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UNIVERSIDADE POSITIVO
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DESENVOLVIMENTO DE CÓDIGO COMPUTACIONAL PARA
VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO,
COM ARMADURAS SIMÉTRICAS EM SUAS FACES, SUBMETIDAS À
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
CURITIBA
2014
2
ERICK DALLABONA SANTOS
MISAEL APARECIDO SOCZEK
DESENVOLVIMENTO DE CÓDIGO COMPUTACIONAL PARA
VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO,
COM ARMADURAS SIMÉTRICAS EM SUAS FACES, SUBMETIDAS À
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Engenharia Civil da Universidade Positivo, como requisito parcial para obtenção do título de Engenheiro Civil. Orientador:EngºM.Sc. Juliano Jorge Scremin.
CURITIBA
2014
3
RESUMO
Neste trabalho são abordados procedimentos para a verificação de
seções retangulares de concreto armado submetidas à flexão composta
oblíqua. Tais seções são consideradas com armaduras simétricas em suas
faces, de modo a simplificar as rotinas de cálculo. Com base nos temas
expostos, o método das fibras mostra-se mais viável para verificação das
seções de concreto armado, visto que o mesmo possui uma formulação
matemática simples. Para realizar estas verificações foi desenvolvido um
código computacional na plataforma Visual Basic, sendo apresentado o código
por completo. As etapas consideradas para a realização das verificações são
descritas em uma sequência conveniente para a compreensão do método e
consequentementedo código. Como resultado final, o programa gera um ábaco
que consiste na envoltória dos momentos resistentes da seção, onde também é
plotado o ponto referente aos momentos solicitantes, restando apenas ao
usuário à realização da interpretação do gráfico obtido.
Palavras chave: Flexão Composta Oblíqua, Método das Fibras, Código
Computacional.
4
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ...............................................................................................9
1.1.JUSTIFICATIVAS ........................................................................................ 9
1.2.OBJETIVOS................. ............................................................................. 10
1.2.1.OBJETIVO GERAL ................................... Error! Bookmark not defined.
1.2.2.OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................... Error! Bookmark not defined.
1.3.APRESENTAÇÃO DO TRABALHO ............................................................ 7
2.EMBASAMENTO TEÓRICO ..........................................................................9
2.1.DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS ................................................................. 9
2.2.HIPÓTESES BÁSICAS PARA CÁLCULO DE PEÇAS FLETIDAS ............ 10
2.2.1.Desprezar a resistência à tração do concreto ........................................ 11
2.2.2.Hipótese de Bernoulli ............................................................................. 11
2.2.3.Solidariedade dos materiais ................................................................... 11
2.2.4.Ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado limite último............................ ................................................................................... 11
2.2.5.Diagrama parábola-retângulo de tensões e deformações no concreto no estado limite último....... .................................................................................. 11
2.2.6.Diagrama de tensões e deformações no aço ......................................... 12
2.3.DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL ........ 13
2.4.MÉTODOS DE CÁLCULO ........................................................................ 19
2.4.1.Cálculo exato...... ................................................................................... 19
2.4.2.Cálculo por tentativas ............................................................................. 23
2.4.3.Métodos simplificados de cálculo ........................................................... 24
2.4.4.Método das Fibras ................................................................................. 25
2.4.5.Método aproximado X Método simplificado ............................................ 32
2.5.MÉTODO UTILIZADO POR PROGRAMAS EXISTENTES ....................... 32
5
3.PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ......................................................34
3.1.DADOS DE ENTRADA ............................................................................. 34
3.2.DEFINIÇÃO DA MALHA DE FIBRAS ........................................................ 35
3.3.VARIAÇÃO ANGULAR ............................................................................. 36
3.4.POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA ................................................................. 36
3.5.DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ................................................................ 38
3.6.DISTÂNCIAS DOS ELEMENTOS ATÉ A LINHA NEUTRA E ATÉ OS EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA ................................................................... 38
3.7.DEFORMAÇÕES E TENSÕES DAS FIBRAS COMPRIMIDAS DE CONCRETO.................................................................................................... 39
3.8.DEFORMAÇÕES E TENSÕES DAS ARMADURAS TRACIONADAS E COMPRIMIDAS..... ......................................................................................... 39
3.9.FORÇAS NORMAIS DE COMPRESSÃO RESISTENTES DAS FIBRAS .. 40
3.10.FORÇAS NORMAIS RESISTENTES DAS ARMADURAS ...................... 40
3.11.ESFORÇO NORMAL RESISTENTE DA SEÇÃO DE CONCRETO ARMADO................ ........................................................................................ 40
3.12.MOMENTOS RESISTENTES CONFERIDOS PELO CONCRETO ......... 41
3.13.MOMENTOS RESISTENTES CONFERIDOS PELA ARMADURA .......... 41
3.14.MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO DE CONCRETO ARMADO ....... 42
3.15.ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS RESISTENTES (ÁBACO DE VERIFICAÇÃO)....... ........................................................................................ 42
3.16.FLUXOGRAMA DO MÉTODO IMPLEMENTADO ................................... 43
3.17.ANÁLISE DA ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS RESISTENTES .............. 47
3.18.VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS ......................................... 46
3.19.VANTAGENS E DENSAVANTAGENS DO PROGRAMA CRIADO ......... 53
4.CONSIDERAÇÕES FINAIS ..........................................................................55
5.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................56
6.ANEXOS........ ...............................................................................................58
6
1. INTRODUÇÃO
O concreto armado é um material composto pela associação do
concreto e do aço, onde seu comportamento depende da aderência entre o
concreto e a armadura (NBR 6118:2014). É utilizado na concepção de diversos
elementos estruturais, entre eles estão as lajes, as vigas e os pilares.
Softwares computacionais são utilizados para otimizar o trabalho de
engenheiros civis, tanto na análise de elementos isolados quanto de estruturas
em geral compostas por este material (KIMURA, 2007).
O trabalho em questão trata do desenvolvimento de um código
computacional para verificação de seções retangulares de peças de concreto
armado, com armaduras simétricas em suas faces, submetidas à flexão
composta oblíqua, seja flexocompressão ou flexotração. Estaverificação é feita
através do método das fibras apresentado por MENESES (2013), associado ao
método da bisseção. A utilização de tal método se deve ao fato do mesmo
possuir uma formulação matemática mais simples comparada a outros
métodos, como por exemplo, o método apresentado por acadêmicos do ITA
(Instituto Tecnológico da Aeronáutica) no programa denominado nFOCCA. O
método teve todo seu estudo feito com os devidos cuidados para que fossem
atendidas as premissas da Norma Técnica Brasileira NBR 6118:2014. Após o
estudo do método foi elaborado o algoritmo, posteriormente implementado.
O código foi desenvolvido na plataforma de linguagem
computacional Visual Basic, onde o usuário entra com os esforços atuantes e
algumas características específicas, afim de que se possa fazer a verificação
de seções retangulares. Para a validação dos resultados obtidos, foram feitas
comparações com programas já existentes e amplamente difundidos na área
de projetos estruturais, como por exemplo, o TQS.
1.1. JUSTIFICATIVAS
A informática está cada dia mais presente na vida das pessoas,
ao mesmo tempo em que está se transformando em uma ferramenta
indispensável na engenharia de estruturas, logo se deve ressaltar a facilidade
7
que a mesma proporciona ao trabalho de um engenheiro civil. Na prática, como
qualquer outra área tecnológica, todas essas inovações ficaram atreladas aos
computadores que, ao mesmo tempo em que permitiram que processamentos
até então inviáveis fossem realizados de forma produtiva, passaram a usar
novos conceitos ainda não muito bem disseminados no meio técnico de forma
efetiva e corriqueira (KIMURA, 2007).
Portanto, cabe ao engenheiro civil adaptar-se para aprender a
fazer uso dessas novas ferramentas, não deixando de lado seu raciocínio e o
aprendizado adquirido ao longo do tempo, para que então possa fazer análises
coerentes dos resultados gerados pelas ferramentas computacionais.
Enfim, todo este processo computacional gera um ganho
expressivo em tempo e economia, pois conforme SMANIOTTO (2005), o uso
de computadores reduz o tempo de cálculo e elimina os erros decorrentes do
cálculo manual, o que acaba resultando numa representação mais próxima da
realidade do comportamento das estruturas, comprovando assim a importância
desta tecnologia no ramo da construção civil. Sendo assim, o programa criado,
denominado DSS Flexão Composta Oblíqua, serve como mais uma ferramenta
disponível no mercado para a realização de verificações de seções
retangulares de peças de concreto armado submetidas à flexão composta
oblíqua.
1.2. OBJETIVOS
Desenvolvimento de código computacional para a verificação de
seções retangulares de concreto armado, com armaduras simétricas em suas
faces, submetidas à flexão composta oblíqua através do método das fibras.
1.3. APRESENTAÇÃO DO TRABALHO
No capítulo 2 são apresentados os conceitos básicos utilizados para
a concepção do código computacional. Nele estão presentes as definições
fundamentais, hipóteses para cálculos de peças fletidas, descrição dos
domínios de deformação e os métodos de cálculo existentes.
No capítulo 3 são descritos os procedimentos metodológicos que
foram utilizados para o desenvolvimento do código computacional. Nele estão
8
presentes todas as considerações feitas com relação ao método das fibras, um
fluxograma para melhor entendimento do método e por fim as análises
realizadas para validação do DSS Flexão Composta Oblíqua, bem como suas
vantagens e desvantagens.
No capítulo 4 são apresentadas as considerações finais decorrentes
deste trabalho. Nele são descritas as considerações quanto à eficiência do
método utilizado e também quanto à apresentação gráfica do DSS Flexão
Composta Oblíqua.
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2. EMBASAMENTO TEÓRICO
Este capítulo apresenta os conceitos utilizados como embasamento
teórico para o desenvolvimento do presente trabalho. Serão abordados os
seguintes assuntos:
a) Definições fundamentais;
b) Hipóteses básicas para o cálculo de peças fletidas;
c) Domínios de deformação em uma seção transversal;
d) Métodos de cálculo.
2.1. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS
Conforme descrito por CARVALHO e PINHEIRO (2009), para as
definições dos tipos de flexão a que uma peça de seção transversal retangular
de concreto armado possa estar submetida, considera-se, de maneira
simplificada, que a armadura adotada para a seção de concreto será sempre
simétrica em relação ao eixo perpendicular ao momento fletor (pelo menos um
eixo de simetria). Com essa simplificação define-se:
Flexão Normal: ocorre quando existe ao menos um eixo de simetria na
seção transversal e o plano de carregamento contém esse eixo.
Flexão composta normal: é a flexão normal, porém considerando a
existência de uma força normal atuante.
Flexão oblíqua: ocorre quando o plano de carregamento não contém
nenhum dos eixos de simetria.
Flexão composta oblíqua: é a flexão oblíqua, porém considerando a
existência de uma força normal atuante.
Além das definições acima, outras se fazem pertinentes para a
compreensão do assunto:
Solicitações normais: são esforços solicitantes que produzem tensões
normais, seja de tração ou de compressão, se enquadram aqui o
momento fletor e a força normal.
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Esforços externos: são esforços provenientes das cargas que atuam na
estrutura.
Esforços internos: são esforços que surgem dentro das peças para
equilibrar os esforços externos provenientes da estrutura.
Linha neutra (LN): é a reta em que todos os pontos apresentam tensão
nula, ou seja, é a linha de deformação nula da seção que divide a região
comprimida da região tracionada, o conhecimento da sua posição
conduz à solução do problema.
Estado limite último (ELU): conforme descrito no item 3.2.1 da NBR
6118:2014, é o estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da
estrutura. Antigamente, no cálculo de peças de concreto armado, sua
ruptura era caracterizada simplesmente pela ruptura do concreto, sem
levar em consideração se havia ocorrido ou não o escoamento do aço.
Com o passar do tempo constatou-se a necessidade de limitar o
alongamento da armadura tracionada da seção, visto que o
alongamento excessivo da armadura gera uma fissuração exagerada,
atingindo-se assim um estado último, sendo que neste caso nem sempre
ocorria a ruptura do concreto na área comprimida da seção. Portanto,
para a verificação de segurança considera-se por esgotada a
capacidade resistente da seção de concreto armado quando ocorre a
ruptura do concreto comprimido ou a deformação excessiva da
armadura tracionada.
2.2. HIPÓTESES BÁSICAS PARA CÁLCULO DE PEÇAS FLETIDAS
A análise da capacidade resistente de peças de concreto armado
submetidas a solicitações normais é realizada admitindo-se válidas algumas
hipóteses básicas. Tais hipóteses para o cálculo no estado limite último estão
presentes no item 17.2.2 da NBR 6118:2014.
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2.2.1. Desprezar a resistência à tração do concreto
Este é princípio inicial a ser considerado, desta forma para todas as
forças de tração necessárias ao equilíbrio interno da seção devem ser
providenciadas pelas armaduras de aço, conforme apresentado em
LEONHARDT e MÖNNIG (1977).
2.2.2. Hipótese de Bernoulli
Considera-se que as seções transversais permanecem planas após
o início da deformação e até o estado limite último. Com esta hipótese
determina-se que as deformações específicas são, em cada ponto,
proporcionais à sua distância à linha neutra da seção.
2.2.3. Solidariedade dos materiais
Admite-se a solidariedade perfeita entre o concreto e a
armadura,onde as deformações das barras devem ser as mesmas do concreto
que as envolve.
2.2.4. Ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado
limite último
Tal ruína fica caracterizada quando o aço, o concreto ou ambos
atingem suas deformações específicas últimas (CARVALHO e PINHEIRO.
2009).
Encurtamentos últimos do concreto:
nas seções não inteiramente comprimidas (flexão);
a nas seções inteiramente comprimidas.
Alongamento último das armaduras:
para prevenir deformação plástica excessiva.
2.2.5. Diagrama parábola-retângulo de tensões e deformações no concreto
no estado limite último
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Admite-se que a distribuição de tensões e deformações no concreto
seja feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo conforme indicado na
figura 1:
Figura 1 - Diagrama tensão-deformação idealizado. (Fonte: Figura 8.2 da NBR6118:2014)
2.2.6. Diagrama de tensões e deformações no aço
As tensões e deformações no aço são dadas de acordo com o
diagrama da figura 2:
Figura 2 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas. (Fonte: Figura 8.4 da NBR 6118:2014)
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2.3. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL
Conforme apresentado por LEONHARDT e MÖNNIG (1977), a
capacidade de carga de uma seção de concreto armado é esgotada, quando o
concreto rompe à compressão, ou o aço à tração. Um aumento de carga além
desta carga de ruptura não é possível.
Para compreender o funcionamento de uma seção de concreto
armado se torna de fundamental importância compreender os domínios de
deformação na qual ela está imposta. CARVALHO e PINHEIRO (2009)
apresentam estes domínios de deformação, sendo que os conjuntos de
deformações específicas do concreto e do aço, ao longo de uma seção
transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida a
solicitações normais, definem seis domínios de deformações, sendo estes
definidos através da variação da posição da linha neutra de até , ou
seja, variando-se as solicitações desde a tração uniforme até a compressão
uniforme, conforme esquematizados na figura 3.
Figura 3 - Domínios de estado-limite último de uma seção transversal. (Fonte: Figura 17.1 da NBR 6118:2014)
A reta “a” e os domínios 1 e 2 são definidos pelo estado limite último
por deformação plástica excessiva do aço; os domínios 3, 4, 4a, 5 e a reta “b”
são definidos pelo estado limite último por ruptura do concreto. Abaixo seguem
as principais características de cada um dos domínios observados na figura 3.
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a) Reta a
Tração uniforme;
Deformação do aço: ;
Deformação do concreto: ;
Posição da linha neutra: .
b) Domínio 1
Tração não-uniforme, sem compressão;
Início: e ; ;
Término: e ; ;
Estado limite último caracterizado pela deformação do aço: ;
A linha neutra é externa à seção transversal, ou seja, a seção está
inteiramente tracionada;
O concreto é admitido como inteiramente fissurado.
SÜSSEKIND (1947) define este domínio como sendo o domínio em
que o concreto, segundo a hipótese básica de desprezo de sua resistência à
tração, é considerado sem qualquer função resistente, sendo essa função
desempenhada pelas armaduras tracionadas a serem colocadas dentro de tal
finalidade.
c) Domínio 2
Flexão simples ou composta;
Não ocorre ruptura do concreto à compressão ( ) e o aço
encontra-se com a máximo alongamento permitido;
Início: e ; ;
Término: e ; ;
Estado limite último caracterizado pela deformação do aço: ;
A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão);
Concreto é mal aproveitado, pois sua deformação é menor que a de
ruptura.
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d) Domínio 3
Flexão simples (seção subarmada) ou composta;
Ocorre ruptura do concreto à compressão e o escoamento do aço;
Início: e ; ;
Término: e ; ;
Estado limite último caracterizado pela deformação do concreto:
;
A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão);
Tanto o concreto quanto o aço são bem aproveitados: o concreto
encontra-se na ruptura e o aço tracionado no patamar de escoamento.
O colapso da seção se dá com aviso (grandes deformações e fissuração
significativa);
e) Domínio 4
Flexão simples (seção superarmada) ou composta;
Ocorre ruptura do concreto à compressão e o aço encontra-se
tracionado sem escoamento ( );
Início: e ; ;
Término: e ; ;
Estado limite último caracterizado pela deformação do concreto:
;
A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão);
Concreto é bem aproveitado, pois se encontra na ruptura, mas o aço
não, pois sua deformação é menor que a de início de escoamento.
A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe sem que a
armadura atinja sua deformação de escoamento, logo não há grandes
deformações do aço nem fissuração significativa do concreto que sirvam
de advertência.
f) Domínio 4a
Flexão composta;
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Ocorre ruptura do concreto à compressão e o aço encontra-se
comprimido;
Início: e ; ;
Término: (
) e ; ;
Estado limite último caracterizado pela deformação do concreto:
;
A linha neutra corta a seção transversal na região do cobrimento da
armadura menos comprimida (entre e ;
O aço da armadura menos comprimida é mal aproveitado, pois sua
deformação é muito pequena.
g) Domínio 5
Compressão não-uniforme sem tração;
Ocorre ruptura do concreto e encurtamento da armadura;
Início: (
) e ; ;
Término: e ; ( );
Estado limite último caracteriza dopor variando de (para )
a (na compressão uniforme);
A linha neutra não corta a seção transversal, ou seja, a seção está
inteiramente comprimida.
h) Reta b
Compressão uniforme;
Deformação do aço: ;
Deformação do concreto: ;
Posição da linha neutra: ( )
Logo, em função de cada um dos domínios, podem ocorrer as
seguintes situações:
Flexocompressão: domínios 2, 3, 4, 4a e 5;
Flexotração: domínios 1, 2, 3 e 4;
Compressão uniforme: reta b;
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Tração uniforme: reta a.
2.4. MÉTODOS DE CÁLCULO
Para verificar a capacidade resistente de uma determinada seção
transversal de uma peça de concreto armado, hoje se dispõe de diversos
métodos, conforme descrito a seguir.
2.4.1. Cálculo exato
FUSCO (1981) apresenta primeiramente o método do cálculo exato
para verificação de seções de peças de concreto armado submetidas à flexão
oblíqua composta. Para compreender tal método é necessário entender a
figura 4 apresentada a baixo.
Figura 4 - Flexão composta oblíqua. (Fonte: PINHEIRO, BARIBALDI e POREM, 2009, p.6)
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a) Condições de equilíbrio
As equações a seguir são utilizadas para calcular os valores dos
esforços solicitantes de cálculo de qualquer que seja a seção a ser analisada:
Esforço normal solicitante de cálculo:
∬ ∑
Momento fletor solicitante de cálculo na direção do eixo x:
∬ ∑
Momento fletor solicitante de cálculo na direção do eixo y:
∬ ∑
Onde:
, – Esforço normal solicitante de cálculo;
– Momento fletor solicitante de cálculo na direção do eixo x;
–Momento fletor solicitante de cálculo na direção do eixo y;
– Área de concreto comprimida da seção transversal;
– Tensão de compressão no concreto, em valor de cálculo;
– Área de aço do elemento infinitesimal;
– Tensão de tração do aço do elemento infinitesimal, em valor de
cálculo;
– Excentricidade em relação ao eixo x;
– Excentricidade em relação ao eixo y;
n– Número de armaduras;
X – Abscissa do elemento infinitesimal de área ;
Y – Ordenada do elemento infinitesimal de área ;
– Abscissa da barra genérica i;
– Ordenada da barra genérica i.
D
(02)
D
(01)
D
(03)
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b) Condições de compatibilidade
As condições de compatibilidade são decorrentes da hipótese de
Bernoulli, descrita no item 2.2.2.do presente trabalho, onde com a posição da
linha neutra e impondo uma deformação específica de um ponto qualquer da
seção transversal, ficam determinadas as deformações de todos os outros
pontos da seção, e suas respectivas tensões.
c) Solução do problema
Para uma seção transversal qualquer, escolhida a inclinação da
linha neutra e a profundidade da mesma, impondo-se as deformações que
caracterizam cada um dos domínios podem ser calculadas todas as tensões
nela atuantes.
As condições de equilíbrio fornecem então os valores dos esforços
resistentes correspondentes , e .
d) Apresentação dos resultados
Variando a profundidade da linha neutra e variando a inclinação da
mesma, obtêm-se todos os possíveis ternos de valores , e que
conduzem uma dada seção ao estado limite último de ruptura ou de
alongamento plástico excessivo.
e) Traçado do diagrama de interação
Para o traçado sistemático dos diagramas de interação, deve-se
levar em consideração a figura 5 representada abaixo:
20
Figura 5 - Determinação das solicitações resistentes. (Fonte: FUSCO, 1981, p.103)
O traçado dos diagramas de interação é feito para valores
constantes de . Sendo assim, adotado um valor de , ou seja, admitindo
um valor de:
Com o a valor de fixa-se uma inclinação α para a linha neutra e
calculam-se os valores de para valores crescentes da profundidade da
zona comprimida.
Quando se obtém o valor preestabelecido para , nessa posição
são calculados os momentos e e, a partir deles, os momentos e
, obtendo-se então valores de e com os quais fica determinado um
ponto no diagrama de interação conforme apresenta a figura 6.
D
(04)
D
(05)
D
(06)
21
Figura 6 - Traçado do diagrama de interação. (Fonte: FUSCO, 1981, p.104)
Adotam-se a seguir novas inclinações α para a linha neutra e repete-
se para cada uma delas o processo descrito anteriormente, obtendo-se desse
modo, por pontos, o diagrama de interação ( ), conforme se
vê na figura 7.
22
Figura 7 - Diagrama de interação. (Fonte: PINHEIRO, BARIBALDI e POREM, 2009, p.19)
Estes diagramas de interações já foram feitos para várias seções
transversais com várias disposições de armaduras e cobrimentos, de onde
23
resultaram diversos ábacos para a execução do dimensionamento de uma
dada seção.
Com o valor de determina-se o quadrante do ábaco a ser
analisado. Sabendo-se o quadrante, entra-se com os valores de e e
então se retira do ábaco a taxa mecânica de armadura ( ). Obtida a taxa
mecânica determina-se a área de aço necessária para a seção resistir à
solicitação de flexão composta oblíqua em função do ábaco escolhido através
da seguinte equação:
2.4.2. Cálculo por tentativas
Quando não há ábacos elaborados para a seção transversal a ser
analisada e nem são aplicáveis outros métodos de cálculo, o dimensionamento
da seção pode ser feito por tentativas conforme apresentado por FUSCO
(1981).
Figura 8 - Cálculo por tentativas. (Fonte: FUSCO, 1981, p.110)
D
(07)
24
Conhecida a seção transversal e a posição da força normal
solicitante, arbitra-se um arranjo de armadura de tração da forma mais
concentrada possível, de modo a facilitar a solução do problema. A posição da
linha neutra será determinada por tentativas, pois se sabe que a força normal
aplicada a resultante das tensões na armadura de tração e a resultante das
tensões de compressão no concreto deverão estar situadas no mesmo plano.
Conhecidas essas posições deve-se variar a posição da linha neutra até que
esta satisfaça as seguintes condições:
Determinada a posição da linha neutra, calcula-se a armadura de
tração necessária pela seguinte fórmula:
Com sinal positivo para de tração e sinal negativo para
compressão. Calculada esta armadura deve-se verificar as deformações para
garantir a condição de que .
2.4.3. Métodos simplificados de cálculo
Existem ainda alguns métodos simplificados para a realização do
dimensionamento de seções submetidas à flexão composta oblíqua. Tais
métodos são constantemente questionados quanto à sua eficiência e validade.
Muitos desses métodos conduzem a soluções antieconômicas, em contra
partida são métodos em que as soluções vão sempre a favor da segurança e
podem ser feitos de maneira mais ágil do que os métodos mais precisos.
FUSCO (1981) apresenta o método da linearização dos diagramas
de interação, o método da Norma Russa e o método da transformação afim das
seções. Estes são apenas alguns dos métodos simplificados existentes.
Entretanto, este trabalho não abordará tais métodos, pois tratará
exclusivamente do método das fibras, um método aproximado estudado em
Portugal.
D
(08)
D
(09)
D
(10)
25
2.4.4. Método das Fibras
Um estudo apresentado em Portugal descreve outro método para
verificação de seções de concreto armado solicitadas à flexão composta
oblíqua, conhecido como método das fibras. MENESES (2013) apresenta um
estudo baseado em MONTEIRO (2011), ambos apresentam e descrevem tal
método.
O método consiste na discretização da seção de concreto armado a
ser verificada através da sua divisão em áreas elementares, formando assim
uma malha de fibras. Sobre essas fibras serão feitas análises individuais, onde
ao final de todas as verificações necessárias, o somatório de todas essas fibras
se apresentará como um resultado satisfatório do problema apresentado.
De um modo geral, após a definição da malha de fibras, é
determinada a posição da linha neutra da seção a fim de se saber quais fibras
estão comprimidas e quais estão tracionadas. Feito isto MENESES (2013) e
MONTEIRO (2011) passam a determinar as características de cada fibra e de
cada armadura, ou seja, determinam as deformações específicas, as tensões e
a forças de compressão resistentes. O somatório das forças de compressão
resistentes nas fibras e nas armaduras determina a capacidade resistente da
seção ao esforço axial.
Com as análises feitas em função da posição da linha neutra
definida, transferem-se tais resultados para um novo referencial, sendo este o
centro de gravidade da seção em questão, para então determinar os momentos
resistentes da seção com relação aos seus eixos principais de inércia. Este
método será apresentado de forma minuciosa nos itens a seguir, pois este é o
método utilizado para o desenvolvimento do código computacional tratado no
presente trabalho.
a) Definição da malha de fibras
A seção transversal a ser analisada é dividida em diversas áreas
elementares para o prosseguimento do método. MENESES (2013) apresenta
essa divisão sendo feita em função do tamanho desejável da malha para a
seção em questão.
26
Figura 9 - Definição e discretização de uma seção transversal genérica de concreto armado.
(Fonte: MENESES, 2013, p.35)
b) Determinação das regiões comprimida e tracionada da seção
A posição da linha neutra divide a região comprimida da tracionada
(figura 10), logo as fibras de concreto e armaduras que se encontram acima
desta estão comprimidas e as abaixo tracionadas. MENESES (2013) realiza a
determinação dessas regiões através de uma função lógica, função está que
não foi apresentada em seu trabalho.
Figura 10 - Determinação das regiões comprimida e tracionada de uma seção genérica. (Fonte: MENESES, 2013, p.36)
27
c) Cálculo das distâncias das fibras e armaduras até a linha neutra
Para calcular as deformações das fibras e armaduras primeiramente
têm-se que determinar as distâncias, na perpendicular, das mesmas até a linha
neutra. MENESES (2013) determina essas distâncias através da equação da
distância de ponto à reta descrita abaixo:
√
Onde:
– Distância na perpendicular, de cada fibra (figura 11) e de cada
armadura (figura 12) à linha neutra;
, , , – Coordenadas que definem a reta da linha neutra;
, – Coordenadas do eixo de cada fibra/armadura.
Figura 11 - Distância de cada fibra à linha neutra.
(Fonte: MENESES, 2013, p.36)
Figura 12 - Distância de cada armadura à linha neutra.
(Fonte: MENESES, 2013, p.40)
d) Determinação das deformações e tensões das fibras comprimidas e das
armaduras tracionadas e comprimidas
Conhecida a posição da linha neutra sabe-se a qual domínio a seção
está submetida, sendo assim MENESES (2013) obtém as deformações das
fibras e armaduras através do diagrama de deformações específico para o
domínio em questão. Com as deformações das fibras de concreto associadas
ao diagrama parábola-retângulo definem-se as tensões em cada uma das
fibras (figura 13). Analogamente ao concreto se faz o mesmo com as
D
(11)
28
armaduras, entretanto as tensões nas armaduras definem-se através da
associação das deformações com o diagrama de tensões no aço (figura 14).
Figura 13 - Diagrama de deformações e tensões no concreto em uma seção genérica. (Fonte: MENESES, 2013, p.37)
Figura 14 - Diagrama de deformações e tensões no aço em uma seção genérica. (Fonte: MENESES, 2013, p.41)
e) Determinação das forças resultantes nas fibras comprimidas e nas
armaduras tracionadas e comprimidas
A força normal em cada fibra e em cada armadura é a resultante do
produto da tensão em cada elemento pela sua área correspondente, ou seja:
29
Onde:
– Força normal em cada fibra/armadura;
–Tensão em cada fibra/armadura;
– Área de cada fibra/armadura.
f) Determinação do esforço axial resistente da seção de concreto armado
O esforço axial resistente da seção de concreto armado é definido
pelo somatório das resistências conferidas pelo concreto e pelo aço, ou seja:
∑ ∑
Onde:
– Esforço axial resistente da seção de concreto armado;
- Força normal em cada fibra comprimida;
– Força normal em cada armadura.
g) Novo referencial e nova posição das fibras e armaduras
Como os momentos resistentes de uma seção de concreto armado
são sempre em relação aos seus eixos principais de inércia (denominados por
MENESES de eixos y e z), é necessário transferir tudo que foi calculado em
função da posição da linha neutra para um novo referencial, ou seja, o centro
de gravidade da seção, conforme observado na figura 15.
Figura 15 - Mudança de referencial. (Fonte: MENESES, 2013, p.43)
D
(12)
D
(13)
30
Para realizar esta conversão de referencial MENESES (2013) adota
as seguintes expressões:
Onde:
, – Coordenadas do eixo de cada fibra com relação ao
centro de gravidade da seção;
, – Coordenadas do eixo de cada armadura com relação ao
centro de gravidade da seção;
, – Coordenadas do eixo de cada fibra com relação à linha
neutra;
, – Coordenadas do eixo de cada armadura com relação à linha
neutra;
, – Coordenadas do centro de gravidade da seção.
Vale ressaltar que os valores de e são positivo quando
estão à direita de e são negativos caso contrário. Assim comoos valores de
e são positivo quando estão acima de e são negativos caso
contrário.
h) Momentos resistentes conferidos pelo concreto
Realizada a conversão do referencial para os eixos principais de
inércia, realiza-se o cálculo dos momentos resistentes da seção. Os primeiros
momentos resistentes a serem calculados são os conferidos pelo concreto,
estes dependem da posição de cada fibra com relação ao centro de gravidade
da seção e da força de compressão nela resultante, ou seja:
∑
∑
D
(14)
D
(15)
31
Onde:
, – Momentos resistentes conferidos pelo concreto com
relação aos eixos principais de inércia;
, – Coordenadas do eixo de cada fibra com relação ao
centro de gravidade da seção;
- Força normal em cada fibra comprimida.
i) Momentos resistentes conferidos pelas armaduras
Os momentos resistentes conferidos pela armadura dependem da
posição de cada armadura com relação ao centro de gravidade da seção e da
força axial nela resultante, ou seja:
∑
∑
Onde:
, – Momentos resistentes conferidos pelo armadura com
relação aos eixos principais de inércia;
, – Coordenadas do eixo de cada armadura com relação ao
centro de gravidade da seção;
– Força normal em cada armadura.
j) Momentos resistentes totais
Calculado os momentos resistentes conferidos pelo concreto e os
conferidos pelo aço, determina-se então os momentos resistentes totais da
seção de concreto armado. Para tanto se faz a soma dos momentos
resistentes fornecidos pelo concreto e pelo aço, conforme as seguintes
expressões:
D
(16)
D
(17)
32
Onde:
, – Momentos resistentes totais da seção de concreto armado
com relação aos eixos principais de inércia;
, – Momentos resistentes conferidos pelo concreto com
relação aos eixos principais de inércia;
, – Momentos resistentes conferidos pelo armadura com
relação aos eixos principais de inércia.
2.4.5. Método aproximado X Método simplificado
Uma dúvida muito comum é com relação à diferença entre método
de cálculo aproximado e simplificado. Ambos que diferem de um método exato
de cálculo e apresentam as seguintes características:
Método aproximado: é utilizado principalmente em algoritmos de
programação, quando há necessidade de resolver problemas com um
infinito número de passos, sendo necessário delimitá-los para que o
algoritmo possa funcionar corretamente e apresentar um resultado
satisfatório dentro de uma margem de erro permitida;
Método simplificado: é utilizado quando há possibilidade de eliminar
etapas, considerando-se todas as etapas o resultado obtido é mais
preciso, ou seja os resultados são mais próximos da realidade. Contudo,
a não realização de algumas etapas pode gerar resultados satisfatórios
a um determinado problema, sendo sempre a favor da segurança, o que
acaba resultando em uma formulação mais simples.
2.5. MÉTODO UTILIZADO PELO nFOCCA
Para serem feitas comparações com relação ao método
implementado, é necessário conhecer o método utilizado em programas já
existentes que possuam a mesma finalidade.
Um dos programas existentes e que possui seu método de
concepção aberto é o nFOCCA. Este é um programa desenvolvido em 2004
por Gustavo Assis Medeiros em sua tese de graduação no Instituto
Tecnológico de Aeronáutica (ITA). O nFOCCA foi desenvolvido sob a
linguagem de programação Pascal. Sua principal finalidade, segundo
33
MEDEIROS (2004), é a verificação de seções transversais de concreto armado
submetidas à flexão composta oblíqua.
O método apresentado por MEDEIROS (2004) consiste na
determinação do terno de valores de esforço normal resistente (Nr), momento
fletor na direção do eixo x (Mxr) e momento fletor na direção do eixo y da seção
(Myr). As resistências totais da seção são obtidas a partir do somatório das
resistências fornecidas pelo concreto e pela armadura. Para realizar este
somatório é utilizado o Teorema de Green, onde se simplifica o somatório
através de integral dupla para uma integral de contorno, ou seja, MEDEIROS
(2004) trabalha apenas com o contorno das seções. O Teorema de Green foi
aplicado com a finalidade de facilitar a rotina de programação.
A verificação da seção consiste em determinar o terno de
distribuição de deformação (ε0 ,kx, ky) em função dos esforços solicitantes. Tal
operação é realizada de modo iterativo a partir de uma estimativa inicial desses
valores, fazendo-se o uso do método de Newton-Raphson, em três dimensões,
para realizar as convergências dos cálculos.
Com a utilização do método acima citado, os valores dos esforços
resistentes são obtidos através da solução do seguinte sistema de equações:
{
} {
}
⌈⌈⌈⌈⌈
⌉⌉⌉⌉⌉
{
}
A resolução do sistema acima não se faz pertinente ao presente
trabalho.
D
(18)
34
3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Este capítulo apresenta os procedimentos metodológicos que foram
utilizados para o desenvolvimento do código computacional. Para a realização
do código foi utilizado o método das fibras, atendendo as premissas da NBR
6118:2014.
Primeiramente são descritas todas as considerações que foram
realizadas para a correta execução do código implementado, e em seguida é
apresentado um fluxograma dos procedimentos adotados. Por fim, para a
validação do código são realizadas análises comparativas com programas
existentes, além de serem apresentadas as principais vantagens e
desvantagens do programa criado.
3.1. DADOS DE ENTRADA
A primeira etapa para a execução do código foi a definição dos
dados de entrada que seriam necessários para que fossem feitas as
verificações posteriores. Desta forma os dados de entrada ficaram definidos
conforme apresentado abaixo:
a) Quanto à geometria da seção
Base (hx): dimensão da base da seção retangular, em centímetros;
Altura (hy): dimensão da altura da seção retangular, em centímetros.
b) Quanto ao arranjo da armadura
Armadura em hx: quantidade de barras de aço ao longo da base da
seção;
Armadura em hy: quantidade de barras de aço ao longo da altura da
seção;
Bitola: diâmetro das barras de aço dispostas na seção, em milímetros;
Cobrimento: cobrimento da armadura em relação à face da seção, em
centímetros.
Ressalta-se que as verificações quanto às taxas máximas e mínimas
de armadura, bem como os espaçamentos máximos e mínimos das barras, são
35
de responsabilidade do usuário do programa, ou seja, o DSS flexão composta
oblíqua não realiza tais verificações.
c) Propriedades dos materiais
Concreto (fck): resistência característica à compressão do concreto, em
MPa;
Aço (fyk): resistência característica de escoamento do aço, em kN/cm²;
d) Coeficientes de minoração das resistências dos materiais
Concreto (ɣc): coeficiente de ponderação da resistência do concreto,
adimensional;
Aço (ɣs): coeficiente de ponderação da resistência do aço, adimensional;
e) Esforços solicitantes em ELU
Força Normal (Nsd): esforço normal atuante sobre a seção, em kN;
Momento em X (Mxsd): momento fletor atuante sobre o eixo x da seção,
em kN.m;
Momento em Y (Mysd): momento fletor atuante sobre o eixo y da seção,
em kN.m;
f) Precisão:
Variação angular: variação angular a ser adotada para a variação da
linha neutra, em graus.
3.2. DEFINIÇÃO DA MALHA DE FIBRAS
Com a leitura dos dados de entrada fez-se a definição da malha de
fibras. Esta foi definida a partir da maior dimensão da seção analisada, onde
nesta dimensão foi definido um total de 25 fibras. Já na outra dimensão o
número de fibras foi ajustado, através de uma função (presente no apêndice A
do presente trabalho), de modo que a fibra ficasse aproximadamente quadrada.
Este procedimento para a definição da malha foi adotado, pois após testes
verificou-se que os resultados apresentados com esta malha eram satisfatórios.
36
Tendo definida a malha de fibras, armazenaram-se as coordenadas
de cada fibra e de cada armadura em vetores para a realização das etapas
seguintes do método.
3.3. VARIAÇÃO ANGULAR
A variação angular a ser adotada para a verificação da posição da
linha neutra será referente ao dado de entrada de precisão. Esta variação é o
critério de precisão devido ao fato de que quanto menor for o ângulo adotado,
maior é o número de laços que o código realizará para a obtenção do resultado
final. Sendo assim, a seção será analisada mais detalhadamente, evitando
possíveis erros de precisão. Como o laço referente à variação angular é o
principal laço do código, todas as etapas descritas a seguir são repetidas para
cada uma das variações angulares.
3.4. POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA
O grande problema na análise referente à flexão composta oblíqua é
a determinação da posição da linha neutra, ou seja, o problema é definir qual
região da seção está comprimida e qual está tracionada. Essa dificuldade se dá
pelo fato da linha neutra não ser perpendicular ao plano de carregamento, onde
sua determinação consiste em encontrar o ângulo α de inclinação em relação à
horizontal e sua profundidade x, de modo a atender o domínio de deformação
imposto para o problema.
A posição da linha neutra é determinada por tentativas, e esta fica
definida quando se obtém a igualdade das forças normais internas com nível
pretendido de força normal de cálculo (SMANIOTTO, 2005). O processo de
iteração para a determinação da posição da linha neutra adotado no código do
presente trabalho consiste em testar a profundidade da mesma, para cada laço
da variação angular, até que esta se encontre em uma posição que satisfaça a
tolerância de convergência imposta. Ou seja, a profundidade da linha neutra é
variada, de até , até que se garanta que a resultante total de
compressão ou tração da seção analisada seja igual ao esforço normal atuante
na mesma, considerando-se uma tolerância limite na precisão do esforço
37
normal igual a 0,5%. O cálculo da tolerância para cada teste é feito com a
seguinte equação:
Onde:
– Tolerância de convergência do esforço normal;
– Esforço normal resistente da seção;
–Esforço normal atuante sobre a seção
Para executar as verificações de convergência da posição da linha
neutra foi adotado um processo iterativo denominado método da bisseção. Este
método gera uma sequência convergente, ou seja, é sempre possível obter um
intervalo que contém a raiz da equação em estudo, sendo que o comprimento
deste intervalo final satisfaz a precisão requerida.(RUGGIERO, 1996).
O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que
contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b-a) <ε, usando para isso a
sucessiva divisão de [a,b] ao meio (RUGGIERO, 1996). Sendo (a,b) o intervalo
inicial e ε a precisão, conforme é apresentado na figura.
Figura 16 - Método da bisseção graficamente. (Fonte: RUGGIEIRO, 1996, p.41)
D
(19)
38
No caso da determinação da linha neutra tal método verifica se a
posição pré-estabelecida está acima ou abaixo da posição que satisfaz a
tolerância limite do esforço normal. Se a tolerância obtida é maior que a limite e
com sinal positivo, ou seja, a linha neutra está acima da posição que satisfaz a
condição inicial, o código retorna e aumenta a profundidade da mesma. Se a
tolerância é maior que a limite e com sinal negativo, ou seja, a linha neutra está
abaixo da posição que satisfaz a tolerância, o código retorna e diminui a
profundidade da mesma. Tal processo é repetido até se encontrar a posição
correto da linha neutra.
Com a posição da linha neutra pré-estabelecida, sabe-se qual região
da seção está comprimida e qual está tracionada, logo as fibras que estão
acima da linha neutra estão comprimidas e as que estão abaixo tracionadas.
Conforme descrito no item 2.2.1.deste trabalho, a NBR 6118:2014 permite
desprezar a resistência à tração do concreto, sendo assim não é necessário
efetuar nenhuma verificação com relação às fibras tracionadas da seção,
sendo que para esta região são verificadas apenas as armaduras nela
posicionadas.
3.5. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
A linha neutra tem sua profundidade variando desde até ,
parando no ponto em que se enquadre dentro da tolerância de convergência,
consequentemente a seção analisada será testada desde o domínio 1 (tração
uniforme) até o domínio 5 (compressão uniforme), sendo que o real domínio a
qual a seção está submetida será obtido no instante em que se define a
posição correta da linha neutra.
3.6. DISTÂNCIAS DOS ELEMENTOS ATÉ A LINHA NEUTRA E ATÉ OS
EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Com a posição da linha neutra pré-estabelecida, calcula-se a
distância de cada um dos elementos (fibras e armaduras) até a linha neutra. Na
sequência são calculadas as distâncias desses mesmos elementos com
relação aos eixos principais de inércia da seção, sendo que estas são
armazenadas em vetores para a realização das etapas seguintes do método.
39
Ressalta-se que as distâncias assumem valores positivos para as fibras e
armaduras comprimidas e negativos para as armaduras tracionadas.
As distâncias com relação à linha neutra são utilizadas para o
cálculo das deformações e das tensões nos elementos, já as distâncias com
relação aos eixos principais de inércia são utilizadas nos cálculos dos
momentos resistentes da seção.
3.7. DEFORMAÇÕES E TENSÕES DAS FIBRAS COMPRIMIDAS DE
CONCRETO
Com o domínio de deformação são pré-estabelecido e as distâncias
das fibras comprimidas até a linha neutra, assim é obtida às deformações das
mesmas e, através do diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, são
definidas as tensões atuantes em cada uma das fibras comprimidas, conforme
já ilustrado na figura 13 do presente trabalho.
Ressalta-se que até a deformação de 2,0‰ as tensões são definidas
em função da parte parabólica do diagrama, deste valor até 3,5‰ são definidas
em função da parte retangular do mesmo diagrama.
3.8. DEFORMAÇÕES E TENSÕES DAS ARMADURAS TRACIONADAS E
COMPRIMIDAS
Assim como nas fibras de concreto comprimido, as deformações nas
armaduras são determinadas a partir do domínio de deformação pré-
estabelecido e das distâncias das armaduras até a linha neutra, e, através do
diagrama tensão-deformação do aço, são definidas as tensões atuantes em
cada uma das armaduras, conforme já ilustrado na figura 14.
Para garantir que não seja ultrapassado o patamar de escoamento
do aço, delimita-se que a máxima tensão nas armaduras, tanto de tração
quanto de compressão, seja igual ao valor da resistência de cálculo de
escoamento (fyd).
40
3.9. FORÇAS NORMAIS DE COMPRESSÃO RESISTENTES DAS FIBRAS
As forças normais de compressão resistentes das fibras são obtidas
através do produto da tensão pela área de cada fibra, ou seja:
Onde:
– Força normal de compressão resistente em cada fibra;
–Tensão em cada fibra comprimida;
– Área de cada fibra comprimida.
3.10. FORÇAS NORMAIS RESISTENTES DAS ARMADURAS
Analogamente às fibras, as forças normais resistentes das
armaduras, tanto as comprimidas quanto as tracionadas, são obtidas através
do produto da tensão pela área de cada armadura, ou seja:
Onde:
– Força normal resistente em cada armadura;
–Tensão em cada armadura;
– Área de cada armadura.
3.11. ESFORÇO NORMAL RESISTENTE DA SEÇÃO DE CONCRETO
ARMADO
O esforço normal resistente da seção é obtida através do somatório
da forças conferidas pelo concreto e pelo aço, ou seja:
∑ ∑
Onde:
– Esforço normal resistente da seção de concreto armado;
–Força normal de compressão resistente em cada fibra;
– Força normal resistente em cada armadura.
Com o esforço normal resistente da seção, calcula-se a tolerância de
convergência do esforço normal conforme descrito no item 4.3. deste trabalho.
Se a comparação entre o esforço resistente com o solicitante estiver dentro da
tolerância admitida, o código passa para a próxima etapa do método, caso
D
(20)
D
(21)
D
(22)
41
contrário o código retorna para o item 3.4., aumenta a profundidade da linha
neutra e refaz todos os cálculos até obter um novo esforço normal resistente.
Se este esforço satisfizer a tolerância admitida passa-se para a próxima etapa,
caso contrário retorna para o item 3.4 e refaz novamente todos os cálculos e
assim sucessivamente até se obter a igualdade das forças normais internas
com nível pretendido de força normal de cálculo.
Com a validação da posição da linha neutra, realiza-se a cálculo dos
momentos conferidos pelo concreto e pelas armaduras, conforme descrito nos
itens a seguir.
3.12. MOMENTOS RESISTENTES CONFERIDOS PELO CONCRETO
Com a posição da linha neutra definida e com as distâncias das
fibras até os eixos principais de inércia da seção são calculados os momentos
conferidos pelas fibras comprimidas de concreto com a seguinte equação:
∑
∑
Onde:
, – Momentos resistentes conferidos pelo concreto com
relação aos eixos principais de inércia;
, –Distância do eixo de cada fibra com relação ao centro de
gravidade da seção;
– Força normal de compressão resistente em cada fibra.
3.13. MOMENTOS RESISTENTES CONFERIDOS PELA ARMADURA
Analogamente às fibras, com a posição da linha neutra definida e
com as distâncias das armaduras até os eixos principais de inércia da seção
são calculados os momentos conferidos pelas armaduras com a seguinte
equação:
∑
∑
D
(23)
)
D
(24)
)
42
Onde:
, – Momentos resistentes conferidos pelas armaduras com
relação aos eixos principais de inércia;
, –Distância do eixo de cada armadura com relação ao centro
de gravidade da seção;
–Força normal resistente em cada armadura.
3.14. MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO DE CONCRETO ARMADO
O momento total resistente da seção é obtido através do somatório
dos momentos conferidos pelo concreto e pelo aço, ou seja:
∑ ∑
∑ ∑
Onde:
, – Momentos resistentes da seção de concreto armado com
relação aos eixos principais de inércia;
, – Momentos resistentes conferidos pelo concreto com
relação aos eixos principais de inércia;
, – Momentos resistentes conferidospelas armaduras com
relação aos eixos principais de inércia.
3.15. ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS RESISTENTES (ÁBACO DE
VERIFICAÇÃO)
Os momentos e formam um ponto que será plotado no
ábaco de verificação da seção, sendo que o plano do ábaco corresponde ao
plano do esforço normal resistente da seção. Obtido o primeiro ponto em
função da posição da linha neutra, sendo esta definida por uma inclinação e
profundidade, o código retorna para o item 3.3. deste trabalho e recalcula tudo
para uma nova inclinação da linha neutra, até se obter um novo ponto do
ábaco, e assim sucessivamente até completar todas as variações angulares,
gerando por fim o ábaco de verificação da seção, conforme apresentado na
figura 17. Os linhas e pontos em azul são referentes aos esforços resistentes,
D
(25)
)
43
enquanto o ponto em vermelho refere-se aos momentos solicitantes que atuam
sobre a seção.
Figura 17 - Ábaco de verificação (envoltória dos momentos resistentes).
3.16. FLUXOGRAMA DO MÉTODO IMPLEMENTADO
Para demonstrar de forma mais clara o método utilizado para a
elaboração do código, apresenta-se o fluxograma a seguir, que representa
exatamente o algoritmo implementado:
44
Figura 18 - Fluxograma do método implementado.
45
3.17. ANÁLISE DA ENVOLTÓRIA DOS MOMENTOS RESISTENTES
Determinada a envoltória dos momentos resistentes, pode-se
analisar se a seção em questão resiste ou não aos esforços solicitantes.
Conhecidos os momentos solicitantes e , a seção deve ser analisada
da seguinte maneira:
Se o ponto formado pelos momentos solicitantes estiver contido na
envoltória dos momentos resistentes, conforme o ponto 1 da figura 19, a
seção de concreto armado satisfaz as condições de equilíbrio. Quanto
mais próximo do centro da envoltória estiver o ponto dos momentos
solicitantes, maior é a margem de segurança da mesma, ou seja, a
seção analisada resiste com sobras aos momentos sobre ela atuantes.
Consequentemente, quanto mais próxima estiver da linha da envoltória,
mais perto do esgotamento da capacidade resistente ela se encontrará,
sendo que sobre a linha, conforme o ponto 2 da figura 19, ela estará no
seu limite de capacidade resistente.
Se o ponto formado pelos momentos solicitantes estiver fora da
envoltória de momentos resistentes, conforme o ponto 3 da figura 19, a
seção de concreto armado não satisfaz as condições de equilíbrio, ou
seja, não possui capacidade para resistir aos momentos sobre ela
atuantes.
Figura 19 - Situações de análise da envoltória dos momentos resistentes.
46
Ocorrendo a situação referente ao ponto 3 descrita acima, é
necessário alterar as características da seção analisada, podendo-se recorrer
às seguintes possibilidades:
Alterar a resistência característica à compressão do concreto (fck);
Alterar o arranjo da armadura;
Alterar as dimensões da seção retangular.
3.18. VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS
Para validar os resultados obtidos foram feitas comparações com
ábacos gerados pelos programas TQS, PCalc, Oblíqua e nFOCCA. Também
foram feitos cálculos para aferir as diferenças percentuais entre o programa
gerado e os citados. A seguir seguem duas das comparações realizadas.
a) Comparação quanto à flexocompressão oblíqua:
A figura 20 apresenta o ábaco obtido no programa DSS Flexão
Composta Oblíqua, tendo em vista determinados dados de entrada referentes a
um caso de flexocompressão oblíqua, onde a seção transversal em questão
apresenta os seguintes máximos momentos fletores resistentes: Mx,rd=
341,14 kN.m e My,rd= 146,48 kN.m.
Figura 20 - Ábaco de verificação gerado pelo DSS Flexão Composta Oblíqua (flexocompressão oblíqua).
47
A figura 21 apresenta o ábaco obtido no programa TQS, onde foram
utilizadas as mesmas características na figura 20 e foram obtidos os seguintes
máximos momentos fletores resistentes: Mx,rd= 340 kN.m e My,rd=148 kN.m.
Figura 21 - Ábaco gerado pelo TQS (flexocompressão oblíqua).
A figura 22apresenta o ábaco obtido no programa Pcalc, onde foram
utilizadas as mesmas características na figura 20 e foram obtidos os seguintes
máximos momentos fletores resistentes:Mx,rd= 341kN.m e My,rd=146,47kN.m.
Figura 22 - Ábaco gerado pelo PCalc (flexocompressão oblíqua).
48
A figura 23 apresenta o ábaco obtido no programa Oblíqua, onde
foram utilizadas as mesmas características na figura 20 e foram obtidos os
seguintes máximos momentos fletores resistentes:Mx,rd= 343 kN.m e
My,rd=147,90 kN.m.
Figura 23 - Ábaco gerado pelo Oblíqua (flexocompressão oblíqua).
A figura 24 apresenta o ábaco obtido no programa nFOCCA, onde
foram utilizadas as mesmas características na figura 20 e foram obtidos os
seguintes máximos momentos fletores resistentes:Mx,rd= 341 kN.m e
My,rd=146,47 kN.m.
Figura 24 - Ábaco gerado pelo nFOCCA (flexocompressão oblíqua).
49
As diferenças percentuais, comparando-se os resultados obtidos
com o DSS Flexão Composta Oblíqua com relação aos programas existentes
estão presentes na tabela 1:
COMPARAÇÃO QUANTO A FLEXOCOMPRESSÃO OBLÍQUA
PROGRAMA Mx,rd (kN.m)
DIFERENÇA COM RELAÇÃO AO Mx,rd (%)
My,rd (kN.m)
DIFERENÇA COM RELAÇÃO AO My,rd (%)
DSS Flexão Composta
Oblíqua 341,14 ----- 146,48 -----
TQS 340,00 0,34% 148,00 -1,03%
Pcalc 341,00 0,04% 146,47 0,01%
Oblíqua 343,00 -0,54% 147,90 -0,96%
nFOCCA 341,14 0,00% 147,45 -0,66%
Tabela 1: Diferenças percentuais entre o programa criado e os programas existentes (flexocompressão oblíqua).
Como os resultados obtidos apresentam mínimas diferenças com
relação aos programas existentes, o código fica validado quanto à verificação
de flexocompressão oblíqua.
b) Comparação quanto à flexotração oblíqua:
A figura 25 apresenta o ábaco obtido no programa DSS Flexão
Composta Oblíqua, tendo em vista determinados dados de entrada referentes a
um caso de flexotração oblíqua, onde a seção transversal em questão
apresenta os seguintes máximos momentos fletores resistentes: Mx,rd=
42,51 kN.m e My,rd = 42,51 kN.m.
50
Figura 25 - Ábaco de verificação gerado pelo DSS flexão composta oblíqua (flexotração oblíqua).
A figura 26 apresenta o ábaco obtido no programa TQS, onde foram
utilizadas as mesmas características na figura 25 e foram obtidos os seguintes
máximos momentos fletores resistentes: Mx,rd= 43kN.m e My,rd=43kN.m.
Figura 26 - Ábaco gerado pelo TQS (flexotração oblíqua).
51
A figura 27 apresenta o ábaco obtido no programa Pcalc, onde foram
utilizadas as mesmas características na figura 25 e foram obtidos os seguintes
máximos momentos fletores resistentes: Mx,rd= 42,50 kN.m e My,rd= 42,50 kN.m.
Figura 27 - Ábaco gerado pelo PCalc (flexotração oblíqua).
A figura 28apresenta o ábaco obtido no programa Oblíqua, onde
foram utilizadas as mesmas características na figura 25 e foram obtidos os
seguintes máximos momentos fletores resistentes: Mx,rd= 42,53 kN.m e
My,rd=42,53 kN.m.
52
Figura 28 - Ábaco gerado pelo Oblíqua (flexotração oblíqua).
A figura 29 apresenta o ábaco obtido no programa TQS, onde foram
utilizadas as mesmas características na figura 25 e foram obtidos os seguintes
máximos momentos fletores resistentes: Mx,rd=42,53 kN.m e My,rd=42,53 kN.m.
Figura 29 - Ábaco gerado pelo nFOOCA (flexotração oblíqua).
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As diferenças percentuais, comparando-se os resultados obtidos
com o DSS Flexão Composta Oblíqua com relação aos programas existentes
estão presentes na tabela 2:
COMPARAÇÃO QUANTO A FLEXOTRAÇÃO OBLÍQUA
PROGRAMA Mx,rd (kN.m)
DIFERENÇA COM RELAÇÃO AO Mx,rd (%)
My,rd (kN.m)
DIFERENÇA COM RELAÇÃO AO My,rd (%)
DSS Flexão Composta
Oblíqua 42,51 ----- 42,51 -----
TQS 43,00 -1,14% 43,00 -1,14%
Pcalc 42,50 0,02% 42,50 0,02%
Oblíqua 42,53 -0,05% 42,53 -0,05%
nFOCCA 42,53 -0,05% 42,53 -0,05%
Tabela 2: Diferenças percentuais entre o programa criado e os já existentes (flexotração oblíqua).
Como os resultados obtidos apresentam mínimas diferenças com
relação aos programas existentes, o código fica validado quanto à verificação
de flexotração oblíqua.
3.19. VANTAGENS E DENSAVANTAGENS DO DSS FLEXÃO
COMPOSTA OBLÍQUA
O DSS Flexão Composta Oblíqua apresenta vantagens e
desvantagens quando comparado aos programas existentes. A principal
vantagem é quanto à formulação matemática, que é mais simples que as dos
outros programas, entretanto fornece resultados satisfatórios. Outro diferencial
é a interface gráfica, que é de fácil compreensão, pelo fato de ser mais simples
e objetiva em relação aos demais programas, o que facilita a utilização do
mesmo.
Entretanto a principal desvantagem é quanto ao formato das seções
analisadas. O DSS Flexão Composta Oblíqua contempla apenas seções
retangulares, enquanto os demais programas abrangem todos os tipos de
seções, onde o usuário pode até criar uma seção qualquer.
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Outra desvantagem considerável é quanto à uma limitação do
código implementado. Para a definição da malha de fibras a serem analisadas
o código considera que na maior dimensão da seção haverá um total de 25
fibras, com isso quanto maior for a seção maior será o tamanho da fibra, o que
acarretará em um maior erro percentual quando o resultado for comparado com
os resultados obtidos pelos demais programas, embora esta diferença não seja
significativa a ponto de se alterar as considerações a serem feitas para o
dimensionamento da seção em questão.
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4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo principal deste trabalho era o de desenvolver um código
computacional para a verificação de seções retangulares de concreto armado,
com armaduras simétricas em suas faces, submetidas à flexão composta
oblíqua através do método das fibras. Este objetivo foi cumprido, visto que o
mesmo encontra-se em pleno funcionamento e apresenta resultados
satisfatórios quando comparados à programas existentes.
Sendo assim, a metodologia proposta, o método das fibras
associada ao método da bisseção para convergência dos resultados, apresenta
formulação matemática mais simples quando comparada ao método dos
demais programas existentes. Entretanto os resultados obtidos são
satisfatórios e gerados de maneira tão rápida quanto aos demais programas.
A interface gráfica do programa, tanto com relação aos dados de
entrada, quanto com relação ao ábaco gerado, é simples e clara, evitando-se
assim deixar margem às dúvidas de quem utilizar o mesmo. O código
computacional criado está apresentado, interinamente no apêndice A deste
trabalho.
56
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR6118 - Projeto de estruturas
de concreto:Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014
CALLAHAN, E. Microsft Accsess7/Visual Basic: Passo a Passo, Rio de
Janeiro, 1996.
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detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. Volume 2. Pini
São Paulo, 2009.
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de concreto armado submetidas à flexão composta oblíqua. Universidade
Federal do Rio Grande do Sul, 2014.
FUSCO, Péricles B. Estruturas de Concreto - Solicitações normais LTC,
1981.
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Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, 2006.
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Editora Pini, São Paulo, 2007.
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Concreto.Volume 1 Rio de Janeiro, 1977
MEDEIROS, GUSTAVO A. Programa para Análise e Dimensionamento da
Área de Armadura de Seções de Concreto Armado Submetidas a Flexão
Oblíqua Composta. Dissertação (Graduação) - Instituto Tecnológico de
Aeronáutica (ITA), 2004.
57
MENESES, FLÁVIO M.R. Desenvolvimento de programa para o cálculo de
pilares de betão armado. Dissertação (Mestrado) - Universidade de Aveiro,
Portugal, 2013.
MONTEIRO, ANDRÉ. O. Desenvolvimento de um programa de cálculo de
secções de betão armado. Dissertação (Mestrado) - Universidade de Aveiro,
Portugal, 2011
PETROUTSOS, E. Dominando a Programação de Banco de Dados com
Visual Basic 6, São Paulo, 2000.
PINHEIRO, LIBÂNIO.M; BARALDI, LÍVIO T.; POREM, MARCELO
E..Estruturas de concreto: Ábacos para flexão oblíqua. Universidade de
São Paulo, São Carlos, 2009.
ROMAN, S.,RON, P., LOMAX, P. Linguagem VB.NET, Rio de Janeiro, 2002.
RUGGIEIRO, MARCIA A. GOMES, LOPES, VERA LUCIA DA ROCHA Cálculo
numérico: Aspectos teóricos e computacionais. 2 edição- São Paulo:
Makron Books, 1996.
SMANIOTTO, ALBERTO. Dimensionamento e detalhamento automático de
pilares retangulares submetidos à flexão composta oblíqua. Dissertação
(Pós-Graduação) - Universidade Federal se Santa Catarina, 2005.
SÜSSEKIND, JOSÉ C. Curso de concreto. 3ª Edição, Volume II. Editora
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de Pilares de Concreto Armado. Dissertação (Graduação) - Instituto
Tecnológico de Aeronáutica (ITA), 2006.
58
6. APÊNDICES
APÊNDICE A - Código computacional para verificação de seções
retangulares, com armaduras simétricas em suas faces, submetidas à
flexão composta oblíqua.
PublicClassDDS PrivateSubBtn_calc_Click(ByValsenderAsSystem.Object, ByVal e AsSystem.EventArgs) HandlesBtn_calc.Click '-----------------------------------------------------------------------' 'LEITURA DOS DADOS DE ENTRADA' Dim base, altura, bitola, cobrimento, aco, concreto, gama_s, gama_c, nbarver, nbarhor, nbar_tot, varang, Mxd, Myd, Nsd, Mx_tot, My_totAs Double base = Convert.ToDouble(Txt_base.Text) altura = Convert.ToDouble(Txt_altura.Text) bitola = Convert.ToDouble(CBox_bitola.Text) / 10 cobrimento = Convert.ToDouble(CBox_cobrimento.Text) concreto = Convert.ToDouble(CBox_concreto.Text) / 10 aco = Convert.ToDouble(CBox_aco.Text) gama_s = Convert.ToDouble(Txt_gama_s.Text) gama_c = Convert.ToDouble(Txt_gama_c.Text) nbarver = Convert.ToDouble(CBox_nbarver.Text) nbarhor = Convert.ToDouble(CBox_nbarhor.Text) varang = Convert.ToDouble(CBox_varang.Text) Nsd = Convert.ToDouble(Txt_Nsd.Text) Mxd = Convert.ToDouble(Txt_Mxd.Text) Myd = Convert.ToDouble(Txt_Myd.Text) '-----------------------------------------------------------------------' 'CRIAÇÃO DAS SÉRIES DE DADOS PARA GERAÇÃO DO ÁBACO' Try Chart1.Series.Clear() Exit Try Finally EndTry Chart1.Series.Add("Series1") Chart1.Series.Add("Series2") Chart1.Series.Add("Series3") Chart1.Series.Add("Series4") Chart1.Series.Add("Series5") Chart1.Series.Add("Series6") '-----------------------------------------------------------------------' 'PROPRIEDADES DOS MATERIAIS' Dimfyd, fcd, b2, h2, AbAsDouble fyd = aco / gama_s fcd = concreto / gama_c b2 = base / 2
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h2 = altura / 2 Ab = 0.25 * (Math.PI) * bitola ^ 2 nbar_tot = (nbarver * 2) + (nbarhor - 2) * 2 '-----------------------------------------------------------------------' 'DEFINIÇÃO DA MALHA' Dimrr, aresta_b, aresta_h, AfibraAsDouble Dimnfibras_hor, nfibras_ver, nfibras_totAsInteger If base > altura Then aresta_b = base / 25 If (altura / aresta_b) - Math.Floor(altura / aresta_b) >= 0.5 Then rr = Math.Floor(altura / aresta_b) + 1 Else rr = Math.Floor(altura / aresta_b) EndIf aresta_h = altura / rr Else aresta_h = altura / 25 If (base / aresta_h) - Math.Floor(base / aresta_h) >= 0.5 Then rr = Math.Floor(base / aresta_h) + 1 Else rr = Math.Floor(base / aresta_h) EndIf aresta_b = base / rr EndIf nfibras_hor = base / aresta_b nfibras_ver = altura / aresta_h nfibras_tot = nfibras_hor * nfibras_ver Afibra = aresta_b * aresta_h '-----------------------------------------------------------------------' 'Para não ocorrerem problemas no cálculo das tolerâncias, considera-se no mínimo um Nsd infinitesimal' If Nsd = 0 Then Nsd = 0.0001 EndIf '-----------------------------------------------------------------------' 'LAÇO PARA DEFINIÇÃO DAS COORDENADAS DAS FIBRAS' Dim i, j, cont_fibAsInteger Dimfib_y, fib_x, fib_cx(nfibras_tot, 0), fib_cy(nfibras_tot, 0) As Double cont_fib = 0 For j = 1 To (Math.Round(nfibras_ver, 0)) Fori = 1 To (Math.Round(nfibras_hor, 0)) fib_x = (aresta_b / 2) + aresta_b * (i - 1) fib_y = (aresta_h / 2) + aresta_h * (j - 1) fib_cx(cont_fib, 0) = fib_x fib_cy(cont_fib, 0) = fib_y cont_fib += 1 Next Next
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'-----------------------------------------------------------------------' 'LAÇO PARA DEFINIÇÃO DAS COORDENADAS DAS BARRAS DE AÇO' Dimdv_barra, dh_barraAsDouble Dimbarra_y, barra_x, barra_cx(nbar_tot, 0), barra_cy(nbar_tot, 0) As Double Dimcont_barraAsInteger dv_barra = (altura - 2 * cobrimento) / (nbarver - 1) dh_barra = (base - 2 * cobrimento) / (nbarhor - 1) cont_barra = 0 For j = 1 Tonbarver For i = 1 Tonbarhor barra_x = cobrimento + dh_barra * (i - 1) barra_y = cobrimento + dv_barra * (j - 1) If j = 1 Or i = 1 Or j = nbarverOri = nbarhorThen barra_cx(cont_barra, 0) = barra_x barra_cy(cont_barra, 0) = barra_y cont_barra += 1 EndIf Next Next '-----------------------------------------------------------------------' 'LAÇO PARA REALIZAÇÃO DA VARIAÇÃO ANGULAR ( *** LAÇO PRINCIPAL *** ) Dimang, B, hutil, h, tol, Bx, sinal, passo, div, hc, ht, A, coef_ang, Mxc_acu, Myc_acu, Rc_acu, distf, dy_cgc, dx_cgc, ec, m, Fc, Mxc, MycAs Double DimMxs, Mys, Mxsl, Mysl, Mxs_acu, Mys_acu, Rs_acu, Mxsl_acu, Mysl_acu, Rsl_acu, dista, dy_cga, dx_cga, es, Sa, FaAsDouble Dimlx, ly, ix, iy, maxM, maxMx, maxMy, Rr_tot, Mx_L(Convert.ToInt16(90 / varang + 1), 0), My_L(Convert.ToInt16(90 / varang + 1), 0) Dim k, l, n, contAsInteger cont = 0 maxMx = 0 maxMy = 0 maxM = 0 For j = 0 To 90 Stepvarang'COMEÇO DO LAÇO PRINCIPAL' ang = j * (Math.PI / 180) B = Math.Tan(ang) '-------------------------------------------------------------------' 'CÁLCULO DA ALTURA ÚTIL' hutil = (altura - cobrimento) * (Math.Cos(ang)) + (base - cobrimento) * (Math.Sin(ang)) '-------------------------------------------------------------------' 'ATRIBUIÇÕES INICIAIS' tol = 1 * 10 ^ 999 Bx = 0 sinal = 1 passo = 0.1
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div = 2 IfNsd< 0 Then Bx = 1.1 passo = (-0.1) EndIf '-------------------------------------------------------------------' 'LAÇO PARA DETERMINAR A POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA' While ((Math.Abs(tol)) > 0.005) '---------------------------------------------------------------' 'CÁLCULO DA MÁXIMA DISTÂNCIA DO TRECHO COMPRIMIDO' hc = Bx * hutil 'CÁLCULO DA MÁXIMA DISTÂNCIA DO TRECHO TRACIONADO' ht = hutil - hc 'EQUAÇÃO y=A+Bx PARA A LINHA NEUTRA' A = altura - (hc / (Math.Cos(ang))) '---------------------------------------------------------------' 'ANÁLISE DOS DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO' If Bx <= 0.259 Then'Domínio 2' coef_ang = 0.01 / ht ElseIfBx> 0.259 AndBx<= 1.1 Then coef_ang = 0.0035 / hc EndIf '---------------------------------------------------------------' 'ANÁLISE DAS FIBRAS DE CONCRETO' Mxc_acu = 0 Myc_acu = 0 Rc_acu = 0 'LAÇO PARA PERCORRER TODAS AS FIBRAS' For k = 0 To nfibras_tot - 1 'CÁLCULO DAS DISTÂNCIAS DAS FIBRAS ATÉ A LINHA NEUTRA (DISTÂNCIA POSITIVA PARA COMPRESSÃO E NEGATIVA PARA TRAÇÃO)' distf = (fib_cy(k, 0) - (A + B * fib_cx(k, 0))) * (Math.Cos(ang)) dy_cgc = fib_cy(k, 0) - h2 dx_cgc = fib_cx(k, 0) - b2 'CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES CONFORME O DIAGRAMA PARÁBOLA- RETÂNGULO'
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ec = distf * coef_ang Ifdistf> 0 Then Ifec>= 0.002 Then m = 1 Else m = (1 - (1 - (ec / 0.002)) ^ 2) EndIf EndIf 'CÁLCULO DAS RESISTÊNCIAS DAS FIBRAS COMPRIMIDAS' If distf > 0 Then Fc = (0.85 * fcd) * m * Afibra Mxc = +Fc * dy_cgc Myc = -Fc * dx_cgc Rc_acu += Fc Mxc_acu += Mxc * 0.01 Myc_acu += Myc * 0.01 EndIf Next '---------------------------------------------------------------' 'ANÁLISE DAS ARMADURAS' Mxs_acu = 0 Mys_acu = 0 Rs_acu = 0 Mxsl_acu = 0 Mysl_acu = 0 Rsl_acu = 0 'LAÇO PARA PERCORRER TODAS AS ARMADURAS' For l = 0 Tonbar_tot - 1 'CÁLCULO DAS DISTÂNCIAS DAS ARMADURAS ATÉ A LINHA NEUTRA (DISTÂNCIA POSITIVA PARA COMPRESSÃO E NEGATIVA PARA TRAÇÃO)' dista = (barra_cy(l, 0) - (A + B * barra_cx(l, 0))) * (Math.Cos(ang)) dy_cga = barra_cy(l, 0) - h2 dx_cga = barra_cx(l, 0) - b2 'CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES NAS ARMADURAS' es = dista * coef_ang 'CÁLCULO DAS TENSÕES NAS ARMADURAS' Sa = 21000 * es Ifdista> 0 Then Sa -= 0.85 * fcd EndIf If Sa > fyd Then Sa = fyd ElseIf Sa < (-fyd) Then Sa = (-fyd)
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EndIf 'CÁLCULO DAS RESISTÊNCIAS DAS ARMADURAS' Fa = Sa * Ab If dista > 0 Then Mxsl = +Fa * dy_cga Mysl = -Fa * dx_cga Rsl_acu += Fa Mxsl_acu += Mxsl * 0.01 Mysl_acu += Mysl * 0.01 Else Mxs = +Fa * dy_cga Mys = -Fa * dx_cga Rs_acu += Fa Mxs_acu += Mxs * 0.01 Mys_acu += Mys * 0.01 EndIf Next '---------------------------------------------------------------' 'ANÁLISE DAS RESISTÊNCIAS TOTAIS DA SEÇÃO DE CONCRETO ARMADO' 'CÁLCULO DAS RESISTÊNCIAS TOTAIS' Rr_tot = Rc_acu + Rs_acu + Rsl_acu tol = (Rr_tot - Nsd) / Nsd Mx_tot = Mxc_acu + Mxs_acu + Mxsl_acu My_tot = Myc_acu + Mys_acu + Mysl_acu '---------------------------------------------------------------' 'MÉTODO DE CONVERGÊNCIA PARA GARANTIR A POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA' Ifsinal< 0 Then div *= 4 EndIf Iftol< 0 Then Ifsinal< 0 Then sinal *= (-1) EndIf Bx += (passo / div) ElseIftol> 0 Then Ifsinal> 0 Then sinal *= (-1) EndIf Bx -= (passo / div) EndIf EndWhile '-------------------------------------------------------------------' 'ARMAZENAMENTO DOS MOMENTOS RESISTENTES TOTAIS'
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IfMx_tot>maxMxThen maxMx = Mx_tot EndIf IfMy_tot>maxMyThen maxMy = My_tot EndIf IfMath.Max(My_tot, Mx_tot) >maxMThen maxM = Math.Max(My_tot, Mx_tot) EndIf Mx_L(cont, 0) = Mx_tot My_L(cont, 0) = My_tot cont += 1 '-------------------------------------------------------------------' Next'FECHAMENTO DO LAÇO PRINCIPAL' '-----------------------------------------------------------------------' maxM = Math.Round(1.1 * Convert.ToDouble(Math.Max(Mxd, Math.Max(Myd, maxM))), 0) 'DEFINIÇÃO DOS TIPOS DE SÉRIES A SEREM PLOTADAS' ix = maxMx / 4 iy = maxMy / 4 j = 1 While j >= 0 If j * ix > maxM Then lx = j * ix j = -1 Else j += 1 EndIf EndWhile j = 1 While j >= 0 If j * iy>maxMThen ly = j * iy j = -1 Else j += 1 EndIf EndWhile Chart1.ChartAreas(0).AxisX.Interval = ix Chart1.ChartAreas(0).AxisY.Interval = iy Chart1.ChartAreas(0).AxisX.LabelStyle.Format = "f" Chart1.ChartAreas(0).AxisY.LabelStyle.Format = "f" Chart1.ChartAreas(0).AxisX.MajorGrid.LineColor = Color.LightGray Chart1.ChartAreas(0).AxisY.MajorGrid.LineColor = Color.LightGray Chart1.ChartAreas(0).AxisX.Maximum = lx Chart1.ChartAreas(0).AxisX.Minimum = -lx Chart1.ChartAreas(0).AxisY.Maximum = ly Chart1.ChartAreas(0).AxisY.Minimum = -ly
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Chart1.Series("Series1").ChartType = DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Line =Chart1.Series("Series2").ChartType = DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Line Chart1.Series("Series3").ChartType = DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Line Chart1.Series("Series4").ChartType = DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Line Chart1.Series("Series5").ChartType = DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Point Chart1.Series("Series6").ChartType = DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Point '-----------------------------------------------------------------------' 'LAÇO PARA PLOTAGEM DO ÁBACO' Fori = 0 To 3 Step 1 For n = 0 Tocont - 1 Step 1 Ifi = 0 Then Chart1.Series("Series1").Points.AddXY(Mx_L(n, 0), My_L(n, 0)) Chart1.Series("Series5").Points.AddXY(Mx_L(n, 0), My_L(n, 0)) ElseIfi = 1 Then Chart1.Series("Series2").Points.AddXY(Mx_L(cont - 1 - n, 0), -My_L(cont - 1 - n, 0)) Chart1.Series("Series5").Points.AddXY(Mx_L(cont - 1 - n, 0), -My_L(cont - 1 - n, 0)) ElseIfi = 2 Then Chart1.Series("Series3").Points.AddXY(-Mx_L(n, 0), -My_L(n, 0)) Chart1.Series("Series5").Points.AddXY(-Mx_L(n, 0), -My_L(n, 0)) Else Chart1.Series("Series4").Points.AddXY(-Mx_L(cont - 1 - n, 0), My_L(cont - 1 - n, 0)) Chart1.Series("Series5").Points.AddXY(-Mx_L(cont - 1 - n, 0), My_L(cont - 1 - n, 0)) EndIf Next Next Chart1.Series("Series6").Points.AddXY(Mxd, Myd) EndSub EndClass