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“TERMOTECNICA 1”

Università di Roma – Tor Vergata Facoltà di Ingegneria – Dipartimento di Ingegneria Industriale

Anno Accademico 2012-2013

Ing. G. Bovesecchi

Corso di:

[email protected] 06-7259-7127 (7249)

ALETTE DI RAFFREDDAMENTO

Alette di raffreddamento

Quando si vuole aumentare il flusso termico ceduto da una parete ad un fluido, dalla legge di Newton della convezione: appare chiaro come si possa o aumentare il coefficiente di scambio convettivo h (per esempio utilizzando ventilconvettori, con convezione forzata, rispetto ai semplici radiatori che funzionano in convezione naturale), o aumentare la differenza di temperatura tra fluido e parete, o infine aumentare la superficie di scambio termico della parte.

Q = hA Tp −Tf( )


Tale ultima possibilità consiste nell’aggiungere alla superficie in esame delle protuberanze, di varia forma e disposizione, che prendono il nome di alette di raffreddamento. Nel seguito esamineremo il caso della forma più semplice di tali dispositivi, quello cioè di una barra a sezione rettangolare (o qualsiasi) costante, di lunghezza L, per cui è possibile una trattazione analitica. Scopo della trattazione è determinare l’andamento della temperatura lungo la barra, e da questo il flusso termico scambiato dall’aletta. Sarà poi pertanto possibile determinare di quanto viene incrementato il flusso termico scambiato dalla superficie originaria senza alette.


Q.x+dx

Qx.

dx

!

Alette – Trattazione analitica Supponiamo di avere una barra di materiale omogeneo ed isotropo, di sezione costante, con un estremo (a x=0) a contatto con un corpo a temperatura tb costante nel tempo. La barra si trova immersa in un fluido a temperatura tf . Ipotizziamo che: 1.  le differenze di temperatura sulla sezione della barra sono

trascurabili rispetto alle variazioni sulla sua lunghezza (le sezioni della barra risultano pertanto isoterme);

2.  ci si trovi in regime stazionario (non si ha dipendenza dal tempo); 3.  il coefficiente di scambio convettivo h tra la parete dell’aletta e il

fluido sia costante (il coefficiente dell’estremità dell’aletta può essere diverso, ma rimane dello stesso ordine di grandezza);

4.  la conduttività del materiale sia costante (indipendente dalla temperatura e dalla direzione).

Alette – Trattazione analitica Indichiamo con : A = la sezione della barra; P = perimetro della sezione della barra; h = coefficiente di scambio convettivo λ = conduttività termica del materiale di cui è costituita la barra; t(x) = la temperatura lungo l’asse della barra; L = la lunghezza complessiva della barra. Consideriamo un elemento della barra compreso tra due sezioni alle distanze x e x+dx dalla base. La differenza tra il flusso termico che entra in tale elemento e quello che esce è il flusso convettivo ceduto al fluido.

Q.x+dx

Qx.

dx

!

Alette – Trattazione analitica Il flusso che entra nell’elemento alla distanza x è : Il flusso che entra nella sezione alla distanza x+dx è: Il flusso scambiato per convezione dalla superficie dell’elemento è: Il bilancio sarà:

Qx = −λAdTdx

Qx+dx = −λAddx

T + dTdx

dx"

#$

%

&'

Qconv = hPdx T −Tf( )

Qx − Qx+dx = Qconv

Alette – Trattazione analitica Cioè: Se indichiamo con e con si ottiene: Si tratta di un equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, la cui soluzione generale è:

λA ddx

dTdx

dx = hPdx T −Tf( )

λA d2Tdx2

= hP T −Tf( )

ϑ = T (x)−Tf( ) m =hPλA

d 2ϑdx2

−m2ϑ = 0

ϑ =Me−mx + Ne+mx

Alette – Trattazione analitica Le costanti M e N si determinano mediante le condizioni al contorno (due, trattandosi di una equazione del secondo ordine). Una delle condizioni al contorno (quella per x=0) è sempre la stessa, cioè la temperatura è uguale a quella della base, T(x=0)=Tb. La seconda condizione (temperatura all’estremità della barra) dipende dalle ipotesi che si fanno. Si possono assumere tre ipotesi differenti: 1.  barra infinitamente lunga; 2.  barra di lunghezza finita con convezione all’estremità; 3.  barra di lunghezza finita isolata all’estremità.

Alette – Trattazione analitica ip. 1 Per , , a una distanza sufficientemente lontana dalla base la temperatura della barra diventa uguale a quella del fluido. Le condizioni al contorno in risultano: 1)  per x=0 2)  per Dalla 2 si ottiene immediatamente N=0 e dalla 1 invece Il flusso termico scambiato dalla barra è quello scambiato per conduzione alla base (in condizioni stazionarie i due flussi coincidono), per cui:

x→∞ T (x) = Tf

ϑ = Tb −Tf =ϑ b

ϑ = T ∞( )−Tf = 0 x→∞

ϑ =ϑ be−mx

Qb = −λAdTdx

"

#$

%

&'x=0

= −λAϑ be−mx (−m)

x=0= λAϑ bm = λAϑ b

hPλA

= hPλAϑ b

Alette – Trattazione analitica ip. 1 Senza aletta il flusso scambiato sarebbe stato: per cui il rapporto tra il flusso con l’aletta e quello senza risulta: che è minore, uguale o maggiore di 1 secondo che sia Pλ minore, uguale o maggiore di hA.

Qsa = hAϑ b

QbQsa

=hPλAhA

=PλhA

Alette – Trattazione analitica ip. 2 Le condizioni al contorno diventano: 1)  per x=0 2)  per x=L dove hL è il coefficiente di scambio convettivo all’estremità (come detto in precedenza potrebbe non essere uguale ad h). Dalla 1 si ha: Dalla 2, essendo si ottiene:

ϑ = Tb −Tf =ϑ b

−λA dϑdx

= hLAϑ

ϑ b =M + N

dϑdx

= −mMe−mx +mNemx

−λA dϑdx

= hLAϑ ⇒ +mMe−mL −mNemL( )λA = hLA Me−mL + NemL( )

Alette – Trattazione analitica ip. 2 Ricordando le definizioni dei seni e coseni iperbolici: la condizione precedente si può scrivere:

cosh(x) = ex + e−x

2sinh(x) = e

x − e−x

2

mλ Me−mL − ϑ b −M( )emL"# $%= hL Me−mL + ϑ b −M( )emL"# $%

mλ 2M coshmL −ϑ bemL"# $%= hL −2M sinhmL +ϑ be

mL"# $%

M =ϑ b

2

emL 1+ hLmλ

!

"#

$

%&

coshmL + hLmλ

sinhmL

Alette – Trattazione analitica ip. 2

Pertanto la soluzione diventa:

N =ϑ b −M =ϑ b

2

emL + e−mL( )+ hLmλ

emL − e−mL( )− emL 1+ hLmλ

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

coshmL + hLmλ

sinhmL=

=ϑ b e

mL + e−mL + hLmλ

emL − hLmλ

e−mL − emL − emL hLmλ

"

#$%

&'

2 coshmL + hLmλ

sinhmL(

)*

+

,-

=ϑ b

2

e−mL 1− hLmλ

(

)*

+

,-

coshmL + hLmλ

sinhmL

ϑϑ b

=1/ 2 em(L−x ) + e−m(L−x ) + hL

mλem(L−x ) − hL

mλe−m(L−x )

"

#$%

&'

coshmL + hLmλ

sinhmL=coshm(L − x)+ hL

mλsinhm(L − x)

coshmL + hLmλ

sinhmL


e la temperatura all’estremità della barra risulta: Il flusso termico disperso dall’aletta si calcola con il solito metodo, cioè valutando quello disperso per conduzione alla base dell’aletta: Le formule sopra riportate trovano applicazione in numerosi problemi termici, ad esempio nel calcolo della distribuzione di temperatura di un filo esposto ad un flusso di aria caldo, o di una sonda cilindrica immersa in un fluido.

ϑ L

ϑ b

=1

coshmL + hLmλ

sinhmL

Qb = −λAdTdx

"

#$

%

&'x=0

= −mλAϑ b

−sinhmL − hLmλ

coshmL

coshmL + hLmλ

sinhmL=mλAϑ b

hLmλ

+ tanhmL

1+ hLmλ

tanhmL

Alette – Convenienza

Non sempre aggiungere un’alettatura ad una superficie comporta un aumento dello scambio termico, ma in certi casi può risultare addirittura controproducente. Per valutare se l’aumento di superficie di scambio costituto dalla presenza dell’aletta aumenta effettivamente lo scambio termico, occorre valutare la cosiddetta “convenienza” dell’aletta, cioè il rapporto tra il flusso termico effettivamente scambiato dall’aletta, e quello che verrebbe scambiato dalla superficie senza alettatura. Tale confronto bisogna farlo utilizzando la soluzione completa, perché il flusso scambiato senza aletta, se questa fosse isolata all’estremità (ipotesi 3), sarebbe nullo. Occorre cioè esaminare se:

Qb ≤ Qsa = hLAϑQb ≥ Qsa = hLAϑ


La ocnvenienza risulta: L’espressione sopra scritta è del tipo ,dove tutti i termini (a,b,k) sono positivi. Risulta chiaro che se k2 , cioè , è maggiore di uno, la convenienza è minore di uno, cioè non c’è convenienza a mettere un’aletta su una superficie per aumentarle lo scambio termico con un fluido.

C =QbQsa

=mλAϑ b

hLAϑ b

hLmλ

+ tanhmL

1+ hLmλ

tanhmL=

hLmλ

+ tanhmL

hLmλ

+hLmλ!

"#

$

%&2

tanhmL

a+ ba+ k2b

hLmλ


Viceversa se , allora l’alettatura è conveniente. Se si suppone che il coefficiente di scambio convettivo sia lo stesso lungo l’aletta e all’estremità (cioè hL=h), anche se tale fatto è verificato solo il prima approssimazione (il fluido con cui si scambia calore è lo stesso, ma l’orientazione è differente), si ottiene: A/P rappresenta una lunghezza caratteristica. Se l’aletta è lunga e stretta, come succede per lo più, di spessore 2δ si ha:

hLmλ

<1

hλm!

"#

$

%&2

=h2λAλ 2hP

=hAλP

A = 2δZ P = 4δ + 2Z ≅ 2Z hAλP

=h2δZλ2Z

=hδλ= Bi

Q.x+dx

Qx.

dx

!


Dove Bi è il numero di Biot con lunghezza caratteristica metà dello spessore dell’aletta. In definitiva se Bi<1 l’aletta aumenta il flusso termico scambiato. Questo succede quando si verifica una delle due condizioni:   il materiale è buon conduttore (λ elevato);   l’aletta è sottile;   se il coefficiente di scambio convettivo è piccolo.

Ma se Bi >1, la presenza dell’aletta può non essere conveniente, o addirittura dannosa, come succede nel caso di convezione forzata a forte velocità, o nel caso dei liquidi. Infatti non vengono mai alettati internamente tubi che portano acqua.


È il caso un po' semplificato rispetto a quello precedente, ma comunemente utilizzato perché il flusso dall’estremità dell’aletta è notevolmente inferiore a quello scambiato dalla superficie laterale e può essere in prima approssimazione trascurato, cioè l’aletta può senza grosso errore nella maggior parte dei casi essere considerata isolata all’estremità. Le condizioni al contorno risultano ora: 1)  per x=0

2)  per x=L

Dalla soluzione dell’equazione differenziale omogenea del secondo ordine vista in precedenza si ottiene:

ϑ = Tb −Tf =ϑ b

dϑdx

= 0

ϑ b =M + N −mMe−mL +mNemL = 0


Da cui si ottengono M e N Per cui si ha: L’eccesso di temperatura all’estremità dell’aletta risulta: E il flusso termico disperso dalla base:

M =ϑ be

mL

emL + e−mLN =

ϑ be−mL

emL + e−mL

ϑϑ

b

=em L−x( ) + e−m L−x( )

emL + e−mL=coshm(L − x)coshmL

ϑ (x = L) = ϑb

coshmL

Qb= −λA dT

dx"

#$

%

&'x=0

= λAϑb

msinh m L − x( )() *+coshmL

x=0

=mλAϑbtanhmL = λ /2A /2hP

/λ /Aϑ

btanhmL = λAhPϑ

btanhmL

Alette – Efficienza

Si definisce efficienza d’aletta il rapporto tra il flusso termico effettivamente ceduto dall’aletta al fluido e quello che verrebbe scambiato se tutta la superficie dell’aletta si trovasse alla temperatura della base. Dalla definizione si ricava l’espressione: Tale espressione ha un andamento di questo tipo. Si vede come l’efficienza d’aletta è tanto maggiore quanto l’aletta è meno sporgente (minore L), quanto più grande è il suo spessore 2δ, e quanto maggiore è la conduttività termica λ, e quanto è più piccolo h.

Ω =Qreale

Qideale

=λAmϑ b tanhmL

PLhϑ b

=m tanhmLm2L

=tanhmLmL

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3

mL

ΛΛmL = h

λδL

Alette – Efficienza delle alette Si definisce efficienza d’aletta il rapporto tra il flusso termico effettivamente ceduto dall’aletta al fluido e quello che verrebbe scambiato se tutta la superficie dell’aletta si trovasse alla temperatura della base. Dalla definizione si ricava l’espressione: Il cui andamento in funzione del parametro mL è:

Ω =QrealeQideale

=λAmϑ b tanhmL

PLhϑ b

=m tanhmLm2L

=tanhmLmL

Alette – Efficienza delle alette Si vede come l’efficienza d’aletta è tanto maggiore quanto l’aletta è meno sporgente (minore L), quanto più grande è il suo spessore 2δ, e quanto maggiore è la conduttività termica λ, e quanto è più piccolo h., essendo: Il flusso totale ceduto dall’aletta si può scrivere: dove Aa è la superficie totale esterna dell’aletta. Le alette a sezione costante non sono quelle di caratteristiche migliori.

mL = hPλA

L = hλδ

L

Qreale =Ω Qideale =Ωϑ bAah

Alette – Efficienza delle alette Quelle a sezione variabile, ad esempio parabolica, a parità di lunghezza risultano più efficienti.

!

Alette – Efficienza delle alette Quando le alette vengono usate su tubi, spesso sono circolari. In tal caso l’efficienza d’aletta diminuisce più rapidamente all’aumentare della quantità mL rispetto a quelle di forma rettangolare, notare che l’aletta su superficie piana corrisponde a r0/ri=1).

!!

!

Alette – Efficienza delle alette Nel caso di batterie di alette, si definisce l’efficienza dell’intera batteria di scambio A, composta dalla superficie del tubo Ab, più quella dell’aletta Aa , come: Si noti che anche per i più basi impieghi di Aa/A (circa 0,85) e di Ω (circa 0,75), la differenza tra Ω e Ω* non supera il 5%

Ω* =flusso termico realeflusso termico ideale

=ΩAa + Ab( )hϑ b

Ahϑ b

=1− AaA

1−Ω( )

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