Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia Eletrica e de Computacao

Jonathan Matıas Palma Olate

Trade-Off entre norma H-infinito e transmissoes globais aplicadoa projetos de filtragem atraves da rede.

Campinas2016

Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia Eletrica e de Computacao

Jonathan Matıas Palma Olate

Trade-Off entre norma H-infinito e transmissoes globais aplicadoa projetos de filtragem atraves da rede.

Dissertacao apresentada a Faculdade de Engenharia Eletricae de Computacao como parte dos requisitos exigidos para aobtencao do tıtulo Mestre em Engenharia Eletrica, na Areade Automacao.

Orientador: Prof. Dr. Alim Pedro de Castro Goncalves

Este exemplar corresponde a versaofinal da tese defendida pelo aluno Jo-nathan Matıas Palma Olate, e orientadapelo Prof. Dr. Alim Pedro de CastroGoncalves

Campinas2016

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaLuciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Palma Olate, Jonathan Matias, 1989- P18t PalTrade-Off entre norma H-infinito e transmissões globais aplicado a projetos

de filtragem através da rede / Jonathan Matías Palma Olate. – Campinas, SP :[s.n.], 2016.

PalOrientador: Alim Pedro de Castro Gonçalves. PalDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Elétrica e de Computação.

Pal1. Teoria de controle. 2. Sistemas lineares. 3. Sistemas estocásticos. 4.

Redes de sensores. 5. Arquitetura de redes de computador. I. Gonçalves, AlimPedro de Castro,1977-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade deEngenharia Elétrica e de Computação. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Trade-Off between H-infinity norm and global number oftransmissions applied to filtering design over the networkPalavras-chave em inglês:Control theoryLinear systemsMarkov processesWireless sensor networkArchitecture of computer networksÁrea de concentração: AutomaçãoTitulação: Mestre em Engenharia ElétricaBanca examinadora:Alim Pedro de Castro Gonçalves [Orientador]André Ricardo FioravantiRomis Ribeiro de Faissol AttuxData de defesa: 12-05-2016Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

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COMISSAO JULGADORA - DISSERTACAO DE MESTRADO

Candidato: Jonathan Matıas Palma Olate RA: 149915Data da Defesa: 12 de Maio de 2016

Tıtulo da Tese:“Trade-Off entre norma H-infinito e transmissoes globais aplicado a pro-jetos de filtragem atraves da rede.”.

Prof. Dr. Alim Pedro de Castro Goncalves (Presidente, FEEC/UNICAMP)Prof. Dr. Andre Ricardo Fioravanti (FEM/UNICAMP)Prof. Dr. Romis Ribeiro de Faissol Attux (FEEC/UNICAMP)

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissao Julgadora,encontra-se no processo de vida academica do aluno.

Dedicado aVanessa Nathalie Guzman Vega e aminha futura famılia.

Lay down your soul to the gods rock’n roll.

νenom.

Agradecimentos

Os agradecimentos do presente trabalho comecam muito antes de minha chegada ao Brasildo Chile. Anos ate decadas atras, a todos os que me apoiaram neste caminho. Os principaisagradecimentos sao para Sara Olate Valdebenito e Bernardita Olate Valdebenito, as pessoasque mais me ajudaram e forneceram suporte tecnico. Ajudando durante toda minha estadiafora de meu paıs natal. Tambem e importante mencionar Sergio Mauricio Acuna Bravo,colega, apoderado e amigo, quem durante os anos concedeu incondicional apoio sem nenhumtipo de questionamento ou pedido de retribuicao. De igual forma agradeco a Cesar FelipeHerrera Valenzuela, por mais de uma decada acredita nas coisas que falo.

No desenvolvimento da presente dissertacao de mestrado eu agradeco pela colaboracaoaos coautores dos trabalhos nos quais participei. Em especial a Leonardo de Paula Carvalho,coautor principal dos trabalhos frutos da presente dissertacao, alem de uma grande amigo.Da mesma maneira agradeco a Christian Eduardo Galarza Morales e Andre Marcorin de Oli-veira, colegas e amigos. Agradeco em especial a Cristian Duran Faundez coautor de variosartigos e orientador de minha graduacao, obrigado pela sua ajuda, e suporte tecnico e tempodesde minha graduacao ate hoje.

Tambem gostaria agradecer a minha famılia pela sua boa acolhida durante as visitasque realizei no Chile. Colegas com os quais nao trabalhei diretamente nas questoes dadissertacao de mestrado mas ajudaram com dicas e conselhos Gabriela Werner e MatheusSousa, companheiros do laboratorio no perıodo em que fiz minha desertacao. Gostaria deagradecer tambem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientıfico e Tecnologico doBrasil (CNPq) pelo financiamento.

Finalmente, e nao menos importante, agradeco a Alim Pedro de Castro Goncalves meuorientador de mestrado. Eu fico muito agradecido por me aceitar como aluno. Alem de ori-entar este trabalho durante os dois anos compartilhando de seus conhecimentos em sistemasdinamicos. Obrigado por ter acreditado em mim e ter me aceitado orientado.

Resumo

O presente trabalho desenvolve em extenso o Trade-Off em sistemas dinamicos. Eleconsiste em fazer um intercambio entre o desempenho do sistema dinamico e uma medidada utilizacao da rede. O custo a minimizar para a rede corresponde ao valor esperado donumero global de transmissoes, mediante a selecao do numero maximo de transmissoes porpacote, em troca da degradacao do rendimento do sistema quantificado pela norma H∞.Os exemplos apresentados correspondem a projetos de filtros onde os sinais de medidas saotransmitidos em redes Multi-Hop que implementam o esquema de transporte Hop-by-Hop.Os filtros utilizados correspondem ao filtro otimo H∞ e a filtros baseados em sistemas su-jeitos a saltos markovianos, os quais fornecem uma solucao otimizada para o problema deperda de sinais de medida. Finalmente, e mostrada uma aplicacao do Trade-Off em sistemasdinamicos, na qual sao projetados filtros com maior eficiencia energetica para a rede.

Abstract

The present work develops a Trade-Off in dynamic systems. It consists of a trade-Offbetween dynamic system performance and a specific network parameter. The parameter tobe minimized in the network is the global expected number of transmissions, which can bereduced by setting the maximum number of packets transmissions, in exchange for a decreasein the system performance measured by theH∞ norm. The presented examples correspond toa filter project, where the measurements signals are transmitted using a Multi-Hop network,which implements a Hop-by-Hop transport scheme. The proposed filters are optimal H∞MJLS, which achieve an optimized performance to the filtering with measurement signalloss. Finally, we consider applications of the proposed techniques to design filters aiming atenergy consumption savings.

Artigos do presente trabalho

1. Jonathan M. Palma O, L. D. P. Carvalho, A. P. C. Goncalves, C. E. Galarza andA. M. D. Oliveira. “Networked Control Systems Application: Minimization of theglobal number of interactions, transmissions and receptions in Multi-Hop network usingDiscrete-Time Markovian Jump Linear Systems,”. Aceito para publicacao na revistainternacional IEEE Latin America Transactions. ISSN: 1548-0992.

2. Jonathan M. Palma O, L. D. P. Carvalho, A. P. C. Goncalves, C. E. Galarza andA. M. D. Oliveira. “Application of Control Theory Markov Systems to Minimize theNumber of Transmissions in a Multi-hop Network1,”. Publicado em Computer AidedSystem Engineering (APCASE), 2015 Asia-Pacific Conference Em, Quito Equador,2015. Paginas 296-301. doi: 10.1109/APCASE.2015.59.

3. Jonathan M. Palma O, L. D. P. Carvalho, A. M. de Oliveira, A. P. C. Goncalves, C.Duran-Faundez. “Minimizing the Number of Transmissions in a Multi-Hop Networkfor the Dynamical System Filtering Problem and the impact on the mean square er-ror”. Publicado em XII Simposio Brasileiro de Automacao Inteligente (SBAI). EmNatal–RN Brasil, 25 a 28 de outubro de 2015. Paginas 1484–1489.

4. Jonathan M. Palma O, L. D. P. Carvalho, A. P. C. Goncalves. “An Approach toEnergy Efficiency in a Multi-Hop Network Control System through a Trade-Off betweenH∞ Norm and Global Number of Transmissions”. Apresentado em Oitavo Encontrodos Alunos e Docentes do Departamento de Engenharia de Computacao e AutomacaoIndustrial. Em campinas SP Brazil, 10 e 11 de Setembro 2015.

1Artigo eleito entre os 10 melhores trabalhos da conferencia Asia-Pacific conference Computer AidedSystem Engineering (APCASE) 2015.

Conteudo

1 Introducao 121.1 Apresentacao da Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Transmissao de imagens e controle atraves da rede 162.1 Proposta de Trade-Off em sistemas dinamicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Marco Teorico 213.1 Sistemas lineares com saltos markovianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Sistema em espaco de estados e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2 Norma H∞ em MJLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.3 Projeto de filtro em MJLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.4 Filtro Otimo H∞ com conhecimento parcial modo . . . . . . . . . . . 253.1.5 Alternativas para cadeias de tipo Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.6 Filtros Classico e Hıbrido em sistemas com faia no sinais de medida . 28

3.2 Redes Hop-by-Hop em sistemas com falhas do tipo Bernoulli . . . . . . . . . 323.2.1 Modelo estocastico Hop-by-Hop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Conceitos basicos do consumo de energia em unidades WSN . . . . . 37

4 Problema de filtragem atraves da rede 394.1 Sistemas de controle em redes Multi-Hop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Projeto de filtro em redes com perda de pacotes e atraso . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 Modelo da falha da rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.2 Estabilidade do erro de estimacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Medidas de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.1 Degradacao da norma H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.2 Calculo da degradacao da norma via simulacao . . . . . . . . . . . . 484.3.3 Decremento do valor esperado das interacoes globais da rede . . . . . 484.3.4 Metricas para o Trade-Off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Trade-Off em sistemas dinamicos: estabilidade e degradacao da norma 515.1 Degradacao da norma para sistemas instaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1 Degradacao da norma H∞ do erro estimacao em sistemas instaveis . . 545.1.2 Sistemas sem atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.3 Sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Degradacao da norma para sistemas estaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.1 Degradacao da norma conforme o conhecimento do modo . . . . . . . 585.2.2 Filtro independente do modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Numero mınimo de transmissoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.1 Mınimo valor de transmissoes por pacote LF . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 Resumo do capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Trade Off em sistemas dinamicos: variacao das medidas de desempenho eimpacto em erro quadratico 646.1 Variacao das medidas de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.1 Variacao das medidas em sistemas instaveis . . . . . . . . . . . . . . 656.1.2 Variacao das medidas em sistemas estaveis . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2 Impacto no erro quadratico medio e desvio padrao pela limitacao de L . . . 696.2.1 Comportamento do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.2 Trade-Off Φ e ϕFB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Resumo do capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Trade-Off em sistemas dinamicos aplicado a eficiencia energetica em redessem fio 777.1 Projeto de Filtro com eficiencia energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1.1 Parametros do sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.1.2 Parametros de Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2 Proposta de modelo teorico de consumo de energia para WSN . . . . . . . . 797.3 Proposta de solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.3.1 Parametros gerais dos projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.4 Resultados dos projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.4.1 Projeto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.4.2 Projeto B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.4.3 Conclusao geral dos projetos de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8 Conclusao e trabalhos futuros 878.1 Trabalhos futuros e perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Bibliografia 90

A Proposta de Modelagem de atraso em redes Multi-Hop 96

12

Capıtulo 1

Introducao

Desde o seculo passado, um grande conjunto de medidas e sinais utilizados em tarefas de

controle e filtragem de sistemas dinamicos e transmitido atraves de redes digitais, por varias

razoes tais como: flexibilidade, custo, robustez, distancia entre os elementos, entre outros fa-

tores. Nas primeiras solucoes apresentadas pelos fabricantes de dispositivos para automacao

industrial na decada de 70 do seculo passado, e possıvel encontrar redes com fio simples,

como Modbus por Schneider Electric em 1979 [19] e PROFIBUS por Johan Sartwish Wil-

man em 1987 [57]. Estas primeiras redes digitais so administravam um conjunto limitado de

atuadores e sensores, mas foi a primeira mudanca em relacao aos lacos de controles exclusi-

vamente analogicos, onde cada unidade, sensor e atuador, possui um cabo para o sinal e um

cabo de terra, para uma rede em bus. No final do seculo passado, desde grandes ate pequenas

industrias possuıam centenas, ate milhares de lacos de controle. Para cumprir estes novos

requisitos, os fabricantes de dispositivos industriais desenvolveram a Ethernet industrial, po-

dendo ser citada especificamente a SIMATIC NET descrita em [20], uma rede cabeada de

alto rendimento que e capaz de administrar um grande conjunto de controladores, atuadores

e sensores. Este padrao de comunicacao solucionou variados problemas da industria, sendo

uma tecnologia baseada na Ethernet domestica, cuja utilidade ficou demonstrada na decada

de 1990 com a massificacao da Internet.

No princıpio do presente seculo, uma tecnologia ganhou forca e popularizou-se em aplicacoes

domesticas e comerciais: as redes sem fio, Wireless Networks, que fazem uso do espaco li-

vre como canal tendo como vantagens uma maior flexibilidade e baixo custo. Nao passou

muito tempo para que os fabricantes de dispositivos industriais vissem possıveis aplicacoes na

industria, com as quais forneceriam solucoes sem fio para diversos problemas. Essas primei-

ras solucoes foram para plantas onde a distancia entre os elementos fosse tal que a utilizacao

de canais de comunicacao guiados tivesse custo muito elevado ou fosse inviavel pelo ambiente

(terreno): um exemplo e o controle de nıvel para tanques distantes. As solucoes sem fio para

a industria, fornecidas pelos diferentes fabricantes, em grande parte sao baseadas em pro-

tocolos de comunicacao otimizados para o transporte de dados para controle. Exemplos de

13

padroes de comunicacao otimizados para tarefas de controle implementados atualmente sao:

WirelessHART [56] e ZigBee/IEEE 802.15.4 [1]. Os padroes de comunicacao mencionados

oferecem solucoes, desde comunicacao ponto a ponto ate redes complexas com inteligencia,

que podem detectar falhas possuindo tambem a capacidade de reorganizar-se, gerando novas

rotas, corrigindo os problemas e garantindo a entrega dos dados no destino. Estas tecnolo-

gias e padroes de comunicacao fornecem o marco teorico de WSNs, do ingles Wireless Sensor

Networks, redes sem fio de sensores. As primeiras aplicacoes de WSNs na decada passada

tiveram um grande impacto. Essas redes de sensores sem fio foram eleitas pelo MIT (Mas-

sachusetts Institute of Technology) como uma das dez tecnologias que mudarao o mundo no

futuro [41]. As WSN sao temas atuais de pesquisas de cientistas, engenheiros e pensadores

onde suas possıveis aplicacoes sao no desenvolvimento de smart dust, po inteligente, que

consiste em redes minusculas de robos ou dispositivos, e as solucoes propostas na literatura

para comunicacao nestas redes sao mediante WSN por suas caracterısticas de simplicidade

e consumo de energia [35, 55, 37].

Os dados utilizados em tarefas de controle precisam ser transmitidos por uma rede com

alta qualidade de servico. Mas ate uma rede com alta qualidade de servico pode ter proble-

mas pelo aumento da quantidade de informacao dos lacos de controle que sao gerenciados nos

complexos industriais modernos. Os problemas causados pelo alto trafico de dados, como

perda de informacao, congestionamento da rede, atraso nos pacotes, saturacao dos Buffers,

entre outros, podem ter um impacto negativo, degradando a qualidade de servico da rede

que transporta os sinais de controle. Os efeitos nao desejados pela utilizacao de redes digitais

para controle de sistemas dinamicos devem ser contemplados como parametros de projeto,

nao so para garantir o desempenho projetado, mas tambem para garantir sua estabilidade,

pois esses problemas provocados pelas redes podem levar ate a instabilidade dos sistemas.

Isso abriu uma nova area de pesquisa, o controle atraves de redes de computadores, do ingles

Network Control System [34], na qual os pesquisadores desenvolvem novas tecnicas de con-

trole procurando obter solucoes otimizadas para os problemas de controle embarcados em

redes digitais. Na literatura, e possıvel encontrar um conjunto de problemas para os quais se

tem solucoes otimas. Ha outro grande conjunto de problemas cujas solucoes sao subotimas

ou cujas restricoes sao apenas suficientes. Ademais, tem-se um conjunto de problemas ainda

abertos, a espera de solucoes [27].

O controle atraves da rede abriu novas perspetivas na busca por uma melhor adequacao

dos projetos de controle as limitacoes das redes. Um exemplo e o controle-auto acionado,

em que o instante da execucao da acao de controle e selecionado pelos controladores [53].

Especificamente, o controle auto-acionado e outros controladores na literatura de controle

em redes de computadores nao interagem com a rede. Sem interacao entre o controlador e a

rede, os algoritmos de controle nao tem conhecimento das limitacoes praticas das rede. Estas

14

limitacoes praticas podem ser: tempo de acesso ao canal determinıstico, intervalo de atraso

maximo por pacote ou limite de taxa de perda de pacote, requeridos pelo controlador, que

as redes podem ser capazes de satisfazer, mas com alto consumo de recursos, como excessiva

utilizacao da memoria, elevado consumo energetico e alta utilizacao do canal. Para redes sem

fio, o alto consumo de recursos e particularmente indesejado, pois prejudica sua autonomia.

As propostas do presente trabalho sao um desenvolvimento mais detalhado do problema

de Trade-Off em sistemas dinamicos formulado em [43] e [45]. Ele consiste em fazer um

intercambio entre o desempenho para o sistema dinamico e um parametro relacionado com

a utilizacao da rede. O custo a minimizar para a rede corresponde ao valor esperado do

numero global de transmissoes, em troca da queda no rendimento do sistema, quantificada

pela norma H∞. Projetos de controle como este Trade-Off em sistemas dinamicos podem

ser extremamente importantes para problemas atuais na industria e nas futuras Cidades

Inteligentes, Smart Cities [5, 51]. Uma Cidade Inteligente e um ecossistema onde todos

os recursos: agua, energia, calor, entre outros, serao consumidos da forma mais otimizada

possıvel, alem de se minimizar a geracao de resıduos e garantir seguranca e alta qualidade

de vida para os cidadaos. A maneira de realizar tal projeto e automatizando os processos,

possivelmente atraves de milhares de sensores e atuadores, os quais trabalharao em uma area

geografica reduzida, sendo muitos deles baseados em redes sem fio. Administrar este grande

conjunto de lacos de controle em ambientes como uma industria ja e uma tarefa complexa.

Realizar esse intento em ambientes nao controlados como uma cidade inteligente, onde pode

haver ate milhoes de sensores e atuadores concentrados, pode ser uma tarefa muito complexa

ou ate inviavel, com os modelos classicos de controle. Modelos de controle como o Trade-Off

em sistemas dinamicos podem ser uma solucao viavel para ajudar a gerenciar os lacos de

controle nas Smart Cities. O presente trabalho procura ser uma contribuicao ao controle em

redes de computador com o desenvolvimento de um novo enfoque baseado no problema de

transmissao de imagens em redes de sensores sem fio, onde mediante a utilizacao de redes

semi-confiaveis, do ingles semi-reliable, sao minimizados criterios de interesse para a rede e

garantido tambem um nıvel de rendimento aceitavel para o sistema dinamico. Este enfoque

e estudado para problemas de filtragem nos quais os sinais de controle sao transmitidos por

uma rede Multi-Hop que implementa como mecanismo de confiabilidade o esquema Hop-by-

Hop.

1.1 Apresentacao da Dissertacao

A presente dissertacao esta dividida em oito capıtulos. Este primeiro capıtulo conceituou o

leitor na area tematica do trabalho. Alem disso, ele introduz os conceitos de controle atraves

de redes de computador e o tema principal desenvolvido no presente trabalho: o Trade-Off

em sistemas dinamicos.

15

O segundo capıtulo faz uma analogia entre o problema de transmissao de imagens em

redes de sensores sem fio e o controle de sistemas dinamicos atraves da rede. E feita uma

analogia entre o problema de transmissao de imagens e os problemas de controle de sistemas

dinamicos. Finamente, mostra o problema de Trade-Off em sistemas dinamicos, que e

inspirado no marco teorico de transmissao de imagens atraves de redes de sensores.

O terceiro capıtulo, Marco Teorico, que apresenta as ferramentas teoricas para o problema

de Trade-Off em sistemas dinamicos, e dividido em duas partes. A primeira e uma revisao

dos sistemas dinamicos sujeitos a saltos markovianos, com os quais tem-se a possibilidade

de realizar projetos de controle otimizados para sistemas sujeitos a perda de informacao das

medidas pela rede. A segunda parte mostra os conceitos de redes de computador fundamen-

tais para o presente trabalho. Sao apresentados o esquema de transporte Hop-by-Hop e os

conceitos fundamentais do consumo de energia em redes WSN.

O quarto capıtulo, Filtragem Atraves da Rede, formaliza o caso de estudo que corresponde

a projetos de filtros que otimizam a norma H∞ do erro de estimacao. Este capıtulo mostra

o modelo de falha da rede alem da modelagem para o atraso. Tambem sao formalizadas as

medidas de desempenho utilizadas para quantificar as melhorias para a rede e a degradacao

do rendimento do filtro.

O quinto capıtulo, Trade-Off em Sistemas Dinamicos: Estabilidade e Degradacao da

Norma, mostra as questoes mais importantes da estabilidade e da degradacao da norma H∞

do erro de estimacao para filtros projetados por metodos classicos e pela teoria de sistemas

com saltos markovianos. Neste capıtulo, define-se o sistema dinamico utilizado de exemplo

para os testes, o pendulo invertido rotacional, tambem chamado pendulo de Furuta.

O capıtulo seis aprofunda a analise do Trade-Off de sistemas dinamicos mostrando em

detalhe as variacoes das medidas de desempenho ao limitar o numero maximo de transmissoes

por pacote em redes que implementam o esquema Hop-by-Hop. Outro resultado importante

e o impacto no erro quadratico medio ao limitar o numero maximo de transmissoes.

O capıtulo sete formula o problema do Trade-Off em sistemas dinamicos como um pro-

blema de otimizacao baseado em tres restricoes obtidas em funcao das analises dos capıtulos

anteriores. Sao dados dois exemplos de projetos de filtros que procuram trazer economias

energeticas para a rede. Outro resultado importante corresponde ao modelo de energia

proposto para unidades WSN utilizadas nos exemplos.

Por ultimo, no capıtulo oito, tem-se as conclusoes mais importantes dos resultados desen-

volvidos no presente trabalho e perspectivas para trabalhos futuros enfatizando os problemas

ainda em aberto.

16

Capıtulo 2

Transmissao de imagens e controle

atraves da rede

O transporte de informacao em redes digitais apresenta vantagens em termos de flexibili-

dade, custo, escalabilidade, entre outros, mas possui limitacoes de desempenho intrınsecas a

canais reais. Em especial, o transporte de informacao tem um custo em tempo e uma pro-

babilidade de erro que varia conforme a rede. Minimizar a probabilidade de erro mediante

retransmissoes pode garantir uma comunicacao confiavel (Full-reliable), mas tem repercussao

no atraso medio por pacote, alem de possıveis problemas de congestionamento e consumo

excessivo de recursos. As hipoteses teoricas classicas em sistemas de controle sao feitas su-

pondo que os canais de comunicacao sao ideais, sem perda e sem atraso. Efeitos indesejados,

como o da perda de informacao ou atraso sao desprezados e, dessa forma, suas consequencias

em termos de desempenho e ate mesmo de estabilidade nao podem ser previstas. Porem, na

atualidade, os sistemas de controle tem migrado para redes digitais, muitas das quais sao

redes nao exclusivas de controle. Os efeitos indesejados provocados pela utilizacao de redes

de computadores podem ser considerados como parametros de projeto no chamado controle

atraves de redes de computador, do ingles, Networked Control Systems (NCS), cujo objetivo

e considerar tais efeitos, procurando obter solucoes otimizadas ao se combinar a teoria de

controle classico com a de telecomunicacoes. Os fenomenos relacionados com controle em

redes de computador podem ser divididos em: atraso, perda de informacoes, amostragem

nao periodica e projetos de controle atraves de redes de computadores [34].

O problema da perda de informacao em redes digitais pode ser solucionado pela camada

de transporte que, atraves de um algoritmo de correcao de dados e retransmissoes dos pa-

cotes, garanta a entrega dos dados ao destino em uma comunicacao confiavel (Full-reliable).

Para problemas onde o tempo de atraso de entrega dos dados nao e relevante, as retrans-

missoes garantem uma solucao. Para os problemas de controle, entretanto, o tempo de

atraso e uma variavel de grande interesse. Nao garantir uma comunicacao confiavel medi-

ante a limitacao do numero de retransmissoes gera perda de pacote, mas minimiza o tempo

17

de atraso medio por pacote e parametros de consumo de recursos para a rede, pois a perda

de pacotes significa menor fluxo de dados. Estes problemas podem causar instabilidade e/ou

degradacao do desempenho, mas com o uso de redes de alta qualidade de servico e possıvel

desprezar tais efeitos para diversos sistemas, especialmente aqueles de dinamica lenta. Re-

des de controle exclusivas, como Industrial Ethernet, sao redes com alta qualidade de servico

em que os controladores sao projetados sem contemplar os efeitos da rede. Garantir comu-

nicacao sem perda (Full-reliable) pode ser uma tarefa complexa para um grande conjunto

de redes, como as redes sem fio Low Rate Wireless Personal Area Network (LR-WPANs).

Estas tecnologias enfatizam a autonomia das unidades e, como exemplo, pode-se citar as

WSNs que sao as redes de sensores sem fio, do ingles, Wireless Sensor Networks, baseadas

no padrao IEEE 802.15.4, que tem um rendimento menor em relacao a outras redes que

utilizam a mesma banda como IEEE 802.11b (WIFI) e IEEE 802.15.1 (Bluetooth) [2], mas

sua autonomia energetica e o numero de unidades possıveis nas redes e maior que nas demais.

A degradacao do rendimento da aplicacao pela perda de informacao no transporte dos

pacotes pelas redes digitais nao e exclusiva do controle de sistema dinamicos. A transmissao

de imagens e tambem problematica, pois a falta de garantia de uma comunicacao Full-reliable

pode causar grandes problemas da mesma forma que no controle de sistema dinamicos. A

transmissao de imagens consiste em um processo no qual a imagem original e subdividida em

fragmentos, permitindo transmitir pacotes menores pela rede sendo que cada pacote contem

uma parte da imagem original. Se nao for garantida a entrega de todos os pacotes, a imagem

reconstruıda apresentara partes sem informacao, na forma de buracos brancos. Os espacos

em branco podem significar a perda da informacao util da imagem. Analogamente, para o

caso do controle de sistemas dinamicos, a perda de pacotes pode levar a pior das situacoes

para um sistema de controle, que e a instabilidade. A Figura 2.1 exemplifica estas situacoes:

a Figura 2.1a mostra a imagem reconstruıda de maneira otima sem perda de informacao;

analogamente, a Figura 2.1b mostra o erro quadratico medio e seu desvio padrao para um

sistema de controle sem perda de informacao. Os possıveis cenarios para comunicacao nao

confiavel para os problemas de imagens e controle sao: para os problemas de imagens a

Figura 2.1c expoe a mesma imagem reconstruıda mas com perda de pacotes pela rede, para

um problema de reconhecimento de rosto a imagem pode ser inutil. Para o controle de

sistemas, a Figura 2.1d que corresponde ao mesmo sistema dinamico, mas com perda de

informacao na rede de comunicacao, provocando a divergencia do erro quadratico medio e

de seu desvio padrao tornando o sistema instavel.

O maior desempenho, tanto para controle de sistemas dinamicos, como para a trans-

missao de imagens, corresponde a implementacoes em comunicacao full-reliable. A trans-

missao de imagens e uma tarefa popular em redes de sensores sem fio (WSN), mas garantir

comunicacao full-reliable nas tecnologias LR-WPANs pode ser extremamente complexo pelo

18

(a)

0 5 10 15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

t(s)er

ror2 ±

σ

(b) (c)

0 5 10 15−1

0

1

2

3

4

t(s)

erro

r2 ± σ

(d)

Figura 2.1: Transmissao de imagem e Controle de sistemas dinamicos possıveis cenarios.

numero excessivo de retransmissoes e pelo limitado poder de computacao e de memoria das

unidades. Nao garantir comunicacao full-reliable, sem perda, na transmissao de imagens

pode provocar a perda da informacao util, como no exemplo anterior. Os efeitos da perda

de pacotes na transmissao de imagens em WSN sao analisados em detalhe em [16]. Dado

o grande interesse da comunidade de pesquisadores em WSN na ultima decada, existe um

marco teorico em metodos de transmissao de imagens que procuram minimizar custos de

computacao (processamento) e consumo de energia para as unidades WSN. Com esta finali-

dade, foram desenvolvidas variadas tecnicas para a transmissao de imagens em comunicacao

semi-reliable obtendo uma reconstrucao sem buracos nas imagens.

No estado da arte em multimedia wireless sensor networks [31], redes multimıdia de

sensores sem fio, para minimizar custo para a rede, e possıvel encontrar as seguintes tecnicas:

compressao, seletividade de dados, correlacao dos pacotes, entre outras tecnicas, para mais

informacoes veja [17],[38], [10] e [3]. O custo para a imagem em uma transmissao que admite

perda de pacotes como na comunicacao feita em redes semi-reliable corresponde a degradacao

da Nitidez (qualidade da imagem). Este fenomeno e exposto em detalhe na Figura 2.2. A

Figura 2.2 exemplifica o problema de transmissao de imagens em redes de sensores com

perda de pacotes. Na primeira linha, a Figura 2.2a corresponde a imagem RAW, bem como

as Figuras 2.2b, 2.2c e 2.2d correspondem a uma reconstrucao classica da imagens, sem

mecanismo para completar os buracos perdidos pela utilizacao de redes semi-reliable para

os valores de taxa de perda, Packet loss rate (PLR), de 3%, 28% e 60%, respectivamente.

Na segunda linha da Figura 2.2, a Figura 2.2e mostra a Figura RAW e as Figuras 2.2f, 2.2g

e 2.2h correspondem as imagens reconstruıdas utilizando o algoritmo DSJ-AL interleaving

para os valores de perda de 3%, 28% e 60%, respectivamente. Para mais informacoes sobre

as tecnicas utilizadas para a reconstrucao das imagens c.f. [49]. As imagens reconstruidas

usando DSJ-AL interleaving nao tem buracos em branco, mas quanto maior e a porcentagem

de perda, menor e a nitidez da imagem reconstruıda. Isso e possıvel de ver comparando as

Figuras 2.2e sem perda e a Figura 2.2h com 60% de perda.

19

(a) RAW (b) 3%PLR (c) 28%PLR (d) 60%PLR

(e) RAW. (f) 3%PLR (g) 28%PLR (h) 60%PLR

Figura 2.2: Reconstrucao classica das imagens e usando DSJ-AL interleaving.

2.1 Proposta de Trade-Off em sistemas dinamicos.

O tamanho dos dados dos sinais utilizados em tarefas de controle e filtragem de sistemas

dinamicos sao pequenos em comparacao com outros problemas como a transmissao de ima-

gens. A maioria dos sinais de controle e filtragem pode ser transportada em um unico pacote,

mas as tarefas de controle podem consumir uma alta quantidade de recursos nas redes onde

os sinais sao transmitidos periodicamente segundo a frequencia de amostragem do sistema

que e funcao da dinamica da planta. Para controle classico, estes dados tem que ser forne-

cidos sem perda e com atraso mınimo ou nulo. Baseado nos trabalhos de transmissao de

imagens em redes de sensores, onde se degrada a nitidez da imagem procurando melhorias

nos parametros da rede [7, 15], tem-se um esquema similar para dados de controle. Medi-

ante a troca de comunicacao Full-reliable por Semi-reliable, assim como no transporte dos

fragmentos de imagem, procura-se minimizar o custo para uma rede utilizada em tarefas

de controle. Esta proposta analoga, a Nitidez para imagem, faz um intercambio, Trade-off,

entre um criterio de rendimento para o sistema dinamico e alguma medida de ocupacao da

rede. O criterio de desempenho para avaliar o sistema dinamico utilizado no presente tra-

balho corresponde a norma H∞. Esta norma e um dos criterios classicos de desempenho da

literatura de controle e minimizar esta medida procura garantir um certo grau de robustez

para o sistema. E possıvel interpretar essa norma como o grau de influencia que a entrada

de perturbacao tem na saıda do sistema [58].

A proposta de Trade-off em sistemas dinamicos desenvolvida este trabalho corresponde

a fazer um intercambio entre a norma H∞ da saıda do sistema e o numero maximo de

20

transmissoes permitidas por pacote. Limitar o numero maximo de transmissoes por pacote

minimiza o valor esperado do numero global de transmissoes da rede. Limitar as trans-

missoes nao garante uma comunicacao full-reliable e, alem disso, diminuir este parametro

reduz a taxa de sucesso da rede. Os problemas causados pelas perdas de informacao sao

compensados nas economias para a rede inerentes de uma comunicacao semi-reliable. Uma

comunicacao que admite perda de dados gera melhorias para a rede tanto em consumo de

energia, quando em recursos de computacao. Admitir perda de pacote ocupa menos recursos

na rede mas e degradado o desempenho do controlador, mas e possıvel geral solucoes em

controle que garantam estabilidade dos sistemas dinamicos admitindo perda de informacao

mediante utilizacao dos sistemas lineares com saltos markovianos em tempo discreto, do

ingles Markovian jump linear system (MJLS).

Os sistemas dinamicos sujeitos a saltos markovianos permitem projetar solucoes otimi-

zadas para sistemas com perdas de informacao. Esta propriedade possibilita gerar projetos

que tenham o mınimo consumo de recursos para a rede. Esse fenomeno foi mostrado em [43],

onde sao expostos filtros implementados em redes Multi-Hop que garantem a estabilidade

do erro de estimacao com somente 17% dos pacotes transmitidos comparados ao projeto

classico. A menor quantidade do pacotes na rede significa melhoras no congestionamento,

melhor gerenciamento dos recursos computacionais e, o mais interessante, o aumento da

vida util da rede, relacionado com os custos energeticos das transmissoes e recepcoes [18]. O

problema de eficiencia energetica em redes para tarefas de controle utilizando o Trade-Off

em sistemas dinamicos foi formulado em [46] e desenvolvido mais profundamente no presente

trabalho.

21

Capıtulo 3

Marco Teorico

No presente capıtulo, sao apresentados os modelos e as ferramentas matematicas para o

desenvolvimento do problema de Trade-Off em sistemas dinamicos. Este capıtulo e dividido

em duas partes. A primeira secao corresponde a uma revisao dos sistemas lineares com saltos

markovianos a tempo discreto, do ingles, Markov Jump Linear Systems (MJLS), mediante os

quais e possıvel buscar solucoes otimizadas em sistemas com perda de informacao provocada

pela rede. A segunda secao e dividida entre a formalizacao do esquema de transporte Hop-

by-Hop utilizado e os conceitos basicos de modelagem de consumo de energia para redes

WSN.

3.1 Sistemas lineares com saltos markovianos

Notacao

A notacao utilizada nesse trabalho e usual, na qual letras maiusculas indicam matrizes e

minusculas indicam vetores ou escalares. Para matrizes reais e vetores, o sımbolo (′) indica

transposto e (•) representa um bloco simetrico que compoe uma matriz estruturada em

blocos. O conjunto de numeros naturais e indicado por N, e os N primeiros numeros naturais

por K = 1, ..., N. Dados os numeros reais nao negativos pij que satisfacamN∑j=1

pij = 1,

a combinacao convexa de matrizes simetricas Xj com as ponderacoes pij e indicada por

Xpi =N∑j=1

pijXj, ∀ i ∈ K. O sımbolo E· representa a esperanca matematica. Para qualquer

sinal estocastico ξ(k), definido no domınio de tempo discreto, k ∈ N, a norma quadratica

e dada por ‖ξ‖22 =∞∑k=0

Eξ(k)′ξ(k). A classe de sinais ξ(k) ∈ Rr, k ∈ N, tais que ‖ξ‖22 e

finito, e indicada pelo espaco L2, o qual tem incluıdo os sinais quadraticamente somaveis em

valor esperado.

22

3.1.1 Sistema em espaco de estados e estabilidade

Os sistemas lineares com saltos markovianos a tempo discreto sao descritos pelos seguinte

sistema de equacoes de estado,

G :

x(k + 1) = A(θk)x(k) + J(θk)w(k),

y(k) = Cy(θk)x(k) + Ey(θk)w(k),

z(k) = Cz(θk)x(k) + Ez(θk)w(k),

(3.1)

onde x(k) ∈ Rn e o vetor de estado e w(k) ∈ Rm e a perturbacao. O vetor z(k) ∈ Rr contem

as saıdas que se pretende estimar (problema de filtro) a partir dos sinais medidos do sistema

y(k) ∈ Rq. A variavel aleatoria θk ∈ K assume valores de acordo com uma cadeia de Markov

discreta com matriz de probabilidade P = [pij], onde pij = Prob(θk+1 = j|θk = i). Os

elementos da matriz pij sao nao negativos, de forma que soma dos elementos em uma linha

de P e igual a um. Para simplificar a notacao, sempre que θk = i, escreve-se A(θk) = Ai,

J(θk) = Ji, e assim por diante.

Estabilidade

O primeiro conceito importante sobre o modelo (3.1) e a sua estabilidade. Para MJLS a

tempo discreto existem tres formas equivalentes de se definir estabilidade. Sao elas: estabi-

lidade por media quadratica, estabilidade estocastica e estabilidade exponencial por media

quadratica. Em [36], e demonstrado que as tres definicoes mencionadas sao equivalentes

para os MJLS a tempo discreto. As tres definicoes sao conhecidas na literatura de controle

estocastico como estabilidade pelo segundo momento, do ingles, Second Moment Stability

(SMS). Para testar a estabilidade de um sistema, debe-se fazer mediante desigualdades de

Lyapunov acopladas, formuladas como um conjunto de desigualdades matriciais lineares [11].

Teorema 1. O sistema (3.1), com entrada de perturbacao w nula, e estavel pelo segundo

momento (SMS) se e somente se existirem matrizes Pi simetricas e definidas positivas para

todo i ∈ K, tais que as N desigualdades de Lyapunov acopladas sejam simultaneamente

satisfeitas: ∑j∈K

pijA′iPjAi − Pi < 0, i ∈ K, (3.2)

A prova deste teorema e desenvolvida em [22] detalhadamente.

3.1.2 Norma H∞ em MJLS

O operador norma pode ser interpretado como o tamanho ou a amplitude de uma entidade

matematica que esta contida em um espaco linear. A norma H∞ de um sistema dinamico

e o limitante superior para a razao entre a norma da perturbacao w(k) e a norma da saıda

23

z(k). A norma H∞ corresponde a um dos criterios classicos de desempenho nos projetos de

controle robusto. Minimizar essa relacao corresponde a minimizar a influencia do ruıdo de

pior caso entre todos os ruıdos w ∈ L2. Dessa forma, com o valor da norma H∞, pode-se

garantir um certo nıvel de robustez ao sistema frente as perturbacoes [58]. A definicao de

norma H∞ para MJLS discretos e formulada em [9], e exposta no seguinte formato em [50].

Teorema 2. Para sistemas estaveis pelo segundo momento (SMS) na forma (3.1), a norma

H∞ da entrada w para a saıda z e dada por

‖G‖2∞ := sup0 6=w∈L2,θ0

‖z‖22‖w‖22

. (3.3)

O calculo do valor de norma H∞ segundo a definicao (3.3) pode ser realizado mediante

a resolucao de um problema de otimizacao convexa na forma de desigualdades matriciais

lineares (LMIs).

Teorema 3. Para sistemas estaveis pelo segundo momento (SMS), na forma (3.1), a norma

H∞ da entrada w para a saıda z e tal que ||G||2∞ < γ, se e somente se as desigualdades,Pi • • •0 γI • •

PpiAi PpiJi Ppi •Czi Ezi 0 I

> 0, (3.4)

sao satisfeitas para todo i ∈ K.

A prova da necessidade e suficiencia pode ser encontrada em [50]. O mesmo artigo

discute que condicao para o calculo da norma e necessaria e suficiente se o sistema e SMS e

fracamente controlavel, caso contrario, a condicao torna-se apenas suficiente.

3.1.3 Projeto de filtro em MJLS

Um filtro tem por objetivo calcular uma estimativa de variaveis que nao se podem medir

diretamente. Entre as possıveis maneiras de se implementar um filtro, tem-se os filtros

invariantes no tempo de ordem completa, sendo de interesse para o nosso caso em estudo

os filtros tipo observador de Luenberger e o filtro de ordem completa. O filtro observador

de Luenberger faz uma copia do sistema observado e por isso e chamado tambem de filtro

baseado no modelo interno. Esta estrutura de filtro permite fazer projetos para sistemas

sem que eles sejam garantidamente estaveis, porem dificulta o tratamento de incertezas

parametricas. O modelo de filtro de ordem completa e um filtro no qual o calculo das

matrizes de seu modelo de espaco de estado nao depende explicitamente das matrizes da

dinamica da planta e, por isso, possibilita projetos em plantas que tenham variados tipos

de incertezas, mas a planta tem que ser estavel. Mais detalhes do filtro de ordem completa

24

em projetos de filtragem robusta podem ser obtidos em [22]. A seguir, sao mostradas as

estruturas dos tipos de filtro a tempo discreto para MJLS,

Filtro Luenberger:

O :

xf (k + 1) = Aixf (k) +Gfi(y(k)− Cyixf (k)),

zf (k) = Czixf (k) +Dfi(y(k)− Cyixf (k)).(3.5)

Filtro de ordem completa:

F :

xf (k + 1) = Afixf (k) +Bfiy(k),

zf (k) = Cfixf (k) +Dfiy(k).(3.6)

As matrizes dinamicas de ambos filtros sao dependentes de θk = i ∈ K, modo da cadeia de

Markov no instante k ∈ N. Na pratica, o conhecimento da cadeia pode ser complexo e ate

impossıvel, e por isso, na literatura de filtros em MJLS, tem-se a possibilidade de encontrar

classes de filtros em funcao do conhecimento da cadeia de Markov. Estas classes do filtro

sao: dependente do modo, independente do modo e com agrupamento do modo (Cluster)

[8].

Filtro Otimo H∞ com conhecimento do modo

Os filtro markoviano com conhecimento do modo da cadeia θk = i ∈ K corresponde a um

filtro composto de subsistemas nos quais a selecao do subsistema para um instante k depende

de θk. O filtro deve garantir a estabilidade em segundo momento do erro de estimacao. Alem

disso, pode ser otimizada alguma funcao de interesse, que, no presente trabalho, corresponde

a norma H∞ do erro de estimacao. O filtro que otimiza a norma H∞ do erro de estimacao

pode ser obtido atraves da resolucao de um problema convexo de otimizacao com restricoes

na forma de desigualdades matriciais lineares para as duas estruturas de filtro mencionadas.

Teorema 4. Existe um filtro com conhecimento do modo da cadeia na forma (3.5), satisfa-

zendo a restricao ‖Go‖2∞ < γ, se e somente se existirem matrizes simetricas Xi e matrizes

Fi, Ki com dimensoes compatıveis que satisfazem a LMIs,Xi • • •0 γI • •

XpiAi + FiCyi XpiJi + FiEyi Xpi •Czi −KiCyi Czi −KiCyi 0 I

> 0, (3.7)

para todo i ∈ K. Em caso afirmativo, os ganhos do filtro Luenberger dependente do modo

sao dados por

Gfi = −Xpi−1Fi e Dfi = Ki, (3.8)

25

A prova deste teorema pode ser encontrada em [29, 22]. E possıvel observar que, na

realizacao proposta, a matriz da dinamica do filtro Afi depende diretamente da Ai. Logo,

se a matriz Ai possui alguma incerteza, a matriz Afi nao sera unica.

Teorema 5. Existe um filtro com conhecimento do modo da cadeia na forma (3.6) satisfa-

zendo a restricao ‖Gf‖2∞ < γ se e somente se existirem matrizes simetricas Xi, Zi, e matrizes

Mi, Ki, Li e Fi com dimensoes compatıveis que satisfazem a LMIs,

Zi • • • • •Zi Xi • • • •0 0 γI • • •

ZpiAi ZpiAi ZpiJi Zpi • •XpiAi + FiCyi +Mi XpiAi + FiCyi XpiJi + FiEyi Zpi Xpi •Czi −KiCyi + Li Czi −KiCyi Ezi −KiEyi 0 0 I

> 0, (3.9)

para todo i ∈ K. Em caso afirmativo, uma realizacao para o filtro e dada pelas matrizes

Afi = (Zpi −Xpi)−1Mi, Bfi = (Zpi −Xpi)

−1Fi, Cfi = −Li e Dfi = Ki.

A prova deste teorema pode ser encontrada em [29, 22]. Na realizacao proposta, a matriz

da dinamica do filtro Afi nao depende diretamente da Ai. Um filtro robusto para uma

incerteza do tipo politopica na matriz Ai pode ser obtido com uma adaptacao do Teorema

5.

3.1.4 Filtro Otimo H∞ com conhecimento parcial modo

O conhecimento exato do modo da cadeia de Markov para cada instante k pode nao ser

possıvel. Para solucionar este problema, e possıvel recorrer a duas abordagens. A primeira,

o projeto de filtro independente do modo, corresponde a solucao mais conservadora. O se-

gundo enfoque e agrupar os modos da cadeia em grupos (clusters) [14] segundo a informacao

disponıvel que garanta que, para cada instante k, o modo do sistema pertenca a um unico

cluster.

Para o caso de conhecimento parcial (cluster), considera-se que so e possıvel detectar

o cluster associado a cada um dos modos de Markov, mas nao o proprio modo. Alem

disso, no caso de disponibilidade do cluster, supomos que os clusters formam um conjunto

disjunto, de modo que a uniao de todos os clusters e o conjunto de todos os modos. Se

considerarmos o conjunto de modos como K = 1, 2, · · · , Nn, os clusters sao conjuntos U`,

` ∈ L = 1, 2, · · · , Nc tais⋃`∈LU` = K e U`1

⋂U`2 = ∅ para todo `1, `2 ∈ L e `1 6= `2. O

modo independente e o modo dependente podem ser vistos casos particulares da definicao

26

anterior com Nc = 1 e Nc = Nn, respectivamente. Um filtro markoviano que depende da

disponibilidade do cluster θk = i ∈ U` e dado pelo Teorema 6.

Teorema 6. Existe um filtro com conhecimento parcial do modo da cadeia, como (3.6),

satisfazendo a restricao ‖Gf‖2∞ < γ, se existirem matrizes simetricas Xi, Zi, e matrizes M`,

K`, L`, H` e F` com dimensoes compatıveis que satisfazem a LMIs,

Zi • • • • •Zi Xi • • • •0 0 γI • • •

ZpiAi ZpiAi ZpiJi Zpi • •G`Ai + F`Cyi +M` G`Ai + F`Cyi G`Ji + F`Eyi 0 G` +G′` + Zpi −Xpi •Czi −K`Cyi + L` Czi −K`Cyi Ezi −K`Eyi 0 0 I

> 0,

(3.10)

para todo i ∈ U` ⊂ K e ` ∈ L. Em caso afirmativo, uma realizacao, para o filtro e dada por

Af` = −G−1` Mf`, Bf` = −G−1` Ff`, Cf` = −L`, e Df` = K`.

A prova deste teorema pode ser encontrada em [12]. Note-se que a condicao do Teorema

6 e so suficiente. Se o problema de otimizacao tem como resultado a infactibilidade, isso nao

implica que nao exista um filtro que garanta norma limitada para o erro de estimacao. Para

maiores detalhes, sao recomendados para os leitores os seguintes trabalhos [22] e [12].

3.1.5 Alternativas para cadeias de tipo Bernoulli

Os teoremas expostos anteriormente correspondem a condicoes de sıntese de filtro para MJLS

para sistemas associados a uma cadeia de markov generica. Uma classe de MJLS mais res-

trita corresponde aos sistemas com saltos tipo Bernoulli. Um sistema com saltos Bernoulli

e tal que a matriz P tem apenas uma linha linearmente independente: todos os valores das

colunas pj sao os mesmos. Os sistemas dinamicos sujeitos a saltos Bernoulli das origem a

um problema mais restrito, mas tem a vantagem de apresentar condicoes otimas, necessarias

e suficientes, tanto para observacao completa quanto parcial do modo da cadeia, como de-

monstrado em [23]. Nos teoremas a seguir apresentamos os resultados tanto para o Filtro

Luenberger quanto para o Filtro de Ordem Completa para um caso particular mas impor-

tante, os sistemas sujeitos a saltos Bernoulli.

Teorema 7. Existe um filtro otimo na forma (3.5), satisfazendo a restricao ‖Go‖2∞ < γ,

se e somente se existirem matrizes simetricas Hi, X, e as matrizes K` e F` com dimensoes

27

compatıveis que satisfazem a LMIs,Hi • • •0 γI • •

XA` + F`Cy` +M` XJi + F`Cy` X •Czi −K`Cy` Ezi −K`Eyi 0 I

> 0, (3.11)

Nn∑j

pjHj −X < 0, (3.12)

para todo i ∈ U` e ` ∈ L. Em caso afirmativo os ganhos do filtro Luenberger dependente do

cluster sao dados por

Gf` = −X−1F`, e Df` = K`. (3.13)

Teorema 8. Existe um filtro como (3.6) satisfazendo a restricao ‖Gf‖2∞ < γ, se e somente

se existirem matrizes simetricas Si, Hi, Z, X, e matrizes Gi, L`, M` K` e F` com dimensoes

compatıveis que satisfazem a LMIs,

Si • • • • •Gi Hi • • • •0 0 γI • • •0 ZAi ZJi Z • •

XAi + F`Cyi +M` XAi + F`Cyi XJi + F`Eyi Z X •Czi −K`Cy` + L` Czi −K`Cyi Ezi −K`Eyi 0 0 I

> 0, (3.14)

[Sp •Gp Hp

]−

[Z •Z X

]< 0, (3.15)

para todo i ∈ U` e ` ∈ L. Em caso afirmativo, uma realizacao para o filtro e dada pelas

matrizes Af` = (Z −X)−1M`, Bf` = (Z −X)−1F`, Cf` = −L` e Df` = K`.

A prova dos Teoremas 7 e 8 podem ser conferidas em [23]. As matrizes Sp, Gp e Hp tem

a mesma estrutura que Xj mostrado na Secao 3.1.

Como as condicoes dos Teoremas 7 e 8 sao necessarias e suficientes, o valor de norma

obtido a partir deles corresponde a norma otima do erro de estimacao. Para ambos os

teoremas, fazendo ` = i, sao obtidas as condicoes otimas para filtro dependente do modo em

sistemas sujeitos a saltos tipo Bernoulli. Outra consideracao importante e que so e possıvel

usar o filtro Luenberger com observacao parcial do modo se as matrizes do sistemas Ai, Cyi,

e Czi sao invariantes dentro do cluster.

28

3.1.6 Filtros Classico e Hıbrido em sistemas com faia no sinais de

medida

Una tipo particular de e aquele no qual corresponde abaixo. Na qual so as matrizes que

compoem o sinais de medida y(k) dependem do estado da cadeia de Markov (θk) em cada

instante k ∈ N. Tal MJLS e utilizado para representar um planta determinıstica com falha

no sinais de medida, sendo de interesse modelar as falhas produzidas pelo transporte dos

sinais de medidas em redes digitais [43, 21, 12, 13]. O sistema dinamico fica com a seguinte

representacao de estados,

G :

x(k + 1) = Ax(k) + Jw(k),

y(k) = Cy(θk)x(k) + Ey(θk)w(k),

z(k) = Czx(k) + Ezw(k).

(3.16)

Dado o Sistema (3.16) definimos dois modos de operacao para ele. Operacao nominal, na

qual as matrizes que geram o sinal de medida, Cy e Ey, correspondem ao valores nominais

da planta. O segundo modo de operacao corresponde a operacao com falha, que pode ser

interpretada como erro no sensor ou erro na comunicacao, modelo em que as matrizes Cy e

Ey sao substituıdas por matrizes nulas. Para projetos de filtros em sistemas com falha nos

sinais de medida tem-se tres abordagens, a primeira e nao considerar as falhas do sinais de

medida e utilizar um filtro classico, a segunda abordagem corresponde na utilizacao de filtros

baseados em MJLS e a terceira abordagem corresponde a uma mistura do filtro classico com

uma compensacao da falha, chamado Filtro Hıbrido formulado em [30]. O filtros baseados

em MJLS foram apresentados anteriormente, mas agora serao apresentados o filtro classico

em sistemas com perda dos sinais de medida alem do filtro Hıbrido.

Filtro Classico em sistemas com erro nos sinais de media

Um filtro classico com falha no sinais de medida provocado pelo transporte de dados em

uma rede digital pode ser modelado por dois conjuntos equacoes. O primeiro conjunto de

equacoes descreve a dinamica do erro de estimacao e(k) do filtro para o filtro trabalhando

sem falha na rede,

Sucesso-Classico

[x(k + 1)

xf (k + 1)

]=

[A 0

BfCy Af

][x(k)

xf (k)

]+

[J

BfEy

]w(k)

e(k) =[Cz −DfCy −Cf

] [ x(k)

xf (k)

]+[Ez −DfEy

]w(k)

(3.17)

A dinamica do erro de estimacao para na falha na rede e modelada mediante a troca dos

valores das matrizes Cy e Ey por valores nulos,

29

Erro-Classico

[x(k + 1)

xf (k + 1)

]=

[A 0

0 Af

][x(k)

xf (k)

]+

[J

0

]w(k)

e(k) =[Cz −Cf

] [ x(k)

xf (k)

]+[Ez

]w(k)

(3.18)

Filtro Hıbrido

Um filtro Hıbrido formulado em [30], corresponde a um filtro markoviano com dois modos,

falha e acerto da comunicacao. Mas os valores do filtro para o modo acerto correspondem

ao projeto de filtro classico. Para o modo com falha, a matriz dinamica do filtro permuta

para a matriz da planta original. A saıda do filtro corresponde a uma combinacao linear

dos estados do filtro utilizando como Cf a matriz Cz do sistemas original, neste modelagem

pode-se apresentar pelo seguinte conjunto de equacoes,

Erro−Hibrido

[x(k + 1)

xf (k + 1)

]=

[A 0

0 A

][x(k)

xf (k)

]+

[J

0

]w(k)

e(k) =[Cz −Cz

] [ x(k)

xf (k)

]+ Ezw(k)

(3.19)

O filtro Hıbrido faz uma compensacao da falha da rede mediante a troca da matriz

dinamica do filtro Af pela matriz da planta original A. Esta estrategia e baseada no compor-

tamento da solucoes dos filtros otimos dependentes do modo nos quais diante da ocorrencia

de falha, o filtro tenta copiar a dinamica da planta, a formulacao detalhada do problema de

filtragem hibrida e apresentada em [30].

Consideracoes de projeto para o filtro Classico em sistemas com falha e filtro

Hıbrido

Os dois tipos de filtros apresentados fornecem sistemas lineares sujeitos a saltos markovianos.

Ambos, tem dois modos: um para o sistema nominal e outro para falha na comunicacao.

Baseado nos criterios mostrados nesta secao podemos analisar tanto o filtro classico como

o filtro Hıbrido. Uma questao importante e a dependencia da matriz dinamica do filtro ao

modo da cadeia de Markov. O filtro classico implementado em sistemas com perda do sinais

de medida fornece uma estrutura para a matriz dinamica do filtro Independente do Modo.

A independencia da matriz dinamica do filtro pode ver nas Equacoes 3.17 e 3.18, onde os

valores da diagonal da matriz dinamica do sistema equivalente, tem os mesmos valores para

os modos de sucesso e erro. Para o filtro Hıbrido pode-se observar que os valores das matrizes

da diagonal nao sao os mesmos para os modos do sucesso e erro. O filtro Hıbrido comuta

sua matriz dinamica entre Af e A, segundo sucesso ou falha da rede o qual corresponde a

uma estrutura Dependente do modo na selecao da matriz dinamica do erro de estimacao.

30

Estabilidade da dinamica do erro de estimacao

Primeiro consideraremos que filtro classico utilizado corresponde a um filtro de ordem com-

pleta, como mostrado na equacao (3.6). Esta estrutura de filtro sera utilizado tanto para

filtro classico implementado em sistemas com erro do sinais de medida quanto para o filtro

hıbrido. O calculo da estabilidade deve ser feito no sistemas equivalente, para filtro classico

em sistemas com perda utiliza-se as equacoes 3.17 e 3.18. Para o filtro Hıbrido serao as

equacoes 3.17 e 3.19, incluindo as probabilidades de salto entre modos. A estabilidade do

sistema ampliado depende da dinamica de cada modo, das probabilidades de transicao e da

estabilidade em malha aberta.

O segundo projeto de filtro corresponde ao filtro Luenberger ou observador com o qual

e possıvel isolar a dinamica do erro. A estrutura do filtro Luenberger e dada pelas equacoes

(3.5), nas quais sao utilizados os valores da planta mais dois ganhos. Para projetos classicos

em sistemas com perda e Hıbridos utilizando filtros de ordem completa, a dinamica do

erro estimacao e definida por um sistema dinamicos de ordem igual a 2n, dobro do ordem

da planta. Mas mediante a utilizacao de filtro observador pode-se isolar a dinamica do erro

estimacao, obtendo um sistema dinamico para o erro com a mesma ordem da planta original.

Entao e preciso analisar o filtros classico implementados em sistemas com perda e o filtro

Hibrido na estrutura Luenberger, se para ambos os casos e possıvel isolar a dinamica do erro

de estimacao. O erro de estimacao e dado por e(k) = z(k)−zf (k), substituindo nas equacoes

da planta (3.16) e filtro (3.5), para transmissao com sucesso 3.17 tem-se,

x(k+1)−xf (k+1) = Ax(k)+Jw(k)−Axf (k)+Gf ([Cyx(k)+Eyw(k)]−Cyxf (k)), (3.20)

z(k)− zf (k) = Czx(k) +Ezw(k)−Czxf (k)−Df ([Cyx(k) +Eyw(k)]−Cyxf (k)). (3.21)

Definindo xe(k) como o vetor de estados da dinamica do erro de estimacao mediante

x(k)− xf (k) e z(k)− zf (k) por e(k), na Equacao 3.20 determina os estados,

xe(k + 1) = (A−GfCy)xe(k) + (J −GfEy)w(k), (3.22)

e na Equacao 3.21 para erro de estimacao,

e(k) = (Cz −DfCy)xe(k) + (Ez −DfEy)w(k). (3.23)

As Equacoes 3.1.6 e 3.1.6 correspondem aos resultados classicos do filtros observador

31

de estado, os quais sao validos para o sistema nominal, sem falha, tanto o filtros classico

implementado em sistemas com perda e para filtro Hıbrido. Mas para o modo com falha

deve-se comprovar se e possıvel isolar xe(k) para ambos filtros. Para o filtro classico em seu

modo de falha na comunicacao a dinamica do erro e dada por 3.18 com o qual apresentamos

x(k + 1)− xf (k + 1) para o modo de falha,

x(k + 1)− xf (k + 1) = Ax(k) + Jw(k) − Axf (k) +Gf (−Cyxf (k)), (3.24)

note-se que [Cyx(k)+Eyw(k)] = 0 onde para o modo de falha da comunicacao as matrizes

que compoe o sinas de medida sao nulas. Separando em termos dos estados e sinais de

perturbacao tem-se,

x(k + 1)− xf (k + 1) = Ax(k)− (A−GfCy)xf (k)+ Jw(k). (3.25)

Na Equacao 3.25 nao e possıvel deixar em termos de xe, sem ter explicitamente os estados

da planta ou do filtro. A parcela GfCyxf (k) ao fazer xe = x(k)−xf (k) e mantida, portando

nao e possıvel isolar a dinamica do erro de estimacao para o filtro observador implementado

em sistemas com falha de comunicacao. Para teste de estabilidade e calculo de norma o

filtros classico Luenberger implementado em sistemas com perda de informacao so pode ser

feita da mesma maneira com que e feita para filtro do ordem completa, mediante o sistemas

aumentado utilizando as Equacoes 3.17 e 3.18.

Para o filtro Hıbrido implementado utilizando filtro Luenberger a mesma analise deve ser

feita. A dinamica do erro estimacao para o estado nominal da rede corresponde as Equacoes

3.1.6 e 3.1.6. Para o modo do erro na comunicacao, da mesmo maneira que para o filtro

classico o sinal de medida e anulado. Mas e trocada a matriz dinamica do filtro pela matriz

da planta, entao a dinamica do erro e dada por,

x(k + 1)− xf (k + 1) = Ax(k) + Jw(k) − Axf (k), (3.26)

z(k)− zf (k) = Czx(k) + Ezw(k) − Czxf (k). (3.27)

Substituindo xe pela diferenca dos estados e e(k) pela diferenca da saıda pode-se apre-

sentar a dinamica do erro de estimacao para o modo de falha no filtro Hıbrido no seguinte

formato,

xe(k + 1) = Axe(k) + Jw(k), (3.28)

32

e para erro de estimacao,

e(k) = Czxe(k) + Ezw(k). (3.29)

Note-se que para o filtro Hıbrido utilizando como estrutura o filtro Luenberger a dinamica

do erro de estimacao pode ser isolada para o modo de acerto e falha. Alem disso, comparando

as equacoes da dinamica do erro para comunicacao normal, a dinamica do erro para falha

pode-se obter anulando os ganhos das, Equacoes 3.1.6, e 3.1.6.

3.2 Redes Hop-by-Hop em sistemas com falhas do tipo

Bernoulli

Um processo de Bernoulli e um processo estocastico no qual a probabilidade de transitar

a um estado futuro nao depende do estado atual. Para nosso caso, corresponde a um caso

em que a probabilidade de sucesso futuro seja independente do estado atual do link de co-

municacao, os quais sao transmissao com sucesso (TXok) e transmissao com falha (TXer).

A topologia de rede utilizada corresponde a topologia de cadeia mostrada na Figura 3.1,

na qual a informacao e transmitida desde a fonte (Source) ate o destino (Sink). Para o

caso em que nao se tem roteadores intermediarios, corresponde a uma comunicacao Ponto

a Ponto. Sem perda de generalidade, pelo modelo, e possıvel formular varias topologias de

rede mediante a interconexao de redes menores.

Como mencionado anteriormente, o transporte de informacao em redes de computador

tem uma probabilidade de erro intrınseca ao canal de comunicacao utilizado. Transporte

de informacao sem algum tipo de mecanismo que minimize a probabilidade de erro corres-

ponde a uma comunicacao nao confiavel. Na literatura sao encontrados diferentes esquemas

de transporte para garantir uma menor perda de informacao. Os esquemas de transporte

comumente utilizados em redes sao o esquema End-to-End, popular pela sua utilizacao em

Ethernet, e o esquema Hop-by-Hop, popular em redes sem fio e utilizado neste trabalho.

Source Sink

. . .

1 2 NN - 1

Pacotes ACK Retransmissão

Figura 3.1: Topologia de rede Hop by Hop .

O modelo no qual e distribuıdo o controle do transporte dos dados ao longo do caminho

33

Source-Sink corresponde a um esquema Hop-by-Hop. O controle do transporte dos dados e

feito pelos sinais de acknowledgement (ACK), os quais sao transmitidos ao longo do caminho.

A Figura 3.1 ilustra o esquema de transporte Hop-by-Hop.

3.2.1 Modelo estocastico Hop-by-Hop

Para o presente trabalho, precisamos de um modelo estocastico do esquema de transporte

Hop-by-Hop, das metricas de probabilidade de sucesso, do valor esperado do numero global

de transmissoes e do valor esperado do numero global de recepcoes. A notacao para o

problema Hop-by-Hop utilizada corresponde a [33, 32], e e mostrada na Tabela 3.1.

Tabela 3.1: Notacao para a topologia Hop by Hop para o processo BernoulliSımbolo Descricao

N : numero de hops,n: numero de routers intermediarios,L: numero maximo de transmissoes por pacote,p1: probabilidade de acerto da mensagem,p2: probabilidade de acerto do ACK,PS: probabilidade de sucesso da transmissao Hop-by-Hop,PF : probabilidade de falha da transmissao Hop-by-Hop,R: numero de recepcoes,G: soma de transmissoes e recepcoes G = M +R ,M : numero global de transmissoes,

PLR: porcentagem de perda do pacote (packet loss rate) (PF ),

O modelo estocastico utilizado para o problema foi proposto em [43], o qual permite

obter de forma fechada os valores esperados da probabilidade de sucesso da rede PS, valor

esperado do numero de transmissoes E(M) para comunicacao Full-reliable, isso e sem perda

(PS = 1), e comunicacao Semi-reliable, para uma rede Hop-by-Hop .

Teorema 9. Para um sistema de comunicacao no esquema de transporte Hop-by-Hop, a

probabilidade de sucesso do envio de um pacote e dada por

PS = [1− (1− p1)L]N (3.30)

e a esperanca matematica do numero global de transmissoes da rede em funcao de L, N , p1

e p2 e dada por

E(M) =

[1−(1−p1p2)L]p1p2(1+p1)−1

[1−[1−(1−p1)L]N

(1−p1)L ,]

se L <∞,

N(1+p1)p1p2

, se L ilimitado.

(3.31)

34

Uma comunicacao Semi-reliable, com perda, e devida a limitacao do numero maximo

de transmissoes por pacote (L): ao se limitar este parametro, tem-se que probabilidade

de acerto da rede nao vai chegar ao 100%. Para o caso que nao se tenha limitacao do

numero de transmissoes por pacote (L), a rede fara as retransmissoes necessarias para que

os dados cheguem ao destino garantindo uma comunicacao Full-reliable, sem perda (PS = 1).

Baseado no Teorema 9 e possıvel obter o valor esperado do numero de recepcoes para

uma rede Hop-by-Hop mostrado no Teorema 10.

Teorema 10. Para um sistema de comunicacao no esquema de transporte Hop-by-Hop, a

esperanca matematica do numero global de recepcoes da rede em funcao de L, N , p1 e p2 e

dada por

E(R) =

[1−(1−p1p2)L]p2(1+p1)−1

[1−[1−(1−p1)L]N

(1−p1)L ,]

se L <∞,

N(1+p1)p2

, se L ilimitado.

(3.32)

A prova do teorema 9 pode ser encontrada em [43], e e desenvolvida a seguir. Primeira-

mente, definimos a probabilidade de sucesso da rede que implementa o esquema de transporte

Hop-by-Hop como PS a partir da equacao (3.30) que e um resultado classico. Tem-se que

para um sistema de transmissoes ilimitadas, conhece-se que o pacote e enviado com proba-

bilidade um, quando L → ∞. Em particular, para um sistema ilimitado composto por um

unico salto (hop) (N = 1), definimos M1 e M2 dado M1, que quais correspondem a um pro-

cesso geometrico com probabilidade de sucesso p1p2 e um processo binomial com M1 ensaios

e probabilidade de sucesso p1, respetivamente, i.e., M1 ∼ Geo(p1p2) e M2|M1 ∼ Bin(M1, p1).

Logo, pode-se calcular o valor esperado do numero de transmissoes globais composto por,

E [M ] = E [M1] + E [M2],

= E [M1] + E [E [M2|M1]],

= (1 + p1)E [M1],

=1 + p1p1p2

, (3.33)

onde usamos a propriedade da esperanca condicional E [X] = E [E [X|Y ]]. Alem disso, para

o sistema unitario L-limitado, M1 segue uma distribuicao com funcao de distribuicao de

probabilidade (pdf) dada por,

P (M1 = m) = p1p2(1− p1p2)m−1 + (1− p1p2)L ‖ m = L, (3.34)

para todo m ∈ 1, ..., L com ‖ · representando a funcao indicadora. Dado que M2 |M−1

tambem segue um processo Binomial, tem-se que o numero esperado de transmissoes E [M ]

35

corresponde a

E [M ] = (1− p1)E [M1], (3.35)

mas dado que M1 corresponde a uma distribuicao geometrica pode-se apresentar da seguinte

forma,

E [M ] = (1− p1)1− (1− p1p2)L

p1p2. (3.36)

Note-se que quando L→∞, a equacao (3.36) tende a equacao (3.33).

Para uma rede Multi-Hop que implemente o esquema de transporte Hop-by-Hop, temos

que o numero global de transmissoes pode ser calculado como a soma de todas as transmissoes

dos N nos que compoem a rede. Entao, o numero global das transmissoes e dado por

M = M (1) + M (2) + . . . + M (N), onde M (i) representa o numero total de transmissoes

enviadas pelo i-esimo no. Seja Fi o evento “o i-esimo no envia o pacote com sucesso”. Para

i = 2, ..., N , e facilitado o calculo de E [M (i)] se o condicionarmos ao evento Fi−1 conforme,

E [M (i)] = E [M (i)|Fi−1]P (Fi−1) + E [M (i)|F ci−1]P (F c

i−1), (3.37)

esta expressao se reduz a E [M (i)] = E [M (1)]P (Fi−1) dado que E [M (i)|F ci−1] = 0, pois o

numero esperado de transmissoes que envia o i-esimo no, dado que o no anterior nao enviou

nenhuma mensagem (pacote) para ele e zero. Da parcela restante E [T (i)|Fi−1] = E [T (1)] para

todo i = 2, . . . , N . Assim,

E [M ] = E [M (1)] +N∑i=2

E [M (i)],

= E [M (1)] +N∑i=2

E [M (1)]P (Fi−1),

= E [M (1)]N−1∑i=0

P (Fi), (3.38)

onde E [M (1)] coincide com o valor esperado do numero de transmissoes para um sistema

unitario definido nas equacoes (3.33) e (3.36) para um sistema com um so Hop. Dado que

o evento Fi ocorre com probabilidade P (Fi) = [1 − (1 − p1)L]i para L para L limitado e

P (Fi) = 1 ilimitado, finalmente pode-se formular o calculo do valor esperado do numero

global de transmissoes para rede Hop-by-Hop segundo,

E(M) =

[1−(1−p1p2)L]p1p2(1+p1)−1

[1−[1−(1−p1)L]N

(1−p1)L ,]

se L <∞,

N(1+p1)p1p2

, se L ilimitado.

(3.39)

36

Isto corresponde ao apresentado no Teorema 9.

Do mesmo modo, para o Teorema 10 procedemos na demonstracao baseado na prova do

Teorema 9. Para uma rede de um Hop sao feitas M1 transmissoes de pacotes. O numero de

recepcoes, envios com sucesso de pacotes, corresponde a um subconjunto de M1 denotado por

R1. No qual segue um processo Binomial com uma probabilidade de sucesso p1, i.e., R1|T1 ∼Bin(T1, p1). Tambem deve-se de definir o numero acknowledgment recebido corretamente

definido como R2 que e subconjunto de R1 seguindo de igual forma um processo Binomial

mas com probabilidade de sucesso p2 na seguinte forma R2|R1 ∼ Bin(R1, p2). Utilizando o

condicionamento dos valores esperados temos,

E [R] = E [R1] + E [R2],

= E [E [R1|M1]] + E [E [R2|R1]],

= p1(1 + p2)E [M1]. (3.40)

Dado que M1 ∼ Geo(p1p2) para L ilimitado e M1 segue uma pdf dada por,

P (M1 = t) =

p1p2 (1− p1p2)t−1 se 1 ≤ t < L,

(1− p1p2)L se t = L,

(3.41)

pode-se apresentar o valor esperado das recepcoes para um so Hop o valor de E [R] e dado

por,

E [R] =

1+p2p2

[1− (1− p1p2)L] se L <∞,

1+p2p2

se L =∞.

(3.42)

Note que L→∞, E [R|L <∞] tende a E [R|L =∞].

Seguindo o mesmo esquema que foi usado para o modelo de transmissao, tem-se que o

numero total de recepcoes para uma rede Multi-Hop pode ser calculado como a soma das

recepcoes de cada um dos nos da rede. Analogicamente a expressao para M , pode-se definir

para as recepcoes como R = R(1) +R(2) + . . .+R(N) por,

E [R] = E [R(1)]N−1∑i=0

P (Fi), (3.43)

O valor de E [R(1)] coincide com o valor esperado de recepcoes para um so. Finalmente

tem-se que o valor do numero global de recepcoes para uma rede que implementa o esquema

37

de transporte Hop-by-Hop e dada por,

E [R] =

[1−(1−p1p2)L]p2(1+p2)−1

[1−[1−(1−p1)L]N

(1−p1)L

]if L <∞,

N(1+p2)p2

if L =∞.

(3.44)

Este resultado corresponde ao Teorema 10 com o qual pode-se calcular os valores de E [R] de

forma fechada.

Para validacao dos resultados dos Teoremas 9 e 10, tem-se publicada um Package, fer-

ramenta informatica na plataforma R, chamada Transmissions and Receptions in a Hop by

Hop Network, c,f. [26]1. Com ela, e possıvel obter os resultados dos Teoremas 9 e 10, alem

de fazer simulacoes de Monte Carlo com a rede para verificar os resultados teoricos, entre

outras funcoes.

3.2.2 Conceitos basicos do consumo de energia em unidades WSN

Mostramos os conceitos fundamentais do consumo de energia para unidades transceptores de

radiofrequencia, enfatizando as unidades utilizadas nas redes de sensores sem fio. Uma rede

WSN e composta por nos, cada um deles comumente possuindo uma unidade transceptora, a

qual comuta entre os seus dois modos de operacao: transmissao TX e recepcao RX. Ambos

os modos de operacao tem custos associados, alem de um terceiro que corresponde a um

custo associado a comutacao entre os modos, que sao definidos como: ESW , energia con-

sumida pela comutacao dos modos; ETX(LpTX , Pout) energia consumida pela transmissao,

dependente da largura do pacote LpTX e da potencia de transmissao do dispositivo Pout

e ERX(LpRX) energia consumida pela recepcao, funcao da largura do pacote recebido. A

Figura 3.2, retirada de [39], esquematiza os custos energeticos das unidades transceptoras.

Os custos, valores de consumo de energia a serem utilizados nos presente trabalho, corres-

pondem aos modulos IEEE 802.15.4 XBee e XBee Pro, obtidos em [18], experimentalmente,

segundo o metodo indicado em [47]. Os resultados dos experimentos para as unidades IEEE

802.15.4 XBee e XBee Pro sao mostrados na Figura 3.3.

A Figura 3.3 mostra o consumo de corrente em mA para os ciclos de transmissao e

recepcao de ambos os tipos de unidades, sendo as seguintes: para o ciclos de transmissao,

sao 47[mA] para XBee e 57[mA] para XBee Pro, ambas unidades com Pout correspondente

a 1[mW]. Para o ciclos de recepcao, tem-se 50[mA] para XBee e 52[mA] para XBee Pro. Os

1Ferramenta informatica de codigo livre, disponıvel em ”https://cran.r-project.org/web/packages/hopbyhop/index.html”, sob licenca GPL-2—GPL-3.

38

TXuni t

(ETX)

RXuni t

(ERX)

RX/TX

switch (ESW)

Selected

RX/TXmo de

Data packet

Data packet TXuni t

(ETX)

RXuni t

(ERX)

RX/TX

switch (ESW)

Selected

RX/TXmo de

Data packet

Data packet

Figura 3.2: Custos energeticos das unidades transceptores, gentileza de [39].

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Curr

ent [m

A]

Time [mS]

Xbee PROXBee

Reception period Reception period

Transmission period

Figura 3.3: Valores de consumo de corrente para as unidades IEEE 802.15.4 XBee e XBeePro, gentileza de [18].

custos associados a comutacao dos modos da unidade transceptora foram desprezados. Os

custos em watt sao dados pelos valores anteriores multiplicados pela tensao de alimentacao

do sistema, que comumente corresponde a 3.3[V]. Do mesmo modo, e possıvel obter os custos

associados em unidade de joule, mediante relacao simples, ao obter os tempos de transmissao

e recepcoes, os quais sao funcao da largura dos pacotes e modulacao utilizada pela unidade

transceptora.

39

Capıtulo 4

Problema de filtragem atraves da rede

O estudo, analise e projeto de sistemas de controle interligados por canais imperfeitos, como

as redes digitais com ou sem fio, e objeto da area chamada Controle em Redes de Computa-

dor. Em uma rede digital, a rota para chegar ate um terminal (no) geralmente nao e unica,

ela pode ser composta por multiplos saltos e os problemas provocados pelas imperfeicoes dos

canais sao amplificados. Dependendo da dinamica do sistema e/ou do tipo da rede utilizada,

ate a estabilidade pode ser comprometida. Mediante a utilizacao de redes de alta qualidade

de servico, como a Ethernet industrial, e possıvel desprezar alguns desses problemas, mas,

para as redes de sensores sem fio (WSN) isso e pouco factıvel para a maioria das plantas. As

WSN sao redes especializadas no transporte de sinais de medidas para diferentes aplicacoes,

entre elas os sistemas de controle nos quais o canal entre controlador e planta pode ser

considerado ideal mas entre planta e controlador as medidas sao transmitidas com perda de

informacao e atraso, conforme esquematizado na Figura 4.1.

(a) (b)

Figura 4.1: A Figura 4.1a adaptada de [34], mostra um laco de controle simples interconec-tado por redes de dados. A Figura 4.1b, adaptada de [53], corresponde ao esquema RSLA,remote sensor – local atuator.

A Figura 4.1a e uma representacao generica de um sistema em malha fechada em que

os sinais de controle entre planta e controlador sao transmitidos por uma rede de dados. A

Figura 4.1b corresponde a topologia segundo o esquema da Figura 4.1a, que e o esquema

de controle Remote sensor - Local actuator (RSLA) [53]. Uma possıvel solucao para o

40

problema RSLA pode ser feita mediante um filtro que reconstrua os estados a partir dos

sinais transmitidos pela rede, com perda e atraso. Neste trabalho, concentra-se no projeto

deste filtro.

4.1 Sistemas de controle em redes Multi-Hop

Uma classificacao para redes onde o transporte de dados e feito mediante saltos entre nos

intermediarios corresponde as redes Multi-Hop. Uma rede Multi-Hop pode ser implementada

a partir tecnologias com fio e sem fio, ou pela combinacao delas. Em [54], os autores for-

malizam o esquema de controle interconectado por redes Multi-Hop. O sistema de controle

e esquematizado em uma arquitetura cliente-servidor, onde o cliente e o controlador (algo-

ritmo) e o servidor e a planta (sistema dinamico). No laco de controle, y(k) corresponde

as medidas disponıveis no sistema e u(k) corresponde aos sinais de controle. A Figura 4.2

mostra uma adaptacao do modelo utilizado em [42] para o problema do sistema de controle

embarcado em uma rede de comunicacao Multi-Hop, agregando terminologia utilizada nos

problemas de transmissao de imagens, sendo para o nosso caso Source a planta e Sink o

controle. A Figura 4.2 mostra uma topologia de cadeia, onde os dados sao transportados

pelos roteadores intermediarios.

Figura 4.2: Arquitetura de controle cliente-servidor baseada em redes Multi-Hop.

Os sistemas dinamicos sao geralmente de tempo contınuo, mas as redes digitais trabalham

em eventos discretos. O sistema de controle interconectado por uma rede digital precisa:

discretizar, empacotar e transportar os dados. Um problema recorrente tratado na literatura

e o de limitacao de banda [34, 53]. A limitacao de banda, para nossos casos de estudo,

pode fazer com que os dados precisem de mais de um pacote para serem transmitidos:

esta limitacao pode trazer limitacoes no tempo de amostragem, pois os dados levarao mais

tempo para chegar ao destino. Isso tambem acarreta dificuldades adicionais, aumentando

o tempo de espera e a probabilidade de erro. Para nossos problemas, e feita a suposicao

41

de que os dados sao transmitidos em um unico pacote independente, suposicao valida, pois

os sistemas de comunicacao atuais tem Unidades Maximas de Transferencia (MTU), que

variam de entre 200 bytes em IEEE 802.15.4 ate 576 bytes em IEEE 802.11b, e uma medida

do processo geralmente e de tamanho pequeno.

4.2 Projeto de filtro em redes com perda de pacotes e

atraso

Para o problema de filtragem, e possıvel modelar a perda de informacao atraves da modi-

ficacao dos elementos das matrizes que definem os sinais de medidas y(k). O comporta-

mento da perda de pacote pode ser modelado usando uma cadeia de Markov que representa

a dinamica das perdas. Para isso, sao utilizados dois clusters, um representando o exito

na transmissao do pacote e o outro a falha no recebimento. Dado o sistema (3.1), o exito

ou falha de recebimento dos pacotes sao ajustados modificando as matrizes Cy e Ey em

funcao do modelo de erro na rede. Como indicado anteriormente, a rede adiciona atraso na

transmissao dos dados. O atraso e uma variavel aleatoria dependente das caracterısticas da

rede que pode ser modelada como um processo estocastico no qual e possıvel obter taxas de

acerto por intervalo de tempo.

O atraso tem impacto no rendimento e mesmo na estabilidade dos sistemas. Para o pro-

blema do filtro tratado neste trabalho, fornecemos uma estrategia que permite transformar

os atrasos variaveis que a rede pode provocar em atrasos fixos. Para transformar os atrasos

variaveis em fixos e implantado um Buffer que armazena todos os dados por um tempo fixo,

entregando os pacotes de medidas sequencialmente, mas com atraso. A selecao do tempo

de espera depende da dinamica da planta: utiliza-se uma janela B com perıodo multiplo do

tempo de amostragem do sistema da seguinte maneira. O sistema possui uma taxa de amos-

tragem TS[s] e e projetada uma janela da espera maxima para os dados de largura BTS[s] ;

se os dados chegarem neste tempo eles sao armazenados em um Buffer. Consideraremos pri-

meiro que, pelo conhecimento da funcao de densidade de probabilidade do atraso, pode-se

projetar uma janela de espera suficientemente grande para garantir a chegada do todos os

dados. Ainda que seja possıvel projetar um Buffer suficientemente grande para desprezar

as perdas, consideraremos tambem essas perdas. A Figura 4.3 conceitualiza a estrategia de

utilizar a janela de espera de largura B para os sinais de medida.

Na Figura 4.3, pode-se ver que os sinais de medida z(k) a ser estimados correspondem

ao sinal do sistema sem atraso. Mas os sinais de medida y(k) sao modificados pelo Buffer,

janela de espera que fornece a saıda do sistema. O sistemas com a janela de espera tem

como saıda yd(k), que corresponde aos sinais de medida atrasados yd(k) = y(k − B). A

42

Figura 4.3: Modelo de atraso do sinais de medida segundo Buffer de espera.

estrategia de atraso segundo a janela de espera com largura B pode ser modelada no espaco

de estados para o projeto do filtro utilizando um modelo de estado aumentado da planta. O

sistema aumentado no qual o objetivo do projeto de filtro e reconstruir o vetor estimado z(k)

segundo o vetor de estado aumentado, composto pelos estados mais os sinais das medidas

passadas, corresponde as equacoes,

xd(k + 1) = Adxd(k) + Jdw(k),

yd(k) = Cdyxd(k),

z(k) = Cdzxd(k) + Edzw(k).

(4.1)

Para os sinais de medida, tem-se que para o instante k so se disponibilizam as medidas

passadas, segundo a largura da janela de espera dadas por y(k−B) que sao sinais de medida

armazenados no buffer. Na estrutura do sistema (4.1), que tem um vetor de estado aumen-

tado com atraso dos sinais de medida. O aumentado com os sinais de medidas atrasados

multiplo da frequencia de amostragem e segundo o sistemas dado pelas Equacao (3.1) com

i = 1 (caso determinıstico). Note-se que nao existe Edy onde ele faz parte da matriz Jd e

43

que Edz e iguais a Ez pois e o mesmo sinais no qual tem-se que estimar.

x(k + 1)

y(k)

y(k − 1)...

y(k −B + 1)

=

A 0 0 0 0

Cy 0 0 0 0

0 I 0 0 0

0 0. . . 0 0

0 0 0 I 0

x(k)

y(k − 1)

y(k − 2)...

y(k −B)

+

J

Ey

0...

0

w(k),

yd(k) =[0 0 0 · · · I

]

x(k)

y(k − 1)

y(k − 2)...

y(k −B)

,

z(k) =[Cz 0 0 · · · 0

]

x(k)

y(k − 1)

y(k − 2)...

y(k −B)

+ Ezw(k).

(4.2)

Note que o vetor de estado aumentado xd possui os estados do sistema original, adici-

onando novos estados que correspondem aos sinais de medias atrasados ate y(k − B). Ao

fazer isso, a matriz que corresponde ao ruıdo de medida Ey e incorporada a nova matriz

Jd. Outra modificacao importante e que a matriz Cy agora e parte da matriz dinamica do

sistema aumentado. A matriz dinamica do sistema aumentado tem ordem de nqB, segundo

as dimensoes definidas na Secao 3.1.1. O sistema aumentado (4.2) contem os autovalores

do sistema original mais autovalores nulos para todos os estados aumentados: a prova disso

pode-se fazer pela inspecao da matriz Ad do sistema (4.2), que e uma matriz bloco triangular

inferior em que os valores da diagonal para os estados correspondentes ao sinais de medida

atrasados sao nulos.

Exemplo de atraso em redes Multi-Hop

Na finalidade do presente trabalho corresponde ao estudo da perda do sinais de medida por

erro na comunicacao, deixando para trabalhos futuros os analises de perdas por causa do

atraso, utilizacao da janela de espera. Mais como exemplo do comportamento do atraso,

de importancia para projetar o valor de B baseado no Apendice A, sao mostrados dado

um modelo teorico de atraso em redes Multi-Hop seu comportamento. Para ilustrar como

projetar o tamanho da janela de espera,Buffer, para problemas filtragem em redes Multi-

Hop, e mostrado um exemplo com o Histograma do atraso provocado pela rede. Utiliza-se

na rede teorica mostrada em [43] com N = 10 e probabilidades de sucesso e ACK iguais a

0.5.

44

10 20 30 40 500

2000

4000

6000

8000

10000

Atraso

Oco

rrên

cia

(a) L ilimitado

10 20 30 40 500

2

4

6

8

10x 10

4

Atraso

Oco

rrên

cia

(b) L = 5

Figura 4.4: Histograma do atraso para comunicacao full-reliable e semi-reliable.

Para esta rede sao apresentados na Figura 4.4 os Histogramas da densidade do atraso

em funcao do tempo de espera para comunicacao full-reliable e semi-reliable. A funcao de

densidade de probabilidade do atraso para o sistemas sem perda corresponde a uma pdf

Binomial Negativa pois o atraso por no tem distribuicao Geometrica. Quando L e limitada,

o atraso por no se torna uma distribuicao Geometrica truncada, para mais informacoes de

este modelo estadıstico, consulte o Apendice A. Os resultados foram obtidos por simulacao

de Monte Carlo de 106 iteracoes, utilizando um tempo de espera entre pacotes de 1s. A

Figura 4.4a mostra o histograma do atraso para uma rede com PS = 1. A Figura 4.4b

mostra o histograma do atraso para uma rede com PS = 0.54, na qual o atraso maximo

possıvel corresponde a LN unidades de tempo. Normalizando o Histograma e integrando

em funcao do tempo pode-se obter a taxa de sucesso dada uma janela de espera B. Note

que uma janela de espera que possa conter toda a aria da Figura 4.4b nao garante uma

comunicacao sem perda pois existe ainda a limitacao de L.

4.2.1 Modelo da falha da rede

A implementacao do filtro usando MJLS permite modelar e projetar sistemas com diferentes

modos de operacao, dependendo do conhecimento do argumento da cadeia Markov (Modo

da cadeia). As probabilidades de mudancas sao estabelecidas pela matriz P. A perda de

informacoes pode ser considerada como uma variavel aleatoria com uma dada funcao de den-

sidade de probabilidade, e essas variaveis podem ser modeladas usando cadeias de Markov.

Para problemas de comunicacao ponto a ponto na literatura, podem-se encontrar diversos

modelos, como por exemplo, Gilbert-Eliot, Fritchman e McCullough para modelar a matriz

P em MJLS [28, 22, 12]. Em seguida, sao mostradas as abordagens utilizadas em MJLS para

lidar com a perda de pacote das medidas utilizando como exemplo o sistema sem atraso

dado por (3.1), mas, para sistemas com atraso conforme a Figura 4.3, podem-se utilizar as

mesmas abordagens fazendo as trocas das matrizes Cy e Ey por Cdy do sistema (4.2), que

nao possui matriz do ruıdo do sinais de medida.

Para o problema do filtro, existem duas abordagens distintas na literatura para realizar

as modificacoes do sinais de medida y(k) quando ocorre a perda do pacote que contem

45

o sinais de medida. Estas modificacoes sao feitas nas matrizes que representam os sinais

de medida y(k). Para ambas as abordagens, quando nao ha perda de pacote, os sinais

de medidas correspondem aos da planta determinıstica; quando ha perda, pode-se ter: a

primeira abordagem, chamada de Zero, considera um valor zero para todos os elementos de

Cyi e Eyi nos modos i pertencentes ao conjunto ` que corresponde a falha na rede,

y(k)Zero =

y(k) = Cyx(k) + Eyw(k) Caso Deterministico, ` ∈ sucesso,

y(k) = ∅, ` ∈ falha.

(4.3)

A segunda abordagem, chamada Hold consiste em utilizar o ultimo valor recebido correta-

mente quando houver alguma falha de transmissao da rede. Nesta abordagem implementa-se

um Buffer para ter registado o ultimo valor recebido corretamente. Para modelar no espaco

de estados um Buffer que guarde os sinais y(k − 1), e feito um sistema aumentado no qual

o vertor de estado aumentado comtem os estados da planta mais o ultimo valor recebido

corretamente dos sinais de medida. Entao, a selecao da utilizacao de y(k) atual ou da ultima

versao que contem o sinal de medida correto dependera da falha ou nao da rede; para mais

detalhes c.f [24]. A abordagem Hold e esquematizada segundo,

y(k)hold =

y(k) = Cyx(k) + Eyw(k) Caso Deterministico, ` ∈ sucesso,

y(k) = y(k − 1), ` ∈ falha.

(4.4)

Em [52] discute-se qual das duas abordagens, Zero ou Hold, teria melhor desempenho de

acordo com um criterio linear quadratico para problemas de controle. Para outros criterios

de controle ainda e um problema em aberto definir qual das duas abordagens e melhor.

Por enquanto, para filtragem H∞ e H2, foi mostrado em [24] que ambas as abordagens sao

equivalentes. A estrategia Zero e mais simples de implementar, pois nao precisa de um Buffer

como a estrategia Hold. Para o presente trabalho, os filtros via MJLS sao implementados

utilizando a estrategia Zero.

4.2.2 Estabilidade do erro de estimacao

Um filtro dinamico tem por objetivo estimar estados do sistema que nao sao possıveis medir

diretamente. Para isso, e fundamental assegurar estabilidade do erro de estimacao, que e a

diferenca entre os sinais real e estimado. Por conseguinte, a dinamica do erro tem que ser

estavel pelo segundo momento. Para o problema de filtragem utilizando MJLS com cadeias

de Markov tipo Bernoulli, a estabilidade pelo segundo momento do erro depende de dois

46

parametros: o primeiro ao raio espectral (rσ) definido como,

rσ = maxλ∈σ|λ| (4.5)

onde σ(A) e o especto da matriz A. Ou seja, o raio espectral corresponde ao maior valor

absoluto dos autovalores de A. O segundo parametro e taxa de pacotes perdidos para o caso

Bernoulli, que corresponde ao Packet Loss Rate (PLR), do ingles taxa de perda de pacotes.

Em [24], foi mostrado que a desigualdade PLR < r−2σ define o intervalo de probabilidade de

perda de pacotes admissıvel para o sistema, aquele em que a dinamica do erro de estimacao

e garantidamente estavel pelo segundo momento.

Estabilidade Do Erro em Hop-by-Hop

Para nosso caso em estudo, onde os dados sao transportados por uma rede Multi-Hop que

implementa o esquema do transporte Hop-by-Hop, o PLR = 1 − PS e uma funcao de L,

N e p1, como e possıvel verificar pela equacao (3.30) do Teorema 9. Para uma rede com

os parametros indicados constantes, exceto para L, e possıvel definir o numero mınimo

permitido de retransmissoes por pacote, denotado por LF , tal que a dinamica do erro de

estimacao seja garantidamente estavel pelo segundo momento,

LF = minL : 1− r−2σ < (1− (p1)L)N . (4.6)

A restricao (4.6) e valida somente para uma planta na forma da equacao (3.1), na qual apenas

os sinais de medida sao dependentes de saltos markovianos do tipo Bernoulli. Ademais,

para que seja valida a restricao as modificacoes feitas para os eventos de perda de pacote,

tem que ser utilizada uma das abordagens, Zero (4.3) ou Hold (4.4). Para sistema com

atraso, segundo o sistema aumentado (4.2), se as perdas sao caracterizadas por um processo

Bernoulli e seu modelagem e feita segundo as abordagens Zero ou Hold, a restricao (4.6)

continua valida.

E importante notar que sistemas segundo a equacao (3.1), onde so as matrizes Cyi de-

pendem de uma cadeia de Markov, com matriz dinamica Schur1, isto e, uma planta deter-

minıstica assintoticamente estavel, a restricao (4.6) e sempre satisfeita. A prova disso se

da pela analise da equacao original PLR < r−2σ obtida de [24]. Como PLR e um valor que

varia no intervalo fechado [0, 1], a restricao tem sentido se r−2σ < 1 que ocorre quando o

raio espectral e maior do que um. Por outro lado a restricao e sempre satisfeita se rσ tem

valor menor que um, segue a relacao r−2σ > 1 ≥ PLR, entao para o caso extremo PLR = 1,

falha de todos os pacotes, a restricao (4.6) e satisfeita. Para obter criterios de LF para siste-

mas estaveis, sao propostas analises adicionais que procuram limitantes para a degradacao

da norma em funcao do erro quadratico e do desvio padrao, abordagem desenvolvida nos

1Matriz quadrada em que o modulo de todos os autovalores e menor que um.

47

capıtulos posteriores.

4.3 Medidas de desempenho

Se e possıvel utilizar uma rede sem perda de pacote, por que utilizar uma que tenha?

A resposta para essa questao e que garantir uma comunicacao full-reliable pode ser uma

tarefa muito custosa e, para muitos casos, limitando as aplicacoes a utilizacao de redes de

alta qualidade de servico. Limitando o numero maximo de transmissoes por pacote L no

esquema Hop-by-Hop, e possıvel obter economias nas interacoes da rede, metodo utilizado

em problemas de eficiencia energetica em transmissao de imagens em WSN [15, 7]. Para o

problema de filtragem que minimiza a norma H∞ do erro de estimacao, em que as medidas

sao transportadas em uma rede semi-reliable que possibilita a selecao do valor maximo de

transmissoes por pacote L, e preciso quantificar a degradacao do desempenho do sistema

dinamico medido em norma H∞ e as melhorias na utilizacao dos recursos da rede, pela

utilizacao intencional de comunicacao semi-reliable.

A proposta do Trade-Off em sistemas dinamicos e um intercambio entre o valor esperado

de transmissoes global e a norma H∞ do erro de estimacao para os projetos de filtros com

medidas transmitidas atraves da rede. Sao necessarias medidas para avaliar os impactos

na norma e nas transmissoes a partir das variacoes de L. As medidas de desempenho sao

baseadas em razoes entre os valores limitando L e os valores de um projeto de controle

implementado em comunicacao full-reliable. As medidas utilizadas para determinar a de-

gradacao da norma para L foram propostas em [43], a relacao da degradacao da norma com

o erro quadratico medio foi baseada no artigo [45], e por ultimo, o impacto em economia

energetica para a rede, conforme [46]. As medidas de desempenho correspondem a: de-

gradacao da norma H∞, degradacao da norma via simulacao, minimizacao do numero global

de transmissoes e as medidas para o Trade-Off.

4.3.1 Degradacao da norma H∞

Um dos criterios de rendimento comumente utilizado na literatura de controle moderno e a

norma H∞ dos sistemas dinamicos. Para o problema do filtro, ela corresponde a influencia

da norma da perturbacao na norma do erro estimado segundo a equacao (3.3). Seu valor

depende da dinamica da planta e das probabilidades de perda de pacote, tendo o valor

mınimo em comunicacao full-reliable, nos projetos de filtros classicos sem perda. Para ter

uma estimativa da degradacao de norma H∞ do filtro quando se tem perda de informacao

devido a limitacao de L e definido ΥFB, dado por,

ΥFB =[H∞|PLR 6= 0]

[H∞|PLR = 0](4.7)

48

Para o mesmo sistema dinamico, o valor da norma para um dado valor de PLR pode ter

valores distintos dependendo da estrutura do filtro em funcao do argumento da cadeia de

Markov. O tipo de filtro utilizado e denotado pela letra F , tendo as seguintes alternativas:

dependente do modo D, independente do modo I ou cluster C. Na Equacao (4.7), a medida

ΥFB tambem inclui o subındice B, atraso nos sinais de medida, dado que pode-se incluir

atraso segundo a estrategia de janela de espera da equacao (4.2). Para o calculo da norma

tanto no sistema sem e com perda e utilizado o mesmo valor de B. O valor mınimo para ΥFB

corresponde a um, obtido quando utiliza-se comunicacao full-reliable, dado que numerador

e denominador da equacao (4.7) sao iguais. A medida ΥFB aumenta ao diminuir a taxa de

sucesso da rede pela limitacao de L pois PLR 6= 0 ∀L <∞.

4.3.2 Calculo da degradacao da norma via simulacao

A norma H∞ e o ganho L2 correspondente ao pior ruıdo pertencente a L2 para o sistema.

Para o caso markoviano, este ruıdo e uma perturbacao determinada em tempo real [50], que

depende do argumento da cadeia de Markov no instante atual θk = i, suposicao forte, pois,

na pratica, conhecer i pode ser uma tarefa complexa ou impossıvel. Pela baixa probabilidade

de que o ruıdo de pior caso seja uma perturbacao do sistema, e comumente utilizado uma

sinal w conhecido para o sistema com e sem perda.

Portanto, o valor de norma H∞ corresponde a um limitante superior, pois qualquer w

diferente do pior caso tem um ganho L2 igual ou menor que a norma H∞. Para quantificar

a degradacao do ganho L2 para um w particular e definida, analogamente a ΥFB, a medida

ϕFB que e a degradacao do ganho L2 para um w particular testado no sistema com e sem

perda, que pode ser calculada por,

ϕFB =||erro | [PLR 6= 0]||22||erro | [PLR = 0]||22

(4.8)

O valores de ||erro||22 podem ser obtidos via simulacao de Monte Carlo do erro de estimacao.

A Equacao (4.8) e obtida baseada nas equacoes (4.7) e (3.3). Para um ruıdo w com norma

||w||22 conhecida e igual tanto para o filtro com perdas de pacotes quanto para o filtro sem

perdas, ele nao aparece na razao que define ϕFB.

4.3.3 Decremento do valor esperado das interacoes globais da rede

A metrica que complementa ΥFB, degradacao da norma, corresponde a Θs, metrica que

permite quantificar as melhorias para a rede. As melhorias para a rede correspondem a

diminuir o valor esperado do numero global de: transmissoes (M), recepcoes (R) e interacoes

da rede (G) que e a soma das transmissoes e recepcoes, tudo isso comparado com uma

49

comunicacao full reliable. Para nosso caso em estudo, a taxa de perda de informacao PLR e

consequencia da limitacao de L. Para uma melhor visualizacao e estabelecida a medida Θs

mediante a seguinte equacao,

Θs =E [s|L <∞]

E [s|L ilimitado](4.9)

onde s pode ser M , R ou G. Note que, ∀L < ∞, os valores de Θs sao maiores que um.

Esta metrica normalizada e razao entre um dos valores de interesse s em uma comunicacao

semi-reliable e a para os valores em que se tem comunicacao full-reliable, ou seja sem perda.

4.3.4 Metricas para o Trade-Off

A proposta do trabalho consiste em fazer um compromisso entre o desempenho do sistema

e as interacoes da rede. Para interpretar os resultados de melhora e piora de um em funcao

do outro sao definidas as seguintes medidas.

Variacoes percentuais de ΥFB e Θs

As metricas expostas anteriormente sao grandezas normalizadas que, para uma implementacao

do filtro H∞ classico, tem ambas o valor de um, isso corresponde a um filtro implementado

em comunicacao full reliable. As variacoes percentuais das metricas sao definidas como,

• ΩHFB = ΥFB − 1 e a degradacao percentual da norma H∞, subındice H, para um

atraso B e para uma implementacao particular de filtro markoviano F .

• Ωs = 1−Θs e a reducao percentual media de s ao aplicar a limitacao L, onde s pode

ser M , R ou G.

A medida ΩHFB mostra diretamente a perda de rendimento do sistema dinamico enquanto

a Ωs mostra a melhora para a rede em consumo de recursos.

Trade Off do sistema

Em um sistema classico de controle implementado em redes de computador sem perda de

informacao, as grandezas ΩHFB e Ωs sao nulas, dado que ΥFB e Θs tem o mesmo valor

unitario. Mas, para o modelo de rede estudado no presente trabalho, quando L e limitado,

estas metricas variam. E definida a metrica Φ que faz uma comparacao das variacoes:

• Φ = Ωs − ΩHFB e a diferenca entre as porcentagens de variacao.

Note-se que, pela analise de Φ, pode-se notar o equilıbrio entre a diminuicao do numero

medio de transmissoes e a degradacao da norma H∞. Consequentemente, Φ > 0 implica que

a diminuicao do numero medio de transmissoes e proporcionalmente maior em comparacao

com o aumento da norma H∞, enquanto que para Φ < 0 e o oposto que ocorre. Esta metrica

50

pode determinar para quais valores de L a melhora para a rede compensa a degradacao no

desempenho.

51

Capıtulo 5

Trade-Off em sistemas dinamicos:

estabilidade e degradacao da norma

Neste capıtulo, sao desenvolvidas com maior detalhe as questoes associadas ao Trade-Off em

sistemas dinamicos, especificamente os criterios de estabilidade e degradacao da norma H∞

quando se tem perda de sinais de medida pela rede. Nesta proposta, procuramos gerar uma

solucao otimizada que minimize o consumo de recursos para uma rede que transporta sinais

de controle. Para levar a cabo a diminuicao de consumo de recursos na rede, limitamos um

parametro, piorando o rendimento do sistema de controle.

Para o projeto de filtro analisado neste capıtulo, os sinais de medidas sao transportados

por redes Multi-Hop que implementam o esquema de transporte Hop-by-Hop. O parametro

de rendimento a otimizar e a norma H∞ do erro de estimacao. Limitar o numero maximo

de transmissoes L gerando comunicacao Semi-reliable minimiza o valor esperado do numero

global de transmissoes em comparacao aos projetos de filtros classicos, os quais precisam

de uma comunicacao sem perda, Full-reliable. Para tais projetos, deve-se conhecer o com-

portamento da norma H∞ devido a perda de informacao tanto para projetos de filtro via

MJLS quanto para o projeto de Filtro Hıbrido se ele e implementado em redes com perda.

Neste capıtulo, e mostrado para uma planta de exemplo como sao os comportamentos dos

diferentes projetos de filtro em face das perdas dos sinais de medida.

Para mostrar o conceito de Trade-Off, no presente capıtulo, e utilizado um sistema nao

linear presente na literatura de controle, o pendulo invertido rotacional, tambem chamado

de Pendulo de Furuta [25]. Esta planta e conhecida por ter um elevada complexidade devido

a sua alta sensibilidade ao ruıdo e as nao linearidades que ela possui. A selecao desta planta

como exemplo foi porque ela tem dois pontos de equilıbrio: um instavel e outro estavel.

Utilizando a mesma planta, podemos estudar a estabilidade do erro de estimacao ao limitar

L para o ponto de equilıbrio instavel e a degradacao da norma e impacto no erro quadratico

para o ponto de equilıbrio estavel. Alem disso, nosso laboratorio possui uma planta fısica

52

para eventual verificacao experimental.

A planta utilizada esta esquematizada na Figura 5.1. A Figura 5.1a mostra um modelo

conceitual do Pendulo de Furuta, operando em torno de seu ponto de equilıbrio instavel. A

Figura 5.1b mostra o diagrama de convencoes para os angulos e coordenadas do pendulo,

obtido de [6], em torno de seu ponto de equilıbrio estavel.

(a) (b)

Figura 5.1: Diagramas do Pendulo de Furuta.

Modelo linearizado

Para os projetos de filtros deste trabalho, utiliza-se um modelo linear invariante no tempo do

pendulo invertido rotacional. O modelo foi obtido em [13] mediante a identificacao de uma

planta real, correspondente a [48]. O modelo obtido corresponde a um sistema de quarta

ordem com o vetor de estado composto por x′ = [θ1 θ2 φ α] segundo a convencao da Figura

5.1b. As matrizes do sistema linearizado em torno do ponto de equilıbrio instavel sao dadas

pela equacao,

[Ains Bins

]=

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 34.16 −18.62 −0.035 18.31

0 76.74 −17.96 −0.079 17.65

, (5.1)

As matrizes do sistema linearizado em torno do ponto de equilıbrio estavel sao dadas

pela equacao,

53

[Aest Best

]=

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 34.16 −18.62 0.035 18.31

0 −76.74 17.96 −0.079 −17.65

, (5.2)

Note-se que a obtencao das matrizes dinamicas do sistema para os dois pontos de equilıbrio

foi feita mediante identificacao. Na planta utilizada so e possıvel medir os angulos das ar-

ticulacoes, por isso, para projetos de controle por realimentacao de estado, uma opcao e

a utilizacao de filtro observador de estado. Para mais detalhes dos processos utilizados na

identificacao do sistema confira [13].

As redes de dados transmitem eventos discretos e os sistemas (5.1) e (5.2) correspondem

a sistemas de dinamica contınua que devem ser discretizados. A discretizacao dos sistemas

e feita mediante a utilizacao da tecnica de segurador de ordem zero, para um tempo de

amostragem de 50[ms], o qual corresponde a faixa de operacao da planta real. Deste ponto

em diante, quando se faz referencia ao modelo do pendulo e tanto a seu ponto de equilıbrio

instavel como estavel, refere-se ao sistema discreto equivalente.

5.1 Degradacao da norma para sistemas instaveis

Os projetos de filtros otimos de ordem completa segundo o modelo do filtro (3.6) impoem a

restricao de que a planta seja estavel, inviabilizando projetos de filtro para o pendulo em seu

ponto de equilıbrio instavel. Mas os projetos de filtros Luenberger ou baseados no modelo

interno (3.5) podem ser utilizados, pois a estabilidade do sistema nao e requisito de projeto.

O Filtro Luenberger ou baseado no modelo interno faz uma copia do sistema conseguindo

isolar a dinamica da planta da dinamica do erro.

A dinamica do erro para projetos de filtro Luenberger e dada pelo sistema Go para o erro

de estimacao e(k) = z(k)− zf (k), que e definido por:

Ge

xe(k + 1) = (A−GfCy)xe(k) + (J −GfEy)w(k),

e(k) = (Cz −DfCy)xe(k) + (Ez −DfEy)w(k),(5.3)

onde a dinamica do erro e determinada pelos autovalores de A − GfCy, os quais, se o par

(A,Cy) for observavel, podem ser alocados arbitrariamente. Note que a dinamica do erro

nao depende diretamente da matriz A, mas depende da matriz e do ganho de realimentacao.

Para sistemas sujeitos a saltos markovianos, e necessario fazer analises adicionais. Os

sistemas tratados neste trabalho correspondem a um planta determinıstica onde so os sinais

das medidas y(k) dependem de uma cadeia de Markov para modelar as perdas. Para sistemas

54

com perda nos sinais de medida, a dinamica do erro corresponde a:

Ge

xe(k + 1) = (A−GfiCyi)xe(k) + (J −GfiEyi)w(k),

e(k) = (Cz −DfiCyi)xe(k) + (Ez −DfiEyi)w(k).(5.4)

Note que aparece o argumento da cadeia de markov i nas matrizes do filtro e nas que se

referem aos sinais das medidas. Agora, as definicoes de estabilidade, observabilidade e de-

tectabilidade dos sistemas determinısticos devem ser aquelas dos sistemas estocasticos. A

dinamica do sistema e determinada pelas matrizes (A−GfiCyi), e deve-se verificar sua esta-

bilidade pelo segundo momento, Teorema 1. A estabilidade dos subsistemas nao e garantia

de que os sistemas com a dinamica sujeita a saltos sejam estaveis. Outro tema de interesse

para projetos de filtros otimos corresponde a observabilidade, que do mesmo modo que para

o caso determinıstico depende dos pares (A,Cyi) adicionando as probabilidades de salto ente

modos, como pode-se consultar em [8].

Nosso projeto do filtro para o pendulo de Furuta em seu ponto de equilıbrio instavel

tem que ser via Filtro Luenberger, como exposto. Para o caso de sistemas onde a variavel

aleatoria que representa a transicao entre os modos (i) da cadeia tem uma distribuicao de

probabilidade tipo Bernoulli, que e nosso caso particular, haveria duas abordagens para o

filtro segundo o conhecimento do modo da cadeia de Markov, os que sao dependentes e

independentes do modo conforme discutido na Secao 3.1. A terceira abordagem, disponi-

bilidade de cluster, nao e valida para nosso caso em estudo, pois o problema de perda de

informacao da medida corresponde a um sistema com dois modos, ou seja, o unico cluster

possıvel corresponde ao problema independente do modo e, ao fazer dois clusters, tem-se

uma estrutura do modo dependente. Com o filtro Luenberger via MJLS, podem-se obter

ganhos Dfi e Gfi para disponibilidade por cluster, como mostrado em [23]. Mas o filtro

Luenberger tem uma estrutura que so e possıvel implementar se Cyi sao constantes dentro

do cluster. Em nosso sistemas so existem dois clusters, modo de acerto onde Cyi tem o valor

da planta determinıstica e modo de falha onde Cyi e nulo. Por isso, para o problema de

perda de informacao da medida onde se tenha dois modos em que Cyi varia, nao e possıvel

obter filtros independentes do modo, somente dependentes do modo.

5.1.1 Degradacao da norma H∞ do erro estimacao em sistemas

instaveis

Para um sistema com dois modos transmissao: com sucesso e falha de transmissao, no qual

o processo de perda e tipo Bernoulli, utilizando projetos de filtros via MJLS, tem-se um

valor limite de perda dos dados que garantem a estabilidade do erro de estimacao. Nesta

secao, mostramos a degradacao da norma e o limite de perda admitido pelos filtros ao incluir

perda de informacao na rede, tanto para um Filtro Hıbrido quanto para filtros projetados

55

via MJLS, com os respectivos valores da janela de espera B. Para sistemas sem atraso na

forma das equacoes (3.1), ou com atraso segundo as equacoes (4.2), o limite de PLR para

projetos via MJLS e dado pela restricao PLR < r−2σ , mostrada na Seccao 4.2.2, lembrado

que rσ corresponde ao raio espectral. Mas para um Filtro Hıbrido implementado em uma

rede com perda dos sinais da medida, este limitante ja nao tem validade. Para avaliar a

utilizacao do filtro via MJLS e Hıbrido em sistemas, e mostrada a degradacao da norma de

ambos projetos.

5.1.2 Sistemas sem atraso

A degradacao da norma H∞ do erro de estimacao para pendulo de Furuta em torno de seu

ponto de equilıbrio instavel e mostrada na Figura 5.2. O projeto de filtro e baseado nas

especificacoes de [43, 42], as quais sao as de um filtro observador de estado, onde y(k) cor-

responde aos angulos do pendulo mais ruıdo de medida. A Figura 5.2a mostra a degradacao

da norma para o Filtro Hıbrido ao considerar perda de pacote. A Figura 5.2b mostra a

degradacao ao utilizar um filtro markoviano segundo o Teorema 7. A Figura 5.2c mostra a

degradacao em escala logarıtmica de ambos tipos de filtros.

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

H∞

PS

Hibrido H∞

(rσ )−2

(a)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

H∞

PS

Markov H∞

(rσ )−2

(b)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

1

2

3

4

log 10

(H∞

)

PS

Hibrido log(H∞)

Markov log(H∞)

(rσ )−2

(c)

Figura 5.2: Degradacao da norma H∞ do erro de estimacao em funcao de PS para abordagemHıbrido e para abordagem markoviano. PS = 1−PLR corresponde taxa de sucesso da rede.

O autovalor com maior parte real da matriz Ains, sistema de tempo continuo, corresponde

a 7.2548. Ao discretizar o sistema, na matriz discreta equivalente Adins, o autovalor de maior

parte real e mapeado como um autovalor fora do cırculo unitario. O raio espectral para Adins

obtida com perıodo de amostragem de 50[ms] corresponde a 1.4373, o qual impoe a restricao

de que o PLR nao pode ser maior que 48.41% dos pacotes transmitidos, entao a probabilidade

mınima dos pacotes corretos tem que ser igual a 51.59%, o qual corresponde a PS = 0.5159

mostrado nas figuras como uma reta vertical na cor preta. Mediante projetos de filtros em

MJLS conforme o Capıtulo 3.1, e possıvel chegar perto deste valor, garantido um valor de

norma H∞ finito. Mas, com projetos classicos e Hıbrido, como indicados na secao 3.1.6 , ate

para perdas de informacao em proporcoes menores a estabilidade nao pode mais ser prevista.

Para um PLR de 48%, um pouco menor que limite de 48.41%, a taxa de sucesso corres-

ponde a PS = 0.52, e o calculo da norma utilizando o Hıbrido nao e factıvel, pois a dinamica

do erro e instavel. O filtro Hıbrido para PS = 0.61 consegue estabilizar a dinamica do erro

mas com uma norma H∞ = 42.1801 muito maior que a norma obtida para a mesma taxa de

56

sucesso mediante o filtro markoviano, que tem uma norma H∞ = 1.6612, mais de 25 vezes

maior. A Figura 5.2c esta em escala logarıtmica para melhor visualizacao: cabe notar que

ambas as abordagens para PS = 1, sistema sem perda, convergem para o mesmo valor de

norma, pois o filtro markoviano e Hıbrido sem perda recuperam o filtro classico.

5.1.3 Sistemas com atraso

Baseado na analise, anterior sao apresentadas a degradacao da norma H∞ do erro estimacao

do pendulo de Furuta em seu ponto de equilıbrio instavel para o sistema com atrasos fixos

dos sinais de medida segundo as Equacoes (4.2). A Figura 5.3 mostra a degradacao da norma

H∞ do erro de estimacao para janelas de espera B iguais a 1, 2 e 3 para o filtro Hıbrido e

markoviano.

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

H∞

PS

Hibrido H∞ B=1

Hibrido H∞ B=2

Hibrido H∞ B=3

(rσ )−2

(a)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

2

4

6

8

10

12

14

16

18

H∞

PS

Markov H∞ B=1

MarkovH∞ B=2

MarkovH∞ B=3

(rσ )−2

(b)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Log 10

(H∞

)

PS

Hibrido H∞ B=1

Hibrido H∞ B=2

Hibrido H∞ B=3

Markov H∞ B=1

MarkovH∞ B=2

MarkovH∞ B=3

(rσ )−2

(c)

Figura 5.3: Degradacao da norma H∞ do erro de estimacao em sistemas com atraso fixode medida em funcao de PS, para filtro hıbrido e para filtro markoviano. PS = 1 − PLRcorresponde taxa de sucesso da rede.

Para o projeto de filtro Hıbrido, os valores de norma H∞ do erro de estimacao sao mos-

trados na Figura 5.3a para os tres valores de B. O filtro Hıbrido para B = 1 estabiliza o erro

de estimacao ate um PLR maximo de 0.4540, a norma para um PLR de 0.45 (PS = 0.55)

um pouco maior que PLR maximo corresponde a 49.4910. Do mesmo modo, para B = 2,

o filtro Hıbrido consegue estabilizar a dinamica do erro ate um PLR maximo de 0.4476, a

norma para um PLR de 0.45 (PS = 0.55) corresponde a 61.0820. Por ultimo, para B = 3,

o filtro Hıbrido estabiliza a dinamica do erro ate um PLR de 0.4820 (quase alcanca o limite

para sistemas markovianos), para um PLR de 0.48 (PS = 0.52), o valor da norma H∞ corres-

ponde a 38.3384. Para os filtros markovianos dependentes do modo, as variacoes da norma

sao mostradas na Figura 5.3b. Para os projetos de filtro markoviano, podem-se fornecer

filtros com a dinamica do erro estavel para os tres valores de B ate o limite dado pelo raio

espectral (rσ), pois o sistema aumentado, equacao (4.2), so adiciona autovalores com modulo

nulo. Note-se tambem que as curvas nao tem cruzamento, ou seja, para um dado valor de

PS, o filtro com menor valor de B sempre tem um melhor desempenho em norma.

57

A Figura 5.3c mostra em escala logarıtmica as variacoes do valor de norma H∞ do erro

de estimacao para os filtros classico e markoviano para os diferentes valores da janela de

espera de dados de B. Os valores de norma para o filtro Hıbrido sao muito maiores em

comparacao com os valores obtidos pelos filtros markovianos, motivo da troca de escala da

Figura 5.3c. As curvas correspondentes aos valores de norma via MJLS sao sempre menores

que as do filtro Hıbrido, visıvel facilmente para os valores de B = 1 e B = 2, e sutilmente

para o valor de B = 3. Note-se que as curvas dos valores de norma para o filtro Hıbrido

tem interseccao entre elas, o que nao ocorre para os filtros markovianos, mostrado na Figura

5.3c para os PS perto a 0.67. A intersecao das curvas significa que, para certos valores de

PS, um valor de B maior pode ter um valor de norma menor. O filtro Hıbrido nao garante

a estabilidade ate o limitante de PLR e, pelo visto nas curvas, o filtro que tem uma regiao

de estabilidade maior corresponde a B = 3. Ademais, pode-se observar na curva de B = 2

para o sistema Hıbrido Figura 5.3c, apresenta sobressaltos na curva (nao e suave), entao a

utilizacao de filtros hıbridos nao garante que a degradacao seja monotonica.

5.2 Degradacao da norma para sistemas estaveis

Nesta secao, estuda-se o projeto de filtros em plantas estaveis e marginalmente estaveis,

que sao sistemas dinamicos em que todos os autovalores estao contidos no cırculo unitario

do plano complexo. Teoricamente, e possıvel projetar filtros tanto no formato Luenberger

quando de ordem completa. Assim, e possıvel fazer projetos tanto dependentes como inde-

pendentes do modo da cadeia de Markov, diferentemente do caso quando se tem sistemas

instaveis. Mas a maior implicacao de que o sistema tenha uma matriz dinamica Schur e

que a desigualdade (4.6) e sempre satisfeita, logo, para todo PS maior que zero, tem-se uma

solucao factıvel.

O sistema utilizado para o estudo da degradacao da norma corresponde ao pendulo de

Furuta linearizado em torno de seu ponto de equilıbrio estavel. O sistema dinamico possui

perturbacao nos estados e ruıdo de medida descrito pelas seguintes equacoes,

[Aest [0 Best]

Cy Ey

]=

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 34.16 −18.62 0.035 0 0 18.31

0 −76.74 17.96 −0.079 0 0 −17.65

1 0 0 0 0.05 0 0

0 1 0 0 0 0.05 0

. (5.5)

que corresponde ao sistema (5.2) mais ruıdo nos estados medidos, a saıda a estimar z(k)

e definida pelas matrizes Cz, que corresponde a uma matriz identidade, e Ez nula segundo

o sistema (3.1) e sua adaptacao para manipular o atraso segundo as equacoes (4.2). O

58

pendulo de Furuta em seu ponto de equilıbrio estavel tem como raio espectral da matriz

discreta equivalente a Aest um autovalor com modulo unitario, garantindo o cumprimento

da desigualdade (4.6).

Utilizando o Teorema 7 para obter um filtro Luenberger e fazendo PS = 1 pode-se obter

o filtro otimo H∞ classico (sem perda de informacao), pois as condicoes do Teorema 7,

sao necessarias e suficientes, por isso os valores da norma obtida do teorema com PS = 1

e na norma do sistema. O valor de norma H∞ do erro de estimacao para o projeto de

filtro observador do estado para o sistema (5.5) corresponde a 0.8213. Para o sistema (5.5)

contemplando a janela de atrasos fixos segundo as equacoes (4.2) corresponde a: 0.9459 para

B = 1, 1.0019 para B = 2 e 1.0165 para B = 3.

5.2.1 Degradacao da norma conforme o conhecimento do modo

Para projetos de filtros em sistemas estaveis, e possıvel implementar tanto o filtro Luenberger

quanto o filtro de ordem completa; alem disso, um dos filtros pode ser projetado supondo

o conhecimento do modo ou independente dele. Para nosso caso de estudo so se tem dois

modos, falha ou sucesso, pode-se ter as seguinte possibilidades de projeto. A primeira, com

a deteccao do erro de transmissao obtendo dois modos i que correspondem ao conhecimento

do modo, neste caso, um filtro para cada modo (sub-sistema), e cada sub-sistema e comutado

segundo o modo da cadeia atual representado pela recepcao ou nao da informacao. A segunda

abordagem possıvel para nosso caso de estudo corresponde a fornecer um unico filtro para

ambos os modos da cadeia: esta solucao e mais simples de implementar mas corresponde a

uma solucao mais conservadora. O filtro independente do modo e obtido fazendo ` = 1 no

Teorema 8.

Filtro dependente do Modo

A degradacao da norma H∞ para projeto de filtro observador de estado e mostrada na Figura

5.4, que corresponde ao valor obtido utilizando o Teorema 7 variando PS com intervalos de

10−3. A Figura 5.4a mostra as variacoes da norma H∞ e a Figura 5.4b mostra em escala

logarıtmica as variacoes da norma H∞ eliminado os valores extremos gerados por PS muito

pequenos, para uma melhor visualizacao. A necessidade do grafico em escala logarıtmica

ficara mais clara a seguir.

As condicoes do Teorema 8 sao factıveis para os quatro casos testados desde PS = 0.001.

A Figura 5.4b mostra a degradacao de norma em escala logarıtmica. Em ambas figuras

pode-se observar que a consideracao de atraso nos projetos aumenta os valores de norma, o

que e de se esperar. Nos quatro casos a norma H∞ comeca a divergir para valores de PS

inferiores a 0.035 como exposto na Figura 5.4b.

59

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1

1.5

2

2.5

3

PS

Nor

ma

H∞

H∞ B=0

H∞ B=1

H∞ B=2

H∞ B=3

(a)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

PS

Log 10

(H∞

)

H∞ B=0

H∞ B=1

H∞ B=2

H∞ B=3

(b)

Figura 5.4: Degradacao da norma em funcao de PS para B de zero ate tres, em filtrodependente do modo.

Filtro Hıbrido

Conforme no mostrado na Secao 5.1, precisamos conhecer o comportamento do filtro Hıbrido

H∞ a ser implementado em sistemas com perda dos sinais de medidas. Pois como a planta

e marginalmente estaveis, entao o filtro classico implementado em sistemas com perda nao

pode estabilizar a dinamica do erro estimacao pelo segundo momento, como mostrado na

Secao 3.1.6. Para isso, sao calculados os filtros Hıbrido H∞ para o sistemas sem atraso

(B = 0) e para sistema com atraso segundo a janela de espera B. O ganhos do filtro Hıbrido

podem ser calculados segundo o Teorema 7 fazendo PS = 1. O calculo do valor de norma

ao incorporar perda de informacao dos sinais de medidas e feito montando a Equacao (5.4)

com os ganhos do sistema classico e calculando o valor da norma segundo o Teorema 3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

PS

H∞

H∞ B=0

H∞ B=1

H∞ B=2

H∞ B=3

Figura 5.5: Degradacao da norma H∞ do sistema Hıbrido.

A Figura 5.5 mostra os valores da norma H∞ do erro de estimacao para os diferentes

valores de PS. Para os projetos de filtro via MJLS dependente do modo, Figura 5.4 para

60

PS > 0.035, a norma do sistema para os quatro filtros e menor que 3. Em contrapartida,

para filtros Hıbridos, os valores de norma sao maiores. Alem disso, para PS = 0.035, so para

B = 0 e B = 1 o filtro Hıbrido consegue estabilizar a dinamica do erro com uma norma

de 7.1270 para B = 0 e de 8.0012 para B = 1. O filtro Hıbrido em sistemas instaveis, ao

aumentar B, pode se comportar melhor como mostrado na Figura 5.3, mas, para o sistema

estudado, ocorre o oposto. Ainda que a dinamica da planta seja estavel com o filtro Hıbrido

nao e possıvel predizer o comportamento. A estabilidade agora depende dos dois subsistemas

e das probabilidades de transicao entre eles.

5.2.2 Filtro independente do modo

Um projeto de filtro independente do modo para nosso caso de estudo so pode ser implemen-

tado por um filtro de ordem completa, o filtro Luenberger e invalido pois Cyi varia no cluster

como mostrado em a Secao 5.1. O pendulo de Furuta linearizado em torno de seu ponto de

equilibro estavel corresponde a um sistema marginalmente estavel. Um filtro independente

do modo pela estrutura, conforme a equacao (3.16) impoe a restricao que o sistemas em ma-

lha aberta seja estavel. O pendulo invertido rotacional, ou pendulo de Furuta [6], para seus

dois pontos de equilıbrios nao e estavel, mas marginalmente estavel em um caso e instavel

no outro.

Utilizando como planta o pendulo de Furuta nao e possıvel projetar filtros independentes

do modo. Mas para outros sistemas dinamicos, projetos de filtros baseados em MJLS inde-

pendente do modo podem ser feitos. Como exemplo disso, para testar o projeto em plantas

menos sensıveis, a Figura 5.6 mostra a degradacao da norma H∞ do erro de estimacao se-

gundo o sistema (5.5), mas com a suposicao de que a matriz discreta equivalente de Aest e

multiplicada por 0.3. Fazendo isso, os autovalores sao comprimidos fazendo com que todos

os autovalores se situem estritamente no interior do cırculo unitario, tornando o sistema mais

bem comportado dinamicamente. Utilizando o Teorema 7, a degradacao da norma H∞ do

erro de estimacao em escala logarıtmica tanto para projeto dependente quanto para o filtro

independente do modo sao mostrados na Figura 5.6a.

Na Figura 5.6b, e possıvel verificar que tanto para o filtro dependente quanto para o

independente do modo, existem solucoes para todo PS maior que zero. A Figura 5.6b mostra

a diferenca entre a norma do sistema obtida por projetos independentes do modo e a norma

obtida por projetos dependentes. Para o sistema com os autovalores comprimidos, as curvas

tem domınio nos reais positivos dado que o filtro independente corresponde a uma solucao

mais conservadora. O valor resultante do Teorema 8 corresponde a norma do sistema, pois

as condicoes sao necessarias e suficientes: a prova pode ser consultada em [24]. A sıntese de

filtros independentes do modo mediante outras condicoes de LMIs, por exemplo do Teorema

6, nao garantem que o valor obtido seja a norma otima do sistema, pois as condicoes sao

61

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.13

−0.12

−0.11

−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

PS

Log 10

(H∞

)

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

−4

PS

Dif

H∞

Dif B=0

Dif B=1

Dif B=2

Dif B=3

(b)

Figura 5.6: Degradacao da norma em funcao de PS para B de zero ate tres.

so suficientes, fornecendo um limitante superior, mas nao a solucao otima do problema. O

valor de norma do projeto deve ser calculado segundo o Teorema 3, mas nao ha garantia de

que seja a norma otima do sistema.

5.3 Numero mınimo de transmissoes

O problema do numero mınimo de transmissoes para projetos de filtragem atraves da rede

corresponde a determinar o valor de fronteira para a probabilidade de sucesso PS que garanta

que a dinamica do erro de estimacao seja estavel. O valor de PS e determinado em funcao

do valor de L, numero maximo transmissoes por pacote. Para filtros em que as medidas

sao transportadas por uma rede Multi-Hop na qual as probabilidades de sucesso da link

de comunicacao e o numero de unidades intermediarias sao dadas, o numero maximo de

transmissoes por pacote L corresponde a um parametro de projeto. Para sistemas sem

atraso, tal calculo foi indicado em trabalhos anteriores [43], mas os resultados para sistemas

que implementam a janela de espera B sao novos.

5.3.1 Mınimo valor de transmissoes por pacote LF

O sistema, segundo as equacoes (4.2), corresponde ao sistema aumentado pela incorporacao

dos estados que representam as saıdas anteriores ate y(k−B) medidas com atrasos multiplos

da frequencia de amostragem. Ao aumentar a dimensao do sistema pelo armazenamento dos

sinais de medidas passadas, a matriz dinamica do sistema so e acrescentada com polos na

origem do plano complexo, pois a matriz dinamica na equacao (4.2) e bloco triangular in-

ferior. Os autovalores adicionados ao sistema aumentado tem modulo nulo, entao o raio

espectral corresponde aquele da matriz A. O atraso adicionado ao sistema nao tem impacto

no limite de perda que o sistema pode admitir, como ilustrado na Figura 5.3b. Utilizando

uma rede prototipo, na qual o numero de links de comunicacao corresponde a N = 11 e as

probabilidades de sucesso e de ACK sao as mesmas, ou seja p1 = p2 = p, pode-se calcular

os valores das medidas de desempenho para LF em diferentes valores de p. O menor valor

62

esperado do numero global de transmissoes para a rede prototipo N = 11 e p dado, ocorre

em LF determinado pela equacao (4.6). Para exemplificar as vantagens para a rede em se

utilizar o valor de comunicacao semi-reliable com LF em comparacao com a comunicacao full

reliable, sao mostrados na Tabela 5.1 os valores das medidas desempenho do filtro baseado

em MJLS para os diferentes valores de B e para diferentes probabilidades de p utilizando a

rede prototipo.

Tabela 5.1: Medidas de desempenho para LF .p LF Ps HB=0

∞ |HB=1∞ |HB=2

∞ |HB=3∞ ΥF0|ΥF1|ΥF2|ΥF3 E(M |LF ) E(M)Full ΘM

0.1 27 0.5174 13.3351|13.6436|19.6134|28.1997 18.2075|12.9593|12.9625|12.9683 216.9757 1210.0000 0.17930.2 13 0.5369 3.5195|3.7043|5.3245|7.6525 4.8055|3.5185|3.5191|3.5193 104.0721 330.0000 0.31540.3 8 0.5204 7.5962|7.8833|11.3326|16.2874 10.3717|7.4879|7.4901|7.4901 63.6585 158.8888 0.40060.4 6 0.5912 1.8568|2.0522|2.9496|4.2400 2.5353|1.4492|1.9495|1.9498 49.7324 96.2500 0.51670.5 5 0.7052 1.1711|1.4135|2.0322|2.9202 1.5990|1.3426|1.3431|1.3429 43.1658 66.0000 0.65400.6 4 0.7518 1.0491|1.3074|1.8792|2.7009 1.4324|1.2418|1.2420|1.2420 35.8590 48.8888 0.73350.7 3 0.7400 1.0764|1.3311|1.9123|2.7494 1.4697|1.2643|1.2639|1.2643 28.9754 38.1632 0.75920.8 2 0.6382 1.4568|1.6730|2.4051|3.4568 1.9891|1.5890|1.5830|1.5896 22.1398 30.9375 0.71560.9 2 0.8953 0.8272|1.1252|1.6171|2.3243 1.1295|1.0687|1.0688|1.0688 23.6340 25.8024 0.9171

Na Tabela 5.1, tem-se que: a primeira coluna mostra os diferentes valores de p da rede.

A segunda coluna apresenta os valores do mınimo numero de transmissoes (LF ) para a rede

prototipo que satisfaz a restricao da estabilidade, conforme a equacao (4.6). A terceira co-

luna mostra os valores de probabilidade de acerto PS calculados para a rede a partir de

LF . A quarta coluna representa os valores da norma H∞ do projeto de filtro para o valor

de PS calculado a partir de LF para os diferentes valores de B. A quinta coluna mostra o

ındice de degradacao da norma ΥFB que e a razao do valor de norma H∞ em comunicacao

semi-reliable e da norma H∞ do projeto classico em comunicacao semi-reliable, lembrando

que o segundo subındice corresponde ao valor de atraso dos sinais das medidas. A sexta

coluna mostra o valor esperado do numero global das transmissoes ao utilizar L = LF . A

setima coluna mostra o valor esperado do numero global das transmissoes da comunicacao

full-reliable, onde L e ilimitado. Por ultimo, a oitava coluna mostra a medida do decremento

do valor esperado do numero global das transmissoes pela utilizacao de LF , que corresponde

a razao entre a sexta e setima coluna.

Os valores de LF e PS sao os mesmos para os diferentes valores de B conforme as analises

anteriores. A coluna correspondente a HB∞ mostra os valores de norma para os diferentes

valores de B, e como e de se esperar, aumentam em funcao de B. A coluna ΥFB apresenta

a degradacao segundo a equacao (4.7), que e funcao do valor de norma para uma janela de

atraso B sem perda (PS = 1) e que sao, para valores de B iguais a 0, 1, 2 e 3, respectivamente

0.7324, 1.0528, 1.5130 e 2.1745, conforme Secao 5.1. A medida de desempenho ΘM dado

um p e a mesma para todos os valores de B, pois, para cada valor de p, o valor de LF nao

se altera com os valores de B, pois este valor so depende dos polos da planta original. Este

63

resultado e importante, pois o mesmo valor para L que garante estabilidade para sistemas

sem atraso tambem a garante para sistemas com atraso segundo a estrategia da janela de

espera. Note-se que, para p = 0.1, o valor de ΘM corresponde a 0.1793: isso significa que o

filtro garante a estabilidade pelo segundo momento do erro de estimacao com apenas 17.93%

dos pacotes transmitidos em relacao ao filtro classico, no qual se transmitem todos os dados

sem perda. E importante destacar que o filtro classico e Hıbrido para PS = 0.5174 nao

consegue estabilizar a dinamica do erro, tornando impossıvel um projeto de filtro estavel

com apenas 17.93% dos pacotes das medidas sendo transmitidos pela rede.

5.4 Resumo do capıtulo

Este capıtulo desenvolveu as questoes mais importantes de estabilidade pelo segundo mo-

mento, degradacao da norma H∞ do erro de estimacao e consideracoes sobre a viabilidade

dos projetos de filtros segundo sua estrutura e o conhecimento do modo da cadeia, tanto para

sistemas estaveis quanto instaveis. A primeira questao abordada corresponde aos criterios

de estabilidade pelo segundo momento da dinamica do erro de estimacao que determinam a

factibilidade das restricoes para o projetos dos diferentes filtros. O criterio de estabilidade

para dinamica do erro limita PS a um intervalo quando a planta e instavel, ou seja, tem au-

tovalores de modulo maior que um. Caso contrario, para plantas estaveis ou marginalmente

estaveis para todo PS maior que zero, tem-se um filtro factıvel. Para sistemas instaveis, so

sao factıveis projetos baseados em filtros Luenberger e dependentes do modo. Para sistemas

estaveis, sao factıveis filtros tanto Luenberger como baseados no filtro de ordem completa;

alem disso, ambos podem ser projetados modo dependente, modo independente ou em clus-

ter, segundo as consideracoes mencionadas. Os filtros independentes do modo fornecem uma

solucao mais conservadora que os filtros dependentes. Baseado nas analises anteriores, para

os diferentes valores de B, foi calculado o valor de LF que permite obter o mınimo numero

transmissoes para a rede. O valor de ΘM e o mesmo para para cada par (LF , B) permitindo,

para um caso particular, estabilizar a dinamica do erro com somente 17.93% dos pacotes,

algo isso impossıvel para o filtro classico.

64

Capıtulo 6

Trade Off em sistemas dinamicos:

variacao das medidas de desempenho

e impacto em erro quadratico

Um sistema de controle tem o melhor desempenho, em termos de norma H∞, quando os

canais de interconexao nao tem perda de informacao. Utilizando uma rede de dados digitais,

isso corresponde a uma comunicacao Full-reliable. Nas redes estudadas no presente trabalho,

esta condicao e satisfeita quando nao se tem limitacao no numero maximo de transmissoes por

pacote L. Neste capıtulo, sao expostas as variacoes das medidas de desempenho introduzidas

no Capıtulo 4 e o impacto em erro quadratico medio pela utilizacao de comunicacao semi-

reliable devido a limitacao do numero maximo de transmissoes no esquema Hop-by-Hop.

Para mostrar os efeitos da limitacao do numero retransmissoes, sao utilizados os parametros

da rede prototipo mostrados na Secao 5.3.1 e o sistema dinamico utilizado correspondente

ao sistema (5.5). Os projetos de filtros implementados neste capıtulo correspondem a filtros

Hıbrido e filtros MJLS dependentes do modo, ambos que otimizam a norma H∞ do erro de

estimacao.

6.1 Variacao das medidas de desempenho

Nesta secao, sao apresentadas as variacoes das medidas de desempenho para projetos de

filtros observador de estado nos quais os sinais das medidas sao transportados atraves de

uma rede Multi-Hop. Utiliza-se a rede prototipo, que e composta por 10 nos intermediarios

(N = 11) e as probabilidades tanto de acerto como de ACK sao iguais p1 = p2 = p. A

metodologia dos experimentos corresponde ao mostrado em [45], na qual sao apresentados

os resultados das medidas para tres valores diferentes de p, sendo eles 0.3, 0.5 e 0.8. E utili-

zado como planta o pendulo de Furuta linearizado em torno de seus dois pontos de equilıbrio

e, ademais, e considerado o sistema sem atraso e tambem com atraso segundo a janela de

65

espera. Sao avaliados dois tipos de projetos de filtros, o filtro Hıbrido H∞, apresentado na

Secao 3.1.6, e o filtro markoviano dependente do modo, apresentado na secao 3.1.5. A va-

riacao das medidas de desempenho e feita em funcao de L supondo que os demais parametros

da rede sejam conhecidos.

Os valores das medidas de desempenho obtidos para os diferentes valores de janela de

espera B, tanto para sistemas estaveis quanto para instaveis, sao expostos em tabelas dividas

do seguinte maneira: a duas primeiras colunas correspondem aos resultados para projetos

MJLS e as duas colunas seguintes aos resultados obtidos para o filtro Hıbrido. Cada tabela

contem os resultados para dois valores de B. Para ambos os tipos de filtros, os resultados

sao esquematizados segundo o padrao: as primeiras figuras mostram as curvas ΥFB corres-

pondentes a curva vermelha (), ΘM curva verde (+) e PS azul (×); a segunda figura mostra

o Trade Off do sistema (Φ). Para uma melhor visualizacao dos resultados, sao excluıdos os

valores de L que geram valores extremos.

6.1.1 Variacao das medidas em sistemas instaveis

Nos projetos de filtros em plantas instaveis, utilizando como exemplo o pendulo de Furuta, e

preciso ter consideracoes especiais ja mencionadas anteriormente. Uma das consideracoes e

a existencia de um limitante para a probabilidade de perda de pacotes com o qual e possıvel

garantir a estabilidade pelo segundo momento da dinamica do erro. Como exposto previ-

amente, este limitante so e alcancado para projetos de filtros via MJLS. Para o projeto de

filtro Hıbrido implantado em sistemas com perda, o limitante e menor e a degradacao da

norma e mais acentuada.

A Tabela 6.1 mostra a variacao das medidas de desempenho para sistemas sem atraso

da sinais de medida (B = 0) e para sistemas com a janela de espera de largura (B = 1). As

diferentes figuras ordenadas na Tabela 6.1 mostram as variacoes das medidas de desempenho

para o projeto de filtro observador de estado, tanto para projetos via MJLS e para o filtro

Hıbrido. O projeto via MJLS tem o mesmo comportamento das metricas como foi mostrado

em [43], o que indica que o projeto baseado em filtros markovianos com o aumento de L o

valor da degradacao da norma ΥFB converge mais rapido ao valor dos sistemas Hıbridos que

as medidas do decremento do numero global de transmissoes ΘM e probabilidade de acerto

da rede PS. Esta caracterıstica permite que, para um intervalo dos valores de L, o Trade-Off

seja positivo Φ > 0. Em contrapartida, para o filtro Hıbrido isso nao ocorre. Alem disso, a

degradacao da norma e maior, como foi mostrado na Figura 5.2. Pela maior degradacao da

norma para o filtro Hıbrido implementado em uma rede com perda de pacote, o intervalo de

valores de L no qual o Trade-Off e positivo e menor que em projetos via MJLS. Na Tabela

6.1 pode-se ver isso nas linhas que correspondem a B = 0. Note-se que os valores de ΥFB

66

para filtro Hıbrido para os tres valores de p sao tao grandes que impedem que se perceba

as variacoes de PS e ΘM . Consequentemente, tem-se valores negativos do Trade-Off do sis-

tema para mais valores de L. Tambem valores de L nos quais os filtros Hıbridos nao logram

estabilizar a dinamica do erro de estimacao mas os filtro via MJLS, conforme o indicado na

Secao 5.1.1.

Para o sistema com atraso dos sinais de medida, implementa-se a estrategia da janela

de espera dos dados, permitindo transformar atrasos variaveis em fixos, como mostrado na

Secao 4.2. Os resultados sao apresentados para B = 1 na Tabela 6.1 e para B = 2 e B = 3

na Tabela 6.2. Os resultados concordam com a degradacao da norma para sistemas com

atrasos fixos mostrada na Figura 5.3. De forma analoga que para caso particular de B = 0,

sistema sem atraso, a norma dos sistemas convergem ao valor unitario mais lentamente que

mediante os projetos MJLS. Devido a isso, o sistema para B = 1 tem comportamento similar

para os diferentes valores de p.

Pelo aumento do valor de B, a degradacao da norma do erro de estimacao para o projeto

de filtro observador de estado para o pendulo de Futura linearizado em seu ponto de equilıbrio

instavel tende a um comportamento mais similar ao dos projetos via MJLS vistos na Figura

5.3. Isso e refletido na Tabela 6.2, onde pode-se observar que, do mesmo modo que na Tabela

6.1, o projeto via MJLS tem um melhor rendimento que o filtro Hıbrido implementado em

sistemas com perda. Mas note que, para B = 3, o comportamento das figuras do Trade-Off

e quase identico. Para as duas abordagens, o comportamento do Trade-Off e o mesmo visto

claramente no grafico que apresenta Trade-Off para B = 3 e p = 0.3. O comportamento

do sinal de Trade-Off Φ e o mesmo, mas o filtro via MJLS implica em menores valores de

norma para os mesmos valores de L.

6.1.2 Variacao das medidas em sistemas estaveis

Para projetos de filtros mediante MJLS em sistemas estaveis utilizando projetos markovia-

nos dependente do modo segundo os Teoremas 7 ou 8, tem-se uma solucao factıvel para todo

PS > 0. Diferentemente dos projetos de filtros para sistemas instaveis, onde o raio espectral

define o intervalo de viabilidade para os projetos markovianos. Para o filtro Hıbrido, estas

hipoteses ja nao tem validade, como mostrado na Figura 5.5. A seguir, do mesmo modo

que para o pendulo de Furuta linearizado em torno de seu ponto de equilıbrio instavel, sao

apresentados os resultados para pendulo linearizado em torno de seu ponto de equilıbrio

estavel em duas tabelas.

67

Tabela 6.1: Variacoes das medidas em sistemas instaveis para B iguais a 0 e 1.p

Mar

kovia

no

Hıb

rid

oPS,

ΥI0

eΘM

Tra

deO

ffPS,

ΥC

l0e

ΘM

Tra

deO

ff

B=

00.

310

1520

2530

0123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I1 Θ

M

1020

3040

−0.

10

0.1

0.2

0.3

L

ΦI

T

rade

Off

1015

2025

05101520

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

2030

4050

−0.

4

−0.

20

L

ΦCl

Tra

de O

ff

0.5

510

1520

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I1 ΘM

510

1520

2530

0

0.02

0.04

0.06

L

ΦI

T

rade

Off

68

1012

1416

18

1

1.52

2.53

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

510

1520

−6

−4

−202

L

ΦCl

Tra

de O

ff

0.8

24

68

100

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I1 ΘM

46

810

−0.

02

−0.

010

0.01

L

ΦI

Tra

de O

ff

46

810

05101520

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

46

810

−1

−0.

50

0.5

L

ΦCl

T

rade

Off

B=

10.

310

1520

2530

3501234

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

1

ΘM

1020

3040

50−

0.10

0.1

0.2

0.3

L

ΦI

T

rade

Off

1015

2025

3035

0246

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I1 Θ

M

1020

3040

50

−0.

4

−0.

20

0.2

L

ΦCl

Tra

de O

ff

0.5

510

1520

25

0.6

0.81

1.2

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I1 ΘM

510

1520

2530

350

0.050.

1

0.150.

2

L

ΦI

T

rade

Off

510

1520

250.

51

1.52

2.5

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

1

ΘM

510

1520

2530

35

−0.

1

−0.

050

0.05

L

ΦCl

T

rade

Off

0.8

24

68

1012

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

P

S

ϒ I1 ΘM

24

68

1012

−0.

04

−0.

020

0.02

0.04

L

ΦI

T

rade

Off

24

68

1012

01234

LPS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

1

ΘM

24

68

1012

−0.

2

−0.

10

0.1

L

ΦCl

T

rade

Off

A Tabela 6.3 mostra as variacoes das medidas de desempenho para o sistema sem atraso

(B = 0) e implementando a estrategia da janela de espera. Segundo o mostrado na Figura

5.5 e diferentemente do mostrado na Figura 5.3 pelo aumento de B, o filtro Hıbrido tem

uma degradacao da norma mais rapida, que significa que a dinamica do erro se torna mais

rapidamente instavel ao admitir perda. Isso e observado na Tabela 6.3 para B = 0, que

tanto as medidas de desempenho como as figuras do Trade-Off para os diferentes valores

68

Tabela 6.2: Variacoes das medidas em sistemas instaveis para B iguais a 2 e 3.p

Mar

kovia

no

Hıb

rid

oPS,

ΥI0

eΘM

Tra

deO

ffPS,

ΥC

l0e

ΘM

Tra

deO

ff

B=

20.

310

1520

2530

350123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l2

ΘM

1020

3040

50

−0.

10

0.1

0.2

0.3

0.4

L

ΦI

T

rade

Off

1015

2025

3035

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I2 Θ

M

1020

3040

50−

0.2

−0.

10

0.1

L

ΦCl

T

rade

Off

0.5

510

1520

250

0.51

1.5

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I2 ΘM

510

1520

2530

350

0.050.

1

0.150.

2

L

ΦI

T

rade

Off

510

1520

250

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl2

ΘM

510

1520

2530

35−

0.2

−0.

15

−0.

1

−0.

050

0.05

L

ΦCl

Tra

de O

ff

0.8

24

68

100

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I2 ΘM

24

68

10−

0.1

−0.

050

L

ΦI

Tra

de O

ff

24

68

100123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l2

ΘM

24

68

10−

0.1

−0.

08

−0.

06

−0.

04

−0.

020

L

ΦCl

Tra

de O

ff

B=

30.

310

2030

40

0.51

1.5

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I3 ΘM

1020

3040

−0.

20

0.2

0.4

L

ΦI

T

rade

Off

1020

3040

0.51

1.5

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl3

ΘM

1020

3040

−0.

2

−0.

10

0.1

0.2

0.3

L

ΦCl

T

rade

Off

0.5

510

1520

0

0.51

1.5

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I3 ΘM

510

1520

250

0.050.

1

0.150.

2

L

ΦI

T

rade

Off

510

1520

0

0.51

1.5

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl3

ΘM

510

1520

25−

0.050

0.050.

1

0.15

L

ΦCl

T

rade

Off

0.8

24

68

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I3 ΘM

24

68

−0.

1

−0.

050

L

I

Tra

de O

ff

24

68

0

0.51

1.5

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l3

ΘM

24

68

−0.

1

−0.

050

0.05

L

ΦCl

T

rade

Off

de p tem comportamento simular. Para B = 1 ja se pode observar maiores discrepancias,

exemplificadas nas figuras do Trade-Off (Φ) para p = 0.8.

A Tabela 6.4 mostra as variacoes das medidas de desempenho para janelas de espera

B iguais a 2 e 3. O filtro Hıbrido implementado com perda de informacao e utilizando a

estrategia da janela de espera limita o intervalo de perda onde a dinamica do erro de es-

69

timacao e estavel. Isso e corroborado na Tabela 6.4 nos graficos do Trade-Off para filtro

Hıbrido tanto para B = 2 como para B = 3, que tem valores nulos para valores menores.

Valores nulos de Φ dado um L correspondem a que, para essa configuracao, nao ha uma

solucao factıvel. Para o filtro via MJLS, sempre que PS > 0, tem-se um solucao, a despeito

de possıvel norma elevada.

A estabilidade da dinamica do erro de estimacao para problema de filtragem com perda

do sinais de medida quando e utilizado filtro Hıbrido nao pode ser garantida. Para o caso

de filtragem em sistemas estaveis, a matriz dinamica de estimacao, conforme a equacao

(5.4), comuta ente dois modos estaveis, a matriz do sistema e aquela com o ganho do filtro.

Mas ha valores de PS que tornam instavel a dinamica do erro. Isso confirma que para a

estabilidade pelo segundo momento a estabilidade das matriz dinamica dos modos individuais

(subsistemas) nao garante a estabilidade do sistema.

6.2 Impacto no erro quadratico medio e desvio padrao

pela limitacao de L

Para projetos de filtros de sistemas instaveis, tem-se um criterio claro para se determinar

o numero de transmissoes L mınimo, mas, quando os sistemas sao estaveis, nao existe um

criterio para determinar L mınimo, pois existe um filtro markoviano para todo PS > 0.

Em [45], os autores propoem um metodo para determinar o valor mınimo de L atraves de

uma restricao no limite permitido para o aumento do erro quadratico medio e de seu desvio

padrao para o sinal estimado.

Esta secao define criterios de projeto, utilizando ΥFB para determinar L. A medida

ΥFB corresponde a degradacao da norma H∞ do erro de estimacao pela limitacao de L,

mas ela nao traz uma informacao direita do comportamento do erro. Por outro lado, a

medida ϕFB, degradacao da norma do erro de estimacao via simulacao, corresponde ao

ganho L2 quantificando o aumento do erro quadratico medio pela limitacao de L para um

ruıdo w particular. O inconveniente de usar ϕFB e a necessidade de simulacao e a escolha de

um ruıdo particular, diferentemente do que ocorre em ΥFB. Propomos utilizar ΥFB como

limitante superior de ϕFB, procurando obter um criterio de projeto baseado na piora do erro

quadratico medio para determinar L.

70

Tabela 6.3: Variacoes das medidas em sistemas instaveis para B iguais a 0 e 1.p

Mar

kovia

no

Hıb

rid

oPS,

ΥI0

eΘM

Tra

deO

ffPS,

ΥC

l0e

ΘM

Tra

deO

ff

B=

00.

310

2030

4050

0123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I1 Θ

M

1020

3040

50−

0.10

0.1

0.2

0.3

L

ΦI

T

rade

Off

1020

3040

5001234

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

1020

3040

50−

0.10

0.1

0.2

0.3

L

ΦCl

T

rade

Off

0.5

510

1520

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I1 ΘM

510

1520

25−

0.2

−0.

10

0.1

L

ΦI

T

rade

Off

510

1520

0123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

510

1520

25−

0.2

−0.

10

0.1

L

ΦCl

T

rade

Off

0.8

24

68

01234

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I1 Θ

M

24

68

−0.

050

0.05

L

ΦI

Tra

de O

ff

24

68

012345

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl1

ΘM

24

68

−0.

050

0.05

L

ΦCl

T

rade

Off

B=

10.

310

2030

400

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I1 ΘM

1020

3040

50−

0.10

0.1

0.2

0.3

L

ΦI

T

rade

Off

1020

3040

0123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

1020

3040

50−

0.10

0.1

0.2

0.3

L

ΦCl

T

rade

Off

0.5

510

1520

250

0.51

1.5

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I1 ΘM

510

15−

0.10

0.1

0.2

L

ΦI

T

rade

Off

510

1520

250123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

510

15−

0.10

0.1

0.2

L

ΦCl

T

rade

Off

0.8

24

68

0123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I1 Θ

M

24

68

−0.

1

−0.

050

0.050.

1

L

ΦI

T

rade

Off

24

68

0246

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

24

68

−0.

1

−0.

050

0.050.

1

L

ΦCl

Tra

de O

ff

Modelo de experimentos

O sistema utilizado para mostrar o comportamento do erro corresponde ao pendulo de Furuta

no seu ponto de equilıbrio estavel com perturbacao na entrada do sistema e ruıdo de medida,

segundo a Equacao (5.5). O projeto corresponde a um filtro observador de estado no qual

os sinais de medida correspondem aos angulos mais ruıdo. Os sinais de medida transmitidos

71

Tabela 6.4: Variacoes das medidad em sistemas instaveis para B iguais a 2 e 3.p

Mar

kovia

no

Hıb

rid

oPS,

ΥI0

eΘM

Tra

deO

ffPS,

ΥC

l0e

ΘM

Tra

deO

ff

B=

20.

35

1015

2025

300123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I1 Θ

M

1020

3040

50−

0.20

0.2

0.4

0.6

L

ΦI

T

rade

Off

510

1520

2530

01234

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ C

l1

ΘM

1020

3040

50−

0.50

0.5

L

ΦCl

T

rade

Off

0.5

510

1520

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I1 ΘM

510

1520

2530

−0.

4

−0.

20

0.2

L

ΦI

T

rade

Off

510

1520

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl1

ΘM

510

1520

2530

−0.

4

−0.

20

0.2

0.4

L

ΦCl

T

rade

Off

0.8

24

68

0123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I1 Θ

M

24

68

−0.

8

−0.

2

0.4

L

ΦI

T

rade

Off

24

68

0

0.51

1.5

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl1

ΘM

24

68

−0.

4

−0.

20

0.2

L

ΦCl

T

rade

Off

B=

30.

310

2030

400

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

P

S

ϒ I1 ΘM

1020

3040

50−

1

−0.

50

0.5

L

ΦI

T

rade

Off

1020

3040

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl1

ΘM

1020

3040

50−

1

−0.

50

0.5

L

ΦCl

Tra

de O

ff

0.5

510

1520

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ I1 ΘM

05

1015

−0.

4

−0.

20

0.2

0.4

L

ΦI

T

rade

Off

510

1520

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl1

ΘM

05

1015

−0.

4

−0.

20

0.2

0.4

L

ΦCl

Tra

de O

ff

0.8

24

68

0123

L

PS,ϒ,Θ

P

Sϒ I1 Θ

M

02

46

−0.

4

−0.

20

0.2

0.4

L

ΦI

T

rade

Off

24

68

0

0.51

1.52

L

PS,ϒ,Θ

PS

ϒ Cl1

ΘM

02

46

−1

−0.

50

0.5

L

ΦCl

Tra

de O

ff

por uma rede digital sao adequados para o problema de falha mediante a estrategia Zero,

conforme equacao (4.3). E utilizada a rede prototipo (N = 11), na qual tanto a probabilidade

de sucesso e ACK correspondem a p1 = p2 = 0.5. Por ultimo, os sinais temporais que

compoem o vetor w correspondem a ruıdo nos estados e ruıdo de medida. A perturbacao nos

estados e uma senoide de amplitude 10 e frequencia 0.5305[Hz], selecionada pois a planta

real tem uma frequencia de oscilacao em torno de 1.06[Hz] e os sinais utilizados para a

72

identificacao do sistema correspondem a 0.313[Hz], entao frequencias dentro desse intervalo

excitam todos os estados do sistema, a resposta de frequencia da planta pode vista em [13]. O

ruıdo de medida e uma variavel aleatoria normal de media nula e desvio padrao de 2[graus]

para cada medida de angulo. Os resultados das simulacoes temporais para a planta com

condicoes inicias nulas foram obtidos atraves de simulacao Monte Carlo de 104 iteracoes;

para calculo de norma foi utilizada uma senoidal truncada em 5[s], para cada par (L,B).

6.2.1 Comportamento do Erro

O projeto de filtro corresponde ao filtro markoviano observador de estado dependente do

modo, conforme o Teorema 8. Os resultados das simulacoes temporais sao esquematizados

na Tabela 6.5 que contem a evolucao temporal do erro do segundo estado estimado, corres-

pondente ao angulo α, com o qual e possıvel mostrar o comportamento geral do sistema.

Na Tabela 6.5, as linhas representam os diferentes valores de L e as colunas representam os

diferentes valores de janela de espera B, as figuras trazem o erro quadratico medio e o desvio

padrao do segundo estado α do filtro observador de estado via MJLS. O comportamento do

erro esta relacionado com a estimacao do angulo α que e transmitido atraves da rede com

ruıdo de medida e perda de informacao. E utilizado um angulo como exemplo porque na

planta real nao ha sensor de velocidade angular, entao para validacao com a planta real, so

e possıvel comparar o angulo estimado com o angulo medido. Esta simulacao temporal nao

procura o calculo da norma do sistema, ela procura fornecer uma informacao qualitativa do

aumento do erro em funcao do decremento de L, per isso nao e utilizada nesta simulacao

uma senoidal truncada como para o calculo da norma.

Na Tabela 6.5, pode-se observar que, para cada B, o maior erro quadratico medio cor-

responde a primeira linha da tabela, em L = 3, e o menor erro quadratico medio ocorre na

ultima linha da tabela, para L ilimitado, que corresponde a um filtro classico sem perda de

informacao. Outro comportamento observado e que, dado um valor L, o erro quadratico

medio sempre e menor em B = 0, sistema sem atraso. Cada vez que B e aumentado, inde-

pendente de L, o erro quadratico medio aumenta significativamente, como e de se esperar.

O desvio padrao aumenta ao diminuir L e tambem com o aumento de B, da mesma maneira

que o erro quadratico medio. As figuras para os L = 11, L = 13 e L = 15 dado um B

tem comportamento quase identico ao filtro classico com L ilimitado, dado que, para esses

tres valores, a probabilidade de falha na rede e menor que 1%. Da Tabela 6.5, as principais

conclusoes sao: o erro quadratico medio e seu desvio padrao ao aumentar L, para um B

dado, diminuem ate alcancar o caso do filtro classico. Como dito anteriormente, e possıvel

aumentar a largura do tempo de espera B sem restricoes a factibilidade do projeto do fil-

tro, mas nas figuras e possıvel observar claramente que, aumentando o valor de B, o erro

quadratico medio e o desvio padrao aumentam consideravelmente. A Tabela 6.5 fornece

73

Tabela 6.5: Variacoes do erro quadratico medio e desvio padrao pela limitacao de L ejanela de espera B. As figuras sao ordenadas da seguinte maneira, cada coluna apresenta asvariacoes dado um valor de B e as linhas apresentam as variacoes dado um L. As figurascorrespondem ao erro quadratico medio (linha vermelha) e ao desvio padrao (linha tracejadaazul).L|B B=0 B=1 B=2 B=3

L=3 T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.5

0

0.5

1

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-1

0

1

2

3

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-2

0

2

4

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-2

0

2

4

6

L=5 T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.2

0

0.2

0.4

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.5

0

0.5

1

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-1

0

1

2

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-2

0

2

4

L=7 T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.05

0

0.05

0.1

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.2

0

0.2

0.4

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.5

0

0.5

1

1.5

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-1

0

1

2

3

L=9 T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.02

0

0.02

0.04

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.5

0

0.5

1

1.5

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-1

0

1

2

3

L=11 T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.5

0

0.5

1

1.5

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-1

0

1

2

3

L=13 T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.5

0

0.5

1

1.5

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-1

0

1

2

3

L=15 T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.5

0

0.5

1

1.5

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-1

0

1

2

3

L=∞ T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.02

0

0.02

0.04

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-0.5

0

0.5

1

1.5

T[s]0 50 100 150

||err

o2|| 22

-1

0

1

2

3

uma informacao qualitativa sobre o comportamento do erro, mas e preciso quantificar de

algum modo seu comportamento e compara-lo com ΥFB. As variacoes do erro em funcao

de L podem ser quantificadas atraves da medida ϕFB, degradacao do erro quadratico medio

(|| erro ||22), mostrada na Secao 4.3.2. Dado que ΥFB pode ser visto como a degradacao do

erro para o ruıdo de pior caso, e de se esperar que seja um limitante superior para ϕFB.

A variavel ΥFB obtida segundo o Teorema 8 e ϕFB obtida via simulacao de Monte Carlo,

para cada par (L,B) sao mostradas na Tabela 6.6. Note-se que, para L ilimitado (caso

classico), as duas medidas tem o valor de 1, pois o denominador e numerador das razoes

tem o mesmo valor. A tabela tambem inclui PS(L) que denota a probabilidade de sucesso

74

da rede dado L. Para L < 11, o valor de ΥFB e maior que ϕFB o que e de se esperar, dado

que ΥFB pode ser visto como um limitante superior de ϕFB. Para L ≥ 11, ϕFB pode ser

igual ou ate maior que ΥFB, o que e um resultado contraditorio pela hipotese anterior. Para

nosso caso de estudo para L > 11 temos que PS > 0.99, isto e, as probabilidades de perda

na rede sao menores que 1%. Na pratica, isso faz o sistema tender ao caso classico pela

perda de informacao quase nula. Para PS > 0.99, a medida ϕFB, pelo exposto na Tabela

6.6, pode levar a resultados contraditorios, pois essas medidas sao obtidas via simulacao de

Monte Carlo, na qual questoes como ruıdo numerico ou ate o mesmo numero de iteracoes

podem provocar erro na terceira ou quarta casa decimal, ruıdo de importancia dado que a

degradacao da norma ΥFB para PS > 0.99 tem variacao na quarta ou quinta casa decimal.

Para PS < 0.99 e factıvel a utilizacao de ΥFB como limitante superior de ϕFB, resultado

Tabela 6.6: Degradacao da norma e do erro medio quadratico.ΥFB|ϕFB

PS(L)|B B=0 B=1 B=2 B=3PS(L = 3) = 0.2302 1.9255|1.7449 1.6473|1.5988 1.5618|1.4096 1.5477|1.4324PS(L = 5) = 0.7052 1.1905|1.0732 1.1557|1.1307 1.0644|1.0638 1.0470|1.0468PS(L = 7) = 0.9173 1.0373|1.0091 1.0318|1.0233 1.0138|1.0087 1.0102|1.0023PS(L = 9) = 0.9787 1.0087|1.0035 1.0070|1.0061 1.0032|1.0017 1.0027|1.0015PS(L = 11) = 0.9946 1.0021|1.0025 1.0017|1.0017 1.0007|1.0013 1.0008|1.0011PS(L = 13) = 0.9987 1.0005|1.0022 1.0004|1.0007 1.0004|1.0000 1.0004|1.0018PS(L = 15) = 0.9997 1.0001|1.0020 1.0001|1.0002 1.0002|1.0000 1.0002|1.0001

PS(L = ilimitado) = 1.0000 1.0000|1.0000 1.0000|1.0000 1.0000|1.0000 1.0000|1.0000

mostrado na tabela para o caso particular em estudo e pelos trabalhos previos feitos pelo

autor, fazendo teste em outros sistemas como o sistema com autovalores comprimidos e

sistemas massa mola expostos em [45], a utilizacao do ΥFB como limitante superior de ϕFB

para PS < 0.99 tambem e mantida.

6.2.2 Trade-Off Φ e ϕFB

Uma medida de importancia corresponde ao Trade-Off do sistema (Φ) que e definida na

Secao 4.3.4. O sinal de Φ, para um dado L, determina se a melhora na ocupacao da rede Θs,

decremento de interacoes globais, foi maior ou menor que a perda de rendimento do sistema

pela degradacao da norma H∞. A Tabela 6.7 mostra os valores de Φ para o caso de estudo,

onde o ındice s representa o numero global de transmissoes da rede denotado por M e F

corresponde a um filtro dependente do modo D, definido em Secao 4.3.1. Na Tabela 6.7,

todos seus valores sao positivos exceto para o par (B = 0|L = 3), o comportamento da tabela

mostra que para quase a totalidade dos pares (B|L) mostrados o sistema tem um Trade-Off

positivo. Pode ser requisito para o projeto de filtro que o valor de Φ seja positivo, procurando

que o ganho proporcional na rede utilizada seja sempre maior que perda proporcional de

rendimento na dinamica do erro. Dado um L que satisfaca a condicao de Φ > 0, em que Φ

75

Tabela 6.7: Trade Off do sistema Φ.Φ = (1−ΘM)− (ΥDB − 1)

PS(L)|B B=0 B=1 B=2 B=3PS(L = 3) = 0.2302 −0.2491 0.0290 0.1145 0.1281PS(L = 5) = 0.7052 0.1555 0.1902 0.2815 0.2990PS(L = 7) = 0.9173 0.1292 0.1347 0.1528 0.1563PS(L = 9) = 0.9787 0.0754 0.0771 0.0809 0.0814PS(L = 11) = 0.9946 0.0424 0.0429 0.0438 0.0438PS(L = 13) = 0.9987 0.0238 0.0240 0.0250 0.0239PS(L = 15) = 0.9997 0.0134 0.0134 0.0133 0.0133

PS(L = ilimitado) = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

e calculado utilizando ΥDB, e possıvel garantir que Φ seja positivo ao trocar ΥDB por ϕDB?

O valor de Φ e definido como a diferenca entre (1−ΘM) e (ΥDB − 1) podendo ser colocada

da seguinte forma Φ = 2 − ΘM − ΥDB, na qual Φ > 0 se 2 > (ΘM + ΥDB) para um dado

L. O valor de ΘM e independente do filtro, so depende dos parametros da rede, por isso ao

trocar ΥDB por ϕDB seu valor nao muda. Segundo a hipotese de que se pode utilizar ΥDB

como limitante superior de ϕDB com a restricao de PS < 0.99, tem-se a seguinte relacao,

2 > (ΘM + ΥDB) > (ΘM + ϕDB) se PS(L) < 0.99 (6.1)

Essa desigualdade garante que, se o valor da medida do Trade-Off Φ e positivo, ao trocar

ΥDB por ϕDB, o sinal da variavel Φ e mantido. E importante ressaltar que os resultados

sao validos so para filtros via MJLS dependentes do modo, que sejam otimos em sistemas

com perda tipo Bernoulli. Ao se utilizar outro tipo de filtro, como os projetos de filtros

classicos (que nao contemplam perda), essas relacoes ja nao sao mais validas. Ate mesmo a

estabilidade pelo segundo momento do sistema nao pode ser mais prevista.

6.3 Resumo do capıtulo

No presente capıtulo, foram abordados dois temas: as variacoes das medidas de desempenho

para o problema de Trade-Off e o impacto da limitacao de L no erro quadratico medio e

desvio padrao. Ambos temas foram tratados em artigos anteriormente para sistemas sem

atraso e aqui ha novos resultados ao analisar o sistema com janela de janela de espera B. As

tendencias das variacoes das medidas de desempenho obtidas anteriormente para o sistema

sem atraso sao mantidas para sistemas com atraso. Utilizando filtros markovianos para a

maioria dos valores de L tem-se Trade-Off positivo, isto e, a melhora na ocupacao da rede

Θs e maior que a degradacao da norma ΥFB. Do mesmo modo, e observado nos graficos

do Trade-Off que a norma para projetos via MJLS converge mais rapidamente ao valor de

norma do sistema sem perda que utilizando o filtro Hıbrido. O medida ΥFB para projetos

76

via MJLS chega aos valores classicos antes que PS e ΘM , possibilitando Trade-Off positivo.

Fazendo a mesma analise para o filtro projetado usando as hipoteses classicas implementado

na rede com perda de informacao, tem-se, que para a maioria dos pares (L,B) o Trade-Off

e negativo.

Para sistemas sem atraso, tem-se resultados, feitos em trabalhos anteriores, que mostram

que a limitacao de L tem relacao direita com o aumento do erro quadratico medio e seu desvio

padrao. Segundo os resultados expostos no presente capıtulo, esses resultados sao mantidos

em sistemas com janela de espera B, hipotese valida quando sao implantados filtros via

MJLS para PS < 0.99, dado que, em sistemas com perda menor que 1%, a dinamica do

erro e praticamente aquela do sistema sem perda. Os resultados mais importantes sao que,

para PS < 0.99, pode-se utilizar ΥFB como limitante de ϕFB, sendo viavel utilizar ΥFB

como criterio do projeto procurando que o aumento do erro quadratico medio seja igual ou

menor que ΥFB. Esta relacao e util para projetar um limite de transmissoes L que garanta a

estabilidade e um certo grau de desempenho, alem de ter um impacto positivo nas estatısticas

de utilizacao da rede.

77

Capıtulo 7

Trade-Off em sistemas dinamicos

aplicado a eficiencia energetica em

redes sem fio

Nos capıtulos anteriores, sao abordadas as questoes referentes a estabilidade, degradacao da

norma H∞ e variacoes das medidas de desempenho utilizadas para quantificar o impacto da

comunicacao Semi-reliable em projetos de filtros classicos e markovianos. Neste capıtulo, e

apresentada uma aplicacao de nossa proposta voltada para projetos de controle que contem-

plem eficiencia energetica para as redes de comunicacao onde os sinais sao transportados.

A aplicacao desenvolvida e baseada em [46], onde sao analisadas as variacoes do consumo

medio de energia em um laco de controle no qual os sinais sao transportados atraves de

unidades transceptoras sem fio LR-WPANs. O capıtulo tem a seguinte estrutura. Primeiro,

sao apresentados os criterios de projeto e parametros de rede para o problema. Em seguida,

e proposto um modelo de consumo teorico de energia para unidades transceptoras sem fio,

para redes que implementam o esquema de transporte Hop-by-Hop. Por ultimo, tem-se uma

secao com as consideracoes utilizadas para projeto de filtro e, finalmente, uma secao com os

resultados e suas analises.

7.1 Projeto de Filtro com eficiencia energetica

Uma possıvel aplicacao do Trade-Off em sistemas dinamicos e desenvolver projetos de con-

trole procurando otimizar ao mesmo tempo criterios de desempenho do sistema dinamico e

minimizar custos para as redes que transportam os sinais das medidas. Para uma planta

particular, onde os sinais sao transportados em uma rede WSN Multi Hop, sendo os nos

unidades XBee pro, sao solicitados os seguintes projetos:

1. Projeto A: Corresponde a um projeto de filtro com o menor custo de energetico para

78

a rede, mediante a selecao de L. O erro quadratico medio pode ter um aumento menor

que ou igual a 15% em comparacao com o sistema classico sem perda. Alem disso,

deve-se avaliar o comportamento do filtro Hıbrido com os mesmos parametros de rede.

2. Projeto B: Consiste em projetar um filtro com a menor quantidade de interacoes

para a rede mediante a selecao de L que garanta um Trade-Off positivo. Avaliar o

impacto na economia de energia para a rede, tanto para o filtro Hıbrido quando para

a abordagem markoviana.

Para ambos os projetos, quantifica-se o consumo de energia do laco de controle para a base

de tempo de uma hora.

7.1.1 Parametros do sistema dinamico

O sistema dinamico a ser utilizado em ambos projetos corresponde ao pendulo de Furuta.

Para o primeiro projeto, o sistema corresponde ao pendulo linearizado em torno de seu ponto

equilıbrio estavel, sistema (5.2) segundo equacoes (5.5). Para o segundo projeto, tambem

utilizamos o pendulo de Furuta, mas linearizado em torno de seu ponto de equilıbrio instavel,

segundo o sistema (5.1) com a matriz J nula conforme os dados mostrados em [43, 46]. No

caso da presenca de atraso ocasionado pela rede, pode-se utilizar a estrategia de atraso fixo

segundo a janela de espera B, transformando os atrasos variaveis em fixos multiplos da

frequencia de amostragem definida na Secao 4.2 e dada pela equacoes (4.2). Caso ocorra

perda de informacao da medida pela rede, e utilizada a estrategia Zero, que substitui a

informacao perdida por zero, como mostrado na Secao 4.2.1 e definida pelas equacoes (4.3).

As medidas do sistema sao transmitidas a cada 50[ms] sendo elas os angulos das articulacoes

do pendulo mais ruıdo de medida, que correspondem aos estados medidos da planta real. A

saıda a ser estimada corresponde aos angulos e as velocidades angulares com um fator de 2,

a estimacao das velocidades com fator de dois e feita procurando uma maior penalizacao na

estimacao das velocidades. As matrizes que definem a saıda medida e a saıda estimada sao

definidas abaixo para o sistema em formato de estado (3.1), note-se que Ez e nula.

[Cy Ey

Cz Ez

]=

1 0 0 0 0.05 0

0 1 0 0 0 0.05

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0

0 0 0 2 0 0

, (7.1)

79

7.1.2 Parametros de Rede

Os sinais das medidas da planta sao transmitidos por uma rede Multi Hop tipo cadeia

utilizando o esquema de transporte Hop-by-Hop segundo a Figura 4.2. A rede e composta

por unidades LR-WPANs, especificamente por uma rede de sensores sem fio (WSN) composta

por unidades XBee Pro com parametros descritos em [18]. As unidades XBee Pro transmitem

com uma potencia de 1[mW] e com uma taxa de 200[Kbps]. Os pacotes contem os sinais

das medidas do sistema em um unico instante k. Para os pacotes com os sinais de medida

a largura corresponde a 100 bytes com uma probabilidade de acerto de 38% entre Link.

Os pacotes que enviam o acknowledgement (ACK) tem uma largura menor, de 50 bytes, e

uma probabilidade de acerto maior, devido ao seu tamanho menor, correspondendo a 56%

entre Link, ambas larguras de pacote incluem os cabecalhos. Probabilidade de recepcao

dos pacotes dado um tempo de espera corresponde a ∇, para uma rede com 7 roteadores

intermediarios, utilizando comunicacao Full reliable consideramos que a probabilidade de

receber um pacote no destino, dada uma espera de 100[ms] e de ∇100 = 93% e dada uma

espera de 150[ms] corresponde a ∇150 > 99%, a partir da qual pode-se desprezar as perdas

pela espera. Consideramos que a probabilidade de acerto da rede PS e de atraso ∇ sao

independentes e correspondem a variaveis aleatorias Bernoulli, ademais, e considerado que

as probabilidades ∇ nao variam quando e utilizada comunicacao semi reliable, pela limitacao

de L.

7.2 Proposta de modelo teorico de consumo de energia

para WSN

Propomos um modelo teorico de consumo de energia para unidades WSN, baseada nos tres

custos energeticos associados a uma unidade transceptora mostrados na Secao 3.2.2, baseado

no artigo [16] e esquematizados na Figura 3.2. Os tres custos energeticos sao respectivamente:

gasto energetico associado ao modo de transmissao ETX , gasto energetico associado ao modo

de recepcao ERX e gasto energetico associado a comutacao entre os modos ESW . Suponha-

mos que se tenha dois nos em uma comunicacao ponto a ponto ideal sem erro (PS = 1) e o

estado normal das unidades corresponde a escuta (recepcao). Quando ha um dado pronto

a ser transmitido por um no que esta em seu estado normal de trabalho de recepcao, este

deve comutar para o modo de transmissao, enviar a mensagem e depois comutar novamente

para recepcao, e como nao ha perda, o vizinho recebe a mensagem. O custo total energetico

(ETotal) da transmissao de uma mensagem para nosso caso determinıstico corresponde a:

duas vezes ESW , uma vez ETX e uma vez ERX . Note que se os nos estao normalmente em

recepcao, o numero de comutacoes entre modos (NSW ) e definido pelo numero de trans-

missoes (NTX) e, se nao ocorre perda, o numero de recepcoes (NRX) e igual ao numero de

transmissoes. Entao, o custo energetico total ETotal do sistema sem perda e dado por,

80

ETotal = ETXNTX + ESWNSW + ERXNRX , (7.2)

ETotal = ETXNTX + ESW (2NTX) + ERXNRX , (7.3)

ETotal = (ETX + 2ESW )NTX + ERXNRX . (7.4)

Baseado na mesma analise, generalizando para uma rede com falha na comunicacao, o

valor de ETotal ja nao e mais um valor determinıstico. O valor de ETotal agora corresponde

a uma variavel aleatoria, na qual e de interesse para a analise do consumo de energia o

primeiro momento, isto e, o valor esperado do consumo de energia da transmissao de um

pacote pela rede, denotado por E(ETotal). Utilizando a equacao (7.4) do caso determinıstico

podemos obter as seguintes relacoes,

E(ETotal) = E((ETX + 2ESW )NTX + ERXNRX). (7.5)

colocando as constantes em evidencia tem-se,

E(ETotal) = (ETX + 2ESW )E(NTX) + ERXE(NRX). (7.6)

Agora aplicamos a equacao (7.6) para a rede estudada no presente trabalho, correspon-

dente a rede tipo cadeia segundo a Figura 4.2 que implementa o mecanismo de transporte

Hop by Hop. As grandezas E(NTX) e E(NRX) podem ser obtidas de forma fechada tanto para

comunicacao Full-reliable e Semi-reliable segundo o Teorema 9 mediante a equacao (3.39) na

qual se determina o valor esperado de transmissoes globais da rede e o Teorema 10 mediante

a equacao (3.32) na qual se determina o valor esperado do numero global de recepcoes da

rede. Pode-se trocar NTX e NRX por M e R, respectivamente, mantendo a notacao definida

em [33] e esquematizada na Tabela 3.1. Fazendo as trocas de variaveis, tem-se que o valor

esperado do consumo energetico da transmissao de um pacote se torna funcao de L , p1, p2

e N , valores mostrados na Secao 3.2. Fazendo as substituicoes na Equacao (7.6), o valor

esperado do consumo de energia fica,

E(ETotal(p1, p2, L,N)) = (ETX + 2ESW )E(M) + ERXE(R). (7.7)

Analisando as Equacoes (3.39) e (3.32), pode-se observar que, tanto para comunicacao

Full-reliable quanto para Semi-reliable, o valor esperado do numero global das recepcoes

pode ser definido em funcao do valor esperado do numero global de transmissoes segundo a

relacao E(R) = p1E(M), veja os Teoremas 9 e 10, o valor esperado do consumo de energia

da rede e definida como,

E(ETotal(p1, p2, L,N)) = (ETX + 2ESW + p1ERX)E(M). (7.8)

81

Na Equacao (7.8), o valor esperado de consumo energetico da transmissao de um pacote

pela rede tem que ser modificado para obter o valor esperado de consumo energetico por

unidade de tempo do laco de controle. Para nosso caso de estudo, projeto de filtro, os pacotes

de medidas sao transmitidos periodicamente conforme a frequencia de amostragem TS−1.

Finalmente tem-se que para rede tipo cadeia segundo a Figura 4.2 que implementa como

mecanismo Hop-by-Hop o valor do consumo energetico por unidade de tempo da comunicacao

entre a planta e o Filtro, para unidades WSN, corresponde a,

E(ETotal(p1, p2, L,N)) = Ξ× (ETX + 2ESW + p1ERX)E(M)

TS, (7.9)

onde TS e o tempo de amostragem do sistema sistema dinamico e Ξ indica o coeficiente

escalar utilizado para obter a esperanca do consumo de energia para diferentes unidades de

tempo, por exemplo, que fazendo Ξ = 1, tem-se o valor de consumo energetico esperado

para um segundo, do mesmo modo, para Ξ = 3600 tem-se o valor esperado de consumo

de energia para uma hora. Outro resultado importante corresponde a que, dada a relacao

E(R) = p1E(M), as medidas de desempenho descritas na Secao 4.3.3, decremento global das

interacoes da rede, ΘM , ΘR e ΘG sejam substituıdas por uma unica medida, pois E(R) e

E(G) sao proporcionais a E(M), a prova deste fato pode ser encontrada em [44].

7.3 Proposta de solucao

Os dois projetos de filtro podem ser esquematizados como um problema de otimizacao base-

ado em tres restricoes para selecionar o numero maximo de transmissoes por pacote L, que

procure otimizar ao mesmo tempo o consumo energetico da rede e o rendimento do filtro,

verificado pela norma H∞ do erro de estimacao. Ha tres restricoes: a primeira procura ga-

rantir a estabilidade pelo segundo momento da dinamica do erro, a segunda procura limitar a

degradacao do erro quadratico medio e por ultimo a restricao do Trade-Off positivo. O pro-

blema de otimizacao que procura o mınimo segundo as tres restricoes pode ser formalizado

como

min L :

1− (rσ)−2 < (1− (p1)

L)N Estabilidade,

ΥFB 6 α ; α > 1 Erro Quadratico Medio,

Φ > β ; β > 0 Trade-Off.

(7.10)

Na Equacao 7.10, a primeira parcela 1 − (rσ)−2 < (1 − (p1)L)N corresponde a restricao

(4.6), que garante a estabilidade pelo segundo momento do erro. Esta restricao e garantida

para sistemas estaveis mas nao para instaveis, em sistemas com processo de perda Bernoulli.

A segunda parcela restringe a degradacao da norma mediante a desigualdade ΥFB 6 α,

procurando limitar o aumento do erro quadratico medio, segundo mostrado na Secao 6.2.

A terceira parcela procura obter um filtro onde, percentualmente, as melhorias para a rede

82

sejam maiores que a perda de desempenho, em norma H∞ como mostrado em Secao 4.3.4.

Minimizando L e minimizado o consumo energetico da rede, segundo a Equacao (7.9). Mas,

em contrapartida, a minimizacao de L aumenta a norma H∞ do erro, que pelos resultados

obtidos neste trabalho tem um comportamento monotonico crescente em funcao do aumento

na taxa de perdas de pacote (PLR). Note-se que, dependendo do problema, as restricoes

do erro quadratico medio e Trade-Off podem ser desconsideradas, mas as restricoes de

estabilidade tem que ser mantidas.

7.3.1 Parametros gerais dos projetos

Para ambos projetos tem-se que os parametros de rede sao: probabilidade de Link p1 = 0.38

e probabilidade de ACK p2 = 0.56. O numero de saltos N para 7 roteadores intermediarios

corresponde a N = 8, segundo a Figura 4.2. Note-se que utilizando os teoremas mostrados

na Seccao 3.2, baseados no artigo [43], pode-se obter de forma fechada E(M) e E(R) para

redes onde as probabilidades de Link e ACK sao diferentes entre si, o que nao e possıvel

fazer utilizando o modelo encontrado na literatura [33].

Os custos energeticos sao obtidos segundo [18] para as unidades XBee Pro para uma

tensao de alimentacao de 3.3[V]. As larguras dos pacotes e taxa de transmissao sao dados

do problema, mostrado na Secao 7.1.2, fazendo simples contas tem-se ETX = 228[µJ] e

ERX = 208[µJ]. O custo de comutacao entre os modos ESW e considerado nulo. O valor de

Ξ utilizado corresponde a 3600 e TS corresponde a 0.05[s], para ambos projetos.

A probabilidade de acerto da rede PS depende das variaveis p1, p2, L e N , que sao inde-

pendentes da janela de espera dos dados B. As probabilidades ∇ para 100[ms] correspondem

a uma janela de espera com largura B = 2, e para o tempo 150[ms], a uma janela de es-

pera com largura B = 3. Combinando as probabilidades PS e ∇, estabelecemos uma nova

probabilidade de acerto da rede PS definida por,

PS(p1, p2, L,N,B) = ∇B × PS((p1, p2, L,N). (7.11)

Dado que, para os problemas tratados neste trabalho, os parametros de rede p1, p2 e N sao

constantes, a notacao e simplificada utilizando PS(L|B), que a probabilidade de acerto da

rede ao transmitir um pacote com um limite de transmissoes L e esperando um janela B.

Ao fazer isso, a restricao que garante a estabilidade do sistema, equacao (4.6), podem ser

redefinida,

LF = minL|B : 1− (rσ)−2 < ∇B(1− (p1)L)N . (7.12)

Note-se que, para nosso caso em estudo, ∇3, com B = 3, tem o valor de 1.

83

7.4 Resultados dos projetos

7.4.1 Projeto A

O primeiro projeto pode-se esquematizar na seguinte equacao,

min L|B :

1− (rσ)−2 < ∇B(1− (p1)

L)N

ΥFB 6 1.15(7.13)

A restricao ΥFB 6 1.15, procura cumprir com o criterio de projeto de que o erro

quadratico medio tenha um aumento menor ou igual a 15%. E utilizado ΥFB para limi-

tar o aumento do erro baseado na hipotese que ΥFB pode ser usado como limitante superior

de ϕFB, como mostrado na Secao 6.2. A parcela correspondente na restricao do Trade-Off

do sistema nao e incluıda na Equacao (7.13), pois o Projeto A nao tem como especificacao

a ser satisfeita o Trade-Off positivo. O projeto procura levar economias para a rede ao

permitir aumentar o erro quadratico medio. Utilizando a medida ΥFB como limitante supe-

rior do aumento do erro procedemos na procura do menor L que satisfaz a restricao com os

parametros de rede. A Figura 7.1 mostra as variacoes de ΥFB, Θs e PS para B = 2 e B = 3.

4 6 8 10 12 14 16 18 200.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

L

PS,ϒ

,Θ

PS

ϒI1

ΘM

(a) Υ,Θ, PS para B = 2

4 6 8 10 12 14 16 18 200.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

L

PS,ϒ

,Θ

PS

ϒI1

ΘM

(b) Υ,Θ, PS para B = 3

Figura 7.1: variacoes das medidas do Projeto A.

Note-se que, na Figura 7.1a, as medidas ΥFB e PS nao convergem a um com o aumento

de L, pois ∇B=2 = 0.93 que faz que PS tenha esse valor limite . O filtro classico sem perda

tem uma norma H∞ de 2.0006, valor nao alcancado pelo aumento de L devido a ∇B=2 = 0.93

que faz que a norma H∞ obtida via MJLS para probabilidade de acerto de 0.93 seja 2.0244,

o que tambem podem ser visto no grafico de ΥFB, Figura 7.1a, que converge a 1.0114.

Os resultados para L sob as restricoes formuladas em (7.13) sao os seguintes. Para uma

janela de espera de B = 2, o limite para transmissoes por pacote corresponde a L = 6

com uma norma H∞ de 2.1305 e um ΥFB = 1.1055, PS de 0.5824 e ΘM de 0.6266. Para

janela com B = 3 tem-se que L mınimo corresponde a 5 com uma norma H∞ de 2.1305 e

um ΥFB = 1.1350 e PS de 0.4636 com ΘM de 0.5104. O custo energetico por hora para a

rede da implementacao de um projeto de filtro Hıbrido, sem perda de pacotes, corresponde a

84

1.0041×106[J]. Para os projetos de filtros markoviamos, que fornecem uma solucao otimizada

para filtragem atraves de uma rede com perda, tem-se os seguintes custos, para B = 2 foi

6.2917 × 105[J] e B = 3 foi de 5.1273 × 105[J], que correspondem a economias de 38.44% e

48.96%, respetivamente.

Simulacao temporal

Pelos resultados anteriores e melhor utilizar uma janela de espera de 150[ms] (B = 3) dado

que se obtem um L menor do que aquele se obtem para espera de 100[ms] (B = 2). Mas,

segundo a Tabela 6.5, o aumento do tempo de espera faz com que o erro aumente signifi-

cativamente. A Figura 7.2 mostra o erro quadratico medio para avaliar se ele cumpre com

requisito de projeto de manter o aumento do erro 15% menor em relacao aos valores sem

perda, para isso e feita uma simulacao de Monte Carlo segundo o mostrado na Secao 6.2 e

os graficos estao na Figura 7.2.

0 50 100 150−0.5

0

0.5

1

1.5

T[s]

||err

o 2|| 22

Erro

2

σσ

(a) erro para B = 2

0 50 100 150−0.5

0

0.5

1

1.5

2

T[s]

||err

o 2|| 22

Erro

2

σσ

(b) erro para B = 3

Figura 7.2: variacoes das medidas do Projeto A.

O valor de ϕ(L|B) para B = 2 corresponde a 1.0913 e para B = 3 foi de 1.0546, ambos

inferiores ao limite permitido, lembre que ambos valores sao em funcao da comunicacao sem

perda, filtro classico, para seu respectivo L. Os dados mostram que o projeto utilizando a

janela de espera B = 3 tem melhores resultados, mas pode-se observar na Figura 7.2a que

ha um erro medio menor que na Figura 7.2b, isso e de se esperar pois utilizar um B maior

tem-se como consequencia aumentar o erro quadratico medio como mostrado na Secao 6.2.1.

7.4.2 Projeto B

O segundo projeto e esquematizado na equacao,

min L|B :

1− (rσ)−2 < ∇B(1− (p1)

L)N ,

Φ > 0.(7.14)

A restricao que procura cumprir o criterio degradacao do erro quadratico medio nao e

incluıda, dado que a degradacao percentual do erro nao e uma restricao do Projeto B. A

85

parcela correspondente a restricao do Trade-Off do sistema, definida pela restricao Φ > 0,

define nosso parametro a otimizar segundo os valores de L. O Projeto B nao tem como

criterio minimizar a degradacao, apenas requer que o Trade-Off seja positivo, com isso

pode-se utilizar tanto uma janela de espera de B = 2 com ∇100 = ∇B2 = 0.93 ou B = 3

com ∇150 = ∇B3 ≈ 1.00. O Projeto B, diferentemente do Projeto A, tem que procurar L

que garanta a condicao de estabilidade de erro pois o sistema utilizado corresponde a um

sistema instavel, o qual tem autovalor com modulo maior que um em seu sistema discreto

equivalente. A Figura 7.3 mostra o comportamento das medidas de desempenho Υ, Θ e PS

e os graficos do Trade-Off do sistema para filtro markoviano dependente do modo, para os

dois valores de B.

L10 15 20 25 30

PS,Υ

,Θ

0.8

1

1.2

1.4 PSΥ

I1

ΘM

(a) Υ,Θ, PS para B = 2

L10 15 20

PS,Υ

,Θ

0.5

1

1.5

2

PSΥ

I1

ΘM

(b) Υ,Θ, PS para B = 3

L10 15 20 25

ΦI

-0.05

0

0.05 Trade Off

(c) Φ para B = 2

L5 10 15 20

ΦI

-0.1

-0.05

0

0.05

Trade Off

(d) Φ para B = 3

Figura 7.3: Diagramas do Pendulo de Furuta.

Uma questao de importancia e que, para B = 2, mesmo com L ilimitado, ou seja comu-

nicacao Full reliable, tem-se perda de dados da medida. Isso pode ser observado na Figura

7.3a, onde, como acontece com a Figura 7.2a, as medidas de desempenho ΥFB e ΘM nao

convergem para um com o aumento de L, o que tem impacto no Trade-Off do sistema (Fi-

gura 7.3c). Apenas para valores intermediarios de L o valor e positivo (Φ > 0).

O valor L mınimo que garante um Trade Off positivo corresponde a L = 8 para B = 2

com uma norma H∞ de 3.6842 com ΥFB igual a 1.1970. Os dados de rede para o par (L,B)

86

foram PS de 0.7794 fornecendo um ΘM igual a 0.7653. Do mesmo modo para B = 3 os

valores do sistema que garante um Φ > 0 com o mınimo consumo de recursos para a rede

correspondem a L = 7 fornecendo os valor de norma H∞ de 5.3733 com ΥFB igual a 1.2440

e os dados de rede de PS de 0.7507 fornecendo um ΘM igual a 0.7193.

Os custos energeticos para os pares L|B otimos cumprem as restricoes da Equacao (7.14)

sao para L = 8|B = 2 iguais a 1.3710 × 103[J] e para L = 7|B = 3 iguais a 1.2885 ×103[J]. Percentualmente, as economias para a rede correspondem a para a 23.47% e 28.07%,

respectivamente. Utilizando os projetos classicos em sistemas com perda de informacao

satisfazendo as restricoes (7.14), resulta para o caso estudado em maiores valores de L alem

de valores de norma mais elevados. O valor de L que satisfazendo as restricoes para B = 2

corresponde a L = 9 e para B = 3 e L = 8, correspondendo a L + 1 em comparacao com o

filtro MJLS. Como resultado final, tem-se que filtros via MJLS sujeitos as restricoes (7.14)

implicam em uma economia energetica para a rede de 28.07% para B = 3 e de 23.47% para

B = 2, e dado que nao ha restricao no aumento do erro quadratico medio, e melhor utilizar o

projeto com B = 3, pois fornece a solucao com Trade-Off positivo e menor custo energetico.

7.4.3 Conclusao geral dos projetos de filtros

Os projetos de filtros apresentados procuram ilustrar as possıveis aplicacoes de Trade-Off

em sistemas dinamicos. Foram utilizados parametros de rede mais realistas, impondo que,

para um tempo de espera menor, tenha-se mais perda de dados, hipotese realista, pois as

redes digitais tem um custo em tempo. O maior tempo de espera significa atraso nos dados

e degradacao do desempenho, mas, para os dois problemas propostos, esperar mais tempo

gera solucoes com menor uso dos recursos energeticos da rede. Outro resultado a destacar

e que a restricao do Trade-Off positivo fornece resultados mais conservadores que somente

limitar o aumento do erro via ΥFB.

87

Capıtulo 8

Conclusao e trabalhos futuros

No presente trabalho, fez-se um desenvolvimento extensivo de uma proposta de aplicacao

de controle em redes de computador. O Trade-Off em sistemas dinamicos consiste em um

compromisso entre um parametro de desempenho do sistema dinamico e um parametro de

interesse para a rede. Os sistemas dinamicos analisados no trabalho incluıram o projetos de

filtros cujo parametro de desempenho e a norma H∞ do erro de estimacao. O parametro de

interesse a otimizar para a rede corresponde ao valor esperado do numero de transmissoes

global, para uma rede Multi-Hop que implementa o esquema de transporte Hop-by-Hop. Os

criterios para estabilidade da dinamica do erro estimacao e o impacto na degradacao do erro

quadratico medio dos filtros em uma comunicacao semi-reliable foram previamente expostos

em [43] e [45], mas neste trabalho sao aprofundadas e foram incorporadas analises quanto

ao atraso dos sinais de medida.

Outros resultados importantes correspondem ao comportamento dos filtros Hıbrido ao

implementa-los em redes com falha na comunicacao. Faz-se tambem a comparacao de ren-

dimento com as solucoes via sistemas markovianos. Para projetos de filtros markovianos

dependentes do modo, para uma cadeia tipo Bernoulli, o valor maximo admitido para a pro-

babilidade de perda de pacotes depende do raio espectral do sistema discreto equivalente,

conforme a Equacao (4.6). Utilizando a estrategia de atrasos fixos, multiplos da frequencia

de amostragem, para sinais de medida conforme a Secao 4.2, mostra-se que o maximo valor

de probabilidade de perda admitido ao aumentar a ordem do sistema pela incorporacao do

atraso do sinais de medida nao varia, pois os autovalores adicionados tem modulo nulo. Para

um filtro Hıbrido, as relacoes mencionadas anteriormente nao sao mais validas, e o valor de

probabilidade de perdas maximo para garantir a estabilidade da dinamica do erro nao pode

ser obtido analiticamente segundo a Equacao (4.6) e ela tambem depende do atraso das me-

dida. Utilizando filtros markovianos dependentes do modo, teoricamente, tem-se um filtro

factıvel para qualquer probabilidade de acerto nao nula, como mostrado na Figura 5.4, de

degradacao da norma H∞ em funcao da probabilidade de acerto da rede.

Das analises das variacoes das medidas de desempenho: degradacao da norma do H∞ do

88

sistemas ΥFB, decremento do global de transmissao da rede ΘM e probabilidade de acerto

da rede PS, pode-se observar que, tanto para sistemas instaveis como estaveis, a norma H∞

converge a valores classicos, i.e. sem perda de informacao, mais intensamente que as demais

medidas. Este resultado foi mostrado claramente nos graficos de Trade-Off o que mostram

valores positivos que significa que a perda em norma foi menor que o ganho para a rede,

medida pela diminuicao do do numero global das transmissoes. Outro resultado importante

corresponde a possibilidade de utilizar o valor de ΥFB como limitante superior do aumento

do erro quadratico medio, possibilitando ter uma informacao do aumento do erro devida a

perdas de pacote sem a necessidade de uma simulacao temporal do sistema.

Baseado nas analises do comportamento do sistema, mediante a utilizacao de sistemas

markovianos foi formalizado o problema de Trade-Off mediante a Equacao (7.10), que se

apresenta novamente abaixo,

min L :

1− (λmax)

−2 < (1− (p1)L)N Estabilidade

ΥFB 6 α ; α > 1 Erro Quadratico Medio

Φ > β ; β > 0 Trade Off

(8.1)

Nela, ha tres restricoes para otimizacao do numero de transmissoes maximo por pacote L.

A restricoes sao as seguintes: garantir a estabilidade do erro, limitar a degradacao do erro

quadratico medio e Trade-Off positivo. O valor de L tem influencia no valor esperado do

numero transmissoes global da rede e tambem no valor esperado do consumo de energia para

a rede. Baseado nas restricoes, foram dados dois exemplos de projetos de filtro utilizando o

modelo proposto de consumo de energetico para unidades WSN. Foram obtidas significativas

economias para a rede. Note-se que, baseado nas tres restricoes, pode-se obter diferentes

configuracoes. Alem do mais, como mostram os exemplos, pode-se adicionar o problema de

perda de dados pelo atraso da utilizacao de redes no transporte de dados.

8.1 Trabalhos futuros e perspectivas

No presente trabalho, foi abordado um caso muito restrito tanto do ponto de vista da rede

quando do ponto de vista do sistema dinamico. Trabalhos futuros podem ser feitos na analise

do Trade-Off do mesmo problema de filtragem abordado neste trabalho mas utilizando ou-

tros criterios de desempenho encontrados na literatura de controle como a norma H2 ou

o criterio linear quadratico. Do mesmo modo, estao em aberto para projetos de controle

o Trade-Off. Tambem podem ser estudadas outras topologias e mecanismos de transporte,

como por exemplo o esquema alternativo do Hop-by-Hop que e o esquema End-to-End. Alem

de modelos na literatura de redes como o roteamento oportunista, do ingles opportunistic

routing [4].

89

Uma potencial aplicacao dos conceitos de Trade-Off de sistemas dinamicos consiste em

uma estrategia de controle que permita cooperacao entre controlador e rede. O exemplo dado

em [43] corresponde a um sistema onde o numero maximo de retransmissoes L e escolhido em

comum acordo entre o controlador e a rede. Neste cenario hipotetico, para valores nominais

de congestionamento a rede implementaria um valor de L suficientemente alto para garantir

que o valor da norma seja mais proximo ao valor classico. Quando a rede tiver problemas,

como o congestionamento, ou quaisquer outros que possuam levar ao seu colapso, a rede ira

informar ao controlador a situacao e limitara o valor de L, em uma tentativa de diminuir

a carga da rede. Quando o controlador receber o alarme da rede, ele trocara o controlador

para a nova configuracao de L, garantindo a estabilidade do sistema. Se a rede voltar ao

estado normal, ela ira informar o controlador que o valor de L sera trocado pelo nominal,

ja que a rede solucionou seus problemas e pode retransmitir mais pacotes. Este tipo de

sistema de controle em rede, que nos denominamos como “inteligente”, pode ser importante

para garantir a robustez do sistema de controle em redes, porque quando uma rede usada

para transportar dados de controle entra em colapso, nao e possıvel garantir a estabilidade

para todo o sistema que faz uso da rede durante este perıodo de tempo. O objetivo dos

Sistemas Inteligentes de Controle em Rede seria minimizar a probabilidade colapso da rede

limitando momentaneamente L, enquanto o valor de norma aumenta no sistema, mas ainda

garantindo a estabilidade no intervalo de tempo, enquanto ocorrem os problemas, sendo uma

opcao melhor do que o colapso da comunicacao.

Outro campo de estudo seria formular um marco teorico de modelos de controle energeticos

eficientes para os sistemas de comunicacao que transportam sinais de controle. Neste traba-

lho foram dados dois exemplos baseados em [46]. Mas a problematica de minimizar custos

energeticos para a rede ainda esta em aberto pois nao ha trabalhos similares na literatura.

Outro ponto importante e que minimizar as transmissoes da rede pode ter um impacto

positivo nao so no consumo de energia dos nos, como tambem em problemas de congestiona-

mento, de muita importancia se no futuro sao utilizadas redes de dados compartidas multi

propositos, como IEEE 802.11 wifi, para dados de controle tanto industrial ou domestico.

90

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Apendice A

Proposta de Modelagem de atraso em

redes Multi-Hop

No Capıtulo 4 e proposta a estrategia da janela de espera para transformar os atrasos

variaveis da rede em atrasos fixos multiplos da frequencia de amostragem. E necessaria

uma estimativa da funcao de densidade probabilidade (PDF) do atraso para selecionar a

largura da janela de espera. E proposto um modelo teorico para calcular esta PDF baseado

em tres custos esquematizados na Figura A.1.

Figura A.1: Custos de tempo proposto para redes Multi-Hop.

Os custos correspondem a: tempo de transmissao necessario para um pacote tx[s], tempo

de processamento correspondente ao tempo utilizado em processar a mensagem desde sua

recepcao tr[s]. Por ultimo, o tempo de espera, que e tempo maximo de espera do ACK te[s].

A Figura A.1 esquematiza o modelo de espera para um Hop onde o tempo de atraso ∇

97

corresponde a,

E(∇) = E(tx + tr + te)[s]. (A.1)

Para um unico Hop te[s] e uma variavel aleatoria. Ela e definida por uma PDF geometrica.

Para uma rede tipo cadeia composta por N Hops que implementa o esquema de transporte

Hop-by-Hop, a PDF do atraso da rede e dada por,

PDFatraso = N × (tx + tr) + te ×NB(N, p). (A.2)

A funcao NB(N, p) corresponde a funcao de densidade de probabilidade Binomial Ne-

gativa [40], que corresponde a soma das PDF geometricas que compoem cada Hop. A PDF

Binomial Negativa e dada por,

NB(N, p) =

(K −N − 1

K

)(1− p)NpK , (A.3)

p corresponde na probabilidade de acerto da transmissao do mensagem e K corresponde ao

numero de sucesso.