universidad de extremadura departamento de matem´aticas · dan amir: characterization of inner...

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURADepartamento de Matematicas

Caracterizacionde

espacios prehilbertianos

Autor: Diego Francisco Yanez Murillo.

junto con Carlos Benıtez Rodrıguez.

Salobrena, Granada, abril 2008

Introduccion.

Introduccion.

GEOMETRIA DE ESPACIOS NORMADOS

Introduccion.


→Ortogonalidad en Espacios Normados

Introduccion.


→Ortogonalidad en Espacios Normados

→Caracterizacion de Espacios Prehilbertianos

Resultados destacados:

Resultados destacados:

J. Alonso, “Ortogonalidad en Espacios Normados”, Dep. de Matematicas,Universidad de Extremadura, Badajoz, 1984.

J. Alonso, C. Benıtez, Some characteristic and non-characteristicproperties of inner product spaces, J. Approx. Theory 55 (1988), 318–323.

J. Alonso, C. Benıtez, Orthogonality in normed linear spaces: a survey.Part I: main properties, Extracta Math. 3 (1988), 1-15.

J. Alonso, C. Benıtez, Orthogonality in normed linear spaces: a survey.Part II: relations between main orthogonalities, Extracta Math. 4 (1989), 121–131.

C. Benıtez, Orthogonality in normed linear spaces: a classification of thedifferent concepts and some open problems, Rev. Mat. Univ. Complutense Madr.2 (1989), 53-57.

J. Alonso, C. Benıtez, Complements on Diminnie Orthogonality, Math.Nachr. 165 (1994), 99-106.

J. Alonso, C. Benıtez, Area orthogonality in normed linear spaces, Arch.Math. 68 (1997), 70-76.

Un espacio normado X es prehilbertiano si ‖x‖ =√

(x|x).

Un espacio normado X es prehilbertiano si ‖x‖ =√

(x|x).

Si dim(X) = 2, X es prehilbertiano si S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1} es una elipse(circunferencia)

Figura 1: Ejemplo de cuerda de S que soporta a ρS en su punto medio.

Antecedentes Historicos.

Antecedentes Historicos.

B.D. Roberts, On the geometry of abstract vector spaces, Tohoku Math. J.39 (1934), 42-59.

G. Birkhoff, Orthogonality in linear metric spaces, Duke Math. J. 1 (1935),169-172.

M.M. Day, Some characterizations of inner product spaces, Trans. Amer.Math. Soc. 62 (1947), 320-337.

R.C. James, Inner product in normed linear spaces, Bull. Amer. Math. Soc.53 (1947), 559-566.

J.L. Joly, Caracterisations d’espaces hilbertiens au moyen de la constanterectangle, J. Approx. Theory 2 (1969), 301-311.

J. Desbiens, Une nouvelle caracterisation des espaces de Hilbert, Ann. Sc.Math. Quebec 14(1) (1990), 17-22.

Dan Amir: Characterization of Inner Product Spaces, Birkhauser Verlag, Basel, 1986.

−→350 caracterizaciones de espacios prehilbertianos.



Ejemplos:



Ejemplos:

• “Igualdad del paralelogramo” o “Teorema de Jordan von Newman”:

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), (x, y ∈ X).



Ejemplos:


‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), (x, y ∈ X).

• “Teorema de Brunn, Blaschke y Kakutani”: un espacio normado real,de dimension ≥ 3, es prehilbertiano si y solo si existe una proyeccion lineal denorma 1 sobre cada subespacio bidimensional.



Ejemplos:


‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), (x, y ∈ X).


Propiedades:



Ejemplos:


‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), (x, y ∈ X).


Propiedades:

• X complejo es prehilbertiano, si y solo si, lo es el espacio real subyacente.



Ejemplos:


‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), (x, y ∈ X).


Propiedades:


• X real es prehilbertiano, si y solo si, lo son todos sus subespacios bidimensionales.



Ejemplos:


‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), (x, y ∈ X).


Propiedades:


• X real es prehilbertiano, si y solo si, lo son todos sus subespacios bidimensionales.

Prehilbertiano ↔ Hilbet

Planteamiento de la caracterizacion

Planteamiento de la caracterizacionObservacion geometrica:


Sea X el plano euclıdeo.



Si X = l2(2) (S es una circunferencia).



Si X = l2(2) (S es una circunferencia).Cualquiera que sea la cuerda con extremosen S que soporta a su homotetica de radio 1/2, 1

2S, lo hace en su punto medio.Si X es el plano euclıdeo (S es una circunferencia)

12S

S

Si X = l22 (S es una elipse)

12S

S

Si X = l2∞ (S es un cuadrado)

12S

S





12S

S


12S

S


12S

S

Si X = l∞(2) (S es un cuadrado).





12S

S


12S

S


12S

S

Si X = l∞(2) (S es un cuadrado).

Si X es el plano euclıdeo (S es una circunferencia)

12S

S


12S

S


12S

S

La “hipotesis (12S)”.


Definicion: Un espacio normado X (real o complejo) verifica la “hipotesis (12S)”

si:u, v ∈ S, inf

τ∈[0,1]‖(1− τ)u + τv‖ = 1

2 ⇒ 12u + 1

2v ∈12S.

u

v

w

12S

S

Observese que, si esto es cierto, en particular, ocurre que cada cuerda de S

que soporta a 12S, lo hace en su punto medio.

Nosotros nos propusimos ver si este hecho, al que llamaremos “hipotesis ( 12S)”

caracteriza a los espacios prehilbertianos; lo que a la vez sirvio para finalizar

la prueba del resultado de Benıtez, Fernandez y Soriano.

Formalmente:

“HIPOTESIS (12S)”:

Definicion 0.3 Un espacio normado X (real o complejo) verifica la “hipotesis

(12S)” si:

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ = 12 ⇒

12u+ 1

2v ∈12S.

012S

S

uu+v

2v

Es decir, si cualquiera que sea la cuerda con extremos en S, que soporta a 12S, lo

hace en su putno medio.



si:u, v ∈ S, inf

τ∈[0,1]‖(1− τ)u + τv‖ = 1

2 ⇒ 12u + 1

2v ∈12S.

u

v

w

12S

S






Formalmente:



(12S)” si:

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ = 12 ⇒

12u+ 1

2v ∈12S.

012S

S

uu+v

2v



¿“Hipotesis (12S)” caracteriza a los espacios prehilbertianos?

INDICE:

INDICE:

• “Hipotesis (12S)”.

INDICE:


∗Notaciones y “herramientas”.

∗Propiedades con la “Hipotesis (12S)”.

∗Caracterizacion de espacios prehilbertianos.

∗Aplicaciones.

INDICE:





∗Aplicaciones.

→Resultado de Gurarii y Sozonov.

INDICE:





∗Aplicaciones.

→Resultado de Gurarii y Sozonov.

→Localizacion de medianas de Fermat-Torricelli.

Notaciones y “herramientas”.


Basta considerar:


Basta considerar:

X = R2,


Basta considerar:

X = R2,

S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1},


Basta considerar:

X = R2,

S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1},

B = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1}.


Basta considerar:

X = R2,

S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1},

B = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1}.

Denotamos 12S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1

2}.


Basta considerar:

X = R2,

S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1},

B = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1}.

Denotamos 12S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1

2}.

Sean x, y ∈ X

x ⊥ y (x B-ortogonal -u ortogonal en sentido Birkhoff- a y):

‖x‖ ≤ ‖x + λy‖, ∀λ ∈ R.


NOTACIONES:

x ⊥ y significa que x B-ortogonal (u ortogonal en sentido Birkhoff) a y, esto

es, que

‖x‖ ≤ ‖x+ λy‖, ∀λ ∈ R.

0

‖x‖S

xx+ λy

y

x ≺ y significa que x e y son linealmente independientes y x precede es-

trictamente a y en la orientacion positiva de X. Es decir, si x = (x1, x2) e

y = (y1, y2) entonces

x ∧ y = x1y2 − x2y1 > 0.

Notese que x ∧ y da el area del paralelogramo que determinan los vectores x

e y.

x

y

RESULTADOS PRELIMINARES:

Proposicion 0.4 Si X es prehilbertiano, entonces verifica “hipotesis ( 12S)”.

x ≺ y : x e y son linealmente independientes y x precede estrictamente a y enla orientacion positiva de X.Es decir, si x = (x1, x2) , y = (y1, y2)

x ∧ y = x1y2 − x2y1 > 0.


NOTACIONES:


es, que

‖x‖ ≤ ‖x+ λy‖, ∀λ ∈ R.

0

‖x‖S

xx+ λy

y




x ∧ y = x1y2 − x2y1 > 0.


e y.

x

y



x ≺ y : x e y son linealmente independientes y x precede estrictamente a y enla orientacion positiva de X.Es decir, si x = (x1, x2) , y = (y1, y2)

x ∧ y = x1y2 − x2y1 > 0.


NOTACIONES:


es, que

‖x‖ ≤ ‖x+ λy‖, ∀λ ∈ R.

0

‖x‖S

xx+ λy

y




x ∧ y = x1y2 − x2y1 > 0.


e y.

x

y



x ∧ y es el area del paralelogramo que determinan los vectores x e y.

Para cada punto u ∈ S, los puntos u∗ y u∗∗ son los puntos de S tales que:u∗∗ ≺ u ≺ u∗ y los segmentos [u∗∗, u] y [u, u∗] soportan a a ρS.

Lema 0.5 Cualquiera que sea el espacio normado X, para cada punto u ∈ S

existen puntos u∗, u∗∗ ∈ S unicos, tales que u∗∗ ≺ u ≺ u∗ y los segmentos

[u∗∗, u] y [u, u∗] soportan a 12S.

S

0

u

u∗∗

u∗

u⊥

S

0

u

u∗∗

u∗

u⊥

Ademas, si X verifica la hipotesis 12S, entonces:

Proposicion 0.6 X es regular (liso y estrictamente convexo).

Corolario 0.7 Para cada vector u ∈ S, existe otro vector u⊥ ∈ S, unico, tal

que: u ⊥ u⊥ y u ⊥ u⊥.

Lema 0.8 Para cada punto u ∈ S existe un unico numero real µ > 0 tal que

‖12(u− µu⊥)‖ = ‖1

2(u+ µu⊥)‖ = 1.

S

12S

0

u

12(u− µu⊥)1

2(u+ µu⊥)

u⊥

Proposicion 0.9 Todos los “segmentos” Tuu∗ de la bola unidad B que deter-

minan las cuerdas [u, u∗] de S que soportan a 12S tienen la misma area.

Parametrizacion de Joly de S:

Parametrizacion de Joly de S:

Para cada θ ∈ [0, 2π], s(θ) es el punto de S que forma un angulo θ con un puntoincial prefijado s(0) ∈ S

S

12S

0

uu∗Tuu∗

Sea s : θ ∈ [0, 2π]→ s(θ) ∈ S una parametrizacion natural de S.

S

s(θ)

0s(0)

θ

Como S es una curva convexa, esta aplicacion es continua y de variacion

acotada.

Del mismo modo, las aplicaciones

s∗ : θ ∈ [0, 2π]→ s∗(θ) ∈ S,

s⊥ : θ ∈ [0, 2π]→ s⊥(θ) ∈ S,

s− µs⊥ : θ ∈ [0, 2π]→1

2[s(θ)− µ(θ)s⊥(θ)] ∈ S,

s+ µs⊥ : θ ∈ [0, 2π]→1

2[s(θ) + µ(θ)s⊥(θ)] ∈ S.

tambien son parametrizaciones (no naturales) de S continuas y de variacion

acotada.

La aplicacion s : θ ∈ [0, 2π] → s(θ) ∈ S es una parametrizacion natural continuay de variacion acotada de S.

∀ 0 ≤ α < β ≤ α + π

A(Bs(α)s(β)) =12

∫ β

α

s(θ) ∧ ds(θ) =12

∫ β

α

[s1(θ)ds2(θ)− s2(θ)ds1(θ)]

012S

S

s(0)

s(θ)

s(θ)− µ(θ)s⊥(θ)

s(θ) + µ(θ)s⊥(θ)

s⊥(θ)

s∗(θ)

Ası ∀ 0 ≤ α < β ≤ α+ π

A(Bs(α)s(β)) =1

2

∫ β

α

s(θ) ∧ ds(θ) =1

2

∫ β

α

[s1(θ)ds2(θ)− s2(θ)ds1(θ)]

S0

s(α)s(β)Bs(α)s(β)

En particular,

A(B) =1

2

∫ 2π

0s(θ)∧ ds(θ) =

1

2

∫ 2π

0s∗(θ)∧ ds∗(θ) =

1

2

∫ 2π

0s⊥(θ)∧ ds⊥(θ) =

1

8

∫ 2π

0[s(θ)− µ(θ)s⊥(θ)] ∧ d[s(θ)− µ(θ)s⊥(θ)] =

1

8

∫ 2π

0[s(θ) + µ(θ)s⊥(θ)] ∧ d[s(θ) + µ(θ)s⊥(θ)].

Propiedades con la “hipotesis (12S)”.


Propiedades: Si X verifica la “hipotesis (12S)” entonces, para cada u ∈ S, se

tiene que,



tiene que,

(i) X es regular (liso y estrictamente convexo)



tiene que,

(i) X es regular (liso y estrictamente convexo)

En particular, para cada u ∈ S, existe un unico u⊥ en S tal que: u ≺ u⊥ yu ⊥ u⊥.

Lema 0.5 Cualquiera que sea el espacio normado X, para cada punto u ∈ S

existen puntos u∗, u∗∗ ∈ S unicos, tales que u∗∗ ≺ u ≺ u∗ y los segmentos

[u∗∗, u] y [u, u∗] soportan a 12S.

S

0

u

u∗∗

u∗

u⊥

S

0

u

u∗∗

u∗

u⊥

Ademas, si X verifica la hipotesis 12S, entonces:

Proposicion 0.6 X es regular (liso y estrictamente convexo).

Corolario 0.7 Para cada vector u ∈ S, existe otro vector u⊥ ∈ S, unico, tal

que: u ⊥ u⊥ y u ⊥ u⊥.

Lema 0.8 Para cada punto u ∈ S existe un unico numero real µ > 0 tal que

‖12(u− µu⊥)‖ = ‖1

2(u+ µu⊥)‖ = 1.

S

12S

0

u

12(u− µu⊥)1

2(u+ µu⊥)

u⊥

Proposicion 0.9 Todos los “segmentos” Tuu∗ de la bola unidad B que deter-

minan las cuerdas [u, u∗] de S que soportan a 12S tienen la misma area.

(ii) Las aplicaciones:

s∗ : θ ∈ [0, 2π] → s∗(θ) ∈ S,

s⊥ : θ ∈ [0, 2π] → s⊥(θ) ∈ S,

son parametrizaciones de S continuas y de variacion acotada (S curva convexa).


s∗ : θ ∈ [0, 2π] → s∗(θ) ∈ S,

s⊥ : θ ∈ [0, 2π] → s⊥(θ) ∈ S,


(iii) Las aplicaciones s, s∗ : [0, 2π] → S son diferenciables y se tiene ques′ = ps⊥ y s∗′ = qs∗⊥.


s∗ : θ ∈ [0, 2π] → s∗(θ) ∈ S,

s⊥ : θ ∈ [0, 2π] → s⊥(θ) ∈ S,


(iii) Las aplicaciones s, s∗ : [0, 2π] → S son diferenciables y se tiene ques′ = ps⊥ y s∗′ = qs∗⊥.

(iv) (u∗)∗ = u∗∗.Nota: (u∗)∗ = u∗∗ significa que:

u

u∗

u∗∗

12S

S

Por otra parte:

Lema 0.12 Si X verifica la hipotesis ( 12S) entonces,

1. ∀u ∈ S, A(Buu∗) = A(Bu∗u∗∗) = A(Bu∗∗u), y estos sectores son disjun-

tos.

2. u, v ∈ S ,u ≺ v ⇒ A(Buv) = A(Bu∗v∗).

3. u ∈ S → u ∧ u∗ ∈ R es constante.

S

0

u∗

u

u∗∗S

0u

v

v∗

u∗

Demostracion: (1) Dodo u ∈ S, sea s : θ ∈ [0, 2π] → s(θ) ∈ S una

parametrizacion natural de S y α, β ∈ [0, 2π], con 0 ≤ α < β < α + π,

tales que:

u =1

2[s(α)− µ(α)s⊥(α)]

(v) ∀u ∈ S, A(Buu∗) = A(Bu∗u∗∗) = A(Bu∗∗u),y estos sectores son disjuntos.

1

u

u∗

u∗∗

u

u∗

v

v∗


1

u

u∗

u∗∗

u

u∗

v

v∗

(vi) u, v ∈ S ,u ≺ v ⇒ A(Buv) = A(Bu∗v∗).


1

u

u∗

u∗∗

u

u∗

v

v∗

(vi) u, v ∈ S ,u ≺ v ⇒ A(Buv) = A(Bu∗v∗).

(vii) u ∈ S → u ∧ u∗ ∈ R es constante.

Teorema 1: X es prehilbertiano si y solo si verifica la “hipotesis (12S)”.


Demostracion:


Demostracion:

Si X es prehilbertiano,


Demostracion:

Si X es prehilbertiano, entonces ‖x‖ =√

(x|x),


Demostracion:


(x|x),y es facil ver que la funcionconvexa

F (t) = ‖(1− t)u + tv‖, 0 ≤ t ≤ 1,

alcanza un mınimo en t = 1/2.


Demostracion:



F (t) = ‖(1− t)u + tv‖, 0 ≤ t ≤ 1,


Para el recrıproco:


Demostracion:



F (t) = ‖(1− t)u + tv‖, 0 ≤ t ≤ 1,


Para el recrıproco: Basta considerar X = R2, S esfera unidad.


Demostracion:



F (t) = ‖(1− t)u + tv‖, 0 ≤ t ≤ 1,



Sea s : θ ∈ [0, 2π] → s(θ) ∈ S una parametrizacion natural de S.


Demostracion:



F (t) = ‖(1− t)u + tv‖, 0 ≤ t ≤ 1,



Sea s : θ ∈ [0, 2π] → s(θ) ∈ S una parametrizacion natural de S.

Existe una aplicacion k : [0, 2π] → k(θ) ∈ R+ tal que, para cada θ ∈ [0, 2π] si

s(θ) =(s1(θ), s2(θ)

)y s∗(θ) =

(s∗1(θ), s

∗2(θ)

)

entonces,s′1(θ) = k(θ)[s1(θ) + 2s∗1(θ)]

s′2(θ) = k(θ)[s2(θ) + 2s∗2(θ)]

s∗′1 (θ) = −k(θ)[2s1(θ) + s∗1(θ)]

s∗′2 (θ) = −k(θ)[2s2(θ) + s∗2(θ)]

entonces,s′1(θ) = k(θ)[s1(θ) + 2s∗1(θ)]

s′2(θ) = k(θ)[s2(θ) + 2s∗2(θ)]

s∗′1 (θ) = −k(θ)[2s1(θ) + s∗1(θ)]

s∗′2 (θ) = −k(θ)[2s2(θ) + s∗2(θ)]

Datos iniciales,

(s1(0), s2(0)) = (1, 0) y (s∗1(0), s∗2(0)) = (−12,√

32 ),

se obtiene que, s21(θ) + s2

2(θ) = 1.

APLICACIONES:

APLICACIONES:

Resultado de Gurarii y Sozonov

Gurarii y Sozonov (1968):

APLICACIONES:

Resultado de Gurarii y Sozonov

Gurarii y Sozonov (1968): X espacio normado es prehilbertiano ⇔

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u + τv‖ = ‖12u + 1

2v‖.

RESULTADO A PROBAR: ¿“Hipotesis ( 12S)” caracteriza a los espacios

prehilbertianos?

EN RELACION A LA “HIPOTESIS (12S)”:

Basta considerar X = R2, S = {x ∈ X : ‖x‖ = 1}, B = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1}.

Gurarii y Sozonov: X espacio normado es prehilbertiano ⇔

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ = ‖ 12u+ 1

2v‖.

S

Pues bien, el hecho de que la “hipotesis ( 12S)” sea caracterıstica de los espacios

prehilbertianos significa exactamente que en el resultado de Gurarii y Sozonov

basta considerar aquellos pares de puntos u, v ∈ S para los que

infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ =1

2.

“hipotesis (12S)” ⇒ basta considerar u, v ∈ S tal que

infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u + τv‖ =12.

u

v

w

12S

S






Formalmente:



(12S)” si:

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ = 12 ⇒

12u+ 1

2v ∈12S.

012S

S

uu+v

2v

Medianas de Fermat-Torricelli.


Definicion: X espacio normado, x, y, z ∈ X, un punto m ∈ X es una “mediana(de Fermat-Torricelli)” de x, y, z, si

‖x−m‖+ ‖y −m‖+ ‖z −m‖ ≤ ‖x− p‖+ ‖y − p‖+ ‖z − p‖, (p ∈ X)



‖x−m‖+ ‖y −m‖+ ‖z −m‖ ≤ ‖x− p‖+ ‖y − p‖+ ‖z − p‖, (p ∈ X)

Si X es prehilbertiano,



‖x−m‖+ ‖y −m‖+ ‖z −m‖ ≤ ‖x− p‖+ ‖y − p‖+ ‖z − p‖, (p ∈ X)

Si X es prehilbertiano, ⇒ ∀x, y, z ∈ X,∃·m y m ∈ co(x, y, z).(Fermat, Torricelli, Cavalieri, S XVII)

m se conoce como “mediana (de Fermat-Torricelli)” de x, y, z.

x

y

z

m

x y = m

z

Sea X un espacio normado arbitrario.

Si X es prehilbertiano (‖x‖ =√

(x|x) )⇒ ∀x, y, z ∈ X, ∃·m y m ∈ co(x, y, z).

Si X no es prehilbertiano, ⇒ la mediana de tres puntos no tiene porque

existir, y, en caso de existir, no tiene porque ser unica ni porque estar en la

envolvente convexa de los tres puntos (ni siquiera en el plano que determinan

dichos puntos).

Teorema 0.1 (Benıtez, Fernandez, Soriano, 2002) Sea X un espacio nor-

mado de dimension ≥ 3, X es prehilbertiano si y solo si ∀x, y, z ∈ X ⇒ hay

una mediana de dichos puntos en co(x, y, z).

Pues bien, para probar este resultado, el necesario probar que:

Teorema 0.2 : X es prehilbertiano si y solo si ∀u, v, w ∈ S : u + v + w =

0⇒ 0 es una mediana de dichos puntos.

Y para probar este ultimo resultado es necesario probar que X es prehilber-

tiano si y solo si para cada punto u ∈ S hay un triangulo inscrito en S,

circunscrito a 12S, que tiene por vertice a u y que es tal que cada lado del

triangulo toca a 12S en su punto medio.



‖x−m‖+ ‖y −m‖+ ‖z −m‖ ≤ ‖x− p‖+ ‖y − p‖+ ‖z − p‖, (p ∈ X)

Si X es prehilbertiano, ⇒ ∀x, y, z ∈ X,∃·m y m ∈ co(x, y, z).(Fermat, Torricelli, Cavalieri, S XVII)

m se conoce como “mediana (de Fermat-Torricelli)” de x, y, z.

x

y

z

m

x y = m

z

Sea X un espacio normado arbitrario.

Si X es prehilbertiano (‖x‖ =√

(x|x) )⇒ ∀x, y, z ∈ X, ∃·m y m ∈ co(x, y, z).

Si X no es prehilbertiano, ⇒ la mediana de tres puntos no tiene porque

existir, y, en caso de existir, no tiene porque ser unica ni porque estar en la

envolvente convexa de los tres puntos (ni siquiera en el plano que determinan

dichos puntos).

Teorema 0.1 (Benıtez, Fernandez, Soriano, 2002) Sea X un espacio nor-

mado de dimension ≥ 3, X es prehilbertiano si y solo si ∀x, y, z ∈ X ⇒ hay

una mediana de dichos puntos en co(x, y, z).

Pues bien, para probar este resultado, el necesario probar que:

Teorema 0.2 : X es prehilbertiano si y solo si ∀u, v, w ∈ S : u + v + w =

0⇒ 0 es una mediana de dichos puntos.

Y para probar este ultimo resultado es necesario probar que X es prehilber-

tiano si y solo si para cada punto u ∈ S hay un triangulo inscrito en S,

circunscrito a 12S, que tiene por vertice a u y que es tal que cada lado del

triangulo toca a 12S en su punto medio.

Si X no es prehilbertiano, dados x, y, z ∈ X, la mediana de estos tres puntos notiene porque existir, ni ser unica, ni estar en co(x, y, z)


Teorema: (Benıtez, Fernandez, Soriano, 2002) Sea X un espacio normado dedimension ≥ 3, X es prehilbertiano si y solo si, para cada x, y, z ∈ X hay unamediana de dichos puntos en co(x, y, z).


Teorema: (Benıtez, Fernandez, Soriano, 2002) Sea X un espacio normado dedimension ≥ 3, X es prehilbertiano si y solo si, para cada x, y, z ∈ X hay unamediana de dichos puntos en co(x, y, z).

Teorema: (Benıtez, Yanez, 2007)Un espacio normado real X liso de dimension≥ 3 es prehilbertiano si y solo si, para cada u, v, w ∈ S tales que u + v + w = 0,se tiene que 0 es una mediana de dichos puntos.

Generalizacion:

Generalizacion:

Recordemos:


si:u, v ∈ S, inf

τ∈[0,1]‖(1− τ)u + τv‖ = 1

2 ⇒ 12u + 1

2v ∈12S.

u

v

w

12S

S






Formalmente:



(12S)” si:

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ = 12 ⇒

12u+ 1

2v ∈12S.

012S

S

uu+v

2v



Generalizacion:

Recordemos:


si:u, v ∈ S, inf

τ∈[0,1]‖(1− τ)u + τv‖ = 1

2 ⇒ 12u + 1

2v ∈12S.

u

v

w

12S

S






Formalmente:



(12S)” si:

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ = 12 ⇒

12u+ 1

2v ∈12S.

012S

S

uu+v

2v



Teorema 1: X es prehilbertiano si y solo si verifica la “Hipotesis (12S)”.

Generalizacion:

Recordemos:


si:u, v ∈ S, inf

τ∈[0,1]‖(1− τ)u + τv‖ = 1

2 ⇒ 12u + 1

2v ∈12S.

u

v

w

12S

S






Formalmente:



(12S)” si:

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ = 12 ⇒

12u+ 1

2v ∈12S.

012S

S

uu+v

2v



Teorema 1: X es prehilbertiano si y solo si verifica la “Hipotesis (12S)”.

¿Sera cierto para cualquier esfera homotetica de radio ρ, con 0 < ρ < 1?

La “hipotesis (ρS)”


Definicion: Dado 0 < ρ < 1, diremos que un espacio normado X (real ocomplejo), con esfera unidad S, verifica la “hipotesis (ρS)” cuando

u, u∗ ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u + τu∗‖ = ρ ⇒ 12u + 1

2u∗ ∈ ρS.

s′2(θ) = k(θ)[s2(θ) + 2s∗2(θ)]

s∗′1 (θ) = −k(θ)[2s1(θ) + s∗1(θ)]

s∗′2 (θ) = −k(θ)[2s2(θ) + s∗2(θ)]

Resolviendo dicho sistema para los datos iniciales,

(s1(0), s2(0)) = (1, 0) y (s∗1(0), s∗2(0)) = (−1

2 ,√

32 ),

se obtiene que,

s21(θ) + s2

2(θ) = 1,

es decir, a que S es una elipse, como querıamos demostrar.

GENERALIZACION:

Definicion: Dado 0 < ρ < 1, diremos que un espacio normado X (real o

complejo), con esfera unidad S, verifica la “hipotesis ((ρS))” cuando

u, u∗ ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τu∗‖ = ρ ⇒ 12u+ 1

2u∗ ∈ ρS.

0ρS

S

uu+u∗

2u∗

Lema 0.11: X verifica la “hipotesis ( 12S) ⇒

Es decir, cuando cualquiera que sea la cuerda con extremos en S, que soporta aρS, lo hace en su punto medio.


Definicion: Dado 0 < ρ < 1, diremos que un espacio normado X (real ocomplejo), con esfera unidad S, verifica la “hipotesis (ρS)” cuando

u, u∗ ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u + τu∗‖ = ρ ⇒ 12u + 1

2u∗ ∈ ρS.

s′2(θ) = k(θ)[s2(θ) + 2s∗2(θ)]

s∗′1 (θ) = −k(θ)[2s1(θ) + s∗1(θ)]

s∗′2 (θ) = −k(θ)[2s2(θ) + s∗2(θ)]

Resolviendo dicho sistema para los datos iniciales,

(s1(0), s2(0)) = (1, 0) y (s∗1(0), s∗2(0)) = (−1

2 ,√

32 ),

se obtiene que,

s21(θ) + s2

2(θ) = 1,

es decir, a que S es una elipse, como querıamos demostrar.

GENERALIZACION:

Definicion: Dado 0 < ρ < 1, diremos que un espacio normado X (real o

complejo), con esfera unidad S, verifica la “hipotesis ((ρS))” cuando

u, u∗ ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τu∗‖ = ρ ⇒ 12u+ 1

2u∗ ∈ ρS.

0ρS

S

uu+u∗

2u∗

Lema 0.11: X verifica la “hipotesis ( 12S) ⇒

Es decir, cuando cualquiera que sea la cuerda con extremos en S, que soporta aρS, lo hace en su punto medio.

¿“Hipotesis (ρS)” caracteriza a los espacios prehilbertianos?

INDICE:

INDICE:

• Generalizacion: la “hipotesis (ρS)”.

INDICE:


∗Mas “herramientas”:

INDICE:



−→ρ-polıgono asociado a un punto de la esfera.

−→ ρ-elipse asociada a un punto de la esfera.

INDICE:





∗Caso ρ 6=√

(1 + cos 2kπn )/2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...).

∗Caso ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...).

∗Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...m− 1; m = 2, 3, ...).

INDICE:





∗Caso ρ 6=√

(1 + cos 2kπn )/2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...).

∗Caso ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...).

∗Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...m− 1; m = 2, 3, ...).

• Conclusion.

Si X verifica la “hipotesis (12S)” ⇒

Si X verifica la “hipotesis (12S)” ⇒

Nota: (u∗)∗ = u∗∗ significa que:

u

u∗

u∗∗

12S

S

Por otra parte:

Lema 0.12 Si X verifica la hipotesis ( 12S) entonces,

1. ∀u ∈ S, A(Buu∗) = A(Bu∗u∗∗) = A(Bu∗∗u), y estos sectores son disjun-

tos.

2. u, v ∈ S ,u ≺ v ⇒ A(Buv) = A(Bu∗v∗).

3. u ∈ S → u ∧ u∗ ∈ R es constante.

S

0

u∗

u

u∗∗S

0u

v

v∗

u∗

Demostracion: (1) Dodo u ∈ S, sea s : θ ∈ [0, 2π] → s(θ) ∈ S una

parametrizacion natural de S y α, β ∈ [0, 2π], con 0 ≤ α < β < α + π,

tales que:

u =1

2[s(α)− µ(α)s⊥(α)]

“ρ-polıgono asociado a un punto de la esfera”

“ρ-polıgono asociado a un punto de la esfera”

Sea X el espacio R2 dotado de una norma, S su esfera unidad , ≺ orientacion delplano y 0 < ρ < 1.

Definicion: Dado u ∈ S, se llama ρ-polıgono asociado a u a la coleccionPu = {u1, u2, u3, ...} de puntos de S que se van obteniendo, a partir de u1 = u,de la siguiente forma:

u1 ≺ u2 y la cuerda [u1, u2] soporta a ρS,

u2 ≺ u3 y la cuerda [u2, u3] soporta a ρS, etc.

Surge entonces la pregunta:

Si X que verifica la “hipotesis (ρS)”, ¿se podran construir polıgonos

de esas caracterısticas?

“ρ-polıgono asociado a un punto de la esfera”. No es necesario considerar que

X verifica la “hipotesis ((ρS))”, ni siquiera que el espacio es regular.

Definicion 0.15 ≺ orientacion del plano, u ∈ S, se llama ρ-polıgono asoci-

ado a dicho punto a la coleccion Pu = {u1, u2, u3, ...} de puntos de S que se

van obteniendo, a partir de u1 = u, de la siguiente forma:

u1 ≺ u2 y la cuerda [u1, u2] soporta a ρS,

u2 ≺ u3 y la cuerda [u2, u3] soporta a ρS, etc.

S

ρS

u = u1

u2

u3

u4

u5

u6

S

ρS

u5

u6

u7

u = u1

u2

u3

u4

Estos ρ-polıgonos tienen, entre otras, la siguientes propiedades:

Proposicion 0.16 Si el ρ-polıgono Pu es denso en S para algun u ∈ S en-

tonces tambien es denso en S para todo u ∈ S.

Demostracion: En primer lugar se prueba, haciendo uso del Lema 0.5, que

no puede haber un ρ-polıgono denso en S y otro finito; una vez probado eso,

haciendo uso de la densidad de Pu en S y del Lema 0.5, se concluye que que

no puede haber un ρ-polıgono denso en S y otro infinito no denso.

Este ρ-polıgono puede ser:

∗infinito

→denso en S

→no denso en S

∗finito

→un numero par de vertices

→un numero impar de vertices

Ejemplos de ρ-polıgonos:

?Si X = `2(2), es decir, S es una circunferencia, entonces para cada u ∈ S:

Si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, el ρ-polıgono Pu es finito con un numero impar de

vertices.

Si ρ =√

(1 + cos kπm )/2, el ρ-polıgono Pu es finito y con un numero par de

vertices.

Si ρ no esta en los casos anteriores, el ρ-polıgono Pu es denso en S.1

ρ

ρρ


?Si X = `∞(2), es decir, S es un cuadrado, y ρ = 1/2, entonces:

P(1,0) = {(1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0,−1)} es convexo con cuatro verices.

Si u ∈ S no es ninguno de los vertices del anterior ρ-polıgono, entonces Pu

tiene infinitos vertices, pero no es denso en S.

Proposicion 0.17 Si dos ρ-polıgonos Pu y Pv, con u, v ∈ S, son finitos en-

tonces tienen el mismo numero de puntos (vertices).

Demostracion: Para la demostracion se utiliza el Lema 0.5.

NOTA:

- si un ρ-polıgono es denso en S, ⇒ todos los ρ-polıgonos son densos en S

(condiciones del lema 0.11),

- si un ρ-polıgono es finito, no implica que todos los demas ρ-polıgonos son

finitos, puede haberlos infinitos no densos en S.

S

ρS

u = u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

Visto esto, surge la pregunta:

Para cada valor 0 < ρ < 1, si X verifica la “hipotesis (ρS), ¿como

seran los ρ-polıgonos?

“ρ-elipse asociada a un punto de la esfera”, X verifica la “hipotesis

(ρS)” (en particular, es regular). Para cada punto u ∈ S se considera una

ρ-elipse asociada a dicho punto, Cu, que es la elipse centrada en 0 que pasa

por los tres puntos: u, 12ρ(u+ u∗), u∗ ∈ S,

Propiedades:

Propiedades:

(i) Si Pu es denso en S para algun u ∈ S, entonces tambien es denso en S paratodo u ∈ S.

Propiedades:

(i) Si Pu es denso en S para algun u ∈ S, entonces tambien es denso en S paratodo u ∈ S.

(ii) Si Pu y Pv, con u, v ∈ S, son finitos entonces tienen el mismo numero depuntos (vertices).

“ρ-elispse asociada a un punto de la esfera”

“ρ-elispse asociada a un punto de la esfera”

Definicion: Si X verifica la “hipotesis (ρS)”. Para cada punto u ∈ S se llamaρ-elipse asociada a u , a la elipse, Cu, centrada en 0 que pasa por los tres puntos:u, 1

2ρ(u + u∗), u∗ ∈ S.

1

ρS

SCu

uu∗

1

2ρ(u + u∗)


Propiedades: Si X verifica la “hipotesis (ρS)”:


(i) Para cada u ∈ S, la ρ-elipse Cu es tangente a S en 12ρ(u + u∗) .


(i) Para cada u ∈ S, la ρ-elipse Cu es tangente a S en 12ρ(u + u∗) .

(ii) Existe un punto v ∈ S tal que la ρ-elipse Cv es tangente a S en todos lospuntos (vertices) v1, v2, . . . , del ρ-polıgono Pv; es decir: Pv ⊂ S ∩ Cv y Pv esinscrito en Cv y circunstrito a ρCv.

Fijado un valor 0 < ρ < 1, puede ser que:


ρ 6=√

(1 + cos 2kπn )/2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...), el ρ-polıgono Pv es denso

en S.

ρ =√

(1 + cos 2kπn )/2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...), el ρ-polıgono Pv tiene un

numero finito de vertices,


ρ 6=√


en S.

ρ =√



n par, ρ =√

1+cos kπm

2 , (k = 1, ...m; m = 1, 2, 3, ...), entonces elρ-polıgono Pv tiene un numero par de vertices.


ρ 6=√


en S.

ρ =√



n par, ρ =√

1+cos kπm

2 , (k = 1, ...m; m = 1, 2, 3, ...), entonces elρ-polıgono Pv tiene un numero par de vertices.

n impar, ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...)”, el

ρ-polıgono Pv tiene un numero impar de vertices.

Caso ρ 6=√

1+cos 2kπn

2 , (2k < n; n = 1, 2, 3, ...).

Caso ρ 6=√

1+cos 2kπn

2 , (2k < n; n = 1, 2, 3, ...).

Teorema 2: Si X verifica la hipotesis (ρS), con

ρ 6=

√1 + cos 2kπ

n

2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...),

entonces es prehilbertiano.

Caso ρ 6=√

1+cos 2kπn

2 , (2k < n; n = 1, 2, 3, ...).


ρ 6=

√1 + cos 2kπ

n

2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...),


Demostracion: Pv ⊂ S ∩ Cv y Pv denso en Cv,⇒ S = Cv.

Caso ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...)”

Caso ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...)”

Si X verifica la “hipotesis (ρS)”, hay un ρ-polıgono Pv con un numero impar devertices.

Caso ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...)”


Caso particular, ρ = 12:

Caso ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...)”


Caso particular, ρ = 12:

u

v

w

12S

S






Formalmente:



(12S)” si:

u, v ∈ S, infτ∈[0,1]

‖(1− τ)u+ τv‖ = 12 ⇒

12u+ 1

2v ∈12S.

012S

S

uu+v

2v

Propiedades: Si X verifica la “hipotesis (ρS)”,


(i) Hay un ρ-polıgono, Pv = {v1, v2, . . . , vn}, con un numero impar de vertices.



(ii) Los vertices de ese ρ-polıgono Pv son tales que:

v1 ∧ v2 = ... = vn−1 ∧ vn = vn ∧ v1,

A(Bv1v2) = A(Bv2v3) = . . . = A(Bvnv1), . . .




v1 ∧ v2 = ... = vn−1 ∧ vn = vn ∧ v1,

A(Bv1v2) = A(Bv2v3) = . . . = A(Bvnv1), . . .

(iii) Todo ρ-polıgono tiene el mismo numero impar de vertices y todos verificanlas mismas propiedades.




v1 ∧ v2 = ... = vn−1 ∧ vn = vn ∧ v1,

A(Bv1v2) = A(Bv2v3) = . . . = A(Bvnv1), . . .


(iv) u ∈ S → u ∧ u∗ es constante.




v1 ∧ v2 = ... = vn−1 ∧ vn = vn ∧ v1,

A(Bv1v2) = A(Bv2v3) = . . . = A(Bvnv1), . . .


(iv) u ∈ S → u ∧ u∗ es constante.

(v) u, v ∈ S, u ≺ v,A(Buv) = A(Bu∗v∗).


ρ =

√1 + cos 2kπ

2m+1

2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...),


Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...).

Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...).

Propiedades: Si X verifica la hipotesis (ρS)

Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...).


(i) Hay un ρ-polıgono Pv con un numero par de vertices.

Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...).



(ii) A(Bvivi+1) = constante.

Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...).




(iii) vi ∧ vi+1 = constante.

Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...).





Pero:

Los argumentos de los casos anteriores (1/2, denso e impar) no bastan para obteneruna caracterizacion. En concreto, no somos capaces de obtener que todos losρ−polıgonos tengan esas propiedades que Pv.

Caso ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...).





Pero:

Los argumentos de los casos anteriores (1/2, denso e impar) no bastan para obteneruna caracterizacion. En concreto, no somos capaces de obtener que todos losρ−polıgonos tengan esas propiedades que Pv.

¡¡¡PROBLEMA ABIERTO!!!

Caso ρ = 1√2.

Caso ρ = 1√2.

u

u∗

u∗∗

12S

S

este resultado es fundamental para probar que la dicha hipotesis caracteriza

a los espacios prehilbertianos.

CASO GENERAL:

Primer intento: ρ = 1√2(Seccion 2.4).

S

1√2S

Proposicion 0.14 Si X verifica la hipotesis (ρS) y para cada u1 ∈ S exis-

ten u2, u3, u4 ∈ S tal que el cuadrilatero de esos vertices es inscrito a S y

circunscrito a ρS, entonces,

1. u3 = −u1, u4 = −u2.

2. ‖u1 + u2‖ = ‖u2 + u3‖ = 2ρ.

3. ρ = 1√2.

4. X es prehilbertiano.

Teorema 4: Si X verifica la hipotesis (ρS) y para cada u1 ∈ S existenu2, u3, u4 ∈ S tal que el cuadrilatero de esos vertices es inscrito a S y circunscritoa ρS, entonces,

(i) u3 = −u1, u4 = −u2.

(ii) ‖u1 + u2‖ = ‖u2 + u3‖ = 2ρ.

(iii) ρ = 1√2.

(iv) X es prehilbertiano.

Conclusion:

Conclusion:

Fijado un valor 0 < ρ < 1,

Conclusion:

Fijado un valor 0 < ρ < 1, si X verifica la “hipotesis (ρS)”, entonces:

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es

prehilbertiano

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es

prehilbertiano (teorema 3).

Caso particular: ρ = 12(teorema 1).

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es



• si ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...),

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es



• si ρ =√

(1 + cos kπm )/2, (k = 1, ...,m− 1; m = 2, 3, ...),⇒ caso abierto.

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es



• si ρ =√


Caso particular: hipotesis (ρS)+ hipotesis adicional , ⇒ X esprehilbertiano ( teorema 4).

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es



• si ρ =√



• si ρ no es ninguno de los valores anteriores

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es



• si ρ =√




ρ 6=√

(1 + cos 2kπn )/2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...),

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es



• si ρ =√




ρ 6=√

(1 + cos 2kπn )/2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es prehilbertiano

Conclusion:


• si ρ =√

(1 + cos 2kπ2m+1)/2, (k = 1, ...,m; m = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es



• si ρ =√




ρ 6=√

(1 + cos 2kπn )/2, (2k < n; n = 1, 2, 3, ...), ⇒ X es prehilbertiano

(teorema 2).

Referencias:

Referencias:

C. Benıtez and D. Yanez, ‘Middle points, medians, and inner products’, Proc.Amer. Math. Soc. 135 (2007), 1725–1734.

C. Benıtez and D. Yanez, ‘Middle points and inner products’, Bull. LondonMath. Soc. 39, No. 5, (2007) 811-817.

D. Yanez, ‘Una caracterizacion bidimensional de los espacios prehilbertianos’,Ph. Tesis Doctoral Dpto Matematicas. UEx (2007), ISBN: 84− 87042− 21− 1.

universidad de extremadura departamento de matem´aticas · dan amir: characterization of inner...

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