universidad de murcia departamento de matemÁticas

UNIVERSIDAD DE MURCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Propiedades de cubrimiento, índice

de Kuratowski y renormamiento

en espacios de Banach.

Tesis defendida el 28 de Mayo de 2004 ante el tribunal:

D. Jose Pedro Moreno (Univ. Aut. de Madrid)

D. Antonio S. Granero (Univ. Comp. de Madrid)

D. Vicente Montesinos (Univ. Polit. de Valencia)

D. Bernardo Cascales (Univ. de Murcia)

D. Stanimir Troyanski (Univ. de Murcia)

Autor: D. Fernando García Castaño

Directores: D. Luis Oncina Deltell (Univ. de Murcia)

D. José Orihuela Calatayud (Univ. de Murcia)

Código AMS: 54D20, 54D30, 46B20, 46B50, 46B03

A Noelia y a la

pequeña Marina.

Índice generalÍndice general

Agradecimientos vii

Introducción ix

Capítulo 1. Clases de espacios compactos que surgen del Análisis Funcional . . 1

1.1 Compactos dispersos y compactos metrizables . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Topología descriptiva y espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Inmersión en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Caracterizaciones internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Propiedades geométricas y topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Propiedades de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Propiedades topológicas y de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . 33

Capítulo 2. Networks para distintas clases de espacios compactos. . . . . . . . . . . . 39

2.1 Compactos metrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Compactos de Eberlein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Compactos de Eberlein uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 Compactos de Gul’ko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5 Compactos de Talagrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Capítulo 3. Índice de no compacidad de Kuratowski y renormamiento LUR. . 89

3.1 Índice de Kuratowski, σ -fragmentabilidad y propiedad SLD. . . . . . . . 90

3.2 Índice de Kuratowski y dentabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.3 Índice de dentabilidad de puntos quasi-denting. . . . . . . . . . . . . . . 100

vi

3.4 Algunas aplicaciones y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.5 Teorema de renormamiento LUR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Bibliografía 135

Índice terminológico 144

AgradecimientosAgradecimientos

A continuación deseo expresar mi agradecimiento a todas aquellas personas que han

contribuido de alguna manera a la realización de esta memoria.

A mis padres Fernando y Ma Dolores y a mi abuelo Fernando, porque siempre han

confiado en mi y han estado a mi lado.

A mi hermano José y a Aleimis porque siempre se han interesado por mí y me han

apoyado en todo momento. Como no tener un recuerdo para Leidy y Josele.

A Candy, Emilio, Esther y Candy porque siempre me han dado ánimos para seguir,

aún cuando las cosas parecían no avanzar.

A Noelia, de manera muy especial, por la paciencia y el apoyo que me sigue dando.

Su comprensión y ánimos han sido fundamentales para la culminación de esta memoria.

A la pequeña Marina que me ha hecho sonreír incluso en los momentos complicados.

A la Institución Marista donde trabajo en la que siempre he recibido la atención y

facilidades, de mano de los Directores, del Jefe de Estudios y de los compañeros, para

poder realizar mis proyectos personales. En particular al Hno. Pencho y a M. David por

su comprensión, cercanía y cariño.

A mis directores D. José Orihuela Calatayud y D. Luis Oncina Deltell por todo el tiem-

po que me han dedicado y la ayuda que me han brindado. También quiero agradecerles el

trato personal que han tenido conmigo y que me ha hecho sentir muy cómodo trabajando

con ellos. También a todos los miembros del departamento de matemáticas que siempre

que les he pedido ayuda no han dudado en dármela. No obstante quiero particularizar en

D. Bernardo Cascales Salinas, D. Antonio Avilés y Da Ma Ángeles Hernández.

viii

Por último deseo tener recuerdo para los que ya no están aquí. Mi abuela Ma Dolores,

mi abuela Carmen y mi tíos Pascual y Tomás.

Muchas gracias a todos.

IntroducciónIntroducción

En esta memoria estudiamos propiedades topológicas para distintas clases de espacios

compactos, y propiedades geométricas (y también topológicas) para espacios normados.

Las propiedades geométricas se refieren (fundamentalmente) a resultados sobre renor-

mamiento LUR y dentabilidad. Las propiedades topológicas se expresan en función de

networks que caracterizan a los distintos espacios topológicos1 que aparecen y que pro-

porcionan, de manera natural, propiedades de cubrimientos.

En el capítulo 1 describimos el contexto en el que hemos abordado los problemas

y damos una visión global del mismo, conectando las distintas nociones que aparecen y

ubicando en éste nuestros resultados originales y algunos problemas abiertos que quedan

aún por resolver. Acompañamos el desarrollo de este primer capítulo con esquemas en los

que aparecen las distintas conexiones de manera gráfica para facilitar la visión global que

pretendemos. A groso modo se dan dos líneas de abstracción; una geométrica basada en

propiedades de interacción entre topologías débiles y de la norma en espacios de Banach

y la otra basada en propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas. Las conex-

iones entre ambas líneas, cuando se producen, proporcionan resultados de interés y las

propiedades de tipo descriptivo, como suelen ser la existencia de cierto tipo de network

que describa la topología de estos espacios, serán las que estudiemos en esta memoria.

En el capítulo 2 presentamos resultados para las clases de compactos metrizables

(sección 2.1), compactos de Eberlein (sección 2.2), compactos de Eberlein uniformes

(sección 2.3), compactos de Gul’ko (sección 2.4) y compactos de Talagrand (sección 2.5)

caracterizándolos (salvo en el caso de los compactos de Eberlein uniforme) en función

de la existencia de un tipo de network particular en cada caso. En las secciones 2.1 y 2.2

estudiamos resultados obtenidos por otros autores (extraídos de [Gr] y [D-J-P2]) y que

nos sirven como motivación y punto de partida en nuestro estudio, siendo en el resto de

secciones donde situamos nuestros resultados originales.

Si (X ,τ) es un espacio topológico, denotaremos por C(X) al conjunto formado por las

funciones f : (X ,τ) −→ R continuas. Denotaremos por τp a la topología sobre C(X) de

1Los espacios topológicos que consideramos son completamente regulares, a no ser que se indique lo

contrario.

x

convergencia puntual sobre elementos de X , y escribiremos Cp(X) cuando consideremos

C(X) dotado de la topología τp. En el caso de ser X compacto dotamos a C(X) de su

estructura de espacio de Banach con la norma del supremo.

Sean (X ,τX), (Y,τY ) dos espacios topológicos y ϕ : X −→ 2Y una aplicación multi-

valuada, se dice que ϕ es superiormente semicontinua si para cualquier x ∈ X y cualquier

abierto W ⊂ Y , con ϕ(x) ⊂W , existe un entorno U de x tal que ϕ(U) ⊂W . Si además de

ser superiormente semicontinua, ϕ(x) es un compacto no vacío para todo x ∈ X , diremos

que ϕ es usco. Trabajaremos con NN como producto numerable de copias del espacio

discreto de los números naturales N. Un espacio topológico (X ,τ) se dice K −analítico

(resp. numerablemente K −determinado) si existe una aplicación ϕ multivaluada usco

ϕ : NN −→ 2X sobreyectiva (resp. ϕ : Σ −→ 2X con Σ ⊂ NN). Un espacio topológico

compacto (K,τ) se dice que es un compacto de Talagrand (resp. de Gul’ko) cuan-

do es homeomorfo a un subconjunto compacto de un espacio Cp(X) para X un espacio

topológico K -analítico (resp. numerablemente K -determinado). Cuando X es compacto

también K se dice que es un compacto de Eberlein y esto es así si, y sólo si, C(K) es

un espacio de Banach débilmente compactamente generado [A-L] y si, y sólo si, K

es homeomorfo a un subconjunto débil compacto de un espacio de Banach, [A-L].

Los compactos de Eberlein son así mismo homeomorfos a subconjuntos débilmente

compactos de espacios de Banach reflexivos, [Da-Fi-Jh-Pc]. A raíz del artículo de Amir

y Lindenstrauss ([A-L]), donde probaron la interrelación entre propiedades topológicas

y geométricas de los llamadas espacios de Banach de generación débil compacta, se

han realizado muchas investigaciones sobre estas clases de espacios de Banach y otros

relacionados con éstos, tales como espacios de Banach K -analíticos, débilmente nu-

merablemente K −determinados y débilmente Lindelöf determinados ([Ta], [Vas], [Gul],

[Arg-Me], [O2], [V], [O-S-V], [C-Na-O], [F-Go-M-Z], [On3], [On4]).

Cuando un espacio topológico compacto (K,τ) es homeomorfo a subconjunto débil-

mente compacto de un espacio de Hilbert; e. d. de un espacio l2(Γ) para algún conjunto

Γ, K se llama compacto de Eberlein uniforme. Para un conjunto A denotamos por |A| (o

#A) su número cardinal.

Un Σ-producto es un conjunto

Σ(Γ) = f ∈ RΓ : |γ ∈ Γ : f (γ) 6= 0| ≤ ℵ0 ⊂ RΓ

para algún conjunto de índices Γ. Un espacio topológico compacto K es un compacto de

Corson si es homeomorfo a un subconjunto de un Σ-producto. Un importante resultado de

INTRODUCCIÓN xi

Gul’ko (ver por ejemplo [Ne]) asegura que cualquier compacto de Gul’ko es de Corson.

Un compacto K es un compacto de Valdivia si K ⊂RΓ para algún Γ 6= φ y D = K∩Σ(Γ)

es denso en K.

Compacto metrizable ⇐⇒ C(K) es separable

Compacto de Eberlein uniforme

Compacto de Eberlein ⇐⇒ C(K) es de generaciondebilmente compacta

Compacto de Talagrand ⇐⇒ C(K) es debilmenteK-analıtico

Compacto de Gul’ko ⇐⇒ C(K) es debilmentenumerablementeK-determinado

Compacto de Corson

Compacto de Valdivia

?

?

?

?

?

?

Diagrama Int.I

En el diagrama anterior hemos representado la cadena de implicaciones (todas estrictas,

sección 1.2) entre este tipo de compactos y que "propiedades descriptivas" de los espacios

de funciones continuas C(K) les corresponden en cada caso.

Para una puesta al día sobre estas clases de espacios compactos recomendamos los

libros [Ar2], [F], [H-Hj-Z] y [F-H-Ha-Mon-P-Z], junto con los trabajos [Ne], [Me-Ne],

[Go2], además de los trabajos recientes [D-J-P2], [Arg-Arv], [F-Go-M-Z] y [Arg-Me2].

Pasamos a presentar los resultados principales del capítulo 2:

xii

Recordemos que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico (X ,τ) se

dice discreta si para cada x ∈ X existe V ∈ τ conteniendo a x y que corta como mucho

a un elemento de A . Diremos que A es σ−discreta si se puede expresar como unión

numerable de subfamilias discretas.

Una familia N de subconjuntos de un espacio topológico (X ,τ) es una network, si

cada τ−abierto se puede expresar como unión de elementos de dicha familia N , la noción

de network fue introducida por A. Arakangel’skii en [Ar] y será un hilo conductor en esta

memoria.

Dado un conjunto X , se define su diagonal como ∆ = (x,x) ∈ X 2;x ∈ X. Como

principal resultado de la sección 2.1 tenemos:

Teorema 1 (Gruenhage, ver corolario 2.1.12). Para un espacio topológico compacto K,

son equivalentes:

(i) K es metrizable.

(ii) K2 \∆ es paracompacto.

(iii) K2 es hereditariamente paracompacto.

(iv) K tiene una network σ−discreta.

Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es puntualmente finita,

si cada x ∈ X está en una cantidad finita de conjuntos de A . Si A puede expresarse como

unión numerable de subfamilias puntualmente finitas, se dice que A es σ−puntualmente

finita. Se dice que A es puntualmente numerable, si cada punto de X está en una cantidad

numerable de elementos de A .

Recordemos que un espacio topológico (X ,τ) se dice que es metaLindelöf (resp.

σ -metacompacto) si cada cubrimiento abierto de X tiene un refinamiento abierto pun-

tualmente numerable (resp. σ -puntualmente finito).

A. Dow, H. Junnila y J. Pelant vienen estudiando propiedades de cubrimiento para

topologías débiles que sean satisfechas por clases amplias de espacios de Banach ([D-J-P],

1997 y[D-J-P2], 2004). Para ello introducen tipos de networks que caracterizan propieda-

des de espacios topológicos ligadas a la interrelación entre topologías débiles y fuertes. En

particular caracterizan a los compactos de Eberlein introduciendo la siguiente definición,

(comenzamos a ver resultados de la sección 2.2).

Definición 1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico es:

(i) Puntualmente finitamente extendible si A tiene un extensión abierta puntualmente

finita, es decir, existe una familia UA;A ∈ A de conjuntos abiertos tales que se

INTRODUCCIÓN xiii

cumple A ⊂ UA para cada A ∈ A y, para cada, x ∈ X la familia A ∈ A ;x ∈ UA

es finita.

(ii) σ−Puntualmente finitamente extendible si podemos escribir:

A =⋃

n∈N

An

donde cada subfamilia An tiene una extensión abierta puntualmente finita.

Como principal resultado de la sección 2.2 tenemos:

Teorema 2 (Gruenhage-Dow, Junnila y Pelant; ver corolario 2.2.13). Para un espacio

topológico compacto K, son equivalentes:

(i) K es compacto de Eberlein.

(ii) K2 \∆ es σ−metacompacto.

(iii) K2 es hereditariamente σ−metacompacto.

(iv) K tiene un network σ−puntualmente finitamente extendible.

El teorema 2.2 de Gruenhage en [Gr2], caracteriza así mismo los compactos de Cor-

son como aquellos espacios compactos K tal que K2 es hereditariamente metaLindelöf,

o equivalentemente, tal que K2 \∆ es metaLindelöf. Utilizando dicho resultado, Dow-

Junnila-Pelant ponen de manifiesto que si un compacto tiene una network puntual-

mente numerablemente extendible, entonces es compacto de Corson, dejando como

problema abierto el recíproco, problema 4.14 [D-J-P2].

Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es uniformemente pun-

tualmente finita , si existe N ∈N, tal que para cada x ∈ X se cumple |A∈A ;x ∈ A| ≤N.

Si A puede expresar como unión numerable de subfamilias uniformemente puntualmente

finitas se dice que es σ−uniformemente puntualmente finita.

En la sección 2.3 precisamos las siguientes definiciones:

Definición 2. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X es:

(i) Uniformemente puntualmente finitamente extendible si existe una familia de abier-

tos U = UA;A ∈ A cumpliendo que A ⊂UA y existe un N ∈ N tal que

|A ∈ A ;x ∈UA| < N para todo x ∈ X

A la constante N la llamaremos constante de uniformidad para la extensión U .

xiv

(ii) σ−Uniformemente puntualmente finitamente extendible si se puede expresar como:

A =⋃

n∈N

An

donde cada subfamilia An es uniformemente puntualmente finitamente extendible.

Definición 3. Un espacio topológico X es σ−uniformemente metacompacto si cada cu-

brimiento abierto del espacio tiene un refinamiento abierto σ−uniformemente puntual-

mente finito.

Como principal resultado en esta sección 2.3 podemos presentar el siguiente.

Teorema 3 (Ver teoremas 2.3.2 y 2.3.4). Si un compacto K es compacto de Eberlein

uniforme, entonces tiene una network N σ−uniformemente puntualmente finitamente

extendible y es hereditariamente σ -uniformemente metacompacto.

No sabemos si el resultado anterior es una caracterización, por lo que resulta natural

plantear los siguientes problemas en sintonía con los resultados que aquí presentamos:

Problema 1. Si un compacto K tiene una network σ -uniformemente puntualmente fini-

tamente extendible, ¿es un compacto de Eberlein uniforme?

Problema 2. Si K es compacto de Eberlein uniforme, entonces K2 \∆ es σ−uniforme-

mente metacompacto. ¿Es cierto el recíproco?.

En la sección 2.4 estudiamos la versión para compactos de Gul’ko del teorema 2

anterior. Trabajaremos con familias descompuestas en el retículo de compactos K (M) de

algún conjunto métrico y separable M, es decir, K (M) = K ⊂ M;K es compacto en M

(sección 1.4), en lugar de enN. La estructura reticular de K (M) fue utilizada previamente

en [C-O] para el estudio de multifunciones usco y espacios débilmente numerablemente

determinados. Así introducimos las siguientes definiciones.

Definición 4. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es Σ−puntual-

mente finita cuando existe un espacio métrico separable M tal que A se puede escribir

como

A = ∪AK;K ∈ K (M)

de forma que

INTRODUCCIÓN xv

(i) AK1 ⊂ AK2 si K1 ⊂ K2.

(ii) AK es puntualmente finita para cada K ∈ K (M).

El tipo de network que caracteriza los compactos de Gul’ko tiene una extensión Σ-

puntualmente finita, pero una extensión es una familia indexada. Necesitamos pues adap-

tar la definición de familia Σ-puntualmente finitas a las familias indexadas, comenzamos

con la siguiente:

Observación 1 (Familias indexadas). Dada una familia indexada de subconjuntos de

un conjunto dado X, A = Ai; i ∈ I, y x ∈ X, consideraremos el orden del punto en la

familia pero respecto al conjunto de índices, e. d. |i ∈ I,x ∈ Ai| en lugar de |A ∈ A;x ∈

A|. Además, dadas dos familias indexadas A = Ai; i ∈ I y B = B j : j ∈ J diremos

que A es una subfamilia indexada de B si existe una aplicación inyectiva Ψ : I 7→ J tal

que Ai = Bψ(i), para cada i ∈ I.

Definición 5. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X

es Σ-puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que A =

Ai; i ∈ I, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que la

familia indexada G = Gi; i∈ I es indexada Σ-puntualmente finita, e. d. existe un espacio

métrico separable M de manera que para cada K ∈K (M) tenemos un subconjunto IK ⊂ I

tal que si denotamos por GK := Gi; i ∈ IK se cumple:

(i) I =⋃IK ;K ∈ K (M),

(ii) GK1 es una subfamilia indexada de GK2 , cuando K1 ⊂ K2 en K (M),

(iii) Para cada x ∈ X y K ∈ K (M), se cumple

|i ∈ IK;x ∈ Gi| < +∞

Definición 6. Un espacio topológico (X ,τ) se dice que es Σ−metacompacto cuando todo

cubrimiento abierto admite un refinamiento abierto que sea Σ−puntualmente finito.

Uno de los resultados principales de esta sección 2.4 es el siguiente:

Teorema 4 (Ver teorema 2.4.24). Sea X un compacto, son equivalentes:

(i) X es compacto de Gul’ko.

(ii) X2 \∆ es Σ−metacompacto.

(iii) X2 es hereditariamente Σ−metacompacto.

(iv) X tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.

xvi

Para un familia de subconjuntos A de un conjunto X , dado x ∈ X denotaremos por

ord(x,A ) = |A ∈ A ;x ∈ A|.

Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es débilmente σ−pun-

tualmente finita si podemos descomponer A = ∪nAn de manera que si x ∈ X y A ∈ A ,

existe m ∈ N tal que A ∈ Am y ord(x,Am) < ω0 .

Un cubrimiento U de X es un θ -cubrimiento débil si U = ∪Un;n ∈N de manera

que si x ∈ X , entonces 0 < ord(x,Un) < ω0 para algún n ∈ N. X es débilmente sub-

metacompacto si cada cubrimiento abierto de X tiene un refinamiento abierto que es un

θ -cubrimiento débil (también llamados espacios débilmente θ -refinables [Bu] y relativa-

mente σ -metacompactos [D-J-P]).

Existen compactos de Corson que no son hereditariamente débilmente submetacom-

pactos [Gr4]. Sin embargo cada compacto de Gul’ko es hereditariamente débilmente sub-

metacompacto, éstos son incluso hereditariamente débilmente σ -metacompactos como

prueba Gruenhage en [Gr3] (1987), donde se introduce la siguiente definición.

Definición 7. Un espacio topológico (X ,τ) es débilmente σ -metacompacto si cada cu-

brimiento abierto U de X tiene un refinamiento abierto V tal que V = ∪Vn;n ∈ N y

para cada x ∈ X se tiene que V = ∪Vn;ord(x,Vn) < ω0. (V se dice que es débilmente

σ -puntualmente finito).

El trabajo de G. Gruenhage [Gr3] tuvo una fuerte influencia en Análisis Funcional y

fue la inspiración para probar propiedades de fragmentabilidad de compactos de Gul’ko

y consecuentemente que los espacios de Banach débilmente numerablemente K -deter-

minados son espacios débil Asplund, [F].

En vista de los resultados mencionados anteriormente resulta natural la conjetura

propuesta por G. Gruenhage [Gr3] de que la condición de K compacto y K2 here-

ditariamente débilmente σ -metacompacto debería caracterizar a los compactos de

Gul’ko (ver [Gr3], remark 2). Los resultados obtenidos en la sección 2.4 proporcionan

una prueba completa y positiva para esta conjetura ya que se verifica el siguiente:

Teorema 5 (Ver teorema 2.4.17). Sea A una familia de subconjuntos de un conjunto X.

Son equivalentes:

(i) A es Σ-puntualmente finita.

(ii) A es débilmente σ -puntualmente finita; i.e. A =∪An : n ∈N y para cada x ∈ X

se tiene que A = ∪An : ord(x,An) < ω0.

Y como consecuencia tenemos:

INTRODUCCIÓN xvii

Teorema 6 (Teorema 2.4.26). Sea X un compacto, son equivalentes:


(ii) X2 \∆ es débilmente σ−metacompacto.

(iii) X2 es hereditariamente débilmente σ−metacompacto.


Gruenhage también preguntó si la condición más débil K compacto de Corson

y K2 hereditariamente débilmente submetacompacto caracteriza a los compactos

de Gul’ko dentro de la clase de los compactos de Corson. En este caso la respuesta es

negativa. La solución la proponemos con un ejemplo de Argyros y Mercourakis [Arg-Me]

de un compacto de Corson que no es de Gul’ko y que hemos analizado en el capítulo 1

(ejemplo 1.2.7) para culminar en la sección 2.4 (ejemplo 2.4.34) probando que es un

contraejemplo a esta conjetura de Gruenhage.

Nuestra caracterización de los compactos de Gul’ko en términos de networks propor-

ciona así mismo más información sobre la relación entre compactos de Gul’ko y espacios

compactos con la LSP (ver teorema 2.4.32 y observación 2.4.33), lo que completa la in-

formación obtenida por A. Dow, H. Junnila y J. Pelant, [D-J-P2], sobre esta propiedad

introducida y estudiada por L. Oncina en [On3].

En la sección 2.5 estudiaremos los compactos de Talagrand en relación con el teorema

4 anterior. Trabajaremos con familias descompuestas en NN en lugar de familias descom-

puestas en K (M), aclarando que para dos elementos σ = (an)n y σ ′ = (bn)n de NN, el

símbolo ≤ significa

σ ′ ≤ σ ⇔ bn ≤ an , n = 1,2, . . .

Introducimos las siguientes definiciones para el análisis de los compactos de Tala-

grand:

Definición 8. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es NN−pun-

tualmente finita cuando podemos descomponer

A = ∪Aσ ;σ ∈ NN

de forma que

(i) Aσ1 ⊂ Aσ2 si σ1 ≤ σ2.

(ii) Aσ es una familia puntualmente finita ∀σ ∈ NN.

Definición 9. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X es

NN-puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que A =

xviii

Ai; i ∈ I, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que la

familia indexada G = Gi; i ∈ I es indexada NN-puntualmente finita, e. d., para cada

σ ∈NN existe un subconjunto Iσ ⊂ I de manera que si denotamos por Aσ := Ai; i ∈ Iσ,

para cada σ ∈ NN, se verifica:

(i) I = ∪Iσ ;σ ∈ NN;

(ii) Aσ1 es una subfamilia indexada de Aσ2 cuando σ1 ≤ σ2 en NN;

(iii) para cada x ∈ X y σ ∈ NN se tiene que |i ∈ Iσ ;x ∈ Ai| < +∞.

La propiedad de cubrimiento correspondiente será:

Definición 10. Un espacio topológico (X ,τ) es NN−metacompacto si de cada cubri-

miento abierto se puede extraer un refinamiento abierto NN−puntualmente finito.

Y como resultado principal en la sección 2.5 tenemos el siguiente teorema para

compactos de Talagrand que sigue la linea marcada por los teoremas 1 y 2 anteriores.

Teorema 7 (Ver teorema 2.5.13). Sea K un compacto, son equivalentes:

(i) K es compacto de Talagrand.

(ii) K2 \∆ es NN−metacompacto.

(iii) K2 es hereditariamente NN−metacompacto.

(iv) K tiene una network NN−puntualmente finitamente extendible.

En esta sección estudiamos también una caracterización para las familias NN-puntual-

mente finitas, de manera análoga al caso de familias Σ-puntualmente finitas de la sección

anterior. En particular, tenemos el siguiente:

Teorema 8 (Ver teorema 2.5.9). Para una familia A de subconjuntos de un conjunto

dado X, las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) A es NN-puntualmente finita;

(ii) A es Σ-puntualmente finita de manera que las subfamilias AK de A se indexan a

través de elementos de K (M) siendo M un espacio Polaco;

(iii) A =⋃∞

n=1 An y para n1,n2, . . . ,nk,k ∈ N,

An1,...,nk =∞⋃

m=1

An1,n2,...,nk,m

tal que para cada α = (an) ∈ NN y para cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α,x)

tal que ord(x,Aα|n0) < +∞.

Vamos a representar las relaciones obtenidas entre clases de compactos y tipos de

networks que los caracterizan, en el diagrama de la página siguiente:

INTRODUCCIÓN xix

Tipos de compactos Tipos de network

Metrizable

Eberlein uniforme

Eberlein

Talagrand

Gul’ko

Corson

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-

-

?

-

-

-

-?

σ-discreta

σ−uniformemente puntualmente

finitamente extendible

σ−puntualmente


NN−puntualmente


Σ−puntualmente


puntualmente numerablemente

extendible

Diagrama Int. II.

En el capítulo 3 estudiamos cómo el índice de no compacidad de Kuratowski se liga

con la teoría de renormamiento LUR y nos permite obtener nuevas caracterizaciones del

tipo network para dicha propiedad de renormamiento.

Sea X un espacio métrico, para un subconjunto acotado A ⊂ X recordemos que su

índice de no compacidad de Kuratowski está definido como:

α(A) := ınfε > 0;A ⊂ ∪ni=1Bi con diam(Bi) < ε y n ∈ N

xx

El índice de Kuratowski caracteriza los conjuntos totalmente acotados, ya que α(A) =

0 si y sólo si A es totalmente acotado. En el contexto de espacios métricos completos, ca-

racteriza a los conjuntos relativamente compactos.

Para un espacio de Banach X y A ⊂ X un subconjunto, se dice que un punto x ∈ A ⊂ X

es denting (resp. quasi-denting), si para todo ε > 0, existe un semiespacio H, es decir

H = x ∈ X ; f (x) > δ con f ∈ X∗ y δ ∈ R, conteniendo a x y cumpliendo

diam(A∩H) < ε (resp. α(A∩H) < ε)

Se observa que todo punto denting es quasi-denting. La noción de punto quasi-denting

fue introducido en [Gi-Mr], bajo el nombre de punto α-denting, en conexión con inves-

tigaciones de propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas en los espacios de

Banach; la noción de punto denting nos lleva a los primeros estudios de conjuntos con la

propiedad de Radon Nikodým [Bou] y fue usada en [T] para probar el siguiente resultado

(que se obtiene allí como consecuencia del manejo de técnicas probabilísticas).

Teorema 9 (Troyanski, 1985, [T]). Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de que

cada punto de la esfera unidad SX es un punto denting para la bola unidad cerrada BX ,

entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.

Para una prueba geométrica desprovista de argumentos probabilísticos ver [R]. Recor-

damos que una norma ‖ · ‖ de un espacio normado X se dice localmente uniformemente

rotunda (LUR), si para toda sucesión (xn)n ⊂ SX y x ∈ SX se cumple

lımn

‖x+ xn

2‖= 1 ⇒ lım

n‖ x− xn ‖= 0

Para una puesta al día sobre renormamientos ver [De-Go-Z], [Go], [Hay] y [Z]. No

se sabe si X admite una norma equivalente LUR si cada subconjunto acotado en X tiene

un slice de diámetro arbitrariamente pequeño (e. d. la propiedad de Radon Nikodým). G.

Lancien probó que X admite un norma equivalente LUR siempre que, para cada ε > 0, BX

es una unión de complementos de un familia decreciente transfinita pero numerable Cεα de

conjuntos cerrados y convexos tal que Cεα \Cε

α+1 es una unión de slices de Cεα de diámetro

menor que ε , [La], [La2], ver también [Go]. A lo largo de este capítulo 3 denotaremos por

X un espacio normado, y diremos que el subespacio F ⊂ X ∗ es normante si, al definir

|||x||| := sup| f (x)|; f ∈ F ∩BX∗, para cada x ∈ X

INTRODUCCIÓN xxi

obtenemos una norma equivalente para X . Cuando la norma original coincida con ||| · |||, se

dice que F es 1−normante. Denotaremos por σ(X ,F) a la topología en X de convergencia

puntual sobre elementos de F . Recordamos que fijados f ∈ X ∗ y δ ∈ R el conjunto H =

x ∈ X ; f (x) > δ se denomina semiespacio abierto del espacio normado X , si f ∈ F

(siendo F ⊂ X∗) lo denominaremos σ(X ,F)−semiespacio abierto de X . Denotaremos por

H(F) la familia de todos los σ(X ,F)−semiespacios abiertos de X . Por tanto para un punto

x ∈ A ⊂ X , diremos que es un punto σ(X ,F)-denting (resp. σ(X ,F)-quasi-denting) para

A cuando el semiespacio abierto en la definición de denting (resp. quasi-denting) puede

ser elegido de H(F).

La siguiente modificación de "el proceso de derivación de Cantor" es la principal

herramienta utilizada por Lancien para obtener su resultado:

Fijado un espacio normado X , un subespacio normante F ⊂ X ∗ y B ⊂ X un subcon-

junto convexo, σ(X ,F)-cerrado y acotado. Fijamos algún ε > 0 y definimos:

Dε,F(B) := x ∈ B;‖ · ‖ −diam(H ∩B) > ε,∀H ∈H(F),x ∈ H

De nuevo, Dε,F(B) es un conjunto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado; de hecho, si B

es absolutamente convexo, Dε,F(B) también lo es. Iterando este proceso definimos:

Dα+1ε,F (B) := Dε,F(Dα

ε,F(B)) donde D0ε,F(B) := B

y

Dαε,F(B) :=

⋂

β<αDβ

ε,F(B), si α es un ordinal límite.

En este contexto denotaremos por:

δF(B,ε) :=

ınfα;Dαε,F(B) = φ si existe

∞ en cualquier otro caso

Con esto podemos definir el índice de dentabilidad.

Definición 11. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ subespacio normante y B ⊂ X un

subconjunto σ(X ,F)−cerrado, acotado y convexo. Se define el índice de dentabilidad de

B como

δF(B) := supδF(B,ε);ε > 0

xxii

De hecho, Lancien probó que δX∗(BX) < ω1 (resp. δX(BX∗) < ω1) implica que X

(resp. X∗) admite una norma equivalente LUR (resp. una norma dual LUR). Para puntos

quasi-denting, refinando sus métodos probabilísticos, S. Troyanski obtiene el siguiente

resultado:

Teorema 10 (Troyanski, 1994, [T2]). Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de

que cada punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad

cerrada BX , entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.

Los argumentos de M. Raja ([R]) no funcionan esta vez para obtener una prueba ge-

ométrica del teorema 10 y la construcción seguía siendo totalmente probabilística no

conociéndose otra prueba hasta hoy. De hecho en la sección 3.3 de esta memoria, por

nuestra parte, proporcionamos una prueba totalmente geométrica de este teorema de

Troyanski, libre de argumentos probabilísticos (corolario 3.3.16). Para un subconjunto

dado S de un subconjunto B convexo, σ(X ,F)-cerrado y acotado de un espacio normado

X definimos su índice de dentabilidad (con respecto a un subespacio normante F ⊂ X ∗)

en B como sigue:

δF(S,B,ε) :=

ınfα;Dαε,F(B)∩S = φ si existe


Y así introducimos:

Definición 12. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante, B ⊂ X un

subconjunto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado y S ⊂ B un subconjunto arbitrario. Se

define el índice de dentabilidad de S respecto a B como:

δF(S,B) := supδF(S,B,ε);ε > 0

En otras palabras queremos medir cuantos pasos en el proceso de derivación de Lan-

cien para B son necesarios para "comerse" totalmente al subconjunto S. Cuando todos

los puntos de la esfera unidad son puntos denting para la bola unidad de X , se tiene que

δX∗(SX ,BX) = 1 y la construcción de Raja nos da el siguiente:

Teorema 11 (Ver teorema 3.3.8). Si δF(SX ,BX) < ω1 el espacio normado X admite una

norma equivalente σ(X ,F)-inferiormente semicontinua y LUR.

INTRODUCCIÓN xxiii

Nuestra prueba geométrica del teorema 10 se basa en el teorema 11 junto con el sigu-

iente resultado fundamental en nuestro estudio que presentamos en la sección 3.3:

Teorema 12 (Ver teorema 3.3.10 y corolario 3.3.15). Si F ⊂ X ∗ es un subespacio nor-

mante, para cualquier subconjunto B ⊂ X que sea σ(X ,F)-cerrado, acotado y convexo,

si Q es el conjunto de todos los puntos que sean σ(X ,F)−quasi-denting de B, se tiene

que

δF(Q,B) < ω1

En consecuencia obtenemos no sólo la prueba geométrica del resultado de Troyanski

sino que además su validez para normas inferiormente semicontinuas como ya ocurría en

el teorema 11:

Corolario 1 (Ver corolario 3.3.16). Si X es un espacio normado y F ⊂X ∗ un subespacio

normante tal que cada punto de la esfera unidad SX es σ(X ,F)−quasi-denting para la

bola unidad cerrada BX , entonces δF(SX ,BX) < ω1 y, como consecuencia, X admite una

norma equivalente σ(X ,F)−inferiormente semicontinua y LUR.

Sea (X ,τ) un espacio topológico y d un métrica definida sobre él. Se dice que X tiene

cubrimiento numerable por conjuntos de diámetro localmente pequeño si para cada ε > 0,

X puede ser expresado como una unión:

X = ∪+∞n=1Xε

n

donde cada conjunto X εn tiene la propiedad de que para cada x ∈ X ε

n existe un τ-abierto

U que contiene a x, y que cumple diam(U ∩X εn ) ≤ ε . En esta situación se dice que (X ,τ)

tiene la propiedad d−SLD. En la situación de la definición anterior, si (X ,‖ · ‖) es un

espacio normado y A ⊂ X cumple que (A,w) tiene la ‖ · ‖-SLD, entonces se dice que

A tiene la propiedad JNR. Si en la definición anterior cambiamos los conjuntos débil-

abiertos por semiespacios abiertos, es decir, conjuntos del tipo H = x ∈ X ; f (x) > λcon f ∈ X∗ y λ ∈R, entonces diremos que el espacio de Banach tiene la propiedad sJNR.

En la sección 3.1 vemos como en la definición de la propiedad ‖ · ‖-SLD podemos

reemplazar diámetro por índice de Kuratowski (teorema 3.1.6 y observación 3.1.9) ya

que las bolas cerradas son conjuntos débil(σ(X ,F))-cerrados. También obtenemos resul-

tados análogos para la propiedad de σ -fragmentabilidad, (teorema 3.1.5).

Que la σ -fragmentabilidad y la propiedad JNR estaban muy cerca de caracterizar los

espacios de Banach admitiendo norma equivalente LUR fue un problema definitivamente

xxiv

resuelto por Moltó, Orihuela y Troyanski en [M-O-T], a lo que M. Raja [R] adaptó su

prueba geométrica del teorema 9 para dar así mismo una versión libre de argumentos

probabilísticos en el siguiente

Teorema 13 (Moltó-Orihuela-Troyanski [M-O-T] y M. Raja [R]). Sea X un espacio

de Banach y F ⊂ X∗ un subespacio normante, entonces X admite una norma equiva-

lente LUR y σ(X ,F)inferiormente semicontinua si, y sólo si, X (o SX ) tiene la propiedad

sJNR mediante slices formados a partir de elementos de F.

Este resultado ha tenido gran cantidad de aplicaciones en los últimos años, [M-O-T-V],

[M-O-T-V3], [M-O-T-V2], [On-R], [R], [R3] y [R4], y es nuestro cometido extenderlo

propiamente en el capítulo 3 de esta memoria, una vez que hemos obtenido el corolario 1

anterior.

Recordemos que un espacio de Banach X (o la norma de X) se dice que tiene la

propiedad de Kadec si las topologías relativas de la norma y la débil coinciden sobre la

esfera unidad de X ; se cumple que cualquier norma LUR tiene la propiedad de Kadec,

ya que todos los puntos de la esfera unidad son puntos denting para la bola unidad cerrada.

Usando que un punto que sea extremal y de continuidad es denting ([L-L-T]) podemos

reformular el teorema mencionado antes: un espacio de Banach con una norma rotunda

y con la propiedad Kadec admite una norma equivalente LUR. Es bien conocido que

l∞ tiene normas rotundas pero no tiene una norma equivalente con la propiedad de Kadec.

R. Haydon [Hay] probó que c0(ϒ), con ϒ un árbol diádico, admite una norma con la

propiedad de Kadec pero no admite una norma equivalente rotunda si la altura del árbol

es mayor o igual que ω1. Sin embargo, las propiedades de Kadec y la rotundidad en

diferentes combinaciones pueden ser reemplazadas por alguna condición más débil. En

[M-O-T] se prueba que si X tiene la propiedad ‖ · ‖-SLD y todos los puntos de SX son

extremales en BX∗∗ , entonces X admite una norma equivalente LUR. En [M-O-T-V2]

se prueba que si X tiene la propiedad de Kadec y todas las caras de la esfera unidad

tienen la propiedad de Krein-Milman entonces admite una norma equivalente LUR.

Nuestros principales resultados en las secciones 3.4 y 3.5 proporcionan una extensión

para el proceso de derivación de Lancien (teorema 3.4.4), así como una extensión del

teorema 13 analizando la validez de dicho teorema cuando cambiamos el diámetro por el

índice de no compacidad de Kuratowski. De hecho probamos el siguiente:

Teorema 14 (Ver teorema 3.5.3). Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio

normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:

INTRODUCCIÓN xxv

(i) X admite una norma equivalente LUR y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.

(ii) Para cada ε > 0, podemos descomponer X =∪nXn,ε tal que para cada n∈N y x ∈ Xn,ε

existe H ∈H(F) conteniendo a x y α(H ∩Xn,ε) < ε .

(iii) Existe un conjunto radial A ⊂ X, es decir si x ∈ X \0 existe ρ > 0 tal que ρx ∈ A,

tal que para cada ε > 0, podemos descomponer A = ∪nAn,ε tal que para cada n ∈ N y

x ∈ An,ε existe H ∈H(F) conteniendo a x y α(H ∩An,ε) < ε .

Desde el punto de vista topológico obtenemos el siguiente resultado en términos de

networks:

Teorema 15 (Ver corolario 3.5.8). Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio

normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) La topología dada por la norma admite una network N =⋃∞

n=1 Nn tal que para

cada n ∈ N y cada x ∈ ∪N;N ∈ Nn existe un semiespacio σ(X ,F)-abierto H tal

que x ∈ H y

|N ∈ Nn;N ∩H 6= φ| < +∞

(ii) X admite una norma equivalente σ(X ,F)−inferiormente semicontinua y LUR.

Este resultado es una generalización del teorema 1.7.3, cambiando la palabra "ais-

lada" por "localmente finita" [M-O-T-V3], en la linea del paso del teorema de Bing al

teorema de Nagata-Smirnov en los teoremas de metrización [E]. En esta linea va también

el corolario 3.1.8, pero para la propiedad JNR.

Nuestras referencias standard serán, para cuestiones de espacios de Banach [H-Hj-Z],

[F], [De-Go-Z], [F-H-Ha-Mon-P-Z], [Go], [Go2] y [Z]. En cuestiones de topología [Ke],

[E], [Gr], [Gr5], [Gr6] y [Ar2].

1Clases de espacios compactos que

surgen del Análisis Funcional

Clases de espacios compactos quesurgen del Análisis Funcional

En este capítulo introductorio describimos el contexto en el que se abordan las distin-

tas cuestiones que hemos tratado en esta memoria, los problemas que hemos resuelto, así

como otras preguntas resueltas recientemente por otros autores y, enunciaremos proble-

mas y cuestiones que quedan aún por resolver. Además describiremos diversos conceptos

y resultados del análisis funcional y la topología, que nos serán de utilidad a lo largo de

la tesis y sirven para delimitar el alcance e interés de las cuestiones que desarrollamos en

la memoria.

1.1 Compactos dispersos y compactos metrizables

Un espacio topológico compacto (K,τ) se dice disperso si cada subconjunto L ce-

rrado tiene un punto aislado en L. Un punto p es aislado en K si existe un entorno U de

p en K tal que U ∩K = p. Se observa que un espacio compacto K es disperso si, y

sólo si, cada subconjunto de K tiene un punto relativamente aislado. Un punto x en un

espacio topológico X es un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ X si x ∈ A\x; al

conjunto de todos los puntos de acumulación de A se le llama conjunto derivado de A y lo

denotaremos por A′, se observa que A = A∪A′. Vamos a definir el proceso de derivación

2 1.1 COMPACTOS DISPERSOS Y COMPACTOS METRIZABLES

de Cantor; si K es un compacto denotaremos por K(1) = K′. Por inducción transfinita, se

define

K(α+1) = (K(α))′ para un ordinal α , y

K(α) =⋂

K(β );β < α si α es un ordinal límite.

Por convenio se escribe K(0) = K. Se observa que K es disperso si, y sólo si, K(α) es vacío

para algún ordinal α .

Los compactos numerables, que se podría decir que son los compactos más "sencil-

los", son dispersos. De hecho comencemos recordando el siguiente resultado:

Proposición 1.1.1 (Lema 293 de [H-Hj-Z]). Un espacio topológico compacto K es nu-

merable si, y sólo si, es metrizable y disperso.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que K es numerable. A lo largo de todo el trabajo deno-

taremos por C(K) al espacio de Banach formado por las funciones continuas definidas

sobre K con la norma del supremo, es decir, ‖ f ‖∞= sup| f (x)|;x ∈ K. Para cada

(x,y) ∈ K ×K con x 6= y, consideramos el conjunto

Hx,y = f ∈C(K); f (x) = f (y)

que es un hiperplano cerrado en C(K). Recordemos que el teorema de la categoría de

Baire asegura que, en un espacio métrico completo la intersección de cualquier sucesión

de abiertos densos es un conjunto denso, [Ke]. Aplicando este teorema, el espacio de

Banach C(K) no puede expresarse como unión numerable de cerrados de interior vacío.

Ahora, como los hiperplanos cerrados tienen interior vacío, entonces existirá f ∈ C(K)

que no pertenece a ningún Hx,y, por lo tanto f es una función inyectiva de K en R. Como

consecuencia K es metrizable, ya que es homeomorfo a un subconjunto de R (de hecho es

métrico completo). Para acabar la prueba de esta implicación, observemos que cualquier

subconjunto cerrado L de K es numerable y tiene puntos aislados en L, por el teorema de

la categoría de Baire. Por lo tanto K es disperso.

A la inversa, supongamos que K es metrizable y disperso. Ya que la topología de K

tiene una base numerable, se sigue que existe un ordinal numerable α0 tal que K(α0) = φ .

Cada subconjunto de K es separable y así K(α) \K(α+1) es numerable para cualquier α .

Por tanto K es numerable.

Visto el resultado anterior, resulta natural preguntarse qué tipo de propiedades tienen,

por separado, los compactos metrizables y los compactos dispersos. Por un lado tenemos

el siguiente resultado.

1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 3

Teorema 1.1.2. Un compacto K es metrizable si, y sólo si C(K) es separable.

DEMOSTRACIÓN: Si C(K) es separable, entonces BC(K)∗ con la topología débil estrella

es metrizable. Para construir la métrica consideramos fnn la sucesión densa en la esfera

unidad de C(K), y la métrica se define para cada x,y ∈ BC(K)∗ , de la siguiente manera:

ρ(x,y) :=∞

∑i=1

2−i|(x− y)( fi)|

Ahora, dado k ∈K, definimos k ∈C(K)∗ por k( f ) = f (k) para cada f ∈C(K). Entonces la

aplicación k k es un homeomorfismo de K en su imagen bajo la topología débil estrella

en C(K)∗. La imagen es un conjunto metrizable y débil estrella compacto.

Supongamos ahora que K es un espacio métrico compacto. Fijamos una sucesión

xnn densa en K. Definimos

fn,m(x) =

1m −dist(x,xn) si dist(x,xn) ≤

1m

0 si dist(x,xn) > 1m

Entonces la familia fn,m junto con una función constante genera una álgebra separable

que distingue puntos de K y, por lo tanto, su clausura es C(K) por el teorema de Stone-

Weierstrass, teorema 3.2.21 de [E].

El hecho de que un compacto K sea disperso también queda caracterizado por una

propiedad estructural del correspondiente espacio C(K) pero, en este caso, respecto a

propiedades de diferenciabilidad. Una función f definida sobre un espacio de Banach X

se dice que es diferenciable Fréchet en x ∈ X si existe l ∈ X ∗ tal que

lımt→0

f (x+ th)− f (x)t

= l(h)

para cada h∈ X y, de manera uniforme para h∈ SX . En este caso se dice que l es la deriva-

da de Fréchet de f en x y lo denotaremos por l = f ′(x). Un subconjunto A de un espacio

topológico se dice que es un Gδ , si se puede expresar como intersección numerable de

conjuntos abiertos. Un espacio de Banach X se dice que es un espacio de Asplund si to-

da función continua y convexa definida en él es diferenciable Fréchet en un subconjunto

Gδ denso. Que los espacios de Banach con dual separable son de Asplund es precisa-

mente el resultado de E. Asplund, [As]. Para espacios de Banach cualesquiera Ch. Stegall

demostró que ser de Asplund es equivalente a que todo subespacio separable tenga

dual separable, [St].


Veamos ahora tres resultados sobre compactos dispersos, que necesitaremos en la

prueba de la caracterización que queremos recordar (teorema 1.1.6):

Proposición 1.1.3 (Lema 291 de [H-Hj-Z]). La imagen continua de un compacto dis-

perso es un compacto disperso.

DEMOSTRACIÓN: Sea K un compacto disperso y f una aplicación continua de K sobre

un espacio compacto L. Supongamos que P es un subconjunto perfecto de L, es decir,

un conjunto cerrado en el cual todos los puntos son puntos límite en P. Consideramos

la familia A de todos los subconjuntos compactos A de K tal que f (A) = P ordenados

por inclusión. Si Aαα es una cadena en A entonces por compacidad, ∩αAα 6= φ y

f (∩αAα) = P. Sea B un conjunto minimal en A . Ya que K es disperso y B es compacto,

B contiene un punto q que es aislado en B. Denotamos B′ = B \ q. Entonces B′ es

compacto y la minimalidad de B nos proporciona que f (B′) es un subconjunto propio de

P. Se observa que f (q) 6∈ f (B′) ya que, en otro caso, f (B′) = f (B) = P. Como f (B′) es

compacto, f (q) no es un punto límite de f (B′). Como P\ f (B′) = f (q), se tiene que f (q)

no es un punto límite de P tampoco. Por lo tanto el conjunto P contiene un punto f (q) que

es aislado en P. Esto prueba que P no es perfecto, lo que nos lleva a una contradicción.

Siguiendo el capítulo 7 de [Co], se tiene que una medida µ de Borel sobre K, es

una medida definida sobre la σ−álgebra de Borel en K, B(K), es decir, la σ−álgebra

generada por los subconjuntos abiertos de K. Además, el hecho de que µ sea una medida

de Borel sobre K, finita y regular hace que se verifiquen las dos siguientes igualdades:

µ(A) = ınfµ(U);A ⊂U,U abierto = supµ(H);H ⊂ A,H compacto,

para A ∈ B(K), proposición 7.2.6 de [Co].

Lema 1.1.4 (Rudin, lema 294 de [H-Hj-Z]). Sea µ una medida de Borel no-negativa

regular y finita sobre un compacto disperso K tal que µ(p) = 0 para cada p ∈ K.

Entonces µ se anula sobre K.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que µ(K) > 0. Sea λ el mayor ordinal tal que K (λ ) 6= φ .

Veamos que existe tal ordinal; si β el primer ordinal tal que K(β ) = φ , veremos que β no

es un ordinal límite. De hecho, la compacidad de K nos lo asegura ya que para todos los

ordinales límite K(α) =⋂

δ<α K(δ ). Por lo tanto β = λ + 1 y λ es el último ordinal tal

que K(λ ) 6= φ . De la compacidad de K(λ ) se tiene que debe ser un conjunto finito. Por lo


tanto µ(K(λ )) = 0 por la hipótesis sobre µ . Sea α el primer ordinal tal que µ(K (α)) <

µ(K). Si α = β + 1 para algún β , entonces µ(K(β )) = µ(K(α)) + µ(K(β ) \ K(α)). El

conjunto K(β ) \K(α) no contiene subconjuntos compactos e infinitos, por la definición de

derivación de Cantor. Por lo tanto, por la regularidad de µ y la propiedad de que µ es nula

sobre todos los conjuntos de cardinalidad uno, obtenemos que µ(K (β ) \K(α)) = 0. Por lo

tanto µ(K(β )) = µ(K(α)), contradiciendo nuestra elección de α . Entonces α debe ser un

ordinal límite. Para cada conjunto abierto G que contiene a K(α) existe, por argumentos

de compacidad, corolario 3.1.5 de [E], un ordinal β < α tal que K (β ) ⊂ G. Ya que β < α ,

tenemos que µ(K(β )) = µ(K). Por tanto µ(G) = µ(K) para cada conjunto abierto G

conteniendo a K(α). De la regularidad de µ obtenemos que µ(K(α)) = µ(K), lo que nos

lleva a una contradicción.

Recordemos que se define el espacio vectorial l1 como el formado por todas las suce-

siones de escalares xii que satisfacen ∑i |xi| < ∞. Entonces l1 con la norma ‖ x ‖1=

∑i |xi| es un espacio de Banach. Si Γ es un conjunto arbitrario, se define el espacio vecto-

rial l1(Γ) como el formado por todas las funciones f : Γ 7→R tal que ∑γ∈Γ | f (γ)|< ∞. De

manera análoga al caso anterior, l1(Γ) con la norma ‖ f ‖1= ∑γ∈Γ | f (γ)| es un espacio de

Banach. Donde las sumas están definidas por

∑γ∈Γ

| f (γ)| = sup∑γ∈F

| f (γ)|;F es un subconjunto finito de Γ

Este tipo de espacios también tienen relación, mediante el siguiente resultado, con los

compactos dispersos:

Teorema 1.1.5 (Rudin, teorema 295 de [H-Hj-Z]). Si K es un compacto disperso, en-

tonces C(K)∗ es isométrico a l1(Γ), para algún conjunto Γ.

DEMOSTRACIÓN: Sea µ una medida de Borel regular, finita y no-negativa sobre un espa-

cio disperso K. Sea S la colección de todos los puntos de K satisfaciendo que µ(p) > 0.

Se tiene que p ∈ K; µ(p) > ε es finito para cada ε ya que µ es una medida fini-

ta. Por tanto S es numerable. Definimos una medida ν sobre subconjuntos de Borel A

de K dada por ν(A) = µ(A ∩ S). Por el lema 1.1.4, la medida µ − ν se anula sobre

K y, por tanto, µ = ν . Como S = qnn es numerable, por teoría general de la medida∫

K f dµ =∫

K f dν = ∑∞i=1 cn f (qn) para cada f ∈C(K), donde ∑ |cn| < ∞.

A la inversa, dada cnn con ∑ |cn| < ∞ y qn ⊂ K, el funcional F definido para

f ∈C(K) por F( f ) = ∑cn f (qn) es un funcional lineal y continuo sobre C(K). Se observa


que la norma de F es ∑ |cn|. De hecho, la norma es menor o igual a ∑ |cn|. Para obtener la

desigualdad contraria, para un conjunto finito q1, . . . ,qn consideramos un f ∈ BC(K) tal

que f (qn) = sign(cn). De esta manera se concluye la prueba.

Podemos enunciar y probar ya la caracterización de los compactos dispersos que quer-

emos recordar:

Teorema 1.1.6 (Teorema 296 de [H-Hj-Z]). Para un espacio topológico compacto K,

se cumple que K es compacto disperso si, y sólo si, C(K) es un espacio de Asplund.

DEMOSTRACIÓN: Utilizaremos el resultado de Stegall asegurando que un espacio de

Banach es Asplund si, y sólo si, cada subespacio separable tiene dual separable, ver por

ejemplo [Ph]. Supongamos que K es un compacto disperso y X un subespacio separable

de C(K), elegimos una sucesión densa gnn en X ∩BC(K) y definimos una aplicación

continua G : K 7→ [−1,1]N dada por G(k) = gn(k)n. El compacto L = G(K) es disperso

por la proposición 1.1.3 y metrizable, será L numerable, por la proposición 1.1.1. Como

consecuencia C(L)∗ es isométrico a l1 por el teorema 1.1.5. Con esto C(L)∗ es separable y,

en consecuencia, X que es isométrico a un subespacio de C(L), tendrá dual X ∗ separable

y el espacio C(K) es de Asplund.

Para probar la implicación contraria, supongamos que K no es compacto disperso y

que C(K) es un espacio de Asplund. Sea P un subconjunto perfecto de K. La restricción

de funciones continuas sobre K a P es un operador Λ lineal y acotado de C(K) a C(P), el

cual es sobreyectivo debido al teorema de extensión de Tietze, teorema 2.1.8 de [E]. Como

consecuencia C(P) es un espacio de Asplund también. En efecto, si Z es un subespacio

separable de C(P), entonces existe un subespacio separable W de C(K) que es llevado

sobre Z por la aplicación restricción. Para ver esto consideramos zn una sucesión densa

en BZ y tomamos xn ∈C(K) tal que Λ(xn) = zn y ‖ xn ‖≤ M (para algún M > 0). Entonces

BZ ⊂ Λ(MBspanxn), por lo tanto Z ⊂ Λ(spanxn) = Λ(W ). Como consecuencia Z∗ es

isométrico a un subespacio de W ∗, basta tomar el operador adjunto Λ∗ : Z∗ 7→ W ∗ dado

por Λ∗(z∗) = z∗ Λ que es lineal, acotado e inyectivo. Ya que W ∗ es separable, se tiene

que Z∗ es separable. Por lo tanto C(P) es un espacio de Asplund. Como P es perfecto,

veremos que la norma del supremo de C(P) no tiene puntos de diferenciabilidad Fréchet.

Para ello comenzamos observando que la distancia entre dos medidas diferentes de Dirac

en C(P)∗ es dos. Dado x ∈ BC(P), asumimos sin pérdida de generalidad que existe p0 ∈ P

tal que x(p0) = 1. Como p0 no es aislado, elegimos pn 6= p0 tal que x(pn) → 1. Por el


criterio de Smulyan de diferenciabilidad (lema 102 de [H-Hj-Z]), x no puede ser un punto

de diferenciabilidad Fréchet de la norma del supremo sobre C(P), y resulta entonces que

la norma del supremo no tiene puntos de diferenciabilidad Fréchet en C(P) que no podrá

ser un espacio de Asplund, lo que contradice nuestra hipótesis.

A continuación el diagrama 1.1.1, donde se representa la situación obtenida en los

últimos resultados.

Compacto numerablem

Compacto metrizable y disperso

Compacto metrizable

⇐⇒ C(K) admite normaequivalente analıtica

mC(K) separable

Compacto dispersom

C(K) Asplund

j

Diagrama 1.1.1

Remarquemos para terminar esta sección que una función real f definida sobre un es-

pacio de Banach X se dice real analítica en X si para cada x ∈ X hay un entorno U de x en

X tal que el desarrollo de Taylor de f en x (construido con formas multilineales) converge

uniformemente sobre U a f . Para un compacto K el ser numerable es equivalente a

que el espacio de Banach C(K) admita una norma equivalente que sea real analítica

en X \0, [De-Fo-Hj] y [Hj].

1.2 Topología descriptiva y espacios compactos

Vamos a continuar estudiando los espacios compactos que se pueden ir añadiendo a

la rama de la izquierda del diagrama 1.1.1, es decir, clases de espacios compactos más

generales que los compactos metrizables descritas a través de "propiedades descriptivas"

de los espacios de funciones continuas C(K) correspondientes. Estos espacios compactos

han sido definidos en la introducción y su relación descrita en el diagrama Int. I (Intro-

ducción).

8 1.2 TOPOLOGÍA DESCRIPTIVA Y ESPACIOS COMPACTOS

Al estudiar distintos tipos de espacios topológicos conviene hacer una clasificación

de éstos, ver las inclusiones que existen y si éstas son estrictas. En las clases de espa-

cios compactos representados en el diagrama Int.1, las implicaciones son estrictas. Para

ver esto propondremos algunos ejemplos, haciendo las demostraciones, al menos con las

ideas generales, y dando la referencia para consultar los detalles.

Ejemplo 1.2.1. Compacto de Eberlein uniforme que no es metrizable.

Para un conjunto Γ 6= φ no numerable, el espacio de Hilbert l2(Γ) no separable nos

proporciona la bola unidad cerrada Bl2(Γ) que es un conjunto débil compacto, por lo tanto

(Bl2(Γ),w) es un compacto de Eberlein uniforme, además no es metrizable.

DEMOSTRACIÓN: Si (Bl2(Γ),w) fuese metrizable, entonces (Bl2(Γ),w) sería un compacto

separable, luego existiría un conjunto D⊂Bl2(Γ) numerable y ω−denso. Entonces convw(D)=

conv‖·‖(D) = Bl2(Γ), luego Bl2(Γ) sería separable. Lo que no es cierto, por nuestra asunción

de ser Γ no numerable.

Ejemplo 1.2.2. Compacto de Eberlein que no es compacto de Eberlein uniforme.

D. Kutzarova y S. Troyanski construyeron un ejemplo de un espacio de Banach reflex-

ivo y no separable X que no admite ninguna norma equivalente uniformemente Gâteaux

diferenciable (ver [K-T]). El espacio (BX∗ ,w) es un compacto de Eberlein que no es

compacto de Eberlein uniforme.

DEMOSTRACIÓN: Un reciente resultado de M. Fabian, G. Godefroy y V. Zizler, [F-Go-Z],

asegura que un espacio de Banach X admite una norma equivalente uniformemente Gâ-

teaux diferenciable si, y sólo si, (BX∗,w∗) es un compacto de Eberlein uniforme. De hecho

para un espacio compacto K son equivalentes el ser de Eberlein uniforme y que el espacio

C(K) admita una norma equivalente uniformemente Gâteaux diferenciable.

Antes del siguiente ejemplo veamos una definición:

Definición 1.2.3. Si T es un conjunto no vacío, una familia A de subconjuntos de T se

dice adecuada si:

(i) Si A ∈ A y B ⊂ A, entonces B ∈ A ;

(ii) t ∈ A para cualquier t ∈ T ; y

(iii) Si A ⊂ T , y cada subconjunto finito de A está en A , entonces A ∈ A .


Observación 1.2.4. Dada una familia adecuada A en T , el conjunto

K = KA = χA;A ∈ A ⊂ 0,1T

donde χA es la función característica de A, es cerrado en el producto 0,1T y así resulta

ser K compacto.

Esto da una forma sencilla de construir compactos totalmente desconectados y con

familias A particulares en conjuntos T concretos se construyen ejemplos de interés.

Ejemplo 1.2.5. Compacto de Talagrand que no es compacto de Eberlein.

Definimos las siguientes familias de subconjuntos de NN:

A0 = σ : σ ∈ NN∪φ

An = A ⊂ NN : σ ,δ ∈ A y σ 6= δ ⇒ σ |n = δ |n y σ |n+1 6= δ |n+1

donde σ |n = (σ(1), ...,σ(n)) ⊂ Nn, para cada n ∈ N. Definimos la familia A = ∪nAn y

consideramos el compacto

K = χA : A ∈ A ⊂ 0,1NN

donde χA es la función característica de A ∈ A . Se cumple que K es compacto de Tala-

grand pero no es compacto de Eberlein.

DEMOSTRACIÓN: Como la familia A es una familia adecuada de conjuntos, el conjunto

K es un subespacio cerrado en 0,1NN

y, por consiguiente, compacto. El hecho de ser

compacto de Talagrand viene de la usco ϕ :NN −→ (2C(K),τp) dada por ϕ(σ) = πσ ,0,

donde πσ : K −→ 0,1 es la coordenada definida por πσ (k) = k(σ) = χA(σ), para cada

k ∈ K y σ ∈ NN. Veamos que ϕ es superiormente semicontinua, para ello considero U ⊂

C(K) τp−abierto con πσ ,0 ⊂U , hay que encontrar un abierto V ⊂NN conteniendo a σtal que ϕ(V ) ⊂U . Como 0 ∈U , existen A1, . . . ,Am ∈ A tal que si f ∈C(K) y | f (χAi)| =

|0(χAi)− f (χAi)| < ε para i ∈ 1, . . . ,m se cumple que f ∈ U . Para cada i ∈ 1, . . . ,m

podemos tomar ni ∈ N tal que si δ ∈ NN, δ 6= σ y δ |ni = σ |ni entonces δ 6∈ Ai ya que los

A ∈ A son subconjuntos cerrados de NN, sea ahora n = maxn1, . . . ,nm y consideramos

δ ∈ NN distinto a σ con δ |n = σ |n, entonces δ 6∈ A1 ∪ ·· · ∪ Am por lo que πδ ∈ U y

se tiene que σ(1)× · · · × σ(n)×N×N× ·· · = V ⊂ NN es abierto y ϕ(V ) ⊂ U .

Hemos probado que el subespacio Y = πσ : σ ∈ NN∪0 ⊂C(K) es K −analítico y,


utilizando (el análogo del) teorema 7.1.8 de [F] para K -analíticos, se concluye esta parte

de la prueba.

Para ver la idea del por qué no es compacto de Eberlein seguimos [Far], ejemplo 2.14.

Supongamos que K es compacto de Eberlein, entonces como todo elemento de K tiene

soporte numerable en NN, el corolario 2.12 de [Far], nos asegura que debiera existir una

descomposición Σm;m ∈ N de NN tal que

|A∩Σm| < ∞ para cada A ∈ A y m ∈ N

Como consecuencia del teorema de Baire existirá un m0 ∈ N tal que la clausura de Σm0

tiene interior no vacío. Si x está en el interior de Σm0 podemos encontrar un conjunto

abierto Vx = y ∈ NN;y|n0 = x|n0 tal que Vx ⊂ Σm0 . Por lo tanto para cada k ∈ N existirá

yk ∈V kx ∩Σm0 donde

V kx = y ∈ NN;y|n0 = x|n0 e y(n0 +1) = k

De esta forma generamos el conjunto A = yk;k ∈ N, que pertenece a la familia A y es

un subconjunto de Σm0 . Pero por otra parte |A∩Σm0 | es infinito, lo que nos lleva a una

contradicción. Por lo tanto K no puede ser un compacto de Eberlein.

Ejemplo 1.2.6. Compacto de Gul’ko que no es compacto de Talagrand.

Denotamos por N<ω el conjunto formado por las sucesiones finitas de numeros natu-

rales, N<ω =⋃∞

n=0Nn. Denotamos por I el conjunto de todas las sucesiones finitas estric-

tamente crecientes de números naturales:

I = (s1, . . . ,sn) ∈ N<ω : s1 < · · · < sn

mientras que In es el conjunto de los elementos de I formados por enteros menores o

iguales que n:

In = (s1, . . . ,sm) ∈ I : sm ≤ n

Dados dos elementos de N<ω , s = (s1, . . . ,sn) y u = (u1, . . . ,um), decimos que s ≤ u

si ocurre que n ≤ m y además si = ui para todo i ≤ n. Dados dos elementos de N<ω ,

s = (s1, . . . ,sn) y u = (u1, . . . ,um), definimos s_u = (s1, . . . ,sn,u1, . . . ,um). Se observa

que si s,u ∈ I y sn < u1 entonces s_u ∈ I.


Un subconjunto X ⊆ I diremos que es un árbol si se verifica la siguiente condición:

Para todo u ∈ X y para todo s ∈ I, si s ≤ u entonces s ∈ X . Llamamos T0 al conjunto de

todos los árboles, T0 = X ⊆ I : X es un árbol.

Sea (sn)∞n=1 una sucesión creciente infinita de números naturales y sea X un árbol.

Diremos que (sn)n es una rama infinita de X si (s1, . . . ,sn) ∈ X para todo n ∈N. Llamare-

mos T1 al conjunto de todos los árboles que tienen alguna rama infinita, mientras que T

será el conjunto de aquellos árboles que no tienen ninguna rama infinita. De esta manera

tenemos descompuesto T0 como unión disjunta de T1 y T , T0 = T1 ∪T.

Puesto que los subconjuntos de I se identifican de manera natural con los puntos de

0,1I , podemos ver T0 como un subconjunto de 0,1I . En 0,1I tenemos la topología

producto, que induce en T0 una topología que denotaremos por τ . Se observa que T0 es

un subespacio cerrado de 0,1I , y por tanto compacto en la topología τ , y metrizable ya

que I es numerable. Para cada árbol X y cada natural n, se define:

Vn(X) = Y ∈ T0 : Y ∩ In = X ∩ In ⊂ T0

De este modo, la familia Vn(X) : n ∈ N es una base de entornos de X en la topología τ .

Consideramos ahora la familia A0 formada por aquellos subconjuntos finitos de T de

la forma B = Y1, . . . ,Yn donde para algún X ∈ T0 y (s1, . . . ,sn) ∈ X se tiene que Yi ∈

Vsi(X) para todo i ≤ n. La familia A se define como la familia de aquellos subconjuntos

de T tales que todos sus subconjuntos finitos pertenecen a A0.

Por fin definimos el compacto

K = KA := χA;A ∈ A ⊂ 0,1T

que es compacto de Gul’ko pero no es compacto de Talagrand.

DEMOSTRACIÓN: Comenzaremos la prueba viendo que KA es, efectivamente, un com-

pacto de Gul’ko. Para ello hay que notar que la familia A es adecuada y además cada

A ∈ A es cerrado en T , lema 1 de [Ta2].

Ahora, para cada elemento t ∈T se define una función πt ∈C(K) definida por πt(χA)=

χA(t), para cada χA ∈K. La familia de funciones Y = πt : t ∈ T∪0⊂C(K) separa los

puntos de K, así que para probar que K es Gul’ko, basta probar que Y es numerablemente

K −determinando en la topología τp de convergencia puntal sobre K, teorema 7.1.8 de

[F]. Para ello, consideramos la usco Φ : T −→ 2(Y,τp) dada por Φ(t) = 0,πt, teniendo

en cuenta que T es un métrico separable. Para verificar que Φ es usco, basta ver que para


cada abierto básico U de (Y,τp), el conjunto t ∈ T : Φ(t) ⊂U es abierto en T . De he-

cho, como 0 ∈ Φ(t) para todo t, basta verlo para U un entorno básico de 0 en (Y,τp). Tal

entorno básico es de la forma

U = UA1,...,An = 0∪πt ∈ Y : πt(χAi) = 0, i = 1, . . . ,n

= 0∪πt ∈ Y : t 6∈ Ai, i = 1, . . . ,n

siendo Ai ∈ A . En este caso, Φ(t) ⊂U sii πt ∈U sii t 6∈⋃

Ai, así que

t ∈ T : Φ(t) ⊂U = T \n⋃

1

Ai

que efectivamente, es abierto en T .

Para probar que K no es compacto de Talagrand, se razona por reducción al absurdo.

Suponiendo que sí lo es, por el teorema 10 (c) de [F-Go-M-Z], se puede asegurar que

existe un esquema de Lusin sobre T , es decir, una descomposición de T , Ts : s ∈ N<ω,

tal que:

(i) T/0 = T .

(ii) Para cada s ∈ N<ω , Ts =⋃

n∈NTs_(n) siendo esta unión es disjunta.

y además, con la propiedad añadida:

∀ε > 0 ∀k ∈ K ∀σ ∈ NN ∃ j tal que |t ∈ T(σ1,...,σ j); |k(t)| > ε| < ω

Identificaremos esta condición como la propiedad (*). Ahora se construye, de manera

recursiva, lo siguiente [Ta2]:

Dos sucesiones de naturales, una que denotaremos por (tn)n y otra que será estricta-

mente creciente (sn)n. Además una sucesión X1,X2, . . . de árboles verificando:

(i) (s1, . . . ,sn) ∈ Xn.

(ii) Vsp(Xp) = Vsp(Xn) para cada p ≤ n.

(iii) supo((s1, . . . ,sn)|X) : X ∈Vsn(Xn)∩T(t1,...,tn) = ω1.

Para entender la última condición hay que dar, evidentemente, las definiciones pertinentes.

Dado un árbol X y un elemento s ∈ X , diremos s es maximal en X si no existe ningún

t ∈ X tal que s < t. Dado un árbol X , definimos el árbol derivado X ′ como el árbol que se

obtiene al eliminar los elementos maximales de X , X ′ = s ∈ X : s no es maximal en X.


Inductivamente, para cada ordinal α , definimos:

X (α) = (X (β ))′ si α = β +1.

X (α) =⋂

β<αX (β ) si α es ordinal límite.

Para X ∈ T se define o(X) = mınα : X (α) = /0< ω1, y para X ∈ T1 se define o(X) = ω1.

Dado X un árbol, y s ∈ I, se define el árbol s|X como

s|X = t ∈ I : s_t ∈ X

Si s 6∈ X entonces s|X = /0.

Con esto se llega a demostrar que σ = (t1, t2, . . .), construida a partir de la primera

sucesión anterior, y ε = 12 no verifican la propiedad (*), es decir, que

∃χB ∈ K ∀ j ∈ N⇒ |X ∈ Tt1,...,t j : χB(X) > ε| ≥ ω

o lo que es lo mismo

∃B ∈ A ∀ j ∈ N⇒ |Tt1,...,t j ∩B| ≥ ω

Para construir a familia B se razona de la siguiente manera: Para cada n se elige Yn ∈

Vsn(Xn)∩T(t1,...,tn), Yn 6∈ Y1, . . . ,Yn−1 (por la propiedad (iii)), y entonces B := Ynn∈N.

Comprobemos que B ∈ A : De la propiedad (ii) de la construcción se sigue que Y =⋃

n∈NXn ∩ Isn es un árbol. Por lo tanto Y1, . . . ,Yn pertenece a A0, ya que Y j ∈ Vs j(Y ) y

(s1, . . . ,sn) ∈ Xn ∩ Isn ⊂ Y .

Finalmente como Tt1,...,t j ∩B ⊃ Yi : i ≥ j se tiene que

|Tt1,...,t j ∩B| ≥ ω

y se concluye la prueba.

Ejemplo 1.2.7. Compacto de Corson que no es compacto de Gul’ko.

Denotaremos por ω y ω1 al primer ordinal infinito y al primer ordinal no numera-

ble, respectivamente. Consideramos ahora una familia Nξ ;1 ≤ ξ < ω1 de subconjuntos

infinitos de N mutuamente casi disjuntos, es decir, Nξ ∩Nη es un conjunto finito para

1 ≤ ξ < η < ω1. Para construirla razonamos de la siguiente manera, elegimos conjuntos


infinitos Ni ⊂ N, i ∈ N, tales que Ni ∩N j = φ para 1 ≤ i < j < ω . Ahora fijado ω ≤

ξ < ω1, suponemos ya construidos conjuntos infinitos y mutuamente casi disjuntos Nζ ,

ζ < ξ . Denotaremos por ζ ξ1 ,ζ ξ

2 , . . . una enumeración del intervalo numerable [1,ξ )

y fijamos F1 cualquier subconjunto de Nζ ξ1

, con |F1| = 1. Para n = 2,3, . . . encontramos

subconjuntos Fn ⊂ Nζ ξn\ (Nζ ξ

1∪ ·· ·∪Nζ ξ

n−1), con |Fn| = n. Si definimos ahora Nξ = F1 ∪

F2 ∪ . . .se tiene que Fn ⊂ Nξ ∩Nζ ξn⊂ F1 ∪ ·· · ∪Fn, que es un conjunto finito. Teniendo

construidos todos los conjuntos Nξ , definimos

Φ(η ,ξ ) = |Nη ∩Nξ | si 1 ≤ η < ξ < ω1

Consideramos ahora una aplicación inyectiva ψ : [0,ω1) → [0,1]; ésta existe ya que [0,1]

es un conjunto no numerable. Definimos A0 como la familia de todos los subconjuntos de

[1,ω1) formados por un único elemento y por todos los conjuntos finitos ξ1, . . . ,ξn ⊂

[1,ω1) tal que ξ1 < .. . < ξn y

Φ(ξi,ξ j) ≥ j y |ψ(ξi)−ψ(ξ j)| ≤1i

cuando 1 ≤ i < j ≤ n

Se observa que cualquier subconjunto de un elemento de A0 estará también en A0. Por

fin definimos el compacto

K = χA;A ∈ A0 ⊂ 0,1[1,ω1)

(donde por χA denotaremos a la función característica de A), que resulta ser un compacto

de Corson que no es compacto de Gul’ko.

DEMOSTRACIÓN: Para comprobar que es compacto de Corson definimos

A = A ⊂ [1,ω1); χA ∈ K

Ahora fijamos A ∈A y comprobaremos que es numerable. Supongamos que A es infinito,

entonces podemos encontrar ξ1 < ξ2 < .. . < ω1 tal que ξi ∈ A y |A∩ [0,ξi]| = i, i ∈ N.

Sea ξ = lımi ξi; entonces ξ < ω1. Entonces supongamos que existe η ∈ A∩ [ξ ,ω1), en-

tonces como χA = lımι χFι , donde Fι es una red en A0, para cada i ∈ N, el conjunto

ξ1, . . . ,ξi,η pertenece a A0. Pero en este caso Φ(ξ1,η) ≥ i+1 para todo i ∈ N, lo que

es imposible. Por lo tanto A será de la forma ξ1,ξ2, . . . y K es un compacto de Corson.

La prueba de que no es compacto de Gul’ko requiere más esfuerzo, y como éste es un

capítulo introductorio sólo daremos un esbozo de ésta; para los detalles véase sección 7.3

de [F]. Tomamos un punto ∞ fuera de [1,ω1), y definimos el conjunto Γ := [1,ω1)∪∞


dotándole de la siguiente topología: Cada elemento ξ ∈ [1,ω1) es aislado y una subbase

de entornos de ∞ es Γ \ A;A ∈ A . Consideramos la aplicación δ : Γ → (C(K),τp)

definida por δ (ξ )(k) = k(ξ ) si ξ ∈ [1,ω1) y δ (∞)(k) = 0 para todo k ∈ K. Se observa

que δ es un homeomorfismo de Γ en su imagen y que δ (Γ) es cerrado en (C(K),τp). Por

lo tanto si suponemos que K es compacto de Gul’ko, no sólo (C(K),τp) será numerable-

mente K −determinado, sino también δ (Γ) y, por tanto, Γ será también numerablemente

K −determinado. En este caso existirá un espacio compacto L y subconjuntos cerrados

Bs ⊂ L, s ∈ S (denotamos por éste último conjunto al de las sucesiones finitas de natu-

rales), y Σ′ ⊂ NN tal que Γ es un subespacio de L y

Γ =⋃

σ∈Σ′

∞⋂

n=1

Bσ |n

donde para cada σ ∈ Σ denotaremos por σ |n a los primeros n elementos de la sucesión,

es decir, (σ(1), . . . ,σ(n)). Además para cada s ∈ S, definimos Cs = Bs|1 ∩ ·· · ∩Bs|n ∩Γ,

donde n = |s| (es decir, la cantidad de elementos que tiene la sucesión finita s). Diremos

que un subconjunto de [1,ω1) es estacionario si interseca a cada subconjunto cerrado

y no acotado (es decir, no numerable) de [1,ω1). Entonces considerando los conjuntos

Cs anteriores que sean estacionarios y definiendo aplicaciones f s : Cs → [1,ω1), como

consecuencia del teorema de Fodor [Fo], que viene a decir que las aplicaciones acotadas

y definidas sobre conjuntos estacionarios son "constantes" sobre un subconjunto también

estacionario, por la descomposición de Γ anterior y por la construcción de A0, existe

una sucesión estrictamente creciente ξii tal que ξi; i ∈ N es un elemento de A y

además ξi ∈ Bσ |1 ∩ ·· ·∩Bσ |i ∩Γ ⊂ L, para todo i ∈ N y para algún σ ∈ Σ′. Sea entonces

γ ∈ L un punto de aglomeración de la sucesión ξii. Entonces γ ∈ ∩∞i=1Bσ |i ⊂ Γ y, como

consecuencia, γ debe ser ∞. Sin embargo esto no es posible porque Γ \ ξ1,ξ2, . . . es

entorno de ∞, lo cual nos lleva a que K no es compacto de Gul’ko.

Ejemplo 1.2.8. Compacto de Valdivia que no es compacto de Corson.

Consideramos el compacto K = [0,1]Γ con |Γ| ≥ ℵ1, que es compacto de Valdivia

que no es compacto de Corson.

DEMOSTRACIÓN: Consideramos el subconjunto de K

D = K ∩Σ(Γ)

16 1.3 INMERSIÓN EN CUBOS

que es denso por la topología de convergencia puntual que estamos considerando en K, ya

que los entornos básicos sólo fijan una cantidad finita de coordenadas. Por lo tanto K es

compacto de Valdivia. Sin embargo K no es compacto de Corson, para ver esto estudiemos

algunas definiciones. Para un espacio topológico (X ,τ) se dice que un subconjunto A es

numerablemente (resp. sucesionalmente) compacto si cada sucesión en A tiene un punto

de aglomeración en (resp. una subsucesión convergente a un punto de) A.

Definición 1.2.9. Un espacio topológico X se dice que es angélico si para cada subcon-

junto A ⊂ X que sea relativamente numerablemente compacto, se cumple:

(i) A es relativamente compacto.

(ii) Para cada punto x ∈ A existe una sucesión (an) ⊂ A tal que lımn an = x.

Si K fuera compacto de Corson, entonces sería angélico [Ar2]. Ahora, se observa que

en un espacio angélico coinciden las nociones de conjunto compacto, numerablemente

compacto y sucesionalmente compacto. Esto nos dice que K no puede ser angélico ya que

el conjunto D definido anteriormente es sucesionalmente compacto pero no es compacto.

El hecho de que no es compacto es por ser denso en K, veamos que es sucesionalmente

compacto.

Considero (dn)n∈N ⊂ D, entonces existe un conjunto N ⊂ Γ numerable conteniendo el

soporte de cada dn tal que:

(d′n)n∈N ⊂ [0,1]N que es métrico y compacto

donde (d′n)n∈N es la restricción de (dn)n∈N a N, por lo que existe una subsucesión de

(d′n)n∈N que converge puntualmente a d ∈ [0,1]N . Entonces d = (dn)n∈N y consideramos

d′ = (d′r)r∈ω1 donde:

d′r = dn si r = n ∈ N

d′r = 0 en otro caso

Entonces existe una subsucesión de (dn)n que converge hacia d′ ∈ D.

1.3 Inmersión en cubos

Como consecuencia del lema de Uryshon, cualquier espacio topológico compacto

se puede sumergir en un cubo. Es decir, puede verse como subespacio de un espacio


topológico del tipo [0,1]Γ, con Γ 6= φ , dotado de la topología producto. En el caso de ser

un compacto metrizable se puede sumergir en un cubo del tipo [0,1]N, esto es con un

conjunto numerable de coordenadas Γ. Para los tipos de compactos del diagrama Int. I

(de la introducción), hay inmersiones en cubos de otros espacios más específicos, unas

veces por la propia definición de las clases y otras por resultados que pasamos a recordar.

Vamos a definir para cada uno de estos, el espacio donde puede sumergirse.

Para un conjunto Γ 6= φ definimos el espacio vectorial c0(Γ) como el conjunto forma-

do por elementos (xγ)γ∈Γ ∈ RΓ con la propiedad de que para todo ε > 0, el conjunto

γ ∈ Γ; |x(γ)| > ε

es finito. Este conjunto con la norma ‖ · ‖∞ es un espacio de Banach. Amir y Lindestrauss

probaron, en [A-L], que para cualquier espacio de Banach de generación débilmente com-

pacta X existe un operador lineal, continuo e inyectivo T : X 7→ c0(Γ), para algún conjunto

Γ. En consecuencia, un compacto es de Eberlein si, y sólo si, es homeomorfo a un sub-

conjunto débil compacto de c0(Γ), para algún conjunto Γ 6= φ .

Benyamini y Stardbird, [B-St] ver también [H-Hj-Z], probaron que un compacto es

de Eberlein uniforme si, y sólo si, es homeomorfo a un subconjunto K débil compacto

de c0(Γ) con la propiedad de que para todo ε > 0, exista N(ε) ∈ N con la condición

|γ ∈ Γ; |x(γ)| > ε| < N(ε) para cualquier x ∈ K

Dado un conjunto Γ 6= φ , denotaremos por l∞(Γ) al conjunto formado por (xγ)γ∈Γ ∈

RΓ tal que

sup|xγ |;γ ∈ Γ < +∞

Para un espacio topológico (X ,τ) tenemos la siguiente definición, [Me]:

c1(X) := f ∈ l∞(X) : ∀ε > 0 el conjunto t ∈ X : | f (t)| ≥ ε es cerrado

y discreto en X

Se observa que c1(X) es un espacio de Banach con ‖ · ‖∞. Además para cada f ∈ c1(X)

y cada compacto K ⊂ X se tiene que f |K ∈ c0(K), y cuando X es compacto se cumple

c1(X) = c0(X). S. Mercourakis prueba en [Me] que un compacto es de Talagrand si,

y sólo si, es homeomorfo a un subconjunto de (c1(X),τp) siendo X algún espacio

topológico K −analítico. También prueba que todo compacto es de Gul’ko si, y sólo

18 1.4 CARACTERIZACIONES INTERNAS

si, es homeomorfo a un subconjunto de (c1(X),τp) para X un espacio topológico

numerablemente K −determinado. P. Cízek y M. Fabian responden positivamente (en

[Ci-F]) a una pregunta propuesta por S. Argyros: Dado cualquier subconjunto Σ′ de los

irracionales que sea coanalítico y no analítico, construyen, en el espacio de Mercourakis

c1(Σ′), un compacto adecuado que es compacto de Gul’ko y no es de Talagrand.

Además, dada cualquier subconjunto Σ′ de los irracionales que no es Fσ y sí es de Borel,

construyen en c1(Σ′), un compacto adecuado que es compacto de Talagrand y no es

Eberlein.

Ahora, para Σ ⊂ NN y Γ 6= φ se define, [F] y [De-Go-Z]:

c1(Σ×Γ) := f ∈ l∞(Σ) : f |K×Γ ∈ c0(K ×Γ) si K ⊂ Σ es compacto

donde esta definición está justificada por el lema 4.10 de [Me]. En [F] se encuentra una

prueba de que todo compacto de Gul’ko es homeomorfo a un subconjunto de c1(Σ×Γ).

Además se puede añadir un punto ∞ al conjunto Σ×Γ y dar una topología a Σ×Γ∪∞ de

manera que éste sea un espacio topológico numerablemente K −determinado y c1(Σ×Γ)

esté contenido en c1(Σ×Γ∪∞), definición 1.3 de [Me].

1.4 Caracterizaciones internas

Rosenthal probó en 1974 una caracterización interna para los compactos de Eberlein

en función de una familia particular de abiertos, entre otras propiedades es σ−puntual-

mente finita y T0−separadora X . El resto de compactos de la sección anterior tienen tam-

bién su correspondiente caracterización con familias de naturaleza similar. A este tipo de

teoremas se les denomina teoremas tipo Rosenthal. Estudiaremos en esta sección el teo-

rema tipo Rosenthal para los compactos Eberlein uniformes, Eberlein, Talagrand, Gul’ko

y Corson.

Una familia A de subconjuntos de un conjunto X se dice que es T0-separadora de

X si para cada x,y ∈ X con x 6= y, existe un elemento de la familia A ∈ A que contiene

sólo a alguno de los dos elementos x o y. Se dice que A es T1-separadora de X si, en la

situación anterior, existe un elemento de la familia A ∈ A tal que x ∈ A y además y 6∈ A.

En el estudio que presentamos en esta memoria sobre los compactos de Gul’ko (sec-

ción 2.5) utilizamos el retículo de compactos de un espacio métrico y separable. Veamos


la definición de estos retículos. Fijado un espacio métrico separable (M,d), se define el

retículo de los compactos de M, K (M), como la familia formada por los subconjuntos

compactos de M. Sobre este conjunto se define la métrica de Hausdorff, dH , definida por

dH(A,B) := supd(a,B),d(A,b) : a ∈ A,b ∈ B

proporcionándonos el espacio métrico y separable (K (M),dH). Esto último es conse-

cuencia del siguiente resultado (proposición 1.4.1) del que se concluye que (K (M),dH)

tiene una base numerable (al ser M métrico y separable), antes un poco más de notación.

Dada una familia finita de abiertos O = O1,O2, . . . ,On en M, definimos

〈O〉 =

K ∈ K (M) : K ⊂n⋃

i=1

Oi y K ∩Oi 6= /0 para cada i = 1, . . . ,n

. (1.1)

Proposición 1.4.1. Sea (M,d) un espacio métrico. Se tienen las siguientes propiedades:

(i) si O = O1,O2, . . . ,On es una familia finita de subconjuntos abiertos de (M,d),

entonces 〈O〉 es abierto en (K (M),dH);

(ii) la colección

B = 〈O〉 : O familia finita de abiertos en M (1.2)

es una base de la topología de (K (M),dH).

DEMOSTRACIÓN: (i) Sea O = O1,O2, . . . ,On una familia finita de subconjuntos abier-

tos de (M,d) y sea K ∈ 〈O〉. Para cada i = 1, . . . ,n, existe xi ∈ Oi ∩K. Existe r0 > 0

tal que Bd(K,r0) ⊂⋃n

i=1 Oi. Por otra parte, para cada i = 1, . . . ,n existe ri > 0 tal que

Bd(xi,ri) ⊂ Oi. Tomamos r = mın

r j : j = 0,1, . . . ,n

> 0. Así,

Bd(xi,r) ⊂ Oi, para i = 1, . . . ,n, (1.3)

y

Bd(K,r) ⊂n⋃

i=1

Oi. (1.4)

Sea K′ ∈ K (M) tal que dH(K,K′) < r. Como K′ ⊂ Bd(K,r), la inclusión (1.4) nos da

K′ ⊂⋃n

i=1 Oi. Por otro lado, fijemos un elemento arbitrario Oi ∈ O . Como K ⊂ Bd(K′,r),

existe x ∈ K′ tal que d(x,xi) < r. Por (1.3), x ∈ Oi, es decir, K′∩Oi 6= /0, y así BdH (K,r)⊂

〈O〉.

(ii) Para cada K ∈ K (M) y ε > 0, existe una familia finita O = O1, . . . ,On de

subconjuntos abiertos de (M,d) tal que


a) K ⊂⋃n

i=1 Oi ⊂ Bd(K,ε),

b) para cada i = 1, . . . ,n, Oi⋂

K 6= /0,

c) para cada i = 1, . . . ,n, diam(Oi) ≤ ε .

Así, K ∈ 〈O〉. Afirmamos que 〈O〉 está contenido en BdH (K,ε). Para demostrar la afir-

mación anterior tomamos un elemento arbitrario K ′ ∈ 〈O〉. Por la condición a), tan sólo

tenemos que demostrar que K ⊂ Bd(K′,ε). Sea x ∈ K. Por a), existe i0 tal que x ∈ Oi0 .

Como K′ ∈ 〈O〉 tenemos que K ′∩Oi0 6= /0, lo cual implica por c) que existe x′ ∈ K′ tal que

d(x,x′) < ε , y así x ∈ Bd(K′,ε).

Para probar que B es base de la topología vemos por último que dados dos elemen-

tos de B, 〈O1〉 =

O11, . . . ,O

1n

y 〈O2〉 =

O2

1, . . . ,O2m

, entonces 〈O1〉 ∩ 〈O2〉 ∈ B. Si

denotamos O1 =⋃n

i=1 O1i y O2 =

⋃mi=1 O2

i , entonces

〈O1〉∩ 〈O2〉 = 〈

O1 ∩O21,O1 ∩O2

2, . . . ,O1 ∩O2m,O1

1 ∩O2,O12 ∩O2, . . . ,O

1n ∩O2

〉,

y así acaba la prueba.

Hay que observar también que si K es un subconjunto compacto de (K (M),dH),

entonces el conjunto K ′ := ∪Ω;Ω ∈ K es un subconjunto compacto de M.

El retículo de compactos se relaciona con los espacios numerablemente K −determi-

nados de la siguiente manera. Si X es numerablemente K −determinado entonces existirá

Σ ⊂ NN y una usco sobreyectiva ϕ : Σ −→ 2X , podemos describir Σ = ∪K;K ∈ K (Σ).

Entonces definiendo XK = ϕ(K) para cada K ∈ K (Σ), tenemos una descomposición en

compactos de X = ∪XK;K ∈ K (Σ) tal que XK1 ⊂ XK2 cuando K1 ⊂ K2 en K (Σ).

En el caso de los espacios topológicos K −analíticos, tenemos una familia fundamen-

tal de compactos de NN dada por

Kσ := σ ′ ∈ NN;σ ′ ≤ σ, σ ∈ NN

donde para dos sucesiones σ = (an)n y σ ′ = (bn)n, el símbolo ≤ significa

σ ′ ≤ σ ⇔ bn ≤ an , n = 1,2, . . .

Entonces como NN = ∪Kσ ;σ ∈ NN y, de manera similar al caso numerablemente

K −determinado, si X es K −analítico tenemos una descomposición en compactos de

X = ∪Xσ ;σ ∈ NN, donde Xσ ⊂ Xσ ′ si σ ≤ σ ′ en NN.

Un subconjunto de un espacio topológico se dice que es un Fσ si se puede expresar

como unión numerable de cerrados.


Enunciamos a continuación el teorema tipo Rosenthal para cada uno de los com-

pactos antes definidos:

Teorema 1.4.2 (Teoremas tipo Rosenthal).

(i) Un espacio topológico compacto K es un compacto de Eberlein uniforme si y sólo

si existe una familia U σ -uniformemente puntualmente finita, formada por abiertos

Fσ y T0-separadora de K (Benyamini, Rudin y Wage, ver [B-Ru-W]).

(ii) Un espacio topológico compacto K es un compacto de Eberlein si y sólo si existe

una familia U σ -puntualmente finita, formada por abiertos Fσ y T0-separadora

en K (Rosenthal, [Ro], ver también [H-Hj-Z] y [F-H-Ha-Mon-P-Z]).

(iii) Un espacio topológico compacto K es un compacto de Talagrand si y sólo si existe

una familia U puntualmente numerable, formada por abiertos Fσ , T0-separadora

en K y que se puede descomponer

U = ∪Uσ ;σ ∈ NN

de manera que Uσ1 ⊆ Uσ2 cuando σ1 ≤ σ2 y la subfamilia Uσ es puntualmente

finita para cada σ ∈ NN (Mercourakis, ver [Me]).

(iv) Un espacio topológico compacto K es compacto de Gul’ko si, y sólo si, existe una

familia U débilmente σ−puntualmente finita, formada por conjuntos abiertos Fσ

y T0-separadora en K (Sokolov, [So] y ver también [F]).

(iv*) Un espacio topológico compacto K es compacto de Gul’ko si, y sólo si, existe un

subconjunto no vacío Σ ⊂NN una familia U puntualmente numerable formada por

abiertos Fσ , T0-separadora en K, que se puede descomponer como

U = ∪UH ;H ∈ K (Σ)

de manera que UH1 ⊂ UH2 cuando H1 ⊂ H2 y la subfamilia UH es puntualmente

finita para cada H ∈ K (Σ) (Mercourakis [Me]).

(v) Un espacio topológico compacto K es un compacto de Corson si y sólo si existe una

familia U puntualmente numerable, formada por abiertos Fσ y T0-separadora K

(Rosenthal, ver [Ar2]).

Observación 1.4.3. Después de nuestra observación 2.4.5, la hipótesis de puntualmente

numerable en (iii) y (iv*) anteriores no será necesaria. Además después de nuestro teo-

rema 2.4.17 se tendrá que (iv) y (iv*) son el mismo teorema.


DEMOSTRACIÓN: Detallamos la prueba de los casos que utilizaremos en la memoria.

(ii) Compacto de Eberlein:

⇒Sea K un compacto de Eberlein, por la sección 1.3 podemos suponer que K ⊂ c0(Γ)

es débil compacto. Sea (In)n∈N la sucesión de intervalos cerrados de la forma [r,s] con

r,s ∈Q y r < 0 < s.

Para cada γ ∈ Γ y n ∈ N definimos Un,γ = k ∈ K : k(γ) 6∈ In, utilizando las proyec-

ciones en cada coordenada γ se observa que cada Un,γ es un Fσ abierto en K. Si defin-

imos Un = Un,γ : γ ∈ Γ, podemos considerar U = ∪n∈NUn hay que probar que U es

σ -puntualmente finita y T0-separadora en K. Pero cada Un es puntualmente finita, porque

si I = [r,s], entonces para cada k ∈Un,γ se tiene que |k(γ)| > mın [|s|, |t|] > 0 y, por tanto,

el conjunto γ : k ∈ Un,γ es finito, ya que k ∈ c0(Γ). Veamos que U T0-separadora de

K, sean k,k′ ∈ K con k 6= k′, entonces existe alguna coordenada γ tal que k(γ) 6= k′(γ),

entonces para algún n el conjunto k(γ),k′(γ)∩ In tiene un único elemento, con lo cual

el conjunto k,k′∩Un,γ tiene un único elemento.

⇐Supongamos ahora que tenemos la familia U que es σ -puntualmente finita, forma-

da por abiertos Fσ y que distingue los puntos de K, sea pues U = ∪n∈NUn, donde cada

subfamilia Un es puntualmente finita. Utilizando el lema de Urysohn [E], fijado U ∈ Un,

existe una función continua fU : K −→ [0, 1n ] tal que:

fU(k) = 0 ⇔ k 6∈U

Esto es cierto porque fijado U ∈ Un que es abierto, podemos escribir U = ∪+∞i=1Fi donde

Fi = Fi, entonces para cada i ∈ N existe una función fi : K −→ [0, 1n ] tal que fi(k) = 0 si

k ∈ K \U y fi(k) = 1n si k ∈ Fi, y definiendo la función fU(k) := ∑+∞

i=1fi(k)2i aseguramos lo

dicho.

Consideramos la aplicación Φ : K −→ l∞(U ) dada por Φ(k)(U) = fU(k), que es con-

tinua si consideramos la topología de convergencia puntual en l∞(U ), también se cumple

que Φ(K) ⊂ c0(U ) ya que U es σ−puntualmente finita. Veamos que también es inyec-

tiva, para eso supongamos que k 6= k′ son dos puntos de K, entonces existe un conjun-

to U ∈ U tal que k,k′ ∩U es un único punto, con esto fU(k) 6= fU(k′), con lo cual

Φ(k) 6= Φ(k′). Como conclusión K es homeomorfo a un subconjunto puntualmente com-

pacto de la bola unidad de c0(U ), se concluye que K es homeomorfo a un subconjunto

débil compacto de c0(U ). De manera similar se prueban (i) y (v).

(iv) Compacto de Gul’ko:


⇒ Sea K un compacto de Gul’ko, por la sección 1.3 podemos suponer que K ⊂

(c1(Σ×Γ),τp) para algún Σ ⊂ NN y Γ 6= φ . Igual que en (ii) denotaremos por (In)n∈N

a la sucesión de intervalos cerrados de la forma [r,s] con r,s ∈Q y r < 0 < s.

Para cada σ ∈ Σ, γ ∈ Γ y n ∈ N definimos Unσ ,γ = k ∈ K : k(σ ,γ) 6∈ In, igual que en

el caso (ii) este tipo de conjuntos son Fσ y abiertos en K. Sea ahora B = Bn;n ∈N una

base numerable para la topología de Σ (que es un espacio métrico y separable). Entonces

definimos U nm = Un

σ ,γ : σ ∈ Bmγ ∈ Γ y U = ∪U nm ;n,m ∈N que, igual que en el caso

(ii), T0-separadora de K. Comprobemos la última condición. Fijamos U ∈ U y un punto

x ∈ K; entonces U = Unσ ,γ para algunos n, σ y γ . Entonces existe m ∈ N tal que σ ∈ Bm y

k(σ ′,γ ′) ∈ In para cualesquiera σ 6= σ ′ ∈ Bm y γ ′ ∈ Γ. De hecho, si este no fuera el caso,

existirían σ 6= σm ∈ Σ, σm → σ , y γm ∈ Γ tal que k(σm,γm) 6∈ In. Sin embargo, esto nos

llevaría a una contradicción con la definición de espacio c1(Σ×Γ) (sección 1.3), ya que

σ ,σ1,σ2, . . . es un compacto en Σ. Se concluye pues que ord(k,U nm ) es finito y que

U ∈ U nm . Sólo queda enumerar los pares (n,m) mediante números naturales.

⇐ Supongamos que tenemos una familia U que es débilmente σ−puntualmente fini-

ta, formada por abiertos Fσ y T0-separadora, siendo U = ∪Un;n ∈ N la descomposi-

ción para U . Por comodidad denotaremos Γ := U y Γn := Un para cada n ∈ N. Ahora,

para cada γ ∈ Γ consideramos la función continua πγ : K → [0,1] que es no nula exclusiva-

mente en γ . Entonces definimos la aplicación Φ : K → [0,1]Γ dada por Φ(k)(γ) = πγ(k).

Recordemos que para cada elemento (xγ)γ∈Γ ∈ RΓ se define su soporte como

supp(x) = γ ∈ Γ;xγ 6= 0

Se observa que dados γ ∈ Γ y k ∈ K encontramos m ∈ N tal que γ ∈ Γm y además:

supp(Φ(k))∩Γm = U ∈ Um;k ∈U

donde la cardinalidad de este último conjunto es finita, llamaremos a esta condición la

propiedad (*). En realidad estamos situándonos en las hipótesis del teorema 7.2.5 (vi) de

[F]. Ahora para probar que K es compacto de Gul’ko hay que comprobar que (C(K),τp) es

numerablemente K −determinado. Para ello definimos Y = πγ ;γ ∈Γ⊂C(K), entonces

Y es T0-separadora en K ya que Γ lo hace. Para ver que K es compacto de Gul’ko, veremos

que Y es numerablemente K −determinado, teorema 7.1.8 de [F]. Observando que (Y,τp)

es subespacio del compacto ([0,1]K,τp), para n = 1,2, . . . definimos:

An = πγ ;γ ∈ Γnτp⊂ ([0,1]K,τp)

24 1.5 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS Y TOPOLÓGICAS

Para finalizar probaremos que para cada y ∈ Y y para cada f ∈ [0,1]K \Y , existe n ∈ N

tal que y ∈ An y f 6∈ An, proposición 7.1.1 (i) de [F]. Para esto fijamos y y f . Entonces

para f 6≡ 0, existirá k ∈ K tal que f (k) > 0 y encontraremos γ ∈ Γ tal que y = πγ . Por la

propiedad (*) encontraremos n ∈N tal que γ ∈ Γn y el conjunto supp(Φ(k))∩Γn es finito.

Entonces y ∈ An y, observando que

An = πγ ;γ ∈ supp(Φ(k))∩Γn∪πγ ;γ ∈ Γn \ suppΦ(k)τp

se concluye que f 6∈ An. De manera similar a la prueba de (iv*), se prueba (iii).

1.5 Propiedades geométricas y topológicas

Diremos que un espacio topológico (X ,τ) está σ−fragmentado por la métrica d

sobre X cuando, para cada ε > 0, podemos escribir

X =∞⋃

i=1

Xεi

donde cada conjunto X εi , i ≥ 1, tiene la propiedad que para cada subconjunto no vacío

A ⊂ Xεi existe un conjunto abierto U ∈ τ tal que A∩U 6= φ y diam(U ∩A) < ε . Se dice

que (X ,τ) es σ−fragmentable si está σ−fragmentado por alguna métrica.

El estudio de espacios fragmentables es anterior y fueron estudiados inicialmente por

J. E. Jayne y C. A. Rogers en 1985 [J-R]. Se dice que un espacio topológico (X ,τ) está

fragmentado por una métrica d cuando, para cada ε > 0, y para cada A ⊂ X existe un

conjunto abierto U ∈ τ tal que A∩U 6= φ y diam(U ∩A) < ε . Se dice que un espacio

topológico es fragmentable si está fragmentado por alguna métrica.

Los compactos fragmentables tienen un teorema de caracterización interna en función

de un tipo de particiones relativamente abiertas, que estudiaremos a continuación. Esta

caracterización se debe a N. K. Ribarska, [Ri3] en 1987.

Una familia bien ordenada U = Uξ ;ξ ∈ [0,ξ0) de subconjuntos de un espacio

topológico es una partición de X relativamente abierta si se cumplen las siguientes condi-

ciones:

(i) Uξ está contenido y es relativamente abierto en X \(∪η<ξUη) para cada ξ ∈ [0,ξ0);

(ii) X = ∪Uξ ;ξ < ξ0.


La familia U se dice una partición σ−relativamente abierta de X si existen parti-

ciones relativamente abiertas Un de X , n = 1,2, . . . , tal que U = ∪nUn.

Teorema 1.5.1 (Teorema 5.1.9 de [F]). Un espacio topológico X es fragmentable si, y

sólo si, admite una partición σ−relativamente abierta y T0-separadora.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que el espacio topológico X admite una partición σ−re-

lativamente abierta y T0-separadora, U = ∪nUn con

Un = Unξ ;ξ ∈ [0,ξ )

Debido a la proposición 5.1.8 de [F], podemos asumir que cada Un+1 es un refinamiento

de Un para cada n ∈ N. Definimos una aplicación ρ : X ×X −→ [0,+∞) definida por

ρ(x,y) =

0 si x = y,

(mınn ∈ N; |U ∩x,y| = 1 para algún U ∈ Un)−1 si x 6= y.

Se observa que ρ es una métrica sobre X . De hecho, la desigualdad triangular se puede

reemplazar por la siguiente condición, que es más fuerte:

ρ(x,y) ≤ maxρ(x,z),ρ(z,y), x,y,z ∈ X

De hecho, si x,y,z ∈ X , x 6= y, y denotamos n = ρ(x,y)−1. Sea U ∈ Un tal que x,y∩U

tiene cardinalidad uno y por tanto ρ(z,y) ≥ 1/n(= ρ(x,y)). Si z 6∈U , entonces x,z∩U

tiene cardinalidad uno y, por tanto, ρ(x,z) ≥ 1/n(= ρ(x,y)).

Además, el ρ−diámetro de Unξ es menor que 1/n para cada n ∈ N y cada ξ ∈ [0,ξn)

ya que Ui+1 es un refinamiento de Ui. Probaremos que X está fragmentado por ρ , fijamos

pues ε > 0 y un conjunto arbitrario φ 6= Y ⊂ X . Tomamos n > 1/ε y ponemos

ζ = mınη ∈ [0,ξn);Y ∩Unη 6= φ.

Entonces el conjunto no vacío Y ∩U nζ es igual a Y ∩ (

⋃

η≤ζ Unη) y, por tanto, es abierto en

Y . Además,

diam(Y ∩Unζ ) ≤ diam(Un

ζ ) < 1/n < ε

Supongamos ahora que X está fragmentado por una métrica ρ . Para cada n ∈ N cons-

truiremos una partición relativamente abierta Un de X como sigue. Fijamos n ∈ N, y

procederemos por inducción transfinita. Sea U0 = φ , y fijamos un ordinal ξ > 0 de manera

26 1.5 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS Y TOPOLÓGICAS

que para cada ζ ∈ [0,ξ ) tenemos un conjunto Uζ ⊂ X que está contenido en X \⋃

η<ζ Uη

y es relativamente abierto allí y con diam(Uζ ) < 1/n. Si X = ∪η<ξUη , entonces finali-

zamos el proceso y ponemos Un = Uη ,η ∈ [0,ξ ). En lo que sigue, asumiremos que

este no es el caso, entonces, por la hipótesis, un subconjunto Uξ relativamente abierto en

X \⋃

η<ξ Uη con diámetro menor que 1/n. Este proceso debe parar en algún momento.

Claramente, Un es entonces una partición relativamente abierta de X . Queda por probar

que ∪nUn T0-separadora de X . Fijamos dos elementos distintos x,y ∈ X , existe n ∈ N

tal que ρ(x,y) ≥ 1/n. Por lo tanto existe U ∈ Un tal que x ∈ U y, como sabemos que

diam(U) < 1/n, el elemento y no puede estar en U .

P. S. Kenderov y W. B. Moors probaron en 1999 [Ke-Mr] que un espacio de Banach

X con la topología débil es fragmentable por una métrica cuya topología es más fina

que la topología débil (o que la topología dada por la norma) si, y sólo si, (X ,w) es

σ−fragmentable por la norma. Kenderov y Moors obtienen este resultado como con-

secuencia de la caracterización de la fragmentabilidad a partir de un juego, en particular,

de encontrar una estrategia ganadora para un cierto jugador (llamado Ω).

Los conceptos de norma LUR y espacio σ−fragmentable se relacionan, de manera

natural, con el concepto de propiedad Kadec (que ya definimos en la introducción). En

el caso más general, si X es un espacio de Banach y τ es una topología vectorial más

débil que la topología de la norma. Una norma se dice que es τ−Kadec si las topologías

relativas de la norma y τ coinciden sobre la esfera unidad de X . De la coincidencia en la

esfera unidad de las topologías débil y de la norma se sigue que el espacio de Banach X

tendrá la propiedad JNR.

Para acabar la cadena de implicaciones de espacios compactos en el diagrama Int.

I, vamos a recordar la clase de compactos conocidos como compactos de Namioka. Se

dice que el compacto K es un compacto de Namioka si toda función f : X −→ Cp(K)

continua, siendo X un espacio de Baire, es continua en norma en un Gδ denso de X .

El hecho de que K sea un compacto de Namioka es equivalente a la propiedad de que

cualquier función f : X ×K 7→ R separadamente continua, siendo X un espacio de Baire,

es conjuntamente continua en un conjunto U ×K siendo U un subconjunto Gδ−denso

de X . Este tipo de propiedades proporciona interacciones entre la topología débil y la

topología de la norma en un espacio de Banach. Por ejemplo, como consecuencia del

teorema de continuidad conjunta de Namioka [Na] se tiene que la norma de un espacio

de Banach X fragmenta a cualquier subconjunto débil compacto K del espacio de


Banach. Además, si K es un compacto tal que Cp(K) es σ -fragmentable, entonces el

compacto K es de Namioka, [J-N-R2].

El diagrama Int. I se completa entonces de la siguiente manera, donde la primera

implicación se debe a M. Valdivia [V] y las siguientes al trabajo de J. Jayne, I. Namioka

y C. A. Rogers [J-N-R] y [J-N-R2]. Un análisis previo de estas implicaciones con la

noción de espacio descriptivo se debe a R. Hansell [Ha] y [Ha2]. Para nuestro contexto, las

aportaciones de Hansell, que fueron elaboradas en términos de network, van a resultar hoy

de un mayor rango de aplicabilidad como veremos en el desarrollo de esta memoria. El

trabajo [Ha] puede considerarse pionero en la introducción sistemática de las networks en

el estudio de las propiedades descritas en el diagrama siguiente (ver [On3] y [M-O-T-V].

K es compacto de Valdivia

C(K) admite norma equivalenteτp inferiormente semicontinua

y LUR

C(K) admite normaequivalente τp Kadec

Cp(K) tiene la propiedad

‖ · ‖∞-SLD

Cp(K) es σ−fragmentable

K es compacto de Namioka

?

?

1

?2

?

3

?

Diagrama 1.5.1.

Señalemos que no se conocen caracterizaciones internas sobre K, para cuando se

cumple alguna de las propiedades para C(K) del diagrama 1.5.1., siendo cualquiera

de estos problemas de gran interés en la teoría de renormamiento. Además las implica-

ciones 1, 2 y 3 se siguen manteniendo cuando consideramos un espacio de Banach

28 1.6 PROPIEDADES DE DIFERENCIABILIDAD

con su topología débil. No se conoce ningún ejemplo que separe la renormabilidad de

Kadec de la σ -fragmentabilidad. Los primeros ejemplos de espacios C(K) con norma

equivalente de Kadec y sin norma equivalente LUR se deben a R. Haydon [Hay]. Otros

ejemplos se han construido en [Hay-J-N-R] y han servido para análisis muy recientes en

[Bu-K-To]. De hecho en [Hay-J-N-R] se prueba que para cualquier compacto totalmente

ordenado K el espacio C(K) admite una norma equivalente que es τp-Kadec y sin embar-

go cubos lexicográficos no numerables no tendrán norma equivalente LUR. Por otro lado,

I. Namioka y R. Pol han construido un compacto disperso K que es de Namioka y tal que

Cp(K) no es σ -fragmentable bajo el siguiente postulado independiente de los axiomas de

ZFC:

Existe un conjunto co-analítico en [0,1] de cardinalidad el continuo y sin subconjun-

tos perfectos, [Na-Po].

1.6 Propiedades de diferenciabilidad

Volviendo al diagrama 1.1.1, vamos a completar la rama de la derecha, es decir, vamos

a ver clases de espacios compactos que contienen a los compactos dispersos y que estarán

relacionados con propiedades de diferenciabilidad sobre los correspondientes espacios

C(K).

Se dice que un espacio compacto es un compacto de Radon-Nikodým si existe un

espacio de Asplund X de manera que K es homeomorfo a un subconjunto de X ∗ con

la topología débil estrella. Se cumple que un compacto es de Radon-Nikodým si está

fragmentado por alguna métrica inferiormente semicontinua, [Na3].

Un compacto K se dice que es un compacto "quasi" Radon-Nikodým, [Arv], si es-

tá fragmentado por un función f : K ×K −→ [0,1] inferiormente semicontinua tal que

f (x,y) = 0 si y sólo si x = y y tal que f (x,y) = f (y,x). No se sabe si las clases de com-

pactos de Radon Nikodým y "quasi" Radon Nikodým son distintas, y se desconoce

una caracterización interna de los mismos. La imagen continua de un compacto quasi

Radon Nikodým sigue siendo quasi Radon Nikodým, pero no sabemos si lo mismo

sucede para imágenes continuas de los compactos de Radon Nikodým, siendo este un

problema abierto de la máxima actualidad, A. Avilés (2004) [Av].

El siguiente resultado se debe a A. D. Arvanitakis, [Arv].


Teorema 1.6.1 (A. D. Arvanitakis, 2002). Un espacio compacto K es compacto de Eber-

lein si, y sólo, si es compacto de Corson y "quasi" Randon Nikodým.

Para dos espacios topológicos X ,Y y una aplicación usco F : X −→ 2Y , decimos que

F es usco minimal cuando F = G para cualquier G : X −→ 2Y que sea usco tal que G ⊂ F .

Se sigue del lema de Zorn que cada aplicación usco contiene al menos una usco minimal

Un espacio topológico compacto K es un espacio de Stegall si para cada espacio de

Baire X y cada usco minimal Φ : X −→ 2K existe un subconjunto Gδ denso Ω de X tal

que Φ(x) contiene un solo punto para cada x ∈ Ω. Los compactos K en la clase de Ste-

gall contienen un Gδ denso que es completamente metrizable y son sucesionalmente

compactos, [F].

Los compactos fragmentables están en la clase de Stegall y cuando la bola unidad

del dual de un espacio de Banach X está en la clase de Stegall el espacio X será débil

Asplund, [F]. O. Kalenda ha encontrado, utilizando axiomática adicional de conjuntos,

ejemplos de espacios compactos K en la clase de Stegall que no son fragmentables,

(1999) [Ka]. Para espacios de Banach y bolas duales el problema permanece abierto.

P. Kenderov, W. Moors y S. Sciffer prueban en [Ke-Mr-Sc] (2001), utilizando axiomática

adicional de conjuntos, que existe un espacio de Banach que está en la clase de Stegall

pero cuyo dual no es débil∗ fragmentable. Posteriormente O. Kalenda prueba en [Ka2]

(2002), utilizando axiomática adicional de conjuntos, que existe un espacio de Banach

X que es débil Asplund pero no está en la clase de Stegall.

Al estudiar los compactos dispersos nos han aparecido, de manera natural, propiedades

de diferenciabilidad de funciones convexas. Acabaremos esta rama con más propiedades

de diferenciabilidad, antes recordemos el concepto de diferenciabilidad Gâteaux y dife-

renciabilidad Gâteaux uniforme.

Una función f definida sobre un espacio de Banach X se dice que es diferenciable

Gâteaux en x ∈ X si existe l ∈ X∗ tal que

lımt→0

f (x+ th)− f (x)t

= l(h)

para cada h ∈ X . En este caso se dice que l es la derivada de Gâteaux de f en x y lo deno-

taremos por l = f ′(x). En los casos en que el límite anterior es uniforme sobre elementos

x de SX para cada h ∈ X fijo, se dice que f es uniformemente diferenciable Gâteaux. Un

espacio de Banach X se dice que es un espacio débil Asplund si toda función continua y

convexa definida en X , es diferenciable Gâteaux en un conjunto Gδ denso en X .


El libro [F] trata en profundidad los espacios débil Asplund y su fuerte relación con la

topología conjuntista. Al final del texto encontramos una lista de problemas y cuestiones

abiertas sobre éstos, de los que destacamos el encontrar alguna caracterización para

los espacios débil Asplund, o para los espacios diferenciables Gâteaux. Un espacio

de Banach es diferenciable Gâteaux si cada función convexa y continua es diferenciable

Gâteaux en un subconjunto denso. Cuando C(K) es débil Asplund el compacto K debe

ser sucesionalmente compacto y contener un Gδ denso y completamente metrizable,

[F].

Compacto disperso ⇐⇒ C(K) es de Asplund

Compacto de Radon Nikodyn

Compacto quasi Radon Nikodyn

Compacto fragmentable

Compacto de Stegall

(BC(K)∗ , w∗) de Stegall

C(K) debil Asplund

?

?

?

?

z

9

Diagrama 1.6.1.

En el diagrama 1.6.1 completamos la rama de la derecha del diagrama 1.1.1.

En lo que queda de este sección, veremos algunos contraejemplos que diferencien

clases de espacios aquí presentados. El primero de ellos diferencia las dos ramas del

diagrama 1.1.1 en sus niveles más extremos y se debe a R. Haydon, [Hay].

Ejemplo 1.6.2. Compacto disperso que no es compacto de Namioka.

En el ejemplo 1.2.6 hemos introducido la noción de árbol, pero para este ejemplo

daremos una noción de árbol que generaliza a la anterior. Un árbol T es un conjunto


parcialmente ordenado (T,≤) de manera que para cada t ∈ T , el conjunto s ∈ T ;s ≤ t

está bien ordenado por ≤ (capítulo VI sección 9 [De-Go-Z]). Para facilitar la notación,

introduciremos dos elementos 0 e ∞, que no están en T , de manera que 0 < t < ∞ para cada

t ∈ T . Usaremos también la noción de intervalo. Por lo tanto si s, t ∈ T , entonces (s, t] =

u ∈ T ;s < u ≤ t, mientras que (0,s] = u ∈ T ;u ≤ s. Para cada t ∈ T , denotaremos por

r(t) al único ordinal que tiene el mismo tipo de orden que (0, t). La altura h(T ) de T está

definida por h(T ) = supr(t)+ 1; t ∈ T. Identificaremos con frecuencia un ordinal con

el conjunto de sus predecesores.

Asumiremos siempre que el árbol T es Hausdorff, es decir, si (0, t) = (0, t ′) y r(t) =

r(t ′) es un ordinal límite, entonces t = t ′. Dos elementos s, t de T son incomparables si no

se cumplen s≤ t ni t ≤ s. Los subconjuntos totalmente ordenados de T se llaman cadenas,

y las cadenas maximales se llaman ramas. Los subconjuntos de T cuyos elementos son

mutuamente incomparables se llaman anticadenas.

Dotamos a T de la topología más débil τ para la cual todos los intervalos (0, t] son

abiertos y cerrados. El árbol (T,τ) es un espacio localmente compacto y disperso cuando

le dotamos de esta topología, el cual es Hausdorff ya que T es un árbol Hausdorff. Además

identificaremos T = T ∪∞ con la compactificación de Alexandrov de T , y denotaremos

por C0(Λ) al espacio de funciones continuas f sobre T tal que f (∞) = 0.

Sea Λ el conjunto formado por todas las aplicaciones t de ordinales α = dom(t) (nece-

sariamente α < ω1) en ω0, tal que ω0 \ Im(t) es infinito. El ordenamiento de Λ está dado

por:

t ≤ t ′ si dom(t ′) ≤ dom(t) y t|dom(t ′) = t ′

Se tiene que Λ es un árbol, y para cada t ∈ Λ, el conjunto t+ es infinito numerable. En-

tonces se cumple que la compactificación de Alexandrov Λ de Λ es un compacto disperso

que no es compacto de Namioka.

DEMOSTRACIÓN: Vamos a dotar al árbol Λ de una topología H de manera que (Λ,H )

sea un espacio topológico de Baire. Para t ∈ Λ, un sistema fundamental de H −entornos

de t consiste en los conjuntos

N(t,F) = u ∈ Λ;u ≥ t y F ∩ Im(u) = φ

donde F es cualquier subconjunto finito de N\ Im(t).

Sea Onn una familia numerable de H −abiertos densos y sea N(t0,F0) un conjunto

H −abierto básico. Como O1 es denso en Λ, existirá t1 ∈N(t0,F0)∩O1, y un subconjunto


finito F1 ⊂ N \ Im(t1) tal que N(t1,F1) ⊂ N(t0,F0)∩ O1. Como N \ Im(t1) es infinito,

podemos suponer que F1 contiene estrictamente a F0.

Construimos por inducción una sucesión creciente tn en Λ, y un sucesión creciente

(Fn) de subconjuntos finitos de N tal que para cada n ≥ 1,

N(tn,Fn) ⊂ N(tn−1,Fn−1)∩On (1)

El conjunto I =∪Fn;n ≥ 0 es infinito ya que la sucesión (Fn) es estrictamente creciente

e Im(tn)∩ I = φ para cada n. Se sigue que t = sup(tn) existe en Λ, y por (1)

t ∈ N(t0,F0)∩⋂

On;n ≥ 1

De donde (Λ,H ) es un espacio de Baire.

Para acabar la prueba consideramos la aplicación

ϕ : (Λ,H ) 7→ (C0(Λ),τp)

definida por ϕ(t) = 1(0,t], que es continua. Y además, ‖ ϕ(t)−ϕ(s) ‖∞= 1 para todo s 6= t

por lo que Λ no es compacto de Namioka.

Compactos sobre árboles han sido estudiados recientemente por R. Haydon, [Hay],

para suministrar contraejemplos a muchas de las implicaciones descritas aquí. Por ejem-

plo un espacio de la forma c0(ϒ), donde ϒ es un árbol determinado, suministra el primer

ejemplo de compacto disperso K tal que C(K) no admite norma equivalente Fréchet

ni Gâteaux diferenciable, ni admite tampoco norma equivalente LUR. M. Jiménez y

J. P. Moreno ([Ji-M]) han considerado por su parte el s-espacio disperso y compacto que

bajo la hipótesis del continuo construye Kunen (ver [Ne], p. 1123) para ver también un

ejemplo con estas patologías.

Para ver un ejemplo de un compacto de Radon Nikodým que no sea disperso basta

considerar el compacto [0,1]. Además para obtener un ejemplo de un compacto frag-

mentable que no sea "quasi" Radon Nikodým basta considerar el ejemplo 1.2.6, es

decir el compacto de Gul’ko que no es de Talagrand. El teorema 1.6.1 asegura que no

puede ser compacto de quasi Radon Nikodým, y como consecuencia de los trabajos de

G. Gruenhage ([Gr3]) y N. K. Ribarska (ver teoremas 1.7.1 y 1.5.1 [Ri3]) se observa que

todo compacto de Gul’ko es fragmentable (ver diagrama 1.7.1).


1.7 Interacción entre propiedades topológicas y de

diferenciabilidad

Hemos presentado en los diagramas anteriores dos líneas de abstracción; una

basada en propiedades estructurales y topológicas de interacción entre topologías

débiles y de la norma en espacios de Banach, que comienza por los compactos metriz-

ables y los espacios de Banach separables y termina con los compactos con la propiedad

de Namioka y los espacios de Banach σ -fragmentables; y la otra basada en el estu-

dio de propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas, que comienza con los

compactos dispersos y los espacios de Asplund para terminar en los espacios débil As-

plund. Ambas líneas de abstracción están bien separadas desde el principio y hemos

descrito un ejemplo de R. Haydon (ejemplo 1.6.2) con un compacto disperso que no tiene

la propiedad de Namioka. Diversos resultados han ido estableciendo la interrelación entre

ambas cuestiones, y así por ejemplo el teorema de J. Orihuela, W. Schachermayer y M.

Valdivia [O-S-V] asegura que un compacto K es de Eberlein si, y sólo si, es de Corson

y de Radon Nikodým, resultado que ha mejorado A. Arvanitakis en 20002, [Arv] (ver

teorema 1.6.1).

Muy recientemente R. Deville, G. Godefroy y V. Zizler han demostrado que un com-

pacto K es de Eberlein uniforme si, y solamente si, C(K) admite una norma equiv-

alente uniformemente Gâteaux diferenciable, [F-Go-Z]. Para un compacto de Eber-

lein K que el espacio C(K) es débil Asplund está probado por E. Asplund en [As]. De

hecho, C(K) admite una norma equivalente Gâteaux diferenciable para K compacto

de Eberlein ([H-Hj-Z] y [F-H-Ha-Mon-P-Z]) y cualquier espacio de Banach con nor-

ma Gâteaux diferenciable es débil Asplund, como probaron D. Preiss, I. Namioka y B.

Phelps ([Pr-Na-Ph]), más tarde N. K. Ribarska observó cómo la bola dual es un com-

pacto fragmentable en este caso también, [Ri2]. En un espacio C(K) débil Asplund,

K contiene un Gδ denso metrizable, propiedad que para un compacto de Eberlein se

sigue de su fragmentabilidad también, siendo así que M. Talagrand se preguntaba si

cualquier compacto de las clases que él había introducido, esto es Talagrand y Gul’ko,

tendría un subconjunto Gδ denso metrizable. En un trabajo con gran repercusión en

nuestro esquema, G. Gruenhage resolvió afirmativamente la cuestión en 1987 [Gr3],

probando que los compactos de Gul’ko tienen esta propiedad. La construcción de Gruen-

hage está basada en el estudio de un tipo de familias denominadas σ−distributivamente

puntualmente finitas. Esto dio lugar, a posteriori, a la definición de los espacios de Gruen-

34 1.7 PROPIEDADES TOPOLÓGICAS Y DE DIFERENCIABILIDAD

hage. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto es σ−distributivamente

puntualmente finita si A = ∪An;n ∈ N, de manera que, para cada par de puntos dis-

tintos x,y ∈ X , existe n ∈ N tal que existe A ∈ An que contiene exactamente a un de los

puntos x o y; y además, o bien ord(x,An) = |B ∈An;x ∈ B|, o bien ord(y,An) es finito.

Un espacio topológico compacto K es compacto de Gruenhage si admite un cubrimiento

abierto T0-separador de K y que es σ−distributivamente puntualmente finito.

N. K. Ribarska obtiene una caracterización para los espacios topológicos de Gruenha-

ge, que es análoga a la caracterización obtenida para los compactos fragmentables (teore-

ma 1.5.1).

Una familia bien ordenada U = Uξ ;1 ≤ ξ ≤ ξ de subconjuntos de un espacio

topológico es una partición de X G-relativamente abierta si se cumplen las siguientes

condiciones:

(i) U1 es abierto en X .

(ii) Uξ ;2≤ ξ < ξ es una familia disjunta de subconjuntos abiertos relativos en X \U1.

(iii) Uξ = X \ (∪Uξ ;ξ < ξ).La familia U se dice una partición σ−G-relativamente abierta de X si existen parti-

ciones G-relativamente abiertas Un de X , n = 1,2, . . . , tal que U = ∪nUn.

Podemos enunciar ya la caracterización de Ribarska [Ri];

Teorema 1.7.1. Un espacio topológico es de Gruenhage si, y sólo si, admite una parti-

ción σ−G-relativamente abierta y que T0-separa puntos.

Vemos pues cómo los compactos de Gruenhage proporcionan un camino de conex-

ión entre los compactos de Gul’ko y los compactos fragmentables. Todo compacto de

Gul’ko es de Gruenhage y estos son compactos fragmentables. En [Arg-Me], Argyros y

Mercourakis proporcionan un ejemplo de un compacto de Corson y de Gruenhage que

no es de Gul’ko y responde a una pregunta planteada por el propio Gruenhage. Las otras

dos preguntas planteadas por Gruenhage en [Gr3] se refieren a propiedades de cubrimien-

to relacionadas con los compactos de Gul’ko y como expresamos en la introducción las

resolvemos en la presente memoria.

Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X se dice que es aislada si

cada punto de ∪A;A ∈A tiene un entorno que corta como mucho a un elemento de A ,

es decir, A;A ∈ A es discreto en su unión. Una familia A de subconjuntos de un es-

pacio topológico X se dice que es σ -aislada, si se puede expresar como unión numerable

de familias aisladas. Un espacio topológico compacto K es un compacto descriptivo si


tiene una network σ−aislada. Los compactos descriptivos fueron introducidos por R. W.

Hansell en su manuscrito de 1989 [Ha] y han sido estudiados en detalle en [On-R].

Que todo compacto descriptivo es de Gruenhage se sigue del estudio hecho en [On-R]

junto con las caracterizaciones de Ribarska [Ri3] donde se prueba que si un espacio

topológico (X ,τ) admite una métrica d con topología más fina que τ y tal que (X ,τ)

tenga la propiedad d-SLD, entonces es de Gruenhage. Que los compactos descriptivos

admiten dicha métrica se sigue de [On-R].

L. Oncina [On2], ver también [M-O-T-V], establecen que un espacio de Banach es

descriptivo si, y sólo si, tiene la propiedad JNR. En particular prueban el siguiente

teorema:

Teorema 1.7.2. Un subconjunto A de un espacio normado tiene la propiedad JNR si, y

sólo si, A tiene una network para la norma que es σ−aislada para la topología débil.

DEMOSTRACIÓN: [Veamos la prueba de la implicación ⇒] Haremos la prueba para todo

el espacio, supongamos pues que un X tiene la propiedad JNR. Primero probaremos que

si A es una familia discreta en X , entonces podemos descomponer cada A ∈ A de man-

era numerable A =⋃∞

p=1 Ap de forma que las familias Ap;A ∈ A son aisladas para la

topología débil y cada p = 1,2, . . . . Sea X (m) el conjunto de puntos de x ∈ X para los que

el cardinal del conjunto

A ∈ A ;B(x;1/m)∩A 6= φ

es menor o igual a uno. Por la discretitud de A tenemos que X = ∪mX (m). Además,

por la hipótesis, se sigue que para cualquier m ≥ 1 podemos descomponer X = ∪nXm,n

donde para cualquier x ∈ Xm,n existe un débil abierto V que contiene a x y además el

diam(V ∩Xm,n) < 1/m. Entonces para cualquier A ∈ A definimos

Am,n := A∩Xm,n ∩X (m)

y se tiene que A = ∪m,nAm,n. Además de la definición de estos conjuntos se tiene que la

familia Am,n;A ∈ A es aislada para la topología débil.

Ahora como todo espacio métrico tiene una base σ−discreta, podemos fijar una base

B = ∪nBn para la topología dada por la norma donde cada subfamilia Bn es discreta en

X . Ahora, para cada B ∈ Bn podemos descomponer B = ∪pBp donde Bp;B ∈ Bn es

aislada para la topología débil. Entonces la familia

⋃

n

⋃

p

Bp,B ∈ Bn


es una network para la topología dada por la norma y es σ−aislada para la topología débil.

El teorema 1.7.2 conecta la propiedad Kadec (ver diagrama 1.5.1) con la existencia

de este tipo de networks estudiadas por Hansell en [Ha2]. Así vemos que si un espa-

cio de Banach X tiene una norma equivalente Kadec, entonces tiene una network

para la norma σ−aislada en la topología débil. El recíproco sigue siendo, actual-

mente, un problema abierto del máximo interés. Su verificación proporcionaría una

caracterización de la renormabilidad de Kadec con la que los métodos de transferencia

de [M-O-T-V3] serían aplicables y los problemas planteados por ejemplo en [Bu-K-To]

podrían resolverse.

Aunque no se dice explícitamente, en [M-O-T-V] también obtienen el siguiente resul-

tado (ver [M-O-T-V3]):

Teorema 1.7.3 (Moltó-Orihuela-Troyanski-Valdivia, 2002, [M-O-T-V3]). Un espacio

normado tiene la propiedad sJNR si, y sólo si, tiene network para la topología dada por

la norma que es σ−aislada respecto a semiespacios.

Respecto a este último resultado diremos que en el corolario 3.5.8 (teorema 15 de la

introducción), obtenemos una generalización, en el sentido de pasar de familias "aisladas"

a "localmente finitas", como ya dijimos en la introducción.

Cualquier espacio con una network σ−aislada tiene propiedades de cubrimiento. En

particular es hereditariamente débilmente θ−refinable (o hereditariamente débilmente

submetacompacto), es decir, cada colección de conjuntos abiertos (no necesariamente un

cubrimiento) tiene un refinamiento σ−aislado.

Un espacio topológico compacto K es compacto de Namioka-Phelps si es homeo-

morfo a un subconjunto débil estrella compacto de un espacio de Banach dual que tiene

una norma dual LUR. Se cumple que un compacto es de Namioka-Phelps si, y sólo si,

es descriptivo es de Radon-Nikodým. Además un compacto es de Namioka-Phelps

si, y sólo si, es hereditariamente débilmente θ−refinable y es compacto de Radon-

Nikodým. De hecho, ser hereditariamente débilmente θ -refinable y σ -fragmentable por

una métrica d equivalen a tener la propiedad d-SLD como R. Hansell puso de manifiesto

a través del concepto de espacio descriptivo ([M-O-T-V], [On2]).

En este último tipo de compactos aparece, de nuevo, la conexión con renormamientos.

Veamos en el siguiente diagrama la relación de estos nuevos compactos, entre ellos y

con los estudiados previamente. Cuando ponemos C(K) es τp− < LUR > significa que,


C(K) admite una norma equivalente τp−inferiormente semicontinua y LUR. El resultado

para compactos de Namioka-Phelps ha sido recientemente obtenido por R. Haydon y en

su prueba las propiedades de tipo network han sido determinantes. Para un espacio de

Banach este resultado significa que si X∗ tiene una norma dual LUR, entonces X admite

una norma equivalente LUR.

Numerable ⇔ Disperso + Metrizable

Namioka-Phelps

quasi Radon Nikodym+

Corsonm

Eberlein

⇔Radon Nikodym

+Descriptivo

Descriptivo

Gruenhage

Gul’ko

C(K) es τp− < LUR >

Radon-Nikodym

Fragmentable

?

?

?

* ^

^R

Diagrama 1.7.1.

La siguiente propiedad ha sido estudiada por L. Oncina [On3]: un espacio topológico

(X ,τ) se dice que tiene la propiedad LSP si existe una métrica d sobre X generando una

topología más fina que τ de manera que para cualquier x∈X existe un conjunto numerable

S(x) conteniendo a x tal que

Aτ⊂ ∪S(x);x ∈ A

d

para cualquier subconjunto A ⊂ X . Un compacto K de Radon-Nikodým es de Eberlein

si, y sólo si, K tiene la propiedad LSP ([On3]); y para un espacio de Banach X para el

que existe un espacio de Asplund E y una aplicación T : E 7→ X con T (E)‖·‖

= X son


equivalentes ser de generación débilmente compacta y el que (BX∗,w∗) tenga la LSP.

Además un espacio de Banach X es Asplund y de generación débilmente compacta si,

y solamente si, BX∗ tiene la LSP con la métrica asociada a la norma del dual [On4].

Vemos pues como esta LSP es una propiedad de conexión entre las propiedades descritas

para las dos ramas de nuestro diagrama (diagramas Int. I, 1.1.1 y 1.6.1). Más aún en

su reciente trabajo, Dow, Junnila y Pelant [D-J-P2] han caracterizado la LSP sobre un

espacio topológico (X ,τ) por tener network σ -disjunta y puntualmente numerablemente

extendible, lo que entre otras cosas permite demostrar que todo compacto de Gul’ko tiene

la propiedad LSP y que todo compacto con la LSP es de Corson, al mismo tiempo que nos

ha servido para obtener caracterizaciones con “networks extendibles” para los compactos

de Gul’ko que vamos a presentar en el siguiente capítulo.

Caso particularmente relevante de interrelación entre las dos ramas de nuestro diagra-

ma es, por ejemplo, cuando el espacio de Banach X admite norma LUR y su dual norma

dual LUR, esto es, espacios de Asplund con bola dual descriptiva y renormables LUR,

[R4], [M-O-T-V], [On-R], en los que se verifica el teorema de H. Torunczyk, [Tor], de

aproximación uniforme de funciones continuas por funciones de clase C1, así como la

existencia de particiones de la unidad de clase C1 subordinadas a cualquier cubrimiento

abierto del espacio de Banach X . Remarquemos que es un problema abierto de gran in-

terés dilucidar si C(K) es renormable LUR para cualquier espacio compacto descriptivo

K.

2Networks para distintas clases de

espacios compactos.

Networks para distintas clases deespacios compactos.

Los espacios "métricos generalizados" son clases de espacios topológicos definidos

por alguna propiedad que poseen todos los espacios métricos y que hace que sean, de

alguna forma, cercanos a los espacios métricos, ver [Gr]. Así, por ejemplo, el teorema

de Bing-Nagata-Smirnov, [E], nos dice que los espacios métricos se caracterizan por el

hecho de tener una base σ−discreta de su topología. Se definen los σ−espacios como

los espacios topológicos con una network σ−discreta, la clase de los σ−espacios son un

claro ejemplo de espacio métrico generalizado. Estudiaremos en este capítulo las distintas

clases de espacios compactos del diagrama Int. II (Introducción) a través de propiedades

de espacios métricos generalizados. Como consecuencia de nuestro análisis respondere-

mos las cuestiones que quedaban pendientes en el trabajo de G. Gruenhage [Gr3] en la

sección 4 de este capítulo.

2.1 Compactos metrizables

Definición 2.1.1. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X se dice que

es:

40 2.1 COMPACTOS METRIZABLES

(i) Discretamente extendible si tiene una extensión abierta discreta, es decir, existe una

familia de abiertos U = UA;A ∈ A cumpliendo que A ⊂UA para todo A ∈ A y,

para cada x ∈ X, existe un abierto V 3 x tal que

|A ∈ A ;V ∩UA 6= φ| ≤ 1

(ii) σ−Discretamente extendible si se puede escribir

A =∞⋃

n=1

An

tal que cada subfamilia An tiene una extensión abierta discreta.

El siguiente resultado caracteriza los compactos metrizables a través de tipos de net-

work y recoge hechos bien conocidos [Gr]. Los incluimos aquí como motivación a nue-

stros resultados posteriores. Este resultado es, esencialmente, el teorema de Sneider (1945)

[Gr]. Damos la prueba para que el trabajo sea autocontenido.

Teorema 2.1.2. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:


(ii) K tiene una network σ−discretamente extendible.

(iii) K tiene una network σ−discreta.

(iv) La diagonal de K, ∆ := (x,x);x ∈ K, es un Gδ en K2.

DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (ii) Los compactos metrizables son compactos con base numer-

able para la topología, por el teorema de metrización de Urysohn [E], la base nos da la

network y la extensión.

(ii) ⇒ (iii) Se observa que una familia discretamente extendible es discreta y una

familia σ−discretamente extendible es σ−discreta.

(iii) ⇒ (iv) Como estamos trabajando en espacios topológicos regulares, no es restric-

tivo suponer que los elementos de la network N para K son cerrados, y la network sigue

siendo σ−discreta. Además, todo cerrado en K es un Gδ , veámoslo; Si H ⊂ K es cerrado,

definimos:

Un := K \∪N ∈ Nn;N ∩H = φ

donde N = ∪nNn. Entonces cada conjunto Un es abierto ya que cada subfamilia Nn es

discreta, y la unión de conjuntos cerrados de una familia discreta es un conjunto cerrado.

Además H =∩nUn; ya que H ⊂Un para todo n∈N, además si x∈∩nUn, sea U 3 x abierto,

2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 41

entonces ∃N ∈Nn (para algún n) tal que x ∈ N ⊂U . Como x ∈Un y x ∈ N ⊂Nn, se tiene

que N ∩H 6= φ , por lo que U ∩H 6= φ , es decir, x ∈ H = H. Entonces si K tiene una

network σ−discreta, K2 tiene también una network σ−discreta y, aplicando el párrafo

anterior, la diagonal ∆ = (x,x),x ∈ K es un Gδ en K2.

(iv) ⇒ (i) Esta implicación es el teorema de Sneider (1945), teorema 2.13 de [Gr]. Por

hipótesis, podemos expresar ∆ = ∩nUn con Un ⊂ K2 abierto para todo n ∈ N.

Ahora, para cada x ∈ K y n ∈ N, sea G(n,x) un entorno abierto en K conteniendo a x

y tal que

G(n,x)×G(n,x) ⊂Un

Entonces Gn = G(n,x);x ∈ K es un cubrimiento abierto de K, por tanto tiene un sub-

cubrimiento finito, que denotaremos también por Gn (y trabajaremos con él a partir de

ahora). Además podemos asumir que Gn+1 refina a Gn para cada n ∈ N, ya que si éste

no fuera el caso, podríamos reemplazar Gn por G ′n = ∩i≤nGi;Gi ∈ Gi. Por regularidad y

compacidad, podemos suponer que dado U ∈ Gn, existirá V ∈ Gn−1 tal que U ⊂V .

Entonces si dado x ∈ K y n ∈ N definimos

St(x,Gn) = ∪G ∈ Gn;x ∈ G

se cumplirá que

x =+∞⋂

n=1

St(x,Gn) =+∞⋂

n=1

St(x,Gn) (2.1)

Comprobemos la primera igualdad, si y ∈ ∩+∞n=1St(x,Gn) entonces para cada n ∈ N pode-

mos elegir zn ∈ K tal que

(x,y) ∈ G(n,zn)×G(n,zn) ⊂Un

por lo que x = y. Para la segunda igualdad basta observar que

St(x,Gn) = ∪G;x ∈ G ∈ Gn ⊂ St(x,Gn−1)

Supongamos ahora que x ∈U , con U un abierto de K. Entonces

U∪K \St(x,Gn);n ∈ N

es un cubrimiento abierto de K (por la igualdad (2.1)), por lo que existe un subcubrimiento

finito. De esto se sigue que existe n ∈ N tal que St(x,Gn) ⊂U , veamoslo; por lo anterior

existen n1, . . . ,nl ∈ N (para algún l ∈ N) tales que la familia

U⋃

∪K \St(x,Gni); i ∈ 1, . . . , l


cubre K. Supongamos entonces que para todo n ∈ N St(x,Gn) 6⊂ U , en ese caso para

cada n ∈N existirá un punto yn ∈ St(x,Gn)∩ (K \U). Como K \U es compacto, podemos

suponer que existe y∈K \U tal que lımn→∞ yn = y. Entonces y∈K \St(x,Gni0) para algún

i0 ∈ 1, . . . , l, por lo que existirá nl ∈ N tal que ∀n ≥ nl se tiene que yn ∈ K \St(x,Gni0),

pero esto es absurdo porque para todo n ≥ ni0 se cumple

yn ∈ St(x,Gn) ⊂ St(x,Gni0)

Por lo tanto G = ∪nGn es una base numerable para K, de lo que se concluye que K es

metrizable.

El resultado anterior es cierto también si suponemos que K es sólo numerablemente

compacto, (teorema 2.14 de [Gr], teorema de Chaber (1976)).

Veremos ahora qué propiedad de cubrimiento hereditaria caracteriza la metrizabili-

dad de compactos. Estudiaremos el teorema 2.6 de [Gr2] que afirma que un compacto

es metrizable si, y sólo si, su cuadrado es hereditariamente paracompacto, con el mismo

fin que el teorema anterior: encauzarnos en nuestros resultados posteriores para clases de

espacios compactos de las definidas en la introducción (diagrama Int.I).

Antes hay que estudiar algunas nociones y resultados previos.

Definición 2.1.3. Dado un ordinal infinito k, si X es un conjunto arbitrario con |X |= |k|,

fijamos un punto p ∈ X y definimos la topología τ que consiste en conjuntos de X que no

contienen a p y conjuntos de X que tienen complementario finito. Llamaremos al espacio

A(k) = (X ,τ) la compactificación por un punto de un espacio discreto de cardinalidad

|k|.

El siguiente resultado es el lema 2.5 de [Gr2].

Lema 2.1.4. Si k es un ordinal no numerable, entonces A(k)2 \∆ no es normal.

DEMOSTRACIÓN: Sea p el punto no aislado de A(k). Definimos

H := (x, p);x 6= p, K := (p,x);x 6= p

Entonces H y K son subconjuntos disjuntos y cerrados de A(k)2 \∆. Para comprobar que

son cerrados basta observar que

H = (A(k)×p)∩A(k)2 \∆ y K = (p×A(k))∩A(k)2 \∆


donde A(k)×p y p×A(k) son cerrados en A(k)2.

Supongamos ahora que U es un conjunto abierto conteniendo a H. Para cada x 6=

p, U contiene todos los puntos de x×A(k) salvo una cantidad finita. Por lo tanto, si

xn;n ∈ N es un subconjunto infinito numerable de A(k)\p, existe y ∈ A(k)\p tal

que (xn,y) ∈U para cada n ∈ N. Probemos esto último, para cada n ∈ N consideramos el

conjunto Yn infinito no numerable, tal que Yn ⊂ A(k)\ p, xn×Yn ⊂ U y A(k)\Yn es

finito. Ahora fijamos el conjunto Y = ∩∞n=1Yn que ha de ser no vacío (por cardinalidad)

y tomamos y ∈ Y (que será distinto a p), así (xn,y) ∈ U ∀n ∈ N. Probemos ahora que

(p,y) ∈ U ∩K, si V1 ×V2 es un abierto que contiene a (p,y), entonces A(k) \V1 ha de

ser finito, y por tanto, existe n ∈ N tal que xn ∈ V1, es decir, (xn,y) ∈ (V1 ×V2)∩U , así

U ∩K 6= φ . Por lo que H y K no pueden ser separados.

Para la prueba del teorema 2.6 de [Gr2], necesitaremos probar un teorema (teorema

2.1.9) del tipo teorema de Miscenko (teorema 284 de [H-Hj-Z]). Para la prueba del teore-

ma 2.1.9 son necesarios unos lemas previos y el estudio del concepto de ∆−sistema.

Definición 2.1.5. Una familia A de subconjuntos de un conjunto X se dice que es un

∆−sistema de raíz R ⊂ X, si para cada dos conjuntos distintos A,B ∈ A se cumple que

A∩B = R.

El siguiente resultado es un caso particular del resultado conocido como lema del

∆-sistema probado por Sanin (lema 2.4 de [Ho]).

Lema 2.1.6 (Lema del ∆-sistema). Sea A una familia no numerable de subconjuntos

finitos del conjunto X. Entonces existe una subfamilia no numerable B⊂A y un conjunto

finito R ⊂ X tal que B es un ∆−sistema de raíz R.

DEMOSTRACIÓN: No es restrictivo suponer que existe n > 0 un entero tal que cada ele-

mento de A tiene n elementos. Haremos la prueba por inducción sobre n, si n = 1 basta

considerar R = φ . Supongamos que n > 1 y que el teorema es cierto para n− 1. Sea A ′

una subfamilia maximal de A formado por conjuntos que son, dos a dos, disjuntos. Si A ′

es no numerable, se acaba la prueba tomando de nuevo R = φ . Supongamos pues que A ′

es numerable, por la maximalidad de dicha familia, existirá algún elemento p ∈ ∪A ′ que

está en una cantidad no numerable de conjuntos de A . La prueba se completa aplicando

la hipótesis de inducción a la familia A\p;A ∈ A , p ∈ A.


Observación 2.1.7. El lema del ∆−sistema también es cierto si A es una familia nu-

merable formada por conjuntos de la misma cardinalidad. De hecho, la misma prueba

funciona con la siguiente adaptación: si A ′, subfamilia maximal de A formada por con-

juntos dos a dos disjuntos, es finita existirá algún p ∈ ∪A ′ que está en una cantidad

numerable de conjuntos de A y se completa la inducción como antes; en caso contrario

tomaremos B = A ′ y raíz R = φ .

En 1962, Miscenko probó que un espacio compacto con una base puntualmente nume-

rable tiene una base numerable. En 1968, Filippov generalizó este resultado probando que

un espacio Hausdorff es metrizable si, y sólo si, es un "p-espacio paracompacto" con una

base puntualmente numerable. Para probar este teorema Filippov usó un resultado com-

binatorio, ahora llamado lema de Miscenko, el cual fue sacado de la prueba de Miscenko.

Enunciaremos y probaremos un caso particular del lema de Miscenko (que es el resultado

mencionado en la primera linea) que utilizaremos en la prueba del teorema 2.1.9.

Lema 2.1.8. Sea A una familia de subconjuntos de X puntualmente numerable. En-

tonces el número de cubrimientos finitos y minimales de X formado por elementos de

A es numerable.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que el resultado no es cierto, y sea Aα una colección

no numerable de cubrimientos finitos minimales y distintos de X formados por elementos

de A . Por el lema del ∆−sistema (lema 2.1.6), podemos suponer que existe una subfamil-

ia B ⊂ A tal que Aα ∩Aβ = B cuando α 6= β . Además B no es un cubrimiento de X ,

para ver esto basta elegir α tal que Aα 6= B y usar el hecho de que Aα es un cubrimiento

minimal de X . Fijemos p 6∈ ∪B. Para cada α elegimos Aα ∈ Aα tal que p ∈ Aα . Sean

α , β distintos, como p 6∈ ∪B y Aα ∩Aβ = B, se sigue que Aα 6= Aβ . Como consecuen-

cia p estará en una cantidad no numerable de elementos de A , lo cual nos lleva a una

contradicción, y se concluye la prueba.

Teorema 2.1.9. Un espacio topológico compacto K es metrizable si, y sólo si, tiene una

familia A puntualmente numerable formada por subconjuntos abiertos de K que es T1-

separadora.

DEMOSTRACIÓN: Veamos que la condición necesaria. Sea (K,d) el espacio métrico com-

pacto, denotamos por An una familia finita formada por las bolas abiertas de radio 1n que


cubren K. Si definimos A = ∪n∈NAn hemos acabado porque cumple las condiciones del

enunciado.

Probamos ahora la condición suficiente. Para ello seguimos la prueba del teorema 7.6

de [Gr] (donde sólo se supone que K es numerablemente compacto). Vamos a comprobar

que K2 tiene una Gδ diagonal (con lo cual obtendremos el resultado al aplicar el teorema

2.1.2). Primero notemos que K2 tiene un cubrimiento abierto puntualmente numerable y

T1-separador, que denotaremos por U . Siendo ∆ la diagonal de K2, consideramos:

V := ∪U′ : U

′ ⊂ U es un cubrimiento finito y minimal de ∆

Aplicando el lema 2.1.8, se tiene que V es numerable. Por lo tanto queda probar que

∆ = ∩V . Supongamos que p ∈ K2 \ ∆. Para cada x ∈ ∆, elegimos Ux ∈ U con x ∈

Ux ⊂ K2 \ p. Entonces Ux;x ∈ ∆ es un cubrimiento abierto de ∆, además como ∆es homeomorfo a K (y por lo tanto compacto) podemos asegurar que Ux;x ∈ ∆ con-

tiene un subcubrimiento finito y minimal que denotaremos por U ′. Como consecuencia

∆ ⊂ ∪U ′ ⊂ K2 \p y, por lo tanto, p no puede estar en ∩V .

Precisamos el siguiente resultado (ver teorema 5.1.27 de [E]):

Proposición 2.1.10. Todo espacio topológico (X ,τ) que sea localmente compacto y para-

compacto, tiene una partición Sαα∈I tal que cada Sα es abierto y σ−compacto.

DEMOSTRACIÓN: Para cada x ∈ X elegimos un entorno Ux de x tal que su clausura es

compacta, y tomamos un refinamiento abierto y localmente finito V , del cubrimiento

Uxx∈X de X . Para cada V ∈ V y cualquier x ∈V existe un entorno Wx de x que corta sólo

a una cantidad finita de miembros de V . Como V ⊂V ⊂∪Wx;x∈V y V es compacto, el

conjunto V está contenido en una unión finita de conjuntos de la familia Wxx∈X . Por lo

tanto cada V ∈ V corta sólo a una cantidad finita de miembros de V . Fijado un elemento

V0 ∈ V , consideramos la subfamilia Sk(V0) ⊂ V formada por aquellos conjuntos V ∈ V

para los cuales existe una sucesión V1,V2, . . . ,Vk de miembros de V tal que Vk = V y

Vi ∩Vi+1 6= φ para i = 0,1, . . . ,k − 1; además definimos S (V0) = ∪Sk(V0);k ≥ 1 y

el conjunto abierto S(V0) = ∪S;S ∈ S (V0) ⊂ X . Se observa que las familias Sk(V0)

son todas finitas, lo que implica que S (V0) son familias numerables. Además para V0 y

V ′0 ∈ V , los conjuntos S(V0) y S(V ′

0) o bien coinciden, o son disjuntos. De esto se deduce

que los conjuntos S(V0) son también cerrados, y de la igualdad S(V0) = S(V0) se tiene que

S(V0) = V ;V ∈ S (V0), por lo que es σ−compacto.

El siguiente resultado es el teorema 2.6 de [Gr2]:






DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (iii) Aplicamos el teorema de A. H. Stone, en el que se prueba

que todo espacio métrico es paracompacto, ( teorema 4.4.1 de [E]).

(iii) ⇒ (ii) No hay nada que probar.

(ii) ⇒ (i) Supongamos que K2 \∆ es paracompacto, pero K no es metrizable. Por la

proposición 2.1.10 existirá una partición Sα ;α ∈ I de K2 \∆, tal que cada Sα es abierto

y σ−compacto. Para cada α , existen abiertos disjuntos Uα,n y Vα,n, n ∈ N, de K tal que

Sα =+∞⋃

n=1

Uα,n ×Vα,n

Definimos la familia

W = Uα,n;α ∈ I,n ∈ N∪Vα,n;α ∈ I,n ∈ N

Entonces W distingue fuertemente puntos de K, esto es, es T1-separadora ya que si x 6= y,

elegimos α,n tal que (x,y) ∈ Uα,n ×Vα,n; entonces x ∈ Uα,n ⊂ K \ y. Ya que K no es

metrizable, la familia W no puede ser puntualmente numerable por el teorema 2.1.11. Por

lo tanto, sin pérdida de generalidad, existe un punto x ∈ K, un subconjunto no numerable

A ⊂ I, y n(α) ∈ N para cada α ∈ A, tal que

x ∈⋂

α∈A

Uα,n(α)

Consideramos la colección V = Vα,n(α);α ∈ A. Ya que Uα,n(α) ×Vα,n(α);α ∈ A

es una colección discreta en K2 \∆, entonces V es discreta en K \ x. Por lo tanto si

elegimos puntos y(V ) ∈V para cada V ∈ V , entonces Y = x∪y(V );V ∈ V es home-

omorfo a la compactificación por un punto de un espacio discreto no numerable, y por el

lema 2.1.4 Y 2 \∆ no es normal. Por otro lado Y 2 \∆ es un subconjunto cerrado de K2 \∆,

por tanto paracompacto, entonces Y 2 \∆ es normal, [E], lo que es absurdo. Se concluye

pues que K debe ser metrizable.

Resumimos en el siguiente corolario el tipo de propiedades que trataremos de analizar

en el caso no metrizable para algunas de las clases de compactos introducidos en la intro-

ducción (diagrama Int. I), como los compactos de Eberlein, Eberlein uniforme, Talagrand

y Gul’ko.


Corolario 2.1.12. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:




(iv) K tiene una network σ−discreta.

2.2 Compactos de Eberlein

A. Dow, H. Junnila y J. Pelant estudian en [D-J-P2] condiciones sobre networks para

que caractericen a la propiedad LSP introducida por L. Oncina en [On3, On4] y en su

análisis del caso compacto sitúan dicha propiedad entre los compactos de Gul’ko y los

compactos de Corson, extendiendo el resultado de L. Oncina [On3] y planteándose car-

acterizaciones intermedias. Es nuestro propósito en esta sección analizar sus aportaciones

para los compactos de Eberlein ya que sobre ellas están fundamentadas nuestros resulta-

dos posteriores. En particular se da la siguiente definición.

Definición 2.2.1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico

es:

(i) Puntualmente finitamente extendible si A tiene un extensión abierta puntualmente

finita, es decir, existe una familia UA;A ∈ A de conjuntos abiertos tales que se

cumple A ⊂ UA para cada A ∈ A y, para cada, x ∈ X la familia A ∈ A ;x ∈ UA

es finita.

(ii) σ−Puntualmente finitamente extendible si podemos escribir:

A =⋃

n∈N

An

donde cada subfamilia An tiene una extensión abierta puntualmente finita.

Este último concepto va a servir para caracterizar a los compactos de Eberlein, tal

y como se recoge en el reciente trabajo [D-J-P2]. El siguiente resultado es el lema 4.16

de [D-J-P2], aunque la prueba que presentamos aquí va más en la línea de la prueba del

teorema 7.5 de [Ha]. Esta prueba pone de manifiesto propiedades de esta network y de

su extensión que utilizaremos en las secciones siguientes donde presentamos nuestras

aportaciones originales.

48 2.2 COMPACTOS DE EBERLEIN

Teorema 2.2.2. Para cualquier conjunto Γ 6= φ los espacios topológicos (c0(Γ),w) y

(c0(Γ),τp) tienen una network σ−puntualmente finitamente extendible.

DEMOSTRACIÓN: Fijamos una base numerable I= In;n = 1,2, . . . para la topología de

R \ 0 formado por intervalos abiertos de manera que para cada n existe un ε > 0 tal

que, o bien In ⊂ (−∞,−ε), o In ⊂ (ε,+∞). Fijamos un n ∈ N y los primeros n elementos

de I; i.e. In := I1, I2, . . . , In. Para cada Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n consideraremos aplicaciones ϕ :

Λ −→ In , es decir elegimos "puertas" de In para cada elemento γ ∈ Λ, y necesitamos sólo

conjuntos finitos, |Λ| < +∞, para describir la topología τp. Por tanto consideramos, para

cada n ∈ N fijado,

Mn := (Λ,ϕ);Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ In

y definimos para (Λ,ϕ) ∈ Mn el conjunto τp−abierto

R(Λ,ϕ) := c0(Γ)∩∏γ∈Γ

Rγ donde Rγ =

ϕ(γ) si γ ∈ Λ,

R en otro caso.

Más aún, para cada m ∈ N definimos

Rm(Λ,ϕ) := c0(Γ)∩∏γ∈Γ

Rγ donde Rγ =

ϕ(γ) si γ ∈ Λ,

(−1/m,1/m) en otro caso

y tenemos

· · ·Rm+1(Λ,ϕ) ⊂ Rm(Λ,ϕ) ⊂ ·· · ⊂ R(Λ,ϕ)

y la familia

Rn := R(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ Mn

está formada por subconjuntos τp−abiertos de c0(Γ) y es una familia puntualmente finita

en c0(Γ) para cada n ∈ N. Esto es cierto debido a que las "puertas" que se pueden elegir

con los conjuntos abiertos de la familia Rn están sólo en el conjunto finito In = I1, · · · , In

y cada I j ∈ In no contiene al 0. Definimos para m,n ∈ N

Rm,n := Rm(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ Mn

y se tiene que ∪∞m,n=1Rm,n es una base para la topología de la norma ‖ · ‖∞ en c0(Γ) y

cada familia Rm,n tiene por extensión a la familia Rn que está formado por conjuntos


τp−abiertos y es una familia puntualmente finita en c0(Γ). De hecho, si f ∈ c0(Γ) y

m ∈ N, si ‖ f‖∞ < 1m , tomamos Λ = /0, en otro caso definimos

Λ = γ1,γ2, . . . ,γk = γ ∈ Γ : | f (γ)| ≥1m

y elegimos Ini ∈ I para i = 1,2, . . . ,k, tal que

f (γi) ∈ Ini ⊂ ( f (γi)−1m

, f (γi)+1m

).

Sea n = maxk,n1,n2, . . . ,nk y definimos ϕ : Λ →I1, I2, . . . , In tal que ϕ(γi) = Ini para

i = 1,2, . . . ,k. Entonces (Λ,ϕ) ∈ Mn y

f ∈ Rm(Λ,ϕ) ⊂ B‖·‖∞( f ,1m

).

Por lo tanto tenemos que N = ∪∞m,n=1Rm,n es una network σ -puntualmente finitamente

extendible en (c0(Γ),τp).

Hagamos ahora la construcción para (c0(Γ),w). Ya que en c0(Γ) coinciden las topolo-

gías puntual y débil sobre los conjuntos acotados, para cada k ∈ N consideramos el con-

junto Bk = f ∈ c0(Γ);‖ f ‖∞≤1k. Entonces la familia

N∗ := N ∩Bk;k ∈ N,N ∈ N

es una network para (c0(Γ),w), ya que si f ∈ c0(Γ) y V es un débil abierto conteniendo

a f , entonces existirá un k ∈ N tal que f ∈ V ∩Bk. Como en Bk coinciden las topologías

débil y puntual, se tiene que existe N ∈ N tal que

f ∈ N ∩Bk ⊂V ∩Bk ⊂V

Además esta familia N ∗ es σ−finitamente puntualmente extendible (incluso para la

topología puntual), ya que la misma extensión del caso anterior sirve ahora.

La propiedad de cubrimiento ligada de forma natural con este tipo de networks es la

σ−metacompacidad. Recordemos que un espacio topológico es metacompacto si de cada

cubrimiento abierto del espacio podemos obtener un refinamiento abierto puntualmente

finito. Un espacio topológico es σ−metacompacto si cada cubrimiento abierto del espacio

tiene un refinamiento abierto σ−puntualmente finito.

Notemos ahora que tenemos la siguiente relación entre network extendible y meta-

compacidad.


Teorema 2.2.3. Si un espacio topológico (X ,τ) tiene una network σ−puntualmente fini-

tamente extendible, entonces es hereditariamente σ−metacompacto.

DEMOSTRACIÓN: Sea N = ∪Nn : n ∈ N la network para X σ -puntualmente finita-

mente extendible, y tenemos que para cada N ∈ N un abierto UN ⊃ N y para cada n ∈ N

la familia UN ;N ∈ Nn es puntualmente finita.

Fijamos una familia V de subconjuntos abiertos de X . Si Ω = ∪V y x ∈ Ω, podemos

encontrar N ∈ N tal que x ∈ N ⊂V ∈ V ya que N es una network para X . Definimos la

familia

M = N ∈ N : N ⊂V para algún V ∈ V

y se observa que M es un cubrimiento para Ω, entonces podemos elegir para cada N ∈M

un abierto V (N) ∈ V con N ⊂V (N). Definimos:

W = UN ∩V (N);N ∈ M

que es un refinamiento abierto de V y cumple que ∪W = Ω. Además, para cada n ∈ N

definimos

Wn := UN ∩V (N);N ∈ M ∩Nn

y se tiene que cada Wn es una familia puntualmente finita ya que la familia UN ;N ∈Nn

es puntualmente finita en X , UN ∩V (N) ⊂ UN y para cada N ∈ Nn hemos elegido un

único conjunto V (N). Como consecuencia W = ∪nWn es un refinamiento abierto de V

σ−puntualmente finito y se concluye la prueba.

Corolario 2.2.4. Para cualquier conjunto Γ 6= /0 (c0(Γ),τp) es hereditariamente σ -meta-

compacto y en consecuencia cualquier compacto de Eberlein es hereditariamente σ -

metacompacto.

DEMOSTRACIÓN: Se sigue de los teoremas 2.2.2 y 2.2.3.

Observación 2.2.5. La afirmación para compactos de Eberlein se debe a N. N. Yakolev

[Y].

Antes de enunciar y probar el teorema 2.2 de [Gr2] que nos resultará básico para

nuestras aportaciones posteriores, no sólo por sus conclusiones, sino también por las ideas

de su demostración; veremos algunas nociones y resultados previos que necesitaremos

para la prueba.


Definición 2.2.6. (i) Se dice que un cubrimiento abierto V = Vα ;α ∈ I de un es-

pacio topológico X puede ser contraído, si existe un cubrimiento cerrado de X,

A = Aα ;α ∈ I, tal que Aα ⊂Vα para cada α ∈ I. A este cubrimiento cerrado A

se le denomina contracción de V .

(ii) Una colección U = Uα ;α ∈ I de subconjuntos de un espacio topológico X se

dice que es envolvente si

Uα ⊂⋃

β∈I

Uβ para todo α ∈ I

El siguiente teorema es un caso particular del teorema 1.1 de [Gr-Mch].

Teorema 2.2.7. Todo cubrimiento abierto V = Vα ;α ∈ I de un espacio topológico

regular X formado por conjuntos con clausuras compactas puede ser contraído.

Para hacer el trabajo lo más autocontenido posible haremos la prueba de este último

resultado. Para ello necesitaremos dos lemas previos, son los lemas 2.1 y 2.2 de [Gr-Mch].

Lema 2.2.8. Si V = Vα ;α ∈ I es un cubrimiento del espacio topológico X formado por

conjuntos con clausuras compactas, entonces para cada α ∈ I el conjunto Vα pertenece

a una colección numerable y envolvente U α ⊂ V .

DEMOSTRACIÓN: Por inducción seleccionamos subcolecciones finitas

Uα

1 ,U α2 , . . . ,U α

n , . . . de V

tales que U α1 = Vα y

U ⊂⋃

V ;V ∈ Uα

n+1 para cada U ∈ Uα

n

Definiendo

Uα =

∞⋃

n=1

Uα

n

se concluye la prueba.

Lema 2.2.9. Si un cubrimiento V de un espacio topológico X se puede expresar como

V =⋃

λ∈ΛVλ

donde cada familia Vλ es envolvente y como cubrimiento de

Xλ =⋃

V ;V ∈ Vλ

puede ser contraído, entonces V puede ser también contraído.


DEMOSTRACIÓN: Para cada λ , consideramos la contracción

AV,λ ;V ∈ Vλ

del cubrimiento Vλ de Xλ . Se observa que, ya que Vλ es envolvente, los conjunto AV,λson cerrados, no solo en Xλ , sino también en todo X .

Consideramos un buen orden para Λ. Fijado V ∈ V , definimos:

λ (V ) = ınfλ ∈ Λ;V ∈ Vλ

y definimos AV := AV,λ (V ). Para probar que AV ;V ∈ V contrae V , será suficiente com-

probar que dicha familia cubre X . Por lo tanto supongamos que x ∈ X y sea

γ := ınfλ ∈ Λ;x ∈ Xλ

entonces x ∈ AV,γ ⊂V para algún V ∈ Vγ , y claramente λ (V ) = γ . Por lo tanto

x ∈ AV,λ (V ) = AV

lo que completa la prueba.

Podemos ahora culminar con la prueba del teorema 2.2.7.

DEMOSTRACIÓN: En vista de los dos lemas precedentes, es suficiente establecer este teo-

rema para cubrimientos V numerables. Pero un espacio topológico que tenga un cubrim-

iento numerable con clausuras compactas es Lindelöf, por tanto es paracompacto (3.8.11

[E]). Utilizando esto último acabaremos la prueba. A continuación seguimos la idea de la

prueba del lema 5.1.6 de [E].

Sea pues V = Vα ;α ∈ I un cubrimiento abierto con clausuras compactas en X para-

compacto. Por ser X regular, existe un cubrimiento abierto W tal que

W ;W ∈ W

es un refinamiento de V . Por la condición de paracompacidad podemos tomar un refi-

namiento localmente finito F = Ft ; t ∈ J del cubrimiento W . Para cada t ∈ J elegimos

α(t) ∈ I tal que Ft ⊂Vα(t), y definimos

Aα :=⋃

α(t)=αFt


Se concluye que

A := Aα ;α ∈ I

es un contracción de V .

El siguiente resultado es el lema 2.1 de [Gr2] y es consecuencia de los lemas anteri-

ores. De hecho, la prueba aparece en [Gr-Mch], corolario 4.1.

Lema 2.2.10. Sea B una base de un espacio topológico X, σ -metacompacto y local-

mente compacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B ′ tal que la familia

B;B ∈ B′

es σ−puntualmente finita.

DEMOSTRACIÓN: Sea U un cubrimiento de X formado por conjuntos abiertos con clau-

suras compactas, y V un refinamiento abierto de U σ−puntualmente finito. Entonces

V es compacto para cada V ∈ V , aplicando el teorema 2.2.7 se tiene que V puede ser

contraído a un cubrimiento cerrado

AV ;V ∈ V

Si V ∈ V , entonces AV es compacto, por lo que existe un cubrimiento finito BV ⊂ B de

AV tal que B ⊂V para cada B ∈ BV . Entonces la familia

B′ =

⋃

BV ;V ∈ V

cumple las condiciones requeridas. Veámoslo, claramente B ′ cubre X ya que la contrac-

ción anterior lo cubre. Comprobemos que B;B ∈ B ′ es σ−puntualmente finita.

Como V es σ−puntualmente finita, entonces podemos expresar

V =⋃

Vn;n ∈ N

cumpliendo que cada familia Vn es puntualmente finita. Se observa que la familia

AV ;V ∈ Vn

es puntualmente finita, para cada n ∈ N.

Para cada n ∈ N, definimos la familia

Bn :=⋃

BV ;V ∈ Vn


entonces

B′ = ∪Bn;n ∈ N

Como consecuencia, si definimos Wn := ∪B;B ∈ Bn, para cada n ∈ N, bastará probar

que la familia W = ∪nWn es σ−puntualmente finita. Comprobemos que cada familia Wn

es puntualmente finita. Para ello fijamos x ∈ X , entonces si x ∈ B con B ∈ Bn, se tiene

que B ∈ BV para algún V ∈ Vn. Como consecuencia x ∈ V ∈ Vn y como esta familia es

puntualmente finita y |BV | < +∞ se concluye que

|B ∈ Wn;x ∈ B| < +∞.

Podemos probar ya el teorema 2.2 de [Gr2].





DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (iii) Consecuencia del corolario 2.2.4 ya que el producto de dos

compactos de Eberlein sigue siendo de Eberlein.


(ii) ⇒ (i) La idea es probar que K es compacto de Eberlein a través del teorema de

Rosenthal (teorema 1.4.2, (ii)). Si K2 \∆ es σ−metacompacto entonces existe un cubri-

miento P = Uγ ×Vγ ;γ ∈ A de K2 \∆ cumpliendo:

(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ de K.

(b) Uγ ∩Vγ = φ .

(c) A = ∪n∈NAn donde cada subfamilia Uγ ×Vγ ;γ ∈ An es puntualmente finita para

cada n ∈ N.

(d) U ×V ∈ P implica V ×U ∈ P .

Para comprobar la existencia del cubrimiento anterior, consideramos una base B de

K2 \∆. No es restrictivo suponer que cada W ∈ B es de la forma

W = (U ×V )⋂

(K2 \∆) con U,V ⊂ K abiertos

Para cada (x,y) ∈W (por regularidad), existirán U ′,V ′ ⊂ K abiertos tales que x ∈U ′ ⊂U ,

y ∈V ′ ⊂V ,

U ′∩V ′ = φ y U ′×V ′ ⊂W


Como U ′ es entorno de x en K compacto y por consiguiente normal, podemos asumir,

sin perder generalidad, que U ′ es un cocero de una función continua y, en definitiva, un

Fσ . Por lo tanto podemos suponer que B está formado por elementos U ×V ⊂ K2 donde

U,V ⊂ K son abiertos Fσ y U ∩V = φ . Con esto ya tenemos construido el cubrimiento

P satisfaciendo las propiedades (a) y (b). Por el lema 2.2.10, se puede suponer además

que Uγ ×Vγ ;γ ∈ A es σ−puntualmente finita (donde la clausura está tomada en K2 \∆).

Pero como Uγ ∩Vγ = φ , se tiene que

Uγ ×Vγ = Uγ ×Vγ

Y ya tenemos la condición (c) comprobada.

Para obtener la condición (d), basta ampliar el cubrimiento P añadiendo, para cada

U ×V , el permutado V ×U y se siguen cumpliendo las condiciones anteriores. Nuestro

objetivo ahora es operar con la familia Uγ : γ ∈ A para reducirla y llegar a obtener una

familia σ -puntualmente finita de abiertos Fσ que sea T0-separadora y probar así que K

es compacto de Eberlein. Sea µ el carácter de densidad de K, esto es, el menor cardinal

de un subconjunto denso de K, y escribamos, por ejemplo:

K = pα ;α < µ

Para cada α < µ , consideramos

Kα := pβ ;β < α

y definimos

Uα := ⋂

γ∈F

Uγ ;F ⊂ A y Vγ ;γ ∈ F es un cubrimiento finito y minimal de Kα

Se observa que Uα cubre K \Kα , ya que si k ∈ K \Kα , como k×Kα es compacto y se

cubre por Uγ ×Vγ ;γ ∈ A, entonces existirá U ∈ Uα tal que k ∈U .

La prueba concluirá al demostrar las dos siguientes afirmaciones si aplicamos el teo-

rema de Rosenthal (teorema 1.4.2, (ii)):

Afirmación 1. ∪α<µUα distingue puntos de K.

Fijamos x1,x2 ∈ K, x1 6= x2. Sea αi el menor ordinal tal que xi ∈ Kαi . Si α1 6= α2

entonces, como Uαi cubre K \Kαi , k1 y k2 serán distinguidos por algún miembro de Uα1

o Uα2 (el ordinal más pequeño). Por tanto supongamos que α1 = α2 = α . Sean

V1 = Vγ ;x1 ∈Uγ y x2 6∈Uγ y V2 = Vγ ;x2 ∈Uγ y x1 6∈Uγ


Hay que observar que x1 ∈ ∪V2 y x2 ∈ ∪V1. Supongamos que

z ∈ Kα \⋃

(V1 ∪V2)

Sea γ(z)∈ A tal que x1 ∈Uγ(z) y z ∈Vγ(z). Ya que Vγ(z) 6∈ V1, se tiene que x2 ∈Uγ(z). Como

Kα \⋃

(V1 ∪V2)

es compacto, va a existir un subconjunto finito F ⊂ A tal que Vγ ;γ ∈ F lo cubre y

x1,x2 ⊂⋂

γ∈F

Uγ

Como

(⋂

γ∈F

Uγ)∩pβ ;β < α 6= φ

debido a que

x1,x2 ∈ pβ ;β < α

entonces Vγ ;γ ∈ F no cubre a todo el conjunto pβ ;β < α. Sea δ el menor de los

ordinales β < α tal que pβ 6∈ ∪Vγ ;γ ∈ F. Ahora, pβ ∈Vη ∈ V1 ∪V2 para algún η ∈ A.

Entonces

Vη∪Vγ ;γ ∈ F

cubre Kδ+1, y algún subcubrimiento minimal contiene a Vη . Ya que Uη separa x1 y x2,

también lo hará el miembro de Uδ+1 correspondiente al cubrimiento minimal.

Afirmación 2. ∪α<µUα es σ−puntualmente finita.

Fijado n ∈ N denotaremos por Uα,n a la familia formada por todos los miembros de

Uα cuyo conjunto índice correspondiente F tiene cardinalidad menor ó igual que n, y

está contenido en ∪i≤nAi. Probaremos entonces que ∪α<µUα,n es puntualmente finita

para cualquier n ∈ N. Antes hay que recordar que

Uγ ×Vγ ;γ ∈ ∪i≤nAi

es puntualmente finita como unión finita de familias puntualmente finitas. Supongamos

ahora que ∪α<µUα,n no es puntualmente finita, entonces existirá x que pertenece a una

infinidad de conjuntos de ∪α<µUα,n, y así, para cada η < ω0, existe F(η) ⊂ ∪ni=1Ai, y

un ordinal β (η) < µ con

x ∈⋂

γ∈F(η)

Uγ ∈ Uβ (η)


Sin pérdida de generalidad podemos asumir que los conjuntos F(η) tienen todos la misma

cardinalidad y que los β (η) forman una cadena no decreciente de ordinales. Aplicando

la observación 2.1.7 para el lema 2.1.6, podemos suponer así mismo que los conjuntos

F(η) : η < ω0 forman un ∆−sistema con raíz R. Como R F(0), existirá algún

y ∈ Kβ (0) \Vδ ;δ ∈ R.

Como Kβ (0) ⊂ Kβ (η) para cada η < ω0, existirá δ (η) ∈ F(η) \R con y ∈ Vδ (η). Pero

entonces encontramos que

(x,y) ∈⋂

η<ω0

Uδ (η)×Vδ (η)

lo que es absurdo ya que δ (η) : η < ω0 forman un conjunto infinito en ∪ni=1Ai.

Como consecuencia se obtiene el siguiente resultado, que se corresponde con el teo-

rema 4.17 del reciente trabajo de A. Dow, H. Junilla y J. Pelant [D-J-P2].

Teorema 2.2.12. Un espacio topológico compacto (K,τ) es compacto de Eberlein si, y

sólo si, tiene una network σ−puntualmente finitamente extendible.

DEMOSTRACIÓN: ⇒ Podemos suponer que K ⊂ c0(Γ) es débil compacto para algún

conjunto Γ, sección 1.3. Aplicando ahora el teorema 2.2.2, se concluye la prueba.

⇐ Si K tiene una network σ−puntualmente finitamente extendible, entonces K ×K

tiene también una network con esas características. Como consecuencia del teorema 2.2.3,

K×K es hereditariamente σ−metacompacto. Ahora, aplicando el teorema 2.2.11 se tiene

que K es compacto de Eberlein.

La versión del corolario 2.1.12 para compactos de Eberlein será ahora agrupar los

teoremas 2.2.11 y 2.2.12:

Corolario 2.2.13. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:




(iv) K tiene un network σ−puntualmente finitamente extendible.

58 2.3 COMPACTOS DE EBERLEIN UNIFORMES

2.3 Compactos de Eberlein uniformes

Hemos colocado esta sección después de los compactos de Eberlein porque aprovecha-

remos algunas construcciones hechas para éstos.

Definición 2.3.1. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X es:

(i) Uniformemente puntualmente finitamente extendible si existe una familia de abier-

tos U = UA;A ∈ A cumpliendo que A ⊂UA y existe un N ∈ N tal que

|A ∈ A ;x ∈UA| < N para todo x ∈ X

A la constante N la llamaremos constante de uniformidad para la extensión U .

(ii) σ−Uniformemente puntualmente finitamente extendible si se puede expresar como:

A =⋃

n∈N

An

donde cada subfamilia An es uniformemente puntualmente finitamente extendible.

A continuación tenemos una caracterización para los compactos de Eberlein uni-

formes que es el homólogo del teorema 2.2.12 para los compactos de Eberlein.

Teorema 2.3.2. Si un compacto K es compacto de Eberlein uniforme, entonces tiene una

network N σ−uniformemente puntualmente finitamente extendible.

DEMOSTRACIÓN: Sea K un compacto de Eberlein uniforme, debido al teorema de Benya-

mini-Stardbird (sección 1.3), podemos suponer que K ⊂ c0(Γ) y que dado ε > 0 existe un

número real N(ε) tal que:

|γ ∈ Γ; |x(γ)| > ε| < N(ε) para todo x ∈ K

Consideramos la network N =⋃

m,n Rm,n para c0(Γ) dada en la prueba del teorema 2.2.2,

con la extensión U = ∪nRn. Al restringir ambas familias a K siguen manteniendo sus

propiedades, es decir, U es σ−puntualmente finita. Veamos que, de hecho, en este caso

es σ−uniformemente puntualmente finita. No es restrictivo suponer que podemos de-

scomponer la familia I de la prueba del teorema 2.2.2 de la forma, I =⋃∞

k=1 Ik donde

cada subfamilia Ik es numerable y si I = (a,b)∈ Ik, entonces mın|a|, |b|> 1k , y de man-

era que si r ∈ R \ 0 entonces estará, a lo más, en dos elementos de la familia Ik, para

cada k ∈ N. Fijado n ∈ N y los primeros n elementos de Ik, es decir, Ikn := I1, . . . , In


definimos, al igual que en la prueba del teorema 2.2.2, las aplicaciones ϕ : Λ 7→ Ikn. Con

estas aplicaciones consideramos las familias

Mn,k := (Λ,ϕ);Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ Ikn

y

Rn,k := R(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ Mn,k

donde esta última familia está formada por subconjuntos abiertos de K y es una familia

puntualmente finita en K para cada n,k ∈ N. Definimos para m,n,k ∈ N la familia

Rm,n,k := Rm(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ Mn,k

y se tiene que N = ∪∞m,n,k=1Rm,n,k es una network para K teniendo cada familia Rm,n,k

a la familia Rn,k como extensión abierta. Ahora, por la inmersión de K, para cada k ∈ N,

cualquier elemento x ∈ K tiene menos de N( 1k ) coordenadas γ para las cuales |x(γ)| >

1k . Por lo tanto habrá menos de 2N( 1

k ) coordenadas γ ∈ Γ para las cuales x(γ) ∈ ϕ(γ)

donde (Λ,ϕ) ∈ Mn,k, para algún Λ ⊂ Γ. Como consecuencia x estará en menos de 22N( 1k )

elementos de la familia Rn,k y se concluye la prueba.

Definición 2.3.3. Un espacio topológico X es σ−uniformemente metacompacto si cada

cubrimiento abierto del espacio tiene un refinamiento abierto σ−uniformemente puntual-

mente finito.

Teorema 2.3.4. Si un espacio topológico (X ,τ) tiene una network σ−uniformemente

puntualmente finitamente extendible, entonces es hereditariamente σ−uniformemente me-

tacompacto.

DEMOSTRACIÓN: La prueba es análoga a la del teorema 2.2.3, y utilizando que si Nn es

la constante de uniformidad de

UN ;N ∈ Nn

entonces esta misma constante sirve para la familia

Wn := UN ∩V (N);N ∈ M ∩Nn

para cada n ∈ N.

Los resultados obtenidos en la secciones precedentes para compactos metrizables y de

Eberlein y en las secciones que siguen para compactos de Talagrand y Gul’ko nos llevan

a considerar los siguientes problemas.

60 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO

Problema 2.3.5. Si un compacto K tiene una network σ−uniformemente puntualmente

finitamente extendible, ¿es un compacto de Eberlein uniforme?

Problema 2.3.6. Del teorema 2.3.2 y 2.3.4 se tiene que si K es compacto de Eberlein

uniforme, entonces K2 \∆ es σ−uniformemente metacompacto. ¿Es cierto el recíproco?.

Proposición 2.3.7. Para un espacio topológico (X ,τ) se tiene la siguiente cadena de

implicaciones

paracompacto ⇒ σ−uniformemente metacompacto ⇒ σ−metacompacto

donde la primera implicación es estricta.

DEMOSTRACIÓN: La primera implicación sigue del teorema 5.1.12 de [E] en el que se

afirma que un espacio topológico es paracompacto si, y sólo si de cada cubrimiento abierto

podemos obtener un refinamiento abierto σ−discreto. La segunda implicación es conse-

cuencia de las propias definiciones.

Para ver que la primera implicación es estricta, consideramos el compacto K de la

sección 1.2 (ejemplo 1.2.1) que es compacto de Eberlein uniforme y no es metrizable.

Entonces por el teorema 2.1.11 se tiene que K2 \∆ no es paracompacto. Sin embargo, por

los teoremas 2.3.2 y 2.3.4 se tiene que K2 \∆ es σ−uniformemente metacompacto.

Observación 2.3.8. Una respuesta afirmativa al problema 2.3.6 probaría que la segunda

implicación en la proposición 2.3.7 es también estricta.

2.4 Compactos de Gul’ko

Recordemos que para un espacio métrico M, denotamos por K (M) el retículo de

subconjuntos compactos de M (sección 1.4). Introducimos la siguiente definición:

Definición 2.4.1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es Σ−pun-

tualmente finita cuando existe un espacio métrico separable M tal que A se puede es-

cribir como

A = ∪AK;K ∈ K (M)

de forma que


(i) AK1 ⊂ AK2 si K1 ⊂ K2.

(ii) AK es puntualmente finita para cada K ∈ K (M).

Observación 2.4.2. En las definición 2.4.1 es suficiente hacer la descomposición de la

familia A indexando solamente sobre un sistema fundamental de compactos de M. En

efecto, si tan solo tenemos estas familias definidas, para cualquier subconjunto compacto

K ∈K (M) se puede definir AK como la intersección de todas las familias AS con S ⊃ K

y S es un elemento del sistema fundamental de compactos de M donde AS está definido

y obviamente se verifican las condiciones de la definición 2.4.1. Como consecuencia en

el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema 1.4.2, (iv*)), se puede

suponer que las subfamilias UK están indexadas respecto a un sistema fundamental de

compactos de M.

Recordemos que denotamos por dH la distancia de Hausdorff en K (M), (sección 1.4).

Lema 2.4.3. Sea A una familia Σ−puntualmente finita de subconjuntos del conjunto X,

K ∈ K (M) y x ∈ X. Entonces existe un entorno V de K en (K (M),dH) tal que

|A ∈ ∪AS;S ∈V;x ∈ A| < +∞

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que el resultado no es cierto; esto es fijemos una base de

entornos de K en (K (M),dH); es decir,

BdH (K; 12n );n = 1,2, . . .

y supongamos que para cada n, si

A (n) := ∪AS;S ∈ BdH (K; 12n )

tenemos que

A ∈ A (n);x ∈ A fuese infinito

Podemos entonces tomar, para cada n ∈ N, Kn ∈ BdH (K; 12n ) y elementos An ∈ AKn , tales

que x ∈ An, con An 6= Am si m ≤ n.

Si consideramos la sucesión K1,K2, . . . ,Kn, . . . en K (M) se tiene que su límite es

K en dH y así tendremos que

F := ∪nKn ∪K ∈ K (M)


y por la propiedad (i) de la definición anterior

AF ⊃ ∪AKn;n ∈ N

siendo de esta forma A ∈ AF ;x ∈ A infinito, lo que contradice la propiedad (ii) en la

definición anterior.

Damos la siguiente relación:

Proposición 2.4.4. Sea A una familia de subconjuntos de un conjunto X Σ−puntualmente

finita, entonces es puntualmente numerable.

DEMOSTRACIÓN: Fijamos un elemento x ∈ X , consideramos B = Bnn una base nu-

merable de (K (M),dH) que es métrico separable, proposición 1.4.1, y definimos

A (n) := ∪AS;S ∈ Bn, para cada n ∈ N.

y tenemos que A =⋃∞

n=1 A (n).

Por el lema 2.4.3, para cada x ∈ X y cada K ∈K (M) existirá un entero n(x,K) tal que

K ∈ Bn(x,K) y x está en un número finito de elementos de A (n(x,K)). Resulta entonces

claro que

A =⋃

A (n(x,K));K ∈ K (M)

y que x está sólo en una cantidad numerable de conjuntos de la familia A .

Observación 2.4.5. En la definición 2.4.1 podemos suponer que el espacio métrico se-

parable M que consideramos, es de la forma Σ ⊂ NN donde NN es el espacio de Baire.

Como consecuencia, en el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema

1.4.2, (iv*)) podemos reemplazar Σ por algún espacio métrico separable M también.

Además, como consecuencia del resultado anterior, en el teorema tipo Rosenthal para

los compactos de Gul’ko no es necesaria la hipótesis de puntualmente numerable para la

familia U .

DEMOSTRACIÓN: Consideramos el espacio métrico separable M de la definición 2.4.1,

donde V es una familia Σ−puntualmente finita indexada por elementos de K (M). Como

el espacio topológico (K (M),dH) es métrico y separable, existirá una aplicación conti-

nua y sobreyectiva ϕ : Σ −→ (K (M),dH) donde Σ ⊂ NN. Ahora, para K ∈ K (Σ), ϕ(K)

es un subconjunto compacto de (K (M),dH). Por lo tanto

K′ := ∪H;H ∈ ϕ(K) ∈ K (M),


y definimos AK := VK′ . Entonces se cumple que V = ∪AK;K ∈ K (Σ) y es así una

familia indexada ahora en el retículo K (Σ) como familia Σ-puntualmente finita.

Veamos pues, como queda el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko.

Teorema 2.4.6. Un espacio topológico compacto K es compacto de Gul’ko si, y sólo si,

tiene una familia U Σ-puntualmente finita formada por abiertos Fσ y T0-separadora en

K.

El tipo de network que caracteriza los compactos de Gul’ko tiene una extensión Σ-

puntualmente finita, pero una extensión es una familia indexada. Necesitamos pues adap-

tar la definición de familia Σ-puntualmente finitas a las familias indexadas, comenzamos

con la siguiente:

Observación 2.4.7 (Familias indexadas). Dada una familia indexada de subconjuntos

de un conjunto dado X, A = Ai; i ∈ I, y x ∈ X, consideraremos el orden del punto en la

familia pero respecto al conjunto de índices, e. d. |i ∈ I,x ∈ Ai| en lugar de |A ∈ A;x ∈

A|. Además, dadas dos familias indexadas A = Ai; i ∈ I y B = B j : j ∈ J diremos

que A es una subfamilia indexada de B si existe una aplicación inyectiva Ψ : I 7→ J tal

que Ai = Bψ(i), para cada i ∈ I.

Definición 2.4.8. Diremos que una familia indexada A = Ai; i ∈ I de subconjuntos de

un conjunto X es indexada Σ-puntualmente finita si existe un espacio métrico separable M

de manera que para cada K ∈K (M) tenemos un subconjunto IK ⊂ I tal que si denotamos

por AK := Ai; i ∈ IK se cumple:

(i) I =⋃IK ;K ∈ K (M),

(ii) AK1 es una subfamilia indexada de AK2 , cuando K1 ⊂ K2 en K (M),

(iii) Para cada x ∈ X y K ∈ K (M), se cumple

|i ∈ IK ;x ∈ Ai| < +∞


X es Σ-puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que

A = Ai; i ∈ I, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que

la familia indexada G = Gi; i ∈ I es indexada Σ-puntualmente finita.

El siguiente resultado es fundamental en nuestro estudio. Antes recordemos que para

un espacio topológico (X ,τ), se define c1(X) (sección 1.3) como:

c1(X) := f ∈ l∞(X) : ∀ε > 0 el conjunto t ∈ X : | f (t)| ≥ ε es cerrado y discreto en X


Teorema 2.4.10. Si (X ,τ) es un espacio topológico numerablemente K −determinado,

entonces (c1(X),τp) tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.

DEMOSTRACIÓN: Si X es numerablemente K −determinado existe una usco ϕ : M 7→ 2X

donde M es métrico separable y ϕ(M) = X . Para cada K ∈ K (M) ponemos XK := ϕ(K)

y tenemos la descomposición X = ∪XK;K ∈ K (M), con XK compacto para cada K ∈

K (M) y XK1 ⊂ XK2 siempre que K1 ⊂ K2 en K (M).

Vamos a considerar el métrico separable M ×N con la topología producto, donde N

tiene la topología discreta. Para describir la network indexaremos los conjuntos de índices

sobre K (M×N).

Si hacemos la construcción de la prueba del teorema 2.2.2 para cada K ∈ K (M); es

decir, sobre cada c0(XK), obtenemos una network Σ-puntualmente finitamente extendible

en (c1(XK),τp). Veámoslo, para cada n ∈ N y K ∈ K (M) fijos, consideramos, con las

mismas notaciones que en el teorema 2.2.2:

M (n,K) := (Λ,ϕ);Λ ⊂ XK; |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ In

y escribimos:

R(Λ,ϕ) := c1(X)∩ ∏x∈X

Rx donde Rx =

ϕ(x) si x ∈ Λ,

R en otro caso.

y

Rm(Λ,ϕ,K) := c1(X)∩∏x∈X

Rx donde Rx =

ϕ(x) si x ∈ Λ,

(− 1m , 1

m) si x ∈ XK \Λ,

R si x 6∈ XK .

y tenemos

· · ·Rm+1(Λ,ϕ,K) ⊂ Rm(Λ,ϕ,K) ⊂ ·· · ⊂ R(Λ,ϕ)

y la familia

R(n,K) := R(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ M (n,K)

está formada por conjuntos τp−abiertos de c1(X) y es puntualmente finita en c1(X) para

cada n ∈ N y K fijados. De hecho, cada h ∈ c1(X) verifica h|XK ∈ c0(XK) y entonces

|(Λ,ϕ) ∈ M (n,K);h ∈ R(Λ,ϕ)| < +∞

como en la prueba del teorema 2.2.2.


Además, si consideramos para m,n ∈ N y K ∈ K (M), las familias:

R(m,n,K) := Rm(Λ,ϕ,K);(Λ,ϕ) ∈ M (n,K)

tenemos que cada R(m,n,K) tiene como extensión abierta a la familia R(n,K) y

∪R(m,n,K);m ∈ N,n ∈ N,K ∈ K (M)

nos proporciona una network para la topología puntual de c1(X) que es además Σ-pun-

tualmente finitamente extendible. De hecho, esto sigue, de que

R = ∪R(m,n,K);m ∈ N,n ∈ N,K ∈ K (M)

es una base para la topología de convergencia uniforme en c1(X) sobre los conjuntos

XK para cada K ∈ K (M), y en particular una network para la topología, más débil, de

convergencia puntual en c1(X).

Resta pues comprobar que R es una familia Σ-puntualmente finitamente extendible.

Para verlo fijamos el conjunto de índices:

I := (m,n,K,Λ,ϕ) : (Λ,ϕ) ∈ M (n,K),m,n ∈ N,K ∈ K (M)

y fijamos para cada i = (m,n,K,Λ,ϕ) ∈ I el conjunto τp-abierto

Gi := R(Λ,ϕ) ⊃ Rm(Λ,ϕ,K) =: Ni

Consideramos el espacio métrico N×M donde N está dotado con la topología discreta.

Denotaremos por π1 :N×M →N y π2 :N×M → M las proyecciones canónicas. Para un

subconjunto compacto S de N×M definimos:

IS := (m,n,K,Λ,ϕ) : (Λ,ϕ) ∈ M (n,K),m,n ∈ 1,2, . . . ,q

donde q = maxπ1(S) y K = π2(S).

Se cumple

(i) I = ∪IS : S ∈ K (N×M). Además se tiene que Gi : i ∈ IS1 es una subfamilia

indexada de Gi : i ∈ IS2 cuando S1 ⊂ S2 porque M (n,π2(S1)) ⊂ M (n,π2(S2)) para

cada n = 1,2, . . ..

(ii) Si q = maxπ1(S) y K = π2(S), tenemos

|(m,n,K,Λ,ϕ) = i ∈ IS(q,K) : f ∈ Gi = R(Λ,ϕ)|


≤q

∑n=1

q · |(Λ,ϕ) ∈ M (n,K) : f ∈ R(Λ,ϕ)|〈+∞

ya que la familia R(n,K) es puntualmente finita en c1(X) y se concluye la prueba.

Del teorema de inmersión para los compactos de Gul’ko (sección 1.3) y el teorema

anterior se obtiene la siguiente consecuencia.

Corolario 2.4.11. Todo compacto de Gul’ko tiene una network Σ−puntualmente finita-

mente extendible.

La propiedad de cubrimiento correspondiente al concepto de Σ-finitud puntual será:

Definición 2.4.12. Un espacio topológico (X ,τ) se dice que es Σ−metacompacto cuando

todo cubrimiento abierto admite un refinamiento abierto que sea Σ−puntualmente finito.

Recordemos la siguiente definición, [Bu]

Definición 2.4.13. Un espacio topológico (X ,τ) se dice que es metaLindelöf cuando todo

cubrimiento abierto admite un refinamiento abierto que sea puntualmente numerable.

Notemos la siguiente:

Proposición 2.4.14. Todo espacio topológico Σ−metacompacto es metaLindelöf, y esta

implicación es estricta.

DEMOSTRACIÓN: La proposición 2.4.4 nos da la implicación. Para comprobar que la

implicación es estricta, consideramos el compacto K de la sección 1.2 que es compacto de

Corson pero no es compacto de Gul’ko (ejemplo 1.2.7). Entonces K2 \∆ es metaLindelöf

(teorema 2.2 de [Gr2]), pero no es Σ−metacompacto (teorema 2.4.24).

A continuación estudiaremos una caracterización para las familias Σ-puntualmente finitas

que nos serán de utilidad en resultados posteriores. En [Gr3] encontramos las siguientes

definiciones.

Definición 2.4.15. Una colección A de subconjuntos de un conjunto X es débilmente

σ−puntualmente finita si A = ∪nAn donde para cada x ∈ X y A ∈ A existe m ∈ N tal

que A ∈ Am y

ord(x,Am) = |B ∈ Am;x ∈ B| < ∞


La correspondiente propiedad de cubrimiento es; [Gr3].

Definición 2.4.16. Diremos que un espacio topológico X es débilmente σ−metacompac-

to si cada cubrimiento abierto tiene un refinamiento abierto débilmente σ−puntualmente

finito.

Nosotros probamos ahora el siguiente:

Teorema 2.4.17. Sea A una familia de subconjuntos de un espacio topológico (X ,τ).

Son equivalentes:

(i) A es Σ−puntualmente finita.

(ii) A es débilmente σ−puntualmente finita.

DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (ii) Sea B es una base numerable en (K (M),dH) y A una fa-

milia Σ−puntualmente finita de subconjuntos de X indexada en K (M) como tal (defini-

ción 2.4.9).

Definimos, para cada B ∈ B, A (B) := ∪AK;K ∈ B. Así

A = ∪A (B);B ∈ B

Además fijado x ∈ X , para cada K ∈ K (M), el lema 2.4.3 proporciona B(K,x) ∈ B tal

que

ord(x,A (B(K,x))) < ∞

Con esto, si fijamos x ∈ X y A ∈ AK , existirá B ∈ B tal que K ∈ B y así A ∈ A (B) con

ord(x,A (B)) < ∞

Como la familia B es numerable, hemos probado que A será débilmente σ -puntualmente

finita también.

(ii) ⇒ (i) Si A es una familia débilmente σ−puntualmente finita, podemos descom-

poner A = ∪An;n ∈ N con la propiedad de que para todo x ∈ X se cumple

A = ∪As;ord(x,As) < ∞

Para cada A ∈ A consideramos el elemento P(A) ∈ 0,1N definido por

P(A)(n) :=

0 si A 6∈ An,

1 si A ∈ An.


y consideramos el métrico separable

M := P ∈ 0,1N;P ≡ P(A) para algún A ∈ A

Para cada P ∈ M consideramos la familia AP := A ∈ A ;P(A) ≡ P que resulta ser pun-

tualmente finita en X . De hecho, dado P ∈ M y x ∈ X supongamos que

|A ∈ AP;x ∈ A| = ∞

Enumeramos esos conjuntos de la forma Ann y sea smm la sucesión de enteros po-

sitivos (puede que finita) tal que ord(x,Asi) < ∞, para i = 1,2, . . . y ord(x,Ap) = +∞si p 6∈ smm. Entonces para cada n ∈ N, se tiene que P(sm) = P(An)(sm) = 0 para todo

m = 1, . . . , ya que An 6∈ Asm para m = 1, . . . . Pero, como An ∈ A para todo n ∈ N y A =

∪Asm;m = 1,2, . . ., por la condición de ser A una familia débilmente σ -puntualmente

finita, llegamos a una contradicción.

De hecho este argumento puede ser extendido para probar que para cada compacto

K ⊂ M ⊂ 0,1N la familia

AK := A ∈ A ;P(A) ∈ K

es puntualmente finita en X . Veámoslo, fijamos x ∈ X y K ⊂ M un compacto, sea

s1,s2, . . . ,sn, . . . = s ∈ N;ord(x,As) < ∞

Si |A ∈AK;x ∈ A| fuera infinito, enumeramos esos conjuntos de la forma Ann. Como

K es compacto podemos asumir que P(An) converge hacia algún P(A) ∈ K, con A ∈ A .

Ahora, para cada j ∈ N, sólo una cantidad finita de miembros de Ann puede estar en

As j , por lo que P(An)(s j) = 0 para n suficientemente grande. Por lo tanto P(A)(s j) = 0

para todo j ∈ N, y esto significa que A 6∈ A = ∪As j ; j = 1,2, . . . lo que es absurdo.

Como consecuencia del teorema anterior obtenemos.

Corolario 2.4.18. Un espacio topológico (X ,τ) es débilmente σ−metacompacto si, y

sólo si, es Σ−metacompacto.

Veámos como queda el teorema 2.4.17 en el caso de familias indexadas.

Definición 2.4.19. Diremos que una familia indexada A = Ai; i ∈ I de subconjuntos

de un conjunto X es indexada débilmente σ -puntualmente finita si I =⋃In;n = 1,2, . . .

de tal manera que para cada x ∈ X se tiene

I =⋃

Is : |i ∈ Is : x ∈ Ai| < +∞


Tenemos la equivalencia correspondiente para familias indexadas.

Teorema 2.4.20. Sea A = Ai; i ∈ I, una familia indexada de subconjuntos de un con-

junto dado X. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) A es una familia indexada Σ-puntualmente finita.

(ii) A es una familia indexada débilmente σ -puntualmente finita.

La prueba se obtiene con los mismos argumentos utilizados en la prueba del teorema

2.4.17 con un pequeño ajuste extra. Por ejemplo necesitamos el siguiente:

Lema 2.4.21. Sea A = Ai : i ∈ I una familia de subconjuntos de un conjunto dado X

indexada Σ-puntualmente finita. Entonces para cada x∈X y K ∈K (M) existe un entorno

V de K en (K (M),dH) tal que

|i ∈⋃

IS : S ∈V : x ∈ Ai| < +∞

DEMOSTRACIÓN: Si este no es el caso, elegimos, para cada entero positivo n,

in1, . . . , inn ⊂

⋃

IS : dH(S,K) <12n,

con x ∈ Ainjpara j = 1,2, . . . ,n y inj 6= ink para j 6= k. Si inj ∈ Sn

j con dH(Snj ,K) < 1

2n , j =

1,2, . . . ,n consideraremos la sucesión

S11,S

21,S

22, . . . ,S

n1,S

n2, . . . ,S

nn, . . . in K (M)

que converge a K, por tanto

K∞ := S11 ∪S2

1 ∪S22 ∪ . . .∪Sn

1 ∪ . . .∪Snn ∪ . . .∪K

es un subconjunto compacto de M con K∞ ⊃ Snj para n = 1,2, . . ., j = 1,2, . . . ,n, y Asn

jes

una subfamilia indexada de AK∞ para n = 1,2, . . ., j = 1, . . . ,n.

A in1, in2, . . . , i

nn ⊂ Sn

j le hacemos corresponder un conjunto de n puntos diferentes

i∞,n1 , i∞,n

2 , . . . , i∞,nn en el conjunto indexado IK∞ con x ∈ Ai∞,n

j, j = 1,2, . . . ,n, para cada

n ∈ N, el cual es una contradicción con el hecho de que

|i ∈ IK∞ : x ∈ Ai| < +∞


DEMOSTRACIÓN: [Demostración del teorema 2.4.20] Una vez que tenemos el lema an-

terior, la prueba del teorema para familias indexadas sigue el mismo patrón que el teore-

ma 2.4.17. Probemos, por ejemplo, que una familia indexada débilmente σ -puntualmente

finita A = Ai : i ∈ I es indexada Σ-puntualmente finita para un subconjunto Σ ⊂0,1N

apropiado. Por hipótesis tenemos que I =⋃In : n ∈N tal que, para cada x ∈ X , tenemos

I =⋃Is : #i ∈ Is : x ∈ Ai < ω. Para cada i ∈ I consideramos P(i) ∈ 0,1N definido

por

P(i)(n) =

0 si i /∈ In

1 si i ∈ In

y Σ := P ∈ 0,1N : P = P(i) para algún i ∈ I. Entonces para un subconjunto compacto

K de Σ, fijamos IK := i ∈ I : P(i) ∈ K y tenemos:

(i) I =⋃IK : K ∈ K (Σ) ya que, para cada i ∈ I, P(i) ∈ Σ.

(ii) IK1 ⊂ IK2 cuando K1 ⊂ K2 son subconjuntos compactos de Σ.

(iii) Para cada K ∈ K (Σ) y x ∈ X tenemos |i ∈ IK : x ∈ Ai| < +∞. En otro caso,

tendríamos una sucesión in con P(in) ∈ K y x ∈ Ain para n = 1,2, . . . Ya que K es

compacto podemos asumir que P(in) : n = 1,2, . . . converge a P(i)∈ K para algún i ∈ I.

Ya que x ∈ Ain , n = 1,2, . . . tenemos i /∈ Is para algún s tal que |i ∈ Is : x ∈ Ai| < +∞.

Pero esto contradice I =⋃Is : |i ∈ Is : x ∈ Ai| < +∞. Y concluye la prueba.

Utilizando los teoremas 2.4.17 y 2.4.20 obtenemos el siguiente:

Teorema 2.4.22. Si un espacio topológico (X ,τ) tiene una network Σ−puntualmente fini-

tamente extendible, entonces es hereditariamente Σ−metacompacto.

DEMOSTRACIÓN: La condición de hereditariamente Σ-metacompacto la obtendremos

(como consecuencia del teorema 2.4.17) si podemos encontrar, para cada familia arbitraria

V de subconjuntos abiertos de X , un refinamiento abierto débilmente σ -puntualmente

finito. Por lo tanto, fijamos V y Ω :=∪V . Sea N = Ni : i∈ I la network Σ-puntualmente

finitamente extendible para (X ,τ); e.d. existe un espacio M métrico y separable y tenemos

subconjuntos IK ⊂ I para cada K ∈K (M) y subconjuntos abiertos Gi ⊃ Ni para cada i ∈ I

tal que Gi : i ∈ I satisface las condiciones (i) a (iii) en la definición 2.4.8. Dado x ∈ Ωpodemos encontrar i ∈ I cumpliendo

x ∈ Ni ⊂V ∈ V

por la definición de network.


Consideramos J := i ∈ I : Ni ⊂V para algún V ∈ V y elegimos, para cada j ∈ J, un

conjunto abierto V ( j) ∈ V con N j ⊂V ( j). El refinamiento abierto de V será la familia:

W := G j ∩V ( j) : j ∈ J

que cumple ∪W = Ω. Además, ya que Gi : i∈ I es una familia indexada Σ-puntualmente

finita tenemos que I = ∪In y para cada x ∈ X se cumple también

I = ∪Is : |i ∈ Is : x ∈ Gi| < +∞, (véase teorema 2.4.20)

En estas condiciones, si denotamos por Jn := J ∩ In, se tiene que J = ∪Jn : n = 1,2, . . .

y para cada x ∈ X

J = ∪Js : | j ∈ Js : x ∈ G j ∩V ( j)| < +∞

ya que |i ∈ Js : x ∈ G j ∩V ( j)| < +∞ siempre que |i ∈ Is : x ∈ Gi| < +∞. Por lo tanto

W es una familia débilmente σ -puntualmente finita y un refinamiento abierto de V .

El siguiente resultado está inspirado en el lema 2.2.10.

Lema 2.4.23. Sea B una base de un espacio topológico X, localmente compacto y Σ-

metacompacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B ′ tal que

B;B ∈ B′

es Σ−puntualmente finito.

DEMOSTRACIÓN: La prueba es igual que la del lema 2.2.10. Sólo cambia que, en este

caso V es Σ-puntualmente finita, entonces podemos expresar

V =⋃

VK ;K ∈ K (M)

donde M es un espacio métrico separable y cumpliendose que VK1 ⊂ VK2 cuando K1 ⊂ K2

y siendo cada familia VK puntualmente finita. Entonces definiendo, para cada K ∈K (M),

BK :=⋃

BV ;V ∈ VK

entonces

B′ = ∪BK;K ∈ K (M)


Ahora, si

WK := B;B ∈ BK

se tiene que W = ∪WK;K ∈ K (M) es Σ-puntualmente finita. Sólo hay que comprobar

que si K1 ⊂ K2, entonces WK1 ⊂ WK2 . Veamoslo, si K1 ⊂ K2 entonces B ∈ WK1 , entonces

B ∈BK1 por lo que B ∈BV para algún V ∈ VK1 ⊂ VK2 . De donde B ∈BK2 , por lo que B ∈

WK2 . El hecho de que cada familia WK sea puntualmente finita es el mismo razonamiento

que al final de la prueba del lema 2.2.10.

Estamos ahora en disposición de probar el siguiente resultado.

Teorema 2.4.24. Sea X un compacto, son equivalentes:


(ii) X2 \∆ es Σ−metacompacto.

(iii) X2 es hereditariamente Σ−metacompacto.


DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (iv) Es el corolario 2.4.11.

(iv) ⇒ (iii) Si X es un compacto con una network Σ−puntualmente finitamente ex-

tendible, entonces X2 tiene también una network con estas características. Por el teorema

2.4.22 X2 es hereditariamente Σ−metacompacto.


(ii) ⇒ (i) La prueba puede ahora seguir el esquema del teorema 2.2.11. En efecto,

aplicando ahora el lema 2.4.23, aseguramos la existencia de un cubrimiento

P = Uγ ×Vγ ;γ ∈ A

de K2 \∆ tal que:

(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ en X .

(b) Uγ ∩Vγ = /0, ∀γ ∈ A.

(c) Uγ ×Vγ ;γ ∈ A es una familia Σ−puntualmente finita.


Ahora si µ es el carácter de densidad de X y X = pα ;α < µ, definimos para cada

α < µXα := pβ ;β < α

y

Uα := ∩γ∈FUγ ;F ⊂ A y Vγ ;γ ∈ F es un cubrimiento finito y minimal de Xα


que será un cubrimiento de X \Xα . Entonces la familia ∪Uβ ;β < µ es T0-separadora

como en la prueba del teorema 2.2.11. Y además ∪Uβ ;β < µ será ahora una familia

Σ-puntualmente finita en X . De hecho, por (c) sabemos que existe un espacio métrico

separable M tal que A =∪AK;K ∈K (M) y AK1 ⊂ AK2 siempre que K1 ⊂K2 en K (M),

siendo

Uα ×V α ;α ∈ AK

una familia puntualmente finita para cada K ∈ K (M).

Ahora, para K ∈ K (M) y n ∈ N fijados, definimos la familia U Kα,n como aquella que

está formada por todos los elementos de Uα cuyo correspondiente conjunto indexante

F tiene cardinalidad menor o igual que n y está contenida en AK . Entonces ∪U Kα,n :

α < µ es una familia puntualmente finita en X . De hecho si existiese algún x ∈ X que

perteneciese a una cantidad infinita de miembros de ∪α<µU Kα,n, entonces existiría una

sucesión de ordinales β1 ≤ β2 ≤ ·· · ≤ βq ≤ . . . con

x ∈ ∩Uγ : γ ∈ F(βq) ∈ UK

βq,n, |F(βq)| ≤ n

y todos los F(βq) ⊂ AK , q = 1,2, . . . Como |F(βq)| ≤ n, q = 1,2, . . . y todos ellos son

diferentes, aplicando el lema 2.1.6 y la observación 2.1.7, podemos asumir que F(βq);

q = 1,2, . . . es un ∆−sistema de raíz R. En cualquier caso R F(β1) y existirá y ∈

Xβ1\∪V γ ;γ ∈ R. Entonces para cada q existe δ (q) ∈ F(βq) \R con y ∈ V δ (q) ya que

Xβ1⊂ Xβ2

. Pero entonces tenemos

(x,y) ∈∞⋂

q=1

Uδ (q)×Vδ (q)

y δ (q);q = 1,2, . . . ⊂ AK lo que contradice el hecho de que Uγ ×Vγ ;γ ∈ AK es pun-

tualmente finita ya que todos los δ (q);q = 1,2, . . . son elementos distintos de AK . Por

lo tanto tenemos que ∪Uα ;α < µ puede expresarse como

∪U Kα,n;α < µ;K ∈ K (M),n ∈ N

y tenemos que es una familia Σ-puntualmente finita formada por conjuntos abiertos y

Fσ de K y que es también T0-separadora. Para acabar la prueba es suficiente aplicar el

teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema 2.4.6) y la observación

2.4.2 para concluir que K es un compacto de Gul’ko.


Observación 2.4.25. Con este último teorema y el corolario 2.4.18, damos una respuesta

positiva a la conjetura de G. Gruenhage [Gr3] (introducción) y por tanto quedan los

caracterizados los compactos de Gul’ko como aquellos en los que K2 \∆ es débilmente

σ−metacompacto.

Tenemos el siguiente:

Teorema 2.4.26. Sea X un compacto, son equivalentes:


(ii) X2 \∆ es débilmente σ−metacompacto.

(iii) X2 es hereditariamente débilmente σ−metacompacto.



es puntualmente numerablemente extendible si A tiene un extensión abierta puntual-

mente numerable, es decir, existe una familia UA;A ∈ A de conjuntos abiertos tales

que se cumple A ⊂UA para cada A ∈ A y, para cada, x ∈ X la familia A ∈ A ;x ∈UA

es numerable.

Como consecuencia del teorema 2.2 de [Gr3] y razonando como en (iv) ⇒ (iii) del

teorema 2.4.24, se tiene que un compacto con una network puntualmente numerablemente

extendible es un compacto de Corson. Parece natural hacerse la siguiente pregunta, pro-

blema 4.14.B de [D-J-P2].

Problema 2.4.28. ¿Los compactos de Corson se caracterizan por tener una network pun-

tualmente numerablemente extendible?.

Otra manera de describir familias Σ−puntualmente finitas en un espacio topológico

X es con el concepto de web [O], que nos permite ver la estructura combinatoria de las

familias Σ−puntualmente finitas. Para Σ ⊂ NN y A una familia de subconjuntos de X

suponemos que podemos asignar a cada σ ∈ Σ una subfamilia Aσ ⊂ A tal que A =

∪Aσ : σ ∈ Σ. Para σ = (bs) ∈ NN y n ∈ N denotamos por σ|n a la sucesión finita

(b1,b2, . . . ,bn). Si (a1,a2, . . . ,an) es una sucesión finita de naturales, definimos

Aa1,a2,...,an := ∪Aσ : σ ∈ Σ,σ|n ≡ (a1,a2, . . . ,an)

(podría ser vacío cuando no hay σ en Σ con σ|n = (a1,a2, . . . ,an)) y tenemos una web de

subfamilias:

A = ∪∞n=1An; . . . ;An1,n2,...,nk = ∪∞

m=1An1,n2,...,nk,m


para cada n1,n2, . . . ,nk ∈ N y k ∈ N.

Definición 2.4.29. Se dice que una familia W de subconjuntos de X es web-puntualmente

finita si existe Σ ⊂NN y una web de subfamilias como en el párrafo anterior, tal que para

cada σ ∈ Σ y para cada x ∈ X existe un natural n0 := n(σ ,x) tal que

ord(x,Wσ|n0) < ∞

Tenemos también el siguiente:

Teorema 2.4.30. Para una familiaA de subconjuntos de una conjuntos X, son equiva-

lentes:

(i) A es Σ−puntualmente finita.

(ii) A es web-puntualmente finita.

DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (ii) Sea A una familia Σ−puntualmente finita indexada en el

conjunto K (M) para algún espacio métrico separable. Como (K (M),dH) es también un

espacio métrico y separable existirá un subconjunto Σ ⊂ NN y una aplicación continua y

sobreyectiva ϕ : Σ → (K (M),dH). Definiendo Aσ := Aϕ(σ), para cada σ ∈ Σ, tenemos

la descomposición web-puntualmente finita de A por el lema 2.4.3 y la continuidad de

ϕ .

(ii) ⇒ (i) La web An1,n2,...,nk : n1,n2, . . . ,nk,k ∈ N es una familia numerable de

subfamilias de A que verifica la definición de familia débilmente σ−puntualmente finita

ya que para cada x ∈ X y σ ∈ Σ existe n0 tal que ord(x,Aσ|n0) < +∞, ahora por el teorema

2.4.17 se concluye la prueba.

El siguiente concepto aparece en [M-O-T-V] y fue explícitamente definido en [On].

Ver también [On3, On4] y [D-J-P2].

Definición 2.4.31. Un espacio topológico (X ,τ) tiene la "linking separability property"

(LSP), si existe una topología metrizable π sobre X tal que τ ⊂ π y, para cada punto

x ∈ X, existe un conjunto numerable Zx ⊂ X de manera que cada subconjunto A ⊂ X,

cumple

Aτ⊂ ∪x∈AZx

π

Tenemos el siguiente:

Teorema 2.4.32. Si X es un espacio topológico con una network Σ−puntualmente finita-

mente extendible, entonces tiene LSP.


DEMOSTRACIÓN: Sea N la network para (X ,τ) que sea Σ−puntualmente finitamente

extendible, y denotemos por G = Gi; i ∈ I su extensión. Por el teorema 2.4.20, tanto

N como G son familias indexadas débilmente σ -puntualmente finitas. Además por la

proposición 2.4.4 se tiene que G es puntualmente numerable. Sea N =∪nNn la descom-

posición para N por ser débilmente σ−puntualmente finita. Podemos suponer que las

subfamilias Nn han sido elegidas de manera que

⋃

n∈M

Nn ∈ Nm;m ∈ N, para cada conjunto finito M ⊂ N.

Fijamos n ∈ N y M una subfamilia finita de Nn, y definimos

En[M ] := x ∈ X ;(Nn)x = M

donde (Nn)x = N ∈ Nn;x ∈ N. Con esto definimos

En := En[M ];M ⊂ Nn finita

que resulta ser una familia disjunta. Vamos a comprobar que la familia E = ∪nEn es una

network para X . Sea x ∈ X y U ∈ τ conteniendo a x. Entonces existe N ∈ Nn (para algún

n ∈ N), tal que x ∈ N ⊂U . Al ser N débilmente σ−puntualmente finita existirá n0 ∈ N

tal que N ∈ Nn0 y cumpliendo

|M ∈ Nn0;x ∈ M| < ∞

Definimos pues M := M ∈ Nn0;x ∈ M y consideramos En0 [M ] ∈ En0 que contiene a

x y está contenido en N, por lo tanto x ∈ En0 [M ] ⊂ U . Ahora, por ser G puntualmente

numerable, se tiene que la extensión abierta

U := Gn(M );En[M ] ∈ E ;M ⊂ Nn,n ∈ N

de E , donde

Gn(M ) := ∩GN ;N ∈ M

es puntualmente numerable. Por lo tanto hemos obtenido una network σ−disjunta y pun-

tualmente numerablemente extendible para X , aplicando ahora el teorema 4.7 de [D-J-P2],

se concluye que X tiene LSP.


Observación 2.4.33. Así pues (c1(X),τp) tendrá la LSP para cualquier espacio X nu-

merablemente K -determinado y lo mismo ocurre con cualquier compacto de Gul’ko

[D-J-P2]. Cuando dicha LSP se pueda hacer con una métrica inferiormente semiconti-

nua el compacto será de Eberlein [On3].

Para acabar el capítulo estudiaremos un ejemplo (ejemplo 4.5 de [On-R]) de un com-

pacto de Corson descriptivo, que no es compacto de Gul’ko.

Ejemplo 2.4.34. El compacto K del ejemplo 1.2.7 es un compacto de Corson descriptivo

que no es compacto de Gul’ko.

DEMOSTRACIÓN: Este ejemplo fue construido por Argyros y Mercourakis en [Arg-Me]

(ver también [F], sección 7.3). Basta probar que este compacto es descriptivo y para ello

seguiremos [On-R]. En el capítulo 1 ya observamos que K está definido por familias casi

disjuntas de subconjuntos deN, por lo tanto satisface la hipótesis del siguiente lema (lema

4.6 de [On-R]):

Lema 2.4.35. Sea K ⊂ 0,1Γ un subconjunto puntualmente compacto (de funciones

características de subconjuntos de Γ). Supongamos que existe una función Φ : Γ×Γ 7→N

tal que para cada χA ∈ K y cada n ∈ N el conjunto

(a,b) ∈ A×A;a 6= b,Φ(a,b) ≤ n

es finito. Entonces K es un compacto descriptivo, es decir, su topología tiene una network

σ -aislada.

DEMOSTRACIÓN: Sea Dn = (a,b) ∈ Γ×Γ;a 6= b,Φ(a,b) = n y sea D =⋃∞

n=1 Dn. De-

finimos la aplicación T : K 7→ c0(D) como sigue: dado χA ∈ K y (a,b) ∈ Dn, entonces

T (χA)(a,b) = 1n χA(a)χA(b).

La aplicación T está bien definida ya que para cada χA ∈ K, el conjunto (A×A)∩Dn

es finito. También se tiene que T es continua cuando consideramos en K y en C0(D) la

topología de convergencia puntual. Además el conjunto

L = χA ∈ K; |A| ≤ 1

es cerrado en K que puede ser vacío, finito o isomorfo a la compactificación por un punto

de un espacio discreto. En cualquier caso, L tiene una network σ -aislada.

La aplicación T verifica las siguientes condiciones:


(i) T (χA) = 0 si, y sólo si, χA ∈ L;

(ii) T es inyectiva al restringirla a K \ L. Ambas condiciones son consecuencia de la

definición de T .

Sea H = T (K) que es un subconjunto débil compacto de c0(D). Podemos afirmar que

T es un homeomorfismo de K \L sobre H \0, para ver esto hay que comprobar que T

es una aplicación abierta. Sea entonces U ⊂ K \L un subconjunto relativamente abierto.

Ya que L es cerrado en K, tenemos que U es abierto en K. Consideramos la siguiente

partición de K con tres subconjuntos:

U, (K \L)\U y L.

Por las propiedades (i) y (ii) anteriores, las imágenes:

T (U), T ((K \L)\U) y T (L)

son una partición para H. Por tanto T (U) es el complemento en H de

T ((K \L)\U)∪T (L) = T (K \U).

Como este último conjunto es compacto por la continuidad de T , se deduce que T (U) es

abierto en H. Esto completa la prueba de la afirmación.

Ahora, como K \L es homeomorfo a un subconjunto abierto de un compacto de Eber-

lein, tendrá una network σ -aislada. Finalmente, K tiene una network σ -aislada porque L

y K \L la tienen.

Observación 2.4.36. En el ejemplo anterior hemos obtenido un compacto de Corson

hereditariamente débilmente submetacompacto, pero que no es compacto de Gul’ko. Es-

to proporciona una respuesta negativa para la conjetura propuesta por G. Gruenhage

([Gr3]) en la cual se pregunta si K compacto de Corson y K2 es hereditariamente débil-

mente submetacompacto, caracteriza a los compactos de Gul’ko dentro de la clase de los

compactos de Corson.

DEMOSTRACIÓN: Basta probar que un compacto descriptivo es hereditariamente débil-

mente submetacompacto. Ahora, como la propiedad de tener una network σ -aislada es

una propiedad hereditaria, probaremos que un espacio topológico X con una network

σ -aislada es débilmente submetacompacto (Bennett y Lutzer (1972), teorema 3.7 de


[Bu]), es decir, de cada cubrimiento abierto de X se puede extraer un refinamiento abierto

U =⋃∞

n=1 Un de manera que si x ∈ X , entonces 0 < ord(x,Un) < ω0 para algún n ∈ N

(se dice que U es un θ -cubrimiento débil, introducción).

Sea entonces N =⋃∞

n=1 Nn la network σ -aislada para X . Fijado n ∈ N y dado N ∈

Nn, existe un abierto GN conteniendo a N, que no corta a ningún otro elemento de Nn

(propiedad (*)). Ahora, si A es el cubrimiento abierto de X , para cada n ∈ N definimos:

Un := GN ∩AN ;N ∈ Nn con N ⊂ AN ∈ A

donde hemos elegido para cada N ∈ N un único conjunto AN ∈ A que lo contiene.

Se observa que U =⋃∞

n=1 Un es un refinamiento abierto de A , además es un cubrim-

iento de X ya que N es una network. Además si x ∈ X , existirá N ∈ Nn (para algún n)

y A ∈ A tal que x ∈ N ⊂ A, por lo que x ∈ GN ∩A ∈ Un, y además x no puede estar en

cualquier otro elemento de Un (por la propiedad (*)) lo que concluye la prueba.

2.5 Compactos de Talagrand

En esta sección trabajaremos con familias indexadas en NN. Para dos elementos σ =

(an)n y σ ′ = (bn)n de NN, el símbolo ≤ significa

σ ′ ≤ σ ⇔ bn ≤ an , n = 1,2, . . .


X es NN−puntualmente finita cuando podemos descomponer


de forma que

(i) Aσ1 ⊂ Aσ2 si σ1 ≤ σ2.

(ii) Aσ es una familia puntualmente finita ∀σ ∈ NN.

Proposición 2.5.2. Si A es una familia de subconjuntos de un espacio topológico X, se

cumplen las siguientes relaciones:

(i) Si A es σ−puntualmente finita, entonces es NN−puntualmente finita.

80 2.5 COMPACTOS DE TALAGRAND

(ii) Si A es NN−puntualmente finita, entonces es Σ−puntualmente finita.

DEMOSTRACIÓN: (i) Podemos entonces descomponer A = ∪nAn, con cada subfamilia

An puntualmente finita. Ahora definimos, para las sucesiones constantes σ =(n,n, . . . ,n, . . .),

con n ∈ N, la familia

Aσ :=n⋃

i=1

Ai

que es puntualmente finita al ser unión finita de familias puntualmente finitas. Y para

cualquier otro σ = (a1,a2, . . .) definimos

Aσ := A(a1,a1,...)

Se concluye pues que


y que es NN−puntualmente finita.

(ii) Sea A = ∪Aσ ;σ ∈ NN una familia NN−puntualmente finita y así verificando

(i) y (ii) de la definición 2.5.1. Tomaremos como M el espacio de Baire NN, y para cada

K ∈ K (M), existe σK ∈ NN tal que para cada σ ∈ K se tiene σ(n) ≤ σK(n) n = 1,2, . . .,

basta recordar que en cada factor N tenemos la topología discreta y la proyección de K

en cada factor, siendo compacta, será un conjunto finito y por lo tanto podemos definir

entonces

σK(n) := maxσ(n);σ ∈ K

Con esto definimos, para cada K ∈K (M), la subfamilia AK := AσK . Entonces se cumple

que A = ∪AK;K ∈ K (M). Si K ⊂ K ′, entonces σK ≤ σK′ , por lo que AK ⊂ AK′ . Por

último AK es puntualmente finita, para cada K ∈ K (M) ya que AσK lo era.

La versión para familias indexadas del concepto de familia NN-puntualmente finita es la

siguiente:

Definición 2.5.3. Una familia indexada A = Ai; i ∈ I de subconjuntos de un conjunto

X se dice que es indexada NN-puntualmente finita si para cada σ ∈NN existe un subcon-

junto Iσ ⊂ I de manera que si denotamos por Aσ := Ai; i ∈ Iσ, para cada σ ∈ NN, se

verifica:

(i) I = ∪Iσ ;σ ∈ NN;

(ii) Aσ1 es una subfamilia indexada de Aσ2 cuando σ1 ≤ σ2 en NN;

(iii) para cada x ∈ X y σ ∈ NN se tiene que |i ∈ Iσ ;x ∈ Ai| < +∞.



X es NN-puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que

A = Ai; i ∈ I, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que

la familia indexada G = Gi; i ∈ I es indexada NN-puntualmente finita.

El siguiente resultado es fundamental en nuestro estudio.

Teorema 2.5.5. Si (X ,τ) es un espacio topológico K −analítico, entonces el espacio

(c1(X),τp) tiene una network NN−puntualmente finitamente extendible.

DEMOSTRACIÓN: Si X es K −analítico, utilizando la familia fundamental de subconjun-

tos compactos de NN definida por

Kσ := β ∈ NN;β (n) ≤ σ(n), para cada n ∈ N

resulta obvio que Kσ1 ⊂ Kσ2 cuando σ1 ≤ σ2, y la usco Φ : NN 7→ 2X sobreyectiva sobre

X , nos permite definir

X = ∪Xσ ;σ ∈ NN

donde cada Xσ := Φ(Kσ ) es compacto (por ser Φ superiormente semicontinua) y Xσ1 ⊂

Xσ2 siempre que σ1 ≤ σ2. Ahora construyamos una network para (c1(X),τp) con las

propiedades requeridas, para ello adaptaremos la prueba del teorema 2.4.10 al caso K -

analítico.

Si hacemos la construcción de la prueba del teorema 2.2.2 para cada σ ∈ NN; e.d.

sobre cada c0(Xσ ), llegaremos a una network NN-puntualmente finitamente extendible en

(c1(X),τp). Precisando más, para cada n ∈N y cada σ ∈NN fijo, consideraremos, con las

mismas notaciones que en el teorema 2.2.2:

M (n,σ) := (Λ,ϕ);Λ ⊂ Xσ ; |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ In

y definimos, análogamente a la prueba del teorema 2.2.2,

R(Λ,ϕ) := c1(X)∩ ∏x∈X

Rx donde Rx =

ϕ(x) si x ∈ Λ,

R en otro caso.

y

Rm(Λ,ϕ,σ) := c1(X)∩∏x∈X

Rx donde Rx =

ϕ(x) si x ∈ Λ,

(− 1m , 1

m) si x ∈ Xσ \Λ,

R si x 6∈ XK .


y tenemos

· · ·Rm+1(Λ,ϕ,σ) ⊂ Rm(Λ,ϕ,σ) ⊂ ·· · ⊂ R(Λ,ϕ)

y la familia

R(n,σ) := R(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ M (n,σ)

está formada por subconjuntos τp−abiertos de c1(X) y es una familia puntualmente finita

en c1(X) para cada n ∈ N y σ ∈ NN fijados. De hecho, cada h ∈ c1(X) verifica h|Xσ ∈

c0(Xσ ) y, como consecuencia,

|(Λ,ϕ) ∈ M (n,σ);h ∈ R(Λ,ϕ)| < +∞

como en la prueba del teorema 2.2.2.

Más aún, si consideramos para m,n ∈ N y σ ∈ NN, las familias:

R(m,n,σ) := Rm(Λ,ϕ,σ);(Λ,ϕ) ∈ M (n,σ)

tenemos que cada familia R(m,n,σ) tiene como extensión abierta a la familia R(n,σ) y

∪R(m,n,σ);m ∈ N,n ∈ N,σ ∈ NN

nos da una network para la topología puntual en c1(X) que es NN-puntualmente finita-

mente extendible. De hecho se tiene, como en la prueba del teorema 2.2.2, que

R = ∪R(m,n,σ);m ∈ N,n ∈ N,σ ∈ NN

es una base para la topología en c1(X) de convergencia uniforme sobre los conjuntos Xσ

para cada σ ∈ NN, y en particular una network para la topología más débil de conver-

gencia puntual en c1(X). Resta pues comprobar que R es una familia NN-puntualmente

finitamente extendible, pero en este caso el conjunto de índices es:

I := (m,n,σ ,Λ,ϕ) : (Λ,ϕ) ∈ M (n,σ),m,n ∈ N,σ ∈ NN

y fijamos para cada i = (m,n,σ ,Λ,ϕ) ∈ I el conjunto τp-abierto

Gi := R(Λ,ϕ) ⊃ Rm(Λ,ϕ,σ) =: Ni

Y para cada q ∈ N y σ ∈ NN definimos

I(q,σ) = (m,n,σ ,Λ,ϕ) ∈ I : (Λ,ϕ) ∈ M (n,σ),m,n ∈ 1,2, . . . ,q


donde (q,σ) = γ es un nuevo elemento de NN definido por γ(1) = q y γ(i) = σ(i− 1)

para i > 1. El resto sigue como al final de la prueba del teorema 2.4.10.

Del teorema de inmersión (en cubos) para los compactos de Talagrand (sección 1.3) y

el teorema anterior se obtiene la siguiente consecuencia.

Corolario 2.5.6. Todo compacto de Talagrand tiene una networkNN−puntualmente fini-

tamente extendible.

La propiedad de cubrimiento correspondiente con el concepto de NN-finitud puntual

es la siguiente:

Definición 2.5.7. Un espacio topológico (X ,τ) es NN−metacompacto si de cada cubri-

miento abierto se puede extraer un refinamiento abierto NN−puntualmente finito.

Proposición 2.5.8. Para cualquier espacio topológico (X ,τ) se cumple la siguiente ca-

dena estricta de implicaciones:

σ −metacompacto ⇒ NN−metacompacto ⇒ Σ−metacompacto

DEMOSTRACIÓN: La implicaciones son consecuencia de la proposición 2.5.2.

Para ver que la primera implicación es estricta consideramos el compacto K de la sec-

ción 1.2 que es compacto de Talagrand y no es compacto de Eberlein (ejemplo 1.2.5).

Aplicando el teorema 2.2.11 se tiene que K2 \∆ no es σ−metacompacto. Ahora, aplican-

do el teorema 2.5.13 se tiene que K2 \∆ es NN−metacompacto.

Para comprobar que la segunda implicación es estricta también, consideramos el com-

pacto K de la sección 1.2 que es compacto de Gul’ko pero no es compacto de Talagrand

(ejemplo 1.2.6). Entonces por el teorema 2.4.24 se tiene que K2 \∆ es Σ−metacompacto,

pero como consecuencia del teorema 2.5.13 no puede ser NN−metacompacto.

A continuación estudiaremos una caracterización para familias NN-puntualmente finitas,

de manera análoga al estudio hecho en la sección anterior para familias Σ-puntualmente

finitas y con la misma finalidad.

Teorema 2.5.9. Para una familia A de subconjuntos de un conjunto dado X, las sigu-

ientes condiciones son equivalentes:

(i) A es NN-puntualmente finita;


(ii) A es Σ-puntualmente finita de manera que las subfamilias AK de A se indexan a

través de elementos de K (M) siendo M un espacio Polaco;

(iii) A =⋃∞

n=1 An y para n1,n2, . . . ,nk,k ∈ N,

An1,...,nk =∞⋃

m=1

An1,n2,...,nk,m

tal que para cada α = (an) ∈ NN y para cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α,x)

tal que ord(x,Aα|n0) < +∞.

DEMOSTRACIÓN: (ii) ⇒ (iii) Existe una aplicación continua y sobreyectiva ϕ : NN →

(K (M),dH), debido a que (K (M),dH) es también completo. Si definimos, para n1,n2, . . . ,nk,k∈

N

An1,...,nk := A ∈ A : A ∈ Aϕ(α) con α ∈ NN,α|k = (n1, . . . ,nk)

entonces tenemos una web de subfamilias

A =∞⋃

n=1

An y An1,...,nk =∞⋃

m=1

An1,...,nk,m

que verifica (iii) al aplicar el lema 2.4.3.

(iii) ⇒ (i) Dado α = (an) ∈ NN consideramos

Dα := A ∈ A : A ∈ Aa1,a2,...,an ,n = 1,2, . . .,

y tenemos, por las condiciones de web en (iii), que A =⋃Dα : α ∈ NN.

Tomemos Aα :=⋃Dβ : β ≤ α que cumple la igualdad y la condición (i) de la

definición 2.5.1. Además, para cada x ∈ X se tiene que ord(x,Aα) < +∞. Si esto no fuera

cierto, tendriamos una sucesión de elementos An in Aα con An 6= Am para n 6= m y

x ∈ ∩∞n=1An. Para cada entero n existe βn ≤ α tal que An ∈ Dβn

pudiendo asumir que (βn)

converge a algún β ≤ α en NN. Entonces, para cada p ∈ N, tenemos que βn|p = β |ppara n suficientemente grande, y por lo tanto An ∈ Aβ |p para n suficientemente grande, y

ord(x,Aβ |p) = ∞ también. Esto nos lleva a una contradicción con la propiedad (iii) lo que

finaliza la prueba.

El resultado anterior también se cumple para familias indexadas (de manera análoga

al teorema 2.4.20). Précisemos esto en la siguiente:


Observación 2.5.10 (Teorema 2.5.9 para familias indexadas). En este caso, la versión

para familias indexadas de la condición (iii) del teorema anterior queda de la siguiente

manera:

Existe una web In1,...,nk : (n1, . . . ,nk) ∈ Nk,k = 1,2, . . . de subconjuntos de I; e.d.

I = ∪∞n=1In y para n1,n2, . . . ,nk,k ∈ N tenemos

In1,...,nk = ∪∞m=1In1,n2,...,nk,m

de manera que para cada α = (an) ∈ NN y cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α,x) tal

que

|i ∈ Ia1,a2,...,an0: x ∈ Ai| < ∞.

Para la prueba se utilizan los mismos argumentos que en el teorema 2.5.9, pero ha-

ciendo los razonamientos en este caso sobre el conjunto de índices, y utilizando el lema

2.4.21 en lugar del lema 2.4.3.

Teorema 2.5.11. Si un espacio topológico (X ,τ) tiene una network NN−puntualmente

finitamente extendible, entonces es hereditariamente NN−metacompacto.

DEMOSTRACIÓN: La prueba es análoga a la del teorema 2.4.22 de la sección anterior,

pero aplicando, en este caso, el teorema 2.5.9 y la observación 2.5.10.

El siguiente resultado es análogo al lema 2.5.12 de la sección anterior.

Lema 2.5.12. Sea B una base de un espacio topológico X, localmente compacto y NN-

metacompacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B ′ tal que

B;B ∈ B′

es NN−puntualmente finito.

DEMOSTRACIÓN: Basta reemplazar los índices K ∈ K (M) por índices σ ∈ NN en la

prueba del lema 2.4.23.

Estamos en disposición de probar el resultado principal de esta sección.

Teorema 2.5.13. Sea K un compacto, son equivalentes:

(i) K es compacto de Talagrand.


(ii) K2 \∆ es NN−metacompacto.

(iii) K2 es hereditariamente NN−metacompacto.

(iv) K tiene una network NN−puntualmente finitamente extendible.

DEMOSTRACIÓN: (i)⇒(iv) Se sigue del corolario 2.5.6.

(iv)⇒(iii) Es consecuencia de que la propiedad de tener una networkNN-puntualmente

finitamente extendible es estable por productos finitos junto con el teorema 2.5.11.

(iii)⇒(ii) No hay nada que probar.

(ii)⇒(i) Sigue el mismo esquema que la prueba del teorema 2.4.24. De hecho si K2\∆es hereditariamenteNN−metacompacto, entonces por el lema 2.5.12 existe un cubrimien-

to

P = Uγ ×Vγ ;γ ∈ A

de K2 \∆ tal que:

(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ en K.

(b) Uγ ∩Vγ = /0, ∀γ ∈ A.

(c) Uγ ×Vγ ;γ ∈ A es una familia NN−puntualmente finita.


Ahora, si µ es el carácter de densidad de K y expresamos K = pα ;α < µ, definimos

para cada α < µKα := pβ ;β < α

y

Uα := ∩γ∈FUγ ;F ⊂ A y Vγ ;γ ∈ F es un cubrimiento finito y minimal sobre Kα

que es también un cubrimiento de K \ Kα . Entonces la familia ∪Uβ ;β < µ es T0-

separadora como en el teorema 2.2.11. Veamos que ∪Uβ ;β < µ es una familia NN-

puntualmente finita en K. De hecho, por (c) sabemos que U α ×V α ;α ∈ Aσ es una

familia puntualmente finita para cada σ ∈ NN, donde A =⋃

σ∈NN Aσ cumpliendo que

Aσ1 ⊂ Aσ2 cuando σ1 ≤ σ2 en NN.

Para σ ∈ NN y n ∈ N fijados, consideramos la familia U σα,n formada por todos los

elementos de Uα cuyo correspondiente conjunto indexante F tiene cardinalidad menor

o igual que n y está contenido en Aσ . Entonces ∪U σα,n : α < µ es una familia pun-

tualmente finita en K. Lo comprobamos por reducción al absurdo, si existe algún x ∈ X

perteneciendo a una cantidad infinita de elementos de ∪α<µU σα,n, entonces tendríamos


una sucesión de ordinales β1 ≤ β2 ≤ ·· · ≤ βq ≤ . . . con

x ∈ ∩Uγ : γ ∈ F(βq) ∈ Uσ

βq,n, esto es |F(βq)| ≤ n

y todos F(βq) ⊂ Aσ , q = 1,2, . . . Ya que |F(βq)| ≤ n, q = 1,2, . . . y todos ellos son

distintos es posible asumir que F(βq);q = 1,2, . . . es un ∆−sistema de raíz R, lema

2.1.6 y observación 2.1.7. En cualquier caso R F(β1) y existirá y ∈ Kβ1\∪V γ ;γ ∈ R.

Entonces para cada q existe δ (q) ∈ F(βq) \ R con y ∈ V δ (q) ya que Kβ1⊂ Kβ2

. Pero

entonces tenemos que

(x,y) ∈∞⋂

q=1

Uδ (q)×Vδ (q)

y δ (q);q = 1,2, . . . ⊂ Aσ lo que contradice el hecho de que Uγ ×Vγ ;γ ∈ Aσ es pun-

tualmente finita ya que δ (q);q = 1,2, . . . son elementos diferentes en Aσ . Con esto

vemos que ∪Uα ;α < µ puede expresarse como

∪U σα,n;α < µ;σ ∈ NN,n ∈ N

y vemos que es una familia NN-puntualmente finita, formada por abiertos Fσ y que es

T0-separadora. Estamos pues en condiciones de aplicar el teorema tipo Rosenthal para los

compactos de Talagrand, teorema 1.4.2 apartado (iii), y concluir que efectivamente K es

un compacto de Talagrand.

3Índice de no compacidad de

Kuratowski y renormamiento LUR.

Índice de no compacidad deKuratowski y renormamiento LUR.

El concepto de índice de no compacidad de Kuratowski ha sido utilizado en cone-

xión con propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas en espacios de Banach,

[Gi-Mr], y en teoría de renormamientos de espacios de Banach, [T2].

En la primera sección de este capítulo definimos el índice de no compacidad de Ku-

ratowski, y relacionamos este concepto con la propiedad de σ−fragmentabilidad y la

propiedad JNR. En la segunda sección y, a través del superlema de Bourgain-Namioka,

caracterizamos a los conjuntos convexos dentables en un espacio normado como aquel-

los conjuntos que tienen slices de índice de Kuratowski arbitrariamente pequeño. En la

tercera sección introducimos el concepto de puntos denting y puntos quasi-denting de un

conjunto, y relacionamos índice de Kuratowski con índice de dentabilidad. En particular,

se prueba que el índice de dentabilidad del conjunto de los puntos quasi-denting de un

conjunto convexo, cerrado y acotado es numerable. Como consecuencia, se obtienen re-

sultados de renormamiento LUR para espacios normados. En particular obtenemos una

prueba geométrica del teorema de Troyanski que afirma: Un espacio de Banach X en el

que cada punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad

cerrada BX , admite una norma equivalente LUR, [T2]. En la cuarta sección obtenemos

un nuevo resultado sobre renormamiento que es consecuencia del teorema de Troyans-

ki mencionado anteriormente, además extendemos el proceso de derivación de Lancien

90 3.1 ÍNDICE DE KURATOWSKI, σ -FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD.

("comiendo" ahora slices de índice de Kuratowski "pequeño") para el que seguirá siendo

válido el teorema de renormamiento obtenido al final de la sección precedente. Recorde-

mos que hay resultados sobre renormamiento LUR en espacios normados, en los cuales

se involucra una descomposición numerable de todo el espacio en subconjuntos con slices

de diámetro arbitrariamente pequeño (teorema 13 de la introducción). El principal logro

de la quinta sección es conseguir generalizar esos resultados, en el sentido de que se pue-

da sustituir, a la hora de medir el tamaño de los conjuntos, el diámetro por el índice de

Kuratowski. Como aplicación obtenemos un resultado sobre renormamiento LUR enun-

ciado desde un punto de vista topológico. De hecho probaremos que un espacio normado

admite una norma equivalente LUR si, y sólo si, la topología dada por la norma tiene una

network con una propiedad del tipo localmente finita respecto a slices, generalizando la

propiedad del tipo discreta respecto a slices aparecida en [M-O-T-V], (teorema 1.7.3).

3.1 Índice de Kuratowski, σ -fragmentabilidad y pro-

piedad SLD.

En esta primera sección analizamos cómo el índice de no compacidad de Kuratows-

ki puede reemplazar al diámetro en las nociones de σ -fragmentabilidad y cubrimiento

numerable por conjuntos de diámetro local pequeño. Comenzamos recordando algunas

definiciones que aparecieron en la introducción.

Definición 3.1.1. Sea X un espacio métrico, para un subconjunto acotado A ⊂ X defini-

mos su índice de no compacidad de Kuratowski como:

α(A) := ınfε > 0;A ⊂n⋃

i=1

Bi con diam(Bi) < ε y n ∈ N

ABi

qdiamBi < ε

3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 91

Definición 3.1.2. Sea X un espacio normado, decimos que el subespacio F ⊂ X ∗ es nor-

mante si, al definir

|||x||| = sup| f (x)|; f ∈ F ∩BX∗, para cada x ∈ X

obtenemos una norma equivalente para X. Cuando la norma original coincida con ||| · |||,

se dice que F es 1−normante.

A lo largo de este capítulo denotaremos por σ(X ,F) la topología en X de convergencia

puntual sobre elementos de F , y todas las clausuras son respecto a esta topología si no se

especifica lo contrario.

Lema 3.1.3. Si X es un espacio normado, F ⊂ X ∗ es un subespacio 1-normante y A ⊂ X

un subconjunto acotado. Entonces:

diam(A) = diam(A)

DEMOSTRACIÓN: La norma ||| · ||| es inferiormente semicontinua para σ(X ,F) y de aquí

la conclusión.

Recordamos que fijados f ∈ X∗, δ ∈ R el conjunto

H = x ∈ X ; f (x) > δ

se denomina semiespacio abierto de X , si f ∈ F lo denominaremos σ(X ,F)−semiespa-

cio abierto de X . Denotaremos por H(F) la familia de todos los σ(X ,F)−semiespacios

abiertos de X . Si fijamos un subconjunto A ⊂ X , el conjunto:

H ∩A, con H ∈H(X∗)

se denomina un slice de A, si H ∈ H(F) lo denominaremos σ(X ,F)−slice. Veamos

qué relación hay entre el índice de Kuratowski de un σ(X ,F)−slice de A y el de un

σ(X ,F)−slice de A (dados por el mismo semiespacio).

Proposición 3.1.4. Sea X un espacio normado, F ⊂X ∗ un subespacio 1-normante, A⊂X

un subconjunto acotado y H ∈H(F) con α(A∩H) < ε . Entonces α(A∩H) < ε

DEMOSTRACIÓN: Por hipótesis existen B1, . . . ,Bn conjuntos con diam(Bi) < ε para i =

1, . . . ,n, cumpliendo:

A∩H ⊂n⋃

i=1

Bi

92 3.1 ÍNDICE DE KURATOWSKI, σ−FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD

Entonces podemos escribir:

A∩H ⊂ A∩H ⊂n⋃

i=1

Bi

donde

diam(Bi) < ε para i = 1, . . . ,n

Para acabar la demostración basta probar la primera inclusión anterior. Fijemos x ∈ A∩H

y U 3 x un σ(X ,F)−abierto, entonces U ∩H es también σ(X ,F)−abierto que contiene a

x y corta a A. Por lo tanto

U ∩H ∩A 6= φ

como consecuencia x ∈ A∩H.

En el siguiente resultado relacionamos el concepto de σ−fragmentabilidad (sección

1.5) con el de índice de Kuratowski.

Teorema 3.1.5. Sea X un espacio normado y F ⊂X ∗ un subespacio normante. El espacio

topológico (X ,σ(X ,F)) está σ−fragmentado por la norma de X si, y sólo si, para cada

ε > 0, podemos escribir

X =∞⋃

n=1

Xεn

donde cada conjunto X εn , n ≥ 1, tiene la propiedad que para cada φ 6= A ⊂ X ε

n existe un

conjunto abierto U ∈ σ(X ,F) tal que A∩U 6= φ y

α(U ∩A) < ε

DEMOSTRACIÓN: No perdemos generalidad asumiendo de entrada que trabajamos con

la norma ||| · |||, esto es, que F es 1-normante.

Supongamos que dado ε > 0 podemos descomponer

X =⋃

n

Xεn

de tal manera que si φ 6= A ⊂ X εn , existe un σ(X ,F)−abierto U ∈ σ(X ,F) tal que A∩U 6=

φ y

α(U ∩A) < ε

Entonces existirán B1, . . . ,Bk subconjuntos de X σ(X ,F)−cerrados, tales que

U ∩A ⊂k⋃

i=1

Bi y diam(Bi) < ε


Reduciendo el número de elementos en el cubrimiento, si es necesario, podemos suponer

que

(B1 ∩U ∩A)\ (k⋃

i=2

Bi) 6= φ

Denotamos F :=⋃k

i=2 Bi y consideramos el conjunto σ(X ,F)−abierto

V := U ∩ (X \F)

Se observa que V ∩A 6= φ y de esta forma V ∩A ⊂U ∩B1, luego diam(V ∩A) < ε .

Dado un espacio normado X y F ⊂ X∗ un subespacio normante, relacionaremos la

propiedad ‖ · ‖-SLD de (X ,σ(X ,F)) (ver introducción) con el concepto de índice de

Kuratowski.

Teorema 3.1.6. Para un espacio normado X y F ⊂ X ∗ un subespacio normante, un con-

junto A⊂ (X ,σ(X ,F)) tiene la propiedad ‖ · ‖-SLD si, y sólo si, para cada ε > 0 podemos

descomponer

A =∞⋃

n=1

Aεn

tal que para cada x ∈ Aεn, existe un conjunto U que es σ(X ,F)−abierto y contiene a x,

tal que

α(U ∩Aεn) < ε

DEMOSTRACIÓN: Haremos la prueba para todo el espacio X. De nuevo podemos asumir

que ||| · ||| es la norma original. Supongamos que dado ε > 0 podemos descomponer

X =⋃

n

Xεn

de tal manera que si x ∈ X εn , existe un σ(X ,F)−abierto U 3 x tal que

α(U ∩Xεn ) < ε

Entonces existirán B1, . . . ,Bk subconjuntos de X σ(X ,F)−cerrados, tales que

U ∩Xεn ⊂

k⋃

i=1

Bi y diam(Bi) < ε

94 3.1 ÍNDICE DE KURATOWSKI, σ−FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD

Consideramos el σ(X ,F)−abierto

V := X \⋃

Bi;x 6∈ Bi

Si ∪Bi;x 6∈ Bi es vacío se tiene que diam(U ∩X εn ) < 2ε , en otro caso se observa que

x ∈V y claramente diam(V ∩U ∩X εn ) < 2ε .

Para acabar esta sección veremos una aplicación del teorema anterior. Antes, es nece-

sario que veamos algunas nociones previas.

Definición 3.1.7. Sea (X ,τ) un espacio topológico y A = Aα ;α ∈ I una familia de

subconjuntos de X. Se dice que A es:

(i) Relativamente localmente finita respecto a τ si para todo elemento x ∈ ∪Aα ;α ∈

I, existe un conjunto τ-abierto, U, que contiene a x y tal que

|α;U ∩Aα 6= φ| < +∞

(ii) σ -Relativamente localmente finita respecto a τ , si se puede expresar como unión

numerable de subfamilias relativamente localmente finitas respecto a τ .

Con esto obtenemos la siguiente consecuencia sobre la caracterización con network

de la propiedad de cubrimiento numerable por conjuntos de diámetro local pequeño:

Corolario 3.1.8. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Las si-

guientes condiciones son equivalentes:

(i) La topología en X dada por la norma admite una network que es σ -relativamente

localmente finita respecto a la topología σ(X ,F).

(ii) (X ,σ(X ,F)) tiene la propiedad ‖ · ‖-SLD.

DEMOSTRACIÓN: Teniendo en cuenta la proposición 2 de [M-O-T-V] y la proposición 1.9

de [On2] (ver también teoremas 1.7.2 y 1.7.3), basta probar (i) ⇒ (ii). Para esto supong-

amos que

N =∞⋃

n=1

Nn

es la network que satisface (i). No es restrictivo suponer que cada subfamilia Nn está

formada por conjuntos disjuntos dos a dos. De hecho, si las familias Nn no son disjuntas,

podemos expresar

Nm

n := N1 ∩·· ·∩Nm;Ni ∈ Nn; i = 1, . . . ,m


y

Smn := x ∈ ∪N

mn ; |N ∈ Nn;x ∈ N| = m

Entonces la familia

Mmn = N

mn ∩Sm

n := N ∩Smn ;N ∈ N

mn

está formada por conjuntos disjuntos dos a dos; la familia Mn :=⋃

m M mn es un refi-

namiento de Nn, y por lo tanto, para cada n,m∈N, la familia M mn es σ(X ,F)-relativamen-

te localmente finita. Además la familia M =⋃

n,m M mn es una network para la norma.

Veamos ahora que (X ,σ(X ,F)) tiene la propiedad ‖ · ‖-SLD. Para ello fijamos ε > 0

y definimos, para cada n ∈ N

Xεn = x ∈ X ;∃N ∈ Nn con x ∈ N ⊂ B(x;ε)

Ya que N es una network para la ‖ · ‖ −topología, se tiene que

X =⋃

n

Xεn

Fijamos un elemento x ∈ X εn , por ser N σ -relativamente localmente finita respecto a

σ(X ,F), existirá U ∈ σ(X ,F) conteniendo a x tal que

U⋂

(∪N;N ∈ Nn) = U ∩N1 ∪U ∩N2 ∪·· ·∪U ∩Np

para un subconjunto finito N1, . . . ,Np de Nn. Más aún, si consideramos y ∈ U ∩X εn

entonces

y ∈U ∩N j para algún j ∈ 1, . . . , p

por ser los N j disjuntos y por la definición de los conjuntos X εn , y al ser cada Nn disjunta,

se tiene que

y ∈ N j ⊂ B(y;ε)

por lo que tal conjunto N j cumple que diam(N j) < 2ε . Como consecuencia tenemos

p1, . . . p f ⊂ 1, . . . , p tal que

U ∩Xεn ⊂ Np1 ∪·· ·∪Np f

donde

diam(Npi) < 2ε para todo i = 1, . . . , p f

96 3.2 ÍNDICE DE KURATOWSKI Y DENTABILIDAD.

Por lo tanto

α(U ∩Xεn ) < 2ε

aplicando el teorema 3.1.6, se concluye la prueba.

Observación 3.1.9. Los teoremas 3.1.5, 3.1.6 y el corolario 3.1.8 son también ciertos si

consideramos un espacio topológico (X ,τ) y d una métrica inferiormente semicontinua.

De hecho las mismas pruebas sirven.

3.2 Índice de Kuratowski y dentabilidad.

De cara a los siguientes resultados fijemos un poco más de notación. Sea A un sub-

conjunto acotado de un espacio métrico X y p ≥ 1 un entero. Escribiremos

α(A, p) := ınfε;A ⊂ ∪pi=1Bi con diam(Bi) < ε

se cumple que

α(A) = ınfα(A, p); p = 1,2, . . .

Lema 3.2.1. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante. Fijamos

C, C0 y C1 subconjuntos de X convexos, σ(X ,F)−cerrados y acotados. Sea p un entero

positivo, ε > 0 y M = diam(C0 ∪C1). Asumimos que:

(i) C0 ⊂C y α(C0, p) < ε ′ < ε .

(ii) C 6⊂C1.

(iii) C ⊂ co(C0,C1).

Además si r es un número positivo tal que 2rM + ε ′ < ε y consideramos

Dr := (1−λ )x0 +λx1;r ≤ λ ≤ 1,x0 ∈C0,x1 ∈C1

entonces

C \Dr 6= φ y α(C \Dr, p) < ε.

Gráficamente, las hipótesis del lema las podemos representar de la siguiente manera.


C

C0

...............................

C1

.................................

...............................

.............................

....................

..........

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El subconjunto C0 ⊂C es "relativamente" pequeño.

Al aplicar el lema, la situación quedaría de esta manera.

C1co(C0, C1)

C0

CDr

El conjunto C \Dr sigue siendo "relativamente" pequeño.

Observación 3.2.2. Para p = 1 el lema no es más que el superlema de Bourgain-Namioka

(pág. 157, [D]). Siguiendo la prueba de este caso, no es difícil ver que también es cier-

to para cualquier p ∈ N. Pero ya que más adelante usaremos los detalles de la prueba,

daremos la demostración completa.

DEMOSTRACIÓN: Para 0 ≤ r ≤ 1 definimos:

Dr := (1−λ )x0 +λx1;r ≤ λ ≤ 1,x0 ∈C0,x1 ∈C1

Se observa que Dr es convexo, D0 ⊃C, D1 = C1. Para 0 < r < 1 probaremos que

C \Dr 6= φ

Probaremos esta última afirmación. Como C 6⊂C1, existe f ∈ F cumpliendo

sup f (C1) < sup f (C)

Si existiera r > 0 con C ⊂ Dr, se tendría

sup f (C) ≤ sup f (Dr) = sup f (Dr) ≤

98 3.2 ÍNDICE DE KURATOWSKI Y DENTABILIDAD

≤ (1− r)sup f (C0)+ r sup f (C1) ≤

≤ (1− r)sup f (C)+ r sup f (C1)

Lo cual nos llevaría a la conclusión de que

sup f (C) ≤ sup f (C1)

que es una contradicción.

Tomamos x ∈ D0 \Dr, entonces existe x0 ∈C0 tal que se cumple

‖ x− x0 ‖≤ rM (∗)

Para ver ésto último expresamos

x = (1−λ )x0 +λx1 donde x0 ∈C0,x1 ∈C1

Como x 6∈ Dr, se debe cumplir que 0 ≤ λ < r. Se sigue que

‖ x− x0 ‖= λ ‖ x0 − x1 ‖< r sup‖ y− z ‖;y ∈C0,z ∈C1 ≤ rM

Como α(C0, p) < ε ′ < ε , podemos escribir

C0 ⊂p

⋃

i=1

Bi

con diam(Bi) < ε ′. Además fijamos r > 0 tal que 2rM + ε ′ < ε . Observamos que:

D0 \Dr ⊂C0 +B(0;rM) ⊂p

⋃

i=1

Bi +B(0;rM)

donde la primera inclusión viene de la condición (*). Entonces

C \Dr ⊂ D0 \Dr ⊂p

⋃

i=1

Bi +B(0;rM)

Y los conjuntos Bi +B(0;rM) tienen diámetro menor que 2rM + ε ′ < ε .

A continuación, un resultado cuya prueba es una consecuencia del lema anterior para

p = 1.


Proposición 3.2.3. Sea X un espacio normado y F ⊂X ∗ un subespacio 1−normante. Si B

es un subconjunto de X σ(X ,F)−cerrado, acotado y convexo y H ∈H(F) con H ∩B 6= φy

α(H ∩B) < ε

entonces existe otro semiespacio G ∈H(F) σ(X ,F)−abierto cumpliendo

φ 6= G∩B ⊂ H ∩B, y diam(G∩B) < ε

DEMOSTRACIÓN: Hacemos la prueba por inducción en p, donde α(H ∩B, p) < ε . Para

p = 1 no hay nada que probar. Supongamos que la afirmación es cierta para p ≤ n−1 y

escribimos:

H ∩B ⊂ BH1 ∪BH

2 ∪·· ·∪BHn

donde cada BHi es un conjunto convexo y σ(X ,F)−cerrado con diam(BH

i ) < ε .

Si definimos L1 := co(B\H,BH1 ∩B), tenemos dos posibilidades:

(i) L1 ⊂ B y L1 6= B, entonces podemos elegir y ∈ B \L1 y, por el teorema de Hahn-

Banach, existe un semiespacio H ∈ H(F) con y ∈ H y H ∩B ⊂ H ∩B. Pero H ∩B ⊂

BH2 ∪·· ·∪BH

n , aplicando la hipótesis de inducción obtenemos el semiespacio G ∈H(F).

B

H

BH1

L1

:

Cubierto porn− 1 conjuntos.

H

(ii) B = L1, en este caso aplicamos el resultado anterior para p = 1 con los conjuntos

C0 = BH1 ∩B y C1 = B\H para obtener un semiespacio abierto G ∈H(F) con G∩BH

1 6= φ ,

G∩B ⊂ H ∩B y diam(G∩B) < ε .

B = L1

H

BH1

U

*

Dr

G

1diametromenor que ε

100 3.3 ÍNDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI-DENTING.

Como corolario del resultado anterior, obtenemos una mejora de un resultado de

Gilles y Moors (teoremas 4.2 y 4.3 de [Gi-Mr]). Antes veamos la definición de conjunto

dentable.

Definición 3.2.4. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Se dice

que el subconjunto acotado B ⊂ X es σ(X ,F)−dentable si para cualquier ε > 0, existe

H ∈H(F) tal que H ∩B 6= φ y

diam(H ∩B) < ε

Corolario 3.2.5. Para un espacio normado X, un subespacio F ⊂ X ∗ normante y un

subconjunto B ⊂ X σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado. Son equivalentes:

(i) B es σ(X ,F)−dentable.

(ii) B tiene σ(X ,F)−slices de índice de Kuratowski arbitrariamente pequeño.

DEMOSTRACIÓN: Podemos trabajar con la norma equivalente ||| · ||| dada por el subespa-

cio normante F y aplicar la proposición anterior para cada ε > 0.

Observación 3.2.6. I. Namioka nos ha informado recientemente que el corolario 3.2.5

aparece ya en una publicación del Seminario Rainwater (I. Namioka “Characterizations

of closed convex sets with the RNP, following Bourgain and Stegall”. Rainwater Seminar

Functional Analysis, October 1976).

3.3 Índice de dentabilidad de puntos quasi-denting.

En esta sección daremos la prueba geométrica del teorema de Troyanski sobre renor-

mamiento LUR de espacios de Banach donde los puntos de la esfera unidad son puntos

quasi-denting en la bola unidad (Teorema 6 de la introducción). Comenzamos esta sección

recordando y estudiando algunas definiciones que aparecieron en la introducción.

Definición 3.3.1. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante, A ⊂ X

un subconjunto y ε > 0 fijado. Se dice que:


(i) Un punto x ∈ A ⊂ X es ε −σ(X ,F)−denting (resp. ε −σ(X ,F)−quasi-denting), si

existe H ∈H(F) conteniendo a x y cumpliendo


HA

>diam(A ∩H) < ε

H

A

>diam(A ∩H) < ε

(ii) Un punto x ∈ A ⊂ X es σ(X ,F)−denting (resp. σ(X ,F)−quasi-denting), si ∀ε > 0

existe H ∈H(F) conteniendo a x y cumpliendo


De la definición anterior se observa que cualquier punto denting es quasi-denting. Sin

embargo, la implicación contraria no es cierta, como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.3.2. Sea ei4i=1 la base de vectores unitarios de R4 y definimos el conjunto:

T := e1,e1 ± e2,e1 + e2 ± e3,e1 − e2 ± e4

Entonces los puntos e1, e1 +e2 y e1−e2 son puntos quasi-denting enT que no son denting.

DEMOSTRACIÓN: Como T es un conjunto finito se cumple que α(T) = 0, por lo que e1 es

un punto quasi-denting en T. Ahora, consideramos un semiespacio abierto H conteniendo

a e1, entonces o bien e1 + e2 ∈ H o bien e1 − e2 ∈ H, ya que, si ninguno de los dos

elementos está en H, por convexidad e1 6∈ H. Además la distancia entre e1 y cualquiera

de los dos elementos anteriores es 1. El mismo razonamiento sirve para los otros puntos


102 3.3 ÍNDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI-DENTING

T

e1

e1 + e2

e1 − e2

e1 + e2 + e3

e1 + e2 − e3

e1 − e2 + e4

e1 − e2 − e4

6

I

R

-

A continuación nos vamos a centrar en estudiar puntos σ(X ,F)-denting y puntos

σ(X ,F)quasi-denting de la bola unidad cerrada BX de un espacio normado. Estudiaremos

un ejemplo, extraído de [T2], de un espacio de Banach donde todos los puntos de la es-

fera unidad SX son puntos quasi-denting en la bola unidad cerrada BX . Sin embargo, hay

puntos en dicha esfera que no son denting en la bola. Fijemos la siguiente notación:

En el espacio vectorial C[0,1] consideramos la norma completa

|x| := |x|∞ ++∞

∑i=1

2−iw(x,2−i)

donde | · |∞ es la norma del supremo y w(x,δ ) es el módulo de continuidad de x, es decir,

w(x,δ ) := supx(t ′)− x(t ′′); |t ′− t ′′| ≤ δ

Ejemplo 3.3.3. En el espacio de Banach (C[0,1], | · |), cualquier punto de la esfera unidad

es un punto quasi-denting de la bola unidad cerrada.

DEMOSTRACIÓN: Definimos

|x|n := |x|∞ + ∑i<n

2−iw(x,2−i)

Sea |x| = 1, y ε > 0. Podemos encontrar m tal que w(x,2−m) < ε/2, y definimos

K := u; |u|m ≤ 1−2−mε

K es convexo y cerrado y x 6∈ K, veamos esto último:

1 = |x|m + ∑i≥m

2−iw(x,2−i) < |x|m +ε2 ∑

i≥m2−i =

= |x|m +ε2

2−m2 = |x|m +2−mε


por lo que |x|m > 1−2−mε . Como consecuencia existirá f ∈C∗[0,1], | f | = 1 tal que

f (x) > sup f (K)

Consideramos δ = 1− sup f (K)>0, y B = u; |u| ≤ 1. Sea u ∈ SB( f ,δ ), entonces u 6∈ K,

por lo que |u|m > 1−2−mε . Como |u| ≤ 1 llegamos a que w(u,2−m) < ε , por lo tanto

SB( f ,δ ) ⊂ Fε2−m := u ∈ B; supu(t ′)−u(t ′′) ≤ ε si |t ′− t ′′| ≤ 2−m

Si probamos que

α(Fε2−m) ≤ ε

habremos acabado. Como [0,1] es compacto podemos expresar

[0,1] ⊂N⋃

i=1

B(xi;2−m)

Aplicando el lema de Urysohn, ver [E], existe un sucesión finita φiNi=1 de funciones

continuas cumpliendo 0≤ φi ≤ 1, supp(φi)⊂B(xi;2−m) para cada i = 1, . . . ,N y ∑Ni=1 φi =

1.

Fijado u ∈ Fε2−m , definimos

u(x) :=N

∑i=1

u(xi)φi(x)

entonces se cumple

|u(x)− u(x)| = |u(x)−N

∑i=1

u(xi)φi(x)| =

= |N

∑i=1

u(x)φi(x)−N

∑i=1

u(xi)φi(x)| ≤N

∑i=1

|u(x)−ui(x)|φi(x) =

= ∑i;x∈supp(φi)

|u(x)−u(xi)|φi(x) ≤ ε ∑i

φi(x) = ε

Definimos entonces el conjunto relativamente compacto

Kε2−m := spanφi; i = 1, . . . ,N∩B

Entonces α(Kε2−m) = 0, es decir, lo puedo cubrir por una cantidad finita de bolas de

diámetro arbitrariamente pequeño. Atendiendo a que

distancia( f ,Kε2−m) ≤ ε para todo f ∈ Fε

2−m


se concluye que

α(Fε2−m) ≤ ε

Veamos la siguiente observación sobre el ejemplo anterior.

Observación 3.3.4. En el espacio de Banach (C[0,1], | · |), no todo punto de la esfera

unidad es un punto denting de la bola unidad cerrada.

DEMOSTRACIÓN: Utilizando una caracterización de [L-L-T], basta probar que existen

f ,g,h ∈C[0,1] con | f | = |g| = |h| = 1 cumpliendo f = 12g+ 1

2h, en esta situación se dice

que f es un punto no extremal de la esfera unidad de (C[0,1], | · |). Hay que observar que

la norma | · | mide, no sólo el máximo valor de una función, sino también su pendiente.

Por lo tanto al compensar el valor máximo con la pendiente, se obtienen funciones que

están en la esfera unidad. Con esto en mente definimos las siguientes funciones:

f (x) =

x+ 16 , x ≤ 1

276 − x, x > 1

2

; g(x) =

65x, x ≤ 1

265(1− x), x > 1

2

; h(x) =

45x+ 1

3 , x ≤ 12

1715 −

45x, x > 1

2

Gráficamente tenemos:

1/2

11/15

2/3

3/5

1

1/6

1/3

y = g(x)

y = f(x)

y = h(x)

X

Y

Vamos a probar primero la condición | f | = |g| = |h| = 1.

(a) | f |∞ = 23 y w( f ,2−i) = sup| f (x +2−i)− f (x)|;x ∈ [0,1] = 2−i, donde la última

igualdad se debe a que

| f (x+2−i)− f (x)| = x+2−i − x = 2−i, si x+2−i ≤ 12


Si x > 12 , entonces

12g(x)+ 1

2h(x) = 12 ·

65(1− x)+ 1

2(−45x+ 17

15) = −x+ 76 = f (x)

Recordemos la siguiente definición, que ya apareció en la introducción.

Definición 3.3.5. La norma ‖ · ‖ de un espacio normado X se dice localmente uniforme-

mente rotunda (LUR), si para toda sucesión (xn)n ⊂ SX y x ∈ SX se cumple

lımn

‖xn + x

2‖= 1 ⇒ lım

n‖ xn − x ‖= 0

En lo que queda de sección estudiaremos el índice de dentabilidad de los puntos

σ(X ,F)quasi-denting, como consecuencia de esto obtendremos una prueba alternativa

(geométrica) del teorema de Troyanski para puntos quasi denting (teorema 10 de la intro-

ducción) el cual afirma que: Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de que cada

punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad cerrada

BX , entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.

Recordamos el índice de dentabilidad de G. Lancien basado en el siguiente proceso

de derivación de tipo Cantor.

Fijado un espacio normado X , un subespacio normante F ⊂ X ∗ y B ⊂ X un subcon-

junto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado. Elegimos algún ε > 0 y definimos:

Dε,F(B) := x ∈ B;‖ · ‖ −diam(H ∩B) > ε,∀H ∈H(F),x ∈ H

B

Dε,F (B)

De nuevo, Dε,F(B) es un conjunto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado; de hecho, si B

es absolutamente convexo, Dε,F(B) también lo es. Iterando este proceso definimos:

Dα+1ε,F (B) := Dε,F(Dα

ε,F(B)) donde D0ε,F(B) := B

y

Dαε,F(B) :=

⋂

β<αDβ

ε,F(B), si α es un ordinal límite.


En este contexto denotaremos por:

δF(B,ε) :=

ınfα;Dαε,F(B) = φ si existe


Con esto podemos definir el índice de dentabilidad.

Definición 3.3.6. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ subespacio normante y B ⊂ X un

subconjunto σ(X ,F)−cerrado, acotado y convexo. Se define el índice de dentabilidad de

B como

δF(B) := supδF(B,ε);ε > 0

También podemos hablar de índice de dentabilidad de un subconjunto arbitrario S respecto

al conjunto B anterior. En este contexto denotaremos por:

δF(S,B,ε) :=

ınfα;Dαε,F(B)∩S = φ si existe


Definición 3.3.7. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante, B ⊂ X

un subconjunto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado y S ⊂ B un subconjunto arbitrario.

Se define el índice de dentabilidad de S respecto a B como:

δF(S,B) := supδF(S,B,ε);ε > 0

Recordemos que si F ⊂ X∗, la norma del espacio normado X se dice que es σ(X ,F)-

inferiormente semicontinua si la bola unidad cerrada es también σ(X ,F)−cerrada. En

particular, en un espacio de Banach si ||| · ||| es una norma equivalente en (X ∗,‖ · ‖∗),

dicha norma es también dual si, y sólo si, es σ(X ∗,X)−inferiormente semicontinua.

Estamos interesados en el índice de dentabilidad de la esfera unidad en la bola unidad

cerrada de un espacio normado, por el siguiente resultado (teorema 11 de la introducción).

Teorema 3.3.8. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante cumplién-

dose

δF(SX ,BX) < ω1

Entonces X admite una norma equivalente LUR y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.


Antes de ver la prueba de este resultado veamos el siguiente lema, que es una adapta-

ción del lema 2 de [R].

Lema 3.3.9. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Fijamos un

punto x ∈ SX y sea ∆ una familia de conjuntos de X con la propiedad que para todo ε > 0,

existen A ∈ ∆ y H ∈H(F) tal que x ∈ H ∩A y

‖ · ‖ −diam(A∩H) < ε

Entonces para cada ε > 0 existen C ∈∆, δ > 0 y G∈H(F) tales que x∈G∩(C+B(0;δ ))

y

‖ · ‖ −diam((C +B(0;δ ))∩G) < ε

DEMOSTRACIÓN: Dado ε > 0 existe H ∈H(F) y A ∈ ∆ tal que x ∈ A∩H y ‖ ·‖−diáme-

tro(A∩H) < ε/4 (luego A∩H ⊂ B(x,ε/4)). Sea H := y ∈ X : f (y) < α, donde f ∈ F y

α ∈R. En particular, f (x) < α . Sea H ′ := y∈X : f (y) < α+ f (x)2 , un elemento deH(F),

y sea H ′′ := y ∈ X : | f (y)|< α− f (x)2 . Entonces, H ′+H ′′ ⊂ H. Podemos encontrar δ > 0

tal que B(0,δ ) ⊂ B(0,ε/4)∩H ′′. Probaremos que (A + B(0,δ ))∩H ′ ⊂ B(x,ε/2). Para

verlo, sea y∈ (A+B(0,δ ))∩H ′. Entonces y = a+δb, donde b∈BX . Por tanto, a−y∈H ′′,

luego a = y +(a− y) ∈ (H ′ + H ′′)∩A ⊂ H ∩A ⊂ B(x,ε/4). Entonces y = (y−a)+ a =

δb+a∈B(0,δ )+B(x,ε/4)⊂B(x,ε/2). Se sigue que ‖·‖−diámetro(A+B(0,δ ))∩H ′ <

ε .

DEMOSTRACIÓN: [Demostración del teorema 3.3.8] Sin perder generalidad podemos

asumir que F ⊂ X∗ es 1−normante, la prueba sigue la misma estructura que la prop-

uesta por M. Raja para el teorema 1 de [R]. No obstante, haremos la construcción para

que el trabajo sea autocontenido.

Sea µ = δF(SX ,BX) < ω1, consideramos la familia numerable

∆ := Dα1m ,F

(BX);α < µ,m ∈ N

donde cada elemento de ∆ es absolutamente convexo. Además la familia ∆ cumple las

hipótesis del lema anterior, por lo que podemos considerar que los elementos de ∆ son

también ‖ · ‖ −abiertos. Para que la notación sea más clara expresaremos

∆ = Bn;n ∈ N


Denotaremos por ‖ · ‖n al funcional de Minkowski asociado al conjunto absolutamente

convexo, σ(X ,F)−cerrado, acotado y entorno del origen Bn. Por lo que cada ‖ · ‖n es, de

hecho, una norma en X , equivalente a la inicial y además σ(X ,F)−inferiormente semi-

continua.

Ahora, para cada m ∈ N, definimos los conjuntos:

Bn,m := x ∈ Bn;‖ · ‖ −diam(Bn ∩H) > 1m , si x ∈ H ∈H(F)

Los conjuntos así construidos son, o bien vacíos, o bien absolutamente convexos y

σ(X ,F)−cerrados. Para cada p ∈ N, consideramos los conjuntos

Bn,m,p := Bn,m +B(0;1/p)

Veamos que se cumple que

Bn,m = ∩+∞p=1Bn,m,p

cuando Bn,m 6= φ . De hecho, si x 6∈ Bn,m entonces, ya que este conjunto es convexo y

σ(X ,F)−cerrado, podemos elegir H ∈ H(F) tal que x ∈ H y Bn,m ∩H = φ . Tomando el

semiespacio dado por un hiperplano paralelo, podemos asumir que la distancia entre Bn,m

y H es positiva. Entonces para algún p ∈ N se tiene que

(Bn,m +B(0; 1p))∩H = φ

y por tanto x 6∈ Bn,m,p. De nuevo los conjuntos Bn,m,p son absolutamente convexos, aco-

tados, σ(X ,F)−cerrados y entornos del origen. Si denotamos por ‖ · ‖n,m,p al funcional

de Minkowski asociado a cada conjunto de estos, obtenemos, de nuevo, una norma en X

equivalente a ‖ · ‖ y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.

Definimos la norma

|x| = (‖ x ‖2 +∑n

αn ‖ x ‖2n + ∑

n,m,pαn,m,p ‖ x ‖2

n,m,p)1/2

Donde las sucesiones (αn)n y (αn,m,p)n,m,p aseguran la convergencia de las series y que

| · | es una norma en X equivalente a ‖ · ‖ y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.

Probaremos que | · | es también LUR, sean x ∈ X y (xk)k ⊂ X tales que

|xk| = |x| = 1, ∀k ≥ 1

y

lımk|x+ xk

2| = 1


entonces

lımk

(|x|2 + |xk|

2

2−|

x+ xk

2|2) = 0

Por argumentos estándard de convexidad (ver [R], pag. 347) se tiene que, para cua-

lesquiera m,n, p anteriores:

(1) lımk ‖ xk ‖m,n,p= lımk ‖xk+x

2 ‖m,n,p=‖ x ‖m,n,p.

(2) lımk ‖ xk ‖n= lımk ‖xk+x

2 ‖n=‖ x ‖n.

(3) lımk ‖ xk ‖= lımk ‖xk+x

2 ‖=‖ x ‖.

Para probar que la sucesión (xk)k | · |−converge a x, no es restrictivo suponer que

‖ xk ‖=‖ x ‖= 1 ,∀k ∈ N

ya que en caso contrario, podemos considerar la sucesión

(xk

‖ xk ‖)k ⊂ SX

Fijamos 1/2 > ε > 0, existe n ∈ N y H ∈H(F) tal que x ∈ Bn ∩H y

‖ · ‖ −diam(Bn ∩H) ≤ ε/3

ya que ‖ · ‖ es σ(X ,F)−inferiormente semicontinua. Como Bn es abierto, se tiene que

‖ x ‖n< 1, por lo tanto ‖ xk ‖n< 1 para k suficientemente grande, y por tanto xk ∈ Bn

para k suficientemente grande. Análogamente, para k suficientemente grande también se

cumple quex+ xk

2∈ Bn

Tomamos m ∈ N tal que 2/ε < m < 3/ε , por tanto x 6∈ Bn,m. Si Bn,m 6= φ entonces,

para algún p ∈ N, se tiene que ‖ x ‖n,m,p> 1, por lo que para k suficientemente grande,

‖ x+xk2 ‖n,m,p> 1 y como consecuencia

x+ xk

26∈ Bn,m,p

Si Bn,m = φ , simplemente tenemos que x+xk2 6∈ Bn,m.

Por lo tanto, para k ∈ N suficientemente grande, se tiene que

x+ xk

2∈ Bn \Bn,m

Por definición de Bn,m, existe H ′ ∈H(F) tal que x+xk2 ∈ Bn ∩H ′ y

‖ · ‖ −diam(Bn ∩H ′) ≤ ε/2


Pero entonces x o xk pertenece a H ′, y por tanto a Bn ∩H ′. Como

‖ xk − x ‖= 2 ‖ xk −xk + x

2‖= 2 ‖ x−

xk + x2

‖

deducimos que

‖ xk − x ‖≤ ε , para k suficientemente grande

Como | · | es equivalente a ‖ · ‖ se tiene que

lımk|x− xk| = 0


Calcularemos ahora el índice de dentabilidad de los puntos quasi-denting de un con-

junto convexo, cerrado y acotado:

Teorema 3.3.10. Para cada ε > 0, existe un ordinal numerable ηε , tal que si X es un

espacio normado y F ⊂ X∗ un subespacio 1−normante, entonces para cada subconjunto

B ⊂ X σ(X ,F)−cerrado, acotado y convexo, si:

Qε := x ∈ B;∃H ∈H(F),x ∈ H y α(H ∩B) < ε

Entonces se tiene que

δF(Qε ,B,ε) < ηε < ω1

La prueba está basada una serie de resultados previos.

Lema 3.3.11. Sea B un subconjunto σ(X ,F)−cerrado, acotado y convexo de un espacio

normado X, F ⊂ X∗ un subespacio 1−normante y ε > 0. Consideramos la cadena

B := L0 ⊃ L1 ⊃ L2 ⊃ ·· · ⊃ Ln

de subconjuntos de B σ(X ,F)−cerrados y convexos. Sea S ⊂ Ln, entonces

δF(S,B,ε) ≤ δF(L0 \L1,B,ε)+δF(L1 \L2,L1,ε)+ . . .

+δF(Ln−1 \Ln,Ln−1,ε)+δF(S,Ln,ε)


DEMOSTRACIÓN: Haremos la prueba por inducción en n. Para n = 1 consideramos B =

L0 ⊃ L1 ⊃ S como en el enunciado y fijamos δF(L0 \L1,B,ε) = α y δF(S,L1,ε) = β .

Ya que Dαε,F(B)∩B\L1 = φ , se tiene que Dα

ε,F(B) ⊂ L1. Dado x ∈ Dα+1ε,F (B), tenemos

que

diam(H ∩Dαε,F(B)) > ε

para cada H ∈H(F) que contenga a x, por lo que

diam(H ∩L1) > ε

para cada H ∈H(F) que contenga a x, por lo tanto x ∈ Dε,F(L1). Se tiene pues que

Dα+1ε,F (B)∩S ⊂ Dε,F(L1)∩S

Ya que β es el primer ordinal tal que Dβε,F(L1)∩S = φ , se obtiene que Dα+β

ε,F (B)∩S = φ ,

por lo que δF(S,B,ε) ≤ α +β .

Ahora supongamos que tenemos B = L0 ⊃ L1 ⊃ L2 ⊃ ·· · ⊃ Ln ⊃ S como en el enun-

ciado y supongamos que la fórmula se cumple para n−1 conjuntos. Considerando L0 ⊃

L1 ⊃ S, como hicimos antes,

δF(S,B,ε) ≤ δF(L0 \L1,B,ε)+δF(S,L1,ε) (∗)

Si consideramos ahora los conjuntos L1 ⊃ L2 ⊃ ·· · ⊃ Ln ⊃ S, por la hipótesis de inducción

δF(S,L1,ε) ≤ δF(L1 \L2,L1,ε)+ · · ·+δF(Ln−1 \Ln,Ln−1,ε)+δF(S,Ln,ε)

Para acabar la prueba sólo necesitamos usar la desigualdad anterior (∗).

Lema 3.3.12 (Lema de reducción). Sea B un subconjunto σ(X ,F)−cerrado, acotado y

convexo de un espacio normado X, F ⊂ X∗ un subespacio 1−normante y fijamos ε > 0.

Sea H ∈H(F) con

α(H ∩B,n) < ε para algún n > 1 fijado

Entonces existe una sucesión de subconjuntos σ(X ,F)−cerrados y convexos

B =: B0 ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ ·· · ⊃ Bs ⊃ Bs+1 ⊃ ·· ·

tales que

H ∩B ⊂ (B0 \B1)∪ (B1 \B2)∪·· ·∪ (Bs \Bs+1)∪·· ·

y para cada s = 0,1,2, . . . y cada z ∈ Bs \Bs+1 existe G ∈H(F) con z ∈ G, G∩B ⊂ H ∩B

y

α(G∩Bs, p) < ε para algún p ≤ n−1


DEMOSTRACIÓN: Ya que α(H ∩B,n) < ε podemos fijar conjuntos σ(X ,F)−cerrados y

convexos

BH1 , . . . ,BH

n

con diam(BHi ) < ε , i = 1, . . . ,n y tales que

H ∩B ⊂ BH1 ∪·· ·∪BH

n

Definimos

L1 := co(B\H,BH1 ∩B)

Si y ∈ B \L1, por el teorema de Hahn-Banach existirá un semiespacio G ∈ H(F) conte-

niendo a y, G∩L1 = φ y tal que

G∩B ⊂ BH2 ∪·· ·∪BH

n

y por tanto

α(G∩B, p) < ε para algún p ≤ n−1.

B

H

BH

1

L1

:

Cubierto por

n− 1 conjuntos.

G

Consideramos los conjuntos C10 := BH

1 ∩B y C1 := B \H para aplicar el lema 3.2.1 con

p = 1, y encontrar 0 < r < 1, de hecho es suficiente si

2r diam(B)+diam(BH1 ) < ε

de tal manera que si

Dr,1 := (1−λ )x0 +λx1;r ≤ λ ≤ 1,x0 ∈C10 ,x1 ∈C1

tenemos que L1 \Dr,1 6= φ y

diam(L1 \Dr,1) < ε

Por lo tanto para cada y ∈ L1 \Dr,1 existirá G ∈H(F) conteniendo a y, G∩Dr,1 = φ . Por

tanto G∩B ⊂ H ∩B y G∩L1 ⊂ L1 \Dr,1, como consecuencia diam(G∩L1) < ε y

α(G∩L1,1) < ε


B

H

BH1

Dr,1

L1

3diamBH

1 < ε

G

Denotaremos por B1 := L1 y B2 := Dr,1. Ahora iteraremos la construcción formada para

"comer" todos los puntos de BH1 y de B∩H después de una cantidad numerable de pasos.

Definimos:

L2 := co(B\H,BH1 ∩Dr,1)

Si tomamos cualquier y ∈ Dr,1 \L2, existe y ∈ G ∈H(F) con G∩L2 = φ . Por tanto

G∩B ⊂ H ∩B ⊂ BH1 ∪·· ·∪BH

n

además como

Dr,1 ∩BH1 ⊂ L2

se tiene

G∩Dr,1 ⊂ BH2 ∪·· ·∪BH

n

Por lo tanto

α(G∩Dr,1, p) < ε para algún p ≤ n−1

B

H

BH1

-

L2

Cubierto por

n− 1 conjuntos

Aplicaremos de nuevo el superlema de Bourgain-Namioka y con los conjuntos

C20 := BH

1 ∩Dr,1 y C1 := B\H

y con el mismo valor r de antes tenemos otra vez:

diam(L2 \Dr,2) < ε


donde

Dr,2 := (1−λ )x0 +λx1;r ≤ λ ≤ 1,x0 ∈C0,x1 ∈C1

Como antes para cada y∈ L2\Dr,2 existe G∈H(F) con y∈G, satisfaciendo G∩B⊂H∩B

y α(G∩L2,1) < ε .

B

H

BH1

Dr,2

- diamBH1 < ε

Fijamos los conjuntos B3 := L2 y B4 := Dr,2. Por inducción continua el proceso y

definimos una sucesión de conjuntos

B = B0 ⊃ L1 ! Dr,1 ⊃ L2 ! Dr,2 ⊃ ·· · ⊃ Ls ! Dr,s ⊃ Ls+1 ! · · ·

tal que para cada y ∈ Ls \Dr,s existe y ∈ G ∈H(F), con G∩B ⊂ H ∩B y α(G∩Ls,1) < ε;

y para cada y ∈ Dr,s \Ls+1 existe y ∈ G ∈H(F), con G∩B ⊂ H ∩B y α(G∩Dr,s, p) < εpara algún p ≤ n−1.

Si Dr,s0 ∩BH1 = φ para algún s0 ≥ 1, entonces el proceso para y la sucesión sería finita

en este caso. Observamos que si eso ocurre, se tiene

H ∩Dr,s0 ⊂ BH2 ∪·· ·∪BH

n

y α(H ∩Dr,s0, p) < ε para algún p ≤ n−1 también.

Si el proceso no para, veremos ahora que para cada y ∈ H ∩B existe un entero s ≥ 2

tal que o bien y ∈ Ls \Dr,s o bien y ∈ Dr,s−1 \Ls siempre que y 6∈ (B\L1)∪ (L1 \Dr,1). De

hecho si H = x ∈ X ; f (x) > µ, f ∈ F , entonces tenemos

sup f |Dr,1≤ (1− r)sup f (BH

1 ∩B)+ rµ

para el primer paso

sup f |Dr,2≤ (1− r)sup f (BH

1 ∩Dr,1)+ rµ ≤ (1− r)[(1− r)sup f (BH1 ∩B)+ rµ]+ rµ =

= (1− r)2 sup f (BH1 ∩B)+(1− r)rµ + rµ


para el segundo paso, y por recurrencia:

sup f |Dr,s≤ (1− r)s sup f (BH

1 ∩B)+ rµ[1+(1− r)+ · · ·+(1− r)s−1]

para s = 1,2, . . . . Como consecuencia, cada y con f (y) > µ no puede estar en todos los

conjuntos Dr,s para s = 1,2, . . . porque la desigualdad construida implica que f (y) ≤ µ .

Entonces si s es el primer entero con

y 6∈ Dr,s

entonces o bien y ∈ Ls \Dr,s, o bien y ∈ Dr,s−1 \ Ls, cuando s ≥ 2; e y ∈ B \ L1 o bien

y ∈ L1 \Dr,1 cuando s = 1.

El lema se acaba al definir B2n+1 := Ln+1 y B2n := Dr,n para n = 1,2, · · · cuando el

proceso no para, y Bs0 := Dr,s0 , Bs0+1 = · · · = φ cuando el proceso para en el paso s0.

Proposición 3.3.13. Para cada ε > 0, existe una sucesión de números ordinales

1 =: ξ1 < ξ2 < · · · < ξp < · · · < ω1

tal que si X es un espacio normado y F ⊂ X ∗ es un subespacio 1−normante, se tiene que

δF(H ∩B,B,ε) < ξp (∗)

siempre que B es un subconjunto de X σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado y H ∈H(F)

con α(H ∩B, p) < ε .

DEMOSTRACIÓN: Definiremos por inducción en p la sucesión de ordinales numerables

(ξn)n. Para p = 1, el índice de Kuratowski α(·,1) coincide con el diámetro y H ∩B es

"comido" en el primer paso del proceso de derivación, es decir, ξ1 := 1 verifica (∗).

Supongamos que hemos definido ya

ξ1 < ξ2 < · · · < ξn−1 < ω1

tal que (∗) se satisface para p ≤ n−1. Fijamos B un subconjunto σ(X ,F)−cerrado, con-

vexo y acotado de X y H ∈H(F) con α(H ∩B,n) < ε. Por el lema de reducción tenemos

una sucesión de conjuntos σ(X ,F)−cerrados y convexos

B = B0 ⊃ B1 ⊃ ·· · ⊃ Bs ⊃ Bs+1 ⊃ ·· · (∗∗)


tal que

H ∩B ⊂ (B0 \B1)∪ (B1 \B2)∪·· ·∪ (Bs \Bs+1)∪·· ·

y para cada s y cada y ∈ Bs \Bs+1 existe G ∈H(F), con

y ∈ G,G∩B ⊂ H ∩B, y α(G∩Bs, p) < ε

para algún p ≤ n−1. Por nuestra hipótesis de inducción tenemos que

δF(G∩Bs,Bs,ε) ≤ ξn−1

y como consecuencia

δF(Bs \Bs+1,Bs,ε) ≤ ξn−1, para s = 0,1,2, . . .

cuando (∗∗) es infinito, y

δF(H ∩Bs0,Bs0,ε) ≤ ξn−1

también, cuando el proceso para en el paso s0. En cualquier caso podemos aplicar el lema

previo al lema de reducción para obtener

δF(Bs \Bs+1,Bs,ε) ≤ (s+1)ξn−1, para s = 0,1,2, . . .

Con lo cual tenemos

δF(H ∩B,B,ε) ≤ sup(s+1)ξn−1;s = 0,1,2, · · · =: ξn < ω1

lo cual finaliza el proceso de inducción.

Corolario 3.3.14. Para cada subconjunto B, σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado de X,

si

Qε,p := x ∈ B;∃H ∈H(F),x ∈ H con α(H ∩B, p) < ε

entonces

δF(Qε,p,B,ε) ≤ ξp < ω1, para p = 1,2, . . .

DEMOSTRACIÓN: Qε,p = ∪H ∩B;H ∈H(F) y α(H ∩B, p) < ε y

δF(Qε,p,B,ε) ≤ supδF(H ∩B,B,ε);H ∈H(F) y α(H ∩B, p) < ε ≤ ξp


DEMOSTRACIÓN: [Demostración del teorema 3.3.10] Se tiene que Qε :=⋃+∞

p=1 Qε,p, apli-

cando el corolario anterior se tiene:

δF(Qε,p,B,ε) ≤ ξp para p = 1,2, . . .

de donde se sigue

δF(Qε ,B,ε) ≤ supξp; p = 1,2, . . . =: ηε < ω1

porque ω1 no es límite de una sucesión de ordinales numerables.

Corolario 3.3.15. Existe un ordinal numerable η tal que si X es un espacio normado

y F ⊂ X∗ un subespacio normante, entonces para cada subconjunto B ⊂ X, σ(X ,F)−

cerrado, acotado y convexo. Si Q es el conjunto de todos los puntos σ(X ,F)−quasi-

denting de B, se tiene que

δF(Q,B) < η < ω1

DEMOSTRACIÓN: Sin pérdida de generalidad podemos asumir que la norma dada es

||| · |||, tomando F un subespacio 1−normante. Entonces tenemos:

δF(Q,B) ≤ supηεn ;n = 1,2, . . . =: η < ω1

donde εn ↓ 0.

Estamos ahora en disposición del probar el teorema de Troyanski para puntos puntos

quasi-denting.

DEMOSTRACIÓN: [Teorema 10 de la introducción] Aplicando el corolario 3.3.15 y el

teorema 3.3.8 se obtiene el resultado.

De hecho, hemos probado algo más general:

Corolario 3.3.16. Si X es un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante tal que

cada punto de la esfera unidad SX es σ(X ,F)−quasi-denting para la bola unidad cerrada

BX , entonces δF(SX ,BX) < ω1 y, como consecuencia, X admite una norma equivalente

σ(X ,F)−inferiormente semicontinua y LUR.

La prueba del teorema 3.3.8 y el corolario 3.3.15 proporcionan el siguiente resultado:


Corolario 3.3.17. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un espacio normante y D ⊂ SX

el conjunto de todos los puntos σ(X ,F)−quasi-denting de BX . Entonces X admite una

norma equivalente σ(X ,F)−inferiormente semicontinua y que es LUR sobre los elemen-

tos de D. En el caso de tener un espacio dual X ∗, obtenemos una norma equivalente

w∗−inferiormente semicontinua y LUR sobre los elementos de D, por lo tanto será una

norma dual.

3.4 Algunas aplicaciones y consecuencias

A continuación estudiaremos una consecuencia del teorema de Troyanski para puntos

quasi-denting y una extensión del proceso de derivación de Lancien para el que seguirá

siendo válido el teorema de renormamiento LUR. Es necesario que veamos antes una

definición.

Definición 3.4.1. Sea B un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio de

Banach X.

(i) Diremos que un subconjunto F ⊂ B es una cara de B si existe f ∈ X ∗ tal que

F = x ∈ B; f (x) = supB

f

(ii) Diremos que una cara F ⊂ B es una cara denting de B si, cada conjunto abierto en

norma U ⊃ F cumple

F ∩ [co(B\U)] = φ

FBX

U

Fco(BX \ U)

U

Corolario 3.4.2. Sea X un espacio de Banach cumpliendo que todas las caras de la bola

unidad son compactas (en norma) y denting. Entonces X admite una norma equivalente

LUR.

120 3.4 ALGUNAS APLICACIONES Y CONSECUENCIAS

DEMOSTRACIÓN: Debido teorema de Troyanski para puntos quasi-denting (Teorema 10

de la introducción) basta probar que todos los puntos de la esfera unidad de X son quasi-

denting para la bola unidad cerrada.

Sea x ∈ SX y F ⊂ SX una cara tal que x ∈ F . Fijamos ε > 0 y consideramos la familia

de bolas abiertas de X B( f ;ε) : f ∈ F que cubre F . Como las caras de este espacio de

Banach son compactas, existirán f1, . . . , fn ∈ F tal que

F ⊂n⋃

i=1

B( fi;ε) = U

Aplicando ahora que todas las caras son denting, se verifica

F ∩ co(BX \U) = φ

por lo que

x 6∈ co(BX \U)

Aplicando el teorema de Hahn-Banach, existirá un semiespacio abierto H 3 x, tal que

H ∩BX ∩ co(BX \U) = φ

se concluye pues que

H ∩BX ⊂U =n⋃

i=1

B( fi;ε)

Para el resto de la sección podemos definir ahora un nuevo índice de dentabilidad, el

índice de dentabilidad respecto al índice de Kuratowski:

Fijamos un espacio normado X , un subespacio normante F ⊂ X ∗ y B ⊂ X un subcon-

junto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado. Elegimos algún ε > 0 y definimos:

αDε,F(B) := x ∈ B;α(H ∩B) ≥ ε, ∀H ∈H(F) y x ∈ H

De nuevo, αDε,F(B) es un conjunto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado, iterando este

proceso definimos:

αDβ+1ε,F (B) := αDε,F(αDβ

ε,F(B)) donde αD0ε,F(B) := B

y

αDβε,F(B) :=

⋂

γ<βαDγ

ε,F(B) si β es un ordinal límite.


Establecemos

αδF(B,ε) :=

ınfβ ;αDβε,F(B) = φ si existe

∞ en otro caso

y

αδF(B) := supαδF(B,ε);ε > 0

Se cumple que αDε,F(B) ⊂ Dε,F(B), por lo tanto αδF(B) ≤ δF(B). Además la igualdad

no es cierta en general, veámoslo.

Ejemplo 3.4.3. Si consideramos el conjunto T del ejemplo 3.3.2, se cumple:

αδ (co(T)) = 1 < δ (co(T))

DEMOSTRACIÓN: Como co(T) es compacto se tiene que α(co(T)) = 0, por lo tanto

αδ (co(T)) = 1. Además si H es un semiespacio conteniendo a e1, se cumple que:

diam(H ∩ co(T)) = diam(H ∩T) > 1/2

Entonces δF(co(T),1/2) > 1, de donde δF(co(T)) > 1.

No obstante se tiene el siguiente resultado, que acota cada δF(B) en función de su

correspondiente αδF(B).

Teorema 3.4.4. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante para X.

Existe una aplicación

Ψ : [0,ω1[−→ [0,ω1[

tal que si µ = αδF(B) < ω1, (donde B es cualquier subconjunto de X, σ(X ,F)−cerrado,

acotado y convexo), entonces δF(B) < Ψ(µ).

DEMOSTRACIÓN: Vamos a definir la aplicación Ψ : [0,ω1[−→ [0,ω1[ de la siguiente ma-

nera. Fijamos µ ∈ [0,ω1[ y sea B ⊂ X cualquier subconjunto σ(X ,F)−cerrado, acotado

y convexo, tal que µ = αδF(B).

Sea ε > 0 arbitrario, entonces podemos construir una cadena numerable y decreciente

de subconjuntos de B, σ(X ,F)−cerrados y convexos

B = αD0ε,F(B) ⊃ ·· · ⊃ αDβ

ε,F(B) ⊃ αDβ+1ε,F (B) ⊃ ·· · ⊃ αDµ

ε,F(B) = φ

122 3.4 ALGUNAS APLICACIONES Y CONSECUENCIAS

Consideramos un elemento x ∈ αDβε,F(B) \αDβ+1

ε,F (B), entonces existirá H ∈ H(F) tal

que

x ∈ H ∩αDβε,F(B)

y

α(H ∩αDβε,F(B),n) < ε para algún n ∈ N

Aplicando la proposición 3.3.13, existirá un ordinal ξ εn < ω1 tal que

δF(H ∩αDβε,F(B),αDβ

ε,F(B),ε) ≤ ξ εn

Como n ∈ N depende del punto x elegido de αDβε,F(B)\αDβ+1

ε,F (B), podemos asegurar

δF(αDβε,F(B)\αDβ+1

ε,F (B),αDβε,F(B),ε) ≤ sup

n=1,2,...ξ ε

n =: ξ ε < ω1

Hay que observar que la acotación anterior no depende de β . Aplicando el lema 3.3.11

(en este caso para una cadena numerable) tenemos que

δF(αDβε,F(B)\αDβ+1

ε,F (B),B,ε) ≤ δF(αD0ε,F(B)\αD1

ε,F(B),αD0ε,F(B),ε)+

· · ·+δF(αDβε,F(B)\αDβ+1

ε,F (B),αDβε,F(B),ε) ≤

≤ ξ ε + · · ·+ξ ε︸︷︷︸

β+1

= (β +1)ξ ε

Además si αDγε,F(B) 6= φ pero αDγ+1

ε,F (B) = φ , aplicamos de nuevo la proposición 3.3.13

y se tiene que

δF(αDγε,F(B),αDγ

ε,F(B),ε) ≤ ξ ε

de nuevo por el lema 3.3.11

δF(αDγε,F(B),B,ε) ≤ (γ +1)ξ ε

Se concluye pues que

δF(B,ε) < µ ·ξ ε < ω1

Consideramos ahora (εn)n una sucesión de números reales positivos, que decrecen a

cero. Entonces

δF(B) ≤ supn=1,2,...

δF(B,εn) ≤ supn=1,2,...

µ ·ξ εn =: ξµ < ω1


Se observa que ξµ no depende del conjunto B elegido salvo, evidentemente, que αδF(B)=

µ .

Definiendo ahora

Ψ(µ) := ξµ +1, acabamos la prueba.

También se puede definir el índice de dentabilidad respecto al índice de Kuratowski,

de un subconjunto arbitrario S ⊂ B. En este contexto denotaremos por:

αδF(S,B,ε) :=

ınfβ ;αDβε,F(B)∩S = φ si existe


y

αδF(S,B) := supδF(S,B,ε);ε > 0

Aplicando el teorema 3.4.4 respecto a αδF(S,B) y el teorema 3.3.8 se obtiene el siguiente

resultado:

Corolario 3.4.5. Sea X un espacio normado y F ⊂X ∗ un subespacio normante cumplién-

dose

αδF(SX ,BX) < ω1

Entonces X admite una norma equivalente LUR y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.

En la siguiente sección llevaremos este resultado a sus últimas consecuencias.

3.5 Teorema de renormamiento LUR.

En la introducción ya enunciamos el siguiente resultado que relaciona teoría de renor-

mamiento LUR con la propiedad s-JNR (teorema 13). Lo volvemos a enunciar ya que

será una herramienta fundamental en esta sección.

Teorema 3.5.1. Sea X un espacio normado y F un subespacio normante de su dual.

Entonces X admite una norma equivalente σ(X ,F)−inferiormente semicontinua y LUR

si, y sólo si, para cada ε > 0 podemos escribir

X =∞⋃

n=1

Xεn (resp. SX =

∞⋃

n=1

Sεn)

124 3.5 TEOREMA DE RENORMAMIENTO LUR.

de tal manera que si x ∈ X εn (resp. x ∈ Sε

n), existe H ∈H(F) conteniendo a x con

diam(H ∩X εn ) < ε (resp. diam(H ∩Sε

n) < ε)

La idea en esta sección es probar el resultado anterior cambiando diámetro por índice

de Kuratowski. La definición de conjunto radial fue vista en la introducción (de manera

implícita), no obstante la recordamos antes de enunciar el teorema principal de esta sec-

ción:

Definición 3.5.2. Sea A un subconjunto de un espacio normado X, se dice que dicho

conjunto es radial si para cada x ∈ X, existe ρ > 0 tal que ρx ∈ A.

Nuestro resultado principal de la sección es:

Teorema 3.5.3. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Las si-


(i) X admite una norma equivalente LUR y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.

(ii) Para cada ε > 0, podemos descomponer X = ∪nXεn tal que para cada n ∈ N y

x ∈ Xεn existe H ∈H(F) conteniendo a x y α(H ∩X ε

n ) < ε .

(iii) Existe un conjunto radial A ⊂ X tal que para cada ε > 0, podemos descomponer

A = ∪nAεn tal que para cada n ∈ N y x ∈ Aε

n existe H ∈ H(F) conteniendo a x y

α(H ∩Aεn) < ε .

Se observa que no hay que suponer que los conjuntos X εn o Aε

n sean convexos.

Como en la prueba del teorema 3.5.1, ver [R], necesitamos previamente un argumento

de convexificación que reducirá el teorema 3.5.3 al teorema 3.5.1, debido al estudio que

hemos hecho en la sección anterior.

Comenzamos con una consecuencia de nuestra versión del superlema de Bourgain-

Namioka para el índice de Kuratowski (lema 3.2.1):

Lema 3.5.4. Sea A un subconjunto acotado de un espacio normado X, F ⊂ X ∗ un sub-

espacio 1−normante, M = diam(A) y fijamos ε > 0. Si x ∈ A cumple que existe H = y ∈

X ;g(y) > η ∈H(F) conteniendo a x y α(H ∩A) < ε , entonces existe r ∈]0,1] (que sólo

depende de ε y M) de tal manera que existe Dr(x) ⊂ co(A) σ(X ,F)−cerrado y convexo

con las siguientes propiedades:

(i) co(A)\Dr(x) 6= φ .

(ii) α(co(A)\Dr(x)) < 2ε .

(iii) supg(Dr(x)) ≤ (1− r)supg(co(A))+ rη .


DEMOSTRACIÓN: Elegimos conjuntos B1, · · · ,Bn con diam(Bi) < ε y cumpliendo

H ∩ A ⊂ ∪ni=1Bi. Seleccionamos elementos ui ∈ Bi ∩ A para i = 1, · · · ,n y fijamos los

siguientes conjuntos:

Kε := co(u1, . . . ,un)

C0 := y ∈ co(A);dist(y,Kε) ≤ ε

C1 := y ∈ co(A);g(y) ≤ η = co(A)\H

Como hicimos en el lema 3.2.1, para cada 0 ≤ r ≤ 1, definimos

Dr := (1−λ )x0 +λx1;r ≤ λ ≤ 1,x0 ∈C0,x1 ∈C1

Para obtener la conclusión de este resultado debemos comprobar que los conjuntos C =

co(A), C0 y C1 satisfacen las condiciones del lema 3.2.1 y aplicarlo.

A

Kε

H

co(A)

- C0

H

C1

Se observa que C y C1 son acotados, σ(X ,F)−cerrados y convexos. Como Kε es ‖ · ‖

−compacto, se obtiene que C0 es σ(X ,F)−cerrado. Como Kε es convexo, C0 es también

convexo. Estudiemos el resto de condiciones.

(1) C0 ⊂ co(A) y α(C0) ≤ ε ya que Kε se puede cubrir por una cantidad finita de

conjuntos de diámetro tan pequeño como se quiera y

dist(y,Kε) ≤ ε para todo y ∈C0

(2) co(A) no es un subconjunto de C1 (x 6∈C1).

(3) co(A) = co(C0 ∪C1). Para probar esta igualdad tenemos que probar sólo que

co(A) ⊂ co(C0 ∪C1)


Para ello definimos

B1 := co(H ∩A) y B2 := co(y ∈ A;g(y) ≤ η)

Se cumple que co(A) ⊂ co(B1 ∪B2). Ahora como A∩H ⊂ C0, se tiene que B1 ⊂ C0 y

como B2 ⊂C1, llegamos a que co(A) ⊂ co(C0 ∪C1).

Como α(C0) ≤ ε , se tiene que α(C0) < 2ε y podemos tomar ε ′ = 3ε/2 y r < ε/4M

en el lema 3.2.1 y se obtiene que

co(A)\Dr 6= φ y α(co(A)\Dr) < 2ε

Para probar la condición (iii) basta observar que

supg(Dr) = sup(gDr) ≤ (1− r)supg(C0)+ r supg(C1)

≤ (1− r)supg(C0)+ rη

Definiendo Dr(x) := Dr, se concluye la prueba.

Iteraremos el lema construido para asegurar que los puntos ε-quasi-denting de un

conjunto arbitrario B, sean puntos 2ε-quasi-denting en algún conjunto convexo de una

sucesión Bn asociada a B:

Lema 3.5.5 (Lema de iteración). Sea B un subconjunto acotado de un espacio normado

X, F ⊂ X∗ un subespacio 1−normante tal que para algún ε > 0 fijado, cada x ∈ B es un

punto ε −σ(X ,F)−quasi-denting de B. Entonces existe una sucesión

B0 = co(B) ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ ·· · ⊃ Bn ⊃ ·· ·

de subconjuntos de co(B) convexos y σ(X ,F)−cerrados tales que para cada x ∈ B, exis-

te p ≥ 0 satisfaciendo que x ∈ Bp y es un punto 2ε −σ(X ,F)−quasi-denting en dicho

conjunto Bp.

DEMOSTRACIÓN: Construiremos por recurrencia sucesiones de conjuntos

B0 = co(B) ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ ·· · ⊃ Bn ⊃ ·· ·

y B =: B0, B1, · · · , Bn, · · · tales que

Bn := co(B∩ B1 ∩·· · Bn) si B∩ B1 ∩·· · Bn 6= φ


y dado x ∈ B, si x ∈ (B∩ B1 ∩ ·· · Bn−1) \ Bn entonces x es un punto 2ε −σ(X ,F)quasi-

denting para

Bn−1 = co(B∩ B1 ∩·· · Bn−1)

De hecho consideramos B0 := co(B) y B0 := B. Fijado x ∈ B, por hipótesis existe Hx =

y ∈ X ;gx(y) > ηx ∈H(F) conteniendo a x tal que:

x ∈ Hx ∩B y α(Hx ∩B) < ε

Sea M = diam(B0), para cada punto x ∈ B junto con su correspondiente Hx, podemos

aplicar el lema anterior para obtener conjuntos D1r (x) convexos y σ(X ,F)−cerrados, con

r ∈]0,1] y las propiedades descritas en el enunciado de dicho lema. Ahora definimos

B1 :=⋂

x∈B0

D1r (x)

Se tiene que si x ∈ B\ B1, existirá y ∈ B tal que

x ∈ co(B)\D1r (y)

y x es un punto 2ε −σ(X ,F)-quasi-denting para B0 = co(B).

B

α < ε

B1

....................................................................

.......................................................................................................................

B0*y

-y

α < 2εα < 2ε

α < 2εα < 2ε

Hay que observar que si B∩ B1 = φ , habríamos acabado la prueba ya que cada x ∈ B sería

un punto 2ε −σ(X ,F)-quasi-denting para B0. Por lo tanto asumimos que B∩ B1 6= φ , y

definiremos el conjunto B1 como:

B1 := co(B∩ B1)

Consideramos el conjunto B∩ B1 y el semiespacio Hx para cada punto x ∈ B∩ B1. Ya que

diam(co(B∩ B1)) ≤ M y α(Hx ∩B∩ B1) < ε


podemos aplicar el lema anterior al conjunto B∩ B1 y obtendremos esta vez conjuntos

D2r (x) convexos y σ(X ,F)−cerrados, con las propiedades descritas en el enunciado de

dicho lema con el mismo valor de r anterior.

Ahora definimos

B2 :=⋂

x∈B∩B1

D2r (x)

Como ocurría antes, si x ∈ (B∩ B1)\ B2 existirá y ∈ B∩ B1 tal que

x ∈ B1 \D2r (y)

y x es un punto 2ε −σ(X ,F)-quasi-denting para B1.

B ∩ B1

α < ε

..................................................................................

....

....

...

....

...

....

....

....

....

....

....

..

B1

B2

]α < 2ε

1 α < 2ε

α < 2ε- α < 2ε

La construcción de la sucesión sigue por recurrencia y será finita si

B∩ B1 ∩·· ·∩ Bn = φ

Para acabar la prueba necesitamos probar que para cada x ∈ B, existe p ≥ 1 tal que

x ∈ (B∩ B1 ∩·· ·∩ Bp−1)\ Bp

Supongamos que este no es el caso, es decir, existe x ∈ B (el cual será fijo a partir de

ahora) cumpliendo

x ∈ (⋂

p≥1

Bp)∩B

Para dicho punto consideramos los conjuntos Dpr (x) 3 x definidos por el punto x, gx y ηx

dados en las sucesivas etapas p ≥ 1. Aplicando el lema anterior

supgx(D1r (x)) ≤ (1− r)supgx(B0)+ rηx


Ahora para p = 2 y teniendo en mente que B1 ⊂ D1r (x) tenemos

supgx(D2r (x)) ≤ (1− r)supgx(B1)+ rηx ≤

≤ (1− r)supgx(D1r (x))+ rηx ≤ (1− r)[supgx(B0)+ rηx]+ rηx =

= (1− r)2 supgx(B0)+ rηx(1+(1− r))

Ahora por recurrencia tendríamos

supgx(Dnr (x)) ≤ (1− r)n supgx(B0)+ rηx[1+(1− r)+ · · ·+(1− r)n−1] =

= ηx +(1− r)n(supgx(B0)−ηx)

Como consecuencia x no puede estar en todos los conjuntos

Dnr (x) para n ≥ 1

porque la desigualdad formada implica gx(x) ≤ ηx lo que es absurdo.

Como consecuencia del teorema 3.3.10 obtenemos la conexión entre índice de Kura-

towski y dentabilidad.

Corolario 3.5.6. Sea B un subconjunto acotado de un espacio normado X, F ⊂ X ∗ un

subespacio 1−normante tal que para algún ε > 0 fijado, cada x ∈ B es un punto ε −

σ(X ,F)−quasi-denting para B. Entonces existe una familia numerable Tn;n ∈ N de

subconjuntos de co(B), σ(X ,F)−cerrados y convexos tal que para cada x ∈ B, existe

p > 0 tal que x ∈ Tp y es un punto 2ε −σ(X ,F)-denting en Tp.

DEMOSTRACIÓN: Fijamos la sucesión B0 ⊃B1 ⊃ ·· · ⊃Bn ⊃ ·· · dada por el lema anterior.

Por el teorema 3.3.10 sabemos que

δF( puntos 2ε −σ(X ,F)-quasi-denting de Bp,Bp,2ε) < η2ε < ω1

y por lo tanto la familia de conjuntos derivados

Dβ2ε,F(Bp);β < η2ε , p = 1,2, · · ·

nos proporciona una familia numerable Tn;n = 1,2, · · · con las propiedades requeridas.

Llegamos ahora a la prueba del teorema principal de esta sección.


DEMOSTRACIÓN: [Demostración del teorema 3.5.3] (i)⇒(ii) Sigue del teorema 3.5.1.

(ii)⇒(i) Dado que la condición (ii) es cierta para cualquier norma equivalente, no es

restrictivo suponer que la norma dada es ||| · |||, la dada por F un subespacio 1−normante.

Entonces se tienen las condiciones del corolario anterior para cada conjunto

Xn,ε ∩B(0;m), para n,m ≥ 1

y tenemos familias numerables

T n,m,εp ; p = 1,2, · · ·, para n,m ≥ 1

de manera que si x ∈ Xn,ε ∩B(0;m) existe p ≥ 1 tal que x ∈ T n,m,εp y existe H ∈ H(F)

conteniendo a x y

diam(H ∩T n,m,εp ) < 2ε

Si definimos

Y n,m,εp := x ∈ T n,m,ε

p ;∃H ∈H(F),x ∈ H y diam(H ∩T n,m,εp ) < 2ε

se tiene que

X = ∪Y n,m,εp ;n,m, p = 1,2, · · ·

y tenemos la descomposición fijada en el teorema 3.5.1, lo que es equivalente a tener una

norma equivalente LUR en X y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.

(ii)⇒(iii) Es obvio.

(iii)⇒(ii) Haremos una adaptación de la prueba de la proposición 2.46 de [M-O-T-V3].

Dado x ∈ X \0, denotaremos por r(x) > 0 un escalar que cumple r(x)x ∈ A. Por la

hipótesis sobre A, para cada k ∈ N, podemos expresar:

A =⋃

n

An,k

con la propiedad que para cada x ∈ An,k existe H ∈H(F) conteniendo a x y cumpliendo

α(An,k ∩H) <1k

Fijados q ∈Q y n,m,k ∈ N definimos

Aq,mn,k := y ∈ X \0;r(y)y ∈ An,k;0 <

1q−

1m

<1

r(y)<

1q


Se observa que

X \0 =⋃

Aq,mn,k ;q ∈Q,n,m,k ∈ N

Además probaremos que para cada ε > 0 y x ∈ X \ 0, existen n,m,k ∈ N, q ∈ Q y

H ′ ∈H(F) conteniendo a x tales que

x ∈ Aq,mn,k ∩H ′ y α(Aq,m

n,k ∩H ′) < ε

Para esto fijamos ε > 0 y x0 ∈ X \0, consideramos r(x0) > 0 y k ∈ N cumpliendo

1k

<r(x0)ε

2

Para este valor k fijado, consideramos n ∈ N tal que r(x0)x0 ∈ An,k. Entonces existe H =

y ∈ X ; f (y) > δ tal que

r(x0)x0 ∈ An,k ∩H y α(An,k ∩H) <1k

Por lo tanto existen conjuntos B1, . . . ,B j ⊂ X con diam(Bi) < 1k para cada i ∈ 1, · · · , j

y tales que

An,k ∩H ⊂j

⋃

i=1

Bi

Para cada i ∈ 1, · · · , j fijamos un elemento xi ∈ Bi. Tomamos m ∈ N tal que

m >2Mε

+ r(x0)

donde M = max‖ xi ‖; i = 1, . . . , j Finalmente consideramos q ∈Q tal que

0 <1q−

1m

<1

r(x0)<

1q

y f (x0) >δq

>δ

r(x0)

Tomamos H ′ ∈H(F) dado por f y δq . Se observa que

x0 ∈ Aq,mn,k ∩H ′

Además, para cada i ∈ 1, . . . , j, definimos ui = 1r(x0)

xi. Probaremos que

α(Aq,mn,k ∩H ′) < ε

comprobando que

Aq,mn,k ∩H ′ ⊂

j⋃

i=1

B(ui;ε)


Para ello tomamos cualquier y ∈ Aq,mn,k ∩H ′, en particular f (y) > δ

q , por tanto:

f (r(y)y) = r(y) f (y) > r(y)δq

> δ

Entonces r(y)y ∈ An,k ∩H y debe existir xi, con i ∈ 1, . . . , j, tal que

‖ r(y)y− xi ‖<1k⇔‖ y−

1r(y)

xi ‖<1k

1r(y)

Se tiene que:

‖ y−ui ‖=‖ y−1

r(x0)xi ‖≤‖ y−

1r(y)

xi ‖ + ‖1

r(y)xi −

1r(x0)

xi ‖<

<1k

1r(y)

+ ‖ xi ‖ |1

r(y)−

1r(x0)

| <1k(

1r(x0)

+1m

)+M1m

=

=1k

1r(x0)

+1m

(1k

+M) < ε

donde la última desigualdad se tiene por las restricciones sobre k y m.

En la sección 1.7 ya comentamos que de [M-O-T-V] se sigue que dado un espacio

de Banach X y F ⊂ X∗ un subespacio normante, X admite una norma equivalente

σ(X ,F)−inferiormente semicontinua y LUR si, y sólo si, admite una network para

la topología de la norma que es σ−"slicely"-aislada, (teorema 1.7.3). El siguiente re-

sultado es una consecuencia del teorema 3.5.3 y generaliza al resultado de [M-O-T-V],

de hecho, de una condición de "discretitud" pasamos a una condición de "finitud local".

Antes una definición previa.

Definición 3.5.7. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante y A =

Aα ;α ∈ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que A es:

(i) Relativamente localmente finita mediante F−slices si para todo x ∈ ∪Aα ;α ∈ I

existe H ∈H(F) conteniendo a x tal que

|α;H ∩Aα 6= φ| < +∞

(ii) σ -Relativamente localmente finita mediante F−slices, si se puede expresar co-

mo unión numerable de subfamilias relativamente localmente finitas mediante F−

slices.


Corolario 3.5.8. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Las si-


(i) La topología dada por la norma admite una network σ -relativamente localmente

finita mediante F−slices.

(ii) X admite una norma equivalente LUR y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.

DEMOSTRACIÓN: Por lo mencionado en el párrafo precedente a la definición 3.5.7, bas-

ta demostrar sólo la implicación (i) ⇒ (ii). Pero esta implicación se prueba de manera

análoga a la prueba del corolario 3.1.8 cambiando conjuntos abiertos por semiespacios, y

aplicando el teorema 3.5.3.

El estudio realizado en [M-O-T-V3] pone de manifiesto la gran versatilidad del teore-

ma 3.5.1 por lo que es de esperar que la extensión que aquí presentamos produzca nuevos

resultados en un futuro no lejano.

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Índice alfabéticoÍndice alfabético

A(k), 42

C(K), 2

C(X), ix, x

C0(Λ), 31

Cp(X), x

Dε,F(B), xxi, 106

T , 11

T0, 11

T1, 11

∆, xii

∆−sistema, 43

N<ω , 10

αDε,F(B), 120

αδF(B), 121

αδF(S,B), 123

α(A), xx, 90

α(A, p), 96

Fσ , 20

Gδ , 3

K (M), 19

δF(B), xxi, 107

δF(S,B), xxii, 107

H(F), xxi, 91

T, 101

NN, x

ω , 13

ω1, 13

ord(x,A ), 66

σ(X ,F), xxi, 91

σ−álgebra

de Borel, 4

θ -cubrimiento débil, xvi

c0(Γ), 17

c1(X), 17, 63

c1(Σ×Γ), 18

dH , 19

l∞(Γ), 17

l1, 5

l1(Γ), 5

l2(Γ), 8

o(X), 13

ord(x,A ), 34

árbol, 11, 30

árbol derivado, 12

altura, 31

aplicación

superiormente semicontinua, x

usco, x

usco minimal, 29

ÍNDICE ALFABÉTICO 145

cadenas, 31

cara, 119

denting, 119

caracter de densidad, 55

compacto

de Corson, x

de Eberlein, x

uniforme, x

de Gruenhage, 34

de Gul’ko, x

de Namioka, 26

de Namioka-Phelps, 36

de Radon Nikodým, 28

de Stegall, 29

de Talagrand, x

de Valdivia, xi

descriptivo, 34

quasi Radon-Nikodým, 28

conjunto

dentable, 100

derivado, 1

estacionario, 15

numerablemente compacto, 16

radial, 124

sucesionalmente compacto, 16

conjuntos

mutamente casi disjuntos, 13

cubrimiento

contraído, 51

derivada de

Fréchet, 3

Gâteaux, 29

diagonal, xii

diagrama 1.1.1, 7

diagrama 1.5.1, 27

diagrama 1.6.1, 30

diagrama 1.7.1, 37

diagrama Int. I, xi

diagrama Int.II, xix

elemento maximal, 12

espacio

débil Asplund, 29

de Asplund, 3

hereditariamente weakly θ−refinable,

36

espacio topológico

Σ−metacompacto, xv, 66

K −analítico, x

NN−metacompacto, xviii, 83

σ -metacompacto, xii

σ−fragmentable, 24

σ−fragmentado, 24

σ−metacompacto, 49

σ−uniformemente

metacompacto, xiv, 59

angélico, 16

débilmente σ−metacompacto, 67

débilmente submetacompacto, xvi

fragmentable, 24

fragmentado, 24

metacompacto, 49

metaLindelöf, xii, 66

numerablemente K −determinado, x

esquema de Lusin, 12

familia

T0-separadora, 18

T1-separadora, 18

146 ÍNDICE ALFABÉTICO

Σ−puntualmente

finita, xiv, 60

finitamente extendible, xv, 63

NN−puntualmente

finita, xvii, 79

finitamente extendible, xvii, 81

σ -distributivamente

puntualmente finita, 34

σ -relativamente

localmente finita, 94

σ−aislada, 34

σ−discreta, xii

σ−discretamente

extendible, 40

σ−puntualmente

finita, xii

σ−relativamente

localmente finita mediante slices,

132

σ−uniformemente puntualmente

finita, xiii

σ−uniformemente puntualmente fini-

tamente

extendible, xiv, 58

σ -puntualmente

finitamente extendible, xiii, 47

adecuada, 8

aislada, 34

débilmente

σ−puntualmente finita, xvi, 66

discreta, xii

discretamente

extendible, 40

envolvente, 51

puntualmente

finita, xii

finitamente extendible, xii, 47

numerable, xii

numerablemente extendible, 74

relativamente

localmente finita, 94

localmente finita mediante slices,

132

uniformemente puntualmente

finita, xiii

uniformemente puntualmente finita-

mente

extendible, xiii, 58

web-puntualmente finita, 75

función

diferenciable

Fréchet, 3

Gâteaux, 29

uniformemente diferenciable

Gâteaux, 29

indice de

dentabilidad, xxi, 107

dentabilidad respecto al índice de Ku-

ratowski, 120

Kuratowski, xix, 90

lema de iteración, 126

Lema del ∆-sistema, 43

LSP, 75

métrica de Hausdorff, 19

medida

de Borel, 4

medidad

ÍNDICE ALFABÉTICO 147

regular, 4

network, xii

norma

inferiormente semicontinua, 107

LUR, xx, 106

partición

σ−G-relativamente abierta, 34

σ−relativamente abierta, 25

G-relativamente abierta, 34

relativamente abierta, 24

proceso de derivación de Cantor, 2

propiedad

τ−Kadec, 26

d−SLD, xxiii

JNR, xxiii

Kadec, xxiv

sJNR, xxiii

punto

ε−denting, 101

ε−quasi-denting, 101

denting, xx, 101

aislado, 1

de acumulación, 1

quasi-denting, xx, 101

rama infinita, 11

ramas, 31

retículo de compactos, 19

semiespacio abierto, xxi, 91

slice, 91

soporte, 23

subconjunto

perfecto, 4

subespacio

1−normante, xxi, 91

normante, xx, 91

superlema de Bourgain-Namioka, 97

supp, 23

teorema de

Amir-Lindestrauss, 17

Benyamini-Stardbird, 17

Rosenthal, 21

Troyanski para puntos denting, xx

Troyanski para puntos quasi denting,

xxii

topología

de Vietoris, 19

web de subfamilias, 74

universidad de murcia departamento de matemÁticas

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