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Università degli Studi di Bologna – II Facoltà di Ingegneria con sede a Cesena PROGRAMMA del CORSO di
MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Corso di Laurea in INGEGNERIA MECCANICA
Corso di Laurea in INGEGNERIA AEROSPAZIALE Anno Accademico 2010-2011
prof. Alessandro RIVOLA
(Tel. 0543.374441 e-mail: [email protected]) 1. Composizione dei meccanismi. Macchine e loro classificazione. Macchina e meccanismo. Elementi cinematici e coppie cinematiche. Gradi di libertà di un meccanismo nel piano e nello spazio. Applicazione della formula di Grubler: esempi e limiti. 2. Richiami di cinematica del corpo rigido. Cinematica del punto nel piano. Cinematica del corpo rigido nel piano. Centro di istantanea rotazione. Teorema di Kennedy-Aronhold e suoi corollari. Accelerazione dei punti di un corpo rigido nel piano. Moti relativi. 3. Analisi cinematica di meccanismi. Modello cinematico. Analisi e sintesi. I sistemi articolati piani: il quadrilatero articolato; regola di Grashof; la catena cinematica 3R-1P; applicazioni. Meccanismi in catena aperta e catena chiusa. Il manipolatore piano R-R. Analisi cinematica per via grafica del manovellismo di spinta e del quadrilatero articolato. Analisi cinematica per via analitica del manovellismo di spinta (con espressioni approssimate del I e II ordine) e del quadrilatero articolato. Coefficienti di velocità e accelerazione. Analisi cinematica per via analitica: approccio generale; Jacobiano; singolarità. Analisi numerica di posizione. 4. Richiami di statica e dinamica. Le equazioni cardinali della Statica. Diagrammi di corpo libero. Principio di sovrapposizione degli effetti. Metodi diretti grafici ed analitici per l’analisi statica. Metodi energetici: il principio dei lavori virtuali (PLV). Azioni di inerzia risultanti in un corpo rigido. Energia cinetica di un corpo rigido. Equazioni della dinamica: principio di d’Alembert; equazione dei lavori. 5. Forze agenti sulle macchine. Rendimento. Forze di contatto. Coefficiente di attrito. Lavoro delle forze d’attrito. Generalità sul rendimento. Definizione di rendimento. Rendimento di macchine in serie e in parallelo. Moto retrogrado. Rendimento nel moto retrogrado. Leggi che governano l’attrito di strisciamento. Attrito di strisciamento in condizioni di lubrificazione limite. Valori del coefficiente di attrito. L’usura e l’ipotesi del Reye. Attrito di rotolamento. Applicazioni di elementi rotolanti. Trasporto con rulli. 6. Analisi statica di meccanismi. Reazioni vincolari nelle coppie cinematiche elementari. Analisi statica grafica e analitica di meccanismi piani. Analisi statica di meccanismi piani con il PLV. L’attrito nelle coppie cinematiche. Coppia prismatica, piano inclinato, coppia rotoidale, coppia elicoidale. Comportamento delle ruote nella locomozione. Analisi statica di meccanismi piani con attrito: analisi per via grafica. 7. Componenti ed organi delle macchine. Ingranaggi. Profili ad evolvente. Proporzionamento delle dentature. Dentiera di riferimento. Rapporto di trasmissione. Cenni sulla fabbricazione delle ruote dentate. Ingranaggi cilindrici a denti dritti ed elicoidali. Forze trasmesse. Ruote dentate coniche. Ingranaggio a vite e ruota a denti elicoidali. Rotismi ordinari. Rotismi epicicloidali. Formula di Willis. Differenziale per trazione automobilistica. Applicazioni degli organi flessibili. Puleggia fissa e puleggia mobile. Paranco. Paranco differenziale. Trasmissione del moto mediante cinghie piatte e trapezoidali. Freni a nastro ordinari e differenziali. Freni ed innesti. La coppia rotoidale di spinta; freni e innesti a frizione a dischi e conici; freno a ceppi. 8. Dinamica della macchina alternativa. Masse di sostituzione. Azioni di inerzia nel manovellismo di spinta. Analisi cinetostatica del manovellismo di spinta. Compensazione delle forze di inerzia. Equilibramento della macchina monocilindrica e pluricilindrica.
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9. Dinamica dei rotori (cenni). Squilibrio statico e dinamico di un rotore. 10. Dinamica dei sistemi funzionanti in condizioni di regime periodico. Regime periodico. Grado di irregolarità. Calcolo del momento d’inerzia del volano. 11. Vibrazioni meccaniche. Sistemi vibranti e loro modellazione. Vibrazioni libere e forzate di un sistema vibrante smorzato ad un grado di libertà. Risposta armonica. Isolamento delle vibrazioni: eccitazione della massa; eccitazione della base (sismografo). Testi di riferimento Funaioli E., Maggiore A., Meneghetti U., Lezioni di Meccanica applicata alle macchine. Prima parte: Fondamenti di Meccanica delle Macchine, ed. Pàtron, Bologna. Doughty S., Mechanics of Machines, John-Wiley & Sons, 1988. Paul B., Kinematics and dynamics of planar machinery, Prentice-Hall, 1979. Dispense integrative redatte dal docente. Modalità di esame La prova finale d'esame è orale e prevede tre domande sugli argomenti svolti durante le lezioni e le esercitazioni. Per ciascun appello d’esame i candidati devono iscriversi utilizzando esclusivamente il sito internet https://almaesami.unibo.it entro le ore 12 del giorno che precede l’appello. Propedeuticità consigliate Meccanica Razionale L
Programma, informazioni e altro materiale sono disponibili ai siti:
http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola.html
http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\00Introduzione.doc 0 – 1
Università degli Studi di Bologna – II Facoltà di Ingegneria con sede a Cesena PROGRAMMA del CORSO di
MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE L Corso di Laurea in INGEGNERIA MECCANICA
Corso di Laurea in INGEGNERIA AEROSPAZIALE
prof. Alessandro RIVOLA [email protected]
LA MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE 1. La Meccanica applicata alle macchine è la disciplina che, nel settore della Meccanica dell'Ingegneria, si occupa dei problemi connessi con il movimento dei corpi solidi di cui sono costituite le macchine, distinguendosi in ciò dalla Scienza delle costruzioni - che tratta le strutture, soggette a situazioni statiche - e dalla Meccanica dei fluidi. Si può dire pertanto che la Meccanica applicata alle macchine studia i problemi che nascono per il fatto che gli organi delle macchine e dei meccanismi sono dotati di moto; gli organi che si considerano sono solitamente corpi solidi, essendo demandato ad altre discipline il compito di considerare il caso in cui siano presenti nella macchina anche fluidi con funzioni fondamentali (e non accessorie, come ad esempio nel caso del lubrificante). 2. La Meccanica applicata alle macchine tratta innanzi tutto alcuni problemi relativi alla Composizione delle macchine, come i gradi di libertà di un meccanismo, e fornisce alcune definizioni fondamentali, come quella di rendimento meccanico. Formano poi oggetto di studio della Meccanica applicata alle macchine i problemi riguardanti il contatto fra gli organi delle macchine durante il loro moto relativo: essi vengono studiati da quella parte della disciplina che prende il nome di Tribologia. Questi problemi riguardano prima di tutto l'attrito di strisciamento e i suoi effetti: modalità di trasmissione delle forze, dissipazione di energia, usura. Si considerano poi l'attrito di rotolamento e i principali casi di interesse tecnico in cui lo si incontra, come le ruote e i cuscinetti a rotolamento. Infine, in stretta connessione con i problemi precedenti, si studiano i principali tipi di lubrificazione (idrodinamica, elastoidrodinamica, idrostatica) e i più importanti organi lubrificati, come i perni portanti e reggispinta. Una vasta gamma di problemi nascono poi dalla considerazione del comportamento delle macchine e dei meccanismi sotto l'aspetto funzionale. Nella parte della Meccanica applicata alle macchine che va sotto il nome di Teoria dei meccanismi si descrivono le principali classi dei meccanismi e dei loro componenti, come i sistemi articolati, i giunti, le camme, le ruote dentate e i rotismi, i freni, gli organi flessibili. Per ognuna di tali classi si espongono i fondamenti delle metodologie che permettono di affrontare i più importanti problemi tecnici relativi al funzionamento dei meccanismi
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\00Introduzione.doc 0 – 2
stessi, come la realizzazione di determinati movimenti, la trasmissione del moto, la trasmissione delle forze . In conseguenza del movimento impresso agli organi delle macchine, nascono in questi delle azioni d’inerzia, alle quali sono connessi molti importanti problemi. Quelli che possono venire studiati prescindendo, almeno in linea di principio, dalla deformabilità dei corpi, vengono studiati nella Dinamica delle macchine: si tratta dei problemi relativi al calcolo e al bilanciamento delle azioni di inerzia, all'accoppiamento fra motore e macchina utilizzatrice, al funzionamento delle macchine e degli impianti a regime periodico, ai transitori meccanici. I problemi strettamente connessi con la deformabilità elastica dei corpi vengono invece trattati nella Meccanica delle vibrazioni, che affronta problemi di grande rilevanza tecnica come, fra gli altri, l'isolamento delle vibrazioni, l'analisi modale, la diagnostica industriale. Una grande rilevanza tecnica hanno infine, come è evidente, i problemi relativi alla Dinamica dei rotori, quali il bilanciamento statico e dinamico, le velocità critiche flessionali, le oscillazioni torsionali, i problemi di instabilità. 3. Se dal punto di vista dei contenuti l'elemento unificante dei vari settori della Meccanica applicata alle macchine è, come abbiamo visto, il movimento, da quello metodologico l'elemento caratterizzante è la modellazione dei sistemi meccanici, che fornisce il mezzo fondamentale per affrontare in modo corretto ed efficiente l'ampia gamma dei problemi della meccanica delle macchine. Per affrontare lo studio di un qualsiasi sistema meccanico è necessario infatti formularne dapprima un adeguato modello fisico e successivamente dedurre da questo il relativo modello matematico. Per modello fisico si intende qui un sistema fisico immaginario che sia equivalente al sistema reale nell'ambito di una prefissata approssimazione e rispetto alle caratteristiche che riguardano lo studio a cui si è interessati. Prerogativa essenziale del modello fisico, ai fini della sua effettiva utilità, deve essere la possibilità di studiarlo con gli strumenti a disposizione, di regola di tipo matematico. Il passaggio dal sistema reale al suo modello fisico comporta un certo numero di approssimazioni consapevolmente accettate, la più importante delle quali consiste nel trascurare tutto quanto provoca effetti piccoli, o comunque ritenuti trascurabili, sul comportamento del sistema. Una volta individuato il modello fisico del sistema, si può procedere a determinarne il modello matematico, cioè un insieme di relazioni matematiche che descrivono il comportamento del modello fisico stesso. Si passerà infine alla realizzazione di un algoritmo di risoluzione delle equazioni del modello matematico. Solo in casi semplici la soluzione può venire ottenuta in forma chiusa: di solito si ottiene la soluzione per via numerica, mediante l'uso di un calcolatore. In alcuni casi, infine, può essere preferibile risolvere il problema per via grafica: agli ovvi inconvenienti della lentezza e della scarsa precisione si accompagnano, infatti, gli importanti vantaggi della chiarezza e della sicurezza interpretativa dei risultati.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\01Composizione_Meccanismi.doc 1 – 1
Esempi di meccanismi piani.
Esempi di meccanismi spaziali Robot seriale RRRS (a) e piattaforma parallela 3-RPS (b).
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\01Composizione_Meccanismi.doc 1 – 2
Esempio di meccanismo spaziale: il giunto di Cardano
Meccanismi piani contenti solo coppie prismatiche a 1 gdl (a) e 2 gdl (b).
Meccanismo con glifo a croce
Quadrilatero articolato (a) e manovellismo di spinta (b) isostatici
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\01Composizione_Meccanismi.doc 1 – 3
Sospensione McPherson (a) e suo modello cinematico (b).
Sospensione McPherson dell’Alfa 147 e 156.
C:\users\rivola\Didattic\FORLI\MaM\Dispense\01Composizione_Meccanismi.doc 1 – 4
Impiego di sistemi articolati: elevatore; escavatore.
Manipolatore S.C.A.R.A.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\02Richiami_Cinematica.doc 2 – 1
RICHIAMI DI CINEMATICA DEL PUNTO NEL PIANO. Posizione del punto P(t) = (P-O) = x(t) i + y(t) j P = x(t) + i y(t) forma cartesiana P = |P| exp(iθ) forma polare |P| modulo θ anomalia
Significato del vettore posizione P (a) e sua corrispondenza con il numero complesso P (b).
Velocità del punto
jijiPV V V (t)y (t)x dt
(t)d (t) yx +=+== &&
yx V i Vy i x +=+= &&V
αθθ θ iii e||e||ie|| VPPV =+= &&
Significato del vettore velocità V (a) e sua corrispondenza con il numero complesso V (b).
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\02Richiami_Cinematica.doc 2 – 2
Il termine θie|| P& ha anomalia pari a θ
Il termine ( ) ||ee||ee||i 2ii2ii PPP θθθ θπθπθ &&& +== è ad esso perpendicolare
Il vettore velocità è tangente alla traiettoria del punto. Infatti: xy
xy
VV
x
y
ddtg ===
&&
α
Accelerazione del punto
jiVa (t)y (t)x dt
(t)d (t) &&&& +==
y i x &&&& +=a
nt
ii e||ie|| aaVVa +=+= αα α&& Il termine αi
t e|| Va &= ha anomalia pari a α e quindi è tangente la traiettoria in P. Il suo modulo indica la variazione del modulo della velocità.
Il termine ( )απα αα +== 2ii
n e||e||i VVa && è ad esso perpendicolare e quindi è normale alla traiettoria in P. Il suo modulo indica la variazione della direzione della velocità.
Essendo: ρ
α || V=& dove ρ è il raggio del cerchio oscuratore in P
si ha: αα
ρi
2i e||ie|| VVa += &
Significato del vettore accelerazione a (a) e sua corrispondenza con il numero complesso a (b).
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\02Richiami_Cinematica.doc 2 – 3
RICHIAMI DI CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO. Teorema di Kennedy-Aronhold. Allineamento dei centri di istantanea rotazione.
Velocità e accelerazioni dei punti di un corpo rigido. Descritto il moto del corpo utilizzando due coordinate di un suo punto qualsiasi A e la rotazione β del corpo stesso, la posizione di un altro punto B appartenente al corpo può essere espressa come:
βieABB ||y i xy i x AABB ++=+=
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\02Richiami_Cinematica.doc 2 – 4
Teorema di Rivals per le velocità )( AB AB −∧+= ωVV
( )BAA
2iAyAx e|| i VVABVVVB +=++=
+βπβ&
Teorema di Rivals per le accelerazioni
)()())(()( 2AAB ABωABABAB −−−∧+=−∧∧+−∧+= ωaωωωaa &&
( )BAnBAtA
i22iAyAx e||e|| i aaaABABaaaB ++=−++=
+ ββπββ &&&
ββ ββ i2iA e||e|| i ABABaaB
&&& −+=
( ) KABABaaaBAββ ββ i2i
AB e|| i e|| =−=−= &&&
)-i(2 || i φπββ eKK =+−= &&& 2ββφ &&&
=tg
)i(e|||| φβπ −+= KABaBA
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 1
SISTEMI ARTICOLATI. Il quadrilatero articolato piano.
Quadrilateri articolati piani di Grashof (G) e non.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 2
Quadrilateri articolati piani: classe limite. Parallelogramma articolato (a); antiparallelogramma articolato (b); quadrilatero isoscele (c).
La catena cinematica con tre coppie rotoidali e una prismatica.
In figura le linee tratteggiate mostrano una estensione comune del meccanismo nel caso in cui il cedente debba possedere moto rettilineo alterno con ritorno rapido.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 3
ANALISI CINEMATICA DI MECCANISMI. Manipolatore piano R-R (manipolatore S.C.A.R.A.)
Manipolatore S.C.A.R.A.
Schema cinematico del manipolatore S.C.A.R.A.
)(BB bay i x βαα ++=+= ii eeB
)( cos bcosa xB βαα ++=
)(sin bsina yB βαα ++=
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 4
Manovellismo di spinta: esempio numerico.
Vettura Alfa Romeo GTV2000 (1971)
raggio manovella r = 44.25 mm lunghezza biella l = 157 mm regime di rotazione di potenza massima 5800 giri/min Considerando la manovella nella posizione ϕ = π/4 si ottiene (nell’ipotesi di regime costante di rotazione dell’albero motore): s = 16 mm (misurato a partire dalla posizione di punto morto superiore) v = 22.87 m/s a = 11640 m/s2
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 5
Manovellismo di spinta: confronto tra soluzioni esatte e soluzioni approssimate (del II e I ordine). Soluzioni esatte al variare del rapporto λ confrontate con le soluzioni approssimate del I ordine.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 6
Coefficienti di velocità: confronto tra andamenti esatti e quelli approssimati del I e II ordine.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 7
Manovellismo di spinta: espressioni esatte e approssimate (del II e I ordine) del moto del corsoio. Espressioni esatte Posizione ϕλγ 22 sin1cos −−= ϕλϕ 22 sin1cos −−−+= lrrls
Velocità γϕλγ
coscos
Ω=& )cos(sin γϕϕ tgrs −Ω=&
Accelerazione ϕγγϕγγ cossinsincos 22 Ω++Ω−= &&&& rlrl
ϕγγγγϕ sinsincoscos 22 Ω+−−Ω= &&&&&& rllrs Espressioni approssimate al II ordine
Posizione )2cos1(4
1cos2
ϕλγ −+−=II
−−+= ϕλϕλ 2cos
4cos
41rsII
Velocità
+Ω= ϕλϕ 2sin
2sinrsII&
Accelerazione ( )
+Ω++Ω= ϕλϕϕλϕ 2sin
2sin2coscos2 &&& rrsII
Espressioni approssimate al I ordine Posizione ( )ϕcos1−= rsI Velocità ϕsinΩ= rsI& Accelerazione ϕϕ sincos2 Ω+Ω= &&& rrsI
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 8
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 9
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 10
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 11
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 12
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 13
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 14
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 15
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 16
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 17
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\03Analisi_Cinematica.doc 3 – 18
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\04Richiami_Statica_Dinamica.doc 4 – 1
RICHIAMI DI STATICA: ANALISI STATICA GRAFICA.
Equilibrio di due forze Equilibrio di tre forze convergenti Equilibrio di tre forze parallele Equilibrio impossibile di quattro forze
Equilibrio indeterminato di quattro forze
Equilibrio di quattro forze (metodo della retta ausiliaria)
F1
r1
F2
F3
r3 r2
A
a b
F1
r1
A
r4
F1
r1
r3
r2
A
r4
2′FF1
2′′′F
2′′F 3′F
3′′′F
3′′F
4′F
4′′′F4′′F
F1
r1 F2
F1
F3 r3
r2
P
A F1
r F2
F1
r1
r3 r2
A r4
F1
B
ra
F2
F4
F3
B
A
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\04Richiami_Statica_Dinamica.doc 4 – 2
RICHIAMI DI STATICA: ESEMPIO. Con riferimento alla figura, due pulegge il cui peso è noto sono calettate sull’albero ad asse verticale di peso noto G3. Note le dimensioni e date le tensioni Qi (i=1, 2, 3) delle funi, si determinino le razioni vincolari nei cuscinetti A e B e la forza esterna P, nell’ipotesi di assenza di attrito. Dati Geometrici: 0.2ma = , 0.4mb = , 1 0.2mr = , 2 0.15mr = ; Carichi noti: 1 300NQ = , 2 75NQ = , 3 100NQ = , 1 200NG = , 2 45NG = , 3 60NG = ; L’equilibrio alla traslazione porge
(1) A 1 2 B 0x xR Q Q R− − + =
(2) A 1 2 3 0yR G G G− − − =
(3) A B 3 0z zR R Q P+ − − =
mentre da quello alla rotazione si ricava
(4) ( ) ( )( )B 3 2 0zR a b Q P a b+ − + + =
(5) ( ) ( )2 1 1 3 2 0Q Q r P Q r− + − =
(6) ( ) ( )1 2 B 0xQ Q a R a b+ − + =
Le Eq. (5), (6) e (2) porgono rispettivamente
( ) 13 1 2
2
400NrP Q Q Qr
= + − =
( )B 1 2 125NxaR Q Q
a b= + =
+
A 1 2 3 305NyR G G G= + + =
mentre le Eq. (1), (4) e (3) forniscono
( )A 1 2 1 2 250Nx xbR Q Q B Q Q
a b= + − = + =
+
( ) ( ) 1B 3 3 1 2
2
2 22 667Nza b r a bR Q P Q Q Q
a b r a b + +
= + = + − = + +
( ) 1A 3 3 1 2
2
2 167Nz zr aR Q P B Q Q Qr a b
= + − = − + − = − +
Q1
a
Q2
Q3 P
RAy
z
y
x
b
a
RBz
RBx
2r1
2r2
G1
G3
G2
O RAz
RAx
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\05Forze_Rendimento.doc 5 – 1
APPLICAZIONI DI ELEMENTI VOLVENTI
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\05Forze_Rendimento.doc 5 – 2
nηηηη L21=
m
mnmm
LLLL
nηηη
η+++
=L
21 21
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 1
ANALISI STATICA DI UN ESCAVATORE (senza attrito)
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 2
ANALISI STATICA GRAFICA DI UNA PIATTAFORMA DI SOLLEVAMENTO (senza attrito)
In Figura è rappresentato lo schema di una piattaforma di sollevamento per autoveicoli. Si tratta di un sistema articolato piano con otto membri e dieci coppie cinematiche di tipo C1 (sette coppie rotoidali e tre prismatiche). Il meccanismo possiede un grado di libertà, come si evince facilmente applicando la formula di Grübler ( 3 7 2 10 1⋅ − ⋅ = ). L’attuazione è realizzata mediante un martinetto idraulico, costituito dai membri (5) e (6). Il fluido in pressione, inviato nella camera inferiore del cilindro (6), agisce sul pistone collocato all’estremità dello stelo (5), provocandone la fuoriuscita dal cilindro. A sua volta, lo stelo spinge sul membro (4) attraverso la coppia in E, costringendolo a ruotare intorno all’asse della coppia D: ciò produce il sollevamento della pedana (1).
e
l
c
qf
Q
g
d
y
x
Å Ç
É Ñ
Ö
Ü
áà
F
A B
D C
GE
a
H
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 3
Analisi statica grafica
R21
eQ
Å Ç
É Ñ
QR31
f
( )( )
21 21 31
31
Qe R e f Q R R
e f e fQf R e f
= + ⇒ = = += +
Å
É
Ñ
á
R13
R13
R43 R73
g h
( )13 73 13 73 43
13 43
R g R h R R RR g h R h h g g h
= ⇒ = = + = +
Ç
É
Ñ
à
R24
R34
R34
R24
S
n m
( )34 24 34 24
34
R n R m R R SR n m Sm m n n m
= ⇒ = = + = +
Ç
É
Ñ Ö
à
SR84
F
84+ + =F S R 0
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 4
ANALISI STATICA GRAFICA DEL MECCANISMO PER L’AZIONAMENTO DI UNA PORTA INDUSTRIALE
(senza attrito)
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 5
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 6
ANALISI STATICA DI UNA PRESSA DA BANCO (senza attrito)
In Figura è rappresentato lo schema di una pressa da banco. Si tratta di un sistema articolato piano con quattro membri e quattro coppie cinematiche di tipo C1 (tre coppie rotoidali e una prismatica). Il meccanismo possiede un grado di libertà, come si evince facilmente applicando la formula di Grübler (3 3 2 4 1⋅ − ⋅ = ). Occorre applicare una forza di serraggio nota Q mediante il membro (2). L’attuazione è realizzata mediante una leva manuale (membro (3)) nel cui punto D l’operatore applica la forza incognita P. Applicando il PLV risulta:
0cos =⋅+⋅−=⋅+⋅ αDBDB vPvQvPvQ rrrr
αcosD
B
vvQP ⋅
=
per cui, affinché la forza esercitata sia minima, deve risultare α=0: D
B
vvQP ⋅
=min
Conviene pertanto applicare la forza P in direzione parallela alla velocità del punto D. La direzione della velocità del punto D può essere facilmente determinata individuando il centro di istantanea rotazione assoluto C31 del membro (3). Si noti infatti che di due punti della leva, A e B, sono note le direzioni della velocità: la velocità di A è ortogonale alla congiungente O con A, mentre il punto B trasla in direzione verticale. Una volta scelto di applicare la forza P nella direzione di VD, la forza può essere determinata tramite analisi cinematica, al fine di valutare il rapporto di velocità tra VB e VD, o un’analisi statica (per via grafica o analitica).
1
2
3
4
P
O
A
B
D
Q
α VD
C31
1
2
3
4
P
O
A
B
D
Q
VD
C31
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 7
ANALISI STATICA GRAFICA DEL MANOVELLISMO (senza attrito)
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 8
ANALISI STATICA GRAFICA DEL MANOVELLISMO (con attrito)
C:\users\rivola\Didattic\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 9
ANALISI STATICA ANALITICA DI UN SISTEMA ARTICOLATO (senza attrito)
Nel meccanismo rappresentato in figura, sullo spintore 1 agisce la forza resistente nota Q. Si determini la coppia M da applicare al bilanciere 3.
Applicando il PLV risulta:
011 =Ω⋅+⋅−=Ω×+× MvQMvQ BB
rrrr
da cui: 1Ω
⋅= BvQM
La coppia incognita può quindi essere determinata tramite una analisi cinematica, in modo da valutare il rapporto di velocità tra VB e Ω1. Per l’analisi cinematica, si faccia riferimento alla figura seguente. L’equazione di chiusura è:
0r
=+++→→→→
DOBDABOA
ovvero:
=+=+
hbasba
21
21
sinsincoscos
ϕϕϕϕ
Derivando si ottiene:
=Ω+Ω=Ω−Ω−
0coscossinsin
2211
2211
ϕϕϕϕ
basba &
da cui risulta: ( )2111
2
112
tancossincos
cos
ϕϕϕϕ
ϕ
−Ω−==
Ω−=Ω
aVsb
a
B&
L’analisi cinematica può essere condotta anche mediante la ricerca dei centri di istantanea rotazione (vedi schema a lato).
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ANALISI STATICA GRAFICA DI UN MECCANISMO CAMMA-BILANCIERE (con attrito)
In Figura è rappresentato lo schema di un meccanismo camma-bilanciere. Il meccanismo ha tre membri e tre coppie cinematiche (due rotoidali ed una superiore) e, pertanto, possiede un grado di libertà, come si evince facilmente applicando la formula di Grübler ( 3 2 2 2 1 1⋅ − ⋅ − = ). Al membro (2) (il bilanciere), dotato di moto orario, è applicata la forza resistente Q. Occorre determinare il momento M da applicare al membro (1) (la camma) per assicurare l’equilibrio. Si consideri noto l’angolo d’attrito cinetico ϕ nella coppia superiore ed il raggio dei circoli di attrito nelle due coppie rotoidali.
Per la soluzione occorre determinare i versi delle velocità assolute e relative dei membri. Per farlo è utile ricorrere ai centri di istantanea rotazione. Ad esempio, una volta individuato C12 si nota come questo sia interno ai due centri assoluti; pertanto le due velocità angolari Ω2 e Ω1 hanno verso opposto. La velocità angolare relativa Ω21 avrà quindi lo stesso verso di Ω2. E’, infatti:
1221 Ω−Ω=Ωrrr
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ANALISI STATICA GRAFICA DI UN SISTEMA ARTICOLATO (con attrito)
Nel meccanismo rappresentato in figura, sullo spintore 1 agisce la forza resistente nota Q. Noto l’angolo di attrito cinetico ϕ e il raggio del circolo di attrito nelle coppie rotoidali, si determini la coppia da applicare al bilanciere 3.
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PARTENZA DI UN AUTOVEICOLO
Si consideri un autoveicolo a trazione posteriore su una strada orizzontale. Sia m la sua massa e h l’altezza sul suolo del suo baricentro. Note le distanze a e b della forza peso dagli assi delle ruote e noto l’angolo di attrito di aderenza ϕa tra il suolo e la ruota posteriore, si determini l’accelerazione massima che si può imprimere al veicolo da fermo.
Nell’ipotesi di trascurare l’attrito volvente nei contatti ruota-strada e l’attrito nelle coppie rotoidali delle ruota (in tal caso la reazione RA risulta verticale), si perviene alla seguente:
ghfp
afxa
aMAX −=&& dove: aa tgf ϕ= e p = a+b
Nel caso in cui sia: h = 0.2 p a = b = p/2 se fa = 0.3 risulta: =MAXx&& 1.6 m/s2 ( t = 18 s ) se fa = 0.7 risulta: =MAXx&& 4.0 m/s2 ( t = 7 s ) dove t è il tempo necessario per raggiungere la velocità di 100 km/h pensando di avanzare ad accelerazione costante.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\06Statica_Meccanismi.doc 6 – 12
AUTOVEICOLO IN SALITA
Si consideri un autoveicolo a trazione posteriore che percorre una strada in salita con al traino un tiro T. Sia m la sua massa e h l’altezza sul suolo del gancio di traino. Noto l’angolo di attrito di aderenza ϕa tra il suolo e la ruota posteriore, si determini il tiro massimo applicabile al gancio di traino in condizioni limiti di aderenza supponendo il moto uniforme. SOLUZIONE GRAFICA
Si osservi che se la pendenza diventa troppo elevata, il tiro massimo assume verso concorde con quello del moto, ovvero non si può trainare nulla ed occorre spingere il veicolo.
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AUTOVEICOLO IN DISCESA
Si consideri un autoveicolo a trazione posteriore che percorre una strada in discesa. Nota la sua massa m si determini la coppia da applicare alle ruote posteriori in condizioni di moto uniforme. Verificare inoltre che, noto l’angolo di attrito di aderenza ϕa tra il suolo e le ruote posteriori, non avvenga strisciamento tra queste ultime ed il terreno. SOLUZIONE GRAFICA Si osservi che se la discesa supera una certa pendenza, alle ruote posteriori è necessario applicare una coppia frenante.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 1
TAGLIO di RUOTE DENTATE alla macchina utensile per inviluppo
Taglio con utensile dentiera Taglio con coltello Fellows
Taglio con utensile creatore
Taglio con utensile dentiera Taglio con coltello Fellows
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 2
DENTIERA NORMALIZZATA
p0 = πm0
= =h
= 2.
5 m
0
== linea di riferimento
SEGMENTO di AZIONE e ARCO di AZIONE
N2
N1B1
R1
CA1
K1
K2
A2B2
Segmento di azione
2121 NNCNCN =+
Arco di azione ABCBCACBCA =+=+ 2211
CONDIZIONE DI CONTINUITA’
Fattore di ricoprimento
1≥=p
ABε
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 3
Ruote dentate cilindriche a DENTI DRITTI
Ruote dentate cilindriche a DENTI ELICOIDALI
I fianchi dei denti della dentiera generatrice sono piani
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 4
FORZE negli INGRANAGGI CILINDRICI a DENTI DRITTI
RMFt =
αcost
NFF =
αtantr FF =
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 5
FORZE negli INGRANAGGI CILINDRICI a DENTI ELICOIDALI
RMFt =
βtanta FF = βα cos/tan ntr FF =
βcos/tn FF = nnN FF αcos/=
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 6
Ruote dentate CONICHE
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 7
INGRANAGGIO VITE SENZA FINE – RUOTA ELICOIDALE
Zi
=τ
i = n. di principi della vite Z = n. di denti della ruota
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 8
ROTISMI ORDINARI
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 9
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 10
ROTISMI EPICLOIDALI
31
1
1 ZZZP
+=
ΩΩ
31
421 1ZZZZ
P
−=ΩΩ
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 11
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\07Ruote_Rotismi.doc 7 – 12
DIFFERENZIALE PER AUTOVETTURA
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\08Organi_Flessibili.doc 8 – 1
ORGANI FLESSIBILI
Sezione di fune in acciaio
a 6 trefoli (42 fili) con anima tessile
Catena ad anelli
Catena articolata
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\08Organi_Flessibili.doc 8 – 2
Esempi di macchine di sollevamento
Esempio di trasmissione con catena articolata
Esempio di trasmissione con cinghia piatta
Esempio di trasmissione con cinghia dentata
Esempio di trasmissione tra assi sghembi con cinghia trapezoidale
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\08Organi_Flessibili.doc 8 – 3
TRASMISSIONE con CINGHIE PIATTE
Puleggia CONDOTTA (raggio R2) Equilibrio di un elemento infinitesimo di cinghia
αdR2 lunghezza dell’elemento di cinghia
T, T+dT forze agenti in
direzione normale al piano trasversale cinghia
f coefficiente di attrito cinetico p reazione radiale della puleggia sulla cinghia (forza per unità di lunghezza) f p reazione tangenziale della puleggia sulla cinghia (forza per unità di lunghezza) q massa per unità di lunghezza della cinghia v velocità (tangenziale) dell’elemento di cinghia a accelerazione (centripeta) dell’elemento di cinghia
22
2
RaRv
Ω=
Ω=
2
2
Rva =
reazione RADIALE αdRp 2 reazione TANGENZIALE αdRpf 2
forza CENTRIFUGA αα dvqdRqa 22 =
Equilibrio RADIALE 2sin)(
2sin2
2αααα ddTTdTdvqdRp ++=+
Equilibrio TANGENZIALE 2cos)(
2cos2
ααα ddTTdTdRfp +=+
22sin1
2cos ααα ddd
≅≅ TvqRp =+ 2
2 dTdRfp =α2
dTdvqTf =− α)( 2
2vqTdTdf−
=α )log(' 2vqTCf −=+α 2vqTCe f −=α (1)
Condizioni al contorno per la puleggia CONDOTTA
12
20TT
TT==
==αα
α 2)()( 2
22
1αfevqTvqT −=−
Puleggia CONDOTTA 2)()( 22
21
αfevqTvqT −=− (2)
Puleggia MOTRICE 1)()( 2
22
1αfevqTvqT −=− (3)
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\08Organi_Flessibili.doc 8 – 4
Osserviamo che: 2122
21 12 αααα ===
−− ff ee
vqTvqT
La (2) e la (3) sono valide entrambe SOLO SE le pulegge hanno lo stesso diametro. Se i diametri delle pulegge sono diversi, vale solo una tra le (2) e la (3), quella relativa alla puleggia minore. Per l’altra puleggia (quella maggiore) deve valere:
βfevqTvqT )()( 22
21 −=−
β angolo della zona di strisciamento nella puleggia maggiore
e deve aversi αβ = α angolo di avvolgimento della puleggia minore
Se la puleggia maggiore è CONDOTTA vale la (3) con βα =1 e 2ββ = Se la puleggia maggiore è MOTRICE vale la (2) con βα =2 e 1ββ = Nel caso descritto, nella puleggia minore si ha slittamento su tutto l’arco di avvolgimento. Un sovraccarico porterebbe ad uno slittamento globale che deteriorerebbe rapidamente la cinghia. E’ pertanto opportuno mantenere un margine di sicurezza, assicurando che:
11 αβ < 22 αβ < (ovviamente è: βββ == 21 )
Per ENTRAMBE le pulegge vale allora: βfevqTvqT )()( 2
22
1 −=− (4)
TIRO nei RAMI di CINGHIA e TIRO di MONTAGGIO
)()( 22
2121
2
2 vqTvqTTTRM
−−−=−=
)()( 22
22
2
2 vqTevqTRM f −−−= β
βfevqTvqT
RM )()(
212
12
2 −−−=
2
2
22 )1(
vqeRMT f +
−= β
2
2
21 )1(
vqeeRMT f
f +−
= ββ
2
2
2210 2
1)1(2
vqeeRMTTT
f
f ++
−=
+=
β
β
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\08Organi_Flessibili.doc 8 – 5
PARANCHI
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\08Organi_Flessibili.doc 8 – 6
FRENO A NASTRO (ORDINARIO)
FRENO A NASTRO DIFFERENZIALE
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\09Freni_Frizioni.doc 9 – 1
FRENI A CEPPI
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\09Freni_Frizioni.doc 9 – 2
FRENI A DISCO
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\09Freni_Frizioni.doc 9 – 3
INNESTI A FRIZIONE
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\10Macchina_Alternativa.doc 10 – 1
ESEMPIO DI COMPENSAZIONE DELLE FORZE DI INERZIA ALTERNE CON MASSE CONTROROTANTI
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\10Macchina_Alternativa.doc 10 – 2
ALBERO A GOMITO DI UNA MACCHINA ALTERNATIVA A QUATTRO CILINDRI IN LINEA
1
2
1
2
3
4
3
4
FORZE DI INERZIA ROTANTI (Fr) E FORZE ALTERNE DEL I ORDINE (FaI)
La risultante 1+2+3+4 è nulla. Le risultanti 1+4 e 2+3 sono complanari quindi è nullo anche il momento risultante.
1
2
123
4
3
4
FORZE DI INERZIA ALTERNE DEL II ORDINE (FaII)
La risultante 1+2+3+4 non è nulla.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\10Macchina_Alternativa.doc 10 – 3
ALBERO A GOMITO DI UNA MACCHINA A SEI CILINDRI IN LINEA: PRIMA DISPOSIZIONE
1
2
3
4 5
6
1
23
4
5
6
1,2
5,6
3,4
FORZE DI INERZIA ROTANTI (Fr) E FORZE ALTERNE DEL I ORDINE (FaI)
La risultante 1+2+3+4+5+6 è nulla. I momenti delle coppie di forze (1, 2), (3, 4) e (5, 6) hanno risultante nulla.
1
2
3
4 5
6
1
2
34
56
FORZE DI INERZIA ALTERNE DEL II ORDINE (FaII) La risultante 1+2+3+4+5+6 è nulla.
Le risultanti 1+2, 3+4 e 5+6 non sono complanari e quindi il momento risultante non è nullo.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\10Macchina_Alternativa.doc 10 – 4
ALBERO A GOMITO DI UNA MACCHINA A SEI CILINDRI IN LINEA: SECONDA DISPOSIZIONE
12
3
4
5
6
1
234 5
6
FORZE DI INERZIA ROTANTI (Fr) E FORZE ALTERNE DEL I ORDINE (FaI)
La risultante 1+2+3+4+5+6 è nulla. Le risultanti 1+6, 2+5 e 3+4 sono complanari quindi è nullo anche il momento risultante.
12
3
4
5
6
1
2 345
6
FORZE DI INERZIA ALTERNE DEL II ORDINE (FaII)
La risultante 1+2+3+4+5+6 è nulla. Le risultanti 1+6, 2+5 e 3+4 sono complanari quindi è nullo anche il momento risultante.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\11Dinamica_Impianti.doc 11 – 1
IMPIANTO DI SOLLEVAMENTO CARICHI
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\12Vibrazioni.doc 12 – 1
RIGIDEZZA DI MOLLE IN SERIE E IN PARALLELO
ESEMPI DI CALCOLO DELLA RIGIDEZZA
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\12Vibrazioni.doc 12 – 2
ESERCIZIO 1 Un compressore centrifugo di massa complessiva m = 40 kg, ruota a n = 1500 rpm e presenta uno squilibrio statico s = 200 kg mm. Si supponga di collegarlo al suolo con una sospensione schematizzabile con una molla ed uno smorzatore viscoso. Noto il fattore di smorzamento ζ = 0.15, si determini quale deve essere la costante elastica k della molla affinché la trasmissibilità della sospensione abbia il valore 0.08. Calcolare inoltre l’ampiezza della forza trasmessa al suolo. ESERCIZIO 2 In un aeroplano per ridurre le vibrazioni trasmesse agli strumenti di bordo, questi sono stati collegati al telaio dell’aereo mediante sospensioni aventi smorzamento trascurabile. Se tali sospensioni si accorciano di una quantità δ = 2.6 mm sotto il peso Q = 180 N degli strumenti, trovare il rapporto tra l’ampiezza delle vibrazioni degli strumenti e l’ampiezza delle vibrazioni del telaio dell’aereo nel caso in cui sia f = 30 Hz la frequenza di queste ultime. Si calcoli inoltre la costante elastica equivalente della sospensione.
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\12Vibrazioni.doc 12 – 3
ESERCIZIO 3 Una macchina di massa complessiva m = 450 kg, con un rotore avente uno squilibrio statico s = 0.2 kg m, funziona a regime alla velocità n = 1200 rpm. La macchina è montata su una sospensione che ha freccia statica δ = 5 mm e fattore di smorzamento ζ = 0.1. Calcolare la rigidezza k della sospensione, l’ampiezza T0 della forza trasmessa al suolo e l’ampiezza X0 delle oscillazioni della macchina alla velocità di regime. Volendo ridurre l’ampiezza delle oscillazioni al valore X0’ = 0.1 mm, lasciando inalterata l’ampiezza T0 della forza trasmessa al suolo, si monta la macchina su un blocco di calcestruzzo e si modifica la sospensione. Si calcoli la massa M del blocco e la nuova rigidezza k' della sospensione, ipotizzando che il fattore di smorzamento resti inalterato.
Nel primo modo di installazione (fig. 1) risulta: 602 nπω =
δω
gn = 2
nmk ω=
NsT
nn
n 514
21
21
222
2
20 =
+
−
+
=
ωωζ
ωω
ωωζ
ω (1)
mmsX
nn
n
3
2222
2
10506.0
21
1 −=
+
−
=
ωωζ
ωω
ωω
(2)
Confrontando la (2) e la (4)
risulta: Mmm
XX
+=
'
Aggiungendo il blocco di calcestruzzo e modificando la sospensione (fig. 2), l’ampiezza T0 deve restare inalterata e quindi, per la (1), ωn non può essere modificato:
Mmk
mk
n +==
'2ω (3)
da cui si ricava:
kgXXmM 12861
'=
−=
inoltre l'ampiezza dell'oscillazione deve ridursi al valore:
2222
2
21
1)(
'
+
−
+=
nn
nMmsX
ωωζ
ωω
ωω
(4)
Infine, dalla (3) si ricava:
mkN
XXkk 4466
'' ==
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\12Vibrazioni.doc 12 – 4
ESERCIZIO 4 Si consideri il veicolo elementare schematizzato in figura che si muove con velocità v = 100 km/h su una strada ondulata il cui andamento è ben rappresentato da una funzione sinusoidale avente lunghezza d’onda λ = 4 m ed ampiezza Y. La massa del veicolo a pieno carico è mP = 1200 kg, mentre a vuoto è mV = 400 kg. La costante elastica della sospensione vale k = 400 kN/m ed il fattore di smorzamento a pieno carico vale ζP = 0.4. Determinare il rapporto tra l’ampiezza delle oscillazioni del veicolo e l’ampiezza delle oscillazioni del suolo, sia a pieno carico che a vuoto.
Il legame tra la lunghezza d’onda e la pulsazione dell’eccitazione è: ωπλ 2v=
Per cui risulta: sradv 432
==λπ
ω
Il fattore di smorzamento vale: kmc
2=ζ da cui: kmc ζ2=
La costante di smorzamento c resta ovviamente inalterata, pertanto deve essere:
VVPP kmkmc ζζ 22 == da cui si ricava: 693.0==V
PPV m
mζζ
Il rapporto tra le ampiezze di vibrazione e dell’eccitazione vale:
222
2
21
21
+
−
+
==
nn
n
YX
ωωζ
ωω
ωωζ
τ
D:\rivola\DIDATTIC\FORLI\MaM\Dispense\12Vibrazioni.doc 12 – 5
I risultati sono riepilogati in tabella e rappresentati nel grafico seguente.
VUOTO PIENO CARICO m 400 kg 1200 kg
ωn 31.6 rad/s 18.3 rad/s
(ω/ωn)2 1.90 5.66
ζ 0.693 0.4
τ=X/Y 1.02 0.43 In figura è riportato l’andamento del rapporto tra le ampiezze nelle due condizione, a pieno carico (linea rossa) e a vuoto (linea blu), in funzione del rapporto tra pulsazione dell’eccitazione e pulsazione propria del sistema. I due cerchietti evidenziano le due condizioni di funzionamento.
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
caricovuoto
C:\users\rivola\Didattic\FORLI\MaM\Dispense\13Dinamica_Rotori.doc 13 – 1
AZIONI D’INERZIA SU UN CORPO RIGIDO
La risultante delle forze d’inerzia è uguale e opposta alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto del corpo:
dtd
iQF −=
Dalle definizioni di baricentro e quantità di moto si ricava:
GG
i mdt
dmdtd avQF −=−=−=
Sia ω la velocità angolare del corpo rispetto ad un riferimento inerziale e sia O un punto appartenente al corpo, origine di una terna di riferimento (x, y, z) solidale con il corpo. Assumiamo che O coincida con un punto fisso (qualora esista) ovvero con il baricentro. Il momento della quantità di moto del corpo rispetto al punto O risulta espresso dalla:
ωOO JK =
dove la matrice simmetrica ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
O
JJJJJJJJJ
J è detta tensore di inerzia.
Il momento risultante delle forze d’inerzia rispetto a un punto O (fisso o baricentrico) è uguale ed opposto alla derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto:
dtd O
OiKM −=,
Si dimostra che vale la seguente:
ωωω OOO
dtd JJK ~+= dove ω~ è la matrice antisimmetrica:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
00
0~
xy
xz
yz
ωωωωωω
ω
Pertanto si ha: ωωω OOOi JJM ~
, −−=
O’ G
XO
Y
ZY’
X’Z’
C:\users\rivola\Didattic\FORLI\MaM\Dispense\13Dinamica_Rotori.doc 13 – 2
Supponiamo il caso di corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso. Sia questo l’asse z della terna solidale con il corpo.
La risultante delle forze d’inerzia vale: Gi maF −= Per quanto riguarda il momento risultante delle forze d’inerzia, essendo:
Tzω00=ω
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
0000000
~z
z
ωω
ω risulta:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−=−−=
zzyzxz
yzyxy
xzxyx
z
z
zzyzxz
yzyxy
xzxyx
OOOi
JJJJJJJJJ
JJJJJJJJJ
ωω
ω
ω00
0000000
00
~, ωωω JJM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
−=
z
xzxyx
yzyxy
zz
z
yz
xz
Oi JJJJJJ
JJJ
ωωω 0
0
000,M
In definitiva: 2,
0zxz
yz
z
z
yz
xz
Oi JJ
JJJ
ωω⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=M
X
O
Y
Z=Z’
C:\users\rivola\Didattic\FORLI\MaM\Dispense\13Dinamica_Rotori.doc 13 – 3
Se l’asse z (fisso) è baricentrico (ma non è principale d’inerzia)
0=iF 2,
0zxz
yz
z
z
yz
xz
Gi JJ
JJJ
ωω⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=M
Se l’asse z (fisso) è baricentrico e principale d’inerzia (asse centrale di inerzia)
0=iF 2,
000
00
zz
z
Gi
Jωω⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=M
Se l’asse z (fisso) è principale d’inerzia (ma non è baricentrico)
Gi maF −=
2,
000
00
zz
z
Gi
Jωω⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=M
Nel caso in cui la velocità angolare sia costante, si ha:
Fi = − m ωz2 GO 2
,
0zxz
yz
Oi JJ
ω⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+=M
In tal caso, se l’asse è principale d’inerzia ma non è baricentrico, si ha: SQUILIBRIO STATICO Fi = − m ωz
2 GO 0, =OiM Se, al contrario, l’asse è baricentrico ma non è principale d’inerzia, risulta:
SQUILIBRIO DINAMICO Fi = 0 2,
0zxz
yz
Oi JJ
ω⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+=M
Azioni su due supporti dovute allo squilibrio STATICO e DINAMICO di un rotore.
O=G
Y
Z’Z
X