Università del Salento

Dipartimento di Matematica e Fisica "E. De Giorgi"

Corso di Laurea Triennale in Fisica

Millisecond pulsar negli ammassi globulari

Millisecond pulsars in globular clusters

Relatore:

Francesco De Paolis

Laureando:

Giacomo De Giorgi

Anno Accademico 2018-2019

Indice

1 Introduzione 1

2 Ammassi Globulari 2

2.1 Panoramica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Stime dell'età . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Evoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1 Tempo di rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.2 Tempo di evaporazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.3 Segregazione di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.4 Collasso del core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.5 Incontri mareali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Modelli per gli ammassi globulari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5.1 Modello di Plummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.2 Sfera isotermica e modello di King . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Stelle di neutroni 11

3.1 Formazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Segnali periodici: pulsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Pulsar e misura delle distanze: dispersion measure (DM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Fenomeno di spin-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

i

3.5.1 Potenza irradiata da un dipolo magnetico rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.2 Luminosità di spin-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5.3 Periodo e campo magnetico minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.6 Cenni sul fenomeno di spin-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.7 Meccanismo di emissione di impulsi radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.8 Età caratteristica τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.9 Diagrammi P -P e B-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.10 Struttura interna delle stelle di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Millisecond Pulsar 25

4.1 Caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Modello delle pulsar riciclate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Pulsar isolate con P < 0 28

5.1 Inuenze del moto della pulsar sul P misurato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Spin-up improvvisi: i glitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Relazioni tra millisecond pulsar e ammassi globulari 32

6.1 Densità centrale degli ammassi globulari e P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2 Numero di millisecond pulsar previsto in un ammasso globulare . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Conclusioni 38

ii

Capitolo 1

Introduzione

In questa tesi sono analizzati i corpi celesti noti come pulsar superveloci, o millisecond pulsar, ed inparticolare la loro relazione con gli ammassi globulari in cui solitamente vengono osservate.

Nel capitolo 2 si eettua una descrizione degli ammassi globulari, analizzando la loro età, la lorocomposizione, la loro evoluzione ed i possibili modelli tramite i quali possono essere descritti.

Successivamente, nel capitolo 3, sono descritte le stelle di neutroni e, in particolare, le pulsar.Qui vengono introdotti la misura di dispersione e il fenomeno di spin-down e si accenna al fenomeno dispin-up che sarà poi approfondito nel capitolo successivo riguardante le millisecond pulsar e nel capitolo5.

Il capitolo 4 è dedicato alla descrizione della popolazione di pulsar con P . 20 ms e all'ipotesi sullaloro formazione espressa dal modello delle pulsar riciclate.

Nel capitolo 5 si analizzano i casi in cui una pulsar isolata mostri il cosiddetto fenomeno dellospin-up ossia abbia P < 0 e si analizzano le possibili cause del fenomeno.

Inne nel capitolo 6 si considerano le possibili relazioni tra le millisecond pulsar e gli ammassiglobulari di appartenenza.

1

Capitolo 2

Ammassi Globulari

2.1 Panoramica

Gli ammassi globulari (globular clusters) sono raggruppamenti di stelle dalla forma approssimativa-mente sferica o ellittica distribuiti principalmente nell'alone galattico che circonda una galassia e, inminore misura, nel "bulge" o bulbo galattico, una regione di dimensioni minori dell'alone che si puòtrovare attorno al centro delle galassie a spirale. Il numero di stelle contenute negli ammassi globularipuò andare da 104 a 107 e la loro densità stellare centrale varia da 10−1 a 106M pc−3 con una mediadi 104M pc−3 [3].

Le dimensioni di un ammasso globulare sono genericamente determinate tramite delle lunghezzecaratteristiche: il raggio del nucleo rc (core radius) indica la distanza dal centro dell'ammasso incorrispondenza della quale la sua luminosità superciale è dimezzata; il raggio eettivo rh (half-lightradius) e il raggio di metà massa rhm (half-mass radius) indicano rispettivamente la distanza dal centroentro la quale è emessa metà della luminosità totale ed entro la quale è contenuta metà della massa totaledel sistema; inne il raggio mareale rt (tidal radius) indica la distanza dal centro oltre la quale le forzedi gravitazione esterne hanno un'inuenza maggiore sulle stelle rispetto all'attrazione gravitazionaledell'ammasso stesso. Stelle posizionate oltre il raggio mareale dell'ammasso possono essere sottratte aquesto dalla galassia e questo raggio spesso indica il limite dell'estensione dell'ammasso.

Attualmente sono stati osservati 157 ammassi globulari nella Via Lattea [19].

Cenni sugli ammassi aperti Altri raggruppamenti di stelle sono gli ammassi aperti e contengonoda ∼ 102 a 104 stelle. Sono ammassi meno massivi e dalla vita più breve degli ammassi globulari [5].L'argomento non è approfondito ulteriormente in questa tesi.

2.2 Stime dell'età

Si può stimare l'età di un ammasso globulare osservando la distribuzione delle stelle che lo compongononel diagramma Hertzprung-Russell (HR), o colore-magnitudine.

In ascissa nel diagramma HR è presente la classe spettrale della stella o il suo indice di colore B-V,ossia la dierenza tra la magnitudine della stella nella regione blu, B, e la magnitudine nella regionedel visibile, V, mentre in ordinata si trova la sua magnitudine assoluta. Entrambe le grandezze sonodirettamente collegate a delle proprietà della stella: la prima alla sua temperatura superciale mentrela seconda alla sua luminosità e quindi alle sue dimensioni.

2

(a) (b)

Figura 2.1: Nelle gure: a) Diagramma HR dell'ammasso M 15. b) Diagramma HR dell'ammasso NGC6652 su cui sono tracciate tre isocrone. Immagini di "Globular Cluster Age Dating" di Chaboyer [6].

Le stelle di un ammasso globulare rappresentate sul diagramma HR riportano solitamente un dia-gramma simile a quello in gura 2.1a, dove si identicano le stelle nella sequenza principale, il punto incui questa termina (main sequence turno, MSTO), i rami delle subgiganti e giganti, il ramo orizzontalee la regione delle RR Lyrae.

Dato che si ipotizza che tutte le stelle dell'ammasso globulare abbiano la stessa età e composizione,la loro posizione sul diagramma HR dipende unicamente dalla loro massa. La maggior parte di questesi trova nella sequenza principale, dove avvengono le reazioni di fusione di idrogeno in elio. Da notareche in gura 2.1a è stato rappresentato solo il 10% delle stelle in sequenza principale. Stelle di massamaggiore, posizionate più in alto nel diagramma, tendono ad avere una permanenza sulla sequenzaprincipale di durata inferiore (dato che, per la maggior parte delle stelle sulla sequenza principale siha L ∝ M2−6, dove L è la luminosità di una stella e M la sua massa [43]). Si osserva quindi ladeviazione dalla sequenza principale (MSTO) verso il ramo delle subgiganti, dove le stelle si espandonorapidamente, spostando verso il rosso il loro indice di colore ma mantenendo la propria luminositàinalterata. Successivamente la stella si muove nel ramo delle giganti, dove si innescano le reazioni difusione nucleare dell'idrogeno nell'involucro che circonda il nucleo di elio. Stelle ancora più massiveinvece sviluppano un nucleo di elio abbastanza caldo e denso da innescare le reazioni di fusione dell'elio.Questa fase evolutiva è detta il ramo orizzontale (HB) ed alcune stelle in questa fase, dette RR Lyrae,sono variabili a causa del meccanismo κ, un processo che coinvolge alcuni strati dell'atmosfera stellarela cui opacità aumenta con la temperatura [6].

È stato fatto notare che l'ipotesi più accreditata sulla formazione degli ammassi globulari collocala formazione delle loro stelle nello stesso periodo. Assumendo una certa popolazione di stelle inizialeè possibile quindi tracciarne il diagramma HR a diversi istanti di tempo ed osservarne l'evoluzione.

3

La distribuzione delle stelle sul diagramma sarà determinata a questo punto unicamente dal tempotrascorso dalla loro formazione, ossia dalla loro età.

Tramite questo metodo si possono confrontare le isocrone sui diagrammi HR associate a tempidiversi dell'evoluzione della distribuzione stellare iniziale con la distribuzione osservata sui diagrammiHR degli ammassi globulari e cercare la migliore corrispondenza tra la previsione teorica e le misure.Questo è quello che viene eettuato in gura 2.1b per l'ammasso NGC 6652, per cui la migliore stimadell'età è di circa 13 Gyr, simile all'età dell'Universo [6].

Stime per diversi ammassi globulari, anche con metodi dierenti dal t dell'isocrona dell'interodiagramma HR, hanno portato ad una stima dell'età di questi ammassi confrontabile con l'età dellaGalassia e dell'Universo [22], ponendoli fra gli oggetti osservati più antichi.

2.3 Composizione

Stelle di seconda popolazione Gli ammassi globulari sono composti generalmente da stelle diseconda popolazione, o a bassa metallicità, cioè con un basso contenuto di elementi più pesanti dell'i-drogeno e dell'elio (detti quindi metalli) rispetto alle stelle di tipo solare, dette di prima popolazione.Questi elementi più pesanti sono prodotti nei processi nucleari interni alle stelle e distribuiti poi nelmezzo interstellare in seguito a fenomeni di supernova dove si possono riaggregare per la formazionedi nuove stelle. Un basso contenuto di metalli, dunque, può essere indice di una stella non giovane eil fatto che queste vengano osservate negli ammassi globulari è in accordo con l'ipotesi che essi sianooggetti molto antichi.

Componenti esotiche Data l'elevata densità stellare degli ammassi globulari, al loro interno si hannofrequenti interazioni tra le stelle, il che fa si che classi di stelle considerate esotiche, come le millisecondpulsar, siano molto più comuni in questi ammassi.

Sono state avanzate diverse ipotesi a favore della presenza di buchi neri al centro di alcuni ammassi.Al seguito delle misure eettuate dall'Hubble Space Telescope, ad esempio, è stata suggerita la presenzadi un buco nero di massa intermedia (M ∼ 103M) al centro dell'ammasso M 15 [16] nonostante irisultati di tali misure non richiedano necessariamente che tale buco nero sia presente [2].

Pianeti Data la bassa metallicità e l'elevata densità stellare degli ammassi, la presenza di sistemiplanetari al loro interno è poco probabile. Si è ipotizzato sia necessario un contenuto di metalli dialmeno il 40 % del contenuto di metalli del Sole per avere la possibilità di formazione di pianeti gigantimentre la presenza di pianeti terrestri, che necessiterebbero una maggiore concentrazione di elementipesanti, è molto improbabile [18]. La densità stellare caratteristica degli ammassi, inoltre, ridurrebbe leprobabilità di sopravvivenza di eventuali sistemi formati nell'ammasso a causa delle frequenti interazionicon le stelle al suo interno che porterebbero alla disgregazione del sistema planetario e, successivamente,all'espulsione del pianeta dall'ammasso.

Nonostante la bassa probabilità di formazione e sopravvivenza, è stato osservato un pianeta gigante(di massa compresa tra 1 e 2 masse gioviane) nell'ammasso globulare M 4. Il pianeta orbita il sistemabinario PSR B1620-26 composto da una millisecond pulsar e una nana bianca e si ipotizza sia statocatturato dal sistema binario a seguito della sua formazione attorno ad una stella di sequenza principalepresente nell'ammasso [45].

4

2.4 Evoluzione

2.4.1 Tempo di rilassamento

Escludendo forti interazioni mareali, la maggior parte degli ammassi globulari rimane legata gravita-zionalmente per periodi comparabili all'età delle proprie stelle. Dato che dal momento della formazionele stelle nell'ammasso interagiscono fra di loro gravitazionalmente, le loro velocità sono nel tempo mo-dicate no a perdere ogni collegamento con la velocità iniziale. Il tempo caratteristico in cui avvienequesto processo è detto tempo di rilassamento ed è legato all'intervallo di tempo caratteristico tcrossnecessario anchè una stella attraversi l'ammasso e al numero di masse solari N contenute nel sistemadalla relazione

trelax 'N

10 lnNtcross. (2.1)

Considerando per un ammasso i valori N ∼ 105, raggio R ∼ 10 pc e velocità v ∼ 10 km s−1 si ottienetcross ∼ 106 yr e trelax ∼ 109 yr. Nel caso di ammassi globulari reali, si ha che il tempo di rilassamentovaria all'interno dell'ammasso stesso nonostante il valore medio si avvicini a 109 yr [3].

Proprio a causa di questa dipendenza del tempo di rilassamento dalla posizione in cui viene calcolatonell'ammasso è utile introdurre il tempo di rilassamento di metà massa, half-mass relaxation time, trhcalcolato considerando le caratteristiche medie dell'ammasso interne al raggio di metà massa [5].

2.4.2 Tempo di evaporazione

Si denisce tempo di evaporazione di un ammasso il tempo necessario anché questo si disperda a causadella graduale perdita di stelle che raggiungono una velocità suciente da sfuggire al suo potenzialegravitazionale. Ignorando i fenomeni dovuti all'evoluzione stellare e agli incontri mareali con la galassia,si può stimare il tempo di evaporazione assumendo che una frazione xev delle N stelle dell'ammassosiano evaporate al passaggio di ogni tempo di rilassamento. Si può dunque scrivere:

dN

dt= −xevN

trelax= − N

tevap(2.2)

dove tevap è proprio il tempo di evaporazione. Dato che il valore della velocità di fuga vf in un genericopunto x è collegata al potenziale gravitazionale φ (x) in quel punto dalla relazione

v2f = −2φ(x) (2.3)

si ottiene il valore quadratico medio della velocità di fuga in un ammasso di densità ρ (x) da:

〈v2f 〉 =

∫ρ (x) v2fd

3x∫ρ (x) d3

= −2

∫ρ (x)φ (x) d3x

M= −4W

M(2.4)

dove W è l'energia potenziale totale dell'ammasso e M la sua massa totale. Se il sistema è virializzato,cosa che ci si aspetta dopo un periodo di tempo pari al tempo di rilassamento, si ha −W = 2K = M〈v2〉,dove K è l'energia cinetica totale del sistema. Considerando il teorema del viriale e l'equazione (2.4) siha quindi:

〈v2f 〉 = 4〈v2〉. (2.5)

5

Dunque le stelle che evaporeranno sono quelle con una velocità doppia rispetto alla velocità quadraticamedia delle stelle nell'ammasso. Se si assume una distribuzione maxwelliana delle velocità, si calcolache la frazione di stelle con v > 2

√〈v2〉 è pari a xev ∼ 10−2. Dall'equazione (2.2) si ha:

tevap =trelaxxev

∼ 102trelax ∼ 1011 yr. (2.6)

Gli eetti inizialmente trascurati dovuti all'evoluzione stellare e alle interazioni mareali in realtà ridu-cono il tempo di evaporazione, portandolo tipicamente nell'ordine di ∼ 1010 yr che è comparabile conl'età osservata degli ammassi globulari [3].

2.4.3 Segregazione di massa

A causa dell fenomeno statistico dell'equipartizione, quando due stelle appartenenti ad un ammassoglobulare interagiscono scambiandosi energia cinetica, questa tende ad equidistribuirsi tra i due corpi.Dato che l'energia cinetica segue la legge K = 1

2Mv2 doveM è la massa del corpo e v la sua velocità, sei due corpi interagenti hanno masse diverse il corpo più massivo tenderà ad avere una velocità minore e,viceversa, il corpo meno massivo ne avrà una maggiore. Questo porta i corpi più massicci dell'ammassoad addensarsi in orbite più strette, ossia più vicine al centro dell'ammasso, mentre altri corpi menomassivi si muovono su orbite più lunghe.Questo fenomeno di addensamento di massa al centro dell'ammasso è detto segregazione di massa.

Il tempo di segregazione di una popolazione di stelle di massaMs in un ammasso di stelle con massa

media 〈M〉 è tseg ∼〈M〉Ms

trh dove trh è il tempo di rilassamento di metà massa [35].

Segregazione primordiale di massa La segregazione della massa che si osserva negli ammassiglobulari è detta "dinamica" in quanto è dovuta all'interazione dei corpi che compongono il sistema,

Figura 2.2: Istogrammi del tempo di rilassamento di ammassi globulari (trh, istogramma in bianco)e galassie (valutati a 0.1 arcsec dal loro centro, istogramma tratteggiato). Le uniche due galassie contrel . 1010 yr sono M 32 e M 31. Immagine di "Galactic Dynamics" di Binney e Tremaine [5].

6

come dimostrato dal calcolo del loro tempo di rilassamento e dal confronto di questo con la loro età.I fenomeni di segregazione di massa primordiali si osservano invece quando una distribuzione nonuniforme in un sistema è dovuta alle sue condizioni di formazione. Per sistemi come le galassie, adesempio, si calcolano tempi di rilassamento generalmente molto più alti della loro età (∼ 1011 − 1015

yr confrontato con 1010, vedi gura 2.2) il che porta alla conclusione che la struttura delle galassienon possa essere stata ancora inuenzata da fenomeni che agiscono su scale temporali pari al tempo dirilassamento, come la segregazione di massa dinamica. Fenomeni di segregazione di massa nelle galassiesaranno dunque di tipo primordiale [5].

2.4.4 Collasso del core

Un fenomeno che fra le sue cause ritrova anche la segregazione di massa è il collasso del core di unammasso globulare.

Ciò che si osserva riguardo la luminosità degli ammassi globulari è che questa cresce con diminuiredella distanza dal centro del core no a stabilizzarsi attorno ad un valore costante. Questa stabilizza-zione avviene a circa 1 − 2 parsec dal centro. In alcuni ammassi si osserva però una continua crescitadella luminosità no all'interno del core in un fenomeno detto collasso del core [12]. Un ammasso dalcore collassato è M 15: l'andamento della sua luminosità superciale è mostrato in gura 2.4b nellasezione 2.5.2, riguardante il modello di King.

A contrastare questa contrazione sono i sistemi binari che possono cedere alle stelle nel core partedella loro energia orbitale, restringendo l'asse della propria orbita. Quando, al seguito delle successiveinterazioni, le componenti dei sistemi binari si separano, questo processo viene bloccato ed il coreriprende il collasso. Si ha un ulteriore rallentamento quando nuovi sistemi binari si formano all'internodel core e questi, come i sistemi binari originali, contrastano nuovamente il collasso [23].

Eventi che accelerano il collasso sono invece gli incontri mareali con la galassia, anche se la loroinuenza si riduce al diminuire della massa dell'ammasso [17].

2.4.5 Incontri mareali

L'interazione dell'ammasso globulare con un corpo massivo, come il core della galassia, può risultare inuna separazione delle stelle più esterne dell'ammasso da questo stesso.

Questo fenomeno si verica quando le dierenze tra l'intensità dell'attrazione gravitazionale dellagalassia sulla regione dell'ammasso ad essa più vicina, sulla sua regione centrale e sulla regione piùlontana sono tali da separare le stelle nelle regioni più esterne dell'ammasso dalla struttura centrale.Lo shock mareale (tidal shock) avviene ogni volta che un ammasso attraversa il piano della galassia epuò generare delle "code" di stelle che seguono e precedono l'ammasso nella sua orbita [26].

Oltre ad accelerare il processo di collasso del core, gli incontri mareali aumentano l'energia cineticadell'ammasso e possono aumentare il suo tasso di evaporazione.

2.5 Modelli per gli ammassi globulari

Gli ammassi globulari possono essere approssimati a delle distribuzioni di massa sferiche. La descrizionedi queste distribuzioni può essere eettuata tramite diversi modelli.

I modelli qui descritti, per semplicità, assumono che la popolazione di un ammasso sia compostada stelle identiche e saranno descritti quindi da un'unica funzione di distribuzione.

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2.5.1 Modello di Plummer

Se si assume che la densità di un sistema sferico sia approssimativamente costante nelle regioni centralie tenda a zero a distanze elevate dal centro, si può descrivere un tale sistema tramite un potenziale chesia proporzionale a r2 + const a brevi distanze dal centro e a r−1 a distanze elevate, dove r è il raggioin coordinate sferiche. Un potenziale con queste proprietà è dato dal modello di Plummer:

φ (r) = − GM√r2 + b2

(2.7)

doveM è la massa totale del sistema e b un parametro detto lunghezza di scala di Plummer. Si consideraquindi l'espressione dell'operatore di Laplace in coordinate sferiche e si applica ∇2 al potenziale denitonell'equazione (2.7):

∇2φ (r) =1

r2d

dr

(r2dφ

dr

)=

3GMb2

(r2 + b2)52

. (2.8)

Considerando l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale di un sistema con distribuzione dimassa a simmetria sferica ρ (r)

∇2φ (r) = 4πGρ (r) (2.9)

si ottiene la densità corrispondente al potenziale del modello di Plummer:

ρ (r) =3M

4πb3

(1 +

r2

b2

)− 52

. (2.10)

Tale distribuzione venne utilizzata da Plummer nel 1911 nel confronto con i dati osservativi sugliammassi globulari disponibili all'epoca. Il graco che mostra tale confronto si può osservare in gura2.3.

Figura 2.3: Fit dei dati osservativi sulle densità apparenti degli ammassi ω Centauri, 47 Tucanae e M13 con le rispettive curve, normalizzate, date dalla relazione (2.10). Immagine di "On the Problem ofDistribution in Globular Star Clusters" di Plummer [39].

8

2.5.2 Sfera isotermica e modello di King

Per analizzare le funzioni di distribuzione di un'ammasso modellizzato come una sfera isotermica osecondo il modello di King è utile introdurre la grandezza E detta energia relativa, o relative energy,della stella. Sia H l'hamiltoniana del sistema e φ0 una costante, E si denisce come:

E = −H + φ0. (2.11)

La denizione del valore costante φ0 dipende dalla funzione di distribuzione presa in considerazione: èscelto, infatti, in modo tale che questa sia positiva per E > 0 e nulla per E ≤ 0.

Sfera isotermica

Considerando l'ammasso globulare come una sfera isotermica, si ha che la sua funzione di distribuzioneè data da:

fit (E) =ρ1

(2πσ2)32

eEσ2 (2.12)

dove ρ1 =σ2

2πGR21

è un parametro di scala per la densità, così come R1 per il raggio, σ2 è la velocità

quadratica media del sistema ed E la sua energia relativa [5] [24]. Calcolando la densità del sistema apartire dalla relazione (2.12) si ha:

ρ (r) =σ2

2πGr2. (2.13)

Per ottenere la massa contenuta nel sistema si può calcolare quella racchiusa entro un raggio R e poieettuare il limite R→∞. Si ottiene:

M (R) =

∫ R

0

σ2

2πGr24πr2dr =

2σ2R

G

R→∞−−−−→∞. (2.14)

Il modello isotermico dunque prevede un ammasso con massa innita. Si può ovviare a questo proble-ma imponendo un limite alle dimensioni dell'ammasso, ponendo, cioè, come raggio massimo il raggiomareale rt e considerando ogni stella con r > rt come esterna all'ammasso.

Modello di King

Un modello che assomigli ad una distribuzione isotermica sferica a piccoli raggi, dove la maggior partedelle stelle hanno valori elevati di energia E , ma sia meno densa a raggi più grandi, in modo da ottenereuna massa totale nita, è data dal modello di King.

Denito un valore limite E0 si può partire dalla funzione di distribuzione espressa dalla formula(2.12) per ottenerne una che segua il suo stesso andamento per E E0 e si annulli per E ≤ E0. Dalladenizione di energia relativa (equazione (2.11)), si può sfruttare la costante arbitraria φ0 per ssare ilvalore limite E0 a 0.

Una funzione che rispetti queste proprietà è la funzione di distribuzione:

fK (E) =

ρ1(2πσ2

)− 32

(e

Eσ2 − 1

)E > 0;

0 E ≤ 0.(2.15)

9

La funzione di distribuzione fK denisce la famiglia dei modelli di King, introdotti inizialmente daMichie e successivamente popolarizzati da King [5].

Alcuni t di modelli di King su dati osservativi relativi a due ammassi globulari sono riportati ingura 2.4.

Parametri utili per lo studio di un ammasso tramite il modello di King sono il raggio di King r0 ela concentrazione c deniti rispettivamente come:

r0 =

√9σ2

4πGρ0, (2.16)

c = log10

(rtr0

)(2.17)

dove ρ0 è la densità centrale dell'ammasso e rt il raggio mareale.Si dimostra che il raggio di King r0 corrisponde approssimativamente al raggio a cui la densità di

una distribuzione sferica isotermica si dimezza, fatto che porta alcuni autori a denominare r0 comeraggio del core, in analogia a rc denito nella sezione 2.1.

(a) (b)

Figura 2.4: Fit di modelli di King sugli ammassi globulari NGC 6388 a sinistra e M 15 a destra. Ladistribuzione di luminosità superciale del primo segue l'andamento previsto da un modello di Kingmentre le misure della luminosità superciale di M 15 si discostano sensibilmente dalla previsioneteorica. L'andamento a cuspide della luminosità di questo secondo ammasso suggerisce che il core diM 15 sia collassato. Immagini di Lugger et al. [29].

10

Capitolo 3

Stelle di neutroni

3.1 Formazione

Il processo che porta alla formazione di una stella di neutroni è il collasso del nucleo (core) e può averedue diverse cause a seconda della massa della stella e degli elementi presenti nel core: il collasso di uncore di Fe ed il collasso di un core di O e Ne [20]. In entrambi i casi si ha un evento di supernova.

Per stelle massive (M > 8M), all'allontanamento dalla sequenza principale, corrispondente al-l'esaurimento dell'idrogeno nel core e quindi all'arresto temporaneo delle reazioni di fusione nucleare,segue una fase di instabilità della stella dovuta al mancato equilibrio tra la pressione di radiazione e lapressione gravitazionale. La stella attraversa quindi una fase di espansione e contrazione che la portanella regione delle giganti in cui altri elementi, come He e C, vengono fusi per ottenere elementi piùpesanti.

Se la stella è sucientemente massiva (M > 10M) arriverà a possedere un core di 56Fe, nuclidecon la massa minore per nucleone tra quelli noti e uno dei nuclidi con l'energia di legame per nucleonemaggiore. Processi di nucleosintesi successivi, dunque, non libererebbero energia ma la assorbirebbero.La stella continua i suoi processi di fusione nucleare aumentando il numero di atomi di 56Fe no a quandola massa del suo core di ferro raggiunge il limite di Chandrasekhar MC = 1.44M. A questo punto lapressione di degenerazione degli elettroni non è più suciente a contrastare la pressione gravitazionalee la stella collassa su se stessa. L'evento risultante è una supernova.

Se la massa della stella è compresa tra 8M e 10M e possiede un core degenere composto da O eNe, il collasso può essere causato da un processo di cattura elettronica, risultando anche in questo casoin una supernova.

Il residuo della supernova è determinato principalmente dalla massa iniziale della stella collassatae, soprattutto per stelle molto massive, dalla sua metallicità.

Nel caso di stelle con masse inferiori a 25M, comprese le stelle con core degeneri di O e Ne, ilresiduo di una supernova è sempre una stella di neutroni. Nel caso di stelle con masse maggiori di25M il prodotto del collasso può essere una stella di neutroni o un buco nero, a seconda della massae metallicità del corpo iniziale (si veda la gura 3.1).

Origine delle stelle di neutroni negli ammassi globulari Ipotizzando diverse distribuzioni divelocità assunte da una stella di neutroni appena formatasi da una supernova all'interno di un am-masso globulare, sono state confrontate le frazioni di stelle di neutroni trattenute dall'ammasso dopol'esplosione, dierenziando tra i due possibili processi di formazione: cattura elettronica di core O/Ne ecollasso di core di Fe. Si è ottenuta una netta predominanza di stelle trattenute provenineti da collassi

11

Figura 3.1: Possibili residui di una supernova in funzione della massa della stella originaria in M inascisse e della metallicità in ordinate. La linea continua indicata da no H envelope distingue le regioniin cui i residui conservano l'involucro di idrogeno (a sinistra ed in basso a destra) da quelle in cuil'involucro di idrogeno viene perso. Le regioni in nero sono caratterizzate dalla formazione diretta di unbuco nero a seguito della supernova mentre le regioni quadrettate dalla formazione di un buco nero perfallback, cioè a seguito della ricaduta sul residuo centrale della supernova di materia che inizialmente,dopo l'esplosione, era stata spinta verso l'esterno. Per masse e metallicità corrispondenti alla regionebianca in basso a destra si hanno supernovae senza alcun residuo mentre la regione grigia identica leregioni di formazione delle stelle di neutroni, per collasso di core di ferro o di O e Ne. Nella regionein bianco a sinistra, inne, si posizionano le nane bianche non sucientemente massive da collassare.Immagine di "How Massive Single Stars End their Life" di Heger et al. [20].

causati da cattura elettronica rispetto alle stelle nate dal collasso di core di ferro. Si può quindi attri-buire l'origine della maggior parte delle stelle di neutroni osservate negli ammassi globulari proprio aifenomeni di cattura elettronica da parte di core di O/Ne [21].

12

3.2 Caratteristiche

Una stella di neutroni è un corpo celeste costituito principalmente da neutroni e supportato dall'azionerepulsiva dell'interazione forte tra questi. L'interazione forte si aggiunge, infatti, alla pressione didegenerazione dei neutroni che da sola non sarebbe in grado di sostenere stelle di neutroni aventi lemasse osservate [37] [13].

Massa Le masse misurate delle stelle di neutroni variano da 1.17M a 2.14M [34] [9], con una mediaapprossimativa di 1.5M [46].A tale limite osservativo se ne aanca uno teorico, il limite di Tolman-Oppenheimer-Volko (o TOV),che ssa il limite superiore per la massa di una stella di neutroni non rotante aMTOV = 2.16M mentreper una stella di neutroni rotante questo è di circa Mrot ≈ 1.20MTOV ≈ 2.59M [41].

Campo magnetico Sulla supercie delle stelle di neutroni si osservano campi magnetici di intensitàvariabile dai 108 G ai 1015 G [40].

La presenza e l'intensità di questi campi si possono spiegare considerando la conservazione delusso del campo magnetico durante il collasso gravitazionale che porta alla formazione della stella. Sesi indicano con Ri e Bi rispettivamente il raggio e il vettore campo magnetico superciale della stellanelle ultime fasi delle sua vita e con Rf e Bf le analoghe grandezze relative alla stella di neutroniformatasi successivamente alla supernova, si può rappresentare la stella nel momento del collasso edella formazione della stella di neutroni come in gura 3.2.

Considerando che il campo magnetico è solenoidale e considerando la supercie S che racchiude ilvolume V di un settore sferico di ampiezza Ω e compreso tra le sfere di raggio Rf e Ri, si applica ilteorema della divergenza per ottenere:∫

V∇ ·BdV =

∫SB · ndS = 0 (3.1)

e quindi:

φ(B) =

∫SB · ndS = 0. (3.2)

Figura 3.2: Sezione trasversale di una sezione circolare di angolo solido Ω di una stella con raggio Riche collassa in una stella di neutroni con raggio Rf .

13

Si osserva inoltre che il vettore campo magnetico è perpendicolare ai vettori supercie in corrispon-denza delle superci laterali del settore sferico, per cui il usso attraverso queste superci è nullo. Diconseguenza:

φ(B) =

∫SB · ndS =

∫Si

Bi · ndSi +

∫Sf

Bf · ndSf = 0 (3.3)

osservando che Bi e n sono paralleli su Si e Bf e n sono antiparalleli su Sf . Dato che l'area diuna calotta sferica sottesa da un angolo solido Ω in una sfera con raggio R è A = R2Ω, integrandol'equazione precedente si ottiene:

R2iBi = R2

fBf (3.4)

da cui si ha:

Bf = Bi

(RiRf

)2

. (3.5)

Dato che la stella può avere un raggio originario di ∼ 1011 cm ed un campo magnetico di intesitàsuperciale pari a ∼ 102 G mentre la stella di neutroni ha, genericamente, un raggio dell'ordine di 106

cm, si ottiene un valore del campo magnetico della stella di neutroni appena formata pari a Bf ∼ 1012

G, in accordo con i valori osservati.

Momento angolare Analogamente al caso del campo magnetico, anche il valore del momento an-golare della stella di neutroni si spiega considerando la sua conservazione, in prima approssimazione,durante il processo di supernova. In generale la conservazione del momento angolare si può esprimerecome:

Iiωi = Ifωf (3.6)

dove Ii e ωi sono il momento d'inerzia e la velocità angolare della stella originaria e If e ωf le analoghegrandezze della stella di neutroni. Assumendo che entrambi i corpi abbiano una simmetria sferica primae dopo il collasso e che la massa della stella sia, in prima approssimazione, conservata nel collasso equindi pari alla massa della stella di neutroni si ha che:

Ii =2

5MR2

i , If =2

5MR2

f (3.7)

da cui si ottiene, usando la relazione (3.6):

R2iωi = R2

fωf . (3.8)

Si ricava quindi la velocità angolare della stella di neutroni:

ωf = ωi

(RiRf

)2

. (3.9)

Assumendo gli stessi raggi presi in considerazione nel caso del campo magnetico (Ri ∼ 1011 cm eRf ∼ 106 cm) e considerando una velocità angolare ωi dell'ordine di 10−6 rad s−1 si ottiene una

14

velocità angolare ωf ∼ 104 s−1, cioè un periodo di rotazione P di ∼ 10−3 s. Le stelle di neutroniappena formate dunque ruotano su se stesse con un periodo dell'ordine del millisecondo.

I periodi di rotazione osservati vanno da ∼ 1.4 ms a ∼ 12 s, con l'esclusione della pulsar J0250+5854il cui periodo, il più lungo tra quelli osservati, è di circa 23.5 s [31].

3.3 Segnali periodici: pulsar

Le stelle di neutroni individuate da impulsi di onde radio sono dette pulsar. La radiazione, diretta lungola direzione dell'asse magnetico della stella, è causata dall'accelerazione di particelle cariche lungo lelinee di campo aperte e curve nei pressi di poli magnetici. La radiazione individuata è una conseguenzadella radiazione di curvatura emessa da queste particelle [8].Il fascio di radiazione è visibile soltanto quando l'asse magnetico è allineato con la direzione dell'os-servatore rispetto alla stella. Ciò fa si che, se l'asse magnetico e l'asse di rotazione non sono allineati,un osservatore esterno alla pulsar rivelerà il fascio in impulsi periodici, ad intervalli di tempo pari alperiodo di rotazione della stella di neutroni.

Limiti imposti dal periodo degli impulsi sulla struttura della stella Se si considera una stellacome un corpo sferico di massaM e raggio R, in equilibrio gravitazionale e in rotazione con periodo P evelocità angolare ω, si può calcolare il limite inferiore della sua densità media imponendo la condizioneche l'accelerazione centrifuga all'equatore sia minore dell'accelerazione gravitazionale, cioè:

ω2R <GM

R2(3.10)

da cui, considerando ω = 2πP :

P 2 >4π2R3

GM=

(4πR3

3

)3π

GM=

3π

Gρ. (3.11)

Nell'ultima equazione si è usata ρ denita come la densità media della stella: ρ = M

(4πR3

3

)−1.

Dall'equazione (3.11) si ottiene:

ρ >3π

GP 2. (3.12)

Il limite inferiore alla densità media imposto dall'equazione (3.12) non tiene conto della possibilità chela stella ruoti rapidamente attorno al proprio asse, il che porterebbe ad una struttura schiacciata aipoli. In questo caso il limite inferiore sarebbe anche più elevato.

Mentre il periodo misurato per la prima pulsar osservata, pari a P = 1.3 s, permetteva di ricavareuna densità media minima consistente con le densità delle nane bianche, pulsar molto più rapide sonostate successivamente individuate, le cui densità medie minime superavano sensibilmente quella previ-sta per una nana bianca stabile, ossia mantenuta dalla pressione di degenerazione elettronica.Questo, assieme all'osservazione di una pulsar nella Nebulosa del Granchio, dove nel 1054 DC fuosservata una supernova, ha portato all'associazione delle pulsar con le stelle di neutroni.

AR Scorpii Nel 2016 il sistema AR Scorpii precedentemente identicato come una stella variabiledel tipo δ-Scuti è stato riclassicato come un sistema binario costituito da una nana bianca e una nana

15

rossa. Sono stati inoltre rilevati impulsi radio periodici provenienti dal sistema, i primi per quantoriguarda i sistemi di nane bianche. Il periodo della pulsazione è pari a circa 1.97 min, molto maggioredi quello delle altre pulsar identicate come stelle di neutroni [33].

3.4 Pulsar e misura delle distanze: dispersion measure (DM)

Dallo studio dello spettro della radiazione proveniente dalle pulsar è possibile ricavare informazionisulla loro distanza dalla Terra o sul mezzo interstellare (interstellar medium, ISM).

Considerando gli elettroni nell'ISM come un plasma freddo, si può calcolare l'indice di rifrazione diquest'ultimo a partire dalla costante dielettrica di un gas atomico rarefatto:

ε = 1 +nae

2

πme

(ν20 − ν2

) (3.13)

dove ν0 è la frequenza naturale degli atomi del gas e na il numero di atomi per unità di volume. Inun plasma gli elettroni sono liberi, quindi si può ottenere la costante dielettrica del plasma ponendoν0 = 0 e na = ne, densità elettronica. Se si denisce la frequenza del plasma come:

νp =

(nee

2

πme

)1/2

(3.14)

la costante dielettrica del plasma si può esprimere come:

εp = 1−ν2pν2

(3.15)

dove ν è la frequenza dell'onda che si propaga nel plasma. Si ottiene l'indice di rifrazione del plasma µdalla relazione µ =

√εp, ossia:

µ =

(1−

ν2pν2

)1/2

. (3.16)

Se ν < νp si ha un'indice di rifrazione µ immaginario per cui l'onda non si propaga nel plasma pergrandi distanze. Infatti si ha che, data un'onda con ampiezza iniziale E0 e frequenza ν che si propagaper una distanza l in un mezzo con parte immaginaria dell'indice di rifrazione pari a µi, la sua ampiezzaE(l) decresce esponenzialmente con l seguendo la legge:

E(l) = E0 exp

(−4πµiν

cl

). (3.17)

Se ν > νp, dunque µ è reale e µ < 1, si denisce allora la velocità di gruppo dell'onda come:

vg = µc. (3.18)

Dato che per la maggior parte delle onde radio osservate si ha νp ν, si può sviluppare in serie di

16

Taylor l'espressione di µ nella relazione (3.16) e riscrivere l'equazione (3.18) come:

vg ≈ c

(1−

ν2p2ν2

). (3.19)

Da quest'ultima equazione si deduce che la velocità di propagazione dell'onda dipende dalla sua fre-quenza: in particolare onde a frequenza più elevata hanno una velocità maggiore rispetto alle onde afrequenza più bassa. Questo comporta una dierenza nei tempi di arrivo delle componenti del segnale afrequenze dierenti. Si calcola infatti un ritardo di dispersione t di un segnale a frequenza ν provenienteda una sorgente a distanza D rispetto ad un segnale proveniente dalla stessa sorgente ma che viaggiaalla velocità della luce c:

t =

∫ D

0

dl

vg− D

c≈ 1

c

∫ D

0

(1 +

ν2p2ν2

)dl − D

c=

(e2

2πmec

)1

ν2

∫ D

0nedl. (3.20)

Si denisce quindi la misura di dispersione, o dispersion measure (DM), la grandezza:

DM =

∫ D

0nedl (3.21)

misurata in unità di pc cm−3 e rappresentante la densità elettronica integrata lungo la linea di vistatra l'osservatore e la pulsar.

La misura di dispersione può essere utilizzata per stimare la distanza di una pulsar misurandola dierenza tra i tempi di arrivo dei segnali a frequenze dierenti e assumendo una determinatadistribuzione per la densità elettronica del mezzo interstellare. Per pulsar vicine al piano galattico, sipuò utilizzare una densità elettronica media di ne ≈ 0.03 cm−3 ma è possibile ricercare ed utilizzaremodelli più sosticati per il calcolo di ne che permettano di ottenere una stima più accurata delladistanza.

3.5 Fenomeno di spin-down

La velocità di rotazione delle stelle di neutroni tende, nel tempo, a diminuire. Questo fenomeno,noto come spin-down, è dovuto alla perdita di energia rotazionale a causa dell'energia irradiata dalcampo magnetico rotante [8]. Una stella di neutroni sucientemente antica dunque avrà ridotto la suavelocità di rotazione a tal punto da non poter più emettere onde radio e da essere quindi impossibileda individuare come pulsar.

Il tasso di spin-down P è la derivata del periodo P rispetto al tempo ed è una quantità adimensionale.I valori (positivi) osservati per P variano da 10−22 s s−1 no a quasi 10−9 s s−1 [31]. Nella sezione3.9 si analizzano i diagrammi P -P in cui tasso di spin-down e periodo sono utilizzati per evidenziarealcune caratteristiche delle pulsar.

3.5.1 Potenza irradiata da un dipolo magnetico rotante

Se si modellizza la stella di neutroni come un dipolo magnetico rotante attorno ad un asse rispetto alquale è inclinato di un angolo α > 0, si può calcolare la potenza irradiata tramite la formula di Larmor

17

che per un dipolo elettrico è:

Prad =2q2v2

3c3=

2 (qr sinα)2

3c3=

2

3

(p⊥)2

c3(3.22)

con p = qr modulo del momento di dipolo elettrico e p⊥ = p sinα la sua componente perpendicolareall'asse di rotazione. Analogamente, la potenza irradiata da un dipolo magnetico rotante è:

Prad =2

3

(m⊥)2

c3(3.23)

dove m⊥ = m sinα è la componente perpendicolare all'asse di rotazione del modulo del momento didipolo magnetico m. Se si assume una sfera di raggio R in cui è presente un campo magnetico uniformela cui intensità superciale è B, il modulo del momento di dipolo si esprime come m = BR3 [8]. Se,inne, la rotazione avviene con velocità angolare ω = 2π

P si può esprimere la potenza emessa come:

Prad =2

3

(m⊥ω

2)2

c3=

2

3c3(BR3 sinα

)2(2π

P

)4

. (3.24)

La frequenza di questa radiazione elettromagnetica sarà molto bassa nel radio a tal punto da non potersipropagare oltre la nebulosa ionizzata e il mezzo interstellare che circondano la stella di neutroni (vedil'equazione (3.17)). La radiazione viene quindi assorbita dalla nebulosa o dall'ISM e successivamentereirradiata a frequenze che vanno dal radio no ai raggi X.

3.5.2 Luminosità di spin-down

L'energia cinetica K di un corpo rotante con velocità anglolare ω è legata al suo momento d'inerzia Idalla formula:

K =1

2Iω2. (3.25)

Il momento d'inerzia di una sfera di raggio R, massa M e densità uniforme, rotante attorno ad un suoasse di simmetria, è pari a I = 2

5MR2. Si denisce quindi luminosità di spin-down la quantià:

−K = − d

dt

(1

2Iω2

)= −Iωω. (3.26)

Bisogna sottolineare che la luminosità di spin-down non è la luminosità osservata della stella ma iltasso con cui l'energia cinetica rotazionale della stella diminuisce. Espressa in termini del periodo P ,considerando ω = 2π

P e ω = −2π PP 2 , la formula (3.26) diventa:

−K =4π2IP

P 3. (3.27)

I dati osservativi sulla potenza emessa tramite radiazione elettromagnetica dalla Nebulosa del Gran-chio la pongono ad un livello confrontabile con la luminosità di spin-down della nebulosa, a sostegnodell'ipotesi che, almeno in quel caso, ci sia una conversione di energia cinetica rotazionale in radiazioneelettromagnetica.

18

3.5.3 Periodo e campo magnetico minimo

Se si assume −K ≈ Prad, cioè che l'energia cinetica di rotazione della stella di neutroni si trasformi inradiazione di dipolo magnetico rotante, si possono utilizzare le formule (3.24) e (3.27) per ottenere unlimite inferiore sull'intensità del campo magnetico B sulla supercie della stella. Si ha quindi:

2

3c3(BR3 sinα

)2(2π

P

)4

=4π2IP

P 3(3.28)

da cui si ottiene:

B2 sin2 α =3c3IP P

8π2R6. (3.29)

Dato che B > B sinα e che l'angolo di inclinazione dell'asse magnetico rispetto all'asse di rotazione αè genericamente sconosciuto, si ottiene il limite inferiore Binf per il campo magnetico:

B2 > B2 sin2 α =3c3IP P

8π2R6

B > Binf =

(3c3I

8πR6

)1/2 (PP)1/2

. (3.30)

3.6 Cenni sul fenomeno di spin-up

Se la velocità di rotazione di una stella di neutroni è in aumento si parla di fenomeno di spin-up. Ciòsi osserva dunque quando il P misurato risulta essere negativo.Una causa dello spin-up di una pulsar può essere l'assorbimento da parte della stella di materia da unaltro corpo vicino, come una stella compagna se la pulsar appartiene ad un sistema binario. A questacausa, secondo il modello delle pulsar riciclate, è attribuita la formazione delle millisecond pulsar.

Tale fenomeno viene analizzato più approfonditamente nella sezione 4.2 e nel capitolo 5.

3.7 Meccanismo di emissione di impulsi radio

Come osservato nella sezione 3.5.1, la radiazione emessa dagli eetti della rotazione della stella (vistacome un dipolo magnetico) non ha una frequenza suciente per attraversare il mezzo interstellare o lamateria della nebulosa che la circonda ma viene assorbita da questi. L'origine degli impulsi radio chegiungono all'osservatore sulla Terra sono da ricercare in un altro fenomeno.

La pulsar possiede una magnetosfera che la circonda, corotante con essa e costituita da particellecariche che vengono strappate dalla supercie della stella dal suo stesso campo magnetico. Si osserva,

infatti, che il rapporto tra forza gravitazionaleGMme

R2ed elettromagnetica

eωRB

cè dell'ordine di

10−12, dove M , R, ω e B sono rispettivamente massa, raggio, velocità angolare di rotazione e intensitàdi campo magnetico superciale della stella.

Si determinano le dimensioni della magnetosfera considerando il "cilindro di luce" che circonda lastella: le particelle nella magnetosfera, infatti, coruotoano con la stella di neutroni nchè la loro velocitàrisulta inferiore a quella della luce nel vuoto. Denendo come

rlight =c

ω(3.31)

19

Figura 3.3: Rappresentazione schematica di una pulsar come un dipolo magnetico rotante, con αangolo tra l'asse di rotazione e l'asse magnetico. Le linee di campo chiuse (nella regione scura) possonocontenere plasma corotante con la stella mentre altre particelle cariche si muovono lungo le linee dicampo aperte (che intersecano il cilindro di luce) e generano l'emissione di onde elettromagnetiche dalleregioni polari della stella. Immagine di "Formation and Evolution of Binary and Millisecond Pulsars"di Bhattacharya e van den Heuvel [4].

il raggio a cui la velocità di rotazione eguaglia c, questo identica intorno alla stella un cilindro detto"cilindro di luce", con asse di simmetria coincidente con l'asse di rotazione della stella ed entro il qualesi può sviluppare la magnetosfera.

Questo fa si che le linee di forza del campo magnetico interne al cilindro siano linee chiuse, appar-tenendo alla regione corotante, mentre quelle che lo attraversano siano necessariamente linee aperte. Ilpassaggio dalle linee chiuse alle linee aperte identica le calotte polari della stella.

Quando una particella si muove lungo una delle linee di campo aperte ed abbandona la magnetosferasubisce un'accelerazione ed emette radiazione da curvatura ad alta energia. Questa radiazione dunqueinteragisce con il campo magnetico e produce coppie di elettrone-positrone che vengono a loro voltaaccelerate, producendo ulteriore radiazione ad alta energia ed innescando un processo a cascata [4]. Leonde radio osservate vengono generate tramite questo processo.

Dato che il fenomeno descritto riguarda le linee di campo aperte, posizionate sulle calotte polaridella stella, la radiazione dovrebbe essere osservabile solo quando queste sono dirette verso l'osservatore,in accordo con la natura periodica degli impulsi radio osservati.

3.8 Età caratteristica τ

Si può stimare approssimativamente l'età τstimata di una pulsar da P e P tramite la relazione:

τstimata =K

|K|=

12Iω

2

Iω|ω|=

ω

2|ω|=

P

2|P |. (3.32)

20

Una stima più accurata dell'età della pulsar si può eettuare utilizzando un parametro n dettoindice di frenamento, o braking index. Se è valida la descrizione della stella di neutroni eettuata nellesezioni precedenti, in cui veniva modellizzata come un dipolo magnetico rotante, allora dall'equazione(3.27) si ricava una relazione tra P e P del tipo P ∝ P−1. Quest'ultima si può riscrivere in termini diω = 2π

P e ω come ω ∝ ω3 che si può generalizzare in:

ω = k1ωn (3.33)

dove k1 è una costante negativa e in cui n = 3 se la stella si comporta esattamente come nel modellodel dipolo magnetico rotante. Derivando ulteriormente si ottiene:

ω = k1nωn−1ω = n

ω2

ω(3.34)

permettendo la denizione di indice di frenamento n come:

n =ωω

ω2. (3.35)

Esprimendo n in funzione del periodo e delle sue derivate si ottiene:

n = 2− PP

P 2. (3.36)

L'indice di frenamento risulta utile nel determinare quanto una pulsar si discosti o sia assimilabile almodello di un dipolo magnetico rotante che trasforma l'energia di rotazione della stella in radiazioneelettromagnetica. Le misure eettuate su n riguardano un numero ristretto di pulsar e riportano inquasi tutti i casi n < 3. L'unico caso osservato di n > 3 è la pulsar PSR J1640-4631 con n = 3.15±0.03[11].

L'età caratteristica τ della pulsar si può quindi esprimere a partire da questa denizione di indicedi frenamento. Generalizzando la relazione P ∝ P−1 ottenuta dall'equazione (3.27) come fatto perl'equazione in ω si ottiene:

P = k2P2−n (3.37)

dove k2 è una costante positiva. Se si considera P0 come il periodo all'istante iniziale della vita dellapulsar e τ come il tempo trascorso da tale istante (assunto a t = 0) al momento in cui il periodo assumeil valore P , si possono separare le variabili nella relazione (3.37) ed integrare l'equazione ottenendo:

1

n− 1

(Pn−1 − Pn−10

)= k2τ. (3.38)

Isolando τ ed esprimendo k2 in termini di P e P tramite la relazione (3.37), si ha:

τ =P

P (n− 1)

[1−

(P0

P

)n−1]. (3.39)

Quest'ultima equazione è la denizione di età caratteristica della pulsar, o età di spin-down, che fornisce,generalmente, un limite superiore all'età della stella.

21

3.9 Diagrammi P -P e B-P

Un diagramma che permetta di evidenziare le caratteristiche delle pulsar è il diagramma P -P cheriporta in ascissa i valori del periodo delle pulsar (in secondi) e in ordinata il logaritmo del tasso dirallentamento P .

Si osserva in questo graco la distinzione tra due popolazioni principali: le pulsar ordinarie, in unintorno di P ∼ 0.6 s e log P ∼ −15, e le millisecond pulsar, con periodi e log P molto più bassi.

Vengono evidenziate in oltre le linee corrispondenti ad una determinata età caratteristica τ (equa-zione (3.39)) e quelle corrispondenti ad un determinato valore minimo di campo magnetico (equazione(3.30)). Un esempio di questo diagramma è riportato in gura 3.4.

Analogamente è possibile classicare e descrivere l'evoluzione delle pulsar tramite un diagramma

Figura 3.4: Diagramma P -P . Sono indicate le pulsar visibili nel radio, le pulsar "radio-quiet", cioèindividuabili da segnali nello spettro elettromagnetico non radio, i soft gamma repeaters (SGRs) ossiaoggetti chge emettono lampi di raggi altamente energetici e pulsar anomale a raggi x (anomalous x-ray pulsars, AXPs), sorgenti di impulsi periodici di raggi x. Sia i SGRs che le AXPs si ipotizza sianomagnetar, stelle di neutroni con campi magnetici estremamente intensi (∼ 1013−1015 G) [36]. Le pulsarindicate da una stella sono associate ai residui di una supernova, mentre quelle cerchiate appartengonoad un sistema binario. L'area tratteggiata e quella quadrettata indicano pulsar più giovani di 100 kyre 10 kyr rispettivamente. Le aree in grigio sono le regioni in cui i modelli teorici non prevedono lapresenza di pulsar radio, al di sotto della death line e più in alto dell'isolinea di campo magneticoB ∼ 4 × 1013 G [1]. Inne, sono presenti anche le isolinee di luminosità di spin-down. Immagine di"Handbook of Pulsar Astronomy" di Lorimer e Kramer [28].

22

rappresentante in ascissa il periodo P , o il suo logaritmo log (P (s)), e in ordinata l'intensità del campomagnetico (che si assume pari a Binf , ossia α ≈ π

2 , dove α è l'angolo di inclinazione dell'asse magneticorispetto all'asse di rotazione), o il suo logaritmo. Si può osservare un esempio di questo diagramma ingura 4.2 nella sezione 4.2 che tratta del modello delle pulsar riciclate.

Death line In entrambi i diagrammi è possibile individuare una linea oltre la quale non sono piùosservate delle pulsar. Questa linea è detta death line e al di sotto di essa i valori di campo magneticoe periodo sono tali da non permettere più alla stella di neutroni di emettere onde radio tramite ilmeccanismo descritto nella sezione 3.7.

L'assenza di stelle al di sotto della death line è spiegata dal fatto che il fenomeno a cascata chegenera l'onda radio necessita che la dierenza di potenziale al di sopra delle calotte polari sia superioread un valore critico. Quando questa la dierenza di potenziale (proporzionale a B

P 2 ) scende sotto questovalore, l'attività della stella di neutroni come sorgente di impulsi radio si arresta [4].

3.10 Struttura interna delle stelle di neutroni

La struttura delle stelle di neutroni si può suddividere in diversi strati con densità crescente, a partiredalla supercie che ha una densità ρsup . 106 g cm−3 [44].

Immediatamente al di sotto della supercie si ha la parte più esterna della crosta (con densità 106 gcm−3 . ρout . 4× 1011 g cm−3 ), costituita da un reticolo cristallino, in cui si trovano principalmentenuclei di ferro, e da un gas relativistico degenere di elettroni.

Più in profondità si trova la parte più interna della crosta (4 × 1011 g cm−3 . ρin . 2 × 1014 gcm−3 ) nella quale per gli elettroni è energeticamente conveniente la combinazione con i protoni per laformazione di neutroni tramite il processo di cattura elettronica

p+ e− → n+ νe. (3.40)

Figura 3.5: Sezione di una stella di neutroni con massa di circa 1.4M. Immagine da "PulsarAstronomy" di Lyne e Graham-Smith [30].

23

Si ha per questo la presenza di nuclei con un numero insolitamente alto di neutroni. In questa regione,con ρout & ρdrip ≈ 4 × 1011 g cm−3, i nuclei più massivi diventano instabili e alcuni neutroni vengonoliberati in un superuido di neutroni. ρdrip è detto, infatti, neutron drip point.A questo superuido può unirsi parte del superuido di neutroni rotante posizionato nella parte piùinterna che scorre quindi alla stessa profondità del reticolo di nuclei pesanti ma con velocità diversadal resto della stella [30]. Questo fenomeno potrebbe essere la causa di rapidi e improvvisi processi diaccelerazione del moto di rotazione della stella noti come glitch.

A densità ancora maggiori, 2× 1014 g cm−3 . ρfluid . 1015 g cm−3 , si trova un uido di neutronicon un bassa percentuale di elettroni e protoni. In questa regione coesistono due superuidi di neutronie protoni, entrambi cioè con viscosità nulla, mentre gli elettroni, degeneri e ultra-relativistici, noninuiscono notevolmente sulla struttura della stella di neutroni. La rotazione del superuido di neutroniavviene sottoforma di vortici discreti, ognuno dotato di un quanto di momento angolare e la cui densitànella stella è proporzionale alla velocità angolare di quest'ultima.

Sono presenti diverse ipotesi sulla composizione di una parte più interna della stella di neutroni,detta core, che potrebbe o meno esistere in alcune stelle e dove la densità può raggiungere valori paria 1015 g cm−3. Alcune di queste ipotesi, sebbene delle misure di massa e diametro potrebbero averleinvalidate, suggeriscono che i neutroni a densità così elevate possano dividersi per formare mesoni ekaoni e che questi possano formare un nucleo solido oppure che i neutroni si dissolvano in quark e gluoni[30].

24

Capitolo 4

Millisecond Pulsar

4.1 Caratteristiche

Si può identicare una popolazione di pulsar dette millisecond pulsar, o MSP, caratterizzate da unperiodo di rotazione molto basso, tra circa 1 e 10 ms (la più veloce, J1748-2446ad, ha un periodo dicirca 1.4 ms) [31] e da un campo magnetico con intensità alcuni ordini di grandezza inferiore rispettoa quella che ci si aspetterebbe per pulsar appena formate. Un'ipotesi sul perché posseggano questeproprietà è data dal modello delle pulsar riciclate.

Mentre la maggior parte delle pulsar "ordinarie" osservata si trova nel disco galattico, molte delleMSP sono state osservate negli ammassi globulari che circondano la galassia. La millisecond pulsarJ1748-2446ad, ad esempio, si trova nell'ammasso globulare Terzan 5.

Figura 4.1: Distribuzione delle pulsar ordinarie e delle millisecond pulsar nel cielo in coordinate galat-tiche. Le prime sono indicate in nero, le seconde in grigio e le pulsar appartenenti a sistemi binari sonocerchiate. La linea orizzontale centrale è il piano galattico e al suo centro si trova il centro galattico.Immagine di Lorimer [27].

25

Figura 4.2: Diagramma B-P con il logaritmo del periodo in secondi in ascisse e il logaritmo dell'intensitàdel campo magnetico in gaus in ordinate. Le pulsar in sistemi binari sono cerchiate. La linea di Hubblecoincide con l'isolinea di età caratteristica τ = P

2Ppari a 1010 yr. Le linee curve rappresentano dei

percorsi evolutivi tipici delle pulsar, caratterizzati da un decadimento esponenziale del campo magneticosu una scala di 5 × 106 yr. Questi portano le pulsar al di sotto della death line, dove il meccanismodi emissione radio grazie al quale è possibile individuarle non può essere più alimentato. Le lineepunteggiate orizzontali che originano dalle linee curve indicano l'eventuale percorso sul diagrammadi una stella di neutroni in fase di spin-up per accrescimento che la riporta nella regione in cui èosservabile nuovamente come una pulsar nel radio (pulsar riciclata). La linea di spin-up su cui questelinee punteggiate terminano rappresenta il periodo minimo che possono raggiungere le pulsar tramiteil processo di riciclaggio. Immagine di "Formation and Evolution of Binary and Millisecond Pulsars"di Bhattacharya e van den Heuvel [4].

4.2 Modello delle pulsar riciclate

Il modello delle pulsar riciclate spiega i valori di periodo e intensità di campo magnetico delle MSPtramite il fenomeno di spin-up in una fase di accrescimento.

Secondo il modello, le MSP erano in precedenza pulsar ordinarie che hanno nel tempo rallentatola propria rotazione tramite il fenomeno di spin-down (vedi la sezione 3.5) no a muoversi al di sottodella death line nel diagramma B-P e non essere più rilevabili come pulsar. Hanno successivamente,tramite trasferimento di massa da una stella compagna se facevano parte di un sistema binario otramite l'incontro con un altro corpo, attraversato una fase di accrescimento in cui parte della massae del momento angolare del corpo interagente è stata ceduta alla stella di neutroni. Aumentandoil suo momento angolare e diminuendo il suo periodo, la stella di neutroni si è spostata a sinistranel diagramma B-P, mantenendo inalterato il proprio campo magnetico ma oltrepassando nuovamentela death line. La stella è tornata dunque ad essere nuovamente visibile come una sorgente di ondeelettromagnetiche a causa dell'aumento della velocità di rotazione e risulta individuabile come una

26

millisecond pulsar.Il fatto che le MSP vengano osservate quasi unicamente negli ammassi globulari, dove la densità

stellare è nettamente maggiore rispetto a quella del disco galattico, supporta l'ipotesi che queste pulsarsuperveloci si sviluppino a seguito di un incontro con un altro corpo celeste.

Terminata la fase di spin-up, in cui P è negativo, la MSP torna a rallentare tramite gli stessi processidelle pulsar ordinarie. Se la MSP è isolata, dunque, non ci si aspetta di osservare P < 0.

27

Capitolo 5

Pulsar isolate con P < 0

Mentre il tasso di rallentamento negativo di una pulsar in un sistema binario può essere spiegatodal processo di accrescimento e spin-up, non ci si può avvalere di questo fenomeno nel tentativo dispiegazione di P negativi osservati per pulsar e MSP isolate. La tabella 5.1 elenca le pulsar attualmentenote con P < 0.

5.1 Inuenze del moto della pulsar sul P misurato

Si può osservare che il tasso di rallentamento misurato e quello proprio della stella di neutroni possonodierire a causa delle variazioni del suo moto dovute all'attrazione gravitazionale di un eventualeammasso globulare vicino ad essa.

Il periodo P osservato dalla Terra, o meglio dal baricentro del Sistema Solare, subisce una variazionerispetto al periodo di rotazione intrinseco della pulsar P0 per eetto Doppler dovuto al movimento dellapulsar. Questo si può esprimere come:

P =(

1 +vlc

)P0 (5.1)

dove vl = v · n è la velocità della pulsar lungo la congiungente tra baricentro del Sistema Solare e lastella stessa, v la sua velocità complessiva e n il versore diretto dal baricentro alla pulsar. Derivandola relazione precedente e considerando vl c si ottiene:

P

P=P0

P0+alc

+v2⊥cD

(5.2)

dove al = a · n è l'accelerazione della pulsar nella direzione di n rispetto al baricentro del SistemaSolare, v⊥ è la componente della sua velocità perpendicolare a n e D la sua distanza tra il baricentrodel Sistema Solare e la pulsar.

Si osserva che il terminev2⊥cD

è sempre positivo dunque non può essere la causa di P < 0. Questo si

verica quando il termine legato all'accelerazione al è negativo e, in modulo, superiore agli altri due.

I fattori che contribuiscono alla componente dell'accelerazione al, se la pulsar in questione si trovanelle vicinanze di un ammasso globulare, si possono distinguere in: accelerazione dovuta agli eettigravitazionali galattici, agal, e accelerazione dovuta agli eetti gravitazionali dell'ammasso globulare(globular cluster), agc. Si calcola che gli eetti del primo termine su P sono trascurabili, così come è

28

Figura 5.1: Andamento di al rispetto alla proiezione di r sulla congiungente tra la pulsar e la Terra. Siosserva che, dato un determinato R⊥ si ha un unico possibile massimo di al. Immagine di "Pulsars asProbes of Newtonian Dynamical Systems" di Phinney [38].

possibile trascurare il terzo termine dell'equazione (5.2) (eccetto che per pulsar con età caratteristichesimili all'età dell'universo e molto vicine al centro galattico o alla Terra) [38].

Considerando una pulsar all'interno di un ammasso globulare, assunto sferico, si ha:

alc

=agcc

= −1

c

GM(r)

r2l

r(5.3)

dove r =√R2⊥ + l2 è la distanza della pulsar dal centro dell'ammasso globulare, l la proiezione di r

lungo la linea di congiunzione tra pulsar e baricentro del Sistema Solare, assunta positiva se la pulsarè più distante dalla Terra del centro dell'ammasso, ed R⊥ la sua componente perpendicolare rispetto al (vedi gura 5.1). Inne, M(r) è la massa dell'ammasso globulare contenuta in una sfera di raggio r.

L'equazione (5.2) diventa, trascurando i termini galattici e di moto proprio e considerando al = agc:

P

P=P0

P0− 1

c

GM(r)

r2l

r. (5.4)

Se quindi al = −GM(r)

r3l < 0 e

|al|c>P0

P0, si possono osservare pulsar con P < 0 dovuto all'acce-

29

lerazione della stella nel campo gravitazionale dell'ammasso. Analizzando l'andamento di al rispetto al si osserva che al < 0 si verica solo per l > 0 ovvero per pulsar che si trovano nell'emisfero lontanodell'ammasso rispetto alla Terra.

5.2 Spin-up improvvisi: i glitch

Per diverse pulsar, come quella del Granchio e di Vela, sono stati osservati improvvisi eventi di spin-up, cioè di accelerazione della rotazione, detti glitch, la cui spiegazione può essere data analizzando lastruttura delle pulsar.

Come osservato in precedenza (nella sezione 3.10 riguardante la struttura delle stelle di neutroni)una parte del superuido di neutroni presente all'interno della stella può muoversi nelle regioni piùprofonde della crosta e ruotare lì ad una velocità diversa da quella della crosta stessa. Questo avvienepoiché la crosta è fortemente accoppiata al campo magnetico rotante e rallenta con esso (vedi la sezione3.5.2) mentre il superuido di neutroni ruota indipendentemente dal campo magnetico. Quando ladierenza tra le velocità diventa sucientemente grande o si verica uno starquake, cioè un improvvisoriassestamento della crosta solida della stella, si ha un trasferimento molto rapido di momento angolaredal superuido di neutroni alla parte non superuida della stella, causandone l'accelerazione dellarotazione [44].

In seguito al glitch, la stella riprende il suo processo di spin-down, individuabile tramite l'osserva-zione di un "ordinario" P > 0.

Questi eventi di spin-up intrinseco della stella hanno una durata molto breve e sono facilmentedistinguibili dai casi come quelli riportati in tabella 5.1 in cui le misure ripetute del periodo di unapulsar portano ad ottenere consistentemente un valore negativo per la sua derivata P .

30

Pulsar P (ms) P (s s−1) Ammasso Globulare

J0024-7204C † 5.75678 -4.98503×10−20 47 TucanaeJ0024-7204D † 5.357573 -3.422×10−21 47 TucanaeJ0024-7204G † 4.040379 -4.21584×10−20 47 TucanaeJ0024-7204H 3.210341 -1.8294×10−21 47 TucanaeJ0024-7204I 3.484992 -4.5874×10−20 47 TucanaeJ0024-7204J 2.100634 -9.7917×10−21 47 TucanaeJ0024-7204L † 4.346168 -1.22045×10−19 47 TucanaeJ0024-7204M † 3.676643 -3.8419×10−20 47 TucanaeJ0024-7204N † 3.053954 -2.1857×10−20 47 TucanaeJ0024-7204S 2.830406 -1.205413×10−19 47 TucanaeJ0024-7204W 2.352345 -8.65526×10−20 47 TucanaeJ0024-7204Y 2.196657 -3.51721×10−20 47 TucanaeJ0024-7204Z † 4.554447 -4.54×10−21 47 TucanaeJ0024-7205aa † 1.84538 -4.5890×10−15 47 TucanaeJ1144-6146 † 987.7831 -3.8×10−17 -J1518+0204B 7.946941 -3.33×10−21 NGC 5094 (M 5)J1701-3006A 5.241566 -1.301×10−19 NGC 6266 (M 62)J1701-3006B 3.593852 -3.483×10−19 NGC 6266 (M 62)J1701-3006C 7.612849 -6.413×10−20 NGC 6266 (M 62)J1748-2021B 16.76013 -3.2913×10−19 NGC 6440J1748-2021C † 6.226933 -5.983×10−20 NGC 6440J1748-2021F 3.793629 -1.055×10−20 NGC 6440J1748-2446A 11.56315 -3.4×10−20 Terzan 5J1748-2446C † 8.436095 -6.06×10−19 Terzan 5J1750-3703C † 26.56868 -9.96×10−19 NGC 6441J1801-0857A † 7.175615 -5.131×10−19 NGC 6517J1801-0857C † 3.7387 -6.5×10−20 NGC 6517J1801-3210 7.453584 -4.4×10−23 -J1807-2459A 3.059449 -4.3352×10−21 NGC 6544J1817-0743 † 438.0953 -2.3×10−18 -J1829-1011 † 829.166 -5×10−18 -J1836-2354B † 3.232274 -4.8×10−22 NGC 6656 (M 22)J1910-5959B † 8.357799 -7.9041×10−19 NGC 6752J1910-5959E † 4.571766 -4.3435×10−19 NGC 6752J1911+0101A 3.618524 -6.58×10−21 NGC 6760J1911+0101B † 5.384326 -2×10−21 NGC 6760J2129+1210A † 110.6647 -2.10281×10−17 NGC 7078 (M 15)J2129+1210D † 4.802804 -1.075×10−18 NGC 7078 (M 15)J2140-2310A 11.01933 -5.181×10−20 NGC 7099 (M 30)

Tabella 5.1: Pulsar con P negativo. Il simbolo † indica le pulsar isolate, ossia non in un sistema binario.Le colonne centrali indicano il valore misurato del periodo P e della sua derivata P mentre l'ultimacolonna indica l'ammasso globulare di cui fa parte la pulsar, se appartiene ad un ammasso globulare.In parentesi sono indicati i nomi degli ammassi nel catalogo di Messier. Si è omesso l'identicativo di47 Tucanae nel New General Catalogue (NGC 104). Dati ottenuti dai cataloghi di ATNF [31] e Freire[14].

31

Capitolo 6

Relazioni tra millisecond pulsar e ammassi

globulari

6.1 Densità centrale degli ammassi globulari e P

Se il prolo di densità di un ammasso globulare segue il modello di King, si osserva che la sua luminositàaumenta col diminuire della distanza dal centro no ad un valore limite di quest'ultima, al di sottodel quale la luminosità si stabilizza attorno ad un valore approssimativamente costante (si veda, adesempio, la gura 2.4a nella sezione 2.5.2). Data la correlazione tra massa e luminosità (L ∝ M2−6)[43], si può supporre che la densità centrale ρ (0) di un ammasso sia allo stesso modo costante entrolo stesso raggio. Determinare ρ (0) dell'ammasso permetterebbe dunque di determinarne la massadell'ammasso contenuta entro il raggio in cui ρ (0) è costante.

Dal valore misurato diP

P< 0 si può ottenere un limite inferiore sulla densità centrale dell'ammasso

globulare in cui si trova la pulsar.

Anché una pulsar possa avere un valore negativo diP

Pdall'equazione (5.4) si osserva che è

necessario che si verichi la condizione:∣∣∣∣∣ PP∣∣∣∣∣ < ∣∣∣alc ∣∣∣ (6.1)

dove al è l'accelerazione della pulsar lungo la linea d'osservazione, P il periodo misurato e P la suaderivata.

La formula (5.3) si può riscrivere come:

al =GM (r)

R⊥cos2 θ sin θ (6.2)

dove θ = sin−1 (l/r) è l'angolo tra il vettore di posizione della pulsar rispetto al centro dell'ammassoe il piano del cielo che passa per il centro stesso. Come nella relazione precedente, M(r) è la mas-

sa dell'ammasso globulare che si trova entro una sfera di raggio r =√R2⊥ + l2 centrata nel centro

dell'ammasso.Per stimare M(r) si può osservare che le regioni interne dell'ammasso globulare si possono consi-

derare quasi isotermiche e si possono quindi approssimare ad una sfera isotermica di raggio r e massa

32

M(r):

M(r) = 8πρ(0)κ2r (6.3)

dove ρ(0) è la densità centrale dell'ammasso e κ la lunghezza di Jeans al centro dell'ammasso. Questasi può approssimare a rc

3 per ammassi che seguano il modello di King, dove rc è il raggio del coredell'ammasso [42]. Ad esempio, è stato provato che la distribuzione radiale di luminosità supercialedell'ammasso 47 Tucanae segue il modello di King [10].

Considerando le equazioni (6.2) e (6.3) e ponendo r = R⊥/ cos θ si ha:

ρ(0) =

∣∣∣∣ alR⊥4πκ2G sin 2θ

∣∣∣∣ (6.4)

che assume un valore minimo per sin 2θ = 1. Quindi, assumendo che il prolo di densità dell'ammassoglobulare segua il modello di King e considerando l'equazione (6.1) si ottiene:

ρ(0) >

∣∣∣∣ alR⊥4πκ2G

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 9alR⊥4πr2cG

∣∣∣∣ >∣∣∣∣∣ 9cR⊥4πr2cG

P

P

∣∣∣∣∣ (6.5)

cioè:

ρmin(0) =

∣∣∣∣∣ 9cR⊥4πr2cG

P

P

∣∣∣∣∣ . (6.6)

Questa relazione si può applicare alle pulsar negli ammassi globulari presenti in tabella 5.1 perricavare il limite inferiore della densità centrale di ciascun ammasso.

In tabella 6.1 sono indicati i valori di ρmin (0) trovati per alcuni di questi ammassi. Per ammassicontenenti più di una pulsar in fase di spin-up è espresso solo il valore di ρmin (0) più alto tra quelliottenuti per le varie pulsar. Gli errori indicati sono ottenuti propagando gli errori presentati dallerispettive fonti sulle grandezze tramite le quali si è stimata ρmin (0). Nell'ultima colonna sono elencatii valori calcolati di ρK (0), ottenuti dalla denizione (2.16) mantenendo l'approssimazione r0 ≈ rc:

ρK (0) =9σ2

4πGr20≈ 9σ2

4πGr2c. (6.7)

Anche per ρK (0) sono indicati gli errori, ottenuti anche in questo caso tramite la propagazione deglierrori forniti dai cataloghi.

L'apice H indica i valori di ρK (0) ottenuti utilizzando il valore di dispersione di velocità presentenel catalogo di Harris [19]. La densità centrale ρK (0) è stata calcolata solo per gli ammassi in tabella5.1 la cui dispersione di velocità fosse presente in tale catalogo. I dati sugli ammassi e sulla posizionedelle pulsar al loro interno sono raccolti da Freire [14] con l'eccezione del valore di σ e del suo errore. Idati relativi alle pulsar, ossia i valori di P e P e rispettivi errori, sono presi dal catalogo di ATNF [31]e dall'articolo di Freire e Ridol [15].

Confrontando i valori di ρmin (0) e ρHK (0), si nota che in due casi (47 Tucanae e NGC 6752) il valoreminimo previsto è superiore al valore atteso dal modello.

Nel caso dell'ammasso NGC 6752 si può ricercare la causa di ρmin (0) > ρHK (0) nella strutturadell'ammasso. Nel catalogo di Harris infatti è indicato che il core di NGC 6752 è collassato, implicandoche il prolo di densità dell'ammasso non segua quello previsto dal modello di King. Le ipotesi eettuate

33

Ammasso Pulsar ρmin (0) [M pc−3] ρHK (0) [M pc−3]

47 Tucanae J0024-7205aa (7.1± 0.2)× 104 (6.1± 0.4)× 104

NGC 6441 J1750-3703C (1.6± 0.1)× 105 (4.0± 0.3)× 105

NGC 6656 (M 22) J1836-2354B 87± 9 (2.0± 0.2)× 104

NGC 6752 J1910-5959E (5.7± 0.3)× 105 (1.0± 0.2)× 105

NGC 7078 (M 15) J2129+1210D (4.4± 0.4)× 105 (6.8± 1.1)× 105

Tabella 6.1: Limite inferiore per la densità centrale ρmin (0) e densità centrale di King ρK (0) calcolateper ammassi globulari contenenti pulsar in fase di spin-up e con σ presente nel catalogo di Harris. Nelcaso di ammassi contenenti più pulsar in fase di spin-up è riportato solo il valore più alto tra le ρmin (0)ottenute dalle varie pulsar.

per il calcolo sia di ρmin (0) che di ρHK (0) includono l'assunzione che il prolo di densità dell'ammassoin analisi sia ben descrivibile da un modello di King, dunque entrambi i risultati sono poco signicativinel caso di NGC 6752.

Osservando la gura 2.4b, relativa al prolo di luminosità di M 15, ammasso globulare con uncore collassato, si nota come la luminosità prevista dal modello di King si assesti, al di sotto di undeterminato raggio, su un valore costante ed inferiore alla luminosità centrale osservata. È possibiledunque che entrambe le densità calcolate, ρmin (0) e ρHK (0), siano limiti inferiori per la densità centraleeettiva del core collassato di NGC 6752.

Per quanto riguarda 47 Tucanae, è stato provato che l'ammasso sia descrivibile tramite un modellodi King [10]. Una possibile causa della discrepanza osservata in questo caso si può ricercare in unasottostima o sovrastima delle grandezze coinvonte nel calcolo.

Imponendo la condizione ρmin (0) < ρK (0) si ottiene:

cR⊥|P |P

< σ2 (6.8)

e considerando R⊥ = D tan θpsr, dove D è la distanza dell'ammasso dal Sole e θpsr la distanza angolaretra la millisecond pulsar e il centro dell'ammasso, si ha:

cD tan θpsr|P |P

< σ2. (6.9)

Il risultato ρmin (0) > ρK (0) può essere ottenuto se nella stima delle densità si sono sovrastimati i valoridi D, θpsr e |P | o sottostimati i valori di σ e P . Data la precisione con cui sono misurati il periodo Pe la sua derivata P , si sono analizzate le altre tre grandezze.

L'unica misura disponibile sulla posizione di J0024-7205aa e sulla sua distanza angolare θpsr dalcentro di 47 Tucanae è data da Freire e Ridol [15] ed è compatibile con il valore riportato da Freire[14] e utilizzato nella stima precedente di ρmin (0).

Un valore della distanza dal Sole di 47 Tucanae più accurato di quello fornito dal catalogo di Harrisè stato misurato da Chen et al. [7] tramite i dati presenti in Gaia DR2. I risultati sulle densità ottenutiusando questa distanza però riportano la stessa relazione: ρmin (0) > ρK (0).

Una misura di σ indipendente dal valore presente sul catalogo di Harris σH ≈ 11 km s−1 è stataeettuata da Mann et al. [32] che hanno ottenuto un valore superiore a σH . Tramite questo valore sipuò ricalcolare ρMK (0), dove l'apiceM indica che si sta utilizzando la misura di σ = σM ≈ 15 km s−1 di

34

Ammasso Pulsar ρmin (0) [M pc−3] ρHK (0) [M pc−3] ρMK (0) [M pc−3]

47 Tucanae J0024-7205aa (7.1± 0.2)× 104 (6.1± 0.4)× 104 (11.3± 0.6)× 104

Tabella 6.2: Valori di ρmin (0), ρHK (0) e ρMK (0) calcolati per 47 Tucanae. Gli apici H e M indicano lafonte del valore di σ utilizzato, rispettivamente il catalogo di Harris [19] e l'articolo di Mann et al. [32].Tutti gli errori presenti sono ottenuti tramite la propagazione degli errori forniti dalle rispettive fonti.

Mann. Si ottiene, in questo caso, un valore ρMK (0) > ρmin (0). Nella tabella 6.2 si confrontano i valoridi ρmin (0), ρHK (0) e ρMK (0) calcolati per 47 Tucanae.

Dato che le caratteristiche dell'ammasso 47 Tucanae non sembrano contraddire le ipotesi eettuateper il calcolo di ρmin (0) e ρK (0), il confronto tra queste due densità calcolate ponendo σ = σM eσ = σH può suggerire che il valore reale della dispersione di velocità centrale dell'ammasso sia piùvicino a quello misurato da Mann et al. [32] rispetto al valore presente nel catalogo di Harris.

6.2 Numero di millisecond pulsar previsto in un ammasso globulare

È stato osservato che il numero di pulsar previsto all'interno degli ammassi globulari è dell'ordine di∼ 104 pulsar [25], nonostante questa stima sia soggetta ad errori molto grandi che la portano ad oscillareanche di un ordine di grandezza [4].

Per la stima del numero di pulsar nei singoli ammassi si può attribuire un peso Wj ad ognuno diessi. Il peso del j-esimo ammasso, considerando il tasso di formazione di sistemi binari nell'ammasso,si può assumere proporzionale ad una quantità, stimata da Kulkarni et al. [25], pari a:

Wj =(ρ0)

2j (rc)

3j

σj(6.10)

dove (ρ0)j è la densità centrale dell'ammasso, (rc)j il raggio del suo core e σj la dispersione di velocitàdelle stelle nel core dell'ammasso.

Approssimando il raggio di King r0 al raggio del core dell'ammasso rc si può utilizzare la relazione(6.7) per ottenere un'espressione alternativa di Wj :

Wj =

(9

4πG

)2 σ3j(rc)j

. (6.11)

Si denisce il peso Wj del j-esimo ammasso come:

Wj = cnWj (6.12)

dove cn è una costante di normalizzazione denita in modo tale che∑

j Wj = 1. Denito il peso inquesto modo, il numero di pulsar nel j-esimo ammasso può essere stimato dalla relazione:

(npsr)j = NWj . (6.13)

Dalla condizione di normalizzazione del peso si calcola cn:

cn =1∑jWj

(6.14)

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per cui si ottiene, inserendo quest'ultima relazione nell'equazione (6.12):

Wj =Wj∑iWi

=σ3j / (rc)j∑i

(σ3i / (rc)i

) . (6.15)

Il catalogo di Harris [19] contiene σj per circa il 40 % degli ammassi globulari noti nella Via Latteae dato che non sembrano esserci sostanziali dierenze tra le popolazioni di ammassi con σ nota esconosciuta, si può assumere che il contenuto di pulsar degli ammassi globulari con σ presente nelcatalogo di Harris sia pari a NH ≈ 0.4N ≈ 4× 103.

Si può quindi calcolare il numero di pulsar che un ammasso come 47 Tucanae dovrebbe conteneredalla relazione (6.13):

(npsr)47Tuc = NHW47Tuc ≈ 114 pulsar. (6.16)

Le 25 MSP individuate in 47 Tucanae costituiscono solo il ∼ 22 % del contenuto di pulsar che ci siaspetta di trovare nell'ammasso.

Il confronto tra il numero di pulsar individuate e quelle previste sulla base delle assunzioni precedentiè riportato in tabella 6.3 per gli ammassi la cui dispersione di velocità σ è presente nel catalogo di Harris.

Il fatto che in alcuni casi, come NGC 6388 o NGC 6441, si ottenga npsr nobs, ossia che il numerodi pulsar previsto sia molto più grande del numero di pulsar osservate, si può spiegare facendo notarela dicoltà nell'individuazione delle millisecond pulsar e come nei processi di formazione delle stelle dineutroni a queste possa essere impressa una velocità superiore alle velocità di fuga dell'ammasso.

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Ammasso Globulare npsr nobs Ammasso Globulare npsr nobs

47 Tucanae 114 25 NGC 6284 32 0NGC 288 0 0 NGC 6293 134 0NGC 362 24 0 NGC 6341 (M 92) 14 0NGC 1851 144 1 NGC 6325 122 0

NGC 1941 (M 79) 10 0 NGC 6342 46 1NGC 2419 0 0 NGC 6366 0 0NGC 2808 140 0 NGC 6362 0 0NGC 3201 3 0 NGC 6388 791 0NGC 4147 1 0 NGC 6397 110 1

NGC 4590 (M 68) 0 0 NGC 6441 538 4NGC 5024 (M 53) 2 1 NGC 6522 109 3

NGC 5053 0 0 NGC 6535 1 0NGC 5139 (ωCen) 54 0 NGC 6541 57 0NGC 5272 (M 3) 6 3 NGC 6558 19 0

NGC 5286 23 0 NGC 6624 46 6NGC 5466 0 0 NGC 6626 (M 28) 67 12NGC 5694 13 0 NGC 6656 (M 22) 16 2IC 4499 0 0 NGC 6681 (M 70) 72 0

NGC 5824 113 0 NGC 6712 2 0Pal 5 0 0 NGC 6715 (M 54) 68 0

NGC 5904 (M 5) 7 5 NGC 6752 24 5NGC 5946 10 0 NGC 6779 (M 56) 2 0

Pal 14 (AvdB) 0 0 NGC 6809 (M 55) 1 0NGC 6093 (M 80) 177 0 NGC 6838 (M 71) 1 1NGC 6121 (M 4) 3 1 NGC 6864 (M 75) 81 0NGC 6171 (M 107) 3 0 NGC 6934 5 0NGC 6205 (M 13) 11 5 NGC 7078 (M 15) 235 8NGC 6218 (M 12) 3 0 NGC 7089 (M 2) 21 0NGC 6254 (M 10) 12 0 NGC 7099 (M 30) 48 2

NGC 6256 194 0 Pal 13 0 0NGC 6266 (M 62) 272 6 NGC 7492 0 0

Tabella 6.3: Confronto tra il numero di pulsar previste npsr dalle ipotesi descritte e il numero di pulsarosservate nobs negli ammassi globulari con σ presente nel catalogo di Harris.

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Capitolo 7

Conclusioni

Il primo argomento trattato nella tesi è stata la descrizione degli ammassi globulari nel capitolo 2. Siè osservato nella sezione 2.2 che questi raggruppamenti di stelle che popolano l'alone galattico hannoun'età di circa 1010 yr, fatto che li posiziona tra gli oggetti più antichi ad oggi osservati. È stato fattonotare come, data la loro età, è possibile osservare al loro interno lo svolgersi di processi che richiedonotempi scala molto più lunghi della vita media di molti altri oggetti nell'Universo, come la segregazionedi massa dinamica descritta nella sezione 2.4.3.

La densità stellare all'interno degli ammassi globulari, inoltre, determina un ambiente che aumentale probabilità d'interazione tra le stelle, rendendoli dei buoni bersagli per la ricerca di sistemi binarie componenti esotiche. Una parte di queste componenti esotiche la cui popolazione è sensibilmenteconcentrata negli ammassi globulari è costituita dalle millisecond pulsar.

Nel capitolo 3 si sono descritte le stelle di neutroni, i loro intensi campi magnetici (B ∼ 108 − 1012

G) e la loro composizione estremamente densa (no a 1015 g cm−3), ponendo particolare attenzionea quelle stelle di neutroni individuabili come pulsar. Si è visto come la misura del loro periodo dirotazione P e della sua derivata P permetta di stimare diverse proprietà della stella, dalla sua etàall'intensità del suo campo magnetico.

Ci si è quindi focalizzati nel capitolo 4 su una particolare popolazione di stelle di neutroni, lemillisecond pulsar, caratterizzate da periodi di rotazione molto brevi e campi magnetici meno intensidelle pulsar ordinarie. Si è visto come il modello delle pulsar riclate descriva questi corpi come pulsarche hanno oltrepassato due volte la soglia denita dalla death line: prima scomparendo dallo spettroradio e poi tornando ad emettere impulsi radio osservabili caratterizzati da un periodo brevissimo, inseguito all'incontro della stella con un secondo corpo e una fase di accrescimento. Dato il percorsoevolutivo delle millisecond pulsar, le regioni ad alta densità stellare degli ammassi globulari sono unottimo ambiente per la formazione di queste stelle, antiche e superveloci.

Le cause del fenomeno di spin-up, introdotto nel capitolo 3, sono state analizzate nel capitolo 5,dove si è concluso che, per millisecond pulsar isolate all'interno di ammassi globulari, tale fenomenopuò essere apparente e i valori misurati del periodo P e della derivata del periodo P possono dierire daquelli propri della stella a causa dell'inuenza sul moto della stella stessa dell'attrazione gravitazionaledell'ammasso.

A partire dai risultati ottenuti nel capitolo 5 e dai modelli utilizzati per la descrizione degli am-massi globulari presentati nel capitolo 2, nel capitolo 6 si sono analizzate le possibili relazioni tra lecaratteristiche delle millisecond pulsar e quelle degli ammassi globulari di appartenenza.

Nella sezione 6.1 si sono calcolate e confrontate le densità centrali (minime e previste dal modellodi King) relative a diversi ammassi. In questo confronto si è notata una discrepanza tra i valori diρmin (0) e ρK (0) per gli ammassi 47 Tucanae e NGC 6752.

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NGC 6752 possiede un core collassato ed un prolo di densità che non segue quello previsto dalmodello di King, invalidando alcune delle ipotesi eettuate nel calcolo delle densità e suggerendo cheentrambi i valori ottenuti siano in realtà limiti inferiori per la reale densità centrale dell'ammasso.

47 Tucanae, invece, si può descrivere tramite un modello di King e la causa della discrepanza è stataricercata nella sovrastima o sottostima dei valori coinvolti nel calcolo. Si è ottenuto un accordo con laprevisione di ρmin (0) < ρK (0) utilizzando il valore della dispersione di velocità delle stelle misurato daMann et al. [32] pari a σM ≈ 15 km s−1 > σH ≈ 11 km s−1. Questo risultato suggerisce che il valoredella dispersione di velocità reale delle stelle nell'ammasso sia più vicino al valore misurato da Mannrispetto a quello presente nel catalogo di Harris [19].

Si è visto come lo studio delle millisecond pulsar negli ammassi globulari possa far luce su diversiaspetti delle stelle di neutroni e degli ammassi globulari stessi.

Le informazioni che possono essere ottenute da questi corpi celesti compatti sono però limitate dallanostra ridotta capacità di osservarli: al momento, si stima che una minima parte della popolazione dimillisecond pulsar presente negli ammassi globulari sia stata osservata (si veda la sezione 6.2).

L'estrema precisione con cui è possibile misurare il periodo P e la sua derivata P di una pulsarrendono questi corpi celesti delle ottime sonde degli ambienti loro circostanti, rendendo lo studio dellemillisecond pulsar un portale non solo per la comprensione delle stelle compatte ma anche per gliammassi globulari che solitamente abitano.

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Bibliograa

[1] M. G. Baring and A. K. Harding. Radio-Quiet Pulsars with Ultrastrong Magnetic Fields. The

Astrophysical Journal, 507:L55, 1998.

[2] H. Baumgardt et al. On the Central Structure of M15. The Astrophysical Journal, 582:L21, 2003.

[3] M. J. Benacquista. Relativistic Binaries in Globular Clusters. Living Reviews in Relativity, 9:2,2006.

[4] D. Bhattacharya and E. P. J. van den Heuvel. Formation and Evolution of Binary and MillisecondRadio Pulsars. Physics Reports, 203:1, 1991.

[5] J. Binney and S. Tremaine. Galactic Dynamics. Princeton University Press, 2008.

[6] B. Chaboyer. Globular Cluster Age Dating. ASP Conference Series, 245. Edited by Ted von Hippel,Chris Simpson, and Nadine Manset. San Francisco: Astronomical Society of the Pacic:162, 2001.

[7] S. Chen et al. Distances to the Globular Clusters 47 Tucanae and NGC 362 Using Gaia DR2Parallaxes. The Astrophysical Journal, 867:132, 2018.

[8] J. J. Condon and S. M. Ransom. Essential Radio Astronomy. Princeton University Press, 2016.

[9] H.T. Cromartie et al. Relativistic Shapiro Delay Measurements of an Extremely MassiveMillisecond Pulsar, 2019.

[10] G. S. Da Costa and K. C. Freeman. The Dynamics of 47 Tucanae. IAU Symp, 113. Edited by J.Goodman and P. Hut:69, 1985.

[11] J. C. N. de Araujo, J. G. Coelho, and C. A. Costa. Gravitational Waves from Pulsars withMeasured Braking Index. The European Physical Journal C, 76:481, 2016.

[12] S. Djorgovski and I. R. King. A Preliminary Survey of Collapsed Cores in Globular Clusters. TheAstrophysical Journal, 305:L61, 1986.

[13] F. Douchin and P. Haensel. A Unied Equation of State of Dense Matter and Neutron StarStructure. Astronomy and Astrophysics, 380:151, 2001.

[14] P. Freire. Pulsars in Globular Clusters. http://www.naic.edu/∼pfreire/GCpsr.html.

[15] P. C. C. Freire and A. Ridol. An Algorithm for Determining the Rotation Count of Pulsars.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 476:4794, 2018.

40

[16] J. Gerssen, R. P. van der Marel, et al. Addendum: Hubble Space Telescope Evidence for anIntermediate-Mass Black Hole in the Globular Cluster M15. II. Kinematic Analysis and DynamicalModeling [ASTRON. J. 124, 3270 (2002)] . The Astrophysical Journal, 125:376, 2003.

[17] O. Y. Gnedin et al. Eects of Tidal Shocks on the Evolution of Globular Clusters. The AstrophysicalJournal, 522:935, 1999.

[18] G. Gonzalez, D. Brownlee, and P. Ward. The Galactic Habitable Zone: Galactic ChemicalEvolution. Icarus, 152:185, 2001.

[19] W. E. Harris, G. L. H. Harris, and M. Alessi. Catalog of Globular Cluster Sy-stems in Galaxies. Astronomical Journal, 112:1487, 1996. Harris 1996 (2010 edition):http://physwww.mcmaster.ca/ ∼ harris/GCS_table.txt.

[20] D. Heger, C. L. Fryer, S.E. Woosley, N. Langer, and D. H. Hartmann. How Massive Single StarsEnd their Life. The Astrophysical Journal, 591:288, 2003.

[21] N. Ivanova, C. O. Heinke, and A. F. Rasio. Formation of Millisecond Pulsars in Globular Clusters.AIP Conference Proceedings, 983:442, 2008.

[22] L. M. Krauss. The Age of Globular Clusters. Physics Reports, 333:33, 2000.

[23] K. Kremer et al. How Initial Size Governs Core Collapse in Globular Clusters. The AstrophysicalJournal, 871:38, 2019.

[24] K. Kuijken and J. Dubinski. Lowered Evans Models - Analytic Distribution Functions of OblateHalo Potentials. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 269:13, 1994.

[25] S. R. Kulkarni, R. Narayan, and R. W. Romani. The Pulsar Content of Globular Clusters. The

Astrophysical Journal, 356:174, 1990.

[26] R. R. Lane, A. H. W. Küpper, and D. C. Heggie. The Tidal Tails of 47 Tucanae. Monthly Notices

of the Royal Astronomical Society, 423:2845, 2012.

[27] D. R. Lorimer. Binary and Millisecond Pulsars. Living Rev. Relativ., 11:8, 2008.https://doi.org/10.12942/lrr-2008-8.

[28] D. R. Lorimer and M. Kramer. Handbook of Pulsar Astronomy. 2005.

[29] P. M. Lugger, H. Cohn, et al. CCD Photometry of Globular Cluster Core Structure. I. NGC 6388,NGC 6624, and M15One Flat Core and Two Cusps. The Astrophysical Journal, 320:482, 1987.

[30] A. Lyne and F. Graham-Smith. Pulsar Astronomy. Cambridge University Press, 2012.

[31] R. N. Manchester, G. B. Hobbs, A. Teoh, and M. Hobbs. The Australia Tele-scope National Facility Pulsar Catalogue. The Astronomical Journal, 129:1993, 2005.https://www.atnf.csiro.au/research/pulsar/psrcat/expert.html.

[32] C. R. Mann et al. A Multimass Velocity Dispersion Model of 47 Tucanae Indicates No Evidencefor an Intermediate-mass Black Hole. The Astrophysical Journal, 875:1, 2019.

[33] T. R. Marsh et al. A Radio-pulsing White Dwarf Binary Star. Nature, 573:374, 2016.

41

[34] J. G. Martinez et al. Pulsar J0453+1559: A Double Neutron Star System with a Large MassAsymmetry. The Astrophysical Journal, 812:143, 2015.

[35] S. L. W. McMillan, E. Vesperini, and S. F. Portegies Zwart. A Dynamical Origin for Early MassSegregation in Young Star Clusters. The Astrophysical Journal, 655:L45, 2007.

[36] S. A. Olausen and V. M. Kaspi. McGill Online Magnetar Catalog. The Astrophysical Journal

Supplement, 212:6, 2014. http://www.physics.mcgill.ca/∼pulsar/magnetar/main.html.

[37] J. R. Oppenheimer and G. M. Volko. On Massive Neutron Cores. Physical Review, 55:374, 1939.

[38] E. S. Phinney. Pulsars as Probes of Newtonian Dynamical Systems. Philosophical Transactions:Physical Sciences and Engineering, 341:39, 1992.

[39] H. C. Plummer. On the Problem of Distribution in Globular Star Clusters. Monthly Notices of

the Royal Astronomical Society, 71:460, 1911.

[40] A. Reisenneger. Origin and Evolution of Neutron Star Magnetic Fields. eprint arXiv:astro-ph/0307133, 2003.

[41] L. Rezzolla, E. R. Most, and L. R. Weih. Using Gravitational-wave Observations and Quasi-universal Relations to Constrain the Maximum Mass of Neutron Stars. The Astrophysical Journal,852:L25, 2018.

[42] Clive Robinson, A. G. Lyne, R. N. Manchester, M. Bailes, N. D'Amico, and S. Johnston. Milli-second Pulsars in the Globular Cluster 47 Tucanae. Monthly Notices of the Royal Astronomical

Society, 274:547, 1995.

[43] M. Salaris and S. Cassisi. Evolution of Stars and Stellar Populations. Wiley, 2005.

[44] S. L. Shapiro and S. A. Teukolsky. Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars: The Physics

of Compact Objects. Wiley, 1983.

[45] S. Sigurdsson et al. Planets Around Pulsars in Globular Clusters. ASP Conference Series, 398.Edited by D. Fischer, F. A. Rasio, S. E. Thorsett, and A. Wolszczan:119, 2008.

[46] F. Özel, D. Psaltis, R. Narayan, and A. Santos Villarreal. On the Mass Distribution and BirthMasses of Neutron Stars. The Astrophysical Journal, 757:55, 2012.

42