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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

PROGRAMAÇÃO DINÂMICA APLICADA À ANÁLISE DE

ESTABILIDADE DE TALUDES NÃO SATURADOS

CARLOS CALDAS DE BRITO

ORIENTADOR: PROF. JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM GEOTECNIA

PUBLICAÇÃO G.DM - 109/03

BRASÍLIA / DF: AGOSTO / 2003

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

PROGRAMAÇÃO DINÂMICA APLICADA À ANÁLISE


CARLOS CALDAS DE BRITO

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E

AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE.

APROVADA POR:

__________________________________________

JOSÉ HENRIQUE FEITOSA PEREIRA, PhD, UnB

(ORIENTADOR)

____________________________________

MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD, UnB

(EXAMINADOR INTERNO)

_____________________________________

ENNIO MARQUES PALMEIRA, PhD, UnB

(EXAMINADOR INTERNO)

______________________________________________

DENISE MARIA SOARES GERSCOVICH, DSc., UERJ

(EXAMINADOR EXTERNO)

ii

FICHA CATALOGRÁFICA

BRITO, CARLOS CALDAS

Programação Dinâmica Aplicada à Análise de Estabilidade de Taludes não Saturados, DF,

2003.

xxv, 139 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecnia, 2003)

Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília.

Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental

1. Solos Não Saturados 2. Estabilidade de Taludes

3. Métodos Numéricos 4. Programação Dinâmica

I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

BRITO, C. C. (2003). Programação Dinâmica Aplicada à Análise de Estabilidade de Taludes

não Saturados. Dissertação de Mestrado, Publicação G.DM - 109/03, Departamento de

Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 139 p.

CESSÃO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: Carlos Caldas de Brito

TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Programação Dinâmica Aplicada à Análise

de Estabilidade de Taludes não Saturados.

GRAU: Mestre/ ANO: 2003

É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação

de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de

mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.

_____________________________

Carlos Caldas de Brito

Rua Alexandre Ferreira de Souza, 592

44380-000 – Cruz das Almas / BA – Brasil.

iii

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à memória de meu pai,

Antônio Fagundes, que nunca mediu esforços

para dar-me o patrimônio da educação, e à

minha mãe, Maria Caldas, que sempre esteve

ao meu lado nos momentos mais desafiadores

da minha vida.

iv

AGRADECIMENTOS

A Deus por ter me dado o presente de ter conhecido o professor José Henrique Feitosa

Pereira. Homem de inquestionável competência e ilimitada humildade, cujo companheirismo

e bom humor eram suas marcas registradas.

Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Geotecnia: André Assis, Ennio Palmeira,

Eraldo Pastore, Márcio Muniz, Pedro Murrieta, Renato Cunha, Newton Moreira, José

Camapum, pelos conhecimentos transmitidos durante essa jornada. À secretária Valéria pelos

momentos de descontração.

Aos colegas de curso e em especial àqueles os quais convivi constantemente: Adriano

Frutuoso da Silva, Fabrício Macedo, José Allan, Jairo Furtado, Renato Apolinário, Dorival

Pedroso, Davi Américo, Luciana Medeiros, Paula Passos, pela amizade. Também aos colegas

Hector Hernandez, Domingos Stalin, Walszon Terllizzie cujas contribuições se somaram na

construção do todo. As garotas de Geo-House Luciana e Suzana Dellabianca, pelas festivas

noites em Brasília. Aos colegas da sala Geot-3: Idemilson Prado, Petrúcio Antunes, Luciana

Medeiros, Adriano Frutuoso, João Carlos, pelo salutar ambiente de trabalho. Ao amigo Rideci

Faria pela amizade e assistência.

Meus sinceros agradecimentos à Maria Célia por ter assumido o papel de mãe durante essa

difícil caminhada, e a Adriano Frutuoso pela sincera amizade construída. Também meus

sinceros agradecimentos a Gilson Gitirana pela excelente assistência prestada, assumindo o

papel de orientador no momento em que nosso mestre teve que partir. Sem sua contribuição

talvez esse trabalho tivesse sido concluído. A Manoel Porfírio, que também assumiu papel de

orientador no momento em que mais precisei, pelas revisões e sugestões.

v

RESUMO

PROGRAMAÇÃO DINÂMICA APLICADA À ANÁLISE DE


Este trabalho buscou avaliar a aplicabilidade do método da programação dinâmica à análise

da estabilidade de uma barragem colapsível, sujeita a um complexo estado de tensão

produzido durante o primeiro enchimento do reservatório. Uma característica que distingue o

método da programação dinâmica é que a única restrição imposta à forma da superfície é que

esta seja cinematicamente admissível. A superfície obtida é formada pela reunião de

segmentos lineares interconectados, cujas coordenadas são obtidas pela minimização de uma

função auxiliar do fator de segurança. Para realizar a análise transiente, o método da

programação dinâmica foi implementado no programa COUPSO. O programa COUPSO

resolve as equações diferenciais de equilíbrio e de continuidade da água de maneira acoplada,

utilizando o método dos elementos finitos para discretização espacial, e um esquema de

diferenças finitas para discretização temporal. Os parâmetros constitutivos do solo são obtidos

a partir das superfícies de estado, e assume-se o comportamento elástico não linear para o

material. Os exemplos de verificação mostraram concordância dos fatores de segurança

globais, comparativamente aos obtidos pelo programa de análise de estabilidade de taludes

Slope/W, tanto para o maciço não saturado quanto para o maciço parcialmente saturado, com

a vantagem de se obter a superfície crítica de forma automática. A análise da barragem

colapsível mostrou que, apesar do complexo estado de tensões, o método da programação

dinâmica foi capaz de identificar o mecanismo de ruptura sugerido por Pereira (1996). A

evolução do fator de segurança global foi coerente com os esperados para as fases analisadas.

A barragem colapsível é estável durante a fase final construção, e se torna instável após o

primeiro enchimento do reservatório, rompendo-se pelo talude de montante 138 dias depois.

vi

ABSTRACT

This work evaluated the applicability of the dynamic programming method to analyze the

stability of a collapsible dam, under a complex stress state induced on the first impounding of

the reservoir. A distinct characteristic of the dynamic programming method is that the only

restriction imposed is that the surface form must be cinematically admissible. The slip surface

is formed by interconnected linear segments, whose coordinates are determined by

minimizing an auxiliary functional of the factor of safety. In order to perform the transient

analyses the dynamic programming method was implemented on the computer program

COUPSO. The computer software COUPSO solves water equilibrium and continuity

differential equations in a coupled manner, using the finite element method to make the

spatial discretization, and the finite difference method to the time discretization. The soil

parameters are obtained from state surfaces, and the elastic non-linear model is assumed. The

global safety factors showed accordance when comparing the verification examples with the

ones calculated on the slope stability program Slope/W, for both the unsaturated and partially

saturated embankments, having the dynamic programming method the advantage of

automatically obtaining the critical slip surface. It can be concluded that the analysis of the

collapsible dam using the dynamic programming method, even having a complex stress state,

was suitable to identify the failure mechanism proposed by Pereira (1996). The evolution of

the global safety factor showed coherence with the expected ones in all the analyzed phases.

The collapsible dam is stable during the end of construction phase and unstable after the first

impounding of the reservoir, having an upstream slope failure after 138 days.

vii

ÍNDICE

CAPÍTULO 1............................................................................................................................ 1

1 - Introdução ............................................................................................................................. 1

1.1 - Relevância da pesquisa ...................................................................................................... 1

1.2 - Objetivos da dissertação .................................................................................................... 2

1.3 - Organização da dissertação................................................................................................ 2

CAPÍTULO 2............................................................................................................................ 4

2 - Revisão Bibliográfica............................................................................................................ 4

2.1 - Introdução .......................................................................................................................... 4

2.2 - Mecânica dos solos saturados ............................................................................................ 4

2.2.1 - Deformabilidade ............................................................................................................. 5

2.2.2 - Resistência ao cisalhamento ........................................................................................... 7

2.2.3 - Lei de Fluxo e Propriedades Hidráulicas ........................................................................ 7

2.3 - Mecânica dos Solos Não Saturados ................................................................................... 8

2.3.1 - Comportamento Mecânico.............................................................................................. 8

2.3.1.1 - Deformabilidade ........................................................................................................ 11

2.3.1.2 - Resistência ................................................................................................................. 14

2.3.2 - Lei de Fluxo e Propriedades Hidráulicas ...................................................................... 16

2.3.2.1 - Permeabilidade com relação à fase água ................................................................... 17

2.3.2.2 - Permeabilidade com relação à fase ar ........................................................................ 18

2.4 - Estabilidade de Taludes ................................................................................................... 19

2.4.1 - Análise de estabilidade de taludes pelo método de equilíbrio limite (MEL)................ 21

2.4.2 - Análise de estabilidade de taludes por elementos finitos (método melhorado)............ 24

2.4.3 - Análise de estabilidade de talude pelo método abrangente .......................................... 26

2.5 - Resumo ............................................................................................................................ 29

CAPÍTULO 3.......................................................................................................................... 31

3 - Fundamentos Teóricos ........................................................................................................ 31

3.1 - Introdução ........................................................................................................................ 31

3.2 - Formulação das equações acopladas de equilíbrio e fluxo .............................................. 31

3.2.1 - Hipóteses adotadas........................................................................................................ 32

3.2.2 - Equações básicas........................................................................................................... 33

3.2.2.1 - Equação de continuidade da água .............................................................................. 33

viii

3.2.2.2 - Equações de equilíbrio do solo .................................................................................. 34

3.2.3 - Relações constitutivas e lei de movimento ................................................................... 35

3.2.3.1 - Relação constitutiva para a estrutura do solo............................................................. 35

3.2.3.2 - Relação constitutiva para a fase água ........................................................................ 36

3.2.4 - Equações diferenciais finais para a condição de deformação plana ............................. 37

3.2.5 - Solução numérica do sistema de equações acopladas................................................... 38

3.2.5.1 - Discretização espacial das equações de equilíbrio e continuidade da fase água ....... 38

3.2.5.2 - Discretização temporal do sistema de equações acopladas ....................................... 39

3.3 - Teoria geral do método da Programação Dinâmica......................................................... 41

3.3.1 - Formulação do método da programação dinâmica ....................................................... 42

3.3.2 - Restrição aplicada à forma da superfície crítica ........................................................... 48

3.4 - Resumo ............................................................................................................................ 49

CAPÍTULO 4.......................................................................................................................... 50

4 - Implementação e Validação do Programa COUPSO.......................................................... 50

4.1 - Introdução ........................................................................................................................ 50

4.2 - Descrição geral do programa COUPSO .......................................................................... 50

4.3 - Descrição geral do programa SAFE-DP .......................................................................... 51

4.4 - Implementação da rotina de otimização .......................................................................... 51

4.5 - Validação do programa COUPSO ................................................................................... 53

4.5.1 - Procedimento de análise ............................................................................................... 53

4.5.1.1 - Análise da estabilidade de final de construção .......................................................... 55

4.5.1.2 - Análise da estabilidade em condição de fluxo estacionário....................................... 59

4.6 - Resumo ............................................................................................................................ 62

CAPÍTULO 5.......................................................................................................................... 64

5 - Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável ........................................................ 64

5.1 - Introdução ........................................................................................................................ 64

5.2 - Procedimento de análise .................................................................................................. 64

5.3 - Apresentação e análise dos resultados ............................................................................. 65

5.3.1 - Final de construção ....................................................................................................... 66

5.3.2 - Fase de enchimento do reservatório.............................................................................. 69

5.3.3 - Fase de pós-enchimento do reservatório....................................................................... 73

5.3.3.1 - Estágio 1 – 58 dias após o enchimento do reservatório ............................................. 74

5.3.3.2 - Estágio 2 – 98 dias após o enchimento do reservatório ............................................. 79

ix

5.3.3.3 - Estágio 3 – 138 dias após o enchimento do reservatório ........................................... 83

5.4 - Resumo ............................................................................................................................ 87

CAPÍTULO 6.......................................................................................................................... 90

6 - Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras................................................................. 90

6.1 - Conclusões ....................................................................................................................... 90

6.2 - Recomendações para pesquisas futuras ........................................................................... 91

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 93

APÊNDICE A ......................................................................................................................... 96

A - Descrição das Subrotinas do COUPSO ............................................................................. 96

APÊNDICE B ....................................................................................................................... 101

B - Caracterização e Modelagem do Solo.............................................................................. 101

B.1 - Introdução...................................................................................................................... 101

B.2 - Caracterização do material ............................................................................................ 101

B.3 - Modelagem do solo ....................................................................................................... 104

B.3.1 - Modelagem de uma estrutura metaestável ................................................................. 104

B.3.2 - Modelagem de uma estrutura estável ......................................................................... 111

APÊNDICE C ....................................................................................................................... 115

C - Resultado da Análise Transiente ...................................................................................... 115

C.1 - Introdução...................................................................................................................... 115

C.2 - Deslocamentos .............................................................................................................. 115

C.3 - Distribuição de poropressão em kPa ............................................................................. 117

C.4 - Distribuição da tensão normal média. ........................................................................... 119

C.5 - Distribuição das deformações volumétricas εv. .................................................... 122

C.6 - Superfície Crítica do Talude de Montante. ................................................................... 124

C.7 - Distribuição do fator de segurança local, tensões normais, cisalhantes resistentes e

mobilizadas ao longo da superfície crítica do talude de montante......................................... 127

C.8 - Superfície Crítica do Talude de Jusante. ....................................................................... 132

C.9 - Distribuição do fator de segurança local, tensões normais, cisalhantes resistentes e

mobilizadas ao longo da superfície crítica do talude de jusante. ........................................... 135

x

LISTA DE FIGURAS

Figura. 2.1 Superfícies constitutivas de índice de vazios e grau de saturação: a) índice de

vazios, b) grau de saturação. (Matyas e Radhakrishna, 1968). ........................... 11

Figura 2.2 Superfícies constitutivas para um solo não saturado: (a) superfície constitutiva da

estrutura do solo, (b) superfície constitutiva da fase água (Fredlund &

Rahardjo,1993). ................................................................................................... 14

Figura 2.3 Envoltória de ruptura estendida de Mohr-Coulomb para solos não saturados

(Fredlund & Rahardjo, 1993). ............................................................................. 15

Figura 2.4 Permeabilidade de um solo não saturado: a) curvas típicas de permeabilidade

relativa (Bear, 1972), b) coeficientes de permeabilidade com relação à fase ar,

ka, e fase água, kw,como função do teor gravimétrico de água (Barden &

Pavlakis, 1971). ................................................................................................... 16

Figura 2.5 Típicas funções de forças entre fatias: a) geometria mostrando a linha de

empuxo, b) possíveis funções de forças entre fatias (Ching & Fredlund, 1983). 23

Figura 2.6 Variação funcional da direção das forças entre fatias com relação à direção x

(Fredlund & Krahn, 1977). .................................................................................. 24

Figura 2.7 Esquema analítico do procedimento de busca (Baker, 1980).............................. 28

Figura 3.1 Superfície de deslizamento AB na forma discreta (Pham, 2002)........................ 43

Figura 3.2 Esquema analítico do método da programação dinâmica (Pham, 2002)............. 44

Figura 3.3 Resistência ao cisalhamento e tensão de cisalhamento na forma discreta

(Pham,2002). ....................................................................................................... 45

Figura 3.4 Restrição cinemática aplicada à forma da superfície crítica (Pham, 2002)......... 48

Figura 4.1 Esquema representativo: (a) e (b) Interpolação no centro dos quadrantes; (c) e (d)

elementos fictícios. .............................................................................................. 52

Figura 4.2 Seção transversal da barragem e discretização espacial utilizada no problema. . 55

Figura 4.3 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 4,220. . 56

Figura 4.4 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície circular – Programa

SLOPE/W: FS Global – 4,181............................................................................. 56

Figura 4.5 Método do Equilíbrio Limite Melhorado para superfície especificada - Programa

SLOPE/W: FS Global – 4,195............................................................................. 57

xi



SLOPE/W: FS Global – 4,150............................................................................. 58


SLOPE/W: FS Global – 4,195............................................................................. 58



SLOPE/W: FS Global – 3,849............................................................................. 60


SLOPE/W: FS Global – 3,719............................................................................. 60



SLOPE/W: FS Global – 2,832............................................................................. 61


SLOPE/W: FS Global – 2,845............................................................................. 62

Figura 4.15 Distribuição de poropressão na condição de fluxo estacionário (kPa)................ 62

Figura 5.1 Deslocamentos da fase de final de construção: ampliado 20 vezes. ................... 66

Figura 5.2 Tensão normal média na fase de final de construção (kPa). ............................... 66

Figura 5.3 Deformações volumétricas na fase de final de construção.................................. 67

Figura 5.4 Superfície crítica do talude de montante na fase de final de construção: FS global

2,585. ................................................................................................................... 67

Figura 5.5 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude

de montante na fase de final de construção. ........................................................ 68

Figura 5.6 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante na

fase de final de construção. ................................................................................. 68

Figura 5.7 Superfície crítica do talude de jusante na fase de final de construção: FS global

2,585. ................................................................................................................... 68


de jusante na fase de final de construção............................................................. 69

Figura 5.9 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante na fase

de final de construção.......................................................................................... 69

Figura 5.10 Deslocamentos da fase de enchimento rápido do reservatório: ampliado 50

vezes .................................................................................................................... 70

xii

Figura 5.11 Tensão normal média na fase de enchimento rápido do reservatório (kPa)........ 70

Figura 5.12 Deformações volumétricas na fase de enchimento rápido do reservatório. ........ 70

Figura 5.13 Superfície crítica do talude de montante na fase de enchimento rápido do

reservatório: FS global = 6,632. .......................................................................... 71


de montante na fase de enchimento rápido do reservatório. ............................... 71


fase de enchimento rápido do reservatório. ......................................................... 72

Figura 5.16 Superfície crítica do talude de jusante na fase de enchimento rápido do



de jusante na fase de enchimento rápido do reservatório. ................................... 72


de enchimento rápido do reservatório. ................................................................ 73

Figura 5.19 Modelo reológico da simulação do avanço da linha freática Cordão Neto,

2001).................................................................................................................... 74

Figura 5.20 Deformações devido a redução da rigidez no apoio (Cordão Neto, 2001). ........ 74

Figura 5.21 Poropressão 58,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ....................... 75

Figura 5.22 Deslocamentos 58,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 50

vezes. ................................................................................................................... 75

Figura 5.23 Tensão normal média 58,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ........ 76

Figura 5.24 Deformações volumétricas 58,5 dias após o enchimento do reservatório........... 76

Figura 5.25 Superfície crítica do talude de montante 58,5 dias após o enchimento do



de montante 58,5 dias após o enchimento do reservatório. ................................. 77

Figura 5.27 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 58,5

dias após o enchimento do reservatório............................................................... 77

Figura 5.28 Superfície crítica do talude de jusante 58,5 dias após o enchimento do



de jusante 58,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................... 78

Figura 5.30 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 58,5


xiii

Figura 5.31 Poropressão 98,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ....................... 79


vezes. ................................................................................................................... 79

Figura 5.33 Tensão normal média 98,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ........ 80

Figura 5.34 Deformações volumétricas 98,5 dias após o enchimento do reservatório........... 80




de montante 98,5 dias após o enchimento do reservatório. ................................. 81






de jusante 98,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................... 82



Figura 5.41 Poropressão 138,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 83


vezes .................................................................................................................... 84

Figura 5.43 Tensão normal média 138,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 84

Figura 5.44 Deformações volumétricas na fase de final de construção.................................. 84




de montante 138,5 dias após o enchimento do reservatório. ............................... 85

Figura 5.47 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante

138,5 dias após o enchimento do reservatório..................................................... 86




de jusante 138,5 dias após o enchimento do reservatório. .................................. 86



xiv

Figura 5.51 Superfícies críticas obtidas para o talude de jusante nas três fases analisadas.... 88

Figura 5.52 Superfícies críticas obtidas para o talude de montante nas três fases analisadas.88

Figura 5.53 Variação do fator de segurança global para os taludes de montante e jusante nas

três fases analisadas. ............................................................................................ 89

Figura A.1 Fluxograma do programa COUPSO.................................................................. 100

Figura B.1 Distribuição granulométrica (modificado de Pereira, 1996). ............................ 103

Figura B.2 Curva de compactação e o ponto utilizado na modelagem metaestável

(modificado de Pereira, 1996). .......................................................................... 103

Figura B.3 Superfície de estado de índice de vazios para o solo colapsível (modificado de

Pereira, 1996). ................................................................................................... 108

Figura B.4 Superfície de estado de grau de saturação para o solo colapsível (modificado de

Pereira, 1996). ................................................................................................... 108

Figura B.5 Coeficiente de permeabilidade versus sucção para o solo colapsível (modificado

de Pereira, 1996)................................................................................................ 109

Figura B.6 Resistência ao cisalhamento versus tensão normal líquida do solo colapsível para

diferentes sucções (modificado de Pereira, 1996). ............................................ 109

Figura B.7 Resistência ao cisalhamento versus sucção do solo colapsível para diferentes

tensões normais líquidas (modificado de Pereira, 1996)................................... 110

Figura B.8 Variação do ângulo de atrito com a sucção mátrica (Cordão Neto, 2001)........ 110

Figura B.9 Superfície de estado de índice de vazios para o solo estável (modificado de

Pereira, 1996). ................................................................................................... 112

Figura B.10 Superfície de estado de grau de saturação para o solo estável (modificado de

Pereira, 1996). ................................................................................................... 113

Figura B.11 Coeficiente de permeabilidade versus sucção para o solo estável (modificado de

Pereira, 1996). ................................................................................................... 113

Figura B.12 Resistência ao cisalhamento versus tensão normal líquida do solo estável para

diferentes sucções (modificado de Pereira, 1996). ............................................ 114

Figura B.13 Resistência ao cisalhamento versus sucção do solo estável para diferentes

tensões normais líquidas (modificado de Pereira, 1996)................................... 114

Figura C.1 Deslocamentos 17,7 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 100

vezes. ................................................................................................................. 115

xv


vezes. ................................................................................................................. 115


vezes. ................................................................................................................. 116


vezes. ................................................................................................................. 116


vezes. ................................................................................................................. 116


vezes. ................................................................................................................. 117

Figura C.7 Poropressão 17,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ..................... 117






Figura C.13 Poropressão 118,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ................... 119

Figura C.14 Tensão normal média 17,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). ...... 119






Figura C.20 Tensão normal média 118,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa). .... 121

Figura C.21 Deformações volumétricas 17,5 dias após o enchimento do reservatório......... 122






Figura C.27 Deformações volumétricas 118,5 dias após o enchimento do reservatório....... 124

Figura C.28 Superfície crítica do talude de montante 17,5 dias após o enchimento do

reservatório: FS global = 6,586. ........................................................................ 124


xvi












Figura C.35 Distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica do talude


Figura C.36 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante 17,5

dias após o enchimento do reservatório............................................................. 127




















xvii



de montante 118,5 dias após o enchimento do reservatório. ............................. 131

Figura C.48 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante

118,5 dias após o enchimento do reservatório................................................... 131

Figura C.49 Superfície crítica do talude de jusante 17,5 dias após o enchimento do
















Figura C.57 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de jusante 17,5













xviii











de jusante 118,5 dias após o enchimento do reservatório. ................................ 139



xix

LISTA DE TABELAS

Tabela B.1 Propriedades índice do solo ensaiado (Pereira, 1996)....................................... 102

Tabela B.2 Resumos dos resultados obtidos para o índice de vazios (e) e grau de saturação

(S) sob trajetória de molhagem (Pereira, 1996)................................................. 107

xx

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES

A Matriz final do modelo numérico

B Matriz final do modelo numérico

bx, by, bz Forças de massa nas direções x, y e z respectivamente

c Intercepto Coesivo

CA Matriz de acoplamento relacionada a fase ar

CW Matriz de acoplamento relacionada a fase água

d Incremento

D Matriz constitutiva que relaciona tensões totais líquidas com deformação

Ds Matriz constitutiva que relaciona tensões totais líquidas com sucção

DK Matriz de rigidez

e Índice de vazios

E Módulo de elasticidade do solo relacionado com a variação da tensão total

Ew Módulo volumétrico da água relacionado com a variação da tensão total

e0 Índice de vazios inicial

et al. et alli (e outros)

etc. et cetera (e assim por diante)

F Vetor de força relacionado com a estrutura do solo

F Fator de segurança i

SF Fator de segurança inicial

aSF Fator de segurança avaliado

Fs Fator de segurança

FW Vetor de força relacionado com a fase água

G Função de retorno

G Módulo cisalhante

H Módulo elástico do solo com relação a variações de sucção

Hw Módulo volumétrico da água com relação a variações de sucção

H Função ótima no ponto de estado

H Altura do talude

H Vetor constitutivo que relaciona deformações com sucção

h1, h2, h3 Termos do vetor constitutivo que relaciona tensões totais líquidas com

sucção

xxi

h Carga hidráulica

Hx, Hy, Hz Termos do vetor constitutivo que relacionam deformações com sucção

Hs Vetor de termos constitutivos que relacionam deformações com sucção

HW Matriz de condutância

Ja Razão de massa de ar fluindo através da massa do solo

K0 Coeficiente de empuxo em repouso

kxw , ky

w kzw Condutividade hidráulica nas direções x, y e z respectivamente

kr Condutividade hidráulica relativa

l Comprimento de um segmento

L Comprimento total

m Metro

min Mínimo

m1s Compressibilidade da estrutura do solo em relação a variações de tensões

totais líquidas

m1w Compressibilidade da fase água em relação a variações de tensões totais

líquidas

m2s Compressibilidade da estrutura do solo em relação a variações de sucção

m2w Compressibilidade da fase água em relação a variações de sucção

n Número de estágios

n Número de segmentos

n Porosidade

N Função interpoladora

Pa Pascais

R Resistência ao cisalhamento

S Tensão de cisalhamento

S Grau de saturação

S Contorno do domínio

t Variável tempo

TW Matriz de massa de água

u Deslocamento na direção x

u Taxa de deslocamento com o tempo na direção x

ua Pressão de ar

(ua - uw) Sucção

xxii

uw Pressão de água

wu Taxa de variação da pressão de água com o tempo

v Deslocamento na direção y

v Taxa de deslocamento com o tempo na direção y

V0 Volume total inicial

Va Volume de ar

Vv Volume de vazios

vxa, vy

a, vza Velocidades do ar no sentido da lei de Darcy, nas direções x, y e z

respectivamente

vxw, vy

w, vzw Velocidades da água no sentido da lei de Darcy, nas direções x, y e z

respectivamente

Vw Volume de água

w Umidade

w Deslocamento na direção z

w Vetor de incógnitas do modelo numérico

WK Matriz de acoplamento

x Coordenada na direção x

y Coordenada na direção y

y Elevação

z Coordenada na direção z

α Ângulo medido entre a direção x e um plano qualquer

βw1, βw2 Parâmetros constitutivos de acoplamento entre equilíbrio e fluxo

χ Parâmetro constitutivo da equação de Bishop

χx, χy, χz Coeficientes de anisotropia nas direções x, y e z respectivamente

∆t Variação de tempo

εv Deformação volumétrica

εx, εy, εz Deformação nas direções x, y e z respectivamente

Φ Função de forma

φ’ Ângulo de atrito efetivo

φb Ângulo de atrito em relação à sucção

γ Peso específico do solo

γa Peso específico da fase ar

xxiii

γxy Deformação cisalhante no plano x, e na direção y

γxz Deformação cisalhante no plano x, e na direção z

γyz Deformação cisalhante no plano y, e na direção z

γw Peso específico da fase água

λ Tolerância admitida para a convergência do fator de segurança

µ Coeficiente de Poisson

µf Coeficiente de Poisson para o solo saturado

µs Coeficiente de Poisson para o solo saturado

µu Coeficiente de Poisson para o solo com elevada sucção

θ Valor que define o esquema de integração no tempo das equações

diferenciais

ρw Densidade da água

ρa Densidade absoluta do ar

σ* Vetor de tensões totais líquida

σ’ Tensão efetiva

σα Tensão normal no plano α

σn Tensão normal

σxx Tensão normal total no plano x e direção x

σyy Tensão normal total no plano y e direção y

σzz Tensão normal total no plano z e direção z

σ1 Tensão principal maior

σ2 Tensão principal intermediária

σ3 Tensão principal menor ou tensão de confinamento

σc Tensão total de confinamento

σf Tensão total normal no plano de ruptura, na ruptura

σh Tensão total horizontal

σmédia Tensão total média

σv Tensão total vertical

σx, σy, σz Tensões normais totais nas direções x, y e z respectivamente

(σ - uw) Tensão efetiva

(σ - ua) Tensão total líquida

xxiv

τ Tensão de cisalhamento

τα Tensão de cisalhamento no plano α

τf Resistência ao cisalhamento

τff Tensão de cisalhamento no plano de ruptura, na ruptura

τxy Tensão de cisalhamento no plano x, e na direção y

τxz Tensão de cisalhamento no plano x, e na direção z

τyz Tensão de cisalhamento no plano y, e na direção z

Ω Domínio do problema

xxv

Capítulo 1 – Introdução

CAPÍTULO 1

Introdução

1.1 - Relevância da pesquisa

A análise de estabilidade de taludes é uma das tarefas mais comuns e importantes na prática

da engenharia geotécnica. Vários métodos de Equilíbrio Limite foram propostos para resolver

o problema de estabilidade de taludes, como por exemplo, o método de Bishop (1955),

Morgenstern & Price (1965), Spencer (1967), Janbu (1973), Fredlund (1980). Entretanto,

esses métodos ignoram o comportamento tensão deformação do solo, assumindo que a

ruptura ocorre simultaneamente em todos os pontos da superfície crítica de deslizamento.

Assim, o mecanismo de ruptura não é completamente entendido e, portanto, apesar de

amplamente aceitos na prática geotécnica, são inadequados para situações envolvendo

complexo histórico de tensões.

Uma das deficiências dos métodos de Equilíbrio Limite está na incerteza quanto a distribuição

das forças normais na base da superfície. Essa deficiência é superada pelo envolvimento do

método dos elementos finitos não avaliação do estado de tensão do maciço. Tal envolvimento

foi classificado por Naylor (1982) como método melhorado. Embora haja uma significativa

melhora do método de Equilíbrio Limite quando se utiliza uma análise de tensões por

elementos finitos, ainda assim a forma do mecanismo de ruptura é assumida.

Pelas razões descritas acima, pesquisas com relação à análise de estabilidade de taludes têm

sido desenvolvidas continuamente. O método da Programação Dinâmica proposto por Baker

(1980) dá um importante avanço na direção do entendimento do mecanismo de ruptura, já que

a superfície crítica é resposta e não entrada do problema. Alguns trabalhos recentes

examinaram a aplicabilidade do método da Programação Dinâmica acoplado a uma análise de

tensões por elementos finitos (Yamagami & Ueta , 1988; Zou et al., 1995; Pham et al., 2002).

O método dos elementos finitos é um poderoso método numérico que tem sido utilizado para

resolver uma variedade de problemas de engenharia. Situações de fluxo transiente, onde o

maciço se encontra parcialmente saturado, carecem de procedimentos que permitam a

1


estimativa do risco de deslizamento. Um dos problemas que requer uma análise numérica

devido a sua complexidade e a falta de uma solução exata é análise de percolação transiente

em barragem metaestável. Esse tipo de barragem, devido a deficiências no processo de

compactação, é comumente construído no nordeste brasileiro e tem importância vital para o

combate à seca na região. O comportamento mecânico e as propriedades hidráulicas do

maciço são continuamente alterados num processo dinâmico a medida que a água flui. O solo

sofre variação de volume em resposta a mudança na tensão total e na sucção mátrica. A

mudança de volume altera o processo de fluxo transiente e a ruptura pode ocorrer antes que se

chegue ao estado de fluxo estacionário. Assim, esse tipo de problema requer uma análise

acoplada das equações de equilíbrio e fluxo na avaliação do estado de tensão do maciço

durante o processo transiente. Além disso, deve-se buscar uma ferramenta que seja capaz de

avaliar a estabilidade do maciço ao longo do processo. Nesse sentido o método da

Programação Dinâmica tem se mostrado uma poderosa ferramenta, haja visto que parte do

princípio da busca otimizada dentro do estado de tensão fornecido pelo problema, procurando

identificar o mecanismo de ruptura e seu correspondente fator de segurança.

1.2 - Objetivos da dissertação

Os principais objetivos deste trabalho são:

Implementar no programa de elementos finitos COUPSO (Pereira, 1996) as rotinas de

busca otimizada desenvolvidas por Gitirana Jr. (2002) de acordo com os

procedimentos de Baker (1980).

Verificar a aplicabilidade do método da Programação Dinâmica em problemas de

complexo estado de tensão, por meio da simulação numérica de uma barragem

metaestável após o primeiro enchimento do reservatório.

1.3 - Organização da dissertação

Este trabalho foi organizado em seis capítulos da seguinte forma:

No presente Capítulo são apresentados a relevâncias e os objetivos da pesquisa;

No Capítulo 2 é realizada a revisão da literatura para os solos não saturados buscando-

se mostrar as tentativas de se estender o conceito de tensão efetiva de um solo saturado

2


para o solo não saturado. Além disso, os métodos de análise de estabilidade são

apresentados enfocando as suas virtudes e deficiências;

O Capítulo 3 apresenta a teoria necessária para o desenvolvimento deste trabalho;

No Capítulo 4 é realizada a validação da implementação das rotinas de otimização;

No Capítulo 5 são apresentados e discutidos os resultados da simulação numérica de

uma barragem metaestável;

O Capítulo 6 apresenta as conclusões do trabalho e sugestões para pesquisas futuras.

3

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica

CAPÍTULO 2

Revisão Bibliográfica

2.1 - Introdução

Muitos problemas geotécnicos tais como determinação de capacidade de carga, estrutura de

contenção e estabilidade de taludes estão relacionados com a resistência ao cisalhamento do

solo. Essa resistência está associada ao estado de tensão do mesmo, que pode ser descrito em

termos das variáveis de estado de tensão.

Neste capítulo são apresentados conceitos clássicos e amplamente difundidos na mecânica dos

solos como o conceito de tensão efetiva de Terzaghi para solos saturados. Também se

apresenta de forma sucinta algumas tentativas de se obter uma expressão para tensão efetiva

de solos não saturados. O conceito de superfícies de estado proposto por Mathias e

Radhakrishna (1968) para solos não saturados é apresentado de forma ilustrativa mostrando-

se a transição do solo de um estado não saturado para o estado saturado. Este conceito é de

extrema importância para se entender o comportamento do solo, quando se avalia o estado de

tensão necessário, para a análise de estabilidade durante um processo transiente. Também são

apresentadas as relações constitutivas para um solo não saturado propostas por Fredlund

(1979) de forma a seguir a linha de desenvolvimento teórico apresentado no Capítulo 3.

Ainda neste capítulo é feita uma revisão dos métodos de análise de estabilidade de talude de

terra. Os métodos são apresentados em grupos difundidos na literatura como: método do

equilíbrio limite (M.E.L), análise por elementos finitos e os métodos abrangentes como, por

exemplo, o método da programação dinâmica proposto por Baker (1980).

2.2 - Mecânica dos solos saturados

Terzaghi (1936) apresentou o mais conhecido conceito da mecânica dos solos para solos

saturados, o conceito de tensão efetiva:

“As tensões em qualquer ponto de uma secção através de uma massa de solo podem ser

4


computadas das tensões totais principais 1σ , 2σ , 3σ que atuam neste ponto. Se os vazios do

solo estão preenchidos com água sob uma tensão, u , as tensões totais principais consistem

de duas partes. Uma parte, u , atua na água e no solo em todas as direções com igual

intensidade. Esta é chamada de pressão neutra ou poropressão de água. O saldo ,

, e representa um excesso sobre a pressão neutra e concentra-se

exclusivamente na fase sólida do solo. Todos os efeitos mensuráveis de uma mudança na

tensão, como por exemplo compressão, distorção, e uma mudança na resistência de

cisalhamento, são exclusivamente devido a mudanças na tensão efetiva , , e

”.(Fredlund & Rahardjo, 1993).

w

w

wu11 −=' σσ

' '

' '

'σ

'

wu−= 22 σσ wu−= 33 σσ

1σ 2σ

3

A tensão efetiva é a única variável de estado que controla o comportamento de variação de

volume e a resistência ao cisalhamento de um solo saturado e é expressa pela Eq. (2.1).

wu−= σσ (2.1)

onde:

'σ , tensão normal efetiva;

σ , tensão normal total;

wu , poropressão de água.

A validade da tensão efetiva como variável de estado de tensão tem sido bem aceita e foi

verificada experimentalmente (Rendulic, 1936; Bishop & Eldin, 1950; Laughton, 1955;

Skempton, 1961), citados por Fredlund & Rahardjo (1993). Entretanto, Lambe & Whitman

(1959), citados por Pereira (1996), conduziram uma análise sob o princípio das tensões

efetivas e concluíram que do ponto de vista teórico este era válido para solo granulares e

mencionou a necessidade de mais pesquisas acerca de sua validade para solos finos,

principalmente pelo fato de se desconhecer as áreas de contato nesses solos e a adesão entre

partículas.

2.2.1 - Deformabilidade

Relações constitutivas têm sido estabelecidas para descrever o comportamento tensão

deformação do solo e podem ser formuladas de forma semi-empírica, de acordo com a lei de

5


Hooke generalizada, usando-se a tensão efetiva como variável de estado de tensão )( uw−σ .

Para um solo isotrópico, linear elástico, as relações constitutivas nas direções x, y, e z têm a

forma incremental, respectivamente, de acordo com as Eqs (2.2), (2.3), (2.4):

)2( wzywx

x ud)(EE

ud −d −+−= σσµσε (2.2)

)2( wzxwy

y ud)(

EEud −

d −+−= σσµσε (2.3)

)2( wyxwz

z ud)(EE

ud −d −+−= σσµσε (2.4)

onde:

xσ , tensão normal total na direção x;

yσ , tensão normal total na direção y;

zσ , tensão normal total na direção z;

E , módulo de elasticidade de Young; µ , coeficiente de Poisson.

Para as deformações cisalhantes têm-se:

Gd

d xyxy

τγ = ;

Gd

d yzyz

τγ = ;

Gdd zx

zxτγ = (2.5)

onde:

xyτ , tensão cisalhante no plano x na direção y ( yxxy ττ = );

yzτ , tensão cisalhante no plano y na direção z ( zyyz ττ = );

zxτ , tensão cisalhante no plano z na direção x ( xzzx ττ = );

G = E/ ([ )]µ+12 corresponde ao módulo cisalhante.

O módulo de elasticidade de Young (E) é definido com relação à variação da tensão

efetiva,( wu−σ ). As equações constitutivas podem ser aplicadas a situações não lineares,

aplicando-se pequenos incrementos de tensão ou de deformação.

6


2.2.2 - Resistência ao cisalhamento

Para um solo saturado, a resistência ao cisalhamento pode ser descrita pelas diversas

combinações críticas da tensão normal efetiva com a tensão de cisalhamento. Essas

combinações descrevem uma envoltória conhecida na mecânica dos solos como envoltória de

ruptura de Mohr-Coulomb. A utilização do princípio das tensões efetivas de Terzaghi (1936)

com o critério de ruptura de Mohr-Coulomb têm provado ser satisfatória na prática associada

a solo saturado.

2.2.3 - Lei de Fluxo e Propriedades Hidráulicas

O fluxo de água em um solo saturado é comumente descrito pela lei de Darcy. Esta lei

generalizada para a condição 3-D esta lei é escrita conforme a Eq. (2.6). O sinal negativo

indica que a carga hidráulica diminui quando a água flui na direção considerada.

xh∂kv w

xwx ∂

−= ; y

kv wy

wy ∂

−=h∂ ;

zkv w

zwz

h∂∂

−= . (2.6)

onde:

iv , velocidade macroscópica de descarga da água, na direção i;

wik , coeficiente de permeabilidade com relação à fase água, na direção i;

xh

∂∂ ,

yh

∂∂ ,

zh

∂∂ , gradientes de carga hidráulica nas direções x, y e z, respectivamente.

A lei de Darcy mostra que a solução de problemas de fluxo necessita da quantificação das

propriedades hidráulicas do solo. Terzaghi e Peck (1967) apresentaram uma equação que foi

sugerida por Casagrande, e que expressa o coeficiente de permeabilidade do solo em termos

de índice de vazios. Lambe & Whitman (1969) também apresentaram uma equação obtida por

Kozeny-Carman e que também expressam a permeabilidade do solo em termos do índice de

vazios.

Lambe & Whitman (1969) enfatizam a influência da estrutura do solo sobre a magnitude da

permeabilidade tanto do ponto de vista da microestrutura, isto é arranjo interno das partículas,

quanto do ponto de vista macroestrutura, estratificação do maciço, e ressaltam a importância

de se reproduzir em laboratório as condições identificadas in situ.

7


2.3 - Mecânica dos Solos Não Saturados

São vários os materiais encontrados na prática da engenharia geotécnica que não se encontram

saturados. Assim, a mecânica dos solos subdivide-se em mecânica dos solos saturados e dos

solos não saturados.

Um solo não saturado é comumente reconhecido como tendo três fases: fase sólida, fase água

e fase ar. Fredlund & Rahardjo (1993) reconhecem a existência de uma quarta fase: a

interface ar-água, película contráctil, que se comporta como uma membrana elástica, muito

embora ela possa ser desprezada se o seu volume for muito pequeno em relação ao volume da

fase água. Eles justificam a existência desta mostrando que as suas características são bem

definidas como:

a) propriedades diferentes das fases adjacentes (fase ar e fase água);

b) superfície de contorno bem definida.

Os problemas de interesse da mecânica dos solos não saturados são os mesmos de interesse da

mecânica dos solos saturados tais como: construção e operação de barragens de terra,

estabilidade de escavações e taludes naturais, empuxo de terra, capacidade de carga de

fundações superficiais, dentre outros. Assim, do ponto de vista do comportamento, um solo

não saturado pode ser visualizado como um sistema de fases das quais duas chegam ao

equilíbrio quando da aplicação de um gradiente de tensão (partícula do solo e película

contráctil), e duas fases fluem quando aplicado tal gradiente (fase ar e fase água).

Nas seções seguintes será feita uma breve revisão da teoria geral desenvolvida para os solos

não saturados, enfocando o comportamento mecânico de deformabilidade e resistência, bem

como as propriedades hidráulicas. Procura-se evidenciar o aspecto geral da teoria

desenvolvida, onde o solo saturado enquadra-se como caso particular de um solo não

saturado.

2.3.1 - Comportamento Mecânico

Solos não saturados podem experimentar colapso ou expansão quando caminham em direção

à saturação. A natureza expansiva do solo é melhor observada nas camadas superficiais, as

quais estão mais sujeitas às variações sazonais. Tais variações provocam, de forma reversível,

a mudança de volume do mesmo (expansão e contração). Já os solos colapsíveis têm

8


comportamento oposto aos solos expansivos, havendo decréscimo de volume de forma

irreversível quando submetidos a um gradiente de tensão ou a trajetória de umedecimento.

Podem ocorrer tanto em maciços naturais como em solos estruturados artificialmente durante

o processo de compactação.

O princípio das tensões efetivas é um dos mais importantes conceitos empregados na

engenharia geotécnica. O conceito de tensão efetiva forma a base fundamental de estudo da

mecânica dos solos saturados. Em um solo não saturado a avaliação do comportamento

mecânico, em termos de tensão efetiva, é mais complexa devido à existência das variáveis

independentes de estado de tensão. Pereira (1996) cita algumas tentativas de se estender o

princípio das tensões efetivas do solo saturado para o solo não saturado (Croney, 1952;

Bishop, 1959; Aitchinson, 1961; Jennings, 1961).

Bishop (1959) tentou estender o princípio das tensões efetivas para o solo não saturado,

modificando a equação de Terzaghi e introduzindo a poropressão de ar e um parâmetro que

depende do grau de saturação do solo conforme mostrado na Eq. (2.7):

)()(' uuu −+−= (2.7) waa χσσ

onde:

χ , parâmetro de Bishop;

au , poropressão de ar.

Na Eq. (2.7), χ representa a fração dos vazios ocupada por água. Para o solo seco 0=χ e

para o solo saturado 1=χ . Para valores intermediários o parâmetro χ é influenciado pelo

grau de saturação, sucção mátrica, teor de água, tipo de solo e histórico de tensões.

Praticamente todos os fatores que controlam o comportamento de deformação e resistência

estão presente no parâmetro χ (Lloret & Alonso, 1980).

Morgenstern (1979) declarou que: “A tensão efetiva é uma variável de tensão e, portanto,

relacionada somente a considerações de equilíbrio. Enquanto a Eq. (2.7) contém um

parâmetro, χ , que assume um comportamento constitutivo. O parâmetro χ é avaliado

assumindo-se que o comportamento do solo pode ser expresso unicamente em termos da

variável de estado de tensão efetiva, comparando-se o comportamento do solo não saturado

com o comportamento do solo saturado para calcular χ . Normalmente as relações

9


constitutivas não introduzem o comportamento constitutivo diretamente na variável de

tensão”. A suposição de que o comportamento do solo saturado e o solo não saturado são

idênticos, mostrou ser enganosa na previsão do comportamento de solos que tendem ao

colapso com a saturação (Jennings & Burland, 1962).

O Reexame das equações propostas para expressar a tensão efetiva de um solo não saturado,

levou alguns pesquisadores a sugerir o uso das variáveis independentes de estado de tensão

)( u− aσ e ( para descrever o comportamento mecânico do solo não saturado. )uu − wa

Mathias e Radhakrishna (1968) abandonam o conceito de tensão efetiva e, para um ensaio de

compressão triaxial, identificam três variáveis de estado de tensão que controlam o

comportamento de variação de volume: )( au , )( 31−σ σσ − e , onde )( wa uu −

3/)2( 31 σσσ +=

)( u−

é a tensão média. Mathias e Radhakrishna (1968) introduziram o conceito

de parâmetros de estado como sendo “As variantes físicas do solo, que são suficientes para a

completa descrição do estado de um elemento de solo sem a necessidade de fazer referência

ao seu histórico de tensões”. Essas variantes são: estado de tensão, índice de vazios, grau de

saturação e estrutura do solo.

O estado de um elemento de solo pode ser representado por um ponto no interior de um

sistema de eixos coordenados representando os parâmetros de estado. Este ponto é chamado

de ponto de estado. O deslocamento deste ponto, quando o estado do elemento muda, é

chamada de trajetória de estado. Todas as possíveis trajetórias do ponto de estado nesse

espaço formarão uma superfície chamada de superfície de estado como mostrado na

Fig. 2.1.

Matyas & Radhakrishna (1968) utilizaram uma mistura de “pedrisco e caolin” para

determinação das superfícies de estado. Esse material mostrou-se essencialmente colapsível, o

que serviu para demonstrar a limitação do uso da equação de Bishop e confirmou o adequado

uso de duas variáveis de estado de tensão na formulação do comportamento mecânico do solo

não saturado.

Fredlund & Morgenstern (1977) realizaram uma série de ensaios, oedométrico e triaxial,

controlando a variação de volume para demonstrar a adequabilidade das seguintes alternativas

de variáveis de estado de tensão para um solo não saturado: 1) aσ e ( )uu wa − ;

2) )( u− wσ e ( ; 3) )uu − )( u−wa aσ e )( uw . −σ

10


C

C1

C’

A(e0, Sr0)

A’AS

B

B’

B’’

e

uc=ua-uw

B3B4

B2B1

σa = σ-ua

Saturação a Volume Constante

Trajetória de Saturação (Adensamento)


Saturação a σa

Constante

Desaturação a σa

Constante

Trajetória a Sucção Constante

Trajetória com Conteúdo de Água Constante

Plano σa

Expansão

C

C1

C’

A(e0, Sr0)

A’AS

B

B’

B’’

e

uc=ua-uw

B3B4

B2B1

σa = σ-ua

C

C1

C’

A(e0, Sr0)

A’AS

B

B’

B’’

e

uc=ua-uw

B3B4

B2B1

σa = σ-ua


Trajetória de Saturação (Adensamento)


Saturação a σa

Constante

Desaturação a σa

Constante



Plano σa

Expansão

C

C1

C’

B

B’

B’’

B2 B1

A(e0, Sr0)

A’

uc=ua-uw

σ = σ-ua

100%Constante

Saturação a σa

Constante

Sr %Saturação a Volume




Plano σa

Linha de Saturação

Plano uc

C

C1

C’

B

B’

B’’

B2 B1

A(e0, Sr0)

A’

uc=ua-uw

σ = σ-ua

100%

Sr %

C

C1

C’

B

B’

B’’

B2 B1

A(e0, Sr0)

A’

uc=ua-uw

σ = σ-ua

100%Constante

Saturação a σa

Constante

Sr %Saturação a Volume




Plano σa


Plano uc


Saturação a σa

Constante




Plano σa


Plano uc

(a) (b)

Figura. 2.1 Superfícies constitutivas de índice de vazios e grau de saturação: a) índice de

vazios, b) grau de saturação. (Matyas e Radhakrishna, 1968).

2.3.1.1 - Deformabilidade

A deformabilidade de um solo não saturado pode ser expressa em termos do movimento

relativo das fases do solo. Para tanto, é necessário estabelecer as variáveis de estado de

deformação que são consistentes com os princípios da mecânica dos contínuos, ou seja, a

variação do volume total é igual a soma das variações das fases do sistema (conservação das

massas).

Para descrever adequadamente a variação de volume de um solo não saturado, apenas duas

das três variáveis de estado de deformação precisam ser medidas, enquanto a terceira pode ser

calculada. Na prática a variável de estado de deformação associada à estrutura do solo

( 0v VV∆ ) e à fase água ( 0w VV∆ ) são medidas, enquanto a variação de volume da fase ar

( 0a VV∆

u−

) é calculada.

Fredlund & Rahardjo (1979) usaram a combinação de variáveis de estado de tensão ( aσ ) e

( ) para apresentar as relações constitutivas de um solo não saturado, como uma

extensão das equações semi-empíricas usadas para o solo saturado. Trata-se da lei de Hooke

generalizada. Assumindo o solo como um material isotrópico, linear e elástico, são

apresentadas a equações para a estrutura do solo, Eqs (2.8) a (2.10), e para fase água,

Eq. (2.11):

wa uu −

11


Huudud

EEud )()(d wa

azyax

x )2( −+−+−= σσ− µσε (2.8)

Huudud

EEud )( −

d waazx

ayy

)()2( −+−+−= σσµσ

ε (2.9)

Huudud

EEud )()(d wa

ayxaz

z )2( −+−+−= σσ− µσε (2.10)

w

wa

w

az

w

ay

w

axw

Huud

Eud

EEud

VdV )()()(

0

−+

−++

−=

σud )( −σσ (2.11)

onde:

H , módulo de elasticidade para o esqueleto sólido associado à variação em ; )( wa uu −

wH , módulo volumétrico da água associado à variação em )( wa uu − ;

E , módulo de elasticidade para o esqueleto sólido associado à variação em )( au−σ ;

wE , módulo volumétrico da água associado à variação em )( au−σ .

As equações associadas com as deformações cisalhantes são as mesmas apresentadas para um

solo saturado, pois são assumidas independentes das fases ar e água.

As Eqs (2.8) a (2.11) podem ser aplicadas, por meio de um procedimento incremental, a uma

análise tensão deformação não linear. Sendo dependente da trajetória de sucção mátrica,

isto é, secagem ou molhagem, a Eq. (2.11) apresenta histerese.

wH

u

A ligação entre as variáveis de estado de deformação e as variáveis de estado de tensão é feita

pela incorporação dos coeficientes de deformação volumétrica. Os parâmetros da relação

entre tensões e deformações podem ser obtidos por meio das superfícies de estado (Fig. 2.2).

Pode-se modelar a variação de volume do solo simulando o carregamento em pequenos

incrementos, onde para cada incremento têm-se novos módulos, que variam conforme

caminha-se sobre as superfícies. Pode-se observar na Fig. 2.2 que a variação volumétrica é

função das inclinações nas direções de ( a ) e (u wa u−−σ ). Essas inclinações representam os

parâmetros de compressibilidade do solo em relação a variável de tensão total líquida e à

sucção. Relacionando-se os parâmetros de deformabilidade das Eqs (2.8) a (2.10) com os

parâmetros da Eq. (2.12) obtidos da superfície de estado da Fig. 2.2a, obtêm-se a relação entre

12


os coeficientes de compressibilidade da estrutura do solo ( e ), os módulos de

elasticidade ( ) e o coeficiente de Poisson (

s s

HE e

m1 m2

µ ). De forma similar comparando a

Eq. (2.11) com a Eq. (2.13) obtida da superfície da Fig. 2.2b têm-se os coeficientes de

compressibilidade da fase água ( e ).relacionados com os módulos w wm1 m2 ww HE e .

)()(1Sdm σ 2

0wa

Samédia

vv uudmu

VdVd −+−==ε (2.12)

)()( 210

waw

amédiaWw uudmudm

V−+−= σdV (2.13)

onde:

zyxv dddd εεεε ++= ;

3/)( zyxmédia σσσσ ++= ;

EmS )21(3

1µ−

= , é o coeficiente de variação volumétrica com relação à tensão normal líquida;

zyx

S

HHHHm 1113

2 ++== , é o coeficiente de variação volumétrica com relação à sucção

mátrica;

W

W

Em 3

1 = , é o coeficiente de variação volumétrico da água com relação à tensão normal

líquida;

W

W

Hm 1

2 = , é o coeficiente de variação volumétrico da água com relação à sucção mátrica.

13


d( - u )médio a

V / Vv o

médio a ( - u )

d(u - u )wa

V / Vv o

(u - u )a w

Vv

Vo

Tensão normal líquida Sucção mátrica

( - u )

médioa

(u - u )a w Tensão normal líquida

( - u )a

médio

d( - u )

V / Vw o

( - u )médio a

médio a

wad(u - u )

V / V(u - u )

(u - u )a w

Sucção mátrica

w

a

o

w

v

Vw

Vo

(a) (b)

Figura 2.2 Superfícies constitutivas para um solo não saturado: (a) superfície constitutiva da

estrutura do solo, (b) superfície constitutiva da fase água (Fredlund &

Rahardjo,1993).

2.3.1.2 -

−

Resistência

A resistência ao cisalhamento de um solo não saturado pode ser formulada em termos das

variáveis independentes de estado de tensão. Quaisquer das três possíveis combinações,

)( auσ e ; )( wa uu − − )( wuσ e )( wa uu − ; )( au e )( wu−σ −σ , podem ser usadas para a

equação de resistência. Entretanto, a combinação )( au−σ e )( wa uu − tem mostrado ser mais

vantajosa na prática (Fredlund & Morgenstern, 1977). A resistência ao cisalhamento de um

solo não saturado pode ser escrita de acordo a Eq. (2.14):

bφφστ −+−+= fwafafff tguutguc )(')(' (2.14)

onde:

' , intercepto da envoltória de ruptura estendida de Mohr-Coulomb no eixo de tensão

cisalhante onde a tensão normal líquida e a sucção mátrica são iguais a zero;

c

faf u )( −σ , tensão normal líquida no plano de ruptura na ruptura;

'φ , ângulo de atrito interno associado à variável de tensão normal líquida faf u )( −σ ;

fwa uu )( − , sucção mátrica no plano de ruptura na ruptura;

bφ , ângulo indicando a razão de aumento da resistência ao cisalhamento associado à sucção

mátrica . fwa uu )( −

14


A Eq (2.14) define um plano conforme mostrado na Fig. 2.3. A locação dos círculos de Mohr,

no gráfico tridimensional, é função da sucção. A superfície tangente aos círculos de Mohr na

ruptura é referida como envoltória de ruptura estendida de Mohr-Coulomb para solos não

saturados. A Fig. 2.3 também mostra que a interseção da envoltória de ruptura estendida com

o plano formado por τ e define uma reta conforme a Eq. (2.15). Onde é o

intercepto de coesão total.

)( uu − c

b

'c '

wa

fwa tguucc φ)(' −+= (2.15)

A Eq. (2.15) mostra que o solo não saturado pode ser visualizado com tendo duas

componentes de coesão. Quando a sucção tende a zero a Eq. (2.14) reverter-se-á para a

equação de resistência de um solo saturado. Portanto, uma transição suave entre a condição

não saturada e a saturada é observada. Também pode ser observado que a equação de

resistência ao cisalhamento traz a mesma forma em ambos os casos. Isto que dizer que a

mesma equação para o fator de segurança pode ser usada tanto para o solo saturado quanto

para o solo não saturado, fazendo a coesão função da sucção (Fredlund,1985).

Para os solos estáveis e φ são constantes (Gan & Fredlund, 1978). Para um solo

metaestável, espera-se um comportamento não linear para os paramentos de resistência ',' φc e

. bφ

Tens

ão d

e ci

salh

amen

to,

Tensão normal líquida,

Sucçã

o mátr

ica,Envoltório de ruptura extendida

de Mohr-Coulomb

c'

c'

(u - u ) tga w fb

b

'

b

'

(u - u

)

a

w

- ua0

Figura 2.3 Envoltória de ruptura estendida de Mohr-Coulomb para solos não saturados

(Fredlund & Rahardjo, 1993).

15


2.3.2 - Lei de Fluxo e Propriedades Hidráulicas

A análise do escoamento de um fluido requer uma lei para relacionar a taxa de escoamento

com o potencial de transporte, usando-se coeficientes apropriados (Fredlund & Rahardjo,

1993). A água flui de um ponto de maior carga total para um ponto de menor carga total, sem

levar em conta se as cargas de pressão são positivas ou negativas. O fluxo de ar, como uma

fase contínua, é governado pela concentração ou gradiente de pressão. O gradiente de pressão

é comumente o mais considerado como potencial de transporte para a fase ar. O movimento

relativo do ar e da água através de um meio poroso não saturado é função da porosidade, grau

de saturação, distribuição de poros, propriedades específicas dos fluidos como densidade e

viscosidade.

A Fig. 2.4 ilustra de forma qualitativa a dependência do fluxo de água e ar, através de um solo

não saturado, com o grau de saturação. A permeabilidade da fase ar decresce com o acréscimo

do teor volumétrico de água ou grau de saturação. Entretanto, como ilustrado na Fig. 2.4.b a

permeabilidade do ar permanece significativamente maior que a permeabilidade da água para

todos os teores de água no solo. Portanto, a maior parte dos problemas envolvendo solos não

saturados considera o ar em pressão atmosférica constante desde que o gradiente de pressão

seja rapidamente dissipado.

Swo Sao

kra

krw

Grau de Saturação, S

Perm

eabi

lidad

e re

lativ

a (k

rw, k

ra

0,5

0,0

1,0

)

8 9 10 11 12 13 1410E-12

10E-11

10E-10

10E-9

10E-8

10E-7

10E-6

10E-5

10E-4

10E-3(ua - uw) = 62 kPa

(ua - uw) = 7 kPa

(ua - uw) = 0

ka

kw

Padrão AASHTO Teor Ótimo de Água

Conteúdo de água, w (%)

Coe

ficie

nte

de P

erm

eabi

lidad

e

ka

e k

w (m

/s)

(a) (b)

Figura 2.4 Permeabilidade de um solo não saturado: a) curvas típicas de permeabilidade

relativa (Bear, 1972), b) coeficientes de permeabilidade com relação à fase ar, ka,

e fase água, kw,como função do teor gravimétrico de água (Barden & Pavlakis,

1971).

16


2.3.2.1 -

α/)( 0ee−

Permeabilidade com relação à fase água

A água pode ser visualizada como fluindo somente através dos poros do solo preenchidos

com água. Os poros preenchidos com ar não permitem o fluxo da água. Logo os poros

preenchidos com ar num solo não saturado comportam-se, do ponto de vista do fluxo de água,

como se fossem partículas sólidas. Portanto, quando o solo torna-se não saturado o ar ocupa

primeiro os poros maiores, forçando a água fluir pelos poros menores aumentando o caminho

de percolação da mesma.

Fredlund & Rahardjo (1993) citam o trabalho de Childs & Collis-George (1950) que

comprovam a aplicabilidade da lei de Darcy para solos não saturados. Sendo a condutividade

hidráulica função do índice de vazios e do grau de saturação (ou teor de água).

Segundo Lloret & Alonso (1980) a variação da permeabilidade com o grau de saturação não é

bem estabelecida, mas dados disponíveis sugerem um rápido decréscimo da permeabilidade

quando a saturação decresce. Os autores sugerem a Eq. (2.16) onde combinam os efeitos do

índice de vazios e grau de saturação.

Lloret & Alonso (1980) informam que a Eq. (2.16) foi baseada em um modelo apresentado

por Bear (1972) para um solo não saturado.

0 10),(ww eSkk = (2.16)

onde:

),( 0eSkw , função de permeabilidade para um índice de vazios e grau de saturação ; 0e S

0e , índice de vazios inicial (ou de referencia);

α , inclinação da relação linear versus e para constante. É sugerido que wk10log S α pode

ser obtido para =1 usando-se o ensaio oedométrico. S

O coeficiente de permeabilidade de um solo não saturado pode variar consideravelmente

durante um processo transiente como resultado das mudanças nas propriedades do solo.

Estimativas confiáveis da condutividade hidráulica do solo não saturado são difíceis de obter,

devido a sua extensiva variabilidade no campo, e também devido ao tempo e custo elevados

para obtenção dos parâmetros (van Genuchten, 1980). Numerosas equações semi-empíricas

têm sido derivadas para o coeficiente de permeabilidade usando-se a curva característica.

17


van Genuchten (1980) apresentou Eq. (2.17) baseada no modelo de previsão de condutividade

hidráulica de Mualem (1976).

2/])(1[])(1[)(1)( mnr h

hhhkα

αα+

+−=

21 mnn −−

(2.17)

onde:

rk , condutividade hidráulica relativa;

h , carga de pressão;

mn,,α , parâmetros do solo estimado da curva característica;

nm /11−= .

van Genuchten (1980) comparou os resultados obtidos pela Eq. (2.17) com os dados

experimentais de cinco solos com ampla faixa de variação da condutividade hidráulica,

obtendo bons resultados de previsão da condutividade hidráulica para um solo não saturado.

2.3.2.2 - Permeabilidade com relação à fase ar

A lei de Fick é geralmente usada para descrever a difusão de gases através de líquidos. Uma

forma modificada da lei de Fick é usualmente aplicada para descrever o fluxo de ar através de

um meio poroso não saturado conforme mostra a Eq. (2.18).

yDJ a

aa ∂= .* u∂ (2.18)

onde:

yua

∂∂ , gradiente de poropressão de ar na direção y (similarmente na direção x e z);

aJ , razão de massa de ar fluindo através de uma unidade de área do solo;

a

aaa u

nSDD∂

−∂=

])1([.* ρ , coeficiente de transmissão, função das propriedades do solo (S,n), da

densidade do ar ( aρ ) e da constante de transmissão para fluxo de ar através do solo ( ) aD

aρ , densidade absoluta do ar (lei dos gases);

n , porosidade do solo.

18


De maneira semelhante ao coeficiente de permeabilidade com relação à água, o coeficiente de

permeabilidade com relação ao ar é uma função do fluido (neste caso o ar) e propriedades do

solo. Contudo, as propriedades do ar podem não ser consideradas constante com o tempo.

Densidade e viscosidade do ar são funções da pressão absoluta de ar.

Neste trabalho a pressão de ar é considerada atmosférica e conseqüentemente constante.

Portanto, desenvolvimentos teóricos além daqueles apresentados aqui não fazem parte do

escopo deste trabalho.

2.4 - Estabilidade de Taludes

Como em qualquer ramo da engenharia, um dos principais requerimentos na engenharia

geotécnica é projetar as estruturas de forma a garantir um fator de segurança mínimo contra a

ruptura. A definição mais geral para o fator de segurança pode ser escrita como:

mobilizada aresistênci F =

disponível aresistênci (2.19)

Segundo Tavenas et al. (1980) a relação acima é aplicada em engenharia geotécnica de várias

formas. Na análise de aterros, fundações ou taludes, tanto a resistência ao cisalhamento como

o carregamento são funções da geometria do problema. Assim, a Eq. (2.19) não pode ser

escrita em uma forma explicita.

Métodos numéricos têm sido desenvolvidos para tratar casos em que a Eq. (2.19) é aplicada

em análise de problemas geotécnicos de forma local e global simultaneamente. Assim, por

meio de processos iterativos a Eq. (2.19) é resolvida para o problema analisado.

Extensivos estudos foram empreendidos nessa área e uma variedade de formulações que

generalizam o fator de segurança foram desenvolvidas. Dentre estas as de Bishop (1955),

Morgenstern & Price (1965), Spencer (1967), Janbu (1973), Fredlund (1980). Embora esses

métodos sejam simples e populares, eles são incompleto devido ao fato de a forma da

superfície de ruptura ter que ser assumida de antemão. Também ignora o comportamento

tensão deformação do solo e são inadequados para as situações envolvendo complexo

histórico de tensões. Os métodos de equilíbrio limite assumem que o fator de segurança é o

mesmo para todas as fatias, portanto, inapropriado exceto no momento em que a ruptura

ocorre ao longo da superfície.

19


Uma das maiores deficiências dos métodos de equilíbrio limite é o fato de ignorar o

comportamento tensão deformação do solo. Essa limitação pode ser superada pelo uso do

método dos elementos finitos como ferramenta de análise desse comportamento, tornando a

condição de equilíbrio limite, aplicada a uma superfície, mais significativa quando da

avaliação das forças atuantes e resistentes.

Segundo Pham (2002) existem cinco abordagens propostas onde o método dos elementos

finitos é usado na análise de estabilidade de taludes. Três desses métodos usam as tensões

produzidas pelo método dos elementos finitos para definir o fator de segurança e são

referenciados como métodos melhorados. Os outros dois métodos usam as deformações para

definir o fator de segurança e são referidos como métodos diretos (Naylor, 1982).

Segundo Baker & Garber (1978) o cálculo do fator de segurança requer informações com

relação a duas funções. A primeira função é a equação da superfície potencial de

escorregamento (forma da superfície), que é chamada de função cinemática. A segunda

representa a distribuição das tensões ao longo dessa superfície ou algumas propriedades das

forças atuando no plano vertical, essa chamada de função de tensão. De acordo com Baker &

Garber (1978) a primeira tentativa de se formular um problema de estabilidade de taludes

como um problema de cálculo variacional, em termos de duas funções não especificadas, foi

feito por Kopacsy (1955) e posteriormente por Revilla & Castillo (1977). Métodos que

resolvam problemas de estabilidade de taludes em termos de superfície de ruptura e do fator

de segurança simultaneamente, fazendo uso de formulações matemáticas ou técnicas de

otimização, são chamados de métodos completos. Esses métodos podem ser classificados

como métodos abrangentes. O fator de segurança associado à superfície é calculado usando-

se a teoria de equilíbrio limite.

Baker (1980) publicou seu trabalho dedicado à aplicabilidade do método da programação

dinâmica na análise de estabilidade de taludes. O método desenvolvido por Baker (1980)

combinou o método da programação dinâmica, como técnica de otimização, com o método de

estabilidade de taludes de Spencer (1967). A complexidade matemática na formulação do

método de Baker (1980) foi essencialmente superada pelo uso do método dos elementos

finitos no cálculo das tensões. Esse método será apresentado no Capítulo 3 desse trabalho,

pois os procedimentos de otimização de Baker (1980) foram implementados numericamente

no programa de elementos finitos COUPSO (Pereira, 1996).

20


As contribuições de alguns pesquisadores no desenvolvimento de métodos de análise de

estabilidade são apresentadas nas seções seguintes. Os métodos são agrupados em três como

segue: método de equilíbrio limite, método melhorado e método abrangente.

2.4.1 - Análise de estabilidade de taludes pelo método de equilíbrio limite (MEL)

Numerosos métodos de equilíbrio limite são geralmente utilizados na prática. A principal

razão é o fato de esses métodos terem se mostrado como ferramentas confiáveis na análise da

estabilidade de taludes. O MEL é baseado no princípio estático de equilíbrio das forças e

momentos, sem levar em consideração o deslocamento da massa de solo, que é considerado

como um material rígido plástico. O número de equações disponíveis para tornar o sistema

estaticamente determinado é inferior ao número de variáveis geralmente encontradas no

problema. Assim, os métodos se diferenciam a partir da estática usada e das considerações

com relação às forças atuantes na face vertical da fatia.

Em 1936, no Segundo Congresso de Grandes Barragens realizado em Washington, Fellenius

apresentou o Método das Fatias. Esse método foi desenvolvido pela Comissão Sueca de

Geotecnia e melhorado por Fellenius. Basicamente o método consiste em dividir a massa

acima da superfície de ruptura em fatias verticais, assumindo-se que as forças resultantes nos

lados opostos de cada fatia são iguais e de sentidos opostos atuando numa mesma linha,

paralela à base da fatia. Assim, as forças normais e cisalhantes nas laterais das fatias podem

ser desprezadas e o problema torna-se estaticamente determinado. O Método das Fatias

apresentado por Fellenius satisfaz somente o equilíbrio das forças na direção normal à base e

dos momentos, e o fator de segurança é expresso em termos de momento.

Em 1955, em Oslo na Noruega foi registrada a maior ruptura de talude que se tinha registro à

época. O Instituto de Geotecnia da Noruega analisou esse clássico caso histórico reportado na

literatura. Os métodos de análise de estabilidade disponíveis na época foram utilizados para

verificar o fator de segurança e a locação da superfície de ruptura. Os resultados mostraram

que o até então desconhecido método de Bishop Simplificado foi o que forneceu os melhores

resultados. Bishop (1955) apresentou a teoria geral de análise de estabilidade em um trabalho

intitulado “The use of the slip circle in the stability analysis of slopes”. Segundo Bishop

(1955) a forma e a locação da superfície de ruptura é influenciada pela distribuição de

poropressão e pela variação dos parâmetros de resistência do talude. Portanto, uma solução

21


analítica generalizada não é possível e uma solução numérica é requerida em cada caso

individualmente. Ele afirma ainda que “A determinação mais rigorosa da forma da superfície

mais crítica apresenta muitas dificuldades na prática e uma forma simplificada, usualmente

um arco circular, é adotada e o problema é assumido ser de deformação plana”.

Basicamente o método de Bishop Simplificado consiste em considerar a resultante das forças

atuantes nas laterais das fatias como sendo horizontais ou seja, as forças cisalhantes nas

laterais das fatias são consideradas nulas. O fator de segurança é expresso em termos de

momento, assim como no método Ordinário (Fellenius), somente os equilíbrios estáticos das

forças na direção vertical e dos momentos são satisfeitos.

No método de Janbu Simplificado a determinação do fator de segurança é feita a partir do

equilíbrio horizontal das forças. A soma das forças normais nas laterais das fatias deve se

anular, e as forças cisalhantes nessas fatias são desprezadas. O fator de segurança é corrigido

por um fator que é função dos parâmetros de resistência, ' e ' φc , e da forma da superfície de

ruptura. Esse fator de correção é aplicado pelo fato de se assumir que as forças cisalhantes são

nulas nas laterais das fatias. Já o método de Janbu Generalizado assume que a resultante das

forças nas laterais das fatias estão aplicadas numa linha de empuxo conforme mostrado na

Fig. 2.5a.

Ching & Fredlund (1983) apresentaram algumas dificuldades associadas ao método de

equilíbrio limite. Eles utilizaram o método de Janbu Generalizado para demonstrar que

problemas de convergência podem acontecer, quando se assume uma função não muito

razoável para descrever a atuação das forças nas laterais das fatias. Ching & Fredlund (1983)

mostraram que a força cisalhante na lateral da fatia é função da inclinação da linha de empuxo

e se a linha de empuxo for muito inclinada, no caso de superfície de ruptura muito íngrime,

uma força cisalhante maior será computada. Quando a inclinação da linha de empuxo excede

os graus a força cisalhante na lateral da fatia será maior que a força normal, levando a

problemas de convergência. Ching & Fredlund (1983) sugerem o uso de uma função que seja

mais realista com a distribuição de tensões no maciço. De acordo com a Fig. 2.5b, a função

gerada pela linha de empuxo é quase o contrário da função gerada pela distribuição de tensão,

que parece ser a função mais razoável.

45

22


0 10 20 30 40 50

10

20

Centro de rotação

Distância (m)

Elev

ação

(m)

Linha de empuxo

Superfície de rupturacircular

Distância (m)

Gradiente da superfícieFunção de distribuição

de empuxo assumida

de tensãodo terreno

f(x) =

X/E

Função gerada da linha

10 20 30 40 50

(a) (b)

Figura 2.5 Típicas funções de forças entre fatias: a) geometria mostrando a linha de empuxo,

b) possíveis funções de forças entre fatias (Ching & Fredlund, 1983).

Spencer (1967) derivou duas equações para o fator de segurança. Uma baseada no somatório

de momentos em torno de um ponto comum e a outra baseada no somatório das forças na

direção paralela às forças entre fatias. O método de Spencer assume que a resultante das

forças nas laterais das fatias estão atuando numa direção inclinada de um ângulo θ com a

horizontal e com relação constante entre a tensão cisalhante, X , e tensão normal, E .

Portanto, o valor de θ tem de satisfazer às duas equações para o fator de segurança. O método

de Spencer é referenciado na literatura como sendo um método rigoroso, pois satisfaz todas as

equações de equilíbrio da estática.

Outro método também referenciado na literatura como rigoroso é o método de Morgenstern-

Price. O método assume uma função matemática para descrever a direção das forças entre as

fatias como mostra a Eq. (2.20):

(2.20) EXxf /)( =λ

onde:

λ , é uma constante a ser avaliada na resolução do fator de segurança;

)(xf , é uma variação funcional com relação à direção x.

No método de Morgenstern-Price algumas funções, , podem ser usadas para descrever a

relação entre as tensões cisalhante e normal na lateral das fatias através da massa do solo

conforme pode ser visto na Fig. 2.6. Para uma função constante, Fig. 2.6a, o método de

Morgenstern-Price é o mesmo método de Spencer. O fator de segurança é expresso usando-se

o somatório das forças nas direções normal e tangencial à base da fatia, e de momento em

torno de um ponto comum, mesmo que a superfície seja composta.

)(xf

23


f(x)

0

1

E x D

f(x) = constante

f(x)

0

1

E x D

f(x) = metade do seno

f(x)

0

1

E x D

f(x) = seno cortado

f(x)

0

1

E x D

f(x) = trapezoidal

f(x)

0

1

E x D

f(x) = especificada

(0,0) (1,0) (1,0)

(a) (b) (c)

(d) (e)

Figura 2.6 Variação funcional da direção das forças entre fatias com relação à direção x

(Fredlund & Krahn, 1977).

Fredlund & Rahardjo (1991) apresentaram os procedimentos de cálculo para análise de

estabilidade envolvendo poropressão de água negativa. Basicamente o método, chamado de

GLE, é o mesmo método de Morgenstern-Price, exceto pelo fato de que no método de

Morgenstern-Price as equações foram escritas para fatias infinitesimais, enquanto que o GLE

para fatias discretas. Também diferem quanto à aplicação da resultante da força normal na

base. Enquanto no GLE a resultante da força normal é aplicada no centro da fatia, no método

de Morgenstern-Price a resultante é levemente deslocada do centro. Fredlund et al. (1981)

apresentam o GLE como um método geral em que, com exceção do método de Fellenius, os

outros métodos são casos especiais.

2.4.2 - Análise de estabilidade de taludes por elementos finitos (método melhorado)

Pham (2002) referencia um trabalho publicado por Bishop (1952) onde ele discute a

existência de áreas dentro de um talude onde há ocorrência de tensão excessiva. O trabalho

apresentado por Bishop (1952) mostrou que a existência de um estado de equilíbrio plástico

deve ser considerada pelo menos em algumas partes do talude. Bishop (1952) concluiu que a

solução de análise de estabilidade de talude usando-se o método do equilíbrio limite

convencional (MEL) não estava em conformidade com o que ocorria no campo. Pham (2002)

também cita algumas pesquisas que confirmam a declaração de Bishop (1952), como a

realizada por La Rochelle (1960) onde ele avaliou a condições de tensão em um talude de

escavação. Essa avaliação mostrou a ocorrência de áreas de tensão excessiva na parte inferior

da superfície de deslizamento.

24


A influência da distribuição de tensões na análise de estabilidade de taludes tem sido bastante

estudada. Wright et al. (1973) usaram o parâmetro adimensional (Janbu, 1954) φλc , conforme

Eq. (2.21), para comparar os resultados de distribuição de tensão normal e fator de segurança

local obtidos a partir do método de Bishop Simplificado com os obtidos na análise de

estabilidade de taludes por elementos finitos. Na análise por elementos finitos a superfície

considerada foi àquela obtida pelo método de Bishop Simplificado.

ccHtgφγλ φ = (2.21)

onde:

γ , peso específico do solo;

H , altura do talude;

φ , c , parâmetros de resistência do solo.

Os resultados para uma análise linear elástica mostraram que a distribuição de tensão normal

ao longo da superfície de deslizamento foi maior no centro da superfície e menor próximo aos

extremos, para o método de Bishop Simplificado. O fator de segurança local ao longo de

aproximadamente 1/3 a 1/2 da superfície foi menor que o fator de segurança global. Para uma

análise linear elástica eles concluíram que um fator de segurança global igual a 1,5 é

suficiente para prevenir tensão excessiva local. Já na análise por elementos finitos o fator de

segurança global foi maior que o verificado no método de Bishop Simplificado, com

diferença em torno de 4,5%. Essa diferença diminui a medida em que se aumenta o parâmetro

de Janbu (1955).

Wright et al. (1973) mostraram também resultados de análise não linear por elementos finitos,

onde o fator de segurança foi ligeiramente maior que o obtido pelo método de Bishop

Simplificado. Os resultados da análise não linear mostram que o fator de segurança aumenta

com um aumento do Poisson e que a diferença foi de 2% para um Poisson de 0,3 e de 8% para

um Poisson de 0,49. Wright et al. (1973) concluem que as hipóteses assumidas por Bishop

(1955) para o cálculo do fator de segurança não levam a erros significativos comparados com

o fator de segurança calculado pelo método dos elementos finitos.

Além de querer determinar o fator de segurança, é desejável se ter informações sobre o

desenvolvimento do mecanismo de ruptura. Naylor (1982) classificou os métodos que usam

25


as tensões obtidas por elementos finitos para análise de estabilidade de taludes em dois:

métodos diretos e métodos melhorados. Os métodos diretos se referem àqueles que utilizam

os deslocamentos nodais, na análise por elementos finitos, para definir a superfície potencial

de deslizamento. Nesse método o fator de segurança é diretamente medido a partir de análises

sucessivas, onde os parâmetros de resistência do solo são reduzidos ou o carregamento do

mesmo é aumentado até que a ruptura seja indicada. No método melhorado as tensões

calculadas, na análise por elementos finitos, são utilizadas em conjunto com a teoria de

equilíbrio limite para determinar o fator de segurança. Naylor (1982) conclui, a partir das

análises realizadas, que os métodos diretos são ferramentas eficientes na identificação do

mecanismo de ruptura e que nos métodos melhorados uma malha refinada é necessária para

que se atingir resultados com acurácia de 2% (comparando-se com uma malha infinitamente

fina), sendo então este uma alternativa menos atrativa, porém servindo de apóio para os

métodos diretos.

Farias & Naylor (1998) desenvolveram um método capaz de identificar os pontos no interior

dos elementos, numa análise de tensões por elementos finitos, pertencentes a uma superfície

potencial de deslizamentos e interpolar nesses pontos as tensões normais, nσ , e cisalhantes,

nτ , obtidas a partir das componentes de tensão ( xyyx τσσ ,,

)(xy

). Na análise realizada por Farias &

Naylor (1998) o fator de segurança foi obtido, a partir do campo de tensões, em conjunto com

o método de equilíbrio limite convencional (método melhorado). O método mostrou-se

eficiente na determinação do fator de segurança, bem como forneceu informações a respeito

do desenvolvimento do mecanismo de ruptura a partir dos gráficos de contornos do índice de

solicitação (OSR). Farias & Naylor (1998) mostraram que a análise linear elástica forneceu

uma boa estimativa para o fator de segurança, mas que esse tipo de análise não deve substituir

uma análise não linear sugerindo, então, que a análise linear elástica tenha um papel

preliminar na avaliação do fator de segurança.

2.4.3 - Análise de estabilidade de talude pelo método abrangente

Revilla & Castilllo (1977) apresentaram um método para a determinação do fator de

segurança de um talude baseado na teoria do cálculo variacional. O cálculo variacional é a

generalização de um problema onde se estuda a maximização e/ou minimização de um

funcional ao invés da própria função. Segundo Revilla & Castillo (1977) no caso da

estabilidade de taludes, a função é a linha de deslizamento e o número real associado a

26


essa linha é o fator de segurança. Revilla & Castillo (1977) declaram que: “A chave do

método está em encontrar os dois pontos desconhecidos, que estão no contorno do talude, e

que fazem parte da superfície de deslizamento”. O método de Janbu Simplificado foi

utilizado para determinação da tensão normal. Para resolver a equação do fator de segurança,

a equação de Euler foi generalizada juntamente com as condições de transversalidade,

continuidade e contorno. Alguns casos de estudos foram apresentados e comparados com o

método de Taylor. O fator de segurança determinado pelo cálculo variacional foi menor e em

alguns casos a diferença foi significativa.

Em extensão a um trabalho anteriormente apresentado (Baker & Garber, 1977), Baker &

Garber (1978) apresentaram uma teoria generalizada para derivar um teorema que governasse

a forma da superfície potencial de deslizamento, utilizando a técnica do cálculo variacional.

Segundo Baker & Garber (1978) o teorema obtido é válido para casos gerais de solos não

homogêneos, não isotrópicos, com distribuição arbitrária de poropressão de água e

carregamento externo, e com sua aplicação é possível obter o fator de segurança mínimo para

a maioria dos problemas práticos. O conceito usado no método proposto foi essencialmente o

mesmo apresentado por Revilla & Castillo (1977). Baker & Garber (1977) concluíram que o

fator de segurança é independente da distribuição de tensão normal na superfície crítica de

deslizamento, e que para o caso analisado (talude homogêneo e isotrópico) a forma da

superfície crítica pode consistir de uma log-espiral ou uma série de segmentos de reta.

A aplicabilidade do cálculo variacional à análise de estabilidade de taludes foi questionada

por De Josselin De Jong (1981) num artigo intitulado “A Variational Fallacy”. Ele argumenta

que os aspectos de minimização propostos por Kopacsy (1961) mostraram-se falsos. Segundo

De Josselin De Jong (1981) a essência do defeito foi um funcional degenerativo envolvido na

formulação. Em sua argumentação De Josselin De Jong (1981) referencia o método proposto

por Baker & Garber (1978), que segundo ele é uma modificação da análise de Kopacsy

(1961) que essencialmente mantém o mesmo defeito. O funcional G (Baker & Garber, 1978)

tem duas variáveis ( )( e )( xyxσ ), distribuição de tensão normal e altura da superfície crítica,

respectivamente) que são degenerativas porque não contêm a primeira derivada ( 'σ ) e é linear

em . De Josselin De Jong (1981) embasa sua argumentação no livro texto de Petrov (1968)

e conclui que um funcional de natureza degenerativa não possui valor mínimo.

'y

Baker (1980) apresentou um procedimento de minimização baseado na programação

dinâmica em que a superfície crítica e o fator de segurança são determinados

27


simultaneamente. De acordo com Baker (1980) a programação dinâmica tem sido

desenvolvida como um procedimento numérico para problemas de decisão seqüencial em

diversos estágios (Fig. 2.7), não utilizando o conceito das derivadas e, portanto, adequado

para perfis de solo com diferentes camadas e propriedades variáveis. O procedimento

proposto (Baker, 1980) foi aplicável apenas a “funções aditivas” (mais detalhes no Capítulo

3) e nenhuma restrição quanto a forma da superfície crítica foi adotada, exceto que tenha a

forma convexa. O método de Spencer foi utilizado para se determinar o fator de segurança.

Vários casos foram estudados e os resultados comparados com os métodos de Bishop

Simplificado e GLE. Baker (1980) conclui que para uma dada superfície o fator de segurança

foi quase idêntico àqueles reportados na literatura, e que para as superfícies locadas pelo

procedimento de programação dinâmica o fator de segurança foi abaixo daqueles registrados

na literatura.

X Xb Xo

A

C

yt

(1)

(2)

ys

dyyb

(3)

12

43

7

56

1098

15=KK614131211 (4)

(5)

Números de Estado

ybNúmero de Estágios

1234567891011

Superfície do Talude

Região de Busca

B

D

(6)(7)

(8)(9)

(10)dx6

y(x) S

uperf

ície d

e rup

tura

Figura 2.7 Esquema analítico do procedimento de busca (Baker, 1980).

Zou et al. (1995) desenvolveram um procedimento chamado “improved dynamic

programming method” , IDPM. Segundo Pham (2002), teoricamente o método foi baseado

num método proposto por Yamagami & Ueta (1988) que por sua vez foi baseado no método

de Baker (1980). A melhoria feita no método de Yamagami & Ueta (1988) foi que além de a

superfície conter segmentos lineares conectados entre dois estágios sucessivos, ela também

poderia ter segmentos lineares conectando dois pontos de um mesmo estágio. Isso

corresponde a dizer que a superfície crítica poderia conter um segmento na direção vertical.

No IDPM a resistência ao cisalhamento mobilizada dentro do talude, obtida pela análise por

28


elementos finitos, foi utilizada como indicativo para provável locação da superfície crítica de

deslizamento e, portanto, servindo como parâmetro para definição da posição de um “grid” de

busca da superfície crítica (Fig. 2.7). Zou et al. (1995) aplicaram o IDPM a um aterro

experimental construído sobre argila mole e levado a ruptura (Bangkok, Tailândia). O

resultado mostrou que a locação da superfície crítica encontrada pelo método foi próxima à

superfície de ruptura observada no campo. O fator de segurança calculado foi posto em um

gráfico e comparado a altura do aterro. Notou-se que o fator de segurança igual a 1 (um) foi

obtido para a altura de ruptura do aterro.

Pham (2002) estudou a viabilidade e a aplicabilidade do método da programação dinâmica na

análise de estabilidade de taludes utilizando um código numérico chamado DYNPROG. Pham

(2002) desenvolveu um programa de estudo onde verificou o efeito da variação dos

parâmetros de resistência, coeficiente de Poisson e poropressão de água em taludes

homogêneos e com múltiplas camadas. O estado de tensão foi obtido pelo programa de

elementos finitos FlexPDE, considerando modelagens constitutivas linear e não linear. Os

resultados obtidos mostraram que o coeficiente de Poisson exerce um importante papel na

locação da superfície e no fator de segurança.

Pham (2002) também reanalisou o clássico caso histórico que deu notoriedade ao método de

Bishop (1955). O resultado obtido em termos de locação da superfície foi idêntico ao

observado no campo à época.

2.5 - Resumo

Neste capítulo a revisão da literatura foi feita em duas partes. A primeira apresenta o

desenvolvimento da teoria geral para solos não saturados. Na segunda parte buscou-se

apresentar de forma cronológica o desenvolvimento dos métodos de análise de estabilidade de

taludes.

A apresentação da teoria geral para os solos não saturados foi inicialmente precedida por uma

breve revisão do conceito de tensão efetiva, mostrando sua importância quando se avalia o

comportamento mecânico de resistência e deformabilidade de um solo saturado. A partir daí

são feitas referência a autores que propuseram estender o princípio das tensões efetivas para

os solos não saturados, dentre estes Bishop (1959). Como foi visto neste capítulo, a proposta

de Bishop (1959) mostrou-se inconsistência com alguns resultados experimentais, levando as

29


pesquisas a avançar em direção da utilização de duas variáveis de estado de tensão para

descrever o comportamento mecânico de um solo não saturado. Deixando de lado a tentativa

de se utilizar uma única variável de estado de tensão, Matyas & Radhakrishna (1968)

apresentaram o conceito de parâmetro de estado, e com base em resultados experimentais

modelam as superfícies de estado de um solo não saturado.

Foram apresentadas relações constitutivas para o solo não saturado, assim como a equação de

resistência ao cisalhamento e as leis de fluxo em meio não saturado. As equações constitutivas

apresentadas foram as do modelo elástico não linear de Fredlund (1979), que utiliza o

conceito de superfícies de estado apresentado por Matyas & Radhakrishna (1968). Esse

modelo é utilizado por Pereira (1996) na formulação da solução acoplada de equilíbrio e

fluxo, introduzindo o parâmetro de anisotropia como será visto no Capítulo 3.

Foi feita uma revisão cronológica do desenvolvimento dos métodos de análise de estabilidade

de taludes. Os métodos foram agrupados e apresentados de forma simples e objetiva

destacando suas virtudes e deficiências, bem como os passos dados na direção de

aperfeiçoamento dos mesmos. Fica evidente o avanço do método de Equilíbrio Limite no

sentido de se levar em conta o comportamento tensão deformação do maciço na determinação

das tensões. Estudos acerca da utilização da teoria do cálculo variacional na análise de

estabilidade de taludes também são enfocados. O método de Baker (1980) foi simplesmente

apresentado como ferramenta de análise de estabilidade de taludes. Entretanto, no Capítulo 3

será apresentada a formulação do método que será implementado no programa de elementos

finitos COUPSO (Pereira, 1996).

30

Capítulo 3 Fundamentos Teóricos

31

CAPÍTULO 3

Fundamentos Teóricos

3.1 - Introdução

Neste capítulo são apresentadas as teorias necessárias para o desenvolvimento deste trabalho.

Na seção 3.2.1 são apresentadas as hipóteses adotadas no desenvolvimento das equações

acopladas de equilíbrio e fluxo de um meio poroso não saturado. Na seqüência uma rápida

apresentação dos passos seguidos para o acoplamento das equações e por fim a solução

numérica do problema.

Numa segunda etapa o método da Programação Dinâmica é apresentado na seção 3.3 com

detalhes e de forma ilustrativa. O método desenvolvido por Baker (1980) é utilizado neste

trabalho para analisar a estabilidade de taludes de barragens de terra, conforme será visto nos

Capítulos 4 e 5. São apresentadas as principais características do método e a restrição adotada

por Pham (2002) no processo de busca da superfície crítica. Essa restrição também é utilizada

nesse trabalho de forma a se buscar superfícies que sejam fisicamente admissíveis.

3.2 - Formulação das equações acopladas de equilíbrio e fluxo

Uma formulação rigorosa para análise de problemas de solos não saturados, em duas e três

dimensões, requer o acoplamento das equações de continuidade das fases ar e água com as

equações de equilíbrio do solo. Processos transientes de fluxo de ar e água alteram as

condições de equilíbrio em um solo não saturado visto que eles mudam o estado de tensão no

meio poroso. Em conseqüência, mudança de volume ocorre e a estrutura do solo procura por

uma nova configuração de equilíbrio. A mudança de volume altera as propriedades

hidráulicas da estrutura do solo e assim afetam o processo de fluxo transiente de ar e água

através do meio poroso.

Na seção seguinte são apresentadas as hipóteses adotadas por Pereira (1996) na solução das

equações diferenciais que regem o problema de equilíbrio e fluxo de água em meio poroso

não saturado.


32

3.2.1 - Hipóteses adotadas

A formulação de uma teoria que descreva o comportamento mecânico de um solo não

saturado requer a consideração das equações de equilíbrio e continuidade das fases água e ar.

Além disso, a solução dessas equações requer a definição de uma série de relações

constitutivas dos materiais envolvidos. No Capítulo 2 foram apresentadas as relações

constitutivas da estrutura do solo e das fases ar e água do modelo elástico não linear proposto

por Fredlund (1979), considerando as variáveis de estado de tensão ( au ) e ( wa uu ).

Na solução das equações diferenciais Pereira (1996) considera a forma incremental para as

relações constitutivas da estrutura do solo e da fase água. As deformações são assumidas

infinitesimais e o solo é considerado como um material isotrópico, linear e elástico em termos

das propriedades mecânicas relacionadas com a variação na tensão normal líquida. Em termos

das propriedades mecânicas relacionadas com a variação da sucção mátrica o solo é

considerado como sendo anisotrópico, linear e elástico. Pereira (1996) modificou o modelo

elástico não linear proposto por Fredlund (1979), introduzindo o parâmetro de anisotropia .

A anisotropia proposta por Pereira (1996) baseia-se em resultados experimentais e em

observações de Lawton et al. (1991), onde sob trajetórias de molhagem o colapso volumétrico

do solo é uma função da tensão total média. A alteração proposta por Pereira (1996) nas

relações constitutivas das Eqs. (2.8), (2.9) e (2.10), consistiu na modificação do módulo H da

seguinte forma: ii HHH 1/ , onde iH é o módulo de elasticidade da estrutura do solo

na direção i

relativo a variação na sucção mátrica, H

é o módulo de elasticidade isotrópico

também relativo a variação da sucção mátrica, função da tensão total média, e i

é o

parâmetro de anisotropia na direção i . É necessário que os fatores i

sejam tais que se tenha

0zyx . Assim, garante-se que a inclusão dos fatores de anisotropia não altere a

deformação volumétrica ocorrendo mudança apenas nas componentes individuais de

deformação.

Para a fase água também se utilizou uma modelagem constitutiva baseada no conceito de

superfícies de estado (Matyas & Radhakrishna, 1968) conforme visto no Capítulo 2. A

modelagem constitutiva da fase ar não foi necessária, visto que esta é considerada contínua e

à pressão atmosférica constante. Segundo Gitirana Jr. (1999) apesar de a condição de fluxo

livre de ar ser muito freqüente, deve-se reconhecer que na realidade essa condição pode em

alguns casos não prevalecer. Gitirana Jr. (1999) cita Barden (1965) segundo o qual afirma que


33

quando o solo é compactado em torno da umidade ótima, ocorre uma fase de transição, em

que o ar na condição contínua e na condição de bolhas de ar oclusas estão em proporções

consideráveis. Quando o solo é compactado acima da umidade ótima, a condição de ar em

forma de bolhas oclusas passa a prevalecer. Neste caso, pode-se modelar o comportamento do

solo considerando a mistura ar-água como sendo uma fase única e compressível (Biot, 1941,

Chang & Duncan, 1983 e Santos Neto & Almeida, 1993) citados por Gitirana Jr. (1999).

Pereira (1996) utilizou a consideração de ar contínuo e à pressão atmosférica constante na

análise numérica do comportamento mecânico de barragens de terra compactadas em

condição metaestável.

3.2.2 - Equações básicas

A seguir são apresentadas as equações básicas que regem o comportamento mecânico do solo

não saturado. Como já discutido anteriormente, a equação da fase ar é desprezada. Na

formulação desenvolvida o eixo coordenado y coincide com a direção vertical.

3.2.2.1 - Equação de continuidade da água

Na condição tridimensional a continuidade da água é escrita de acordo com a Eq. (3.1)

0)v()(

www

t

nS

(3.1)

onde:

n é porosidade do solo: 0/VVn v ;

S é o grau de saturação do solo: vw VVS / ;

w = densidade da água;

kvjvivv zw

yw

xww , vetor de velocidade macroscópica da água;

zyx, operador divergente;

0V é o volume total inicial do elemento;

WV é o volume de água no interior do elemento;

vV é o volume de vazios no interior do elemento.


34

Na engenharia prática a água é considerada incompressível, isto é, w

constante. Assim,

assumindo a condição de deformação infinitesimal a Eq. (3.1) pode ser reescrita na forma da

Eq. (3.2).

0)v()/(

w0

t

VVw (3.2)

3.2.2.2 - Equações de equilíbrio do solo

Considerando o equilíbrio estático de um elemento de solo têm-se as Eqs. (3.3), (3.4) e (3.5)

nas direções x, y e z respectivamente como segue:

0xzxyxxx bzyx

(3.3)

0yzyyyxy bzyx

(3.4)

0zzzyzxz b

zyx

(3.5)

onde:

ij é a tensão normal total no plano i

e direção j ;

ij é a tensão de cisalhamento no plano i e direção j ;

ib são as forças de massa.

No caso da condição bidimensional as Eqs. (3.6) e (3.7) definem o equilíbrio do elemento de

solo

0xyxx byx

(3.6)

0yyxy b

yx

(3.7)


35

3.2.3 - Relações constitutivas e lei de movimento

Para resolução das equações básicas é necessária a definição de relações constitutivas para a

estrutura do solo e para a fase água, ligando as variáveis de estado de deformação com as

variáveis de estado de tensão. Além disso, lei de movimento para a fase água e equação

constitutiva para a lei de movimento são necessárias.

3.2.3.1 - Relação constitutiva para a estrutura do solo

As relações constitutivas para a estrutura do solo não saturado foram apresentadas na seção

2.3.1.1 conforme as Eqs. (2.8), (2.9) e (2.10). Na forma incremental essas equações podem ser

escritas conforme a Eq. (3.8).

was uudhdDd~~~~

*1

(3.8)

onde:

amu* ; 0,0,0,1,1,1Tm ; 0,0,0,1

,1

,1T

zyxs HHH

h ;

yz

xz

xy

z

y

x

;

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

11

~ED ;

yz

xz

xy

z

y

x

A Eq. (3.8) expressa de forma genérica a relação tensão deformação e também fornece uma

forma conveniente para propósitos computacionais (Zienkiewicz, 1975) citado por Pereira

(1996).

De acordo com a Eq. (3.8), incrementos de tensão normal líquida podem ser expressas como

função dos incrementos de deformações e da sucção mátrica como mostra a Eq. (3.9):


36

)(*

was uudDdDd~~~~

(3.9)

onde:

ss hDD~~

.

Na condição de deformação plana, é restringida a deformação na direção z isto é, 0zd .

Logo, pela Eq. (3.8) tem-se a tensão normal líquida na direção z dada pela Eq. (3.10).

)()2()( waz

ayxaz uudH

Eudud

(3.10)

Levando-se a Eq. (3.10) para Eq. (3.9) têm-se as relações constitutivas para a condição de

deformação plana onde:

xy

ay

ax

a u

u

mu* ;

x

v

y

uy

vx

u

xy

y

x

,

são os vetores de tensão total líquida e deformação total, respectivamente;

u, v são os deslocamentos nas direções x e y, respectivamente;

)1(2

2100

011

01

1

)21)(1(

)1(ED ;

0

)11

(1

1

)11

(1

1

)21)(1(

)1(

zxy

zyx

s HHH

HHHE

D

são as matrizes constitutivas tangentes.

3.2.3.2 - Relação constitutiva para a fase água

A relação constitutiva da fase água foi apresentada no Capítulo 2 pelas Eqs. (2.11) e (2.13).

Para o caso de deformação plana a Eq. (2.13) é escrita em termos da tensão média nas


37

direções x e y, ou seja, 2/)( yxmédia . Os parâmetros de compressibilidade ss mm 21 e ,

ww mm 21 e são obtidos combinando-se distintamente a Eq. (2.11) com a Eq. (3.10), e a

Eq. (2.13) com a Eq. (3.10):

Ems )21)(1(2

1 ; zyx

s

HHHm

2112 ;

w

w

Em

)1(21 ;

ww

w

E

HE

Hm

)/(12

(3.11)

Substituindo-se a Eq. (3.9) na Eq. (2.13), a equação constitutiva da fase água pode ser

expressa conforme a Eq. (3.12).

)(210

wawvww uudd

V

dV

(3.12)

onde:

s

w

w m

m

1

11 ;

s

sww

w m

mmm

1

2122

3.2.4 - Equações diferenciais finais para a condição de deformação plana

A seguir são apresentadas as equações acopladas que regem o fenômeno de consolidação do

solo não saturado, em termos das incógnitas primárias. As incógnitas primárias para a

condição de deformação plana são os deslocamentos (u e v) e a pressão de água ( wu ). As

equações são explicitamente definidas a partir combinação das equações básicas com as

relações constitutivas e a lei de fluxo, discutida no Capítulo 2. Assim, têm-se as Eqs. (3.13) e

(3.14) para o equilíbrio da estrutura do solo nas direções x e y respectivamente. A Eq. (3.15)

para conservação de massa de água.

0331211 xawax

s bx

u

x

uud

y

v

x

u

yc

y

vc

x

uc

x (3.13)

0221233 byx

u

x

uud

y

vc

x

uc

yx

v

y

u

xc away

s (3.14)

yu

kt

uu

t w

wwaw

vw 21 (3.15)


38

onde:

)21)(1(

)1(2211

Ecc ;

)21)(1(12

Ec ;

)1(233

Ec

zyx

xs HHH

cd)1()1(

111 ;

zyx

ys HHH

cd)1(

1

)1(11

3.2.5 - Solução numérica do sistema de equações acopladas

A solução das equações obtidas é feita de forma aproximada por meio de técnicas numéricas,

onde o domínio contínuo é dividido em elementos discretos conectados pelos nós. Para o caso

de deformação plana, Pereira (1996) utiliza o método dos elementos finitos para a

discretização espacial do contínuo, e um esquema de diferenças finitas para a discretização

temporal, haja visto a natureza transiente do problema.

3.2.5.1 - Discretização espacial das equações de equilíbrio e continuidade da fase água

Pereira (1996) utiliza o Princípio dos Trabalhos Virtuais para resolver as equações de

equilíbrio e o Método de Galerkin para a solução da equação de continuidade da fase água. Na

forma matricial estas são apresentas conforme Eq. (3.16) e (3.17), respectivamente:

FuCWuDK w

(3.16)

FWuTW-uWKuHW ww

(3.17)

onde:

x , representa a derivada de x em relação ao tempo;

x , representa o valor nodal da variável;

DK = dDBBT , é a matriz de rigidez da estrutura do solo;

CW = d

DB sT , é a matriz de rigidez relacionada a fase água;


39

F

= d

tbT

+ dSts

S2

, é o vetor de cargas relacionado as forças de volume e

forças de superfície;

HW = dk1

)( ww

T , é a matriz de condutividade hidráulica;

WK

= BdmTTw1

, é a matriz de massa do solo. Acopla a equação de continuidade da

água com a equação de equilíbrio;

TW = dTw 2

, é a matriz de massa de água;

FW = - dS-y)d(k)(2S

Tw

T , é o vetor de força;

n21 ,...,, ;

j , função de forma do nó j;

n, número de pontos nodais.

Na forma condensada o sistema pode ser escrito na forma da Eq. (3.18):

TwBwA

(3.18)

onde:

HW0

00A ;

TW-WK

CWDKB ;

wu

uw ;

FW

FT .

3.2.5.2 - Discretização temporal do sistema de equações acopladas

O sistema de equações obtido na discretização espacial, Eq. (3.18), possui um vetor de

incógnitas de deslocamentos e pressão de água, w , e um vetor de incógnitas de variação no

tempo dos deslocamentos e pressão de água, w . A derivada em relação ao tempo identifica

um fenômeno transiente e, portanto, uma solução em relação ao tempo é requerida. A solução

apresentada utiliza o Método das Diferenças Finitas para a aproximação temporal das

equações acopladas em um instante )( tt .

De forma geral Pereira (1996) apresenta as matrizes B e A e o vetor de força T

como


40

sendo não lineares, dependentes do estado de tensão e propriedades do material. Assim, o

sistema de equações que rege o problema de tensão deformação acoplado ao fluxo em meio

não saturado pode ser descrito como função do tempo de acordo com a Eq. (3.19):

tttttttttt TwBwA

(3.19)

O valor de

define o esquema de integração numérica adotado. Neste trabalho utilizou-se o

esquema de integração com =1 (backward difference scheme) por mostrar-se mais estável.

Pereira (1996), utilizou um esquema de tempo em dois níveis e assumiu uma variação linear

para o vetor de incógnitas para um dado incremento de tempo dado pela Eq. (3.20):

ttttt ww1w

(3.20)

A derivada em relação ao tempo das incógnitas pode ser expressa pela Eq. (3.21):

tww

w ttttt

(3.21)

Substituindo as Eqs. (3.20) e (3.21) na Eq. (3.19), chega-se a solução final das equações

diferencias do problema conforme mostrado pela Eq. (3.22):

tFGwAG tt

(3.22)

onde:

tttt BAtAG ; twBA)t(1tTFG ttt tttt .

A solução do vetor de incógnitas do sistema FGwAG tt

para um instante )( tt

é

obtida em função do vetor de incógnitas do passo de tempo anterior e das matrizes de rigidez.

Portanto, é necessário conhecer a condição inicial das três variáveis primárias do problema,

wu e vu, .


41

3.3 - Teoria geral do método da Programação Dinâmica

Bellman (1957) introduziu uma nova teoria matemática de processo de decisão em múltiplos

estágios. O processo de decisão é definido como um sistema cujo estado, em um tempo t

qualquer, é especificado para o vetor P que sofre transformações no curso do tempo. A

transformação da variável P é equivalente a uma decisão. Se uma única decisão é feita, o

processo é chamado de processo de decisão de estágio único.

Originalmente a terminologia Programação dinâmica é derivada da natureza da solução. Os

problemas tratados são de programação e o adjetivo dinâmica indica o envolvimento do

tempo.

As características da teoria da programação dinâmica podem ser resumidas como segue:

O propósito do método da programação dinâmica é maximizar ou minimizar uma

função;

A função pode ser descrita como um sistema contendo estágios. O sistema é

caracterizado em qualquer estágio por parâmetros chamados de variáveis de estado;

Em cada estágio do processo, existe um número de decisões a ser feita;

O efeito de uma decisão é a transformação das variáveis de estado;

O passado histórico do sistema não é de importância para a determinação de futuras

ações.

Bellman (1957) introduziu a clássica declaração do princípio da optimalidade

transcrito a

seguir:

Princípio da optimalidade: Uma ótima política tem a propriedade de que, qualquer que seja

o estado inicial e a decisão inicial, as decisões restantes devem levar em conta no resultado o

estado da decisão inicial.

Segundo Bellman (1957), tradução matemática deste princípio levará a todas as equações que

serão encontradas na teoria do método da programação dinâmica.


42

3.3.1 - Formulação do método da programação dinâmica

Uma das definições do fator de segurança encontradas na literatura é expressa pela Eq. (3.23):

B

A

B

A

f

s

dL

dL

F

(3.23)

onde:

sF , é o fator de segurança da superfície AB,

, é a tensão de cisalhamento mobilizada ao longo da superfície AB

f , é a resistência ao cisalhamento do solo,

L , é o comprimento total da superfície AB.

Assumindo-se que a superfície crítica de deslizamento é a reunião de segmentos lineares,

conforme mostrado na Fig. 3.1. Na forma discreta o fator de segurança global, SF , pode ser

escrito para a superfície AB conforme Eq. (3.24):

n

ii

i

n

if

s

L

LF

i

1

1

(3.24)

onde:

n , é o número de segmentos discretos,

i , é a tensão de cisalhamento mobilizada ao longo do segmento i ,

if , é a resistência do solo ao longo do segmento i ,

iL , é o comprimento do segmento i .


43

X

A

Y

"1" "n+1""i"

B

"Estágio"

"Ponto de Estado"

Figura 3.1 Superfície de deslizamento AB na forma discreta (Pham, 2002).

Visto que um dos propósitos da análise de estabilidade de taludes é determinar o fator de

segurança mínimo, um esquema de minimização precisa ser feito para encontrar o valor

mínimo do fator de segurança, sF na Eq. (3.24).

A minimização de sF na Eq. (3.24) requer uma técnica apropriada. Baker (1980) mostrou a

relação entre o cálculo variacional e o método da programação dinâmica, concluindo que a

minimização do fator de segurança pode ser feita minimizando-se uma função auxiliar, G ,

também chamada de função de retorno, que é definida na forma discreta pela Eq. (3.25):

i

n

iisf LFG

i1

(3.25)

Para um segmento, i, a resistência ao cisalhamento do solo pode ser definida pela teoria geral

da mecânica dos solos não saturado conforme discutido no Capítulo 2 e mostrado pela

Eq. (2.14). Assim, a tensão normal e de cisalhamento atuando no ponto de um plano particular

podem ser computadas das tensões yx , e xy de acordo com as Eqs. (3.26) e (3.27):

2cos22 sensen xyyx

(3.26)

22

cos22 sensen xyxy

(3.27)

onde:

yx , , são as tensões totais nas direções X e Y respectivamente;


44

xy , é a tensão de cisalhamento na direção XY;

, é o ângulo medido entre a direção do plano e a direção do eixo X.

Na Figura 3.2 os pontos que definem a superfície crítica pertencem a um sistema formado por

pontos de estado e estágios. Os estágios estão na direção horizontal, e cada estágio contém um

número de pontos de estado locados na direção vertical. Visto que a busca otimizada pela

programação dinâmica utiliza um sistema de pontos de estado e estágios, o sistema formado é

chamado de grade de busca. O contorno da grade de busca é chamado de contorno de busca,

e deve ser definido pelo usuário.

X

A

Y

"1" "n+1"...i

B

"Ponto de

"Ponto de estado"

"Ponto final"

"Ponto Inicial"

j

i+1

SikRi

"Grade de pesquisa"

"Grade de saída"ou

"Contorno de pesquisa"

"Elemento da grade""Ponto de saida"

i+1... Xb

Yb

entrada"

i

Figura 3.2 Esquema analítico do método da programação dinâmica (Pham, 2002).

Conforme será visto no Capítulo 4, as tensões e propriedades do solo são interpolados no

centro de cada elemento da grade de busca. Se a densidade da grade de busca é

suficientemente fina, então as tensões no interior do elemento podem ser assumidas

constantes, sendo representativa para todo o elemento. Supondo que a superfície crítica de

deslizamento contenha um segmento, jk , conectando dois pontos, j

e k , locados em dois

estágios sucessivos, i e 1i , respectivamente, como mostra a Fig. 3.3. A força resistente e de

cisalhamento atuando no segmento jk pode ser calculada pela Eq. (3.28).

ij

ne

ijf

ne

ijijifi lRLR

iji11

(3.28)


45

Si

Ri

Rij

Sij

j

(ij)

(ij)

(ij)

(ij)

estágio "i+1"estágio "i"estágio "i" estágio "i+1"estágio "i" estágio "i+1"

jj

k

j

k

Lij

Lij

Lij

Lij

Lij

Lij

Lij

Lij

Li

Rij

Sij

Rij

Sij

Rij

Sij

f i j

i j

i j

k

f i j

i j

i j

i jf

i j

i j

i jf

i j

i j

Figura 3.3 Resistência ao cisalhamento e tensão de cisalhamento na forma discreta

(Pham,2002).

De acordo com a Eq. (2.14) as forças resistente e de cisalhamento atuantes no segmento jk

são expressas a seguir:

ij

ne

ij

bijwaijaijiji ltguutgucR

ijijij1

'''

(3.29)

ij

ne

ijij

ne

ijijiii lSLS

11

(3.30)

onde:

ij , é o elemento da grade atravessado pelo segmento jk ;

ijf , é a resistência ao cisalhamento no centro do elemento ij ;

ij , é a tensão de cisalhamento mobilizada no centro do elemento ij ;

bijijijc ,, '' , são os parâmetros de resistência do solo no centro do elemento ij ;

ne , número de elementos ij ;

ijl , é o comprimento do segmento passando pelo elemento ij .

De acordo com Baker (1980), o método da programação dinâmica é simplesmente aplicável a

uma função aditiva , que é essencialmente a mesma função auxiliar G da Eq. (3.25). Para

um segmento jk , o valor mínimo de G pode ser escrita conforme Eq. (3.31).


46

n

iisi SFRGG

1min minmin (3.31)

onde:

iR , é a força resistente do solo ao longo do segmento jk ;

iS , é a força de cisalhamento atuando no segmento jk .

Segundo Baker (1980) o principal elemento da abordagem da programação dinâmica é uma

seqüência de funções )( jHi , que são chamadas de funções ótimas. O valor da função ótima

)( jHi , é igual ao mínimo valor da função de retorno, G , calculada de um ponto no estágio

inicial para o ponto j no estágio i .

De acordo com o princípio da optimalidade (Bellman, 1957), a função ótima )(1 kHi

obtida

no ponto k do estágio 1i pode ser calculada de acordo com a Eq. (3.32):

),()()(1 kjGjHkH iii

(3.32)

onde:

)(1 kHi , é a função ótima obtida no ponto k do estágio 1i ;

)( jHi , é a função ótima obtida no ponto j no estágio i ;

),( kjGi , é a função de retorno calculada para o segmento quando passa do ponto de estado j

no estágio i para o ponto de estado k no estágio 1i .

No estágio inicial, ( 1i ), o valor da função ótima )(1 jH para todos os pontos de estado j

é

igual a zero ( 0)(1 jH ). Já para o estágio final, ( 1ni ), a função ótima é igual ao mínimo

valor da função de retorno G , isto é:

),()()(1 kjGjHkH nnn

(3.33)

n

iisin SFRGkH

1min1 )( ; 1...1 nNPk (3.34)

onde:

1nNP , é o número de pontos de estado no estágio final.


47

O ponto ótimo no estágio final é definido como o ponto em que, a função ótima )(1 kHi

calculada é mínima. A partir do ponto k no estágio final, o ponto ótimo j

no estágio anterior

é determinado. A trajetória jk formada pelos pontos ótimos j

e k é um segmento

pertencente à trajetória ótima. A trajetória ótima é completamente determinada, conectando-

se os pontos ótimos do último para o primeiro estágio. Essencialmente a trajetória ótima é a

superfície crítica de deslizamento.

Baker (1980) enfatiza a dificuldade em se aplicar diretamente a Eq. (3.32) para o funcional

G , pelo fato de que os pontos inicial e final da superfície de deslizamento não serem

conhecidos de antemão. Esses pontos não podem ser arbitrariamente locados em qualquer

lugar da superfície do talude. Portanto, para resolver essa dificuldade, a busca deve ser

iniciada e finalizada em pontos arbitrários fora do contorno físico do talude. Esses pontos são

chamados de ponto inicial e final, respectivamente. Visto que fora do contorno do talude não

há tensões, todas as funções de retorno calculadas, G , são iguais a zero.

A Fig. 3.2 mostra o contorno de busca, que circunscreve a maior parte do talude, mas que tem

um ponto ( BB YX e ) dentro do limite físico do talude. Esse ponto é colocado dentro do limite

físico, justamente para prevenir que a busca pela trajetória ótima se dê por fora do talude.

É importante ressaltar que a busca pela trajetória ótima depende do fator de segurança

definido na Eq. (3.24), que não é conhecido previamente. Portanto, um valor inicial para o sF

deve ser atribuído para que se possa iniciar a busca.

Assumindo-se um valor inicial para o fator de segurança, iSF , a busca é iniciada e uma

trajetória ótima inicial é obtida. O fator de segurança, aSF , para a trajetória ótima é avaliado

pela Eq. (3.24). Se uma tolerância

é definida para a convergência do aSF , então a

convergência deve ser checada pela Eq. (3.35):

iS

aS FF (3.35)

Se a condição apresentada pela Eq. (3.35) é satisfeita, então aSF é o fator de segurança e a

correspondente trajetória ótima é a superfície crítica de deslizamento. De outra maneira um

novo valor para o fator de segurança inicial, iSF , é calculado para a próxima iteração de

acordo com a Eq. (3.36):


48

i

Sa

Sa

Si

s FFFF

(3.36)

Onde

é um fator aplicado ao erro utilizado na avaliação do novo i

SF , isto é, se

igual a 1

então todo erro é utilizado. Portanto, a busca é não linear em sF .

O procedimento é repetido até que a condição mostrada na Eq. (3.35) seja satisfeita. A

trajetória ótima final é a superfície crítica de deslizamento e o fator de segurança

correspondente o mínimo sF .

3.3.2 - Restrição aplicada à forma da superfície crítica

Segundo Zou et al. (1995) uma verificação deve ser feita para garantir que a superfície crítica

seja cinematicamente admissível. Infelizmente, Zou et al. (1995) não deram nenhum detalhe

de como se fazer essa verificação.

Teoricamente, quando a ruptura ocorre, a força resistente e a força atuante ao longo da

superfície de deslizamento estão em direções contrárias. A força resistente deve sempre atuar

na direção oposta ao movimento da massa. Assim, a força atuante deve estar na mesma

direção do movimento, como mostrado na Fig 3.4. Se a força atuante calculada está na

direção contrária ao movimento da massa, então o segmento é eliminado da busca, como

também é mostrado na Fig. 3.4.

S1

R1

X

Y

A

B

i

j

i+1k

S2

S2

S4 S5S5

R2

R3R4 R5

R6

RiSi

Eliminado

Figura 3.4 Restrição cinemática aplicada à forma da superfície crítica (Pham, 2002).


49

Pham (2002) enfatizou que a aplicação de uma restrição cinemática exerce um importante

papel para aplicabilidade do método da programação dinâmica à análise de estabilidade de

taludes. Pham (2002) aplicou em seu trabalho a restrição cinemática mostrada na Fig. 3.4,

para prevenir superfícies que tenham forma não razoável. Neste trabalho também é aplicada

essa restrição.

3.4 - Resumo

Este capítulo apresentou a fundamentação teórica aplicada na análise de estabilidade de

taludes. Inicialmente foram apresentadas as equações básicas de equilíbrio e fluxo para a

condição bidimensional, passando-se a seguir a apresentação das equações acopladas e por

fim a solução numérica do problema. Na seqüência o princípio da optimalidade, que é o

núcleo do método da programação dinâmica, é apresentado juntamente com os procedimentos

de busca otimizada proposto por Baker (1980).

Como pôde ser visto na teoria apresentada, o método da programação dinâmica utilizado

nesse trabalho requer a avaliação do estado de tensão do maciço para proceder a análise de

estabilidade dos taludes. Uma análise acoplada de equilíbrio e fluxo descreve de forma mais

realista a natureza do fenômeno transiente, bem como avaliação do estado de tensão do

mesmo. Pereira (1996) ainda busca reproduzir melhor o comportamento deformabilidade de

maciços que apresentam metaestabilidade utilizando na relação constitutiva um parâmetro de

anisotropia induzida pelo estado de tensão, quando não se dispõe de medidas experimentais

obtidas em laboratório.

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Capítulo 4 – Implementação e Validação do Programa COUPSO

CAPÍTULO 4

Implementação e Validação do Programa COUPSO

4.1 - Introdução

Neste capítulo são apresentadas as alterações feitas na versão original do programa COUPSO

de forma a habilitá-lo a fornecer a superfície crítica de deslizamento na análise de estabilidade

de taludes de terra. Inicialmente é feita uma breve descrição do programa COUPSO, do

programa de análise de estabilidade de talude SAFE-DP e as alterações realizadas em algumas

subrotinas do programa SAFE-DP de forma a adequá-lo como uma nova subrotina do

COUPSO.

A validação da implementação é feita por meio da análise da estabilidade dos taludes de

montante e jusante de uma barragem de terra construída com um solo de estrutura estável. Os

fatores de segurança e a locação das superfícies obtidas pelo COUPSO são comparados aos

resultados obtidos pelo programa SLOPE/W (Geo-Slope, 1994) para a superfície circular,

utilizando o método do Equilíbrio Limite Melhorado. A superfície obtida pelo COUPSO

também é especificada no SLOPE/W (Geo-Slope, 1994) e os fatores de segurança

comparados.

4.2 - Descrição geral do programa COUPSO

O programa COUPSO, que originalmente constitui-se de um programa principal e 22

subrotinas, faz análise acoplada de equilíbrio e fluxo em solos não saturados, sendo a

condição saturada um caso particular. A versão original do programa (Pereira, 1996) utiliza

como modelo para a relação constitutiva entre tensões e deformações o modelo elástico não

linear proposto por Fredlund (1979) e considera a condição bidimensional de deformações

planas. O programa COUPSO utiliza elementos quadrilaterais de nove nós para discretização

espacial do problema. A interpolação é realizada utilizando polinômios de Lagrange e a

integração numérica é feita utilizando a quadratura de Gauss-Legendre. A matriz de equações

lineares é armazenada em “skylines”, de acordo com o procedimento de Dhat & Touzot

50


(1982), citados por Pereira (1996).

4.3 - Descrição geral do programa SAFE-DP

O programa SAFE-DP utiliza as tensões obtidas de uma análise por elementos finitos para

fazer a busca da superfície crítica dentro de uma região especificada pelo usuário. A cada

superfície fornecida pela subrotina de otimização o fator de segurança global é calculado e

comparado com o valor previamente fornecido conforme discutido no Capítulo 3. O erro entre

o valor fornecido e o calculado é verificado, e se necessário, é recalculado um novo fator de

segurança global para uma nova busca. A análise se processa iterativamente até que o fator de

segurança global convirja dentro de um erro admitido pelo usuário. Assim, simultaneamente,

são fornecidos a superfície crítica e o fator de segurança. Basicamente o programa SAFE-DP

consiste de um programa principal e 5 subrotinas as quais serão descritas no Apêndice A.

4.4 - Implementação da rotina de otimização

Neste trabalho o programa COUPSO ([COUP]led [SO]lution) foi implementado com a rotina

de otimização desenvolvida por Gitirana Jr. (2002) de acordo com os procedimentos de Baker

(1980) apresentados no Capítulo 3. A rotina de otimização de Gitirana Jr. (2002) e outras

subrotinas de controle e interpolação reunidas deram origem ao programa chamado SAFE-DP

([S]lope [A]analise [F]inite [E]lement [D]ynamic [P]rogramming), que foi implementado

como uma subrotina do programa COUPSO. Gitirana Jr. (2002) desenvolveu as subrotinas

para ler os dados de tensão e propriedades do solo a partir das análises feitas pelo programa de

elementos finitos FlexPDE. Nas análises realizadas pelo programa FlexPDE, independente da

geometria e discretização do problema, uma grade regular controlada pelo usuário é gerada

com os valores de tensão e propriedades do solo extrapolados para os nós dessa grade. As

tensões e propriedades do solo nos nós são então interpolados no centro de cada elemento da

grade utilizando funções de interpolação lineares. Assim, com a finalidade de não modificar a

subrotina núcleo da otimização, o programa COUPSO foi dotado da capacidade de gerar essa

grade de elementos usando como base a malha de elementos finitos utilizada no problema. A

subrotina DATAIN foi implementada de forma a gerar essa grade.

O programa SAFE-DP foi alterado nas subrotinas de leitura e interpolação das tensões no

centro dos elementos de grade. As alterações foram feitas de modo a dotar o programa SAFE-

DP, da capacidade de poder ler e interpolar as tensões no centro dos elementos de grade a

51


cada passo de tempo em uma análise transiente.

O procedimento adotado para gerar uma grade de elementos foi o de utilizar a simetria do

elemento finito de nove nós e visualizar quatro regiões dentro do mesmo as quais serão

referenciadas como quadrantes. A partir daí as tensões e propriedades do solo são interpoladas

no centro de cada quadrante do elemento finito utilizando-se funções de interpolação para 4

ou 9 nós conforme a análise é feita com 4 ou 9 pontos de integração (Figs. 4.1a e 4.1b).

Teoricamente a funções são aplicáveis aos nós, entretanto, visualizando-se os pontos de

integração como pontos nodais tem-se internamente ao elemento finito outro elemento fictício

delimitado pelos pontos de integração (Figs. 4.1c e 4.1d). O procedimento é feito em todos os

elementos da malha utilizada no problema, tendo-se ao final para cada elemento da malha

quatro elementos da grade. Entretanto, nos contornos do problema o elemento finito é

deformado de modo a satisfazer a geometria do problema. Nesse caso o procedimento

descrito acima continua valendo e os pontos interpolados que eventualmente ficarem fora dos

limites do problema serão zerados pelo programa. Assim, é antecipado que uma malha de

elementos finitos regular deve ser utilizada como entrada para a nova versão do programa

COUPSO.

X/4X

Y

Y/4

Y2

Y1

X1 X2 X

Y

X2X1

Y1

Y2

X

Y

Y/4

X/4

X

Y

X2X1

Y1

Y2

X

Y

N4 N3

N1 N2

ξ

η

ξ

η

N3N4

N1 N2

Y

Y2

Y1

X1 X2 X

N7

N5

N6N8

NÓ DO ELEMENTOPONTO DE INTEGRAÇÃOPONTO DE INTERPOLAÇÃO

N9

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.1 Esquema representativo: (a) e (b) Interpolação no centro dos quadrantes; (c) e

(d) elementos fictícios.

52


Em termos de entrada de dados a nova versão do programa COUPSO foi alterada em relação

à versão original, pois é solicitado ao usuário o fornecimento do número máximo de nós da

malha de elementos finitos nas direções “X” e “Y”, respectivamente. Esse procedimento

torna-se necessário para que o programa possa gerar a grade de elementos. Outra mudança foi

a inclusão de um segundo arquivo de entrada de dados, utilizado no programa SAFE-DP,

onde são fornecidas os pontos da geometria do problema, as coordenadas do contorno de

busca, o fator de segurança inicial e a tolerância admitida para convergência do fator de

segurança. O contorno de busca se faz necessário para que o programa possa procurar a

superfície crítica dentro dos limites especificados pelo usuário e para que o programa entenda

em que direção é o deslizamento que se está procurando.

O Apêndice A apresenta uma descrição sucinta das principais subrotinas utilizadas na nova

versão do programa COUPSO. Um fluxograma é apresentado ao final destacando as rotinas

incluídas na nova versão, bem como a lógica funcional do mesmo.

4.5 - Validação do programa COUPSO

Serão apresentadas nos itens seguintes as simulações feitas com o programa COUPSO tendo

como objetivo validar a capacidade do mesmo de fazer análise de estabilidade de taludes.

Escolheu-se para essa validação uma pequena barragem de terra com estrutura de solo estável.

Pereira (1996) modelou o comportamento do solo utilizado nesse tipo de barragem que é

construída no nordeste brasileiro. As propriedades mecânicas e hidráulicas do material

utilizado são apresentadas no Apêndice B.

Uma sucção inicial de 30 kPa é aplicada uniformemente em todo o maciço. As simulações são

feitas para os taludes de montante e jusante considerando as situações de final de construção e

condição de fluxo estacionário. Os resultados obtidos são comparados com o programa

SLOPE/W (Geo-Slope, 1994) em termos de superfície crítica e fator do segurança obtido.

4.5.1 - Procedimento de análise

A validação do programa COUPSO foi realizada em duas etapas. A primeira etapa consistiu

em simular a fase de construção do maciço. Nessa etapa o aterro foi simulado em 5 camadas,

com 2 metros cada, pelo programa de elementos finitos SIGMA/W (Geo-Slope, 1994).

Variações na poropressão de água foram desconsideradas durante a construção. O aterro foi

53


simulado como um material linear elástico com coeficiente de Poisson constante igual a 0.3 e

módulo de elasticidade de Young de 5.300 kN/m2. Somente o peso próprio do solo, com peso

específico de 18,44 kN/m3, gerou as tensões dentro da barragem durante esta fase. As tensões

geradas na construção da barragem foram lidas pelo programa COUPSO. No programa

COUPSO uma sucção de 30 kPa foi assumida igualmente para todo o maciço. A fase ar foi

desprezada assumindo-se que esta flui livremente. Essa hipótese isso implica que a

poropressão de água negativa tem magnitude igual à sucção assumida. A partir daí os taludes

de montante e jusante foram analisados para essa etapa e comparados com o programa

SLOPE/W (Geo-Slope, 1994).

A segunda etapa consistiu em simular a fase de enchimento do reservatório, novamente

utilizando o programa SIGMA/W (Geo-Slope, 1994), e o fenômeno de percolação transiente

por meio do programa COUPSO. O enchimento do reservatório ocorreu até a cota 8m,

permanecendo no mesmo nível durante todo processo transiente. É assumido que o

enchimento ocorre num intervalo de tempo muito pequeno, e que nesse período a água não

flui para dentro da barragem nem há variação de poropressão de água dentro do maciço. O

programa SIGMA/W (Geo-Slope, 1994) calcula o estado de tensão da fase de enchimento a

partir do estado de tensão obtido na fase de construção do aterro e do carregamento de água

imposto à face do talude de montante. De maneira semelhante à primeira etapa, o programa

COUPSO assume uma sucção uniforme de 30 kPa para o maciço. As condições de fronteira

de poropressão de água e deslocamentos são utilizadas na solução do sistema. Foi considerada

a anisotropia de permeabilidade horizontal da ordem de 10 vezes a permeabilidade vertical.

Segundo Pereira (1996) é prática de projeto na construção de pequenas barragens no nordeste

brasileiro a adoção de anisotropia dessa magnitude.

A Fig. 4.2 mostra a seção transversal da barragem bem com a discretização espacial do

problema. Foi utilizada a integração reduzida com 4 pontos de Gauss. A utilização de 4

pontos de integração mostrou maior estabilidade do programa COUPSO. Para fins de

validação somente o último passo de tempo, que corresponde ao estado estacionário, é

apresentado. No Capítulo 5 serão mostradas as análises para passos de tempo intermediários

para uma barragem construída com solo metaestável.

54


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102

103 104 105 106 107 108 109 110 111 112113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126127 128 129 130

2 2

11

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 4.2 Seção transversal da barragem e discretização espacial utilizada no problema.

4.5.1.1 - Análise da estabilidade de final de construção

A Fig. 4.3 ilustra a superfície crítica obtida pela nova versão do programa COUPSO.

Observa-se que a superfície é composta por três segmentos retos. De fato a única restrição

aplicada à superfície é que seja cinematicamente admissível. Comparando-se a superfície da

Fig. 4.3.com a superfície crítica da Fig. 4.4 obtida pelo programa SLOPE/W, que utilizou o

estado de tensão fornecido pelo programa COUPSO, percebe-se uma boa aproximação das

superfícies. O fator de segurança obtido pelo programa COUPSO foi 0,9% superior ao obtido

pela superfície circular do SLOPE/W.

A Fig. 4.5 mostra a superfície obtida pelo programa COUPSO e que foi especificada no

programa SLOPE/W. Teoricamente o fator de segurança teria que ser o mesmo obtido pelo

COUPSO, já que utilizam o mesmo conceito de fator de segurança (Eq. 3.23). Entretanto,

como já discutido anteriormente na seção 4.4, as tensões utilizadas para a busca da superfície

são proveniente de uma grade de elementos onde são interpoladas no centro de cada elemento

da mesma. Enquanto que no SLOPE/W as tensões são interpoladas exatamente na base das

fatias que compõem a superfície.

55


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Barragem

Superfície crítica

Contorno de busca

Figura 4.3 Método da Programação Dinâmica - Programa COUPSO: FS Global – 4,220.

4.25 4.5

4.75

4.181

Superfície crítica obtida pelo programa COUPSO

Superfície crítica obtida obtida pelométodo do Equilíbrio Limite Melhorado

Distância (m)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46-2

0

2

4

6

8

10


SLOPE/W: FS Global – 4,181.

56


As Figs 4.6 a 4.8 ilustram as análises feitas para o talude de jusante. Devido a simetria, os

resultados com relação a análise de montante são idênticos em termos de locação das

superfícies críticas e do fator de segurança como mostrado nas Figs. 4.6 e 4.8. Já a superfície

circular mostrada na Fig. 4.7 não apresenta o mesmo resultado por não haver uma exata

simetria dos centos dos círculos, com relação a análise de montante.

4.195

Distância (m)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46-2

0

2

4

6

8

10



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Barragem


Controno de busca


57


4.2

00

4.40

0

4.150

Superfície crítica obtida pelométodo do Equilíbrio Limite Melhorado

Superfície crítica obtidapelo programa COUPSO


Distância (m)

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44-2

0

2

4

6

8

10



4.195

Distância (m)

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44-2

0

2

4

6

8

10



58


4.5.1.2 - Análise da estabilidade em condição de fluxo estacionário

As Figs 4.9 a 4.11 mostram as superfícies críticas obtidas e os respectivos fatores de

segurança para a condição de fluxo estacionário atingido 3013 dias após o enchimento do

reservatório. Como se trata do estado estacionário a pressão de água positiva agindo na base

da superfície abaixo da linha freática tende a diminuir a tensão normal efetiva. Ainda assim o

talude de montante tem uma boa estabilidade, refletida pelo fator de segurança devido ao

carregamento da água. A locação da superfície difere em relação à obtida na fase de

construção, ficando mais profunda.

A análise de jusante ilustrada pelas Figs. 4.12 a 4.14 mostra que em termos de locação da

superfície crítica, comparativamente a fase de final de construção, houve mudança

significativa somente na superfície circular obtida pelo SLOPE/W. Uma superfície circular

mais profunda foi obtida pelo programa SLOPE/W em comparação com a superfície obtida

pelo COUPSO. O fator de segurança obtido para as três simulações reflete o efeito da perda

de sucção da porção abaixo da linha freática e diminuição da mesma acima, como ilustrado na

Fig. 4.15. Além disso, não há o carregamento de água na face e jusante para dificultar o

deslizamento.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Barragem

Água


Contorno de busca

N.A


59


3.9 4.05

4.2

3.849

Superfície crítica obtida pelo programa COUPSO


Linha freática

Distância (m)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46-2

0

2

4

6

8

10



3.719

Linha freática

Distância (m)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46-2

0

2

4

6

8

10



60


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

BarragemÁguaSuperfície críticaControno de busca

N.A


2.9

00

3.1

00

2.832


Superfície crítica obtidapelo programa COUPSO

Linha freática

Distância (m)

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44-2

0

2

4

6

8

10



61


2.845

Linha freática

Distância (m)

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44-2

0

2

4

6

8

10



-20

-10

0

0

10

10

10

10

20

20

20

30

30

30

40

40 40

50

50

60 60

70

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 4.15 Distribuição de poropressão na condição de fluxo estacionário (kPa).

4.6 - Resumo

Neste capítulo foi apresentada a potencialidade do método da Programação Dinâmica

implementado no programa COUPSO. Inicialmente tanto a descrição do COUPSO quanto a

descrição do programa SAFE-DP foi apresentada de forma sucinta, remetendo o leitor ao

Apêndice A onde poderá encontrar detalhes do fluxo de funcionamento da nova versão

implementada. Na seqüência os pontos mais importantes da implementação foram descritos e

como o programa SAFE-DP foi incorporado ao programa COUPSO.

62


A validade da implementação foi verificada por meio da análise de estabilidade dos taludes de

montante e jusante de uma pequena barragem. Os resultados foram comparados com os

obtidos pelo programa comercial SLOPE/W (Geo-Slope, 1994). Com base nos resultados

discutidos nas seções anteriores a nova versão demonstrou capacidade para analisar a

estabilidade do maciço, fornecendo superfície e fator de segurança simultaneamente. No

entanto, a forma da superfície obtida pelo COUPSO é levemente diferente da obtida pelo

programa SLOPE/W.

63

Capítulo 5 – Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável

CAPÍTULO 5

Simulação Numérica de uma Barragem Metaestável

5.1 - Introdução

Pereira (1996) em seu trabalho cita dados obtidos pela comissão de engenheiros designada a

estudar a segurança das estradas do Estado do Ceará em conseqüência da freqüente ruptura de

pequenas barragens. A ruptura das mesmas ocorria em um curto intervalo de tempo logo após

o primeiro enchimento do reservatório. Segundo dados obtidos por Pereira (1996), entre o

período de 1979 a 1983 aproximadamente 20.000 pequenas barragens foram construídas,

ampliadas ou reabilitadas no Estado do Ceará pelo Programa Emergencial de Combate a

Seca. A comissão analisou 720 dessas barragens e concluiu que 80% delas rompiam durante a

estação chuvosa como conseqüência da deficiência na compactação do material, que era

realizada quase sempre sem uso de água. A justificativa encontrada pela comissão para a

construção de pequenas barragens sem o uso de água é transcrita a seguir: “A dificuldade

para fornecer água para satisfazer as mais elementares necessidades da população não

permite o uso de tal precioso líquido na construção de barragens”.

Neste Capítulo a nova versão do programa COUPSO é utilizada para avaliar a estabilidade de

uma barragem metaestável após o enchimento do reservatório. A aplicabilidade do método da

Programação Dinâmica em problemas de complexo estado de tensão é avaliada nessa

simulação.

5.2 - Procedimento de análise

O procedimento de análise seguiu os mesmos passos descritos na seção 4.5.1, exceto que o

módulo de elasticidade de Young e o peso específico seco do material utilizado para simular o

estado de tensão inicial foram de 5.800 kN/m2 e 14,75 kN/m3, respectivamente. Também foi

assumida uma anisotropia de permeabilidade horizontal de 10 vezes a permeabilidade vertical

e uma sucção inicial de 370 kPa para todo o maciço. A sucção assumida foi obtida a partir da

curva característica para umidade de compactação utilizada por Pereira (1996). A modelagem

64


do comportamento mecânico e as propriedades hidráulicas do material utilizado na simulação

são mostradas no Apêndice B. Foram utilizados os coeficientes de anisotropia zyx χχχ ,,

K

obtidos por Pereira (1996) conforme discutido no Capítulo 3. Esses coeficientes foram

obtidos por tentativa e erro a partir da simulação do colapso induzido pela molhagem sob

condições . Foi assumido igual valor para os coeficientes de anisotropia para as direções

horizontais,

0

xχ e zχ . Já para a direção vertical, yχ , o coeficiente foi definido como

sendo )( zx . O valor -1,95 obtido por Pereira (1996) foi utilizado neste trabalho. χχ +−

Durante a análise considerou-se que o estado de tensão inicial de cada fase era igual ao estado

de tensão final da fase anterior. Entretanto, os deslocamentos não foram considerados de

forma acumulativa nas fases de construção e enchimento do reservatório, isto é, em cada fase

os deslocamentos foram zerados.

A seção transversal e a discretização espacial do problema analisado são as mesmas

apresentadas no Capítulo 4 como mostrado na Fig. 4.2. A discretização temporal consistiu de

um tempo inicial de 17 dias e incrementos de tempo de 0,2 dia. O tempo inicial de 17 dias foi

obtido de forma a evitar a oscilação numérica. A saída de resultados foi realizada a cada 100

incrementos de tempo, sendo que inicialmente são mostrados os resultados para o tempo

inicial e para os 4 primeiros incrementos.

5.3 - Apresentação e análise dos resultados

A apresentação e análise dos resultados obtidos são realizadas para as três fases consideradas,

ou seja, fase de final de construção, fase de enchimento do reservatório e a fase de pós-

enchimento do reservatório. Os resultados são apresentados simultaneamente para os taludes

de montante e jusante em termos de superfície crítica, distribuição de tensões média, fator de

segurança local ao longo da superfície crítica, deslocamentos, avanço da frente de saturação e

incrementos de deformações volumétricas. Os resultados de tensões e deformações nas fases

de construção e enchimento do reservatório foram obtidos pelo programa Sigma/W. Assim, as

deformações volumétricas de compressão são positivas. Já na análise transiente os resultados

têm origem no programa COUPSO. Portanto, as deformações volumétricas de compressão

são negativas e as de expansão positivas. Para a fase de percolação transiente foram

selecionados três estágios do processo até onde se caracteriza uma superfície de ruptura com

fator de segurança global menor que 1 (um). Os estágios foram escolhidos de maneira a se ter

65


intervalos de tempos eqüidistantes. Contudo, os estágios intermediários não apresentados na

análise são mostrados no Apêndice C.

5.3.1 - Final de construção

A Fig. 5.1 mostra os deslocamentos na fase de final de construção. Nota-se a simetria em

relação ao centro da barragem, sendo que a magnitude desses deslocamentos é maior na parte

central do maciço. Nas Figs 5.2 e 5.3 as distribuições de tensão normal média e de

deformações volumétricas, respectivamente, também apresentam simetria. O padrão simétrico

é devido a geometria do problema e da consideração de que apenas do peso próprio do

material gerou o estado de tensão no maciço.

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.1 Deslocamentos da fase de final de construção: ampliado 20 vezes.

15 15

15 15

15

30 30

30 30

45 45

45

60 60 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.2 Tensão normal média na fase de final de construção (kPa).

66


0.004 0.004

0.004 0.004

0.004

0.008 0.008

0.008 0.008

0.012 0.012

0.016

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.3 Deformações volumétricas na fase de final de construção.

As Figs. 5.4 e 5.7 ilustram as superfícies críticas obtidas para os taludes de montante e jusante

respectivamente. As superfícies obtidas são simétricas e tem fator de segurança igual a 2,585.

As distribuições do fator de segurança local para as superfícies são mostradas nas Figs. 5.5 e

5.8. As Figs. 5.6 e 5.9 mostram a distribuição das tensões normais, resistentes e mobilizadas

ao longo das respectivas superfícies. Como ilustrado nas Figs. 5.6 e 5.9 a mobilização da

resistência é maior, em termos absoluto, na parte central do maciço refletindo num menor

valor para o fator de segurança local como pode ser visto nas Figs 5.5 e 5.8. Também como

pode ser visto nas Figs. 5.6 e 5.9 a resistência ao cisalhamento do maciço nessa fase é

elevada. Isso reflete o efeito da sucção que aumenta a parcela coesiva. Entretanto, vale

ressaltar que para faixa de sucção entre 100 e 370 kPa a resistência ao cisalhamento é

considerada constante para o material utilizado (Pereira, 1996). Portanto, o incremento de

resistência ao cisalhamento devido o efeito da sucção possui valor limite de 100 kPa.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem


Contorno de busca

Figura 5.4 Superfície crítica do talude de montante na fase de final de construção: FS global

2,585.

67


0

1

10

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal


de montante na fase de final de construção.

-20

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)

Resistente Mobilizada Normal


fase de final de construção.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem


Controno de busca

Figura 5.7 Superfície crítica do talude de jusante na fase de final de construção: FS global

2,585.

68


0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal


de jusante na fase de final de construção.

-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)



de final de construção.

5.3.2 - Fase de enchimento do reservatório

A Fig. 5.10 ilustra os deslocamentos ocorridos no interior do maciço após o enchimento do

reservatório. Como pode ser visto a pressão de água no talude de montante produz um padrão

de deslocamentos na direção de jusante. A magnitude dos deslocamentos é maior na zona do

talude de montante. A Fig. 5.11 mostra a distribuição de tensão normal média após o

enchimento do reservatório. Comparativamente com a fase de final de construção, nota-se o

aumento da tensão média na zona do talude de montante. Efeito das componentes vertical e

horizontal do carregamento de água. As deformações volumétricas devido à pressão de água,

como mostrado na Fig. 5.12, são mais evidente no talude de montante e vão diminuindo sua

magnitude a medida que se afasta em direção a jusante.

69


Distância Horizontal (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Elev

ação

(m)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.10 Deslocamentos da fase de enchimento rápido do reservatório: ampliado 50 vezes

15

15

15 15

30

30 30

30

45 45

45 45

60 60

60

75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.11 Tensão normal média na fase de enchimento rápido do reservatório (kPa).

0

0.0005

0.0

015

0.0

025

0.0

035

0.0

045

0.0

055

0.0

065

0.0

08

Distância Horizontal (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.12 Deformações volumétricas na fase de enchimento rápido do reservatório.

A Fig. 5.13 ilustra a superfície crítica obtida para o talude de montante na fase de enchimento

do reservatório. Comparativamente à fase de final de construção, percebe-se um aumento no

fator de segurança global de 2,585 para 6,632, e diferença na locação da superfície crítica.

Essa diferença reflete o efeito das componentes vertical e horizontal do carregamento de água

no talude de montante, que aumenta a tensão de confinamento e como conseqüência a tensão

normal ao longo da superfície como mostrado na Fig. 5.15. Ainda na Fig. 5.15 pode ser visto

que a resistência ao cisalhamento aumenta significativamente na zona mais próxima do

70


espaldar de montante, conseqüência direta do aumento da tensão normal. Assim, era de se

esperar que a locação da superfície fosse mais profunda, pois o caminho que ofereceu menor

resistência foi mais profundo. A Fig. 5.14 mostra a distribuição do fator de segurança. Fica

evidente o significativo aumento da estabilidade local.

A Figs 5.16, 5.17 e 5.18 mostram a superfície crítica, a distribuição do fator de segurança

local e distribuição de tensões, respectivamente, para o talude de jusante na fase de

enchimento do reservatório. Comparando-se com a fase de final de construção, a única

diferença foi um pequeno aumento no fator de segurança global de 2,585 para 2,592.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem

Água

Superfície críticaContorno de busca

N.A

Figura 5.13 Superfície crítica do talude de montante na fase de enchimento rápido do

reservatório: FS global = 6,632.

0

1

10

100

1000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal


de montante na fase de enchimento rápido do reservatório.

71


-40-20

020406080

100120140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)



fase de enchimento rápido do reservatório.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

BarragemÁgua

Superfície críticaControno de busca

N.A

Figura 5.16 Superfície crítica do talude de jusante na fase de enchimento rápido do


0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal


de jusante na fase de enchimento rápido do reservatório.

72


-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)



de enchimento rápido do reservatório.

5.3.3 - Fase de pós-enchimento do reservatório

A análise pós-enchimento do reservatório de uma barragem sujeita a colapso requer uma

melhor compreensão do processo de deformações induzidas pelo avanço da frente de

saturação. Cordão Neto (2001) apresentou um modelo reológico simplificado, mostrado nas

Figs. 5.19 e 5.20, para melhor entendimento deste processo. A Fig. 5.19 apresenta uma viga

sobre três apoios elásticos. Inicialmente o grau de saturação e as constantes elásticas são

considerados iguais em todos os apoios. O avanço da linha freática sobre a viga produzirá

mudanças no grau de saturação, e conseqüentemente, variações nos valores das constantes

elásticas. Segundo Cordão Neto (2001) inicialmente o sistema se encontra em equilíbrio

estático. Com o avanço da saturação, mostrado na Fig. 5.20, há uma variação na rigidez do

apóio 1, e o sistema entra em desequilíbrio energético. Para que o equilíbrio seja

restabelecido, é necessário que o mesmo sofra deformações em relação à configuração inicial.

A acomodação do apóio 1 causa recalques diferenciais, gerando momentos ao longo da

estrutura. Os momentos dão origem a esforços de tração e compressão ao longo da seção da

viga. Os esforços de tração não serão resistidos pelo material constituinte, no caso o solo,

surgindo trincas na região solicitada. Assim, partindo-se do modelo reológico apresentado,

tenta-se explicar o efeito das deformações induzidas pela frente de saturação no

comportamento mecânico do maciço.

73


K1 (S0) K2 (S0) K3 (S0)

Figura 5.19 Modelo reológico da simulação do avanço da linha freática (Cordão Neto, 2001).

Linha Freátrica

S2 > S1> S0

K1 (S2) K2 (S1) K3 (S0)

dy

Figura 5.20 Deformações devido a redução da rigidez no apoio (Cordão Neto, 2001).

Para esta fase serão apresentados apenas os resultados correspondentes aos períodos de 58, 98

e 138 dias após o enchimento do reservatório. Apenas para efeito didático esses períodos

serão chamados de estágio 1, 2 e 3, respectivamente.

5.3.3.1 - Estágio 1 – 58 dias após o enchimento do reservatório

Na Fig. 5.21 pode-se visualizar o avanço da frente de saturação 58 dias após o enchimento do

reservatório. O avanço da linha freática ocorre paralelo ao talude de montante. Esse

comportamento pode ser creditado ao elevado gradiente hidráulico na porção a jusante da

linha freática, combinado com a anisotropia de permeabilidade assumida. A Fig. 5.22 mostra

os deslocamentos ocorridos no maciço nesse estágio. Na zona saturada a parte inferior

apresenta um padrão de deslocamento bem definido predominando as forças de subpressão,

enquanto que na parte superior não existe um padrão. Ainda na Fig. 5.22 nota-se que na zona

não saturada predomina os deslocamentos para jusante, como efeito da força de percolação.

A Fig. 5.23 ilustra a distribuição da tensão média no maciço. A tensão média na zona saturada

corresponde à tensão efetiva, enquanto que na região não saturada à tensão líquida. A

apresentação de contornos de tensão média dá uma idéia de como a rigidez do maciço é

74


alterada com o avanço da frente de saturação. Como era de se esperar a porção saturada

apresenta diminuição devido às forças de subpressão. Ainda pode-se observar na Fig. 5.23

que na região não saturada a tensão média mantém a configuração obtida na fase de

enchimento do reservatório. A manutenção dessa configuração reflete a rigidez em que se

encontra essa porção do maciço que mantém a sucção inicial. A Fig. 5.24 mostra a

deformação volumétrica ocorrida no maciço durante o avanço da frente de saturação. Nota-se

que a faixa de deformações positivas tem coerência com os deslocamentos apresentados nesse

estágio, conforme mostrado na Fig. 5.22.

-360

-360

-360

0

0

0

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.21 Poropressão 58,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Elev

ação

(m)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.22 Deslocamentos 58,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 50 vezes.

75


0

0

15 15

15

15

15

15 15

30

30

30

30 30

45 45

45 45

60 60

60

75 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.23 Tensão normal média 58,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).

-2e-00

5

-2e

-005

8e-005

8e-005

8e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.24 Deformações volumétricas 58,5 dias após o enchimento do reservatório.

Na Fig. 5.25 pode-se observar a superfície crítica de deslizamento do talude de montante e o

respectivo fator de segurança global igual a 1,409. A mesma é composta por dois segmentos

retos locados na região que já se encontra totalmente saturado. Observa-se pela Fig. 5.27 que

a resistência ao cisalhamento ao longo da superfície é constante e igual a 5 kPa. Isso significa,

conforme discutido no Apêndice B, que a resistência ao cisalhamento foi ajustada para esse

valor, já que a envoltória apresentada por Pereira (1996) prevê valores negativos para o

intercepto coesivo. Logo, o método da programação dinâmica foi efetivo na busca pelo

caminho mais crítico. A Fig. 5.26 mostra a distribuição do fator de segurança local. Os

valores obtidos refletem o ajuste feito na envoltória de ruptura para o caso resistência ao

cisalhamento inferior a 5 kPa.

A Fig. 5.28 mostra a superfície crítica do talude de jusante. Nesse estágio a frente de

saturação ainda não atingiu a zona de jusante, conforme se pode observar na Fig 5.21.

Entretanto, comparativamente à fase de enchimento do reservatório a superfície apresentada

na Fig. 5.28 difere quanto a locação, ficando mais a jusante. A distribuição do fator de

segurança local e de tensões, Figs. 5.29 e 5.30, respectivamente, permanecem inalterados.

76


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)Barragem

ÁguaSuperfície críticaContorno de busca

N.A



0

1

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal


de montante 58,5 dias após o enchimento do reservatório.

-20

-10

0

10

20

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)



dias após o enchimento do reservatório.

77


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)BarragemÁguaSuperfície críticaControno de busca

N.A



0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal


de jusante 58,5 dias após o enchimento do reservatório.

-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




78



A Fig. 5.31 mostra posição da linha freática no estágio 2. O avanço se mantém essencialmente

paralelo ao talude de montante com já discutido no estágio 1. A Fig. 5.32 ilustra os

deslocamento ocorrido 98 dias após do enchimento do reservatório. Nesse estágio o padrão na

região saturada já é bem definido. A parte inferior se desloca na direção do reservatório, como

no estágio anterior, enquanto a parte superior se desloca para cima numa clara tendência de

inversão no deslocamento com relação ao estágio 1, ou seja, de jusante para montante. Nesse

estágio já é possível perceber pelo padrão de deslocamento a definição de uma superfície de

ruptura no talude de montante. Já na região não saturada percebe-se um padrão aleatório, mas

que é essencialmente na direção de jusante.

Na Fig. 5.33 mostra que a tensão média na região não saturada permanece inalterada em

relação à fase de enchimento do reservatório. Já na região saturada também ocorre a

diminuição esperada como já discutido. A deformação volumétrica decorrente do avanço da

frente de saturação, mostrada na Fig. 5.34, é efetivamente positiva na zona saturada.

-36

0

-360

-36

0

0

0

0

60

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.32 Deslocamentos 98,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 30 vezes.

79


0

0

0

15

15

15 15

15 15

30 30

30

30

30

45

45

45

60

60

60

75 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


-2e-005

-2e-005

8e-005

8e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.34 Deformações volumétricas 98,5 dias após o enchimento do reservatório.

A Fig. 5.35 ilustra a superfície crítica do talude de montante obtida 98 dias após o enchimento

do reservatório. Nota-se que a superfície está locada dentro da região saturada onde se

observa maior deslocamento do maciço (Fig. 5.32). Percebe-se também que a superfície tem

forma côncava. As Figs. 5.36 e 5.37 mostram as distribuições do fator de segurança local e

tensões ao longo da superfície. Na Fig. 5.36 nota-se dois picos na distribuição do fator de

segurança. Esses picos correspondem aos pontos de menores tensões mobilizadas, já que as

tensões resistentes ao longo de toda a superfície foram ajustadas para o valor mínimo de 5

kPa, como já discutido anteriormente.

As Figs. 5.38 a 5.40 mostram a superfície crítica, as distribuições do fator de segurança local

e tensões para o talude de jusante. Como pode ser visto, o maciço na zona não saturada de

jusante ainda mantém essencialmente o mesmo comportamento mecânico do estágio anterior.

Portanto, era de se esperar que o método da programação dinâmica obtivesse a mesma

superfície crítica para o talude de jusante.

80


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)Barragem

ÁguaSuperfície críticaContorno de busca

N.A



0

1

10

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



-20

-10

0

10

20

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




81


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)BarragemÁgua


N.A



0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




82



A Fig. 5.41 mostra a posição da frente de saturação 138 dias após o enchimentos do

reservatório. Como já discutido anteriormente, o elevado gradiente hidráulico combinado com

anisotropia de permeabilidade assumida, mantém a o avanço da linha freática essencialmente

paralelo ao talude montante. Na Fig. 5.42 é mostrado o padrão de deslocamentos do maciço

nesse estágio. Como já constatado no estágio 2, os deslocamentos ocorridos mostram

claramente o desenvolvimento da superfície de ruptura no talude de montante. Já a região não

saturada os deslocamentos permanecem na direção de jusante. A magnitude dos

deslocamentos na região não saturada reflete a rigidez do maciço, que preserva a sucção

mátrica inicial. Pode-se notar pela Fig. 5.41 que o avanço da frente de saturação atingiu uma

região do maciço onde o coeficiente de anisotropia de deformação, induzido pelo estado de

tensão, começa a predominar. Assim, como mostrado na Fig. 5.42, tem-se o início do colapso.

Isso mostra influência da tensão média na deformação do maciço.

Como conseqüência do avanço da frente de saturação, o maciço saturado aumenta de peso.

Combinando-se o aumento de peso com a alta compressibilidade do solo na região saturada, a

tensão média na região não saturada sofre aumento devido a transferência de carga como

mostra a Fig. 5.43.

Na Fig. 5.44 as deformações volumétricas do maciço na zona saturada ainda são

essencialmente positivas. Entretanto, nota-se uma pequena região dentro dessa zona que

sofreram deformações negativas.

-360

-360

-36

0

0

0

0

60

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


83


Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Elev

ação

(m)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.42 Deslocamentos 138,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 30 vezes

0

0

15

15 15

15

15

15

30 30

30 30

30

45

45 45

60

60

60

75 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


-2e-005 -2e-005

-2e-005

8e-0

05

8e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura 5.44 Deformações volumétricas na fase de final de construção.

A Fig. 5.45 mostra a caracterização da ruptura do maciço 138 dias após o enchimento do

reservatório. Como esperado, a ruptura ocorreu no talude de montante. A superfície crítica

obtida pelo método da programação dinâmica mostra concordância com o mecanismo que

vinha se desenvolvendo, como mostrado nas Figs. 5.22, 5.32 e 5.42. A Fig. 5.46 mostra a

distribuição do fator de segurança local ao longo da superfície crítica. Nota-se que localmente,

excetuando-se alguns pontos, os fatores de segurança estão abaixo de 1. Porém, em um ponto

existe um pico devido a combinação da desprezível tensão mobilizada com a elevada

84


resistência ao cisalhamento como mostrado na Fig. 5.47. Essa elevada resistência se deve

principalmente à parcela coesiva devido a sucção mátrica.

A Fig. 5.48 mostra a superfície crítica do talude de jusante 138 dias após o enchimento do

reservatório. Como discutido nos estágios anteriores a frente de saturação não atingiu o

espaldar de jusante. Entretanto, nota-se que o avanço nesse estágio foi suficiente para

influenciar o fator de segurança global. A influencia se deve à diminuição da parcela coesiva

devido à sucção mátrica na parte da superfície mais próxima da frente de saturação As Fig.

5.49 e 5.50 mostram as distribuições do fator de segurança local e de tensões ao longo da

superfície crítica. Como pode ser visto, comparativamente aos estágios anteriores, as

distribuições são praticamente as mesmas.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

BarragemÁgua


N.A



0

1

10

100

1000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



85


-10

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)


Figura 5.47 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante

138,5 dias após o enchimento do reservatório.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)


N.A



0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



86


-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




5.4 - Resumo

Este capítulo apresentou a simulação numérica de uma barragem metaestável em três fases

distintas. A fase de final de construção mostrou, como esperado, uma simetria nas superfícies

obtidas para os taludes de montante e jusante, já que os dados de entrada para análise pelo

método da programação dinâmica foram simétricos. Na fase de enchimento do reservatório, a

superfície obtida para o talude de montante diferiu da superfície obtida para o talude de

jusante, em termos de locação e fator de segurança global. O maior fator de segurança global

calculado para a superfície de montante refletiu a estabilidade conferida pelo carregamento de

água, que aumentou a tensão de confinamento no espaldar de montante. Em termos de

locação o método da programação dinâmica buscou o caminho mais crítico, dentro da nova

distribuição de tensões do problema. Assim, comparativamente com a fase de final de

construção, uma locação mais a jusante para o talude de montante foi coerente com o

princípio de busca otimizada. Na fase de fluxo transiente o processo foi descrito de 3 estágios.

Em todos os três estágios se observou a influência da frente de saturação na modificação do

estado de tensão do maciço, principalmente na zona saturada e em uma estreita faixa a jusante

da linha freática. Para os três estágios pode-se perceber o desenvolvimento do mecanismo de

ruptura no talude de montante, mostrado pelos vetores de deslocamento e confirmados pelas

superfícies críticas obtidas pelo método da programação dinâmica. Enquanto o avanço da

frente de saturação alterava o estado de tensão, e conseqüentemente o comportamento

mecânico da região de montante, a região de jusante mantinha o seu comportamento

mecânico praticamente inalterado. Isso refletiu nas superfícies praticamente idênticas, como

mostrado na Fig. 5.51, em todos os três estágios analisados, já que o estado de tensão

87


fornecido para a busca otimizada praticamente não era alterado. A Fig. 5.52 ilustra as

superfícies analisadas obtidas para o talude de montante. A Fig. 5.53 mostra como variou o

fator de segurança global das superfícies de montante e jusante analisadas. Pode-se dizer que

o método da programação dinâmica foi capaz de identificar o instante em que ocorre a ruptura

da barragem, e fornecer a respectiva superfície.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem

Água

Contorno da busca

f inal de construção

enchimento do reservatório

58 dias após o enchimento



N.A

Figura 5.51 Superfícies críticas obtidas para o talude de jusante nas três fases analisadas.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem

Água

Contorno de busca

final de construção

enchimento do reservatório




N.A

Figura 5.52 Superfícies críticas obtidas para o talude de montante nas três fases analisadas.

88


0

1

2

3

4

5

6

7

Final de construção

Enchimento do res.

58 dias após o ench.



Período

Fato

r de

segu

ranç

a gl

obal Talude de montante

Talude de jusante

Figura 5.53 Variação do fator de segurança global para os taludes de montante e jusante nas

três fases analisadas.

89

Capítulo 6 – Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras

90

CAPÍTULO 6

Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras

Este trabalho buscou avaliar aplicabilidade do método da programação dinâmica à análise da

estabilidade de uma barragem colapsível sujeita a um complexo estado de tensão produzido

durante o primeiro enchimento do reservatório. Para tal, a versão original do programa

COUPSO foi alterada de maneira a acomodar os procedimentos de busca otimizada

desenvolvidos por Gitirana Jr. (2002), de acordo com o método da programação dinâmica de

Baker (1980). O estado de tensão foi avaliado de forma acoplada, levando em conta o efeito

do fluxo de água no equilíbrio do maciço. A combinação da análise de tensões e fluxo

acoplada com o método da programação dinâmica resulta teoricamente em uma reprodução

mais fiel do comportamento de barragens colapsíveis. O processo de busca otimizada pelo

método da programação dinâmica representa um avanço em relação aos métodos de equilíbrio

limite convencionais, pois não assume de antemão a forma da superfície.

6.1 - Conclusões

As principais conclusões sobre as análises realizadas são resumidas a seguir:

1) Os exemplos de verificação mostraram que os fatores de segurança globais obtidos

com o procedimento de programação dinâmica implementado e combinado com o

programa COUPSO são semelhantes aos valores obtidos por superfícies idênticas

calculadas pelo programa SLOPE/W (Geo-Slope, 1996).

2) A análise da barragem estável mostrou a potencialidade do método da programação

dinâmica na determinação das superfícies de deslizamento e dos respectivos fatores de

segurança, tanto para o maciço não saturado quanto para o maciço parcialmente

saturado, ou seja, durante as fases de final de construção e fluxo estacionário,

respectivamente. Comparativamente com o método de equilíbrio limite melhorado, o

método da programação dinâmica tem a vantagem de não assumir de antemão a forma

da superfície crítica. A posição e a forma da superfície crítica são obtidas de forma


91

automática.

3) Apesar do complexo estado de tensão da barragem metaestável durante o processo

transiente, o método da programação dinâmica foi capaz de identificar em todas as

fases analisadas as superfícies de deslizamento. Conseqüentemente, os respectivos

fatores de segurança foram obtidos.

4) A evolução do fator de segurança global obtida é coerente com os valores esperados

para as fases analisadas (Fig. 5.53). Houve uma redução no fator de segurança global à

medida que a frente de molhagem avança dentro do corpo da barragem.

5) Foi determinado que a barragem colapsível estudada por Pereira (1996) é estável

durante a fase de construção (FS = 2,585) e se torna instável durante o primeiro

enchimento do reservatório. O fator de segurança global atinge o valor unitário 138


6) O mecanismo de ruptura sugerido por Pereira (1996) com base em fatores de

seguranças locais e no padrão de deslocamentos da barragem foi confirmado pelo

procedimento utilizando programação dinâmica. A barragem se rompe no talude de

montante, com uma superfície localizada na parte saturada do talude.

7) Constatou-se a violação do princípio da optimalidade, conforme mostrado nas

Figs. C.32 e C.33. De acordo com o princípio da optimalidade, a superfície crítica não

poderia ter entrado no maciço mais de uma vez. Tais resultados sugerem que o custo

associado aos segmentos passando em uma das duas regiões atravessadas deve ter sido

computado como nulo. O princípio da optimalidade é o núcleo do método da

programação dinâmica e a causa da sua violação deve ser melhor investigada.

6.2 - Recomendações para pesquisas futuras

Com base nos resultados observados e na teoria envolvida recomenda-se aprofundamento nos

seguintes pontos:

1) Analisar alternativas de construção de barragens economicamente viáveis e que

garantam a estabilidade e condições de fluxo adequadas após o primeiro enchimento.

A compactação em condições ótimas de parte do talude de montante poderia resultar


92

em uma solução viável.

2) Analisar a influência da utilização de coeficientes de anisotropia variáveis, visto que

segundo Gitirana (1999), em casos onde a avaliação da estabilidade da obra é mais

importante, os coeficientes variáveis podem trazer relevantes melhorais nas previsões

em relação aos coeficientes constantes.

3) Combinar o método de programação dinâmica com análises de tensões e fluxo

acoplado e utilizando modelos tensão-deformação que admitam endurecimento e

amolecimento (modelos de estados críticos).

4) Verificar a aplicabilidade do método de programação dinâmica em problemas de

capacidade de carga de maciços metaestáveis.

5) Melhorar a atual versão do programa COUPSO de maneira a desassociar o

refinamento da grade de busca da malha de elementos finitos utilizada na discretização

espacial. Isso tornará mais fácil e eficiente a verificação da sensitividade dos

problemas analisados a uma grade de busca mais ou menos refinada.

6) Verificar o que pode ter ocasionado a violação do principio da optimalidade

constatado em alguns passos do processo de fluxo transiente.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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95

APÊNDICE A – Descrição das Subrotinas do COUPSO

APÊNDICE A

Descrição das Subrotinas do COUPSO

Neste apêndice as principais subrotinas da nova versão do programa COUPSO são descritas.

As elipses indicam o início e o fim do diagrama de fluxo. As caixas em linhas cheias duplas

representam pontos de controle dentro do programa. As caixas em linhas cheias simples

representam as subrotinas existentes na versão original do COUPSO e que permaneceram

inalteradas. As caixas em linhas duplas, cheia e tracejada, representam subrotinas da versão

original do COUPSO que foram alteradas. Já as caixas em linhas duplas tracejadas

representam as subrotinas incluídas na nova versão do programa. Essas novas subrotinas são

executadas numa seqüência a partir da chamada a subrotina SAFE-DP. Logo, pode-se

considerar a subrotina SAFE-DP a versão modificada do programa de análise de estabilidade

SAFE-DP.

A subrotina SAFE-DP entrou no programa COUPSO de tal forma que a partir dos dados lidos

a estabilidade é calculada para a condição inicial. A partir daí, no fenômeno de análise

transiente, a subrotina SAFE-DP é chamada para os passos em que o usuário deseja a saída

dos resultados.

Como pode ser visto no fluxograma da Fig A.1. o programa principal controla todas as

operações chamando as subrotinas requeridas pela análise. A Fig A.1. mostra dois ciclos

principais no programa. O ciclo externo corresponde à sucessiva aplicação de passo de tempo,

que permite o avanço do fenômeno transiente de forma incremental. O ciclo interno é

executado várias vezes dentro de cada ciclo de tempo e corresponde ao procedimento de

iteração simples, utilizado na solução do sistema não linear. No programa principal também

são feitos o controle de erro e a conseqüente determinação da convergência na iteração

simples e saída dos resultados. Uma breve descrição das principais subrotinas é dada a seguir.

SUBROTINA DATAIN: controla a entrada de dados e o pré-processamento dos dados. São

lidos os dados de controle para o tipo de análise que será feito. As opções de análise

disponíveis são: fluxo ou consolidação em solos saturados ou não saturados. Também pode-se

96


escolher o número de pontos de integração que podem ser 4 ou 9 pontos.

Na subrotina DATAIN são obtidos as coordenadas dos nós, a conectividade dos elementos, as

propriedades dos materiais, a geometria da estrutura em análise, as condições de fronteira em

termos de deslocamento e pressão de água e os carregamentos externos aplicados. Por fim,

são lidos os dados da análise transiente que incluem as condições iniciais e o tamanho do

passo de tempo.

A modificação feita na subrotina DATAIN em relação à versão original foi a inclusão do

código para geração de uma grade de elementos com base nas coordenadas dos nós. Essa

grade de elementos é usada praticamente em todas as subrotinas implementadas na nova

versão do programa COUPSO.

SUBROTINA TENSI: calcula as tensões iniciais, nos pontos de Gauss, para a estrutura do

solo nos casos onde não se tem disponíveis as tensões iniciais. Para os casos onde existem as

tensões iniciais provenientes de uma análise anterior (por exemplo, a simulação da fase de

enchimento do reservatório) esta subrotina permanece com os valores existentes. Na

seqüência a subrotina TENSI chama as subrotinas TEPRIN e MOBLZ para calcular,

respectivamente, as tensões principais e a resistência de cisalhamento mobilizada nos pontos

de Gauss.

SUBROTINA TEPRIN: calcula as tensões principais, 31 e σσ , para o estado plano de tensões

( xyyx τσσ e , ). A subrotina TEPRIN também calcula a orientação dos planos de tensões

principais, em cada ponto de Gauss, relativo ao eixo coordenado horizontal.

SUBROTINA MOBLZ: calcula a tensão de cisalhamento mobilizada para o ponto de Gauss.

A tensão de cisalhamento é avaliada considerando a envoltória de ruptura Mohr – Coulomb

estendida, proposta por Fredlund et al. (1978).

SUBROTINA SAFE-DP: procede a análise de estabilidade de talude do problema. Esta

subrotina chama seqüencialmente as subrotinas PROPER, COVERIF, VALFLEX, DP E

FOFS. Também em SAFE-DP é verificada a convergência do fator de segurança.

SUBROTINA PROPER: verifica as condições de pressão de água em cada ponto de Gauss e

calcula a coesão e o ângulo de atrito do solo. Na analise transiente de um solo não saturado,

tanto a coesão quanto o ângulo de atrito variam com a sucção. Neste trabalho desconsiderou-

97


se a variação do ângulo de atrito e adotou-se um valor constante.

SUBROTINA COVERIF: verifica se existem erros no arquivo de entrada de dados utilizado

para a análise de estabilidade de taludes. Os erros verificados são referentes ao

posicionamento dos pontos que definem o contorno da procura. Quando possível a subrotina

ajusta os pontos para que coincidam com pontos da grade gerado pela subrotina DATAIN.

Quando não for possível a correção uma mensagem com a causa do erro é escrita na tela e o

programa é parado.

SUBROTINA VALFLEX: interpola as tensões e propriedades do solo no centro do elemento

da grade usando funções de interpolação de 4 ou 9 nós, conforme a análise é feita com 4 ou 9

pontos de integração, como já discutido no Capítulo 4. VALFLEX chama a subrotina

INTERP que interpolar as tensões existentes nos pontos de Gauss do elemento da malha para

o centro dos quadrantes pertencentes ao elemento da malha.

SUBROTINA DP: a partir da grade de elementos com as tensões interpoladas no centro,

disponibilizada pela subrotina VALFLEX, a subrotina DP procede a busca pela superfície

crítica.

SUBROTINA FOFS: calcula o fator de segurança global para a superfície fornecida pela

subrotina DP.

SUBROTINA TIMESCH: atualiza o tamanho dos passos de tempo aplicados. É possível

assinalar um primeiro passo de tempo diferente dos demais, de forma a evitar problemas de

oscilação devidos a incrementos de tempo muito pequenos no primeiro passo.

SUBROTINA GLOBAL: formula o sistema global de equações lineares, , para o

modelo numérico em cada iteração da análise transiente. Para montagem do sistema de

equações lineares, a subrotina ASSEMATRIX é chamada para obter as matrizes globais e os

vetores de força globais do sistema acoplado. Essas matrizes são: matriz de rigidez, as

matrizes de acoplamento, a matriz de condutância, matriz de massa de água e os vetores de

força relacionados com a estrutura do solo e com a fase água. A subrotina ASSEMATRIX

utiliza a subrotina ELEM2Q para calcular as matrizes citadas para cada elemento, em função

das propriedades do ponto de integração, obtidos na subrotina SOILPARAM. Na subrotina

global também são aplicados as condições de fronteira e os carregamentos. Para tal é chamada

a subrotina NBC2, para a aplicação das condições de fronteira naturais e a subrotina ESSBC,

BxA =.

98


para a aplicação das condições de fronteira essenciais.

SUBROTINA SOILPARAM: chama as subrotina VCPARAM e PERMEAB para calcular as

propriedades hidráulicas e mecânicas nos pontos de Gauss. É calculada a variação do peso

próprio devido à variação do grau de saturação e, se for especificado, são aplicados os

coeficientes de anisotropia sugeridos por Pereira (1996). Durante a analise transiente o estado

de tensão médio é calculado usando-se o estado de tensão anterior e o recém calculado estado

de tensão.

SUBROTINA VCPARAM: calcula os parâmetros elásticos. A subrotina STATESUR é

chamada para calcular propriedades do solo que serão usadas no cálculo das matrizes do

modelo numérico.

SUBROTINA STATESUR: calcula o grau de saturação, o índice de vazios e o coeficiente de

Poisson, utilizando superfícies de estado. São calculadas também as derivadas das superfícies

de estado de grau de saturação e de índice de vazios, para um dado estado de tensões, em

relação às variáveis de tensão.

SUBROTINA PERMEAB: calcula a condutividade hidráulica do solo para um dado estado de

tensões, utilizando a superfície de estado de condutividade hidráulica.

SUBROTINA MASOLSKY: resolve o sistema de equações lineares da forma A(X) = B. do

em “skylines”. Onde A é a matriz (N x N), X é um vetor de incógnita e B é um vetor de N

elementos.

SUBROTINA STRESSES: calcula as deformações, as tensões e as pressões de água nos

pontos de Gauss usando os valores nodais calculados de deslocamentos e pressão de água.

Para cada iteração, em uma análise transiente, as tensões em um elemento são obtidas

utilizando as mesmas propriedades usadas para o cálculo das matrizes do sistema.

99


INÍCIO

DATAIN

TENSI

SAFE_DP

MOBLZ

TEPRIN

VALFLEX

COVERIF

PROPER

DP

FOFS

INTERP

CONTROLE DE PASSOSDE TEMPO

CONTROLE DE CONVERGÊNCIANA ITERAÇÃO SIMPLES

TIMESCH

GLOBAL

MASOLSKY

STRESSES

CONTROLE DE PARADA ESAÍDA DOS RESULTADOS

FIM

SOILPARAM

VCPARAM PERMEAB

STATESUR

TEPRIN

MOBLZ

SAFE_DP

CIC

LO D

E IN

CR

EM

EN

TO D

E C

AR

GA

CIC

LO D

E IT

ER

AÇÃ

O S

IMPL

ES

VALFLEX

COVERIF

PROPER

DP

FOFS

INTERP

Figura A.1 Fluxograma do programa COUPSO.

100

APÊNDICE B – Caracterização e Modelagem do Solo

APÊNDICE B

Caracterização e Modelagem do Solo

B.1 - Introdução

Neste apêndice são apresentadas a caracterização física e a modelagem do material utilizado

nas simulações. A modelagem é feita em termos de comportamento mecânico de

deformabilidade e resistência, e em termos de propriedades hidráulicas.

Pereira (1996) compactou o material de forma a obter duas estruturas: uma de estrutura

metaestável e outra estável. A modelagem de uma estrutura estável teve como objetivo

estudar soluções alternativas para as barragens metaestáveis. Essas barragens são conhecidas

como barragem sonrizal por apresentar estrutura sujeita a colapso durante o primeiro

enchimento.

Neste trabalho a modelagem estável foi utilizada para validação da implementação numérica

das rotinas de otimização. Já a modelagem metaestável foi utilizada para o caso de estudo.

B.2 - Caracterização do material

A Tab. B.1 mostra as propriedades índice do material estudado por Pereira (1996). O material

estudado foi um solo residual derivado de um gnaise do grupo Ceará. O solo foi classificado

como uma areia siltosa e pode ser considerado como material representativo utilizado na

construção de pequenas barragens de terra no nordeste brasileiro (Pereira, 1996).

A Figura B.1 mostra a distribuição granulométrica do solo. Segundo Pereira (1996) a

quantidade de argila é um importante fator na formação das ligações instáveis entre partículas

maiores de areia e silte. Pereira (1996) comenta ainda que a formação de agregações de argila

num solo compactado é função da quantidade de argila e do teor de água durante a

compactação.

A partir das amostras extraídas de barragens sonrizal, Miranda (1988) constatou que essas

apresentavam peso específico seco médio da ordem de 14,75 kN/m3. Baseado nessa

101


constatação, e a partir desse valor de peso específico, Pereira (1996) procede a determinação

da umidade inicial por tentativa e erro de forma que a sucção relacionada pudesse ser

controlada nos equipamentos utilizados nos ensaios de compressibilidade e resistência ao

cisalhamento.

Tabela B.1 Propriedades índice do solo ensaiado (Pereira, 1996).

Solo Areia siltosa residual derivada de gnaise

Localização Pacatuba no Estado do Ceará/Brasil

Umidade Natural 2 – 4 %

Distribuição Granulométrica

Areia: 52 – 54%

Silte: 35 – 28%

Argila: 13 – 13%

D10: 0,0006 mm

D30: 0,016 mm

D60: 0,22 mm

Limites de Atterberg Limite de Liquidez: 29%

Limite de Plasticidade: 17%

Índice de Plasticidade: 12%

Densidade Real dos Grãos 2,64

Classificação segundo o Sistema Unificado SM-ML

102


0

20

40

60

80

100

120

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

Diametro (mm)

Pass

a (%

)

Figura B.1 Distribuição granulométrica (modificado de Pereira, 1996).

A Fig. B.2 mostra a curva de compactação do solo. Pereira (1996) utilizou a energia de

compactação Proctor Normal por refletir melhor, em termos de equipamentos disponíveis, a

condição local de construção das barragens sonrizal. A Fig. B.2 também mostra o ponto de

umidade obtido por Pereira (1996) para estruturar o solo maneira a torná-lo metaestável.

Como pode ser visto na Fig. B.2, a umidade ótima do material corresponde a 14,5%, e a

umidade utilizada para a estrutura metaestável foi de 10,5%.

14

15

16

17

18

19

20

5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

Umidade (%)

Pes

o es

pecí

fico

seco

, (kN

/m3 )

Curva de compactaçãoGrau de saturação=90%Grau de saturação=100%

Ponto utilizado po r Pereira

×

Figura B.2 Curva de compactação e o ponto utilizado na modelagem metaestável

(modificado de Pereira, 1996).

103


B.3 - Modelagem do solo

As modelagens mecânicas e as propriedades hidráulicas do material são apresentadas a seguir.

Pereira (1996) executou uma série de ensaios de laboratório como o objetivo de definir as

superfícies de estado, o critério de ruptura estendido de Mohr-Coulomb e o coeficiente de

permeabilidade, dentro da faixa de variação das variáveis de estado de tensão.

B.3.1 - Modelagem de uma estrutura metaestável

Baseado nos resultados de laboratório, Pereira (1996) utilizou o programa SigmaPlot para

ajustar os dados a uma função matemática que descrevesse o comportamento observado nos

resultados experimentais. A Tab. B.2 mostra os resultados obtidos em laboratório para as

amostras ensaiadas. Com os resultados da Tab. B.2 e partindo do princípio de que, para as

superfícies de estado de índice de vazios e grau de saturação, as funções tinham que ser

contínuas na primeira derivada, Pereira (1996) chega as Eq. (B.1) e (B.2) para o índice de

vazios e grau de saturação respectivamente. As Figs. B.3 e B.4 mostram as superfícies de

estado de índice de vazios e grau de saturação respectivamente, obtidas pelas Eqs. (B.1) e

(B.2).

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

+=b

wa

ufu

cuu

ee

1

− ee (B.1)

onde:

( )mue σln0073,07697,0 −= é o índice de vazios inicial para a fase de pré-colapso;

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−+=

− 5,3

751

142,0752,0m

feσ

é o índice de vazios final para fase pós-colapso;

( ) 6103,001,39 −= mb σ parâmetro que define a inclinação no trecho da fase de colapso;

1107465,000094,0 2 ++= mmc σσ parâmetro que define o valor da sucção no ponto médio da

fase de colapso;

mσ é tensão normal média;

e é o índice de vazios para uma dada combinação das variáveis de estado de tensão.

104


( )( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

−+=

dwa

cuu

SSS

1

1 00 (B.2)

onde:

375,0=oS é o grau de saturação inicial do solo;

9769,0=d parâmetro que define a inclinação no trecho da fase de colapso;

20=c parâmetro que define o valor da sucção no ponto médio da fase de colapso;

S é o grau de saturação para uma dada combinação das variáveis de estado de tensão.

Brooks & Corey (1964) estimaram o coeficiente de permeabilidade de um solo não saturado a

partir da curva característica e da condutividade hidráulica do solo saturado, . Pereira

(1996) utilizando os dados de ensaio e o programa SigmaPlot propõe a Eq. (B.3) para a

condutividade hidráulica do solo não saturado como função da sucção mátrica e da

condutividade hidráulica do solo saturado:

sk

( )

λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Ψ

=wa

crpw uu

kk (B.3)

onde:

( )mpk σln10*26,610*4,1 87 −− +−= ;

( )msk σln10*8,110*17,1 76 −− −−= ;

sw kk ≤ ;

crΨ = 3,0;

λ = 2,10.

A Figura B.5 mostra a variação da condutividade hidráulica, obtida a partir da Eq. (B.3) com

relação à variação da sucção. Como pode ser visto pela Fig. B.5 a condutividade hidráulica

depende basicamente da sucção mátrica.

Da mesma forma descrita anteriormente, Pereira (1996) utiliza os dados obtidos do ensaio de

cisalhamento direto para modelar matematicamente a envoltória de ruptura estendida de

Mohr-Coulomb utilizando o programa SimaPlot. Pereira (1996) assume que a resistência ao

105


cisalhamento se mantém constante para a faixa de sucção mátrica entre 100 e 370 kPa O

resultado do ajuste é expresso pela Eq. (B.4):

( ) ( ) ( )( )pwaawaaff uuuduucuba −−+−+−+= .... 1111 σστ (B.4)

onde:

1a = -7,783, é o intercepto coesivo;

1b = 0,1944 é a tangente do ângulo de atrito efetivo do solo;

1c = 0,1943 é o valor médio da tangente do ângulo relativo à variação da sucção mátrica;

1d = 0,09319 parâmetro de ajuste da envoltória;

p = 0,04307 parâmetro de ajuste da envoltória.

Comparando-se a Eq. (B.4) com a Eq. (2.14) têm-se o ângulo de atrito e a coesão funções da

sucção mátrica como mostrado nas Eqs. (B.5) e (B.6).

p

)( uucac −+=

wa uudbtg )(11 −+=φ (B.5)

11 wa (B.6)

Como pode ser visto pela Figs. B.6 e B.7, a Eq. (B.4) na forma apresentada por Pereira (1996)

prevê valores negativos para o intercepto de coesão, quando o solo se aproxima da saturação.

Assim, neste trabalho o intercepto coesivo mínimo de 5 kPa foi admitido com base nos

resultados experimentais obtidos por Pereira (1996). A variação do ângulo de atrito com

relação à variação sucção mátrica pode ser visualizada pela Fig. B.8. (Cordão Neto, 2001)

observou que para valores de sucção próximos a zero existe uma descontinuidade na variação

do ângulo de atrito. Essa descontinuidade não reflete o real comportamento do solo, dado a

diferença de 5 graus no ângulo de atrito para uma variação de 1 kPa na sucção. Portanto, um

ângulo de atrito constante e igual a 16 graus foi utilizado neste trabalho como representativo

do comportamento do solo.

106


Para a Tab. B.2 as siglas têm os seguintes significados:

TPT1: Corpo de prova submetido a uma tensão confinante de 20 kPa durante a molhagem;



TPT4: Corpo de prova submetido a uma tensão confinante de 200 kPa durante a molhagem.

Tabela B.2 Resumos dos resultados obtidos para o índice de vazios (e) e grau de saturação

(S) sob trajetória de molhagem (Pereira, 1996).

TPT1 TPT2 TPT3 TPT4 ua-uw

(kPa)

(1)

e

(2)

S

(3)

e

(4)

S

(5)

E

(6)

S

(7)

e

(8)

S

(9)

370 0.7483 0.370 0.7408 0.374 0.7354 0.377 0.7314 0.379

90 0.7483 0.437 - - - - 0.7003 0.423

60 0.7483 0.460 0.7406 0.445 0.7314 0447 0.6811 0.461

30 0.7483 0.503 0.7406 0.485 0.7213 0.509 0.6468 0.525

10 0.7483 - - - 0.6779 0.622 0.6013 0.671

5 0.7483 - - - 0.6481 0.761 0.6010 0.756

0 0.7483 1.00 0.7251 1.00 0.6481 1.00 0.6007 1.00

107


0 5 10 30 60 90 200 370

2050

100

200

0,50

0,60

0,70

0,80

Índi

ce d

e Va

zios

(e)

Sucção Mátrica (kPa)

Tensão líquida média (kPa)

Figura B.3 Superfície de estado de índice de vazios para o solo colapsível (modificado de

Pereira, 1996).

5 10 30 60 90 200 37020

50100

200

0

20

40

60

80

100

Satu

raçã

o S

(%)



Figura B.4 Superfície de estado de grau de saturação para o solo colapsível (modificado de

Pereira, 1996).

108


1,0E-151,0E-141,0E-131,0E-121,0E-111,0E-101,0E-091,0E-081,0E-071,0E-061,0E-05

1 10 100 1000

Sucção mátrica (kPa)

Coef

icie

nte

de p

erm

eabi

lidad

e K

w (m

/s)

Tensão confinante líquida=200 kPaTensão confinante líquida=100 kPaTensão confinante líquida=50 kPaTensão confinante líquida=20 kPa

Figura B.5 Coeficiente de permeabilidade versus sucção para o solo colapsível (modificado

de Pereira, 1996).

-50

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200 250

Tensão normal líquida (kPa)

Res

istê

ncia

ao

cisa

lham

ento

(kP

a)

Sucção mátrica=0 kPa




Figura B.6 Resistência ao cisalhamento versus tensão normal líquida do solo colapsível para

diferentes sucções (modificado de Pereira, 1996).

109


-50

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200 250


Resi

stên

cia

ao c

isal

ham

ento

(kPa

)

Tensão normal líquida=25 kPa




Figura B.7 Resistência ao cisalhamento versus sucção do solo colapsível para diferentes

tensões normais líquidas (modificado de Pereira, 1996).

10

11

12

13

14

15

16

17

18

0 50 100 150 200

sucção mátrica (kPa)

ângu

lo d

e at

rito

(gra

us)

Figura B.8 Variação do ângulo de atrito com a sucção mátrica (Cordão Neto, 2001).

110


B.3.2 - Modelagem de uma estrutura estável

A modelagem de uma estrutura estável para o material seguiu os mesmos passos discutidos

previamente para modelagem metaestável. As Eqs. (B.7) e (B.8) para o índice de vazios e

grau de saturação, respectivamente, foram obtidas por Pereira (1996) a partir de dados de

ensaios de duplo oedométrico e assumindo um coeficiente de Poisson constante igual a 0,3. A

tensão vertical variou de 25 a 200 kPa e a sucção inicial foi de 30 kPa. As Figs. B.9 e B.10

mostram as superfícies de estado de índice de vazios e grau de saturação, obtidas a partir das

Eqs. (B.7) e (B.8).

)(10*23.3432,0 am ue −−+= σ4−

( )

(B.7)

( )[ ] mnwa uu

SS−+

+=α1

00

S−1 (B.8)

onde:

0S = 0,811 é o grau de saturação inicial do solo;

α = 0,045; parâmetro do solo estimado da curva característica;

n = 2,3; parâmetro do solo estimado da curva característica;

)/1(1 nm −= = 0,565.

Segundo Pereira (1996) a Eq. (B.7) é válida tanto para a condição saturada quanto para a não

saturada, quando o solo é compactado nas condições de umidade ótima da energia Proctor

Normal. Como pode ser visto pela Fig. B.9 a compressibilidade do solo estável, sob

carregamento oedométrico, é independente da variação da sucção. Isto implica que o módulo

de compressibilidade .é igual a zero. Já pela Fig B.10 vê-se que o módulo tem valores

pequeno para a faixa de tensão vertical aplicada.

2 1sm wm

A Eq. (B.9) para a condutividade hidráulica foi modelada por Pereira (1996) a partir da

equação proposta por van Genuchten (1980).

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

2

2/

1

1

1*1. mnwa

mnwa

nwa

swuu

uuuukk−+

−+−−=

−−

α

αα (B.9)

onde:

111


910*5,7 −=sk m/s, é condutividade hidráulica saturada;

α = 0,045; n = 2,3; )/1(1 nm −= = 0,565.

A Fig. B.11 mostra a variação da condutividade hidráulica, obtida a partir da Eq. (B.9), com

relação à variação da sucção.

Para definir a envoltória de resistência ao cisalhamento do solo estável na condição não

saturada, Pereira (1996) utiliza os parâmetros efetivos obtidos nos ensaios de cisalhamento

direto e a curva característica do solo para chegar na Eq. (B.10). A Figs. B.12 e B.13 mostram

as envoltórias obtidas pela Eq. (B.10).

( ) ( ) ( )( ) ( )

'11.1

.'.' 11 φλ

φφστ λλ tguuuu

uutguutguc

bwabwa

bwabwawff ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−−−

+−+−+= −−

λ

(B.10)

onde:

' = 33,8 é a coesão efetiva; c

'φ = 32,6 é o ângulo de atrito efetivo; bφ = 32,6 é o ângulo relativo a variação da sucção mátrica;

bwa uu )( − = 10kPa é o valor de entrada de ar.

λ = 0,6 é o índice de distribuição de poros

0 5 10 30 60 90 200 370

2050

100

200

0,30

0,40

0,50

Índi

ce d

e V

azio

s (e

)



Figura B.9 Superfície de estado de índice de vazios para o solo estável (modificado de

Pereira, 1996).

112


5 10 30 60 90 200 37020

50

100200

0

20

40

60

80

100S

atur

ação

S (%

)

Sução Mátrica (kPa)


Figura B.10 Superfície de estado de grau de saturação para o solo estável (modificado de

Pereira, 1996).

1,0E-14

1,0E-13

1,0E-12

1,0E-11

1,0E-10

1,0E-09

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1 10 100 1000


Coe

ficie

nte

de p

erm

eabi

lidad

e

K w(m

/s)

Tensão confinante líquida=200 kPaTensão confinante líquida=100 kPaTensão confinante líquida=50 kPaTensão confinante líquida=20 kPa

Figura B.11 Coeficiente de permeabilidade versus sucção para o solo estável (modificado de

Pereira, 1996).

113


0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

Tensão normal líquida (kPa)

Resi

stên

cia

ao c

isal

ham

ento

(kPa

)

Sucção mátrica=0 kPaSucção mátrica=25 kPaSucção mátrica=50 kPaSucção mátrica=100 kPa

Figura B.12 Resistência ao cisalhamento versus tensão normal líquida do solo estável para

diferentes sucções (modificado de Pereira, 1996).

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250


Res

istê

ncia

ao

cisa

lham

ento

(kP

a)





Figura B.13 Resistência ao cisalhamento versus sucção do solo estável para diferentes tensões

normais líquidas (modificado de Pereira, 1996).

114

APÊNDICE C – Resultados da Análise Transiente

APÊNDICE C

Resultado da Análise Transiente

C.1 - Introdução

Neste apêndice são apresentados graficamente os resultados obtidos e não analisados no

Capítulo 5.

C.2 - Deslocamentos

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura C.1 Deslocamentos 17,7 dias após o enchimento do reservatório:ampliado 100 vezes.

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


vezes.

115


Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


vezes.

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura C.4 Deslocamentos 38,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 50 vezes.

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura C.5 Deslocamentos 78,5 dias após o enchimento do reservatório: ampliado 40 vezes.

116


Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


vezes.

C.3 - Distribuição de poropressão em kPa

-300

-300

-300

-300

0

0

0

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura C.7 Poropressão 17,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).

-300

-300

-300

-300

0

0

0

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


117


-300 -3

00

-300

-300

0

0

0

0

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


-300

-300

-300

0

0

0

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


-360

-360

-360

0

0

0

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


118


-360

-360

-360

0

0

0

60

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


-360

-360

-360

0

0

0

60

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


C.4 - Distribuição da tensão normal média.

15

15

15 15

30

30 30

30

45 45

45 45

60 60

60

75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura C.14 Tensão normal média 17,5 dias após o enchimento do reservatório (kPa).

119


15

15

15

15 15

30

30 30

30 30

45 45

45 45

45 45

60 60

60

60

75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


15

15

15

15 15

30

30

30 30

30

45 45

45 45

60 60

60

75 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


15

15

15

15 15

30

30

30 30

30

45 45

45

45 45

60 60

60

75 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


120


0

0

15

15

15

15 15

30

30

30 30

30

45 45

45 45

60 60

60

75 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


0

0

15 15

15 15

15

15

30 30

30 30

30

45

45

45 45

60

60 60

75 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


0

0

0

15 15

15 15

15 15

30 30

30

30 30

30

45

45

45

60

60

60

75 75

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


121


C.5 - Distribuição das deformações volumétricas εv.

-6e-006

-6e-006

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10

Figura C.21 Deformações volumétricas 17,5 dias após o enchimento do reservatório.

-2e-005

-2e-005

-2e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


-2e-0

05 -2e-005

-2e

-005

8e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


122


-2e-0

05

-2e-005

-2e

-005

-2e-005

8e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


-2e-005 -2

e-005

-2e-005

-2e-005 -2e-005

8e-005

8e-005

8e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


-2e

-005

-2e-005 -2e-005

-2e-005

-2e

-005

8e-005 8e-005

8e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


123


-2e

-005

-2e-005

-2e-005

8e-005

8e-005

Distância (m)-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Ele

vaçã

o (m

)

-2

0

2

4

6

8

10


C.6 - Superfície Crítica do Talude de Montante.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem

Água


N.A



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

BarragemÁguaSuperfície críticaContorno de busca

N.A



124


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)Barragem

Água


N.A



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem

Água


N.A



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem

Água


N.A



125


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)Barragem

Água


N.A



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

Barragem

Água


N.A



126


C.7 - Distribuição do fator de segurança local, tensões normais, cisalhantes resistentes e mobilizadas ao longo da superfície crítica do talude de montante.

0

1

10

100

1000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



-40-20

020406080

100120140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




127


0

1

10

100

1000

10000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



-60-40-20

020406080

100120140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




0

1

10

100

1000

10000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



128


-60-40-20

020406080

100120140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




0

1

10

100

1000

10000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



-60-40-20

020406080

100120140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




129


0

1

10

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




0

1

10

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



130


-20

-10

0

10

20

30

40

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




0

1

10

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

FS L

ocal



-20

-10

0

10

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)


Figura C.48 Distribuição de tensões ao longo da superfície crítica do talude de montante

118,5 dias após o enchimento do reservatório.

131


C.8 - Superfície Crítica do Talude de Jusante.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

BarragemÁgua


N.A



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

BarragemÁgua


N.A



132


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)BarragemÁgua


N.A



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)


N.A



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)


N.A



133


-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)BarragemÁgua


N.A



-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

Ele

vaçã

o (m

)

BarragemÁgua


N.A



134


C.9 - Distribuição do fator de segurança local, tensões normais, cisalhantes resistentes e mobilizadas ao longo da superfície crítica do talude de jusante.

0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




135


0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



136


-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




137


0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



138


-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




0

1

10

100

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Distância (m)

FS L

ocal



-40

0

40

80

120

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Distância (m)

Tens

ão (k

Pa)




139

universidade de braslia - geotecnia.unb.br · globais, comparativamente aos obtidos pelo programa...

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