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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCAR

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS

EXATAS - PPGECE

TÂNIA MARA AMORIM

O ESTUDO DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO MÉDIO: UMA

ABORDAGEM COM A UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA

SOROCABA

2014




EXATAS - PPGECE

TÂNIA MARA AMORIM



Tânia Mara Amorim

Orientador: Prof. Dr. Paulo César Oliveira

SOROCABA

2014




EXATAS - PPGECE

TÂNIA MARA AMORIM

ORIENTADOR: PROF. DR. PAULO CÉSAR OLIVEIRA



Dissertação elaborada junto ao Programa

de Pós Graduação em Ensino de Ciências

Exatas da Universidade Federal de São

Carlos, como exigência parcial para a

obtenção do título de Mestre em Ensino

de Ciências Exatas.

Orientação: Prof. Dr. Paulo César Oliveira

SOROCABA

2014

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar

A524en

Amorim, Tânia Mara. O estudo dos números complexos no ensino médio : uma abordagem com a utilização do Geogebra / Tânia Mara Amorim. -- São Carlos : UFSCar, 2015. 238 f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2014. 1. Matemática - estudo e ensino. 2. Números complexos. 3. Números imaginários. 4. Ensino médio. 5. GeoGebra (Software de computador). 6. Representação semiótica. I. Título. CDD: 510.7 (20a)

“Educar-se é impregnar de sentido cada momento da vida, cada ato cotidiano”, Paulo Freire.

AGRADECIMENTOS

Meu agradecimento eterno a Deus, fonte de toda sabedoria e vida, que

mesmo estando acima de todo o Universo, cuida, ajuda, mantém e protege seus

pequeninos. Sem Ele nada sou e nada conseguiria, pois somente n’Ele é que

posso todas as coisas. Somente a Ele, a Deus, por me capacitar para o trabalho,

para o estudo e pesquisa, pois é n’Ele que tenho aprendido a esperar e confiar

a cada dia, na certeza de que no momento certo, alcançarei a vitória tão

almejada.

Meu eterno agradecimento aos meus pais (in memorian), que com certeza

se aqui estivessem, estariam vibrando comigo, por mais uma vitória. Foram eles

que me ensinaram a acreditar que só a educação é capaz de transformar o ser

humano; só através da educação somos capazes de sermos agentes

transformadores do mundo.

Agradeço ao meu amado esposo Admilson, sempre presente nos momentos

mais difíceis, meu braço direito e muitas vezes o esquerdo também, pois é em

seu abraço que encontro forças para seguir em frente e é em seus braços que

encontro conforto e afago, quando as lágrimas não querem me deixar.

Agradeço ao meu orientador e amigo, Prof. Dr. Paulo César Oliveira por

sua orientação e observações sempre pertinentes. Por horas a fio se empenhou

na leitura e crítica desse material, trazendo sempre sugestões pertinentes.

Agradeço acima de tudo por ter acreditado em meu potencial. Com certeza esse

trabalho também é fruto de sua dedicação. Suas aulas, fizeram toda a diferença

no direcionamento desse trabalho, pois foi através delas que passei a enxergar

verdadeiramente os registros de representação semiótica.

Agradeço também aos demais professores da UFSCar - Sorocaba, que

dividiram conosco seus conhecimentos, mas em particular ao Prof. Dr. Wladimir

Seixas, pois suas aulas, fizeram grande diferença na condução desse trabalho.

Agradeço a minha amiga Valéria Nogueira, que gentilmente cedeu seus

alunos para participarem da aplicação dessa pesquisa. Sem a sua compreensão

e boa vontade, este trabalho não teria acontecido desta forma. Agradeço também

a equipe diretiva da Escola Estadual Coronel Dias Campos Profa. Edna Rodrigues

Carriel (diretora), Prof. Gilberto Leite Machado e a Profa. Kátia de Fátima Nunes,

que prontamente nos abriram as portas, permitindo que pudéssemos realizar esse

trabalho. Não poderia no entanto, deixar de agradecer aos alunos do 3° ano A,

que prontamente se colocaram à disposição para colaborar conosco.

Agradeço à direção e coordenações do Centro Universitário Nossa Senhora

do Patrocínio, nas pessoas do diretor Prof. Ms. Neilo Marcos Trindade e aos

coordenadores Prof. Esp. Mauro Jabur Arruda e ao Prof. Ms. Emanuel Melo que

além de nos ceder espaço para aplicação do questionário da pesquisa junto aos

alunos da Engenharia Civil da instituição, também têm acreditado, apoiado e

acima de tudo, incentivado o nosso trabalho.

Agradeço a todos os meus amigos e alunos que de forma direta e indireta,

participaram, acreditam e acreditaram no meu trabalho. Que durante as minhas

incessantes buscas e pesquisas, colaboraram, ajudaram, torceram e até mesmo

partilham comigo suas críticas e sugestões.

Agradeço ao meu filho Gabriel, um presente de Deus. Ver você crescendo

e aprendendo, me fez acreditar e renovar minha fé a cada dia, de que é possível

construir e deixar um mundo melhor para aqueles que ainda virão.

Agradeço a todos os meus familiares e amigos, que oraram, torceram e

acreditaram em mim. Seus gestos de carinho, fizeram a diferença em minha vida.

Alguém um dia disse esse verso que é um retrato fiel de minha vida:

“Eu pedi força, mas Deus deu-me dificuldades para fazer-me forte.

Eu pedi sabedoria, mas Deus deu-me problemas para resolver.

Eu pedi prosperidade, mas Deus deu-me cérebro e músculos para trabalhar.

Eu pedi coragem, mas Deus deu-me perigos para superá-los.

Eu pedi amor, mas Deus deu-me pessoas com problemas para ajudar.

Eu pedi favores, mas Deus deu-me oportunidades.

Eu não recebi nada do que pedi, mas compreendo hoje, que recebi tudo

o quanto precisava.”

(Autor Desconhecido)

RESUMO

Este trabalho teve como objetivo viabilizar o estudo do conteúdo de números complexos para alunos do 3° ano do Ensino Médio, dentro de um enfoque abrangendo uma contextualização geométrica com a utilização do software Geogebra, combinado com o caderno do aluno (SÃO PAULO, 2014). Observa-se no entanto que este trabalho não se trata de uma sequência didática. A motivação principal deste estudo foi a busca por uma prática inovadora, visando melhorar a qualidade do processo ensino-aprendizagem, em relação a esse conteúdo, frente as inúmeras dificuldades demonstradas pelos estudantes. O percurso teórico da pesquisa fundamentou-se principalmente na teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval e análise de documentos curriculares para o Ensino Médio. Já o percurso metodológico foi construído com base nas etapas da Engenharia Didática idealizada por Michèle Artigue. A produção de informações envolveu atividades matemáticas realizadas por 31 estudantes de Ensino Superior de um curso de Engenharia Civil e entre 10 a 12 alunos (houve variação) de uma 3ª série do Ensino Médio; servindo de base para responder as seguintes questões de investigação: I - Que saberes sobre números complexos, alunos do Ensino Superior trazem como bagagem do Ensino Médio? II - Que perspectiva de construção de saberes o Caderno do aluno e do professor proporciona ao aprendizado de números complexos? III - O Geogebra pode agregar a construção de saberes quando articulado ao Caderno do aluno, disponibilizado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo? Os instrumentos utilizados para reunir o montante de informações produzidas pelos sujeitos participantes, na etapa empírica da nossa investigação foram: questionário, registros escritos das tarefas (protocolos) e imagens das atividades matemáticas realizadas com o auxílio do Geogebra. Os resultados obtidos na análise dos questionários apontaram que os conhecimentos dos alunos do ensino superior, bem como dos alunos do ensino médio, são ínfimos em relação a necessidade daqueles que seguirão seus estudos, no campo das exatas. No que diz respeito aos resultados obtidos a partir da aplicação das tarefas para os alunos do Ensino Médio, a utilização do software revelou-se eficiente para uma visualização geometrizada do conteúdo em relação a construção de seus conceitos, o que permitiu aos estudantes uma compreensão muito maior frente ao conteúdo estudado.

Palavras-chave: Números Complexos. Números Imaginários. Ensino Médio. Geogebra. Registros de Representação Semiótica.

ABSTRACT

This work aimed to facilitate the study of the content of complex numbers for students in the 3rd year of High School, within a focus covering a geometric context, with the use of Geogebra software, combined with notebook student (SÃO PAULO, 2014). The main motivation of this study was to search for an innovative practice, aiming to improve the quality of the teaching-learning process, in relation to the content, since the numerous difficulties demonstrated by students. The theoretical research was based mainly on the theory of representation semiotics registers of Raymond Duval and analysis of curriculum documents for Middle School. Already the methodology was built based on the steps of the Didactics Engineering idealized by Michele Artigue. The production of information involved mathematical activities performed by 31 students of Higher Education of a Civil Engineering course and between 10 to 12 students (there was variation) of a 3rd year of High School; providing the basis for answering the following research issues: I – What knowledge about complex numbers, students of Higher Education bring the baggage of high School? II - That prospect of construction of knowledge the notebook of the Student gives the learning of complex numbers? III - The Geogebra can add the construction of knowledge when articulated to the notebook of the Student, made available by the Department of the São Paulo State of Education? The instruments used to collect the amount of information produced by participants, in empirical step of our research were: questionnaire, written records of tasks (protocols) and images of mathematical activities carried out with the help of Geogebra. The results obtained in the analysis of the questionnaires showed that the knowledge of the students in higher education, as well as the students in the middle school, are negligible in relation to the need of those who follow their studies in the field of exact area. With respect to the results obtained from the implementation of tasks for high school students, using the software proved to be efficient for a geometrized viewing the content in relation to construction of its concepts, which allowed students a much better understanding across the studied content. Keywords: Complex Numbers. Imaginary Numbers. High School. GeoGebra. Semiotic Representation Registers.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Notas musicais 22

Figura 2: Cifras 22

Figura 3: Tablatura para violão 23

Figura 4: Tablatura para teclado 23

Figura 5: Resposta de aluno – ensino superior 25

Figura 6: Resposta de aluno – ensino superior 25

Figura 7: Resposta de aluna – ensino médio 28

Figura 8: Resposta de aluno – ensino médio 29

Figura 9: Slide de aula 34

Figura 10: Resposta de aluno 3° ano do ensino médio 47



Figura 13: Atividade da aluna G – Geogebra 52

Figura 14 A: Atividade da aluna G – escrita 52

Figura 14 B: Atividade da aluna G – escrita (ampliada) 53

Figura 15: Geogebra 3.2 – Recursos de Janela 66

Figura 16: Operação de Adição no Geogebra 67

Figura 17: Operação de Adição – Movimento do Número Complexo 68

Figura 18: Geogebra 3D – Beta – versão 5.0 69

Figura 19: Resposta de aluna 84

Figura 20: Resposta de aluno 85






Figura 26: Resposta do aluno 90


Figura 28: Resposta de aluno EM 107










Figura 38: Alternativas A e B 122

Figura 39: Alternativa B – Resposta do aluno 124

Figura 40: Alternativa C 125

Figura 41: Geogebra - Alternativa C – Resposta da aluna B 125

Figura 42: Geogebra – Alternativa C - Resposta do aluno G 127

Figura 43: Alternativa D 127

Figura 44: Aluna C realizando atividade no Geogebra 128

Figura 45: Geogebra – Alternativa D - Resposta da aluna SB 129

Figura 46: Alternativa E 130

Figura 47: Geogebra – Alternativa E - Resposta da aluna C 131

Figura 48: Alternativa F 131

Figura 49: Alternativas A e B 133

Figura 50: Alternativas A e B – Respostas do aluno I 134

Figura 51: Alternativa C e D 134

Figura 52: Geogebra – Alternativa C e D – Resposta do aluno I 135

Figura 53: Alternativas C e D – Resposta da aluna M 136

Figura 54: Alternativa E 136

Figura 55: Aluna SB realizando operação de multiplicação com ajuda do Geogebra 138

Figura 56: Alternativa E – Resposta da aluna SB 139

Figura 57: Alternativas 1, 2 e 3 141

Figura 58: Alternativa 2 e 3 – Resposta da aluna C 142

Figura 59: Alternativa 4 142

Figura 60: Alternativa 4 – Resposta da aluna N 143

Figura 61: Alternativa 4 – Resposta da aluna B 144


Figura 63: Alternativa 5 – Resposta da aluna C 145

Figura 64: Alternativa 5 – Resposta da aluna SB 145


Figura 66: Alternativa 1 – Resposta da aluna C 148



Gráfico 1: Comparativo de Acertos e Erros 96

Gráfico 2: Análise das questões 2 e 4 99

Gráfico 3: Comparativo do Grupo 1 x Grupo 2 117

Gráfico 4: Comparativo do Grupo 1 x Grupo 2 118

Quadro 1: Conteúdos mais relevantes abordados no ENEM 41

Quadro 2: Escala de notas do ENEM 2012 41

Quadro 3: Escala de notas do Enem – biênio 2012/2013 42

Quadro 4: Prova Brasil – Comparativo 2011/2013 43

Quadro 5: Esquema Semiótico 51

Tabela 1: Quantidade de Dissertações Defendidas sobre Números Complexos 70

Tabela 2: Descritores comuns das dissertações sobre números complexos 70

Tabela 3: Análise comparativa Rosa x Amorim 95

Tabela 4: Análise comparativa das questões 2 e 4 98

SUMÁRIO

1

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

3

3.1

3.2

3.3

4

4.1

4.2

4.3

4.4

INTRODUÇÃO

SOBRE A MINHA HISTÓRIA E A MOTIVAÇÃO POR ESTE

PROCESSO DE PESQUISA

O interesse pelo tema

Vivência Profissional

O porquê do tema escolhido

Justificativa: Focando o problema do

Ensino/Aprendizagem

Objetivo Central da Pesquisa

O PERCURSO TEÓRICO DA INVESTIGAÇÃO

Números Complexos via Registros de Representações

Semióticas

O Tratamento dos Números Complexos via documentos

curriculares e a utilização do Software Geogebra como

Recurso Didático

E a produção acadêmica: o que foi relevante para o

percurso metodológico?

O PERCURSO METODOLÓGICO

Perspectiva Metodológica

Questionário: Resultados frente aos estudantes do

Ensino Superior

Questionário: Resultados frente aos estudantes do

Ensino Médio

Tarefas

17

21

21

24

35

38

44

46

46

55

70

74

75

77

101

119

4.4.1

4.4.2

4.4.3

4.4.4

5

Análise a Priori e Posteriori da Tarefa 1



Análise da Tarefa Final

CONSIDERAÇÕES FINAIS

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANEXO A

ANEXO B

ANEXO C

122

132

140

146

151

158

163

168

172

17

1 - INTRODUÇÃO

Durante esses meus 27 anos de carreira como professora do Ensino Fundamental,

Ensino Médio e Superior, onde pelo menos os últimos 15 anos tenho trabalhado com as

3ªs séries do Ensino Médio, tenho observado que houve uma mudança comportamental

significativa em nossos alunos e isso tem se refletido seriamente na sala de aula, bem

como no processo ensino-aprendizado.

Há muito tempo tenho me preocupado como professora, em dar significado ao que

se está ensinando, ou, procurar mostrar para que aquele conceito matemático pode ter

uma perspectiva utilitarista. Confesso que eu mesma, enquanto aluna do Ensino Médio

e do Superior me incomodava quando, ao aprender um determinado conteúdo da

matemática, aprendia somente o processo operatório, pois eu queria também entender

ou visualizar qual era a aplicabilidade para aquele conceito. Eu já tinha consciência na

época, de que a matemática não era obra do acaso, ou, invenções de alguns

matemáticos e/ou filósofos, diferente do que eu já ouvi de muitos alunos: “não tinham

mais o que fazer da vida e ficavam inventando cálculos para complicar a vida das

pessoas”.

Diante dessas situações, tenho procurado inserir em minha prática docente,

tarefas práticas das quais os alunos precisam ter domínio do conceito para obter

respostas.

Esta preocupação de dar significado ao ensino-aprendizagem, é comum a outros

colegas de profissão, bem como na área de publicação de livros didáticos. Porém, alguns

conteúdos nos materiais didáticos, não sofreram mudanças nas suas formas de

apresentação, mantendo uma mesma tradição editorial. Isso é exatamente o que ocorre

com o conteúdo dos números complexos nos livros didáticos. Desde os meus tempos

como estudante do Ensino Médio, esse conteúdo se apresenta com as mesmas

características e com os mesmos objetivos, ou seja, segundo os materiais didáticos, os

números complexos se limitam ao status instrumental para resolução de equações

polinomiais, sem maiores significados.

18

Lamentavelmente, essas considerações constam nas orientações

complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio, cuja sigla para

este documento é PCN+:

Tradicionalmente, a Matemática do ensino médio trata da ampliação do conjunto numérico, introduzindo os números complexos. Como esse tema isolado da resolução de equações perde seu sentido para os que não continuarão seus estudos na área, ele pode ser tratado na parte flexível do currículo das escolas. (Grifo nosso) (BRASIL, 2002, p.119)

Esta citação em relação ao estudo dos números complexos gera incômodo, pois

a visualização geométrica desses números promove outro sentido e significado ao seu

estudo, além de permitir aos alunos a formulação e validação ou não de hipóteses. Outro

fator importante, é que a forma geométrica dos números complexos propicia a

interdisciplinaridade com fenômenos da Física, fator que é valorizado nos Parâmetros

Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 2000).

Na minha visão, é preciso reformular a maneira como esse conteúdo é

apresentado aos alunos, e não simplesmente descartá-lo como algo que não tem muito

sentido ou apenas tratá-lo como parte flexível do currículo, como foi sugerido no PCN+.

A forma de tratamento dado a esse conteúdo nos materiais didáticos precisa ganhar um

aspecto geométrico, além de trazer situações problemas onde se possa utilizar essa

ferramenta, em buscas de respostas para situações reais. Dessa forma, o conteúdo vai

ganhar “vida”.

Um fato notório que temos é que muito se fala de que os nossos alunos de hoje,

são frutos de um mundo tecnológico, nasceram quase que com um computador na mão

e um dos fatos mais naturais que faz parte da vida cotidiana das pessoas hoje, é utilizar

o aparelho celular para fotografar, depois descarregar as fotos em um computador e

diagnosticar que muitas das vezes, essas fotos aos serem abertas para a visualização,

estão deitadas ou invertidas. Rapidamente, é possível editar o ajuste dessas fotos, ou

seja, ampliando, reduzindo, rotacionando, transladando; todos esses processos

realizados no computador, envolve operações com números complexos. Portanto, não

podemos mais tratar esse conteúdo como algo sem sentido e sem utilidade.

19

Nossos alunos precisam saber que os números complexos são utilizados e

construções de muitos recursos que fazem parte de suas vidas, como, por exemplo, a

edição de fotos.

Em nossa dissertação optamos por utilizar a sequência didática do Caderno do

Aluno da 3ª série do Ensino Médio da Secretaria da Educação Estado de São Paulo,

volume 2, para aplicarmos suas atividades, com a utilização do software Geogebra; já

que consideramos que a visualização geométrica pode contribuir para o aprendizado e

nesse material a intensão de contextualização é incipiente.

Mais especificamente, procuramos responder três questões que serviram de

direcionamento para este trabalho: I) Que saberes sobre números complexos, alunos do

Ensino Superior trazem como bagagem do Ensino Médio? Este questionamento levou

em conta observações em relação aos nossos alunos do Ensino Superior, quando frente

ao estudo das variáveis complexas além de disciplinas da Física, onde percebe-se que a

maioria desconhece as bases conceituais dos números complexos.

As outras duas questões têm a seguinte formulação: Que perspectiva de

construção de saberes o Caderno do aluno e do professor proporciona ao aprendizado

de números complexos? Podemos ressaltar de antemão que o referido material não

contempla o conjugado de um número complexo e até mesmo a operação de divisão. A

última questão de pesquisa foi: o Geogebra pode agregar a construção de saberes

quando articulado ao Caderno do aluno, disponibilizado pela Secretaria da Educação do

Estado de São Paulo?

Na busca por respostas a estas questões, compomos a redação de processo deste

processo de investigação em cinco capítulos.

No capítulo I relatamos o ser professora na Educação Básica, bem como os

motivos que nos levaram a essa pesquisa, além dos objetivos intrínsecos a ela. Neste

sentido, optamos por escrever este capítulo na primeira pessoa, bem como em várias

páginas desta introdução. Tal escolha foi um pedido do orientador desta dissertação por

entender que é um momento de apresentação da professora Tânia que vai se

constituindo gradativamente, em seu percurso sócio-histórico, um ser professora-

pesquisadora.

20

A partir do capítulo II a escrita sofre um ajuste para a primeira pessoa do plural,

por entendermos que a redação deste processo de pesquisa sofre diversas interlocuções

e, portanto, não é mais individual. Há uma coletividade de debates e reflexões que vai

sendo tecida, página a página, de forma singular.

Mais especificamente, o capítulo II, contemplou o percurso teórico da dissertação,

o qual envolveu a análise de documentos curriculares do Ensino Médio frente ao

conteúdo Números Complexos; a contribuição da teoria dos registros de representação

semiótica para o nosso tema de pesquisa; bem como a descrição de teses e dissertações

brasileiras como suporte teórico-metodológico desta investigação.

No capítulo III, apresentamos o percurso metodológico desta investigação, como

base nas etapas da Engenharia Didática.

O Capítulo IV foi composto pelas considerações finais deste relatório de pesquisa.

Trata-se de um momento de resgate das intenções deste processo de investigação que

culminou em resultados para a busca de respostas às três questões de pesquisa. Não

menos importante, dedicamos também em apresentar as limitações deste trabalho, bem

como as possibilidades para futuras pesquisas e a contribuição do Mestrado para o ser

professora-pesquisadora Tânia, autora desta obra.

Reservamos neste processo de redação a apresentação das referências

bibliográficas que subsidiaram esta pesquisa, assim como anexos que julgamos

pertinentes ao nosso trabalho.

21

2 - SOBRE A MINHA HISTÓRIA E A MOTIVAÇÃO POR ESTE PROCESSO

DE PESQUISA

2.1– O interesse pelo tema

Em 1987, iniciei minha carreira como docente no Ensino Médio. Minhas turmas de

1ª série do Ensino Médio ainda trago-os muito vivos em minha memória. Eram tempos

bons, onde tínhamos alunos interessados em aprender. O estudo das funções, as

construções dos gráficos representativos, enfim, a diversidade de linguagens que

envolvem toda esta estrutura matemática sempre tiveram muito significado para mim,

mesmo sem conhecer naquele momento que esta diversidade é o foco da teoria dos

registros de representações semióticas.

Na verdade, enquanto aluna do Ensino Médio, as aulas de matemática ministradas

pelo professor Roberto, foram meu referencial para a constituição do ser professora.

Ainda hoje me lembro dele com saudades. Eu o considerava uma sumidade. Foi através

dele que fui conhecer o IME – Instituto de Matemática e Estatística da USP. Sua

capacidade de criar tarefas me estimulava na busca das soluções dos problemas

propostos. A admiração ao professor Roberto, que na época também era um professor

universitário, causou-me um impacto profundo em minha decisão, com relação a minha

carreira profissional.

Tive a oportunidade de na minha infância/adolescência ingressar no Conservatório

Musical Villa Lobos na cidade de Osasco/SP, onde comecei meu estudo de música. A

música me parecia ser muito intuitiva. Fluía de uma forma muito natural para mim. Não

podia imaginar que toda a estrutura musical apoiava-se na matemática. Foi muito tempo

mais tarde, quando tomei conhecimento sobre o “Monocórdio de Pitágoras”, que pude

perceber que música também é matemática, porém com uma representação semiótica

muito própria. Descobrir que Pitágoras, aquele mesmo do famoso do Teorema de

Pitágoras que permitia soluções de problemas geométricos pelo uso de triângulos

retângulos, escreveu toda uma estrutura musical dos tons e semitons, foi algo que me

fascinou.

22

Por outro lado, na minha inocência, não conseguia compreender o porquê de

muitos colegas da época apresentar dificuldades ao transpor a leitura das notas musicais

para o instrumento tocado e vice versa. Tive oportunidade de conhecer algumas pessoas

que são capazes de dedilhar com habilidade um piano, mas não conseguem sequer ler

uma nota musical e outras que possuem uma leitura musical perfeita, mas não

conseguem simultaneamente ler e tocar o instrumento. Na época isso para mim parecia

irracional. Hoje compreendo que essas pessoas possuem dificuldades nas diferentes

formas de representar o saber.

Há casos em que as pessoas não conseguem converter os signos dos registros

de representação semiótica em relação à música. Na música podemos utilizar os signos

notas musicais em uma pauta, com uma clave para poder nomear as notas e a definir um

tempo, para poder se conhecer o tempo de emissão do som para cada nota. É muito

comum no entanto a utilização de cifras, que são formadas por letras do alfabeto para

representar cada acorde. Há aqueles que não conseguem fazer a conversão do acorde

para as notas, ou vice versa. E ainda há aqueles que somente conseguem representar o

som de uma música, mediante uma tablatura. Como exemplo vamos tomar o acorde de

sol. Podemos representar através das notas musicais ou de sua cifra correspondente:

Figura 1: Notas Musicais Figura 2: Cifra

Fonte: Material da Autora Fonte: Material da Autora

Há no entanto aqueles que somente conseguem tocar um violão, ou um teclado,

se além das cifras, a partitura apresentar a tablatura.

23

Figura 3: Tablatura para violão

Fonte: Blog Art Music, 28 Nov.2014

Figura 4: Tablatura para teclado

Fonte: Consulta Musical, 28 Nov.2014

Como se vê nas figuras 1 e 2, é necessário que o músico saiba fazer a conversão

entre as formas de representação de notas musicais para cifras e vice versa.

É muito comum em instrumentos de sopro, como por exemplo, o saxofone, ser

afinado em “si maior”, ou outra tonalidade. Nesse caso, se o músico for tocar uma música

cujo tom é “dó maior”, ele deverá fazer a transposição de todas as notas de uma partitura

para a tonalidade de afinação do seu instrumento. Um músico experiente faz a

transposição automaticamente ao tocar, sem a necessidade de reescrever a partitura

com a nova tonalização.

Ingressei no curso de Matemática no ano de 1983. Formei-me em 1986 e no início

do ano de 1987, ingressava na sala de aula, não mais como estudante, mas agora como

professora.

24

2.2 – Vivência Profissional

Durante esses anos, tive a oportunidade de trabalhar com classes desde o 6° ano

do Ensino Fundamental até a 3ª série do Ensino Médio de Escola Pública e Privada, além

de atuar também no Ensino Superior.

Ao longo desses 27 anos de carreira, percebi uma grande mudança no perfil dos

alunos que atendemos. A sociedade mudou, o sistema de ensino também mudou e

observo que muitas dessas mudanças, trouxeram alguns resultados positivos, porém

trouxeram também muitos resultados negativos, promovendo uma mudança postural

negativa na maioria de nossos alunos. Se de um lado a tecnologia evoluiu trazendo a

oportunidade da utilização de novas ferramentas para o ensino, do outro lado os

problemas ensino-aprendizagem se agravaram diante de uma clientela não mais

acostumada a pensar, a ser desafiada, pois as ferramentas de tecnologia trazem as

informações prontas. Neste sentido, porquê pensar, se é possível fazer um “ctrl c”, “ctrl

v” (copy/paste).

Ao olhar para trás e ver que muitos alunos obtiveram sucesso em suas vidas,

sabendo que enquanto educadora fiz parte da transformação de suas vidas, promovendo

a capacidade de aquisição de saberes necessários para que eles pudessem se tornar

protagonistas de seus sucessos; é algo que me enche de satisfação pessoal. Porém é

muito triste olhar para muitos alunos de hoje e perceber que a maioria não conseguem

superar dificuldades básicas na matemática.

Nos últimos anos, no entanto, tenho me dedicado ao trabalho com os alunos do

Ensino Médio e Ensino Superior e com isso tenho comparado as duas classes de alunos.

Percebo que os alunos que chegam ao Ensino Superior trazem os mesmos problemas

em relação às Representações Semióticas por eles vivenciados, no Ensino Fundamental

e Médio. Abaixo podemos observar dois exemplos:

25

Figura 5: Resposta de aluno – Ensino superior

Fonte: Material da Autora

Figura 6: Resposta de aluno – Ensino superior


26

Nos exemplos das figuras 5 e 6, temos respostas dadas por alunos que

participaram da pesquisa da autora, que foi aplicado junto ao 2° semestre do curso de

Engenharia Civil do CEUNSP (Centro Universitário Nossa Senhora do Patrocínio).

É claro pelas respostas dos três questionamentos da figura 5, que esse aluno

possui deficiência em conceitos matemáticos, não só no que diz respeito aos números

complexos. Na primeira alternativa, ele deveria ter reescrito os números complexos na

sua forma algébrica, fazendo a conversão como é classificado dentro dos registros das

representações semióticas, para então operar a multiplicação. A ideia por de trás dessa

alternativa era verificar se o aluno seria capaz de distinguir o par ordenado representação

de um número complexo e operar a multiplicação, do o par ordenado representação

vetorial, (representação utilizada na disciplina de Álgebra Linear que o aluno cursa, cujo

resultado é o produto interno em R2), ou seja, os resultados são totalmente distinto.

Na segunda alternativa, fica evidente que o aluno apresenta dificuldade com o

conteúdo de Produtos Notáveis que é ensinado no 8° ano do Ensino Fundamental II, pois

o tratamento para a obtenção do resultado do complexo ao quadrado é o mesmo

tratamento dado na obtenção de uma equação de primeiro grau, quando elevada ao

quadrado. Aqui fica evidenciado que se problema não é específico com os números

complexos, mas vai além.

Na terceira alternativa, esperava-se que o aluno convertesse o complexo para sua

forma trigonométrica para encontrar mais facilmente o resultado, porém o mesmo optou

por trabalhar na sua forma algébrica. O que nos chama a atenção é que o mesmo erro

cometido na alternativa anterior, foi repetida nessa alternativa. Observa-se claramente

que o aluno não só possui deficiência nos conceitos dos Produtos Notáveis, mas possui

deficiência nos conceitos de Potenciação. Ressalto que como professora da turma do

qual o aluno em questão está inserido, sendo que leciono Cálculo I para essa turma, e

devido a necessidade de utilização desses conceitos (Potenciação e Produtos Notáveis)

para as resoluções de limites de derivadas, fiz uma revisão sobre o assunto, nos

primeiros dias de aula do semestre. Logo concluo que a mudança da variável x para a

variável i fez com que o aluno não mais conseguisse realizar a operação da segunda

alternativa. Em uma observação recente feita por outro aluno do curso de Cálculo I, o

aluno afirmou: “Professora, você não sabe que se mudar a cor da grama os bois não

27

pastam mais?” O mesmo afirmou algo que a princípio parece engraçado, ao se referir a

mudança de incógnita em uma operação de derivação, mas dentro da visão pedagógica

é algo realmente preocupante, pois o mesmo demonstra não estar aprendendo os

conceitos, mas mecanizando processos de tratamento e conversão dos registros de

representação semiótica, nas resoluções de tarefas.

Na figura 6, o aluno até aplica corretamente a operação distributiva para a

multiplicação, porém ao se deparar com o i² (número imaginário), não sabe o que fazer.

O que se observa que ele considera o número imaginário como uma incógnita quadrática,

aproveita para igualar a zero o resultado obtido na aplicação da operação distributiva e

aplica técnicas conhecidas para a resolução de equação de 2° grau, encontrando assim

dois resultados para a suposta incógnita “i”. O pior é que após igualar a zero a suposta

equação de segundo grau, ao recorrer à conhecida “formula de Baskhara” para a

resolução da equação, o mesmo ainda troca a incógnita que deveria ser “i”, por “x”.

Se de um lado percebe-se que o aluno detém o conhecimento de alguns conceitos

matemáticos, por outro lado o que se vê é que ele não sabe como usá-lo, pois recorreu

a um conceito inerente para a resolução de equação de 2° grau, aplicando dentro de uma

operação de multiplicação entre números complexos, onde tal conceito não é aplicável

para a situação em questão.

O pior é observar alunos que chegam ao Ensino Médio sem possuírem saberes

básicos necessários para esta nova etapa de estudos. É possível ter um vislumbre dessa

situação que considero grave, na resposta da aluna (figura 7), cuja tarefa foi aplicada

para alunos do 3° ano do ensino médio, por ocasião da introdução do estudo de

Geometria Analítica (GA).

28

Figura 7: Resposta de aluna do ensino médio


A ideia de retomar a construção de gráficos de função do 1° grau, era levar os

alunos a perceberem a relação entre a equação da reta e a função de 1° grau.

O que observamos é que a aluna em questão não tem domínio da construção de

gráfico de função de 1° grau, pois sua dificuldade vai muito mais além, quando observa-

se as operações realizadas ao lado do gráfico, vê-se que esta aluna pode ser classificada

como uma “semianalfabeta matemática”, visto que ela não apresenta domínio de

operações básicas, conceitos esses que deveriam ter sido aprendidos durante sua

passagem pelo ensino fundamental I, ou seja, ela não opera a subtração, ela não opera

a multiplicação. É claro que essa aluna não tem domínio das transformações de

tratamento e nem muito menos das conversões dentro dos registros de representação

da semiótica

Outro exemplo que podemos observar é o caso de um aluno também da 3 série

do Ensino Médio, trabalhando em uma tarefa com o objetivo de estabelecer relações

entre a função de 1° grau e o estudo da equação da reta em Geometria Analítica:

29

Figura 8: Resposta de aluno do ensino médio


Neste caso, o aluno conseguiu fazer uma leitura dos pares ordenados no gráfico

dado, porém não consegue utilizar os conceitos necessários para construir a função que

originou o gráfico em questão. Vê-se que o aluno não testou os pares ordenados por ele

escolhido de forma correta. Neste caso, houve uma confusão em relação a componente

x do gráfico ao aplicar na função por ele definida. A leitura que ele fez é que o resultado

da operação de multiplicação do número 2 pela variável x, como sendo a componente x

do par ordenado escolhido.

Neste aspecto, concordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio -

OCEM (BRASIL, 2006, p.77), quando afirma que “é recomendável colocar a álgebra sob

o olhar da geometria”, pois muitos desses problemas não existiriam se os alunos fossem

dotados de tal compreensão da articulação entre a álgebra e a geometria. É comum os

alunos buscarem uma solução algebrista para os questionamentos, em detrimento ao

geométrico.

Nos últimos anos, tenho observado nos livros didáticos um esforço pela

contextualização de seus conteúdos, articulando a álgebra com a geometria e seus

respectivos fatos históricos, porém há muito que ser melhorado ainda para que isso possa

se refletir em uma mudança na sala de aula.

30

Observando muitas das tarefas propostas em sala aula, com relação às

dificuldades apresentadas pelos alunos em compreender a proposta dos enunciados, até

mesmo nos erros por eles cometidos, tem me levado a busca de novas práticas docente,

bem como uma investigação mais profunda sobre o assunto, principalmente no que

envolve a articulação geométrica e algébrica dos números complexos, pois tenho

observado que os estudantes de 3ª série do Ensino Médio deveriam apresentar mais

competência e habilidades sobre este assunto.

Em minha visão a apresentação do conteúdo dos números complexos, articulando

a geometria com a álgebra é uma oportunidade ímpar de retomada de conceitos que

deveriam ser perfeitamente dominados pelos estudantes e que muitos, no final do 3° ano

do Ensino Médio, ainda não compreenderam. Lamentavelmente o tempo direcionado

para o ensino desse conteúdo tão rico é ínfimo quando se comparado com as inúmeras

possibilidades analíticas e aplicativas que ele oferece, pois este conteúdo permite a

retomada de conteúdos abordados desde o Ensino Fundamental II, com aplicações nos

campos da geometria, geometria analítica, matrizes, física (vetores), entre outros.

Diante disso, questionei se a utilização de um software matemático na prática docente

trará maior interesse e aquisição de saberes aos educandos, no referido tema.

Na tentativa de encontrar soluções para o problema que envolve as dificuldades

encontradas pelos alunos nas resoluções de tarefas, ingressei no curso de Mestrado em

Matemática Pura, oferecido pela PUCSP (Pontifícia Universidade Católica de São Paulo)

em 1991, onde cursei algumas disciplinas.

Seguindo o conselho de um amigo na época, procurei a USP (Universidade de

São Paulo) no intuito de dar continuidade ao mestrado naquela universidade. A porta foi

aberta, porém nos foi exigido que fizéssemos primeiramente uma especialização ali

mesmo, na USP, que segundo à coordenadora na época, a saudosa profa. Drª. Iracema,

era necessário ter um nivelamento para conseguir acompanhar o curso com certa

tranquilidade. Acatei a sugestão e iniciei a especialização na USP/SP, fazendo algumas

disciplinas ao longo do ano 1992. Infelizmente no início de 1993, meu esposo foi

transferido pela empresa, para trabalhar na cidade de Rio Claro, o que acabou por me

dificultar os meus estudos naquele ano.

31

No ano de 1994, ingressei no mestrado da UNESP (Universidade do estado de

São Paulo), na Cidade de Rio Claro, sem saber a surpresa que o futuro breve me

preparava. Descobri logo no início do curso que estava grávida, mas para complicar a

situação, meu esposo desenvolveu uma síndrome do pânico, depressão profunda,

doenças essas que na época pouco conhecidas, com poucos recursos de tratamento,

levando-o a problemas de saúde crônicos. Diante desse quadro, fui obrigada a deixar de

lado meus objetivos de cursar um Mestrado.

Após o falecimento (2005) de meu esposo e ao alcançar o meu filho a idade

adolescente (2009), sendo ele capaz de realizar muitas atividades de forma mais

independente, retomei a minha busca pelo conhecimento e por soluções em relação às

minhas angústias e inquietudes, frente à sala de aula, porém agora com uma experiência

como educadora muito maior, diante de uma sociedade que passava e passa por

transformações muito rápidas, onde novas angústias também passaram a me perturbar

no que tange o processo ensino-aprendizagem.

Em 2010, realizei uma especialização em Educação Matemática pela UNIMEP

(Universidade Metodista de Piracicaba) onde desenvolvi minha monografia sob o título

“O excesso da tecnologia, o grande vilão do analfabetismo matemático da geração Z”.

Neste trabalho, desenvolvi a pesquisa com alunos, traçando uma comparação entre o

tempo que eles dedicavam aos estudos (no caso em questão: a matemática) e o tempo

destinado por eles frente as mídias (TV, internet pelo computador ou pelo celular).

Na época, observamos que a maioria dos alunos chegavam para as aulas no

período matutino, apresentando dois tipos de comportamento: ou dormiam na sala de

aula, onde constatamos que estes ficavam até altas horas da madrugada na internet

(salas de bate papo, redes sociais ou MSN), de forma que estavam com o cérebro

cansado para aprender qualquer coisa e por isso a necessidade de dormir, ou passavam

as aulas driblando os professores, com o objetivo de ficarem conectados de alguma

forma, através de aparelhos celulares. Uma geração viciada em tecnologia.

Na verdade estamos até pensando em reaplicar essa pesquisa, pois percebemos

que como passar do tempo, apesar de curto, houve um agravo em relação a esse

fenômeno e que se reflete claramente na sala de aula. A ideia da reaplicação da pesquisa

32

se dá pelo fato de que hoje, temos uma bagagem de conhecimento diferenciada,

propiciando uma visão mais aprimorada sobre o assunto.

O comportamento dos alunos muito nos angustiava e ainda angustia, pois, por

mais que nos esforçássemos para apresentar uma aula de qualidade, sempre parecia

que algo estava faltando. Questionava se o problema estava em mim e que mudanças

eu precisava realizar em minhas aulas, ou se o problema estava nos alunos.

Desde o início dos anos 90, ouve-se a fala de muitos, de que as aulas de

matemática tornam-se mais interessante aos alunos, se utilizado algum software

computacional como ferramenta de aprendizagem. Confesso que na época era bastante

cética em relação ao uso do computador como ferramenta de ensino, devido a postura

dos alunos (a maioria) em sala de aula.

Ao realizar essa especialização, meu propósito era justamente provar que a

tecnologia estava na realidade fazendo o papel de vilã em relação a falta de saberes dos

alunos, além de ser responsável pelo comportamento inadequado de muitos alunos

frente às aulas de matemática, que exige que o aluno utilize o raciocínio para apreensão

dos saberes. Apropriamos dos conhecimentos da Neurociência em relação à Educação

para validar nosso trabalho.

A realização desse trabalho trouxe-me algumas constatações de fato, porém,

depois de concluí-lo não me senti plenamente satisfeita, uma vez que não promoveu

mudanças dos alunos na sala de aula. O incômodo continuou.

Logo, julguei por bem que era necessário buscar outra especialização, para

entender como as ferramentas midiáticas poderiam se tornar minhas aliadas na sala de

aula. Diante desse fato, ingressei no curso de especialização em “Metodologia para a

Educação a Distância”, pelas Faculdades Anhanguera, uma vez que a geração de alunos

que temos, podemos dizer que nasceram com a difusão das mídias e, não há como

mudar isso, visto que aos nossos olhos essa geração chega mesmo a ser viciada em

internet, por exemplo.

O que nos preocupa, é que a maioria de nossos alunos não utiliza a tecnologia

como ferramenta para a busca do conhecimento, por isso diante desse fenômeno que

vem ocorrendo e é mundial, julguei por bem que precisava saber como utilizar melhor as

33

ferramentas tecnológicas, para orientar os alunos convertê-las em objeto para a

aprendizagem.

Senti que era necessário entender como fazer então para trazer o computador

como uma ferramenta saudável para a sala de aula? Esse era o meu dilema! O meu

intuito era melhorar minha prática pedagógica e tentar compreender as dificuldades

encontradas pelos alunos de forma a despertar neles o prazer pela busca de desafios e

levá-los a reflexão. Esses componentes são necessários para o aprendizado da

matemática.

De fato, essa segunda especialização me levou a refletir sob vários aspectos

diferentes em relação à utilização da tecnologia nas aulas, que não só representa um

avanço, mas é necessário, e mais do que isso, a tecnologia deve ser utilizada como um

facilitador do processo ensino aprendizado.

Em meu trabalho, tracei uma comparação entre a educação presencial e a

educação à distância, no ensino da matemática, mostrando os aspectos positivos e

negativos nas duas modalidades, de onde conclui que a fusão das duas seria a ideal,

pois ambas têm pontos positivos e pontos negativos. Portanto, se pudéssemos unir os

pontos positivos de ambas, teríamos o que chamei de “ideal”.

No entanto, apesar dessa especialização ter aberto minha mente em relação as

inúmeras possibilidades oferecidas pelas tecnologias como aliado das aulas, ela ainda

se tornou limitada pelo fato de que seu foco era o “Ensino a Distância”, ou seja, mais uma

vez esbarrei em minha proposta de mudança da sala de aula, onde a aula para o meu

caso, é presencial.

Diante disso, ingressei no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências

Exatas (PPGECE), oferecido pela Universidade de São Carlos – Campus Sorocaba com

o objetivo de buscar mais subsídios. Estou ainda em busca de soluções, mas já consigo

perceber que algumas práticas inovadoras, podem sim trazer contribuições ao processo

ensino-aprendizagem.

Em minha pesquisa, adotei trabalhar com a ferramenta Geogebra, pois tive a

oportunidade de cursar a disciplina de Tecnologia da Informação para o Ensino de

Ciências e Matemática sob a coordenação do Prof. Dr. Wladimir Seixas e do Prof. Dr.

Paulo César Oliveira, e aprendi a manipular melhor essa ferramenta e a perceber que

34

essa ferramenta oferece muitos recursos para o ensino. Em meu pouco conhecimento,

antes de ingressar no mestrado, não via como esse software Geogebra poderia ser um

recurso a facilitar as aulas sobre o estudo dos números complexos para os alunos do 3°

ano do Ensino Médio. Pude verificar que essa ferramenta é muito rica e há um vasto

campo a ser explorado, onde estou começando a caminhar.

Confesso que tive a oportunidade de utilizar essa ferramenta também, em minhas

aulas de Álgebra Linear, para o curso de Engenharia de Produção do CEUNSP. As aulas

se tornaram muito interessantes, pois pudemos fazer os alunos refletirem sobre alguns

questionamentos, validando ou não as situações propostas, nas operações envolvendo

os vetores. Na figura 9, temos cópia de um dos slides da aula de Álgebra Linear.

Esclareço que executávamos o software Geogebra enquanto explicávamos o assunto em

questão, conforme protocolo a seguir:

Figura 9: Slide da aula


35

Hoje visualizo que a ferramenta tecnológica pode ser uma grande aliada na sala de

aula e no processo de ensino aprendizagem, desde que utilizada de forma correta e no

caso da matemática, com a utilização de softwares adequados a cada situação de ensino.

2.3 – O porquê do tema escolhido

O tema foi escolhido com base na prática da sala de aula da autora e na sua busca

incessante por ajudar os alunos na construção do conhecimento matemático. A

importância desse estudo se dá visto que a matemática faz parte do cotidiano de cada

um e a absorção e compreensão de conceitos básicos da matemática de forma

intrínseca, é primordial para o desenvolvimento do raciocínio lógico humano, em todas

as áreas.

A evolução da sociedade nas últimas décadas de forma vertiginosa é algo inegável

e trouxe consigo ferramentas inovadoras para o ensino, cada vez mais sofisticadas.

Diante desse fato, não há como a educação permanecer estagnada frente a uma

sociedade que evolui rapidamente. Para tanto, os profissionais da área educacional

devem estar abertos a inovar e buscar novas metodologias de ensino-aprendizagem,

com a utilização dessas ferramentas como, por exemplo, o Geogebra para a matemática.

Sabe-se que o ensino da Matemática ocorre de uma forma diferenciada quando

comparada a outras disciplinas como Física, Química e Biologia que são palpáveis e

visuais os seus fenômenos, além de experimentáveis. A matemática praticada, muito

embora parta de situações concretas, na maior parte tem os seus conceitos construídos

na abstração, fazendo com que os alunos muitas vezes cheguem a conclusões errôneas

ou nem consigam concluir os conceitos. Para que o aluno construa uma conclusão

correta é necessário que o mesmo compreenda toda a dimensão da abstração

apresentada, e para tanto se faz necessário à construção da abstração a partir do

concreto, do palpável. Logo, o tempo dedicado ao estudo é necessário para a articulação

da construção dos conteúdos, partindo do concreto e fazendo que o educando consiga

absorver os conceitos abstratos de forma correta.

Para Duval (2012, p. 309):

36

Na matemática, mais que em todas as outras disciplinas, é necessário compreender para poder aprender. Somente se pode aprender matemática e concluir as atividades propostas se compreendermos não somente as instruções e os enunciados de um problema, mas também aquilo que se pode fazer para buscar resolvê-lo e por que aquilo que se encontra está certo ou errado. (...) Esta exigência constante de compreensão coloca o ensino da matemática em uma situação muito particular em relação a todos os outros ensinos e aponta a uma primeira pergunta sobre aquilo que se entende por “compreender”.

Ao visualizar os conteúdos do Ensino Médio elencados para a disciplina de

Matemática, observa-se claramente que o tempo do professor junto aos seus alunos é

muito pouco frente à necessidade dos assuntos a serem abordados em cada uma das

séries deste segmento escolar. Além do mais, os conteúdos se articulam entre si, porém

com abordagens diferenciadas. Para tanto, seria necessário o professor disponibilizar de

muito mais tempo junto aos seus alunos para que esses pudessem compreender as

diferentes formas representativas da mesma situação. Há que se entender também, que

cada estudante é único e cada qual tem o seu tempo de absorção da informação.

É nesse ponto que o uso do computador em sala de aula transforma-se num

grande aliado, permitindo ao professor articular novas metodologias com recursos

tecnológicos educacionais que ao mesmo tempo possibilitam uma maior motivação e

interação entre os educandos, além de propiciar mais tempo ao professor para o

tratamento do conteúdo em questão.

Ao pensar na importância da utilização do computador como um aliado na

construção de um número complexo a partir do par ordenado transpondo para sua forma

vetorial geométrica e articulando com sua forma trigonométrica, isso se pode fazer em

um tempo muito rápido, além de permitir ao aluno a possibilidade de testar vários

elementos do conjunto universo utilizado no estudo, podendo tirar conclusões e

conceituar de uma forma mais rápida, pois se parte do concreto para o abstrato. Tal

procedimento quando realizado com lápis e papel, muitas vezes torna-se inviável pelo

tempo dispensado na construção, além da dificuldade da realização da tarefa.

Parto do pressuposto que um dos fatores que tem levado a desmotivação de

aprender a matemática, os alunos do Ensino Fundamental II, Ensino Médio e

posteriormente também no Ensino Superior está relacionado com a forma como lhes são

37

apresentados os conceitos da matemática, onde métodos que privilegiam a

representação algébrica do conteúdo estudado, contemplam a memorização do saber

aplicar os procedimentos corretos para obter o resultado final, ou seja, operar

algebricamente, em detrimento do raciocínio lógico utilizado na resolução da questão.

Quando o aluno tem a oportunidade de fazer a dedução lógica do raciocínio da

situação problema proposta, provavelmente conseguirá articular os conceitos

apreendidos com aplicação em outras tarefas, sem a utilização de fórmulas mecanizadas.

De acordo com Borba e Penteado (2003, p.31), “usualmente, a ênfase para o

ensino de funções se dá via álgebra. Assim, é comum encontrarmos em livros didáticos

um grande destaque para a expressão analítica de uma função e quase nada para os

aspectos gráficos e tabulares”. É notório que os livros didáticos de matemática possuem

uma linguagem bastante algébrica. Nos últimos anos uma mudança tem sido observada

nos livros didáticos, onde os autores têm buscado dar um enfoque mais amplo, com uma

visão mais generalizada sobre os assuntos abordados. No entanto, de nada adianta uma

mudança no enfoque didático se não houver uma mudança na sala de aula sobre a forma

de abordagem do assunto. Dessa forma faz-se necessário que os professores busquem

novas formas de abordagem dos conteúdos, apresentando outras possibilidades de

compreensão sobre o mesmo assunto.

Por outro lado, simplesmente acreditar que a inserção de ferramentas tecnológicas

na sala de aula é suficiente por si só para que o aprendizado ocorra, é utópico. É

necessário que a utilização dos recursos tecnológicos seja feita com qualidade e

articulando sua utilização ao material didático, bem como a proposta pedagógica.

Segundo Francisco (2002, p.179), em todo o planeta está ocorrendo

transformações que vão “muito além de uma simples mudança de tecnologia e de

comunicação e informação”. A didática do ensino da matemática deve ter sua

metodologia aprimorada frente às novas tecnologias, tanto no Ensino Médio como no

Ensino Fundamental, porém temos que ter o cuidado de observar que nem tudo o que é

velho é ruim e nem tudo o que é novo é bom. É necessário se ter bom senso na

articulação de novas práticas de ensino, novos métodos e aplicação das novas teorias

que tem surgido, com relação ao ensino da matemática. Não adianta a mudança de

38

paradigma, ou qualquer outro método de ensino, se o aluno não aprendeu a aprender.

Esse é o grande desafio do profissional da educação da matemática.

Deve-se então analisar qual seria a melhor aula, já que muito se fala que a aula

presencial no Ensino Público hoje, deixa a desejar pela falta do aparato tecnológico, ou

porque os educadores não estão preparados para utilizar essas tecnologias como

ferramenta de ensino, e que elas deveriam estar presentes frente a uma clientela

acostumada com o mundo virtual. Será isso verdade? Pode a tecnologia atrelada à sala

de aula mudar a postura dos alunos e, sobretudo, a construção de seus saberes? Pelo

presente estudo, ampliando conhecimentos anteriormente adquiridos através das

especializações realizadas e já comentadas anteriormente, tudo leva a crer que sim,

desde que a tecnologia seja usada de forma qualitativa, ou seja, como uma ferramenta,

tal qual, o lápis e o papel. Essa é a nossa expectativa.

Outro aspecto que é preciso ser observado é de que a tecnologia não consegue

substituir o papel do professor como mediador do processo ensino-aprendizagem, pois

por melhor que sejam as ferramentas tecnológicas, elas ainda possuem limitações para

serem utilizadas em certos conteúdos e principalmente na construção de seus conceitos

e da abstração desses.

2.4 – Justificativa: Focando o problema do Ensino/Aprendizagem

No ensino da matemática, deve-se notar o papel do professor como mediador do

conhecimento a ser transmitido/adquirido. A aprendizagem não deve ser mecanizada,

mas deve promover uma reflexão sobre o que se está aprendendo. Nesse aspecto, o

papel do professor enquanto mediador da construção do conhecimento assume um papel

fundamental. O que vale ressaltar nesse ponto ainda é que, o educando tem a

intervenção do professor de forma imediata. O papel do professor então deve ser não o

de dar respostas prontas, mas, o de conduzir o aluno a uma investigação lógica, fazendo-

o raciocinar sobre o assunto em questão.

Outro aspecto que também deve ser salientado sobre o papel do professor, é

quanto a sua didática de ensino e prática pedagógica que deve ser constantemente

39

aprimorada, para despertar a atenção dos alunos e motivá-los à participação das

atividades propostas, na construção do conhecimento.

Os bloqueios na construção dos conceitos da matemática por muitos alunos,

somatizam-se com os sentimentos negativos desenvolvidos pelos mesmos e trazem

consigo um sentimento ainda maior, o fracasso. Como a matemática se apresenta de

uma forma de difícil compreensão e pouca utilidade para muitos, isso influencia

diretamente na aprendizagem. Segundo Vitti (1999, p. 19):

O fracasso do ensino de matemática e as dificuldades que os alunos apresentam em relação a essa disciplina não é um fato novo, pois vários educadores já elencaram elementos que contribuem para que o ensino da matemática seja assinalado mais por fracassos do que por sucessos.

Em entrevista cedida a Arbex (2009), Charlot comenta que o “fracasso escolar”

dos alunos é algo que não existe, mas o que existem sim são alunos que se encontram

em situações de fracasso escolar, porém, não se pode atribuir esse fracasso meramente

ao professor ou a modalidade de ensino dentro da Escola Pública, onde a ferramenta

disponível em muitas Unidades Escolares é somente lousa e giz, pois o problema envolve

outras dimensões. Apropriando-se da fala de Bernard Charlot pode-se concluir que não

existe fracasso do ensino da matemática, mas o que existe são alunos que se encontram

em situações de fracasso em relação à matemática. Vale salientar que muitas das

dificuldades dos alunos, estão na falta de compreensão textual e como a matemática tem

uma linguagem própria, além do mais, para se compreender um conceito, muitas vezes

se depende de outro conceito que se não foi devidamente compreendido, não será

possível compreender um novo conceito, com isso aumenta a dimensão do problema.

Para Lima e Borges (2008, p. 378):

Uma das maiores dificuldades enfrentadas no aprendizado de matemática consiste em compreender a linguagem ou a simbologia utilizada nessa área de conhecimento. Ler e interpretar, não apenas problemas, mas também situações representadas por meio de símbolos, gráficos, equações, expressões numéricas ou algébricas. Conhecer e saber utilizar a linguagem matemática torna-se um desafio para os estudantes e professores. A fim de reverter essa visão que muitos alunos têm em relação à matemática, propõe-se a utilização de métodos didáticos que

40

desenvolvam habilidades de leitura e escrita da linguagem matemática, tendo em vista que a capacidade de ler, escrever e comentar demonstra a compreensão do sujeito acerca de determinado assunto.

As capacidades de leitura e escrita são fundamentais para a compreensão dos

conteúdos abordados e se articula intimamente com a comunicação correta e bem

sucedida dos conceitos ou ideias abordadas. Fica claro que para Lima e Borges a

problemática em relação ao aprendizado de muitos educandos está relacionada,

segundo Duval, aos Registros de Representação Semiótica.

Podemos ter um vislumbre da dimensão dessa problemática quando olhamos para

as avaliações nacionais, tais como as avaliações do ENEM dos últimos anos. O ENEM

que foi criado em 1998 em seu primeiro padrão e contava com 63 questões

interdisciplinares, cujos conteúdos cobrados, nem sempre estavam relacionados com os

conteúdos ministrados no Ensino Médio. Além disso, nos moldes do qual as avaliações

eram formuladas, não era possível fazer traçar um perfil comparando as notas e o

desempenho dos alunos.

A partir de 2009, mudanças ocorreram no ENEM, tais como as provas atuais

constam de 45 questões para cada grupo de provas que privilegia as quatro áreas do

conhecimento: linguagens, códigos e suas tecnologias (incluindo redação); ciências

humanas e suas tecnologias; ciências da natureza e suas tecnologias e matemática e

suas tecnologias. Segundo o INEP, “com o novo ENEM, o MEC busca reformular o

currículo do ensino médio e mudar o acúmulo excessivo de conteúdos, hoje cobrado nos

vestibulares”. (BRASIL, 2009)

A partir dessas mudanças ocorridas no novo ENEM, verificamos uma grande

cobrança nos conteúdos do Ensino Médio: Funções (tabelas e gráficos), Geometria,

Escala, Razão e Proporção. De acordo com dados divulgados no site da Revista VEJA

Online, (06/05/12 – ENEM e Vestibulares) observa-se a informação comparativa para

esses conteúdos, conforme quadro 1. Em 2009, de acordo com o INEP, 57,7% dos alunos

inscritos para a realização do ENEM, não atingiram a nota média (500) em matemática e

somente 0,7% atingiram nota maior que 800.

41

Quadro 1: Conteúdos mais relevantes abordados no ENEM

Fonte: Revista Veja, 03 Mar.2014

Uma comparação entre os resultados do biênio 2011 e 2012, foi também divulgado

no site da g1.globo.com online (28/12/2012 – Educação/ENEM 2012), com base na fonte

do INEP, onde se destaca no quadro uma queda acentuada na nota mínima obtida na

matemática e suas tecnologias, caindo de 321,6 em 2011 para 277,2 em 2012. (Veja

quadro 2 abaixo).

Quadro 2: Escala de notas do ENEM 2012

Fonte: Portal do Inep – Questões são Calculadas pela TRI, 22 Nov.2014

42

De acordo com o site do INEP (17/01/2012), “para alunos convencionais que

entregaram a prova em branco, as menores notas são: 304,2 (inglês) ou 301,2 (espanhol)

em linguagens; 321,6 em matemática, 252,9 em ciências humanas e 269,0 em ciências

da natureza”.

No início desse ano (2014), novas informações vieram à tona, com a divulgação

das notas do ENEM de 2013, onde ocorreu um leve aumento nas notas, em relação ao

ano anterior. Pode-se confirmar a informação no quadro 3 abaixo, conforme informações

divulgadas pelo G1.globo.com.online (22/01/2014 – Educação/ENEM/2013)

Quadro 3: Escalas de notas do Enem - biênio 2012/2013

EVOLUÇÃO DAS NOTAS MÁXIMAS E MÍNIMAS DO ENEM

ENEM 2012 ENEM 2013

MÍNIMA MÁXIMA MÍNIMA MÁXIMA

Ciências humanas 295,6 874,9 299,5 888,7

Ciências da natureza 303,1 864,9 311,5 901,3

Linguagens 295,2 817,9 261,3 813,3

Matemática 277,2 955,2 322,4 971,5

Redação* 0 1.000 0 1.000

Fonte: Inep/MEC

*A redação não usa a metodologia TRI: a nota final é composta de cinco notas de 0 a 200 pontos, definidas em

intervalos de 40 pontos de acordo com o domínio das cinco competências avaliadas pelo Enem

Fonte: G1 Globo Educação, 11 Mar.2014

Segundo a Revista Veja Online (17/01/14, INEP divulga notas máxima e mínima

do Enem 2013) “em matemática e suas tecnologias a nota máxima foi de 971,5. Nesta

área, o menor desempenho foi de 322,4 pontos. Ciências da Natureza registrou a nota

máxima de 901,3 e a menor foi de 311,5. Já em Ciências Humanas, o desempenho

máximo chegou a 888,7 e o mínimo ficou em 299,5. A prova de Linguagens e Códigos

teve como nota mais alta 813,3 pontos e a menor pontuação ficou em 261,3”.

Quando se analisa os resultados da Prova Brasil dos últimos anos, disponível no

Portal Brasil, nota-se que de 1995 até 2005 houve uma diminuição do conhecimento

matemático, variando do nível de proficiência 280 em 1995 para 270 em 2005 (nível Brasil

– Escolas Urbanas). O decréscimo é ainda maior quando tomamos em comparação o

nível de proficiência do Estado de São Paulo de 1995 para 2005, caindo de 290 para 272.

43

Em 2011 o nível de proficiência atingiu 273 no Brasil contra 283 no Estado de São Paulo,

de acordo com as fontes do INEP. O que se observa é que os alunos na sua grande

maioria possuem um nível de conhecimento e amadurecimento conceitual, muito abaixo

do esperado.

O Jornal O Estado de São Paulo, divulgou no dia 29/11/2014, novas informações

sobre os resultados da Prova Brasil realizada em 2013, cujos resultados são ainda piores

quando comparado com os resultados de 2011, conforme quadro divulgado nesse jornal:

Quadro 4: Prova Brasil - comparativo 2011/2013

Fonte: Folha Uol Educação, 29 Nov.2014

44

O reflexo desses resultados já se tem sido sentido tanto nas salas de aulas do

ensino médio, bem como do ensino superior, onde os alunos chegam sem dominar

conteúdos básicos como produtos notáveis ou potenciação, por exemplo.

Diante desse quadro, não há como fechar os olhos e acreditar que tudo por si só

irá se resolver. É preciso que o educador atualize suas práticas pedagógicas,

aprimorando seus conhecimentos e técnicas metodológicas para atingir seus objetivos

profissionais, o de ensinar.

Por outro lado, ao observarmos as avaliações do ENEM dos últimos anos (a partir

de 2009, visto a mudança ocorrida), onde verificamos uma grande cobrança nos

conteúdos do Ensino Médio: Funções (tabelas e gráficos), Geometria, Escala, Razão e

Proporção, em total detrimento aos números complexos, que foi totalmente descartado,

como se as funções polinomiais produzissem todas elas, soluções restritas ao campo dos

números reais. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - PCNEM

(BRASIL, 2000), é mencionado o estudo da álgebra, trigonometria, da geometria, porém

não faz qualquer menção sobre o conteúdo dos números complexos.

2.5 - Objetivo Central da Pesquisa

Esta pesquisa tem como objetivo tratar dos números complexos articulando com

a sua representação geométrica, ou seja, a partir da expressão algébrica e/ou sua

representação como par ordenado, obter a representação gráfica e vice versa, além de

poder obter sua representação trigonométrica também e vice versa. A ideia principal é

geometrizar o conteúdo, de forma que se torne visual ao aluno e com a utilização do

software dinâmico, tornar o estudo mais interessante e motivador. A elaboração das

tarefas investigatórias deverá levar ao discente a abrir sua visão sobre as diferentes

representações semióticas. Esclarecemos ao leitor que este trabalho não se pautou na

criação de uma sequência didática, mas sim na utilização do software Geogebra

articulado com o caderno do aluno (SÃO PAULO, 2014)

Esperamos com essa pesquisa, a partir dos pressupostos das situações

vivenciadas na pesquisa e das conclusões obtidas, confirmar que com a contextualização

geométrica, articulada com software Geogebra, proporcione não somente um foco

45

motivador ao estudo, tornando-o mais fácil de ser estudado, bem como a valorização

desse conteúdo.

O objetivo geral da pesquisa tem implícito algumas especificidades, as quais

entendemos como objetivos secundários. Tais objetivos envolvem as competências e

habilidades que desejamos desenvolver nos alunos, baseada no Currículo do Estado de

São Paulo (SÃO PAULO, 2010) e no PCNEM (BRASIL, 2000, p.46):

Formular hipóteses e prever resultados, ler, interpretar e utilizar representações matemáticas; Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa; Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na linguagem matemática, usando a terminologia correta; Produzir textos matemáticos adequados; Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção e de comunicação; Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc); Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema; Formular hipóteses e prever resultados; Selecionar estratégias de resolução de problemas; Interpretar e criticar resultados numa situação concreta; Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos. Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho. Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades.

46

3 - PERCURSO TEÓRICO DA INVESTIGAÇÃO

3.1 – Números Complexos via Registros de Representações Semióticas

A matemática é permeada pela multiplicidade de representações, seja pela escrita

na língua natural, linguagem algébrica, gráfico, entre outras. As representações de

natureza semiótica permitem o acesso ao objeto matemático que, na sua essência é

abstrato. Este fato é um marco da teoria dos registros de representação semiótica de

Raymond Duval.

A natureza semiótica deve-se ao fato de que a aprendizagem frente aos objetos

matemáticos ocorre na forma conceptual. Neste sentido, Duval (2003, 2009, 2012) estuda

o funcionamento cognitivo do aluno na realização de tarefas matemáticas e seus

possíveis problemas de aprendizagem.

Para Duval (2009), a distinção entre objeto e representação é fundamental para a

compreensão matemática. O alerta para que não haja confusão na relação objeto –

representação deve-se ao fato de que diversas representações podem estar associadas

ao mesmo objeto matemático.

No caso do nosso objeto matemático número complexo, podemos representá-lo a

partir do registro algébrico (z = a+bi, com “a” e “b” elementos reais), registro na forma

trigonométrica, representação gráfica, entre outras.

A possibilidade de se representar um determinado objeto matemático através de

pelo menos dois destes registros de representação, torna mais viável a compreensão em

matemática, ou mesmo a capacidade de trocar a todo instante de registro de

representação. Há dois tipos de transformações dos registros semióticos: os tratamentos

e as conversões.

Com relação à transformação de tratamento, Duval (2009, p.56) afirma:

Um tratamento é a transformação de uma representação obtida como dado inicial em uma representação, considerada como terminal em relação a uma questão, a um problema ou uma necessidade, os quais fornecem o critério de parada na série de transformações efetuadas. Um tratamento é uma transformação

47

de representação interna a um registro de representação ou a um sistema.

Em outras palavras, quando se faz operações algébricas envolvendo os números

complexos estamos realizando uma transformação de tratamento, devido ao fato de que

o resultado da operação também é um número complexo (propriedade do fechamento).

Um exemplo disso pode ser observado na figura 10:

Figura 10: Resposta de aluno do 3° ano do ensino médio


Já com relação à transformação por conversão, Duval (2009, p. 58) explica que:

Converter é transformar a representação de um objeto, de uma situação ou de uma informação dada num registro em uma representação desse mesmo objeto, dessa mesma situação ou da mesma informação num outro registro. As operações que designamos habitualmente pelos termos “tradução”, “ilustração”, “transposição”, “interpretação”,” codificação”, etc., são operações que a uma representação de registro dado, fazem corresponder uma outra representação num registro. A conversão é uma transformação externa em relação ao registro da representação de partida.

Ao correspondermos o registro gráfico do número complexo com suas respectivas

relações trigonométricas estamos mobilizando diferentes formas de registro (conversão)

para um mesmo objeto, dentro de um único sistema semiótico:

48

Duval ainda explica que é necessário saber distinguir entre o “sentido e a

referência dos signos, ou entre o conteúdo de uma representação e aquilo que ela

representa”. (2009, p.59). Para o autor, se o aluno não conseguir perceber essa

diferença, a transformação por meio da conversão, se torna impossível ou

incompreensível. Um exemplo claro disso que vivenciamos em nossa pesquisa, pode ser

observado no protocolo a seguir:

Figura 11: Resposta de aluno do 3° ano do ensino médio


senzbz

bsen

coscos zaz

a

49

No conteúdo desta figura, observamos que o aluno não desenvolveu a

transformação da conversão do número complexo para sua forma geométrica.

O que se percebe é que o aluno em questão apresenta outras dificuldades que

vão além da simples dificuldade de transitar pelas representações semióticas. É visível

que esse aluno não consegue nem mesmo operar adequadamente com outros conteúdos

da matemática, pois é evidente que ele não possui “alfabetização matemática”. De acordo

com Duval (2012, p.307):

Isto fez surgir a urgência de uma questão que, até este momento, não existia nesta escala demográfica e sob a pressão cultural de uma “alfabetização matemática”: porque a matemática provoca dificuldades de aprendizado que não são encontradas em outras disciplinas e por que estas dificuldades se mostram insuperáveis para muitos alunos? Esta questão das dificuldades específicas no aprendizado da matemática constitui, evidentemente, o maior desafio do professor. Ela se encontra em todos os níveis do currículo. Respondê-la é o maior objetivo das pesquisas sobre o ensino, uma vez que ela se relaciona com a compreensão e com a capacidade de utilização da matemática pelos alunos.

Um outro aspecto também importante que deve ser observado em relação a certos

tipos de dificuldade apresentadas por alunos em transitar pelos registros semióticos, não

impede que ocorra certa compreensão. Duval (2012, p. 283) afirma que:

Naturalmente, a ausência de coordenação não impede toda compreensão. Mas esta compreensão, limitada ao contexto semiótico de um registro apenas, não favorece em nada as transferências e as aprendizagens ulteriores: torna os conhecimentos adquiridos pouco ou não utilizáveis em outras situações aonde deveriam realmente ser utilizados. Em definitivo, esta compreensão mono registro conduz a um trabalho às cegas, sem possibilidade de controle do “sentido” daquilo que é feito.

Segundo Duval (2012, p. 283), “quando há congruência entre a representação de

partida e a representação de chegada, a conversão é trivial e poderia quase ser

considerada, intuitivamente, como um simples código”. Neste último protocolo, esperava-

se que o aluno não apresentasse dificuldade na conversão do registro algébrico para o

geométrico, devido ao fenômeno da congruência.

50

No próximo protocolo (figura 12), outro aluno (3ª série do Ensino Médio), não teve

dificuldade em realizar parte da tarefa proposta:

Figura 12: Resposta de aluno 3° ano do ensino médio


O que se percebe, que no caso de haver a congruência, a conversão da representação

do número complexo na forma algébrica para a sua forma vetorial (par ordenado) e este

por sua vez, para a forma geométrica (ou gráfica) ocorre de forma natural. Percebe-se

que neste o caso acima, o aluno fez a representação do vetor no sistema Argand Gauss,

ou seja, ele tem a percepção da conversão, porém não completa a conversão.

51

Quadro 5: Esquema Semiótico


No caso dessa tarefa proposta, mesmo que solicitássemos que o aluno

trabalhasse com o processo inverso, ou seja, a partir do gráfico para a representação na

forma algébrica do número complexo, devido haver congruência na conversão, o

processo seria trivial.

No entanto, nem sempre o processo da conversão é congruente. De acordo com

Duval (2012, p. 284) “quando não há congruência, não somente a conversão torna-se

custosa em termos de tempo de tratamento, mas pode criar um problema diante do qual

o sujeito se sente desarmado e a possibilidade de conversão não vem mais à mente”.

Isso ficou muito evidente na aplicação da pesquisa. Observamos que a conversão

da língua natural nas tarefas propostas, para a linguagem computacional (Geogebra),

aconteceu de forma tranquila, pois havia congruência no fenômeno de conversão, porém

o mesmo não ocorreu no inverso da situação. A conversão da linguagem computacional

para a língua natural não é congruente.

Foi solicitado aos alunos que após validar as operações no Geogebra, os mesmos

explicassem quais eram as conclusões que eles chegaram sobre cada situação proposta.

A grande maioria teve dificuldade de informar de forma correta, dentro da linguagem culta

da matemática, quais foram suas percepções e conclusões. Apresentamos dois

52

protocolos (figuras 13 e 14), nos quais uma mesma aluna opera corretamente no

Geogebra, porém, comete erros ao converter o registro geométrico para o registro na

língua natural e/ou algébrico:

Figura 13: Atividade da aluna G – Geogebra


Figura 14 A: Atividade da aluna G - escrita


53

Fazendo uma ampliação na resposta da aluna, para que possa ser melhor

visualizado temos:

Figura 14 B: Atividade aluna G - escrita


Observamos que a aluna tenta informar que a adição do ângulo do número

complexo z1 com o número complexo z2, corresponde ao ângulo do número complexo z3.

No caso do módulo do número complexo z3, corresponde a operação de multiplicação

entre os módulos dos números complexos z1 e z2. É evidente que ela não consegue fazer

a conversão da forma gráfica computacional (Geogebra), para a forma da língua natural,

onde envolve signos matemáticos. Tal conversão não é congruente.

Segundo Duval (2009), quando se observa os problemas inerentes da matemática

em relação ao aprendizado é notório que um entrave na vida de muitos estudantes está

na diversidade de representações semióticas e principalmente quando advindos dos

fenômenos de não-congruência como resultado de conversão das representações. Este

ainda conclui que: “Não é possível estudar os fenômenos relativos ao conhecimento sem

se recorrer à noção de representação”. Duval (2009, p.29). Em outras palavras, as

representações semióticas são a própria essência da matemática, tudo na matemática

são representações semióticas. Nenhuma ciência tem tamanha afinidade com a

semiótica, como a matemática.

Devido essa diversidade de representação semiótica de um número complexo, é

preciso saber coordenar essas diferenças, pois isso é condição necessária para a

compreensão do que se está buscando aprender. De acordo com Duval (2009, p.82),

54

é preciso que um sujeito seja capaz de atingir o estado da coordenação de representações semioticamente heterogêneas, para que ele possa discriminar o representante e o representado, ou a representação e o conteúdo conceitual que essa representação exprime, instancia ou ilustra.

É certo que alguns registros possuem um tratamento mais simples do que outros,

porém se não forem plenamente compreendidos, perdem seus sentidos. Ao se trabalhar

com os números complexos, não se pode limitar a operar com registros cujas

transformações se limitem ao do tratamento ou das conversões mais simples, pois o

estudo perderia o sentido, além de criar a visão de que o estudo dos números complexos

é algo inútil, pois não existe aplicação.

Para Duval (2012, p. 270),

No entanto, é essencial, na atividade matemática, poder mobilizar muitos registros de representação semiótica (figuras, gráficos, escrituras simbólicas, língua natural, etc...) no decorrer de um mesmo passo, poder escolher um registro no lugar de outro. E, independentemente de toda comodidade de tratamento, o recurso a muitos registros parece mesmo uma condição necessária para que os objetos matemáticos não sejam confundidos com suas representações e que possam também ser reconhecidos em cada uma de suas representações. A coordenação de muitos registros de representação semiótica aparece, fundamentalmente, para uma apreensão conceitual de objetos: é preciso que o objeto não seja confundido com suas representações e que seja reconhecido em cada uma de suas representações possíveis. É nestas duas condições que uma representação funciona verdadeiramente como representação, quer dizer, ela dá acesso ao objeto representado.

O que se espera dos estudantes ao final do Ensino Médio, que ao longo de seus

onze anos de estudo, estes tenham adquirido competências e habilidades para articular

com as diferentes representações semióticas dentro de suas especificidades, ou seja, a

diversidade de registros na forma algébrica, linguagem natural, gráficos, entre outros,

bem como mobilizar as transformações necessárias entre os registros.

No próximo item vamos dedicar a análise do que é proposto, em termos de

aprendizagem dos números complexos nos documentos curriculares vigentes, assim

como as potencialidades e limitações do Geogebra no estudo deste conteúdo.

55

3.2 – O Tratamento dos Números Complexos via Documentos

Curriculares e a Utilização do Software Geogebra como Recurso

Didático

Um grande avanço para a matemática surgiu quando René de Descartes, propôs

o seu trabalho que ganhou destaque ao sugerir a articulação da álgebra com a geometria,

através da representação gráfica, o que permitiu não só o desenvolvimento da geometria

analítica, o sistema de coordenadas, mas abriu espaço para uma melhor compreensão e

visualização através da representação geométrica, os números complexos.

Sabemos que a história dos números complexos aconteceu ao longo de muitas

décadas, sendo que a referência mais antiga que se tem conhecimento em relação às

raízes de números negativos, pode ter ocorrido no século I d.C., em um trabalho do

matemático grego e também inventor Heron de Alexandria. Porém a utilização dos

números complexos se tornou mais evidente, a partir do século XVI, em fórmulas para

resolução de funções do terceiro e quarto grau, descobertas por Nicolo Tartaglia e

Gerolamo Cardano, mas foi a partir de René de Descartes (século XVII), que ele passa

a ser legitimado através de sua representação e interpretação geométrica.

As primeiras soluções de funções cúbicas foram encontradas por Tartaglia e

Scipione Del Ferro. Já Moivre e Euler, estabeleceram as estruturas algébricas dos

números complexos, no século XVIII, o que permitiu a Gauss, nesse mesmo século,

apresentar o Teorema Fundamental da Álgebra, mostrando que o Conjunto dos Números

Complexos é um corpo fechado.

De acordo com o PCNEM (BRASIL, 2000, p. 54), a contextualização histórica do

desenvolvimento das Ciências e da Matemática, mostra-se relevante, uma vez que

permite ao estudante a percepção da existência de uma evolução dos conceitos a serem

aprendidos, no entanto, quando nos voltamos para o caderno do aluno (SÃO PAULO,

2014), vê-se de forma clara que há uma tentativa na construção de alguns conceitos

dentro da evolução histórica dos fatos, porém, sem trazer tais informações aos alunos.

Observa-se ainda que muitos conceitos importantes são suprimidos.

Um dos pontos fundamentais no estudo dos polinômios está justamente na

redução de um polinômio de grau n, em um produto de n equações de grau 1, onde o

56

termo independente de cada equação representa o elemento oposto da raiz. Tal estudo

é conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra. Não é nosso intuito aqui, fazer as

demonstrações de teoremas, mas para que fique bem compreendido o que estamos

querendo dizer, vamos de forma simples demonstrar.

Sendo P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x +a0 = 0. Pelo Teorema Fundamental

da Álgebra, existe um número r1 de maneira que P(r1) = 0. Logo podemos representar o

polinômio da seguinte forma: P(x) = (x – r1). Q1(x) = 0. (I)

Assim, podemos concluir que x – r1 = 0 ou Q1(x) = 0.

Mas sendo n > 1, então Q1(x) não é polinômio constante e portanto ele admite uma

raiz r2, de forma que: Q1(x) = (x – r2).Q2(x) (II)

Logo, substituindo (II) em (I) temos: P(x) = (x – r1).(x – r2).Q2(x) = 0

Assim procedendo, podemos escrever:

P(x) = (x – r1).(x – r2).(x – r3). ... .(x – rn). Qn , onde r1, r2, ...., rn são raízes do

polinômio P(x) e sendo Qn uma constante e an o coeficiente de xn, concluímos pela

identidade de polinômios que Qn = an.

Portanto, podemos afirmar que:

P(x) = an.(x – r1).(x – r2).(x – r3). ... . (x – rn)

Salientamos no entanto, que inúmeras funções polinomiais de grau n admitem

raízes complexas, ou seja, o enunciando mais conhecido do Teorema Fundamental da

Álgebra diz:

“Todo polinômio não constante, de grau n, com coeficientes complexos, tem n

raízes complexas”. Ou, uma outra maneira comum de encontrarmos esse enunciado é:

“Todo polinômio não constante, de grau n, com coeficientes complexos, tem pelo

menos uma raiz complexa”.

É fato conhecido também que se um número complexo é raiz de um polinômio de

grau n, então o seu conjugado também é raiz do polinômio. Esse fato é demonstrável,

porém não o faremos aqui, já que esse não é o nosso propósito.

Ressaltamos com base nas informações acima sobre o estudo dos números

complexos também para a obtenção de raízes polinomiais, onde é necessário o aluno

conhecer sobre o conjugado de um complexo. Nesse ponto no entanto, afirmamos que o

caderno do aluno (SÃO PAULO, 2014), tanto em relação ao estudo dos polinômios,

57

quanto ao estudo dos números complexos, deixa a desejar uma vez que não apresenta

o Teorema Fundamental da Álgebra, consequentemente não há o porquê estudar sobre

o conjugado de um complexo, que por sua vez também descarta o processo divisório de

números complexos.

Com a utilização do software Geogebra pode-se fazer a articulação algébrica e

geométrica do número complexo de forma mais lúdica, permitindo ao estudante a

compreensão de conceitos que muitas vezes são apresentados de forma abstrata e em

muitos livros didáticos, de uma forma desconexa em relação a outros conteúdos

matemáticos, o que torna este conteúdo sem sentido.

Uma correta compreensão e construção desse conhecimento permitem ao

educando articular de forma contextualizada e interdisciplinar esse conteúdo, observando

que álgebra e geometria estão intrinsecamente ligadas à estrutura dos números

complexos, ou seja, não se consegue compreender a grandiosidade dos números

complexos, se não houver essa articulação. Ao se trabalhar com os números complexos

pode-se ver uma clara articulação desses com a geometria analítica, ou seja, a estrutura

desses dois estudos acaba por se fundir naturalmente, porém isso não é abordado nos

livros didáticos, nem no Currículo do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2010), assim

como nos documentos curriculares de âmbito nacional.

Deve-se observar que o estudo dos números complexos é muito similar ao estudo

de uma parte da geometria analítica, visto que o número complexo possui uma forma

algébrica de representação, bem como uma forma geométrica, assim o conhecimento da

função linear e sua forma representativa gráfica articulada à geometria analítica, bem

como à trigonometria são utilizados como requisitos necessários para construção de

conceitos dos números complexos. Dessa forma, um tratamento similar ao utilizado no

estudo da geometria analítica, torna o conteúdo mais significativo, de fácil compreensão,

além de articular a álgebra com a geometria. Nas Orientações Curriculares do Ensino

Médio - OCEM destaca que:

O trabalho com a geometria analítica permite a articulação entre geometria e álgebra. Para que essa articulação seja significativa para o aluno, o professor deve trabalhar as duas vias: o entendimento de figuras geométricas via equações, e o

58

entendimento de equações, via figuras geométricas. (BRASIL, 2006, p. 77).

Neste trabalho do professor na transição entre figuras geométricas e equações há

a valorização da aprendizagem via conversão de registros distintos de representação

semiótica. O mesmo ocorre quando olharmos para os Parâmetros Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio - PCNEM:

[...] o conceito de função desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática. (Grifo nosso). (BRASIL, 2000, p.43)

Esse ajuste mencionado, como se vê acima, é necessário para a compreensão, a

construção e a interpretação de um número complexo.

Ao analisarmos o PCNEM (BRASIL, 2000), nos deparamos com algumas

informações contraditórias, pois de um lado fala da importância entre a conexão dos

conteúdos abordados dentro de uma contextualização e interdisciplinaridade, fazendo

referências claras de que o estudo das funções algébrica e trigonométricas com suas

representações gráficas, o estudo das sequências e progressões, que são funções,

porém representadas de uma forma diferenciada, o estudo da geometria analítica por se

tratar de um estudo que articula as funções com a geometria e também o estudo dos

polinômios, ou seja, procura-se justificar a importância desses estudos, mostrando que

eles se articulam. Por outro lado, não se menciona o estudo dos números complexos, o

que deixa claro que o mesmo deve ser esquecido ou descartado, como se ele fosse

totalmente descontextualizado em relação aos demais conteúdos da matemática,

conforme lemos no próprio PCNEM:

59

Também por isso, o currículo a ser elaborado deve corresponder a uma boa seleção, deve contemplar aspectos dos conteúdos e práticas que precisam ser enfatizados. Outros aspectos merecem menor ênfase e devem mesmo ser abandonados por parte dos organizadores de currículos e professores. (Grifo nosso) (BRASIL, 2000, p. 43).

Isso nos parece muito contraditório, pois para uma compreensão da estrutura dos

números complexos, é necessário que o aluno perceba que ele tem uma forma algébrica

representativa. Que esta pode ser convertida em sua forma geométrica, através da

representação vetorial. Esta por sua vez, permite uma conversão na forma trigonométrica

de representação, portanto, o estudo dos números complexos vem de encontro com o

que é proposto pelo PCNEM (BRASIL, 2000), quando esse faz referências de que o

estudo dos conteúdos da matemática deve privilegiar a articulação entre si e de que a

articulação algébrica e a geométrica devem sempre estar presentes. Nesse aspecto, não

é possível desvincular a forma geométrica e a forma algébrica, no estudo dos números

complexos Muitos alunos que hoje ingressam nos cursos de engenharia e

tecnológicos, trazem consigo a desinformação parcial ou total em relação ao conjunto

dos números complexos, visto que devido ao PCNEM (BRASIL, 2000), os mesmos foram

deixados de lado em muitas escolas brasileiras, por se tratar de um assunto

descontextualizado da matemática, ou supérfluo. Segundo o PCN+:

Tradicionalmente, a Matemática do ensino médio trata da ampliação do conjunto numérico, introduzindo os números complexos. Como esse tema isolado da resolução de equações perde seu sentido para os que não continuarão seus estudos na área, ele pode ser tratado na parte flexível do currículo das escolas. (BRASIL, 2002, p. 122).

Estamos diante de uma contradição, pois nos PCNEM “o currículo do Ensino

Médio deve garantir aos alunos condições de estes aprofundarem seus conhecimentos,

bem como capacidade de articular com as informações interdisciplinares, como entre a

matemática e a física” (BRASIL, 2000,p.43). Um dos campos de maiores articulações

entre as duas disciplinas está nos conceitos dos vetores, capazes de explicar fenômenos

físicos em relação aos movimentos dos corpos, onde as operações vetoriais podem ser

60

facilmente compreendidas através do estudo dos números complexos, com suas

operações, já que estes representam os vetores.

Esclarecemos que o comportamento do conjunto C é identicamente ao

comportamento do conjunto R2. Dessa forma, podemos tratar a função CCf : , como

sendo uma função do tipo 22: RRf . O que esclarecemos no entanto é que as funções

complexas são de quarta dimensão, sendo impossível visualizá-la, uma vez que somente

conseguimos enxergar até três dimensões. Uma das grandes vantagens de se utilizar o

conjunto C em relação ao conjunto R2, está na operação de multiplicação que em C que

além de ser fácil visualizar geometricamente a rotação (movimento), ao se operar com

dois números complexos quaisquer e que também facilmente operável quando os

números complexos estão representados em sua forma trigonométrica. Já no R2, como

o ângulo é o que se encontra entre os dois vetores escolhidos, tem-se a limitação do

ângulo variando até 180°, ou seja, 1800 . Dessa forma, o trabalho em C pode ser

generalizado.

De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, “os números

complexos devem ser apresentados como uma histórica necessidade de ampliação do

conjunto de soluções de uma equação, tomando-se, para isto, uma equação bem

simples, x² + 1 = 0”. (BRASIL, 2006, p. 71).

Neste documento curricular presenciamos uma visão estreita de que os números

complexos devem ser vistos como uma mera ampliação do conjunto de soluções de

expressões polinomiais, além de outra contradição quando voltamos o olhar para os

PCNEM que se posiciona “como sendo importante articular os fatos históricos com o

conteúdo abordado”. (BRASIL, 2000, p.43)

Em termos de educação do Estado de São Paulo destacamos consolidação do

novo Currículo (CESP) com base nas leis de Diretrizes e Bases Nacionais e na adoção

de competências e habilidades contidas na matriz de avaliação do Exame Nacional do

Ensino Médio (ENEM). Os conteúdos da Matemática foram organizados em três grandes

temas que se inter-relacionam, a saber: Números, Geometria e Relações. Ao depararmos

com os conteúdos elencados e habilidades que devem ser contempladas em relação aos

Números Complexos, na 3ª série do Ensino Médio, percebemos que o foco está na

contextualização geométrica deste número, ou seja, segundo o CESP (SÃO PAULO,

61

2010, p. 69), no 2° bimestre do Ensino Médio temos o tópico do conteúdo a ser trabalhado

“números complexos: operações e representação geométrica”. Para as habilidades

referente a este tópico, foram elencadas duas, a saber: “saber expressar o significado

dos números complexos por meio do plano Argand-Gauss” e “compreender o

significado geométrico das operações com números complexos, associando-as a

transformações no plano”. (Grifo nosso).

Fica evidente pelo próprio CESP (SÃO PAULO, 2010) que há uma

contextualização geométrica no estudo envolvendo os números complexos e que não há

como desvincular a forma algébrica de sua forma geométrica, pois o número perderia

totalmente seu significado.

Vale ressaltar também que uma contextualização histórica dos números

complexos, ou seja, dar ao discente a oportunidade de entender a necessidade do

surgimento desses números; está respaldado na necessidade humana de busca por

soluções e respostas de problemas.

No volume 1 do Caderno do Aluno da 3ª série do Ensino Médio (SÃO PAULO,

2014), material complementar ao CESP, observamos que a contextualização histórica é

pobre. O material apresenta o número i (imaginário) a partir do seu significado rotacional

no plano. Em seguida apresenta o número na sua forma algébrica z =a + bi e elenca

alguns números complexos para se realizar as operações (adição, subtração,

multiplicação e potenciação). O que se tem a criticar é que em momento algum,

apresenta-se o número como um par ordenado, e a importância de observar Regra do

Paralelogramo na operação de adição/subtração, além das operações de potenciação e

radiciação pela forma polar.

O que chama muito a atenção também é que a operação de divisão e a

representação do conjugado de um complexo, não são apresentadas. Já comentamos

anteriormente que uma grande necessidade na apresentação do conjugado de um

número, está em compreender o Teorema Fundamental da Álgebra, onde se uma das

raízes de um polinômio é complexa, então seu conjugado também é raiz. Como o caderno

do aluno (SÃO PAULO, 2014), não apresenta aos alunos esse teorema, também não vê

a necessidade de apresentar o conjugado de um número complexo.

62

Com relação à potência de um conjugado, deve-se salientar que se o expoente é

maior que 2, a operação não é tão simples assim e requer que primeiramente o aluno

aprenda sobre o módulo, forma trigonométrica, para a partir disso operar a potenciação

e a radiciação. Aliás, as operações de potenciação e radiciação pela forma trigonométrica

nem são mencionadas. Trabalha-se com o módulo e a conversão do registro algébrico

para o trigonométrico, e vice versa, articulando estas conversões com o Plano Argand

Gauss. Termina-se o conteúdo com alguns exercícios geométricos, porém sem levar ao

aluno a refletir no seu significado em relação às aplicações.

Há ainda que se observar que o referido Caderno do Aluno deu alguma

importância à contextualização geométrica ao estudo, o que é um fator bastante positivo

quando comparado com muitos materiais didáticos que exploram as operações

algébricas. Observa-se nos exercícios finais do referido conteúdo algumas regiões

geométricas desenhadas no plano Argand-Gauss e pede-se ao aluno mostrar a região

transformada pela operação indicada, para os casos listados.

Ao se trabalhar com os números complexos, é claro que o aluno deve aprender a

dominar, sua forma algébrica de representação, operando de forma algébrica e

articulando sua representação na forma de par ordenado, na forma geométrica (através

do Plano Argand Gauss – como vetor), bem como na sua forma trigonométrica, fazendo

as transformações de tratamento e conversões semióticas.

Logicamente o tratamento geométrico em relação aos Números Complexos é

fundamental para uma perfeita compreensão do número. No entanto, o que se observa

nas habilidades elencadas no CESP que apesar de haver um espaço amplo para a

geometrização do aprendizado deste conteúdo, porém na prática, quando visualizamos

o Caderno do aluno e o Caderno do professor (volume 1), a abordagem deixa a desejar.

O conjugado de um número complexo e sua simetria geométrica nem é mencionado,

portanto, é descartada. Apresenta-se as operações de adição, subtração e multiplicação

de forma geométrica, porém a operação de divisão, nem foi cogitada sua possibilidade e

existência. Quando se fala da geometrização das operações de adição e subtração,

deixou-se de lado a articulação destas com a Regra do Paralelogramo, ou seja, a visão

vetorial do número não existe, o que seria uma ótima oportunidade de articular o estudo

dos números complexos à Física, quando se trabalha as grandezas vetoriais e os

63

fenômenos físicos. Com isso restringe-se muito a visão do aluno quanto à possibilidade

de utilização dessa classe de números, como algo realmente útil e que faz parte do

cotidiano de suas vidas, afinal, os fenômenos físicos estão por toda parte e seus efeitos

podem se não quantificados, mas podem ser sentidos.

É bem verdade que ninguém sai por aí dizendo, por exemplo, andei 3 + 4i metros,

pois parece ilógico e irracional, afinal não existe uma fita métrica que possa quantificar

essa medida, porém quando analisamos dentro do conceito vetorial, podemos entender

que ao andar 3 + 4i metros, não somente informamos a distância efetivamente percorrida

(módulo), mas também a direção e o sentido do movimento. Logo a informação que

temos a respeito desse movimento de andar 3 + 4i metros é muito mais rica e precisa,

pois traz em si o fato de que andou: 5 metros, no sentido da esquerda para a direita, em

uma direção de aproximadamente 59° em relação á horizontal do referencial adotado.

Destacamos a importância do estudo dos números complexos, uma vez que o

mesmo promove interdisciplinaridade entre a matemática e diversos fenômenos físicos,

já que se sabe, o conjunto dos números complexos é o conjunto que representa os

vetores, tão utilizados para explicar fenômenos físicos que são nitidamente percebidos

no campo da computação gráfica e em jogos digitais que se utilizam dos quatérnions1

(que são provenientes dos números complexos, por se tratar de resultados de operações

envolvendo os números complexos) para criar os efeitos de movimentos, nos estudo dos

fractais onde esse conhecimento é necessário para análise dos movimentos dinâmicos,

o que permitem os meteorologistas fazerem previsões do tempo, bem como os

astrônomos para estudo dos movimentos dor corpos celestes, além da sua utilização no

campo da medicina, para análise de pulsos elétricos cerebrais e de batimento cardíaco,

entre outros.

No campo das engenharias, por exemplo, o conhecimento dos números

complexos é fundamental para a compreensão de fenômenos quando se articula como,

por exemplo, em materiais utilizados em construções, onde a ação dos ventos, das

águas, dos sons, dos movimentos de corpos ou até mesmo dos movimentos humanos,

tais como, pular, andar, promovem vibrações que precisam ser analisadas no sentido

1 Um quatérnion é definido como um número complexo, generalizado, na forma q = q0 + q1 *i + q2*j + q3*k = (q0, q1, q2, q3), ou ainda, q = (s, u), onde s = q0 = escalar e u = (q1, q2, q3) = vetor.

64

estrutural, visando qualidade com segurança. Como se vê, há uma vasta aplicação nesse

conhecimento, pois a descoberta dos números complexos promove uma ruptura com a

matemática tradicional e milenar, abrindo o espaço para o surgimento do que podemos

chamar de verdadeira da Matemática Moderna2, o que trouxe grande avanço nas

ciências. Portanto, tratar desse conteúdo como algo descartável, sem sentido, é algo

totalmente absurdo frente a um mundo em que os avanços tecnológicos caminham a

largos passos

O que se pretende é com a utilização do Geogebra, é o estudo dos números

complexos na sua forma visual, construindo sua abstração a partir do concreto.

Esperamos também que nossa dissertação possa contribuir no âmbito da formação inicial

de professores, pois

[...] é fundamental que os cursos de licenciatura preparem o professor para o uso das novas tecnologias. De fato, uma vez que a informática parece estar chegando realmente às salas de aulas, é preciso formar um profissional consciente e apto a fazer uso deste novo instrumento didático. Porém isto não tem sido sistematicamente objeto de estudo dos licenciados, e que implica novos professores sendo colocados no mercado de trabalho sem formação no uso das novas tecnologias educacionais. Para esses professores, assim como para tantos outros que estão trabalhando há muitos anos e que não tiveram acesso a esse tipo de formação, é necessário oferecer cursos de formação continuada para que eles se atualizem. (BITTAR, 2001, p. 77)

Se de um lado devemos ter docentes melhores preparados, com condições de

promover uma aula mais dinâmica e com utilização de novos recursos, de outro lado é

importante visualizar a importância desses recursos como diferencial da aprendizagem,

frente a um grupo de estudantes acostumados com a tecnologia.

No final da década de 80 e início da década de 90, vários estudos foram realizados

com o objetivo de questionar a abordagem sobre o estudo das funções, por exemplo, e

de seus conceitos, suas articulações com outros conteúdos da matemática, além de

mostrar que era importante utilizar as múltiplas formas de abordagem desse conteúdo.

2 Matemática Moderna aqui denominado, não se trata do movimento surgido na década de 60 (1960), mas sim, nos referimos ao fato de que o surgimento desses números abriu espaço para um grande avanço nas Ciências. Um exemplo claro disso é o desenvolvimento da Computação Gráfica.

65

Assim, acredita-se que a utilização do computador bem como mídias, como aliados na

sala de aula nas práticas inovadoras do ensino-aprendizagem permite ao educador

trabalhar as múltiplas formas representativas dos conteúdos matemáticos, articulando as

informações de uma forma rápida e concreta, permitindo ao educando a construção da

conceituação de uma forma mais rápida. Esse ganho de tempo em termos de custo

cognitivo é fundamental frente a uma situação que exige tempo e ele é escasso.

Ao olharmos o ensino da matemática por esse foco, estamos indo de encontro ao

que está regulamentado nos Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio – PCNEM

(BRASIL, 2000), onde o eixo é a contextualização e a interdisciplinaridade. Mais

especificamente, o potencial de um tema permite conexões entre diversos conceitos

matemáticos, além de outras áreas do conhecimento e entre diferentes formas de

pensamento matemático, ou, ainda, a relevância do tema, que vem sendo deixado de

lado em muitas escolas, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da

Matemática, como à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência.

Pensando em como melhorar essa articulação entre os conteúdos de uma forma

mais eficaz é que surge o Geogebra, um software desenvolvido por Markus Hohenwarter

em 2001/2002, sendo parte de sua dissertação de mestrado em educação matemática e

ciência da computação, pela Universidade da Salzburg, Áustria. Tendo recebido apoio

da Academia Austríaca para desenvolvimento de seu projeto, o que levou o criador do

software ao doutoramento em Educação Matemática. Ao longo dos anos o software foi

traduzido para diversas línguas inclusive o português o que lhe rendeu também alguns

prêmios internacionais, despertando a atenção de profissionais da educação e

pesquisadores.

O software é gratuito e pode ser baixado diretamente da internet e independe de

licença para uso, já que o criador acredita na importância da gratuidade do acesso da

ferramenta, visando à qualidade da educação e do acesso a todos os cidadãos de todas

as nações, nos diferentes níveis escolares.

O Geogebra permite facilmente uma articulação entre os conteúdos da geometria

com a álgebra e pode ser utilizado em vários níveis de ensino. As ferramentas

geométricas mais comuns são: ponto, reta, ângulo, polígonos, círculos, elipses,

coordenadas, entre outras, conforme ilustração da figura 15 abaixo:

66

Figura 15: Geogebra 5.0 – Recursos de Janela

Fonte: Geogebra 5.0 – Material da Autora

O software permite ao professor utilizá-lo como ferramenta didática para o ensino,

bem como por ser manipulativo, oferecendo a oportunidade ao estudante de construir

seu conhecimento.

Uma de suas grandes vantagens é que como se pode movimentar as figuras em

várias direções, levando a comparações, isso permite validação de hipóteses. O software

também oferece recursos para trabalho com os números complexos, na sua forma

algébrica.

Nas figuras 16 e 17 abaixo, podemos observar um exemplo de soma entre dois

complexos e que quando movimentamos alterando um dos complexos, percebe-se que

é possível validar a hipótese sobre a operação. Percebe-se ainda que é possível se

estabelecer a regra do paralelogramo.

67

Figura 16: Operação de Adição no Geogebra

Fonte: Geogebra 5.0 - Material da Autora

Ao se movimentar um dos números complexos, percebemos que ele altera a figura

do paralelogramo e o vetor soma, validando a operação para qualquer número complexo.

O mesmo vale para a operação de subtração, multiplicação e divisão.

Vale ressaltar que o Geogebra é limitado para o ensino dos números complexos,

pois não conseguimos inserir em sua entrada a forma trigonométrica seniz .cos

de um número complexo. É possível também utilizar a forma de par ordenado para

representar o número, porém, devido ao fato de que o software lê o par ordenado como

vetor, isso faz com que ao se realizar a operação de multiplicação, o resultado obtido é

um produto vetorial, e não, o resultado da multiplicação de dois números complexos.

Apesar desses inconvenientes, isso não tira o mérito do uso dessa ferramenta como

facilitador no ensino dos números complexos.

68

Figura 17: Operação de Adição – Movimento do Número Complexo

Fonte: Geogebra 5.0 - Material da Autora

O software Geogebra 5.0 permite o trabalho apenas no plano bidimensional. No

entanto, já está em fase de teste o software Geogebra 3D Beta versão 5.0, que trabalha

no plano tridimensional. Uma versão 3D Alpha foi lançada em 2007. Ambos se utilizam

da plataforma Java e só é possível utilizá-los, conectado na internet, pois é uma versão

web. Um dos problemas com a utilização da versão 3 D, está nos bugs (não investigamos

sobre isso, já que não era o foco de nossa pesquisa)3. Uma interface dessa versão pode

ser visto na figura 18 abaixo.

Não testamos a versão 3 D para operações envolvendo os números complexo.

3 Disponível em: http://forum.geogebra.org/viewforum.php?f=19. Acesso em 04/12/2014

69

Figura 18: Geogebra 3D – Beta – versão 5.0

Fonte: Geogebra 3D – Material da Autora

70

3.3 - E a Produção Acadêmica: O que foi relevante para o percurso

metodológico?

Com o objetivo de situar nosso trabalho no contexto acadêmico, encontramos

junto ao banco de teses da CAPES e na relação de Teses e Dissertações editado pela

Revista Zetetiké, 16 produções acadêmicas em nível de Dissertação, no período de 1998

a 2013. Observamos um despertar para a abordagem e importância do estudo dos

Números Complexos nesses últimos anos. Somente no último ano (2013), tivemos oito

dissertações sendo defendidas em várias universidades brasileiras. Na tabela a seguir,

descrevemos a distribuição dessas dissertações por ano:

Tabela 1: Quantidade de Dissertações Defendidas sobre Números Complexos

ANO 1998 2006 2007 2008 2009 2010 2012 2013

Quant. 1 2 1 1 1 1 1 8


Temos o conhecimento de uma primeira dissertação sobre este conteúdo, que foi

defendida em 1992, porém não conseguimos ter acesso à mesma.

Uma leitura minuciosa de todos estes trabalhos permitiu elaborarmos a tabela 2,

a qual relaciona o número de publicações com o respectivo descritor comum entre os

trabalhos. Estamos concebendo descritor como sendo o(s) foco(s) da cada pesquisa.

Tabela 2: Descritores comuns das Dissertações sobre Números Complexos

Descritor Quantidade

Análise de Livros Didáticos 4

Descrição Histórica dos Números Complexos 11

Números Complexos: definições, propriedades, teoremas e demonstrações 10

Sequência Didática 8

71

Software Dinâmico Geogebra 3

Contextualização e Aplicações Diversas 5

Engenharia Didática 5

Modelagem Matemática 2

Registros de Representação Semiótica 2

Fonte: Material da autora

Posteriormente, debruçamos em cada dissertação, na sua ordem cronológica de

publicação e elaboramos cada resenha, levando em conta o conteúdo de cada capítulo

dos trabalhos em questão. Optamos por esta forma não-convencional de realizar as

resenhas, pela escassez de trabalhos envolvendo esta temática de pesquisa, bem como

pelo descaso dos documentos curriculares atuais quanto a importância da aprendizagem

dos números complexos. No entanto, o montante das resenhas gerou um material denso

em detalhes para a leitura; o que nos obrigou aloca-los no Anexo C deste trabalho.

Como conteúdo deste subtítulo limitamo-nos a descrever informações de algumas

das 16 dissertações que influenciaram diretamente o percurso metodológico desta

investigação.

O primeiro trabalho que nos impactou, foi o de Rosa (1998) e por isso, foi um

referencial muito forte em nossa pesquisa.

Inicialmente, o que nos chamou a atenção na pesquisa de Rosa (1998), foi fato de

ele propor um questionário que foi por ele aplicado junto aos estudantes do curso de

engenharia de uma universidade particular de São Paulo, do qual ele era o professor.

Dessa forma, nos apropriamos do questionário de Rosa (1998), com acréscimos de

perguntas, visto que o foco da pesquisa deste ser diferente da nossa. Acrescentamos

algumas perguntas além, para fazer frente ao tratamento dado aos números complexos

no Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014), volume 1.

Outro ponto que também foi importante para nós, é o fato de que Rosa (1998)

fundamentou sua pesquisa em cima dos registros de representação semiótica de

Raymond Duval, e dessa forma, seu trabalho se tornou uma boa fonte de pesquisa, uma

vez que nós também nos valemos desse referencial teórico para validar os resultados

obtidos na parte empírica desta pesquisa.

72

O terceiro ponto no trabalho de Rosa (1998), deve-se ao fato de que ele elaborou

uma sequência didática para aplicar aos seus alunos do ensino médio, onde seu foco era

a contextualização histórica para a construção dos conceitos dos números complexos,

seguindo assim o Currículo do Estado de São Paulo vigente à época.

Uma observação importante ficou clara no trabalho de Rosa (1998) em relação ao

ensino dos números complexos à época, de que o foco do ensino desse conteúdo, estava

voltado às resoluções de equações polinomiais, fenômeno esse que permanece até os

dias de hoje, mesmo frente a um novo Currículo do Estado de São Paulo, ou seja, quase

nada mudou. As poucas mudanças que ocorreram, aos nossos olhos, foram para pior.

Em sua conclusão final, Rosa (1998) informou que suas percepções em relação

ao ensino dos números complexos a partir da contextualização histórica se mostraram

verdadeiras.

O segundo material importante foi o de Oliveira (2010). Dois aspectos no trabalho

dele, vieram de encontro com o que pretendíamos em nossa pesquisa. O primeiro é o

fato de que ele se apropriou do Geogebra como ferramenta de estudo. O segundo estava

no fato de que ele, assim como nós, tem uma percepção geométrica em relação aos

números complexos. Além disso, Oliveira (2010) se apropriou da engenharia didática de

Artigue, como metodologia de análise de pesquisa, que foi a metodologia adotada por

nós também.

Um fato curioso no material de Oliveira (2010), é que este aplicou suas atividades

(uma sequência didática) para os estudantes, após esses terem aprendido o conteúdo

de números complexos. Nós também nos valemos desse fato, devido ao foco que

tínhamos em relação a nossa pesquisa.

A dissertação de Caon (2013), trouxe contribuições para nossa pesquisa, visto que

essa autora, também trabalhou na perspectiva do ensino dos números complexos a partir

de uma visão geométrica. Essa autora não aplicou nenhuma atividade, pois em seu

material, se ateve a demonstrar as propriedades que cercam os números complexos. Um

ponto que julgamos muito positivo é a articulação que a autora faz dos números

complexos e suas aplicações em diversas áreas.

Uma quarta dissertação que também foi uma boa fonte de pesquisa é o trabalho

de Caldeira (2013). Para a autora, a geometrização dos números complexos, abriu

73

espaço para um aprendizado diferenciado e significativo. A autora criou e aplicou uma

sequência didática com seus alunos com uma contextualização geométrica e isso veio

de encontro com o que acreditamos.

A autora também se valeu dos registros de representação semiótica como

referencial teórico, se utilizando da engenharia didática como metodologia de análise da

pesquisa de campo. Esses detalhes foram importantes para nós, pois enriqueceu nosso

conhecimento em direção a nossa pesquisa.

Um trabalho que achamos muito interessante e ajudou-nos a “abrir nossa mente”

em relação ao que pensávamos sobre os números complexos, foi o trabalho de Feitosa

(2013). Muito embora esse autor tenha uma linha de pesquisa muito diferente da nossa,

seu trabalho é muito rico no sentido que mostra as inúmeras possibilidades para a

utilização dos números complexos, uma vez que o autor articula os números complexos

à geometria analítica.

Esses materiais sem dúvida, ampliaram nossa visão de pesquisador, permitindo e

acrescentando conhecimentos que ajudaram a compor nosso percurso metodológico.

74

4 - O PERCURSO METODÓLOGICO

Quando ingressei no mestrado profissional junto a UFSCar – Sorocaba, tinha ideia

de que realmente queria trabalhar com conceitos geométricos. A princípio, tinha em

mente realizar minha pesquisa com Geometria Analítica, porém logo no primeiro

semestre, com o conhecimento aflorando, minha busca em trabalhar conceitos

geométricos aumentou e como sempre tive fascínio pelo estudo dos Números

Complexos, pois sempre os vi como uma extensão quase natural do estudo da Geometria

Analítica (equação da reta), além de julgar como um conteúdo importante por ver sua

aplicabilidade.

No segundo semestre tudo se tornou muito mais claro, ao cursar a disciplina de

Tecnologia da Informação para o Ensino de Ciências e Matemática sob a coordenação

do prof. Dr. Wladimir Seixas e do prof. Dr. Paulo César Oliveira. O professor Wladimir

solicitou-nos uma tarefa envolvendo a apresentação de um plano de aula com a utilização

de alguma ferramenta tecnológica, possível de ser aplicado para alunos do Ensino Médio.

Naturalmente preparamos uma apresentação usando o Geogebra como recurso

tecnológico atrelado ao plano aula sobre Números Complexos.

Começamos a construção da revisão bibliográfica com base em teses e

dissertações no primeiro semestre de 2013. Nesta primeira etapa conseguimos encontrar

apenas sete dissertações sobre o assunto, distribuídas entre o período de 1998 a 2010.

Numa segunda etapa de levantamento dos trabalhos acadêmicos encontramos uma

dissertação defendida em 2012 e oito novas dissertações em 2013.

Nestes dois momentos de pesquisa bibliográfica recorremos ao banco de teses da

CAPES e no banco de teses e dissertações publicadas periodicamente na revista

Zetetiké, no período de 1971 a 2011.

Esta etapa da pesquisa foi relevante e contribuiu significativamente para

demarcarmos os próximos passos de nossa investigação, que culminou na aplicação de

um questionário tanto para uma amostra de alunos do 2º semestre de Engenharia Civil

de uma instituição particular de ensino, quanto para uma amostra de alunos da 3ª série

do Ensino Médio de uma escola pública. Posteriormente, aplicamos uma sequência

75

didática envolvendo o uso do Geogebra apenas para os alunos da referida série do

Ensino Médio.

A seguir detalhamos as etapas empíricas de nossa pesquisa pautadas na

estrutura da Engenharia Didática.

4.1 – Perspectiva Metodológica

O discurso atual da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo é de que o

professor não deve dispensar o livro didático indicado pelo Programa Nacional do Livro

didático (PNLD), ou seja, deve seguir a sequência didática do Caderno do Aluno e do

Professor (SÃO PAULO); porém deve acrescentar informações que o professor julgue

necessário, utilizando-se do livro didático.

No entanto, a realidade de várias escolas públicas do Estado de São Paulo é

norteada pela imposição do uso obrigatório do Caderno do Aluno e do Professor (SÃO

PAULO), uma vez que a prova do SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento

Escolar do Estado de São Paulo) está embasada neste material. Tem-se tornado cada

vez mais comum a preocupação por parte dos Gestores das escolas públicas em treinar

os alunos para responder com êxito a prova do SARESP, em prol do “Bônus”(que é uma

compensação financeira paga aos professores e gestores das escolas que atingirem as

notas mínimas impostas pela Secretaria da Educação do Estado).

Em contrapartida, para vários de nós professores, o mais importante não é o

Bônus e sim o conhecimento que o aluno é capaz de agregar. Na condição de professora-

pesquisadora ratifico que esta situação é uma inversão de valores quanto ao processo

ensino-aprendizagem.

É neste cenário educacional da escola pública que desenvolvemos parte do

trabalho de campo, pautado nos princípios da Engenharia Didática como metodologia de

pesquisa, em busca de respostas para as seguintes questões de investigação:

1) Que saberes sobre números complexos, alunos do Ensino Superior trazem como

bagagem do Ensino Médio?

2) Que perspectiva de construção de saberes o Caderno do Aluno e do Professor

proporciona ao aprendizado de números complexos?

76

3) O Geogebra pode agregar a construção de saberes quando articulado ao Caderno do

aluno, disponibilizado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo?

A Engenharia Didática segundo Almouloud e Coutinho (2008, p.66),

vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se, em primeiro lugar, por um esquema experimental baseado em "realizações didáticas" em sala de aula, isto é, na concepção, realização, observação e análise de sessões de ensino. Caracteriza-se também como pesquisa experimental pelo registro em que se situa e modo de validação que lhe são associados: a comparação entre análise a priori e análise a posteriori. Tal tipo de validação é uma das singularidades dessa metodologia, por ser feita internamente, sem a necessidade de aplicação de um pré-teste ou de um pós-teste.

O pré-teste e pós-teste são etapas comuns em pesquisas envolvendo avaliação

psicológica, por exemplo. Dada a constituição da amostra utiliza-se o pré-teste que

geralmente são procedimentos de aplicação de instrumentos diagnósticos para servir de

base a um processo de intervenção segundo os objetivos da pesquisa. Posteriormente

submete-se a amostra à aplicação do pós-teste, ou seja, geralmente os sujeitos de

pesquisa são reavaliados seguindo a mesma ordem e procedimento de aplicação dos

instrumentos no pré-teste.

No caso de nossa pesquisa, cumprimos as quatro fases que compõe a

metodologia da Engenharia Didática proposta por Michèle Artigue (1988), conforme

descrição de cada uma delas a seguir.

A primeira fase designada como análises preliminares, deve ser embasada em um

referencial teórico. Dedicamos o capítulo 2 desta dissertação para discorrermos sobre o

percurso teórico desta investigação, permeado por leituras e reflexões tanto sobre a

pesquisa acadêmica pautada em dissertações defendidas a partir de 1998, quanto pela

análise de documentos curriculares vigentes sobre o ensino-aprendizagem de números

complexos.

Na segunda fase (concepção e análise a priori) deve-se levar em conta que para

Artigue (1998, p.205) o:

[...] objetivo da análise a priori é determinar no que as escolhas feitas permitem controlar os comportamentos dos alunos e significado de cada um desses comportamentos. Para isso ela vai

77

se basear em hipóteses e são essas hipóteses cuja validação está indiretamente em jogo, na confrontação entre a análise a priori e a análise posteriori a ser operada na quarta fase.

Para nossa investigação aplicamos um mesmo questionário para duas amostras

distintas de estudantes. Aproveitamos um questionário composto por 13 questões

elaboradas e aplicadas por Rosa (1998) para uma amostra de 31 estudantes do 1º ano

de Engenharia Mecânica e reaplicamos este instrumento de produção de informações

acrescido de outras nove questões elaboradas por esta pesquisadora.

Uma das amostras de nossa pesquisa também foi composta por 31 estudantes do

2º semestre do curso de Engenharia Civil de uma instituição privada, na qual a

pesquisadora também é professora desta turma. A outra amostra foi composta de 13

alunos da 3ª série do Ensino Médio de uma escola pública.

A terceira fase (experimentação) oportuniza ao pesquisador sua ida a campo

para aplicar suas tarefas embasadas em uma sequência didática, observando com

cuidado e rigor, os registros levantados frente aos estudantes; sujeitos da pesquisa

(ARTIGUE, 1998).

O nosso trabalho de campo contou com a aplicação e análise dos questionários,

bem como a aplicação de um conjunto de tarefas apenas para os alunos da 3ª série do

Ensino Médio.

A última fase (análise a posteriori) tem como objetivo uma análise profunda

baseada na produção de informações, com o objetivo de buscar respostas às nossas

indagações.

4.2 – Questionário: resultados frente aos estudantes do Ensino

Superior

Iniciamos nossa redação explicando como foi constituída a amostra dos

estudantes, assim como o objetivo frente a este instrumento de produção de informações.

A participação do estudante como sujeito de nossa pesquisa foi opcional. Fizemos

o convite para 61 alunos do 2° semestre de Engenharia Civil do Centro Universitário

Nossa Senhora do Patrocínio (CEUNSP), cuja pesquisadora também é professora da

78

disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Contamos com a participação de 31 alunos

da referida turma, sendo 71% dos participantes com idade entre 17 e 22 anos, 19% com

idade entre 23 e 30 anos e 10% na faixa de idade entre 31 e 45 anos.

Traçamos dois objetivos com as respostas do questionário (Anexo A). O primeiro

deles foi descrever os saberes apreendidos sobre os conceitos envolvendo números

complexos, quando estudado no Ensino Médio. De acordo com a faixa etária dos sujeitos

de pesquisa aliado ao fato de que a grande maioria dos ingressantes nos cursos de

Engenharia dessa instituição são oriundos de escolas públicas, podemos afirmar que o

Caderno do Aluno e do Professor fez parte no seu processo ensino-aprendizagem.

Tendo em vista que treze das vinte e duas questões do questionário foram

aplicadas por Rosa (1998) a uma amostra de 31 estudantes de um primeiro ano do curso

de Engenharia Mecânica; nosso segundo objetivo foi comparar o grau de saberes dos

nossos estudantes com os alunos da amostra do referido pesquisador.

Este interesse foi pautado no fato de que a Proposta Curricular nos tempos em

que Rosa (1998) realizou seu trabalho de campo difere do atual Currículo do Estado de

São Paulo (2010). Na década de oitenta e noventa, o objetivo geral para o ensino de

números complexos era “perceber porque aparece um novo conjunto de números.

Representar números complexos geométrica e trigonometricamente; operar com esses

números” (SÃO PAULO, 1992, p.41). Ainda na forma de comentários, destacamos duas

opções didáticas para o estudo dos números complexos:

Contar um pouco da história dos números complexos também pode ser bastante motivador. Relacionar a radiciação de números complexos com elementos dos polígonos regulares é um trabalho de aplicação desse conteúdo, bastante interessante para aluno, que, a esta altura, tem oportunidades de tratar números e geometria entrosadamente (SÃO PAULO, 1992, p.41).

A seguir apresentamos o conteúdo de cada uma das vinte e duas questões com a

respectiva análise a priori e a posteriori.

1) Assinale as alternativas que mais se aproximam da sua ideia a respeito da

Matemática.

79

a) A Matemática é uma disciplina difícil, pois os conceitos são inventados por

pessoas em momento de inspiração, de maneira teórica, nada tendo a ver com os

fatos concretos da nossa vida, como números complexos, logaritmos, etc. Grande

parte dos conceitos matemáticos, são dados na escola somente para o aluno fazer

exercícios que nada têm a ver com a realidade e depois fazer uma prova.

b) Os conceitos matemáticos nasceram de situações concretas do dia a dia.

c) Não tenho a menor ideia.

Deste questionamento obtivemos 1 resposta da alternativa (a), 28 respostas da

alternativa (b), e 2 não responderam o questionamento, o que nos assustou em relação

as não respondidas e a resposta da alternativa (a), pois o questionário foi aplicado junto

a alunos do curso de engenharia, onde entende-se que tem afinidade e gosto pela

matemática, além de um raciocínio lógico mais apurado. Com relação às 28 respostas

da alternativa (b), entendemos que os alunos tiveram a percepção e o aprendizado de

conceitos matemáticos através de problemas concretos e situações aplicadas, porém, ao

analisarmos as demais respostas do questionário, vemos uma contradição, o que nos

passou a impressão de que muitos escolheram essa alternativa porque acreditam nela,

ou até por julgar mais coerente, porém não tem clareza sobre seu significado, ou seu

aprendizado não condiz com a alternativa escolhida.

2) Números Complexos, são aqueles do tipo a + bi onde a e b são números reais e

i1 ou 12 i . Você já estudou esse tipo de números?

a) Sim b) Não

Para esse questionamento, obtivemos 22 respostas na alternativa (a) e 9

respostas na alternativa (b). Como da classe de 60 alunos, somente 31 se dispuseram a

participar dessa pesquisa, temos a crer que muitos mais não estudaram os números

complexos. Cremos que talvez pelo fato de termos mencionado que a pesquisa era sobre

esse assunto, muitos que não conheciam o assunto, nem se arriscaram a participar da

80

pesquisa. Alguns poucos até pegaram a folha de pesquisa e nos devolveram logo em

seguida.

3) Como você acha que os números complexos foram descobertos?

a) Quando um matemático ao resolver uma equação do segundo grau se deparou

com um discriminante negativo ( cab ..42 ), e para continuar a resolução ele

resolveu criar um número i tal que i²= -1.

b) Os números complexos foram descobertos quando um matemático tentava

resolver uma equação do terceiro grau.


Em relação a essa questão, obtivemos 2 respostas da alternativa (a), o que ficou

claro para nós que esses alunos haviam estudado alguma coisa sobre o conteúdo, porém

a introdução desse conteúdo, ou a ênfase fora dada na resolução de equações de

segundo grau, quando o discriminante é negativo. Tivemos 6 respostas da alternativa (b),

o que nesse caso nos mostrou que esses estudantes haviam aprendido os números

complexos e tinham clareza sobre seu surgimento dentro do contexto histórico e o que

levou ao descobrimento de tais números. Outras 11 respostas da alternativa (c), vem

corroborar com a nossa conclusão em relação a questão número 1, onde percebemos

que muitos alunos não têm clareza sobre muitos conceitos matemáticos e seus

desenvolvimentos. Ainda obtivemos 2 alunos que não responderam esse

questionamento, demonstrando que também não tem conhecimento sobre o assunto.

4) Você já resolveu algum problema concreto do dia a dia, que apesar de na sua

resolução aparecer raiz quadrada de um número negativo, o resultado final foi um

número real, como R$ 3,00, 7 metros, etc., enfim que representava uma

quantidade?

a) Sim b) Não

Se você respondeu sim, pode descrever como era esse problema?

81

Com relação a essa questão, 7 responderam a alternativa (a), 22 responderam a

alternativa (b), 1 respondeu as duas alternativas e 2 não responderam. No caso das

respostas em relação a alternativa (a), foi solicitado também para que o aluno

descrevesse o problema. Dos 7, obtivemos 2 respostas: não lembro, 1 resposta onde o

aluno tentou explicar o problema, porém muito sem sentido, os outros nada responderam.

Diante disso, realmente nos questionamos se realmente esses 7 alunos viram problemas

desse tipo ou se tal situação em um problema apareceu devido a um erro de cálculo

matemático na resolução. De qualquer forma, observamos que a maioria não sabe que

números complexos também podem ser utilizados na resolução de situações

contextualizadas.

5) Baseado no seu conhecimento de números complexos coloque V no verdadeiro

e F no falso.

____ Os números complexos como, por exemplo, 2 + 3i, na realidade não são

números, são apenas representações matemáticas, pois não representam uma

quantidade, uma vez que ninguém diz: “ganho (2+3i) reais de salário”, ou paguei (4-

2i) reais, ou ainda andei (7+2i) metros, etc.

Neste item, obtivemos 12 respostas como (V), 13 respostas como (F), e 6 não

responderam. Ficou evidente que os 12 alunos que responderam V e os 6 que não

responderam, veem os números complexos como mero símbolos e destituídos de

significados. Já os outros 13 conseguem perceber que os conceitos matemáticos

possuem alguma finalidade concreta, mesmo que eles ainda não tenham total domínio

ou não saibam exatamente para que servem.

____ Os números complexos são números sim, pois com eles podemos resolver

problemas do dia-a-dia e chegar à resposta que representam quantidades.

Aqui nesse item, obtivemos 17 respostas (V), 8 respostas (F) e 6 não

responderam. Ao compararmos essas respostas com as do item anterior, vemos

claramente que os alunos são contraditórios e não possuem clareza sobre os conceitos

82

dos números complexos e nem de sua utilidade. Temos motivos para crer que as 17

respostas (V), deve-se ao fato de que esses alunos creem que os conceitos matemáticos

devem ter alguma utilidade, mesmo eles não sabendo como utiliza-los.

____ Os números complexos são na verdade a expressão matemática dos vetores e

eles podem ser percebidos nos fenômenos físicos, nas relações geométricas,

matriciais, etc.

Nesse item, obtivemos 16 respostas (V), 8 respostas (F) e 7 não responderam. É

evidente que essas respostas estão compatíveis com as do item anterior. Cremos que os

alunos para responderem esse item, devem ter relacionado ao conteúdo de álgebra

linear, que faz parte da grade curricular desse semestre e/ou se lembraram de alguns

aspectos do que haviam aprendido quando estudaram os números complexos.

Olhando para as respostas dessa questão, fica claro que para vários alunos, os

números complexos são meros símbolos e sem significado.

6) Dentre os nomes abaixo, quais você associaria com a história dos números

complexos?

a) Bombelli b) Argand c) Wallis d) Wessel

e) Gauss f) Hamilton g) Cardano h) Moivre

Para esse questionamento, obtivemos 1 resposta (a), 1 resposta (b), 4 respostas

(c), 1 resposta (d), 10 respostas (e), 2 respostas (f), 3 respostas (g), 1 resposta (h), 12

não responderam. Somente dois alunos selecionaram mais de 1 resposta. No entanto,

apesar de nos levar a pensar que esses dois alunos que assinalaram mais de uma

resposta devem conhecer mais dos números complexos e sua história, isso não é

verdade, pois ambos a alternativa (c); o único matemático da lista acima que não teve

qualquer contribuição em relação aos números complexos.

Com relação as demais respostas, vê-se claramente uma insegurança por parte

dos alunos em relação ao contexto histórico, visto que quem escolheu por exemplo a

alternativa (b) “Argand”, não escolheu a alternativa (e) “Gauss” e no entanto o plano

83

representativo geométrico de um número complexo é conhecido como “Plano Argand-

Gauss”.

7) Você já tentou resolver um problema de geometria utilizando os números

complexos?

a) sim b) não

Acha que seria possível? _______________________________________

Nessa questão obtivemos 6 respostas (a), 21 respostas (b) e 8 não responderam.

Ficou claro que o ensino dos números complexos no ensino médio é destituído de

significado geométrico. Esse é um dos motivos do qual os alunos perceberem esses

números como meros símbolos e sem significado. No entanto, quando questionamos se

“acha que seria possível?” na segunda parte da questão, obtivemos 12 respostas sim, 1

resposta não, 2 responderam “talvez”, 1 respondeu que nunca tentou, 1 respondeu que

“tudo é possível”, 1 respondeu “pois com ele você pode obter pontos”, e 13 não

responderam.

8) Um número real nós podemos representar geometricamente na reta real. E um

número complexo, é possível representar geometricamente?

a) Sim b) Não

Se você respondeu sim, tente no espaço abaixo representar geometricamente o

número 2+3i

Nessa questão, tivemos 15 respostas sim, 7 respostas não, 8 não responderam e

1 afirmou que desconhece. Nos casos afirmativos, foi solicitado que o aluno

representasse o número 2 + 3i de forma geométrica. Somente 4 fizeram a representação

e desses 1 acertou e 3 erraram, sendo que um deles, confundiu a reta real com a

imaginária. Fica evidente que os alunos lembram-se vagamente que é possível fazer a

84

representação geométrica. Nos surpreendemos nesse quesito, pois imaginávamos que

muitos fariam com facilidade essa questão, contrariando nossa previsão.

9) Como você representaria na forma algébrica (4, 2)?

Neste item, esperava-se que os alunos soubessem articular a representação em

par ordenado e a representação na forma algébrica. Um total de 24 alunos não respondeu

essa questão. Sete estudantes tentaram fazer, mas erraram; sendo que 4 deles fizeram

a representação geométrica, conforme a figura 19. No que diz respeito ao conteúdo desta

figura, a representação do par ordenado está voltada para o aspecto funcional e não para

o conjunto dos números complexos.

Tendo em vista esse enunciado há indícios de que eles não compreendem a

distinção entre representação algébrica e representação geométrica.

Figura 19: Resposta de aluno


10) Se um número complexo está localizado no 2°quadrante do plano, em qual

quadrante estará o seu conjugado?

No caso desse questionamento, esperava-se que o aluno soubesse a relação de

simetria entre o número complexo e seu conjugado. Neste caso tivemos 1 acerto, 5

respostas erradas e 25 não responderam, o que ficou evidente que o aluno sequer

reconhece o conjugado de um número complexo. Na figura 20, observa-se em relação a

esse item, que o aluno confunde quadrante com linha

85



11) Você sabe explicar o que acontece quando somamos um número complexo com

o seu conjugado?

Aqui esperávamos que o aluno, além de conhecer os números complexos, saber a

relação entre o complexo e seu conjugado, além da relação de simetria entre eles,

soubesse que a operação de adição entre eles remete a um número real. Nesse quesito,

1 aluno errou a resposta, 25 não responderam, 4 disseram “não” e 1 estudante afirmou

que “tal soma não existe”.

12) Qual das alternativas abaixo representa uma relação com as operações da adição

e subtração de complexos:

a) Teorema de Pitágoras b) Regra do Paralelogramo

c) Teorema de Tales d) Regras Trigonométricas

e) Teorema de Bhaskara

Nessa pergunta ficou claro que os alunos reconhecem os vários Teoremas e

Regras, porém não sabem quando utilizá-los e nem muito menos tem claro seus

conceitos. Obtivemos 7 respostas na alternativa (a), 2 respostas na alternativa (b), 7

respostas na alternativa (c), 2 respostas na alternativa (d) e 3 respostas na alternativa

(e). Neste caso, dos 31 participantes, somente 2 acertaram a resposta

13) Ao tomarmos um número complexo z, pertencente ao primeiro quadrante do

plano, se multiplicarmos este complexo z por i (unidade imaginária), onde estará

a imagem resultante?

86

Mais uma vez ficou evidente que os alunos têm déficit de saberes no que diz

respeito aos conceitos sobre números complexos. Tivemos 1 resposta certa, 2 respostas

erradas e 28 alunos não responderam. Entre as respostas erradas, uma delas chamou-

nos a atenção: “no segundo número”, mostrando que não tem a menor compreensão do

assunto.

Nas questões abaixo, esperávamos que os alunos soubessem resolver e até

temos razões para crer que esses articularam a informação com a forma de

representação vetorial, estudada na aula de álgebra linear. Por estarem no segundo

semestre do curso de Engenharia Civil, faz parte da grade curricular para este semestre,

a disciplina de álgebra linear, onde os alunos aprendem os conceitos, as operações e

relações vetoriais. Dessa forma, no momento da aplicação dessa pesquisa (agosto de

2014), eles estavam aprendendo que um par ordenado é uma representação vetorial e

que o mesmo, semelhantemente ao número complexo, pode ser representado

geometricamente.

14) (2 + 3i) + (5 + 2i) =

Neste caso tivemos 2 acertos, 24 optaram por não fazer e 5 erraram. Em um dos

casos, o aluno aplica a propriedade distributiva da multiplicação. Um outro caso que

também nos chamou a atenção, pode ser visto na figura 21, abaixo. Observa-se que o

aluno efetua corretamente a adição, porém erra, ao iguala-la a zero e resolve-la como se

fosse uma equação do 1° grau, chegando ao resultado de (i).

Figura 21: Resposta de Aluno


15) (4, 5) + (2, 6) =

87

Nesta questão, ficamos muito surpresa com relação ao resultado, pois esperávamos que

todos realizassem a operação, devido ao fato de que a soma de números complexos na

forma de par ordenado é igual à soma de vetores do R², no entanto, 23 alunos não

fizeram, 7 acertaram e 1 dos alunos, respondeu conforme figura 22:

Figura 22: Resposta de Aluno


Vê-se claramente que o aluno opera a soma corretamente, porém não escreve em

forma de par ordenado, antes, efetua a soma das duas componentes do número

complexo (vetor) resultante. Aqui é notório que ele confunde a operação de soma vetorial

com a operação de produto escalar, estudado em álgebra linear. Para completar ainda

tenta representar o vetor resultante no sistema cartesiano, o que mostra claramente que

ele não enxergando como números complexos, mas sim como vetores do R².

16) (2 + 3i) . (5 + 2i) =

Nesta questão 5 alunos erraram e 26 não conseguiram efetuar a operação.

Observamos a aplicação correta da propriedade distributiva, porém, os alunos não

utilizaram a substituição i² = -1, impossibilitando chegar à resposta correta (figura 23).

88



Um caso que chamou a atenção foi o aluno que igualou o produto dos números

complexos a zero e aplicou a Fórmula de Bhaskara, para encontrar o valor da suposta

incógnita “i”, a qual foi trocada por “x” (figura 24). Trata-se de mais um caso de

desconhecimento que o produto de dois números complexos é um número complexo e

que o mesmo não tem relação alguma com o cálculo de raiz de uma equação.

Figura 24: Resposta do aluno


17) (4,5) . (2, 6) =

Os quatro alunos que resolveram esta questão cometeram o seguinte erro:

89



Em termos de registros de representação semiótica (Duval, 2003) há um

desconhecimento por parte dos estudantes na conversão de registros, ou seja, eles não

compreenderam que (4, 5) é uma forma de representar o número complexo z = 4 +5i.

18) (2 + 3i)² =

Nesta questão, ficamos surpresos, pois esperávamos que os alunos

demonstrassem domínio no desenvolvimento dos Produtos Notáveis para a solução.

Apenas cinco alunos fizeram a questão e erraram a resposta, pois elevaram somente o

1° e o 2° termo ao quadrado, esquecendo-se de multiplicar o 1° e o 2° termo por 2.

19) 5)22( i =

Os mesmos alunos que tentaram resolver a questão 16 reproduziram

erroneamente o mesmo princípio de resolução para esta questão, ou seja, elevaram

somente o 1° e o 2° termo a quinta potência. A resolução esperada deveria envolver o

registro semiótico na forma trigonométrica. Na figura 26 apresentamos a tentativa de um

aluno em desenvolver termo a termo do produto notável a partir do suposto

desenvolvimento de (a+b)5:

90



20) i125 =

Esta questão não foi resolvida por nenhum aluno. Nossa expectativa era saber se

algum deles lembrava-se da fórmula de Moivre. Porém, a maioria dos nossos estudantes,

são oriundos de escolas públicas, e no Caderno do Aluno e do Professor (SÃO PAULO,

2014) esta parte do conteúdo foi excluída.

21) Considerando no plano complexo uma região triangular formada pelos complexos

(1, 2); (4, 1) e (3, 4). Utilize a malha abaixo para representar essa região e o

resultado da transformação que adiciona o número complexo 2 + 3i a cada ponto

da região.

Pode explicar o que aconteceu com a região triangular?

91

Apenas um aluno tentou resolver a questão, apenas localizando os pares

ordenados no Plano de Argand-Gauss. Era esperado como resultado da solução que os

alunos percebessem que se promove uma mudança de posição da região triangular, ou

uma translação em relação ao número complexo.

22) Você consegue citar alguma aplicação para os números complexos?

Nesta questão, 27 alunos não se manifestaram, 3 responderam não e 1 respondeu

“limite, escalonamento e outros”, demonstrando assim que desconhece o assunto.

23) Quer fazer alguma observação que julgue importante?

Neste caso, somente duas pessoas se manifestaram para fazer comentários,

sendo que um informou não se lembrar do conteúdo, ou seja, dá indícios de que estudou

o assunto, porém esqueceu. No segundo caso, o comentário contempla a necessidade

de estudo, dedicação e tempo para se aprender a matemática, de acordo com o relato a

seguir:



92

O que se vê na fala do aluno acima, é a necessidade de uma compreensão dos

conceitos matemáticos. Naturalmente o aluno tem um amadurecimento matemático

simplista e não consegue observar que há outros aspectos importantes envolvidos na

concepção da matemática, como por exemplo uma “alfabetização matemática”, conforme

afirma Duval (2012, p. 307)

Fazendo uma análise do todo em relação as respostas do questionário

aplicado, observa-se que o conteúdo até foi ensinado aos alunos, porém não foi

plenamente absorvido e compreendido. Falando sobre a importância da compreensão

para que haja aprendizado, Duval (2012, p.309) afirma:

Na matemática, mais que em todas as outras disciplinas, é necessário compreender para poder aprender. Somente se pode aprender matemática e concluir as atividades propostas se compreendermos não somente as instruções e os enunciados de um problema, mas também aquilo que se pode fazer para buscar resolvê-lo e por que aquilo que se encontra está certo ou errado. A repetição sem reflexão não gera nenhuma aquisição real e útil. Isto se deve a que utilizar este procedimento ou considerar explicações advindas dele conduz frequentemente a resultados errôneos e confusos que mostram que “não se entendeu”, ou que o conhecimento subjacente não foi adquirido. Esta exigência constante de compreensão coloca o ensino da matemática em uma situação muito particular em relação a todos os outros ensinos e aponta a uma primeira pergunta sobre aquilo que se entende por “compreender”. Aqui, divergências profundas aparecem entre o ponto de vista matemático e o ponto de vista cognitivo.

Na análise dos dados coletados por Rosa, na questão de número 2, este evidencia

que as respostas dos alunos em relação ao surgimento dos números complexos, ocorreu

devido a tentativa de resolução de equação de 2° grau, cujo discriminante era negativo.

Nesse aspecto, Rosa observa que além dos materiais didáticos privilegiarem por

resolução de tais equações, muito presente nos livros didáticos ainda hoje, não havia a

contextualização histórica de que tais números surgem na verdade, como busca de

soluções de equações cúbicas, contrariando a proposta do Currículo do Estado de São

Paulo, vigente à época. Segundo Rosa (1998, 92):

Os alunos foram questionados se os números complexos surgiram quando da resolução de uma equação do segundo grau ou do terceiro grau. Todos responderam que foi a equação do 2° grau que

93

originou os complexos e isso parece indicar que nenhum deles teve contato com esses números da maneira como surgiram na história, quando da resolução de uma equação do terceiro grau. Esse fato talvez seja a explicação para que eles operem sem ver significado nas operações. (Grifo nosso)

De acordo com Rosa (1998, p. 92), “o fato de os alunos não conhecerem a história

da matemática, .... não o impede de realizar operações matemáticas e representá-los (os

números complexos) geometricamente”. Em sua conclusão sobre a análise, Rosa (1998,

p.113) afirma:

Analisando as respostas dos alunos pudemos constatar que nenhum deles teve contato com os números complexos da maneira como estamos sugerindo nesse trabalho, ou seja, através de uma equação do 3° grau. Nenhum deles conseguiu extrair raízes de números complexos nem efetuar potenciação e uma pequena minoria conseguiu efetuar o produto de números complexos. A maioria dos alunos acha que os conceitos Matemáticos surgem de situações reais, mas eles não se depararam com esses conceitos através de situações concretas, e este é um bom motivo para introduzir-se os conceitos como eles surgiram na história. Os alunos que julgam que os conceitos matemáticos são inventados erraram as operações mais simples com números complexos, o que parece evidenciar que se um conceito é simplesmente inventado, não deve ter aplicação nem importância, o que faz com que os alunos não se interessem por ele.

O questionário de Rosa (1998) era composto por 13 questões sendo elas as

seguintes em relação ao nosso questionário: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 14, 15,16, 17, 18, 19 e 20.

Salientamos ainda que em nosso questionário, acrescentamos a alternativa (c) nas

questões 1, 3 e 5, quando comparado com o questionário de Rosa. Observamos que

coincidentemente na pesquisa de Rosa, bem como na nossa, tivemos a participação da

mesma quantidade de alunos, ou seja, 31.

Quanto ao acréscimo da alternativa c nessas três questões, deu-se devido ao foco

da pesquisa nossa ser um pouco diferente, a de Rosa. Nas questões 1 e 3,

acrescentamos a alternativa c (não tenho a menor ideia), pois nosso objetivo era verificar

se o aluno teve realmente algum contato com o conteúdo “números complexos” do

material Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014), que trabalha na vertente de reconstruir

o surgimento dos números complexos dentro de uma contextualização histórica, a partir

94

da resolução de equações de 3° grau. Nesse o aspecto, ao olharmos para o Caderno do

Aluno (SÃO PAULO, 2014), parece enxergarmos nele a pesquisa de Rosa que propõe

que os números complexos devem ser ensinados a partir da contextualização histórica

do seu surgimento.

No entanto, devido ao posicionamento adotado pelo PCN+ (BRASIL, 2002, p.122),

onde esse se posiciona que os números complexos servem apenas para resoluções de

equações de grau superiores e que portanto podem ser tratados na parte flexível do

currículo escolar. Tal posicionamento tem levado muitas escolas a abolirem de seus

currículos, o estudo dos números complexos. O atual Currículo do Estado de São Paulo

não o aboliu, porém pouca importância dá a esse estudo e isso fica claro quando olhamos

a forma como o mesmo está sendo abordado no material que vem sendo distribuído aos

alunos da rede estadual, desde 2008, denominado “Caderno do Aluno”.

O foco dos números complexos dentro da contextualização histórica no Caderno

do Aluno (SÃO PAULO, 2014), se dá meramente para atender a fala da ampliação dos

conjuntos numéricos e para a resolução das equações polinomiais. Diante disso, não foi

surpresa para nós, obtermos 11 alunos que nos responderam justamente a alternativa

“c” da questão de número 3, onde questionamos sobre o surgimento dos números

complexos, ou seja, esses não têm “a menor ideia”. Em contra partida, também obtivemos

12 alunos respondendo a alternativa “a”, que alega que tais números surgiram da

resolução de equações do 2° grau, cujo discriminante é negativo. Esse número

expressivo de escolhas pode ter acontecido devido a própria orientação do OCEM

(BRASIL, 2006, p. 71)

Os números complexos devem ser apresentados como uma histórica necessidade de ampliação do conjunto de soluções de uma equação, tomando-se, para isso, uma equação bem simples, a saber, x² +1 = 0.

Nesse aspecto, o OCEM (BRASIL, 2006) está em contradição com Caderno do

Aluno (SÃO PAULO, 2014), já que este faz uma sutil reconstrução histórica, se valendo

da fórmula de Tartaglia e Cardano resolução de funções polinomiais do 3° grau, onde

devido à necessidade, surgem os números complexos. Fica evidente pelo Caderno do

Aluno (SÃO PAULO, 2014) que o foco não é o estudo dos números complexos, mas sim

95

a ampliação dos conjuntos numéricos para resolução de equações polinomiais. Temos

motivos para crer que esse conflito de enfoques entre o OCEM (BRASIL, 2006) e o

Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014) é devido ao fato de que temos professores da

Rede Estadual que trabalham na perspectiva do Caderno do Aluno e outros professores,

utilizam outros materiais didáticos, como por exemplo, os livros do PNLEM.

Vamos observar agora a tabela 3, com as informações dispostas a partir da

pesquisa de Rosa (1998) e do trabalho de campo realizado por esta professora-

pesquisadora. Adotamos a nomenclatura A (acertos), E (erros). Lembramos que o teor

das questões poderá ser visualizado no Anexo A.

Também é possível observar as comparações questão a questão, no gráfico 1

abaixo, onde Rosa A e Rosa E significam os acertos e erros da pesquisa de Rosa

respectivamente em relação as questões e similar, Amorim A e Amorim E os acertos e

erros na pesquisa de Amorim respectivamente.

Tabela 3: Análise comparativa Rosa X Amorim

Questão ROSA AMORIM

A % E % A % E %

1 24 77% 7 23% 28 90% 3 10%

3 0 0% 31 100% 6 19% 25 81%

5 21 68% 10 32% 8 26% 23 74%

8 3 10% 28 90% 2 6% 29 94%

14 19 61% 12 39% 2 6% 29 94%

15 17 55% 14 45% 7 23% 24 77%

16 7 23% 24 77% 0 0% 31 100%

17 0 0% 31 100% 0 0% 31 100%

18 1 3% 30 97% 0 0% 31 100%

19 0 0% 31 100% 0 0% 31 100%

20 0 0% 31 100% 0 0% 31 100%


Também é possível observar as comparações questão a questão, no gráfico 1,

onde Rosa A e Rosa E denotam os acertos e erros dos dados de Rosa (1998) para cada

96

uma das questões e, de forma similar, Amorim A e Amorim E representam os acertos e

erros relativos aos resultados do nosso questionário:

Gráfico 1


Ao analisarmos as respostas da questão 1, verificamos que muito embora

tenhamos ligeiramente um índice de acerto maior em nossa aplicação, comparado ao de

Rosa, porém não é nada de tão expressivo a ponto de concluirmos que houve algum

avanço. Com relação a questão número 3 temos um alto índice de erro, sendo

ligeiramente melhor na situação da nossa aplicação, onde o índice é um pouco mais

baixo, porém nada de tão expressivo também. Isso se deve em parte, ao que já foi

comentado anteriormente, sobre a abordagem envolvendo o Caderno do Aluno (SÃO

PAULO, 2014). De qualquer forma já se percebe que alguns alunos tem o conhecimento

de que o surgimento dos números complexos está relacionado à resolução de equações

do 3° grau.

A diferença de acertos em relação a questão de número 5, temos motivos para

crer que está relacionado ao fato de que em nossa pesquisa elencamos 3 informações

para serem avaliadas entre verdadeiro ou falso e no caso da pesquisa de Rosa havia

0

5

10

15

20

25

30

35

COMPARATIVO DE ACERTOS E ERROS

ROSA A ROSA E AMORIM A AMORIM E1 3 5 8 14 15 16 17 18 19 20

97

apenas duas alternativas da qual Rosa informava que uma estava certa e outra errada.

Se em nossa pesquisa considerarmos apenas as duas questões elencadas por Rosa,

teremos 12 alunos que acertaram, já que 4 ficaram em dúvida em relação ao item inserido

por nós, que mencionava a articulação dos números complexos aos vetores.

Em relação a questão 8, podemos dizer que o índice de acerto permaneceu e

muito baixo, ou seja, os alunos continuam apresentando problemas nas conversões de

representação semiótica, ou seja, conversão do registro algébrico para o registro gráfico.

Neste caso, como tal conversão é congruente, esse procedimento deveria ser trivial, de

acordo com Duval (2012, p.283)

Sintetizando nossa conclusão em relação as demais questões, observa-se em

nossa pesquisa em relação a Rosa de que na maioria dos casos as dificuldades vão além

do simplesmente transitar pelos registros de representação semiótica, que deveriam ser

dominados por esses estudantes. Quando comparamos os erros, percebemos em 1998

a maioria dos alunos erraram tentando fazer e na situação atual, a maioria dos alunos

deixaram em branco porque não tem entendimento matemático para compreender o que

o exercício pede.

A impressão que temos é que o que estava ruim, ficou um pouco pior, pois os erros

apresentados pelos alunos na pesquisa de Rosa, estavam ligados aos registros de

representação semiótica nas transformações e conversões e os erros apresentados pela

grande maioria nos dias atuais, podemos denominar como “alfabetização matemática

insuficiente”, dificuldade essa mencionada por Duval (2012, p. 307), onde o aluno

consegue ler os números, mas não compreende o significado. Em nossa pesquisa na

maioria dos erros observados, os alunos deixaram em branco as questões.

Generalizando nossa percepção em relação ao todo, concluímos que a situação de hoje

está em vários aspectos, pior que em 1998, quando Rosa aplicou sua pesquisa.

Analisando as questões 2 e 4 que cuja resposta se limitava a “sim” ou “não”,

portanto não há em cima dessas questões uma concepção de certo ou errado. Dessa

forma analisamos separadamente essas duas questões. Vejamos a comparação entre

as respostas obtidas por Rosa e por nós (Amorim) no gráfico 2. Na tabela 4 abaixo,

consideramos S (sim) e N (não). Relembrando as questões, temos:

98

Tabela 3: Comparativo das questões 2 e 4

Tabela 4: Análise Comparativa das Questões 2 e 4

Questão ROSA AMORIM

S % N % S % N %

2 31 100 0 0 22 71% 9 29%

4 0 0 31 100 7 23% 24 77%


Comparando as informações, percebemos que nas respostas da questão 2 que

100% dos alunos em 1998 responderam sim, ou seja, haviam estudado os números

complexos, contra 71% do tempo atual (2014). Podemos dizer que 30% dos alunos de

hoje não sabem da existência do Conjunto dos Números Complexos, suas operações e

propriedades. Isso vem de encontro com o que já afirmamos antes de que o PCN +

(BRASIL, 2002), o qual descartou a aprendizagem desse conteúdo, produzindo reflexos

negativos na aquisição de saberes de nossos alunos.

2) Números Complexos, são aqueles do tipo a + bi onde a e b são números

reais e i1 ou 12 i . Você já estudou esse tipo de números?

a) Sim b) Não

4) Você já resolveu algum problema concreto do dia a dia, que apesar de na

sua resolução aparecer raiz quadrada de um número negativo, o resultado

final foi um número real, como R$ 3,00, 7 metros, etc, enfim que

representava uma quantidade?

a) Sim b) Não


99

Gráfico 2


Com relação a questão de número 4, observa-se que em 1998 não havia qualquer

contextualização ao se trabalhar com esses números, deixando claro que esse conteúdo

deveria ser desconexo com os demais conteúdos da matemática. A realidade atual ainda

não mudou muito, mas percebe-se um avanço, 23% dos alunos atuais estudaram os

números complexos, mesmo que sem aprofundamento, mas de uma forma um pouco

mais contextualizada. Ainda colocamos em dúvida esse total, dentro do que percebemos

pelas respostas dos próprios alunos. Há indícios que de alguns deles tenham chego

erroneamente em resultados que geraram raízes de números negativos e daí concluírem

que sim na pesquisa.

De qualquer forma, não podemos deixar de observar que o Caderno do Aluno da

Secretaria do Estado de São Paulo, realmente procura fazer alguma contextualização.

Entretanto, sabemos também que há professores hoje que tem procurado modificar suas

práticas de aula, buscando dar significado ao que se ensina, mostrando aos estudantes

que a matemática não é obra do acaso e que existem sim, aplicabilidades aos conteúdos

estudados. Mas essa é uma realidade muito pequena ainda.

Com relação as demais questões que foram propostas por nós, que são as

questões de números 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 22, 23. Tais questões foram elencadas

0

5

10

15

20

25

30

35

2 4 2 4

ROSA AMORIM

Análise das Questões 2 e 4

Sim Não

100% 100%

71%

23%29%

77%

100

para atender o objetivo de nossa pesquisa, cujo foco está no trabalho dos números

complexos dentro de uma concepção geométrica e histórica. Cremos que tais fenômenos

são de suma importância para levar aos alunos a compreensão dos conceitos que

envolvem esse estudo. Apenas a questão 23 que foi deixada com o objetivo de que o

aluno pudesse ter espaço para nos dar alguma informação a mais, que viesse a

acrescentar em nossa pesquisa.

A questão 6, remeteu os alunos aos fatos históricos do surgimento dos números

complexos. As demais questões, foram elaboradas de forma a articular os conceitos que

envolvem os números complexos e sua geometria. Dessa forma, para que o aluno

pudesse responder, ele deveria estar familiarizado com as transições de tratamento e

conversão dos registros semióticos que permeiam os números complexos, portanto era

necessário eles terem conhecimento de tais conceitos que envolvem esse conteúdo da

matemática.

Nosso propósito nessas questões era de verificar o domínio de quais saberes

esses alunos levaram consigo para o ensino superior.

Com exceção da questão de número 10, que aborda sobre o conjugado de um

complexo, conteúdo esse não trabalhado no Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014),

todas as demais questões, foram elaboradas utilizando-se esse material.

Naturalmente esperava-se que esses alunos apresentassem esses saberes, no

entanto o que concluímos é que:

I) Os alunos não têm noção dos fatos históricos que permeiam o surgimento dos

números complexos.

II) Apesar de o Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014), dar uma certa

contextualização geométrica no assunto porém deficitária, mas quando

olhamos para o assunto como um todo, o foco não é o aprendizado dos

números complexos e sim, se utilizar deles para resolução de equações

polinomiais, pode-se ver claramente nas respostas dos alunos, suas

dificuldades em transitar com os números complexos na sua forma geométrica.

Nenhum aluno conseguiu realizar a questão 22, que era uma operação

totalmente geométrica.

101

III) Os alunos demonstram não dominar as conversões congruentes, razão essa

do porque eles não compreendem os conceitos básicos dos números

complexos.

IV) Os alunos não dominam os conceitos básicos da operação de multiplicação. É

evidente que eles não perceberam o significado da operação de forma

geométrica.

V) Os alunos não aprenderam a lidar com as operações de potenciação e

radiciação de números complexos. Tais operações não são abordadas no

Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014).

Concluímos segundo os pressupostos teóricos de Raymond Duval (2003) que

para haver compreensão conceitual de um conteúdo, é necessário que os alunos

coordenem pelo menos, dois registros distintos de representação semiótica.

Da mesma forma que tratamos os resultados do questionário aplicado aos alunos

do Ensino Superior, faremos o tratamento das respostas frente ao mesmo instrumento

de produção de informações, aplicado aos alunos do Ensino Médio.

.

4.3 – Questionário: Resultados frente aos estudantes do Ensino Médio

O mesmo questionário aplicado para estudantes do Ensino Superior também foi

aplicado para uma amostra de 13 alunos de uma turma de 3ª série do Ensino Médio da

Escola Estadual Coronel Dias Campos, na cidade de Capela do Alto/SP.

Nesta unidade escolar a professora da turma, colega do Programa de Pós-

Graduação de Ensino de Ciências Exatas (PPGECE) da pesquisadora, desenvolveu o

conteúdo Números Complexos (operações e representação geométrica) de acordo com

a proposta do Currículo do Estado de São Paulo (SÃOPAULO, 2010). Nas palavras da

própria professora temos uma descrição mais detalhada do referido processo de ensino-

aprendizagem:

Conforme orientação do Currículo procurei não dar ênfase aos cálculos algébricos no estudo dos números complexos. Para

102

introduzir o conteúdo, procurei mostrar a necessidade da expansão dos conjuntos numéricos já conhecidos, através da resolução de uma situação-problema, onde a equação que traduzia o problema era uma equação cúbica e na sua resolução nos deparamos com uma raiz quadrada negativa. A partir daí procurei enfatizar o significado e a representação geométrica dos complexos no plano, bem como as escritas na forma algébrica e trigonométrica. Através do Geogebra construímos equações polinomiais e tivemos a oportunidade de visualizar a localização das raízes reais e complexas de tais equações. Trabalhei as operações com complexos apenas dando ênfase as transformações de suas imagens no plano (fragmento do diário de bordo da pesquisadora).

Quando a professora terminou o referido conteúdo, ela combinou com a

pesquisadora, a aplicação do questionário, o qual foi reduzido de uma questão em

relação aquele aplicado na turma de Engenharia Civil.

O objetivo deste instrumento de produção de informações foi diagnosticar os

saberes apreendidos sobre este conteúdo, durante o processo ensino-aprendizagem,

com base nas tarefas propostas no Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014). Este

diagnóstico foi fundamental para o planejamento das tarefas utilizando o Geogebra.

A seguir apresentamos os enunciados de cada questão e as análises a priori e a

posteriori relativas a um grupo voluntário de 6 alunas e 7 alunos concluintes do Ensino

Médio, sendo 12 deles com 17 anos e 1 aluno com 16 anos:


Matemática.








103

Em relação a esta questão, obtivemos 11 respostas da alternativa (b) e 2 respostas

da alternativa (a). Nossa expectativa era de que todos tivessem bem claro a situação do

surgimento dos conceitos da matemática e sua aplicabilidade. No entanto ainda há no

grupo 2 alunos que não tem clareza desse fato.



a) Sim b) Não

Nesse caso, todos responderam sim e essa era a nossa expectativa, uma vez que

os alunos haviam acabado de estudar sobre esse conteúdo e estavam em fase de

preparação para a avaliação.








Neste caso, esperávamos que os alunos percebessem que o surgimento dos

números complexos aconteceu através da busca por raízes de 3° grau.

O conteúdo de números complexos foi estrategicamente colocado no Caderno do

Aluno (SÃO PAULO, 2014), logo após a introdução do estudo de polinômios, onde há

uma pequena contextualização sobre o seu desenvolvimento histórico e as contribuições

de Cardano e Tartaglia. Dessa forma, esperava-se que os alunos lembrassem disso,

apesar da professora da turma ter nos informado que essa parte do conteúdo fora

estudado no segundo bimestre. Seis alunos assinalaram a alternativa (a) e um aluno

104

marcou a alternativa (c), contrariando nossa expectativa de que essas respostas não

seriam escolhidas. Os demais alunos (6) escolheram a alternativa (b). Neste sentido,

53,8% dos alunos não compreenderam os conceitos em relação ao surgimento dos

números complexos.



número real, como R$ 3,00, 7 metros, etc, enfim que representava uma

quantidade?

b) Sim b) Não

Nesta questão ficamos bastante surpresa, pois 12 alunos responderam não e

somente 1 respondeu sim, o que contrariou totalmente nossa expectativa, uma vez que

a professora relatou que abordou o Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014) e esta

questão foi planejada com base no volume 1, no qual a tarefa 6 (p.58)4, contém uma

solução via cálculo de uma raiz de um número negativo. O único aluno que respondeu

“sim”, quando solicitado a explicar como era o problema respondeu: “não sei explicar.”

5) Baseado no seu conhecimento de números complexos coloque V no verdadeiro e

F no falso.





4 6. Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal forma que o volume do cubo seja 4 m. O valor de x deve ser escolhido de tal forma que o volume do cubo seja 4 m³ maior que o do paralelepípedo. a) Escreva a equação que traduz a exigência a ser satisfeita pelo valor de x. b) Use a fórmula de Cardano-Tartaglia para determinar as raízes da equação do item a. A que conclusão você chega? Verifique diretamente na equação apresentada que x = 4 m é uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m, temos o cubo com volume de 64 m³ e o paralelepípedo com volume de 60 m³

105

Nessa alternativa 8 responderam (V) verdadeiro e 5 responderam (F) falso.

Esperava-se que todos respondessem falso, mas diante da resposta obtida no

exercício anterior, talvez devesse esperar 100% verdadeiro, já que os mesmos

alegaram não terem resolvidos problemas com contextualização em números

complexos. No entanto, percebe-se que existem 38,5% dos alunos que acreditam na

possibilidade de utilizar os complexos para resolução de situações contextualizadas.



Para esta proposição, obtivemos 7 respostas (V) verdadeira e 6 respostas (F)

falsa. Naturalmente que a ideia aqui era de que eles tivessem escolhido como falsa a

alternativa anterior e verdadeira essa alternativa. Reitera-se o que foi dito acima, que

existem alunos que acreditam na possibilidade da utilização dos números complexos

na resolução de problemas.



matriciais, etc.

Nessa alternativa, novamente obteve-se 8 (V) verdadeiro e 5 (F) falso, ratificando

o desempenho da afirmação anterior.


complexos?

a) Bombelli b) Argand c) Wallis d) Wessel

e) Gauss f) Hamilton g) Cardano h) Moivre

Ao colocarmos essa questão, a intensão era verificar se os alunos conseguiam

relacionar os fatos históricos com os seus protagonistas. Uma pessoa a alternativa (b), 2

106

na alternativa (c), 5 na alternativa (e), 7 na alternativa (g) e 1 não respondeu. Vale

ressaltar que os alunos poderiam escolher mais de uma alternativa e 2 alunos assim o

fizeram. Devido a construção da fórmula de Cardano, para resolução de equações do 3°

grau, os alunos relacionaram este matemático com o desenvolvimento conceitual dos

números complexos.

Apenas um aluno relacionou os nomes de Argand e Gauss, e cremos deve ser

pelo nome do plano geométrico para representação do número complexo. Outros dois

alunos relacionaram Gauss e Cardano.

Percebe-se que um único aluno desconhece totalmente o assunto e escolheu o

nome de Wallis, que dentre todos os listados, é o único que não tem contribuições para

o desenvolvimento dos números complexos, pois sua contribuição se restringiu a mostrar

os números complexos de forma geométrica. Fica claro também que devido o material

não trabalhar as fórmulas de Moivre para busca de resultados de potenciação e

radiciação de complexos, os alunos desconhecem a contribuição desse matemático.

7) Você já tentou resolver um problema de geometria utilizando os números complexos?

a) sim b) não

Acha que seria possível? _______________________________

Dado o conteúdo deste enunciado, sabíamos que os alunos aprenderam a

trabalhar com os números complexos na sua representação algébrica, na sua

representação geométrica ou gráfica e na representação simbólica (par ordenado). O

quadro de respostas foi: cinco alunos assinalaram “sim”, 7 marcaram “não” e 1 aluno não

respondeu.

O registro a seguir confronta a resposta dos cinco alunos, pois afirma que a

professora trabalhou nesta perspectiva:

107

Figura 28: Resposta de aluno EM


Quando questionamos “Acha que seria possível?”, 10 alunos responderam

afirmativamente e 3 não responderam essa indagação, sendo que um deles afirmou que

não entendeu a pergunta.

Nesse aspecto, esperávamos que todos tivessem respondido afirmativamente, por

se lembrarem da resolução da questão 6, p. 58 do Volume 1 do Caderno do Aluno (SÃO

PAULO, 2014), o qual comentamos na questão 4, deste questionário.

Isto se deve ao fato de haver uma única situação no Caderno do Aluno (SÃO

PAULO, 2014) cuja contextualização deveria ser tratada com mais intensidade,

mostrando a aplicabilidade dos números complexos, desmistificando a ideia de que

estudo trata-se de algo totalmente desconexo em relação à matemática.



a) Sim b) Não


número 2+3i

Neste caso era esperado que os alunos não apresentassem qualquer problema

para responder esse questionamento, uma vez que eles trabalharam em sala com a

representação algébrica este tipo de representação, segundo depoimento da professora

da turma.

108

Obtivemos 11 respostas afirmativas e 2 respostas negativa. Na segunda parte da

questão pede-se aos alunos representar o número 2 + 3i geometricamente, porém, nove

alunos representaram apenas o par ordenado, ou seja, apenas o ponto, sem indicar o

vetor. Os outros dois não responderam


Nossa intenção era verificar a mobilização de registros de representação

semiótica, no caso, a transição do registro na forma do par ordenado (a,b) para a forma

algébrica z=a+bi.

Ficamos surpresos com o desempenho dos alunos, pois esperávamos que os alunos

não tivessem a menor dificuldade em responder, uma vez que o assunto foi trabalhado

em sala de aula. Dos 13 alunos participantes, 10 não responderam, e alguns informaram

que não se lembrava como fazê-lo, 2 erraram, pois fizeram representação geométrica e

somente 1 acertou.



Ao indicarmos essa questão, tínhamos em mente que nenhum dos alunos seria

capaz de responder, uma vez que no Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014) o conceito

de conjugado não é tratado.

Alguns alunos no momento da aplicação do questionário, indagaram sobre o que

se tratava, ao qual tivemos que dizer que não seria possível de nossa parte responder

naquele momento, devido aos objetivos da pesquisa. No entanto, alguns tentaram

responder mesmo sem o referido saber houve 2 acertos, 6 erros. O que nos chamou a

atenção foi o fato de obtermos 2 acertos. Cremos que esses dois alunos, acertaram no

chute, já que a professora não tratou o conceito em aula.

Alguns deles, intrigados por saber o que era o conjugado, ao retornarem para a

aula, questionaram a professora regente sobre tal assunto e ela, prontamente respondeu.

109


o seu conjugado?

Esperávamos também não obter respostas em relação a esse item, já que como

afirmamos anteriormente, eles não estudaram sobre o conjugado de um número

complexo. Mesmo assim, três deles tentaram responder, porém, sem sucesso.

A ideia aqui era intriga-los no sentido de perceberem que existem outros conceitos

além daqueles abordados em sala de aula. Nossa intensão realmente funcionou, pois

além de nos questionarem, eles indagaram a professora regente sobre o assunto. Este

mesmo questionamento retornou em nossas tarefas aplicadas com o Geogebra, cujo

objetivo era mostrar que a referida soma resulta um número real.



a) Teorema de Pitágoras b) Regra do Paralelogramo

c) Teorema de Tales d) Regras Trigonométricas

e) Teorema de Bhaskara

Esperava-se que os alunos não tivessem o menor problema em responder essa

questão, visto que a operação de soma e subtração de números complexos é básica e a

observação da formação da regra do paralelogramo é importante até mesmo para

articular o estudo dos números complexos aos conceitos da Física. No entanto, somente

1 aluno acertou respondendo a alternativa (b). Os outros, 7 responderam Teorema de

Pitágoras e 5 responderam Regras Trigonométricas, 2 responderam Teorema de

Bhaskara, 1 escolheu Regra do Paralelogramo e 2 dos alunos escolheram duas opções.

O desempenho dos alunos mostrou-nos um desconhecimento de tal relação,

tendo em vista que no Caderno do Aluno não há um tratamento dos números complexos

110

via regra do paralelogramo. Naturalmente isso não impede que o professor aborde esta

relação em sala de aula. A importância de articular esse conteúdo à Física faz com que

o aluno perceba a contextualização desses números com fenômenos desta área.

13) Ao tomarmos um número complexo z, pertencente ao primeiro quadrante do

plano, se multiplicarmos este complexo z por i (unidade imaginária), onde estará

a imagem resultante?

O conteúdo desta questão é tratado no Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014).

No entanto, obtivemos 3 acertos e 3 erros. Em um dos erros, o aluno faz a observação

de que ocorre um giro de 90° em relação ao número complexo dado, porém sua resposta

remete o número ao quarto quadrante, como se a multiplicação fosse realizada com (-i).

Cremos que o aluno confundiu.

De qualquer forma, a quantidade de alunos que não fizeram ou erraram foi grande,

o que deixou-nos intrigados. O desempenho dos alunos tem-nos mostrado que o déficit

de compreensão sobre números complexos gerou como consequência dificuldades na

mobilização de diferentes registros de representação semiótica.

14) (2+3i) + (5 + 2i) =

Nesta questão, 12 alunos acertaram e 1 errou. Observamos que no erro o aluno

fez a multiplicação e não a operação de soma como foi solicitado. Porém, desenvolveu a

operação de multiplicação corretamente, conforme protocolo a seguir:

111



15) (4, 5) + (2, 6) =

A expectativa era de um bom desempenho na operação, pois apenas mudamos a

forma do registro de representação semiótica, quando comparado à questão 14. No

entanto, somente 4 acertaram a operação, os demais erraram. Os alunos apresentaram

dificuldades quanto à mobilização dos registros semióticos, como o caso de dois alunos

que apresentaram a resposta (6 + 11). Cremos que os mesmos pensaram no número

complexo na sua forma algébrica e por isso colocaram o sinal operatório, porém essa

forma de representação está errada.

Houve casos como o protocolo que apresentamos a seguir, que não foi possível

ter clareza sobre o que o aluno pensou ao resolver a operação:



16) (2 + 3i) . (5 + 2i)=

112

O desempenho dos alunos na parte operatória foi, novamente, insatisfatório;

contrariando nossa expectativa. Apenas 3 acertaram a questão. Dois alunos aplicaram a

propriedade distributiva corretamente, mas não finalizaram a operação, pois não

souberam o que fazer com i², conforme mostramos no protocolo a seguir:


Fonte: material da Autora

17) (4,5) . (2, 6) =

Nesta questão mudamos a forma de apresentar o registro de representação

semiótica, mantendo a operação de multiplicação. O número de acertos foi pior ainda; 11

alunos erraram e 2 não fizeram.

Analisando os erros, percebemos que alguns deles erraram ao fazer a leitura,

confundindo o par ordenado com o número escrito na sua forma decimal. Neste caso o

déficit de compreensão foi representativo, pois se o assunto que estava sendo tratado

era os números complexos, não haveria o porquê cometer o engano de ler o par ordenado

na forma decimal. A seguir apresentamos um protocolo ilustrativo deste déficit:

113



18) (2 + 3i)² =

Apesar do Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014) não abordar a operação de

potenciação, os alunos poderiam recorrer às propriedades de produtos notáveis para

resolver a questão. No entanto, somente 1 aluno acertou a aplicação do produto notável,

os demais erraram e, em sua maioria, elevaram ao expoente 2, somente o primeiro e o

segundo termo, como no protocolo a seguir:



114

Em outros casos, elevaram ao expoente 2, somente o primeiro e o segundo termo,

mas esqueceram nesse processo errôneo de elevar a parcela i ao expoente 2:



19) 5)22( i =

No caso dessa questão não esperávamos que os alunos fizessem essa operação,

muito embora partíssemos do pressuposto de que como são alunos do 3° ano do ensino

médio, haveria a possibilidade de alguns deles tentarem resolver de forma algébrica,

operando a multiplicação cinco vezes do número complexo por ele mesmo. Realmente

todos tentaram resolver e todos erraram. Observando os resultados, em 7 deles a

resposta foi a mesma, utilizando o procedimento errado do produto notável da questão

anterior, ou seja, encontraram 32 + 32 i².

Esperávamos que alguns deles até nos respondessem que não sabiam fazer pois

não aprenderam. Nesse aspecto, fiquei surpresa, pois todos tentaram resolver, apesar

que por caminhos totalmente errados.



115



20) i125 =

Em relação a esta questão, nossa expectativa era de que ninguém fizesse, pois

afinal esse conteúdo realmente não é explorado no Caderno do Aluno (SÃO PAULO,

2014). Os resultados foram de encontro a nossa expectativa.




da região.


Planejamos o enunciado desta tarefa inspirado no contexto do Caderno do Aluno

(SÃO PAULO, 2014). Nossa intenção era observar a percepção dos alunos quanto ao

116

processo de translação. Somente 7 alunos conseguiram realizar a questão de forma

correta, tanto na primeira como na segunda parte; explicando o que ocorreu com a região

triangular.

Dos seis alunos que erraram a questão, três deles não responderam a segunda

parte da questão. Nesse caso, observamos que os alunos têm dificuldades em lidar com

as conversões, nos processos das representações dos registros semióticos.


Nosso objetivo era verificar que saberes foram apreendidos pelos alunos sobre

números complexos. Nesta tarefa, 6 alunos não responderam e 3 apresentaram

respostas sem sentido, como por exemplo: plano cartesiano.

Alguns alunos citaram como aplicação o cálculo de raízes de polinômios do 3° grau.

Infelizmente, o Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014) tem este enfoque. Claro que é

importante, porém, seria necessário expandir o campo de aplicações

A resposta de uma aluna muito nos chamou a atenção conforme pode ser

visualizado na figura 37:

Figura 37: Resposta de aluna EM


Essa resposta vem de encontro com aquilo que pensamos de que o conteúdo

precisa ser melhor trabalhado e articulado com relação a aplicabilidade, pois da maneira

como é tratado, passa a ideia de que não serve para muita coisa e que esses números

são realmente frutos da imaginação de alguns lunáticos. Tais números não são

117

misteriosos, mas da maneira como vem sendo trabalhado, é o que representa na cabeça

de muitos alunos.

Quando comparamos os dois grupos, o Grupo 1 (alunos do 2° semestre de

engenharia civil) e o Grupo 2 (alunos do 3° ano do ensino médio) em relação aos saberes

demonstrados entre esses dois grupos, percebe-se que ambos estão no mesmo nível de

proficiência em relação ao conhecimento.

Ao observarmos os gráficos 3 e 4, no que diz respeito aos acertos e erros de

algumas questões foi notório as mesmas dificuldades encontradas nos dois grupos.

Somente nas questões de número 3 e 14 é que o Grupo 2 superou em acertos em relação

ao Grupo 1 (Gráfico 3). No Gráfico 4, estão relacionadas as questões 2, 4,7 e 8, em que

os alunos deveriam optar por sim ou não em relação a questão. Lembramos que as

questões todas estão elencadas no Anexo A.

Gráfico 3: Comparativo das questões 1, 3, 14, 15,16,17,18,19 e 20


118

Gráfico 4: Comparativo das questões 2, 4, 7 e 8


Minhas expectativas iniciais era de que os alunos do ensino médio (Grupo 2),

pudessem ter superado as dificuldades demonstradas pelos alunos do ensino superior

(Grupo 1).

Acreditávamos que os alunos do Ensino Superior, por já estarem a algum tempo

sem ter contato com o conteúdo, iriam ter dificuldades, o que realmente ocorreu, porém,

para os alunos do ensino médio, foi criada outra expectativa, uma vez que eles acabaram

de aprender o conteúdo. Aplicamos esse questionário, na mesma semana em que a

professora regente da turma aplicou a prova referente a esse conteúdo.

Verificamos que os alunos do Ensino Médio apresentaram as mesmas

dificuldades em transitar pelos registros de representação semiótica que os alunos

universitários. Tais constatações me levaram a reformular as Tarefas 1, 2 e 3 que foram

aplicadas a seguir, com a utilização do Geogebra. Nos preparamos para uma situação

em que esperava dos alunos maiores saberes e domínios nas articulações com os

registros de representação semiótica.

119

Os alunos participantes da pesquisa apresentaram muitas dificuldades, devido

à falta de domínio de saberes básicos, não alcançados no decorrer dos estudos no

Ensino Fundamental. Por exemplo, o desenvolvimento dos produtos notáveis é

fundamental para a compreensão de conceitos que envolvem os números complexos e

suas operações.

Apesar dessas dificuldades apresentadas pelos alunos, ratificamos que a

aprendizagem dos números complexos é importante e o seu estudo não pode ser

descartado do currículo do Ensino Médio, como é feito nos documentos curriculares

atuais.

4.4 - Tarefas

A aplicação das tarefas com a utilização do Geogebra ocorreu em cinco

encontros, sendo às quartas-feiras, nas duas últimas aulas do período matutino, durante

o período de 27 de Agosto a 8 de Outubro de 2014.

As aplicações das Tarefas 1, 2 e 3, ocorreu na sala de informática da escola, pois

a nossa intensão era observar e fazer com que os alunos utilizassem a ferramenta

Geogebra para resolver as atividades propostas em cada Tarefa.

Vale salientar que o trabalho talvez tenha sido prejudicado em sua ideia inicial

devido a vários fatores, como por exemplo:

1° - Não conseguimos aplicar as atividades em uma semana fechada, uma vez que os

encontros ocorreram às quartas-feiras, nas duas últimas aulas, que eram aulas da

disciplina de matemática. Após 1 semana, os alunos já não lembravam as atividades

realizadas na tarefa anterior, ou como utilizar os recursos do Geogebra.

2° - Alguns encontros foram prejudicados, pois ao chegar na escola para aplicação da

atividade, a pesquisadora descobriu que a escola havia marcado alguma atividade extra,

no horário pré-agendado para a aplicação da pesquisa. Em uma das vezes, a maioria

dos alunos da sala havia saído para uma excursão programada pela escola. Outra vez,

foi apresentada uma peça de teatro, fatos esses que nos levou a adiar as aplicações das

atividades, fazendo com que os alunos distanciassem das atividades realizadas

anteriormente, dificultando as aplicações.

120

3° - Um outro aspecto importante a salientar é que devido à falta de manutenção dos

equipamentos da Rede Pública e a forma de gerenciamento dos equipamentos, tivemos

perda de material, uma vez que em uma das vezes o computador desligou-se, e como

ele está programado para não salvar nenhum arquivo, perdemos o material de um dos

nossos alunos. Em outro momento, o sistema operacional travou e o computador acabou

por reiniciar, deletando todos os arquivos da Tarefa realizada pelo aluno. Vale salientar

que se um professor da própria Unidade Escolar resolver levar seus alunos na sala de

informática para uma aula diferente, onde se utilize algum software para construção de

algum conhecimento, e caso ocorra uma falta de energia momentânea, isso fará com que

a aula do professor seja inteiramente perdida, visto que os computadores das Escolas

Públicas Estaduais estão programados para deletarem todas as informações salvas ou

não, no momento em que o equipamento desligar. Em nossa visão, entendemos que não

é possível deixar as máquinas abarrotadas com arquivos e lixos, porém cremos que a

melhor forma de manutenção seria que ao final do expediente, o aluno monitor contratado

pela Rede Estadual para acompanhar a sala de informática, desse um comando a partir

do servidor local para que limpasse a máquina. Se assim fosse, não teríamos perdido os

nossos arquivos, e que acabaram por prejudicar essa nossa pesquisa, mesmo sabendo

que os alunos em questão, realizaram corretamente a construção da atividade solicitada

no Geogebra.

Apresentamos a partir de agora as Tarefas 1, 2 e 3 separadamente, com suas

respectivas análises a priori e posteriori.

A Tarefa 1 foi constituída de 6 alternativas, a saber, A, B, C, D, E e F. O propósito

da Tarefa 1 era levar o aluno a refletir sobre o processo da construção das operações de

adição e subtração, com a utilização do Geogebra, pois esse instrumento facilita a

validação de hipóteses, uma vez que ele é flexível no sentido de poder se movimentar o

número complexo escolhido, permitindo assim visualizar que o resultado da operação

acompanha o movimento. Outro aspecto que queríamos que os alunos pudessem

visualizar era em relação ao conjugado de um número complexo. Nossa intensão era de

permitir que os alunos observassem e tirassem conclusões a respeito de um número

complexo comparado ao seu conjugado, além de estabelecer relações. O terceiro

121

propósito dessa tarefa, estava a questão de perceber se os alunos conseguiriam

estabelecer a relação da regra do paralelogramo para a adição e subtração.

Na Tarefa 2, constituída das alternativas A, B, C, D e E, nosso propósito era levar

o aluno a refletir sobre as relações envolvendo os ângulos e os módulos dos números

complexos, nas operações de multiplicação e divisão, fazendo os alunos compararem as

duas operações com o intuito de verificarem que essas relações são inversas. Em todas

as tarefas a ideia sempre era fazer o aluno refletir sobre seus resultados escritos, quando

comparado com a operação geométrica, ou seja, a ideia era de mostrar que os números

complexos não são somente símbolos quaisquer sem significado, mas que sua

compreensão envolve conceitos geométricos. Observamos aqui que, devido ao fato de o

Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014) não trabalhar com o processo da divisão, fomos

movidos a demonstrar um exemplo nesta tarefa, de como ocorre o processo operatório

matemático para a resolução dessa operação. A contribuição do Geogebra aqui é grande,

pois ele permite a observação do módulo e do ângulo muito rapidamente para cada

escolha tomada pelo aluno. Caso se movimente o número complexo, é possível validar

as hipóteses sugestionadas.

Para a Tarefa 3, constituída das alternativas 1, 2, 3, 4 e 5, abrangia dois aspectos,

sendo que o primeiro era complementar à Tarefa 2, ou seja, levar o aluno a articular as

conclusões sobre os módulos e ângulos na operação de multiplicação e divisão e usar

esse fato para representar e trabalhar com os números na sua forma trigonométrica.

Observamos aqui que o Geogebra é limitado e não nos oferece aprofundamentos com a

forma trigonométrica de representação dos números complexos. O outro aspecto que

queríamos que os alunos observassem, estava relacionado à condição de se ter uma

figura geométrica no plano (no caso escolhido foi um quadrilátero) e o resultado ao se

operar multiplicações com os vértices do quadrilátero, que eram números complexos.

Neste segundo caso, a contribuição do Geogebra é grande, por permitir a validação de

hipóteses, uma vez que posso alterar o número complexo, alterando a estrutura da figura

formada e a validação em relação as hipóteses permanecem.

Na Tarefa Final, constituída de três questões, nosso propósito era ter um feedback

do alunos, do impacto que a pesquisa lhes causou e principalmente se eles viram o

122

Geogebra como um facilitador do aprendizado. A Tarefa Final foi aplicada conjuntamente

com a Tarefa 3.

A seguir apresentamos a análise a priori e a posteriori de cada uma das tarefas

propostas aos nossos alunos do Ensino Médio; participantes voluntários do trabalho de

campo da nossa pesquisa.

4.4.1 – Análise a Priori e Posteriori da Tarefa 1

A Tarefa 1 foi composta de 6 alternativas (A, B, C, D, E e F) que direcionava os

alunos na realização das atividades. Para esta atividade, contamos com a participação

de 12 alunos.

Figura 38: Alternativas A e B


Verificamos que nenhum aluno teve dificuldade em compreender o que estava

sendo solicitado na alternativa A. As dificuldades que todos apresentaram estava no fato

de não conhecerem a ferramenta Geogebra. Para tanto, em um primeiro momento

123

pedimos que eles explorassem um pouco a ferramenta, para adquirir familiaridade com

o software. Com a utilização de um Datashow procuramos mostrar alguns dos recursos

que iríamos utilizar, como forma de orientá-los na utilização da ferramenta.

Na alternativa B, procuramos explicar rapidamente como obter o conjugado de um

número complexo, pois como já foi dito anteriormente esse assunto não é abordado na

apostila do aluno, e portanto, eles não sabiam o que era. Nos limitamos a informar apenas

como obter o conjugado do número e observar a maneira como eles perceberiam os

demais conceitos. O que se pretendia ao solicitar a realização dessa atividade era que

eles pudessem observar dois aspectos importantes em relação ao número complexo e

seu conjugado. O primeiro é que eles são simétricos, logo, eles possuem o mesmo

módulo e mesmo ângulo em relação ao eixo de simetria (eixo real do sistema Argand

Gauss). Isso é o que foi solicitado na alternativa B.

Ao observar os resultados desta alternativa, conclui-se que alguns alunos tiveram

uma percepção parcial. Talvez, há entre esses alunos aqueles que tenham percebido,

porém não conseguiram se expressar para explicar o que visualizaram. Percebe-se que

muitos alunos possuem dificuldades em relação a alfabetização matemática e/ou

relacionada as conversões das representações semióticas, e isso os atrapalha nas

conclusões lógicas quando solicitadas. Podemos concluir ainda que esses alunos

apresentam dificuldades em relação à conversão do registro algébrico ou o registro

gráfico para o registro linguístico dentro registros de representação semiótica.

Na verdade, observa-se em todas as atividades e tarefas aplicadas que os alunos

apesar de realizarem muitas atividades até com certa facilidade no Geogebra, na hora

de transcreverem suas conclusões na forma da língua natural, apresentam grandes

dificuldades em explicar de forma clara o que realmente observaram. Segundo Duval

(2009, p.78),

As unidades significantes de um gráfico correspondem aos valores de diferentes variáveis visuais (DUVAL, 1988, P.240-242). O aluno que não as discrimine é como cego para a conversão inversa da que é classicamente ensinada. Isso quer dizer que ele tem poucas chances de fazer uma leitura “correta” dos gráficos.

124

Um dos alunos, respondeu que os dois vetores possuem o mesmo ângulo em

relação ao “zero”. Percebe-se que o aluno queria dizer eixo de simetria. Outros três

alunos responderam que ambos os números, possuem o mesmo módulo. Outro aluno

indica que os números são “espelhados” em quadrantes diferentes. Entendemos nesse

caso que o aluno percebeu a simetria, porém não soube expressar-se de forma correta

e por isso usou a informação “espelhados”, pois não indicou em relação a qual eixo ocorre

o espelhamento. Outros dois alunos informaram que o conjugado acontece no “quarto

quadrante”, ou seja, há mudança de quadrante. Outros três alunos perceberam que a

parcela real do número permanece inalterada, e que na parcela imaginária ocorre uma

troca de sinal. Essa conclusão cremos que é muito primária e esperávamos algo além.

Os outros dois últimos alunos não souberam responder, ou seja, suas respostas são

totalmente sem sentido, o que deixa claro que tais alunos possuem grandes dificuldades

em relação ao aprendizado matemático. Como se vê na figura abaixo, o aluno não

respondeu o que foi questionado, ou seja, qual a relação entre o número complexo e seu

conjugado. Ele somente explicou em sua visão o que é o conjugado, porém ao alegar

que “o imaginário fica negativo”, naturalmente entendemos que ele está se referindo a

parcela imaginária do número, porém não pensou que se o número complexo tomado já

possuir sua parcela imaginária negativa, o conjugado desse número apresenta uma

parcela imaginária positiva.

Figura 39: Alternativa B – Resposta do aluno L


125

Figura 40: Alternativa C


Em relação a alternativa C procuramos fazer o aluno refletir sobre o segundo

aspecto importante na relação de um número complexo com o seu conjugado, que está

no fato de que a operação de adição entre eles, torna o resultado um número real e

encontramos o resultado no eixo de simetria. Esperava-se que os alunos tivessem essa

percepção. Ao solicitar ao aluno que movimentasse o número complexo escolhido, a ideia

era que ele percebesse que para qualquer número complexo quando somado com o seu

conjugado o resultado é um número real, ou seja, esperava-se que eles percebessem

que esses conceitos sempre serão válidos, para qualquer número complexo escolhido.

Figura 41: Geogebra - Alternativa C – Resposta da aluna B


126

Em relação a esse item, uma aluna conseguiu se posicionar no sentido de que a

operação entre o complexo e seu conjugado, torna o número um real. Percebeu ainda

que o resultado da soma se altera, quando se movimenta o z1 de tal maneira que o z2

deixa de ser o conjugado, porém se movimentar o z2 colocando na condição de

conjugado, a relação de soma entre eles retorna a obter como resultado um número real.

Muito embora a aluna não tenha escrito toda essa informação, mas ela nos respondeu,

quando fomos questionando o que acontecia.

Outros quatro alunos não perceberam que o resultado da soma gera um número

real, mas perceberam que ao movimentar o z1, o resultado da soma também alterava,

pois “é diretamente dependente da posição do z1” Um outro aluno respondeu que o

módulo não muda, continuará o mesmo ao se movimentar o z1, o que nos deixou claro

que o aluno ou não movimentou o z1, ou não compreendeu o questionamento, visto que

a realização da operação foi feita de forma correta, pelo que observamos em seu arquivo

salvo.

Um outro aluno não compreendeu o questionamento e respondeu que o “a dobrou

e o b diminuiu”. O aluno aqui está se referindo a parte real e imaginária do número

complexo, que ao realizar a soma, dobra a parte real e a imaginária zera. Percebe-se que

este aluno tem dificuldades em expressar sua percepção, além de não fornecer todas as

respostas pedidas. Em seu arquivo verifica-se que o aluno realizou a operação de forma

correta, porém tem dificuldades em expressar suas percepções.

Os outros cinco alunos se limitaram a realizar a operação no Geogebra, não nos

respondendo quais foram suas percepções. Desses cinco alunos, dois deles não

conseguiram realizar corretamente a operação na ferramenta Geogebra, como pode-se

observar na imagem abaixo:

127

Figura 42: Geogebra – Alternativa C - Resposta do aluno G


Figura 43: Alternativa D


Para a resolução dessa tarefa, eu tive que ler com eles e orientar o que estava

escrito e o que estava sendo pedido. Vários alunos reclamaram alegando não estar

entendendo. Lembrei a eles que isso era uma pesquisa e que o objetivo era justamente

procurar entender o que eles não compreendiam. Percebemos que na verdade eles estão

128

acostumados a não serem desafiados, eles estão acostumados com as coisas prontas;

deixando de lado o exercício do “pensar”.

Esperávamos que os alunos não apresentassem qualquer dificuldade em realizar

a tarefa e que tirassem as conclusões corretas em relação à figura formada

(paralelogramo) e que observassem que o vetor soma era a diagonal maior do

paralelogramo. Nossa expectativa estava pautada no fato de que nas aulas da disciplina

de Física, os alunos aprenderam sobre a relação da operação de soma entre forças, onde

se utiliza a regra do paralelogramo.

Figura 44: Aluna C realizando atividade no Geogebra


Dois alunos perceberam que a figura formada era um paralelogramo e que os

lados opostos aos vetores tomados eram iguais (mesma medida). Um desses alunos

percebeu ainda que se ele movimentasse um dos complexos escolhidos, a relação de

igualdade com os vetores dos lados opostos e também com o vetor soma, permanecia a

mesma, porém, ambos não informaram que o vetor soma era a diagonal maior do

paralelogramo.

129

Outro aluno percebeu também que a figura formada era um paralelogramo, porém

tirou conclusões errôneas em relação a operação de soma. Um quarto aluno apenas

informou que havia obtido um paralelogramo. Outro aluno percebeu que o vetor soma

mantém a relação com os vetores z1 e z2 escolhidos quando ocorre o movimento de

algum deles, porém o aluno concluiu que a figura formada era um losango. Outros dois

alunos apenas observam que a figura formada é um quadrilátero. Outros três alunos

informaram que a figura formada é um prisma, sendo que um deles porém ressalta que

quando se movimenta um dos vetores, o vetor resultante (soma), acompanha o

movimento. Outro aluno não respondeu e o último aluno não conseguimos entender suas

conclusões. Em nossa expectativa, esperávamos um pouco mais em relação ao que foi

obtido.

Figura 45: Geogebra – Alternativa D - Resposta da aluna SB


130

Figura 46: Alternativa E


Na alternativa E, a expectativa era que os alunos percebessem o mesmo tipo de

relação que ocorre na operação da soma, também ocorre na operação da subtração, com

a diferença de que o vetor diferença é representado pela diagonal menor do

paralelogramo. Também esperava-se que eles percebessem que ao se movimentar um

dos vetores, a relação sempre permanece.

Muito nos surpreendeu as respostas dadas pelos alunos, pois 9 deles perceberam

que as igualdades modulares entre os vetores opostos permaneciam e, que se

movimentassem qualquer um deles, a relação entre os vetores z1, z2 e o vetor subtração

também permaneciam, porém, não relacionaram a operação de subtração com a figura

do paralelogramo. Um dos alunos apenas informou que a “linha da subtração é metade

da linha da soma”, ou seja, chamou o vetor de linha.

Outra aluna creio que confundiu-se e na hora de responder, trocando a subtração por

soma, disse: “indepente da onde movimentada não altera a soma”, vê-se que o aluno tem

dificuldades inclusive em expressar-se na língua natural. O último aluno apenas

escreveu: “Nenhuma conclusão”.

Na figura 47 observa-se o protocolo de registro da aluna C, onde ela mostra o

resultado dos registros das operações de soma e de subtração envolvendo dois números

complexos. É possível visualizar o paralelogramo formado e as diagonais do

paralelogramo como resultado das operações.

131

Figura 47: Geogebra – Alternativa E - Resposta da aluna C


Figura 48: Alternativa F


Na última alternativa (F), esperava-se claramente que os alunos respondessem

que o vetor soma é a diagonal maior do paralelogramo e o vetor subtração é a diagonal

menor do paralelogramo.

Em relação as conclusões obtidas pelos alunos aqui, observa-se que apenas dois

deles vincularam os vetores resultantes às diagonais do paralelogramo, sem contudo,

informar qual representava a diagonal maior e qual representava a diagonal menor.

132

Outros dois informaram que o vetor ao dividir a figura inicial (paralelogramo) formou

triângulo. Muito embora essa observação seja verdadeira, não era a que esperava-se.

Todos os demais alunos deram informações que não correspondem ao questionado.

Nesta etapa de aplicação da tarefa, tivemos bastante dificuldades, na transição do

paradigma de dar ao aluno “tudo mastigado”, para o paradigma de deixar por conta deles

o processo de reflexão e busca pela construção de saberes.

Apesar disso tudo, penso que foi positivo, pois quando os alunos conseguiam

concluir a tarefa no Geogebra, havia uma satisfação pessoal por ter conseguido. Outro

ponto fundamental era a questão da descoberta. Notadamente percebia que eles

passaram a compreender melhor o processo operatório, muito embora apresentando

enormes dificuldades em se expressar corretamente na linguagem natural escrita, todas

as suas percepções. Tal fenômeno ocorre visto que a conversão dos registros

geométricos computacionais não é congruente.

De acordo com Duval (2012, p. 284):

... quando não há congruência, não somente a conversão torna-se custosa em termos de tempo de tratamento, mas pode criar um problema diante do qual o sujeito se sente desarmado e a possibilidade de conversão não vem mais à mente.

Outro ponto importante a ressaltar que a dificuldade que os alunos têm em transitar

entre os registros de representação semiótica, os leva a dificuldades na compreensão de

conceitos muitas vezes simples, como vimos na alternativa B que envolvia a comparação

de um número complexo e o seu conjugado.


A Tarefa 2 foi realizada 15 dias após a aplicação da Tarefa 1, devido a escola ter

programado uma excursão de última hora, onde envolveu os alunos da turma que

estávamos aplicando a pesquisa, sendo que a maioria dos alunos não estava presente

naquele dia. Para essa atividade contamos com a participação de 10 alunos, ou seja, 2

dos alunos que anteriormente participaram, decidiram não participar e entendemos que

era devido a dinâmica de trabalho proposta para a pesquisa. Não estávamos lá para

133

ensiná-los o conteúdo, mas fazê-los pensar, refletir e tirar conclusões sobre as atividades

propostas abrangendo o conteúdo que já havia sido ministrado pela professora regente

da sala. A Tarefa 2 foi composta pelas alternativas A, B, C, D e E.

Figura 49: Alternativas A e B


Nas alternativas A e B desta tarefa, esperava-se que os alunos realizassem os

cálculos encontrando os resultados e depois usassem o Geogebra para verificar e validar

seus resultados.

Para a alternativa B, tivemos que ajudá-los com a utilização da calculadora para

obtenção do valor do ângulo, visto que os mesmos não sabiam manipular a ferramenta

para obtenção do resultado.

Algo que nos chamou a atenção foi o fato de que todos tinham em mente de que

seus resultados tinham que ser iguais ao do software e nos casos em que os resultados

deram diferentes, os alunos (três deles), nos chamaram para nos informar que os

resultados não estavam iguais. Então solicitei que verificassem se seus cálculos estavam

corretos e questionei também se seria possível o software estar com informação errônea,

o que foi contestada pelos três alunos. Todos os três ao verificarem seus cálculos,

encontraram o erro e finalmente concluíram que os resultados do software eram

verídicos.

134

Figura 50: Alternativas A e B – Respostas do aluno I


Sempre solicitávamos aos alunos, em todas as atividades, que eles devessem

sempre arrastar o número complexo para outras posições para verificar se os resultados

eram válidos. A ideia em questão era sempre validar as operações utilizadas nas

resoluções dos números complexos.

Figura 51: Alternativas C e D


A ideia por de trás dessas alternativas era validar a operação utilizada na

multiplicação de números complexos, além de levá-los a refletir na relação existente entre

135

os módulos e os ângulos dos números escolhidos, com o módulo e o ângulo do complexo

resultante do produto.

Neste caso, todos os alunos conseguiram perceber que a relação entre os

módulos acontece através da multiplicação e a relação entre os ângulos é através da

adição. Os alunos não tiveram dificuldades na realização dessa parte da tarefa.

Figura 52: Geogebra – Alternativa C e D – Resposta do aluno I


Ao acompanharmos a aplicação da tarefa junto aos alunos, pudemos observar que

eles conseguiam perceber na figura, a relação entre os módulos dos vetores com o vetor

produto, bem como a relação entre os ângulos dos vetores quando comparado com o

vetor produto. No entanto, ao verificarmos a produção escrita ficamos bastante

decepcionadas, pois observa-se claramente a dificuldade que os alunos têm em

expressar corretamente suas conclusões. Vê-se que as frases são soltas, não explicam

corretamente, conforme apresentação dos dois protocolos a seguir:

136

Figura 53: Alternativas C e D – Resposta da aluna M


Figura 54: Alternativa E


Para a realização da atividade proposta na alternativa E, colocamos o exemplo

explicativo de como se opera a divisão de complexos, pois os alunos não aprenderam a

137

fazer essa operação, visto que o Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014) não contempla

essa parte do conteúdo, o que julgamos ser um grande erro.

Um aluno observador poderia elaborar o seguinte questionamento: mas se existe

a operação de soma, subtração, multiplicação, porque não há a divisão? A potenciação?

A radiciação?

Dessa maneira, como pretendíamos que os alunos fossem capazes de observar

as semelhanças e diferenças nas operações que envolvem a multiplicação e a divisão,

envolvendo seus módulos e ângulos, fomos levados a dar algumas poucas explicações

a respeito do exemplo. Os alunos desenvolveram suas atividades matemáticas com base

na comparação do nosso exemplo para realizarem a operação. Explicamos ainda a eles

que não é conveniente deixar uma raiz no denominador, no caso em questão, a parcela

“i”, e por isso utilizamos o processo da racionalização o qual eles já haviam aprendido

anteriormente. Não nos aprofundamos em nossas explicações, pois não era o nosso

objetivo.

Realmente nesse caso ficamos bastante surpresas com as conclusões dos alunos,

pois apesar de terem um pouco de dificuldade na realização do cálculo, 90% dos alunos

conseguiram realizar de forma correta e concluíram de forma correta o resultado no

Geogebra. Eles perceberam que as relações que envolvem a divisão são inversas em

relação as relações da multiplicação. No entanto, a conclusão no registro linguístico, nos

preocupou bastante. Somente uma aluna não conseguiu efetuar operação, pois errou

nos cálculos.

No protocolo da aluna SB (figura 56), pode-se observar que apesar da aluna não

ter aprendido a operação de divisão, uma vez que a professora regente seguiu o Caderno

do Professor e do Aluno (SÃO PAULO, 2014) e tal abordagem não está presente nesse

material, tínhamos motivos para crer que os alunos encontrariam muito mais dificuldades

em realizar essa tarefa escrita. No entanto, observa-se que a mesmo conseguiu realizar

a operação.

A tarefa não se limitava a resolução escrita. Era necessário fazer a construção

utilizando a ferramenta Geogebra. De acordo com o enunciado, foi solicitado que o aluno

procurasse observar as relações entre os módulos e os ângulos dos números complexos

138

tomados para realizar a operação de divisão e relacionasse com o módulo e ângulo do

número complexo resultante.

Figura 55: Aluna SB realizando operação de multiplicação com ajuda do Geogebra


Deixamos abaixo o protocolo de registro sobre as conclusões que a aluna em

questão chegou. Nota-se claramente que ela compreende o que ocorre, porém não

consegue fazer a conversão da representação para a língua escrita formal, explicando.

Novamente confirmamos que esse problema ocorre porque essa conversão dentro dos

registros de representação semióticas, não é convergente.

139

Figura 56: Alternativa E – Resposta da aluna SB


Ao final da aplicação desta tarefa, percebemos que os alunos estavam satisfeitos

por terem participado da realização da atividade, bem como percebemos um certo ar de

satisfação de quem havia descoberto algo novo o que nos deixou bastante satisfeita.

A aplicação dessa tarefa se deu de forma mais tranquila, pois os alunos

perceberam que eles precisavam ser mais autônomos com relação ao desenvolvimento

das tarefas propostas na pesquisa.

Em minha percepção, os alunos também se sentiram bastante satisfeitos com as

conclusões que eles chegaram. Alguns deles discutiam entre si as soluções e os

resultados, de uma maneira muito positiva.

Percebemos também que para essa tarefa, os alunos transitavam de uma forma

mais tranquila no Geogebra e que a realização das atividades com a utilização desse

instrumento realmente veio a agregar saberes aos alunos, pois a visualização dos

fenômenos ocorridos nas operações, facilitaram a compreensão.

Um dos pontos mais positivos dessa tarefa é de que os alunos compreenderam o

processo da operação de divisão, o qual não lhes havia sido ensinado e principalmente,

140

conseguiram estabelecer relações entre os processos da multiplicação e da divisão. Isso

foi possível, devido a utilização do Geogebra como ferramenta de aprendizagem.

Como ponto negativo, observo ainda as mesmas dificuldades dos alunos em

relação as representações semióticas, no que tange a conversão de tratamento da língua

natural escrita, em relação aos registros de suas percepções, como foi observado acima.

Um dos maiores problemas em relação a isso é que como professores, temos

aceitado qualquer protocolo escrito dos alunos, ou seja, alguém um dia disse que se o

sujeito se comunicou é suficiente, porém, verificamos que não é bem assim, pois frases

sem sentido ou sem nexo, podem ser interpretadas de forma diferente por diferentes

pessoas que as lerem, portanto o protocolo escrito, tem o dever de trazer a informação

correta, dentro de uma norma culta.

A matemática, com sua riqueza de representações semióticas, tem uma norma

culta de representação e escrita, e isso precisa ser não só ensinado, mas cobrado dos

alunos. Não podemos mais cruzar os braços e aceitar qualquer coisa. Infelizmente esse

processo de correção precisa necessariamente começar no Ensino Fundamental I.


Para a aplicação da Tarefa 3, novamente ao chegarmos na escola, uma semana

após a aplicação da atividade 2, a escola havia programado a apresentação de uma peça

teatral, que ocorreria justamente no horário da aplicação da atividade de pesquisa.

Devido a isso, decidimos remarcar a data da aplicação para a semana seguinte. Como

teríamos mais um quarto encontro para a realização da Tarefa Final, contamos com a

colaboração da professora regente que se organizou com a escola de maneira que a

Tarefa 3 e a Tarefa Final puderam ser aplicadas no mesmo dia. Dessa forma utilizamos

as 3 últimas aulas do dia para a realização dessas atividades que ocorreu no dia 08 de

Outubro.

Novamente contamos com a colaboração de 10 alunos participantes na aplicação

dessas Tarefas.

141

Figura 57: Alternativas 1, 2 e 3


Para a aplicação dessas três atividades, percebemos que seria necessário

relembrá-los das conclusões que eles haviam chegado na aplicação da Tarefa 2. Nossa

ideia era que eles percebessem que trabalhar o resultado das operações de multiplicação

e divisão na forma trigonométrica é muito mais simples do que operar com elas na forma

algébrica.

Naturalmente todos os alunos conseguiram realizar com tranquilidade essas três

atividades, pois eles já haviam realizado a Tarefa 2 e haviam ficado satisfeitos. Além do

mais, eles haviam aprendido a passar números complexos na forma algébrica para a

forma trigonométrica. A princípio um dos alunos questionou: Mas como se escreve o

número na forma trigonométrica? Um outro aluno ao lado, logo respondeu: “cosseno do

ângulo mais i seno do ângulo”, certo professora? Ao que respondi: correto.

142

Figura 58: Alternativa 2 e 3 – Resposta da aluna C


Figura 59: Alternativa 4


Quando os alunos iniciaram a realização dessa atividade, percebemos que se eles

utilizassem a forma de par ordenado para representar o número, não seria possível a

operação de multiplicação usando o Geogebra, dessa forma solicitamos que eles

utilizassem a forma algébrica do número complexo.

Nossa expectativa nessa atividade era de que os alunos percebessem que a figura

faria uma rotação de 90°. Esse tipo de atividade eles trabalharam no Caderno do Aluno

(SÃO PAULO, 2014, p. 79), por isso resolvemos utilizá-las, pois nossa proposta em

relação a isso é de que não basta apenas colocar essa informação no Caderno do Aluno,

mas é necessário mostrar de que forma isso é utilizado no cotidiano dele. Tínhamos a

plena certeza de que eles fariam as atividades, porém eles não imaginavam como elas

estavam ligadas as suas próprias vidas.

143

Observamos que 70% dos alunos (7 alunos) perceberam que houve uma rotação

de 90° da figura. Um dos alunos relatou que a figura ampliou e mudou de lugar, outro

aluno relata que os pontos se moveram 40° para a esquerda e outro aluno alega que a

figura mudou de quadrante. Cremos que esses três alunos não tenham compreendido

corretamente o assunto quando foi trabalhado em sala de aula.

Na figura 60, podemos observar o protocolo da aluna N, onde ela escolheu

trabalhar com um quadrilátero retangular. Solicitamos que eles realizassem as operações

no protocolo escrito para cada número complexo escolhido na realização da tarefa e

finalmente utilizasse o mesmo sistema para registrar o resultado (figura final). A aluna em

questão escolheu inicialmente a figura ao lado direito e concluiu como resultado a figura

do lado esquerdo, como resultado da multiplicação de cada número complexo por (i),

verificando assim uma rotação de 90° na figura.

Figura 60: Alternativa 4 – Resposta da aluna N


Neste outro protocolo (figura 61), pode-se observar as conclusões da aluna B,

após a realização da alternativa 4 desta tarefa, onde ela observa além da rotação de 90°

que ocorre, mas também a mudança de quadrante. Observe que a aluna não sabe como

144

expressar a “rotação” sofrida pela figura e se refere a esse fenômeno como sendo um

“deslocamento”.

Figura 61: Alternativa 4 – Resposta da aluna B




Na atividade acima, alternativa 5 pretendia-se que o aluno observasse que além

do giro que a figura faz e nesse caso não seria de 90°, mas dependeria do z5 escolhido,

a figura também se modificaria, pois dependem das parcelas “a” e “b” do número

complexo escolhido para ser o z5.

Na figura 63, pode-se observar o protocolo a atividade realizada pela aluna C,

onde é visível a rotação e a ampliação da figura obtida como resultado da operação.

145

Figura 63: Alternativa 5 – Resposta da aluna C


No protocolo abaixo, da figura 64, a aluna SB tenta explicar com suas palavras,

qual é sua percepção em relação ao que ocorreu na operação da multiplicação. Essa

outra aluna também usa a palavra “deslocamento” ao se referir rotação ocorrida devido

a operação.

Figura 64: Alternativa 5 – Resposta da aluna SB


146

Todos os alunos perceberam que ocorre uma rotação diferente do ângulo de 90°

e que a figura se amplia. Somente um aluno não percebeu a ampliação, devido ao

número z5 escolhido. Ficou claro para nós que eles perceberam as modificações que

ocorrem com a figura.

Poderíamos ter pedido também para que operassem a divisão em relação a algum

quadrilátero, porém não teríamos mais tempo para essa realização, sendo que esse era

o último dia em relação a aplicação dessas tarefas. Tínhamos a intensão inicial de fazer

não só este mais outros questionamentos, como levá-los a pensar no que seria a

operação de potenciação na forma geométrica, mas devido a alguns contratempos

ocorridos no período das aplicações das tarefas, tais como ao chegar na escola e os

alunos terem saído para uma excursão, ou irem assistir uma peça teatral, etc., esses

fatos atrapalharam a aplicação de nossas tarefas, dentro do prazo que tínhamos

estipulado.

Em nossa percepção em relação a aplicação dessa tarefa, percebemos que os

alunos conseguiram compreender o que havia sido proposto e novamente para esta

tarefa, eles agiram de forma muito mais autônoma e participativa. Perceberam que é

muito mais fácil operar com a multiplicação e a divisão através da forma trigonométrica

do que da forma algébrica, pois basta somar ou subtrair os ângulos respectivamente e

multiplicar ou dividir os módulos respectivamente dos números complexos envolvidos na

operação.

Ficamos satisfeitos com a aplicação dessa pesquisa, pois os alunos conseguiram

compreender de forma mais fácil as operações propostas.

Outro ponto a destacar é que a pesquisa permitiu que eles aprendessem o que é

o conjugado de um complexo e como utilizá-lo na resolução do processo da divisão entre

complexos.

4.4.4 – Análise da Tarefa Final

Para a Tarefa Final, fizemos três questionamentos, dos quais todos os 10 alunos

participaram.

147



Pedimos aos alunos que realmente fossem sinceros em suas opiniões, pois a

informação era importante para a conclusão da pesquisa.

Para esse item, 100% dos alunos responderam que:

Gostaram de ter participado da pesquisa.

A utilização do Geogebra tornou a aula mais interessante.

Ajudou a compreender alguns pontos que não tinham sido plenamente

compreendidos.

A visualização da imagem permite compreender melhor a operação que se está

realizando.

Na figura 66, podemos visualizar o protocolo do registro da aluna C, que participou

ativamente nessa pesquisa em todas as etapas. Percebe-se pela fala da aluna, a

satisfação de sua participação nessa pesquisa, mas que ao nosso olhar, também está no

fato de que ela agregou saberes que não haviam sido plenamente compreendidos antes,

na aula tradicional.

148

Figura 66: Alternativa 1 – Resposta da aluna C


A resposta da aluna acima, vem de encontro com a fala de Duval (2013, p. 32):

De um ponto de vista cognitivo, os softwares trazem três grandes inovações. A mais fascinante é o poder de visualização que eles oferecem em todas as áreas. A segunda é que eles constituem um meio de transformações de todas as representações produzidas na tela. Em outras palavras, eles não são somente um instrumento de cálculo cuja potência cresce de modo ilimitado, mas eles cumprem uma função de simulação e de modelagem que ultrapassa tudo o que podemos imaginar “mentalmente” ou realizar de modo gráfico-manual. Enfim, a produção pelos computadores é quase imediata: um clique, e isto é obtido sobre a tela! É esta tripla inovação do ponto de vista cognitivo que gera o interesse e os benefícios pedagógicos dos ambientes informatizados no ensino de matemática.



Apesar de realmente termos percebido que os alunos ao final estavam se sentindo

satisfeitos em participar da pesquisa, sabíamos que essa pergunta que já havia sido

149

questionada no teste inicial, não teria uma resposta diferente após a aplicação da

pesquisa.

Obtivemos 4 alunos respondendo que é útil para as áreas das Engenharias, porém

não sabem explicar como. Um outro aluno alegou ser útil para resolução de problemas

que não é possível resolver utilizando-se somente dos números reais. Outro aluno

respondeu que é útil em algumas áreas, porém não especificando também e os outros 4

alunos restantes, não souberam responder.



Ao colocarmos esse questionamento, nosso intuito era de realmente verificar de

que maneira a utilização do Geogebra havia impactado sobre os alunos.

Neste caso 70% dos alunos responderam que se sentiram curiosos em conhecer

além e ressaltaram que queriam saber de forma mais imediata. 20% dos alunos

informaram que até gostariam de saber mais sobre o assunto, mas em um momento

oportuno e somente um aluno (10% dos alunos), respondeu que não tem interesse no

assunto.

Para dar um fechamento em nossa pesquisa, optamos por levar todos os alunos

da sala do 3° A até a sala de vídeo, onde fizemos um breve relato do porquê de nossa

pesquisa, sobre qual era o nosso intuito, aproveitamos para agradecer aos participantes

e através de alguns slides, procuramos mostrar para que servem os números complexos

e isso está na vida deles, quando utilizam por exemplo, computador.

150

Ressaltamos a importância para a Computação Gráfica, na Previsão do Tempo,

no campo da Medicina, até mesmo em simples edição de fotos.

Após nossa apresentação, um dos alunos da sala se colocou em pé e exclamou:

“Quer dizer que a todo tempo eu estou utilizando dos números complexos quando eu

faço edição de fotos, ampliando, girando, diminuindo, no meu computador?”

- Isso mesmo, respondemos ao aluno.

Destaco que três pontos positivos podem ser claramente observados em todo o

tempo da pesquisa, a saber:

1°) A contextualização geométrica dos números complexos dá ao aluno a chance

de uma melhor compreensão dos conceitos inerentes a esse estudo.

2°) A utilização do Geogebra como ferramenta para a articulação geométrica foi

de grande importância, pois permitiu a absorção de conceitos num tempo bem menor,

como já havíamos previsto no início dessa dissertação. Conforme vimos acima na fala

de Duval (2013, p.32), os softwares permitem um trabalho diferenciado dentro da

estrutura dos registros semióticos, devido sua rapidez com relação as conversões

semióticas.

Observa-se que muito embora o software Geogebra se mostrou útil, no entanto

não se dispensa a importante figura do professor, que deve auxiliar o aluno não só na

correta manipulação da ferramenta, mas principalmente deve ajudar aos alunos a se

expressarem matematicamente de forma correta, para que haja compreensão nas

conclusões obtidas, afinal, o software não faz milagres.

3°) Não podemos deixar de mencionar que as dificuldades que os alunos

encontraram em seus protocolos escritos, está relacionado diretamente com as

transformações de tratamento e conversões dos registros de representação da semiótica,

bem como a coordenação entre os registros.

151

5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao iniciarmos essa pesquisa, partimos do pressuposto de que o estudo dos

números complexos dentro de uma perspectiva geométrica, ou seja, articulando sua

representação algébrica ou representação em forma de par ordenado, com sua

representação geométrica, e aliado a isso, articular as construções das operações que

envolvem esses números de forma geométrica, iria permitir ao aluno a construção de

conceitos, além de permitir uma compreensão de seu significado, pois ao nosso ver,

trabalhar com esses números de forma puramente algébrico, tira a chance do aluno de

ser protagonista de seus saberes.

Do ponto de vista da perspectiva geométrica, entendemos que o Geogebra seria

um grande aliado para as construções geométricas de nossa pesquisa, além de uma

ferramenta motivadora para o estudo.

Em nossa trajetória, elencamos três questionamentos para nortear nossa pesquisa

que são:

I) Que saberes sobre números complexos, alunos do Ensino Superior trazem

como bagagem do Ensino Médio?

II) Que perspectiva de construção de saberes o Caderno do Aluno e do Professor

(SÃO PAULO, 2014), proporciona ao aprendizado de números complexos?

III) O Geogebra pode agregar a construção de saberes quando articulado ao

Caderno do Aluno, disponibilizado pela Secretaria da Educação do Estado de

São Paulo?

Baseado nesses três questionamentos, parti em busca do referencial bibliográfico

e teórico que pudesse me direcionar nessa pesquisa, de forma a responder em minhas

inquietudes.

Em busca de respostas a essas inquietudes frente aos conhecimentos que os

alunos demonstram em relação a esse conteúdo, uma vez que em nossa visão, o

conteúdo sobre os números complexos abordado no Caderno do Aluno (SÃO PAULO,

152

2014), é insuficiente. É notório que o foco em relação aos números complexos é somente

permitir ao aluno manipular com eles nas resoluções de equações polinomiais.

Devido à falta de contextualização e a maneira como esses são abordados, passa

ao aluno a ideia de que esses números para nada servem e principalmente que eles são

números do “além”, ou “fantasmagóricos”. Algo surreal.

Fui em busca de respostas para tentar entender o porquê o Caderno do Aluno e

Professor da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, aborda de maneira tão

pobre um conteúdo tão rico, conclui que ele vem de encontro as falas do que está nos

aportes curriculares nacionais. O próprio Currículo do Estado de São Paulo, apesar de

elencar esse conteúdo, deixa claro que seu objetivo é atender exclusivamente ao ensino

das equações polinomiais.

Busquei junto às publicações científicas, quais eram as opiniões frente a esse

tratamento dado a esse conteúdo. Ao analisarmos todos os trabalhos de nossos colegas,

o qual compôs nossa referência bibliográfica, entendemos que todos veem grande

importância no estudo dos números complexos, porém, é necessária uma mudança na

prática de ensino desse conteúdo, pois da maneira como ele é transmitido não só pelos

profissionais do ensino, mas também pela maneira como se apresenta nos materiais

didáticos, transmite ao aluno a ideia de que esse conteúdo não tem qualquer importância

e seu estudo para nada serve, pois é totalmente desarticulado da própria matemática.

Lamentavelmente os PCN (BRASIL, 2000) difundiram erroneamente a informação

de que esse conteúdo deve ser descartado pois não se articulam interdisciplinarmente

com outras disciplinas do currículo do Ensino Médio e nem mesmo com a matemática.

Baseado nessa informação, o Enem, excluiu esse conteúdo da disciplina de matemática,

como informa a Revista Veja, edição 2131 online de 23 de setembro de 2009, onde se

lê:

4. Não perder tempo com disciplinas que foram excluídas do novo Enem. O exame tem 10% menos conteúdo do que um vestibular tradicional (e a tendência é que encolha ainda mais no ano que vem). O Inep informa que ficaram de fora da prova de matemática, por exemplo, temas como números complexos, matrizes e determinantes.

153

O conteúdo dos números complexos é muito rico e articulável com vários

conteúdos da própria matemática, facilitando em vários casos, a resolução de situações

problemas que envolvem por exemplo, a geometria. Além do mais, é perfeitamente

articulável com a disciplina de Física em suas várias frentes.

Por acreditar que em relação a esse conteúdo deva ser feito um trabalho sério no

sentido de mudar o enfoque da forma como é ensinado o conteúdo, criando atividades

interdisciplinares, de maneira que os alunos possam compreender a importância desse

estudo e de como utilizá-lo como ferramenta na resolução de problemas. Vale salientar

que esse conteúdo é muito rico, pois permite diferentes formas de registros de

representação da semiótica, o que abre espaço para articular com outros temas da

própria matemática.

O referencial teórico dentro dos registros de representação da semiótica se

mostraram ser importantes, primeiro pelo fato de que no estudo dos números complexos,

devido sua diversidade de representação, a apreensão dos conceitos se dá de forma

intrínseca à manipulação correta das conversões dos registros semióticos em relação a

esse conteúdo. Dessa forma, esse aporte teórico se mostrou muito importante, quando

das análises da pesquisa em todas as suas etapas.

Trabalhamos com nossa pesquisa em três etapas distintas, com o objetivo de

tentar responder aos nossos questionamentos.

Em nossa primeira etapa, aplicamos um questionário (Anexo A), aos alunos do 2°

semestre de engenharia civil do ensino superior de uma instituição particular de ensino,

no intuito de encontrar respostas em relação ao nosso questionamento. Esse

questionário também foi aplicado a alunos do 3° ano do ensino médio de uma escola

pública estadual, onde apenas retiramos a última questão.

Ao compor esse questionário, nos valemos de questões constantes da dissertação

de Rosa (1998), que também havia aplicado um questionário frente a alunos do ensino

superior no curso de engenharia.

Dessa forma pudemos estabelecer critério de análises comparativas. Comparando

os saberes dos nossos alunos do ensino superior, com os alunos do ensino superior de

Rosa (1998). Percebemos que apesar de estarmos em situações distintas quanto ao foco

em relação ao Currículo do Estado de São Paulo, devido a mudança de currículo ocorrida

154

em 2009, porém ao se comparar as realidades em relação ao foco do estudo desse

conteúdo, praticamente nada mudou. Desde aquela época o estudo dos números

complexos tem se dado somente para atender ao estudo das equações polinomiais.

Dessa forma em nossas análises, apesar de parecer que em alguns pontos houve

melhora, quando comparamos de uma maneira mais aprofundada, percebemos que em

alguns aspectos houve piora, já que os nossos alunos de hoje apresentam dificuldades

muito maiores em transitar pelos diferentes registros de representação semióticas que

são requeridos nesse estudo.

Ao aplicar a mesma pesquisa aos alunos do 3° ano do ensino médio de uma escola

pública, pudemos também traçar uma comparação entre os saberes dos alunos do

ensino superior e os alunos do ensino médio. Nesse ponto ficamos mais preocupados

ainda, pois os alunos do ensino médio, que acabaram de estudar o conteúdo, não

apresentar nenhum rendimento melhor que os alunos do ensino superior, onde vários

deles haviam estudo o conteúdo há pelo menos mais de um ano. A expectativa era de

que os alunos do ensino médio apresentassem um melhor rendimento, o que não

ocorreu.

Diante disso, concluímos que estamos certos com relação ao que pensamos sobre

a forma de abordagem desse conteúdo e a maneira como ele é apresentado e ensinado

frente aos materiais didáticos disponíveis e frente os aportes teóricos curriculares

nacionais e estaduais, onde o conteúdo é apresentado apenas para que o aluno consiga

chegar ao resultado de raízes polinomiais. Por isso em nossa pesquisa, obtivemos a fala

de um aluno dizendo que esses números “são misteriosos”. Eles são apresentados dessa

forma aos alunos. Um número que não se consegue representar na reta real, realmente

por esse aspecto, o aluno está correto, eles são realmente “misteriosos”.

Continuando nossa pesquisa, pois nosso objetivo em responder todos os nossos

questionamentos ainda continuava, dessa forma, aplicamos três blocos de Tarefas com

a utilização do Geogebra para os alunos do 3° ano do ensino médio. Aplicamos após

essas tarefas um questionário com três questões, apenas para que pudéssemos ter um

feedback dos alunos em relação à nossa pesquisa.

A aplicação das tarefas foi muito positiva, apesar de os alunos demonstrarem

bastante dificuldades em relação aos registros escritos, devido ao fato de que a transição

155

da conversão da linguagem computacional para a linguagem matemática natural escrita,

ser uma conversão de não congruência.

Através das atividades elencadas em nossa pesquisa, os alunos puderam se

apropriar de saberes além dos que estão disponíveis no Caderno do Aluno (SÃO PAULO,

2014), e devido a utilização da ferramenta Geogebra, a apropriação desses novos

conceitos se deu de forma muito tranquila, atendendo nossa expectativa.

Dessa forma, podemos responder nossos questionamentos a saber:

Que saberes sobre números complexos, alunos do Ensino Superior trazem como

bagagem do Ensino Médio?

Os saberes são ínfimos quando comparados com a real necessidade para os

alunos que seguiram carreira dentro do campo das exatas. Se a maneira como vinha

sendo abordado antes, na época da pesquisa de Rosa (1998), não estava a contento,

isso não é motivo para descartar o conteúdo, como afirma o Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 2000). O que precisa é haver uma reformulação na forma como é

conduzido esse conteúdo. Em nossa pesquisa junto aos alunos do ensino superior, cerca

de 70% deles recém saídos do ensino médio, apresentaram uma bagagem de saberes

insuficiente.

Que perspectiva de construção de saberes o Caderno do Aluno e do Professor

(SÃO PAULO, 2014) proporciona ao aprendizado de números complexos?

O Caderno do Aluno e do Professor (SÃO PAULO, 2014), corrobora com a fala do

PCN (BRASIL, 2000), colocando esse conteúdo como algo desnecessário, já que o foco

é apenas para resolução das equações polinomiais. Até há uma pequena

contextualização histórica e geométrica, mas é preciso uma revisão séria, dentro de uma

abordagem que possa agregar conhecimento aos alunos, pois nos surpreendemos

quando aplicamos o questionário constando de perguntas idênticas as que se encontram

no Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2014) e esperávamos que os alunos fossem capazes

de responder mais prontamente as questões elencadas. O que percebemos é que vários

alunos têm dificuldades em relação a alfabetização matemática e outros têm dificuldades

em relação a transposição e conversão dos registros de representação semiótica.

A bagagem de conhecimento que eles demonstraram é considerada insatisfatória,

para um conteúdo que acabara de ser ensinado. Salientamos também que o problema

156

não está com relação ao ensino passado pela professora, pois verifica-se nas respostas

dos alunos que esses afirmam que o conteúdo foi ensinado. O que conseguimos concluir

é que a maneira como o Currículo do Estado de São Paulo e o Caderno do Aluno (SÃO

PAULO, 2014) trata esse conteúdo, não é suficiente para fazer com que o aluno se

aproprie dos conhecimentos mínimos necessários.

O Geogebra pode agregar a construção de saberes quando articulado ao Caderno

do Aluno, disponibilizado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo?

Não ficou dúvidas em nós de que a utilização do software Geogebra como

ferramenta de ensino e aprendizagem, trouxe uma grande contribuição, pois conforme já

concluímos anteriormente, 70% dos alunos que participaram da pesquisa se sentiram

motivados em conhecer mais sobre o assunto e de sua importância e utilidade.

Lembramos ainda a fala do aluno em nossa apresentação final, onde depois de

mostrarmos algumas utilizações para os números complexos o mesmo conclui que a todo

tempo está utilizando-se de números complexos e suas operações quando está mexendo

com suas fotos no computador.

O software Geogebra se mostrou uma ferramenta não somente eficiente para o

aprendizado, mas também, motivacional, vindo de encontro com aquilo que acreditamos.

Ao ingressar no mestrado junto à UFSCar – Campus Sorocaba, sabia que

precisava buscar mais conhecimentos de forma que isso pudesse se traduzir em

mudanças na minha prática pedagógica.

Quando ingressamos no mestrado, não via na ferramenta Geogebra realmente

algo que pudesse transformar a minha pratica pedagógica nem muito menos via o estudo

dos registros de representação da semiótica como algo que pudesse realmente vir de

encontro com o que eu buscava, para compreender as dificuldades dos alunos em

relação ao processo ensino-aprendizagem.

Ao final do primeiro ano de estudo, tudo isso já havia mudado em mim, ou seja, a

realização desse mestrado realmente abriu minha visão e meu conhecimento em relação

a ferramenta Geogebra, bem como o conhecimento mais aprofundado sobre os registros

de representação das semióticas, e trouxeram-me os subsídios necessários, para uma

melhor compreensão e análise da minha prática enquanto docente.

157

Sem sombra de dúvida, esse estudo, essa pesquisa me proporcionaram uma

mudança em relação a minha prática docente. Algo que realmente fiz e nem imaginaria

que fosse viável, foi a utilização do Geogebra enquanto ferramenta de ensino para

Álgebra Linear, dos meus alunos do ensino superior.

Claro que em relação a ferramenta Geogebra, ela se mostrou eficiente para o

ensino em vários campos de aplicação, dos quais ainda pretendo experimentar, mas

principalmente se mostrou fundamental, apesar de suas limitações, para o estudo dos

números complexos aos alunos do 3° ano do ensino médio.

Naturalmente esta pesquisa se concluiu de forma muito positiva, porém a docente

e pesquisadora, ainda não se dá por satisfeita, uma vez que agora surge outros espaços,

novos questionamentos, como por exemplo: Pode o Geogebra agregar saberes se

utilizado como ferramenta em disciplinas do ensino superior? Quais? E quais seriam suas

limitações? Esses questionamentos pretendemos responder, porém em uma nova

pesquisa.

158

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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161

PINTO JUNIOR, Ulício; A história dos números complexos: das quantidades sofisticadas de Cardano às linhas orientadas de Argand. 2009. 94 f. Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática). Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2009. ROSA, Mário Servelli. Números complexos: uma abordagem histórica para aquisição de conceitos. 1998. 170 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). SãohPaulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 1998. REVISTA VEJA. Disponível em: <http://veja.abril.com.br/noticia/educacao/raio-x-do-enem-os-conteudos-mais-cobrados-desde-2009>. Acesso em 03 Mar. 2013.

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162

VITTI, Catarina Maria. Matemática com prazer: a partir da história e da geometria. 2ª Ed. Piracicaba: Editora UNIMEP. 1999.

163

ANEXO A

QUESTIONÁRIO – PESQUISA I

Qual sua idade? _________ Sexo: ___________Atualmente você continua

estudando?____________ Se sim, em qual área/ou o que estuda?

_______________________________


Matemática.










a) Sim b) Não








164



números real, como R$ 3,00, 7 metros, etc, enfim que representava uma

quantidade?

a) Sim b) Não


5) Baseado no seu conhecimento de números complexos coloque V no verdadeiro e

F no falso.









matriciais, etc.


complexos?

a) Bombelli b) Argand c) Wallis d) Wessel e) Gauss

f) Hamilton g) Cardano h) Moivre

7) Você já tentou resolver um problema de geometria utilizando os números

complexos?

a) sim b) não

Acha que seria possível?

_________________________________________________

165



b) Sim b) Não


número 2+3i





o seu conjugado?



a) Teorema de Pitágoras b) Regra do Paralelogramo c) Teorema de Tales

d) Regras Trigonométricas e) Teorema de Bháskara

13) Ao tomarmos um número complexo z, pertencente ao primeiro quadrante do plano,

se multiplicarmos este complexo z por i (unidade imaginária), onde estará a

imagem resultante?

14) (2+3i) + (5 + 2i) =

15) (4, 5) + (2, 6) =

16) (2 + 3i) . (5 + 2i)=

166

17) (4,5) . (2, 6) =

18) (2 + 3i)² =

19) 5)22( i =

20) i125 =




da região.


167


23) Quer fazer alguma observação que julgue importante?

(OBS: A questão 23 foi aplicada somente para os alunos do ensino superior)

168

ANEXO B

TAREFA 1

A) Você aprendeu que um número complexo biaz pode ser representado no

plano Argand Gauss, como um vetor, cuja origem coincide com a origem do plano

Argand Gauss e extremidade no ponto ) ,( ba . Represente um número complexo no

plano usando o Geogebra.

B) Sabe-se que o conjugado de um complexo biaz é representado por

biaz . Construa no Geogebra o vetor conjugado ao complexo que você

representou no item A acima. Observando os dois, o zz e , descreva graficamente qual é a relação entre esses dois números.

C) Faça a operação de soma entre o complexo acima e seu conjugado, utilizando a caixa de entrada do Geogebra. Que conclusão você chega em relação ao

resultado obtido? Se você movimentar o 1z , o que acontece? Salve esta tela como

atividade 1 em sua pasta. Agora limpe a tela.

D) Tome dois números complexos. Na caixa de entrada faça a soma entre eles. Na

extremidade de 1z , estique um vetor até a extremidade do vetor soma. Compare

esse vetor com 2z , que conclusão você chega? Faça o contrário agora, ou seja, vá

à extremidade de 2z e estique um vetor até a extremidade do vetor soma e

compare com 1z . Que conclusão você chega disso tudo? Que figura geométrica

formou? Salve esta tela como atividade 2

E) Utilizando a tela acima, faça a operação a operação de subtração entre 1z e 2

z

Agora uma as extremidades dos vetores 1z e 2

z e compare com o resultado do

vetor subtração. Movimente um dos complexos ( 1z ou 2

z ). Qual conclusão você

chega?

F) Olhando para a figura formada pelos dois vetores que você escolheu, o que representa o vetor soma e o vetor subtração em relação à figura formada? Salve sua tela como atividade

169

TAREFA 2

A) No Geogebra, tome um número complexo e seu vetor. Qual é o módulo desse

complexo (faça o cálculo). Agora vá na barra de ferramentas e vamos medir o

comprimento do vetor. Qual conclusão você chegou?

B) Encontre o argumento do seu número complexo. Vá agora ao Geogebra e

verifique o ângulo do seu vetor e compare com seu cálculo. Salve em sua pasta.

C) Tome dois números complexos quaisquer. Faça o cálculo da multiplicação abaixo

e encontre o Z3, resultado da multiplicação. Agora vá ao Geogebra e coloque os

dois complexos escolhidos por você. Na caixa de entrada e faça a multiplicação

digitando: 2_*1_ zz (enter). Veja qual foi o resultado z3 obtido e compare com seu

cálculo. Qual é a conclusão?

D) Meça os ângulos z1, z2 e z3. Meça também os módulos de z1, z2 e z3. Qual é a

relação entre os ângulos de z1, z2 comparado com o de z3? Qual é a relação entre

os módulos de z1, z2 comparado com os de z3? (Ou seja, qual a relação entre os

complexos escolhidos e o resultado da operação de multiplicação). Salve em sua

pasta

E) Tome dois números complexos quaisquer. Faça o cálculo da divisão. Não esqueça

de que para resolver, é necessário multiplicar em cima e em baixo, pelo conjugado

do número de baixo, conforme o exemplo abaixo:

26

177

251

177

²251

17)1.(103

)²5(²1

)101523(

)51).(51(

)51).(23(

51

23 2 ii

i

i

i

iii

ii

ii

i

i

Desenhe no Geogebra, os dois vetores escolhidos por você. Agora vá à caixa de entrada e digite: z_1/z_2 (enter). Compare o resultado z3 com o seu resultado. Compare os módulos de z1 e z2, com o de z3. Compare os ângulos de z1 e z2 com o de z3. Em outras palavras, qual é a relação entre os ângulos e entre os módulos. Salve em sua pasta

170

TAREFA 3 Na tarefa 2, você teve a oportunidade de tomar dois números complexos e operar a multiplicação e a divisão com eles e tirar conclusões em relação aos módulos e aos ângulos resultantes em relação aos módulos e ângulos dos números complexos utilizados.

A) Tome dois números complexos, encontre o módulo e o argumento (ângulo). Agora

vá no Geogebra, represente os números complexos e verifique seu resultado

obtido, com os valores obtidos no Geogebra.

B) Escreva seus números na forma trigonométrica. Com base em suas conclusões

em relação a tarefa 2 (anterior), como deve ficar o resultado escrito na forma

trigonométrica da multiplicação dos seus números complexos? Confira sua

conclusão na tela do Geogebra. Salve sua tela.

C) Como deve ficar o resultado escrito na forma trigonométrica da divisão dos seus

números complexos? Confira sua conclusão na tela do Geogebra. Salve sua tela.

D) Escolha quatro números complexos e use a representação na forma de par

ordenado no Geogebra. Agora una esses pontos, formando um quadrilátero.

Multiplique os quatro complexos escolhidos pelo complexo z = 0 + 1i (ou

simplesmente i). Uma os resultados formando um novo quadrilátero. Explique o

que aconteceu. Salve sua tela

E) Limpe a tela e tome os quatro complexos formando um quadrilátero. Escolha um

z_5 e opere as multiplicações com os quatro complexos. Una os quatro pontos

resultantes, formando um quadrilátero. Explique o que aconteceu com novo

quadrilátero comparado com o inicial.

171

TAREFA FINAL

1) Dê sua opinião sobre qual sua participação nesta pesquisa sobre os números

complexos utilizando o software Geogebra. Você acha que a utilização do

Geogebra pode ser um facilitador do aprendizado ou não? Crê que a aula é mais

interessante ou não?

2) Você é capaz de citar alguma importância para a utilização dos números

complexos?

3) Você gostaria de saber mais sobre os números complexos, como, operar

potenciação, radiciação, e principalmente sua utilização?

172

ANEXO C

RESENHAS DAS DISSERTAÇÕES SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS, EM ORDEM

CRONOLÓGICA.

Conforme orientação da banca, deixamos abaixo um sumário das dissertações

resenhadas, com o propósito de facilitar a busca pelo leitor, uma vez que trata-se de uma

grande quantidade. Esclarecemos que no sumário abaixo, deixamos para o leitor a

informação do título da dissertação resenhada e seu respectivo autor.

SUMÁRIO ANEXO C

Números Complexos – Uma abordagem Histórica para Aquisição do

Conceito de Mário Servelli Rosa

Uma Análise dos Questionamentos dos Alunos nas Aulas de Números

Complexos de Maria Sueli Fonseca Ferreira

Números Complexos: Uma Proposta de Mudança Metodológica para uma

Aprendizagem Significativa no Ensino Médio de Nanci Barbosa Ferreira

Araújo

Interpretação Geométrica dos Números Imaginários no Século XIX: A

Contribuição de Jean Robert (1768-1822) de Luciene de Paula

O uso Pedagógico de uma Sequência Didática para a Aquisição de Algumas

Ideias Relacionadas ao Conceito de Números Complexos de Robson de

Oliveira Santos

A História dos Números Complexos: das quantidades sofisticadas de

Cardano às linhas orientadas de Argand de Ulício Pinto Junior

Números Complexos – Um Estudo dos registros de Representação e de

Aspectos Gráficos de Carlos Nely Clementino de Oliveira

174

179

183

187

194

197

203

173

Números Complexos e Funções de Variável Complexa no Ensino Médio –

Uma Proposta Didática com o uso de Objeto de Aprendizagem de Larrisa

Weyh Monzon

Números Complexos e Polinômios: Estratégias e Ensino para Aplicação por

meio do Geogebra de Reinaldo Gomes

Números Complexos: Inter-relação entre Conteúdos e Aplicações de

Fernanda Caon

Explorando o Tratamento Matricial para uma Introdução aos Números

Complexos de Márcio Roberto Gomes

Modelagem Matemática no Processo de Ensino e Aprendizagem de

Números Complexos: Uma Proposta Didática de Daniele da Cunha Silva

Números Complexos: Uma Proposta Didática Baseada na Modelagem

Matemática e em Contextos Históricos de Liliam Aparecida Alves Paes

Aplicações dos Números Complexos na Geometria Plana de Laércio

Francisco Feitosa

Números Complexos: Uma Proposta Geométrica de Cláudia Rosana Costa

Caldeira

Dos Números Complexos aos Quatérnions: Desenvolvimento Algébrico,

Interpretação Geométrica e Aplicações de André Marcos dos Santos

209

213

215

220

221

225

227

229

232

174

A dissertação para a obtenção da titulação de mestre, sob o título Números

Complexos – Uma abordagem Histórica para Aquisição do Conceito foi apresentada por

Mário Servelli Rosa à Pontifícia Universidade Católica-SP, em 1998, e contou com a

orientação da Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.

Em sua introdução o autor comenta que seu trabalho pretende organizar

atividades de forma que os alunos consigam operar com os números complexos. Discorre

rapidamente o que cada capítulo aborda sendo que sua dissertação está dividida em sete

capítulos.

No capítulo I – O Objeto Matemático, o autor se deteve em apresentar o conjunto

dos números complexos, fazendo suas definições, apresentando suas propriedades e

teoremas, as operações de adição, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação,

apresentando também o módulo de um número complexo, sua forma trigonométrica. Em

cada item ele definiu, apresentou os teoremas e propriedade com suas devidas

demonstrações.

No capítulo II – A Problemática e a Metodologia da Pesquisa, o autor inicia dizendo

que o conteúdo pode ser introduzido para estudo dos alunos do 3° ano do ensino médio,

de diversas maneiras distintas.

Através de algumas conclusões da dissertação de Nilza Silveira Almeida (PUC-

1992), observou que os resultados dela, vinham de encontro a sua proposta em relação

à abordagem dos números complexos, articulando atividades que levem os alunos a

necessidade de operarem com esses números, porém dentro de um contexto similar ao

verdadeiro, ou seja, similar ao ocorrido na História dos Números Complexos. Dessa

forma, introduzir os números complexos através de equações de segundo grau, cujo

discriminante é negativo, de acordo com Rosa, não desperta no aluno a curiosidade e

nem a necessidade de conhecer melhor a estrutura desses números, pois, seus

resultados são destituídos de significados. Em sua hipótese é importante que os alunos

sejam colocados diante de situações problemas das quais existem soluções reais, mas

onde se tenha a raiz quadrada de um número negativo.

Em sua pesquisa, ele foi motivado a responder algumas questões: Ao propor uma

sequência didática os alunos participariam de forma ativa para adquirir os conceitos

175

esperados? E após a aplicação dessa sequência didática, os alunos seriam capazes de

operar com potenciação e radiciação de números complexos?

O capítulo II é dedicado a Fundamentação Teórica, onde o autor afirma que sua

pesquisa está baseada na linha francesa da Didática da Matemática e algumas teorias

da Psicologia Cognitiva de Piaget. Aqui o autor se dedica a explicar sobre a linha

construtivista de Piaget, bem como, apresenta também a metodologia de Regina Douady

– Didática da Matemática. Faz uma rápida menção sobre a Teoria das Representações

Semióticas de Duval, concernente a forma de representação diferenciada de números

complexos (forma algébrica e forma geométrica). Fundamenta-se também nos

obstáculos epistemológicos de Brousseau (1976), onde observa que “os obstáculos

didáticos aparecem mediante a escolha de estratégia do ensino, além de que, os

obstáculos são inevitáveis, inerentes à necessidade de transposição didática”. (p. 35).

Em seu trabalho, o autor afirma ter lançado mão de uma situação-problema

geradora de novas ferramentas matemáticas para elucidação dessa situação-problema,

procurada pelos alunos.

Ressalta ainda que sua abordagem é diferenciada, o que acaba por romper com

o contrato didático padrão do Brasil, dos quais os alunos estão acostumados, onde o

professor faz a aula expositiva, resolve alguns exercícios e propõe exercícios parecidos

para os alunos resolverem.

O autor apresenta a metodologia a ser utilizada na elaboração de sua pesquisa

que tem por objetivo “fazer com que os alunos adquiram os conceitos a respeito dos

números Complexos, porém de forma significativa, compreendendo que essas operações

podem resolver problemas concretos chegando a soluções que são números reais”.

(p.38)

Para validar sua pesquisa, propõe a elaboração de uma sequência didática para

ser aplicada a alunos do terceiro ano do ensino médio, onde serão aplicados testes de

confronto com outra turma que aprendeu sobre os números complexos pela forma

tradicional.

Para sua análise, utiliza-se da engenharia didática, estabelecendo uma análise a

priori, a experimentação e uma análise a posteriori, onde fará apresentação dos fatos

176

observados, análise dos fenômenos observados além da análise dos erros e

comportamentos dos alunos.

O capítulo III trata-se de um Estudo Histórico e Epistemológico dos Números

Complexos. Nesse capítulo Rosa se detém a um embasamento histórico, começando

pelas equações de segundo grau com discriminantes negativos encontrados a 1700 a.C.,

mas que, porém, não foi o elemento motivador da descoberta dos números complexos,

comenta sobre Heron de Alexandria e também de Diophanto quando este chega a uma

operação envolvendo uma raiz de número negativo. Tece comentários a respeito de

Mahavira do século IX e também sobre Bhaskara que viveu no século XII, onde esses

observam operações em que aparecem raízes de números negativos. Faz ainda,

observações também sobre Paccioli e Chuquet, ambos do século XV, onde esses

concluem operações com “soluções impossíveis”.

Em seu traçado histórico, chega a Cardano no século XVI trazendo a situação

problema vivenciada por este matemático. Comenta também sobre o método de

Tartaglia, descrevendo o poema que este escreveu sobre a solução de equações do

terceiro grau, poema este enviado a Cardano. Faz uma análise do poema de Tartaglia,

traduzindo para representações algébricas, demonstrando e justificando a luz de

Tartaglia. Com isso surge os números complexos. Caminha pela história e apresenta a

descoberta de Bombelli, apresentando aqui também, trechos de sua obra.

Discorre sobre os progressos dos números complexos, começando pela

simbologia √−1 introduzida por Girard e depois a representação como i, feita por Euler

que foi amplamente aceito após a utilização por Gauss. Comenta sobre as tentativas de

Leibniz e de Wallis, trazendo deste último, trechos de sua obra. Comenta ainda sobre o

logaritmo de números negativos, trabalhados por Bernoulli. De Roger, apresenta o

resultado relacionado à obtenção de raízes enésimas de números complexos. Comenta

sobre Moivre, mostrando seu trabalho e trazendo todas as conclusões de Euler em

relação ao estudo de Moivre, já que este apenas enunciou.

Ao comentar sobre a representação gráfica do número complexo, retoma o século

XVII, com o estudo de Wallis, pois este propôs uma construção geométrica para as raízes

imaginárias. Faz às construções a luz do trabalho de Wallis. No século XVIII, comenta

177

sobre o trabalho de Wessel, chegando ao século XIX, com Argand, concluindo que a

formalização dos números complexos se tornou completa com o trabalho de Hamilton.

Na segunda parte deste capítulo, Rosa transcreveu o comentário epistemológico,

com base em um artigo publicado por Michèle Artigue, onde destaca que “quando se

começa a falar em números complexos, pensa-se que vão aparecer novos números, mas

pode-se ver pela história, que não são novos números que surgem, mas sim novos

operadores” (p. 71).

Dos comentários de Artigue (1992), o autor tira suas conclusões e observa que

fatores parecidos ocorrem quando se resolvem equações do terceiro grau, que foi o

elemento propulsor de Cardano.

Sobre o comentário didático do artigo de Artigue (1992), Rosa destaca o papel

motor dos desequilíbrios cognitivos e a distinção entre os polos ferramenta e objeto de

um conceito matemático, explicando cada um deles.

No capítulo IV, o autor se debruça no Estudo da Transposição Didática dos

Números Complexos. Toma por base uma análise da Proposta Curricular do Estado de

São Paulo para o ensino da matemática no 2° grau (1994), vigente na época, do qual

observa que a participação do aluno na construção de seu conhecimento é considerada

um dos pontos fundamentais para a aprendizagem, porém a participação do aluno deve

ser orientada uma vez que conceitos precisam ser construídos.

Rosa destaca ainda que de acordo com a Proposta Curricular, situações

problemas que desafie o aluno a refletir, levantar hipóteses, a buscar soluções, devem

ser considerados, pois visa à compreensão dos conceitos.

Segundo o autor, a Proposta Curricular vigente da época (1998), faz destaque em

relação aos números complexos da seguinte maneira:

[...] é conveniente que a introdução dos números complexos seja feita a partir de problemas significativos para o aluno do ponto de vista tanto da Matemática quanto do seu dia a dia. Contar um pouco da história dos números complexos também pode ser bastante motivador. (p. 78).

Dessa fala, o autor conclui a importância de aproximar a Matemática de sua

história, pois permitiria aos alunos vivenciarem as necessidades que fizeram surgir certos

178

conceitos, de maneira a quebrar o paradigma de que a “Matemática é uma disciplina na

qual os conceitos são inventados.” (pg.79).

Na sequência, Rosa faz análise de livros didáticos e constata que nenhum deles

introduz a abordagem dos números complexos a partir das equações do terceiro grau e

somente dois dos livros analisados, contextualiza os conceitos com a história. Dessa

forma conclui que “os livros didáticos analisados, não dão importância à história do

surgimento dos números complexos”. (p.80)

Tece ainda comentários sobre como é feita a abordagem desse conteúdo nos

livros didáticos, exemplificando com amostra de exercícios.

Neste capítulo ainda, o autor abre espaço para analisar as concepções iniciais dos

alunos sobre o conceito de números complexos, para comprovar que os alunos não

possuem total compreensão sobre a utilidade dos números complexos, o autor realiza

uma pesquisa, constando de 13 questões para serem respondidas, que foi aplicado em

um 1° ano do curso de Engenharia Mecânica, ou seja, para alunos que supostamente já

teriam estudado os números complexos. Numa classe de 60 alunos, 29 se manifestaram

que não haviam aprendido esse conteúdo. Os dados dessa pesquisa foram tabulados

com a utilização dos softwares CHIC e CHADOC, onde o autor apresenta na sequência,

os resultados de todas as análises feita.

Segundo as análises, o autor conclui que:

Podemos perceber por essa análise, que o fato de os alunos não conhecerem a história da matemática, e pensarem que um número complexo é apenas um símbolo matemático, não o impede de realizar operações e representá-los geometricamente. Acreditamos em vista disso que os alunos operem com os complexos, sem perceber o significado desses números, julgando que eles sirvam apenas para fazer exercícios sem maiores consequências. (p.92)

Em sua proposta de trabalho, o autor tem por objetivo trazer um significado às

operações com os números complexos, de forma que se possam obter respostas reais

de uma equação, mesmo quando se trabalha com raízes de números negativos. (p.93)

No capítulo V, Rosa propõe uma sequência didática para ser aplicada para alunos

do 3° ano do ensino médio (2° grau na época), partindo do método de Cardano-Tartaglia,

para solução de equações do 3° grau, oportunizando a condição de recair em uma raiz

179

de número negativo, promovendo uma análise de forma que os alunos percebam que há

uma solução e acabe por questionar a existência da raiz de número negativo. Isso fará

com que os alunos tenham a necessidade de extrair raiz de números negativos.

Em sua proposta didática, o autor elenca treze questões sequenciais dentro do

princípio construtivista, onde o autor em cada uma comenta sobre o objetivo esperado e

faz uma análise matemática e didática. Na aplicação de sua proposta, o autor faz uma

mudança de contrato pedagógico, pois ele propõe atividades a serem desenvolvidas,

sem a explicação por parte do professor, onde o professor deve instigar o aluno a

procurar por respostas, intervindo quando necessário, apenas no sentido de orientar o

aluno para que ele prossiga em sua construção do conhecimento.

No capítulo VI, trata-se da aplicação da sequência didática proposta pelo autor,

onde este inicialmente convida apenas dois alunos para participar, com o objetivo de

verificar possíveis falhas. Após os ajustes, Rosa aplica as atividades em uma turma com

18 alunos. No início percebeu certa resistência por parte dos alunos devido à mudança

do contrato pedagógico proposto. Para o autor, seus objetivos foram alcançados, pois ao

final da aplicação de sua sequência proposta, o autor aplica a mesma pesquisa que havia

aplicado para os alunos do curso de Engenharia Mecânica, com o objetivo de validar sua

pesquisa alcançando resultados positivos.

O capítulo VII, ao tratar das conclusões, o autor expressa ter obtido resultados

positivos em relação à aplicação da sequência didática, onde viu como salutar o trabalho

em dupla, a oportunidade dos alunos de descobrirem o motivo que os levou a extrair raiz

de números negativos, sentiram a necessidade de mudança de registro de representação

do algébrico para o geométrico, a oportunidade de ser chegar a soluções reais.

A dissertação de Maria Sueli Fonseca Ferreira para a obtenção da titulação de

mestre, cujo título “Uma Análise dos Questionamentos dos Alunos nas Aulas de Números

Complexos”, foi apresentada junto à Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em

2006, e contou com a orientação da Profa. Dra. Bernadete Barbosa Morey.

A autora subdivide sua dissertação em cinco capítulos, a saber:

No capítulo 1 – Introdução, a autora introduz com a informação de que durante

treze anos vem ministrando o conteúdo de números complexos para alunos do segundo

180

ano do ensino médio em uma instituição pública federal, para alunos que passam por

uma rigorosa avaliação para ingresso nessa instituição. Suas inquietações começaram

mediante o questionamento dos mais diversos, feito por seus alunos, em relação ao

conteúdo. Questões do tipo: Por que os números complexos são chamados imaginários?

Ou Onde vamos utilizar os números complexos? Entre outras.

Segundo a autora a maneira que o professor se coloca diante dos

questionamentos realizados pelos alunos promove a motivação ou não, dos alunos em

relação ao aprendizado. Sua preocupação era em estabelecer uma metodologia que

despertasse o interesse e a curiosidade dos alunos em relação à disciplina. “Observa que

muitas publicações defendem a ideia de que o ensino da Matemática tem sido

historicamente bastante enfadonho, causando nos alunos um elevado grau de apatia e

até aversão por esta disciplina”. (p. 9).

Para a autora, tornar a aula interessante é um desafio para os professores, pois

“não basta dominar os conteúdos da Matemática para ensinar. É preciso criar uma

metodologia em sala de aula que desperte o interesse e a curiosidade dos alunos”. (p.9).

A autora reforça a ideia defendida por D’Ambrósio, por Fossa, Mendes e Barbosa

de que a inserção da História da Matemática traz motivação e desperta o interesse dos

alunos em sala de aula, promovendo uma aprendizagem significativa. Ela se apoia

também no trabalho de Jones, que propõe o uso da História da Matemática articulada ao

ensino da Matemática, para dar sentido e significado, melhorando a qualidade do

processo ensino-aprendizagem. Para Jones, focar os questionamentos dos alunos é

importante, pois se pode classificar em três categorias: a cronológica, a lógica e a

pedagógica.

Segundo a autora, sua pesquisa procura investigar os questionamentos que os

alunos levantam na sala de aula, à luz das classificações dos porquês definidos por Jones

e qual o papel da História da Matemática como ferramenta para respostas aos

questionamentos.

Em sua pesquisa se valeu da engenharia didática como metodologia de sua

pesquisa, pois seria mais coerente em relação aos seus objetivos. Portanto sua pesquisa

foi elaborada em quatro fases, a saber: analise preliminar, análise a priori,

experimentação ou aplicação da sequência didática e análise a posteriori.

181

No capítulo 2, Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica, a autora confirma

que sua base de pesquisa está fundamentada no trabalho de Jones que classifica os

“porquês” dos alunos, em três categorias distintas e que afirma que o embasamento

histórico propicia ao professor, condições de devolver aos alunos uma resposta que gera

interesse e curiosidade pelo saber. A autora explica o significado de cada uma das

categorias, exemplificando.

Para a autora,

Nesse trabalho, não se busca na História a origem de definições constituídas, como nos porquês cronológicos, mas sim o desenvolvimento da Matemática e seu crescimento através de generalizações e abstrações, mostrando historicamente que grandes homens tiveram dificuldades, em seu tempo, com conceitos que hoje são bem esclarecidos. (p.23).

Ferreira também se apoia em Paes, para explicar as fases da metodologia da

engenharia didática, que foi utilizada em suas análises. Dessa forma, Ferreira se articulou

da seguinte forma:

Fase Preliminar – Definiu que as aulas seriam ministradas de forma tradicional.

Fase da Análise a Priori – Organizou uma sequência de ensino, num total de vinte nove

horas de pesquisa.

Fase da Aplicação da Sequência Didática – Para tal, elencou quatro hipóteses, e passou

a observá-las. Contou com a ajuda de um aluno que gravava os questionamentos

realizados pelos colegas, para que esse material pudesse ser utilizado pela

pesquisadora, no estudo dos “porquês” dos alunos.

Fase da Análise a Posteriori – Enumerou, classificou e analisou a cada uma das

perguntas feitas.

No capítulo 3, a autora destinou para a sua metodologia de pesquisa, começando

por sintonizar o leitor dentro de seu espaço de pesquisa, falando sobre a Instituição de

Ensino, sobre a qualidade oferecida aos alunos, os recursos tecnológicos dos quais a

Instituição dispõe, bem como um quadro de quem são os alunos que participaram de sua

pesquisa. Uma observação que se faz é a quantidade de alunos na turma, ou seja, 29.

Discorre a seguir sobre seu cronograma e planejamento de trabalho, passando a uma

orientação de como analisou sua pesquisa.

182

No capítulo 4, Ferreira se dedica para a classificação e análise das perguntas

realizadas pelos alunos, ao longo das 29 horas aulas projetadas para a pesquisa. Ao todo

obteve 59 perguntas, duas das quais foram prejudicadas no áudio, portanto trabalho com

a classificação das 57 perguntas restantes. Utilizou as classificações de Jones, porém se

deparou com situações em que percebeu que somente as três classificações propostas

por Jones, não eram suficiente para promover uma correta classificação do estudo e,

portanto, ampliou o universo das classificações em: Outras, para porquês sem definição

específica, adotando ainda as classificações: Lógico e Pedagógico, Cronológico e Lógico

e finalmente Cronológico, Lógico e porquês para aquelas que possuíam as duas ou três

condições de análise simultânea. Fez também uma análise sobre suas hipóteses inicias.

Conclui que os alunos fazem perguntas do tipo cronológico (resposta que

dependem de contextualização histórica), quando são estimulados. A maioria dos

questionamentos é do tipo lógico e muito mais pedagógico. A autora também conclui com

base em Jones que: “os encaminhamentos a serem tomados pelo professor a partir dos

questionamentos dos alunos serão mais consistentes quando suas respostas tiverem o

apoio da História, mesmo que as perguntas se enquadrem nos porquês pedagógicos e

lógicos”. (p. 45).

A seguir a autora buscou em vários livros didáticos embasamento histórico para

subsidiar o professor no conhecimento o suficiente para responder aos questionamentos

dos alunos em relação aos números complexos, se utilizando de fatos históricos. Conclui

que em apenas poucas obras, encontra-se algum subsídio histórico, algumas mais outras

menos. A maioria dos livros didáticos utilizados para o ensino médio, a autora concluiu

que a contribuição é insignificante.

Em suas considerações finais a autora afirma que sua investigação era motivada

em oferecer uma “pequena contribuição” em relação a discussões existentes, para uma

melhoria no processo ensino-aprendizagem da Matemática. Conclui que seus objetivos

foram alcançados de uma forma satisfatória.

Também conclui que o material didático “em Português que estão acessíveis aos

professores de Ensino Médio e que tratam do conteúdo de números complexos, é pobre

e restrito”. (p.57).

183

Considerou a possibilidade de haver alguma divergência nos resultados devida o

fato de os alunos saberem que estavam sendo registrados em seus questionamentos,

funcionou como fator inibidor para alguns e motivador para outros. Sua ideia inicial era

que pudesse obter questionamentos dentro de uma situação totalmente natural.

Conclui ainda que “os livros didáticos (assim como os de História da Matemática)

pouco dizem dobre o surgimento e a evolução dos métodos de cálculos utilizados”. (p.

58).

A dissertação de Nanci Barbosa Ferreira Araújo, para a obtenção da titulação de

mestre, sob o título “Números Complexos: Uma Proposta de Mudança Metodológica para

uma Aprendizagem Significativa no Ensino Médio”, apresentada junto à Universidade

Federal do Rio Grande do Norte, em 2006, contando com a orientação da Profa. Dra.

Marlúcia Oliveira de Santana Varela e co-orientação da Profa. Dra. Bernadete Barbosa

Morey.

A presente dissertação foi dividida em cinco capítulos, sendo que a autora

reservou o primeiro capítulo para a introdução de seu trabalho. Inicia informando que sua

experiência profissional foi um referencial para seu trabalho, pois sua vivência como

professora desde 1986 agrega muitas informações e observações ao longo desses anos

de trabalho, onde pode perceber as dificuldades encontradas por alunos em relação ao

estudo dos Números Complexos, principalmente quando representados na forma

trigonométrica e em relação à primeira e segunda fórmula de Moivre.

Faz referência a respeito de dados constantes junto ao INEP (Instituto Nacional de

Estudos e Pesquisas Educacionais), sobre a qualidade do ensino de Matemática no

Brasil, onde segundo a autora, constata-se “que o nível de escolaridade dos estudantes,

continua refletindo um baixo índice de aprendizagem”. (pg.15).

Observa que no contexto atual, mudanças significativas têm ocorrido quanto ao

ensino da Matemática quanto à preocupação de que o educando deve em sua formação

obter um desenvolvimento conceitual em sua aprendizagem escolar. Segundo a Lei de

Diretrizes e Bases n° 4024/61, orientação dada às escolas era de uma educação

tradicional e com a advinda da Matemática Moderna, houve uma centralização dos

conteúdos dentro do campo das estruturas algébricas e da teoria de conjuntos.

184

Segundo Araújo, há alguns anos uma mudança vem ocorrendo em relação ao

Ensino da Matemática, pois Associações de Ensino da Matemática, Sociedades de

Professores têm se mobilizado e discutido propostas de melhorias, porém isso tudo ainda

é insuficiente em atender as necessidades dos alunos. Conclui que quando se trata em

relação ao estudo dos Números Complexos a situação é ainda pior.

A autora comenta que durante sua vivência profissional, muitos dos

questionamentos que foram levantados em suas aulas expositivas, não eram

questionamentos embasados nas operações, conceitos ou propriedades que envolvem

os números complexos, mas questões pertinentes à descontextualização do conteúdo,

de sua utilidade e aplicação.

Com base em suas observações elencou três questões como norteadora de seu

trabalho:

Que motivações são adequadas à aprendizagem do aluno em relação aos números complexos? Que mudanças metodológicas podem favorecer a aprendizagem destes conteúdos? E como implementar uma metodologia de ensino adequada? (p.18).

Com o objetivo de responder essas questões, optou por elaborar uma sequência

didática aplicada por meio de atividades baseadas nos trabalhos de Oliveira (2006) e

Mendes (2001) e aplicá-la em sua sala de aula. Segundo a autora,

... acreditamos que o uso de atividades estimula o aluno a estabelecer uma interação maior na sala de aula tanto num raciocínio individual como na integração do conteúdo discutido em grupo. (pg. 19).

A autora ainda destaca em sua introdução de que seu trabalho foi articulado com

base na Engenharia Didática. A seguir, destaca os pontos principais de cada capítulo.

O capítulo 2 foi dedicado aos Números Complexos no Ensino Médio, onde faz uma

breve retomada a evolução histórica dos Números Complexos, com vista a subsidiar as

atividades propostas que serão desenvolvidas pelos alunos, na fase da experimentação,

onde o objetivo é articular o contexto histórico com as formas representativas (algébrica,

geométrica e simbólica numérica) de um número complexo. Destaca no enfoque

simbólico a unidade imaginária i² = -1, onde esclarece não pertence ao conjunto dos

números reais. A partir desse elemento, pode-se deduzir as demais potências,

185

verificando a repetição a cada ciclo de 4. No enfoque numérico, ressalta a importância

de estender o conjunto dos números reais para se obter o conjunto dos números

complexos (C), já que o conjunto dos números reais não consegue abrigar elementos

como a raiz quadrada de – 1. Já no enfoque geométrico, olha para o número complexo

na forma a + bi como coordenadas de um ponto que pode ser representada num plano

cartesiano e dessa forma pode-se definir √−1 como sendo o par ordenado (0, 1). Há que

se observar que o número complexo z quando representado num sistema cartesiano tem-

se a parte real no eixo das abscissas e a parte imaginária no eixo das ordenadas. Tal

plano é denominado Argand-Gauss.

A partir da representação vetorial de um número complexo z no plano Argand-

Gauss é possível se obter o módulo de z, o argumento de z e a forma polar de

representação de z. Observa ainda que é possível operar-se a soma e a subtração no

plano, através da regra do paralelogramo.

No enfoque algébrico, destaca as operações de adição e multiplicação existentes

entre os números complexos. Define um número complexo da forma algébrica e também

como par ordenado estabelecendo a parte real e a imaginária do número.

Já no capítulo 3, definiu os caminhos de sua pesquisa. Começando por apresentar

a escola (CEFET), a sala de aula, os recursos disponíveis e a turma escolhida para a

aplicação da pesquisa, que trata-se de alunos que passaram por um processo seletivo.

Como a escola (Técnica Federal) possui um planejamento para o ensino de matemática,

sua pesquisa procurou se adequar dentro do planejamento da escola (num total de 12

horas aulas). Descreve também sobre sua metodologia adotada, respaldando sua

pesquisa em Michèle Artigue, Douady e também Waldegg. Entende que uma

metodologia que privilegia dados da realidade com os conhecimentos matemáticos

facilita a aprendizagem, o que torna a atividade significativa. Na sequência, a autora

explica sobre a engenharia didática e as razões pelas quais optou por essa metodologia.

Na primeira fase discorre sobre os processos metodológicos adotados em sua

pesquisa. Faz uma análise de como o conteúdo é abordado nos livros didáticos, tomando

uma amostra de dez livros. Observou além do tratamento dado, o quanto de páginas do

livro é destinada ao conteúdo, a quantidade de exercícios, os tipos de exercícios, etc. Fez

também uma entrevista com professores de matemática com o propósito de investigar

186

como os números complexos são trabalhados pelos professores colegas, procurando

obter informações sobre como o professor vê a importância desse conteúdo, se relaciona

a história com o conteúdo, as dificuldades dos alunos na compreensão desse conteúdo,

etc.

Na segunda fase, análise a priori, preparou uma sequência didática através de

atividades, com perguntas selecionadas e situações problemas que trabalhassem numa

ordem crescente de dificuldade e finalizando com uma avaliação.

Já na terceira fase, destinada a aplicação das atividades da pesquisa, onde

durante as 12 horas aulas, propôs atividades que apresentassem os números complexos,

suas formas representativas, suas definições e operações. Fez um registro de cada aula

e como se processou a aplicação, sendo que ao final de cada aula, resolvia e explicava

item a item daquilo que fora sugerido ao aluno que fizesse, por tentativa, como uma

descoberta.

Dentro do capítulo 4, a autora coloca a quarta fase que trata da análise a posteriori,

buscando a interpretação e compreensão dos resultados obtidos. A autora divide essa

etapa e faz análise sobre: o material apresentado nos livros didáticos em relação aos

números complexos; os comentários das respostas das entrevistas realizadas com

professores, onde ressaltou que nenhum dos professores entrevistados trabalha com os

números complexos através de atividades; discussão sobre alguns resultados mais

relevantes da experimentação realizada em classe, onde aborda sobre qual era o objetivo

comparando com os resultados obtidos para cada atividade proposta, culminando com a

avaliação final, respaldada pelas respostas dadas por alunos, onde concluiu que sua

proposta metodológica foi alcançada dentro de suas expectativas.

No capítulo 5, a autora realizou suas considerações finais, observou que após a

avaliação do bimestre, constatou que os alunos tiveram um bom aproveitamento do

conteúdo, pois somente 10% ficaram com notas abaixo da média, o que lhe serviu como

resposta as suas questões iniciais, de forma positiva. Salienta a autora também que entre

as respostas obtidas na entrevista realizada com professores, confirmou as análises

realizadas nos livros didáticos em que se observa a falta de contextualização significativa,

de forma a respaldar o trabalho em sala de aula e também a dificuldade que os alunos

187

têm em articular os números complexos na forma algébrica ou geométrica com a

trigonometria.

Em sua dissertação para a obtenção da titulação de mestre, Luciene de Paula

apresentou junto à Universidade Federal do Mato Grosso, em 2007, sob o título

“Interpretação Geométrica dos Números Imaginários no Século XIX: A Contribuição de

Jean Robert Argand (1768-1822)”, e que contou com a orientação do Prof. Dr. Michael

Otte. Seu trabalho foi subdividido em Introdução, Capítulo 1, Capítulo 2, Capítulo 3,

Capítulo 4, Capítulo 5 e Considerações finais.

Introduzindo seu trabalho a autora destaca os dois movimentos que existiam no

início do século XIX, “onde de um lado o movimento da aritmetização e do rigor aritmético

e, de outro lado, se desenvolveu a álgebra abstrata e a axiomática moderna (OTTE,

1989)”. (pg. 12).

Segundo a autora, a diferença que permeava esses dois grupos, centrava-se na

maneira como cada um encarava a existência dos números imaginários, ou seja, de um

lado o movimento da aritmetização que não aceitava que números imaginários tivessem

significado próprio, apesar de considerarem que eram formados por pares de números

reais. Por outro lado, o movimento da álgebra abstrata e axiomática, ao considerar os

números complexos como vetores e procuravam representá-los geometricamente. No

entanto, segundo a autora, ambos os grupos concordavam de que os números

imaginários não podiam ser tratados como meros símbolos de cálculo, assim como

haviam sido considerados desde sua evolução a partir de Cardano e Bombelli. (pg. 12).

Ainda em sua introdução, Paula faz menção sobre a importância da distinção dos

dois movimentos que segundo Hintikka, foram acompanhados por diferentes concepções

lógicas. Menciona ainda sobre alguns trabalhos como de Boole, Grassmann, Cardano e

Bombelli, e afirma que seu trabalho pautou-se por apresentar os números imaginários à

luz de Jean Robert Argand.

Em cada capítulo a seguir, Paula discorre sobre a história da matemática,

procurando trazer o foco das razões pelas quais levaram ao descobrimento dos números

racionais. A autora dividiu em tópicos de forma que retoma a história sempre que

necessário, abordando em cada qual com um aspecto diferenciado. A riqueza do

188

minucioso contexto histórico encontrado nesse material oferece ao leitor uma importante

fonte de pesquisa e informação. À luz das informações aqui contidas é possível

compreender o motivo do porquê se levou tantos séculos para que os números

complexos pudessem emergir.

O capítulo I, denominado Simbolização, Paula parte da álgebra de teoria das

equações, iniciando seu contexto histórico com os tabletes sumérios e como os egípcios

possuíam um grau de conhecimento, capaz de utilizar para a resolução de problemas do

cotidiano, isso tudo no século XVI a.C. A autora ainda observa que: “Em geral é correto

afirmar que o desenvolvimento da álgebra em alguns países atravessou,

sucessivamente, três fases: a retórica, a sincopada e a simbólica.” (pg.19)

Segundo a autora a fase retórica é caracterizada pela ausência de símbolos

representativos e onde se utilizavam de palavras para indicar as expressões. Na

atualidade essa representação ganhou uma nova roupagem. A álgebra sincopada trata-

se de uma transição entre a álgebra retórica e a álgebra simbólica.

A partir desse ponto, a autora introduz através da história da evolução matemática

e o surgimento gradativo da simbologia utilizada atualmente. Desde a maneira como os

hindus abreviavam certas palavras, o surgimento dos símbolos ( – ) e ( + ) na Europa

medieval, passando por Diophantus de Alexandria, o primeiro matemático a reconhecer

as frações como números, onde a álgebra grega era totalmente retórica, pois os mesmo

se utilizavam de letras do alfabeto para representar números, o causava algumas

confusões. Devem os gregos serem considerados como o precursor da álgebra moderna.

Tais símbolos (letras gregas) são ainda utilizados nos dias de hoje, costume esse

herdados dos gregos. De acordo com a autora,

Sem os símbolos, o objeto é uma percepção humana e reflete todas as fases que os sentidos humanos adquirem; substituindo por um símbolo, o objeto torna-se uma abstração completa, um mero operando sujeito a certas operações indicadas. (pg.21).

Por outro lado, não se pode desprezar a contribuição dos hindus, apesar de que

sua matemática teve pouca influência na Europa, mas é deles que parte a álgebra

sincopada, já que conseguiram atribuir símbolos para operações e igualdades

fundamentais, e também para números negativos.

189

Falando sobre a matemática árabe, a autora, observa que a civilização mulçumana

naquele período era uma mistura das culturas oriental e a helênica. O matemático mais

famoso dessa cultura, Omar pode ser considerado como o que deu origem aos métodos

gráficos, além de haver indícios de que ele foi o precursor de Isaac Newton na descoberta

da fórmula binomial. No período em que a cultura mulçumana atingia um ápice, a Europa

dormia profundamente, logicamente pela condição político-religiosa imposta à Europa,

na idade média, pela Igreja Romana. Coube a Fibonacci ser o primeiro a romper esse

sono europeu, apresentando contribuições valiosas para aritmética, álgebra e a

geometria que foi a mola propulsora da matemática italiana.

Final do século XVI a contribuição de Viète, teve um papel dominante no

desenvolvimento da matemática, devido sua proposta de se utilizar de letras para

equacionar a álgebra, trazendo à época uma ruptura com as tradições estabelecidas,

pois a partir dessa notação, abriu-se espaço para o avanço da álgebra que estava

estagnada, “visto que a utilização de letras liberou a álgebra da escravidão das palavras”.

(pg.26).

A autora discorre a partir de Viète, o rompimento com os limitadores existentes na

matemática, frente à oportunidade de poder definir as operações, estabelecer ordem aos

conjuntos, definir como corpo, ou seja, dar uma estrutura, de tal forma que culminou com

Peano (século XIX/XX) toda a fundamentação conhecida hoje como matemática

moderna.

No capítulo 2, tem como tema as equações do segundo grau, do terceiro grau e

as quantidades impossíveis ou imaginárias, a autora começa por fazer uma analogia de

como é apresentada de forma natural nos dias atuais, a existência do conjunto dos

números complexos, porém para solução de algumas equações do segundo ou terceiro

graus, o que segundo a autora, poderia levar ao estudante “questionar do porquê resolver

essa equação? E quem se preocupa se ela tem alguma solução?” (pg. 38). Isso ocorre

porque para o estudo dos números naturais, dos inteiros, dos racionais e dos reais, há

uma motivação e uma justificativa, porém, a compreensão da importância e utilização dos

números complexos vai além de um nível introdutório. São necessários conhecimentos

mais sofisticados para poder entender as aplicações.

190

Com relação à resolução de uma equação do segundo grau, se dá de forma

simples, utilizando-se a fórmula que no Brasil foi introduzida em 1960, e é imputado a

Bhaskara, o que é uma inverdade. É verdade que o Hindu Bhaskara (século XII),

apresenta várias resoluções de equações do segundo grau, porém seu trabalho trata-se

de cópia de trabalhos já escritos anteriormente. Pela história, sabe-se que no final do

século XVI, não se utilizava nenhuma fórmula para obtenção das raízes de equações

quadráticas. O surgimento das fórmulas aparece depois do trabalho de Viète.

No antigo Egito, aproximadamente 1800 a.C., já se encontravam trabalhos de

resolução envolvendo equações de segundo grau, logicamente utilizando a forma

retórica. Segundo a autora, a história mostra que 2000 a. C., os babilônicos já eram

capazes de resolver equações equivalentes à do segundo grau, já que sua álgebra era

bastante avançada. Já os gregos, conseguiam resolver as equações do segundo grau

por métodos geométricos. Os hindus por sua vez, hábeis aritméticos e que contribuíram

de forma importante para a álgebra, utilizavam-se do método do retorno para resolução

de problemas aritméticos. No mundo Árabe, Al-Khowarizmi utiliza-se da forma retórica e

geométrica (distinta dos gregos), através de um método denominado método do

complementar quadrado, para resolver equações do segundo grau.

Já na Europa, do século XV ao XVII, utilizava-se para a resoluções envolvendo

equações de segundo grau, a receita de Bhaskara.

Foi Viète que introduziu a fórmula utilizada por nós hoje, para a resolução de

equações de segundo grau, fórmula essa, denominada no Brasil como sendo fórmula de

Bhaskara. Descartes no século XVII, também desenvolveu um método para resolução,

sendo um método geométrico para obtenção de solução positiva.

Quanto as equações do terceiro grau, a autora começa a discorrer sobre a

participação de Paccioli (sec. XV), abordando na sequência a contribuição de del Ferro

(sec. XV/XVI), esse desenvolveu um método para resolução de equações cúbicas, porém

nunca publicou. Sua contribuição somente apareceu devido ao seu genro, sucessor na

Universidade e seu aluno Fiore que teve a audácia de desafiar Tartaglia para uma

competição. Tal competição vencida por Tartaglia ficou conhecida, o que levou Cardano

a persuadi-lo a contar sobre a forma de resolução das equações cúbicas. Cardano acaba

por publicar a forma de resolução, o que gerou intrigas com Tartaglia, devido ao um

191

juramento de segredo feito por Cardano a Tartaglia. A fórmula hoje conhecida é chamada

de fórmula de Cardano-Tartaglia. Cardano, porém avançou seus estudos obtendo

soluções por radicais de equação do quarto grau. Isso permitiu ao avanço para o

reconhecimento das raízes múltiplas e até a aceitação das raízes negativas.

A autora descreve ainda, sobre as quantidades impossíveis ou imaginárias,

ressaltando que em 275 d.C., Diophanto de Alexandria já havia se deparado com raiz de

número negativo, e havia percebido a possibilidade de resolução. No século XVI,

Cardano se depara com um problema cuja resolução via equação recai em raízes

negativas, no entanto, conhecia o resultado. Coube a Bombelli (sec. XVI) a explicar o

procedimento para resolução da equação do problema proposto por Cardano. Bombelli

publicou uma obra onde se utilizava da fórmula de Cardano para resolução de equação

cúbica, onde essa recaía em uma raiz negativa, porém ele conhecia que um dos

resultados era um número real, ou seja, a equação possuía solução, muito embora

quando equacionada recaísse em raiz de um número negativo. O achado de Bombelli foi

importante para o avanço dos números complexos, no entanto para a resolução de

equações cúbicas naquele momento, pouco contribuiu, já que era necessário se

conhecer uma das raízes. Ainda Euler no século XVIII, demonstrava desenvoltura ao se

utilizar dos números imaginários, apesar de manter dúvidas quando a sua legitimidade.

Nesse período, apesar de todos os esforços, os números imaginários eram totalmente

destituídos de significado, o que impedia que fossem totalmente aceitos.

O capítulo 3 a autora se dedicou em mostrar a representação geométrica: o elo

legitimador dos números imaginários. Os números imaginários ganham legitimação a

partir do século XIX, e devido às tentativas de Hamilton em ampliar a representação

geométrica de números complexos para o R³, que o levou a descobrir os quatérnions.

Nesse capítulo a autora, começa por apresentar Wessel (sec. XVIII), um

respeitado agrimensor e que publicou um brilhante trabalho representando um número

complexo em um plano complexo, com um vetor dirigido da origem do sistema ao ponto

formado pelo número complexo que possui um par de elementos reais. Dessa forma era

possível verificar o ângulo formado, o que permitiu escrever o número em sua forma

polar, além de poder se determinar o comprimento do vetor. Em seu trabalho, Wessel

conduziu a articular os números complexos com operações vetoriais. Dessa forma

192

Wessel conseguiu descobrir como multiplicar segmentos de retas a partir de

generalizações dos números reais. A autora discorre aqui com riqueza de detalhes o

trabalho desenvolvido por Wessel, e ressalta que seu trabalho ficou esquecido até ser

redescoberto.

Em seguida apresenta Argand, que viveu no final do século XVIII, início do século

XIX e que publicou um pequeno panfleto sobre maneiras de representar as quantidades

imaginárias nas construções geométricas e que por sorte do destino, cópia desse

trabalho foi parar nas mãos de Legendre (sec. XVIII/XIX). Legendre por sua vez, passou

esse trabalho para Français, que se utilizou para problemas matemáticos relacionados à

artilharia. Este por sua vez quando faleceu, seu irmão Jacques recebeu por herança os

documentos do irmão. Jacques acabou por publicar um artigo sobre aquelas ideias em

uma renomada revista de matemática. Durante esse período Wessel nem Argand não

tomaram conhecimento do trabalho um do outro, que eram semelhantes. Somente no

final do século XIX é que o trabalho de Wessel é descoberto e percebe-se que ele

antecedeu o trabalho de Argand.

A autora também menciona sobre o trabalho desenvolvido por Buée que propôs

uma interpretação geométrica para as quantidades imaginárias. Trata-se de um trabalho

longo e confuso devido a diferentes espécies de operação. Dá detalhes e explicações

sobre o que consistia o trabalho de Buée e qual era sua interpretação em relação à √−1.

Menciona o matemático Playfair e sua posição dentro do contexto do trabalho publicado

por Buée.

Destaca ainda a respeito de Grassmann (séc. XIX) que teve uma valiosa

contribuição dentro das estruturas da Teoria das Extensões Lineares, trazendo luz sobre

o assunto, o que permitiu o desenvolvimento de uma álgebra geométrica. Foi Grassmann

que conseguiu definir o produto de vetores e com isso estabeleceu-se uma nova teoria

para o eletromagnetismo. Nesse mesmo período, Hamilton publicou seu trabalho onde

obteve um sistema chamado quatérnions que se mostraram ser objetos muito

adequados para descrever operações no espaço tridimensional. No final do século XIX,

Clifford organiza um trabalho unindo a estrutura do sistema de Grassmann e de Hamilton

denominada álgebra geométrica, conhecida hoje por álgebra de Clifford. Mas, foi

somente final do século XIX, início do século XX que o trabalho de Grassmann passou a

193

ganhar notoriedade, primeiramente com Clifford, seguido por Gibbs que propagou mais

intensamente o trabalho de Grassmann ao estudar o problema dos quatérnios chegando

a publicar vários artigos mostrando a relação existente nos trabalhos de Hamilton e

Grassmann.

Para o capítulo 4 a autora reservou para mostrar com riqueza de detalhes, todo o

trabalho desenvolvido por Argand partindo de suas explicações iniciais, concepções e

generalizações, para se fazer entender no significado do que seria a interpretação da raiz

de um número negativo, como sendo uma rotação de 90°. Trata-se de uma boa fonte de

pesquisa do assunto.

Já no capítulo 5, Paula abordou as reflexões sobre o ensino dos números

complexos, onde afirma que normalmente esse conteúdo faz parte do programa do

ensino médio e também nos programas de Bacharelado e Licenciatura de Matemática,

no entanto, a autora conclui que esse conteúdo não é abordado de forma adequada, pois

no ensino médio é considerado conceitos muito abstratos e no ensino superior, esse é

um tema muito elementar, ou seja, há uma falta de equilíbrio entre as informações e isso

tem causado alguns problemas ao ensino de certos conteúdos do ensino superior, para

aqueles que optam em seguir carreira na área de exatas. A autora procurou subsidio para

suas reflexões em livros didáticos do ensino médio, testemunhos de professores e

alunos, análise de provas e até de concursos. Coloca ainda em sua reflexão que a forma

como é apresentada os números complexos aos alunos, onde a unidade imaginária i

aparece como que por encanto, um passe de mágica, tudo isso é totalmente absurda.

Por essa razão passa a ser destituído de real significado ou qualquer utilidade quer seja

no campo da Matemática ou da Física. Comenta sobre a importância da operação

multiplicativa, visto essa se apresentar como rotação em torno do eixo, abrindo espaço

para um campo vasto de análises. Para a autora,

O enfoque algébrico permite logo a operar com os números complexos sem dificuldade. Mas a experiência tem mostrado que, quando se perde a chance de introduzir os números complexos como entes geométricos, em geral ela não é recuperada, mesmo quando mais tarde, se introduz (quando se introduz) a forma trigonométrica. (p.119).

A seguir a autora aborda qual seria uma proposta ideal para se introduzir o estudo

dos números complexos de uma forma geométrica e a partir disso construir o conjunto

194

dos números complexos de uma forma mais natural, ou seja, olhando como par

ordenado, passando então a trabalhar os conceitos de igualdade, adição, o elemento

oposto, a forma algébrica, a subtração, a multiplicação, sempre considerando os pares

ordenados para então se introduzir o significado que será algo dedutível a partir da

definição adotada, para i² = -1. A partir disso então, passa-se a compor a álgebra que

envolve os números complexos, operação de divisão, a forma polar, potenciação e

radiciação de números complexos.

A autora tece ainda mais algumas reflexões de aprofundamento como a imersão

de R em C, e a relação de ordem que existe C.

Em suas considerações finais a autora chama a atenção para um problema

epistemológico que considera grave e questiona o porquê o movimento do rigor aritmético

prevaleceu fortemente no ensino em detrimento do pensamento relacional da axiomática

abstrata, sendo que esse último é a única maneira de se dar uma interpretação

satisfatória dos números complexos. A autora se coloca ainda de que a interpretação

geométrica dos números imaginários veio romper com o paradigma de uma álgebra

formal mostrando uma nova forma de entendimento, de teoria de estruturas.

A dissertação para a obtenção da titulação de mestre sob o título “O uso

Pedagógico de uma Sequência Didática para a Aquisição de Algumas Ideias

Relacionadas ao Conceito de Números Complexos”, foi apresentada por Robson de

Oliveira Santos junto à Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em 2008, e contou

com a orientação do Prof. Dr. John Andrew Fossa.

A presente dissertação Inicia-se com uma breve apresentação onde o autor

destaca alguns pontos importantes em seu trabalho, tais como informar que iniciou

fazendo uma análise histórica que envolveu o surgimento dos números complexos e

usando do referencial histórico, para compor suas atividades que denotassem uma

sequência didática sugestiva para o ensino de Números Complexos. Afirma o autor que

foi motivado pela dissertação de Rosa (1998) apresentado junto à PUC. Também faz

alusão de que sua fundamentação teórica está embasada “nos princípios de Richard

Skemp (1980) na sua formação do conceito e atividades estruturadas”. (p.12).

195

No Capítulo I, trabalha com sua introdução de forma subdividida em alguns tópicos

como a problemática, fazendo a alusão sobre as possibilidades diferenciadas para inserir

o conteúdo no Ensino Médio. Observa que em sua sugestão, procura da ênfase do

conteúdo, partindo da resolução de equações de segundo grau, cujo discriminante é

negativo, visto depender de conceitos dos quais os alunos já estão familiarizados.

Justifica suas ideias afirmando que o padrão das aulas de matemática é a tradicional

onde o conteúdo é ministrado de forma sem sentido frente a uma “crescente preocupação

dos autores em abordar as questões e conceitos científicos por uma ótica mais

humanística, enfatizando os aspectos históricos”. (p.15). Aborda ainda que, os seus

objetivos estão fundamentados em proporcionar aos alunos uma motivação pela

necessidade dos números complexos. Em sua metodologia, alega que:

“... é importante que o aluno do ensino médio entre em contato com o conceito de número complexo entendendo que este possui um significado e que com ele poderemos chegar a resultados reais de diversos problemas, constatando que conceitos matemáticos não surgem do nada”. (p.18)

Comenta ainda que a pesquisa foi elaborada em três etapas ou seja, aplicou sua

pesquisa em três diferentes escolas, com os alunos do 3° ano do ensino médio. Tomou

como base para análise a última pesquisa, visto as duas anteriores terem apresentado

alguns contratempos e consequentemente seus resultados são questionáveis.

Santos coloca ainda que em seu percurso de trabalho utilizou-se do método

qualitativo baseado no construtivismo de Piaget, incorporando a história da matemática

e os princípios defendidos por Skemp.

No capítulo II, Santos se dedica à sua Fundamentação Teórica, trabalhando sobre

a ideia do construtivismo e a história dos Números Complexos. Utiliza-se das falas de

Fossa, Mendes e Skemp, para justificar sua fundamentação construtivista e também

como a história da matemática eixo norteador de suas atividades didáticas. Afirma o autor

que a utilização da história permite aos alunos a investigação das dificuldades

encontradas pelos matemáticos do passado, bem como suas maneiras para superar tais

dificuldades. Alega o autor que:

É comum encontrarmos em todos os níveis de ensino alunos que ainda têm uma visão equivocada dos conceitos matemáticos, isto é, fazem jus à

196

crença de que esses conhecimentos surgem de forma acabada como um passe de mágica. (p.36).

Baseado em suas pesquisas, entende que a história da matemática pode servir

de instrumento a contribuir com o aprendizado de forma humanizada, além de permitir

uma articulação entre vários conceitos.

Faz nesse capítulo ainda, um breve histórico do surgimento dos números

complexos, introduzindo a partir do século XV com o trabalho de Chuquet, passando por

Cardano, Bombelli, Girard, Gauss, Descartes, Wallis, Euler, Wussing, Millies, Wessel,

fazendo um breve relato dos pontos principais de cada um desses matemáticos do

passado.

O capítulo III, Santos se debruçou na fase exploratória de sua pesquisa. As

experiências negativas anteriores (duas), serviu como base para reestruturar alguns

pontos que julgou importantes, como por exemplos, fazer uma revisão de conteúdos

básicos que necessitavam ser de domínio dos alunos, para que sua proposta pudesse

surtir o efeito esperado. Começa por apresentar escola e a turma escolhida para o

trabalho. Observa que a turma era relativamente pequena, o que proporcionou condições

para a obtenção de resultados melhores. Os alunos foram assíduos e participativos, pois

a turma era homogênea.

Sua sequência didática é composta em quatro atividades, onde em cada qual está

elencado uma sequência de questões construtiva (modelando), para a formação do

conceito, mas sempre iniciando por uma ou duas questões motivadoras. Utilizando-se da

sequência dos fatos históricos, mescla a informação histórica, mostrando as dificuldades

enfrentadas pelos matemáticos do passado em conceber os números complexos,

fazendo com que os alunos experimentassem as mesmas inquietações por tentar

compreender os resultados encontrados. Finaliza o capítulo III, apresentando sua análise

crítica em relação a cada questão abordada e a forma como os alunos conseguiram total

ou parcialmente, ou ainda não conseguiram, concluir os resultados, apresentando

também toda uma análise feita em cima das falas dos alunos da entrevista realizada ao

final da aplicação da pesquisa, onde foram feitas várias questões aos alunos, sobre suas

dificuldades encontradas na construção dos conceitos apresentados. Conclui ainda que,

a figura do professor é importante nesse processo de construção, pois interage com os

197

alunos, ajudando-os a superar as dificuldades encontradas. Afirma ainda que não é seu

objetivo induzir sua metodologia em substituição às outras, mas contribuir, apresentando

mais uma possibilidade, uma alternativa para a introdução ao ensino dos números

complexos.

O capítulo IV é direcionado para as conclusões finais, onde observa que em

relação aos seus objetivos, obteve êxito, pois houve a interação dos alunos com a

proposta do autor. Percebeu em alguns alunos a resistência a uma nova metodologia de

aprendizado, visto os mesmos estarem acostumados com as aulas tradicionais. O

trabalho foi articulado em dupla, o que segundo o autor proporcionou a dupla a discussão

quanto à forma de resolução das atividades propostas, o que tornou positivo os

resultados. Concluiu que a articulação das questões elaboradas dentro do contexto

histórico também foi salutar, pois a maioria dos alunos se sentiu motivados na busca por

soluções.

Sob o título “A História dos Números Complexos: das quantidades sofisticadas de

Cardano às linhas orientadas de Argand”, Ulício Pinto Junior apresentou sua dissertação

para a obtenção da titulação de mestre, junto à Universidade Federal do Rio de Janeiro,

em 2009, e contou com a orientação do Profa. Dra. Tatiana Marins Roque.

Em sua pesquisa, o autor subdividiu seu trabalho em Introdução, três capítulos e

Considerações Finais.

Na Introdução, o autor começa observando que o conteúdo dos números

complexos nos livros didáticos, não é apresentado em uma ordem histórica. Além do

mais, ao ser introduzido como uma extensão dos conjuntos numéricos transmite uma

impressão de que “a história dos conjuntos numéricos é linear” (pg. 8), com propósito de

solucionar equações. Outro ponto importante que o autor destaca está no fato da

resistência por parte dos docentes com relação à abordagem do conteúdo, o que tem

promovido para sua eliminação dos currículos escolares, justificando a falta de aplicação

concreta em relação ao conteúdo. O autor ainda se coloca como parte integrante de

professores que desconhecem o surgimento e o motivo que levaram a descoberta dos

números complexos e qual teria sido seu papel no desenvolvimento da matemática.

198

O pesquisador optou, no entanto em trabalhar com o contexto histórico que

antecedeu a formalização dos números complexos que conhecemos hoje, ou seja, seu

propósito foi centralizado em compreender o surgimento dos números complexos e o que

teria realmente motivado isso.

No Capítulo I, as equações cúbicas e as quantidades “sofisticadas”, o autor

informa que leitor que há um equívoco de que os números complexos surgiram para

solucionar as equações quadráticas, as quais já apareciam na matemática dos tempos

grega provenientes de investigações geométricas, onde algumas soluções não podiam

ser determinadas. Mesmo com o desenvolvimento da matemática pelos árabes, ainda

assim, as soluções que não se podiam justificar geometricamente eram consideradas

insolúveis.

O autor aborda que a busca por soluções das equações cúbicas, vem desde os

tempos gregos, onde é possível encontrar trabalhos de Diofanto do qual se conhece um

dos resultados, porém não se sabe como foi à conclusão obtida por este. Também o

matemático árabe Khayan, apoiado nos trabalhos de Apolônio encontrou resultados para

várias equações cúbicas. Vale salientar, no entanto que nesses casos aqui mencionados,

todas as soluções dessas equações se apoiavam em problemas geométricos. Segundo

o autor:

Por centenas de anos, matemáticos procuravam uma fórmula de resolução de cúbicas através de radicais, análoga à que se usava para a solução de equações quadráticas. (pg. 12).

Menciona sobre o trabalho de Pacioli e del Ferro, se detendo no desafio de Fior,

discípulo de Del Ferro, direcionado a Tartaglia, onde este por sua vez foi vencedor, o que

levou a Cardano a informação de que Tartaglia havia encontrado um método para

soluções das equações cúbicas. Cardano por sua vez ludibriou Tartaglia e extraiu desde

a informação sobre seu método, vindo publicar, onde o autor observa que um aspecto

importante no trabalho publicado por Cardano, foi trazer a informação da “existência de

quantidades sofisticadas” (pg.14), referindo-se as raízes quadradas de números

negativos. Salienta o autor que Cardano não fez caso sobre esses números, antes

“construiu exemplos que expressam o propósito de lidar com estas quantidades”. (pg.14).

199

Para o autor, além de Cardano demonstrar as fórmulas de Tartaglia e del Ferro,

ele foi além pois encontrou e demonstrou a existência de múltiplas raízes para vários

tipos de equações cúbicas e biquadradas, observou as relações entre raízes,

estabelecendo relações entre as raízes e os termos numéricos da equação, e até mesmo

a equações que teriam duplicidade de raízes e logicamente encontrando soluções

envolvendo raízes quadradas de números negativos.

O autor ainda demonstra a fórmula de Cardano para redução de termo e menciona

que em seu trabalho, Cardano mostrou e demonstrou os 13 casos diferentes de equações

cúbicas que envolviam o termo quadrático. Na sequência o autor apresenta a resolução

feita por Cardano, tal qual publicada em seu livro Ars Magna, e apresenta uma análise

da linguagem adotada por este, reescrevendo em linguagem matemática atual. O autor

salienta que em cada caso apresentado por Cardano, ele teve a preocupação em trazer

fundamentação geométrica para suas demonstrações. Salienta ainda que, “Cardano se

referia às raízes de números negativos como sofisticadas e chegou a avaliar que esses

resultados eram tão sutis quanto inúteis”. (pg. 23)

Logo após, apresenta o trabalho de Bombelli, observando que o trabalho dele,

foi influenciado por Diofanto. Também faz menção sobre a contribuição notável que

Bombelli deixou, com relação à linguagem simbólica por ele adotada, considerada um

grande avanço para época. O autor apresenta alguns trechos da obra de Bombelli,

comparando a linguagem utilizada por ele com a linguagem simbólica atual. Bombelli

ainda, se utilizou da fórmula de Cardano e demonstrou que soluções de equações

cúbicas, das quais eram consideradas irredutíveis, visto suas raízes se darem com raízes

quadradas de números negativos, conhecendo que a solução (raízes) da equação era

valores reais, mas que com a aplicação da fórmula de Cardano, recaía em raiz quadrada

de número negativo. Nesse aspecto, Bombelli abriu espaço para a importância da

existência dos números complexos. A partir de Bombelli, quantidades imaginárias

começaram a ser utilizadas em cálculos, apesar de ainda causar incômodo.

No capítulo II, o autor aborda os números imaginários na matemática dos séculos

XVII e XVIII. A abordagem é feita a partir de Harriot, considerado um dos pais da Análise

Matemática. Harriot introduziu a condição de transportar os termos do segundo membro,

com atribuição de sinais e igualando a equação ao zero. Uma de suas contribuições é

200

uma formalização inovadora para encontrar equações canônicas a partir de produtos de

fatores binômias. Apesar de não admitir raízes negativas como soluções para equações

cúbicas, mas suas equações canônicas serviram de referencial para se encontrar o

número de raízes de equações do terceiro e quarto graus, desde que essas raízes sejam

estritamente positivas. Também inventou os símbolos >, <. Para Harriot, raiz quadrada

de números negativos são tidas como inexplicáveis.

Na sequência, o autor, relata um pouco da vida de Girard e sua contribuição para

a matemática. Segundo o autor, Girard também introduz alguns símbolos para

representar operações. Na época não havia uma notação padrão e Girar tinha sua própria

notação para resolver equação quadrática por exemplo. Foi Girard que enunciou o

teorema que relaciona o número de raízes de uma equação como seu grau. O autor ainda

comenta sobre a obra de Girard, mostrando a forma como ele exemplificou algumas

soluções. Acredita que Girard foi influenciado com as obras de Chuquet, Stiefel e

Bombelli. Segundo o autor, “provavelmente ele foi o primeiro a fornecer a ideia precisa

sobre a representação dos números negativos, quando este afirmou que era de forma

geométrica que se explica solução por menos ou mais, no primeiro caso retrocede e no

segundo caso avança”. (p.33)

Avançando na matemática dos séculos XVII, agora é a vez de Descartes. Em

relação à obra deste matemático, o autor coloca um destaque especial, mostrando

detalhes e transcrevendo trechos da obra dele. Segundo o autor, Descartes introduz uma

simbologia matemática muito próxima da que usamos nos dias atuais. O autor ainda traz

as demonstrações com contextos geométricos que foram feitas por Descartes em relação

à análise feita por ele para equações quadráticas. O autor destaca que para Descartes,

quando a solução de uma equação se dava por um número negativo, ele concluía que a

raiz era falsa, ou seja, verdadeira para resultados positivos, e falsa, para resultados

negativos. Em um trecho da obra de Descartes que foi destacado pelo autor, ele afirma

a respeito de uma equação cúbica que possui uma única raiz real, as outras duas, embora

nós possamos somá-las, diminuí-las ou multiplicá-las de acordo com as regras

estabelecidas, permanecerão sempre imaginarias. (p. 41). Segundo o autor, a influência

da obra de Descartes foi significativa para os sucessores dele.

201

“O século XVII é o palco de uma verdadeira explosão matemática” (p.42), afirma

Pinto Junior. Em todas as áreas da matemática ocorrem grandes avanços e como muitas

das inovações não estavam apoiadas dentro do rigor matemático, isso abriu espaço para

que os números complexos pudessem ser vistos sob uma nova perspectiva. O autor

destaca da obra de D. Flament que três campos da pesquisa contribuíram para a

utilização dos números imaginários nos cálculos matemáticos e também sobre o

progresso de sua utilização. São eles: I - Tentativas de banir os imaginários dos

resultados. Aqui introduz a visão de Leibniz e sua contribuição e Huygens sobre os

números imaginários. Aborda sobre Moivre e seu trabalho, fazendo as demonstrações

obtidas por ele, para determinar a solução de equação de grau ímpar. Observa que

Moivre se utiliza uma tábua logarítmica para efetuar algumas operações. O mais

importante resultado de Moivre está relacionado à fórmula trigonométrica. Apresenta

seguir o trabalho de Nicole, corolário I, II e III, em relação a equações cúbicas e suas

demonstrações. Nesses trabalhos, o autor faz observações sobre a maneira como se

apresentavam os números imaginários, como eram denominados e também a forma

simbólica utilizada por cada um.

No século XVIII, faz análise sobre o trabalho de Euler e sua contribuição, onde

este começou por esclarecendo sobre a fórmula de Moivre, que devem ser utilizadas as

quantidades imaginárias, pois são de grande utilidade na combinação e na multiplicação

de arcos.

Já em relação às tentativas para decompor toda fração em elementos simples, o

autor faz uma breve retomada histórica, salientando sobre cada matemático acima, os

principais pontos de seus trabalhos. Assim chegou-se às contribuições de Leibniz e

Bernoulli, onde estes articularam com as integrais de funções racionais, fazendo

decomposições em elementos simples. Esse foi um passo importante, pois abriu espaço

para demonstração das regras aplicadas também para as quantidades imaginárias. Com

isso, decomposições poderiam assumir elementos imaginários e através da integração

poderia se utilizar o problema dos logaritmos dos números imaginários. D’Alembert foi o

primeiro a demonstrar essa condição sem muito rigor matemático, aonde Gauss chegou

a apresentar algumas objeções em relação ao trabalho de D’Alembert. Já para Lagrange,

a obra de D’Alembert era engenhosa, porém necessitava de um caráter mais rigoroso e

202

com maior generalidade. A seguir, o autor coloca um trecho da obra de Gauss, onde este

relata observações importantes envolvendo os números imaginários. Enfim, o século

XVIII abriu as portas para uma grande discussão sobre os números imaginários, sob

vários aspectos.

O autor apresenta ainda algumas discussões sobre a utilização dos logaritmos,

entre Bernoulli e Euler, que passou a ser utilizados no cálculo integral. Essas

controvérsias entre Euler, Bernoulli e Leibniz, foram de grande valia para a ampliação

dos conhecimentos dos números imaginários. Estudos realizados (por Wallis, Newton e

Bernoulli) com funções exponenciais, mostraram que essas eram funções inversas das

funções exponenciais, logo as equações exponenciais poderiam ser estendidas aos

números imaginários. Isso permitiu que Euler apresentasse um resultado importante

sobre as quantidades exponenciais imaginárias. O autor não só faz essa alusão como

mostra toda a conclusão de Euler.

Observa-se que muito embora os números imaginários não fosse o foco do estudo

durante esse período da evolução matemática, todavia eles abriram espaço para uma

ampliação dos estudos matemáticos em outras áreas do conhecimento.

O capítulo III – A representação geométrica dos números imaginários, novamente

o autor retoma rapidamente a história comentando desde a Grécia até o século XVIII,

sobre o desenvolvimento no campo da álgebra, chegando a Descartes que foi o primeiro

a dar um passo no sentido de solucionar problemas geométricos com a utilização da

álgebra. Retoma também sobre o trabalho de Wallis, colocando inclusive trechos de seu

trabalho, fazendo as demonstrações e análises. De igual modo, mostra o trabalho de

Wessel, colocando trechos de sua obra e fazendo análises sobre as demonstrações

deste. Traz uma análise e trechos da obra de Buée, fazendo alusão da importância do

trabalho dele em relação ao desenvolvimento do conceito de números negativos e a

representação gráfica dos números imaginários. Segundo o autor, Buée introduziu a

noção de qualidade para o sinal negativo. Pela definição de Buée, fornece a ideia do sinal

√−1 , estar relacionado com movimento (rotação).

No século XIX, Argand em sua pesquisa, articula de uma forma muito similar à de

Wessel. Argand ousou representar as quantidades imaginárias nas construções

geométricas, o que lhe valeu o título de um verdadeiro “arquiteto”, devido à importância

203

de sua descoberta. O autor faz uma explanação sobre o trabalho de Argand, mostrando

trechos de sua obra, explicando sobre as conclusões de Argand e trazendo as ideias

deste para os dias atuais. É devido o trabalho de Argand que se conheceu a periodicidade

das potências de números imaginários. Argand propôs em seu trabalho que √−1 está

relacionado com um movimento angular de 90°. O autor conclui que apesar do trabalho

de Argand ser grande, mas como não trazia o critério do rigor para que essas quantidades

fossem aceitas pela comunidade matemática. No entanto, não podemos deixar de

considerar a representação geométrica de números complexos, como um marco

histórico.

Em suas considerações finais, o autor afirma que a partir do contexto histórico é

possível compreender o grande problema em relação ao ensino dos números complexos,

já que a forma utilizada hoje, não condiz com a ordem histórica e daí, o autor se coloca

frente essa problemática, sugerindo que “seria pertinente que nós recriássemos o modo

de ensinar a fim de proporcionar aos alunos a experiência de conviver e de compreender

como a matemática estudada nos dias de hoje, foi produzida e descoberta ao longo dos

séculos”. (pg. 81). Segundo o autor ainda, com base em uma reestruturação da

metodologia de ensino para os números complexos é possível fornecer uma “concretude

para novos entes matemáticos” (p.82), com isso abrindo espaço para o interesse em

novas investigações que gerem desenvolvimento da matemática.

Conclui ainda o autor que, a história dos números complexos fornece um leque

de discussões dentro de outras áreas da matemática. Além disso, percebe-se que o

surgimento dos números complexos está atrelado a um “problema”, ou seja, encontrar as

soluções de uma equação cúbica.

A dissertação para a obtenção da titulação de mestre, sob o título Números

Complexos – Um estudo dos registros de representação e de aspectos gráficos, foi

apresentada por Carlos Nely Clementino de Oliveira, junto à Pontifícia Universidade

Católica/SP em 2010, sob a orientação do Profa. Dra. Maria José Ferreira da Silva.

O autor optou por constituir sua dissertação distribuída em Introdução, quatro

capítulos e Considerações finais.

204

Introduz afirmando que o problema da ilha do tesouro que fora publicado na edição

47 da Revista do Professor de Matemática, foi a mola propulsora motivadora para

escolher o conteúdo de números complexos para seu estudo. O autor afirma que como

professor de geometria por vários anos, a possibilidade de utilizar-se de números

complexos como ferramenta para resolução geométrica era algo que ele sentiu

necessidade de investigar. Segundo o autor, na proposta curricular para o estado de São

Paulo, no caderno do professor de matemática do ensino médio, 3ª série, 2° bimestre,

encontra-se como sugestão para esse estudo, uma abordagem com ênfase em gráficos,

porém essa abordagem não aparece nos livros didáticos.

Observa o autor da riqueza dos números complexos, pois estes possuem

diferentes formas de representação, o que o leva a se apoiar nos Registros de

Representação da Semiótica de Raymond Duval. Para sua investigação, o autor se

utilizou da metodologia da Engenharia Didática de Michelle Artigue com propostas de

atividades sequenciais, com análise a priori e a posteriori.

Em seu capítulo 1, o autor traz a problemática e a fundamentação teórica de seu

trabalho, onde corrobora com autores que defendem a ideia de que a visualização é

relevante para o pensamento matemático avançado. De acordo com o autor:

“E números complexos é um campo fértil para a visualização de transformações geométricas e abordagens simultâneas com Geometria Analítica, que costuma ser dada na mesma série, além de permitir visualizar graficamente algumas funções como sendo resultados de translações, rotações, simetrias, etc.”. (p.19).

Concorda que a introdução dos números complexos a partir do conhecimento

histórico leva ao aluno a percepção de que o surgimento dos números complexos está

atrelado a soluções de equações do 3° grau.

O autor salienta que o conteúdo da forma como está abordado no caderno do

professor mencionado acima, pode ir um pouco além, contemplando a parte gráfica por

ser relevante. Entende que seja um pouco trabalhoso ao professor esse trabalho,

mediante o aparato tecnológico de sala de aula: giz e lousa, e esperar que se consiga

facilmente imaginar o processo da rotação e translação no plano Argand-Gauss.

Em sua fundamentação teórica, faz observações acerca das dissertações de

Silveira (1992) e Rosa (1998), onde esse último apresenta uma sequência didática que

205

aplicou a um grupo de alunos e serviu de alicerce e questionamentos para trabalho. No

entanto, Oliveira observa que ambos os trabalhos detêm um enfoque basicamente

algébrico e seu interesse é investigar com um enfoque geométrico, utilizando-se lápis,

papel e também o software Geogebra, onde a questão norteadora é: “Ensinar o conteúdo

Números Complexos, enfatizando seus aspectos gráficos, torna seu aprendizado mais

significativo?” (p. 29).

Oliveira também elenca três hipóteses em relação à problemática observada por

ele em relação aos Números Complexos, sendo: 1° os aspectos gráficos não são

apresentados no ensino médio. 2° Professores não se utilizam desse conceito para

resoluções de problemas ligados a geometria plana. 3° acredita que a visualização

gráfica permitirá ao aluno na compreensão do conteúdo.

O autor ainda, para testar suas hipóteses, propôs a professores de uma escola

particular de São Paulo a resolução de um problema, ou seja, forneceu dois pontos,

vértices de um quadrado e pediu que esses encontrassem os outros dois vértices. Esse

problema também foi apresentado aos alunos participantes da pesquisa. Em sua

constatação, verificou que nenhum dos professores, alguns com mais de trinta anos de

trabalho, resolveu o problema utilizando-se dos conceitos de números complexos, o que

tornaria muito mais simples a resolução, lançaram mão da geometria analítica de regra

geral.

Para sua fundamentação teórica, baseou-se nos Registros de Representação

Semiótica que segundo Duval se apresenta em quatro tipos: língua natural, sistemas de

escritas, figurais e gráficos e que possuem dois tipos de representações: conversões e

os tratamentos. Oliveira julgou pertinente esse embasamento teórico, os números

complexos apresentarem diferentes formas representativas que se articulam entre si,

além da possibilidade da análise dada em relação às conversões e tratamento. O autor

também se apoiou na Teoria das Situações Didáticas, considerando fase adidática, onde

permite ao professor formular uma situação-problema levando em consideração os

conhecimentos prévios do aluno, dos quais ele poderá se valer para resolver a situação

problema. Portanto, diz o autor, o objetivo de sua sequência didática é trabalhar com

situações adidáticas.

206

Em relação ao procedimento metodológico, lançou mão da Engenharia Didática

como forma de análise, por englobar várias fases, onde é permitido saber quais são os

conhecimentos prévios que os alunos trazem para a solução das atividades propostas.

O autor apresenta também que para seu trabalho contou com a participação de seis

alunos (pg. 41 e 105), o que nos deixou confusa, pois em outro momento alega serem

sete alunos (pg. 107 e 108), alunos de uma escola particular de São Paulo e que se

dispuseram a participar, e que se realizou em uma sala com computadores disponíveis,

com o recurso Geogebra.

No capítulo 2, em seus estudos preliminares, Oliveira afirma estar indo de encontro

com a recomendação do PCN+ (2002, p.27) quando “a desenvolver no estudante a

articulação dos símbolos e códigos, estendendo a linguagem algébrica para a

visualização gráfica. (pg.43). Além disso, atende algumas competências que envolvem a

investigação e compreensão.

Salienta sua discordância ao PCN+ (2002), quando esse afirma que os números

complexos introduzidos na matemática é um tema isolado da resolução de equações por

isso perde seu sentido. O autor alega que se o tema for devidamente abordado pode

servir para resoluções de problemas concernentes à geometria plana, entre outros. Em

relação aos livros didáticos, com base nas análises de Lima (2001), onde este aponta

várias falhas na abordagem dos números complexos, Oliveira observa que a falha que

mais se destaca é a falta da interpretação geométrica das operações entre números

complexos. Para Oliveira,

“O registro de representação algébrico é necessário, mas a sua articulação com o registro de representação gráfico, vetorial e trigonométrico, também é essencial na medida em que proporciona visualizações de propriedades que, de outra forma, ficariam sem tanta evidência, como será apresentado”. (pg. 47).

Faz nesse capítulo também um breve relatório histórico e epistemológico dos

números complexos, começando por Diofanto e Viète, onde comenta sobre a aritmética

de Diofanto, mostrando que o módulo de um número complexo se articula com o produto

da soma de dois quadrados de Diofanto. Em relação à Viète, observa que este a partir

do estudo de Diofanto, encontra uma propriedade inerente a dois triângulos em que o

ângulo gerado pelo produto dos dois triângulos é dado pela soma dos ângulos dos dois

207

triângulos que operaram entre si. A seguir, apresenta o trabalho de Cardano e Tartaglia,

demonstrando a fórmula que recebeu o nome desses matemáticos. Naturalmente não

poderia deixar de falar de Bombelli, que se utilizou da fórmula de Cardano-Tartaglia, para

resolver uma expressão cúbica, onde ao se aplicar a fórmula em questão, obtém-se uma

raiz de número negativo, mas cuja solução é um número real, o que o autor faz a

demonstração dos passos adotados por Bombelli. Na sequência, comenta sobre o

trabalho de Wallis, que interpretou os números negativos como distâncias em sentido

oposto ao positivo, ou seja, à esquerda de um ponto dado. O autor mostra

geometricamente que Wallis havia criado uma interpretação geométrica para a raiz

quadrada de um número negativo. Conclui que Wallis chegou perto da construção gráfica

dos números complexos. Sobre Wessel, Argand e Gauss, destaca que estes foram os

primeiros a ousarem associar os números complexos com pontos em um plano. Já

Argand, deu uma contribuição significativa, pois este argumenta que a partir do número

1 da reta real, ao se multiplicar por i, isso promove uma rotação de 90°. Mas foi somente

após Gauss ter apresentado sua tese de doutorado que a interpretação geométrica dos

números complexos passou a ser aceita.

O capítulo 3 inicia-se fazendo uma análise dos Registros de Representação

Semiótica de Números Complexos. A partir da representação algébrica, define a adição

e a multiplicação, mostrando e demonstrando as propriedades: comutativa, elemento

neutro, elemento oposto, a multiplicação, elemento inverso, o conjugado, a distributiva,

enfim, conclui que os números complexos com essas propriedades formam um corpo

comutativo. Abre espaço aqui para informar ao leitor que no século XIX, Hamilton

define as operações de adição e multiplicação, considerando um número complexo como

par ordenado de números reais, ou seja, dentro do R². Demonstra ainda o isomorfismo

em relação à R².

O autor trabalha no sentido de mostrar as conversões de registro de

representação, na forma algébrica, forma de par ordenado, forma gráfica, faz às

demonstrações gráficas das operações de adição, subtração, o oposto, o módulo, o

argumento, a multiplicação e a divisão. No registro de representação trigonométrica,

demonstra a conversão da forma algébrica para a forma trigonométrica e, com base

nesta, mostra que as operações de soma e subtração, se tornam inconvenientes, pois

208

apresenta limites para as operações, porém é possível a verificação de propriedades

como comutativa, associativa, etc. Já nas operações de multiplicação e divisão, a

utilização da forma trigonométrica se mostra bastante eficientes e compreensíveis. Dessa

forma o autor faz as demonstrações com as devidas rotações proporcionadas pelas

operações envolvidas. O mesmo se dá ao verificar a potenciação e a radiciação. O autor

finaliza demonstrando os registros de representação por matrizes, onde as operações

podem ser feitas na forma usual por matrizes, pois um número complexo representa um

vetor, portanto, passível de representação matricial. Dessa forma, o autor demonstra as

várias formas de registros de representação semiótica que podem ser explorados no

estudo dos números complexos.

No capítulo 4, o autor descreve sobre sua pesquisa, situando o leitor de quem são

os participantes da pesquisa, onde esclarece o autor e pesquisador, tais alunos já haviam

aprendido da forma usual sobre os números complexos. O autor inicia seus trabalhos

com uma pesquisa sobre os conhecimentos prévios que esses alunos traziam. O projeto

foi aplicado em sete encontros de 1 hora cada, onde os seis alunos trabalharam em dupla.

Para a realização das atividades os alunos se utilizaram de lápis, papel e principalmente

o recurso do software Geogebra. Cada atividade estava subdividida em alternativas.

Nesse capítulo, o autor optou por apresentar as questões juntamente com as análises a

priori e posteriori, para facilitar a visualização do leitor. Apresenta também algumas falas

e conclusões importantes para deste estudo.

Em suas conclusões finais, o autor observa que os alunos inicialmente

apresentaram dificuldades nas conversões de registros algébricos e gráficos, onde se

concluiu a primeira hipótese de que os aspectos gráficos não são explorados por nas

aulas sobre os números complexos, no ensino médio. O autor informou que a utilização

do Geogebra foi importante, pois permitiu aos alunos a visualização dinâmica entre os

vetores e, com o domínio da ferramenta, os alunos melhoraram seu desempenho.

Ainda segundo Oliveira, sua sequência didática foi bem sucedida, porém observa

que a situação-problema final dada aos alunos (que é o mesmo que foi passado aos

professores, conforme mencionamos no 10° parágrafo), estes também não se utilizaram

dos conhecimentos dos números complexos para a resolução do problema. Acredita que

209

sua pesquisa foi parcialmente respondida, visto que concluiu que deveria ter usado mais

atividades com aplicações dentro da geometria.

A dissertação “Números Complexos e funções de variável complexa no ensino

médio – Uma proposta didática com o uso de objeto de aprendizagem”, para a obtenção

da titulação de mestre, foi apresentada por Larissa Weyh Monzon junto à Universidade

Federal do Rio Grande do Sul, em 2012, e contou com a orientação da Profa. Dra. Maria

Alice Gravina.

A estrutura da dissertação foi organizada e distribuída em tópicos.

No capítulo 1 – Introdução, a autora começa discorrendo a razão que a levou ao

mestrado profissional, com o objetivo de trazer uma maior contribuição ao ensino da

matemática junto aos seus alunos. Neste tópico ela mostra suas razões e como se

organizou para articular sua proposta de trabalho. A mesma leciona matemática para o

ensino médio, onde ao trabalhar com o conteúdo de geometria analítica e espacial, pode

perceber a satisfação em seus alunos no aprendizado do conteúdo, pela fácil

visualização e contextualização, até porque o conteúdo é muito presente no cotidiano de

muitos.

A autora dedica-se desde o tempo de sua licenciatura a aprimorar seus

conhecimento e desenvolver softwares de matemática, razão pela qual a levou em seu

mestrado não só construir uma sequência didática, mas também a construir um site

“números complexos”, vinculado à Universidade Federal do Rio Grande do Sul, onde

utilizando o software Geogebra, com a ajuda de duas bolsistas da graduação, onde

construiu uma sequência dinâmica para utilização e ensino junto aos seus alunos do 3°

ano do ensino médio, de uma escola pública, onde a autora é professora, pois sentiu a

necessidade de “organizar o material a ser utilizado a saber: o vídeo e as animações

manipulativas construídas no software Geogebra” (p. 15) e dessa forma responder ao

seu questionamento.

A autora tinha alguns questionamentos iniciais, os quais a levaram a uma busca

por informações, com o objetivo de aprimorar e utilizar a tecnologia como ferramenta de

ensino dos números complexos. O questionamento chave que norteou sua dissertação

foi: “através de recursos tecnológicos na forma de objeto de aprendizagem, é possível

210

implementar um ensino introdutório de Funções de Variável Complexa na educação

escolar de nível médio?” (p.15)

No capítulo 2 – A educação matemática no ensino básico, a autora acredita que

sua proposta pedagógica é inovadora e poderá auxiliar demais professores no ensino

desse conteúdo. Esse capítulo destina-se a sua fundamentação teórica baseia-se no

construtivismo, pois o indivíduo se constrói diante das interações com o meio, dia após

dia. (p.17). Para isso, justifica-se que “segundo Carretero (1997, p.10): O conhecimento

não é uma cópia da realidade, mas, sim, uma construção do ser humano.”

Neste capítulo, faz uma comparação e articulação entre a teoria piagetiana e a

teoria vygotskiana. Em suas considerações teóricas, deixa claro que em seu

entendimento, o professor deve estar à “frente ao desafio de propor aos seus alunos

material e situações que permitam um desenvolvimento de seus alunos que dependem

tanto das interações sociais quanto de processos interiores individuais”. (p.20).

Ainda nesse capítulo, ela faz uma análise sobre o tratamento dado ao conteúdo

de números complexos, junto ao PCN+, 2002, observando as competências elencadas.

Também faz a comparação entre três livros, denominados por ela: A, B e C, sobre a

abordagem dos números complexos e como cada autor introduz os conceitos e articula

a sequência didática.

Em sua abordagem teórica, recorreu a artigos e dissertações sobre o assunto,

observando e comparando a visão de cada autor e também a conclusão que cada um

chegou a sua pesquisa.

Utiliza-se das representações semióticas de Duval, já que são de importância

primordial para o ensino da matemática, já que ele faz uma análise aos aspectos

cognitivos dos alunos em relação às suas dificuldades no aprendizado matemático. Faz

referência da importância do conceito de transformação da teoria de Duval, visto que o

processo de aprendizagem matemática consiste em transformações de tratamento e

conversões e neste segundo, onde os alunos encontram as maiores dificuldades.

Faz referência sobre as considerações de Souza e Gravina, 2009, onde as

autoras concluem que a “apropriação dos sistemas de representação digitais e dinâmicos

depende de situações didáticas planejadas e é assim que os alunos desenvolvem

211

habilidades para aprender matemática com as ferramentas de mediação semiótica”.

(p.39).

No capítulo 3 – Os números complexos na história, segue explanando um pouco

sobre a história da descoberta e a evolução dos números complexos, desde Heron (75

d.C.), passando por Cardano, Tartaglia, Leibniz, Moivre, Wessel, à Argand e Gauss, no

século XIX.

No capítulo 4 – Tecnologias e números complexos: possibilidades para o ensino,

aborda que a dissertação tem por objetivo propor e analisar uma sequência didática sobre

números complexos para o ensino médio.

Explica que a primeira ferramenta que utilizou para a concepção da sequência

didática que propôs, o vídeo Dimensions: une promenade mathematique, produzido por

Jos Leys, Étienne Ghys e Aurélien Alvares, que possuem nove capítulos e tenta explicar

a quarta dimensão, foi também a ferramenta que a motivou e inspirou na construção da

sequência didática que propõe.

A segunda ferramenta didática que utilizou como objeto de aprendizagem é a

ferramenta desenvolvida por ela que é um recurso educacional dinâmico, onde os alunos

podem interagir manipulando as animações e os efeitos do dinamismo, que segundo a

autora, pode ajudar na compreensão do conteúdo. O recurso educacional dinâmico foi

construído com o software Geogebra. Para a construção do recurso dinâmico, levou em

consideração o sistema de representação semiótica principalmente dentro do conceito

de transformação.

A seguir passa a apresentar o material desenvolvido e a concepção de cada

recurso que foi elencado no site, onde procurou delinear uma sequência didática com a

multimídia.

No capítulo 5 – A implementação e a análise de uma proposta de ensino, trata-se

da aplicação do projeto e sua validação, a qual utilizou-se da metodologia engenharia

didática em suas análises, seguindo as fases:

Análises prévias: Segundo a autora, as análises prévias foram feitas nos capítulos

anteriores.

Concepção da proposta e análise a priori: Justifica que a concepção da proposta

visa solucionar o problema quando ao ensino dos números complexos. Apoia-se na

212

análise a priori. “As tecnologias serão utilizadas para poder explorar, de uma maneira

dinâmica, diferentes registros semióticos, com o intuito de promover a compreensão e

assimilação dos conceitos relativos aos números complexos e funções de variável

complexa”. (p. 84).

Separa as atividades por assunto e para cada qual elenca questões que deverão

serem respondidas pelos alunos, utilizando a estrutura dinâmica criada no Geogebra.

Experimentação e análise a posteriori: Utilizando um total de 11 encontros, a

autora acompanhou a experimentação, de forma que pode interver quando necessário,

para esclarecer dúvidas, sempre instigando a participação dos alunos.

Como o grupo de alunos participantes é do 3° ano do Ensino Médio que funciona

no período noturno, a autora julgou que muitos estudantes trabalham e por isso a

experimentação ficou um pouco prejudicada pela ausência de alunos

Fez uma análise a priori e a posteriori de cada questão sugestionada aos alunos.

Concluiu fazendo um resumo das análises a posteriori onde constatou que a

utilização do recurso tecnológico facilitou a compreensão dos alunos, no conteúdo

abordado.

O clímax de sua experimentação era verificar se era possível, alunos do ensino

médio compreender a introdução das funções de variáveis complexas, concluiu que

devido a boa apropriação das operações com os números complexos, eles conseguiram

adquirir com facilidade, pois haviam compreendido as transformações que cada operação

realizava. Apenas o que atrapalhou foi a falta de tempo, uma vez que a experimentação

foi realizada em encontros que ocorreram no último mês do ano letivo.

Validação da proposta: verificou que os alunos de modo geral apropriaram-se

dos conceitos que envolvem os números complexos. O uso das tecnologias foi

fundamental para a aprendizagem e compreensão das ideias matemáticas em seus

diferentes sistemas de representação.

Observou que introduzir o conteúdo do ponto de vista geométrico, foi mais

produtivo e com a utilização dos recursos manipulativos percebeu a absorção dos

conceitos de uma forma muito mais rápida. Concluiu que os alunos se mostraram mais

interessados e que a experiência pode trazer um processo ensino-aprendizagem mais

significativo.

213

No capítulo 6 – Considerações finais - observou que suas reflexões teóricas

adotaram alinha vygotskiana, porém sua referência fundamental foi os registros de

representação semiótica de Duval. Mesmo diante de algumas adversidades, como o fato

de os alunos serem do curso noturno, onde não dão muita importância aos estudos, o

tempo muito curto para o ensino, viu como positiva a experiência, pois percebeu que

aprimorar as aulas, as ideias e conhecimentos, deve fazer parte do cotidiano do

professor, ou seja, o bom professor deve ser sempre um pesquisador e nunca se

acomodar.

A dissertação de Reinaldo Gomes, apresentada junto à Universidade Estadual de

Maringá, em 2013, para obtenção do título de mestre contou com a orientação da Profa.

Dra. Marcela Duarte da Silva, cujo título é: Números complexos e polinômios: estratégias

e ensino para aplicação por meio do Geogebra.

No capítulo I – Introdução, o autor justifica a importância do estudo dos números

complexos e dos polinômios com a utilização das TIC, tendo como propósito facilitar o

processo de ensino-aprendizagem.

Segundo o autor, sua pesquisa trata-se de uma metodologia de atividades

práticas sugestivas para serem utilizadas em sala de aula, por professores, no qual o

autor disponibiliza ao final de sua dissertação, um roteiro de atividades com a utilização

do software Geogebra. As atividades práticas foram baseadas nas investigações

matemáticas, tendo como referência Ponte, Brocado e Oliveira.

Nesse capitulo também, ele faz uma rápida apresentação dos demais capítulos

abordados na pesquisa.

Capítulo II – História dos números complexos e dos polinômios, neste capítulo, o

autor faz um breve relato histórico do surgimento dos números complexos e sua

evolução, articulando seu aparecimento e sua utilização como objeto de solução para

expressões polinomiais.

Capítulo III – Os números complexos – Todo o capítulo é dedicado ao conjunto

dos números complexos, onde o autor define o conjunto dos números complexos como

R-espaço vetorial, estabelecendo suas propriedades. Define um número complexo como

sendo um par ordenado formado por um termo real e um termo imaginário, sua forma de

214

representação algébrica, as propriedades da adição e da multiplicação, demonstrando

cada uma delas.

Coloca os números complexos como sendo o conjunto de vetores, com todas as

suas propriedades e, portanto, define base dos números complexos, combinações

lineares, subespaços, definindo e demonstrando o produto interno, o conjugado, norma

e módulo com suas respectivas definições, mostrando também a desigualdade de

Chauchy-Shwartz e a desigualdade triangular. Ele fecha o capítulo definindo o conceito

de distância, demonstrando, define o argumento e apresenta o Plano de Argand-Gauss,

concluindo a representação de um número complexo, através de sua forma

trigonométrica com seus teoremas e demonstrações.

Capítulo IV – Função polinomial ou polinômio – Neste capítulo, o autor inicia com

as definições de um polinômio, dando o mesmo tratamento dado no capítulo anterior,

porém agora, aplicado aos polinômios, ou seja, olha para o conjunto dos polinômios como

um R-espaço vetorial, com suas definições, operações usuais, o subespaço vetorial com

suas propriedades, a base, dimensão, além de estudo de algumas operações de divisão

polinomial e estudo de suas raízes, sempre definindo, mostrando as propriedades com

suas respectivas demonstrações.

Capítulo V – Roteiro de atividades – Neste capítulo, o autor trabalhou a

construção das atividades propostas divididas em quatro módulos, num total de catorze

aulas distribuídas em: atividades de construção, de resolução e de experimentação com

a utilização do Geogebra. Na modelagem das atividades o autor seguiu da linha de

tratamento metodológica da investigação matemática exploratória, proposta por Ponte,

Brocado e Oliveira. As atividades devem ser aplicadas de forma que os alunos tenham

tempo para apresentar conjecturas, organizar as ideias e dessa forma conseguir chegar

ao aprendizado. Ele esclareceu que as atividades para os números complexos

apresentam algumas restrições no software Geogebra.

Os módulos foram construídos utilizando-se a seguinte sequência:

Apresentação do software, com duas atividades explorando os números

complexos na forma de par ordenado e na forma de vetor.

As operações com os números complexos, distribuídas em três atividades, sendo

abordada a adição, a multiplicação por escalar e exercícios operatórios.

215

O conjugado, com três atividades.

A forma trigonométrica, fazendo uma relação entre as coordenadas cartesianas e

as coordenadas polares. O módulo foi dividido em três atividades explorando o

módulo e o argumento.

Em suas considerações finais, o autor faz menção que procurou “estabelecer uma

proposta inovadora de aplicação de conteúdos matemáticos” (p.79), utilizando como

ferramenta os recursos tecnológicos, com o intuito de uma nova metodologia e prática de

ensino. Sua expectativa em relação aos alunos é que esses se sintam motivados ao

aprendizado da matemática, procurando buscar autonomia em conjecturar, questionar,

idealizar, discutir e construir hipóteses. Com relação aos professores, ele espera ter

contribuído de forma a enriquecer o conhecimento e a metodologia prática de ensino.

Na dissertação de Fernanda Caon para a obtenção da titulação de mestre, sob o

título Números Complexos: Inter-relação entre Conteúdos e Aplicações, apresentada

junto à Universidade Estadual de Ponta Grossa em 2013, sob a orientação do Prof. Dr.

Marciano Pereira.

Em seu trabalho a autora introduz, justificando a importância do seu trabalho,

pois está pautada no PCNEM/2000 e nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica –

Matemática do Estado do Paraná. A autora comenta que:

[...] apesar de documentos norteadores do ensino da Matemática destacarem a importância de estabelecer conexões entre os conteúdos matemáticos e entre esses e outras áreas do conhecimento, a fim de atribuir-lhes sentido e dar significado à aprendizagem dos mesmos, alguns livros didáticos que constituem o material de apoio imediato de professores e alunos trata dos Números Complexos de forma isolada, como um capítulo à parte, sem conexões com outros conteúdos e tampouco aplicações. (p.9)

Para a autora é necessário mostrar que existe relação entre os números

complexos e outros conteúdos matemáticos e que precisam ser explorados suas

aplicações matemáticas, dentro de uma abordagem de fácil compreensão aos alunos do

Ensino Médio, onde “tal abordagem pode ser feita partindo do contexto histórico dos

Números Complexos, passando para um estudo integrado com outros conteúdos

216

matemáticos e finalizando com algumas aplicações em outras áreas do conhecimento”.

(p. 9).

A importância de conhecer o contexto histórico faz com que se conheçam os

problemas que envolveram o surgimento dos números complexos. Além disso, como os

números complexos servem de suporte as áreas da própria matemática, bem como de

outras áreas do conhecimento, “nada mais correto que explorar essas possibilidades para

uma aprendizagem mais significativa no ensino médio”. (p.11).

Ainda para finalizar a introdução, a autora faz um breve relato do que contém

cada capítulo.

Capítulo 1 – História dos Números Complexos – A autora faz questão de frisar

que o nascimento dos números complexos ocorreu associado à resolução de equações

cúbicas e que erroneamente aparecem em alguns livros que o surgimento estaria

associado a resoluções de equações quadráticas, cujo discriminante é um número

negativo.

A autora discorre a história dos números complexos, começando por Heron de

Alexandria (século I), passa por Diofanto (século III). Já no início do século XVI, “se

percebeu que os Números Reais, não eram suficientes e surgem as primeiras ideias da

criação do Conjunto dos Números Complexos”. (p.13). Seguindo pela história, tece

comentários dos trabalhos de Scipione Del Ferro, seguindo para Tartaglia, na resolução

de equações cúbicas e chegando a Cardano (século XVI). Ainda no século XVI, Bombelli,

discípulo de Cardano estuda o material de seu mestre e, publica uma obra de forma

didática, das ideias de Cardano. Segundo a autora, Bombelli foi o primeiro matemático a

dar importância aos números complexos, definindo regras de adição e multiplicação.

Já no século XVIII, Euler melhora a simbologia dos números complexos, onde

definiu √−1 como sendo i, e logicamente i² = - 1, “de onde surge à base dos números

imaginários”. (p.26). Apesar disso, Euler considerava esses números impossíveis.

O primeiro registro histórico sobre a representação geométrica dos números

complexos foi proposto por Wessel, final do século XVIII, início do século XIX. Wessel

utilizou um sistema de eixos orientados similar ao Sistema Cartesiano Ortogonal, sendo

uma reta real e a outra, a reta imaginária, fazendo uma correspondência biunívoca do

ponto (a, b) relacionando ao número complexo a + bi, com isso foi possível demonstrar a

217

adição de dois complexos através da regra do paralelogramo, utilizando-se de vetores.

No século XIX, Argand faz uma representação semelhante a de Wessel, onde Argand

articula o número imaginário i com uma rotação de 90° no sentido anti-horário, “utilizando

sua obra para demonstrar teoremas da Álgebra, da Geometria e da Trigonometria”. (p.

18).

Mas foi com Gauss no final do século XVIII que os números complexos ganharam

notoriedade. Gauss apresenta em sua tese de doutorado a demonstração do Teorema

Fundamental da Álgebra, que diz que toda equação polinomial de grau 𝑛, com 𝑛 ≥ 1

admite pelo menos uma raiz complexa. “Foi Gauss que inventou o termo Números

Complexos” (p.18). Após isso, surgem as funções circulares estabelecendo uma conexão

entre os números complexos e sua representação geométrica.

No século XIX, Hamilton traduz as definições geométricas de Gauss, na forma

algébrica e segundo a autora,

[...] analisando a história dos Números Complexos fica fácil perceber que nem sempre a ordem que os fatos ocorreram condiz com a que são ensinados, até mesmo porque, muitas vezes, o mesmo conceito foi estudado por matemáticos diferentes em épocas diferentes. (p.19).

No capítulo 2, Caon começa abordando que os Números Complexos podem ser

definidos na forma algébrica, trigonométrica, exponencial ou geométrica, sendo todas

elas importantes e que se relacionam entre si. Na sequência faz uma análise, observando

a forma como é explorado o conteúdo em dez livros didáticos, que participaram do Plano

Nacional do Livro Didático 2011. Segundo suas análises, alguns autores têm se

esforçado para incluir fatos históricos em seus livros, mesmo que superficial, pois não

apresenta vínculo com o conteúdo. 80% dos autores iniciam o conteúdo utilizando

equações quadráticas com discriminante negativo, o que induz ao erro, aos

desinformados, que pensarão que o surgimento dos Números Complexos está atrelado

a esse tipo de resolução, quando na verdade é vinculada a resolução de equações

cúbicas. Segundo a autora ainda, “todos os livros mostram os Números Complexos como

vetor, mas deixam a desejar no que se refere à representação geométrica da adição,

subtração, multiplicação, conjugado, etc.” (p.21).

218

Verificou também que quase todos os livros têm suprimido demonstrações,

mesmo que simples, além de que, estrategicamente, os Números Complexos estão

alocados no capítulo que antecede o estudo dos Polinômios. Alguns autores relacionam

os Números Complexos e Geometria e alguns autores, relacionam os Números

Complexos com outras áreas de conhecimento, tais como: Física, Arte, Engenharia

Elétrica e até mesmo que as Funções Complexas dão origem aos Fractais.

Na conclusão desta análise, Caon considera positivo o fato de a maioria dos

autores estarem inserindo contextos históricos em seus livros, mas que precisam ser

melhores articulados ao conteúdo. Por outro lado, considera negativo o fato de alguns

autores omitirem as demonstrações, “pois seus resultados são inerentes ao

conhecimento”. (p. 22).

Na segunda parte deste capítulo, a autora se dedica a conceituar, colocando

definições e propriedades, demonstrando todas elas em relação ao Conjunto dos

Números Complexos. Coloca todas as propriedades da adição e da multiplicação. Define

Números Reais e Unidade Imaginária. Explica a Representação Algébrica e a

Geométrica, demonstrando as operações de forma algébrica e geométrica: Adição,

Subtração, Multiplicação, o Conjugado de um Complexo, Divisão, Potenciação, Módulo

de um Número Complexo, a Forma Trigonométrica, a Multiplicação e a Divisão na Forma

Polar, 1ª e 2ª Lei de Moivre (Potenciação/Radiciação), a Forma Exponencial dos

Números Complexos. Acredita na importância das demonstrações, pois favorece a

generalização dos conceitos.

Conclui afirmando que seu trabalho não tem por finalidade ditar uma sequência

didática, mas trazer subsídios aos professores, na organização do trabalho pedagógico.

O capítulo 3 é dedicado a estabelecer conexões dos Números Complexos, com

outros conteúdos matemáticos. A ideia aqui é mostrar que existem conexões entre os

Números Complexos e outros conteúdos da matemática e, portanto essa articulação

precisa ser feita quando do ensino desse conteúdo.

A seguir, a autora passa a mostrar como e em quais são estas conexões,

dividindo em duas sequências: I) Números Complexos e Geometria - Em relação aos

Movimentos no Plano – Translação, Dilatação ou Contração, Rotação em relação à

origem, Reflexão em torno de uma reta pela origem, Paralelismo e Perpendicularismo no

219

Plano Complexo, Equação da Reta no Plano Complexo, Retas Paralelas e

Perpendiculares no Plano Complexo, Alinhamento de três pontos, Mediatriz no Plano

Complexo, Semelhança de Triângulos no Plano Complexo e Circunferência no Plano

Complexo. Para cada um desses itens, a autora traz explicações demonstrações

algébricas e principalmente demonstrações geométricas. II) Números Complexos e

Equações Algébricas - Faz alusão ao Teorema Fundamental da Álgebra (sem

demonstrações), Teorema da Decomposição, explicado e demonstrado passo a passo,

Equações Binomiais e Trinomiais, fazendo as definições.

Com isso, conclui o capítulo fazendo a alusão de que existem várias conexões

dos números complexos e outros conteúdos matemáticos, o que não justifica estudá-lo

de forma isolada e descontextualizada.

No capítulo 4, descreve aplicações diversas, sem utilizar aprofundamentos

teóricos. “Citando Araújo, hoje temos aplicações que não se fizeram presentes na história

da sua criação, tais como: Topografia, Cosmologia, Informática, Física Moderna e

Eletricidade”. (p.10)

Com relação às aplicações destaca: Aplicações na Física - verifica-se nos

contextos das Grandezas Vetoriais, na Reflexão de Espelho. Aplicações na Engenharia

Elétrica - no princípio da indução eletromagnética, nos circuitos de corrente alternada.

Aplicações na Aerodinâmica - serve para explicar matematicamente a aerodinâmica para

sustentação gerada por um corpo em movimento através de um fluído ao ideal.

Aplicações nos Fractais - que são conhecidos por gerarem figuras exóticas, mas que é

importante no estudo de sistemas dinâmicos. Conhecimento este utilização para fazer

previsão do tempo, estudo do movimento das estrelas e galáxias do sistema solar,

análises de pulsos elétricos cerebrais e de batimentos cardíacos, ou seja, é uma

geometria que permite explicar vários fenômenos da natureza, onde não é possível fazê-

la com a utilização da geometria tradicional. Além disso, os fractais permitem as

modelagens de imagens nas telas de computadores. Aplicações na Arte - onde se

consegue criar imagens com efeitos, utilizando-se de rotação e translação.

Em suas considerações finais, Caon conclui “que os Números Complexos se

constituem uma grande ferramenta para solução de diversos problemas”. (p. 68). Vê de

forma negativa o fato de muitos autores explorarem a manipulação de operações e

220

conceitos sem a utilização gráfica, ou seja, apenas de forma técnica e de omitirem as

aplicações com outros conteúdos e da disciplina e em outras áreas do conhecimento.

Acredita que o conhecimento histórico, algébrico e geométrico dos Números

Complexos e suas aplicações diversas permitem aos professores uma melhor

abordagem, tornando o conteúdo de forma mais significativa, o que favorece a

aprendizagem.

Já Márcio Roberto Gomes apresentou sua dissertação intitulada Explorando o

Tratamento Matricial para uma Introdução aos Números Complexos, para a obtenção da

titulação de Magister Scientiae, junto à Universidade Federal de Viçosa, em 2013,

contando com a orientação da Prof. Dr. Kennedy Martins Pedroso.

Em sua introdução, o autor aborda que sua sequência didática foi estabelecida

utilizando o conteúdo de matrizes aprendido anteriormente, tirando a ideia de que para

trabalhar com esse conteúdo só é possível a partir do elemento imaginário i. Com a

utilização das matrizes, o autor coloca o trabalho articulado com a geometria

No Capítulo 1- Matrizes 2X2 especiais e sua estrutura algébrica – Neste capítulo

o autor conceitua as matrizes de ordem 2 especiais, trabalhando suas operações: adição

e multiplicação, com suas respectivas propriedades, demonstrando cada uma delas.

Conceitua e define Corpo e Grupo Abeliano. Na sequência, o autor mostra a

representação geométrica de uma matriz especial. Utilizando o conceito dos vetores,

define a norma, e utiliza-se de algumas definições e conceitos utilizados na Álgebra

Linear.

Para o Capítulo 2 - Números Complexos, o autor para falar dos números

complexos, apresenta primeiramente as matrizes em suas operações: adição, subtração,

multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, todas exemplificadas e representadas

geometricamente.

No Capítulo 3 - Deformação de figuras planas e conformidade – Conceitua e define

as transformações por funções elementares, verificando a translação, a rotação e a

dilatação, no plano, através da estrutura das funções vetoriais, representando na forma

matricial

221

O Capítulo 4 - Proposta de Atividade Educacional, o autor propõe fazer uma

revisão nas definições, conceituações e operações com matrizes. Identifica os tipos de

matrizes, define determinante e a inversa de uma matriz de ordem 2. Propõe alguns

exercícios de fixação. Em seguida ele toma a matriz especial citada no capítulo 1 s sua

forma geométrica e agora exemplifica. Conceitua a matriz unidade ou identidade e a

matriz unidade imaginária representada por i. A partir das matrizes unidade e unidade

imaginária, multiplicando-as por números reais e somando-se os resultados, constrói a

forma algébrica de um número complexo e faz sua representação gráfica,

exemplificando, demonstra a igualdade, o módulo e o argumento, as operações: adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação com números complexos,

exemplificando e demonstrando geometricamente. Termina o capitulo propondo uma

sequência de dez exercícios para serem resolvidos pelos alunos.

Em sua conclusão, o autor afirma que uma abordagem geométrica além de ser

uma alternativa, propiciará aos alunos a oportunidade de articular os números complexos,

com conteúdos estudados anteriormente. Sugere também a utilização de software de

geometria dinâmica para simular, conjecturar, facilitando assim os experimentos a serem

realizados. O autor ainda afirma que aqui não é o fim do trabalho, pois espera difundi-lo

com outros colegas da área.

A dissertação Modelagem Matemática no Processo de Ensino e Aprendizagem

de Números Complexos: Uma Proposta Didática, para a obtenção da titulação de

mestre, apresentada por Daniele da Cunha Silva, junto à Universidade Estadual de

Londrina em 2013, e contou com a orientação do Prof. Dr. Paulo Laerte Natti.

Em seu trabalho, a autora introduz o assunto, colocando de forma crítica que o

estudo dos números complexos faz parte do currículo do Ensino Médio e é direcionado a

alunos do 3° ano. De acordo com a autora, onde ela menciona sobre livros voltados ao

Ensino Médio, todos mantêm um mesmo padrão de abordagem, iniciando com a História

da Matemática fazendo referência à equação cúbica, voltando-se para a equação

quadrática cujo discriminante é um número negativo e introduzindo a ideia de que é

necessário um novo conjunto para se obter as soluções nessas situações. Apresenta-se

o conjunto dos números complexos com suas definições e operações, elencam-se

222

exercícios que segundo a autora, são resolvidos mecanicamente, sem a compreensão

do aluno e ainda ao final do capítulo finaliza-se com textos falando um pouco mais da

história e também sobre as aplicações no campo da geometria e na engenharia elétrica.

Para completar esse quadro, ainda segundo a autora, os professores aplicam uma prova

cobrando exercícios similares aos realizados em aula, alterando os níveis de dificuldades,

e finalmente se obtém alunos com o conhecimento adquirido.

Na opinião da autora, uma abordagem alternativa do conteúdo, de forma a atribuir

significado é a relação entre as operações envolvendo os números complexos e as

transformações no plano, abordagem essa que não é explorada nos livros.

Tece ainda algumas críticas sobre os trabalhos de Oliveira (2010) e de Spinelli

(2009), onde ambos utilizam o Geogebra como recurso didático, e ainda do trabalho de

Cerri e Monteiro (2001) que utiliza a abordagem histórica, como construção de conceitos.

Na visão da autora, uma situação problema deve ser o ponto de partida para

motivação do estudo. Intercalar história com questionamentos e somente então introduzir

as ideias, conceitos e procedimentos, finalmente retornando ao problema inicial e

utilizando-se das ferramentas adquiridas e finalmente conclui-se o resultado. O que a

autora coloca é que dessa forma se estará atribuindo um significado ao conteúdo de

forma que tragam ao aluno, condições de se utilizar dos conceitos adquiridos como

ferramenta para soluções em situações problemas que possam surgir.

A autora se utiliza do método da Modelagem Matemática como fundamentação

de sua proposta de trabalho.

Sobre a problemática e fundamentação teórica, a autora coloca que o trabalho

foi motivado na tentativa de responder a seguinte questão: “Como melhorar o processo

e aprendizagem dos números complexos?” (p.14). Pensando nisso, ela olhou como

desafio a elaboração de uma sequência didática para o tratamento do estudo dos

números complexos.

Utilizando os princípios da Modelagem Matemática, ela se fundamentou nos

trabalhos de Sadovsky, Chaves e Espírito Santo, e Almeida e Vertuan. Justificou ainda

que sua proposta de trabalho está em acordo com o “Currículo do Estado de São Paulo:

Matemática e suas tecnologias (SÃO PAULO, 2012, p. 47), que diz: Procurar, em cada

problema, não apenas uma solução, mas sim a melhor solução, para minimizar os custos

223

ou maximizar os retornos, por exemplo, pode construir um atrativo a mais na busca de

contextualização dos conteúdos estudados”. (p.18)

Destaca ainda em sua fundamentação teórica que os dois problemas abaixo,

serviram-lhe de inspiração para sua pesquisa:

Problema 1 - (GUIMARÃES, 2013) Considere o quadrado ABCD, de diagonal AC definida

pelos pontos (1, 1) e (3, 4). Determine as coordenadas dos demais vértices do quadrado.

Problema 2 - (ELIAS, 2013) Um arquiteto gostaria de construir um edifício de base

quadrada em frente à praia, de tal forma que uma das diagonais de sua base fosse

paralela à orla, conforme a ilustração abaixo. Utilizando um sistema de coordenadas

cartesiano, ele determinou que os vértices da base que determinam a diagonal paralela

à orla deverão ser A(2, 6) e C(6, 2) . Determine as coordenadas dos outros dois vértices,

de modo que o quadrilátero ABCD seja, de fato, um quadrado. (p.19)

No capítulo 3 – O ensino dos números complexos, a autora recorre à história da

matemática com o intuito de resgatar as origens dos números complexos, bem como a

forma como eles surgiram a partir de situações problemas, donde veio a necessidade de

soluções reais.

Ainda nesse capítulo, discorre sobre a história dos números complexos,

começando por Heron de Alexandria (século I), passando por Cardano, Scipione Del

Ferro, Tartaglia, Bombelli todos no século XVI. Aborda também sobre os trabalhos de

Girard e Descartes no século XVII, bem como nos trabalhos de Euler, Gauss, Wessel e

Argand nos séculos XVIII e XIX, terminando com as descobertas de Hamilton, onde

“considera-se que este seja o marco do início da moderna formulação dos números

complexos”. (p.25).

A autora se utiliza de três livros didáticos do Ensino Médio, de autores conhecidos,

onde tece comparações e analisa a forma como os conceitos são apresentados nesses

livros. Segundo a autora, os três livros seguem uma abordagem padrão. A seguir,

apresenta um resumo de como o conteúdo é apresentado nos livros, sendo sua

sequência: Igualdade e Operações entre Números Complexos; Representação Algébrica

de Números Complexos; Operações na Forma Algébrica; Representação Geométrica de

Números Complexos; Argumento de um Número Complexo; Forma Trigonométrica de

Números Complexos.

224

No capítulo 4, Intervenção Pedagógica na Escola, a autora, faz sua sugestão com

um roteiro de atividades que seguem uma sequência didática explorando os conceitos

matemáticos, a saber, representação dos números complexos, operações fundamentais

com números complexos, conjugado, módulo e argumento de um número complexo e as

relações entre tais conceitos. Destaca-se ainda que as inovações encontram-se na

abordagem do conteúdo.

Para Silva, alguns princípios fundamentais devem nortear o processo de ensino-

aprendizagem, ou seja, “selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e

informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar

situações-problemas, sendo estes, uma das cinco competências do Enem”. (p.31).

A sequência didática sugerida por Silva está dividida em seis etapas da seguinte

forma:

Na Etapa I – Deve-se apresentar uma situação problema, para instigar os alunos

na busca por respostas, com isso tem-se a oportunidade de retomar alguns conceitos e

a necessidades da busca de novos conceitos.

Etapa II – Colocar uma situação problema articulado com a história de forma a

observar a necessidade dos números complexos.

Para a Etapa III – Deve-se apresentar o conteúdo de números complexos através

de uma sequência de atividades mesclando a representação geométrica e a algébrica,

“para que os alunos adquiram o domínio das técnicas do conteúdo”. (p.32).

Etapa IV – Elaborar a resolução do problema inicial motivador, utilizando-se dos

conceitos aprendidos pelo conteúdo abordado. Voltamos ao ponto de partida para fechar

o processo de Modelagem Matemática, e demonstramos, assim, que o novo conteúdo

facilita a resolução deste problema. (p.32).

Na Etapa V – Oferecer aos alunos mais problemas, para explorar mais a nova

ferramenta adquirida.

Finalmente na Etapa VI – Propor aos alunos, um questionário individual para se

ter um feedback do processo ensino-aprendizagem em relação ao conteúdo.

A seguir, a autora apresenta uma sequência de atividades sugestivas para serem

aplicadas, tecendo comentários sobre como devem ser aplicadas, o que o professor deve

esperar de seus alunos, como intervir, até mesmo sugerindo que os grupos devem

225

sociabilizar as soluções encontradas, com o propósito de promover uma discussão sobre

a situação-problema. A autora também resolve passo a passo suas sugestões,

abordando quais itens são importantes a serem destacados.

A autora não sugere a utilização do recurso Geogebra, porém se utiliza dele para

representar geometricamente os números complexos, operações com números

complexos, conjugado, módulo, a multiplicação a forma trigonométrica, etc.

No final do capítulo a autora elenca algumas sugestões de situações-problemas

extras, com as devidas resoluções, para serem aplicadas. Finalmente conclui com um

questionário com questões envolvendo os números complexos, num total de dezessete

questões para serem respondidas pelos alunos, envolvendo todo o conteúdo.

Em suas considerações finais, a autora destaca que a sequência didática

proposta por ela, irá contribuir com o aprendizado do aluno, visto ser uma forma

interessante de abordagem. A autora também afirma que pretende aplicar a própria

proposta didática.

Na dissertação de Liliam Aparecida Alves Paes para a obtenção da titulação de

mestre, cujo título Números Complexos: Uma Proposta Didática baseada na Modelagem

Matemática e em Contextos Históricos foi apresentada à Universidade Estadual de

Londrina, em 2013, e contou com a orientação da Prof. Dr. Paulo Laerte Natti.

A autora inicia sua introdução comentando das inquietudes geradas para alunos

e professores, no que tange ao ensino dos números complexos, na maneira como é

abordado nos materiais didáticos, de onde sempre sobram aos alunos, questões tais

como: Estudar números complexos pra que? Ou Para que serve os números complexos?

De onde a autora em sua pesquisa conclui: “... deparamo-nos com algumas dissertações,

teses e artigos sobre o tema, que reforçaram o fato de que muitos de nossos alunos, e

até mesmo muitos professores, não compreendem a importância dos números

complexos.” (p.11)

Segundo a autora, os livros didáticos mantêm um padrão de abordagem dos

conteúdos geralmente apresentados em três etapas: na forma de pares ordenados, na

forma algébrica, ou na forma trigonométrica, com suas operações básicas no contexto

algébrico sem fazer o relacionamento com o plano complexo, ou seja, descontextualizado

226

e limitado pela aplicação de meras fórmulas. A autora ainda faz a referência de que

comparou a sequência didática do conteúdo abordado em três livros didáticos tradicionais

para Ensino Médio.

Para a autora, este conteúdo deve ser abordado a partir de uma situação-

problema, se valendo da história quando se fizer necessário, para uma melhor

compreensão. Seu trabalho teve como objetivo principal a elaboração de uma sequência

didática, onde se utilizou da metodologia de modelagem matemática. Observa a autora

que a mesma não aplicou sua sugestão em sala de aula.

No capítulo 2, trata da Problemática e da Fundamentação Teórica, Paes afirma

que a maneira como o conteúdo tem sido tratada em sala de aula é totalmente

descontextualizado e os alunos meros reprodutores e sem compreensão.

Neste capítulo também ela apresenta análise de duas dissertações que abordam

sobre o conteúdo.

Justifica ainda que:

“Em geral, é notável que a Matemática ensinada na sala de aula, assim

como a forma como é ensinada, não acompanhou a evolução tanto social quanto tecnológica, gerando conflitos entre aqueles que devem ensinar

(professores) e os que devem aprender (alunos).”

Cita alguns autores, como Barbosa, Burak, Almeida, Vertuan, para justificar sua

opção de escolha dentro da modelagem matemática.

No capítulo 3, sobre o Ensino dos Números Complexos, Paes aborda sobre a

história dos números complexos e na sequência, trabalha as abordagens matemáticas

tradicionais (grifo nosso) para o dos Números Complexo, onde afirma que em geral para

o ensino dos números complexos é feito uma retomada na evolução dos números,

começando pelos naturais e concluindo a necessidade de construção dos números

complexos, como abordado em alguns livros didáticos, que segundo a autora, feito de

uma forma descontextualizada. Coloca também como é transmitida a representação

geométrica de um Número Complexo, passando na sequência às operações básicas:

adição, subtração, multiplicação, conjugado, divisão, potência de i, módulo de um

Número Complexo, e a forma trigonométrica, trabalhados apenas no contexto algébrico.

227

Sobre a Intervenção Pedagógica na Escola, no capítulo 4, Paes se dedica a

construção de uma sequência didática, que segue a seguinte estrutura: Na etapa 1,

propõe uma situação-problema, com objetivo de instigar os alunos. Na etapa 2, propõe

algumas atividades para que os alunos possam se apropriar de conceitos sobre os

números complexos. Na etapa 3, faz-se a retomada da situação-problema proposta na

etapa1. Fechando com a etapa 4, através de um questionário para avaliar a qualidade da

intervenção pedagógica.

Na sequência, a autora introduz a primeira atividade que faz parte da etapa 1 com

uma situação-problema para ser aplicado, tecendo comentários sobre o que espera do

aluno, trazendo as possíveis soluções para problema proposto. O professor deve

conduzir os alunos na resolução, sem, no entanto, contar como se resolve.

Na etapa 2, ela propõe uma segunda atividade, contextualizando com a história

da matemática, introduzindo uma situação-problema que gera uma equação de grau

cúbico e propõe. Em seguida entra com a atividade três dando um texto para que os

alunos leiam, abordando sobre a história dos números complexos, onde introduz a

fórmula de Cardano-Tartaglia. Discute com os alunos sobre o texto lido e em seguida fala

que a atividade dois é baseada nesse princípio de Cardano-Tartaglia. Em seguida,

propõe uma situação similar, pedindo aos alunos utilizar os procedimentos de Bombelli.

Finalmente na atividade cinco deve ser feita geometricamente, onde é fornecido alguns

números complexos para serem colocados no plano Argand-Gauss, representando as

operações no plano e pedindo que os alunos comparem a forma algébrica resolução,

com a forma geométrica da resolução, sempre solicitando que os alunos anotem suas

observações. Para finalizar, sugerir aos alunos fazerem a operação de multiplicação de

um complexo por i e por i², observando o que acontece. As atividades são propostas para

serem trabalhadas em grupos de 2 a 3 pessoas.

A etapa 3, é a hora da retomada da etapa 1, onde os alunos devem se utilizar dos

conceitos aprendidos para resolver o problema proposto. Como última atividade, propõe

um questionário para se ter o feedback sobre a percepção dos conceitos absorvidos pelos

alunos.

No capítulo 6, em suas considerações finais, afirma que os questionamentos

realizados por alunos sobre o porquê e para que estudar os complexos, a levou ao

228

encontro de algumas sequências didáticas, na qual se identificou com a modelagem

matemática com a contextualização histórica, o que gerou sua proposta para uma

sequência didática.

A dissertação para a obtenção da titulação de mestre, sob o título Aplicações dos

Números Complexos na Geometria Plana apresentada por Laércio Francisco Feitosa,

junto à Universidade Federal da Paraíba, em 2013, e contando com a orientação do Prof.

Dr. Napoleón Caro Tuesta, foi dividida em dois capítulos e conta com Apêndices A e B.

A ideia permeada nessa dissertação é a apresentação do conteúdo de números

complexos aplicado de forma significativa na geometria plana, demonstrando que a

estrutura geométrica dos números complexos vai além do estudo na forma polar.

Em sua introdução, o autor faz um breve relato a história dos números complexos.

Comenta também que a importância dos números complexos transpõe a mera obtenção

de raízes quadráticas de números negativos, pois os números complexos se apresentam

nos mais diversos ramos da matemática.

No capítulo I, Feitosa dedica para a explanação dos números complexos,

introduzindo a partir de um exemplo padrão, ou seja, uma equação do segundo grau, cujo

discriminante é negativo, e assim definindo o elemento imaginário i.

Apresenta toda a estrutura que compõe o conjunto dos números complexos,

fazendo todas as definições e propriedades que norteiam a estrutura desse conjunto,

demonstrando cada uma. Nas operações que envolvem os números complexos, em cada

uma delas, apresenta de forma geométrica também, mostrando seu significado

geométrico.

No capítulo II, o autor começa por explanar algumas propriedades da geometria

analítica e da geometria que envolve os números complexos, tais como: a distância entre

dois pontos, o ângulo formado entre duas retas, a condição de alinhamento de três pontos

no plano complexo, a equação da reta, a equação paramétrica da reta, a equação da

circunferência, o perpendicularismo no plano complexo, a equação da reta perpendicular,

a equação da mediatriz de um segmento, os triângulos, triângulos semelhantes, triângulo

equilátero, os pontos notáveis em um triângulo e o baricentro. Faz algumas aplicações

dos números complexos em situações da geometria plana. Enuncia e demonstra o

229

Teorema de Napoleão, o Teorema do Círculo dos Nove Pontos e o Teorema da Reta de

Simsom. Nas Leis do Seno e do Cosseno, também enuncia o Teorema de cada um,

fazendo as respectivas demonstrações. Finaliza o capítulo sugerindo quatro problemas,

apresentando as devidas resoluções.

No apêndice A, dedica-se a apresentar mais informações da geometria analítica

envolvendo os números complexos. Enuncia Proposições e faz as demonstrações,

envolvendo a equação da reta, a condição entre duas retas, a equação da reta

determinada por um ponto e uma direção, a equação da reta determinada por dois pontos

e a condição de alinhamento de três pontos.

No apêndice B, resolve os quatro problemas apresentados no capítulo dois, mas

agora utilizando a geometria comum para a resolução.

Sob a orientação da Profa. Dra. Luisa Rodriguez Doering, Claudia Rosana da

Costa Caldeira, apresentou sua dissertação intitulada Números Complexos: Uma

Proposta Geométrica junto à Universidade Federal do Rio Grande do Sul, em 2013.

Para a autora em sua introdução, a ideia de seu trabalho era verificar a

possibilidade de se estudar os números complexos a partir da geometria. Destaca que

as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN+) não evidencia o estudo dos números complexos, mas ao mesmo tempo salienta

a importância da articulação da álgebra com a geometria.

A autora também descreve um pouco de sua trajetória profissional e aborda a

importância do estudo dos números complexos, pois estes são ferramentas para estudos

nas áreas de Engenharia e Eletrônica e sua inquietude da maneira como o conteúdo é

ministrado normalmente, e acredita que se pode fazer uma inversão do enfoque de

algébrico, normalmente apresentados nos livros didáticos, para o enfoque geométrico.

Explica que sua proposta foi se “utilizar da formulação de Números Complexos

apresentada por Hamilton, partindo da ideia de pares ordenados até a correspondência

do par (0, 1) com a unidade imaginária i”. (p. 12).

No segundo capítulo, faz um estudo preliminar, comentando sem delongas a

história do surgimento dos números complexos, demonstrando a fórmula de Cardano-

Tartaglia e conclusão dada por Bombelli. Comenta que de acordo com os PCNEM (2002)

230

e os PCN+ (2002), que um dos aspectos que deve priorizado é a contextualização da

Matemática, e pensando nesse aspecto, elaborou uma proposta didática privilegiando a

abordagem geométrica, no estudo dos números complexos. Para tanto, escolheu as

Representações Semióticas de Duval em sua análise, pois permite o transito entre as

diferentes formas de representação dos símbolos.

Na sequência, faz uma análise do conteúdo e a forma de abordagem presentes

em oito tradicionais livros didáticos, sendo que seis deles são recomendados pelo

PNLDEM entre os anos 2007 e 2012. Na análise foi observada a quantidade de páginas

direcionadas ao estudo do conteúdo, bem como o contexto da abordagem, ou seja, se

existem o tratamento histórico, como é introduzido o conceito, como se articula o número

complexo com a geometria e de que forma ocorre essa articulação, como são feitas as

representações geométricas e trigonométricas, além das operações com os números

complexos. Por fim, analisa os tipos de exercícios resolvidos e propostos e concluem

que:

[...] todos os autores mantêm um padrão de apresentação dos exercícios.

Após a exposição teórica, apresentam exemplos ou exercícios resolvidos. Posteriormente, propõem exercícios para que os alunos os resolvam. Em geral, tais atividades exigem, na sua maioria, procedimentos similares ou até iguais aos resolvidos nos exemplos de cada livro. São exercícios que exigem pouca interpretação, e geralmente, muitos cálculos. (p. 28)

Faz análise também de quatro dissertações envolvendo os números complexos,

escritos em momentos distintos, variando de 1998 a 2012, onde a autora se identificou

com a questão proposta por Oliveira (2010), cuja questão norteadora é: “Ensinar o

conteúdo Números Complexos, enfatizando seus aspectos gráficos, torna seu

aprendizado mais significativo?” Segundo Caldeira, o autor (Oliveira) para responder

esta questão utilizou-se do software Geogebra, fundamentando seu trabalho na teoria

dos Registros de Representação Semiótica de Duval, e para metodologia, utilizou-se da

engenharia didática de Michèle Artigue. Pensando nos questionamentos proposto por

Oliveira, Caldeira procurou responder alguns deles em sua dissertação, já que possui um

enfoque geométrico. Analisou a dissertação de Araújo (2006), a de Monzon (2012) e a

de Rosa (1998). Em todas elas, Caldeira procurou identificar as similaridades e

diferenças, além dos enfoques dados por cada uma.

231

No terceiro capítulo, a autora discorre sobre o referencial teórico adotado para

seu trabalho, ou seja, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond

Duval, pois vem de encontro com suas expectativas em termos de análise cognitivo. Faz

aqui uma releitura do que é a representação semiótica e como os Números Complexos

se comportam diante dessa Teoria.

Com base no contexto teórico, afirma a autora:

[...] elaboramos uma sequência didática para introduzir o estudo dos Números Complexos, trabalhando a dependência e o relacionamento entre as formas geométrica e algébrica na elaboração de atividades que privilegiam a articulação entre os diferentes registros de representação dos Números Complexos. (p. 44).

No capítulo 4, o mais longo, a autora dedica-se para a apresentação e descrição

de sua Proposta Didática, passo a passo. Esclarece que a aplicação da proposta foi

realizada com uma turma do curso técnico de Eletrônica – período noturno, composta por

18 alunos.

As atividades foram divididas em nove encontros de no mínimo 90 minutos cada

um, onde foi se construindo, a partir de pares ordenados do 𝐼𝑅2, a idéia de vetores no

plano, observando o comportamento das operações, os ângulos formados, comparando

resultados, de forma a fazer com que os alunos se apropriassem dos conceitos de

maneira natural. Em cada encontro a autora procurava instigar os alunos com algum

questionamento dos quais eles precisariam buscar respostas. Os alunos trabalharam em

grupo de forma que podiam discutir as possibilidades entre si. Somente no quinto

encontro, foi que se introduziu a unidade imaginária i.

No último encontro (nono), talvez devido à complexidade do conteúdo, parece

que a autora optou por apresentar o conteúdo fazendo as demonstrações no que envolve

as fórmulas de Moivre (Potenciação e Radiciação) de Números Complexos, para então

fazer questionamentos.

Como atividade final, a autora propôs algumas atividades de números

complexos aplicados em outras áreas de conhecimento.

Em suas considerações finais, viu que sua proposta foi bem aceita pelos alunos

de um modo geral, mas houve algumas resistências por parte de alguns alunos

repetentes. Observou que a abordagem geométrica proporcionou um significado

232

geométrico dinâmico, já que os alunos puderam participar diretamente nas construções

dos conceitos e tirar suas próprias conclusões, a partir de conceitos já conhecidos. A

autora não se utilizou de nenhum recurso tecnológico, porém crê que sua proposta possa

ser perfeitamente articulável com a utilização desses recursos.

Particularmente achei muito interessante a Proposta Didática de Caldeira e vejo

de forma muito positiva a introdução dos números complexos a partir da contextualização

com a geometria.

A dissertação foi submetida para a obtenção da titulação de mestre, sob o título

Dos Números Complexos aos Quatérnions: Desenvolvimento algébrico, interpretação

geométrica e aplicações, elaborada por André Marcos dos Santos e defendida junto à

Universidade Tecnológica Federal do Paraná, em 2013, contando com a orientação da

Profa. Dra. Olga Harumi Saito.

Segundo o autor, o desenvolvimento de sua dissertação fundamentou-se na

elaboração de uma linha do tempo em relação ao estudo dos números complexos.

A dissertação foi dividida em cinco capítulos de forma que:

O capítulo 1 – A introdução é bastante sucinta, e o autor apresenta o significado

da palavra complexo segundo o dicionário Graus (2013).

Também toma como pedra fundamental para o desenvolvimento de seu trabalho,

a fala “segundo (Caldeira, 2012) - uma visão histórica facilita o entendimento dos

conceitos a serem desenvolvidos e possibilita que se estabeleçam as relações entre a

área do domínio específico, no caso os Números Complexos, e suas relações

transversais com os demais conteúdos a ele associados.” (p. 12). Partindo desse

pressuposto, onde julga que a abordagem histórica do surgimento dos números

complexos até sua utilização torna sua manipulação simples para os estudantes que

deverá concluir “que de complexo esses números só possuem o nome”. (p.12). (Grifo

nosso)

A seguir traz ao leitor um rápido vislumbre sobre os tópicos abordados em cada

um dos capítulos a seguir.

233

No capítulo 2 – A História dos números complexos, o autor faz um

aprofundamento histórico sobre o surgimento dos números complexos, dividindo em

tópicos, mostrando:

Antes dos Complexos - começando pelo matemático grego Heron (75 D.C), passando

para Diofanto de Alexandria (250 D.C.) comentando sobre o trabalho deste, cuja a

resolução de uma equação quadrática o leva a uma raiz quadrada de um número

negativo, sem uma solução efetiva.

Surgem os números complexos – apresenta nesse tópico o problema motivador do

estudo de Cardano e suas conclusões que cuja obra foi publicada sob o título Ars Magna

(século XVI). Menciona também que nessa obra que Cardano admitiu que a sugestão

para a resolução da equação cúbica procedia de Tartaglia.

A dedução da fórmula de Cardano – neste tópico, o autor faz toda a demonstração da

fórmula de Cardano e como este, chegou ao resultado, porém sem conseguir explica-lo.

Demonstra também as conclusões de Bombelli (sec. XVI), um algebrista italiano que

conseguiu resolver o problema da fórmula de Cardano e conseguiu explicar o resultado

final obtido por Cardano, utilizando a forma representativa: 𝑎 + 𝑏√−1.

Menciona ainda que no século XVII que foi Girard o primeiro a utilizar o símbolo

√−1. De acordo com o autor, segundo (Baungart, 1994), Girard se utilizou dos números

imaginários com ousadia, utilizando-os para a solução de problemas geométricos e

aceitando também, como raízes de equações de grau mais elevado. No entanto, foi à

fala de Descartes (século XVII) dá o nome das raízes de números negativos como sendo

“imaginários”.

No século XVIII, Moivre relaciona os números complexos às funções

trigonométrica e dessa forma as raízes no campo dos complexos fica definitivamente

estabelecida, conforme Milies, 1993.

O Desenvolvimento trigonométrico – Neste tópico, o autor mostra o desenvolvimento de

que prova que os números eram úteis para resolução de problemas de divisão de arcos

de círculos, onde Moivre “concluiu que um número imaginário unitário pode ser

representado por cos(θ) ± √−1. sen(θ).” (p. 19). Faz menção de que Moivre resolveu

234

uma equação do quinto grau, onde este se utilizou uma tabela de logaritmos, porém sem

justificar o que o levou a tal fazer tal utilização.

Mostra também qual era o artifício utilizado por Moivre na resolução de equações

de grau ímpares, utilizando 𝑎 = cos(𝜃) e 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃). O autor faz a demonstração

segundo Moivre e conclui que com isso, surge a fórmula conhecida como Fórmula de

Moivre.

Neste tópico, tece ainda comentários sobre Cotes (século XVIII), onde este

apresentou um artigo publicado em 1714, a fórmula: ln(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑖𝜃. O autor,

faz a demonstração desta fórmula, segundo Cotes no Anexo B.

Discorre ainda que Euler e Bernoulli trocaram cartas onde estes, utilizaram a

√−1 para resoluções envolvendo integrais e equações diferenciais. O autor faz as

demonstrações destes e suas conclusões.

O desenvolvimento geométrico – Final do século VXII, Wallis foi o primeiro a

procurar por uma interpretação geométrica para os números denominados por Descartes,

por imaginários. Neste tópico, Santos refaz toda a trajetória do Wallis, explicando e

exemplificando o procedimento adotado por ele para interpretar a raiz quadrada de um

número negativo. Comenta ainda que além de Wallis, também Wessel, Argand e Gauss

“perceberam a relação entre os números complexos e os pontos reais no plano”. (p.25).

Santos faz a demonstração do trabalho publicado por Wessel, final do século

XVIII, início do século XIX, onde Wessel “propôs uma representação analítica para

segmentos de retas no plano, com o objetivo de representar os números complexos como

pontos do plano”. (p.25). Também Argand no século XVIII/XIX, publicou um Ensaio sobre

Maneira de Representar as Quantidades Imaginárias, onde Argand considera que

multiplicar o número imaginário i por -1 ou por +1 promove-se rotações em torno dos

eixos no plano. Gauss (século XVIII/XIX) escreveu um artigo onde associava à forma

algébrica a + bi com o par ordenado (a, b) o que representava um único ponto no plano.

Esse foi o elemento chave para total aceitação da existência dos números complexos.

Já em 1833, Hamilton apresenta um artigo à Academia Irlandês, formalizando a

álgebra dos números complexos, definindo as operações de soma e multiplicação.

Segundo Santos,

235

[...] além dos complexos – A história dos quatérnions, logo após Hamilton formalizar a álgebra dos números complexos, constata-se que a teoria dos números complexos era consistente e isso marca o início da Álgebra Moderna e os números complexos passam a constituir um poderoso método para resolução de problemas em diversas áreas. (p.29).

A partir deste ponto, passa a se questionar se era possível a ampliação dos

complexos na forma tripletos (x, y, z). Hamilton percebe que a operação da adição de

tripletos se comporta de forma idêntica à forma binomial, porém a multiplicação, não

correspondia. Santos refaz a trajetória de Hamilton na tentativa de obter sucesso neste

tipo de construção para complexos, mostrando os problemas encontrados por Hamilton.

Muitos anos de pesquisa se passaram até que Hamilton consegue compreender e

comprovar que para esse tipo de operação (multiplicação) envolvendo o tripleto, era

necessária a consideração de um quarto termo na expressão. Surgem então os

quatérnions, criando uma ruptura entre a álgebra e aritmética, onde para se operar num

espaço de dimensão três, é preciso utilizar-se de um espaço de quarta dimensão, já que

a operação da multiplicação não goza da propriedade comutativa. Fica instaurada

definitivamente a Álgebra Moderna.

No capítulo 3 – Teoria dos números complexos, o mais longo dos capítulos, é o

foco central da dissertação dividida em tópicos e subtópicos, onde passou a abordar

sobre: A insuficiência dos reais. O conjunto dos números complexos (Potências de i com

expoentes inteiros). Representação geométrica dos números complexos (Módulo e

conjugado de um número complexo, Propriedade do quociente de um número complexo,

Relação entre o módulo e o conjugado de um número complexo, Propriedades de um

conjugado de um número complexo, Propriedades do módulo de um número complexo).

Raiz quadrada de um número complexo. Forma polar ou forma trigonométrica.

Operações com números complexos na forma trigonométrica (Multiplicação, Divisão,

Potenciação, Radiciação). Forma exponencial (Logaritmo, Potências complexas). Forma

matricial de um número complexo. Quatérnions, Operações com quatérnions (Adição,

Produto, Módulo).

Observa-se uma grande quantidade de tópicos e subtópicos utilizados nesses

capítulos. Santos procurou reunir todos os conceitos pertencentes ao conjunto dos

236

números complexos e dedica-se a elencar as definições, teoremas e propriedades

inerentes de cada situação, fazendo todas as demonstrações.

No quarto capítulo – Aplicações, neste capítulo, o autor sugestiona problemas

diversos, no campo da geometria, das combinações envolvendo o binômio de Newton,

na geometria dos fractais, que é utilizada para representar fenômenos naturais, das quais

não se pode usar a geometria clássica. Neste ponto, o autor se preocupa em explicar os

fractais e como se apresentam, mostrando figuras vinculadas a forma complexa de

representação, como o Conjunto de Mandelbrot e o Conjunto de Júlia.

Na sequência, Santos faz uma análise da utilização dos números complexos para

resolução em circuitos elétricos, já que as correntes elétricas, as tensões, e reatâncias

podem ser representadas de forma vetorial, enfim, por serem vetores no plano, podem

ser representados na forma de complexos.

Na aerodinâmica, Santos explica que em 1906, Nikolai Yegorovitch Jukovsky

cientista russo considerado o fundador da aerodinâmica, se utiliza das variáveis

complexas para transformar figuras geométrica de um plano complexo em figuras

totalmente diferentes em outro plano, técnica essa ainda utilizada em áreas avançadas

de pesquisa.

Na Biomecânica, onde se utiliza dos quatérnions, utilizado como ferramenta de

análise de rotação em movimentos esportivos.

Na computação gráfica, Santos faz menção de que nos jogos de computadores a

utilização dos quatérnions permite as animações para girar objetos. O método matricial é

mais caro quando comparado com o método dos quatérnions.

No estudo de cálculo diferencial com os números complexos é utilizado para

explicar a teoria sobre o escoamento dos fluídos incompressíveis.

No capítulo 5 - Considerações finais, de acordo com o autor sua preocupação ao

propor seu trabalho era fazer um resgate histórico a respeito dos números complexos,

mostrando suas formas representativas, articulando com outros conteúdos da própria

matemática e também de outros ramos das ciências, mostrando o vínculo entre os

números complexos e os quatérnions. Ainda segundo o autor, houve a preocupação

também em promover um equilíbrio matemático, trazendo subsídio aos professores e

estudantes, e promover uma didática mais atraente para promover o aprendizado. A ideia

237

de utilizar-se da história é fazer com que alunos percebam que os elementos da

matemática não nascem num passe de mágica, mas que levou longos anos, além de

romper com o mito de que esses conceitos surgem de um nada.

Para finalizar seu trabalho, o autor coloca o Anexo A – Obtenção da fórmula de

Euler através do uso de integrais, onde ele faz todo o desenvolvimento da fórmula. O

Anexo B – Cotes e a fórmula de Euler, aqui o autor explica como Cotes utilizou a fórmula

de Euler para obter a área da superfície de revolução de um elipsoide. O autor faz a

demonstração do procedimento utilizado por Cotes. Já o Anexo C, trata-se da linha do

tempo, onde faz menção de cada personagem e sua contribuição para o desenvolvimento

dos números complexos, organizado de forma cronológica.

Sem sombra de dúvidas, o trabalho de Santos se constitui uma rica fonte de

pesquisa para quem quer conhecer mais sobre a estrutura que envolve o conjunto dos

Números Complexos.

238

TERMO DE AUTORIZAÇÃO DE USO DE IMAGEM E DEPOIMENTOS

Eu, _____________________________________, portador (a) do CPF

_________________, e do RG___________________, responsável pelo (a) Menor

_________________________________________________________,

aluno(a) devidamente matriculado no 3º ano do Ensino Médio da Escola Estadual Coronel

Pedro Dias Campos, na cidade de Capela do Alto/SP AUTORIZO, através do presente

termo, autorizo as pesquisadoras Professora Tânia Mara Amorim de Freitas e

Professora Valéria Nogueira Batista, alunas regularmente matriculadas no programa

de Mestrado Profissional da Universidade Federal de São Carlos – Campus Sorocaba e

sob a orientação do Professor Doutor Paulo Cesar Oliveira, a realizar imagens da

produção escolar dos alunos, bem como colher depoimento sem quaisquer ônus

financeiros a nenhuma das partes, do Menor citado.

O uso da imagem e dos depoimentos tem fins científicos, ou seja, pode constituir como

material integrante da DISSERTAÇÃO da primeira pesquisadora. É resguardado os

direitos das crianças e adolescentes (Estatuto da Criança e do Adolescente – ECA, Lei

N.º 8.069/ 1990), dos idosos (Estatuto do Idoso, Lei N.° 10.741/2003) e das pessoas com

deficiência (Decreto Nº 3.298/1999, alterado pelo Decreto Nº 5.296/2004).

Capela do Alto, _____ de Março de 2014.

__________________________________

Assinatura do Pai ou Responsável

universidade federal de sÃo carlos ufscar centro …complexos para alunos do 3° ano do ensino...

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