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Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Física
1º Relatório PIBIC
Período: Setembro de 2008 à Fevereiro de 2009
Projeto: Resolução numérica da equação de Schrödinger
——————————————— Christian Eike Precker
(Orientando)
——————————————— Prof. Dr. Rômulo Rodrigues da Silva
(Orientador)
Campina Grande — 27 de fevereiro 2009 —
1
Conteúdo
1 - Resumo do plano inicial --------------------------------------------------------------------- 3
2 - Resumo das atividades desenvolvidas no período --------------------------------------- 3
3 - Detalhamento dos progressos realizados -------------------------------------------------- 4
A – Equações diferenciais -------------------------------------------------------------- 4
B – Equação de Schöringer unidimensional independente do tempo ------------ 6
C – Integração numérica ---------------------------------------------------------------- 8
4 - Plano de Trabalho e etapas seguintes ------------------------------------------------------ 13
5 – Anexos ----------------------------------------------------------------------------------------- 15
2
Lista de Figuras
3.1 – Modelo da sublimação da naftalina ------------------------------------------ 5
3.2 – Potencial numa caixa unidimensional ---------------------------------------- 6
3.3 – Modelo de integração numérica via retângulos ----------------------------- 9
3.4 – Modelo de integração numérica via trapézios ------------------------------- 10
3.5 – Modelo de integração numérica via Simpson -------------------------------- 11
3.6 – Raízes do polinômio de Legendre de grau 3 --------------------------------- 12
3
Capítulo 1
Resumo do plano inicial
A equação de Schrödinger independente do tempo (ES) é um dos principais pilares da
mecânica quântica. A solução da ES permite conhecer o espectro de energia do sistema, que
possui aplicações em várias áreas da física. Na física atômica, as linhas espectrais medidas pela
emissão da luz pelo hidrogênio só é explicada pela ES. Uma aplicação moderna reside no estudo
do espectro dos hádrons exóticos. Os hádrons são todas as partículas formadas por quarks e
fazem parte dessa categoria os bárions e os mésons. Os bárions mais famosos são o nêutron e o
próton. E o méson mais famoso é o méson-, que foi descoberto pelo físico brasileiro Cesar
Lattes. Os hádrons exóticos podem ser interpretados como sistemas moleculares constituídos a
base de hádrons e interagem através de uma interação efetiva inspirada da cromodinâmica
quântica (QCD). Essa interação nos conduz a um potencial que não permite um tratamento
analítico da ES.
Os métodos usados atualmente na solução da ES são: método de Numerov [1], métodos
variacionais [2], perturbação artificial [3]. Todos esses métodos possuem em comum a
necessidade de construir um programa de computador. Destacamos o uso do software Maple [4],
que possui uma linguagem de programação ideal para implementar os métodos de solução da ES.
Capítulo 2
Resumo das atividades desenvolvidas no período
No primeiro semestre nos dedicamos ao estudo da mecânica quântica e do software
Maple [4]. Introdutoriamente apresentei diversos exemplos de equações diferenciais resolvidas
no Boas [5]. Em seguida começamos a estudar técnicas de integração numérica, onde recebi
aulas do orientador, complementando-as com [6], onde em nossas reuniões semanais discutimos
as técnicas de integração numérica: método do retângulo, método do trapézio, método de
Simpson e o método de Gauss-Legendre. Em paralelo construímos as respectivas rotinas de
integração no Maple [4] (ver anexos).
Paralelamente fiz o sexto período do meu curso de bacharelado em física, onde passei em
todas as disciplinas.
4
Capítulo 3
Detalhamento dos progressos realizados
A – Equações diferenciais
Iniciaremos essa seção com a revisão de equações diferenciais lineares ordinárias. O
primeiro passo foi resolver equações diferenciais do capítulo 8 do Boas [5].
1. Soluções particulares de equações diferenciais
Um exemplo clássico da física foi achar a distância que um objeto cai a partir do repouso
em t segundos sob a força gravitacional.
Da 2a lei de Newton temos
2
2
d xm mg
dt ,
cujo método é
dxv
dt
e reduz a equação de 2a ordem para 1
a ordem
0 0
' '
v t
v
dvg dv gdt
dt
0v gt v .
De modo análogo, a equação será reduzida. Como dx
vdt
, temos que
0
0 0
0
'
x t
x
dxgt v dx gt v dt
dt ,
obtém-se assim a solução geral do problema
2
0 0
1
2x gt v t x .
2. Equações separáveis
As equações separáveis são do tipo
5
( )dy
f xdx
,
cujo método é
0 0
' ( ') '
y x
y x
dy f x dx
Efetuando a integração de cada lado da equação vamos obter a sua solução
0
0'
x
x
y x f x dx y
Como exemplo, vamos achar a solução geral de uma bolinha de naftalina que sofre uma
sublimação com uma taxa proporcional a sua superfície exposta ao ar. Inicialmente vamos
construir a equação diferencial que fornece o comportamento do raio da naftalina com o tempo.
3.1 – Modelo da sublimação da naftalina
A taxa de sublimação, quer dizer a perda de massa de naftalina por segundo, pode ser escrita
como
dmA
dt
m, massa da bolinha de naftalina;
A, área da superfície da esfera no tempo t.
A área de superfície da esfera é
24A r
r, raio da esfera no tempo t.
Como o raio da naftalina decresce
24dm
A rdt
(1)
, constante de proporcionalidade.
Por outro lado, temos
6
24dm dV dr
rdt dt dt
(2)
V, volume da esfera no tempo t;
, densidade da naftalina.
e comparando (1) com (2) temos finalmente a equação de movimento
dr
dt
, (3)
onde β é uma constante. Aplicando em (3) o método de equações separáveis, temos
r t C ,
onde C é uma constante de integração.
B – Equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo:
Após resolver diversas equações diferenciais, entramos na mecânica quântica através do
problema de uma partícula numa caixa unidimensional, onde queremos encontrar a solução geral
da função de onda (x). A Fig. 3.2 mostra o potencial da caixa.
V(x)
E
x
-L 0 L
3.2 – Potencial em uma caixa unidimensional
A equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo é dada por:
22
22
d xV x x E x
m dx
, (4)
onde
m, massa da partícula;
ћ, constante reduzida de Planck;
(x), função de onda estacionária independente do tempo que queremos obter
(autofunções);
E, energia da partícula (autovalor).
7
Como o potencial no interior da caixa é zero, e a equação de Schrödinger simplifica-se nesta
região para
22
22
d xE x
m dx
. (5)
Podemos reescrever a Eq. (5) da seguinte forma
2
2
2
( )( ) 0
d xx
dx
, (6)
onde
2
2
2mE
Com o ansatz:
( ) Pxx e ,
P = constante,
obtemos
2
2
20
PxPxd e
edx
2 2 0Px PxP e e
2 2 0Pxe P
2 2P
ou
P i (7)
Então, temos as soluções linearmente independentes
1( ) i xx e
e
2( ) .i xx e
Onde a solução é uma superposição dessas soluções
8
1 2 .i x i xx A B Ae Be
Essa equação também pode ser reescrita na forma
1 2cos sinx C x C x ,
usando a fórmula de Euler. Na mecânica quântica a função de onda deve ser contínua, logo na
fronteira
i) 0L
1 2cos sin 0C L C L (8)
ii) 0L
1 2cos sin 0C L C L . (9)
Podemos reescrever a equação (9) como
1 2cos sin 0C L C L . (9a)
Fazendo (8) + (9a):
1 12 cos 0 cos 0, 0.C L L C
e (8) – (9a):
2 22 sin 0 sin 0, 0.C L L C
C – Integração numérica
Com o objetivo de resolver equações diferenciais não lineares, passamos a trabalhar com
técnicas de integração numérica, que consiste em aproximar uma integral numa função F(x)
0
' '
x
x
f x dx F x (10)
A primeira regra de integração estudada foi a do retângulo. Este método consiste em
inserir retângulos de largura ε sob a curva a ser integrada, como mostra a figura 3.3:
9
3.3 – Modelo de integração numérica via retângulos
Através da Fig. 3.3 é fácil ver que a área sob a curva f(x) pode ser aproximada por
0
0
N
i
F x f i x
, (11)
O número de retângulos N é obtido por
0N x x
0 1
x xN
x0, valor inicial do intervalo de integração;
x, valor final do intervalo de integração;
ε, largura do retângulo;
Onde os pontos xi são dados por
0ix x i .
Como podemos notar, quanto menor for a largura dos retângulos, melhor será nosso
resultado. Utilizando o Maple [4], construímos um programa que resolve a soma da equação (11)
para qualquer função f(x) (ver anexo I).
O segundo método de integração numérica foi o método dos trapézios, onde para calcular
a área sob a curva, usam-se trapézios, como mostra a figura 3.4.
10
3.4 – Modelo de integração numérica via trapézios
De forma mais intuitiva, a área do trapézio pode ser obtida através da soma da área de um
retângulo com um triângulo retângulo, que fica da seguinte forma:
A área do retângulo + área do triângulo
0 0 0 0
1
2A x x f x x x f x f x
0 0
1
2A x x f x f x
Então, para integrarmos sob a curva com trapézios temos a seguinte função:
0
N
i
i
F x A
,
onde
1
1
2i i iA f x f x .
Portanto,
1 1 0
0 1 12 2
N N N
i i i N i
i i i
F x f x f x f x f x f x f x
1
0
12
N
i
i
F x f x f x f N
(12)
Note que, se 0f N f x , nossa função recai na F(x) obtida pela regra do retângulo.
Utilizando o Maple [4], construímos um programa que resolve integrais através do
método estudado acima (ver anexo II).
11
O terceiro método de integração estudado foi o de Simpson, que consiste em aproximar o
valor da integral por uma parábola P(x), como é fácil ver na figura 3.4.
3.4 – Modelo de integração numérica via Simpson
Onde foi obtida a seguinte fórmula
2 1
0 2
13
n
n i i
i
F x f x f x f x
, (13)
onde
2N n
e a oscilação da equação de Simpson
1
3 1i
i
.
Também criamos no Maple [4] um programa com este método de integração (ver anexo
III).
O quarto e ultimo método de integração numérica até então estudado foi o método de
Gauss-Legendre, que é um caso particular do método de Gauss. O método de Gauss parte da
suposição que podemos escrever uma função g(x) em duas partes
g x x x ,
onde x é uma função de peso e N x um polinômio de grau máximo N. Então pelo
método de Gauss temos
1
b N
i i
ia
x x dx x
(15)
Como o método estudado foi o de Gauss-Legendre [7], o intervalo fica entre [-1,1] onde o
peso 1x . Assim, temos para Gauss-Legendre
12
1
11
N
N i i
i
g x dx x
, (16)
onde ix representa os zeros dos polinômios de Legendre. Esses polinômios podem ser obtidos
através da fórmula de Rodrigues
211
2 !
n n
n n n
dP x x
n dx
.
Como podemos ver, a maior dificuldade deste método consiste em obter os zeros do polinômio
de Legendre e os pesos i . Por exemplo, vamos encontrar os zeros de
33
15 3
2P x x x .
Temos três zeros, sendo eles 0,7746 , 0 e 0,7746 como podemos ver facilmente na Fig. 3.5.
3.5 – Raízes do polinômio de Legendre de grau 3
Os pesos i são obtidos através da construção do polinômio de Lagrange, que possui
uma propriedade de delta de Kronecker
,j N i ijl x ,
onde foi obtida a seguinte fórmula
1
,
1
' ' 'i j N Nl x x dx
.
Fizemos no Maple [4] um programa que calcula ix e i além de usar o método para
resolver integrais (ver anexo IV).
13
Capítulo 4
Plano de trabalho e etapas seguintes
Pretendemos fechar a parte dos métodos de solução de equações diferenciais com o
estudo do método de Runge-Kutta, que é um importante ingrediente para nos concentrar no
estudo da equação de Schrödinger numericamente (ESN). Iremos construir o algoritmo para a
resolução numérica da ESN e testar para alguns potenciais, onde a solução analítica é conhecida,
como o potencial do oscilador harmônico, potencial gravitacional e o átomo de hidrogênio.
Finalizando essa etapa, iremos escrever um artigo e submetê-lo a um periódico
especializado.
14
Bibliografia
[1] Juan-Luis Domenech-Garret, Miguel-Angel Sanchis-Lozano; arXiv: 0805.2704.
[2] Ali Mostafazadeh; J. Math. Phys. 42,3372-3389, (2001).
[3] Omar Mustafa, Maen Odeh; Eur. Phys. J.B 15, 143, (2000).
[4] http://www.maplesoft.com.
[5] Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physycal Sciences, Courier Companies, Inc, Second Edition (1983)
[6] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes in fortran 77,
The art of Scientific Computing, second edition (1997).
[7] hpttp://de.wikipedia.org/wiki/Gauß-Quadratur
15
5 – Anexos
Nesta secção, foi escolhida uma função ao acaso para ser resolvida numericamente
através dos métodos de integração estudados. A função escolhida foi
2 1
sin ln 16
1 11 1 sin 1
6 6
xx x e x
f x
x x
,
no intervalo [-1,1]. Então, temos
1
1
0,05063169819f x
Anexo I
> # algoritmo da regra do retângulo:
> e:=0.01:
> s[0]:=0:
> N:=round((xf-x0)/e);
> for i from 0 to N do;
> x[i]:=x0+ i*e:
> s[i+1]:=e*f(x[i])+ s[i];
> od:
> s[N+1];
Anexo II
> # algoritmo da regra do trapézio:
> e:=0.01:
> s[1]:=0:
> N:=round((xf-x0)/e);
> for i from 1 to N-1 do;
> x[i]:=x0+ i*e:
> s[i+1]:=e*f(x[i])+ s[i];
> od:
> evalf(s[N] +(e/2)*(f(x0)+ f(x0+ N*e)));
:= N 200
-0.05204743663
:= N 200
-0.05064264415
16
Anexo III
> # algoritmo da regra de Simpson:
> e:=0.01:
> s[1]:=0:
> N:=round((xf-x0)/(2*e));
> for i from 1 to 2*N-1 do;
> x[i]:= x0 + i*e:
> w[i]:= 3 + (-1)^(i+1):
> s[i+1]:=w[i]*(e/3)*f(x[i])+ s[i];
> od:
> evalf(s[2*N] + (e/3)*(f(x0) + f(x0 + 2*N*e)));
Anexo IV
> #A equação de Legendre é dada por:
>
> (1 - x^2)*Diff(y,x) - 2*x*Diff(y,x) + l*(l+1)*y = 0;
>
> #Temos para a fórmula de recorrência dos polinômios de Legendre:
>
> P[n+1](x) = ((2*n + 1)/(n + 1))*x*P[n](x) - (n/(n+1))*P[n-1](x);
> P[0](x) := 1;
> N:=32:
> for n from 0 to N+1 do:
> P[n+1](x) := ((2*n + 1)/(n + 1))*x*P[n](x) - (n/(n+1))*P[n-1](x):
> end do:
> #Gráfico do polinômio de Legendre de grau "N" escolhido abaixo:
> plot(P[N](x),x=-1..1);
:= N 100
-0.05063169902
( )1 x2
xy 2 x
xy l ( )l 1 y 0
( )Pn 1
x ( )2 n 1 x ( )P
nx
n 1
n ( )Pn 1
x
n 1
:= ( )P0
x 1
17
> #Raízes do polinômio escolhido acima:
> R:=[evalf(fsolve(P[N](x)=0,x=-1000..1000),18)];
> nops(R);
> # Agora é possível construir os polinômios de l[j][N] Lagrange pelo programa;
> for j from 1 to N do;
> B[j][1]:=1:
> M[j][1]:=1:
> od:
>
> for k from 1 to N do
>
> for i from 1 to N do
> if (i<>k) then
> B[k][i+1]:=evalf(B[k][i]*(R[k]-R[i]),50);
> else
> B[k][i+1]:=evalf(B[k][i],50);
> fi;
> od;
> od;
>
> for k from 1 to N do
>
R -0.997263861849481564 -0.985611511545268335 -0.964762255587506431, , ,[ :=
-0.934906075937739689 -0.896321155766052124 -0.849367613732569970, , ,
-0.794483795967942407 -0.732182118740289680 -0.663044266930215201, , ,
-0.587715757240762329 -0.506899908932229390 -0.421351276130635345, , ,
-0.331868602282127650 -0.239287362252137075 -0.144471961582796493, , ,
-0.0483076656877383162 0.0483076656877383162 0.144471961582796493, , ,
0.239287362252137075 0.331868602282127650 0.421351276130635345, , ,
0.506899908932229390 0.587715757240762329 0.663044266930215201, , ,
0.732182118740289680 0.794483795967942407 0.849367613732569970, , ,
0.896321155766052124 0.934906075937739689 0.964762255587506431, , ,
0.985611511545268335 0.997263861849481564, ]
32
18
> for i from 1 to N do
>
> if (i<>k) then
> M[k][i+1]:=evalf(M[k][i]*(x-R[i]),50);
> else
> M[k][i+1]:=evalf(M[k][i],50);
> fi;
>
> od;
>
> od;
> x := 'x':
> for j from 1 to N do
> l[j][N] := unapply((M[j][N+1])/(B[j][N+1]),x);
> od:
>
> #Cálculo de um peso típico de Gauss-Legendre;
> for j from 1 to N do
> w[j]:=evalf(int(1*l[j][N](x),x=-1..1),18);
> od:
> W:=[seq(w[i],i=1..N)]:
>
> R;
> W;
-0.997263861849481564 -0.985611511545268335 -0.964762255587506431, , ,[
-0.934906075937739689 -0.896321155766052124 -0.849367613732569970, , ,
-0.794483795967942407 -0.732182118740289680 -0.663044266930215201, , ,
-0.587715757240762329 -0.506899908932229390 -0.421351276130635345, , ,
-0.331868602282127650 -0.239287362252137075 -0.144471961582796493, , ,
-0.0483076656877383162 0.0483076656877383162 0.144471961582796493, , ,
0.239287362252137075 0.331868602282127650 0.421351276130635345, , ,
0.506899908932229390 0.587715757240762329 0.663044266930215201, , ,
0.732182118740289680 0.794483795967942407 0.849367613732569970, , ,
0.896321155766052124 0.934906075937739689 0.964762255587506431, , ,
0.985611511545268335 0.997263861849481564, ]
0.00701861001093276180 0.0162743947248428931 0.0253920653172589539, , ,[
0.0342738629167828644 0.0428358980267205113 0.0509980592705083611, , ,
0.0586840934718077322 0.0658222227677928909 0.0723457941000825033, , ,
0.0781938957738581541 0.0833119242391618598 0.0876520929926910662, , ,
0.0911738786913028896 0.0938443991235288587 0.0956387201167498487, , ,
0.0965400885256660776 0.0965400885256660776 0.0956387201167498487, , ,
0.0938443991235288587 0.0911738786913028896 0.0876520929926910662, , ,
0.0833119242391618598 0.0781938957738581541 0.0723457941000825033, , ,
0.0658222227677928909 0.0586840934718077322 0.0509980592705083611, , ,
0.0428358980267205113 0.0342738629167828644 0.0253920653172589539, , ,
0.0162743947248428931 0.00701861001093276180, ]
19
> # Teoria de Gauss-Legendre
> # Na teoria, temos:
> Int(f(x), x=-1..1) = Sum(Wl[i]*f(Rl[i]));
>
>
> #Onde
> f:=x->x^2*sin(x)*exp(x)*ln(1-x/6)/(1+(1-x/6)*sin((1-x/6)));
> # por Gauss-Legendre;
>
> sum(W[ii]*f(R[ii]),ii=1..nops(R));
Comparação dos resultados obtidos
Valor exato Retângulo Trapézio Simpson Gauss-Legendre
-0,05063169819 -0,05204743663 -0,05064264415 -0,05063169902 -0,05063169820
Erro relativo 22,796 10 42,162 10 81,639 10 101,975 10
O erro relativo foi calculado da seguinte forma
valor exato valor obtidoE
valor exato
.
d
-1
1
( )f x x Wl33
( )f Rl33
:= f x
x2 ( )sin x ex
ln 1
1
6x
1
1
1
6x
sin 1
1
6x
-0.05063169820