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Universidad de Vigo

Departamento de Ingeniería de los

Recursos Naturales y Medio

Ambiente

Área de Ingeniería Cartográfica,

Geodésica y Fotogrametría

TESIS DOCTORAL

CONTROL DE LA DEFORMACIÓN EN SÓLIDOS MEDIANTE

TÉCNICAS DE FOTOGRAMETRÍA DE OBJETO CERCANO:

APLICACIÓN A UN PROBLEMA DE DISEÑO ESTRUCTURAL

Dirigida por:

Pedro Arias Sánchez Mª Jesús Lamela Rey

José Ramón Rodríguez Pérez

Doctorando:

ENOC SANZ ABLANEDO

Vigo, mayo de 2009

Mónica y yo queremos dedicar esta tesis a nuestros hijos que son la principal motivación

para luchar y esforzarnos cada día

AGRADECIMIENTOS

A mis directores de tesis, la profesora Dña. Mª Jesús Lamela Rey, por su siempre rápida respuesta y por su generosidad apoyando este trabajo, el profesor D. Pedro Arias Sánchez, por sus acertados consejos, recomendaciones y conocimientos puestos siempre a mi disposición y al profesor D. José Ramón Rodríguez Pérez, por su continuo apoyo, cercanía, empatía y válida experiencia como investigador y a los tres por la confianza al haber aceptado la dirección de este trabajo.

Al profesor D. Alfonso Fernández Canteli Catedrático del Área de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras por sugerirme trabajar en este campo de la ciencia por sus siempre acertadas ideas y sus ánimos y recomendaciones.

A los profesores del Área de Tecnología Minera, Topográfica y de Estructuras, en especial a la Dra. Flor Álvarez Taboada por sus constantes ánimos y a D. Benjamín Arias Pérez por sus valiosas aportaciones y comentarios.

Al profesor D. José Luis Viesca Rodríguez por compartir tantas horas de conversaciones acerca de la tesis, la universidad y la vida, lo que supone un continuo estímulo en este camino tan largo y difícil.

Al Ministerio de Ciencia y Tecnología por su apoyo económico, materializado en el proyecto “Modelo probabilística para cálculo de placas de vidrio laminado: propuesta de norma para edificación” (Ref. MEC-05-BIA2005-03143), del que la investigadora principal es Dña. Mª Jesús Lamela Rey, y sin el que no habría sido posible este trabajo de investigación.

Por último y en especial, a Mónica, por su ayuda, ánimos y comprensión, quien tiene la mitad del mérito de este trabajo y que es para mí, sin duda, mucho más que Doctora en su trabajo diario.

A todos vosotros… Gracias

RESUMEN Doctorando: Enoc Sanz Ablanedo Título de la Tesis Doctoral: Control de la deformación en sólidos mediante

técnicas de fotogrametría de objeto cercano: aplicación a un problema de diseño estructural

La presente tesis estudia la capacidad y límites de la fotogrametría de

objeto cercano, realizada con cámaras digitales compactas, como técnica de medida 3D en la comprobación de una simulación numérica del comportamiento mecánico de placas de acristalamiento de vidrio laminado sometidas a cargas laterales.

Para la simulación, realizada con elementos finitos, fue necesaria la modelización del comportamiento viscoelástico del PVB en un amplio rango de tiempos. Por ello se realizaron ensayos de relajación de tensiones a distintas temperaturas. Para la comprobación experimental de la simulación se construyó un banco de ensayos, de características similares a los acristalamientos reales, en el que se ensayaron 3 placas de vidrio laminado. En un ensayo las placas se pusieron en carga a distintas velocidades de incrementos de presión (6Pa/s, 12Pa/s, y 20Pa/s). En otro ensayo se sometieron las placas a una presión constante de 2000Pa. En ambos casos se compararon las flechas obtenidas experimentalmente con las obtenidas por la simulación.

Todas las medidas experimentales de desplazamientos se realizaron mediante fotogrametría de objeto cercano contrastándose la exactitud de las mismas con una segunda técnica experimental. Para la realización de las mediciones se diseñó un equipo regulable basado en cámaras digitales compactas sincronizadas del que se evaluó su precisión, repetitividad y exactitud. De las cámaras se estudió la inestabilidad geométrica como consecuencia de su apagado/encendido o la extracción/retracción del zoom y la influencia que tiene en la precisión de estas cámaras el uso del autoenfoque o el uso de distintas aperturas del diafragma.

Del análisis de los resultados se deriva la validez de la simulación numérica y por lo tanto de las tensiones obtenidas. Se propone en este trabajo la combinación de estas tensiones con una definición probabilística de la rotura para obtener una metodología de diseño de acristalamientos de utilidad en las industrias de fabricación e instalación del vidrio laminado. Esta metodología de diseño de placas se ha programado en una aplicación informática que recoge todos los aspectos considerados en el trabajo.

Finalmente en las conclusiones relativas a la parte fotogramétrica del trabajo se hacen valoraciones sobre el uso de algunas de las funciones incluidas en las cámaras digitales utilizadas y se pone de manifiesto que bajo determinadas condiciones de utilización estas cámaras y más concretamente el dispositivo de medida utilizado en este trabajo es una solución para mediciones de coordenadas 3D con una excelente relación prestaciones/coste.

ABSTRACT Thesis student: Enoc Sanz Ablanedo Title: Control of solids deformation through

techniques of close range photogrammetry: application to a problem of structural design

This thesis examines the capabilities and limitations of close-range

photogrammetry, with digital cameras, as a 3D measuring technique for the verification of a numerical simulation of the mechanical behavior of laminated glass plates subjected to lateral pressure.

For the finite elements numerical simulation it was necessary to modeling the viscoelastic behavior of the PVB in a wide range of times. We therefore tested relaxation of tensions at different temperatures. For the experimental verification of the numerical simulation we built a test bench, with characteristics similar to the actual glazing, which were tested 3 laminated glass plates. In a test plates were loaded at different speeds in increments of pressure (6PA / s, 12Pa / s, and 20Pa / s). In another test plates were subjected to a constant pressure of 2000Pa. In both cases the arrows obtained were compared with those obtained experimentally by simulation.

All experimental measurements were performed by displacement of nearby object photogrammetry contrasting with the same accuracy of a second experimental technique. For the realization of the measurements was designed based on a computer controlled digital cameras that are synchronized evaluated its accuracy, repeatability and accuracy. The chambers was studied geometric instability as a result of its switch on / off or the extraction / retraction of the zoom and the influence it has on precision of these cameras use auto or using different openings in the diaphragm.

The numerical simulation, once validated experimentally, is used to calculate the tension of the plates. These stresses are combined with a definition of the brittle fracture probability for a tool for the design in laminated glass. This plate design methodology has been programmed into software that incorporates all the aspects considered in the work.

Finally in the conclusions regarding the photogrammetric work assessments are made on the use of some of the functions used in digital cameras and it is shown that under certain conditions to use these cameras and more specifically the measurement device used in this work is a solution for measurements of 3D coordinates with an excellent performance / cost ratio.

Notación, abreviaturas y acrónimos

NOTACIÓN

Tα Coeficiente de expansión térmica

2 ´α Ángulo o apertura de campo ´β Factor de escala de la imagen

lΔ Deformación unitaria

ε Deformación unitaria volε Deformación volumétrica unitaria

ϕ Fluidez (inversa de viscosidad, en fluidos) ϕ Ángulo de rotación en torno a X (fotogrametría) γ Deformación a cortante η Viscosidad

Sη Función de densidad de defectos

( )S crη σ Función de densidad de defectos de Batdorf

κ Ángulo de giro en torno a Z

λ Conductividad Térmica

ν Módulo de Poisson

π Número “Pi”

θ Temperatura

lθ Ángulo respecto a los ejes de una lente ρ Densidad

σ Tensión

cσ Error medio cuadrático en las coordenadas del objeto

crσ Tensión crítica

fσ Tensión máxima o tensión de la fibra extrema

imgσ Desviación estándar en las coordenadas imagen

Ieqσ Tensión efectiva

nσ Tensión normal

uSσ Parámetro de tensión límite (Weibull)

oSσ Parámetro de escala (Weibull)

θσ Resistencia característica por unidad de área

τ Tensión cortante (viscoelasticidad)

0τ Tensión cortante instantánea (viscoelasticidad)

τ Ángulo de incidencia (óptica)

´τ Ángulo de salida (óptica)

( )lυ θ Factor de oscurecimiento periférico


ω Ángulo de giro en torno a Y ξ Temperatura (tiempo reducido)

, ´x yΔ Δ Correcciones en las coordenadas imagen

´ , ´rad radx yΔ Δ Correcciones por distorsiones radiales

´ , ´tan tanx yΔ Δ Correcciones por distorsiones tangenciales

´ , ´aff affx yΔ Δ Correcciones por falta de ortogonalidad y proporcionalidad

Γ Función gamma

2Ω Ángulo del formato

A Área

Ae Área específica

( )( )A tθ Función de desplazamiento en el tiempo

BrS Riesgo de rotura

C1, C2 Constantes WLF

Caff1,Caff2 Coeficientes de falta de ortogonalidad y proporcionalidad

pC Capacidad térmica específica

Ε Módulo de Young

F Gradiente de distorsión

F Gradiente de deformación

F Foco (lado objeto)

F´ Foco (lado imagen)

0G Módulo de cortadura instantáneo

G∞ Módulo de cortadura a largo plazo

RG Módulo de relajación de tensiones a cortadura

H Exposición luminosa (en segundos Lux)

H´ Punto principal

J Cambio de volumen

K Módulo volumétrico

K0 Módulo volumétrico instantáneo

K1,K2,…Kn Coeficientes de distorsión radial

L Luminancia

La Distancia entre apoyos (ensayo 4 puntos)

Lc Distancia entre cargas (ensayo 4 puntos)

L1,L2,…,L11 Parámetros DLT

N=f/# Número F


Om Centro de perspectiva

O Centro óptico de entrada

O´ Centro óptico de salida

P Número de puntos en un levantamiento

P1, P2 Coeficientes de distorsión por descentramiento

Pf Probabilidad de fallo

R Matriz de rotación

R Tamaño del objeto en el espacio

Rm Desfase lateral entre eje óptico y diana

T (=S-R) Profundidad de campo

Tl Transmitancia de una lente

gT Temperatura de transición vítrea

fT Temperatura de fusión

sT Temperatura de ablandamiento

X,Y,Z Sistema de coordenadas objeto

X0,Y0,Z0 Coordenadas del centro de perspectiva

Zm Distancia de la diana al objeto

a Profundidad de grieta (mecánica de la fractura)

a Distancia desde la lente al objeto

a´ Distancia desde la lente al plano de la imagen

b Semiapertura de grieta

c Distancia principal

d Diámetro de la diana en coordenadas espacio

d Distancia media al objeto

d´ Diámetro de entrada del diafragma

dr Componente radial de la distorsión

dt Componente tangencial de la distorsión

e Excentricidad

f Longitud focal interna

f´ Longitud focal externa

Rg Módulo de relajación a cortante adimensional

h Espesor de la lámina de vidrio

k Constante elástica de un muelle

kBS Coeficiente de densidad de defectos de superficie de Batdorf

kwS Coeficiente de densidad de defectos uniaxial de Weibull

kf Número medio de exposiciones por estación


ms Parámetro de forma

n Índice de refracción en el espectro visible p Promedio del nº de imágenes en que aparece cada punto

p Presión hidrostática

q Factor de diseño en redes fotogramétricas

rii (i=1, 2, 3) Elementos de la matriz de rotación

rm Radio de la diana proyectada

s´ Diagonal del sensor

t Tiempo

te Tiempo de exposición

u´ Diámetro del círculo de confusión

w Ancho de la placa

x,y Sistema de coordenadas imagen º , ºx y Coordenadas imagen con respecto al punto principal

x´0,y´0 Coordenadas del punto principal

x´,y´,z´ Sistema de coordenadas modelo

z Distancia desde el foco (lado objeto) a la imagen

z´ Distancia desde el foco (lado imagen) al plano de imagen


ACRÓNIMOS Y ABREVIACIONES

3D Tres dimensiones AF Autofocus Apdo. Apartado ASTM American Society for Testing Materials CMM Máquina de medición de coordenadas (Coordinate-Measuring machine) DDE (Dynamic Data Exchange) DLR Centro Aerospacial Alemán (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt) DLT Transformación linear directa (Linear Direct Transformation) EN Eurocódigo Exif (Exchangeable Image File Format) FOVh Ángulo de apertura de campo horizontal FOVv Ángulo de apertura de campo vertical GPS Sistema de posicionamiento Global (Global Positioning System) Id. Identificador IDL (Interactive Data Language) Inc. (Incorporation) LCD (Liquid Crystal Display) LED (Light-Emitting Diode) LVDT Captador de desplazamiento (Linear Variable Differential Transducer) Max. Máximo Min. Mínimo PC Punto de control PVB PoliVinilo Butiral RMS Media cuadrática (Root Mean Square) RMSE Error cuadrático medio (Root Mean Square Error) S.A. Sociedad Anónima SIR TTL (Secondary Image Registration Trough The Lens) S.L.S. (Estándar Linear Solid) TRS Dependencia Termo Reológica Simple UV Radiación ultravioleta VB Vidrios Borosilicatados VL Vidrio Lminado VSCS Vidrios Sílico-Cálcicos-Sódicos WLF (Williams-Landel-Ferry)

WLT Teoría del eslabón más débil (Weakest Link Theory)

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ÍNDICE DE CONTENIDOS

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN GENERAL ..................................................................1 1.1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................................1 1.2. APORTACIONES CIENTÍFICAS......................................................................................2 1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS.............................................................................................5

CAPÍTULO 2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO ............................................................7 2.1. EL VIDRIO 7

2.1.1. Temperado o templado del vidrio ...................................................................11 2.1.2. El vidrio laminado (VL)....................................................................................12

2.2. EL PVB 14 2.2.1. Introducción.....................................................................................................14 2.2.2. Polímeros ........................................................................................................14 2.2.3. Viscoelasticidad ..............................................................................................17 2.2.4. Naturaleza viscoelástica del PVB ...................................................................19 2.2.5. Comportamiento viscoelástico frente a comportamiento elástico ..................21 2.2.6. Comportamiento mecánico con la temperatura..............................................21 2.2.7. Modelos matemáticos para modelar la viscoelasticidad.................................23 2.2.8. Modelo constitutivo utilizado en Abaqus.........................................................27 2.2.9. Implementación numérica...............................................................................31

2.3. DISEÑO ESTRUCTURAL EN VIDRIO LAMINADO ............................................................32 2.3.1. Acciones en las estructuras de vidrio .............................................................33 2.3.2. Análisis estructural y modelado ......................................................................34 2.3.3. Análisis por elementos finitos .........................................................................34

2.4. RESISTENCIA A LA FRACTURA DEL VIDRIO.................................................................36 2.4.1. Estado del arte ................................................................................................36 2.4.2. Naturaleza probabilística de la fractura ..........................................................38 2.4.3. Análisis de fiabilidad por defectos de superficie .............................................42 2.4.4. Caracterización de la resistencia del vidrio ....................................................46 2.4.5. Análisis de fiabilidad del vidrio: computación del método ..............................48

2.5. FOTOGRAMETRÍA DE OBJETO CERCANO ...................................................................53 2.5.1. Evolución de la fotogrametría de objeto cercano ...........................................54 2.5.2. Principios de fotogrametría de objeto cercano ...............................................55 2.5.3. Sistema de coordenadas de imagen y de cámara .........................................56 2.5.4. Sistema de coordenadas del modelo, sistema de coordenadas del objeto y

sistema de coordenadas 3D de un útil. ..........................................................58 2.5.5. Orientación externa de las imágenes en fotogrametría de objeto cercano.... 58 2.5.6. Ajuste en bloque .............................................................................................61 2.5.7. Estimación de la calidad del trabajo fotogramétrico .......................................63

2.6. CÁMARAS FOTOGRÁFICAS .......................................................................................65 2.6.1. Distancia focal / distancia principal .................................................................65 2.6.2. Cámaras métricas y no métricas ....................................................................66 2.6.3. Estabilidad geométrica de cámaras no métricas ............................................70

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2.6.4. Otros factores que afectan a la precisión de trabajo fotogramétrico en cámaras compactas .......................................................................................................72

2.7. MODELIZACIÓN Y CALIBRACIÓN DE CÁMARAS DIGITALES ...........................................80 2.7.1. Desviaciones de la proyección central............................................................81 2.7.2. Modelos teóricos para cámaras fotográficas ..................................................84 2.7.3. Parámetros de orientación interior ..................................................................86 2.7.4. Procedimientos de calibración ........................................................................90

2.8. DISEÑO DE LA RED FOTOGRAMÉTRICA ....................................................................101 CAPÍTULO 3 EXPERIMENTACIÓN ..........................................................................105

3.1. FASES DE LA EXPERIMENTACIÓN............................................................................105 3.2. CARACTERIZACIÓN VISCOELÁSTICA DEL PVB.........................................................106

3.2.1. Materiales y medios ......................................................................................106 3.2.2. Aplicaciones informáticas relevantes ............................................................107 3.2.3. Ensayos realizados .......................................................................................109 3.2.4. Relación temperatura / tiempo ......................................................................110 3.2.5. Modelización numérica..................................................................................111 3.2.6. Efecto del tratamiento térmico en autoclave.................................................111

3.3. MODELIZACIÓN DEL VIDRIO LAMINADO MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS .....................112 3.4. POTENCIAL FOTOGRAMÉTRICO DE LAS CÁMARAS UTILIZADAS..................................117

3.4.1. Materiales y medios ......................................................................................117 3.4.2. Aplicaciones informáticas relevantes ............................................................119 3.4.3. Metododología de los ensayos .....................................................................125 3.4.4. Aspectos considerados en el estudio del potencial métrico de cámaras

compactas no métricas .................................................................................127 3.5. CONTRASTE EXPERIMENTAL DE LA MODELIZACIÓN NUMÉRICA..................................131

3.5.1. Materiales y medios ......................................................................................131 3.5.2. Diseño de la red fotogramétrica ....................................................................139 3.5.3. Posición de las placas...................................................................................142 3.5.4. Condiciones ambientales. .............................................................................143 3.5.5. Ensayos realizados para el contraste o comprobación de la simulación

numérica........................................................................................................144 CAPÍTULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN............................................................145

4.1. CARACTERIZACIÓN VISCOELÁSTICA DEL PVB.........................................................145 4.1.1. Modelización del comportamiento viscoelástico del PVB.............................145 4.1.2. Efecto del tratamiento térmico en autoclave.................................................149

4.2. MODELIZACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS ...............................................................151 4.3. PRESTACIONES FOTOGRAMÉTRICAS DE CÁMARAS DIGITALES NO MÉTRICAS .............155

4.3.1. Estabilidad geométrica de las cámaras ........................................................155 4.3.2. Consideraciones acerca del uso del autoenfoque ........................................170 4.3.3. Consideraciones acerca de la apertura del diafragma .................................172 4.3.4. Comparación entre las distintas aplicaciones fotogramétricas.....................179

4.4. CONTROL DE LA DEFORMACIÓN EN LAS PLACAS DE VIDRIO LAMINADO......................181 4.4.1. Convergencia de los haces...........................................................................181 4.4.2. Definición del sistema de coordenadas objeto .............................................185

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4.4.3. Forma inicial de las placas............................................................................191 4.4.4. Ubicación de las cámaras fotográficas .........................................................192 4.4.5. Precisiones alcanzadas en la calibración de las cámaras............................193 4.4.6. Comportamiento del marco del banco de ensayos ......................................194 4.4.7. Borde de la placa de vidrio laminado............................................................197 4.4.8. Aplastamiento de las gomas de unión entre el vidrio y el marco .................199 4.4.9. Distribución de los residuos de marcado a lo largo de la superficie de la placa

199 4.4.10. Precisiones fotogramétricas alcanzadas en los levantamientos ..................202 4.4.11. Caracterización estadística de los residuos de marcado .............................204 4.4.12. Precisiones experimentales de los ensayos.................................................209 4.4.13. Primer ensayo dinámico: exactitud alcanzada en los levantamientos

fotogramétricos .............................................................................................211 4.4.14. Segundo ensayo dinámico: diferentes velocidades de deformación............213 4.4.15. Tercer ensayo dinámico: placa sometida a presión constante.....................220 4.4.16. Forma de la placa sometida a carga ............................................................221

4.5. DISEÑO DE LAMINADOS .........................................................................................224 CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN ........227 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................231 ANEXO I FICHERO INP DE LA MODELIZACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS ....241 ANEXO II PROGRAMACIÓN DDE DE PHOTOMODELER.......................................247 ANEXO III INFORME SOBRE EL LEVANTAMIENTO Nº 13 DE LOS ENSAYOS DE

ESTABILIDAD GEOMÉTRICA ..................................................................249 ANEXO IV TEST DE BONDAD DE AJUSTE DE LOS RESIDUOS DEL MARCADO

FOTOGRAMÉTRICO .................................................................................251 ANEXO V COORDENADAS OBTENIDAS EN EL PUNTO ID79 EN EL SEGUNDO

ENSAYO DINAMICO DE LA PLACA P3...................................................255

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Proceso de producción del vidrio estructural .........................................................8 Figura 2. Vista esquemática de la red atómica irregular de un vidrio sílico-cálcico-sódico (VSCS)...................................................................................................................................8 Figura 3. Variación del Módulo de Young del vidrio en función del contenido en óxido alcalino y temperatura (adaptado de [27]).............................................................................9 Figura 4. Comportamiento anelástico del vidrio (adaptado de [27]) ...................................10 Figura 5. Principio del templado del vidrio (adaptado de [24])............................................11 Figura 6. Proceso de templado del vidrio (adaptado de [24]) .............................................12 Figura 7. Principales tipos de usos del vidrio (adaptado de [24]) .......................................13 Figura 8. Termograma típico de un polímero semicristalino ...............................................16 Figura 9. Gráfico calor-temperatura en un polímero cristalino a la izquierda y un polímero amorfo a la derecha.............................................................................................................16 Figura 10. Módulo elástico en función de la temperatura para diferentes tipos de polímeros.............................................................................................................................................16 Figura 11. Variación del módulo de Young con la temperatura en un material viscoelástico.............................................................................................................................................18 Figura 12. Diferentes tipos de respuestas de materiales plásticos.....................................20 Figura 13. Curvas tensión deformación para un material elástico (izquierda) y un material viscoelástico (derecha)........................................................................................................21 Figura 14. Obtención de una curva maestra a partir de datos experimentales ..................22 Figura 15. Factor de forma tiempo - temperatura ...............................................................22 Figura 16. Superposición tiempo-temperatura....................................................................23 Figura 17. Muelle de Hooke (izquierda) y émbolo de Newton (derecha)............................24 Figura 18. Modelo de Maxwell ............................................................................................24 Figura 19. Modelo S.L.S. a partir del modelo de Maxwell...................................................25 Figura 20. Representación del modelo de Wiechert ...........................................................26 Figura 21. Predicciones de desplazamientos/carga frente datos experimentales considerando modelos lineales y no lineales (adaptado de [24]) .......................................35 Figura 22. Términos fundamentales usados para describir un defecto superficial en el vidrio ....................................................................................................................................40 Figura 23. Corte transversal de un defecto idealizado o microfisura elíptica de semiejes ag y bg.......................................................................................................................................41 Figura 24. Tensiones cortantes y normales como función de α proyectada sobre una línea tangente a un círculo de radio unidad (en el espacio de tensiones principales) ................46 Figura 25. Geometría de probeta sometida a ensayo de carga en 4 puntos......................47 Figura 26. Métodos de ensayo usados para estudiar la fractura en modo mixto en materiales frágiles. (a) ensayos a tracción en placas rectangulares [68] (b) ensayos de compresión en discos [67]...................................................................................................50 Figura 27. Resistencia a la fractura en componentes cerámicos sometidos a tracción [68] [67].......................................................................................................................................51 Figura 28. Resistencia a la fractura en componentes cerámicos sometidos a compresión [68] [67]................................................................................................................................51

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Figura 29. Relación entre el tamaño del objeto y la precisión para diferentes sistemas de medidas (adaptado de [69]).................................................................................................54 Figura 30. La perspectiva de la proyección central (adaptado de [96]) ..............................56 Figura 31. Sistema de coordenadas imagen y cámara (adaptado de [69]) ........................57 Figura 32. Sistema de referencia del objeto (izquierda) y sistema de coordenadas 3D de un útil (adaptado de [69]).....................................................................................................58 Figura 33. Desviaciones y correcciones verdaderas estocásticas y sistemáticas (adaptado de [101])...............................................................................................................................64 Figura 34. Construcción geométrica de un sistema de lentes delgado ideal (adaptado de [69])......................................................................................................................................66 Figura 35. Centro de perspectiva y distancia principal en un sistema de lentes real (adaptado de [69]) ...............................................................................................................66 Figura 36. Ejemplo de funcionamiento de un conjunto de lentes con zoom y focus (adaptado de [69]) ...............................................................................................................73 Figura 37. Discrepancias entre la información Exif almacenada en las imágenes y la longitud focal real (tomado de [115]) ...................................................................................74 Figura 38. Enfoque y profundidad de campo (tomado de [69])...........................................75 Figura 39. Profundidad de campo como función de la escala de la imagen (adaptado de [69])......................................................................................................................................76 Figura 40. Ángulo de campo y ángulo del formato (adaptado de [69]) ...............................80 Figura 41. Perspectiva central de un cuadrado...................................................................81 Figura 42. Deformación por distorsión radial: a) en barril, b) en cojín ................................82 Figura 43. Componentes radial (dr) y tangencial (dt) de distorsiones no lineales de lentes (adaptado de [124]) .............................................................................................................83 Figura 44. Resumen de distorsiones causadas por una cámara real .................................83 Figura 45. Resumen de los diferentes modelos de cámara................................................85 Figura 46. Modelización de una cámara como un sistema espacial que consta de un centro de perspectiva y un sensor (adaptado de [69]) ........................................................87 Figura 47. Distorsión radial-simétrica característica de una cámara fotogramétrica (adaptado de [69]) ...............................................................................................................89 Figura 48. Tipos de útiles de calibración .............................................................................91 Figura 49. Diferentes puntos de control: Centros de gravedad en círculos (a) y cuadrados (b), intersecciones de líneas en mallas rectangulares (c) y triangulares (d),esquinas de cuadrados (e) y mosaicos (f). Los puntos de control están marcados por puntos..............91 Figura 50. Tresholding incorrecto de líneas: (a) undertresholding. (b) overtersholding......92 Figura 51: “Tresholding” incorrecto de un mosaico (a) y de cuadrados separados (b). .....92 Figura 52: Diferencias entre los centros de gravedad de un objeto (+) y su proyección perspectiva en un cuadrado (a) y un círculo (b). .................................................................93 Figura 53. Excentricidad de una diana circular proyectada (adaptada de [69])..................94 Figura 54. Ejemplos de codificación de dianas utilizadas en reconocimiento automático..95 Figura 55. Red espacial de imágenes para calibración. .....................................................98 Figura 56. Utillaje utilizado para el ensayo de relajación de tensiones a tracción. A la izquierda para ensayos de tracción. A la derecha para ensayos de cizalladura ..............107 Figura 57. Pantalla principal de la aplicación TA Orchestator...........................................108 Figura 58. Pantalla principal de Viscodata ........................................................................109

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Figura 59. Superposición de curvas para Butacite® Construcción en relajación de tensiones G(t) ....................................................................................................................110 Figura 60. Mallado de elementos finitos para la placa laminada ......................................113 Figura 61. Entorno principal de Abaqus ............................................................................114 Figura 62. Definición de los elementos finitos a lo largo de (a) los ejes principales de la placa, y (b) del espesor de la placa de vidrio laminado ....................................................116 Figura 63. Pantalla principal de la aplicación Photomodeler en su versión 5...................120 Figura 64. Pantalla principal de la aplicación DLR CalDe.................................................122 Figura 65. Pantalla principal de la aplicación DLR CalLab ...............................................123 Figura 66. Pantalla principal de Camera Calibration Toolbox for Matlab..........................124 Figura 67. Ubicación de los diferentes elementos utilizados en los levantamientos fotogramétricos..................................................................................................................132 Figura 68. Sección transversal del perfil COR-9170 utilizado en el banco de ensayos ...133 Figura 69. Ángulo o apertura de campo de una cámara mostrando los ángulos horizontal, vertical y diagonal..............................................................................................................140 Figura 70. Diseño de la estructura portante de las cámaras fotográficas.........................141 Figura 71. Contornos mostrando la flecha (en mm) causada por el propio peso de la placa...........................................................................................................................................142 Figura 72. Comportamiento viscoelástico del PVB, resultado del ensayo de cortadura a 20ºC...................................................................................................................................145 Figura 73. Módulos de relajación de tensiones E(t) obtenidos a varias temperaturas .....146 Figura 74. Módulos de relajación de tensiones a cortadura G(t) calculados según la ecuación (3.1), considerando K(t)=2GPa..........................................................................147 Figura 75. Comportamiento viscoelástico del PVB (módulo de relajación de tensiones G(t)), utilizando una temperatura de referencia θ0=20ºC, utilizando el concepto de tiempo reducido.............................................................................................................................147 Figura 76. Ajuste de los datos experimentales (izquierda) mediante una serie de Prony de orden 12, realizado con Viscodata (derecha)....................................................................148 Figura 77. Módulo de relajación G(t) para Butacite® en estado original y tras el proceso industrial en autoclave.......................................................................................................149 Figura 78. Módulo de relajación E(t) para dos muestras de PVB de distinto fabricante (Butacite y Saflex) .............................................................................................................150 Figura 79. Tensión principal máxima (Pa) en la cara 1 (izquierda) y 4 (centro) de ¼ de placa de vidrio laminado....................................................................................................151 Figura 80. Tensión principal mínima (Pa) en la cara 1 (izquierda) y 4 (derecha) de de placa de vidrio laminado .............................................................................................................151 Figura 81. Evolución de la distribución de tensiones de von Mises en la cara 4 para 250Pa, 500Pa, 750Pa, 1000Pa, 1250Pa, 1500Pa, 1750Pa, 2000Pa, 0Pa (60s), 0Pa (90s)........153 Figura 82. Histograma de las desviaciones respecto al valor promedio de distancia focal de las 100 determinaciones del 1er ensayo de estabilidad geométrica.............................157 Figura 83. Posición del punto principal para las 100 determinaciones del 1er ensayo de estabilidad geométrica.......................................................................................................158 Figura 84. Variaciones relativas en la posición del punto principal de la cámara B del 1er ensayo de estabilidad geométrica.....................................................................................158 Figura 85. Histograma de las desviaciones respecto al valor promedio de distancia focal de las 100 determinaciones del 2do ensayo de estabilidad geométrica ............................161

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Figura 86. Posición del punto principal para las 100 determinaciones del 2do ensayo de estabilidad geométrica.......................................................................................................162 Figura 87. Evolución de la Distancia Principal después de la extensión y retracción del mecanismo de zoom para las 4 cámaras utilizadas..........................................................164 Figura 88. Evolución de la distancia principal después de los ciclos de extensión/retracción del zoom al apagar y encender la cámara. .......................................................................164 Figura 89. Coordenadas del punto principal en las 100 determinaciones realizadas en el 3er ensayo de estabilidad geométrica ................................................................................165 Figura 90. Variación de la distancia principal con la apertura del diafragma....................173 Figura 91. Coordenadas del punto principal en 30 calibraciones ininterrumpidas variando la apertura y el modo de medición de la luz, con la cámara Canon Powershot A80 ........174 Figura 92. Evolución de la coordenada X (ancho del sensor) del punto principal con la apertura del diafragma.......................................................................................................174 Figura 93. Evolución de la coordenada Y (alto del sensor) del punto princiapal con la apertura del diafragma.......................................................................................................175 Figura 94. Variación del coeficiente de distorsión radial k1, de 3er orden con la apertura del diafragma...........................................................................................................................175 Figura 95. Variación del parámetro de distorsión radial de 5º orden con la apertura del diafragma...........................................................................................................................176 Figura 96. Variación del parámetro de distorsión radial de tercer orden, k1, en función de la apertura y la aplicación utilizada........................................................................................176 Figura 97. Distorsión por descentramiento en función de la apertura del diafragma........177 Figura 98. Error medio cuadrático en función de la apertura con la aplicación Photomodeler con la cámara Canon Powershot A80........................................................178 Figura 99. Error medio cuadrático en función de la apertura con la aplicación DLR CalLab para la cámara Canon Powershot A80..............................................................................178 Figura 100. Posición del punto principal según el cálculo de dos aplicaciones de calibración, utilizando las mismas imágenes.....................................................................179 Figura 101. Dos configuraciones distintas para un levantamiento fotogramétrico: a la izquierda menor ángulo de convergencia, a la derecha mayor.........................................181 Figura 102. Longitud del vector error medio en los ensayos de convergencia (ver Tabla 23)...........................................................................................................................................183 Figura 103. Máximo error según los ejes X,Y,Z en los ensayos de convergencia (ver Tabla 23)......................................................................................................................................183 Figura 104. Mínimo error de marcado según los ejes X,Y,Z en todos los puntos del levantamiento en función del ángulo de convergencia (ver Tabla 23) ..............................184 Figura 105. Definición del sistema de coordenadas en la placa P1..................................187 Figura 106. Superficie de la placa P1 aplicando un sistema de referencia a partir de tres puntos de la placa..............................................................................................................187 Figura 107. Forma inicial de la placa P1 una vez ajustadas las direcciones X,Y a las direcciones principales de la placa....................................................................................188 Figura 108. Definición del sistema de coordenadas en las placas P2 y P3......................191 Figura 109. Forma inicial de la placa P1 antes del comienzo de los ensayos..................191 Figura 110. Forma inicial de la placa P2 antes del comienzo de los ensayos..................192 Figura 111. Forma inicial de la placa P3 antes del comienzo de los ensayos..................192 Figura 112. Diseño definitivo de la red fotogramétrica. A la izquierda vista en planta. En el centro y derecha dos vistas oblicuas.................................................................................193

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Figura 113. Flechas obtenidas en los puntos de control situados sobre el perfil superior (Fotografía 38)...................................................................................................................195 Figura 114. Flechas obtenidas en los puntos de control situados sobre el perfil superior (Fotografía 39)...................................................................................................................196 Figura 115. Comportamiento simplificado del marco de ensayos. La curva roja representa la flecha obtenida, positiva en el centro de la barra y negativa en os extremos...............196 Figura 116. Flechas obtenidas en los puntos de control mostrados en la Fotografía 40 situados a 30mm del borde superior de la placa...............................................................198 Figura 117. Flechas obtenidas en los puntos de control mostrados en la Fotografía 41 situados a 30mm del borde superior de la placa...............................................................199 Figura 118. Distribución espacial de los residuos de marcado (en mm) según X. ...........200 Figura 119. Distribución espacial de los residuos de marcado (en mm) según Y. ...........201 Figura 120. Longitud total del vector error (en mm)..........................................................201 Figura 121. Zona óptima de intersección (líneas rojas) donde los haces presentan ángulos similares de convergencia.................................................................................................202 Figura 122. Residuo Medio y Residuo Máximo en los 142 puntos utilizados. (Para un levantamiento con Placa P2).............................................................................................203 Figura 123. Precisiones alcanzadas según los ejes en los 142 puntos utilizados. (Para un levantamiento con la placa P2) .........................................................................................204 Figura 124. Histograma de los residuos según el eje X. La curva superpuesta es una distribución Wakeby con coeficientes α=0.03654299, β=9.5144617, γ=0.00652766, δ=0.03258024 y ξ=0.02821149.........................................................................................206 Figura 125. Histograma de los residuos según el eje Y. La curva superpuesta es una distribución Wakeby con coeficientes α=0.030794, β=6.4203237, γ=0.00637325, δ=0.08451988 y ξ=0.02761886.........................................................................................206 Figura 126. Histograma de los residuos según el eje Z. La curva superpuesta es una distribución Johnson SB con coeficientes γ=1.9338084, δ=1.3267937, λ=0.21433408 y ξ=0.05306778....................................................................................................................207 Figura 127. Función de distribución acumulativa de los residuos según la dirección del eje X ........................................................................................................................................208 Figura 128. Función de distribución acumulativa de los residuos según la dirección del eje Y ........................................................................................................................................208 Figura 129. Función de distribución acumulativa de los residuos según la dirección del eje Z.........................................................................................................................................209 Figura 130. Función de densidad de probabilidad para Z a partir de 162 mediciones.....210 Figura 131. (Página anterior) Resultados del ensayo de contraste con el reloj comparador. A la izquierda ensayo con aumentos de presión. A la derecha ensayo con disminución de la presión ...........................................................................................................................213 Figura 132. (Arriba) Flechas calculadas por elementos finitos para velocidades de 6Pa/s, 12Pa/s y 20 Pa/s. (Debajo) Detalle del intervalo 1750-2000Pa........................................215 Figura 133. (Arriba) Flechas medidas experimentalmente en el centro de la placa P1. (Debajo) Detalle del intervalo 1750-2000Pa .....................................................................216 Figura 134. (Arriba) Flechas medidas experimentalmente en el centro de la placa P2. (Debajo) Detalle del intervalo 1750-2000Pa .....................................................................217 Figura 135. (Arriba) Flechas calculadas por elementos finitos en el centro de una placa de vidrio laminado 4+4mm para 3 velocidades diferentes de incremento de presión: 6Pa/s, 12Pa/s y 20 Pa/s, en el intervalo de 0-2000Pa. (Debajo) Detalle del intervalo 1750-2000Pa...........................................................................................................................................218

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Figura 136. (Arriba) Flechas medidas experimentalmente en el centro de la placa P3. (Abajo) Detalle del intervalo 1750-2000Pa........................................................................219 Figura 137. Flechas medidas experimentalmente en las placas P1 y P2 y predicción numérica ............................................................................................................................221 Figura 138. Flechas medidas experimentalmente en la placa P3 y predicción numérica 221 Figura 139. Comparación entre la forma de la placa P1 medida experimentalmente (izquierda) y la predicha por la simulación para 500Pa (a) y (b) y 1000Pa (c) y (d) .........222 Figura 140. Comparación entre la forma de la placa medida experimentalmente (izquierda) y la predicha por la simulación para 1500Pa (a) y (b) y 2000Pa (c) y (d) .........................223 Figura 141. Pantalla principal de Diseño de Laminados ...................................................224 Figura 142. Pantalla de resultados de Diseño de Laminados...........................................225

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ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Composición química típica de los vidrios sílico-cálcico-sódico (VSCS) y Borosilicatados (VB) de acuerdo a [25] [26]..........................................................................8 Tabla 2. Propiedades físicas medias del vidrio sílico-cálcico-sódico (VSCS) y del vidrio borosilicatado (VB) de acuerdo a [25] [26] ............................................................................9 Tabla 3. Comparación entre los distintos modelos analíticos de calibración......................86 Tabla 4. Comparación de los distintos útiles y dianas utilizados para calibración de cámaras. ..............................................................................................................................94 Tabla 5. Especificaciones técnicas del PVB Butacite® para construcción, proporcionadas por el fabricante.................................................................................................................106 Tabla 6. Propiedades del vidrio utilizadas en la simulación numérica..............................114 Tabla 7. Propiedades del PVB utilizado en acristalamientos............................................115 Tabla 8. Características técnicas de las cámaras utilizadas en el proyecto de investigación...........................................................................................................................................118 Tabla 9. Conjuntos de útil de calibración / aplicación informática utilizados en los ensayos...........................................................................................................................................126 Tabla 10. Coeficientes obtenido para el ajuste de la relación temperatura – tiempo de Williams-Landel-Ferry........................................................................................................148 Tabla 11. Términos de la Serie de Prony. τi es el tiempo reducido, gi son los coeficientes de Prony ............................................................................................................................149 Tabla 12. Distancias principales obtenidas en las 4 cámaras digitales Pentax Optio A40 en el 1er ensayo de estabilidad geométrica............................................................................156 Tabla 13. Comparación entre las desviaciones estándar obtenidas del ajuste en bloque y las experimentales de la distancia principal del 1er ensayo de estabilidad geométrica...157 Tabla 14. Posición del punto principal en las determinaciones del ensayo de estabilidad geométrica.........................................................................................................................159 Tabla 15. Distancias principales obtenidas en las 4 cámaras digitales Pentax Optio A40 en el 2do ensayo de estabilidad geométrica ...........................................................................160 Tabla 16. Posición del punto principal en las determinaciones del 2do ensayo de estabilidad geométrica.......................................................................................................162 Tabla 17. Distancias principales obtenidas en las 4 cámaras digitales Pentax Optio A40 en el 3er ensayo de estabilidad geométrica............................................................................163 Tabla 18. Coordenadas obtenidas en los cuatro puntos de control como a partir de la utilización de los distintos conjuntos de parámetros de geometrías internas de la cámara A obtenidos en el 2do ensayo de estabilidad geométrica......................................................167 Tabla 19. Residuos medios cuadráticos globales obtenidos a partir de la utilización de los distintos conjuntos de parámetros de geometrías internas de la cámara A .....................168 Tabla 20. Estimaciones de origen analítico (procedente del ajuste en bloque) de la precisión para las coordenadas de los cuatro puntos de control calculadas a partir de la utilización de los distintos conjuntos de parámetros de geometrías internas de la cámara A obtenidos en el 2o ensayo de estabilidad geométrica. ......................................................170 Tabla 21. Comparación de residuos de marcado globales (RMS en píxeles) utilizando enfoque manual y autoenfoque (AF).................................................................................171 Tabla 22. Distancias principales obtenidas por las aplicaciones DLR CalLab y Camera Calibration Toolbox for Matlab a partir de las mismas imágenes .....................................180

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Tabla 23. Apertura media (vertical y horizontal) entre los pares de cámaras para los 21 ensayos realizados en el estudio de convergencia ...........................................................182 Tabla 24. Situación espacial de las cámaras en los levantamientos fotogramétricos ......193 Tabla 25. Precisiones alcanzadas en las calibraciones utilizadas en los levantamientos fotogramétricos. .................................................................................................................193 Tabla 26. Promedio y desviación estándar de los residuos medios según su ubicación. 203 Tabla 27. Caracterización por estadística descriptiva de los residuos procedentes del ajuste en bloque según los ejes de un único levantamiento fotogramétrico.....................205 Tabla 28. Caracterización por estadística descriptiva de los residuos procedentes del ajuste en bloque según los ejes para los datos de 120 levantamientos fotogramétricos. 206 Tabla 29. Residuo máximo esperado a las probabilidades indicadas en la columna Probabilidad.......................................................................................................................209 Tabla 30. Desviaciones estándar (en mm) de las coordenadas obtenidas en varios puntos situados en el útil de referencia en el segundo ensayo de la placa P3.............................209 Tabla 31. Estadística descriptiva para la coordenada Z a partir de 162 mediciones........210 Tabla 32. Presiones a las que se han realizado levantamientos fotogramétricos ............214 Tabla 33. Diferencias de flecha entre las distintas velocidades de deformación, tomando como base las obtenidas a una velocidad de 20Pa/s .......................................................214 Tabla 34. Diferencias de flecha entre las distintas velocidades de deformación, tomando como base las obtenidas a una velocidad de 20Pa/s .......................................................218 Tabla 35. Resultados de probabilidad de fallo de placas de vidrio laminado para diferentes presiones calculadas con DiseLam ...................................................................................225

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ÍNDICE DE FOTOGRAFÍAS

Fotografía 1. Rotura típica de un vidrio laminado de seguridad en un vehículo.................13 Fotografía 2. Ejemplo de imagen tomada con una cámara (Canon Powershot A80) que presenta distorsión radial en “barril” ....................................................................................82 Fotografía 3. Ejemplo de plantilla para calibración de cámara ...........................................97 Fotografía 4. Planillas 3D utilizadas en (a) [133] (b) [143] y (c) [114].................................99 Fotografía 5. Muestra de Butacite® de 0.38mm utilizadas para la confección de las probetas.............................................................................................................................106 Fotografía 6. Ejemplo de probeta utilizada en los ensayos ..............................................107 Fotografía 7. Analizador Mecánico Dinámico RSA III de TA Instruments ........................108 Fotografía 8. Cámaras fotográfica Canon Powers hot A80 y Pentax Optio A40 utilizadas en el proyecto de investigación. .............................................................................................118 Fotografía 9. Útiles de calibración utilizados en la aplicación Camera Calibration Toolbox for Matlab (izquierda) y en DLR CalDe (derecha).............................................................119 Fotografía 10. Útiles de calibración diseñados por Eos Systems Inc. para cámaras hasta 6Mpixel (izquierda) y para cámaras de más de 6Mpixel (derecha). .................................119 Fotografía 11. Vistas generales del banco de ensayos utilizado en los ensayos.............133 Fotografía 12. Vista en planta de la unión de dos perfiles ................................................134 Fotografía 13. Detalle de la perforación en el perfil de aluminio por el que entra aire a presión por una tubería neumática....................................................................................134 Fotografía 14. Compresor utilizado para el suministro de presión....................................134 Fotografía 15. Regulador de Presión de Precisión ...........................................................135 Fotografía 16. Regulador del caudal de aire.....................................................................135 Fotografía 17. Tubería neumática .....................................................................................136 Fotografía 18 (izquierda). Válvula de descarga normalmente cerrada. Fotografía 19 (derecha). Válvula de descarga de llave ...........................................................................136 Fotografía 20. Manómetro Digitron 2081P utilizado para monitorizar la presión en la bancada de ensayos, y certificado de calibración suministrado por el fabricante ............137 Fotografía 21. Reloj comparador utilizado como segunda técnica experimental .............137 Fotografía 22. Pie de rey o calibre con certificado de calidad utilizado para dar escala al proyecto.............................................................................................................................137 Fotografía 23. Detalle del banco de ensayos mostrando las dianas codificadas .............138 Fotografía 24 (izquierda). Retroproyector analógico utilizado para la proyección de dianas. Fotografía 25 (derecha). Ubicación del retroproyector y comparación con la utilización de dianas de papel. ................................................................................................................139 Fotografía 26. Apariencia final de la estructura portante ..................................................141 Fotografía 27. Detalle del extremo de uno de los brazos de la estructura mostrando el cabezal de regulación del encuadre..................................................................................141 Fotografía 28. Ensayos preliminares realizados con la placa de vidrio laminado horizontal...........................................................................................................................................143 Fotografía 29. Disposición vertical del banco de ensayos con la placa de vidrio laminado vertical ...............................................................................................................................143 Fotografía 30. Puntos utilizados para definir el sistema de referencia objeto (izquierda) y puntos de control (derecha)...............................................................................................166

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Fotografía 31. Apertura máxima (izquierda) y mínima (derecha) del equipo de medida..183 Fotografía 32. Útil utilizado para la definición del sistema de coordenadas .....................186 Fotografía 33. Definición inicial del sistema de coordenadas ...........................................186 Fotografía 34. Ubicación de los puntos de control interno en la placa P1 ........................189 Fotografía 35. Ubicación de los puntos de control externos en la placa P1 ....................189 Fotografía 36. Identificación de los puntos usados en el borde de la placa P3 utilizados para imponer la restricción de puntos coplanarios ............................................................190 Fotografía 37. Contacto metal – vidrio mediante gomas (derecha). Detalle del estriado donde se apoya el vidrio (izquierda)..................................................................................194 Fotografía 38. Puntos de control situados en el marco superior que bordea la placa. En rojo se muestran los números identificativos de cada punto.............................................194 Fotografía 39. Puntos de control situados en el marco izquierdo que bordea la placa. En rojo se muestra el número identificativos de cada punto ..................................................195 Fotografía 40. Ubicación de los puntos de control en el borde superior de la placa. Todos los puntos distan del borde 30mm.....................................................................................197 Fotografía 41. Ubicación de los puntos de control en el borde izquierdo de la placa. Todos los puntos distan del borde 30mm.....................................................................................198 Fotografía 42. Posición de los puntos utilizados para los dos métodos de definición del sistema de coordenadas....................................................................................................202 Fotografía 43. Disposición del reloj comparador en el ensayo de exactitud del método..211

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CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN GENERAL

1.1. INTRODUCCIÓN

En las últimas décadas el uso del vidrio en la construcción ha experimentado un aumento notable pasando de desempeñar una función secundaria, como un mero componente en las ventanas, a una función estructural primaria en vigas, soportes y muy especialmente en fachadas de edificios altos y de otras construcciones singulares e industriales. Aunque con la incorporación del vidrio como material estructural se consiguen efectos arquitectónicos espectaculares su comportamiento frágil y la posibilidad de una eventual rotura con resultados imprevisibles exige aplicar metodologías de diseño rigurosas para alcanzar los niveles de seguridad exigidos en otros materiales, dado que la resistencia del vidrio depende de factores muy particulares tales como la presencia de defectos en su superficie, del tamaño del elemento estructural, la solicitación aplicada, etc.

El problema del diseño con placas de vidrio laminado presenta dos dificultades importantes que de no tenerse en cuenta adecuadamente pueden condicionar la validez de los resultados; en primer lugar, las altas solicitaciones sobre placas relativamente finas exigen la consideración de comportamientos no lineales, comportamientos no fácilmente modelizables sin la utilización de herramientas avanzadas de cálculo y cuya comprobación experimental no puede limitarse a la medida de la flecha en el centro de la placa. En segundo lugar, la presencia en el vidrio laminado de un polímero que presenta comportamiento viscoelástico añade la variable tiempo al conjunto del problema lo que complica aun más tanto la modelización como su comprobación experimental.

La fotogrametría de objeto cercano, en su vertiente de fotogrametría industrial, presenta una serie de ventajas frente a otros sistemas de medición de coordenadas como son la capacidad de medir de forma simultánea gran cantidad de puntos, tiempos cortos de registro, capacidad de almacenamiento de las mediciones para ulteriores análisis, bajo coste, etc. Estas características a las que hay que sumar la rapidez y facilidad de uso, derivadas de la utilización de sistemas de fotografía digital hacen de la fotogrametría de objeto cercano una herramienta útil como técnica experimental en el control de deformación de sólidos. El uso de fotogrametría de objeto cercano con cámaras estándar en problemas de diseño estructural es una aplicación novedosa de una ciencia que en los últimos años está experimentando un auge como consecuencia del impulso que recibe con el continuo desarrollo y abaratamiento de la tecnología digital.

Control de la deformación en sólidos mediante técnicas de fotogrametría de objeto cercano: aplicación a un problema de diseño estructural

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1.2. APORTACIONES CIENTÍFICAS

La principal aportación de este trabajo es la utilización de la fotogrametría con cámaras digitales compactas para la medida de la deformación continua de la superficie de placas de vidrio laminado bajo la acción de una carga lateral. Esta deformación es función de la carga y del tiempo, dada la naturaleza viscoelástica de los constituyentes del conjunto, por lo que los levantamientos fotogramétricos deben estar perfectamente referenciados en el tiempo.

Los sistemas ópticos de medidas de coordenadas 3-D en superficies y sólidos en deformación se vienen utilizando desde hace tiempo. En [1] se comprueba dimensionalmente la geometría de la superficie de unos colectores solares una vez construidos así como la deformación producida como consecuencia de la dilatación por calentamiento de los mismos durante su uso. En ambos casos las mediciones son puntuales e independientes del tiempo. En [2] se mide el cambio de forma de un colector plástico bajo una presión perpendicular utilizando cámaras de video. La exactitud del procedimiento se valora comparando la medición fotogramétrica con las mediciones obtenidas con captadores de desplazamiento LVDT (ver [3]). En este trabajo si hay deformación pero el material se considera como elástico por lo que los desplazamientos son función únicamente de la carga y no del tiempo, por lo que no se requiere de una sincronía precisa de las tomas del levantamiento fotogramétrico. En [4] se miden las coordenadas de 10 puntos alineados situados sobre una viga metálica que inicialmente está a 1100ºC y que en el espacio de 90 minutos se enfría a temperatura ambiente. En este trabajo si hay una deformación continua en el tiempo pero la velocidad de deformación es tan baja que la toma de datos se hace mediante épocas no siendo la sincronización un aspecto determinante. Por último en [5] se mide la deformación biaxial en un cilindro de polietileno de dimensiones 222mmx930mm y 0.02-0.038mm de espesor al ser hinchado hasta 1379Pa. A pesar de ser el polietileno un material plástico en este trabajo se asume que la deformación en el cilindro es debida únicamente a los incrementos de presión al hinchar los cilindros, no considerándose por lo tanto deformación por relajación viscoelástica.

Dada la necesidad de referenciar en el tiempo las mediciones realizadas en este trabajo se ha diseñado y construido un equipo que permite la toma sincronizada de 4 fotografías según una configuración geométrica predefinida. Para la mejor utilización del equipo se ha realizado un estudio sobre el ángulo óptimo de convergencia de los ejes ópticos de las cámaras para el problema dado. También se ha estudiado la distribución de las precisiones que se obtienen en los levantamientos. El equipo de medición es portátil y permite la explotación de la metodología para otras superficies y objetos de muy diverso tamaño o situados a distancias variables

Introducción general

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Entre otros trabajos donde también es importante la simultaneidad de las imágenes del levantamiento se puede destacar [6] donde se realiza un modelo digital de elevaciones de la superficie del agua de un río para un instante determinado. En este trabajo los ejes ópticos de las dos cámaras dispuestas sobre trípodes y con una localización circunstancial convergen con ángulos de 10º. Una solución habitual para la sincronización en levantamientos fotogramétricos de cuerpos en movimiento es el uso de videocámaras. En [7] se utilizan dos cámaras de video JAI CV-M50 ½´´ de una resolución de 0.44Mpixel (768x574) midiendo la deformación de una viga llevada a rotura obteniéndose precisiones de 0.25mm. En [8] se utilizan 2 cámaras de video sincronizadas con una resolución de 0.35Mpixel /720*492 para medir la forma de un paracaídas en su descenso. Lógicamente la sincronización conseguida con el uso de videocámaras en estos trabajos y en otros muchos se realiza en detrimento de la resolución de los sensores y por lo tanto de la precisión final en relación a las cámaras digitales.

Otro aspecto fundamental considerado en este trabajo es el relativo a las prestaciones alcanzadas con la utilización de cámaras digitales de consumo así como las condiciones óptimas de su uso. En este sentido además de trabajos con cámaras métricas como la Rollei D7 metric [9], existen también muchas referencias bibliográficas con estudios de cámaras no métricas de alta gama como la Canon EOS 5D, Nikon D3, D2X y D80 y Alpha 12WA [10], sistemas propietarios y específicos como GOM ARAMISTM 3D [11], cámaras digitales compactas como las utilizadas en esta investigación [12] [13] [14] [5] [15] [16] e incluso cámaras de móviles [17]. La motivación del uso de cámaras digitales compactas radica en la excelente relación prestaciones/precio que han alcanzado gracias al imparable desarrollo tecnológico que ha tenido el sector de la fotografía digital en los últimos años. Sensores de unas resoluciones inimaginables hace tan sólo unos pocos años junto a un notable descenso de los precios hacen que las cámaras digitales compactas tengan un alto potencial como instrumento de medición 3D. Como aportaciones en este apartado se pueden reseñar la constatación de la variación de la geometría interna de una de las cámaras con la apertura del diafragma, el estudio sobre la elección de la apertura óptima de diafragma, las consideraciones relativas al uso del autoenfoque así como el estudio acerca de la estabilidad de la geometría interna de las cámaras utilizadas como consecuencia del apagado/encendido y la extensión/retracción del zoom. Además y de forma tangencial se han evaluado de forma global algunos aspectos de tres aplicaciones informáticas usadas para la modelización de las cámaras.

Las mediciones fotogramétricas se han realizado sobre placas de vidrio laminado instaladas sobre una bancada de ensayos diseñada y fabricada según criterios de máximo realismo. Esta bancada de ensayos permite la puesta en carga de las placas de una forma controlada. Las mediciones de deformación han


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sido contrastadas con lecturas puntuales de relojes comparadores de precisión 10µm. En otros trabajos científicos también es común la comparación de resultados fotogramétricos con otras técnicas experimentales; con máquinas CMM (ver [18]) [19], con captadores de desplazamiento LVDT [2], con cintas métricas indeformables [16] y con relojes comparadores [20].

Las mediciones fotogramétricas realizadas sobre el banco de ensayos se han utilizado para la comprobación de una simulación numérica realizada mediante elementos finitos del comportamiento mecánico de la placa de vidrio laminado.

En la bibliografía científica existen numerosos ejemplos de la utilización de las mediciones fotogramétricas para la comprobación de simulaciones numéricas. Por ejemplo en [5] se comparan los desplazamientos de 60 dianas retroreflectivas situadas en un globo científico que se está hinchando con los predichos por un análisis de elementos finitos. De la misma forma en [21] se contrastan los modos de vibración en un ala de un avión y en [22] se estudian las vibraciones en una campana, comparando también los resultados con los predichos por una simulación.

Para la realización de la simulación por elementos finitos del comportamiento mecánico de las placas de vidrio laminado, que también es una aportación de este trabajo (basada en una modificación de [23]), ha sido necesaria la caracterización viscoelástica del PVB, es decir de la lámina polimérica intermedia presente en las placas de vidrio laminado.

Así pues se han realizado ensayos de relajación de tensiones a tracción en el dominio del tiempo a partir de muestras proporcionadas por los fabricantes. Como aportación adicional en este apartado puede destacarse el ensayo de muestras después del proceso térmico y de presión al que es sometido el conjunto vidrio-PVB-vidrio para la eliminación de burbujas de aire y pegado del conjunto.

Una vez comprobada experimentalmente la modelización numérica, la cual permite el cálculo de la tensión a lo largo de la superficie de vidrio, y considerando una teoría probabilística de fallo en materiales frágiles se ha programado una aplicación informática que recogiendo todas las variables de entrada del análisis permite estimar la probabilidad de rotura de las placas de vidrio para cualquier dimensión de la placa y cualquier carga. Esta aportación, en forma de aplicación informática, pretende ser una herramienta de diseño utilizable por la industria del vidrio laminado.

En consecuencia, con este trabajo de investigación se han pretendido realizar las siguientes Aportaciones o Contribuciones Científicas.

En relación a fotogrametría de objeto cercano:

Introducción general

5

1. El diseño de un equipo específico para levantamientos fotogramétricos de superficies en deformación o movimiento

2. El estudio de las capacidades métricas de cámaras digitales compactas como las utilizadas en este trabajo

3. La aplicación de la fotogrametría como técnica experimental para la comprobación del análisis de elementos finitos de sólidos en deformación

En relación al problema de diseño estructural: 1. Modelización del comportamiento mecánico del PVB a partir de

ensayos de relajación de tensiones 2. Diseño de una simulación numérica por elementos finitos del

comportamiento de una placa de vidrio laminado 3. Contraste experimental de la simulación 4. Programación de la aplicación DiseLam, que combina las tensiones

obtenidas por la simulación numérica con una teoría de probabilidad de fallo para obtener una herramienta de diseño en vidrio laminado

1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS A partir de los planteamientos y necesidades explicados en los apartados

anteriores se pueden establecer los siguientes Objetivos Generales: - Establecer una metodología fiable para el diseño de placas de vidrio

laminado contrastada experimentalmente - Establecer la utilidad de la fotogrametría de objeto cercano y la utilización

de cámaras digitales compactas para la medida de desplazamientos en cuerpos en deformación.

Para alcanzar dichos objetivos generales se plantean a continuación una serie de Objetivos Específicos:

1. Estudiar, caracterizar y modelar el comportamiento viscoelástico del polímero presente en la placa de vidrio laminado.

2. Modelizar el comportamiento del conjunto vidrio-polímero-vidrio mediante una simulación numérica de elementos finitos.

3. Diseñar y construir un sistema fotogramétrico de bajo coste con cámaras digitales compactas sincronizadas especializado en la medición de coordenadas.

4. Diseñar y construir una bancada de ensayos donde ensayar bajo presión las placas de vidrio laminado.

5. Comprobar la modelización numérica por elementos finitos mediante fotogrametría de objeto cercano.


6

6. Estudiar las capacidades y limitaciones métricas de las cámaras utilizadas considerando distintos factores como la estabilidad geométrica, la utilización del estabilizador óptico de la imagen y la utilización de distintas aperturas de diafragma.

7. Recoger parte de la metodología de diseño de acristalamientos en una aplicación informática para facilitar y generalizar su uso.

7

CAPÍTULO 2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO

Cualquier estudio que se emprende se sustenta sobre trabajos anteriores, sobre conocimientos previos, constituyendo un paso más en su evolución y progreso. Los últimos trabajos realizados, las técnicas desarrolladas y, en general, toda la historia del método, de sus aplicaciones y de la teoría en que se basa tienen que ser el punto de partida de cualquier nueva investigación. En un nuevo estudio, los resultados que se obtienen en cada uno de los ensayos realizados son una pieza más que forma parte de un mosaico más general. Conocer las otras piezas es una ayuda tanto para tener un claro punto de partida como para saber interpretar resultados y contrastar conclusiones.

2.1. EL VIDRIO

El vidrio laminado es uno de los productos resultante del proceso de fabricación de vidrio para uso estructural cuya producción, procesado y usos se muestra resumido en la Figura 1 y que comienza con el fundido de diversas sustancias a una temperatura de hasta 1550ºC en un horno para pasar a flotar sobre un baño de estaño fundido en una atmósfera inerte extendiéndose en capas de 6 a 7mm que posteriormente por la acción de rodillos acaba siendo de entre 2 y 25mm. Después de un enfriamiento lento y gradual las planchas de vidrio son inspeccionadas automáticamente para asegurar la ausencia de defectos graves cortándose a continuación para ser almacenadas.

Como consecuencia del proceso de fabricación las dos caras del vidrio no son idénticas ya que por ejemplo la difusión de átomos de estaño en la cara de contacto influye en las propiedades de pegado de la misma [24] mientras que el contacto con los rodillos y los defectos de superficie que por ello se producen hace que esta tenga una pequeña menor resistencia mecánica a la fractura [24].

El vidrio es por lo tanto un producto de fusión inorgánico que ha sido solidificado sin cristalización. La mayoría de los vidrios de uso estructural son vidrios sílico-cálcicos-sódicos (VSCS). Solamente se emplean los vidrios borosilicatados para usos específicos como por ejemplo la protección ante el fuego. La composición típica para un vidrio de uso estructural se presenta en la Tabla 1. En la Figura 2 se muestra esquemáticamente la red atómica no cristalina típica de un VSCS responsable de las propiedades químicas como la transparencia y resistencia a sustancias químicas. Las propiedades físicas medias más importantes del vidrio se resumen en la Tabla 2.


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Ingredientesnaturales

(80%)Aditivos(20%)

Fundido

Flotado

Enfriamiento

Esmerilado, taladrado,

baños,impresión,doblado,laminado,

temperado,tratamientos ácidos,abrasión con arena, láminas reflectantes

Cristales para ventanas y fachadas, vidrio estructural,

vidrios para automoción, espejos

mobiliario

Procesado

Productos

Producción

Figura 1. Proceso de producción del vidrio estructural

Tabla 1. Composición química típica de los vidrios sílico-cálcico-sódico (VSCS) y

Borosilicatados (VB) de acuerdo a [25] [26]

VSCS VB Arena de sílice SiO2 69-74% 70-87% Óxido de Calcio CaO 5-14% - Óxido de Sodio Na2O 10-16% 0-8% Óxido de Boro B2O3 - 7-15%

Óxido de Potasio K2O - 0-8% Magnesia MgO 0-6% - Alúmina Al2O3 0-3% 0-8%

Otros 0-5% 0-8%

Figura 2. Vista esquemática de la red atómica irregular de un vidrio sílico-cálcico-sódico

(VSCS)

Estado del conocimiento

9

Tabla 2. Propiedades físicas medias del vidrio sílico-cálcico-sódico (VSCS) y del vidrio borosilicatado (VB) de acuerdo a [25] [26]

Unidad VSCS VB Densidad Kg/m3 2500 2200-2500 Dureza Knoop GPa 6 4.5-6 Módulo de Young MPa 70000 60000-70000 Módulo de Poisson - 0.23* 0.2 Coeficiente de expansión térmica 10-6K-1 9 3.1-6.0 Capacidad térmica específica JKg-1K-1 720 800 Conductividad térmica Wm-1K-1 1 1 Índice de refracción en el espectro visible - 1.52§ 1.5 Emisividad - 0.837 0.837 * La norma EN 572-1:2004 [26] da 0.2. En investigación se emplean valores de 0.22-0.24 § La norma EN 572-1:2004 [26] da un valor redondeado de 1.50

El módulo de Young que alcanza la sílice pura es de 7.2E10Pa sin

embargo debido a la adición de iones alcalinos a la estructura del vidrio hay una disminución de enlaces Si-O-Si, que son los más fuertes. En la Figura 3 se representa la variación del módulo de Young en función de la temperatura para vidrios de silicato con diferente contenido en óxido alcalino.

Figura 3. Variación del Módulo de Young del vidrio en función del contenido en óxido alcalino

y temperatura (adaptado de [27])

La anelasticidad es otra de las propiedades mecánicas que presenta el vidrio (Figura 4). La anaelasticidad es un comportamiento elástico retardado que se produce por pérdidas de energía mecánica cuando el material es sometido a deformación por un largo periodo de tiempo. La pérdida de energía mecánica está relacionada con procesos de desplazamiento iónico o transporte de materia cuya recuperación es lenta.

Las propiedades ópticas del vidrio dependen del espesor, de la composición química y los baños aplicados durante el procesado. La propiedad más característica y de la que se deriva su uso estructural es la alta transferencia


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en el espectro visible. A pesar de que los espectros de radiación no transmitida (i.e. absorbida o reflejada) varían con diferentes tipos de vidrio normalmente están fuera de la banda de visible y del infrarrojo cercano. Debido a la interacción con iones O2 un porcentaje alto de radiación UV es absorbida mientras que la trasmisión en la banda de infrarroja de longitud de onda larga (λ>5000nm) es bloqueada porque es absorbida pos los grupos Si-O.

Figura 4. Comportamiento anelástico del vidrio (adaptado de [27])

A temperatura ambiente la viscosidad dinámica del vidrio es de alrededor de 1020dPas un valor tan alto que para que se pudieran observar efectos visibles a simple vista debería de observarse por periodos mayores a la edad de la tierra [24].

El vidrio muestra un comportamiento elástico e isótropo casi perfecto exhibiendo fractura frágil [24], esto es, no cede de forma plástica ya que las concentraciones locales de tensiones no son redistribuidas como si ocurre por ejemplo en el caso del acero. La resistencia a tracción teórica (basada en fuerzas moleculares) del vidrio es excepcionalmente alta (32GPa) sin embargo la resistencia real es mucho menor. La razón es que, como sucede en todos los materiales frágiles, la resistencia está condicionada por la presencia de defectos de superficie. Un elemento de vidrio falla cuando la tensión a tracción en un defecto alcanza su valor crítico. Los defectos crecen con el tiempo cuando están sometidos a cargas. La velocidad de crecimiento es una función de varios parámetros y es extremadamente variable. Por lo tanto la resistencia a tracción de un vidrio no es una constante sino que depende de muchos aspectos, en particular de la condición de la superficie, el tamaño del elemento de vidrio, el historial de cargas sobre la placa (intensidad y duración), las tensiones residuales y las condiciones ambientales. Como regla general cuanto mayor es la carga, mayor su duración y más profundos los defectos iniciales menor es la resistencia a tracción de un vidrio.


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Como las grietas o defectos no crecen o rompen en compresión, la resistencia a compresión del vidrio es mucho mayor que la resistencia a tracción. De hecho, la resistencia a compresión del vidrio es irrelevante para casi cualquier aplicación estructural del vidrio ya que debido al pandeo y al efecto del coeficiente de Poisson las tensiones a tracción que se generan condicionan en último término la resistencia del vidrio.

2.1.1. Temperado o templado del vidrio Para aplicaciones estructurales el templado o temperado del vidrio es el

método de procesado más importante. La idea es crear un campo favorable de tensiones a tracción en el núcleo del vidrio y de compresión en la parte exterior del vidrio crezca de la superficie. El núcleo del vidrio no contiene defectos y por lo tanto ofrece una gran resistencia a tracción mientras que los inevitables defectos de superficie sólo pueden crecer si se supera una cierta tensión crítica. Como consecuencia de que las tensiones de tracción debidas a acciones exteriores son menores que las tensiones residuales a compresión no hay suficiente tensión a tracción efectiva y por lo tanto no hay crecimiento de los defectos (Figura 5).

Figura 5. Principio del templado del vidrio (adaptado de [24])

Dependiendo del grado de templado al que se somete un vidrio se suele utilizar en el lenguaje industrial los términos “tratamiento térmico” para referirse a un grado medio de templado y el término “vidrio templado” para un grado alto en el nivel de tensiones residuales de compresión.

Durante el proceso de templado (Figura 6) el vidrio flotado es calentado hasta aproximadamente 620-675ºC (aproximadamente 100ºC por encima de la


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temperatura de transición vítrea) en un horno siendo a continuación enfriado rápidamente mediante chorros de aire frío. Esto tiene el efecto de enfriado y solidificado primero en la superficie y después en el interior del vidrio. En los primeros segundos el proceso de enfriado genera tensiones de tracción en la superficie y de compresión en el núcleo. Como el vidrio es viscoso en estas temperaturas las tensiones de tracción pueden relajarse rápidamente. Si la temperatura es demasiado baja la relajación no puede tener lugar y estas tensiones pueden hacer romper el vidrio. Tan pronto como la temperatura baja de la temperatura de transición (aproximadamente 525ºC) el vidrio solidifica y la relajación para inmediatamente. En este momento el núcleo está caliente siendo la distribución de temperaturas parabólica. Finalmente cuando el núcleo enfría también la contracción en el volumen del material del núcleo es resistida por la superficie solidificada y fría generándose compresión en la superficie exterior y tracción en el interior. Para obtener un resultado óptimo con máximas tensiones de templado el proceso ha de llevarse a cabo de manera que la superficie solidifique exactamente en el momento en que ocurre la máxima diferencia de temperaturas entre la superficie y el núcleo y las tensiones de tracción iniciales superficiales se han relajado.

Figura 6. Proceso de templado del vidrio (adaptado de [24])

La tensión típica compresiva residual en la superficie del vidrio después de un templado medio es de 80MPa y de 170MPa para un vidrio completamente templado. En las normas Europeas el grado de templado se comprueba de forma indirecta a partir del tamaño de los fragmentos en roturas a 4 puntos siendo aquellos más pequeños cuanto mayor es el templado del vidrio.

En los vidrios con “tratamiento térmico” el proceso es idéntico a excepción de la velocidad de enfriamiento siendo esta menor y obteniéndose tensiones de compresión residuales de 40-80MPa. En estos vidrios la forma del vidrio roto es similar al vidrio recocido con fragmentos mucho mayores que los resultantes de la rotura de un vidrio templado. Usados en vidrios laminados estos trozos de vidrio grandes aportan al conjunto una resistencia remanente significativa después de la rotura.

2.1.2. El vidrio laminado (VL) El vidrio laminado consiste en dos o más placas pegadas juntas por alguna

capa intermedia plástica (Figura 7). Las placas de vidrio pueden ser de igual o


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diferente espesor y pueden tener el mismo o diferente tratamiento térmico. El proceso de laminado más común es el de autoclave a aproximadamente 140ºC. El calor y la presión de hasta 14bar aseguran que no habrá inclusiones de aire entre las placas de vidrio.

Figura 7. Principales tipos de usos del vidrio (adaptado de [24])

El vidrio laminado es un material fundamental en aplicaciones estructurales. Incluso aunque con el temple o con el tratamiento térmico se reduce la dependencia de la resistencia con el tiempo y se mejora su comportamiento estructural sigue siendo un material frágil. La laminación de un material plástico entre dos placas de vidrio permite una mejora significativa en el comportamiento del mismo después de la rotura: los fragmentos de vidrio se adhieren al film de tal forma que se obtiene una cierta capacidad estructural remanente (Fotografía 1).

Fotografía 1. Rotura típica de un vidrio laminado de seguridad en un vehículo

Esta capacidad estructural es proporcional al tamaño que alcancen los pedazos de vidrio después de la rotura y este tamaño como se ha visto es inversamente proporcional al grado de templado del vidrio, por esta razón es habitual la utilización de placas de vidrio con tratamiento térmico antes que las completamente templadas.

El vidrio laminado se usa normalmente allí donde existe la posibilidad de un impacto humano o donde el vidrio puede caer en caso de rotura. Además de


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los usos estructurales (ventanas, fachadas, etc.) la industria del automóvil es un gran consumidor de vidrio laminado.

2.2. EL PVB

2.2.1. Introducción El material más utilizado en la capa intermedia entre los vidrios es el

polivinilo butiral (PVB). Debido a que el PVB bloquea la radiación UV casi completamente las láminas de PVB son también llamadas láminas de protección frente a la radiación UV. El espesor nominal de una única hoja de PVB suele ser de 0.38mm. Normalmente dos (0.76mm) o cuatro (1.52mm) hojas forman una capa intermedia en un vidrio laminado. En vidrios laminados con cristales curvos y tratamiento térmico se suelen utilizar hasta seis hojas para compensar las desavenencias entre las formas de las placas como consecuencia del proceso de templado.

Recientemente se han desarrollado materiales sustitutivos del PVB con el objetivo de obtener mayores rigideces, independencia frente a la temperatura, resistencia a la rotura o al rasgado [28] sin embargo la alta rigidez de estos nuevos materiales dificulta el proceso de laminación por lo que el PVB sigue siendo mayoritariamente empleado en la fabricación de vidrios laminados.

2.2.2. Polímeros Desde un punto de vista químico el PVB es un polímero, es decir, una

sustancia de alto peso molecular constituida por unidades iguales de un compuesto sencillo, llamado monómero, que se repite a lo largo de la cadena.

En los polímeros existen ciertas características que los diferencian de moléculas más pequeñas. La primera es que presentan enredos de cadena. Las cadenas poliméricas se encuentran tan enrolladas entre sí que es difícil desenrollarlas. Esto es lo que hace tan fuertes a algunos polímeros en materiales como plásticos, pinturas, elastómeros o composites. La segunda característica es la presencia de fuerzas Intermoleculares. Todas las moléculas, tanto las pequeñas como las poliméricas, interactúan entre sí promoviendo la atracción electrostática. Algunas moléculas se atraen más que otras. Las polares lo hacen mejor que las no polares por ejemplo. Estas fuerzas en el caso de los polímeros dada la longitud de las cadenas poliméricas e incluso aún siendo de Van der Waals pueden resultar muy fuertes, como pasa con el polietileno con el que se confeccionan chalecos antibalas. Por último los polímeros se mueven más lentamente que las moléculas pequeñas llegando a ser estos tiempos perceptibles.

Para clasificar la gran cantidad de polímeros que existen hay diferentes criterios. Una primera clasificación puede realizarse atendiendo al grado de


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ordenación de sus cadenas poliméricas. Así, se tienen sólidos amorfos y cristalinos. El primer tipo es aquel cuyas cadenas no están dispuestas según un ordenamiento cristalino, sino que están esparcidas en cualquier dirección. Por el contrario el sólido cristalino es aquel cuya disposición molecular responde a una estructura fuertemente cohesionada y ordenada.

El más interesante de los criterios desde el punto de vista de este trabajo es aquel que atiende a sus propiedades, dividiendo así a los polímeros en tres grandes grupos: termoplásticos, termoestables y elastómeros. Los termoplásticos se conforman con gran facilidad y pueden ser reconformados varias veces sin sufrir cambios significativos en sus propiedades. Suelen ser polímeros lineales (sus cadenas no se cruzan, aunque pueden tener ramificaciones). Poseen enlaces fuertes de tipo covalente y enlaces débiles de tipo Van der Waals que son los que entran en juego al aumentar la temperatura y permitir el movimiento de las cadenas. Los termoestables tienen un comportamiento más vítreo, ya que se ordenan mediante estructuras tridimensionales, donde todos sus enlaces son fuertes de tipo covalente. Por último los elastómeros, también llamados “gomas”, tienen largas moléculas unidas de modo muy disperso con fuertes enlaces, pudiendo así sufrir grandes deformaciones.

La temperatura de transición vítrea gT es una propiedad que sólo atañe a polímeros y materiales cerámicos. Y dentro de los polímeros es un término que sólo hace referencia a los considerados amorfos. Esta característica a veces se confunde o se usa indistintamente con la temperatura de fusión la cual la tienen la mayoría de materiales y en el caso de los polímeros es una propiedad que corresponde únicamente a los cristalinos. Normalmente en grandes polímeros, aún siendo cristalinos es difícil que toda su microestructura responda a este ordenamiento y así entre el 40 y el 70 % suele ser amorfa. Por esto no es de extrañar que un polímero posea a la vez una gT y una fT . En la Figura 8 puede observarse un termograma característico de un polímero semicristalino.

Cuando se calienta un polímero cristalino a velocidad constante la temperatura aumentará a velocidad constante. La cantidad de calor requerida para incrementar un grado Celsius la temperatura de un gramo de polímero se denomina capacidad calorífica. Toda la energía que se agregue a un polímero cristalino en su punto de fusión, se utilizará en la fusión y no en un aumento ulterior de la temperatura, por eso hay en ese punto un aumento importante del flujo de calor tal y como se puede apreciar en la Figura 8. Este calor se denomina calor latente de fusión. Al fundir un polímero cristalino se absorbe una cierta cantidad de calor (calor latente de fusión) y se experimenta un cambio importante en su capacidad calorífica. En un polímero amorfo cuando se alcanza gT la temperatura sigue aumentando con un flujo de calor similar. No existe pues por lo tanto calor latente de transición vítrea (Figura 9).


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Figura 8. Termograma típico de un polímero semicristalino

Figura 9. Gráfico calor-temperatura en un polímero cristalino a la izquierda y un polímero

amorfo a la derecha

Otra propiedad característica de los polímeros es la temperatura de ablandamiento ST . En la Figura 10 la temperatura de ablandamiento se corresponde a la parte final de la curva en la zona de régimen viscoso en donde se inicia un descenso brusco del módulo elástico.

Figura 10. Módulo elástico en función de la temperatura para diferentes tipos de polímeros

El comportamiento mostrado en la Figura 10 es un ejemplo típico de un material amorfo. Pero puede haber variaciones en función del tipo de material. Así en el caso de un elastómero entrecruzado, no se observa la zona de flujo, alcanzándose un módulo de equilibrio que depende de la densidad de entrecruzamiento del material. La anchura del “plateau” correspondiente a la zona elástica depende del peso molecular del polímero, aumentando su rango al


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aumentar el peso molecular, ya que el entrecruzamiento de las cadenas es mayor. Por último si el polímero es cristalino, queda enmascarada la zona de la transición vítrea, pasando prácticamente el módulo de la zona vítrea a la de flujo al fundir el material.

Cuando la temperatura es alta, las cadenas pueden moverse con facilidad. De modo que cuando se toma una porción de polímero y se dobla, las moléculas, que ya están en movimiento, no tendrán problemas en moverse hacia nuevas posiciones, a fin de aliviar la tensión que se está ejerciendo sobre ellas. Pero si se trata de doblar una muestra de polímero por debajo de su gT o las cadenas serán lo suficientemente resistentes como para soportar la fuerza que se está ejerciendo y la muestra no se doblará; o bien la fuerza que se está aplicando es demasiado grande para que las inmóviles cadenas poliméricas puedan resistirla y ya que no pueden moverse a su alrededor para aliviar dicha tensión, la muestra se quebrará o se romperá.

Este cambio de movilidad con la temperatura ocurre porque el fenómeno que llamamos "calor" es en realidad un tipo de energía cinética, o sea, la energía de los objetos en movimiento. En otras palabras es un efecto del movimiento caótico de las moléculas. Las cosas están "calientes" cuando sus moléculas tienen una gran cantidad de energía cinética y se mueven con facilidad. Las cosas están "frías" cuando sus moléculas no tienen energía cinética y se mueven lentamente o no se mueven.

El movimiento que permite que un polímero sea flexible, no es generalmente el traslacional, sino uno conocido como movimiento segmental de largo alcance. Si bien la totalidad de la cadena polimérica puede parecer no desplazarse hacia ninguna dirección, los segmentos de dicha cadena pueden en cambio, serpentear, balancearse y rotar. Cuando la temperatura cae por debajo de gT cesa la actividad para los polímeros y el movimiento segmental de rango largo se termina. Cuando este movimiento se detiene, ocurre la transición vítrea y el polímero cambia de un estado blando y flexible a otro rígido y quebradizo. A partir de lo anterior es fácil entender que la flexibilidad de la cadena principal polimérica es el factor más importante a tener en cuenta. Cuanto más flexible sea la cadena principal, mayor será el movimiento del polímero y más baja será su gT .

2.2.3. Viscoelasticidad Se puede denominar viscoelástico a aquel material cuya temperatura está

cerca del rango de la gT y por tanto su estructura está entre el estado vítreo y el plástico, siendo su respuesta una combinación de fluido viscoso y sólido elástico. A estos materiales se les denomina habitualmente como termoplásticos, siendo más técnico el término viscoelástico. En vista de lo anterior hay materiales de comportamiento vítreo y otros elásticos pero sólo aquellos que en función de la


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temperatura pueden cubrir todos los estados son los denominados viscoelásticos. Este abanico de estados se pueden observar en la Figura 11.

La deformación elástica es instantánea; esto significa que la deformación total ocurre en el mismo instante que se aplica el esfuerzo (la deformación es independiente del tiempo). Además, al dejar de aplicar el esfuerzo la deformación se recupera totalmente, la probeta adquiere las dimensiones originales.

Por el contrario, para el comportamiento totalmente viscoso, la deformación no es instantánea. Es decir, la deformación, como respuesta a un esfuerzo aplicado, depende del tiempo. Además, esta deformación no es totalmente reversible o completamente recuperable después de eliminar el esfuerzo.

Un comportamiento viscoelástico intermedio, origina una deformación instantánea seguida de una deformación viscosa dependiente del mismo, una forma de anelasticidad. Aquí la velocidad de deformación determina si la deformación es elástica o viscosa. Muestra una componente de retardo de esfuerzo tanto en la carga como en la descarga. Para muchos pequeños esfuerzos ambos componentes instantáneo y retardo del esfuerzo, son proporcionales al esfuerzo aplicado. Este comportamiento se denomina viscoelástico lineal, una aproximación válida para los polímeros amorfos a temperaturas por encima de gT .

Figura 11. Variación del módulo de Young con la temperatura en un material viscoelástico


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2.2.4. Naturaleza viscoelástica del PVB El PVB es un material viscoelástico, es decir sus propiedades físicas

dependen fuertemente de la temperatura y la duración de la carga. A temperatura ambiente el PVB es blando y presenta una elongación antes de la rotura de más del 200%. A temperatura por debajo de 0ºC y para aplicaciones rápidas de carga es capaz de transferir las tensiones cortantes de una placa de vidrio a otra. Para mayores temperaturas y menores velocidades en la aplicación de las cargas la transferencia de cortante se reduce notablemente.

La viscoelasticidad es la propiedad de algunos materiales que presentan simultáneamente comportamiento elástico y viscoso al ser sometidos a una deformación. Los materiales viscosos al ser sometidos a un esfuerzo muestran una resistencia al flujo y a la deformación que es lineal con el tiempo. Los materiales elásticos se deforman instantáneamente al ser sometidos a una carga y vuelven a su forma original una vez que la carga deja de actuar. Los materiales viscoelásticos tienen elementos de ambas propiedades y por lo tanto su deformación es dependiente del tiempo. Mientras que la elasticidad es el resultado de “estiramientos” de enlaces atómicos dentro de planos cristalográficos definidos en un sólido ordenado la viscoelasticidad es el resultado de la difusión de átomos o moléculas dentro de un material amorfo, es decir de un sólido en el que no hay un orden a largo plazo de las posiciones de los átomos [29].

Ya en el siglo XIX físicos como Maxwell, Boltzman y Kelvin investigaron y experimentaron con la fluencia y la recuperación de materiales amorfos y gomas [30]. Posteriormente el estudio de la viscoelasticidad tuvo un fuerte desarrollo a finales del siglo XX debido a la variedad de aplicaciones de los polímeros sintéticos [30].

Los cálculos viscoelásticos dependen fuertemente de la variable viscosidad η . La inversa de la viscosidad es conocida como fluidez. El valor de ambas variables puede ser tratado como una función de la temperatura o como un valor constante [29].

Dependiendo del cambio de la velocidad de deformación en relación con la tensión aplicada (Figura 12) la viscosidad puede ser clasificada como lineal, no lineal o plástica. Cuando un material presenta una respuesta lineal se le denomina fluido newtoniano. En este caso la tensión es linealmente proporcional a la velocidad de deformación. Si el material muestra un comportamiento no lineal se le denomina fluido no newtoniano, dentro de los cuales se diferencian los fluidos pseudoplásticos y los fluidos dilatantes dependiendo de si los incrementos de la viscosidad son mayores a bajas velocidades que a altas o viceversa

Los fluidos con esfuerzo umbral, denominados plásticos, se comportan como un sólido hasta que se sobrepasa un esfuerzo cortante mínimo (esfuerzo umbral) y a partir de dicho valor lo hacen como un líquido.


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Figura 12. Diferentes tipos de respuestas de materiales plásticos

En adición un material es tixotrópico cuando su viscosidad decrece mientras la velocidad de deformación se mantiene constante [29]. Otros materiales viscoelásticos presentan un comportamiento de tipo goma, explicado por la teoría termodinámica de elasticidad de polímeros, por el que recuperan completamente su forma original al cesar la carga. En último lugar los sólidos anelásticos tienen una única configuración de equilibrio y después de un periodo de tiempo la recuperan una vez se deja de aplicar la acción exterior. Siendo estrictos todos los materiales presentan desviaciones de la ley de Hooke en diversas formas. Sin embargo desde un punto de vista práctico se pueden definir los materiales viscoelásticos como aquellos en los que la relación entre tensión y deformación depende del tiempo en una forma perceptible para los usos a los que se van a destinar.

Algunos fenómenos importantes que ocurren en los materiales viscoelásticos son

(i) Fluencia: la tensión permanece constante y la deformación se incrementa en el tiempo

(ii) Relajación: la deformación es constante y la tensión decrece en el tiempo (iii) La rigidez efectiva depende de la velocidad de aplicación de la carga (iv) Histéresis: si se aplica una carga cíclica aparece un retardo de fase que

permite disipación de energía mecánica (v) Atenuación de ondas acústicas (vi) Disipación de energía en impactos (vii) Resistencia friccional: durante la rotación de materiales viscoelásticos


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2.2.5. Comportamiento viscoelástico frente a comportamiento elástico

A diferencia de los materiales puramente elásticos los materiales viscoelásticos disipan energía (calor) al aplicarles temporalmente una carga. En estos materiales se observa el fenómeno de histéresis en la curva tensión deformación (Figura 13) siendo el área de histéresis dσ ε∫ igual a la energía perdida durante el ciclo de carga [29].

Figura 13. Curvas tensión deformación para un material elástico (izquierda) y un material

viscoelástico (derecha)

La razón de este comportamiento tiene su origen en reagrupamientos moleculares. Cuando una tensión es aplicada a un material viscoelástico partes de las cadenas de polímeros cambian de posición en un movimiento llamado fluencia. El material sigue estando sólido a pesar de estos cambios de posición entre las moléculas del polímero. Este cambio de posición crea tensiones internas en el material que cuando se igualan a la acción externa hacen que el cuerpo deje de fluir. Cuando la acción externa deja de actuar las tensiones acumuladas harán que el polímero tienda a retornar a su posición o forma original.

2.2.6. Comportamiento mecánico con la temperatura Anteriormente se han comentado las distintas propiedades de los

polímeros y se ha podido comprobar que en todos aquellos procesos y transformaciones a las que están sometidos hay dos aspectos importantes y determinantes en el comportamiento de estos materiales: el tiempo y la temperatura entre los cuales existe una estrecha relación.

En apartados anteriores se ha visto que la temperatura es un factor que tiene una influencia enorme en el comportamiento de la microestructura de los polímeros, mediando en los mecanismos atómicos y moleculares que se producen en dicha microestructura. Así se podían ver los estados de transformación de un polímero debido a la actuación de esos mecanismos acorde al gradiente de temperatura, como puede verse en la Figura 11.

Cuando se realizan ensayos de caracterización mecánica el rango de tiempos no suele ser muy amplio dado lo costoso que sería hacer los ensayos.


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Para poder expresar el comportamiento del polímero en una gran escala de tiempos se utiliza el principio de correspondencia tiempo-temperatura. Una técnica utilizada en materiales viscoelásticos es la realización de muchos ensayos en tiempos cortos a diferentes temperaturas para luego hallar una curva maestra que abarque un gran intervalo de tiempo (Figura 14).

Figura 14. Obtención de una curva maestra a partir de datos experimentales

La aplicación de esta técnica es posible gracias a la estrecha relación que en los materiales viscoelásticos hay entre el tiempo y la temperatura. Así pues se puede definir un factor de forma tiempo-temperatura ( )A θ como el cambio horizontal que debe ser aplicado a la curva de respuesta, medido a una temperatura arbitraria hasta colocarla donde tenga una curva medida a una temperatura de referencia refθ (Figura 15).

( ) ( ) ( )log ( ) log log refA θ τ θ τ θ= − (2.1)

Figura 15. Factor de forma tiempo - temperatura

Con lo dicho se asume un único tiempo de relajación. Si el modelo contiene múltiples tiempos de relajación, se obliga a que todos tengan el mismo factor de forma. De otra manera, la curva de respuesta cambiaría la forma, así como la temperatura variaría. Si el tiempo de relajación obedece a la relación de Arrhenius de la forma: ( ) /

0E Re θτ θ τ= , el factor de forma queda:


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( ) 1 1log ( )2.303 ref

EAR

θθ θ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.2)

Mientras el tratamiento cinético de Arrhenius se aplica normalmente a las transiciones secundarias de polímeros, muchos expertos creen que la transición primaria aparece gobernada por otros principios. Una alternativa muy popularizada es usar la ecuación WLF (Williams-Landel-Ferry) a temperaturas cercanas o por encima de la temperatura vítrea:

( ) ( )( )

1

2

log ( ) ref

ref

CA

C

θ θθ

θ θ− −

=+ −

(2.3)

Aquí 1C y 2C son constantes arbitrarias del material, cuyos valores dependen de éste y la elección de la refθ . Se ha comprobado que si la refθ escogida es Tg , entonces 1C y 2C toman valores “universales” aplicables a un gran rango de polímeros:

( ) ( )( )

17.4log

51.6T

Tga

Tgθθ

− −=

+ − (2.4)

Varias series de datos de fluencia o relajación tomadas a distintas temperaturas pueden ser pasados a una única curva de una temperatura arbitraria mediante el cambio horizontal. Como resultado se obtiene la respuesta del material viscoelástico en un amplio rango de tiempos (Figura 16).

Figura 16. Superposición tiempo-temperatura

2.2.7. Modelos matemáticos para modelar la viscoelasticidad a) El modelo de Maxwell La respuesta viscoelástica depende del tiempo de manera análoga a como

lo hacen los circuitos eléctricos de reactiva y ambos pueden ser descritos mediante las mismas ecuaciones diferenciales en el tiempo. Una buena manera para desarrollar estas relaciones y que a la vez ayudan a visualizar los movimientos moleculares, emplea los modelos muelle-émbolo que se pueden ver en la Figura 17.


24

Figura 17. Muelle de Hooke (izquierda) y émbolo de Newton (derecha)

En estos modelos el muelle es tal que sigue la ley de Hooke, donde σ y ε serían análogos a la fuerza y el desplazamiento de un muelle, y la constante k del muelle sería análoga al módulo de Young, E. El muelle modelaría la deformación instantánea del enlace del material y su magnitud será asociada a la parte de energía mecánica almacenada de forma reversible como energía de deformación.

kσ ε= (2.5) El proceso de desenrollo de los polímeros es de forma fluida y puede ser

modelada mediante un émbolo gobernado por la ley de Newton (Figura 17 derecha), en el que la tensión no produce una deformación, sino su derivada respecto al tiempo, que es lo que denota el punto colocado encima (2.6). Por último η es la viscosidad.

σ ηε= (2.6)

Así el modelo de Maxwell, mostrado en la Figura 18, es el resultado de colocar en serie ambos elementos mecánicos anteriormente mencionados. El muelle representaría la componente elástica o energética de la respuesta, mientras que el émbolo representaría la componente entrópica o conformacional. En una conexión de este tipo la tensión en cada elemento la misma e igual a la tensión aplicada, mientras que la deformación total es la suma de la deformación en cada elemento:

s d

s d

σ σ σε ε ε

= == =

(2.7)

Figura 18. Modelo de Maxwell

Los subíndices s y d se refieren a los términos muelle y émbolo en inglés respectivamente. Si buscamos una sola ecuación que relacione la tensión con la deformación, es conveniente derivar la ecuación de la deformación y escribir los términos de las derivadas de la tensión en términos de la deformación:

s d kσ σε ε ε

η= + = + (2.8)

Si multiplicamos por k y usamos / kτ η= :

1kε σ στ

= + (2.9)


25

Esta expresión es la ecuación constitutiva según el modelo de Maxwell, una ecuación que relaciona la tensión con la deformación. Contiene derivadas respecto al tiempo con lo que no existe un simple constante de proporcionalidad entre la tensión y la deformación. Esta ecuación puede ser resuelta para la deformación una vez que venga dada la tensión o viceversa.

b) El modelo S.L.S. (Standar Linear Solid) La mayoría de los polímeros no responden al fluir sin restricciones que

propone el modelo de Maxwell. Por lo tanto la ecuación es sólo válida para un número muy limitado de materiales. Para los polímeros más típicos, cuyo cambio conformacional es a la larga limitado por la enmarañada malla microestructural y otros tipos de puntos de enlace, se pueden usar modelos más elaborados con el sistema muelle-émbolo, que son más efectivos.

Si se coloca un muelle en paralelo con una unidad del modelo de Maxwell, se consigue un modelo muy útil conocido como S.L.S. mostrado en la Figura 19. Este muelle tiene rigidez ek así llamado porque otorga un equilibrio o dureza elástica que permanece después de que las tensiones en la unidad de Maxwell se hayan relajado y el émbolo se extienda.

Figura 19. Modelo S.L.S. a partir del modelo de Maxwell

En esta disposición, el brazo de Maxwell y el muelle en paralelo experimentan la misma deformación, y la tensión total es la suma de la existente en cada brazo del modelo

e mσ σ σ= + (2.10) Es complicado resolver la tensión mσ para el brazo Maxwell usando la

ecuación (2.8) ya que contiene a su vez la tensión y su derivada. Para esto es muy conveniente la transformación de Laplace porque reduce ecuaciones diferenciales a simples ecuaciones algebraicas. Así

( )

( )

L s

L s

ε εσ σ

=

= (2.11)

Ahora realizando la transformada de la ecuación (2.8)


26

1

1

1 1

1

m mm m

m

k k s s

k s

s

ε σ σ ε σ στ τ

σ ε

τ

= + → = +

=+

(2.12)

Añadiendo la tensión e ekσ ε= al equilibrio del muelle, la tensión total es

1 1

1 1e ek s k sk k

s sσ ε ε ε

τ τ

⎧ ⎫⎪ ⎪

= + = +⎨ ⎬⎪ ⎪+ +⎩ ⎭

(2.13)

Este modelo es capaz de describir los rasgos generales de la relajación viscoelástica mediante tres parámetros: ek y 1k son elegidas para ajustar el modulo vítreo y el elástico, y τ es elegido para ubicar la relajación en el intervalo de tiempo correcto.

c) El modelo Wiechert Un polímero real no se relaja con un único tiempo de relajación como se

predice con el modelo S.L.S., visto en el apartado anterior. Los segmentos moleculares de longitud variable contribuyen a la relajación. Con el más simple de los acortamientos de los segmentos la relajación es mucho más rápida que con los largos. Esto deja una distribución de tiempos de relajación que nos da un rango mucho más amplio. Para traducir esto a la práctica necesitamos utilizar el modelo de Wiechert, mostrado en la Figura 20, que puede tener tantas unidades elementales de Maxwell como se necesiten para aproximar la distribución satisfactoriamente.

Figura 20. Representación del modelo de Wiechert

La tensión total transmitida por este modelo es la tensión en el muelle que está solo más el de cada una de las unidades Maxwell:


27

ej

jσ σ σ= +∑ (2.14)

De la ecuación (2.11), se obtiene la tensión en cada unidad de Maxwell:

1j

j

j

k s

s

εσ

τ

=+

(2.15)

Así obtenemos

1j

e j ej j

k sk

sσ σ σ

τ

⎧ ⎫⎪ ⎪

= + = +⎨ ⎬⎪ ⎪+⎩ ⎭

∑ ∑ (2.16)

Expresión análoga a la obtenida para el modelo S.L.S. En los modelos anteriores se ha visto la manera, más o menos complicada

y precisa de aproximar el comportamiento viscoelástico lineal mediante elementos mecánicos. Estos modelos generan expresiones plagadas de ecuaciones diferenciales. Pero también pueden usarse ecuaciones integrales, y esta aproximación integral también es usada como punto de partida de la teoría viscoelástica.

Una integral no es más que una suma de términos, y en este caso sería una suma de respuestas ocasionadas al material. Partiendo de dos estados diferentes de deformación y por lo tanto llevando asociadas dos respuestas tensionales, se puede establecer una expresión para la viscoelasticidad lineal. A partir de aquí considera las tensiones como resultado de pequeñas deformaciones y suma esos dos estados tensionales, obteniendo una respuesta debida a la suma de pequeñas deformaciones. Cuanto mayor sea el número de estados tensionales provocados y por tanto de incrementos de deformaciones, la aproximación será mayor. De nuevo será interesante la herramienta de la transformada de Laplace.

2.2.8. Modelo constitutivo utilizado en Abaqus Abaqus [31] es la aplicación informática utilizada en el presente trabajo

para la resolución mediante elementos finitos de las tensiones y deformaciones de una placa de vidrio laminado sometida a presión lateral. La teoría de deformaciones finitas implementada en Abaqus es una generalización en el tiempo de los modelos constitutivos de material hiperelástico y supercompresible [31]. Se asume que la respuesta instantánea del material responde a las ecuaciones constitutivas de los materiales hiperelásticos:

0 0 0( ) ( ( )) ( ( ))D Ht t J tτ τ τ= +F (2.17)

Para un material compresible y


28

0 0 0( ) ( ( )) ( )D Ht t tτ τ τ= +F (2.18)

Para un material incompresible. Donde 0Dτ y 0

Hτ son la parte desviadora e

hidrostática de la tensión instantánea de la tensión de Kirchhoff 0τ . F es el gradiente de distorsión relacionado con el gradiente de deformación F por:

1/3J= FF (2.19)

Donde det( )J = F es el cambio de volumen. Usando integración por partes y un cambio de variables la formulación

básica integral heredada para viscoelasticidad isótropa puede escribirse en la forma:

0 00 0

( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ´) ´ ( ) ( ) ( ) ´t G e t G e t t d K t K t t dτ τ

σ τ τ φ τ φ τ⎛ ⎞

= + − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫I (2.20)

Donde τ es el tiempo reducido, ( ) ( ´) / ´G dG dτ τ τ= y ( ) ( ) / ´K dK dτ τ τ= . 0G y 0K son los módulos instantáneos de deformación a cortante y volumétrica y ( )G t y ( )K t son los módulos, en pequeñas deformaciones y dependientes del

tiempo, de relajación de tensiones a cortante y volumétrico. El tiempo reducido representa un desplazamiento en el tiempo con la

temperatura y se relaciona con el tiempo actual a través de la ecuación diferencial:

´´

( ( ))dtd

A tτ

θ= (2.21)

Donde θ es la temperatura y ( ( ))A tθ es la función de desplazamiento. Las características principales de este modelo constitutivo son [31]: • describe un comportamiento isótropo y dependiente de la velocidad

para materiales en los que las pérdidas disipativas de energía son causadas por efectos viscosos que deben ser modelados en el tiempo

• asume que los módulos volumétricos y cortantes son independientes en estados de tensión multiaxial

• puede ser usado de forma conjunta con un modelo de comportamiento elástico para definir las propiedades elásticas de los materiales

Pequeñas deformaciones

Considérese un ensayo a cortadura con pequeñas deformaciones al que se aplica una deformación función del tiempo ( )tγ a la probeta. La tensión de cortadura obtenida es ( )tτ que se define como

0

( ) ( ) ( )t

Rt G t s s dsτ γ= −∫ (2.22)


29

Donde RG es el módulo de relajación de tensiones a cortadura, que es función del tiempo.

Este comportamiento constitutivo puede ser ilustrado considerando un ensayo de relajación en el que una deformación γ es aplicada de forma instantánea manteniéndose posteriormente en el tiempo. Tomándose como instante 0 el de aplicación de la carga se obtiene que

0

( ) ( ) ( ) ( ) (ya que 0 para 0)t

R Rt G t s s ds G t tτ γ λ γ= − = = >∫ (2.23)

Donde γ es la deformación fijada. El material viscoelástico es “elástico a largo plazo” en el sentido que, después de haber estado sometido a deformación constante por un tiempo largo, la respuesta no baja de un cierto valor constante de tensión; i.e. ( ) cuandoRG t G t∞→ → ∞ .

El módulo de relajación a cortante puede ser escrito en la forma adimensional:

0( ) ( ) /R Rg t G t G= (2.24)

Donde 0 (0)RG G= es el módulo a cortadura instantáneo, por lo que la expresión para la tensión toma la forma

00

( ) ( ) ( )t

Rt G g t s s dsτ γ= −∫ (2.25)

Esta forma de la función de relajación adimensional tiene los valores límites 0(0) 1 ( ) /R Rg y g G G∞= ∞ = Grandes deformaciones

Cuando en la modelización se utilizan grandes deformaciones la ecuación de la tensión a cortadura puede ser transformada usando integración por partes:

00

( ) ( ) ( )t

Rt G g s t s dsτ γ γ⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (2.26)

Es conveniente reescribir esta función en la forma

0 00

( ) ( ) ( ) ( )t

Rt t g s t s dsτ τ τ= − −∫ (2.27)

Donde 0 ( )tτ es la tensión instantánea a cortadura en el instante t . Esta forma permite una generalización directa a las deformaciones elásticas no lineales reemplazando la relación linear elástica 0 0Gτ γ= con la relación de elasticidad no lineal 0 0 ( )τ τ γ= . Esta generalización produce un modelo viscoelástico lineal en el sentido que la función de relajación de tensiones es independiente de la magnitud de la deformación.

En la anterior ecuación la tensión instantánea, 0τ , aplicada en el tiempo t s− influye en la tensión τ en el tiempo t . Por lo tanto para crear una


30

formulación adecuada a deformaciones finitas es necesario situar la tensión que existe en la configuración en el tiempo t s− en la configuración en el tiempo t . En Abaqus [31] esto es hecho por medio de la transformación

( )( )

( )t stt

t s−∂=

∂ −xF

x (2.28)

Para asegurar que la tensión permanece simétrica Abaqus utiliza la forma integral

10 0

00

( ) ( )· ( )· ( )t

Rt t

G sSYM t s t s t s dsG

τ τ τ−⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ F F (2.29)

Donde τ es la parte cortante de la tensión de Kirchoff.

Definición del comportamiento volumétrico El comportamiento volumétrico puede ser descrito en una forma similar al

comportamiento cortante:

00

( ) ( ) ( )t

volRp t K k t s s dsε= − −∫ (2.30)

Donde p es la presión hidrostática, 0K es el módulo instantáneo volumétrico, ( )Rk t es el módulo de relajación volumétrico adimensional y volε es la deformación volumétrica. Efectos de la temperatura

Los efectos de la temperatura, θ en el comportamiento del material son introducidos a través de la dependencia de la tensión instantánea, 0τ sobre la temperatura y a través del concepto de tiempo reducido. La expresión para la tensión a cortadura elástica lineal se reescribe como

( )00

( ) ( ) ( ) ( )t

Rt G T g s t s dsτ γ ξ γ⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (2.31)

Donde el módulo a cortadura instantáneo 0G es función de la temperatura, ( ) /R Rg dg dξ ξ= y ( )tξ es el tiempo reducido definido por

( )0

( )( )

t dstA s

ξθ

= ∫ (2.32)

Donde ( )( )A sθ es una función de desplazamiento en el tiempo t. Este concepto de tiempo reducido para la dependencia de la temperatura normalmente es referido como TRS (Dependencia Termo Reológica Simple). Frecuentemente la función de cambio es aproximada por la forma Williams-Landel-Ferry (WLF):

1 0

2 0

( )log( )( )

CAC

θ θθ θ−= −

+ −1 0

2 0

( )log( )( )

CAC

θ θθ θ−= −

+ − (2.33)


31

Donde 0θ es la temperatura de referencia a la que los datos de relajación son dados y 1C y 2C son las constantes de calibración obtenidas a esta temperatura. Si 0 2Cθ θ≤ − los cambio de deformación serán elásticos, basados en el módulo instantáneo.

El concepto de tiempo reducido es también usado para el comportamiento volumétrico y la formulación de grandes deformaciones.

2.2.9. Implementación numérica El material viscoelástico puede definirse mediante una serie de Prony por

lo que el módulo de relajación adimensional queda:

/

1( ) 1 (1 )

Gi

NtP

R ii

g t g e τ−

=

= − −∑ (2.34)

Donde N , Pig y , 1, 2,...,G

i i Nτ = son constantes del material. Sustituyendo en la expresión de pequeñas deformaciones para la tensión cortante queda

01

( )N

ii

t Gτ γ γ=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (2.35)

Donde

/

0

( )Gi

tPsi

i Gi

g e t s dsτγ γτ

−= −∫ (2.36)

Los iγ son interpretadas como variables de estado que controlan las tensiones de relajación y

1 1

Ncr

iγ γ=

=∑ (2.37)

es la deformación por fluencia: la diferencia entre la deformación total mecánica y la deformación elástica instantánea (la tensión dividido por el módulo elástico instantáneo).

Para la respuesta volumétrica, la cual es válida para pequeñas y finitas deformaciones su utiliza otra expansión similar basada en una serie de Prony:

01

Nvol vol

ii

p K ε ε=

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (2.38)

Donde

/ ( )

0

K voli

P t s t s dsvol ii K

i

k e τ εετ

− −= ∫ (2.39)


32

La serie de Prony, en combinación con la expresión para deformaciones finitas para tensión cortante produce el siguiente modelo de grandes deformaciones:

01 1

N

iτ τ τ=

= −∑ (2.40)

Donde

/ 10

0

( )· ( )· ( )Gi

tPsi

i t tGi

gSYM e t s t s t s dsττ ττ

− −⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ F F (2.41)

Los iτ son interpretados como variables de estado que controlan la relajación de tensiones.

Si el comportamiento instantáneo del material se define por elasticidad el comportamiento a cortante y volumétrico puede ser definido independientemente.

Por último, la dependencia de la temperatura es introducida en Abaqus por las expresiones anteriores reemplazando / G

ise τ− por ( ) / Gise ξ τ− y / K

ise τ− por ( ) / Kise ξ τ−

2.3. DISEÑO ESTRUCTURAL EN VIDRIO LAMINADO El procedimiento general de diseño en vidrio para elementos de vidrio

estructural no es distinto al de otros materiales ingenieriles en el que existe un proceso iterativo que alterna una combinación de reglas básicas, métodos analíticos más precisos y ensayos de prototipos. El uso de estas tres técnicas varía a través del proceso de diseño. Los métodos rápidos y aproximados son usados primeramente en etapas tempranas de diseño para probar alternativas y más tarde para verificar los cálculos más precisos; los métodos más precisos son usados durante las etapas más avanzadas de diseño mientras que el ensayo de prototipos se usa para verificar el diseño antes de la construcción definitiva.

Al igual que en cualquier estructura el diseñador debería establecer los requerimientos fundamentales antes de empezar los cálculos. Estos requerimientos deben incluir los estados límites últimos que aseguran una resistencia adecuada para contrarrestar las acciones, esto es, resistencia de los materiales, estabilidad estructural general, y estabilidad elástica.

El método de diseño elástico estándar usado con la mayoría de materiales utilizados en construcción se denomina como Estados Límite. Es esta aproximación el ingeniero dimensiona un elemento estructural de tal forma que se asegure que la máxima tensión causada por una acción no excede la resistencia de un material en ninguna posición del elemento. La mayoría de ingenieros por lo tanto implementan el diseño estructural a partir de un número reducido de constantes, siendo la resistencia del material una de ellas.


33

Sin embargo la resistencia del vidrio no puede tratarse como una constante pues depende de una serie de variables. Esto explica la falta de un único valor preciso y el porqué la aproximación de tensión máxima no es adecuado para el diseño estructural con vidrio. Por otro lado el vidrio muestra antes de la rotura frágil un comportamiento elástico lineal e isótropo casi perfecto por lo que la ausencia de deformación plástica impide que las tensiones locales se puedan redistribuir por deformaciones locales. Los elementos estructurales de vidrio son por lo tanto extremadamente sensibles a la concentración local de tensiones.

Un buen modelo estructural de la estructura de vidrio debería tener en cuenta además de las acciones convencionales debido a las cargas, diferencias de temperaturas, embotamientos y deformaciones impuestas así como la geometría detallada, la rigidez de todos los componentes incluyendo soportes y fijaciones así como tolerancias.

Consecuentemente, para desarrollar diseños comprometidos en vidrio estructural el ingeniero debe tener un conocimiento profundo de las propiedades específicas del vidrio, seleccionar el método de diseño apropiado que fielmente modele la estructura de vidrio de una forma sensata y detallada.

2.3.1. Acciones en las estructuras de vidrio Las acciones sobre las estructuras de vidrio son similares a las acciones

en la mayoría de otras estructuras de edificios e incluyen peso propio, cargas estáticas, cargas dinámicas, cargas de viento, cargas de nieve, tensiones térmicas, diferencias de presión, cargas de impactos, cargas por explosiones y cargas sísmicas. En el vidrio deberían de ser además consideradas cargas debidas a impactos accidentales, vandalismo etc.

Otra particularidad del vidrio es que la historia tensional de los elementos (fluctuaciones de las cargas, duración de las mismas, etc.) tiene una importancia alta en el crecimiento de los defectos y por lo tanto de la inherente resistencia. Esta es una diferencia fundamental con otros materiales como el hormigón o el vidrio (excepto para consideraciones de fatiga). Si como ocurre en la mayoría de códigos, especificaciones o normas de diseño se utilizan las tensiones residuales superficiales y no la resistencia inherente del vidrio los modelos de valores extremos son suficiente precisos y la historia tensional puede ignorarse [24].

La norma más importante en Europa sobre acciones generales (cargas estáticas, dinámicas, viento, nieve, etc.) es la EN 1991-1-7:2006. La acción del propio peso del vidrio se da en la norma EN 572-1:2004. Los factores parciales y las guías de diseño generalmente se dan en las normas específicas de cada material.


34

2.3.2. Análisis estructural y modelado En adición a la compleja naturaleza de la resistencia del vidrio un diseño

con vidrio debe poder enfrentarse a la tarea del análisis de deformaciones y tensiones porque en contraste de otros muchos materiales de construcción los elementos de vidrio comúnmente experimentan grandes deformaciones (es decir, mayores que su espesor) antes de la rotura. En situaciones donde una placa de vidrio es cargada lateralmente y tiene restringido el desplazamiento lateral a lo largo de sus bordes grandes deformaciones causarán el desarrollo de tensiones de membrana que incrementarán la rigidez de la placa. Un incremento de la rigidez de una placa puede observarse también sin necesidad de restringir el movimiento de los extremos, por ejemplo las tensiones concéntricas de membrana que aparecen cuando una placa se deforma en una superficie no desarrollable.

En estas situaciones de gran deformación las hipótesis de la teoría de placas de Kirchhoff no son válidas. Por lo tanto debe ser usada una aproximación geométrica no-lineal. Una descripción del comportamiento no-lineal de las placas la dan las ecuaciones diferenciales parciales de Karman cuya complejidad las hacen no adecuadas para el cálculo manual por lo que en la literatura especializada están disponibles soluciones particulares [32]. En la práctica es común la aproximación por métodos numéricos tales como el método de las diferencias finitas o los elementos finitos para la resolución de los problemas no lineales.

No considerar análisis no-lineal para situaciones de gran deformación resulta en una sobreestimación de los desplazamientos. Por lo tanto las tensiones a tracción reales para una carga dada son menores y las tensiones de tracción reales para una deformación dada son generalmente mayores que las indicadas por análisis lineal. Una ilustración de este comportamiento no lineal se muestra en la Figura 21 que muestra la máxima deformación de una placa de 1676.4x1676.4x5.66mm de vidrio laminado la cual está simplemente apoyada en sus lados. Como se puede observar el análisis no lineal de elementos finitos provee de una razonable buena predicción del comportamiento sin embargo el análisis lineal resulta en errores groseros particularmente para valores altos de cargas.

2.3.3. Análisis por elementos finitos Para geometrías y condiciones de carga sencillas los cálculos manuales

basados en tablas y gráficos de códigos y normas son normalmente suficientes para la determinación de la tensión máxima y flecha máxima. Para otras geometrías o soportes (placas curvadas, taladradas, cargas no uniformes, etc.) normalmente se requiere de análisis computacionales mas detallados.


35

Figura 21. Predicciones de desplazamientos/carga frente datos experimentales considerando

modelos lineales y no lineales (adaptado de [24])

Una metodología de cálculo mediante un método práctico y fiable para predecir la rotura de vidrios laminados sometidos a cargas trasversales, pasa indefectiblemente por el conocimiento del estado tensional en las placas de vidrio, especialmente en las superficies de estas, por ser en esta zona, donde se encuentran la mayor parte de los defectos en el vidrio. Para calcular las tensiones en esta investigación se ha utilizado el método de los elementos finitos.

El método de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en inglés), es un método numérico para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física.

El método se basa en dividir el cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) —sobre el que están definidas ciertas ecuaciones integrales que caracterizan el comportamiento físico del problema— en una serie de subdominios no intersectantes entre sí denominados «elementos finitos». El conjunto de elementos finitos forma una partición del dominio también denominada discretización. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados nodos. Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama «malla».

Los cálculos se realizan sobre una malla o discretización, creada a partir del dominio con programas especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa a los cálculos que se denomina preproceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de ecuaciones lineales (o linearizadas). La


36

matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema. El número de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al número de nodos.

Típicamente el método de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y, posteriormente, a través de relaciones cinemáticas y constitutivas las deformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de un problema de mecánica de sólidos deformables o más generalmente un problema de mecánica de medios continuos. El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones). Además el método es fácilmente adaptable a problemas de difusión del calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones o de campo electromagnético. Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución analítica de estos problemas, con frecuencia en la práctica ingenieril los métodos numéricos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la única alternativa práctica de cálculo.

Una importante propiedad del método es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más finas, la solución numérica calculada debe converger rápidamente hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones. Un modelado incorrecto o una mala interpretación puede resultar en una estimación no segura de tensiones y debería ser evitada [33].

Una descripción detallada de los principios y aplicaciones de los elementos finitos queda fuera de los objetivos de esta tesis pudiéndose obtener la misma en la literatura especializada como [34], [35] y [36].

Hoy en día hay disponibles aplicaciones informáticas con capacidades de elementos finitos a un precio relativamente bajo de tal forma que la accesibilidad y versatilidad del método de elementos finitos significa que eventualmente cualquier ingeniero tiene la capacidad de hacer su propio análisis de elementos finitos.

2.4. RESISTENCIA A LA FRACTURA DEL VIDRIO

2.4.1. Estado del arte La resistencia del vidrio ha sido tema de estudio durante gran parte del

siglo XX. Se puede considerar que Griffith [37], con sus investigaciones sobre el efecto que las imperfecciones tenían en la resistencia del vidrio, fue el precursor de un gran número de investigaciones teóricas y experimentales posteriores acerca de la resistencia del vidrio.

Beason [38] combinó los trabajos de Weibull [39] y Brown [40], para formular un modelo creíble de cálculo de resistencia de cristales para ventanas que consideraba todos los factores con influencia.


37

Abiassi [41] estudió la resistencia del vidrio expuesto a los agentes atmosféricos. Norville y Minor [42] también relacionaron la resistencia a la fractura de vidrios nuevos y expuestos a la acción de la atmósfera usando especímenes monolíticos tomados de vidrios laminados de los que ensayaron cada una de las cuatro caras. Quenett [43] realizó ensayos en VL, aplicando cargas de impacto y momentos flectores. De sus investigaciones concluyó la tendencia del VL a presentar un incremento del módulo de Young con una disminución del espesor intermedio. Hooper [44] apuntó que el módulo cortante y el espesor intermedio variaban inversamente en las vigas de VL sometidos a flexión.

Minor y Reznik [45] publicaron que a temperatura ambiente la resistencia a fractura del VL es equivalente a aquellos vidrios monolíticos de igual dimensiones y espesor nominal, fabricado con el mismo tipo de vidrio. También descubrieron que según aumenta la temperatura la resistencia a la fractura del VL disminuye. Norville y Minor [42] publicaron resultados de ensayos destructivos de probetas de vidrios laminados con el vidrio templado, en los que la resistencia del VL igualaba o superaba la resistencia obtenida por Kanabolo y Norville [46]. Norville et al. [47] concluyeron que la resistencia de probetas de VL nuevas atemperadas y con tratamiento térmico era superior a probetas de vidrios monolíticos igualmente nuevos atemperados y con tratamiento térmico. Behr et al. [48] describieron detalladamente la resistencia y comportamiento de vidrios monolíticos y laminados de geometrías similares. También publicaron ensayos a flexión de vidrios laminados comparando los resultados de ensayos con probetas similares de vidrio monolítico.

El Glass Research and Testing Laboratory, de la Universidad de Tejas, EE.UU, es un centro de referencia en el sector del VL, donde se han realizado estudios en dos vertientes: (1) ensayos de roturas de placas (2) análisis teórico y experimental de tensiones. En este laboratorio Linden et al. [49] realizaron ensayos destructivos y no destructivos a temperatura ambiente, concluyendo que el comportamiento de pequeñas láminas de VL es equivalente al comportamiento de pequeñas probetas de vidrio monolítico con un espesor igual que el espesor total del vidrio -únicamente- del laminado. En otro informe Berhr et al. [48] publicaron resultados de ensayos destructivos adicionales en VL con láminas de 1524x2438x6mm3 y ensayos sobre probetas de pequeño tamaño teniendo en cuenta los efectos de la temperatura y el espesor de la lámina intermedia. También realizaron análisis teóricos y experimentales de tensiones en vidrios monolíticos, laminados y monolíticos multicapas, bajo presión lateral uniforme descubriendo que para algunos ratios de aspecto concretos, la tensión principal máxima en probetas de vidrio doble (dos láminas sin capa intermedia), eran menores que aquellas en vidrio monolítico con dimensiones idénticas sujetas a la misma presión lateral. De estos trabajos concluyeron, además, la gran influencia que tiene la temperatura en el comportamiento del VL.


38

En referencia a los análisis teóricos y experimentales de tensiones dentro del Glass Research and Testing Laboratory, los trabajos de Vallabhan, se han centrado en proponer modelos teóricos de cálculo de tensiones [50] [51] [52] y han servido de base para la elaboración de las distintas revisiones de la norma americana ASTM E 1300-04 [53] sobre dimensionamiento de vidrios laminados.

Otro centro de referencia en investigación sobre VL es el departamento de investigación en laminados de la empresa DuPont. En este centro Van Duser et al. [23] presentaron un modelo para el análisis de tensiones en laminados por elementos finitos 3D que incluye comportamiento viscoelástico y grandes desplazamientos. Los resultados se compararon con ensayos realizados por Vallabhan et al. [50] en los que se mide la flecha central en placas de entre 1500mm y 2400mm. Las tensiones determinadas mediante su modelo se combinan con un modelo probabilístico de Weibull analizando factores como la temperatura y comparando resultados con geometrías equivalentes de monolíticos.

Por último en la Universidad de Oviedo se está trabajando en un nuevo modelo probabilístico para la predicción de roturas en vidrios laminados [54] y en cuyo marco se emplaza parte de este trabajo.

2.4.2. Naturaleza probabilística de la fractura Como se ha visto en el apartado 2.1 el vidrio, a diferencia de la práctica

totalidad de los materiales de construcción, consiste en una red irregular no cristalina de átomos de oxígeno y silicio con elementos alcalinos en medio. Esta estructura molecular aleatoria no presenta planos de deslizamiento o dislocación que permitan flujo plástico macroscópico antes de la fractura; consecuentemente el vidrio es casi perfectamente elástico a temperaturas ambientes exhibiendo rotura frágil. Esta incapacidad de deformarse plásticamente antes de la fractura significa que la resistencia a la fractura del vidrio es muy sensible a concentraciones de tensiones.

La resistencia mecánica del vidrio suele estar 2 o 3 órdenes de magnitud por debajo del valor teórico calculado a partir de la fuerza necesaria para romper un enlace Si-O. Esto es debido a la presencia de microgrietas que actúan como lugares de concentración de tensiones y por tanto como centros de inicio de las fracturas. La explicación más aceptada sobre la aparición de las microgrietas es que se trata de “lesiones” producidas por abrasión durante la fabricación del vidrio o durante el enfriamiento después de un tratamiento térmico.

Debido a que los defectos de superficie causan concentraciones de altas tensiones una caracterización precisa de la resistencia a la fractura debe incorporar la naturaleza y comportamiento de estos defectos de superficie.


39

Corrosión tensional y crecimiento subcrítico de defecto En el vacío la resistencia del vidrio es, desde un punto de vista práctico,

independiente del tiempo. Sin embargo en la presencia de humedad la llamada corrosión tensional produce que los defectos crezcan lentamente cuando están expuestos a una tensión positiva de apertura del defecto. Esto significa que un elemento de vidrio sometido a tensión por debajo de su resistencia actual podrá llegar a fallar después de que transcurra el tiempo necesario para que los defectos crezcan hasta el tamaño crítico para ese particular nivel de tensión. El crecimiento de un defecto de superficie depende de las propiedades del defecto y del vidrio, la historia tensional a la que el defecto está expuesta y la relación entre la velocidad del crecimiento de la grieta y la intensidad de la tensión.

Generalmente el término corrosión tensional es usado para referirse al fenómeno químico. El término crecimiento subcrítico del defecto es usado para definir las consecuencias de la corrosión tensional, es decir para el crecimiento de los defectos.

Una explicación para el proceso químico que hay detrás de la corrosión tensional ha sido propuesta por [55] y posteriormente desarrollada por [56]. En esta teoría se propone la reacción química de una molécula de agua con la sílice en el fondo de la fisura. Otros autores [57] explican el crecimiento subcrítico por fenómenos de difusión en la fisura y cambio de las propiedades del vidrio.

Una intensidad de tensión cercana a la resistencia del vidrio provoca velocidades de grietas de hasta 1500m/s mientras que en situaciones de menor intensidad de tensión las velocidades se encuentra ente 0.001m/s y 1m/s, siendo estas velocidades las más relevantes desde el punto de vista del diseño estructural con vidrio.

Influencias en la relación entre intensidad de tensiones y crecimiento de grietas

Es importante tener en cuenta que la relación entre intensidad de tensiones y velocidad de grieta es muy sensible a distintas variables, de las cuales se puede destacar [58]:

• la humedad: El efecto del aumento de la cantidad de agua disponible tiene un efecto de incremento en la velocidad de grieta.

• Temperatura: Un incremento en la temperatura incrementa la velocidad de grieta.

• pH del medio: La velocidad de grieta aumenta con menores valores de pH.

• Composición química del vidrio


40

• Velocidad de carga. Los procesos de difusión o corrosión necesitan un tiempo por lo que también la velocidad a la que se aplica una carga influye.

Mecanismos de fractura cuasi estáticos

La mecánica de la fractura elástica lineal provee un buen modelo para la descripción de la fractura frágil del vidrio. En esta aproximación un defecto es idealizado por una grieta que tiene una geometría definida y un plano principal. El defecto puede estar en la superficie o en el interior del cuerpo. Para elementos de vidrio sólo es necesaria la consideración de los defectos superficiales. La Figura 22 muestra los términos fundamentales usados para describir los defectos en el vidrio.

Figura 22. Términos fundamentales usados para describir un defecto superficial en el vidrio

. Intensidad de tensión y resistencia de una fractura

Una microfisura produce un efecto multiplicador de la tensión que permite explicar por qué el vidrio se rompe a valores de esfuerzo relativamente pequeños. La tensión máxima en el punto de mínima curvatura se puede escribir, para una grieta elíptica de semiejes ga y gb (ver Figura 23) como

2

1 gt

g

ab

σ σ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.42)

Debido a que 2 /g g gr b a= , se obtiene que

1 2 2g gg g

g gt tr a

a bg g

a ar r

σ σ σ σ<<<<

⎛ ⎞= + ⎯⎯⎯→ =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.43)

donde σ es la tensión de rotura de la teoría de Griffith 2 / gE aσ γ π= y es válida para grietas hasta 5μm de profundidad [27].


41

Figura 23. Corte transversal de un defecto idealizado o microfisura elíptica de semiejes ag y

bg

Debido a la naturaleza frágil del vidrio, su empleo en aplicaciones estructurales debe de llevar, necesariamente, al desarrollo de una metodología de diseño probabilística. Esta metodología ha de combinar tres ingredientes principales: (1) mecánica de la fractura que relacione la resistencia del vidrio con el tamaño, forma, orientación, y crecimiento de defectos críticos; (2) la obtención de valores estadísticos para la definición de la función de distribución de tamaños de defectos, la cual es específica de cada material; (3) el conocimiento de la microestructura del material. El procedimiento de diseño debe ser seguro o conservador frente a la rotura por lo que es imprescindible una definición de probabilidad de fallo aceptable.

La naturaleza estadística de la fractura en materiales ingenieriles ha sido descrita e idealizada según dos modelos distintos [59]. La primera fue presentada por Weibull [39] y utiliza la “teoría del eslabón más débil” (WLT) tal y como la propuso Pierce, [60]. El segundo modelo también fue propuesto por Pierce, [60] y, además, por Daniels, [61]. A este segundo modelo se le conoce como “modelo en paralelo”, en el que las estructuras se suponen como un conjunto de fibras en paralelo en el que cada fibra puede soportar, de forma indefinida, una carga inferior a la de su resistencia a la rotura, pero romperá inmediatamente bajo una carga igual o superior a su resistencia a la rotura. Cuando una fibra se rompa la carga se redistribuirá entre las demás fibras y la estructura sobrevivirá. El fallo se producirá cuando las fibras finales no puedan soportar la carga creciente. El comportamiento de la fibra de vidrio, como material estructural, se puede predecir con resultados muy positivos mediante este modelo.

Por otro lado, el modelo basado en la WLT asume que las estructuras de un cuerpo frágil son análogas a una cadena de uniones, cada una de las cuales tiene una resistencia a la rotura diferente. La rotura de una unión equivale a la rotura de la estructura.

Las investigaciones muestran que de los dos modelos, el que mejor se adapta al comportamiento de materiales cerámicos, como es el caso del vidrio, es el basado en la WLT. Así pues, en su modelo, Weibull asume que un vidrio fallará cuando una tensión equivalente alcance un valor crítico de tensión en un defecto.


42

Este valor crítico dependerá de la orientación y configuración del defecto, de la función de densidad de defectos del material y de la forma de definir la tensión equivalente, es decir, del criterio de rotura. En comparación con el “modelo en paralelo”, el uso de la WLT proporciona, en la mayoría de casos, resultados más conservadores.

Weibull, en su modelo basado en la teoría WLT, no considera el fallo causado por estados de tensión compresivos, ya que observaciones fenomenológicas indican que las tensiones compresivas no juegan un papel muy importante en la rotura de materiales frágiles, ya que la resistencia a compresión de estos materiales es significativamente superior a la resistencia a tracción.

Una de las características más importantes del modelo de Weibull y de la teoría WLT es que considera el efecto del tamaño de la estructura. La cantidad y la importancia de los defectos presentes en una muestra dependerá del volumen o de la superficie de la misma. El defecto de mayor tamaño esperado en una muestra grande será mayor que el defecto de mayor tamaño esperado en una probeta menor. Otra consecuencia de la WLT es que la rotura de la estructura puede no inicializarse en un punto de máxima tensión nominal [62], como sucedería en materiales dúctiles ya que un gran defecto puede encontrarse en una región sometida a tensiones menores. Por lo tanto, en esta teoría ha de considerarse la solución de tensiones completa de toda la estructura.

Tal como definió Weibull su modelo en un primer momento, no era posible predecir el comportamiento de una muestra en un estado multiaxial de tensiones. Por ello, con posterioridad, se aplicaron una serie de conceptos (PIA, Método de la media de tensiones normales de tracción de Weibull, Modelo de Batdorf) para poder tener en cuenta la respuesta ante estados de tensiones poliaxiales.

De entre estos modelos destaca el de Batdorf [63] en el que se asume como ciertas las siguientes hipótesis: (1) las microgrietas en el material son las causantes de la fractura (2) las grietas no interaccionan entre ellas (3) cada grieta tiene una tensión crítica crσ la cual se define como la tensión normal al plano de la grieta que causará el fallo, y (4) el fallo bajo tensiones combinadas ocurre cuando una tensión efectiva eσ que actúa en la grieta es igual a crσ . Para una forma concreta de defecto, eσ se obtendrá a través de la aplicación de un criterio de rotura. Estos conceptos se usan en conjunción de técnicas para obtener varios parámetros estadísticos necesarios para el análisis de fiabilidad.

2.4.3. Análisis de fiabilidad por defectos de superficie Considérese un vidrio sometido a carga, que contenga muchos defectos

en superficie, y que el fallo general pueda iniciarse independientemente en cualquiera de esos defectos, según el modelo basado en la WLT. Cada eslabón


43

supone una probabilidad infinitesimal de fallo fsP . Discretizando el componente en n eslabones incrementales la probabilidad de supervivencia sSP del eslabón i es

( [1 ( )) ]sS fS iiP P= − Δ (2.44)

Donde el sufijo S denota dependencia de la superficie. La probabilidad resultante de supervivencia de la estructura entera es el producto de las probabilidades individuales de supervivencia

1 1

1 1

( ) [1 ( ) ]

exp [ ( ) ] exp ( )

n n

sS sS i fS ii i

nn

fS i fS ii i

P P P

P P

= =

= =

= Π = Π − Δ

⎡ ⎤≅ Π − Δ = − Δ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

(2.45)

Asumiendo la existencia de la función de densidad de defectos ( )Sη σ que representa el número de defectos por unidad de superficie que tienen una resistencia igual o menor que σ , y siendo σ una tensión de tracción uniforme, la probabilidad de fallo del eslabón i , que representa la superficie incremental iSΔ , es

( ( ) )fS Si iP AσηΔ = Δ⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.46)

Donde se exige que el incremento de superficie iAΔ sea arbitrariamente tan pequeño como para que el valor de la expresión dentro de los corchetes sea menor que uno. Sustituyendo en la ecuación (2.45), la probabilidad resultante de supervivencia es

exp[ ( ) ]sS SP Aση= − (2.47)

y la probabilidad de fallo es 1 exp[ ( ) ]fS SP Aση= − − (2.48)

Donde A es la superficie total. Si la tensión es función de la posición entonces

1 exp ( ) 1 exp( )fS rSSSP dA Bση⎡ ⎤= − − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (2.49)

Donde rSB es el llamado “riesgo de rotura” muy usado en análisis de fiabilidad.

Para describir la función de densidad de defectos ( )Sη σ Weibull introdujo una función de tres parámetros,

( )

Sm

uSS

oS

σ σσησ

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.50)

uSσ es el parámetro de tensión límite que en análisis conservadores en materiales cerámicos como el vidrio suele despreciarse ya que este parámetro representa el valor de tensión aplicada por debajo del cual la probabilidad de


44

rotura es nula. Cuando este parámetro es cero se obtiene el modelo de Weibull de 2 parámetros. El parámetro de escala oSσ se corresponde con el nivel de tensión para el que el 63.21% de las muestras fracturan. El parámetro de escala tiene dimensiones de 1/ Smtension area⋅ , siendo Sm el parámetro de forma (o módulo de Weibull) un parámetro adimensional que cuantifica el grado de variabilidad en la resistencia: si Sm se incrementa la dispersión se reduce. Para valores Sm > 40, como los que se obtienen para metales dúctiles, la magnitud del parámetro de escala se acerca a la resistencia a la rotura del material. Estos tres parámetros estadísticos son específicos de cada material, y son dependientes de la temperatura y otros factores.

Considerando una distribución de Weibull de dos parámetros, la función de densidad de defectos se expresa como

( ) S

S

m

mwSS

oS

kσση σσ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.51)

Donde (1/ ) SmwS oSk σ −= es el coeficiente de densidad de defectos uniaxial

de Weibull. Cuando la ecuación (2.51) es sustituida en la ecuación (2.49), la

probabilidad de fallo queda

( ) 1 exp SmfS wS A

P k dAσ= − − ∫ (2.52)

Batdorf et al. [64] incluyeron los efectos del cortante sobre el plano de la grieta. Su método aplica conceptos de mecánica de la fractura que combinan geometría del defecto y un criterio de fractura en modo mixto para describir las condiciones de crecimiento de fractura.

Considérese un pequeño elemento de área AΔ sometido a tensión uniforme. La probabilidad incremental de fallo bajo el estado de tensión puede escribirse como el producto de dos probabilidades

1 2( , , ) fS cr S SP A P PσΔ ∑ Δ = Δ (2.53)

Donde 1SP es la probabilidad de la existencia en el AΔ de una grieta que tenga una tensión crítica entre crσ y cr crσ σ+ Δ . La tensión crítica se define como la última tensión a la que se produce fractura uniaxial en modo I (la tensión principal es perpendicular a la grieta). La segunda probabilidad 2SP denota la probabilidad de que una grieta de tensión crítica crσ esté orientada en la dirección tal que una tensión efectiva Ieqσ (la cual es función del criterio de fractura, del estado tensional, y la configuración de la grieta o defecto) satisfaga la condición Ieq crσ σ≥ . La tensión efectiva se define como la tensión equivalente en modo I a la que está sometida una grieta cuando esta sometida a un estado de tensión multiaxial del que resultan desplazamientos superficiales de grieta en los


45

modos I, II (cuando la tensión principal no es perpendicular a la grieta) y III (cuando sobre la grieta se aplican esfuerzos de torsión).

La resistencia de un componente que contiene una población de defectos se relaciona con el tamaño de defecto crítico, lo cual es implícitamente usado en las teorías de la fractura estadísticas. Batdorf et al. [63] describen

1SPΔ como

1( )

crSS cr

cr

dP A dd

ση σσ

Δ = Δ (2.54)

Y 2SP como

2( , )

2cr

SP σπ

Ω ∑= (2.55)

Donde ( )crS ση es la función de densidad de defectos de Batdorf y ( , )crσΩ ∑ es la longitud total del arco en un círculo de radio unidad en el espacio

de tensiones principales en el que la proyección de la tensión equivalente satisface Ieq crσ σ> , y 2π es la longitud total del arco de circunferencia considerada.

Por lo tanto, para una fractura en modo mixto, la ecuación de probabilidad de fallo poliaxial de Batdorf, debido a defectos de superficie será

max

0

( , ) ( )1 exp2

Ieq cr S crfS crA

cr

dP d dAd

σ ω σ η σ σπ σ

⎧ ⎫⎡ ⎤Σ⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫ (2.56)

La función de densidad de defectos de Batdorf es una propiedad de cada material, independiente del estado tensional, y usualmente se suele aproximar por una función potencial [64], quedando en la forma

S( ) Smcr BS crkσ ση = (2.57)

Donde el coeficiente de densidad de defectos de superficie de Batdorf BSk y el módulo de Weibull Sm son evaluados a partir de datos experimentales de

fractura. Batdorf et al. [63] inicialmente propusieron aproximar S( )crση , mediante series de Taylor pero la dificultad de programación aconsejaron una aproximación mediante formulación integral más conveniente, extendida posteriormente para el uso de datos provenientes de ensayos a cuatro puntos [65].

Una simplificación de la ecuación (2.56) se obtiene considerando que

2

0( , ) ( , ) cr Ieq crH d

πω σ σ σ α∑ = ∫ (2.58)

Donde

( , ) 1

( , ) 0 Ieq cr Ieq cr

Ieq cr Ieq cr

H

H

σ σ σ σσ σ σ σ

= ≥

= <


46

Sustituyendo en la ecuación (2.56) y teniendo en cuenta simetría (para el espacio de tensiones principales), se obtiene

2

0

2 1 exp ( ) fS IeqSAP d dA

πσ αη

π⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ (2.59)

Donde ( ) ( , , )Sm

Ieq BS IeqS k x yσ σ αη =

Para un elemento dado ( , , )Ieq x yσ α es la tensión equivalente proyectada sobre el primer cuadrante de un círculo de radio unidad en el espacio principal de tensiones (Figura 24). La ecuación (2.59) permite la computación de ( , )crω σΣ y es usado para obtener la probabilidad de ese elemento en este trabajo.

La fractura ocurre cuando Ieq crσ σ≥ . Si consideramos en la modelización que la rotura es insensible a esfuerzos de cortadura (como no es el caso), entonces Ieq nσ σ= . En el caso de este trabajo de investigación en el que el material frágil que se utiliza es el vidrio cuyos defectos son los de Griffith ( I nK aσ π= , IIK aτ π= ) y cuya fractura es sensible a cortante, la tensión equivalente es

2 2 Ieq nσ σ τ= + (2.60)

Figura 24. Tensiones cortantes y normales como función de α proyectada sobre una línea

tangente a un círculo de radio unidad (en el espacio de tensiones principales)

2.4.4. Caracterización de la resistencia del vidrio Para una fractura frágil, la probabilidad de fallo en el ensayo a

flexión puede expresarse en términos de la tensión máxima (o tensión de la fibra extrema de la probeta) fσ


47

1 expm

ffP

θ

σσ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.61)

Donde θσ es la resistencia característica por unidad de área de la probeta. De la misma manera considerando defectos de superficie la distribución de

resistencias frente al ensayo uniaxial (2.52) se puede expresar en términos de fractura por tensión de la fibra extrema, fσ de la probeta por

1 expSm

ffS e

oS

P Aσσ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.62)

donde se define un área efectiva

dASm

e Af

A σσ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (2.63)

Igualando las ecuaciones (2.61) y (2.62) se puede obtener el parámetro de escala para defectos de superficie como

1 SmoS S eAθσ σ= (2.64)

Para el ensayo de flexión a 4 puntos, Figura 25, la tensión de tracción en la superficie de la probeta y = h/2, es

( )

( )( )

20

2

2 22

2

f a cx

a c

a c a cx f

a a cx f a

a c

x L LxL L

L L L Lx

L x L L x LL L

σσ

σ σ

σ σ

−= ≤ ≤−

− += ≤ ≤

− += ≤ ≤−

(2.65)

Figura 25. Geometría de probeta sometida a ensayo de carga en 4 puntos


48

Sustituyendo las ecuaciones (2.65) de distribución de tensiones en la ecuación (2.63) y realizando la integración, se obtiene el área efectiva como

( )

( )2

11

1

cS

Sae a

S

L mm wL

A w h Lw hm

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎢ ⎥= + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ++ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.66)

Donde w es el ancho de la probeta. En una probeta sujeta a tensión multiaxial el modelo de Batdorf de riesgo de rotura se iguala al modelo de rotura de Weibull dado por la ecuación (2.62) . Despejando el área efectiva se tiene que

( )2

0

, ,2Sm

IeqBSe A

f

x ykA d dAπ σ α

απ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ (2.67)

Donde

BSBS

wS

kkk

= (2.68)

BSk es el coeficiente normalizado para defectos de superficie que es obtenido a partir de ensayos uniaxiales. Igualando las ecuaciones las ecuaciones de áreas efectivas, (2.66) y (2.67):

2 1

01

( , )

2 dSBS m

Ieq

kπ

πσ σ α

ασ

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (2.69)

Esta ecuación es evaluada numéricamente; la solución cerrada, para el caso de grieta sensible a cortante y defecto de Griffith es:

2 12

2

SS

BSS

mmk

m

π ⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ ⎠=+⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(2.70)

A continuación es necesaria calcular la tensión equivalente para cada punto.

2.4.5. Análisis de fiabilidad del vidrio: computación del método Este apartado explica la metodología usada para aplicar la teoría descrita

en los apartados 2.4.3 y 2.4.4 al cálculo probabilístico del fallo de placas de vidrio laminado.

La obtención de los parámetros de la función de distribución de probabilidad de Weibull se realiza a partir de ensayos de rotura a 4 puntos (Apdo.


49

2.4.4) aunque en este trabajo se han dado por buenos los datos bibliográficos expresados en [66].

Con la Resistencia Característica del Vidrio (394.2MPa) [66] y el Módulo de Weibull, ya es posible calcular el Parámetro de Escala de Defectos de Superficie aplicando la ecuación (2.64) para lo que se necesita haber calculado previamente el Área de Referencia con la ecuación (2.66) que es únicamente función de las dimensiones de la probeta, geometría del ensayo de rotura a 4 puntos y el Módulo de Weibull.

Con el Parámetro de Escala de Defectos de Superficie se calcula la Densidad de Defectos de Superficie Uniaxial de Weibull según la ecuación (2.52).

Para el tipo de defectos presentes en los vidrios, los defectos de Griffith, debido a su sensibilidad a cortante, se calcula el Coeficiente Normalizado de Defectos de Superficie de Batdorf según la ecuación (2.70).

Con la Densidad de Defectos de Superficie Uniaxial de Weibull y el Coeficiente Normalizado de Defectos de Superficie de Batdorf se calcula el Coeficiente de Densidad de Defectos de Superficie de Batdorf despejándolo de la ecuación (2.68).

Para poder computar la probabilidad de fallo es necesario saber la probabilidad de que una grieta de tensión crítica crσ esté orientada en la dirección tal que una tensión efectiva Ieqσ satisfaga la condición Ieq crσ σ≥ . La tensión efectiva se define como la tensión equivalente en modo I a la que está sometida una grieta cuando esta sometida a un estado de tensión multiaxial del que resultan desplazamientos superficiales de grieta en los modos I, II y III.

Ahora bien, la tensión efectiva es función de la configuración de la grieta o defecto, del estado tensional y del criterio de fractura

En lo referente a la primera variable hay diferentes tipos de grietas y defectos; “Griffith Crack”, “Griffith Notch”, o defectos semicirculares, etc. tanto superficiales como de volumen. Parece haber acuerdo [27] en que los defectos responsables de la rotura de los materiales frágiles, al menos en los vidrios, son los “Griffith Crack”, más concretamente los superficiales, ya que este tipo de defectos, en el vidrio, y debido al proceso de fabricación solo aparecen en la superficie, por lo que no se van a considerar las tensiones equivalentes más que sobre este tipo de defectos. De esta manera el cálculo de la tensión equivalente queda [67]:

2

21 42e n n C

τσ σ σ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.71)

La influencia del estado tensional es evidente; dependiendo de la intensidad de la componente normal y/o tangencial, la tensión equivalente será mayor o menor.


50

Menos evidente es el criterio de fractura, con diferentes valores de la constante C , lo que significan diferentes sensibilidades a cortante. En la literatura científica se recogen distintos criterios con valores de C que oscilan entre 0.80 para el criterio denominado “Maximun Strain Energy Release Rate” y 1.15 para el criterio “Extensión Colinear de la Grieta”.

Panasyuk et al. [68] realizaron ensayos a tracción según la configuración que se puede ver en la Figura 26(a). Los ensayos se realizaron sobre probetas rectangulares sobre las que se había creado una grieta a 45º, mientras que Shetty [67] realizó ensayos a compresión en vidrios utilizando discos según la configuración que se muestra en la Figura 26(b).

Los resultados de los ensayos para vidrio, para ambos ensayos, que se encuentran en la Figura 27 y en la Figura 28 respectivamente se muestran en términos de modo I y modo II factores normalizados de intensidad de tensiones con respecto al factor de tensión crítica para la extensión de la grieta en modo I. De estas gráficas queda claro que la superposición de carga longitudinal cortante reduce el valor crítico del factor de intensidad de tensiones del modo I. Aunque los datos muestran mucha dispersión para el caso de tensiones de tracción un valor de C =0.82 es un buen ajuste, mientras que para los ensayos bajo condiciones de compresión C =1 (línea continua) presenta mejor ajuste. Por esta razón se utilizarán estos valores para el cálculo de la tensión equivalente.

Figura 26. Métodos de ensayo usados para estudiar la fractura en modo mixto en materiales frágiles. (a) ensayos a tracción en placas rectangulares [68] (b) ensayos de compresión en

discos [67].


51

Figura 27. Resistencia a la fractura en componentes cerámicos sometidos a tracción [68] [67]

Figura 28. Resistencia a la fractura en componentes cerámicos sometidos a compresión [68]

[67]

Una vez obtenido la tensión equivalente ya se puede calcular la probabilidad de rotura según la expresión:

/ 2

0

21 exp smfs BS e

A

P k d dAπ

σ απ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ (2.72)


52

Esta página se ha dejado deliberadamente en blanco


53

2.5. FOTOGRAMETRÍA DE OBJETO CERCANO Para obtener una metodología de diseño estructural en vidrio fiable es

imprescindible la validación experimental del análisis con elementos finitos para determinar si el campo de tensiones obtenido es el que realmente se genera en un elemento sometido a una determinada carga. Dada la imposibilidad de medir directamente las tensiones lo que normalmente se hace es medir la deformación que en el cuerpo se produce como consecuencia de la aplicación de la carga. Esta deformación producida en el cuerpo es comparada con la deformación obtenida del análisis con elementos finitos, validándose o descartándose la modelización.

Al medir la deformación en un cuerpo elástico se distinguen las técnicas experimentales discretas o puntuales de las de campo continuo. Las técnicas experimentales discretas son aquellas que miden la deformación del cuerpo en un solo punto, y muchas veces solamente según una única dirección del espacio como sucede por ejemplo con los relojes comparadores y las galgas extensométricas o los sensores de desplazamiento LVDT. Por otro lado las técnicas de campo continuo son las que posibilitan la medición simultánea de la deformación a lo largo de la superficie del cuerpo.

En los últimos años las técnicas ópticas de campo continuo están siendo más y más apreciadas como herramientas de medición de deformación de sólidos, de tensiones, de defectos etc. Además de la fotogrametría óptica, técnicas como Moiré e interferometría, por ejemplo, han sido concienzudamente descritas tanto desde la perspectiva teórica como desde la perspectiva aplicada. Las ventajas de los sistemas de medidas continuos, sobre los sistemas discretos son múltiples, entre las que se cabe destacar la visualización de gradientes, la detección precisa de puntos relevantes, su utilidad en materiales no homogéneos, anisotrópicos y con formas geométricas complejas, etc. En el caso de los métodos fotogramétricos, utilizados en el presente trabajo, hay que añadir como ventajas un mayor rango dinámico, tiempos reducidos de registro, almacenamiento permanente de la información, menor coste, mayor simplicidad en su uso, etc.

En la Figura 29 se muestra la relación entre el tamaño del objeto y la precisión para diferentes sistemas de medición. Como se puede observar en la misma, la fotogrametría industrial ocupa una posición intermedia, en cuanto a precisión, entre la obtenida por instrumentos basados en medidas de ángulos (goniómetros) y técnicas de metrología industrial, tales como micrómetros, máquinas de control dimensional etc. Con un cuadrado rojo se ha señalado la ubicación en cuanto a tamaño y precisión en la que se enmarca el presente trabajo.


54

Figura 29. Relación entre el tamaño del objeto y la precisión para diferentes sistemas de

medidas (adaptado de [69])

Tradicionalmente, en función de la distancia al objeto y de la posición de las cámaras, la fotogrametría se puede clasificar [69] en fotogrametría de satélites (más de 200km), fotogrametría aérea, fotogrametría terrestre (más de 300m de distancia al objeto), fotogrametría de objeto cercano (menos de 300m al objeto) y macro fotogrametría (escala de la imagen mayor que 1). Al hablar de fotogrametría industrial se habla de aquellas aplicaciones de fotogrametría de objeto cercano relacionadas con procesos industriales de manufactura.

2.5.1. Evolución de la fotogrametría de objeto cercano El desarrollo de la fotogrametría es, en determinados aspectos, parejo al

de la fotografía por lo que es desde mediados del siglo XIX cuando los avances y aplicaciones se suceden cada vez con mayor rapidez. Los primeros pasos en la fotogrametría terrestre son dados en el año 1850 en Francia por Laussedat y algunas de sus técnicas están todavía vigentes hoy en día. En 1885 se crea el Instituto Fotogramétrico de Berlín para llevar a cabo documentaciones arquitectónicas. En 1910 se funda la Sociedad Internacional para la Fotogrametría y en 1926 las comisiones técnicas que concentran estudios en el ámbito de la fotogrametría terrestre [70]. En la segunda mitad del siglo XX la fotogrametría terrestre sufre un estancamiento debido al elevado coste de las cámaras métricas y el auge de la fotogrametría aérea. Sin embargo en las últimas décadas esta


55

técnica experimenta un nuevo impulso con la irrupción de las cámaras no métricas debido fundamentalmente a su bajo coste [71], facilidad de manejo, emulsiones existentes y facilidad de revelado [72] así como a la precisión alcanzada [73].

En los últimos años se ha producido un gran salto cuantitativo con la aparición de las cámaras digitales y los distintos tipos de sensores de imagen [74] [75] [76] que prácticamente han sustituido a las técnicas de fotogrametría analógica. Actualmente la fotogrametría de objeto cercano se encuentra en plena expansión desarrollando constantemente nuevas aplicaciones, equipos y sistemas. Entre otras merecen especial atención la combinación de procedimientos fotogramétricos digitales y láser en la modelización tridimensional de objetos y superficies [77], el uso de cámaras digitales multiespectrales [78], la reconstrucción de elementos a partir de imágenes únicas y no realizadas con fines fotogramétricos [79], la videometría [80] [81], el uso de cámaras fotográficas digitales y "visión máquina" [82], aplicaciones forestales para la estimación de la forma y dimensiones de árboles [83], etc. También destaca la utilidad de la fotogrametría en el campo de las aplicaciones biomédicas (bioestereometría) utilizadas para describir las medidas de tamaño y forma de las partes del cuerpo [84] así como los cambios en su forma y dimensión a través del tiempo [85].

Además de las aplicaciones relacionadas con la medida de deformación de cuerpos ya comentadas en el Capitulo 1 también cabe reseñar la utilización de la fotogrametría en la detección de daños de elementos estructurales [20] [86], evaluación de materiales [87], ensayos de pruebas de carga [15], análisis estructural y construcción de puentes y documentación de daños en estructuras y edificios [88] [89] [90] [91].

Otras áreas donde la información proporcionada por la fotogrametría es de gran utilidad son la arqueología industrial [92], arqueología submarina [93], arqueología en general [94], patrimonio industrial agrario [70], conservación del patrimonio cultural [16], reconstrucción de accidentes y aplicaciones forenses [95].

2.5.2. Principios de fotogrametría de objeto cercano La base de la fotogrametría, incluida la fotogrametría de objeto cercano, es

la triangulación mediante la que es posible el cálculo de las coordenadas tridimensionales de un objeto a partir de información obtenida a partir de fotografías. Cuando para la triangulación no es posible el conocimiento exacto de la localización de las estaciones, como suele suceder en fotogrametría de objeto cercano, estas se pueden calcular mediante el procedimiento de orientación (Apdo. 2.5.5).

Los algoritmos fotogramétricos se fundamentan en la teoría de la proyección central (Figura 30). Esta teoría establece una serie de ecuaciones que


56

relacionan cada punto de un objeto en el espacio con sus correspondientes coordenadas en el espacio imagen. Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones de colinearidad (ver ecuación (2.83)).

Figura 30. La perspectiva de la proyección central (adaptado de [96])

Cada sistema de ecuaciones de colinearidad tiene una serie de incógnitas.

La solución a este sistema de ecuaciones se realiza usando un ajuste simultáneo de mínimos cuadrados de todas las ecuaciones de colinearidad que se llama ajuste en bloque (Apdo. 2.5.6).

Debido a que los sistemas fotográficos sólo son una aproximación a la teoría de la proyección central deben ser incluidas en el modelo funciones para modelar desviaciones tales como las producidas por los sistemas de lentes reales y cualquier otra distorsión geométrica de la imagen causada durante la toma fotográfica (Apdo. 2.7.1). Estas correcciones (Apdo. 2.7.2) determinadas a priori, o de forma simultánea con la determinación de las coordenadas del objeto, se añaden a las ecuaciones de colinearidad (Apdo. 2.5.6).

Muchos factores afectan a la precisión del trabajo fotogramétrico; la geometría de la red fotogramétrica, o localización de las cámaras y el número de imágenes (Apdo. 2.8), las características de las cámaras utilizadas (Apdo. 2.6), su estabilidad geométrica (Apdo. 2.6.3), los ajustes fotográficos utilizados (Apdo. 2.6.4), etc..

2.5.3. Sistema de coordenadas de imagen y de cámara El sistema de coordenadas de imagen es un sistema de referencia

cartesiano de dos dimensiones de coordenadas xy . En cámaras digitales la


57

matriz de píxeles del sensor define este sistema de coordenadas situándose el origen usualmente en el centro del sensor.

La relación entre el plano de la imagen y la cámara, considerada como un objeto espacial, puede ser establecida extendiendo el sistema de coordenadas imagen por el eje normal ´z . Este eje coincide aproximadamente con el eje óptico y su dirección positiva es hacia el objeto. El origen de este sistema de coordenadas de cámara se localiza en el centro de perspectiva ´O . Para muchos cálculos realizados en fotogrametría es preferible utilizar las coordenadas de cámara correspondientes al positivo de la imagen aunque el objeto realmente se encuentre en la parte del negativo (Figura 31). Así pues las coordenadas de cámara del vector imagen ´x se pueden escribir como:

´ ´

´ ´ ´´

x xx y y

z c

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.73)

Por lo tanto el vector imagen ´x describe el rayo de proyección con respecto al sistema de coordenadas imagen desde el punto de imagen al punto en el objeto (Figura 31). La posición espacial del centro de la perspectiva en el sistema de coordenadas imagen viene dado por los parámetros de orientación interior.

Figura 31. Sistema de coordenadas imagen y cámara (adaptado de [69])


58

2.5.4. Sistema de coordenadas del modelo, sistema de coordenadas del objeto y sistema de coordenadas 3D de un útil.

El sistema de coordenadas del modelo hace referencia a la posición y orientación relativa de dos o más imágenes (sistemas de coordenadas imagen). Normalmente su origen es el centro de perspectiva de una de las imágenes

El término sistema de coordenadas objeto, también conocido como sistema de coordenadas globales, se usa para el sistema de coordenadas cartesiano XYZ definido mediante puntos de referencia en el objeto (Figura 32).

Un caso especial de sistema de coordenadas en tres dimensiones es aquel asignado usando un útil de calibración arbitrariamente orientado. Este sistema de referencia no está relacionado directamente con el sistema de coordenadas del objeto pero si puede dar coordenadas espaciales cuando a través del útil se da escala al modelo.

El necesario cambio entre los distintos sistemas de referencia durante la práctica fotogramétrica implica transformaciones planas y espaciales. La explicación de los fundamentos matemáticos para la realización de estas transformaciones queda fuera de los objetivos de este trabajo siendo además sencillo la localización de los mismos en la bibliografía fotogramétrica por ejemplo en [69], [97] o [96].

Figura 32. Sistema de referencia del objeto (izquierda) y sistema de coordenadas 3D de un útil (adaptado de [69])

2.5.5. Orientación externa de las imágenes en fotogrametría de objeto cercano

En fotogrametría aérea es posible conocer la posición espacial de la cámara en el momento de la toma con una exactitud relativa alta gracias a sistemas como el GPS. Además es posible conocer también la dirección del eje óptico gracias a distinto tipos de sensores. Las coordenadas finalmente obtenidas pueden ser además verificadas gracias a la existencia en prácticamente cualquier lugar de puntos debidamente georeferenciados. En fotogrametría de objeto


59

cercano, sin embargo, es complicado obtener con una exactitud relativa suficiente la posición de los centros de proyección en el momento de hacer las tomas y además técnicamente es prácticamente imposible conocer la dirección de los ejes ópticos. Estas limitaciones de la fotogrametría de objeto cercano imposibilita la orientación exterior de las imágenes según los procedimientos clásicos de fotogrametría aérea.

En 1971 Aziz [98] propuso un nuevo método para determinar la orientación externa de las imágenes sin la necesidad de valores iniciales aproximados. El método llamado DLT o transformación linear directa está basado en las ecuaciones de colinearidad extendidas por una transformación afín de las coordenadas imagen. La resolución del sistema lineal de ecuaciones resultante permite determinar la orientación externa de las imágenes sin ni siquiera ser necesario un sistema de coordenadas fijo en la cámara.

La ecuación de la transformación DLT se expresa como:

1 2 3 4

9 10 11

5 6 7 8

9 10 11

1

1

L X L Y L Z LxL X L L ZL X L Y L Z LyL X L L Z

+ + +=+ + +

+ + +=+ + +

(2.74)

Donde x e y son las coordenadas imagen y , ,X Y Z son las coordenadas 3D de los puntos de referencia utilizados. Los coeficientes 1L a 11L son los parámetros DLT que deben ser calculados y de los cuales pueden ser extraídos los parámetros de orientación interior (3), los de orientación exterior (6) y escala y diferencia entre ejes de la transformación afín (2). Para una explicación más detallada se recomiendan las revisiones de [99] y [100]. Reordenando la ecuación (2.74) se obtiene el siguiente sistema lineal:

1 2 3 4 9 10 11

5 6 7 8 9 10 11

00

L X L Y L Z L xL X xL Y xL Z xL X L Y L Z L yL X yL Y yL Z y

+ + + − − − − =+ + + − − − − =

(2.75)

Para resolver este sistema de ecuaciones para n puntos es usual la utilización del modelo matricial ˆ= −v Ax I donde A es:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2,

1 0 0 0 0 10 0 0 0 1

1 0 0 0 00 0 0 0 1

1 0 0 0 00 0 0 0 1

n u

n n n n n n n n n

n n n n n n

X Y Z x X x Y x ZX Y Z y X y Y y Z

X Y Z x X x Y x ZX Y Z y X y Y y Z

X Y Z x X x Y x ZXn Yn Zn y X y Y z Z

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

A (2.76)


60

La determinación de los 11 parámetros DLT requiere un mínimo de 6 puntos referenciados. Debido a que las ecuaciones son lineales no son necesarios valores iniciales aproximados. Debido a la transformación afín aplicada a las coordenadas de la imagen no hay necesidad de un sistema fijo de coordenadas definido por puntos fijos en la cámara tales como marcas fiduciales ni siquiera en cámaras analógicas.

Si definimos 2 2 29 10 111/L L L L= + + la obtención de las coordenadas del

punto principal queda:

2

0 1 9 2 10 3 112

0 5 9 6 10 7 11

´ ( )

´ ( )

x L L L L L L L

y L L L L L L L

= + +

= + + (2.77)

La distancia principal (calculada según diferentes escalas en ,x y para cuando los píxeles no son exactamente cuadrados) se calcula como:

2 2 2 2 2

1 2 3 0

2 2 2 2 25 6 7 0

( ) ´

( ) ´

x

y

c L L L L x

c L L L L y

= + + −

= + + − (2.78)

Los parámetros de orientación exterior se calculan:

0 9 1 0 9 511 12 13 9

0 10 2 0 10 621 22 23 10

0 11 3 0 11 731 32 13 9

( ´ ) ( ´ )

( ´ ) ( ´ )

( ´ ) ( ´ )

x y

x y

x y

L x L L L y L Lr r r LLc c



− −= = =

− −= = =

− −= = =

(2.79)

Siendo iir los elementos de la matriz de rotación R :

11 12 13

21 22 23

31 32 33

r r rr r rr r r

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R (2.80)

La posición del centro de perspectiva se calcula como:

10 1 2 3 4

0 5 6 7 8

0 9 10 11 1

X L L L LY L L L LZ L L L

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.81)

Para evitar posibles incertidumbres los elementos de la matriz rotación deben ser normalizados a una matriz ortonormal. Los ángulos de rotación pueden ser entonces calculados a partir de


61

13

23

33

12

11

sin

tan

tan

rrrrr

ϕ

ω

κ

=

= −

= −

(2.82)

Donde , ,ϕ κ ω son los ángulos de rotación en torno a los ejes , ,X Y Z . Además de los innegables beneficios que tiene el método DLT, que puede

ser extendido para incluir correcciones por distorsión radial, también tiene algunas limitaciones; en primer lugar si todos los puntos referenciados están situados en un plano común o si el denominador en la ecuación (2.74) es cercano a cero se forma un sistema condicionado, débil o singular. En segundo lugar los errores en las medidas en las coordenadas de la imagen y los errores en las coordenadas de los puntos de referencia no pueden ser detectados lo que puede ocasionar falsos resultados. Finalmente, en situaciones reales no siempre es posible la obtención de 6 puntos referenciados.

En términos prácticos y en fotogrametría de objeto cercano en particular el método DLT se emplea como una primera etapa en la resolución fotogramétrica de un problema. Así pues los valores aproximados obtenidos se suelen utilizar como valores iniciales de un método más potente y más preciso llamado ajuste en bloque.

2.5.6. Ajuste en bloque El ajuste en bloque es un método para el ajuste simultáneo de un número

ilimitado de imágenes espacialmente distribuidas. Puede utilizar observaciones fotogramétricas, observaciones topográficas y coordenadas del objeto.

Un sistema de ecuaciones superdeterminado como el construido durante el ajuste en bloque permite estimar además de las coordenadas del objeto los parámetros de orientación exterior de las imágenes e incluso los parámetros de orientación interior, dando además información estadística acerca de la exactitud y fiabilidad del modelo. Debido a que todos los valores observados y todos los parámetros desconocidos de un proyecto fotogramétrico pueden tenerse en cuenta en un único cálculo simultáneo, el ajuste en bloque es el método más potente y preciso de orientación de imágenes y determinación de puntos en fotogrametría.

El método de ajuste en bloque, desde su aceptación por la comunidad fotogramétrica desde principios de la década de 1980, ha sido ampliamente considerado como consecuencia de su habilidad de manejar casi cualquier configuración de imágenes con pocas restricciones en los sistemas de adquisición de imágenes.


62

El modelo matemático para el ajuste en bloque está basado en las ecuaciones de colinearidad:

11 0 21 0 31 00

13 0 23 0 33 0

12 0 22 0 32 00

13 0 23 0 33 0

( ) ( ) ( )´ ´ ´ ´( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )´ ´ ´ ´( ) ( ) ( )

r X X r Y Y r Z Zx x z xr X X r Y Y r Z Zr X X r Y Y r Z Zy y z yr X X r Y Y r Z Z

− + − + −= + + Δ− + − + −− + − + −= + + Δ− + − + −

(2.83)

La estructura de estas ecuaciones permite la formulación directa de los valores primeramente observados (coordenadas imagen) como funciones de todos los parámetros desconocidos en el proceso fotogramétrico. Las ecuaciones de colinearidad, linearizadas a valores aproximados, pueden entonces ser usadas directamente como ecuaciones de observación para un ajuste con mínimos cuadrados.

Las primeras observaciones usadas son las coordenadas imagen de puntos homólogos. Las incógnitas que son halladas de forma iterativa son las coordenadas 3D de cada nuevo punto i ( pu , 3 incógnitas cada uno), la orientación exterior de cada imagen j ( lu , 6 incógnitas cada una) y los parámetros de orientación interior de cada cámara k ( cu , 0 ó 3 de cada cámara).

El ajuste en bloque por lo tanto representa una forma extendida de la resección espacial:

( )( )

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

´ ´ , , , , , , ´ , ´ , , ´ , , ,

´ ´ , , , , , , ´ , ´ , , ´ , , ,

i i j j j j j j k k k k i i i

i i j j j j j j k k k k i i i

x vx F X Y Z x y c x X Y Z

y vy F X Y Z x y c y X Y Z

ω ϕ κ

ω ϕ κ

+ = Δ

+ = Δ (2.84)

Donde , ,i j k son los subíndices de puntos, imágenes y cámaras respectivamente.

Las ecuaciones no lineales (2.83) son linearizadas usando series de Taylor y valores iniciales aproximados para todas las incógnitas entre paréntesis (obtenidos por ejemplo con el método DLT). Aquí los coeficientes diferenciales son extendidos por las derivadas con respecto a las coordenadas del objeto:

13 11 13 122 2

23 21 23 222 2

33 31 33 322 2

´ ´ ´ ´( ) ( )

´ ´ ´ ´( ) ( )

´ ´ ´ ´( ) ( )

X Y

X Y

X Z

x z y zr k r N r k r NX N X Nx z y zr k r N r k r NY N Y Nx z y zr k r N r k r NZ N Z N

∂ ∂= − − = − −∂ ∂∂ ∂= − − = − −∂ ∂∂ ∂= − − = − −∂ ∂

(2.85)

Si los parámetros de orientación interior son introducidos como incógnitas entonces son añadidos los siguientes coeficientes diferenciales:


63

0 0

´ ´1 1´ ´

´ ´X Y

x yx y

k kx yc N c N

∂ ∂= =∂ ∂

∂ ∂= − = −∂ ∂

(2.86)

Los parámetros adicionales de distorsión son introducidos de una forma similar. Si la linearización se realiza numéricamente las ecuaciones de proyección y el modelo de distorsión seleccionado puede ser programado directamente en el código fuente no requiriéndose una diferenciación rigurosa.

En notación matricial el modelo linearizado se puede escribir como

,1 , ,1,1ˆ

n n u un+ =l v A x (2.87)

Y el sistema correspondiente de ecuaciones normales es

,1 ,1, ,1u uu u u+ =N x n 0 (2.88)

Donde , , ,,

T

u n n n n uu u=N A P A y

, , ,1,1

T

u n n n nun = A P I

El vector solución y su matriz de covarianza son estimados mediante un ajuste iterativo:

1

,1 ,1 , , , , , ,1,ˆ ( )T T

u u u n n n n u u n n n nu u

−= =x Q n A P A A P I (2.89)

Donde 1

,, u uu u

−=Q N es la matriz cofactor y 20, ,u u u u

s=K Q es la matriz varianza-covarianza.

El número de incógnitas en el sistema de ecuaciones de un ajuste en bloque puede calcularse como:

( )I imagenes P puntos C cámaras datumu u n u n u n u= + + + (2.90)

Donde 6, 3 y 0... 3I P Cu u u= = = ≥ . En adición a los parámetros de orientación y a las coordenadas de los puntos pueden ser necesarios hasta siete parámetros adicionales para el datum. Sin embargo estos pueden ser eliminados por el uso de puntos de referencia o ecuaciones de condiciones de contorno adecuadas.

El número de ecuaciones disponible se calcula como 2· ·obsn P p= (2.91)

Donde P es el número de puntos y p es el promedio del número de imágenes en que aparece por cada punto.

2.5.7. Estimación de la calidad del trabajo fotogramétrico La Figura 33 ilustra la relación entre el valor verdadero χ , el valor

esperado xμ , la media o valor ajustado x y la observación individual ix . El valor verdadero y el esperado pueden diferir debido a los errores sistemáticos xΔ . La


64

desviación verdadera iη es la suma de una componente sistemática xΔ y una componente aleatoria iε .

Debido a que el valor verdadero y el valor esperado son desconocidos con un número finito de medidas, la evaluación de la calidad se basa en los residuos

iv . Los valores de calidad discutidos en el siguiente apartado están basados en medidas estadísticas.

En un análisis de la calidad de un procedimiento de ajuste la exactitud de las mediciones es un parámetro fundamental. Los valores de carácter estocástico tales como la desviación estándar proveen información acerca de la precisión o la calidad interna del modelo funcional respecto a los datos de entrada. El término exactitud sólo debería emplearse si se puede hacer una comparación entre los datos medidos y un valor de referencia obtenido mediante una técnica de mayor exactitud.

Figura 33. Desviaciones y correcciones verdaderas estocásticas y sistemáticas (adaptado de

[101])

2.5.7.a) Precisión y exactitud La exactitud de las observaciones y de las incógnitas ajustadas es de

primer interés cuando se analiza la calidad en un proceso de ajuste. Los valores estocásticos calculados proveen información acerca de la calidad del modelo funcional con respecto a los datos de entrada. Este criterio está referido a la precisión ya que describe una calidad interna del proceso de ajuste. En contraste el término exactitud debería usarse solamente si existe una comparación a los datos de referencia de mayor exactitud. Sin embargo, en la práctica la exactitud se emplea como un término general para la calidad.

2.5.7.b) RMS (Media cuadrática) y RMSE El ajuste en bloque permite el cálculo simultáneo de coordenadas

desconocidas de puntos y los parámetros de orientación interior y exterior. El


65

análisis de las desviaciones de todos estos parámetros puede dar una medida de la calidad del sistema fotogramétrico en uso.

En matemáticas, la media cuadrática (RMS o rms) es una medida estadística de la magnitud de la variación cuantitativa de unos datos. En fotogrametría el RMSE (Root Mean Squarre Error) indica el RMS de las observaciones ajustadas con respecto a la media de las observaciones ajustadas. En una colección de n valores { }1 2, ,..., nX X X el RMSE es [69]:

2

1

( )n

ii

X XRMSE

n=

−=∑

(2.92)

Para un número alto de valores ( n grande) el RMSE es igual a la desviación estándar ([69]).

2.6. CÁMARAS FOTOGRÁFICAS

2.6.1. Distancia focal / distancia principal Si un haz de rayos estrecho que se propaga en la dirección del eje óptico

incide sobre la superficie esférica de una lente delgada, los rayos se reflejan o refractan de forma que se cortan o parecen cortarse en dos puntos F y ´F situados sobre el eje óptico (Figura 34). La distancia entre esos puntos llamados focos y los planos principales externos e internos de las lentes ( 1H , 2H ) se denominan longitudes focales internas y externas ( f y ´f ), mientras que z y ´z son las distancias de los focos al objeto y a la imagen respectivamente y a y á son las distancias al objeto y a la imagen, que en un sistema óptico ideal sería también la distancia principal.

Matemáticamente se define el centro de perspectiva como el punto de la perspectiva central a través del que pasan todas las líneas de los rayos de luz (Figura 35). La distancia entre el centro de perspectiva mO y el plano focal se denomina distancia principal c . A diferencia del centro de perspectiva, que es único para un conjunto de lentes, se pueden definir dos centros ópticos; el de entrada y de salida (O y Ó ).

En el caso ideal de la Figura 34 el ángulo de incidencia τ es igual a ángulo de salida ´τ y la distancia principal c es igual a la distancia a la imagen

á . Debido a que generalmente no coinciden los planos principales con la posición real de los centros ópticos de las lentes un rayo de luz que entra con un ángulo τ sale con un ángulo ´τ distinto lo que origina un desplazamiento del centro de perspectiva, no coincidiendo en este caso la distancia principal con la distancia a la imagen. Esta falta de coincidencia entre planos principales y los


66

centros ópticos de las lentes también es la causa de la aparición de la distorsión radial.

Figura 34. Construcción geométrica de un sistema de lentes delgado ideal (adaptado de [69])

Figura 35. Centro de perspectiva y distancia principal en un sistema de lentes real (adaptado

de [69])

2.6.2. Cámaras métricas y no métricas En fotogrametría aérea las cámaras métricas analógicas (y actualmente

las métricas digitales) se han usado desde hace mucho tiempo. Estas cámaras se caracterizan por características tales como:

- Poseen una estructura mecánica robusta del sistema cámara-lente - Tienen una alta estabilidad en la geometría de la cámara: los

parámetros de orientación interior permanecen sin cambios y pueden ser tratados como conocidos a lo largo de un extenso periodo de tiempo. Esto es posible, entre otras razones, porque ni tienen ni necesitan elementos como el zoom, el ajuste de enfoque, etc.

- Las lentes están casi libres de distorsiones


67

- El punto principal coincide prácticamente con el eje óptico y el centro geométrico de las lentes

- En el caso de las cámaras analógicas existe una definición de un sistema de coordenadas imagen mediante marcas fiduciales.

De la misma manera estos principios constructivos y de calidad han sido aplicados a la construcción de cámaras terrestres estables para su uso en fotogrametría terrestre. En fotogrametría de objeto cercano la expresión cámara métrica es usada para cámaras fotogramétricas analógicas con un diseño mecánico-óptico estable [69]. A igual que ocurre en las cámaras de fotogrametría aérea en estas cámaras los parámetros de orientación interior pueden ser calibrados en laboratorio porque se asume que permanecerán constantes a lo largo de un periodo largo de tiempo. Igualmente estas cámaras métricas montan un conjunto de lentes con distorsiones mínimas y con el focus fijo. Si son cámaras analógicas presentan además un sistema (por presión o vacío) para garantizar la planitud del film fotográfico por lo que cuatro marcas fiduciales son suficientes para la definición del sistema de coordenadas.

En cámaras métricas de medio formato como la WILD P31 y Zeiss UMK que utilizan películas de hasta 130mmx180mm los parámetros de orientación interna y los parámetros de distorsión son proporcionados por el fabricante a partir de calibraciones de laboratorio, por lo que el procesado y medida es sencillo y preciso. Por contra estas cámaras son inflexibles, pesadas y caras. Es por ello que se han aplicado exitosamente en arquitectura y arqueología pero no en fotogrametría industrial o fotogrametría de objeto cercano o muy cercano, donde por ejemplo, la funcionalidad del enfoque es una necesidad.

En las cámaras analógicas semimétricas en las que no existe el sistema para garantizar la planitud del film fotográfico no son suficientes 4 marcas fiduciales por lo que es necesario utilizar una malla réseau. Por lo demás tienen similares características a las cámaras métricas aunque por ejemplo no se puede garantizar con la misma precisión la posición del punto principal debido a que es habitual que incluyan características como objetivos intercambiables, lentes enfocables, etc.

Las cámaras analógicas que además de no garantizar una planitud del film fotográfico no cuentan con un sistema de referencia fotogramétrico suelen ser llamadas no métricas o amateur. En estas cámaras los cambios no controlados o accidentales de los parámetros de orientación interior pueden ocasionar una significativa pérdida de precisión, en comparación con las cámaras métricas o semimétricas.

Hoy en día las ventajas derivadas del comportamiento muy cercano a la proyección central de las cámaras métricas analógicas y el conocimiento de sus parámetros de orientación interior han perdido importancia debido a su alto coste


68

y el inconveniente manejo que supone el nivel básico de control fotográfico que normalmente incluyen [102].

En cuanto a las cámaras semimétricas con rejilla réseau a pesar de contar con más flexibilidad y opciones que las métricas es obvio que están siendo reemplazadas completamente por las cámaras digitales debido a los avances en la calidad de la imagen digital [69].

En cámaras digitales algunas de las características que definen una cámara analógica métrica o semimétrica dejan de tener sentido. Por ejemplo el sistema de píxeles perfectamente ordenado por filas y por columnas hace totalmente innecesario la utilización de marcas fiduciales o rejilla réseau. Al no haber película fotográfica tampoco hay posibilidad de variación en la curvatura de la misma ni necesidad de mantenerla plana. Cuestión aparte es la falta de planitud que pueda haber en los sensores digitales aunque este defecto se puede modelar y corregir de forma conjunta y simultánea con la modelización de las distorsiones de las lentes.

Otras características que definen a las cámaras métricas analógicas si tienen correspondencia con cámaras digitales de altas prestaciones usadas en fotogrametría digital. Así pues una construcción robusta e indeformable que garantice la perpendicularidad del eje óptico, el uso de lentes perfectamente alineadas y con bajas distorsiones así como el uso de focales fijas son característicos de cámaras especialmente diseñadas para ser utilizadas como instrumentos de medida. En esta categoría se encuentra por ejemplo la cámara Rollei D7 metric [9]. También es común que incorporen en la propia cámara ordenadores con aplicaciones especialmente diseñado para la detección de dianas, realización de mediciones, etc. Como ejemplos de estas cámaras pueden ponerse la INCA 6.3 y la Imetric Icam 6.

En base a lo anterior en este trabajo se denominarán cámaras métricas digitales a las cámaras fabricadas específicamente para ser utilizadas con fines métricos y que por lo tanto comparten como características fundamentales una construcción robusta del conjunto lentes – sensor, una distancia focal fija, y unas lentes de alta calidad. Todas las demás cámaras se considerarán como no métricas.

Dentro de las cámaras digitales no métricas (también llamadas cámaras estándar o cámaras nóveles en la literatura científica) y desde el punto de vista de sus capacidades métricas y su uso en fotogrametría de objeto cercano (Apdo. 2.6.3), se suele distinguir 2 categorías; las cámaras profesionales (“high-grade” ó “high quality”) y las cámaras de consumo (“amateur” o “low cost”). Entre estos dos tipos de cámaras no hay ningún aspecto diferencial concreto; por ejemplo es posible encontrar tecnologías como SLR (single lens réflex) o la estabilización óptica en ambas categorías. Se podría hablar por lo tanto de un degradado en el


69

que en un extremo están cámaras que comparte características como una manufactura rígida, un sensor de grandes dimensiones o la posibilidad de cambiar los objetivos (Alpha 12 WA, Canon EOS 5D, Nikon 3D, Rollei 6008, Pentax 20D) y en el extremo opuesto las cámaras compactas digitales o cámaras donde el conjunto de lentes (no intercambiable) se recoge en el interior de la misma. En medio hay toda clase de variaciones con características intermedias como por ejemplo las llamadas cámaras semiréflex que presentan tecnología SLR pero no tienen objetivos intercambiables.

En cuanto a las videocámaras, las cuales presentan un gran número de aplicaciones en fotogrametría industrial, se encuentran en la literatura científica ejemplos de cámaras muy distintas. Desde las más sencillas (en cuanto a resolución, tasa de refresco y rango dinámico, por ejemplo JAI CV-M50 ½´´ de una resolución de 0.44Mpixel ó 768x574) utilizadas en aplicaciones de visión artificial o control de deformaciones visibles [7] [8] hasta las más sofisticadas utilizadas en metrología industrial como por ejemplo una Weinberger SpeedCam MiniVis 1.3Mpixel - 1280x1024 y hasta 500 Hz en [19].

En fotografía digital no hay ningún elemento discriminatorio en cuanto a las posibilidades de definir un sistema de coordenadas imagen en las fotografías de cualquier cámara. Por otro lado en los últimos años se han desarrollado algoritmos y procedimientos para conocer y modelar fácilmente las distorsiones que se producen al capturar imágenes. Por ambos motivos hoy en día cualquier cámara digital puede ser, en principio, utilizable para fotogrametría. Obviamente no todas las cámaras tienen el mismo potencial fotogramétrico ni las mismas capacidades métricas sino que estas son función de una serie de variables entre las que se puede destacar:

- Estabilidad geométrica: En este apartado pueden resumirse todas las variables que influyen en la reproducibilidad y repetitividad de los parámetros internos de cámara y los coeficientes que modelan las distorsiones.

- Calidad de imagen: La calidad de imagen (nitidez, ausencia de aberraciones cromáticas o radiométricas) va a depender de la calidad de las lentes, la tecnología del sensor, el procesado de la información de la imagen durante la conversión analógico-digital, (compresión, corrección del color) la densidad de píxeles en el sensor, etc.

- Resolución: En general a mayor resolución mayor precisión aunque no es ni el único ni el más importante factor que afecta a la precisión final.

- Posibilidad de control en la cámara: Control de la apertura del diafragma, posibilidad de fijar el focus.


70

Debido a la excelente relación entre las prestaciones y el coste el interés por la utilización métrica de cámaras digitales estándar en fotogrametría de objeto cercano se está incrementando en los últimos años, tal y como se recoge en la introducción de la comisión V de la ISPRS en su reunión cuatrianual en Beijing 08. Cada vez es más abundante la bibliografía en torno a las posibilidades de estas cámaras.

Ya desde los años 90 algunos investigadores han investigado, con resultados positivos, el potencial fotogramétrico de cámaras no métricas profesionales de formato medio y estándar [103]. Los modelos DCS420, DCS460 y DC40 de Kodak han sido ampliamente ensayados para una amplia variedad de aplicaciones [104] [80] [103] al igual que se ha contrastado el buen comportamiento fotogramétrico de la cámara Kodak DCS Pro Back usada de forma conjunta con el cuerpo Mamiya [105]. También en [10] se analiza la capacidad fotogramétrica de seis cámaras profesionales (Alpha 12 WA, Canon EOS 5D, Nikon D3, D2X, D80 y D200). En [106] incluso se investiga la capacidad de una cámara Kodak DCS Pro para la realización de fotogrametría aérea.

Debido a que el uso de cámaras digitales de consumo está incrementándose en muchas aplicaciones industriales y en otros campos fotogramétricos [107] también el número de publicaciones acerca de las capacidades métricas de estas cámaras se está incrementando. Por ejemplo en [108] se compara una cámara métrica (Rollei D7 metric) con una cámara profesional (Canon EOS 1D) y dos cámaras compactas (Nikon 4500 y Sony DSC-F707). En [109] se estudia el potencial métrico de una cámara compacta (Olympus C-5050), en [110] se compara la cámara Kodak DCS 460 con las compactas Sony DSC-P10, Olympus C3030 y Nikon Coolpix 3100 y en [15] se analiza una Sony DSC-F707.

En este trabajo también se han utilizado cámaras estándar compactas de alta calidad. Como ya se ha mencionado anteriormente en el diseño y manufactura de estas cámaras (al igual que en todas las no métricas) prima la calidad de imagen frente a sus posibles usos métricos. Esto no implica que no tengan un alto potencial para su uso fotogramétrico sino simplemente que hay un desconocimiento inicial de los parámetros de orientación interior, de las distorsiones que producen sus lentes así como de su estabilidad geométrica a lo largo del tiempo. El estudiar este potencial fotogramétrico, en referencia a la medida de deformación de sólidos elásticos, es uno de los objetivos específicos de este trabajo de investigación.

2.6.3. Estabilidad geométrica de cámaras no métricas En este trabajo se define la estabilidad geométrica como la capacidad de

una cámara de mantener y/o recuperar una determinada configuración geométrica


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del conjunto de lentes con el sensor a lo largo del tiempo o en determinadas situaciones. El hecho de no poder mantener o recuperar una determinada configuración geométrica implica que los parámetros de orientación interna (incluyendo las distorsiones geométricas) de la cámara varíen. Dependiendo de la magnitud de estos cambios las cámaras quedarán invalidadas para determinados necesidades fotogramétricas.

El simple apagado y encendido de una cámara digital compacta con recogimiento de lente en el interior del cuerpo implica el accionamiento motores y tornillos. Este movimiento es causa inevitable de inestabilidad geométrica que es necesario evaluar y cuantificar. En cámaras digitales réflex o semiréflex en las que no se recogen las lentes no existe este problema pero si que puede haber un cambio en la longitud focal y los demás parámetros del modelo de cámara si se desmonta o intercambia el objetivo. Otro ejemplo de inestabilidad geométrica no es achacable a estas causas relacionadas con las tolerancias de la máquina sino que se derivan de un diseño intencionado. Así pues existen cámaras en donde al sensor se le permiten movimientos relativos al cuerpo [111] para protegerlo frente a golpes. En otras cámaras, en concreto las dotadas de estabilizador óptico, ya no es que se permita el movimiento relativo del sensor sino que éste es intencionadamente inducido para compensar movimientos de toda la cámara y ganar en nitidez de imagen.

En la literatura científica la estabilidad geométrica de las cámaras no métricas no ha sido tan estudiada como el estudio de las capacidades fotogramétricas de las mismas [112]. En [108] se atribuye la falta de literatura a la ausencia de estándares para la cuantificación de los análisis de estabilidad en las cámaras. En este mismo trabajo [108] se propone una aproximación estadística basada en la comparación de los resultados obtenidos a partir de distintos conjuntos de parámetros de orientación interna. En [113] se propone una estrategia para valorar la estabilidad geométrica usando la relación entre la precisión media de las coordenadas del objeto y la dimensión más grande del levantamiento. En [109] se estudia la estabilidad geométrica de una Olympus C-5050 comparando las coordenadas de puntos de chequeo con las coordenadas adquiridas con una estación total. En [106] se presentan tres metodologías para evaluar la estabilidad de una cámara. Los procedimientos incluyen distintas restricciones en cuanto la orientación exterior comparándose los resultados del ajuste en bloque. En [112] se examina la estabilidad geométrica y la consistencia de fabricación de una cámara digital compacta (Nikon Coolpix 5400) estimándose el grado de similitud entre los modelos digitales de elevaciones obtenidos con los diferentes conjuntos de parámetros internos obtenidos durante un año y para siete cámaras idénticas.


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En [114] se presenta un trabajo con cinco cámaras de bajo coste a lo largo de cuatro meses. En su trabajo consideran el cambio de los parámetros de calibración con el uso del autofocus y la variación de los parámetros de calibración en el tiempo. En el estudio se resaltan las apreciables diferencias entre unas cámaras y otras pero se concluye que, bajo ciertos límites y requerimientos de precisión este tipo de cámaras son perfectamente válidas para fotogrametría. En [115] se consideran variaciones en el tiempo de los parámetros de calibración, cambios temporales en la distancia principal, cambio en la posición del punto principal, cambios en la distorsión, influencia del zoom y de la apertura del diafragma en ocho cámaras digitales compactas. En [108] se compara la estabilidad de tres cámaras compactas a lo largo de varios meses con la de una cámara métrica (Rollei D7 metric). En este trabajo se concluye que la cámara compacta Sony DSC-F707 presenta una estabilidad geométrica similar a la cámara métrica.

Distintas investigaciones han tratado de compensar o modelar la geometría inestable de las cámaras no fotogramétricas. Así pues se han propuesto modelos extendidos de cámara que incluyen la parametrización de orientaciones interiores cambiantes, parámetros adicionales para modelar la distorsión del sensor [116] o los efectos gravitacionales [111]. Alternativamente se encuentran propuestas de estabilización mecánica fijando el sensor dentro de la cámara [113] lo que suele traducirse en la pérdida de garantía de la misma.

En [10] donde se estudia la estabilidad geométrica de seis cámaras SLR profesionales sometidas a varias situaciones reales como montar y desmontar un flash anular montado sobre la lente y sobre el cuerpo de la cámara. En el estudio se concluye que el objetivo desmontable es la parte que produce más inestabilidad en la cámara. En esta investigación se propone mejorar la estabilidad geométrica de estas cámaras pegando el objetivo al cuerpo con resina epoxi, lo cual según comprueban, mejora sustancialmente la estabilidad geométrica de la misma.

2.6.4. Otros factores que afectan a la precisión de trabajo fotogramétrico en cámaras compactas

Junto a las variables intrínsecas y específicas de cada cámara sobre las que se puede actuar de forma limitada (inestabilidad geométrica, resolución máxima, calidad de imagen, etc.) hay ajustes comunes a todas las cámaras digitales cuyo uso correcto debe ser considerado con la finalidad de establecer las condiciones óptimas que permitan obtener la máxima precisión en un levantamiento fotogramétrico. Entre estos ajustes puede destacarse el uso del zoom, el nivel de sensibilidad del sensor, el nivel de compresión en las imágenes, el uso del autoenfoque y la apertura del diafragma.


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2.6.4.a) Utilización del zoom La utilización del zoom implica una modificación directa de la longitud focal

(Figura 36) y por lo tanto de la distancia principal lo que supone una modificación del modelo de cámara que también afecta a los coeficientes de distorsión de las lentes. Estas modificaciones no deben por lo tanto achacarse a la inestabilidad geométrica de las cámaras. Por otro lado, el uso del zoom, particularmente en cámaras compactas, supone el accionamiento de motores y por lo tanto movimientos relativos entre las lentes de una forma no suficiente controlada y precisa por lo que la vuelta a la longitud focal de partida no es exacta. Esta situación si debe ser entendida como consecuencia de la inestabilidad geométrica de una cámara.

Figura 36. Ejemplo de funcionamiento de un conjunto de lentes con zoom y focus (adaptado

de [69])

Fraser et al. [115] han realizado investigaciones en las que se ponen de manifiesto las discrepancias entre la longitud focal informada por la propia cámara y almacenada en la información Exif (Exchangeable Imagen File Format) de la imagen y la calculada o real. Estas discrepancias suponen diferencias en la longitud focal de hasta 3mm en cámaras compactas tal y como se puede apreciar en la Figura 37. En referencia a la posición del punto principal con el uso del zoom se han descrito también importantes variaciones lineales y no lineales [115] en tanto que la variación de distorsión radial con el zoom no es lineal y su valor es mayor cuanto menor es la distancia focal [115]. Estas observaciones son consistentes con las realizadas por otros autores[117] [118] [119] [114].

Como consecuencia de lo anterior y con el fin de alcanzar la máxima precisión en el transcurso de un levantamiento fotogramétrico el uso del zoom debe ser evitado.


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Figura 37. Discrepancias entre la información Exif almacenada en las imágenes y la longitud

focal real (tomado de [115])

2.6.4.b) Enfoque En una cámara fotográfica el enfoque es el mecanismo que permite la

obtención de tomas nítidas. El interés del correcto uso del enfoque en fotogrametría deriva del hecho de que la utilización del mismo supone una modificación de la longitud focal. Las variaciones que se producen son muy inferiores a las producidas por el uso del zoom, pero han de tenerse en cuenta en trabajos de altos requerimientos de precisión.

En una cámara enfocada al infinito los objetos lejanos aparecen como imágenes nítidas ya que el plano de la imagen, a veces llamado plano focal, coincide con el plano del sensor. Para objetos cercanos a la cámara la imagen se forma distante al plano del sensor por lo que aparecen como desenfocados. Para poder enfocar objetos cercanos las lentes (Figura 36) deben ajustarse para incrementar la distancia entre el punto nodal trasero y el plano del sensor hasta que éste llega a coincidir con el plano de la imagen.

Un punto P situado a una distancia a de un sistema óptico está perfectamente enfocado si los rayos proyectados caen sobre el plano de proyección (Figura 38). Los rayos de la proyección de otros puntos situados a otras distancias del sistema óptico (por ejemplo 2P o 1P ) no convergerán en el plano de proyección.


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Figura 38. Enfoque y profundidad de campo (tomado de [69])

Desde un punto de vista práctico el ojo humano percibirá un punto como

enfocado si los rayos convergentes no distan, en el plano de proyección, una distancia (llamada círculo de confusión de diámetro ´u ) mayor de 20μm en fotografía analógica o 1 píxel en fotografía digital. Por lo que todos los puntos situados a una distancia inferior a 2P o mayor a 1P se percibirán como enfocados. Estas distancias pueden ser calculadas como:

1 1

a aR SK k

= =+ −

(2.93)

Donde

2

( ) ´k a f uKf−=

Y k es el número F, f es la longitud focal y a es la distancia al punto enfocado.

Reordenando la ecuación (2.93) el diámetro del círculo de confusión ´u puede ser calculado:

2

´( )

S R fuS R k a f

−=+ −

(2.94)

Y la profundidad de campo se puede definir como

22

2 ´ (1 )

´´

u kT S Ru kf

β

β

+= − =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.95)

Por lo que para un diámetro dado de círculo de confusión la profundidad de campo depende del número F y la escala de la imagen ´β . La profundidad de campo se incrementará si la apertura se reduce, la distancia del objeto se incrementa o si la longitud focal se reduce. La Figura 39 muestra la relación no lineal entra la profundidad de campo a diferentes escalas y aperturas.


76

Figura 39. Profundidad de campo como función de la escala de la imagen (adaptado de [69])

Conceptualmente la profundidad de campo es el rango de distancias reproducidas en una fotografía donde la imagen es aceptablemente nítida comparada con el plano más nítido de la misma [120]. De esta definición se deduce que:

1. La Profundidad de campo sólo existe en el contexto de una reproducción. No es una propiedad intrínseca de un lente y depende de valores de apreciación subjetivos.

2. La expresión aceptablemente nítida se refiere a la zona que rodea el plano de la imagen que está enfocada. En una fotografía el resto de puntos están desenfocados en cierta medida (aunque no sea obvio), solo un plano está perfectamente enfocado. Los límites de la profundidad de campo son precisamente donde la falta de nitidez se vuelve perceptible para el observador. En fotogrametría de objeto cercano ha de tenerse especial cuidado de

asegurar suficiente profundidad de campo ya que un mismo objeto puede presentar puntos a muy diferentes escalas de imagen. La profundidad de campo se reduce drásticamente (Figura 39) para escalas grandes ( ´β pequeño) como sucede en fotografías a una corta distancia.

Es importante notar que bajo ciertas circunstancias puede ser tolerado un ligero desenfoque de la imagen. Por ejemplo con dianas circulares en el que el borde está parcialmente desenfocado puede ser posible centrarlo con precisión gracias a que el desenfoque es simétrico respecto del centro en cualquier dirección.

Hoy en día en las cámaras no métricas es habitual encontrar los siguientes tipos de enfoque


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• Enfoque fijo • Enfoque variable

o Manual o Enfoque automático

Activo • Medición ultrasónica • Medición infrarrojos

Pasivo • Detección de fase • Medición de contraste

El enfoque fijo lo presentan además de las cámaras métricas de fotogrametría aérea las cámaras semimétricas utilizadas en fotogrametría de objeto cercano. Una cámara con focus fijo no tiene lentes para el control del enfoque. El enfoque está ajustado de fábrica, normalmente para que la profundidad de campo llegue al infinito incluso a la máxima apertura del diafragma. La ventaja que presentan estas cámaras (u objetivos) desde un punto de vista métrico es evidente ya que en estas cámaras la longitud focal no varía y además es conocida de fabrica. La principal desventaja es su inflexibilidad ya que la única manera de controlar la profundidad de campo y por lo tanto el enfoque es mediante la apertura del diafragma.

Cualquier cámara con capacidad de enfoque debe de tener al menos un elemento de las lentes que pueda desplazarse. Cuando este desplazamiento se realiza gracias al accionamiento manual de un tornillo presente en el objetivo se habla de enfoque manual. Este tornillo de enfoque está presente en todas las cámaras digitales réflex o semiréflex y en todas aquellas con objetivo intercambiable. En algunas cámaras, como en algunas compactas digitales de gama alta, el desplazamiento de la lente de enfoque se puede controlar manualmente con controles digitales al prescindir la cámara de tornillo de enfoque.

Cuando es la cámara fotográfica la encargada del desplazamiento de la lente (o lentes) del enfoque se habla de enfoque automático o autoenfoque. En este caso se distinguen dos tecnologías que tienen que ver con la medición de la distancia a la que está el objeto principal de la escena; autofocus activo o pasivo.

En los sistemas activos la medida de la distancia al objeto se realiza bien mediante diferencias de fase de ultrasonidos o triangulaciones con luz infrarroja. Una vez medida la distancia se ajusta el sistema óptico accionándose un tornillo que mueve la(s) lente(s) responsables del enfoque. La mayor ventaja de los sistemas activos de medición de distancias es que pueden operar en la oscuridad.


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Los sistemas de autoenfoque pasivos están basados en el análisis pasivo de la imagen que entra en el sistema óptico. Se denominan pasivos por que no emiten energía (ultrasonidos o luz) al objeto, aunque en situaciones de baja luminosidad pueden requerir de la ayuda de los sistemas activos de autoenfoque. En los sistemas pasivos de autoenfoque se distinguen dos tecnologías; la detección de fase y la medida del contraste.

En el sistema de detección de fase, la luz que entra en el sistema óptico se divide en pares de imágenes que se comparan. En el caso del sistema SIR TTL (Secondary Image Registration Trough The Lens), frecuentemente utilizado en cámaras réflex, se usan dos prismas que dirigen los rayos convergentes hacia el sensor de autoenfoque. En el sensor se analizan las imágenes y las diferencias de fase encontradas indican si el objeto está por delante o por detrás del plano de enfoque lo que da directamente la cantidad y el sentido del movimiento necesario para el ajuste de la(s) lente(s) del enfoque. Esta rapidez es una de las mayores ventajas de este sistema que por otra parte requiere para su funcionamiento de un sistema réflex.

En el sistema de medida de contraste un microprocesador mide la diferencia en intensidad entre píxeles adyacentes mientras se produce un recorrido a lo largo de todo el campo de desplazamientos de la lente de enfoque. El mejor enfoque se producirá cuando la diferencia en intensidad (contraste) entre los píxeles adyacentes o cercanos sea máxima. Este sistema de enfoque presenta como ventajas la sencillez tecnológica así como los buenos resultados obtenidos en cuanto a nitidez. Por el contrario se trata de un sistema de enfoque más lento que los anteriores.

2.6.4.c) Apertura del diafragma En óptica, apertura es un agujero o perforación a través de la cual pasa la

luz. Más específicamente, la apertura de un sistema óptico es aquella que determina el ángulo del cono de un haz de rayos que se enfoca en el plano de imagen. En fotografía, la magnitud de la apertura está controlada por el diafragma, que es una estructura interpuesta en la trayectoria de la luz para regular la cantidad de ésta admitida en el sistema. En combinación con la velocidad de obturación y el tamaño de apertura regula el grado de exposición de la luz del sensor, determinando así el valor de exposición.

El interés del uso correcto de la apertura de diafragma en fotogrametría de objeto cercano se deriva de la influencia que la misma tiene sobre la distancia principal (o longitud focal efectiva) y por lo tanto sobre el modelo de cámara. Así pues en la Figura 38 la imagen a la distancia del punto P se formaría por detrás (a la derecha) del sensor si el diámetro de la apertura fuera menor obligando el desplazamiento de las lentes del enfoque (Figura 36). De forma contraría con un


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diámetro de apertura mayor la imagen nítida se formaría a la izquierda del sensor obligando el desplazamiento de las lentes de enfoque en sentido contrario.

En las cámaras semimétricas en las que la distancia focal está fija lo que se consigue con la regulación de la apertura es regular la distancia del plano de mayor nitidez. Así pues, siguiendo con el ejemplo anterior, el cambio de apertura significará que el punto P pase a estar desenfocado debido a que no se puede regular el enfoque. El plano de mayor nitidez pasa a estar más alejado o más cerca de la cámara según si se cierra o abre el diafragma.

El número F, a veces llamado ratio focal (o apertura relativa) en un sistema óptico expresa el diámetro de la apertura en términos de la longitud focal efectiva de la lente; en términos más sencillos, el número F es la longitud focal dividida por el diámetro de la apertura por lo que al numero F, /#f , frecuentemente notado como N , se calcula como

/# ff ND

= = (2.96)

Donde f es la longitud focal, y D es el diámetro de la apertura del diafragma. Por convenio “ /#f ” es tratado como un único símbolo de tal forma que si por ejemplo la distancia focal es 16 veces el diámetro de la apertura del diafragma el número F es /16f o 16N = .

Las cámaras y lentes modernas usan una escala estandarizada de pasos que son una sucesión de números que se corresponden a la secuencia aproximada de las potencias de 2 ; f/1, f/1.4, f/2, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8, f/11, f/16, f/22, f/32, f/45, f/64, f/90, f/128, etc.

La profundidad de campo aumenta en relación inversa a la apertura, es decir, cuanto más cerrado se encuentra el diafragma o lo que es lo mismo, cuanto mayor sea el número F elegido. Por ejemplo, con un número F de f/5.6 la profundidad de campo no será muy amplia, mientras que con un número F f /11 o de f /16 se aumenta la profundidad de campo.

El ángulo o apertura de campo de una lente 2 ´α (Figura 40) se define a partir de su longitud focal f y el diámetro de entrada del diafragma ´d :

´tan ´

2df

α = (2.97)

En contraste el ángulo del formato (ángulo de campo) 2Ω se define por el ángulo de imagen máximo utilizable con respecto a la diagonal del formato ´s y la distancia principal c :

´tan

2sc

Ω = (2.98)


80

Figura 40. Ángulo de campo y ángulo del formato (adaptado de [69])

2.7. MODELIZACIÓN Y CALIBRACIÓN DE CÁMARAS DIGITALES

El propósito de la modelización de una cámara, en el contexto de la metrología fotogramétrica, es la de conseguir un modelo teórico que describa como se transforma la escena en imagen. Mediante la modelización de una cámara se adquiere conocimiento acerca de la relación entre una imagen de una escena tomada por la cámara y la propia escena. Como resultado de la modelización la cámara real es idealizada o simplificada lo que permite reproducir su comportamiento mediante expresiones matemáticas lo que en última instancia permite sus usos métricos. El rendimiento de un sistema metrológico dependerá en gran medida de la exactitud de la modelización de la cámara.

El procedimiento por el que se modeliza una cámara se denomina calibración1. Como consecuencia de una calibración no sólo se obtienen los parámetros internos de cámara, llamados habitualmente parámetros de orientación interior, sino que se puede obtener información acerca de la situación de las cámaras durante las tomas o las direcciones de los ejes ópticos informaciones que se suelen denominar parámetros de orientación exterior. En todo procedimiento de calibración además se distingue una primera fase relacionada con la elección y obtención de las imágenes y una segunda fase más analítica relacionada con el tratamiento matemático de los datos obtenidos de las imágenes.

Para la modelización de una cámara, por lo tanto, es necesario elegir un modelo de cámara y un procedimiento de calibración. En cámaras no métricas es necesario además contemplar la estabilidad geométrica de las mismas, es decir,

1 Es muy habitual en la literatura especializada utilizar el término calibración

también para la modelización.


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la validez de la modelización a lo largo del tiempo y la influencia que sobre la modelización tienen distintas funcionalidades de la cámara como el enfoque, el zoom, la apertura del diafragma, el cambio de objetivos, etc.

De forma general, durante el proceso de calibración geométrica de una cámara se toman una o varias imágenes de una escena especial. La escena puede contener útiles de calibración cuyas formas y dimensiones pueden ser a priori conocidas. En estos útiles hay dianas visualmente detectables cuyas coordenadas son usadas durante la calibración.

Hay una gran cantidad de literatura científica acerca de modelización y calibración de cámaras métricas. Estas publicaciones desarrollan métodos para acomodar diversas situaciones o aplicaciones que teóricamente pueden resolver casi todos los problemas acerca de la modelización de cámaras. Para profundizar en el tema se recomiendan las revisiones [121] y [122].

2.7.1. Desviaciones de la proyección central Toda toma fotográfica supone una proyección, es decir, una traslación de

todos los elementos geométricos de la escena de un sistema de referencia a otro guardándose entre ambos sistemas una relación biunívoca. En este caso el sistema de proyección cuya característica principal estriba en que todos los rayos pasan por un punto denominado centro de proyección se denomina proyección central o proyección cónica.

Pero durante una toma fotográfica la proyección central no es perfecta sino que cada imagen adquirida por una cámara está sujeta a diversos factores que la distorsionan. La distorsión puede estar causada por las lentes, por defectos del proceso de fabricación, por el propio posicionamiento del sensor de la cámara e incluso por las vibraciones y cambios de temperatura [123].

La representación de una escena 3D en una imagen 2D, mediante la llamada perspectiva central o cónica, podría considerarse, estrictamente hablando, en si misma una distorsión, ya que no se conservan proporciones entre ángulos y distancias entre las identidades geométricas reales y las proyectadas. Por ejemplo la proyección central de un cuadrado es en general un trapecio (Figura 41).

Figura 41. Perspectiva central de un cuadrado.

Esta distorsión, proveniente de la proyección central, es lineal porque puede ser expresada mediante algebra lineal, pero existen distorsiones no


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lineales. La más importante de estas es la distorsión radial, que desplaza los puntos en el plano de la imagen hacia fuera o hacia adentro desde el centro óptico de la imagen. Este desplazamiento es función de la distancia al centro y es concéntrico. Si los puntos se dirigen hacia el centro la deformación se denomina habitualmente en fotografía “en barril”, si por el contrario van hacia fuera se denomina “en cojín”. Estos nombres provienen de las formas que toma un cuadrado debido a la deformación exclusiva de distorsión radial. (Figura 42 y Fotografía 2).

Otro grupo de distorsiones no lineales son las llamadas distorsiones de lentes y generalmente tienen las dos componentes; radial y tangencial (Figura 43). La distorsión de lente más importante es la llamada de descentramiento, y es debida al hecho de que el centro óptico de los elementos de las lentes no son estrictamente colineares.

Figura 42. Deformación por distorsión radial: a) en barril, b) en cojín

Fotografía 2. Ejemplo de imagen tomada con una cámara (Canon Powershot A80) que

presenta distorsión radial en “barril”


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Un tercer grupo de deformaciones que se producen son las llamadas de prisma, que proviene de un montaje defectuoso del conjunto de la cámara. Además de estas distorsiones geométricas existen las llamadas distorsiones radiométricas las cuales se caracterizan por generar degradaciones lumínicas durante la adquisición de imágenes.

En la Figura 44 se resumen de forma gráfica todas las distorsiones generadas en una cámara real.

Figura 43. Componentes radial (dr) y tangencial (dt) de distorsiones no lineales de lentes

(adaptado de [124])

Distorsiones

Geométricas Radiométricas

Lineales No lineales

Proyeccióncentral

Diferenciaen la escala

Radial Distorsionesde lentes

Radial TangencialPincushionBarrilCambio del origende la imagen

Perdida deortogonalidad

Figura 44. Resumen de distorsiones causadas por una cámara real

El uso métrico de sistemas de imágenes digitales implica la necesidad de

corregir estas distorsiones. Para adquirir información de una imagen de una escena como las formas de los objetos, la distancia entre ellos, el color de los objetos, etc., la cámara debe estar calibrada. Así pues, la calibración radiométrica


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se debe realizar para adquirir información de cómo la cámara distorsiona las características lumínicas de la escena como el color, luminancia, brillo, etc. La calibración geométrica, más importante en metrología, debe llevar al conocimiento de las características internas de la cámara (parámetros intrínsecos), como la distancia principal, posición del punto principal, diferencia de escala entre los ejes de la imagen, distorsiones radiales y tangenciales, etc.

2.7.2. Modelos teóricos para cámaras fotográficas Hay varios modelos de cámara con diferentes capacidades para cubrir las

características de una cámara real. Se puede hacer una primera clasificación de los mismos en función de la naturaleza de los parámetros utilizados. Cuando los parámetros que intervienen en los modelos teóricos de las cámaras se pueden asociar a parámetros reales como longitud focal, posición del punto principal, etc., se denominan modelos explícitos. Los parámetros físicos de cámara se dividen normalmente en extrínsecos e intrínsecos. Los parámetros intrínsecos también llamados de orientación interna o parámetros de cámara se corresponden con los parámetros reales como la longitud focal, o posición del punto principal. Los parámetros extrínsecos, o de orientación externa, son necesarios para transformar las coordenadas del objeto a coordenadas de imagen. En sistemas multicámaras, los parámetros extrínsecos también describen la relación entre las cámaras.

En aquellos trabajos en los que sólo se requiere la relación entre coordenadas imagen 2D y coordenadas del sistema de referencia 3D, se utilizan los métodos implícitos en los que los parámetros físicos son reemplazados por un conjunto de parámetros implícitos sin significado físico que son usados para interpolar entre algunos puntos señalados, es destacable el método de los dos planos [125]. Estos modelos presentan ventajas como la modelización a partir de imágenes únicas.

En la Figura 45 se muestra un resumen general de los distintos modelos de cámara habitualmente utilizados en fotogrametría.

El llamado modelo de cámara estenopeica [126], es un modelo de cámara ideal. Es muy simple y de hecho sólo presenta traslación y rotación (transformación de cuerpo rígido), de la cámara, seguido de una proyección central. En este modelo de cámara no son tenidas en cuenta otras distorsiones. Sin embargo el modelo de cámara estenopeica da una buena aproximación de cámara real y por lo tanto es usado como base de otros modelos de cámara. El modelo de cámara estenopeica está basado en el principio de colinearidad, donde cada punto en el espacio objeto es proyectado por una línea recta a través del centro de proyección en la imagen plana.


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El método DLT, que no solamente es un modelo de cámara sino que incluye elementos del proceso de calibración, se puede considerar una extensión del modelo de cámara estenopeica añadiendo falta de ortogonalidad entres los ejes de la imagen, cambio en el origen de coordenadas la imagen y diferencias en escala en los ejes de la imagen, es posible determinar la orientación de una imagen resolviendo un sistema lineal de ecuaciones. El método está basado en ecuaciones de colinearidad extendido por una transformación afín de las coordenadas imagen (Apdo. 2.5.5). Variaciones del método DLT son el DLT coplanar y el DLT extendido. En el primero se impone la restricción de puntos coplanares, restricción muy habitual en muchos útiles de calibración. En el DLT extendido [127] se introducen términos adicionales para términos no lineales de compensación de distorsión radial y de descentramiento que requieren 5 términos más.

M OD ELOS DECÁM ARA

Explícitos

Implícit os

Pinhole

Photogrametría

Dos Planos

Heikkila

DLT

T radicional

Simp lificad o

DLT extendido

Figura 45. Resumen de los diferentes modelos de cámara

En las aproximaciones clásicas [128], que provienen del campo de la

fotogrametría aérea la modelización de la cámara se resuelve minimizando una función de error no lineal que incluye compensaciones por distorsiones radiales y por descentramiento. Los resultados son precisos a costa de un elevado coste computacional. En [129] se propone un modelo de cámara tradicional simplificado adecuado para aplicaciones de visión artificial. En este modelo sólo se considera la distorsión radial, el cambio del origen en la imagen y diferencias en escalas de los ejes de la imagen por una constante llamada constante de alineamiento radial. Un modelo más preciso, que también cubre el descentramiento y las distorsiones de prisma delgado se presenta en [124].

La elección de un determinado modelo de cámara depende principalmente del tipo de aplicación. En el campo de visión artificial, el uso de cámaras CCD en lugar de complejos equipamientos fotogramétricos permite la utilización de los


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métodos simplificados o el modelo DLT extendido para la mayoría de casos. Un criterio importante es también la estabilidad numérica de un determinado método. Cuando se introduce una minimización no lineal existe la posibilidad que la rutina de optimización pueda caer en un mínimo local o que no converja del todo.

En fotogrametría de objeto cercano es bastante habitual la utilización inicial de un modelo simplificado (por ejemplo el modelo DLT) como aproximación inicial para posteriormente, una vez que se tienen valores aproximados, utilizar un modelo de cámara tradicional con compensaciones para la distorsión radial y de descentramiento. Una comparación de los distintos modelos se presenta en la Tabla 3.

Tabla 3. Comparación entre los distintos modelos analíticos de calibración

Modelo de cámara Número de parámetros Ventajas Desventajas

Estenopeica 7 Lineal, simple, estable No modeliza cámaras reales DLT (Transformación directa lineal)

11 Lineal, estable necesita de sólo 6 puntos para calcular parámetros

No modela distorsiones no lineales, necesita un útil de calibración 3D

CDLT (DLT Coplanar) 12

Lineal, estable, necesita sólo 6 puntos para computar parámetros, usa útiles de calibración 2D

No modela distorsiones no lineales, necesita información inicial aproximada de los parámetros

DLT extendido 14-18 Modela distorsiones de lentes Requiere de iteraciones o búsqueda no lineal

Tradicional (fotogrametría) +14 Resultados precisos

Requiere búsqueda no lineal, requiere de mucha computación, necesita un objeto de calibración preciso. Necesidad de valores iniciales aproximados.

Simplificación de modelo tradicional 11-16 Buenos resultados, código

disponible libremente Requiere de búsqueda no lineal, depende de la precisión de los datos

Dos planos 8 Posibilidad de usar útiles coplanares, pueden corregirse las imágenes

No es un modelo físico de cámara, la precisión depende en gran medida de la parte de la imagen cubierta por los puntos de control

2.7.3. Parámetros de orientación interior Una cámara puede ser modelada como un sistema espacial que

consistente en un área plana (sensor de imagen) y las lentes con su centro de perspectiva. Los parámetros de orientación interior de una cámara son la posición espacial del centro de perspectiva, la distancia principal y la localización del punto principal. También deben ser considerados como parámetros de orientación interior los correspondientes a modelizar las desviaciones de la proyección central es decir distorsiones radiales, tangenciales y a veces falta de ortogonalidad y desproporción entre los ejes.


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La Figura 46 ilustra el proceso de toma de imagen en una cámara fotogramétrica. La posición y la distancia del centro de perspectiva y las desviaciones de la perspectiva central se describen con respecto al sistema de coordenadas imagen definido por el sistema matricial de píxeles. El origen de las coordenadas imagen se localiza en el plano de la imagen aunque para los cálculos que se presentan a continuación el sistema de coordenadas imagen se ha hecho coincidir con el centro de perspectiva de acuerdo a la Figura 46.

Así pues, los parámetros de orientación interior son: Punto principal ´H : El nadir del centro de perspectiva que tiene de coordenadas 0 0( ´ , ´ )x y en

cámaras estándares se encuentra muy próximo al centro de la imagen: ´ ´H M≈ Distancia principal c : La distancia normal desde el centro de perspectiva hasta el plano en la

dirección negativa de ´z ; es aproximadamente igual que la longitud focal de la lente cuando está enfocada al infinito: c f≈

Parámetros de funciones describiendo los errores de la imagen: Las funciones o parámetros que describen las desviaciones de la

proyección central están dominadas por el efecto de la distorsión radial simétrica ´rΔ

Figura 46. Modelización de una cámara como un sistema espacial que consta de un centro de

perspectiva y un sensor (adaptado de [69])

Si todos estos parámetros son conocidos, el vector imagen x´ libre de error puede definirse con respecto al centro de perspectiva:

0

0

´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´

´

p

p

x x x xx y y y y

z c

− −Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − −Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.99)


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donde ´ , ´p px y son las coordenadas imagen medidas del punto ´P y 0 0´ , ´x y son las coordenadas del punto principal ´H y , ´x yΔ Δ son las

correcciones para los errores de la imagen, valores que son determinados durante la calibración de la cámara.

Las desviaciones del modelo de centro de perspectiva ideal, atribuibles a los errores de la imagen se pueden expresar en la forma de funciones correctoras

, ´x yΔ Δ de las coordenadas imagen medidas. Se pueden definir las coordenadas imagen con respecto al punto principal

como 0´ ´px x x° = − e 0´ ´py y y° = − así como la distancia al punto principal como 2 2´r x y= ° + ° . Por lo tanto las coordenadas imagen ,x y° ° son corregidas por

´ ´x x x= ° − Δ e ´ ´y y y= ° − Δ que se denominarán coordenadas imagen corregidas. Estrictamente hablando los valores ,x y° ° son sólo aproximaciones ya que

las correcciones , ´x yΔ Δ deben ser calculadas usando las coordenadas imagen finales corregidas , ´x y . Como consecuencia los valores corregidos deben ser calculados de forma iterativa.

Las desviaciones principales de la perspectiva central están generadas por los siguientes efectos físicos:

Distorsión radial: La distorsión radial constituye la mayor fuente de error en la mayoría de

cámaras. Es atribuible a la variación por refracción a cada componente individual de las lentes del objetivo. Es una función no solamente del diseño de la lente sino también de la distancia de enfoque y de la distancia al objeto incluso con el focus fijo [69]. La Figura 47 muestra el efecto de la distorsión radial como una función de la distancia a punto principal a un punto de la imagen. En el ejemplo la distorsión se incrementa con la distancia desde el punto principal. Para entes estándar el valor puede llegar a superar las 100μm en las esquinas de los bordes.

La curva de distorsión es usualmente modelada por una serie polinomial (serie de Seidel) con parámetros de distorsión 1K a nK [130]:

3 5 71 2 3´ ´ ´ ´ ...radr K r K r K rΔ = + + + (2.100)

Para la mayoría de lentes las series pueden ser truncadas después del segundo o tercer término sin una pérdida significativa de precisión. A partir de (2.100) se deduce que las coordenadas imagen quedan corregidas de forma proporcional:

´ ´´ ´ ´ ´´ ´rad rad

rad radr rx x y yr r

Δ ΔΔ = Δ = (2.101)

Los parámetros


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Figura 47. Distorsión radial-simétrica característica de una cámara fotogramétrica (adaptado

de [69])

Distorsión tangencial: La distorsión radial asimétrica frecuentemente llamada tangencial o de

descentramiento está relacionada por la falta de alineamiento de los elementos de las lentes en el interior del objetivo. Esta distorsión puede ser compensada por la siguiente función [130]:

2 2

1 22 2

2 1

´ ( ´ 2 ´ ) 2 ´ ´

´ ( ´ 2 ´ ) 2 ´ ´tan

tan

x P r x P x y

y P r y Px y

Δ = + +

Δ = + + (2.102)

Comparado con la distorsión radial simétrica, la distorsión radial asimétrica cuantitativamente es muy inferior por lo tanto suele ser determinada solamente cuando se requiere una alta precisión.

Falta de ortogonalidad y proporcionalidad en los ejes Estos errores en las imágenes están relacionados en fotografía digital con

la forma de los píxeles de tal forma que no sean perfectamente cuadrados. Para tener en cuenta los errores derivados suele utilizarse la siguiente función:

1 2´ ´ ´

´ 0aff aff aff

aff

x C x C y

y

Δ = +

Δ = (2.103)

Corrección total Los términos individuales usados para modelar los errores en las

imágenes en la mayoría de sistemas fotogramétricos pueden resumirse como:

´ ´ ´ ´

´ ´ ´ ´rad tan aff

rad tan aff

x x x x

y y y y

Δ = Δ +Δ +Δ

Δ = Δ +Δ +Δ (2.104)


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Parámetros adicionales En la literatura fotogramétrica hay muchos casos donde se incluyen

parámetros adicionales en los procesos de modelado matemático. Algunos de estos conjuntos de parámetros están diseñados para corregir errores sistemáticos identificables en los residuos de los procesos por lo que no son directamente atribuibles a mecanismos físicos.

A pesar de que algunos autores [131] consideran que las funciones polinomiales son indeseables desde un punto de vista matemático por la alta correlación entre los diferentes términos y otros autores hayan propuesto metodologías alternativas [132] lo cierto es que en fotogrametría digital sigue usándose el modelo propuesto por Brown al que usualmente se le añaden términos para describir el tamaño y forma de los píxeles [121] . Con esta modelización es común encontrar reseñas bibliográficas con residuos tan pequeños como 1/20 – 1/30 píxel e incluso 1/70 y 1/100 píxel, como por ejemplo en [104] .

2.7.4. Procedimientos de calibración

2.7.4.a) Útiles de calibración Para realizar la calibración de una cámara es necesaria la toma de varias

imágenes. En estas imágenes suele haber puntos de coordenadas significativas a partir de los cuales se realizan los ajustes necesarios. Estos puntos han de ser fácilmente detectados por lo que los útiles de calibración contienen dianas o elementos visualmente destacados. Estas dianas que pueden ser intersección de líneas, centros de gravedad de círculos, esquinas de cuadrados, etc. son tratados como puntos de control o puntos de referencia.

Los objetos de calibración pueden ser tridimensionales, o bidimensionales, también llamados coplanares (Figura 48). Los útiles 3D de calibración son difíciles y caros de fabricar y la medida de coordenadas es complicada. Por otra parte permiten una gran precisión e incluso la calibración de una cámara a partir de una única imagen.

Existe la posibilidad de simular un útil 3D mediante varias vistas de un útil 2D. El plano 2D puede moverse libremente entre las tomas [133] o estar restringido [129]. Una restricción habitual es que el plano se mueva en una única dirección, lo cual supone una desventaja debido a la dificultad práctica de realizar tal movimiento con precisión.

Si se utiliza un objeto coplanar de calibración, con una única imagen, no se puede calcular el conjunto completo de parámetros de cámara sin un conocimiento previo de alguno de los parámetros internos [134]. Por ejemplo si la longitud focal no es conocida entonces no se puede determinar la distancia del


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objeto a la cámara. Además cuando inicialmente se estiman los parámetros, se introducen errores en el proceso de calibración obteniéndose resultados inexactos.

UTILES DECA LIBR ACIÓN 3D Simulado

Cop lanares (2D)

Tres d imensiones(3D)

Movimientorestringido

M ovimiento libre

Figura 48. Tipos de útiles de calibración

2.7.4.b) Puntos de control y dianas Los puntos de control o dianas son los elementos que facilitan la

determinación de coordenadas en una calibración o en un levantamiento fotogramétrico. Dada su importancia son abundantes las referencias bibliográficas acerca de distintos aspectos de los mismos: utilización de dianas codificadas en visión industrial [135], uso de dianas auto identificables para mediciones [136] o comparación de diferentes técnicas para la localización subpíxel [137].

Los puntos de control o dianas se representan normalmente por formas pintadas en la superficie del útil de calibración, o del objeto a medir que son fácilmente detectables [138]. Los puntos pueden ser expresados como centros de gravedad de distintas formas, intersección de líneas, esquinas de cuadrados o por mosaicos tipo ajedrez (Figura 49).

Figura 49. Diferentes puntos de control: Centros de gravedad en círculos (a) y cuadrados (b), intersecciones de líneas en mallas rectangulares (c) y triangulares (d),esquinas de cuadrados

(e) y mosaicos (f). Los puntos de control están marcados por puntos.

La posición de los puntos de control en las imágenes adquiridas puede ser detectada manualmente o mediante algunos algoritmos de autodetección [129]. Los métodos automáticos de detección normalmente requieren imágenes puras de blanco y negro. Ya que las cámaras ofrecen imágenes en color o en escala de grises, estas han de convertirse primero. La conversión llamada “thresholding” o


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umbral de blanco es muy sensible al valor correcto del umbral de transformación blanco/negro. Un valor incorrecto hace difícil la correcta determinación de las posiciones de los puntos de control.

Por ejemplo, en el método del cruce de líneas cuando las líneas resultantes son muy delgadas se pueden corromper con ruido o desaparecer en parte (Figura 50a). De otra forma si las líneas resultantes son demasiado gruesas y se extiendes con varios píxeles de ancho (Figura 50b) el punto de control no puede ser adecuadamente determinado.

Figura 50. Tresholding incorrecto de líneas: (a) undertresholding. (b) overtersholding

Un problema similar ocurre con las esquinas de los cuadrados. Si los cuadrados se juntan en las esquinas en un mosaico tipo ajedrez un incorrecto umbral de blanco puede hacer que los cuadrados se solapen o se separen (Figura 51a). En estas situaciones la detección de las esquinas se hace imposible. Si los cuadrados no forman un mosaico y están aislados un umbral de blanco incorrecto puede dar lugar a cuadrados más pequeños o más grandes (Figura 51b). Las esquinas de tales cuadrados se detectan en posiciones erróneas.

Figura 51: “Tresholding” incorrecto de un mosaico (a) y de cuadrados separados (b).

La detección de centros de gravedad de círculos no es tan sensible a los errores de umbral, sin embargo tienen otro problema debido a que la proyección central es una transformación que no respeta la forma. A excepción de las líneas (que aparecen como líneas en la imagen plana) los objetos de dos o tres dimensiones son distorsionados si no son coplanarios con el plano de la imagen. La proyección de un cuadrado es en general un trapecio y la de un círculo una elipse. En ambos casos, el centro de gravedad del objeto original no es el mismo que el centro de gravedad de la forma proyectada. En la Figura 52 se muestra gráficamente este fenómeno.


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Figura 52: Diferencias entre los centros de gravedad de un objeto (+) y su proyección

perspectiva en un cuadrado (a) y un círculo (b).

Este problema es antagónico al tamaño de las dianas ya que a mayor tamaño de diana mejor marcado (suele considerarse necesario un tamaño mínimo de 5 píxeles) pero al crecer el tamaño de las dianas crece al mismo tiempo el error debido a excentricidad.

De acuerdo a la Figura 53 la proyección central de una diana circular forma una elipse en la imagen. Normalmente el centro de la diana se determina por el centro de la elipse. Estrictamente hablando hay una excentricidad e entre el centro de la elipse calculada y el centro de la diana a determinar. El grado de excentricidad depende del tamaño de la diana, del ángulo de convergencia, desfase lateral al eje óptico y escala de la imagen. Puede estimarse según la expresión:

sin(90 ) sin(90 )

2 22 cos(90 ) cos(90 )

2 2

m m

m

m m

d dR Rce r d dZ Z

α α

α α

⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟= − +⎜ ⎟

⎜ ⎟− − + −⎝ ⎠

(2.105)

donde e es la excentricidad, d es el diámetro de la diana en coordenadas espacio, mr es el radio de la diana proyectada, α es la dirección de vista, o ángulo entre el plano de imagen y el plano de la diana, mR es el desfase lateral entre el eje óptico y la diana, mZ es la distancia de la diana al objeto y c es la distancia principal.

El efecto de la excentricidad es muy complejo para configuraciones convergentes de imágenes que caracterizan las mediciones fotogramétricas de alta precisión. Se suele asumir que el efecto es compensado por los parámetros de orientación exterior e interior si estos son estimados usando técnicas de autocalibración. Para aplicaciones de alta precisión es recomendable usar dianas de pequeño tamaño siempre que sea posible obtener dianas de al menos 5-10 píxeles de diámetro.

La elección adecuada de un útil de calibración depende del tamaño del objeto de calibración, de la longitud focal de una cámara, de la distancia entre el objeto y la cámara, de las condiciones de iluminación en la escena y muchos otros factores. Un resumen de varios útiles de calibración con sus propiedades se recoge en la Tabla 4.


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Figura 53. Excentricidad de una diana circular proyectada (adaptada de [69])

Tabla 4. Comparación de los distintos útiles y dianas utilizados para calibración de cámaras.

Forma de la diana Puntos de control o dianas Ventaja principal Mayor Inconveniente

Mosaico (ajedrez) Esquinas Figura 49(f)

Menor sensibilidad a errores de tresholding, formas grandes

Solape o separación de cuadrados

Figura 51(a)

Cuadrados Esquinas Figura 49(e) Formas grandes permiten mayor distancia a la cámara

El tresholding puede cambiar la posición de los puntos de control significativamente

Figura 51(b)

Cuadrados Centros de gravedad Figura 49(b) Baja sensibilidad a

errores de tresholding

El centro de gravedad de la proyección no es la proyección del centro de gravedad del cuadrado

Figura 52(a)

Círculos Centros de gravedad Figura 49(a)

Baja sensibilidad a los errores de tresholding

El centro de gravedad de la proyección no es la proyección del centro de gravedad del círculo

Figura 52(b)

Líneas Intersecciones Figura 49(c),(d)

Puede detectarse fácilmente

Tresholding correcto puede depender del grosor de las líneas y la distancia entre el objeto y la cámara

Figura 50

En fotogrametría industrial es habitual la utilización de dianas codificadas

que permiten una identificación automatizada de las mismas (Figura 54). Aunque en algunos trabajos signifiquen un ahorro significativo de tiempo su utilización conlleva un esfuerzo computacional importante para el reconocimiento además de unas más altas exigencias en la calidad de la imagen.


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Figura 54. Ejemplos de codificación de dianas utilizadas en reconocimiento automático

En cuanto a los materiales utilizados como dianas son múltiples las elecciones presentes en la bibliografía; dianas de papel impresas con tinta negra [15], material retro-reflectivo con la finalidad de mejorar el contraste de las dianas en aplicaciones industriales con poca iluminación [8]. En [139] se usan LEDs que presentan la ventaja de poderse utilizar en ambientes totalmente oscuros con bordes claros. También están disponibles en el mercado bolas cerámicas o de acero sobre distintos soportes.

Otras veces no se usan dianas físicas sino que estas se generan mediante un proyector de diapositivas o un proyectores LCD [19]. Entre estos últimos se pueden destacar los proyectores especializados en líneas “fringe projection” que permiten obtener coordenadas 3D a partir de una única imagen.

En determinadas ocasiones puede resultar útil la utilización de láseres debido a las altas potencias de iluminación conseguidas. Los rayos láser pueden ser transformados en patrones de puntos, líneas o círculos o una combinación de los anteriores mediante difractómetros o espejos movibles.

2.7.4.c) Principales procedimientos Los procedimientos usados para la modelización de cámaras de

fotogrametría terrestre y de objeto cercano han evolucionado en las últimas décadas desde las imitaciones a los usados para las cámaras aéreas a técnicas que usan las condiciones favorables que suponen las imágenes convergentes para extraer los parámetros de orientación interior, los parámetros de distorsión y en ocasiones los parámetros de orientación exterior.

A continuación se propone una clasificación realizada en función de diversos aspectos prácticos.

En función del útil de calibración a. Sobre imágenes planas (Apdo. 0 (Ej. calibración de campo,

calibración total) i. Con puntos [140]


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ii. Con cuadrados [141] iii. Intersecciones de líneas [142] iv. Tipo ajedrez [143] [142] v. Triángulos [144]

b. Objetos tridimensionales (Ej. calibración de campo, calibración de laboratorio, calibración total)

i. Con coordenadas conocidas ii. Sin coordenadas conocidas

1. Elaborados al efecto [145] [143] 2. Objetos cotidianos como edificios [146], estrellas

[147], etc. (Ej. calibración no métrica). c. Con plomadas o líneas [117] (Ej. calibración de campo, calibración

de laboratorio, etc.) d. Con medios auxiliares (Ej. calibración de laboratorio) e. Sin útil de calibración (Ej. autocalibración)

Momento en hacer la calibración a. Previo o posterior al trabajo (Ej. calibración de campo, calibración

de laboratorio) b. Durante el trabajo

i. Ej. calibración durante el trabajo ii. Ej. Autocalibración [148]

Alcance de la calibración a. Parámetros de orientación interior (Ej. calibración no métrica) b. Parámetros de orientación interior y exterior (Ej. calibración total)

Número de imágenes utilizadas a. Una única imagen (Ej. calibración automática)

iii. Ej. “Space resection with extended camera model” [149] iv. Ej. “Direct linear transformation” (DLT) [98] v. Ej. “Camera calibration by projective geometry” [150]

b. Varias imágenes convergentes (Ej. Autocalibración, calibración de campo, etc.)

En función del método de cálculo a. Minimización no lineal del error [121] b. Soluciones cerradas [98] [129] c. Soluciones en 2 pasos [124]

Algunos de los procedimientos más comunes que combinan diferentes aspectos recogidos de la anterior clasificación y que se suelen presentar como


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principales tipos de calibraciones son la calibración basada exclusivamente en información de imágenes, la calibración basada en información de objetos tridimensionales, la calibración no métrica, la calibración total, la calibración de laboratorio, la calibración con plomada, la calibración durante el proyecto y la autocalibración.

Calibración basada exclusivamente en información de imágenes [140] [141] [144] [143] [142] La calibración con plantillas está fundamentada en el uso de una malla

adecuada y estable con dianas cuyas coordenadas servirán posteriormente para el ajuste en bloque (ver Fotografía 3). El uso de puntos de control con coordenadas conocidas es opcional si se necesita una escala y unas coordenadas absolutas precisas. El trabajo de calibración consistirá en hacer buenas tomas en varias estaciones asegurando las intersecciones de los rayos y el llenado del formato de la imagen. Las calibraciones con plantillas pueden ser móviles o estacionarias, según sea la cámara o la plantilla la que se mueva.

Fotografía 3. Ejemplo de plantilla para calibración de cámara

Sin duda este es uno de los métodos de calibración más empleados en fotogrametría digital de objeto cercano debido a su gran versatilidad.

La Figura 55 muestra una configuración de imágenes adecuada para una calibración de este tipo. Según este ejemplo, para calibrar la cámara, se toman 7 imágenes, cada una de las cuales contiene tantos puntos como sea posible, los cuales han de tener el grado de contraste suficiente para garantizar un buen reconocimiento. Este esquema de calibración consta de tres imágenes frontales, con la cámara y el campo a ángulos de 100g y 200g para la determinación de la


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afinidad y del punto principal. Además se utilizan cuatro imágenes convergentes para dar al conjunto la estabilidad geométrica necesaria para la determinación de las coordenadas del objeto y para minimizar las correlaciones con la orientación exterior.

Figura 55. Red espacial de imágenes para calibración.

Las coordenadas imagen y las coordenadas conocidas de los puntos de la planilla son posteriormente procesadas por ajuste en bloque para dar los parámetros de orientación interior así como las coordenadas ajustadas de los puntos de la planilla y los parámetros de orientación exterior.

A veces los cálculos numéricos pueden llevar a correlaciones incorrectas pero esto puede ser evitado con configuraciones de imágenes correctas como la expuesta en la Figura 55. Si además de calibrar la cámara se pretende conocer con precisión algunos parámetros reales de cámara como la longitud focal o si se necesita trabajar a escala es importante la utilización de puntos de control. Esto puede ser conseguido, por ejemplo, por una o varias distancias de referencia. De forma más aproximada puede utilizarse también alguno de los parámetros que proporciona la propia cámara a través de la información Exif de las imágenes, como el alto del sensor.

Calibración basada en información de objetos tridimensionales

(calibración de campo) En la bibliografía hay ejemplos de útiles de calibración basados en puntos

o puntos codificados sobre objetos tridimensionales (Fotografía 4). En [146] se propone una metodología para obtener calibraciones automáticas aproximadas a partir de una sola imagen. Ello se consigue con una imagen en la que predominen


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las líneas rectas, como sucede en muchos elementos arquitectónicos. La ventaja básica de utilizar una planilla 3D es la posibilidad de calibrar con una sola imagen.

(a) (b)

(c)

Fotografía 4. Planillas 3D utilizadas en (a) [133] (b) [143] y (c) [114]

Calibración no métrica En la calibración no métrica [151] [152] [153] se utilizan invariantes

proyectados, no necesitándose ningún útil de calibración. En esta clase de métodos el invariante más importante es la línea recta. Los métodos de calibración que usan la línea recta descansan en el principio de que una recta sigue siendo tal después de una proyección central. La medida pues de la distorsión se puede obtener por suma de residuos de ajuste, aunque otros métodos de ajuste están disponibles, como la suma de diferencias de pendientes entre tangentes entre dos puntos vecinos de la línea [151].

Calibración total En la calibración total [129] [142] se usa un objeto o útil de calibración cuya

estructura geométrica es conocida con precisión. En los métodos de calibración total los parámetros de distorsión son obtenidos de forma conjunta con otros parámetros intrínsecos y extrínsecos de cámara. Debido a esta mezcla algunas


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veces se pueden obtener falsos resultados, lo que supone la principal desventaja de estos métodos.

Calibración de laboratorio La calibración de laboratorio utilizada tradicionalmente para cámaras

métricas aéreas en las que los parámetros de orientación interior son determinados por goniómetros o multicolimadores u otras técnicas de alineación han encontrado poco apoyo en la comunidad de técnicos de fotogrametría de objeto cercano, los cuales no pueden justificar ni el gasto que supone la calibración de laboratorio ni el tiempo que la misma conlleva.

La construcción de complicados y elaborados ensayos conteniendo cientos de dianas, meticulosamente localizadas por teodolitos o determinadas a partir de cámaras métricas en laboratorios fotogramétricos pertenece a otra era, ya que actualmente con un ordenador personal y la combinación de múltiples imágenes desde varias estaciones convergentes se consigue una solución más robusta y fiable [96].

Calibración con plomada El método de la plomada usa un mallado especial con líneas rectas,

creadas por ejemplo por cables verticales. Como en teoría la proyección de líneas rectas es invariante para geometría perspectiva, todas las desviaciones han de estar causadas por distorsiones. La deformación de las líneas de la imagen puede ser usada para determinar los parámetros de distorsión imagen con respecto a una distancia principal predefinida y punto de mejor simetría. Sin embargo, los parámetros calculados de distorsión no se correlacionan con los correspondientes parámetros de orientación interior o los de orientación exterior.

En una implementación práctica de una calibración con plomada las líneas pueden ser creadas, por ejemplo, por cordones plásticos blancos y finos que no tengan una estructura superficial discernible, que pudiera influir en los algoritmos de medida usados, puestos sobre un fondo oscuro que permita un buen contraste para el procesado automático. Alternativamente pueden utilizarse esquinas de edificios para la calibración [154].

Las calibraciones con plomada pueden ser aplicadas en casos donde se necesita una precalibración de los parámetros de distorsión, es decir, por ejemplo, al realizar una calibración con lentes de grandes distorsiones (como los grandes angulares “ojos de pez”).

Calibración durante el proyecto El término “calibración durante el proyecto” se usa frecuentemente cuando

la calibración de campo (a partir de puntos de coordenadas conocidas), se realiza simultáneamente a la realización del trabajo fotogramétrico. Para ello se utilizan barras, estructuras metálicas, jalones, etc., que se colocan junto al objeto a medir. La aplicación de esta metodología se caracteriza por la toma de imágenes


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fotográficas con convergencia y desde múltiples posiciones. A mayor número de haces que intersequen en una determinada posición espacial, mayor precisión en el ajuste. Así mismo, la redundancia de observables facilita la detección y eliminación de errores groseros. Este procedimiento exige distintas tomas con la misma cámara, lo que es incompatible con sistemas “on-line”, es decir con la utilización simultánea de varias cámaras.

Autocalibración Una extensión de la calibración durante el proyecto es la autocalibración

en la que las imágenes adquiridas sirven simultáneamente para la medida del objeto y para la calibración de la cámara [155] sin utilizar útiles auxiliares. En este caso la plantilla de calibración es reemplazada por el objeto a medir que debe estar bajo unas condiciones similares a las requeridas para la calibración (profundidad espacial, imágenes solapadas e intersección de rayos). La ventaja esencial de la autocalibración es la no necesidad de calibración previa ni de utilización de útiles ya que los parámetros de orientación interior son determinados simultáneamente con la medida del objeto.

La autocalibración no requiere el conocimiento previo de las coordenadas de puntos. Los parámetros de orientación interior son calculados por la determinación fotogramétrica de la forma del objeto, incorporando solamente información de la imagen y las intersecciones para puntos de coordenadas desconocidas. Si se emplean puntos de referencia será para definir un sistema de coordenadas para los parámetros de orientación exterior. Para definir la escala es suficiente medir una sola distancia en el objeto (aunque es buena práctica definir múltiples longitudes).

Si el objeto a ser medido no permite una configuración adecuada, o si se utiliza un sistema de multicámara, o un sistema dinámico, entonces no puede utilizarse la autocalibración.

Los criterios necesarios para obtener una buena autocalibración [148] son a) debe usarse una única cámara, b) la geometría interior de la cámara y del objeto ha de permanecer estable durante todo el levantamiento, c) la red fotogramétrica ha de ser fuerte y con un alto grado de convergencia, d) al menos una imagen debe estar girada en torno al eje óptico respecto a las demás, e) deben usarse un buen número de puntos homogéneamente repartidos.

2.8. DISEÑO DE LA RED FOTOGRAMÉTRICA

En un trabajo fotogramétrico de objeto cercano la red fotogramétrica es la configuración espacial de las tomas fotográficas, lo que incluye su ubicación espacial, definida habitualmente por sus coordenadas cartesianas ( , , )X Y Z dentro de un sistema de referencia global, y por su orientación espacial, definida por los ángulos entre el eje óptico y los ejes del sistema de referencia,


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llamados habitualmente omega, phi y kappa y representados por las letras griegas ( , , )ω γ κ .

Los sistemas fotogramétricos convergentes y multiestación están empleándose para alcanzar medidas tridimensionales con precisiones que en ocasiones pueden superar 1:100000 de la dimensión principal del objeto [156]. Para alcanzar esta precisión tan alta se debe prestar especial atención a aspectos relacionados con el diseño de la red fotogramétrica como la selección de la escala, el número de estaciones y su geometría relativa así como otras consideraciones de mediciones. No es difícil de encontrar entre distintos sistemas fotogramétricos aparentemente muy similares, diferencias de 10 órdenes de magnitud. La diferencia puede ser sencillamente la utilización o no de redes fotogramétricas optimizadas [157].

A pesar de que existe un marco formal que gobierna el diseño de redes fotogramétricas [158] es interesante un primera consideración de factores que afectan a la precisión de sistemas óptimos de triangulación.

En primer lugar, en relación al número de estaciones, la mejora generada por la utilización de cuatro estaciones convergentes en comparación a la configuración estereoscópica es notable ya que la geometría estereoscópica produce una precisión muy heterogénea dependiendo de la zona de la imagen considerada.

En segundo lugar, la precisión de cualquier sistema óptico de triangulación es función de la resolución angular y de la geometría de los rayos que intersectan en cada punto. Un indicador inicial de la precisión de la triangulación en una red convergente multiestación fotogramétrica puede ser expresada por la fórmula [159] [160]:

´c imgqk

σ β σ= (2.106)

Donde cσ es el valor del error medio cuadrático en las coordenadas ( , , )X Y Z del objeto; ´β es el factor de escala; d es la distancia media al objeto; c es la distancia principal de la cámara; imgσ es la desviación estándar en las coordenadas de la imagen; q es un factor de diseño que expresa la fortaleza de la configuración de las estaciones base y k es el número medio de exposiciones en cada estación. En el caso de que el objeto ocupe la dimensión entera del formato de la imagen, la ecuación puede reescribirse en la forma:

´

imgc qR sk

σσ = (2.107)

Donde ´s es el tamaño del sensor y R el tamaño en el espacio del objeto ( ´ )R sβ= ⋅ .


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Según Mason [161] las condiciones de diseño que afectan a la configuración de las redes convergente multiestación son:

1. Escala de la imagen. La precisión de una triangulación varía en proporción directa a la escala de la imagen.

2. Resolución. La resolución del objeto ha de ser suficiente para soportar mediciones en la imagen a la precisión deseada σ . Este aspecto impacta directamente en el diseño de las dianas y la escala de la imagen.

3. Espacio de trabajo. Muchas veces un espacio de trabajo reducido o la presencia de obstáculos obliga a la utilización de grandes angulares o a la introducción de más bases.

4. Profundidad de campo. La precisión de las mediciones de la imagen están significativamente influenciadas por el enfoque de la lente. Una tolerancia ampliamente aceptada para la medición manual es un círculo de confusión de diámetro 0.1mm

5. Ángulo de incidencia. La fiabilidad de las mediciones en una imagen de dianas planares es función del ángulo de incidencia. La fiabilidad es muy reducida cuando el ángulo de incidencia está por debajo de 20º para dianas circulares y de 30º para material reflectante.

6. Número y distribución de dianas. Debido al ajuste en bloque utilizado para obtener los parámetros de orientación exterior se experimenta una mejora en la precisión debido a la redundancia. Una distribución homogénea de las dianas en toda la imagen proporciona también mejores resultados.

7. Apertura de campo. Siempre es beneficioso, aunque a veces no posible, tener todas las dianas apareciendo en el campo de visión de todas las cámaras. Esto simplifica el diseño ya que se evitan las subredes y mejora la economía (menos fotografías) y la homogeneidad de la triangulación.

8. Visibilidad. Obstrucciones en el espacio de trabajo pueden afectar a la fortaleza de la geometría de las intersecciones cuando el número de intersecciones en inferior al diseñado en principio.

Estos factores influyen de forma directa en la precisión de los sistemas ópticos de triangulación. Cuando se trata de redes complejas necesitan un tratamiento más formal que requieren de metodologías específicas. Así pues hay investigaciones sobre la configuración de la red de toma de datos [162], sobre análisis de visibilidad en redes [163], de diseño heurístico de redes


104

fotogramétricas [164] o de diseño de redes fotogramétricas usando redes neuronales [165].

105

CAPÍTULO 3 EXPERIMENTACIÓN

3.1. FASES DE LA EXPERIMENTACIÓN

1. Preparación de las probetas de PVB de acuerdo a las características de los útiles o herramientas de la máquina utilizada (Apdo. 3.2.1)

2. Realización de ensayos de relajación de tensiones a tracción con las muestras de PVB (Apdo.3.2.3)

3. Obtención de la curva maestra y los parámetros WLF (Apdo. 3.2.4) 4. Modelización del comportamiento mecánico del PVB con series de Prony

(Apdo. 3.2.5) 5. Diseño de la simulación numérica del comportamiento mecánico del

vidrio laminado con elementos finitos en la aplicación Abaqus (Apdo. 3.3) 6. Diseño y construcción del banco de ensayos y el sistema de puesta en

presión (Apdo. 3.2.1) 7. Diseño de la red fotogramétrica: elección de las cámaras, construcción

del equipo de medición, elección de las dianas, instrumentación de las láminas de vidrio, etc. (Apdo. 3.5)

8. Estudio para la elección de la apertura del diafragma óptima, estudio sobre la estabilidad geométrica de las cámaras, comparación de los aplicaciones informáticas de modelización de cámaras, consideraciones sobre el uso del autoenfoque (Apdo. 3.4)

9. Estudio sobre el ángulo óptimo de convergencia de los ejes ópticos (Apdo. 3.5.2)

10. Definición del sistema de coordenadas objeto, estudio sobre la deformabilidad del marco de ensayos y las gomas de apoyo (Apdo. 3.5.1)

11. Ensayos de exactitud de la metodología; comparación de las medidas fotogramétricas con las de un reloj comparador (Apdo. 3.5.5)

12. Ensayos a distintas velocidades en la puesta a presión de las placas (Apdo. 3.5.5)

13. Ensayos de relajación de tensiones en las placas laminadas (Apdo. 3.5.5)

14. Comparación y análisis de los resultados experimentales con las predicciones de la simulación (Apdo. 4.4)

15. Programación de la aplicación DiseLam (Apdo. 4.5)


106

3.2. CARACTERIZACIÓN VISCOELÁSTICA DEL PVB

3.2.1. Materiales y medios Para la preparación de las probetas a utilizar en la caracterización

mecánica del PVB se han utilizado muestras (Fotografía 5) proporcionadas por la empresa Cristalería Española, Saint-Gobain (Avilés), de Butacite® de 0.38mm, utilizada habitualmente en acristalamientos para construcción y cuyas especificaciones técnicas, proporcionadas por el fabricante, se presentan en la Tabla 5. Las probetas (Fotografía 6) se han confeccionado a medida en función de las dimensiones del utillaje usado (Figura 56), el rango de tensiones admisibles por el equipo y las condiciones ambientales (temperatura) de los ensayos. En el transcurso de esta investigación se estudiaron las muestras de PVB bajo dos estados diferentes: el original de suministro y el resultante tras el calentamiento y presurización en autoclave, correspondientes al proceso de fabricación industrial del vidrio laminado.

Fotografía 5. Muestra de Butacite® de 0.38mm utilizadas para la confección de las probetas

Tabla 5. Especificaciones técnicas del PVB Butacite® para construcción, proporcionadas por el fabricante

Propiedad Valor Índice refractario 1.48 Transmisión de luz visible 89 % Coeficiente de luminosidad 0.92 Filtro de rayos ultravioletas 99 % Resistencia a tensión 3220psi Elongación a tensión 205 % (JIS K6771) Gravedad específica 1.07 Calor específico 0.47Btu/lbºF Conductividad térmica 0.12Btu/(ft2hrºF) Coeficiente de expansión térmica 2.6 x 10-4in/inºF

Experimentación

107

Fotografía 6. Ejemplo de probeta utilizada en los ensayos

Figura 56. Utillaje utilizado para el ensayo de relajación de tensiones a tracción. A la izquierda

para ensayos de tracción. A la derecha para ensayos de cizalladura

Los ensayos para la determinación del módulo de relajación a tracción se llevaron a cabo con un analizador mecánico-dinámico RSA III de TA Instruments (Fotografía 7).

3.2.2. Aplicaciones informáticas relevantes TA Orchestator TA Orchestator [166] es la aplicación informática utilizada para la toma de

datos experimentales en los ensayos de relajación de tensiones del PVB. Es un entorno multitarea que permite representar gráficamente y en tiempo real los ensayos. Ha sido utilizada para el análisis y filtrado de los datos experimentales, para obtener las funciones de superposición tiempo/temperatura y para la construcción de curvas maestras (Figura 57).


108

Fotografía 7. Analizador Mecánico Dinámico RSA III de TA Instruments

Figura 57. Pantalla principal de la aplicación TA Orchestator

Viscodata Viscodata [167] (Figura 58) es una aplicación informática que permite la

creación de series de Prony a partir de datos experimentales de ensayos de relajación de tensiones. En Viscodata es posible la elección del orden de la serie así como la elección entre ajuste de tiempos y valores experimentales o ajuste únicamente de valores experimentales con intervalos regulares de tiempo.

Experimentación

109

Figura 58. Pantalla principal de Viscodata

3.2.3. Ensayos realizados En el apartado 2.2.8 se vio que en el modelo constitutivo de

viscoelasticidad empleado en Abaqus es necesario definir ( )G τ y ( )K τ o módulos de relajación en cizalladura y volumétrico. La obtención de estos módulos se realiza experimentalmente mediante ensayos de laboratorio.

El módulo volumétrico ( )K τ del PVB ha sido determinado por Bennison [168] mediante ensayos volumétricos con celdas de mercurio a presión a varias temperaturas. De estos ensayos Bennison [168] concluye que para el PVB, al igual que para la mayoría de polímeros densos, el valor del módulo es prácticamente independiente de la temperatura y el tiempo y su valor aproximado es de 2Gpa. De acuerdo a los objetivos de este trabajo se ha renunciado a su determinación mediante ensayos propios, considerándose probado el valor bibliográfico.

El módulo de relajación en cortadura ( )G τ puede ser hallado a partir de los módulos de relajación a cortadura ( )G t a distintas temperaturas utilizando el concepto de tiempo reducido y la función de desplazamiento (Apdo. 3.2.4). En [169] se obtuvieron experimentalmente los módulos de cortadura ( )G t (Figura 59) a varias temperaturas y a partir de los oportunos ensayos de relajación de tensiones. Como se observa en la leyenda sólo se realizaron ensayos a temperaturas por encima de 20ºC. No se pudieron hacer ensayos por debajo de esa temperatura porque la probeta de PVB, de forma laminar, desliza del útil (Figura 56 derecha). Esta limitación supone la falta de datos del comportamiento del PVB para temperaturas bajas. Por esta razón se procedió a la realización de ensayos de relajación de tensiones a tracción cuya herramienta (Figura 56


110

izquierda) no presenta estos problemas. Una vez determinado el módulo de relajación de tensiones a tracción )t(E a distintas temperaturas se obtienen los correspondientes módulos a cortadura )t(G a partir de la relación [170]:

1( ) 3 1

( ) 3 ( )

G t

E t K t

=−

(3.1)

Donde como ya se ha dicho ( ) 2K t GPa= para el PVB.

Figura 59. Superposición de curvas para Butacite® Construcción en relajación de tensiones

G(t)

3.2.4. Relación temperatura / tiempo La determinación experimental de la función del módulo de relajación está

limitada en el tiempo. Las restricciones del equipo de ensayo impiden obtener datos a tiempos menores que 0.01s mientras que tiempos de ensayos excesivamente largos encarecen la investigación. Para superar esta limitación se realizaron ensayos en un amplio rango de temperaturas desde -40ºC hasta 60ºC convirtiendo posteriormente los resultados a la temperatura de referencia de 20ºC utilizando la función de cambio temperatura-tiempo aproximada por la forma Williams-Handel-Ferry [171]. El resultado de este proceso de normalización, realizado con la aplicación TA Orchestator, es una curva única conocida como “curva maestra”. Los resultados de estos ensayos, así como la curva maestra correspondiente se muestran en el apartado 4.1.

Experimentación

111

3.2.5. Modelización numérica Obtenida la curva maestra se procedió a ajustar los datos experimentales

a una función utilizable en la simulación numérica de elementos finitos. Para ello se supuso, como es habitual, que la función )t(G puede ser identificada con un modelo generalizado de Maxwell (Apdo. 2.2.7), mediante la consideración de un número suficiente de muelles y amortiguadores, con diferentes módulos de elasticidad iE , y coeficientes de viscosidad iη . En el modelo generalizado de Maxwell el módulo de relajación )t(G puede expresarse como suma de las contribuciones i/t

i eG τ− de cada uno de los elementos unitarios viscoelásticos participantes, caracterizados por un coeficiente iG y por un tiempo de relajación

/i i iGτ η= :

/

1( ) i

Nt

o iG t G G e τ−= +∑ (3.2)

Para el ajuste de la curva con los datos experimentales y la obtención de los N términos de iG y iτ , que conforman una serie de Prony [172] se utilizó el algoritmo de Marquardt-Levenberg, un método de regresión no-lineal con minimización de la función de error ( )2 aχ mediante mínimos cuadrados, implementado en Viscodata:

( ) 2

2

1

;( )

Ni i

i i

y y x aaχ

σ=

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (3.3)

Donde ix e iy son los datos experimentales, la función )a;x(y i es el modelo a ajustar y iσ es la desviación estándar de error en el punto i . Los resultados se muestran en el apartado 4.1.1.

3.2.6. Efecto del tratamiento térmico en autoclave Parte fundamental durante la fabricación del vidrio laminado es la

eliminación del aire que queda retenido entre el vidrio y el PVB. Por ello, después de un primer calandrado en frío y un segundo calandrado en caliente, se somete el conjunto a un ciclo de calentamiento presurizado en el interior de un autoclave. Este ciclo consta de un primer calentamiento y una presurización rápida, un mantenimiento de las condiciones durante algún tiempo, un enfriamiento lento y una posterior despresurización. El objetivo final es la disolución de aire atrapado dentro del PVB para proporcionar, de esta manera, la transparencia del conjunto.

Durante los trabajos de caracterización del PVB se planteó la cuestión de si el proceso realizado en autoclave influye sobre las propiedades viscoelásticas del material, puesto que es en este último estado, en el que el PVB participa en la misión portante y resistente de los elementos estructurales de vidrio laminado.

Por ello se procedió a dejar una muestra no pegada al vidrio, en el interior del autoclave durante uno de los ciclos. La muestra recogida se ensayó siguiendo


112

la metodología explicada en apartados anteriores. Los resultados comparados entre la muestra sin y con tratamiento se encuentran en el apartado 4.1.2.

3.3. MODELIZACIÓN DEL VIDRIO LAMINADO MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS

Para la definición de una metodología de diseño basada en criterios probabilísticos es imprescindible el conocimiento del estado tensional en las superficies de las placas de vidrio que conforman un vidrio laminado. Dada la dificultad de la obtención de la distribución de tensiones en un problema en el que no se pueden obviar ni las grandes deformaciones ni la componente de dependencia respecto al tiempo y a la temperatura que aporta la lámina polimérica de PVB se hace imprescindible el uso de herramientas matemáticas avanzadas. En este trabajo se ha utilizado el método de los elementos finitos (Apdo. 2.3.3). Para facilitar la aplicación de esta herramienta en este trabajo se ha utilizado un programa comercial (Abaqus [31]) en cuyas librerías está implementada ya la teoría constitutiva de la viscoelasticidad isótropa (Apdo. 2.2.8).

Abaqus [31] es una aplicación comercial para análisis por elementos finitos desarrollado por Simulia Inc. La aplicación consiste en 3 módulos: Abaqus/Standard, Abaqus/Explicit y Abaqus/CAE. Abaqus Standard es el módulo de uso general que usa integración implícita para resolver los análisis. Abaqus/Explicit usa integración explícita para resolver análisis cuasi-estáticos o dinámicos altamente no lineales. Abaqus/CAE provee un entorno gráfico de diseño y de manejo de los otros dos módulos integrado.

Para la correcta modelización del problema planteado y una vez caracterizados mecánicamente los distintos materiales que componen una placa de vidrio laminado ha sido necesario definir, entre otras variables, las condiciones de carga, los apoyos, las simetrías utilizables, los contactos entre distintos materiales, las dimensiones de la modelización, la discretización de los elementos finitos, la distribución de los mismos, etc. En el Anexo I se ha incluido el archivo .inp con la definición de todos los parámetros que intervienen en la simulación.

En la Figura 60 se muestra la modelización usada en este trabajo. Se trata de la idealización de un vidrio laminado consistente en dos placas de vidrio unidas por una capa intermedia de un polímero. El problema se restringe a una carga uniforme a lo largo de toda la placa, y se considera tan sólo un ¼ de placa usando condiciones de simetría en los ejes de la placa paralelos a los lados. Se impone igualmente desplazamientos nulos según la dirección perpendicular a la placa en los bordes de la misma.

En este trabajo a la cara sometida a presión positiva se le denomina cara 1. A la otra cara de la misma placa que está en contacto con el PVB se le

Experimentación

113

denomina cara 2. A la cara en contacto con el PVB de la otra placa se le denomina cara 3 y a la cara libre de esta última placa se le denomina cara 4.

Figura 60. Mallado de elementos finitos para la placa laminada

Abaqus (Figura 61) consta de varios módulos especializados en la definición de las distintas variables del problema. Estos módulos son:

“Parts” En el módulo Parts se define la geometría del cuerpo, que en este caso

son dos placas de vidrio rectangulares juntas por una placa intermedia de PVB. El origen de coordenadas se sitúa en una de las esquinas del vidrio y sólo se considera la cuarta parte de la placa total, ya que los dos ejes de simetría de la placa permiten el análisis de una parte reducida. Es importante hacer notar que en la modelización propuesta no se considera el despegue entre el vidrio y el PVB y además se considera, de acuerdo a lo observado en la realidad, que no existen desplazamientos relativos entre la superficie de contacto PVB-Vidrio, es decir que la adherencia es total y que por lo tanto el conjunto puede definirse como un único cuerpo heterogéneo, con un núcleo mucho más blando y con propiedades viscoelásticas.

“Materials” En el módulo materiales se define el comportamiento mecánico de los

materiales que forman las placas: el vidrio y el PVB. El vidrio se ha modelizado como un sólido elástico, según las propiedades presentadas en la Tabla 6 [27]. Los valores asignados a estas propiedades están ampliamente aceptados en la industria y en el ámbito científico.

El PVB se ha modelizado como sólido elástico lineal – viscoelástico con las propiedades que se muestran en la Tabla 7. Los valores de la densidad, el módulo de Poisson y el módulo volumétrico son de origen bibliográfico [23]


114

mientras que el módulo de Young Instantáneo, el módulo de cortadura a largo plazo así como la dependencia de los mismos con el tiempo han sido obtenidos mediante ensayos en laboratorio, realizados en el ámbito de este trabajo. Los coeficientes Williams-Landel-Ferry (WLF) (sección 3.2.5 han sido obtenidos analíticamente (con la ayuda de TA Orchestator) a partir de los datos experimentales realizados en este trabajo. Los coeficientes de la serie de Prony (sección 3.2.5) calculados ajustando las curvas experimentales con Viscodata se muestran en la Tabla 11 (Apdo. 4.1 página 149).

Tabla 6. Propiedades del vidrio utilizadas en la simulación numérica

Propiedad Valor Comportamiento Elástico Lineal Densidad 2500 kg/m3 Módulo de Young 7.0E10Pa Módulo de Poisson 0.24

Figura 61. Entorno principal de Abaqus

“Assembly” En el módulo assembly se definen y asignan las secciones, las cuales en

este caso son dos secciones sólidas, homogéneas y en 3 dimensiones. En una sección el material es el vidrio y en otra de iguales características el material asignado es el PVB.

Experimentación

115

Tabla 7. Propiedades del PVB utilizado en acristalamientos

Propiedad Valor Comportamiento Elástico Lineal – Viscoelástico Densidad 1060 kg/m3 Módulo de Young Instantáneo 2.0E09 N/m2 Módulo de Poisson 0.333 Módulo Volumétrico Instantáneo 2.0E09 N/m2 Williams-Landel-Ferry

0θ =20.0 , C1=20.7 , C2=91.1

“Steps” El comportamiento viscoelástico del PVB hace que la distribución de

tensiones en la placa al igual que la deformación de la misma sea función del tiempo. Es por ello que se hace necesario definir en que momento, o momentos, a partir de la aplicación de la carga o cargas, se desean los resultados. Debido a que el proceso de cálculo es iterativo, es necesario, con el fin de asegurar la convergencia del resultado, definir incrementos adecuados en los cálculos intermedios. Estos tiempos intermedios también se controlan en este módulo.

En este módulo también se elige activar o desactivar la teoría de grandes deformaciones, se elige si la carga se aplica de forma instantánea o no, si la extrapolación del estado anterior al comienzo de cada incremento ha de ser lineal, etc.

“Loads” En este módulo se definen las cargas y las condiciones de contorno. Como

cargas se han introducido la que causa la gravedad debido a la masa de la placa y una carga de presión lateral. Como condiciones de contorno se han definido la simetría de los lados no apoyados y las restricciones (simplemente apoyado, sin desplazamiento en z) en las dos aristas apoyadas.

“Mesh” En este módulo se crean los elementos y se asigna el tipo de elemento.

Después de las oportunas pruebas, en las que se valoró la resolución y de los resultados y la potencia de cálculo requerida, se eligió una malla de 20x20 elementos, según los ejes paralelos a la placa (Figura 62(a)). Para el espesor, según se muestra en la Figura 62(b), se subdividió el PVB en 4 elementos y cada una de las placas en 6 elementos. El total de los elementos por lo tanto fue de 6400.

El elemento utilizado para el vidrio fue el elemento sólido de 8 nodos con modos incompatibles C3D8I de la librería Estándar de Abaqus [168]. Para el PVB


116

se ha utilizado el elemento C3D8IH, con modos incompatible y formulación híbrida [168]. Se han realizado varias pruebas, sin integración reducida, con variaciones en la formulación, con orden geométrico linear o cuadrático, y siempre se han obtenido resultados muy similares.

“Visualization” En este módulo se visualiza el resultado. Como variables de salida se han

elegido el tensor de tensiones extrapolado desde los puntos de integración a los nodos de la superficie de las placas y los desplazamientos en los nodos de las cuatro caras de las placas de vidrios. En la sección “Keywords” se solicita escribir el resultado en un fichero de texto.

Figura 62. Definición de los elementos finitos a lo largo de (a) los ejes principales de la placa,

y (b) del espesor de la placa de vidrio laminado

Experimentación

117

3.4. POTENCIAL FOTOGRAMÉTRICO DE LAS CÁMARAS UTILIZADAS

Las cámaras utilizadas en este trabajo no son cámaras métricas, es decir, no han sido concebidas como instrumentos de medición. Por esta razón es necesario establecer las condiciones óptimas de su uso con el objetivo de alcanzar los mejores resultados.

En este contexto se han realizado ensayos para evaluar la estabilidad geométrica de las cámaras utilizadas como consecuencia del encendido/apagado de las mismas o del accionamiento del zoom. También se ha evaluado la conveniencia del uso del autoenfoque frente al enfoque manual. Por último se han realizado ensayos destinados a conocer cual es, desde un punto de vista métrico, la apertura óptima del diafragma. Adicionalmente se ha estudiado como varía la geometría interna de las cámaras con las distintas aperturas de diafragma con el objetivo de valorar la necesidad de utilizar siempre la misma apertura de diafragma.

3.4.1. Materiales y medios Cámaras fotográficas Durante la realización de las diferentes fases del presente trabajo de

investigación han sido dos los modelos de cámaras compactas utilizadas. Para los estudios relacionados con la apertura del diafragma se ha empleado una cámara compacta Canon Powershot A80 (Fotografía 8 izda.). Para el resto de estudios se han empleado 4 cámaras Pentax Optio A40 (Fotografía 8 dcha.) que han sido las mismas que posteriormente se han utilizado para las mediciones fotogramétricas en el resto de ensayos de esta investigación. Las características técnicas más relevantes de ambas cámaras se encuentran en la Tabla 8.

Entre las características más destacables de las cámaras Pentax Optio A40 está la posibilidad de usar un único disparador remoto inalámbrico para las cuatro cámaras. Esta ha sido una cuestión decisiva en su elección, ya que en cámaras compactas muy pocos modelos incorporan esta característica. Otras características muy destacables desde el punto de vista fotogramétrico son el control manual de la apertura y el tiempo de exposición, el control manual del enfoque y la memoria de la posición del zoom y del enfoque al apagar la cámara.


118

Fotografía 8. Cámaras fotográfica Canon Powers hot A80 y Pentax Optio A40 utilizadas en el

proyecto de investigación.

Tabla 8. Características técnicas de las cámaras utilizadas en el proyecto de investigación

Canon Powershot A80 Pentax Optio A40 Resolución Utilizada (píxeles efectivos) 2272 x 1704 4000x3000 Relación de aspecto alto:ancho 4:3 4:3 Nº Píxeles totales 4.1 millones 12.43 millones Tamaño del sensor 7.18 x 5.32mm, 0.38cm2 7.60x5.70mm, 0.43 cm2 Densidad de sensores 10.5MP/cm2 28MP/cm2 Tamaño del píxel 3.2μm x3.2μm 1.9μm x1.9μm Tipo de sensor CCD CCD

Construcción del objetivo 3 grupos con 2 elementos asféricos, focus de 1 sólo

elemento en el tercer grupo

7 elementos en 5 grupos (2 asféricos de doble cara y 1 de

cara simple) Longitud focal nominal 7.80mm-26mm 7.90mm- 23.7mm Distancia mínima de enfoque 10cm 6cm Sensibilidad ISO 50-400 50-1600 Aperturas del diafragma F2.8 – F8.0 F2.8-F5.4 Tiempo de exposición 15s-1/2000 4s-1/2000s Enfoque Manual / automático Si/Si Si/Si Formato grabación JPEG (Exif 2.2) JPEG (Exif 2.2)

Útiles de calibración Para los ensayos realizados durante el estudio del potencial fotogramétrico

de cámaras compactas se han utilizado 4 útiles de calibración, tratándose en los cuatro casos de planillas de papel blanco impreso con tóner o con tinta.

En la Fotografía 9 (izquierda) se muestra la planilla de calibración parte de la aplicación informática Camera Calibration Toolbox for Matlab (Apdo. 3.4.2.e). Se trata de un útil con unas dianas impresas de tipo ajedrez. La plantilla mostrada en la Fotografía 9 (derecha) es una variante diseñada por el DLR Institut für Robotik und Mechatronik (en adelante Instituto DLR) que incluye unas marcas centrales que facilitan la detección y orientación automática de las dianas y que se utiliza en la aplicación DLR CalDe (Apdo. 3.4.2.c). En la Fotografía 10 se muestran dos útiles diseñados por la empresa Eos Systems Inc. para su

Experimentación

119

utilización con la aplicación Photomodeler (Apdo. 3.4.2.a). Están basados en puntos de los cuales cuatro tienen una codificación que permiten la automatización del proceso de referenciación de puntos y la orientación de las imágenes.

Fotografía 9. Útiles de calibración utilizados en la aplicación Camera Calibration Toolbox for

Matlab (izquierda) y en DLR CalDe (derecha)

Fotografía 10. Útiles de calibración diseñados por Eos Systems Inc. para cámaras hasta

6Mpixel (izquierda) y para cámaras de más de 6Mpixel (derecha).

3.4.2. Aplicaciones informáticas relevantes

3.4.2.a) Photomodeler Photomodeler [95] (Figura 63) (en versiones anteriores llamada

Photomodeler Pro) es una aplicación informática de la empresa Eos Systems Inc. disponible en Windows que permite crear modelos 3D de gran precisión a partir de fotografías. Es una aplicación ampliamente utilizado por profesionales del campo de la ingeniería, arquitectura, arqueología, medicina forense, etc.

Esta aplicación se ha utilizado en la mayor parte de los ensayos de establecimiento de los ajustes óptimos en las cámaras, para la calibración de las cámaras y para los ensayos con las placas de vidrio laminado.

Para la modelización de las cámaras Photomodeler usa la formulación de Brown [130] descrita en la sección 2.7. La única diferencia o particularidad con respecto a la formulación original es que no modela la distorsión radial absoluta ( ´radrΔ ) en función del radio sino que modela una distorsión radial relativa


120

( ´ / ´radr rΔ ) en función del radio. Por lo tanto si la expresión propuesta por Brown es:

3 5 71 2 3´ ´ ´ ´ ...radr K r K r K rΔ = + + + (3.4)

Photomodeler utiliza:

2 4 61 2 3

´ ´ ´ ´´radr k r k r k r

rΔ = + + (3.5)

Como consecuencia los valores obtenidos para los coeficientes de distorsión son distintos a los obtenidos por otras aplicaciones fotogramétricas más fieles a la formulación clásica. En cuanto a la formulación de la modelización de distorsión por descentramiento Photomodeler utiliza la forma clásica. Al igual que el modelo de cámara original de Brown Photomodeler no incluye modelización para la distorsión por prisma delgado.

Figura 63. Pantalla principal de la aplicación Photomodeler en su versión 5

Además de las funciones de modelización de cámaras Photomodeler integra multitud de herramientas para la realización de levantamientos fotogramétricos. Entre estas se pueden destacar la gestión de capas, la posibilidad de utilizar de forma simultánea varias cámaras, la exportación directa a formatos CAD, etc.

3.4.2.b) Control externo de Photomodeler La aplicación Photomodeler contiene un módulo de investigaciones que

permite, a priori, la determinación de coordenadas en puntos en movimiento. Este

Experimentación

121

módulo se denomina Photomodeler Video Module. En el transcurso de este trabajo se ha comprobado el inadecuado funcionamiento de este módulo desde el punto de vista de la precisión. La problemática del módulo es la siguiente: en el primer levantamiento fotogramétrico (primera época) de la secuencia es posible definir el sistema de referencia a usar en todo el levantamiento, incluyendo las coordenadas de las cámaras, de una forma correcta. Para los demás levantamientos (épocas) la nueva posición de los puntos se calcula a partir de la posición de los mismos en las secuencias anteriores, bien a partir de las coordenadas imagen o bien a partir de las coordenadas 3D, por lo tanto no se tienen en cuenta los puntos que en el primer paso definen el sistema de coordenadas. El resultado es una pequeña (pero no despreciable) deriva de las coordenadas de incluso los puntos inmóviles. Dada esta deriva de puntos inmóviles es de esperar que las variaciones en las coordenadas del resto de los puntos no se deban únicamente al movimiento real de los mismos sino también en parte al algoritmo de detección y seguimiento de los puntos.

Para solucionar este problema ha sido necesaria la programación de una aplicación (cuyo código se encuentra en el Anexo II) que permite controlar y por lo tanto automatizar la aplicación Photomodeler. Esto ha sido posible gracias a la inclusión en Photomodeler de la tecnología DDE, un sistema de intercambio de información entre aplicaciones disponible en algunas versiones del sistema operativo Windows.

La aplicación se ha programado en el lenguaje VBA (Visual Basic for Aplications) estando el código embebido en un archivo de Word. Esta aplicación permite añadir las cámaras modelizadas utilizadas al tomar las imágenes, la detección automática de dianas codificadas, la orientación externa de las imágenes, el ajuste en bloque y la definición de un sistema de coordenadas común a toda la secuencia de levantamientos. La automatización de este proceso ha permitido la realización de los ensayos realizados en el apartado 4.4. La ejecución manual del Photomodeler hubiera resultado inabordable dado el gran número de levantamientos necesarios en los ensayos.

3.4.2.c) DLR CalDe DLR CalDe [173] (Figura 64) del Instituto DLR es una aplicación

programada en el lenguaje IDL que permite la detección semiautomática con precisión subpíxel de esquinas o dianas en una planilla de calibración tipo ajedrez.

Una característica reseñable del esta aplicación es que no es necesario que el útil de calibración esté completo dentro de la imagen, lo que posibilita en última instancia una buena calibración en la región periférica de la imagen. Esta aplicación genera ficheros que contienen la correspondencia entre las dianas del


122

objeto de calibración y los pares de coordenadas de imagen y que son utilizados para su posterior análisis por la aplicación informática de calibración DLR CalLab.

Figura 64. Pantalla principal de la aplicación DLR CalDe

3.4.2.d) DLR CalLab DLR CalLab [173] (Figura 65) del Instituto DLR es una aplicación

programada en lenguaje IDL que permite calcular los parámetros extrínsecos e intrínsecos a partir de los ficheros creados por DLR CalDe. Además, la aplicación ofrece posibilidades de interacción tales como:

• Elección y parametrización de diferentes algoritmos numéricos de optimización.

• Histogramas e imágenes que permiten de una manera interactiva eliminar o añadir puntos con valores altos de RMS.

• Varios métodos de ajuste en bloque. • Flexibilidad en la selección del modelo de distorsión de lentes: distorsión

radial de 3er, 5to, y 7o orden, distorsión por descentramiento en 2do y 4to orden, y distorsión de prisma delgado de 2do y 4to orden, según la formulación de [124].

Experimentación

123

Figura 65. Pantalla principal de la aplicación DLR CalLab

Mientras que para la modelización de la distorsión radial DLR CalLab utiliza la formulación clásica tal y como se ha presentado en la sección 2.7, para la distorsión por descentramiento utiliza la expresión

( )( )

, 2 4 61 2 3 0

, 2 4 61 2 3 0

3 ´ ´ ´ ... sin( )

3 ´ ´ ´ ... cos( )

desc

desc

r n r n r n r

t n r n r n r

θ θ

θ θ

Δ = + + + −

Δ = + + + − (3.6)

Donde in son los coeficientes de descentramiento, θ es la componente angular observada de un punto proyectado, ´t es su posición predicha y 0θ es el ángulo entre ordenadas y el eje de máxima distorsión tangencial debida al descentramiento. Es por lo tanto una modelización de las componentes radial y tangencial a diferencia de la formulación de Brown donde lo que se modeliza son las componentes radiales asimétricas según los ejes ( , )x y .

DLR CalLab introduce además un conjunto adicional para modelar las imperfecciones de los elementos de las lentes y la falta de perpendicularidad entre el sensor CCD y el eje óptico y que denomina distorsión por prisma delgado y que introducen distorsiones radiales y tangenciales adicionales que se pueden modelar por:

2 4 6

1 2 3 12 4 6

1 2 3 1

´ ( ...)sin( )

´ ( ...) cos( )

r e r e r e r

t e r e r e r

θ θθ θ

Δ = + + + −

Δ = + + + − (3.7)


124

Donde ie son los coeficientes de distorsión por prisma delgado y 1θ es el ángulo entre ordenadas y el eje de máxima distorsión tangencial debido a la distorsión por prisma delgado.

DLR CalLab además considera cambio de escala entre los ejes debido a geometrías de los píxeles distintas al cuadrado.

Las aplicaciones DLR CalDe y DLR CalLab han sido utilizadas en los ensayos relacionados con la apertura del diafragma.

3.4.2.e) Camera Calibration Toolbox for Matlab Camera Calibration Toolbox for Matlab [174] (Figura 66) es un conjunto de

aplicaciones de uso libre programado para el entorno de Matlab. Permite la detección subpíxel semiautomática de dianas, mediante un útil de calibración de tipo ajedrez. Permite calibración de todo tipo de cámaras digitales mediante un modelo de cámara flexible que incluye modelización de distorsión radial y de descentramiento. Esta aplicación está programado por Klaus Strobl, del Instituto DLR, y destaca por su buena documentación y por estar disponible de forma libre para la comunidad científica. Este aplicación informática está basado en el procedimiento de cuatro pasos propuesto por Heikkil y Silven, [133], de la Universidad de Oulu en Finlandia, e incluye los algoritmos para la rectificación final de las imágenes.

Figura 66. Pantalla principal de Camera Calibration Toolbox for Matlab

La aplicación Camera Calibration Toolbox for Matlab utiliza una modelización de cámara muy similar a la utilizada por DLR CalLab. Las diferencias se encuentran con la modelización de la distorsión por descentramiento cuya formulación es [130]:

Experimentación

125

( )

( )2 2

2 2

2 (3) ´ ´ (4) ´ 2 ´´

(3) ´ 2 ´ 2 (4) ´ ´

kc x y kc r xx

kc r y kc x y

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥Δ =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(3.8)

Donde (3)kc y (4)kc son los coeficientes de distorsión tangencial. Esta distinta formulación ocasiona la incompatibilidad y la imposibilidad de intercambiabilidad de los coeficientes obtenidos con las demás aplicaciones

A diferencia de la aplicación DLR CalLab Camera Calibration Toolbox for Matlab no modela las distorsiones por prisma delgado. Si que tiene implementado el cambio de escala entre ejes.

La aplicación Camera Calibration Toolbox for Matlab ha sido utilizada en los ensayos relacionados con la apertura del diafragma.

3.4.2.f) Comparación de las distintas aplicaciones La Tabla 9 muestra de forma comparada las características más

relevantes de las aplicaciones informáticas empleados en este trabajo de investigación. En el apartado 3.4.2 también se ha comparado las distintas formulaciones que usan cada uno de ellas. A lo largo de la realización del trabajo se han podido constatar las ventajas de la aplicación Photomodeler en cuestiones como la obtención de menores residuos de marcado, mayor grado de automatización y la gestión integrada de los proyectos fotogramétricos.

3.4.3. Metododología de los ensayos La herramienta básica que ha permitido analizar y comparar las distintas

aplicaciones, el comportamiento de las cámaras ante los ajustes fotográficos y la estabilidad geométrica de las cámaras es la reiterada modelización de las cámaras mediante calibraciones. Por lo tanto aunque la modelización de una cámara (mediante un procedimiento de calibración) es un fin en si mismo (y así se ha utilizado en ciertas partes del trabajo) en el estudio del potencial fotogramétrico de las cámaras compactas utilizadas en este trabajo se ha utilizado como un instrumento de ensayo.

De entre los distintos procedimientos de calibración citados en el apartado 2.7.4 se ha utilizado la calibración de campo basada en la utilización de útiles de calibración 3D simulados. En todos los casos el útil ha permanecido estacionario mientras que las cámaras se han estacionado en distintas ubicaciones. Este procedimiento de modelización de cámaras se ha utilizado tanto en los ensayos destinados a analizar el potencial métrico de las cámaras compactas como a la modelización definitiva de las cámaras antes de su utilización para el contraste de la simulación numérica de las placas de vidrio laminado.


126

Tabla 9. Conjuntos de útil de calibración / aplicación informática utilizados en los ensayos

Diseño y programación Eos Systems Inc. Instituto DLR Klaus Strobl Aplicación relacionada Photomodeler DLR CalDe y DLR CalLab Camera Calibration Toolbox

for Matlab

Principales características más destacables

Modelización de cámaras, levantamientos fotogramétricos con varias cámaras

Modelización de cámaras y de sistemas estereoscópicos

Modelización de cámaras, rectificación de imágenes.

Tipo de útil 3d simulado 3d simulado 3d simulado Tipo de diana Circular Ajedrez Ajedrez Detección de diana Automática Semiautomática Semiautomática Procedimiento de orientación Automática Automática Semiautomática

Parámetros de orientación interior Extrínsecos Extrínsecos Extrínsecos

Definición de las distorsiones Propio Según ISPRS Propio

Distorsión radial Si Si Si Distorsión por descentramiento Si Si Si

Distorsión por prisma delgado No Si No

Lenguage de programación Alto nivel IDL Matlab Licencia Comercial Gratuita Libre

Varias son las razones por las que se ha considerado este procedimiento

de calibración. La necesidad de realizar levantamientos fotogramétricos en una placa en deformación exige la utilización simultánea de varias cámaras lo que excluye el procedimiento de autocalibración. Por otro lado las cámaras permanecen estáticas en una única posición lo que excluye la posibilidad de calibrar durante el proyecto. La calibración en laboratorio se descarta por el tipo de cámaras empleadas. Debido a que uno de los objetivos de la tesis es probar la utilidad de la fotogrametría como técnica de precisión a la hora de realizar mediciones se han descartado los métodos basados en plomadas, útiles solamente para estimar inicialmente algunos de los parámetros del modelo de cámara [69]. Finalmente, el método de calibración elegido permite, gracias a los medios informáticos actuales, la obtención rápida de modelizaciones de alta calidad, flexibilidad, bajo coste y facilidad de operación.

Los parámetros obtenidos del proceso de calibración y que han servido para los distintos análisis son:

- Parámetros de orientación interior: Distancia principal, coordenadas del punto principal, coeficientes de distorsión radial, coeficientes de distorsión por descentramiento y en su caso coeficientes de distorsión de prisma delgado.

- RMS en cada punto. Esta variable es una medida de calidad para cada punto y se calcula tomando como valores verdaderos las

Experimentación

127

coordenadas de los puntos que se obtienen tras el ajuste en bloque y como valores medidos las coordenadas marcadas de los puntos sobre las imágenes. Normalmente las unidades que se utilizan son los píxeles. Se puede destacar además la imagen que da el residuo máximo y el mínimo.

- RMS Global: Esta variable es una media del error medio cuadrático en todos los puntos del proyecto. Normalmente las unidades que se utilizan son los píxeles.

- Longitud del vector precisión: Esta variable, dada normalmente en las unidades de longitud del proyecto, es el módulo del radio-vector de la esfera que contiene a los residuos menores que una desviación estándar. Proyectado el vector sobre los ejes X,Y,Z del proyecto se obtienen las precisiones en X, en Y y en Z.

3.4.4. Aspectos considerados en el estudio del potencial métrico de cámaras compactas no métricas

Como se comentó en al apartado 2.6.2 son muchos los aspectos que diferencian las cámaras métricas (cámaras especialmente diseñadas para usos fotogramétricos) de las no métricas. De todas las diferencias tal vez la más importante sea la capacidad de las cámaras métricas de conservar la geometría interna de la misma a lo largo del tiempo y el uso. Y es que a pesar de que con los últimos desarrollos en fotografía digital y procedimientos de calibración de cámaras cualquier cámara puede ser modelizada en un proceso rápido y fiable los resultados pueden no ser fiables si durante la realización de las tomas fotográficas varía la geometría interna de la cámara. Con el objetivo de valorar la estabilidad geométrica de las cámaras utilizadas se han realizado los ensayos descritos en el apartado 3.4.4.a).

Otro aspecto fundamental a considerar en trabajos métricos de fotogrametría de objeto cercano a corta distancia realizados con cámaras compactas no métricas es la utilización del autoenfoque frente al enfoque manual debido que puede implicar variaciones en la distancia principal y en los coeficientes de distorsión. En el apartado 3.4.4.b) se valora la importancia de este parámetro y se explican los ensayos realizados.

Para la obtención de los mejores resultados en un levantamiento fotogramétrico es obvio que la máxima calidad de imagen desde el punto de vista fotográfico es un apartado muy importante. Aspectos como la nitidez, los encuadres, la ausencia de sobreexposiciones o subexposiciones, un correcto balance de blancos o la ausencia de ruido tienen un impacto directo sobre el resultado final del trabajo. Sin embargo las peculiaridades del trabajo fotogramétrico exigen en ocasiones que sobre estos aspectos primen otros de


128

mayor influencia en la precisión, máxime cuando se utilizan cámaras que no han sido diseñadas con fines métricos.

Cuatro son las variables fundamentales disponibles a la hora de obtener fotografías: iluminación, sensibilidad del sensor, tiempo de exposición y apertura del diafragma. Como regla general, a la hora de tomar una fotografía la iluminación debe ser suficiente y homogénea, asegurando que no se sobrepase el rango dinámico de los sensores. Cuando no es posible obtener una iluminación suficiente se puede actuar sobre los demás factores: la sensibilidad del sensor, el tiempo de exposición y la apertura del diafragma.

Con respecto a la sensibilidad del sensor, uno de los aspectos más diferenciadores entre cámaras de gama alta y baja, se ha de procurar siempre intentar aprovechar al máximo todo el rango dinámico del sensor por lo que se deberá trabajar siempre con los valores de sensibilidad más bajos posibles. De este modo se evitará la aparición de ruido.

El tiempo de exposición, en fotogrametría de objeto cercano, suele ser la variable que con más libertad se puede utilizar. Normalmente los objetos a fotografiar van a ser estáticos o su movimiento muy lento por lo que prácticamente se puede utilizar cualquier tiempo de exposición. Únicamente cuando estos tiempos sean superiores a 1/60s se debe utilizar un sistema estabilizador de la cámara como un monópode o un trípode.

Es en la apertura del diafragma donde hay que tomar las máximas precauciones ya que según se ha explicado en el apartado 2.6.1 para una misma distancia de enfoque la distancia principal varía con la apertura. Y no solamente la distancia principal sino también las distorsiones provocadas por las lentes. Es por esto que se ha considerado conveniente la realización de un estudio para cuantificar la variación de los parámetros internos de cámara al utilizar distintas aperturas. Los ensayos realizados se explican en el apartado 3.4.4.c).

3.4.4.a) Estabilidad geométrica de las cámaras En este trabajo de investigación en el que se han utilizado cámaras

digitales compactas de gran calidad se ha realizado un estudio profundo de las variaciones en la geometría interna debido al uso de las mismas. Y no sólo se han cuantificado las variaciones en los parámetros de orientación interna sino que también se ha cuantificado el empeoramiento en la precisión del trabajo fotogramétrico resultado de estas variaciones, determinándose de forma fidedigna los límites reales esperables en estas cámaras.

En este contexto se han realizado sobre 4 cámaras Pentax Optio A40 300 modelizaciones que han supuesto 3200 fotografías. En estos ensayos se ha estudiado la variación de la geometría interna de la cámara cuando esta se apaga y se vuelve a encender, lo que implica el recogimiento del objetivo dentro del

Experimentación

129

cuerpo de la cámara. También se ha estudiado la variación de la geometría interna de la cámara tras accionar el zoom (lo que también implica giro y movimiento del objetivo y las lentes) y la vuelta a la longitud focal de partida. Estas variaciones se han comparado con las que suceden cuando la cámara está trabajando en continuo sin giros ni movimientos de las lentes u objetivos. Estas últimas desviaciones, que son las mínimas, pueden entenderse como desviaciones del método, es decir, las variaciones en la estimación de parámetros debidas a limitaciones de otra índole (físicas, ópticas, etc.)

Una vez conocida la variación de los parámetros de orientación interna de la cámara en estas circunstancias se ha calculado la precisión de un determinado levantamiento fotogramétrico utilizando los distintos conjuntos de parámetros de orientación interna obtenidos en los ensayos. Para la evaluación de los datos se han elegido 4 puntos de control de los que se han obtenido las coordenadas objeto X,Y,Z con los diferentes sets de parámetros de geometría interna. Los resultados y el posterior análisis de los datos se encuentran en el apartado 4.3.1.

3.4.4.b) Enfoque / autoenfoque La utilización de enfoque automático en la toma de una fotografía, desde

un punto de vista métrico, tiene 2 implicaciones con sentidos contrarios. Por un lado el uso del autoenfoque conlleva el movimiento de la lente o lentes responsables del enfoque lo que indudablemente es una modificación de la geometría interna de cámara. Por otro lado cuando un levantamiento consta de varias fotografías con distintas distancias al objeto si imponemos una longitud focal mediante el uso del enfoque manual inevitablemente obtendremos imágenes mejor y peor enfocadas lo que también va a afectar a la precisión del trabajo fotogramétrico.

Cuando el levantamiento fotogramétrico es de un objeto relativamente lejano (distancias mayores a 4m [96]) lo recomendable es fijar el enfoque al infinito pero cuando se trata de levantamientos a corta distancia la decisión no es sencilla. Incluso cuando todas las fotografías que se van a tomar están a la misma distancia del objeto ocurre que los sistemas ópticos digitales incluidos en las cámaras compactas pueden ser capaces de obtener mejores enfoques que los que se obtienen manualmente y en todo caso entre fotografía y fotografía la variación en la posición de la lente de enfoque no puede ser muy diferente. Para estudiar la conveniencia o no del uso del autoenfoque se han realizado ensayos con las cuatro cámaras Pentax Optio A40. En estos ensayos consistentes en la realización reiterada de calibraciones (Apdo. 3.4.3) se han comparado los residuos del marcado cuando se utiliza en autoenfoque y cuando no se utiliza. Los resultados y la discusión se encuentran en el apartado 4.3.2.


130

3.4.4.c) Apertura del diafragma Para evaluar la influencia del cambio de la apertura del diafragma sobre

los parámetros internos de cámara se ha procedido a la realización de 20 modelizaciones (10 con Photomodeler y 10 con DLR CalLab) de la cámara Canon Powershot A80 en las que se han mantenido todos los ajustes de la cámara constantes. En cada una de las modelizaciones se ha variado únicamente la apertura, dejando automático el tiempo de exposición. Posteriormente se ha cuantificado la influencia de los cambios registrados en el trabajo fotogramétrico. Los resultados del ensayo se muestran y discuten en el apartado 4.3.3.

Experimentación

131

3.5. CONTRASTE EXPERIMENTAL DE LA MODELIZACIÓN NUMÉRICA. Una vez diseñada la simulación numérica de las placas de vidrio laminado

mediante el que se pueden calcular las tensiones es necesario comprobar que los resultados del análisis se corresponden con la realidad. Esta comprobación implica la realización de ensayos experimentales de una serie de casos representativos que permitan asegurar el correcto funcionamiento de la simulación.

La comprobación de la simulación se realiza a partir de los datos de desplazamiento de la superficie, en particular se ha utilizado la flecha o desplazamiento de los puntos en la dirección perpendicular a la placa cuando ésta es sometida a una presión lateral, presión que en los ensayos se ha suministrado gracias a un compresor y que es controlada, según los ensayos, por una válvula de regulación de caudal o de regulación de presión.

Como técnica experimental para la medida de los desplazamientos se ha elegido la fotogrametría de objeto cercano aunque adicionalmente se ha utilizado una segunda técnica (relojes comparadores) para asegurar la fiabilidad y la exactitud de los resultados.

El comportamiento viscoelástico de la lámina de PVB del vidrio laminado hace que la placa se esté deformando de forma ininterrumpida y continua (excepto tras un largo periodo de reposo) lo cual dificulta la toma de datos experimentales. Esta continua deformación obliga a la realización de los levantamientos fotogramétricos en un instante determinado por lo que la toma de las diferentes imágenes debe realizarse mediante varias cámaras que deben dispararse simultáneamente. En el momento de la toma de la imagen las cámaras deben estar situadas en los puntos adecuados y con la orientación adecuada lo cual se ha conseguido gracias a una estructura diseñada y fabricada en el ámbito del presente trabajo.

3.5.1. Materiales y medios Para la realización de los ensayos de comprobación experimental de la

deformación de las placas de vidrio laminado se utilizaron los elementos e instrumentos que se muestran en la Figura 67 y se desarrollan en los siguientes apartados.

Vidrios laminados Para los ensayos realizados en el ámbito de esta tesis se han utilizado 3

placas de vidrios suministrados por la empresa Vitro Cristal Glass y fabricados por Cristalería Española. Las dimensiones de las placas utilizadas son 1404x1404mm. Durante los ensayos se utilizaron los espesores habituales


132

utilizados en construcción: dos placas (P1 y P2) de 3mm+0.38mm+3mm y una placa (P3) de espesor 4mm+0.38mm+4mm.

Figura 67. Ubicación de los diferentes elementos utilizados en los levantamientos

fotogramétricos

Banco de ensayos La parte central de los diferentes elementos utilizados en los ensayos es la

bancada donde se instalan los vidrios laminados cuya deformación se mide. El banco de ensayos se ha diseñado siguiendo criterios de máximo realismo intentando así que los resultados obtenidos sean análogos a los que se obtendrían en una situación real de servicio.

La estructura básica del banco de ensayos, que es la que sujeta las placas de vidrio, se ha realizado mediante perfiles de aluminio iguales a los utilizados en fachadas “muros cortina”. Se ha diseñado de tal forma que sea posible el soporte horizontal y vertical de las placas de vidrio laminado (Fotografía 11).

Para los perfiles metálicos de aluminio se ha utilizado el modelo COR-9170 (Figura 68) fabricado por Cortizo, S.A. Este perfil permite doble acristalamiento con laminados de hasta 12mm (6mm+6mm). La unión de dos perfiles perpendiculares se ejecutó mediante cortes a 45º (Fotografía 12).

Experimentación

133

Fotografía 11. Vistas generales del banco de ensayos utilizado en los ensayos

Figura 68. Sección transversal del perfil COR-9170 utilizado en el banco de ensayos

El contacto entre los perfiles metálicos y el vidrio se ha realizado con las mismas gomas utilizadas en la instalación de vidrios en construcción (Fotografía 12), con lo que la disposición de las placas de vidrio en los ensayos se aproxima al máximo a la realidad.

Para los ensayos se utilizó un doble acristalamiento: en la parte superior (según el esquema de la Figura 68) se instalaron las placas destinadas a la realización de los ensayos de caracterización (ver Capítulo 4). En la parte inferior se instaló una placa monolítica de 12mm de espesor no destinada a medición sino destinada a permitir la presurización de la bancada. Las placas quedaron separadas aproximadamente 15mm, por lo que el volumen total del hueco quedó en unos 43l. En el perfil de aluminio se practicaron dos perforaciones, entre las dos placas de vidrio, para permitir la entrada de aire a presión y para el


134

acoplamiento del manómetro (Fotografía 13). El aire a presión se generó con un compresor eléctrico de 1.5CV, presión máxima de suministro 8bar y calderín incorporado de 24l (Fotografía 14).

Fotografía 12. Vista en planta de la unión de dos perfiles

Fotografía 13. Detalle de la perforación en el perfil de aluminio por el que entra aire a presión

por una tubería neumática

Fotografía 14. Compresor utilizado para el suministro de presión

Experimentación

135

Regulador de presión y de caudal Para el control de la presión máxima de aire dentro del banco de ensayos

se ha utilizado un regulador de precisión modelo ControlAir Inc Type 700, con un rango de presiones de salida nominal de entre 0 y 2PSI y una entrada máxima de 250PSI (Fotografía 15). Para la regulación precisa del caudal de aire necesaria en los ensayos de incrementos de presión a velocidad controlada se ha utilizado el regulador de caudal mostrado en la Fotografía 16. La regulación se realiza mediante el giro de un tornillo situado en el interior del mismo.

Fotografía 15. Regulador de Presión de Precisión

Fotografía 16. Regulador del caudal de aire

Tubería neumática En la Fotografía 17 se muestran las tuberías neumáticas de polietileno

utilizadas para introducir aire a presión en las placas (Ø10mm) y para conectar el manómetro (Ø6mm), en ambos casos con paredes de 1mm de espesor.


136

Fotografía 17. Tubería neumática

Válvulas de descarga En la Fotografía 18 y en la Fotografía 19 se muestran las dos válvulas de

descarga utilizadas para la descarga de aire a presión de la bancada de ensayos. Se trata de una válvula neumática normalmente cerrada de accionamiento puntual (izquierda) y otra válvula de llave (derecha).

Fotografía 18 (izquierda). Válvula de descarga normalmente cerrada. Fotografía 19 (derecha).

Válvula de descarga de llave

Manómetro Para la medición de las condiciones de presión en el interior de la bancada

se utilizó un manómetro Digitron modelo 2081P (nº de serie 460848502) con un rango de entre 0 y 13kPa, una resolución de 10Pa y su correspondiente certificado de calibración (Fotografía 20).

Reloj comparador En la Fotografía 21 se muestra el reloj comparador utilizado como segunda

técnica experimental para comprobar la exactitud de la metodología. Se trata de un reloj calibrado en origen con una carrera de 30mm y divisiones de 0.01mm (10μm).

Experimentación

137

Fotografía 20. Manómetro Digitron 2081P utilizado para monitorizar la presión en la bancada

de ensayos, y certificado de calibración suministrado por el fabricante

Fotografía 21. Reloj comparador utilizado como segunda técnica experimental

Pie de rey o calibre En la Fotografía 22 se muestra el pie de rey o calibre utilizado para dar

escala al proyecto. Se trata de un instrumento con una resolución de 0.05mm y certificado de garantía de calidad en la fabricación.

Fotografía 22. Pie de rey o calibre con certificado de calidad utilizado para dar escala al

proyecto


138

Dianas Para los levantamientos fotogramétricos de los ensayos se han utilizado

dianas codificadas según se muestra en la Fotografía 23. Estas dianas usan una codificación de 12 bits basada en sectores discontinuos y concéntricos al círculo usado para el marcado de cada punto. El uso de estas dianas codificadas permite el reconocimiento automático e individualizado de los puntos en todas las imágenes lo que supone un importante ahorro en tiempo en el posterior procesado de las imágenes.

Para las dianas se ha utilizado papel blanco satinado, imprimiendo el contorno de los círculos y codificaciones con una impresora láser monocroma con tóner negro. Después de unas pruebas se desechó el uso del papel reflectante adhesivo debido a que en laboratorio, con iluminación artificial y a distancias cortas provoca halos y sobreexposiciones en las fotografías. Para la sujeción de las dianas a las placas se optó por aplicar un adhesivo al dorso de las dianas.

Fotografía 23. Detalle del banco de ensayos mostrando las dianas codificadas

Retroproyector En el ámbito de la investigación se ha estudiado la posibilidad de la

utilización de un retroproyector ( Fotografía 25 derecha) para la situación de los puntos de control o dianas sobre las placas de vidrio. Para ello fue necesario eliminar la trasparencia de vidrio mediante una fina capa de pintura aplicada con un spray. Finalmente se desechó esta técnica debido al bajo contraste entre los puntos de control y su entorno que dificultaba y en ocasiones impedía la correcta detección de las dianas. En la Fotografía 24 se muestra la diferencia de contraste entre las dianas proyectadas y las físicas imprimidas.

Experimentación

139

Fotografía 24 (izquierda). Retroproyector analógico utilizado para la proyección de dianas. Fotografía 25 (derecha). Ubicación del retroproyector y comparación con la utilización de dianas de papel.

3.5.2. Diseño de la red fotogramétrica Para la red fotogramétrica utilizada en la medida de deformación de la

placa de vidrio laminado se han tenido en cuenta los criterios referidos en el apartado 2.8:

1. Escala de la imagen. Debido a que la precisión es directamente proporcional a la escala de la imagen las cámaras se han situado lo más cercanas posibles al objeto.

2. Resolución. Se ha empleado la máxima resolución posible en las cámaras, lo que supone 4000x3000puntos. Además en la detección de las dianas se han utilizado técnicas de marcado subpíxel. En concreto se han utilizado un algoritmo iterativo que incluye minimización del residuo cuadrático.

3. Espacio de trabajo. Debido a las dimensiones del objeto no ha habido restricciones en cuanto a espacio de trabajo.

4. Profundidad de campo. A pesar de tratarse de tomas fotográficas a corta distancia y con una cierta convergencia los distintos puntos de la superficie del vidrio casi se encuentran en un mismo plano por lo que no ha habido especiales dificultades en conseguir tomas nítidas de la totalidad del objeto.

5. Ángulo de incidencia. Se ha realizado un estudio específico del ángulo de incidencia óptimo entre los rayos de luz y el centro del objeto. Los resultados de este estudio se encuentran en el apartado 4.4.1.

6. Número y distribución de dianas. Se han utilizado un total de entre 124 y 140 dianas en cada placa homogéneamente distribuidas a lo largo de toda la superficie del cuarto de placa.

7. Apertura de campo. La red fotogramétrica se ha diseñado de tal forma que todas las dianas han aparecido en todas las cámaras. La apertura o ángulo de campo es función de la distancia principal y el tamaño del sensor


140

(Figura 69). Para un sistema de lentes que proyectan una imagen rectilínea el ángulo de campo (α) puede estimarse como:

2arctan2dc

α = (3.9)

Donde c es la distancia principal y d es la dimensión elegida del sensor (vertical, horizontal o diagonal).

En las cámaras utilizadas en esta investigación (Pentax Optio A40) con una distancia principal media de 8mm y las dimensiones del sensor 7.18mm x 5.32mm el ángulo de campo horizontal es de aproximadamente 0.87rad o 50º y el vertical 0.66rad o 38º. Este último es el que limita la distancia mínima en los levantamientos.

Figura 69. Ángulo o apertura de campo de una cámara mostrando los ángulos horizontal,

vertical y diagonal.

8. Visibilidad. Las cámaras se han situado de tal forma que se viera

la totalidad del cuarto de placa desde cualquiera de ellas. De acuerdo a todas estas variables se ha diseñado (Figura 70) y

construido (Fotografía 26) una estructura portante para 4 cámaras (Fotografía 27). Esta estructura posee 4 brazos extensibles (entre 40 y 70cm) y de inclinación variable (entre 10 y 90º respecto del eje principal de la estructura) por lo que es adecuada para abarcar objetos de muy diverso tamaño y distancia. En los extremos de los brazos se han situado rotulas que permiten mejorar los encuadres mediante cabeceo en las tres direcciones del espacio.

Experimentación

141

Figura 70. Diseño de la estructura portante de las cámaras fotográficas

Fotografía 26. Apariencia final de la estructura portante

Fotografía 27. Detalle del extremo de uno de los brazos de la estructura mostrando el cabezal

de regulación del encuadre


142

3.5.3. Posición de las placas En un primer momento de la investigación se dispuso el banco de ensayos

de forma que las placas de vidrio quedaran en posición horizontal (Fotografía 11 y Fotografía 28). Con esta disposición se midió la geometría inicial de la placa sometida a la carga de su propio peso mediante un levantamiento fotogramétrico preliminar (Fotografía 28) comprobándose una deformación no despreciable como consecuencia del propio peso de la placa, el largo periodo en esta posición y la naturaleza viscoelástica del conjunto (Figura 71).

0100

200300

400500

600700

Bor

de iz

quie

rdo

sim

plem

ente

apo

yado

, y,

(mm

)

Eje

de

sim

etria

ver

tical

de

la p

laca

0 100 200 300 400 500 600 700

Borde superior simplemente apoyado, x, (mm)

Eje de simetria horizontal de la placa Figura 71. Contornos mostrando la flecha (en mm) causada por el propio peso de la placa

Como se observa en la representación de las cotas en el centro de la placa se alcanzan flechas de 3.8mm. Aunque esta situación de deformación inicial se puede incluir en la simulación numérica lo cierto es que la posición normal de las placas de vidrio laminado, al menos en cerramientos exteriores, es siempre vertical.

Adicionalmente se comprobó la dificultad operativa de trabajar con una placa horizontal a 1m sobre el suelo, lo que obligaba a situar las cámaras fotográficas a una altura superior a los 2m con las dificultades operativas que ello conlleva. Por todo ello se consideró el giro del banco de ensayos para la

Experimentación

143

colocación vertical de las placas (Fotografía 29) por lo que todos los resultados del Capítulo 4 están referidos a esta posición.

Fotografía 28. Ensayos preliminares realizados con la placa de vidrio laminado horizontal

Fotografía 29. Disposición vertical del banco de ensayos con la placa de vidrio laminado

vertical

3.5.4. Condiciones ambientales. No se requirieron unas condiciones ambientales especiales, ya que los

ensayos se han realizado en un laboratorio cerrado y calefactado. En el momento de la realización de los ensayos se ha registrado la temperatura, por ser esta una variable fundamental en el comportamiento viscoelástico del PVB.


144

3.5.5. Ensayos realizados para el contraste o comprobación de la simulación numérica

Se han realizado 3 tipos de ensayos para cada una de las 3 placas de vidrio laminado utilizadas, dos de 6.38mm (P1 y P2) y una de 8.38mm (P3) de espesor nominal:

1) Comparación entre las medidas fotogramétricas y las obtenidas con un reloj comparador.

2) Puesta en carga del banco de ensayos a distintas velocidades. Medida de la flecha en el centro de la placa.

3) Puesta en carga de la bancada y mantenimiento de la presión a lo largo del tiempo. Medida de la flecha en el centro de la placa.

En el primer tipo de ensayos, cuyo objetivo es verificar la fiabilidad y exactitud de la metodología fotogramétrica, se procedió para cada una de las placas a comparar las flechas obtenidas mediante fotogrametría con las medidas con un reloj comparador de 10μm de resolución. Se partió desde el reposo incrementando de forma uniforme la presión, tomándose medidas a intervalos regulares de aproximadamente 250μm, desde el reposo hasta alcanzar la deformación máxima a 2000Pa. De la misma forma se tomaron medidas durante la descarga, partiendo de la deformación máxima hasta la deformación nula.

Para el segundo tipo de ensayo se sometió el banco de ensayos a 3 velocidades distintas de incrementos de presión: 6Pa/s, 10Pa/s y 20Pa/s, iniciando desde el reposo y llegando hasta los 2000Pa. La toma de datos fotogramétrica se realizó a intervalos regulares: 0Pa, 250Pa, 500Pa, 750Pa, 1000Pa, 1250Pa, 1500Pa, 1750Pa y 2000Pa. El ensayo se repitió, para cada velocidad, un número mínimo de tres veces para conseguir valores medios más fiables. El objetivo de este ensayo es la validación de la modelización numérica, es decir se pretende comprobar si las flechas predichas en el análisis se corresponden con las medidas experimentales.

Para el tercer tipo de ensayo se procedió a poner el banco de ensayos a 2000Pa manteniéndose posteriormente la presión a lo largo de 11 minutos, y tomando datos cada medio minuto. El ensayo se repitió un número mínimo de 5 veces para conseguir valores medios más fiables. El objetivo de este ensayo, al igual que en el ensayo anterior, es la validación de la modelización numérica.

145

CAPÍTULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN2

4.1. CARACTERIZACIÓN VISCOELÁSTICA DEL PVB

4.1.1. Modelización del comportamiento viscoelástico del PVB En la Figura 72 se muestra la curva maestra de la variación del valor del

módulo de cortadura ( )G t en función del tiempo. Los trazos azules son los datos experimentales una vez se le han aplicado diversos filtros con el fin de reducir la dispersión de datos. La curva roja se corresponde con la función resultante del ajuste con suma de términos exponenciales de las serie de Kernel de 8 términos, cuyos valores se muestra en el recuadro de la figura.

Figura 72. Comportamiento viscoelástico del PVB, resultado del ensayo de cortadura a 20ºC

Como se puede apreciar en la Figura 72 las limitaciones en cuanto a las determinaciones en los ensayos de cortadura no permiten tener datos en tiempos más pequeños que aproximadamente 10-2s y esto aún aplicando las conversiones temperatura-tiempo. Como en el problema que se está tratando es necesario conocer la respuesta del PVB en un rango de tiempo mayor es necesario ensayar las muestras a tracción para obtener ( )E t en lugar de ( )G t . En la Figura 73 se

2 Para mejorar la comprensión de los resultados se ha decidido dejar en este

capítulo algunos aspectos metodológicos específicos


146

presentan los resultados de los ensayos de relajación de tensiones a tracción de una muestra de Butacite® de 0.38mm de espesor en un rango de temperaturas de -40ºC a 60ºC.

Figura 73. Módulos de relajación de tensiones E(t) obtenidos a varias temperaturas

Una vez obtenidos los módulos de relajación de tensiones a tracción se han calculado los correspondientes módulos de relajación de tensiones a cortadura, ya que éstos son los que se suelen emplear para la caracterización de materiales viscoelásticos y en las simulaciones de los mismos con elementos finitos. Por lo tanto, transformando estos datos experimentales según la ecuación (3.1) se obtienen las curvas de la Figura 74.

Utilizando el concepto de tiempo reducido, según la ecuación (2.1), se ha realizado una superposición de datos según se muestra en la Figura 75, que representa el comportamiento viscoelástico del PVB para un amplísimo intervalo de tiempos, para una temperatura de referencia θ0 = 20ºC. En la Tabla 10 se muestran las constante de Williams-Landel-Ferry que han permitido el mejor solapamiento de las curvas.

De la comparación entre la curva de la Figura 72, directamente extraída de datos de cortadura del PVB a 20ºC, y la curva maestra de la Figura 75, referida a una temperatura de referencia también de 20ºC, se puede apreciar una coincidencia significativa, con una meseta, en ambos casos, en el entorno de los 500MPa y unas pendientes muy similares, lo que valida el procedimiento utilizado para la generación de la curva maestra.

Resultados y discusión

147

La curva maestra obtenida en este trabajo (Figura 75) es similar a la publicada en la única referencia bibliográfica encontrada [168] aunque en este caso nada se dice en cuanto a su obtención.

Figura 74. Módulos de relajación de tensiones a cortadura G(t) calculados según la ecuación

(3.1), considerando K(t)=2GPa

Figura 75. Comportamiento viscoelástico del PVB (módulo de relajación de tensiones G(t)), utilizando una temperatura de referencia θ0=20ºC, utilizando el concepto de tiempo reducido


148

Tabla 10. Coeficientes obtenido para el ajuste de la relación temperatura – tiempo de Williams-Landel-Ferry

Constante Valor T0 20.0ºC C1 20.7 C2 91.1ºC

De la curva experimental de módulos de relajación a tracción (Figura 73) el

mayor valor es 0 2E GPa= . Utilizando el valor bibliográfico del módulo volumétrico 0 2K GPa= se obtiene el valor de 0G :

0 00

0 0

3 3·2 ·2 7.5 89 9·2 2

E K GPa GPaG EK E GPa GPa

= = =− −

(4.1)

Que como es lógico coincide con el máximo valor de la curva maestra (Figura 75). De la misma forma que se calcula el módulo instantáneo de cortadura a partir del módulo de Young instantáneo y del módulo volumétrico instantáneo. El módulo de Poisson se calcula de la siguiente manera:

3 3·2 2· 0.33

6 6·2K E GPa GPav

K GPa− −= = = (4.2)

Con el fin de finalizar la modelización del comportamiento mecánico del PVB ha sido necesario ajustar, a los datos experimentales de la Figura 75 una función continua utilizable en computaciones tal y como se explica en el apartado 3.2.5. El ajuste se ha realizado con Viscodata. Los valores correspondientes a una serie de Prony de orden 12 (Figura 76) se muestran en la Tabla 11.

Figura 76. Ajuste de los datos experimentales (izquierda) mediante una serie de Prony de

orden 12, realizado con Viscodata (derecha)


149

Tabla 11. Términos de la Serie de Prony. τi es el tiempo reducido, gi son los coeficientes de Prony

τi (s) gi 1 4.15E-07 .0148769, 2 8.45E-06 .287132, 3 0.00017199 .314328, 4 0.00349997 .258473, 5 0.0712238 .107122, 6 1.44939 .0150278, 7 29.4949 .00154985, 8 600.217 .000437898, 9 12214.3 .000324549, 10 248559 .000321974, 11 5058140 .000293611, 12 102932000 .0000596813,

4.1.2. Efecto del tratamiento térmico en autoclave Los resultados experimentales comparativos entre una muestra de PVB

antes y después de haber sido sometida al tratamiento térmico en autoclave se recogen en la Figura 77. En la Figura 78 se recogen los resultados entre 2 muestras sin tratamiento térmico de distintos fabricante.

Figura 77. Módulo de relajación G(t) para Butacite® en estado original y tras el proceso

industrial en autoclave


150

Figura 78. Módulo de relajación E(t) para dos muestras de PVB de distinto fabricante

(Butacite y Saflex)

En cuanto a las propiedades de las muestras ensayadas después del tratamiento en autoclave (Figura 77) con respecto a las ensayadas previas al tratamiento no se aprecian diferencias mayores de las que puedan darse con 2 muestras de distinto fabricante sin tratamiento térmico por lo que no parece que el tratamiento térmico modifique sustancialmente las propiedades del PVB. Por otro lado, las muestras que se dejaron dentro del autoclave no estuvieron en las mismas condiciones en las que el PVB se encuentra normalmente; entre placa y placa de vidrio, lo que supone por ejemplo una impermeabilización ante la pérdida de volátiles, un atrapamiento y disolución de aire, etc., circunstancias no debidamente tenidas en cuenta en las muestras ensayadas e imposibles de considerar en futuros ensayos ya que en el tratamiento normal el PVB queda totalmente adherido a las placas y su despegue es imposible. Por ello aunque hubieran aparecido diferencias en el comportamiento del PVB no se podría haber aseverado con rotundidad que estas se debieran al tratamiento térmico en autoclave.


151

4.2. MODELIZACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS En las siguientes figuras se muestran las tensiones obtenidas por la

simulación numérica para ¼ de una placa de vidrio laminado igual a las instaladas en el banco de ensayos (de 3+0.38+3mm de espesor y de dimensiones 1704x1704mm, sometida a 2000Pa en un tiempo de 90s). La Figura 79 izquierda muestra la tensión principal máxima en la cara 1, sobre la que se aplica la presión lateral. En el centro se muestra la tensión principal máxima de la cara 4. A la derecha se muestra la leyenda con el valor de la tensión en Pascales. De la misma forma en la Figura 80 se ha representado la tensión principal mínima en la cara 1 (izquierda) y en la cara 4 (centro). A la derecha la leyenda con los valores. En todas las figuras se ha marcado con un punto blanco la esquina correspondiente al centro de la placa completa.

Figura 79. Tensión principal máxima (Pa) en la cara 1 (izquierda) y 4 (centro) de ¼ de placa de

vidrio laminado

Figura 80. Tensión principal mínima (Pa) en la cara 1 (izquierda) y 4 (derecha) de de placa de

vidrio laminado

Como se aprecia en las figuras hay diferencias muy importantes entre el estado tensional de la cara 1 y de la cara 4. En la cara 4 todas las tensiones principales máximas son de tracción en incluso las tensiones principales mínimas


152

también son positivas en la mayor parte de la placa. En la cara 1 las tensiones principales máximas son de tracción en prácticamente toda la placa, pero el valor de las mismas es muy inferior al de la cara 1. Con respecto a las tensiones principales mínimas son todas de compresión. Por esta razón la rotura de la placa se producirá con mayor probabilidad en la cara 4.

En la Figura 81 se muestra la evolución en la distribución de tensiones de von Mises en ¼ de la cara 4 cuando una placa laminada de 3+0.38+3mm es sometida a un incremento de presión a una velocidad de 12Pa/s. En la secuencia de imágenes se muestra la distribución de tensiones cuando se alcanzan los 250Pa, 500Pa, 750Pa, 1000Pa, 1250Pa, 1500Pa, 1750Pa, 2000Pa y a los 60 y 90 segundos de haber reducido a cero la presión. En todas las representaciones el centro de la placa completa se encuentra en la esquina superior derecha de los cuartos de placa representados. El rojo indica tensiones mayores (tracción o menos compresión). El azul indica tensiones menores (compresión o menos tracción). Hay que hacer constar que entre las distintas secuencias las diferentes bandas de color no representan los mismos valores de tensión.

Es interesante observar que 90s después de haber puesto la presión a cero la placa todavía está en tensión, observándose unos valores superficiales de tensión (von Misses) en el rango de 0.1 a 0.9MPa, lo que provoca que la placa esté deformada a pesar de no estar cargada. La representación según el criterio de Tresca muestra una zona de acumulación de tensiones cerca de las esquinas de la placa. También se observa que a partir de los 250Pa según aumenta el nivel de presión esta zona se va acercando hacia la esquina.

En el apartado 4.4.16 se muestran las predicciones de desplazamientos calculados mediante la simulación numérica. Se ha decidido su inclusión en este apartado porque en el mismo se comparan estas predicciones con las mediciones experimentales realizadas con fotogrametría.

En el Anexo I se encuentra transcrito el listado del fichero INP en el que se incluyen todos los parámetros utilizados en la simulación incluyendo definición de la geometría de los elementos, las propiedades de los materiales, las condiciones de contorno, las cargas aplicadas, los pasos o estados intermedios, etc. En dicho listado únicamente se han obviado listados exhaustivos de nodos, elementos o conjuntos de nodos, sustituyéndolos por el símbolo […].


153

Figura 81. Evolución de la distribución de tensiones de von Mises en la cara 4 para 250Pa,

500Pa, 750Pa, 1000Pa, 1250Pa, 1500Pa, 1750Pa, 2000Pa, 0Pa (60s), 0Pa (90s)


154

Esta hoja se ha dejado deliberadamente en blanco


155

4.3. PRESTACIONES FOTOGRAMÉTRICAS DE CÁMARAS DIGITALES NO MÉTRICAS

4.3.1. Estabilidad geométrica de las cámaras Según el procedimiento experimental explicado en el apartado 3.4.4.a) se

ha procedido a valorar la estabilidad geométrica de las cámaras usadas en la comprobación experimental de las placas de vidrio laminado (cuatro cámaras digitales compactas Pentax Optio A40 diferenciadas por las letras A, B, C y D). Para ello se han realizado 300 determinaciones (75 por cada cámara) de los parámetros de orientación interna en tres situaciones distintas: 100 determinaciones con las cámaras trabajando en continuo sin apagarlas ni usar los mecanismos del zoom, 100 determinaciones tras 100 respectivos ciclos de apagado/encendido de la cámara y 100 determinaciones tras 100 respectivas operaciones de extensión/retracción del zoom óptico. Las determinaciones de los parámetros internos de cámara (distancia principal, posición del punto principal, coeficientes de distorsión) se han realizado según la metodología explicada en el apartado 3.4.3.

4.3.1.a) 1er ensayo. Determinaciones de los parámetros internos de cámara sin el accionamiento del encendido / apagado y sin el uso del zoom

En este ensayo las 100 estimaciones (800 fotografías) se han realizado con las cuatro cámaras permanentemente encendidas y sin hacer uso del zoom. En el caso de las cámaras A y C el focus se encontraba fijo mientras que en el caso de B y D estaba en automático. El resto de los ajustes fotográficos se mantuvieron según los criterios explicados en el apartado 3.4.4: sensibilidad ISO la más baja posible (normalmente ISO100 o ISO200), tiempo de exposición siempre por debajo de 1/80s (normalmente 1/125s), apertura de diafragma fija (F/2.8), sistemas de estabilización óptica y digital apagados, zona de medición de enfoque en el centro (para las cámaras B y D), mínima compresión JPG, resolución máxima (12Mpixel) y flash apagado.

Distancia principal En la Tabla 12 se muestran las distancias principales obtenidas para cada

una de las cámaras así como la desviación estándar y los valores máximos y mínimos obtenidos en las 25 determinaciones por cámara:


156

Tabla 12. Distancias principales obtenidas en las 4 cámaras digitales Pentax Optio A40 en el 1er ensayo de estabilidad geométrica

A B C D Promedio (mm) 8.06113 8.11583 8.16773 8.11295Desviación estándar (mm) 1.07E-03 3.17E-03 4.44E-04 2.66E-03Máximo (mm) 8.063 8.123 8.170 8.117 Mínimo (mm) 8.059 8.111 8.163 8.106

Como se puede observar en la tabla las desviaciones estándar en la

estimación de la distancia principal se encuentran entre un valor máximo de 3.17μm en la cámara B y un valor mínimo de 0.4μm en la cámara C, unos valores considerablemente bajos que suponen unos porcentajes sobre la distancia principal del 0.04% y del 0.005% respectivamente y que dan una primera valoración de la buena repetitividad del método de estimación.

En relación a las distancias principales promedio entre las distintas cámaras estas varían significativamente siendo la diferencia máxima de un 1.3% entre la cámara A y C.

Es interesante hacer notar que las menores desviaciones (cámaras A y C) se corresponden con las cámaras en las que no se empleó autofocus lo que confirma lo esperado (Apdo. 2.6.4.b). En este sentido, la variación entre la distancia principal máxima y mínima para la cámara A y C es de 4 y 7μm mientras que se amplía hasta los 12 y 11μm para las cámaras B y D, en las que se utilizó autoenfoque.

Dentro de las 25 determinaciones realizadas para cada cámara la variación en los resultados fue muy baja estando la desviación estándar entre un mínimo de 0.4μm en la cámara C y un máximo de 3.1μm en la cámara B lo que supone variaciones máximas de un 0.038% para una distancia principal de 8.11mm.

Como se explicó en el apartado 2.5.6 el ajuste en bloque utilizado en cada una de las determinaciones de los parámetros proporciona ya una estimación interna de la variación de estos mismos parámetros. La desviación estándar así obtenida puede considerarse de origen analítico a diferencia de la presentada en la Tabla 12 que está obtenida a partir de 25 determinaciones distintas (por cámara) de distancia principal. En la Tabla 13 se muestra una comparación entre ambas desviaciones estándar. En esta tabla se aprecia que únicamente son coincidentes los valores del ajuste en bloque con los experimentales para la cámara C, siendo en los demás casos muy superior la desviación real obtenida experimentalmente a la resultante del ajuste. En la cámara A es 3 veces mayor, en la cámara B es 7 veces mayor y en la D es 5 veces mayor.


157

Tabla 13. Comparación entre las desviaciones estándar obtenidas del ajuste en bloque y las experimentales de la distancia principal del 1er ensayo de estabilidad geométrica

A B C D Desviación estándar experimental 1.07E-03 3.17E-03 4.44E-04 2.66E-03 Desviación estándar del ajuste en bloque (promedio de los 25 ensayos) 3.46E-04 4.65E-04 4.44E-04 4.94E-04

Si bien en la Tabla 13 se presentan datos acerca de las desviaciones para

cada cámara se ha considerado oportuno analizar de forma conjunta las desviaciones de las 4 cámaras. Para ello se han obtenido las desviaciones de cada determinación con respecto al valor promedio de distancia focal para cada cámara (Tabla 12). Con los 100 datos de desviaciones se ha elaborado un histograma (Figura 82) al que se le ha ajustado una distribución normal con una desviación estándar de 2.22μm lo que representa el 0.025% de la distancia principal, o lo que es lo mismo una parte entre 4055.

Distancia Principal: desviaciones respecto al promedio

desviación (mm)0,0060,0040,0020-0,002-0,004-0,006

f(x)

0,48

0,44

0,4

0,36

0,32

0,28

0,24

0,2

0,16

0,12

0,08

0,04

0

Figura 82. Histograma de las desviaciones respecto al valor promedio de distancia focal de

las 100 determinaciones del 1er ensayo de estabilidad geométrica

Posición del punto principal En la Figura 83 se muestra la posición del punto principal para las 100

determinaciones realizadas en las 4 cámaras analizadas.


158

Figura 83. Posición del punto principal para las 100 determinaciones del 1er ensayo de

estabilidad geométrica

Lo primero que llama la atención en la Figura 83 es la existencia para la cámara B de dos zonas claramente distanciadas 20μm en X y 10μm en Y. Este desplazamiento en la posición del punto principal se debe sin duda a una modificación del objetivo producto de un esfuerzo accidental sobre el mismo. Para confirmar esta hipótesis se ha procedido a representar las variaciones en los ejes X e Y de la posición del punto principal (Figura 84).

Figura 84. Variaciones relativas en la posición del punto principal de la cámara B del 1er

ensayo de estabilidad geométrica

Como se aprecia en la figura entre las determinaciones 14 y 15 hay unas fuertes variaciones en la posición que permanecen posteriormente hasta el final del ensayo. Esta modificación accidental de la geometría interna en la cámara explica igualmente que la desviación en el cálculo de la distancia principal de la


159

cámara B (Tabla 12) sea la más alta así como la diferencia entre las desviaciones experimentales y las obtenidas en los ajustes en bloque (Tabla 13).

En la Tabla 14 se muestra de forma numérica las coordenadas promedio, las desviaciones estándar, los máximos y los mínimos de las posiciones del punto principal obtenidos en este ensayo.

Tabla 14. Posición del punto principal en las determinaciones del ensayo de estabilidad

geométrica

A B C D Promedio X(mm) 3.690 3.638 3.576 3.636 Desviación estándar (mm) 2.13E-03 9.74E-03 1.68E-03 3.50E-03 Máximo (mm) 3.693 3.653 3.578 3.645 Mínimo (mm) 3.685 3.627 3.571 3.631 Promedio Y(mm) 2.755 2.712 2.634 2.725 Desviación estándar (mm) 1.82E-03 5.55E-03 1.30E-03 2.26E-03 Máximo (mm) 2.758 2.723 2.636 2.729 Mínimo (mm) 2.752 2.701 2.631 2.720

Tal como era previsible en la cámara B nuevamente se obtienen las

mayores desviaciones llegándose a las 10μm en X y 6μm en Y. Para el resto de las cámaras las desviaciones se sitúan entre la micra (componente Y de la cámara C) y las 4μm (componente X de la cámara D) valores que deben tomarse como los normales. Estas variaciones suponen unos movimientos máximos del orden del 0.05% considerando unas dimensiones del sensor de 7.5mmx5.6mm.

El objetivo de este primer ensayo es el de establecer un marco de referencia para poder comparar posteriormente los datos de los otros dos ensayos de estabilidad geométrica en los que se consideran condiciones más duras de operación. Los resultados en este primer ensayo pueden interpretarse como una estimación de la repetitividad del método y de la estabilidad de las cámaras bajo condiciones ideales. Debido a que es materialmente imposible mantener permanente encendida una cámara las prestaciones alcanzadas en estos ensayos no pueden ser representativos de un trabajo fotogramétrico normal excepto en el caso de que se realice la calibración de campo justo antes de la realización del trabajo fotogramétrico, cosa no siempre posible. Aún en este caso es muy recomendable la repetición de la calibración a la finalización de las tomas para obtener la certeza de que no ha habido modificaciones accidentales en la geometría de la cámara.

Bajo estas condiciones de trabajo y haciéndose una generalización puede concluirse que con las cámaras que se han utilizado en este trabajo la variación o incertidumbre que se pueden esperar (definida por su desviación estándar) tanto


160

para la determinación de la distancia principal como para la posición del punto principal están en el entorno del 0.025%-0.050%, es decir entre 2μm y 4μm.

4.3.1.b) 2do ensayo. Determinaciones de los parámetros internos de cámara tras el apagado/encendido de la cámara.

En este ensayo, al igual que en el anterior, se ha realizado con cada una de las cuatro cámaras 25 estimaciones de los parámetros internos de cámara estudiando como el encendido y el apagado de las cámaras afecta a la distancia principal y la posición del punto principal. Los resultados se han comparado con los resultados obtenidos en el primer ensayo.

Distancia principal En la Tabla 15 se muestran las distancias principales obtenidas para cada

una de las cámaras así como las desviaciones estándar y los valores máximos y mínimos obtenidos en las 25 determinaciones por cámara:

Tabla 15. Distancias principales obtenidas en las 4 cámaras digitales Pentax Optio A40 en el

2do ensayo de estabilidad geométrica

A B C D Promedio (mm) 8.059 8.123 8.174 8.143 Desviación estándar (mm) 2.49E-03 3.48E-03 1.61E-03 2.86E-03Máximo (mm) 8.065 8.135 8.177 8.147 Mínimo (mm) 8.052 8.116 8.169 8.137

Comparando los resultados de la Tabla 12 del 1er ensayo con los de la

Tabla 15 del 2do ensayo se comprueba, como era previsible, que las desviaciones estándar de las estimaciones de distancia principal cuando se apagan/encienden las cámaras son mayores que cuando las cámaras trabaja en continuo. En concreto las desviaciones se multiplican por 2.3 en la cámara A, por 3.6 en la cámara C, y quedan ligeramente por encima (10%) en la B y en la D. El promedio de las cuatro desviaciones resulta en 2.61μm. Con respecto a las diferencias entre los valores extremos de las distancias principales se sitúa en 12μm para la cámara A, 19μm para la B, 8μm para la C y 10μm para la cámara D, siendo estos valores sensiblemente mayores que los correspondientes a los del primer ensayo.

En la Figura 85 se muestra el histograma (elaborado con los mismos criterios que el histograma de la Figura 82 del 1er ensayo) con el conjunto de las desviaciones en la determinación de la distancia principal en las 4 cámaras con respecto a sus respectivos promedios.


161

Distancia Principal: desviaciones respecto al promedio

desviación (mm)0.010.0050-0.005

f(x)

0.48

0.44

0.4

0.36

0.32

0.28

0.24

0.2

0.16

0.12

0.08

0.04

0

Figura 85. Histograma de las desviaciones respecto al valor promedio de distancia focal de

las 100 determinaciones del 2do ensayo de estabilidad geométrica

Como se puede observar la distribución de los datos se ajusta de forma efectiva a una distribución normal con la diferencia que ahora la desviación estándar es de 2.65μm, por lo que se ha incrementado un 19%.

Posición del punto principal En la Figura 86 se muestra la posición del punto principal de las 100

determinaciones del 1er ensayo (círculos grandes) sobre las que se ha superpuesto las localizaciones del 2do ensayo de estabilidad geométrica (círculos pequeños). Como se puede apreciar en la figura existe una mayor dispersión de datos en los datos del 2do ensayo, especialmente apreciable, por no coincidir con los del 1er ensayo, en la cámara C.

En la Tabla 16 se encuentran los valores medios de la posición del punto principal, las desviaciones estándar y los valores máximos y mínimos. Como se puede comprobar comparando los resultados de la Tabla 16 con los datos de la Tabla 14, el apagar y encender la cámara supone que la desviación estándar de las distintas estimaciones en la posición del punto principal se multiplica por un mínimo de 1.6 en la componente X de la cámara D y un máximo de un 3.8 en la componente Y de la cámara C. Excepcionalmente se reduce en el caso de la componente X de la cámara B debido a la desviación accidental del objetivo ya comentada en el 1er ensayo.

La amplitud de los intervalos de valores extremos se amplía entre 2 (cámara A) y 4 (cámara C) veces, con la excepción nuevamente de la cámara B en la que excepcionalmente se reduce.


162

Figura 86. Posición del punto principal para las 100 determinaciones del 2do ensayo de

estabilidad geométrica

Tabla 16. Posición del punto principal en las determinaciones del 2do ensayo de estabilidad geométrica

A B C D Promedio X(mm) 3.6931 3.6297 3.5959 3.6406 Desviación estándar (mm) 5.27E-03 4.47E-03 5.77E-03 5.69E-03Máximo (mm) 3.710 3.638 3.605 3.655 Mínimo (mm) 3.685 3.622 3.586 3.632 Promedio Y(mm) 2.751 2.717 2.626 2.719 Desviación estándar (mm) 4.12E-03 6.50E-03 4.89E-03 7.77E-03Máximo (mm) 2.757 2.729 2.636 2.728 Mínimo (mm) 2.743 2.708 2.614 2.694

4.3.1.c) 3er ensayo: Estimaciones de los parámetros internos de cámara tras la extensión / retracción del zoom

En este ensayo, al igual que en los anteriores, se han realizado 100 estimaciones de los parámetros internos de cámara. Entre cada una de las estimaciones se procedió a modificar la posición de las lentes del objetivo mediante la completa extensión y posterior retracción del mecanismo de zoom. Los resultados se han comparado con los resultados obtenidos en el primer ensayo.

En una primera tentativa de realización del ensayo se procedió a utilizar enfoque manual en las cámaras B y D, de la misma forma que en los ensayos 1 y 2. Sin embargo a partir de la 6ta determinación se empezaron a obtener imágenes


163

mal enfocadas. Como consecuencia de esta circunstancia se procedió a la repetición del ensayo, esta vez utilizando la función de autofocus en las cuatro cámaras. Para el resto de ajustes se utilizaron los mismos que en los otros dos ensayos.

Distancia principal. En la Tabla 17 se muestran las distancias principales obtenidas tras los

ciclos de extensión/retracción del zoom.

Tabla 17. Distancias principales obtenidas en las 4 cámaras digitales Pentax Optio A40 en el 3er ensayo de estabilidad geométrica

A B C D Promedio (mm) 7.805 8.128 8.044 7.934 Desviación estándar (mm) 1.00E-01 4.92E-03 1.02E-01 9.21E-02 Máximo (mm) 8.069 8.133 8.168 8.146 Mínimo (mm) 7.742 8.110 7.872 7.853

Comparando estos resultados con los presentados en la Tabla 12 (1er

ensayo) se observa un incremento muy importante en la variabilidad de la distancia focal que se traduce en una desviación estándar 230 veces superior en la cámara C, 93 veces en la cámara A y 35 veces en la cámara D y curiosamente de tan solo de 2 veces en la cámara B.

La amplitud entre los valores máximos de distancia principal entre los máximos y mínimos es ahora de alrededor de 300μm, en tres de las cámaras lo que representa amplitudes 50 veces mayores que las obtenidas en el primer ensayo. En la cámara B la amplitud entre los valores extremos es de tan sólo 23μm.

Con el objetivo de conocer si estas variaciones tienen un origen estocástico o sistemático se ha representado en la Figura 87 la evolución de las estimaciones a lo largo de la realización de los ensayos. Como se puede apreciar en la figura no se trata de variaciones aleatorias de la distancia principal sino que es resultado de una tendencia sistemática de acortamiento de la distancia principal que parece estabilizarse asintóticamente entre el 15vo (cámara A) y el 21vo (cámara C) accionamiento. Por alguna razón desconocida la cámara B no ha presentado este comportamiento, mientras que en la cámara C el acortamiento no ha empezado hasta después del 8vo accionamiento.

Ante la evidencia de cambios tan importantes en la geometría de la cámara se procedió a comprobar que sucede al apagar nuevamente las cámaras. Para ello se procedió a la realización de 3 determinaciones adicionales apagando y encendiendo las cámaras C y D. Los resultados se muestran en la Figura 88.


164

Como se puede comprobar como consecuencia del apagado/encendido de las cámaras se recuperan los valores iniciales de distancia principal.

Figura 87. Evolución de la Distancia Principal después de la extensión y retracción del

mecanismo de zoom para las 4 cámaras utilizadas

Figura 88. Evolución de la distancia principal después de los ciclos de extensión/retracción

del zoom al apagar y encender la cámara.

Punto principal En la Figura 89 se muestran las posiciones del punto principal en las 100

determinaciones realizadas en el 3er ensayo de estabilidad geométrica. Como era previsible y comparando con la Figura 83 del 1er ensayo de estabilidad geométrica se observa una mayor dispersión en los puntos.


165

Figura 89. Coordenadas del punto principal en las 100 determinaciones realizadas en el 3er

ensayo de estabilidad geométrica

De los resultados obtenidos en estos tres ensayos se puede concluir que, al menos en las cámaras utilizadas, el encendido y el apagado de las mismas no supone grandes modificaciones en la geometría interna de las mismas por lo que para trabajos fotogramétricos normales a este tipo de cámaras (con un requerimiento de precisión medio) no calibrar justo antes del trabajo fotogramétrico puede ser una práctica aceptable.

Sin embargo tras accionar las lentes del zoom, aunque posteriormente se recupere la posición inicial del mismo, la geometría interna de la cámara se modifica de una forma importante. Por esta razón tras un accionamiento accidental o voluntario del zoom es necesaria la realización de una nueva calibración de la cámara o si esto no es posible es conveniente apagar y encender nuevamente la cámara.

En el siguiente apartado se evalúa de una forma práctica la influencia que sobre la precisión de un trabajo fotogramétrico tienen las variaciones de la geometría interna de la cámara. Sólo se ha considerado el apagado/encendido de la cámara por ser esta una situación habitual de trabajo y porque como ya se ha visto las variaciones en la geometría interna de la cámara pueden ser admisibles.

4.3.1.d) Influencia que tienen las variaciones de la geometría interna de la cámara en la precisión del trabajo fotogramétrico

Aunque el conocimiento de las variaciones de la geometría interna de la cámara pueda servir de forma eficaz como criterio de comparación entre diversas situaciones, desde un punto de vista práctico interesa saber cual es el impacto final de estas variaciones en la precisión y exactitud del trabajo fotogramétrico.

Una posible forma de evaluar este impacto es la imposición de los diferentes conjuntos de parámetros de geometría interna obtenidos en las


166

distintas determinaciones para las fotografías de un mismo levantamiento. Como consecuencia de la utilización de los distintos conjuntos de parámetros las coordenadas obtenidas en los puntos variarán aun tratándose de las mismas imágenes.

La evaluación presentada en los siguientes párrafos es referente a la situación de apagado / encendido de las cámaras y debe interpretarse como las desviaciones que deben esperarse como consecuencia de la utilización de un conjunto de parámetros de geometría interna cuando las tomas del levantamiento fotogramétrico se realizan con la geometría modificada debido a uno o más ciclos de apagado / encendido de la cámara.

Para la realización de esta evaluación se han escogido las imágenes de un levantamiento intermedio (determinación nº 13) de los ensayos correspondientes a los apagados / encendidos sucesivos de la cámara A. No ha habido una razón especial para la elección de la cámara. En el Anexo III se encuentra a modo de ejemplo el informe con la información más relevante de la determinación nº 13 incluyendo el conjunto de parámetros de geometría interna de cámara, los parámetros de calidad de la determinación una vez escalados a coordenadas objeto, etc.

Para el establecimiento del sistema de referencia del objeto se han utilizado algunos de los 144 puntos utilizados en los levantamientos (Fotografía 30). La dirección y sentido del eje X se ha establecido entre los puntos 124 y 17. El eje Y se ha establecido entre los puntos 73 y 82. El origen de coordenadas (0,0,0) se ha situado en la intersección de los dos ejes anteriores (punto 78) y la escala se ha definido en los mismos puntos que han servido para definir el eje X.

Como puntos de control se han elegidos 4 puntos homogéneamente repartidos en el objeto y alejados de los puntos con coordenadas impuestas (Fotografía 30 derecha).

Fotografía 30. Puntos utilizados para definir el sistema de referencia objeto (izquierda) y

puntos de control (derecha).


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En la Tabla 18 se muestran las coordenadas XYZ de los cuatro puntos de control obtenidas a partir de la utilización de los distintos conjuntos de parámetros de geometría interna de cámara del 2do ensayo de estabilidad geométrica para la cámara A. En negrita se ha resaltado las coordenadas obtenidas a partir de los parámetros de geometría interna originales. También se han resaltado las coordenadas obtenidas con el juego de parámetros 24 por las razones que más adelante se expondrán.

Tabla 18. Coordenadas obtenidas en los cuatro puntos de control como a partir de la

utilización de los distintos conjuntos de parámetros de geometrías internas de la cámara A obtenidos en el 2do ensayo de estabilidad geométrica.

PC1 PC2 PC3 PC4 Set de

parámetros X

(mm) Y

(mm) Z

(mm) X

(mm) Y

(mm) Z

(mm)X

(mm) Y

(mm) Z

(mm)X

(mm) Y

(mm) Z

(mm)

1 -240.773 239.907 0.007 320.040 240.338 0.125 -240.415 -319.961 0.925 320.068 -320.523 0.556 2 -240.768 239.909 0.006 320.043 240.334 0.125 -240.413 -319.963 0.925 320.056 -320.517 0.548 3 -240.768 239.902 -0.017 320.046 240.341 0.100 -240.412 -319.953 0.906 320.062 -320.525 0.531 4 -240.781 239.913 0.002 320.042 240.343 0.120 -240.417 -319.958 0.923 320.060 -320.520 0.546 5 -240.769 239.905 -0.007 320.040 240.331 0.110 -240.413 -319.968 0.909 320.063 -320.521 0.537 6 -240.762 239.902 0.003 320.041 240.328 0.123 -240.414 -319.966 0.919 320.068 -320.521 0.549 7 -240.782 239.904 -0.032 320.018 240.332 0.097 -240.447 -319.966 0.889 320.076 -320.527 0.529 8 -240.767 239.900 -0.007 320.043 240.335 0.111 -240.414 -319.959 0.913 320.069 -320.525 0.542 9 -240.767 239.901 -0.001 320.035 240.339 0.124 -240.426 -319.955 0.920 320.085 -320.527 0.561 10 -240.780 239.907 -0.040 320.034 240.341 0.077 -240.424 -319.966 0.875 320.077 -320.529 0.513 11 -240.757 239.885 -0.016 320.050 240.344 0.100 -240.406 -319.939 0.913 320.070 -320.535 0.543 12 -240.760 239.885 0.001 320.028 240.324 0.130 -240.432 -319.958 0.924 320.087 -320.532 0.566 13 -240.766 239.886 -0.010 320.051 240.353 0.103 -240.404 -319.936 0.918 320.084 -320.541 0.555 14 -240.756 239.891 -0.007 320.030 240.326 0.122 -240.430 -319.959 0.915 320.081 -320.527 0.555 15 -240.762 239.894 -0.014 320.028 240.319 0.113 -240.431 -319.970 0.903 320.076 -320.525 0.540 16 -240.759 239.884 -0.014 320.031 240.334 0.113 -240.429 -319.949 0.911 320.089 -320.536 0.555 17 -240.780 239.899 -0.035 320.019 240.329 0.093 -240.445 -319.968 0.884 320.085 -320.531 0.528 18 -240.773 239.893 -0.032 320.039 240.351 0.088 -240.424 -319.940 0.898 320.079 -320.537 0.534 19 -240.761 239.882 -0.013 320.044 240.340 0.103 -240.410 -319.947 0.911 320.087 -320.540 0.551 20 -240.764 239.890 -0.018 320.022 240.323 0.112 -240.439 -319.965 0.901 320.089 -320.531 0.546 21 -240.768 239.889 -0.002 320.040 240.343 0.118 -240.417 -319.944 0.926 320.079 -320.535 0.561 22 -240.768 239.888 -0.020 320.046 240.355 0.098 -240.416 -319.929 0.915 320.075 -320.539 0.546 23 -240.762 239.885 -0.004 320.046 240.342 0.113 -240.410 -319.944 0.922 320.082 -320.537 0.558 24 -240.796 239.867 -0.086 319.952 240.283 0.057 -240.505 -320.009 0.825 320.105 -320.551 0.502 25 -240.770 239.887 -0.006 320.041 240.345 0.109 -240.413 -319.945 0.919 320.081 -320.539 0.558

Promedio -240.769 239.894 -0.015 320.034 240.335 0.107 -240.424 -319.957 0.908 320.077 -320.531 0.544 Desviación estándar 0.009 0.011 0.020 0.019 0.014 0.017 0.020 0.016 0.022 0.011 0.008 0.015


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Como se puede comprobar del estudio de los datos en las direcciones del eje X y del eje Y se obtienen unas desviaciones estándar de entre 8 y 20μm, mientras que en la dirección del eje Z las desviaciones obtenidas son ligeramente peores situándose entre 15 y 22μm. Estas desviaciones suponen valores, en unidades relativas al tamaño del objeto (800mm), mejores que 1/35000. La diferencia entre los valores máximos y mínimos según la dirección del eje X e Y se sitúa entre un mínimo de 38μm y un máximo de 101μm. Según el eje Z la diferencia entre máximos y mínimos está entre 64μm y 101μm. En la tabla se observa que todas las coordenadas obtenidas con la determinación nº 24 suponen valores de coordenadas máximos o mínimos. En la Tabla 19 se muestran los residuos medios cuadráticos globales obtenidos a partir de la utilización de los distintos conjuntos de parámetros.

Tabla 19. Residuos medios cuadráticos globales obtenidos a partir de la utilización de los distintos conjuntos de parámetros de geometrías internas de la cámara A

Set de parámetros

RMS Global(píxeles)

1 0.147 2 0.174 3 0.136 4 0.164 5 0.171 6 0.160 7 0.150 8 0.131 9 0.121 10 0.149 11 0.086 12 0.123 13 0.079 14 0.134 15 0.158 16 0.110 17 0.155 18 0.091 19 0.086 20 0.143 21 0.087 22 0.084 23 0.085 24 0.305 25 0.084


169

Como se puede apreciar con el conjunto de parámetros el RMS obtenido con la geometría interna nº 24 es muy superior a la obtenida por el resto de determinaciones por lo que puede considerarse como una determinación de menor calidad. Esta menor calidad en el ajuste en bloque puede estar originada por una baja nitidez de alguna de las imágenes que sirvieron para la definición de la geometría interna nº 24 o por una incorrecta referenciación en los puntos.

Si se descartan las coordenadas obtenidas en la determinación nº 24 disminuyen las desviaciones así como la diferencia entre los valores máximos y mínimos. En las direcciones del eje X y del eje Y se obtienen ahora unas desviaciones estándar de entre 7 y 12μm, mientras que en la dirección del eje Z las desviaciones se sitúan ahora entre 13 y 14μm. En unidades relativas esto supone desviaciones menores que 1/55000. La diferencia entre los valores máximos y mínimos según la dirección del eje X e Y se sitúa ahora entre un mínimo de 24μm y un máximo de 43μm. Según el eje Z la amplitud de resultados se sitúan entre un mínimo de 47μm y un máximo de 53μm.

Es interesante comparar estas precisiones obtenidas experimentalmente con las que se obtienen analíticamente a partir del ajuste en bloque. En la Tabla 20 se muestran estas precisiones de origen analítico calculadas a partir de los errores de marcado para las coordenadas X,Y,Z de los cuatro puntos de control. Estas precisiones están definidas en base a una desviación estándar y una distribución normal. Como queda reflejado en la tabla el conjunto de parámetros nº 24 presenta unos residuos excesivamente altos mientras que como era de esperar los residuos con los parámetros nº 13 son los menores. El promedio de las precisiones (o desviaciones) se sitúa en 13μm (12μm si no se considera el conjunto nº 24) según los ejes X e Y y en 23μm (21μm si no se considera el conjunto nº 24) valores incluso algo mayores a los obtenidos experimentalmente.

Se puede concluir de este estudio de estabilidad geométrica que en trabajos fotogramétricos similares al de este estudio (dianas circulares, detección subpixel, alto nº de puntos por imágenes, alto número de imágenes por punto y RMS globales menores a 0.150píxeles) la precisión que se puede obtener con las cámaras utilizadas puede ser mejor que 1/50000 aunque entre la calibración de las mismas y el trabajo medien ciclos de encendido y apagado.


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Tabla 20. Estimaciones de origen analítico (procedente del ajuste en bloque) de la precisión para las coordenadas de los cuatro puntos de control calculadas a partir de la utilización de

los distintos conjuntos de parámetros de geometrías internas de la cámara A obtenidos en el 2o ensayo de estabilidad geométrica.

PC1 PC2 PC3 PC4

Set # Prec.

X (mm) Prec.

Y (mm)Prec.

Z (mm)Prec.

X (mm)Prec.

Y (mm) Prec.

Z (mm)Prec.

X (mm)Prec.

Y (mm)Prec.

Z (mm)Prec.

X (mm)Prec.

Y (mm) Prec.

Z (mm) 1 0.014 0.014 0.025 0.014 0.014 0.025 0.014 0.014 0.025 0.014 0.014 0.025 2 0.017 0.017 0.030 0.017 0.017 0.030 0.017 0.016 0.030 0.017 0.017 0.030 3 0.013 0.013 0.023 0.013 0.013 0.023 0.013 0.013 0.023 0.013 0.013 0.023 4 0.016 0.016 0.028 0.016 0.016 0.028 0.016 0.016 0.028 0.016 0.016 0.028 5 0.016 0.017 0.029 0.017 0.017 0.029 0.016 0.016 0.029 0.017 0.016 0.029 6 0.015 0.015 0.027 0.015 0.015 0.027 0.015 0.015 0.027 0.015 0.015 0.027 7 0.014 0.014 0.025 0.014 0.014 0.026 0.014 0.014 0.026 0.014 0.014 0.026 8 0.013 0.013 0.022 0.013 0.013 0.023 0.012 0.012 0.022 0.013 0.013 0.023 9 0.011 0.012 0.021 0.012 0.012 0.021 0.011 0.011 0.021 0.012 0.011 0.021 10 0.014 0.014 0.025 0.014 0.014 0.026 0.014 0.014 0.025 0.014 0.014 0.025 11 0.008 0.008 0.015 0.008 0.008 0.015 0.008 0.008 0.015 0.008 0.008 0.015 12 0.012 0.012 0.021 0.012 0.012 0.021 0.012 0.012 0.021 0.012 0.012 0.021 13 0.008 0.008 0.013 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.013 0.008 0.008 0.013 14 0.013 0.013 0.023 0.013 0.013 0.023 0.013 0.013 0.023 0.013 0.013 0.023 15 0.015 0.015 0.027 0.015 0.015 0.027 0.015 0.015 0.027 0.015 0.015 0.027 16 0.010 0.010 0.019 0.010 0.011 0.019 0.010 0.010 0.019 0.010 0.010 0.019 17 0.015 0.015 0.026 0.015 0.015 0.026 0.015 0.015 0.026 0.015 0.015 0.026 18 0.009 0.009 0.015 0.009 0.009 0.016 0.009 0.009 0.015 0.009 0.009 0.015 19 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.015 0.008 0.008 0.015 0.008 0.008 0.015 20 0.014 0.014 0.024 0.014 0.014 0.024 0.013 0.013 0.024 0.014 0.014 0.024 21 0.008 0.008 0.015 0.008 0.008 0.015 0.008 0.008 0.015 0.008 0.008 0.015 22 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014 23 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014 24 0.029 0.029 0.051 0.029 0.029 0.052 0.029 0.029 0.052 0.029 0.029 0.052 25 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014 0.008 0.008 0.014

Promedio 0.013 0.013 0.022 0.013 0.013 0.023 0.013 0.012 0.023 0.013 0.013 0.023

4.3.2. Consideraciones acerca del uso del autoenfoque Se ha procedido a evaluar la influencia que sobre la precisión del trabajo

fotogramétrico tiene el uso del autoenfoque frente al enfoque manual. Para ello se han analizado los residuos del marcado para las calibraciones realizadas en los ensayos de estabilidad geométrica. Estas calibraciones fueron realizadas utilizando el enfoque manual y el autoenfoque según las distintas series que se muestran en la Tabla 21. En esta misma tabla se muestran los residuos para cada calibración así como el promedio de la serie y su desviación estándar.


171

Tabla 21. Comparación de residuos de marcado globales (RMS en píxeles) utilizando enfoque manual y autoenfoque (AF).

Sin apagar la cámara Apagando la cámara Actuando sobre el zoom A B

(AF) C D

(AF) A B

(AF) C D

(AF) A

(AF) B

(AF) C

(AF) D

(AF) 0.088 0.115 0.105 0.110 0.101 0.110 0.108 0.121 0.077 0.104 0.123 0.104 0.082 0.105 0.118 0.119 0.090 0.115 0.107 0.120 0.080 0.106 0.123 0.139 0.084 0.107 0.112 0.132 0.094 0.110 0.105 0.117 0.068 0.110 0.116 0.129 0.090 0.119 0.110 0.124 0.089 0.122 0.097 0.109 0.071 0.117 0.115 0.103 0.087 0.108 0.115 0.118 0.083 0.113 0.092 0.128 0.091 0.105 0.112 0.096 0.090 0.101 0.117 0.124 0.095 0.112 0.110 0.130 0.095 0.102 0.115 0.108 0.090 0.107 0.113 0.111 0.083 0.121 0.109 0.109 0.102 0.095 0.456 0.111 0.086 0.107 0.120 0.127 0.086 0.105 0.104 0.102 0.110 0.099 0.134 0.131 0.084 0.135 0.112 0.119 0.111 0.111 0.080 0.105 0.104 0.110 0.130 0.130 0.083 0.106 0.109 0.125 0.100 0.107 0.098 0.114 0.110 0.102 0.116 0.123 0.089 0.116 0.125 0.114 0.091 0.122 0.094 0.121 0.085 0.108 0.125 0.153 0.080 0.103 0.120 0.119 0.086 0.122 0.101 0.127 0.099 0.107 0.115 0.100 0.084 0.109 0.109 0.134 0.079 0.118 0.110 0.116 0.113 0.099 0.120 0.120 0.080 0.110 0.108 0.103 0.081 0.112 0.097 0.096 0.108 0.107 0.137 0.105 0.080 0.110 0.121 0.130 0.088 0.108 0.100 0.115 0.116 0.109 0.136 0.140 0.081 0.112 0.114 0.132 0.095 0.116 0.106 0.117 0.109 0.099 0.142 0.136 0.087 0.126 0.112 0.137 0.092 0.112 0.098 0.120 0.113 0.095 0.135 0.116 0.088 0.116 0.117 0.136 0.086 0.115 0.106 0.110 0.095 0.107 0.116 0.120 0.080 0.109 0.116 0.122 0.083 0.116 0.094 0.095 0.115 0.112 0.129 0.082 0.080 0.119 0.117 0.137 0.087 0.104 0.111 0.119 0.130 0.100 0.115 0.122 0.090 0.111 0.128 0.130 0.086 0.120 0.104 0.106 0.129 0.102 0.142 0.121 0.092 0.105 0.110 0.129 0.088 0.107 0.108 0.101 0.112 0.107 0.142 0.115 0.080 0.110 0.121 0.124 0.085 0.120 0.098 0.119 0.123 0.102 0.129 0.122 0.087 0.104 0.110 0.120 0.090 0.127 0.118 0.122 0.104 0.127 0.573 0.165

0.089 0.099 0.117 0.128 0.091 0.120 0.106 0.118 0.113 0.100 0.121 0.118 x 0.085 0.111 0.115 0.124 0.090 0.115 0.102 0.114 0.103 0.105 0.157 0.120 σ 0.0040 0.0079 0.0057 0.0089 0.0070 0.0061 0.0079 0.0094 0.0166 0.0068 0.1094 0.0182

Como se puede observar los promedios más bajos en los residuos se

obtienen con la cámara A, tanto si se utiliza enfoque manual (primeras dos series) como si se utiliza autoenfoque (tercera serie) aunque en este último caso los residuos son mayores. Con la cámara C también se obtiene un residuo mayor cuando se usa el autofocus que cuando se utiliza en enfoque manual (primera y segunda serie). Este incremento en el residuo no es achacable a las características de la tercera serie (actuación sobre el zoom) ya que por ejemplo en la cámara B se obtiene un residuo muy similar e incluso menor.

Un primer análisis de los resultados no deja lugar a la duda en cuanto a la mayor calidad de los resultados cuando se usa el enfoque manual, lo cual es lógico y esperado ya que en este modo no hay posibilidad de modificación física de la longitud focal. Sin embargo hay que relativizar la mejora ya que por ejemplo para la cámara A se pasa de un residuo medio de 0.090píxeles a tan sólo 0.105píxeles, un residuo muy bajo en cualquiera de los dos casos. La mejora que se produce en el residuo es incluso de menor magnitud que la diferencia entre los residuos que sistemáticamente se obtienen entre unas cámaras y otras para las mismas condiciones. Así pues aun siendo dos cámaras exactamente iguales, con la misma edad e incluso con números de serie de fabricación correlativos, con la


172

cámara A se obtienen mejores residuos que con la D, y este hecho se ha constatado no solamente en estos ensayos sino en otros realizados en el ámbito de esta investigación.

Hay otra consideración importante relativa al enfoque manual en las cámaras compactas. A diferencia de las cámaras réflex en las que el control del enfoque manual se realiza directamente a través del visor óptico de la misma, en las cámaras compactas el control del enfoque se efectúa a través de la pantalla LCD, pantalla que en el mejor de los casos tiene unos cientos de miles de píxeles, tan solo una fracción de los que tiene el sensor de la cámara. Esta diferencia es importante ya que a través de la pantalla LCD es muy difícil realizar un buen enfoque. De hecho durante la realización de las calibraciones con enfoque manual en los ensayos de estabilidad geométrica se tuvieron que desechar varias series enteras por estar todas las imágenes mal enfocadas.

Por lo tanto, dado que la mejora que se produce con el uso del enfoque manual aunque clara es pequeña y además se corre el riesgo de fijar una posición de las lentes que no produzca el mejor enfoque finalmente se ha optado por utilizar el autoenfoque para la totalidad de las imágenes realizadas para los ensayos del apartado 4.4.

4.3.3. Consideraciones acerca de la apertura del diafragma Se han realizado ensayos para a) conocer si se producen modificaciones

importantes en la geometría interna de una cámara digital compacta con el uso de distintas aperturas de diafragma y b) elegir una apertura óptima. En estos ensayos consistentes en calibraciones (Apdo. 3.4.3) se han fijado todos los ajustes de cámara, variando únicamente la apertura y dejando automático el tiempo de exposición.

Distancia principal La Figura 90 muestra la variación de la distancia principal con la apertura

del diafragma para la cámara Canon Powershot A80 obtenida con las aplicaciones Photomodeler y DLR CalLab.

En la figura se puede apreciar un desfase entre las distancias principales obtenidas por ambas aplicaciones. Dicho desfase cuyo valor es de aproximadamente 20μm (un 0.25%) y puede ser consecuencia de la realización de los ensayos en distintos días (aplicación de ciclos de encendido/apagado de la cámara) o también producto del uso de las distintas formulaciones para el modelo de cámara (Apdos. 3.4.2.a) y 3.4.2.d)). En lo que coinciden las dos estimaciones es en un aumento progresivo de la distancia principal conforme se va cerrando el diafragma. Este aumento supone unas diferencias máximas de en torno a 15μm (un 0.2%).


173

Figura 90. Variación de la distancia principal con la apertura del diafragma

En la cámara Canon Powershot A80 la información Exif marca como distancia focal 7.8125mm para todas las imágenes, por lo que hay una diferencia máxima de 38μm y un mínimo de diferencia entre valores medios de 25μm con respecto a la calculada.

Coordenadas del punto principal Se ha procedido a estudiar la posición del punto principal debido a la

variación de la apertura del diafragma. Para ello se realizaron 3 determinaciones de los parámetros de geometría interna para cada uno de los valores de apertura fijando las condiciones de la exposición con excepción del tiempo de exposición que se dejó en automático y el modo de medición de la luz, alternando los modos diseño (medición considerando toda la escena), foco (medición considerando en centro de la escena) y ponderado (medición de la luz de toda la escena dando más importancia al centro).

La Figura 91 muestra la posición del punto principal en la cámara Canon Powershot A80 en un sistema de coordenadas cartesianas donde X es la coordenada a lo largo del ancho del sensor e Y a lo alto del sensor, estando el origen del sistema de coordenadas del sensor en la esquina superior izquierda. La estimación de los parámetros se realizó con la aplicación DLR CalLab.


174

Figura 91. Coordenadas del punto principal en 30 calibraciones ininterrumpidas variando la

apertura y el modo de medición de la luz, con la cámara Canon Powershot A80

Como se aprecia en la figura las posiciones del punto principal de todas las calibraciones excepto una se encuentran en una zona menor que 10x10μm y distantes del centro geométrico del sensor 20μm en X y 4μm en Y.

Para saber si existe una tendencia en la variación de la posición del punto principal con la apertura del diafragma o si simplemente responde a la incertidumbre del método se han representado los datos medios de los tres modos de medición en la Figura 92 (X) y en la Figura 93 (Y). Como se aprecia en las figuras si hay un desplazamiento no aleatorio de la posición del punto principal en la cámara de Canon Powershot A80 no pudiéndose achacar dichas variaciones a errores del método.

Figura 92. Evolución de la coordenada X (ancho del sensor) del punto principal con la

apertura del diafragma


175

Figura 93. Evolución de la coordenada Y (alto del sensor) del punto princiapal con la apertura

del diafragma

Coeficientes de distorsión radial Se han realizado ensayos para comprobar como varían los coeficientes de

distorsión radial al variar la apertura del diafragma. La variación del primer coeficiente de distorsión radial en la cámara Canon Powershot A80 se muestra en la Figura 94. La variación del segundo coeficiente está representada en la Figura 95.

Figura 94. Variación del coeficiente de distorsión radial k1, de 3er orden con la apertura del

diafragma


176

Figura 95. Variación del parámetro de distorsión radial de 5º orden con la apertura del

diafragma

En la cámara Canon Powershot A80 el primer coeficiente de distorsión radial muestra una tendencia inequívoca hacia el aumento de su valor con aperturas mayores. Este aumento, de mayor pendiente con aperturas de diafragma grandes, es superior al 12% sobre el valor mínimo, una variación muy apreciable considerando además que el coeficiente va elevado al cubo.

El segundo coeficiente de distorsión radial, tal y como se aprecia en Figura 95, sufre una disminución paulatina que supone una variación máxima superior al 33% sobre el valor máximo. Es igualmente destacable la clara tendencia a la disminución, más pronunciada cuanto más abierto está el diafragma.

Los ensayos se han repetido utilizando la aplicación Camera Calibration Toolbox for Matlab, así como el DLR CalLab bajo las mismas condiciones. Los resultados se muestran en la Figura 96.

Figura 96. Variación del parámetro de distorsión radial de tercer orden, k1, en función de la

apertura y la aplicación utilizada


177

Nuevamente se confirman las tendencias; variaciones más fuertes en valores máximos de apertura y tendencia a estabilizarse en un valor asintótico al cerrarse el diafragma. En esta ocasión la variación entre los valores máximos y los mínimos es del 7.5%, respecto de los valores [en valor absoluto], mínimos. Es de apreciar la mayor estabilidad en los resultados de la aplicación DLR CalLab, ya que a pesar de haber utilizado las mismas imágenes la curva resultante es mucho más suave y homogénea, lo que está directamente relacionado con una detección de dianas más eficaz y precisa.

Coeficientes de distorsión por descentramiento. En la Figura 97 se muestra la variación de los coeficientes de distorsión

por descentramiento con el diafragma para la cámara Canon Powershot A80 según la formulación de Photomodeler.

Figura 97. Distorsión por descentramiento en función de la apertura del diafragma

En la Figura 98 y en la Figura 99 se ha representado el residuo de marcado medio en función de la apertura del diafragma calculado con las aplicaciones Photomodeler y DLR CalLab, respectivamente.

Como se puede apreciar en las figuras, particularmente en la primera, el residuo es menor con aperturas grandes. Aunque la explicación de este fenómeno escapa a los objetivos de este trabajo y aunque la diferencia entre los valores más bajos (0.120 con Photomodeler) y los más altos (0.145 con Photomodeler) no suponen grandes diferencias hablando de residuos, se ha procurado utilizar aperturas grandes en los levantamientos fotogramétricos de los ensayos de los apartados 3.5 y 4.4.

De los resultados aquí expuestos se concluye que la utilización de distintas aperturas de diafragma se traduce en cambios importantes de la geometría interna de las cámaras, en especial a lo que a distancia principal se refiere como a coeficientes de distorsión. Por otro lado se ha observado que los menores


178

residuos se obtienen con aperturas grandes de diafragma. A partir de estas dos conclusiones, en todos los ensayos del apartado 4.4 se ha procedido a utilizar siempre la misma apertura en todas cámaras y levantamientos: F/2.8.

Los ensayos se han realizado con una Canon Powershot A80, una cámara de similares características a las cámaras usadas en los levantamientos fotogramétricos del apartado 4.4. De acuerdo a los objetivos generales las conclusiones de este estudio se han considerado como extrapolables por lo que no se ha considerado necesario repetir los ensayos con otras cámaras.

Figura 98. Error medio cuadrático en función de la apertura con la aplicación Photomodeler

con la cámara Canon Powershot A80

Figura 99. Error medio cuadrático en función de la apertura con la aplicación DLR CalLab

para la cámara Canon Powershot A80


179

4.3.4. Comparación entre las distintas aplicaciones fotogramétricas La suave evolución del RMS obtenido con la aplicación de Eos Systems

Inc. en la Figura 98 contrasta con el obtenido con la aplicación del Instituto DLR (Figura 99) donde se obtienen resultados mucho menos estables y progresivos siendo además el valor global del RMS entre 3 y 4 veces superior al obtenido por la aplicación de Eos Systems Inc. Algo similar sucede en las curvas de la Figura 96 donde nuevamente la curva de Photomodeler se presenta como más progresiva y uniforme que la de, en este caso, la obtenida con el Camera Calibration Toolbox for Matlab. El mejor comportamiento de la aplicación Photomodeler puede estar relacionado con la forma circular de las dianas frente a las otras dos aplicaciones que utilizan unas planillas de calibración muy similares.

Para comparar las aplicaciones DLR CalLab y Camera Calibration Toolbox for Matlab se procedió a realizar 10 nuevas calibraciones fijando todos los ajustes fotográficos con excepción del tiempo de exposición y la apertura del diafragma. Las calibraciones se hicieron a partir de las mismas fotografías y por lo tanto a partir del mismo útil de calibración, tipo ajedrez. Los resultados de los ensayos, expresados en base a las coordenadas del punto principal calculadas mediante las dos aplicaciones se muestran en la Figura 100.

Figura 100. Posición del punto principal según el cálculo de dos aplicaciones de calibración,

utilizando las mismas imágenes

De la observación de la Figura 100 se concluye que ambas aplicaciones presentan aproximadamente la misma dispersión en cuanto a la posición del punto principal estando todos los puntos en una zona de 4μm tanto en abcisas como en ordenadas.

En la Tabla 22 se muestras las distancias principales obtenidas por ambas aplicaciones. Como se aprecia en la misma las diferencias se encuentran por debajo del 0.04% por lo que los resultados de una aplicación y otra pueden


180

considerarse como equivalentes. Se observa también que las posiciones calculadas con el Camera Calibration Toolbox for Matlab se encuentran ligeramente desplazadas (0.8 píxel) en v con respecto a las calculadas con DLR CalLab sucediendo algo similar en cuanto a la distancia principal en la que los resultados son sistemáticamente (menos en un punto) mayores en las optimizaciones realizadas con DLR CalLab. La explicación a estas diferencias sistemáticas estriba en la distinta formulación que hacen de la distorsión por descentramiento (Apdo. 3.4.2.d) y 3.4.2.e)).

Tabla 22. Distancias principales obtenidas por las aplicaciones DLR CalLab y Camera Calibration Toolbox for Matlab a partir de las mismas imágenes

DLR (mm) Matlab (mm) Dif. (mm) Dif. (%) f/2.8 7.9526 7.9497 0.0030 0.04% f/3.1 7.9540 7.9528 0.0012 0.02% f/3.5 7.9551 7.9547 0.0004 0.01% f/4 7.9568 7.9577 -0.0008 -0.01% f/4.5 7.9597 7.9577 0.0020 0.03% f/5 7.9606 7.9582 0.0023 0.03% f/5.6 7.9618 7.9607 0.0011 0.01% f/6.3 7.9635 7.9609 0.0026 0.03% f/7.1 7.9646 7.9621 0.0025 0.03% f/8 7.9646 7.9622 0.0024 0.03%


181

4.4. CONTROL DE LA DEFORMACIÓN EN LAS PLACAS DE VIDRIO LAMINADO

4.4.1. Convergencia de los haces Como se ha descrito en al apartado 2.7 el ángulo de incidencia de los

haces de luz sobre el objeto tiene una influencia notable en la precisión del levantamiento fotogramétrico. Una configuración de cámaras más abierta (Figura 101 derecha) proporciona triangulaciones más robustas aunque también incrementa los errores de marcado en dianas planas (Apdo. 2.7.4.b). Por otro lado una mayor o menor convergencia puede mejorar la precisión según las direcciones principales del plano de la escena a la vez que la precisión según la perpendicular disminuya.

Figura 101. Dos configuraciones distintas para un levantamiento fotogramétrico: a la

izquierda menor ángulo de convergencia, a la derecha mayor

Con el objeto de conocer la apertura óptima según las circunstancias de este trabajo se ha realizado un primer estudio consistente en la realización de 21 levantamientos realizados con distintos ángulos de apertura entre pares de cámaras de entre 17º y 38º. Estos ensayos se han realizado con el equipo de medición descrito en el apartado 3.5.2. Los ángulos de convergencia finalmente ensayados se muestran en la Tabla 23. La Fotografía 31 muestra las aperturas mínima y máxima que permite el equipo de medición. Para la apertura máxima (ensayo nº 3) los brazos portantes de las cámaras se encuentran coplanares, mientras que para la apertura mínima (ensayo nº 20) los brazos se encuentran recogidos sobre el eje de la estructura. Los ensayos nº 0, 1 y 2 presentan convergencias aproximadamente simétricas a los ensayos nº 4, 5 y 6 ya que en los primeros intencionadamente se sobrepasó la apertura máxima de la estructura. Los ángulos a los que se refiere este apartado los forman los centros de proyección del par de cámaras y el centro geométrico del objeto.


182

Tabla 23. Apertura media (vertical y horizontal) entre los pares de cámaras para los 21 ensayos realizados en el estudio de convergencia

Id. ensayo Apertura (º) 0 38.15 1 38.24 2 38.30 3 38.37 4 38.34 5 38.22 6 38.13 7 37.91 8 37.66 9 37.27 10 36.81 11 36.26 12 35.62 13 34.66 14 33.68 15 32.68 16 31.03 17 29.19 18 26.71 19 23.26 20 17.44

La apertura mostrada en la Tabla 23 es el promedio de la apertura vertical

y horizontal entre cámaras siendo estas aperturas la suma de los ángulos entre el eje Z (perpendicular a la placa de vidrio laminado) y los rayos que pasan por el centro de proyección de las cámaras y la diana nº 15, situada en el centro de la placa P1, siendo la distancia media entre las cámaras y la placa de 1.3m.

La Figura 102 muestra la longitud del vector error medio de todos los puntos del levantamiento calculado a partir de los residuos de marcado posterior al ajuste en bloque. Como puede apreciarse el error medio global se mantiene prácticamente constante a lo largo de todos los puntos excepto en los últimos ensayos, en los que la convergencia entre los pares de cámara es mínima. El parámetro de longitud del vector error medio global incluye los errores en los 3 ejes. La Figura 103 muestra el valor máximo de error de marcado según los distintos ejes mientras que en la Figura 104 se muestran los errores mínimos.


183

Fotografía 31. Apertura máxima (izquierda) y mínima (derecha) del equipo de medida

Figura 102. Longitud del vector error medio en los ensayos de convergencia (ver Tabla 23)

Figura 103. Máximo error según los ejes X,Y,Z en los ensayos de convergencia (ver Tabla 23)


184

Figura 104. Mínimo error de marcado según los ejes X,Y,Z en todos los puntos del

levantamiento en función del ángulo de convergencia (ver Tabla 23)

Como se aprecia en la Figura 103 con valores de baja apertura (últimos ensayos) crecen los errores máximos en los tres ejes, especialmente en el eje Z. Respecto a los errores mínimos (Figura 104) se observa una tendencia muy similar en cuanto a las precisiones según Z pero una suave tendencia a disminuir el error en X y en Y con la disminución del ángulo de apertura. Esta disminución tiene su origen en la disminución del error de marcado descrito en el apartado 2.7.4.b).

De las figuras anteriores se deduce que para ángulos de apertura pequeños (ensayos 16 a 20) los errores máximos de marcado según los ejes X e Y crecen mientras que los errores mínimos decrecen, es decir que las zonas de la placa que se determinan bien (la zona central) mejoran y sin embargo en otras zonas (las periféricas) la determinación empeora con respecto a otros ángulos de apertura. Para el resto de valores de convergencia la precisión en X, Y se mantiene estable.

Según la dirección de Z los errores máximos y mínimos tienen un comportamiento distinto al de las direcciones X, Y. Del análisis de las figuras se observa que la precisión en Z empeora sustancialmente con valores bajos de apertura (Ensayos nº 15 a nº 20), pero también con valores altos de ángulo de convergencia (ensayos nº 0 a nº 5) donde además muestra un comportamiento menos uniforme e incluso con errores puntualmente más altos que con ángulos de apertura intermedios.

Por lo tanto en base a estos ensayos se concluye que la convergencia entre ángulos correspondiente a los ensayos nº 6 a nº 10, es la que proporciona mejores resultados globales, particularmente en lo que al eje Z se refiere. Por esta razón se ha decidido la realización de los ensayos de este apartado con ángulos de convergencia en el entorno de 37.5º, valor de convergencia del ensayo nº 8.


185

4.4.2. Definición del sistema de coordenadas objeto Para cumplir con los objetivos previstos el sistema de coordenadas objeto

debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. Debe permitir el conocimiento del desplazamiento de los puntos

en la dirección perpendicular a la placa 2. El sistema de coordenadas debe ser independiente del estado

de deformación de la placa 3. El origen de coordenadas debe coincidir con la esquina superior

izquierda de la placa de vidrio La primera dificultad encontrada a la hora de definir la dirección

perpendicular a la placa es la falta de planitud de la misma. Dos causas son el origen de esta falta de planitud: en primer lugar como consecuencia del propio proceso de fabricación (Apdo. 2.1) la superficie no es completamente lisa sino que presenta ondulaciones con diferencias de cota entre los valles y las crestas del orden de la décima de milímetro. En segundo lugar y como consecuencia del comportamiento viscoelástico del conjunto vidrio PVB las placas presentan deformaciones residuales cuya forma depende de la posición en la que hayan estado almacenadas (Apdo. 3.5.3).

El sistema de coordenadas debe ser independiente del estado de deformación de la placa y además debe ser único para todos los estados de deformación. Por lo tanto debe quedar establecido exteriormente a la placa. Además debe tener en cuenta deformaciones en el banco de ensayos (por ejemplo en lo referente a la compresión de las gomas) por lo que también debe ser exterior al banco de ensayos. En la Fotografía 32 se muestra el útil diseñado y construido específicamente para ser utilizado en esta investigación. El útil fabricado en aluminio tiene sección cuadrada y contiene 9 dianas codificadas cuyas coordenadas son desconocidas siendo su determinación parte del procedimiento de definición del sistema de coordenadas mostrado en la Figura 105.

Por último el origen de coordenadas debe coincidir con la esquina superior izquierda de la placa de vidrio. La dificultad estriba en que los bordes de la placa están cubiertos por las gomas y por marcos de aluminio del banco de ensayos por lo que no son visibles.

El establecimiento del sistema de coordenadas (Figura 105) comenzó por la definición de un sistema de referencia inicial aproximado a partir de puntos incluidos en la propia placa. Por ejemplo para la definición del eje X en la placa P1 se utilizaron los puntos 134, 84. Para el eje Y se utilizaron los puntos 43 y 62 (Fotografía 33). Para el escalado del modelo se midió con un calibre la distancia entre dos dianas. Para la traslación del sistema de coordenadas se utilizó el punto 136 situado a 72mm del eje X y a 72mm del eje Y.


186

Fotografía 32. Útil utilizado para la definición del sistema de coordenadas

Fotografía 33. Definición inicial del sistema de coordenadas

Consecuencia de la falta planitud de la placa de vidrio laminada, tal y como se ha justificado anteriormente, y en segundo lugar a la ubicación no precisa de los puntos, la representación de la superficie de la placa queda según lo mostrado en la Figura 106 donde se observa que los puntos situados en el borde de la placa presentan unas diferencias de cota de hasta 1mm, cuando deberían de tener aproximadamente la misma cota. De la misma forma se observa un valor de Z, en el centro de la placa (sólo se muestra ¼) superior a 3.4mm, un valor muy alto como para ser la flecha de la placa sin presión. A partir de estas observaciones comienza un proceso iterativo donde se va modificando la Z de los puntos que han servido para la definición de los ejes X,Y en un procedimiento análogo a la nivelación de un instrumento topográfico hasta que se consigue llegar a una situación como la mostrada en la Figura 107 donde los bordes de la placa quedan aproximadamente en el mismo plano XY.


187

Establecimiento de un sistema de referencia en base a direccionesdefinidas por puntos de la placa

Representación de la placaen planos acotados

Obtención de las coordenadas 3Dde los puntos de control internos

de la placa

Obtención de las coordenadas 3Dde los puntos de control externos

Imposición de las coordenadas 3Dde los puntos de control externos

No aceptable

Modificación

Aceptable

DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS

APLICACIÓN DEL SISTEMA DE

COORDENADASObtención de las coordenadas

3D del modelo

Figura 105. Definición del sistema de coordenadas en la placa P1

100200

300400

500600

700

100

200

300

400

500

600

700

Figura 106. Superficie de la placa P1 aplicando un sistema de referencia a partir de tres

puntos de la placa


188

010

020

030

040

050

060

070

0

Bor

de iz

quie

rdo

sim

plem

ente

apo

yado

, y,

(mm

)

Eje

de

sim

etria

ver

tical

de

la p

laca

0 100 200 300 400 500 600 700


Eje de simetría horizontal de la placa Figura 107. Forma inicial de la placa P1 una vez ajustadas las direcciones X,Y a las

direcciones principales de la placa

Como se observa en la Figura 107 todos los puntos situados en los bordes de la placa presentan aproximadamente la misma cota por lo que se puede afirmar que en este caso los ejes X,Y del sistema de coordenadas objeto ahora si coinciden aproximadamente con las direcciones principales de la placa, por lo que en este caso, los valores de cota son desplazamientos según Z. A continuación hay que hacer que el origen del sistema de referencia coincida con la esquina de la placa. Para ello se hace una traslación utilizando la diana más próxima a la esquina cuyas coordenadas han sido medidas (con un calibre) de forma previa a la instalación de la placa en el banco de ensayos.

Una vez establecida una orientación adecuada de los ejes con respecto a las direcciones principales de la placa se obtuvieron las coordenadas de 3 puntos de control situados sobre la misma placa (Fotografía 34). Se eligieron puntos alejados entre ellos, próximos a los bordes de la placa donde la recuperación de la forma entre ensayo y ensayo es máxima y situados no muy periféricos en las imágenes donde los residuos son mínimos. La obtención de estos puntos de control interno es importante dado que el útil de referencia externo es totalmente independiente del banco de ensayos y su ubicación cambia según las necesidades de los diferentes ensayos.


189

La última etapa del proceso aplicación del sistema de coordenadas (Figura 105), consiste en dar coordenadas a tres puntos del útil de referencia externo a partir del sistema de referencia interno ya definido. Gracias a la utilización de este útil externo todas las mediciones (con la placa y la bancada deformándose) realizadas dentro de un ensayo comparten el mismo sistema de referencia. Gracias a la definición del sistema de referencia interno de la placa, los distintos ensayos también comparten el mismo sistema de referencia aunque sea necesario cambiar la posición del útil de referencia externo.

Fotografía 34. Ubicación de los puntos de control interno en la placa P1

Los 3 puntos que se eligieron como puntos de control externo de entre los disponibles en el útil son los mostrados en la Fotografía 35. Para el caso concreto de la posición relativa mostrada en la fotografía las coordenadas son 73 (8.204, 385.662, -47.683), 27(391.892, 58.025, -52.041) y 32 (704.319, 385.089, -40.501). El valor negativo de la cota deriva de la elección del sentido positivo del eje X (hacia la derecha) y del eje Y (hacia abajo).

Fotografía 35. Ubicación de los puntos de control externos en la placa P1


190

Para la placa P2 y la P3 se siguió un procedimiento similar (Figura 108) sustituyendo la “nivelación” de la placa por la restricción de coplanareidad impuesta a los puntos situados en el borde de la placa (Fotografía 36). Con esta restricción se consiguen dos direcciones cuya coincidencia con los dos lados de la placa son máximas. Una vez definida la restricción se ejecuta el ajuste en bloque y tras definir los ejes, la escala y el origen se obtienen las coordenadas 3D de los puntos de control internos, continuando el resto del proceso de forma idéntica a la de la placa P1.

Las dos metodologías usadas para la definición del sistema de coordenadas tienen sus ventajas e inconvenientes. La desventaja de imponer la restricción es que tras el ajuste en bloque se provoca un reajuste de todos los puntos y de los parámetros de orientación exterior (situación de las cámaras) que evidentemente es más inexacto e impreciso que el original, lo que empeora la precisión de las coordenadas 3D de los puntos de control internos. Por el contrario el ajuste entre las direcciones del sistema de referencia y los lados de la placa es objetivamente mejor que el utilizado en la metodología de la placa P1 ya que en el proceso hay una minimización de errores y no interviene el criterio humano.

Fotografía 36. Identificación de los puntos usados en el borde de la placa P3 utilizados para

imponer la restricción de puntos coplanarios

Como se observa en el Anexo II la automatización con Photomodeler no permite la definición del sistema de referencia a partir de las coordenadas de 3 puntos sino que hay se ha de definir la dirección de dos de los ejes en base a puntos además de definir el origen y la escala también con puntos lo cual se hizo sobre puntos situados sobre el útil de referencia. La corrección de estas direcciones provisionales se realizó con posterioridad según el procedimiento explicado en este apartado.


191

Restricción: los puntos del borde de la placa son coplanarios

Obtención de las coordenadas 3Dde los puntos de control internos

de la placa

Obtención de las coordenadas 3Dde los puntos de control externos

Imposición de las coordenadas 3Dde los puntos de control externos

Ajuste en bloque

DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS

APLICACIÓN DEL SISTEMA DE

COORDENADASObtención de las coordenadas

3D del modelo

Figura 108. Definición del sistema de coordenadas en las placas P2 y P3

4.4.3. Forma inicial de las placas A continuación se muestra en la Figura 109, la Figura 110 y en la Figura

111 las formas iniciales de las placas P1, P2 y P3, obtenidas siguiendo los procedimientos establecidos en la Figura 105 y en la Figura 108.

010

020

030

040

050

060

070

0

Bor

de iz

quie

rdo

sim

plem

ente

apo

yado

, y,

(mm

)

Eje

de

sim

etria

ver

tical

de

la p

laca

0 100 200 300 400 500 600 700


Eje de simetría horizontal de la placa Figura 109. Forma inicial de la placa P1 antes del comienzo de los ensayos


192

Eje de simetría horizontal de la placa

0 100 200 300 400 500 600 700


700

600

500

400

300

200

100

0

Bor

de iz

quie

rdo

sim

plem

ente

apo

yado

, y, (

mm

)

Eje

de

sim

etría

ver

tical

de

la p

laca

Figura 110. Forma inicial de la placa P2 antes del comienzo de los ensayos

Eje de simetría horizontal de la placa

0 100 200 300 400 500 600 700


700

600

500

400

300

200

100

0

Bor

de iz

quie

rdo

sim

plem

ente

apo

yado

, y, (

mm

)

Eje

de

sim

etría

ver

tical

de

la p

laca

Figura 111. Forma inicial de la placa P3 antes del comienzo de los ensayos

4.4.4. Ubicación de las cámaras fotográficas De acuerdo a los criterios de diseño de la red fotogramétrica recogidos en

el apartado 3.5.2, los resultados en cuanto a apertura óptima de las cámaras del apartado 4.4.1 y el sistema de coordenadas descrito en el apartado 4.4.2 y con el objetivo de obtener los mejores resultados en cuanto a precisión y exactitud en la medición de la flecha la configuración final de la red fotogramétrica quedó según se muestra en la Figura 112 y en la Tabla 24.


193

Figura 112. Diseño definitivo de la red fotogramétrica. A la izquierda vista en planta. En el

centro y derecha dos vistas oblicuas

Tabla 24. Situación espacial de las cámaras en los levantamientos fotogramétricos

X (mm)

Y (mm)

Z (mm)

Omega (º)

Phi (º)

Kappa (º)

FOVh (º)

FOVv (º) RMS

A 316.3 -30.2 -1451.7 165 -2 2 49.8 38.4 0.156 B 774.0 398.7 -1477.3 -177 14 -90 49.5 38.1 0.166 C 357.5 840.5 -1464.0 -162 -2 179 49.7 38.3 0.234 D -94.4 451.4 -1447.9 179 -18 91 49.5 38.1 0.228

X,Y,Z son las coordenadas cartesianas de las estaciones, omega, phi y kappa son las orientaciones de los ejes ópticos. FOVh y FOVv son el ángulo de apertura de campo en la horizontal y en la vertical. RMS es el error medio cuadrático obtenido.

4.4.5. Precisiones alcanzadas en la calibración de las cámaras En la Tabla 25 se muestran las precisiones alcanzadas durante las

calibraciones de las 4 cámaras Pentax Optio A40 utilizadas para la restitución fotogramétrica de los ensayos. Los parámetros usados para valorar la precisión son los residuos del marcado y la longitud del vector error a escala real.

Hay que tener en cuenta que estos valores son globales, es decir incluyen todos los puntos utilizados durante la calibración lo que supone más del 80% de la superficie del sensor (o las imágenes). Normalmente en los levantamientos no se utilizan las zonas periféricas de las imágenes, que son las que más residuos aportan, por lo que no es extraño que en levantamientos realizados con estas modelizaciones se obtengan errores medios menores.

Tabla 25. Precisiones alcanzadas en las calibraciones utilizadas en los levantamientos

fotogramétricos.

Cámara RMS glotal (píxeles)Longitud del vector error (mm) A 0.09 0.015 B 0.11 0.019 C 0.14 0.022 D 0.15 0.026


194

4.4.6. Comportamiento del marco del banco de ensayos Las placas de vidrio laminado están sujetas a la estructura de aluminio

mediante un marco de aluminio (Figura 68). Estos tornillos presionan el marco contra los vidrios quedando estos a su vez presionados contra la estructura. El contacto entre el marco y el vidrio, así como entre el vidrio y el perfil se realiza mediante gomas cuya elasticidad permiten acomodar diferencias entre los mismos (Fotografía 37). Se ha procedido a comprobar el comportamiento del marco de la bancada de ensayos al suministrar presión a las placas de vidrio laminado. Para ello se han obtenido las coordenadas de las dianas situadas sobre el marco (Fotografía 38 y Fotografía 39). Durante estas pruebas se midieron los desplazamientos en los puntos entre el reposo y los 2000Pa de presión.

Fotografía 37. Contacto metal – vidrio mediante gomas (derecha). Detalle del estriado donde

se apoya el vidrio (izquierda)

Fotografía 38. Puntos de control situados en el marco superior que bordea la placa. En rojo

se muestran los números identificativos de cada punto


195

Fotografía 39. Puntos de control situados en el marco izquierdo que bordea la placa. En rojo

se muestra el número identificativos de cada punto

En la Figura 113 se muestran los desplazamientos obtenidos para cada uno de los puntos de la parte superior en los que se realizó la medición. Se han considerado positivos en la dirección contraria al eje Z, por lo que una presión creciente ocasiona desplazamientos crecientes.

Figura 113. Flechas obtenidas en los puntos de control situados sobre el perfil superior (Fotografía 38).

En la Figura 114 se muestran los desplazamientos obtenidos en las dianas situadas en el marco izquierdo.


196

Figura 114. Flechas obtenidas en los puntos de control situados sobre el perfil superior (Fotografía 39).

Como se aprecia en las figuras todos los desplazamientos son positivos con la excepción del punto 87, situado en la esquina de la bancada de ensayos y el punto 89 cuyo desplazamiento también es negativo pero inferior a las 40μm. Los máximos se sitúan en los puntos 121 (259μm), 19 (257μm) y 135 (240μm). Del análisis de los desplazamientos se observa una estrecha relación entre la ubicación de los puntos de control y la ubicación de los tornillos que sujetan el marco. Por ejemplo en los puntos 89 y 154 situados muy próximos a tornillos los desplazamientos son inferiores a los de puntos adyacentes. Por el contrario en puntos de control alejados de tornillos (por ejemplo el 121 o el 135) los desplazamientos son máximos.

Si bien los tornillos condicionan claramente los desplazamientos se puede observar que los puntos situados próximos a las esquinas presentan desplazamientos inferiores a los obtenidos por los puntos de control próximos a los ejes de la bancada. Por lo tanto el comportamiento del marco se corresponde al de una barra sometida a carga uniforme con apoyos fijos y móviles (los tornillos en el banco de ensayos) a lo largo de la misma (Figura 115). Según esta idealización en los extremos libres pueden darse desplazamientos negativos, tal y como sucede en el punto 87.

Figura 115. Comportamiento simplificado del marco de ensayos. La curva roja representa la

flecha obtenida, positiva en el centro de la barra y negativa en os extremos


197

De los resultados obtenidos en este apartado se concluyó la necesidad de establecer el sistema de referencia externamente a la bancada, ya que en un primer momento de la investigación se utilizaron puntos situados en el marco ya que incorrectamente se le presuponía inmóvil.

4.4.7. Borde de la placa de vidrio laminado Se ha procedido a estudiar los desplazamientos en los bordes de la placa.

Debido a que las aristas de las placas quedan cubiertas por las gomas de sujeción y por el marco los puntos de control se han situado lo más cerca posible del borde, es decir a 30mm. En la Fotografía 40 se muestran los puntos de control situados en la parte superior mientras que en la Fotografía 41 se muestran los situados en la parte izquierda.

Una vez instrumentada la placa y medidas las coordenadas de los puntos de control se sometió la placa de vidrio laminado a 2000Pa de presión obteniéndose las nuevas coordenadas. A partir de las coordenadas de los estados inicial y final se calcularon los desplazamientos. En la Figura 116 se muestran los desplazamientos correspondientes a la arista superior. En la Figura 117 se representan las correspondientes a la parte izquierda de la placa.

Fotografía 40. Ubicación de los puntos de control en el borde superior de la placa. Todos los

puntos distan del borde 30mm

Según se observa en la Figura 116 se obtienen flechas positivas para todos los puntos estudiados. Los valores mínimos de desplazamiento se corresponden con el punto 109 (26μm) mientras que el punto 77 presenta un desplazamiento de 1.68mm. Se observa que los desplazamientos crecen desde la esquina de la placa (punto 109) hasta la zona central de la bancada de ensayos. Se observa que el valor máximo de la flecha no coincide con el eje de la bancada por la influencia de uno de los tornillos situado en el eje, tal y como se ha explicado en el apartado 4.4.5 que impide que el marco se deforme en este lugar


198

tanto como en los puntos adyacentes 18, 77 y 108 en los que la deformación del marco es mayor.

Figura 116. Flechas obtenidas en los puntos de control mostrados en la Fotografía 40

situados a 30mm del borde superior de la placa

Fotografía 41. Ubicación de los puntos de control en el borde izquierdo de la placa. Todos los

puntos distan del borde 30mm


199

Figura 117. Flechas obtenidas en los puntos de control mostrados en la Fotografía 41

situados a 30mm del borde superior de la placa

Tal y como ocurre en la parte superior en los puntos de control situados en el lateral izquierdo de la placa las flechas crecen gradualmente desde la esquina (punto 109) hacia el eje de la placa. En esta ocasión es justamente el eje de la placa (punto 105) donde menores son los desplazamientos, estando la causa en el tornillo que se sitúa precisamente junto al eje.

4.4.8. Aplastamiento de las gomas de unión entre el vidrio y el marco De la simulación numérica se han obtenido los desplazamientos que

deberían obtenerse para cada una de los puntos de control. Estos valores oscilan entre las 750μm para las dianas situadas en el centro de la placa completa y los valores muy bajos (50μm) para las dianas muy próximas a la esquina.

Teniendo en cuenta que el marco de aluminio se deforma un máximo de hasta 25μm (Apdo. 4.4.6) hay un desfase entre los valores de flecha esperados en el borde de placa y los realmente obtenidos (Figura 116 y Figura 117). Este desfase se explica por el aplastamiento de las gomas de unión entre el vidrio y el aluminio y tiene de magnitud media 500μm lo que se ha tenido en cuenta a la hora de comparar las medidas experimentales con las obtenidas con la simulación por elementos finitos (Apdo.s 4.4.13, 4.4.14 y 4.4.15).

4.4.9. Distribución de los residuos de marcado a lo largo de la superficie de la placa

Utilizando la configuración de red explicada en el apartado 4.4.1 se ha procedido a realizar un análisis de la distribución de los residuos del marcado fotogramétrico (Apdo. 2.5.7) obtenidos para los 122 puntos utilizados a lo largo de la superficie del vidrio. En la Figura 118 se ha representado la distribución espacial de la componente del residuo según el eje X. En gris se ha representado


200

la posición de los puntos de los cuales se ha tomado los datos. De la misma forma en la Figura 119 se ha representado la distribución espacial de la componente del residuo según el eje Y. En la Figura 120 se ha representado el módulo del vector error total que es la suma cuadrática de las 3 componentes.

Como se aprecia en la Figura 118 la zona de menores residuos según el eje X es una franja central perpendicular a dicho eje de la misma forma que la zona de menor residuos según el eje Y es una zona perpendicular al eje Y (Figura 119). Así pues en estas zonas el error de marcado es menor a 28.5μm tanto en X como en Y, y crece gradualmente según los ejes hasta alcanzar valores aproximados de 34μm para los puntos más alejados. La distribución espacial del error total (cuya componente principal es el error según Z) muestra (Figura 120) una zona central de máxima precisión que coincide con la intersección de las zonas de menor residuo según X e Y. En esta zona el error de marcado es inferior a las 100μm creciendo hacia las esquinas hasta valores de 103μm. Hay que hacer notar que estos valores de error se refieren a un solo levantamiento fotogramétrico con una configuración espacial determinada de las cámaras, una distancia particular al objeto, un diámetro de dianas concreto etc., por lo que deben tomarse únicamente como una referencia.

0 100 200 300 400 500 600 700-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Figura 118. Distribución espacial de los residuos de marcado (en mm) según X.


201

0 100 200 300 400 500 600 700-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Figura 119. Distribución espacial de los residuos de marcado (en mm) según Y.

0 100 200 300 400 500 600 700X (mm)

700

600

500

400

300

200

100

0

Y (m

m)

Figura 120. Longitud total del vector error (en mm)

Como se ha visto las zonas donde la precisión es máxima cubren una franja vertical, en el caso de la dirección del eje X y una franja horizontal en el caso de la dirección del eje Y, lo cual se explica por ser estas zonas aquellas donde los ángulos de incidencia de los haces de luz (Figura 121) toman valores similares (líneas rojas), mientras que haces procedentes de puntos más distales (líneas moradas) presentan distintas convergencias lo que suponen errores


202

máximos y contrarios en la detección de los centros de gravedad de las dianas allí colocadas (Apdo. 2.7.4.b).

Figura 121. Zona óptima de intersección (líneas rojas) donde los haces presentan ángulos

similares de convergencia

El mayor interés de conocer la distribución espacial de los residuos radica en la elección de la ubicación de los puntos que sirven para la definición del sistema de coordenadas. La importancia de la correcta elección de los puntos que definen el sistema de coordenadas radica en que pequeños errores en las coordenadas de los mismos pueden provocar giros que afecten de forma importante a las coordenadas de puntos alejados. Por esta razón los puntos que sirven para la definición del sistema de coordenadas deben situarse en las zonas de máxima precisión. En la Fotografía 42 se muestra la ubicación de los puntos que sirven para la definición del sistema de coordenadas (Apdo. 4.4.2). Como se puede observar los mismos se han situado en las zonas de máxima precisión tanto en el caso de la definición mediante las coordenadas de 3 puntos como cuando el sistema de coordenadas se define mediante las direcciones y sentido de los ejes, escala y traslación.

Fotografía 42. Posición de los puntos utilizados para los dos métodos de definición del

sistema de coordenadas

4.4.10. Precisiones fotogramétricas alcanzadas en los levantamientos Se ha procedido a representar en la Figura 122 los residuos del marcado

(Apdo. 2.5.7) medios y máximos obtenidos en un levantamiento fotogramétrico


203

representativo de entre los realizados sobre la placa P2. A diferencia de los datos representados en las figuras del apartado 4.4.9 donde solamente se han representado los datos de las dianas de la placa de vidrio en la Figura 122 se han representado también los residuos de los puntos de control externos a la bancada y los presentes sobre el marco de la bancada. El residuo medio representado es el promedio de los 4 residuos obtenidos al restar la posición media obtenida en el marcado de las dianas sobre las fotografías y la calculada tras la optimización de la orientación exterior en el ajuste en bloque. El residuo máximo representado por una línea azul es el mayor valor de estos 4 residuos.

En la figura se han superpuesto dos segmentos con trazo discontinuo con el valor medio de los residuos medios y el valor medio de los residuos máximos con unos valores de 0.2pixel y 0.28pixel y unas desviaciones estándar ligeramente inferiores de 0.11 y 0.16 respectivamente.

En la Tabla 26 se dan los valores de los puntos agrupados según su ubicación.

Figura 122. Residuo Medio y Residuo Máximo en los 142 puntos utilizados. (Para un

levantamiento con Placa P2)

Tabla 26. Promedio y desviación estándar de los residuos medios según su ubicación.

Residuos medios (pixeles)

Residuos máximos (píxeles)

Promedio Desviación estándar Promedio Desviación

estándar Marco 0.23 0.14 0.32 0.18 Vidrio 0.19 0.11 0.28 0.15 Borde vidrio 0.22 0.13 0.30 0.19 Referencia 0.16 0.05 0.22 0.07


204

Según se observa en la Tabla 26 los puntos situados sobre la referencia externa presentan los mejores valores en las 4 variables, lo cual es debido a la ubicación de los mismos (ver final del apartado 4.4.5). Por el contrario los puntos situados sobre el marco de aluminio presentan los registros más discretos debido a su ubicación alejada del centro.

En la Figura 123 se han representado las precisiones considerando la escala del proyecto y proyectando los residuos, anteriormente definidos, sobre los ejes definidos en el proyecto.

Como se aprecia en la figura para los ejes X,Y, se han obtenido unas precisiones medias del entorno de las 40μm mientras que para el eje Z, el perpendicular a la placa, y el más importante en este trabajo la precisión se queda en un promedio de 110μm, una precisión casi 3 veces inferior a la alcanzada en el plano.

Figura 123. Precisiones alcanzadas según los ejes en los 142 puntos utilizados. (Para un

levantamiento con la placa P2)

4.4.11. Caracterización estadística de los residuos de marcado Se ha procedido a analizar los residuos medios de marcado obtenidos en

los 142 puntos de un levantamiento realizado con la placa P2 según las 3 direcciones del sistema de referencia. En la Tabla 27 se muestran las variables estadísticas más importantes.

Como se aprecia en la tabla casi todos los valores según Z (rango, media, variancia, error estándar y asimetría) son mayores que según los ejes X,Y con excepción del coeficiente de variación lo que significa una mayor homogeneidad de los resultados. En la tabla también se aprecia que el 95% de los puntos presentan errores menores que 46μm en X, 44μm en Y y 113μm en Z, unos


205

valores ligeramente superiores a los valores medios 40μm, 39μm y 110μm, respectivamente.

Se puede apreciar también que los residuos según el plano X,Y con respecto a los residuos según el eje Z guardan una relación próxima a 1:3. Esto sucede tanto en los valores medios como los correspondientes al 95%.

Tabla 27. Caracterización por estadística descriptiva de los residuos procedentes del ajuste

en bloque según los ejes de un único levantamiento fotogramétrico

Estadística Descriptiva Eje X Eje Y Eje Z Tamaño de la muestra 142 142 142

Rango (mm) 0.03508 0.02146 0.05756 Media (mm) 0.03935 0.03865 0.10938

Varianza (mm) 2.1298E-05 1.2072E-5 3.3225E-5 Desviación estándar (mm) 0.00461 0.00347 0.00576 Coef. de variación (mm) 0.11729 0.0899 0.0527

Error estándar (mm) 3.872E-05 2.9158E-4 4.8372E-4 Asimetría 2.15 1.5785 5.5147 Percentil Valor Valor Valor

Min 0.03389 0.03409 0.10109 5% 0.03437 0.03425 0.10227 10% 0.03495 0.03516 0.10372

25% (Q1) 0.03567 0.03586 0.10797 50% (Mediana) 0.03828 0.03807 0.10922

75% (Q3) 0.04357 0.04132 0.1104 90% 0.04499 0.0427 0.11158 95% 0.04538 0.04311 0.11231 Max 0.06897 0.05556 0.15865

Para obtener una visión más general de la precisión del método se ha procedido a analizar los residuos medios de marcado en 144 levantamientos realizados en diferentes días, con distintas placas (sin aplicarles presión) y con diferentes configuraciones geométricas de las cámaras, siendo la totalidad de los puntos considerados 17107. En la Tabla 28 se muestran las variables estadísticas más importantes. Según se comprueba en la tabla los valores correspondientes a los residuos según Z presentan valores mayores incluso en cuanto al coeficiente de variación de lo que se deduce una mayor sensibilidad del residuo según Z a variaciones en las configuraciones geométricas de la red fotogramétrica. Al igual que para un único ensayo la relación entre los promedios y las probabilidades los residuos en X e Y siguen siendo aproximadamente la tercera parte de los residuos en Z.

Se ha procedido a representar gráficamente (Figura 124, Figura 125 y Figura 126) los residuos según las tres direcciones agrupados por su densidad de probabilidad. La finalidad de las representaciones es conocer el tipo de distribución que presentan los residuos.


206

Tabla 28. Caracterización por estadística descriptiva de los residuos procedentes del ajuste en bloque según los ejes para los datos de 120 levantamientos fotogramétricos.

Estadística Descriptiva Eje X Eje Y Eje Z Tamaño de la muestra 17107 17107 17107

Rango (mm) 0.1034 0.1114 0.1907 Media (mm) 0.0384 0.0387 0.0987

Varianza (mm) 5.56E-05 7.21E-05 6.56E-04 Desviación estándar (mm) 0.0074 0.0084 0.0256 Coef. de variación (mm) 0.1940 0.2192 0.2594

Error estándar (mm) 5.70E-05 6.49E-05 1.96E-04 Asimetría 2.2914 2.9199 1.0139 Percentil Valor Valor Valor

Min 0.0276 0.0276 0.0624 5% 0.0299 0.0291 0.0668 10% 0.0314 0.0307 0.0693

25% (Q1) 0.0335 0.0335 0.0791 50% (Mediana) 0.0366 0.0369 0.0954

75% (Q3) 0.0412 0.0417 0.1087 90% 0.0476 0.0494 0.1386 95% 0.0519 0.0528 0.1472 Max 0.1310 0.1390 0.2532

Función de densidad de probabilidad

Valor del residuo según X (mm)0.130.120.110.10.090.080.070.060.050.040.03

f(x)

0.360.320.280.24

0.20.160.120.080.04

0

Figura 124. Histograma de los residuos según el eje X. La curva superpuesta es una

distribución Wakeby con coeficientes α=0.03654299, β=9.5144617, γ=0.00652766, δ=0.03258024 y ξ=0.02821149


Valor del residuo según Y (mm)0.140.130.120.110.10.090.080.070.060.050.040.03

f(x)

0.4

0.350.3

0.250.2

0.15

0.10.05

0

Figura 125. Histograma de los residuos según el eje Y. La curva superpuesta es una

distribución Wakeby con coeficientes α=0.030794, β=6.4203237, γ=0.00637325, δ=0.08451988 y ξ=0.02761886


207


Valor del residuo según Z (mm)0.240.220.20.180.160.140.120.10.08

f(x)

0.180.160.140.12

0.10.080.060.040.02

0

Figura 126. Histograma de los residuos según el eje Z. La curva superpuesta es una distribución Johnson SB con coeficientes γ=1.9338084, δ=1.3267937, λ=0.21433408 y

ξ=0.05306778

Como se aprecia en las 3 figuras los residuos no siguen en ningún caso una distribución normal. Se ha estimado oportuno analizar que tipo de distribución es la que presentan estos datos. Para ello se han pasado los tests de Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling y Chi-cuadrado a 44 distribuciones comunes. Los resultados de los ajustes ordenados según la bondad del test de Komogorov-Smirnov obtenidos mediante el programa EasyFit Professional 4.3 [175] se muestran en el Anexo IV.

Tanto para los residuos según el eje X como para los residuos según el eje Y la distribución Wakeby definida por Thomas e introducida por Houghtonse [176] presenta las mejores bondades en los test de Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling. La distribución Wakeby se define por la función quantile:

( ) ( )( ) 1 (1 ) 1 (1 )x F F Fβ δα γζβ δ

−= + − − − − − (4.3)

Donde los parámetros , , , ,α β γ δ ζ son todos continuos y se les imponen las siguientes condiciones:

0 0,0 0,0, 0,0, 0,

0 0

óó

si entoncessi entonces

y

α γβ δ β γ δ

α βγ δ

γ α γ

≠ ≠+ > = = =

= == =

≥ + ≥

En el dominio:

0,

/ / 0 0x six si ó

ζ δζ ζ α β γ δ δ γ

≤ <∝ >≤ ≤ + − < =

En la función de densidad de probabilidad de Johnson SB [177], función que mejor describe la probabilidad de encontrar un residuo según la dirección de Z, se define como:


208

2

1( ) exp ln2 12 (1 )

zf xzz z

δ γ δλ π

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (4.4)

La función de distribución acumulada se define como:

( ) ln1

zF xz

φ γ δ⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ (4.5)

Donde xz ζ

λ−≡ y φ es la integral de Laplace, γ y δ son los parámetros

continuos de forma, λ es el parámetro continuo de escala y ζ es el parámetro continuo de localización en el dominio xζ ζ λ≤ ≤ + con 0, 0δ λ> > .

En la Figura 127, Figura 128 y Figura 129 se muestran las curvas de función de distribución acumulativa según los ejes X,Y y Z respectivamente.

En la Tabla 29 se muestra el residuo máximo esperado según los distintos ejes a distintas probabilidades.

Residuo según eje X0.120.10.080.060.04

F(x)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figura 127. Función de distribución acumulativa de los residuos según la dirección del eje X

Residuo según eje Y0.140.120.10.080.060.04

F(x)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figura 128. Función de distribución acumulativa de los residuos según la dirección del eje Y


209

Residuo según eje Z0.250.20.150.1

F(x)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figura 129. Función de distribución acumulativa de los residuos según la dirección del eje Z

Tabla 29. Residuo máximo esperado a las probabilidades indicadas en la columna

Probabilidad

Probabilidad X(mm) Y(mm) Z(mm) 0.50 0.036 0.036 0.093

0.683 0.039 0.040 0.106 0.75 0.041 0.041 0.112 0.90 0.047 0.048 0.134 0.95 0.052 0.054 0.148 0.99 0.064 0.068 0.175

0.999 0.082 0.092 0.204 0.9999 0.102 0.121 0.223

4.4.12. Precisiones experimentales de los ensayos Para conocer cual es la precisión de toda la metodología, estimada a partir

de datos experimentales se han tomado las coordenadas 3D obtenidas en 9 puntos (situados en las barras que forman el sistema de referencia) durante el segundo ensayo (Apdo. 4.4.14) de la placa P3 en el que se realizaron 162 levantamientos fotogramétricos. En la Tabla 30 se muestran las desviaciones estándar del módulo de las diferencias entre las coordenadas y sus promedios.

Tabla 30. Desviaciones estándar (en mm) de las coordenadas obtenidas en varios puntos situados en el útil de referencia en el segundo ensayo de la placa P3

ID32 ID73 ID79 ID85 ID126 ID134 ID138 ID148 ID153 Desv. Est. X 0.005 0.005 0.006 0.005 0.005 0.004 0.005 0.004 0.006 Desv. Est. X 0.005 0.005 0.006 0.009 0.005 0.005 0.006 0.005 0.005 Desv. Est. Z 0.015 0.015 0.019 0.017 0.018 0.018 0.013 0.017 0.018

Como se puede apreciar las desviaciones estándar están por debajo de

10μm para las coordenadas X e Y y por debajo de 20μm para la coordenada Z. En el Anexo V se han incluido todas las coordenadas obtenidas en los 162


210

levantamientos. Para la coordenada del punto ID79, que es el de mayor desviación, la estadística descriptiva es la mostrada en la Tabla 31. También de de este punto se ha representado el histograma con los valores de las coordenadas obtenidos (Figura 130) no con las diferencias respecto al valor medio. Po esta razón la distribución en esta ocasión es normal con una desviación estándar de 18μm.

Tabla 31. Estadística descriptiva para la coordenada Z a partir de 162 mediciones

Estadística Descriptiva Eje Z Tamaño de la muestra 162

Rango (mm) 0.09408 Media (mm) -47.935

Varianza (mm) 3.42E-4 Desviación estándar (mm) 0.01858 Coef. de variación (mm) -3.86E-4

Error estándar (mm) 0.00145 Asimetría 0.00476 Percentil

Min -47.978 5% -47.967 10% -47.961

25% (Q1) -47.947 50% (Mediana) -47.935

75% (Q3) -47.923 90% -47.912 95% -47.904 Max -47.883


Histograma Normal

Coordenada Z-47.9-47.92-47.94-47.96

f(x)

0.260.240.220.2

0.180.160.140.120.1

0.080.060.040.02

Figura 130. Función de densidad de probabilidad para Z a partir de 162 mediciones


211

Tal y como se puede apreciar los resultados son muy similares a los obtenidos a partir de los residuos de marcado derivados del ajuste en bloque para un único levantamiento (Apdo. 4.4.10, Tabla 27).

Hay que tener en cuenta que los puntos situados en el útil de referencia permanecen totalmente inmóviles, no se tienen en cuenta pues en estas precisiones aspectos como el levantamiento de puntos en movimiento, lo que siempre ocasiona pérdida de nitidez, falta de sincronía con el nivel correcto de presión, etc. La valoración experimental de estos aspectos es muy complicada ya que al tratarse de un cuerpo en deformación, es decir en el que sus coordenadas están en continuo cambio, no hay una base para la comparación. Por esta razón es necesario recurrir a las precisiones obtenidas a partir de los residuos de todos los levantamientos (Apdo. 4.4.10) (Tabla 28).

4.4.13. Primer ensayo dinámico: exactitud alcanzada en los levantamientos fotogramétricos

Para comprobar la exactitud de las medidas fotogramétricas se procedió a la realización de un ensayo específico (Apdo. 3.5.5) comparando las flechas obtenidas mediante fotogrametría con las obtenidas por lectura directa de un reloj comparador de resolución 10μm (Apdo. 3.5.1). En el ensayo se situó el reloj comparador lo más próximo posible a la diana del centro geométrico de las placas (Fotografía 43). Según se comprobó en la simulación numérica la diferencia de flecha que corresponde a la diana y al punto de medida del reloj es inferior a 10μm. A continuación se procedió a aplicar presión a la bancada registrando la lectura del reloj. Las flechas medidas mediante fotogrametría se compararon con las obtenidas con el reloj comparador. A los puntos obtenidos en cada ensayo se ajustó una recta con origen en (0,0). Dichas gráficas se muestran en la Figura 131.

Fotografía 43. Disposición del reloj comparador en el ensayo de exactitud del método


212


213

Figura 131. (Página anterior) Resultados del ensayo de contraste con el reloj comparador. A la izquierda ensayo con aumentos de presión. A la derecha ensayo con disminución de la

presión

Como se observa en las figuras se obtienen ajustes a líneas con un R2 igual o superior a 0.999. En todas las pruebas se observa que la pendiente es muy próxima a la unidad lo que valida las mediciones fotogramétricas aunque se observan algunos puntos alejados de las rectas. El motivo de que aparezcan estos puntos se debe a imprecisiones en la lectura del dial ya que la posición de la aguja crece o decrece de forma constante debido a la naturaleza viscoelástica del PVB. El motivo de que en los ensayos en los que aumenta la presión (figuras a la izquierda) la pendiente de la recta es mayor que uno y en los que disminuye la presión (figuras de la derecha) la pendiente es menor que uno (excepto en la placa P3) puede tener que ver con sesgo en las lecturas del dial. Por último la dificultad de poner el eje principal del reloj comparador perfectamente perpendicular a la placa también es una fuente de error sistemático que puede ser la causa de una cierta asimetría entre la pendiente de los ensayos con presión creciente (muy próximo a uno) y la pendiente de los ensayos con presión decreciente (algo más alejados de la unidad).

Con estos ensayos de exactitud no se ha pretendido demostrar la validez de la fotogrametría como técnica para la obtención de coordenadas ya que este proceso es totalmente matemático y definido por unas ecuaciones en las que no hay lugar para errores groseros, sistemáticos ni fortuitos. Si hay errores sistemáticos por limitaciones en la modelización de las cámaras (Apdo. 2.7), también hay errores fortuitos en el marcado automático de los puntos e incluso errores groseros si el marcado y/o la referenciación de los puntos es manual (en este proyecto es automático). Además de estos errores la exactitud de este ensayo evalúa aspectos como los procedimientos para la definición del sistema de coordenadas y sobre todo el escalado del proyecto, realizado en este caso con un calibre.

El peor valor de los mostrados en la Figura 131 se corresponde a errores del 2.4% (ensayo III) que es la diferencia de pendiente con respecto a la bisectriz. En base a este dato puede asegurarse que la exactitud, o desviación respecto del valor verdadero, de los desplazamientos medidos en los ensayos será mejor que ± 0.38mm, ya que la flecha máxima esperada es de 16mm.

4.4.14. Segundo ensayo dinámico: diferentes velocidades de deformación

Como se describe en la sección de metodología (Apdo. 3.5.5) se han realizado ensayos a distintas velocidades de deformación (o incremento de la presión). El objetivo de estos ensayos ha sido el de comprobar los resultados obtenidos por la simulación numérica.


214

Durante la ejecución del ensayo se sometió al banco de ensayos a tres velocidades distintas en el incremento de la presión: 6Pa/s, 12Pa/s y 20Pa/s, realizando las medidas experimentales a intervalos regulares de presión.

En la Tabla 32 se muestran las presiones a las que se realizaron los levantamientos fotogramétricos, a partir de los cuales se obtuvieron las coordenadas de las dianas. Los ensayos se realizaron con las 3 placas de vidrio laminado consideradas (P1, P2 y P3). Debido a la dificultad experimental que supuso la toma de las medidas cada ensayo se repitió un número mínimo de 5 veces obteniéndose así valores promedios más representativos.

Tabla 32. Presiones a las que se han realizado levantamientos fotogramétricos

Id. Lectura Presiones (Pa) 1 0 2 250 3 500 4 750 5 1000 6 1250 7 1500 8 1750 9 2000

En la Figura 132 (arriba) se muestran los valores de flecha en el centro de

la placa obtenidos por la simulación numérica, y cuyo valor se ha contrastado experimentalmente. En la parte inferior se muestra el detalle correspondiente a los valores de 1750Pa y 2000Pa. En la Tabla 33 se muestran los valores predichos por la simulación así como los realmente obtenidos en los ensayos. Estos valores experimentales son valores medios ya que dada la dificultad experimental en la toma de datos los ensayos se repitieron 3 veces en el ensayo de velocidad 6Pa/s, 5 veces en el ensayo de 12Pa/s y 10 veces en el ensayo de 20Pa/s.

Tabla 33. Diferencias de flecha entre las distintas velocidades de deformación, tomando como base las obtenidas a una velocidad de 20Pa/s

Predichas Placa P1 Placa P2 Presión (Pa) 12Pa/s 6Pa/s 12Pa/s 6Pa/s 12Pa/s 6Pa/s 0 0.000 0.000 0.154 0.333 -0.149 -0.016

250 0.070 0.148 0.156 0.358 -0.081 -0.009 500 0.084 0.178 0.039 0.200 -0.040 0.199 750 0.081 0.179 0.122 0.190 0.031 0.177

1000 0.079 0.181 0.109 0.158 0.178 0.157 1250 0.081 0.186 0.029 0.104 0.142 0.242 1500 0.083 0.192 0.039 0.232 0.078 0.292 1750 0.087 0.198 0.032 0.154 0.171 0.227 2000 0.090 0.203 0.073 0.161 0.068 0.114


215

Figura 132. (Arriba) Flechas calculadas por elementos finitos para velocidades de 6Pa/s,

12Pa/s y 20 Pa/s. (Debajo) Detalle del intervalo 1750-2000Pa

En la Figura 133 se muestran los resultados experimentales

correspondientes a la placa P1.


216

Figura 133. (Arriba) Flechas medidas experimentalmente en el centro de la placa P1. (Debajo)

Detalle del intervalo 1750-2000Pa

En la Figura 134 se muestran los resultados experimentales correspondientes a la placa P2, donde se observan resultados análogos a los observados en la placa P1.


217

Figura 134. (Arriba) Flechas medidas experimentalmente en el centro de la placa P2. (Debajo)


En la Figura 135 se muestran las flechas calculadas mediante la

simulación para una placa de vidrio laminado con placas de vidrio de 4mm y de PVB de 0.38mm para las velocidades de puesta en carga de las placas posteriormente ensayadas. En la Tabla 34 se muestran los valores predichos por la simulación donde se puede apreciar que la flecha obtenida a las diferentes velocidades difiere en valores de entre 0.040mm y 0.238mm para la placa de 8.38mm.


218

Figura 135. (Arriba) Flechas calculadas por elementos finitos en el centro de una placa de vidrio laminado 4+4mm para 3 velocidades diferentes de incremento de presión: 6Pa/s, 12Pa/s y 20 Pa/s, en el intervalo de 0-2000Pa. (Debajo) Detalle del intervalo 1750-2000Pa

Tabla 34. Diferencias de flecha entre las distintas velocidades de deformación, tomando

como base las obtenidas a una velocidad de 20Pa/s

Predichas Placa P3 Presión (Pa) 12Pa/s 6Pa/s 12Pa/s 6Pa/s 0 0.000 0.000 0.005 0.144

250 0.044 0.094 0.144 0.207 500 0.071 0.153 0.113 0.169 750 0.084 0.186 0.077 0.202

1000 0.090 0.204 0.095 0.182 1250 0.094 0.216 0.104 0.187 1500 0.096 0.222 0.098 0.189 1750 0.099 0.226 0.083 0.179 2000 0.101 0.227 0.139 0.251

En la Figura 136 se muestran las flechas obtenidas experimentalmente en la placa de vidrio laminado P3 de láminas de vidrio de 4mm e intercapa de PVB de 0.38mm.


219

Figura 136. (Arriba) Flechas medidas experimentalmente en el centro de la placa P3. (Abajo)


Debido a las limitaciones en cuanto a la precisión en el control de la

presión, la dificultad experimental en la toma de datos, la naturaleza dinámica del ensayo y otros factores, los resultados experimentales mostrados en la Tabla 33 y en la Tabla 34 y en las figuras correspondientes no presentan a nivel individual una buena equivalencia con las predicciones de la simulación.

Por ejemplo las mayores diferencias entre la predicción de elementos finitos y lo medido experimentalmente se dan en el instante inicial ya que en el análisis con elementos finitos se parte de una placa perfecta en dimensiones y en relajación total. Sin embargo en los ensayos, dada la naturaleza viscoelástica del PVB, la placa inicialmente nunca está en reposo ya que siempre hay una deformación remanente (y por lo tanto unas tensiones residuales) procedente no solamente de la deformación aplicada en el anterior ensayo sino también producto de la historia deformacional de la placa desde el mismo momento de su fabricación.


220

Aunque estas y otras dificultades de carácter práctico producen datos con desviaciones individuales respecto a las predicciones si los datos se analizan en su conjunto si se observa una equivalencia entre las predicciones y los resultados experimentales.

En primer lugar se aprecia con claridad que las diferencias de flechas crecen con el nivel de presión, tanto a la velocidad de 12Pa/s como a la de 6Pa/s. En segundo lugar se comprueba que a mayor velocidad de incremento de presión la flecha también es mayor, tal y como se predice en la simulación. En tercer lugar se comprueba que hay una buena correlación en relación a las diferencias de flecha obtenidas entre la mayor y la menor velocidad de incremento de presión y que puede situarse en torno a 0.2mm. Por último, y según se observa en la Figura 133 y en la Figura 134, el valor absoluto de las flechas medidas en las placas P1 y P2 difiere del valor predicho en la simulación menos de 0.2mm. Lo mismo se comprueba para la placa P3 donde la diferencia está en torno a 0.25mm. Por todo ello el resultado del ensayo es positivo desde el punto de vista de la validación de la simulación numérica.

4.4.15. Tercer ensayo dinámico: placa sometida a presión constante Como se describe en la sección de metodología (Apdo. 3.5.5) se han

realizado una tercera tanda de ensayos con el objetivo de contrastar los resultados obtenidos por la simulación numérica. En estos ensayos se procedió a la puesta en carga de la placa desde los 0Pa hasta los 2000Pa en un tiempo de 120s manteniendo posteriormente constante la presión durante 11.5 minutos. Durante este tiempo se realizaron medidas experimentales mediante levantamientos fotogramétricos a intervalos regulares de tiempo (30s). Los ensayos se realizaron con las 3 placas de vidrio laminado consideradas. La mayor dificultad encontrada en la ejecución del ensayo estuvo relacionada con la necesidad de mantener fija la presión dentro del banco de ensayos ya que la propia deformación de la placa, el cambio de temperatura del aire y las inevitables fugas exigían un cierto caudal de aire continuo. Debido a la dificultad experimental que supuso la ejecución de las medidas y la consiguiente dispersión en los datos cada ensayo se repitió un número mínimo de 5 veces obteniéndose así valores promedios más representativos. Los valores así obtenidos se han representado en la Figura 137 para las placas P1 y P2 y en la Figura 138 para la placa P3. En estas mismas figuras se han incluido los valores calculados con la simulación numérica.


221

Figura 137. Flechas medidas experimentalmente en las placas P1 y P2 y predicción numérica

Figura 138. Flechas medidas experimentalmente en la placa P3 y predicción numérica

Como se puede apreciar existe una dispersión considerable en los datos experimentables debido a que la variación de la flecha es mucho más sensible a las inevitables variaciones de presión durante la ejecución del ensayo que a la deformación del conjunto laminado a lo largo del tiempo. No obstante, y este es el objetivo del ensayo, si se aprecia con claridad a lo largo del tiempo un incremento en el valor de la flecha similar al predicho en la simulación numérica que es de 0.35mm para las placas de 3+3mm y de 0.25mm para las de 4+4mm.

4.4.16. Forma de la placa sometida a carga La toma de datos con fotogrametría permite la medición simultánea en

gran cantidad de puntos. En la Figura 139 se ha procedido a representar comparativamente la forma de la placa P1 a partir de las mediciones experimentales (izquierda) y una placa de vidrio laminado de 3+0.38+3mm


222

genérica a partir de las predicciones de la simulación numérica (derecha). En las figuras (a) y (b) se representa la forma a 500Pa mientras que en las figuras (c) y (d) se ha representado la forma a 1000Pa. De la misma manera en la Figura 140 se ha representado la forma de la Placa a 1500Pa (a) y (b) y a 2000Pa (c) y (d). Los datos experimentales se han tomado del primero de los levantamientos del ensayo a diferentes velocidades de deformación, de entre los correspondientes a la velocidad de 12Pa/s.

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

(a) (b)

(c) (d) Figura 139. Comparación entre la forma de la placa P1 medida experimentalmente (izquierda)

y la predicha por la simulación para 500Pa (a) y (b) y 1000Pa (c) y (d)


223

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

(a) (b)

(c) (d) Figura 140. Comparación entre la forma de la placa medida experimentalmente (izquierda) y la

predicha por la simulación para 1500Pa (a) y (b) y 2000Pa (c) y (d)

Como se puede observar se aprecian diferencias entre los desplazamientos experimentales y los predichos por la simulación. Como ya se explicó en el apartado 4.4.14 estas diferencias son debidas principalmente a la naturaleza viscoelástica del PVB que mantiene tensiones residuales que provocan desplazamientos que se suman (o restan) a los producidas durante el ensayo. Esto provoca que incluso en una misma placa nunca se obtengan los mismos desplazamientos a no ser que entre las medidas transcurra un largo periodo de tiempo. A pesar de estas diferencias si puede observarse en las figuras una clara correspondencia entre la forma de la placa predicha y la forma real de la misma lo que supone un nuevo elemento de validación de la simulación numérica.


224

4.5. DISEÑO DE LAMINADOS

Parte de los ensayos y mediciones realizados en este trabajo de investigación han estado orientados a la validación de una simulación numérica del comportamiento mecánico del vidrio laminado. Una vez validada la simulación ésta puede permitir conocer el estado tensional de cualquier grosor de placa o de PVB a cualquier temperatura, a distintas velocidades de aplicación de carga, etc. Como parte final del trabajo de investigación, y dentro del proyecto de investigación “Modelo probabilística para cálculo de placas de vidrio laminado: propuesta de norma para edificación” (Ref. MEC-05-BIA2005-03143) se ha programado una aplicación informática denominada Diseño de Laminados (DiseLam) que recoge todas las variables que intervienen en el cálculo tensional (geometría de la placa, características de los materiales, acciones sobre la placa, etc.) enviándolas a la aplicación de elementos finitos Abaqus que es la responsable de la resolución mecánica del problema. Todas las variables y parámetros que afectan al problema son modificables en una única vista (Figura 141) lo que simplifica enormemente el estudio de casos.

Figura 141. Pantalla principal de Diseño de Laminados

Una vez devueltos los resultados (tensiones extrapoladas a los nodos) Diseño de Laminados calcula la probabilidad de fallo de esa placa según la metodología descrita en el apartado 2.4.5.

DiseLam puede calcular la probabilidad de rotura según el modelo de Bennison [168] y de Abacares [66]. En este último modelo se pueden considerar distintos criterios de rotura del vidrio con diferentes sensibilidades a cortante


225

(máxima tasa de energía, máxima tensión tangencial y extensión colindar de la grieta) y distintos tipos de defectos (“crack”, “notch” y “defecto semicircular”) lo que permite estimar la probabilidad de rotura no solamente para el vidrio sino también para otros materiales frágiles. Para el caso de vidrios Silicon-cálcico-sódico, que son los utilizados en vidrio laminado, y para el caso de tensión poliaxial el criterio de rotura más adecuado es el de “Crecimiento no Coplanar, Griffith Crack” (Figura 142) con un valor de C=0.82, tal y como se ha explicado en el apartado 2.4.5.

En la Tabla 35 se recogen a modo de ejemplo las probabilidades de fallo para una placa de vidrio laminado como las utilizadas en los ensayos: dimensiones de 1404x1404mm y grosor de 3+0.38+3mm. En el ejemplo las cargas se aplican gradualmente en intervalo de 3s.

Tabla 35. Resultados de probabilidad de fallo de placas de vidrio laminado para diferentes presiones calculadas con DiseLam

Probabilidad de fallo Presión (Pa) Benison [168] Abacares [66] 500 9.657E-06 1.182E-03

1000 4.903E-05 2.825E-03 1500 1.147E-04 4.646E-03 2000 2.095E-04 6.694E-03 2500 3.257E-04 8.792E-03 3000 4.678E-04 1.103E-02

Diseño de Laminados es una aplicación libre descargable de la página

web http://sourceforge.net/projects/diseodelaminado/.

Figura 142. Pantalla de resultados de Diseño de Laminados

http://sourceforge.net/projects/diseodelaminado/�


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CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN

A partir de los resultados y consideraciones anteriores y atendiendo a los objetivos planteados se han extraído las conclusiones que en los siguientes párrafos se describen. Igualmente se plantean o sugieren las líneas de investigación por las que deberían continuar los trabajos futuros.

ASPECTOS GLOBALES

- El estado tensional y deformacional en placas de vidrio laminado cargados lateralmente puede ser determinado eficazmente usando el método de elementos finitos.

- La modelización mediante elementos finitos ha sido contrastada experimentalmente mediante fotogrametría. De esta manera se ha sometido la placa a diferentes ensayos cuyos resultados experimentales certifican la validez de la misma.

- A partir de las tensiones calculadas mediante la simulación numérica y gracias a la aplicación de una teoría probabilística puede calcularse la probabilidad de fallo ante una determinada solicitud. Toda la metodología de diseño presentada en este trabajo ha sido recogida en una aplicación informática de fácil uso.

- Como línea futura de trabajo se sugiere la comparación entre los resultados ofrecidos por la metodología aquí propuesta y los gráficos de diseño recogidos en la norma ASTM E 1300 Estándar Practice for Determining Load Resistance of Glass in Buildings, elaborados a partir de investigaciones analíticas y experimentales.

CARACTERIZACIÓN MECÁNICA DEL PVB

- Para el cálculo correcto de las tensiones es necesario un modelo constitutivo de la deformación del PVB determinado a partir de ensayos mecánicos dinámicos. Se ha establecido un procedimiento de caracterización experimental y de modelización del comportamiento mecánico del PVB. Este procedimiento puede utilizarse en futuras investigaciones con otros materiales viscoelásticos.

FOTOGRAMETRÍA COMO TÉCNICA EXPERIMENTAL - En el ámbito de esta investigación se ha diseñado un sistema

fotogramétrico de medida y control de desplazamientos de elevadas prestaciones y bajo coste. La parte física del sistema propuesto consta


228

de una estructura portátil, regulable y extensible capaz de portar 4 cámaras digitales compactas sincronizadas sin cables. El sistema se completa con una aplicación informática comercial (Photomodeler) y otra programado de forma específica.

- Con el uso de este sistema se ha demostrado la utilidad de la fotogrametría de objeto cercano como una adecuada técnica experimental en problemas de deformación de sólidos estáticos y dinámicos. De esta técnica se puede destacar como ventajas frente a otras técnicas experimentales:

o la capacidad de medir desplazamientos a partir de un único estado final, sin necesidad de comparar con un estado inicial o indeformado.

o La posibilidad de medición simultánea en gran cantidad de puntos mediante un equipamiento de fácil uso y bajo coste

o El registro definitivo mediante fotografías de los ensayos - Gracias a la capacidad de medir a partir de un único estado se ha

comprobado experimentalmente que las placas de vidrio laminado presentan inicialmente deformaciones y desviaciones importantes de su forma teórica de placa.

- La utilización de múltiples dianas ha permitido no solamente medir la deformación de las placas sometidas a presión sino que también ha permitido detectar y medir los desplazamientos que se producen en la parte del banco de ensayos que sujeta las placas. Igualmente ha sido posible comprobar y medir el aplastamiento que sufre la goma de contacto entre el vidrio y el banco de ensayos. Este aplastamiento de la goma, así como la deformación del marco de la bancada se ha tenido en cuenta para la comprobación de la simulación numérica.

- Se ha comprobado que la utilización de una red fotogramétrica con 4 cámaras situadas según dos direcciones perpendiculares permite obtener, según las direcciones del plano de la escena, las máximas precisiones (menores residuos) en puntos situados según dos bandas perpendiculares situadas en el centro de la escena. Para la dirección perpendicular al plano de escena la zona de menores residuos se obtiene para puntos situados en el centro de la escena (Apdo. 4.4.9). Se ha comprobado además que se obtienen los mejores resultados en la dirección perpendicular a la escena cuando se realizan los levantamientos fotogramétricos a partir de una convergencia entre pares de cámaras de 36-38º con respecto al centro de la escena.

- Se ha comprobado experimentalmente la exactitud de la metodología. En un proyecto de este tipo las fuentes de error sistemático son las

Conclusiones y líneas futuras de investigación

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distorsiones en las cámaras fotográficas y la resolución en el instrumento utilizado para dar escala al proyecto. En este caso un calibre certificado de resolución 50μm/150mm. En el contraste de la metodología fotogramétrica con una segunda técnica experimental (relojes comparadores) se han obtenido diferencias de entre el 1% y el 2.4%.

- Como línea futura de trabajo y de investigación se sugiere la mejora del diseño y los materiales del sistema fotogramétrico propuesto. También se sugiere la mejora del sistema mediante la adicción de un sistema de marcado de dianas más rápido y efectivo, en concreto se propone implementar un sistema de marcado con láser y lentes de difracción.

- Se sugiere igualmente la adaptación del sistema fotogramétrico para su utilización como escáner óptico 3D a partir de nubes de puntos de objetos en movimiento.

CAPACIDADES MÉTRICAS DE CÁMARAS COMPACTAS - En condiciones ideales (cámara recién calibrada y en la que no se ha

realizado ningún apagado entre las tomas fotográficas) la incertidumbre en la determinación de los parámetros internos de una cámara compacta como las utilizadas en este trabajo puede situarse en el 0.025%-0.050%. Esta incertidumbre crece en torno a un 20% en el caso que entre la toma de fotografías medien ciclos de encendido/apagado.

- Se han observado variaciones muy importantes en los parámetros de geometría interna de las cámaras después de haber sido utilizados la extensión/retracción del zoom. Una vez utilizado el zoom es muy difícil poner las lentes en su posición inicial

- En un levantamiento fotogramétrico de precisión con cámaras no métricas es imprescindible la utilización de un único valor de apertura de diafragma para todas las fotografías del levantamiento fotogramétrico. La utilización de distintas aperturas provoca cambios en el modelo de cámara (distancia focal efectiva o distancia principal, posición del punto principal, coeficientes de distorsión, etc.).

- En levantamientos muy redundantes la precisión fotogramétrica alcanzada (definida por una desviación estándar) por las cámaras compactas utilizadas en este trabajo para un objeto situado a 1.25m es mejor que 30μm. Este valor está comprobado experimentalmente y es también conforme a lo obtenido a partir de los residuos de marcado derivados del ajuste en bloque (Apdo. 4.4.5).


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- En condiciones normales de servicio (cámara previamente calibrada y ciclos de encendido antes de la toma de imágenes) y en levantamientos estáticos realizados con 4 imágenes la precisión fotogramétrica alcanzada (definida por una desviación estándar) según la configuración utilizada en los ensayos para un objeto situado a 1.25m es mejor que 40μm para las direcciones del plano de la escena y 110μm para la dirección perpendicular a la escena. Este valor está comprobado experimentalmente y es también conforme a lo obtenido a partir de los residuos de marcado. (Apdo. 4.4.11).

- En condiciones normales de servicio (cámara previamente calibrada y ciclos de encendido antes de las toma de imágenes) y en los levantamientos realizados según la configuración experimental explicada en el Capítulo 3, la precisión alcanzada (definida por una desviación estándar) para un objeto situado a 1.25m es mejor que 50μm para las direcciones del plano de la escena y 150μm para la dirección perpendicular a la escena. La comprobación experimental de este valor no es posible y por lo tanto ha sido obtenido únicamente a partir de los residuos de marcado derivados del ajuste en bloque (Apdo. 4.4.10).

- Como líneas futuras de investigación se sugiere la elaboración de una metodología para la corrección rápida de los parámetros que definen la geometría interna de la cámara así como las distorsiones con el uso de distintas aperturas o profundidades de campo.

Para que así conste firmo en Ponferrada a 21 de enero de 2009. Enoc Sanz Ablanedo

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http://www.photomodeler.com/�

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http://www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib_doc/�

http://www.mathwave.com/�

Anexos

241

ANEXO I FICHERO INP DE LA MODELIZACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS

*Heading Fichero INPUT con modelo definitivo ** Job name: ANEXOI Model name: ModelizadoPorEnocSanzAblanedo *Preprint, echo=YES, model=YES, history=NO, contact=NO *Part, name=PlacaDef *Node 1, 0.702000022, 0., 0.00588000007 [...] 7497, 0.666899979, 0.666899979, 0. *Element, type=C3D8I 1, 182, 1361, 1722, 145, 1, 69, 106, 4 [...] 6400, 1132, 58, 65, 1247, 6775, 1171, 1360, 7136 *Element, type=C3D8IH 2001, 638, 3527, 3888, 601, 25, 525, 562, 28 [...] 6000, 752, 38, 45, 867, 4970, 791, 980, 5331 *Nset, nset=_PickedSet75, internal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 [...] 6385, 6386, 6387, 6388, 6389, 6390, 6391, 6392, 6393, 6394, 6395, 6396, 6397, 6398, 6399, 6400 *Nset, nset=_PickedSet76, internal 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 [...] 5319, 5320, 5321, 5322, 5323, 5324, 5325, 5326, 5327, 5328, 5329, 5330, 5331 *Elset, elset=_PickedSet76, internal 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 [...] 5985, 5986, 5987, 5988, 5989, 5990, 5991, 5992, 5993, 5994, 5995, 5996, 5997, 5998, 5999, 6000 ** Section: Laminas_Vidrio *Solid Section, elset=_PickedSet75, material=Vidrio 1., ** Section: LaminaPVB *Solid Section, elset=_PickedSet76, material=PVB 1., *End Part ** ** ** ASSEMBLY ** *Assembly, name=Assembly ** *Instance, name=PlacaDef-1, part=PlacaDef *End Instance ** *Nset, nset=_PickedSet116, internal, instance=PlacaDef-1, generate 1, 7497, 1 *Elset, elset=_PickedSet116, internal, instance=PlacaDef-1, generate 1, 6400, 1

*Nset, nset=_PickedSet117, internal, instance=PlacaDef-1 63, 64, 67, 1228, 1229, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 1235, 1236, 1237, 1238, 1239, 1240 1241, 1242, 1243, 1244, 1245, 1246, 1285, 1286, 1287, 1288, 1289, 1290, 1291, 1292, 1293, 1294 1295, 1296, 1297, 1298, 1299, 1300, 1301, 1302, 1303 *Elset, elset=_PickedSet117, internal, instance=PlacaDef-1 5201, 5202, 5203, 5204, 5205, 5206, 5207, 5208, 5209, 5210, 5211, 5212, 5213, 5214, 5215, 5216 5217, 5218, 5219, 5220, 5221, 5241, 5261, 5281, 5301, 5321, 5341, 5361, 5381, 5401, 5421, 5441 5461, 5481, 5501, 5521, 5541, 5561, 5581 *Nset, nset=_PickedSet119, internal, instance=PlacaDef-1 2, 3, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 26, 27, 29, 30 [...] 1356, 1357, 1358, 1359, 1360 *Elset, elset=_PickedSet119, internal, instance=PlacaDef-1 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320 [...] 6100, 6120, 6140, 6160, 6180, 6200, 6220, 6240, 6260, 6280, 6300, 6320, 6340, 6360, 6380, 6400 *Nset, nset=_PickedSet120, internal, instance=PlacaDef-1 1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 29, 30, 31, 32 [...] 1280, 1281, 1282, 1283, 1284 *Elset, elset=_PickedSet120, internal, instance=PlacaDef-1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 [...] 6385, 6386, 6387, 6388, 6389, 6390, 6391, 6392, 6393, 6394, 6395, 6396, 6397, 6398, 6399, 6400 *Nset, nset=_PickedSet121, internal, instance=PlacaDef-1, generate 1, 7497, 1 *Elset, elset=_PickedSet121, internal, instance=PlacaDef-1, generate 1, 6400, 1 *Nset, nset=CaraTraccionada, instance=PlacaDef-1 63, 64, 66, 67, 1228, 1229, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 1235, 1236, 1237, 1238, 1239 [...] 7489, 7490, 7491, 7492, 7493, 7494, 7495, 7496, 7497 *Elset, elset=CaraTraccionada, instance=PlacaDef-1, generate 5201, 5600, 1 *Nset, nset=Flecha, instance=PlacaDef-1 3, *Elset, elset=__PickedSurf118_S5, internal, instance=PlacaDef-1, generate 1, 400, 1 *Surface, type=ELEMENT, name=_PickedSurf118, internal __PickedSurf118_S5, S5 *End Assembly *Amplitude, name=Amp-1, definition=SMOOTH STEP 0., 0., 868., 2660. *Amplitude, name=Amp-2, definition=SMOOTH STEP


242

0., 0., 175., 2. *Amplitude, name=Amp-3, definition=EQUALLY SPACED, fixed interval=1. 0., 540. *Amplitude, name=Amp-4, definition=SMOOTH STEP 175., 540., 388., 990., 517., 1500., 651., 2010. 794., 2530., 868., 2660., 1222., 2740., 1324., 2720. 1413., 2750., 1490., 2790., 1565., 2790., 1638., 2780. 1749., 2480., 1853., 1990., 1946., 1490., 2042., 1000. 2156., 510., 2256., 0. ** ** MATERIALS ** *Material, name=PVB *Density 1060., *Elastic, moduli=INSTANTANEOUS 2.24e+09, 0.3 *Viscoelastic, time=PRONY .0148769, 0., 4.15319E-007 .287132, 0., 8.45167E-006 .314328, 0., 0.00017199 .258473, 0., 0.00349997 .107122, 0., 0.0712238 .0150278, 0., 1.44939 .00154985, 0., 29.4949 .000437898, 0., 600.217 .000324549, 0., 12214.3 .000321974, 0., 248559 .000293611, 0., 5058140 .0000596813, 0., 102932000 *Shear Test Data, shrinf=1e+06 0.,0. *Trs 20., 20.7, 91.1 *Volumetric Test Data, volinf=2e+09 0.,0. *Material, name=Vidrio *Density 2500., *Elastic 6.1e+10, 0.22 ** ** PREDEFINED FIELDS ** ** Name: Temperatura Type: Temperature *Initial Conditions, type=TEMPERATURE _PickedSet121, 26. ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: primetramo ** *Step, name=primetramo, nlgeom=YES, amplitude=RAMP, inc=600 Momento en que se aplica la carga *Visco, cetol=0.5 20., 175., 0.01, 100. ** ** BOUNDARY CONDITIONS ** ** Name: SimplApoyado Type: Displacement/Rotation *Boundary _PickedSet117, 3, 3 ** Name: Simx Type: Symmetry/Antisymmetry/Encastre *Boundary _PickedSet119, YSYMM

** Name: simax Type: Symmetry/Antisymmetry/Encastre *Boundary _PickedSet120, XSYMM ** ** LOADS ** ** Name: Gravedad Type: Gravity *Dload _PickedSet116, GRAV, 9.81, 0., -1., 0. ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 540. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=1 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *El Print, freq=99999, elset=CaraTraccionada, POSITION=AVERAGEDATNODES S, *Node Print, freq=99999, nset=CaraTraccionada U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: SdoTramo ** *Step, name=SdoTramo, nlgeom=YES, amplitude=RAMP 2tramo donde permanececasiconstante *Visco, cetol=0.5 20., 213., 0.00213, 100. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 990. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha

Anexos

243

U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: tercertramo ** *Step, name=tercertramo, nlgeom=YES, amplitude=RAMP 3er tramo descendente *Visco, cetol=0.5 20., 129., 0.00129, 100. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 1500. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: cuarto ** *Step, name=cuarto, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 134., 0.00134, 100. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2010. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step

** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: quinto ** *Step, name=quinto, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 143., 0.00143, 100. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2530. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: sexto ** *Step, name=sexto, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 74., 0.00074, 74. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2660. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-7


244

** *Step, name=Step-7, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 354., 0.00354, 100. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2740. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-8 ** *Step, name=Step-8, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 102., 0.00102, 102. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2720. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-9 ** *Step, name=Step-9, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5

20., 89., 0.00089, 89. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2750. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-10 ** *Step, name=Step-10, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 77., 0.00077, 77. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2790. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-11 ** *Step, name=Step-11, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 75., 0.00075, 75. ** ** OUTPUT REQUESTS

Anexos

245

** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-12 ** *Step, name=Step-12, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 73., 0.00073, 73. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2780. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-13 ** *Step, name=Step-13, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 111., 0.00111, 111. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 2480. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 **

** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-14 ** *Step, name=Step-14, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 104., 0.00104, 50. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 1990. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-15 ** *Step, name=Step-15, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 93., 0.00093, 93. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 1490. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999


246

*Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-16 ** *Step, name=Step-16, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 96., 0.00096, 96. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 1000. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-17 ** *Step, name=Step-17, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 114., 0.00114, 100. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 510. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES

S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-18 ** *Step, name=Step-18, nlgeom=YES, amplitude=RAMP *Visco, cetol=0.5 20., 100., 0.001, 100. ** ** LOADS ** ** Name: PresionLateral Type: Pressure *Dsload _PickedSurf118, P, 0. ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, frequency=99999 *Node Output U, *Element Output, directions=YES S, ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history *Node Output, nset=Flecha U3, *End Step

Anexos

247

ANEXO II PROGRAMACIÓN DDE DE PHOTOMODELER

' Software utilizado para el control remoto de la aplicación Photomodeler 6.0 ' Enoc Sanz Ablanedo. [email protected] Diciembre de 2008 ' Se permite el uso, la copia y la modificación, citando al autor ' La aplicación de este software no hubiera sido posible sin la ' colaboración del Departamento de Informática de la Universidad de Mondragón ======================================================================================= ' Ejecuta un comando DDE y devuelve cierto si se ejecuta correctamente ' Si la ejecución es correcta la cadena ret contiene el comando devuelto Public Function DDECommand(chan As Variant, command As String, ret As String) As Boolean DDECommand = False If Len(command) > 254 Then MsgBox "<" + command + "> is longer than 254 characters." Return End If ' Configura una captura de errores con posibles problemas de Windows/DDE On Error GoTo ErrorReturn ret = DDERequest(Channel:=chan, Item:=command) If Left(ret, 1) = "0" Then ' El comando falló ret = "<" + command + "> failed. Return was <" + ret + ">" DDECommand = False Else ' Si el comando funciona no devuelve código ret = Mid(ret, 3) DDECommand = True End If GoTo OKReturn ErrorReturn: ret = "<" + command + "> generated an error." DDECommand = False OKReturn: ' Resetea captura de errores On Error GoTo 0 End Function Sub RunFullDDETest() ' =============================================================================

' Definición del número de secuencias y del número de puntos codificados Dim ret As String Dim paso As Integer Const NumFotos = 120 Const NumPuntos = 162 Dim numFichero As String Dim c As Variant ' Opcionalmente borra todo del documento de Word ' ActiveDocument.Select ' Selection.Delete ' =============================================================================== ' Comienza la conversación con el servidor DDE ed Photomodeler ' (nota, PhotoModeler debe estar ejecutándose) c = DDEInitiate(App:="PhotoModeler", Topic:="Data") For i = 1 To NumFotos numFichero = Right("000" + CStr(i), 4) ' Mensaje "Ahora comienza el proyecto" ' Crea un proyecto nuevo con unidades de milímetros If Not DDECommand(c, "NewProject 3", ret) Then GoTo Failure ' Añadir las cámaras con los parámetros de geometría interna y de distorsión de las lentes If Not DDECommand(c, "AddCamera PentaxA2 8.0580 7.4846 5.6132 4000 3000 3.6837 2.7544 3.106e-003 -2.839e-005 0.000e+000 9.859e-005 -3.481e-004", ret) Then GoTo Failure If Not DDECommand(c, "AddCamera PentaxB2 8.1206 7.4857 5.6132 4000 3000 3.6218 2.7231 3.037e-003 -2.516e-005 0.000e+000 2.077e-004 -2.213e-004", ret) Then GoTo Failure If Not DDECommand(c, "AddCamera PentaxC2 8.0894 7.4843 5.6132 4000 3000 3.6737 2.7537 3.184e-003 -3.282e-005 0.000e+000 -1.242e-004 -2.168e-005", ret) Then GoTo Failure If Not DDECommand(c, "AddCamera PentaxD2 8.1399 7.4861 5.6132 4000 3000 3.6237 2.7140


248

2.871e-003 -1.898e-005 0.000e+000 2.650e-004 -5.210e-004", ret) Then GoTo Failure ' If Not DDECommand(c, "AddCamera PentaxE2 8.1848 7.4847 5.6132 4000 3000 3.5916 2.6341 2.940e-003 -2.410e-005 0.000e+000 3.474e-004 -3.250e-004", ret) Then GoTo Failure ' Añadir las fotos If Not DDECommand(c, "AddPhoto 1 PentaxA2 C:\VID\PE3A" + numFichero + ".jpg", ret) Then GoTo Failure If Not DDECommand(c, "AddPhoto 2 PentaxB2 C:\VID\PE3B" + numFichero + ".jpg", ret) Then GoTo Failure If Not DDECommand(c, "AddPhoto 3 PentaxC2 C:\VID\PE3C" + numFichero + ".jpg", ret) Then GoTo Failure If Not DDECommand(c, "AddPhoto 4 PentaxD2 C:\VID\PE3D" + numFichero + ".jpg", ret) Then GoTo Failure ' If Not DDECommand(c, "AddPhoto 5 PentaxE2 C:\VID\TercE" + numFichero + ".jpg", ret) Then GoTo Failure ' Localizar y marcar las dianas If Not DDECommand(c, "AutoMark 0 0 0 4000 3000 36 25 0.8 3 3 0.1", ret) Then GoTo Failure ' Graba el proyecto antes de orientar, sino da un error (versión 6.2.3) If Not DDECommand(c, "SaveProject c:\VID\" + numFichero + ".pmr", ret) Then GoTo Failure ' Realizar la orientación y el ajuste en bloque If Not DDECommand(c, "Process 5", ret) Then GoTo Failure

' Orientar y Escalar el proyecto If Not DDECommand(c, "Scale 73 32 695.134", ret) Then GoTo Failure If Not DDECommand(c, "Translate 15 0.381425 0.385685 -0.050412", ret) Then GoTo Failure If Not DDECommand(c, "RotateAxes 1 73 32 27 15", ret) Then GoTo Failure ' Graba las coordenadas de los puntos en el documento de Word For j = 1 To NumPuntos If DDECommand(c, "GetPoint " + CStr(j), ret) Then Selection.TypeText ret + " " Else Selection.TypeText "0 0 0 0 0 0 " End If Next Selection.TypeText CStr(i) + " " Selection.TypeText Chr(13) ' grabar el proyecto If Not DDECommand(c, "SaveProject c:\VID\" + numFichero + ".pmr", ret) Then GoTo Failure Next GoTo Finished ' =================================================================================================== Failure: MsgBox "Some part of test failed" Finished: ' Finaliza la conversación con Photomodeler DDETerminate c End Sub

Anexos

249

ANEXO III INFORME SOBRE EL LEVANTAMIENTO Nº 13 DE LOS ENSAYOS DE ESTABILIDAD GEOMÉTRICA

Information from most recent processing Last Processing Attempt: Wed Sep 10 07:29:42 2008 PhotoModeler Version: 6.2.3.642 - final,full Status: successful Processing Options Orientation: off Global Optimization: on Calibration: on (full calibration) Constraints: off Total Error Number of Processing Iterations: 3 Number of Processing Stages: 2 First Error: 1.379 Last Error: 0.661 Precisions / Standard Deviations Camera Calibration Standard Deviations Camera1: PENTAX Optio A40 [7.90] Focal Length Value: 8.058475 mm Deviation: Focal: 3.3e-004 mm Xp - principal point x Value: 3.695313 mm Deviation: Xp: 3.2e-004 mm Yp - principal point y Value: 2.744040 mm Deviation: Yp: 5.2e-004 mm Fw - format width Value: 7.483471 mm Deviation: Fw: 9.3e-005 mm Fh - format height Value: 5.613158 mm K1 - radial distortion 1 Value: 3.072e-003 Deviation: K1: 7.1e-006 K2 - radial distortion 2 Value: -2.438e-005 Deviation: K2: 4.4e-007 K3 - radial distortion 3 Value: 0.000e+000 P1 - decentering distortion 1 Value: 1.021e-004 Deviation: P1: 1.2e-006 P2 - decentering distortion 2 Value: -3.569e-004 Deviation: P2: 1.7e-006 Quality Photographs


250

Total Number: 8 OK Photos: 8 Number Oriented: 8 Photo Coverage Average Photo Point Coverage: 83% Point Marking Residuals Overall RMS: 0.079 pixels Maximum: 0.258 pixels Minimum: 0.043 pixels Maximum RMS: 0.174 pixels Minimum RMS: 0.032 pixels Point Tightness Maximum: 0.0002 m Minimum: 4.8e-005 m Point Precisions Overall RMS Vector Length: 3.48e-005 m Maximum Vector Length: 5.67e-005 m Minimum Vector Length: 3.05e-005 m Maximum X: 3.26e-005 m Maximum Y: 2.51e-005 m Maximum Z: 4.04e-005 m Minimum X: 1.34e-005 m Minimum Y: 1.34e-005 m Minimum Z: 2.38e-005 m

Anexos

251

ANEXO IV TEST DE BONDAD DE AJUSTE DE LOS RESIDUOS DEL MARCADO FOTOGRAMÉTRICO

Según Eje X Kolmogorov Smirnov Anderson Darling Chi-cuadrado Distribución Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango

Wakeby 0.01724608 1 183.10962 14 N/A Log-Logistic (3P) 0.02191854 2 11.214545 4 297.06974 1

Gen. Extreme Value 0.02544565 3 10.796432 2 313.10653 3 Frechet (3P) 0.02559216 4 10.794212 1 310.11224 2 Johnson SU 0.02597411 5 31.836023 9 339.58034 6 Gen. Logistic 0.02656932 6 18.039575 6 328.98354 5

Frechet 0.0278134 7 11.150821 3 326.02801 4 Lognormal (3P) 0.0328413 8 17.621037 5 422.95979 7

Inv. Gaussian (3P) 0.03737902 9 23.74357 7 500.90304 8 Fatigue Life (3P) 0.03954223 10 26.252525 8 517.71249 9

Gamma (3P) 0.05071614 11 44.890211 10 706.16332 10 Beta 0.05703151 12 70.390105 11 794.79745 11

Gen. Pareto 0.06304121 13 4059.6307 34 N/A Gumbel Max 0.06509516 14 144.0067 13 1145.4605 12 Weibull (3P) 0.06823154 15 127.69851 12 1160.9077 13 Log-Logistic 0.09370346 16 224.93115 15 1713.7885 15 Lognormal 0.09818183 17 240.02783 16 1718.3592 16 Fatigue Life 0.10083116 18 251.92544 17 1741.9153 17

Erlang 0.10942608 19 377.99066 19 2993.8547 21 Gamma 0.10983475 20 381.80035 20 2894.5486 20 Cauchy 0.12084162 21 474.99215 23 3226.1084 22

Rayleigh (2P) 0.12352578 22 333.39087 18 1513.0923 14 Logistic 0.13481093 23 474.79946 22 3510.9082 23 Normal 0.13562089 24 571.82138 24 3990.3366 24

Inv. Gaussian 0.13562943 25 468.86118 21 2697.6482 19 Uniform 0.14213549 26 4225.1737 36 N/A

Phased Bi-Exponential 0.14352817 27 1279.0291 29 4385.9179 25 Laplace 0.14495588 28 573.47578 25 4434.8069 26

Erlang (3P) 0.15327946 29 940.1285 26 2371.024 18 Weibull 0.17113232 30 1053.911 27 N/A

Exponential (2P) 0.20054904 31 1181.3575 28 5912.8428 27 Gumbel Min 0.20579613 32 1770.6171 31 N/A

Pareto 0.24123247 33 1741.9138 30 9065.3656 28 Pert 0.2488795 34 2102.4303 32 9327.1066 29

Rayleigh 0.34423643 35 3081.407 33 29519.647 30 Power Function 0.38959254 36 4129.4406 35 N/A

Exponential 0.51795845 37 5531.3083 37 69887.907 32 Triangular 0.55852096 38 11103.532 38 32761.595 31

Error Function 0.99989364 39 224467.39 39 1.73E+09 33 Chi-Squared No hay ajuste

Chi-Squared (2P) No hay ajuste Johnson SB No hay ajuste

Phased Bi-Weibull No hay ajuste Student's t No hay ajuste

Según eje Y Kolmogorov Smirnov Anderson Darling Chi-cuadrado Distribución Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango Wakeby 0.01929203 1 11.72631 1 485.3515 1 Gen. Logistic 0.02551234 2 23.219753 2 622.00393 2


252

Log-Logistic (3P) 0.02876675 3 26.139848 5 761.86286 9 Gen. Extreme Value 0.035168 4 24.376147 3 729.20859 5 Frechet (3P) 0.03735369 5 25.563771 4 748.25493 8 Frechet 0.03920501 6 26.689536 6 747.11733 7 Lognormal (3P) 0.04384297 7 31.824267 7 694.47974 3 Inv. Gaussian (3P) 0.04636567 8 37.968726 8 723.64088 4 Fatigue Life (3P) 0.04647047 9 39.764648 9 741.9195 6 Gamma (3P) 0.05050838 10 54.983844 10 811.07036 10 Beta 0.05052126 11 55.108605 11 811.9767 11 Weibull (3P) 0.05742294 12 99.863459 13 1257.8639 13 Gumbel Max 0.06205965 13 176.21792 14 1517.8482 15 Gen. Pareto 0.07407027 14 3907.3361 34 N/A Erlang (3P) 0.07699629 15 96.775313 12 973.4283 12 Log-Logistic 0.08827184 16 180.73849 15 1418.4267 14 Lognormal 0.08953532 17 197.13328 16 1901.0044 16 Fatigue Life 0.09253346 18 213.55554 17 1957.114 17 Gamma 0.10391759 19 389.33712 20 3232.598 23 Cauchy 0.12189674 20 376.63954 19 2303.0015 19 Rayleigh (2P) 0.12194754 21 339.31643 18 1997.9362 18 Logistic 0.12935304 22 464.31021 21 3267.9665 24 Erlang 0.13098747 23 536.98926 24 3012.5001 22 Normal 0.13252933 24 642.03676 25 4229.2584 25 Inv. Gaussian 0.13292324 25 483.49692 22 2993.1644 21 Laplace 0.1443339 26 513.27803 23 2862.412 20 Uniform 0.15150271 27 3771.0218 33 N/A Weibull 0.16134979 28 987.34384 27 N/A Phased Bi-Exponential 0.16268896 29 1466.897 29 4354.0168 26 Exponential (2P) 0.16491054 30 836.87316 26 4765.9983 27 Gumbel Min 0.20141452 31 1664.1673 30 N/A Pareto 0.20708484 32 1365.9111 28 7530.548 28 Pert 0.26295905 33 2246.3772 31 8939.6051 29 Rayleigh 0.33197003 34 2838.6909 32 25619.414 30 Power Function 0.39040814 35 3912.5599 35 29559.354 31 Exponential 0.51106037 36 5337.3417 36 60931.984 33 Triangular 0.56027869 37 11182.586 37 2.97E+04 32 Error Function 0.99942975 38 171236.56 38 2.56E+08 34 Chi-Squared No hay ajuste Chi-Squared (2P) No hay ajuste Johnson SB No hay ajuste Johnson SU No hay ajuste Phased Bi-Weibull No hay ajuste Student's t No hay ajuste

Según eje Z Kolmogorov Smirnov Anderson Darling Chi-cuadrado Distribución Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango Johnson SB 0.04453744 1 56.853786 3 2212.7073 1

Wakeby 0.04526515 2 62.937 4 N/A Weibull (3P) 0.04527559 3 53.691445 2 2653.8139 9

Beta 0.04533238 4 52.138113 1 2630.3616 7 Gamma (3P) 0.05256687 5 68.658534 5 2990.705 16

Lognormal (3P) 0.05481158 6 82.311186 9 2878.9307 13 Gumbel Max 0.05516618 7 92.524366 11 2483.418 3

Gen. Extreme Value 0.05521979 8 80.340793 6 2516.9791 4 Log-Logistic (3P) 0.05536927 9 102.7125 12 3553.0473 20

Frechet (3P) 0.05638603 10 86.492319 10 2655.0128 10 Inv. Gaussian (3P) 0.05643868 11 80.86928 7 2908.1078 14

Anexos

253

Gen. Pareto 0.05677057 12 1963.4177 33 N/A Fatigue Life 0.05769163 13 146.97937 16 2732.8334 11

Fatigue Life (3P) 0.05854187 14 81.819707 8 2982.6277 15 Lognormal 0.05923515 15 145.42877 15 2738.3396 12

Gen. Logistic 0.06639173 16 121.12454 14 2443.1605 2 Frechet 0.06771705 17 150.84182 17 3303.8593 19

Log-Logistic 0.06977213 18 174.55581 18 2557.1739 6 Gamma 0.07507997 19 187.78992 19 2635.4033 8

Pert 0.07905773 20 113.75136 13 3017.0954 17 Rayleigh (2P) 0.08133768 21 246.29702 20 3063.4171 18 Erlang (3P) 0.08641566 22 253.82204 21 3654.7896 24

Logistic 0.10084143 23 392.6218 24 3589.2746 22 Normal 0.10525921 24 371.91893 23 3587.1501 21

Inv. Gaussian 0.1088859 25 320.31287 22 2522.5611 5 Erlang 0.11149309 26 465.04528 26 3630.6548 23 Weibull 0.11667773 27 634.06083 29 4827.0605 27

Exponential (2P) 0.13217447 28 559.06168 28 4870.6979 28 Uniform 0.13824553 29 5061.9486 38 N/A Laplace 0.14295977 30 528.36142 27 4362.1963 26 Cauchy 0.14812396 31 433.99875 25 3856.4704 25

Gumbel Min 0.16333415 32 1570.0888 31 N/A Phased Bi-Exponential 0.18234556 33 2177.6787 34 10765.679 31

Pareto 0.18914204 34 1173.4845 30 8329.8018 29 Rayleigh 0.28087629 35 1831.9107 32 14066.902 32

Power Function 0.29755521 36 2583.107 35 16094.324 33 Triangular 0.32666971 37 3308.3916 36 10308.748 30

Exponential 0.47561289 38 4540.0684 37 39387.074 34 Error Function 0.99264098 39 118208.61 39 15408141 35 Chi-Squared No hay ajuste

Chi-Squared (2P) No hay ajuste Johnson SU No hay ajuste

Phased Bi-Weibull No hay ajuste Student's t No hay ajuste


254

Anexos

255

ANEXO V COORDENADAS OBTENIDAS EN EL PUNTO ID79 EN EL SEGUNDO ENSAYO DINAMICO DE LA PLACA P3

X Y Z 91.44662 380.71975 -47.96921 91.44550 380.72283 -47.92512 91.43443 380.74027 -47.92668 91.43149 380.73138 -47.90355 91.43658 380.73525 -47.93190 91.44451 380.73917 -47.93220 91.44197 380.73947 -47.94550 91.43969 380.73056 -47.93959 91.44212 380.74368 -47.96129 91.43869 380.73535 -47.94830 91.43178 380.73909 -47.94528 91.42924 380.73174 -47.92605 91.43855 380.73548 -47.96383 91.43194 380.73441 -47.92690 91.43398 380.73464 -47.93209 91.44443 380.73567 -47.94900 91.43700 380.73279 -47.91752 91.43371 380.73414 -47.93707 91.43208 380.72461 -47.92358 91.44033 380.73086 -47.92008 91.44076 380.71912 -47.96462 91.43189 380.72811 -47.92462 91.43375 380.72237 -47.93658 91.43794 380.73152 -47.91538 91.43394 380.72736 -47.94626 91.42762 380.72669 -47.92791 91.45009 380.72359 -47.96603 91.44763 380.72717 -47.95738 91.44900 380.73257 -47.97457 91.43367 380.72491 -47.94643 91.43838 380.73035 -47.93461 91.43423 380.72604 -47.94936 91.43907 380.72769 -47.97318 91.43843 380.73101 -47.97758 91.44013 380.72680 -47.94869 91.43723 380.72966 -47.95530 91.44578 380.74230 -47.94867 91.43714 380.72945 -47.96367 91.43152 380.73019 -47.96261 91.44077 380.73375 -47.91400 91.43932 380.72681 -47.94355 91.43955 380.73772 -47.94116 91.44050 380.73889 -47.91360 91.42325 380.73118 -47.93929 91.44762 380.73614 -47.93532 91.43199 380.74277 -47.91908 91.44476 380.73341 -47.96064

91.44240 380.72493 -47.93285 91.43382 380.73244 -47.93706 91.44348 380.73468 -47.96148 91.43364 380.73249 -47.92150 91.44047 380.73901 -47.92452 91.43342 380.73306 -47.92770 91.43395 380.73527 -47.95238 91.43562 380.74550 -47.93896 91.43434 380.74321 -47.93994 91.43703 380.74029 -47.95227 91.43914 380.74468 -47.92777 91.43135 380.74030 -47.92969 91.43120 380.73887 -47.92675 91.43990 380.73807 -47.96246 91.42921 380.73562 -47.92603 91.42926 380.75366 -47.95314 91.44061 380.75145 -47.91915 91.44124 380.74016 -47.93312 91.44111 380.73461 -47.94564 91.43734 380.74208 -47.93880 91.43986 380.74013 -47.96762 91.44241 380.73822 -47.91507 91.44511 380.72870 -47.95599 91.43753 380.72953 -47.93526 91.44111 380.73611 -47.95074 91.44580 380.72606 -47.93036 91.43190 380.73180 -47.93030 91.42421 380.73591 -47.90904 91.43756 380.73619 -47.95485 91.43425 380.73451 -47.97365 91.43638 380.73726 -47.94104 91.43262 380.73989 -47.94957 91.44361 380.73813 -47.94835 91.43700 380.73411 -47.94765 91.43580 380.73266 -47.92960 91.43255 380.73320 -47.94487 91.43151 380.72831 -47.92767 91.45095 380.73254 -47.96417 91.42099 380.73023 -47.94289 91.43701 380.73594 -47.95586 91.44360 380.73552 -47.92282 91.43299 380.73810 -47.93568 91.43969 380.73599 -47.97426 91.44030 380.74428 -47.94637 91.43873 380.73885 -47.91682 91.43771 380.73909 -47.94377 91.43064 380.73264 -47.91732 91.43853 380.73424 -47.96845

91.43748 380.72674 -47.92960 91.43387 380.73749 -47.92781 91.42697 380.73374 -47.90952 91.43383 380.74047 -47.94274 91.43006 380.74100 -47.91490 91.43983 380.73469 -47.95452 91.43585 380.73672 -47.93173 91.42930 380.74150 -47.93559 91.42474 380.73897 -47.91875 91.44085 380.74066 -47.91530 91.43970 380.74117 -47.89485 91.43805 380.73390 -47.92046 91.43692 380.74350 -47.94693 91.43941 380.73557 -47.91835 91.44434 380.73772 -47.91584 91.44527 380.73789 -47.94600 91.43986 380.73557 -47.92571 91.44890 380.73615 -47.93691 91.44034 380.73625 -47.93608 91.43799 380.74033 -47.90776 91.43532 380.73348 -47.91314 91.44609 380.73667 -47.94570 91.43631 380.74202 -47.89661 91.44064 380.73443 -47.92404 91.44601 380.73843 -47.93534 91.44834 380.73362 -47.93334 91.43068 380.74403 -47.89334 91.43355 380.74906 -47.91285 91.43715 380.74222 -47.93783 91.43585 380.73837 -47.92743 91.44912 380.74236 -47.92282 91.44556 380.74005 -47.92556 91.43607 380.74197 -47.91401 91.43297 380.73164 -47.92525 91.43237 380.73213 -47.90836 91.44636 380.73276 -47.94677 91.44065 380.74636 -47.91075 91.43562 380.73516 -47.91212 91.43825 380.74600 -47.88350 91.43961 380.73856 -47.92288 91.44067 380.74292 -47.93522 91.45152 380.73210 -47.93645 91.44147 380.72501 -47.91912 91.43992 380.73044 -47.94454 91.43909 380.72641 -47.90400 91.45162 380.73706 -47.92359 91.44398 380.74133 -47.90697 91.44443 380.73609 -47.93767


256

91.44321 380.74127 -47.93155 91.45159 380.73734 -47.93947 91.44799 380.73362 -47.92769 91.44372 380.73701 -47.93066

91.43410 380.73964 -47.93600 91.44287 380.74270 -47.89723 91.44071 380.73664 -47.89682 91.44599 380.73878 -47.94140

91.44607 380.73348 -47.94406 91.45134 380.73625 -47.94441 91.44647 380.73275 -47.91851 91.44428 380.73724 -47.90862

universidad de vigoenocsanzablanedo.unileon.es/cv_archivos/thesis.pdf · ΔΔx´, ´y correcciones...

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