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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Mecânica dos Sólidos
EME302
Prof. [email protected]
Sala IEM a definir / ramal a definir
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ORIENTAÇÕES GERAIS
EME 302 PG:2
• Horário de Aula- Segunda-feira: 16:40h – 19:40h- Quarta-feira: 13:30h – 15:30h
• Local: sala I2103 (prédio elétrica)
• Provas: 2 (1 por bimestre) + 1 exame– Datas: Prova 1 (XX/YY) Prova 2 (XX/YY) Exame (XX/YY)
• Trabalhos: 4 listas de exercícios (2 por bimestre)Para contribuir na nota: 4 exercícios em sala de aula
• Média final: média da provas somado até 10 pontos (exercícios em sala de aula)
• Atendimento ao aluno: toda quarta-feira pela manhã no IEM
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Orientações Gerais
Bibliografia Principal
• MERIAM,J.L.,KRAIGE L.G. Mecânica - Estática. Quinta Edição, LTC Editora, 2004.
• BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Resistência dos Materiais. Makron Books, 3a edição, 1995.
• BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. Makron Books, 1994.
• HIBBLER, R. C. Mechanics of Materials. Printice Hall, 1997
EME 302 - 3
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Objetivo
• Objetivo do Curso:
Fornecer ao aluno os fundamentos teóricos necessários para se calcular esforços, tensões e deformações em elementos estruturais do
projeto mecânico.
EME 302 PG:4
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Conteúdo Programático
1. Sistemas de Forças2. Estática dos Corpos Rígidos3. Estruturas (Treliças, Pórticos e Máquinas)4. Centro de Gravidade Momento Estático5. Momentos e Produtos de Inércia6. Esforços em Vigas7. Conceito de Tensão
1 Prova Bimestral
EME 302 PG:5
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Conteúdo Programático
8. Tensões e Deformações para Cargas Axiais9. Torção10. Flexão Pura11. Flexão Simples12. Tensões Combinadas13. Análise de Tensões no Estado Plano
2 Prova Bimestral
EME 302 PG:6
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Revisão
EME 302 - 7
Unidades Básicas Sistema Internacional Sistema InglêsMassa kg lbTempo s s
Comprimento m ftTemperatura C R
Fatores de Conversão
Massa: 1 kg = 2,205 lb 1 kg = 35,27 oz 1 slug= 14,59 kg
Comprimento: 1 m = 3,28 ft 1 in = 25,4 mm 1 yd = 0,9144 m
1 milha 1,61 km 1 ft = 12 in
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Revisão
EME 302 PG:8
Unidades Derivadas Sistema Internacional Sistema Inglês
Área m2 ft2
Volume m3 ft3
Velocidade m/s ft/s
Densidade kg/m3 lb/ft3
Deformação m/m ft/ft
Força N (kg m/s2) lbf
Tensão Pa (N/m2) PSI (lbf/ft2)Energia J (N.m) lbf.ft
(lbf/in2)
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Revisão
EME 302 PG:9
PREFIXOS
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Revisão
Exemplos:• Converter 2km/h para m/s e depois para ft/s
EME 302 PG:10
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Revisão
• de km/h para m/s:
• de m/s para ft/s:
EME 302 PG:11
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Revisão
• Avaliar expressões em unidades SI com prefixo adequado
EME 302 PG:12
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Revisão
EME 302 PG:13
= 300 M N2
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Introdução - Conceitos
• Mecânica dos sólidos é essencial para o projeto e análise de componentes
• Mecânica é dividida em três grandes áreas: mecânica dos corpos rígidos, dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos
• A mecânica dos corpos rígidos é dividida em duas áreas: Estática e Dinâmica
• A Estática lida com equilíbrio dos corpos em descanso ou velocidade constante, ou seja, aceleração nula.
• A Dinâmica lida com a condição de movimento acelerado de corpos.
EME 302 PG:14
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Introdução – Conceitos Estática
EME 302 PG:15
Modelos e idealizações
Partícula: corpo que contém massa, mas seu tamanho pode ser negligenciado (simplificação)
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Corpo rígido: corpo que não deforma sob efeito de carregamentoForças concentradas: são forças que atuam em um ponto de um corpo
EME 302 PG:16
Introdução – Conceitos Estática
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Leis de Newton
• Primeira Lei : uma partícula em descanso, ou movendo-se a velocidade constante, tende a permanecer em seu estado (equilíbrio).
EME 302 PG:17
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Leis de Newton
• Segunda Lei: uma partícula de massa m onde uma força F atua, ganha aceleração a que tem a mesma direção e magnitude proporcional à força aplicada.
EME 302 PG:18
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Leis de Newton
• Terceira Lei : forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são iguais, opostas e colineares.
EME 302 PG:19
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Escalar e Vetor
• Escalar é uma quantidade física (positiva ou negativa) que pode ser especificada por sua magnitude. Exemplo: massa, comprimento e tempo
• Vetor é uma quantidade física que para sua descrição requer magnitude e direção. Exemplos na estática: força, posição e momento
EME 302 PG:20
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Vetor: Indicação gráfica
• Um vetor é caracterizado por sua intensidade (comprimento da linha), direção (ângulo entre uma referência e a linha de ação) e o sentido (indicado pela seta).
EME 302 PG:21
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Operações com vetores
• Multiplicação e divisão de vetores por escalares
EME 302 PG:22
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Operações com vetores
• Adição de Vetores
Regra Paralelogramo: R=A+B
EME 302 PG:23
Regra do Paralelogramo: lei baseada em evidência experimental, não pode
ser comprovada matematicamente
Regra Triângulo: R=A+B
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Operações com vetores
• Subtração de Vetores
EME 302 PG:24
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Vetor Adição de Forças
• Determinar Vetor Resultante Força: FR = F1+F2
EME 302 PG:25
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Vetor Adição de Forças
• Determinar componentes de um vetor de força
EME 302 PG:26
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Vetor Adição de Forças
• Adição de várias forças
EME 302 PG:27
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Resolução: Trigonometria
• Trigonometria
EME 302 PG:28
Lei Cossenos Lei Senos
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Exemplo 1
1) Um olhal é submetido à duas forças, F1 e F2. Determinar a intensidade e direção da força resultante.
EME 302 PG:29
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Exemplo 1
• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:
EME 302 PG:30
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Exemplo 1
• Trigonometria– Determinar força resultante:
EME 302 PG:31
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Exemplo 1
EME 302 PG:32
• Trigonometria– Determinar direção força resultante:
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Exemplo 2
• Determinar a intensidade dos componentes da força de 600 lb aplicada na estrutura da figura no eixos u e v.
EME 302 PG:33
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Exemplo 2
EME 302 PG:34
• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:
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Exemplo 2
• Determinação da intensidade das componentes
EME 302 PG:35
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Exemplo 3
• Determinar a intensidade da componente de força F e da força resultante FR, considerando que a FR é direcionada ao longo do eixo y positivo.
EME 302 PG:36
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Exemplo 3
• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:
EME 302 PG:37
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Exemplo 3
• Intensidade componente F:
• Intensidade da resultante FR:
EME 302 PG:38
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Exemplo 4
• Na estrutura abaixo é requerido que a resultante de força seja direcionada ao longo do eixo x e que F2 tenha intensidade mínima. Determinar a intensidade, o ângulo , e a força resultante.
EME 302 PG:39
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Exemplo 4
• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:
OBS: F2 é mínimo quando é 90
EME 302 PG:40
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Exemplo 4
• Trigonometria
EME 302 PG:41
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Sistemas Bidimensionais de Força
EME 302 PG:42
• Notação Escalar Utilizando ângulo
Utilizando proporção de lados
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Sistemas Bidimensionais de Força
• Notação vetorial:
Vetores unitários: i e j
EME 302 PG:43
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Sistemas Bidimensionais de Força
• Resultante de forças coplanares
EME 302 PG:44
Notação vetorial
Notação escalar
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Sistemas Bidimensionais de Força
EME 302 PG:45
Intensidade vetor resultante Direção vetor resultanteDecomposição forças
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Exemplo 1
• A estrutura abaixo é submetida à forças F1 e F2. Determinar a intensidade e direção da força resultante utilizando notação escalar e vetorial.
EME 302 PG:46
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Exemplo 1 – Notação escalar
EME 302 PG:47
Intensidade vetor resultante
Decomposição de forças
Direção do vetor resultante
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EME 302 PG:48
Exemplo 1 – Notação vetorial
EME 302 PG:48
Intensidade vetor resultante
Decomposição de forças
Direção do vetor resultante
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Momento de uma força em relação a um ponto
• Formulação escalar: A intensidade de momento é dada por: Mo= F.d , onde d é distância perpendicular do eixo no ponto O para linha de ação da força. O momento é dado em N.m
EME 302 PG:49
M= F.d M= 0 M= F.d.sen
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• Direção do momento é definido pelo eixo Momento. A regra da mão direita é utilizada para estabelecer o sentido (dedos) e direção do momento (polegar).
EME 302 PG:50
Momento de uma força em relação a um ponto
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Momento de uma força em relação a um ponto
• Momento Resultante
EME 302 PG:51
Convenção
Sentido horário (negativo)
Sentido Anti-horário (positivo)
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Exemplo 1
• Determinar o momento da força sobre o ponto O para cada um dos casos abaixo:
EME 302 PG:52
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Exemplo 1
• Resultados:
EME 302 PG:53
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Exemplo 2
• Determinar o momento resultante das forças atuando no ponto O da estrutura abaixo.
EME 302 PG:54
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Exemplos
• Resultado:
EME 302 PG:55
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• Formulação Vetorial: magnitude e direção
EME 302 PG:56
Momento de uma força em relação a um ponto
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Momento de uma força em relação a um ponto
• Formulação Vetorial (Cartesiano)
EME 302 PG:57
rx,ry,rz são componentes do vetor posição r do ponto O a qualquer ponto
da linha de ação da força
Fx,Fy,Fz são componentes do vetor força
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Momento de uma força em relação a um ponto
EME 302 PG:58
Mo = Determinante
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Momento de uma força em relação a um ponto
• Momento Resultante de um Sistema de Forças
EME 302 PG:59
MRo = r1xF1 + r2xF2 + r3xF3
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Exemplo
• Determinar o momento produzido pela força F sobre o ponto O. Expressar o resultados em termos de vetor cartesiano.
EME 302 PG:60
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Exemplo 1
• Resolução: Tanto o vetor rA como o vetor rB podem ser utilizados para determinar o momento no ponto O.
EME 302 PG:61
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Exemplo 1
EME 302 PG:62
• A força F expressa em vetor cartesiano é dada por:
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Exemplo 1
Assim, Mo fica:
EME 302 PG:63EME 302 PG:63
Resolver para vetor rB
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Exemplo 2
• Duas forças atuam na estrutura abaixo. Determinar o momento resultante na flange (ponto O). Expressar resultados como vetor cartesiano.
EME 302 PG:64
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Exemplo 2
• Vetores posição
• Momento resultante
EME 302 PG:65
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Exemplo 2
EME 302 PG:66
Cálculo da direção do momento resultante
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Teorema Varignon
• O momento de uma força sobre um ponto é igual à soma dos momentos dos componentes da força sobre o ponto.
Desde que , fazendo a distributiva:
EME 302 PG:67
Para problemas bidimensionais:
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Princípio Transmissão de Força
• Define que a condição de equilíbrio (ou movimento) de um corpo-rígido permanecerá a mesma, se a força F atuando em um dado ponto do corpo rígido for substituída por uma força F’ de mesma intensidade e direção, mas atuando em um ponto diferente (na mesma linha de ação)
EME 302 PG:68
F F’
F é equivalente a F’
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Princípio Transmissão de Força
• Matematicamente:
EME 302 PG:69
A força F pode ser aplicada a qualquer ponto de sua linha de ação e o momento sobre o ponto O será o mesmo.
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Exemplo
• Determinar o momento da força F sobre o ponto O.
EME 302 PG:70
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Exemplo
EME 302 PG:71
• Solução I Determinar o braço de momento
em relação ao ponto O
Momento em O:
Momento em O, negativo, direção para o quadro
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Exemplo
• Solução II: decompor forças em x e em y
EME 302 PG:72
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Exemplo
• Solução III: orientar os eixos x e y de forma a coincidir com o eixo da barra eliminando o momento em x
EME 302 PG:73
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Exemplo
• Determinar o momento da força F sobre o ponto O (solução escalar e vetorial)
EME 302 PG:74
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Exemplo
• Solução I (escalar): decompor a força nas componentes Fx e Fy.
EME 302 PG:75
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Exemplo
• Solução II (vetorial): escrever os vetores força e posição
EME 302 PG:76
Resolver: Mo = r x F (determinante matriz)
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Binário e Momento de um Binário
• Duas forças F e –F com mesma intensidade, linha de ação paralelas, de sentidos opostos e separadas por uma distância d são chamadas de binários.
EME 302 PG:77
A força resultante de um binário é nula. O binário gera somente tendência de rotação.
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Binário e Momento de um Binário
• O momento produzido por um binário é chamado de momento binário.
EME 302 PG:78
M= (rB x F) + (rA x (–F)) = (rB – rA) x F
rB = rA + r ou r = rB - rA
Portanto: Mo = r x F (Vetorial)
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Exemplo
• Determinar o momento binário resultante de três binários atuando na estrutura da figura abaixo.
EME 302 PG:79
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Exemplo
• Solução:Por convenção: momento binário no sentido anti-horário positivo.
S F.d = (F1.d1) + (F2.d2) + (F3.d3)S F.d = (-200lb).(4ft) + (450lb).(3ft) + (-300lb) (5ft)S F.d = MR = -950 lb.ft (sentido horário)
EME 302 PG:80
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Exemplo
• Determinar a intensidade e direção do momento binário atuando na engrenagem
EME 302 PG:81
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Exemplo
• Solução: decompor forças em x e y
EME 302 PG:82
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Redução de sistemas de força e momento
• Algumas vezes é conveniente reduzir um sistema de forças e momentos binários atuando em um corpo substituindo por um sistema equivalente, de uma força e um conjugado.
EME 302 PG:83
Sistema Equivalente
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Exemplo
• Substituir as forças na estrutura abaixo por um sistema equivalente de força e momento atuando no ponto O.
EME 302 PG:84
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Exemplo
• Solução: decompor as forças de 3 kN e 5 kN nos eixos x e y.
EME 302 PG:85
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Exemplo
• Achar a intensidade e direção do vetor força resultante
• Somatória dos momentos:
(MR)o = (3kN)sen30(0,2m) – (3kN) cos30(0,1m) + (3/5)5kN(0,1m) -4kN(0,2m) – (4/5)5kN(0,5m)
(MR)o = -2,46 kN.m (sentido horário)
EME 302 PG:86
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Exemplo
• A estrutura abaixo é submetida a um momento M e forças F1 e F2. Substituir esse sistema por um sistema equivalente resultante de força e momento atuando na base O.
EME 302 PG:87
Dica: utilizar notação vetorial
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Exemplo
• Solução: expressar forças e momento na forma de vetor
EME 302 PG:88
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Exemplo
• Força resultante:
• Momento Resultante em O
EME 302 PG:89
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Momento de uma força sobre um eixo
• Em algumas situações conhecer uma componente do momento (My) é mais importante do que determinar o momento total (Mo).
EME 302 PG:90
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Momento de uma força sobre um eixo
• Análise escalar:Para um eixo qualquer (ex: eixo a), o momento é dado por:
Ma= F . da
EME 302 PG:91
Exemplo prático: para evitar tombamento, momento gerado pela força F deve ser calculado sobre um eixo que passa pelos pontos A e B do guindaste.
Eixo AB
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Momento de uma força sobre um eixo
• Análise Vetorial
EME 302 PG:92
• uax , uay , uaz representam os componentes x,y,z de um vetor unitário que define a direção do eixo a
• rx, ry,rz representam os componentes do vetor posição que qualquer ponto O do eixo a, para qualquer ponto da linha de ação da força
• Fx, Fy, Fz representam os componentes x,y,z do vetor força