universidade federal de itajubá ell 105 elementos básicos e fasores prof. carlos henrique unifei
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Universidade Federal de ItajubáUniversidade Federal de Itajubá
ELL 105 Elementos básicos e
Fasores
Prof. Carlos HenriqueProf. Carlos HenriqueUNIFEI UNIFEI
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ELEMENTOS BÁSICOS E FASORES
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ELEMENTOS BÁSICOS
Resposta dos elementos básicos R, L e C a uma tensão ou corrente senoidal.
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RESISTÊNCIA
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RESISTÊNCIA
m ( )v V sen wt
v ti t
R
viR
ou
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RESISTÊNCIA
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TENSÃO E CORRENTE EM FASE
m ( ) ( )mV
i sen wt I sen wtR
onde mm
VI
R
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INDUTOR
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INDUTOR
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INDUTOR
Ldiv Ldt
cos( )L mv wL I wt
m ( )i I sen wt
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INDUTOR
m mV wL I
( 90 )oL mv V sen wt Tensão está adiantada da corrente de 90 graus
A tensão induzida se opõe à circulação de corrente, atrasa a corrente !!!
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REATÂNCIA INDUTIVA
2LX wL f L
A reatância indutiva é uma oposição à corrente elétrica que resulta numa troca contínua de energia entre a fonte e o campo magnético do indutor. Não há dissipação de energia !!!
NO INDUTOR, A TENSÃO VEM ANTES DA CORRENTE !!!
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TENSÃO ADIANTADA DE 90
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CAPACITOR
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CAPACITOR
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CAPACITOR
Cdvi Cdt
cos( )C mi wCV wt
m ( )v V sen wt
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CAPACITOR
m mI wCV
( 90 )oC mi I sen wt Corrente está adiantada da tensão de 90 graus
Ao se ligar a fonte ao capacitor, inicia-se o movimento de corrente elétrica, e em seguida, a tensão entre as placas começa a crescer !!!
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REATÂNCIA CAPACITIVA1 1
2CX wC f C
A reatância capacitiva é uma oposição à corrente elétrica que resulta numa troca contínua de energia entre a fonte e o campo elétrico do capacitor. Não há dissipação de energia !!!
NO CAPACITOR, A CORRENTE VEM ANTES DA TENSÃO !!!
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CORRENTE ADIANTADA DE 90
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EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2
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EXEMPLO 3
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VARIAÇÃO COM A FREQUÊNCIA
Os elementos básicos R, L e C têm seus valores dependentes da frequência f.
A resistência é constante para frequências até centenas de kHz.
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VARIAÇÃO COM A FREQUÊNCIAEM CORRENTE CONTÍNUA f=0
2 0LX f L EM ALTAS FREQUÊNCIAS
2LX f L
CURTO CIRCUITO
CIRCUITO ABERTO
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VARIAÇÃO COM A FREQUÊNCIAEM CORRENTE CONTÍNUA f=0
12CX f C
EM ALTAS FREQUÊNCIAS
CURTO CIRCUITO
CIRCUITO ABERTO
1 02CX f C
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RESISTOR DE CARBONO
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RESISTOR DE CARBONO
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VARIAÇÃO DA REAT. INDUTIVA
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VARIAÇÃO DA REAT. CAPACITIVA
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Resumindo
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POTÊNCIA MÉDIA
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POTÊNCIA MÉDIA
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POTÊNCIA MÉDIA
m ( )vv V sen wt
m ( )ii I sen wt
m ( ) ( )m v ip vi V I sen wt sen wt
POTÊNCIA INSTANTÂNEA
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POTÊNCIA MÉDIA
m mcos( ) cos(2 )2 2
m mv i v i
V I V Ip wt
VALOR FIXO VARIANTE COM O TEMPO
FAZENDO v i POTÊNCIA MÉDIA
m cos cos2
mef ef
V Ip V I
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POTÊNCIA MÉDIAPARA O RESISTOR
A POTÊNCIA MÉDIA ABSORVIDA POR UM CAPACITOR OU POR UM INDUTOR É NULA
PARA O INDUTOR E CAPACITOR
22m
2efm
ef ef ef
VV Ip V I RI
R
0 1COS
90o 0COS 0P
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FATOR DE POTÊNCIA
CARGA RESISTIVA
FP COS
0 90o Indutivo ef ef
PFPV I
1FP
ef efS V IPOTÊNCIA APARENTE
0 Resistivoo
90 0o o Capacitivo
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EXEMPLO
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EXEMPLO
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EXEMPLO
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NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA RETANGULAR
C X jY
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NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA RETANGULAR
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NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA RETANGULAR
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NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA POLAR
C Z
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NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA POLAR
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NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA POLAR
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NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA POLAR
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CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR
2 2Z X Y 1 YtgX
RETANGULAR PARA POLAR
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CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR
cosX Z
Y Z senPOLAR PARA RETANGULAR
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CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR
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CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR
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CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR
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SOMA DE FASORES
1 1 1C X jY 2 2 2C X jY
1 2 1 2 1 2C C X X j Y Y
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SUBTRAÇÃO DE FASORES
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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FASORES
1 1 1C Z 2 2 2C Z
1 2 1 2 1 2.C C Z Z
1 11 2
2 2
C ZC Z
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SOLUÇÃO DE CIRCUITOS
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SOLUÇÃO DE CIRCUITOS
No circuito CA, os elementos básicos L e C têm respostas diferentes do resistor R, por defasar a corrente e a tensão. A solução deixa de ser uma simples soma e subtração de tensões e correntes, como no circuito CC.
A solução é uma equação diferencial.
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EQUAÇÃO DIFERENCIALCIRCUITO RL
cos( )mv V wtEQUAÇÃO DIFERENCIAL SOLUÇÃO DO CIRCUITO
cos( )mdiL Ri V wtdt
TENSÃO DA FONTE
CORRENTE PROCURADA
2 2 2cosmV wLi wt arctg
RR w L
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MELHOR SAÍDA? Somar as duas tensões ponto a ponto
é uma solução mas muito imprecisa e demorada!!!
A melhor solução é utilizar os FASORES.
O fasor é um vetor girante no tempo. Tem intensidade e fase (ângulo)
porém não é estacionário, como o vetor.
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NECESSIDADE DOS ALUNOS
COMPRAR UMA CALCULADORA CIENTÍFICA
QUE FAÇA CONVERSÃO POLAR – RETANGULAR E RETANGULAR – POLAR.
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Produção de tensão trifásica
Geradores Síncronos
v = Valor eficaz da tensão
O sistema trifásico possui maior eficiência em relação ao monofásico, em torno de 150% para mesma potência.
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FASORES
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FASORES
cos( )mv V wt
SEJA A FORMA DE ONDA DA TENSÃO
O FASOR SERÁ
2mVV SEMPRE O VALOR EFICAZ, POR CONVENÇÀO
V V V É O VALOR EFICAZ DA TENSÃO
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OPERAÇÕES COM FASORES Para somar ou subtrair duas funções
senoidais, devemos convertê-las para a forma fasorial, calcular usando a álgebra dos complexos e depois, o resultado é novamente transformado para obter a desejada função do tempo.
A álgebra dos fasores só pode ser aplicada a sinais senoidais e de mesma frequência
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OPERAÇÕES COM FASORES O uso da notação fasorial
significa IMPLICITAMENTE que as tensões e as correntes são SENOIDAIS.
A FREQUÊNCIA não é representada.
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EXEMPLOS Calcule a tensão de entrada no
circuito a seguir, sendo:
50 (377 30 )oav sen t
30 (377 60 )obv sen t
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EXEMPLOS
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EXEMPLOS Calcule a corrente i2 no circuito
a seguir, sendo:
120 ( 60 )oTi sen wt
1 80 ( )i sen wt
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EXEMPLOS