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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Eduardo Santos Vaz
PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES COM SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO: um estudo
da Ponte Browniana na redução do erro
Rio de Janeiro
2013
2
Eduardo Santos Vaz
PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES COM SIMULAÇÃO DE MONTE
CARLO - UM ESTUDO DA PONTE BROWNIANA NA REDUÇÃO DO
ERRO
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em
Administração, Instituto COPPEAD de
Administração, Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre.
Aprovada por:
_________________________________________
Prof. Eduardo Saliby, Ph. D. – Orientador
(COPPEAD/UFRJ)
_________________________________________
Prof. Vicente Antonio de Castro Ferreira, D.Sc.
(COPPEAD/UFRJ)
_________________________________________
Prof. Gastão Coelho Gomes, D.Sc.
(IM/UFRJ)
Rio de Janeiro
2013
3
Vaz, Eduardo Santos.
Precificação de opções de Monte Carlo: um estudo da Ponte
Browniana na redução do erro. / Eduardo Santos Vaz. -- Rio de
Janeiro: UFRJ, 2013.
72 f.: il.; 30 cm.
Orientador: Eduardo Saliby.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Instituto COPPEAD de Administração, 2013.
1.Finanças. 2. Administração – Teses. I. Saliby, Eduardo.
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto COPPEAD
de Administração. III. Título.
4
5
Dedico este trabalho a meus pais,
Paulo César e Alzira, e a meu filho
Guilherme
6
Agradeço ao Professor Eduardo Saliby
pela orientação neste trabalho e
motivação nos momentos mais difíceis.
7
“Eu, a Sabedoria, sou vizinha da sagacidade, e tenho o
conhecimento e a reflexão. Temer a Javé é odiar o mal.
Por isso, eu detesto o orgulho e a soberba, o mau
comportamento e a boca falsa. Eu possuo o conselho e o
bom senso; a inteligência e a fortaleza me pertencem. É
através de mim que os reis governam e os príncipes
decretam leis justas. Através de mim, os chefes
governam e os nobres dão sentenças justas. Eu amo os
que me amam, e os que me procuram me encontrarão.
Comigo estão a riqueza e a honra, a prosperidade e a
justiça. O meu fruto vale mais do que ouro puro, e a
minha renda vale mais do que prata de lei. Eu caminho
pela trilha da justiça, e ando pelas veredas do direito,
para levar riquezas aos que me amam e encher os seus
cofres.”
Bíblia Sagrada, Provérbios 8:12-21
8
RESUMO
Vaz, Eduardo Santos. Precificação de opções com simulação de Monte Carlo :
um estudo da Ponte Browniana na redução do erro. Dissertação (Mestrado em
Administração de Empresas) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto
COPPEAD de Administração. Rio de Janeiro, 2013.
A Simulação de Monte Carlo é uma ferramenta utilizada para a precificação de
Opções complexas ou dependentes do caminho percorrido pelo Ativo referenciado. Sua
limitação está no erro e na precisão da estimativa produzida. Desta forma o presente
estudo busca comparar o impacto da utilização da trajetória por Ponte Browniana,
alternativamente à trajetória Incremental, na redução do erro e no aumento da precisão
das estimativas produzidas. Foram considerados 3 métodos amostrais: Amostragem
Descritiva, Hipercubo Latino e Amostragem Aleatória Simples. Foram calculadas
estimativas para Opções Asiáticas Geométricas, Asiáticas Aritméticas, Lookback e
Européias. As comparações entre os métodos ocorreram principalmente com as Opções
Geométricas. Os resultados do estudo indicam que a utilização da Ponte Browniana tem
um impacto significativo na redução do erro, obtendo-se o menor erro com Amostragem
Descritiva. Quanto à precisão a amostragem por Hipercubo Latino com trajetória
Incremental apresentou o melhor resultado, mas logo em seguida aparece a Amostragem
Descritiva com Ponte Browniana.
Palavras- Chave: Ponte Browniana. Simulação. Monte Carlo. Amostragem Descritiva.
Opções Asiáticas Geométricas.
9
ABSTRACT
Vaz, Eduardo Santos. Precificação de opções com simulação de Monte Carlo :
um estudo da Ponte Browniana na redução do erro. Dissertação (Mestrado em
Administração de Empresas) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto
COPPEAD de Administração. Rio de Janeiro, 2013.
The Monte Carlo simulation is a tool used for pricing complex options or path-
dependent of the referenced assets. Its limitation is in error and the accuracy of the
estimate produced. Thus, the present study seeks to compare the impact of using a
trajectory of Brownian Bridge, instead of the Incremental trajectory, measuring the
effects in the error reduction and at the precision of the estimates produced. We
considered three sampling methods: Descriptive Sampling, Latin Hypercube Sampling
and Simple Random Sampling. Estimates were calculated for options Asian Geometric,
Asian Arithmetic, Lookback and European. The comparisons between the methods
occurred mainly with Asian Geometric options. The results of the study indicate that the
use of the Brownian Bridge has a significant impact on error reduction, yielding the
smallest error with Descriptive Sampling. For accuracy Latin Hypercube sampling with
Incremental trajectory showed the best result, but Descriptive Sampling with Brownian
Bridge appears close.
Keywords: Brownian Bridge. Simulation. Monte Carlo. Descriptive Sampling. Asian
Geometric Options
10
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Geração de valores através da Ponte Browniana . Fonte: Gouvêa (2008) ............................. 36
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Taxa anual de crescimento 1995-2007, Derivativos x Ações x Renda Fixa. Fonte: Deutsche
Borse AG (2008) .......................................................................................................................... ......... 17
Gráfico 2: Comparativo entre os desvios-padrão do ativo variando Δt. Fonte: Hull (2009) ................. 21
Gráfico 3: Comparativo entre os processos Wiener Básico e Wiener Generalizado com apenas uma
trajetória. Fonte: Hull (2009) ................................................................................................................ 22
Gráfico 4: Processo de Wiener Básico com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011) .......................... 23
Gráfico 5: Processo de Wiener Generalizado com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011) ................ 23
Gráfico 6: Processo de Itô ou MGB com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011) ................................ 25
Gráfico 7: Geração dos valores ε, a partir dos valores aleatórios. Fonte: Autor .................................... 29
Gráfico 8: Distribuição de freqüências valores aleatórios (0,1) Teórica x Empírica . Fonte: Autor ..... 31
Gráfico 9: Distribuição de freqüências valores ε Teórica x Empírica . Fonte: Autor ........................... 32
Gráfico 10: Cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética, k=45, 16 Dimensões.
Fonte: Autor ......................................................................................................................................... 41
Gráfico 11: Cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética, k=45, 128 Dimensões.
Fonte: Autor ......................................................................................................................................... 42
Gráfico 12: Cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 16 Dimensões. Fonte: Autor ... 43
Gráfico 13: Cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 128 Dimensões. Fonte: Autor . 43
11
Gráfico 14: Cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 16 Dimensões. Fonte:
Autor .................................................................................................................................................... 44
Gráfico 15: Cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 128 Dimensões. Fonte:
Autor ................................................................................................................................ .................... 45
Gráfico 16: Valores de desvio padrão (Erro) x Quantidade de Passos, K=45. Fonte: Autor ................ 46
Gráfico 17: Valores de desvio padrão (Erro) x Quantidade de Passos, K=50. Fonte: Autor ................ 47
Gráfico 18: Valores de desvio padrão (Erro) x Quantidade de Passos, K=55. Fonte: Autor ................ 48
Gráfico 19: Valores de erro absoluto % (precisão) x Quantidade de Passos, K=45. Fonte: Autor ...... 49
Gráfico 20: Valores de erro absoluto % (precisão) x Quantidade de Passos, K=50. Fonte: Autor ...... 50
Gráfico 21: Valores de erro absoluto % (precisão) x Quantidade de Passos, K=55. Fonte: Autor ...... 51
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Quadro de classes de freqüências dos 500 valores aletoriamente gerados no Excel. Fonte:
Autor ...................................................................................................................................................... 30
Quadro 2: Quadro de valores teóricos de Opções calculadas por Black-Scholes ................................. 38
Quadro 3: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética,
k=45, 16 Dimensões. Fonte: Autor ....................................................................................................... 41
Quadro 4: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética,
k=45, 128 Dimensões. Fonte: Autor ..................................................................................................... 42
Quadro 5: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 16
Dimensões. Fonte: Autor ...................................................................................................................... 43
Quadro 6: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 128
Dimensões. Fonte: Autor ...................................................................................................................... 44
Quadro 7: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 16
Dimensões. Fonte: Autor ..................................................................................................................... 44
12
Quadro 8: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício,
128 Dimensões. Fonte: Autor .............................................................................................................. 45
Quadro 9 Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=45, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:
Autor ................................................................................................................................ ..................... 46
Quadro 10: Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=50, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:
Autor ..................................................................................................................................................... 47
Quadro 11: Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=55, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:
Autor ..................................................................................................................................................... 48
Quadro 12: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=45, passos= 16,32,64 e 128..
Fonte: Autor ............................................................................................................................. ............ 49
Quadro 13: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=50, passos= 16, 32,64 e 128.
Fonte: Autor ............................................................................................................................. ............ 50
Quadro 14: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=55, passos= 16,32,64 e 128.
Fonte: Autor ............................................................................................................................. ............ 51
Quadro 15: Cinco menores valores de Erro para K=45, 50 e 55. Fonte: Autor ................................... 53
Quadro 16: Valores médios (passos e amostragem) dos Erros para K=45,50 e 55. Fonte: Autor ........ 53
Quadro 17: Valores de precisão da AD com 16 e 128 passos variando-se trajetória e valor de K . Fonte:
Autor ..................................................................................................................................................... 54
Quadro 18: Valores de precisão da HCL com 16 e 128 passos variando-se trajetória e valor de K. Fonte:
Autor .................................................................................................................................................... 55
Quadro 19: Cinco melhores valores de precisão com 128 passos, K=45. Fonte: Autor ...................... 55
Quadro 20: Cinco melhores valores de precisão com 128 passos, K=50. Fonte: Autor ...................... 55
Quadro 21: Cinco melhores valores de precisão com 128 passos, K=55. Fonte: Autor ...................... 55
Quadro 22: Valores médios (passos e amostragem) de precisão das trajetórias. Fonte: Autor ........... 56
13
Quadro 23: Ganhos de Precisão dos modelos ao se variar de 16 passos para 128 passos, K=45,50 e 55.
Fonte: Autor ......................................................................................................................................... 57
Quadro 24: Perda de precisão dos modelos ao se variar o K de 45 para 55, com passos = 16, 32, 64 e 128.
Fonte: Autor ......................................................................................................................................... 58
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
AAS - Amostragem Aleatória Simples
HCL - Amostragem por Hipercubo Latino
AD - Amostragem Descritiva
Incr. - Incremental
BB - Ponte Browniana ou Brownian Bridge
INCR AAS - Amostragem Aleatória Simples com trajetória incremental
INCR HCL - Amostragem por Hipercubo latino com trajetória incremental
INCR AAD - Amostragem Descritiva com trajetória incremental
BB HCL - Amostragem por Hipercubo Latino com Brownian Bridge
BB AD - Amostragem Descritiva com Brownian Bridge
S0 - preço inicial do ativo
ST - preço final do ativo
t - tempo
σ - volatilidade do ativo
Rf - taxa livre de risco
μ - taxa de retorno do Ativo
K - preço de exercício da opção.
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LISTA DE FÓRMULAS
dz = ε * √ ........…Movimento Browniano ou Processo de Wiener Básico
dx = adt + bdz ......... Processo de Wiener Generalizado (a e b constantes)
dS/S = µ.dt + σ.dz ......... Retorno de um ativo ao longo do tempo
dx = a(x,t)dt + b(x,t) dz .... Movimento Geométrico Browniano ou Processo de Itô
dS = µ.S. dt + σ. S .dz .....Valor de um ativo ao longo do tempo
dlnS= (µ - /2).dt + . Logaritmo natural do Valor de um ativo ao longo do tempo
S T= S0 * µ √ .............................................................
Valor de um ativo ao longo do tempo (derivado da fórmula do Logaritmo natural do
Valor de um Ativo ao longo do tempo)
16
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 17
2 OPÇÕES X AÇÕES ................................................................................................................ 19
2.1 EFICIÊNCIA FRACA DE MERCADO .......................................................................... 19
2.2 PROCESSO ESTOCÁSTICO DE MARKOV ............................................................................. 19
2.3 PROCESSO DE WIENER OU MOVIMENTO BROWNIANO ..................................... 20
2.4 PROCESSO DE WIENER GENERALIZADO (A E B CONSTANTES) ....................... 21
2.5 RETORNO DE UMA AÇÃO E PROCESSO DE WIENER ............................................ 23
2.6 PROCESSO DE ITÔ, LEMA DE ITÔ E MOVIMENTO GEOMÉTRICO BROWNIANO
................................................................................................................................................. 24
2.7 Rf x - FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES , E RISK NEUTRAL VALUATION .... 26
3 MÉTODO DE MONTE CARLO ............................................................................................. 27
3.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO ........................................................................................... 27
3.2 TIPOS DE AMOSTRAGEM ............................................................................................ 29
3.3 ERRO DAS ESTIMATIVAS E CONVERGÊNCIA ........................................................ 33
4 PONTE BROWNIANA X ANÁLISE INCREMENTAL ........................................................ 34
4.1 OPÇÕES EUROPÉIAS..................................................................................................... 34
4.2 OPÇÕES ASIÁTICAS ...................................................................................................... 34
4.3 PONTE BROWNIANA .................................................................................................... 35
5 DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS ................................................................................... 38
6 RESULTADOS ........................................................................................................................ 41
6.1 CONCENTRAÇÃO DAS HIERARQUIAS ..................................................................... 41
6.2 ERRO E PRECISÃO ........................................................................................................ 45
7 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................................. 52
7.1 CONCENTRAÇÃO DE HIERARQUIAS ........................................................................ 52
7.2 ERRO E PRECISÃO ........................................................................................................ 52
8 CONCLUSÕES ....................................................................................................................... 59
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 61
10 APÊNDICE ............................................................................................................................ 62
17
1 INTRODUÇÃO
Derivativos são instrumentos financeiros que permitem tanto fazer “hedge” (reduzir
risco) contra incertezas sobre o preço do ativo, como especular (aumentar risco) ou
arbitrar (risco zero) sobre o preço do mesmo ativo, dependendo do perfil e das
necessidades do investidor.
De acordo com LIM (2012), citando Paul Wilmott, PhD em matemática aplicada por
Oxford, o mercado de derivativos pode ser mensurado como algo próximo a 20 vezes o
Produto Mundial Bruto, ou seja, de acordo com a estimativa do FMI para 2012 de um
Produto Mundial Bruto de US$ 71,5 trilhões, estamos falando de um mercado global
de derivativos de US$ 1,4 quatrilhão. Isso é possível pois o mesmo ativo pode estar
referenciado a vários derivativos. Além disso é um mercado que cresce muito mais que
o mercado de ações e de renda fixa (vide figura abaixo), com taxa anual de crescimento
de 24%, enquanto o mercado de ações cresceu em torno de 11%, no período de 1995 a
2007.
Gráfico 1: Taxa anual de crescimento 1995-2007, Derivativos x Ações x Renda Fixa. Fonte: Deutsche
Borse AG (2008)
Os derivativos podem se dividir principalmente entre: Mercado a Termo; Mercado
Futuro e Opções. Neste estudo iremos tratar apenas de Opções.
18
De acordo com Hull (2009), a determinação do preço das Opções pode ser realizada
através de 4 técnicas principais:
1 – Analítica, principalmente através da fórmula de Black-Scholes
2 – Árvore Binomial, que mapeia os “paths” possíveis do ativo. Por exemplo,
uma árvore binomial com 30 “steps” produz algo em torno de 1 bilhão de
“paths”. Utilizada principalmente nos casos em que decisões devem ser
realizadas antes da maturidade.
3 – Monte Carlo, que simula os preços do ativo, de acordo com modelos
estocásticos. Utilizada principalmente nos casos em que o valor da opção
depende da história do ativo (pex. Opções asiáticas aritméticas) ou nos casos em
que mais de 2 ativos, com movimentos aleatórios, estão relacionados ao preço
final da opção ( pex. “basket options”).
4 – Método das Diferenças finitas, soluciona iterativamente a equação
diferencial do derivativo. Utilizada similarmente à Árvore Binomial.
De acordo com Glasserman (2004), a utilização da precificação de derivativos pelo
método de Monte Carlo se torna mais necessária nos seguintes casos:
- A dinâmica do preço do Ativo relacionado ao derivativo é suficientemente complexa;
- A precificação do derivativo depende do “caminho” percorrido pelo Ativo;
- A quantidade de Ativos referenciada pelo derivativo é maior do que dois ou três.
Devido ao aumento de complexidade dos derivativos, decorrente da própria dinâmica
de criação dos derivativos, o método de Monte Carlo deverá se tornar cada vez mais
necessário na precificação de opções complexas. Some-se a isto o constante aumento na
capacidade computacional, que favorece a utilização do método de Monte Carlo.
Um dos principais fatores limitadores da utilização do método de Monte Carlo é o
tempo computacional utilizado. De forma geral para se obter um resultado satisfatório
utilizando a simulação de Monte Carlo é necessária a realização de N simulações, dado
que a redução do erro-padrão do resultado final é diretamente proporcional a 1/ √ ,
devido ao teorema do Limite Central. Ou seja para reduzir o erro-padrão pela metade é
necessário aumentar N em 4 vezes. Uma forma de reduzir a quantidade de simulações, e
por conseguinte o tempo de máquina, é através da redução da variância sem aumentar a
quantidade de simulações (ou amostras).
A utilização da Ponte Browniana para a geração dos valores de um ativo S qualquer ao
longo do tempo é uma forma para reduzir esta variância. Neste estudo iremos realizar
experimentos com a Ponte Browniana e seus efeitos na redução da variância
19
2 OPÇÕES X AÇÕES
O preço final de uma opção européia, no seu vencimento, decorre apenas de dois
fatores: o preço final do ativo (S) e o preço de exercício (K).
A opção pode ser uma “call” ou uma “put”. Sendo uma call, direito de compra, seu
valor, no vencimento, é igual a máx (S-K;0) e sendo uma put, direito de venda, seu
valor é igual a máx (K-S;0).
A dificuldade na determinação do preço da opção européia acontece quando se está em
um tempo t anterior ao seu vencimento. Como não sabemos o valor futuro do ativo, não
podemos calcular de forma simples o valor atual da opção.
No método de Monte Carlo, podemos calcular o valor da opção através da simulação de
vários valores para o ativo até o prazo de vencimento da opção. Neste tempo t no
vencimento da opção calculamos o valor da opção utilizando a fórmula máx (S-K;0).
Repetimos este cálculo para muitos valores e chegamos ao valor da opção calculando a
média dos valores obtidos.
Contudo, para chegar no valor da opção através do Método de Monte Carlo, precisamos
calcular o valor do ativo ao longo do tempo, conforme veremos a seguir.
2.1 EFICIÊNCIA FRACA DE MERCADO
A eficiência fraca de mercado pressupõe que o preço atual de um ativo contém toda a
informação decorrente do preços passados. Ou seja não é possível prever o preço futuro
do ativo baseado em preços passados. A competição dos agentes no mercado acionário é
que garante esta imprevisibilidade, pois caso houvesse um padrão passado que pudesse
determinar o preço futuro do ativo, vários dos agentes negociariam da mesma forma,
fazendo que o padrão desaparecesse. Vale notar que se o ativo em questão tem pouca
competição, ou seja baixa liquidez, é mais difícil garantir a eficiência fraca de mercado.
Considerando que o ativo tem alta liquidez, podemos considerar a eficiência fraca de
mercado, e desta forma o preço futuro do ativo não tem nenhuma relação com os preços
passados do ativo.
2.2 PROCESSO ESTOCÁSTICO DE MARKOV
Um processo aleatório, ou estocástico, se caracteriza pela aleatoriedade do valor da
variável ao longo do tempo. Já um processo determinístico sempre produzirá o mesmo
valor da variável ao longo do tempo, dada as mesmas condições iniciais.
20
Um processo estocástico de Markov é um processo estocástico específico onde apenas o
valor presente da variável em questão é relevante para prever seu valor futuro.
Num cenário de “eficiência fraca de mercado” podemos considerar que o preço de um
ativo ao longo do tempo obedece um processo estocástico de Markov.
2.3 PROCESSO DE WIENER OU MOVIMENTO BROWNIANO
De acordo com Hull (2009), um processo de Wiener, ou Movimento Browniano, é um
tipo particular de processo de Markov com distribuição Normal de média=0 e taxa de
variancia=1,0 por período de tempo T considerado.
Sendo z a variável que obedece um processo de Wiener, teremos as seguintes
propriedades:
√ ; onde tem distribuição Normal (0,1) e t é o tempo.
2 – os valores de para quaisquer dois intervalos de tempo diferentes, são
independentes.
Desta forma tem distribuição Normal com:
Média: E ( ) = E ( √ ) = √ . E ( )= 0;
Variância: Var ( ) = Var ( √ )= . Var ( )= =
Desvio Padrão: = √ = √
Ao somarmos duas distribuições normais independentes (períodos de tempo
sucessivos), a nova média será a soma das médias (que será igual a zero, já que a média
de cada uma é zero) e a nova variância será a soma das variâncias (que será igual ao
total). Por outro lado o desvio padrão será a raiz quadrada da soma das variâncias,
e não a soma dos desvios padrões, ou seja a raiz quadrada do tempo total.
Por exemplo, se = 49 meses, o desvio padrão será igual a 7; se somarmos dois
períodos iguais, teremos uma variância = 98 (49+49), mas o desvio padrão não será a
soma dos dp = 14 (7+7), mas sim será igual a 9,9 (√ ).
Na prática isso pode ser observado na figura abaixo de valores do ativo ao longo do
tempo, onde por exemplo para relativamente grandes, o valor do DP em relação ao
considerado é bem menor do que o DP relativo a bem pequenos.
21
Gráfico 2: Comparativo entre os desvios-padrão do ativo variando Δt. Fonte: Hull (2009)
2.4 PROCESSO DE WIENER GENERALIZADO (A E B CONSTANTES)
Um processo de Wiener generalizado possui uma taxa de crescimento constante
“a”(“drift”) diferente de zero, e taxa de variância constante “b”; já no Wiener básico
a=0 e b=1.
Fórmula Geral Wiener generalizado ( -->> 0): dx = adt + bdz ; onde x é a variável
que obedece um processo de Wiener generalizado, a é a taxa de crescimento, t é tempo,
b é a taxa de variância (que no processo de Wiener básico era igual a 1,0) e z obedece
um processo de Wiener básico.
22
Desta forma tem distribuição Normal com:
Média: E ( ) = a √
Variância: Var ( ) = b2
Desvio Padrão: = √ =b √
Segue abaixo um gráfico comparando um processo de Wiener básico e um
generalizado, considerando apenas um caminho:
Gráfico 3: Comparativo entre os processos Wiener Básico e Wiener Generalizado com apenas uma
trajetória. Fonte: Hull (2009)
Segue abaixo um gráfico de Wiener básico e um gráfico de Wiener generalizado,
considerando vários caminhos:
23
Gráfico 4: Processo de Wiener Básico com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011)
Gráfico 5: Processo de Wiener Generalizado com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011)
2.5 RETORNO DE UMA AÇÃO E PROCESSO DE WIENER
O retorno de um ativo ( ) obedece um processo de Wiener generalizado, com
“drift” (a) constante e igual a µ (retorno esperado) e a taxa de variância (b) constante e
igual a σ.
dS/S = µ.dt + σ.dz.
Desta forma tem distribuição Normal com:
24
Média: E ( ) = µ √
Variância: Var ( ) = σ 2
Desvio Padrão: = √ = σ √
Na sua forma discreta, e passando S para o lado direito da equação, a fórmula fica igual
a:
= µ.S. t + σ. S. ξ.√ .
Com esta fórmula podemos calcular os valor do ativo S ao longo do tempo na simulação
de Monte Carlo.
Contudo, de acordo com Hull, para efeito do cálculo da simulação dos valores de S, é
mais acurado utilizar LnS ao invés de S. Para esta troca é necessário o Lema de Itô.
2.6 PROCESSO DE ITÔ, LEMA DE ITÔ E MOVIMENTO GEOMÉTRICO
BROWNIANO
Um processo de Itô é um processo de Wiener generalizado, onde os parâmetros a e b
variam com o valor da própria variável de Wiener e com o tempo.
Fórmula Geral Itô: dx = a(x,t)dt + b(x,t) dz
Sendo que tem distribuição Log-Normal.
Conforme vimos anteriormente um modelo razoável para simular o retorno de um ativo
S ao longo do tempo é:
dS/S = µ.dt + σ.dz,
Passando S para o lado direito da equação teremos a fórmula geral para o preço de
um ativo ao longo do tempo:
dS = µ.S. dt + σ. S .dz, com µ e σ constantes,
Este modelo segue um processo de Itô específico, conhecido como Movimento
Geométrico Browniano (MGB), visto que a e b variam com S e t, sendo que a = µ.S e b
= σ. S.
Segue abaixo um gráfico de uma variável que obedece um MGB, para vários caminhos:
25
Gráfico 6: Processo de Itô ou MGB com várias trajetórias. Fonte: Pacati (2011)
Se S obedece um processo de Itô, e sendo G uma função de S e de t (ou seja, valor de
uma opção), teremos pelo Lema de Itô que:
dG = (
. )dt +
. σ. S. dz.
Sendo G = lnS teremos:
= -1/ .
E fazendo as substituições acima no lema de Itô para G teremos:
dlnS= ( - /2).dt + .
(A fórmula acima tem distribuição Normal com média = (µ - /2) e desvio padrão =
√ . Logo se LnS tem distribuição Normal, S terá distribuição Log-Normal)
Para tempos discretos teremos:
ln S(t+ ) – ln S(t) = - /2). + √ ; multiplicando por ,
S T= S0 * √ ;
que será a fórmula utilizada para os valores do ativo S ao longo do tempo na Simulação
de Monte Carlo (exceto pelo valor ) .
Conforme veremos a seguir o valor poderá ser substituído por Rf, taxa livre de risco,
simplificando enormemente os cálculos do valor das opções.
26
2.7 Rf x - FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES , E RISK NEUTRAL VALUATION
De acordo com Hull (2009), um princípio fundamental para a precificação de opções é a
consideração que tudo acontece em um mundo indiferente ao risco. Neste mundo os
investidores não requerem retorno adicional para riscos maiores. Desta forma podemos
adotar Rf, taxa livre de Risco, para em todos os ativos, o que simplifica enormemente
o cálculo dos derivativos.
Este princípio pode ser verificado na fórmula de Black-Scholes para precificação de
opções, onde , a taxa de retorno requerida pelo investidor, não faz parte dela. As
variáveis presentes na fórmula de Black-Scholes são cinco:
S0 (preço inicial do ativo);
t (tempo);
σ (volatilidade do ativo);
Rf (taxa livre de risco);
K (preço de exercício da opção).
Desta forma na fórmula utilizada para os valores do ativo S ao longo do tempo na
Simulação de Monte Carlo substituiremos o valor de por Rf, ficando a fórmula
alterada para:
S T= S0 * √ ;
Repare que os valores simulados para o ativo S não correspondem à um mundo real
que leva em conta o Risco. Logo são valores que não correspondem à provável
evolução dos valores do ativo S no mundo real, pois não leva em conta o retorno
requerido para o risco do ativo, que deve variar de acordo com o Beta do ativo (modelo
CAPM).
Contudo apesar dos valores de S não refletirem a realidade, os valores da opção
associada ao ativo S refletem a realidade, pois conforme explicado anteriormente os
valores da opção independem do tipo de mundo (relacionado ao risco x retorno)
adotado.
27
3 MÉTODO DE MONTE CARLO
3.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO
De acordo com Gouvêa (2008), o método de Monte Carlo permite simular o resultado
de uma função Y= f(x1, x2, x3, x4, ... , xk, ..., xT), onde xk são as variáveis aleatórias
de entrada, com distribuições de probabilidades definidas pelo modelo.
Para o experimento em questão, Y = Valor da Opção Asiática Aritmética = máximo
(0, ̅ –K), onde ̅ = Média Aritmética dos valores da ação no tempo (S0, S1, S2, S3, ...,
Sk, ..., ST) e K é preço de Exercício para exercer a opção. Iremos calcular também
variações de Y, por exemplo com ̅ sendo a média geométrica (Opção Asiática
Geométrica), ou Y = máximo (0, Smáx–K) (Opção Look Back), etc.
A quantidade de resultados obtidos para Y será definida pelo tamanho NxM de
simulações e corridas. Cada resultado obtido para Y é comumente chamado de
simulação. Neste estudo em particular foi adotado N=2000 simulações, com isto
teremos 2000 valores gerados para Y. O conjunto das N simulações é comumente
chamada de corrida. Foram rodadas 35 corridas, logo M= 35 corridas, calculando 35
médias para Y. Comumente utiliza-se 30 corridas ou mais para minimizar o erro. Neste
experimento com 35 corridas de 2000 simulações, obtivemos o cálculo final para Y
sendo a média de 35 médias (corridas) de 2000 valores (simulações)..
Desta forma para cada corrida com N simulações, teremos uma matriz U de valores
aleatórios, N por T, variando de 0 a 1. T é a dimensão do modelo simulado. No caso
de Opções, T é a quantidade de passos utilizados na trajetória do ativo, ou seja quantas
vezes durante o tempo total até o vencimento da Opção calcularemos o valor do Ativo.
A função inversa da distribuição acumulada prevista para o modelo, no caso
distribuição Normal (0,1), gerará uma matriz S, N por T, representando N valores
para S, com dimensão T. Neste experimento quanto maior a quantidade de
considerados, ou seja quanto menor o considerado, maior a dimensão do modelo.
Por exemplo se considerarmos N= 10 simulações com T = 1 ano e = 1/15 ano,
teremos uma matriz U de valores aleatórios, 10 por 15. Neste caso a dimensão do
modelo é de 15.
28
U =
Por conseguinte teremos uma matriz S, 10 por 15, com valores gerados, por dimensão,
de acordo com a distribuição adotada pelo modelo (no caso estudado distribuição
Normal (0,1)):
S =
A fórmula geral adotada neste experimento para calcular os si,j, numa trajetória
Incremental, é:
Si,j= Si,j-1 * √ ; onde é a variável aleatória do modelo com
distribuição normal (0,1).
Desta forma podemos considerar que a simulação gera primeiramente os valores da
matriz U, por dimensão, com limites entre (0 e 1), uniformemente distribuídos, e
posteriormente gera os valores da matriz S, por dimensão, com 99,99% dos valores para
entre (-3,87, e +3,87), normalmente distribuídos (multiplicados em seguida pelas
constantes da fórmula).
u1,1 u1,2 u1, … u1,15
u2,1 u2,2 u2, … u2,15
u...,1 u...,2 u i,j u...,15
u10,1 u10,2 u10, … u10,15
s1,1 s1,2 s1, … s1,15
s2,1 s2,2 s2, … s2,15
s...,1 s...,2 s..., … s...,15
s10,1 s10,2 s10, … s10,15
29
3.2 TIPOS DE AMOSTRAGEM
O Método de Monte Carlo, de uma forma geral, prevê a simulação de valores amostrais
de entrada de acordo com a distribuição de probabilidades prevista pela modelagem do
problema. No caso estudado a distribuição de probabilidades dos dados de entrada
prevista pelo modelo é a distribuição Normal (0,1).
Na figura abaixo está representada esta correspondência entre os valores aleatórios
gerados para a matriz U ( através de uma distribuição Uniforme (0,1)) e os valores
aleatórios gerados para a matriz Y ( através de uma distribuição Normal (0,1))
Gráfico 7: Geração dos valores ε, a partir dos valores aleatórios. Fonte: Autor
A forma de geração dos valores da matriz U, determina as diferenças entre as técnicas
de Amostragem Aleatória Simples, Hipercubo Latino e Amostragem Descritiva
adotadas neste experimento.
Neste experimento iremos utilizar o software @Risk da Palisade v5.7, que
disponibiliza apenas dois tipos de amostragem: Amostragem Aleatória Simples e
Hipercubo Latino.
Conforme Saliby (2001), a Amostragem por Hipercubo Latino é similar à Amostragem
Descritiva, podendo esta última ser considerada um caso limite do Hipercubo Latino.
30
Desta forma detalharemos a seguir apenas a Amostragem Aleatória Simples e a
Amostragem Descritiva.
Amostragem Aleatória Simples:
Neste caso a geração dos valores da matriz U é totalmente aleatória e reiniciada a cada
geração de um u (i,j).
Para exemplificar consideremos 500 simulações de uma variável aleatória Y com
distribuição Normal (0,1) geradas em planilha Excel.
Neste caso a variável aleatória tem apenas uma dimensão, então teremos uma Matriz U
de 500 linhas e apenas uma coluna.. Os valores foram gerados no Excel, utilizando a
função @Aleatório, que gera um valor aleatório com distribuição Uniforme entre 0 e 1.
Segue abaixo um quadro de classes de freqüências dos valores gerados:
Quadro 1: Quadro de classes de freqüências dos 500 valores aletoriamente gerados no Excel. Fonte:
Autor
31
Como os valores são aleatórios, a distribuição reproduzida não é idêntica à teórica. A
média Teórica de uma distribuição Uniforme (0,1) é igual a 0,5. Neste caso a simulação
gerou 500 valores cuja média é igual a 0,47960. É importante ressaltar que os 500
valores foram gerados em uma sequência completamente aleatória.
Segue abaixo o gráfico da distribuição de freqüências dos valores gerados comparado
com a distribuição de freqüências da distribuição Uniforme (0,1):
Gráfico 8: Distribuição de freqüências valores aleatórios (0,1) Teórica x Empírica . Fonte: Autor
De acordo com a teoria da Probabilidades a distribuição empírica se aproxima cada vez
mais da Teórica a medida que aumentamos a quantidade de simulações. Daí a
necessidade de aumentarmos a quantidade de simulações no Método de Monte Carlo
com amostragem aleatória simples para reduzirmos o erro dos valores.
Ainda utilizando o Excel, a partir dados gerados acima para a Matriz U, utilizamos a
função @inv.norm e geramos 500 valores com distribuição Normal (0,1). Contudo
como os dados de entrada (Matriz U) não reproduziam perfeitamente uma distribuição
Uniforme, os valores gerados para Y não reproduzirão perfeitamente uma distribuição
Normal. Segue abaixo o gráfico de distribuição de freqüências dos valores Y gerados
comparado com a distribuição de freqüências da distribuição Normal (0,1):
32
Gráfico 9: Distribuição de freqüências valores ε Teórica x Empírica . Fonte: Autor
Este resultado vai ao encontro da argumentação de Saliby (1990) em relação à
Amostragem Aleatória Simples.
De acordo com Saliby (1990), na Amostragem Aleatória Simples há duas fontes de
variabilidade: o conjunto de valores e a sequência destes valores. Ocorre que na
maioria dos casos de simulação de Monte Carlo os valores da amostra já tem uma
distribuição conhecida e desta forma o conjunto de valores a ser gerado deve reproduzir
esta distribuição, sendo desnecessário gerar uma aleatoriedade no conjunto de valores.
Esta desnecessária aleatoriedade no conjunto de valores fica bem explicada em Saliby
(2001):
Contudo em muitas aplicações de Monte Carlo, as amostras são obtidas, por
hipótese, de distribuições já conhecidas e, nestes casos, o propósito
fundamental das amostragens é simular certo comportamento aleatório e não
realizar inferências sobre a população analisada.
Utilizar a amostragem aleatória simples com este propósito causa uma
imprecisão desnecessária à distribuição da população estudada, elevando a
variância dos estimadores simulados.
Amostragem Descritiva
Ainda de acordo com Saliby (1990) na Amostragem Descritiva temos apenas uma fonte
de variabilidade, que é a sequência dos valores gerados. Desta forma a geração dos
valores por dimensão da Matriz U será determinada de acordo com o tamanho N da
Amostra, obtendo-se N valores eqüidistantes no espaço amostral (0,1). Por conseguinte,
para cada dimensão da matriz S teremos valores obedecendo uma distribuição
conforme previsto pelo modelo. Não há necessidade de adicionar aleatoriedade na
geração do conjunto de valores, dado que o modelo já prevê a existência de uma
33
distribuição de probabilidades na geração destes valores. Contudo a sequência destes
valores será aleatória imprimindo o padrão aleatório necessário ao modelo.
Utilizando este conceito para os 500 valores gerados anteriormente, teremos um
conjunto de valores da Matriz U que corresponde perfeitamente à distribuição Uniforme
e por conseqüência um conjunto de valores da Matriz Y que corresponde perfeitamente
à distribuição Normal. Contudo a sequência destes 500 valores será totalmente aleatória.
Para realizarmos a simulação com Amostragem Descritiva no @Risk utilizaremos o
seguinte artifício:
1 - Dividiremos o espaço amostral (0,1) pelo número N do tamanho da amostra,
gerando N intervalos de u equiprováveis e utilizando o ponto médio dos N
intervalos;
2 – Calcularemos a função inversa da Normal (0,1) para os valores de u;
3 – Utilizaremos a distribuição “Duniform”, que é uma distribuição Uniforme
Discreta cujos valores equiprováveis serão os N valores da função inversa da
Normal(0,1) , e amostragem HipercuboLatino;
4 – Obteremos desta forma, para cada dimensão, N valores obedecendo a
distribuição Normal (0,1), variando apenas o seqüenciamento destes N valores
nas N corridas ao longo das dimensões do modelo.
3.3 ERRO DAS ESTIMATIVAS E CONVERGÊNCIA
Como Yfinal é uma estimativa não-viesada do valor correto associado ao problema que
chamaremos de Ψ, o erro associado ao valor de Yfinal, I Yfinal - Ψ I , será o desvio
padrão calculado entre os valores de Y para cada simulação.
A taxa de convergência do erro de Yfinal, I Yfinal - Ψ I , será da ordem (1/ √ , pois
pelo teorema do limite central temos que a distribuição de Yfinal converge para uma
distribuição Normal (Ψ , σ2
/N).
34
4 PONTE BROWNIANA X ANÁLISE INCREMENTAL
A determinação dos valores do ativo ao longo do tempo é calculada pela fórmula
anteriormente descrita:
S T= S0 * √ ; onde
S0 é o valor inicial do ativo,
Rf é a taxa livre de Risco,
é a volatilidade calculada para o ativo,
t é a unidade de tempo adotada e,
é a variável aleatória do modelo com distribuição normal (0,1).
4.1 OPÇÕES EUROPÉIAS
No caso do cálculo das Opções Européias, onde importa apenas o valor final do ativo,
não há diferença de importância entre os valores calculados para o ativo ao longo do
tempo (ou seja entre as dimensões do modelo de simulação).
O valor final do ativo pode ser reescrito da seguinte forma:
S T= S0 * (
) √
;
Desta forma verifica-se a falta de hierarquia entre as dimensões do modelo.
4.2 OPÇÕES ASIÁTICAS
No caso do cálculo das Opções Asiáticas (Média Aritmética ou Geométrica), onde
importa o valor do ativo em cada ponto da trajetória, há diferença de importância entre
os valores calculados para o ativo ao longo do tempo (ou seja entre as dimensões do
modelo de simulação).
Utilizando o caso da Opção Asiática Aritmética temos o cálculo final da opção dado
por:
S* = 1/T * (S1+S2+S3+...+ST)
35
Conforme Gouvêa (2008), se agruparmos as constantes da fórmula da seguinte forma:
a = (
) e b = √
teremos os seguintes valores para o Ativo S ao longo do tempo:
S1= S0 *
S2= S0 *
E assim por diante.
Reescrevendo a fórmula do cálculo final da Opção Asiática Aritmética, utilizando estas
simplificações para o cálculo do ativo ao longo do tempo, e derivando parcialmente este
valor em relação a cada choque ( , verifica-se que :
>=
Ou seja os primeiros valores de S tem maior peso no valor final de S* que os valores
seguintes. Existe neste caso uma hierarquia entre as dimensões do modelo da seguinte
forma:
S1>S2>S3>S...>ST .
4.3 PONTE BROWNIANA
De acordo com Gouvêa (2008), a ponte Browniana é um artifício de geração das
trajetórias do ativo utilizado para concentrar a hierarquia das dimensões em apenas
algumas dimensões. Combinada com uma técnica amostral (no caso estudado AAS,
Hiercubo Latino ou AD) que apresente hierarquia entre as dimensões, o resultado do
erro deverá ser minimizado.
Ainda conforme Gouvêa (2008), normalmente na literatura, a ponte browniana é
utilizada com as técnicas amostrais de Sobol e Quasi-Monte Carlo, que não
abordaremos neste estudo.
Carvalho (2006) realizou estudo sobre Ponte Browniana onde compara os métodos
amostrais AAS, Sobol e AD com trajetória incremental e com Ponte Browniana.
Contudo nesta comparação não houve variação da quantidade de passos da trajetória.
36
Esta variação foi realizada apenas para AAS incremental, obtendo uma melhor precisão
dos valores obtidos ao aumentar o número de passos e consequentemente se aproximar
do modelo teórico (contínuo).
De acordo com Carvalho (2006) todos os métodos obtiveram bons resultados quanto à
precisão dos valores obtidos, contudo SOBOL com Ponte Browniana apresentou uma
taxa de convergência muito superior aos demais métodos.
No presente estudo avaliaremos o impacto da Ponte Browniana com a utilização de
Hipercubo Latino e Amostragem Descritiva, variando a quantidade de passos da
trajetória.
Na figura abaixo é demonstrada geração de trajetória através de Ponte Browniana para
um modelo com dimensão 16:
Figura 1: Geração de valores através da Ponte Browniana . Fonte: Gouvêa (2008)
De acordo com a figura acima, após a geração do valor final da trajetória S16, os pontos
seguintes serão os pontos médios entres os maiores espaços restantes. Desta forma o
ponto S8 é gerado, pois trata-se do ponto médio entre S0 e S16. Após a geração do
ponto médio S8, existe a opção de se gerar ou S4 (ponto médio entre S0 e S8) ou se
gerar S12 (ponto médio entre S8 e S16). Podemos considerar que S4 e S12 fazem parte
do mesmo ciclo de pontos médios. Segundo Gouvêa (2008) o ponto S12, à direita de
S8, tem maior importância no resultado final que o ponto S4, por isto deve ser gerado
primeiramente Com isto ao se gerar o ponto S4 e fechar o ciclo de pontos médios
representado por S12 e S4, abre-se um novo ciclo de pontos médios representados por
37
S14 (ponto médio entre S16 e S12) , S10 (ponto médio entre S8 e S12), S6 (ponto
médio entre S4 e S8) e S2 (ponto médio entre S0 e S4). Conforme explicado por
Gouvêa (2008) deve-se gerar primeiramente o ponto mais à direita da trajetória que é o
ponto S14, e em seguida geram-se os pontos médios mais à direita do mesmo ciclo de
pontos médios, que são os pontos S10, depois S6 e depois S2, fechando este ciclo de
pontos médios. O ponto médio seguinte S15 obedece a mesma regra utilizada ao se
gerar S14. E assim sucessivamente.
Os valores da trajetória na Ponte Browniana serão calculados de acordo com as
fórmulas a seguir e na ordem indicada:
1 - S0 = S0
2 - ST = valor final do ativo = S T= S0 * √
E considerando tt como ponto médio entre ts e tu teremos para os demais pontos da
trajetória:
St (valor entre Ss e Su ) = √ * (
) √
, deduzido a partir das
fórmulas abaixo de Gouvêa(2008):
Bt = Ln (St)
e
Bt = {(tu-tt)Bs + (tt-ts)*Bu }/{tu-ts} + √
σ * zt, onde :
tt = (tu+ts)/2 (ponto médio entre ts e tu);
zt = √
Por exemplo considerando σ= 40% ao ano; T =63 dias = 0,25ano; ∆t = T/8=7,87 dias
=0,0313 ano , 4=0,8, 2=1,2; 6=-0,4, 1=-0,2; S0 = 50; S8 =63, teremos:
S4 = raiz (50 x 63) * exp ((0,4/2)*raiz((8-0)*0,0313)*0,8) = 60,8; entre S0 e S8;
S2 = raiz (50 x 60,8) * exp ((0,4/2)*raiz((4-0)*0,0313)*1,2) = 60,0; entre S0 e S4;
S6 = raiz (60,8 * 63) * exp ((0,4/2)*raiz((8-4)*0,0313)*-0,4) = 60,16; entre S4 e S8;
S1 = raiz (50 * 60) * exp ((0,4/2)*raiz((2-0)*0,0313)*-0,2) = 54,23; entre S0 e S2;
E assim sucessivamente.
38
5 DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS
Os experimentos foram realizados no software @Risk da Palisade versão 5.7.
Podemos dividir os experimentos em duas partes:
1ª parte – Concentração das Hierarquias;
2ª parte – Verificação do erro e da precisão da estimativa.
Nas duas partes foram calculados os valores das seguintes Opções:
- Aritmética
- Aritmética (com técnica de redução de variância – variável de Controle)
- Geométrica
- Lookback Flutuante
- Lookback
- Européia
Para o cálculo foram adotadas as seguintes condições:
S0 = 50;
σ= 40% ao ano;
T = 0,25 ano ou 63 dias úteis;
Rf = 10% ao ano;
K = 45 (In The Money); 50 (At The Money); 55 (On The Money)
Os valores teóricos, de acordo com a fórmula de Black-Scholes, obtidos para os
parâmetros acima foram:
Tipo de Opção k=45 k=50 k=55
Geométrica 5,77925 2,48715 0,78281
Européia 7,55838 4,58146 2,55833
LookBack 13,09515 8,21860 4,51510
LookBack
Flutuante 8,037120
Quadro 2: Quadro de valores teóricos de Opções calculadas por Black-Scholes
39
Além disso foram calculadas simulações para trajetórias construídas com variações no
número de passos:
16 passos (∆t = T/16 = 3,94 dias);
32 passos (∆t = T/32 = 1,97 dias);
64 passos (∆t = T/64 = 0,98 dias);
128 passos (∆t = T/128 = 0,49 dias).
As variações de técnicas de Amostragem foram limitadas a três:
Amostragem Aleatória Simples (AAS)
Amostragem por Hipercubo Latino (HCL)
Amostragem Descritiva (AD)
As variações de geração de trajetórias foram limitadas a duas:
Incremental (Incr.)
Ponte Browniana ou Brownian Bridge (BB)
Desta forma obtemos 5 tipos de Amostragem-Trajetórias nas Simulaçôes:
Amostragem Aleatória Simples com trajetória incremental (INCR AAS)
Amostragem por Hipercubo latino com trajetória incremental (INCR HCL)
Amostragem Descritiva com trajetória incremental (INCR AAD)
Amostragem por Hipercubo Latino com Brownian Bridge (BB HCL)
Amostragem Descritiva com Brownian Bridge (BB AD)
Não utilizamos a Amostragem Aleatória Simples com Brownian Bridge, visto que não
há nenhuma vantagem, neste caso, da concentração de hierarquias das dimensões.
Experimento 1ª parte:
Neste caso foram comparados os resultados obtidos de correlação entre o valor do ativo
obtido para a dimensão e o valor final do ativo, para cada dimensão, entre os modelos
de simulação.
Desta forma foi possível verificar a diferença na magnitude da concentração de
hierarquias entre os modelos.
Foram realizadas 2000 simulações e 10 corridas para cada estimativa obtida. Foram
simulados os valores das 5 amostragens-trajetórias para 16 passos e 128 passos.
40
Experimento 2ª parte:
Erro das Estimativas
Para cada um dos 5 modelos de amostragem-trajetória foram realizadas 35 corridas com
2000 simulações cada.
Para a verificação dos erros das estimativas foi utilizado o Desvio Padrão calculado
entre as 35 corridas realizadas.
Precisão das Estimativas
Para o cálculo da precisão dos resultados em relação aos valores teóricos, calculamos o
erro absoluto % entre a estimativa obtida e o respectivo valor teórico.
41
6 RESULTADOS
6.1 CONCENTRAÇÃO DAS HIERARQUIAS
Abaixo estão listados os gráficos, por modelo de simulação, dos Valores de
Correlação x Dimensões (passos da trajetória). Como as dimensões que concentram
as maiores correlações variam de modelo para modelo, listamos as dimensões com os
maiores valores de correlação abaixo dos gráficos. Foram calculadas as correlações para
os valores simulados de Opção Aritmética (k=45), Média Aritmética e Probabilidade de
Exercício. Sendo que para cada um destes valores calculamos os valores de correlação
com 16 passos e com 128 passos.
Gráfico 10: Cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética, k=45, 16 Dimensões.
Fonte: Autor
BB AD BB HCL INCR AD INCR HCL INCR AAS
1 16 / Z 16 / Z 1 / Z 1 / Z 1 / Z 2 8 / Z 8 / Z 2 / Z 2 / Z 2 / Z 3 12 / Z 12 / Z 3 / Z 3 / Z 3 / Z 4 4 / Z 4 / Z 4 / Z 4 / Z 4 / Z
5 10 / Z 10 / Z 5 / Z 5 / Z 5 / Z
42
Quadro 3: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética,
k=45, 16 Dimensões. Fonte: Autor
Gráfico 11: Cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética, k=45, 128 Dimensões.
Fonte: Autor
BB AD BB HCL INCR AD
INCR HCL
INCR AAS
1 128 / Z 128 / Z 4 / Z 1 / Z 3 / Z
2 64 / Z 64 / Z 8 / Z 2 / Z 9 / Z
3 96 / Z 96 / Z 10 / Z 5 / Z 8 / Z
4 32 / Z 32 / Z 2 / Z 25 / Z 2 / Z
5 48 / Z 16 / Z 9 / Z 12 / Z 1 / Z
Quadro 4: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Opção Asiática Aritmética,
k=45, 128 Dimensões. Fonte: Autor
43
Gráfico 12: Cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 16 Dimensões. Fonte: Autor
BB AD BB HCL INCR AD INCR HCL INCR AAS
1 16 / Z 16 / Z 1 / Z 1 / Z 1 / Z
2 8 / Z 8 / Z 2 / Z 2 / Z 2 / Z
3 12 / Z 12 / Z 3 / Z 3 / Z 3 / Z
4 4 / Z 4 / Z 4 / Z 4 / Z 4 / Z
5 10 / Z 10 / Z 5 / Z 5 / Z 5 / Z
Quadro 5: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 16
Dimensões. Fonte: Autor
Gráfico 13: Cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 128 Dimensões. Fonte: Autor
44
BB AD BB HCL INCR AD INCR HCL INCR AAS
1 128 / Z 128 / Z 4 / Z 1 / Z 3 / Z 2 64 / Z 64 / Z 8 / Z 2 / Z 9 / Z
3 96 / Z 96 / Z 10 / Z 5 / Z 8 / Z
4 32 / Z 32 / Z 2 / Z 25 / Z 2 / Z
5 48 / Z 16 / Z 9 / Z 12 / Z 1 / Z
Quadro 6: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Média Aritmética, 128
Dimensões. Fonte: Autor
Gráfico 14: Cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 16 Dimensões. Fonte:
Autor
Quadro 7: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 16
Dimensões. Fonte: Autor
45
Gráfico 15: Cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício, 128 Dimensões. Fonte:
Autor
Quadro 8: Dimensões referentes aos cinco maiores valores de Correlação, Probabilidade de Exercício,
128 Dimensões. Fonte: Autor
No apêndice estão listados os valores obtidos para as outras variáveis do modelo.
6.2 ERRO E PRECISÃO
Erro das Estimativas
Para cada um dos 5 modelos de amostragem-trajetória foram realizadas 35 simulações
com 2000 corridas cada.
Para a verificação dos erros das estimativas foi utilizado o Desvio Padrão calculado
entre as 35 Simulações realizadas.
Seguem abaixo os gráficos e valores do Desvio Padrão x Quantidade de passos para a
Opção Asiática Geométrica, comparando os 5 tipos de amostragem-trajetória utilizadas.
46
Gráfico 16: Valores de desvio padrão (Erro) x Quantidade de Passos, K=45. Fonte: Autor
Valores ordenados em ordem crescente do erro :
Quadro 9 Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=45, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:
Autor
47
Gráfico 17: Valores de desvio padrão (Erro) x Quantidade de Passos, K=50. Fonte: Autor
Quadro 10: Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=50, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:
Autor
48
Gráfico 18: Valores de desvio padrão (Erro) x Quantidade de Passos, K=55. Fonte: Autor
Quadro 11: Valores de desvio padrão (erro) em ordem decrescente, K=55, passos= 16,32,64 e 128. Fonte:
Autor
Precisão das Estimativas
Para o cálculo da precisão dos resultados em relação aos valores teóricos, calculamos o
erro absoluto % entre a estimativa obtida e o respectivo valor teórico.
49
Seguem abaixo os valores e gráficos obtidos no caso da Opção Asiática Geométrica.
Gráfico 19: Valores de erro absoluto % (precisão) x Quantidade de Passos, K=45. Fonte: Autor
Quadro 12: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=45, passos= 16,32,64 e 128..
Fonte: Autor
50
Gráfico 20: Valores de erro absoluto % (precisão) x Quantidade de Passos, K=50. Fonte: Autor
Quadro 13: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=50, passos= 16, 32,64 e 128.
Fonte: Autor
51
Gráfico 21: Valores de erro absoluto % (precisão) x Quantidade de Passos, K=55. Fonte: Autor
Quadro 14: Valores de erro absoluto% (precisão) em ordem decrescente, K=55, passos= 16,32,64 e 128.
Fonte: Autor
Os resultados das outras Opções estão disponíveis no Apêndice.
0,00%
1,00%
2,00%
3,00%
4,00%
5,00%
6,00%
16 32 64 128
Precisão K=55
BB AD
BB HCL
Incr AD
Incr HCL
Incr AAS
52
7 ANÁLISE DOS RESULTADOS
7.1 CONCENTRAÇÃO DE HIERARQUIAS
Comparando-se os resultados obtidos para os valores da Opção Geométrica (k=45),
Média Aritmética e Probabilidade do Exercício, verifica-se claramente que a utilização
da Ponte Browniana, no lugar do método Incremental, favorece a concentração das
hierarquias em poucas Dimensões.
Praticamente a totalidade dos impactos das Dimensões no resultado final está
concentrada nos 4 primeiros passos da Ponte Browniana, ou seja, ZT; ZT/2 ; ZT3/4. e ZT1/4.,
sendo que corrZT>> corrZT/2 >>corrZT3/4 ≅ corrZT1/4.
Não foi verificado impacto na concentração das hierarquias ao se variar o número de
passos de 16 para 128.
7.2 ERRO E PRECISÃO
Erro da Estimativa:
Analisando o resultado da Opção Asiática Geométrica observa-se uma redução
significativa do erro ao se utilizar a Ponte Browniana.
Além disso ao se utilizar a Amostragem Descritiva com Ponte Browniana (BB AD)
obtém-se uma pequena vantagem na redução do erro em relação ao Hipercubo Latino
com Ponte Browniana (BB HCL). Contudo para os todos os K os menores valores de
53
erro foram do BB AD. Seguem abaixo os 5 menores erros para cada K:
Quadro 15: Cinco menores valores de Erro para K=45, 50 e 55. Fonte: Autor
Calculando o erro médio obtido para os 2 modelos (AD e HCL) com ponte browniana,
os outros 2 modelos (AD e HCL) com trajetória incremental, e o AAS, obtemos os
seguintes valores:
BB / Incr. BB / AAS
K BB Incr. AAS Redução% Redução%
45 0,02068788
0,03120314
0,11352964 34% 82%
50 0,02739169
0,04339076
0,07942275 37% 66%
55
0,02314921
0,03651895
0,04405289 37% 47%
Quadro 16: Valores médios (passos e amostragem) dos Erros para K=45,50 e 55. Fonte: Autor
Variação do número de passos:
Não há significativas variações do erro ao se variar o número de passos, no caso de
utilização da Ponte Browniana ou Incremental (exceto AAS).
54
Por outro lado ao se utilizar AAS verifica-se um claro aumento do erro ao se aumentar o
número de passos. Quanto maior o número de passos maior a propagação do erro da
AAS.
Variação de preço de exercício (K):
Não há significativas variações do erro ao se variar o valor de K, no caso de utilização
da Ponte Browniana ou Incremental (exceto AAS).
Por outro lado ao se utilizar AAS verifica-se uma clara redução do erro ao se aumentar
o valor de K.O menor Desvio Padrão do AAS é obtido com K=55, para todos os
números de passos. Mesmo assim o Desvio Padrão do AAS se mantém superior ao da
Ponte Browniana ou Incremental em K=55, para todos os números de passos.
Precisão da Estimativa:
Comparando os dois modelos de amostragem, AD e HCL, para os quais variamos as
trajetórias, ou com BB, ou com Incremental, verificamos comportamentos distintos na
precisão das estimativas.
No caso de AD verifica-se que com 16 passos a precisão é melhor com a trajetória
Incremental. Contudo com 128 passos a trajetória BB passa a retornar uma precisão
melhor que a Incremental. E a precisão com 128 passos é melhor do que com 16 passos
nos dois casos. Na tabela abaixo os valores estão destacados:
Quadro 17: Valores de precisão da AD com 16 e 128 passos variando-se trajetória e valor de K . Fonte:
Autor
No caso de HCL verifica-se contrariamente que com 16 passos a precisão é melhor com
a trajetória BB (exceto para K=55). Contudo com 128 passos a trajetória Incremental
passa a retornar uma precisão melhor que a BB. E a precisão com 128 passos é melhor
do que com 16 passos nos dois casos. Na tabela abaixo os valores estão destacados:
55
Quadro 18: Valores de precisão da HCL com 16 e 128 passos variando-se trajetória e valor de K. Fonte:
Autor
Comparando-se os os 5 modelos, apenas para os 128 passos, onde se obteve de forma
geral as melhores precisões, temos os melhores resultados para INCR. HCL e em
seguida para BBAD, conforme pode ser verificado nas tabelas abaixo.
K=45
Quadro 19: Cinco melhores valores de precisão com 128 passos, K=45. Fonte: Autor
K=50
Quadro 20: Cinco melhores valores de precisão com 128 passos, K=50. Fonte: Autor
56
K=55
Quadro 21: Cinco melhores valores de precisão com 128 passos, K=55. Fonte: Autor
A Ponte Browniana obteve em média (passos e amostragem) resultados mais precisos
que a trajetória Incremental e o AAS. Observou-se uma baixa precisão (5,05%) do
modelo BBAD com K=55 e apenas 16 passos, mas ao se utilizar 128 passos o BBAD
obtém uma das melhores precisões (0,36%) para K=55. Calculando a precisão média
obtida para os 2 modelos com ponte browniana, os mesmos 2 modelos com trajetória
incremental, e o AAS, obtemos os seguintes valores:
K BB INCR AAS
45 0,23% 0,26% 0,32%
50 0,67% 0,90% 0,86%
55 1,79% 2,00% 1,77% Quadro 22: Valores médios (passos e amostragem) de precisão das trajetórias. Fonte: Autor
Variação do número de passos:
K=45
Todos os modelos observaram uma maior precisão com 128 passos comparados a 16
passos. As maiores precisões obtidas para cada modelo foram com 128 passos, exceto a
AAS com 32 passos.
A Amostragem Descritiva apresentou melhora de precisão
K=50
Todos os modelos observaram uma maior precisão com 128 passos comparados a 16
passos. As maiores precisões obtidas para cada modelo foram com 128 passos, exceto a
AAS com 64 passos.
K=55
57
Todos os modelos observaram uma maior precisão com 128 passos comparados a 16
passos. As maiores precisões obtidas para cada modelo foram com 128 passos, exceto a
AAS e BB AD com 64 passos.
Conforme pode se verificar na tabela baixo, todos os modelos obtiveram ganho de
precisão ao aumentar o número de passos de 16 para 128. Contudo o pior ganho
observado com este aumento do número de passos foi com o AAS.
K=45 K=50 K=55
Tipo de média Passos Precisão Precisão Precisão BB AD 16 0,60% 1,94% 5,05% BB AD 128 0,08% 0,09% 0,36% Ganho Precisão 86,83% 95,57% 92,78% 91,73%
BB HCL 16 0,44% 1,42% 3,57% BB HCL 128 0,10% 0,21% 0,30% Ganho Precisão 77,65% 85,07% 91,68% 84,80%
Incr AAS 16 0,63% 2,02% 4,40% Incr AAS 128 0,41% 0,77% 1,33% Ganho Precisão 34,71% 62,15% 69,71% 55,52%
Incr AD 16 0,50% 1,76% 3,96% Incr AD 128 0,14% 0,38% 0,91% Ganho Precisão 71,45% 78,48% 77,02% 75,65%
Incr HCL 16 0,53% 1,76% 3,53% Incr HCL 128 0,01% 0,13% 0,16%
98,79% 92,51% 95,57% 95,62%
Quadro 23: Ganhos de Precisão dos modelos ao se variar de 16 passos para 128 passos, K=45,50 e 55.
Fonte: Autor
Variação de preço de exercício (K):
Em todos os passos e em todos os modelos houve redução da precisão com o aumento
do preço de exercício.
K=45 K=55
Tipo de média Passos Precisão Precisão
Redução
Precisão
BB AD 16 0,60% 5,05% 4,45%
BB AD 32 0,22% 2,01% 1,79%
BB AD 64 0,13% 0,29% 0,16%
BB AD 128 0,08% 0,36% 0,29%
BB HCL 16 0,44% 3,57% 3,13%
BB HCL 32 0,13% 1,57% 1,44%
58
BB HCL 64 0,13% 1,19% 1,06%
BB HCL 128 0,10% 0,30% 0,20%
Incr AAS 16 0,63% 4,40% 3,77%
Incr AAS 32 0,00% 1,09% 1,08%
Incr AAS 64 0,23% 0,24% 0,01%
Incr AAS 128 0,41% 1,33% 0,92%
Incr AD 16 0,50% 3,96% 3,47%
Incr AD 32 0,22% 1,58% 1,35%
Incr AD 64 0,19% 1,88% 1,68%
Incr AD 128 0,14% 0,91% 0,77%
Incr HCL 16 0,53% 3,53% 3,01%
Incr HCL 32 0,35% 3,43% 3,07%
Incr HCL 64 0,14% 0,56% 0,42%
Incr HCL 128 0,01% 0,16% 0,15% Quadro 24: Perda de precisão dos modelos ao se variar o K de 45 para 55, com passos = 16, 32, 64 e 128.
Fonte: Autor
59
8 CONCLUSÕES
Erro:
Os resultados apresentados confirmam a redução do erro ao se utilizar a Ponte
Browniana em conjunto com as Amostragens Descritiva e Hipercubo Latino. O menor
erro apresentado foi com o modelo BB AD, vindo em seguida BB HCL.
No experimento realizado obtivemos uma redução do erro da ordem de 35% ao se
utilizar Ponte Browniana no lugar da trajetória Incremental, mantendo-se os métodos
amostrais AD e HCL.
Esta redução é ainda maior ao se comparar com o modelo de trajetória Incremental com
AAS, chegando a 82% de redução para um K=45.
Esta redução do erro ao se mudar a trajetória do ativo de Incremental para Ponte
Browniana é devido ao fato de que estas amostragens obtém vantagem da concentração
de hierarquias em apenas algumas dimensões. Desta forma utilizando-se as mesmas
Amostragens, mas variando apenas a trajetória do ativo de Incremental para a Ponte
Browniana,obtém-se uma significativa redução do erro.
No caso da Ponte Browniana observou-se uma concentração das hierarquias nos 4
primeiros passos gerados: ZT; ZT/2 ; ZT3/4. e ZT1/4, sendo que corrZT>> corrZT/2
>>corrZT3/4 ≅ corrZT1/4.
Precisão:
Os modelos mais precisos foram o Incr. HCL e o BB AD.
Houve ganho de precisão ao se mudar da trajetória Incremental para a BB, no caso de
AD. Já no caso de HCL ocorreu o contrário.
Em relação à precisão dos valores obtidos, a Ponte Browniana obteve, em média,valores
de precisão melhores que a trajetória Incremental e a AAS.
Observou-se uma clara deterioração da precisão das estimativas obtidas com o aumento
do K para todos os modelos e quantidade de passos.
Em contrapartida observou-se uma clara melhora dos valores de precisão com o
aumento dos passos da trajetória, para todos os modelos e todos os K, ao se comparar a
precisão com 128 passos contra 16 passos. Este resultado corrobora com o encontrado
por Carvalho (2006) apenas para o AAS com Opções Asiáticas geométricas (p.61).
Contudo, comparado com os outros modelos, o AAS obteve o menor ganho de precisão
com o aumento do número de passos, sugerindo um menor ganho deste modelo ao se
60
aumentar o número de passos. Incr HCL e BB AD obtiveram os maiores ganhos de
precisão com o aumento do número de passos.
Em estudos futuros seria interessante verificar como se comportaria o erro e a precisão
das estimativas, introduzindo-se a variação do tamanho da amostra, conforme realizado
por Carvalho (2006), mas mantendo a variação do número de passos conforme realizado
neste trabalho.
61
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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em Simulação Monte Carlo: Aplicação e Precificação de Opções. Tese Mestrado. Coppead-
UFRJ.
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Conference.
GLASSERMAN, Paul. (2004). Monte Carlo Methods In Financial Engineering. Springer: New
York.
GOUVÊA, Sérgio Luiz Medeiros Proença. (2008). Controle Multi-dimensional em Simulação
Monte Carlo: Propostas para a Combinação de Amostragem Descritiva com Técnicas Quasi-
Monte Carlo em Problemas de Apreçamento de Opções. Tese Doutorado. Coppead-UFRJ.
HULL, J. (2009). Options, Futures and other Derivatives. New York: Prentice-Hall, 7th Edition
LIM, Thiang Cheng; JESSICA, Xiu Yun Lim; GAN, Sewei.(2012). Derivatives Market in
China. International Journal of Management Sciences and Business Research, Vol.1, Issue 11.
MARINS, Jaqueline Terra Moura; SANTOS, Joséte Florencio dos; SALIBY, Eduardo.
(2003).Aplicação de Técnicas de Redução de Variãncia para Estimação do prêmio de Opções de
Compra do tipo Asiática.
PACATI, Claudio (2011). Brownian Motion and Geometric Brownian Motion, Graphical
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SALIBY, Eduardo. (1990). Descriptive Sampling: A Better Approach to Monte Carlo
Simulation. Journal of Operational Research Society Vol. 41, No 12, pp 1133-1142.
SALIBY, Eduardo; CARVALHO, João Luís Barbosa; WANKE, Peter F.. (2007). Precificação
de Opções com Simulação Monte Carlo: Uma avaliação de diferentes métodos amostrais e de
modelagem. XXXIX SBPO.
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Moura. (2007). Amostragem Descritiva No Apreçamento De Opções Européias Através De
Simulação Monte Carlo: O Efeito Da Dimensionalidade E Da Probabilidade De Exercício No
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SALIBY, Eduardo ; MOREIRA, Flavio Filgueiras Pacheco. (2001). Estudo Comparativo dos
Métodos de Quasi-Monte Carlo, Amostragem Descritiva, Hipercubo Latino e Monte Carlo
Clássico na Análise de Risco. I Encontro Brasileiro de Finanças-EAESP.
The Global Derivatives Market. An Introduction. (2008) . White Paper. Frankfurt: Deutsche
Borse AG. (http://www.math.nyu.edu/faculty/avellane/global_derivatives_market.pdf)
62
10 APÊNDICE
APÊNDICE 1 -RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES PARA VÁRIOS TIPOS DE
OPÇÕES, CONSIDERANDO : A ESTIMATIVA DE VALOR DA OPÇÃO, O ERRO
DA ESTIMATIVA E A PROBABILIDADE DE EXERCÍCIO DA OPÇÃO.
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
APÊNDICE 2 - RESULTADO DAS SIMULAÇÕES PARA O VALOR DE
CORRELAÇÃO DAS : OPÇÃO ARITMÉTICA (K=55), MÉDIA ARITMÉTICA E
PROBABILIDADE DE EXERCÍCIO DA OPÇÃO. NO MODELO BB AD COM 128
PASSOS.
Valores de Correlação para o Modelo BB AD com 128 passos
Passo da trajetória
Simula!E23 Aritmética / PV Call (Sim.1) Coef. De Correlação
Simula!C19 Média Aritmética / K=55 (Sim.1) Coef. De Correlação
Simula!H23 Aritmética / Prob Exerc (Sim.1) Coef. De Correlação
128 / Z 0,852 0,856 0,566
64 / Z 0,415 0,418 0,293
96 / Z 0,154 0,156 0,105
32 / Z 0,143 0,145 0,099
48 / Z 0,056 0,056 0,044
112 / Z 0,055 0,056 0,050
80 / Z 0,047 0,047 0,030
16 / Z 0,045 0,045 0,031
120 / Z 0,022 0,022 0,020
42 / Z 0,020 0,021 0,016
12 / Z 0,019 0,019 0,020
40 / Z 0,016 0,016 0,018
104 / Z 0,016 0,016 0,009
28 / Z 0,015 0,015 0,011
116 / Z 0,015 0,016 0,009
24 / Z 0,015 0,015 0,010
103 / Z 0,014 0,015 0,012
43 / Z 0,014 0,014 0,013
124 / Z 0,014 0,014 0,016
92 / Z 0,014 0,014 0,006
97 / Z 0,014 0,014 0,010
52 / Z 0,014 0,014 0,012
72 / Z 0,013 0,012 0,002
8 / Z 0,012 0,012 0,012
61 / Z 0,012 0,013 0,009
70 / Z 0,012 0,012 0,006
74 / Z 0,012 0,012 0,011
74
63 / Z 0,012 0,012 0,007
88 / Z 0,011 0,011 0,010
68 / Z 0,011 0,011 0,009
73 / Z 0,011 0,011 0,002
21 / Z 0,010 0,011 0,002
84 / Z 0,010 0,010 0,006
85 / Z 0,010 0,010 0,010
6 / Z 0,009 0,009 0,002
125 / Z 0,009 0,009 0,015
111 / Z 0,009 0,009 0,007
60 / Z 0,008 0,007 0,005
91 / Z 0,008 0,008 0,005
94 / Z 0,007 0,008 0,006
119 / Z 0,007 0,007 - 0,001
99 / Z 0,007 0,007 0,006
127 / Z 0,007 0,007 - 0,012
51 / Z 0,007 0,007 0,006
5 / Z 0,007 0,008 0,010
35 / Z 0,007 0,007 0,008
56 / Z 0,006 0,007 0,008
27 / Z 0,006 0,006 - 0,002
93 / Z 0,006 0,007 0,000
79 / Z 0,006 0,006 0,005
30 / Z 0,006 0,006 0,002
50 / Z 0,006 0,006 - 0,001
98 / Z 0,006 0,005 0,003
33 / Z 0,006 0,005 - 0,003
2 / Z 0,006 0,005 0,006
55 / Z 0,006 0,005 0,003
46 / Z 0,006 0,007 0,004
83 / Z 0,005 0,005 0,005
95 / Z 0,005 0,005 - 0,003
36 / Z 0,005 0,005 - 0,008
78 / Z 0,005 0,004 0,003
113 / Z 0,004 0,004 0,010
76 / Z 0,004 0,004 - 0,004
66 / Z 0,004 0,004 - 0,005
108 / Z 0,004 0,004 0,002
123 / Z 0,004 0,004 0,014
110 / Z 0,004 0,004 0,007
118 / Z 0,004 0,004 0,000
18 / Z 0,004 0,004 - 0,002
45 / Z 0,003 0,004 0,007
100 / Z 0,003 0,003 0,005
29 / Z 0,003 0,003 - 0,001
75
7 / Z 0,003 0,002 - 0,004
86 / Z 0,002 0,002 0,006
109 / Z 0,002 0,002 0,002
75 / Z 0,002 0,002 0,010
62 / Z 0,002 0,002 - 0,012
34 / Z 0,001 0,001 0,003
115 / Z 0,001 0,002 0,000
53 / Z 0,001 0,000 - 0,001
57 / Z 0,001 0,000 - 0,003
87 / Z 0,001 0,001 0,011
20 / Z 0,000 0,001 0,006
3 / Z 0,000 - 0,001 - 0,002
67 / Z - 0,000 - 0,000 0,001
41 / Z - 0,001 - 0,000 0,002
101 / Z - 0,001 - 0,001 - 0,001
11 / Z - 0,001 - 0,001 0,006
105 / Z - 0,002 - 0,001 - 0,005
89 / Z - 0,002 - 0,002 0,006
1 / Z - 0,002 - 0,002 - 0,011
4 / Z - 0,002 - 0,003 - 0,002
114 / Z - 0,002 - 0,002 - 0,003
23 / Z - 0,002 - 0,002 0,000
77 / Z - 0,002 - 0,002 0,003
26 / Z - 0,002 - 0,002 0,008
54 / Z - 0,003 - 0,002 0,007
44 / Z - 0,003 - 0,003 - 0,000
71 / Z - 0,003 - 0,003 - 0,005
107 / Z - 0,003 - 0,003 - 0,005
59 / Z - 0,003 - 0,004 - 0,004
31 / Z - 0,004 - 0,003 0,001
13 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,006
122 / Z - 0,004 - 0,003 - 0,003
90 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,001
38 / Z - 0,004 - 0,004 0,001
17 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,012
25 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,002
58 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,006
49 / Z - 0,005 - 0,006 0,002
121 / Z - 0,005 - 0,005 - 0,007
82 / Z - 0,005 - 0,005 0,004
9 / Z - 0,005 - 0,005 - 0,003
37 / Z - 0,005 - 0,006 - 0,004
102 / Z - 0,006 - 0,006 - 0,004
126 / Z - 0,006 - 0,006 0,002
10 / Z - 0,007 - 0,006 0,004
76
69 / Z - 0,008 - 0,008 - 0,006
15 / Z - 0,008 - 0,008 0,003
81 / Z - 0,008 - 0,008 - 0,002
14 / Z - 0,009 - 0,009 - 0,003
22 / Z - 0,009 - 0,009 0,001
19 / Z - 0,009 - 0,008 - 0,002
65 / Z - 0,009 - 0,009 - 0,009
39 / Z - 0,010 - 0,010 0,001
117 / Z - 0,011 - 0,011 - 0,008
47 / Z - 0,014 - 0,015 - 0,004
106 / Z - 0,018 - 0,018 - 0,016
9.3 – Resultado das Simulações para o valor de Correlação das : Opção Aritmética (k=55),
Média Aritmética e Probabilidade de Exercício da Opção. No Modelo Incr. AD com 128 passos.
Valores de Correlação para o Modelo Incr. AD com 128 passos
Passo da trajetória
Simula!E23 Aritmética / PV Call (Sim.1) Coef. De Correlação
Simula!C19 Média Aritmética / K=55 (Sim.1) Coef. De Correlação
Simula!H23 Aritmética / Prob Exerc (Sim.1) Coef. De Correlação
4 / Z 0,149 0,151 0,101
8 / Z 0,147 0,149 0,110
10 / Z 0,147 0,148 0,104
2 / Z 0,147 0,149 0,101
9 / Z 0,144 0,145 0,090
1 / Z 0,143 0,144 0,102
6 / Z 0,140 0,142 0,098
14 / Z 0,139 0,141 0,103
3 / Z 0,138 0,140 0,102
12 / Z 0,137 0,137 0,100
19 / Z 0,135 0,136 0,099
5 / Z 0,135 0,137 0,102
15 / Z 0,134 0,135 0,095
11 / Z 0,133 0,134 0,086
7 / Z 0,129 0,131 0,092
77
13 / Z 0,129 0,131 0,084
31 / Z 0,125 0,127 0,087
17 / Z 0,125 0,126 0,094
18 / Z 0,123 0,125 0,090
22 / Z 0,123 0,124 0,085
16 / Z 0,122 0,124 0,077
34 / Z 0,121 0,122 0,094
20 / Z 0,117 0,118 0,077
25 / Z 0,116 0,117 0,078
23 / Z 0,116 0,118 0,076
21 / Z 0,115 0,117 0,079
29 / Z 0,113 0,113 0,077
35 / Z 0,113 0,113 0,083
24 / Z 0,112 0,114 0,084
30 / Z 0,111 0,113 0,071
41 / Z 0,109 0,109 0,074
26 / Z 0,108 0,108 0,084
44 / Z 0,107 0,108 0,069
33 / Z 0,106 0,108 0,065
36 / Z 0,105 0,107 0,084
40 / Z 0,105 0,105 0,074
37 / Z 0,105 0,105 0,082
28 / Z 0,102 0,102 0,071
32 / Z 0,100 0,100 0,075
52 / Z 0,099 0,100 0,069
43 / Z 0,097 0,098 0,067
38 / Z 0,096 0,097 0,070
48 / Z 0,096 0,097 0,060
47 / Z 0,095 0,096 0,068
27 / Z 0,095 0,096 0,071
53 / Z 0,094 0,095 0,071
46 / Z 0,093 0,094 0,056
42 / Z 0,092 0,093 0,060
45 / Z 0,091 0,092 0,060
58 / Z 0,090 0,091 0,063
51 / Z 0,090 0,091 0,065
50 / Z 0,089 0,090 0,064
61 / Z 0,088 0,088 0,063
39 / Z 0,087 0,088 0,055
62 / Z 0,087 0,088 0,054
54 / Z 0,085 0,086 0,060
70 / Z 0,081 0,082 0,057
60 / Z 0,081 0,081 0,058
63 / Z 0,079 0,079 0,046
59 / Z 0,077 0,077 0,058
78
49 / Z 0,076 0,078 0,062
68 / Z 0,074 0,074 0,058
64 / Z 0,074 0,076 0,061
65 / Z 0,074 0,074 0,041
55 / Z 0,074 0,075 0,055
56 / Z 0,071 0,072 0,044
67 / Z 0,068 0,069 0,036
71 / Z 0,067 0,068 0,036
57 / Z 0,066 0,067 0,050
78 / Z 0,064 0,065 0,046
75 / Z 0,063 0,064 0,043
79 / Z 0,062 0,063 0,041
73 / Z 0,062 0,063 0,048
74 / Z 0,059 0,060 0,039
72 / Z 0,058 0,058 0,044
91 / Z 0,058 0,059 0,037
77 / Z 0,057 0,058 0,034
80 / Z 0,057 0,057 0,045
66 / Z 0,056 0,058 0,036
82 / Z 0,055 0,056 0,035
85 / Z 0,054 0,054 0,039
81 / Z 0,053 0,053 0,037
86 / Z 0,051 0,052 0,037
76 / Z 0,051 0,052 0,033
69 / Z 0,050 0,051 0,043
83 / Z 0,050 0,050 0,041
89 / Z 0,048 0,049 0,030
90 / Z 0,047 0,047 0,031
93 / Z 0,047 0,046 0,030
87 / Z 0,045 0,046 0,032
84 / Z 0,044 0,045 0,026
88 / Z 0,042 0,042 0,027
95 / Z 0,040 0,040 0,027
92 / Z 0,038 0,039 0,028
94 / Z 0,036 0,036 0,015
103 / Z 0,036 0,036 0,020
98 / Z 0,034 0,035 0,027
99 / Z 0,034 0,034 0,022
104 / Z 0,032 0,033 0,021
102 / Z 0,032 0,033 0,014
97 / Z 0,031 0,032 0,024
96 / Z 0,031 0,032 0,024
108 / Z 0,029 0,029 0,014
100 / Z 0,029 0,029 0,019
107 / Z 0,024 0,024 0,014
79
111 / Z 0,024 0,025 0,014
105 / Z 0,023 0,024 0,015
106 / Z 0,020 0,020 0,015
101 / Z 0,020 0,019 0,016
118 / Z 0,019 0,019 0,011
119 / Z 0,019 0,019 0,017
117 / Z 0,018 0,019 0,012
110 / Z 0,018 0,018 0,011
125 / Z 0,018 0,018 0,011
112 / Z 0,018 0,019 0,009
114 / Z 0,016 0,016 0,015
120 / Z 0,014 0,014 0,008
113 / Z 0,014 0,014 0,005
109 / Z 0,013 0,013 0,010
121 / Z 0,012 0,011 0,013
124 / Z 0,010 0,010 0,008
116 / Z 0,009 0,009 0,015
115 / Z 0,006 0,007 - 0,002
122 / Z 0,005 0,005 0,006
123 / Z 0,003 0,005 0,007
128 / Z 0,001 - 0,000 - 0,015
126 / Z - - 0,000 - 0,005
127 / Z - 0,004 - 0,004 - 0,003