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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
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Existência e Decaimento de Soluções para Sistemas Acoplados.
Aldo Trajano Lourêdo
Tese de Doutorado apresentadaao Instituto de Matemática daUniversidade Federal do Rio deJaneiro, como parte dos requisi-tos necessários à obtenção do tí-tulo de Doutor em Matemática
Orientador: Manuel Antolino Milla Miranda
Rio de JaneiroDezembro de 2008
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Existência e Decaimento de Soluções para Sistemas Acoplados
Aldo Trajano LourêdoTese submetida ao Programa de Pós-gradução em Matemática da Universidade Federaldo Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de
Doutor em Matemática.
Aprovada por:
Manuel Antolino Milla Miranda (Orientador). ————————————————-D.Sc. - IM/UFRJ.
Wladimir Augusto das Neves. ————————————————-D.Sc. - IM/UFRJ
Osmundo Alves de Lima. —————————————————D.Sc. - DME/UEPB.
Haroldo Rodrigues Clark. —————————————————D.Sc. - IM/UFF.
Ricardo Fuentes Apolaya. —————————————————D.Sc. - IM/UFF.
Helvécio Rubens Crippa. —————————————————–D.Sc. - IM/UFRJ.
Rio de Janeiro
Dezembro de 2008
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Ficha Catalográfica
Lourêdo, Aldo Trajano.
Existência e Decaimento de Soluções
para Sistemas Acoplados
Aldo Trajano Lourêdo.
Rio de Janeiro:
UFRJ/ IM,2008
v,127
Orientador: Manuel Antolino Milla Miranda
Tese - UFRJ/ IM/ Programa de Pós-graduação em
Matemática, 2008
Referências Bibliográficas: f. 124-127.
1. Introdução.
2. Notações e Resuldados Básicos.
3. Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema
Acoplado de Klein-Gordon.
4. Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema
Acoplado de Equações de Kirchhoff.
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Dedicatória
Aos meus pais, à minha esposaMarinalva e minhas filhas
Adrielly e Viviane, com amor.
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Não faças do amanhã o sinônimo de nunca,nem o ontem te seja o mesmo que nunca mais.Teus passos ficaram.Olhes para trás... mas vá em frentepois há muitos que precisamque chegues para poderem seguir-te.
Charles Chaplin
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Agradecimentos
Ao Professor Manuel Milla Miranda, pelo estímulo constante e principalmente pelasua valiosa orientação acadêmica, pela paciência e amizade que sempre me prestou, noperíodo que estive no IM-UFRJ.
Agradeço ao Professor Luis Adauto da Justa Medeiros pela participação na minhaformação e pelas muitas lições de vida profissional.
Ao Professor Osmundo Alves de Lima, pela grande participação na minha formação.
Aos professores da UFCG, Claudianor Alves e Daniel Cordeiro que fizeram parte daminha formação acadêmica.
A Professora Walcy Santos Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Matemá-tica.
Ao Professor Ademir Fernando Pazoto por contribuir na minha formação.
Aos professores e funcionários do Instituto de Matemática da UFRJ, pelo convívioagradável durante a realização deste curso.
A minha esposa e filhas, assim como a minha mãe e irmãs pelo encentivo contante.
Ao meu pai ”in memorian” Antônio Batista Lourêdo e ao meu irmão ”in memorian ”Aroldo Trajano Lourêdo.
As famílias Rocha Lourêdo e Alves Lourêdo pelo encentivo.Aos amigos de curso: Alexandro Marinho, Ricardo Carvalho, Paulo Pamplona, Clever-
son e Nilza pelo estímulo constante através da amizade.
Aos colegas do DME-UEPB, principalmente Osmundo Alves de Lima, Victor Hugo,Anilton Falção, Orlando Almeida e Otacílio Batista.
Ao DME-UEPB por sua compreensão na minha liberação total do regime de trabalho.
A CAPES pelo suporte financeiro.
Sobretudo agradeço a Deus pela minha existência.
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Resumo
Neste trabalho estuda-se a existência e decaimento exponencial de soluções de umproblema misto para os seguintes sistemas acoplados:
∣∣∣∣∣∣∣u′′ −4u+ αv2u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −4v + αu2v = 0 em Ω× (0,∞)
e ∣∣∣∣∣∣∣u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞),
onde Ω é um aberto do Rn com fronteira Γ. Em ambos os problemas atua uma dissipaçãonão linear na fronteira.
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Abstract
This work is concerned with the study of the existence and exponential decay of so-lutions of a mixed problem for the following two coupled systems:
∣∣∣∣∣∣∣u′′ −4u+ αv2u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −4v + αu2v = 0 em Ω× (0,∞)
and ∣∣∣∣∣∣∣u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞),
where Ω is a bounded open of Rn with boundary Γ. In both problems is introduced anonlinear damping on Γ.
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Conteúdo
1 Introdução 1
2 Notações e Resultados Básicos. 3
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema Acoplado de Klein-
Gordon. 9
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Teoremas de Traços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Lema da Aproximação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Existência de Solução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Comportamento Assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Dissipação atuando na Fronteira para um Sistema Acoplado de Equações
de Kirchhoff. 54
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Resultados Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Problema Associado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Existência de Solução Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Existência de Solução Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6 Decaimento de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bibliografia 124
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Capítulo 1
Introdução
Nesta tese estudaremos os seguintes sistemas:
(∗)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −4u+ αv2u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −4v + αu2v = 0 em Ω× (0,∞)
u = 0 em Γ0 × (0,∞)
v = 0 em Γ0 × (0,∞)
∂u
∂ν+ h1(., u
′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
∂v
∂ν+ h2(., v
′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω
v(0) = v0 v′(0) = v1 em Ω.
e
(∗∗)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞)
u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
v = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
∂u
∂ν+ h1(., u
′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
∂v
∂ν+ h2(., v
′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω
v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω.
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A existência de solução do sistema (∗) é obtida aplicando o método de Galerkin comuma base especial, aproximações de Strauss para funções reais e resultados de traçosobre Γ para funções reais gerais. O decaimento de soluções segue por uma pertubaçãoda energia (funcional de Lyapunov) e método dos multiplicadores.
A existência de solução do sistema (∗∗) é obtida utilizando argumentos de ponto fixoe resultados de traço de funções não regulares. O decaimento de soluções segue por umapertubação da energia (funcional de Lyapunov) e método dos multiplicadores.
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Capítulo 2
Notações e Resultados Básicos.
Neste capítulo serão fixadas as notações e terminologia utilizada no trabalho. Asdemonstrações dos resultados se encontram disponíveis na literatura indicada.
2.1 Preliminares
Seja Ω um domínio limitado do Rn com fronteira Γ = ∂Ω de classe C2 a qual consistede duas partes Γ0 e Γ1 de medidas não nulas tais que Γ0 ∩ Γ1 = ∅.
Representa-se por D(Ω) o espaço das funções testes em Ω e D′(Ω) o espaço dasdistribuições sobre Ω.
Por Wm,p(Ω), 1 ≤ p < ∞ representamos o espaço de Sobolev de ordem m, isto é,o espaço das funções reais u ∈ Lp(Ω) tais que Dαu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ m, onde α =
(α1, α2, . . . , αn), αi inteiro não negativo e |α| = α1 + . . .+ αm.
Munido da norma
‖u‖W m,p(Ω) =
∑|α|≤m
∫Ω
|Dαu(x)|pdx
1p
(Wm,p(Ω), ‖u‖W m,p(Ω)) é um espaço de Banach.Quando p = ∞ temos que Wm,∞(Ω) representa o espaço de todas as funções reais
u ∈ L∞(Ω) tais que Dαu ∈ L∞(Ω), ∀|α| ≤ m. Em Wm,∞(Ω) definimos a norma por
‖u‖W m,∞(Ω) =∑|α|≤m
sup essx∈Ω
|Dαu(x)|,
que o torna um espaço de Banach.
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Quando p = 2 o espaço Wm,2(Ω) será denotado por Hm(Ω) que munido do produtointerno
(u, v) =∑|α|≤m
∫Ω
Dαu(x)Dαv(x)dx
e da norma induzida
‖u‖Hm(Ω) =
∑|α|≤m
∫Ω
|Dαu(x)|2dx
12
é um espaço de Hilbert.Por Wm,p
0 (Ω) representamos o fecho de D(Ω) em Wm,p(Ω), 1 ≤ p <∞, e por Hm0 (Ω)
representamos o fecho de D(Ω) em Hm(Ω). O dual topológico de Hm0 (Ω) é representado
por H−m(Ω).
Sejam X um espaço de Banach, X separável, e T > 0 um número real. Denota-sepor Lp (0, T ;X), 1 ≤ p < ∞, o espaço vetorial das (classes de) funções u : (0, T ) −→ X
que são fracamente mensuráveis e tais que a função t 7→ ‖u (t)‖pX é integrável à Lesbegue
em (0, T ) . Com a norma
‖u‖Lp(0,T ;X) =
(∫ T
0
‖u (t)‖pX dt
)1/p
,
resulta que Lp(0, T ;X) é um espaço de Banach.Quando p = 2 e X = H é um espaço de Hilbert, o espaço L2 (0, T ;H) é também um
espaço de Hilbert cujo produto interno é dado por
(u, v)L2(0,T ;H) =
∫ T
0
(u (s) , v (s))H ds.
Por L∞ (0, T ;X) representa-se o espaço de Banach das (classes de) funçõesu : (0, T ) ⊂ R −→ X que são fracamente mensuráveis e tais que t 7→ ‖u (t)‖X ∈L∞ (0, T ). A norma em L∞ (0, T ;X) é definida por
‖u‖L∞(0,T ;X) = sup esst∈(0,T )
‖u (t)‖X .
QuandoX é reflexivo e separável e 1 < p <∞, então Lp (0, T ;X) é um espaço reflexivoe separável, cujo dual topológico se identifica ao espaço de Banach Lp′ (0, T ;X ′), onde pe p′ são índices conjugados, isto é, 1
p+ 1
p′= 1. Mais precisamente, mostra-se que para
cada u ∈ [Lp (0, T ;X)]′, existe u ∈ Lp′ (0, T ;X ′) tal que
〈u, ϕ〉(Lp(0,T ;X))′×Lp(0,T ;X) =
∫ T
0
〈u (t) , ϕ (t)〉X′×X dt.
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O dual topológico do espaço L1 (0, T ;X) se identifica ao espaço L∞ (0, T ;X ′).
O espaço das aplicações lineares e contínuas de D (0, T ) em X é denominado espaçodas distribuições vetoriais sobre (0, T ) com valores em X, o qual será denotado porD′ (0, T ;X).
Seja T ∈ D′ (0, T ;X). A derivada de ordem n é definida como sendo a distribuiçãovetorial sobre (0, T ) com valores em X dada por⟨
dnT
dtn, ϕ
⟩= (−1)n
⟨T,dnϕ
dtn
⟩, ∀ϕ ∈ D′ (0, T ) .
Seja u ∈ Lp(0, T ;X), 1 ≤ p < ∞. Definimos a transformação Tu de D(0, T ) em X
dada por:
〈Tu, ϕ〉 =
∫ T
0
u(t)ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ),
onde a integral é entendida no sentido de Bochner. A aplicação Tu assim definida é lineare contínua e portanto Tu ∈ D′(0, T ;X). Além disso, como Tu é univocamente definidapor u, podemos identificar Tu com u dizendo simplesmente a distribuição u ao invés deTu. Portanto, u′ designará a derivada de u no sentido de D′(0, T ;X), ou seja,
〈u′, ϕ〉 = −〈u, ϕ′〉 = −∫ T
0
u(t)ϕ′(t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ).
Definimos por
W k,p(0, T ;X) = u ∈ Lp(0, T ;X);u(j) ∈ Lp(0, T ;X), 0 ≤ j ≤ k,
onde u(j) representa a j-ésima derivada de u no sentido das distribuições vetoriais. Oespaço W k,p(0, T ;X) é munido da norma
‖u‖W k,p(0,T ;X) =
(k∑
j=0
‖u(j)‖pLp(0,T ;X)
) 1p
,
ou da norma equivalentek∑
j=0
‖u(j)‖pLp(0,T ;X).
Quando p = 2 e X é um espaço de Hilbert, X separável, o espaço W k,2(0, T ;X) édenotado por Hk(0, T ;X), que é um espaço de Hilbert munido do produto interno
(u, v)Hk(0,T ;X) =k∑
j=0
(u(j), v(j))L2(0,T ;X)
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e norma induzida
‖u‖Hk(0,T ;X) =
(k∑
j=0
‖u(j)‖2L2(0,T ;X)
) 12
.
Quando k = 0, Hk(0, T ;X) é o L2(0, T ;X).
Definimos
Hk0 (0, T ;X) = u ∈ Hk(0, T ;X);u(j)(0) = u(j)(T ) = 0, 0 ≤ j ≤ k − 1.
O dual topológico de Hk0 (0, T ;X) é representado por H−k(0, T ;X). Conforme M.Milla
Miranda [37] temos ainda que
Se u ∈ L2(0, T ;X) então u′ ∈ H−1(0, T ;X) (2.1)
Se u ∈ L2(0, T ;Hm(Ω)) com u′ ∈ L2(0, T ;Hm(Ω)), então γu′ = (γu)′. (2.2)
Por C0 ([0, T ] ;X), 0 < T < ∞ representa-se o espaço de Banach das funções con-tínuas u : [0, T ] −→ X munido da norma da convergência uniforme
‖u‖C0([0,T ];X) = maxt∈[0,T ]
‖u (t)‖X .
Por C0w ([0, T ] ;X) denota-se o espaço das funções u : [0, T ] −→ X fracamente con-
tínuas , isto é, a aplicação t 7→ 〈v, u (t)〉X′,X é contínua em [0, T ] ,∀v ∈ X ′.Quando X = H é um espaço de Hilbert, a continuidade fraca de u é equivalente a
continuidade da aplicação t 7−→ (u (t) , v)H , ∀v ∈ H.
2.2 Resultados Auxiliares
Teorema 2.1 (Aubin-Lions) Sejam B0, B, B1 espaços de Banach, B0 e B1 reflexivos,a imersão de B0 em B é compacta, B imerso continuamente em B1, 1 < p0, p1 <∞, e,W o espaço
W = u ∈ Lp0 (0, T ;B0) ; u′ ∈ Lp1 (0, T ;B1)
equipado da norma ‖u‖W = ‖u‖Lp0 (0,T ;B0) + ‖u′‖Lp1 (0,T ;B1). Então W é um espaço deBanach, e a imersão de W em Lp0 (0, T ;B) é compacta.
Demonstração: Ver J.L.Lions [24].
Observação 2.1 (Uma consequência do Teorema de Aubin-Lions 2.1): Se (uk)k∈N éuma sequência limitada em L2 (0, T ;B0) e (u′k)k∈N é uma sequência limitada em L2 (0, T ;B1)
então (uk)k∈N é limitada em W . Daí, segue que existe uma subsequência (uk)k∈N de
(uk)k∈N ainda denotada por (uk) tal que uk→ u forte em L2 (0, T ;B) .
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Proposição 2.1 Sejam V e H espaços de Hilbert, com V continuamente imerso em H.
Se u ∈ Lp (0, T ;V ) e u′ ∈ Lp (0, T ;H), com 1 ≤ p <∞, então
u ∈ C0 ([0, T ] ;H) .
Demonstração: Ver L.A.Medeiros [27] e J.L.Lions [24]
Teorema 2.2 Sejam X e Y espaços de Banach, com X reflexivo. Suponha que a imersãode X em Y seja contínua e densa. Então,
L∞(0, T ;X) ∩ Cw([0, T ];Y ) = Cw([0, T ];X).
Demonstração: Ver L.A.Medeiros [27] e J.L.Lions [24]Vamos usar as notações →, e ∗
para representar as convergências forte, fracae fraca ∗ respectivamente. Também, usaremos a notação V → W para indicar que aimersão do espaço V no espaço W é contínua.
Proposição 2.2 (Lema de Lions) Seja Q um aberto limitado do Rn. Seja (gk) umasequência de funções tais que(i) gk → g quase sempre em Q;
(ii) ‖gk‖Lq(Q) ≤ C; ∀k; 1 < q <∞Então gk g em Lq(Q).
Demonstração: Ver J.L.Lions [24].
Proposição 2.3 Sejam g : R → R uma função Lipzchitziana tal que g(0) = 0 ep ∈ [1,∞]. Se u ∈ W 1,p(Ω), então g(u) ∈ W 1,p(Ω) e ∇g(u) = g′(u)∇u q.s sobre Ω.
Demonstração: Ver H.Brezis e T. Cazenave [5]
Teorema 2.3 (Strauss) Seja Ω um aberto limitado do Rn de medida finita e X e Yespaços de Banach. Seja (ul) uma sequência de funções fortemente mensuráveis de Ω emX. Seja (Fl) uma sequência de funções de Ω×X em Y tal que
(a) (Fl) é uniformemente limitada em Y sobre Ω×B, para qualquer subconjunto limitadoB de X;
(b) Fl(x, ul(x)) é fortemente mensurável e∫Ω
‖ul(x)‖X‖Fl(x, ul(x))‖Y dx ≤ C <∞
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(c) ‖Fl(x, ul(x))− v(x)‖Y → 0 q.t.p. x ∈ Ω.
Então, v ∈ L1(Ω) e ∫Ω
‖Fl(x, ul(x))− v(x)‖Y dx→ 0.
Demonstração: Ver Strauss, A. W [44].
Seja Ω um aberto limitado do Rn. Em todo o trabalho a fronteira Γ de Ω estará con-stituída de duas partes disjuntas e fechadas Γ0 e Γ1 com medidas de Lebesgue positivas.O vetor ν(x) estará representando o vetor normal unitário em x ∈ Γ1. Também o produtoescalar e norma em L2(Ω) serão denotados por (u, v) e |u|, respectivamente, e V estarárepresentando o espaço de Hilbert
V = v ∈ H1(Ω), v = 0 sobre Γ0
com produto escalar((u, v)) =
∫Ω
∇u(x)∇v(x)dx,
e norma ‖u‖.
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Capítulo 3
Dissipação atuando na Fronteira para
um Sistema Acoplado de Klein-Gordon.
3.1 Introdução
Um modelo matemático para descrever a interação de dois campos eletromagnéticosu e v com massas a e b, respectivamente, e com constante de interação α > 0 é dado peloseguinte sistema de Klein-Gordon:
(∗)1
∣∣∣∣∣∣utt(x, t)−4u(x, t) + a2u(x, t) + αv2(x, t)u(x, t) = 0, x ∈ Ω, t > 0
vtt(x, t)−4v(x, t) + b2v(x, t) + αu2(x, t)v(x, t) = 0, x ∈ Ω, t > 0,
onde Ω é um aberto limitado do R3 com fronteira Γ. Este modelo foi proposto do I.Segal[42].
Observe que não existe perda de generalidade em supor a = b = 0.
Seja Ω um aberto limitado do Rn com fronteira Γ. A existência e unicidade de soluçõesdo problema misto com condições de Dirichlet nulas em Γ para (∗)1 com termos deacoplamento α|v|σ+2|u|σu e α|u|σ+2|v|σv foram estudadas por L.A.Medeiros e M.MillaMiranda, nos casos α > 0 e α < 0, em [29] e [33], respectivamente. Aqui σ ≥ 0 estárelacionado com a dimensão n do Rn e a imersão dos espaços de Sobolev.
Seja u, v uma solução de (∗)1 anulando-se na fronteira Γ e
(1) E(t) = ‖u′(t)‖2L2(Ω)+‖v′(t)‖2
L2(Ω)+‖∇u(t)‖2(L2(Ω))n +‖∇v(t)‖2
(L2(Ω))n +α‖u(t)v(t)‖2L2(Ω)
a energia associada a problema. Então
E(t) = E(0), ∀t ≥ 0.
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Assim, para obter um decaimento da energia E(t), precisa-se introduzir uma dissipaçãono problema, na fronteira, por exemplo. A seguir descreve-se este problema.
Seja Ω um aberto limitado do R3 com fronteira Γ. Supõe-se que Γ está constituidade duas partes disjuntas e fechadas Γ0 e Γ1, ambas com medidas de Lebesgue positivas.Denota-se por ν(x) ao vetor unitário normal exterior em x ∈ Γ1. Considera-se funçõesreais hi(x, s), i = 1, 2 definida em x ∈ Γ1 e s ∈ R. Nestas condições tem-se o seguinteproblema:
(∗)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −4u+ αv2u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −4v + αu2v = 0 em Ω× (0,∞)
u = 0 em Γ0 × (0,∞)
v = 0 em Γ0 × (0,∞)
∂u
∂ν+ h1(., u
′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
∂v
∂ν+ h2(., v
′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω
v(0) = v0 v′(0) = v1 em Ω.
No caso de uma equação (isto é, quando α = 0), Ω um aberto limitado do Rn eh(x, s) = δ(x)s, V.Komornik e E.Zuazua [18], usando a teoria de semigrupos, mostrarama existência de soluções. Nas mesmas hipóteses, aplicando o método de Galerkin comuma base especial, M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtiveram resultado seme-lhante. O segundo método, além de construtivo, tem a vantagem de mostrar o espaço deSobolev onde habita ∂u
∂ν. Aplicando este segundo método porém para uma equação não
linear, F. Araruna e A.Maciel [3] obtiveram resultado análogo.A existência de soluções para a equação da onda com dissipação não linear na fronteira
Γ1 tem sido obtida, entre outros, usando a teoria de operadores máximos monótonos, porE.Zuazua [48], I.Lasiecka e D. Tataru [21], V.Komornik [16], e aplicando o método deGalerkin, por E. Vitillaro [46] e M.M.Cavalcanti, V.N.D. Cavalcanti, P.Martinez [8].
Em F.Alabau-Boussouira [4] e em todos os trabalhos mencionados anteriormente,aplicando desigualdades apropriadas, obtém-se o decaimento exponencial da energia as-sociada à equação da onda respectiva.
É bom ressaltar que os os resultados conhecidos sobre o decaimento exponencial daenergia associada à equação da onda linear com dissipação não linear h(u′) na fronteiraΓ1 foram obtidas supondo que h(s) tem um comportamento linear no infinito, isto é,
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(2) d0|s| ≤ |h(s)| ≤ d1|s|, ∀|s| ≥ R,
R suficientemente grande (d0 e d1 constantes positivas).Com relação ao sistema (∗) podemos mencionar o trabalho de A.T.Cousin, C.L. Frota
e N.A.Larkin [9] onde as condições na fronteira são lineares. Mencionaremos também otrabalho de V.Komornik and B.Rao [17] onde os termos de acoplamento são da formaα(u− v) e α(v − u) e as condições de fronteira são semelhantes às de (∗). Supondo
α ∈ L∞(Ω), α ≥ 0;
h contínua, não decrescente, h(s) = 0 se e somente se s = 0,
|h(s)| ≤ 1 + c|s|, ∀s ∈ R (c constante positiva),
e usando a teoria de operadores máximos monótonos, eles mostraram a existência desoluções. Com h satisfazendo (2) para todo s ∈ R e aplicando a técnica dos multipli-cadores, eles obtiveram o decaimento exponencial da energia associada ao problema.
Neste trabalho estamos interassado em obter a existência de soluções do Problema(∗) com condições bem gerais para hi, i = 1, 2. Com efeito, supondo que
hi ∈ C0(R;L∞(Γ1)), hi(x, 0) = 0, q.t.p x ∈ Γ1
e hi é fortemente monótona, isto é,
[hi(x, s)− hi(x, r)](s− r) ≥ di(s− r)2, ∀s, r ∈ R, i = 1, 2 (di constante positiva).
obtém-se a existência de soluções globais para (∗). Para tal, precisa-se obter resultadosde traço sobre Γ1 para funções bem gerais. Estes resultados junto com aproximaçõesespeciais de Strauss [44] para hi e o método de Galerkin com uma base especial permitemobter o resultado. Analisa-se também o decaimento exponencial da energia E(t) definidoem (1) quando hi(x, s) é da forma m(x).ν(x)gi(s), gi(s) ∈ C0(R) e satisfazendo (2) paratodo s ∈ R, i = 1, 2. Aqui m(x) = x− x0, x ∈ Ω, x0 ∈ Rn fixo. Nesta parte usamos umfuncional de Lyapunov (ver V.Komornik e E. Zuazua [18]) e o método dos multiplicadores.
Considere a equação
u′′ −4u+ f(u) = 0, x ∈ Ω, t > 0
com
f ∈ W 1,∞loc (R), f(s)s ≥ 0, ∀s ∈ R,
(f(s)− f(r)) ≤ a1(1 + |s|p−1 + |r|p−1)(s− r), ∀s, r ∈ R, (a1 > 0 constante),
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onde1 < p ≤ n
n− 2para n ≥ 3, p > 1 para n = 1, 2;
e a dissipação não linear de (∗). Então nossos resultados podem ser aplicados para obtera existência e decaimento exponencial de soluções deste problema. Este resultado é umaversão com dissipação não linear do estudo feito por F.Araruna e A.Maciel [3].
3.2 Teoremas de Traços.
O objetivo desta seção é obter resultados de traço para funções gerais que dependemde x e t.
Definimos o espaço de Hilbert V por
V = v ∈ H1(Ω); v = 0 sobre Γ0
equipado com o produto interno e norma dadas por
((u, v)) =n∑
i=1
(∂u
∂xi
,∂v
∂xi
), ‖u‖2 =
n∑i=1
∣∣∣ ∂u∂xi
∣∣∣2.Vamos considerar o operador −4 definido pela terna V, L2(Ω), ((., .)) cujo domínio
éD(−4) =
u ∈ V ∩H2(Ω);
∂u
∂ν= 0 sobre Γ1
.
Teoremas de Traços
Consideremos p ≥ n+ 1. Então W 2,p(Ω) → C0(Ω).
Temos que a aplicação
W 2,p(Ω) → W 2− 1p,p(Γ)×W 1− 1
p,p(Γ)
u 7→ γ0u, γ1u
é liner e contínua.Introduzimos as notações:∣∣∣∣∣∣∣∣∣
W 1,pΓ0
(Ω) = u ∈ W 1,p(Ω); γ0u = 0 sobre Γ0
‖u‖W 1,p(Ω) =
(n∑
i=1
∫Ω
(∂u
∂xi
)p
dx
) 1p
,
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eX = W 2,p(Ω) ∩W 1,p
Γ0(Ω), Z = W 2− 1
p,p(Γ1).
Notemos que para p = 2 temos V = H1Γ0
(Ω).
Identificando, por meio do isomorfismo de Riesz, o espaço L2(Ω) com o seu dual,resulta
X → L2(Ω) → X ′. (3.1)
Também identificando L2(Γ1) com seu dual, obtém-se
Z → H12 (Γ1) → L2(Γ1) → H− 1
2 (Γ1) → Z ′. (3.2)
Do Teorema do Traço segue que a aplicação
X → Z
u 7→ γ0u(3.3)
é contínua.Seja E o espaço
E = u ∈ V ; ∆u ∈ L2(Ω),
equipado com a norma‖u‖E = ‖u‖+ ‖4u‖X′ . (3.4)
Por meio de (3.1) esta norma está bem definida.Sabe-se que, se u ∈ E então ∂u
∂ν∈ H− 1
2 (Γ1).
Considere E como um subespaço de V ×X ′. Denote por E o fecho de E em V ×X ′.
Seja u ∈ E. Então existe uma sequência (uη) de vetores de E tal que∣∣∣∣∣∣uη → u em V
4uη → g em X ′.(3.5)
Note que este g é único, pois se existir outro g1 teria-se u, g e u, g1 pertenceriamao fecho de E em V ×X ′, e portanto g = g1.
Assim,‖u‖E = ‖u‖+ ‖g‖X′
Pela fórmula de Green temos
(−4uη, ϕ) =n∑
i=1
∫Ω
∂uη
∂xi
∂ϕ
∂xi
dx−⟨∂uη
∂ν, ϕ
⟩, ∀ϕ ∈ X,
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onde 〈 , 〉 denota a dualidade entre H− 12 (Γ1)×H
12 (Γ1).
Por (3.2) e (3.4) encontramos
〈−4uη, ϕ〉X′×X =n∑
i=1
∫Ω
∂uη
∂xi
∂ϕ
∂xi
dx−⟨∂uη
∂ν, ϕ
⟩Z′×Z
, ∀ϕ ∈ X. (3.6)
Pelo Teorema do Traço, segue-se que a aplicação
W 2− 1p,p(Γ)×W 1− 1
p,p(Γ) → W 2,p(Ω)
ξ, σ 7→ u
é contínua.Seja ξ ∈ Z. Considere
ξ =
∣∣∣∣∣ 0 sobre Γ0
ξ sobre Γ1.
Então ξ ∈ W 2− 1p,p(Γ). Seja ϕ ∈ X o correspondente vetor a ξ, 0, dado pelo Teorema
do Traço acima. Por (3.6) obtemos⟨∂uη
∂ν, ξ
⟩Z′×Z
= 〈4uη, ϕ〉X′×X +n∑
i=1
∫Ω
∂uη
∂xi
∂ϕ
∂xi
dx, ∀ξ ∈ Z.
Portanto, ∣∣∣ ⟨∂uη
∂ν, ξ
⟩Z′×Z
∣∣∣ ≤ ‖4uη‖X′‖ϕ‖X + ‖uη‖‖ϕ‖ ≤
≤ C‖4uη‖X′‖ξ‖Z + ‖uη‖‖ξ‖Z .
(3.7)
Pela convergência (3.5) deduzimos que∣∣∣ ⟨∂uη
∂ν, ξ
⟩Z′×Z
∣∣∣ ≤ C‖ξ‖Z , ∀ξ ∈ Z.
Assim, ∥∥∥∂uη
∂ν
∥∥∥Z′≤ C, ∀η.
Portanto, existe uma subsequência de(
∂uη
∂ν
), ainda denotada por
(∂uη
∂ν
), e h ∈ Z ′
tal que∂uη
∂ν h em Z ′. (3.8)
Tomando o limite em (3.6) e usando as convergênciais (3.5) e (3.8) encontramos
〈−g, ϕ〉X′×X =n∑
i=1
∫Ω
∂u
∂xi
∂ϕ
∂xi
dx− 〈h, ϕ〉Z′×Z , ∀ϕ ∈ X. (3.9)
14
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Os vetores g ∈ X ′ e h ∈ Z ′ verificando (3.9) são únicos. Assim, provamos que paracada u ∈ E existem únicos g ∈ X ′ e h ∈ Z ′ satisfazendo (3.9). Usaremos a notaçãog = 4u e h = ∂u
∂ν.
Assim, provamos que para cada u ∈ E existe h ∈ Z ′ tal que (3.9) é verificado.Tomando o limite em (3.7) e usando as convergências (3.5) e (3.8) encontramos∣∣∣ ⟨∂u
∂ν, ξ⟩
Z′×Z
∣∣∣ ≤ C‖4u‖X′‖ξ‖Z + ‖u‖‖ξ‖Z , ∀ξ ∈ Z,
isto é, ∥∥∥∂u∂ν
∥∥∥Z′≤ C‖u‖E.
Logo, com as considerações acima estabelecemos o seguinte teorema de traço:
Teorema 3.1 Existe uma aplicação linear e contínua
γ1 : E → Z ′
tal queγ1u =
∂u
∂ν, ∀u ∈ E .
Além disso,
〈−4u, ϕ〉X′×X = ((u, ϕ))− 〈γ1u, ϕ〉Z′×Z , ∀u ∈ E e ∀ϕ ∈ X.
Com a finalidade de obter resultados de traço para funções que dependem de x e t,introduzimos alguns resultados prévios.
Lema 3.2.1 Tem-se que as imersões
X = W 2,p(Ω) ∩W 1,pΓ0
(Ω) → V ∩H2(Ω) → V → L2(Ω),
são densas.
Demonstração: Seja u ∈ V ∩H2(Ω). Dado ε > 0 então existem
f1 ∈ Lp(Ω) tal que |f − f1| < ε
eg1 ∈ W 1− 1
p,p(Γ1) tal que ‖g − g1‖H
12 (Γ1)
< ε.
Consideremos o seguinte problema:
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(P )
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−∆u1 = f1 sobre Ω
u1 = 0 sobre Γ0
∂u1
∂ν= g1 sobre Γ1
Então a solução do problema (P ), u1 ∈ W 2,p(Ω)∩W 1,pΓ0
(Ω). Então (cf em M.Milla Mirandae L.A. Medeiros [36]) tem-se
‖u− u1‖2V ∩H2(Ω) = |f − f1|2 + ‖g − g1‖2
H12 (Γ1)
< 2ε2,
o que prova que X é denso em V ∩H2(Ω).
Para mostrar que V ∩H2(Ω) é denso em V, basta notar que D(−4) ⊂ V ∩H2(Ω) e queD(−4) é denso em V. Como V é denso em L2(Ω), segue-se o lema.
Fixamos um número real arbitrário T > 0. Introduzimos os seguintes espaços :
X = W 2,p0 (0, T ;X), X ′ = W−2,p′(0, T ;X ′)
Y = L2(0, T ;V )
Z = W 2,p0 (0, T ;Z), Z ′ = W−2,p′(0, T ;Z ′).
Pelo Lema 3.2.1 e por (3.3) obtém-se que as aplicações
X → Y e X → Z (3.10)
são contínuas. Também do Lema 3.2.1 e identificando L2(0, T ;L2(Ω)) com seu dualresulta
X → L2(0, T ;L2(Ω)) → X ′ (3.11)
Considere o espaço
E = u ∈ Y ;4u ∈ L2(0, T ;L2(Ω)),
equipado com a norma‖u‖
bE = ‖u‖Y + ‖4u‖X ′ .
Por (3.11) esta norma está bem definida. Considere E como um subespaço de Y × X ′.
Denote por E o fecho de E em Y × X ′.
Seja u ∈ E. Então, existe uma sequência de vetores (uη) de E tal que∣∣∣∣∣ uη → u em Y4uη → g em X ′.
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Pelos mesmos argumentos do Teorema 3.1 tem-se que g é único e
‖u‖bE = ‖u‖Y + ‖g‖X ′ . (3.12)
Com estas considerações obtemos o seguinte teorema:
Teorema 3.2 Existe uma aplicação linear e contínua
γ1 : E → Z ′
tal queγ1u =
∂u
∂ν, ∀u ∈ E .
Além disso,
〈−4u,w〉X ′×X = (u,w)Y − 〈γ1u,w〉Z′×Z , ∀u ∈ E e ∀w ∈ X .
Demonstração: Note que o conjunto
θ(t)v; θ ∈ D(0, T ), v ∈ X é total em E.
Com efeito, identificando, por meio do Teorema de Riesz, L2(Ω) com seu dual (L2(Ω))′,
resultaX → V → L2(Ω) → V ′ → X ′ (3.13)
e, identificando L2(0, T ;L2(Ω)) com seu dual (L2(0, T ;L2(Ω)))′,
X → Y → L2(0, T ;L2(Ω)) → Y ′ → X ′ (3.14)
Em cada cadeia de imersões um espaço é denso no seguinte.Note que se R ∈ E ′ então R = S + U onde
S ∈ Y ′ = (L2(0, T ;V ))′ = L2(0, T ;V ′)
eU ∈ (W−2,p′(0, T ;X ′))′ = W 2,p
0 (0, T ;X) = X .
Seja R ∈ E ′ tal que〈R, θv〉
bE′× bE = 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X.
Então,
〈R, θv〉bE′× bE = 〈S, θv〉Y ′×Y + 〈U, θv〉X ′×X = 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X.
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Tem-se:〈S, θv〉Y ′×Y =
∫ T
0
((S(t), θ(t)v))dt
e pela cadeia (3.14),
〈U, θv〉X ′×X = 〈U, θv〉Y ′×Y =
∫ T
0
((U(t), θ(t)v))dt
Logo
〈R, θv〉bE′× bE =
∫ T
0
((S(t), θ(t)v))dt+
∫ T
0
((U(t), θ(t)v))dt =
=
∫ T
0
((S(t) + U(t), v))θ(t)dt = 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e v ∈ X
A última integral implica
((S(t) + U(t), v)) = 0, ∀v ∈ X, q.t. t ∈ (0, T ).
Fixando t ∈ (0, T ), segue-se por densidade ( ver cadeia (3.13))
((S(t) + U(t), v)) = 0,∀v ∈ V,
o que implicaS(t) + U(t) = 0, q.t.t ∈ (0, T ).
Assim, R = S + U = 0, o que mostra nossa afirmação.Observe também que D(0, T ;X) é denso em W 2,p
0 (0, T ;X) = X . Pelo Teorema 3.1,
para θ ∈ D(0, T ), v ∈ X e ψ ∈ D(0, T ;X) resulta∫ T
0
〈−4(θ(t)v), ψ(t)〉X′×X dt =
∫ T
0
((θ(t)v, ψ(t)))dt−∫ T
0
〈γ1(θ(t)v), ψ(t)〉Z′×Z dt,
isto é,〈−4(θv), ψ〉X ′×X = (θv, ψ)Y − 〈γ1(θv), ψ〉Z′×Z .
Por densidade, usando as aplicações contínuas (3.10) e argumentos análogos aos doTeorema 3.1, obtém-se que existe um único h ∈ Z ′ tal que
〈−g, w〉X ′×X = (u,w)Y − 〈h, w〉Z′×Z , ∀ w ∈ X .
Aqui g é dado por (3.12). Usando as notações
g = 4u e∂u
∂ν= h,
concluímos o teorema.
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Observação 3.1 Note que:
(i) L1(0, T ;L1(Ω)) → W−2,p′(0, T ;X ′) = X ′;
(ii) L1(0, T ;L1(Γ1)) → W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′.
Agora, pelo fato de W 2,p0 (0, T ;X) → W 2,p
0 (0, T ;L2(Ω)) e W 2,p0 (0, T ;X) ser denso em
W 2,p0 (0, T ;L2(Ω)) obtemos:
(iii) W−2,p′(0, T ;L2(Ω)) → W−2,p′(0, T ;X ′).
Mostraremos o item (i).
De fato, como 2p ≥ 2(n+ 1), obtemos
W 2,p(0, T ;W 2,p(Ω)) = W 2,p(Ω× [0, T ]) → C0(Ω× [0, T ]).
Portanto,W 2,p
0 (0, T ;X) → C0(Ω× [0, T ]).
Sejam v ∈ L1(0, T ;L1(Ω)) e ϕ ∈ W 2,p0 (0, T ;X). Então,
〈v, ϕ〉 =
∫ T
0
∫Ω
v(x, t)ϕ(x, t)dxdt.
Assim,
|〈v, ϕ〉| ≤ C‖v‖L1(0,T ;L1(Ω))‖ϕ‖C0(Ω×[0,T ]) ≤ C‖v‖L1(0,T ;L1(Ω))‖ϕ‖W 2,p0 (0,T ;X),
o que implica v ∈ W−2,p′(0, T ;X ′) e
‖v‖W−2,p′ (0,T ;X′) ≤ c‖v‖L1(0,T ;L1(Ω)).
Analogamente obtemos L1(0, T ;L1(Γ1)) → W−2,p′(0, T ;Z ′).
Ainda do fato de(2− 1
p
)p = 2p− 1 > n resulta que
Z = W 2,p0 (0, T ;W 2− 1
p,p(Γ1)) → W
2− 1p,p
0 (0, T ;W 2− 1p,p(Γ1)) → C0(Γ1 × [0, T ]). (3.15)
Utilizando (3.15) e seguindo o mesmo raciocínio adotado logo acima, obtemos:
‖v‖W−2,p′ (0,T ;Z′) ≤ C‖v‖L1(0,T ;L1(Γ1)).
3.3 Lema da Aproximação.
Aproximações para a função h.
19
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Seja h ∈ C0(R;L∞(Γ1)) tal que:
(i) h(x, s) é não decrescente em s para quase todo x em Γ1;
(ii) h(x, 0) = 0 para quase todo x em Γ1;
(iii) [h(x, s)− h(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2, ∀ s, r ∈ R e para quase todo x ∈ Γ1,
onde d0 > 0 é uma constante.Considere h ∈ C0(R;L∞(Γ1)). Por conveniência na escrita, usaremos a notação
h(x, r), (x ∈ Γ1, r ∈ R) ao invés de h(r, x).
Exemplos : (1.) A função h(x, s) = β(x)h1(s) onde
h1(s) = C1s+ C2|s|σ, σ > −1, C1 > 0 e C2 ≥ 0,
e β ∈ L∞(Γ1) tem as propriedades (i)-(iii) acima.
(2.) A função h(x, s) = β(x)h1(s), onde h1(s) = sens + 2s e β ∈ L∞(Γ1) com β(x) ≥β0 > 0 tem as propriedades (i)-(iii) acima.
Nesta seção adaptamos a aproximação de Strass [44] para obter aproximações parafunção h satisfazendo as propriedades (i)-(iii) acima.
Para nossos propósitos necessitaremos do seguinte lema.
Lema 3.3.1 Seja h ∈ C0(R;L∞(Γ1)) verificando as condições (i)-(ii) e h(x, s) satisfaza condição
[h(x, s)− h(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2,
para todo s, r ∈ R e para quase todo x ∈ Γ1, onde d0 > 0 é uma constante. Então, existeuma sequência (hl) de vetores de C0(R;L∞(Γ1)) tal que para cada l verifica-se :(i) hl(x, s) é globalmente lipschitiziana em s para quase todo x ∈ Γ1.
(ii) hl(x, s) é não decrescente em s, para q.t.p x em Γ1;
(iii) hl(x, 0) = 0 para q.t.p x em Γ1;
(iv) h′l(x, s) ≥ d0 q.t.p. x ∈ Γ1 e q.t.p. s ∈ R;
(v) [hl(x, s)− hl(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x em Γ1.
(vi) Existe uma função Cl em L∞(Γ1) satisfazendo
|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ Cl|s− r|, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ1.
20
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Além disso, (hl) converge para h uniformemente sobre conjuntos limitados da reta,para quase todo x ∈ Γ1.
Demonstração: Para cada l ∈ N definimos:
hl(x, s) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
C1l(x)s, se 0 ≤ s ≤ 1l
l
∫ s+ 1l
s
h(x, τ)dτ, se1
l≤ s ≤ l
C2l(x)s, se s > l
C3l(x)s, se − 1l≤ s ≤ 0
−l∫ s
s− 1l
h(x, τ)dτ, se − l ≤ s ≤ −1
l
C4l(x)s, se s < −l,
onde ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
C1l(x) = l2∫ 2
l
1l
h(x, τ)dτ
C2l =
∫ l+ 1l
l
h(x, τ)dτ
C3l(x) = −l2∫ − 1
l
− 2l
h(x, τ)dτ
C4l(x) = −∫ −l
−l− 1l
h(x, τ)dτ.
A sequência (hl) tem as propriedades desejadas. Provaremos os itens (v) e (vi). Osoutros itens são obtidos diretamente. Mostraremos (v). Isto é feito em vários casos:
Note que
[h(x, s)− h(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2,∀s, r ∈ R, q.t.p x ∈ Γ1,
é equivalente a
[h(x, s)− h(x, r)] ≥ d0(s− r),∀s ≥ r, q.t.p x ∈ Γ1.
Analizaremos hl(x, s) com s ∈ Ij, sendo I1 = (−∞,−l], I2 = [−l,−1l], I3 = [−1
l, 0], I4 =
[0, 1l], I5 = [1
l, l] e I6 = [l,∞).
Note inicialmente que se τ < 0, então −h(x, τ) ≥ −d0τ.
21
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10 Caso: s1 < s2 ≤ −l
hl(x, s2)− hl(x, s1) = Cl4(x)(s2 − s1) =
[−∫ −l
−l− 1l
h(x, τ)dτ
](s2 − s1) =[∫ l
−l− 1l
−h(x, τ)dτ
](s2 − s1) ≥
[−d0
τ 2
2
∣∣∣−l
−l− 1l
](s2 − s1) =
−d0
2
[(−l)2 −
(−l − 1
l
)2]
= −d0
2(−2− 1
l2)(s2 − s1) ≥ d0(s2 − s1).
Portanto,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.16)
20 Caso: −l ≤ s1 < s2 ≤ −1l
hl(x, s2)− hl(x, s1) =∂hl
∂s(x, s∗)(s2 − s1) = l
[h(x, s∗)− h(x, s∗ − 1
l)
](s2 − s1) ≥
ld0[s∗ − (s∗ − 1
l)](s2 − s1)) = d0(s2 − s1)
Logo,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.17)
30 Caso: −1l≤ s1 < s2 ≤ 0
hl(x, s2)− hl(x, s1) =
[−l2
∫ − 1l
− 2l
h(x, τ)dτ
](s2 − s1) ≥ −
[l2d0
τ 2
2
∣∣∣− 1l
− 2l
](s2 − s1) =
−l2d0
2
(− 3
l2
)(s2 − s1) =
3
2d0(s2 − s1)
Consequentemente,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.18)
40 Caso: 0 ≤ s1 < s2 ≤ 1l
hl(x, s2)− hl(x, s1) =
[l2∫ 2
l
1l
h(x, τ)dτ
](s2 − s1) ≥
l2d0
2τ 2∣∣∣ 2l
1l
(s2 − s1) =3
2d0(s2 − s1)
Sendo assim,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.19)
22
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50 Caso: 1l≤ s1 < s2 ≤ l
hl(x, s2)− hl(x, s1) =∂hl
∂s(x, s∗)(s2 − s1) = l
[h(x, s∗ +
1
l)− h(x, s∗)
](s2 − s1) ≥
ld0
(s∗ +
1
l− s∗
)(s2 − s1) = d0(s2 − s1)
Portanto,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.20)
60 Caso: l ≤ s1 < s2
hl(x, s2)− hl(x, s1) =
∫ l+ 1l
l
h(x, τ)dτ(s2 − s1)) ≥
d0τ 2
2
∣∣∣l+ 1l
l(s2 − s1) = d0(2 +
1
l2)(s2 − s1) ≥ 2d0(s2 − s1)
Logo,[hl(x, s2)− hl(x, s1)] ≥ d0(s2 − s1). (3.21)
Vamos agora supor que r ∈ Ii e s ∈ Ij com i < j. Então, usando (3.16)-(3.21)
obtemos:
hl(x, s)− hl(x, r) = [hl(x, s)− hl(x, aj−1)] + [hl(x, aj−1)− kl(x, aj−2)]+
+ . . .+ [hl(x, ai)− hl(x, r)] ≥ d0(s− aj−1) + d0(aj−1 − aj−2) + . . .+ d0(ai − r) =
= d0(s− r)
Portanto,[hl(x, s)− hl(x, r)] ≥ d0(s− r), ∀s ≥ r, para q.t.p x ∈ Γ1, (3.22)
ou equivalentemente,
[hl(x, s)− hl(x, r)](s− r) ≥ d0(s− r)2, ∀s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ1.
Mostraremos agora o item (vi).
Note inicialmente que as funções hl são contínuas nos intervalos Ij, onde I1 = (−∞,−l], I2 =
[−l,−1l], I3 = [−1
l, 0], I4 = [0, 1
l], I5 = [1
l, l] e I6 = [l,∞).
Agora vamos provar que para cada l, que (hl) é uma função lipschitziana em Ij paraquase todo x ∈ Γ1. Isto será feito em seis casos:
Temos h ∈ L∞([−l − 1, l + 1];L∞(Γ1)) = L∞(Γ1 × [−l − 1, l + 1]).
23
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Denotamos porCl = sup
x∈Γ1−l−1≤s≤l+1
|h(x, s)| <∞.
10 Caso : Se r < s com s, r ∈ I1 = (−∞,−l], temos:
|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣Cl4(x)
∣∣∣|s− r| ≤
≤∫ −l
−l− 1l
|h(x, τ)|dτ |s− r| ≤ Cl
[−l −
(−l − 1
l
)]|s− r| = 1
lCl|s− r|.
Portanto,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤
1
lCl|s− r| ≤ 2lCl|s− r|.
20 Caso : Se r < s com s, r ∈ I2 = [−l,−1l], temos:
|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣∂hl
∂s(x, s∗)
∣∣∣|s− r| = l∣∣∣h(x, s∗)− h(x, s∗ − 1
l)∣∣∣|s− r| ≤
≤ 2lCl|s− r|.
Logo,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.
30 Caso : Se r < s com s, r ∈ I3 = [−1l, 0], temos:
|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣C3l(x)
∣∣∣(s− r) ≤
≤ l2∫ − 1
l
− 2l
|h(x, τ)|dτ |s− r| ≤ l2Cl
[−1
l−(−2
l
)]|s− r| = 2lCl|s− r|.
Consequentemente,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.
40 Caso : Se r < s com s, r ∈ I4 = [0, 1l], temos:
|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣C1l(x)
∣∣∣s− r| ≤
≤ l2∫ 2
l
1l
|h(x, τ)|dτ |s− r| ≤ l21
lCl|s− r| = lCl|s− r|.
Sendo assim,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.
50 Caso : Se r < s com s, r ∈ I5 = [1l, l], temos
|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣∂hl
∂s(x, s∗)
∣∣∣|s− r| = l∣∣∣h(x, s∗ +
1
l)− h(x, s∗)
∣∣∣|s− r| ≤
≤ 2lCl|s− r|.
24
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Portanto,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.
60 Caso : Se r < s com s, r ∈ I6 = [l,∞), temos:
|hl(x, s)− hl(x, r)| =∣∣∣C2l(x)
∣∣∣|s− r| ≤∫ l+ 1l
l
|h(x, τ)|dτ |s− r| ≤ Cl
[l +
1
l− l
]|s− r| = 1
lCl|s− r|.
Logo,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|s− r|.
Considere r ∈ Ii, s ∈ Ij com i < j. Então, segue-se dos casos 10 a 60 acima que:
|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ |hl(x, s)− hl(aj−1)|+ |hl(x, aj−1)− hl(x, aj−2)|+
+ . . .+ |hl(x, r)− hl(ai−1)| ≤
≤ 2lCl|s− aj−1|+ 2lCl|aj−1 − aj−2|+ . . .+ 2lCl|r − ai−1| ≤ 2lCl|s− r|.
Portanto,|hl(x, s)− hl(x, r)| ≤ 2lCl|r − s|,
o que mostra o item (vi) do lema.Mostraremos que hl → h converge uniformemente sobre conjuntos limitados da reta,
para quase todo x ∈ Γ1.
Seja S um conjunto limitado da reta. Então, existe l0 tal que |s| ≤ l0 para todo s ∈ S.Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, se |s− r| < δ, e s, r ∈ [−l0 − 1, l0 + 1], então
‖h(., s)− h(., r)‖L∞(Γ1) < ε,
isto é,supx∈Γ1
|h(x, s)− h(x, r)| < ε. (3.23)
Considere l12> 1
δ. Seja l ≥ maxl0, l1. Calcula-se
|hl(x, s)− h(x, s)|, |s| ≤ l0.
(i) Seja 1l≤ s ≤ l0. Então, 1
l≤ s ≤ l. Tem-se pelo Teorema do Valor Médio para Integral
que
hl(x, s)− h(x, s) = l
∫ s+ 1l
s
h(x, τ)dτ − h(x, s) =
= lh(x, τ ∗)1l− h(x, s) = h(x, τ ∗)− h(x, s),
25
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onde s ≤ τ ∗ ≤ s+ 1l< s+ l. Decorre de (3.23) que
supx∈Γ1
|hl(x, s)− h(x, r)| < ε.
(ii) Seja 0 ≤ s < 1l. Tem-se
hl(x, s)− h(x, s) =
(l2∫ 2
l
1l
h(x, τ)dτ
)s− h(x, s) = lh(x, τ ∗)s− h(x, s),
onde 1l≤ τ ∗ ≤ 2
l, o que implica
|hl(x, s)− h(x, s)| ≤ |hl(x, s)|+ |h(x, s)| ≤ |h(x, τ ∗)|+ |h(x, s)|.
Sendo 0 ≤ τ ∗ ≤ 2l< 2
l1< δ e 0 ≤ s ≤ 1
l< 2
l1< δ resulta de (3.23) que
supx∈Γ1
|h(x, τ ∗)| < ε e supx∈Γ1
|h(x, s)| < ε.
Como, 0 ≤ s ≤ l0 concluímos que
supx∈Γ1
|hl(x, s)− h(x, s)| < 2ε, ∀l ≥ maxl0, l1.
Para −l0 ≤ s ≤ 0, e utilizando os mesmos argumentos, obtém-se resultado seme-lhante.
Portanto, hl → h uniformemente sobre conjuntos limitados de R, para quase todox ∈ Γ1.
3.4 Existência de Solução.
Vamos assumir as seguintes hipóteses:
(H1) Ω é um aberto limitado do R3 com fronteira Γ de classe C2.
(H2) Sejam hi ∈ C0(R;L∞(Γ1)), i = 1, 2 com hi(x, s) não decrescente em s para q.t.px em Γ1, hi(x, 0) = 0 para q.t.p. x em Γ1 e hi fortemente monótona em s, para q.t.px em Γ1, isto é,
[hi(x, s)− hi(x, r)](s− r) ≥ di(s− r)2, ∀ s, r ∈ R, para q.t.p x ∈ Γ1 (di > 0).
(H3) u0, v0 ∈ (D(−∆))2, u1, v1 ∈ (H10 (Ω))2.
Com estas hipóteses garantimos o seguinte teorema:
26
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Teorema 3.3 Assuma as hipóteses (H1)-(H3). Então, existe um par de funções u, vna classe
u, v em (L∞loc(0,∞;V ))2 (3.24)
u′, v′ em (L∞loc(0,∞;V ))2 (3.25)
u′′, v′′ em (L∞loc(0,∞;L2(Ω)))2 (3.26)
satisfazendo as equações
u′′ −∆u+ αuv2 = 0 em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (3.27)
v′′ −∆v + αvu2 = 0 em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (3.28)
e satisfazendo∂u
∂ν+ h1(., u
′) = 0 em L1loc(0,∞;L1(Γ1)) (3.29)
∂v
∂ν+ h2(., v
′) = 0 em L1loc(0,∞;L1(Γ1)) (3.30)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω (3.31)
v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω. (3.32)
Demonstração: Para a prova, empregaremos o método de Galerkin com uma base es-pecial em V ∩ H2(Ω). Considere a aproximação de Strauss (h1l) e (h2l) de (h1) e (h2),
respectivamente. Então, pelo Lema 3.3.1, temos:
(i) (h1l), (h2l) são funções globalmente lipschitianas;
(ii) [hil(x, s)− hil(x, r)](s− r) ≥ di(s− r)2,∀s, r ∈ R e para q.t.p.x ∈ Γ1, com i = 1, 2;
(iii) hil converge para hi uniformemente sobre conjuntos limitados da reta para quasetodo x ∈ Γ1, i = 1, 2.
Considere (u1l ) e (v1
l ) sequências em D(Ω) tais que∣∣∣∣∣∣u1
l → u1 em H10 (Ω)
v1l → v1 em H1
0 (Ω)(3.33)
Note que ∣∣∣∣∣∣∣∣∂u0
∂ν+ h1l(x, u
1l ) = 0 sobre Γ1, ∀l
∂v0
∂ν+ h2l(x, v
1l ) = 0 sobre Γ1, ∀l
(3.34)
27
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Fixemos l. Seja wl1, w
l2, w
l3 e wl
4 uma base do subespaço de V ∩ H2(Ω) gerado poru0, v0, u1
l e v1l . Pelo processo de Gram-Schmidt construímos uma base
wl1, w
l2, w
l3, w
l4, . . . , ,
de V ∩H2(Ω). Seja V lm = [w1,
l , . . . , wlm] o subespaço de V ∩H2(Ω) gerado por wl
1, . . . , wlm.
Determinamos as soluções aproximadas ulm(t), vlm(t) ∈ V lm do Problema (3.35), isto
é,
ulm(t) =m∑
j=1
gjlm(t)wlj e vlm(t) =
m∑j=1
hjlm(t)wlj,
onde gjlm(t) e hjlm(t) são definidas pelo o sistema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(u′′lm(t), ϕ) + ((ulm(t), ϕ)) + α(ulm(t)v2lm(t), ϕ) +
∫Γ1
h1l(x, u′lm(t))ϕdΓ = 0,
∀ϕ ∈ V lm
(v′′lm(t), ψ) + ((vlm(t), ψ)) + α(vlm(t)u2lm(t), ψ) +
∫Γ1
h2(x, v′lm(t))ψdΓ = 0,
∀ψ ∈ V lm
ulm(0) = u0, u′lm(0) = u1l em Ω
vlm(0) = v0, v′lm(0) = v1l em Ω.
(3.35)
O sistema (3.35) possui uma solução ulm(t), vlm(t) definida sobre [0, tlm), a qualpode ser extendida pela primeira estimativa a seguir sobre o intervalo [0,∞).
Estimativa 3.4.1 Considerando ϕ = u′lm(t) e ψ = v′lm(t) em (3.35)1 e (3.35)2, respecti-vamente, e adicionando ambas as equações resulta:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
2
d
dt|u′lm(t)|2 +
1
2
d
dt‖ulm(t)‖2 +
1
2
d
dt|v′lm(t)|2 +
1
2
d
dt‖vlm(t)‖2+
+α
2
∫Ω
|vlm(t)|2 ddt|ulm(t)|2dx+
α
2
∫Ω
|ulm(t)|2 ddt|vlm(t)|2dx+
+
∫Γ1
h1l(x, u′lm(t))u′lm(t)dΓ +
∫Γ1
h2l(x, v′lm(t))v′lm(t)dΓ = 0.
(3.36)
Notemos que
1
2
∫Ω
|vlm(t)|2 ddt|ulm(t)|2dx+
1
2
∫Ω
|ulm(t)|2 ddt|vlm(t)|2dx =
∫Ω
1
2
d
dt|ulm(t)vlm(t)|2dx.
Substituindo a última igualdade em (3.36) e integrando sobre [0, t), 0 ≤ t ≤ tlm,
28
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obtemos:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
2|u′lm(t)|2 +
1
2‖ulm(t)‖2 +
1
2|v′lm(t)|2 +
1
2‖vlm(t)‖2 +
α
2|ulm(t)vlm(t)|2+
+
∫ t
0
∫Γ1
h1l(x, u′lm(s))u′lm(s)dΓds+
∫ t
0
∫Γ1
h2l(x, v′lm(s))v′lm(s)dΓds =
=1
2|u′lm(0)|2 +
1
2‖ulm(0)‖2 +
1
2|v′lm(0)|2 +
1
2‖vlm(0)‖2 +
α
2|u0v0|2.
(3.37)
Inicialmente notemos que da desigualdade de Holder e da imersão V → L4(Ω), poisn ≤ 3 obtemos:∫
Ω
|ulm(0)vlm(0)|2dx ≤(∫
Ω
|ulm(0)|4dx) 1
2(∫
Ω
|vlm(0)|4dx) 1
2
=
= ‖ulm(0)‖2L4(Ω)‖vlm(0)‖2
L4(Ω) ≤ ‖ulm(0)‖2‖vlm(0)‖2 ≤ C.
(3.38)
Desta última desigualdade, do fato que as funções hil satifazem as propriedades,hil(x, s)s ≥ dis
2, q.t.p. x ∈ Γ1, ∀s ∈ R e das convergências (3.33)1 e (3.33)2, obtemos:
1
2|u′lm(t)|2 +
1
2‖ulm(t)‖2 +
1
2|v′lm(t)|2 +
1
2‖vlm(t)‖2 +
α
2|ulm(t)vlm(t)|2+
+d1
∫ t
0
∫Γ1
|u′lm(s)|2dΓds+ d2
∫ t
0
∫Γ1
|v′lm(s)|2dΓds ≤
≤ 1
2|u′lm(0)|2 +
1
2‖ulm(0)‖2 +
1
2|v′lm(0)|2 +
1
2‖vlm(0)‖2 +
α
2|ulm(0)vlm(0)|2 <
<
[1
2|u1|2 +
1
2‖u0‖2 +
1
2|v1|2 +
1
2‖v0‖2 +
α
2‖u0‖2‖v0‖2 + 1
]= N1, ∀l ≥ l0,
(3.39)
onde N1 é uma constante independente de l,m e t, ∀l ≥ l0.
Portanto,(ulm) é limitada em L∞(0,∞;V ), ∀l ≥ l0, ∀m (3.40)
(vlm) é limitada em L∞(0,∞;V ), ∀l ≥ l0, ∀m (3.41)
(u′lm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0, ∀m (3.42)
(v′lm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0, ∀m (3.43)
(ulmvlm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0, ∀m (3.44)
(u′lm) é limitada em L2(0,∞;L2(Γ1)), ∀l ≥ l0, ∀m (3.45)
(v′lm) é limitada em L2(0,∞;L2(Γ1)), ∀l ≥ l0, ∀m. (3.46)
29
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Com as estimativas (3.40) e (3.41) podemos prolongar a solução aproximada ulm(t), vlm(t)ao intervalo [0,∞).
Observação 3.2 Primeiro mostraremos que (u′′lm(0)) e (v′′lm(0)) são limitadas em L2(Ω).
De fato, tomando t = 0 na equação aproximada (3.35)1 e usando a fórmula de Green e a
condição de fronteira∂u0
∂ν+ h1l(u
1l ) = 0 sobre Γ1, obtemos:
(u′′lm(0), ϕ) + (∆ulm(0), ϕ) + α(ulm(0)v2lm(0), ϕ) = 0. (3.47)
Tomando ϕ = u′′lm(0) em (3.47), temos:
|u′′lm(0)| ≤ |∆ulm(0)|+ α|ulm(0)v2lm(0)|. (3.48)
Utilizando a desigualdade de Holder com 13
+ 13
+ 13
= 1 e o Teorema de Sobolev paragarantir a imersão de V → L6(Ω), obtemos:
|ulm(0)v2lm(0)|2 =
∫Ω
|ulm(x, 0)v2lm(x, 0)|2dx ≤
≤ ‖ulm(0)‖2L6(Ω)‖vlm(0)‖2
L6(Ω)‖ulm(0)‖2L6(Ω) ≤
≤ C1‖ulm(0)‖2‖vlm(0)‖4 = C1‖u0‖2‖v0‖4 ≤ C,
(3.49)
onde C é uma constante independente de l e m.Desta desigualdade e de (3.48) resulta que
(u′′lm(0)) é limitada em L2(Ω), ∀l,m.
Analogamente obtemos
(v′′lm(0)) é limitada em L2(Ω), ∀l,m.
Usando o mesmo argumento para obter (3.49) e fazendo uso da primeira estimativamostra-se que:
(ulmv2lm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0 (3.50)
(vlmu2lm) é limitada em L2(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0. (3.51)
30
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Considerando a derivada com respeito a t da equação aproximada (3.35)1, (3.35)2 eem seguida, considerando ϕ = u′′lm(t) e ψ = v′′lm(t), obtemos:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
2
d
dt|u′′lm(t)|2 +
1
2
d
dt‖u′lm(t)‖2 + (u′lm(t)v2
lm(t), u′′lm(t)) + 2α(ulm(t)vlm(t)v′lm(t), u′′lm(t))+
+
∫Γ1
(u′′lm(t))2h′1l(x, u′lm(t))dΓ = 0,
1
2
d
dt|v′′lm(t)|2 +
1
2
d
dt‖v′lm(t)‖2 + (v′lm(t)u2
lm(t), v′′lm(t)) + 2α(vlm(t)ulm(t)u′lm(t), v′′lm(t))+
+
∫Γ1
(v′′lm(t))2h′2l(x, v′lm(t))dΓ = 0.
(3.52)Nosso objetivo é obter limitações a partir de (3.52)1 e (3.52)2.
A seguir analizaremos o termo: (u′lm(t)v2lm(t), u′′lm(t)).
Usando a desigualdade de Holder com 16
+ 16
+ 16
+ 12
= 1, o Teorema de Imersão deSobolev para a imersão V → L6(Ω), e a primeira estimativa, obtemos:
(u′lm(t)v2lm(t), u′′lm(t)) =
∫Ω
u′lm(t)v2lm(t)u′′lm(t)dx ≤
≤∫
Ω
|u′lm(t)||vlm(t)|2|u′′lm(t)|dx ≤
≤ ‖u′lm(t)‖L6(Ω)‖vlm(t)‖2L6(Ω)|u′lm(t)| ≤
≤ C‖u′lm(t)‖|u′′lm(t)| ≤ C(‖u′lm(t)‖2 + |u′′lm(t)|2),
(3.53)
onde C representa as várias constantes independentes de l e m.Analogamente obtemos:
|(v′lm(t)u2lm(t), v′′lm(t))| ≤ C(‖v′lm(t)‖2 + |v′′lm(t)|2). (3.54)
Agora analizaremos: (ulm(t)vlm(t)v′lm(t), u′′lm(t)).
Aplicando os mesmos argumentos usados na obtenção de (3.53), obtemos:
|(ulm(t)vlm(t)v′lm(t), u′′lm(t))| ≤
≤ ‖ulm(t)‖L6(Ω)‖vlm(t)‖L6(Ω)‖v′lm(t)‖L6(Ω)|u′′lm(t)| ≤
≤ C(‖v′lm(t)‖|u′lm(t)|) ≤ C(‖v′lm(t)‖2 + |u′lm(t)|2).
(3.55)
De forma análoga, obtém-se:
|(vlm(t)ulm(t)u′lm(t), v′′lm(t))| ≤ C(‖u′lm(t)‖2 + |v′′lm(t)|2). (3.56)
31
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Integrando (3.52)1 e (3.52)2 de 0 a t, adicionado ambas as equações, usando as de-sigualdades (3.53) -(3.56) e o fato que h′1l(x, s) ≥ d1, h
′2l(x, s) ≥ d2 para q.t.p. x ∈ Γ1 e
para q.t.p. s ∈ R, obtemos:
1
2[|u′′lm(t)|2 + |v′′lm(t)|2 + ‖u′lm(t)‖2 + ‖v′lm(t)‖2]+
+d1
∫ t
0
∫Γ1
(u′′lm(s))2dΓds+ d2
∫ t
0
∫Γ1
(v′′lm(s))2dΓds ≤
≤ 1
2[|u′′lm(0)|2 + |v′′lm(0)|2 + ‖u′lm(0)‖2 + ‖v′lm(0)‖2]+
+
∫ t
0
C[|u′′lm(s)|2 + |v′′lm(s)|2 + ‖u′lm(s)‖2 + ‖v′lm(s)‖2]ds.
(3.57)
Notando que (u′′lm(0)) e (v′′lm(0)) são limitadas em L2(Ω), segue-se das convergências(3.33)1 e (3.33)2, que (u′lm(0)) e (v′lm(0)) são limitadas em V. Portanto, destes fatos, dadesigualdade acima e da desigualdade de Gronwall obtemos:
1
2[|u′′lm(t)|2 + |u′′lm(t)|2 + ‖u′lm(t)‖2 + ‖v′lm(t)‖2]+
+d1
∫ t
0
∫Γ1
(u′lm(s))2dΓds+ d2
∫ t
0
∫Γ1
(v′lm(s))2dΓds ≤ C,(3.58)
onde C é uma constante independente de l,m, l ≥ l0, ∀t ∈ [0, T ].
Portanto a partir de (3.58), obtemos:
(u′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;V ), ∀l ≥ l0,∀m (3.59)
(v′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;V ), ∀l ≥ l0,∀m (3.60)
(u′′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0,∀m (3.61)
(v′′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0,∀m (3.62)
(u′′lm) é limitada em L2loc(0,∞;L2(Γ1)), ∀l ≥ l0,∀m (3.63)
(v′′lm) é limitada em L2loc(0,∞;L2(Γ1)), ∀l ≥ l0,∀m. (3.64)
O índice l está fixado. As estimativas (3.40) - (3.46) e as estimativas (3.59) - (3.64),
permitem pelo processo diagonal obter subsequências de (ulm) e (vlm), as quais ainda
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serão denotadas por (ulm), (vlm), e funções ul, vl : Ω× (0,∞) → R satisfazendo:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ulm∗ ul em L∞(0,∞;V )
vlm∗ vl em L∞(0,∞;V )
u′lm∗ u′l em L∞loc(0,∞;V )
v′lm∗ v′l em L∞loc(0,∞;V )
u′′lm∗ u′′l em L∞loc(0,∞;L2(Ω))
v′′lm∗ v′′l em L∞loc(0,∞;L2(Ω))
u′lm u′l em L2(0,∞;L2(Γ1))
v′lm v′l em L2(0,∞;L2(Γ1))
u′′lm u′′l em L2loc(0,∞;L2(Γ1))
v′′lm v′′l em L2loc(0,∞;L2(Γ1)).
(3.65)
A partir de (3.65)3, (3.65)4 e do Teorema do Traço de ordem zero, obtemos:
u′lm∗ u′l em L∞loc(0,∞;H
12 (Γ1)) (3.66)
v′lm∗ v′l em L∞loc(0,∞;H
12 (Γ1)). (3.67)
Por (3.63), (3.66) e do Teorema de Aubin-Lions concluímos que existe uma subse-quência de (u′lm), a qual ainda será denota por (u′lm), tal que
u′lm → u′l em L2loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.68)
Seguindo um raciocínio semelhante a partir de (3.64) e (3.67), obtemos:
v′lm → v′l em L2loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.69)
Seja T > 0 um número real arbitrário. Pelo Lema 3.3.1 tem-se que (h1l) e (h2l) sãofunções lipschitizianas, e portanto, usando (3.68), obtemos:∫ T
0
∫Ω
[h1l(u′lm(x, t))− h1l(u
′l(x, t))|2dxdt ≤
≤ c21l
∫ T
0
∫Ω
|(u′lm(x, t))− (u′l(x, t))|2dxdt =
= c21l‖u′lm − u′l‖L2(0,T ;L2(Ω)) → 0 quando m→∞.
33
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Logo,h1l(., u
′lm) → h1l(., u
′l) em L2
loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.70)
De maneira análoga obtemos:
h2l(., u′lm) → h2l(., u
′l) em L2
loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.71)
Novamente usando o fato que a imersão V → L2(Ω) é compacta, segue-se, a partirde (3.40), (3.41), (3.42), (3.43) e do Teorema de Aubin-Lions, que existem subsequênciasde (ulm) e (vlm), respectivamente, as quais ainda serão denotadas por (ulm) e (vlm), taisque
ulm → ul em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (3.72)
evlm → vl em L∞loc(0,∞;L2(Ω)). (3.73)
Seja T > 0 um número real arbitrário. Em particular, das convergências (3.72) e(3.73), obtemos:
ulm → ul q.s em Q = Ω× (0, T ) (3.74)
vlm → vl q.s em Q = Ω× (0, T ) (3.75)
e, portanto,ulmv
2lm → ulv
2l q.s em Q (3.76)
vlmu2lm → vlu
2l q.s em Q. (3.77)
Agora de (3.50), (3.51), (3.76), (3.77), e do Lema de Lions [24] resulta que:
ulmv2lm ulv
2l em L2
loc(0,∞;L2(Ω)) (3.78)
vlmu2lm vlu
2l em L2
loc(0,∞;L2(Ω)). (3.79)
Multiplicando as equações (3.35)1 e (3.35)2 por θ ∈ D(0,∞), integrando de 0 a ∞,
usando as convergências obtidas e a densidade de V lm em V ∩H2(Ω), obtemos:∫ ∞
0
(u′′l (s), ϕ)θ(s)ds+
∫ ∞
0
((ul(s), ϕ))θ(s)ds+ α
∫ ∞
0
(ul(s)v2l (s), ϕ)θ(s)ds+
+
∫ ∞
0
∫Γ1
h1l(x, u′l(s))ϕθ(s)dΓds = 0, ∀ϕ ∈ V, ∀θ ∈ D(0,∞),
(3.80)
e ∫ ∞
0
(v′′l (s), ψ)θ(s)ds+
∫ ∞
0
((vl(s), ψ))θ(s)ds+ α
∫ ∞
0
(vl(s)u2l (s), ψ)θ(s)ds+
+
∫ ∞
0
∫Γ1
h2l(x, v′l(s))ψθ(s)dΓds = 0, ∀ψ ∈ V, ∀θ ∈ D(0,∞).
(3.81)
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Agora considerando ϕ, ψ ∈ D(Ω) e θ ∈ D(0, T ), resulta de (3.80) e (3.81) que:
u′′l −∆ul + αulv2l = 0 em D′(Q) (3.82)
v′′l −∆vl + αvlu2l = 0 em D′(Q). (3.83)
Já vimos que: u′′l , v′′l , ulv2l , vlu
2l pertence a L2(0, T ;L2(Ω)). Assim, segue-se de (3.82)
e (3.83) queu′′l −∆ul + αulv
2l = 0 em L2
loc(0,∞;L2(Ω)) (3.84)
v′′l −∆vl + αvlu2l = 0 em L2
loc(0,∞;L2(Ω)). (3.85)
Destas duas igualdades segue-se que ∆ul, ∆vl ∈ L2(0, T ;L2(Ω)). Como ul, vl ∈L2(0, T ;V ), obtemos (cf em M.Milla Miranda [37]) que ∂ul
∂ν, ∂vl
∂ν∈ L2(0, T ;H− 1
2 (Γ1)).
Multiplicando as equações (3.84) e (3.85) por ϕθ e ψθ com ϕ, ψ ∈ V e θ ∈ D(0,∞),
respectivamente, integrando de 0 a ∞ e usando a fórmula de Green, obtemos:∫ ∞
0
(u′′l (s), ϕ)θ(s)ds+
∫ ∞
0
((ul(s), ϕ))θ(s)ds+ α
∫ ∞
0
(ul(s)v2l (s), ϕ)θ(s)ds+
+
∫ ∞
0
⟨∂ul(s)
∂ν, ϕ
⟩θ(s)ds = 0,
(3.86)
onde 〈 ; 〉 representa a dualidade H− 12 (Γ1)×H
12 (Γ1).
Analogamente obtemos:∫ ∞
0
(v′′l (s), ψ)θ(s)ds+
∫ ∞
0
((vl(s), ψ))θ(s)ds+ α
∫ ∞
0
(vl(s)u2l (s), ψ)θ(s)ds+
+
∫ ∞
0
⟨∂vl(s)
∂ν, ψ
⟩θ(s)ds = 0.
(3.87)
Comparando (3.80) com (3.86) e (3.81) com (3.87), obtemos:
∂ul
∂ν+ h1l(., u
′l) = 0 em L2(0, T ;H− 1
2 (Γ1)) (3.88)
∂vl
∂ν+ h2l(., v
′l) = 0 em L2(0, T ;H− 1
2 (Γ1)). (3.89)
Como h1l(., u′l), h2l(., v
′l) ∈ L2(0, T ;L2(Γ1)), segue-se, de (3.88) e (3.89), que:
∂ul
∂ν+ h1l(., u
′l) = 0 em L2
loc(0,∞;L2(Γ1)) (3.90)
∂vl
∂ν+ h2l(., v
′l) = 0 em L2
loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.91)
Observamos que as estimativas (3.40) - (3.46), (3.50) - (3.51) e (3.59)- (3.64) tambémestão asseguradas para todo l. Então, pelo mesmo processo usado na primeira parte da
35
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demonstração de (3.65), obtemos pelo processo diagonal subsequências de (ul) e (vl), asquais ainda serão denotadas por (ul), (vl), e funções u, v : Ω× (0,∞) → R tais que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ul∗ u em L∞loc(0,∞;V )
vl∗ v em L∞loc(0,∞;V )
u′l∗ u′ em L∞loc(0,∞;V )
v′l∗ v′ em L∞loc(0,∞;V )
u′′l∗ u′′ em L∞loc(0,∞;L2(Ω))
v′′l∗ v′′ em L∞loc(0,∞;L2(Ω))
u′l u′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1))
v′l v′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1))
u′′l u′′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1))
v′′l v′′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1)).
(3.92)
Usando o mesmo argumento para encontrar (3.49) e as estimativas (3.92)1 e (3.92)2,
obtemos(ulv
2l ) é limitada em L∞loc(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0 (3.93)
(vlu2l ) é limitada em L2
loc(0,∞;L2(Ω)), ∀l ≥ l0. (3.94)
Repetindo o mesmo raciocínio feito para obter (3.78) e (3.79), resulta que:
ulv2l uv2 em L2
loc(0,∞;L2(Ω)) (3.95)
vlu2l vu2 em L2
loc(0,∞;L2(Ω)). (3.96)
Usando as limitações (3.92)3, (3.92)4, e o Teorema do Traço de ordem zero, obtemos:
u′l∗ u em L∞loc(0,∞;H
12 (Γ1)) (3.97)
v′l∗ v em L∞loc(0,∞;H
12 (Γ1)) (3.98)
A partir de (3.92)9 e (3.97) segue-se pelo Teorema de Aubin-Lions que
u′l → u′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.99)
Analogamente de (3.92)10 e (3.98), obtemos:
v′l → v′ em L2loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.100)
36
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Seja T > 0 um número real arbitrário fixado. A partir de (3.99) e (3.100), obtemosem particular que
u′l(x, t) → u′(x, t) q.s em Σ1 = Γ1 × (0, T )
ev′l(x, t) → v′(x, t) q.s em Σ1 = Γ1 × (0, T ).
Fixe (x, t) ∈ Σ1. Então, (u′l(x, t)) e (v′l(x, t)) são conjuntos limitados na reta. Assim, pelaaproximação de Strauss obtemos:
h1l(x, u′l(x, t)) → h1(x, u
′l(x, t)) q.s em Σ1 = Γ1 × (0, T ), (3.101)
pois, h1l converge uniformemente para h1 sobre conjuntos limitado da reta para quasetodo ponto x ∈ Γ1.
Agora h1 sendo contínua, obtemos:
h1(x, u′l(x, t)) → h1(x, u
′(x, t)) q.s em Σ1. (3.102)
Assim de (3.101) e (3.102), obtemos:
h1l(x, u′l(x, t)) → h1(x, u
′(x, t)) q.s em Σ1. (3.103)
De forma análoga obtemos:
h2l(x, v′l(x, t)) → h2(x, v
′(x, t)) q.s em Σ1. (3.104)
A partir de (3.84) temos:
(u′′l (t), 2u′l(t)) + ((ul(t), 2u
′l(t))) + 2α(ul(t)v
2l (t)), u
′l(t))+
+2
∫Γ1
h1l(x, u′l(t))u
′l(t)dΓ = 0,
ou ainda,∫Γ1
h1l(x, u′l(t))u
′l(t)dΓ = −1
2
d
dt|u′l(t)|2 −
1
2
d
dt‖ul(t)‖2 − α(ul(t)v
2l (t), u
′l(t)).
Notemos inicialmente que, como feito em (3.53) tem-se
|α(ul(t)v2l (t)), u
′l(t))| ≤ αC1(‖ul(t)‖2 + |u′l(t)|2).
37
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Assim,∫ T
0
∫Γ1
h1l(x, u′l(t))u
′l(t)dΓdt ≤ −1
2|u′l(T )|2 +
1
2|u1
l |2 −1
2‖ul(T )‖2 +
1
2‖u0‖2+
+αC1
∫ T
0
[‖ul(t)‖2 + |u′l(t)|2]dt ≤1
2|u′l(T )|2 +
1
2|u1
l |2 +1
2‖ul(T )‖2 +
1
2‖u0‖2+
+αC1
∫ T
0
[‖ul(t)‖2 + |u′l(t)|2]dt.
Usando as convergências (3.92) na desigualdade acima, obtemos:∫ T
0
∫Γ1
h1l(x, u′l(t))u
′l(t)dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l0.
Note que h1l(x, s)s = |h1l(x, s)||s|.
Portanto, ∫ T
0
∫Γ1
|h1l(x, u′l(t))||u′l(t)|dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l0, (3.105)
onde C representa várias constantes independente de l e t ∈ [0, T ].
Analogamente obtemos∫ T
0
∫Γ1
|h2l(x, v′l(t))||v′l(t)|dΓdt ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀l ≥ l0. (3.106)
Resulta de (3.103)-(3.106) e do Teorema de Strauss [44] que
h1l(., u′l) → h1(., u
′) em L1(Γ1 × (0, T )) (3.107)
eh2l(., v
′l) → h2(., u
′) em L1(Γ1 × (0, T )). (3.108)
Portanto, pela Observação 3.1, resulta que:
h1l(., u′l) → h1(., u
′) em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′ (3.109)
eh2l(., v
′l) → h2(., v
′) em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′. (3.110)
Vimos queu′l u′ em L2
loc(0,∞;V ). (3.111)
38
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Como u′′l u′′ em L2loc(0,∞;L2(Ω)) e 1 < p′ < 2 tem-se que
u′′l u′′ em Lp′
loc(0,∞;L2(Ω))
e, portanto,u′′l u′′ em W−2,p′(0, T ;X ′) = X ′.
Também por (3.92) e análogo raciocínio, obtém-se:
ulv2l uv2 em W−2,p′(0, T ;X ′) = X ′.
Logo,
4ul = u′′l + ulv2l 4u = u′′ + uv2 em W−2,p′(0, T ;X ′) = X ′. (3.112)
Agora por (3.111), (3.112), resulta que
ul u em E. (3.113)
Então, pelo Teorema 3.2, obtemos:
γ1ul γ1u em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′. (3.114)
Assim de (3.109) e (3.114), obtemos:
∂ul
∂ν+ h1l(., u
′l)
∂u
∂ν+ h1(., u
′) em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′. (3.115)
Logo,∂u
∂ν+ h1(., u
′) = 0 em W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′. (3.116)
Agora usando o fato que L1(0, T ;L1(Γ1)) → W−2,p′(0, T ;Z ′) = Z ′, obtemos:
∂u
∂ν+ h1(., u
′) = 0 em L1loc(0,∞;L1(Γ1)). (3.117)
De maneira análoga, obtemos:
∂v
∂ν+ h2(., v
′) = 0 em L1loc(0,∞;L1(Γ1)). (3.118)
Usando as convergências (3.92)5 e (3.95), segue-se a partir de (3.112) e do item (iii)
da Observação 3.1 que
u′′ −4u+ αuv2 = 0 em L2loc(0,∞;L2(Ω)). (3.119)
39
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Analogamente, obtemos:
v′′ −4v + αvu2 = 0 em L2loc(0,∞;L2(Ω)). (3.120)
Por argumentos habituais mostra-se que: u(0) = u0, u′(0) = u1, v(0) = v0 e v′(0) =
v1.
Consideramos as seguintes hipóteses adicionais:
(H4) |h1(x, s)| ≤ d3|s|, q.t.p. x ∈ Γ1 e ∀ s ∈ R;
(H5) |h2(x, s)| ≤ d4|s|, q.t.p. x ∈ Γ1 e ∀ s ∈ R.
Com isso temos:
Corolário 1 Suponhamos as hipóteses do Teorema 3.3 mais (H4) e (H5). Então asolução u, v do sistema (∗) é única e satisfaz∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u ∈ L∞(0,∞;V ) ∩ L2loc(0,∞;H
32 (Ω))
v ∈ L∞(0,∞;V ) ∩ L2loc(0,∞;H
32 (Ω))
u′′ −∆u+ αuv2 = 0 em L2loc(0,∞;L2(Ω))
v′′ −∆v + αvu2 = 0 em L2loc(0,∞;L2(Ω))
∂u
∂ν+ h1(., u
′) = 0 em L2loc(0,∞;L2(Γ1))
∂v
∂ν+ h2(., v
′) = 0 em L2loc(0,∞;L2(Γ1)).
(3.121)
Demonstração: Usando a hipótese |h1(x, s)| ≤ d3|s|, obtemos pelo Lema 3.3.1 que|h1l(x, s)| ≤ 3
2d3|s| para todo s ∈ R e para q.t.p x ∈ Γ1. Logo desse fato e usando (3.92)3,
obtemos: ∫ T
0
∫Γ1
|h1l(x, u′l(x, s))|2dΓds ≤
9
4(d3)
2
∫ T
0
∫Γ1
|u′l(x, s)|2dΓds ≤ C.
Logo,(h1l(., u
′l)) é limitada em L2
loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.122)
A partir de (3.103) e (3.122), resulta pelo Lema de Lions [24] que
h1l(., u′l)) h(., u′) em L2
loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.123)
40
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Portanto de (3.117) e (3.123), obtemos:
∂u
∂ν+ h(., u′) = 0 em L2
loc(0,∞;L2(Γ1)). (3.124)
Para completar a prova do Corolário 1 mostraremos que u ∈ L2loc(0,∞;H
32 (Ω)). Temos
que u é solução do seguinte problema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−∆u = −u′′ − αuv2 em Q = Ω× (0, T )
u = 0 sobre Γ0 × [0, T ]
∂u
∂ν= −h1(., u
′) sobre Γ1 × [0, T ]
(3.125)
para todo número real T > 0. Sendo −∆u = −u′′ − αuv2 ∈ L2loc(0,∞;L2(Ω)) e ∂u
∂ν=
−h1(., u′) ∈ L2
loc(0,∞;L2(Γ1)), obtemos como feito em M.Milla Miranda e L.A. Medeiros[31] que u ∈ L2
loc(0,∞;H32 (Ω)). De forma análoga, mostra-se que v ∈ L2
loc(0,∞;H32 (Ω)).
Para provar a unicidade procede-se como feito na primeira estimativa.
3.5 Comportamento Assintótico
O principal objetivo desta seção é provar o decaimento exponencial da energia E(t)
associada a solução do sistema (∗). Esta energia é dada por
E(t) =1
2
[‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2 + |u′(t)|2 + |v′(t)|2 + α|u(t)v(t)|2
]. (3.126)
Seja ν a normal unitária exterior em x ∈ Γ1. Suponhamos que existe x0 ∈ Rn tais que
(H6) Γ0 = x ∈ Γ : m(x)ν(x) ≤ 0 e Γ1 = x ∈ Γ : m(x)ν(x) > 0.
Nesta parte consideraremos
h1(x, s) = m(x).ν(x)g1(s), ∀x ∈ Γ1, s ∈ R
h2(x, s) = m(x).ν(x)g2(s), ∀x ∈ Γ1, s ∈ R,
onde g1, g2 são funções contínuas tais que gi(0) = 0 e satisfazendo as propriedades
(H7) [gi(s)− gi(r)](s− r) ≥ di(s− r)2, i = 1, 2, ∀s, r ∈ R,
(H8) |gi(s)| ≤ di|s|, i = 3, 4, ∀s ∈ R.
41
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Introduzimos as notações:
R = maxx∈Ω
‖m(x)‖, ‖w‖L6(Ω) ≤ c∗1‖w‖ ,∫
Γ1
w2 ≤ K‖w‖2, ∀w ∈ V.
eN1 =
[1
2|u1|2 +
1
2‖u0‖2 +
1
2|v1|2 +
1
2‖v0‖2 +
α
2‖u0‖2‖v0‖2 + 1
].
Por λ1 denotamos o primeiro autovalor do problema espectral ((w, v)) = λ(w, v), ∀v ∈V.
Antes de enunciarmos o teorema que estabeleçe o comportamento assintótico da en-ergia E(t), associada a solução do sistema (∗) mostraremos que ul(t) ∈ V ∩H2(Ω). Sendoassim, podemos aplicar o Lema 2.1 como feito em M.Milla Miranda e L.A.Medeiros [35]e a identidade de Rellich cf em V.Komornik e E.Zuazua [18] ou M.Milla Miranda e L.P.S.Gil Jutuca [38].
Vamos justificar que: ul ∈ L∞(0, T ;V ∩H2(Ω)).
Fixe l. Para o comportamento assintótico consideramos as sequências
h1l(x, s) = m(x).ν(x)g1l(s) e h2l(x, s) = m(x).ν(x)g2l(s),
sendo (gll) e (g2l) funções lipschitizianas com gll(0) = g2l(0) = 0, g1l → g1 e g2l → g2
convergindo uniformemente nos limitados da reta, onde
h1(x, s) = m(x).ν(x)g1(s) e h2(x, s) = m(x).ν(x)g2(s),
com g1 e g2 sendo funções contínuas satisfazendo as condições
[g1(s)− g1(r)](s− r) ≥ d1(s− r)2, ∀s, r ∈ R e |g1(s)| ≤ d3|s|, ∀s ∈ R,
e[g2(s)− g2(r)](s− r) ≥ d2(s− r)2, ∀s, r ∈ R e |g2(s)| ≤ d4|s|, ∀s ∈ R,
onde di, i = 1, 2, 3, 4, são constantes positivas.Notemos inicialmente que seguindo a mesma idéia da prova do Lema 3.3.1, tem-se
que|g1l(s)| ≤
3
2d3|s|, ∀s ∈ R. (3.127)
Analogamente obtém-se
|g2l(s)| ≤3
2d4|s|, ∀s ∈ R. (3.128)
42
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Na segunda estimativa do Teorema 3.3 vimos que :
(u′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;V ), ∀l ≥ l0, ∀m (3.129)
(v′lm) é limitada em L∞loc(0,∞;V ), ∀l ≥ l0, ∀m. (3.130)
Observação 3.3 A sequência (g1l) é a sequência de Strauss que aproxima g1. Sabemosque as funções (g1l) são lipschitizianas e g1l(0) = 0. Sendo u′lm(t) ∈ V tem-se pelaProposição 2.3, que g1l(u
′ml(t)) ∈ V. Então, pelo Teorema do Traço de ordem zero, obte-
mos g1l(u′ml(t)) ∈ H
12 (Γ1). Logo,
‖g1l(u′ml(t))‖H
12 (Γ1)
≤ Cl‖ulm(t)‖, ∀t ∈ [0, T ].
Como l está fixado, então pela limitação (3.129) obtemos que
(g1l(u′ml)) é limitada em L∞(0, T ;H
12 (Γ1)).
Portanto,
g1l(u′ml)
∗ χ em L∞(0, T ;H
12 (Γ1)) quando m→∞. (3.131)
Seguindo o mesmo raciocínio como feito na prova do Teorema 3.3,( usando (g1l) nolugar de (h1l) ) mostra-se que
g1l(u′ml) g1l(u
′l) em L2(0, T ;L2(Γ1) quando m→∞. (3.132)
Assim a partir de (3.131), (3.132) e pela unicidade do limite fraco, obtemos:
gl(u′ml)
∗ gl(u
′l) em L∞(0, T ;H
12 (Γ1)) quando m→∞. (3.133)
Na demonstração do Teorema 3.3, mostramos que
∂ul
∂ν+ (m.ν)g1l(u
′l) = 0 em L2(0, T ;L2(Γ1)). (3.134)
Portanto, de (3.133) e (3.134) obtemos:
∂ul
∂ν+ (m.ν)g1l(u
′l) = 0 em L∞(0, T ;H
12 (Γ1)). (3.135)
Também na prova do Teorema 3.3 mostramos que
−4ul = −u′′l − αulv2l ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)).
43
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Consideremos o seguinte problema:
(P )
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−4ul = −u′′l − αulv
2l em Ω× [0, T ]
ul = 0 sobre Γ0 × [0, T ]
∂ul
∂ν= −(m.ν)g1l(u
′l) sobre Γ1 × [0, T ],
para todo número real T > 0.
Como∂ul
∂ν+ (m.ν)g1l(ul) = 0, sobre Γ1
e m.ν é classe C1 sobre Γ1 resulta
∂ul
∂ν∈ L∞loc(0,∞;H
12 (Γ1)).
Disto e notando que4ul ∈ L∞loc(0,∞;L2(Ω)),
tem-se que a solução do problema (P ) é tal que
ul ∈ L∞loc(0,∞;H2(Ω)).
Como ul ∈ L∞loc(0,∞;V ) obtemos que
ul ∈ L∞loc(0,∞;V ∩H2(Ω)), ∀l ≥ l0.
Analogamente encontramos
vl ∈ L∞loc(0,∞;V ∩H2(Ω)), ∀l ≥ l0.
O principal resultado desta seção é:
Teorema 3.4 Sejam u0, v0 ∈ (D(−4))2 e u1, v1 ∈ (H10 (Ω))2. Seja u, v a solução
obtida no Corolário 1 com as hipóteses (H6)-(H8), 0 ≤ α ≤ α0 e
α0 = min
1,
1
8R(c∗1)3N1
.
Então, existe uma constante ω > 0 tal que a energia (3.126) satisfaz
E(t) ≤ 4E(0)e−ω2
t, ∀t ≥ 0. (3.136)
44
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Demonstração: Notemos inicialmente que podemos aplicar a identidade de Rellichcf em V.Komornik e E.Zuazua [18] ou M.Milla Miranda e L.P.S. Gil Jutuca [38], poiscomo mostramos acima ul(t) ∈ V ∩ H2(Ω), onde ul é a solução aproximada obtidana demostração do Teorema 3.3. Para a demonstração do comportamento assintóticousaremos o método de Lyapounov (ver V.Komornik e E.Zuazua [18]). Mostraremos oteorema primeiro para energia aproximada
El(t) =1
2[‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2 + |u′l(t)|2 + |v′l(t)|2 + α|ul(t)vl(t)|2]. (3.137)
Depois tomando o limite inferior obter-se-á o teorema.Temos:
1
2
d
dt
[‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2 + |u′l(t)|2 + |v′l(t)|2 + α|ul(t)vl(t)|2
]=
−∫
Γ1
(mν)g1l(u′l(t))u
′l(t)dΓ−
∫Γ1
(mν)g2l(v′l(t))v
′l(t)dΓ.
Sendo g1l(s)s ≥ 0, g2l(s)s ≥ 0 e m(x)ν(x) > 0 sobre Γ1, obtemos ddtEl(t) ≤ 0, ∀t ≥ 0.
Logo El(t) é uma função decrescente para todo t ≥ 0.
Seja ε > 0. Introduz-se o funcional
Elε(t) = El(t) + εψl(t), (3.138)
onde
ψl(t) = 2(u′l(t),m.∇ul(t)) + 2(v′l(t),m.∇vl(t)) + (n− 1)(u′l(t), ul(t)) + (n− 1)(v′l(t), vl(t)).
A partir da igualdade acima e usando a desigualdade 2ab ≤ a2 + b2, obtemos:
|ψl(t)| ≤ 2R|u′l(t)||∇ul(t)|+ 2R|v′l(t)||∇vl(t)|+
+(n− 1)|u′l(t)||ul(t)|+ (n− 1)|v′l(t)||vl(t)| ≤
≤ R [|u′l(t)|2 + ‖ul(t)‖2 + |v′l(t)|2 + ‖vl(t)‖2] +
+n− 1
2λ1
[|u′l(t)|2 + |v′l(t)|2|+ ‖ul(t)|2 + ‖vl(t)|2
]≤
≤ C1El(t),
onde C1 = 2(R + n−1
2λ1
).
Portanto,|ψl(t)| ≤ C1El(t). (3.139)
45
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Utilizando (3.138) e (3.139), obtemos:
|Elε(t)− El(t)| ≤ ε|ψl(t)| < εC1El(t),
ou(1− εC1)El(t) ≤ Elε(t) ≤ (1 + εC1)El(t).
Tomando 0 < ε < 12C1
, obtemos:
El(t)
2≤ Elε(t) ≤ 2El(t). (3.140)
Notemos que pela Observação 3.3 tem-se que ul(t), vl(t) ∈ V ∩H2(Ω). Como ul(t), vl(t)
tem a regularidade acima, pode-se aplicar a identidade de Rellich (Ver Komornik-Zuazua[18] e M.Milla Miranda e L.P.S. Gil Jutuca [38]). Assim,
2(4ul(t),m.∇ul(t)) = (n− 2)‖ul(t)‖2−
−∫
Γ
(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ + 2
∫Γ
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ.
(3.141)
Analogamente, obtemos:
2(4vl(t),m.∇vl(t)) = (n− 2)‖vl(t)‖2−
−∫
Γ
(m.ν)|∇vl(t)|2dΓ + 2
∫Γ
∂vl(t)
∂νm.∇vl(t)dΓ.
(3.142)
Também notando que
∂ul
∂ν+ (m.ν)g1l(u
′l) = 0 sobre Γ1,
obtém-se(u′′l (t), ul(t)) = (4ul(t)− αul(t)v
2l (t), ul(t)) =
−‖ul(t)‖2 − α|ul(t)vl(t)|2 +
∫Γ
∂ul(t)
∂νul(t)dΓ =
−‖ul(t)‖2 −∫
Γ1
(m.ν)g1l(u′l(t))ul(t)dΓ− α|ul(t)vl(t)|2,
(3.143)
pois, ul(t) = 0 sobre Γ0.
De modo semelhante para vl, obtemos:
(v′′l (t), vl(t)) = (4vl(t)− αvl(t)u2l (t), vl(t)) =
−‖vl(t)‖2 − α|vl(t)ul(t)|2 +
∫Γ
∂vl(t)
∂νvl(t)dΓ =
−‖vl(t)‖2 −∫
Γ1
(m.ν)g2l(v′l(t))vl(t)dΓ− α|ul(t)vl(t)|2.
(3.144)
46
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Derivando ψl(t) e aplicando a Identidade de Rellich junto com as últimas identidadesde ul e vl obtemos, respectivamente:
ψ′l(t) = (n− 2)‖ul(t)‖2 −∫
Γ
(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ+
+2
∫Γ
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ− 2α(ul(t)v
2l (t),m.∇ul(t))+
+2(u′l(t),m.∇u′l(t)) + (n− 1)|u′l(t)|2−
−(n− 1)‖ul(t)‖2 − (n− 1)
∫Γ1
(m.ν)g1l(u′l(t))ul(t)dΓ−
−2α(n− 1)|ul(t)vl(t)|2 + (n− 2)‖vl(t)‖2−
−∫
Γ
(m.ν)|∇vl(t)|2dΓ + 2
∫Γ
∂vl(t)
∂νm.∇vl(t)dΓ−
−2α(vl(t)u2l (t),m.∇vl(t)) + 2(v′l(t),m.∇v′l(t))+
+(n− 1)|v′l(t)|2 − (n− 1)‖vl(t)‖2−
−(n− 1)
∫Γ1
(m.ν)g2l(v′l(t))vl(t)dΓ.
(3.145)
A seguir limitaremos o lado esquerdo da expressão acima de forma a obter
ψ′l(t) ≤ −ηE1l(t)− ηE2l(t)− η|ul(t)vl(t)|2 + c
∫Γ1
(m.ν)(u′l(t))2dΓ + c
∫Γ1
(m.ν)(v′l(t))2dΓ,
onde η > 0, c > 0 comE1l(t) =
1
2
[|u′l(t)|2 + ‖ul(t)‖2
]e
E2l(t) =1
2
[|v′l(t)|2 + ‖vl(t)‖2
].
Como ul(t), vl(t) ∈ V ∩ H2(Ω) resulta pelo Lema 2.1 em M.Milla Miranda e L.A.Medeiros [35] as seguintes igualdades sobre Γ0 :
∂ul(t)
∂xi
= νi∂ul(t)
∂νe |∇ul(t)|2 =
(∂ul(t)
∂ν
)2
,
onde ν = (νi, . . . , νn). Logo
−∫
Γ
(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ = −∫
Γ0
(mν)
(∂ul(t)
∂ν
)2
dΓ−
−∫
Γ1
(mν)n∑
i=1
(∂ul(t)
∂xi
)2
dΓ.
(3.146)
47
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De forma análoga obtemos
−∫
Γ
(m.ν)|∇vl(t)|2dΓ = −∫
Γ0
(mν)
(∂vl(t)
∂ν
)2
dΓ−
−∫
Γ1
(mν)n∑
i=1
(∂vl(t)
∂xi
)2
dΓ.
(3.147)
• Análise de 2
∫Γ
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ.
Note que sobre Γ0, tem-se∂ul(t)
∂xj
= νj∂ul(t)
∂ν
e sobre Γ1, tem-se∂ul(t)
∂ν= −(m.ν)g1l(u
′l(t)).
Assim,
2
∫Γ
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ = 2
∫Γ0
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ + 2
∫Γ1
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ =
= 2
∫Γ0
∂ul(t)
∂ν
n∑j=1
mj∂ul(t)
∂xj
dΓ− 2
∫Γ1
(m.ν)g1l(u′l(t))m.∇ul(t)dΓ =
= 2
∫Γ0
(m.ν)
(∂ul(t)
∂ν
)2
dΓ− 2
∫Γ1
(m.ν)g1l(u′l(t))m.∇ul(t)dΓ.
Por outro lado
−2
∫Γ1
(m.ν)g1l(u′l(t))m.∇ul(t)dΓ ≤ 2R
∫Γ1
(mν)|g1l(u′l(t))||∇ul(t)|dΓ ≤
≤ R2
∫Γ1
(mν)|g1l(u′l(t))|2dΓ +
∫Γ1
(mν)|∇ul(t)|2dΓ ≤
≤ R2
(3
2d3
)2 ∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ +
∫Γ1
(mν)|∇ul(t)|2dΓ.
(Note que |g1l(s)| ≤ 32d3|s|). Destas duas últimas expressões resulta
2
∫Γ
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ ≤ 2
∫Γ0
(m.ν)
(∂ul(t)
∂ν
)2
dΓ+
+R2
(3
2d3
)2 ∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ +
∫Γ1
(mν)|∇ul(t)|2dΓ.(3.148)
48
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De (3.146) e (3.148), obtém-se:
−∫
Γ
(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ + 2
∫Γ
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ ≤
≤∫
Γ0
|∇ul(t)|2m.νdΓ +R2
(3
2d3
)2 ∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ.
Como m.ν ≤ 0 sobre Γ0, resulta desta última desigualdade que
−∫
Γ
(m.ν)|∇ul(t)|2dΓ + 2
∫Γ
∂ul(t)
∂νm.∇ul(t)dΓ ≤
≤ R2
(3
2d3
)2 ∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ.(3.149)
Analogamente, obtemos
−∫
Γ
(m.ν)|∇vl(t)|2dΓ + 2
∫Γ
∂vl(t)
∂νm.∇vl(t)dΓ ≤
≤ R2
(3
2d4
)2 ∫Γ1
(mν)|v′l(t)|2dΓ.(3.150)
• Análise do termo −2α(ul(t)vl(t),m∇ul(t)).
Note que pela estimativa (3.37) do Teorema 3.3, obtemos:
‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2 < |u1|2 + |v1|2 + ‖u0‖2 + ‖v0‖2 + α|u0v0|2 + 1 = N1, ∀t ≥ 0, ∀l ≥ l0.
Vamos introduzir a notação
‖w‖L6(Ω) ≤ c∗1‖w‖, ∀w ∈ V.
Agora pela desigualdade de Holder e a imersão de V → L6(Ω), tem-se:
−2α(ul(t)v2l (t),m.∇ul(t)) = −2α
∫Ω
ul(t)v2l (t)(m.∇ul(t))dx ≤
≤ 2αR
∫Ω
|ul(t)||vl(t)|2|∇ul(t)|dx ≤ 2αR
(∫Ω
u2l (t)v
4l (t)dx
) 12(∫
Ω
|∇ul(t)|2dx) 1
2
≤
≤ 2αR‖ul(t)‖L6(Ω)‖vl(t)‖2L6(Ω)‖ul(t)‖ ≤ 2αR(c∗1)
3N1‖ul(t)‖2.
Logo,−2α(ul(t)v
2l (t),m.∇ul(t)) ≤ 2αR(c∗1)
3N1‖ul(t)‖2. (3.151)
De forma análoga
−2α(vl(t)u2l (t),m.∇vl(t)) ≤ 2αR(c∗1)
3N1‖vl(t)‖2. (3.152)
49
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• Análise do termo (u′l(t),m.∇u′l(t)).Adota-se a convenção de índices repetidos para indicar a soma de 1 a n destes índices.
Note que u′l(t) = 0 sobre Γ0. Tem-se:
(u′l(t),m.∇u′l(t)) =
∫Ω
u′l(t)mj∂u′l(t)
∂xj
dx =1
2
∫Ω
mj∂
∂xj
(u′l(t))2dx =
−1
2
∫Ω
∂mj
∂xj
(u′l(t))2dx+
1
2
∫Γ1
mjνj(u′l(t))
2dΓ =
−n2|u′l(t)|2 +
1
2
∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ,
isto é,
2(u′l(t),m.∇u′l(t)) = −n|ul(t)|2 +
∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ. (3.153)
Semelhantemente encontramos
2(v′l(t),m.∇v′l(t)) = −n|vl(t)|2 +
∫Γ1
(mν)|v′l(t)|2dΓ. (3.154)
• Análise do termo −(n− 1)
∫Γ1
(m.ν)g1l(u′l(s))ul(s)dΓ.
Note que |g1l(s)| ≤ 32d3|s|, para todo s ∈ R.
Introduz-se a notação ∫Γ1
w2dΓ ≤ K‖w‖, ∀w ∈ V.
Tem-se:
−(n− 1)
∫Γ1
(m.ν)g1l(u′l(s))ul(s)dΓ ≤ (n− 1)
∫Γ1
(mν)|g1l(u′l(s))||ul(s)|dΓ ≤
≤ 3
2(n− 1)d3R
12
∫Γ1
√2K(mν)
12 |u′l(t)|
1√2K
|ul(t)|dΓ ≤
≤ 1
2(n− 1)2
(3
2
)2
d23RK
2
∫Γ1
(m.ν)(u′l(t))2dΓ +
1
4K2
∫Γ1
(ul(t))2dΓ ≤
≤ 1
2(n− 1)2
(3
2
)2
d23RK
2
∫Γ1
(m.ν)(u′l(t))2dΓ +
1
4‖ul(t)‖2,
isto é,
−(n− 1)
∫Γ1
(m.ν)g1l(u′l(s))ul(s)dΓ ≤ L1
∫Γ1
(m.ν)(u′l(t))2dΓ +
1
4‖ul(t)‖2, (3.155)
onde L1 =1
2(n− 1)2
(3
2
)2
d23RK
2.
50
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De forma análoga, obtém-se:
−(n− 1)
∫Γ1
(m.ν)g2l(v′l(s))vl(s)dΓ ≤ L2
∫Γ1
(m.ν)(v′l(t))2dΓ +
1
4‖vl(t)‖2, (3.156)
onde L2 =1
2(n− 1)2
(3
2
)2
d24RK
2. Substituindo (3.149)-(3.156) em (3.145) resulta
ψ′l(t) ≤ (n− 2)‖ul(t)‖2 +R2
(3
2d3
)2 ∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ + 2αR(c∗1)3N1‖ul(t)‖2−
−n|u′l(t)|2 +
∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ + (n− 1)|u′l(t)|2 − (n− 1)‖ul(t)‖2+
+L1
∫Γ1
(mν)|u′l(t)|2dΓ +1
4‖ul(t)‖2 + (n− 2)‖vl(t)‖2 +R2
(3
2d4
)2 ∫Γ1
(mν)|v′l(t)|2dΓ+
+2αR(c∗1)3N1‖vl(t)‖2 − n|v′l(t)|2 +
∫Γ1
(mν)|v′l(t)|2dΓ + (n− 1)|v′l(t)|2−
−(n− 1)‖vl(t)‖2 + L2
∫Γ1
(mν)|v′l(t)|2dΓ +1
4‖vl(t)‖2 − 2α(n− 1)|ul(t)vl(t)|2.
Cortando os termos semelhantes, na última expressão obtemos:
ψ′l(t) ≤ −|u′l(t)|2 − ‖ul(t)‖2 + 2αR(c∗1)3N1‖ul(t)‖2+
+1
4‖ul(t)‖2 +
[R2
(3
2d2
3 + 1 + L1
)]∫Γ1
(m.ν)|u′l(t)|2dΓ−
−|v′l(t)|2 − ‖vl(t)‖2 + 2αR(c∗1)3N1‖vl(t)‖2 +
1
4‖vl(t)‖2+
+
[R2
(3
2d2
4 + 1 + L2
)]∫Γ1
(m.ν)|v′l(t)|2dΓ− 2α(n− 1)|ul(t)vl(t)|2.
(3.157)
Introduz-se a notação
L = max
R2
(3
2d2
3 + 1 + L1
), R2
(3
2d2
4 + 1 + L2
).
Escolhe-se 0 ≤ α0 ≤ 1 tal que
α0 ≤1
8R(c∗1)3N1
.
Decorre destas expressões e de (3.157) que
ψ′l(t) ≤ −|u′l(t)|2 −1
2‖ul(t)‖2 + L
∫Γ1
(m.ν)|u′l(t)|2dΓ−
−|v′l(t)|2 −1
2‖vl(t)‖2 + L
∫Γ1
(m.ν)|v′l(t)|2dΓ−α
2|ul(t)vl(t)|2,
(3.158)
51
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onde 0 ≤ α ≤ α0. Assim,
ψ′l(t) ≤ −1
2
[|u′l(t)|2 + |v′l(t)|2
]− 1
2
[‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2
]−
−α2|ul(t)vl(t)|2 + L
∫Γ1
(m.ν)[|u′l(t)|2 + |v′l(t)|2]dΓ,
onde 0 ≤ α ≤ α0 e α0 = min
1, 18R(c∗1)3N1
.
Sendo gil(s)s ≥ dis2, i = 1, 2 para todo s ∈ R, obtemos da desigualdade acima que
ψ′l(t) ≤ −1
2
[|u′l(t)|2 + |v′l(t)|2
]− 1
2
[‖ul(t)‖2 + ‖vl(t)‖2
]− α
2|ul(t)vl(t)|2+
+L∗∫
Γ1
(m.ν)[g1l(u′l(t))u
′l(t) + g2l(v
′l(t))v
′l(t)]dΓ,
(3.159)
onde L∗ = max 1d1L, 1
d2L.
Considerando a derivada da expressão (3.138), obtemos:
E ′lε(t) = E ′
l(t) + εψ′(t). (3.160)
Notemos inicialmente que
E ′l(t) = −
∫Γ1
(mν)g1l(u′l(t))u
′l(t)dΓ−
∫Γ1
(mν)g2l(v′l(t))v
′l(t)dΓ. (3.161)
Multiplicando (3.159) por ε > 0 e substituindo em (3.160), e posteriormente usando(3.161), obtemos:
E ′lε(t) ≤ −ωEl(t)− (1− εL∗)
∫Γ1
(mν)g1l(u′l(s))u
′l(s)dΓ−
−(1− εL∗)
∫Γ1
(mν)g2l(v′l(s))v
′l(s)dΓ,
(3.162)
ondeω
2= ε e 0 < ε < min
2(R + n−1
2λ1
), (L∗)−1
.
Agora notando que mν ≥ 0 sobre Γ1, segue-se de (3.162) que:
E ′lε(t) ≤ −ω
2El(t).
Da desigualdade acima e de (3.140), obtemos:
E ′lε(t) ≤ −ω
2Elε(t). (3.163)
Portanto,Elε(t) ≤ Elε(0)e
ω2
t, ∀t ≥ 0.
52
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Sendo Elε(0) ≤ 2El(0) e El(t)2≤ Elε(t), obtemos:
El(t) ≤ 4El(0)e−ω
2t, ∀t ≥ 0, (3.164)
o que mostra o teorema para a energia aproximada.Notemos agora que El(0) → E(0) e que usando a estimativas (3.92) mostra-se que
E(t) ≤ lim inf El(t), ∀t ≥ 0. Tomando o limite inferior em (3.164) quando l → ∞ eusando estes dois últimos limites, obtemos:
E(t) ≤ 4E(0)e−ω2
t, ∀t ≥ 0. (3.165)
53
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Capítulo 4
Dissipação atuando na Fronteira para
um Sistema Acoplado de Equações de
Kirchhoff.
4.1 Introdução
As pequenas vibrações transversais de uma corda elástica de comprimento L pressano seus extremos, quando é levado em consideração a variação da tensão, é descrita pelaseguinte equação:
utt(x, t)−(m0 +m1
∫ L
0
u2x(x, t)dx
)uxx(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0, (4.1)
onde m0 é a tensão inicial e m1 esta relacionado com o material da corda.O modelo (4.1) foi introduzida por G.Kirchhoff [15].As vibrações acima, quando considerem-se as três componentes u, v, w do desloca-
mento, é descrito pelo seguinte sistema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ux(x, t) +1
2
(v2
x(x, t) + w2x(x, t)
)=
1
2L
∫ L
0
[v2
x(x, t) + w2x(x, t)
]dx, 0 < x < L, t > 0
vtt(x, t)−(m0 +m1
∫ L
0
[v2x(x, t) + w2
x(x, t)]dx
)vxx(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0
wtt(x, t)−(m0 +m1
∫ L
0
[v2x(x, t) + w2
x(x, t)]dx
)wxx(x, t) = 0, 0 < x < L, t > 0.
(4.2)Este sistema foi introduzido por A.H. Nayfeh e D.T. Mook [39].
54
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Observe que uma vez conhecidos v e w satisfazendo as equações (4.2)2 e (4.2)3, re-spectivamente, é possível determinar a solução u de (4.2)1.
Seja Ω um aberto limitado do Rn com fronteira regular Γ e M(λ) uma função re-gular satisfazendo M(λ) ≥ m0 > 0. Uma significativa generalização da equação (4.1) é aseguinte:
(K) u′′(x, t) +M
(∫Ω
|∇u(x, t)|2dx)
(−4u(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0;
e das duas últimas equações de (4.2) :
(N)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣v′′(x, t) +M
(∫Ω
[|∇v(x, t)|2 + |∇w(x, t)|2]dx)
(−4v(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0,
w′′(x, t) +M
(∫Ω
[|∇v(x, t)|2 + |∇w(x, t)|2]dx)
(−4w(x, t)) = 0, x ∈ Ω, t > 0.
A equação (K) tem sido extensivamente estudada. Primeiro, comenta-se brevemente,o estudo da existência de soluções do problema misto para (K) com condições de Dirichletnulas em Γ. Com efeito, soluções globais com dados iniciais C∞ e satisfazendo certaspropriedades, tem sido obtidas, entre outros por S.Bernstein [6], S.I. Pohozaev [41],J.L.Lions [25], A.Arosio e S. Spagnolo [2] e H.Clark[7]. Observa-se que soluções globaiscom dados iniciais em H1
0 (Ω) ∩H2(Ω), H10 (Ω) e M(λ) geral é um problema em aberto.
Soluções locais tem sido obtido, entre outros, por Y. Ebihara, L.A. Medeiros e M.MillaMiranda [11], A.Arosio e S.Garavaldi [1] e Y. Yamada [47].
Quando consideramos a formulação abstrata de (K) com u0 ∈ D(A), u1 ∈ D(A12 ),
θ = 12
e A−1 for um operador não compacto de H, a existência de solução local foianalizado por M.P. Matos [26], H. Crippa [10] e S.S. Sousa e M.Milla Miranda [43].
Para a existência de solução local, global e o comportamento assintótico da equaçãode Kirchhoff-Carrier em espaços de Banach podemos citar os recentes trabalhos deR.Izaguirre, R.Fuentes e M.Milla Miranda [13] e [14].
Uma lista extensiva de referências sobre a equação de Kirchhoff pode ser encontradaem L.A. Medeiros, J.Limaco e S.B, Menezes [28].
Para obter soluções globais de (K) com dados em H10 (Ω)∩H2(Ω), H1
0 (Ω), introduz-seuma dissipação na equação ou uma dissipação na fronteira. No primeiro caso tem-se osresultados, entre outros, de L.A.Medeiros e M.Milla Miranda [32], M. Hosoya e Y.Yamada[12], S.Kouémou-Patcheu [19] e J. Limaco, H.R. Clark e L.A. Medeiros [23]. No segundocaso, enumera-se os resultados de K. Ono [40], M.Tucsnak [45] (ambas para n=1), M.Milla
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Miranda e L.P.San Gil Jutuca [38] e J.Ong e I.Lasiecka [20]. Neste último trabalho adissipação na fronteira é de classe C1 e globalmente lipschitziana porém M(λ) tem aforma particular M(λ) = m0 +m1λ.
Nossos resultados obtidos melhora o resultado obtido por M.Milla Miranda e L.P.SanGil Jutuca [38] em relação a não linearidade em parte da fronteira e em relação aotrabalho de J.Ong e I.Lasiecka [20] a forma da M.
Observa-se que em todos estes últimos quatro trabalhos a norma dos dados iniciais épequena.
Nosso objetivo é estudar o sistema (N) com uma dissipação globalmente lipschitzianana fronteira.
A seguir descreve-se o problema a estudar. Supõe-se que a fronteira Γ de Ω estáconstituída de duas partes disjuntas e fechadas Γ0 e Γ1. Denota-se por ν(x) à normalunitária exterior em x ∈ Γ1. Introduz-se duas funções regulares M1(t, λ, ξ) e M2(t, λ, ξ)
verificandoMi(t, λ, ξ) ≥ mi > 0 (mi constantes), i = 1, 2,
e funções hi(x, s), i = 1, 2 definida em x ∈ Γ1 e s ∈ R. Nessas condições tem-se o seguinteproblema:
(S)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞)
u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
v = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
∂u
∂ν+ h1(., u
′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
∂v
∂ν+ h2(., v
′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω
v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω.
As condições iniciais devem verificar as condições de compatibilidade∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂u0
∂ν+ h1(., u
1) = 0 sobre Γ1
∂v0
∂ν+ h2(., v
1) = 0 sobre Γ1.
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Quando hi(x, s) verifica hi ∈ C1(R;L∞(Γ1)) e
hi(x, v(x)) ∈ L2(Γ1), h′i(x, s) ≥ di > 0 q.t.p x ∈ Γ1, i = 1, 2
obtém-se uma solução local de (S).
Por questão de comodidade, vamos escrever simplismente h1 = h2 = h.
O decaimento exponencial de (S) é obtido para o caso particular
(S1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞)
u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
v = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
∂u
∂ν+ (m.ν)h(u′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
∂v
∂ν+ (m.ν)h(v′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω
v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω,
onde m(x) = x− x0, x ∈ Rn, x0 fixo e h ∈ C0(R) verificando
0 < d0s2 ≤ h(s)s ≤ d1s
2 <∞, ∀s ∈ R.
Na obtenção de soluções locais utiliza-se argumentos de ponto fixo e resultados detraço de funções não regulares. Pela forma particular de (S1) este pode ser escrito numaforma vetorial com duas componentes (
u
v
),
e seu estudo fica reduzido ao de uma equação escalar. A obtenção de soluções globaisdesta equação escalar foi inspirado pelo trabalho de I. Lasiecka e J.Ong [20]. Neste artigoeles obtem solução global para a equação com a função particular M(λ) = m0 + m1λ.
O decaimento exponencial da energia da equação escalar é obtida usando o método depertubação da energia ( funcional de Lyapunov), a técnica dos multiplicadores e umaidentidade de Rellich (ver Komornik, V e E, Zuazua [18] e M.Milla Miranda e L.P.S. GilJutuca [38]).
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4.2 Resultados Fundamentais
O objetivo desta seção é obter resultados que permitam construir uma base especialem V ∩H2(Ω). No entanto, a demonstração que daremos permite construir tal base paraqualquer função h contínua, crescente e com a propriedade que h(., ϕ) ∈ L2(Γ1) paratoda ϕ ∈ L2(Γ1).
Seja V o espaço de Hilbert definido por
V = v ∈ H1(Ω); v = 0 sobre Γ0
munido do produto escalar
((u, v)) =
∫Ω
∇v(x)∇u(x)dx
e norma
‖u‖ =
(∫Ω
|∇u(x)|2dx) 1
2
.
Seja W o espaço de Hilbert
W = u ∈ V : 4u ∈ L2(Ω),
munido do produto escalar
(u, v)W = ((u, v)) + (4u,4v).
Proposição 4.1 Sejam f ∈ L2(Ω) e g ∈ H− 12 (Γ1). Então a solução u do problema de
valor de fronteira: ∣∣∣∣∣∣∣∣−∆u = f em Ω
u = 0 sobre Γ0
∂u
∂ν= g sobre Γ1
(4.1)
pertence a W e‖u‖W ≤ C
[|f |+ ‖g‖
H− 12 (Γ1)
].
Demonstração: Consideremos o problema:
(∗)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−4w = 0 em Ω
w = 0 sobre Γ0
∂w
∂ν= g sobre Γ,
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Por L.A.Medeiros e M.Milla Miranda [31], tem-se que a aplicação
0, g ∈ L2(Ω)×H− 12 (Γ1) → w ∈ W = w ∈ V ;4u ∈ L2(Ω),
onde w é a solução do problema (∗) acima, é bijetora e contínua. Assim,
‖w‖W ≤ C‖g‖H− 1
2 (Γ1).
Agora consideremos o seguinte problema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣−∆v = f em Ω
v = 0 sobre Γ0
∂v
∂ν= 0 sobre Γ1.
(4.2)
A solução fraca v do Problema 4.2 pertence a H2(Ω) e por resultados de regularizaçãoelíptica tem-se:
‖v‖H2(Ω) ≤ C|f |
Então, u = v + w ∈ W e u é uma solução do Problema 4.1. Portanto,
‖u‖W ≤ C[|f |+ ‖g‖H− 1
2 (Γ1)]
Observação 4.1 Em W as normas de ‖u‖W e
‖u‖W =
(|4u|2 +
∥∥∥∂u∂ν
∥∥∥H− 1
2 (Γ1)
) 12
,
são equivalentes.( cf. Teorema 3.11, pg. 189 de L.A. Medeiros e M.Milla Miranda [34].)
Introduzimos a hipótese:(H1) h ∈ C0(R, L∞(Γ1)), h(x, s) não decrescente em s para q.t.p x ∈ Γ1 e h(., ϕ) ∈ L2(Γ1)
para toda ϕ ∈ L2(Γ1).
Exemplo 4.2.1 A função h(x, s) = (sens+ 2s)β(x), com β ∈ L∞(Γ1) e β(x) ≥ β0 > 0
satisfaz a hipótese (H1).
Proposição 4.2 Assuma (H1). Então,
h : V → L2(Γ1), z 7→ h(., z)
é contínua.
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Demonstração: Seja zl → z em V. Então pela imersão de V → L2(Γ1), tem-se quezl → z em L2(Γ1). Assim existe uma subsequência de (zl), a qual ainda será denotadapor (zl), e uma função f ∈ L2(Γ1) tais que:(a) zl(x) → z(x) q.t.p x ∈ Γ1;
(b) |zl(x)| ≤ f(x) q.t.p x ∈ Γ1.
Por h ser contínua em s, decorre de (a) que
h(x, zl(x)) → h(x, z(x)) q.t.p x ∈ Γ1. (4.3)
Tem-se
(i) |h(x, zl(x))− h(x, z(x))|2 ≤ g(x), g ∈ L1(Γ1).
Com efeito,
(ii) |h(x, zl(x))− h(x, z(x))|2 ≤ 2[h(x, zl(x))]2 + 2[h(x, z(x))]2.
Como h é crescente na segunda variável, obtém-se:
h(x,−f(x)) ≤ h(x, zl(x)) ≤ h(x, f(x)),
onde f(x) foi introduzido em (b). Logo,(iii) [h(x, zl(x))]
2 ≤ [h(x, f(x))]2 + [h(x,−f(x))]2 = g1(x), g1 ∈ L1(Γ1).
Também por hipótese vem que(iv) [h(x, z(x))]2 ∈ L1(Γ1). Combinando (ii)-(iv), obtém-se a afirmação 1.
De (4.3), (i) e do Teorema da Convergência Dominada de Lebesque, resulta que
h(., zl) → h(., z) em L2(Γ1).
Como o raciocínio anterior pode ser feito com qualquer subsucessão de (zl) e sendo olimite sempre h(., z) vem que toda a sucessão (zl) converge para h(., z) em L2(Γ1).
Corolário 2 Sob as mesmas hipóteses da Proposição 4.2 tem-se que
h : L2(Γ1) → L2(Γ1), z 7→ h(., z)
é contínua.
Corolário 3 h ∈ C0(R, L∞(Γ1)), h(x, s) não decrescente em s para q.t.p x ∈ Γ1 tal queh(., ϕ) ∈ L2(Γ1×]0, T [), para toda ϕ ∈ L2(Γ1×]0, T [). Então
h : L2(Γ1×]0, T [) → L2(Γ1×]0, T [)
é contínua.
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Proposição 4.3 Assuma a hipótese (H1). Suponhamos u0 ∈ W, u1 ∈ V e
∂u0
∂ν+ h(., u1) = 0 sobre Γ1.
Então, para cada ε > 0 existem w e z em W tal que
‖w − u0‖W < ε, ‖z − u1‖ < ε,
e∂u
∂ν+ h(., z) = 0 sobre Γ1.
Demonstração: Fixa-se ε > 0 arbitrário. Como h : V → L2(Γ1) é contínua e W édenso em V, tem-se que existem z ∈ W e δ > 0 com δ < ε tais que
‖z − u1‖ < δ e ‖h(., z)− h(., u1)‖L2(Γ1) < ε.
Consideremos o seguinte problema:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−4w = −4u0 em Ω
w = 0 sobre Γ0
∂w
∂ν= −h(., z) sobre Γ1.
(4.4)
Como 4u0 ∈ L2(Ω) e h(., u1), h(., z) ∈ L2(Γ1) → H− 12 (Γ1), segue-se pela Observação
4.1 que:‖w − u0‖2
W = |∆(w − u0)|2 +∥∥∥∂w
∂ν− ∂u0
∂ν
∥∥∥H− 1
2 (Γ1)≤
≤ C∥∥∥∂w
∂ν− ∂u0
∂ν
∥∥∥L2(Γ1)
= C‖h(., z)− h(., u1)‖2L2(Γ1) ≤ Cε2.
Portanto, encontramos z e w nas condições da Proposição 4.3.
Observação 4.2 Como h(., s) é uma função crescente tem-se que o operador
h : L2(Γ1) → L2(Γ1), s 7→ h(., s)
é monótono.
Dizemos que u ∈ Lploc(0, Tmax;X), X sendo um espaço de Hilbert, quando u ∈
Lp(0, T ;X) para cada 0 < T < Tmax.
Introduzimos a seguinte hipótese sobre a função h.
(H2) h ∈ C1(R, L∞(Γ1)), h(x, 0) = 0 q.t.p x ∈ Γ1 e
h′(x, s) ≥ d0 > 0, q.t.p x ∈ Γ1.
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Observação 4.3 Note que, para x ∈ Γ1 fixo, resulta que h(x, s) = ∂h∂s
(x, s∗)s. Portanto,
h(x, s)s = h′(x, s∗)s2 ≥ d0s2, ∀s ∈ R, q.t.p x ∈ Γ1.
4.3 Problema Associado.
Associado ao sistema (∗∗) vamos considerar o seguinte problema:
(∗ ∗ ∗)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
θ′′ − µ(t)4θ = 0 em Ω× (0,∞)
θ = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
∂θ
∂ν+ h(., θ′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
θ(0) = θ0, θ′(0) = θ1, em Ω,
onde µ ∈ W 1,1loc (0,∞) e µ(t) ≥ µ0 > 0, para todo t ∈ [0,∞), µ0 constante.
Resolveremos o problema (∗ ∗ ∗) pelo método de Galekin com uma base especial. Asestimativas a priori obtidas na demonstração do problema (∗ ∗ ∗) serão essenciais paraobter uma solução local do sistema (∗∗) pelo método do ponto fixo de Banach.
Para a existência de solução do sistema linearizado associado ao sistema (∗∗) as-sumiremos as hipóteses (H1) e (H2) sobre a função h.
Teorema 4.1 Sejam µ ∈ W 1,1loc (0,∞) com µ(t) ≥ µ0 > 0, µ0 constante, e h satisfazendo
as hipóteses (H1) e (H2). Sejam θ0 ∈ W e θ1 ∈ V, verificando
∂θ0
∂ν+ h(., θ1) = 0 sobre Γ1.
Então, existe uma única função θ na classe
θ ∈ L∞loc(0,∞;W ), θ′ ∈ L∞loc(0,∞;V )∩ ∈ L2loc(0,∞;L2(Γ1)), θ
′′ ∈ L∞loc(0,∞;L2(Ω))
(4.5)tal que θ é solução da equação
θ′′ − µ4θ = 0 em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (4.6)
verificando as condições de fronteira
∂θ
∂ν+ h(., θ′) = 0 em L2
loc(0,∞;L2(Γ1)) (4.7)
e as condições iniciais
θ(0) = θ0, θ′(0) = θ1. (4.8)
62
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Introduzimos a hipótese.
(H3) h ∈ C1(0,∞;L2(Γ1)), h′(x, s) ≤ d1, ∀s ∈ R, q.t.p x ∈ Γ1 (d1 > 0 constante).
Tem-se o seguinte resultado.
Corolário 4 Se além das hipóteses do Teorema 4.1 verifica-se (H3), então
∂θ
∂ν+ h(., θ′) = 0 em C0([0,∞);L2(Γ1))
∂θ′
∂ν+ (h(., θ′))′ = 0 em L2
loc([0,∞);L2(Γ1))
Demonstração: A prova do Teorema 4.1 é feita pelo método de Galerkin com uma baseespecial para W. De fato, pela Proposição 4.3, obtemos sequências (θ0
l ), (θ1l ) de vetores
de W satisfazendo: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
liml→∞
θ0l = θ0 emW
liml→∞
θ1l = θ1 emV
∂θ0l
∂ν+ h(., θ1
l ) = 0 sobre Γ1.
(4.9)
Utilizando as sequências acima, para cada l ∈ N, construiremos uma base especialde W da seguinte forma: primeiro, determinamos uma base ortonormal wl
1, wl2 do
subespaço de W gerado pelos vetores θ0l , θ
1l . Pelo processo de ortogonalização de Gram-
Schmidt, completaremos (wlj) até obtermos uma base para W. Esta base especial de W
é representada por
wl1, w
l2, . . . . . . , w
lj, . . . para cada l ∈ N. (4.10)
Fixemos l ∈ N. Para m ∈ N consideremos o subespaço V lm de V ∩H2(Ω) gerado por
[wl1, w
l2, . . . , w
lm]. Com esta base de dimensão finita determinamos soluções aproximadas
ulm(t) do Problema (4.11), isto é,
θlm(t) =m∑
j=1
gjlm(t)wlj,
onde gjkm(t) é definida pelo sistema∣∣∣∣∣∣∣∣∣(θ′′lm(t), v) + µ(t)((θlm(t), v)) + µ(t)
∫Γ1
h(., θ′lm(t))vdΓ = 0,
∀v ∈ V lm
θlm(0) = θ0l e θ′lm(0) = θ1
l .
(4.11)
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Mostra-se que o sistema (4.11) encontra-se nas condições do Teorema de Caratheodorypara equações diferenciais ordinárias. Deste teorema resulta que existe (gjlm(t))1≤j≤m
definidas num intervalo [0, tlm). As estimativas a seguir permitirão extender a solução aointervalo [0, T ], para qualquer número real T > 0.
Primeira Estimativa: Fazendo v = θ′lm(t) ∈ V lm na equação aproximada (4.11)1,
obtemos
1
2
d
dt|θ′lm(t)|2 +
1
2
d
dt
[µ(t)‖θlm(t)‖2
]+ µ(t)
∫Γ1
h(x, θ′lm(t))θ′lm(t)dΓ ≤ 1
2|µ′(t)|‖θlm(t)‖2.
Integrando a desigualdade acima de 0 a t onde 0 ≤ t ≤ tlm e usando a hipótese queh(x, s)s ≥ d0s
2, ∀s ∈ R e q.t.p x ∈ Γ1, obtemos:
|θ′lm(t)|2 + µ(t)‖θlm(t)‖2 + 2d0µ0
∫ t
0
∫Γ1
(θ′lm(s))2dΓds ≤
≤ |θ1l |2 + µ(0)‖θ0
l ‖2 +
∫ t
0
|µ′(s)|‖θlm(s)‖2ds.
Notando que µ(t) ≥ µ0 > 0, obtemos da desigualdade de Gronwall que:
|θ′lm(t)|2 + µ‖θlm(t)‖2 + 2d0
∫ t
0
∫Γ1
(θ′lm(s))2dΓds ≤
≤ (|θ1l |2 + µ(0)‖θ0
l ‖2)exp
[2
∫ t
0
|µ′(s)|µ(s)
ds
].
Sendo (θ0l ) e (θ1
l ) convergentes obtemos da desigualdade acima que:
|θ′lm(t)|2 + µ(0)‖θlm(t)‖2 + 2d0
∫ t
0
∫Γ1
[(θ′lm(s))2]dΓds ≤ C(T ),
onde C uma constante independente de l,m ∈ N, para todo 0 ≤ t ≤ T.
Donde podemos estender a solução ao intervalo [0, T ] e obtermos
(θlm) é limitada em L∞(0, T ;V ) (4.12)
(θ′lm) é limitada em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.13)
(θ′lm) é limitada em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.14)
Segunda Estimativa: Primeiro mostraremos que (θlm(0)) é limitada em L2(Ω).
De fato, considerando t = 0 na equação aproximada temos:
(θ′′lm(0), v) + µ(0)((θlm(0), v)) + µ(0)
∫Γ1
h(x, θ′lm(0))vdΓ = 0,∀v ∈ V lm,
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ou seja,
(θ′′lm(0), v) + µ(0)((θ0l , v)) + µ(0)
∫Γ1
h(x, θ1l )vdΓ = 0. (4.15)
Usando a fórmula de Green na segunda parcela em (4.15) e o fato que ∂θ0l
∂ν= −h(x, θ1
l ),
sobre Γ1, obtemos:(θ′′lm(0), v)− (µ(0)∆u0
l , v) = 0. (4.16)
Considerando v = θ′′lm(0) em (4.16) e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, o fatoque θ0
l converge para θ0 em W, obtemos que
(θ′′lm(0)) é limitada em L2(Ω).
Observação 4.4 Na limitação de (θ′′lm(0)) vemos a importância da condição de fron-teira da base especial.
Derivando a equação aproximada (4.11)1 com respeito a t e considerando v = θ′′lm(t) ∈V l
m, obtemos:
1
2
d
dt
[|θ′′lm(t)|2 + µ(t)‖θ′lm(t)‖2
]+ µ(t)
∫Γ1
(θ′′lm(t))2h′(x, θ′lm(t))dΓ =
=1
2µ′(t)‖θlm(t)‖2 − µ′(t)((θlm(t), θ′′lm(t)))− µ′(t)
∫Γ1
h(x, θ′lm(t))θ′′lm(t)dΓ.
(4.17)
Considerando v =µ′1(t)
µ1(t)θ′′lm(t) na equação aproximada (4.11)1, obtemos:
µ′(t)
µ(t)|θ′′lm(t)|2 = −µ′(t)((θlm(t), θ′′lm(t)))− µ′(t)
∫Γ1
h(x, θ′lm(t))θ′′lm(t)dΓ.
Substituindo essa igualdade em (4.17) e usando o fato que h′(x, s) ≥ d0 para todos ∈ R, e q.t.p x ∈ Γ1, obtemos:
1
2
d
dt
[|θ′′lm(t)|2 + µ(t)‖θ′lm(t)‖2
]+ d0µ0
∫Γ1
(θ′′lm(t))2dΓ ≤
≤ 1
2
|µ′(t)|µ(t)
[|θ′′lm(t)|2 + µ(t)‖θ′lm(t)‖2
].
(4.18)
Integrando de 0 a t com 0 ≤ t ≤ tlm e usando a desigualdade de Gronwall, obtemos
|θ′′lm(t)|2 + µ0‖θ′lm(t)‖2 + d0µ0
∫ t
0
∫Γ1
(θ′′lm(s))2dΓds ≤
≤ (|θ′′lm(0)|2 + µ(0)‖θ1l ‖2)exp
[2
∫ t
0
|µ′(s)|µ(s)
ds
].
(4.19)
65
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Usando o fato que (θ′′lm(0)) é limitada em L2(Ω) e ainda que (θ1l ) converge para θ1 em
V, obtemos da desigualdade acima que
|θ′′lm(t)|2 + µ0‖θ′lm(t)‖2 + 2d0µ0
∫ t
0
∫Γ1
(θ′′lm(s))2dΓds ≤ C(T ), (4.20)
onde C(T ) é uma constante independente de l,m ∈ N, para todo 0 ≤ t ≤ T.
Donde obtemos:(θ′lm) é limitada em L∞(0, T ;V ) (4.21)
(θ′′lm) é limitada em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.22)
(θ′′lm) é limitada em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.23)
De (4.21) e do teorema do traço de ordem zero, tem-se:
(θ′lm) é limitada em L∞(0, T ;H12 (Γ1)). (4.24)
As estimativas (4.12), (4.21), (4.22), (4.23) e (4.24), permitem obter uma subsequênciade (θlm), a qual ainda vamos denotar por (θlm) e uma função θl : Ω× (0, T ) → R tais que
θlm∗ θl em L∞(0, T ;V ) (4.25)
θ′lm∗ θ′l em L∞(0, T ;V ) (4.26)
θ′′lm∗ θ′′l em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.27)
θ′lm∗ θ′l em L∞(0, T ;H
12 (Γ1)) (4.28)
θ′′lm θ′′l em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.29)
Sendo a imersão de H12 (Γ1) em L2(Γ1) compacta, tem-se a partir de (4.28), (4.29) e
do Teorema de Aubin-Lions que existe uma subsequência de (θ′lm), ainda denotada por(θ′lm), tal que
θ′lm → θ′l em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.30)
Logo pelo Corolário 3, obtemos:
h(., θ′lm) → h(., θ′l) em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.31)
Multiplicando a equação aproximada (4.11)1 por ϕ ∈ D(0, T ), integrando de 0 a T,usando as convergências (4.25), (4.27) e (4.31) e fazendo m→∞, obtemos:
66
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∫ T
0
(θ′′l (t), v)ϕ(t)dt+
∫ T
0
µ(t)((θl(t), v))ϕ(t)dt+
∫ T
0
µ(t)
∫Γ1
h(θ′l(t))vϕ(t)dΓdt = 0,
(4.32)para todo ϕ ∈ D(0, T ) e v ∈ W.
Observe que as estimativas obtidas são válidas para todo l ∈ N. Então pelo mesmoprocesso usado para obter as convergências acima, obtemos uma subsequência de (θl), aqual ainda vamos denotar por (θl), e uma função θ : Ω× (0, T ) → R tais que:
θl∗ θ em L∞(0, T ;V ); (4.33)
θ′l∗ θ′ em L∞(0, T ;V ) (4.34)
θ′′l∗ θ′′ em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.35)
θ′l∗ θ′ em L∞(0, T ;H
12 (Γ1)) (4.36)
θ′′l θ′′ em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.37)
Seguindo o mesmo raciocínio para encontrar (4.31), obtemos:
h(., θ′l) h(., θ′) em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.38)
Fazendo l→∞ em (4.32) e usando as convergências (4.33), (4.35) e (4.38) obtemos:∫ T
0
(θ′′(t), v)ϕ(t)dt+
∫ T
0
µ(t)((θ(t), v))ϕ(t)dt+
∫ T
0
µ(t)
∫Γ1
h(., θ′(t))vϕ(t)dΓdt = 0,
(4.39)para todo ϕ ∈ D(0, T ) e v ∈ W. Considerando θ ∈ D(0, T ) e v ∈ D(Ω) tem-se por (4.39)que:
u′′ − µ∆u = 0 em D′(Q), Q = Ω× (0, T ).
Como θ′′ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)), obtemos:
θ′′ − µ∆θ = 0 em L∞(0, T ;L2(Ω)). (4.40)
Sendo θ ∈ L∞(0, T ;V ) e por (4.40), ∆θ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)), tem-se cf em M.MillaMiranda [37] que ∂θ
∂ν∈ L∞(0, T ;H− 1
2 (Γ1)). Multiplicando ambos os membros de (4.40)por vϕ com v ∈ W e ϕ ∈ D(0, T ) e usando a fórmula de Green, obtemos:∫ T
0
(θ′′(t), v)ϕ(t)dt+
∫ T
0
µ(t)((θ(t), v))ϕ(t)dt−∫ T
0
µ(t)
⟨∂θ(t)
∂ν, v
⟩ϕ(t)dt = 0, (4.41)
67
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onde 〈 , 〉 denotada a dualidade 〈 , 〉H
12 (Γ1)×H− 1
2 (Γ1).
Comparando (4.39) e (4.41), obtemos:∫ T
0
µ(t)
⟨∂θ(t)
∂ν+ h(., θ′), v
⟩ϕ(t)dt = 0 (4.42)
o que implica∂θ(t)
∂ν+ h(., θ′) = 0 sobre Γ1 × (0, T ). (4.43)
Daí e de h(., θ′) ∈ L2(0, T ;L2(Γ1)) tem-se que:
∂θ
∂ν+ h(., θ′) = 0 em L2(0, T ;L2(Γ1)). (4.44)
A unicidade de soluções é obtida pelo método da energia. Pelo processo de diagonali-zação, obtém-se a regularidade expressada no teorema para θ em [0,∞).
Observação 4.5 Da regularidade (4.5) e da (4.6) segue
θ ∈ C0s ([0, T ];V ) ∩ C1
s ([0, T ];V ),∀ T > 0.
Demonstração: Prova do Corolário 4. Com efeito, do fato que
θ′′ ∈ L2loc(0,∞;L2(Γ1))
e (h(., θ′))′ = h′(., θ′)θ′′ segue-se |(h(., θ′))′| ≤ d1|θ′′| o que implica o resultado.
4.4 Existência de Solução Local
Nosso objetivo nesta seção é provar a existência de solução local do sistema (∗∗)quando u0, v0 e u1, v1 são regulares. Mostraremos a existência de uma solução localpara o sistema (∗∗), usando o Teorema do Ponto Fixo de Banach.
A seguir vamos considerar as seguintes hipóteses sobre as funções Mi, i = 1, 2.
(H4) Mi ∈ W 1,∞loc (]0,∞[×]0,∞[×]0,∞[) com Mi(t, λ, ξ) ≥ mi > 0, com
(mi constantes, i = 1, 2), ∀t, λ, ξ ∈ ([0,∞[)3.
Teorema 4.2 Sejam u0, u1, v0, v1 ∈ W × V tal que as condições de compatibilidade
∂u0
∂ν+ h(., u1) = 0,
∂v0
∂ν+ h(., v1) = 0 sobre Γ1,
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são satisfeitas. Suponhamos que as funções Mi satisfazem a hipótese (H4) e a função hverificando as hipóteses (H1) e (H2). Então, existe T0 > 0 e um único par de funçõesu, v : Ω× (0, T0) → R na classe∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u, v ∈ (L∞(0, T0;W ))2
u′, v′ ∈ (L∞(0, T0;V )2
u′′, v′′ ∈ (L∞(0, T0;L2(Ω)))2,
(4.45)
tal que u, v é uma solução do sistema acoplado∣∣∣∣∣ u′′ −M1(t, ‖u‖2, ‖v‖2)4u = 0 em L∞(0, T0;L2(Ω))
v′′ −M2(t, ‖v‖2, ‖u‖2)4v = 0 em L∞(0, T0;L2(Ω)),
(4.46)
verifica as condições de fronteira∣∣∣∣∣∣∣∂u
∂ν+ h(., u′) = 0 em L2(0, T0;L
2(Γ1))
∂v
∂ν+ h(., v′) = 0 em L2(0, T0;L
2(Γ1)),
(4.47)
e satisfaz as condições iniciais ∣∣∣∣∣ u(0) = u0, u′(0) = u1
v(0) = v0, v′(0) = v1.(4.48)
Demonstração: Mostraremos que o sistema (4.46) possui uma solução local usando oTeorema do Ponto Fixo de Banach.
Vamos considerar um número real R > 0 tal que
R >2
m120
(R1 +R2), (4.49)
onde 1
m120
= máx 1
m112, 1
m212 e
∣∣∣∣∣∣∣∣∣R2
1 = |u1|2 +M1(0, ‖u0‖2, ‖v0‖2)‖u0‖2 + |v1|2 +M2(0, ‖v0‖2, ‖u0‖2)‖v0‖2 + 1
R22 = M1(0, ‖u0‖2, ‖v0‖2)|4u0|2 +M1(0, ‖u0‖2, ‖v0‖2)‖u1‖2+
+M2(0, ‖v0‖2, ‖u0‖2)|4v0|2 +M2(0, ‖v0‖2, ‖u0‖2)‖v1‖2 + 1,
(4.50)e T0 um número real tal que 0 < T0 < 1 a ser determinado posteriormente.
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Definamos BR,T0 como
BR,T0 =
u, v : u, v ∈ (L∞(0, T0;V ))2, u′, v′ ∈ (L∞(0, T0;V ) ∩ C0([0, T0];L
2(Ω)))2 ,
‖u‖L∞(0,T0;V ) + ‖u′‖L∞(0,T0;V ) + ‖v‖L∞(0,T0;V ) + ‖v′‖L∞(0,T0;V ) ≤ R,
u(0) = u0, u′(0) = u1, v(0) = v0, v′(0) = v1
Vamos munir BR,T0 da métrica
d(w1, w2) = ‖u1−u2‖L∞(0,T0;V )+‖v1−v2‖L∞(0,T0;V )+‖u′1−u′2‖C0([0,T0];L2(Ω))+‖v′1−v′2‖C0([0,T0];L2(Ω)),
onde w1 = u1, v1, w2 = u2, v2 ∈ BR,T0 . Mostra-se cf em M.Milla Miranda e L.P.SanGil Jutuca [38] que (BR,T0 , d(u, v)) é um espaço métrico completo.
Consideremos a aplicação S : BR,T0 → H, (z, w) 7→ S(z, w) = (ϕ, ψ) onde H denotao conjunto das soluções (ϕ, ψ) do sistema:
(S1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ϕ′′ −M1(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2)4ϕ = 0 em Ω× (0, T0)
ψ′′ −M2(t, ‖w(t)‖2, ‖z(t)‖2)4ψ = 0 em Ω× (0, T0)
ϕ = 0 sobre Γ0 × (0, T0)
ψ = 0 sobre Γ0 × (0, T0)
∂ϕ
∂ν+ h(., ϕ′) = 0 sobre Γ1 × (0, T0)
∂ψ
∂ν+ h(., ψ′) = 0 sobre Γ1 × (0, T0)
ϕ(0) = u0, ϕ′(0) = u1 em Ω
ψ(0) = v0, ψ′(0) = v1 em Ω.
Seja
K = máx
∣∣∣∣∣∂Mi
∂t(t, λ, ξ)
∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∂Mi
∂λ(t, λ, ξ)
∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∂Mi
∂ξ(t, λ, ξ)
∣∣∣∣∣ : 0 ≤ t ≤ T0, λ, ξ ∈ [0, R2]
,
(4.51)com, i = 1, 2. Considerando µ1(t) = M1(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2), tem-se que µ1 ∈ W 1,1(0, T0).
De fato,
µ′1(t) =∂M1
∂t(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2) +
∂M1
∂λ(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2)
d
dt‖z(t)‖2+
+∂M1
∂ξ(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2)
d
dt‖w(t)‖2.
Como z, w ∈ BR,T0 tem-se que ‖z(t)‖, ‖z′(t)‖, ‖w(t)‖, ‖w′(t)‖ ≤ R e, portanto,‖z(t)‖2, ‖z′(t)‖2, ‖w(t)‖2, ‖w′(t)‖2 ≤ R2.
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Logo,|µ′1(t)| ≤ K(1 + 4R3). (4.52)
Assim µ1 ∈ W 1,1(0, T0). Analogamente, obtemos que µ2 ∈ W 1,1(0, T0), onde µ2(t) =
M2(t, ‖w(t)‖2, ‖z(t)‖2).
Logo pelo Teorema 4.1, existe um único par de soluções u, v do sistema (S1) eesta solução tem a regularidade dos vetores de BR,T0 . Portanto a aplicação S está bemdefinida.
Nosso objetivo é mostrar que S(BR,T0) ⊂ BR,T0 e que S é uma contração estrita.Sejam ϕ, ψ a solução do sistema (S1) dada pelo Teorema 4.1 com µ1, µ2 ∈ W 1,1(0, T0),
onde µ1(t) = M2(t, ‖z(t)‖2, ‖w(t)‖2) e µ2(t) = M2(t, ‖w(t)‖2, ‖z(t)‖2). Então pela primeiraestimativa do Teorema 4.1 e (4.50)1, obtemos:
m1‖ϕlm(t)‖2 ≤ R21exp
[2
∫ t
0
|µ′1(s)|m1
ds
]m2‖ψlm(t)‖2 ≤ R2
1exp
[2
∫ t
0
|µ′2(s)|m2
ds
],
(4.53)
o que implicam
121 ‖ϕlm(t)‖ ≤ R1exp (KT0)
m122 ‖ψlm(t)‖ ≤ R1exp (KT0) ,
(4.54)
para 0 ≤ t ≤ T0, l ≥ l1 e m ≥ 1 com K = m0(1 + 4R3) e 1m0
= máx 1m1, 1
m2.
A segunda estimativa do Teorema 4.1, juntamente com (4.50)2 proporciona
m121 ‖ϕ′lm(t)‖ ≤ R2exp (KT0)
m122 ‖ψ′lm(t)‖ ≤ R2exp (KT0) ,
(4.55)
para 0 ≤ t ≤ T0, l ≥ l1 e m ≥ 1.
Tomando o máximo sobre [0, T0] em ambos os membros de (4.54) e (4.55) e depois olimite inferior, primeiro com respeito a m e depois com respeito a l, obtemos:
‖ϕ‖L∞(0,T0;V ) + ‖ϕ′‖L∞(0,T0;V ) + ‖ψ‖L∞(0,T0;V ) + ‖ψ′‖L∞(0,T0;V ) ≤2
m120
(R1 +R2)exp(KT0).
(4.56)Neste momento calcularemos o valor de T0 para que a expressão acima seja menor ou
igual a R.Seja
f(t) =2
m120
(R1 +R2)eKt.
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Então, f é contínua crescente com f(t) →∞ quando t→∞ e
f(0) =2
m120
(R1 +R2) < R.
Do Teorema do Valor Intermediário existe T0 > 0 tal que f(T0) = R, isto é,
T0 =1
Kln
R2
m120
(R1 +R2)
. (4.57)
Utilizando (4.56) e (4.57), obtemos T0 > 0 tal que
‖ϕ‖L∞(0,T0;V ) + ‖ϕ′‖L∞(0,T0;V ) + ‖ψ‖L∞(0,T0;V ) + ‖ψ′‖L∞(0,T0;V ) ≤ R, (4.58)
isto é, ϕ, ψ ∈ BR,T0 , o que prova que S(BR,T0) ⊂ BR,T0 .
Vamos agora mostrar que S é uma contração estrita.Sejam r1, p1, y1, q1 ∈ BR,T0 tais que Sr1, p1 = r, p, Sy1, q1 = y, q e
ϕ, ψ = r − y, p− q. Então,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ϕ′′ −M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)∆r +M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)∆y = 0
ψ′′ −M2(t, ‖p1(t)‖2, ‖r1(t)‖2)∆p+M2(t, ‖q1(t)‖2, ‖y1(t)‖2)∆q = 0
ϕ(0) = 0 sobre Γ0
ψ(0) = 0 sobre Γ0
∂ϕ
∂ν+ [h(., r′)− h(., y′)] = 0 sobre Γ1
∂ψ
∂ν+ [h(., p′)− h(., q′)] = 0 sobre Γ1
ϕ(0) = ψ(0) = 0, ϕ′(0) = ψ′(0) = 0 em Ω.
(4.59)
Tomando o produto interno em L2(Ω) com ϕ′(t) em (4.59)1 e com ψ′(t) em (4.59)2,
obtemos: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
2
d
d|ϕ′(t)|2 −M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)(∆r(t), ϕ′(t))+
+M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)(∆y(t), ϕ′(t)) = 0
1
2
d
d|ψ′(t)|2 −M2(t, ‖p1(t)‖2, ‖r1(t)‖2)(∆p(t), ψ′(t))+
+M2(t, ‖q1(t)‖2, ‖y1(t)‖2)(∆q(t), ψ′(t)) = 0.
(4.60)
72
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De (4.60)1, obtemos
1
2
d
d|ϕ′(t)|2 −M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)(∆ϕ(t), ϕ′(t)) =
= [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t)).
(4.61)
• Análise de M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)(∆ϕ(t), ϕ′(t))
Utilizando o Teorema da Green e a condição de fronteira (4.59)5, obtemos:
−M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)(∆ϕ(t), ϕ′(t)) = M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)1
2
d
dt‖ϕ(t)‖2+
+M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)
∫Γ1
[h(., r′(t))− h(., y′(t))]ϕ′(t)dΓ.
Sendo h um operador h : L2(Γ1) → L2(Γ1), z 7→ h(z) monótono tem-se:∫Γ1
[h(., r′(t))− h(., y′(t))]ϕ′(t)dΓ =
∫Γ1
[h(., r′(t))− h(., y′(t))][r′(t)− y′(t)]dΓ ≥ 0.
Destes fatos podemos escrever (4.61) como
1
2
d
d|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2) ≤ 1
2
d
dt‖ϕ(t)‖2 ≤
[M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t)).
(4.62)
• Notemos que
[M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t)) =
= [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)− (M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t))+
+ [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t)).
(4.63)
Recordemos que
d(r1, p1, y1, q1) = ‖r1 − p1‖L∞(0,T0;V ) + ‖p1 − q1‖L∞(0,T0;V )+
‖r′1 − p′1‖C0(0,T0;L2(Ω)) + ‖p′1 − y′1‖C0(0,T0;L2(Ω)).
Temos que M1 ∈ W 1,∞loc ([0,∞[)3. Faço uma extensão M1 de M1 a ([−η,∞[)3 de forma
que M1 ∈ W 1,∞loc (]− η,∞[3). Tem-se que
M1 ∈ W 1,∞(]− η, T0[×]− η, 2R2[×]− η, 2R2[).
Assim M1 é uma função lipschitiziana em (]− η, T0[×]− η, 2R2[×]− η, 2R2[), isto é,
|M1(t1, λ1, ξ1)− M1(t1, λ1, ξ2)| ≤ C(T0, R2)‖t1, λ1, ξ1 − t1, λ1, ξ2‖,
73
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onde C(R, T0) é uma constante que depende de R e de T0. Logo
|M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)| ≤ C(T0;R2)∣∣∣‖r1(t)− ‖q1(t)‖∣∣∣.
Portanto,
|M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)(4y(t), ϕ′(t))| ≤≤ C(T0;R
2)|4y(t)||ϕ′(t)|d(r1, p1, y1, q1).
Analogamente obtemos
|M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)(4y(t), ϕ′(t))| ≤≤ C(T0;R
2)|4y(t)||ϕ′(t)|d(r1, p1, y1, q1).
Substituindo as duas últimas desigualdades em (4.63) proporciona:∣∣∣ [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t))∣∣∣ ≤
≤ C|4y(t)||ϕ′(t)|d((r1, p1), (y1, q1)).(4.64)
Como y′′(t)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)4y(t) = 0, da segunda estimativa do Teorema 4.1
e seguindo o mesmo raciocínio utilizado na obtenção de (4.55) e (4.56), obtemos:
|y′′(t)| ≤ R2exp(KT0) para todo 0 ≤ t ≤ T0,
e sendo M1(t, λ, ξ) ≥ m1 > 0, obtemos:
|4y(t)| ≤ m−11 R2exp(KT0) para todo 0 ≤ t ≤ T0.
Daí e da desigualdade elementar 2ab ≤ a2 + b2, tem-se a partir de (4.64) que∣∣∣ [M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)−M1(t, ‖y1(t)‖2, ‖q1(t)‖2)] (∆y(t), ϕ′(t))∣∣∣ ≤
≤ Cd2((r1, p1), (y1, q1))(m−1
1 R2exp(KT0))2
+ |ϕ′(t)|2.(4.65)
Como
M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)1
2
d
dt‖ϕ(t)‖2 =
1
2
d
dt
[M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)‖ϕ(t)‖2
][−∂M1
∂t(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)− ∂M1
∂λ(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)
d
dt‖r1(t)‖2
]‖ϕ(t)‖2−
−[∂M1
∂ξ(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)
d
dt‖p1(t)‖2
]‖ϕ(t)‖2.
(4.66)
74
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Substituindo (4.65), (4.66) em (4.62) e usando (4.52), obtemos:
1
2
d
d
[|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖r1(t)‖2, ‖p1(t)‖2)‖ϕ(t)‖2
]≤
≤ Cd2((r1, p1), (y1, q1))(m−1
1 R2exp(KT0))2
+ |ϕ′(t)|2+
+K(1 + 4R3)‖ϕ(t)‖2.
(4.67)
Integrando (4.67) de 0 a t com t ≤ T0 e usando o fato que ϕ(0) = ϕ′(0) = 0 e queM1(t, λ, ξ) ≥ m1 > 0, obtemos:
|ϕ′(t)|2 +m1‖ϕ(t)‖2 ≤ Cd2((r1, p1), (y1, q1))(m−1
1 R2exp(KT0))2T0+
+
∫ t
0
|ϕ′(s)|2ds+K(1 + 4R3)
∫ t
0
‖ϕ(s)‖2ds.(4.68)
Trabalhando com (4.60)2 e seguindo o mesmo raciocínio, obtemos como feito acimaque:
|ψ′(t)|2 +m2‖ψ(t)‖2 ≤ Cd2((r1, p1), (y1, q1))(m−1
2 R2exp(KT0))2T0+
+
∫ t
0
|ψ′(s)|2ds+K(1 + 4R3)
∫ t
0
‖ψ(s)‖2ds.(4.69)
Adicionando (4.68) e (4.69) e considerando
b21 =1
min1,m1,m2máxC(m−1
1 (R2exp(K)T0))2, C(m−1
2 (R2exp(K)T0))2
eb2 =
1
min1,m1,m2máx1, K(1 + 4R3),
obtemos:
‖ϕ(t)‖2 + ‖ψ(t)‖2 + |ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 ≤ b21d2((r1, p1), (y1, q1))T0+
+b2
∫ t
0
[‖ϕ(s)‖2 + ‖ψ(s)‖2 + |ϕ′(s)|2 + |ψ′(s)|2
]ds.
(4.70)
De (4.70) e da desigualdade de Gronwall, obtemos:
‖ϕ(t)‖2 + ‖ψ(t)‖2 + |ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 ≤ b21d2((r1, p1), (y1, q1))T0exp(2b2T0),
para todo 0 ≤ t ≤ T0.
Portanto,
‖ϕ(t)‖+ ‖ψ(t)‖+ |ϕ′(t)|+ |ψ′(t)| ≤ 4b1d((r1, p1), (y1, q1))T12
0 exp(b2T0), (4.71)
75
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para todo 0 ≤ t ≤ T0.
Logo,d(S(r1, p1), S(y1, q1))) ≤ 4b1d((r1, p1), (y1, q1))T
12
0 exp(b2T0). (4.72)
Já tinhamos as condições T0 > 0 e T0 = 1K ln
[R
m120 (R1+R2)
], queremos agora encontrar
T0 > 0 tal que4b1T
12
0 exp(b2T0) ≤ α com 0 < α < 1.
Tem-se que a função g(t) = 4b1t12 exp(b2t) → 0 quando t → 0, logo existe T1 > 0 tal
que4b1T
12
1 exp(b2T1) < 1. (4.73)
Considerando T0 < min
1K ln
[R
m120 (R1+R2)
], T1
, obtemos que S é uma contração.
Portanto, S é uma contração estrita e consequentemente pelo Teorema do Ponto Fixo deBanach, S tem um único ponto fixo u, v e u, v é a solução procurada. Assim,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u, v ∈ (L∞(0, T0;W )2
u′, v′ ∈ (L∞(0, T0;V )2
u′′, v′′ ∈ (L∞(0, T0;L2(Ω)))2
u′′ −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)4u = 0 em L∞(0, T0;L2(Ω))
v′′ −M2(t, ‖v(t)‖2, ‖u(t)‖2)4v = 0 em L∞(0, T0;L2(Ω))
∂u
∂ν+ h(., u′) = 0 em L2(0, T0;L
2(Γ1))
∂v
∂ν+ h(., v′) = 0 em L2(0, T0;L
2(Γ1))
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω
v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω.
(4.74)
A seguir mostra-se a unicidade de soluções. Sejam então u, v e w, z soluções doProblema (∗∗), u, v, w, z na classe (4.45). Sejam ϕ = u− w e ψ = v − z. Tem-se
1
2
d
dt|ϕ′(t)|2 −M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)(∆ϕ(t), ϕ′(t)) =
= [M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)−M1(t, ‖u(t)‖2, ‖z(t)‖2)] (∆w(t), ϕ′(t)).
(4.75)
Seguindo o mesmo raciocínio para encontrar (4.64), obtemos:∣∣∣ [M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)−M1(t, ‖u(t)‖2, ‖z(t)‖2)](∆w(t), ϕ′(t))
∣∣∣ ≤≤ C|∆w(t)||ϕ′(t)|‖ψ(t)‖.
(4.76)
76
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Temos:
M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)1
2
d
dt‖ϕ(t)‖2 =
1
2
d
dt
[M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2
][−∂M1
∂t(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)− ∂M1
∂λ(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)
d
dt‖u(t)‖2
]‖ϕ(t)‖2−
−[∂M1
∂ξ(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)
d
dt‖v(t)‖2
]‖ϕ(t)‖2.
(4.77)
Usando a fórmula de Green no primeiro membro de (4.75) e substituindo (4.76) e(4.77) em (4.75) e usando a condição de fronteira
∂ϕ(t)
∂ν+ [h(., u′(t))− h(., w′(t))] = 0 sobre Γ1
e o fato que ∫Γ1
[h(., u′(t))− h(., w′(t))](u′(t)− w′(t))dΓ ≥ 0,
obtemos:
1
2
d
dt
[|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2
]≤
≤[∂M1
∂t(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2) +
∂M1
∂λ(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)
d
dt‖u(t)‖2
]‖ϕ(t)‖2+
+
[∂M1
∂ξ(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)
d
dt‖v(t)‖2
]‖ϕ(t)‖2 + C|4w(t)||ϕ′(t)|‖ψ(t)‖.
(4.78)
Usando a hipótese (H4) no primeiro e segundo termo do segundo membro de (4.78), aregularidade da solução u, v e a desigualdade elementar 2ab ≤ a2 + b2 no último termodo segundo membro, obtemos:
1
2
d
dt
[|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2
]≤
≤ C1‖ϕ(t)‖2 + C(|4w(t)||ϕ′(t)|)2 + ‖ψ(t)‖2 ≤
≤ [C1 + 1 + C|4w(t)|2] [‖ϕ(t)‖2 + |ϕ′(t)|2 + ‖ψ(t)‖2] .
Logo,1
2
d
dt
[|ϕ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2
]≤
≤ [C1 + 1 + C|4w(t)|2] [‖ϕ(t)‖2 + |ϕ′(t)|2 + ‖ψ(t)‖2] .
(4.79)
Analogamente, obtemos:
1
2
d
dt
[|ψ′(t)|2 +M2(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ψ(t)‖2
]≤
≤ [C1 + 1 + C|4z(t)|2] [‖ψ(t)‖2 + |ψ′(t)|2 + ‖ϕ(t)‖2] .
(4.80)
77
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Adicionando (4.79) e (4.80), obtemos:
1
2
d
dt
[|ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2 +M2(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ψ(t)‖2
]≤
≤ [2C1 + 2 + C|4w(t)|2 + C|4z(t)|2] [|ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 + ‖ψ(t)‖2 + ‖ϕ(t)‖2] .
(4.81)Integrando (4.81) de 0 a t e usando o fato que ϕ(0) = ϕ′(0) = 0 e ψ(0) = ψ′(0) = 0,
obtemos:
|ϕ′(t)|2 + |ψ′(t)|2 +M1(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ϕ(t)‖2 +M2(t, ‖u(t)‖2, ‖v(t)‖2)‖ψ(t)‖2 ≤
≤∫ t
0
g(s)(|ϕ′(s)|2 + |ψ′(s)|2 + ‖ψ(s)‖2 + ‖ϕ(s)‖2)ds,
(4.82)onde
g(s) =1
min1,m1,m2[2 + 2C1 + C|4w(t)|2 + C|4z(t)|2
].
Notando que g(s) ∈ L1(0, T0), pois |4w(s)|2, |4z(s)|2 ∈ L1(0, T0) segue-se de (4.82)
e do Lema de Gronwall que: z(t) = w(t) = 0 para todo 0 ≤ t ≤ T0.
Portanto, u = w e v = z, mostrando a unicidade de solução do sistema (∗∗).Suponhamos agora que a hipótese (H3) sobre h é satisfeita.Notemos inicialmente que L∞(0, T0;W ) ∩ Cs([0, T0];V ) = Cs([0, T0];W ), portanto de
(4.74)1 e (4.74)2 conclui-se que faz sentido calcular u(T0), v(T0) e pela observação acimaque u(T0), v(T0) ∈ W e também temos u′(T0), v
′(T0) ∈ V. Também do Corolário 4 resultaque
∂u
∂ν+ h(., u) = 0 em C0([0, T0];L
2(Γ1))
portanto∂u(T0)
∂ν+ h(., u(T0)) = 0 em L2(Γ1).
De forma análoga∂v(T0)
∂ν+ h(., v(T0)) = 0 em L2(Γ1).
Com u(T0), v(T0) ∈ W 2, u′(T0), v′(T0) ∈ V 2 verificando as duas últimas igual-
dades, aplicando o Teorema 4.1, determinamos a solução local ϕ, ψ em [0, T1] do Pro-blema.
78
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∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ϕ′′ − M1(t, ‖ϕ‖2, ‖ψ‖2)4ϕ = 0 em Ω× (0, T1)
ψ′′ − M2(t, ‖ϕ‖2, ‖ψ‖2)4ψ = 0 em Ω× (0, T1)
ϕ = 0 sobre Γ0 × (0, T1)
ψ = 0 sobre Γ0 × (0, T1)
∂ϕ
∂ν+ h(., ϕ′) = 0 sobre Γ1 × (0, T1)
∂ψ
∂ν+ h(., ψ′)) = 0 sobre Γ1 × (0, T1)
ϕ(0) = u(T0), ϕ′(0) = u′(T0) em Ω
ψ(0) = v(T0), ψ′(0) = v′(T0) em Ω,
(4.83)
onde M1(t, λ, ξ) = M1(t+ T0, λ, ξ) e M2(t, λ, ξ) = M2(t+ T0, λ, ξ).
Então, podemos obter uma solução ϕ, ψ sobre [0, T1] com T1 > 0 do sistema (S1).
Tem-se que:
ϕ(t) =
∣∣∣∣∣ u(t), se 0 ≤ t ≤ T0
ϕ(t− T0), se T0 ≤ t ≤ T0 + T1
, ψ(t) =
∣∣∣∣∣ v(t), se 0 ≤ t ≤ T0
ψ(t− T0), se T0 ≤ t ≤ T0 + T1
representa uma solução ϕ, ψ do sistema (∗∗) com dados iniciais u0, v0, u1, v1 sobre ointervalo [0, T0 + T1].
Aplicando o mesmo raciocínio feito na demonstração da unicidade de solução dasolução local do Teorema 4.2, obtemos a unicidade de solução no intervalo [0, T0 + T1].
Consideremos então a família ui(t), vi(t)i∈I de soluções sobre o intervalo [0, Ti] dosistema (∗∗) com dados iniciais u0, v0 ∈ W 2, u1, v1 ∈ V 2 satisfazendo:
∂u0
∂ν+ h(u1) = 0,
∂v0
∂ν+ h(v1) = 0 sobre Γ1.
A unicidade de soluções implica que se Ti < Tj então ui(t), vi(t), uj(t), vj(t) coin-cidem sobre o intervalo [0, Ti]. Assim encontramos um intervalo de existência maximal[0, Tmax) dado por [0, Tmax) = ∪i∈I [0, Ti) e este é o intervalo maximal da solução u, vdo sistema (∗∗), quando h satisfaz as hipóteses (H1)-(H3). Aonde u(t) = ∪i∈Iui(t) ev(t) = ∪i∈Ivi(t).
Observação 4.6 Usando a Proposição 2.3 e seguindo as idéias introduzidas em M.MillaMiranda e L.A. Medeiros [36], constroi-se uma base especial em V ∩ H2(Ω) com u0 ∈
V ∩H2(Ω), u1 ∈ V e∂u0
∂ν+ h(u1) = 0 sobre Γ1, sendo h uma função lipschitiziana.
79
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4.5 Existência de Solução Global
Nesta seção obtém-se uma solução u(x, t) para o problema
(?)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ +M(., ‖u‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)
u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
∂u
∂ν+ h(u′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω
com ‖u0‖ e |u1| pequenos.Os resultados obtidos foram inspirados pelo Trabalho de I.Lasiecka e J.Ong [20] onde
eles obtém uma solução u do problema (?) acima para o caso particular
M(t, λ) = m0 +m1λ, m0 > 0, m1 ≥ 0
Fixam-se as seguintes hipóteses:
(H1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
M ∈ C1([0,∞)2), M(t, λ) ≥ m0 > 0, ∀t, λ ∈ [0,∞)2
∂M
∂t(t, λ) ≤ 0,
∂M
∂λ(t, λ) ≥ 0, ∀t, λ ∈ [0,∞)2
Existem funções contínuas Q(λ) e R(λ) satisfazendo
Q(0) = 0 e∣∣∣∂M∂t
(t, λ)∣∣∣ ≤ Q(λ),∣∣∣∂M
∂λ(t, λ)
∣∣∣ ≤ R(λ), ∀t, λ ∈ [0,∞)2
(H2) h ∈ C1(R), h(0) = 0, 0 < d0 ≤ h′(s) ≤ d1 <∞, ∀s ∈ R (d0 e d1 constantes)
e
(H3)
∣∣∣∣∣∣∣u0 ∈ V ∩H2(Ω), u1 ∈ V
∂u0
∂ν+ h(u1) = 0 sobre Γ1
Observação 4.7 A função M(t, λ) = m0 + m1
1+tλσ, σ ∈ R, σ ≥ 1, m0 > 0, m1 ≥ 0
constantes satisfaz as condições da hipóteses (H1).
Com relação ao Problema (?) sabe-se da seção anterior que existe uma única u naclasse ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u ∈ L∞loc(0, Tmax;V ∩H2(Ω))
u′ ∈ L∞loc(0, Tmax;V )
u′′ ∈ L∞loc(0, Tmax;L2(Ω))
(4.84)
80
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que verifica
(P1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −M(., ‖u‖2)4u = 0 em L∞loc(0, Tmax;L2(Ω))
∂u
∂ν+ h(u′) = 0 em L2
loc(0, Tmax;H12 (Γ1))
∂u′
∂ν+ h′(u′)u′′ = 0 em L2
loc(0, Tmax;L2(Γ1))
u(0) = u0, u′(0) = u1,
ondeTmax = sup T > 0, T e u vefiricam (4.84) e (P1) em [0, T ]
Sejaµ(t) = M(t, ‖u(t)‖2), t ∈ [0, Tmax). (4.85)
Da classe (4.84) resulta que
u ∈ C0([0, Tmax);V ), u′ ∈ C0s ([0, Tmax);V )
Logo((u(t), u′(t))) é contínua em [0, Tmax).
Das duas últimas expressões, da hipótese (H1) e do fato
µ′(t) =∂M
∂t(t, ‖u(t)‖2) + 2
∂M
∂λ(t, ‖u(t)‖2)((u(t), u′(t)))
tem-se que ∣∣∣∣∣∣ µ ∈ C1([0, Tmax))
µ(t) ≥ m0 > 0, ∀t ∈ [0, Tmax)(4.86)
Formalmente da equação (P1) tem-se
u′′′ − µ4u′ − µ′
µ(µ4u) = 0.
Notando que u′′ = µ4u resulta que
u′′′ − µ4u′ − µ′
µu′′ = 0.
Usando a notação u′ = w, obtém-se:
w′′ − µ4w − µ′
µw′ = 0.
Com relação a esta equação tem-se o seguinte resultado:
81
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Proposição 4.4 Existe w na classe
w ∈ C0([0, Tmax);V )
w′ ∈ C0([0, Tmax);L2(Ω))
(4.87)
tal que
(P2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
w′′ − µ4w − µ′
µw′ = 0 em C0([0, Tmax);V
′)
∂w
∂ν+ h′(u′)w′ = 0 em L2
loc(0, Tmax;L2(Γ1))
w(0) = u1, w′(0) = µ(0)4u0,
onde u0 e u1 foram determinados em (H3) e u′ em (4.84).
Observação 4.8 Note que o Problema (P2) com a primeira equação válida em L∞loc(0, Tmax;V′)
tem unicidade de soluções na classe∣∣∣∣∣∣w ∈ L∞loc(0, Tmax;V )
w′ ∈ L∞loc(0, Tmax;L2(Ω))
Este fato é mostrado pelo método de Ladyahenskaya, ver M.Milla Miranda e L.A.Medeiros[36].
Demonstração: Faz-se a demonstração em três etapas.Primeira Etapa (Regularização de Funções)
Fixa-se T com 0 < T < Tmax. Sejam
f(t) =µ′(t)
µ(t), 0 ≤ t ≤ T
e f(t) a função contínua em R :
f(t) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
f(t), t ∈ [0, T ]
linear, t ∈ [−1, 0)
linear, t ∈ (T, T + 1]
0, t /∈ [−1, T + 1]
Considere uma sucessão regularizante (ρl) de R e a sucessão (ρl ∗ f). Então pelaspropriedades de convolução de funções, obtém-se:
Fl = ρl ∗ f → f em C0([0, T ]) (4.88)
82
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Por outro lado, seja g(x, t) = h′(u′(x, t)), x ∈ Γ1, t ∈ [0, T ]. Considere um sistema decartas locais
U1, ϕ1, . . . , UN , ϕN
de Γ1 e θ1, . . . , θN uma partição C∞ subordinada a U1, . . . , UN. Sejam
gj(x, t) = θj(x)g(x, t), x ∈ Γ1, t ∈ (0, T ), j = 1, . . . , N,
vj(y′, t) = gj(ϕ
−1j (y′, t)), y′ ∈ [−1, 1]n−1, t ∈ [0, T ]
e
vj(y′, t) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
vj(y′, t), y′, t ∈ [−1, 1]n−1 × [0, T ]
d0, y′, t ∈ [−1, 1]n−1 × [−1, 0)
d1 , y′, t ∈ [−1, 1]n−1 × (T, T + 1]
0, y′, t /∈ [−1, 1]n−1 × [−1, T + 1]
Considere uma sucessão regularizante (σl) em Rn. Sejam
Glj(x, t) = (σl ∗ vj)(ϕj(x, t)), x ∈ Γ1, t ∈ R
e
Gl(x, t) =N∑
j=1
Glj(x, t)
Então
Gl → g em L∞(Γ1 × (0, T )) (4.89)
e1
2d0 ≤ Gl(x, t) ≤
3
2d1, ∀x ∈ Γ1, t ∈ [0, T ], e l ≥ l0. (4.90)
Segunda Etapa (Problema Aproximado)
Considere (w0k) e (w1
k) sequências de D(−4) e D(Ω), respectivamente, tais que
w0k → u1 em V e w1
k → µ(0)4u0 em L2(Ω) (4.91)
Observe∂w0
k
∂ν+Glw
1k = 0 sobre Γ1. (4.92)
Fixe k e considere a base de V ∩H2(Ω)
wk1 , w
k2 , . . . , ,
83
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onde w0k e w1
k pertencem ao subespaço gerado por wk1 e wk
2 . Denote por V km o subespaço
gerado por wk1 , w
k2 , . . . , w
km.
Seja
wlkm(t) =n∑
j=1
glkmj(t)wj
definido por
(PA)
∣∣∣∣∣∣∣(w′′lkm(t), v) + µ((wlkm(t), v)) + µ
∫Γ1
Glw′lkm(t)vdΓ− (Flw
′lkm(t), v) = 0, ∀v ∈ V k
m
wlkm(0) = w0k, w′lkm(0) = w1
k
Terceira Etapa (Estimativas a Priori)
Primeira Estimativa: Para facilitar a notação deixaremos de escrever os índices l, k,mde wlkm. Substituindo v por 2w′′ em (PA) resulta
d
dt|w′|2 + µ
d
dt‖w‖2 + 2µ
∫Γ1
Glw′2dΓ− 2(Flw
′, w′) = 0
donde, por (4.88) e (4.90) tem-se
d
dt|w′|2 +
d
dt
[µ|w′|2
]+ µ(0)d0
∫Γ1
w′2dΓ ≤ C|w′|2 +|µ′|µ
[µ‖w‖2
]onde C > 0 é uma constante independente de l, k e m. Aplicando a desigualdade deGronwall resulta então
|w′lkm(t)|2 + µ‖wlkm(t)‖2 + µ(0)d0
∫ t
0
∫Γ1
w′2lkm(s)dΓds ≤
≤[|w1
k|2 + µ(0)‖w0k‖2]exp
∫ T
0
[|µ′|µ
+ C
]ds, ∀t ∈ [0, T ], l ≥ l0
(4.93)
o que implica ∣∣∣∣∣∣∣∣∣‖wlkm‖L∞(0,T ;V ) ≤ Ck, ∀m e l ≥ l0
‖w′lkm‖L∞(0,T ;L2(Ω)) ≤ Ck, ∀m e l ≥ l0
‖w′lkm‖L∞(0,T ;L2(Γ1)) ≤ Ck, ∀m e l ≥ l0
(4.94)
Segunda Estimativa: Derivando com relação a t a equação aproximada (PA) e substi-tuindo v por 2w′′, obtém-se:
∣∣∣∣∣∣∣∣2(w′′′, w′′) + µ((w′, 2w′′)) + 2µ′((w,w′′)) + 2µ
∫Γ1
G′lw
′w′′dΓ+
+2µ
∫Γ1
Glw′′2dΓ + 2µ′
∫Γ1
Glw′w′′dΓ− 2(F ′
lw′, w′′)− 2(Flw
′′, w′′) = 0
(4.95)
84
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Substituindo v por 2µ′
µw′′ na equação aproximada (PA) resulta
2µ′((w,w′′)) + 2µ′∫
Γ1
Glw′w′′dΓ = −2
µ′
µ|w′′|2 + 2
µ′
µ(Flw
′, w′′).
Levando em consideração esta igualdade em (4.95) tem-se
d
dt|w′′|2 + µ
d
dt‖w′‖2 − 2
µ′
µ|w′′|2 + 2
µ′
µ(Flw
′, w′′) + 2µ
∫Γ1
G′lw
′w′′dΓ+
+2µ
∫Γ1
Glw′′2dΓ− 2(F ′
lw′, w′′)− 2(Flw
′′, w′′) = 0,
o que implica
d
dt|w′′|2 +
d
dt
[µ‖w′‖2
]+ µ(0)d0
∫Γ1
w′′2dΓ ≤
≤ |µ′|µ
[µ‖w′‖2
]+ 2
|µ′|µ|w′′|2 + 2
|µ′|µ|(Flw
′, w′′)|+
+2µ
∫Γ1
|G′l||w′||w′′|dΓ + 2|(F ′
lw′, w′′)|+ 2|(Flw
′, w′′)|
Observe que
2µ
∫Γ1
|G′l||w′||w′′|dΓ ≤ Cl
∫Γ1
|w′||w′′|dΓ ≤
≤ C2l
ε
∫Γ1
|w′|2dΓ + ε
∫Γ1
|w′′|2dΓ
Escolhendo ε = µ(0)d0
2e substituindo esta desigualdade na penúltima expressão resulta
d
dt|w′′|2 +
d
dt
[µ‖w′‖2
]+µ(0)d0
2
∫Γ1
w′′2dΓ ≤
≤ |µ′|µ
[µ‖w′‖2
]+ 2
|µ′|µ|w′′|2 + C|w′|2+
+2C2
l
µ(0)d0
∫Γ1
|w′|2dΓ + C|w′′|2
Integrando com relação a t e considerando as estimativas (4.94) tem-se
|w′′(t)|2 + µ(t)‖w′(t)‖2 +µ(0)d0
2
∫ t
0
∫Γ1
w′′2dΓds ≤
≤[‖w′′(0)‖2 + µ(0)‖w0
k‖2 + C
∫ T
0
|w′|2dt+ C
∫ T
0
∫Γ1
w′2dΓdt
]exp
∫ T
0
[3|µ′|µ
+ C
]dt
(4.96)
85
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Por outro lado, da equação aproximada (PA) calculada em t = 0, fazendo v = w′′(0)
e usando a relação (4.92), obtém-se:
|w′′(0)|2 − µ(0)(4w0k, w
′′(0))− (Fl(0)w1k, w
′′(0)) = 0
o que implica|w′′lkm(0)| ≤ Ck, ∀l,m.
Considerando esta desigualdade em (4.96) resulta
‖w′lkm‖L∞(0,T ;V ) ≤ Cl,k, ∀m e l ≥ l0
‖w′′lkm‖L∞(0,T ;L2(Ω)) ≤ Cl,k, ∀m e l ≥ l0
‖w′′lkm‖L2(0,T ;L2(Γ1)) ≤ Cl,k, ∀m e l ≥ l0
(4.97)
Das estimativas (4.94) e (4.97) tem-se que existe uma subsequência de (wlkm), aindadenotada por (wlkm), e uma função wlk tal que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
wlkm∗ wlk em L∞(0, T ;V )
w′lkm∗ w′lk em L∞(0, T ;V )
w′′lkm∗ w′′lk em L∞(0, T ;L2(Ω))
w′lkm w′lk em L2(0, T ;L2(Γ1))
w′′lkm w′′lk em L2(0, T ;L2(Γ1))
(4.98)
As convergências acima implicam
wlk ∈ C0([0, T ];V ), w′lk ∈ C0([0, T ];L2(Ω)) e w′lk ∈ C0([0, T ];L2(Γ1)) (4.99)
Levando em consideração as convergências acima e seguindo o raciocínio desenvolvidoem M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtém-se
(Plk)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣w′′lk − µ∆wlk − Flw
′lk = 0 em L∞(0, T ;L2(Ω))
∂wlk
∂ν+Glwlk = 0 em L2(0, T ;H
12 (Γ1))
wlk(0) = w0k, w′lk(0) = w1
k
Observação 4.9 Das equações acima e das convergências (4.98) segue-se que∣∣∣∣∣∣∣∣∣wlk ∈ L∞(0, T ;V ∩H2(Ω))
w′lk ∈ L∞(0, T ;V ) ∩ L2(0, T ;H12 (Γ1))
w′′lk ∈ L∞(0, T ;L2(Ω))
86
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Considere duas soluções wlk e wlp do Problema (Plk) e por wlkp = wlk−wlp. Obtém-sede (Plk)
(Plkp)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣w′′lkp − µ∆wlkp − Flw
′lkp = 0 em L∞(0, T ;L2(Ω))
∂wlkp
∂ν+Glwlkp = 0 em L2(0, T ;L2(Γ1))
wlkp(0) = w0k − w0
p, w′lkp(0) = w1k − w1
p
Para facilitar a escrita deixaremos de escrever os índices l, k, p e wlkp. De (Plkp) resulta
(w′′, 2w′) + µ((w, 2w′)) + 2µ
∫Γ1
Glw′w′dΓ− 2(Flw
′, w′) = 0
o que implica
d
dt|w′|2 +
d
dt
[µ‖w‖2
]+ µ(0)d0
∫Γ1
w′2dΓ ≤ |µ′|µ
[µ‖w‖2
]+ C|w′|2
onde C > 0 é uma constante independente de l. Integrando com relação a t resulta
|w′(t)|2 + µ(t)‖w(t)‖2 + µ(0)d0
∫ t
0
∫Γ1
w′2dΓds ≤
≤[|w1
k − w1p|2 + µ(0)‖w0
k − w0p‖2]exp
∫ T
0
[|µ′|µ
+ C
]dt, ∀l ≥ l0
Das convergências (4.91) obtém-se então∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(wlk) é de Cauchy em C0([0, T ];V )
(w′lk) é de Cauchy em C0([0, T ];L2(Ω))
(w′lk) é de Cauchy em L2(0, T ;L2(Γ1))
Notando que o segundo membro da última desigualdade não depende de l, tem-seentão que existe uma função w tal que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
wlk → w em C0([0, T ];V )
w′lk → w′ em C0([0, T ];L2(Ω))
w′lk → w′ em L2(0, T ;L2(Γ1))
(4.100)
Considere v ∈ L∞(0, T ;V ) com v′ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)) e v(0) = v(T ) = 0. Tomando oproduto escalar em L2(Ω) da equação em (Plk) com v resulta:
−∫ T
0
(w′lk, v′)dt+
∫ T
0
µ((wlk, v))dt+
∫ T
0
∫Γ1
Glw′lkvdΓdt−
∫ T
0
(Flw′lk, v)dt = 0 (4.101)
87
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Das propriedades (4.89) e (4.90) de Gl, implicam
Glv → gv em L2(0, T ;L2(Γ1))
e de (4.88), resultaFlw
′lk → fw′ em L2(0, T ;L2(Ω))
Tomando o limite em (4.101) e usando as duas últimas convergências e as convergên-cias (4.100), obtém-se:
−∫ T
0
(w′, v′)dt+
∫ T
0
µ((w, v))dt+
∫ T
0
∫Γ1
gw′vdtdt−∫ T
0
(fw′, v)dt = 0
Considerando v ∈ D(Ω× (0, T )) nesta última equação obtém-se a primeira equaçãode (P2) em [0, T ]. Procedendo como em M.Milla Miranda e L.A. Medeiros [36], obtém-setambém a segunda equação de (P2) em [0, T ] e as condições iniciais de (P2).
Notando que T com 0 < T < Tmax foi arbitrário, segue a proposição.Note que u′ é solução do Problema (P2) na classe dada na Observação 4.8. Como
nessa classe as soluções de (P2) são únicas tem-se que u′ = w. Assim
u′ ∈ C0([0, Tmax);V )
u′′ ∈ C0([0, Tmax);L2(Ω))
Da equação u′′ − µ4u = 0 tem-se então
4u ∈ C0([0, T ];L2(Ω)).
Também por h ser lipschitiziana resulta
h(u′) ∈ C0([0, T ];H12 (Γ1))
logo∂u
∂ν∈ C0([0, T ];H
12 (Γ1))
As três últimas expressões e a segunda equação de (P1) implicam
u ∈ C0([0, Tmax);V ∩H2(Ω))
Observação 4.10 Seja z ∈ V então γ0h(z) = h(γ0z). De fato, seja (ϕη) uma sucessãode funções, ϕη ∈ C1(Ω), tal que
ϕη → z em V
Tem-se γ0h(ϕη) = h(γ0ϕη). Tomando o limite em ambos os membros desta igualdadesegue-se o resultado.
88
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Do exposto e de (4.84) e (P1), obtém-se:
Teorema 4.3 Sob as hipóteses (H1)-(H3), existe uma única u na classe∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u ∈ C0([0, Tmax);V ∩H2(Ω))
u′ ∈ C0([0, Tmax);V )
u′′ ∈ C0([0, Tmax);L2(Ω)),
(4.102)
que verifica
(P1)′
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −M(., ‖u‖2)4u = 0 em C0([0, Tmax);L2(Ω))
∂u
∂ν+ h(u′) = 0 em C0([0, Tmax);H
12 (Γ1))
∂u′
∂ν+ h′(u′)u′′ = 0 em L2
loc(0, Tmax;L2(Γ1))
u(0) = u0, u′(0) = u1,
onde 0 < Tmax ≤ ∞.
Seja M(t, λ) =∫ λ
0M(t, σ)dσ então
M(t, λ) ≥ m0λ, ∀t, λ ∈ [0,∞)2 (4.103)
Seja u a solução obtida no Teorema 4.3. Então
d
dtM(t, ‖u(t)‖2) =
∫ ‖u(t)‖2
0
∂
∂tM(t, σ)dσ +M(t, ‖u(t)‖2)
d
dt‖u(t)‖2.
Multiplicando ambos os membros da equação (P1)′ e integrando em Ω resulta
d
dt|u′|2 +M(., ‖u‖2)
d
dt‖u‖2 − 2M(., ‖u‖2)
∫Γ1
∂u
∂νu′dΓ = 0
Levando em consideração a segunda equação de (P1)′ e a última igualdade, obtém-se:
d
dt|u′|2 +
d
dtM(., ‖u‖2)−
∫ ‖u(t)‖2
0
∂
∂tM(., σ)dσ + 2M(., ‖u(t)‖2)
∫Γ1
h(u′)u′dΓ = 0.
Integrando de 0 < s < t < Tmax, segue-se então
|u′(t)|2 + M(t, ‖u‖2)−∫ t
s
[∫ ‖u(t)‖2
0
∂
∂tM(t, σ)dσ
]dξ+
+2
∫ t
s
[∫Γ1
M(ξ, ‖u(ξ)‖2)h(u′(ξ))u′(ξ)dΓ
]dξ =
= |u′(s)|2 + M(s, ‖u(s)‖2), ∀0 ≤ s < t < Tmax
89
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Introduz-se a notação
Eu(t) = |u′(t)|2 + M(t, ‖u(t)‖2) (4.104)
Então a última igualdade adota a forma
(I1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Eu(t)−
∫ t
s
[∫ ‖u(t)‖2
0
∂
∂tM(t, σ)dσ
]dξ+
+2
∫ t
s
[∫Γ1
M(ξ, ‖u(ξ)‖2)h(u′(ξ))u′(ξ)dΓ
]dξ = Eu(s), ∀0 ≤ s < t < Tmax.
Os fatos ∂M∂t≤ 0, M ≥ m0 > 0 e a identidade (I1) implicam
m0‖u(t)‖2 ≤ Eu(t) ≤ Eu(0)
SejaL = max
0≤λ≤ 1m0
Eu(0)M(0, λ)
Então das duas últimas expressões decorre
m0 ≤ µ(t) = M(t, ‖u(t)‖2) ≤M(0, ‖u(t)‖2) ≤ L
isto é,m0 ≤ µ(t) ≤ L, ∀0 ≤ t < Tmax. (4.105)
Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então multiplicando ambos os membrosda equação (Plk) e integrando em Ω tem-se
d
dt|w′lk|2 +
d
dt[µ‖wlk‖2] + 2µ
∫Γ1
Glw′lkdΓ− 2(Flw
′lk, w
′lk) =
µ′
µ[µ‖wlk‖2]
Integrando de 0 ≤ s < t < Tmax e tomando o limite resulta
|w′(t)|2 + µ(t)‖w(t)‖2 + 2
∫ t
0
µ(ξ)
[∫Γ1
h′(u′(ξ))w′2(ξ)dΓ
]dξ =
=
∫ t
s
µ′(ξ)
µ(ξ)
[µ(ξ)‖w(ξ)‖2 + 2|w′(ξ)|2
]dξ + |w′(s)|2 + µ(s)‖w(s)‖2
Introduz-se a notação
Ew(t) = |w′(t)|2 + µ(t)‖w(t)‖2 (4.106)
Então a última igualdade adota a forma
90
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(I2) Ew(t) + 2
∫ t
0
µ(ξ)
[∫Γ1
h′(u′(ξ))w′2(ξ)dΓ
]dξ =
=
∫ t
s
µ′(ξ)
µ(ξ)
[µ(ξ)‖w(ξ)‖2 + 2|w′(ξ)|2
]dξ + Ew(s), ∀0 ≤ s < t < Tmax.
A seguir enuncia-se o principal resultado desta seção.
Teorema 4.4 Suponha satisfeitas as hipóteses (H1)-(H3). Seja
Eu(0) ≤ ρ2
onde ρ > 0 é um número real pequeno e satisfazendo a condição (4.144), a qual dependedas funções M,h,Ω, d0 e d1. Então Tmax = ∞. Além disso verifica-se
|µ(t)∆u(t)|2 + µ(t)‖u′(t)‖2 ≤ C[|µ(0)4u0|2 + µ(0)‖u1‖2
], ∀0 ≤ t < Tmax (4.107)
onde µ(t) = M(t, ‖u(t)‖2) e C > 0 é uma constante que depende de M,h,Ω, e ρ.
A demonstração do Teorema 4.4 será feita em duas etapas. Na primeira mostra-se oseguinte resultado.
Proposição 4.5 Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então
Ew(t) ≤ CEw(0), ∀0 ≤ t < Tmax (4.108)
onde C > 0 é a mesma constante de (4.107).
Na segunda etapa, utilizando a Proposição 4.5 mostra-se o Teorema 4.4.A Proposição 4.5 seguira depois da demonstração de três lemas. Para enunciar o
primeiro lema, introduz alguns conceitos prévios.Localmente para cada x ∈ Γ1 determina-se uma base ortonormal
ν(x), τ 1(x), τ 2(x), . . . , τn−1(x)
do Rn onde ν(x) é o vetor normal unitário exterior em x ∈ Γ1 e τ 1(x), τ 2(x), . . . , τn−1(x)
são vetores tangentes em x ∈ Γ1.
Seja w a solução do Problema (Plk) e 0 ≤ t < Tmax. Então
∇w(x, t) = ν(x)[∇w(x, t).ν(x)] +n−1∑k=1
τ k(x)[∇w(x, t).τ k(x)]
91
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que implica
|∇w(x, t)|2 = [∇w(x, t).ν(x)]2 +n−1∑k=1
[∇w(x, t).τ k(x)]2
isto é,
|∇w(x, t)|2 =
[∂
∂νw(x, t)
]2
+n−1∑k=1
[∂w
∂τ k(x, t)
]2
Usando a notação [∂w
∂τ(x, t)
]2
=n−1∑k=1
[∂w
∂τ k(x, t)
]2
tem-se então
|∇w(x, t)|2 =
[∂
∂νw(x, t)
]2
+
[∂w
∂τ(x, t)
]2
, q.t x ∈ Γ1, ∀ 0 ≤ t < Tmax (4.109)
Seja wlk a solução do Problema (Plk). Introduz-se a notação
Ewlk(t) = |w′lk(t)|2 + µ(t)‖wlk(t)‖2, 0 ≤ t < Tmax.
Tem-se o seguinte resultado.
Lema 4.5.1 Seja wlk a solução do Problema (Plk). Então∫ t
0
Ewlk(ξ)dξ ≤ CEwlk
(0) + C
∫ t
0
∫Γ1
[∂wlk
∂ν
]2
+ w′2lk +
(∂wlk
∂τ
)2dΓdξ+
+C
∫ t
0
[|Fl(ξ)|+ ε]Ewlk(ξ)dξ,∀ 0 ≤ t < Tmax, l ≥ l0(ε),
onde ε > 0 e C > 0 é uma constante que é independente de t, l, k e ε.
Demonstração: Para facilitar a notação deixaremos de escrever os índices l, k de wlk el de Fl.
Seja m(x) = x− x0, x ∈ Rn. Usaremos o multiplicador m(x).∇w(x), x ∈ Ω.
Seja 0 ≤ t < Tmax. De (Plk) tem-se∫ t
0
(w′′,m.∇w)dξ +
∫ t
0
µ(−4w,m.∇w)dξ −∫ t
0
F (w′,m.∇w)dξ = 0 (4.110)
Tem-se: ∫ t
0
(w′′,m.∇w)dξ = (w′,m.∇w)∣∣∣t0−∫ t
0
(w′,m.∇w′)dξ (4.111)
Também da Observação 4.9, resulta
(−4w,m.∇w) = (∇w,∇[m.∇w])−∫
Γ
∂w
∂ν(m.∇w)dΓ.
92
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(∇w,∇[m.∇w]) =∑
i
∫Ω
∂w
∂xi
∂
∂xi
[∑j
mj∂w
∂xj
]dx =
=∑i,j
∫Ω
∂w
∂xi
∂mj
∂xi
∂w
∂xj
dx+∑i,j
∫Ω
∂w
∂xi
mj∂2w
∂xi∂xj
dx =
=∑i,j
∫Ω
∂w
∂xi
δij∂w
∂xj
dx+∑i,j
∫Ω
mj1
2
∂
∂xj
(∂w
∂xi
)2
dx =
=∑
i
∫Ω
(∂w
∂xi
)2
dx− 1
2
∑i,j
∫Ω
∂mj
∂xj
(∂w
∂xi
)2
dx+1
2
∑i,j
∫Γ
mj
(∂w
∂xi
)2
vjdΓ =
= ‖w‖2 − n
2‖w‖2 +
1
2
∫Γ
(m.ν)|∇w|2dΓ,
isto é,
(−4w,m.∇w) = ‖w‖2 − n
2‖w‖2 +
1
2
∫Γ
(m.ν)|∇w|2dΓ−∫
Γ
∂w
∂ν(m.∇w)dΓ (4.112)
Por outro lado,∫ t
0
(w′,m.∇w′)dξ =∑
j
∫ t
0
∫Ω
w′mj∂w′
∂xj
dxdξ =
=∑
j
∫ t
0
∫Ω
mj1
2
∂
∂xj
w′2dxdξ =
= −1
2
∑j
∫ t
0
∫Ω
∂mj
∂xj
w′2dxdξ +1
2
∑j
∫ t
0
∫Γ
mjνjw′2dΓdξ =
= −n2
∫ t
0
∫Ω
w′2dxdξ +1
2
∫ t
0
∫Γ
(m.ν)w′2dΓdξ
isto é, ∫ t
0
(w′,m.∇w′)dξ = −n2
∫ t
0
∫Ω
w′2dxdξ +1
2
∫ t
0
∫Γ
(m.ν)w′2dΓdξ (4.113)
Então (4.111) toma a forma∫ t
0
(w′′,m.∇w)dξ = (w′,m.∇w)∣∣∣t0+n
2
∫ t
0
|w′|2dξ − 1
2
∫ t
0
∫Γ
(m.ν)w′2dΓdξ (4.114)
Substituindo (4.112) e (4.114) em (4.110) resulta∫ t
0
n
2
[|w′|2 − µ‖w‖2
]dξ = −
∫ t
0
µ‖w‖2dξ − (w′,m.∇w)∣∣∣t0+
+1
2
∫ t
0
∫Γ
(m.ν)[w′2 − µ|∇w|2
]dΓdξ +
∫ t
0
∫Γ
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓdξ+
+
∫ t
0
F (w′,m.∇w)dξ
(4.115)
93
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De (Plk) resulta ∫ t
0
(w′′ − µ4w − Fw′, w)dξ = 0 (4.116)
Tem-se ∫ t
0
(w′′, w)dξ = (w′, w)∣∣∣t0−∫ t
0
|w′|2dξ (4.117)
Também ∫Ω
(−4ww)dξ = ‖w‖2 −∫
Γ
∂w
∂νwdΓ
o que implica ∫ t
0
µ(−4w,w)dξ =
∫ t
0
µ‖w‖2dξ −∫ t
0
∫Γ
µw∂w
∂νdΓdξ (4.118)
Substituindo (4.117) e (4.118) em (4.116), obtém-se:∫ t
0
[|w′|2 − µ‖w‖2]dξ = (w′, w)∣∣∣t0−∫ t
0
∫Γ
µw∂w
∂νdΓdξ−
−∫ t
0
F (w′, w)dξ
o que implica∫ t
0
n
2[|w′|2 − µ‖w‖2]dξ =
n
2(w′, w)
∣∣∣t0− n
2
∫ t
0
∫Γ
µw∂w
∂νdΓdξ−
−n2
∫ t
0
F (w′, w)dξ
(4.119)
Igualando os primeiros membros de (4.115) e (4.119) resulta:
−∫ t
0
µ‖w‖2dξ − (w′,m.∇w)∣∣∣t0+
1
2
∫ t
0
∫Γ
(m.ν)[w′2 − µ|∇u|2
]dΓdξ+
+
∫ t
0
∫Γ
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓdξ +
∫ t
0
F (w′,m.∇w)dξ =
=n
2(w′, w)
∣∣∣t0− n
2
∫ t
0
∫Γ
µw∂w
∂νdΓdξ − n
2
∫ t
0
F (w′, w)dξ
Notando que w e w′ são iguais a zero sobre Γ0 resulta então∫ t
0
µ‖w‖2dξ +1
2
∫ t
0
∫Γ
µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ = −(w′,m.∇w)∣∣∣t0+
+1
2
∫ t
0
∫Γ1
(m.ν)w′2dΓdξ +
∫ t
0
∫Γ
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓdξ +
∫ t
0
F (w′,m.∇w)dξ−
−n2(w′, w)
∣∣∣t0+n
2
∫ t
0
∫Γ1
µw∂w
∂νdΓdξ +
n
2
∫ t
0
F (w′, w)dξ
(4.120)
94
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Usando as notações:
• I =1
2
∫ t
0
∫Γ
µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ,
• J1 =1
2
∫ t
0
∫Γ1
(m.ν)w′2dΓdξ,
• J2 =1
2
∫ t
0
∫Γ
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓdξ,
• J3 =n
2
∫ t
0
∫Γ1
µw∂w
∂νdΓdξ,
• J4 = −(w′,m.∇w)∣∣∣t0− n
2(w′, w)
∣∣∣t0,
• J5 =
∫ t
0
F (w′,m.∇w)dξ +n
2
∫ t
0
F (w′, w)dξ.
a expressão (4.120) toma a forma∫ t
0
µ‖w‖2dξ + I =5∑
l=1
Jl (4.121)
A seguir modifica-se I e os Jl,s.
• Modificação de I.Por ter-se m.ν > 0 sobre Γ1 obtemos:
1
2
∫ t
0
∫Γ0
µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ ≤ I
• Modificação de J1.
J1 ≤R
2
∫ t
0
∫Γ1
w′2dΓdξ ≤ R
2m0
∫ t
0
∫Γ1
µw′2dΓdξ
• Modificação de J2.
Tem-seJ2 =
∫ t
0
∫Γ0
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓdξ +
∫ t
0
∫Γ1
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓdξ (4.122)
Note que m.∇w = (m.ν)∂w∂ν
e(
∂w∂ν
)2= |∇w|2 sobre Γ0. (Ver M.Milla Miranda e L.A.
Medeiros [35]). Logo,∫Γ0
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓ =
∫Γ0
µ(m.ν)
(∂w
∂ν
)2
dΓ =
∫Γ0
µ(m.ν)|∇w|2dΓ,
isto é, ∫ t
0
∫Γ0
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓdξ =
∫ t
0
∫Γ0
µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ (4.123)
95
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Também, usando (4.109), obtém-se:∣∣∣ ∫Γ1
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓ
∣∣∣ ≤ R
∫Γ1
µ∣∣∣∂w∂ν
∣∣∣|∇w|dΓ ≤≤ R
2µ
∫Γ1
(∂w
∂ν
)2
dΓ +R
2µ
∫Γ1
|∇w|2dΓ ≤
≤ R
2µ
∫Γ1
(∂w
∂ν
)2
dΓ +R
2µ
∫Γ1
[(∂w
∂ν
)2
+
(∂w
∂τ
)2]dΓ =
≤ Rµ
∫Γ1
(∂w
∂ν
)2
dΓ +R
2µ
∫Γ1
(∂w
∂τ
)2
dΓ
isto é,∫ t
0
∫Γ1
µ∂w
∂ν(m.∇w)dΓdξ ≤ R
∫ t
0
∫Γ1
µ
(∂w
∂ν
)2
dΓdξ+R
2
∫ t
0
∫Γ1
µ
(∂w
∂τ
)2
dΓdξ (4.124)
Combinando (4.123) e (4.124) com (4.122) resulta
J2 ≤∫ t
0
∫Γ0
µ(m.ν)|∇w|2dξ +R
∫ t
0
∫Γ1
µ
(∂w
∂ν
)2
dΓdξ +R
2
∫ t
0
∫Γ1
µ
(∂w
∂τ
)2
dΓdξ
• Modificação de J3.
Para ε > 0 resulta
J3 ≤ ε
∫ t
0
∫Γ1
µw2dΓdξ + C(ε)
∫ t
0
∫Γ1
µ
(∂w
∂ν
)2
dΓdξ,
onde C(ε) > 0 é uma constante independente de 0 ≤ t < Tmax.
• Modificação de J4.
Por cálculos simples segue-se que existe uma constante C > 0, independente de 0 ≤t < Tmax, tal que
J4 ≤ C[Ew(0) + Ew(t)]
• Modificação de J5.
Também por cálculos simples obtém-se que existe uma constante C > 0, independentede 0 ≤ t < Tmax, tal que
J5 ≤ C
∫ t
0
|F (ξ)|Ew(ξ)dξ.
96
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Levando em consideração as modificações sobre I e sobre as Jl, 1 ≤ l ≤ 5, obtém-se:∫ t
0
µ‖w‖2dξ − 1
2
∫ t
0
∫Γ0
µ(m.ν)|∇w|2dΓdξ ≤ C[Ew(0) + Ew(t)]+
+ε
∫ t
0
∫Γ1
µw2dΓdξ + C(ε)
∫ t
0
∫Γ1
µ
[(∂w
∂ν
)2
+ w′2 +
(∂w
∂τ
)2]dΓdξ+
+C
∫ t
0
|F (ξ)|Ew(ξ)dξ.
(4.125)
Do fato ‖w‖2L2(Γ1) ≤ K‖w‖2 segue-se
ε
∫ t
0
∫Γ1
µw2dΓdξ ≤ Kε
∫ t
0
µ‖w‖2dξ
Somando∫ t
0|w′|2dξ a ambos os membros da desigualdade (4.125), notando que m.ν ≤
0 sobre Γ0 e levando em consideração a última desigualdade, obtém-se:∫ t
0
Ew(ξ)dξ ≤ C[Ew(0) + Ew(t)] + (K + 1)ε
∫ t
0
Ew(ξ)dξ+
+C(ε)
∫ t
0
∫Γ1
µ
[(∂w
∂ν
)2
+ w′2 +
(∂w
∂τ
)2]
+
+C
∫ t
0
|F (ξ)|Ew(ξ)dξ.
Escolhendo ε > 0 apropriado e notando que
m0 ≤ µ(t) ≤ L, ∀0 ≤ t < Tmax
(ver (4.105) para a definição de L) resulta da última desigualdade.∫ t
0
Ew(ξ)dξ ≤ C[Ew(0) + Ew(t)]+
+C(ε)L
∫ t
0
∫Γ1
[(∂w
∂ν
)2
+ w′2 +
(∂w
∂τ
)2]
+
+C
∫ t
0
|F (ξ)|Ew(ξ)dξ.
(4.126)
A seguir modifica-se Ew(t). A identidade (I2) para a solução wlk adota a forma:
Ew(t) +
∫ t
0
µ(ξ)
[∫Γ1
Gl(ξ)w′2(ξ)dΓ
]dξ =
=
∫ t
0
µ′(ξ)
µ(ξ)
[µ(ξ)‖w(ξ)‖2
]+ 2(F (ξ)w′(ξ), w′(ξ))
dξ + Ew(0)
97
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Esta expressão junto com a desigualdade
µ′
µ[µ‖w‖2] + 2(Fw′, w′) ≤ 2(F + ε)
[µ‖w‖2 + |w′|2
]implica
Ew(t) ≤ C
∫ t
0
[|F (ξ)|+ ε]Ew(ξ)dξ + Ew(0), 0 ≤ t < Tmax (4.127)
A desigualdade acima e (4.126) proporcionam o lema. A desigualdade acima e (4.126)
proporcionam o lema.
Note que não se tem informações sobre ∂w∂τ, logo para poder utilizar o Lema 4.5.1
é preciso escrever esta derivada em função dos outros termos do membro esquerdo dadesigualdade do Lema 4.5.1. Isto é feito utilizando o seguinte resultado devido a I.Lasieckae R. Triggiane [22]:
Lema 4.5.2 Dado 0 < t < Tmax, seja δ um número real positivo tal que δ < t2. Sejam wlk
a solução do Problema (Plk) e ε, ε0 constantes positivas pequenas e arbitrárias. Então aseguinte estimativa é válida∫ t−δ
δ
∥∥∥∂wlk
∂τ
∥∥∥L2(Γ1)
dξ ≤ C(δ, ε)
∫ t
0
[∥∥∥∂wlk
∂ν
∥∥∥2
L2(Γ1)+ ‖w′lk‖2
L2(Γ1) + ‖Flw′‖2
H− 12+ε(Ω)
]dξ+
+C(δ, ε0)‖wlk‖2
H12+ε0 (Ω×(0,T ))
O Lema 4.5.2 vai proporcionar o seguinte resultado
Lema 4.5.3 Seja w a solução obtida na Proposição 4.4. Então∫ t
0
Ew(ξ)dξ ≤ CEw(0) + CL
∫ t
0
[|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2]Ew(ξ)dξ+
+CL
∫ t
0
∫Γ1
[(∂w
∂ν
)2
+ w′2
]dΓdξ + C
∫ t
0
Eu(ξ)dξ, ∀0 ≤ t < Tmax
onde C > 0 é uma constante independente de 0 ≤ t < Tmax. A constanta L foi definidaem (4.105).
Demonstração: De início mostra-se uma versão do lema para as soluções wlk de (Plk).
Passando ao limite neste resultado e usando as convergências (4.100) e (4.88), obtém-se-áo lema.
98
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Seja então wlk a solução de (Plk). Para facilitar a notação deixaremos de escrever osíndices l e k de wlk e o índice l de Fl. Observe que o Lema 4.5.1 é válido para a integral∫ t
sEw(ξ)dξ, mais precisamente,∫ t
s
Ew(ξ)dξ ≤ CEw(s) + C
∫ t
s
∫Γ1
[(∂w
∂ν
)2
+ w′2 +
(∂w
∂τ
)2]dΓdξ+
+C
∫ t
s
[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ, 0 ≤ s < t < Tmax.
Combinando esta desigualdade com o Lema 4.5.2 e fazendo as majorações respectivasnas integrais, resulta∫ t−δ
δ
Ew(ξ)dξ ≤ CEw(δ) + C
∫ t
0
[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ+
+C1(δ, ε)
∫ t
0
[∥∥∥∂w∂ν
∥∥∥2
L2(Γ1)+ ‖w′‖2
L2(Γ1) + ‖Fw′‖2
H− 12+ε(Γ1)
]dξ+
+C1(δ, ε0)‖w‖2
H12+ε0 (Ω×(0,T ))
(4.128)
Note que para ε > 0 pequeno resulta
H12−ε(Ω) → L2(Ω) → H− 1
2+ε(Ω)
portanto‖Fw′‖2
H− 12+ε(Ω)
≤ K1|Fw′|2 ≤ K1|F |2|w′|2
o que implica∫ t
0
‖Fw′‖2
H− 12+ε(Ω)
dξ ≤ K1
∫ t
0
[|F (ξ)|2 + ε2]|w′(ξ)|2dξ ≤ K1
∫ t
0
[|F (ξ)|2 + ε2]Ew(ξ)dξ
Substituindo esta desigualdade em (4.128) resulta∫ t−δ
δ
Ew(ξ)dξ ≤ CEw(δ) + CLC1(δ, ε)
∫ t
0
[|F (ξ)|+ |F (ξ)|2 + 2ε2]Ew(ξ)dξ+
+CLC1(δ, ε)
∫ t
0
∫Γ1
[(∂w
∂ν
)2
+ w′2
]dΓdξ + CLC1(δ, ε0)‖w‖2
H12+ε0 (Ω×(0,T ))
(4.129)
A seguir estuda-se o comportamento de Ew(ξ) em [0, δ] e em [t − δ, t]. De fato, de(4.127), segue-se ∫ δ
0
Ew(ξ)dξ ≤ δEw(0) + 2Cδ
∫ t
0
[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ
99
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e ∫ t
t−δ
Ew(ξ)dξ ≤ δEw(t− δ) + 2Cδ
∫ t
0
[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ
Se 0 < t ≤ 1, escolho δ < t, o que implica δ < 1 e se t ≥ 1, escolho δ < 1. Com estasconsiderações e combinando as duas últimas desigualdades com (4.129), obtém-se:
∫ t
0
Ew(ξ)dξ ≤ (C + 2)[Ew(δ) + Ew(0) + Ew(t− δ)]+
+CLC1(δ, ε)
∫ t
0
[|F (ξ)|+ |F (ξ)|2 + 2ε2]Ew(ξ)dξ+
+CLC1(δ, ε)
∫ t
0
∫Γ1
[(∂w
∂ν
)2
+ w′2
]dΓdξ + CLC1(δ, ε0)‖w‖2
H12+ε0 (Ω×(0,T ))
(4.130)
De (4.127) resulta
Ew(δ) + Ew(t− δ) ≤ 2Ew(0) + C
∫ t
0
[|F (ξ)|+ ε2]Ew(ξ)dξ (4.131)
Fixo 0 < ε0 <12. Então
H1(Ω× (0, T )) → H12+ε0(Ω× (0, T )) → L2(Ω× (0, T ))
Logo, usando a desigualdade de interpolação com ε3 > 0, obtém-se:
‖w‖2
H12+ε0 (Ω×(0,T ))
≤ ε3‖w‖2H1(Ω×(0,T )) + C(ε3)‖w‖2
L2(Ω×(0,T )) (4.132)
Limita-se cada um dos termos do segundo membro desta desigualdade por Ew e Eu,
respectivamente. Tem-se:
‖w‖2H1(Ω×(0,T )) =
∫ t
0
|w|2dξ +
∫ t
0
|w′|2dξ +
∫ t
0
‖w‖2dξ ≤
≤ K2
∫ t
0
‖w‖2dξ +
∫ t
0
|w′|2dξ ≤ K3
∫ t
0
Ew(ξ)dξ
portanto,
ε3‖w‖2H1(Ω×(0,T )) ≤ K3ε3
∫ t
0
Ew(ξ)dξ
Também, notando que w = u′, resulta
‖w‖2L2(Ω×(0,T )) =
∫ t
0
|u′|2dξ ≤∫ t
0
Eu(ξ)dξ
Substituindo as duas últimas desigualdades em (4.132) segue-se
100
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‖w‖2
H12+ε0 (Ω×(0,T ))
≤ K3ε3
∫ t
0
Ew(ξ)dξ + C(ε3)
∫ t
0
Eu(ξ)dξ. (4.133)
Levando em consideração (4.131) e (4.133) em (4.130), resulta∫ t
0
Ew(ξ)dξ ≤ CEw(0) + CL
∫ t
0
[|F (ξ)|+ |F (ξ)|2 + 2ε2]Ew(ξ)dξ+
+CL
∫ t
0
∫Γ1
[(∂w
∂ν
)2
+ w′2
]dΓdξ +K3ε3
∫ t
0
Ew(ξ)dξ + C(ε3)
∫ t
0
Eu(ξ)dξ.
Escolhendo ε3 > 0 apropriadamente, obtém-se a versão do lema para as soluções wlk
de (Plk). Faxendo l, k →∞, ε2 → 0 e usando as convergências (4.100) e (4.88), obtém-seo lema.
Demonstração: (da Proposição 4.5 ) Tem-se:
∫Γ1
(∂w
∂ν
)2
dξ =
∫Γ1
(h′(u′)w′)2dξ ≤ d21
∫Γ1
w′2dξ
Substituindo esta desigualdade na expressão do Lema 4.5.3 resulta∫ t
0
Ew(ξ)dξ ≤ CEw(0) + CL
∫ t
0
[|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2]Ew(ξ)dξ+
+CL
∫ t
0
∫Γ1
w′2dΓdξ + C
∫ t
0
Eu(ξ)dξ(4.134)
Da identidade (I2) obtém-se:
Ew(t) + 2m0d0
∫ t
0
∫Γ1
w′2dΓdξ ≤ Ew(0) +2
m0
∫ t
0
|µ′(ξ)|Ew(ξ)dξ
o que implica para N > 0 constante,
NEw(t) + 2m0d0N
∫ t
0
∫Γ1
w′2dΓdξ ≤
≤ NEw(0) +2N
m0
∫ t
0
|µ′(ξ)|Ew(ξ)dξ
(4.135)
Substituindo (4.134) em (4.135) resulta
NEw(t) +
∫ t
0
Ew(ξ)dξ + (2m0d0N − CL)
∫ t
0
∫Γ1
w′2dΓdξ ≤
≤ C(1 +N)Ew(0) +
(CL+
2N
m0
)∫ t
0
[|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2
]Ew(ξ)dξ + C
∫ t
0
Eu(ξ)dξ
101
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Escolhe-se N > 0 tal que2m0d0N − CL > 0
Depois multiplica-se a ambos os membros da desigualdade obtida por 1N. Após arrumação
das contantes resulta então
Ew(t) +
∫ t
0
Ew(ξ)dξ ≤ C2Ew(0)+
+C1
∫ t
0
[|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2
]Ew(ξ)dξ + C0
∫ t
0
Eu(ξ)dξ
Disto e notando que Eu(t) ≤ Eu(0) resulta
Ew(t) +
∫ t
0
Ew(ξ)
[1
2− C1
(|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2
)]+
1
2Ew(ξ)− C0Eu(0)
dξ ≤ C2Ew(0)
(4.136)onde C0, C1, C2 são constantes positivas independentes de 0 ≤ t < Tmax.
A seguir estabelece-se uma relação entre Eu(0) e Ew(0).
Tem-se:
u′′(0) = µ(0)4u0, w′(0) = u′′(0) (4.137)
Também,
M(t, λ) =
∫ λ
0
M(t, σ)dσ ≤M(t, λ)λ
Logo,
M(0, ‖u0‖2) ≤M(0, ‖u0‖2)‖u0‖2 (4.138)
Também‖u0‖2 ≤ C‖u0‖V ∩H2(Ω) ≤ C
[|4u0|2 +
∥∥∥∂u0
∂ν
∥∥∥2
L2(Γ1)
]≤
≤ C[|4u0|2 + ‖h(u1)‖2L2(Γ1)] ≤ C[|4u0|2 + d2
1‖u1‖2L2(Γ1)] ≤
≤ C(Ω, d1) [|4u0|2 + ‖u1‖2]
isto é,
‖u0‖2 ≤ C(Ω, d1)[|4u0|2 + ‖u1‖2
](4.139)
De (4.138) e (4.139) segue-se
M(0, ‖u0‖2) ≤ C(Ω, d1)M(0, ‖u0‖2)[|4u0|2 + ‖u1‖2
](4.140)
Lembre-se queEu(0) = |u1|2 + M(0, ‖u0‖2)
102
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Logo de (4.140) e (4.137) resulta
Eu(0) ≤ C‖u1‖2 + C(Ω, d1)M(0, ‖u0‖2)[|4u0|2 + ‖u1‖2] =
= [C + C(Ω, d1)M(0, ‖u0‖2)]‖u1‖2+
+C(Ω, d1)
m0
[M(0, ‖u0‖2)]2|∆u0|2 ≤
≤ C(Ω, d1)‖u1‖2 + C(Ω, d1)µ2(0)|4u0|2 = C(Ω, d1)Ew(0),
isto é,
Eu(0) ≤ C(Ω, d1)Ew(0) (4.141)
Sejam
C3 = maxC2, 4C0C2C(Ω, d1), C2 > 1 (4.142)
e ρ > 0 um número real.Introduz-se as notações:
N0(ρ) = max0≤λ≤ ρ2
m0
Q(λ), P0(ρ) = max0≤λ≤ ρ2
m0
R(λ) (4.143)
Considere ρ verificando
C1
[N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0) + 2N2
0 (ρ) + 8P 20 (ρ)
ρ2
m20
C3Ew(0)
]≤ 1
4. (4.144)
A seguir, com as condições acima e u0, u1 verificando
Eu(0) = |u1|2 + M(0, ‖u0‖2) ≤ ρ2,
mostra-se queEw(t) ≤ C3Ew(0), ∀0 ≤ t < Tmax (4.145)
Note que ‖u(t)‖2 ≤ ρ2
m0.
A demonstração de (4.145) será feita considerando os dois casos:
4C0Eu(0) ≤ Ew(0) e 4C0Eu(0) > Ew(0)
PRIMEIRO CASO
Primeira Etapa. De início mostra-se que o integrando de (4.136) calculado em ξ = 0 épositivo. De fato µ(t) = M(t, ‖u(t)‖2) e
µ′(t) =∂M
∂t(t, ‖u(t)‖2) + 2
∂M
∂λ(t, ‖u(t)‖2)((u(t), u′(t)))
103
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Logo,
|µ′(0)| ≤∣∣∣∂M∂t
(0, ‖u(0)‖2)∣∣∣+ 2
∣∣∣∂M∂λ
(0, ‖u(0)‖2)∣∣∣‖u(0)‖‖u′(t)‖ ≤
≤ Q(‖u0‖2) + 2R(‖u0‖2)‖u0‖‖u1‖ ≤
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m120
[Ew(0)
m0
] 12
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m0
C123 E
12w(0)
isto é,|µ′(0)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0)
Também, temos:
|µ′(0)|2 ≤ 2N20 (ρ) + 8P 2
0 (ρ)ρ2
m0
C3Ew(0)
Logo, disto e da condição (4.144) resulta
C1(|µ′(0)|+ |µ′(0)|2) ≤
≤ C1
[N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0) + 2N2
0 (ρ) + 8P 20 (ρ)
ρ2
m20
C3Ew(0)
]≤ 1
4
Portanto,1
2− C1(|µ′(0)|+ |µ′(0)|2) ≥ 1
2− 1
4> 0 (4.146)
o que implica
Ew(0)
[1
2− C1(|µ′(0)|+ |µ′(0)|2)
]≥ 0
Por outro lado, notando que 4C0Eu(0) ≤ Ew(0), segue-se
1
2Ew(0)− C0Eu(0) ≥ 2C0Eu(0)− C0Eu(0) = C0Eu(0) > 0 (4.147)
Observação 4.11 Supoe-se que Eu(0) > 0. O caso Eu(0) = 0 proporciona a soluçãoglobal u ≡ 0 do Problema (?).
Das duas últimas desigualdades resulta que
Ew(0)
[1
2− C1(|µ′(0)|+ |µ′(0)|2)
]+
1
2Ew(0)− C0Eu(0) > 0 (4.148)
Por continuidade segue-se que
Ew(t)
[1
2− C1(|µ′(t)|+ |µ′(t)|2)
]+
1
2Ew(t)− C0Eu(0) > 0, ∀0 ≤ t < Tmax
ou existe T1 com 0 < T1 < Tmax tal que
Ew(t)
[1
2− C1
(|µ′(t)|+ |µ′(t)|2
)]+
1
2Ew(t)− C0Eu(0) > 0, 0 ≤ t < T1
104
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eEw(T1)
[1
2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2)
]+
1
2Ew(T1)− C0Eu(0) = 0 (4.149)
Na segunda situação, da expressão (4.136), resulta
Ew(t) ≤ C2Ew(0) ≤ C3Ew(0), ∀0 ≤ t < Tmax (4.150)
A primeira situação mostra a proposição. Suponha que acontece a segunda situação.Segunda Etapa. Note que
m0‖u(T1)‖2 ≤ Eu(T1) ≤ Eu(0) ≤ ρ2.
Desta desigualdade e de (4.150) resulta
|µ′(T1)| ≤∣∣∣∂M∂t
(T1, ‖u(T1)‖2)∣∣∣+ 2
∣∣∣∂M∂λ
(T1, ‖u(T1)‖2)((u(T1), u′(T1)))
∣∣∣ ≤≤ Q(‖u(T1)‖2) + 2R(‖u(T1)‖2)‖u(T1)‖‖u′(T1)‖ ≤
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m120
E12w(Γ1)
m120
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m0
C123 E
12w(0),
isto é,|µ′(T1)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ) +
ρ
m0
C123 E
12w(0)
Também|µ′(t)|2 ≤ 2N2
0 (ρ) + 8P 20 (ρ)
ρ2
m20
C3Ew(0)
Das duas últimas desigualdades e da restrição (4.144) resulta
C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2) ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m0C
123 E
12w(0)+
+2N20 (ρ) + 8P 2
0 (ρ)ρ2
m20
C3Ew(0) ≤ 1
4
Logo1
2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2) ≥
1
2− 1
4> 0
Portanto,
Ew(T1)
[1
2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2)
]≥ 0
Esta expressão e a igualdade (4.149) acarreta
1
2Ew(T1)− C0Eu(0) ≤ 0
105
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o que implicaEw(T1) ≤ 2C0Eu(0) < 4C0Eu(0)
Por continuidade esta última desigualdade nos diz que
Ew(t) < 4C0Eu(0) ≤ C3Ew(0), T1 ≤ t < Tmax
ou existe T2 com T1 < T2 < Tmax tal que
Ew(t) < 4C0Eu(0) ≤ C3Ew(0), T1 ≤ t < T2 (4.151)
eEw(T2) = 4C0Eu(0) (4.152)
Se acontece a primeira situação então a Proposição 4.5 está provada. Suponha queacontece a segunda situação. De (4.136) com T2 no lugar de zero tem-se:
Ew(t) +
∫ t
T2
Ew(ξ)
[1
2−(|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2
)]+
1
2Ew(ξ)− C0Ew(T2)
dξ ≤
≤ C2Ew(T2), t > T2
(4.153)
Por continuidade, de (4.151), resulta
Ew(T2) ≤ C3Ew(0). (4.154)
Terceira Etapa. Com (4.152)- (4.154), aplica-se a Primeira Etapa. De fato
|µ′(T2)| ≤∣∣∣∂M∂t
(T2, ‖u(T2)‖2)∣∣∣+ 2
∣∣∣∂M∂λ
(T2, ‖u(T2)‖2)((u(T2), u′(T2)))
∣∣∣ ≤≤ Q(‖u(T2)‖2) + 2R(‖u(T2)‖2)‖u(T2)‖‖u′(T2)‖ ≤
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m120
E12w(T2)
m120
,
portanto,|µ′(T2)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0)
Também,
|µ′(T2)|2 ≤ 2N20 (ρ) + 8P 2
0 (ρ)ρ2
m20
C3Ew(0)
As duas últimas desigualdades e a restrição (4.144) implicam
C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2) ≤
≤ C1
[N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0) + 2N2
0 (ρ) + 8P 20 (ρ)
ρ2
m20
C3Ew(0)
]≤ 1
4
106
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assim1
2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2) ≥
1
2− 1
4> 0.
Logo,
Ew(T2)
[1
2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2)
]≥ 0
Por outro lado, de (4.152) segue-se
1
2Ew(T2)− C0Eu(T2) ≥ 2C0Eu(0)− C0Eu(0) = C0Eu(0) > 0
Assim,
Ew(T2)
[1
2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2)
]+
1
2Ew(T2)− C0Eu(T2) > 0
que é semehante a (4.148). Portanto, pode-se aplicar a Primeira Etapa em t = T2.
Continua-se o processo se necessário, mostrando em cada etapa que
Ew(t) ≤ C3Ew(0).
SEGUNDO CASO.
Por hipótese4C0Eu(0) > Ew(0)
Quarta Etapa. Por (4.141) segue então
Ew(0) < 4C0C(Ω, d1)Ew(0)
Por continuidade resulta
Ew(t) < 4C0C(Ω, d1)Ew(0), ∀0 ≤ t < Tmax
ou existe 0 < T1 < Tmax tal que
Ew(t) < 4C0Eu(0) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) < C3Ew(0), 0 ≤ t < T1 (4.155)
eEw(T1) = 4C0Eu(0). (4.156)
Portanto,Ew(T1) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) ≤ C3Ew(0) (4.157)
Na primeira situação, obtém-se a desigualdade (4.145).
107
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Suponha que aconteça a segunda situação. Escreve-se (4.136) com T1 no lugar de zeroe usa-se (4.156), então
Ew(t) +
∫ t
T1
Ew(ξ)
[1
2−(|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2
)]+
1
2Ew(ξ)− C0Eu(T1)
dξ ≤
≤ C2Ew(T1), t > T1
(4.158)
eC2Ew(T1) = 4C2C0Eu(0) ≤ 4C2C0C(Ω, d1)Ew(0) ≤ C3Ew(0) (4.159)
Note que o integrando da penúltima desigualdade calculada em ξ = T1 é positivo. Defato, de (4.157) tem-se
|µ′(T1)| ≤∣∣∣∂M∂t
(T1, ‖u(T1)‖2)∣∣∣+ 2
∣∣∣∂M∂λ
(T1, ‖u(T1)‖2)((u(T1), u′(T1)))
∣∣∣ ≤≤ Q(‖u(T1)‖2) + 2R(‖u(T1)‖2)‖u(T1)‖‖u′(T1)‖ ≤
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m120
E12w(T1)
m120
≤
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m0
C123 Ew(0),
isto é,|µ′(T1)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0)
isto implica
|µ′(T1)|2 ≤ 2N20 (ρ) + 8P 2
0 (ρ)ρ2
m20
C3Ew(0)
As duas últimas desigualdades e a restrição (4.144) acarretam
C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2) ≤
≤ C1
[N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0) + 2N2
0 (ρ) + 8P 20 (ρ)
ρ2
m20
C3Ew(0)
]≤ 1
4
Logo1
2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2) ≥
1
2− 1
4> 0.
PortantoEw(T1)
[1
2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2)
]≥ 0
Por outro lado, de (4.156) e observando que Eu(t) ≤ Eu(0), resulta
1
2Ew(T1)− C0Eu(T1) ≥ 2C0Eu(0)− C0Eu(0) = C0Eu(0) > 0
108
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As duas últimas expressões implicam
Ew(T1)
[1
2− C1(|µ′(T1)|+ |µ′(T1)|2)
]+
1
2Ew(T1)− C0Eu(T1) > 0
Quinta Etapa. Por continuidade a última desigualdade implica que
Ew(t)
[1
2− C1(|µ′(t)|+ |µ′(t)|2)
]+
1
2Ew(t)− C0Eu(T1) > 0, ∀T1 ≤ t < Tmax
ou existe T2 com T1 < T2 < Tmax tal que
Ew(t)
[1
2− C1(|µ′(t)|+ |µ′(t)|2)
]+
1
2Ew(t)− Eu(T1) > 0, ∀T1 ≤ t < T2 (4.160)
eEw(T2)
[1
2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2)
]+
1
2Ew(T2)− Eu(T1) = 0 (4.161)
Se acontece a primeira situação, então a desigualdade (4.145) está provada. Suponha queaconteça a segunda situação. Combinando (4.158), (4.159), (4.160) e (4.157) tem-se
Ew(T2) ≤ C2Ew(T1) ≤ C3Ew(0)
Tem-se, desta última desigualdade
|µ′(T2)| ≤∣∣∣∂M∂t
(T2, ‖u(T2)‖2)∣∣∣+ 2
∣∣∣∂M∂λ
(T2, ‖u(T2)‖2)((u(T2), u′(T2)))
∣∣∣ ≤≤ Q(‖u(T2)‖2) + 2R(‖u(T2)‖2)‖u(T2)‖‖u′(T2)‖ ≤
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m120
E12w(T2)
m120
≤
≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)ρ
m0
C123 Ew(0),
isto é,|µ′(T2)| ≤ N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0)
Isto implica
|µ′(T2)|2 ≤ 2N20 (ρ) + 8P 2
0 (ρ)ρ2
m20
C3Ew(0)
As duas últimas desigualdades acarretam
C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2) ≤
≤ C1
[N0(ρ) + 2P0(ρ)
ρ
m0
C123 E
12w(0) + 2N2
0 (ρ) + 8P 20 (ρ)
ρ2
m20
C3Ew(0)
]≤ 1
4
109
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Portanto1
2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2) ≥
1
2− 1
4> 0.
Logo
Ew(T2)
[1
2− C1(|µ′(T2)|+ |µ′(T2)|2)
]≥ 0
Esta desigualdade e (4.145) implicam
1
2Ew(T2)− C0Eu(T1) ≤ 0
Portanto,
Ew(T2) ≤ 2C0Eu(T1) ≤ 2C0Eu(0) < 4C0Eu(0) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) (4.162)
Sexta Etapa. Com a desigualdade (4.162) volta-se a implicar a Quinta Etapa. Defato, por continuidade resulta que
Ew(t) < 4C0Eu(0) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) < C3Ew(0), ∀T2 ≤ t < Tmax
ou existe T3 com T2 < T3 < Tmax verificando
Ew(t) < 4C0Eu(0) < C3Ew(0), T2 ≤ t < T3
eEw(T3) = 4C0Eu(0)
Esta igualdade implica
Ew(T3) ≤ 4C0C(Ω, d)Ew(0) ≤ C3Ew(0)
A seguir procede-se como na Quinta Etapa. O procedimento prosegue se necessário.Observe que em todas as etapas sempre se tem
Ew(t) ≤ C3Ew(0)
A seguir mostra-se que com o procedimento introduzido no Primeiro Caso ou com odo Segundo Caso pode-se chegar a qualquer t com 0 < t < Tmax, valendo
Ew(t) ≤ C3Ew(0)
De fato, suponha que exista t com 0 < t < Tmax tal que
Ew(t) > C3Ew(0).
110
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Então existe T ∗ com 0 < T ∗ < Tmax tal que
Ew(T ∗) = C3Ew(0) (4.163)
eEw(t) > C3Ew(0), T ∗ < t ≤ T ∗1 , T
∗1 < Tmax (4.164)
Tem-se por (4.136) (trocando 0 por T ∗)
Ew(t) +
∫ t
T ∗
Ew(ξ)
[1
2−(|µ′(ξ)|+ |µ′(ξ)|2
)]+
1
2Ew(ξ)− C0Eu(T
∗)
dξ ≤
≤ C2Ew(T ∗), t ≥ T ∗(4.165)
Acontece que4C0Eu(0) ≤ Ew(T ∗) (4.166)
ou4C0Eu(0) > Ew(T ∗) (4.167)
Suponha que aconteça (4.166). Então de (4.163) e aplicando raciocínio análogo aofeito na Segunda Etapa do Primeiro Caso, obtém-se
1
2− C1(|µ′(T ∗)|+ |µ′(T ∗)|2) > 0.
portanto
Ew(T ∗)
[1
2− C1(|µ′(T ∗)|+ |µ′(T ∗)|2)
]≥ 0
Também de (4.166) resulta
1
2Ew(T ∗)− C0Eu(T
∗) ≥ 2C0Eu(0)− C0Eu(0) = C0Eu(0) > 0
Usando as duas últimas desigualdades em (4.165), obtém-se
Ew(t) ≤ C3Ew(0), T ∗ ≤ t ≤ T ∗2 , T ∗ < T ∗2 < Tmax
o qual está em contradição com (4.164).
Suponha que acontece (4.167). Então por continuidade existe T ∗3 com T ∗ < T ∗3 <
Tmax, T∗3 ≤ T ∗1 , tal que
Ew(t) < 4C0Eu(0), T∗ ≤ t ≤ T ∗3
Tem-se
Ew(T ∗3 ) < 4C0Eu(0) ≤ 4C0C(Ω, d1)Ew(0) ≤ 4C2C0C(Ω, d1)Ew(0) ≤ C3Ew(0)
111
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isto é,Ew(T ∗3 ) < C3Ew(0)
o que contraria (4.164). Assim a afirmação está mostrada. Isto conclui a demonstraçãoda Proposição 4.5.
Demonstração: (do Teorema 4.4.)Suponha que Tmax seja finito. Considere uma sucessão de números reais (tη) com
0 < tη < Tmax tal quetη → Tmax
Da identidade (I1) tem-se
|u′(tη)|2 + M(tη, ‖u(tη‖2)) ≤ |u1|2 + M(0, ‖u0‖2), ∀η (4.168)
e da Proposição 4.5 e do Teorema 4.3, tem-se
|µ(tη)4u(tη)|2 + µ(tη)‖u′(tη)‖2 ≤ C[|µ(0)4u0|2 + µ(0)‖u1‖2
], ∀η (4.169)
De (4.168) obtém-seu(tη) ϕ em V (4.170)
e de (4.169),
∆u(tη) χ em L2(Ω) (4.171)
u′(tη) ψ em V (4.172)
Por ser (u′(tη)) limitado em V resulta que (h(u′(tη))) é limitado em V, o que implica, pelasegunda equação de (P1)′ do Teorema 4.3, que
(∂u(tη)
∂ν
)é limitado em H
12 (Γ1). Destas
duas limitações resultah(u′(tη)) α em H
12 (Γ1) (4.173)
∂u(tη)
∂ν β em H
12 (Γ1) (4.174)
As convergências (4.170), (4.171) e notando que ∆ é um operador fechado em L2(Ω),
implicam∆u(tη) ∆ϕ em L2(Ω) (4.175)
Esta convergência e (4.170) proporcionam
∂u(tη)
∂ν
∂ϕ
∂νem H− 1
2 (Γ1)
112
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Comparando esta convergência com (4.174), obtém-se
∂u(tη)
∂ν
∂ϕ
∂νem H
12 (Γ1) (4.176)
As convergências (4.170), (4.175) e (4.176) implicam que ϕ ∈ V ∩H2(Ω) e
u(tη) ϕ em V ∩H2(Ω)
Por ser (u′(tη)) limitado em H12 (Γ1) e a imersão de H
12 (Γ1) em L2(Γ1) ser compacta,
resulta que existe uma subsucessão de (u′(tη)), ainda denotada por u′(tη) tal que
u′(tη) → ψ em L2(Γ1)
Da desigualdade∫Γ1
[h(u′(tη))− h(ψ)]2dΓ ≤ d21
∫Γ1
[u′(tη)− ψ]2dΓ
tem-se entãoh(u′(tη)) → h(ψ) em L2(Γ1)
Esta convergência e (4.173) implicam
h(u′(tη)) h(ψ) em H12 (Γ1) (4.177)
Tomando o limite na equação
∂u(tη)
∂ν+ h(u′(tη)) = 0
tem-se das convergências (4.176) e (4.177) que
∂ϕ
∂ν+ h(ψ) = 0 em H
12 (Γ1)
com ϕ ∈ V ∩H2(Ω) e ψ ∈ V.A seguir determina-se uma solução v do problema∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
v′′(t)−M(t, ‖v(t)‖2)∆v(t) = 0, 0 < t ≤ T0
v = 0 sobre Γ0 × (0, T0)
∂v
∂ν+ h(v′) = 0 sobre Γ1 × (0, T0)
v(0) = ϕ, v′(0) = ψ
113
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Esta solução local v existe (ver Teorema 4.2).A função
z(t) =
∣∣∣∣∣∣ u(t), 0 ≤ t < Tmax
v(t− Tmax), Tmax ≤ t ≤ T0 + Tmax
é solução do Problema (?) em [0, Tmax + T0] o que contraria a definição de Tmax. Assim,Tmax = ∞, o que conclui a demonstração do teorema.
4.6 Decaimento de Soluções
Nesta seção vamos supor que
M1(t, λ, ξ) = M2(t, λ, ξ) = M(t, λ+ ξ).
Pela forma particular de M1 e M2, o caso do sistema (S1) ficará reduzido a umaequação vetorial com duas componentes. Neste caso, será suficiente o estudo do problemaescalar. Para analisar o comportamento assintótico da solução u, v do sistema (S1).
Introduzimos algumas hipóteses para enunciar este problema escalar.Suponha que exista x0 ∈ Rn tal que as partes fechadas, disjuntas e regulares, Γ0 e Γ1,
da fronteira Γ de Ω tenham a forma:
(H1) Γ0 = x ∈ Γ;m(x).ν(x) ≤ 0, Γ1 = x ∈ Γ;m(x).ν(x) > 0,onde m(x) = x− x0, x ∈ Rn.
Sejam dadas as funções
(H2) M ∈ C1([0,∞[2), M(t, σ) ≥ m0 > 0, ∀t ≥ 0, σ ≥ 0 (m0 constante).
O problema escalar em questão é o seguinte:
(PG)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −M(t, ‖u‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)
u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
∂u
∂ν+ (m.ν)h(u′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω.
A seguir define-se o conceito de solução global de (PG).
Sejam u0 ∈ V ∩H2(Ω) e u1 ∈ V verificando
114
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(H3)∂u0
∂ν+ (m.ν)h(u1) = 0 sobre Γ1.
Diz-se que u é uma solução global de (PG), se satisfeitas as hipóteses (H1)-(H3), afunção u pertence à classe
u ∈ L∞loc(0,∞;V ∩H2(Ω))
u′ ∈ L∞loc(0,∞;V )
u′′ ∈ L∞loc(0,∞;L2(Ω))
e verifica
u′′ −M(t, ‖u‖2)4u = 0 em L∞loc(0,∞;L2(Ω)) (4.178)∂u
∂ν+ (m.ν)h(u′) = 0 em L∞loc(0,∞;H
12 (Γ1)) (4.179)
u(0) = u0, u′(0) = u1.
Com as hipóteses suplementares:
• ∂M∂t
(t, σ) ≤ 0, ∀t ∈ [0,∞),
• Existem constantes a > 0 e b > 0 tais que∣∣∣∂M∂λ
(t, λ)∣∣∣ ≤ b, ∀λ ∈ [0, a] e t ≥ 0,
• ‖u0‖V ∩H2(Ω), ‖u1‖ pequeno e h(s) = s,
M.Milla Miranda e L.P. San Gil Jutuca [38] mostraram a existência de uma solução globalde (PG). Também nas condições:
• M(t, σ) = 1 +m1σ, m1 > 0;
• 0 < d0 ≤ h′(s) ≤ d1 <∞
• ‖u0‖V ∩H2(Ω), ‖u1‖ pequenos,
I. Lasiecka e J.Ong [20] mostraram a existência de uma solução global u de (PG).
Introduzimos algumas hipóteses e notações para enunciar o teorema de decaimentode soluções. Suponha que
(H4)∂M
∂σ(t, σ) ≥ 0, ∀t ∈ [0,∞);σ ≥ 0,
(H5) ∣∣∣∣∣∣h ∈ C0(R)
0 < d0s2 ≤ h(s)s ≤ d1s
2, ∀s ∈ R (d0, d1 constantes)
115
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Seja
M(t, σ) =
∫ σ
0
M(t, σ)dσ.
Considere a energiaE(t) = |u′(t)|2 + M(t, ‖u(t)‖2, t ≥ 0.
Sendo Γ1 compacto e regular existe τ0 > 0 tal que m(x).ν(x) ≥ τ0, ∀x ∈ Γ1.
Usa-se as notações:
• m(x).ν(x) ≤ τ1, ∀x ∈ Γ1,
• R = maxx∈Ω
‖m(x)‖,
• |v|2 ≤ k0‖v‖2, ∀v ∈ V,
• ‖v‖2L2(Γ1) ≤ k1‖v‖2, ∀v ∈ V
e
• µ(t) = M(t, ‖u(t)‖2), t ≥ 0.
Tem-se o seguinte resultado:
Teorema 4.5 Suponha que são satisfeitas as hipóteses (H1)-(H5). Seja u uma soluçãoglobal de (PG). Então, existe η > 0 tal que
E(t) ≤ 3E(0)e−η3t,∀ t ≥ 0,
onde η = min 12k, 2
k∗, sendo
k =R2
m0
+ 1 +(n− 1)2
2m0
+1
2k0 e k∗ =
R2τ1τ0
+1
m0d0
+ (n− 1)2k1τ1d1.
Demonstração: Introduzimos o funcional
ρ(t) = 2(u′(t),m.∇u(t)) + (n− 1)(u′(t), u(t)), t ≥ 0
e consideramos a energia pertubada
Eε(t) = E(t) + ερ(t), (ε > 0). (4.180)
Note que
M(t, ‖u(t)‖2) =
∫ ‖u(t)‖2
0
M(t, σ)dσ ≥ m0‖u(t)‖2.
116
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Tem-se:
|ρ(t)| ≤ 2R|u′(t)|‖u(t)‖+ (n− 1)|u′(t)||u(t)| ≤
≤ R2
m0
|u′(t)|2 +m0‖u(t)‖2 +(n− 1)2
2m0
|u′(t)|2 +1
2k0m0‖u(t)‖2 ≤
≤ R2
m0
|u′(t)|2 + M(t, ‖u(t)‖2) +(n− 1)2
2m0
|u′(t)|2 +1
2k0M(t, ‖u(t)‖2),
isto é,|ρ(t)| ≤ kE(t), ∀t ≥ 0,
ondek =
R2
m0
+ 1 +(n− 1)2
2m0
+1
2k0. (4.181)
Logo,|Eε(t)− E(t)| ≤ εkE(t).
Seja ε0 > 0 tal queε0k =
1
2. (4.182)
Então,1
2E(t) ≤ Eε(t) ≤
3
2E(t), ∀t ≥ 0, 0 < ε ≤ ε0. (4.183)
Tomando o produto escalar em L2(Ω) a ambos os membros da equação (4.178) com2u′(t) resulta
(u′′(t), 2u′(t)) +M(t, ‖u(t)‖2)((u(t), 2u′(t)))+
+2M(t, ‖u(t)‖2)
∫Γ1
(m.ν)h(u′(t))u′(t)dΓ = 0
ou
d
dt|u′(t)|2 +
d
dtM(t, ‖u(t)‖2) + 2M(t, ‖u(t)‖2)
∫Γ1
(m.ν)h(u′(t))u′(t)dΓ = 0,
isto é,d
dtE(t) + 2M(t, ‖u(t)‖2)
∫Γ1
(m.ν)h(u′(t))u′(t)dΓ = 0 (4.184)
Vamos calcular a derivada de ρ′(t). Para facilar a escrita deixamos de escrever avariável t. Tem-se:
ρ′ = 2(u′′,m.∇u) + 2(u′,m.∇u′) + (n− 1)(u′′, u) + (n− 1)|u′|2. (4.185)
(i) Cálculo de 2(u′′,m.∇u)
117
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Pelo Teorema de Rellich, ver V. Komornik e E. Zuazua [18] e M.Milla Miranda e L.P.San Gil Jutuca [38], resulta que
2(u′′,m.∇u) = 2(µ4u,m.∇u) = 2µ(4u,m.∇u) =
= (n− 2)µ‖u‖2 − µ
∫Γ
(m.ν)|∇u|2dΓ + 2µ
∫Γ
∂u
∂νm.∇udΓ,
isto é,2(u′′,m.∇u) = (n− 2)µ‖u‖2 + µI1 + µI2, (4.186)
ondeI1 = −
∫Γ
(m.ν)|∇u|2dΓ e I2 = 2
∫Γ
∂u
∂νm.∇udΓ.
Note que sobre Γ0, verifica-se |∇u|2 =(
∂u∂ν
)2 e m.∇u = m.ν ∂u∂ν, ver M.Milla Miranda
e L.A, Medeiros [35]. Tem-se:
I1 = −∫
Γ0
(m.ν)|∇u|2dΓ−∫
Γ1
(m.v)|∇u|2dΓ =
= −∫
Γ0
(m.ν)
(∂u
∂ν
)2
dΓ−∫
Γ1
(m.v)|∇u|2dΓ.
Também temos
I2 = 2
∫Γ0
∂u
∂νm.∇udΓ + 2
∫Γ1
∂u
∂νm.∇udΓ ≤
≤ 2
∫Γ0
(m.ν)
(∂u
∂ν
)2
dΓ + 2R
∫Γ1
∣∣∣∂u∂ν
∣∣∣|∇u|dΓ ≤≤ 2
∫Γ0
(m.ν)
(∂u
∂ν
)2
dΓ +R2
τ0
∫Γ1
(∂u
∂ν
)2
dΓ +
∫Γ1
(m.ν)|∇u|2dΓ,
isto é,
I2 ≤ 2
∫Γ0
(m.ν)
(∂u
∂ν
)2
dΓ +R2
τ0
∫Γ1
(∂u
∂ν
)2
dΓ +
∫Γ1
(m.ν)|∇u|2dΓ.
Somando I1 com I2 e notando que m.ν ≤ 0 sobre Γ0, resulta
I1 + I2 ≤R2
τ0
∫Γ1
(∂u
∂ν
)2
dΓ. (4.187)
Combinando (4.186) e (4.187) obtemos:
2(u′′,m.∇u) ≤ (n− 2)µ‖u‖2 +R2
τ0µ
∫Γ1
(∂u
∂ν
)2
dΓ. (4.188)
118
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(ii) Cálculo de 2(u′,m.∇u)Temos
2(u′,m.∇u′) = 2n∑
j=1
∫Ω
u′mj∂u′
∂xj
dx = 2n∑
j=1
mj1
2
∂u′2
∂xj
dx =
= −n|u′|2 +
∫Γ1
(m.ν)u′2dΓ,
isto é,
2(u′,m.∇u′) = −n|u′|2 +
∫Γ1
(m.ν)u′2dΓ. (4.189)
(iii) Cálculo de (n− 1)(u′′, u).
Tem-se:(u′′, u) = µ(4u, u) = −µ‖u‖2 − µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)udΓ,
isto é,
(n− 1)(u′′, u) = −(n− 1)µ‖u‖2 − (n− 1)µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)udΓ. (4.190)
Levando em consideração (4.188)-(4.190) em (4.185) e fazendo os respectivos cance-lamentos, resulta que
ρ′ ≤ −|u′|2 − µ‖u‖2 +R2
τ0µ
∫Γ1
(∂u
∂ν
)2
dΓ+
+
∫Γ1
(m.ν)u′2dΓ− (n− 1)µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)udΓ.
(4.191)
(iv) Cálculo deR2
τ0
∫Γ1
(∂u
∂ν
)2
dΓ.
Observe que h2(s) ≤ d1h(s)s, para todo s ∈ R. Logo,∫Γ1
(∂u
∂ν
)2
=
∫Γ1
(m.ν)2h2(u′)dΓ ≤ τ1d1
∫Γ1
(m.ν)h(u′)u′dΓ,
isto é,R2
τ0µ
∫Γ1
(∂u
∂ν
)2
dΓ ≤[R2
τ0τ1d1
]µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)u′dΓ. (4.192)
(v) Cálculo de∫
Γ1
(m.ν)u′2dΓ.
Note que d0s2 ≤ h(s)s, para todo s ∈ R. Portanto∫
Γ1
(m.ν)u′2dΓ ≤ 1
m0d0
µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)u′dΓ. (4.193)
119
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(vi) Cálculo de −(n− 1)µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)udΓ.
Tem-se: ∣∣∣ ∫Γ1
(m.ν)h(u′)udΓ∣∣∣ ≤ ∫
Γ1
(m.ν)|h(u′)||u|dΓ ≤
≤ 1
2α0
∫Γ1
(m.ν)2h2(u′)dΓ +α0
2
∫Γ1
u2dΓ ≤
≤ 1
2α0
τ1d1
∫Γ1
(m.ν)h(u′)u′dΓ +α0
2k1‖u‖2,
onde α0 > 0. Assim,
−(n− 1)µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)udΓ ≤ (n− 1)
2α0
τ1d1µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)u′dΓ+
+
[(n− 1)
2α0k1
]µ‖u‖2.
(4.194)
Obtém-se de (4.191)-(4.194):
ρ′ ≤ −|u′|2 −[1− (n− 1)α0k1
2
]µ‖u‖2+
+
[R2τ1d1
τ0+
1
m0d0
+(n− 1)τ1d1
2α0
]µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)u′dΓ.
Escolhendo α0 > 0 tal que
1− (n− 1)α0k1
2=
1
2,
isto é,α0 =
1
(n− 1)k1
=1
2, n > 1.
Entãoρ′ ≤ −1
2|u′|2 − 1
2µ‖u‖2 + k∗µ
∫Γ1
(m.ν)h(u′)u′dΓ, (4.195)
onde
k∗ =R2τ1d1
τ0+
1
m0d0
+(n− 1)2k1τ1d1
2. (4.196)
Note que
M(t, ‖u(t)‖2) =
∫ ‖u(t)‖2
0
M(t, τ)dτ = M(t, τ ∗)‖u(t)‖2,
onde τ ∗ ∈ [0, ‖u(t)‖2]. Como M(t, σ) é crescente na variável σ resulta
M(t, ‖u(t)‖2) ≤M(t, ‖u(t)‖2)‖u(t)‖2 = µ‖u(t)‖2.
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Assim,
ρ′(t) ≤ −1
2E(t) + k∗µ(t)
∫Γ1
(m.ν)h(u′)u′dΓ. (4.197)
Escolha ε1 > 0 tal que
ε1k∗ = 2 (4.198)
Combinando (4.184) com (4.197) resulta
E ′ε(t) ≤ −ε
2E(t), ∀ 0 < ε ≤ ε1. (4.199)
Seja η = minε0, ε1, ε0 definido em (4.182) e ε1 em (4.199). Então de (4.183) e(4.199), obtemos
1
2E(t) ≤ Eη(t) ≤
3
2E(t), ∀t ≥ 0
E ′η(t) ≤ −η
2E(t), ∀t ≥ 0.
Portanto,E ′
η(t) ≤ −η3Eη(t), ∀t ≥ 0,
o que implicaE ′
η(t) ≤ Eη(0)e− η
3t, ∀t ≥ 0.
Assim,E(t) ≤ 3E(0)e−
η3t, ∀t ≥ 0.
A seguir descreveremos o sistema que desejamos analizar. O problema a estudar é oseguinte:
(S)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u′′ −M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2)4u = 0 em Ω× (0,∞)
v′′ −M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2)4v = 0 em Ω× (0,∞)
u = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
v = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
∂u
∂ν+ h(., u′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
∂v
∂ν+ h(., v′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
u(0) = u0, u′(0) = u1 em Ω
v(0) = v0, v′(0) = v1 em Ω.
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A energia associada a (S) é o funcional
E(t) = |u′(t)|2 + |v′(t)|2 + M(t, ‖u(t)‖2 + ‖v(t)‖2), t ≥ 0,
ondeM(t, σ) =
∫ σ
0
M(t, σ)dσ.
Introduzimos as seguintes notações:
• H
(s
r
)=
(h(s)
h(r)
),
(H
(s
r
),
(s
r
))= h(r)r + h(s)s, ∀r, s ∈ R;
• w =
(u
v
), w′ =
(u′
v′
), ‖w‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2, |w′|2 = |u′|2 + |v′|2;
• H(w′) = H
(u′
v′
)=
(h(u′)
h(v′)
);
• u0 =
(u0
v0
), u1 =
(u1
v1
), 0 =
(0
0
).
Com estas notações o sistema (S) adota a seguinte forma:
(SV )
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
w′′ −M(t, ‖w‖2)4w = 0 em Ω× (0,∞)
w = 0 sobre Γ0 × (0,∞)
∂w
∂ν+ (m.ν)H(w′) = 0 sobre Γ1 × (0,∞)
w(0) = w0, w′(0) = w1 em Ω.
A energia associada a (SV ) é o funcional
E(t) = |w′(t)|2 + M(t, ‖w(t)‖2), t ≥ 0.
Sejam u0 ∈ (V ∩H2(Ω))2 e u1 ∈ V 2 verificando
(H6)∂u0
∂ν+ (m.ν)H(u1) = 0 sobre Γ1.
Diz-se que uma função vetorial w =
(u
v
)é uma solução global de (SV ) se w
pertence à classew ∈ (L∞loc(0,∞;V ∩H2(Ω)))2
w′ ∈ (L∞loc(0,∞;V ))2
w′′ ∈ (L∞loc(0,∞;L2(Ω)))2
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e verifica
w′′ −M(t, ‖w‖2)4w = 0 em (L∞loc(0,∞;L2(Ω)))2
∂w
∂ν+ (m.ν)H(w′) = 0 em (L2
loc(0,∞;H12 (Γ1)))
2
w(0) = w0, w′(0) = w1.
A hipótese (H5) na sua versão vetorial tem a forma
(H7)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣H ∈ (C0(R))2,
0 < d0
∥∥∥∥∥(r
s
)∥∥∥∥∥2
≤
(H
(r
s
),
(r
s
))≤ d1
∥∥∥∥∥(r
s
)∥∥∥∥∥2
, ∀
(r
s
)∈ R2.
Teorema 4.6 Suponha satisfeitas as hipóteses (H1), (H2), (H4), (H6) e (H7). Seja w
uma solução global de (SV ). Então existe η > 0 tal que
E(t) ≤ 3E(0)e−η3t, ∀t ≥ 0,
onde η está definido no Teorema 4.5.Demonstração: Tomando o produto escalar a ambosos membros de (SV ) com 2w′
resulta
(w′′(t), 2w′(t)) +M(t, ‖w(t)‖2)(4w(t), 2w′(t)) = 0
oud
dt|w′(t)|2 +M(t, ‖w(t)‖2)
d
dt‖w(t)‖2+
+2M(t, ‖w(t)‖2)
∫Γ1
(m.ν)(H(w′(t)),w′(t))dΓ, ∀t ≥ 0,
isto é,d
dtE(t) + 2M(t, ‖w(t)‖2)
∫Γ1
(m.ν)(H(w′(t)),w′(t))dΓ, ∀t ≥ 0,
Considera-se o funcional vetorial
ρ(t) = 2(u′(t),m.∇u(t)) + (n− 1)(u′(t), u(t)) + 2(v′(t),m.∇v(t)) + (n− 1)(v′(t), v(t)),
e a energia pertubadaEε(t) = E(t) + ερ(t), ε > 0.
A seguir prosegue-se como Teorema 4.5 e obtém-se o resultado.
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