente:
I) Intercambiar la fila i por la fila j (denotado : 01 FF >−−< )
II) La fila i se multiplica por el escalar no nulo γ
(denotado: 1 Fγ )
III) A la fila i se le adiciona la fila j multiplicada por
) : (denotado 10 FF +γγ
La matriz obtenida de A por medio de una operación elemental por
fila (O.E.F) será designada por ( )FEOA .. , así:
( )42 FFA >−< es A con la segunda y cuarta filas intercambiadas
( )23FA es A con la segunda fila multiplicada por 3, y
( )423 FFA + es A con su fila cuatro reemplazada por ( ) ( )AFAF 423 +
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33
Cada una de estas operaciones elementales es REVERSIBLE en el sentido de
que se puede usar una operación similar para recosntruir la matriz
original. Especialemnte:
I) ( )01 FF >−−< aplicada a ( )01 FFA >−−< nos de A.
II)
1
1F
γ aplicada a ( )1 FA γ nos da A.
III) ( )10 FF +− γ aplicada a ( )10 FFA +γ nos da A.
Para facilitar la discusión formal, haremos lo siguiente :
Definición: Dos matrices A y B se llamaran EQUIVALENTES POR FILAS
B
FA ~ si B se obtiene de A mediante un número finito de
operaciones elementales por filas.
Resumiremos la discusión anterior con el siguiente:
Teorema 1.15 : Los sistemas AX=B y CX=D son EQUIVALENTES si
( ) ( )DCF
BA |~|
El reciproco de este teorema no es cierto pues dos sistemas
podrían se equivalentes sin que necesariamente tangan el mismo número de
ecuaciones. En este caso, las matrices aumentadas podrían tener
diferentes número de filas y por lo tanto podrían no ser equivalentes por
filas.
La equivalencia por filas es una relación, entre matrices, menos
estricta que la igualdad , pero satisface las propiedades esenciales de
la igualdad, como veremos en el:
Teorema 1.16:
La equivalencia por filas en las matrices de mxn sobre el campo K es una
relación de equivalencia. Esto es:
I) ( )KMAAF
A mxn∈∀ , ~ (Refleja)
II) AF
BBF
A ~ ~ ==> (Simétrica)
III) CF
ACF
BBF
A ~~~ ==> (Transitiva)
Demostración: Ejercicio
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Como las operaciones elementales por filas sobre la matriz
aumentada ( )BA | de (1.12) reduciendo ( )BA | a una forma “Más simple”.
Comenzaremos considerando un ejemplo específico de (1.12) donde
( )IRMA 4∈ y ( ) ( )IRMBA x54| ∈ .
Consideremos el sistema:
4
142
723
332
4321
432
4321
4321
=+++
=++
=+++
=+++
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
(1.13)
La matriz aumentada de (1.13) es
( )
=
4|1111
1|1420
7|1123
3|1321
| BA (1.14)
Si realizamos las operaciones por filas ( ) ( )4121 3 FFyFF +−+− , tenemos:
−−
−−−−
1 |0 210
1 |1 4 2 0
2|2840
3 |1 3 2 1
la cual, después de la operaciones por filas ( ) ( )242 F-y FF >−−< , se
convierte en:
−−−−
−
2|2840
1 |1 4 2 0
1|0 2 1 0
3 |1 3 2 1
Ahora, después de realizar ( ) ( ) ( )423212 4y 2 ,2 FFFFFF ++−+− es:
−
−
0 |00 00
3 |10 00
1|02 10
2 |0101
= ( )'|' BA (1.15)
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35
La matriz ( )'|' BA es equivalente por fila a la matriz ( )BA | de (1.14), y
por lo tanto los sistemas '' BXAyBAX == son equivalentes. Escrito en
detalle, el sistema '' BXA = es:
3
12
2
4
32
31
=
−=+
=−
x
xx
xx
(1.16)
de donde es obvio que todas las soluciones son:
y
3
21
2
4
3
2
1
=
=
−−=
+=
x
cx
cx
Cx
donde c es una constante arbitraria, esto es, la solución puede ser
escrita como:
pn XXcc
c
c
X +=
−+
−=
−−
+
=
3
0
1
2
0
1
2
1
3
21
2
donde [ ]tpX 3012 −= es una solución particular (c=0) y
[ ]tn cX 0121 −= es una solución del sistema homogéneo AX=0, cualquiera
que sea el escalar c.
Nótase que la sucesión de operaciones por filas usadas anteriormente
reducirían A a A’ y también podrían reducir ( )0|A a ( )0|'A , así que
la solución de AX = 0 se obtiene del cálculo anterior.
Una matriz tal como (1.15) se llama MATRIZ ESCALON REDUCIDA POR FILAS, la
cual definiremos en forma precisa.
Definición: Una matriz E está en la forma ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS
si:
1. El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y la columna en la cual
este aparece es una columna de la matriz identidad.
2. Las filas nulas de E, están debajo de todas las filas que tienen
elementos no nulos.
3. Si el primer elemento de una fila no nula está en las posiciones
( ) ( ) ( ),, ,.....,C2, , ,1 21 rCrC entonces rCCC <<< ...21
Un ejemplo de una matriz en la forma escalonada es la matriz (1.15)
obtenida en el ejemplo anterior. Otra de tales matrices es:
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−
=
0000000
3100000
4010000
2002100
7004021
R
Para esta matriz, los primeros elementos de una fila no nula está en las
posiciones (1,1), (2,3), (3,5), (4,6); esto es .6 ,5 ,3 ,1 4321 ==== CCCC
Nótese que )()(4
),()(3
),()(2
)()( 43211 ICRCICRCICRCICRC cccc ====
En el siguiente teorema, demostraremos que toda matriz A es equivalente
por filas a una matriz en la forma escalonada reducida por filas. Pero
antes de proceder a la demostración formal haremos las sencillas, pero
importantes, observaciones siguientes:
1. Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz escalonada reducida por
filas E es triangular superior
2. Si a es cuadrada, entonces E=1 salvo que E tenga al menos una fila
nula.
3. La naturaleza de las soluciones de un sistema lineal 'BEX = ,
equivalente al sistema lineal AX = B, es evidente:
i) NO EXISTE solución si ( )'| BE tiene más filas no nulas que E.
ii) Si E = 1, entonces X = B’ es la única solución de AX = B.
iii) Si ( ) ( )BEEKME mxn |y ambasy ∈ tienen r < n filas no nulas,
entonces el sistema AX = B tiene infinitas soluciones ya que
r de la incógnitas pueden ser expresadas en términos de las
restantes n-r incógnitas.
Teorema 1.17
Toda matriz ( )KM mxn es equivalente por filas a una matriz escalón
reducida por filas.
Aunque es posible dar una demostración estrictamente constructiva de este teorema usando el
procedimiento mostrando en el ejemplo, lo haremos por inducción.
Procederemos por inducción sobre m, el número de filas de A.
Por demostrar:
a) Que el teorema es cierto para m = 1, y
b) Que si el teorema es cierto para m = r, entonces debe también ser
cierto para m = r+1.
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37
Demostración: (Inducción sobre m)
i) Si m = 1, entonces A podría estar ya en la forma reducida por filas
o podría ser reducida a esta forma cambiando el primer elemento no
nulo en 1 por una O. E. F. Del tipo II
ii) Sea ( ) ( )KMA xnr 1+∈ y supongamos, como hipótesis de inducción, que
toda matriz con r filas puede reducirse a una matriz en la forma
escalonada.
Si ( ) ,01 =AC entonces
=
22
12
0
0
A
AA
donde ( ) ( )KMA nrx 122 −∈ . Si ( ) ,0con 0 111 ≠≠ aAC entonces A se puede
reducir a una matriz de la forma;
=
22
12
0
1
A
AA
usando las operaciones elementales 111
11
, 1
FFFa
>−−<
1,.......,3 ,2 , 0101 +=+− rjFFa
La hipótesis de inducción nos permite suponer, en cualquier caso, que 22A
puede se reducida a una matriz escalonada 22E y por lo tanto
=
=
22
12
22
12
0
1~
0
0~
E
AE
FAo
E
AE
FA
La matriz reducida E no estaría en la forma escalonada solo si su primera
fila es nula o si tiene elementos no nulos antes de los primeros 1 en 22E
. En el primer caso, la operación 11 +>−−< rFF cambia E a la forma
escalonada y en el segundo caso una sucesión de operaciones del tipo III
reduce E a la forma deseada. Esto completa el paso ii) en el argumento
inductivo y también la demostración.
El procedimiento inductivo para reducir por fila a una matriz A se puede
programar fácilmente en un computador digital. El alumno tenga alguna
experiencia en computación encontrará instructivo hacer un diagrama de
flujo para este proceso. Si ese trabaja a mano, a veces es posible
alterar ligeramente el proceso de modo que, para conveniencia de cálculo,
se eviten las fracciones tanto como sea posible.
Es un hecho que la matriz reducida por filas del teorema 1.17 es única.
La demostración de esta unicidad no la daremos.
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38
Ahora veremos un teorema acerca de las soluciones de un sistema homogéneo
AX = 0. Este sistema siempre tiene la solución trivial X = 0; lo que uno
desea saber es si hay soluciones no triviales y cuándo ocurren.
Teorema 1.18
Sea ( )KMA mxn∈ y sea B una matriz escalonada reducida por filas,
equivalente con A. Entonces AX=0 tiene solución no trivial (no nula) si
y solo si el número de filas no nulas de B es menor que n. En
particular, si ( )KMA n∈ , entonces AX=0 tiene solamente la solución
trivial si y solo si .~ IF
A
Demostración:
Como B es una matriz escalonada reducida por filas, B no puede tener r >
n filas no nulas. Si B tiene n filas no nulas, entonces.
=
0
nIB
y BX=0 solo si X=0
Si B tiene r<n filas no nulas, entonces las r ecuaciones no nulas de BX=0
definen r de las incógnitas en términos de las (n – r) restantes cuyos
valores se pueden asignar arbitrariamente (variables libres). Por lo
tanto existe solución no trivial para BX=0 y por ende para AX=0.
En el caso especial en que m=n, AX=0 tiene solamente la solución trivial
precisamente cuando B=I, esto es, si y sólo si .~ IF
A
Si m < n (menos ecuaciones que incógnitas), entonces del teorema (1.18)
se tiene que AX=0 tiene siempre solución no trivial . Esto se establece
en el
COROLARIO: Si el sistema homogéneo AX = 0 tiene menos ecuaciones que
incógnitas, entonces existe una solución no nula.
El método de reducción por filas descrito anteriormente para resolver un
sistema AX=0, esto es reducir la matriz aumentada (A | B) a la forma
escalonada es llamado el METODO DE REDUCCION DE GAUSS-JORDAN. Por cierto
que no siempre es necesario reducir (A |B) a la forma escalonada para
simplificar los cálculos en la solución del sistema. En efecto, a veces
se gana en eficiencia si la reducción por filas llega solamente hasta una
matriz triangular y el sistema resultante se resuelve por simple
sustitución se resuelve por simple sustitución. (Este método se llama
simplemente REDUCCION DE GAUSS).
Ejercicio 6
1. Demuestre el teorema 1.16
2. Encuentre la matriz escalonada reducida por filas para:
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39
−
−
=
−
−=
100031
01011 2
001213
121
03 1
21 0
ByA
3. Resuelve los sistemas siguientes reduciendo la matriz aumentada a la
forma escalonada reducida por filas. Si el sistema es no homogéneo,
exprese la solución en la forma :pn XX +
a)
037
08102
051623
4321
432
4321
=+++
=++
=+++
xxxx
xxx
xxxx
b)
23
12
223
=+
−=++
=+−
yx
zyx
yx z
c)
2 3222
8 263
143
5 52
4321
4321
4321
4321
=−++
=+−+
−=−−+
=+++
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
d)
2 3
12
423
21
321
321
=+
−=++
−=+−
xx
xxx
xxx
e)
72
13
2
21
32
31
=+
=+
=−
xx
xx
xx
f)
3 322
1 23
232
5
431
421
4321
4321
=++
=++
−=+++
=−−−
xxx
xxx
xxxx
xxxx
g)
037
68102
051623
4321
432
4321
=+++
=++
=+++
xxxx
xxx
xxxx
h)
3321
2321
1321
13115
18169
887
xxxx
xxxx
xxxx
−=++−
−=−−
−=++
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40
i)
3321
232
131
3344
345
34
xxxx
xxx
xxx
=++−
=+
=−
4. Defina en ( )KM n la siguiente relación: ( )KMPBA n∈∃<==>≈ tal que
APPB 1−= Prueba que la relación ≈ es refleja, simétrica y transitiva
5. Demuestre que si BF
A ~ entonces AX =0 y BX = 0 son sistemas
equivalentes, pero el recíproco no es cierto.
6. Resuelve los tres sistemas siguientes, simultáneamente, reduciendo por
filas la matriz ( ) :||| 321 BBBA
a)
==
1
1
1
1BAX b)
−==
2
3
1
2BAX c)
−
==
2
2
1
3BAX
donde
=
653
542
321
A
7. Pruebe que una operación del tipo I puede realizarse usando solamente
operaciones del tipo II y III
8. Sea
=
341
431
331
A Resuelva simultáneamente los res sistemas:
=
=
=
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
,1
AZAYAX , usando la técnica
sugerida en el problema 6. Si [ ]ZYXB = calcule AB y BA
9. Sea ( )KME mxn∈ una matriz escalonada con r < m filas no nulas.
Demuestre que:
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41
( ) ( ) ( ) 0.......0...... 212211 ====<=>=+++ rrr aaaEFaEFaEFa
10. Demuestre que una operación del tipo III sobre AX=B conduce a un
sistema equivalente.
11. Calcule los siguientes productos matriciales:
a)
•
ihg
fed
cba
010
100
001
b)
•
ihg
fed
cba
k
100
00
001
c)
•
ihg
fed
cba
k 10
010
001
d)
•
010
100
001
ihg
fed
cba
e)
•
100
00
001
k
ihg
fed
cba
f)
•
10
010
001
kihg
fed
cba
Matrices elementales
y matrices inversas
Si A es equivalente por filas a la matriz identidad 1, entonces el
sistema AX = B tiene solución para todo B. En particular, el sistema
tiene solución para
[ ] ( ) [ ] ( ),.....,0,...,0,1,0 ,0..,,.........0,0,1 2
1 ICBICBtt ==== [ ] ( )ICB n
t == 0..,,.........0,0,0
Estos n sistemas pueden resolverse simultáneamente reduciendo por filas
la matriz
( ) ( ) ( )( ) ( )IAICICICA n ||......||| 21 =
Como ,~ IF
A esta reducción por filas nos lleva a la matriz ( )PI |
donde las columnas de P son las soluciones de los n sistemas anteriores;
esto es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ICPACICPACICPAC nn === ,....,, 2211
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42
Estas n ecuaciones son equivalentes a la ecuación AP = I y la
matriz P es un buen candidato a ser 1−A es necesario probar que PA es
igual a I. Obtenemos este resultado como consecuencia del próximo
teorema que estable una conexión importante y útil entre las operaciones
elementales por filas y la multiplicación de matrices.
Teorema 1.19
Una operación elemental por filas sobre una matriz A puede ser
reemplazada por una multiplicación identidad sobre la cual la operación
ha sido efectuada, esto es
( ) ( ) ...... AIA FEOFEO =
Demostración:
Usaremos un caso especial del teorema 1.10, esto es,
( ) ( ) AEFEAF .11 = con ,IE = es decir
( ) ( ) AIFAF .11 =
Haremos la demostración considerando cada uno de los tres tipos de
operaciones, es decir, debemos probar que:
I. ( ) ( )( )AIA FFFF 0101 >−<>−< =
II. ( ) ( )( ) 0,11 ≠= KAIA KFKF
III. ( ) ( )( )AIA FKFFKF 0101 ++ =
I. Probaremos que las dos matrices tienen las mismas filas y por lo
tanto son iguales. Para la i-ésima fila, tenemos:
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )01100011011 FFFFFF AFAFAIFAIFAIF >−<>−<>−< ====
Análogamente, para la j-ésima fila, tenemos:
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )01000010010 FFFFFF AFAFAIFAIFAIF >−<>−<>−< ====
Para la h-ésima fila, donde , , jhih ≠≠ tenemos:
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )010101 FFhhhFFhFFh AFAFAIFAIFAIF >−<>−<>−< ====
Luego ( ) 0101 y FFFF AAI >−<>−< tienen la mismas filas y son iguales.
I. procedimiento como en le caso de las operaciones del tipo I,
consideremos la j-ésima fila, para todo ij ≠ :
( ) ( )
===
=
1
000
1
0
1
0F
AFAFAIFAF
IFAF
IF KkK
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43
También:
( )[ ] ( )
===
=
1
111
1
1
1
1F
AFAKFAIKFAF
IFAF
IF KKK
Por lo tanto
1FAK y A
FIK
1
tienen las mismas filas y son iguales.
II. Se deja de ejercicio
Las matrices FjKFKFFF III +>−< 1101 , , son muy importantes en el
desarrollo de teoría de matrices.
Definición:
Una matriz que se obtiene de la matriz identidad por medio de una
sola operación elemental por filas se llama MATRIZ ELEMENTAL. Una matriz
de la forma ( )01 FFI ><−< es una matriz elemental del tipo I, además ( )1KFI es
una matriz elemental del tipo II, y ( )01 FKFI + es una matriz elemental del
tipo III.
En términos de esta definición, el teorema (1.19) dice que las
operaciones elementales por filas sobre A pueden ser operaciones
elementales por filas sobre A pueden ser reemplazadas por pre-
multiplicaciones por matrices elementales.
Teorema 1.20
Una matriz elemental es no-singular y su inversa es una matriz
elemental del mismo tipo.
Demostración:
I. ( )[ ] ( )01
1
01 FFFF II >−<−
>−< =
II. ( )[ ]
− =1
1
1
1F
K
KF II , siempre que 0≠k
III. [ ] ( )01
1
01 FKFFKF II +−−
+ =
Teorema 1.21
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44
,~ PssiBF
A ∃ un producto de matrices elementales, tal que PA =
B
Demostración:
� Supongamos que tEEEBF
A ,........,,sean y ~ 21 las matrices elementales
correspondientes a las operaciones elementales por filas que reducen A a
B. Por teorema (1.19)
( )( )( ) ( ) BAEEEEAEEE ttt == − 12112 .............. y 121..... EEEEP tt −= satisface
PA = B
Supongamos que 1....EEP t= es un producto de matrices elementales tales
que PA = B, entonces del teorema (1.19) se tiene que BF
A ~
Como ( ) ( ) ( )( )( )( )IEEEIEEEEEEP ttt 121212 .............. === se puede
interpretar la ecuación PA = B de la siguiente manera:
Corolario:
Si A se reduce a B por medio de una sucesión de operacione
elementales por filas, entonces la misma sucesión reduce I a una matriz P
tal que PA = B. Equivalentemente, si una sucesión de operaciones
elementales por filas reduce (A|B) a (B | P), entonces PA = B.
En el caso especial en que ,~ IF
A el corolario anterior nos dice
que si ( ) ( )PIF
IA |~| , entonces PA = I. Este resultado, en combinación con
lo discutido hace poco, nos indica que 1−= AP
Teorema 1.22
Si A se reduce a I mediante una sucesión de operaciones
elementales por filas, entonces la misma sucesión reduce (A | I) a ( )1| −AI
Este último teorema nos entrega una buena forma para calcular la
inversa de una matriz dada de orden n.
Ejemplo:
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Encontrar
−−
−
−
=−
833 2 1
1111 4
2 0 12
3 2 11
si 1 AA
Solución:
( )
−
−−−
−−−
−
+−
+−
+−
−−
−
−
=
1035 80 1 3 0
0156 13195 0
001 2441 0
000 1 3 2 11
4
2
1000833 2 1
01001111 4
00102 0 12
00013 2 11
|
41
31
21
FF
FF
FF
IA
−
−−−
−−−
+−
+−
+
1035921300
01567100
00124410
00111201
3
5
42
32
12
FF
FF
FF
43
23
13
13
4
2
FF
FF
FF
+−
+
+
−−
−
−
−
11362731 000
01 56 7 100
04 1922 24010
02 911 13001
( )1
14
24
34
|
1 1362 731000
7 92 439 5170100
24316150717740010
13171815 9600001
13
24
7−=
−−
−−
−−
−−
+−
+−
+−
AI
FF
FF
FF
Luego, por teorema (1.22)
−−
−−
−−
−−
=−
1 1362 73
7 92 439517
2431615071774
13171815960
1A
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46
Ejemplo: Encontrar
−
−
=−
031
11 2
213
si 1 BB
Trateremos de evitar lo más posible el trabajar con fracciones.
Indicaremos la conveniencia de ciertos pasos, mercándolos en círculos.
( )
−
−
>−<
−
−
=
001213
01011 2
100031
100031
010112
001213
| 31 FFIB
−
−−
−
−
+−
−
−
+−
+−
30 128 0
11011 0
1 0 0031
3 00280
210070
1 00031
3
2
2
23
31
21
F
FF
FF
FF
−−
−−
−−−
−−
−−
−−
+−
+
5 8 7600
6 6 6660
1218181806
6
6
5 8 7600
111 1 10
233 3 01
8
3
2
1
3
32
12
F
F
F
FF
FF
−−
−−
−
−−
−−
−
+−
+−
656867100
616261010
636663001
6
16
15
1
587 600
12 1060
3 6 3606
3
3
2
1
12
23
F
F
F
FF
FF
Luego:
−−
−−
−
=−
587
12 1
3 6 3
6
11B
Teorema 1.23
Sea ( ),KMA n∈ entonces las cuatro condiciones siguientes son
equivalentes:
1. A tiene inversa por la izquierda
2. AX = 0 tiene sólo la solución trivial
3. A es un producto de matrices elementales
4. A es no-singular
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Demostración:
Basta probar que (1) => (2) => (3) => (4) => (1)
(1) => (2) : Si A tiene inversa por la izquierda, entonces existe B
tal que BA = I. Luego AX = 0 implica BAX = IX = X =B0 = 0
(2) => (3): como AX = 0 tiene sólo la solución trivial, tenemos,
del teorema (1.18), que .~ IF
A Por teorema (1.21) tenemos PA = I,
donde tEEEP ...21= es un producto de matrices elementales. Luego:
( ) 1
1
1
2
11
21
1 .......... −−−−− === EEEEEEPA tt es un producto de matrices
elementales.
(3) => (4): Si A es un producto de matrices elementales, entonces de los
teoremas (1.20) y (1.3) se tiene que A es no singular.
(4) => (1): Es obvio.
El teorema (1.23) nos permite replantear el toerema (1.21) de la
siguiente manera:
Teorema 1.24 PF
BA∃<==>~ no-singular tal que PA = B.
Ejercicio 7:
1. Encuentre las inversas de :
−=
−
−−
−
−
=
=
141454
32 52
2 5 63
2 3 42
4 1 32
11 2 1
32 3 1
2 11 2
,
541
431
331
CyBA
2. Demuestre que si A es cuadranda y B es ta lque AB = I, entonces 1AB =
. (Ayuda: Use traspuestas)
3. Resuelva el sistema:
3
2
1
653
542
32
bzyx
bzyx
bzyx
=++
=++
=++
donde a) 1321 === bbb
b) 5 ,3 ,1 321 =−== bbb
c) 2 ,2 ,0 321 −=== bbb
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48
4. Demuestre que si A es no-singular y simétrica, entonces 1−A también es
simétrica.
5. Encuentre una matriz P no-singular tal que PA = B, donde:
−
−
−
=
=
1 12
2 1 1
12 1
421
134
432
ByA
6. Demuestre que la traspuesta de una matriz elemental es otra matriz
elemental.
7. Considere
∈
−
= Cwzz
w
w
zQ ,/ . Demuestre que Q satisface
las propiedades de un campo excepto una. ¿Qué tipo de estructura
algebraica es Q?
8. Discuta la unicidad de la matriz P del teorema (1.21)
9. Encuentre la inversa de:
=
4121
0312
0021
0001
T
10. Demuestre que si T es triangular inferior y no-singular, entonces 1−T
es también triangular inferior.
11. Demuestre que si ( ) ( )CIF
BA || , entonces BAC 1−= . Esta es una forma
muy eficiente de calcular PA 1−; úsela para calcular:
−
−
−
−−
−
3100
0410
0031
0003
01128
01 44
0112
11 01
)
302
010
414
101
013
001
)23
5 2
43
21 )
1
1
1
cba
Si
−−=
0126 0
1210
14 2 1
62 1 4
A , encuentre P no singular tal que PA esté en la
forma escalonada ¿Es Punica?
12. Exprese las matrices siguientes como productos de matrices
elementales:
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−=
=
=
4532
0314
0023
0001
,
001
013
101
,21
12CBA
13. Si A, B, C son matrices cuadradas tales que A, es no-singular y A =
BC, demuestre que B y C también son no-singulares.
Equivalencia por columnas
Todos los resultados obtenidos respecto a operaciones por filas
pueden reformularse en términos de las columnas de una matriz A.
Enunciaremos algunas definiciones y teoremas pero no los demostraremos ya
que son análogos a los anteriores.
Definición:
Una operación elemental por columnas sobre una matriz A es una operación
de uno de los tres tipos siguientes:
I. Intercambio de las columnas i y j (denotado 31 CC ↔ .
II. Multiplicación de la columna i por el escalar 0 ≠k (denotado por
1 Ck ).
III. Reemplazo de la columna i por si misma mas k veces la columna j
(denotado por 10 CCk + )
Definición:
A y B son equivalentes por columnas ( )BA <~ si B se obtiene de A
mediante una sucesión finita de operaciones elementales por columnas.
Teorema 1.25
Una operación elemental por columnas sobre una matriz A puede
reemplazarse, al multiplicar A a la derecha, por una matriz identidad
sobre la cual se ha realizado dicha operación, esto es ( ) ( )CECE AA ..0..0 = , o
más explícitamente:
I. ( ) ( )0101 cccc IAA ↔↔ =
II. ( ) ( )11 kckc IAA =
III. ( ) ( )0101 ckcckc IAA ++ =
Obsérvese que podemos hacer la siguiente identificación:
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50
( ) ( )0101 FFcc II >−<>−< =
( ) ( )11 kFkc II =
( ) ( )1001 FkFckc II ++ =
Teorema 1.26
PBC
A ~ ∃<==> no-singular tal que AP = B.
Teorema 1.27
Si A se reduce a I mediante una sucesión de operaciones
elementales por columnas, entonces la misma sucesión de operaciones sobre
−1
da nos A
I
I
A
Observación:Como las columnas A son las traspuestas de las filas tA , se
podrían realizar operaciones por filas sobre tA y luego trasponer de
nuevo. Por ejemplo, para la parte III del teorema (1.25)
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tFkF
tt
FkF
t
FkFt
ckc IAAIAA 01010101 ++++ ===
( )[ ] ( )[ ]0110 ckcFkF IAIA ++ ==
Es importante observar que las operaciones por columnas no deben
ser usadas, como las operaciones por filas, para resolver sistemas
lineales AX = B. Esto es, ( ) ( )DCBA |~|<
no implica que AX = B y CX = D
sean sistemas equivalentes.
Ejercicio 8
1. Demuestre que la equivalencia por columnas es una relación de
equivalencia
2. Defina “MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR COLUMNAS”
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3. Use el teorema 1.27 para calcular
1
331
213
11 2−
−
−
4. Demuestre que tt B
FAB
cA ~~
<==>
5. Encuentre matrices no-singulares 21 y QQ tales que 21 y BQAQ sean de
la forma escalonada reducción por columnas, donde:
−
−
−
=
=
4 22
2 11
121
268
134
432
ByA
Ahora encuentre una matriz no-singular Q tal que AQ = B.
6. Usando sólo operaciones por columnas, exprese
−
−
−−
=
4 2 2
2 3 1
121
K
Como producto de matrices elementales.
7. Demuestre que existe IC
AA ~ 1 <==>−
8. Demuestre que si
Q
B
CI
A~ entonces AQ = B.
Equivalencia.
Usaremos las operaciones elementales por filas y por columnas para
definir una relación mas general entre matrices. Por una operación
elemental entenderemos una operación elemental por filas o una operación
elemental por columnas.
Definición:
A es EQUIVALENTE a ( )BAB si B se obtiene de A mediante una
sucesión finita de operaciones elementales.
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Nótase que tanto equivalente por filas como equivalencia por columnas son
casos especiales de equivalencia, esto es:
BABF
A ==>~
DCDC
C ==>~
Pero : BF
ABA ~=≠>
Teorema 1.28
QPBA , ∃<==> no-singulares tal que PAQ = B.
La matriz P en el teorema (1.28) representa las operaciones por
filas usadas, mientras que Q representa las operaciones por columnas.
Nótese que P y Q no son necesariamente únicas.
Teorema 1.29
Si una sucesión de operaciones elementales sobre A aplicadas a
0I
IA conduce a
0Q
PB entonces PAQ = B.
(Este teorema nos da un algoritmo para encontrar las matrices P y
Q del teorema (1.28))
Ejemplo:
Para
−−
−
=
101 0 1
0 3 52
2 12 1
A
Encuentre P y Q de modo que PAQ sea lo más simple posible.
Comenzamos con:
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53
32
2
41
31
21
31
21
2
1000
0010
2121
1018220
1018220
0124110
0010001
2
2
2
100
0100
0010
0001
10010101
0100352
0012121
FF
F
CC
CC
CC
FF
FF
+
−
−−
−−
−−
−
+−
+
+−
+−
+
−−
−
−−
−−
−−−−
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
21 21
1250 0 0 0
012411 0
00 1 0 0 0 1
Luego, para:
−−−
=
−−
−−=
1 0 0 0
0 1 0 0
4 1 1 0
10121
125
012
00 1
QyP
tenemos:
=
=00
0
0000
0010
0001
2IPAQ
El resultado general sugerido por el ejemplo anterior es nuestro
siguiente teorema:
Teorema 1.30
Toda matriz ( )KMA mxn∈ es equivalente a una única matriz de la forma:
Demostración:
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Por teoremas (1.17) y (1.24) podemos encontrar una matriz A no-
singular tal que PA está en la forma escalonada reducida por filas. Con
operaciones por columnas del tipo I, PA puede reducirse a
00
SI r, donde
r es el número de filas no nulas en PA, y una sucesión de operaciones por
columnas del tipo III nos conduce por lo tanto a la matriz deseada.
La unidad de la matriz
00
0rIdel teorema (1.30) puede obtenerse
de la unidad de la matriz escalonada reducida por filas PA, pero como
esta última no la dimos, haremos una demostración directa de la unidad
requerida.
Si A fuese equivalente a
00
0rI y a
00
0sI con r < s entonces se
tendría que éstas serían equivalente. Esto es, deberían existir matrices
P y Q no-singulares tales que:
,00
0
00
0o
IQ
IP
sr
=
equivalentemente
1
00
0
00
0 −
=
Q
IIP
sr
Si particionamos a P como:
=
2221
1211
PP
PPP , donde ( )KMP r∈11 , y particionamos a
1−Q como:
=−
333231
232221
131211
1
QQQ
QQQ
QQQ
Q , donde ( ) ( )KMQKMQ rsr −∈∈ 2211 y
y luego calculamos 1
00
0
00
0 −
Q
Iy
IP
sr, tenemos:
=
=
0
0
00
0
00
0
21
11
2221
1211
P
PI
PP
PPIP
rr
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55
=
= −−
000000
00
00
00
0232221
131211
333231
232221
131211
1 QQQ
QQQ
QQQ
QQQ
QQQ
I
I
QI
y rs
r
s
Igualando estas matrices, se obtiene que:
0 0 , 0 231312 === QyQQ
Luego debemos tener:
=−
333231
21
11
1 00
00
QQQ
Q
Q
Q
Este bloque triangular inferior de 2x2 es singular porque el bloque
inferior tiene una fila nula y por lo tanto es singular. Esto es una
contradicción (Q se supuso no-singular), así que debe ser r = s.
Teorema 1.31
Si ( )KMA n∈ es no-singular y PAQ = I entonces QPA =−1
Demostración:
Las matrices 1−P ,
11 y −− QA existen, así que PAQ= I implica
111 luego −−− == QPAPAQ o bien ( ) 1111 −−−− = QPA por lo tanto QPA =−1
Ejercicio 9:
1. Siguiendo el proceso sugerido en el ejemplo, encuentre matrices P y Q
no-singulares de modo que PAQ=I, y luego encuentre 1−A usando el
teorema (1.31). Encuentre 1−B de la misma forma:
−−
−−
−
−
=
=
4 132
11 2 1
32 3 1
2 11 2
3333
3322
3211
3210
ByA
2. Reduzca a la forma canónica del teorema (1.30)
−
−
−−
−−
=
−
=
2 11 2
32 3 1
11 2 1
4 132
y
2 3110
2 9320
0 6210
23100
BA
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56
3. Si
=
2221
1211
AA
AAA es no-singular y se particiona de modo que 11A sea
cuadrada y no-singular, entonces verifique, multiplicando
directamente, que:
−
−+
−
=−−
−−−
11
11
11
1
1
QYQ
XQYXQAA
donde:
1
112112
1
11 ,−− == AAYAAX
y 12
1
11212221221222 AAAAXAAYAAQ−−=−=−=
Use esta fórmula para encontrar
1
22
1211
1
2221
11
0
0−−
A
AAy
AA
A
Compare con el teorema (1.12)
4. Usando la técnica del ejercicio anterior encuentre 1−A , si
−−
−
=
422
14 3
214
A , donde 11A es de 2x2. Use está técnica para
encontrar 1−B , donde
−−
−−
−
−
=
4 132
11 2 1
32 3 1
2 11 2
B y 11B es de 2x2.
5. Dada la matriz
=
3333
3222
3211
3210
A , considere el efecto de la siguiente
sucesión de operaciones elementales sobre ella:
2
1,
2
1; ,
;3,3;2,2
111212
43433232
CFCCFF
CCFFCCFF
++
+−+−+−+−
Use el procedimiento sugerido por el cálculo anterior para
demostrar el teorema siguiente:
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57
Sea A una matriz real simétrica. Pruebe que existe una matriz P
no-singular tal que:
−==
000
00
00
n
s
t I
I
APP
6. Encuentre dos matrices específicas A y B que sean equivalentes, pero
no equivalentes por filas.
7. Cuando se define ( )10FI de la manera obvia, pruebe que toda ( )KMA n∈
es un producto de matrices elementales y matrices del tipo ( )10FI .
8. Pruebe que la equivalencia es una relación de equivalencia en ( )KM mxn
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58
CAPITULO II
Espacios Vectoriales
Definición:
Sea V un conjunto no vacío, diremos que este es un ESPACIO
VECTORIAL sobre un campo (K, +, .) y llamaremos VECTORES a sus elementos
si se verifica que:
A) : V está provisto de una ley de composición interna (l. c. i.):
VVV ---- x : >⊗ tal que
(v , w) ----- > , wv ⊗
que llamaremos ADICION, de modo que:
( ) ( ) VcbacbacbaA ∈∀⊗⊗=⊗⊗⊗ ,,, :asociativa es :1
VbaabbaA ∈∀⊗=⊗⊗ ,, :aconmutativ es :2
VV
VA
∈∀=⊗∈∃
⊗
a a, 0 a que talO !
: para en neutro elemento Existe :3
( ) ( ) 0a-a que tala- ! ,a
:inverso o opuesto elemento posee en vector Cada :4
=⊗∈∃∈∀ VV
VA
En otras palabras, ( )⊗,V es un GRUPO ABELIANO
P) : V está provisto de una ley de composición externa:
:que tal ----- x : VVK >•
( ) v, ----- , •>αα v
que llamaremos ponderación o multiplicación por escalar, de modo
que:
( ) ( ) ( ) VvuKvuvuP ∈∀∈∀•⊗•=⊗• ,,,:1 αααα
( ) ( ) ( ) VvKvvvP ∈∀∈∀•⊗•=•+ ,,,:2 βαβαβα
( ) ( ) VvKvvP ∈∀∈∀•⋅=•• ,, , :3 βαβαβα
( )( ).,., delcampo tivomultiplica neutro el es 1Vv , 1:4 +∈∀=• KvvP
Notación:
i) ( ) ( )•⊗,,, o o KVKVVK o simplemente V denotara un espacio vectorial
sobre un campo K.
ii) Los elementos del campo o ESCALARES los denotaremos con las letras
griegas ,.......,, fβα
iii) La adición ( )vu −⊗ se escribirá : u – v
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59
En primera instancia el alumno puede sentir que la definición 2.1
es abstracta y que no relaciona con su experiencia previa con los
vectores. Un vistazo a los teoremas 1.4 y 1.6 lo convencerán que ya
hemos mostrado que ( )KM mxn es un espacio vectorial sobre el campo K.
(los vectores son las matrices de mxn, la adición vectorial es la adición
de matrices y la ponderación vectorial es el producto de un escalar por
una matriz).
Daremos ahora una lista de sistemas familiares que nos entregaran
ejemplo concreto de espacios vectoriales.
Ejemplo 1:
( )KM mxn es un espacio vectorial sobre el campo K, como lo dicho
anteriormente. Casos especiales y de mucha importancia son:
( ) ( ) ( )KMKMKM nxnmx y , 11 .
Ejemplo 2:
( ){ }IRyxyxIR ∈= ,/, 2el conjunto de los pares ordenados con
componentes reales es un espacio vectorial sobre el campo ( ).,.,+IR
A) : 22: IRIR >−−−−⊗ tal que
( ) ( ) ( )dbcadcba ++=⊗ , ,,
P) : 22 IR x IRIR >−−−−• tal que
( ) ( )b , , ••=• ααα aba
Usualmente a ( )IRIR 2se le llama el plano real.
Geométricamente, el vector (a , b) se puede representar por medio
de una flecha trazada, a partir del origen del sistema de un flecha
trazada a partir del origen del sistema de coordenadas, al “punto” (a,
b), como se ilustra en la figura 2-1. La interpretación gráfica de la
adición es la muy conocida “Ley del paralelogramo”, la cual establece que
el vector u + v es la diagonal del
paralelogramo formado por u y v, con u, 2IRv∈ . (ver figura 2-2).
La ponderación se puede interpretar geométricamente como la
“amplificación” de α ,v veces, como se ilustra en la figura 2-3.
Ejemplo 3:
v + u
FIGURA 2-2
v = (a , b)
FIGURA 2-1
2v = (2a , 2b)
v
u
v = (a , b)
FIGURA 2-3 -1v=(-a, -b)
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60
Sea INn∈ un natural determinado, y designado por
( ){ }niIRxxxxIR n
n ,.....,2 ,1,/,...,, 121 =∈= . Si ( )nuuuu ,........, , 21= y
( )nvvvv ,.....,, 21= pertenecen a nIR , y ,IR∈α tómese
( )nn vuvuvuvu +++=+ ,.....,, 2211
( )nvvvv ..,,......... , 21 αααα =
Entonces nIR constituye un espacio vectorial sobre el campo IR .
Ejemplo 4:
Sea [ ] { }00,,/...... 1
2
2101 <∈++++=+ nINKaxaxaxaaxIK n
nn el conjunto de
los polinomios de grado a lo mas n, y definiendo las leyes de
composición:
A) INTERNA : +
( ) ( ) ( ) ( )( ) n
nn
n
n
n
n
xba
xbabaxbxbxbbxaxaxaa
+
+++++=+++++++++ ............ 1100
2
210
2
210
donde .,....2,1,, 111 nKba =∀∈
P) EXTERNA: .
( ) ( ) ( ) ( ) KaKxaxaaxaxaa n
n
n
n ∈∈∀+++=+++ 11010 ,,............ ααααα
Entonces [ ]( ),.,,1 ++ KxIK n es un espacio vectorial sobre el campo K.
Obsérvese que:
I) ( ) [ ] ( ) n
nn xaxaaxpxIKxp +++=<==>∈ + ....101
II) ( ) ( ) n
n
n
n xbxbbxqxaxaaxpSi +++=+++= ....y ... 1010
entonces ( ) ( )xqxp = si y solo si nn bababa === ,....,, 1100
III) ( ) nxxx 0...000 ++= es el neutro aditivo
IV) ( ) ( ) ( ) ( ) n
n xaxaaxp −++−+−=− ......10 es el inverso de p(x).
Ejemplo 5:
Sea { },función es /: fKxfK x >−−−−= donde 0≠x . Es decir xK es
el conjunto de todas las funciones con dominio X y con dominio K.
Si se definen las leyes de composición:
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61
a) INTERNA : + : xxx KKK >−−− x tal que
f +g se define por:
( )( ) ( ) ( ) xxxgxfxgf ∈∀+=+ ,
P) EXTERNA : . : xx KKK >−−− x tal que
f•α se define por:
( )( ) ( ) XxKxf ∈∈∀=• ,,xf ααα
Entonces ( )•+,,,KK x es un espacio vectorial sobre K.
En efecto:
A) :
( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )( )[ ] ( )
( )[ ]( ) ( )+∈∀++=
+∈∀++=
+∈∀++=
+∈∀++=
+∈∀++=++
de Def.,hgf
de .,xf
K,en .,
de Def.,
de Def., : 1
Xxx
DefXxxhg
AsocXxXhxgxf
Xxxhxgxf
XxxhxgfxhgfA
Por lo tanto (f + g) + h = f + (g + h); es decir, la adición de
funciones es asociativa. (Nótese que esto se conoce de Algebra).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )+∈∀+=
+∈∀+=
+∈∀+=+
de Def. ,
,K en Conmut. ,
de Def. , :2
Xxxfg
Xxxfxg
XxxgxfxgfA
Luego f + g = g + f , es decir la adición de funciones es conmutativa .
x
3 K0~ nulafunción la Existe : ∈A , definida por
( ) xKfffXxx ∈∀=+∈∀= ,0~ : que tal,00
~
( ) ( ) 0~
que tal1, : 4 =−+−=•−∃∈∀ ffffKfA x
En efecto:
( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )0
~ de Def. ,0
~Ken 0 del absorventeLey 0
Ken adit. Inv. ,0
Ken Distrib. ,11
f- de Def. ,11
de Def, ,
Xxx
Xxxf
Xxxf
Xxxfxf
Xxxfxfxff
∈∀=
=
∈∀•=
∈∀−+=
∈∀−+−=
+∈∀−+=−+
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62
Por lo tanto +,xK es un grupo abeliano.
P)
( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )+∈∀•+•=
∈∀•+•=
∈∀+=
+∈∀+=
∈∀+=+•
de Def. ,
. de Def. ,
. ,
de Def. ,
. de Def. , : 1
Xxxgf
Xxxgxf
enKDistribXxxgxf
Xxxgxf
XxxgfxgfP
αααα
ααα
αα
Luego ( ) xKgfKgfgf ∈∈∀•+•=+• ,,, αααα
( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )+∈∈∀•+•=
∈∈∀•+•=
∈∈+=
•∈∈∀+=•+
Def. ,,,
. Def. ,,,
. ,, ,
Dif. ,,, : 2
KXxxf
KXxxfxf
KenDictribKXVxxfxf
KXxxfxfP
βαββαβαβα
βαβα
βαβαβα
En consecuencia ( ) xKfKff ∈∈∀•+•=•+ ,,, βαβαβα
( )[ ]( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )( )( )[ ]( ) ( ). de Def. ,
K,..en Asoc. ,
. de Def. ,
. de Def. ,f : 3
Xxxf
Xxxf
Xxxf
XxxfxP
∈∀•=
∈∀=
∈∀=
∈∀•=••
αβαββα
βαβα
Luego ( ) ( ) xKfKff ∈∈∀•=•• ,,, βααββα
( )( ) ( ) ( )( ) ( ). de Def. ,,
. de Def. ,1f1 : 4
XxKfxf
XxKfxfxP
x
x
∈∀∈∀=
∈∀∈∀=•
Por lo tanto xKfff ∈∀=• ,1
En consecuencia •+,,, KK x es un espacio vectorial sobre K.
Nota: En adelante, por simplificación, las operaciones interna y externa
•⊗ y , respectivamente, las designaremos por + y . . es decir,
identificaremos las operaciones del campo K con las del espacio V.
Al escribir los escalares con letras griegas no habrá lugar a confusión
con los vectores.
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Propiedades elementales
en un espacio vectorial
Sea ( )•+ , K, ,V un espacio vectorial sobre K. Entonces.
VvvV vk ∈∀=•= ,001
KV vv ∈∀=•= αα ,002
( ) ( ) ( ) VvKvvvV ∈∀∈∀−=−=•−= ,,3 αααα
vKv vvvV 0 004 ====>=•= αα
( ) ( ) VvKvvV ∈∀∈∀•=−•−= , 5 ααα
vuvuV ===>≠•=•= 0y K6 ααα
Demostración:
( )( ) ( )( )( ) )0 de (00 0
1 0
01 0
01 0 :
v4
3
2
41
UnidadvvPvv
vAvv
vPvv
vVPvvV
vkk
k
kk
kk
===>+∴
•+∴
•++∴
•+••+
( )( ) ( ) ( )*00 0
00 00 0 : 13v2
vvv
vvvv PAV
•+•=•∴
•+•+••
ααα
αααα
Adicionado ( )v0•− α a ambos lados de (*) se tiene:
( ) vvv 000 •=•−• ααα
Por lo tanto, por 4A
vv 00 •=α
( ) ( ) ( )[ ][ ]
( ) vVvv
vO
vPvvV
k
0
A
:
1
4
13
αα
αααα
+•−
•
•+−•+•−
Luego, por unicidad del inverso aditivo de v•α , se tiene que:
( ) ( ) vv •−=•− αα
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( )( )
v
v
v
vv
v
v
v
vviV
0
01
0
0 0 0 Si ):
1-
11
4
===>
=⋅==>
=⋅==>
⋅=•==>=•∧≠ −−
αα
ααααα
)ii Si k0=α no hay nada que probar.
:y 65 VV Se dejan de ejercicio.
Ejercicio 1.
1. Probar en detalle que el sistema descrito en el ejemplo 2 es un
espacio vectorial.
2. Mostrar que IR (IR) es un espacio vectorial real con la adición y
multiplicación usuales y también que IR (Q) es un espacio vectorial
sobre Q., pero Q (IR) no es un espacio vectorial ¿Lo es Q (Q)?.
3. Probar que todo campo K es un espacio vectorial sobre si mismo.
4. Probar en detalle que los sistemas descritos en los ejemplos 3 y 4.
5. Probar que { }Qba, / 2 ∈+= baV es un espacio vectorial sobre Q.
6. Sea [ ]baIR ,
= [ ]{ }función es /,: fIRbaf >−−
Sea [ ] [ ]{ }continua es /, , fIRfbaT ba∈= . Determinar cuál de los siguientes
conjuntos de funciones es un espacio vectorial real, con las
operaciones de [ ]baIR ,
. (ver ejemplo 5):
i) [ ] ( ) ( ){ }bfafbaCfV =∈= /,
ii) [ ] ( ) ( ){ }xbfxafbaCfV −=+∈= /,
iii) [ ] ( ) [ ]{ }ba, de losubintervaun en x cada pra ,0/, =∈= xfbaCfV
iv) [ ] ( ) ( ){ }xfxfbaCfV −=∈= /, (funciones pares)
v) [ ] ( ) ( ){ }xfxfbaCfV −−=∈= /, (funciones impares)
7. Sea { }0/ >∈=+ xIRxIR . Probar que +IR es espacio vectorial real con
las leyes de composición:
A) INTERNA : +++ >−−−⊗ IRxIRIR: tal que:
xyyx =⊗
P) EXTERNA: ++ >−−−• IRxIRIR : tal que:
αα xx =•
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65
8. Sea ( ){ }IRyxyxV ∈= ,/, . Se definen:
( ) ( ) ( )0,,, cadcba +=⊗
( ) ( )baba ααα ,, =•
¿Es V un espacio vectorial real? ¿Por qué?.
9. Si en el ejercicio 8 se cambia la ponderación como sigue:
( ) ( )0,, aba αα =•
¿Es ( )•⊗,,, IRV un espacio vectorial?
10. Sea ( ){ }IRyxyxV ∈= ,/, . Si se consideran:
( ) ( ) ( )dbcadcba ++=⊗ ,,,
( ) ( )baba ,, αα =•
¿Es ( )•⊗,,, IRV un espacio vectorial?
11. En nIR se definen las leyes de composición:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) IRxxxxxx
yxyxyxyyyxxx
nn
nnnn
∈∀−−−=•
−−−=⊗
ααααα ,,.....,,,......,,
,.....,,,....,,,......,,
2121
22112121
¿Qué axiomas de espacio vectorial se cumplen para ( )•⊗,, IRIR n?
12. Sea 2IR con las leyes de composición definidas por:
( ) ( )
++=⊗
2,
2,,
dbcadcba
( ) ( ) IRbaba ∈∀=• αααα ,,,
13. Probar que en un espacio vectorial V(K) se tiene:
i) KVvovvv ∈∀∈∀==<==>⋅=⋅ βαβαβα ,,,0
ii) 00 ===>=+∧−===>=+ vuvuuvvu
14. Determinar α sabiendo que 0≠v , en V(K), y que:
( ) ( ) ( ) KyKVvuvuvuu ∈∈∀−=−+− ααα ,,1
15. Sea 00IR el conjunto que consiste de todas las sucesiones infinitas:
( ),......, 21 xxx =
de números reales, Si ( ),......, 21 yyy = es otra de tales sucesiones, se
definen:
( );,......., 2211 yxyxyx ++=+
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y ( ) IRxxx ∈∀=⋅ αααα ,......, 21
Demostrar que 00IR es un espacio vectorial real.