universität stuttgart wissensverarbeitung und numerik i nstitut für k ernenergetik und e...
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/1
Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Was ist das Ziel der Vorlesung -Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge
Was ist ein Modell - Abstraktion Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle -
Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Was ist ein Abstrakter Datentyp - Kapselung von Daten Was ist ein Modul - Kapselung von Funktionalitäten Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern
Rundung, Diskretisierung, Abbruch Was bedeuten Kondition, Konsistenz und Konvergenz
Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler beherrscht
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/2
V3: Rechnen auf endlichen Maschinen
Teil II: Rechner als endliche Maschine
Kap. 3: Rechnen auf endlichen Maschinen Inhalt: Rundungsfehler, ihre Ursachen und Auswirkungen Diskretisierung von Funktionen
Punkte und Interpolation mit Lagrange Polynomen
Entwicklung nach Polynomen: Taylorreihen
Stückweise stetige DarstellungExperimente:
Fehlerfortpflanzung
Näherung eines Polynomes nach verschiedenen Ansätzen. Übung 1:
Numerik mit Excel und Matlab
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/3
Das sollten Sie heute lernen
Was sind Rundungsfehler und wie wirken sie sich aus Fehlerfortpflanzung bei Operationen Wie können wir Verläufe diskretisieren Was ist ein Lagrange Polynom Wie erzeugt man eine Taylorreihe und zu was nutzt sie
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/4
Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der
absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch
Umgekehrt gilt
Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt:
Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition,
und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division
Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen
wird genähert durch
aaa aaa ~
)1(~aaa
)()(~~ bababa
aN log10
)1()1)(1(~~ baaa bababa
bac
baccbac
bac
bac
c
)()(~
Rundungsfehler bei Grundoperationen
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/5
Interpolationsformel von Lagrange
Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen
L x L x y yx x
x xk k
k
n
ki
k ii i
n
k
n
0 0 00 ;
An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten
Für die gelten die Beziehungen L xk i
1 für k = i
0 für k i
und allgemein
Lk
Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.
L x L x yx x
x xy
x x
x xyk k
k
0
11
0 10
0
1 01
L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk
k k n
k k n
0 1 1 1
0 1 1 1
1/2
Der Versuch wird durchKlick gestartet
Die mathematische Darstellung der Eulerzahl lautet:
e = f(n) =nn
n
lim
1
1
Die Limesbildung meint, daß bei einem sehr groß gewählten n das numeri-sche Ergebnis und die mathematisch exakte Lösung übereinstimmen. DieseTheorie stimmt jedoch nur solange n so klein bleibt, daß 1/n nicht in den Bereich der Rundungsfehler von 1 gelangt. Auf unseren Rechnern beträgt dieMantissenlänge für double 53 (für float 24) . Daraus ergibt sich ein Rundungs-fehler an der 55 Stelle. Nähert sich n dem Wert ,so erhält man für die Ergebnisfunktion ein Sägezahnprofil mit dem Höchstwert e² bei n= . Steigt n weiter an, dann gilt f(n)=1 Für n < wirkt sich der Rundungsfehler bei dervorgegebenen Zeichengenauigkeit nicht sichtbar aus.
1013
n 1000
253
n 1013
253
Auswirkungen von Rundungsfehler bei der Berechnung von e
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/6
Ein Beispiel soll die Wirkung von Rundungsfehlern erläutern. Zu berechnen sei
Nach dieser Formel wurden die folgenden Werte mit 10stelliger Dezimalarithmetik berechnet.
Die Abweichungen in der rechten Spalte sind Folge von Rundungsfehlern.
So gilt etwa für n = 2 • 109 für 1/n = 5 • 10-10 und gerundet 10-9.
Für n = 2.5 • 109 erhält man für 1/2 = 4 • 10-10 und gerundet gerade 0. Die Verwendung der Potenzreihe für würde hier Abhilfe schaffen. Im Rahmen der numerischen Experimente wird ein entsprechender Versuch mit einem 32 bit-Rechner angeboten.
n f(n) n f(n)
50 000 2.7182 54646 125 000 2.7182 81828 = e
100 000 2.7182 54646 125 001 2.7183 03575
120 000 2.7181 73099 1.0 109 2.7182 81828 = e
124 998 2.7182 38336 2.0 109 7.3890 56098 = e2
124 999 2.7181 58501 2.5 109 1.0000 00000
enfn
n
nnf
)(lim,
11)(
)1( 1nnl
Bestimmung von e
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/7
Berechnet man aus einer Größe x über einen Algorithmus f(x) eine Größe y, so gibt es zwei Ursachen für Fehler Fehler in x
Fehler in Operation
Daraus folgt
Darin bedeutet den absoluten Fehler durch die Operation
den absoluten Fehler durch das Argument
Nach dem Mittelwertsatz gilt
oder
Damit wird
cond f heißt Kondition der Operation. Für cond f < 1 führt die wiederholte Anwendung einer Operation zum Verschwinden des Fehlers durch das Argument, man sagt, die Operation ist stabil.
xx x )1(~
f)1(f~
f
)()~()~(
)~()1()~(~
)()~(~
)~(~~
xfxfxff
xfxfwirdxfxfmitxfy
y
fy
)~(xff
)()~( xfxf
fcondxfxfx
xf
xfxfxf
bcaab
afbfcf
xfxfy
y
x
)()('
)(
)()()('
)()()('
Fehler bei Operationen
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/8
Akkumulation von Rundungsfehlern
In der Numerik haben wir es mit einer Vielzahl von Rechenoperationen zu tun. Man muß deshalb untersuchen, wie sich Fehler dabei ausbreiten.Bei Verwendung gerundeter Arithmetik wird im allgemeinen in zufälliger Folge gleich häufig auf- oder abgerundet. Weitaus die meisten Rundungsfehler kompensieren sich so gegenseitig. Die Abweichung einer berechneten Größe von ihrem (im Verlauf der Rechnung variablen) exakten Wert hat daher den Charakter einer statistischen Schwankung. Zählt der Index n die für die Größe a wirksamen Operationen, d.h. diejenigen, welche a direkt oder indirekt beeinflussen, so ergibt der zentrale Grenzwertsatz für den akkumulierten Rundungsfehler von a die Ordnung
nconsta
aa
alson
~
0
Dieses langsame Fehlerwachstum kann unter günstigen Bedingungen auch bei abgeschnittenen Arithmetik auftreten (bei günstiger Verteilung der Operationen und Vorzeichen). Weit häufiger aber zeigen die Rundungsfehler dann eine systematische Tendenz. Dann wächst der akkumulierte Fehler von a linear mit der Anzahl n der wirksamen Operationen, ist also von der Ordnung 0(n). Die Abbildung zeigt typische Verläufe.
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/9
Interpolationsformel von Lagrange
Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen
L x L x y yx x
x xk k
k
n
ki
k ii i
n
k
n
0 0 00 ;
An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten
Für die gelten die Beziehungen L xk i
1 für k = i
0 für k i
und allgemein
Lk
Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.
L x L x yx x
x xy
x x
x xyk k
k
0
11
0 10
0
1 01
L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk
k k n
k k n
0 1 1 1
0 1 1 1
1/2
Die Summe der einzelnen Fehler ist eine normal verteilte Größe. Die Streu-ung der Normalverteilung ist . Wobei n die Zahl der Operationen und die Proportionalitätskonstante vom Rundungsfehler der einzelnen Opera-tionen abhängt.
In der Visualisierung sind dargestellt:a)die Einzelfehlerb)die Summenfehler c)der 2 Sigma Bereich für den Summenfehler
Bei diesem Versuch werden Zufallszahlen (a) generiert und durch die Vor-schrift (a/b+1)-1 gerundet. Die Differenz zwischen der ursprünglichen und der gerundeten Zufallszahl ergibt den Rundungsfehler (Rundfe). Wobeib=10 gilt.
Rundfe = a -a
bb
1 1
Der Versuch wird durchKlick gestartet
n
Fehlerfortpflanzung bei Addition
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/10
Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern
Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern können sein
• Verwendung gerundeter Arithmetik,
• Verwendung von doppelter Genauigkeit,
• Rechnungen auf Maschinen mit verschiedenen Mantissen,
• Abänderung der Algorithmen,
• Verwendung von Intervallarithmetik.
Akkumulation von Rundungsfehlern bei Grundoperationen
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/11
Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation).
Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist
y = f(x)
x steht für die unabhängigen Variablen,
y steht für die abhängigen Variablen,
f gibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt.
a) Diskretisierung der unabhängigen Variablen
wird durch Werte yi = f(xi) dargestellt.
Für weitere Operationen kann zwischen den Werten yi interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.
yyixx
~
y~
Diskretisierung von Funkionen -1
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/12
Diskretisierung von Funktionen -2
b) Diskretisierung der abhängigen Variablen
Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen Ni(x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten ai und die Art der Näherung von
c) Diskretisierung durch statistische Methode
wird über Werte beschrieben, wo xi zufällig bestimmt und nach verteilt sind.
xiN
i iayy ~
xxfxf *
y~ xf * x
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/13
1. Festlegung des Approximationsbereiches
xa x xb
2. Festlegung der Stützstellen
a) Einschluß der Ränder x1 = xa, xn+1 = xb
b) Gebietsmitte
3. Berechnung der Werte der abhängigen Variablen
yi = y (xi)
4. Interpretation
a) Wert gültig im Bereich (Basisgebiet) um Stützstellen
b) Werte interpolieren mit Lagrange-Polynomen
b1) Polynom durch alle Punkte (wenig Stützstellen, hohe Interpolationsordnung)
b2) stückweise Näherung (viele Stützstellen, mehrere Polynome niederer Ordnung).
Diskretisierung der unabhängigen Variablen- Näherung von Funktionen
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/14
y wird durch zwei Punkte xo und x1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (xo, yo) und (x1, y1)
Faßt man die Glieder mit yo und y1 zusammen, so gilt
Die Ausdrücke vor den Werten yo und y1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit
Offensichtlich gilt
und
1001
01
0
0
~ xxxyyxx
xxyy
1
01
0
0
01
1~ yxx
xxy
xx
xxy
xx 1
1
1
0 und
y~
xyyi
ii
11
0
~
100
1
01
1
0
01
11
0
xundxmitxx
xx
010
1
11
1
1
01
01
1
xundxmitxx
xx
Lineare Interpolation
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/15
Quadratische Interpolation
x wird durch drei Punkte x0, x1, x2 beschrieben.
Ist eine Parabel durch die Punkte 221100 ,,,,, yxyxyxy~
2210
~ xaxaay Mit
und 22
11
00
~
~
~
yxy
yxy
yxy
können die Koeffizienten a0, a1 und a2 bestimmt werden.
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/16
Quadratische InterpolationDas Ergebnis ist
12
1
02
02
21
2
01
01
20
2
10
10
~
xx
xx
xx
xxy
xx
xx
xx
xxy
xx
xx
xx
xxyy
Die Ausdrücke vor den Werten y0, y1 und y2 sind jetzt ebenfalls Parabeln. Wir bezeichnen sie mit
xxx 22
21
20 ,,
Offensichtlich gilt 100
000
001
2221
220
22
22
112
102
1
2201
200
20
xxx
xxx
xxx
und xyy iii
22
0
~
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/17
Höhere Interpolation
xyy nii
n
i
0
~
xni heißen Lagrange-Polynome.
Es gilt analog der linearen und der quadratischen Interplation
1
0j
ni x für i j,
für i = j
Ihre allgemeine Form lautet
nk
n
kk
k
kk
k
mk
n
kmm mk
mk xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
1
1
1
10
0
Höhere Interplation
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/18
Ihre allgemeine Form lautet:
Für n = 3
Lagrange Polynome - Zusammenfassung
))...()()...((
))...()()...((
110
110
0 niiiiii
nii
mi
mn
imm
nm xxxxxxxx
xxxxxxxx
xx
xxx
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/19
Lagrange Polynome - Zusammenfassung
Mit diesen Interpolationsfunktionen läßt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern:
)()3
o ii
(xy(x)y~(x)y xi
x0 x1 x2 x3
xyxy~
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/20
Interpolationsformel von Lagrange
Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen
L x L x y yx x
x xk k
k
n
ki
k ii i
n
k
n
0 0 00 ;
An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten
Für die gelten die Beziehungen L xk i
1 für k = i
0 für k i
und allgemein
Lk
Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.
L x L x yx x
x xy
x x
x xyk k
k
0
11
0 10
0
1 01
L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk
k k n
k k n
0 1 1 1
0 1 1 1
1/2
Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen
L x L x y yx x
x xk k
k
n
ki
k ii i
n
k
n
0 0 00 ;
An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten
Für die gelten die Beziehungen L xk i
1 für k = i
0 für k i
und allgemein
Lk
Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.
L x L x yx x
x xy
x x
x xyk k
k
0
11
0 10
0
1 01
L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk
k k n
k k n
0 1 1 1
0 1 1 1
Interpolationsformel von Lagrange
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/21
Interpolationsformel von Lagrange
Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen
L x L x y yx x
x xk k
k
n
ki
k ii i
n
k
n
0 0 00 ;
An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten
Für die gelten die Beziehungen L xk i
1 für k = i
0 für k i
und allgemein
Lk
Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.
L x L x yx x
x xy
x x
x xyk k
k
0
11
0 10
0
1 01
L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk
k k n
k k n
0 1 1 1
0 1 1 1
1/2
Versuch:Mit Hilfe von der Lagrangefunktion wird xsin(x) angenähert. Variiert werden der Approximationsbereich und der Grad der Approximation. Das Approximations-gebiet wird dann in n äquidistante Intervalle unterteilt. Als n+1 Stützstellen werden die Intervallgrenzen gewählt.
Der Versuch wird durchKlick gestartet
Lagrange
Interpolationsformel von Lagrange - 2
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/22
Stückweise Näherung
Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann
xnji
m
j
nj
iiyy
1 0
~
sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj
Die Näherung heißt stückweise stetig.
xnj
Diskretisierung von x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/23
Diskretisierung der abhängigen Variablen
Der im letzten Abschnitt beschriebene Ansatz nähert y so, daß y und an den Knoten übereinstimmen. Für viele Anwendungen sind andere Anpassungen besser. Man erhält sie durch Diskretisierung der abhängigen Variablen
Ni(x) sind bekannte Entwicklungs- oder Basisfunktionen.
ai sind die Entwicklungskoeffizienten. Zu ihrer Bestimmung ist ein Kriterium, das angibt, wie die Näherung erfolgen soll, nötig.
Eine häufig verwendete Anpassungsmethode ist die Methode der gewichteten Residuen. Sie versucht, den Gesamtfehler integral zu minimieren. Dazu führt man Wichtungsfunktionen wi ein und fordert
xNayy ii
n
i
0
y
00
dxxNaywdxyywn
iiijj
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/24
Methode der gewichteten Residuen
Die Zahl der Wichtungsfunktionen entspricht dabei der Zahl der anzupassenden Unbekannten ai. j läuft also wie i von 0 bis n.
Mit dieser Beziehung erhält man durch Einsetzen der n+1 Wichtungsfunktionen w j gerade n+1-Gleichungen. Aus diesen können die Entwicklungskoeffizienten a i bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Wichtungsfunktionen linear unabhängig sind, d.h. nicht durch lineare Transformationen ineinander überführt werden können.
Mit der Abkürzung
hat das Gleichungssystem folgende Form
ywNwaNwaNwa
ywNwaNwaNwa
ywNwaNwaNwa
nnnnnn
nn
nn
1100
11111010
00101000
........
jjij NwdxNw
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/25
Stückweise Näherung
Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann
xnji
m
j
nj
iiyy
1 0
~
sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj
Die Näherung heißt stückweise stetig.
xnj
Diskretisierung von x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19 21Diskretisierung von y
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/26
Alternative Wahlen der Entwicklungskoeffizienten
Folgende Wahlen sind besonders häufig:
,
,
,
,
dxxydx
da
dxxya
xxydx
da
xya
i
xi
ii
ii
i
d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen
d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen Polynome (Ableitungen an einer Stelle) oder Hermitesche Funktionen (Ableitungen am linken und rechten Rand).
d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen.
d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/27
Beispiel: Taylor-Reihenentwicklung
Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - xo)
Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x0:
xn
n
n
x
x
xfdx
d
na
xfdx
da
xfdx
da
xfa
/)(!
1
..........
/)(!2
1
/)(
)(
2
2
2
1
00
• Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.
y~
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isse
nsv
erar
be
itu
ng
un
d N
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erik
Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/28
Taylor-Reihenentwicklung -2
Ergebnis der Näherung
• Verstümmelungsfehler gleich erstes vernachlässigtes Glied
• Konvergenz
xoxf
ndx
nd
n
noxx
xoxf
dx
dxxxfxyxy /)(
!
)(.../)(
!10)
0()(~)(
1)(0ˆ/)(1
1
)!1(
1)( noxx
oxxf
ndx
nd
n
noxx
)1(0ˆ)1(0ˆ1)(0
nhnxn
oxx
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/29
Statistische Approximation
Eine dritte Methode, um Verläufe zu diskretisieren, kennen wir aus der Meßtechnik. Dort werden Verläufe mit Hilfe von Meßpunkten dargestellt. Dabei gibt es zwei Grenzfälle: Die Meßpunkte sind zufällig (Stichprobe), aber der Meßwert ist exakt. Dies
entspricht einer zufälligen Diskretisierung der unabhängigen Variablen. Die Meßpunkte sind vorgebbar, aber der Meßwert ist mit großer Unsicherheit
behaftet (Messung mit Meßfehler). Jetzt sind die Werte der abhängigen Variablen zufällig.
Um diese Technik auch auf dem Rechner verfügbar zu haben, ist es nötig, zufällige Zahlen zu erzeugen. Dies geschieht durch spezielle Funktionen (Zufallszahlgeneratoren). Diese Funktionen liefern in der Regel Zufallszahlen, die in einem Intervall (0,1) gleichverteilt sind, d.h. die auftretenden Zahlenwerte können alle aus diesem Intervall darstellbaren Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Abweichungen von dieser Aussage dürfen im Rahmen der Verwendung der Zufallszahlen nicht nachweisbar sein.
Dieser Ansatz ist vor allem dann von Bedeutung, wenn x hochdimensional und f schwierig zu berechnen sind
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/30
Statistische Approximation
Um nun eine Funktion f (x) im Intervall (a, b) zu nähern, wird f (x) aufgespalten in f( x) = fx (x) • (x)
Die Näherung von f (x) erfolgt dann durch n Realisationen xi , wo die xi aus der Verteilung (x) stammen und jedem xi ein Wert fx (xi) zugeordnet ist.
Ist (x) eine Gleichverteilung, so gilt (x) = 1 / (b - a) und fX (x) = (b - a) • f (x).
Kann man direkt von f (x) Zufallszahlen ziehen, ist also f (x) - evtl. nach einer Normierung - eine verfügbare Dichtefunktion, so gilt:
(x) = f (x)
fx (x) = 1
Allen Beiträgen xi wird also derselbe Wert zugeordnet.
Eine Interpolation zwischen den zufälligen Werten kann nicht direkt erfolgen. Operationen werden über das Gesetz der grossen Zahlen realisiert.
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/31
Regression - 1
Näherungsweise kann man einen Punkteschwarm mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate in einen Verlauf (Regression) umsetzen. Dabei hat man aus Messungen oder einem statistischen Computerexperiment Wertepaare xi, yi erhalten. Sie sollen durch eine Funktion , in der die Parameter a0 bis an noch zu bestimmen sind
möglichst gut approximiert werden. Dies erreicht man etwa, indem man die quadratische Abweichung Q zwischen Meßwerten yi und Näherung zum Minimum macht:
naaaxyy ,,,, 10
y
y
Qn
iiy
naa
ixyMin
0
2,,0
,
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/32
Regression - 2
Wie aus der Analysis bekannt, wird ein Extremwert berechnet, indem man die 1. Ableitung = 0 setzt. Damit kann man für
genau n+1-Gleichungen folgender Art bilden:
Dies entspricht der Methode der gewichteten Residuen in der Galerkin-Formulierung, wenn wie dort gilt:
nj 0
0,,;,,2 00
0
nij
n
iini
j
aaxda
ydyaaxy
da
dQ
n
iii xNay
0
Anwendung: Bestimmung von Ersatzfunktionen für Simulationen Bestimmung von Sensitivität auf Datenänderung bei Simulationen
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/33
Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Was sind die Hauptfehlerarten beim numerischen Rechnen und wie reduziert man sie
Wie breiten sich Fehler bei Operationen auf ungenaue Zahlen aus
Wie diskretisieren wir Funktionen Geben Sie das Lagrange Polynom der Ordnung n an Geben Sie für eine Funktion f(x) die zugehörige Taylor - Reihe
an Empfehlen Sie einen Ansatz zur Näherung einer Funktion f(x),
wenn deren Verlauf optimal beschrieben werden soll. Wie ändert sich Ihre Empfehlung, wenn es sich bei der zu nähernden Funtion im Näherungsintervall um ein Polynom der Ordnung 2 handelt