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Trigonometria no ensino médio e suas aplicações
Francine Dalavale Tozatto SouzaDissertação de Mestrado do Programa de Mestrado Profissional emMatemática em Rede Nacional (PROFMAT)
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito:
Assinatura: ______________________
Francine Dalavale Tozatto Souza
Trigonometria no ensino médio e suas aplicações
Dissertação apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Mestra em Ciências – Mestrado Profissional emMatemática em Rede Nacional. VERSÃO REVISADA
Área de Concentração: Mestrado Profissional emMatemática em Rede Nacional
Orientadora: Profa. Dra. Regilene Delazari dosSantos Oliveira
USP – São CarlosJulho de 2018
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,
com os dados inseridos pelo(a) autor(a)
Bibliotecários responsáveis pela estrutura de catalogação da publicação de acordo com a AACR2: Gláucia Maria Saia Cristianini - CRB - 8/4938 Juliana de Souza Moraes - CRB - 8/6176
T757tTozatto Souza, Francine Dalavale Trigonometria no ensino médio e suas aplicações /Francine Dalavale Tozatto Souza; orientadorRegilene Delazari dos Santos Oliveira. -- SãoCarlos, 2018. 95 p.
Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduaçãoem Mestrado Profissional em Matemática em RedeNacional) -- Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação, Universidade de São Paulo, 2018.
1. Trigonometria. 2. Triângulo. 3. Funções e leistrigonométricas. 4. Aplicações. 5. Ensino médio. I.Delazari dos Santos Oliveira, Regilene, orient. II.Título.
Francine Dalavale Tozatto Souza
Trigonometry in the High School and its applications
Master dissertation submitted to the Institute ofMathematics and Computer Sciences – ICMC-USP, inpartial fulfillment of the requirements for the degree ofMathematics Professional Master’s Program. FINALVERSION
Concentration Area: Professional Master DegreeProgram in Mathematics in National Network
Advisor: Profa. Dra. Regilene Delazari dosSantos Oliveira
USP – São CarlosJuly 2018
Este trabalho é dedicado ao meu marido Willian e ao meu filho Theo.
AGRADECIMENTOS
A Deus por ter me dado saúde e forças para superar as dificuldades.
A esta universidade, seu corpo docente, direção e administração e ao IMPA, que tornarampossível a realização deste mestrado.
Em especial, a minha orientador Regilene Oliveira, por todo empenho, paciência ededicação que foram essenciais para que eu concluísse esse trabalho.
À querida professora Ires Dias que sempre me apoiou.
Aos meus pais, pelo amor, incentivo e apoio incondicional.
À minha amada avó e aos meus queridos familiares que sempre estiveram ao meu lado,abriram mão de muitos compromissos para ficarem com o meu filho durante meus estudos e idaspara a faculdade. Ao meu marido Willian que não mediu esforços para me ajudar em todas assituações e que, como todo seu amor e sua compreensão, foi a base para a concretização do meusonho.
Ao grande amor da minha vida, meu filho Theo, que nasceu no último semestre de aulasdo programa PROFMAT, e que foi minha grande inspiração para finalizar essa dissertação.
Aos meus colegas de sala, especialmente ao meu amigo Fabrício e minha amiga ecompanheira de viagens, Liliane, que sempre me ajudaram e incentivaram em todos os momentos.
Enfim, aos colegas de trabalho, alunos, amigos e todos os envolvidos que de algumaforma contribuíram para que esse sonho se tornasse realidade.
“Todas as vitórias ocultam uma abdicação.”
(Simone de Beauvoir)
RESUMO
TOZATTO, FRANCINE D. S. Trigonometria no ensino médio e suas aplicações. 2018. 97 p.Dissertação (Mestrado em Ciências – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional)– Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos –SP, 2018.
Neste trabalho fazemos um estudo detalhado sobre o tema Trigonometria. A trigonometria éum tema bastante discutido em sala de aula durante o ensino médio. Não apenas apresentamosresultados sobre o tema mas também suas provas e justificativas, assim como exemplos eexercícios com o objetivo de ter um material completo para professores do ensino médio quedesejem estudar tais tópicos. Em seguida apresentamos algumas aplicações da Trigonometriaque podemos encontrar em nosso dia-a-dia, também aqui o objetivo é apresentar motivaçãopara o estudo deste importante assunto e tão frequente nos vestibulares atualmente. Finalmente,apresentamos uma atividade realizada com meus alunos em sala de aula. Esta dissertaçãofoi desenvolvida como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de mestradoacadêmico junto ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC), da Universidadede São Paulo (USP).
Palavras-chave: Trigonometria, triângulos, funções e leis trigonométricas, aplicações e ensinomédio.
ABSTRACT
TOZATTO, FRANCINE D. S. Trigonometry in the High School and its applications. 2018.97 p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Mestrado Profissional em Matemática em RedeNacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo,São Carlos – SP, 2018.
In this dissertation we present a detailed study about Trigonometry. This subject is frequentlydiscussed em classes during High school courses. We do not only present the main resultsabout Trigonometry but also their proofs, as well examples and exercises. Our main objectivehere is obtain a complete text for high school teachers. We also present some applications ofTrigonometry that can be easily find in our life. Here our main objective is to motivate thestudy of this important subject that appears so frequently in the exams for universities entrance.To conclude, we present an activity realized with high school students. This dissertation wasdeveloped as part of the requirements necessary for the obtension of the degree of MathematicsProfessional Master at Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade deSão Paulo (ICMC-USP).
Keywords: Trigonometry, triangles, functions and trigonometric laws, applications and highschool.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 2 – ABH e ACH são triângulos semelhantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 3 – Prova do Teorema de Pitágoras por decomposição de áreas. . . . . . . . . . 28
Figura 4 – Ilustração do exemplo CFTMG 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 5 – Ilustração da resolução do exemplo proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 6 – Triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 7 – Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 8 – Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 9 – Triângulo Equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 10 – Quadrado de lado l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 12 – Paralelepípedo ABCDEFGH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 11 – Tabela valores das razões trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 13 – Paraleleípedo ABCDEFGH-resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 14 – Triângulo ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 15 – Triângulo ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 16 – Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 17 – Demonstração através da Potência de Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 18 – Figura ilustrativa referente ao exemplo UNESP 2017 . . . . . . . . . . . . 42
Figura 19 – Figura ilustrativa referente à resolução do exemplo UNESP 2017 . . . . . . 43
Figura 20 – Triângulo ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 21 – Ângulo Central AÔB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 22 – O grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 23 – Arco de um radiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 24 – Relação arco, ângulo central e raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 25 – Ângulo formado pelos ponteiros de um relógio . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 28 – Quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 26 – Circunferência Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 27 – Quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 29 – Arcos Côngruos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 30 – Seno no ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 31 – f(x)= sen x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 32 – Gráfico de f (x) = 1+ senx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 33 – Gráfico de f (x) = 2senx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 34 – Gráfico da função f (x) =−2senx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 35 – Gráfico de g(x) = sen2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 36 – Gráfico de f (x) = sen(x+π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 37 – Cosseno no ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 38 – A curva cossenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 39 – Gráfico de f (x) =−2+3cos( x
2 +π
4
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 41 – Tangentóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 40 – Tangente no ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 42 – Cossecante no Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 43 – Gráfico de f (x) = cscx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 44 – Secante no ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 45 – Gráfico de f (x) = secx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 46 – Cotangente no ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 47 – Gráfico de f (x) = cotx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Figura 48 – Gráfico da função seno restrita ao domínio D . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 49 – Gráfico da função arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 50 – Gráfico da função g(x) restrita ao domínio D . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 51 – Gráfico da função g−1(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 52 – Gráfico de g(x) = tanx restrita a (−π
2 , π
2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 53 – Gráfico da função arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 54 – Prova da soma de arcos para a função seno e cosseno . . . . . . . . . . . . 64
Figura 55 – Triângulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Figura 56 – Triângulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Figura 57 – Triângulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Figura 58 – Triângulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Figura 59 – Figura Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 60 – Poço em Siena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 61 – Distância entre Alexandria e Siena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 62 – Medida da Terra feita por Erastótenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 63 – Pirâmide Quéops do Egito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 64 – Esquema elaborado por Tales de Mileto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 65 – Lançamento Oblíquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 66 – Imagem de Refração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 67 – Figura referente ao exercício de refração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 68 – Ondas Sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 69 – Gráficos que representam sons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 70 – Gráfico de amplitude 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 71 – Gráfico de amplitude 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 72 – Gráfico da pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Figura 73 – Gráfico de acertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Figura 74 – Teste aplicado aos alunos, página 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Figura 75 – Teste aplicado aos alunos, página 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Figura 76 – Teste resolvido pelo aluno 1, página 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Figura 77 – Teste resolvido pelo aluno 1, página 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Figura 78 – Teste resolvido pelo aluno 2, página 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Figura 79 – Teste resolvido pelo aluno 3, página 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 CONCEITOS PRINCIPAIS DA TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . 252.1 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . 262.3 Razões Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Ângulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Relação Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.1 Outras relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Ângulos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Lei dos cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.9 Arcos e ângulos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.10 Unidades de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.11 Conversão de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.12 Comprimento do arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.13 Ângulo formado pelos ponteiros de um relógio . . . . . . . . . . . . . 462.14 Ciclo ou circunferência trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.15 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.15.1 Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.15.2 Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.15.3 Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.15.4 Função cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.15.5 Função secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.15.6 Função cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.16 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.16.1 Função arco-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.16.2 Função arco-cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.16.3 Função arco-tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.17 Adição e subtração de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.17.1 Arco Duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.17.2 Fatoração ou fórmulas de Prostaférese . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.17.3 Arco Triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.17.4 Arco Metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 APLICAÇÕES DA TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1 Medidas de distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.1 Erastóstenes e o cálculo do raio da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.2 Tales de Mileto e altura da pirâmide de Quéops . . . . . . . . . . . . 743.2 Trigonometria na Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.1 Lançamento Oblíquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.2 Refração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.3 O Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Na medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 ATIVIDADE REALIZADA EM SALA DE AULA . . . . . . . . . . . 87
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
21
CAPÍTULO
1INTRODUÇÃO
Ao lecionarmos disciplinas de matemática para as séries do Ensino Médio facilmentepercebemos a grande dificuldade que os alunos apresentam nestas disciplinas. A Trigonometriaé uma das disciplinas que se enquadram nessa dificuldade. Certamente não existe um únicomotivo que torne a trigonometria um conteúdo árduo para os estudantes, mas acreditamos que umdesses motivos possa ser o distanciamento do empirismo do qual se originou. Nosso objetivo émostrar como podemos desenvolver, em conjunto com os alunos, um conteúdo mais interessante,para que exista uma maior motivação e apreciação, não só para o aluno, mas também para odocente ao explanar desse conteúdo em sala de aula. Nesse contexto, aplicações aparecem comoum forte aparato para a interpretação de muitos porquês. Podemos encontrar nos ParâmetrosCurriculares Nacionais uma citação do estudo da trigonometria, na qual é destacado o seupotencial relacionado ao desenvolvimento de habilidades e competências.
Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com odesenvolvimento de habilidades e competências é a trigonometria, desde que seuestudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculoalgébrico das identidades e equações [...](BRASIL, 1999, p. 257)
Acreditamos que assim que o aluno entra em contato com o contexto histórico da Trigono-metria, ele observa que esta não nasceu da forma que é apresentada, mas sim, que foi estruturadaa partir das necessidades de comunidades antigas, cursando assim, um extenso percurso atétomar a forma da qual é encontrada nos dias de hoje. Porém, um dos principais objetivos dosalunos do Ensino Médio atualmente é o ingresso em grandes universidades públicas e isso só épossível após realizar uma prova muito complexa organizada por institutos responsáveis pelosseus respectivos vestibulares. A Fuvest, por exemplo, exige um conhecimento extremamenteaprofundado em trigonometria que faz com que o aluno tenha que ter um investimento excessivono cálculo algébrico das identidades e equações, contrariando assim a citação encontrada no
22 Capítulo 1. Introdução
PCN. Dessa maneira, o professor encontra um dilema na sala da aula: deixar a trigonometriamais palpável e próxima da realidade dos alunos ou aprofundar os conceitos e as equaçõestrigonométricas para deixá-los mais preparados para os grandes vestibulares? Analisando estedilema concluímos que podemos tentar conciliar as duas situações. Mostrar aos alunos a origemda trigonometria, suas aplicações atuais e em seguida trabalhar os conceitos e aprofundá-los.Não é um trabalho fácil, mas é possível.
Ainda de acordo com os PCN,
O ensino de Matemática, devido ao caráter formativo, instrumental e científico,propicia condições para inserção do indivíduo num mundo em constante evolução emudança, contribuindo para investigar, questionar, pesquisar, construir hipóteses,inferir e generalizar, adquirir confiança na própria capacidade de pensar, encontrarsoluções, trabalhar cooperativamente e desenvolver capacidades que deles serãoexigidas em sua vida social e profissional.
Ao mostrar para o aluno que o conteúdo visto em sala terá alguma utilidade em suavida acadêmica ou profissional, o interesse aumenta e a aula flui com maior naturalidade. Umamaneira de deixar o momento de resolução de exercícios mais agradável, é trabalhar em grupose liderar a aula como um tutor, tirando as dúvidas e dando mais autonomia para os alunosresolverem as questões.
O nome “Modelagem Matemática” consiste na arte de transformar problemas da realidadeem problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundoreal” segundo, Bassanezi, (2002, p.16).
Ela permite a realização de previsões e tendências e é eficiente a partir do momento quetomamos consciência de que estamos trabalhando sobre representações de um sistema ou partedele. É um processo dinâmico que, partindo de um problema real, associado a um conjunto dehipóteses, alcança sua solução com uso de ferramentas auxiliares. A Trigonometria é uma destasferramentas auxiliares.
Assim, é muito produtivo trabalhar com listas de exercícios contextualizados que apare-cem nos vestibulares mais famosos do Brasil, assim como no Exame Nacional do Ensino Médio,o ENEM.
O ENEM possui 180 questões de múltipla escolha, das quais 45 são de matemática.Grande parte das 45 questões de matemática pertencem a geometria e trigonometria. Questõesbaseadas em situações problemas do dia-a-dia, ou seja, uma trigonometria mais fácil de sertrabalhada em sala.
Descreveremos a seguir como está dividido este trabalho.
23
No primeiro capítulo encontra-se toda a parte teórica da trigonometria que o aluno terácontato. Apresentamos triângulos, teoremas, semelhanças, funções, fórmulas, ciclo trigonomé-trico, equações e inequações. Junto a tais resultados encontram-se suas provas e/ou justificativas,assim como exemplos e exercícios propostos.
No segundo capítulo, mostramos que o conteúdo pode ser aplicado tanto na matemáticaquanto na física, na arquitetura, na engenharia e até na medicina. As aplicações tornam amatemática muito mais atraente para os alunos.
Finalmente no capítulo 3, mostramos como foi o teste aplicado para os alunos. O testefoi criado a partir de questões atuais retiradas de provas dos vestibulares e do ENEM. Foi degrande importância, visto que os alunos mostraram suas habilidades e suas dificuldades.
25
CAPÍTULO
2CONCEITOS PRINCIPAIS DA
TRIGONOMETRIA
A palavra trigonometria é uma palavra de origem grega e composta onde “trígono"significatriângulo e “metria"significa medida, contudo ela não tem como finalidade exclusiva o estudodos triângulos, seu estudo se estende a outras investigações sobre ângulos como veremos nestadissertação. Acredita-se que o estudo da trigonometria teve início com às civilizações babilô-nicas e egípcias. Atualmente a trigonometria tem grande importância não apenas para estudosmatemáticos mas também como instrumento de outras ciências como física, agrimensura, en-genharia e navegação. Ela é bastante utilizada em análise de sistemas elétricos e de ondassonoras. Provavelmente a trigonometria teve início no estudo da astronomia, que exigia o cálculode distâncias entre pontos inacessíveis. Hiparco de Nicéia, astrônomo grego e considerado opai da Trigonometria, por volta de 180 a 125 a.C, criou metodologias para medir distâncias eângulos. Ele fez um tratado em doze livros em que se construiu a primeira tabela trigonométrica,incluindo uma tábua de cordas. A elaboração de um catálogo estrelar, a duração do mês edo ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação eclítica e a descoberta da precedência dosequinócios, são as principais contribuições à Astronomia, atribuídas a Hiparco. A Trigonometriafoi desvinculada da astronomia somente no início do século XVIII através do matemático e físicosuíço Leonhard Euler, que foi o primeiro a relacionar a trigonometria com funções. (COSTA, )Muito citada, a palavra corda recebeu uma tradução errônea que é utilizada até hoje, seno quevem de sinus. Sinus é a tradução latina da palavra árabe Jaib, que significa dobra, bolso ou pregade uma vestimenta, o que não tem relação com o conceito matemático de seno. A palavra árabeadequada, que deveria ser traduzida, seria jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de umarco. Também muito usado, o cosseno teve surgimento apenas no século XVII, como sendo oseno do complemento de um ângulo. Já a tangente, ao que tudo indica, teve origem através danecessidade de calcular alturas e distâncias. A unidade grau é muito utilizada na Trigonometria,assim como seus submúltiplos, minuto e segundo. Ao que tudo indica o conceito de grau é
26 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
originário da Babilônia. Para estabelecerem o grau, os babilônios dividiram o círculo em 360partes iguais, pois acreditavam que essa era a quantidade de dias referente ao período de um anoe porque seu sistema de numeração era de base sessenta ou sexagesimal. Como cada uma das360 divisões do círculo corresponde a um grau, temos que:
Uma volta equivale a 360 graus.
Meia volta equivale a 180 graus.
Um quarto de volta equivale a 90 graus.
Outra justificativa para escolher o número 360 pode ser porque ele tem 24 divisores.Além disso, 360 é divisível pelos números de 1 a 10, com exceção de 7. Esta propriedade temdiversas aplicações práticas, tal como dividir o planeta em 24 fusos horários, cada um com 15o
de longitude, correlacionando com a convenção estabelecida do dia de 24 horas.
Para facilitar muitos cálculos trigonométricos, uma outra unidade de medida é utilizada,o radiano. Ele é útil para distinguir quantidades de diferentes naturezas, mas com a mesmadimensão. O radiano é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferênciaque contém o referido arco. Como ao arco está associado um ângulo central, também podemosdizer que radiano é a medida do ângulo central que determina na circunferência um arco cujocomprimento é igual ao raio.
Neste capítulo apresentaremos os conteúdos básicos da trigonometria que consideramosessenciais para o ensino do tema e pré-requisitos para a realização da discussão do mesmo emsala de aula. O conteúdo deste capítulo foi baseado nas seguintes referências bibliográficas:(REIS, 2016) (IEZZI, 1985) (SILVA, 2017) (COSTA, 2016) (KRIKORIAN, 1987) (OLIVEIRA,2010).
2.1 Ângulos
Dadas duas semirretas no plano, AB e AC, um ângulo (ou região angular) de vértice em A
e lados ~AB e ~AC é uma das regiões do plano limitadas pelas semirretas AB e AC. Denotamos umângulo convexo de lados ~AB e ~AC escrevendo BAC ou usando uma letra grega α , como mostradona Figura 1.
2.2 Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras
Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, com medidaigual a 900, e dois ângulos agudos, isto é, menores que 900 e maiores que 00. Esse triângulo éde grande importância e muito usado na engenharia, arquitetura, navegação e astronomia. Cadalado desse triângulo recebe um nome diferente, como podemos observar na Figura 1.
2.2. Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras 27
Figura 1 – Triângulo Retângulo
O maior lado desse triângulo recebe o nome de hipotenusa e é oposto ao ângulo reto.Os outros dois lados recebem nomes de catetos. O lado BC, por ser oposto ao ângulo alfa (α),pode ser chamado de cateto oposto ao ângulo α ou ainda, cateto adjacente ao ângulo beta (β ),de maneira análoga, o lado AC recebe o nome de cateto oposto ao ângulo β ou cateto adjacenteao ângulo α .
Um dos filósofos que merece destaque no estudo dos triângulos retângulos é Pitágoras.Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego que nasceu no ano de 570 a .C nailha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por diversaslendas e fatos não comprovados pela História, temos dados e informações importantes sobresuas colaborações científicas, como por exemplo o Teorema de Pitágoras, que afirma que
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
Para este resultado encontramos várias demonstrações. Vejamos abaixo uma delas, obtidapor semelhança de triângulos.
Considere o triângulo ABC, retângulo em A. Trace AH, a altura referente a hipotenusaBC. Os triângulos ABH e ACH são semelhantes pelo caso ângulo-ângulo-ângulo. Veja Figura 2.
Portanto segue queBHAB
=ABBC
,CHAC
=ACBC
. (2.1)
Consequentemente, AB2 = BC.BH e AC2 = BC.CH e temos que:
AB2 +AC2 = BCBH +BCCH
= BC(BH +CH)
= BCBC = BC2
(2.2)
28 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 2 – ABH e ACH são triângulos semelhantes.
Fonte – Elaborada pela autora
Outra prova do Teorema de Pitágoras pode ser realizada por decomposição de áreas,como ilustra a Figura 3.
Figura 3 – Prova do Teorema de Pitágoras por decomposição de áreas.
Nesta demonstração basta observarmos que a figura à esquerda apresenta um quadradode lado a + b decomposto em seis partes: um quadrado de lado a, um quadrado de lado b e quatrotriângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c. A figura à direita apresenta um quadrado,congruente ao primeiro, porém decomposto de outra forma, em cinco partes: um quadrado delado c e quatro triângulos retângulos congruentes aos da primeira figura. Como a área da figura àdireita é igual à área da figura à esquerda, retirando-se os quatro triângulos retângulos de ambas
2.2. Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras 29
as figuras, o que resta tem que ser igual: a2 = b2 + c2, onde a e b representam as medidas doscatetos e c a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo qualquer.
Vejamos agora um exemplo onde o Teorema de Pitágoras pode ser empregado.
( CFTMG 2017) Duas crianças, cada uma em um prédio diferente, brincam com canetas lasersnas janelas de seus apartamentos, apontando para um ponto na quadra situada entre os prédios.A criança do prédio A está a uma altura de 10m e a do prédio B 20m a uma altura de do chão.A distância entre os prédios é de 50m . Em um determinado momento, os lasers das criançasatingem, simultaneamente, um ponto do pátio equidistante das crianças, tal como ilustra a Figura4.
Figura 4 – Ilustração do exemplo CFTMG 2017.
Fonte – www.sprweb.com.br
Responda, a distância x em metros deste ponto até o prédio B é:
a)22 b)23 c)25 d)28
Resolução: Considere a Figura 5.
30 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 5 – Ilustração da resolução do exemplo proposto
Fonte – www.sprweb.com.br
Nos triângulos destacados acima aplica-se o Teorema de Pitágoras:
d2 = 102 +(50− x)2 = 202 + x2
100+2500−100x+ x2 = 400+ x2
100x = 2200
x = 22.
2.3 Razões Trigonométricas
Acredita-se que as razões trigonométricas surgiram pela necessidade de se calcularmedidas em linha reta entre dois pontos na superfície da Terra. O povo Hindu notou que a razãoentre a medida do cateto oposto de um ângulo agudo do triângulo retângulo pela medida dahipotenusa resulta em uma mesma constante e deu o nome de JIVA(meia corda) a essa razão.Os árabes transformaram em JIBA e registraram JB, pois era comum na língua árabe apenasescrever as consoantes. Ao traduzir para o latim, os historiadores entenderam que JB seriamas consoantes de JAIB, que significa "baía"e traduziram como SINUS. Assim, JIBA, ou meiacorda Hindu recebeu o nome errôneo de SINUS e é mantido até hoje como SENO, em português.Outro conceito bastante usado é o cosseno. O cosseno surgiu apenas no século XVII, comosendo o seno do complemento de um ângulo. Já a tangente, ao que tudo indica, teve origematravés da necessidade de calcular alturas e distâncias. As razões cossecante, secante e cotangentesurgiram como razões inversas das razões seno, cosseno e tangente, respectivamente. Veja aseguir as definições das razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Considere o triânguloretângulo ABC na figura 6.
2.4. Ângulos Complementares 31
Figura 6 – Triângulo retângulo
Fonte – Elaborada pela autora
∙ Seno
senA =BCAC
senC =ABAC
∙ Cosseno
cosA =ABAC
cosC =BCAC
∙ Tangente
tanA =BCAB
tanC =ABBC
∙ Secante
secA =ACAB
=1
cosAsecC =
ABBC
=1
cosC
∙ Cossecante
cscA =ACBC
=1
senAcscC =
ACAB
=1
senC
∙ Cotangente
cotA =ABBC
=1
tanA=
cosAsenA
cotC =BCAB
=1
tanC=
cosCsenC
2.4 Ângulos Complementares
Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares, ou seja, a soma desuas medidas resultam em 900. Assim, ao calcularmos as razões trigonométricas num triânguloretângulo, algumas igualdades são conhecidas como igualdades notáveis. Vejamos algumasdestas igualdades
32 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 7 – Triângulo Retângulo
i) senA =cateto oposto a A
hipotenusa= cos B
ii) senB =cateto oposto a B
hipotenusa= cos A
iii) tan A =ab=
1tanB
v) sec A =cb= csc B
vi) sec B =ca= csc A
vii) cot A =ba=
1cotB
2.5 Relação Fundamental
Uma relação de grande importância para a Trigonometria é a Relação Fundamental queiremos apresentar a seguir. Observe a Figura 8.
Figura 8 – Triângulo Retângulo
2.6. Ângulos Notáveis 33
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, tem-se:
c2 = a2 +b2
Dividindo-se, ambos os membros por c2:
c2
c2 =a2
c2 +b2
c2
Portanto,sen2
α + cos2α = 1,
conhecida como relação fundamental no triângulo retângulo.
2.5.1 Outras relações
A partir da relação fundamental acima apresentada pode-se obter outras relações muitoúteis. Dividindo-se ambos os membros da relação fundamental por cos2α e posteriormente porsin2α , obtém-se respectivamente, as seguintes identidades trigonométricas:
tan2α +1 = sec2
α, cot2 α +1 = csc2α.
2.6 Ângulos NotáveisOs ângulos de 300, 450 e 600 são chamados ângulos notáveis e aparecem frequentemente
em diversas aplicações. Considere o triângulo equilátero ABC da Figura 9.
Figura 9 – Triângulo Equilátero
34 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Ao traçar a bissetriz, mediana, ou ainda, a altura AD, obtemos o triângulo ACD comângulos agudos de 300 e 600. Através do Teorema de Pitágoras, determinamos a medida h daaltura em função do lado a do triângulo ABC, pois
a2 = h2 +a2
4,
h2 = a2 − a2
4,
h2 =3a2
4.
Portanto temos que h =a√
32
.
Desta forma determinamos os valores das razões trigonométricas de 300 e 600. Comovisto anteriormente, o seno de um ângulo é definido como a razão entre a medida do catetooposto a este ângulo pela medida da hipotenusa do triângulo, ou seja,
sen30o =
a2a=
12, sen60o =
a√
3/2a
=
√3
2.
O cosseno de um ângulo é definido pela razão entre a medida do cateto adjacente a esteângulo pela medida da hipotenusa do triângulo:
cos30o =a√
3/2a
=
√3
2, cos60o =
a/2a
=12
.
A tangente de um ângulo é definida pela razão entre a medida do cateto oposto pelamedida do cateto adjacente a este ângulo, isto é,
tan30o =a/2
a√
3/2=
√3
3, tan60o =
a√
3/2a/2
=√
3.
Para obter as razões secante, cossecante e cotangente, basta calcular o inverso de cadarazão encontrada. Primeiramente, calcula-se as razões inversas do ângulo de 30o:
sec30o = 1/cos30o =2√
33
, csc30o = 1/sen30o = 2, cot30o = 1/ tan30o =√
3.
Para encontrar as razões inversas do ângulo de 60o, pode-se utilizar a propriedade dosângulos complementares:
sec60o = csc30o = 2,
csc600 = sec30o =2√
33
,
cot60o = tan30o =
√3
3.
Para calcular o seno, cosseno e tangente de 45o podemos utilizar o quadrado ABCD
ilustrado na Figura 10.
2.6. Ângulos Notáveis 35
Figura 10 – Quadrado de lado l
A diagonal d forma com os lados l ângulos de 45o e pode-se escrever a medida dadiagonal d em função das medidas dos lados l aplicando-se o Teorema de Pitágoras
d2 = l2 + l2,
d2 = 2l2,
Logo, d = l.√
2.
Assim, tem-se :
sen45o =l
l.√
2=
√2
2, cos45o =
ll.√
2=
√2
2, tan45o =
ll= 1.
Consequentemente temos que
sec45o =√
2, e cot45o = 1.
Dessa maneira, obtemos a tabela com os ângulos notáveis dada a seguir
30o 45o 60o
seno 12
√2
2
√3
2
cosseno√
32
√2
212
tangente√
33 1
√3
secante 2√
33
√2 2
cossecante 2√
2 2√
33
cotangente√
3 1√
33
Além dos ângulos notáveis temos a tabela (11) com outros valores.
Observe o exemplo abaixo:
(Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH representado na Figura 12tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
36 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 11 – Tabela valores das razões trigonométricas
Fonte – <http://naveiadamatematica.blogspot.com.br/2010/08/tabela-completa-com-outras-medidas-dos.html>
2.6. Ângulos Notáveis 37
Figura 12 – Paralelepípedo ABCDEFGH
Fonte – www.sprweb.com.br
O seno do ângulo HAF é igual a:
a) 12√
5
b) 1√5
c) 2√10
d) 2√5
e) 3√10
Resolução:
Figura 13 – Paraleleípedo ABCDEFGH-resolução
Fonte – www.sprweb.com.br
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo AFB temos que y2 = 22 +42, ou seja,y2 = 20, ou ainda, y = 2
√5.
38 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Como o triângulo FHG é congruente ao triângulo AFB, tem-se que z = y = 2√
5. Dadoque x é a diagonal do quadrado ADEH, temos que x = 2
√2.
Traça-se a altura FT do triângulo isósceles AFH e aplica -se o Teorema de Pitágoras aotriângulo AFT .
(2√
5)2 = (√
2)2 +(FT )2, ou seja, (FT )2 = 18, ou ainda, FT = 3√
2.
Por fim,
senHAF =FTFA
=3√
22√
5=
3√10
.
2.7 Lei dos cossenosA Lei dos cossenos é utilizada para determinar a medida de um lado ou de um ângulo
em um triângulo qualquer. Usa-se principalmente, em triângulos que não possuem ângulo reto.Observa-se as demonstrações a seguir:
1o) Triângulo ABC é acutângulo:
Figura 14 – Triângulo ABC
- Traça-se a altura CH;
- Aplica-se o Teorema de Pitágoras no triângulo ACH e no triângulo BCH
(I)a2 = h2 +(c−m)2
(II) h2 = b2 −m2
- Substitui-se (II) em (I):
a2 = b2 −m2 +(c−m)2
a2 = b2 −m2 + c2 −2mc+m2
2.7. Lei dos cossenos 39
a2 = b2 + c2 −2mc
-Ainda no triângulo ACH, temos
cosα = mb ou sejam m = bcosα
Assim a2 = b2 + c2 −2bccosα .
2o) O Triângulo ABC é obtusângulo e A é ângulo obtuso:
Figura 15 – Triângulo ABC
- Trace a altura h;
- Aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo BCH e no triângulo ACH e temos
(I) a2 = h2 +(c+ x)2
(II) b2 = h2 + x2
- Substitui-se (II) em (I):
a2 = b2 − x2 +(c+ x)2
a2 = b2 − x2 + c2 +2xc+ x2
a2 = b2 + c2 +2xc
- Ainda no triângulo retângulo ACH, temos cos(180o − α) = −cosα = xb , ou seja,
x =−b.cosα
Assim, a2 = b2 + c2 −2bccosα
- Empregando raciocínio análogo obtemos as expressões
b2 = a2 + c2 −2accosβ
c2 = a2 +b2 −2abcosγ
3o) O Triângulo ABC é retângulo
Observamos que nesse caso o próprio Teorema de Pitágoras (Figura 16) se aplica e temos
40 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
a2 = b2 + c2 −2bccos90o, ou seja, a2 = b2 + c2.
Figura 16 – Triângulo Retângulo
Fonte – Elaborada pela autora
Outra demonstração bem interessante que foi feita por alunos da Olimpíada HMMT emHarvard e descrita na Figura 17.
Figura 17 – Demonstração através da Potência de Ponto
Fonte – University of Sydney Hong Kong
2.7. Lei dos cossenos 41
Figura 18 – Figura ilustrativa referente ao exemplo UNESP 2017
Fonte – www.sprweb.com.br
Assim, pode-se enunciar a lei dos cossenos:
Dado um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses
lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Observe o exemplo abaixo:
(UNESP 2017) Uma lancha e um navio percorrem rotas lineares no mar plano comvelocidades constantes de 80 e 30km/h, respectivamente. Suas rotas, como mostra a Figura 18,estão definidas por ângulos constantes de medidas iguais a α e β , respectivamente. Quando alancha está no ponto L e o navio no ponto N a distância entre eles é de 10 km.
Sendo P o ponto em que a lancha colidirá com o navio, demonstre que o ânguloobtuso LPN será igual a α + β . Em seguida, calcule a distância entre N e P considerando
cos(α +β ) =−916
.
Resolução:
Os ângulos LPN e α +β são opostos pelo vértice e, portanto, são congruentes. Se t é otempo, em horas, decorrido até o instante do encontro, então NP = 30t e LP = 80t. Donde segueque LP = 8
3NP. Finalmente, aplicando a Lei dos cossenos no triângulo LNP encontramos
(LN)2 = (NP)2 +(LP)2 −2(NP)(LP)cos(α +β ),
ou seja,
102 = (NP)2 +
(83
NP)2
−2(NP)83(NP)
(−916
),
1009
(NP)2 = 100,
42 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 19 – Figura ilustrativa referente à resolução do exemplo UNESP 2017
Fonte – www.sprweb.com.br
Então concluímos que NP = 3 km.
2.8 Lei dos senosA lei dos senos é utilizada para determinar a medida de um lado ou de um ângulo em um
triângulo qualquer. Existe uma relação de proporcionalidade envolvendo o seno do ângulo deum triângulo qualquer e a medida oposta ao ângulo. Considera-se um triângulo ABC qualquer,inscrito numa circunferência.
Observe a Figura 20 e em seguida a demonstração da fórmula.
Figura 20 – Triângulo ABC
- Trace o diâmetro AA′ e obtenha o triângulo AA′B, retângulo em B;
2.9. Arcos e ângulos na circunferência 43
- Os ângulo ACB e AA′B tem mesma medida pois são ângulos inscritos pelo mesmo arco;
- Assim, no triângulo AA′B, temos
senA′ =ABAA′ , senC =
AB2r
.
Se BC = a, AC = b e AB = c segue quec
senC= 2r. Analogamente, temos a Lei dos Senos:
asenA
=b
senB=
csenC
= 2r.
2.9 Arcos e ângulos na circunferência
Definição 2.9.1. Ângulo central é todo ângulo que possui vértice no centro da circuferência.
Na Figura 21, a medida do arco AB corresponde a medida do ângulo central AOB.
Figura 21 – Ângulo Central AÔB
2.10 Unidades de Medida
Grau (0) é a unidade de medida mais utilizada em Trigonometria, como mencionamos
anteriormente. Representa1
360de uma circunferência. Para medidas menores que um grau,
usa-se os seus submúltiplos denominados minuto e segundo. Um minuto representa160
do grau
e um segundo,1
60do minuto.
44 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 22 – O grau
Fonte – www.slideplayer.com.br
Radiano
Segundo Kennedy (XAVIER, 2013), o termo radiano (radian) aparece impresso pelaprimeira vez em 1873, num exame escrito pelo físico James Thonson. O termo radian (radiano)provavelmente foi inspirado pela palavra radius (raio). O uso da unidade radiano em trigonometriasurgiu da necessidade de unificar as unidades de medidas do arco e da corda (ou meia corda), e oraio do círculo foi adotado como unidade de medida comum. O Radiano (rad) equivale a umarco de comprimento igual ao raio da circunferência. Veja Figura 23. A medida radiano é muitousada em funções trigonométricas.
1rad ≈ 57o17′57”
2.11 Conversão de unidades
Na trigonometria é muito comum a conversão de medidas em graus para radianos emedidas em radianos para graus. Numa circunferência com 360o consegue-se colocar, aproxima-damente, 6,28 arcos de 1 radiano. Assim, tem-se que:
360o ≈ 6,28rad ≈ 2.3,14rad ≈ 2π,
logo 180o = π rad.
2.12. Comprimento do arco 45
Figura 23 – Arco de um radiano
Figura 24 – Relação arco, ângulo central e raio
Fonte – www.brasilescola.uol.com.br
2.12 Comprimento do arco
Uma fórmula muito importante para se encontrar a medida em radianos do ângulo centralé dada pela razão entre o comprimento (l) do arco AB e o raio (r) da circunferência dada
α =lr,
lembrando que α é a medida do ângulo central em radianos. Veja Figura 24.
2.13 Ângulo formado pelos ponteiros de um relógio
Para encontrar o ângulo formado por ponteiros de um relógio em horas exatas, é muitofácil. Como um relógio possui 360o e 12 divisões iguais, basta dividir 360o por 12 e obtemosque o menor ângulo formado é de 30o. E para encontrar o ângulo entre os ponteiros em outrohorário qualquer? Observe a Figura 25.
46 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 25 – Ângulo formado pelos ponteiros de um relógio
Em cada hora o ponteiro das horas "varre"30o, portanto α +β = H.30o. Em cada minutoo ponteiro dos minutos "varre"M
2 graus, portanto, y = M2 , referente a hora que o ponteiro das
horas andou. Assim, a medida do ângulo formado entre os ponteiros será dada pela fórmula:
α = |H.30o + y−β |= |H.30o +M/2−β |= |30.H −5,5.M|.
Em que H são as horas e M são os minutos.
Exemplo:
(FUVEST) O ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12 minutos é:
a) 27o
b) 30o
c) 36o
d) 42o
e) 72o
Resolução:
Basta substituirmos na fórmula
α = |30.1−5,5.12|= |−36|o = 36o.
2.14 Ciclo ou circunferência trigonométrico
Ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada com centro na origem e está re-presentada no plano cartesiano com raio de medida igual a uma unidade. Os eixos do planocartesiano dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes, chamadas de quadrantes.
2.14. Ciclo ou circunferência trigonométrico 47
Figura 28 – Quadrantes
Fonte – www.slideshare.net
Figura 26 – Circunferência Trigonométrica
Figura 27 – Quadrantes
Arcos côngruos são arcos que diferem entre si apenas pelo número de voltas, ou seja,possuem as mesmas extremidades. Assim, por exemplo, podemos calcular o seno de um ângulo
48 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 29 – Arcos Côngruos
Fonte – www.infoescola.com
Figura 30 – Seno no ciclo trigonométrico
Fonte – Elaborada pela autora
de 420o que será equivalente ao seno de 60o, pois 420o = 360o +60o, como mostra a Figura 29.
2.15 Funções Trigonométricas
2.15.1 Função seno
Definição 2.15.1. Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. Denomina-se seno de x e indicamos como senx a ordenada OP1 do ponto P em relação ao sistema uOv.Denominamos função seno a função f : R→ R que associa a cada real x o número real OP1 =
senx, isto é f (x) = senx. Veja a representação nas Figuras 30 e 31.
Propriedades
2.15. Funções Trigonométricas 49
Figura 31 – f(x)= sen x
Fonte – Elaborada pela autora
1a) A imagem da função seno é o intervalo [−1,1].
2a) Se x é do primeiro ou do segundo quadrante, então senx é positivo.
3a) Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então senx é negativo.
4a) A função seno é periódica e seu período é 2π .
5a) A função seno é ímpar, pois sen(x) =−sen(−x), para todo x ∈ R
Gráficos das curvas senoides
Agora vamos analisar o gráfico de f (x)= a+bsen(cx+d), onde a,b,c e d são parâmetrosreais. Vamos analisar o efeito de cada parâmetro separadamente por meio de exemplos numéricose depois generalizar a aplicação desses parâmetros. Finalmente, integramos todos os parâmetrosnuma mesma função.
∙ Papel do parâmetro a: deslocamento vertical do gráfico.
Exemplo: f (x) = 1+ senx
Observando a Figura 32 notamos que o parâmetro a provoca um deslocamento verticalcom o gráfico, portanto altera o gráfico da função.
∙ Parâmetro b: amplitude da função.
Observamos agora as Figuras 33 e 34. O parâmetro b modifica a amplitute do gráfico,alterando assim, a sua imagem. Observe que no segundo exemplo ocorreu uma inversãodo gráfico devido ao sinal negativo. Assim, concluímos que a imagem da função f (x) =
a+b.sen(cx+d) é dada por Im( f ) = [a−|b|;a+ |b|]
Sendo a−|b| o valor mínimo da função, enquanto que a+ |b| é o valor máximo da função.
50 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 32 – Gráfico de f (x) = 1+ senx
Fonte – Elaborada pela autora
Exemplo 2.15.2. b > 0: f (x) = 2senx
Figura 33 – Gráfico de f (x) = 2senx
Fonte – Elaborada pela autora
Exemplo 2.15.3. b < 0: f (x) =−2senx
2.15. Funções Trigonométricas 51
Figura 34 – Gráfico da função f (x) =−2senx
Fonte – Elaborada pela autora
∙ Parâmetro c: período da função.
Analise as funções f (x) = senx e g(x) = sen2x e observe as tabelas apresentadas a seguir:
2x x sen(2x)
0 0 0π
2π
4 1
ππ
2 03π
23π
4 -1
2π π 0
Figura 35 – Gráfico de g(x) = sen2x
Fonte – Elaborada pela autora
52 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Observamos que o período da função g(x) = sen2x é π . Logo o parâmetro c afeta o período
da função e é dado por P =2π
|c|. De fato:
Se P > 0 e f (x) = f (x+P), ∀x ∈ R, então o menor valor positivo de P é o período dafunção f .
Utilizando essa definição, temos que f (x) = a+b.sen(cx+d) e f (x+P) = a+b.sen[c(x+P)+d]. Adotando f (x) = f (x+P) temos
sen(cx+d) = sen(cx+ cP+d)
ou seja, cP = 2Kπ portanto P =2Kπ
|c|, como P é o menor valor positivo, faz-se K = 1.
Concluímos assim que P =2π
|c|.
∙ Parâmetro d:deslocamento horizontal.
Observe os gráficos das funções f (x) = senx e h(x) = sen(x+π). Por este gráfico concluí-mos que o parâmetro d provoca deslocamento horizontal do gráfico.
Figura 36 – Gráfico de f (x) = sen(x+π)
Fonte – Elaborada pela autora
2.15.2 Função cosseno
A função cosseno possui a mesma riqueza de detalhes da função seno. O mesmo raciocí-nio será usado para o estudo de cada parâmetro da função f (x) = a+bcos(cx+d).
Definição 2.15.4. Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo. Denomina-se cossenode x e indica-se como cosx a abscissa OP2 do ponto P em relação ao sistema uOv. Denomina-sefunção cosseno a função f : R→ R que associa a cada real x o número real OP2 = cosx; isto éf (x) = cosx.
2.15. Funções Trigonométricas 53
Figura 37 – Cosseno no ciclo trigonométrico
Fonte – Elaborada pela autora
Figura 38 – A curva cossenoide
Fonte – Elaborada pela autora
Propriedades
1a) A imagem da função cosseno é o intervalo [−1,1].
2a) Se x é do primeiro ou do quarto quadrante, então cosx é positivo.
3a) Se x é do segundo ou do terceiro quadrante, então cosx é negativo.
4a) A função cosseno é periódica e seu período é 2π .
5a) A função cosseno é par pois cos(x) = cos(−x), ∀x ∈ R.
Gráfico da função f (x) = a+b.cos(cx+d), para a,b,c e d parâmetros reais.
54 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 40 – Tangente no ciclo trigonométrico
Fonte – Elaborada pela autora
As alterações gráficas são equivalentes às alterações observadas na função seno, comoobservamos no gráfico da função f (x) =−2+3cos
( x2 +
π
4
), apresentada em Figura 39.
Figura 39 – Gráfico de f (x) =−2+3cos( x
2 +π
4
)
Fonte – Elaborada pela autora
2.15.3 Função tangente
Definição 2.15.5. Dado um número real x = π
2 + kπ , k ∈ Z, seja P sua representação no ci-clo trigonométrico. Considere a reta OP e seja T sua intersecção com o eixo das tangentes.Denomina-se tangente de x e indicamos tanx, a medida algébrica do segmento AT . Veja Figura40. Denomina-se função tangente a função f : D →R que associa a cada real x, para x = π
2 +kπ ,o número real AT = tanx, isto é, f (x) = tanx.
2.15. Funções Trigonométricas 55
Figura 41 – Tangentóides
Fonte – Elaborada pela autora
Notamos que, para x = π
2 + kπ , P está em B ou B′ e, então, a reta OP fica paralela aoeixo das tangentes. Assim, a tangente não é definida (nesse caso, não existe o ponto T ).
Propriedades
1a) O domínio da função tangente é D = {x ∈ R/,x = π
2 + kπ}, k ∈ Z.
2a) Para todo y ∈ R existe um x ∈ R tal que y = tanx, isto é, Im(tanx) = R.
3a) Se x é do primeiro ou do terceiro quadrante, então tanx é positiva.
4a) Se x é do segundo ou do quarto quadrante, então tanx é negativa.
5a) A função tangente é periódica e seu período é π .
6a) A função tangente é ímpar, pois tan(x) =− tan(−x), ∀x ∈ D.
2.15.4 Função cossecante
Definição 2.15.6. Dado um número real x = kπ , seja P sua imagem no ciclo trigonométrico.Considere a reta s tangente ao ciclo em P e seja C a intersecção da mesma com o eixo dos senos.Denomina-se cossecante de x e indica-se por cscx, a ordenada OC do ponto C. Denomina-sefunção cossecante a função f : D → R que associa a cada real x = kπ , o real OC = cscx, isto é,f (x) = cscx. Notamos que, para x = kπ , P está em A ou A′ e, então, a reta s fica paralela ao eixodos senos. Como neste caso não existe o ponto C, a função cscx não é bem definida. Veja Figura42. Na Figura 43 encontra-se o gráfico da função.
Propriedades
1a) O domínio da função cossecante é D = {x ∈ R : x = kπ}.
56 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 42 – Cossecante no Ciclo
Fonte – Elaborada pela autora
Figura 43 – Gráfico de f (x) = cscx
Fonte – Elaborada pela autora
2a) A imagem da função cossecante é R∖ (−1;1).
3a) Se x é do primeiro ou do segundo quadrante, então cscx é positiva.
4a) Se x é do terceiro ou do quarto quadrante, então cscx é negativa.
5a) A função cossecante é periódica e seu período é 2π .
6a) A função cossecante é ímpar, pois cscx =−csc(−x), ∀x ∈ D.
2.15.5 Função secante
Definição 2.15.7. Dado um número real x = π
2 + kπ , k ∈ Z seja P sua imagem no ciclo trigo-nométrico. Considere a reta s tangente ao ciclo em P e seja S sua intersecção com o eixo dos
2.15. Funções Trigonométricas 57
Figura 44 – Secante no ciclo trigonométrico
Fonte – Elaborada pela autora
Figura 45 – Gráfico de f (x) = secx
Fonte – Elaborada pela autora
cossenos. Denomina-se secante de x e indicamos por secx a abscissa OS do ponto S. Denomina-sefunção secante a função f : D →R que associa a cada real x = π
2 +kπ , o número real OS = secx,isto é, f (x) = secx. Notamos que, para x = π
2 + kπ , P está em B ou B′ e, então a reta s ficaparalela ao eixo dos cossenos. Como neste caso não existe o ponto S, a função secante não ébem definida. Veja Figura 44. Na Figura 45 apresentamos o gráfico da função secante.
Propriedades
1a) O domínio da função secante é D = {x ∈ R : x = π
2 + kπ,k ∈ Z}.
2a) A imagem da função secante é R∖ (−1;1).
3a) Se x é do primeiro ou do quarto quadrante, então secx é positiva.
58 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 46 – Cotangente no ciclo trigonométrico
Fonte – Elaborada pela autora
4a) Se x está no segundo ou do terceiro quadrante, então secx é negativa.
5a) A função secante é periódica e seu período é 2π .
6a) A função secante é par, pois secx = sec(−x), ∀x ∈ D.
2.15.6 Função cotangente
Definição 2.15.8. Dado um número real x = kπ , k ∈Z seja P sua imagem no ciclo trigonométrico.Considera-se a reta OP e seja D sua intersecção com o eixo das cotangentes. Denomina-secotangente de x e indica-se como cotx a medida algébrica do segmento BD. Denomina-se funçãocotangente a função f : D → R que associa a cada real x = kπ . Note que se P está em A ou A′
então, a reta OP fica paralela ao eixo das cotangentes e neste caso não exite o ponto D, portantoa função cotx não está bem definida. Veja Figura 46.
Propriedades Observando a Figura 47 concluímos que
1a) O domínio da função cotangente é D = {x ∈ R : x = kπ,k ∈ Z}.
2a) Para todo y ∈ R existe x ∈ R tal que cotx = y, isto é, Im(cotx) = R.
3a) Se x está no primeiro ou do terceiro quadrante, então cotx é positiva.
4a) Se x está no segundo ou do quarto quadrante, então cotx é negativa.
5a) A função cossecante é periódica e seu período é π .
6a) A função cossecante é ímpar, pois cotx =−cot(−x), ∀xD.
2.16. Funções Trigonométricas Inversas 59
Figura 47 – Gráfico de f (x) = cotx
Fonte – Elaborada pela autora
2.16 Funções Trigonométricas Inversas
2.16.1 Função arco-seno
Definição 2.16.1. Uma função só é invertível, ou seja, admite inversa se for bijetora. A funçãoseno, f : R→R dada por f (x) = senx não é injetora pois existem x1 = x2 tais que f (x1) = f (x2)
e também não é sobrejetora pois Im(senx) = [−1,1] ⊂ R. Mas restringindo seu domínio D =
[−π
2 , π
2 ] temos f : D → [−1,1] tal que g(x) = senx que é bijetora. Assim, a função inversa g−1(x)
é denominada função arco-seno. Nota-se que g−1 tem domínio [−1,1], contra-dommínio [−π
2 , π
2 ]
e indica-se por y = arcsenx, isto é y = arcsenx ⇔ seny = x.
Figura 48 – Gráfico da função seno restrita ao domínio D
Fonte – Elaborada pela autora
60 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 49 – Gráfico da função arco seno
Fonte – Elaborada pela autora
2.16.2 Função arco-cosseno
A função cosseno, f : R→ R dada por f (x) = cosx também não é injetora pois existemx1 = x2 tal que f (x1) = f (x2) e também não é sobrejetora pois sua Im(cosx) = [−1,1] ⊂ R.Quando restringimos o domínio de f a D = [0,π] e sua imagem a [−1,1] temos que a funçãorestrita de mesma lei g(x) = cosx é invertível. Assim, a função inversa g−1(x) é denominadafunção arco-cosseno. Nota-se que g−1 tem domínio [−1,1], contra-dommínio [0,π] e é indicadapor y = arccosx. Assim temos que y = arccosx ⇔ cosy = x.
Figura 50 – Gráfico da função g(x) restrita ao domínio D
Fonte – Elaborada pela autora
2.16. Funções Trigonométricas Inversas 61
Figura 51 – Gráfico da função g−1(x)
Fonte – Elaborada pela autora
2.16.3 Função arco-tangente
A função tangente como definida anteriormente é sobrejetora. Assim, podemos definir afunção inversa g−1 denominada função arco-tangente ao considerar domínio R e contra-domínio(−π
2 , π
2 ). Donde temos que y = arctanx ⇔ tany = x para −π
2 < y < π
2 .
Figura 52 – Gráfico de g(x) = tanx restrita a (−π
2 , π
2 )
Fonte – Elaborada pela autora
62 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
Figura 53 – Gráfico da função arco tangente
Fonte – Elaborada pela autora
2.17 Adição e subtração de arcosAo calcularmos funções trigonométricas a soma de dois ângulos percebemos que nem
sempre obteremos o mesmo resultado obtido se aplicarmos a mesma função em cada ânguloantes de somarmos esses ângulos. Assim, por exemplo, sen(a+b) = sena+ senb.
Vejamos um exemplo. Sabemos que sen30o =12
e sen60o =
√3
2, mas observamos que
sen(30o +60o) = sen90o = 1 = 12+
√3
2.
Então, como calcular sen(a+ b)? Vejamos uma demonstração por meio das Figuras54–59. Observando as Figura 55 e 59 onde fixamos um retângulo de diagonal medindo 1 unidade,sen(a+b) = x, cos(a+b) = y, senb = m e cosb = n. Segue da Figura 57 que sena = r/cosb.Logo r = sena.cosb. Analogamente cosa = s/cosb, portanto s = cosa.cosb.
Figura 54 – Prova da soma de arcos para a função seno e cosseno
Fonte – Elaborada pela autora
2.17. Adição e subtração de arcos 63
Figura 56 – Triângulo 2
Fonte – Elaborada pela autora
Figura 57 – Triângulo 3
Fonte – Elaborada pela autora
Figura 55 – Triângulo 1
Fonte – Elaborada pela autora
Por outro lado, na Figura 58 temos que sena = u/senb, ou seja, u = sena.senb e cosa =
v/senb, ou ainda v = cosa.senb. Todas as conclusões acima estão representadas na Figura 59 de
64 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
onde concluímos que sen(a+b) = senacosb+ senbcosa e cos(a+b) = cosacosb− senasenb.
Figura 58 – Triângulo 4
Fonte – Elaborada pela autora
Figura 59 – Figura Final
Fonte – Elaborada pela autora
Agora, podemos deduzir os valores de sen(a−b) e de cos(a−b) a partir das fórmulasda adição de arcos anteriormente deduzidas. Note que
sen(a−b) = sen[a+(−b)] = senacos(−b)+ sen(−b).cosa.
Como cos(−b) = cosb e sen(−b) =−senb, temos
sen(a−b) = senacosb− senbcosa.
2.17. Adição e subtração de arcos 65
Analogamente
cos(a−b) = cosacosb+ senasenb.
Para determinar a tangente da soma de arcos, devemos lembrar que
tanx =senxcosx
,
com cosx = 0, então,
tan(a+b) =sen(a+b)cos(a+b)
=senacosb+ senbcosacosacosb− senasenb
.
Ao dividirmos o numerador e denominador por cosacosb temos
tan(a+b) =
senacosa
+senbcosb
1− senacosa
senbcosb
.
Portanto tan(a+b) =tana+ tanb
1− tana. tanb.
Como tan(−b) =− tanb temos que tan(a−b) =tana− tanb
1− tana tanb.
2.17.1 Arco Duplo
Dado um arco x da circunferência trigonométrica, não podemos afirmar que algumafunção trigonométrica do dobro do arco x é igual ao dobro da função desse mesmo arco, como
mostra o exemplo sen(30o) =12
e sen(2.30o) = sen(60o) =
√3
2.
Assim, para calcular seno, cosseno e tangente do arco duplo, devemos utilizar as fórmulasda adição de arcos. Observe:
sen(2x) = sen(x+ x) = senxcosx+ senxcosx, logo sen(2x) = 2senxcosx.
cos(2x) = cos(x+ x) = cosxcosx− senxsenx, logo cos(2x) = cos2 x− sen2x.
Pode-se escrever a fórmula do cosseno do arco duplo de outras maneiras. Por exemplo,utilizando a relação fundamental, temos que cos2 x = 1− sen2x e que sen2x = 1− cos2 x, assim,segue que
cos(2x) = 1−2sen2x,
sen(2x) = 2cos2 x−1,
e tan(2x) = tan(x+ x) =tanx+ tanx
1− tanx tanx, logo
tan(2x) =2tanx
1− tan2 x.
66 Capítulo 2. Conceitos principais da Trigonometria
2.17.2 Fatoração ou fórmulas de Prostaférese
Fatorar uma expressão é sempre algo muito útil na matemática. As fórmulas de Prostafé-rese, utilizadas na fatoração de funções trigonométricas serão demonstradas logo abaixo.
Considere as relações já encontradas
1a) sen(a+b) = senacosb+ senbcosa,
2a) sen(a−b) = senacosb− senbcosa,
3a) cos(a+b) = cosacosb− senasenb,
4a) cos(a−b) = cosacosb+ senasenb.
Relaciona-se essas fórmulas através de adição e subtração:
1a + 2a: sen(a+b)+ sen(a−b) = 2.senacosb.
1a - 2a: sen(a+b)− sen(a−b) = 2senbcosa.
3a + 4a: cos(a+b)+ cos(a−b) = 2cosacosb.
3a - 4a: cos(a+b)− cos(a−b) =−2senasenb.
Denote a+b = p e a−b = q. Assim temos que a =p+q
2e b =
p−q2
.
Ao substituirmos nas expressões acima temos as fórmulas de Prostaférese para as funçõesseno e cosseno.
senp+ senq = 2senp+q
2cos
p−q2
.
senp− senq = 2senp−q
2cos
p+q2
.
cos p+ cosq = 2cosp+q
2cos
p−q2
.
cos p− cosq =−2senp+q
2sen
p−q2
.
Ao fatorar as fórmulas que envolvem tangente, temos
1a)Adição
tan p+ tanq =senpcos p
+senqcosq
tan p+ tanq =senpcosq+ senqcos p
cos pcosq
tan p+ tanq =sen(p+q)cos pcosq
.
2a)Subtração
tan p− tanq =senpcos p
− senqcosq
2.17. Adição e subtração de arcos 67
tan p− tanq =senpcosq− senqcos p
cos pcosq
tan p− tanq =sen(p−q)cos pcosq
2.17.3 Arco Triplo
Vale observar que o processo acima descrito nos permite calcularmos a expressões parao seno, cosseno e tangente do arco triplo (ou qualquer múltiplo deles):
sen(3x) =sen(2x+ x) = sen2xcosx+ senxcos2x
=2senxcosxcosx+ senx(cos2 x− sen2x)
=2senxcos2 x+ senx.cos2 x− sen3x
=3senxcos2 x− sen3x = 3senx−4sen3x
cos(3x) =cos(2x+ x) = cos2xcosx− sen2xsenx
=(cos2 x− sen2x)cosx−2senxcosxsinx
=cos3 x− sen2xcosx−2sen2xcosx
=cos3 x−3cosxsen2x = 4cos3 x−3cosx.
tan(3x) = tan(2x+ x) =tan2x+ tanx
1− tan2x tanx=
3tanx− tan3 x1−3tan2 x
2.17.4 Arco Metade
Outra caracterização interessante dentro das relações trigonométricas é a do arco metade.Ao adicionarmos as fórmulas cos2x = cos2 x− sen2x e cos2 x+ sen2x = 1 obtemos que
2cos2 x = cos2x+1,
ou seja, cos2 x =cos2x+1
2ou ainda, cosx =±
√cos2x+1
2. Assim chegamos que
cosx2=±
√cosx+1
2.
Segue da relação fundamental que
senx2=±
√cosx−1
2.
Finalmente, tanx2=
senx2
cosx2
, logo
tanx2=±
√cosx−1cosx+1
.
69
CAPÍTULO
3APLICAÇÕES DA TRIGONOMETRIA
Aplicações da trigonometria já apareceram no Egito nas medições das pirâmides con-forme vestígios encontrados no Papiro Rhind e também era utilizada na confecção do “relógiodo sol” em 1500 a.C. Na Babilônia, a trigonometria foi utilizada na confecção de calendários, emépocas de plantio e estações do ano assim como na escrita cuneiforme. Muitos textos matemáticostestemunham a utilização da trigonometria neste período e em períodos posteriores.
No que se refere ao ensino-aprendizagem de Trigonometria no Ensino médio, as propostase orientações sugerem que seu estudo esteja relacionado as aplicações, ou seja, que envolvammedições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e na construção de modelos quecorrespondam as fenômenos periódicos. Deste maneira, o ensino da trigonometria deve apresentaras funções seno, cosseno e tangente com enfase no triângulo retângulo e num triângulo qualquer,no círculo trigonométrico (como descrevemos no Capítulo I desta dissertação) e nas suasaplicações (tema deste capítulo). Certamente tal ensino não deve ser reduzido apenas as fórmulastrigonométricas, é necessário dar significado a tais conhecimentos e as aplicações podem sera motivação e forma contextualizada e integrada de relacionar a trigonometria com outrosconhecimentos. Neste capítulo vamos apresentar algumas aplicações da trigonometria no cálculode distâncias, na Física e na Medicina. O conteúdo deste capítulo foi baseado nas seguintesreferências (REDE OMNIA, ; EQUIPE VIRTUOUS, ; COLIBRI INFORMáTICA LTDA, ;ROSSI, 2008; OLIVEIRA, 2013).
3.1 Medidas de distância
A Trigonometria é muito eficiente para determinar distâncias, principalmente aquelasinacessíveis. O cálculo dessas medidas já eram feitas na antiguidade como mencionamos noinício deste capítulo. A seguir vamos apresentar um exemplo de como tal medição pode ser feita.
70 Capítulo 3. Aplicações da Trigonometria
3.1.1 Erastóstenes e o cálculo do raio da Terra
Erastóstenes foi um geógrafo, filósofo e matemático grego. Por volta de 240 a.C, próximoao meio dia de um solstício de Verão, na cidade de Siena, Erastóstenes observou que em um certopoço o sol ficava no Zênite1, assim não produzia sombra nos objetos expostos. Já em Alexandria,nesse mesmo momento, os objetos formavam uma sombra de inclinação de 7,2 graus. Assim,para determinar o raio da Terra, Erastóstenes precisou primeiramente calcular a a distância entreSiena e Alexandria para em seguida , que era de aproximadamente de 5000 estádios (onde cadaestádio corresponde a 157 metros) e em seguida usou a relação conhecida na época entre ocomprimento de arco e o raio da circunferência.
Figura 60 – Poço em Siena
Fonte – www.amma.com.pt
Figura 61 – Distância entre Alexandria e Siena
Fonte – www.amma.com.pt
1 Zênite, em astronomia e trigonometria, é o termo técnico que designa o ponto (imaginário) interceptadopor um eixo vertical (imaginário) traçado a partir da cabeça de um observador (localizado sobre asuperfície terrestre) e que se prolonga até a esfera celeste.
3.1. Medidas de distância 71
Veja o desenvolvimento matemático empregado por Erastóstenes. Era conhecida a se-guinte relação matemática
Cd=
2π
θ,
onde C é o comprimento da circunferência da Terra e d é a distância entre as cidades de Siena eAlexandria e θ corresponde ao ângulo formado pelas retas que unem o sol as cidades de Siena eAlexandria.
Primeiramente transforma-se 7,2 graus em radianos:
θ = 7,2o.π/180o
θ = 0,04π radianos
Assim C = 50000,02 , ou seja, C = 250000 estádios
Como cada estádio corresponde a 0,157km, segue que C = 250000.0,157 ou ainda, C =
39250km. Pela fórmula do comprimento da circunferência C = 2πR concluímos que 39250 =
2πR, portanto R = 6247km. Atualmente sabemos que a distância entre as cidades de Siena eAlexandria é de 4.138,1km e o raio da Terra que corresponde a 6378,14km. Valores próximosaqueles obtidos por Erastóstenes.
Figura 62 – Medida da Terra feita por Erastótenes
Fonte – Mascarenha (2014)
72 Capítulo 3. Aplicações da Trigonometria
3.1.2 Tales de Mileto e altura da pirâmide de Quéops
Há diversos historiadores que descrevem como Tales determinou a altura das pirâmidesdo Egito (ver Figura 63).
A teoria de Diógenes Laércio (século III d.C.) conta que Tales mediu a altura da Pirâmidede Quéops comparando sua sombra com a sombra de um bastão. Para isso ele posicionou umbastão a prumo próximo a pirâmide mas fora de sua sombra e aguardou até que a sombra dobastão fosse igual ao comprimento do mesmo. Neste momento, usando o comprimento da sombrada pirâmide calculou a altura da mesma.
Figura 63 – Pirâmide Quéops do Egito
Fonte – www.imed.edu.br
Veja agora o esquema apresentado na Figura 64 que mostra o raciocínio empregado porTales.
3.2. Trigonometria na Física 73
Figura 64 – Esquema elaborado por Tales de Mileto
Fonte – Barroso (Barroso, p.93)
Tales usou semelhança de triângulos. Os triângulos formados pelas alturas da pirâmidee do bastão e suas sombras são semelhantes pelo fato de ambos serem triângulos retângulos eos raios do sol serem paralelos, determinando o mesmo ângulo na base de ambos os triângulosnaquele momento. Ou seja, utilizando as letras da Figura 64 temos
A′B′
AB=
B′C′
BC.
3.2 Trigonometria na Física
3.2.1 Lançamento Oblíquo
Usa-se semelhança de triângulos ou razões trigonométricas para resolver problemas delançamento oblíquo.
O lançamento oblíquo ocorre quando um corpo qualquer é arremessado a partir do chãoe forma um determinado ângulo θ em relação à horizontal. O movimento executado por umatleta da modalidade do salto em distância, a trajetória adquirida por uma bola de golfe ou porum projétil são exemplos de lançamentos oblíquos.
No lançamento oblíquo, o movimento dos objetos é composto por um deslocamento davertical e outro horizontal como representado na Figura 65. Assim, ao mesmo tempo em que oobjeto vai para frente, ele sobe e desce. O vetor velocidade do corpo a ser lançado v0 forma umdeterminado ângulo θ em relação à horizontal. Por essa razão, decompondo-se o vetor ~v0, asvelocidades horizontal ( ~v0,x) e vertical ( ~v0,y) podem ser determinadas.
74 Capítulo 3. Aplicações da Trigonometria
Figura 65 – Lançamento Oblíquo
Fonte – http://vamosestudarfisica.com/altura-maxima-e-alcance-maximo/
Utilizando as relações de um triângulo retângulo podemos escrever que
senθ =cateto opostohipotenusa
,
onde o cateto oposto corresponde a ~v0,y e a hipotenusa a ~v0. Assim, temos que ~v0,y = ~v0senθ .
Analogamente temos,
cosθ =cateto adjacente
hipotenusa,
onde o cateto adjacente corresponde a ~v0,x. Portanto ~v0,x = ~v0 cosθ .
A seguir um exemplo do uso da teoria acima descrita.
Um objeto é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial de 200 m/s comuma inclinação de 30o. Determine o tempo de subida, a altura máxima e o alcance horizontal doobjeto. Considere g = 10m/s2.
Resolução: Primeiramente vamos calcular o tempo de subida do objeto sabendo que aaceleração é igual a razão entre a velocidade e o tempo de subida, sendo assim, temos que otempo t de subida é dado por
t =~v0senθ
g=
200sen30o
10= 10,
isto é, o objeto subiu por 10 segundos.
Agora podemos calcular a altura máxima alcançada pelo objeto utilizando a equação deTorricelli
v2 = v20 +2a∆s,
3.2. Trigonometria na Física 75
onde a é a aceleração do objeto e ∆s é seu deslocamento. Para o lançamento horizontal oblíquotemos
v2y = v2
0,y −2gh,
uma vez que a aceleração corresponde a força gravitacional. Portanto segue que
h =v2
0sen2θ
2g,
ou seja, h = 1000020 = 500. Portanto o objeto subiu 500 metros.
Para calcular o alcance horizontal utilizamos que o deslocamento horizontal é dado peladiferença entre o final e o inicial e que a velocidade é dada pela razão entre o deslocamento e avariação de tempo. Neste caso, o deslocamento horizontal ou alcance A é dado por
A =v2
osen2θ
g=
40000.√
32
10= 4000
√3.
Ou seja, o alcance foi de aproximadamente 6.928,2 metros.
Como mencionamos anteriormente, esse tipo de exercício pode aparecer em contextoscomo lançamento de uma bola, de um projétil, salto de um animal, jatos d’água de uma fonte, oque torna o exercício atraente para os alunos pois mostra utilidades no seu cotidiano.
3.2.2 Refração
Refração é nome que se dá ao fenômeno óptico em que a luz é transmitida de ummeio para outro. A frequência da onda luminosa não é alterada após essa mudança de meios,entretanto sua velocidade e o seu comprimento de onda sofrem alterações. Após essa alteraçãoda velocidade de propagação, decorre um desvio da direção original. Observe a figura abaixopara entender melhor este fenômeno.
76 Capítulo 3. Aplicações da Trigonometria
Figura 66 – Imagem de Refração
Fonte – www.sofisica.com.br
Na figura:
- Raio 1 é o raio incidente, com sua velocidade e com seu comprimento de onda caracte-rístico;
- Raio 2 é o raio refratado, com sua velocidade e com seu comprimento de onda caracte-rístico;
- A reta tracejada é a linha normal à superfície, ou seja, é reta perpendicular à retatangente nesse ponto;
- O ângulo formado entre o raio 1 e a reta normal é o ângulo de incidência;
- O ângulo formado entre o raio 2 e a reta normal é o ângulo de refração;
- Dioptro plano é o nome que se dá a fronteira entre os dois meios.
Observe duas leis que regem esse fenômeno:
1a Lei da Refração
A 1a lei da refração diz que o raio incidente (raio 1), o raio refratado (raio 2) e a retanormal ao ponto de incidência (reta tracejada) estão contidos no mesmo plano, que no caso dodesenho acima é o plano da tela.
2a Lei da Refração - Lei de Snell
Na 2a lei da refração aplica-se relações trigonométricas. Esta é utilizada para calcular odesvio dos raios de luz ao mudarem de meio:
3.2. Trigonometria na Física 77
senθ1
senθ2=
V1
V2
Exemplo 3.2.1. Um raio de luz atravessa a interface entre o ar e um líquido desconhecido,mudando sua direção conforme mostra a figura abaixo. Sabendo que o índice de refração do ar é1, calcule o índice de refração do líquido. Dados: sen35o = 0,57 e sen20o = 0,34.
Figura 67 – Figura referente ao exercício de refração
Fonte – www.mundoeducacao.com.br.
Resolução: Denotamos por nlqdo o índice de retração do líquido e por nar o índice deretração do ar. Assim temos que
senθ1
senθ2=
nlqdo
nar,
ou seja, sen35o = nlqd.sen20o. Portanto. 0,57 = nlqdo.0,34 ou ainda, nlqdo = 1,67.
3.2.3 O Som
O som é gerado através de oscilações muito rápidas que ocorrem na natureza. Destaforma, as notas musicais são consideradas como variações da frequência dessas oscilações. NaFísica, define-se o som como uma onda longitudinal que se propaga em um meio material (sólido,líquido ou gasoso). A audição humana considerada normal consegue captar frequências deonda sonoras que variam entre aproximadamente 20Hz e 20000Hz. São denominadas ondas deinfra-som, as ondas que tem frequência menor que 20Hz, e ultra-som as que possuem frequênciaacima de 20000Hz. Uma onda sonora pode ser representada geometricamente por gráficos defunções trigonométricas.
78 Capítulo 3. Aplicações da Trigonometria
Observe a imagem abaixo:
Figura 68 – Ondas Sonoras
Fonte – http://professorbiriba.com.br/boilerplate/html/colegio/terceiroano/aula12-terceiroano.html
A figura possui uma representação da física envolvida. De um lado temos um auto-falanteemitindo um som e do outro lado, um ouvido humano. Cada ponto preto representa uma moléculado ar atmosférico. Quando em funcionamento a membrana do auto-falante empurra o ar parafrente e para trás formando regiões onde as moléculas desse meio estão mais densas (maisescuras, na imagem). Essas regiões são seguidas por regiões onde as moléculas estão menosdensas (menos escuras, na imagem). Nas regiões mais escuras a pressão entre as moléculas émaior, nas mais claras é menor. A onda sonora é, portanto, uma onda de pressão. Podemos fazerum gráfico da pressão pela posição entre o auto-falante e o ouvido. Veja a parte superior daimagem acima. A parte superior da curva (em azul) representa as regiões de pressão mais alta e aparte inferior as de pressão mais baixa. Os pontos de maior pressão são chamados "cristas"e osde menor pressão "vales". Como o auto-falante está em funcionamento as regiões mais densasse movimentam e, após algum tempo, atingem o ouvido humano. Ao fazer isto elas empurrama membrana do tímpano. Essa vibração é transformada em um sinal elétrico que é enviado aocérebro e lá dá origem ao que entendemos como "som". Ao observar os gráficos das funçõestrigonométricas, verifica-se que a amplitude da onda determina se o som é forte ou fraco, ou seja,sua intensidade e a frequência equivale à altura da nota. Sendo assim, ao executar 261 pulsosem um segundo obtem-se a nota Dó. O período é o tempo compreendido entre estados iguais devibração. Quanto maior o número de vibrações, mais agudo é o som. Por exemplo, observe osgráficos das funções y = sen(2πt) e y = sen(6πt). O segundo gráfico representa um som maisagudo que o primeiro, pois o número de vibrações é maior, ou seja, enquanto a primeira funçãopossui frequência de 1 hertz, a segunda função possui uma frequência de 3 hertz.
3.2. Trigonometria na Física 79
Figura 69 – Gráficos que representam sons
Fonte – http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/113-4.pdf
O som forte ou fraco pode ser percebido através da amplitude do gráfico. Quanto maioressa amplitude, mais forte é o som. Por exemplo, uma função definida por y = 5.sen(10πt)
apresenta um som mais forte que a função definida por y = 2.sen(10πt), já que a amplitude daprimeira é 5 e da segunda é 2. Observe os gráficos que descrevem essas amplitudes:
Figura 70 – Gráfico de amplitude 5
Fonte – http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/113-4.pdf
80 Capítulo 3. Aplicações da Trigonometria
Figura 71 – Gráfico de amplitude 2
Fonte – http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/113-4.pdf
3.3 Na medicina
Na medicina, usa-se a função trigonométrica para analisar e estudar a frequência cardíaca,ou seja, o número de batimentos cardíacos em um certo intervalo de tempo, frequentementeaferido em bpm (batimentos cardíacos por minuto). A pressão arterial de uma pessoa é averiguadaa partir dessa análise. As artérias são responsáveis pelo transporte do sangue bombeado pelocoração para todos os órgãos e tecidos do corpo humano. A pressão sanguínea ou arterial atingeo valor máximo após a contração do músculo do coração (pressão sistólica) e atinge o valormínimo (pressão diastólica) quando o músculo repousa. As duas pressões ocorrem durante ointervalo de tempo de um batimento cardíaco. Calcula-se a variação da pressão sanguínea emfunção do tempo, e é dada pela função trigonométrica
P(t) = 100−20cos(
8πt3
),
em que o valor de 8π
3 é dado em radianos e t é medido de segundos.
O gráfico seguir representa a variação da pressão sanguínea (em milímetros de mercúriommHg) de uma pessoa em função do tempo em segundos s em um monitor médico.
3.3. Na medicina 81
Figura 72 – Gráfico da pressão
Fonte – http://slideplayer.com.br/slide/1265165/
Este assunto é tema frequente em vestibulares e exames como ENEM. Abaixo vejaalguns exemplos.
1. (UFSM 2015) Cerca de 24,3 por cento da população brasileira é hipertensa, quadroque pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (emmmHg) de um certo indivíduo é expressa em função do tempo por
P(t) = 100−20cos(
8πt3
),
onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento cardíaco.Analise as afirmativas:
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto.
II. A pressão em t = 2 segundos é de 110mmHg.
III. A amplitude da função P(t) é de 30mmHg.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
82 Capítulo 3. Aplicações da Trigonometria
e) I, II e III.
Resolução:
I. (Verdadeira) A frequência é uma grandeza física que indica o número de ocorrênciasde um evento (ciclos, voltas, oscilações etc) em um determinado intervalo de tempo. Assim, paracalcular a frequência, basta fazer o inverso do período.
p = 2π8π
3= 3
4
Portanto, a frequência é f = 43
Para calcular a frequência por minuto, basta multiplicar f = 43 por 60, o que resulta em
80 batimentos por minuto.
II. (Verdadeira) Para t = 2, temos:
P(t) = 100−20cos(8π.2
3
)P(t) = 100−20.−1
2 = 110
Portanto, a pressão para t = 2 é de 110mmHg.
III. (Falsa)
A amplitude é a metade da distância vertical entre o ponto mínimo e o ponto máximo dafunção.
Observando a função, temos que o valor máximo é 120(100+20) e o mínimo é 80(100−20). Assim, a amplitude é dada por 120−80
2 = 20.
Portanto, a amplitude da função é 20mmHg. Alternativa correta: B.
2.(PUCRS 2017) A pressão arterial é a pressão que o sangue exerce sobre as paredes dasartérias. Ela atinge o valor máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos se contraem, e ovalor mínimo (pressão diastólica) quando eles estão em repouso. Suponhamos que a variação dapressão arterial (em mmHg de um cidadão portoalegrense em função do tempo (em segundos) édada por
P(t) = 100−20cos(
8πt3
),
Diante disso, os valores da pressão diastólica e sistólica, em mmHg são iguais, respectivamente,a:
a) 60 e 100.
b) 60 e 120.
c) 80 e 120.
d) 80 e 130.
e) 90 e 120.
3.3. Na medicina 83
Resolução:
Os valores máximo e mínimo que a função cos(8π
3 ) assume são, respectivamente, 1 e-1. Assim, ao substituir na função P(t), obtemos os resultados 80 e 120 que assumem os valorespedidos de pressão diastólica e sistólica. Portanto,a alternativa correta é a c.
Por meio das aplicações acima apresentadas concluímos que a trigonometria nasceumotivada pela astronomia e até a presente data é empregada em diferentes áreas do conhecimento,auxiliando em diferentes teorias e situações problemas.
Podemos utilizar este fato para motivar o estudo da trigonometria no ensino médio,apresentando exemplos e desafios interdisciplinares, permitindo um estudo contextualizado dotema.
85
CAPÍTULO
4ATIVIDADE REALIZADA EM SALA DE AULA
Com o objetivo de avaliar o desenvolvimento dos alunos em relação ao conteúdo abordadoem sala de aula sobre Trigonometria preparamos um teste com 10 questões sobre o mesmo. Oteste foi proposto aos alunos da segunda série do ensino médio de escolas privadas em BarraBonita, Jaú e Botucatu, alunos com aproximadamente 16 anos de idade. Vale observar que emtais escolas os alunos são distribuídos em salas de aula de acordo com sua aptidão para exatas ounão, sendo assim as turmas podem ser ditas homogêneas. O teste era formado por 10 questõesque foram retiradas de provas de grandes vestibulares do país nos anos de 2016 e 2017. O tempodisponível foi de 100 minutos e apenas 60 alunos participaram do teste.
A primeira questão era referente a função cosseno em que o aluno deveria identificar alei de formação através dos valores máximo e mínimo e do período. A grande dificuldade foiidentificar que o número de batimentos cardíacos por minutos estava relacionado ao período dafunção. Essa questão apareceu no ENEM desse ano e muitos alunos não haviam conseguidofazer e no dia do teste conseguiram e acharam fácil. O que mostra a importância de refazerquestões de exames já ocorridos.
Na segunda questão o aluno deveria determinar a medida do raio da circunferênciaatravés de alguma aplicação trigonométrica. A maioria dos alunos utilizou a Lei dos Senos etambém obteve melhor desempenho no teste do que na prova do ENEM.
A terceira questão da FUVEST envolvia uma função logarítmica que acabou assustandoa maioria dos alunos. Ficou muito claro a dificuldade de cada aluno em relação ao assuntoLogaritmos. Muitos alunos nem tentaram fazer essa questão.
Na questão de número quatro o aluno devia interpretar, visualizar o desenho formado eaplicar alguma relação trigonométrica, como seno ou lei dos senos, a maioria dos alunos fez essaquestão e achou fácil.
As questões cinco e seis apresentavam um contexto, uma função trigonométrica e o alunodeveria encontrar os valores máximo e mínimo da função.
86 Capítulo 4. Atividade realizada em sala de aula
Na quinta questão os alunos deveriam encontrar o período da função, algo que foiclassificado como difícil. Faltou interpretação dos alunos para poderem identificar que o exercíciopedia para encontrar o período.
O exercício sete, do Enem, foi considerado o mais simples pois o aluno que sabia que oseno de trinta graus era meio, automaticamente identificava que a alternativa correta era a queapresentava cinquenta por cento.
Já na questão de número oito o aluno tinha que utilizar uma fórmula de física que erainformada pelo próprio enunciado. Muitos alunos não quiseram fazer pois alegaram que nãosabiam física ou que a questão era muito extensa. Após eu insistir que o exercício não era difícil,alguns alunos fizeram e acharam mais fácil do que imaginavam.
Na questão nove a dificuldade apareceu nas contas trabalhosas, mas a maioria dos alunosfez a questão utilizando a lei dos cossenos.
A última questão gerou dúvidas pois os alunos deveriam trabalhar com número irracionale aproximações, isso "assustou"um pouco os alunos.
Abaixo o gráfico com a quantidade de acertos por questões.
Figura 73 – Gráfico de acertos
Fonte – Elaborada pela autora
Outras considerações: A questão quatro exigia um conteúdo que também é visto noEnsino Fundamental e é muito trabalhado em sala, já a questão oito, envolvia física e apesar denão precisar de nenhum conhecimento além da fórmula dada, foi a questão com menor númerode acertos.
87
A seguir anexamos o teste aplicado.
Figura 74 – Teste aplicado aos alunos, página 1.
Fonte – Elaborada pela autora
88 Capítulo 4. Atividade realizada em sala de aula
Figura 75 – Teste aplicado aos alunos, página 2.
A seguir anexamos a resolução do teste por três alunos da mesma sala.
89
Figura 76 – Teste resolvido pelo aluno 1, página 1.
90 Capítulo 4. Atividade realizada em sala de aula
Figura 77 – Teste resolvido pelo aluno 1, página 2.
91
Figura 78 – Teste resolvido pelo aluno 2, página 1.
92 Capítulo 4. Atividade realizada em sala de aula
Figura 79 – Teste resolvido pelo aluno 3, página 1.
Observações Finais: Muitos alunos optaram por não entregar o teste proposto. Ao finaldo teste alguns alunos procuraram a docente para comentar sobre o teste. Os comentários forampositivos de modo geral, por exemplo o aluno 2 comentou que na prova do ENEM não havia
93
conseguido resolver algumas questões, como a proposta no teste acima, mas que durante aresolução do mesmo se sentiu mais tranquilo e pode resolvê-lo de maneira mais simples e clara.
O gráfico acima mostra que alguns alunos ainda tiveram grande dificuldades em algumasquestões.
Após o teste concluímos que o trabalho com questões de vestibulares e ENEM na sala deaula é de grande importância para o bom desempenho dos alunos nestes exames. Proporciona aeles mais segurança e confiança. Vale ressaltar ainda que uma grande dificuldade apresentadapor vários alunos é na interpretação do texto da questão, principalmente nas questões do ENEMonde o enunciado das questões são longos. Durante o teste enfatizamos a importância da leituradas questões o que viabilizou a interpretação correta do aluno e assim sua resolução pelo mesmo.
95
REFERÊNCIAS
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UN
IVER
SID
AD
E D
E SÃ
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de
Ciên
cias
Mat
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