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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
LÍNEA RECTA
MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN
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UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
LÍNEAS RECTAS.
1. Pendiente de una recta.2. Ángulo de inclinación.3. Ecuación de la recta para punto y pendiente.4. Ecuación general de la recta.5. Ecuación de la recta para pendiente y ordenada
en el origen.6. Condición de paralelismo.7. Condición de perpendicularidad.8. Distancia de un punto a una recta.
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ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Pendiente: Es una inclinación.
La pendiente de una recta que pasa por dos puntos es:
m = tan
12
12
xxyy
m
P 2 (x 2
, y 2)
P 1 (x 1
, y 1)
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UNVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Ejemplo 1: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es:
66.032
64
1715
12
12
m
m
xxyy
m
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
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ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Ejemplo 2: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es:
initoinfm
m
xxyy
m
03
)5(52512
12
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
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1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Ejemplo 3: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es:
0304133
12
12
m
m
xxyy
m
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Si la pendiente de una recta es:
m = tan Entonces, el ángulo de inclinación de la recta es:
= tan-1 m
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Así, para el Ejemplo 1, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es: = tan-1 m
= tan-1(2/3) = 33.69º = 33º 41’ 24”
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Para el Ejemplo 2, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es:
= tan-1 m = tan-1
= 90º Ya que la recta es vertical.
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Para el Ejemplo 3, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es:
= tan-1 m = tan-1 0
= 0º
Ya que la recta es horizontal.
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
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3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE.
La ecuación de la pendiente de una recta, para un punto genérico P(x, y) y otro punto cualquiera que sea P1 (x1, y1) es:
Eliminando el denominador, despejando de la misma tenemos:
1
1
y ym
x x
)( 11 xxmyy
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3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE.
La ecuación
Se conoce como “ecuación de la recta para punto y pendiente”.
Donde: m: pendiente de la recta (x1, y1): es un punto cualquiera
)( 11 xxmyy
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Si en la ecuación
se sustituye la pendiente “m” y un punto P(x1, y1), se obtiene una ecuación de la forma
Ax + By + C = 0, la cuál se conoce como Ecuación General de la Recta.
Donde:A: coeficiente de “x”B: coeficiente de “y”C: término independiente
)( 11 xxmyy
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 4:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(3, 7) y B(-2, 1).
La pendiente es:
Sustituyendo el punto (3, 7) y la pendiente 6/5 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
56
56
3271
12
12
xxyy
m
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=6/5, P(3, 7)
Igualando
a “cero”:Luego, la ecuación general de la recta es:
6x – 5y + 17 = 0A=6, B=-5, C=17
017560
3518560
186355
)3(6)7(5
)3(56
7
)( 11
yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 5:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto C(-2, 7) y D(4, -3).
La pendiente es:
Sustituyendo el punto (4, -3) y la pendiente -5/3 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
35
610
)2(473
12
12
xxyy
m
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=-5/3, P(4, -3)
Igualando
a “cero”:Luego, la ecuación general de la recta es:
5x + 3y - 11 = 0A=5, B=3, C=-11
01135
092035
20593
)4(5)3(3
)4(35
)3(
)( 11
yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 6:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto E(1, 6) y F(-3, -4).
La pendiente es:
Sustituyendo el punto (1, 6) y la pendiente 5/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
25
410
1364
12
12
xxyy
m
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=5/2, P(1, 6)
Igualando
a “cero”:Luego, la ecuación general de la recta es:
5x – 2y + 7 = 0A=5, B=-2, C=7
07250
125250
55122
)1(5)6(2
)1(25
6
)( 11
yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 7:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto G(-5, 4) y H(3, 0).
La pendiente es:
Sustituyendo el punto (3, 0) y la pendiente -1/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
21
84
)5(340
12
12
xxyy
m
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=-1/2, P(3, 0)
Igualando a “cero”:
Luego, la ecuación general de la recta es:
x + 2y - 3 = 0A=1, B=2, C=-3
032
32
)3(1)0(2
)3(21
0
)( 11
yx
xy
xy
xy
xxmyy
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Si ya se conoce la pendiente “m” y el punto, se sustituyen directamente en la ecuación de la recta para “punto y pendiente”.
)( 11 xxmyy
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Si de la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 despejamos “y”:
Obtenemos: )(BC
xBA
y
BCAx
y
CAxBy
(0, b)
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Que tiene la formay = m x + b
Donde:
)(BC
xBA
y
(0, b)
BC
b
BA
m
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Por lo tanto, si conocemos la ecuación general de la recta
A x + By + C = 0, podemos calcular su pendiente “m” y su ordenada en el origen. Esto es, que el punto P(x1 , y1) es P(0,b) donde x1 = 0 y y1 = b.
(0, b)
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Ejemplo 8: De la recta 6x-5y+17=0 A=6, B=-5 y C=17.
Luego:
517
517
56
56
BC
b
BA
m
(0, 17/5)
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Ejemplo 9:De la recta
5x + 3y -11 = 0, A=5, B=3 y C=-11.
Luego:
311
3)11(
35
BC
b
BA
m
(0,11/3)
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6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Sean L1 y L2 dos rectas paralelas y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura.
L2 L1
12
Luego:
2 = 1
Tan 2 = Tan 1
m2 = m1
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6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Ejemplo 10: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (3, -2) y es paralela a la recta 5x - 2y + 7 = 0.
L1: 5x – 2y + 7 = 0
L2: pasa por (3, -2) y es
paralela a L1.
L2L1
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2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
De la ecuación de la recta 5x - 2y + 7 = 0, podemos calcular “m” como sigue:
Pero:
m2 = m1=5/2 y P(3, -2)
25
25
BA
m
L2L1
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2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
m2 = m1=5/2 y P(3, -2)
Luego, sustituyendo en
Obtenemos L2: 5x – 2y – 19 = 0
L2L1
01925,041525
15542),3(5)2(2
)3(2
5)2(),( 11
yxyx
xyxy
xyxxmyy
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2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Ejemplo 11: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (-2, 1) y es paralela a la recta x + 2y - 3 = 0.
L1: x + 2y - 3 = 0
L2: pasa por (-2, 1) y es
paralela a L1.
L1L2
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6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
De la ecuación de la recta
x + 2y - 3 = 0, podemos calcular “m” como sigue:
Pero:
m2 = m1=-1/2
y P(-2, 1)
21
BA
m
L2 L1
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6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
m2 = m1=-1/2 y P(-2, 1)
Luego, sustituyendo en
Obtenemos L2: x + 2y = 0
02,0222
222),2(1)1(2
))2((21
)1(),( 11
yxyx
xyxy
xyxxmyy
L2 L1
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ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura.
L2
L1
1
2
Luego:
2 = 1+90º
Tan 2 = Tan (1+90º)
m2 = -1/m1
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ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 12: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (2, 1) y es perpendicular a la recta 3x–2y+5=0.
L1: 3x-2y+5=0
L2: pasa por (2, 1) y es
perpendicular a L1
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
De la ecuación de la recta 3x-2y+5=0, podemos calcular “m” como sigue:
Pero: P(2, 1) y
23
23
BA
m
32
2/31
m1
m1
2
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
m2 = -2/3 y P(2,1)
Luego, sustituyendo en
Obtenemos: L2: 2x+3y-7=0
043y3x2
4x23y3
)2x(2)1y(3
)2x(32
)1(y
)xx(myy 11
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 13: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (2,-3) y es perpendicular a la recta 3x+5y-1=0.
L1: 3x+5y-1=0
L2: pasa por (2,-3) y es
perpendicular a L1
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ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.
7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
De la ecuación de la recta 3x+5y-1=0, podemos calcular “m” como sigue:
Pero: P(2,-3) y
53
53
BA
m
35
5/31
m1
m1
2
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
m2 = 5/3 y P(2,-3)
Luego, sustituyendo en
Obtenemos: L2: 5x-3y-19=0
0109y3x5
10x59y3
)2x(5)3y(3
)2x(35
)3(y
)xx(myy 11
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 14: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los
puntos (2, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por el punto (3, 4) y (-2,-1).
L1: pasa por (3, 4) y (-2,-1)
L2: pasa por (2, 1) y es
perpendicular a L1
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
La pendiente de la recta que pasa por (3, 4) y (-2,-1) es:
Pero:
Luego, sustituyendo m2 = -1 y P(2, 1):
Obtenemos la ecuación: x+y-3=0
155
3241
xxyy
m12
12
1
11
m1
m1
2
01y2x
2x1y
)2x(1)1(y
)xx(myy 11
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8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Para encontrar la distancia d de un punto (x1, y1) a una recta L, se traza la recta L1 paralela a L y que pase por el punto (x1, y1).
La ecuación es:
El signo del radical debe ser opuesto al de C.
Y
X
L1
L
d
22 BA
CByAxd
(x1, y1)
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8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Ejemplo 15:Encontrar la distancia d desde la recta 8x+15y-24=0 al punto (-2,-3).
Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación:
Enseguida la coordenada del punto:
Como d es negativo, el origen y el punto están al mismo lado de la recta.
2222 158
24y15x8
BA
CByAxd
51785
1724)3(15)2(8
d
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8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Ejemplo 16:Encontrar la distancia d desde la recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7).
Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación:
Enseguida la coordenada del punto:
Como d es positivo, el origen y el punto están en distinto lado de la recta.
2222 )8(6
5y8x6
BA
CByAxd
7.51057
105)7(8)1(6
d
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FIN