università degli studi roma tre dipartimento di matematica ... · 3 sommario questa tesi, di tipo...

Università degli Studi �Roma Tre�

Dipartimento di Matematica e Fisica

Corso di Laurea in Fisica

Il positronio e il principio difunzionamento della PositronEmission Tomography (PET)

Candidato:Mirko TroccoliMatricola:428124

Relatore:Prof. Filippo Ceradini

Anno Accademico 2013/2014

3

Sommario

Questa tesi, di tipo compilativo, vuole prendere in esame il princi-pio di funzionamento della Positron Emission Tomography (PET).Attraverso gli strumenti acquisiti nel corso triennale si è potuto ini-zialmente analizzare le caratteristiche e il comportamento dell'anti-particella dell'elettrone, il positrone, con lo studio dei decadimentiβ. Nei capitoli successivi si è voluto studiare l'atomo di positro-nio e la sua con�gurazione più probabile (para-positronio) sfruttatanell'analisi PET. In seguito, si è entrato nello speci�co dell'esamePET cercando di mantenere un'impronta e un'analisi di tipo scienti-�co senza mai sfociare troppo nell'ambito tecnico o della medicina.Viene, poi, messo in evidenza il ruolo dei fotomoltiplicatori e le pro-prietà degli scintillatori, fondamentali per una migliore rivelazionedegli eventi in coincidenza. Si conclude con una parte sull'analisidel segnale e la ricostruzione delle immagini dell'esame tomogra�-co. Nell'ultima sezione vengono esposte delle considerazioni genera-li e ri�essioni personali sull'importanza dello sviluppo scienti�co alservizio della vita di tutti i gironi.

Indice

1 Il positrone 7

1.1 Breve storia del positrone . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 L'atomo di idrogeno e il positronio . . . . . . . . . . 81.3 La radioattività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Legge di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Il decadimento β+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 La teoria di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Fluoro-18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 L'atomo di Positronio Ps 23

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Il parapositronio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 L'ortopositronio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Riassumendo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Annichilazione elettrone-positrone . . . . . . . . . . . 28

3 La tomogra�a PET 31

3.1 Breve storia della PET . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Principio di funzionamento generale . . . . . . . . . . 313.3 I radionuclidi emettitori di positroni . . . . . . . . . . 333.4 I rivelatori γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 I fotomoltiplicatori PMT . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 Proprietà scintillatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 Il Block detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.8 La rivelazione degli eventi . . . . . . . . . . . . . . . 413.9 Coincidenza vera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.9.1 LOR e risoluzione temporale . . . . . . . . . . 433.10 Time of Flight TOF-PET . . . . . . . . . . . . . . . 463.11 Risoluzione energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.12 Acquisizione delle immagini . . . . . . . . . . . . . . 50

3.12.1 Il sinogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.12.2 Acquisizione 2D e 3D . . . . . . . . . . . . . . 52

5

6 INDICE

3.13 Ricostruzione delle immagini . . . . . . . . . . . . . . 533.13.1 Algoritmi analitici . . . . . . . . . . . . . . . 533.13.2 Algoritmi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Conclusioni 61

4.1 Considerazioni generali sull'uso della PET . . . . . . 614.2 Possibili rischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Capitolo 1

Il positrone

1.1 Breve storia del positrone

Se accettiamo l'ipotesi di una completa simmetria tra cari-che elettriche positive e negative, come facciamo per ognilegge fondamentale della natura, dobbiamo considerare ti-picamente casuale il fatto che sulla Terra (e presumibil-mente nell'intero sistema solare) siano preponderanti glielettroni negativi e i protoni positivi. Non possiamo esclu-dere che per le altre stelle la situazione sia speculare e cheesistano astri composti da elettroni positivi (o positroni)e protoni negativi.[1]

E' con queste parole che Paul Dirac termina il suo discorsoTheory of electrons and positrons in occasione del Premio Nobel perla Fisica ricevuto il 12 dicembre 1933. Paul Dirac nel 1928 formu-lò un'equazione che combinava la teoria quantistica e la relativitàspeciale di Einstein per descrivere il moto di particelle di spin 1/2.Grazie a quest'equazione, Dirac postulò l'esistenza dell'antimateria ein particolar modo del positrone, ossia l'antiparticella dell'elettrone.La teoria di Dirac, quindi, aveva portato alla luce l'esistenza del po-sitrone, ma dovettero trascorrere alcuni anni prima che Carl DavidAnderson, e soprattutto Patrick M. Blackett e Giuseppe Occhialini,nel 1933 scovassero le prove sperimentali di quest'interpretazione.Carl David Anderson rimase colpito da una traccia lasciata nel suorivelatore da una particella identica ad un elettrone; la stranezzaconsisteva nel fatto che la traiettoria della particella nel rivelatoresi incurvava nel verso sbagliato, come se la carica della particellafosse positiva. In seguito, il lavoro di Blackett e Occhialini consi-stette nella progettazione e utilizzo di una nuova camera a nebbiache consentiva la visualizzazione, con elevata frequenza, delle tracce

7

8 CAPITOLO 1. IL POSITRONE

lasciate dal passaggio dei raggi cosmici attraverso di essa. Il più im-portante lavoro pubblicato da Blackett e Occhialini fu comunicatoalla Royal Society il 7 febbraio 1933. I due autori mostravano che laparticella da essi trovata era la stessa scoperta da Carl David An-derson nel 1932 e ipotizzata da Paul Adrien Maurice Dirac nel 1931.Ma, mentre Anderson si era limitato ad annunciare l'esistenza di unelettrone positivo, gli studi di Occhialini e Blackett mostravano cheil positrone era l'antiparticella dell'elettrone, e che veniva prodottoinsieme a un elettrone dall'interazione di un raggio gamma cosmicocon la materia.

1.2 L'atomo di idrogeno e il positronio

Il più semplice stato legato, su scala atomica, è costituito dall'atomodi idrogeno, il quale è composto da un protone e un elettrone. Inprima approssimazione, gli stati legati e i livelli di energia possonoessere calcolati con l'equazione di Schrödinger (non-relativistica). Ilpotenziale di Coulomb Vc ∝ 1/r è incluso nell'espressione dell'ha-miltoniana:

(− h̄2

2m∇2 − αh̄c

r

)ψ(r) = Eψ(r) (1.1)

Gli autostati sono caratterizzati dal numero di nodi N presentinelle funzioni d'onda radiali e dal valore del momento angolare or-bitale l. Nel caso particolare del potenziale coulombiano, gli staticon gli stessi valori di n = N + l+ 1 sono degeneri. Ad n, perciò, sidà il nome di numero quantico principale.

I livelli di energia En permessi per un atomo di idrogeno sono:

En = −α2mc2

2n2

dove α è la costante di accoppiamento elettromagnetico (costantedi struttura �ne α = e2

4πε0h̄c= 1/137) e m la massa ridotta del

sistema:

m = MpmeMp+me

≈ me = 0, 511MeV/c2

L'energia di legame dello stato fondamentale (n = 1) dell'atomo diidrogeno e il raggio di Bohr rbH dell' atomo di idrogeno sono :

E1H = −13, 6eV

rbH =h̄c

αmc2≈ 197MeV · fm

137−1 · 0, 511MeV= 0, 53 · 105fm (1.2)

1.2. L'ATOMO DI IDROGENO E IL POSITRONIO 9

A sua volta l'atomo di positronio Ps è un atomo idrogenoide ca-ratterizzato da uno stato legato elettrone-positrone. L'equazione diSchrödinger per il positronio è identica a quella dell'atomo di idro-geno eccetto per la massa ridotta che risulta essere me

2dove me è la

massa a riposo dell'elettrone:

m = m2e

2me= me

2

Con questo accorgimento, l'energia dello stato fondamentale e delraggio di Bohr in relazione a quelli dell'atomo di idrogeno risultanoessere:

E1Ps = −α2mec

2

4= −13, 6

2eV (1.3)

rbPs =2h̄c

αmec2= 2× 0, 53 · 105fm (1.4)

Figura 1.1: Gli spettri energetici dell'atomo di idrogeno e del positronio. Sono visibiligli stati fondamentali (n = 1) e i primi livelli eccitati (n = 2), così come la lorostruttura �ne ed iper�ne. La separazione fra i livelli non è in scala.

La �gura 1.1 dimostra quanto è stato a�ermato e calcolato inmerito alle energie di legame dell'idrogeno e del positronio. Peresempio, l'energia dello stato fondamentale per il positronio risultaessere la metà rispetto a quella dell'idrogeno. In contrapposizione,per quanto concerne il raggio di Bohr esso risulta essere nel casodell'atomo di positronio il doppio rispetto a quello dell'atomo diidrogeno.


1.3 La radioattività

L'intero studio della �sica nucleare e quindi, nel nostro caso, delfunzionamento della PET, si basa sulla scoperta della radioattivitànaturale fatta da Henri Becquerel (1852�1908) nel 1896. La ra-dioattività, o anche detto decadimento radioattivo, è un insieme diprocessi �sico-nucleari per cui i nuclei atomici instabili (radionucli-di) decadono in un periodo di tempo detto tempo di decadimento. Idecadimenti dei nuclei possono avvenire in diversi modi.

1. Decadimento α: emissione di nuclei di elio.

2. Decadimento β: emissione di elettroni (o positroni) e antineu-trini (o neutrini).

3. Decadimento γ: emissione di radiazione elettromagnetica.

4. Fissione: scissione in due o più nuclei.

per i quali un nucleo di massa M1 decade in un nucleo di massaM2 < M1 e la di�erenza di massa si può tramutare in massa edenergia cinetica dei prodotti di decadimento. Perciò, i nuclei in-stabili, ossia nuclei che decadono emettendo energia sotto forma diradiazioni, per questo detti anche radioattivi, decadono attraver-so uno o più processi di decadimento (decadimenti in cascata) �noal raggiungimento di una con�gurazione di nucleo stabile. Un nu-cleo è stabile se non subisce trasformazioni spontanee e conserva lapropria struttura nucleare. I processi di decadimento sono di tipoprobabilistico, perciò non si può determinare con precisione quandoun nucleo decade. Si può tuttavia descrivere il comportamento deinuclei instabili attraverso la cosiddetta legge di decadimento.

1.4 Legge di decadimento

Come è stato detto in precedenza non è possibile prevedere il mo-mento in cui un nucleo instabile decadrà in uno più stabile. Sipuò, però, dato un particolare tipo di isotopo determinare il fattoche il numero di decadimenti rispetta una precisa legge statisticadipendente da due fattori principali.

1. La probabilità di decadimento nell'unità di tempo è una pro-prietà del processo di decadimento e non dipende dal tempo.

2. In una sostanza contenente N nuclei, la probabilità di decadi-mento nell'unità di tempo del singolo nucleo non dipende daN .

1.4. LEGGE DI DECADIMENTO 11

La probabilità di decadimento in un intervallo di tempo dt è de�nitacome

dP = λ dt (1.5)

con λ la costante di decadimento del processo con dimensioni[s−1]. Se la sostanza contiene N nuclei e se il numero N è grande inmodo da poterlo trattare come una variabile continua, la variazionedel numero di nuclei nell' intervallo di tempo dt è

−dN = λNdt

Conoscendo il valore di N a un certo istante, N(t = 0) = N0, siottiene l'andamento nel tempo del numero di nuclei e dell'attivitàdella sostanza

N(t) = N0e−λt A(t) = λN(t) = λN0e

−λt (1.6)

Il valore medio della distribuzione è la vita media τ del decadi-mento

τ =

∫∞0

t N(t) dt∫∞0

N(t) dt=

1

λ(1.7)

Equivalentemente, la costante di decadimento si può ricavare daltempo di dimezzamento t1/2 de�nito come l'intervallo di tempo incui il numero di nuclei si dimezza:∫ t1/2

0

λN(t)dt =

∫ ∞t1/2

λN(t)dt =N0

2=⇒ t1/2 = τ ln 2 = 0, 693τ

(1.8)L'attività A si misura in Curie de�nito come l'attività di un

grammo di radio

1 Ci= 3.7 · 1010 disintegrazioni/secondo

Un'altra unità di misura è il Becquerel che corrisponde a unadisintegrazione al secondo

1Bq = 0.27 · 10−10Ci

Nota la massa m (in grammi) di una sorgente radioattiva concostante di decadimento λ, la sua attività è pari a:

A = λN = λ mAm

NA

con Am il numero di massa e NA il numero di Avogadro.


Figura 1.2: Legge del decadimento esponenziale. N0 è il numero di nuclei radioattivicontenuti in un campione all'istante t0 = 0; N(t) è il numero di nuclei non trasformatial tempo t; τ e t1/2 indicano rispettivamente la vita media e il tempo di dimezzamentodella specie nucleare considerata

1.5 Il decadimento β+

Quello che si va ad analizzare è il decadimento β già in precedenzaaccennato, in quanto tramite esso, in particolar modo tramite il de-cadimento β+, viene prodotto il positrone dalla cui annichilazione sibasa il funzionamento della PET. Grazie a reattori nucleari o ciclo-troni, è possibile creare isotopi instabili con un'eccedenza di protoni.Questi isotopi ricchi di protoni, raggiungono la stabilità attraversouna riduzione di carica del nucleo. Il decadimento associato alla tra-sformazione di un protone in un neutrone, può avvenire attraversodue processi:

• Cattura elettronica

avviene tramite la cattura di un elettrone atomico da parte del nu-cleo. L'elettrone, infatti, ha una probabilità �nita, non nulla, ditrovarsi all'interno di un nucleo. In tali circostanze esso può com-binarsi con un protone e dar origine ad un neutrone ed un neutrinosecondo la reazione:

e− + AZY −→ A

Z−1X + ν (1.9)

1.5. IL DECADIMENTO β+ 13

dove Z è il numero atomico e A il numero di massa, e− l' elettro-ne e ν il neutrino. Tale reazione avviene principalmente nei nucleipesanti in cui il raggio nucleare è su�cientemente grande e le orbi-te elettroniche piuttosto prossime al nucleo. Di solito gli elettronicatturati provengono dagli strati orbitali più interni (shell �K�) datoche gli elettroni-K sono quelli più vicini al nucleo e la loro funzioned'onda radiale presenta un massimo in corrispondenza del centrodel nucleo. In seguito alla cattura-K, un elettrone più esterno andràad occupare il posto lasciato libero dall'elettrone-K, lasciando a suavolta un buco sul livello energetico superiore. Si crea così un pro-cesso di decadimenti a cascata, accompagnati, per ogni transizione,dall'emissione di raggi-X caratteristici.

• Decadimento β+

Il principale meccanismo di decadimento radioattivo con emissionedi positroni usato nella PET è la trasformazione di un protone in unneutrone, un positrone e un neutrino. La reazione di decadimento èla seguente:

AZX −→ A

Z−1X + e+ + ν (1.10)

A�nchè queste reazioni possano veri�carsi è necessario che il Q-valore sia positivo, cioè:

Qβ+ = M(A,Z)−M(A,Z − 1)−me > 0

QEC = M(A,Z) +me −M(A,Z − 1) > 0

dove indichiamo con M(A,Z) la massa del nucleo con A nucleonie Z protoni e con me la massa del positrone. Per il principio diconservazione dell'energia, possiamo scrivere rispettivamente:

M(A,Z) = M(A,Z − 1) +me + TA + Te + Eν

M(A,Z) +me −Be∼= M(A,Z) +me = M(A,Z − 1) + TA + Eν

dove si indica con TA e Te l'energia cinetica del nucleo �glio e delpositrone, con E l'energia totale del neutrino o dell'antineutrino econ Be l'energia di legame dell'elettrone (trascurabile rispetto allealtre energie in gioco). Da queste relazioni si può ottenere il Q-valore di ciascuna trasformazione in funzione delle energie in gioco.Quest'ultimo, de�nito come la di�erenza tra la massa del nucleogenitore e le masse dei prodotti della reazione, rappresenta l'energialiberata nei decadimenti.


Dunque, si può scrivere:

Qβ+ = M(A,Z)−M(A,Z − 1)−me = TA + Te + Eν

QEC = M(A,Z)−M(A,Z − 1) +me = Qβ+ + 2me = TA + Eν

Si nota che, se un nucleo può decadere β+, allora può decadereanche per cattura elettronica, in quanto si ha che QEC = Qβ+ +2me > Qβ+ . Invece la condizione QEC > 0 non implica che si abbiaQβ+ > 0. Quindi, può avvenire che un nucleo possa decadere percattura elettronica ma non per decadimento β+.

1.6. LA TEORIA DI FERMI 15

1.6 La teoria di Fermi

L'ipotesi dalla quale parte l'idea di Fermi è che elettrone ed antineu-trino non sono dei nucleoni, ossia non sono componenti del nucleo,ma vengono prodotti tramite decadimento β− nel momento stessoin cui un neutrone si trasforma in un protone. Dunque, al centrodella teoria di Fermi c'è il seguente processo:

n→ p e−ν̄

La forma dello spettro energetico della emissione beta può esse-re ricavata studiando in quale modo l'energia a disposizione nellatransizione può essere ripartita tra la particella beta ed il neutri-no. Il punto di partenza è la cosiddetta �regola d'oro di Fermi�, chefornisce la probabilità di transizione per unità di tempo:

λ =2π

h̄|Mif |2 ρ(W ) (1.11)

Per usare tale formula occorre conoscere l'espressione dell'elementodi matriceMif tra gli stati iniziale e �nale e la densità degli stati �na-li ρ(W ) , essendo W l'energia totale a disposizione. La densità deglistati �nali determina completamente la forma dello spettro beta, es-sendo l'elemento di matrice nelle transizioni permesse una costanteindipendente dall'energia degli elettroni. L'elemento di matrice, perde�nizione, ha la seguente forma:

Mif =∫ψ∗finHψindτ

dove H è l'operatore che rappresenta la transizione e l'integrale èesteso al volume interessato τ . La funzione d'onda ψin = ui descriveil nucleo prima del decadimento; la funzione d'onda ψf = ufψeψνè il prodotto della funzione d'onda del nucleo nello stato �nale perle funzioni d'onda dell'elettrone e dell'anti-neutrino. Nella teoria diFermi viene fatta l'ipotesi che l'operatore H abbia la forma:

H = gδ(~re − ~r)δ(~rv − ~r)

dove δ(x) è la funzione di Dirac, ~re è un vettore di posizione asso-ciato all'elettrone, ~rv un analogo vettore associato al neutrino e r èassociato al nucleone che decade. δ(~re − ~r) è la densità di probabi-lità che elettrone e nucleone si trovino a distanza ~re − ~r; simile è ilsigni�cato di δ(~rν −~r). La speciale dipendenza di H dalla coordina-te esprime l'ipotesi che il raggio di azione dell'interazione sia nullo,cioè elettrone, antineutrino e nucleone interagiscono solo quando so-no sovrapposti, o a contatto. La giusti�cazione qualitativa di tale


ipotesi è data dal fatto che nel decadimento beta del neutrone isola-to l'interazione si manifesta solo per distanze molto piccole, inferiorialle dimensioni del neutrone stesso. La g è una costante (detta co-stante di accoppiamento) che misura l'intensità dell'interazione e hadimensioni [energia x volume]. Il suo valore non è noto a priori eviene determinato sulla base di dati sperimentali. Esso ha un ruolosimile a quello dato dalla carica elettrica nel potenziale coulombiano.Data le proprietà della funzione di Dirac si ha:

Mif =∫ψ∗finHψindτ = g

∫ψ∗e(~r)ψ

∗νuf (~r)ui(~r)d~r

dove l'integrale è esteso alla regione del nucleo. Poichè l'elettronee il neutrino non hanno interazione nucleare assumiamo che ψe e ψνsiano autofunzione di particella libera

ψe(~r) = V −1/2ei~ke·~r ψν(~r) = V −1/2ei

~kν ·~r

dove V è il volume di normalizzazione, ~ke = peh̄

e ~kν = pνh̄. Gli

impulsi di elettrone e neutrino sono tipicamente ∼ MeV/c e si puòassumere che le funzioni d'onda siano variate di poco all'interno delvolume di integrazione,~k · r � 1, ei

~k·r = 1 + ~k · r + ... ≈ 1. L'elemento di matrice si scrive:

Mif =g

V

∫u∗fuidr =

g

VSif (1.12)

Per quanto riguarda il valore numerico di Sif , notiamo che, quantomaggiore è il grado di sovrapposizione tra stato nucleare iniziale e�nale, quanto più Sif è prossimo (varrebbe uno per funzioni d'ondaidentiche, in quanto

∫ψ∗ψdr = 1).

Si vuole ora di calcolare la densità degli stati �nali, cioè il nu-mero di stati per intervallo di energia dell'energia totale W. Trecorpi partecipano alla disintegrazione: il nucleo �nale, l'elettrone edil neutrino. Energia e quantità di moto devono essere conservate.L'energia di rinculo del nucleo è però molto piccola (a causa dellamassa molto maggiore) e può essere senz'altro trascurata. Si puòperciò dire che la somma delle energie dell'elettrone e del neutrinoè pari all'energia totale W della disintegrazione:

Ee + Eν =√m2ec

4 + p2ec

2 +√m2νc

4 + p2νc

2 = W

Il numero di stati in funzione degli impulsi è:∫d6ned

6nν = V 2

(2πh̄)64πp2

e dpe 4πp2ν dpν

Gli impulsi di elettrone e neutrino sono legati dalla conservazionedell'energia e, esprimendo pν in funzione dell'energia totale W ,

1.6. LA TEORIA DI FERMI 17

p2ν dpν c

3 = (W − Ee)√

(W − Ee)2 −m2νc

4 dW

la densità di energia nello stato �nale in funzione dell'impulso del-l'elettrone pe

ρ(W )dpe =(4π)2V 2

(2πh̄)6

1

c3(W − Ee)

√(W − Ee)2 −m2

νc4 p2

e dpe

(1.13)Poichè l'integrale sulle funzioni d'onda dei nucleoni, Sif , non dipendedall'energia dell'elettrone, tale relazione rappresenta la distribuzionein energia degli elettroni emessi nel decadimento

dλ =g2

2π3c3h̄7 |Sif |2 (4π)2V 2

(2πh̄)6

1

c3(W−Ee)

√(W − Ee)2 −m2

νc4 p2

e dpe

(1.14)Nella trattazione fatta non si è tenuto conto della attrazione (o re-pulsione) coulombiana subita dall'elettrone (positrone) da parte delnucleo. Questa forza porta ad una deformazione dello spettro betache dipende da Z del nucleo e dall'energia dell'elettrone, e fa sì cheper gli elettroni sono più favoriti impulsi piccoli, per i positroni im-pulsi grandi. La deformazione dovuta all'interazione coulombiana èmostrata in �gura (1.3): si tiene conto di essa introducendo il fattorecorrettivo F (±Z,Ee).

Figura 1.3: Deformazione dello spettro beta dovuta all'interazione coulombiana

Nel caso di decadimento β− la carica fortemente positiva del nu-cleo residuo in�uenza l'energia dell'elettrone emesso decelerandoloin maniera considerevole, mentre nel caso β+ il nucleo respinge forte-mente il positrone determinando, così, uno shift della distribuzionedi energia della particella emessa verso energie più elevate. Tanto più


grande è il numero di protoni Z, tanto maggiore sarà la sua in�uen-za sulla particella uscente. Dal gra�co si osserva che la correzionecoulombiana apportata con l'introduzione della funzione di Fermiincrementa la probabilità di emissione di elettroni e diminuisce laprobabilità di emissione di positroni, soprattutto a basse energie.

La distribuzione diventa

dn

dpe= C · F (±Z,Ee) (W − Ee)

√(W − Ee)2 −m2

νc4 p2

e (1.15)

dove F (±Z,Ee) è la funzione di Fermi che è apprezzabilmente di-versa da 1 solo per valori di Z grandi e per energie piccole. Talefunzione è de�nita come segue:

F (±Z,Ee) = 2πη1−e−2πη

con

η = ±Ze2

h̄ve= ±Zα c

ve(+elettrone,−positrone)

dove ve è la velocità dell'elettrone assunta a grandi distanze dalnucleo mentre α è la costante di struttura �ne. Si osserva che perpiccoli valori di Z la funzione di Fermi risulta pari ad 1. Se nellarelazione (1.15) viene trascurata la massa del neutrino, si osservache la funzione[

1p2e

dndpe

]1/2

= C · [F (±Z,Ee)]1/2(W − Ee)

dipende linearmente dall'energia dell'elettrone (tenuto conto delladipendenza della funzione di Fermi) e la retta interseca l'asse del-l'energia nel punto Ee = W . Questo modo di presentare i dati spe-rimentali è il gra�co di Fermi-Kurie. La misura della distribuzionevicino al valore Emax

e , detto end point della distribuzione, fornisce unmetodo per misurare la massa del neutrino. Nel capitolo successivoviene riportato il Kurie plot del 18F .

1.7. FLUORO-18 19

1.7 Fluoro-18

Come si vedrà in seguito, a causa del fatto che decade lentamente(circa 110 minuti), l'isotopo che si preferisce utilizzare in un'analisiPET è il 18F . Si vuole ora studiare il decadimento di tale isotopo aseguito dello studio fatto in precedenza per gli spettri beta. Il 18Fdecade emettendo positroni secondo la seguente reazione:

189 F −→ 18

8 O + β+ + ν

Il Q del decadimento risulta essere pari a:

Q = [m(189 F )−m(18

8 O)− 2me] c2 = 1.656MeV − 1.022MeV =

0.634MeV

dove si è indicata con m la massa atomica espressa in MeV. Il de-cadimento del �uoro-18 in ossigeno-18 con emissione di positroni èmostrato nella �gura seguente:

Figura 1.4: 189 F decade in 18

8 O con produzione di positroni. La linea verticale nelloschema di decadimento rappresenta 1.022 MeV di energia necessaria per il decadimentopositronico.

Poichè esiste una trascurabile energia cinetica del nucleo �glio (ener-gia di rinculo) O-18 si può dire che l'energia cinetica del positroneè massima nel momento in cui l'energia del neutrino è nulla. Lamassima energia cinetica per un positrone prodotto da 18F è 634keV. Si riporta qui di seguito il Kurie plot (�gura 1.6) del 18F percui il limite massimo di energia è di circa 634 keV.


Figura 1.5: Distribuzione impulso del positrone del 18F . L'esperimento per gra�carel'andamento di tale distribuzone è stato eseguito utilizzando uno spettrometro ma-gnetico dove l'impulso sull'asse delle ascisse è dato dal prodotto qBr rispettivamentela carica della particella, il campo magnetico e il raggio di curvatura della particellanello spettrometro. Il campo è scritto con H in Oersted e il raggio come ρ in cm.Sull'asse delle ordinate vengono posti i conteggi, ossia il numero di particelle per unitàdi impulso.Immagine tratta da J.P. Blaser, F.Boehm, P.Marmier, The Positron Decay of 18F ,Phys. Rev. 75.1953.

1.7. FLUORO-18 21

Figura 1.6: Kurie plot dello spettro positronico del 18F . Sull' asse delle ordinate

viene posto√

N(pe)

ε2F (Z,ε)con l'impulso calcolato in termini di campo magnetico come

descritto in precedenza. Per ε si intende il rapporto E+mec2

mec2dove E può essere al

massimo Emax = 0.634MeV come detto in precedenza. Sostituendo nella relazioneprecedente Emax si ottiene per ε il valore che ha quando la retta interseca l'asse

orizzontale. Infatti εmax = Emax+mec2

mec2= 0.634MeV+0.511MeV

0.511MeV= 2.24 che è compatibile

con quanto si vede in �gura.Immagine tratta da J.P. Blaser, F.Boehm, P.Marmier, The Positron Decay of 18F ,Phys. Rev. 75.1953.

Capitolo 2

L'atomo di Positronio Ps

2.1 Introduzione

Come è stato detto in precedenza, l'atomo di positronio Ps è un ato-mo idrogenoide costituito da uno stato legato elettrone-positrone. Ilpositronio è un sistema in cui le due particelle (elettrone e positro-ne) ruotano attorno ad un comune centro di massa. Tale stato hauna vita media di appena 10−10 secondi, trascorsi i quali si veri�cail fenomeno dell' annichilazione in cui le masse dell'elettrone e delpositrone si convertono in energia elettromagnetica e , quindi, infotoni γ. Il positronio nello stato fondamentale può assumere duecon�gurazioni in base ai diversi stati di spin S= 0, 1. Lo stato disingoletto (S=0) in cui in cui lo spin dell'elettrone e del positrone so-no antiparalleli, assume il nome di para-positronio (para-Ps) mentrelo stato di tripletto (S=1) assume il nome di orto-positronio (orto-Ps). Lo stato di spin ha un in�uenza sia sui livelli energetici siasui tempi di vita. Di seguito si andranno ad analizzare in dettagliole due con�gurazioni possibili dando maggior risalto alle ampiezzedi decadimento dalle quali si può determinare la con�gurazione piùprobabile.

2.2 Il parapositronio

A causa della conservazione del momento angolare e di rispettarel'invarianza CP, l' atomo di positronio, nello stato di spin S e mo-mento angolare orbitale L, si annichila in nγ raggi gamma secondola seguente regola di selezione:

(−1)nγ = (−1)L+S (2.1)

23

24 CAPITOLO 2. L'ATOMO DI POSITRONIO PS

Lo stato fondamentale (L = 0) di singoletto 1S0 può annichilireproducendo un numero pari di fotoni, mentre, lo stato fondamentaledi tripletto 3S1 annichila con un numero dispari di fotoni con nγ ≥ 3(in quanto per nγ = 1 non si conserva l'energia-impulso).

e+e− → γγ ⇒ (−1)nγ = (−1)0 ⇒ nγ pari per S = 0

e+e− → γγγ ⇒ (−1)nγ = (−1)1 ⇒ nγ dispari per S = 1

L'ampiezza di decadimento per il p-Ps nello stato fondamentale1S0 può essere calcolato come una serie in α, ovvero la costantedi accoppiamento.

Γtheory(p− Ps→ γγ)

h̄= [

meα5

2[1−

(5− π2

4

)α

π+ 2α2 ln

1

α+

+Bp

(απ

)2

− 3α3

2πln2 1

α+ O

(α3 ln

1

α

)]]−1

=1

(7989.42 + 0.043Bp)µs

(2.2)

Le correzioni O(α) e i termini logaritmici O(α2 ln2 α) sono statiottenuti solo recentemente (si veda [8,9] e [10]). Quello che è impor-tante da analizzare a questo punto è il termine Bp in quanto graziead esso è possibile paragonare i risultati ottenuti sperimentalmen-te con quelli teorici. Per poter utilizzare completamente i risultatisperimentali si sono calcolate le correzioni O(α2) del p-Ps [8]. Si èottenuto che la parte non-logaritmica di queste correzioni è piccola,perciò il coe�ciente Bp è

Bp = 5.1

e il calcolo teorico per il tempo di vita del p-Ps (parte dei terminicorrettivi logaritmici α3 in (2.2) è considerata come un errore diapprossimazione) diventa:

Γtheory(p− Ps)h̄

=1

7989.64µs = 1.25 · 10−10s = 0.125 ns (2.3)

2.3. L'ORTOPOSITRONIO 25

Confrontando il risultato precedente con quello sperimentale piùrecente [11], di cui se ne riporta il valore di seguito, si può notareun'eccellente compatibilità tra teoria ed esperimento.

Γexp(p− Ps)h̄

=1

7990.9µs = 1.25 · 10−10s = 0.125 ns (2.4)

Figura 2.1: Decadimento parapositronio con emissione di due fotoni

2.3 L'ortopositronio

Lo stato fondamentale dell'ortopositronio, 3S1 , può decadere uni-camente in un numero dispari di fotoni. La formula dell'ampiezzadi decadimento per tre fotoni è:

Γ(o− Ps→ γγγ)

h̄= [

2(π2 − 9)α6me

9π(1− 10.28661

α

π− α2

3ln

1

α

+Bo

(απ

)2

− 3α3

2πln2 1

α+O(α3 lnα))]−1

' 1

(7.0382 + 0.39 · 10−4Bo)µs

(2.5)

Una completa analisi teorica del decadimento dell' o-Ps è moltopiù di�cile rispetto al caso del p-Ps per via dello spazio delle fasidipendente da tre corpi e per una vasto numero di casi possibili.Gli e�etti non logaritmici al secondo ordine di α2 , parametrizzatida Bo, non sono ancora stati valutati tranne che nei casi seguenti.La valutazione dei coe�cienti Bo risulta essere necessario per po-ter unire e confrontare l'attendibilità dei risultati teorici con quellisperimentali.


Tabella 2.1: Alcuni risultati sperimentali. Con �sistema� nella seconda colonna siintende il mezzo attraversato nel decadimento dell'o-Ps. L'ultima colonna riporta ivalori del coe�ciente B0 mediante il quale è possibile confrontare lo studio teoricocon l'analisi sperimentale dei dati ottenuti. L'ultima riga sta proprio ad intenderel'espressione teorica con B0 = 0.

Referenze Sistema Γ(o-Ps) [ns] Bo

Londra [12] Gas 141.9 174

Mainz[13] Vuoto 142.2 -185

Ann Arbor [14] Gas 141.8 338

Ann Arbor [15] Vuoto 141.8 256

Tokyo [16] Polvere 142.0 41

Teoria senza α2 142.1 0

Figura 2.2: Decadimento ortopositronio con emissione di tre fotoni

Sperimentalmente, il tempo di vita dell' o-Ps è piuttosto facile damisurare rispetto a quello del p-Ps in quanto , il tempo di vita dell'o-Ps è 1000 volte superiore rispetto a quello del p-Ps. Si ricordi larelazione che lega l'ampiezza di decadimento Γ con il tempo di vitaτ :

Γ = h̄τ

2.4. RIASSUMENDO 27

2.4 Riassumendo

A conclusione di questo capitolo relativo alle diverse con�gurazionipossibili dell'atomo di positronio nei decadimenti, si vuole riassu-mere quanto ottenuto �nora. Come si è visto le vite medie dei duestati sono molto diverse : il para-Ps vive solo 0.12 ns, mentre l'orto-Ps vive 142 ns. Quando si parla di studiare il positronio, di normasi intende lo studio dell'orto-Ps, la cui vita media ne consente l'os-servazione in modo relativamente agevole. Quando il positrone el'elettrone combinano fra loro e annichilano, viene prodotta dellaradiazione elettromagnetica. Il positrone non annichila esattamentenel punto dove è stato prodotto, ma e�ettua un beve percorso,dettorange, durante il quale perde via via una parte della sua energia �noad arrivare all'annichilazione. La conservazione dell'energia e dellaquantità di moto proibisce la creazione di un solo fotone. Nel casopiù comune (probabilità del 99%), vengono creati due fotoni aven-ti ciascuno un'energia pari all'energia a riposo dell'elettrone o delpositrone (0.511 MeV). I raggi gamma prodotti sono due perché laquantità di moto della particella e la quantità di moto dell'antipar-ticella non possono andar perdute, �sicamente parlando. In pratica,la scomparsa della particella (elettrone) e della corrispettiva antipar-ticella (positrone) può esser considerata come la sovrapposizione diun'onda con un'altra onda avente le medesime caratteristiche dellaprecedente, ma sfasata di 90◦, il che porta all'elisione dell'onda,ossiaalla sua totale scomparsa. Si deve conservare quindi l'energia totaleposseduta dalla coppia di 1,022 MeV e quindi ognuno dei due raggiγ emergenti sarà di a 0.511 MeV (equivalente alla massa a riposodell'elettrone) e vengono emessi a 180◦ l'uno rispetto all'altro. Que-sta emissione di fotoni a 180◦ nello spazio è il fenomeno �sico cheviene sfruttato dai tomogra� PET per identi�care il punto di originedella radiazione, vale a dire la posizione del radiofarmaco all'internodell'organismo, e produrre in questo modo le immagini PET.


Figura 2.3: La radiazione di annichilazione susseguente all'emissione del positronedal nucleo (in questo caso 18

9 F ).Il positrone viaggia per una distanza �nita perdendoenergia �nchè non si lega con un elettrone generando due fotoni di energia pari a 511KeV che è proprio l'energia della massa a riposo di tali particelle.I due fotoni sonoanticollineari e questa proprietà usata per localizzare eventi nella PET

2.5 Annichilazione elettrone-positrone

In questa sezione si vuole sottolineare e chiarire i motivi per cuil'annichilazione elettrone-positrone avviene ad una energia cineticatotale (e quindi ad una velocità relativa) vicina allo zero. In questatrattazione è fondamentale il ruolo rivestito dalla sezione d'urto, laquale, per una interazione di particelle cariche è de�nita come lasuper�cie e�cace di interazione proporzionale alla probabilità cheessa avvenga. Si consideri uan reazione del tipo

a+ b −→ c+ d

con due particelle (a,b) nello stato iniziale e due (c,d) nello stato�nale. Nel caso particolare di urto elastico, (c,d) coincidono con(a,b). Se na è la densità (cm−3) di particelle incidenti, con velocitàvi relativa rispetto alle particelle bersaglio b, il �usso φ(cm−2s−1) diparticelle incidenti sul bersaglio è:

φ = navi

(Se si considera una sola particella a descritta da una funzione d'on-da ψ in moto con velocità vi, il �usso è dato da φ = vi |ψ|2, conunità dimensionali uguali a quelle della precedente equazione). Laprobabilità che si veri�chi nell'unità di tempo una interazione trauna delle particelle del fascio con una particelle del bersaglio è pro-prio P che dovrà dipendere da φ attraverso una grandezza che abbiale dimensioni di un'area:

2.5. ANNICHILAZIONE ELETTRONE-POSITRONE 29

P = σφ = σnavi [cm2][cm−3][cm · s−1]

Tale relazione permette di dedurre informazioni sulla grandezza Pnel caso sia possibile misurare la sezione d' urto sperimentalmente.Se il potenziale di interazione è noto (come nel caso delle interazionielettromagnetiche), la quantità P è teoricamente conosciuta. Lasezione d'urto di una particella incidente sul bersaglio è quindi:

σ =P

vi(2.6)

Nel caso dell'annichilazione elettrone-positrone con produzionedi una coppia di fotoni la sezione d'urto totale risulta essere pari a :

σT = πr2e

c

vrel(2.7)

dove re è il raggio classico dell'elettrone, c la velocità della luce evrel la velocità relativa tra le due particelle del processo di annichila-zione. Essendo σT inversamente proporzionale alla velocità relativae quindi all' impulso e all'energia tra le particelle si può concludereche ad energie elevate (o a velocità relativa elevata) la sezione d'ur-to totale è bassa, mentre, per energie vicine allo zero (o a velocitàrelativa nulla) la sezione d'urto risulta essere grande. In de�nitvala sezione d'urto decresce fortemente con l'aumentare dell'energia eviceversa. Il motivo per cui l'annichilazione elettrone-positrone av-venga ad un'energia totale (e quindi una velocità relativa) vicina allozero è spiegata proprio dalla relazione precedente e dall'inversa pro-porzionalità tra la velocità relativa e la sezione d'urto. Più piccolaè la velocità relativa, maggiore è la sezione d'urto e, di conseguenza,è maggiore la probabilità P che si veri�chi tale processo.

Capitolo 3

La tomogra�a PET

3.1 Breve storia della PET

Nel 1952 Gordon Brownell e i suoi collaboratori pensarono di ap-plicare queste scoperte all' Imaging cerebrale in medicina nucleare.L'idea era di sfruttare il segnale prodotto dall'incontro tra l'antima-teria del positrone e la materia dell'elettrone (annichilazione) cheproduce due fotoni di energia �ssa. Nel 1953 loro pubblicarono �Lo-calization of brain tumors with positron emitters� in Nucleonics XI,una descrizione del primo dispositivo a diagnostica per immaginipositronica usato per la rivelazione di dati tridimensionali del cer-vello. La prima �positron camera� nasce nel 1953 ma ci sarebberovoluti altri vent'anni per risolvere vari e complessi problemi tecnolo-gici: all'avanguardia in questo settore erano le università americanedella Washington University a St. Louis e della Ucla a Los Ange-les, dove Ed Ho�man e Michael Phelps riuscirono a sviluppare tuttele conoscenze di �sica nucleare per applicarle alla pratica clinica,e misero a punto la prima vera PET. Oggi la PET è diventato lostrumento di elezione per l'indagine oncologica, essendo in grado difornire informazioni di elevato valore prognostico ed esso è applicatoanche a diversi campi tra cui, oltre all' oncologia, la cardiologia e laneurologia.

3.2 Principio di funzionamento generale

Con l'esame PET si ottengono quindi mappe dei processi funzionaliall'interno del corpo. Esistono anche metodi di indagine alternativiper fare imaging nucleare, come ad esempio la tomogra�a assialecomputerizzata (TAC) o la risonanza amgnetica nucleare (NMR);ad ogni modo, mentre gli altri metodi di scansione come la TAC

31

32 CAPITOLO 3. LA TOMOGRAFIA PET

permettono di identi�care alterazioni nel corpo umano a livello or-ganico ed anatomico attraverso un processo di trasmissione di raggi,in quanto provenienti dall'esterno, le scansioni PET sono in gradodi rilevare alterazioni a livello biologico molecolare, attraverso l'usodi marcatori molecolari che presentano un diverso ritmo di assorbi-mento a seconda del tessuto interessato. Con una scansione PET èpossibile visualizzare e quanti�care con discreta precisione il cam-bio di a�usso sanguigno nelle varie strutture anatomiche (attraver-so la misurazione della concentrazione dell'emettitore di positroniiniettato). L'esame PET segue la seguente procedura: si inietta ilradiofarmaco più adatto per il processo biologico da studiare. Peresempio, nel caso di un tumore si usa il glucosio in quanto il tessutotumorale, rispetto al tessuto normale, è caratterizzato da un au-mentato metabolismo energetico: per produrre l'energia necessariaall'elevata velocità di riproduzione cellulare, consuma grandi quan-tità di glucosio che possono essere individuate con la PET. L'isotopopiù utilizzato è il �uoro-18 18F , un isotopo radioattivo arti�cialeche, incorporato alla molecola di glucosio, forma il �uorodesossiglu-cosio (18-FDG). D'altro lato il F-18 ha un tempo di vita di circadue ore e decade lentamente, perciò lo si preferisce agli altri pertali indagini diagnostiche. Questo composto appena prodotto vie-ne immediatamente iniettato nel paziente che, dopo circa 45 minuti(tempo necessario per la distribuzione nell'organismo), viene fat-to distendere su un lettino collegato alla PET per essere sottopostoall'indagine diagnostica. Gli atomi radioattivi del 18F , che sono par-ticolarmente concentrati nelle cellule tumorali, iniziano a decadereemettendo positroni secondo le reazioni β+ descritte in precedenza.I positroni emessi, dopo un cammino libero medio di pochi millime-tri, incontrano un elettrone di un altro atomo e danno origine aduna reazione di annichilazione, cioè si distruggono a vicenda emet-tendo energia sotto forma di due fotoni gamma emessi in direzioniopposte. Dette annichilazioni si producono diverse migliaia di volteal secondo nel corso dell'esame ed è questo che permette la PET. Lecoppie di raggi gamma di energia pari a 511 KeV, sono in grado difuoriuscire dal corpo del paziente e quindi possono essere facilmenterivelate. Così, grazie ad una serie di rivelatori disposti in circoloattorno al paziente, vengono registrati i fotoni gamma emessi du-rante le annichilazioni (il rilevamento viene acquisito solo quandosono raggiunti simultaneamente due rilevatori opposti in modo daattribuirne con ragionevole certezza l'origine ad un unico isotopo) esono trasformati in segnali elettrici.

3.3. I RADIONUCLIDI EMETTITORI DI POSITRONI 33

Figura 3.1: Schema processo di acquisizione PET

3.3 I radionuclidi emettitori di positroni

Un ruolo molto importante in un esame PET, come già preannun-ciato, è quello giocato dai radionuclidi emettitori di positroni. Il loroutilizzo in medicina nucleare è legato alla radiazione che viene pro-dotta dall'annichilazione fra elettrone e positrone che avviene dopoun certo percorso di materia (positron range R) rispetto al puntoesatto di emissione del positrone stesso. Questa radiazione compor-ta l'emissione di raggi γ ad alta energia (511 keV) che si dipartonodal punto di annichilazione con un angolo di 180◦ caratteristica chesta alla base del principio �sico della rivelazione adottata in tomo-gra�a mediante emissione di positroni (PET) di cui se ne parleràapprofonditamente nei capitoli successivi. I più comuni radioisotopiusati per la PET sono F-18, C-11, N-13, O-15 e Rb-82. Le proprietàdi questi isotopi sono mostrati nella tabella sottostante. Come sipuò notare la maggior parte dei radionuclidi (C-11, N-13, and O-15)ha un tempo di vita talmente breve da richiedere la preparazionein sito mediante un ciclotrone. Un' altra importante proprietà deiradioisotopi PET è il positron range. Esso si riferisce alla distan-za che il positrone può percorrere prima che si annichilisca con unelettrone. Il positron range dipende dall'energia cinetica del posi-trone e, per la maggior parte degli isotopi in medicina nucleare, ilrange è abbastanza piccolo in modo tale da non poter in�uenzare la


risoluzione dell'immagine prodotta in diagnostica.

Radionuclide β+fraction Emax [MeV] T1/2 [min] R [mm]

11C 0.99 0.96 20.4 0.28

18F 0.97 0.64 109.7 0.22

13N 1.00 1.19 9.96 0.45

15O 1.00 1.72 2.07 1.04

68Ga 0.89 1.90 68.3 1.35

82Rb 0.96 3.35 1.25 2.6

L'importanza di questi isotopi emettitori nel campo della diagno-stica nucleare viene mostrata nella seguente �gura in cui si mettonoin luce le varie applicazioni: dall' epilessia ai tumori al cervello �noad arrivare al morbo di Parkinson ed ischemia.

3.4. I RIVELATORI γ 35

Figura 3.2: Applicazioni di radioisotopi in imaging nucleare

3.4 I rivelatori γ

I moderni tomogra� PET sono costituiti da uno o più anelli cilin-drici di rivelatori posti attorno all'oggetto da osservare. I rivelatorisono costituiti da due blocchi. Il blocco anteriore racchiude in séscintillatori cristallini accoppiati ad una serie di tubi fotomoltiplica-tori (PMT). Il blocco posteriore è formato da un ampil�catore. Nelmomento in cui i fotoni da 511 KeV emessi dall' isotopo utilizza-to incidono sul cristallo, comportano una transizione degli elettronidalla banda di valenza alla banda di conduzione. Poichè nei cristallipuri il processo di diseccitazione, che vede il ritorno dell'elettronenella banda di valenza, è accompagnato dall'emissione di un fotoneche generalmente non è nel range del visibile, si inseriscono delleimpurezze nei cristalli, dette attivatori, che comportano la forma-zione di stati intermedi nella banda proibita presente tra quella divalenza e quella di conduzione. L'elettrone durante il processo didiseccitazione può così passare attraverso tali stati intermedi per ri-


tornare nella banda di valenza, e dal momento che l'energia di talistati è inferiore rispetto all'energia complessiva della banda proibita,la transizione dell'elettrone può dar luogo all'emissione di un fotonevisibile, utilizzabile per il processo di scintillazione. A questo puntoil fotomoltiplicatore può svolgere la sua funzione di rilevare la luceemessa dai cristalli scintillatori. Tale segnale di corrente poi puòessere ulteriormente ampli�cato e analizzato in elettronica.

Figura 3.3: Meccanismo di scintillazione dei cristalli

3.5 I fotomoltiplicatori PMT

Le parti principali che costituiscono un PMT sono: un involucroesterno, che ha il compito di mantenere il vuoto dentro il tubo (inmodo da consentire l'accelerazione di elettroni a bassa energia) e chepresenta dalla parte fotosensibile una �nestra (solitamente di vetro)trasparente alla luce dello scintillatore; un fotocatodo, composto dimateriale fotosensibile in grado di trasformare quanti più possibilifotoni di scintillazione in elettroni a bassa energia; una strutturadi accelerazione, moltiplicazione e raccolta degli elettroni prodotti

3.5. I FOTOMOLTIPLICATORI PMT 37

dal fotocatodo, costituita da più stadi (dinodi, che terminano in unanodo di raccolta), la quale ampli�ca la corrente elettronica a livelliutilizzabili negli stadi successivi di elaborazione del segnale. Nell'ul-timo step, l'energia posseduta dall'elettrone deve essere su�ciente-mente elevata per poter superare la barriera di potenziale presentenell'interfaccia tra il materiale del fotocatodo e il vuoto presente nel-la seconda parte del tubo fotomoltiplicatore; la condizione divuoto ènecessaria per agevolare l'accelerazione degli elettroni a bassa ener-gia verso i dinodi. Generalmente la barriera di potenziale �nitapresenta un valore di circa 3 eV / 4 eV per i metalli,ma può essereanche più bassa, circa 1.5 eV / 2 eV , per alcuni semiconduttori. Lapresenza della barriera di potenziale perciò impone un'energia mini-ma per i fotoni di luce incidenti, il che implica che tutti i fotocatodipresentino una soglia di cut-o� per la lunghezza d'onda (in genereinteressala porzione di spettro elettromagnetico del rosso/vicino in-frarosso). Perciò l'elettrone sfugge dalla super�cie del fotocatodo see solo se:

Eγ > W

dove W= barriera di potenziale o lavoro di estrazione. Un parametrospesso usato per misurare la sensibilità del fotocatodo è l'e�cienzaquantica (Quantum E�ciency, QE) data da:

QE = numero di fotoelettroni emessinumero di fotoni incidenti

Questo fattore è di circa del 20-30 %. L'e�cienza quantica quin-di dipende fortemente dall'energia del numero di fotoni incidenti.L'accelerazione del fotoelettrone a bassa energia che esce dal foto-catodo è ottenuta grazie all'applicazione di un'elevata di�erenza dipotenziale fra anodo e catodo, che viene distribuita fra i diversi stadidinodici tramite un partitore di tensione. L'elettrone così acceleratoacquista energia su�ciente a causare l'emissione di altri elettroni(secondari) nell'urto con il primo dinodo, che a loro volta vengonoaccelerati e moltiplicati lungo la catena dinodica con e�etto �valan-ga�. Alla �ne della moltiplicazione la corrente elettronica prodottaè raccolta nell'anodo. A questo punto è necessario utilizzare un pre-ampli�catore che svolga la funzione d'interfaccia tra il rivelatore edil resto della catena elettronica.


Figura 3.4: Struttura e funzionamento di un fotomoltiplicatore

3.6 Proprietà scintillatori

Le più importanti proprietà per gli scintillatori cristallini da utilizza-re nei rivelatori per la tomogra�a PET sono una buona risoluzionetemporale, un elevato potere d'arresto (stopping power) e un'altarisoluzione energetica. La risoluzione temporale è importante inquanto assicura che i raggi γ provengono sicuramente dallo stes-so evento di annichilazione (eventi in coincidenza) anzichè da dueeventi di annichilazione non legati tra loro. Il potere di arresto èimportante perchè garantisce una vasta e�cienza e perciò, per comeè stata de�nita in precedenza, sarà osservata un' elevata frazionedi eventi di annichilazione. Esso è caratterizzato dal coe�ciente diattenuazione lineare µ dei fotoni nell'attraversare il cristallo. L'atte-nuazione lineare di uno scintillatore dipende dalla densità (ρ) e dalnumero atomico e�cace (Zeff ). L'alta densità (e dunque un elevatocoe�ciente di attenuazione lineare) aumenta l'e�cienza dello stru-mento a parità di spessore del materiale utilizzato. Il Na(Tl) è stato

3.7. IL BLOCK DETECTOR 39

utilizzato nei primi sistemi PET, tuttavia la sua densità relativa-mente bassa e il lungo tempo di decadimento non lo rendono adattoalla rivelazione di raggi γ di annichilazione in coincidenza. Il BGO(ortogermanato di bismuto) è stato per molti anni il materiale diriferimento per la costruzione di sistemi PET, proprio grazie al suoelevato coe�ciente di attenuazione lineare (alta e�cienza) e alla suaelevata densità (alta frazione di interazioni per e�etto fotoelettrico a511 kev, pari al 44 %). Tuttavia la sua bassa resa luminosa e il lungotempo di decadimento ne limitano la risoluzione energetica (∼ 20%)e temporale. Il BGO è comunque ancora utilizzato in alcuni siste-mi commerciali. I più moderni sistemi PET oggi utilizzano LSO,LYSO e GSO rispettivamente (Ortosilicato di Lutezio, Ortosilica-to di Lutezio e Ittrio, Ortosilicato di Gadolinio). Questi materialipossiedono buone proprietà di attenuazione dei raggi γ da 511 keVe una elevata velocità di decadimento che, uniti all'adeguata resaluminosa, ne permettono l'utilizzo in sistemi ad alta e�cienza e altarisoluzione spaziale.

La tabella (3.1) riassume tutte le caratteristiche principali deimateriali più utilizzati nei sistemi PET

Cristallo Densitàρ(g/cm3)

µ a 511 keV(cm−1)

Resadi luce(%NaI)

Costante didecadimento(ns)

NaI(Tl) 3.67 0.34 100 230

BGO 7.13 0.95 21 300

LSO 7.4 0.88 68 40

LYSO 7.1 0.83 75 41

GSO 6.71 0.70 36 60

Tabella 3.1: Proprietà cristalli per rivelatori nell' esame PET.

3.7 Il Block detector

I rivelatori delle prime PET utilizzavano sistemi nei quali ogni sin-gola unità di rivelazione era associata ad un singolo fotomoltiplica-tore, limitandone la risoluzione spaziale e la sensibilità. Una talecon�gurazione era migliorabile combinando una riduzione dimensio-nale del singolo elemento di rivelazione a un aumento delle unità di


rivelazione, avendo come risultato sistemi più complessi e un impat-to economico non sostenibile. Gli sforzi si orientarono quindi sullapossibilità di associare più cristalli ad un singolo fotomoltiplicatore.L'obiettivo di aumentare l'e�cienza di rivelazione e la risoluzionespaziale diminuendo i costi di produzione è stato raggiunto con latecnica denominata Block Detector proposta da Casey e Nutt nel1980 [25]. Ogni elemento cristallino è largo qualche millimetro (ti-picamente 4-6 mm) e lungo da 2 a 3 cm. I cristalli saranno ac-coppiati al PMT che raccoglie e ampli�ca il segnale proveniente datali cristalli. L'esatta con�gurazione con cui si accoppiano cristallie fotomoltiplicatore è di�erente dal tipo di produzione, nella �gura(3.5) si mostra un esempio. Una delle soluzioni più usate è quellache prevede un blocco di BGO nella quale era ricavata una matrice8x8 di cristalli individuali, ottenuta mediante tagli tanto più pro-fondi quanto più prossimi al bordo del blocco e interfacciata a unamatrice 2x2 di fotomoltiplicatori.

Figura 3.5: Esempio di una con�gurazione block detector. Una matrice 8x8 di scin-tillatori cristallini è accoppiata con un set 2x2 di tubi fotomoltiplicatori. I segnali diuscita dei PMT sono usati per stabilire la posizione dell'evento all'interno della matricecristallina e determinare la sua energia

3.8. LA RIVELAZIONE DEGLI EVENTI 41

La luce prodotta dal singolo cristallo colpisce i quattro fotomol-tiplicatori in modo proporzionale alla loro collocazione all'internodel blocco. L'informazione sulla posizione viene ricavata sulla basedel segnale emesso da ognuno dei quattro fotomoltiplicatori con leequazioni (3.1) in cui A,B,C e D sono i rispettivi impulsi del segnaledei PMT.

X =B +D − (A+ C)

A+B + C +DY =

A+B − (C +D)

A+B + C +D(3.1)

Date le modalità costruttive del Block Detector, la risoluzionespaziale associata risulta strettamente correlata alla dimensione deicristalli. La somma dei segnali in uscita da tutti i PMT produce unimpulso, chiamato Z, che ha un'ampiezza direttamente proporziona-le all'intensità della luce prodotta nel cristallo. Viene cioè ottenutoun segnale Z=A+B+C+D , che fornisce una stima dell'energia to-tale del fotone. Un circuito di analisi dell'ampiezza del segnale Zpermette di rigettare tutti i segnali che non sono all'interno di unintervallo di energia prescelto dall'operatore. È in tal modo possi-bile eliminare parte delle radiazioni di�use per e�etto Compton, avalore più basso del normale, che avendo deviato dalla loro direzionedopo essere state emesse produrrebbero un degrado dell'immagine.Analogamente si possono scartare eventi che presentano un valore diZ troppo alto, dovuto alla interazione contemporanea di due o piùfotoni. Quindi le misure di energia vengono utilizzate per rigettarequei fotoni che hanno subito scattering nel paziente o nella cameraprima che vengano registrati. L'accuratezza con cui viene fatto ciòè relativa alla risoluzione in energia del sistema. La risoluzione inenergia, come detto in precedenza, dipende dal numero dei fotoniprodotti e conseguentemente dall' energia dei raggi gamma e daltipo di scintillatore cristallino utilizzato.

3.8 La rivelazione degli eventi

Idealmente nel rivelatore gli unici eventi che dovrebbero essere re-gistrati sono quelli associati all'annichilazione reale dei positroni.Quello che avviene, però, è che spesso vengono rilevati una serie dieventi indesiderati in coincidenza considerati eventi prompt. Talieventi determinano rumore e degradazione della risoluzione spazia-le e possono essere distinti in quattro categorie principali di cui sielencano di seguito le caratteristiche:


• Coincidenza vera: eventi associati alla rivelazione di due fo-toni emessi da una singola coppia elettrone-positrone. I duefotoni sono rivelati all' interno della �nestra spaziale e tempo-rale , cioè tra due coppie opposte di rivelatori. La condizione disimultaneità è tanto più accurata quanto più la �nestra tempo-rale è stretta (solitamente �ssata tra 5 e 10 ns). Allo stesso tem-po un'eccessiva riduzione dell'ampiezza della �nestra comportauna riduzione dell'e�cienza del sistema.

• Coincidenza con scattering Compton: si veri�ca quandouno o entrambi i fotoni interagiscono con il tessuto prima digiungere al rivelatore subendo scatter Compton. L' interazio-ne Compton determina perdita di energia e cambio di direzio-ne e ciò produce una localizzazione errata dell'annichilazione,una diminuzione del contrasto e una inaccurata quanti�cazionedell'immagine �nale.

• Coincidenza casuale: quando due fotoni rivelati in coin-cidenza non derivano dall'annichilazione di un solo positronema, ad esempio, da due diversi eventi di annichilazione. Ciò èfonte di rumore e alterano molto le acquisizione dei tomogra�PET. Un modo per ridurre gli eventi di tipo random è quellodi diminuire la durata della �nestra temporale di coincidenza.

• Eventi multipli: hanno origini analoghe a quelle degli eventicasuali. Vengono rivelati tre fotoni appartenenti a due diverseannichilazioni nella stessa �nestra di coincidenza. Anche questacon�gurazione determina ambiguità nella collocazione spazialedell'evento, che normalmente viene scartato.

La risposta di un tomografo PET può essere espressa come som-ma di tali eventi suddetti. Ossia:

P = T +R + S

dove le tre componenti rappresentano rispettivamente le coincidenzevere (trues T ), casuali (random R) e di�use (scatter S ).

3.9. COINCIDENZA VERA 43

Figura 3.6: Diversi tipi di coincidenza rivelati da uno scanner PET: A) Coincidenzavera; B) Coincidenza di�usa; C) Coincidenza casuale; D) Coincidenza multipla.

3.9 Coincidenza vera

3.9.1 LOR e risoluzione temporale

Quando un evento di coincidenza vera viene rilevato, per come è sta-ta de�nita, si avrà che due fotoni sono emessi in direzioni opposte.La tecnica di coincidenza richiede che, a seguito della rivelazione deifotoni incidenti, i rivelatori generino impulsi temporali da analizza-re in un circuito di coincidenza, dove un evento è rivelato se dueimpulsi, appartenenti a due diversi rivelatori, cadono in una piccola�nestra temporale (�nestra di coincidenza) che è dell'ordine dei 10ns. Perciò i punti in cui essi intersecano l'anello di rivelatori PETsaranno gli estremi della retta percorsa dal loro moto. Tale rettaè chiamata line of response (LOR). La sorgente che ha generato lacoincidenza si troverà in un punto di tale retta. Una volta identi�-cata la LOR, l'evento sarà sommato a quelli già acquisiti per quellaparticolare linea di risposta e la somma ottenuta sarà registrata nel-


la memoria del sistema. Il valore �nale degli eventi acquisiti peruna LOR è quindi legato all'attività del radionuclide presente lungola linea. L'informazione clinica di un tomografo PET dipende dal-la probabilità che entrambi i fotoni associati all'annichilazione delpositronio non subiscano interazione lungo la rispettiva LoR �no alpunto di rivelazione. La probabilità che fotoni da 511 keV attraversi-no il corpo senza subire scatter è generalmente alta, l'annichilazionedi un positrone può essere localizzata dalla rivelazione dei due foto-ni correlati alle estremità opposte della rispettiva LoR. Nella PETil metodo di rivelazione dei fotoni prende il nome di condizione disimultaneità degli eventi. Viene considerata una �nestra tempora-le per la rivelazione degli eventi, indicativamente inferiore ai 15 ns,intervallo di tempo nel quale avviene la scintillazione e che tieneconto di eventuali ritardi dell'elettronica del sistema. Una rappre-sentazione schematica della rivelazione degli eventi in condizione disimultaneità da parte di due rivelatori è descritta dalla �gura (3.7).L'interazione dei fotoni con i cristalli scintillatori opposti generasegnali luminosi i quali sono convertiti e ampli�cati dai rispettivifotomoltiplicatori che a loro volta generano gli impulsi di segnale VAe VB. Al superamento della soglia VT i pulse generator generano,appunto, un impulso per i gate-pulse generator i quali a loro voltaassociano ai singoli eventi rivelati agli istanti t1 e t2 una durata delsegnale pari a |t2 − t1|. Così i segnali li campionati separatamentesono confrontati dalla logic unit che li accetta considerandoli even-ti veri, solo se risultano temporalmente sovrapponibili, ovvero se∆t = t2 − t1 ≤ 2τ . Se ∆t = t2 − t1 > 2τ , gli eventi non sono consi-derati in coincidenza e non sono registrati dal sistema. Si noti comele ampiezze di segnale VA e VB, corrispondenti alla coppia di fotonigenerata dallo stesso evento di annichilazione, potrebbero non esserele stesse. Questa di�erenza, che dipende dalla di�erente frazione dienergia ceduta al sistema di rivelazione, determina il superamentodella soglia e la generazione del gate non in contemporanea. Inoltrel'utilizzo di rivelatori di ultima generazione come LSO e GSO, carat-terizzati da un tempo di decadimento indicativamente inferiore diun'ordine di grandezza rispetto agli storici NaI(Tl) e BGO, consentel'utilizzo del ∆t per la valutazione del Time of Flight(ToF), utiliz-zato per ottimizzare le acquisizioni. In generale, la registrazione diun evento vero richiede alla coppia di fotoni rivelati l'appartenenzaalla �nestra temporale di coincidenza, il superamento della sogliaenergetica da parte di entrambi.

3.9. COINCIDENZA VERA 45

Figura 3.7: Schema di rivelazione in coincidenza dei fotoni di annichilazione. I rive-latori di raggi sono localizzati alle estremità opposte della LoR sulla quale avvienel'annichilazione. L'evento viene registrato se i fotoni vengono rivelati all'interno della�nestra temporale di coincidenza. Se gli eventi sono registrati al di fuori della �nestratemporale di coincidenza o se viene rivelato un solo fotone, il sistema scarta l'evento.

Si riporta qui di seguito la distribuzione temporale ottenuta perdue cristalli LYSO accoppiati a due fotomoltiplicatori al Silico. Ingenerale l'impulso in uscita dall' ampli�catore può avere tempi disalita molto variabili a causa della variabilità del tempo di raccoltadella carica nel rivelatore. Più il tempo di salita del segnale inuscita dall'ampli�catore è elevato, tanto più l'ampiezza del segnalein uscita diminuisce e contemporaneamente si allunga la �nestratemporale entro la quale viene e�ettuato il conteggio degli eventi dicoincidenza. L'allargamento della �nestra temporale di coincidenzadetermina, di conseguenza, un aumento di fondo di conteggio deglieventi da parte dei circuiti. E' questo il motivo principale per cui siusa una risoluzione temporale piccola.


Figura 3.8: Risoluzione temporale in coincidenza di due fotomoltiplicatori al Silicioaccoppiati a due cristalli LYSO. La risoluzione temporale ottenuta dal �t della distri-buzione Gaussiana, è 1.41 ns FWHM. Con FWHM si intende la larghezza della distri-buzione data dalla di�erenza fra i valori assunti dalla variabile indipendente quandola variabile dipendente è pari a metà del suo valore massimo.

3.10 Time of Flight TOF-PET

Nelle PET convenzionali è possibile solo conoscere la linea LOR lun-go la quale è avvenuta l'annichilazione, ma non l'esatto punto in cuiè avvenuta. Ogni punto della linea avrà dunque uguale probabili-tà di aver generato tale evento. Un possibile modo per conoscerecon maggiore precisione la posizione del punto di annichilazione èquello di misurare la di�erenza temporale fra l'avvenuta rivelazionedei due γ nei rispettivi rivelatori. Mentre se per un'annichilazioneche avviene al centro di un tomografo i due γ vengono rivelati si-multaneamente, per una che avviene a 15 cm di distanza dal centrosi veri�ca una di�erenza temporale fra le due rivelazioni di circa 1ns. Una buona risoluzione temporale dello scanner PET, oltre a ri-durre il numero di coincidenza casuali, può anche essere usata perstimare il punto di annichilazione tra i due rivelatori analizzandola di�erenza temporale di arrivo dei due fotoni. E' per questo cheè necessario usare uno scintillatore molto veloce. Nella �gura (3.8)con P si indica il punto di annichilazione posto a distanza d1 dal-l'esatto punto medio tra i due rivelatori. La distanza di uno deidue rivelatori dal punto medio è pari a d. Un fotone che si muovelungo PA percorrerà una distanza pari a d − d1, mentre l' oppostofotone percorrerà una distanza totale pari a d+ d1 lungo PB prima

3.10. TIME OF FLIGHT TOF-PET 47

che giunga sul rivelatore B. Perciò un fotone percorrerà una distan-za extra (d + d1) − (d − d1) = 2d1 rispetto all'altro. I rivelatori incoincidenza possono essere usati per misurare la di�erenza di arrivonel tempo (δt) dei due fotoni. Usando la velocità della luce c per lavelocità dei due fotoni, d1 può essere calcolata dalla formula:

2d1 = cδt

Allo scopo di ottenere una buona stima per d1,tuttavia è necessariauna misura accurata di δt che in genere risulta essere tale per rive-latori abbastanza veloci con una buona risoluzione temporale. Adesempio con una risoluzione temporale di 500 ps è possibile misu-rare il punto di annichilazione del positrone con una precisione di7.5 cm, Tale tecnica è detta PET �a tempo di volo� o piu comune-mente time of �ight PET o TOF-PET. Nelle PET standard taledi�erenza temporale è solitamente risolta con una precisione di qual-che nanosecondo, non su�ciente a e�ettuare la misura del tempo divolo. In alcune PET piu recenti, con l'uso di scintillatori di bre-ve tempo di decadimento (come LSO, LYSO o LaBR3) e attraversoun'accurata progettazione dell'elettronica di processamento e acqui-sizione, è invece possibile raggiungere le precisioni richieste per laTOF-PET. Con l'utilizzo di quest'ultima, più che un miglioramentodella risoluzione spaziale comunque apprezzabile, l'e�etto sulla qua-lità dell'immagine è rappresentato dal miglioramento del rapportosegnale-rumore. Di fatto, ciò risulta equivalente a un aumennto dellasensibilità dello strumento.

Figura 3.9: Misura del tempo di volo.Con P si indica il punto d'annichilazione da cuii due fotoni sono generati.


3.11 Risoluzione energetica

Un' altra proprietà molto importante per i cristalli scintillatori è larisoluzione energetica. Quello che è necessario fare è ottenere spettriche forniscano informazioni sulla distribuzione energetica della ra-diazione incidente proveniente dalle diverse posizioni. A tale scoporisulta fondamentale avere una buona risoluzione energetica, ossiaottenere uno spettro energetico con un picco che sia il più strettopossibile, il che sta ad indicare che particelle della radiazione inci-dente con la medesima energia vengono registrate tutte in un canaleenergetico ben preciso. Purtroppo i rivelatori, non essendo ideali,non possiedono una risoluzione in�nita, il che implica che il pic-co dello spettro presenta un certo allargamento come mostrato inFigura (3.10). I parametri che sono strettamente legati al rumo-re elettronico e statistico, e che quindi in�uiscono sulla risoluzioneenergetica, sono lo shaping time (tempo di formazione dell'impulso)e la tensione fornita ai fotomoltiplicatori.

Figura 3.10: Picco dello spettro energetico per una buona o cattiva risoluzione.

3.11. RISOLUZIONE ENERGETICA 49

La risoluzione energetica è in�uenzata anche dal rumore statisti-co. Questo deriva dal fatto che la carica Q generata all'interno delrivelatore, non è una variabile continua, ma è un numero discretodi portatori di carica. Dal momento che il processo di formazionedei portatori di carica è un processo statistico, è possibile utilizza-re la statistica di Poisson per de�nire la risoluzione energetica. SeN è il numero complessivo di portatori di carica generati in media,le �uttuazioni statistiche su N saranno date dalla deviazione stan-dard σ =

√N , mentre l'ampiezza media dell'impulso risulta pari ad

HO = KN dove K è una costante di proporzionalità. Poichè si hache:

σH = K√N

e

FWHM = 2.35σH = 2.35K√N

la risoluzione energetica avrà come limite massimo:

R = FWHMH0

= 2.35K√N

KN= 2.35√

N

da cui si evince che il valore di R dipende dal numero di portatori dicarica N. Si riporta qui di seguito l'esempio dello spettro di energiadi un anello cristallino di BGO per l'isotopo Germanio-68.

Figura 3.11: Spettro energetico di coincidenze vere di un anello di cristalli BGO per ilGe-68 in aria. Lo spettro è stato ottenuto ponendo la�nestra energetica di un fotonetra 100-800 keV.


3.12 Acquisizione delle immagini

Come già introdotto in precedenza, quando un evento di coincidenzavera, per come è stata de�nita, viene rilevato si avrà che due fotonisono emessi in direzioni opposte. La tecnica di coincidenza richiedeche, a seguito della rivelazione dei fotoni incidenti, i rivelatori gene-rino impulsi temporali da analizzare in un circuito di coincidenza,dove un evento è rivelato se due impulsi, appartenenti a due diversirivelatori, cadono in una piccola �nestra temporale di coincidenzache è dell'ordine dei 10 ns. Perciò i punti in cui essi intersecano l'a-nello di rivelatori PET saranno gli estremi della retta LOR percorsadal loro moto. Ogni linea di volo rappresenta una linea che collegai punti di interazione e lungo la quale si suppone essere avvenutal'emissione.

Figura 3.12: Schematizzazione analisi PET con linea LOR

3.12.1 Il sinogramma

Si consideri un sistema PET caratterizzato da rivelatori in un anello,con lo scopo di analizzare un oggetto radioattivo con una densità didistribuzione bidimensionale chiamata f(x, y). L'insieme dei dati,che consiste nella rivelazione di coppie di fotoni prodotte dall'anni-chilazione, solitamente viene raccolto in una matrice bidimensionale,in cui ogni elemento corrisponde al numero di eventi registrati dauna particolare coppia di rivelatori (o lungo una speci�ca linea dirisposta). Le LOR possono essere organizzate in un insieme di proie-zioni (da 0 ≤ φ ≤ 2π) che caratterizza una funzione bidimensionaledi s e φ chiamata sinogramma. La relazione che lega tali elementi(s, φ) della matrice di raccolta dati alla radioattività dell'oggettoposto in (x,y) è data da:

3.12. ACQUISIZIONE DELLE IMMAGINI 51

r = x cosφ+ y sinφ

Tale sinogramma è chiamato in questo modo in quanto un punto�ssato dell'oggetto preso in considerazione traccia un segnale sinu-soidale dato dall'equazione precedente come mostrato in �gura. Unsinogramma per un generico oggetto sarà la sovrapposizione di tuttele sinusoidi corrispondenti ad ogni punto d'attività nell'oggetto

Figura 3.13: Una proiezione, p(s, φ), è formata dall'integrazione lungo tutte le lineeparallele LOR ad un angolo φ. Le proiezioni sono organizzate in un sinogramma inmodo che ogni riga rappresenta la completa proiezione dell'attività ad un particolareφ. In questa rappresentazione, un singolo punto in f(x,y) traccia una sinusoide nelsinogramma

Consideriamo per esempio il caso in �gura (3.14). Qui sono stateevidenziate quattro LOR (A, B, C e D) che attraversano la regionedi interesse. Le quattro LOR sono poi gra�cate in un sinogrammadove l'angolo di orientazione (0◦ nel caso della LOR segnata conA) è posto sulle ordinate, e la più piccola distanza tra la LOR e ilcentro dell'anello del rivelatore sull'asse delle ascisse. Le altre treLOR sono gra�cate con una di�erente distanza e angolo come si ve-de in �gura 3.14A. Questi punti sono inoltre posti nel sinogrammache raccoglie i dati in modo matriciale. Ogni coppia rivelata (quindiogni LOR) corrisponde ad un particolare bin nel sinogramma checome detto dipende dalla distanza radiale e dall'orientazione ango-lare. Ogni evento in coincidenza selezionato e memorizzato,aumentadi una unità il valore all'interno del singolo bin di coordinate (s, φ)appartenente al sinogramma. In altre parole, ogni punto del sino-gramma (bin) rappresenta la somma degli eventi rivelati da unacoppia opposta di rivelatori e ogni riga rappresenta gli eventi lungoLoR parallele.


Figura 3.14: Formazione del sinogramma.(A) Il centro dell'anello è segnato con unacroce X e la regione di interesse è disegnata come un'ellisse. Le 4 LOR che passanoattraverso la regione di interesse sono chiamate A, B, C e D. (B) Le 4 LOR sonogra�cate sul sinogramma dove l'angolo di orientazione è posto sulle ordinate, mentrela distanza tra la LOR e il centro dell'anello del rivelatore sull'asse delle ascisse

3.12.2 Acquisizione 2D e 3D

La PET è intrinsecamente una modalità di imaging 3D ma che puòlavorare in modalità di acquisizione sia bidimensionale che tridimen-sionale. Nel metodo di acquisizione bidimensionale o 2D in PET,setti in piombo di circa un millimetro di spessore posti tra i pianidividono la camera in una serie di anelli assiali e le coincidenze sonopermesse solo tra coppie di cristalli appartenenti allo stesso anellooppure ad anelli adiacenti o primi vicini. Lo scopo dell'inserimentodei setti è limitare le coincidenze da radiazione di�usa, le coincidenzecasuali e non sono ammesse coincidenze tra rivelatori appartenentiad anelli diversi. In de�nitiva, quindi, con l'acquisizione PET in2D vengono acquisiti dati solo per linee LOR appartenenti a pianiperpendicolari allo scanner o all'asse del paziente, chiamati �directplanes� come in �gura 3.15. Si parla di PET 3D invece quando i da-ti acquisiti non vengono organizzati in una serie di sezioni parallelebidimensionali, poichè i setti vengono eliminati e si accettano coinci-denze anche tra anelli molto distanti tra loro. Il vantaggio principaledi un sistema 3D rispetto al 2D è un aumento in e�cienza da 4 a6 volte, dovuto sia all'eliminazione dei setti che all'aumento del nu-mero di coincidenze accettate. La modalità 3D comporta quindi unmaggior numero di eventi rari rivelati ma di contro anche una mag-giore frazione di eventi casuali e di�usi nelle coincidenze acquisite.Nella modalità 3D si possono acquisire sia le LORs dirette (�directplanes�) che le LORs oblique che tagliano le LORs dirette come in�gura 3.15. La modalità 3D, dato il maggior numero di linee di

3.13. RICOSTRUZIONE DELLE IMMAGINI 53

risposta che è possibile acquisire, comporta, rispetto all'acquisizio-ne in 2D, un notevole guadagno in sensibilità per lo scanner PET.Tuttavia, con questa tecnica anche la quantità di eventi in coinci-denza random e scattered registrati aumenta considerevolmente eciò implica un signi�cativo peggioramento della qualità delle imma-gini PET; è questo il pricipale limite all'utilizzo degli scanners PETesclusivamente in modalità 3D.

Figura 3.15: Confronto tra acqusizione 2D e 3D per uno scanner PET. Nella modalità2D lo scanner può raccogliere solo LORs dirette e trasversali appartenenti ad anelliadiacenti o primi vicini. In modalità 3D lo scanner acquisisce la maggior parte delleLORs comprese quelle oblique.

3.13 Ricostruzione delle immagini

L'obiettivo della ricostruzione delle immagini è quello di recupera-re la distribuzione del radiofarmaco partendo dal sinogramma. Perfare ciò vengono utilizzati algoritmi matematici che permettono laricostruzione della distribuzione spaziale della radioattività e con-sentono di produrre le immagini. Gli algoritmi matematici per la ri-costruzione delle immagini possono essere principalmente classi�catiin due tipologie: algoritmi analitici e algoritmi iterativi.

3.13.1 Algoritmi analitici

L'algoritmo analitico più comunemente utilizzato è la retroproie-zione �ltrata o FBP (Filtered Back Projection). Le caratteristicheprincipali del successo di questa tecnica sono la semplicità di im-plementazione e l'elevata e�cienza dal punto di vista computazio-


nale, per contro l'FBP non è ottimale quando si devono ricostruiredati di bassa statistica. Come detto in precedenza l'ampiezza delsinogramma è:

p(s, φ) =∫ +∞−∞ f(x, y)dL

ossia la proiezione di f(x, y) (o p(s, φ) in coordinate polari) lungo leL linee LORs. L'obiettivo di tale processo è di risalire a f(x, y) noteche siano un certo numero di sue proiezioni p(s, φ) tramite, appunto,una operazione che prende il nome di retroproiezione. Come il no-me stesso suggerisce, l'algoritmo di retroproiezione �ltrata consistein due fasi distinte: una fase di �ltrazione, e una fase di retroproie-zione. Analizzeremo ora separatamente i due blocchi di questo al-goritmo partendo dalla fase di retroproiezione (backprojection BP).Si consideri un oggetto rettangolare, come mostrato in �gura 3.16, esi supponga di averne eseguito due proiezioni, a 0◦ e 90◦. Ciascunaproiezione è un pro�lo unidimensionale, corrispondente ad una rigadel sinogramma. Si supponga ora di rendere bidimensionale ognunodi questi pro�li, retroproiettandoli su un piano. Per ogni pro�lo siotterrà una immagine intermedia (strisce chiare in �gura 3.16).

Figura 3.16: Esempio di retroproiezione nel caso di un semplice oggetto rettangolare.(Sinistra) L'acquisizione di due viste angolari dell'oggetto, a 0◦ e 90◦, produce i duepro�li indicati dalle frecce. (Destra) I due pro�li sono retroproiettati sul piano del-l'immagine, ciascuno con il suo angolo di acquisizione, per formare una ricostruzioneapprossimata dell'oggetto originale.

Un altro esempio, più complesso, è quello riportato in �gura 3.17,di un oggetto costituito da due cerchi non concentrici di diversaluminosità. Come è possibile vedere dalla �gura, eseguendo la re-troproiezione di un numero crescente di viste angolari, si otterràun'immagine sempre più simile a quella dell'oggetto di partenza. Sesi utilizza un numero troppo basso di angoli, si ottiene un'immaginedi scarsa qualità. Nonostante ciò, la forma dell'oggetto originale ri-sulta già distinguibile con soli 4 angoli di vista. Utilizzando 10 angoliil risultato migliora, ma è ancora visibile il caratteristico artefatto


stellato, tipico della retroproiezione. Con 45 angoli l'artefatto stel-lato è scomparso, e si distingue chiaramente la forma dell'oggettooriginale. Tuttavia, l'immagine risulta visibilmente sfocata ciò èdovuto all'assenza della fase di �ltrazione.

Figura 3.17: Ricostruzione tomogra�ca mediante retroproiezione (BP), eseguita a par-tire da dati simulati. Se si utilizza un numero troppo basso di viste angolari (ovvero dirighe del sinogramma) si ottiene un'immagine di scarsa qualità. Nonostante ciò, la for-ma dell'oggetto originale risulta già vagamente distinguibile con soli 4 angoli di vista.Utilizzando 10 angoli il risultato migliora, ma è ancora visibile il caratteristico artefat-to stellato, tipico della retroproiezione. Con 45 angoli l'artefatto stellato `e scomparso,e si distingue chiaramente la forma dell'oggetto originale. Tuttavia, l'immagine risultavisibilmente sfocata: ciò è dovuto all'assenza della fase di �ltrazione.

La �gura 3.18 mostra un esempio di ricostruzione analogo a quellodi �gura 3.17, ma in cui il sinogramma è stato correttamente �ltratoprima della retroproiezione. Nella fase di �ltrazione, i dati del sino-gramma vengono elaborati nel dominio delle frequenze con un �ltroa rampa, che ha l'e�etto di ripristinare le alte frequenze spaziali ri-mosse dalla retroproiezione. Nella fase di retroproiezione, ciascunariga del sinogramma �ltrato viene dapprima resa bidimensionale,formando così una immagine intermedia; tale immagine viene suc-cessivamente ruotata di un angolo pari all'angolo di acquisizionedella corrispondente riga del sinogramma. Sovrapponendo tutte leimmagini intermedie così ottenute, ciascuna relativa ad una diversariga del sinogramma �ltrato, si ricava l'immagine tomogra�ca.


Figura 3.18: Ricostruzione tomogra�ca mediante retroproiezione �ltrata, eseguita apartire da dati simulati. L'applicazione del �ltro a rampa prima della retroproiezioneelimina la sfocatura nell'immagine ricostruita. L'artefatto stellato è sempre presente,ma diminuisce di intensità all'aumentare del numero di viste angolari retroproiettate.

3.13.2 Algoritmi iterativi

Per questo tipo di algoritmi i dati sono raccolti in matrici digitali chevengono analizzate ciclicamente. Così come per gli algoritmi anali-tici, lo scopo di utilizzo degli algoritmi iterativi è quello di ottenerel'immagine di una sezione in esame partendo dalla conoscenza dellesue proiezioni lungo varie direzioni. La sezione del corpo sotto esamepuò essere schematizzata come una funzione di due variabili f(x, y).Sovrapponiamo un griglia quadrata a questa funzione del piano, cheassume i valori di concentrazione di radiofarmaco per tale esame.Per ogni elemento della griglia di dimensione nxn (pixel) possiamosupporre che la funzione sia costante e denotiamo tale valore con fj.Analogamente, anche le proiezioni assumendo valori discreti, pos-sono essere rappresentate con un vettore con un numero totale dielementi pari al numero di punti per proiezione, solitamente ugualea n, per il numero di proiezioni. Chiamiano il vettore dei dati con gicon i=1,...M con M=n x N. Quindi una proiezione non è identi�catada un linea senza �spessore�, ma piuttosto da un piccola striscia. Ivalori del vettore proiezione possono essere associati all'oggetto conla seguente equazione:

∑Nj=1 aijfj = gi con i1, ...M


dove aij è un fattore che rappresenta il contributo della j-esima cellaall'i-esimo raggio. I fattori peso possono essere scritti come l'areacomune tra il raggio (striscia) e la cella. Si chiami A la matri-ce di elementi aij. Qui di seguito viene riportato un esempio dirappresentazione dell'oggetto e delle proiezioni:

Figura 3.19: Rappresentazione dell'oggetto e delle proiezioni

Dopo la scoperta della tomogra�a computerizzata, furono pro-poste varie tecniche iterative, tra le quali: ART (Algebraic Recon-struction Technique), SIRT (Simultaneous Iterative ReconstructionTechnique) ed ILST (Iterative Reconstruction Technique). Un gros-so ostacolo alla loro di�usione, come accennato in precedenza, è sicu-ramente rappresentato dalla lentezza degli algoritmi rispetto all'al-tra categoria di algoritmi, cioè la FBP. Il signi�cato dell'iterazione èquindi quello di minimizzare il vettore errore ε per stimare il vettoreoggetto f dei pixel dell'immagine noti i dati del sinogramma P e lamatrice di sistema A:

P = Af + ε

Si è interessati quindi a trovare il vettore f il quale è soluzione del-l'equazione g = Af . Il principio degli algoritmi iterativi è quellodi cercare la soluzione da successive stime. Le proiezioni corrispon-denti alle stime correnti sono confrontate con le proiezioni misurate.Il risultato del confronto è usato per modi�care la stima corrente,creando una nuova stima. Il processo è inizializzato creando una pri-ma stima, per esempio un'immagine uniforme inizializzata a 0 o a1. Si descriverà qui di seguito una tecnica di ricostruzione algebrica


(ART) con un esempio di algoritmo iterativo. Il processo iterativoè dato da:

fk+1j = fkj +

gi−∑Nj=1 f

kji

N

dove f (k)j e f (k+1)

j sono rispettivamente la stima corrente e la nuo-va stima; N è il numero di pixel lungo il raggio i, per la k-esimaiterazione; e gi sono le proiezioni misurate lungo il raggio i. Osser-vando l'equazione precedente, vediamo che la nuova stima è trovataaggiungendo un termine di correzione alla stima corrente e il me-todo di confronto consiste nel sottrarre le proiezioni stimate dalleproiezioni misurate. Come viene mostrato in �gura (3.20), questoalgoritmo è applicato ad un'immagine 2x2.

Figura 3.20: Algoritmo ART

In (A) vi è il problema da risolvere: cercare il valore di 4 pixel da-ti i valori di 6 bins. In (B) viene eseguito l'Algoritmo ART: vieneeseguita la di�erenza tra le proiezioni misurate e le proiezioni sti-mate e divisa dal numero di pixel. Il risultato viene aggiunto allastima corrente. In (C) viene eseguito il primo passo: immagine uni-forme inizializzata a 0 (prima stima) nella direzione verticale, vieneapplicato l'algoritmo ART e modi�cati i valori dei pixel. Questo pro-cesso viene ripetuto per obliquo (D) e orizzontalmente (E). In (F)viene mostrata la soluzione che arriva dopo un'iterazione completa.La ricostruzione iterativa presenta vantaggi fondamentali rispettoalla FBP: è meno sensibile al rumore, consente la costruzione diun'immagine completa anche a partire da dati incompleti ed elimi-


na gli artefatti a stella. Gli svantaggi consistono in una maggiorecomplessità e lentezza di esecuzione.

Capitolo 4

Conclusioni

4.1 Considerazioni generali sull'uso della PET

Come è già stato accennato nei paragra� precedenti la PET è unatecnica di imaging molecolare capace cioè indagare l'organismo dalpunto di vista delle molecole e del loro metabolismo a livello di cel-lule e tessuti. Questa caratteristica le permette di visualizzare ecaratterizzare organi e tessuti da un punto di vista biologico e fun-zionale e rappresenta la principale di�erenza fra la PET e le altretecniche di imaging come ad esempio la tomogra�a computerizza-ta (TC), l'ecogra�a o la risonanza magnetica (RM),le quali inveceindagano tessuti e organi da un punto di vista anatomico. Oggi laPet è lo strumento di elezione per l'indagine oncologica, essendo ingrado di fornire informazioni di elevato valore prognostico. Un pro-gresso fondamentale fu raggiunto con il cosiddetto modello del Fdg(�uorodesossiglucosio): la tecnica, sviluppata in Usa trent'anni fada Luis Sokolo�, impiega un tracciante che va ad accumularsi nellezone con più elevato metabolismo, come sono appunto le zone tumo-rali. L'accoppiamento Pet-Fdg si è rivelato prezioso per visualizzaretumori primari e metastasi, valutare gli e�etti della chemioterapiae veri�care il processo di cura: oggi il 90% degli esami Pet sonodedicati infatti a questo tipo di indagine. Il successo della PET èquindi legato alla sua grande sensibilità: con questo strumento sonosu�cienti quantità minime di sostanza, appena qualche nanogram-mo, laddove altre tecniche richiedono microgrammi o milligrammi.Ciò signi�ca che non solo non si corrono rischi di tossicità, ma nonsi rischia neppure di in�uire sullo stato del paziente: in altre parole,ciò che viene visualizzato non è e�etto del farmaco, ma corrispondee�ettivamente alla reale funzionalità �siologica. La Pet è anche unostrumento molto versatile, in quanto viene utilizzato in vari cam-pi come l'oncologia,la cardiologia e per malattie come Alzheimer o

61

62 CAPITOLO 4. CONCLUSIONI

Parkinson. Un limite legato alla �sica della PET riguarda la ri-soluzione che, seppur notevolmente migliorata nelle macchine piùrecenti, rimane peggiore rispetto a tecniche come TAC e RM, daqui nasce anche l'idea di creare i tomogra� ibridi. Sicuramente pas-si avanti sono già stati fatti ed altri potranno essercene soprattuttoper l'introduzione di nuovi materiali per i cristalli rivelatori. Inoltrenon bisogna sottovalutare l'aspetto tecnologico ed economico, infat-ti dietro a questa tecnica di imaging ci sono macchinari so�sticatie costosi, che necessitano di strutture ampie ed adeguate, perso-nale altamente specializzato e assistenza continua, con un costo digestione ed utilizzo che non sono alla portata di tutti e fanno inevi-tabilmente da freno alla di�usione di questa tecnologia. La di�coltàpiù signi�cativa riguarda la scelta e realizzazione di un radiofarmacoad uso diagnostico. Bisogna innanzitutto individuare un processobiologico la cui misurazione dia informazioni signi�cative e bisognapoi trovare una molecola in grado di interagire con questo sistemasenza alterarlo, quindi somministrarlo in dose tracciante. E' neces-sario assicurarsi che la molecola sia selettiva, infatti se questa oltread interagire con il target primario è in grado di interagire con altritarget secondari appare evidente che essa non potrà aspirare ad es-sere un possibile tracciante. Bisogna inoltre considerare la cineticae il metabolismo di questa molecola che devono essere tali da garan-tire un segnale interpretabile e misurabile. Tuttavia nel campo diimaging nucleare l'esame PET risulta essere il più utilizzato soprat-tutto per via della sua elevata sensibilità il che permette l'utilizzo diradiofarmaci β+ emittenti in piccolissime quantità, si usa infatti iltermine di dose tracciante. Per dose tracciante si intende quindi undosaggio su�cientemente piccolo (micro o nano moli) da permet-tere di �tracciare� il processo biologico di interesse senza tuttaviaperturbarlo, cioè senza indurre alcun e�etto farmacologico capacedi alterare lo stato basale del processo in questione.

4.2 Possibili rischi

Dal punto di vista dei rischi in cui potrebbe incappare il pazienteche si deve sottoporre ad un esame PET non si riscontrano grandie�etti collaterali. La PET non è invasiva ma espone a radiazioniionizzanti che però non vanno ad alterare il corpo umano. I limiti didose per esposizione a radiazioni, secondo l' I.C.R.P. (InterantionalCommission on Radiation Protection), è sostanzialmente attorno ai23�26 mSv (per una persona di 70 kg, la dose è più alta per corpi dimaggiore peso). L'esame PET generalmente sottopone il paziente ad

4.2. POSSIBILI RISCHI 63

un'esposizione di radiazioni tra i 5 e i 7 mSv, il che giusti�ca l'utilizzodella tomogra�a PET per qualsiasi essere umano ad esclusione didonne incinte la cui esposizione radioattiva potrebbe causare dannial feto. Con questo tipo di indagine ci si limita a somministrare unradiofarmaco, praticamente privo di e�etti collaterali, generalmentetramite una semplice iniezione endovenosa.Pur essendo il compostosomministrato radioattivo, la quantità di radioattività è modesta e si�spegne� in tempi relativamente rapidi. L'assenza di rischi in questotipo di esame ne motiva l'utilizzo principale nel campo dell'imagingmedica nucleare applicabile, come detto in precedenza, a diversicampi medici.

64 CAPITOLO 4. CONCLUSIONI

Ri�essioni personali

Uno dei motivi che mi ha spinto ad intraprendere questo appassio-nante e interessante percorso è proprio l'eleganza con cui la �sica simette al servizio dell'umanità mediante apparecchiature tecnologi-che di uso comune quali, per esempio, la PET. Nel mondo modernosono molti i detrattori e gli scettici nei confronti degli sviluppi inambito scienti�co. Agli esperti vengono spesso imputate le grossespese nella realizzazione di progetti che sembrano lontani dalla gentecomune e non aventi una proiezione nella vita quotidiana. La PETè uno dei tanti esempi che mostrano la perfetta unione tra ricerca,sviluppo scienti�co e quotidianità. La �sica nucleare e subnucleareapplicata alla medicina, come in questo caso, permette di esamina-re, dare una valutazione e stabilire la presenza o l'entità di celluletumorali nel nostro corpo, e perciò non vi è esempio migliore perdimostrare come la scienza si metta al servizio dell'uomo. Non èpossibile ignorare il ruolo fondamentale giocato dalla �sica e , più ingenerale, dalla scienza nella soluzione di problemi che possono coin-volgere ognuno di noi a partire dalla presenza o meno di carcinomanel nostro corpo �no ad arrivare a danni dal punto di vista cerebra-le e neurologici. Questa è la risposta migliore a tutti coloro i qualiritengono che la spesa e l'impiego di risorse nel campo della ricercascienti�ca siano da considerare secondarie, inutili e non fruibili allagente comune. Già più di 500 anni fa la necessità di consocenza esviluppo scienti�co da parte dell'uomo vengono messi in risalto dalSommo Poeta Dante Alighieri nel canto XVI dell'Inferno quando fadire ad Ulisse alcuni dei versi più signi�cativi e pregni di contenutodi tale opera:

Considerate la vostra semenza:fatti non foste a viver come bruti,ma per seguir virtute e canoscenza.

Bibliogra�a

[1] Paul A.M.Dirac,Theory of electrons and positrons, NobelLecture, 12 Dicembre 1993.

[2] B.Povh,K.Rith,C.Scholz e F.Zetsche,Particelle e nuclei, BollatiBoringhieri,1998.

[3] N.Scott Mason and Chester A.Mathis, Radiohalogens for PETImaging, in �Basic Science�, 2005, pp.203-222

[4] A.Czarnecki and Savely G. Karshenboim, Decay of positronium,Discorso al 14esimo Intl.Workshop on High Energy Physics andQuantum Field Theory, Maggio 1999, Mosca.

[5] Stefaan Tavernier, Experimental Tecniques in Nuclear andParticle Physics, 2010, Springer ed.

[6] Filippo Ceradini, Appunti del corso di Istituzioni di FisicaNucleare e Subnucleare

[7] A.Das e T.Ferbel, Introduction to Nuclear and Particle Physics,2003, Worl Scienti�c Printers ed.

[8] A. Czarnecki, K. Melnikov e A. Yelkhovsky, Phys. Rev. Lett.83, 1135 (1999)

[9] A. Czarnecki, K. Melnikov e A. Yelkhovsky, α2 corrections toparapositronium decay: a detailed description, 1999

[10] S.G. Karshenboim, JETP 76,541 (19993), Zh. Eksp. Teor. Fiz.103,1105 (1993)

[11] A.H. Al-Ramadhan e D.W,Gidley, Phys. Rev. Lett. 72,1632/(1994)

[12] T.C. Gri�th, G.R. Heyland, K.S. Lines e T.R. Twomey, J.PhysB11,L743 (1978)

[13] P.Hasbach, G, Hilkert, E. Klempt e G. Werth, Nuovo Cim.A97,419 (1987)

65

66 BIBLIOGRAFIA

[14] C.I.Westbrook, SD.W. Gidley, R.S. COntri e A.Rich, Phys.Rev. Lett. 65,1344 (1990)

[15] J.S. Nico, D.W.Gidley, A.Rich e P.W. Zitzewitz, Phys. Rev.Lett. 65, 1344 (1990)

[16] S.Asai, S. Orito e N. Shinohana, Phys. Rev. Lett B357, 475(1995)

[17] R.E. Casey e R. Nutt, A multicrystal two dimensional BGOdetector system for positron emission tomography , IEEE Trans.Nucl. Sci., Vol.33 460-463, 1986

[18] G.Mariani, D.Volterrani e P.A. Erba Fondamenti di medicinanucleare: Tecniche e applicazioni, 2001, Springer Science ed.

[19] P.M.S. Blackett, On the technique of the counter controlledcloud chamber, �Proceedings of the Royal society of London.Series A�, 1934, 146, pp. 181-299

[20] P.M.S. Blackett, G.P.S. Occhialini, Some photographs of thetracks of penetrating radiation, �Proceedings of the Royalsociety of London. Series A�, 1933, 134, pp. 699-727

[21] L.Ruby e J.R.Richardson, Phys. Rev. Lett. 83,698 (1951)

[22] J. P. Blaser, F. Boehm e P. Marmier, Phys. Rev. Lett 75,1953(1949)

[23] Dale L. Bailey, David W. Townsend, Peter E. Valk e Michael N.Maisey, Positron Emission Tomography-Basic Science, SpringerScience ed., 2003

[24] Michael N. Maisey, Positron Emission Tomography in ClinicalMedicine

[25] Dale L. Bailey, Joel S. Karp e Suleman Surti, Physics andInstrumentation in PET

[26] Dale L. Bailey, Data Acquisition and Performance Characteri-zation in PET

[27] Michel Defrise, Paul E. Kinahan e Christian J Michel, ImageReconstruction Algorithms in PET

[28] Steven R. Meikle e Ramsey D. Badawi, Quantitative Techniquesin PET

[29] John M. Ollinger and Je�rey A. Fessler, Positron Emission To-mography, IEEE Signal Processing Magazine,14(1):43-55,1997

BIBLIOGRAFIA 67

[30] R. Glenn Wells, Robert A. deKemp e Rob S.B. Beanlands,Positron Emission Tomography Instrumentation, 25-45

[31] Sibylle I. Ziegler, Positron Emission Tomography: Principles,Technology, and Recent Developments, Nuclear Physics A 752(2005) 679c�687c

[32] Sylvie Braibant,Giorgio Giacomelli e Maurizio Spurio, Particel-le e interazioni fondamentali: Il mondo delle particelle, SpringerScience e Business Media ed., 2012

[33] Nino Monetti, Stefano Fanti ed Egesta Lopci, Compendio didiagnostica medico nucleare, Società Editrice Esculapio ed.,2013

[34] S. B. Patel, Nuclear Physics: An Introduction, New AgeInternational ed., 1991

[35] Pietro Torricelli, Stefano Mignani e Maurizio Zompatori, Ma-nuale di diagnostica per immagini , Società Editrice Esculapioed., 2008

[36] Michael E. Phelps, PET: Physics, Instrumentation, andScanners,Springer Science e Business Media ed., 2006

[37] Andrew J. Reader, e Habib Zaidi, Advances in PET ImageReconstruction,PET Clin 2 173�190 (2007)

[38] Adam Alessio e Paul Kinahan,PET Image Reconstruction

Ringraziamenti

Innanzitutto vorrei ringraziare il prof. Filippo Ceradini per la suasempre cortese disponibilità, cura e attenzione mostratami durantequesto percorso di tesi.

Un ringraziamento speciale va alla mia famiglia che mi ha sempresupportato e sopportato sia a livello economico che personale, e sen-za la quale oggi non sarei qui e avrei raggiunto tale traguardo.

A zia Anna che da lassù so che mi guarda e mi protegge; è co-me se oggi fosse qui con me.

Un ringraziamento particolare va ad Alessandra per essermi semprestata vicino, avermi sostenuto, spinto a fare meglio e aver semrpecreduto in me.

In conclusione un ringraziamento va anche ai miei amici, compagnidi gioie e divertimenti senza i quali questo percorso sarebbe statosicuramente più tortuoso.

69

università degli studi roma tre dipartimento di matematica ... · 3 sommario questa tesi, di tipo...

Documents