UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

Centro de Engenharias

Curso de Engenharia de Petróleo

Trabalho de Conclusão de Curso

Desenvolvimento de um Simulador Computacional de Reservatório de Petróleo Utilizando a Metodologia Fully Implicit Black-Oil

Bruno Vernochi

Pelotas – RS, 2018

Bruno Vernochi

Desenvolvimento de um Simulador Computacional de Reservatório de Petróleo Utilizando a Metodologia Fully Implicit Black-Oil

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado ao curso de Engenharia de

Petróleo da Universidade Federal de

Pelotas, como requisito parcial à

obtenção do título de Bacharel em

Engenharia de Petróleo.

Orientador: Prof. Dr. Valmir Francisco Risso

Pelotas – RS, 2018

Universidade Federal de Pelotas / Sistema de BibliotecasCatalogação na Publicação

V539d Vernochi, BrunoVerDesenvolvimento de um simulador computacional dereservatório de petróleo utilizando a metodologia FullyImplicit Black-Oil / Bruno Vernochi ; Valmir Francisco Risso,orientador. — Pelotas, 2018.Ver70 f. : il.

VerTrabalho de Conclusão de Curso (Graduação emEngenharia de Petróleo) — Centro de Engenharias,Universidade Federal de Pelotas, 2018.

Ver1. Fluidodinâmica computacional. 2. Fully Implicit Black-Oil method. 3. Engenharia de reservatório. 4. Simulação dereservatório de petróleo. 5. Método totalmente implícitoblack-oil. I. Risso, Valmir Francisco, orient. II. Título.

CDD : 622

Elaborada por Maria Inez Figueiredo Figas Machado CRB: 10/1612

Bruno Vernochi da Conceição

Desenvolvimento de um Simulador Computacional de Reservatório de Petróleo Utilizando a MetodologiaFu//y/mp/icit 8/ack-Oil

Trabalho de Conclusão de Curso aprovado, como requisito parcial, para obtenção do grau de Bacharel em Engenharia de Petróleo, Curso de Engenharia de Petróleo, Universidade Federal de Pelotas.

Data da Defesa: 02/08/2018.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Valmir Francisco Risso (Orientador)

Doutor em Ciências e Engenharia de Petróleo pela Universidade Estadual de Campinas.

Prof. Ora. Fernanda Vaz Alves Risso

Doutora em Engenharia de Alimentos pela Universidade Estadual de Campinas.

p011Jt:f--U.1J11:i.ULI-4::lrd Silva

Engenharia Química pela Universidade Estadual de Campinas. ■

iv

AGRADECIMENTOS

A gratidão é um dos sentimentos mais nobres que existe. Ser grato é abrir o

coração e deixar fluir este sentimento que envolve a nossa alma. Ser grato é

reconhecer um benefício que recebemos e que nada nos custou, embora seja algo

tão caro e tão relevante. A gratidão é um sentimento tão profundo, que é difícil

expressá-la com simples palavras. (Alvernaz, C. 2008)

Tenho a agradecer integralmente a minha família, pais, irmãos, tios e avós

pelo apoio e suporte incondicional durante a graduação, em especial ao meu irmão

Caio, devido aos seus sacrifícios perante a família.

A todos professores, os quais tive oportunidade de ter aulas e adquirir

conhecimento que são de extrema importância, pois sem seus esforços não existiria

a graduação. Diante da magnitude de seus atos em face ao enriquecimento da

transmissão de conhecimento para os alunos, faço um singelo agradecimento por

meio deste.

Durante a graduação conheci diversas pessoas com visão de mundo

distintas, as quais trazem um novo aprendizado e somam para o desenvolvimento

pessoal que também faz parte da graduação. A essas pessoas também tenho que

agradecer pois sem elas ficaria estagnado. Em especial a minha namorada Simone,

por me suportar no período mais intrigante e desafiador da graduação.

Por fim tenho a dizer muito obrigado e dar um caloroso abraço a todos!

v

Se eu não sou por mim mesmo, que será de mim? E quando eu sou para mim, que sou eu? E se não for agora, quando?

Hilel, O Ancião

vi

RESUMO

VERNOCHI, BRUNO. Desenvolvimento de um Simulador Computacional de Reservatório de Petróleo Utilizando a Metodologia Fully Implicit Black-Oil. 2018. 64f. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharel em Engenharia de Petróleo)

Centro de Engenharias, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2018.

A simulação numérica do fluxo de fluidos em meios porosos, é utilizada

desde a estimação do volume das reservas até a projeção de quando irá ocorrer o

abandono da produção de um campo petrolífero. Por esses motivos é de extrema

importância o entendimento do comportamento dos fluidos a nível de reservatório,

que alia conceitos do cálculo diferencial, lei da conservação de massas, lei de Darcy

e propriedades das rochas e fluidos, que possibilitam criar modelos matemáticos de

um reservatório de petróleo. Neste trabalho foi aplicado o método fully implicit black-

oil model, formulado por Ertekin et al. (2001), com o intuito de assimilar os conceitos

necessários para aplicação do método e analisar seu funcionamento. A aplicação foi

em um modelo retangular com malha de 10x10x5, com as três fases presentes, com

apenas um poço, com produção e pressão fixa, e um tempo de simulação de cinco

dias. Foi observado que a convergência do modelo tende a seguir a estimação de

inicialização do modelo e os fluidos tendem a deslocar-se para zonas preferenciais

devido a sua densidade, já a pressão com comportamento estável e sendo

influenciada pela retirada de fluidos pelo poço. A validação do resultado mostrou um

erro em comparação do simulador CMG IMEX de 1.25% na saturação de água,

31.14% na saturação de gás e 1.1% na pressão do óleo. Mostrando a extrema

importância da inicialização correta do modelo, além de que o tratamento durante as

iterações deve levar em consideração o tamanho do passo no tempo para variar as

propriedades, assim gerando valores mais sensíveis e fazendo convergir

corretamente.

Palavras-chave: modelo black-oil totalmente implícito, fluidodinâmica

computacional.

vii

ABSTRACT

VERNOCHI, BRUNO. Development of a Computational Petroleum Reservoir Simulator using the Fully Implicit Black-Oil Methodology. 2018. 64p. Course

Conclusion Paper (Graduation in Petroleum Engineering) CEng, Federal University

of Pelotas, Pelotas, 2018.

Computational methods for multiphase flow in porous media, it is widely used

since volume estimation of reserves up to the projection of the abandonment of the

production of an oil field. For these reasons is extremely important to understand the

fluid behavior at reservoir level, which combines concepts of differential calculus, law

of conservation of mass, Darcy’s law and proprieties of rocks and fluids, allowing

create mathematical models of a petroleum reservoir. In this work the method of fully

implicit black-oil model was applied, formulated by Ertekin et al. (2001), with main

intention to assimilate the concepts necessary for the application of the method and

to analyze its functioning. The method was applied in a rectangular model with mesh

of 10x10x5, with oil, gas and water phases, and only one production well with

pressure and volumetric flow fixed, with simulation time of five days. It has been

observed that the convergence of the model tends to follow the estimation of model

initialization and the fluids tend to move to preferred areas due to its density, already

the pressure with stable behavior and being influenced by the withdrawal of fluids by

the well. The validation of the result showed an error compared to the CMG IMEX

simulator of 1.25% in water saturation, 31.14% in gas saturation and 1.1% in oil

pressure. Showing the extreme importance of the correct initialization of the model,

besides that the treatment during the iterations should take into consideration the

size of the time step to vary the properties, thus generating more sensitive values

and converging correctly.

Keywords: fully implicit black-oil model, computational fluid dynamics.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Ilustração de um campo de petróleo em subsuperfície. ......................... 17

Figura 2.1. Volume de controle de um sistema. ....................................................... 23

Figura 2.2. Representação de um sistema de volumes de controle ......................... 31

Figura 4.1. Fluxo de implementação do trabalho de conclusão de curso. ............... 40

Figura 4.2. Processo iterativo do método fully implicit black-oil ............................... 42

Figura 6.1. Malha retangular para a aplicação da metodologia. ............................... 50

Figura 6.2. Corte frontal da malha com dados iniciais de saturação. ....................... 50

Figura 6.3. Mapa de saturação, primeiro passo no tempo. ...................................... 52

Figura 6.4. Mapa de pressão, primeiro passo no tempo. ......................................... 52

Figura 6.5. Mapa de saturação, segundo passo no tempo. ..................................... 52

Figura 6.6. Mapa de pressão, segundo passo no tempo. ........................................ 52

Figura 6.7. Mapa de saturação, quarto passo no tempo. ......................................... 53

Figura 6.8. Mapa de pressão, quarto passo no tempo. ............................................ 53

Figura 6.9. Mapa de saturação, quinto passo no tempo. ......................................... 54

Figura 6.10. Mapa de pressão, quinto passo no tempo. .......................................... 54

Figura 6.11. Mapa de saturação, 1º e 2º passo no tempo. ....................................... 55

Figura 6.12. Mapa de pressão, 1º e 2º passo no tempo........................................... 55

Figura 6.13. Mapa de saturação, 3º a 5º passo no tempo. ....................................... 55

Figura 6.14. Mapa de pressão, 3º a 5º passo no tempo........................................... 55

Figura 6.15. Comparação da pressão entre as simulações FIM e CMG IMEX ........ 56

Figura 6.16. Comparação da saturação entre as simulações FIM e CMG IMEX ..... 57

Figura 6.17. Zona de Gás, comparação entre as simulações FIM e CMG IMEX ..... 58

Figura 6.18. Zona Gás-Óleo, comparação entre as simulações FIM e CMG IMEX . 58

Figura 6.19. Zona de Óleo, comparação entre as simulações FIM e CMG IMEX .... 59

Figura 6.20. Zona Óleo-Água, comparação entre as simulações FIM e CMG IMEX 59

Figura 6.21. Zona de Água, comparação entre as simulações FIM e CMG IMEX ... 59

Figura 6.22. Análise global entre as simulações FIM e CMG IMEX. ........................ 60

ix

LISTA DE TABELAS

Tabela 6.1. Resultados do primeiro passo no tempo. .............................................. 52

Tabela 6.2. Resultados do segundo passo no tempo. ............................................. 53

Tabela 6.3. Resultados do quarto passo no tempo. ................................................. 53

Tabela 6.4. Resultados do quinto passo no tempo. ................................................. 54

x

LISTA DE EQUAÇÕES

Equação 2.1. Porosidade. ........................................................................................ 20

Equação 2.2. Compressibilidade. ............................................................................. 21

Equação 2.3. Massa Específica. .............................................................................. 21

Equação 2.4. Vazão Volumétrica. ............................................................................ 23

Equação 2.5. Conservação da Massa...................................................................... 23

Equação 2.6. Lei de Darcy. ...................................................................................... 23

Equação 2.7. Velocidade Aparente – Lei de Darcy. ................................................. 24

Equação 2.8. Método de Newton-Raphson. ............................................................. 24

Equação 2.9. Método de Newton-Raphson para Sistema de Equações. ................. 24

Equação 2.10. Método de Newton-Raphson para Sistema de Equações. ............... 24

Equação 2.11. Método de Newton-Raphson para Sistema de Equações ................ 25

Equação 2.12. Método de Newton-Raphson para Sistema de Equações ................ 25

Equação 2.13. Definição da Derivada ...................................................................... 25

Equação 2.14. Série de Taylor ................................................................................. 25

Equação 2.15. Diferença Finita Progressiva EDO ................................................... 25

Equação 2.16. Diferença Finita Regressiva EDO .................................................... 25

Equação 2.17. Diferença Finita Central EDO ........................................................... 25

Equação 2.18. Diferença Finita Progressiva EDP .................................................... 26

Equação 2.19. Diferença Finita Regressiva EDP ..................................................... 26

Equação 2.20. Diferença Finita Central EDP ........................................................... 26

Equação 2.21. Equação Diferencial Parcial ............................................................. 26

Equação 2.22. Condição de Dirichlet ....................................................................... 27

Equação 2.23. Condição de Neumann..................................................................... 27

Equação 2.24. Condição de Neumann..................................................................... 27

Equação 2.25. Método de Euler ............................................................................... 28

Equação 2.26. Método de Euler ............................................................................... 28

Equação 2.27. Método de Euler ............................................................................... 28

Equação 2.28. Método de Euler ............................................................................... 28

Equação 2.29. Método de Euler ............................................................................... 28

Equação 2.30. Saturação Total ................................................................................ 29

Equação 2.31. Pressão Capilar da Água ................................................................. 29

Equação 2.32. Pressão Capilar do Gás ................................................................... 29

xi

Equação 2.33. Fluxo da Água .................................................................................. 29

Equação 2.34. Fluxo de Óleo ................................................................................... 29

Equação 2.35. Fluxo do Gás .................................................................................... 30

Equação 2.36. Transmissibilidade ........................................................................... 30

Equação 2.37. Vizinhos em I .................................................................................... 31

Equação 2.38. Vizinhos em J ................................................................................... 31

Equação 2.39. Vizinhos em K .................................................................................. 31

Equação 2.40. Modelo Implícito do Fluxo Multifasico............................................... 31

Equação 2.41. Variação da Pressão do Óleo .......................................................... 32

Equação 2.42. Variação da Pressão da Água .......................................................... 32

Equação 2.43. Variação da Pressão do Gás ........................................................... 32

Equação 2.44. Método Fully Implicit Black-Oil ......................................................... 32

Equação 2.45. Matrix dos Termos de Transporte .................................................... 33

Equação 2.46. Jacobiana dos Termos de Transporte .............................................. 33

Equação 2.47. Matrix dos Termos de Acumulação .................................................. 33

Equação 2.48. Termos de Acumulação ................................................................... 33

Equação 2.49. Matrix dos Termos dos Poços .......................................................... 33

Equação 2.50. Termos dos Poços ........................................................................... 33

Equação 2.51. Vetor dos Termos de Acumulação ................................................... 33

Equação 2.52. Vetor dos Termos de Transporte ..................................................... 33

Equação 2.53. Vetor dos Termos dos Poços ........................................................... 33

Equação 2.54. Geometria do Volume de Controle ................................................... 34

Equação 2.55. Termos em Função da Pressão ....................................................... 34

Equação 2.56. Termos em Função da Saturação .................................................... 34

Equação 2.57. Derivada Parcial da Transmissibilidade ........................................... 34

Equação 2.58. Derivada Parcial da Transmissibilidade ........................................... 34

Equação 2.59. Derivada da Porosidade ................................................................... 34

Equação 2.60. Derivada da Rasão Solubilidade ...................................................... 34

Equação 2.61. Derivada do Fator Volume Formação .............................................. 34

Equação 2.62. Modelo de Produção Óleo e Água ................................................... 34

Equação 2.63. Modelo de Produção de Gás ............................................................ 35

Equação 2.64. Geometria do Poço .......................................................................... 35

Equação 2.65. Índice de Produtividade do Poço ...................................................... 35

Equação 2.66. Modelo de Injeção de Água .............................................................. 35

xii

Equação 2.67. Derivada Parcial do Poço ................................................................. 35

Equação 2.68. Derivada Parcial do Poço ................................................................. 35

Equação 4.1. Erro relativo ........................................................................................ 43

Equação 5.1. Modelo II de Stone ............................................................................. 47

xiii

LISTA DE ALGORITMOS

Algoritmo 5.1. Equilíbrio Vertical .............................................................................. 44

Algoritmo 5.2. Perturbação ....................................................................................... 45

Algoritmo 5.3. Propriedades dos Fluidos .................................................................. 46

Algoritmo 5.4. Pseudo-GOR ..................................................................................... 46

Algoritmo 5.5. Permeabilidade Relativa ................................................................... 47

Algoritmo 5.6. Transmissibilidade ............................................................................ 47

Algoritmo 5.7. Poços ................................................................................................ 47

Algoritmo 5.8. Transporte ......................................................................................... 48

Algoritmo 5.9. Acumulação ...................................................................................... 48

Algoritmo 5.10. Solver .............................................................................................. 49

xiv

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................... 17

1.1 Motivação e Justificativa ..................................................................... 18

1.2 Objetivos ............................................................................................. 19

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .......................................................... 20

2.1 Propriedades das Rochas ................................................................... 20

2.1.1 Porosidade .......................................................................................... 20

2.1.2 Compressibilidade ............................................................................... 20

2.1.3 Molhabilidade ...................................................................................... 21

2.2 Propriedades dos Fluidos ................................................................... 21

2.2.1 Massa específica ................................................................................ 21

2.2.2 Viscosidade ......................................................................................... 21

2.2.3 Permeabilidade Relativa e Pressão Capilar ........................................ 22

2.2.4 Fator Volume Formação ..................................................................... 22

2.2.5 Razão de Solubilidade ........................................................................ 22

2.2.6 Pressão de Bolha ................................................................................ 22

2.3 Conservação da Massa ...................................................................... 23

2.4 Lei de Darcy ........................................................................................ 23

2.5 Método de Newton-Raphson............................................................... 24

2.6 Método das Diferenças Finitas ............................................................ 25

2.7 Resolução de Equações Diferenciais Parciais .................................... 26

2.7.1 Condições de Contorno ...................................................................... 27

2.7.2 Método de Euler .................................................................................. 27

2.8 Modelo Matemático de Fluxo Multifásico ............................................ 29

2.8.1 Control Volume Finite Difference ........................................................ 30

2.8.2 Modelo Implícito .................................................................................. 31

xv

2.9 Método Fully Implicit Black-Oil ............................................................ 32

2.9.1 Termos de Transporte ......................................................................... 33

2.9.2 Termos de Acumulação ...................................................................... 34

2.9.3 Termos dos Poços .............................................................................. 34

2.10 C++ para Computação Científica ........................................................ 35

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA............................................................... 37

4 METODOLOGIA ................................................................................. 40

4.1 Levantamento Bibliográfico ................................................................. 40

4.2 Método Fully Implicit Black-Oil ............................................................ 41

4.3 Implementação em C++ ...................................................................... 42

4.4 Validação dos Resultados ................................................................... 43

5 APLICAÇÃO ....................................................................................... 44

5.1 Equilíbrio Vertical ................................................................................ 44

5.2 Perturbação......................................................................................... 45

5.3 Propriedades do Fluidos ..................................................................... 46

5.4 Permeabilidade ................................................................................... 46

5.5 Transmissibilidade .............................................................................. 47

5.6 Poços .................................................................................................. 47

5.7 Transporte ........................................................................................... 48

5.8 Acumulação ........................................................................................ 48

5.9 Solver .................................................................................................. 48

6 RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................... 50

6.1 Método Fully Implicit Black-Oil ............................................................ 51

6.2 CMG IMEX .......................................................................................... 54

xvi

6.3 Validação dos Resultados ................................................................... 56

7 CONCLUSÃO ..................................................................................... 61

PRÓXIMAS ETAPAS ......................................................................... 62

REFERÊNCIAIS BIBLIOGRÁFICAS .................................................. 63

ANEXO A ............................................................................................ 66

ANEXO B ............................................................................................ 69

ANEXO C ............................................................................................ 70

17

1 INTRODUÇÃO

Para realizar um projeto de exploração de um campo petrolífero, passa-se

por algumas fases, sendo exploração, delimitação, desenvolvimento da produção e

abandono. Pode-se dizer que a engenharia de reservatórios se enquadra em todas

fases, devido suas ferramentas serem utilizadas desde a estimação do volume das

reservas até a projeção de quando irá ocorrer o abandono da produção. Por esses

motivos é de extrema importância o entendimento do comportamento dos fluidos a

nível de reservatório.

A simulação numérica do fluxo de fluidos em meios porosos, alia conceitos do

cálculo diferencial, lei da conservação de massas, lei de Darcy e propriedades das

rochas e fluidos, que possibilitam criar modelos matemáticos de um reservatório de

petróleo. A simulação de reservatório de petróleo é uma das ferramentas da

engenharia de reservatório, que é muito utilizada para o entendimento do

comportamento dos fluidos a nível de reservatório.

Figura 1.1. Ilustração de um campo de petróleo em subsuperfície.

Um campo de petróleo é normalmente constituído pela rocha selante

associado a armadilha estrutural que aprisiona e impede o fluxo de fluidos,

sobrando os poros da rocha reservatório como área de armazenamento dos fluidos,

na figura 1. 1. temos a configuração desse ambiente. Normalmente encontra-se,

óleo, gás e água contidos nos poros da rocha reservatório, neste ambiente eles

ficam pressurizados devido a dinâmica da evolução das bacias sedimentares.

A rocha reservatório é heterogênea devido tratar-se de rochas sedimentares

e suas propriedades serem ligadas diretamente ao ambiente deposional. Para a

Rocha Selante Armadilha Estrutural Rocha Reservatório

Fluido

18

simulação de reservatórios de petróleo é importante saber a porosidade efetiva e a

permeabilidade absoluta da rocha e a permeabilidade relativa entre os fluidos, que

são inferidas de amostras através de testes laboratoriais.

No campo de petróleo, a nível de poros da rocha reservatório, a

pressurização influência nas propriedades dos fluidos, principalmente no óleo e gás,

os dois se misturam e formam uma fase, sendo denominado estado sobressaturado

do reservatório. Para a simulação de reservatório de petróleo é importante entender

o comportamento do óleo e gás conforme a variação da pressão e determinar a

pressão que a fase gás irá dissolver-se da fase óleo, ou seja, a pressão de

saturação ou pressão de bolha, configurando o momento que o reservatório irá

passar para o estado denominado de saturado.

A simulação de reservatório de petróleo é uma ferramenta de extrema

importância da engenharia de reservatórios, pois através dos modelos preditivos é

possível obter informações importantes para a tomada de decisão sobre o rumo que

um campo petrolífero deve seguir.

1.1 Motivação e Justificativa

Para a simulação de reservatório de petróleo é necessário aplicar todos os

conceitos estudados durante o curso de engenharia de petróleo, desde os conceitos

mais básicos da geologia até os cálculos mais complexos do cálculo diferencial, o

qual é um grande desafio para ser enfrentado. A aprendizagem de novos conceitos,

métodos e aplicações é uma grande motivação para a realização deste trabalho,

sendo um diferencial. Além de aprimorar o gerenciamento e produção de projetos

de engenharia.

A utilização de simuladores de reservatório de petróleo é indispensável em

um projeto de prospecção, pois permite traçar cenários para verificar sua viabilidade

técnica e econômica. O domínio da matemática dos modelos numéricos expande os

horizontes, tendo uma nova visão dos resultados e sua validade. Por esses motivos

a aplicação da metodologia Fully Implicit Black-Oil é de grande valia para uma

melhor compreensão e utilização dos simuladores comerciais.

19

1.2 Objetivos

Tendo em mente que a tarefa da simulação de reservatórios de petróleo é

complexa e exige um extenso conhecimento desde os métodos e leis matemáticas,

até a programação computacional, apenas o período do trabalho de conclusão de

curso, não consegue-se desenvolver um simulador para casos gerais e sim para um

caso especifico. O objetivo principal desde trabalho de conclusão de curso é

assimilar os conceitos necessários e aplicar a metodologia Fully Implicit Black-Oil

que é utilizada na indústria, já os objetivos específicos são listados abaixo:

• Levantamento Bibliográfico: levantamento da bibliografia necessária para a

assimilação da metodologia Fully Implicit Black-Oil;

• Assimilação do Modelo Matemático: organização das equações da

metodologia Fully Implicit Black-Oil, por classes para criação de agenda de

implementação;

• Implementação em C++: desenvolvimento dos algoritmos das equações da

metodologia Fully Implicit Black-Oil;

• Validação dos Resultados: comparar os resultados obtidos com os resultados

de um mesmo modelo do simulador CMG IMEX.

20

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Para o desenvolvimento deste trabalho é necessário o aprofundamento em

alguns conceitos de petrofísica, calculo numérico e cálculo diferencial. A

fundamentação dos conceitos abordados neste trabalho é feita com base nos livros

Petroleum Reservoir Simulation, escrito por Aziz e Settari (1979); Basic Applied

Reservoir Simulation, escrito por Ertekin, Abou-Kassem e King (2001); Engenharia

de Reservatório de Petróleo, escrito por Rosa, Carvalho e Xavier (2006); Cálculo

Numérico: Um Livro Colaborativo, REAMAT UFRGS (2018).

2.1 Propriedades das Rochas

Um reservatório de petróleo é constituído por uma estrutura geológica,

composta por rochas sedimentares que permitem deslocar, armazenar e aprisionar

fluidos em seus poros. O descolamento de fluidos nos poros das rochas ocorre pelo

gradiente de pressão, devido as acumulações se encontrarem em subsuperfície,

sendo que o fluido sempre se desloca para o lugar que tiver menor pressão.

2.1.1 Porosidade

É a razão entre o volume de vazios (𝑉𝑉𝑝𝑝) e volume total da rocha (𝑉𝑉𝑡𝑡), descrita

na equação 2. 1. É subdividida em porosidade absoluta, ou seja, razão entre o

volume total de vazios e o volume total da rocha; e porosidade efetiva, que é a

razão entre os espaços vazios interconectados e o volume total da rocha. (Rosa, et.

al, 2006)

𝜙𝜙 =𝑉𝑉𝑝𝑝

𝑉𝑉𝑡𝑡 (2. 1)

2.1.2 Compressibilidade

Relação do grau de compactação das rochas em razão da máxima

profundidade que a rocha já se encontrou. A porosidade das rochas sedimentares é

em função desse grau de compactação, ou seja, quanto maior for à compactação

(𝜕𝜕𝜕𝜕) que a rocha sofreu menor será sua porosidade (𝜕𝜕𝜙𝜙), devido ao rearranjo do

pacote sedimentar, ocorrendo à variação do volume poroso, denominado de

compressibilidade efetiva, expressão pela equação 2. 2. (Rosa, et. al, 2006)

21

𝑐𝑐𝑓𝑓 = 1𝜙𝜙

𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕

(2. 2)

2.1.3 Molhabilidade

A tendência de um fluido aderir ou espalhar-se preferencialmente sobre uma

superfície sólida em presença de outra fase imiscível, é denominada de

molhabilidade. A fase que “molha” preferencialmente a superfície é chamada de

fase molhante, já a outra fase é chamada de fase não molhante.

Um reservatório que tem o óleo como fase molhante e água como fase não

molhante, tem sua produção de óleo dificultada devido o óleo estar em contato com

a superfície da rocha criando barreiras de fluxo de óleo, já a água irá fluir melhor por

estar “livre”, ou seja, sem contato com a superfície da rocha. (Rosa, et. al, 2006)

2.2 Propriedades dos Fluidos

Como as condições de temperatura e pressão de um reservatório não são

constantes e essas condições influenciam diretamente as propriedades físico-

químicas do óleo, gás e água, pode-se dizer que em um reservatório em lugares

diferentes o mesmo fluido irá ter características diferentes.

2.2.1 Massa específica

É o quociente entre massa (𝑘𝑘𝑘𝑘) e volume (𝑚𝑚3) ocupado por um dado

material, expressa na equação 2. 3. É utilizada para cálculo da densidade relativa

(𝑑𝑑) dos materiais com relação à água pura, e por convenção utiliza a massa

específica da água a 25°𝐶𝐶, 𝜌𝜌𝐻𝐻2𝑂𝑂 = 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚3⁄ . (Chen, et. al, 2006)

𝜌𝜌 = 𝑚𝑚𝑉𝑉

, 𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝐻𝐻2𝑂𝑂

(2. 3)

2.2.2 Viscosidade

Propriedade física dos fluidos correspondente a resistência de um fluido ao

escoamento a uma certa temperatura, representado por 𝜇𝜇. O petróleo em condições

de reservatório devido à pressão, apresenta acréscimo na viscosidade, já com o

22

aumento da temperatura a viscosidade diminui. Pode-se relacionar o °API com a

viscosidade também, quanto menor o °API mais viscoso é o petróleo e vice-versa.

(Chen, et. al, 2006)

2.2.3 Permeabilidade Relativa e Pressão Capilar

A permeabilidade relativa é um conceito utilizado no fluxo multifásico para

determinar qual fase irá fluir preferencialmente em relação as outras, sendo

determinada com relação a geometria dos poros, molhabilidade e saturação dos

fluidos. A permeabilidade relativa é adimensional e sempre menor que um.

As interfaces de contato dos fluidos imiscíveis surgem devido as forças

capilares, sendo que cada fluido está submetido a uma pressão, a diferença das

pressões dos fluidos é denominada de pressão capilar. No fluxo multifásico em meio

poroso, a pressão capilar é determinada como a diferença entre as pressões da

fase não molhante e a fase molhante. (Chen, et. al, 2006)

2.2.4 Fator Volume Formação

Fator Volume Formação (FVF) é a razão entre o volume que a fase, ou seja,

óleo mais gás dissolvido, ou gás, ocupa em condições de pressão e temperatura do

reservatório, em comparação com o volume que permanece quando a fase alcança

as condições de armazenamento em superfície. O FVF do óleo é representado pela

sigla 𝐵𝐵𝑜𝑜 e o FVF do gás pela sigla 𝐵𝐵𝑔𝑔. (Chen, et. al, 2006)

2.2.5 Razão de Solubilidade

Razão de Solubilidade expressa a quantidade de gás dissolvido no líquido, ou

seja, relação entre o volume de gás que está dissolvido, e o volume de óleo que

será obtido da mistura, representado pela sigla 𝑅𝑅𝑠𝑠. (Chen, et. al, 2006)

2.2.6 Pressão de Bolha

Pressão na qual o gás dissolvido no óleo começa a vaporizar e separar as

fases gás e óleo. Cada tipo de petróleo contêm uma curva de PVT especifica que

23

determina a pressão de bolha do mesmo. É representado pela sigla 𝑃𝑃𝑏𝑏. (Chen, et.

al, 2006)

2.3 Conservação da Massa

A lei da conservação das massas, postula que em um sistema fechado não

cria-se matéria e também não elimina-se matéria, apenas modifica-se de estado.

Assim podemos considerar que a movimentação de fluidos em um meio poroso nas

três direções 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 e 𝑘𝑘, ocorre da seguinte forma, o fluido penetra no meio através de

uma das faces e sai pela face oposta.

Na figura 2. 1. podemos notar que o fluxo 𝑞𝑞𝑖𝑖 penetra a face 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑒𝑒, percorre a

distância 𝛥𝛥𝑖𝑖 e sai pela face oposta 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑠𝑠. Aplicando a lei da conservação das massas

pode-se dizer que fluxo que entra é igual ao que sai, em um sistema fechado. Com

a equação 2. 4., da vazão de massa por unidade de tempo, é formulada a equação

2. 5., da conservação da massa, onde 𝜌𝜌 é a massa específica do fluido, 𝑣𝑣 a

velocidade do fluxo e 𝐴𝐴 é a área da face 𝑖𝑖; os sobrescritos 𝑒𝑒, 𝑠𝑠, denominam entrada

e saída, respectivamente. (Rosa, et. al, 2016)

𝑞𝑞 = 𝜌𝜌𝑣𝑣𝐴𝐴 (2. 4)

𝜌𝜌𝑒𝑒𝑣𝑣𝑒𝑒𝐴𝐴𝑒𝑒 = 𝜌𝜌𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠𝐴𝐴𝑠𝑠

(2. 5)

Figura 2.1. Volume de controle de um sistema.

2.4 Lei de Darcy

A Lei de Darcy, descreve o fluxo volumétrico de fluidos em um meio poroso,

através da relação entre propriedades do fluido, velocidade aparente do fluido,

gradiente de pressão e propriedades do meio, representada na equação 2. 6.

𝑞𝑞 = −𝑘𝑘𝐴𝐴𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑏𝑏 − 𝜕𝜕𝑎𝑎𝐿𝐿𝑏𝑏 − 𝐿𝐿𝑎𝑎

(2. 6)

𝑞𝑞𝑖𝑖𝑒𝑒

𝛥𝛥𝑖𝑖 𝛥𝛥𝑗𝑗

𝛥𝛥𝑘𝑘 Ai

e Ais

𝑞𝑞𝑖𝑖𝑒𝑒

24

onde, 𝜇𝜇 é a viscosidade do fluido, 𝑘𝑘 é a permeabilidade do meio poroso, 𝐴𝐴 é a

área da seção transversal do meio poroso, (𝜕𝜕𝑏𝑏 − 𝜕𝜕𝑎𝑎) é o gradiente de pressão entre

os pontos 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏, e (𝐿𝐿𝑏𝑏 − 𝐿𝐿𝑎𝑎) é a distância entre os pontos 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏. (Chen, et. al, 2006)

Devido 𝑞𝑞 = 𝜌𝜌𝑣𝑣𝐴𝐴, formula-se a velocidade aparente 𝑣𝑣, de um fluido em um

ambiente em três dimensões, descrito na equação 2. 7.

𝑣𝑣 = − 𝑘𝑘𝜇𝜇

𝛾𝛾(𝜕𝜕𝑏𝑏 − 𝜕𝜕𝑎𝑎)𝐿𝐿𝑏𝑏 − 𝐿𝐿𝑎𝑎

(2. 7)

onde, 𝛾𝛾 = 𝜌𝜌𝑘𝑘, ou seja, o peso específico, devido o fluido encontrar-se em três

dimensões.

2.5 Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson tem a finalidade de estimar as raízes de uma

função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), por meio de uma aproximação de 𝑥𝑥𝑛𝑛 é estimada a próxima

aproximação, ou seja, 𝑥𝑥𝑛𝑛+1, que é o ponto de interseção entre o eixo das abscissas

e a reta tangente de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no ponto 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑛𝑛. A equação da reta tangente é calculada

através da derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), sendo o método formulado na equação 2. 8.

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑛𝑛)

, 𝑛𝑛 ≥ 1 (2. 8)

Já quando se trata de um sistema de equações lineares, assume que a

função 𝐹𝐹(𝑥𝑥) é diferenciável e que existe um ponto 𝑥𝑥𝑘𝑘 tal que 𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) = 0. Assim para

construir uma nova aproximação 𝑥𝑥𝑘𝑘+1, é necessário linearizar 𝐹𝐹(𝑥𝑥) no ponto 𝑥𝑥𝑘𝑘,

através da equação 2. 9.

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) + 𝐽𝐽𝐹𝐹 (𝑥𝑥𝑘𝑘)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑘𝑘) (2. 9)

Para realizar a linearização é necessário calcular a matriz jacobiana 𝐽𝐽𝐹𝐹 (𝑥𝑥𝑘𝑘)

que é formada pelas derivadas parciais de primeira ordem da função 𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘). A

aproximação de 𝑥𝑥𝑘𝑘 é definida como o ponto 𝑥𝑥 em que a equação 2. 9. é nula,

conforme a equação 2. 10.

𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) + 𝐽𝐽𝐹𝐹 (𝑥𝑥𝑘𝑘)(𝑥𝑥𝑘𝑘+1 − 𝑥𝑥𝑘𝑘) = 0 (2. 10)

25

Supondo que 𝐽𝐽𝐹𝐹 (𝑥𝑥𝑘𝑘) seja inversível é formulada a equação 2. 11, ou seja, o

método de Newton-Raphson para sistema.

𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝑥𝑥𝑘𝑘 − 𝐽𝐽𝐹𝐹−1(𝑥𝑥𝑘𝑘)𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘), 𝑘𝑘 > 0 (2. 11)

Define-se Δ𝑘𝑘 = 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 − 𝑥𝑥𝑘𝑘 como o “passo”, reescrevendo a equação 2. 11 em

2. 12, temos que o Δk é a solução para o sistema linear. (REAMAT, 2018)

𝐽𝐽𝐹𝐹 (𝑥𝑥𝑘𝑘)Δ𝑘𝑘 = −𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) (2. 12)

2.6 Método das Diferenças Finitas

Consiste na utilização de fórmulas discretas que são aplicáveis a equações

diferenciais, visando aproximar a derivada de uma função por meio das diferenças

finitas. Uma forma de obter a aproximação da derivada de ordem 𝑛𝑛, é utilizando a

definição de derivada, formulada na equação 2. 13., juntamente com expansão em

série de Taylor, formulada na forma genérica na equação 2. 14.

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = limh→0

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ

, ℎ ≠ 0 (2. 13)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛∞

𝑛𝑛=0, 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑎𝑎)

𝑛𝑛!(2. 14)

Com estes conceitos é possível formular três técnicas para diferenças finitas

de primeira ordem. As equações 2. 15., 2. 16. e 2. 17., representam as fórmulas das

técnicas, sendo diferenças finitas progressivas, regressivas e centradas.

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ

(2. 15)

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ℎ)ℎ

(2. 16)

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ℎ)2ℎ

(2. 17)

onde ℎ tende a zero, porém não tão pequeno para evitar erros de

truncamento.

Este conceito pode ser aplicado para derivadas parciais, sendo formulada as

diferenças finitas progressiva, equação 2. 18., regressiva, equação 2. 19., e

centrada, equação 2. 20., para derivadas parciais de primeira ordem.

26

𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

= 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + Δ𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)Δ𝑥𝑥

(2. 18)

𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

= 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − Δ𝑥𝑥, 𝑦𝑦)Δ𝑥𝑥

(2. 19)

𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

= 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + Δ𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − Δ𝑥𝑥, 𝑦𝑦)2Δ𝑥𝑥

(2. 20)

A interpretação geométrica das técnicas de diferenças finitas, é ilustrado na

figura 2. 2., podemos notar que a técnica progressiva (a) através do ponto 𝑥𝑥𝑖𝑖+1

aproxima 𝑥𝑥𝑖𝑖, já a técnica regressiva (b) utiliza o ponto anterior, ou seja, 𝑥𝑥𝑖𝑖−1. A

técnica centrada (c), como o nome diz, utilizada ambos pontos 𝑥𝑥𝑖𝑖−1 e 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 para

aproximar 𝑥𝑥𝑖𝑖. (Ertekin, et. al, 2001)

Figura 2. 2. Interpretação geométrica das técnicas de diferenças finitas, (a) progressiva, (b) regressiva e (c) centrada.

2.7 Resolução de Equações Diferenciais Parciais

Equação diferencial parcial (EDP), é uma equação envolvendo duas ou mais

variáveis independentes e derivadas parciais de uma função, ou seja, a variável

dependente, descrita de forma geral na equação 2. 21.

𝐹𝐹 �𝑥𝑥1,… , 𝑥𝑥𝑛𝑛; 𝑦𝑦; 𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥

, 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝑥𝑥1𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛

,… , 𝜕𝜕𝑛𝑛𝑦𝑦𝜕𝜕𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛

� (2. 21)

onde, 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1,… , 𝑥𝑥𝑛𝑛) ∈ Ω, Ω ⊆ ℝ𝑛𝑛; e 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) é a função a ser determinada.

𝒇𝒇(𝒙𝒙)

𝒙𝒙𝒊𝒊−𝟏𝟏 𝒙𝒙𝒊𝒊 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏

𝒂𝒂

𝒃𝒃

𝒄𝒄

27

2.7.1 Condições de Contorno

Para a resolução de uma EDP, deve-se levar em consideração as condições

de contorno do domínio, de uma função ou derivada. (Ertekin, et. al, 2001)

Condição de Dirichlet: A condição de contorno de Dirichlet, aponta o valor

de uma função no contorno do domínio, ou seja:

𝛼𝛼𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 ∈ 𝜕𝜕Ω (2. 22)

onde 𝛼𝛼 é uma constante e 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é dada no contorno de 𝜕𝜕Ω.

Condição de Neumann: A condição de contorno de Neumann, aponta o

valor que a derivada de uma solução deve tomar no contorno do domínio, ou seja:

𝛽𝛽 𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑛𝑛

(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 ∈ 𝜕𝜕Ω (2. 23)

onde 𝛽𝛽 é uma constante, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é dada no contorno de 𝜕𝜕Ω, 𝑛𝑛 denota a normal

ao contorno 𝜕𝜕Ω, sendo sua derivada parcial definida:

𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑛𝑛

(𝑥𝑥) = ∇𝑦𝑦(𝑥𝑥) ⋅ 𝒏𝒏(𝑥𝑥) (2. 24)

onde ∇ é o vetor gradiente e o ponto é o produto interno com o vetor normal

𝒏𝒏.

2.7.2 Método de Euler

O Método de Euler é uma técnica simples de aproximação de problemas de

valor inicial. Através das condições iniciais, no espaço 𝑖𝑖 e tempo 𝑡𝑡 do sistema

𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑡𝑡), para um pequeno Δ𝑡𝑡, pode-se obter a aproximação do estado

posterior do sistema, ou seja, 𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡+Δt�, a partir da derivada parcial temporal,

𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡).

Utilizando a expansão em série de Taylor, truncada em primeira ordem, com

um esquema regressivo, pois a análise é realizada no tempo posterior, ou seja,

𝑘𝑘 = 𝑡𝑡 + 𝛥𝛥𝑡𝑡, para obter a aproximação da solução da EDP, deduz-se em dois

passos, sendo as equações 2. 25. e 2. 26. Já ao analisarmos 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡), para a achar

28

a solução do estado posterior, ou seja, 𝑡𝑡 + 𝛥𝛥𝑡𝑡, através da sua derivada parcial

𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡), utiliza-se a expansão em série de Taylor, com esquema progressivo,

equações 2. 27. e 2. 28. obtém-se a mesma formulação, tendo em mente que

𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑡𝑡), podemos formular a equação 2. 29. Podemos dizer que a ideia

básica do método de Euler é aproximar a derivada através de um coeficiente

incremental. (REAMAT, 2018)

𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑘𝑘) − Δ𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘) (2. 25)

𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑘𝑘) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑘𝑘, 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑘𝑘) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑡𝑡)

Δ𝑡𝑡(2. 26)

𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡+Δt� ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡) + Δ𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡) (2. 27)

𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡) ≈

𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡+Δt� − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡)Δ𝑡𝑡

(2. 28)

𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡+𝛥𝛥𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡+𝛥𝛥𝑡𝑡� = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡) + 𝛥𝛥𝑡𝑡𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡+𝛥𝛥𝑡𝑡, 𝑦𝑦𝑖𝑖

𝑡𝑡+𝛥𝛥𝑡𝑡� (2. 29)

O método de Euler regressivo, também é denominado de método implícito,

devido avaliar a aproximação da solução da EDP com relação ao estado posterior

do sistema, como é possível observar na figura 2. 2., onde um ponto (𝑖𝑖, 𝑡𝑡) é levado

ao futuro com os outros pontos da vizinhança, ou seja, (𝑖𝑖 − 1, 𝑡𝑡) e (𝑖𝑖 + 1, 𝑡𝑡), para

avaliar o estado do ponto em (𝑖𝑖, 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡). (REAMAT, 2018)

Figura 2. 2. Analise gráfica do método implícito, com relação ao espaço 𝑖𝑖 e tempo 𝑡𝑡.

𝒊𝒊 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏 𝒊𝒊 − 𝟏𝟏

𝒕𝒕

𝒕𝒕 + 𝚫𝚫𝒕𝒕

𝒇𝒇𝒙𝒙(𝒙𝒙𝒊𝒊𝒕𝒕, 𝒚𝒚𝒊𝒊

𝒕𝒕)

𝒇𝒇𝒙𝒙�𝒙𝒙𝒊𝒊𝒕𝒕+𝜟𝜟𝒕𝒕, 𝒚𝒚𝒊𝒊

𝒕𝒕+𝜟𝜟𝒕𝒕�

29

2.8 Modelo Matemático de Fluxo Multifásico

Para construção do modelo matemático de fluxo multifásico 3D em um

reservatório de petróleo é utilizado os conceitos da conservação da massa, lei de

Darcy, propriedades dos fluidos, propriedades das rochas e das metodologias

matemáticas conceituadas anteriormente.

Ertekin. T. et al. (2001) formula o modelo multifásico, levando em

consideração as premissas:

𝑆𝑆𝑜𝑜 + 𝑆𝑆𝑤𝑤 + 𝑆𝑆𝑔𝑔 = 1(2. 30)

𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 = 𝜕𝜕𝑜𝑜 − 𝜕𝜕𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑆𝑆𝑤𝑤)

(2. 31) 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 = 𝜕𝜕𝑔𝑔 − 𝜕𝜕𝑜𝑜 = 𝑓𝑓�𝑆𝑆𝑔𝑔�

(2. 32)

Sendo que a saturação dos fluidos óleo, gás e água não podem ultrapassar 1

e as pressões capilares podem ser obtidas através da diferença da pressão das

fases ou em função da saturação. Está premissa possibilita criar um modelo em

termos de três variáveis desconhecidas, sendo: 𝜕𝜕𝑜𝑜, 𝑆𝑆𝑤𝑤 e 𝑆𝑆𝑔𝑔, sendo formulado a

equação 2. 33. para água, equação 2. 34. para óleo e equação 2. 35. para o gás.

Este modelo matemático é conhecido também como modelo black-oil, devido

considerar as três fases e a fase gás dissolvida no óleo, quando o mesmo se

encontra acima da pressão de bolha, 𝜕𝜕𝑏𝑏.

∂∂𝑥𝑥

�𝑘𝑘𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑘𝑘𝑟𝑟𝑤𝑤

𝜇𝜇𝑤𝑤𝐵𝐵𝑤𝑤�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑥𝑥− ∂𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤

∂𝑥𝑥− 𝛾𝛾𝑤𝑤

∂𝑍𝑍∂𝑥𝑥

�� Δ𝑥𝑥 +

∂∂𝑦𝑦

�𝑘𝑘𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑘𝑘𝑟𝑟𝑤𝑤

𝜇𝜇𝑤𝑤𝐵𝐵𝑤𝑤�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑦𝑦− ∂𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤

∂𝑦𝑦− 𝛾𝛾𝑤𝑤

∂𝑍𝑍∂𝑦𝑦

�� Δ𝑦𝑦 +

∂∂𝑧𝑧

�𝑘𝑘𝑧𝑧𝐴𝐴𝑧𝑧𝑘𝑘𝑟𝑟𝑤𝑤

𝜇𝜇𝑤𝑤𝐵𝐵𝑤𝑤�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑧𝑧− ∂𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤

∂𝑧𝑧− 𝛾𝛾𝑤𝑤

∂𝑍𝑍∂𝑧𝑧

��Δ𝑧𝑧

= 𝑉𝑉𝑏𝑏∂∂𝑡𝑡

�𝜙𝜙𝑆𝑆𝑤𝑤𝐵𝐵𝑤𝑤

� − 𝑞𝑞𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤

(2. 33)

∂∂𝑥𝑥

�𝑘𝑘𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜

𝜇𝜇𝑜𝑜𝐵𝐵𝑜𝑜�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑥𝑥− 𝛾𝛾𝑜𝑜

∂𝑍𝑍∂𝑥𝑥

��Δ𝑥𝑥 +

∂∂𝑦𝑦

�𝑘𝑘𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜

𝜇𝜇𝑜𝑜𝐵𝐵𝑜𝑜�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑦𝑦− 𝛾𝛾𝑜𝑜

∂𝑍𝑍∂𝑦𝑦

��Δ𝑦𝑦 +

∂∂𝑧𝑧

�𝑘𝑘𝑧𝑧𝐴𝐴𝑧𝑧𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜

𝜇𝜇𝑜𝑜𝐵𝐵𝑜𝑜�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑧𝑧− 𝛾𝛾𝑜𝑜

∂𝑍𝑍∂𝑧𝑧

�� Δ𝑧𝑧

= 𝑉𝑉𝑏𝑏∂∂𝑡𝑡

�𝜙𝜙�1 − 𝑆𝑆𝑤𝑤 − 𝑆𝑆𝑔𝑔�

𝐵𝐵𝑜𝑜� − 𝑞𝑞𝑜𝑜𝑤𝑤𝑤𝑤

(2. 34)

30

∂∂𝑥𝑥

�𝑘𝑘𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑘𝑘𝑟𝑟𝑔𝑔

𝜇𝜇𝑔𝑔𝐵𝐵𝑔𝑔�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑥𝑥+

∂𝜕𝜕𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜

∂𝑥𝑥− 𝛾𝛾𝑔𝑔

∂𝑍𝑍∂𝑥𝑥

� + 𝑘𝑘𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠𝜇𝜇𝑜𝑜𝐵𝐵𝑜𝑜

�∂𝜕𝜕𝑜𝑜∂𝑥𝑥

− 𝛾𝛾𝑜𝑜∂𝑍𝑍∂𝑥𝑥

�� Δ𝑥𝑥 +

∂∂𝑦𝑦

�𝑘𝑘𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑘𝑘𝑟𝑟𝑔𝑔

𝜇𝜇𝑔𝑔𝐵𝐵𝑔𝑔�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑦𝑦+

∂𝜕𝜕𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜

∂𝑦𝑦− 𝛾𝛾𝑔𝑔

∂𝑍𝑍∂𝑦𝑦

� + 𝑘𝑘𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠𝜇𝜇𝑜𝑜𝐵𝐵𝑜𝑜

�∂𝜕𝜕𝑜𝑜∂𝑦𝑦

− 𝛾𝛾𝑜𝑜∂𝑍𝑍∂𝑦𝑦

�� Δ𝑦𝑦 +

∂∂𝑧𝑧

�𝑘𝑘𝑧𝑧𝐴𝐴𝑧𝑧𝑘𝑘𝑟𝑟𝑔𝑔

𝜇𝜇𝑔𝑔𝐵𝐵𝑔𝑔�∂𝜕𝜕𝑜𝑜

∂𝑧𝑧+

∂𝜕𝜕𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜

∂𝑧𝑧− 𝛾𝛾𝑔𝑔

∂𝑍𝑍∂𝑧𝑧

� + 𝑘𝑘𝑧𝑧𝐴𝐴𝑧𝑧𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠𝜇𝜇𝑜𝑜𝐵𝐵𝑜𝑜

�∂𝜕𝜕𝑜𝑜∂𝑧𝑧

− 𝛾𝛾𝑜𝑜∂𝑍𝑍∂𝑧𝑧

�� Δ𝑧𝑧

= 𝑉𝑉𝑏𝑏∂∂𝑡𝑡

�𝜙𝜙𝑆𝑆𝑔𝑔

𝐵𝐵𝑔𝑔+

𝜙𝜙𝑅𝑅𝑠𝑠�1 − 𝑆𝑆𝑤𝑤 − 𝑆𝑆𝑔𝑔�𝐵𝐵𝑜𝑜

� − 𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤

(2. 35)

Essas equações podem ser separadas em dois termos, os termos de

acumulação, lado direito das equações 2. 33. a 2. 35., que são relacionados a

equação de conservação da massa e os termos de transporte, lado esquerdo das

equações 2. 33. a 2. 35., que são relacionados a lei de Darcy. Nos termos de

transporte a transmissibilidade é definida pela equação 2. 36.

𝑇𝑇𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑓𝑓𝐴𝐴𝑓𝑓𝛥𝛥𝑓𝑓

𝑘𝑘𝑟𝑟𝑓𝑓

𝜇𝜇𝑓𝑓𝐵𝐵𝑓𝑓, �𝑓𝑓 = 𝑤𝑤, 𝑜𝑜, 𝑘𝑘

𝑑𝑑 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 (2. 36)

2.8.1 Control Volume Finite Difference

O método Control Volume Finite Difference (CVFD), constitui-se em criar

vários volumes de controle (VC), figura 2. 3., com as propriedades de estudo, que

são distribuídos em uma malha regular ou não, permitindo aplicar o método das

diferenças finitas para criar um sistema de equações o qual permite modelar um

fenômeno. Como trata-se de um sistema em malha e, em três dimensões, com

tamanho de 𝑁𝑁𝑖𝑖,𝑁𝑁𝑗𝑗 e 𝑁𝑁𝑘𝑘 a numeração dos 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 é realizada primeiramente com o

eixo 𝑗𝑗 e 𝑘𝑘 fixo e 𝑖𝑖 crescente, quando 𝑖𝑖 chega ao final de sua amplitude, primeiro é

aumentado 𝑗𝑗 e 𝑘𝑘 permanece o mesmo valor, quando 𝑖𝑖 chega novamente em sua

amplitude final, 𝑘𝑘 é aumentado por último, e assim repete-se até chegar a amplitude

final dos três eixos. Um 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 qualquer é representado por 𝜓𝜓𝑛𝑛, onde 𝑛𝑛 é sua

numeração e 𝜓𝜓𝑛𝑛𝑖𝑖 seus vizinhos no eixo 𝑖𝑖, 𝜓𝜓𝑛𝑛𝑗𝑗

seus vizinhos no eixo 𝑗𝑗 e 𝜓𝜓𝑛𝑛𝑘𝑘 seus

vizinhos no eixo 𝑘𝑘, as equações 2. 37. a 2. 39. mostram como localiza-los. (Ertekin,

et. al, 2001)

31

Figura 2.2. Representação de um sistema de volumes de controle (VC) em três dimensões, 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 ao centro e os vizinhos, 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘, 𝑉𝑉 𝐶𝐶𝑖𝑖,𝑗𝑗−1,𝑘𝑘, 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘−1

, 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘, 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘 e 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1

ao seu redor.

𝜓𝜓𝑛𝑛𝑖𝑖= {𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛 + 1}

(2. 37)

𝜓𝜓𝑛𝑛𝑗𝑗= {𝑛𝑛 − 𝑁𝑁𝑖𝑖, 𝑛𝑛 + 𝑁𝑁𝑖𝑖}

(2. 38)

𝜓𝜓𝑛𝑛𝑘𝑘= �𝑛𝑛 − 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑁𝑁𝑗𝑗, 𝑛𝑛 + 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑁𝑁𝑗𝑗�

(2. 39)

2.8.2 Modelo Implícito

As equações do modelo black-oil, são rescritas aplicando o método CVFD e

linearizada através do método de Newton-Raphson, criando um modelo implícito,

que possibilita realizar iterações durante o tempo, permitindo realizar a estimação

dos parâmetros em estudo. O modelo é expressado na forma residual 𝑅𝑅𝑓𝑓𝑡𝑡 , pois

𝑅𝑅𝑓𝑓𝑡𝑡 → 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑛𝑛𝑠𝑠𝜕𝜕𝑜𝑜𝑇𝑇𝑡𝑡𝑒𝑒 − 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝑚𝑚𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎çã𝑜𝑜 = 0, assim para uma variação do tempo temos

que 𝑅𝑅𝑓𝑓𝑡𝑡+1 = 0, onde 𝑓𝑓 = 𝑤𝑤, 𝑜𝑜 e 𝑘𝑘. Através das iterações do método implícito por

Newton-Raphson, aproxima-se os resíduos do tempo, 𝑡𝑡 + 1, através das estimativas

da iteração, 𝑣𝑣 + 1, ou seja, 𝑅𝑅𝑓𝑓𝑡𝑡+1 ≈ 𝑅𝑅𝑓𝑓

𝑣𝑣+1𝑡𝑡+1 . A aproximação do resíduo na iteração

𝑣𝑣 + 1, é feita através da estimativa do resíduo na iteração 𝑣𝑣, mais uma combinação

linear dos parâmetros desconhecidos, estimados através da diferenciação parcial de

𝑅𝑅𝑓𝑓 , em relação aos parâmetros desconhecidos. A equação 2. 40. formula este

conceito. (Ertekin, et. al, 2001)

𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝑣𝑣+1𝑡𝑡+1 ≈ 𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝑣𝑣𝑡𝑡+1 +

� ��𝜕𝜕𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

�𝑣𝑣

+ 𝛿𝛿𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚+ �

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

�𝑣𝑣

+ 𝛿𝛿𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚+ �

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

�𝑣𝑣

+ 𝛿𝛿𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚 �

𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

+

��𝜕𝜕𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

+ 𝛿𝛿𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛+ �

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

+ 𝛿𝛿𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛+ �

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

+ 𝛿𝛿𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛 �

(2. 40)

𝑗𝑗−1 𝑖𝑖+1 𝑖𝑖−1

𝑘𝑘+1

𝑘𝑘−1

32

Sendo 𝜓𝜓𝑛𝑛 o VC em analise e 𝑚𝑚 ∈ 𝜓𝜓𝑛𝑛𝑖𝑖∪ 𝜓𝜓𝑛𝑛𝑗𝑗

∪ 𝜓𝜓𝑛𝑛𝑘𝑘. Os parâmetros 𝛿𝛿𝜕𝜕𝑜𝑜, 𝛿𝛿𝑆𝑆𝑤𝑤 e

𝛿𝛿𝑆𝑆𝑔𝑔, definidos pelas equações 2. 41. a 2. 43., são as variáveis do método a serem

aproximadas durante as iterações para que 𝑅𝑅𝑓𝑓𝑛𝑛

𝑣𝑣+1𝑡𝑡+1 ≈ 0, permitindo que prossiga o

processo para a próxima variação no tempo.

𝛿𝛿𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚= 𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

𝑣𝑣+1𝑡𝑡+1 − 𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

𝑣𝑣𝑡𝑡+1 (2. 41) 𝛿𝛿𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

= 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

𝑣𝑣+1𝑡𝑡+1 − 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

𝑣𝑣𝑡𝑡+1 (2. 42) 𝛿𝛿𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

= 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

𝑣𝑣+1𝑡𝑡+1 − 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

𝑣𝑣𝑡𝑡+1 (2. 43)

As derivadas parciais são definidas pelas equações A. 1. a A. 18. do anexo A,

para quando 𝑛𝑛 ≠ 𝑚𝑚 deve-se utilizar as equações A. 1. a A. 9. do anexo A, quando

𝑛𝑛 = 𝑚𝑚, utiliza-se as equações A. 10. a A. 18. do anexo A, para o cálculo das

derivadas parciais.

2.9 Método Fully Implicit Black-Oil

O método Fully Implicit Black-Oil, utiliza o método de Newton-Raphson para

linearizar as equações implícitas da pressão e saturação, composta pela equação 2.

44., que engloba os termos de transporte [𝑭𝑭 ]𝒗𝒗 e 𝑭𝑭⃗𝒗𝒗, os termos de acumulação [𝑪𝑪]𝒗𝒗

e 𝑪𝑪�⃗�𝒗, e os termos dos poços [𝑸𝑸]𝒗𝒗 e 𝑸𝑸�����𝒗𝒗, esses termos são formulados nos anexos A

e B.

[𝑱𝑱]𝒗𝒗𝜹𝜹𝑿𝑿����� = −𝑹𝑹������𝒗𝒗 → {[𝑭𝑭 ]𝒗𝒗 − [𝑪𝑪]𝒗𝒗 + [𝑸𝑸]𝒗𝒗}𝜹𝜹𝑿𝑿����� = −�𝑭𝑭⃗𝒗𝒗 − �𝑪𝑪�⃗�𝒗 − 𝑪𝑪�⃗�𝒕� + 𝑸𝑸�����𝒗𝒗� (2. 44)

Sendo [𝑭𝑭 ]𝒗𝒗 uma matriz heptagonal contendo os valores de [𝑭𝑭 ]𝒏𝒏,𝒎𝒎 em suas

diagonais, que é uma matriz quadrada contendo os valores das derivadas parciais,

conforme 2. 45. e 2. 46. Já, [𝑪𝑪]𝒗𝒗 e [𝑸𝑸]𝒗𝒗 são matrizes diagonais contendo [𝑪𝑪]𝒏𝒏 e

[𝑸𝑸]𝒏𝒏 nas diagonais principais, que também são matrizes quadradas, conforme 2. 47.

a 2. 50. Por fim, os vetores 𝑭𝑭⃗𝒗𝒗, 𝑪𝑪�⃗�𝒗 e 𝑸𝑸�����𝒗𝒗, descritos nas equações 2. 51. a 2. 53.

33

[𝑭𝑭 ]𝒗𝒗 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

[𝑭𝑭 ]𝒏𝒏 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎[𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒏𝒏 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎[𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒏𝒏 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎[𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒏𝒏 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎

[𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒏𝒏 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎[𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒏𝒏 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎

[𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒎𝒎 [𝑭𝑭 ]𝒏𝒏 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(2. 45)

[𝑭𝑭 ]𝒏𝒏,𝒎𝒎 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑃𝑃𝑜𝑜𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑃𝑃𝑜𝑜𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

𝜕𝜕𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑃𝑃𝑜𝑜𝑚𝑚 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(2. 46)

[𝑪𝑪] =⎣⎢⎡[𝑪𝑪]𝟏𝟏

⋱[𝑪𝑪]𝑵𝑵⎦

⎥⎤

(2. 47)

[𝑪𝑪]𝒏𝒏 =

⎣⎢⎡

𝐶𝐶𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛𝐶𝐶𝑤𝑤𝑔𝑔𝑛𝑛

𝐶𝐶𝑤𝑤𝑝𝑝𝑛𝑛

𝐶𝐶𝑔𝑔𝑤𝑤𝑛𝑛𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑛𝑛

𝐶𝐶𝑔𝑔𝑝𝑝𝑛𝑛

𝐶𝐶𝑜𝑜𝑤𝑤𝑛𝑛𝐶𝐶𝑜𝑜𝑔𝑔𝑛𝑛

𝐶𝐶𝑜𝑜𝑝𝑝𝑛𝑛 ⎦⎥⎤

(2. 48)

[𝑸𝑸] =⎣⎢⎡[𝑸𝑸]𝟏𝟏

⋱[𝑸𝑸]𝑵𝑵⎦

⎥⎤

(2. 49)

[𝑸𝑸]𝒏𝒏 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝜕𝜕𝑞𝑞𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑃𝑃𝑜𝑜𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑃𝑃𝑜𝑜𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑜𝑜𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑜𝑜𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑜𝑜𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

𝜕𝜕𝑃𝑃𝑜𝑜𝑛𝑛 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(2. 50)

𝑪𝑪�⃗�𝒏 =⎣⎢⎡

𝐶𝐶𝑤𝑤𝑛𝑛

𝐶𝐶𝑔𝑔𝑛𝑛

𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛 ⎦⎥⎤

(2. 51)

𝑭𝑭�⃗�𝒏 =⎣⎢⎡

𝐹𝐹𝑤𝑤𝑛𝑛

𝐹𝐹𝑔𝑔𝑛𝑛

𝐹𝐹𝑜𝑜𝑛𝑛 ⎦⎥⎤

(2. 52)

𝑸𝑸�����𝒏𝒏 =⎣⎢⎡

𝑸𝑸𝟏𝟏𝒏𝒏

𝑸𝑸𝟐𝟐𝒏𝒏

𝑸𝑸𝟑𝟑𝒏𝒏⎦⎥⎤ = �

𝑞𝑞𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛𝑞𝑞𝑜𝑜𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

�

(2. 53)

2.9.1 Termos de Transporte

Os termos de transporte são constituídos pela transmissibilidade, que é

separada em três termos, geométricos 𝐺𝐺𝑓𝑓, função da pressão 𝑓𝑓𝑝𝑝 e função da

saturação 𝑓𝑓𝑠𝑠, formulando 𝑇𝑇𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐺𝐺𝑓𝑓𝑓𝑓𝑝𝑝𝑓𝑓𝑠𝑠. As derivadas parciais com relação a

transmissibilidade são tratadas conforme os termos em função da pressão e

34

saturação, descritas nas equações 2. 57. e 2. 58., onde 𝜖𝜖 é a variação da

propriedade com respeito ao tempo 𝑡𝑡 e 𝑣𝑣. (Ertekin, et. al, 2001)

𝐺𝐺𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑓𝑓𝐴𝐴𝑓𝑓𝛥𝛥𝑓𝑓

(2. 54)

𝑓𝑓𝑝𝑝 = 1𝜇𝜇𝑓𝑓𝐵𝐵𝑓𝑓

(2. 55)

𝑓𝑓𝑠𝑠 = 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑓𝑓

(2. 56)

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕𝑜𝑜

= 𝑇𝑇 (𝜕𝜕𝑜𝑜 + 𝜖𝜖) − 𝑇𝑇(𝜕𝜕𝑜𝑜)𝜖𝜖

(2. 57)

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑆𝑆

= 𝑇𝑇(𝑆𝑆 + 𝜖𝜖) − 𝑇𝑇 (𝑆𝑆)𝜖𝜖

(2. 58)

2.9.2 Termos de Acumulação

Os termos de acumulação são constituídos pelas equações 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑝𝑝, 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑤𝑤, 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑔𝑔,

𝐶𝐶𝑤𝑤𝑝𝑝, 𝐶𝐶𝑤𝑤𝑤𝑤, 𝐶𝐶𝑤𝑤𝑔𝑔, 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑝𝑝, 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑤𝑤 e 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔, que são expandidas no anexo B. As derivadas 𝜙𝜙′,

𝑅𝑅𝑠𝑠′ e �1 𝐵𝐵𝑓𝑓⁄ �′, são tratadas conforme as equações 2. 59., a 2. 61. (Ertekin, et. al,

2001)

𝜙𝜙′ = 𝜙𝜙𝑡𝑡+1 − 𝜙𝜙𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑜𝑜𝑡𝑡+1 − 𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑡𝑡

(2. 59) 𝑅𝑅𝑠𝑠

′ = 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑡𝑡+1 − 𝑅𝑅𝑠𝑠

𝑡𝑡

𝜕𝜕𝑜𝑜𝑡𝑡+1 − 𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑡𝑡

(2. 60) � 1

𝐵𝐵𝑓𝑓�

′

=�𝐵𝐵𝑓𝑓

𝑡𝑡+1�−1 − �𝐵𝐵𝑓𝑓𝑡𝑡 �−1

𝜕𝜕𝑜𝑜𝑡𝑡+1 − 𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑡𝑡

(2. 61)

2.9.3 Termos dos Poços

Os termos dos poços são constituídos pelas equações que descrevem a

vazão e injeção de fluidos em um volume de controle.

2.9.3.1 Poços de Produção

As equações 2. 62. e 2. 63. descrevem a vazão de fluidos em um poço

locado em apenas um volume de controle, 𝐺𝐺𝑤𝑤 é o fator geométrico do poço, descrito

pela equação 2. 64., 𝜕𝜕𝑓𝑓 a pressão da fase e 𝜕𝜕𝑤𝑤𝑓𝑓 a pressão de fundo de poço.

(Ertekin, et. al, 2001)

𝑞𝑞𝑓𝑓𝑤𝑤𝑤𝑤 = − 𝐺𝐺𝑤𝑤 � 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑟𝑟𝜇𝜇𝑓𝑓𝐵𝐵𝑓𝑓

��𝜕𝜕𝑓𝑓 − 𝜕𝜕𝑤𝑤𝑓𝑓�, 𝑓𝑓 = 𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝑜𝑜 (2. 62)

35

𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤 = − 𝐺𝐺𝑤𝑤 ��𝑘𝑘𝑟𝑟𝑔𝑔

𝜇𝜇𝑔𝑔𝐵𝐵𝑔𝑔��𝜕𝜕𝑔𝑔 − 𝜕𝜕𝑤𝑤𝑓𝑓� + �𝑅𝑅𝑠𝑠

𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜𝜇𝜇𝑜𝑜𝐵𝐵𝑜𝑜

� �𝜕𝜕𝑜𝑜 − 𝜕𝜕𝑤𝑤𝑓𝑓�� (2. 63)

𝐺𝐺𝑤𝑤 = 2𝜋𝜋𝑘𝑘𝐻𝐻ℎlog𝑒𝑒 �𝑇𝑇𝑒𝑒𝑇𝑇𝑤𝑤

� + 𝑠𝑠 − 𝐹𝐹(2. 64)

𝐽𝐽𝑤𝑤 = − 𝐺𝐺𝑤𝑤 � 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑟𝑟

𝜇𝜇𝑓𝑓𝐵𝐵𝑓𝑓�

(2. 65)

onde, 𝑘𝑘𝐻𝐻 é a permeabilidade vertical, ℎ altura vertical do poço, 𝑇𝑇𝑒𝑒 raio do

centro do poço ao limite horizontal do VC, 𝑇𝑇𝑤𝑤 raio do poço, 𝑠𝑠 fator de película e 𝐹𝐹

fator do regime de fluxo do modelo. 𝐽𝐽𝑤𝑤 é definido na equação 2. 65., que é o índice

de produtividade do poço.

2.9.3.2 Poços de Injeção

Para um poço com pressão de injeção constate é utilizado a equação 2. 66.,

onde 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑗𝑗 = 𝑤𝑤 ou 𝑘𝑘, 𝑓𝑓 = 𝑤𝑤, 𝑜𝑜 e 𝑘𝑘, nas condições de injeção. (Ertekin, et. al, 2001)

𝑞𝑞𝑖𝑖𝑛𝑛𝑗𝑗𝑤𝑤𝑤𝑤 = − 𝐺𝐺𝑤𝑤𝐵𝐵𝑖𝑖𝑛𝑛𝑗𝑗

��𝑘𝑘𝑟𝑟𝑓𝑓

𝜇𝜇𝑓𝑓� �𝜕𝜕𝑜𝑜 − 𝜕𝜕𝑤𝑤𝑓𝑓�

𝑓𝑓(2. 66)

2.9.3.3 Derivadas Parciais

As derivadas parciais são tratadas de forma idêntica ao tratamento das

transmissibilidades, formando as equações 2. 67. e 2. 68.

𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝜕𝜕𝑜𝑜

= 𝐽𝐽𝑤𝑤(𝜕𝜕𝑜𝑜 + 𝜖𝜖) − 𝐽𝐽𝑤𝑤(𝜕𝜕𝑜𝑜)𝜖𝜖

�𝜕𝜕𝑜𝑜 − 𝜕𝜕𝑤𝑤𝑓𝑓� (2. 67)

𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝑆𝑆

= 𝐽𝐽𝑤𝑤(𝑆𝑆 + 𝜖𝜖) − 𝐽𝐽𝑤𝑤(𝑆𝑆)𝜖𝜖

�𝜕𝜕𝑜𝑜 − 𝜕𝜕𝑤𝑤𝑓𝑓� (2. 68)

2.10 C++ para Computação Científica

C++ é uma linguagem de programação, que é executada diretamente pelo

processador e por isso possui um desempenho muito eficaz no processamento e

gerenciamento de memória na execução de tarefas que necessitam alto

desempenho computacional. Além de possuir ampla utilização mundialmente para o

desenvolvimento de projetos de engenharia devido ter uma gama de bibliotecas que

facilitam a implementação dos projetos. Uma dessas bibliotecas é GNU Scientific

36

Library, a qual possui desde funções simples de cálculo vetorial até funções de

inversão de matrizes esparsas.

Devido a sua ampla utilização a linguagem tem diversos canais que

referenciam suas funcionalidades, sendo um deles o C++ Reference[1], além das

bibliotecas que possuem seus manuais de utilização, com o da GNU Scientific

Library[2].

1 C++ Reference site: www.cppreference.com 2 GNU Scientific Library Reference site: www.gnu.org/software/gsl

37

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A simulação de reservatórios de petróleo é uma ferramenta que vem sendo

desenvolvida concomitantemente com a evolução computacional. Com o surgimento

dos computadores modernos na década de 50, começaram a ser desenvolvidos

métodos matemáticos para a simulação de reservatório de petróleo, com diversas

abordagens, sendo alguma delas utilizadas até hoje em dia.

Douglas et al. (1959) formula o método da resolução simultânea, que leva em

consideração apenas a geometria da rocha e propriedades dos fluidos e tem está

denominação devido resolver as equações do modelo matemático simultaneamente.

O modelo aplicado tinha o propósito de calcular o fluxo dos fluidos, ou seja, água e

óleo, no meio poroso, levando em consideração que água era a fase molhante, e

para validar o modelo foi realizada a comparação com dados laboratoriais,

chegando a conclusão que o modelo produz resultados satisfatórios e concordantes.

Stone (1968), desenvolve uma metodologia para a resolução iterativa de

aproximação implícita de equações diferenciais parciais multidimensionais. Que

basicamente utiliza a diferenciação implícita para modelos multidimensionais e

acopla o método iterativo de Newton para a linearização do sistema de equações

não lineares, criando uma metodologia iterativa para a resolução do problema.

Blair et al. (1969) propõe a utilização da formulação totalmente implícita para

o desenvolvimento de modelos de reservatório de petróleo, devido sua maior

estabilidade. Aplicado a metodologia desenvolvida por Stone (1968), em um modelo

multidimensional com duas fases, concluiu-se que o erro de truncamento, no

domínio do tempo, diminui significantemente e possibilita o passo no tempo maior

com resultados estáveis.

Vinsome (1976) desenvolve um algoritmo chamado Orthomin, que é aplicado

para a resolução iterativa de equações lineares sparsas, utiliza a metodologia de

ortogonalização e minimização das matrizes para resolução do problema. Behie et

al. (1982) propõe a utilização do método Orthomin, que é um método de acelaração

de convergência, juntamente com um método ILU de fatoração, criando um método

iterativo para a resolução de matrizes sparsas.

38

Aziz e Settari (1979) publicam o livro Petroleum Reservoir Simulation, o qual

aborda todos os tópicos da simulação de reservatório de petróleo desenvolvido até

aquele momento. Deriva as formulações IMPES e IMPSAT para casos uni e multi,

no domínio da dimensão e dos fluidos. Além de discutir como deve-se formular um

modelo black-oil corretamente e como aplicar as equações em um modelo

computacional.

Au et al. (1980) discute e propõe técnicas a serem utilizada em modelos

implícito de simulação de reservatório de petróleo, abordando técnicas de

optimização do modelo black-oil, bem como no tratamento das equações no caso da

variação do ponto de bolha e seus problemas relacionados, também discute sobre o

tratamento do modelo dos poços, entre outras técnicas para a optimização da

resolução do sistema de equações.

Thomas et al. (1983) propõe uma metodologia implícita adaptativa para a

simulação de reservatórios de petróleo. O método consiste em classificar cada bloco

do modelo, conforme a sua resposta a aplicação do método IMPSAT, o que

possibilita trocar o método de IMPSAT para IMPES durante as iterações, caso a

classificação atinja um determinado parâmetro determinado. A vantagem dessa

técnica é a diminuição do esforço computacional sem perda de eficiência e

estabilidade das resoluções. Fung et al. (1989) sugere que o critério de troca deve

basear-se na estabilidade numérica da matriz do volume de controle em avaliação

Forsyth et al. (1984) descreve o método do pseudo gás, que trata do

aparecimento e desaparecimento da fase gás, devido ao ponto de bolha variável,

em modelos black-oil implícito. Ao aplica-lo chegou-se à conclusão que requer um

tratamento minucioso da realocação das saturações e apresenta maiores erros no

balanço de materiais, porém não apresenta perda de eficiência em comparação ao

método da substituição de variável.

Abou-Kassem et al. (1992) formula um algoritmo simples e eficiente para

remoção de blocos inativos do modelo do reservatório, ou seja, remove as

equações desnecessários do modelo matemático. O algoritmo permite gerar

modelos mais próximo da geometria real do reservatório, além de diminuir o esforço

computacional.

39

Ertekin, Abou-Kassem e King (2001) publicam o livro Basic Applied Reservoir

Simulation, que faz parte da Textbook Series da Society of Petroleum Engineers. É

um livro didático que abrange desde o cálculo numérico e diferencial até as

propriedades dos fluidos de um reservatório de petróleo. Neste livro é formulado o

modelo fully implicit black-oil o qual é empregado neste trabalho.

Atualmente com a evolução computacional os modelos de reservatório de

petróleo foram ganhando mais variáveis, devido ao acoplamento de novos fatores

que são levados em consideração, como a composição dos fluidos e suas

propriedades térmicas, modelos estruturais da geologia local, além do refinamento

da malha e de suas propriedades, sendo o limite apenas a ousadia e ânsia do

desenvolvedor do modelo.

40

4 METODOLOGIA

A metodologia do projeto de conclusão de curso consistiu em quatro etapas,

sendo Levantamento Bibliográfico, Assimilação do Modelo Matemático,

Implementação em C++ e Validação dos Resultados. Essas etapas percorrem pelo

processo de aprendizado e implementação dos conhecimentos adquiridos durante o

período do projeto, demonstrado no fluxograma de trabalho, figura 4. 1.

Figura 4.1. Fluxograma das etapas realizadas durante trabalho de conclusão de curso.

4.1 Levantamento Bibliográfico

Por meio do levantamento bibliográfico, chegou-se as fontes da literatura

onde contém os conhecimentos necessários para o desenvolvimento do projeto,

sendo utilizados os seguintes livros base para a implementação:

• Multiphase-Flow Simulation in Petroleum Reservoirs, Chapter 9 in Basic Applied Reservoir Simulation. (Ertekin, et. al, 2001);

• C++ for Scientific Computing, (Kriemann, 2008);

• GNU Scientific Library Reference Manual, 3rd, (Galassi, et. al, 2009).

Levantamento Bibliográfica

Full Implicit Black-Oil

Assimilação do Modelo Matemático

Implementação em C++

Organização das Equações

Validação dos Resultados

Agenda de Implementação

Desenvolvimento dos Algoritmos

Depuração do Programa

Resultados

Resultados CMG IMEX

C++ for Scientific Computing

41

4.2 Método Fully Implicit Black-Oil

Para o projeto foi escolhido o método fully implicit black-oil, formulado por

Ertekin, et. al (2001), devido as considerações levantadas na revisão bibliográfica

que mostram um desempenho satisfatório do método implícito e também sua ampla

utilização na indústria.

O método fully implicit black-oil, é um processo iterativo, que é ilustrado no

fluxograma na figura 4. 2. As iterações ocorrem pelo método de Newton-Raphson,

que é implementado conforme os passos abaixo:

I. Inicia-se o modelo através do equilíbrio vertical, calculando as condições

iniciais 𝑋𝑋����𝑛𝑛0 = �𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛0 , 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

0 , 𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛0 �𝑇𝑇 , sendo, 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣 = 0;

II. Devido ao método de Newton-Raphson ser iterativo necessita-se fazer uma

estimação inicial de 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1, que é feita através de uma perturbação 𝜖𝜖 nas

condições de 𝑋𝑋����𝑛𝑛0 , formando 𝑋𝑋����𝑛𝑛1 = �𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛1 , 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

1 , 𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛1 �𝑇𝑇 , sendo 𝑣𝑣 = 1;

III. É feita a escolha do passo do tempo Δ𝑡𝑡;

IV. Calcula-se os Termos de Transporte 𝐹𝐹�⃗�𝑛𝑣𝑣 e [𝐹𝐹 ]𝑛𝑛𝑣𝑣 , os Termos de Acumulação

𝐶𝐶�⃗�𝑛𝑡𝑡 , 𝐶𝐶�⃗�𝑛

𝑣𝑣 e [𝐶𝐶]𝑛𝑛𝑣𝑣 , e os Termos dos Poços 𝑄𝑄����𝑛𝑛𝑣𝑣 , [𝑄𝑄]𝑛𝑛𝑣𝑣 ;

V. Calcula-se os resíduos 𝑅𝑅�����𝑛𝑛 = �𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

,𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛�𝑇𝑇 , através da relação 𝑅𝑅�����𝑛𝑛𝑣𝑣 =

�𝐹𝐹�⃗�𝑛𝑣𝑣 − �𝐶𝐶�⃗�𝑛

𝑣𝑣 − 𝐶𝐶�⃗�𝑛𝑡𝑡 � + 𝑄𝑄����𝑛𝑛𝑣𝑣 �;

VI. Calcula-se a jacobiana, através da relação 𝐽𝐽𝑛𝑛𝑣𝑣 = {[𝐹𝐹 ]𝑛𝑛𝑣𝑣 − [𝐶𝐶]𝑛𝑛𝑣𝑣 + [𝑄𝑄]𝑛𝑛𝑣𝑣 };

VII. Calcula-se o sistema 𝐽𝐽𝑛𝑛𝑣𝑣𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 = − 𝑅𝑅�����𝑛𝑛𝑣𝑣 , para achar 𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛;

VIII. Calcula-se a estimativa das novas condições 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1, através da relação

𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1 = 𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 − 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣 ;

IX. Repete-se o processo do passo IV a VIII até que a convergência seja

alcançada, ou seja, 𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 < 10−3, e um novo passo no tempo é iniciado, ou

seja, 𝑡𝑡 = 2, e o processo reinicia-se.

42

Figura 4.2. Processo iterativo que o método fully implicit black-oil percorre para chegar a convergência.

4.3 Implementação em C++

Para o projeto foi escolhido a utilização da linguagem de programação C++,

juntamente com GNU Scientific Library (GSL) devido a suas funcionalidades que

englobam as necessidades do projeto. A implementação do método fully implicit

black-oil se deu pelo desenvolvimento de módulos contendo as funções necessárias

para o processo iterativo ocorrer de forma cíclica, conforme a lógica do fluxograma

da figura 4. 2. Os módulos desenvolvidos são listados abaixo:

Modelo: informações sobre o modelo do reservatório e fluidos;

Funções-Globais: funções globais utilizadas pelos outros módulos;

Equilíbrio: funções para cálculo do Equilíbrio Vertical;

Propriedades-Fluidos: funções para cálculo das propriedades dos fluidos; Permeabilidade: funções para cálculo das permeabilidades absolutas e

relativas; Perturbação: funções para cálculo da perturbação das condições do modelo;

MODELO

EQUILÍBRIO

PERM. ABS.

PERM. REL.

PERTURB. SAT. - PRE.

TRANSMISSIBILIDADE

TRANSPORTE

ACUMULUÇÃO

POÇOS

𝐽𝐽𝑛𝑛𝑣𝑣𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 = − 𝑅𝑅�����𝑛𝑛𝑣𝑣

𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑛𝑛 = �𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛𝑛𝑛 , 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

𝑛𝑛 , 𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝑇𝑇

𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣 = �𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛𝑣𝑣 , 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

𝑣𝑣 , 𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛𝑣𝑣 �𝑇𝑇

GEOMETRIA

𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1 = 𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 + 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣 𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 < 10−3

𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡 = 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1

𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣 = 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1

PROP. FLUIDOS

43

Transmissibilidade: funções para cálculo da transmissibilidade; Derivadas-Acumulação: funções para cálculo das derivadas dos termos de

acumulação; Poços: funções para cálculo dos poços de injeção e produção; Transporte: funções para cálculo da jacobiana e termos de transporte; Acumulação: funções para cálculo dos termos de acumulação; Solver: funções para resolver o sistema linear gerado.

4.4 Validação dos Resultados

Para o desenvolvimento do projeto foram utilizados dados sintéticos no

modelo geológico e das propriedades dos fluidos os quais são disponibilizados no

anexo C. A malha do modelo foi discretizada em 10x10x5, a qual possibilita ter uma

camada para cada tipo de zona de fluidos, ou seja, capa de gás, contato gás-óleo,

zona de óleo, contato óleo-água e zona de água.

Para validação do projeto um mesmo modelo será criado no simulador CMG

IMEX e os resultados deste trabalho serão comparados com os resultados do CMG

IMEX, possibilitando verificar o afastamento dos resultados.

Será utilizado o erro relativo percentual, equação 4. 1., como um comparativo

entre os resultados, sendo que os resultados do CMG IMEX (𝜒𝜒𝑟𝑟) serão

considerados como referência.

𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇𝑜𝑜 = 𝜒𝜒𝑟𝑟 − 𝜒𝜒𝑠𝑠𝜒𝜒𝑟𝑟

(4. 1)

44

5 APLICAÇÃO

O modelo geológico é simples, composto por uma porosidade de 20% e

permeabilidade absoluta horizontal e vertical de 500md. Já as propriedades dos

fluidos estão contidas no anexo C, tendo as tabelas de permeabilidade relativa e

PVT. Apenas a aplicação dos principais algoritmos será discutida, devido tratar-se

de um modelo complexo.

5.1 Equilíbrio Vertical

O cálculo da distribuição inicial das saturações e pressões é realizado com

base no conceito do equilíbrio vertical dos fluidos (Coats et al., 1971). Para um VC

com profundidade vertical de ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐, sendo ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 profundidade do contato gás-óleo, ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤

a profundidade do contato óleo-água e 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 a pressão de referência em uma

profundidade ℎ𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 , temos o algoritmo 5. 1. descrevendo esse processo.

Algoritmo 5.1. Equilíbrio Vertical Para a capa de gás: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 < ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 ∶ 2: 𝑃𝑃𝑜𝑜 = 𝑃𝑃𝑤𝑤 = 𝑃𝑃𝑔𝑔 = 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 + 𝛾𝛾𝑔𝑔(ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 − ℎ𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓) 3: 𝑆𝑆𝑜𝑜 = 0; 𝑆𝑆𝑤𝑤 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑖𝑖; 𝑆𝑆𝑔𝑔 = 1 − 𝑆𝑆𝑜𝑜 − 𝑆𝑆𝑤𝑤

Para zona de transição de óleo e gás: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 = ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 ∶ 2: 𝑃𝑃𝑔𝑔 = 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 + 𝛾𝛾𝑔𝑔(ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 − ℎ𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓); 𝑃𝑃𝑤𝑤 = 𝑃𝑃𝑜𝑜 = 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 + 𝛾𝛾𝑜𝑜(ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 − ℎ𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓) 3: 𝑆𝑆𝑤𝑤 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑖𝑖; 𝑆𝑆𝑔𝑔 = 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑖𝑖; 𝑆𝑆𝑜𝑜 = 1 − 𝑆𝑆𝑔𝑔 − 𝑆𝑆𝑤𝑤

Para zona de óleo: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 > ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 < ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 ∶ 2: 𝑃𝑃𝑜𝑜 = 𝑃𝑃𝑤𝑤 = 𝑃𝑃𝑔𝑔 = 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 + 𝛾𝛾𝑜𝑜(ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 − ℎ𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓) 3: 𝑆𝑆𝑤𝑤 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑖𝑖; 𝑆𝑆𝑔𝑔 = 0; 𝑆𝑆𝑜𝑜 = 1 − 𝑆𝑆𝑔𝑔 − 𝑆𝑆𝑤𝑤

Para zona de transição de óleo e água: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 = ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 ∶ 2: 𝑃𝑃𝑤𝑤 = 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 + 𝛾𝛾𝑤𝑤(ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 − ℎ𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓); 𝑃𝑃𝑔𝑔 = 𝑃𝑃𝑜𝑜 = 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 + 𝛾𝛾𝑜𝑜(ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 − ℎ𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓) 3: 𝑆𝑆𝑤𝑤 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑖𝑖; 𝑆𝑆𝑔𝑔 = 0; 𝑆𝑆𝑜𝑜 = 1 − 𝑆𝑆𝑔𝑔 − 𝑆𝑆𝑤𝑤

E para zona de água: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 > ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 ∶ 2: 𝑃𝑃𝑤𝑤 = 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓 + 𝛾𝛾𝑤𝑤(ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 − ℎ𝑟𝑟𝑒𝑒𝑓𝑓); 𝑃𝑃𝑔𝑔 = 𝑃𝑃𝑜𝑜 = 0 3: 𝑆𝑆𝑤𝑤 = 1; 𝑆𝑆𝑔𝑔 = 0; 𝑆𝑆𝑜𝑜 = 0

45

5.2 Perturbação

Para gerar as amostras de inicialização do processo iterativo de Newton-

Raphson, é necessário perturbar as amostras 𝑥𝑥𝑛𝑛 para gerar 𝑥𝑥𝑘𝑘. A lógica leva em

consideração o equilíbrio vertical e perturba a amostra conforme a sua zona de

localização, sendo ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 profundidade do contato gás-óleo e ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 a profundidade do

contato óleo-água. Para zonas superiores ao contato gás-óleo é adicionado 𝛼𝛼

saturação de gás, por outro lado, para zonas inferiores é retirado 𝛼𝛼 saturação de

gás. Em zonas superiores ao contato óleo-água é retirado 𝛽𝛽 saturação de água e

nas zonas inferiores é adicionado 𝛽𝛽 saturação de água. Para a pressão é retirada 𝜃𝜃

globalmente do modelo. O algoritmo 5. 2. descreve esse processo.

Algoritmo 5.2. Perturbação Para a capa de gás: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 < ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 ∶ 2: 𝑆𝑆𝑤𝑤

𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛 − 𝛽𝛽

3: 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑔𝑔

𝑛𝑛 + 𝛼𝛼 4: 𝑃𝑃𝑜𝑜

𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑜𝑜𝑛𝑛 − 𝜃𝜃

Para zona de transição de óleo e gás: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 = ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 ∶ 2: 𝑆𝑆𝑤𝑤

𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛 − 𝛽𝛽

3: 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑔𝑔

𝑛𝑛 + 𝛼𝛼 4: 𝑃𝑃𝑜𝑜

𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑜𝑜𝑛𝑛 − 𝜃𝜃

Para zona de óleo: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 > ℎ𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 < ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 ∶ 2: 𝑆𝑆𝑤𝑤

𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛 − 𝛽𝛽

3: 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑔𝑔

𝑛𝑛 − 𝛼𝛼 4: 𝑃𝑃𝑜𝑜

𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑜𝑜𝑛𝑛 − 𝜃𝜃

Para zona de transição de óleo e água: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 = ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 ∶ 2: 𝑆𝑆𝑤𝑤

𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛 + 𝛽𝛽

3: 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑔𝑔

𝑛𝑛 − 𝛼𝛼 4: 𝑃𝑃𝑜𝑜

𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑜𝑜𝑛𝑛 − 𝜃𝜃

E para zona de água: 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 ℎ𝑣𝑣𝑐𝑐 > ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 ∶ 2: 𝑆𝑆𝑤𝑤

𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛 + 𝛽𝛽

3: 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑘𝑘 = 𝑆𝑆𝑔𝑔

𝑛𝑛 − 𝛼𝛼 4: 𝑃𝑃𝑜𝑜

𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑜𝑜𝑛𝑛 − 𝜃𝜃

46

5.3 Propriedades do Fluidos

As propriedades dos fluidos são calculadas com relação a pressão que o

mesmo está submetido, sendo separado em duas categorias, quando está em

estado saturado, ou seja, a pressão é menor que a pressão de bolha e

sobressaturado onde a pressão é maior que a pressão de bolha. Assim a pressão

da fase 𝑃𝑃𝑓𝑓 é comparada com a pressão de bolha 𝑃𝑃𝑏𝑏 e seleciona as equações

corretas para o cálculo, sendo descrito no algoritmo 5. 3. abaixo.

Algoritmo 5.3. Propriedades dos Fluidos 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑓𝑓 > 𝑃𝑃𝑏𝑏 ∶ 2: 𝐸𝐸𝑞𝑞𝑠𝑠. 𝑆𝑆𝑜𝑜𝑏𝑏𝑇𝑇𝑒𝑒𝑠𝑠𝑎𝑎𝑡𝑡𝑢𝑢𝑇𝑇𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝜕𝜕𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 𝜌𝜌𝑓𝑓 ,𝐵𝐵𝑓𝑓, 𝜇𝜇𝑓𝑓 , 𝑅𝑅𝑠𝑠 3: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 ∶ 4: 𝐸𝐸𝑞𝑞𝑠𝑠. 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑡𝑡𝑢𝑢𝑇𝑇𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝜕𝜕𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 𝜌𝜌𝑓𝑓 ,𝐵𝐵𝑓𝑓, 𝜇𝜇𝑓𝑓 , 𝑅𝑅𝑠𝑠, 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 = 𝑜𝑜,𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝑘𝑘

Para o tratamento do ponto de bolha variável é adotado a metodologia

proposta por Forsyth et al. (1984), denominado de pseudo-GOR, que trata a 𝑅𝑅𝑠𝑠

como função da saturação de gás, é um método simples de ser aplicado e não

necessita lidar com a troca de variáveis do modelo, a lógica utilizada é descrita no

algoritmo 5. 4. Para utilizar a metodologia é necessário definir uma saturação

mínima de gás, definido por 𝜖𝜖, sendo no valor de 10−4.

Algoritmo 5.4. Pseudo-GOR 1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑆𝑆𝑔𝑔 > 𝜖𝜖 ∶ 2: Ψ�𝑆𝑆𝑔𝑔� = 1 3: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 ∶ 4: Ψ�𝑆𝑆𝑔𝑔� = 𝑤𝑤𝑔𝑔

𝑤𝑤𝑔𝑔+𝜖𝜖

5: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇: 𝑅𝑅�����𝑠𝑠 = 𝑅𝑅𝑠𝑠(𝜕𝜕𝑜𝑜)Ψ�𝑆𝑆𝑔𝑔�

1: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑇𝑇𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑇𝑇𝑎𝑎çõ𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑣𝑣 < 0 ∶

2: 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑣𝑣+1 = �𝑆𝑆𝑔𝑔

𝑛𝑛𝜖𝜖

5.4 Permeabilidade

O modelo é tratado com permeabilidade absoluta homogênea, assim não é

necessário implementação de rotina para o cálculo da mesma. Porém a

permeabilidade relativa do gás e água, é calculada por meio de interpolação nas

47

suas respectivas tabelas e a permeabilidade relativa do óleo é calculada com o

modelo II de Stone (1973), conforme equação 5. 1. A lógica para cálculo das

permeabilidades é descrita no algoritmo 5. 5.

𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜�𝑆𝑆𝑤𝑤,𝑆𝑆𝑔𝑔� = 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑐𝑐 ��𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜𝑤𝑤(𝑆𝑆𝑤𝑤)𝑘𝑘𝑟𝑟𝑐𝑐

+ 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑤𝑤(𝑆𝑆𝑤𝑤)� �𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜𝑔𝑔�𝑆𝑆𝑔𝑔�

𝑘𝑘𝑟𝑟𝑐𝑐+ 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑔𝑔�𝑆𝑆𝑔𝑔�� − 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑤𝑤(𝑆𝑆𝑤𝑤) − 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑔𝑔�𝑆𝑆𝑔𝑔�� (5. 1)

onde 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑐𝑐 = 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜𝑤𝑤(𝑆𝑆𝑤𝑤𝑖𝑖).

Algoritmo 5.5. Permeabilidade Relativa 1: 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑛𝑛 ∶ 2: 𝑂𝑂𝑏𝑏𝑡𝑡𝑒𝑒𝑇𝑇 𝑆𝑆𝑓𝑓, 𝐾𝐾ℎ 𝑒𝑒 𝐾𝐾𝑣𝑣 3: 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑇𝑇𝜕𝜕𝑜𝑜𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑓𝑓 4: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑜𝑜, 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 = 𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝑘𝑘

5.5 Transmissibilidade

A transmissibilidade dos VC é calculada para todos os eixos 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 e 𝑘𝑘,

conforme a equação 2. 36., sendo necessário a criação de um algoritmo para o

cálculo da mesma, seguindo lógica descrita abaixo.

Algoritmo 5.6. Transmissibilidade 1: 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑛𝑛 ∶ 2: 𝑂𝑂𝑏𝑏𝑡𝑡𝑒𝑒𝑇𝑇 𝐴𝐴, 𝜌𝜌𝑓𝑓 , 𝐵𝐵𝑓𝑓, 𝜇𝜇𝑓𝑓 , 𝑅𝑅𝑠𝑠, 𝐾𝐾ℎ, 𝐾𝐾𝑣𝑣 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑓𝑓 3: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑓𝑓𝑖𝑖

, 𝑇𝑇𝑓𝑓𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝑇𝑇𝑓𝑓𝑘𝑘

, 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 = 𝑜𝑜,𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝑘𝑘

4: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑇𝑇𝑓𝑓𝑓𝑓𝜕𝜕𝑝𝑝𝑜𝑜

𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑇𝑇𝑓𝑓𝑓𝑓𝜕𝜕𝑤𝑤 , 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑 = 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝑘𝑘

5.6 Poços

Os termos dos poços são calculados conforme as equações da seção 2. 9. 3.

o algoritmo de cálculo é separado em duas funções, sendo as funções para cálculo

da produção e injeção, feitas conforme a lógica descrita no algoritmo 5. 7.

Algoritmo 5.7. Poços 1: 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 𝑉𝑉𝐶𝐶_𝐼𝐼𝑁𝑁𝐽𝐽𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑉𝑉𝐶𝐶_𝑃𝑃𝑅𝑅𝑂𝑂𝑃𝑃𝑛𝑛 ∶ 2: 𝑂𝑂𝑏𝑏𝑡𝑡𝑒𝑒𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑃𝑃𝑏𝑏ℎ𝑝𝑝, 𝜌𝜌𝑓𝑓 , 𝐵𝐵𝑓𝑓, 𝜇𝜇𝑓𝑓 , 𝑅𝑅𝑠𝑠, 𝐾𝐾ℎ, 𝐾𝐾𝑣𝑣 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑓𝑓 3: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝑞𝑞𝑃𝑃𝑃𝑃𝑂𝑂𝑃𝑃𝑠𝑠𝑐𝑐

, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑝𝑝𝑜𝑜

𝑒𝑒 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑤𝑤, 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 = 𝑜𝑜,𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝑘𝑘

4: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝑞𝑞𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑠𝑠𝑐𝑐, 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑝𝑝𝑜𝑜 𝑒𝑒 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑤𝑤, 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 = 𝑜𝑜,𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝑘𝑘

48

5.7 Transporte

Os termos de transporte [𝑭𝑭 ] e 𝑭𝑭⃗ são calculados conforme descrito na seção

2. 9. 1., a lógica é descrita no algoritmo 5. 8.

Algoritmo 5.8. Transporte 1: 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑧𝑧𝑖𝑖𝑛𝑛ℎ𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑚𝑚 ∶ 2: 𝑂𝑂𝑏𝑏𝑡𝑡𝑒𝑒𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑇𝑇𝑓𝑓 , 𝜕𝜕𝑇𝑇

𝜕𝜕𝑝𝑝𝑜𝑜 𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑇𝑇

𝜕𝜕𝑤𝑤 3: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 [𝑭𝑭 ]𝒏𝒏,𝒎𝒎 𝑒𝑒 𝑭𝑭�⃗�𝒏 4: 𝑀𝑀𝑜𝑜𝑛𝑛𝑡𝑡𝑎𝑎𝑇𝑇 [𝑭𝑭 ], 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 = 𝑜𝑜, 𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝑘𝑘

5.8 Acumulação

Os termos de acumulação [𝑪𝑪] e 𝑪𝑪 ⃗ são calculados conforme descrito na

seção 2. 9. 2., a lógica é descrita no algoritmo 5. 9.

Algoritmo 5.9. Acumulação 1: 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑧𝑧𝑖𝑖𝑛𝑛ℎ𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑚𝑚 ∶ 2: 𝑂𝑂𝑏𝑏𝑡𝑡𝑒𝑒𝑇𝑇 𝐴𝐴, 𝜙𝜙, 𝑆𝑆𝑓𝑓, 𝐵𝐵𝑓𝑓, 𝜇𝜇𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑅𝑅𝑠𝑠 3: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 [𝑪𝑪]𝒏𝒏 𝑒𝑒 𝑪𝑪�⃗�𝒏 4: 𝑀𝑀𝑜𝑜𝑛𝑛𝑡𝑡𝑎𝑎𝑇𝑇 [𝑪𝑪], 𝑜𝑜𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 = 𝑜𝑜,𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝑘𝑘

5.9 Solver

Para a resolução do sistema linear é utilizado o algoritmo GMRES,

desenvolvido por Saad et al. (1986), da GSL. É estipulado 𝜖𝜖, a variação mínima das

iterações e 𝜁𝜁 como o número máximo de iterações do método de Newton-Raphson.

O processo para montar o sistema de equações é descrito no algoritmo 5. 10.

49

Algoritmo 5.10. Solver 1: 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑜𝑜𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑧𝑧𝑖𝑖𝑛𝑛ℎ𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑚𝑚 ∶ 2: 𝑂𝑂𝑏𝑏𝑡𝑡𝑒𝑒𝑇𝑇 𝐹𝐹�⃗�𝑛

𝑣𝑣, 𝐶𝐶�⃗�𝑛𝑣𝑣, 𝐶𝐶�⃗�𝑛

𝑡𝑡 , 𝑄𝑄����𝑛𝑛𝑣𝑣 , [𝐹𝐹 ]𝑛𝑛𝑣𝑣 , [𝐶𝐶]𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑒𝑒 [𝑄𝑄]𝑛𝑛𝑣𝑣 3: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝑅𝑅�����𝑛𝑛𝑣𝑣 = �𝐹𝐹�⃗�𝑛

𝑣𝑣 − �𝐶𝐶�⃗�𝑛𝑣𝑣 − 𝐶𝐶�⃗�𝑛

𝑡𝑡 � + 𝑄𝑄����𝑛𝑛𝑣𝑣 � 4: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝐽𝐽𝑛𝑛

𝑣𝑣 = {[𝐹𝐹 ]𝑛𝑛𝑣𝑣 − [𝐶𝐶]𝑛𝑛𝑣𝑣 + [𝑄𝑄]𝑛𝑛𝑣𝑣 } 5: 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑠𝑠𝑜𝑜𝐴𝐴𝑣𝑣𝑒𝑒𝑇𝑇 𝐽𝐽𝑛𝑛

𝑣𝑣𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 = − 𝑅𝑅�����𝑛𝑛𝑣𝑣 6: 𝐶𝐶𝑎𝑎𝐴𝐴𝑐𝑐𝑢𝑢𝐴𝐴𝑎𝑎𝑇𝑇 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1 = 𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 + 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣 7: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝛿𝛿𝑋𝑋����𝑛𝑛 < 𝜖𝜖 𝑜𝑜𝑢𝑢 𝑣𝑣 > 𝜁𝜁: 8: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1 é 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑇𝑇𝑒𝑒𝐴𝐴𝑎𝑎çã𝑜𝑜 𝑎𝑎 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑡𝑡 ∶ 9: 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡 = 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1 10: 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑣𝑣𝑜𝑜 𝛥𝛥𝑡𝑡 11: 𝑉𝑉𝑜𝑜𝐴𝐴𝑡𝑡𝑎𝑎 𝜕𝜕𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 2 12: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 ∶ 13: 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑇𝑇𝑡𝑡𝑢𝑢𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑋𝑋����𝑛𝑛𝑣𝑣+1 14: 𝑉𝑉𝑜𝑜𝐴𝐴𝑡𝑡𝑎𝑎 𝜕𝜕𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 2 15: 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 ∶ 16: 𝑉𝑉𝑜𝑜𝐴𝐴𝑡𝑡𝑎𝑎 𝜕𝜕𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎 2

50

6 RESULTADOS E DISCUSSÃO

O modelo proposto para a aplicação da metodologia teve como dados de

entrada a saturação inicial de água e gás, com 50% e 10% respectivamente,

permeabilidade homogênea de 500md, permeabilidade relativa e PVT contidos no

anexo C, com pressão inicial de 10500kPa em todo modelo e malha com dimensão

de 10, 10 e 5, nas coordenadas I, J e K, tendo um espaçamento de 100m em I e J, e

20m em K, gerando uma malha retangular, ilustrada na figura 6. 1., e uma pressão

de referência de 10200kPa em 12.5m de profundidade.

O mapa de saturação inicial, figura 6. 2., em corte frontal do modelo e suas

prováveis zonas preferenciais dos fluidos devido o equilíbrio vertical, sendo Zg, zona

de gás, Zgo, contato gás-óleo, Zo, zona de óleo, Zow, contato óleo-água e Zw, zona

de água.

Figura 6.1. Malha retangular de 10x10x5 para a aplicação da metodologia.

Figura 6.2. Corte frontal da malha, mostrando as zonas preferenciais dos fluidos, com dados iniciais de saturação.

Os fluidos possuem tendência de deslocamento para áreas preferenciais

devido a sua densidade, por exemplo, o gás devido ter a densidade menor tende a

deslocar-se para área superior do reservatório, já a água desloca-se para a área

inferior e o óleo fica entre essas duas fases. Tendo em vista este comportamento

dos fluidos, as zonas de contato dos fluidos foram estipuladas, sendo o topo do

contado gás-óleo em 30m, o topo da zona de óleo em 50m e o topo do contato óleo-

água em 70m.

51

Um poço produtor foi locado na coordenada (3,3,3), ou seja, no volume de

controle (VC) 223, que se encontra na zona de óleo, sendo permitido a produção

apenas neste VC, além de ser determinado uma pressão constante de fundo de

poço de 5250kPa e o volume de produção de 1000m3 para cada fase, ou seja, óleo,

gás e água.

6.1 Método Fully Implicit Black-Oil

Para inicializar o método fully implicit black-oil (FIM) através das iterações

Newton-Raphson é necessário estipular as saturações e pressão futura do modelo,

assim possibilitando por meio das iterações achar as saturações e pressão que

solucionem as equações conforme o passo no tempo.

A estimação inicial das saturações foi realizada com base no conceito da

tendência de deslocamento dos fluidos, sendo adicionado 0.05% de saturação de

gás em zonas acima do contato gás-óleo e removido a mesma quantidade em

zonas inferiores ao contato gás-óleo, para a saturação de água é removido 1% em

zonas acima ao contato óleo-água e adicionado a mesma quantidade em zonas

baixo do contato óleo-água. Para a estimação da pressão foi calculado a pressão

hidrostática dos fluidos, levando em consideração uma pressão de referência de

10200kPa em 12.5m de profundidade.

A pressão de bolha do modelo é estipulada em 9570kPa, mesmo a pressão

do modelo estando acima da pressão de bolha o mesmo é considerado como um

modelo saturado devido conter gás livre nos poros.

O passo no tempo é estipulado em um dia e o tempo final de simulação em

cindo dias, devido pequenos passos no tempo serem melhor para deparar com

erros no modelo matemático, assim possibilitando fixar e resolver o causador do

erro. Já para as iterações do método Newton-Raphson, foram estipulados um

máximo de três iterações por passo no tempo.

Primeiro passo no tempo

Após as três iterações é chegada a solução das saturações, na figura 6. 3.,

pode-se observar o mapa de saturações e na tabela 6. 1. temos os valores

calculados. Os resultados tendem a convergir em direção a estimação inicial, e nem

52

todas camadas alteram o estado, com o passar do tempo e queda na pressão do

modelo. Na figura 6. 4. temos a distribuição da pressão e na tabela 7. 1. os valores

estimados.

Figura 6.3. Mapa de saturação, primeiro passo no tempo.

Figura 6.4. Mapa de pressão, primeiro passo no tempo.

Tabela 6.1. Resultados do primeiro passo no tempo. SW SG SO PO

T = 0 T = 1 T = 0 T = 1 T = 0 T = 1 T = 0 T = 1 0.50000 0.503453 0.10000 0.139433 0.40000 0.357115 10500 10304.25159

0.50000 0.489996 0.10000 0.100500 0.40000 0.409504 10500 10335.16536

0.50000 0.490001 0.10000 0.156326 0.40000 0.353673 10500 10489.64001

0.50000 0.510738 0.10000 0.099500 0.40000 0.389762 10500 10644.11416

0.50000 0.495819 0.10000 0.130589 0.40000 0.373592 10500 10840.78486

Segundo passo no tempo

Nota-se que a tendência do deslocamento dos fluidos é mantida, conforme a

variação da pressão. Na figura 6. 5., pode-se observar o mapa de saturações e na

tabela 6. 2. temos os valores calculados. Já na figura 6. 6. temos a distribuição da

pressão e na tabela 6. 2. os valores estimados.

Figura 6.5. Mapa de saturação, segundo passo no tempo.

Figura 6.6. Mapa de pressão, segundo passo no tempo.

53

Tabela 6.2. Resultados do segundo passo no tempo. SW SG SO PO

T = 1 T = 2 T = 1 T = 2 T = 1 T = 2 T = 1 T = 2 0.503453 0.503453 0.139433 0.188298 0.357115 0.30825 10304.25159 10304.25159 0.489996 0.489996 0.100500 0.100500 0.409504 0.409504 10335.16536 10335.16536 0.490001 0.490001 0.156326 0.156326 0.353673 0.353673 10489.64001 10400.32560 0.510738 0.510738 0.099500 0.099500 0.389762 0.389762 10644.11416 10644.11416 0.495819 0.495819 0.130589 0.130589 0.373592 0.373592 10840.78486 10840.78486

Terceiro e Quarto passo no tempo

Para obter a convergência foi necessário aumentar o passo no tempo para

dois dias. Ao observarmos a figura 6. 7. e tabela 6. 3. nota-se que a saturação de

água está fluindo para a parte inferior, já a saturação de gás flui para a parte

superior, porém com oscilação baixa. O gradiente de pressão que é dominado pela

retirada de fluidos do poço produtor, faz a pressão diminuir em zonas superiores a

área que o poço está locado. Na figura 6. 8. podemos visualizar o mapa de pressão

do modelo e na tabela 6. 3. estão apresentados os resultados obtidos.

Figura 6.7. Mapa de saturação, quarto passo no tempo.

Figura 6.8. Mapa de pressão, quarto passo no tempo.

Tabela 6.3. Resultados do quarto passo no tempo. SW SG SO PO

T = 2 T = 3-4 T = 2 T = 3-4 T = 2 T = 3-4 T = 2 T = 3-4 0.503453 0.473453 0.188298 0.193296 0.308250 0.333251 10304.25159 10249.25159 0.489996 0.459996 0.100500 0.105464 0.409504 0.434541 10335.16536 10280.16536 0.490001 0.460001 0.156326 0.151339 0.353673 0.388659 10400.3256 10297.07385 0.510738 0.540738 0.099500 0.094493 0.389762 0.364769 10644.11416 10699.11416

0.495819 0.525819 0.130589 0.125686 0.373592 0.348495 10840.78486 10895.78486

54

Quinto passo no tempo

O modelo apresenta o mesmo comportamento de passos anteriores. Nos

resultados da tabela 6. 4. observa-se que a saturação de água e gás segue a

tendência, a saturação de gás com variações pequenas, na figura 6. 9. temos o

mapa de saturação do modelo. A pressão mantém a tendência de queda,

influenciado pelo poço produtor, porém nas zonas inferiores ao contado óleo-água

ocorre o aumento da pressão, devido ao aumento da saturação de água. Na figura

6. 10. temos o mapa de pressão do modelo. Devido ser estipulado o tempo final de

cinco dias as iterações terminam.

Figura 6.9. Mapa de saturação, quinto passo no tempo.

Figura 6.10. Mapa de pressão, quinto passo no tempo.

Tabela 6.4. Resultados do quinto passo no tempo. SW SG SO PO

T = 4 T = 5 T = 4 T = 5 T = 4 T = 5 T = 4 T = 5 0.473453 0.443453 0.193296 0.198274 0.333251 0.358274 10285.94515 10194.25159 0.459996 0.429996 0.105464 0.110429 0.434541 0.459575 10287.94112 10225.16536

0.460001 0.430001 0.151339 0.146338 0.388659 0.423661 10290.04790 10352.07385 0.540738 0.570738 0.094493 0.089483 0.364769 0.339779 10290.13032 10754.11416 0.525819 0.555819 0.125686 0.120688 0.348495 0.323492 10292.79547 10950.78486

6.2 CMG IMEX

O simulador CMG IMEX utiliza a metodologia implícita adaptativa, que varia o

modelo matemático de IMPSAT para IMPES e vice-versa, conforme um critério de

estabilidade da convergência.

Os resultados da simulação no CMG IMEX mostram um controle na variação

das saturações bem sutil da ordem de 0.0001% e um controle intuitivo durante as

iterações. O controle da pressão também apresenta esse padrão, porém com

55

variações mais amplas. Percebe-se que os conceitos da tendência de deslocamento

dos fluidos e pressão hidrostática são utilizados para o controle da convergência

dos parâmetros nas iterações. Esse tratamento bem fundamentado dos parâmetros

faz com que a convergência durante o passo no tempo seja bem sutil.

Nos dois primeiros passos no tempo a saturação mantém a mesma

proporção, porém com resultados distintos e seguindo a tendência do deslocamento

dos fluidos, podemos observar na figura 6. 11. o mapa de saturação desse intervalo

de tempo. A mudança da proporção ocorre a partir do terceiro passo no tempo e

perdura até o final das iterações, em suma devido ao aumento significativo da

saturação de gás no contato gás-óleo. Na figura 6. 13. podemos observar o mapa

de saturação desse intervalo de tempo.

A pressão também apresenta esse comportamento da proporcionalidade

durante o passo no tempo e mantém-se estável até o final das iterações, podendo

ser observado nas figuras 6. 12. e 6. 14. o mapa de pressão. O que pode-se

destacar é que o controle da pressão é feita conforme a fase dominante, a fase gás

apresenta um decréscimo na pressão durante os passos no tempo, já a fase óleo e

água apresentam um aumento até um certo passo no tempo e posteriormente

ocorre o decréscimo, ocasionado pela retirada de fluidos pelo poço.

Figura 6.11. Mapa de saturação, 1º e 2º passo no tempo.

Figura 6.12. Mapa de pressão, 1º e 2º passo no tempo.

Figura 6.13. Mapa de saturação, 3º a 5º passo no tempo.

Figura 6.14. Mapa de pressão, 3º a 5º passo no tempo.

56

6.3 Validação dos Resultados

Num primeiro momento comparando os mapas de saturação e pressão das

simulações, figuras 6. 16. e 6. 15., respectivamente, nota-se que o controle da

convergência dos parâmetros 𝑆𝑆𝑤𝑤, 𝑆𝑆𝑔𝑔 𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑜𝑜 neste trabalho teve uma variação muito

ampla, fazendo os resultados dos parâmetros durante o passo no tempo ficarem

instáveis.

A pressão da simulação FIM teve um comportamento mais regular na

amplitude da variação, porém estava convergindo na direção errada, na zona de

óleo e zonas subjacentes, ou seja, havendo acréscimo na pressão mesmo após

alguns passos no tempo e a retirada de fluidos pelo poço produtor. Em contrapartida

na simulação do CMG IMEX a pressão tem um comportamento estável de queda

durante a simulação. Esses aspectos podem ser observados na figura 6. 15.

FIM: 1º e 2º Passo no tempo.

CMG IMEX: 1º ao 5º Passo no tempo. FIM: 3º e 4º Passo no tempo.

FIM: 5º Passo no tempo.

Figura 6.15. Comparação dos mapas de pressão das simulações FIM (esq.) e CMG IMEX (dir.).

57

FIM: 1º Passo no tempo.

CMG IMEX: 1º e 2º Passo no tempo.

FIM: 2º Passo no tempo.

FIM: 3º e 4º Passo no tempo.

CMG IMEX: 3º a 5º Passo no tempo.

FIM: 5º Passo no tempo.

Figura 6.16. Comparação dos mapas de saturação das simulações FIM (esq.) e CMG IMEX (dir.).

Essa instabilidade da pressão na simulação FIM afetou visivelmente a

saturação de gás, devido ser mais sensível a variação da pressão, fazendo a

mesma a cada passo no tempo ter uma variação distinta, como pode ser observado

na figura 6. 16. E a saturação de água mantém uma variação consistente sem

discrepâncias. Já a simulação CMG IMEX, as saturações têm uma variação mais

fina, mantendo a tendência do deslocamento preferencial dos fluidos, sendo

perceptível a variação da proporcionalidade das saturações só após o segundo

58

passo no tempo, e mantém-se até o final da simulação, sendo que estas

observações podem ser visualizadas na figura 6. 16.

Para a normalização dos resultados é realizada a média simples dos

parâmetros 𝑆𝑆𝑤𝑤, 𝑆𝑆𝑔𝑔 𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑜𝑜 por camada. Nas figuras as curvas verdes representam os

resultados deste trabalho, denominado de FIM, os resultados do CMG IMEX, como

o mesmo nome, são representados pelas curvas azuis e o erro relativo é

representado pela curva amarela. Nas figuras 6. 17. a 6. 21., temos os gráficos das

propriedades 𝑆𝑆𝑤𝑤, 𝑆𝑆𝑔𝑔 𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑜𝑜, em relação a zona de gás, contato gás-óleo, zona de

óleo, contato óleo-água e zona de água, respectivamente.

Figura 6.17. Zona de Gás, comparação entre os resultados das propriedades, saturação de água (esq.), saturação de gás (cen.) e pressão do óleo (dir.).

Figura 6.18. Contato Gás-Óleo, comparação entre os resultados das propriedades, saturação de água (esq.), saturação de gás (cen.) e pressão do óleo (dir.).

0%1%2%3%4%5%6%7%8%9%10%

44%

45%

46%

47%

48%

49%

50%

51%

0 2 4 6

ERROSW

TEMPO (DIA)

20%

35%

50%

65%

80%

95%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

0 2 4 6

ERROSG

TEMPO (DIA)

FIM CMG IMEX Erro

0,0%

0,1%

0,2%

0,3%

0,4%

0,5%

0,6%

0,7%

10.18010.20010.22010.24010.26010.28010.30010.32010.34010.360

0 2 4 6

ERROPO-kPa

TEMPO (DIA)

0%2%4%6%8%10%12%14%16%

42%43%44%45%46%47%48%49%50%51%

0 2 4 6

ERROSW

TEMPO (DIA)

0%1%2%3%4%5%6%7%8%9%10%

10%

10%

10%

11%

11%

11%

11%

0 2 4 6

ERROSG

TEMPO (DIA)FIM CMG IMEX Erro

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

10.200

10.250

10.300

10.350

10.400

10.450

10.500

0 2 4 6

ERROPO-kPa

TEMPO (DIA)

59

Figura 6.19. Zona de Óleo, comparação entre os resultados das propriedades, saturação de água (esq.), saturação de gás (cen.) e pressão do óleo (dir.).

Figura 6.20. Contato Óleo-Água, comparação entre os resultados das propriedades, saturação de água (esq.), saturação de gás (cen.) e pressão do óleo (dir.).

Figura 6.21. Zona de Água, comparação entre os resultados das propriedades, saturação de água (esq.), saturação de gás (cen.) e pressão do óleo (dir.).

0%2%4%6%8%10%12%14%16%

42%43%44%45%46%47%48%49%50%51%

0 2 4 6

ERROSW

TEMPO (DIA)

50%

53%

55%

58%

60%

63%

65%

0%2%4%6%8%

10%12%14%16%18%

0 2 4 6

ERROSG

TEMPO (DIA)FIM CMG IMEX Erro

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

10.25010.30010.35010.40010.45010.50010.55010.60010.650

0 2 4 6

ERROPO-kPa

TEMPO (DIA)

0%3%5%8%10%13%15%18%20%

49%50%51%52%53%54%55%56%57%58%

0 2 4 6

ERROSW

TEMPO (DIA)

0%1%2%3%4%5%6%7%8%9%10%

9%

9%

9%

9%

10%

10%

10%

10%

0 2 4 6

ERROSG

TEMPO (DIA)FIM CMG IMEX Erro

0,0%0,3%0,5%0,8%1,0%1,3%1,5%1,8%2,0%

10.62010.64010.66010.68010.70010.72010.74010.76010.78010.80010.820

0 2 4 6

ERROPO-kPa

TEMPO (DIA)

0%1%2%3%4%5%6%7%8%9%10%

49%

50%

51%

52%

53%

54%

55%

56%

0 2 4 6

ERROSW

TEMPO (DIA)

20%22%24%26%28%30%32%34%36%

5%

7%

9%

11%

13%

15%

17%

19%

0 2 4 6

ERROSG

TEMPO (DIA)FIM CMG IMEX Erro

-0,1%

0,1%

0,3%

0,5%

0,7%

0,9%

1,1%

1,3%

10.82010.84010.86010.88010.90010.92010.94010.96010.98011.000

0 2 4 6

ERROPO-kPa

TEMPO (DIA)

60

A pressão apresentou os melhores resultados com erros abaixo de 3% entre

as zonas, porém com variação muito acentuada durante o passo no tempo. Nas

zonas acima do contato gás-óleo teve um correto tratamento da pressão, já na zona

de óleo e zonas subjacentes estava sendo tratado de forma errônea, devido ao

aumento constante, e apresentou maiores erros em comparação a CMG IMEX.

Como pode ser observado nas figuras 6. 17. a 6. 21.

Nos resultados de saturação deste trabalho nota-se uma variação acentuada

durante o passo no tempo, já do CMG IMEX tem uma variação linear pequena. A

saturação de gás teve as maiores variações, devido ao tratamento errôneo da

pressão na zona do óleo e zonas subjacentes, retornando consequentemente um

erro maior, durante o passo no tempo. O comportamento da saturação de água

apresentou um erro menor em comparação ao erro do gás, devido ser menos

afetada ao gradiente de pressão, mostrando um tratamento correto durante as

iterações. Como pode ser observado nas figuras 6. 17. a 6. 21.

Ao realizarmos uma análise global, por meio da média simples das zonas dos

resultados obtemos a figura 6. 22., com o erro das propriedades 𝑆𝑆𝑤𝑤, 𝑆𝑆𝑔𝑔 𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑜𝑜, por

passo no tempo. Fazendo uma média global com relação ao passo no tempo,

chega-se a um erro de 1.25% na saturação de água, 31.14% na saturação de gás e

1.1% na pressão do óleo, os resultados obtidos mostram-se satisfatórios, e que

deve-se ter um melhor tratamento das estimativas durante as iterações, levando em

consideração a zona do VC e o fluido.

Figura 6.22. Análise global das propriedades, saturação de água (esq.), saturação de gás (cen.) e pressão do óleo (dir.).

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

48,4%48,6%48,8%49,0%49,2%49,4%49,6%49,8%50,0%50,2%

0 2 4 6

ERROSW

TEMPO (DIA)

20%22%24%26%28%30%32%34%36%

9,0%9,5%

10,0%10,5%11,0%11,5%12,0%12,5%13,0%13,5%14,0%

0 2 4 6

ERROSG

TEMPO (DIA)FIM CMG IMEX Erro

0,6%0,7%0,8%0,9%1,0%1,1%1,2%1,3%1,4%1,5%

10.46010.48010.50010.52010.54010.56010.58010.60010.62010.64010.660

0 2 4 6

ERROPO-kPa

TEMPO (DIA)

61

7 CONCLUSÃO

O desenvolvimento de um simulador de fluxo de fluidos em meios porosos,

demanda um extenso conhecimento do comportamento dos fluidos a nível de

reservatório e poço, pois é o desenvolvedor que determina para qual direção as

iterações do modelo devem seguir, devido ao modelo matemático necessitar dessas

informações para poder convergir na direção correta e gerar estimações factíveis.

Na aplicação da metodologia fully implicit black-oil, notou-se que as

saturações tenderam a evoluir conforme a estimação de inicialização do modelo, já

a pressão é também influenciada pelo poço produtor. Além da tendência de

deslocamento das fases, devido ao gradiente de pressão ser outro fator primordial

que domina o deslocamento durante as iterações. As observações feitas na

validação dos resultados (seção 6. 3.), mostram a importância da estimação inicial e

o controle durante as iterações para evitar instabilidades e a incorreta convergência.

A validação dos resultados mostrou um erro em comparação do CMG IMEX

de 1.25% na saturação de água, 31.14% na saturação de gás e 1.1% na pressão do

óleo. A incorreta convergência da pressão na zona de óleo e zonas subjacentes, fez

a saturação de gás obter um erro maior, devido ser mais sensível ao gradiente de

pressão. Mostrando a extrema importância da inicialização correta do modelo, além

de que o tratamento durante as iterações deve levar em consideração o tamanho do

passo no tempo para variar as propriedades, assim gerando valores mais sensíveis

e fazendo convergir corretamente a iteração.

Ao fim deste trabalho, pode-se concluir que os objetivos foram alcançados e

que os resultados obtidos no trabalho são satisfatórios, devido à complexidade da

aplicação da metodologia fully implicit black-oil e o tempo escasso, além de

evidenciar que poucos ajustes no algoritmo podem retornar resultados aceitáveis.

O código fonte do programa desenvolvido encontra-se no site:

www.github.com/v67bruno/IMPSATBLACKOIL. Foi utilizado o C++ (GCC 7.2.0) e a

GNU Scientific Library 2.4 para compilar o programa.

62

PRÓXIMAS ETAPAS

Devido a tarefa de desenvolver um simulador de fluxo de fluidos em meios

porosos necessitar de um extenso conhecimento da engenharia de reservatório,

apenas o tempo de um trabalho de conclusão de curso, não é capaz de realizar

essa tarefa efetivamente, porém é possível assimilar a teoria matemática que é

empregada para essa tarefa.

Tendo em mente que este trabalho não aplicou alguns conceitos para

otimização do modelo matemático, pode-se listar alguns tópicos aplicáveis para

trabalhos de conclusão de curso, e assim aperfeiçoar o algoritmo desenvolvido

neste trabalho.

Melhor controle dos parâmetros durante as iterações;

Modelagem de poços;

Permeabilidade e Porosidade heterogênea;

Variação do tempo automático;

Organização da matriz jacobiana;

Resolução do sistema de equações;

63

REFERÊNCIAIS BIBLIOGRÁFICAS

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Inactive Blocks In Reservoir Simulation. Petroleum Society of Canada. 1992.

ALVERNAZ, C. A gratidão é um sentimento nobre. Palavra do Leitor. Ultimato. São

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64

FUNG, L. S. K; COLLINS, D. A; & NGHIEM, L. X. An Adaptive-Implicit Switching

Criterion Based on Numerical Stability Analysis. Society of Petroleum Engineers. 1989.

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BOOTH, M; & ROSSI, F. GNU Scientific Library Reference Manual 3th ed. Network Theory Ltd. London, UK. 2009.

KRIEMANN, R. C++ for Scientific Computing. Max Planck Institute for

Mathematics in the Sciences. Leipzig, DE. 2008.

ROSA, J; CARVALHO, R. D. S; & XAVIER, J. A. D. Engenharia de Reservatórios de Petróleo. 3ª ed. Interciência, Rio de Janeiro, BR. 2006.

SAAD, Y; & SCHULTZ, M. H. GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm

for Solving Nonsymmetric Linear Systems. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1986. 7:3, 856-869.

STONE, H. L. Estimation of Three-Phase Relative Permeability And Residual Oil

Data. Petroleum Society of Canada. 1973.

STONE, H. L. Iterative Solution of Implicit Approximations of Multidimensional Partial

Differential Equations. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1968. Vol. 5,

No. 3. pp. 530-558.

THOMAS, G. W; & THURNAU, D. H. Reservoir Simulation Using an Adaptive

Implicit Method. Society of Petroleum Engineers. 1983.

VINSOME, P. K. W. Orthomin, an Iterative Method for Solving Sparse Sets of

Simultaneous Linear Equations. Society of Petroleum Engineers. 1976.

65

ANEXOS

66

ANEXO A

Derivadas Parciais dos Resíduos

�∂𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= �𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 1. )

�∂𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= ��Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 2. )

�∂𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= ��Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 3. )

�∂𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= �𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 − Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 4. )

�∂𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= ��Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤

𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

�𝑣𝑣

− 𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤

′𝑣𝑣 � (𝐴𝐴. 5. )

�∂𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= {0} (𝐴𝐴. 6. )

67

�∂𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= �𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 − Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

�𝑣𝑣

+ (𝑇𝑇𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂(𝑇𝑇𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑚𝑚

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 7. )

�∂𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= ��Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂(𝑇𝑇𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑚𝑚

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 8. )

�∂𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

�𝑣𝑣

= ��Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜

𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

�𝑣𝑣

+ 𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜𝑚𝑚

′𝑣𝑣 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂(𝑇𝑇𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑚𝑚

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 9. )

�∂𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

= �� � �−𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

�𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

� − 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑝𝑝𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑜𝑜𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 10. )

�∂𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

= �� � ��Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

�𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

� − 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑤𝑤𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑜𝑜𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 11. )

�∂𝑅𝑅𝑜𝑜𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

= �� � ��Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

�𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

� − 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑔𝑔𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑜𝑜𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 12. )

�∂𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

= �� � �−𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 − Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

�𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

� − 𝐶𝐶𝑤𝑤𝑝𝑝𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 13. )

�∂𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

=⎣⎢⎡� �

⎝⎜⎛�Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 − Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

+ �𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤𝑛𝑛

′𝑣𝑣 �⎠⎟⎞

𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

� − 𝐶𝐶𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

⎦⎥⎤ (𝐴𝐴. 14. )

68

�∂𝑅𝑅𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

= �0 − 𝐶𝐶𝑤𝑤𝑔𝑔𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 15. )

�∂𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

=

⎣⎢⎢⎢⎡

⎩��⎨��⎧

�

⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑣𝑣 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 + Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜

𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

−

(𝑇𝑇𝑜𝑜𝑣𝑣𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚 + �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂(𝑇𝑇𝑜𝑜

𝑣𝑣𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

⎭��⎬��⎫

− 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑝𝑝𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝜕𝜕𝑜𝑜𝑛𝑛

�𝑣𝑣

⎦⎥⎥⎥⎤

(𝐴𝐴. 16. )

�∂𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

= �� � ��Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂(𝑇𝑇𝑜𝑜

𝑣𝑣𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

�𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

� − 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑤𝑤𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑤𝑤𝑛𝑛

�𝑣𝑣

� (𝐴𝐴. 17. )

�∂𝑅𝑅𝑔𝑔𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

=

⎣⎢⎢⎢⎡

⎩��⎨��⎧

�

⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛�Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜

𝑣𝑣 + Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

− �𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜𝑛𝑛

′𝑣𝑣 � +

�Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜𝑣𝑣 − 𝛾𝛾𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��∂(𝑇𝑇𝑜𝑜

𝑣𝑣𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

⎭��⎬��⎫

− 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑛𝑛𝑣𝑣 + �

∂𝑞𝑞𝑔𝑔𝑤𝑤𝑤𝑤𝑛𝑛

∂𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛

�𝑣𝑣

⎦⎥⎥⎥⎤

(𝐴𝐴. 18. )

69

ANEXO B

Termos de Transporte e Acumulação

𝐹𝐹𝑤𝑤𝑛𝑛= � �𝑇𝑇𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

�Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜 − Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑜𝑜𝑤𝑤 − 𝛾𝛾 𝑤𝑤𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

(𝐵𝐵. 1. ) 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑛𝑛= � �𝑇𝑇𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

�Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜 − 𝛾𝛾 𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

(𝐵𝐵. 2. )

𝐹𝐹𝑔𝑔𝑛𝑛= � �𝑇𝑇𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

�Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜 + Δ𝑚𝑚𝑃𝑃𝑐𝑐𝑔𝑔𝑜𝑜 − 𝛾𝛾 𝑔𝑔𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍� + (𝑇𝑇𝑜𝑜𝑅𝑅𝑠𝑠)𝑛𝑛,𝑚𝑚 �Δ𝑚𝑚𝜕𝜕𝑜𝑜 − 𝛾𝛾 𝑜𝑜𝑛𝑛,𝑚𝑚

𝑛𝑛 Δ𝑚𝑚𝑍𝑍��𝑚𝑚∈𝜓𝜓𝑛𝑛

(𝐵𝐵. 3. )

𝐶𝐶𝑜𝑜𝑝𝑝 = 𝑉𝑉𝑏𝑏Δ𝑡𝑡

� 𝜙𝜙′

𝐵𝐵𝑜𝑜𝑛𝑛 + 𝜙𝜙𝑛𝑛+1 � 1

𝐵𝐵𝑜𝑜�

′� �1 − 𝑆𝑆𝑤𝑤

𝑛𝑛 − 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛� (𝐵𝐵. 4. ) 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑤𝑤 = − 𝑉𝑉𝑏𝑏

Δ𝑡𝑡� 𝜙𝜙𝐵𝐵𝑜𝑜

�𝑛𝑛+1

(𝐵𝐵. 5. ) 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑔𝑔 = − 𝑉𝑉𝑏𝑏Δ𝑡𝑡

� 𝜙𝜙𝐵𝐵𝑜𝑜

�𝑛𝑛+1

(𝐵𝐵. 6. )

𝐶𝐶𝑤𝑤𝑝𝑝 = 𝑉𝑉𝑏𝑏Δ𝑡𝑡

� 𝜙𝜙′

𝐵𝐵𝑤𝑤𝑛𝑛 + 𝜙𝜙𝑛𝑛+1 � 1

𝐵𝐵𝑤𝑤�

′�𝑆𝑆𝑤𝑤

𝑛𝑛 (𝐵𝐵. 7. ) 𝐶𝐶𝑤𝑤𝑤𝑤 = 𝑉𝑉𝑏𝑏Δ𝑡𝑡

� 𝜙𝜙𝐵𝐵𝑤𝑤

�𝑛𝑛+1

(𝐵𝐵. 8. ) 𝐶𝐶𝑤𝑤𝑔𝑔 = 0 (𝐵𝐵. 9. )

𝐶𝐶𝑔𝑔𝑝𝑝 = 𝑉𝑉𝑏𝑏𝛥𝛥𝑡𝑡

�� 𝜙𝜙′

𝐵𝐵𝑜𝑜𝑛𝑛 + 𝜙𝜙𝑛𝑛+1 � 1

𝐵𝐵𝑜𝑜�

′�𝑅𝑅𝑠𝑠

𝑛𝑛 + � 𝜙𝜙𝐵𝐵𝑜𝑜

�𝑛𝑛+1

𝑅𝑅𝑠𝑠′ �1 − 𝑆𝑆𝑤𝑤

𝑛𝑛 − 𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛� + � 𝜙𝜙′

𝐵𝐵𝑔𝑔𝑛𝑛 + 𝜙𝜙𝑛𝑛+1 � 1

𝐵𝐵𝑔𝑔�

′

�𝑆𝑆𝑔𝑔𝑛𝑛� (𝐵𝐵. 10. )

𝐶𝐶𝑔𝑔𝑤𝑤 = − 𝑉𝑉𝑏𝑏Δ𝑡𝑡

�� 𝜙𝜙𝐵𝐵𝑜𝑜

�𝑛𝑛+1

𝑅𝑅𝑠𝑠𝑛𝑛+1� (𝐵𝐵. 11. ) 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑉𝑉𝑏𝑏

Δ𝑡𝑡�� 𝜙𝜙

𝐵𝐵𝑔𝑔�

𝑛𝑛+1

− � 𝜙𝜙𝐵𝐵𝑜𝑜

�𝑛𝑛+1

𝑅𝑅𝑠𝑠𝑛𝑛+1� (𝐵𝐵. 12. )

𝐶𝐶𝑤𝑤𝑛𝑛= 𝑉𝑉𝑏𝑏

Δ�𝜙𝜙𝑆𝑆𝑤𝑤

𝐵𝐵𝑤𝑤� (𝐵𝐵. 13. ) 𝐺𝐺𝑔𝑔𝑛𝑛

= 𝑉𝑉𝑏𝑏Δ𝑡𝑡

�𝜙𝜙𝑆𝑆𝑔𝑔

𝐵𝐵𝑔𝑔+

𝜙𝜙𝑅𝑅𝑠𝑠�1 − 𝑆𝑆𝑤𝑤 − 𝑆𝑆𝑔𝑔�𝐵𝐵𝑜𝑜

� (𝐵𝐵. 14. ) 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑛𝑛= 𝑉𝑉𝑏𝑏

Δ𝑡𝑡�𝜙𝜙�1 − 𝑆𝑆𝑤𝑤 − 𝑆𝑆𝑔𝑔�

𝐵𝐵𝑜𝑜� (𝐵𝐵. 15. )

70

ANEXO C

Dados do Modelo

Tabela de Dados do Modelo I 10*100 m J 10*100 m K 5*20 m Porosidade - ϕ 20 % Permeabilidade IJK 500 md Pres. Ref. 101.83 kPa Compressibilidade ϕ 3.93E-07 1/kPa Densidade Óleo 823.1 kg/m3 Densidade Gás 1.03 kg/m3 Densidade Água 1000 kg/m3 Compressibilidade O. 1.06E-06 1/kPa FVF Água 1.005 m3/m3 Compressibilidade A. 7.38E-07 1/kPa Pressão de Bolha 9570 kPa

Tabela PVT P Rs Bo Bg Vo Vg

101 0.0 1.02820 1.00000 2.15100 0.01050 2070 19.0 1.06350 0.05263 1.46750 0.01098 4150 27.0 1.08250 0.02601 1.23610 0.01180 6200 34.0 1.09600 0.01681 1.13050 0.01270 8270 41.5 1.10900 0.01198 1.07600 0.01380 9600 56.5 1.11950 0.00854 1.05350 0.01495 10500 60.5 1.12600 0.00608 1.04200 0.01625 14500 64.5 1.13600 0.00542 1.03200 0.01675

Tabela de Permeabilidade Relativa Sl Krg Krog Sw Krw Krow

0.25000 0.98000 0.00000 0.25000 0.00000 1.00000 0.30000 0.95000 0.00000 0.50000 0.80000 0.50000 0.40000 0.85000 0.00000 0.70000 1.00000 0.00000 0.50000 0.70000 0.00100 1.00000 1.00000 0.00000 0.55000 0.60000 0.01000 0.60000 0.40000 0.02200 0.70000 0.19000 0.09800 0.75000 0.12000 0.21000 0.80000 0.05000 0.48000 0.85000 0.00000 1.00000 1.00000 0.00000 1.00000